了解领域论文（摘要翻译）

1. AMOR：任意网格与不规则三维几何上算子学习的自适应模态算子精化

AMOR: Adaptive Modal Operator Refinement for Operator Learning on Arbitrary Meshes and Irregular 3D Geometries

作者: David Voderholzer, Leonard Vetter, Thomas O’Leary-Roseberry

类别: math.NA, cs.CE, physics.comp-ph

发布日期: 2026-10-27

arXiv ID: 2610.37485v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.37485v1

摘要翻译

中文标题: AMOR：任意网格与不规则三维几何上算子学习的自适应模态算子精化

摘要翻译: 科学与工程中的参数化 PDE 通常定义在不规则网格上，其几何可能包含孔洞或复杂边界，然而诸如傅里叶神经算子（FNO）等流行的算子代理架构依赖结构化几何来实现快速计算核。我们引入自适应模态算子精化（AMOR），它用降基块替代 FNO 基于傅里叶的谱卷积，并通过统一的编码/解码接口支持数据驱动基和预设输入/输出基。因此，AMOR 可未经修改地应用于任意网格；并且由于其谱参数化对空间维度没有张量积依赖，它能有利地扩展到三维，而在三维中 FNO 的谱权重随谱模态数 $m$ 以 $m^3$ 增长。我们证明 AMOR 是连续算子的通用逼近器。在二维结构网格基准上，AMOR 总体上与 FNO 具有竞争力并超过 PCANet：它在非线性扩散和 Helmholtz 问题上优于 FNO，而静态快照基使其在时间相关的 Kolmogorov 流问题上无法达到 FNO 的精度。在三维问题上，它在线性弹性静力学上以更低的推理成本达到或超过 FNO 的精度，而在湍流顶盖驱动方腔流上落后于 FNO，并能有利地扩展到需要高容量的问题。在不规则网格上，FNO 不能直接适用，AMOR 相对于 FNO 的扩展 Geo-FNO 将相对 $L^2$ 误差降低 $31\%$（翼型）和 $42\%$（弹性）。最后，AMOR 在一个拓扑非平凡的三维飞机肋网格上，在三个物理上不同、由实验启发的载荷工况中保持强劲性能，证明其无需修改即可适用于现实工程问题。

2. 椭圆方程的算子 Barron 正则性及其在神经算子逼近中的应用

Operator Barron Regularity for Elliptic Equations and Application to Neural Operator Approximation

作者: Shuhao Cao, Ruchi Guo, Daniel Zhengyu Huang, Na Liu

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-27

arXiv ID: 2610.37101v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.37101v1

摘要翻译

中文标题: 椭圆方程的算子 Barron 正则性及其在神经算子逼近中的应用

摘要翻译: 我们建立了一个面向无限维函数空间之间非线性算子的谱 Barron 正则性框架。利用有限维输入截断的取值于 Hilbert 空间的 Fourier 表示，我们建立了关于输入截断维数一致的界，并证明了一类椭圆解算子的任意阶 Barron 正则性。其次，我们利用这种算子 Barron 正则性推导了 FNO 型神经算子的逼近误差界，该界显式依赖于输入截断维数、输出重构维数和网络宽度。对于固定的输入截断维数，在 Barron 正则性阶数上优化神经逼近界，可得到逼近误差随网络宽度呈拉伸指数衰减。我们还给出了一些数值实验来支持所预测的速率。

3. 非均匀声学介质中的运动点源反问题：唯一性、稳定性与重构

An inverse moving point source problem in inhomogeneous acoustic media: uniqueness, stability and reconstruction

作者: Dong Qiu, Xiang Xu, Yue Zhao

类别: math.AP, math.NA

发布日期: 2026-10-27

arXiv ID: 2610.36830v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.36830v1

摘要翻译

中文标题: 非均匀声学介质中的运动点源反问题：唯一性、稳定性与重构

摘要翻译: 本文研究非均匀声学介质中未知运动点源的轨迹与强度的同时反演。我们证明，在有限时间区间上的全边界测量唯一确定该运动源。此外，在适当的传播假设与秩假设下，利用源区域外四个固定接收器测得的波形，得到了确定轨迹与强度的 Lipschitz 稳定性。提出了一种新的 Volterra–Euler 重构格式用于求解该反问题，并给出了该格式的误差估计。数值实验验证了所提数值方法的有效性。

4. 各向异性曲线缩短流的参数有限元逼近的极小化运动框架

A minimizing-movement framework for parametric finite element approximation of anisotropic curve shortening flows

作者: Wei Jiang, Chunmei Su, Ganghui Zhang

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-27

arXiv ID: 2610.36753v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.36753v1

摘要翻译

中文标题: 各向异性曲线缩短流的参数有限元逼近的极小化运动框架

摘要翻译: 我们提出了一个极小化运动框架，用于构造各向异性曲线缩短流的参数有限元方法（PFEMs）。其基石是一个容许的修正能量：一个光滑、凸且依赖于迭代的替代泛函，它优超原各向异性能量，并在当前迭代点与之一致。对于任意固定的有限元次数 $n\geq1$ 和任意正表面能密度 $γ\in C^2(\mathbb{S}^1)$，只要当前离散曲线的参数导数在任何网格单元上不为零，无约束单步问题对任意时间步长都有唯一解。它还满足单步离散能量耗散不等式。因此，它保持了底层 $L^2$-梯度流的变分结构。该框架恢复了对 Dziuk 各向同性格式的一种变分解释，并直接适用于弱各向异性情形。对于强各向异性，凸分裂去除了对原始密度的弱各向异性限制。一个标量约束进一步将该框架推广到保面积流。数值实验对光滑的各向同性和弱各向异性算例展示了大致预期的收敛性。它们也证实了能量耗散和面积保持。在强各向异性情形下，计算产生了尖锐的类小平面轮廓，但在网格加密下暴露出网格尺度振荡。

5. 面向网格协调与浸入式近不可压缩弹性分析的具有间断压力的局部稳定化等几何格式

A Local Stabilized Isogeometric Formulation with Discontinuous Pressure for Mesh-Conforming and Immersed Analysis of Nearly Incompressible Elasticity

作者: Ashkan Ali Madadi, Thomas J. R. Hughes

类别: cs.CE, math.NA

发布日期: 2026-10-26

arXiv ID: 2610.36349v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.36349v1

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中文标题: 面向网格协调与浸入式近不可压缩弹性分析的具有间断压力的局部稳定化等几何格式

摘要翻译: 近不可压缩材料出现在软组织、弹性体、凝胶和其他软固体中。然而，数值建模仍然具有挑战性，因为基于位移的格式在接近不可压缩时可能出现体积锁定。混合位移-压力格式解决了这一困难，但需要满足 inf-sup 条件的相容近似空间。在混合格式中，间断压力空间具有吸引力，因为压力自由度可以局部凝聚。然而，在高阶等几何分析中，其 Galerkin 稳定性要求压力网格粗化，且粗化程度随多项式次数增加。本文提出一种变分多尺度（VMS）稳定化混合等几何格式，在保留这种局部性的同时显著放宽该限制。关键观察是：VMS 稳定化控制单元内非常数压力模态，并且只要单元内常数压力分量满足 inf-sup 条件，该稳定化关于其参数无条件稳定。因此，对于最大连续位移样条，粗化因子为 2 的压力网格满足常数模态 inf-sup 判据，且与多项式次数无关。局部凝聚随后得到仅含位移的系统，便于在现有位移求解器中使用。该格式进一步扩展到浸入等几何分析，采用扩展 B-splines、压力单元聚合、基于细分的切割单元求积以及本质边界条件的弱施加。在 Kirsch 和 Cook’s membrane 基准中的离散 inf-sup 研究与收敛性分析证明了稳定性，并表明浸入处理保持了混合稳定性性质。因此，所提出的框架为网格协调和浸入设置下的近不可压缩问题提供了一种局部、高阶且稳健的方法。