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1. 线性多尺度守恒律的数值均匀化
Numerical homogenization of a linear multiscale conservation law
作者: Claude Le Bris, Frédéric Legoll, Giulia Merlini
类别: math.NA
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.37546v1
摘要翻译: 我们研究线性情形下具有高度振荡通量的标量守恒律的数值逼近。利用所采用格式的内蕴数值黏性（该黏性产生原双曲型方程的抛物正则化），我们使用均匀化理论推导出一个有效方程，并进而对其数值求解。我们的数值实验以 Lax-Friedrichs 格式为例展示了该方法的性能。
Comment: 无
链接: http://arxiv.org/abs/2609.37546v1
1. 研究对象和背景
本文研究具有高度振荡通量的标量守恒律的数值均匀化问题. 一般对象为
$$\partial_t u^\varepsilon(t,x)+\operatorname{div} F\left(\frac{x}{\varepsilon},u^\varepsilon(t,x)\right)=0,$$并配以适当的初值与边值条件, 其中 $\varepsilon>0$ 表示微观尺度, $F$ 依赖于慢变量 $x$ 与快变量 $x/\varepsilon$, 且对微观尺度高度振荡. 本文聚焦线性通量情形
$$F\left(\frac{x}{\varepsilon},u^\varepsilon(t,x)\right)=u^\varepsilon(t,x)b\left(\frac{x}{\varepsilon}\right),$$其中速度场 $b$ 取光滑且关于小尺度周期. 于是方程化为守恒形式的线性输运方程
$$\partial_t u^\varepsilon(t,x)+\operatorname{div}\left(u^\varepsilon(t,x)b\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\right)=0.$$直接数值求解该问题的困难在于, 若想分辨 $u^\varepsilon$ 预期的微观振荡, 时空离散参数必须细到 $O(\varepsilon)$, 在高维或长时计算中通常不可接受. 因此需要借助均匀化思想构造有效方程或有效数值方法. 均匀化理论在振荡系数椭圆或抛物问题中已是成熟工具, 但对双曲守恒律, 情形远比椭圆或抛物复杂. 一维线性输运方程中, 经典结果给出 $\varepsilon\to0$ 时
$$\partial_t u^\star(t,x)+\operatorname{div}(u^\star(t,x)b^\star)=0,\qquad b^\star=\langle b^{-1}\rangle^{-1},$$即有效速度为周期胞元上的调和平均, 其中 $\langle\cdot\rangle$ 表示周期胞元平均. 然而在二维及以上, 对一般周期速度场 $b$, 通常不能指望存在单一的宏观均匀化方程; 极限方程可能仍耦合微观变量 $y=x/\varepsilon$ 与宏观变量 $x$, 因而本质上保持多尺度结构. 只有在特殊几何或动力学情形下, 微观变量才能被消去, 例如遍历流可得到仅含宏观变量的线性输运方程, 而剪切流则给出带记忆项的非局部扩散方程. 另一方面, 若在原双曲方程中加入一个与 $\varepsilon$ 竞争的合适小粘性项, 即
$$\partial_t u^\varepsilon(t,x)+\operatorname{div}\left(u^\varepsilon(t,x)b\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\right)-\delta\varepsilon\Delta_x u^\varepsilon(t,x)=0,$$且 $\delta>0$ 固定, 则不论速度场和流线拓扑如何, 均匀化极限都较为清晰: 存在完全宏观的双曲型线性输运极限, 形式为 $\partial_t\bar u+\operatorname{div}(\bar u b^\star)=0$. 这一方向的参考理论工作是 A.-L. Dalibard 的工作 [9], 本文频繁将其作为理论指导. 本文试图补足的空白并非重新证明连续方程本身的均匀化定理, 而是把参考对象从连续解 $u^\varepsilon$ 转向数值格式自身. 作者观察到大多数守恒律数值格式含有内禀数值粘性, 因此格式所对应的修正方程在合适离散参数尺度下会呈现抛物正则化. 若能对这一修正方程应用均匀化理论, 便可得到格式层面的有效方程, 进而用粗网格求解有效方程来廉价地近似原始格式的离散解. 本文以 Lax-Friedrichs 格式作为具体例子, 因为该格式以强扩散性著称, 其数值粘性足以产生与 $\delta\varepsilon\Delta_x$ 类似的正则化项. 核心问题因此变为三个尺度的相互作用: 时间步长 $\delta t$, 空间步长 $h$, 以及通量振荡尺度 $\varepsilon$. 此外还涉及数值粘性前因子 $\delta$ 与 CFL 参数. 均匀化与离散化一般不交换, 而在双曲问题中这一不交换性尤为关键. 作者关心的实际场景是: 已决定使用某个格式, 例如 Lax-Friedrichs 格式, 但由于 $b(x/\varepsilon)$ 振荡过强, 直接使用该格式需要 $h$ 与 $\delta t$ 小到无法承受. 本文提出的路线是对该格式的修正方程做均匀化, 得到不含 $\varepsilon$ 的有效方程, 再用用户选择的数值方法求解有效方程, 从而在更粗的时空网格上获得对原格式离散解的高效替代. 文中还明确讨论了高维和剪切流带来的复杂情形, 并强调 $(c_t,c_x)\to(0,0)$ 与 $\varepsilon\to0$ 两个极限不交换, 因此正则化抛物型问题的均匀化极限与原双曲型问题的均匀化极限可能根本不同.
2. 主要定理或主要结果
本文的主要结果可以概括为对 Lax-Friedrichs 格式的修正方程进行均匀化, 并由此获得宏观有效输运方程. 在一维设定中, 网格为 $x_i=ih$, 时间步为 $t_n=n\delta t$, 未知量记为 $(U^\varepsilon)^n_i$. Lax-Friedrichs 格式写作
$$\frac{(U^\varepsilon)^{n+1}_i-\frac12((U^\varepsilon)^n_{i+1}+(U^\varepsilon)^n_{i-1})}{\delta t}+\frac{(U^\varepsilon)^n_{i+1}b^\varepsilon_{i+1}-(U^\varepsilon)^n_{i-1}b^\varepsilon_{i-1}}{2h}=0,$$其中 $b^\varepsilon_i=b(x_i/\varepsilon)$. 该格式可改写为守恒形式
$$(U^\varepsilon)^{n+1}_i=(U^\varepsilon)^n_i-\frac{\delta t}{h}\left(F^n_{i+1/2}-F^n_{i-1/2}\right),$$数值通量为
$$F^n_{i+1/2}=\frac{h}{2\delta t}\left((U^\varepsilon)^n_i-(U^\varepsilon)^n_{i+1}\right)+\frac12\left((U^\varepsilon)^n_{i+1}b^\varepsilon_{i+1}+(U^\varepsilon)^n_i b^\varepsilon_i\right).$$稳定性由 CFL 条件保证:
$$\delta t<\frac{h}{\|b^\varepsilon\|_{L^\infty(\Omega)}},$$文中为简化取
$$\delta t=\alpha\frac{h}{\|b^\varepsilon\|_{L^\infty}},\qquad \alpha<1.$$在 $\varepsilon$ 固定时, 作者通过 Taylor 展开和修正方程方法得到 Lax-Friedrichs 格式对应的修正方程
$$\partial_t u^\varepsilon_{\mathrm{mod}}+\partial_x(u^\varepsilon_{\mathrm{mod}}b^\varepsilon)+\frac{\delta t}{2}\left(\partial_x[u^\varepsilon_{\mathrm{mod}}b^\varepsilon\partial_x b^\varepsilon]+(\partial_x[(b^\varepsilon)^2])\partial_x u^\varepsilon_{\mathrm{mod}}\right)-\left(\frac{h^2}{2\delta t}-\frac{\delta t(b^\varepsilon)^2}{2}\right)\partial_{xx}u^\varepsilon_{\mathrm{mod}}=0.$$关键的观察是, 由于 CFL 条件, 二阶项前因子保持正定:
$$\frac{h^2}{2\delta t}\left(1-\frac{\delta t^2(b^\varepsilon)^2}{h^2}\right)\ge\frac{h^2}{2\delta t}(1-\alpha^2)>0.$$因而该修正方程是抛物型正则化方程, 其形式与连续层面加入 $\delta\varepsilon\Delta_x$ 正则化的方程类似. 随后作者选择离散参数与微观尺度同阶:
$$h=c_x\varepsilon,\qquad \delta t=c_t\varepsilon,\qquad c_t=\alpha\frac{c_x}{\|b^\varepsilon\|_{L^\infty}},\qquad \alpha<1.$$在这一标度下, 修正方程仅通过 $\varepsilon$ 参数化, 且形式上对应一个特定校准的粘性系数
$$\delta=\frac{c_x^2}{2c_t}(1-\alpha^2).$$接着作者借助 Dalibard [9] 的均匀化机制对该修正方程进行均匀化, 得到宏观有效方程
$$\partial_t\bar u(t,x)+\bar b\partial_x\bar u(t,x)=0,$$其中有效速度 $\bar b$ 由周期胞元问题确定. 摘录中提到该胞元问题见 (26), 是在最简单一维设定中参数化于 $c_x$ 与 $c_t$ 的. 作者之后写 $\bar u_{c_x}$ 与 $\bar b_{c_x}$ 以强调对 $c_x$ 的依赖, 其中 $c_t$ 又由 $c_x$ 固定. 从数值实现的角度, 一旦求出胞元问题和有效速度, 只需数值求解不含 $\varepsilon$ 的有效方程 (9), 即可获得对原 Lax-Friedrichs 格式离散解的经济近似. 论文进一步把推导扩展到二维设定, 但提供的前十页摘录没有给出二维修正方程或二维胞元问题的完整公式, 因此从现有材料无法确认二维定理的精确形式. 数值实验部分设计了两个渐近 regime. 第一个 regime 固定离散参数 $c_x$ 与 $c_t$, 令微观尺度 $\varepsilon$ 逐渐趋于零, 用以在格式层面展示第 2 节的均匀化过程. 第二个 regime 固定较小的 $\varepsilon$, 令 $c_x$ 越来越细, 使原格式的数值解趋向原守恒律的精确振荡解. 第二个 regime 分别在一维和二维考察. 二维中流动拓扑起作用, 特别对比了原守恒律的均匀化极限为经典输运方程的情形与剪切流这一更复杂情形. 作者报告: 当连续均匀化极限是经典输运方程时, 本文方法不仅是对特定 Lax-Friedrichs 格式的有效替代, 也可作为原双曲守恒律精确数值解在 $\varepsilon\to0$ 时的有效替代. 在剪切流情形中, 若适当调整离散参数, 有效方程数值解仍是 Lax-Friedrichs 格式的高效替代, 但它与 $\varepsilon\to0$ 时原守恒律解的行为根本不同. 这并不意外, 因为正则化抛物型方程与原双曲型方程具有不同的均匀化极限, 即 $(c_t,c_x)\to(0,0)$ 与 $\varepsilon\to0$ 不可交换. 最后, 第四节第三小节在一维中比较了本文方法与经典有限差分格式在给定计算代价下的精度以及达到给定精度所需代价. 不过, 提供片段未包含具体误差阶、收敛率、表格或定理编号, 因此无法在本文分析中确认相应定量结论.
3. 研究方法、关键技术和核心工具
本文的技术核心不是重新建立双曲守恒律的连续均匀化理论, 而是把均匀化理论应用于数值格式的修正方程, 并把数值粘性视为实现均匀化的正则化机制. 主要障碍有三层. 第一, 双曲守恒律本身的均匀化在二维及以上非常微妙: 一般周期速度场下可能不存在单一的宏观有效方程, 极限可能保持微观-宏观耦合结构; 即便存在有效方程, 其类型和形式也依赖流场几何. 第二, 离散化与均匀化不交换, 尤其当双曲问题中三个尺度, 即时空步长 $(\delta t,h)$, 格式数值粘性前因子 $\delta$ 以及微观尺度 $\varepsilon$, 以不同相对速率变化时, 会进入完全不同的渐近 regime. 第三, 在振荡系数 $b^\varepsilon=b(\cdot/\varepsilon)$ 下推导修正方程时, Taylor 展开本身需要小心处理, 因为系数在网格尺度上快速变化. 作者的真正创新点在于改变参考对象: 不是先对连续方程 $\partial_t u^\varepsilon+\operatorname{div}(u^\varepsilon b^\varepsilon)=0$ 做均匀化, 而是承认实际计算中使用的是某个格式, 然后对该格式进行均匀化. 对 Lax-Friedrichs 格式, 作者先将其写成有限体积守恒形式, 并写出数值通量. 这一保守形式为后续修正方程分析提供了系统框架. 随后, 假设存在光滑函数 $u^\varepsilon_{\mathrm{mod}}$ 使得 $u^\varepsilon_{\mathrm{mod}}(t_n,x_i)=(U^\varepsilon)^n_i$, 对时间与空间做 Taylor 展开, 保留到第一个非平凡修正项, 得到抛物型修正方程. 这一步的关键技术作用是显示数值粘性项
$$-\left(\frac{h^2}{2\delta t}-\frac{\delta t(b^\varepsilon)^2}{2}\right)\partial_{xx}u^\varepsilon_{\mathrm{mod}}$$的系数为正. CFL 条件 $\delta t=\alpha h/\|b^\varepsilon\|_{L^\infty}$ 与 $\alpha<1$ 保证正性估计
$$\frac{h^2}{2\delta t}\left(1-\frac{\delta t^2(b^\varepsilon)^2}{h^2}\right)\ge\frac{h^2}{2\delta t}(1-\alpha^2)>0.$$因此格式的内禀数值粘性自动给出一个一致抛物正则化, 其尺度可由 $h$ 与 $\delta t$ 调节. 第二个关键步骤是参数标度校准. 作者选择
$$h=c_x\varepsilon,\qquad \delta t=c_t\varepsilon,\qquad c_t=\alpha c_x/\|b^\varepsilon\|_{L^\infty},$$使修正方程中的二阶项与连续正则化模型中的 $\delta\varepsilon\Delta_x$ 相匹配, 其中
$$\delta=\frac{c_x^2}{2c_t}(1-\alpha^2).$$这一步使修正方程只通过 $\varepsilon$ 参数化, 从而可以直接调用已有的均匀化机器. 作者明确采用 Dalibard [9] 的框架作为理论指导, 该框架处理带合适小粘性的守恒律并给出完全宏观的双曲极限. 本文把该框架应用于格式的修正方程, 而不是原连续方程. 由此得到的有效方程为
$$\partial_t\bar u+\bar b\partial_x\bar u=0,$$有效速度 $\bar b$ 通过周期胞元问题计算. 摘录中只提到一维最简单胞元问题见 (26), 并说明它参数化于 $c_x$ 与 $c_t$. 因此可以确认计算有效速度需要解一个与周期振荡场相关的椭圆/胞元问题, 但具体变分形式或显式表达式在提供片段中未给出. 在实现层面, 作者在第三节描述有效方程的离散、胞元问题的求解、有效速度的计算, 以及相关离散参数 regime 和数值评价指标. 数值试验不是单纯验证连续均匀化, 而是分 regime 检验格式层面均匀化的有效性和计算优势. 一个 regime 固定 $c_x$, 令 $\varepsilon\to0$, 以展示格式修正方程的均匀化; 另一个 regime 固定小 $\varepsilon$, 令 $c_x\to0$, 比较原始 Lax-Friedrichs 格式的数值解、原守恒律精确振荡解与有效方程解. 二维试验特别强调流动拓扑的作用, 对比经典输运型均匀化极限与剪切流导致的非局部极限. 作者还指出, 虽然推导以 Lax-Friedrichs 为例, 因为该格式粘性大且技术细节较简单, 但原则上方法可适用于任何含粘性的数值格式; 不过一般性结论尚未获得. 局限也很明确: 本文处理线性通量、周期光滑速度场; 非线性通量、局部周期介质、随机介质、高阶格式和不同标度留作后续工作. 因此当前方法的核心工具是修正方程, 数值粘性正性分析, 尺度匹配, 以及将均匀化定理应用于格式层面的抛物正则化方程.
4. 与之前工作的比较
与经典均匀化理论文献相比, 例如一般性著作 [3,20,14,7,4], 本文的出发点不是直接计算连续方程 $\partial_t u^\varepsilon+\operatorname{div}(u^\varepsilon b^\varepsilon)=0$ 当 $\varepsilon\to0$ 的极限. 经典椭圆和抛物均匀化中, 系数振荡可导致有效系数张量, 数值均匀化方法也已相当成熟; 但双曲守恒律的均匀化要困难得多, 因为一般情形下极限可能保持多尺度, 或只在特殊流场下退化为宏观方程. 本文明确把研究定位在数值格式层面, 并利用格式固有的数值粘性构造抛物正则化, 这是与经典连续均匀化路线的主要区别. 在一维连续线性输运情形, 已有经典结果为 $\varepsilon\to0$ 时有效速度取调和平均 $b^\star=\langle b^{-1}\rangle^{-1}$. 本文并不否定这一连续结果, 但其均匀化对象是 Lax-Friedrichs 格式的修正方程, 得到的有效速度由胞元问题决定, 并且依赖离散参数 $c_x$ 与 $c_t$. 因此两者在概念上相关, 但本文的有效速度是格式层面而非原连续方程层面的对象. 与二维双曲均匀化的既有认识相比, 作者在引言中清楚回顾了若干情形: 对一般周期速度场, 方程在 $\varepsilon\to0$ 时仍可能多尺度, 甚至不存在单一有效方程; 对遍历流, 极限可化为线性输运方程; 对剪切流, 极限为带记忆项的非局部扩散方程. 本文的数值实验专门考察了这些差异. 当原守恒律的均匀化极限是经典输运方程时, 本文有效方程既是 Lax-Friedrichs 格式的良好替代, 也接近原双曲守恒律的精确数值解. 当流场为剪切流时, 作者报告有效方程数值解仍是 Lax-Friedrichs 格式在适当离散参数下的高效替代, 但它与原守恒律在 $\varepsilon\to0$ 时的解行为不同. 这是因为本文实际均匀化的是数值格式的抛物修正方程, 而正则化抛物型方程与原双曲型方程具有不同的均匀化极限; 换言之, 两个极限 $(c_t,c_x)\to(0,0)$ 与 $\varepsilon\to0$ 不交换. 这一发现与既有双曲均匀化理论一致, 但将其推到数值方法层面, 并给出了具体的计算策略和实验比较. 与 Dalibard [9] 的关系最为直接. [9] 研究的是连续方程中显式加入小粘性 $\delta\varepsilon\Delta_x$ 后的均匀化, 覆盖线性通量甚至拟线性通量, 并给出完全宏观的双曲极限. 本文把 [9] 作为理论指导, 但起点是数值格式的修正方程, 而不是连续正则化方程. 因此本文的新意在于指出 Lax-Friedrichs 等格式的内禀数值粘性可以提供所需正则化, 并通过尺度匹配 $h=c_x\varepsilon$, $\delta t=c_t\varepsilon$ 使修正方程落入 [9] 的适用框架. 代价是有效速度依赖于离散参数, 且方法继承 Lax-Friedrichs 的强扩散性; 一旦换格式, 数值粘性结构可能不同, 一般性尚待研究. 与直接使用 Lax-Friedrichs 格式求解原方程相比, 直接方法为了分辨 $b(x/\varepsilon)$ 的振荡, 通常需要 $h$ 和 $\delta t$ 小到与 $\varepsilon$ 同阶或更细, 计算代价高昂. 本文的均匀化有效方程不含 $\varepsilon$, 因而允许在更粗的网格上求解, 这是其主要计算优势. 作者在第四节第三小节对一维情形进行了性能评估, 比较本文方法与经典有限差分格式在给定计算代价下的精度以及达到给定精度所需代价. 不过, 提供的前十页摘录未包含具体误差数据、复杂度标度或定量加速比, 因此无法确认这些比较的精确数值结论. 与交通流模型中的非局部到局部极限研究 [8] 也有相似之处: 那里同样存在离散化与连续极限过程相互干扰的现象. 但作者强调视角根本不同, 因为 [8] 关注连续层面的非局部到局部极限, 而本文完全以计算为目标, 构造原守恒律的实际数值近似. 最后, 本文的比较范围受假设限制: 速度场周期、光滑, 通量线性, 例子限于 Lax-Friedrichs 格式. 作者明确表示非线性通量、局部周期介质、随机介质、高阶格式和更一般标度尚待研究; 对随机介质能否扩展, 作者也表示不确定. 因此与更广泛数值均匀化文献相比, 本文目前提供的是一维和二维部分情形下的格式层面均匀化框架及数值验证, 而不是一般非线性多尺度守恒律的完备理论.
2. 针对穿过多孔膜的 Stokes 流的具有有效界面条件的均匀化模型的数值研究
Numerical investigation of a homogenized model with effective interface conditions for Stokes flow through porous membranes
作者: Jonas Knoch, Pietro Italiano, Markus Gahn, Carsten Gräser, Maria Neuss-Radu
类别: math.NA
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.37068v1
摘要翻译: 我们数值研究了穿过薄多孔层的流体流动，该薄多孔层被建模为分隔两个体区域的低维界面。在该界面上，我们施加涉及均匀化系数的有效传输条件，这些系数由先前工作中的双尺度方法严格推导得到。这些系数由编码多孔层微观性质的单胞问题确定。第一步，我们定性分析有效系数如何依赖于孔隙几何。基于这些计算，我们随后给出包含有效界面条件的宏观模型的数值模拟。尽管用有效界面替代薄多孔层显著降低了计算成本，但所得的非标准传输条件给数值实现带来了额外挑战。我们采用 Taylor–Hood 型混合有限元离散，其中界面上的压力和切向速度不连续，并证明了所得格式的稳定性以及误差估计。最后，对于仍可在计算上分辨的微观几何，我们将宏观模型的结果与微观模型直接模拟所得结果进行比较。
Comment: 无
链接: http://arxiv.org/abs/2609.37068v1
1. 研究对象和背景
本文研究由两个宏观体域 $\Omega^{+}$ 与 $\Omega^{-}$ 被一层厚度为 $O(\varepsilon)$ 的薄多孔膜 $\Omega^{M}_{\varepsilon}$ 分隔的 Stokes 流问题. 在微观尺度上, 需要同时解析体域和膜内孔隙中的流动, 未知量为 $(v^{+}_{\varepsilon},p^{+}_{\varepsilon})$ 与 $(v^{-}_{\varepsilon},p^{-}_{\varepsilon})$, 其模型由第一性原理给出, 但直接数值模拟因复杂孔隙结构而计算代价很高. 通过两尺度均匀化和降维, 薄层被替换为低维界面 $\Sigma$, 得到微宏观传输模型. 本文所处理的有效模型是: 在 $\Omega^{\pm}$ 中
$$ -\nabla \cdot D(v^{\pm}) + \nabla p^{\pm} = f^{\pm}, \qquad \nabla \cdot v^{\pm} = 0 \quad \text{in } \Omega^{\pm}, $$在 $\Sigma$ 上施加有效传输条件
$$ [v^{+}]_3 = [v^{-}]_3, $$$$ -[ (D(v)-pI)\nu \cdot \nu ] = K^{+}v^{+}\cdot \nu^{+} - K^{-}v^{-}\cdot \nu^{-}, $$$$ [ (D(v^{\pm})-p^{\pm}I)\nu^{\pm} ]_t = -[K^{\pm}v^{\pm}]_t - M^{\mp}v^{\mp}, $$其中 $[\cdot]$ 表示跨 $\Sigma$ 的跳跃, $[\cdot]_t$ 表示切向部分, $\nu^{\pm}$ 为外法向, $K^{\pm},M^{\pm}\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ 是有效渗透率系数. 这些系数由标准周期胞 $Z=Y\times(-1,1)=(0,1)^2\times(-1,1)$ 上的 Stokes 胞问题决定. 设 $Z_f$ 为流体部分, $Z_s$ 为固体骨架, $\Gamma=\mathrm{int}(Z_f\cap Z_s)$, $S^{\pm}=Y\times\{\pm1\}$. 本文假设 $\partial Z_s\cap S^{\pm}=\emptyset$, 即固体骨架不接触上下边界. 胞问题为
$$ -\nabla_y \cdot D_y(q^{\pm}_i) + \nabla_y \pi^{\pm}_i = 0, \qquad \nabla_y \cdot q^{\pm}_i = 0 \quad \text{in } Z_f, $$$$ q^{\pm}_i = 0 \text{ on } \Gamma\cup S^{\mp}, \qquad q^{\pm}_i = e_i \text{ on } S^{\pm}, \qquad q^{\pm}_i,\pi^{\pm}_i \text{ 是 } Y\text{-周期}, $$以及相应的 $q_3,\pi_3$ 问题. 有效系数由
$$ K^{\alpha}_{ij}=\int_{Z_f} D_y(q^{\alpha}_i):D_y(q^{\alpha}_j)\,dy, \qquad M^{+}_{ij}=\int_{Z_f} D_y(q^{+}_j):D_y(q^{-}_i)\,dy $$等公式定义. 该模型的一个重要特征是微宏观单向耦合: 胞问题独立于宏观解, 只通过系数进入宏观界面条件. 问题的重要性在于: 直接解析薄多孔层在三维复杂孔隙几何中计算代价很高, 而有效界面模型可显著降低计算量; 但与现象学模型不同, 这里的界面系数来自微观结构, 因此能够反映孔隙几何对宏观流动的影响. 已有 [4,8,10] 通过严格均匀化推导了该模型, 但数值分析、稳定有限元格式、实现细节及系统数值验证仍不充分. 特别是有效传输条件非标准: 仅法向速度连续, 切向速度和压力一般跨 $\Sigma$ 不连续, 导致经典 Taylor-Hood 或全局连续压力方法遇到困难. 本文试图填补这一空白: 首先数值求解胞问题并考察有效系数对孔几何的依赖; 然后对宏观有效传输模型构造 Taylor-Hood 型混合有限元离散, 允许压力和切向速度跨界面不连续, 并证明稳定性与误差估计; 最后在仍可计算分辨的微观几何上, 将有效模型与直接微观模型进行比较. 此外, 作者研究对称和非对称胞几何、四种外边界条件下的有效流行为, 并对圆柱高度和半径做灵敏度分析. 从提供内容中无法确认后续数值实验的全部细节和误差表.
2. 主要定理或主要结果
从提供内容看, 可以确认的主要理论结果如下.
第一, 作者给出有效传输模型的弱形式. 定义 $X=H^{+}\times H^{-}$, $H^{\pm}=H^1(\Omega^{\pm},\partial_D\Omega^{\pm})^3$, 并定义
$$ H=\{\varphi\in X: [\varphi^{+}]_3=[\varphi^{-}]_3 \text{ on } \Sigma\}=X\cap H_{\mathrm{div}}(\Omega), $$$$ V=\{\varphi\in H: \nabla\cdot \varphi=0 \text{ in } \Omega^{+}\cup\Omega^{-}\}, $$$$ Q=\begin{cases} L^2_0(\Omega), & \partial_N\Omega=\emptyset,\\ L^2(\Omega), & |\partial_N\Omega|>0. \end{cases} $$弱解定义为 $(v-v_D,p)\in V\times Q$, 且对所有 $\varphi\in H$ 满足双线性形式与线性形式构成的变分方程. 作者进一步将其写成鞍点问题
$$ a(v,\varphi)+b(\varphi,p)=\ell(\varphi) \quad \forall\varphi\in H, \qquad b(v,q)=0 \quad \forall q\in Q. $$其中 $a=a^{+}+a^{-}+a_{\Sigma}$, 界面项为
$$ a_{\Sigma}(v,\varphi)=\int_{\Sigma} K v\cdot\varphi\,d\sigma, \qquad K=\begin{pmatrix} K^{+} & M^{-}\\ M^{+} & K^{-} \end{pmatrix}. $$第二, 在假设 (A1) 与 (A2) 下, 作者证明 Proposition 2.1: 若 $Z_s\neq\emptyset$, 则有效传输模型 (2.2) 与边界条件 (2.3) 存在唯一弱解. 假设 (A1) 要求 $f^{\pm}\in L^2(\Omega^{\pm})$; 假设 (A2) 要求 $v^{\pm}_D\in H^1(\Omega^{\pm})$ 且在 $\Omega^{\pm}\setminus\Sigma$ 中具紧支集、散度为零, $g^{\pm}\in L^2(\partial_N\Omega^{\pm})$, 并区分 $|\partial_N\Omega|>0$ 与 $\partial_N\Omega=\emptyset$ 两种情形选择压力空间.
第三, 适定性证明的核心是 coercivity 与 inf-sup 条件. Coercivity 用到 [8, Lemma 5] 的结果: 对任意 $\xi^{\pm}\in\mathbb{R}^3$ 且 $\xi^{+}_3=\xi^{-}_3$, 有
$$ K\xi\cdot\xi = M^{+}\xi^{+}\cdot\xi^{-}+M^{-}\xi^{-}\cdot\xi^{+}+\sum_{\pm}K^{\pm}\xi^{\pm}\cdot\xi^{\pm} \ge c_0\sum_{\pm}|\xi^{\pm}|^2, $$即对称矩阵 $K$ 在相应五维子空间上正定. 于是
$$ a(v,v)\ge \sum_{\pm}\int_{\Omega^{\pm}}|D(v^{\pm})|^2\,dx + c_0\int_{\Sigma}|v^{\pm}|^2\,d\sigma \ge C\sum_{\pm}\|v^{\pm}\|^2_{H^1(\Omega^{\pm})}, $$最后一步使用 Korn 第二不等式. Inf-sup 条件通过作者给出的 Lemma 2.1 拼接子域上的 inf-sup 条件得到; 该引理断言若 $Y=Y_1\oplus Y_2$, 且 $X_i$ 与 $Y_i$ 关于 $b$ 双正交, 各 $X_i\times Y_i$ 满足 inf-sup, 则 $X\times Y$ 也满足 inf-sup, 常数 $\beta=\frac12\min\{\beta_1,\beta_2\}$. 作者用 $H^{\pm}_0=H^1(\Omega^{\pm},\partial_D\Omega^{\pm}\cup\Sigma)^3$ 与 $Q^{\pm}=L^2(\Omega^{\pm})$ 或 $L^2_0(\Omega^{\pm})$ 处理分块, 并对 $\partial_N\Omega^{\pm}=\emptyset$ 的情形构造对偶空间 $\mathrm{span}\{\hat p\}$ 与 $\mathrm{span}\{\hat v\}$, 利用 div 的满射性和法向速度连续性证明 $b(\hat v,\hat p)\neq0$.
第四, 关于离散格式, 摘要和引言声称采用 Taylor-Hood 型混合有限元, 跨界面的压力和切向速度不连续, 并证明稳定性以及误差估计. 引言还称经典鞍点理论给出最优阶误差界, 数值例子中观察到最优阶. 然而, 提供 PDF 文本截止于第 10 页, 未给出离散定理编号、精确误差范数、网格条件、稳定性常数和误差阶公式, 因此无法确认其具体形式.
第五, 数值结果方面: 作者计算胞问题解和有效系数, 考察对称胞 (圆柱并集) 与非对称胞 (含倾斜段) 的差异; 选择四种外边界条件驱动流动; 对圆柱高度和半径做灵敏度分析. 引言指出当竖向圆柱高度接近最大值, 即固体骨架与体域距离很小时, 有效系数爆炸, 界面有效速度趋于零, 膜趋于不可渗透; 极限接触情形在 [8] 中处理并得到界面速度为零, 因此数值结果暗示速度对微观几何连续依赖, 但该连续性尚未解析证明. 最后, 对仍可计算分辨的微观几何, 将宏观有效模型与直接微观模型数值比较. 具体数值误差、收敛阶表和参数值从提供内容中无法确认.
3. 研究方法、关键技术和核心工具
主要技术障碍有四个层面.
(1) 模型本身非标准. 界面条件只要求法向速度连续, 而切向速度和压力一般跨 $\Sigma$ 不连续. 因此弱形式不能在整体 $H^1(\Omega)^3$ 中取测试函数, 而应取 $H=X\cap H_{\mathrm{div}}(\Omega)$, 其中 $X=H^{+}\times H^{-}$ 允许跨界面切向不连续; 压力则取 $Q=L^2(\Omega)$ 或 $L^2_0(\Omega)$, 取决于 Neumann 边界是否为空. 界面项 $a_{\Sigma}(v,\varphi)=\int_{\Sigma}Kv\cdot\varphi\,d\sigma$ 带有耦合矩阵 $K=(K^{+},M^{-};M^{+},K^{-})$, 它把两侧速度耦合起来. 这种结构使问题不能直接套用标准 Stokes 鞍点理论.
(2) 适定性与 inf-sup 条件的证明. 关键障碍是全局压力空间的分块 inf-sup 条件. 作者提出并证明 Lemma 2.1: 若 $Y=Y_1\oplus Y_2$, $X_i$ 与 $Y_i$ 关于 $b$ 双正交, 且各 $X_i\times Y_i$ 满足 inf-sup, 则全空间 $X\times Y$ 也满足 inf-sup, 常数 $\beta=\frac12\min\{\beta_1,\beta_2\}$. 然后取 $X_1=H^{+}_0\times H^{-}_0$, $Y_1=Q^{+}\times Q^{-}$, 利用子域上经典 Stokes inf-sup 条件; 对纯 Dirichlet 或混合边值造成的额外常数压力模态, 取 $Y_2=Y_1^{\perp}=\mathrm{span}\{\hat p\}$, $X_2=\mathrm{span}\{\hat v\}$, 并利用 $\mathrm{div}:H^{\pm}\to L^2(\Omega^{\pm})$ 的满射性以及条件 $[\hat v^{+}]_3=[\hat v^{-}]_3$ 构造 $\hat v$, 从而证明 $b(\hat v,\hat p)\neq0$. 这一步把分块 inf-sup 提升为全局 inf-sup, 是该文适定性分析的关键工具.
(3) Coercivity 证明. 作者不通过极限论证, 而是直接用线性存在理论. 核心是使用模型推导中已有结果: 矩阵 $K$ 在满足 $\xi^{+}_3=\xi^{-}_3$ 的五维子空间上正定, 即
$$ K\xi\cdot\xi \ge c_0\sum_{\pm}|\xi^{\pm}|^2. $$结合 Korn 第二不等式, 得到 $a(v,v)\ge C\sum_{\pm}\|v^{\pm}\|^2_{H^1(\Omega^{\pm})}$. 这里的真正创新不是重复经典能量估计, 而是把有效界面系数的正定性恰当地嵌入变分形式, 从而在仅法向速度连续的空间 $H$ 上获得强制性和适定性.
(4) 有限元离散与实现. 作者采用 Taylor-Hood 型混合有限元, 但作了非标准修改: 压力空间和切向速度允许跨界面 $\Sigma$ 不连续, 而法向速度保持连续. 该离散可视为两个子域上经典 Taylor-Hood 格式的耦合, 压力空间按外边界条件调整. 引言称稳定性与最优阶误差估计由经典鞍点理论证明. 但提供文本未展示离散空间精确定义、离散 inf-sup 证明、网格匹配条件和误差阶公式, 因此无法确认技术细节. 实现层面, 作者使用模块化 C++ 框架 DUNE, 利用其 product spaces 构造乘积有限元空间, 利用变分形式 assembler 在子域和界面上装配; 文中指出对子域和界面上有限元空间与变分形式的支持是 DUNE 模块近期才加入的, 本应用推动了该实现. 胞问题则在复杂周期胞 $Z_f$ 上数值求解, 包括网格生成、周期边界处理、嵌固体结构处理, 然后积分公式 (2.4) 得到 $K$ 与 $M$.
总体而言, 该文的真正创新点是: 针对由严格均匀化得到的非标准界面传输条件, 构造并分析允许压力和切向速度跨界面不连续的 Taylor-Hood 型混合有限元, 并用一个分块 inf-sup 拼接引理与有效系数正定性证明适定性; 同时借助 DUNE 的乘积空间和变分形式功能实现复杂子域-界面耦合. 数学证明与实现工具紧密结合, 而不仅是泛泛的能量估计或紧性方法.
4. 与之前工作的比较
与现象学模型 [7,24,25] 相比, 本文的界面条件中的 $K^{\pm},M^{\pm}$ 不是从应用数据估计, 而是由微观胞问题 (2.5)-(2.6) 和公式 (2.4) 严格均匀化得到, 因此把有效参数与膜孔隙几何和膜内流动联系起来. 现象学模型的主要缺点正是有效参数与微观结构或膜内流动无直接关系, 必须对每个应用场景重新估计.
与严格均匀化推导 [4,8,10] 相比, 本文不重新推导模型, 而是对这些微宏观传输模型进行数值分析、有限元离散和仿真. 其中 [4] 在 $\partial_N\Omega\cap(\partial\Sigma\times(-\varepsilon,\varepsilon))=\emptyset$ 下推导 (2.2); [8] 推导时间依赖版本, 并处理周期外边值和上下边界法向应力齐次条件, 还处理固体骨架接触上下边界导致不可渗透的情形. 本文考虑定常 Stokes 问题, 外边值可混合 Dirichlet 与 Neumann, 也包括纯 Dirichlet、纯 Neumann 以及上下边界条件或周期条件. 因此本文在数值层面拓展了 [4,8] 所得模型的应用范围, 但并未在此提供文本中重新处理时间依赖或接触极限的解析理论.
与 [29] 和 [28] 的微宏观传输模型相比, 差异首先在胞问题. [29] 的 Stokes 胞问题定义在无限外域, [28] 的胞问题对所有坐标方向周期; 本文胞问题只沿平行膜方向周期, 在标准胞上下 $S^{\pm}$ 施加 Dirichlet 条件. 差异其次在界面条件. [28,29] 中流体速度在 $\Sigma$ 连续, 法向应力跳跃通过渗透率张量与速度关联, 压力跨 $\Sigma$ 不连续; 因此 [29] 发展并分析全局连续速度、单元不连续压力的稳定混合有限元. 其数值例子观察到经典 Taylor-Hood 全局连续压力需要界面附近严重加密才能得到合理近似, 而修正方法表现良好, 但该修正方法的稳定性和误差界未讨论. [28] 使用 [29] 的稳定方法. 本文模型只要求法向速度连续, 切向速度和压力一般不连续, 所以不能直接使用上述格式; 作者提出新的 Taylor-Hood 型离散, 允许压力和切向速度跨界面不连续, 证明稳定性与最优阶误差. 这是相对 [28,29] 的主要推进.
与 [9,26] 的非线性反应扩散微宏观传输模型相比, 那里的胞问题不能与有效模型解耦, 形成强双向耦合; 本文 Stokes 模型是单向耦合, 胞问题先独立求解, 再用于宏观模型, 因此数值实现和理论结构不同. 本文也因此在模型复杂度与可计算性之间取得不同平衡.
适用范围与代价方面: 用有效界面替代薄层显著降低计算成本, 但非标准传输条件带来额外实现挑战, 需要特殊有限元空间和装配; 胞问题仍需解析复杂微观几何并计算系数. 微观宏观对比只对仍可计算的微观几何进行. 当固体骨架接近上下边界时, 数值显示系数爆炸和界面速度趋零, 但连续依赖的解析证明尚未给出; [8, Section 6.3] 处理了接触极限并得到零速度, 本文数值结果暗示两者连续过渡. 从提供内容中无法确认与更多文献在误差常数、参数范围、三维复杂几何和计算复杂度方面的定量比较, 作者也未显式展开所有比较.
了解领域论文（摘要翻译）
1. 计算曲面上微分算子的谱性质
Computing Spectral Properties of Differential Operators on Surfaces
作者: Gustav Conradie, Matthew J. Colbrook, Daniel Fortunato
类别: math.NA
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.37764v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.37764v1
摘要翻译
中文标题: 计算曲面上微分算子的谱性质
摘要翻译: 计算曲面上的微分算子谱在许多应用中至关重要，从医学图像分析到纳米尺度量子结构。然而，无穷维算子和底层曲面的离散化可能导致不准确且误导性的结果。本文引入 SurfSpec 算法套件，用于在误差控制和收敛性保证下计算曲面上算子的特征值与谱测度。我们结合基于复围道积分和残差的方法来计算离散谱和高频特征模态，包括非线性特征值问题的情形。随后，我们计算谱测度与有理核的卷积，以处理连续谱。在这两种情况下，关键工具是作用于函数的算子预解式，其通过求解曲面 PDE 的高阶方法进行计算。我们在各种微分算子和曲面上展示我们的算法，包括一个三角龙。
2. 混合联合选择性优化：感兴趣低维参数的约化空间 Levenberg-Marquardt 精化
Hybrid Joint-Selective Optimization: Reduced-Space Levenberg-Marquardt Refinement of Low-Dimensional Parameters of Interest
作者: Muhammad Luthfi Shahab, Gabriella Alfa Indahsari, Imam Mukhlash, Hadi Susanto
类别: math.NA, cs.LG, cs.NE, math.OC
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.37308v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.37308v1
摘要翻译
中文标题: 混合联合选择性优化：感兴趣低维参数的约化空间 Levenberg-Marquardt 精化
摘要翻译: 本文提出一种混合联合选择性优化（HJSO）框架，用于大规模数值问题，其中一小部分可训练量是主要关注对象。我们将完整参数向量划分为高维剩余块和低维感兴趣参数（POIs）块，在完整参数集上进行联合一阶优化，然后冻结剩余变量，同时对 POIs 应用约化空间 Levenberg-Marquardt（LM）精化。该方法面向以下情形设计：POIs 是低维的，但强烈影响计算解的质量，而完整参数空间对于全空间二阶方法而言仍然过大。该框架在三个代表性问题上进行评估：一个矩阵特征值问题、一个使用物理信息神经网络求解的逆 Bratu 问题，以及一个使用 DeepBSDE 方法求解的 100 维非线性 Black-Scholes 问题。在每个测试中，HJSO 比相应的联合一阶基线更快达到规定的 POI 误差阈值，并在所报告的求解器配置下提高了最终 POI 精度。因此，本文的贡献不是通用优化器，而是针对已知低维感兴趣参数且高维训练变量代价高昂的问题的一种实用约化空间策略。
3. 耦合 Stokes-Brinkman-Darcy 流的硬迹一阶残差学习
Hard-Trace First-Order Residual Learning for Coupled Stokes-Brinkman-Darcy Flow
作者: Zefeng Liu, Hongxing Rui
类别: math.NA
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.36793v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.36793v1
摘要翻译
中文标题: 耦合 Stokes-Brinkman-Darcy 流的硬迹一阶残差学习
摘要翻译: Stokes-Brinkman-Darcy (SBD) 模型通过有限厚度的 Brinkman 层连接自由流动与多孔流动。用于求解这些耦合方程的所提方法由混合一阶格式、共享界面迹和硬牵引约束，以及基于边界质量平衡的压力修正组成。独立的应力、Darcy 通量和压力梯度辅助量避免网络输出的二阶导数。边界提升和共享迹精确施加外部与界面运动学条件，而应力映射强制原生 Brinkman-Darcy 力平衡。积分动量关系在训练后确定压力修正，无需参考压力标签。在两个制造解和三种渗透率下，平均修正后上层压力相对 $L^2$ 误差范围为 0.87% 至 2.58%；修正在每次运行中均同时降低上层压力 $L^2$ 误差和完整 Brinkman 压力 $H^1$ 误差。配对对照评估界面共享和牵引施加的贡献。一个非制造过滤问题以独立细化的有限元参考为基准测试混合边界自适应，所有四次运行均满足规定的场和物理一致性准则。
4. 用于具有对数型 Flory–Huggins 势的固态去润湿的保结构迎风 Lagrange 乘子格式
Structure-preserving upwind Lagrange multiplier schemes for solid-state dewetting with a logarithmic Flory–Huggins potential
作者: Qiong-Ao Huang, Ying-wei Wang, Cheng Yuan
类别: math.NA
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.36719v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.36719v1
摘要翻译
中文标题: 用于具有对数型 Flory–Huggins 势的固态去润湿的保结构迎风 Lagrange 乘子格式
摘要翻译: 基于多项式势的固态去润湿相场模拟可能会出现虚假的体扩散粗化，这与表面扩散主导的物理机制不一致。为解决这一问题，我们针对薄膜–基底–气相三相接触线，建立了一个具有对数型 Flory–Huggins 势和动态接触线边界条件的退化 Cahn–Hilliard 模型。对数障碍将相变量限制在其物理范围内，并在连续统层面抑制虚假粗化。我们发展了一个全离散、保结构的格式，它结合 Lagrange 乘子方法与迎风有限体积离散，并严格保证逐点有界性、质量守恒和能量耗散，无需人工截断或投影。维数分裂策略进一步降低计算成本，同时在每个一维扫描中保持这些性质。我们还推导了由薄膜自发收缩引起的平衡半径收缩的显式估计，表明对数势产生的虚假收缩弱于多项式势。数值实验验证了分析，并表明对于小温度参数，所提出的格式抑制了虚假粗化和夹断，同时准确再现表面扩散主导的动力学以及向平衡岛状结构的松弛。
5. 进入危险区：高维函数与算子学习中的稳定外推
Into the danger zone: stable extrapolation in high-dimensional function and operator learning
作者: Ben Adcock, Simone Brugiapaglia, Xuemeng Wang
类别: math.NA, cs.LG, stat.ML
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.36709v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.36709v1
摘要翻译
中文标题: 进入危险区：高维函数与算子学习中的稳定外推
摘要翻译: 分布外 (OOD) 泛化是科学机器学习中的一个核心挑战。我们研究测试分布不同于训练分布的回归问题，并追问：在对目标函数或算子的何种假设下，稳定外推是可能的，以及可以外推到训练域之外多远？现有理论通过度量训练分布与测试分布之间差异的可加惩罚项来控制测试误差。此类保证表明对小的分布偏移具有鲁棒性，但与经验观察到的 OOD 性能相比可能非常悲观。我们识别出若干全纯函数和算子类，对于它们，即使存在大的分布偏移，OOD 泛化误差也以代数速率收敛。这一现象源于更高索引坐标的平滑性不断增加，从而导致我们称之为“高维度的福音”的现象。对于使用多项式、深度神经网络或深度神经算子进行学习，我们针对支撑在合适区域上的任意测试测度推导出显式速率，并量化容许区域如何依赖于函数或算子的底层正则性。我们的外推保证独立于测试分布，仅依赖于其支撑集。我们还给出了一系列涵盖多种函数和算子的数值实验，这些实验支持主要理论发现。
6. CI-PINN: 求解演化方程的因果积分物理信息神经网络
CI-PINN: Causal Integral Physics-Informed Neural Network for Solving Evolution Equations
作者: Xiaodong Feng, Ziyu Sun, Tao Tang, Xiaoliang Wan, Tao Zhou
类别: math.NA, cs.LG
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.36615v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.36615v1
摘要翻译
中文标题: CI-PINN: 求解演化方程的因果积分物理信息神经网络
摘要翻译: 物理信息神经网络（PINNs）通过将控制物理定律纳入训练损失来求解偏微分方程（PDEs）。然而，对于演化方程，其传统的逐点空间–时间表示并未显式编码时间依赖性，这可能妨碍准确预测。为缓解这一局限，本文提出一种新颖的神经网络架构，称为因果积分神经网络（CinNet）。CinNet 的核心模块是 Volterra 型因果积分项，它聚合历史特征以编码时间依赖性，从而在架构层面而非像许多现有方法那样通过训练层面的修改引入时间因果性。在 CinNet 的基础上，我们进一步开发了用于求解演化方程的因果积分物理信息神经网络（CI-PINN）。在基准演化方程上的大量数值实验表明，所提出的方法在求解精度方面优于各种基线 PINN 变体，并在稀疏配点情形下具有显著优势。额外的实证分析表明，CI-PINN 对超参数选择具有低敏感性，而消融研究证实了所提出网络组件的有效性。
7. 具有取向与曲率耦合依赖的几何流的统一保结构框架
A unified structure-preserving framework for geometric flows with coupled orientation and curvature dependence
作者: Yulin Zhang
类别: math.NA
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.36419v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.36419v1
摘要翻译
中文标题: 具有取向与曲率耦合依赖的几何流的统一保结构框架
摘要翻译: 我们建立了一个保结构参数化有限元框架，用于能量密度耦合单位法向与曲率的几何流。该类包括具有取向依赖刚性或自发曲率的弯曲能量。一个常见的全离散格式处理二维闭合曲线和三维闭合曲面，并适用于 $L^2$ 流、曲线或曲面扩散，以及面积或体积约束的 $L^2$ 流。该格式将几何更新与曲率更新耦合，使其贡献满足离散能量不等式。它使用连续分片线性元、一个曲面能量矩阵，以及密度关于曲率的导数的质量集中投影。对于满足方向条件和关于曲率的凸性的正密度，我们证明了能量耗散，且无时间步长限制。扩散流和约束流也精确保持所围面积或体积。该分析允许非偶各向异性以及对取向和曲率的不可分离依赖。数值实验在流形距离上表现出近似二阶收敛，并验证了离散结构性质。各向异性 Helfrich 型能量下的形状松弛说明了该框架用于耦合方向与弯曲效应的用途。
8. 一种能量守恒的非交错电磁势粒子云网格方法，第二部分：采用适配 Higuera–Cary 推进器的全相对论格式
An Energy-Conserving Unstaggered Electromagnetic-Potential Particle-in-Cell Method, Part II: Fully Relativistic Formulation with an Adapted Higuera–Cary Pusher
作者: Andrew Christlieb, Luis Chacon, Sining Gong
类别: math.NA, astro-ph.HE
发布日期: 2026-09-28
arXiv ID: 2609.36383v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.36383v1
摘要翻译
中文标题: 一种能量守恒的非交错电磁势粒子云网格方法，第二部分：采用适配 Higuera–Cary 推进器的全相对论格式
摘要翻译: 我们发展了在我们早期非相对论工作中引入的能量守恒、非交错电磁势粒子云网格方法的一个全相对论扩展。如同非相对论广义动量格式中那样，场通过 Lorenz 规范势方程的 Crank–Nicolson 离散进行推进，电流由粒子轨道沉积，电荷通过离散连续性方程推进。新要素是对 Higuera–Cary 相对论粒子推进器的广义动量适配。矢势力被分解为一个轨道离散梯度部分，其强制使用与我们早期非相对论格式中相同的有限差分链式法则，以及一个斜对称部分，其在机械动量中生成 Higuera–Cary 磁旋转。对于给定场和冻结轨道数据，这个广义动量 Higuera–Cary 映射是机械 Higuera–Cary 映射的一个单位雅可比共轭，并保持 $(\xx,\PP)$ 中的粒子相体积。对于全耦合隐式步，相同的轨道数据定义电流沉积、网格到粒子收集、矢势链式法则和相对论动能割线速度。所得的粒子做功抵消 Crank–Nicolson 场能量平衡，从而在非线性求解器容差、轨道求积误差和舍入误差范围内得到精确的相对论总能量守恒。一个自伴 Fourier 投影移除偶网格 Nyquist 平面上的模式，同时保持粒子–网格做功恒等式。数值测试围绕冷相对论双流不稳定性和 Weibel/成丝不稳定性组织，并配备对能量漂移、Gauss 定律、Lorenz 规范、粒子–网格做功和轨道链式法则的诊断。
9. 预条件物理信息神经算子训练
Preconditioned Physics-Informed Neural Operator Training
作者: Shizheng Wen, Siddhartha Mishra, Marius Zeinhofer
类别: cs.LG, math.NA
发布日期: 2026-09-28
arXiv ID: 2609.36216v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.36216v1
摘要翻译
中文标题: 预条件物理信息神经算子训练
摘要翻译: 神经算子通常以监督方式训练，这需要用经典求解器生成数据集。以物理信息方式训练它们，即纯粹从控制方程出发，消除了这一巨大的离线成本，并允许在每个优化步抽取新样本，但迄今为止仅限于简化问题，且在精度上落后于监督训练。障碍在于物理信息损失的不良条件性，这由微分算子诱导，并随着离散化加密而恶化。因此，我们提出一种预条件残差损失函数，并证明椭圆问题具有网格无关的条件性，且鞍点问题的条件性得到极大改善。通过几何与代数多重网格实现，该构造适用于线性与非线性方程、稳态或时间相关方程、结构网格与非结构网格，且与神经算子架构无关，并且在推理时不增加成本。在 Poisson、Allen-Cahn 和 stationary Stokes 方程上，由此得到的无标签训练与监督训练相当，并且比先前的物理信息算子学习方法精确四到二十五倍。
10. 张量列压缩的可分离 PINNs：高维参数化 PDE 的曲率感知优化框架
Tensor-Train Compressed Separable PINNs: A Curvature-Aware Optimization Framework for Parametric PDEs in High Dimensions
作者: Denis Korolev, Martin Eigel
类别: math.OC, cs.LG, math.NA
发布日期: 2026-09-28
arXiv ID: 2609.36165v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.36165v1
摘要翻译
中文标题: 张量列压缩的可分离 PINNs：高维参数化 PDE 的曲率感知优化框架
摘要翻译: 本文为应用于高维参数化偏微分方程（PDEs）的物理信息神经网络（PINNs）建立了一个二阶优化框架。该框架建立在 Gauss–Newton 拉回度量之上；该度量给出了参数空间中由算子信息诱导的曲率概念，并将该方法联系到更广泛的自然梯度格式族。我们证明，对于坐标可分离的神经网络架构以及允许有限可分离表示的线性微分算子（在非线性情形下为线性化算子），残差 Jacobian 继承一种结构化的可分离分解。这给出了在约化空间中 Gauss–Newton 步的精确压缩表述，而无需在指数级大的张量积配点网格上组装完整的残差 Jacobian。约化空间的维数（有效压缩维数）由局部配点网格大小、可分离算子结构以及架构的收缩模式决定，从而避免对完整张量积网格大小的依赖，并用一个显著更小的结构化问题替代参数空间中的稠密线性代数。在我们的框架内，我们研究了 canonical polyadic 与 tensor-train 参数化，并推导了它们与 Gauss–Newton 方法相关的完整代数刻画，包括残差 Jacobian 的结构、所得的压缩系统及其有效压缩维数。针对高维 PDEs（包括参数化问题）的数值实验表明，所提出的压缩 Gauss–Newton 方法具有很高效率：与张量压缩的一阶基线相比，它以少若干数量级的迭代次数和仅一小部分计算时间，达到显著更低的误差。
11. 面向有限元 ALE 流体动力学的弯曲区域滑移壁边界条件
Slip Wall Boundary Conditions in Curved Domains for Finite Element ALE Hydrodynamics
作者: Nabil Atallah, Kevin Sweet, Paul Moujaes, Jan Nikl, Ketan Mittal, Vladimir Z. Tomov
类别: math.NA, math-ph
发布日期: 2026-09-28
arXiv ID: 2609.36053v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.36053v1
摘要翻译
中文标题: 面向有限元 ALE 流体动力学的弯曲区域滑移壁边界条件
摘要翻译: 我们提出了一种高阶有限元任意拉格朗日-欧拉（ALE）方法，用于在解析弯曲区域上具有滑移壁边界条件的流体动力学。该方法结合了不同的拉格朗日、重网格和重映射阶段，同时保持弯曲边界的几何特征，并允许边界节点的切向运动。在拉格朗日阶段，我们采用边界条件的弱施加方式来施加滑移壁条件，而不冻结切向运动。在网格优化阶段，我们通过将选定的边界坐标自由度替换为曲线或曲面参数，使 TMOP（目标矩阵优化范式）适用于解析壁面。随后牛顿求解使边界节点相对于指定几何作切向移动，同时携带由拉格朗日阶段引入的漂移。在重映射阶段，我们通过在伪时间上的守恒的基于平流的重映射，将解从旧网格转移到优化后的网格。我们给出了二维和三维数值结果，在高阶曲线网格上展示了该方法，并表明其在保持边界保真度的同时产生预期的流体动力学解特征。
不相关论文（基本信息）
1. 在 $\widetilde{O}(mn \log \fracκε)$ 位运算内求解线性系统
Solving Linear Systems in $\widetilde{O}(mn \log \fracκε)$ Bit Operations
作者: Jonathan A. Kelner
类别: cs.DS, cs.CC, math.NA
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.38101v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.38101v1
摘要: We give a deterministic algorithm that solves a nonsingular linear system $Ax=b$, where $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ has $m$ nonzero entries and condition number $κ$, to any relative residual tolerance $0<ε\le1/2$ using $\widetilde{O(}mn\log(κ/ε))$ bit operations for inputs with logarithmically many bits per entry. For sparse, polynomially conditioned systems with $m=\widetilde{O}(n)$, this gives an $\widetilde{O}(n^2)$ algorithm for any inverse-polynomial accuracy, improving on the algorithm of Peng and Vempala, as sharpened by Nie, whose running time in this regime is approximately $O(n^{2.2707})$ with the best current matrix multiplication exponent, and largely closing a gap between the idealized performance of the conjugate gradient method in exact arithmetic and the running time achievable with finite-precision computation that has persisted for over 70 years. The algorithm is surprisingly simple. For integer inputs, we apply Dixon’s lifting algorithm to the perturbed system $(A+I/R)x=b$ for a suitable integer $R$. After scaling, the matrix of this system is $RA+I\equiv I\pmod R$, so its modular inverse is trivial, and each lifting step needs only a sparse matrix-vector product with $A$ on $O(\log R)$-bit numbers. Fast rational reconstruction then recovers the exact solution of the perturbed system, which is an $ε$-accurate solution of the original one. Normalization and rounding extend the result to fixed-point and floating-point inputs, with floating-point outputs represented using short integer significands and a common encoded exponent. A computable certificate removes the need for prior knowledge of $κ$.
2. 推进机械振动作用下船舶结构的神经网络拓扑优化
Neural topology optimization of ship structures under propulsion machinery vibrations
作者: Shengyu Yan, Muhammad Muztahidul Hakim Zareer, Jasmin Jelovica
类别: cs.CE, cs.AI, cs.LG, math.NA, physics.comp-ph
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.38089v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.38089v1
摘要: Ship structural vibrations contribute to noise, fatigue, and equipment damage, while dynamic-compliance topology optimization can produce pathological designs near resonance. This study extends neural-reparameterized topology optimization using a convolutional Kolmogorov-Arnold network (KATO) to forced-vibration design with active input power (AIP) as the objective. Applications include a 100 Hz engine-supporting deck panel and an 18 Hz thruster foundation frame. Helmholtz PDE filtering and Heaviside projection control feature sizes and manufacturing tolerance. Across both deck families, all eight optimized layouts reduce AIP relative to size-optimized references and, after finite-depth extrusion, also achieve lower static compliance. For unrestricted, manufacturing-aware, and stress-aware frame variants, KATO matches GCMMA in AIP within 0.5 dB while yielding 22-36x lower static compliance after matched-volume binary re-analysis. In a near-resonant 300 Hz case, both methods reduce initial AIP by more than 32 dB; KATO maintains a connected design, achieves 59x lower binary static compliance, and reduces maximum AIP over 1-500 Hz by 2.7 dB. KATO runs 6.4-10.4x faster than GCMMA for the implemented stress-aware formulations. The results demonstrate neural AIP-driven topology optimization as an efficient approach for designing connected, feature-size-controlled ship structures with improved forced-vibration performance.
3. 有限元核中的运行误差界
Running error bounds in finite element kernels
作者: Michal Habera, Paul T. Kühner, Matteo Croci, Andreas Zilian
类别: math.NA, cs.MS
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.37844v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.37844v1
摘要: Rounding errors in finite element computations can lead to a complete loss of accuracy, stalled convergence, and incorrect results. Moreover, the effects of rounding errors accumulated within automatically generated and compiled kernels are difficult to analyze a priori. We present the first software framework for automated rounding error estimation within finite element kernels. The proposed methodology is based on an a posteriori technique called Running Error Analysis (REA), where a forward error estimate is automatically computed concurrently with the value. An open-source implementation is provided for the FEniCS Form Compiler (FFCx), based on a C++ backend for generating type-generic templated kernels over a custom arithmetic type that tracks both the value and its error estimate. We demonstrate REA on two examples. First, we use it to detect catastrophic cancellation in the assembly of a Neo-Hooke hyperelastic model in the small deformation regime. A series expansion circumvents the cancellation problem and the computed error estimates show this. Second, we study the assembly of the Laplace operator on a near-degenerate mesh. We demonstrate that our REA implementation typically incurs only 2-4x performance overhead. Applications of this work include robust reduced-precision computations in embedded systems, numerical debugging of new, possibly ill-conditioned or unstable PDE formulations, and guiding the design of mixed-precision kernels.
4. 高压下大涡模拟中所用亚格子尺度混合模型的评估
Assessment of subgrid scale mixing models used in LES at high pressures
作者: Neelakantan Padmanabhan, Richard S. Miller
类别: physics.flu-dyn, math.NA
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.37758v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.37758v1
摘要: Molecular mixing models for the conditional scalar diffusion (CSD) term in the filtered mass density function (FMDF) transport equation used in Large Eddy Simulation (LES-FMDF) approach are evaluated against direct numerical simulation (DNS) of spatially evolving jets. A database of DNS of turbulent mixing slot jets of $C_{7}H_{16} / O_2$ and $C_{7}H_{16} / Air$ is developed. The formulation includes the compressible form of the governing equations, a generalized multicomponent diffusion model, a cubic real gas equation of state and realistic property models. Simulations are conducted over a wide range of initial pressures ($1 atm < P_0 < 100 atm$) and jet width based Reynolds numbers of 850 and 1300. FMDF of mixture fraction at various filter widths are obtained from the simulation at several spatial locations within the flow. The CSD term in the exact transport equation of FMDF is calculated from the DNS. An \textit{a priori} analysis of Interaction by Exchange of Mean (IEM), Modified Curl (MC) and Mapping Closure (MAPPING) mixing models for CSD is conducted. At high pressures, significant deviations are observed between the CSD measured from the DNS and those predicted by the models. The source of the deviations is determined to be the mixing frequency used in the models. The significance of the mixing frequency and its variation with change in pressure and diffusion models is studied. The primary objective of this work is to assess the applicability of aforementioned mixing models to flows at large pressures and determine the causes for deviation in prediction.
5. Bessel $(p,s)$-Laplace 算子的有限元逼近
Finite element approximation for the Bessel $(p,s)$-Laplacian
作者: Juan Pablo Borthagaray, José Camilo Rueda Niño
类别: math.NA
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.37747v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.37747v1
摘要: We study the finite element approximation of the Dirichlet problem for the Bessel $(p,s)$-Laplacian, $\operatorname{div}^{s} \left(|\nabla^{s} u|^{p-2}\nabla^{s} u\right)$, built from the Riesz fractional gradient $\nabla^s$ and posed on the Bessel potential space $X^{s,p}$, obtained by complex interpolation between $L^p$ and $W^{1,p}$. For $p = 2$ this operator reduces to the fractional Laplacian, while for $p \neq 2$ it differs from the fractional $p$-Laplacian arising from real interpolation. Since a direct Galerkin discretization requires reassembling a dense stiffness matrix at every nonlinear iteration, we propose an augmented Lagrangian formulation based on the projected fractional gradient $B_h = \mathbfΠ_h \nabla^s$, in which the only dense matrix is assembled once and the nonlinearity decouples elementwise. We analyze the resulting consistency error, establish a priori convergence rates in $X^{s,p}$, conditional on a discrete inf-sup condition for the augmented Lagrangian scheme, and present numerical experiments that illustrate the convergence of the method and its ability to deal with degenerate and strongly nonlinear problems.
6. 过参数化多项式插值中的双下降与 Runge 现象
The double descent and Runge phenomena in overparametrized polynomial interpolation
作者: Jason Wein, Stephan Wojtowytsch
类别: math.NA, math.CA, stat.ML
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.37657v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.37657v1
摘要: The Runge phenomenon in polynomial interpolation is often considered a classical analogue of the double descent phenomenon in machine learning. In this note, we explore overparameterized polynomial interpolation in three popular polynomial bases: Monomial, Chebyshev and Legendre basis with coefficients that are minimal in the $\ell^2$-norm (and, for the monomial basis, also those minimal in the $\ell^1$-norm). We present our results primarily for equidistant and Chebyshev data points, but many results are independent of the exact form of sampling.
7. 具有非线性渗透率的 Biot 问题的增广混合有限元方法
An augmented mixed finite element method for the Biot problem with nonlinear permeability
作者: Felipe Lepe, Gonzalo Rivera, Ricardo Ruiz-Baier, Segundo Villa-Fuentes
类别: math.NA
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.37618v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.37618v1
摘要: In two and three dimensions, we analyze a mixed formulation of the nonlinear Biot equations in terms of the poroelastic stress tensor, the displacement, the pressure, and the rotation tensor. To establish the well-posedness of the problem, we introduce suitable stabilization terms, leading to an augmented mixed formulation in which the associated parameters are chosen appropriately. Owing to the nonlinearity of the problem, we employ a fixed-point strategy to prove the existence and uniqueness of solutions. We propose a finite element scheme for which we establish existence and uniqueness of a discrete solution, together with a priori error estimates. Additionally, we design and analyze an a posteriori error estimator of the residual type which results to be reliable and efficient. Finally, we present a series of numerical experiments in two and three dimensions in order to assess the performance of the proposed method.
8. BandPC：学习用于灵活共轭梯度求解器的残差带预条件子组合
BandPC: Learning Residual-Band Preconditioner Combinations for Flexible Conjugate Gradient Solvers
作者: D. M. Li, Shang-Tian Yang, Xin Qiu
类别: math.NA
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.37140v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.37140v1
摘要: The conjugate gradient (CG) method is a classical iterative solver for sparse symmetric positive definite (SPD) linear systems, but its convergence strongly depends on the spectral properties of the system matrix. Preconditioning can improve these properties; however, designing preconditioners that generalize across diverse and irregular sparsity patterns remains challenging. We propose BandPC (Band Preconditioner Combinations, where “Band” denotes residual-norm bands), a data-driven framework that leverages graph neural networks (GNNs) to predict multi-stage preconditioning strategies for the flexible conjugate gradient (FCG) method. BandPC partitions the FCG iteration into three residual-norm-based bands and defines a structured search space of 125 candidate combinations over five classical preconditioners. By exploiting FCG’s ability to switch preconditioners across iterations, BandPC learns to map matrix structure directly to a promising preconditioner sequence. To improve training and generalization, we introduce a soft-labeling mechanism that retains near-optimal combinations and normalizes their scores into a label distribution, together with a hierarchical feature representation that captures node-level attributes, edge-level algebraic coupling strengths, and global matrix statistics. Experiments on a hybrid benchmark of synthetic SPD problems and diverse matrices from the SuiteSparse Collection show that BandPC achieves the best iteration count and solution time on 41.3% and 33.1% of test matrices, respectively, even when compared with each matrix’s individually best traditional preconditioner. These results demonstrate that learned residual-band preconditioner scheduling can effectively accelerate flexible CG solvers.
9. 面向科学发现的混合精度计算：格式、协同设计与负责任近似
Mixed-Precision Computing for Scientific Discovery: Formats, Co-Design, and Responsible Approximation
作者: Emmanuel Agullo, Hartwig Anzt, Daniel Bauer, David Bindel, Alfredo Buttari, Alexandru Calotoiu, Erin Claire Carson, Pasqua D’Ambra, Ieva Daužickaitė, James W. Demmel, Jack Dongarra, Iain Duff, Massimiliano Fasi, Dominik Göddeke, Stef Graillat, Laslo Hunhold, Roman Iakymchuk, Fabienne Jézéquel, Nils Kohl, Harald Köstler, Jakub Kružík, Julien Langou, Xiaoye Sherry Li, Hatem Ltaief, Piotr Luszczek, Yuxin Ma, Theo Mary, Mantas Mikaitis, Hiroyuki Ootomo, Daniel Osei-Kuffuor, Enrique S. Quintana-Ortí, Ulrich Rüde, Jennifer Scott, John Shalf, Linda Stals, Rasmus Tamstorf, Stefan Turek, Petr Vacek, Bastien Vieublé, Rio Yokota
类别: math.NA, cs.AR, cs.MS
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.37137v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.37137v1
摘要: Reduced and mixed precision have moved from a niche optimization to a central design axis in scientific computing and engineering, driven by energy constraints, heterogeneous accelerators, and the convergence of simulation and machine learning. This paper organizes the landscape around seven coupled themes—number formats, floating-point emulation, emerging architectures, hardware/software co-design, relation to other approximations, software design, and precision as a multilevel resource —and, for each theme, synthesizes the state of the art, future directions, and open questions. We emphasize \emph{energy per trusted solution} as the core objective, and we frame \say{recklessly responsible} computing as a pragmatic doctrine: exploit low precision aggressively, but with systematic detection, escalation, and certification pathways.
10. 面向 Gross-Pitaevskii 方程的低秩张量列流形上的黎曼优化
Riemannian optimization on low-rank tensor train manifolds for the Gross-Pitaevskii equation
作者: Ivan Bioli, Carlo Marcati, Maxim Rakhuba
类别: math.NA, math.OC
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.37103v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.37103v1
摘要: This work is concerned with the numerical computation of Gross-Pitaevskii ground states using the tensor train (TT) format. We regard the problem as the minimization of the Gross-Pitaevskii energy functional under a unit mass constraint, and propose a first-order Riemannian optimization scheme that preserves both the mass constraint and the low-rank representation throughout the optimization, by operating on the manifold of unit-norm functions of fixed TT-rank. On this manifold, we derive the energy-adaptive Riemannian gradient and show how to compute it efficiently in the TT format. Spatial discretization is performed using a spectral method with numerical integration, which allows the required computations to be carried out efficiently while preserving the low-rank format. The method is shown to substantially reduce computational time compared to full-rank computations, while maintaining accuracy for both single- and multicomponent Gross-Pitaevskii equations.
11. 可控性格拉姆矩阵的两项小时间谱展开
Two-term small-time spectral expansions for controllability Gramians
作者: Emmanuel Trélat, Enrique Zuazua
类别: math.NA
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.37077v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.37077v1
摘要: For a controllable single-input linear system in dimension $n$, the controllability Gramian eigenvalues, ordered decreasingly, are known to have the successive small-time orders $T, T^3, \ldots, T^{2n-1}$. We refine this leading-order hierarchy by explicitly computing the next-order coefficient of every eigenvalue and the first-order variation of its eigendirection and of the nested spectral subspaces. The resulting formulas have intrinsic expressions in the orthonormal Krylov basis: eigenvalue corrections describe the action of the dynamics along each Krylov direction, while variations of the spectral subspaces describe coupling to the next direction. We also establish local joint real-analytic dependence on $(T, A, b)$ near $T=0$ for the eigenvalues divided by their leading powers of $T$, consistently oriented eigenvectors, and spectral projectors. This provides convergent expansions with remainders uniform on compact families of controllable pairs. These results yield refined asymptotics for the worst-case minimum energy required to reach a unit target from the origin, the Gramian determinant and condition number, and the Ornstein–Uhlenbeck Gaussian profile in moving principal coordinates. The energy equals the reciprocal of the smallest Gramian eigenvalue, whose eigendirection identifies the most energy-demanding targets for sufficiently small times. We further derive an exact Gramian-weighted energy identity for the forward Fokker–Planck equation and sharp anisotropic short-time smoothing asymptotics using, respectively, the Lyapunov equation and an exact Fourier norm formula combined with the graded Gramian factorization. For symmetric dynamics, the spectral data reconstruct $A$ and determine $b$ up to its global sign.
12. 由分数布朗运动驱动的随机泛函微分方程的后向 Euler 格式的一致性与收敛性
Consistency and Convergence of the Backward-Euler Scheme for Stochastic Functional Differential Equations Driven by Fractional Brownian Motion
作者: Alexander Abreu, Lisandro Fermin, Ernesto Mordecki, Soledad Torres
类别: math.PR, math.NA
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.37019v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.37019v1
摘要: We study the backward-Euler scheme for a class of stochastic functional differential equations (SFDEs) with memory driven by a fractional Brownian motion with Hurst parameter H > 1/2. We first establish the local consistency of the method, with a local truncation error of order H -$ρ$- $β$ + 1, and then, as the main result, prove the uniform global pathwise convergence of the numerical approximation, on a set of probability one, with order H -$ρ$ -$β$, for $β$ $\in$ (1-H, 1/2) and 0 < $ρ$ < H -$β$. A uniform high-probability formulation with deterministic constants follows as a corollary. In particular, the convergence order can be taken arbitrarily close to 2H -1, matching the order obtained for the explicit Euler scheme. The convergence proof relies on an exact integral representation of the scheme at mesh points, an a priori bound for the numerical solution, fractional calculus estimates, and a Gronwall inequality for weakly singular kernels.
13. 面向鲁棒 $H_{\infty}$ 控制的带离散 Kalman 滤波的 SDRE 模型高性能计算
High Performance Computing of SDRE models with Discrete Kalman Filtering for Robust $H_{\infty}$-Controls
作者: Yunfeng Cai, Tiexiang Li, Wen-Wei Lin, Junxin Zhang
类别: math.NA
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.36840v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.36840v1
摘要: State-dependent Riccati equation (SDRE) control requires repeated online solution of continuous-time algebraic Riccati equations (CAREs). A projected-channel $H_\infty$ formulation preserves the physical actuator and sensor dimensions of under-actuated, partially observed systems. We derive a computable sufficient attenuation bound for positive-semidefinite stabilizing Riccati solutions and construct an update that enforces their spectral-radius coupling condition. A discrete Kalman recursion supplies the scheduling state estimates. The two CAREs arising in controller synthesis are solved by a structure-preserving doubling algorithm (SDA) or a warm-started Newton–Kleinman iteration equipped with a doubling Lyapunov solver. Numerical studies use a twelve-state F-16 model with complete aerodynamic forces, moments, and trim, together with quadrotor spiral tracking. With instantaneous command updates, all three CARE backends give essentially the same closed-loop response. In the tracking simulations, measured computation times determine when new control inputs are applied, and the previous inputs are held during computation. SDA and Newton reduce airspeed and pitch errors in all six paired aircraft tracking runs. In the faster quadrotor task with limited computational resources, SDA and Newton complete all paired runs, while runs using MATLAB \texttt{icare} terminate early.
14. 基于量子化张量列（QTTs）的压缩感知
Compressed Sensing with Quantized Tensor Trains (QTTs)
作者: Jingchun Shao
类别: math.NA
发布日期: 2026-09-29
arXiv ID: 2609.36506v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.36506v1
摘要: The storage and recovery of a vector of length (2^d) can become prohibitively expensive as (d) grows, a manifestation of the curse of dimensionality. For certain structured functions and multiscale quantities, the resulting discretized vectors admit compact quantized tensor train (QTT) representations after binary tensorization: a length-(2^d) vector is reshaped into a (d)-way binary tensor with low tensor-train (TT) rank. Motivated by this construction, we study compressed sensing of tensorized signals that combine bounded TT rank with sparse low-order interaction structure, using randomly sampled Walsh–Hadamard measurements. For this structured model class, we establish a uniform restricted isometry property and derive a measurement condition guaranteeing uniqueness of noiseless recovery. We also propose a structure-aware initializer for the alternating linear scheme (ALS), obtained by projecting the adjoint backprojection onto the low-order interaction space before applying TT-SVD. We prove a uniform initialization error bound whose measurement requirement, for fixed structural parameters, grows polynomially with the tensor order (d) rather than with the ambient dimension (2^d). Numerical experiments support the predicted RIP and initialization scaling and demonstrate more reliable ALS recovery.
15. 超越各向异性椭圆型方程的解析解制造
Beyond the analytic solution manufacturing for anisotropic elliptic equations
作者: Fabrice Deluzet, Valdimir Latocha, Frédéric Robert
类别: math.NA
发布日期: 2026-09-28
arXiv ID: 2609.36309v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.36309v1
摘要: This article is aimed at introducing a new procedure to define reference solutions to which the numerical approximations of anisotropic problems arising in plasma physics may be compared. In this context, the main issue is related to the construction of functions with no gradients along the vector field defining the anisotropy direction. The so-called solution manufacturing, implemented so far in the literature, only applies to frame- work where all the computations can be carried out analytically. In the present paper, we propose a new method in which this requirement is not mandatory. Indeed, via a Riemannian metric, we use a propagation of the boundary value by the flows related to the vector field defining the anisotropy direction. This permits to extend the application of the solution manufacturing to a broader range of contexts.
16. 面向参数化抛物型偏微分方程的基于树的局部化缩减基方法
A Tree-Based Localized Reduced Basis Method for Parametrized Parabolic PDEs
作者: Mohamed Barakat, Diane Guignard
类别: math.NA
发布日期: 2026-09-28
arXiv ID: 2609.36141v1
链接: http://arxiv.org/abs/2609.36141v1
摘要: We propose a localized reduced basis method for parametrized parabolic partial differential equations based on an adaptive partitioning of the parameter domain using hierarchical binary trees. A POD-Greedy procedure is employed to construct reduced spaces associated with each parameter subdomain. A certified \emph{a posteriori} error estimator is derived from an inf-sup stability analysis and shown to be equivalent to the underlying approximation error. This equivalence, together with suitable regularity assumptions on the parameter-to-solution map, enables a rigorous convergence analysis and is used to derive a strategy for selecting the number of POD modes to retain in each local reduced space. Numerical experiments for a parametrized convection–diffusion problem demonstrate the effectiveness of the proposed approach and confirm the predicted convergence behavior.