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1. 磁感应断层成像中支撑恢复的一种因子分解方法

A Factorization Method for Support Recovery in Magnetic Induction Tomography

作者: Junqing Chen, Chengzhe Jiang

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18235v1

摘要翻译: 我们针对涡流区域下的磁感应断层成像建立了一个因子分解框架。感应电流密度由无散度电流矢量势表示，外部激励由观测球面上的磁偶极子密度表示。这一选择揭示了近场算子的一种自然物理因子分解，将其分解为数据算子、内部边界响应算子及其伴随对应算子。通过在通量空间上引入 Riesz 映射，我们将该因子分解重述于 Hilbert 空间框架中，从而得到一个具有强制中间因子的半正定算子。Douglas 值域定理随后将该耗散算子平方根的值域与数据算子的值域等同起来。对于具有正则边界的夹杂物，这一值域恒等式给出了电导率支撑的唯一性定理。该刻画导出了一个非迭代谱指示器，其基于由近场数据矩阵的 Hermitian 虚部计算得到的正则化 Picard 商。重构阶段不需要正问题求解。数值实验证实，该指示器能够准确定位并分离夹杂物，在噪声增大时平缓退化，并且无需任何凸性先验即可捕捉非凸支撑几何。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18235v1

1. 研究对象和背景

本文研究磁感应断层成像(MIT)在涡流近似下的时谐逆问题. 设未知导电区域 $D\Subset B_R\subset\mathbb R^3$, 其中 $B_R$ 是半径 $R$ 的球, $\Gamma_R=\partial B_R$ 同时作为测量与激励球面. 导电率 $\sigma\in L^\infty(\mathbb R^3)$ 支在 $D$ 上, 即 $\sigma(x)=0$ 于 $\mathbb R^3\setminus D$, 且 $0<\sigma_0\le\sigma(x)\le\sigma_1<\infty$ 于 $D$. 磁导率 $\mu>0$ 在全空间为常数. 时间约定为 $e^{-i\omega t}$, 频率 $\omega>0$. 全空间涡流模型为

$$\operatorname{curl} E=i\omega\mu H,\quad \operatorname{curl} H=J_0+\sigma E\quad \text{in }\mathbb R^3,$$

$$E(x)=O(|x|^{-1}),\quad H(x)=O(|x|^{-1}),\quad |x|\to\infty.$$

其中源电流 $J_0$ 无散, 紧支且支集与 $D$ 不交. 消去磁场后等价地有

$$\operatorname{curl}\mu^{-1}\operatorname{curl} E-i\omega\sigma E=i\omega J_0\quad \text{in }\mathbb R^3,\quad \operatorname{div} E=0\quad \text{in }\mathbb R^3\setminus D,$$

并伴随无穷远衰减条件. 背景场 $(E_0,H_0)$ 对应 $\sigma=0$, 在 $D$ 附近入射磁场满足 $\operatorname{curl} H_0=0$, $\operatorname{div} H_0=0$, 因而可写成 $H_0=\nabla h$, 其中 $\Delta h=0$ 于 $D$. 本文考虑测量由 $\Gamma_R$ 上的磁偶极密度生成, 数据是远离导体的近场磁场. 感应电流为 $J=\sigma E$, 因 $\sigma$ 在 $D$ 外为零, 可视为支在 $D$ 上的函数. 由 $\operatorname{div} J_0=0$ 可得 $\operatorname{div} J=0$ 于 $D$, 且 $J\cdot n=0$ 于 $\partial D$. 在几何假设下, 存在唯一电流向量势 $M$ 使得 $J=\operatorname{curl} M$, 其中

$$A_D=\{M\in H_0(\operatorname{curl},D)\cap H(\operatorname{div},D):\operatorname{div} M=0\},$$

且 $M\times n=0$ 于 $\partial D$. 该表示把全空间问题约化为 $D$ 内的变分问题, 外部感应场仅通过法向通量 $q=M\cdot n$ 依赖内部未知量. 定义通量空间

$$X_D=\gamma_n(A_D)=\{M\cdot n: M\in A_D\},$$

并赋予商范数 $\|q\|_{X_D}=\inf_{M\in A_D, M\cdot n=q}\|M\|_{A_D}$. 于是 $X_D$ 是 Hilbert 空间, 且连续嵌入 $X_D\hookrightarrow H^{-1/2}(\partial D)$, 但一般没有简单的 Sobolev 空间刻画. 近场数据算子由

$$G_D:X_D\to Y=L^2(\Gamma_R)^3,\quad G_Dq=-\nabla S_{\partial D}q|_{\Gamma_R}$$

给出, 其中 $S_{\partial D}$ 是单层位势. 对应的弱问题是求 $M_f\in A_D$ 使得

$$a_D(M_f,V)=(f,V\cdot n)_{X_D},\quad \forall V\in A_D,$$

其中

$$a_D(M,V)=\frac{1}{i\omega\mu}(\rho\operatorname{curl} M,\operatorname{curl} V)_D-(M,V)_D+V_D(M\cdot n,V\cdot n),$$

$\rho=\sigma^{-1}$, 且

$$V_D(q,r)=\int_{\partial D}\left(\int_{\partial D}\Phi(x,y)q(y)dS_y\right)r(x)dS_x,\quad \Phi(x,y)=\frac{1}{4\pi|x-y|}.$$

该模型的重要性在于 MIT 不使用电极, 适用于生物医学成像与工业无损检测, 但低频涡流逆问题严重不适定. 实际重建通常迭代最小化正则化数据失配, 需要反复大规模正演, 且对初值与正则化敏感. 因此非迭代定性方法, 即直接方法, 具有吸引力: 它们不重建完整 $\sigma$, 而是判断采样点是否位于未知导体支撑内. 已有直接方法包括线性采样法, 因子分解法, 反向时间迁移, 直接采样法等; 在 MIT 专门方向上, 已有小导电目标的渐近公式与 MUSIC 型定位, 轴对称近场线性采样, 瞬态涡流形状唯一检测, 作者先前提出的 MIT 直接采样法, 以及基于单调性原理的方法. 然而, 据作者所述, 针对 MIT 时谐涡流近场算子的因子分解法尚未建立. 本文正是补这一空白: 在常磁导率, 导电率支在未知有界区域 $D$ 的时谐涡流近场模型下, 建立因子分解框架, 证明支撑唯一性, 并由此构造非迭代谱指示器.

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果可分为适定性, 因子分解与 range 恒等式, 支撑唯一性, 以及数值指标四个层面. 第一, 命题 2.1 给出弱问题的适定性. 假设 $D$ 是有界 Lipschitz 开集, 具有限个连通分量 $D_1,\dots,D_N$, 每个分量单连通且边界连通, 并假设 $0<\sigma_0\le\sigma\le\sigma_1<\infty$. 则对任意 $f\in X_D$, 问题

$$a_D(M_f,V)=(f,V\cdot n)_{X_D},\quad \forall V\in A_D$$

存在唯一解 $M_f\in A_D$, 且满足稳定性估计

$$\|M_f\|_{A_D}\le C\|f\|_{X_D}.$$

证明的关键是旋转形式 $\tilde a_D=i a_D$ 的强制性与 Lax–Milgram 定理. 具体地, 利用

$$(\operatorname{curl} S_DM,\operatorname{curl} M)_D\in\mathbb R$$

以及

$$a_D(M,V)=\frac{1}{i\omega\mu}(\rho\operatorname{curl} M,\operatorname{curl} V)_D-(M,V)_D+V_D(M\cdot n,V\cdot n),$$

得到

$$\operatorname{Re}(i a_D(M,M))=\frac{1}{\omega\mu}\int_D\rho|\operatorname{curl} M|^2dx\ge\frac{1}{\omega\mu\sigma_1}\|\operatorname{curl} M\|^2_{L^2(D)}.$$

再结合 $A_D$ 上的 Maxwell 估计 $\|M\|_{A_D}\le C\|\operatorname{curl} M\|_{L^2(D)}$ 即可. 第二, 数据算子 $G_D:X_D\to Y=L^2(\Gamma_R)^3$ 由 $G_Dq=-\nabla S_{\partial D}q|_{\Gamma_R}$ 定义. 由于 $\operatorname{dist}(\partial D,\Gamma_R)>0$ 且 $X_D\hookrightarrow H^{-1/2}(\partial D)$ 连续, $G_D$ 有界且紧. 对磁偶极密度 $m\in Y$, 其生成的自由空间磁标量势为

$$h_m(y)=\int_{\Gamma_R}m(x)\cdot\nabla_y\Phi(x,y)dS_x,\quad y\in D,$$

在 $D$ 的邻域内调和. 通过

$$(m,G_Dq)_Y=\int_{\partial D}h_m q\,dS$$

可识别反对偶伴随 $G_D^*:Y\to X_D'$ 为

$$G_D^*m=\ell_{h_m},\quad \ell_{h_m}(q)=\int_{\partial D}h_m q\,dS.$$

Hilbert 伴随 $G_D^\dagger:Y\to X_D$ 则由 Riesz 映射 $R_D:X_D\to X_D'$ 联系, 满足

$$(G_D^\dagger m,q)_{X_D}=(m,G_Dq)_Y.$$

第三, 论文建立近场算子的物理因子分解. 文中给出的形式为

$$F_D=G_D B_D G_D^*,$$

其中 $B_D$ 是内部边界响应算子, $G_D^*$ 是反对偶伴随. 通过通量空间 $X_D$ 上的 Riesz 映射把对偶伴随与 Hilbert 伴随分离, 作者把该分解提升为 Hilbert 空间中的正因子分解

$$\operatorname{Im} F_D=G_D P_D G_D^\dagger,$$

其中 $P_D$ 是正半定算子, 且中间因子具有强制性. 随后应用 Douglas 值域定理, 得到本文的核心 range 恒等式

$$\operatorname{Range}\left((\operatorname{Im} F_D)^{1/2}\right)=\operatorname{Range}(G_D).$$

该恒等式把不可直接观测的近场算子虚部的平方根值域与数据算子的值域等同起来. 第四, 对具有正则边界的夹杂, 上述 range 恒等式给出导电支撑的唯一性定理. 具体地, 当 $D$ 的连通分量属于 $C^{1,1}$ 类或为凸集时, 有逐点刻画

$$a\in D\iff \varphi_{a,p}\in\operatorname{Range}\left((\operatorname{Im} F_D)^{1/2}\right),$$

其中 $\varphi_{a,p}$ 是偶极采样场. 因此, 导电支撑 $D$ 由磁近场算子唯一确定. 从提供内容中无法确认 $\varphi_{a,p}$ 的完整定义以及附加正则性条件 (P1)–(P2) 的具体形式, 但作者明确把它们用于从 range 恒等式过渡到逐点支撑判别. 第五, 基于该刻画, 作者提出一种非迭代谱指示器. 该指示器使用近场数据矩阵的 Hermitian 虚部 $\operatorname{Im} F_D$, 并计算一个正则化 Picard 商. 重建阶段不需要求解正演问题. 摘要声称数值实验表明该指示器能够准确局部化并分离夹杂, 在噪声增强时性能优雅退化, 并且无需凸性先验即可捕捉非凸支撑几何. 不过, 提供的 PDF 文本主要截至近场算子定义与伴随构造部分, 未包含第 5 节数值实验的矩阵规模, 噪声水平, 误差指标, 正则化参数选取和具体重建图像, 因此这些数值结论只能按摘要陈述, 无法从提供内容进一步核实.

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的技术障碍在于: MIT 的时谐涡流近场算子定义在无界区域上, 且本质非自伴; 因子分解法通常需要构造一个具有强制性中间因子的正算子分解, 以便应用 Douglas 值域定理; 而 MIT 中直接可测的近场算子并不天然具有这种结构. 作者的真正创新点不是简单套用因子分解法, 而是通过电流向量势, 法向通量空间和 Riesz 映射, 把物理上的边界响应分解提升为 Hilbert 空间中的正因子分解. 具体技术路线如下. 第一, 无散电流向量势表示. 由 $J=\sigma E$, 在 $D$ 内 $\operatorname{div} J=0$ 且 $J\cdot n=0$ 于 $\partial D$. 在拓扑假设下, 每个连通分量单连通且边界连通, 存在唯一 $M\in A_D$ 使得 $J=\operatorname{curl} M$, 且 $M\times n=0$ 于 $\partial D$. 这一表示把全空间涡流问题转化为 $D$ 内关于 $M$ 的变分问题, 外部场仅通过 $q=M\cdot n$ 依赖内部未知量. 第二, 建立非局部项的边界表示. 作者证明关键恒等式

$$\operatorname{div}_x S_DM(x)=-S_{\partial D}q_M(x),\quad x\in D,$$

以及

$$\operatorname{curl}\operatorname{curl} S_DM=-\nabla S_{\partial D}q_M+M\quad \text{in }D.$$

利用 $V\times n=0$ 与 $\operatorname{div} V=0$, 得到

$$(\operatorname{curl} S_DM,\operatorname{curl} V)_D=(M,V)_D-V_D(q_M,q_V),$$

其中

$$V_D(q,r)=\int_{\partial D}\left(\int_{\partial D}\Phi(x,y)q(y)dS_y\right)r(x)dS_x.$$

该恒等式是弱形式改写和强制性的核心. 第三, 引入法向通量空间 $X_D$ 与商 Hilbert 结构. $X_D=\gamma_n(A_D)$ 配备商范数, 因而是 Hilbert 空间, 并连续嵌入 $H^{-1/2}(\partial D)$. 这一选择的微妙之处在于: 测量数据自然产生 $X_D'$ 中的反对偶泛函, 而因子分解的 range 定理需要在 Hilbert 空间中使用真正的 Hilbert 伴随. 作者引入 Riesz 映射 $R_D:X_D\to X_D'$, 满足 $\langle R_Df,q\rangle_{X_D',X_D}=(f,q)_{X_D}$, 从而把反对偶伴随 $G_D^*$ 与 Hilbert 伴随 $G_D^\dagger$ 区分并相互转换. 这是证明能够闭合的关键技术步骤. 第四, 适定性与强制性的证明. 对 $M\in A_D$, 由于

$$(\operatorname{curl} S_DM,\operatorname{curl} M)_D=\|M\|^2_{L^2(D)}-V_D(q_M,q_M)\in\mathbb R,$$

旋转形式 $i a_D$ 的实部只留下耗散项:

$$\operatorname{Re}(i a_D(M,M))=\frac{1}{\omega\mu}\int_D\rho|\operatorname{curl} M|^2dx.$$

又因 $H_D=\{U\in H_0(\operatorname{curl},D):\operatorname{curl} U=0,\operatorname{div} U=0\}=\{0\}$, 有 $\|M\|_{A_D}\le C\|\operatorname{curl} M\|_{L^2(D)}$. 于是 $i a_D$ 在 $A_D$ 上强制, 结合 Lax–Milgram 定理得到唯一解与稳定性. 第五, 数据算子及其伴随. 作者定义 $G_Dq=-\nabla S_{\partial D}q|_{\Gamma_R}$, 并证明其有界紧. 对 $m\in Y$, 由 $h_m(y)=\int_{\Gamma_R}m(x)\cdot\nabla_y\Phi(x,y)dS_x$ 计算

$$(m,G_Dq)_Y=\int_{\partial D}h_m q\,dS,$$

因而 $G_D^*m=\ell_{h_m}$ 是边界泛函. Hilbert 伴随 $G_D^\dagger$ 通过 $(G_D^\dagger m,q)_{X_D}=(m,G_Dq)_Y$ 定义, 并由 Riesz 映射与 $G_D^*$ 联系. 第六, 物理因子分解与 Riesz 提升. 物理上, 近场算子写成

$$F_D=G_D B_D G_D^*,$$

其中 $B_D$ 是内部边界响应算子. 但该分解中 $G_D^*$ 取值于对偶空间, 不能直接应用 Hilbert 空间算子值域定理. 作者用 $R_D$ 把 $B_D$ 提升为 $P_D$, 得到

$$\operatorname{Im} F_D=G_D P_D G_D^\dagger,$$

并证明 $P_D$ 正半定且具有强制性. 这一步把物理因子分解转化为 Douglas 值域定理可用的形式. 第七, 应用 Douglas 值域定理. 该定理给出

$$\operatorname{Range}\left((\operatorname{Im} F_D)^{1/2}\right)=\operatorname{Range}(G_D).$$

随后, 对 $C^{1,1}$ 或凸的连通分量, 作者利用附加正则性条件 (P1)–(P2) 证明偶极采样场 $\varphi_{a,p}$ 属于 $G_D$ 的值域当且仅当 $a\in D$, 从而得到支撑唯一性. 从提供内容中无法确认 (P1)–(P2) 的具体内容以及该逐点判别的完整证明细节. 第八, 离散谱指示器. 基于 range 恒等式, 作者在有限维中计算 $\operatorname{Im} F_D$ 的正则化 Picard 商, 构造非迭代指示器. 由于只需要数据矩阵的 Hermitian 虚部和谱分解, 重建阶段不需要正演求解. 但具体正则化策略, 谱截断准则和离散矩阵组装方式未在提供的 PDF 片段中展开.

4. 与之前工作的比较

与既有工作相比, 本文的推进可以从四条线索理解. 第一, 与一般因子分解法和直接采样法相比. 因子分解法由 Kirsch 等人在逆散射中提出, 后来推广到 Maxwell 散射, 电阻抗断层成像和低频电磁成像. 文中特别提到 Colton–Kirsch 的线性采样法, Kirsch 的因子分解法, Brühl 对 EIT 的推广, 以及 Gebauer–Hanke–Schneider 对低频电磁成像的处理. 本文的差别在于对象是 MIT 的时谐涡流近场算子, 而不是声散射或全 Maxwell 远场. 由于 MIT 数据位于导电体外部球面 $\Gamma_R$ 上, 近场算子不是标准远场算子; 作者通过电流向量势和通量空间把问题化为 $D$ 内变分问题, 再用 Riesz 映射构造正因子分解. 因此本文补上了作者所称的空白: 因子分解法尚未针对 MIT 时谐涡流近场算子建立. 第二, 与 MIT 专门的非迭代方法相比. 文中列举了 Ammari 等基于导电极化张量的渐近公式与 MUSIC 型定位算法, 这类方法通常针对小导电目标; Haddar–Riahi 的近场线性采样法针对轴对称配置; Arnold–Harrach 证明瞬态涡流的形状唯一检测, 并把构造性判据与因子分解法相联系; 作者先前在 [7] 中提出 MIT 的直接采样法; 此外还有 Tamburrino–Rubinacci 的单调性原理方法, 后被推广到磁准静态 regime, 通过无源时间常数和 Laplace 域传递算子的单调性实现. 本文与这些工作的关键差别是: 它不依赖小目标渐近, 不要求轴对称, 不是瞬态模型, 而是时谐涡流近场模型; 它给出的是 range 恒等式和支撑唯一性, 而不是仅采样指示器或单调性判据. 代价是需要在 $D$ 上施加拓扑条件: 每个连通分量有界 Lipschitz, 单连通, 边界连通, 从而排除绝缘腔和 handle 型分量; 唯一性还要求连通分量为 $C^{1,1}$ 或凸. 第三, 与迭代 MIT 重建相比. 迭代法最小化正则化数据失配, 可融入先验信息和真实线圈模型, 但需要反复大规模正演, 对初值和正则化敏感. 本文的重建阶段不需要正演求解, 只需构造近场数据矩阵的 Hermitian 虚部并计算正则化 Picard 商, 因此计算模式是非迭代的. 但代价是它只恢复导电支撑, 不重建完整电导率分布; 定量信息可能丢失. 此外, 从提供内容中无法确认该指标在大规模三维问题上的实际计算复杂度和内存需求. 第四, 与单调性原理方法相比. 单调性方法基于源无关时间常数或 Laplace 域传递算子的单调性, 通常不需要因子分解的 range 结构; 本文则基于 Douglas 值域定理, 通过 $\operatorname{Im} F_D$ 的平方根值域刻画支撑. 两类方法都可能给出唯一性, 但本文的假设和适用频率 regime 不同: 本文是时谐涡流近场, 常磁导率, 导电率支在 $D$; 单调性方法覆盖电阻抗和磁准静态等. 文中没有给出与单调性方法的数值比较或分辨率比较, 因此从提供内容中无法确认两者在实际重建中的优劣. 第五, 与作者先前 MIT 直接采样法 [7] 相比. 本文明确采用因子分解框架, 而不是直接采样; 核心新意是发现物理因子分解 $F_D=G_D B_D G_D^*$, 并通过 Riesz 映射得到 $\operatorname{Im} F_D=G_D P_D G_D^\dagger$, 进而用 Douglas 值域定理证明 range 恒等式. 这比单纯构造指示器更强, 因为它提供了支撑唯一性. 但本文的数值实验只声称能定位, 分离夹杂, 噪声下优雅退化并处理非凸几何; 未提供与 [7] 或单调性方法的误差对比. 最后, 需要指出作者在文中对前人工作的比较主要是定位式引用, 没有逐项展开假设差异, 时间尺度推进和代价分析. 例如, 文中提到小目标方法, 轴对称线性采样, 瞬态涡流唯一性和单调性方法, 但没有详细讨论本文方法在分辨率极限, 噪声稳定性理论, 正则化参数选择方面与它们的定量差别. 从提供内容中无法确认这些比较是否在未提供的后续章节中给出.

2. 双周期粗糙表面上方向性接触角滞后区间的区域分解方法

A domain decomposition method for the directional contact angle hysteresis interval on doubly periodic rough surfaces

作者: Zijie Lin, William M Feldman, Braxton Osting

类别: math.AP, math.NA, physics.comp-ph

发布日期: 2026-09-15

arXiv ID: 2609.17811v1

摘要翻译: 我们研究三维双周期粗糙表面上的润湿。尽管液-气界面以局部杨氏角与固体接触，但微观尺度粗糙度可导致宏观表观角与该值有显著差异。我们根据与钉扎微观构型相关的表观角来表述方向性接触角滞后（CAH）区间。为近似其后退和前进端点，我们将毛细平均曲率流（CMCF）演化至极值稳态。计算这些状态是困难的，因为产生滞后的钉扎是在粗糙度尺度上产生的，而表观角仅在宏观尺度上有意义，因此单一均匀网格必须同时解析两者。因此，我们引入一种基于 Schwarz 分解的双尺度交替（TSA）方法：Merriman-Bence-Osher (MBO) 扩散生成格式解析接触线近区，而线性化极小曲面问题更新远区。对于一个理想化参考迭代，我们证明近似界面能量的衰减。在代表性双周期表面上的数值实验表明，一个强各向异性的 CAH 区间，其宽度随接触线取向的变化超过三倍，并在对角方向附近急剧变化。由于稳态液滴必须以该区间内的表观角与固体接触，计算得到的各向异性约束了该表面能够支撑哪些宏观润湿区域；这与一个边与对角方向对齐的类方形稳态液滴一致。

Comment: 33 pages, 15 figures

链接: http://arxiv.org/abs/2609.17811v1

1. 研究对象和背景

本文研究三维空间中双周期粗糙表面上的润湿问题. 设区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, $n=2,3$, 被分为液体区域 $L$、蒸汽区域 $V$ 与固体区域 $S$, 即 $\Omega=L\cup V\cup S$. 相应界面记为 $\Sigma_{LV}=\partial L\cap\partial V$, $\Sigma_{SL}=\partial S\cap\partial L$, $\Sigma_{SV}=\partial S\cap\partial V$, 接触线记为 $\Gamma_{SLV}=\partial S\cap\partial L\cap\partial V$. 设固体-液体、固体-蒸汽与液体-蒸汽界面能密度分别为 $\gamma_{SL}(x)$, $\gamma_{SV}(x)$ 与 $\gamma_{LV}$. 系统平衡态是总界面能

$$E(L,V;\Omega)=\gamma_{LV}|\Sigma_{LV}|+\int_{\Sigma_{SL}}\gamma_{SL}(x)\,dx+\int_{\Sigma_{SV}}\gamma_{SV}(x)\,dx$$

在体积约束或其它侧条件之下的临界点. 在体积约束下, 经典变分计算给出毛细自由边界问题

$$\kappa_{LV}=p\quad \text{on }\Sigma_{LV},\qquad \theta_{SLV}(x)=\theta_Y(x)\quad x\in\Gamma_{SLV},$$

其中 $\kappa_{LV}$ 是液体-蒸汽界面的平均曲率, $p$ 是体积约束对应的 Lagrange 乘子, 而 $\theta_{SLV}(x)=\angle(n_{SL}(x),n_{LV}(x))$ 是局部 Young 角. Young 角由

$$\cos\theta_Y(x)=\frac{\gamma_{SV}(x)-\gamma_{SL}(x)}{\gamma_{LV}}$$

给出. 若固体表面理想光滑且均匀, 静止液滴在接触线处满足 Young 角条件. 然而真实固体常有微尺度粗糙或化学异质, 使得接触线在小尺度上被钉扎, 宏观表观接触角 $\theta_{app}(x)=\angle(\bar n_{LV}(x),\bar n_{SL}(x))$ 可以显著偏离 $\theta_Y$. 这里 $\bar n_{LV}$ 与 $\bar n_{SL}$ 是宏观平均后的法向. 这种允许表观角在一个区间内变化的性质就是接触角滞后, 区间记为 $[\theta_{rec},\theta_{adv}]$, 端点分别称为后退角与前进角. 接触角滞后是润湿现象中的基本性质, 影响微结构表面上的液滴吸入、自清洁表面设计、喷墨打印、生物微阵列以及液滴蒸发模式等.

本文关注粗糙度导致的方向性接触角滞后. 对于 $\mathbb{Z}^2$ 周期粗糙表面, 方向性 CAH 区间独立于宏观位置 $x$, 只依赖接触线宏观法向方向 $k$. 作者将经典接触角条件松弛为区间约束

$$\kappa_{LV}=p\quad \text{on }\Sigma_{LV},\qquad \theta_{app}(x)\in[\theta_{rec}(\bar n_{SL}(x)),\theta_{adv}(\bar n_{SL}(x))]\quad x\in\Gamma_{SLV}.$$

在接触线附近以 $x/\varepsilon$ 作尺度伸缩, 主导阶分析给出近区问题

$$\kappa_{LV}=0\quad \text{on }\Sigma_{LV},\qquad \theta_{SLV}(x)=\theta_Y(x)\quad x\in\Gamma_{SLV}.$$

考虑固体区域 $S=\{x=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:z\le\psi(x,y)\}$, 其中 $\psi$ 是 $\mathbb{Z}^2$ 周期函数, 并令 $\Pi=\{z>\psi(x,y)\}$. 设 $k(x)=-\bar n_{SL}(x)|_{\mathbb{R}^2}$ 为宏观外法向的平面分量. 作者称 $\theta$ 为关于 $k$ 的钉扎角, 若存在 (3) 的解, 使液体区域 $L$ 满足夹逼条件

$$\{x\in\Pi:k\cdot(x,y)+z\cot\theta<-C_0\}\subset L\subset\{x\in\Pi:k\cdot(x,y)+z\cot\theta 对某个 $C_0>0$ 成立, 即 $\Sigma_{LV}$ 被夹在两平行平面之间. 所有这样的 $\theta$ 组成集合 $\Theta_p(k)$. 作者猜想 $\Theta_p(k)$ 是闭区间, 并定义 $\theta_{rec}(k)=\min\Theta_p(k)$, $\theta_{adv}(k)=\max\Theta_p(k)$. 当 $\psi$ 光滑时, 作者进一步猜想 $\Theta_p(k)\subset(0,\pi)$, 即前进角与后退角不退化为完全润湿或完全去湿. 这些猜想在本文中并未被严格证明.

为计算这些极值稳态, 作者引入毛细平均曲率流

$$V_n=\kappa\quad \text{on }\Sigma_{LV},\qquad \theta_{SLV}(x)=\theta_Y(x)\quad x\in\Gamma_{SLV},$$

其中 $V_n$ 是界面法向速度. 在远离接触线处, 界面按平均曲率流演化; 在接触线处强制满足 Young 角条件. 本文主要研究由表面粗糙度而非化学异质性导致的滞后, 因此常取 $\theta_Y(x)=\theta_Y$ 为常数. CMCF 的稳态与全流体动力学模型的稳态一致, 因此可用于逼近最大与最小稳态, 从而逼近 $\theta_{adv}$ 与 $\theta_{rec}$. 已有文献中, Joanny 与 de Gennes 提出基于局部表面异质性的早期 CAH 模型; 均质化理论给出粗糙或化学异质表面上的有效宏观能量密度以及 Wenzel 型与 Cassie 型规律; 在部分线性化图形模型中, 钉扎角集合及其各向异性已有详细研究; CAH 区间的跳跃不连续与润湿集合的 faceting 有关; 数值上, 相场模型曾用于研究化学图案表面上的黏滑行为; MBO 扩散生成方法及其能量形式被广泛用于平均曲率流, Xu 等人也发展了满足 Young 角条件的毛细问题变体. 然而, 一般三维粗糙表面上 CAH 的严格数学刻画仍是挑战, 而计算上又存在本质困难: 产生滞后的钉扎发生在粗糙度尺度 $O(\varepsilon)$, 而定义 CAH 的表观角只在宏观尺度 $O(1)$ 有意义. 单一均匀网格必须同时解析这两个尺度, 当 $\varepsilon\to0$ 时计算代价迅速变得不可行. 动态 CAH 的多尺度展开与平均方法已在二维化学非均匀表面上导出有效边界条件, 但推广到一般三维粗糙或化学非均匀表面仍困难. 因此, 本文试图填补的空白是: 为双周期粗糙表面上的方向性 CAH 区间建立可计算 formulation, 并发展能够同时处理微观钉扎与宏观表观角的多尺度区域分解算法.

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果可分为三类: CAH 区间的 formulation、近似算法与能量衰减证明、以及数值实验中的各向异性发现. 首先, 作者对双周期粗糙表面定义方向性 CAH 区间, 将 $\theta_{rec}(k)$ 与 $\theta_{adv}(k)$ 分别表征为毛细平均曲率流 (5) 的极值稳态所对应的表观接触角. 严格来说, 作者定义的是钉扎角集合 $\Theta_p(k)$, 并猜想它构成闭区间 $[\theta_{rec}(k),\theta_{adv}(k)]$; 在光滑 $\psi$ 时还猜想 $\Theta_p(k)\subset(0,\pi)$. 这些区间性质在提供文本中属于猜想, 而非已证定理. 作者给出的可计算目标为: 逼近满足远场条件 (4) 的 (3) 的解, 或等价地逼近 CMCF (5) 的极值稳态.

第二, 作者提出两种逼近 CAH 区间的策略. 策略 I 是半空间域中的二分法: 在 $\Pi=\{z>\psi(x,y)\}$ 上求解 CMCF (8), 并在 $z\to\infty$ 施加 Neumann 型远场条件 $N_{LV}\to(\sin\theta\,k,\cos\theta)$. 通过从平面初始数据 $L_\theta$ 出发并观察界面后退、前进或钉扎, 对 $\theta$ 做二分, 从而逼近最大与最小稳态. 策略 II 是有限高度通道中的 CMCF: 令 $\Pi_R=\{\psi(x,y)\max_x\theta_Y(x)$ 与 $\theta_-<\min_x\theta_Y(x)$ 构造角度屏障; 但对一般粗糙表面, 角度屏障是否产生前进或后退解没有理论保证, 实际计算中只能选取远离观测钉扎区间的屏障. 作者还通过数值观察认为二分法比有限高度通道 CMCF 更昂贵, 因此后文采用有限高度通道方法.

第三, 作者提出两尺度交替 (TSA) 方法, 并给出一个理想化参考迭代的能量衰减定理. TSA 基于 Schwarz 区域分解: 将计算域分解为靠近固体表面、具有微观结构的近区, 以及宏观远区. 近区使用 MBO 扩散生成方案演化满足 Young 角条件的 CMCF; 远区则求解线性化极小曲面问题. 远区解由来自扩散生成解的边界数据显式给出, 作者在正文中将其作为 Theorem 2 陈述, 形式为 Fourier 级数解. 关于能量, 作者在 Theorem 3 中声称证明 TSA 方法的一个参考重述的每次迭代都会减少总界面能 (1) 的某个近似. 摘要中的说法是: 对一个理想化参考迭代, 证明近似界面能的衰减. 需要强调, 提供文本只给出了定理的概述, 没有给出 Theorem 3 的精确假设、能量近似表达式、衰减率或不等式细节, 因此从提供内容中无法确认其完整数学陈述. 同样, Theorem 2 的精确 Fourier 级数公式也未在提供内容中展开.

第四, 作者给出一维玩具模型的严格分析, 用以说明钉扎机制并比较两种近似策略. 玩具模型为

$$\dot x=-f(x/\varepsilon)+\alpha,\qquad x(0)=x_0,$$

其中 $f$ 是连续 $1$-周期函数, 值域为 $[a,b]$, $\varepsilon\ll1$. 该系统存在稳态当且仅当 $\alpha\in[a,b]$, 因此钉扎区间为 $[a,b]$. 策略 I 为二分法, 作者证明它以误差 $O(\varepsilon)$ 逼近最大与最小钉扎力, 所需二分迭代次数为 $O(\log\varepsilon^{-1})$. 策略 II 为强制法: 将常数 $\alpha$ 替换为 Lipschitz 连续、严格递减函数 $\alpha(x)$, 并取初始位置使 $\alpha(x_0)>b$. 作者证明当系统达到稳态 $x^\star$ 时, $f(x^\star/\varepsilon)=\alpha(x^\star)$ 且

$$|\alpha(x^\star)-b|=O(\varepsilon).$$

证明使用中值定理: 在 $[x_b,x_b+\varepsilon]$ 中存在 $x_{\max}$ 使 $f(x_{\max}/\varepsilon)=b$, 由 $\alpha$ 的单调性可知 $\alpha-f$ 在 $x_b$ 处非负、在 $x_{\max}$ 处非正, 故存在根 $x^\star$, 且 $|\alpha(x^\star)-b|\le \operatorname{Lip}(\alpha)|x_{\max}-x_b|\le \operatorname{Lip}(\alpha)\varepsilon$. 对最小钉扎力 $a$ 可类似处理. 作者还讨论了时间复杂度: 强制法中每个周期单元若 $|\alpha-b|=O(\delta)$ 需要 $O(\delta^{-1/2})$ 时间穿越, 共有 $O(\delta/\varepsilon)$ 个这样的单元, 对二进尺度 $1\ge\delta\ge\varepsilon$ 求和后总时间复杂度为 $O(\varepsilon^{-1})$. 关于二分法, 提供文本提到误差 $O(\varepsilon)$ 经 $O(\log\varepsilon^{-1})$ 次迭代, 并讨论了穿越近稳态区所需时间; 该处部分指数可能有排版或 OCR 歧义.

第五, 数值实验方面, 作者对代表性双周期粗糙表面

$$z=\psi(x,y)=\varepsilon\sin\frac{x}{\varepsilon}\sin\frac{y}{\varepsilon}$$

计算方向性 CAH 区间. 结果显示出强烈的各向异性: CAH 区间的宽度随接触线方向变化超过三倍, 并在对角方向附近急剧变化. 作者将这种急剧的方向变化称为不连续. 在方向 $\arg k=0$ 处, 作者展示了后退与前进界面及其接触线, 并观察到在靠近不连续的有理方向附近, 接触线出现重叠模式, 提示前进前沿呈类似打字机的转变. 此外, 作者使用 Surface Evolver 找到一个方形似润湿区域, 其接触角落在所计算的各向异性 CAH 区间内, 因而该液滴在 micropatterned 表面上可以静止; 该方形液滴的边沿方向与对角 micropattern 一致, 即边长方向约为 $\pi/4$. 这一数值发现与 CAH 区间在对角方向附近的急剧变化一致. 作者也指出, 由于静止液滴必须以落在 CAH 区间内的表观角与固体相交, 计算得到的各向异性约束了该表面能够支持的宏观润湿区域.

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的核心技术障碍来自尺度分离: 产生滞后与钉扎的粗糙度发生在 $O(\varepsilon)$ 尺度, 而表观接触角只在宏观 $O(1)$ 尺度上有意义. 若使用单一均匀网格, 为了解析接触线附近的微观钉扎, 必须把细网格铺满整个计算域, 当 $\varepsilon\to0$ 时计算量不可接受. 此外, CMCF 的远场条件 (4) 定义在无穷远处, 接触线处又有 Young 角约束, 而目标是寻找极值稳态而非单个稳态. 作者真正的创新不是单独使用 MBO 或单独求解极小曲面, 而是构造两尺度交替 (TSA) 的 Schwarz 区域分解, 使近区与远区各自使用适合其尺度的求解器, 并通过重叠区域交替耦合.

在近区, 作者采用 Merriman-Bence-Osher (MBO) 扩散生成方案. 该方案通过迭代执行扩散步与阈值步来逼近平均曲率流, 其能量形式在 [27] 中发展, 且容易推广到多相问题. 对毛细问题, Xu 等人的变体 [28,29] 在接触线附近强制 Young 角条件. 在本文中, MBO 方案用于求解带 Young 角条件的 CMCF, 即方程 (5), 从而在粗糙度尺度上解析接触线钉扎. 由于计算域旋转后保持 $\mathbb{Z}^2$ 周期性, 扩散步中的卷积可以用快速 Fourier 变换 (FFT) 高效计算. 这是近区方案计算效率的关键.

在远区, 作者利用一个重要的渐近事实: 远离接触线后, 压力项在曲率方程中相对于伸缩后的微观曲率可以忽略, 界面近似为极小曲面. 在远区, 极小曲面的曲率被其线性化很好地近似, 因此作者显式求解线性化极小曲面问题. 给定来自 MBO 扩散生成解的边界数据, 远区解可以写成 Fourier 级数. 作者在 Theorem 2 中陈述了这一显式 Fourier 级数解. 提供文本没有给出其完整公式, 但从算法描述看, 远区更新需要采样 Dirichlet 边界数据, 通过求积计算 Fourier 系数, 再借助 FFT 重构远区极小曲面. 由于只需在重叠区域中重构远区解, 计算量受到控制.

TSA 的整体框架是 Schwarz 交替: 在每一轮迭代中, 近区用 MBO 演化 CMCF, 远区用线性化极小曲面更新, 两者通过重叠区域交换边界数据; 迭代直到满足两级停止准则. 算法首先将计算域旋转, 使传播方向 $k$ 与 $x$ 方向对齐. 旋转被选为有理旋转, 以保持 $\mathbb{Z}^2$ 周期性, 这样 MBO 扩散步中的卷积仍可用 FFT 计算. 远区重构也使用 FFT 求积. 数值实现针对双周期表面 $z=\psi(x,y)=\varepsilon\sin(x/\varepsilon)\sin(y/\varepsilon)$ 进行.

关于能量衰减, 作者将 TSA 方法的一个参考重述写成迭代格式, 并证明每次迭代减少总界面能 (1) 的某个近似, 见 Theorem 3. 这是作者为域分解算法提供理论支撑的主要尝试. 然而, 提供文本只说明了这一结论的存在, 没有给出能量近似的具体定义、耦合边界条件的精确形式、每一步下降的估计或衰减率. 因此, 从提供内容中无法确认 Theorem 3 的完整证明细节和技术假设. 可以确认的是, 作者明确区分了实际算法与理想化参考迭代: 能量衰减是对参考重述证明的, 摘要也称之为 idealized reference iteration.

一维玩具模型的证明则使用了初等动力系统与中值定理. 对强制法, 作者不显式知道 $f$, 只利用其周期性与值域 $[a,b]$. 通过令 $\alpha(x)$ 严格递减, 系统必然穿越近似平衡区域并停在某个 $x^\star$; 再用 $f$ 在 $[x_b,x_b+\varepsilon]$ 上达到最大值 $b$ 以及 $\alpha$ 的 Lipschitz 性质, 得到 $|\alpha(x^\star)-b|=O(\varepsilon)$. 这一证明虽然简单, 但它精确解释了为什么有限高度通道中的 Dirichlet 条件可以替代半空间中的无穷远 Neumann 条件, 并为 CAH 区间的数值逼近提供直觉.

在数值实验中, 作者还使用 Surface Evolver 软件 [32] 寻找与计算得到的各向异性 CAH 区间一致的方形液滴. Surface Evolver 在此处主要作为独立验证工具, 而不是本文提出的算法的一部分. 整体上, 本文方法的技术贡献在于: 用 Schwarz 域分解把多尺度问题拆成近区 MBO 与远区线性化极小曲面; 用有理旋转保持周期性并启用 FFT; 用参考迭代的能量衰减定理为交替格式提供理论依据; 以及在一般粗糙表面情形下, 角度屏障与 CAH 闭区间性质仍留作猜想或经验观察.

4. 与之前工作的比较

与 Joanny 和 de Gennes 的早期 CAH 模型 [11] 以及后续扩展 [12,13] 相比, 本文不从一个简化的局部异质性势能模型出发, 而是直接以毛细自由边界问题、Young 角条件和 CMCF 为出发点, 将方向性 CAH 区间表述为钉扎微态的表观角集合. 因此, 本文推进的是从现象学或简化动力学模型到三维双周期粗糙表面上可计算自由边界问题的转变. 不过, 作者也明确指出, 一般三维粗糙表面上 CAH 的严格数学刻画仍是挑战, 本文对完整毛细问题的闭区间性质只给出猜想.

与粗糙或化学异质表面的均质化理论 [15,16,17,18,19] 相比, 均质化给出有效的宏观能量密度, 解释 Wenzel 型与 Cassie 型规律, 但通常不直接给出方向性 CAH 区间的两个端点. 本文的 CAH 区间依赖接触线宏观法向 $k$, 其端点由 CMCF 的极值稳态决定, 因此本文更接近计算与自由边界分析, 而不是仅导出有效能量. 代价是本文没有给出一般三维粗糙表面的有效宏观方程, 而是针对给定周期粗糙面做数值逼近.

与部分线性化图形模型 [22] 相比, 文献 [22] 在自由表面可图形化的设定下研究钉扎角集合及其各向异性, 并证明钉扎角集合形成闭区间. 本文将其扩展到完整毛细情形, 其中 $\Sigma_{LV}$ 不必是图形, 且问题在三维双周期粗糙表面上. 但这一扩展的代价是: 闭区间性质在本文中只是猜想, 而不是定理; 作者转而通过 CMCF 的极值稳态和数值算法来逼近端点. 与 [23] 中跳跃不连续与润湿集合 faceting 的联系相比, 本文数值观察到 CAH 区间在对角方向附近急剧变化, 并用 Surface Evolver 找到一致的方形液滴, 这为 faceting 机制提供了一个三维粗糙表面的计算例证.

与数值相场研究 [24] 相比, 后者在物理平坦但化学图案化的表面上观察三维液滴的黏滑行为与 CAH; 本文处理的是具有微观粗糙度的双周期表面, 并强调尺度分离导致的离散化困难. 本文提出的 TSA 方法不是相场方法, 而是基于 MBO 扩散生成与线性化极小曲面的 Schwarz 域分解. 因此, 本文在适用范围上推进到粗糙表面和方向性 CAH, 但数值实验只针对一个代表性表面 $z=\varepsilon\sin(x/\varepsilon)\sin(y/\varepsilon)$, 尚未展示对更一般粗糙形貌的广泛验证.

与 MBO 扩散生成方法 [25,26,27] 以及 Xu 等人的毛细 MBO 变体 [28,29] 相比, 这些方法本身具有实现简单、可借助 FFT 高效计算等优点, 但都建立在单一均匀网格上. 对本文问题, 单一均匀网格必须同时解析 $O(\varepsilon)$ 的粗糙钉扎与 $O(1)$ 的宏观表观角, 当 $\varepsilon\to0$ 时不可行. 本文的 TSA 方法通过 Schwarz 分解把近区微观问题与远区宏观问题分离, 从而避免了这一限制. 代价是算法需要处理近区与远区之间的重叠、交替与停止准则, 且能量衰减只在理想化参考迭代中得到证明, 并非直接针对完整离散算法.

与动态 CAH 的多尺度展开和平均方法 [30,31] 相比, 这些工作通过 multiscale expansions 与 averaging 在二维化学非均匀表面上导出有效边界条件. 本文面向一般三维双周期粗糙表面, 选择数值域分解而不是解析平均. 优点是可直接处理非图形界面和复杂三维粗糙度; 局限是本文没有导出一般三维有效边界条件, 也没有证明 CAH 区间的闭区间性质, 只是通过计算极值稳态来逼近.

中文标题: 具有精确应力对称性的 Stokes 方程的质量守恒应力生成格式

摘要翻译: 我们引入一种新的有限元离散化，用于具有对称粘性应力的二维不可压缩 Stokes 方程的混合格式。该方法基于一个具有对称应力的质量守恒应力生成格式（Gopalakrishnan, Lederer, Schöberl; A mass conserving mixed stress formulation for the Stokes equations; IMA J. Numer. Anal., Vol 40, 2020），其关键创新在于应力张量的对称性被精确地作为离散空间的内蕴性质强制满足。该空间在 Clough–Tocher 宏单元剖分上构造，由在宏单元界面上法向-切向分量连续的矩阵值函数组成。由于精确对称性通过子单元上的局部多项式泡函数强制实现，而这些泡函数可通过静态凝聚消去，全局耦合自由度数与原始质量守恒应力生成格式相同。由此得到的压力鲁棒方法无需任何额外增强即可稳定。我们建立了所有变量的最优收敛率，并给出了证实理论结果的数值实验。

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1. 长程相互作用量子晶格模型的图晶格和与图 zeta 函数

Graph lattice sums and graph zeta functions for long-range interacting quantum lattice models

作者: Andreas Alexander Buchheit, Andreas Rupp

类别: math.NA, cond-mat.str-el, math.NT, quant-ph

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18918v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18918v1

摘要: Taming the exponential increase of the Hilbert space dimension with system size in the simulation of gapped quantum lattice models is of the highest relevance for understanding and designing exotic quantum materials, where nonlocal interactions are of particular interest. High-order linked-cluster expansions provide access the solution of the eigenvalue problem for the infinite system, yet rely on the computation of high-dimensional oscillatory lattice sums with a graph structure, only approachable with Monte Carlo methods so far. This work resolves this issue, rendering all required graph lattice sums, referred to as graph zeta functions for kernels involving power-laws, computable. The resulting method reduces the evaluation time for state-of-the art series expansions from tenthousands of core-hours to minutes. After factorizing the lattice sum over blocks, each block is evaluated by the cheapest available strategy depending on its treewidth $\mathrm{tw}$. Basic blocks admit analytic forms in terms of generalized zeta functions. Series-parallel blocks with $\mathrm{tw}\le 2$ can be computed at linear cost in the number of graph nodes and in the size of the momentum grid using a semi-analytical algebra based on Epstein zeta functions and rapidly decaying Fourier series. Finally, for $\mathrm{tw}>2$, the method is combined with tensor-network bucket elimination yielding polynomial scaling of numerical work and memory in momentum grid size with exponents only growing with $\mathrm{tw}$ rather than with the number of vertices. Through use of FFT, the full momentum grid is recovered at the cost of a single momentum evaluation. We provide a detailed analysis of the precision and runtime of our method against analytic and numerical benchmarks. We further reproduce published Monte Carlo data for the transverse-field Ising model on different 1D, 2D, and 3D lattices, obtaining full agreement.

2. 流体-结构-接触相互作用的数值基准

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作者: Daniele Corti, Jakub Fara, Miguel Angel Fernández, Stefan Frei, Tobias Knoke, Sebastian Schwarzacher, Karel Tůma, Thomas Wick

类别: math.NA, physics.flu-dyn

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18854v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18854v1

摘要: We propose a two-dimensional benchmark for fluid-structure-contact interaction consisting of a deformable elastic disk falling under gravity within a viscous incompressible fluid and rebounding in the vicinity of the bottom wall. Solid deformability is essential, as rigid solids do not rebound in this framework. Besides this, the setting is deliberately kept simple to facilitate reproduction. The configuration is particularly challenging due to the well-known no-contact paradox, which can lead to a contactless rebound and forces numerical methods to resolve a vanishingly thin fluid layer in the near-contact region, making the dynamics highly sensitive to the spatial and temporal discretizations. In addition to no-slip boundary and interface conditions, a reduced porous modeling of surface roughness, either on the disk boundary or on the bottom wall, is also considered; this circumvents the no-contact paradox and enables genuine contact. An energy balance law is derived theoretically for all three cases. Eight numerical methodologies, developed by five research groups and spanning different model formulations, numerical methods, and codes (including both fitted and unfitted discretizations), are applied to the benchmark at several levels of spatial and temporal refinement. Quantities of interest of varying complexity are collected and compared, showing close agreement during the falling phase and increased sensitivity in the near-contact and rebound regimes. The setting and the results provide a suitable reference for the systematic assessment of fluid-structure-contact interaction solvers. The time histories of all quantities of interest for every approach and refinement level are provided as supplementary material.

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作者: Sergey Korotov, Jérôme Michaud

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18788v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18788v1

摘要: We present a fixed nondegenerate tetrahedron with a nested largest-dihedral-anglebisection branch that collapses onto a unit edge. The selected dihedral angles to bisect are uniquely largest ones at every bisection step. Some face angles of the branch elements tend to zero, the corresponding diameter-to-inradius ratio diverges, and the diameters of the elements produced do not tend to zero, although every dihedral angle stays uniformly away from both 0 and π and all face and dihedral angles satisfy a uniform maximum-angle bound. The proof is based on an exact invariant-range argument. This example shows that the largest-dihedral-angle bisection algorithm can produce degenerating tetrahedral partitions.

4. 带表面张力校准的 Allen–Cahn 自由能约束弱辨识

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作者: Soobeen Jung, Hyunju Kim

类别: math.NA, cs.CE, nlin.PS, physics.comp-ph

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18403v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18403v1

摘要: Phase-field trajectories governed by the Allen–Cahn equation determine the effective force $G=F'/\eps^2$, but not the free-energy potential $F$ and interfacial scale $\eps$ separately. We introduce surface-tension-calibrated Allen–Cahn identification (STAC), a two-step method that resolves this ambiguity using an independently supplied surface tension. First, space–time weak moments produce a linear inverse problem without differentiating the measured field. A Bernstein representation with positive coefficients enforces two stable pure phases and a single central energy maximum. Second, the surface tension fixes the remaining scale algebraically. We prove scale equivalence of the forward model, uniqueness of the calibrated pair within this class, and finite perturbation bounds that remain valid when the potential vanishes at the pure phases. Experiments with resolved synthetic phase fields separate the effects of the structural constraint, ridge regularization, and constitutive approximation error. Across 80 shared noisy records, unconstrained degree-five regression produces six potentials with an incorrect well structure. Positivity combined with ridge regularization eliminates these violations and reduces the mean force error from 8.70% to 5.66%. Lower-degree models are nevertheless more accurate in some tests, and an admissible law outside the positive Bernstein family shows how the constraint can introduce approximation bias. STAC thus recovers a structurally admissible, physically scaled potential while making explicit which information comes from the observed dynamics and which comes from the independent surface-tension datum.

5. 广义拉格朗日方法与 ALE 方法中变形网格容许时间步长的高效且严格的判据

An efficient and rigorous criterion for the admissible time step of deforming grids in generalized Lagrangian and ALE methods

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类别: math.NA

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18308v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18308v1

摘要: It is mathematically proved that a sufficient condition for deformed grid to remain valid is that the Jacobian determinant of the deformation remains positive within each element and the boundary is preserved under the deformation throughout the time interval. This result provides a rigorous and element-wise check method for users of the generalized Lagrangian scheme and the arbitrary Lagrangian-Eulerian scheme to assess grid validity.

6. 分岔在参数估计中的作用：非空间 Klausmeier 模型的不确定性量化分析

The Role of Bifurcations in Parameter Estimation: A UQ Analysis of the Non-spatial Klausmeier Model

作者: Lisa Beer, Christian Kuehn, Chiara Piazzola

类别: math.DS, math.NA

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18231v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18231v1

摘要: We employ uncertainty quantification methods to investigate how parameter identifiability changes in the vicinity of a bifurcation point. We perform numerical experiments on the non-spatial Klausmeier vegetation model with random coefficients, which describes biomass-water interactions and exhibits a fold bifurcation. We partition the domain around the bifurcation into regions with distinct convergence behaviors. In each region, we follow a UQ workflow that includes sensitivity analysis, Bayesian inference, and Fisher information evaluation to assess parameter identifiability. The results show that proximity to the bifurcation point is decisive for parameter estimation. Reliable joint inference of both model parameters is not possible when the system exhibits bistability. Furthermore, we can reconstruct the model’s bifurcation pattern by Fisher information heatmaps, presenting a practical tool for bifurcation detection. Lastly, we highlight the importance of transient data for successful parameter estimation.

7. 用于双曲系统、具有自适应松弛参数与 Lax–Friedrichs 型平衡态的格子 Boltzmann 方法

A Lattice Boltzmann Method with Adaptive Relaxation Parameter and Lax–Friedrichs-Type Equilibrium for Hyperbolic Systems

作者: Yifan Zhang, Ping Lin, Jin Zhao, Weifeng Zhao

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18177v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18177v1

摘要: In this paper, a lattice Boltzmann method with an adaptive relaxation parameter and a Lax–Friedrichs-type equilibrium is proposed for hyperbolic systems with source terms. The equilibrium distribution recovers the conservative variables and physical fluxes while incorporating dissipation determined by characteristic-speed bounds. To balance accuracy and robustness, the relaxation parameter is selected from a local smoothness indicator based on characteristic projections. In smooth regions, the parameter approaches the low-dissipation limit, retaining second-order accuracy; near discontinuities, it is automatically reduced to introduce localized dissipation and suppress nonphysical oscillations. The stabilization acts directly through the local collision step and preserves the standard collide-and-stream structure, without a posteriori recomputation or interface-based limiting. Maxwell iteration establishes second-order consistency in smooth regions, and a weighted $L^2$-stability estimate is proved for linear hyperbolic systems with periodic boundary conditions under a standard CFL condition. Numerical experiments for scalar advection, Euler, shallow-water, and reactive Euler equations demonstrate the expected accuracy for smooth solutions and robust resolution of challenging one- and two-dimensional discontinuous problems, including wet–dry fronts and reactive discontinuities. A large-scale simulation of a 2D cellular detonation further demonstrates the capability of the method to resolve long-time multidimensional shock–reaction interactions.

8. MLegS：一种面向无界区域的现代映射 Legendre 谱方法并行求解器

MLegS: A modern mapped Legendre spectral method solver for unbounded domains with parallelization

作者: Sangjoon Lee, Jinge Wang

类别: physics.comp-ph, math.NA

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.18026v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.18026v1

摘要: MLegS is an open-source Modern Fortran code package for solving linear and nonlinear time-dependent partial differential equations on radially unbounded domains. It builds on an earlier in-house prototype, recasting it as a modular solver with a unified interface for fields, transforms, and spectral operators. Within this framework, the numerical formulation maps $0\leq r<\infty$ onto a finite interval, where associated Legendre functions provide the radial basis, while Fourier series represent the periodic azimuthal and axial directions. The mapped radial basis represents radial infinity without imposing an artificial boundary condition at finite radius while incorporating the regularity required at $r=0$ according to azimuthal order. The implementation distributes the corresponding field layouts using the Message-Passing Interface (MPI), with strong- and weak-scaling measurements extending to 512 cores across four compute nodes. Beyond parallel performance, three examples assess the solver across diffusion, reaction-diffusion, and vortex dynamics: closed-form diffusion solutions establish spectral spatial convergence and the design orders of both semi-implicit integrators; a Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov front matches the linearized solution and propagates at the classical speed within its logarithmic correction; and vortex-pair simulations based on toroidal-poloidal decomposition yield a measured Crow growth rate $2.7\%$ above the theoretical prediction and demonstrate the reconnection of the vortex pair.

9. 基于外代数的自适应交叉逼近的几何视角

A Geometric View of Adaptive Cross Approximation via Exterior Algebra

作者: Trevor Loe, Longxiu Huang, Deanna Needell

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-16

arXiv ID: 2609.17947v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.17947v1

摘要: Adaptive cross approximation (ACA) constructs low-rank CUR approximations from selected rows and columns of a matrix, making it attractive when individual entries are inexpensive to query but forming or repeatedly multiplying by the full matrix is not. Its practical performance, however, is not well explained by existing worst-case bounds, which can be exponentially large and often fail to predict when greedy largest-entry pivoting performs poorly. By viewing the matrix as a cross-gram matrix, we reinterpret the classical determinantal formula for the CUR residual through the lens of exterior algebra. In this representation, each residual entry is a weighted inner product between two $(k+1)$-blades divided by the normalized volume of the pivot block. The formula separates three effects: the weighted magnitudes of singular-vector rows, their angular geometry, and the conditioning of the selected pivots. From this we recover a classical $σ_{k+1}$-type estimate, characterize when one pivot annihilates or nearly annihilates additional rows and columns, obtain a quasi-optimality estimate for positive-semidefinite matrices, and bound the rank-one update through an explicit angle-based formula. We use this framework to explain the failure of greedy ACA on an asymmetric spiral-kernel example and to motivate a geometry-aware weighted-mass pivoting rule for radial-basis Galerkin stiffness matrices. In the reported experiments, weighted-mass pivoting often reduces the Frobenius residual relative to greedy pivoting and randomly pivoted Cholesky while retaining comparable runtime on parallel hardware.

10. 循环反卷积的变分磨光方法

A variational mollification approach to circular deconvolution

作者: Mirza Karamehmedović, Pierre Maréchal, Mykhailo Petrov

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-15

arXiv ID: 2609.17849v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.17849v1

摘要: We propose a variational mollification approach to circular deconvolution based on the reconstruction of a mollified target object rather than the exact solution itself. The method is formulated as a convex variational problem whose solution admits an explicit Fourier representation. We establish the consistency of the proposed reconstruction as the target resolution increases and derive convergence rates for deterministic data perturbations. For ordinary smooth kernels, the method achieves the classical order-optimal algebraic convergence rates under Besov-Nikolskii smoothness assumptions, while for supersmooth kernels it attains the corresponding order-optimal logarithmic rates. Numerical experiments on synthetic and wind-direction data illustrate the effectiveness of the proposed approach and confirm the theoretical predictions.

11. 函数空间上测度的逼近：传输与截断

Approximating Measures on Function Spaces: Transport and Truncation

作者: Ricardo Baptista, Bamdad Hosseini, Alexander W. Hsu

类别: math.PR, math.NA, stat.ML

发布日期: 2026-09-15

arXiv ID: 2609.17802v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.17802v1

摘要: Measures on function spaces arise throughout Bayesian inverse problems and generative modeling, often with low-dimensional structure relative to a tractable reference measure. We introduce the class $\mathcal{P}_ψ(μ)$ of measures that differ from a reference measure $μ$ only through a finite-dimensional map $ψ$ while preserving the reference conditionals on its fibers. Class members are determined by their $d$-dimensional pushforwards under $ψ$ and admit convenient block-triangular transport map representations. Draws are taken from this $d$-dimensional distribution and then completed to function space through sampling of the reference conditionals. For Gaussian references, these transport maps are finite rank perturbations of the identity. In contrast, optimal transport maps do not preserve this low-dimensional structure. For covariance perturbations that are trace class in the Cameron-Martin geometry of the reference, we show the optimal map is a trace class perturbation of the identity. Even finite rank perturbations yield corrections whose rank, governed by an invariant subspace, is typically infinite. We develop approximation theory for $\mathcal{P}_ψ(μ)$ and error analysis for fitting within it, splitting the total error into an irreducible class error and a finite-dimensional marginal term set by the dimension of $ψ$ rather than the ambient discretization. We present numerical results including inference from low-dimensional nonlinear observation maps, deconvolution under a jump process prior, and state estimation for Navier-Stokes flows.

12. 面向参数化动力系统降阶建模的时空潜在去噪扩散概率模型

Spatio-temporal Latent Denoising Diffusion Probabilistic Models for Reduced-order Modeling of Parametrized Dynamical Systems

作者: Michiel Nikken, Nicolò Botteghi, Federico Califano, Silke Glas

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-15

arXiv ID: 2609.17768v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.17768v1

摘要: Many scientific problems require accurate modeling of complex physical phenomena, such as fluid dynamics or climate modeling. These phenomena often result in high-dimensional and thus computationally expensive computational models that can limit their application to real-time and multi-query problems. Model-order reduction (MOR) is an approach that seeks to approximate full-order models (FOMs) using reduced-order models (ROMs), trading a minor reduction in accuracy for a major reduction in computational cost. In this work, we propose a non-intrusive MOR method using generative machine learning by means of denoising diffusion probabilistic models (DDPMs) for generating solutions of the dynamical systems under different instances of their parameters. Unlike conventional DDPMs, which often operate purely in the spatial domain, we aim to generate spatio-temporal solutions to improve quality and temporal coherence. In addition, we embed the DDPM in a latent space obtained by sequentially applying proper orthogonal decomposition and an autoencoder to reduce the data dimensionality and the computational cost of the DDPM. We test our approach on a parametrized 2D fluid flow around an obstacle. The numerical experiments demonstrate that our latent DDPM can (i) produce accurate and temporally coherent solutions, (ii) achieve strong generalization capabilities to scenarios involving unseen parameter values, and (iii) extrapolate in time beyond the training horizon.

13. 论随机梯度朗之万动力学的计算成本

On the computational cost of Stochastic Gradient Langevin Dynamics

作者: Mateusz B. Majka, Tigran Nagapetyan, Łukasz Szpruch, Yue Wu, Danqi Zhuang

类别: math.NA, math.PR, stat.CO

发布日期: 2026-09-15

arXiv ID: 2609.17750v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.17750v1

摘要: Stochastic Gradient Langevin Dynamics (SGLD) reduces the cost of Langevin-based sampling by replacing full-dataset drift evaluations with mini-batch approximations, but the resulting subsampling error may offset this computational saving. We study this trade-off for stochastic differential equations with finite-sum drifts and compare the computational cost of SGLD with that of the Euler-Maruyama (EM) method. For a prescribed mean-square accuracy $\varepsilon^2$, we derive complexity estimates that explicitly track the dependence on the dataset size $m$, mini-batch size $s$, and accuracy parameter $\varepsilon$. The resulting comparison reveals distinct parameter regimes in which either method is preferable. In particular, EM can have lower leading-order cost only in a small-data, aggressive-subsampling regime, whereas SGLD is favoured over most of the remaining parameter space. In the practically relevant regime $s \ll m$, the transition between the two methods occurs at the scale $m \asymp \varepsilon^{-1}$. We complement the theoretical analysis with numerical experiments based on a Gaussian Bayesian inference model, which examine the predicted cost regimes together with the underlying discretisation error and variance estimates.

重点关注论文（完整分析）#

1. 磁感应断层成像中支撑恢复的一种因子分解方法#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

2. 双周期粗糙表面上方向性接触角滞后区间的区域分解方法#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

了解领域论文（摘要翻译）#

1. Vlasov–Poisson 系统的多流体格式的收敛性#

摘要翻译#

2. 用于三维电磁散射问题仿真的高度可扩展量化张量列 FDTD 框架#

摘要翻译#

3. 连续压力 Stokes 离散中借助交换插值算子的压力鲁棒性#

摘要翻译#

4. 针对 Smagorinsky 模型的一种对 Reynolds 数半鲁棒、全局无散度的 HDG 方法#

摘要翻译#

5. 状态依赖快速切换随机微分方程的数值逼近#

摘要翻译#

6. 仅使用离散几何的 Babuška 悖论混合有限元方法#

摘要翻译#

7. HiLNO：面向一般几何上偏微分方程的多尺度监督分层潜在神经算子#

摘要翻译#

8. 具有精确应力对称性的 Stokes 方程的质量守恒应力生成格式#

摘要翻译#

不相关论文（基本信息）#

1. 长程相互作用量子晶格模型的图晶格和与图 zeta 函数#

2. 流体-结构-接触相互作用的数值基准#

3. 最大二面角二分算法不能保持四面体剖分的网格正则性#

4. 带表面张力校准的 Allen–Cahn 自由能约束弱辨识#

5. 广义拉格朗日方法与 ALE 方法中变形网格容许时间步长的高效且严格的判据#

6. 分岔在参数估计中的作用：非空间 Klausmeier 模型的不确定性量化分析#

7. 用于双曲系统、具有自适应松弛参数与 Lax–Friedrichs 型平衡态的格子 Boltzmann 方法#

8. MLegS：一种面向无界区域的现代映射 Legendre 谱方法并行求解器#

9. 基于外代数的自适应交叉逼近的几何视角#

10. 循环反卷积的变分磨光方法#

11. 函数空间上测度的逼近：传输与截断#

12. 面向参数化动力系统降阶建模的时空潜在去噪扩散概率模型#

13. 论随机梯度朗之万动力学的计算成本#

重点关注论文（完整分析）

1. 磁感应断层成像中支撑恢复的一种因子分解方法

1. 研究对象和背景

2. 主要定理或主要结果

3. 研究方法、关键技术和核心工具

4. 与之前工作的比较

2. 双周期粗糙表面上方向性接触角滞后区间的区域分解方法

1. 研究对象和背景

2. 主要定理或主要结果

3. 研究方法、关键技术和核心工具

4. 与之前工作的比较

了解领域论文（摘要翻译）

1. Vlasov–Poisson 系统的多流体格式的收敛性

摘要翻译

2. 用于三维电磁散射问题仿真的高度可扩展量化张量列 FDTD 框架

摘要翻译

3. 连续压力 Stokes 离散中借助交换插值算子的压力鲁棒性

摘要翻译

4. 针对 Smagorinsky 模型的一种对 Reynolds 数半鲁棒、全局无散度的 HDG 方法

摘要翻译

5. 状态依赖快速切换随机微分方程的数值逼近

摘要翻译

6. 仅使用离散几何的 Babuška 悖论混合有限元方法

摘要翻译

7. HiLNO：面向一般几何上偏微分方程的多尺度监督分层潜在神经算子

摘要翻译

8. 具有精确应力对称性的 Stokes 方程的质量守恒应力生成格式

摘要翻译

不相关论文（基本信息）

1. 长程相互作用量子晶格模型的图晶格和与图 zeta 函数

2. 流体-结构-接触相互作用的数值基准

3. 最大二面角二分算法不能保持四面体剖分的网格正则性

4. 带表面张力校准的 Allen–Cahn 自由能约束弱辨识

5. 广义拉格朗日方法与 ALE 方法中变形网格容许时间步长的高效且严格的判据

6. 分岔在参数估计中的作用：非空间 Klausmeier 模型的不确定性量化分析

7. 用于双曲系统、具有自适应松弛参数与 Lax–Friedrichs 型平衡态的格子 Boltzmann 方法

8. MLegS：一种面向无界区域的现代映射 Legendre 谱方法并行求解器

9. 基于外代数的自适应交叉逼近的几何视角

10. 循环反卷积的变分磨光方法

11. 函数空间上测度的逼近：传输与截断

12. 面向参数化动力系统降阶建模的时空潜在去噪扩散概率模型

13. 论随机梯度朗之万动力学的计算成本