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1. 准周期 Hamilton–Jacobi 方程的高精度数值均匀化框架

A High-Accuracy Numerical Homogenization Framework for Quasiperiodic Hamilton–Jacobi Equations

作者: Kai Jiang, Meng Li, Juan Zhang, Lei Zhang

类别: math.NA

发布日期: 2026-08-25

arXiv ID: 2608.24313v1

摘要翻译: 在这项工作中，我们开发了一个精确的数值均匀化框架，用于计算具有如下形式的凸哈密顿量的准周期 Hamilton–Jacobi 方程（QHJEs）的有效哈密顿量：$H(x,p) = |p|^k/{k}-f(x), ~k>1$，其中 $f$ 是准周期的。在准周期背景下计算有效哈密顿量需要求解定义在全空间上的 QHJEs。它们的解通常既不具有平移对称性也不具有衰减性，并且可能表现出低正则性。这些特性给数值计算带来了巨大的挑战。为了解决这些困难，我们引入了一种准周期边界条件，使得原始的全空间问题可以在有界区域上处理，同时在边界上保持准周期性。然后我们提出了一种 SL–FPR 格式，将半拉格朗日逼近与有限点恢复法相结合，并为所得格式建立了稳定性和误差估计。我们还将准周期均匀化结果从二次情形推广到一般 $k>1$，并应用所提方法精确逼近相应的有效哈密顿量。数值实验说明了该方法的收敛性和适用性，并验证了推广的均匀化结果。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2608.24313v1

1. 研究对象和背景

本文研究一维凸型准周期 Hamilton-Jacobi 方程 (QHJE) 的数值均匀化问题. 考虑如下含小尺度参数的 Hamilton-Jacobi 方程:

$$ \begin{cases} u_t^\varepsilon + H(x/\varepsilon, u_x^\varepsilon) = 0, & (x,t)\in\mathbb{R}\times(0,\infty),\\ u^\varepsilon(x,0) = u_0(x), & x\in\mathbb{R}, \end{cases} $$

其中 Hamilton 量为

$$ H(x,p) = \frac{|p|^k}{k} - f(x), \quad k>1, $$

$f$ 是准周期函数, 初始数据满足 $u_0\in\mathrm{BUC}(\mathbb{R})\cap\mathrm{Lip}(\mathbb{R})$ 且为准周期函数. 在准周期均匀化理论中, 已知当 $\varepsilon\to 0^+$ 时, $u^\varepsilon$ 在 $\mathbb{R}\times[0,\infty)$ 上局部一致收敛到均匀化解 $u$, 满足

$$ u_t + \bar H(u_x) = 0, $$

其中 $\bar H$ 是有效 Hamilton 量. 有效 Hamilton 量的计算是准周期均匀化的核心问题, 因为 $\bar H$ 决定了多尺度问题的宏观行为. 对于固定的 $p\in\mathbb{R}$, 有效 Hamilton 量 $\bar H(p)$ 是唯一使得以下 $\delta$-近似正确子问题对任意 $\delta>0$ 都有粘性解 $v$ 的常数:

$$ \bar H(p) - \delta \le H(x, p+v'(x)) \le \bar H(p) + \delta, \quad x\in\mathbb{R}. $$

当 $\delta=0$ 时, 精确正确子一般不存在; 但对具有准周期势的凸力学 Hamilton 量, 正确子问题可以化为精确胞元问题

$$ H(x, p+v'(x)) = \bar H(p), \quad x\in\mathbb{R}. $$

在二次情形 $k=2$ 时, 这一约化可以给出 $\bar H(p)$ 的显式公式. 本文要推进的问题是: 对一般 $k>1$, 零阶 ($\delta=0$) 近似正确子公式以及相应的有效 Hamilton 量公式是否仍然成立. 另一方面, 计算 $\bar H$ 可以利用大时间平均公式: 设 $w$ 满足

$$ w_t + H(x, p+w') = 0, $$

则

$$ \bar H(p) = -\lim_{t\to\infty} \frac{w(x,t)}{t}. $$

因此, 精确求解 QHJE 是计算有效 Hamilton 量的基础. 与周期问题不同, 准周期 Hamilton-Jacobi 方程的解定义在整个空间上, 一般不具有平移对称性, 也不具有衰减性, 甚至可能只有很低的正则性. 这些性质给数值计算带来本质困难: 无法直接使用周期边界条件, 也无法依赖衰减做远场截断. 已有的周期近似方法 (PAM) 会把准周期问题近似为周期问题, 但会引入用有理数逼近无理数的 Diophantine 误差, 并且不能保持解的准周期结构. 投影方法 (PM) 将低维准周期系统嵌入高维周期系统, 但通常结合 Fourier 谱配点, 对光滑问题有效, 却不适合具有非光滑解或低正则性梯度的 QHJE. 本文旨在填补的空白是: 构造一个不引入 Diophantine 误差、不过度提升维数、能处理低正则性的有限区域数值框架, 并在此基础上进行准周期均匀化计算.

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果可以分成数值格式和均匀化理论两部分.

(1) 给出了可计算的有限域 QHJE 模型. 利用物理空间到高维环面的同态 $C(x) = (P^T x)/(2\pi\mathbb{Z}^n)$, 引入 Dirichlet 型准周期边界条件 (QBC):

$$ u(x,t) = U(C(x),t), \quad x\in\partial\Omega, $$

其中 $U$ 是 $u$ 的母函数. 由此将原全空间问题限制在有限区域 $\Omega$ 上:

$$ \begin{cases} u_t + H(x,u_x) = 0, & (x,t)\in\Omega\times(0,\infty),\\ u(x,0) = u_0(x), & x\in\Omega,\\ u(x,t) = U(C(x),t), & (x,t)\in\partial\Omega\times(0,\infty). \end{cases} $$

该边界条件在连续层是精确恒等式, 数值实现时边界值通过有限点恢复方法 (FPR) 由内部有限个点插值恢复, 因而避免了对无理频率的有理逼近.

(2) 提出了 SL-FPR 格式. 该格式将半 Lagrange (SL) 时间离散与 FPR 空间恢复相结合. 对 Hamilton 量 $H(x,p)=|p|^k/k-f(x)$, Lagrange 量为

$$ L(x,a) = \frac{|a|^{k'}}{k'} + f(x), \quad k' = \frac{k}{k-1}. $$

SL-FPR 格式写为

$$ u_i^{m+1} = \min_{a\in\mathbb{R}} \left\{ I_s[u^m](x_i - a\tau) + \tau\left(\frac{|a|^{k'}}{k'} + f(x_i)\right) \right\}, $$

其中 $I_s = I_{FPR}^{(s)}$ 是 $s$ 阶 FPR 插值算子.

(3) 建立了格式的稳定性与误差估计. 引理 3.2 给出 FPR 插值误差: 若 $u\in QP(\mathbb{R}^d)$ 且其母函数 $U\in H^{s+1}(\mathbb{T}^n)$, 则

$$ \|u - I_s u\|_\infty \lesssim h^{s+1}\|U\|_{H^{s+1}(\mathbb{T}^n)}, \quad s\ge 1. $$

定理 4.2 证明 SL-FPR 格式关于准周期势 $f$ 和初始值 $u_0$ 是稳定的, 并给出如下 $L^\infty$ 界:

$$ \|u^m\|_\infty \le \|u_0\|_\infty + m\tau\left(\frac{C_a^{k'}}{k'} + \|f\|_\infty\right), $$

其中 $C_a$ 是控制变量的一个一致上界. 定理 4.3 证明, 当精确解的母函数 $U\in H^{s+1}(\mathbb{T}^n)$ 时, 误差满足

$$ \|u(x_i,t_{m+1}) - u_i^{m+1}\|_\infty \le O(h^{s+1}) + O(\tau), \quad s\ge 1. $$

也就是说, 空间方向可以达到 $s+1$ 阶精度, 时间方向保持一阶精度.

(4) 将准周期均匀化结果从二次情形 $k=2$ 推广到一般 $k>1$. 摘要和引言明确指出, 本文证明了零阶近似正确子公式对一般 $k>1$ 仍然成立, 并用所提方法数值计算对应的有效 Hamilton 量. 具体定理编号、显式公式和证明细节位于原文第 5 节, 从当前提供的 PDF 摘录中无法进一步确认.

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的核心技术障碍有三个: 一是 QHJE 的解定义在全空间且不具衰减性, 截断后边界条件无法直接给定; 二是半 Lagrange 格式追踪特征足时, 特征足 $x_i - a\tau$ 可能落在计算区域之外, 需要恢复其值; 三是极小化问题中的控制变量 $a$ 可能无界, 给稳定性分析带来困难.

针对第一个障碍, 作者利用了准周期函数的基本性质: 投影矩阵 $P\in\mathcal{P}^{d\times n}$ 诱导的映射 $C:\mathbb{R}^d\to\mathbb{T}^n$ 满足 $C(\mathbb{R}^d)$ 在 $\mathbb{T}^n$ 中稠密, 且该 $\mathbb{R}^d$-作用具有唯一遍历性和极小性 (引理 2.3). 因此, 对边界点 $x^*\in\partial\Omega$, 虽然其相位 $C(x^*)$ 一般不对应某个内部网格点的相位, 但可以在内部网格点中选取 $K$ 个相位与 $C(x^*)$ 充分接近的点 $\{x_{j_\ell}\}_{\ell=1}^K$, 用这些点上的函数值做局部插值来恢复 $u(x^*)$. 这就是有限点恢复 (FPR) 方法的核心思想. 由于不需要把无理数近似为有理数, 该方法避免了周期近似中的 Diophantine 误差; 又因为计算仍然在低维物理空间中进行, 相比投影方法避免了维度诅咒. FPR 采用局部插值, 因此对低正则性函数也比 Fourier 谱方法更适用.

针对第二个障碍, 作者将 SL 格式与 FPR 插值结合. 首先对凸 Hamilton 量做 Legendre 变换, 将 QHJE 写成 Hamilton-Jacobi-Bellman 形式:

$$ u_t - \min_{a\in\mathbb{R}}\{ -a u_x + L(x,a) \} = 0, $$

其中 $L(x,a) = |a|^{k'}/k' + f(x)$. 半 Lagrange 离散的基本更新是

$$ u_i^{m+1} = \min_{a\in\mathbb{R}} \left\{ u^m(x_i - a\tau) + \tau L(x_i,a) \right\}. $$

由于 $x_i - a\tau$ 通常不在网格点上, 且可能越出 $\Omega$, 作者用 FPR 插值算子 $I_s$ 恢复 $u^m$ 在该特征足处的值. 其技术细节是: 先通过同态 $C$ 将目标点映射到 $\mathbb{T}^n$, 再在 $C(\Omega_N)$ 中选取靠近 $C(x_i-a\tau)$ 的物理点, 构造局部基函数完成插值. 这一步骤使得格式既保持了 SL 格式在非线性 Hamilton-Jacobi 方程中的稳定性, 又获得了高阶空间精度.

针对第三个障碍, 作者引用了已知命题 (引理 4.1): 对满足一定条件的凸 Hamilton 量, 存在有界集 $A\subset\mathbb{R}$ 使得 $\bar H(p)=\sup_{a\in A}\{p\cdot a - L(a)\}$. 由此可以得到每个时间层上极小化子 $a_j$ 的一致界 $|a_j|\le C_a$. 这个界是定理 4.2 稳定性证明的关键: 它把目标函数中的 $|a|^{k'}$ 项控制住, 从而递推得到 $\|u^m\|_\infty$ 的线性增长估计. 误差分析则基于两步比较: 先将精确解代入 SL 一步更新算子 $S$, 得到时间方向的 $O(\tau)$ 相容性误差; 再将 SL-FPR 数值解与 SL 更新比较, 利用 FPR 插值引理得到 $O(h^{s+1})$ 的空间恢复误差. 两者叠加最终得到定理 4.3 的全局误差估计. 这种将半 Lagrange 时间离散与有限点恢复边界/特征足处理相结合的分析框架, 是本文方法层面的主要创新.

4. 与之前工作的比较

与既有工作相比, 本文的推进主要体现在以下几个方面.

首先, 在数值方法层面, 准周期 Hamilton-Jacobi 方程的数值求解远不如周期情形成熟. 周期情形的均匀化理论由 Lions-Papanicolaou-Varadhan 开创, 并已发展出大量数值方法. 准周期情形的主要困难在于解不具周期性和衰减性, 且可能低正则. 最直接的周期近似方法 (PAM) 通过在有限区域上逼近周期解来近似准周期解, 但这种方式不能保持解的准周期性质, 并且会引入用有理数逼近无理数的 Diophantine 误差. 本文的 QBC 直接利用物理-父空间同态 $C$, 在边界上施加由同一母函数产生的 Dirichlet 值, 因而在连续层是精确的, 数值误差只来自 FPR 插值, 从原理上消除了 Diophantine 误差.

其次, 与近年来提出的投影方法 (PM) 相比, PM 将低维准周期系统嵌入高维周期系统, 再用 Fourier 谱配点求解, 这对光滑准周期系统非常有效, 但对 QHJE 这类可能具有非光滑解或低正则性梯度的问题不太适合, 而且高维嵌入会带来维度诅咒. 本文采用的 FPR 方法在低维物理空间中用有限点局部插值恢复全局准周期结构, 因此既能处理低正则性, 又避免了维度提升. 需要说明的是, FPR 方法本身并非本文首创, 而是由文献 [29] 提出; 本文的贡献在于将 FPR 引入到 QHJE 的边界条件实现和 SL 格式的特征足恢复中, 并给出了 SL-FPR 格式的稳定性与误差分析. 作者并未在摘录中对 PM 和本文方法做定量计算代价对比, 因此无法给出精确的复杂度比较.

第三, 在均匀化理论层面, 文中引用 [10, 11] 证明了准周期 Hamilton-Jacobi 方程均匀化收敛性, 但有效 Hamilton 量的显式公式仅在二次情形 $k=2$ 由 [12] 给出. 本文把这一结果推广到一般 $k>1$ 的 Hamilton 量 $H(x,p)=|p|^k/k-f(x)$. 从引言来看, 作者证明了对一般 $k>1$, 零阶近似正确子方程 $H(x,p+v')=\bar H(p)$ 的约化仍然有效, 并据此计算有效 Hamilton 量. 这一推广在理论上统一了更多凸 Hamilton 量, 并为数值计算 $\bar H$ 提供了正确的胞元问题基础. 不过, 由于第 5 节的详细定理和证明未被包含在提供的 PDF 摘录中, 这里无法给出推广后的公式或定理编号.

第四, 在误差分析与数值实验方面, 本文给出的 SL-FPR 格式误差为 $O(h^{s+1})+O(\tau)$, 其中空间阶数 $s$ 可以通过提高 FPR 插值阶数而增加, 时间方向保持一阶. 这一误差结构使得空间精度可以做到很高, 但整体精度仍受时间步长一阶限制. 作者在数值实验中验证了误差分析和均匀化推广结果的正确性. 需要指出的是, 误差估计要求精确解的母函数 $U\in H^{s+1}(\mathbb{T}^n)$, 因此如果 QHJE 的解正则性不足, 高阶 FPR 插值的 $h^{s+1}$ 阶误差可能无法达到. 此外, 边界处理的精度依赖于有限点选取和插值节点的局部覆盖, 计算域 $\Omega$ 的大小以及选取点数 $K$ 也会影响实际效率, 但关于这些参数的系统性讨论和与现有方法的定量对比, 从提供内容中无法确认.

2. 亚波长介质散射的非线性模态约化

Nonlinear Modal Reduction for Subwavelength Dielectric Scattering

作者: Habib Ammari, Ioan Gorea, Bowen Li

类别: math.AP, math.NA

发布日期: 2026-08-25

arXiv ID: 2608.24290v1

摘要翻译: 我们通过非线性Lippmann-Schwinger方程，研究平面波入射下具有Kerr型非线性的高折射率介质谐振器的三维波散射，以及相关的非线性介质散射共振。利用Newtonian势的简单特征模态附近的Lyapunov-Schmidt约化，我们获得了散射波分解为共振贡献和受控余项的局部分解，并在对比参数足够小、共振振幅和入射场局部小的条件下，导出了共振模态系数的显式非线性方程。第二次约化覆盖了入射场为量级一且非线性较弱的情形。我们的结果首次将线性模态分解推广到非线性波散射问题。我们还开发了一种基于Nyström离散化、实Newton迭代和伪弧长延拓的数值框架来补充这些结果。对于几种几何构型的单个谐振器，我们的计算证实了预测的高对比度共振标度和非线性模态近似，并展示了多值入射波响应。对于镜像对称的谐振器二聚体，我们在很宽的间距范围内跟踪了对称、反对称和对称破缺的共振分支。我们的计算表明，对称破缺阈值随着谐振器之间间隙的减小而增大，这与前导阶分岔理论一致。

Comment: 32 pages, 17 figures

链接: http://arxiv.org/abs/2608.24290v1

1. 研究对象和背景

本文研究三维高折射率介电谐振器在 Kerr 型非线性作用下的波动散射问题。设 $D \subset \mathbb{R}^3$ 为具有 $C^{1,1}$ 边界的有界开集，$\\chi_D$ 为其特征函数。给定满足自由空间 Helmholtz 方程的入射场 $u_{\\mathrm{inc}} \in H^2_{\\mathrm{loc}}(\\mathbb{R}^3)$，即 $- (\\Delta + \\omega^2) u_{\\mathrm{inc}} = 0$，总场 $u = u_{\\mathrm{inc}} + u_{\\mathrm{sc}}$ 满足非线性 Helmholtz 方程 $$

\Delta u - \omega^2 u = \omega^2 \tau \chi_D \, q_\eta(u) u \quad \text{in } \mathbb{R}^3, $$ 其中 $q_\\eta(z) := 1 + \\eta |z|^2$ 描述折射率对场强的依赖，$\\eta > 0$ 为非线性强度，$\\tau$ 为对比度参数，散射场 $u_{\\mathrm{sc}}$ 满足 Sommerfeld 辐射条件。当 $u_{\\mathrm{inc}} = 0$ 时，非平凡解称为非线性介电散射共振。通过引入自由 Green 函数 $G_\\omega(x) = e^{i\\omega |x|}/(4\\pi |x|)$ 及体积位势算子 $K_D^\\omega$，散射问题等价于非线性 Lippmann-Schwinger 方程 $$ u = u_{\mathrm{inc}} + \tau \omega^2 K_D^\omega [q_\eta(u) u] \quad \text{in } D. $$ 在亚波长 regime 中，频率满足 $\\omega(\\tau) \\to 0$（$\\tau \\to \\infty$）。令 $\\varepsilon = \\tau^{-1/2}$ 和 $\\hat\\omega = \\varepsilon^{-1} \\omega$，方程化为 $$ u = u_{\mathrm{inc}} + \hat\omega^2 K_D^{\varepsilon\hat\omega} [u + \eta |u|^2 u] \quad \text{in } D. $$ 线性情形已有成熟的数学框架，例如 Mie 散射、任意形状纳米颗粒的 Helmholtz 问题以及全 Maxwell 系统的介电共振理论。然而非线性亚波长介电散射共振由于问题缺乏变分结构，长期以来缺乏严格的数学理解。最近的工作 [5] 证明了从零解在线性共振频率处分叉出非线性共振态，但尚未回答线性模态分解能否推广到非线性散射问题，也没有系统地处理入射场驱动的散射态和分支跟踪。本文旨在填补这一空白：对 Kerr 型非线性散射问题建立严格的模态约化理论，将散射场分解为一个共振模态加可控余项，并给出模态系数的显式非线性标量方程；同时发展相应的数值方法以验证理论并探索对称性破缺等非线性现象。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果分为两个 regime。第一个是局部小振幅 regime，由 Proposition 2.5 给出。设 $\\lambda_j$ 为 Newtonian 势 $K_D$ 的简单正特征值，$\\varphi_j$ 为对应的归一化本征函数（$K_D \\varphi_j = \\lambda_j \\varphi_j$，$\\|\\varphi_j\\|_{L^2(D)} = 1$），$\\hat\\omega_j := \\lambda_j^{-1/2}$。则存在 $r, R, \\varepsilon_0 > 0$，使得当 $0 < \\eta < \\eta_{\\max}$、$0 < \\varepsilon < \\varepsilon_0$、$\\hat\\omega$ 在 $\\hat\\omega_j$ 的小邻域 $U$ 内，且 $|a| + \\|u_{\\mathrm{inc}}\\|_{H^2(D)} \\le r$ 时，方程 $Q_j F = 0$ 在球 $\\|h\\|_{H^2(D)} \\le R$ 内有唯一解 $h = W_\\eta(a, \\hat\\omega, \\varepsilon, u_{\\mathrm{inc}}) \\in \\ker P_j \\cap H^2(D)$，其中 $P_j$ 是到 $\\varphi_j$ 方向的正交投影。此解关于参数 $(a, \\hat\\omega, \\varepsilon, \\eta, u_{\\mathrm{inc}})$ 联合实解析。进而每个满足约束的解 $u$ 可唯一分解为

$$ u = a \\varphi_j + W_\\eta(a, \\hat\\omega, \\varepsilon, u_{\\mathrm{inc}}), $$

且振幅 $a$ 满足显式标量方程

$$ \\left(1 - \\hat\\omega^2 \\langle \\varphi_j, K_D^{\\varepsilon\\hat\\omega}[\\varphi_j] \\rangle_D \\right) a = \\langle \\varphi_j, u_{\\mathrm{inc}} \\rangle_D + \\hat\\omega^2 \\langle \\varphi_j, K_D^{\\varepsilon\\hat\\omega}[W_\\eta] \\rangle_D + \\hat\\omega^2 \\eta \\langle \\varphi_j, K_D^{\\varepsilon\\hat\\omega}[|a\\varphi_j + W_\\eta|^2 (a\\varphi_j + W_\\eta)] \\rangle_D. $$

进一步，余项 $W_\\eta$ 满足估计（Lemma 2.8）

$$ \\|W_\\eta\\|_{H^2(D)} \\le C_W \\left( \\|Q_j u_{\\mathrm{inc}}\\|_{H^2(D)} + \\varepsilon |a| + \\eta |a|^3 \\right), $$

且由 Lemma 2.9，方程右端的可控余项 $R_W$ 满足

$$ |R_W| \\le C \\left( \\varepsilon \\|W\\|_{H^2(D)} + |\\eta| (|a|^2 \\|W\\|_{H^2(D)} + |a| \\|W\\|_{H^2(D)}^2 + \\|W\\|_{H^2(D)}^3) \\right). $$

第二个 regime 适用于入射场为 $O(1)$ 而非线性极弱的情形，由 Proposition 2.6 给出。固定 $r, M > 0$，存在 $\\eta_0, \\varepsilon_0 > 0$，使得当 $|a| < r$、$\\|u_{\\mathrm{inc}}\\|_{H^2(D)} < M$、$\\hat\\omega \\in U$、$0 < \\varepsilon \\le \\varepsilon_0$、$|\\eta| \\le \\eta_0$ 时，方程 (2.37) 有唯一解 $W_\\eta$，且与线性解 $h_{\\mathrm{lin}} = (Q_j(I - \\hat\\omega^2 K_D^{\\varepsilon\\hat\\omega}))^{-1}(Q_j u_{\\mathrm{inc}} + \\hat\\omega^2 Q_j K_D^{\\varepsilon\\hat\\omega}[a\\varphi_j])$ 的差满足

$$ \\|W_\\eta - h_{\\mathrm{lin}}\\|_{H^2(D)} \\le C |\\eta| \\left( \\|Q_j u_{\\mathrm{inc}}\\|_{H^2(D)} + |a| \\right)^3. $$

数值实验表明：对于多种几何形状的单个谐振器，计算验证了高对比共振频率的渐近尺度（$\\omega = O(\\tau^{-1/2})$）和模态近似的有效性；入射波响应出现多值性；对于镜像对称的二聚体，跟踪了对称、反对称和对称破缺共振分支随间距的变化，发现对称破缺阈值随间隙减小而增大，与前沿阶分叉理论一致。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的核心技术障碍在于非线性项 $\\eta |u|^2 u$ 破坏了解析框架和线性叠加原理，且问题没有变分结构，无法直接使用临界点理论。作者的方法是基于 Newtonian 势的谱分解和 Lyapunov-Schmidt 约化。首先利用 $K_D$ 的谱分解 $K_D u = \\sum_{j=0}^\\infty \\lambda_j \\langle \\varphi_j, u \\rangle_D \\varphi_j$，选定一个简单特征值 $\\lambda_j$，将内部场分解为 $u = a\\varphi_j + h$，其中 $h \\in X_p := \\ker P_j \\cap H^2(D)$。关键的一步是证明约化后算子的可逆性：Lemma 2.3 证明在 $\\hat\\omega_j$ 的小邻域内，$I - \\hat\\omega^2 K_D: X_p \\to X_p$ 可逆且一致有界，其证明依赖于特征值的孤立性和谱间隙；Lemma 2.4 进一步利用 $K_D^{\\varepsilon\\hat\\omega} - K_D = O(\\varepsilon)$ 的算子范数估计，通过 Neumann 级数扰动论证得到 $Q_j(I - \\hat\\omega^2 K_D^{\\varepsilon\\hat\\omega}): X_p \\to X_p$ 的一致可逆性。这两个引理是后续隐函数定理和不动点定理的基础。在局部 regime 中，作者构造映射 $A(\\hat\\omega, a, h, \\varepsilon, \\eta, u_{\\mathrm{inc}})$，验证在基点 $(\\hat\\omega_j, 0, 0, 0, \\eta, 0)$ 处 $\\partial_h A = I - \\hat\\omega_j^2 K_D$ 可逆，从而直接应用参数化实解析隐函数定理得到余项 $W_\\eta$ 的存在唯一性，并导出振幅方程。在弱非线性 regime 中，作者采用不同的策略：先求解线性问题得到 $h_{\\mathrm{lin}}$，再将非线性方程转化为不动点问题 $h = T_\\eta(h)$，利用三维 Sobolev 嵌入 $H^2(D) \\hookrightarrow L^\\infty(D)$ 估计非线性映射的 Lipschitz 常数，通过压缩映射原理得到 $W_\\eta$ 的存在唯一性和 $O(\\eta)$ 误差界。此外，作者还证明了 $W_\\eta$ 关于参数的实解析性，这使得振幅方程 $G_j(a, \\hat\\omega, \\varepsilon, \\eta, u_{\\mathrm{inc}}) = 0$ 具有充分的连续性以便进行分支分析。数值方面，作者发展了基于体单元等式的 Nyström 离散，结合实 Newton 迭代求解非线性方程组；由于方程具有 $S^1$ 相位不变性，作者通过归一化约束和局部相位条件消除零特征值；使用伪弧长延拓以跨越鞍结分叉并跟踪多值解分支。数值实现适用于非球形谐振器和多粒子构型，特别是用于跟踪二聚体中的对称破缺分支。

4. 与之前工作的比较

与现有工作的比较体现在多个层面。首先，线性情形下，[15, 8] 已建立了基于亚波长共振的线性模态分解，即散射场可近似为若干共振模式的线性叠加。本文将这一分解首次推广到非线性散射问题：通过 Lyapunov-Schmidt 约化，在简单共振附近证明散射场可局部分解为一个非线性共振模态加一个受控余项，且模态系数满足显式标量方程（2.42）。这比线性模态分解多出了非线性耦合项 $\\eta |a|^2 a$，并给出了余项的 $H^2$ 范数估计。其次，与 [5] 相比，[5] 只处理了无入射场（$u_{\\mathrm{inc}} = 0$）情形下的非线性共振态存在性，并利用 $L^2$ 归一化条件 $\\|u\\|_{L^2(D)} = N$ 固定振幅；本文则同时处理有入射场的散射问题，并给出了两种不同的 regime：一种是入射场和共振振幅都小、非线性强度 $\\eta = O(1)$；另一种是入射场 $O(1)$、非线性强度 $\\eta \\to 0$。这两种情形分别对应于实际应用中不同的物理场景，且后者通过线性解的扰动给出了明确的 $O(\\eta)$ 误差界，比 [5] 的纯存在性结果更具定量性。第三，与 [21, 4] 相比，那些工作采用渐近展开并事先假设非线性共振具有收敛级数形式，本文则通过严格的约化证明和余项估计，不需要这样的先验假设。第四，数值方面，本文提出的 Nyström 离散 + 实 Newton + 伪弧长延拓框架可以处理任意形状的谐振器和多粒子系统，而以往非线性散射计算多局限于球对称或微扰情形。对于二聚体系统，本文跟踪了对称、反对称和对称破缺分支，并发现对称破缺阈值随间隙减小而增大，这与基于非线性 Schrödinger 方程的对称性破缺理论（如 [18, 19]）在定性上一致，但本文首次在三维介电散射共振背景下进行数值验证。值得注意的是，作者在比较时并未显式讨论与全 Maxwell 系统非线性情形的差距，也未给出模态分解的全局有效性范围，这些局限性从提供内容中无法进一步确认。此外，振幅方程 (2.42) 中的系数依赖于 $\\langle \\varphi_j, K_D^{\\varepsilon\\hat\\omega}[\\varphi_j] \\rangle_D$ 和 $\\langle \\varphi_j, K_D^{\\varepsilon\\hat\\omega}[|\\varphi_j|^2 \\varphi_j] \\rangle_D$，这些系数的精确计算在文中仅通过数值验证，没有显式闭式公式，这可能限制理论结果的直接应用。

3. 椭圆界面问题的四边形与六面体浸没有限元方法

Quadrilateral and Hexahedral Immersed Finite Element Methods for Elliptic Interface Problems

作者: Fangfang Qin, Haifeng Ji

类别: math.NA

发布日期: 2026-08-25

arXiv ID: 2608.24055v1

摘要翻译: 浸没有限元（IFE）方法为在非贴合网格上求解界面问题提供了一个有效的框架。IFE方法的基本思想是通过在特定点强制施加界面条件来修改标准有限元空间。众所周知，对于节点自由度，三角单元上线性IFE基函数的唯一可解性在标量扩散系数下受非钝角条件约束。对于张量扩散系数，这一限制更为严重，此时非钝角条件不再足以保证唯一可解性。即使在矩形网格上，对于张量扩散系数，传统的双线性IFE基函数也可能不唯一可解。在本文中，我们开发并分析了一种在四边形和六面体网格上的节点等参IFE方法，并表明通过适当选择离散通量条件的强制施加点可以克服唯一可解性问题。关键观察在于，与三角单元不同，四边形和六面体单元中的离散通量不是常数，这为选择这样的强制施加点以确保唯一可解性提供了灵活性。我们给出了一个系统性的选择程序，该程序不仅确保了在具有标量或张量值扩散系数的一般四边形和六面体单元上IFE基函数的唯一可解性，而且还保持了所得IFE空间的最优逼近性质。所提出的IFE方法具有若干优点：对复杂几何的灵活性、无角度限制以及适用于张量扩散系数，从而克服了现有节点IFE方法在矩形和三角网格上的局限性。我们建立了最优误差估计，并通过数值实验加以验证。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2608.24055v1

1. 研究对象和背景

本文研究如下椭圆界面问题。设 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$（$N=2,3$）为有界凸多边形/多面体区域，$\Gamma$ 为 $\Omega$ 内一条闭 $C^2$ 超曲面，将 $\Omega$ 划分为两个子域 $\Omega^+$ 与 $\Omega^-$。模型方程为

$$ -\nabla\cdot (B^\pm \nabla u^\pm) = f^\pm \quad \text{in } \Omega^\pm, $$

$$ u^+ = u^- \quad \text{on } \Gamma, $$

$$ B^+\nabla u^+\cdot n = B^-\nabla u^-\cdot n \quad \text{on } \Gamma, $$

$$ u=0 \quad \text{on } \partial\Omega. $$

其中 $n$ 为 $\Gamma$ 上由 $\Omega^-$ 指向 $\Omega^+$ 的单位法向量。这里 $B(x)$ 为有界对称正定矩阵函数，其分量逐段光滑且在界面上可能间断；$f\in L^2(\Omega)$。由于材料参数的间断，解及其导数跨越界面时可能产生跳跃，正则性降低：一般地，$u\in H^1_0(\Omega)$，但在每个子域内有更高的正则性 $u|_{\Omega^\pm}\in H^2(\Omega^\pm)$。这种低正则性给数值方法的设计带来困难，尤其是当界面穿过单元内部时，标准有限元函数无法准确逼近解的局部非光滑性。

使用界面贴合网格时，需要不断更新网格以匹配界面几何，对复杂或演化界面成本较高，因此发展非贴合（unfitted）网格方法成为重要方向。浸入式有限元（IFE）方法是一类重要的非贴合网格方法，其基本思想是修改标准有限元空间，在单元内通过离散界面条件嵌入界面信息，同时保留与标准有限元相同的自由度。与富集类方法（如XFEM）相比，IFE方法不需要额外的全局自由度，更易融入现有有限元代码。自上世纪90年代首次提出以来，IFE方法已被广泛应用于各类界面问题，包括 Poisson、Stokes、弹性波等。然而，节点型IFE基函数的唯一可解性（unisolvence）一直是一个基础且关键的问题。

已有研究表明，对于三角形单元上的线性IFE，当扩散系数为标量常数时，需要满足非钝角条件才能保证任意界面位置与正系数对下的唯一可解性；对于张量扩散系数，即使满足非钝角条件也可能失效。在矩形单元上，常规双线性IFE基函数对张量扩散系数也可能不唯一可解。这些限制使得现有节点IFE方法的应用范围受限，尤其在复杂几何区域和材料系数为张量的情形下。

本文试图填补的空白是：在一般四边形和六面体网格上，构造一种节点等参IFE方法，通过适当选择离散通量条件的强制点，保证对任意界面配置和任意对称正定扩散张量唯一可解，同时保持最优逼近性质与最优误差收敛阶。这一进展有望为复杂几何区域上的界面问题提供更灵活、稳健的数值工具。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果如下。

首先，在构造局部IFE空间时，作者引入了假设1（近似界面假设），要求存在点 $x_K\in K$ 和单位向量 $n_h$ 使得 $|x_K-x_\Gamma^K|+h_K|n_h-n(x_\Gamma^K)|\le Ch_K^2$，并且近似界面与精确界面给出相同的顶点分类。在此假设下，作者证明了存在通量强制点 $\hat M_K\in\hat K$ 满足几何条件 $\nabla\hat\Pi\hat w(\hat M_K)=\lambda\hat n_h$，其中 $\lambda\in[0,1]$（引理2.4）。基于此，离散通量条件的分母 $D(\hat M_K)\ge\min\{1,\beta^-_{\min}/\beta^+_{\max}\}>0$，从而对任意节点值，局部IFE基函数唯一存在（引理2.5）。该结果对任意界面位置和任意对称正定扩散张量成立，无需非钝角条件。

然后，对于 $N=2,3$，论文分别给出了通量强制点的显式构造。在二维中，通过对称变换可将法向量化为非负分量，从而只需处理三种规范配置（图2），每种配置下均选取特定的顶点或内部点作为 $\hat M_K$。在三维中，类似地处理各类切割拓扑。

其次，第4节建立了IFE空间的最优逼近性质。对任意界面元素 $K$，令 $v|_{\Omega^\pm}\in H^2(\Omega^\pm\cap K)$，则存在插值 $v_I\in V^{IFE}(K)$ 满足

$$ \|v-v_I\|_{L^2(K)} + h_K|v-v_I|_{H^1(K)} \le C h_K^2 \big(\|v\|_{H^2(K^+)} + \|v\|_{H^2(K^-)}\big), $$

其中常数 $C$ 不依赖于界面与网格的相对位置。这里 $K^\pm=K\cap\Omega^\pm$。

第三，第5节对全局IFE方法建立了最优误差估计。设 $u$ 和 $u_h$ 分别为精确解和离散解，则在 $H^1$ 范数下

$$ \|u-u_h\|_{H^1(\Omega)} \le C h \|f\|_{L^2(\Omega)}, $$

在 $L^2$ 范数下

$$ \|u-u_h\|_{L^2(\Omega)} \le C h^2 \|f\|_{L^2(\Omega)}, $$

常数 $C$ 同样不依赖于界面位置。数值实验验证了这些收敛阶。

最后，作为动机，论文在附录A中给出了两个反例：在轻微倾斜的平行四边形上，若将通量强制点取为近似界面线段的中点，则对标量扩散系数会失去唯一可解性；在正方形上，对张量扩散系数也会失去唯一可解性。这进一步说明通量强制点选择的必要性。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的证明存在多个技术难点，以下分别阐述。

第一个难点是局部IFE基函数的唯一可解性。在标准构造中，离散通量条件通常强制在近似界面的某一点（如线段中点）上，但该点可能使线性系统奇异。作者的关键创新在于观察到四边形和六面体上的离散通量并非常数，因此可以通过移动强制点来避免奇异。具体地，在参考单元上，他们定义增广变量 $\alpha_K = [\hat\nabla\hat\phi^\pm\cdot\hat n_h](\hat M_K)$，并利用增广方法（引理2.5之前的推导）将任一IFE函数表示为标准插值加上一个修正项：$\hat\phi = \hat\Pi\hat\phi + (\hat w - \hat\Pi\hat w)\alpha_K$。代入离散通量条件后，$\alpha_K$ 的分母为 $D(\hat M_K)$。通过选择 $\hat M_K$ 使 $\nabla\hat\Pi\hat w(\hat M_K)$ 与 $\hat n_h$ 平行，即可保证 $D(\hat M_K)>0$。

实现上述选择的关键是几何引理2.4：存在 $\hat M_K\in\hat K$ 使得 $\nabla\hat\Pi\hat w(\hat M_K)=\lambda\hat n_h$ 且 $\lambda\in[0,1]$。该引理的证明是构造性的，利用了三类工具：(i) 对称变换（引理3.2），通过坐标置换和反射将法向量化为非负分量，因而只需考虑有限种规范切割配置；(ii) 互补配置（引理3.1），通过交换 $\hat K^+$ 与 $\hat K^-$ 以及反转法向，可将问题归约为处理较简单的情形；(iii) 逐配置分析。在二维，只有三种配置（图2），例如当 $|I^+_{h,K}|=3$ 时取 $\hat M_K=(1,1)^\top$；当 $|I^+_{h,K}|=2$ 时取 $\hat M_K=(\delta/n_1-1,-1)^\top$ 等。在三维，配置更多，但原理相同，只是代数处理更复杂。

第二个难点是处理等参非仿射映射。一般四边形/六面体单元不是仿射的，从物理单元到参考单元的拉回会改变扩散张量和法向。作者定义 $\hat B^\pm_h = J_K^{-1}\hat B^\pm_h J_K^{-\top}$，其中 $\hat B^\pm_h$ 是冻结的系数矩阵，并引入了高阶导数连续性条件 (2.8c) 来确保自由度数目合适。条件 (2.8c) 等价于 $[\hat\partial^\alpha \hat v^\pm]=0$，这一额外耦合条件是本文构造的重要组成部分。

第三个难点是保持最优逼近性质。由于通量条件改在点 $\hat M_K$ 处强制，而 $\hat M_K$ 通常不在精确界面上，因此构造的IFE函数并不精确满足原始界面通量条件。作者证明该偏差仅为 $O(h^2)$（由假设1保证），不会破坏最优逼近阶。在逼近性证明中，他们利用局部插值算子将函数值、梯度和高阶导数联系起来，并通过标准估计处理界面附近的部分。由于界面几何是 $C^2$，界面可被局部参数化，误差项可以控制为 $O(h^2)$。

最后，全局误差估计采用标准IFE分析框架。利用IFE空间的逼近性质，结合斯特兰引理，可以将 $\|u-u_h\|_{H^1}$ 归结为插值误差和界面积分误差。作者仔细处理了界面条件在离散尺度下的扰动，得到常数与界面位置无关。（从提供内容中无法确认具体的技术细节，如是否使用Nitsche方法或内部惩罚，但第5节给出了误差估计。）

4. 与之前工作的比较

本文的方法与已有工作有显著差异，以下从多个维度比较。

首先，与三角形节点IFE方法相比。文献[14]指出，对于线性IFE基函数，当扩散系数为标量时，需要非钝角条件才能保证唯一可解性；文献[1]进一步表明，对于张量扩散系数，非钝角条件不再充分。本文的方法在四边形和六面体元素上完全避免了角度限制，并且适用于任意对称正定扩散张量。这是通过选择通量强制点实现的，而这一策略在三角形上不可行，因为三角形上的离散通量是常数，移动强制点不会改变通量连续性条件。因此，本文填补了保留节点自由度同时去除角度限制的空白。

其次，与使用边/面平均自由度的IFE方法（如文献[12]）相比。文献[12]通过将节点自由度替换为边/面平均自由度，去除了非钝角限制，但改变了标准有限元的数据结构。本文保留了节点自由度，因此可以无缝整合到现有有限元框架中。代价是需要更复杂的局部构造，特别是在三维中需要对不同切割配置选择通量强制点。

第三，与矩形/立方体网格上的IFE方法相比。许多已有的IFE构造（如[18,10,15,19]等）局限于矩形或立方体网格，这限制了它们在复杂几何区域上的应用。本文支持一般四边形和六面体网格，通过等参映射处理非仿射单元。文中还给出了反例表明，即使对于矩形单元，常规双线性IFE也可能对张量系数失去唯一可解性，因此本文的方法在矩形情形也带来改进。

第四，在逼近性和误差估计方面。已有IFE方法通常要求离散界面与真实界面足够接近，并在界面条件中略去高阶扰动。本文的独特之处在于通量强制点不是界面上的点，而是一个在单元内部、与界面距离为 $O(h^2)$ 的点。作者证明了这种扰动不影响最优逼近阶，这是方法理论分析中的一个新贡献。

在代价与适用性方面。本文的方法需要构造等参映射、选择通量强制点，并处理更复杂的界面几何，实现难度高于矩形网格上的IFE。但作为回报，它提供了网格几何上的灵活性，且对扩散系数为张量的情形稳健。三维情形的构造更为复杂，但论文给出了系统的处理。

中文标题: PWDG-UWVF 等价性再探

摘要翻译: 超弱变分公式（UWVF）已知是通过设置 (α=β=δ=1/2) 从标准 PWDG 通量族得到的 Trefftz 间断 Galerkin 格式。我们给出这一事实的一个简短的结构性解释。在每一个内部网格边上，这两个参数值下的两个 PWDG 跳跃项恰好是 UWVF 所用的两个有向阻抗-透射缺陷的范数平方和的一半。因此，Trefftz-DG 范数是全局透射缺陷的自然 Riesz 范数。在 PWDG 坐标下，其 Gram 矩阵是离散矩阵的反对 Hermite 部分，Riesz 归一化将算子化为正规形式 (K+\ii I)，其中 (K) 是 Hermite 的。将同样的论证直接应用于离散 UWVF，得到互补正规形式 (\tfrac12 I+\ii K_{\rm U})。这揭示了经典等价性是同一边耦合问题的破碎场坐标与阻抗-迹坐标之间的关系，而不仅仅是一种特定的惩罚选择。

不相关论文（基本信息）

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Efficient Hermitian and skew-Hermitian splitting methods for linear systems in micromagnetic simulations

作者: Yingxi Miao, Changjian Xie

类别: math.NA

发布日期: 2026-08-25

arXiv ID: 2608.24576v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.24576v1

摘要: For the Landau-Lifshitz equation, the discrete linear systems obtained by our semi-implicit method possess the following properties: they are large-sparse systems with non-Hermitian yet positive-definite coefficient matrices. To solve these systems efficiently, we apply the Hermitian/skew-Hermitian splitting (HSS) method and its inexact variant (IHSS). Numerical experiments in one and three dimensions show that the spectral radius of the HSS iteration remains below its theoretical upper bound and strictly below one for the tested grid resolutions and damping parameters. Moreover, the theoretical bound closely follows the actual spectral radius, providing an accurate estimate of the convergence behavior. The IHSS results demonstrate effective convergence for the tested cases and show that its efficiency is sensitive to the splitting parameter. Overall, the two semi-implicit schemes exhibit comparable convergence behavior.

2. 用于平面波密度泛函理论的随机化块Davidson特征求解器

Randomized Block Davidson Eigensolvers for Plane-Wave Density-Functional Theory

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类别: math.NA, cond-mat.mtrl-sci, physics.comp-ph

发布日期: 2026-08-25

arXiv ID: 2608.24529v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.24529v1

摘要: Iterative diagonalization is the dominant cost of plane-wave density-functional theory (DFT), with search-space orthogonalization scaling particularly quickly with problem size and the number of target states. We present a randomized block Davidson-type eigensolver that replaces Euclidean orthogonalization with randomized Gram-Schmidt in a sketched inner product, requiring only a single pass over the basis while keeping its conditioning bounded independently of the input vectors. This modification changes only the Rayleigh-Ritz step, which becomes a definite generalized Hermitian eigenproblem. Ritz extraction remains exact, preserving true Ritz pairs and the interlacing property that makes each band energy an upper bound on the true one. The method is implemented in mixed precision for CPUs and GPUs from a single Julia code, interfaces matrix-free with DFTK, and is released in the open-source RandESC library. On sparse test problems with a fixed number of eigenpairs, the sketched solver overtakes its deterministic counterpart beyond matrix dimensions of about $2\times 10^4$ and is $25\%$ faster at $5\times 10^5$. In full self-consistent field DFT calculations, however, both Davidson variants outperform the locally optimal block preconditioned conjugate gradient (LOBPCG) reference only by $5$ to $11\%$ in total time, while the additional benefit of sketching is limited. As the number of requested states grows with system size, orthogonalization savings are offset by the generalized eigenproblem. Therefore, the regime in which sketching pays off is set by how the number of wanted states scales with the problem dimension, not by the eigensolver as such.

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作者: Mansur Arief, Yan Pratama Akhra, Bilal Ahmadi, Pradipta Apsarini, Iwan Vanany

类别: math.OC, math.NA

发布日期: 2026-08-25

arXiv ID: 2608.24399v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.24399v1

摘要: Profitability metrics, such as the single-product gross profit margin, constitute the standard toolbox to prioritize products in sales and operations planning (S&OP). These metrics leverage the premise that production lines can be committed independently, which endows them with a simple per-ton ranking that a planner can compute and use easily in practice. However, coupled plants, especially polymer plants whose parallel lines draw simultaneously on a single bulk feed, can fundamentally undermine this premise and mislead to value-destroying production plans. We propose a framework built on what we call the Augmented Gross Profit for Product Clusters (AGPPC), which converts the per-ton ranking metric into a per-coupled-hour ranking that carries a per-instance optimality certificate. We present the theory of AGPPC, which combines the co-production column concept with a fluid relaxation of the planning problem, alongside an integrated bilinear mixed integer program of the plant and a McCormick-linearized baseline that provides certified bounds for it, and we demonstrate its effectiveness on real operational data from an Indonesian polymer producer, where the coupling-aware metric alone raises operating profit by 7.6% and the full optimization by 28% over current practice.

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类别: math.NA

发布日期: 2026-08-25

arXiv ID: 2608.24283v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.24283v1

摘要: We present a samplet-based framework for the efficient numerical solution of saddle-point systems arising from conditionally positive definite (CPD) kernel approximation in general and universal Kriging in particular. The vanishing moment property of samplets as well as the particular structure of the associated scaling distributions, which correspond to discrete orthogonal polynomials, allow for a numerically favorable representation of these saddle-point systems. Concretely, they enable a natural null-space reduction of the indefinite saddle-point system to a (large) linear system for the detail coefficients and a small triangular system for the polynomial coefficients. We derive error bounds for the approximation by polyharmonic splines in Beppo-Levi spaces and show that the detail coefficients span precisely the subspace on which the CPD kernel is positive definite, rendering the reduced block symmetric positive definite. In view of the quasi-sparsity of the samplet-transformed kernel matrix for asymptotically smooth kernels, the resulting method achieves O(N log N) cost for the assembly and the storage of the saddle-point system. The reduced system can efficiently be solved by a sparse Cholesky factorization. We illustrate the framework with three applications, namely Gaussian process regression with generalized covariances, landmark-based image registration via samplet-compressed thin plate splines, and three-dimensional mesh deformation.

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类别: math.NA

发布日期: 2026-08-25

arXiv ID: 2608.24203v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.24203v1

摘要: We develop eigenvalue bounds for symmetric, block-tridiagonal multiple saddle-point linear systems, preconditioned with block-triangular matrices, based on approximate Schur complements. Irrespective on the number of blocks, we prove that all complex eigenvalues, with nontrivial imaginary part, are strictly contained in a circle within the complex plane, with center 1. The real and positive eigenvalues are bounded in terms of the extremal roots of a sequences of parametric polynomials. Numerical results reveal that the bounds describe very well the eigenvalue distribution of the preconditioned matrix.

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类别: math.NA, math.AP

发布日期: 2026-08-25

arXiv ID: 2608.24197v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.24197v1

摘要: This paper develops a fully discrete finite element method for three-dimensional incompressible magnetohydrodynamic (MHD) flows with nonlinear $p$-Laplace viscosity. The scheme combines spatial finite elements with a semi-implicit Euler time discretisation. Convergence to a weak solution is proved using a time-translation compactness argument together with Minty’s monotonicity method. Under additional regularity assumptions, we derive unconditional error estimates for both the velocity and magnetic field, with no coupling restriction between the time step and mesh size. The framework extends finite element analysis of incompressible MHD systems to non-Newtonian shear-thickening fluids ($p>2$), while recovering the classical Newtonian case ($p=2$). Finally, numerical simulations are provided to validate the theoretical convergence rates and demonstrate the robustness of the proposed method.

7. Strang猜想：强可坍缩复形的正面结果及验证猜想的代码

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类别: math.NA

发布日期: 2026-08-25

arXiv ID: 2608.24120v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.24120v1

摘要: Splines, which are piecewise polynomial functions with given smoothness, are used in numerous applications such as computer aided geometric design, algebraic geometry and for implementation of the finite element method. In many applications, it is important to know the dimension of the space of splines over a domain, but this continues to be an open problem. Strang’s conjecture predicts the dimension of the space of bivariate $C^1$ splines of degree at most $k$ over a polygonal domain with no holes. For the cases, $k=4$ and $k \geq 5$ the conjecture has been proven true. For the case $k=2$, John Morgan and L. Ridgway Scott provided a counterexample. In this project, we begin by relating the space of bivariate $C^1$ splines of degree at most $k$ to various other function spaces. With the aid of some intrinsic operators on these spaces, we obtain a complex that yields an equivalence statement to Strang’s conjecture. The equivalent statement admits a computational approach to the conjecture and thus we present an NGSolve code to check Strang’s conjecture for a given mesh. In addition, we prove that if the simplicial complex associated to a triangulation is strongly collapsible (with a non-collinear condition), then Strang’s conjecture holds for $k=2$.

8. 自由边界DCIS模型中非线性项的无导数恢复

Derivative-Free Recovery of a Nonlinearity in a Free-Boundary DCIS Model

作者: De-Han Chen, Hongyu Liu, Keji Liu

类别: math.NA

发布日期: 2026-08-25

arXiv ID: 2608.24090v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.24090v1

摘要: We investigate an inverse coefficient problem for a multidimensional free-boundary model of ductal carcinoma in situ (DCIS), in which the tumor interface is governed by the nonlinear coupling of nutrient concentration, tissue pressure and curvature, and the unknown nutrient consumption function is recovered from a temporal trace of the nutrient concentration obtained by needle aspiration biopsy. For the forward problem, we establish uniform local well-posedness over an admissible class of consumption functions. The inverse problem is recast as a fixed-point problem: approximating the admissible set by finite-dimensional spaces yields discrete iteration operators, for which we prove the existence of fixed points, and the strong convergence of a subsequence of discrete fixed points to a fixed point of the continuous operator, which solves the inverse problem under a consistency condition. To approximate these fixed points, we develop a homotopy-continuation method combining a linearly convergent Picard iteration with a cubical Sperner search, without differentiating an objective functional or computing an adjoint state. Several numerical experiments on radially symmetric and non-symmetric DCIS models corroborate the theoretical findings.

9. 间歇性与孤立拓扑转变的尖锐-弥散界面模型

A sharp-diffuse interface model for intermittent and isolated topological transitions

作者: Raaghav Ramani

类别: physics.comp-ph, math.NA, physics.flu-dyn

发布日期: 2026-08-25

arXiv ID: 2608.24030v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.24030v1

摘要: We propose a hybrid sharp-diffuse interface representation for modeling intermittent and isolated topological transitions during Cahn-Hilliard phase coarsening. Away from topological events, the evolution is approximated by the Mullins-Sekerka sharp-interface limit system and computed using a boundary integral formulation. When diffuse transition layers overlap, a novel interface surgery algorithm resolves topology changes through a localized Cahn-Hilliard pseudo-time evolution, after which the sharp-interface calculation is resumed. We develop the mathematical formulation underlying this decomposition, present a simple two-dimensional numerical implementation, and simulate a mass-exchange problem with interface coalescence. By localizing the diffuse evolution to topological events, the method achieves a speedup of two to three orders of magnitude over conventional diffuse-interface simulations.

10. 新型高效隐式-显式延迟校正方法

New Efficient Implicit-Explicit Deferred Correction methods

作者: Lorenzo Micalizzi, Davide Torlo

类别: math.NA

发布日期: 2026-08-24

arXiv ID: 2608.23919v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.23919v1

摘要: In this work, we investigate implicit-explicit (IMEX) arbitrary high-order Deferred Correction (DeC) methods for the approximation of ordinary differential equations (ODEs). Such schemes are characterized by an iterative procedure that increases the order of accuracy by one at each iteration. More precisely, we study an efficient modification based on the introduction of interpolation processes between consecutive iterations, with the aim of systematically matching the accuracy achieved at each iteration with the order of the discretization employed. On the one hand, this modification leads to computational advantages, since the low-order iterations are performed on cheaper lower-order discretization structures; on the other hand, it endows the methods with a natural $p$-adaptive character, which is particularly appealing in the context of practical applications. We investigate this modification for two families of DeC schemes, providing numerical validation, efficiency assessments, and stability region plots. The numerical validation includes several examples involving stiff ODEs and partial differential equations (PDEs) with high-order spatial derivatives. The ability of the modified schemes to provide high-fidelity results at reduced computational cost, as well as the effectiveness of the adaptive strategy, is demonstrated through the numerical experiments.

11. 计算三维Navier-Stokes方程的统计欧拉极限

Computing statistical Euler limits of the Navier–Stokes equations in three dimensions

作者: Johannes L. Grafen, Tobias Rohner, Stephan Simonis

类别: math.NA, math-ph, physics.comp-ph

发布日期: 2026-08-24

arXiv ID: 2608.23786v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.23786v1

摘要: We develop a Monte Carlo lattice Boltzmann method to efficiently compute statistical solutions to the three-dimensional incompressible Navier–Stokes and Euler equations. By employing entropic space-time adaptive relaxation for higher order kinetic moments, our scheme is found to yield stable and consistent numerical solutions in the vanishing viscosity limit. We establish a convergence result that is conditional on four explicitly stated assumptions regarding the discrete dynamics. First, under diffusive scaling, the laws of the discrete ensemble are shown to converge along a subsequence to a limit satisfying the Foias–Temam Liouville formulation of the Navier–Stokes equations. Second, by lifting these measures to the Fjordholm–Mishra–Weber framework, we show that, provided the structure-function scaling holds uniformly, the vanishing viscosity limit satisfies the multi-point statistical Euler hierarchy. Unconditionally, we establish weak-strong uniqueness of the limit measures on the interval of existence of a strong Euler solution, and under explicit scaling assumptions, we formally derive a fractional 1-Wasserstein convergence rate of approximately $0.5$. Our method enables the first three-dimensional computations of time-dependent statistical solutions along the inviscid limit of the incompressible Navier–Stokes equations. Numerical experiments on a randomized Taylor–Green vortex with 24-dimensional initial uncertainty successfully recover Kolmogorov’s K41 scaling for energy spectra and structure functions, exhibit the failure of pathwise strong convergence, and are consistent with the predicted Wasserstein convergence rate. Finally, based on error measurements with respect to spectral hyperviscosity computations, we provide numerical evidence for the universality of statistical solutions of the incompressible Euler equations.

12. 核范数最小化IRLS的紧控制与收敛速率

Tight Majorizations and Convergence Rates of Nuclear Norm Minimization IRLS

作者: Christian Kümmerle, Tomas Masak, Dominik Stöger

类别: cs.LG, math.NA, math.OC

发布日期: 2026-08-24

arXiv ID: 2608.23765v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.23765v1

摘要: Iteratively reweighted least squares (IRLS) methods constitute a natural approach to nuclear norm minimization, but their convergence rates and the role of the weight operator have remained poorly understood. This paper establishes sharp convergence rates for IRLS methods for constrained nuclear norm minimization in low-rank recovery. A central ingredient is a new majorization analysis for the smoothed nuclear norm: we prove that the harmonic-mean weight operator defines a valid global quadratic majorizer. Furthermore, we show that this weight operator is optimal within the family of power-mean weights, clarifying why it improves over classical one-sided reweighting schemes that use only row- or column-space information. Under a Schatten-1 null space property, we prove global linear convergence of IRLS algorithms using a variety of weight operators, including the harmonic-mean weights. For IRLS with harmonic-mean weights, we prove a dimension-independent, locally linear convergence rate. We provide a counterexample showing that this dimension-independent local rate cannot in general be obtained for IRLS algorithms using one-sided weight operators, which predominate in the literature. Numerical experiments corroborate the theoretical results and illustrate the practical advantage of harmonic-mean reweighting across square, rectangular, and adversarially initialized recovery problems.

13. 隔膜几何中线性弹性问题的最小二乘RBF-PU方法

The least squares RBF-PU method for linear elasticity in the diaphragm geometry

作者: Andreas Michael, Elisabeth Larsson, Pierre-Frédéric Villard, Davoud Mirzaei

类别: math.NA

发布日期: 2026-08-24

arXiv ID: 2608.23718v1

链接: http://arxiv.org/abs/2608.23718v1

摘要: The human diaphragm is vital for respiration and its simulation can aid in further understanding complications arising in individuals that have been subjected to mechanical ventilation. The diaphragm geometry is very thin and hence its numerical simulation poses a challenge for most numerical methods. In this paper, we compute the deformation of real diaphragm geometries which are modelled as linearly elastic and are subject to realistic boundary conditions. The method used is the unfitted least-squares radial basis function partition of unity method, which is well suited to solve problems on thin geometries given its unfitted nature and the shape and refinement of the cylindrical patches that are used. We derive a theoretical proof showing that the method converges with high order to the solution of this problem.

重点关注论文（完整分析）#

1. 准周期 Hamilton–Jacobi 方程的高精度数值均匀化框架#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

2. 亚波长介质散射的非线性模态约化#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

3. 椭圆界面问题的四边形与六面体浸没有限元方法#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

了解领域论文（摘要翻译）#

1. 基于神经矩阵算子的实时反演求解#

摘要翻译#

2. $p$-Laplace 方程的物理信息神经网络的稳健训练与严格误差分析#

摘要翻译#

3. 块Toeplitz矩阵的条件数与波动方程和薛定谔方程的时空等几何分析逼近的稳定性#

摘要翻译#

4. 一种无网格多分辨率深度能量方法及其在脆性断裂相场建模中的应用#

摘要翻译#

5. 面向Cahn-Hilliard方程的保结构广义可迁移神经网络#

摘要翻译#

6. 与弹性复形相关的向量值链/上链复形#

摘要翻译#

7. PWDG-UWVF 等价性再探#

摘要翻译#

不相关论文（基本信息）#

1. 微磁模拟中线性系统的高效埃尔米特与斜埃尔米特分裂方法#

2. 用于平面波密度泛函理论的随机化块Davidson特征求解器#

3. 聚合物生产工厂中具有强制联产的耦合感知销售与运营计划#

4. Samplet压缩用于条件正定核和通用Kriging#

5. 带块三角预条件子的预处理对称多重鞍点矩阵的特征值界#

6. 三维具有$p$-Laplacian黏性的磁流体动力学有限元方法的稳定性、收敛性和误差分析#

7. Strang猜想：强可坍缩复形的正面结果及验证猜想的代码#

8. 自由边界DCIS模型中非线性项的无导数恢复#

9. 间歇性与孤立拓扑转变的尖锐-弥散界面模型#

10. 新型高效隐式-显式延迟校正方法#

11. 计算三维Navier-Stokes方程的统计欧拉极限#

12. 核范数最小化IRLS的紧控制与收敛速率#

13. 隔膜几何中线性弹性问题的最小二乘RBF-PU方法#

重点关注论文（完整分析）

1. 准周期 Hamilton–Jacobi 方程的高精度数值均匀化框架

1. 研究对象和背景

2. 主要定理或主要结果

3. 研究方法、关键技术和核心工具

4. 与之前工作的比较

2. 亚波长介质散射的非线性模态约化

1. 研究对象和背景

2. 主要定理或主要结果

3. 研究方法、关键技术和核心工具

4. 与之前工作的比较

3. 椭圆界面问题的四边形与六面体浸没有限元方法

1. 研究对象和背景

2. 主要定理或主要结果

3. 研究方法、关键技术和核心工具

4. 与之前工作的比较

了解领域论文（摘要翻译）

1. 基于神经矩阵算子的实时反演求解

摘要翻译

2. $p$-Laplace 方程的物理信息神经网络的稳健训练与严格误差分析

摘要翻译

3. 块Toeplitz矩阵的条件数与波动方程和薛定谔方程的时空等几何分析逼近的稳定性

摘要翻译

4. 一种无网格多分辨率深度能量方法及其在脆性断裂相场建模中的应用

摘要翻译

5. 面向Cahn-Hilliard方程的保结构广义可迁移神经网络

摘要翻译

6. 与弹性复形相关的向量值链/上链复形

摘要翻译

7. PWDG-UWVF 等价性再探

摘要翻译

不相关论文（基本信息）

1. 微磁模拟中线性系统的高效埃尔米特与斜埃尔米特分裂方法

2. 用于平面波密度泛函理论的随机化块Davidson特征求解器

3. 聚合物生产工厂中具有强制联产的耦合感知销售与运营计划

4. Samplet压缩用于条件正定核和通用Kriging

5. 带块三角预条件子的预处理对称多重鞍点矩阵的特征值界

6. 三维具有$p$-Laplacian黏性的磁流体动力学有限元方法的稳定性、收敛性和误差分析

7. Strang猜想：强可坍缩复形的正面结果及验证猜想的代码

8. 自由边界DCIS模型中非线性项的无导数恢复

9. 间歇性与孤立拓扑转变的尖锐-弥散界面模型

10. 新型高效隐式-显式延迟校正方法

11. 计算三维Navier-Stokes方程的统计欧拉极限

12. 核范数最小化IRLS的紧控制与收敛速率

13. 隔膜几何中线性弹性问题的最小二乘RBF-PU方法