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1. Eigendamage：一种用于反平面剪切变形中内聚断裂变分逼近的本征变形模型

Eigendamage: an Eigendeformation model for the variational approximation of cohesive fracture in antiplane shear deformations

作者: Veronika Auer-Volkmann, Lisa Beck, Bernd Schmidt

类别: math.AP, math.NA

发布日期: 2026-09-24

arXiv ID: 2609.29734v1

摘要翻译: 我们建立并研究了一种用于反平面剪切变形中内聚断裂变分理论的逼近格式。我们考虑一族作用于一般维数标量值函数的泛函，它们依赖于小参数 $0 < \varepsilon \ll 1$ 以及两个场：位移场的弹性部分和一个描述材料超出弹性范围的非弹性响应的本征变形场。我们通过一个非局部能量泛函来度量后者的非弹性贡献。我们的主要结果表明，当 $\varepsilon \to 0$ 时，近似泛函 $Γ$-收敛到一个内聚区模型。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2609.29734v1

1. 研究对象和背景

本文研究反平面剪切变形下韧性材料内聚断裂的变分近似。设 $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ 为有界开集，$d\ge 1$，边界 Lipschitz。反平面剪切用标量位移 $u:\Omega\to\mathbb{R}$ 描述，而材料在弹性范围之外的非弹性响应由特征变形场 $\gamma$ 表示，$\gamma$ 是 $\Omega$ 上 $\mathbb{R}^d$ 值 Radon 测度。近似模型取小参数 $0<\varepsilon\ll 1$，考虑双场 $(u_\varepsilon,\gamma_\varepsilon)$，其中 $\gamma_\varepsilon=g_\varepsilon\mathcal{L}^d$。对 $u\in W^{1,1}(\Omega)$、$\|u\|_{L^\infty(\Omega)}\le K$、$g\in L^1(\Omega,\mathbb{R}^d)$ 且 $\nabla u-g\in L^2(\Omega,\mathbb{R}^d)$，定义近似能量

$$E_\varepsilon(u,\gamma)=\int_\Omega |\nabla u-g|^2\,dx+\frac{1}{\varepsilon}\int_\Omega f\left(\varepsilon-\int_{B_\varepsilon(x)\cap\Omega}|g|\,dy\right)dx,$$

否则取 $+\infty$。这里 $f$ 是最简单的连续线性增长截断函数：$f(t)=c_0 t$ 当 $t<1$，$f(t)=c_0$ 当 $t\ge 1$，其中 $c_0>0$ 固定。第一项是弹性应变能，$\nabla u-g$ 表示弹性应变；$\gamma=g\mathcal{L}^d$ 描述超过弹性范围后的永久非弹性变形。第二项是非局部能量，通过在半径 $\varepsilon$ 的球 $B_\varepsilon(x)$ 上平均 $|g|$ 来惩罚非弹性贡献。

本文的核心问题是研究 $\{E_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ 在 $\varepsilon\to0$ 时的渐近行为，并识别其 $\Gamma$-极限。极限构型取 $u\in BV(\Omega)$、$\gamma\in\mathcal{M}(\Omega,\mathbb{R}^d)$。若 $u\in BV(\Omega)$、$\|u\|_{L^\infty(\Omega)}\le K$、$\gamma=D^s u+g\mathcal{L}^d$、$g\in L^1(\Omega,\mathbb{R}^d)$ 且 $\nabla u-g\in L^2(\Omega,\mathbb{R}^d)$，则极限能量为

$$E(u,\gamma)=\int_\Omega |\nabla u-g|^2\,dx+c_0\int_\Omega |g|\,dx+\int_{J_u}\theta([u])\,d\mathcal{H}^{d-1}+c_0|D^c u|(\Omega),$$

否则取 $+\infty$。其中 $D u=\nabla u\mathcal{L}^d+[u]\nu_u\mathcal{H}^{d-1}\lfloor J_u+D^c u$，$J_u$ 是跳集，$[u]$ 是裂缝开度，$D^c u$ 是 Cantor 部分。函数 $\theta$ 由

$$\theta(t)=2\int_0^1 f\left(\frac{\omega_{d-1}}{\omega_d}(1-s^2)^{\frac{d-1}{2}}|t|\right)ds$$

定义，$\omega_k$ 为 $\mathbb{R}^k$ 中单位球体积；当 $d=1$ 时 $\theta(t)=f(|t|/2)$，与已有的一维梁情形相衔接。由 Fubini 公式和 $f$ 的凹性可知，$\theta(t)$ 与 $\min\{|t|,1\}$ 上下等价。

该模型的物理与分析重要性在于：它试图在反平面剪切框架中统一描述弹性、塑性和断裂三种机制。传统相场或损伤模型通常引入显式损伤变量，并让本构关系依赖该变量；而特征变形模型把损伤增长与从弹性场向非弹性特征变形场的过渡联系起来，不显式构造损伤变量。与脆性 Griffith 型模型不同，这里体能量密度在无穷远处只有线性增长，表面能也随小裂缝开度线性尺度变化，因此体项与面项之间会发生非平凡耦合。已有理论包括 Francfort-Marigo 的变分断裂理论、Ambrosio-Tortorelli 相场近似、Schmidt 等人的 eigenfracture 模型、Lussardi-Vitali 的非局部应变近似，以及本文作者先前在一维梁中研究的 ABS22 情形。本文试图补上的空白是：将 eigendeformation 型内聚断裂近似从一维推广到一般维反平面剪切，并处理由此产生的 $u_\varepsilon$ 与 $\gamma_\varepsilon$ 之间的强耦合。关键困难在于，两个场仅通过正则性约束 $\nabla u_\varepsilon-\gamma_\varepsilon\in L^2$ 联系，而它们的收敛在负 Sobolev 或 flat 拓扑下非常弱，导致通常的体切片技巧失效。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结论是：在 $L^1(\Omega)$ 强拓扑与 $\mathcal{M}(\Omega,\mathbb{R}^d)$ 的 flat 拓扑乘积空间上，近似泛函族 $\{E_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ $\Gamma$-收敛到内聚区模型能量 $E$。定理 2.1 给出两条不等式。第一，liminf 不等式：对任意序列 $(u_\varepsilon,\gamma_\varepsilon)$，若 $u_\varepsilon\to u$ 在 $L^1(\Omega)$ 中且 $\gamma_\varepsilon\to\gamma$ 在 flat 范数下，则

$$\liminf_{\varepsilon\to0}E_\varepsilon(u_\varepsilon,\gamma_\varepsilon)\ge E(u,\gamma).$$

第二，limsup 不等式：对任意 $(u,\gamma)\in L^1(\Omega)\times\mathcal{M}(\Omega,\mathbb{R}^d)$，存在恢复序列 $(u_\varepsilon,\gamma_\varepsilon)$，使得 $u_\varepsilon\to u$ 在 $L^1(\Omega)$ 中、$\gamma_\varepsilon\to\gamma$ 在 flat 范数下，并且

$$\limsup_{\varepsilon\to0}E_\varepsilon(u_\varepsilon,\gamma_\varepsilon)\le E(u,\gamma).$$

因此 $\{E_\varepsilon\}_\varepsilon$ 的 $\Gamma$-极限正是 $E$。

紧性方面，定理 4.2 断言：若 $E_\varepsilon(u_\varepsilon,\gamma_\varepsilon)\le C_0$ 对所有 $\varepsilon>0$ 成立，则存在 $u\in BV(\Omega)$、$\|u\|_{L^\infty(\Omega)}\le K$ 以及 $\gamma\in\mathcal{M}(\Omega,\mathbb{R}^d)$，使得沿子列 $u_\varepsilon\to u$ 在 $L^1(\Omega)$ 中；并且第二个分量实际上在更强的负 Sobolev 空间 $W^{-1,q}(\Omega,\mathbb{R}^d)$ 中对所有 $1

作为主定理的推论，作者考虑对第二个变量 $\gamma$ 取最小化。定义

$$\tilde E_\varepsilon(u)=\inf_{\gamma\in\mathcal{M}(\Omega,\mathbb{R}^d)}E_\varepsilon(u,\gamma),\qquad \tilde E(u)=\inf_{\gamma\in\mathcal{M}(\Omega,\mathbb{R}^d)}E(u,\gamma).$$

推论 2.2 给出：在 $L^1(\Omega)$ 强拓扑下，$\{\tilde E_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ $\Gamma$-收敛到 $\tilde E$。对固定的 $u\in BV(\Omega)$，极限中优化问题为最小化

$$\int_\Omega |\nabla u-g|^2\,dx+c_0\int_\Omega |g|\,dx$$

于 $g\in L^1(\Omega,\mathbb{R}^d)$。点态最小化给出唯一极小元

$$g^*=\alpha(|\nabla u|)\nabla u,\qquad \alpha(t)=\begin{cases}1-\frac{c_0}{2t},&t>\frac{c_0}{2},\\0,&t\le\frac{c_0}{2}.\end{cases}$$

相应的最优特征变形为 $\gamma_{\rm opt}=D^s u+g^*\mathcal{L}^d$，并且 $\tilde E(u)=E(u,\gamma_{\rm opt})$。

此外，命题 4.1 是一个关键的技术性结果，为紧性证明服务。它断言：对开集 $A\subset\Omega$、$\varepsilon>0$、$\delta>0$，任意有限能量构型 $(u,\gamma=g\mathcal{L}^d)$ 都可替换为 $(v,\breve\gamma=\breve g\mathcal{L}^d)\in SBV(A)\times\mathcal{M}(A,\mathbb{R}^d)$，使得

$$\int_A |\nabla v-\breve g|^2\,dx+(1-\delta)c_0\int_A |\breve g|\,dx\le E_\varepsilon(u,\gamma,A),$$

$$(1-\delta)c_0\int_A |\nabla v|\,dx\le E_\varepsilon(u,\gamma,A)+c_0E_\varepsilon(u,\gamma,A)^{1/2}|A|^{1/2},$$

$$\mathcal{H}^{d-1}(J_v\cap A^{6\varepsilon-})\le cE_\varepsilon(u,\gamma,A),$$

$$\left|\{x\in A^{6\varepsilon-}:\nabla v(x)-\breve g(x)\ne\nabla u(x)-g(x)\}\right|\le\varepsilon cE_\varepsilon(u,\gamma,A),$$

$$\|v\|_{L^\infty(A)}\le\|u\|_{L^\infty(A)},\qquad c_0\|v-u\|^q_{L^q(A^{6\varepsilon-})}\le\varepsilon cE_\varepsilon(u,\gamma,A)\|u\|^q_{L^\infty(A)}.$$

这些估计说明跳集规模、梯度与特征变形差异以及 $L^q$ 距离都受能量控制，并具有 $\varepsilon$ 阶小量。

第 5 节还证明了一个新的放松结果，针对 $BV$ 中具有线性增长的自由不连续泛函。作者认为该结果本身可能有独立兴趣，并用于第 7 节的 $\Gamma$-limsup 构造。但由于所给 PDF 未包含第 5 节及其后完整证明，该放松定理的精确假设与表述从提供内容中无法确认。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的核心技术障碍来自两个场 $u_\varepsilon$ 与 $\gamma_\varepsilon$ 的耦合方式。近似能量中只有约束 $\nabla u_\varepsilon-g_\varepsilon\in L^2$ 把二者联系起来，而紧性只给出非常弱的收敛：$u_\varepsilon\to u$ 在 $L^1$ 中，$\gamma_\varepsilon\to\gamma$ 在负 Sobolev 或 flat 拓扑下。极限中又要求奇异部分满足 $\gamma^s=D^s u$，因此 $u$ 的跳部分和 Cantor 部分必须由 $\gamma$ 补偿。这种补偿在非局部能量中产生不同惩罚：Cantor 部分被 $f$ 的饱和值 $c_0$ 惩罚，而跳部分由函数 $\theta([u])$ 惩罚。标准体切片技术依赖于对 $u$ 和 $\gamma$ 的同时强收敛或有更好的逐点控制，在本文弱拓扑下不再适用，这是作者必须发展新论证的根本原因。

第一项关键技术是命题 4.1 中的“从 $W^{1,1}$ 到 $SBV$”的替换构造。作者借鉴并修改了 [BDM97, Proposition 4.1] 的策略，但主要困难是：非局部能量定义在重叠的开球 $B_\varepsilon(x)$ 上，而覆盖论证通常使用不重叠的立方体。作者使用不等式

$$\sum_{\alpha\in\mathbb{Z}^d}\frac{(s\varepsilon)^d}{|B_\varepsilon|}\chi_{B_\varepsilon(s\varepsilon\alpha)}(x)\ge1-\delta\qquad x\in\mathbb{R}^d,$$

其中 $s\in(0,1/\sqrt d)$ 仅依赖 $d$ 和 $\delta$，从而把球平均项从下方用不重叠立方体上的平均控制。随后选择两类中心 $G'_\varepsilon$ 和 $G''_\varepsilon$，使得 $f$ 在线性区域取值，并构造 $v,\breve g$ 在好立方体并集上等于 $u,g$，其余置零。这样得到 $SBV$ 函数 $v$，并控制其跳集、梯度差集和 $L^q$ 距离。这个构造是紧性证明的基石，因为它把仅知 $W^{1,1}$ 的近似构型转化为具有受控跳集的 $SBV$ 构型，从而允许使用 $BV$ 紧性。

第二项关键技术是负 Sobolev 空间与 flat 拓扑的紧性工具。作者系统使用了 $W^{-1,q}(\Omega)$ 范数、flat 范数以及弱-$*$ 收敛之间的关系。引理 3.1 说明：若测度在 $W^{-1,q}$ 中收敛，则在 flat 范数中收敛；若在 $\mathcal{M}$ 中弱-$*$ 收敛，也在 flat 范数中收敛；反之，若在 flat 范数中收敛且总变差一致有界，则弱-$*$ 收敛。这允许把能量界转化为测度 $\gamma_\varepsilon$ 的紧性，并在较弱拓扑下识别极限。定理 4.2 甚至得到 $W^{-1,q}$ 对所有 $1

第三项关键技术是 $\Gamma$-liminf 不等式的局部化方法。作者定义局部化泛函 $E_\varepsilon(\cdot,\cdot,A)$ 与 $E(\cdot,\cdot,A)$，并写出局部化 $\Gamma$-下极限 $E'(\cdot,\cdot,A)$。证明中需要把任意有限能量序列替换为 $SBV$ 近似，然后分别识别弹性项、绝对连续特征变形项、跳项和 Cantor 项。Cantor 部分由 $f$ 的饱和值 $c_0$ 惩罚，跳部分由 $\theta$ 出现，这是因为在极限中奇异测度必须补偿 $D^s u$。局部化方法使得可以在任意开集上讨论能量下界，并通过测度恢复全局不等式。具体地，证明需要在弱收敛下证明

$$\liminf_{\varepsilon\to0}E_\varepsilon(u_\varepsilon,\gamma_\varepsilon,A)\ge E(u,\gamma,A),$$

其中 $E$ 的跳项为 $\int_{J_u\cap A}\theta([u])d\mathcal{H}^{d-1}$，Cantor 项为 $c_0|D^c u|(A)$。

第四项关键技术是 $\Gamma$-limsup 不等式的恢复序列构造，以及第 5 节新的 $BV$ 放松结果。作者在第 7 节证明上极限不等式，在第 5 节先处理具有线性增长的自由不连续泛函的放松问题。这个放松结果用于构造能量不超过给定极限能量的恢复序列。通常需要把极限构型 $(u,\gamma)$ 用光滑或分片光滑函数逼近，并同时构造 $g$ 使得非局部项在 $\varepsilon\to0$ 时收敛到 $c_0\int|g|$ 加上奇异部分的正确惩罚。由于所给 PDF 未包含第 5 至第 7 节的完整内容，无法确认具体逼近算子、截断层次、覆盖论证和测度分解的细节；但可以确定作者明确把这一放松结果视为需要且可能有独立兴趣的新工具。

最后，第 8 节利用主定理推导优化第二变量后的 $\Gamma$-收敛，即推论 2.2。这里的关键是证明 $\tilde E_\varepsilon$ 与 $\tilde E$ 的定义、极小元 $g^*$ 的存在唯一性以及 $\gamma_{\rm opt}=D^s u+g^*\mathcal{L}^d$ 的识别。点态优化给出 $g^*$ 的显式阈值公式，阈值 $c_0/2$ 区分弹性区与塑性区。这个优化步骤把双场问题约化为单场问题，同时保留了内聚断裂的跳项与 Cantor 项。

4. 与之前工作的比较

与作者此前的一维梁工作 [ABS22] 相比，本文的推进是从一维特例走向一般维反平面剪切。一维中 $\theta(t)=f(|t|/2)$，而高维中 $\theta$ 由球面平均公式定义，并具有与 $\min\{|t|,1\}$ 等价的增长。更关键的是，一维分析可以依赖较强的切片和逐点控制，而高维中 $u_\varepsilon$ 与 $\gamma_\varepsilon$ 仅通过 $\nabla u_\varepsilon-\gamma_\varepsilon\in L^2$ 耦合，且收敛仅在负 Sobolev/flat 意义下成立，导致标准体切片失效。因此本文不是简单地把一维结果逐字搬到高维，而是需要新的紧性替代构造和局部化论证。

与 [SFO08] 的 eigenfracture 模型相比，本文继承了两场思想：第二个场描述非弹性响应，非局部卷积型泛函惩罚非弹性贡献，而不是像相场那样显式让本构依赖损伤变量。但 [SFO08] 主要针对脆性材料，而本文面向韧性材料的内聚断裂，极限泛函中塑性变形与裂缝开度发生非平凡耦合。这体现在极限能量中 $g$ 的最优选择 $g^*$、线性增长项 $c_0\int|g|$、跳项 $\theta([u])$ 以及 Cantor 项 $c_0|D^c u|$ 同时出现。与脆性 Griffith 模型相比，这里体能量和表面能都只有线性增长，因此体项与面项不能简单分离。

与 Ambrosio-Tortorelli 相场模型 [AT92, AT90] 及其后续损伤/相场工作相比，本文的差别在于不引入显式损伤变量，也不让刚度显式依赖损伤因子。相场模型通常用辅助变量 $v$ 乘以弹性模量，而这里通过从弹性场到特征变形场的过渡来体现损伤增加。数学上，近似能量中的非局部项 $\frac1\varepsilon\int f(\varepsilon-\int_{B_\varepsilon}|g|)$ 在极限中产生 $c_0\int|g|$，而跳部分由 $\theta$ 控制。这种结构使得 $\Gamma$-极限不是简单的 Mumford-Shah 或 Ambrosio-Tortorelli 型能量，而是内聚区模型与塑性特征变形优化相结合。

与 Lussardi 和 Vitali 的工作 [LV07a, LV07b] 相比，本文明确借用了若干辅助结果，尤其是与非局部项、负 Sobolev 收敛和 $BV$ 紧性相关的技术。然而，[LV07a, LV07b] 中没有本文这种 $u_\varepsilon$ 与 $\gamma_\varepsilon$ 的耦合约束 $\nabla u_\varepsilon-\gamma_\varepsilon\in L^2$。这种耦合导致奇异部分必须满足 $\gamma^s=D^s u$，并使得通常的体切片技术失效。因此，即使部分辅助引理可以改写使用，本文仍需发展新的分析论证，尤其是命题 4.1 中的球-立方体覆盖替换和局部化 $\Gamma$-liminf 证明。

在技术工具层面，本文与 [BDM97] 的比较也很明显。命题 4.1 的证明策略受 [BDM97, Proposition 4.1] 启发，但主要技术困难是从开球非局部平均过渡到不重叠立方体。作者使用覆盖不等式、选择线性区域 $G'_\varepsilon$ 和 $G''_\varepsilon$、构造 $SBV$ 截断函数 $v$ 与特征变形 $\breve g$，从而在能量尺度上控制跳集和 $L^q$ 距离。与原始 [BDM97] 情形相比，这里还多了一个特征变形场 $\gamma$，并且极限能量中绝对连续部分、Cantor 部分和跳部分有不同惩罚，因此技术代价更高。

从适用范围看，本文处理一般维 $d\ge1$ 的反平面剪切，位移是标量，特征变形是 $\mathbb{R}^d$ 值测度。近似函数 $f$ 选为最简单的连续线性增长截断：在 $t<1$ 时 $f(t)=c_0t$，在 $t\ge1$ 时饱和为 $c_0$。极限能量要求 $\|u\|_{L^\infty}\le K$，这是一个额外的 $L^\infty$ 约束。与经典 Griffith 或内聚区模型相比，本文的收敛拓扑较弱：$u$ 在 $L^1$ 中强收敛，$\gamma$ 在 flat 或 $W^{-1,q}$ 中收敛。这意味着结果适合变分收敛和极小元存在性，但不直接提供收敛速率或定量误差估计。提供内容中未给出数值离散格式、有限元实现或计算实验，因此无法确认该模型在数值计算中的实际效率。

最后，作者并未在所给 PDF 中系统展开与所有已有内聚断裂数值方法的定量比较。关于最佳收敛率、最优拓扑、是否可放宽 $L^\infty$ 约束、是否可处理更一般的 $f$ 或各向异性非局部核、以及恢复序列的具体构造复杂度，提供内容中无法确认。可以确认的是，本文相对 [ABS22] 在维度、耦合机制和证明技术上有实质推进；相对 [SFO08] 和相场模型，它的目标是把塑性、损伤和断裂统一在特征变形框架中，并以 $\Gamma$-收敛给出严格的变分基础。

了解领域论文（摘要翻译）

1. 三维曲面区域上Stokes问题的压力鲁棒有限元

Pressure-robust finite elements for the Stokes problem on three-dimensional curved domains

作者: Wei Chen, Zhen Liu

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-24

arXiv ID: 2609.30008v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.30008v1

摘要翻译

中文标题: 三维曲面区域上Stokes问题的压力鲁棒有限元

摘要翻译: 本文针对三维曲面区域上的Stokes问题，发展了一种无散度、inf-sup稳定、最优收敛且压力鲁棒的有限元方法。几何区域由等参四面体网格逼近，而速度空间则通过Piola变换从Alfeld分裂上的Scott–Vogelius空间获得。离散inf-sup条件借助合适的面泡函数得到证明。曲边三角形界面上的求积规则精度不足会导致相容性误差，这可能引起次优收敛。补救措施是引入一种合适的相容性修正，而不使用稳定化项。此外，曲面区域上的交换算子由局部交换插值算子构造，并证明其是全局协调的。这些算子被用于逼近载荷并获得压力鲁棒的离散化。最后提供了数值算例以验证理论结果。

2. 一类由标准布朗运动驱动的SPDEs的保域分裂格式

Domain preserving splitting schemes for a class of SPDEs driven by a standard Brownian motion

作者: Charles-Edouard Bréhier, David Cohen, Gijs Custers

类别: math.NA, math.PR

发布日期: 2026-09-24

arXiv ID: 2609.29950v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.29950v1

摘要翻译

中文标题: 一类由标准布朗运动驱动的SPDEs的保域分裂格式

摘要翻译: 我们考虑一类由标准实值布朗运动驱动的SPDEs，其漂移系数和扩散系数使得存在唯一的温和解，且该解几乎必然取值于区间 $[-1,1]$。为了保持精确解的这一定性性质，我们提出一种保域 Lie–Trotter 分裂格式：对时间步长的任意选择，数值解都几乎必然取值于区间 $[-1,1]$。此外，我们证明保域 Lie–Trotter 格式以速率 $1/2-$ 均方收敛。这些理论结果通过数值实验加以说明。

3. 阐明用于 Hamiltonian 偏微分方程的几何自适应、保结构算子学习的 Brinkman 罚方法的共形结构

Elucidating the Conformal Structure of the Brinkman Penalisation Method for Geometry-Adapted, Structure-Preserving Operator Learning of Hamiltonian PDEs

作者: Teo Deveney, Baige Xu, Takaharu Yaguchi

类别: math.NA, cs.LG

发布日期: 2026-09-24

arXiv ID: 2609.29847v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.29847v1

摘要翻译

中文标题: 阐明用于 Hamiltonian 偏微分方程的几何自适应、保结构算子学习的 Brinkman 罚方法的共形结构

摘要翻译: Brinkman 罚方法通过将固体区域建模为强耗散介质，将复杂区域上的边值问题嵌入到简单计算盒子中，从而避免贴体网格生成。我们证明，经 Brinkman 型罚正则化的多辛 Hamiltonian 偏微分方程在联系辛矩阵与罚投影的相容性条件下保持多共形辛结构。这给出一个精确局部守恒律，在该守恒律下，多辛二形式在流体区域守恒，并在固体内部指数衰减。带 Brinkman 摩擦的线性波动方程与带人工欧姆电导率的 Maxwell 方程组满足该条件，并具有显式修正的 Hamiltonian 密度。在此基础上，我们提出 (i) 通过 Strang 分裂的保结构数值积分器，其满足离散共形守恒律，以及 (ii) 共形辛神经算子，其将精确耗散流与可学习的多辛演化算子交错，从而实现几何相关的算子学习。波与电磁散射的数值实验表明，我们的方法重现了正确的局部能量收支，并避免了非物理能量漂移，为复杂区域上的物理一致科学机器学习提供了一个有原则的框架。

4. 用界面自编码器学习几何算子

Learning Operators of Geometry with an Interface Autoencoder

作者: Aiqing Zhu, Pengzhan Jin

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-24

arXiv ID: 2609.29437v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.29437v1

摘要翻译

中文标题: 用界面自编码器学习几何算子

摘要翻译: 依赖几何的偏微分方程定义了这样的算子：其输入和输出均可由一个定向界面与该界面上的一个函数组成，而大多数现有神经算子是在固定区域上表述的。在本文中，我们首先建立了一般状态集之间连续算子的逼近定理。随后，我们用界面自编码器（IAE）实例化该定理；IAE 使用有限投影编码在固定盒子中表示界面-函数状态，并通过零集提取与限制进行解码。对于张量余弦编码，我们证明了一致的 $C^0$ 重构速率和管状局部梯度收敛性。这些估计给出 Hausdorff 与 graph-Hausdorff 误差界，以及一个基于参考的拓扑证书。IAE 同时适用于跨空间几何算子——将区域几何映射到相关联的 PDE 解场——以及空间内几何算子——在界面-函数状态之间进行映射。其有效性通过对 Poisson 方程、Hele-Shaw 流中的界面合并以及含表面活性剂的两相 Stokes 流的数值实验得到验证。

5. 二维椭圆边界层问题的 $p$ 和 $rp$ 谱元方法

$p$ and $rp$-Spectral Element Methods for Two-dimensional Elliptic Boundary Layer Problems

作者: Sonia, Akhlaq Husain, Arshad Khan

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-24

arXiv ID: 2609.29185v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.29185v1

摘要翻译

中文标题: 二维椭圆边界层问题的 $p$ 和 $rp$ 谱元方法

摘要翻译: 我们提出用于二维矩形区域上椭圆边界层问题的 $p$ 和 $rp$ 谱元方法。为解析边界层，我们使用固定网格的 $p$ 版本，以及 $rp$ 版本，其边界层网格由边界层附近的细针状单元和远离边界层的粗单元组成。利用非协调谱元函数导出稳定性估计。两种方法的数值格式均基于在适当 Sobolev 范数下极小化一个最小二乘泛函。我们构造稳健预条件子以控制由最小二乘格式导出的正规方程的条件数。对于 $p$ 版本，该方法能够以速率 $O\left(\frac{\log W}{W^2}\right)$ 逼近边界层；对于 $rp$ 版本，能够以速率 $O(εα^{2W})$（关于 $ε$ 一致）逼近边界层；其中 $0<ε\leq1$ 是边界层参数，$α<1$ 是一个常数，$W$ 表示逼近多项式的次数。针对一系列边界层参数，给出了模型椭圆边界层问题的数值结果。模拟结果展示了该方法在矩形区域上捕捉边界层方面的效率和稳健性。

6. 有限元外微积分中的 HDG 方法

HDG methods in finite element exterior calculus

作者: Calvin Reedy, Ari Stern, Yunhui Xue

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-24

arXiv ID: 2609.28995v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.28995v1

摘要翻译

中文标题: 有限元外微积分中的 HDG 方法

摘要翻译: 我们针对有限元外微积分中的两个核心问题——Hodge-Dirac 问题和 Hodge-Laplace 问题，在任意维数 $n$ 下，发展并分析了 HDG 方法。我们的分析允许使用等阶多项式空间和 $\mathcal{O}(1)$ 惩罚参数，这与先前关于 Hodge-Laplace 问题的工作形成对比，后者要求底层的协调复形以及 $\mathcal{O}(h)$ 或 $\mathcal{O}(h^{-1})$ 惩罚。对于采用次数为 $r$ 的多项式的 Hodge-Dirac 问题，在适当的正则性假设下，我们的误差估计在所有形式次数下给出最优的 $(r+1)$ 阶收敛。对于 Hodge-Laplace 问题，我们证明了 $k$-形式解的最优 $(r+1)$ 阶收敛，以及 $(k \pm 1)$-形式辅助变量的 $(r+\frac{1}{2})$ 阶收敛。当 $k=1$ 和/或 $k=n-1$ 时，我们获得了改进的 $(r+1)$ 阶辅助变量估计，这特别地改进了最近关于二维向量 Poisson 方程的一些 HDG 误差估计。我们的分析还涵盖了较低正则性的情形，包括非凸区域上具有凹角奇异性的解，并且仅需要温和的网格正则性条件。这些结果通过二维和三维的数值实验得到了说明。

7. 一种用于多维非线性双曲型方程的无扩散多层神经网络方法

A diffusion-free multi-layer neural-network method for multidimensional nonlinear hyperbolic equations

作者: Emmanuel Lorin, Arian Novruzi

类别: math.NA, math.AP

发布日期: 2026-09-24

arXiv ID: 2609.28971v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.28971v1

摘要翻译

中文标题: 一种用于多维非线性双曲型方程的无扩散多层神经网络方法

摘要翻译: 本文致力于 $N$ 维双曲守恒律系统(HCL)解的非扩散计算，更具体地说，是简单波的准确逼近。我们发展了 LeafNet 算法，该算法依赖于：i) 将 HCL 重新表述为一个涉及光滑解的耦合系统；ii) 用于逼近光滑函数的精确物理信息算法。文中提出了误差估计分析和二维数值实验，以说明所提出的策略。

8. 具有动态边界条件的 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 系统的数值格式的收敛性分析及其在移动接触线问题中的应用

Convergence analysis of a numerical scheme for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes system with dynamical boundary condition and its application to moving contact line problem

作者: Yunzhuo Guo, Cheng Wang, Xianmin Xu, Zhengru Zhang

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-24

arXiv ID: 2609.28954v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.28954v1

摘要翻译

中文标题: 具有动态边界条件的 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 系统的数值格式的收敛性分析及其在移动接触线问题中的应用

摘要翻译: 本文针对与动态边界条件相结合的 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 系统，提出并分析了一种有限差分数值格式。此类物理系统在移动接触线问题中具有潜在应用。边界轮廓由低维能量势控制，并与相变量的非齐次边界条件耦合。在数值设计中，对体相和表面层面的化学势均采用凸分裂方法，从而得到一个高度耦合的非线性系统。对非线性流体对流以及流体运动与相变量演化之间的耦合项采用半隐式离散。细致的有限差分近似和凸性分析表明，该数值系统可表示为与流体对流相关的非对称单调映射。进而，基于单调性论证，唯一可解性成立。通过细致的分部求和计算，得到了总能量稳定性分析。特别地，本文在理论上建立了最优收敛阶的收敛性分析。精确解的离散质量守恒需保持误差函数的零均值性质，以使相关的离散 H_h^{-1} 范数定义良好。本文结合傅里叶投影和辅助函数来克服这一困难。此外，通过粗略误差估计和精细误差估计相结合的方法，得出了所需的收敛结果。本文还给出了一些数值结果，验证了所提数值格式的稳健性。据我们所知，本文首次在文献中为移动接触线问题的一个数值格式提供了收敛性分析和误差估计的理论证明。

9. 二维浅水线性化矩方程：双曲性与良平衡格式

Two-Dimensional Shallow Water Linearized Moment Equations: Hyperbolicity and Well-Balanced Schemes

作者: Shiping Zhou, Juntao Huang, Andrew Christlieb

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-23

arXiv ID: 2609.28800v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.28800v1

摘要翻译

中文标题: 二维浅水线性化矩方程：双曲性与良平衡格式

摘要翻译: 我们研究两个水平维度上浅水线性化矩方程的旋转不变性、双曲性和良平衡离散化。尽管直接扩展具有实特征速度，其方向矩阵可能缺少完备的特征基。我们构造了一个旋转不变的修正，并证明了其对所有正水深状态的全局双曲性。对于具有 Navier-slip 摩擦的非平坦地形上的准二维流动，我们发展了精确保持由中点配点构造的离散移动平衡的一阶和二阶路径守恒有限体积格式。数值试验证实了平衡保持到舍入误差、光滑定常分支的二阶逼近，以及对于所测试的扰动，二阶格式具有接近二阶的精度。与三维两相 OpenFOAM 模拟的比较说明了不变浅水极限，并表明保留矩改善了弯曲旋转速度剖面的重构，而径向运动仍存在差异。

10. 曲面 Stokes 问题的罚 $H({\rm div})$-协调有限元方法的误差分析

Error analysis of penalized $H({\rm div})$-conforming finite element methods for surface Stokes problems

作者: Alan Demlow, Orsan Kilicer

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-23

arXiv ID: 2609.28729v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.28729v1

摘要翻译

中文标题: 曲面 Stokes 问题的罚 $H({\rm div})$-协调有限元方法的误差分析

摘要翻译: 近年来，针对曲面 Stokes 方程已经发展了若干有限元方法。为该问题的速度-压力形式构建标准协调曲面有限元方法需要同时强制速度场的 $H^1$ 协调性和切向性，而在通常施加曲面有限元的广义多面体逼近曲面上这是不可能实现的。因此，针对该问题的方法只能弱强制速度场的切向性或 $H^1$ 协调性之一。本文针对基于经典 Brezzi-Douglas-Marini 元的 $H({\rm div})$-协调方法给出误差分析。该方法通过内部罚型格式弱强制速度场的连续性。该格式的优点包括精确强制不可压缩约束，以及其构造基于标准混合有限元对。此前工作中该方法的误差分析仅对最低阶元有效，且没有考虑“几何误差”，即由用有限元方法所在的逼近曲面逼近 PDE 所在的连续曲面而导致的变分罪。本文在一种自然的间断 Galerkin 能量范数下给出了完整误差分析，并考虑了几何误差。还给出了 $L_2$ 速度误差的最优估计。在最低阶（多面体）曲面逼近情形下，我们对最优 $L_2$ 估计的证明要求网格节点相对于曲面的放置满足比通常更严格的条件。数值实验用于说明我们的结果。

不相关论文（基本信息）

1. 基于有限测量的非齐次热方程初始条件重构

Reconstruction of the Initial Condition for a Non-Homogeneous Heat Equation from Finite Measurements

作者: Randy Dollente, Samuel Frerichs, Hee Seok Nam, Jianru Shen, Grace Walters, Young Hwan You

类别: math.AP, math.NA

发布日期: 2026-09-24

arXiv ID: 2609.30181v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.30181v1

摘要: We address the inverse problem of reconstructing the initial temperature distribution in a one-dimensional non-homogeneous heat equation with Dirichlet boundary conditions from a finite number of pointwise-in-time measurements at a single spatial location. We propose an explicit approximation scheme that incorporates the source term and utilizes a refined sequence of measurement times. Unlike previous approaches that often rely on exponentially growing observation times, our chosen time sequence allows for efficient recovery within a fixed time horizon. We establish algebraic convergence rates under suitable regularity assumptions on the initial data and the forcing, and we validate the theoretical sharpness with numerical experiments for varying numbers of measurements.

2. 高维极端特征值问题：低秩张量参数化与优化

High-dimensional extreme eigenvalue problems: low-rank tensor parametrization and optimization

作者: Pengfei Hao, Renfeng Peng, Yang Kuang, Bin Gao

类别: math.NA, math.OC, physics.comp-ph

发布日期: 2026-09-24

arXiv ID: 2609.30138v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.30138v1

摘要: High-dimensional extreme eigenvalue problems often arise from molecular vibrational models, electronic structure calculations, and quantum mechanics. Directly solving these problems suffers from the curse of dimensionality. Instead of tackling the problem in high-dimensional ambient space, we reformulate the problem through low-rank tensor formats, which can significantly reduce the computational cost and storage. Specifically, we consider the Rayleigh–Ritz problem on bounded-rank tensors in the tensor train format, which enables a more flexible choice of rank parameters. Moreover, we consider a smooth parametrization for bounded-rank tensors by introducing slack variables, leading to a smooth manifold structure. The original Rayleigh–Ritz problem is therefore transferred to an optimization problem on the manifold. We develop the Riemannian geometry and propose optimization methods for solving extreme eigenvalue problems. In practice, the Kronecker-product structure in Hamiltonian and PDE operators is employed to simplify the computation. Numerical experiments on the harmonic oscillator, the Laplace operator, the Schrödinger equation, the layered cluster problem, and the Bose–Einstein model demonstrate that the proposed method achieves accuracy comparable to full-space eigensolvers with reduced computation time and avoids storing full vectors. The results also show numerical rank reduction during iteration and robustness when the rank parameter is over-estimated. In addition, the fixed-point iterations illustrate that the proposed methods are able to serve as an inner eigensolver for solving nonlinear eigenvalue problems.

3. 求解变分问题的最优恢复

Optimal Recovery for Solving Variational Problems

作者: Ting Wang, Gideon Simpson, Jaroslaw Knap

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-24

arXiv ID: 2609.30049v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.30049v1

摘要: In science and engineering, many physical laws and scientific principles naturally arise as variational problems of minimizing an energy functional over an appropriate functional space. In many cases, it is more advantageous to directly discover the minimizer of the energy functional than to solve the associated Euler-Lagrange equations. Conventional numerical solvers, such as the finite-element method (FEM), often lack the flexibility to incorporate prior knowledge or noisy observational data. In recent years, machine learning approaches, particularly kernel-based methods, have attracted growing attention in scientific computing. Unlike FEM, which requires domain discretization and mesh generation, kernel-based methods construct solutions from scattered nodes, thereby avoiding the complexity of meshing, especially in high-dimensional or geometrically complex domains. This works presents a two-step procedure for variational energy minimization based on the optimal recovery formulation in a reproducing kernel Hilbert space (RKHS), providing a unified framework for seamlessly incorporating both physical constraints and noisy data. On the computational side, we employ the sparse Cholesky decomposition for Matérn kernels to alleviate the well-known cubic complexity bottleneck of kernel methods. On the theoretical side, we rigorously establish the existence and convergence theory of the proposed method using $Γ$-convergence theory. Numerical experiments on benchmark problems demonstrate the efficiency, robustness and accuracy of the approach.

4. Evans-Gangbo 输运-密度系统在一维、二维和三维中的凸数值格式

A convex numerical scheme for the Evans-Gangbo transport-density system, in one, two, and three dimensions

作者: Babacar Mbaye Ndiaye, Diaraf Seck

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-24

arXiv ID: 2609.29987v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.29987v1

摘要: We give a constructive numerical treatment of Monge’s optimal transport problem in 1D, 2D, 3D, following Evans-Gangbo: the map is built from a Kantorovich potential $u$ and density $a$ solving $-\mathrm{div}(a\nabla u) = f^+-f^-$, via $\dot T = -a\nabla u(T)/[(1-t)f^+(T)+tf^-(T)]$, $T(0,x)=x$. In 1D this gives a closed form. In 2D–left unfinished in an earlier report–we obtain $(u,a)$ via a convex Beckmann flow problem (second-order-cone programming), cross-checked against a dual LP, then build the map by direct integration or a ray-based 1D “clock” ODE with explicit density per ray. Validation uses strong duality, mass conservation, and vanishing-regularization limits, on a translation-invariant case and two 2D examples (a radial cone, a checkerboard) checked by symmetry; both show boundary-concentrated mass and non-unique flux where supports touch. We extend to 3D (theory unchanged), matching the 2D answer to six digits and reproducing the same phenomena on a radial ball, exposing a limit of the 2D visualization style. Movies illustrating the transport maps are available as ancillary files on the arXiv page of this submission.

5. 用于矩方程的稀疏熵求积

Sparse entropic quadrature for moment equations

作者: Georgii Oblapenko, Michael Herty, Manuel Torrilhon

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-24

arXiv ID: 2609.29843v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.29843v1

摘要: In the present work, we study the properties of the sparse entropic quadrature method, a recently proposed method for the closure of systems of moment equations in rarefied gas dynamics. We prove the properties of the method regarding its well-posedness, hyperbolicity, and stability for first-order spatial convection schemes. We apply the method to two model rarefied gas dynamics problems and compare the results with those given by a discrete velocity method and show that it is capable of reproducing rarefied gas effects whilst having significantly fewer degrees of freedom than the discrete velocity method.

6. 一种基于正则化的量子非公度问题计算方法

A Regularization Based Computational Method for Quantum Incommensurate Problems

作者: Zhenan Ding, Yan Li, Aihui Zhou, Yuzhi Zhou

类别: math.NA, math-ph

发布日期: 2026-09-24

arXiv ID: 2609.29357v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.29357v1

摘要: Quantum incommensurate systems have attracted widespread interest due to their unique physical properties. Related studies have made notable progress in recent years. To gain deeper insight, it is both significant and challenging to study a broader range of physical observables for these systems, which requires a comprehensive understanding of their spectral properties and wavefunction behavior. Based on the regularized model recently proposed, this work introduces a regularization framework, rendering physical observables for incommensurate systems mathematically well-defined and computationally accessible with theoretical guarantees. Based on this framework, taking the density of states and the electron density as representative examples, we establish their mathematical characterization, derive their planewave approximations, and provide a rigorous convergence analysis. Numerical experiments validate the effectiveness of our method, demonstrating its practical applicability for generic 1D and 2D incommensurate systems.

7. 论最长边 n 等分加密下四面体的退化

On degeneration of tetrahedra under longest-edge n-section refinement

作者: Sergey Korotov

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-24

arXiv ID: 2609.29153v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.29153v1

摘要: For every integer $n \ge 2$, we construct explicit tetrahedral counterexamples showing that repeated longest-edge (LE) n-section refinement does not, in general, preserve shape regularity, contrary to long-standing conjectural expectations. For $n = 2$, the construction disproves the finite-family conjecture put forward by Adler in 1983 and the non-degeneracy conjecture for tetrahedral longest-edge bisection formulated by Rivara and Levin in 1992. It also shows that the sharper higher-dimensional diameter decay suggested by Stynes in 1983,following his 1980 planar finite-similarity result, cannot hold for arbitrary tetrahedra. For $n = 3$, it disproves the published non-degeneracy conjecture for tetrahedral longest-edge trisection formulated in 2011 by Suárez, Abellón, Abad and Plaza on the basis of numerical experiments. The resulting infinite descendant sequences violate both the minimum and maximum angle conditions. For $n \ge 3$, the selected edge is always the unique longest edge at every refinement step. The two-step recurrence used in the construction exhibits two distinct degeneration behaviors: a flat-tetrahedron regime for $2 \le n \le 5$ and a skinny-tetrahedron regime for $n \ge 6$. The degenerating sequences can also be realized within conforming partitions generated by the conforming LE n-section algorithm. For both the classical and the conforming LE n-section algorithms, the maximal element diameter tends to zero as the number of refinement steps tends to infinity, regardless of which longest edge is chosen. Thus diameter convergence, and even conformity, do not prevent shape degeneration. These algorithms should therefore be used with care in applications requiring uniform shape regularity.

8. 一种用于笛卡尔网格上可压缩 Navier–Stokes 方程的紧致高阶保正主动通量方法

A compact high-order and positivity-preserving active flux method for compressible Navier–Stokes equations on Cartesian meshes

作者: Junming Duan, Wasilij Barsukow, Christian Klingenberg

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-24

arXiv ID: 2609.29081v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.29081v1

摘要: This paper develops a compact fourth-order positivity-preserving active flux (AF) method for the one- and two-dimensional compressible Navier–Stokes equations on Cartesian meshes. The method retains the cell averages and shared point values of the standard third-order AF method as its degrees of freedom. To avoid the order reduction that can arise when diffusion is discretized using operators from the standard third-order AF method, while maintaining compactness, the divergence of the viscous flux is discretized directly using compact fourth-order operators. For the inviscid part, incorporating a downwind point value into the biased stencil yields fourth-order accuracy. A monolithic flux limiting blends high-order total numerical fluxes with low-order positivity-preserving counterparts, treating the inviscid and viscous fluxes jointly while maintaining local conservation. Together with a scaling limiter for point values, this procedure preserves density and pressure positivity for both cell averages and point values. Numerical experiments demonstrate fourth-order convergence, positivity preservation, and accurate resolution of shocks and viscous flow structures. For the two-dimensional viscous shock tube, a comparison with a discontinuous Galerkin method shows improved computational efficiency in resolving complex interaction of shock waves and boundary layers.

9. 面向准脆性断裂的镶嵌式各向同性弹性格构弹簧模型

Tessellated Isotropic Elastic Lattice Spring Model for Quasi-Brittle Fracture

作者: D. M. LI, Meng-Cheng HE

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-24

arXiv ID: 2609.28970v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.28970v1

摘要: Quasi-brittle fracture is prevalent in concrete, rock, ceramics, composites, and masonry, and its simulation faces a trade-off among accuracy, efficiency, and simplicity. The classical Lattice Spring Model (LSM) captures cracking via bond breakage without remeshing, but its elements are empirical and limited to a few tessellable shapes with fixed Poisson’s ratios. We propose a tessellated Isotropic Elastic Lattice Spring Model (IELSM) that discretizes continua into polygonal elements with axial springs and a volumetric constraint, achieving isotropic elasticity on arbitrary polygonal tessellations. Macroscopic isotropy reduces to governing equations whose solvability gives a theoretical criterion for element admissibility, proving conventional tessellable elements and extending to arbitrary regular N-gons and concave elements. Exploiting boundary interpolation compatibility with finite elements, IELSM is assembled by direct node sharing, without interface elements or kinematic constraints. Coupled with an isotropic damage model, a pure bending test and four fracture benchmarks show that the coupling preserves displacement accuracy, yields crack paths and load-displacement curves agreeing with experiments and outperforming standard FEM, and is insensitive to mesh refinement. IELSM can also be restricted to damage-prone regions, with the remainder modeled by finite elements via node sharing. For the benchmarks, this reduces nodes by 41.2-80.9% and CPU time by 34.2-85.2% versus full-domain IELSM. The framework advances IELSM element construction from empirical trial and error to theoretical determination and simplifies coupling to node sharing, offering a balanced route for complex quasi-brittle fracture analysis.

10. 自然对流方程的一种新的二阶相容分裂格式

A new second-order consistent splitting scheme for the Natural Convection equations

作者: Zhiyong Si, Yimei Ma, Yunxia Wang

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-24

arXiv ID: 2609.28961v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.28961v1

摘要: A novel second-order consistent splitting scheme is proposed for the natural convection equations. The scheme is constructed using Taylor expansions about the time level $t^{n+k}$, where $k$ is a parameter to be determined. It is proved to be stable for all $k>4$, with the present study focusing primarily on the case $k=5$. Compared with the conventional splitting scheme based on Taylor expansions about $t^{n+1}$, the proposed scheme exhibits improved stability. By employing the Sobolev inequality and Gronwall’s lemma, we rigorously establish stability of the proposed scheme and derive error estimates in both two and three spatial dimensions. Finally, several numerical experiments are presented to verify the stability and accuracy of the proposed scheme and to demonstrate its effectiveness.

11. 面向压缩与非扩张不动点问题的 Anderson 加速的非单调全局化框架

A nonmonotone globalization framework for Anderson acceleration for contractive and nonexpansive fixed point problems

作者: Wei Bian, Zekai Li

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-24

arXiv ID: 2609.28950v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.28950v1

摘要: Anderson acceleration (AA) is an effective technique for accelerating fixed point iterations, but it generally lacks global convergence guarantees. We propose a nonmonotone globalized Anderson acceleration framework that retains the local acceleration of AA while ensuring global convergence. For contractive mappings, without requiring prior knowledge of the contraction factor, we prove that the proposed method reduces exactly to pure AA after finitely many iterations and enjoys global $r$-linear convergence for memory size $m\geq1$ and global residual $q$-linear convergence for $m=1$, with convergence factors no greater than the contraction factor of the underlying fixed point mapping. For nonexpansive mappings, we prove that the fixed point residuals converge globally to zero. A class-agnostic parameter selection rule is further developed to ensure these convergence properties in both settings. Numerical experiments demonstrate the robustness and efficiency of the proposed method.

12. 基于低次多项式的随机矩阵特征值与特征向量逼近

Eigenvalue and Eigenvector Approximation for Random Matrices Using Low-Degree Polynomials

作者: Yihan Zhang

类别: math.PR, cs.DS, math.NA, math.ST

发布日期: 2026-09-23

arXiv ID: 2609.28781v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.28781v1

摘要: We initiate the study of approximating the top eigenvalue and eigenvector of a random symmetric matrix $ A \in \mathbb{R}^{n\times n} $ using $ q(A)b $ where $q$ is a degree-$d$ polynomial and $b$ is a standard Gaussian vector independent of $A$. For spiked GOE $ Y = λvv^\top + X $, we identify $ d_\star = \frac{\log(n)}{2\log(λ)} $ to be the critical degree threshold above which accurate approximation of the top eigenvalue and eigenvector is possible. This sharpens the common belief that spectral methods can be implemented by $ O(\log(n)) $-step power iterations and offers a precise connection between spectral methods and low-degree polynomial algorithms, a popular proxy for all polynomial-time algorithms. For GOE $X$, we identify $ d_\star = n^{1/3+o(1)} $ to be the critical degree threshold for top eigenvector approximation, whereas constant degree suffices for top eigenvalue approximation. Moreover, in the limit where $ d/n^{1/3} $ converges to a positive finite constant, we compute the exact asymptotic eigenvector approximation accuracy in terms of the expected squared overlap. These results significantly improve upon predictions made in randomized numerical linear algebra for deterministic data matrices that the iteration count of power methods is governed by the inverse spectral gap. Technically, our analyses leverage extremal properties of Chebyshev polynomials and draw upon the rich literature of random matrix theory.