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1. Helmholtz 传输特征值问题的等几何分析

Isogeometric analysis for the Helmholtz transmission eigenvalue problem

作者: Nizheng Liao, Guanghui Hu, Xucheng Meng

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-18

arXiv ID: 2609.21862v1

摘要翻译: 传输特征值问题在逆散射理论中发挥着越来越重要的作用。尽管过去二十年来在该问题的高效数值方法开发方面已取得显著进展，但对于 $\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 中的弯曲区域，其数值处理仍然具有挑战性。本文中，我们引入并分析了一种几何灵活且 $H^2$-协调的等几何方法，用于求解由 Helmholtz 传输特征值问题产生的一个四阶、二次且非自伴的特征值问题。利用紧非自伴算子的谱逼近理论，我们推导了离散特征值和特征函数的最优误差估计。给出了二维和三维基准问题的数值结果，包括定义在弯曲区域中的问题，以验证我们的理论结果，并展示该方法在精度和几何灵活性方面相较于现有数值方法的优势。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2609.21862v1

1. 研究对象和背景

本文研究非齐次介质中 Helmholtz 方程的透射特征值问题及其等几何数值离散. 设 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 是有界开区域, 边界 $\partial\Omega$ Lipschitz 连续, $\nu$ 为单位外法向. 折射率 $n:=n(x)\in L^\infty(\Omega)$ 满足 $n(x)-1\ge \alpha$ a.e. 于 $\Omega$, 其中 $\alpha>0$ 为常数; 当 $n$ 严格小于 1 时, 理论分析可作明显修改后成立. 透射特征值问题寻求 $k\in\mathbb{C}$ 和非平凡对 $(u_1,u_2)\in L^2(\Omega)\times L^2(\Omega)$, 且 $u_1-u_2\in H^2(\Omega)$, 使得

$$\begin{cases} \Delta u_1 + k^2 n u_1 = 0 & \text{in } \Omega,\\ \Delta u_2 + k^2 u_2 = 0 & \text{in } \Omega,\\ u_1-u_2 = 0 & \text{on } \partial\Omega,\\ \frac{\partial u_1}{\partial \nu}-\frac{\partial u_2}{\partial \nu}=0 & \text{on } \partial\Omega. \end{cases}$$

该问题起源于 Colton-Monk 与 Kirsch 的工作, 在逆散射理论中具有核心地位. 透射特征值可由散射数据确定, 并用于估计散射体的物理性质, 因而在目标识别、无损检测和隐形材料设计中有重要应用. 与标准椭圆特征值问题不同, 该问题是四阶、二次且非自伴的, 不满足标准椭圆特征值问题的自伴谱理论, 分析上较为困难, 因此数值方法成为估计透射特征值的重要工具. 令 $u=u_1-u_2\in H^2_0(\Omega)$, 其中 $H^2_0(\Omega)=\{u\in H^2(\Omega),\, u=\partial u/\partial\nu=0 \text{ on } \partial\Omega\}$, 则上述耦合二阶系统可等价改写为四阶特征值问题

$$(\Delta+k^2 n)\left[\frac{1}{n-1}(\Delta+k^2)u\right]=0 \quad \text{in } \Omega, \qquad u=\frac{\partial u}{\partial\nu}=0 \quad \text{on } \partial\Omega.$$

乘以测试函数 $v\in H^2_0(\Omega)$ 并利用 Green 公式, 得到连续变分形式: 求 $k\in\mathbb{C}$ 和非零 $u\in H^2_0(\Omega)$, 使得

$$\left(\frac{1}{n-1}\Delta u,\Delta v\right)_0 + k^2\left[\left(\frac{n}{n-1}\Delta u,v\right)_0+\left(\frac{1}{n-1}u,\Delta v\right)_0\right] + k^4\left(\frac{n}{n-1}u,v\right)_0=0$$

对所有 $v\in H^2_0(\Omega)$ 成立. 令 $\lambda:=-k^2$, 则得到关于 $\lambda$ 的二次特征值问题. 本文关注该问题在一般弯曲区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 上的数值求解与误差分析. 已有数值方法包括: Colton 等 2010 年首次提出的三种有限元方法; 基于 Argyris 元素或 Bogner-Fox-Schmit 元素的 $H^2$ 协调有限元; 混合有限元; 非协调有限元; 间断 Galerkin 方法; 使用梯度恢复算子的 $C^0$ 线性有限元; $C^1$ 虚拟元和混合虚拟元; 以及针对圆盘、球、柱等特殊弯曲域的谱方法. 这些方法在多面体区域表现良好, 但在弯曲边界区域精度可能退化; 谱方法虽然对特殊弯曲域可达到谱收敛, 但推广到一般弯曲域并不容易. 等几何分析由 Hughes 等提出, 使用非均匀有理 B 样条等样条基函数同时表示 CAD 几何和解空间, 易于构造全局 $C^k$ ($k\ge 1$) 连续基函数, 使用精确 CAD 几何, 且支持 $h$、$p$、$k$ 细化. 本文采用几何独立场近似方案, 即 GIFT 方案, 几何用 NURBS 表示, 解近似用 B 样条基函数, 从而避免在细化时更新控制点和权重, 兼顾几何灵活性与实现效率. 本文试图补足的空白是: 为 Helmholtz 透射特征值问题在一般弯曲有界域上构造并分析 $H^2$ 协调的等几何方法, 并借助紧非自伴算子谱逼近理论建立离散特征值和特征函数的最优误差估计. 从提供的 PDF 内容看, 引言和前三节明确了线性化框架、GIFT 离散格式以及 B 样条投影误差估计, 但第 4 节的谱逼近主定理和数值结果尚未在提供文本中展开.

2. 主要定理或主要结果

从提供文本可以严格确认的主要结果包括以下几部分. 首先, 作者将二次四阶特征值问题线性化. 令 $\lambda:=-k^2$, 引入辅助变量 $z:=-\lambda u$, 在乘积空间 $\mathcal{H}=H^2_0(\Omega)\times L^2(\Omega)$ 上定义双线性形式

$$A((u,z),(v,w))=\left(\frac{1}{n-1}\Delta u,\Delta v\right)_0+(z,w)_0,$$

$$B((u,z),(v,w))=\left(\frac{n}{n-1}\Delta u,v\right)_0+\left(\frac{1}{n-1}u,\Delta v\right)_0+\left(\frac{n}{n-1}z,v\right)_0-(u,w)_0.$$

线性特征值问题为: 求 $\lambda\in\mathbb{C}$, $\lambda\neq 0$ 和非零 $(u,z)\in\mathcal{H}$, 使得

$$A((u,z),(v,w))=\lambda B((u,z),(v,w)) \quad \forall (v,w)\in\mathcal{H}.$$

引理 2.1 证明存在仅依赖折射率 $n$ 的正常数 $\beta$ 和 $C$, 使得 $A((u,z),(u,z))\ge \beta\|(u,z)\|_{\mathcal{H}}^2$, $|A((u,z),(v,w))|\le C\|(u,z)\|_{\mathcal{H}}\|(v,w)\|_{\mathcal{H}}$, $|B((u,z),(v,w))|\le C\|(u,z)\|_{\mathcal{H}}\|(v,w)\|_{\mathcal{H}}$, 且 $A((u,z),(v,w))=\overline{A((v,w),(u,z))}$, 即 $A(\cdot,\cdot)$ 在 $\mathcal{H}$ 上定义内积. 其次, 作者引入源问题: 对任意 $(f,g)\in\mathcal{H}$, 求 $(\tilde f,\tilde g)\in\mathcal{H}$ 使 $A((\tilde f,\tilde g),(v,w))=B((f,g),(v,w))$ 对所有 $(v,w)\in\mathcal{H}$ 成立, 并定义解算子 $T(f,g)=(\tilde f,\tilde g)$. 由 Lax-Milgram 定理, $T$ 良定义、线性、有界. 若 $(\lambda,(u,z))$ 是线性特征值问题的特征对, 则 $(\lambda^{-1},(u,z))$ 是 $T$ 的特征对, 即 $T(u,z)=\mu(u,z)$, $\mu=\lambda^{-1}$; 且当 $\mu\neq 0$ 时不会引入伪特征值. 正则性引理 2.2 证明存在 $\sigma\in(0,1]$ 和常数 $C$ 使源问题解满足 $(\tilde f,\tilde g)\in H^{2+\sigma}(\Omega)\times H^2_0(\Omega)$, 且 $\|\tilde f\|_{2+\sigma,\Omega}+\|\tilde g\|_{2,\Omega}\le C\|(f,g)\|_{\mathcal{H}}$. 由于 $H^{2+\sigma}(\Omega)\times H^2_0(\Omega)$ 紧嵌入到 $\mathcal{H}$, 解算子 $T:\mathcal{H}\to H^{2+\sigma}(\Omega)\times H^2_0(\Omega)$ 是紧算子. 伴随问题也有相同正则性, 见引理 2.3. 第三, 作者构造 GIFT 离散. 设几何映射 $F$ 由 NURBS 给出, 物理解空间为

$$V_h=\mathrm{span}\{B^{(p,q)}_{i,j}\circ F^{-1}: 1\le i\le n_\xi,\, 1\le j\le n_\eta\}\cap H^2_0(\Omega), \quad p=q\ge 2,$$

离散空间 $\mathcal{H}_h=V_h\times V_h\subset\mathcal{H}$. 离散特征值问题为: 求 $(\lambda_h,(u_h,z_h))\in\mathbb{C}\times\mathcal{H}_h$, $\lambda_h\neq 0$, $u_h\neq 0$, 使 $A((u_h,z_h),(v_h,w_h))=\lambda_h B((u_h,z_h),(v_h,w_h))$ 对所有 $(v_h,w_h)\in\mathcal{H}_h$ 成立. 定义离散解算子 $T_h$ 和伴随 $T_h^*$, 满足 $T_h(u_h,z_h)=\lambda_h^{-1}(u_h,z_h)$. 第四, 作者建立了物理域 B 样条投影的误差估计. 定义参数域 B 样条空间 $S_h$ 和投影 $\Pi_{S_h}$, 物理域空间 $\tilde V_h=\mathrm{span}\{B^{(p,q)}_{i,j}\circ F^{-1}\}$ 上的投影 $\Pi_{\tilde V_h}v=(\Pi_{S_h}(v\circ F))\circ F^{-1}$. 定理 3.1 给出局部投影误差: 对 $0\le \ell\le s\le p+1$, $\hat K\in\hat{\mathcal{T}}_h$, $K=F(\hat K)$, 有

$$|v-\Pi_{\tilde V_h}v|_{\ell,K}\le C_{\mathrm{shape}}h_K^{s-\ell}\sum_{i=0}^s\|\nabla F\|_{L^\infty(\hat{\tilde K})}^{i-s}|v|_{i,\tilde K},$$

其中 $\tilde K$ 是 $\hat K$ 的支撑延拓. 定理 3.2 给出全局估计: 若 $0\le\ell\le p+1$, $\ell\le s$, 且 $\ell\le r_{\min}+1$, 则

$$|v-\Pi_{\tilde V_h}v|_{\ell,\Omega}\le C_{\mathrm{shape}}h^{\min\{p+1,s\}-\ell}\|v\|_{s,\Omega}, \quad v\in H^s(\Omega).$$

定理 3.3 处理源问题解的低正则性: 取 $p=q=2$, 若 $0\le\ell\le 2$ 且 $\ell\le r_{\min}+1$, 则对 $v\in H^{2+\sigma}(\Omega)$, $\sigma\in(0,1]$,

$$\|v-\Pi_{\tilde V_h}v\|_{\ell,\Omega}\le C_{\mathrm{shape}}h^{2+\sigma-\ell}\|v\|_{2+\sigma,\Omega}.$$

该定理通过 $H^2$ 与 $H^3$ 之间的实插值证明. 最后, 论文摘要和第 1 节声明, 作者使用紧非自伴算子的谱逼近理论, 推导了离散特征值和特征函数的最优误差估计, 并在第 4 节标题中称为证明最优误差估计. 然而, 提供的 PDF 文本只到第 10 页, 尚未包含第 4 节的具体定理编号、完整假设、误差阶表达式以及第 5 节数值结果. 因此, 特征值误差阶如 $O(h^{2(p-1)})$ 或 $O(h^{2\sigma})$, 特征函数误差阶如 $O(h^{p-1})$ 或 $O(h^\sigma)$, 以及它们的适用范围, 从提供内容中无法确认. 作者是否区分简单特征值和重特征值、是否要求目标特征值的隔离性、如何选择离散特征对等关键细节, 也未在提供文本中出现.

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的核心技术障碍在于: 原问题是非自伴、四阶、二次特征值问题, 解在 $H^2_0(\Omega)$ 中, 标准二阶椭圆特征值问题的谱理论和 $C^0$ 有限元误差分析不能直接使用; 若采用 $H^2$ 协调有限元, 需要 $C^1$ 连续的基函数, 在二维中可用 Argyris 或 BFS 元素, 但在三维中构造困难; 若采用混合、非协调或 DG 方法, 则要引入额外变量、稳定化项或一致性误差; 在弯曲区域上, 几何逼近误差会污染高阶精度. 作者的创新点不是简单地把等几何分析用于该问题, 而是结合 GIFT 方案、二次特征值线性化和紧非自伴算子谱逼近, 建立一个可证明最优收敛性的 $H^2$ 协调框架. 具体技术路线如下. 第一, 线性化与解算子框架. 作者引用已有线性化技巧, 令 $\lambda=-k^2$, $z=-\lambda u$, 将二次特征值问题化为 $\mathcal{H}=H^2_0(\Omega)\times L^2(\Omega)$ 上的线性广义特征值问题. 这一变换的关键在于选取 $z$ 使原来含 $\lambda^2$ 的项被吸收, 同时保持第一分量 $u$ 的 $H^2_0$ 正则性和第二分量 $z$ 的 $L^2$ 正则性. 双线性形式 $A$ 被设计成在 $\mathcal{H}$ 上强制且 Hermitian, 因此可作为内积; $B$ 仅有界, 这是非自伴性的来源. 通过源问题定义解算子 $T$, 将特征值问题等价转化为 $T$ 的特征值问题, 且 $\lambda$ 与 $\mu=\lambda^{-1}$ 对应. 由于源问题的解具有 $H^{2+\sigma}\times H^2_0$ 正则性, $T$ 是紧算子, 从而可以使用紧算子谱逼近理论. 这是整个误差分析的起点. 第二, GIFT 等几何离散. 作者使用 NURBS 几何映射 $F$ 精确表示物理区域, 但用 B 样条基函数 $B^{(p,q)}_{i,j}\circ F^{-1}$ 构造解空间, 并要求 $p=q\ge 2$ 以保证 $H^2$ 协调性. 与经典 NURBS 等几何分析不同, 这里几何和控制点、权重在 $h$、$p$、$k$ 细化时保持固定, 只需细化用于场近似的 B 样条基函数. 这既避免了更新几何控制网, 又使误差分析可以基于固定的几何映射 $F$ 进行. 边界条件 $u=\partial u/\partial\nu=0$ 通过取 $V_h=\tilde V_h\cap H^2_0(\Omega)$ 强加. 第三, 物理域 B 样条投影误差估计. 这是处理几何映射和低正则性的关键. 作者先在参数域定义 B 样条空间 $S_h$ 及对偶泛函投影 $\Pi_{S_h}$, 再通过几何映射拉回到物理域定义 $\Pi_{\tilde V_h}$. 定理 3.1 的局部估计显式包含 $\|\nabla F\|_{L^\infty}$ 的负幂次, 反映几何映射畸变对逼近误差的影响; 定理 3.2 在网格形状正则和连续性条件 $\ell\le r_{\min}+1$ 下得到全局 $h^{\min\{p+1,s\}-\ell}$ 阶估计. 由于源问题解通常只有 $H^{2+\sigma}$ 正则性, $\sigma\in(0,1]$, 标准整数阶估计不够用. 定理 3.3 采用 Banach 空间实插值: 在 $E_0=H^2$ 和 $E_1=H^3$ 上分别有 $h^{2-\ell}$ 和 $h^{3-\ell}$ 的算子范数估计, 由 $[H^2,H^3]_{\sigma,2}=H^{2+\sigma}$ 插值得到 $h^{2+\sigma-\ell}$ 阶. 这是后续谱逼近误差估计的基础. 第四, 谱逼近理论. 作者计划使用紧非自伴算子谱逼近理论, 比较连续解算子 $T$ 与离散解算子 $T_h$, 并处理伴随算子 $T^*$ 和 $T_h^*$. 非自伴性意味着左右特征函数不同, 谱投影非正交, 因此需要双正交基或广义谱投影. 通常的技术步骤包括: 证明 $\|T-T_h\|_{\mathcal{L}(\mathcal{H})}\to 0$; 对目标特征值建立隔离性; 使用谱投影算子比较特征函数; 再推导特征值误差. 对于二次线性化后的块算子, 还要确保 $\lambda=0$ 不进入谱, 以及 $z=-\lambda u$ 的辅助变量不引入伪特征值. 作者在文本中已指出 $k=0$ 不是原问题特征值, 且 $\mu\neq 0$ 时 $(0,z)$ 不是特征函数. 然而, 从提供的 PDF 内容看, 第 4 节中谱逼近的具体展开、谱投影的构造、非自伴情形下的对偶性处理、特征值误差与特征函数误差的最终阶数及其证明细节尚未给出. 第五, 数值验证. 摘要说明论文给出二维和三维基准问题, 包括弯曲区域, 用于验证理论结果并展示方法在精度和几何灵活性上的优势. 但提供的文本未包含数值表格、收敛曲线和三维算例细节, 因此无法确认实际收敛阶、计算代价和与已有方法的定量比较. 总体而言, 真正创新点在于: 用 GIFT 的高连续 B 样条构造 $H^2$ 协调空间, 避免三维 $C^1$ 有限元的困难; 用固定几何映射和物理域投影估计处理弯曲区域; 用线性化和紧非自伴谱逼近把误差分析化归为解算子逼近. 这些步骤环环相扣, 而不是泛泛的能量估计或紧性论证.

4. 与之前工作的比较

与已有工作相比, 本文的推进可以从几个维度理解. 第一, 与 $H^2$ 协调有限元方法相比. 已有工作使用 Argyris 元素或 Bogner-Fox-Schmit 元素直接离散四阶问题, 见文献 [45,14,29,24]. 这类方法在二维多面体区域上有效, 但 $C^1$ 有限元构造本身复杂, 在三维中尤其困难, 且弯曲边界通常需要用多边形逼近, 导致几何误差可能限制高阶收敛. 本文使用 B 样条基函数, 天然具有高阶连续性和局部支撑, 可以方便地构造 $H^2_0$ 协调空间, 并通过 NURBS 几何映射精确表示弯曲边界. 因此, 在几何灵活性、三维可实现性和高阶精度方面, 本文相对经典 $C^1$ 有限元有明确推进. 第二, 与混合有限元、非协调有限元、间断 Galerkin 方法和 $C^0$ 线性有限元梯度恢复方法相比. 这些方法见 [18,28,52,51]、[54,30,50,55]、[21,32,49] 和 [15]. 它们避免直接构造 $C^1$ 基函数, 但代价是引入额外未知量、鞍点结构、稳定化参数、惩罚项、非协调一致性误差或梯度恢复算子. 本文回归 $H^2$ 协调框架, 但用等几何样条实现, 不需要这些额外机制. 其代价是需要样条参数化和几何映射的规则性假设, 例如 $F$ 可逆且光滑、网格形状正则等. 第三, 与虚拟元方法相比. 文献 [36,38,33] 发展了 $C^1$ 虚拟元, [34] 发展了混合虚拟元. 特别是 [38] 也使用了与本文相同的线性化技术来建立离散透射特征值的误差估计. 本文与虚拟元方法的共同点是都采用线性化四阶问题到 $H^2_0\times L^2$ 的框架, 但差异在于离散空间: 虚拟元可处理一般多边形网格, 而等几何方法使用样条基和 NURBS 几何, 对 CAD 描述的弯曲区域可精确表示, 几何误差更小, 且高阶连续基函数构造直接. 从提供内容看, 作者明确说与这些方法相比, GIFT 方案在几何上更灵活. 第四, 与谱方法相比. 针对圆盘、球、柱等特殊弯曲域, 谱方法可以达到谱收敛, 见 [2,47,48]. 但这类方法依赖特殊区域的坐标分离或特殊基函数, 推广到一般弯曲域并不容易. 本文面向一般弯曲有界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$), 只要区域可由 NURBS 精确参数化, 方法即可使用. 不过, 等几何方法得到的是 $h$ 型代数收敛阶, 而不是谱方法的指数收敛; 在特殊区域上, 谱方法可能仍然更高效. 第五, 与 NURBS 等几何分析相比. 经典 NURBS 等几何分析用同一组 NURBS 基同时表示几何和解. 本文采用 GIFT 方案, 几何用 NURBS, 解用 B 样条, 因此在 $h$、$p$、$k$ 细化时不需要更新几何控制点和权重. 作者认为这使其比经典 NURBS 等几何分析更容易实现、更高效. 代价是几何映射 $F$ 固定, 解空间和几何空间不一致, 误差分析需要额外的物理域投影估计, 即定理 3.1 至 3.3. 第六, 关于弯曲边界精度退化. 作者指出已有方法在多面体区域表现优异, 但在弯曲边界区域精度可能退化, 见 [14,52]. 本文通过 NURBS 精确几何和 GIFT 离散试图解决这一问题. 摘要声称数值结果展示了在精度和几何灵活性上优于已有数值方法, 但提供的 PDF 未包含数值对比, 因此无法确认优势的具体幅度, 也无法判断与谱方法在特殊区域上的效率差异. 第七, 假设与适用范围. 本文假设 $n\in L^\infty(\Omega)$, $n-1\ge\alpha>0$ a.e. 或 $n<1$ 的类似情形; $\Omega$ 有 Lipschitz 边界且可被 NURBS 精确参数化; 几何映射 $F$ 在每个参数单元上可逆且光滑; 网格形状正则. 与一些仅适用于多面体区域或特殊弯曲区域的方法相比, 这些假设扩大了适用范围, 但仍排除无法精确 NURBS 参数化或几何映射高度畸变的区域. 第八, 误差分析框架的继承与差异. 本文的线性化技术来自 [53], 并已被虚拟元 [38,34]、混合有限元 [52]、非协调有限元 [54,55] 等使用. 因此, 从方法论看, 线性化本身不是全新; 本文的新意在于把该框架与 GIFT 等几何离散结合, 并建立相应的物理域 B 样条投影估计和 $H^2$ 协调离散空间. 谱逼近理论引用 [41,4], 属于紧非自伴算子谱逼近的标准工具. 作者需要克服的新困难主要来自等几何几何映射和 $H^2$ 协调样条空间的构造. 最后, 由于提供的 PDF 只到第 10 页, 第 4 节主定理和第 5 节数值实验未包含, 因此无法比较本文与已有方法在相同算例上的具体误差常数、收敛阶、自由度和计算时间, 也无法确认作者是否进行了系统的定量对比. 从现有文本可以确认的比较结论是: 本文在几何灵活性、弯曲区域精确表示、避免三维 $C^1$ 有限元构造以及 GIFT 实现效率方面具有潜在优势; 其局限是依赖样条几何参数化, 收敛阶为 $h$ 型, 且完整误差估计与数值验证在提供文本中尚未展开.

2. 不规则区域上 Allen-Cahn 和 Cahn-Hilliard 方程的无核边界积分方法

Kernel-free Boundary Integral Methods for Allen-Cahn and Cahn-Hilliard Equations on Irregular Domains

作者: Xinru Liu, Pensong Yin, Wenjun Ying, Yulin Zhang

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-18

arXiv ID: 2609.21295v1

摘要翻译: 针对二维和三维不规则区域上具有齐次无通量边界条件的 Allen-Cahn 和 Cahn-Hilliard 方程，提出一个统一的无核边界积分 (KFBI) 框架。采用稳定化一阶隐式-显式 (IMEX) 离散后，Allen-Cahn 更新归结为一个 Neumann 修正 Helmholtz 问题。通过辅助变量重构，Cahn-Hilliard 更新被化为同一类型的子问题，而无需计算非线性源的 Laplacian。Cahn-Hilliard 更新需要针对实平移进行两次顺序求解，而复共轭平移允许通过单次复求解重构实值解。所有子问题均由同一个 KFBI 求解器处理，该求解器通过等价界面问题间接计算势。为校正 Cahn-Hilliard 更新中的离散质量缺陷，构造了一个几何加权的离散 $Lš$ 质量投影，其针对 KFBI 对不规则边界的处理方式定制。外部重叠权重被重新分配到物理节点，从而将辅助 KFBI 延拓值从质量计算中排除。数值实验表明二阶空间收敛、成对时间误差指标的一阶收敛，以及预定离散质量的保持。所报告的无源模拟呈现出能量衰减，且投影引起的累积能量扰动相对于观察到的耗散保持较小。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2609.21295v1

1. 研究对象和背景

相场模型通过扩散界面描述两相或多相演化, 在相分离, 凝固, 晶粒生长, 微结构演化和多相流中有广泛应用. 本文研究有界不规则区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 上的两个经典相场方程, 其中 $\partial\Omega$ 光滑但不规则, 并施加齐次无通量边界条件. Allen-Cahn 方程是非守恒的 $L^2$ 梯度流, 其形式为 \n

$$\partial_t u=\varepsilon\Delta u-\varepsilon^{-1}f(u),\quad (x,t)\in\Omega_T=\Omega\times(0,T),$$

$$u(x,0)=u_0(x),\quad x\in\Omega,\qquad \partial_n u=0,\quad (x,t)\in\partial\Omega\times(0,T),$$

\n其中 $F(u)=\frac14(u^2-1)^2$ 是双井势, $f(u)=F'(u)$, $\varepsilon>0$ 是界面厚度参数, $n$ 是外单位法向. Cahn-Hilliard 方程是守恒的 $H^{-1}$ 梯度流, 写作二阶-四阶系统 \n

$$\partial_t u=\Delta\mu,\quad \mu=\varepsilon^{-1}f(u)-\varepsilon\Delta u,\quad (x,t)\in\Omega_T,$$

$$u(x,0)=u_0(x),\quad x\in\Omega,\qquad \partial_n u=\partial_n\mu=0,\quad (x,t)\in\partial\Omega\times(0,T).$$

\n两方程都耗散 Ginzburg-Landau 自由能 $E(u)=\int_\Omega (\frac{\varepsilon}{2}|\nabla u|^2+\varepsilon^{-1}F(u))dx$, 且无源 Cahn-Hilliard 方程保持质量 $\int_\Omega u(x,t)dx=\int_\Omega u_0(x)dx$. 小参数 $\varepsilon$ 与双井势导致强刚性, 因而凸分裂和稳定化半隐式或隐式-显式 (IMEX) 格式被广泛使用. 本文采用稳定化一阶 IMEX 离散, 将 Allen-Cahn 与 Cahn-Hilliard 更新分别化为 modified Helmholtz 与 modified bi-Helmholtz 问题. 空间离散的核心困难是: 在不规则区域上, 既要处理无通量边界, 又要保证高效椭圆求解和 Cahn-Hilliard 的质量守恒. 规则区域可用有限差分和谱方法获得高阶精度和快速求解; 复杂区域常用有限元, 有限体积, 混合有限元, 间断 Galerkin, 或边界积分, 嵌入边界, 浸入边界, cut-cell, diffuse-domain 方法. 经典边界积分方法显式使用 Green 函数和奇异求积, 对不规则区域和四阶 Cahn-Hilliard 方程的成功应用有限. 无核边界积分 (KFBI) 方法通过笛卡尔网格上的等价界面问题间接计算体积势和边界势, 避免显式 Green 函数和直接奇异求积, 同时保留 FFT 快速椭圆求解器. 已有 KFBI 工作 Zeng 和 Xie 处理了二维不规则区域 Allen-Cahn 方程的齐次 Dirichlet 边界. 本文试图补的空白是: 为二维和三维不规则区域上的齐次无通量 Allen-Cahn 与 Cahn-Hilliard 方程建立统一 KFBI 框架; 对 Cahn-Hilliard 更新引入辅助变量降阶, 避免计算非线性源的 Laplacian; 对实 shift 和复共轭 shift 给出统一处理; 并在全离散 KFBI 中构造几何加权质量投影以修正质量缺陷. 因此, 本文的研究对象不只是单个时间推进格式, 而是把相场方程的时间离散, 边界积分约化, 笛卡尔网格界面求解和质量约束投影组合成一个可复用的求解框架.

2. 主要定理或主要结果

从提供内容看, 论文没有以编号定理形式给出完整的全离散收敛定理, 主要结果由离散格式推导, 边界积分约化, 质量投影构造和数值验证组成. 第一, 稳定一阶 IMEX 离散将 Allen-Cahn 更新写成 \n

$$\left(\frac1\tau+\varepsilon^{-1}s-\varepsilon\Delta\right)u^{n+1}=\left(\frac1\tau+\varepsilon^{-1}s\right)u^n-\varepsilon^{-1}f(u^n),\quad \partial_n u^{n+1}=0,$$

\n等价地 \n

$$(\Delta-\lambda^2)u^{n+1}=q^n,\quad \partial_n u^{n+1}=0,$$

\n其中 $\lambda^2=\varepsilon^{-2}s+\tau^{-1}\varepsilon^{-1}$, $q^n=\varepsilon^{-2}f(u^n)-\lambda^2u^n$. 因此 Allen-Cahn 每步只需一个正实 shift 的 Neumann modified Helmholtz 问题. 第二, 对 Cahn-Hilliard 更新, 作者引入 $b=s\varepsilon^{-2}$, $c=\tau^{-1}\varepsilon^{-1}$, $D=b^2-4c$, 并令 $\lambda_1^2,\lambda_2^2$ 为方程 $x^2-bx+c=0$ 的根. 通过辅助变量 \n

$$z=(\Delta-\lambda_2^2)u^{n+1}-f_2=\lambda_1^2u^{n+1}-\varepsilon^{-1}\mu^{n+1},$$

\n其中 $f_2=((u^n)^3-(1+s)u^n)\varepsilon^{-2}$, 四阶 Cahn-Hilliard 更新被约化为两个二阶 Neumann modified Helmholtz 问题: \n

$$(\Delta-\lambda_1^2)z=c u^n+\lambda_1^2 f_2,\quad \partial_n z=0,$$

$$(\Delta-\lambda_2^2)u^{n+1}=z+f_2,\quad \partial_n u^{n+1}=0.$$

\n这个约化的关键结论是 $\Delta f_2$ 在离散前被消去, 避免对非线性源直接求 Laplacian. 第三, 两个 shift 的类型由判别式决定. 文中给出 $D=b^2-4c=s^2\varepsilon^{-4}(1-\tau_c/\tau)$, $\tau_c=4\varepsilon^3s^{-2}$. 当 $\tau>\tau_c$ 时两个 shift 为互异正实数, 需要两次顺序 KFBI 求解; 当 $\tau=\tau_c$ 时 shift 重合; 当 $0<\tau<\tau_c$ 时 $\lambda_1^2,\lambda_2^2$ 为复共轭, 记为 $\alpha=a+\mathrm{i}\eta$, $\eta=\sqrt{-D}/2>0$. 作者指出此时只需做一次复 shift KFBI 求解, 因为 $\operatorname{Im}z=\eta u^{n+1}$, 于是 \n

$$u^{n+1}=\frac{\operatorname{Im}z}{\eta}.$$

\n这避免第二次复求解并直接由虚部恢复实值相场. 第四, 对每个 shift, 利用嵌入盒 $B$ 上满足 $LG=\delta$ 且 $G=0$ 于 $\partial B$ 的 modified Helmholtz Green 函数, 将解表示为 Yukawa 体积势和单层势之和. 对 Allen-Cahn, 密度满足第二类 Fredholm 边界积分方程 \n

$$\frac12\psi-\partial_n\int_{\partial\Omega}G(x,y)\psi(y)ds_y=-\partial_n\int_\Omega G(x,y)q^n(y)dy.$$

\n对 Cahn-Hilliard, 两个 shift 对应两个同类边界积分方程, 分别确定 $\psi_1$ 和 $\psi_2$. 第五, KFBI 部分不显式求这些势, 而是通过等价界面问题 \n

$$(\Delta-\lambda^2)u=F\ \text{in }B\setminus\partial\Omega,\quad [[u]]=\Phi,\quad [[\partial_n u]]=\Psi,\quad u=0\ \text{on }\partial B,$$

\n来间接计算体积势和单层势: 对体积势取 $F=f$ 于 $\Omega$, $0$ 于外部, $\Phi=\Psi=0$; 对单层势取 $F=\Phi=0$, $\Psi=-\psi$. 因此 Allen-Cahn 求解器, 实 shift Cahn-Hilliard 求解器和复 shift Cahn-Hilliard 求解器共享同一空间求解架构. 第六, 对 Cahn-Hilliard 的全离散质量缺陷, 作者构造几何加权离散 $L^2$ 质量投影. 设物理节点集为 $I_h$, 权重 $\omega_i>0$, 离散质量 $M_h(v_h)=\sum_{i\in I_h}\omega_i v_i$, 目标质量 $M_h^\star=M_h(u_h^0)$. 临时 KFBI-IMEX 更新为 $\tilde u_h^{n+1}$, 缺陷为 $d_h^{n+1}=M_h(\tilde u_h^{n+1})-M_h^\star$. 投影使用同一套几何权重, 把外部 cut-control-volume 权重重新分配给相邻物理节点, 排除 KFBI 的辅助延拓值; 由此得到空间均匀的最小加权范数修正, 恢复指定离散质量, 且不需要额外求解椭圆问题. 第七, 数值实验报告: 二维和三维制造解情形下空间二阶收敛, 成对时间误差指标一阶收敛; Cahn-Hilliard 质量投影保持指定离散质量; 无源模拟中两个方程均观察到能量衰减, 投影引起的累积能量扰动相对于能量耗散较小. 文中还引用了已有结论: 对 Allen-Cahn 稳定 IMEX 加二阶中心差分, 在 $s\ge2$ 且 $\|u_0\|_{L^\infty}\le1$ 时满足离散最大界 $\|u^{n+1}\|_{L^\infty}\le1$ 并能量稳定; 对 Cahn-Hilliard 时间离散空间连续格式, 在 He, Liu 和 Tang 给出的依赖连续两时间层数值解的充分条件下满足 $E(u^{n+1})\le E(u^n)$. 本文实验统一取 $s=2$. 需要强调, 上述最大界和能量耗散条件来自已有文献, 并非本文新证明; 本文对全离散 KFBI-IMEX 的能量行为主要通过数值实验评估, 从提供内容中无法确认作者给出了完整的全离散能量稳定性定理.

3. 研究方法、关键技术和核心工具

链接: http://arxiv.org/abs/2609.21175v1

摘要翻译

中文标题: 近晶-A液晶的二阶保结构指数积分器方法的能量稳定性与误差估计

摘要翻译: 本文中，我们针对近晶-A（SmA）液晶的修正 Landau–de Gennes 模型，建立了一个二阶、线性、解耦且保结构的数值格式。主要贡献有三方面。第一，据我们所知，我们首次将广义标量辅助变量（GSAV）方法与二阶指数时间差分 Runge–Kutta（ETDRK2）离散相结合，提出了一个二阶 GSAV–ETD2 格式。第二，我们证明了所提格式满足无条件能量耗散律，从而弥补了此类二阶 GSAV 指数积分器在能量稳定性分析方面的理论空白。第三，通过推导一个强制性的离散重构，我们建立了全离散误差估计，且无需对 $τ$ 与 $h$ 施加任何耦合条件，达到了最优收敛率 $\mathcal{O}(τ^2+h^2)$。给出了数值实验以验证我们的理论结果，并模拟 SmA 相的自组装动力学。

不相关论文（基本信息）

1. 曲边网格上的有限体积元法

Finite Volume Element Method on Curved-Edge Meshes

作者: Xiaoxiao Chen, Zexi Hu, Zhiming Gao, Junliang Lv, Xiang Wang, Hongtao Yang

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-18

arXiv ID: 2609.21719v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.21719v1

摘要: This paper proposes and analyzes a high-order finite volume element method on curved-edge quadrilateral meshes for elliptic equations. Unlike existing theories, which are primarily based on straight-edge meshes, this study is the first to establish an analysis of the stability and optimal convergence of the finite volume method on curved-edge meshes. By constructing a dual mesh based on Gaussian points, we overcome the accuracy degradation issues caused by geometric deformation and Jacobian non-uniformity of curved-edge meshes. We prove the coercivity of the discrete bilinear form under weak mesh regularity conditions, thereby obtaining an optimal error estimate in the energy norm. Furthermore, using orthogonality and the Aubin-Nitsche technique, we derive an optimal $L^2$ error estimate. Numerical experiments cover problems with constant and anisotropic coefficients, different dual partition strategies, complex curved boundary domains, and interfaces with large deformations. Numerical results indicate that this method consistently achieves the optimal convergence order in both the $H^1$ and $L^2$ norms on a variety of curved-edge meshes. Compared to straight-edge meshes, curved-edge meshes offer significant advantages in approximating complex curved boundaries and demonstrate better resistance to distortion in cases involving sudden changes in coefficients and large deformations at interfaces. This paper provides a unified theoretical framework for the finite volume element method on curved-edge meshes and verifies the efficiency and robustness of the proposed method.

2. 积分化学反应神经网络

Integral chemical reaction neural networks

作者: Abraham Reyes-Velázquez, Stefan Güttel

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-18

arXiv ID: 2609.21715v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.21715v1

摘要: Discovering the structure and kinetics of chemical reaction networks (CRNs) from time-series concentration data is a fundamental challenge in chemical kinetics, with existing approaches relying on prior mechanistic assumptions or suffering from high computational cost and noise sensitivity. In this work, we present integral chemical reaction neural networks (iCRNNs), a framework that combines the interpretable, physics-constrained, architecture of chemical reaction neural networks (CRNNs) with an integral collocation formulation of the governing dynamics. Rather than solving ODEs forward in time at each training step, we approximate the integral of the learned rate functions directly using numerical quadrature. This yields an entirely algebraic forward pass consisting only of matrix operations, eliminating the repeated adaptive ODE solves of standard CRNN and producing smoother, more predictable training. We provide a recovery error analysis characterising the structural sources of ill-conditioning (conservation laws, reaction reversibility, and shared reactant sets) that limit network identifiability. On two benchmark CRNs, iCRNN trains in roughly half the wall-clock time of the baseline CRNN method on a four-species mechanism and between three and four times faster on a five-species mechanism, while completing every training run reliably and attaining comparable or lower loss.

3. 子空间迭代的逐元素收敛行为

Element-wise Convergence Behavior of Subspace Iteration

作者: Mingyang Zhao

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-18

arXiv ID: 2609.21540v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.21540v1

摘要: This paper studies the element-wise convergence behavior of subspace iteration. All results are established for both (\mathbb{F}=\mathbb{R}) and (\mathbb{F}=\mathbb{C}). For a diagonal matrix (Λ=\mathrm{diag}(λ_1,\ldots,λ_n)) with (|λ_1|>\cdots>|λ_n|>0), we analyze the modulus of each entry of the iterative matrix sequence generated by subspace iteration, both without and with the Rayleigh–Ritz procedure. Under mild assumptions on the initial matrix (X\in\mathbb{F}^{n\times m}), we first derive exact asymptotic expressions for (|Q_k(i,j)|) in the subspace iteration without the Rayleigh–Ritz procedure: entries with (i\neq j) decay as ((|λ_{\max{i,j}}|/|λ_{\min{i,j}}|)^k), and the deviation of (|Q_k(j,j)|) from (1) decays as (\max{|λ_j|/|λ_{j-1}|,|λ_{j+1}|/|λ_j|}^{2k}), with explicit coefficients determined by the LU factorization of (X). For the Rayleigh–Ritz variant, we obtain element-wise bounds for the normalized Ritz vectors (Z_k). Specifically, for (|Z_k(i,j)|), off-diagonal entries with (i\geq m+1) decay as ((|λ_i|/|λ_j|)^k), off-diagonal entries with (i\leq m) decay as ((|λ_{m+1}|^2/(|λ_i||λ_j|))^k), and the deviation of (|Z_k(j,j)|) from (1) decays as ((|λ_{m+1}|/|λ_j|)^{2k}). These results give an element-wise description of the convergence behavior of subspace iteration. After an orthogonal or unitary change of basis, the results apply to real symmetric or complex normal matrices.

4. 动网格上变密度 Cahn–Hilliard–Navier–Stokes 流动的历史相容能量稳定有限元格式

History-Compatible Energy-Stable Finite Element Schemes for Variable-Density Cahn–Hilliard–Navier–Stokes Flows on Evolving Meshes

作者: Wenbin Wang, Yunqing Huang, Yin Yang, Huayi Wei

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-18

arXiv ID: 2609.21328v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.21328v1

摘要: We consider variable-density Cahn–Hilliard–Navier–Stokes (CHNS) discretizations on finite element meshes that may change between accepted time levels through fixed-topology motion or topology-changing remeshing. When the discrete spaces vary in time, the phase, kinetic, and pressure histories entering a multistep scheme are measured in different discrete structures and cannot, in general, be transferred by a single operator. We develop decoupled backward Euler (BE) and second-order backward differentiation formula (BDF2) schemes by combining exact physical cross-mesh pairings with history representations compatible with the corresponding phase-energy, kinetic-energy, and pressure-gradient storages. The phase update also determines an Abels–Garcke–Grün-consistent mass flux used in the momentum transport. A scalar capillary-exchange equation separates the phase and fluid solves while retaining the discrete energy exchange. The resulting field subproblems are linear, the scalar equation has a unique positive solution, and the schemes satisfy modified energy balances without a time-step restriction under the stated admissibility assumptions. Numerical experiments confirm second-order temporal convergence under both mesh updates, phase-mass conservation, modified-energy decay in the unforced tests, and comparable Rayleigh–Taylor and rising-bubble dynamics.

5. 用于大规模离散时间非对称代数 Riccati 方程数值求解的低秩 ADI 算法

A Low-rank ADI Algorithm for the Numerical Solution of Large Discrete-time Non-symmetric Algebraic Riccati Equations

作者: Umair Zulfiqar

类别: math.NA, eess.SY

发布日期: 2026-09-18

arXiv ID: 2609.21282v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.21282v1

摘要: Discrete-time non-symmetric algebraic Riccati equations (DTNAREs) arise in game-theoretic computations of Nash equilibria. Solving such equations at large scale is often computationally prohibitive. This paper develops a numerical approach for large-scale DTNAREs whose solutions are low rank. A low-rank alternating direction implicit (ADI) method is introduced that recursively constructs a low-rank stabilizing solution without explicitly solving any projected DTNARE. Through the pole-placement property of the low-rank ADI iteration, the method ensures that the implicitly solved projected DTNARE always admits a stabilizing solution. An automatic shift-generation strategy is also developed for the ADI iterations. Once an initial shift is provided, the algorithm computes the low-rank solution without further user intervention. Numerical experiments on DTNAREs with dimensions between (10^6) and (10^7) demonstrate the accuracy and efficiency of the method. The results confirm that the proposed low-rank ADI algorithm is an effective solver for large-scale DTNAREs that would otherwise be computationally prohibitive.

6. 用于 Muon 与半定规划中无分解矩阵滤波的谱收缩

Spectral Deflation for Factorization-Free Matrix Filtering in Muon and Semidefinite Programming

作者: Haoran Sun, Shucheng Kang, Heng Yang

类别: math.OC, math.NA

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.21102v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.21102v1

摘要: GPU implementations of the Muon optimizer and of first-order semidefinite programming (SDP) solvers share one computational pattern: a matrix factorization is replaced by a fixed-depth polynomial filter applied after normalization. When a few dominant spectral components carry most of the input’s scale, normalization pushes the remaining spectrum toward zero, where the filter is least accurate. We propose spectral deflation: estimate the dominant components, remove them, filter the normalized residual with the unchanged filter, and restore them. Deflation preserves the target matrix function, and we prove that it strictly reduces the finite-step error of the classical Newton–Schulz family. Implemented with batched randomized SVD for Muon and warm-started subspace tracking for ADMM, deflation consistently improves GPT-2 pretraining over the corresponding Muon baselines with both the Newton–Schulz and Polar Express mappings, also in wall-clock time, and lowers the KKT residuals of factorization-free ADMM on large-scale SDPs within a similar projection time.

7. Stiefel-AdamW：面向线性因子分解块的几何感知 AdamW

Stiefel-AdamW: Geometry-Aware AdamW for Linear Factorization Blocks

作者: Emanuele Zangrando, Marco Sutti, Francesco Tudisco

类别: cs.LG, math.NA

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.21039v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.21039v1

摘要: A pervasive structural pattern in modern deep learning is the linear factorization block: a submodule of the form $W = BA$ in which two parameter matrices are multiplied directly, with no intervening nonlinearity. Such blocks appear in LoRA adapters, low-rank compressed layers, query-key products of self-attention, and share a common pathology: the factorization is non-unique, which can destabilize training and limit usable learning rates. Despite this, factorization blocks are typically optimized with standard Euclidean methods that ignore the underlying geometry. We introduce Stiefel-AdamW, a near drop-in replacement for AdamW for use wherever such blocks appear. By constraining one factor on the Stiefel manifold while leaving the other Euclidean, Stiefel-AdamW relaxes the full $\mathrm{GL}(\mathbb{R}^r)$ gauge symmetry to a compact orthogonal symmetry, ruling out factor blow-up while retaining the coordinate-wise diagonal preconditioning that gives AdamW its practical strength. Moment estimation is performed in the ambient Euclidean space, with geometry entering only through a tangent-space projection and a manifold retraction. The implementation overhead over AdamW is minimal, and we show that the resulting optimizer inherits both the stability benefits of Riemannian methods and standard convergence guarantees. We validate Stiefel-AdamW on LoRA-style fine-tuning of GPT2, ViT, and Mistral 7B and on full pretraining of GPT2 on OpenWebText, showing consistent improvements over strong baselines at essentially no additional cost over AdamW.

8. 指数函数的重极点有理逼近的一致 Chebyshev 渐近

Uniform Chebyshev asymptotics for repeated-pole rational approximation of the exponential

作者: Fei Xue, Tianqi Zhang

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-17

arXiv ID: 2609.21028v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.21028v1

摘要: We study uniform approximation of $\exp(tz)$, $t>0$, on $(-\infty,0]$ by rational functions $P_m(z)/(q_m-z)^m$ with a prescribed repeated pole $q_m>0$. A Möbius transformation reduces the problem to polynomial approximation of $F_λ(x)=\exp\!\left(-λ\frac{1-x}{1+x}\right)$ on $[-1,1]$, where $λ=tq_m$. We derive a uniform two-saddle asymptotic formula for the Chebyshev coefficients, including explicit amplitude and phase and a relative remainder for each localized complex saddle contribution, covering fixed, sublinear, and linear pole scalings away from saddle coalescence. Because the two saddle contributions can cancel in a single coefficient, we pass to a growing block of neighboring coefficients and prove that the whole block cannot cancel. This transfers the coefficient asymptotics to approximation errors. For $q_m=(α/t)m$, $0<α<3\sqrt3/2$, the best uniform error has two-sided order $m^{-1/2}H_e(α)^m$; at the optimal ratio $α=1/\sqrt2$ this becomes $m^{-1/2}(\sqrt2-1)^m$. The normalized Chebyshev-weighted $L^2$ projection error has an explicit bounded oscillatory profile. These prefactor-resolved estimates yield a two-term precision-to-work law and quantify mismatch between pole-design and stopping degrees. Finally, the scalar error gives an exact worst-case matrix-action benchmark for self-adjoint negative semidefinite matrices and dimension-independent shift-and-invert Krylov bounds.

重点关注论文（完整分析）#

1. Helmholtz 传输特征值问题的等几何分析#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

2. 不规则区域上 Allen-Cahn 和 Cahn-Hilliard 方程的无核边界积分方法#

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了解领域论文（摘要翻译）#

1. 高维非线性随机对流扩散方程的全离散 LDG-IMEX 方法的高阶矩稳定性与误差分析#

摘要翻译#

2. 用于开曲线与闭曲线的曲线缩短流的滤波时间步进格式#

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3. 曲线缩短流的经典 BGN 格式的切向稳定性与全离散收敛性#

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4. Allen–Cahn型梯度流的二阶保最大界与能量稳定的指数时间差分方法#

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5. 具有动态边界条件的椭圆问题的 Crank Nicolson 型格式的先验和后验误差估计#

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6. FrFNO：将解析 Mittag-Leffler 传播子注入到用于时空分数阶偏微分方程的分辨率鲁棒神经算子#

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7. 非线性孔隙弹性的变分模型#

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