对参数插值建立 (42) 中的误差估计; 由此得到弱收敛子列 (44). 摘要称该 Cauchy 型论证完全绕过了 Minty 技巧和离散紧性论证, 并得到 Theorem 3.8 的一致收敛. 这是本文最主要的方法创新. 适定性分析方面, Proposition 3.2 使用不动点与 Banach 压缩映射. 关键步骤是将离散磁场表示为

代入电场方程后得到固定点方程 $\Phi(\mathbf{E}_h^n)=\mathbf{E}_h^n$. 对固定点算子 $\Phi$ 的适定性, 作者仍可用 Minty-Browder 定理处理子问题, 因为边界非线性 $\mathbf{b}$ 单调且左端算子严格单调、hemicontinuous、coercive. 随后在 CFL 条件 (19) 下证明 $\Phi$ 是压缩, 从而由 Banach 不动点定理得到唯一解. Proposition 3.4 则在无 CFL 时定义算子 $F:ND_h\to ND_h^*$, 利用下界 (24) 证明强制性和零点存在性, 再用 (26) 得到唯一性. 稳定性分析的技术点包括构造初始时间步的 $\delta\mathbf{H}_h^0$ 和 $\delta\mathbf{E}_h^0$ 使离散格式在 $n=0$ 也成立, 并用 Lax-Milgram 证明 $\delta\mathbf{E}_h^0$ 适定. Lemma 3.6 证明 $\{\delta\mathbf{E}_h^0\}$ 在 $L^2$ 中有界, 其中使用了 $\Pi_h$ 的误差估计、$Q_h$ 的性质以及边界 trace 逆估计

Proposition 3.7 通过对相邻时间步的差分方程进行能量测试得到一致有界性. 指数衰减分析的技术创新是 sup-max 框架. 在正齐次性假设下, 能量比具有尺度不变性, 因此可以定义解算子 $S_{h,\tau}^n$ 并考虑连续离散能量比的最大上确界. 充分条件 (B5) 的作用是保证该 sup-max 被某个小于 1 的因子控制, 从而逐次递推得到

形式的指数衰减. 提供摘录未展示 (B5) 和定理 3.13 的完整表述, 因此更细的常数关系无法确认. 反例则说明若去掉 (B5), 能量衰减可能失败. 有限元工具方面, 作者使用一阶 Nédélec 边元 $ND_h$ 与分片常数元 $DG_h$ 的混合方法, 并依赖离散逆 curl 估计

$L^2$ 投影 $Q_h$ 和 $V$ 投影 $\Pi_h$. 时间离散采用隐式 Euler. 这些工具虽然经典, 但与非单调耦合和时变系数的结合需要新的稳定性与收敛论证.

4. 与之前工作的比较

与连续指数衰减文献相比, Nicaise 等 [4,5] 处理时间无关系数的连续 Maxwell 方程并证明指数衰减, Nicaise 和 Pignotti [18] 考虑时变材料参数的连续问题. 本文的不同在于: 研究对象是全离散有限元逼近, 且同时包含分布式 $\mathbf{J}_{\mathrm{tot}}$ 和边界 $\mathbf{b}$ 的非线性 E-H 耦合. 连续指数稳定性在早期工作中已理解, 但全离散对应此前是开放问题. 本文首次在非线性非自治 Maxwell 设置中证明全离散指数衰减, 代价是引入正齐次性假设和充分条件 (B5). 与 Egger 等 [3] 的全离散指数衰减结果相比, [3] 处理线性、时间无关系数和 PEC 边界 $\nu\times\mathbf{E}=0$; 本文处理非线性、时变系数和 Silver-Müller 型非线性边界 $\nu\times\mathbf{H}=\nu\times\mathbf{b}(\cdot,\nu\times\mathbf{E})$. 因此适用范围从线性自治扩展到非线性非自治. 摘要称本文结果是无条件全离散指数衰减, 但这里的无条件是在特定充分条件 (B5) 下而言; 若缺少 (B5), 作者给出反例说明指数衰减不成立. 这比 [3] 的线性结果有更强的一般性和新的条件性. 与非线性 Maxwell 有限元文献 [1,8,11,12,21] 相比, 本文的离散方法本身, 即隐式 Euler 加 Nédélec 边元与分片常数元, 并不新. 但现有收敛分析通常依赖 Minty-Browder 论证 [1,21] 或离散紧性性质 [9], 后者在 [8] 中用于超导问题. 本文指出这些工具在同时存在时变 $\varepsilon,\mu$ 和非线性 E-H 耦合时失效, 并提出 Cauchy 型论证在时变 Hilbert 空间中绕过它们. 这代表分析工具层面的推进, 而不仅是模型推广. 与 II 型超导模型 [8,10] 相比, 这些工作强调 $\mathbf{J}_{\mathrm{tot}}$ 对磁场和温度的依赖. 本文允许类似非线性 $\mathbf{J}_{\mathrm{tot}}$ 依赖, 但还加入时变各向异性材料参数和非线性边界条件, 从而处理更一般的非自治问题. 假设 (A1) 要求 $\varepsilon,\mu\in W^{2,\infty}(0,T;L^\infty_{\mathrm{sym}}(\Omega)^{3\times3})$ 且一致椭圆; (A4) 对 $\mathbf{J}_{\mathrm{tot}}$ 要求全局 Lipschitz 但不必单调; (A5) 对 $\mathbf{b}$ 要求单调和增长条件 $|\mathbf{b}(x,\xi)|\le \bar{b}(|\xi|+1)$ 以及 $|\xi|\ge K$ 时的强制性. 这些条件与连续文献 [4] 中的增长条件相呼应. 时间尺度方面, 本文同时给出有限时间 $[0,T]$ 的一致收敛和无限时间 $[0,\infty)$ 的指数衰减. 相比仅处理有限时间的收敛分析, 无限时间衰减需要额外的能量比控制和正齐次性假设. 代价是适定性方面需要 CFL 型条件 (23) 来保证唯一解, 尽管作者指出该估计非最优; Proposition 3.4 在无 CFL 时只给出有条件和唯一性. 指数衰减定理被摘要称为无条件, 但其具体适用范围和是否完全摆脱 CFL 在提供摘录中未展开, 无法确认. 最后, 作者的比较并非面面俱到. 提供文本未显式展开与 [2,7] 等线性波方程结果的详细差异, 也未给出数值实验与理论常数的定量比较. 因此, 关于误差阶、衰减率、常数大小和计算代价的进一步比较, 从提供内容中无法确认.

4. 具有移动界面的两相 Stokes 流动问题的任意拉格朗日-欧拉有限元方法最优收敛性分析

Optimal convergence analysis of arbitrary Lagrangian-Eulerian finite element methods for two-phase Stokes flow problems with moving interface

作者: Yi Liang, Cheng Wang, Pengtao Sun, Yan Chen, Jiarui Han

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-25

arXiv ID: 2609.32066v1

摘要翻译: 本文针对一类具有移动界面和跳跃系数的两相 Stokes 流动问题，在整体式框架下提出并研究了一种基于任意拉格朗日-欧拉（ALE）的有限元方法（FEM），其中基于 ALE 格式分别在半离散和全离散格式下建立并分析了 Stokes 移动界面问题的混合有限元近似。关键分析技巧涉及一个特定的 H^1-投影，该投影与由演化界面导致的 ALE 诱导网格运动相关。在 H^1 和 L^2 范数下证明了所提出的 H^1-投影及其 ALE 时间导数的最优收敛性质，并借此对所研究的 Stokes 移动界面问题的半离散和全离散混合有限元近似，同样在 H1 和 L2 范数下获得了最优误差估计。开展了数值实验以验证所有推导出的理论结果。所发展的分析方法可推广到 Taylor-Hood 和 MINI 混合元，以及更一般的两相流动问题。

Comment: 41 pages, 9 figures

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32066v1

1. 研究对象和背景

本文研究定义在随时间变化区域 $\Omega=\Omega_1^t\cup\Omega_2^t\subset\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 上的两相 Stokes 运动界面问题. 两个子域被运动界面 $\Gamma^t=\partial\Omega_1^t\cap\partial\Omega_2^t$ 分开, 且 $\Omega_1^t\cap\Omega_2^t=\emptyset$. 对 $i=1,2$, 速度 $u_i$ 与压力 $p_i$ 满足分片 Stokes 方程

并配以外部边界无滑移条件 $u_i=0$ 于 $\partial\Omega_i^t\setminus\Gamma^t$, 初始条件 $u_i(\hat{x}_i,0)=u_i^0$ 于 $\Omega_i^0$. 界面 $\Gamma^t$ 上要求速度连续与法向应力跳跃条件

其中 $\mu_1>0$ 与 $\mu_2>0$ 是两个不同的常数跳跃系数, $n_i$ 为子域外法向, $g\in(H^{1/2}(\Gamma^t))^d$ 表示界面法向应力跳跃. 该模型可视为两相流问题的一个典型线性化模型: 它去掉了 Navier-Stokes 非线性项, 但保留了运动界面、时间依赖区域、界面条件、跨界面跳跃系数以及两相耦合等核心数学困难, 因而适合作为建立严格数值分析理论的出发点. 实际两相流、气泡与液滴动力学、油水混合、生物流体输运以及流固耦合等问题中, 界面演化往往伴随物性参数间断、区域变形和复杂耦合, 这使得理论分析与数值模拟都非常困难. 全 Navier-Stokes 模型结合表面张力等效应通常过于复杂, 难以直接进行完整误差分析, 因此研究上述线性化模型具有基础意义.

数值方法方面, 贴体网格方法能够让计算网格精确贴合运动界面, 从而精确施加界面条件; 其中任意拉格朗日-欧拉 (ALE) 方法通过引入参考域到当前域的映射 $X_i^t:\Omega_i^0\to\Omega_i^t$, 兼顾拉格朗日与欧拉描述的优点. 相应的域速度定义为

而 ALE 时间导数为 $\partial_t u_i|_{\hat{x}}=\partial_t u_i+(w_i\cdot\nabla)u_i$. 于是弱形式为: 求 $(u_1,u_2)\in H^1(0,T;U^t)$ 与 $(p_1,p_2)\in L^2(0,T;Q^t)$, 使得对任意 $(v_1,v_2)\in U^t$, $(q_1,q_2)\in Q^t$,

已有 ALE 有限元分析中, 早期工作主要针对移动区域上的抛物问题, 得到了稳定性与 $H^1$ 最优、但 $L^2$ 次优的误差估计; 随后 ALE-FEM 被推广到移动区域上的 Stokes 方程, 但多采用经典 $H^1$-投影. 由于 ALE 映射近似会引入额外几何离散误差, 经典 $H^1$-投影分析往往无法充分捕捉网格运动效应, 导致 $L^2$ 误差不能相对 $H^1$ 误差获得高一阶收敛. 近期针对移动界面问题引入了新型 $H^1$-投影, 以更精确地处理 ALE 映射引起的几何误差, 并已用于保守与非保守 ALE 格式、Stokes/抛物移动界面问题、两相 Navier-Stokes 的 $H^1$ 最优分析以及移动边界 Stokes 半离散 $L^2$ 估计. 然而, 对带运动界面与跳跃系数的两相 Stokes 流, 在 ALE-FEM 框架下同时包含网格运动近似误差与投影离散效应的严格、系统最优收敛理论仍不完整, 尤其是最优 $L^2$ 误差估计. 本文正是针对这一空白, 构造并分析基于 ALE 的混合有限元方法, 包括半离散与全离散格式, 并建立 $H^1$ 与 $L^2$ 范数下的最优误差估计.

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果是建立 ALE 框架下两相 Stokes 运动界面问题的混合有限元最优收敛理论. 从提供内容可确认的严格结果包括以下部分.

首先, 作者采用 Taylor-Hood 混合元, 对 $k\ge 2$ 取离散速度空间 $U_h^t$ 的分片 $P^k$ 元和压力空间 $Q_h^t$ 的分片 $P^{k-1}$ 元. 离散 ALE 映射 $X_{h,i}^t$ 通过分片多项式拉格朗日有限元逼近, 并假设其满足可逆性与网格形状正则性. 文中引用并使用了如下 ALE 映射与网格速度误差估计: 对 $1 $$\|X_i^t-X_{h,i}^t\|_{L^p(\Omega_i^0)}+h\|X_i^t-X_{h,i}^t\|_{W^{1,p}(\Omega_i^0)}\le C h^{k+1}\|X_i^t\|_{W^{k+1,p}(\Omega_i^0)},$$$$\|w_i-w_{h,i}\|_{L^p(\Omega_i^t)}+h\|w_i-w_{h,i}\|_{W^{1,p}(\Omega_i^t)}\le C h^{k+1}\|w_i\|_{W^{k+1,p}(\Omega_i^t)},$$

以及 $L^\infty$ 型估计

由此得到网格速度在 $W^{1,\infty}$ 中的一致有界性 $\|w_{h,i}\|_{W^{1,\infty}(\Omega_i^t)}\le C$, 这保证 ALE 诱导的网格在时间演化中保持形状正则.

其次, 作者定义了一个与 ALE 网格运动相关的特定 $H^1$-投影: 求 $(\tilde{u}_1,\tilde{u}_2)\in U_h^t$ 与 $(\tilde{p}_1,\tilde{p}_2)\in Q_h^t$, 且 $\int_{\Omega_i^t}(\tilde{p}_i-p_i)\,dx_i=0$ ($i=1,2$), 使得对任意 $(v_{h,1},v_{h,2})\in U_h^t$ 和 $(q_{h,1},q_{h,2})\in Q_h^t$,

其中

并要求 $\|w_{h,i}\|_{L^\infty(\Omega_i^t)}\le M_i$, 取 $\kappa=\max\{M_1^2/(2\mu_1)+\mu_1/2+M_1,\;M_2^2/(2\mu_2)+\mu_2/2+M_2\}$ 以保证双线性形式 $a$ 的强制性与稳定性. 对此投影, 文中 Lemma 3.1 给出: 在正则性假设 (24)-(28) 下, 存在投影解, 并且

该估计表明速度的 $L^2$ 投影误差为 $O(h^{k+1})$, 而速度的 $H^1$ 投影误差与压力的 $L^2$ 投影误差为 $O(h^k)$.

摘要与引言进一步声称, 作者证明了该 $H^1$-投影及其 ALE 时间导数在 $H^1$ 与 $L^2$ 范数下的最优收敛性, 并由此得到半离散与全离散 ALE 混合有限元格式在 $H^1$ 与 $L^2$ 范数下的最优误差估计. 按照空间投影的最优阶, 其自然形式为: 速度 $H^1$ 误差 $O(h^k)$, 速度 $L^2$ 误差 $O(h^{k+1})$, 压力 $L^2$ 误差 $O(h^k)$, 且这些估计同时包含 ALE 网格运动引起的几何误差与投影离散效应. 不过, 从提供的 PDF 摘录无法确认全离散格式所采用的时间离散方法及其时间步长阶数, 也无法确认第 3 节与第 4 节中各误差定理的完整编号、常数依赖与具体形式. 因此, 这里只对摘录中明确显示的 Lemma 3.1、ALE 映射估计以及摘要所声称的结论进行陈述; 全离散时间收敛率与具体定理表述从现有内容中无法进一步核实. 数值实验部分被作者用于验证所有理论结果, 但摘录未展示实验细节.

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的核心技术困难在于: 对 ALE 框架下的移动界面 Stokes 问题, 要得到速度的 $L^2$ 最优误差估计, 必须先对 $H^1$-投影的 ALE 时间导数建立最优阶逼近性质. 具体来说, 令投影误差为 $e_i=u_i-\tilde{u}_i$, 需要估计 $\partial_t e_i|_{\hat{x}}$ 的 $L^2$ 或负范数误差. 按常规对偶论证, 人们会尝试为 $\partial_t e_i|_{\hat{x}}$ 所满足的复杂方程构造一个对偶问题. 但文中指出, 由于 ALE 时间导数所满足的形式非常复杂, 对应的伴随问题过于复杂, 难以定义, 这一点与 [32,39] 的观察一致. 另一个困难是: 若沿用 [38,35] 中分部积分策略来证明投影 ALE 时间导数的最优逼近, 则需要对每个子域边界上精确解与其投影之差进行估计, 而对界面问题而言这类边界估计一般不可得.

作者的核心创新是绕开上述两个障碍, 不使用 ALE 时间导数本身的对偶问题, 而只用 $H^1$-投影本身的对偶问题. 具体地, 对给定 $(\tilde{f}_1,\tilde{f}_2)\in(L^2(\Omega_1^t))^d\times(L^2(\Omega_2^t))^d$, 引入伴随问题: 求 $(v_1,v_2)\in U^t$, $(q_1,q_2)\in Q^t$,

其中

该伴随形式满足 $a^\star(\phi_1,\phi_2;\psi_1,\psi_2)=a(\psi_1,\psi_2;\phi_1,\phi_2)$. 它的强形式是一个稳态 Stokes 界面问题, 具有速度 $H^2$、压力 $H^1$ 的正则性估计

利用该对偶问题, 作者将 $L^2$ 内积 $(\tilde{f}_i,u_i-\tilde{u}_i)$ 通过转置关系、投影正交性以及混合元逼近性质转化为可估计项, 从而得到 $H^1$-投影速度的 $L^2$ 最优误差. 这一推导显示: 关键不是直接对 ALE 时间导数做对偶, 而是把时间导数误差与投影本身、压力投影以及速度梯度投影的负范数估计联系起来.

为处理 ALE 时间导数, 作者进一步建立压力 $H^1$-投影和速度梯度 $H^1$-投影的 $H^{-1}$ 型误差估计. 在此基础上, 使用 Aubin-Nitsche 对偶论证推导 ALE 时间导数的投影逼近性质, 而不依赖分部积分. 这样既避免了对复杂 ALE 时间导数构造伴随问题, 也避免使用子域边界上精确解与投影之差的不可得估计. 这是本文分析框架区别于 [38,35] 的关键技术点.

另一个重要技术点是移动区域上的时间微分恒等式. 文中回顾 Reynolds 运输定理

并给出三个用于误差分析的基本恒等式, 分别处理 $\nabla\phi:\nabla(\chi\circ(X^t)^{-1})$、$\psi\nabla\cdot(\chi\circ(X^t)^{-1})$ 和对流项 $(\omega\cdot\nabla)\phi\cdot(\chi\circ(X^t)^{-1})$ 的时间导数. 这些恒等式中出现 $\nabla\cdot w$、$\nabla w+\nabla w^T$、$\nabla w^T\nabla$ 等项, 是 ALE 网格运动进入误差方程的具体方式. 作者利用它们精确控制网格运动误差与投影误差的耦合.

在离散层面, 作者使用 Taylor-Hood 元 $P^k/P^{k-1}$, $k\ge2$, 并通过 $L^p$、$W^{1,p}$ 和 $L^\infty$ 型 ALE 映射与网格速度误差估计, 得到 $w_{h,i}$ 的 $W^{1,\infty}$ 一致有界性. 这保证 ALE 双线性形式中的对流项可被稳定项 $\kappa(\phi_i,\psi_i)$ 吸收, 从而得到 $a$ 的一致强制性与 Brezzi 理论所需的 inf-sup 条件. 误差分析采用标准分裂 $u_i-u_{h,i}=(u_i-\tilde{u}_i)+(\tilde{u}_i-u_{h,i})$, $p_i-p_{h,i}=(p_i-\tilde{p}_i)+(\tilde{p}_i-p_{h,i})$, 其中投影部分由 Lemma 3.1 及其 ALE 时间导数估计控制, 离散部分由能量稳定性和混合元 inf-sup 条件控制. 最终 $L^2$ 最优阶来自对投影误差的对偶论证, 而 $H^1$ 最优阶来自投影逼近与稳定性估计. 需要指出, 摘录中完整显示了 Lemma 3.1 的证明框架与对偶问题设置, 但半离散与全离散误差定理的完整证明细节未在提供内容中展开.

4. 与之前工作的比较

本文与已有 ALE-FEM 文献的关系可以从几个维度理解.

第一, 与早期移动区域抛物问题的 ALE-FEM 分析 [29,30] 相比, 那些工作建立了稳定性、$H^1$ 最优误差和 $L^2$ 次优误差. 本文的目标是把 $L^2$ 误差推进到相对 $H^1$ 高一阶的最优收敛. 实现这一推进的关键不是简单重复经典能量估计, 而是引入适合移动界面与 ALE 网格运动的 $H^1$-投影, 并控制其 ALE 时间导数. 因此, 本文在收敛阶上明确强于经典抛物线移动域分析.

第二, 与移动区域 Stokes 方程的 ALE-FEM 工作 [31] 相比, 该文采用经典 $H^1$-投影. 经典投影没有显式包含由 ALE 映射近似引起的网格运动项, 因此分析往往不能完全捕捉几何离散误差, 导致 $L^2$ 误差估计难以达到最优高阶. 本文的投影双线性形式中显式包含 $-((w_{h,i}\cdot\nabla)\phi_i,\psi_i)$ 项, 并加入稳定项 $\kappa(\phi_i,\psi_i)$, 从而把 ALE 网格速度 $w_{h,i}$ 的影响纳入投影与误差分析. 这使得 $L^2$ 最优估计成为可能.

第三, 与近期针对移动界面问题的新型 $H^1$-投影工作 [32,33] 相比, 那些文献已经认识到标准投影不足以处理 ALE 几何误差, 并引入了 tailored $H^1$-投影, 对保守与非保守 ALE 格式、Stokes/抛物移动界面问题建立了稳定性与 $H^1$ 最优误差. 本文在此基础上进一步处理两相 Stokes 运动界面、跳跃系数、分片压力与界面应力条件, 并把分析推进到半离散与全离散格式的 $L^2$ 最优误差. 同时, 本文特别强调对投影的 ALE 时间导数建立最优估计, 这是获得速度 $L^2$ 最优阶的核心.

第四, 与两相 Navier-Stokes 的 ALE-FEM $H^1$ 最优分析 [34] 相比, 本文研究的是线性化 Stokes 模型, 而不是完整非线性 Navier-Stokes. 代价是适用范围较窄, 但收益是可以对移动界面、跳跃系数和混合有限元投影进行更精细的 $L^2$ 分析. 文中将 Stokes 模型称为两相流的典型线性化模型, 并指出其保留了运动界面与跳跃系数带来的核心困难.

第五, 与半离散 ALE-FEM 求解移动边界 Stokes 方程的 $L^2$ 最优估计 [35] 相比, 本文的区别在于: 研究对象是两相运动界面问题, 而非单一移动边界问题; 界面两侧存在不同粘性系数 $\mu_1\ne\mu_2$ 与应力跳跃条件; 采用 monolithic 混合有限元框架; 同时分析半离散与全离散格式. 方法上, [35] 和 [38] 中的分部积分策略需要子域边界上精确解与投影的估计, 而本文指出这类估计对界面问题一般不可得, 因此转向 Aubin-Nitsche 对偶论证与 $H^{-1}$ 型估计. 这是分析工具层面的实质差异.

第六, 在假设与适用范围方面, 本文要求 ALE 映射保持可逆且网格形状正则, 网格速度满足 $W^{1,\infty}$ 有界, 并对精确解给出 (24)-(28) 的正则性假设, 对伴随界面问题假设 $H^2/H^1$ 正则性 (40). 这些假设在移动界面有限元分析中较为常见, 但仍限制了界面位移幅度与网格变形程度. 此外, 文中 $\mu_1,\mu_2$ 为常数且仅要求 $\mu_1\ne\mu_2$, 未处理变系数、极高对比或拓扑变化. 作者在摘要与引言中表示该方法可推广到 Taylor-Hood 与 MINI 混合元以及更一般的两相流问题, 但这些属于展望性陈述, 并非本文已严格证明的结论.

总体而言, 本文的主要推进是: 在 ALE-FEM 框架下, 对带运动界面与跳跃系数的两相 Stokes 问题, 通过一个包含网格运动项的特定 $H^1$-投影, 证明投影及其 ALE 时间导数的 $H^1$ 与 $L^2$ 最优逼近性质, 并由此得到半离散与全离散混合有限元格式在 $H^1$ 与 $L^2$ 范数下的最优误差估计. 与既有工作相比, 它把 $L^2$ 最优收敛从单一移动边界或简化情形推进到两相运动界面与跳跃系数情形, 并把 ALE 网格运动误差与投影离散误差统一纳入分析. 代价是分析更复杂, 需要额外的稳定项、对偶正则性假设以及 $H^{-1}$ 型投影估计; 同时, 从提供内容中无法确认全离散时间离散的具体阶数、数值实验细节以及与所有前人工作的逐条定量比较, 作者也未在摘录中显式展开所有比较.

了解领域论文（摘要翻译）

1. 神经调和测度算子

Neural Harmonic Measure Operator

作者: Jinjin He, Sinan Wang, Yuchen Sun, Bo Zhu

类别: cs.LG, math.NA

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.35752v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.35752v1

摘要翻译

中文标题: 神经调和测度算子

摘要翻译: 我们提出神经调和测度算子（Neural Harmonic Measure Operator, NHMO），一种用于变形状区域上椭圆 PDE 问题的神经求解器。一个区域的调和测度是边界概率分布：将其与任意边界数据积分后，给出 Dirichlet Laplace 解。它只依赖于几何形状，而不依赖于边界数据。NHMO 将该测度的密度参数化为一个基于 transformer 的边界核，并由 Walk-on-Spheres 出射样本监督，因此一个训练好的核即可在一个形状上处理不同边界值，而无需重新训练。我们通过一个经典分解将其扩展到 Poisson 问题，其中辅助网络摊销由源项诱导的修正，并避免破坏直接求值的奇异体积求积。在推理阶段，新的边界值和新的源项都通过对拟合核与提升进行重新积分来得到 PDE 解，而无需重新训练。NHMO 在 MCB-B 3D 变形状 Poisson 基准的所有五个类别上均优于四个先前基线，并在一个受控 2D 测试平台上与主要神经算子基线具有竞争力。

2. 最小二乘残差极小化何时能求解微分方程？

When does least-squares residual minimization solve a differential equation?

作者: Carlos Esteve-Yagüe, Richard Tsai, Stanley Osher

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.35716v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.35716v1

摘要翻译

中文标题: 最小二乘残差极小化何时能求解微分方程？

摘要翻译: 最小二乘残差极小化通过一个优化问题来逼近一个微分方程。本文研究了从残差泛函的驻点与极小化序列过渡到精确解所需的条件。从残差与线性化算子值域之间的经典正交关系出发，我们研究边界条件和参数化变分如何决定在驻点处关于残差可以推断出什么。即使对于适定问题，也可能出现光滑的伪临界点；对于线性方程，一个相容性条件给出了精确的投影刻画。对于具有跨音速边界数据的标量守恒律，每个极小化序列都收敛到一个连续函数，而该函数并不求解该方程，即使存在驻定熵激波。我们给出了条件，在这些条件下逼近该极限会迫使参数范数发散。一个 Hamilton–Jacobi 例子表明，一个函数可以具有零残差，却不是粘性解。对于粘性模型和一致凸的 Monge–Ampère 临界点，有利的结果确定了恢复相应蕴含关系的条件。对于分片光滑的试探函数族，定义残差泛函所需的子则性本身并不能证明训练中使用的采样梯度是合理的。移动的残差跳跃可以贡献该梯度中不存在的项；一个显式例子具有恒为零的采样梯度和一个非零的连续导数。总之，这些结果阐明了驻定性与采样梯度关于残差意味着什么，以及在哪些条件下极小化序列会导向预期的解。

3. 强磁场中带电粒子动力学的 Boris 型指数积分器

Boris-type exponential integrators for charged-particle dynamics in strong magnetic fields

作者: Marlis Hochbruck, Sebastian Merk

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.35679v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.35679v1

摘要翻译

中文标题: 强磁场中带电粒子动力学的 Boris 型指数积分器

摘要翻译: 我们研究强磁场中带电粒子运动的数值时间积分，关注时间步长无法解析快速回旋运动的区域。标准 Boris 型方法在回旋运动被解析时是保结构的且精确，但其误差常数随磁场强度增大而变差；滤波 Boris 方法改进了这一行为，但可能遭遇奇异性以及共振导致的误差爆破。在这项工作中，我们考虑常值强磁场情形，并从常数变易公式推导出一大类单步指数积分器，其以矩阵值滤波函数表述。该框架包含已有的滤波 Boris 变体，并允许构造具有一致有界滤波器的格式。利用离散常数变易表示并结合分部求和论证，我们建立了误差界，其常数与磁场强度无关，并刻画了一阶和二阶精度所需的滤波条件。特别地，我们表明有界滤波器可避免共振爆破，并允许任意时间步长，代价是在共振频率附近出现受控的阶数降低。数值实验证实了所预测的收敛行为、位置与速度分量的不同精度，以及主导误差项在广泛的步长–磁场强度乘积范围内的作用。

4. 带移动传感器的哈密顿动力学的辛滤波

Symplectic filtering of Hamiltonian dynamics with moving sensors

作者: Olga Mula, Cecilia Pagliantini, Federico Vismara

类别: math.NA, math.DS, math.SG

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.35647v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.35647v1

摘要翻译

中文标题: 带移动传感器的哈密顿动力学的辛滤波

摘要翻译: 尽管用于哈密顿系统正向模拟的保结构方法已经成熟，但其对应的数据同化与滤波方法的数学基础仍相对不够完善，尤其是在严格精度保证方面。为了弥补这一空白，我们提出一种在线滤波算法，从有限多个测量中重构未知函数 $u^\dagger$，假定 $u^\dagger$ 求解一个具有未知输入的参数化哈密顿 PDE。该方法使用低维辛逼近空间，这些空间根据 PDE 模型并借助测量数据随时间演化。该方法还可以与一种旨在优化重构稳定性的动态传感器布置策略相结合。我们推导了以稳定性与最佳逼近表示的误差界，并证明了重构仍位于辛空间中，且在近似误差范围内保持能量。数值实验表明了该方法的有效性，以及动态传感器布置相对于静态传感器布置的优势。

5. 时间依赖电磁问题的等几何多片预条件子

Isogeometric multi-patch preconditioner for time-dependent electromagnetic problems

作者: Bernard Kapidani, Gabriele Loli, Giancarlo Sangalli, Mattia Tani, Rafael Vázquez

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.35636v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.35636v1

摘要翻译

中文标题: 时间依赖电磁问题的等几何多片预条件子

摘要翻译: 我们基于近期针对 Maxwell 方程三维初边值问题的高阶样条几何方法的发展开展工作。此前的格式局限于单片几何。为解决多片情形下与质量矩阵求逆相关的计算挑战，我们将已有的针对 0-形式质量矩阵和刚度矩阵的技术推广到 1-形式质量矩阵。我们的方法利用样条空间的张量积结构，为 1-形式质量矩阵构造一个谱等价预条件子。具体地，我们为单片区域设计了一个高效预条件子，其对网格尺寸和样条次数均具有稳健性。在多片情形中，通过将单片预条件子与加性 Schwarz 方法相结合来推广该方法，确保关于片数的稳健性和可扩展性。我们分析了所提出预条件子的计算复杂度，并通过全面的数值实验验证了其稳健性和效率。

6. 用于两相 Navier–Stokes 流的高阶能量递减 ALE-SAV 有限元方法

High-order energy diminishing ALE-SAV finite element methods for two-phase Navier–Stokes flow

作者: Shu Ma

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.35590v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.35590v1

摘要翻译

中文标题: 用于两相 Navier–Stokes 流的高阶能量递减 ALE-SAV 有限元方法

摘要翻译: 我们针对尖锐界面两相 Navier–Stokes 流发展了一种高阶全离散 ALE-SAV 有限元方法，该格式满足离散能量耗散律。我们引入 SAV 重构以确保表面能和重力势能的稳定处理，并引入一个能量稳定的 ALE 传递算子，该算子能在动网格上控制密度加权动能。所得格式是线性的，并满足一个修正的能量耗散不等式。数值实验，包括上升气泡基准算例，证明了该方法的鲁棒性，并验证了时间上的二阶收敛以及空间上的任意高阶收敛。

7. 潜在孪生算子

Latent Twin Operator

作者: Deepanshu Verma, Riley Chen, Matthias Chung

类别: cs.CE, math.NA

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.35531v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.35531v1

摘要翻译

中文标题: 潜在孪生算子

摘要翻译: 部署在真实物理系统上的代理模型很少见到固定分辨率的数据：传感器配置因部署而异，并可能随着传感基础设施的变化随时间演变。我们提出潜在孪生算子（Latent Twin Operator, LTO），一种用于时间演化 PDE 的潜在空间代理模型，具有卷积条件神经过程（ConvCNP）风格的编码器和解码器，它接受由 $N$ 个任意放置的传感器观测组成的上下文集，并且可以在任意分辨率下查询。一个学习到的潜在演化映射直接在任意时间点之间推进编码状态，将时间演化与观测离散化和查询离散化解耦。我们推导了在准均匀细化下，空间维数 $D$ 中上下文离散化误差的显式 $\mathcal{O}(N^{-2/(3D)})$ 速率。我们在一个 2D 热方程基准上实证验证了预测的衰减。在多个时间依赖 PDE 基准上，LTO 在单步比较下取得了很强的精度，并且能在参数固定时从原生空间分辨率迁移到更粗的空间分辨率。在 Navier–Stokes 上，相对于递归评估，其直接潜在演化在更长的预测时域上进一步降低了误差。

8. 由前推映射实现的测度到测度算子的通用逼近

Universal Approximation of Measure-to-Measure Operators by Pushforwards

作者: Takashi Furuya, Nicholas H. Nelsen, Frank Cole

类别: cs.LG, math.NA, stat.ML

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.35483v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.35483v1

摘要翻译

中文标题: 由前推映射实现的测度到测度算子的通用逼近

摘要翻译: 许多学习任务将输入分布映射为输出分布。对这类算子建模的一种自然方式是：用一个可能依赖于整个输入分布的连续函数对每个输入样本进行变换，然后取变换后样本的分布。这定义了一个依赖测度的前推模型，并包含变换器的测度论表述。我们研究此类模型何时能够逼近概率测度空间之间的任意连续算子。我们首先表明，当允许原子输入时，通用逼近会失效：一些分裂或重新分配原子质量的连续测度到测度算子，不能由确定性前推模型任意好地逼近。随后我们引入一致水平集条件，它要求一个连续依赖测度的标量化，其收缩的水平集邻域在输入族上具有一致趋于零的质量。该条件特别地被绝对连续测度的紧族满足。在每个满足该条件的紧族上，我们证明：任何输出具有有限 $p$ 阶矩的连续测度到测度算子，都可在 $p$-Wasserstein 距离下由连续依赖测度的前推一致逼近。将我们的定理与已有的依赖测度的上下文映射的逼近结果结合，可得到测度论变换器的通用逼近。我们还将该框架推广到连续变化的源测度，从而为一类与交叉注意力架构密切契合的前推模型给出相应的通用性结果。

9. 三维、四维、六维、八维、十维和十四维中 Schiffer 与 Pompeiu 猜想的凸反例

Convex counterexamples to the Schiffer and Pompeiu conjectures in dimensions three, four, six, eight, ten and fourteen

作者: Jizhou Guo

类别: math.AP, math.CA, math.NA, math.SP

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.35419v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.35419v1

摘要翻译

中文标题: 三维、四维、六维、八维、十维和十四维中 Schiffer 与 Pompeiu 猜想的凸反例

摘要翻译: 在维数 $3,4,6,8,10,14$ 中，我们构造了具有实解析球面边界的有界凸非球区域。每个区域都容许 $Δu+u=0$ 的一个非常数解，且满足边界上 $u=1$ 和 $\nabla u=0$。Green 恒等式使其指示函数的 Fourier 变换在单位球面上为零，从而在这些维数中，即使在凸类中，也否证了 Schiffer 和 Pompeiu 猜想。三维区域是轴对称的，在最后两个坐标上关于 $O(2)$ 不变，并对第一个坐标的反射不变，且通过提升其子午截面的一个共形映射得到。在维数 $n=2m+2$，$m=1,2,3,4,6$ 中，这些区域位于秩二紧李代数 $\mathfrak{u}(2)$、$\mathfrak{so}(4)$、$\mathfrak{su}(3)$、$\mathfrak{so}(5)$ 和 $\mathfrak g_2$ 中。Harish-Chandra 的径向部分公式将这些情形约化为平面 Helmholtz 问题，而 Kostant 定理将凸性约化为 Cartan 截面。在二进逼近附近的精确解来自加权多项式系数空间中的计算机辅助压缩，其中对有限块有区间界，对每个无限尾部有解析界。三维中第二个严格星形但非凸的例子被保留为一个独立结果。据我们所知，除本文的早期版本外，这些是维数至少为三的首批反例，也是任意维数中已知的首批凸反例。

10. GAC-PINN：几何自适应与约束增强的物理信息神经网络

GAC-PINN: Geometry-Adaptive and Constraint-Enhanced Physics-Informed Neural Networks

作者: Yanxin Zhang, Yong Zhang, Houbiao Li

类别: math.NA, cs.AI

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.35196v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.35196v1

摘要翻译

中文标题: GAC-PINN：几何自适应与约束增强的物理信息神经网络

摘要翻译: 对于具有陡峭梯度、尖锐界面或严重时空耦合的系统，物理信息神经网络（PINNs）受到谱偏差、几何不灵活性和边界约束冲突的困扰，这削弱了精度和收敛性。为克服这些问题，我们提出一种几何自适应与约束增强的 PINN（GAC-PINN）。该框架包含四个组成部分：一种梯度驱动的自适应网格映射（AGM），用于在 Jacobian 正则化下进行微分同胚的点集中；一种具有空间变化边界过渡宽度的自适应带宽硬约束拟设；一种高斯 Fourier 特征映射，作为谱预条件子以进一步增强高波数表示；以及一个算子感知路由器，根据控制 PDE 是否包含时间导数自动选择适当的硬约束构造。一个 AGM 回调机制和一个三阶段训练策略确保稳定协调。包括粘性 Burgers 方程、尖峰二维 Poisson 问题和 Allen-Cahn 相变方程在内的基准测试表明，GAC-PINN 分别达到相对 (L^2) 误差 ((1.747\pm 0.450)\times 10^{-4})、((2.868\pm 0.947)\times 10^{-5}) 和 ((1.756 \pm 0.712)\times 10^{-3})，持续优于基线。消融研究进一步表明，单独使用 AGM 产生的误差显著低于基于残差的自适应细化（RAR），而 RAR 仅在与 FFM 结合时才有益，体现出模块交互具有情境依赖性。收敛性分析验证了随着分辨率增加，误差快速降低并饱和，从而建立了一个实用的自适应框架，用于应用力学和计算物理中具有局部尖锐特征问题的高保真模拟。

11. 一种用于具有三次相互作用的分层耦合反应-扩散系统的加权多边形间断 Galerkin 方法

A weighted polygonal discontinuous Galerkin method for hierarchically coupled reaction-diffusion systems with cubic interactions

作者: Mattia Corti

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.34625v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.34625v1

摘要翻译

中文标题: 一种用于具有三次相互作用的分层耦合反应-扩散系统的加权多边形间断 Galerkin 方法

摘要翻译: 我们针对具有最高三次非线性反应项的多物种反应-扩散系统，提出并分析了一种对称加权内罚多面体间断 Galerkin (SWIP-PolyDG) 方法。当将高阶相互作用纳入种群模型时，此类项自然出现，使得多个物种之间的非加性效应影响局部增长和转化机制。所提框架可在一般多边形网格上处理异质且可能各向异性的扩散张量。为了控制非线性耦合，我们在反应算子中考虑分层块结构，其中每个种群块仅依赖于其自身变量以及与前序块相关联的变量。此外，假定每个块内的三次自相互作用具有耗散对角结构。在这些假设下，并沿种群块层级递归进行，我们针对半离散格式，在二维空间中，在 $L^2(Ω)$- 范数和 dG 范数两者中推导出局部时间稳定性估计。我们进一步对半离散格式，针对充分正则的解，在组合的 $L^2(Ω)$-dG 能量范数中建立先验误差估计。最后，数值实验证实了所预测的收敛行为，并说明了该方法在异质扩散下的稳健性。

12. 人体二尖瓣与经导管缘对缘修复的浸入式等几何流固耦合建模

Immersogeometric fluid-structure interaction modeling of the human mitral valve and transcatheter edge-to-edge repair

作者: Keon Ho Kim, Ashton M. Corpuz, Monu Jaiswal, Michael S. Sacks, Ming-Chen Hsu

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.34209v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.34209v1

摘要翻译

中文标题: 人体二尖瓣与经导管缘对缘修复的浸入式等几何流固耦合建模

摘要翻译: 经导管缘对缘修复（TEER）使用一个夹子夹持并使二尖瓣（MV）瓣叶对合，从而治疗二尖瓣反流。预测其结局需要解析血流与完整二尖瓣装置之间的相互作用，其中高度可变形瓣叶和腱索会发生大变形和复杂接触。在这项工作中，我们提出一种浸入式等几何流固耦合（FSI）格式，其中瓣膜组件、周围流动与修复之间的耦合以弱形式施加，不需要协调离散。开发了一条全参数化重建流程，将分割图像转换为可直接分析的等几何网格。瓣叶和腱索分别建模为 Kirchhoff-Love 壳和索，并对壳格式进行修改以包含一个在体预应变张量，该张量考虑了成像几何中已经存在的载荷。我们提出一种子单元方法，用于改进界面约束的求积，并消除原本为了防止通过瓣叶的非物理泄漏所需的过度加密。MV 修复通过罚函数格式建模，该格式在指定区域上强制瓣叶对合，使得无需重新划分网格或对器械建模即可改变夹子数量和布置。左心流出道处的集总参数模型施加依赖于流动的压力，而不是指定波形，从而使前向流与反流之间的分流符合生理行为。我们基于分割成像数据验证了重建，展示了所提出格式的网格收敛性，并将该框架应用于一例脱垂 MV 及其单夹和双夹修复，以量化瓣膜动力学和左心血流动力学在术前和术后的变化。

13. 变化工况下面向力学决策的神经算子自适应

Adapting neural operators for mechanics decisions under changing operating conditions

作者: Prashant K. Jha, Koffi Enakoutsa, Ian Galloway, Henry Anderson

类别: cs.CE, cs.LG, math.NA

发布日期: 2026-09-27

arXiv ID: 2609.33978v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.33978v1

摘要翻译

中文标题: 变化工况下面向力学决策的神经算子自适应

摘要翻译: 神经算子可以加速重复的非线性力学计算，但当工况超出训练范围时，其精度可能退化。本文研究在使用过程中获取的高保真解能否被复用来对神经算子进行自适应，并改进后续基于力学的指令选择。使用高保真有限元（FE）模型模拟了两个硬磁软材料系统，为评估代理预测和所选指令提供参考解。神经算子根据已知材料、载荷和磁场输入预测变形，而经验误差估计器确定哪些预测可用于指令选择。选定的 FE 评估补充这些预测，并保留其完整加载路径，用于神经算子和估计器的周期性更新。在两个例子中，当刚度和载荷移动到训练范围之外时，固定算子会损失显著精度。使用 16 条已获取路径进行更新可以恢复大部分损失的精度，同时保持标称工况下的精度。在相同的 FE 评估预算下，更新后的算子也改进了指令选择，尽管收益随工况变化。误差估计的一致性较差，有时不准确的预测被接受，而准确的预测被拒绝。这些结果表明，复用高保真加载路径可以扩展神经算子的有效工作范围。然而，仅提高前向精度并不能保证可靠的预测接受，这凸显了针对预测的误差评估是可信决策的一项独立需求。

14. 基于（端口-哈密顿）微分代数方程的数学建模、仿真与优化

Mathematical modeling, simulation and optimization via (port-Hamiltonian) differential-algebraic equations

作者: Volker Mehrmann

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-27

arXiv ID: 2609.33954v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.33954v1

摘要翻译

中文标题: 基于（端口-哈密顿）微分代数方程的数学建模、仿真与优化

摘要翻译: 微分代数方程（DAEs）是复杂有限维或无限维动力系统的自动化建模、仿真、控制与优化中普遍存在的一类模型，尤其是在数字孪生的构建中。当与适当的空间和时间离散方法相结合时，它们构成了许多工程领域发展的主力工具。然而，这种方法给数值方法带来某些挑战，特别是在耦合来自不同物理领域、具有不同尺度或正则性要求的系统时。我们综述了基于 DAEs 的建模，并讨论如何通过端口-哈密顿微分代数系统（pHDAEs）框架，以及借助空间-时间-模型自适应方法对它们进行仿真与优化，来克服其中一些挑战。

15. 基于对称性思想的延迟次扩散方程的一些新数值格式

Some new numerical schemes for delay sub-diffusion equations via the idea of symmetry

作者: Dakang Cen, Caixia Ou, Seakweng Vong, Zhibo Wang

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-27

arXiv ID: 2609.33406v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.33406v1

摘要翻译

中文标题: 基于对称性思想的延迟次扩散方程的一些新数值格式

摘要翻译: 在这项工作中，我们提出了若干新颖的数值格式，它们协同融合了 $L1$ 方法和对称分数阶降阶（SFOR）方法，专门针对带时滞的分数阶次扩散方程设计。关键的是，我们严格建立了时间方向上 $2 - α/2$ 的最优收敛阶，这在相同光滑性条件下改进了经典的 $2-α$ 速率。为了进一步提高计算效率，我们针对二维情形发展了加权交替方向隐式（ADI）格式，并分析了其与紧致空间离散的耦合——从而在空间上实现高阶精度。此外，我们引入了一个新的框架，用于分析分级时间网格上 $L1$ 型离散的误差，该框架放宽了网格分级要求，并且仍然保证在连续时间点上的最优收敛阶。若干数值实验全面验证了所得格式的理论精度和计算效率。

16. 面向结构化预测不确定性的最优传输 Dropout

Optimal Transport Dropout for Structured Predictive Uncertainty

作者: Giacomo Lorenzon, Francesco Regazzoni

类别: cs.LG, math.NA

发布日期: 2026-09-27

arXiv ID: 2609.33377v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.33377v1

摘要翻译

中文标题: 面向结构化预测不确定性的最优传输 Dropout

摘要翻译: 确定性神经网络和神经算子给出点预测，但不提供内在的可靠性度量。然而，预测不确定性可能源自不可约的结果变异性、有限数据或所选模型类的局限。Monte Carlo dropout 提供了一种计算方便的方法，通过随机特征掩蔽来构造预测分布，而无需训练多个独立网络或显式推断模型参数的后验。然而，其扰动律在很大程度上是先验规定的，并且通常在潜在坐标上因子分解。我们提出最优传输 Dropout（OTD），它转而联合学习预测映射及其潜在扰动的分布。从一个简单的独立参考分布出发，OTD 通过可学习流传输潜在扰动，并将其传播通过预测神经网络，从而诱导出一个结构化的预测分布。训练使用严格恰当的 Energy Score，而动能作用项则从几何上正则化该传输。合成基准表明，OTD 能够捕捉多峰预测分布，在模型设定错误时产生有意义的离散度，并且随着提供更多训练数据或更大模型容量而表现出收缩的离散度。对于一个场值偏微分方程代理模型，预测离散度与预测误差的空间模式高度一致。在该任务上，与 Monte Carlo dropout 相比，OTD 产生更准确的预测以及校准更好、显著更窄的区间。在真实世界回归基准上，与已有基线相比，它还展现出有竞争力的精度和更好的概率预测。因此，OTD 提供了一种无需显式后验推断或独立训练预测器集成来学习结构化预测不确定性的途径。

17. 透射散射中利用对称边界积分方程的分层低秩压缩

Hierarchical low-rank compression exploiting symmetric boundary integral equations in transmission scattering

作者: Yasuhiro Matsumoto, Taizo Maruyama, Qianxiang Ma, Rio Yokota

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-27

arXiv ID: 2609.33216v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.33216v1

摘要翻译

中文标题: 透射散射中利用对称边界积分方程的分层低秩压缩

摘要翻译: 我们提出一种利用矩阵对称性来加速波透射散射中分层低秩压缩的方法。对于 Helmholtz 透射问题，我们引入一种对称的类 Müller 边界积分方程形式。尽管不属于第二类，该形式不会给直接求解器带来困难。Nyström 离散中的单点校正求积保持了离散系统的复对称性。该形式被集成到一种分层半可分直接求解器的变体中。在该框架内，通过利用左右系数之间的对称关系，代理方法中低秩近似的计算工作量减半。此外，我们利用对称 Galerkin 边界元方法将这种利用对称性的方法推广到弹性透射问题。在多节点计算集群上的数值实验表明，与不对称基线相比，Helmholtz 散射的对称类 Müller 形式平均达到 1.41 倍的加速，同时保持三阶收敛。此外，用于弹性散射的对称性感知求解器速度提升超过 1.5 倍。

18. 面向期权定价的金融信息启发算子学习及其量子兼容实现

Finance-Informed Operator Learning for Option Pricing with Quantum-Compatible Realizations

作者: Jiarui Feng, Bingyang Hu, Jiang Yu, Changhong Mou, Yeyu Zhang

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-27

arXiv ID: 2609.33213v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.33213v1

摘要翻译

中文标题: 面向期权定价的金融信息启发算子学习及其量子兼容实现

摘要翻译: 在局部波动率下为欧式期权定价需要反复求解一个 PDE，其系数会随重新校准而变化，而从业者需要标的资产价格-时间曲面上的价格和敏感度。神经代理模型可以摊销这些求解，但在临近到期时解会失去正则性，使得曲率难以学习，并可能违反无套利边界。我们提出一种金融信息启发的深度算子网络（FI-DeepONet），它将定价算子分解为一个依赖输入的 Black-Scholes 载体和一个学习到的修正项。该载体使用行权价线积分方差，捕捉主导的临近到期曲率奇异性，同时一个光滑单调的金融可容许层逐点强制价格界。我们为精确修正项推导了一个短期限估计和微分渐近，并给出了将修正误差与价格、敏感度和 PDE 残差误差联系起来的恒等式。在分布内测试中，相较于 vanilla 和 physics-informed DeepONet 基线，FI-DeepONet 将全局相对价格误差降低近一个数量级。在同一局部波动率族内的参数偏移 OOD 测试中，泛化能力中等。在指数期权数据上，冻结模型无需针对特定市场重新训练仍保持准确，尽管它并未优于相同输入的解析公式。我们还给出了一种量子兼容实现，其中选定的线性映射在监督适配之前被精确编译，或由受限的对角正交族近似。

19. 求解无相位逆散射问题的模型信息引导深度学习算法

A Model-Informed Deep Learning Algorithm for Solving the Phaseless Inverse Scattering Problem

作者: Dinh-Liem Nguyen, Nhung H. Nguyen, Aravinth Ravi

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-27

arXiv ID: 2609.33070v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.33070v1

摘要翻译

中文标题: 求解无相位逆散射问题的模型信息引导深度学习算法

摘要翻译: 本文研究一种无监督、两步、模型信息引导的深度学习框架，用于求解无相位逆散射问题。目标是从对应于多个入射波的总波场模的边界测量中，重建一个刻画散射体的紧支撑函数。第一步，将无相位数据变换为一个与底层散射体直接相关的成像函数。受对比源方法启发，我们利用 Lippmann-Schwinger 积分方程和一个涉及成像函数的基于谱的方程，推导出一个耦合的模型方程组。第二步，未知散射体和对比源函数分别被参数化为独立的前馈神经网络，并在每次迭代中利用推导出的模型方程组同时训练。Lippmann-Schwinger 积分方程作为模型约束强制满足底层物理，而融入成像函数的基于谱的方程则提供关于未知散射体形状和位置的几何信息。所得框架在保持对测量噪声鲁棒性的同时，实现了准确且高效的重建。此外，将问题的某些方面变换到谱域能够有效降低计算成本，使我们能够快速恢复未知散射体。二维和三维情形下的数值实验证明了所提方法的有效性、稳定性和实际潜力。

20. 用于反源问题的谱模型引导神经网络

A Spectral Model-Informed Neural Network for Inverse Source Problems

作者: Dinh-Liem Nguyen, Nhung H. Nguyen, Aravinth Ravi

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-27

arXiv ID: 2609.33062v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.33062v1

摘要翻译

中文标题: 用于反源问题的谱模型引导神经网络

摘要翻译: 本文提出了一种用于求解反源问题的无监督、两阶段模型引导深度学习框架。在第一阶段，边界测量数据被转换为一个成像函数，该函数编码了关于未知源形状和位置的信息。利用这些信息，我们在谱域中推导出一个基于 Fourier 的模型方程，将成像函数与源函数的 Fourier 系数联系起来。在第二阶段，将该模型方程融入模型引导神经网络的训练中，以恢复感兴趣的参数。所提方法能够快速且准确地重建源函数，同时保持对噪声的鲁棒性。该方法的有效性通过二维和三维情形下的数值实验得到了验证。对于二维情形，我们进一步将所提方法与传统最小二乘方法进行比较，以验证其计算效率和重建精度。

21. 神经网络辅助改进一维标量守恒律的传统格式

Neural Network-Assisted Refinement of Traditional Schemes for One-Dimensional Scalar Conservation Laws

作者: Imre Fekete, Ferenc Izsák, Vendel P. Kupás

类别: math.NA, cs.LG

发布日期: 2026-09-26

arXiv ID: 2609.32887v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32887v1

摘要翻译

中文标题: 神经网络辅助改进一维标量守恒律的传统格式

摘要翻译: 本文在求解一维标量守恒律的传统数值方法与神经网络逼近之间建立了一种清晰的关联。重点在于针对凸通量函数情形构造一个合适的通量项，以改进经典格式。这里发展的第一个神经网络能够重新发现 Godunov 方法，而第二个神经网络则模拟二阶斜率限制器函数的行为。通过将它们融合，可以发展出基于二阶重构的格式。本文提出的网络采用最少数量的参数，与先前方法相比显著降低了复杂度。这些网络还可以依次连接，从而得到一个对应于多个时间步的深度网络。使用合适的损失函数对它们进行训练可得到稳定的格式，甚至在不增加经典方法复杂度的情况下对其加以改进。

22. 随机区域问题的随机 Galerkin 逼近的深度学习方法

Deep learning methods for stochastic Galerkin approximations of random domain problems

作者: Fabio Musco, Andrea Barth

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-26

arXiv ID: 2609.32508v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32508v1

摘要翻译

中文标题: 随机区域问题的随机 Galerkin 逼近的深度学习方法

摘要翻译: 本文考虑椭圆型随机偏微分方程 (PDE) 的随机区域问题的强和弱随机 Galerkin 逼近。随机区域问题通过充分正则的随机区域映射实现，从而可在确定性参考区域上进行变换。求解由此得到的高维耦合随机 Galerkin 系统的传统数值方法被深度学习技术取代。我们比较了基于强随机 Galerkin 残差的物理信息神经网络方法与基于弱随机 Galerkin 系统的 Deep Ritz 方法，其中弱随机 Galerkin 系统被重新表述为 Ritz 能量极小化。神经网络作为相应随机 Galerkin 解的确定性谱系数的代理模型。随机参数不被用作神经网络的输入参数，且训练期间不对随机区域进行采样。这些方法的效率在二维空间中的随机拉伸区间和随机变形圆环域上得到了验证。

23. 某些四阶非对称有限差分拉普拉斯算子的谱实性

Spectral Reality for Certain Fourth-Order Nonsymmetric Finite-Difference Laplacians

作者: Yizhe Feng, Weiguo Gao, Meiyue Shao

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-26

arXiv ID: 2609.32410v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32410v1

摘要翻译

中文标题: 某些四阶非对称有限差分拉普拉斯算子的谱实性

摘要翻译: 拉普拉斯算子的有限差分离散化产生离散拉普拉斯算子，其谱性质与数值求解器的稳定性、收敛性以及物理保真度密切相关。尽管对称离散化已得到充分理解，许多高阶有限差分格式却产生非对称矩阵，而对其严格的谱分析却被忽视。出人意料的是，我们证明了两个带 Dirichlet 边界条件的四阶格式可产生非对称离散拉普拉斯算子，其谱为纯实且严格正。计算机辅助计算表明，该性质一般而言对这些格式的高阶推广不成立。

24. 为什么直接学习周期轨迹可能失败

Why Directly Learning Periodic Trajectories Can Fail

作者: Kaixin Zheng, Anita Layton

类别: cs.AI, math.CA, math.NA

发布日期: 2026-09-26

arXiv ID: 2609.32254v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32254v1

摘要翻译

中文标题: 为什么直接学习周期轨迹可能失败

摘要翻译: 周期解的算子学习需要决定如何记录和表示仿真数据。一个自然的选择是积分足够长时间以使瞬态衰减，并记录足够宽的窗口以包含所有轨迹的至少一个完整周期。我们发现，这些保守选择可能使得到的轨迹难以学习，即使底层的周期轨道随系统参数有规律地变化。未对齐的轨迹即使在训练分布内也泛化很差。相位对齐显著改善了分布内泛化，但在固定物理时间窗口上训练的模型，对于周期在训练范围之外的轨迹仍有较大误差。我们通过一个共同机制解释这两种失败：频率差异随时间累积，因此目标相位随参数快速变化。无法跟踪这种变化的预测器在两种设置下都会有一个总体 MSE 下界；对于固定窗口预测，我们还推导了逐样本下界。然后我们研究一种能避开这些下界的最简单表示之一：分别学习对齐的归一化波形及其周期。我们在 ODE 假设下建立了解耦目标的正则性，并通过实验表明，该方法在 ODE 系统和一项 PDE 案例研究中避免了这两种失败。

25. 可压缩 Navier-Stokes 方程中的等温壁面：仿射熵、弹道能量与熵稳定离散格式

Isothermal walls in the compressible Navier-Stokes equations: affine entropy, ballistic energy, and entropy-stable discrete formulations

作者: Matteo Parsani, Rasha AlJahdali, Lisandro Dalcin

类别: math.NA, math-ph, math.AP, physics.flu-dyn

发布日期: 2026-09-26

arXiv ID: 2609.32249v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32249v1

摘要翻译

中文标题: 可压缩 Navier-Stokes 方程中的等温壁面：仿射熵、弹道能量与熵稳定离散格式

摘要翻译: 我们为可压缩 Navier–Stokes 方程在连续和半离散层面建立了熵稳定等温壁面条件。对于恒定正温度下的静止、不可渗透、无滑移壁面，将总能量密度除以壁温后加到标准凸熵上，可抵消壁面贡献而不抑制热传递。这种仿射修正保持熵 Hessian、相对熵和体积熵产生。它与总弹道能量密度成正比，并在所述假设下基于初始场给出一个条件 $L_2$ 型界。两种壁面格式采用共同的间断 Galerkin 离散，具有分部求和性质和同时逼近项。两者在不加罚项时给出零的适配壁面贡献，而在加罚项时给出非正贡献。完全残差格式对完整的壁面数据残差进行罚分，并通过其完整数值壁面通量平衡流体能量。Fourier 能量精确格式将熵中性斜对称修正与动量投影罚项结合，使得在每个壁面节点和空间分辨率下，完整数值外向能量通量等于单边数值 Fourier 热通量。逐点测试验证了局部恒等式。采用熵稳定内部耦合的制造解研究展示了在离散 $L_2$ 范数中与 $p_s+1$ 阶一致的收敛率，其中 $p_s$ 是解多项式次数。热弛豫计算验证了半离散能量和适配熵平衡。三维计算展示了封闭域中的平衡闭合、曲壁迹的收敛性，以及对复杂超声速分离流的适用性。

26. 高维偏微分方程的有限表达式逼近：无维数灾难

Finite Expression Approximation of High-Dimensional PDEs Without the Curse of Dimensionality

作者: Zhi Heng Liu, Haizhao Yang

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-26

arXiv ID: 2609.32229v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32229v1

摘要翻译

中文标题: 高维偏微分方程的有限表达式逼近：无维数灾难

摘要翻译: 我们证明，有限表达式构成了一类符号表示，能够克服若干类高维偏微分方程的维数灾难。对于半线性热方程，我们展示了终端条件与非线性项的有限表达式逼近如何通过多级 Picard 框架传播，从而产生具有指定均方根精度的随机逐点逼近。对于具有拉普拉斯扩散和零漂移的半线性 Kolmogorov 方程、对角 Black–Scholes 方程，以及半空间上的 Laplace Dirichlet 问题，我们构造了具有任意小空间 $L^p$ 误差的确定性有限表达式逼近。在适当的增长和正则性假设下，所得逼近的求值代价关于维数和精度倒数多项式有界。非线性情形的一个关键要素是构造有限表达式，使其在逼近 PDE 解的同时保持随机解理论所需的增长和 Lipschitz 结构。更广泛地说，我们的结果表明，高维 PDE 的维度稳健逼近并不局限于传统神经网络架构：由固定字典生成的结构化符号表达式可以实现可比的多项式复杂度保证。这为有限表达式方法作为高维科学计算的一种表示范式提供了严格基础。

27. 用于等离子体多组分 Vlasov-Ampère 模型的保正半拉格朗日间断 Galerkin 方法

Positivity-preserving semi-Lagrangian discontinuous Galerkin methods for multi-species Vlasov-Ampère models of plasma

作者: Dauda Gambo, James A. Rossmanith

类别: math.NA, physics.plasm-ph

发布日期: 2026-09-26

arXiv ID: 2609.32206v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32206v1

摘要翻译

中文标题: 用于等离子体多组分 Vlasov-Ampère 模型的保正半拉格朗日间断 Galerkin 方法

摘要翻译: 我们发展了一种高阶且保正的动理学求解器，用于多组分 Vlasov-Ampère 系统，该求解器建立于半拉格朗日间断 Galerkin (SLDG) 框架内。该方法旨在在广泛条件下实现高效和准确，包括具有强离子-电子尺度分离的刚性、多尺度区域。相空间通过高阶间断 Galerkin 有限元离散；时间推进通过高阶算子分裂和一系列一维、无条件稳定的半拉格朗日更新处理。为了提高精度和效率，每种等离子体组分在不同的相空间网格上表示。在每个单元上并对每个组分，施加局部保正限制器，以防止虚假下冲，并严格保证下一时间步的单元平均值的正性。所得方法的精度和鲁棒性在若干标准的单组分和双组分测试案例上得到验证，包括制造解、双流不稳定性、弱和强 Landau 阻尼、离子声波传播、离子声激波形成以及 KEEN 波动力学。

28. 带加性噪声的随机 Camassa–Holm 方程的波浪破碎与保结构全离散方法

Wave Breaking and Structure-Preserving Fully Discrete Method for Stochastic Camassa–Holm Equation with Additive Noise

作者: Liying Sun, Zizhao Sun, Liying Zhang

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-26

arXiv ID: 2609.32128v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32128v1

摘要翻译

中文标题: 带加性噪声的随机 Camassa–Holm 方程的波浪破碎与保结构全离散方法

摘要翻译: 本文研究由加性噪声驱动的随机 Camassa–Holm 方程，该方程建模随机外部强迫下的非线性浅水波。我们证明，几乎必然地，任何有限时间破裂均通过波浪破碎发生：波幅与斜率正部保持有界，而斜率最小值趋于 $-\infty$。在一个附加矩假设下，我们推导出一个初始斜率条件，该条件保证波浪破碎以正概率发生。我们还将该方程表述为随机 Hamilton 偏微分方程，建立其随机多辛守恒律，并推导平均 $H^1$ 能量的演化律。结合 Fourier–Galerkin 方法、辛 Runge–Kutta 积分以及线性随机子系统的精确解，我们提出一种全离散方法，该方法保持一个积分形式的离散随机多辛守恒律，以及离散平均 (H^1) 能量的线性增长。在适当的正则性与分辨率假设下，我们表明全离散动力学保留了导致波浪破碎的斜率陡化机制，从而为连续行为提供了一个离散对应物。

29. 曲边区域上标量守恒律的合并单元间断 Galerkin 方法

A merged-cell discontinuous Galerkin method for scalar conservation laws on curved domains

作者: Yong Liu

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-26

arXiv ID: 2609.32107v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32107v1

摘要翻译

中文标题: 曲边区域上标量守恒律的合并单元间断 Galerkin 方法

摘要翻译: 我们分析一种用于曲边区域上二维标量守恒律的间断 Galerkin 方法。笛卡尔网格与区域的微小交集通过矩形单元合并进行组合。局部空间是 $\mathbb Q_k$ 到每个物理合并单元的限制。熵守恒通量辅以面黏性，并且对于奇数次数，在未合并的内部正方形上辅以一个斜导数跳跃修正。我们证明了对每个固定的 $k\ge1$ 的精确半离散 $L^2$ 耗散以及最优误差估计。对于在整个边界上具有齐次迹的光滑解，半离散方法满足 $O(h^{k+1})$ 的误差界。常数与原始切割单元面积分数无关。该证明结合了物理单元 $L^2$ 投影和规则面投影误差的相消。一个单独的半离散结果涵盖具有迎风流入数据的线性输运。对圆盘上的 Burgers 方程和光滑星形区域上的线性平流的计算，对 $k=1,2,3$ 表现出接近 $k+1$ 的收敛阶。

30. 距离残差物理信息神经网络：面向微分包含与偏微分包含的深度学习框架

Distance-Residual Physics-Informed Neural Networks: A Deep Learning Framework for Differential and Partial Differential Inclusions

作者: Maria Filipkovska, Juan José Marín, Isil Oner, Francisco Periago, Krzysztof Rykaczewski

类别: math.NA, cs.NE

发布日期: 2026-09-25

arXiv ID: 2609.32043v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32043v1

摘要翻译

中文标题: 距离残差物理信息神经网络：面向微分包含与偏微分包含的深度学习框架

摘要翻译: 我们引入距离残差物理信息神经网络（DR-PINNs），这是一个用于逼近常微分包含与偏微分包含（DIs）解的物理信息学习框架，其支配律中一个微分算子被约束为属于一个集值映射，而不是等于一个给定函数。该方法用微分算子到容许集的平方距离替代经典的逐点 PDE/ODE 残差。该距离恰好在包含关系满足时为零，并度量了为使算子进入容许集所需的下确界修正。对于固定的闭凸容许集，平方距离关于算子值可微，其梯度由度量投影给出。当容许集也依赖于网络状态时，该依赖关系通过链式法则纳入。该框架涵盖具有集值反应项的常微分包含和偏微分包含。对于这两种情形，我们证明了一致性：在所述闭性、可测性、凸性和增长性假设下，任何满足初始条件（在抛物型情形下还包括边界条件）且其连续距离残差泛函趋于零的候选序列，都存在一个子列收敛到目标包含的精确解。这些是针对连续距离残差泛函的条件性陈述；它们不涵盖有限配点训练损失、优化器的行为或收敛速率。对于由有限多个顶点的凸包给出的容许集，到该集合的投影可归约为一个小型凸二次规划，使得该损失可在训练循环内高效计算。数值实验在微分包含基准上展示了高精度。

31. 面向偏微分方程的映射多片谱极限学习机

Mapped Multi-Patch Spectral Extreme Learning Machine for Partial Differential Equations

作者: Yiran Wang, Suchuan Dong

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-25

arXiv ID: 2609.31909v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.31909v1

摘要翻译

中文标题: 面向偏微分方程的映射多片谱极限学习机

摘要翻译: 我们研究一种固定特征求解器，称为 Spectral-ELM，其中将 Chebyshev–Gauss–Lobatto (CGL) 微分矩阵应用于极限学习机（ELM）试探函数的节点值。曲区域采用映射多片格式处理。每个曲四边形片表示为参考正方形的像，物理导数由相关联的度量项计算，相邻片通过强制解及其法向通量的连续性进行耦合。局部 QR 正交化用于减少离散特征之间的近似线性相关。数值研究包括与直接 CGL 配点、解析微分的 ELM、全局随机特征方法以及 TransNet 采样策略的比较。它还包括一个匹配的 KdV 测试、一个小型三维算例，以及一个含孔洞曲区域上的 Poisson 问题。对于正方形上的光滑椭圆问题，直接 CGL 配点给出最小误差。当应用于相同的固定特征试探空间时，谱微分与解析微分产生可比的误差。对于曲区域问题，映射的直接 CGL 配点与映射 Spectral-ELM 在未知量数量相当的情况下达到相似的精度。当前格式特别适用于一至三维的光滑偏微分方程，其中张量积网格能够实现精确的高阶离散；而稀疏网格和维度自适应策略为扩展到高维问题提供了有前景的方向。

不相关论文（基本信息）

1. 最优传输方案的定量稳定性、强制性与唯一性

Quantitative Stability, Coercivity and Uniqueness of Optimal Transport Plans

作者: William Ford

类别: math.OC, math.AP, math.NA, math.ST

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.35574v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.35574v1

摘要: For probability measures on $\mathbb{R}^d$ supported in fixed compact sets, we prove that quadratic optimal transport plans are quantitatively stable in Wasserstein distance under perturbation of both marginal measures, assuming that one of the initial measures satisfies an upper Ahlfors regularity condition with exponent strictly greater than $d-1$. Under the same assumption, we also prove novel quantitative stability results for optimal transport maps. Furthermore, we prove a coercivity theorem which states that any probability measure on the product space must be quantitatively close to the set of optimal plans, if it has similar marginals and a similar transport cost to the optimal value. Finally, we prove a quantitative uniqueness theorem which acts as a quantitative counterpart to Brenier’s theorem. The Wasserstein diameter of the set of optimal plans is controlled by the distance of one marginal measure to a regular measure for which uniqueness holds. In this way, “almost uniqueness” of optimal plans is quantified by the source measure being “almost regular”. Examples are provided which prove that the exponents of all estimates are sharp.

2. 稳态热传导半变分不等式的有限元逼近：罚化与离散化的双极限收敛

Finite Element Approximation of a Hemivariational Inequality for Steady-State Heat Conduction: Double-Limit Convergence of Penalization and Discretization

作者: Piotr Bartman-Szwarc, Anna Ochal, Domingo A. Tarzia

类别: math.NA, math.AP

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.35538v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.35538v1

摘要: In this paper we study the numerical approximation and convergence analysis of a steady-state heat conduction problem with mixed boundary conditions. The physical model is governed by a hemivariational inequality depending on a heat transfer parameter $α> 0$. We consider the finite element approximation of this penalized problem, as well as its corresponding limit problem with a prescribed constant temperature on a part of the boundary. The main theoretical result establishes the strong convergence of the discrete solutions. Specifically, we prove the double-limit convergence of the finite element approximations to the limit solution as the mesh size $h$ tends to zero and the penalization parameter $α$ tends to infinity, independently and simultaneously. We further complement the convergence analysis with an error estimate of optimal order for the discrete limit problem, and we explain why an estimate uniform in the penalization parameter cannot be expected. The theoretical results are illustrated by numerical simulations on four examples verified by the method of manufactured solutions.

3. 具有无限容量的拟线性核注意力

Quasi Linear Kernel Attention with Infinite Capacity

作者: Nicolaj Rux, Johannes Hertrich, Sebastian Neumayer

类别: cs.LG, math.NA

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.35349v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.35349v1

摘要: The evaluation cost of transformers with softmax attention scales quadratically with sequence length. Kernel attention addresses this by replacing softmax with a more general kernel function. In this paper, we aim to identify kernels that retain the expressivity of attention while enabling quasi linear computation. To quantify expressivity, we introduce a capacity for each kernel, measuring the maximum sequence length for which the attention matrix can approximate the identity. A higher capacity thus indicates greater expressivity. We show that expressive kernels like softmax, Gauss, and Laplace have infinite capacity. In contrast, common quasi linear kernels, such as those derived from finite dimensional feature maps, exhibit finite capacity. As a solution, we propose additive kernels constructed from univariate spline and polynomial exponential kernels. We prove that these maintain infinite capacity while allowing quasi linear computation via sorting. Finally, we implement additive sorting kernels efficiently and benchmark them against modern softmax backends, demonstrating advantages for long sequences.

4. Payne-Hanek 范围缩减算法的一种性能增强

A performance enhancement of the Payne-Hanek range reduction algorithm

作者: Tue Ly

类别: cs.MS, math.NA

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.35015v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.35015v1

摘要: Range reduction plays a crucial role in the accuracy and performance of evaluating trigonometric functions, and is often the primary bottleneck for large floating-point inputs. While fast algorithms such as Cody–Waite work efficiently over narrow intervals, the Payne–Hanek algorithm remains the standard technique for accurate reduction across large floating-point inputs. However, existing implementations of Payne–Hanek suffer from high latency due to heavy branching, conversion overheads, and the use of multi-word integer arithmetic, which hinders SIMD vectorization. In this paper, we analyze and present a branch-free variation of the Payne–Hanek algorithm using only floating-point arithmetic. Our method operates directly over large double-precision inputs ($|x| \ge 2^{16}$) and is well suited to hardware with FMA instructions. We formulate the precision constraints in terms of a truncation error budget, construct a compact lookup table indexed by the input exponent, and prove that the reduced argument is accurate to within one ulp for every input. The same routine can serve both as the complete range reduction of a single-stage implementation and as the fast path of a correctly rounded one, and it improves both latency and throughput over existing implementations. The algorithm is currently implemented in the LLVM libc project.

5. 针对奇数阶凸性的精细 Gauss–Lobatto 界

Refined Gauss–Lobatto bounds for odd-order convexity

作者: Tomasz Kania, Szymon Wąsowicz

类别: math.NA, math.CA

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.34918v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.34918v1

摘要: For functions that are convex of higher order, classical extremalities identify Gaussian quadrature as a lower bound and Gauss–Lobatto quadrature as an upper bound for the integral. We sharpen this bracket in every odd order: if $f$ is $(2n-1)$-convex on $[-1,1]$, then the exact integral $I[f]:=\int_{-1}^{1}f(x)\,dx$ lies not merely between the $n$-point Gauss–Legendre rule $G_n[f]$ and the $(n+1)$-point Gauss–Lobatto rule $L_{n+1}[f]$, but already between $G_n[f]$ and their midpoint. This yields the certified estimator $Q_n[f]:=\frac{3}{4}G_n[f]+\frac{1}{4}L_{n+1}[f]$, with $|I[f]-Q_n[f]|\leqslant\frac{1}{4}|L_{n+1}[f]-G_n[f]|$, and the constant $\frac{1}{4}$ is sharp. We also record a complementary phenomenon in even order: for $2n$-convex functions the Gauss–Radau endpoint rules still bracket the integral, but the midpoint of the two Radau rules cannot yield a one-sided refinement. The obstruction is explained by an odd, sign-changing Radau quadrature kernel. Finally, we distinguish numerical certification from ordinary high-order approximation: we include concrete examples from spline, moment and statistical models and report experiments for truncated powers and near-pole Stieltjes kernels, where the shape certificate remains meaningful when classical smoothness-based error constants are unavailable or severely pessimistic.

6. 应对冷链行业的数据工程挑战，通过分析减少其环境影响

Addressing Data Engineering Challenges in the Cold-Chain Sector to Reduce its Environmental Impact Through Analytics

作者: Mathilde Marcy, Camille Fertel, Thomas Suquet, G{é}rald Cavalier

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.34762v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.34762v1

摘要: Data analytics offer a great opportunity for organizations within the cold-chain industry to become more sustainable and reduce their environmental footprint. Yet, despite recent progress in data sciences, they still face challenges to ensure data quality and streamline data processes through adapted full-scale ecosystems, limiting their ability to perform sustainable analytics. Most data techniques and tools stem from the data-science community and are not always suitably adapted to domain specificities. For instance, nearly all data-quality frameworks are designed to individually consider entities, i.e. representations of real-world elements. However, achieving environmental impact reduction in industrial settings, particularly within the cold-chain sector, often requires modelling and studying entire systems comprised of multiple interdependent entities. This publication challenges the application of conventional data science and engineering concepts in data ecosystems within the cold-chain sector and proposes an alternative approach to sustainably address prevalent challenges and thus optimize analytical processes.

7. Euler方程的全离散 Active Flux 方法：探索不同的重构与新的多维演化算子

Fully Discrete Active Flux Methods for the Euler Equations: Exploring Different Reconstructions and New Multi-Dimensional Evolution Operators

作者: Christiane Helzel, Mária Lukáčová-Medvid’ová, Amelie Porfetye, Zhuyan Tang

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.34669v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.34669v1

摘要: We present new fully discrete Cartesian grid Active Flux methods for the two-dimensional Euler equations of gas dynamics. A key component of these methods is the evolution operator used to evolve point-value degrees of freedom. Therefore, we derive several new, third-order accurate, multidimensional evolution operators for point-value updates of the linearized Euler equations using the method of bicharacteristics. We also investigate how the reconstruction and choice of approximate evolution operator affect the accuracy and stability of the resulting methods.

8. 由分数布朗运动驱动的 Euler 离散化 SDEs 的数值 Onsager-Machlup 作用泛函

The Numerical Onsager-Machlup action functional for Euler discretized SDEs driven by fractional Brownian motion

作者: Shanqi Liu, Qiqi Lian, Jinqiao Duan, Hongjun Gao

类别: math.NA, math.DS, math.PR

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.34626v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.34626v1

摘要: In this work, different from previous results, the explicit expression of numerical Onsager-Machlup action functional for Euler discretized SDEs driven by fractional Brownian motion is derived provided the drift coefficient and numerical reference path satisfy some suitable conditions. Then numerical fractional Euler-Lagrange equations for numerical Onsager-Machlup action functional are also obtained. Finally, numerical experiments to illustrate and support the theoretical findings.

9. 线性波动方程的一类 IRK 级预条件子的谱分析

Spectral analysis of a class of IRK stage preconditioners for linear wave equations

作者: Michal Outrata, Aman Rani

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.34620v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.34620v1

摘要: We lay out the analysis of the ``Kronecker preconditioners’’ adopted in [24] for the linear wave equations. Importantly, we deliver the analysis justifying the claims in~[24, Section 4.2] about these preconditioners and we unpack all of the necessary numerical background for a full understanding of the observed phenomena.

10. 求非线性方程组孤立根的 paxotopy 方法

The paxotopy method for finding isolated roots of a system of nonlinear equations

作者: Sándor Bozóki

类别: math.NA, math.OC

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.34583v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.34583v1

摘要: We focus on systems of nonlinear equations, where some equations are non-polynomial. Building on the remarkable developments in solving polynomial systems during the recent decades, and on a few extensions to specific examples of the transcendental case, a general framework for finding isolated roots is proposed. The name paxotopy is proposed after (1) Polynomial ApproXimation of the transcendental functions, then (2) solving the approximating polynomial system by the homOTOPY continuation method, and finally (3) the roots of the polynomial systems are used as starting points of a Newton’s iteration to arrive at the solutions of the original system. These steps combine the advantages of local and global methods.

11. BF16 注意力中的对称性破缺：FlashAttention 梯度为何在训练后期爆炸

Broken Symmetry in BF16 Attention: Why FlashAttention Gradients Blow Up Late in Training

作者: Junlin Chen, Daize Dong, Huanwei Di, Haolong Jia, Jiawei Wu, Haotian Xie, Mingkai Zheng, Yang Li, Leshang Chen, Huishu Wang, Eric P. Xing, Hongyi Wang

类别: cs.LG, cs.DC, math.NA

发布日期: 2026-09-28

arXiv ID: 2609.34272v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.34272v1

摘要: BF16 is now standard in large-scale pretraining, including in fused attention kernels such as FlashAttention, and these kernels are widely trusted. When we used FlashAttention-3 to pretrain a 450M-parameter transformer on 50B tokens, however, we ran into a problem: training was healthy for 25B tokens, then the gradient norm grew a thousandfold and the loss ended 0.2 nats above FP32 attention, without a single NaN. Recomputing the attention backward of just two layers in FP32 removes almost all of the excess gradient. Part of the cause is known: a fused multiply-add in the forward softmax, so far treated as an extreme-input NaN case and never fixed in FlashAttention-3. Repairing it stops the blow-up, but the query gradient is still wrong by more than its own size, and training still drives attention logits to thousands of times their size under accurate gradients. The remaining error comes from a broken conservation law. The softmax score gradient sums to zero along every row, which makes the query gradient blind to where the keys sit as a group; rounding it to BF16 leaves a small nonzero sum that leaks the mean key into the gradient, and the leak grows exactly as late training makes keys large and attention sharp. We introduce GProj (gauge projection), which restores the zero sum after the cast with two rank-one corrections per row. It cuts the remaining median query/key gradient errors from 219%/13% to 0.34%/0.37%, on par with FP32 attention, for 4.7% more time per training step. In matched from-scratch runs it trains to the same loss as FP32 attention, while FlashAttention-3 and key smoothing both destabilize.

12. 结构自适应的树场积分器

Structure-Adaptive Tree Field Integrators

作者: Millend Roy, Soham Samal, Ivan Zelich, Krzysztof Marcin Choromanski

类别: cs.LG, cs.CV, cs.DS, math.NA, math.OC

发布日期: 2026-09-27

arXiv ID: 2609.34025v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.34025v1

摘要: We present a new class of near-linear algorithms for efficiently integrating general tensor fields defined on trees with distance dependent kernels, the Structure-Adaptive Tree Field Integrators (STAD-TFIs). STAD-TFIs exploit the tree’s underlying structure through decompositions built around path backbones and single vertex separators, and use two-dimensional fast Fourier transforms to compute interactions jointly. By exploiting this structural information, STAD-TFIs achieve more computationally efficient integration than their regular efficient tree field integrators (TFI) counterparts. We provide a detailed theoretical analysis of our proposed approach and complement it with an exhaustive empirical evaluation, ranging from speed tests on synthetic trees, through accelerated Sinkhorn-based relaxations of the Optimal Transport algorithms on real meshes, to Topological Attention Transformers for vision tasks. To the best of our knowledge, we provide some of the first results showing that efficient to compute and accurate relaxations of the geodesic Sinkhorn-based solutions of the Optimal Transport problem can be derived by applying fast TFI methods.

13. 混合噪声下具有下确卷积保真项与多先验的即插即用

Mixed-Noise Plug-and-Play with Infimal Convolution Fidelities and Multiple Priors

作者: Ziqi Qin, Hong Ye Tan, Ander Biguri, Jingwei Liang, Carola-Bibiane Schönlieb

类别: math.OC, math.NA, stat.CO

发布日期: 2026-09-27

arXiv ID: 2609.33897v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.33897v1

摘要: Plug-and-Play (PnP) algorithms are a class of iterative methods for inverse imaging. Within an optimization algorithm, they combine a flexible fidelity term, encoding the forward operator, and a pretrained image denoiser, in order to deal with more severe corruptions such as blurring or downsampling when reconstructing an image. This work studies provably convergent PnP methods for mixed-noise forward processes by using the infimal convolution as a fidelity term, providing a statistical interpretation as a joint maximum a-posteriori estimator over both noises, and preserving the Bayesian MAP interpretation of PnP methods. Independently, we extend the PnP formulation to multiple prior terms using the Davis–Yin three-operator splitting. This extension can be combined with either standard fidelities or the proposed mixed-noise infimal-convolution fidelities. We verify that these generalized PnP methods are convergent under standard Kurdyka–Lojasiewicz conditions. Numerical experiments on Laplace-Gaussian and Poisson–Gaussian noise demonstrate stable convergence of single-prior and multiple-prior PnP methods, and divergence under fidelity mismatch. Furthermore, PnP with infimal convolution fidelities are able to scale to noise up to 38% standard deviation, with multiple priors reaching different stationary points that qualitatively preserve more textural properties.

14. 用于双流体托卡马克边界模拟的基于物理预处理的隐式-显式时间积分格式

Implicit-Explicit time integration scheme with Physics-based preconditioning for two-fluid tokamak boundary simulations

作者: Micol Bassanini, Simone Deparis, Paolo Ricci, Brenno De Lucca, Davide Mancini, Louis Stenger, Sergio García Herreros

类别: physics.plasm-ph, math.NA

发布日期: 2026-09-27

arXiv ID: 2609.33677v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.33677v1

摘要: In this work, a globally stiffly accurate Implicit-Explicit (IMEX) Runge-Kutta scheme is developed and implemented in the GBS code [Ricci et al., Plasma Phys. Control. Fusion, 2012], for two-fluid plasma turbulence simulations. The stiffest phenomena, governed by shear Alfvén waves and parallel diffusion, are treated implicitly, while the remaining non-stiff terms are advanced explicitly. This splitting enables time steps well beyond the Courant-Friedrichs-Lewy limit, without incurring the full computational cost of a globally implicit formulation. To efficiently solve the implicit subsystem at each time step, a three-dimensional physics-based preconditioner, inspired by techniques developed in the magnetohydrodynamic (MHD) context, is used. The resulting framework is verified through the method of manufactured solutions and exhibits both algorithmic and parallel scalability. Significant advantages in numerical stability and computational efficiency are demonstrated with respect to an adaptive explicit Runge-Kutta scheme.

15. MTW($K>0$) 流形上潜在密度平滑的最优传输界

Optimal Transport Bounds for Latent Density Smoothing on MTW($K>0$) Manifolds

作者: Wonjun Lee, Wenyan Luo

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-27

arXiv ID: 2609.33629v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.33629v1

摘要: Smoothing an empirical distribution can fill gaps between observations, but noise added in the surrounding space also moves probability mass away from the manifold supporting the data. We study this tradeoff through Wasserstein error bounds for intrinsic heat smoothing, ambient Gaussian smoothing, and smoothing in an encoder–decoder’s latent space. Under the Ma–Trudinger–Wang condition with positive cross-curvature and the stated transport-regularity assumptions, we prove that sufficiently small intrinsic smoothing improves upon the unsmoothed empirical measure. Our ambient bound quantifies how increasing the surrounding dimension restricts the smoothing scale suggested by the bound. For latent smoothing, the analysis shows how the benefit depends on reconstruction accuracy and on how the encoder–decoder pair preserves movement along the manifold and responds to noise in other directions. A quadratic approximation to the bound yields bandwidth-selection rules and conditions favoring latent smoothing in this comparison. Controlled synthetic experiments examine the predicted bandwidth and geometric trends. An exploratory MNIST study illustrates latent smoothing relative to pixel-space perturbations.

16. 面向高斯过程变量选择的校准导数过程敏感性

Calibrated Derivative-Process Sensitivity for Gaussian-Process Variable Selection

作者: Jia Cai

类别: stat.ML, cs.LG, math.NA

发布日期: 2026-09-27

arXiv ID: 2609.33549v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.33549v1

摘要: Automatic relevance determination (ARD), the default tool for variable selection in Gaussian-process (GP) regression, ranks inputs by inverse lengthscales – which measure how fast a function varies, not how much an input contributes to prediction – and offers no calibrated rule for deciding which inputs to keep. The prediction-centred alternative, the derivative sensitivity $ν_j = \mathbb{E}[(\partial f/\partial x_j)^2]$, is available in closed form from a fitted GP, but turning it into a selection rule is harder than it looks: at a null input the estimator is a degenerate quadratic form, so Wald and Bernstein-von Mises cutoffs are anti-conservative, and the natural residual bootstrap is mis-scaled. We show that a studentized multiplier bootstrap of the GP derivative process repairs both, prove its validity through an invariance principle for quadratic forms, and obtain asymptotic family-wise and false-discovery-rate control across inputs. Over 100 replications the rule controls FDR wherever inputs are truly null, while uncalibrated derivative rankings breach the target by up to 2x and a Bernstein-von Mises cutoff by 2.2x; at matched FDR it loses no power; it holds under a Matérn kernel and input correlation up to 0.99; on real data with planted and authentic null inputs it admits 5-12x fewer spurious inputs; it costs 5-18% of the GP fit; and a block-averaged variant retains validity at cost linear in $n$.

17. 一类对流方程 Hermite 型离散化的稳定性壁垒

The stability barrier of a class of Hermite-type discretizations of advection equations

作者: Xianyi Zeng

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-27

arXiv ID: 2609.33201v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.33201v1

摘要: In this paper we fully categorize all hybrid-variable (HV) discretizations of linear advection equations according to their stability property and establish the stability barrier of these methods. In the HV discretization framework, we find numerical approximations to both cell-averaged solutions and nodal solutions and evolve them in time simultaneously. We prove that the HV methods have a similar stability barrier as the classical finite difference schemes, that the semi-discretized HV scheme is stable if and only if it uses a stencil such that the number of unknowns in the upwind direction is precisely that in the downwind direction plus one or two, with only one exception when the two numbers are three and zero, respectively. It is also proved that all central HV schemes are neutrally stable, in the sense that the L2-norm of the solution remain uniformly bounded at all times. The theoretical predictions are verify by extensive numerical tests.

18. 跨一族 Kuramoto-Sivashinsky 偏微分方程的不变测度的摊销式生成建模

Amortized Generative Modeling of Invariant Measures across A Family of Kuramoto-Sivashinsky PDEs

作者: Arnab Roy, Tobin A. Driscoll

类别: math.NA, math.DS, nlin.CD

发布日期: 2026-09-26

arXiv ID: 2609.32914v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32914v1

摘要: The long-run statistics of chaotic dissipative partial differential equations are described by invariant measures, and when the equation carries a parameter these measures form a family whose members can differ in kind, from steady states to sustained spatiotemporal chaos. We ask whether a single generative model can cover such a family. We train a single conditional diffusion model once, on states of the Kuramoto-Sivashinsky equation at 160 values of its hyperviscosity, and evaluate it against held-out data at interleaved parameter values not seen in training, using a classifier two-sample test supported by spectral, geometric and tail statistics. Over most of the family, agreement improves as the dynamics become more chaotic. We identify a structural cause: the weakly chaotic members have invariant measures concentrated on low-dimensional sets, which a model with full support output cannot represent, and the target approaches full dimensionality as chaos increases. Restricting training to the strongly chaotic members reduces the classifier’s excess over chance on those members by roughly 40%, and this restricted conditional model matches or exceeds models trained at single parameter values. On those members, generated samples reproduce energy spectra to within a resampling floor, with a small systematic deficit at the largest scales, and match the energy balance of held-out data.

19. 自适应时间并行 Runge-Kutta 方法中的容差比例性与计算稳定性

Tolerance Proportionality and Computational Stability in Adaptive Parallel-in-Time Runge-Kutta Methods

作者: Imre Fekete, Ferenc Izsák, Vendel P. Kupás, Gustaf Söderlind

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-26

arXiv ID: 2609.32881v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32881v1

摘要: In this paper, we investigate how adaptive time-integration strategies can be effectively combined with parallel-in-time numerical methods for solving systems of ordinary differential equations. Our focus is particularly on their influence on tolerance proportionality. We examine various grid-refinement strategies within the multigrid reduction-in-time (MGRIT) framework. Our results show that a simple adjustment to the original refinement factor can substantially improve computational stability and reliability. Through numerical experiments on standard test problems using the XBraid library, we demonstrate that parallel-in-time solutions closely match their sequential counterparts. Moreover, with the use of multiple processors, computing time can be significantly reduced.

20. 快速均值回复随机波动率下的蒙特卡洛定价：多尺度极限 ${ε\to 0}$

Monte Carlo pricing under fast mean-reverting stochastic volatility: the multi-scale limit ${ε\to 0}$

作者: Laurent Mertz, Olivier Pironneau

类别: math.NA, math.PR

发布日期: 2026-09-26

arXiv ID: 2609.32765v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32765v1

摘要: We compute $\E[(S_T-K)^+]$ by Monte Carlo for a scalar stochastic-volatility model with a fast mean-reverting factor of time scale $\eps$, for $\eps$ ranging from $1$ down to $10^{-3}$. A conditional (mixing) estimator gives finite variance, whereas the direct estimator has infinite variance for this model. The volatility factor is simulated with its exact Ornstein–Uhlenbeck transition. As $\eps\to0$ the price converges, at rate $O(\eps)$, to the Black–Scholes price with the averaged volatility $\barσ$, and the implied-volatility smile flattens to $\barσ$. Finally, we test a martingale control variate built on the Black–Scholes delta with volatility $\barσ$. If the martingale is driven by the true volatility $σ(Y_t)$, the variance is reduced by a factor that grows like $1/\eps$, about $160$ at $\eps=10^{-3}$. If it is driven by the constant $\barσ$, the variance is essentially not reduced. Last, we calibrate the model with $ρ\neq0$ to S&P~500 implied volatilities by full simulation of $S$. At the same number of paths the control variate reduces the variance by a factor $1.7$–$16$ (median $5.6$) and gives more accurate calibrated parameters; at equal CPU time it pays off only if the delta is rebalanced on a coarser grid than the time step. For a basket of four indices (state dimension $8$) the gain is larger (median $8$) and the relative cost smaller, so that the control variate is about $4$–$5$ times more efficient than plain Monte Carlo at equal CPU time.

21. 基于极分解的 GPU 快速可微 SVD

Fast Differentiable SVD on GPU via Polar Decomposition

作者: Uliana Parkina, Askar Tsyganov, Sergei Kudriashov, Sergey Samsonov, Maxim Rakhuba

类别: math.NA, cs.LG

发布日期: 2026-09-26

arXiv ID: 2609.32505v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32505v1

摘要: We present a fully GPU-oriented SVD pipeline based on polar decomposition, motivated by iterative methods that rely solely on matrix multiplications, such as the Newton-Schulz iteration. We show that this approach enables up to a $2\times$ speedup compared to standard implementations. Furthermore, we derive a numerically stable backward pass for the polar decomposition and leverage it to obtain a fully differentiable SVD. Our methods are released as open-source implementations in both PyTorch and JAX: https://github.com/fallnlove/cans_svd.

22. AECSF：面向高维非线性数据同化的自适应集合条件得分滤波

AECSF: Adaptive Ensemble Conditional Score Filtering for High-Dimensional Nonlinear Data Assimilation

作者: Yangwen Zhang, Shiwei Ni, Xiaoping Zhang, Xiaofei Guan, Lili Ju

类别: stat.ML, cs.LG, math.NA

发布日期: 2026-09-26

arXiv ID: 2609.32411v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32411v1

摘要: Bayesian state estimation for high-dimensional nonlinear dynamical systems entails a fundamental tension between statistical fidelity and computational tractability, as particle weights can collapse, while Gaussian ensemble updates can miss non-Gaussian posterior structure. Score-based diffusion filters offer a sampling-based alternative, but existing training-free score filters often rely on heuristic likelihood corrections, which can compromise posterior accuracy by neglecting uncertainty about the system state associated with each noisy reverse particle. To address these issues, we propose AECSF, a training-free adaptive ensemble conditional score filter. AECSF constructs an analytically tractable score estimator from the conditional Tweedie identity, which recasts noisy posterior score estimation as estimating the conditional mean of the system state given a noisy reverse particle and the observation. To estimate these conditional means efficiently, AECSF employs a shared adaptive weighted proposal ensemble, while particle-specific conditional weights yield an estimate for each noisy reverse particle without separate proposal sampling. The proposal ensemble is updated using reverse-particle information within the same reverse-diffusion run to improve conditional-mean estimation. Theoretically, we characterize when a fixed weighted proposal measure yields the exact noisy posterior score. Under stated assumptions, we establish a bound relating conditional-mean estimation errors to reverse-sampling endpoint error. Numerical experiments demonstrate that AECSF improves the accuracy of posterior sampling and nonlinear filtering in high-dimensional problems with limited forecast ensembles.

23. 用于计算若干最大广义奇异三元组的保结构 LOBPCG 方法

A Structure-Preserving LOBPCG Method for Computing Several of the Largest Generalized Singular Triplets

作者: Xinyu Shan

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-26

arXiv ID: 2609.32406v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32406v1

摘要: We develop a structure-preserving locally optimal block preconditioned conjugate gradient(LOBPCG) method for computing several of the largest positive generalized singular values of a matrix pair ((A, B)), where (B) has full column rank, together with the associated generalized singular vectors. The method is derived from the Hermitian-definite Jordan–Wielandt pencil and therefore avoids explicitly forming the normal-equation matrices. By exploiting the block structure and spectral symmetry of this pencil, we construct separate search subspaces for the left and right generalized singular vectors. The resulting Rayleigh–Ritz procedure requires only a singular value decomposition of a small projected cross matrix. We adapt the improved Hetmaniuk–Lehoucq (IHL) trick to construct stable conjugate search directions in the two component spaces. We also establish an explicit correspondence between the coefficient matrices produced by the componentwise and augmented Rayleigh–Ritz procedures. This correspondence permits the componentwise IHL construction to be used in an augmented, structure-preserving LOBPCG formulation without explicitly assembling the augmented basis. Numerical experiments demonstrate the computational advantages of the proposed method over unstructured and Gram-matrix-based LOBPCG implementations.

24. 主动子空间引导的、结合 Sinkhorn 自编码器的自由变形用于参数化形状问题的降阶建模

Active Subspace-Guided Free-Form Deformation with Sinkhorn Autoencoders for Reduced-Order Modelling of Parametrised Shape Problems

作者: G. Padula, C. Giovannini, G. Rozza, A. Dashtimanesh

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-26

arXiv ID: 2609.32373v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32373v1

摘要: Geometrically parametrised PDEs arise in shape optimisation, where solving a PDE over many deformed domains at manageable cost is a central challenge. Free-form Deformation (FFD) parametrises shape variations through a lattice of control points, but the resulting parameter space is typically high-dimensional, with most directions barely affecting the quantity of interest (QoI). We address this with a two-stage reduction pipeline. An Active Subspace (AS)-guided structured control-point selection identifies the low-dimensional subspace of FFD weights driving the QoI. A Sinkhorn Autoencoder (SAE) is then trained on the reduced weights, learning their distribution in a compact latent space by minimising the Wasserstein distance between aggregated posterior and prior. We compare three non-intrusive Reduced-order Models (ROMs), mapping full FFD weights, AS-reduced weights, or SAE latent codes to the QoI, each using Random Forests, Gaussian Processes, and K-Nearest Neighbours. We test the methodology on a non-linear heat equation with Gaussian random Robin boundary data on a deformed Stanford Bunny, and on drag prediction for the DTC Hull bulb under FFD deformations. In both cases, the generative model captures the bulk of the QoI distribution over a comparable support, thinning the shoulder opposite the design objective, while its extremes in the design-relevant direction match the FFD sample within numerical and sampling uncertainty. ROMs learned in the SAE latent space yield smaller test errors than those on full FFD weights in most regressor-metric combinations, whereas AS-reduced weights give no comparable gain. Only the latent representation attains a positive predictive coefficient $Q^2$.

25. 机器学习在非结构化与各向异性网格的SUPG方法参数计算中的应用

Application of Machine Learning to the Computation of Parameters in the SUPG Method for Unstructured and Anisotropic Meshes

作者: Petr Knobloch, Manoj Prakash

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-26

arXiv ID: 2609.32358v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32358v1

摘要: Solution of convection-dominated problems using stabilized methods often requires to specify stabilization parameters whose optimal choice is not known but which considerably influence the quality of the approximate solution. In a recent work of the authors, an approach for computing these parameters by machine learning was proposed and applied to the streamline upwind/Petrov-Galerkin (SUPG) method for convection-diffusion equations. In the present paper, this approach is studied numerically for unstructured meshes and extended to meshes obtained by anisotropic mesh adaptation.

26. 面向可交换矩阵的基于围道积分与傅里叶变换的多变量量子特征值变换

Contour-integral and Fourier transform based multivariable quantum eigenvalue transformation for commuting matrices

作者: Shan Jiang, Dong An

类别: quant-ph, math.NA

发布日期: 2026-09-26

arXiv ID: 2609.32262v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32262v1

摘要: We study the problem of implementing multivariable matrix-valued functions on a quantum computer and propose two quantum algorithms for multivariable matrix eigenvalue transformations acting on tuples of pairwise commuting matrices. The first algorithm is based on multivariable contour integrals and applies to arbitrary holomorphic functions on $\mathbb{C}^n$. The second algorithm is based on high-dimensional Fourier transforms and designed for smooth functions of commuting Hermitian matrices. For both algorithms, we discuss and analyze the complexity of their quantum implementation leveraging quantum singular value transformation, compression gadgets, and linear combination of unitaries. We additionally study their hybrid quantum–classical variants that reduce the number of required ancilla qubits to logarithmic dependence on the number of variables, at the cost of increased query complexity. As an application, we show that multivariable matrix polynomials can be implemented with no additional explicit degree dependence, depending only on global properties of the polynomials.

27. 经典 Kaczmarz 方法的紧收敛界

Tight Convergence Bounds for the Classical Kaczmarz Method

作者: Runbo Yu, Jelena Diakonikolas

类别: math.OC, cs.DS, math.NA

发布日期: 2026-09-25

arXiv ID: 2609.32034v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.32034v1

摘要: The classical method of Kaczmarz, introduced in 1937, is a textbook iterative method for solving linear systems $A x = b.$ Despite its widespread use, particularly in the context of solving inverse problems where it is commonly included in software packages within Matlab, Python, and Julia, the precise characterization of convergence has long been deemed difficult to obtain. While different bounds on convergence rates have been established, they are largely unsatisfying as they cannot explain the classical, cyclic-update method’s efficient convergence in practice. In this work, we obtain a tight characterization of convergence of the classical Kaczmarz method, establishing both linear and sublinear convergence bounds. The worst-case tight (i.e., exactly attained by some instances in the considered family) bounds are expressed in terms of a fixed matrix that depends only on $A,$ but are not fully interpretable in terms of the matrix spectrum and row correlations, which had been observed to have an impact on convergence. We thus provide relaxations of these bounds that are fully expressible in terms of matrix row norms, row correlations, rank, and extremal positive singular values. The provided relaxed bounds explain one-cycle convergence in special cases where the matrix rows are all either parallel or orthogonal to each other. We further argue that the dependence on different parameters appearing in the bounds is necessary and within a small constant factor of the best attainable in the worst case. Finally, our bounds explain why the classical cyclic update is faster than the randomized one when matrix rows are weakly correlated, which is often observed in inverse problems where the cyclic method is used.

28. 由半线性椭圆型偏微分方程支配的具有逐点跟踪的双线性最优控制问题的有限元误差估计

Finite element error estimates for a bilinear optimal control problem with pointwise tracking governed by a semilinear elliptic PDE

作者: Enrique Otarola, Daniel Quero, Matias Sasso

类别: math.NA, math.OC

发布日期: 2026-09-25

arXiv ID: 2609.31987v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.31987v1

摘要: We study finite element approximations for an optimal control problem with pointwise tracking governed by a semilinear elliptic PDE. The control variable enters the state equation as a reaction coefficient, resulting in a bilinear control, and the cost functional includes point evaluations of the state variable. We propose two discretization schemes: a semidiscrete scheme, where the control variable is not discretized, and a fully discrete scheme, where the control variable is discretized using piecewise constant functions. In two and three dimensions, for both schemes, we establish convergence of discrete solutions and prove a priori error bounds that behave as $\mathcal{O}(h|\log h|)$ in the $L^2(Ω)$-norm for approximating a locally optimal control. In two dimensions, these bounds are improved to $\mathcal{O}(h)$ for the fully discrete scheme and $\mathcal{O}(h^{2}|\log h|^2)$ for the semidiscrete scheme. We conclude with numerical experiments that demonstrate the performance of the proposed schemes.

29. 精确态密度估计：比较研究

Accurate Density of States Estimation: A Comparative Study

作者: Dong Min Roh, Chao Yang

类别: math.NA

发布日期: 2026-09-25

arXiv ID: 2609.31953v1

链接: http://arxiv.org/abs/2609.31953v1

摘要: We study density of states (DOS) estimation for large sparse real symmetric matrices by fitting the cumulative density of states (CDOS) and differentiating the fit. We use a stochastic Lanczos method to supply Ritz values and weights, which we average across Lanczos runs to construct CDOS midpoint data. Monotone piecewise-cubic interpolation of these data yields a smooth CDOS approximation that can be easily differentiated to yield a nonnegative, normalized, piecewise-quadratic DOS without requiring a Gaussian smoothing with a fixed bandwidth in its construction. We also consider approximating CDOS by using Gaussian-process regression (GPR) with single- and double-Gaussian covariance kernels, yielding an approximation with uncertainty information. DOS approximation is then obtained by analytic derivative of the GPR-based CDOS. Experiments on matrices from diverse scientific applications are performed to compare these estimators with Gaussian-broadened stochastic Lanczos and Jackson-damped kernel polynomial approximations. At a common Gaussian validation resolution, we use error measures that assess local discrepancies, integrated errors, and agreement in the overall spectral shape. The results demonstrate that the midpoint spline can produce accurate approximations to the DOS with relatively few matrix–vector products, supporting the use of cumulative interpolation as a practical DOS estimation.