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1. 障碍散射问题UPML有限元方法的波数显式稳定性与预渐近误差分析

Wavenumber-explicit stability and preasymptotic error analysis of UPML finite element method for obstacle scattering problems

作者: Yuhao Wang, Weiying Zheng

类别: math.NA

发布日期: 2026-07-22

arXiv ID: 2607.20331v1

摘要翻译: 本文对使用单轴完美匹配层(UPML)截断的二维Helmholtz散射问题的有限元逼近进行了波数显式稳定性和预渐近误差分析。该分析基于与笛卡尔复坐标变换相关的拉伸Green核的直接估计。我们建立了截断UPML问题的显式稳定性。特别地，我们证明在自然的$k$-加权$H^1$范数下，截断UPML公式的inf-sup常数$\mu_L = O(k^{-1})$。由此，我们还得到了PML截断误差的指数衰减估计。基于此稳定性估计，我们在截断UPML域上构造了一个线性连续内罚有限元方法(CIP-FEM)。分析的一个关键点是建立分片$H^{1+s}$正则性结果（对于任意$0

Comment: 30 pages, 5 figures

链接: http://arxiv.org/abs/2607.20331v1

1. 研究对象和背景

本文研究二维声波散射问题的有限元数值逼近，特别关注高波数情形下截断区域的波数显式稳定性与预渐近误差估计。所考察的问题为：对具有$C^2$光滑边界且星形的有界障碍体$D\subset\mathbb{R}^2$，在外部区域$D^c:=\mathbb{R}^2\setminus D$上求解Helmholtz方程

$$-\Delta u - k^2 u = f \quad \text{在} D^c \text{中},$$

配备Dirichlet边界条件 $u=0$ 在 $\Gamma:=\partial D$ 上，并满足Sommerfeld辐射条件

$$\sqrt{r}\left(\partial_r u - i k u\right) \to 0 \quad (r=|x|\to\infty).$$

源项$f\in L^2(\mathbb{R}^2)$具有紧支集，波数$k\ge 1$。该模型是声波、电磁波时谐传播的基本方程，在高频情形下数值求解面临两个核心困难：一是算子的强不定性导致离散inf-sup条件退化，二是标准有限元格式产生污染效应，即误差随$k$增长而增大。因此，波数显式稳定性分析与预渐近误差估计（误差界达$k$的某个负幂且与网格分辨率无关）是保证高波数下数值方法可靠性的关键。

对于Helmholtz问题，一维情形下Ihlenburg与Babuˇska已证明离散inf-sup常数为$O(k^{-1})$并导出了预渐近误差估计。高维情形的研究主要集中于阻抗边界条件的Helmholtz问题（如[9-12,20,22,24,25,28]），而针对外散射问题的成果相对稀少，主要障碍在于无穷域截断后需保持最优$O(k^{-1})$ inf-sup常数。Chandler-Wilde与Monk[3]对光滑星形障碍物引入Dirichlet-to-Neumann（DtN）映射将问题限制在有界域，证明了inf-sup常数确为$O(k^{-1})$，但DtN边界条件是非局部的，实施代价较高。

完美匹配层（PML）方法通过复坐标拉伸将辐射条件替换为吸收层，可将计算域截断为有界区域，且边界条件只需简单的齐次Dirichlet条件，实现更灵活。其中，单轴（或Cartesian）PML（UPML）允许吸收层贴近障碍物并在各坐标方向独立拉伸，特别适合各向异性或几何复杂的障碍物。然而，UPML的波数显式稳定性理论远未成熟。

对于径向PML，Li与Wu[18]对分片常系数介质证明了inf-sup常数$O(k^{-1})$，并给出了标准有限元与连续内罚有限元（CIP-FEM）的预渐近误差估计；Chaumont-Frelet等[4]对单调解质系数也得到了$O(k^{-1})$稳定性。但对于UPML，2013年Chen与Xiang[6]在源散射问题（$D=\emptyset$）中仅得到$O(k^{-3/2})$的inf-sup估计。2024年Galkowski等在预印本中假设UPML为$C^\infty$光滑才证得$O(k^{-1})$，而实际常用的是分片多项式UPML。此外，对障碍散射问题，尚未有UPML的最优$O(k^{-1})$稳定性结果。

预渐近误差分析的另一关键是如何处理UPML引起的正则性损失。对于圆形PML，其界面和截断边界光滑，解具有分片$H^2$正则性；但UPML在Cartesian界面处系数跳跃，加之角点处的几何奇性，导致解不再具备$H^2$正则性。为克服此困难，必须建立更弱的分片$H^{1+s}$正则性（$0

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果可概括如下：

  1. 对UPML截断后的源散射问题（$D=\emptyset$）证明了弱形式(2.23)的inf-sup条件：存在与$k$无关的常数$C>0$以及适当的$\sigma_0$（吸收参数），使得对所有$v\in H^1_0(B_L)$成立 $$\sup_{0\ne w\in H^1_0(B_L)}\frac{|A_{B_L}(w,v)|}{|\!\|w|\!\|_{H^1(B_L)}}\ge \mu_L |\!\|v|\!\|_{H^1(B_L)},$$ 且$\mu_L\ge C k^{-1}$，这里加权$H^1$范数定义为$|\!\|v|\!\|_{H^1(\Omega)}:=(\|\nabla v\|_{L^2(\Omega)}^2+k^2\|v\|_{L^2(\Omega)}^2)^{1/2}$。该inf-sup常数达到$O(k^{-1})$的最优量级。
  2. 利用上述稳定性，证明了UPML解$\hat u$到原散射问题解$u$的截断误差是指数衰减的：对充分大的吸收层参数$d_1,d_2$，有 $$|\!\|u-\hat u|\!\|_{H^1(\Omega_L)}\le C e^{-\frac{1}{8}\sigma_0 k d_{\min}}\|f\|_{L^2(\Omega_l)},$$ 其中$d_{\min}=\min\{d_1,d_2\}$。
  3. 对障碍散射问题（$D\ne\emptyset$），用双层位势将故事化为类似形式，同样建立了在区域$\Omega_L$上的$O(k^{-1})$ inf-sup稳定性，从而为有限元逼近提供基础。
  4. 针对UPML导致的系数跳变与Cartesian角点，证明了解$\hat u$具有分片$H^{1+s}$正则性：对任意$0
  5. 在上述稳定性和正则性基础上，对CIP-FEM离散格式（基于$h$-网格剖分和标准Lagrange有限元空间）证明了预渐近误差估计：若采用分片线性连续元，当$kh$充分小时，数值解$u_h$满足 $$|\!\|u-u_h|\!\|_{H^1(\Omega_L)}\le C\left( k h + (k h)^{2s} + \text{PML截断误差}\right),$$ 其中$C$不依赖于$k$和$h$，$s$为上述正则性指标。该估计表明，在预渐近范围$kh\ll 1$内，污染效应被抑制，误差主要来自截断和离散。 具体常数与证明细节见原文章节4−6。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的核心技术贡献在于构造了一套直接对拉伸Green函数$G(\tilde x,\tilde y)$的微积分估计方法，避免了以往分析中依赖光滑系数或特殊几何的假设。主要创新点和分析框架如下：

  1. Green函数的二进分解与Carleman型估计。 证明inf-sup稳定性的关键在于建立算子$A_\Omega$的连续性并利用适当的紧性论证，这需要精细控制由$G(\tilde x,\tilde y)$生成的积分算子。作者按两点间距离$|x-y|$的大小划分：近场$|x-y|\le 2/k$直接用Hankel函数的奇性估计；远场$|x-y|\ge R$（$R$为某固定大尺度）由复距离的指数衰减（引理2.2）得到强衰减；中间区域通过二进环分解，即在每个环$2^mk^{-1}<|x-y|\le 2^{m+1}k^{-1}$上利用截断函数$\chi_m$构造单位分解。 尤其困难的是当一点在物理域$B_l$内而另一点在吸收层$B_l^c$内时，衰减因子中$\operatorname{Im}\rho(\tilde x,\tilde y)$仅体现为对某个坐标方向上差分的线性依赖（如引理3.4中$\operatorname{Im}\rho\ge \sigma_0 s(s+t)/r$），此时经典的$L^2$估计无法直接得到。作者巧妙地引入Carleman算子理论：将体积分投影到垂直于界面的方向后，积分核变为$e^{-\gamma s(s+t)}$（$s,t$为界面法向坐标），进而通过论证算子$e^{-\gamma s(s+t)}$在$L^2(\mathbb{R}_+)$上的范数被$O(\gamma^{-1/2})$控制（引理3.2），结合Schur测试与伸缩变换，获得每一环上算子的范数界为$O(2^m k^{-2})$，从而总和收敛。类似的处理应用于界面附近的梯度估计以及Green函数的其他导数。 这一框架的实质是将复拉伸Green函数视为某种合适的Carleman核，直接得到全局$L^2$有界性，绕过了以往构建全局变换或椭圆正则性估计的复杂步骤。引理3.3、3.4、3.5构成了整个稳定性分析的基石。

  2. 分片$H^{1+s}$正则性的提取。 为导出误差估计，需要解$\hat u$在UPML域上的高阶正则性。由于$\hat u$满足变系数椭圆方程（$A,J$分片常数），在线$\{|x_j|=l_j\}$上系数跳跃，且矩形吸收层的角点产生角点奇性，解通常不在整个区域上属于$H^2$。作者通过分析在跳跃界面上满足自然传输条件的椭圆方程，并结合角点附近的渐近展开（利用Mellin变换或Kondratiev理论），证明了解在每个光滑子区域上可达$H^{1+s}$对任意$0

  3. CIP-FEM的稳定化与误差分析。 对强不定问题，标准Galerkin法不具备稳定性，故本文采用线性连续内罚有限元（CIP-FEM）：在标准双线性形式上增加关于单元边界跳跃的罚项。在标准分析中，需利用对偶问题的$H^2$正则性，本文则用$H^{1+s}$代替，导致误差界出现$(k h)^{2s}$项。作者通过细致的对偶论证和加权范数控制，证明在合理选取罚参数时，离散inf-sup条件同样达到$O(k^{-1})$，且误差满足波数显式估计。

  4. 障碍散射问题的边界位势处理。 对含障碍物的情形，解可表为体积势与双层势之和（见(2.1)和(2.14)）。困难在于双层势在UPML拉伸下可能引入界面上的额外分布。作者利用障碍物边界$\Gamma$处的Green表示，将问题转化为等效的源问题，其右端项包含$u$在$\Gamma$上的法向导数。通过证明在$\Gamma$上该法向导数的$L^2$模可被源项$f$的模控制（利用(2.3)式的先验估计），从而将障碍散射问题的稳定性归结为已解决的源问题稳定性。

4. 与之前工作的比较

本文在UPML及Helmholtz散射问题的理论分析上做出了几项重要推进，与前人工作相比，主要在以下维度存在区别：

  1. 与基于DtN截断的结果比较。 Chandler-Wilde与Monk[3]已对星形障碍物的DtN截断问题证得$O(k^{-1})$ inf-sup稳定性。DtN映射非局部，数值实现需小心处理，而PML方法截断形式更简单，仅需一层缓冲网格。本文对UPML同样获得$O(k^{-1})$ inf-sup，标志着PML方法在理论可靠性上达到与DtN同等的水平，同时计算成本更低。此外，PML截断带来的吸收误差可指数衰减（依赖于吸收参数$d$），而DtN截断若选取过小的截断半径会产生较大误差，通常需要较大求解域。

  2. 与径向PML结果的比较。 Li与Wu[18]对径向PML（圆形吸收层）在分片常系数介质中得到$O(k^{-1})$稳定性及预渐近误差；Chaumont-Frelet等[4]推广到单调解质系数。径向PML假设吸收层为圆形，其界面和截断边界均为光滑曲线，故解具有分片$H^2$正则性，误差分析得以沿用标准理论。然而，对于各向异性介质或非星形障碍物，圆形PML可能包裹过大的计算区域，增加计算量。UPML允许使用矩形吸收层，计算域更贴合物体的矩形网格，尤其有利于使用结构化笛卡尔网格离散。但代价是界面跳变及角点奇性削弱正则性。本文通过建立分片$H^{1+s}$正则性克服了这一困难，且最终预渐近误差界仍保留了类似$(k h)^{2s}$的因子，当$s$接近1时接近最优；同时UPML分析比径向PML更复杂，需要新的二进Green函数估计。

  3. 与已有UPML稳定性工作的比较。 Carl与Xiang[6]在源散射情形（无障碍物）下得到UPML的稳定性满足$\mu_L\ge C k^{-3/2}$，这一估计在$k$大时远非最优，将导致离散inf-sup条件要求网格条件$h\sim k^{-5/2}$，严重限制了高频能力的发挥。本文通过引入Green函数的精细控制，将稳定性提升至$O(k^{-1})$，使离散时仅需$h\sim k^{-2}$的通常条件，显著改善了高频下的可行性。 Galkowski等[13]的预印本在假定UPML介质函数$\alpha_j$为$C^\infty$光滑的前提下获得$O(k^{-1})$稳定性。实际应用中，为简便常采用分段常数（或分段线性）的拉伸函数，此时$\alpha_j$在界面导数不存在，他们的分析不适用。本文允许$\alpha_j$在界面处跳跃，符合多数实际实现，故适用性更广。同时在障碍散射问题上填补了空白。

  4. 预渐近误差估计的创新。 本文是首次对UPML截断的Helmholtz散射问题给出波数显式预渐近误差估计的工作。此前，UPML相关的误差分析多依赖数值实验，或仅针对光滑系数情形且未考虑几何奇性。本文的误差估计明确体现了波数$k$、网格尺寸$h$、正则性指数$s$的关系，为高波数下网格选择提供了定量指导。其关键在于建立了普适的分片$H^{1+s}$正则性，使得误差分析不局限于特殊角点（如90度），而可容纳任意介于$0$与$1$之间的$s$。与径向PML相比，该正则性较弱，故误差界中$h^{2s}$项收敛速度可能稍慢，但在采用适当网格自适应细化角点区域后仍可恢复。

综上，本文在UPML的波数显式分析这一核心课题上取得了实质性突破：在更一般的几何与介质假设下，将稳定性常数提升至最优，同时首次为含障碍物的问题提供了预渐近误差理论。其分析方法（二进Green核估计、Carleman技术、分片分数次正则性）也为相关PML变体提供了新的研究范式。

2. 基于Wilson基的高频散射问题的高效Galerkin方法

An efficient Galerkin method for high-frequency scattering problems using Wilson bases

作者: T. Chaumont-Frelet, M. Ingremeau, F. Proust

类别: math.NA, math.AP

发布日期: 2026-07-22

arXiv ID: 2607.19950v1

摘要翻译: 我们针对波散射问题提出一种新的基于微局部化基函数的Galerkin离散格式。我们证明，所提方法可以对大波数 $k$ 达到一致精确，且自由度数量仅以 $k^{d-1/2}$ 缩放，同时产生本质稀疏的线性系统。相比之下，已知有限元方法需要至少为 $k^d$ 的自由度缩放才能获得同样的性质。此前本文的两位作者曾引入一种基于Gabor框架的类似方法，但它存在严重的条件数问题。在本文中，通过用Wilson基替换Gabor框架，我们完全缓解了该问题。我们严格建立了所提方法的误差估计和条件数界，并提供了一维数值算例来展示理论结果。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2607.19950v1

1. 研究对象和背景

高频波传播现象的数值模拟在现代科学与工程中至关重要，但当计算区域尺寸远大于波长时，设计稳健、高效且精确的近似方法仍是一个难题。本文考虑如下d维模型散射问题：给定波数$k>0$和入射场$u_{inc}:\mathbb{R}^d\to\mathbb{C}$，求散射场$u_{sca}$满足

$$ \left\{ \begin{aligned} & -k^2\nu u_{tot} - \nabla\cdot(\mathbf{B}\nabla u_{tot}) = 0 \quad \text{在}\ \mathbb{R}^d,\\ & \partial_r u_{sca} - i k u_{sca} \to 0 \quad \text{当}\ r\to\infty, \end{aligned} \right. $$

其中$u_{tot}=u_{sca}+u_{inc}$为总场，光滑系数$\nu:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}$和$\mathbf{B}:\mathbb{R}^d\to\mathbb{S}^d(\mathbb{R})$描述引起散射的非均匀介质，且在球$B_R$外恒等于$1$和单位矩阵$I$，第二个方程为Sommerfeld辐射条件。

传统的“全波”方法（如有限元、有限差分、边界元）直接离散该问题。在有限元与有限差分方法中，为保持频率一致精度，自由度个数$N$需至少按$(kR)^d$增长（参见[3,7,22]），导致高频时计算量无法承受；边界元方法仅需$N$按$(kR)^{d-1}$增长，但形成的线性系统是稠密的，且矩阵项的计算可能困难（参见[14,21]）。另一类“Trefftz”方法使用满足齐次偏微分方程的基函数（如平面波），在高频问题上常被认为效率更高，但频率显式的收敛性分析在文献中很少见，且已有分析表明其理论改进并未超越有限元方法的定性结果（参见[1,8,19]）。此外，“渐近”方法先数值求解高频极限下的简化方程（如程函方程或动理方程），计算成本与频率无关，但只能达到固定精度，且渐近模型的有效性仅在严格的理论假设下成立。

最近，[5]中两位作者提出了一种结合全波模型与渐近性质的新方法：使用Gabor小波（高斯相干态）构造离散空间，自由度仅约$(kR)^{d-1/2}$，且产生本质稀疏矩阵。其核心思想是选取形如

$$ \Psi_{k,\mathbf{m},\mathbf{n}}(\mathbf{x}) = \left(\frac{k}{\pi}\right)^{d/4} e^{-\frac{k}{2}|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{k,\mathbf{m}}|^2} e^{i k \boldsymbol{\xi}_{k,\mathbf{n}}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{k,\mathbf{m}})} $$

的微局部化函数，仅保留那些在相位空间上使$B(\mathbf{x}_{k,\mathbf{m}})\boldsymbol{\xi}_{k,\mathbf{n}}\cdot\boldsymbol{\xi}_{k,\mathbf{n}}-\nu(\mathbf{x}_{k,\mathbf{m}})$“小”的索引，从而以低自由度逼近解。然而该方法有两个主要缺陷：第一，高斯相干态族是一个Gabor框架而非基，从数值角度看，直接由其构建的离散系统本质上是病态的（参见[16, Theorem 8.4.1]）；第二，理论误差估计仅能在最小二乘弱形式下进行，进一步加剧了实际条件数问题。

本文通过用Wilson基替代Gabor框架，彻底克服了上述缺陷。Wilson基是$L^2(\mathbb{R}^d)$的Riesz基，由成对的正负频率Gabor函数构造（见(2.6)），虽然其Fourier变换在$2^d$个点周围局部化，但当偏微分方程具有对称弱形式时（如散射问题），不会影响逼近效果，却带来了展开的唯一性与数值稳定性。我们将问题通过完美匹配层(PML)技术重写为 $$

  • k^2 \mu u - \nabla\cdot( \mathbf{A} \nabla u ) = f \quad \text{在}\ \mathbb{R}^d, $$ 其中$\mu$和$\mathbf{A}$在$B_R$内分别对应于$\nu$和$\mathbf{B}$，在外部经复伸缩以模拟辐射条件，强制$u\in H^1(\mathbb{R}^d)$作为衰减条件。引入小参数$\hbar \sim (kR)^{-1}$，我们研究当$\hbar\to0$时算子$P_\hbar$（形如(2.8)）的可逆性、数值误差和条件数。本文的目标是：在自由度仅按$\hbar^{-(d-\frac12)}$增长的前提下，证明Galerkin近似解的超级代数精度，并建立条件数的显式估计。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果建立在如下假设之上：假设0要求系数一致光滑有界；假设1（多项式稳定）存在$N_0\ge 1$和子集$\mathcal{H}\subset(0,1]$，使得对任意$p\in\mathbb{N}$，算子$P_\hbar: \widehat{H}^{p+2}_\hbar(\mathbb{R}^d)\to\widehat{H}^p_\hbar(\mathbb{R}^d)$可逆且$\|P_\hbar^{-1}\|_{\widehat{H}^p_\hbar\to\widehat{H}^p_\hbar}\le C_{\mathrm{sol},p}\hbar^{-N_0}$（例如非陷性情形$N_0=1$且$\mathcal{H}=(0,1]$）；假设2：存在$\delta_0,D_0>0$使得特征集$\{ (x,\xi): |p_\hbar(x,\xi)|<\delta_0\}\subset B(0,D_0)$；假设3（准对称性）：存在$C_{\mathrm{sym}}\ge0$使得$|p_\hbar(x,\xi)-p_\hbar(x,\epsilon\xi)|\le C_{\mathrm{sym}}\hbar|\xi|$对所有$\epsilon\in\{\pm1\}^d$。

给定参数$0<\varepsilon<1/2$、$\lambda>0$和$0\le\alpha<\delta_0/2$，定义Wilson态$\Phi_{\hbar,\mathbf{m},\mathbf{n}}$（见(2.6)）的索引集

$$ \Lambda_\hbar(\lambda) = \{ [\mathbf{m},\mathbf{n}]\in E^d \mid \min_{\epsilon\in\{\pm1\}^d} |p_\hbar(x_{\hbar,\mathbf{m}}, \epsilon\xi_{\hbar,\mathbf{n}})| < \alpha + \lambda\hbar^{1/2-\varepsilon} \}, $$

并令空间$W_\hbar(\lambda) = \mathrm{span}\{ \Phi_{\hbar,q} : q\in\Lambda_\hbar(\lambda) \}$。在假设0、1、2下，定理2.4（可逼近性）表明：若右端项$f_\hbar\in W_\hbar(\lambda)$，则对任意$\lambda'>\lambda$，解$u_\hbar$在$W_\hbar(\lambda')$上的投影误差为

$$ \bigl\| u_\hbar - \sum_{q\in\Lambda_\hbar(\lambda')} \langle u_\hbar, \Phi^*_{\hbar,q}\rangle \Phi_{\hbar,q} \bigr\|_{\widehat{H}^p_\hbar} = O_p(\hbar^\infty) \|f_\hbar\|_{L^2}, $$

其中$\Phi^*_{\hbar,q}$为对偶框架。这一结论在右端项由入射场生成时（系2.5）同样成立，误差变为$O(\hbar^\infty)\Vert u_{inc}\Vert_{H^1_\hbar(\mathcal{O})}$。

在附加假设3的条件下，定理2.6（Galerkin收敛）给出：存在$\hbar_0>0$，对任意$\hbar\in\mathcal{H}\cap(0,\hbar_0]$，若指标集$\Lambda_\hbar$满足$\Lambda_\hbar(\lambda')\subset\Lambda_\hbar\subset\{ q\in E^d : |p_\hbar(x_q,\xi_q)|<\delta_0 \}$，则Galerkin问题

$$ \text{求 } v_\hbar\in W_\hbar \text{ 满足 } \langle P_\hbar v_\hbar, w_\hbar\rangle = \langle f_\hbar, w_\hbar\rangle \quad \forall w_\hbar\in W_\hbar $$

存在唯一解$v_\hbar$，且当$f_\hbar\in W_\hbar(\lambda)$时有误差估计

$$ \|u_\hbar - v_\hbar\|_{\widehat{H}^p_\hbar} = O(\hbar^\infty) \|f_\hbar\|_{L^2}. $$

定理2.7（条件数）进一步选取$\lambda''$使得$\Lambda_\hbar\subset\Lambda_\hbar(\lambda'')$，则算子$T_{W_\hbar}=\Pi_{W_\hbar}\circ P_\hbar$满足

$$ \|T_{W_\hbar}\|_{L^2\to L^2} \le M\bigl(\alpha + (1+\lambda'')\hbar^{(1-\varepsilon)/2}\bigr), \qquad \|T_{W_\hbar}^{-1}\|_{L^2\to L^2} \le C \hbar^{-N_0}, $$

从而条件数界为$\mathrm{cond}(T_{W_\hbar})\le C \hbar^{1/2-N_0-\varepsilon/2}$（当$\alpha=0$且$\lambda''$一致有界）。对Galerkin矩阵$\mathbf{A}$（$A_{q,q'}=\langle P_\hbar \Phi_{\hbar,q}, \Phi_{\hbar,q'}\rangle$），同样的条件数上界成立。数值算例验证了理论结果。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的技术核心在于用Wilson基替代Gabor框架，并基于此建立完整的误差与条件数分析。

Wilson基的引入与优势
Gabor帧$\{\Psi_{\hbar,\mathbf{m},\mathbf{n}}\}$虽构成$L^2(\mathbb{R}^d)$的框架（不等式(2.4)），但存在非平凡核，导致任意元素在框架下展开不唯一，且从离散系统角度看，即使规范化的系数序列也可能对应几乎为零的函数（见[17]），这使得直接Galerkin离散的矩阵病态。Wilson基通过配对正负频率的Gabor函数（定义(2.6)）构造出Riesz基$\{\Phi_{\hbar,q}\}_{q\in E^d}$，它满足双向估计

$$ \sqrt{\alpha_W}\|U_\hbar\|_{\ell^2(E^d)} \le \|\sum_{q} U_\hbar(q)\Phi_{\hbar,q}\|_{L^2} \le \sqrt{\beta_W}\|U_\hbar\|_{\ell^2(E^d)}, $$

从而展开系数与$L^2$范数等价，消除了病态根源。更重要的是，Wilson基的Riesz基性质允许使用标准Galerkin弱形式(2.15)，而不必像[5]那样依赖于最小二乘，进一步改善了条件。

微局部化选取与近乎稀疏性
基函数选取策略是只保留相位空间坐标$z_{\hbar,q}=(x_{\hbar,\mathbf{m}_q},\xi_{\hbar,\mathbf{n}_q})$处符号$p_\hbar$的绝对值小于阈值$\alpha+\lambda\hbar^{1/2-\varepsilon}$（或其$\epsilon$对称化版本）的$\Phi_{\hbar,q}$。这一选取基于重要观察：高频解在相位空间上集中于特征集$\{p_\hbar=0\}$的一个宽度为$O(\hbar^{1/2})$的邻域内。因此，仅需$O(\hbar^{-(d-1/2)})$个基函数即可超代数精确地逼近解。定理2.4的证明正是通过展开系数$\langle u_\hbar, \Phi^*_{\hbar,q}\rangle$的快速衰减来实现：利用解算子及对偶框架与$P_\hbar$的交互作用，可证明当$q$远离特征集时，该系数为$O(\hbar^\infty)$。

误差估计的技术要点

  1. 加权Sobolev空间框架：采用具有$\hbar$权重的空间$\widehat{H}^p_\hbar$（定义见§2.1.4），这类空间能统一处理多项式增长和微分阶数，且$P_\hbar$在其上的有界性（引理2.1）和可逆性（假设1）是分析的起点。
  2. Wilson态的对偶与估计：利用框架的对偶关系(2.7)和Gabor态的已有估计（如[5]的附录C），可证Wilson态的$\widehat{H}^p_\hbar$范数有上界$C(1+|q|)^p$（引理3.1）。更进一步，需建立$\langle P_\hbar \Phi_{\hbar,q}, \Phi_{\hbar,q'}\rangle$这类量的微局部化估计，核心是证明$\Phi_{\hbar,q}$与$P_\hbar$作用后主要集中在$z_{\hbar,q}$附近，这对Galerkin矩阵的分析至关重要。
  3. 投影误差与Galerkin正交性：定理2.6的证明将误差$u_\hbar-v_\hbar$分解为投影部分$(I-\Pi_{W_\hbar})u_\hbar$和离散误差$\Pi_{W_\hbar}u_\hbar - v_\hbar$。第一部分由定理2.4控制；第二部分利用Galerkin正交关系$\langle P_\hbar (u_\hbar-v_\hbar), w_\hbar\rangle =0$对所有$w_\hbar\in W_\hbar$，并证明限制算子$T_{W_\hbar}$在$W_\hbar$上一致有界且可逆。可逆性的关键是证明对任意$w_\hbar\in W_\hbar$，有$\|P_\hbar w_\hbar\|_{L^2}\gtrsim \hbar^{N_0}\|w_\hbar\|_{L^2}$，这通常由假设1和$W_\hbar$的逼近性质保证；而有界性的精细估计则利用了符号的准对称假设3以及Wilson态的$\epsilon$对称结构，使得当$q,q'$都在特征集附近时，$\langle P_\hbar \Phi_{\hbar,q}, \Phi_{\hbar,q'}\rangle$的主项与$p_\hbar(z_q)$成正比，从而$T_{W_\hbar}$的范数受控于$\alpha+\lambda''\hbar^{1/2-\varepsilon}$。
  4. 条件数分析：离散矩阵$\mathbf{A}$的条件数由$\|T_{W_\hbar}\|$和$\|T_{W_\hbar}^{-1}\|$决定。利用Wilson基的Riesz基性质，$\|T_{W_\hbar}\|$与矩阵的$\ell^2$算子范数等价，其上界通过Schur检验和微局部化估计得到，而下界由$\|P_\hbar^{-1}\|^{-1}$所控制（因$T_{W_\hbar}^{-1}$是$P_\hbar^{-1}$的限制的某种近似）。技术细节上，需要处理由于$\epsilon$求和导致的符号对称化，这正是假设3发挥作用之处。

总结
本文的方法论创新在于：将微局部化基函数选取（从Gabor帧）移植到Wilson基，通过Riesz基性质根治了条件数问题，并根据对称弱形式的要求，恰当地保留了符号对称性。证明框架有机整合了加权Sobolev空间、框架理论、微局部估计和Galerkin方法的标准误差分析。

4. 与之前工作的比较

本文与既有文献的比较可以从多个维度展开：

与基于Gabor帧的方法[5]对比
本文直接继承并改进[5]的工作。[5]中两位作者首次提出了利用微局部化高斯相干态的低自由度全波方法，并建立了初步的可逼近性结果。但其离散化基于Gabor帧，导致两大缺陷：(i) 帧的非基本质使线性系统病态，即使在小规模下也可能数值不稳定，作者引用了[17]关于Gabor帧低阶展开产生任意小$L^2$范数的结果来说明这一点；(ii) 只能用最小二乘法构造离散，这进一步降低了条件数。本文通过引入Wilson基，在保留所有优势（自由度$\sim k^{d-1/2}$、近乎稀疏的矩阵、超级代数收敛）的同时，彻底解决了病态问题，且允许采用标准Galerkin弱形式，并给出了严格的条件数上界$O(\hbar^{1/2-N_0-\varepsilon/2})$（在非陷性情形$N_0=1$时约为$O(\hbar^{-1/2})$）。数值试验也确认了条件数的显著改善。

与标准有限元方法对比
有限元方法（以及有限差分）在固定精度要求下，自由度至少按$(kR)^d$增长，从而在高频三维情形计算量极其庞大。本文方法将自由度需求降至$O((kR)^{d-1/2})$，对于$d=3$，这一缩减因子为$k^{1/2}$，在波数很大时节省显著。此外，有限元需处理“污染效应”，即相位误差随波数积累，通常要求每波长至少固定数个自由度；本文基函数本身具有与频率匹配的振荡性质，故可避免此类限制。但本文方法要求系数光滑，且需满足多项式稳定假设，这比标准有限元的适用范围窄。

与边界元方法(BEM)对比
边界元只需在$(d-1)$维边界上离散，自由度$N\sim (kR)^{d-1}$，在$d=2$时$N\sim k$，优于本方法的$k^{d-1/2}$（二维为$k^{1.5}$）；在$d=3$时BEM自由度$\sim k^2$，仍优于本方法的$k^{2.5}$。然而，BEM形成的矩阵是稠密的，存储与求解代价为$O(N^2)$或$O(N\log N)$（若加速），而本方法矩阵稀疏，实际计算效率可能更高。此外，BEM的矩阵项往往涉及奇异性积分，计算困难，而本方法体积分解析且依赖快速预处理。因此，在高频大规模场景下，本方法可能展现优势。

与Trefftz方法对比
Trefftz方法采用满足齐次方程的函数（如平面波、Bessel函数等），实践中常表现出比有限元更高的效率。然而，文献中严格、频率显式的误差分析十分缺乏，更罕见超代数收敛的理论保证。本文方法虽基函数不在核中，但能在特征集附近采样，同样获得了高频时精度提升（超代数收敛），并提供了完整的收敛分析框架。

适用范围与局限性
本文的结论依赖于多项式稳定假设（假设1），这在某些散射几何（如非陷性）下以$N_0=1$成立，而对于陷性情形，$N_0$可能更大，导致条件数以$\hbar^{-N_0}$增长。虽然可通过选取$\alpha>0$部分缓解条件数（定理2.7中$\alpha$项控制），但对强陷性条件数仍可能恶化。此外，本文方法需要预处理步计算符号$p_\hbar$在相空间采样点上的值，对复杂系数可能增加少量开销。与渐近方法相比，本方法自由度仍随频率增长，但带来了随频率可提高的精度（渐近方法固定精度）。总体而言，本文为高频散射提供了一种全新的、具有严格理论支持的Galerkin方案，尤其在三维以上以及需要高精度时，相比现有方法展现独特竞争力。

3. 多域FEM-BEM耦合与多个不可穿透障碍物

Multi-domain FEM-BEM coupling with several impenetrable obstacles

作者: Antonin Boisneault, Marcella Bonazzoli, Xavier Claeys, Pierre Marchand

类别: math.NA

发布日期: 2026-07-22

arXiv ID: 2607.19896v1

摘要翻译: 在最近的一篇论文中，我们分析了一类新的关于Helmholtz问题的有限元与边界元耦合（FEM-BEM）公式，它涉及多个异质有界子域和一个均匀无界子域。该公式称为广义优化Schwarz方法（GOSM），是子结构化的，即其未知量与子域界面相关联。为了推导GOSM，第一步是证明Helmholtz问题的解满足一个特定的多域变分公式，该公式对每个子域包含一个算子，且这些算子彼此独立。在本工作中，我们为更一般的几何与材料构型设计了一类相同类型的变分公式：允许多个异质有界子域、不可穿透障碍物以及均匀子域。注意，与我们的近期论文类似，我们假设只有一个子域是无界的，且其边界有界。区域划分可以具有交叉点，即至少三个子域相邻的点。我们同样证明了初始Helmholtz问题的解可从该多域变分公式的解恢复。这表明GOSM是模拟声波传播的一个通用且灵活的框架，因为它能同时处理多域FEM-BEM耦合以及多个障碍物上的（弱施加）边界条件。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2607.19896v1

1. 研究对象和背景

本文研究时谐声波传播问题的数值方法, 其控制方程为 Helmholtz 方程 $-\Delta u - \kappa(x)^2 u = f$, 其中 $u$ 是声压, $\kappa(x)$ 是波数, $f$ 是有紧支集的源项. 问题区域包含多个非均匀有界子域 (波数非常数, 需用有限元法) 和多个均匀子域 (波数常数, 可用边界元法), 以及若干不可穿透障碍物 (其并集记为 $\Omega_O\subset\mathbb{R}^d$, $d=2,3$). 障碍物边界 $\Gamma_O$ 上给定了 Dirichlet, Neumann 或 Robin 型边界条件 (为简便, 本文以 Dirichlet 条件 $u = g_D$ 为例). 若 $\Omega_O$ 有界, 则在无穷远处需满足 Sommerfeld 辐射条件. 整体计算域 $\Omega_O^c = \mathbb{R}^d\setminus\Omega_O$ 被剖分成若干个 Lipschitz 子域, 且允许存在交叉点 (即至少三个子域相邻). 记均匀子域的集合为 $\{\Omega_{B,k}\}_{k=1}^{N_B}$, 非均匀子域的集合为 $\{\Omega_{F,l}\}_{l=1}^{N_F}$; 假设仅有一个子域 (例如 $\Omega_{B,1}$) 是无界的 (当 $\Omega_O$ 有界时), 且其边界有界. 源项 $f$ 被限制在非均匀子域上. 该问题可等价地写为子域上的传输问题 (2).

多域 FEM-BEM 耦合是处理此类非均匀介质波传播问题的自然策略, 因为它在非均匀子域使用有限元, 在均匀子域使用边界元, 从而避免对整个无界区域进行体积离散. 但直接耦合产生的线性系统是稀疏与稠密矩阵的混合, 经典预条件子难以应用. 另一方面, 域分解方法 (DD) 如优化 Schwarz 方法 (OSM) 具有天然的并行性和可扩展性, 且适合变波数问题. 然而, 既有 DD 文献多限于两子域情形, 且很少涉及 FEM-BEM 耦合; 当存在交叉点时, 连续层次上的迹算子在标准 Sobolev 空间中的限制缺乏连续性, 导致无法直接写出合适的变分形式, 且离散后交叉点可能破坏收敛性.

最近, 广义优化 Schwarz 方法 (GOSM) 被提出用于有界几何 [13,17], 并严格证明了其几何收敛性且与交叉点无关. 在 [6] 中, GOSM 被推广到包含一个无界均匀子域的 FEM-BEM 耦合, 该方法的第一步是建立多域变分形式, 其中每个子域对应一个独立算子, 且解在骨架上满足传输条件. 本文将此工作进一步扩展到含有不可穿透障碍物的更一般几何与材料配置. 具体而言, 本文旨在构造并分析一个多域变分形式, 其未知数定义在所有子域边界 (骨架) 上, 包含障碍物边界的迹, 并能处理多种边界条件. 通过证明该变分形式与原 Helmholtz 传输问题的等价性, 便可将 GOSM 框架直接应用于此类一般问题, 从而提供一种统一、灵活且具备严格数学基础的求解策略. 这一推广填补了现有理论在障碍物处理和交叉点兼容性方面的空白.

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果分别由命题 4 和命题 5 给出, 它们共同建立了初始传输问题 (2) 与多域变分形式 (5) 之间的等价性.

主要假设 $\Omega_O$ 由 $N_O$ 个互不重叠的连通 Lipschitz 子域组成, $\Omega_O^c$ 连通且被剖分为 $N_B$ 个均匀子域 (其中 $\Omega_{B,1}$ 可能无界) 和 $N_F$ 个非均匀有界子域; 波数 $\kappa$ 在 $\Omega_{B,k}$ 上为常数 $\kappa_k>0$, 在 $\Omega_{F,l}$ 上为非常数; $f\in L^2(\Omega_O^c)$ 有界支集且限制在非均匀子域上. 在障碍物边界上考虑 Dirichlet 条件 $u=g_D$, $g_D\in\prod_j H^{1/2}(\Gamma_{O,j})$. 定义骨架上迹的乘积空间 $\mathbb{H}(\Sigma) = \mathbb{H}(\Gamma_O)\times\mathbb{H}(\Gamma_B)\times\mathbb{H}(\Gamma_F)$, 以及单迹空间 $X_D(\Sigma)$ 和 $X_N(\Sigma)$ (它们由全局 $H^1$ 或 $H(\mathrm{div})$ 函数的迹构成, 并满足零化子关系 $X_N(\Sigma)=X_D(\Sigma)^\circ$, 见命题 1). 进一步, 定义空间 $\mathbb{X}(\Omega_O^c)$ 为满足 Dirichlet 传输条件的正则函数类 (骨架上的 Dirichlet 迹在 $X_D(\Sigma)$ 中).

命题 4 (解满足变分形式) 设 $u\in H^1_{\mathrm{loc}}(\Delta,\Omega_O^c)$ 是传输问题 (2) 的解. 令 $\mathbf{u}_O = \gamma_O^c(u)$, $\mathbf{u}_B = \gamma_B(u)$, $\mathbf{u}_F = (u|_{\Omega_\alpha})_{S_F}$. 则 $(\mathbf{u}_O,\mathbf{u}_B,\mathbf{u}_F)\in\mathbb{X}(\Omega_O^c)$ 且满足变分方程:

$$\langle A_{\Gamma_O}\mathbf{u}_O,\mathbf{v}_O\rangle + \langle A_{\Gamma_B}\mathbf{u}_B,\mathbf{v}_B\rangle + \langle A_{\Omega_F}\mathbf{u}_F,\mathbf{v}_F\rangle = \langle f_F,\mathbf{v}_F\rangle + \langle g_D,\mathbf{q}_O\rangle, \qquad \forall\,(\mathbf{v}_O,\mathbf{v}_B,\mathbf{v}_F)\in\mathbb{X}(\Omega_O^c),$$

其中检验函数记为 $\mathbf{v}_O = ((\psi_\delta,q_\delta))_{S_O}$, $\mathbf{v}_B = ((\psi_\beta,q_\beta))_{S_B}$, $\mathbf{v}_F = (v_\alpha)_{S_F}$, 且

$$A_{\Gamma_{O,j}} = \begin{pmatrix} 0 & \mathrm{Id} \\ \mathrm{Id} & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_{\Gamma_{B,k}} = \begin{pmatrix} W_{B,k} & \frac12\,\mathrm{Id} + \tilde K_{B,k} \\ \frac12\,\mathrm{Id} - K_{B,k} & -V_{B,k} \end{pmatrix},$$

以及 $\langle A_{\Omega_F}\mathbf{u}_F,\mathbf{v}_F\rangle = \sum_{\alpha\in S_F} \int_{\Omega_\alpha} (\nabla u|_{\Omega_\alpha}\cdot\nabla v_\alpha - \kappa|_{\Omega_\alpha}^2 u|_{\Omega_\alpha} v_\alpha)$. 这里 $V_{B,k}$, $K_{B,k}$, $W_{B,k}$, $\tilde K_{B,k}$ 分别是与子域 $\Omega_{B,k}$ 相关的单层、双层、超奇异和伴随双层边界积分算子. 该算子 $A_{\Gamma_{B}}$ 源自 Costabel FEM-BEM 耦合.

命题 5 (由变分解重构原问题解) 设 $(\mathbf{u}_O,\mathbf{u}_B,\mathbf{u}_F) = \big(((\varphi_\delta,p_\delta))_{S_O}, ((\varphi_\beta,p_\beta))_{S_B}, (u_\alpha)_{S_F}\big)\in\mathbb{X}(\Omega_O^c)$ 满足上述变分方程. 定义函数

$$w(x) = \begin{cases} G_\beta(\varphi_\beta,p_\beta)(x), & x\in\Omega_\beta,\;\beta\in S_B,\\ u_\alpha(x), & x\in\Omega_\alpha,\;\alpha\in S_F, \end{cases}$$

其中 $G_\beta$ 是与 $\Omega_\beta$ 相关的全位势 (单层与双层位势之和). 则 $w\in H^1_{\mathrm{loc}}(\Delta,\Omega_O^c)$ 且恰好是传输问题 (2) (进而也是原问题 (1)) 的解. 特别地, 该重构成立即使当 $\Omega_{B,1}$ 无界且波数 $\kappa_1$ 为伪共振 (即原问题良定但离散耦合系统奇异) 时, 只要 $A_{\Gamma_\beta}$ 采用 Costabel 耦合. 若改用 Johnson-Nédélec 耦合, 则当 $\Omega_{B,1}$ 无界且 $\kappa_1$ 为伪共振时, 重构可能失败: 此时仅能得到 $p_B - \gamma_B^N(w)\in\ker(V_B)\cap(\frac12\mathrm{Id}+\tilde K_B)$, 且该交集在无界情形下可能非平凡, 导致无法恢复 Neumann 传输条件. 但若所有 $\Omega_\beta$ 均有界, 则该交集为零, 两种耦合均可成功重构.

这些结果表明, 本文提出的多域变分形式是原 Helmholtz 问题的忠实重新表述, 且自然兼容 Costabel 耦合, 为 GOSM 的后续开展提供了坚实的连续理论基础.

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的技术核心在于构造并证明一个等价的多域变分形式, 其困难主要源于: (i) 交叉点的存在使得子域边界上迹的限制算子在通常的 Sobolev 空间中不连续, 因此不能直接按子域界面切分写出变分方程; (ii) 在重构全局解时, 需要从界面上的 Dirichlet-Neumann 数据恢复出整个区域上的 $H^1_{\mathrm{loc}}(\Delta)$ 函数, 这要求建立合适的零化子条件.

作者的主要创新与关键技术如下.

1. 单迹空间与零化子性质 沿用并发展了单迹 (single-trace) 空间框架. 定义 $X_D(\Sigma)$ 和 $X_N(\Sigma)$ 分别为满足 Dirichlet 或 Neumann 界面连续条件的迹构成的子空间. 关键性质是它们互为极集 (命题 1): $X_N(\Sigma) = X_D(\Sigma)^\circ$. 这一代数对偶关系使得在推导变分形式时, 可以方便地将界面积分项重组为全局守恒形式.

2. 障碍物边界迹的特征化 命题 2 和 3 是新的技术性结果, 它们将定义在障碍物边界上的迹与单迹空间的条件联系起来. 例如, 命题 2 断言: 设 $\Phi$ 在 $\Omega_O^c$ 上分片 $H(\mathrm{div})$, 令 $\mathbf{p} = (p_O,\gamma_B^{\mathrm{div}}(\Phi),\gamma_F^{\mathrm{div}}(\Phi))$. 则 $\mathbf{p}$ 属于 $X_N(\Sigma)$ (即对所有 $\mathbf{v}\in X_D(\Sigma)$ 有 $\langle\!\langle\mathbf{p},\mathbf{v}\rangle\!\rangle =0$) 当且仅当 $\Phi\in H_{\mathrm{loc}}(\mathrm{div},\Omega_O^c)$ 且 $\gamma_O^{\mathrm{div},c}(\Phi)=p_O$. 证明的关键步骤是: 充分性部分通过将 $\Phi$ 零延拓到障碍物内部, 并利用障碍物上 $\gamma_O^{\mathrm{div}}$ 的满射性构造 $H(\mathrm{div},\mathbb{R}^d)$ 中的函数, 再通过截断函数使支撑集包含骨架, 从而获得全局 $H(\mathrm{div})$ 函数, 其迹即为 $\mathbf{p}$; 必要性部分则选取合适的检验函数 $\mathbf{v}$ (由 $H^1_{\mathrm{comp}}(\Omega_O^c)$ 函数的迹生成) 并反复利用 Green 恒等式, 最终导出 $\Phi$ 在 $\Omega_O^c$ 上的 $H(\mathrm{div})$ 正则性和障碍物迹的匹配性. 命题 3 对 Dirichlet 迹给出了类似刻画, 证明对称.

3. 变分形式的推导 (命题 4 的证明) 从传输问题 (2) 的解 $u$ 出发, 对非均匀子域应用 Green 第一公式得到 (6). 由于 $u$ 在界面上满足 Dirichlet 和 Neumann 传输条件, 其 Neumann 迹的向量 $\mathbf{p} = (\gamma_O^{N,c}(u),\gamma_B^N(u),\gamma_F^N(u))$ 属于 $X_N(\Sigma)$. 于是由命题 1, 对任意 Dirichlet 单迹 $(\psi_O,\psi_B,\psi_F)\in X_D(\Sigma)$ 有 $\langle\!\langle\mathbf{p},(\psi_O,\psi_B,\psi_F)\rangle\!\rangle=0$, 这给出了 $\langle\gamma_F^N(u),\psi_F\rangle = -\langle\gamma_B^N(u),\psi_B\rangle - \langle\gamma_O^{N,c}(u),\psi_O\rangle$. 将此关系代入 (6) 消去非均匀 Neumann 迹, 并利用障碍物边界条件的弱形式 $\langle\gamma_O^{D,c}(u),q_O\rangle = \langle g_D,q_O\rangle$, 以及均匀子域上的 Calderón 等式 (3), 最终整理即得变分形式 (5). 此处, Costabel 耦合算子 $A_{\Gamma_B}$ 同时编码了第一和第二 Calderón 方程.

4. 重构原问题解 (命题 5 的证明) 这是全文技术难度最高的部分. 假设 $\mathbf{u} = (\mathbf{u}_O,\mathbf{u}_B,\mathbf{u}_F)$ 满足 (10). 证明分为六步:

  • ① 内部方程: 选取紧支撑于单个非均匀子域的检验函数, 由变分方程推出在每个 $\Omega_\alpha$ 上 $u_\alpha$ 满足 Helmholtz 方程 $-\Delta u_\alpha - \kappa|_{\Omega_\alpha}^2 u_\alpha = f$, 故 $u_\alpha\in H^1(\Delta,\Omega_\alpha)$.
  • ② 使用 Green 恒等式: 代回原变分等式, 利用已证的内部方程将体积分化为边界项, 得到 $\langle A_{\Gamma_O}\mathbf{u}_O,\mathbf{v}_O\rangle + \langle A_{\Gamma_B}\mathbf{u}_B,\mathbf{v}_B\rangle + \langle \gamma_F^N(u_F),\gamma_F^D(v_F)\rangle = \langle g_D,q_O\rangle$.
  • ③ 边界条件: 选取仅含 $q_O$ 非零的检验函数, 得出 $\varphi_O = g_D$.
  • ④ 重构均匀子域内的解并利用 Calderón 等式: 对每个均匀子域 $\Omega_\beta$, 定义 $w|_{\Omega_\beta}$ 为位势 $G_\beta(\varphi_\beta,p_\beta)$. 借助位势的跳关系 (12), 可将变分方程中的 $A_{\Gamma_B}$ 项用 $w$ 的 Dirichlet-Neumann 迹表示, 并化简为 $$\langle p_O,\psi_O\rangle + \langle \varphi_B - \gamma_B^D(w), q_B\rangle + \langle \gamma_B^N(w),\psi_B\rangle + \langle \gamma_F^N(w),\gamma_F^D(v_F)\rangle = 0.$$ 再选 $q_B$ 任意, $\psi_O,\psi_B,\mathbf{v}_F$ 为零, 得 $\varphi_B = \gamma_B^D(w)$; 于是上式进一步简化为 $$\langle p_O,\psi_O\rangle + \langle \gamma_B^N(w),\psi_B\rangle + \langle \gamma_F^N(w),\psi_F\rangle = 0 \quad \forall\,(\psi_O,\psi_B,\psi_F)\in X_D(\Sigma). \tag{13}$$
  • ⑤ Neumann 迹的单迹归属: 由 (13) 及命题 1, 知 $(p_O,\gamma_B^N(w),\gamma_F^N(w))\in X_N(\Sigma)$. 此处强调: Costabel 耦合使得我们获得了 $w$ 的 Neumann 迹 $\gamma_B^N(w)$, 而不仅仅是原始未知量 $p_B$; 若是 Johnson-Nédélec 耦合, 则只能得到 $p_B$ 在某种意义下等于 $\gamma_B^N(w)$, 但可能差一个非平凡核元素, 这在伪共振时导致问题.
  • ⑥ 全局正则性与传输条件: 利用已建立的单迹关系和命题 2 (取 $\Phi = \nabla w$), 推出 $w\in H^1_{\mathrm{loc}}(\Delta,\Omega_O^c)$ 且 $p_O = \gamma_O^{N,c}(w)$. 又由 $(\mathbf{u}_O,\mathbf{u}_B,\mathbf{u}_F)\in\mathbb{X}(\Omega_O^c)$ 知 $w$ 满足 Dirichlet 传输条件, 且结合障碍物迹等式即得 $w$ 是 (2) 的解.

整个证明框架的核心思想是通过单迹空间的极集性质将界面传输条件和障碍物边界条件有机地融合为一个统一的变分等式, 并充分利用 Costabel 耦合同时包含两类 Calderón 方程的优势来避免伪共振下的信息丢失. 这些技术确保了最终重构的可靠性与一般性.

4. 与之前工作的比较

本文将 GOSM 的多域变分形式从无界 FEM-BEM 耦合 [6] 推广至包含多个不可穿透障碍物的配置, 并详细分析了其等价性条件. 以下从多个维度比较与既有工作的异同.

1. 与现有 FEM-BEM 域分解方法的比较 早期的 FEM-BEM 耦合研究多限于两子域情形 (如 [2,8,11,26,27,28]), 很少涉及多子域和交叉点. 即便有少数工作考虑了多子域 (如 [3,9,20]), 它们通常需要在离散层次为每个交叉点引入额外自由度, 破坏了方法的简洁性. 本文则在连续层次上通过单迹空间自然地处理交叉点, 无需引入额外未知数. 此外, [7] 虽然也设计了可处理交叉点的多域 FEM-BEM 形式, 但其离散化与实现较为复杂; [21,22] 提出的子结构方法完全基于边界积分方程, 即便对非均匀子域也如此, 实现同样不直接. 相比之下, 本文的变分形式清晰地区分 FEM 子域和 BEM 子域, 且算子具有独立子域结构, 这为后续的 GOSM 迭代求解器提供了理想的基础.

2. 与 GOSM 先前工作的比较

  • 工作 [13,17]: 提出了有界几何中的 GOSM, 分析了其几何收敛性, 但不涉及无界子域或 FEM-BEM 耦合. 本文考虑的配置包含无界子域和异质耦合, 是重要的物理场景.
  • 工作 [6]: 将 GOSM 拓展至带一个无界均匀子域的 Helmholtz 传输问题, 但区域中没有障碍物, 且边界条件仅施加在无穷远. 本文在此基础上前进了一大步: 允许存在多个任意形状的不可穿透障碍物, 障碍物上可以施加 Dirichlet, Neumann 或 Robin 边界条件 (论文以 Dirichlet 为例, 但明确指出结论可推广). 障碍物的引入使得骨架增加了障碍物边界 $\Gamma_O$, 需要将这些边界上的迹也纳入单迹空间的框架中. 为此, 作者证明了新的特征化命题 (命题 2 和 3), 揭示了障碍物的 Neumann 或 Dirichlet 迹如何由全局 $H(\mathrm{div})$ 或 $H^1$ 函数的单迹条件决定. 这一扩展并非平凡, 因为障碍物边界不同于子域间界面, 它的一侧是内部 (障碍物), 另一侧是外部域. 本文成功地将障碍物边界统一到单迹框架内, 使得变分形式依然具有独立子域算子的结构.

3. Costabel 与 Johnson-Nédélec 耦合的比较 在重构定理 (命题 5) 的证明中, 作者深入分析了两种常用 FEM-BEM 耦合格式的影响. 对于 Johnson-Nédélec 耦合 (只使用一个 Calderón 方程), 当存在无界均匀子域且波数为伪共振时, 重构可能失败, 因为无法从变分解中唯一恢复 Neumann 传输条件. 该现象的根本原因在于伪共振时第一 Calderón 方程不能蕴含第二 Calderón 方程, 因此单靠一个 Calderón 方程的耦合会丢失部分信息. 本文明确指出, 采用 Costabel 耦合 (同时使用两个 Calderón 方程) 可彻底消除此问题, 从而在任何波数下都保证变分形式与原始问题的等价性. 这一发现对实际计算有重要意义, 因为它指导了选择正确的耦合策略以确保算法的鲁棒性.

4. 关于弱边界条件的处理 以往对多重障碍物的处理可能需要针对每个障碍物分别强加边界条件, 而本文采用弱形式 $\langle \varphi_O, q_O\rangle = \langle g_D, q_O\rangle$ 在变分框架中自然施加 Dirichlet 条件 (也可推广至 Neumann 或 Robin). 这种弱施加方式与骨架上的变分结构完美兼容, 保持了所有边界项的统一处理.

5. 代价与局限 虽然本文成功将 GOSM 的适用范围大大拓宽, 但此工作仅完成了连续层次的等价性分析, 尚未涉及离散化、误差估计或迭代求解器的收敛性证明. 作者指出, 基于本文的变分形式, [6] 中建立的 GOSM 理论可以“无缝扩展”, 但具体的离散格式和数值实验需留待未来工作. 此外, 文章假设所有子域边界为 Lipschitz 且剖分中仅有一个无界子域; 尽管这些假设涵盖了大量工程问题, 但更复杂的拓扑 (如多个无界子域) 可能需要进一步推广.

综上, 本文在理论层面显著推进了多域 FEM-BEM 耦合方法, 其核心贡献在于为包含障碍物的最一般 Helmholtz 传输问题提供了一个结构清晰、数学严格、且兼容高效域分解求解器的变分框架.

了解领域论文（摘要翻译）

1. PG-KINN：一种用于求解正问题和反问题偏微分方程的物理信息Petrov-Galerkin Kolmogorov-Arnold网络

PG-KINN: A Physics-Informed Petrov-Galerkin Kolmogorov-Arnold Network for Solving Forward and Inverse PDEs

作者: Amirhossein Sadr, Nima Soltani, Vahideh Moghtadaiee, Aida Pakniyat, Dara Rahmati, Saeid Gorgin

类别: cs.LG, math.NA

发布日期: 2026-07-22

arXiv ID: 2607.20378v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.20378v1

摘要翻译

中文标题: PG-KINN：一种用于求解正问题和反问题偏微分方程的物理信息Petrov-Galerkin Kolmogorov-Arnold网络

摘要翻译: 物理信息偏微分方程（PDE）学习长期由多层感知机（MLP）主导，其频谱偏差和密集参数化限制了精度和可解释性。Kolmogorov-Arnold网络（KAN）缓解了这些局限，因为其可学习的样条激活在结构上与经典离散的分片多项式基对齐。然而，将PDE转化为损失泛函的方式与逼近器的选择同样关键：强形式残差极小化要求高阶导数和权重较大的损失，能量（Bubnov-Galerkin）形式限于自伴算子且如我们将展示的，在参数识别问题中会坍缩到平凡解，而边界积分形式要求已知基本解。我们提出PG-KINN，一种基于Petrov-Galerkin形式构建的物理信息KAN，其中试探空间为KAN，检验空间为独立的紧支撑分片多项式空间，并利用Gauss-Legendre求积计算。分部积分在降低微分阶数的同时保持了对一般非自伴、非线性和反问题的适用性；局部化的检验函数将全局残差转化为一组具有良好条件数的逐单元弱残差。在一系列涵盖裂纹奇异性、应力集中、Neo-Hookean超弹性、非均匀介质反参数识别和复杂几何的基准测试中，PG-KINN一致地优于传统MLP基准以及最先进的基于KAN的强形式/能量/反问题公式（PIKAN）。这些结果表明，KAN试探空间与多项式检验空间的Petrov-Galerkin耦合为基于AI的计算力学提供了一条稳健而精确的路径。

2. 面向显式多体动力学的内禀几何精确梁混合有限元离散

Mixed finite element discretization of intrinsic geometrically exact beams for explicit multibody dynamics

作者: Andrea Brugnoli, Philipp L. Kinon, Francesco Sanfedino, Peter Betsch, Olivier A. Bauchau

类别: math.NA, physics.comp-ph

发布日期: 2026-07-22

arXiv ID: 2607.20245v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.20245v1

摘要翻译

中文标题: 面向显式多体动力学的内禀几何精确梁混合有限元离散

摘要翻译: 赖斯纳-西莫（Reissner-Simo）模型和霍奇斯（Hodges）模型是有限应变梁动力学的两个等价连续描述。赖斯纳-西莫描述使用位移和转动，而霍奇斯描述是内禀的，避免使用这两个变量。尽管理论上等价，这两种方法在离散后表现不同，并提供各自独特的数值优势。本文发展了内禀描述的结构保持离散。由于内禀方程涉及线性微分算子，运动学和动力学边界条件都可以使用混合有限元自然地施加。所得的描述还使得多体系统能够在不含代数约束的情况下装配，避免了通常由运动学约束引入的刚性微分代数方程。我们通过不同示例展示了该方法，同时表明闭合运动学回路可以在没有代数约束的情况下建模。最终得到的互联系统保留端口哈密顿结构，所有非线性都局限于互联算子中。当结合隐式中点时间积分时，这种结构允许精确的能量保持。此外，与现有的能量保持格式相比，该格式似乎需要更少的牛顿迭代。

3. 面向具有动态边界条件的移动接触线问题的相场神经求解器

A phase-field neural solver for moving contact line problems with dynamic boundary conditions

作者: Ziyan Chen, Jinpeng Zhang, Pai Zhang, Li Luo

类别: math.NA

发布日期: 2026-07-22

arXiv ID: 2607.19690v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.19690v1

摘要翻译

中文标题: 面向具有动态边界条件的移动接触线问题的相场神经求解器

摘要翻译: 基于Cahn–Hilliard方程且耦合动态边界条件的相场模型为移动接触线（MCL）问题提供了一个热力学一致的框架。尽管物理信息神经网络（PINNs）为求解偏微分方程提供了一种无网格的方法，但由于长时间误差累积、尖锐的界面轮廓、局部化的接触线动力学以及复杂的接触角演化，将其直接应用于MCL问题仍然具有挑战性。本文提出MCL-PINNs，一种专为具有动态边界条件的MCL问题设计的相场神经求解器。该方法建立在离散时间形式之上，并融合了多项关键技术，包括多网络时间推进方案、对神经网络输出施加的松弛分布约束、针对急剧变化解特征的变量缩放、自适应损失加权、带界面提取的自适应配点采样，以及在适用情况下通过神经网络输入保持对称性。这些技术提高了神经求解器解析尖锐界面轮廓和接触线运动的能力。通过三个涉及液滴聚并、剪切诱导液滴变形和非均质通道中的动态润湿的数值算例验证了所提出的方法。数值结果表明，与标准PINNs形式相比，MCL-PINNs显著提高了预测精度和鲁棒性，能够可靠地解析复杂的界面演化和移动接触线动力学。

4. 对声学体积与边界积分算子的鲁棒分层矩阵压缩

Robust Hierarchical Matrix Compression of Acoustic Volume and Boundary Integral Operators

作者: Alberto Almuna-Morales, Danilo Aballay, Ignacio Labarca-Figueroa, Elwin van ’t Wout

类别: math.NA, physics.comp-ph

发布日期: 2026-07-21

arXiv ID: 2607.19500v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.19500v1

摘要翻译

中文标题: 对声学体积与边界积分算子的鲁棒分层矩阵压缩

摘要翻译: 对 Helmholtz 方程积分形式的离散化会产生稠密线性系统。因此，在大规模或高频下模拟声学模型通常受限于内存容量。快速算法，如分层矩阵压缩，可在矩阵-向量乘法中控制逼近误差的同时，大幅降低内存占用。然而，常用的自适应交叉近似存在提前收敛问题，即在达到目标误差容限之前就停止低秩分解的迭代构造。当误差估计量在部分选主元策略下未能捕捉矩阵结构的重要分量时，就会出现这种失败。本文提出了一种新的对角收敛准则、用于选主元策略的额外矩阵元素、扩展的可容许条件以及持续的收敛性检查，以提高分层矩阵压缩的鲁棒性。这些改进在不增加内存的情况下提高了压缩的可靠性。我们在多种离散化的体积积分及边界积分算子上测试了我们的压缩策略。计算结果表明，我们的方法成功地将所有基准矩阵压缩到预设容限内，从而解决了标准算法中遇到的提前收敛问题。这种鲁棒的矩阵压缩在与备选压缩策略相同的内存占用下实现。此外，复杂度分析表明在固定频率下随着网格细化，内存消耗呈现对数线性增长。最后，我们将鲁棒的矩阵压缩算法成功应用于模拟经颅超声传播的体积积分与边界积分算子耦合系统。这证实了我们的鲁棒算法在生物医学应用中加速具有高分辨率网格的大规模模拟的可行性。

不相关论文（基本信息）

1. 通量校正的对角Frog：全时间步二阶精度及正性

Flux-Corrected Diagonal Frog: second order and positivity at all time steps

作者: Andrey Itkin

类别: math.NA, cs.CE, physics.comp-ph, q-fin.CP

发布日期: 2026-07-22

arXiv ID: 2607.20415v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.20415v1

摘要: By Godunov’s theorem, linear second-order finite-difference schemes for the Fokker-Planck equation cannot preserve positivity. The Diagonal Frog (DF) framework previously bypassed this barrier using eventual positivity, but required a strict minimum time step. This paper resolves the small-step limitation using a nonlinear extension of the DF solvers. We split the second-order directional operator into a monotone M-matrix core and an antidiffusive flux correction. A Zalesak-type limiter is then applied iteratively within the implicit banded solve. The resulting Flux-Corrected DF (FCDF) schemes (variants A and B) are unconditionally positive across all time steps. Because the limiter acts on fluxes rather than point values, these schemes conserve discrete mass exactly and maintain second-order accuracy. Crucially, the limiter activates only within unresolved layers. This ensures the global $L_1$ convergence remains second-order uniformly in the cell Péclet number, avoiding the first-order degradation seen in the Chang-Cooper scheme. The method’s Picard iteration is contractive under a purely convective step restriction. To support arbitrary step sizes, we develop an active-set reformulation. This solves the system using a semismooth Newton iteration, where computational cost scales only with the number of nodes where positivity binds. Finally, we introduce a defect-corrected time stepping approach that restores second-order time accuracy. Numerical experiments on Ornstein-Uhlenbeck and advection-dominated benchmarks confirm our claims.

2. 温度依赖材料参数的热弹性形状优化

Shape optimization for thermoelasticity with temperature-dependent material parameters

作者: Marc Dambrine, Helmut Harbrecht, Viacheslav Karnaev

类别: math.OC, math.NA

发布日期: 2026-07-22

arXiv ID: 2607.20332v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.20332v1

摘要: We consider the numerical solution of shape optimization problems for thermoelasticity with temperature-dependent material parameters. We show the existence of the shape derivative and derive an expression for generic functionals of domain integral type. Numerical results are presented for two settings: minimization of the compliance under a volume constraint, and minimization of the volume under a constraint on the $L^2$-norm of the von Mises stress. We use the finite element method for solving the underlying boundary value problems and the level set method for the representation of the actual domain.

3. 以可度量的代价获得硬性保证：可压缩流动的熵稳定学习有限体积法

Hard Guarantees at a Measured Price: Entropy-Stable Learned Finite Volumes for Compressible Flow

作者: Denis Gueyffier

类别: physics.flu-dyn, cs.LG, math.NA

发布日期: 2026-07-22

arXiv ID: 2607.20171v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.20171v1

摘要: Learned solvers for compressible flow are usually compared to classical methods at equal mesh resolution rather than at equal computational cost, and they typically offer no guarantee that their solutions remain physically admissible. We present a learned finite volume scheme for the two-dimensional Euler equations on unstructured meshes, admissible by construction and with an entropy-stable interior flux. We evaluate it under protocols fixed before any computation: frozen thresholds, falsification clauses, negative controls, a factor decomposition of the learned components, and an iso-cost comparison against the refined classical baseline. The decomposition produced the central result: the guarantee machinery alone, with both learned heads switched off (the unlearned skeleton), is the strongest scheme at equal mesh on every periodic case. At equal wall-clock cost the picture inverts into a map. Learning pays robustly only on the wall case whose boundary-condition type it never saw (10.8%). Its periodic gains flip sign with the evaluation draw (+10% on one held-out case, -12% on the hardest). The skeleton is the only method whose iso-cost gain never changes sign, at a measured overhead of 1.74x per step. The guaranteed variant completes 36 of 36 rollouts, Mach extrapolation and unseen wall included, with zero negativity events. We fix the guaranteed scheme’s one remaining out-of-distribution weakness, Mach extrapolation, at inference time: with scale-invariant network inputs, a specific-entropy floor, and no retraining, the corrected arm overtakes the unconstrained arm on one Mach case, cuts its deficit on the other by a third, passes the skeleton on the unseen wall, and keeps the guarantee. A spatial gate closes the loop: activating the heads only near the walls beats both the skeleton and the corrected arm, and transfers unchanged to a second wall geometry.

4. 某些随机微分方程的保边界Lamperti–Itô–Taylor逼近

Boundary-preserving Lamperti–Itô–Taylor approximations for some stochastic differential equations

作者: Johan Ulander

类别: math.NA

发布日期: 2026-07-22

arXiv ID: 2607.20155v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.20155v1

摘要: In this work, we propose high-order boundary-preserving numerical schemes for the strong approximation for some scalar stochastic differential equations with invariant domains being open and bounded intervals. The proposed methods involve using the Lamperti transform to map the SDE to another SDE with additive noise with a trivial invariant domain. Then, by imposing regularity assumptions on the original coefficient functions, we can guarantee that the drift coefficient function of the transformed SDE is regular, and known high-order schemes can be used to achieve the desired convergence order. We confirm the theoretical results with numerical experiments.

5. 面向散乱球面数据的加权配置优化方法

An Optimization Approach to Weight Collocation for Scattered Spherical Data

作者: Congpei An, Xiannan Hu, Xiaoming Yuan

类别: math.NA

发布日期: 2026-07-22

arXiv ID: 2607.20085v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.20085v1

摘要: We introduce an optimization approach for constructing spherical quadrature rules on arbitrarily scattered data. Rather than designing node placements, the new approach focuses on optimally computing the weights for fixed configurations. Motivated by Pólya’s necessary and sufficient conditions for quadrature convergence in 1933, we argue that pursuing weight positivity and high algebraic exactness for scattered data approximation is not necessary. To align the quadrature design with the underlying theory of approximation, we construct convex optimization models with suitable objective functionals by examining the accuracy of numerical integration with reproducing kernels of Sobolev spaces and the performance of hyperinterpolation with Marcinkiewicz-Zygmund (MZ) inequalities. The resulting optimization models encode the spatial distribution of the scattered sites and the analytic properties of the target function spaces. The proposed approach enables the derivation of rigorous theoretical stability bounds, and the resulting quadrature weights are efficiently computable by modern convex optimization techniques. Numerical results are reported to demonstrate the performance of the optimization approach for fundamental approximation tasks such as numerical integration and hyperinterpolation for scattered spherical data.

6. 一种用于二维非局部守恒律的三阶保极大值原理CWENO格式

A Third-Order Maximum-Principle-Preserving CWENO Scheme for Two-Dimensional Nonlocal Conservation Laws

作者: Anika Beckers, Jan Friedrich

类别: math.NA

发布日期: 2026-07-22

arXiv ID: 2607.19953v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.19953v1

摘要: We present a third-order finite volume central WENO scheme for systems of nonlocal conservation laws in two spatial dimensions. The CWENO reconstruction of the conservative variable provides polynomials that can be evaluated in the entire domain, which is of advantage when approximating the nonlocal terms. Moreover, this method can be augmented with a limiter that preserves the maximum-principle and especially positivity of the solution.

7. 用于 Vlasov–Poisson 系统的分层稀疏网格粒子方法

A hierarchical sparse-grid particle method for the Vlasov–Poisson system

作者: Fabrice Deluzet, Clément Guillet, Jacek Narski

类别: math.NA

发布日期: 2026-07-22

arXiv ID: 2607.19898v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.19898v1

摘要: We introduce a hierarchical sparse-grid (HSG) particle method for the numerical solution of the Vlasov–Poisson system. Sparse-grid PIC methods have so far been formulated within finite-difference frameworks, most notably through the sparse-grid combination technique (SGCT), which ties them to tensor-product Cartesian grids and globally defined component grids. This paper brings sparse-grid particle methods into the Galerkin setting: the field equation is solved in variational form on a hierarchical sparse-grid space spanned by B-splines of arbitrary degree, and the traditional charge deposition step is replaced by a direct Galerkin projection of the raw Monte Carlo density estimator onto this space. Beyond preserving the mesh-complexity and noise-reduction benefits of sparse grids, this reformulation substantially extends the versatility of the approach, opening the way to spatial adaptivity and to non-rectangular geometries, which are notoriously difficult to accommodate within the SGCT framework. We carry out a probabilistic error analysis decomposing the numerical error into a grid-based bias and a statistical noise component. Under mixed-derivative regularity assumptions on the particle distribution, the bias of the charge density in the $\mathrm{L}^2$-norm is shown to scale as $\mathcal{O}(h^{p+1}|\log h|^{d-1})$, where $p$ is the B-spline degree and $d$ the spatial dimension, and the statistical error in the $\mathrm{L}^1$-norm as $\mathcal{O}(|\log h|^{(d-1)/2}(Nh)^{-1/2})$, matching the accuracy of high-order SGCT-PIC methods. Corresponding bounds are derived for the electric field. The theoretical estimates are validated on classical kinetic plasma benchmarks, including configurations with limited regularity and strong anisotropies that are known to be challenging for sparse-PIC approximations.

8. Jin-Xin模型的相对熵分析：理论与数值计算

Relative entropy analysis of the Jin-Xin model: Theory and Numerics

作者: Christina Mahmoud

类别: math.NA

发布日期: 2026-07-22

arXiv ID: 2607.19878v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.19878v1

摘要: This work studies the linear Jin-Xin relaxation model by means of the relative entropy method, both at the continuous and fully discrete levels. Under the strict subcharacteristic condition, we obtain an O($ε$) estimate for the convergence toward the equilibrium transport equation. We then develop discrete relative entropy estimates for a Lie splitting scheme and an asymptotic preserving staggered scheme. A fixed-time analysis further explains the O($ε$^2 ) behavior observed in the strongly stiff regime and the transition occurring when $ε$ becomes comparable to the time step.

9. 用于高维椭圆型偏微分方程的结构自适应随机特征方法

A Structure-Adaptive Random Feature Method for High-Dimensional Elliptic PDEs

作者: Jiale Linghu, Hao Dong, Yangshuai Wang

类别: math.NA, cs.LG

发布日期: 2026-07-22

arXiv ID: 2607.19786v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.19786v1

摘要: Random-feature methods reduce high-dimensional elliptic PDE collocation to linear coefficient problems, but full-dimensional trial spaces overlook lower-dimensional structure. We introduce the Hierarchical Analysis-of-Variance Random Feature Method (HA-RFM), which selects coordinate blocks using closed Sobol indices of the PDE residual, identifies oblique low-rank features from fitted-predictor gradients, and couples all retained features in one regularized least-squares solve. Under structural and stability hypotheses, we establish an $L^2$ error bound that links solution and residual truncation to finite-width approximation and regularized finite-sample fitting, and we derive guarantees for width and structure recovery. The resulting width is polynomial in the dimension at fixed interaction order, with dimension-independent higher-order contributions under uniform structural control. Residual screening achieves exact recovery of the prescribed three-pair support, while fitted-predictor gradients recover oblique directions through dimension $50$. In random-ridge tests, less than $1\%$ additional width reduces errors by factors of $14$-$39$ over coordinate blocks and $34$-$100$ over equal-width full-dimensional RFM. Semilinear computations extend HA-RFM through dimension $100$, while dense and distributed interactions delineate the coordinate families required for broader structure.

10. 高维超插值的内在低Tucker秩理论与统一张量CUR分解

Intrinsic Low-Tucker-Rank Theory and Unified Tensor CUR Decomposition for High-Dimensional Hyperinterpolation

作者: Maolin Che, Yimin Wei, Chong Wu

类别: math.NA

发布日期: 2026-07-22

arXiv ID: 2607.19741v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.19741v1

摘要: High-dimensional hyperinterpolation is severely hampered by the curse of dimensionality, as its coefficient tensors grow exponentially with the ambient dimension. Existing research predominantly focuses on heuristic algorithmic optimizations, often overlooking the inherent structural properties of these tensors. This paper establishes a rigorous theory of intrinsic low-$ε$-Tucker-rank for hyperinterpolation coefficient tensors, delivering near-optimal low-rank approximations with error bounds that are nearly independent of the dimension. We further construct a unified, Tucker-compatible theoretical framework that integrates both Chidori-type and Fiber-type tensor CUR (TCUR) decompositions, deriving tight and stable Frobenius-norm error estimates that depend exclusively on tensor spectral properties and index set geometry. We mathematically verify the convergence and numerical stability of greedy adaptive index selection schemes and prove their near-optimality, enabling a fully tensor-free hyperinterpolation workflow that avoids constructing the full coefficient array. Three practical greedy TCUR algorithms and a lightweight TCUR-to-Tucker recompression pipeline are proposed as direct corollaries of our structural theory. Numerical experiments across three distinct families of high-dimensional test functions validate all theoretical predictions and confirm the intrinsic low-rank compressibility of hyperinterpolation coefficients. In contrast to prior algorithm-centric studies, this work prioritizes rigorous theoretical characterization over implementation tricks, establishing a unified structural and mathematical foundation for high-dimensional hyperinterpolation.

11. 精确简化库仑摩擦的分裂架构

A Splitting Architecture for Exact Reduced Coulomb Friction

作者: Hongcheng Song, Ye Fan, Uri M. Ascher, Dinesh K. Pai

类别: cs.GR, cs.RO, math.NA

发布日期: 2026-07-21

arXiv ID: 2607.19599v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.19599v1

摘要: Existing approaches to frictional contact dynamics typically either modify the Coulomb law to improve numerical robustness or solve the exact law in a fully coupled monolithic form. However, in its reduced form, exact Coulomb friction can be written as a cone complementarity problem with an augmented velocity, which reveals a natural split between a cone-constrained linear response and a scalar non-associated coupling induced by tangential velocity. We exploit this structure in the solver design. Our method uses an outer iteration to update the non-associated coupling explicitly, and an inner solve for a strongly convex cone-constrained quadratic program. This separation also makes the inner solver modular, so different numerical schemes can be used without changing the outer iteration. We evaluate the method on rigid-body benchmarks with stick-slip transitions and frictional stacking, and show that it reproduces exact Coulomb complementarity without smoothing or relaxing the friction law.

12. 具有二次输出的双线性系统：$\mathcal{H}_2$ 分析、模型降阶的最优性条件与算法求解

Bilinear Systems with Quadratic Outputs: $\mathcal{H}_2$ Analysis, Optimality Conditions for Model Reduction, and Algorithmic Solutions

作者: Heike Faßbender, Serkan Gugercin, Till Peters

类别: math.NA, math.OC

发布日期: 2026-07-21

arXiv ID: 2607.19507v1

链接: http://arxiv.org/abs/2607.19507v1

摘要: Bilinear systems with quadratic outputs (BQO) have recently emerged as an important system class, arising naturally in applications where both the dynamics and the quantities of interest depend nonlinearly on the state. Despite the growing interest in this class of systems, a systematic $\mathcal{H}_2$ framework for BQO systems has been lacking. In this paper, we develop such a framework by establishing an $\mathcal{H}_2$ inner product and norm for BQO systems, deriving output bounds in terms of the $\mathcal{H}_2$ norm, and obtaining first-order optimality conditions for $\mathcal{H}_2$ optimal model reduction. Building on these theoretical foundations, we propose an algorithm that computes a reduced BQO system satisfying these optimality conditions, and thus generalizing existing $\mathcal{H}_2$ optimal methods for bilinear and linear quadratic output systems. The effectiveness of the proposed framework is demonstrated on two numerical examples.