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1. 用于具有不完美界面的弹性动力学问题的非拟合混合高阶方法
An Unfitted Hybrid High-Order Method for the Elastodynamics Problem with Imperfect Interface
作者: Peiqi Huang, Erik Burman
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-01
arXiv ID: 2610.01504v1
摘要翻译: 我们设计并分析了一种非拟合混合高阶 (HHO) 方法，用于求解由两部分组成的介质中的弹性波方程，这两部分被一个线性滑移型不完美界面分隔；在该界面两侧，面力连续，且位移跳跃通过柔度张量 $\bK=α\bI+(β-α)\bn\otimes\bn$ 与面力成正比。网格不拟合于界面：在切割单元中离散未知量被加倍，小切割通过单元聚并过程处理，且没有未知量附着在界面上。该方法的两个特有要素是：每个切割子单元中的局部对称应变重构，它通过正则化界面刚度 $\bS_h=(h_Tδ^{-1}\bI+\bK)^{-1}$ 纳入界面条件，其思想源自 Hansbo 和 Hansbo {\em{A finite element method for the simulation of strong and weak discontinuities in solid mechanics.}} {Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.}, 193, 2004；以及由同一矩阵构造的界面稳定化。对于空间半离散问题，我们证明离散双线性形式是强制的且连续的，并推导出阶为 $h^{k+1}$ 的能量误差估计和阶为 $h^{k+2}$ 的 $L^2$ 误差估计，其中的常数不依赖于柔度参数，也不依赖于界面切割网格的方式。该格式或者与 Newmark 格式（它精确守恒一个离散能量）结合，或者与最高四阶的单对角隐式 Runge–Kutta 格式结合。二维数值实验验证了 $k\in\{1,2,3\}$ 时预测的收敛阶、在十六个数量级范围内关于柔度的鲁棒性，并展示了弹性波穿过未分辨滑移界面的传播。
Comment: 无
链接: http://arxiv.org/abs/2610.01504v1
1. 研究对象和背景
本文研究由两种材料组成、被非完美界面 Γ 分隔的弹性波传播问题. 设 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ ( $d\in\{2,3\}$ ) 为连通凸多边形/多面体区域, 内部界面 $\Gamma$ 为 $C^2$ 曲线/曲面, 将 $\Omega$ 分为两个子区域 $\Omega_1$ 和 $\Omega_2$ , 即 $\Omega = \Omega_1 \cup \Omega_2$ , $\Gamma = \partial\Omega_1 \cap \partial\Omega_2$ . 记位移场为 $u: J\times\Omega \to \mathbb{R}^d$ , 其中 $J=(0,T)$ 为时间区间. 弹性动力学方程由本构关系与运动方程给出:
$$ \sigma(u) = C\varepsilon(u) = 2\mu\varepsilon(u) + \lambda(\nabla\cdot u)I \quad \text{in } J\times(\Omega_1\cup\Omega_2), $$$$ \varrho \partial_{tt}u - \nabla\cdot\sigma(u) = f \quad \text{in } J\times(\Omega_1\cup\Omega_2), $$其中 $\varepsilon(u)=\frac12(\nabla u + \nabla u^{T})$ 为对称应变张量, $C = 2\mu I + \lambda I\mathrm{tr}$ 为四阶弹性张量, $\varrho>0$ 为质量密度, $f$ 为外力. Lamé 参数 $\lambda,\mu$ 在 $\Omega_1$ 与 $\Omega_2$ 上分别取常数, 满足 $0 其中 $[[v]] = v_1|_\Gamma - v_2|_\Gamma$ 表示跨界面跳跃, $n$ 为由 $\Omega_1$ 指向 $\Omega_2$ 的单位法向量. 对称半正定张量 $K$ 度量界面的柔度, 对各向同性界面有 其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别为切向和法向柔度. 该条件意味着法向牵引连续, 而位移跳跃与牵引成正比. 当 $K=0$ (即 $\alpha=\beta=0$ ) 时界面完美粘合; 当 $\alpha,\beta\to+\infty$ 时两个子区域解耦, $\Gamma$ 退化为各自的牵引自由边界. 在时域中, 这类界面表现为频率依赖滤波器, 在地震建模中常用于表示裂隙网络. 非完美界面广泛存在于复合材料、胶接或焊接装配以及地质介质中, 其中薄粘附层、损伤区或微裂纹区域允许两侧滑动或分离. 该问题的弱形式为: 寻找 $u\in L^2(J; H^1_0(\Omega_1\cup\Omega_2))$ , $\partial_t u\in L^2(J; L^2(\Omega))$ , $\partial_{tt}u\in L^2(J; H^{-1}(\Omega_1\cup\Omega_2))$ , 使得对几乎所有 $t\in J$ 和所有 $w\in H^1_0(\Omega_1\cup\Omega_2)$ , 其中 当 $K$ 奇异时, 上述涉及 $K^{-1}$ 的项按伪逆理解, 且试函数/测试函数的跳跃限制在 $K$ 的像空间中; 完美粘合情形 $K=0$ 对应 $[[v]]=g_D$ . 本文设计的离散格式用一个统一公式覆盖整个柔度范围, 无需区分上述各种退化情形. 非拟合网格上的数值逼近面临四个主要困难. 第一, 精确解在 $\Gamma$ 上不连续, 若网格不拟合界面, 则离散空间必须能够在单元内部表示跳跃. 第二, 柔度参数 $\alpha,\beta$ 通常在多个数量级范围内变化, 稳定性或精度在极端情形下退化的格式缺乏实用价值. 第三, 当界面切割网格单元时, 可能产生任意小的子单元, 这会破坏离散问题的条件数, 甚至稳定性. 第四, 格式应保持离散能量, 以便长时间模拟不出现伪耗散或增长. 已有文献分别处理了这些困难. Hansbo 和 Hansbo [19,20] 针对弹性问题 (1) 提出了非拟合有限元方法, 通过在切割单元中加倍自由度并使用 Nitsche 型公式, 引入正则化界面刚度 $S_h=(h\delta^{-1}I+K)^{-1}$ , 对分段仿射逼近证明了关于 $\alpha,\beta$ 一致的最优收敛性. 混合高阶 (HHO) 方法由 [16] 引入扩散问题, [15] 引入线弹性问题, 提供任意阶、无锁定的多面体网格离散, 基于局部重构算子和局部稳定化算子, 并允许单元未知量局部消去. 非拟合 HHO 椭圆界面问题在 [10,5] 中提出并分析, 其中小切割单元通过单元凝聚处理; 该思想随后扩展到 Stokes 界面问题 [6]. HHO 波方程的数值研究见 [7], 空间半离散二阶时间格式的分析见 [9], 其中建立了最优 $H^1$ 和 $L^2$ 误差估计; 标量波的非拟合 HHO 方法见 [8]. 此外, HDG 和弱 Galerkin 方法也被用于线性声波方程的空间离散 [17,22], 时间方向采用 leapfrog 或隐式 Newmark 格式, 并证明了空间与时间的最优收敛性. 多面体网格上的弹性动力学 DG 方法见 [2,1], 弹性波方程的切割有限元方法见 [29]. 最近, 针对静态弹性问题, 文献 [12] 提出了覆盖整个界面柔度范围的任意阶拟合 HHO 方法. 弹性动力学问题的 HHO 综合研究, 包括弹-声耦合、高阶 Runge-Kutta 时间推进和大规模地球物理应用, 最近在 [24,25] 中发展; 其中也考虑了非拟合 HHO, 但仅针对标量椭圆界面问题, 且坏切割单元通过多项式延拓 [11] 而非凝聚来处理. 本文旨在结合上述要素, 设计并分析任意阶 $k\ge 1$ 的非拟合 HHO 方法, 用于带线性滑移界面的弹性动力学问题. 该方法有两个特殊成分: 一是每个切割子单元中的局部对称应变重构, 将界面条件融入较软一侧的算子定义中; 二是使用同一矩阵 $S_h$ 构建的界面稳定化, 惩罚跨 $\Gamma$ 的单元未知量跳跃. 因此, 一个统一公式自动覆盖整个柔度范围: 当 $\alpha=\beta=0$ 时, $I-S_hK=I$ 且 $S_h=\delta h_T^{-1}I$ , 界面稳定化成为 Nitsche 罚项, 重构弱强制位移连续; 当 $\alpha,\beta\gg h_T/\delta$ 时, $S_h\simeq K^{-1}$ , 即物理界面刚度, 且 $I-S_hK\simeq 0$ , 两个子区域解耦. 本文主要结果针对空间半离散问题: 离散双线性形式的强制性和连续性 (定理 5.1), 能量误差估计 $h^{k+1}$ (命题 5.5) 和 $L^2$ 误差估计 $h^{k+2}$ (命题 5.8), 常数不依赖柔度参数, 也不依赖界面切割网格的方式. 空间半离散格式分别与 Newmark 格式 (精确守恒离散能量) 和最高四阶的单对角隐式 Runge-Kutta 格式结合. 数值实验在二维情形验证了 $k\in\{1,2,3\}$ 的预测收敛率、对超过十六个数量级的柔度变化的鲁棒性, 并展示了弹性波穿过未分辨滑移界面的传播. 本文的核心结果围绕空间半离散 HHO 格式的稳定性与误差估计展开. 首先, 定义全局离散空间 $\hat{V}_h = V_T\times V_F$ , 其中 $V_T = V_{T1}\times V_{T2}$ , $V_F = V_{F1}\times V_{F2}$ , 且 $V_{T i} = \times_{T\in\mathcal{T}_h} P^{k+1}(T^i)$ , $V_{F i} = \times_{F\in\mathcal{F}_h} P^k(F^i)$ . 空间半离散问题为: 寻找 $\hat{u}_h=(u_T,u_F)\in C^2(J;\hat{V}_{h0})$ 使得对任意 $t\in J$ 和任意 $\hat{w}_h=(w_T,w_F)\in\hat{V}_{h0}$ , 其中 $a_h(\hat{v}_h,\hat{w}_h) = \sum_{T\in\mathcal{T}_h}[a_T(\hat{v}_T,\hat{w}_T) + s_T(\hat{v}_T,\hat{w}_T)]$ , $\ell_h$ 由局部载荷泛函求和给出. 局部双线性形式 $a_T$ 定义为 稳定化项为 $s_T = s_T^{\partial T} + s_T^\Gamma$ , 其中 这里 $S(\hat{v}_{T i}) = v_{(\partial T)^i} - \Pi_{(\partial T)^i}(v_{T i})$ 为面未知量与单元未知量迹的差, $\Pi_{(\partial T)^i}$ 为 $L^2$ 正交投影. 定理 5.1 (强制性与连续性) 断言: 在假设 3.1–3.3 下, 离散双线性形式 $a_h$ 在 $\hat{V}_{h0}$ 上强制且连续. 即存在与 Lamé 系数 $\lambda_i,\mu_i$ 、柔度张量 $K$ 、网格尺寸 $h$ 以及界面切割网格的方式均无关的常数 $c>0$ 和 $C>0$ , 使得对任意 $\hat{v}_h,\hat{w}_h\in\hat{V}_{h0}$ , 这里能量范数 $|||\cdot|||_h$ 由局部范数 $|||\hat{v}_T|||_{a_T}$ 求和定义, 而局部范数为 需要指出, 从提供的 PDF 内容中无法确认定理 5.1 的完整精确陈述 (例如强制性和连续性不等式中的精确常数形式), 但摘要和引言明确确认了强制性与连续性, 且常数不依赖柔度参数和界面切割方式. 命题 5.5 (能量误差估计) 给出空间半离散解与精确解之间的能量范数误差估计. 在适当的解正则性假设下 (具体假设未在提供内容中完整展开), 有 其中常数不依赖柔度参数 $\alpha,\beta$ 、Lamé 系数、网格尺寸以及界面切割网格的方式. 该估计是空间半离散格式的能量误差, 时间仍为连续. 命题 5.8 ( $L^2$ 误差估计) 通过 Ritz 型投影 (沿袭 [4,30] 的思想) 得到 $L^2$ 误差估计. 在相应正则性假设下, 常数同样不依赖柔度参数和界面切割方式. 从提供内容中无法确认该命题的完整假设与证明细节, 但摘要和引言明确给出了 $h^{k+2}$ 阶的结论. 时间离散方面, 作者将空间半离散格式与两种时间推进结合: 一是 Newmark 格式, 该格式精确守恒一个离散能量; 二是单对角隐式 Runge-Kutta (SDIRK) 格式, 阶数最高可达四阶. 摘要指出方案与这些时间离散结合, 但提供的 PDF 内容未包含时间离散的稳定性或收敛性定理. 因此, 从现有内容无法确认时间离散的理论误差估计, 只能确认 Newmark 格式精确守恒离散能量. 数值实验在二维情形进行, 涵盖 $k\in\{1,2,3\}$ . 实验证实了预测的收敛率, 验证了方法对柔度参数在超过十六个数量级范围内变化的鲁棒性, 并展示了弹性波穿过未分辨滑移界面的传播. 这些数值结果确认了理论分析, 尤其是常数不依赖柔度参数与界面切割方式的论断. 需要强调, 严格证明的结论包括: 局部重构算子的良态性 (引理 3.4), 正则化界面刚度 $S_h$ 的性质 (引理 4.1), 离散与迹不等式 (引理 4.2 和 4.3), 以及上述定理 5.1、命题 5.5 和命题 5.8. 而关于时间离散的讨论在提供内容中主要停留在格式结合层面, 属于未完整展开的理论部分. 数值实验则属于验证性结果, 与严格证明的结论应区分看待. 本文的技术核心在于设计一个统一处理全范围界面柔度、且对界面切割网格鲁棒的非拟合 HHO 格式, 并建立与柔度参数无关的稳定性与误差估计. 主要技术障碍有四点: (i) 非拟合网格导致精确解跨界面不连续, 离散空间必须在单元内部表示跳跃; (ii) 界面柔度参数 $\alpha,\beta$ 可跨越多个数量级, 要求格式在完美粘合 ($K=0$ ) 与牵引自由 ($\alpha,\beta\to\infty$ ) 两个极端均稳定且精确; (iii) 界面切割可能产生任意小子单元, 破坏条件数和稳定性; (iv) 长时间模拟需要离散能量守恒. 作者通过三个相互配合的构件克服这些困难: 正则化界面刚度 $S_h$ 、带界面条件的局部对称应变重构、以及基于 $S_h$ 的界面稳定化. 第一个关键工具是正则化界面刚度 由于 $K$ 对称半正定, $h_T/\delta>0$ , 矩阵 $S_h$ 对所有柔度参数均良定义、对称正定, 且与 $K$ 可交换. 引理 4.1 收集了其关键性质: 这些性质使得所有估计中的常数不依赖 $\alpha,\beta$ . 特别地, $I-S_hK$ 和 $S_hK$ 的特征值分别落在 $[0,1]$ 和 $[0,1)$ 中, 从而在极端柔度下自动退化到正确行为: 当 $K=0$ 时 $I-S_hK=I$ 且 $S_h=\delta h_T^{-1}I$ , 界面稳定化成为 Nitsche 罚项; 当 $\alpha,\beta\gg h_T/\delta$ 时 $S_h\simeq K^{-1}$ 且 $I-S_hK\simeq 0$ , 界面贡献消失, 两个子区域解耦. 该构造沿袭 Hansbo 和 Hansbo [19] 的思想, 但被嵌入到 HHO 框架中并用于弹性动力学. 第二个关键工具是局部对称应变重构. 对每个单元 $T$ 和 $i=1,2$ , 定义重构算子 $E_{T i}: \hat{V}_T\to P^k(T^i)$ . 在较软一侧 $T^1$ 上, 界面条件被直接融入重构算子的定义: 对任意 $\tau\in P^k(T^1)$ , 其中 $G_{T i}(\hat{v}_T) = C_i E_{T i}(\hat{v}_T) = 2\mu_i E_{T i}(\hat{v}_T) + \lambda_i \mathrm{tr} E_{T i}(\hat{v}_T) I$ . 在较硬一侧 $T^2$ 上, 重构算子不含界面项: 这里的关键创新在于: 较软侧的重构通过 $S_h$ 和 $[[v_T]]_\Gamma$ 弱强制界面条件, 而较硬侧保持标准 HHO 重构. 该设计使得一个公式覆盖所有柔度情形, 无需区分 $K$ 是否奇异或是否趋于无穷. 引理 3.4 证明了重构算子的良态性: 通过取 $\tau = C_1 E$ 并利用 $C_1$ 对称正定以及 $(I-S_hK)K = h_T\delta^{-1}S_hK$ 对称半正定, 可得齐次问题只有零解. 第三个关键工具是稳定化. 局部稳定化由两部分组成: 标准 HHO 稳定化 $s_T^{\partial T}$ 惩罚面未知量与单元未知量迹的差, 界面稳定化 $s_T^\Gamma$ 则直接惩罚跨 $\Gamma$ 的单元未知量跳跃: 该稳定化使用与重构相同的矩阵 $S_h$ , 因此在完美粘合情形退化为 Nitsche 罚, 在牵引自由极限退化为物理界面刚度. 局部双线性形式 $a_T$ 定义为 它对称半正定, 且具有可计算表示 (20). 全局双线性形式 $a_h$ 由 $a_T + s_T$ 求和得到. 在分析框架方面, 作者依赖若干辅助工具. 首先是离散不等式 (引理 4.2): 在假设 3.1 下, 切割子单元满足离散迹不等式、离散逆不等式、离散 Poincaré 不等式和离散 Korn 不等式. 这些不等式是 HHO 分析的标准工具, 但此处需要适应被界面切割的子单元, 因此假设 3.1 (每个切割子单元包含一个半径 $\zeta h_T$ 的球) 至关重要. 小切割单元通过单元凝聚处理 (见 [5, 4.3 节]), 将携带小切割的单元凝聚到相邻单元, 从而保证假设 3.1 并避免任意小子单元. 其次是乘性迹不等式 (引理 4.3), 它依赖于假设 3.2 (网格充分分辨 $\Gamma$ ), 用于控制界面上的迹. 假设 3.3 (温和网格分级) 保证局部球 $T^\dagger$ 包含在有限层邻域中. 这些假设共同为误差分析提供了统一的常数控制. 误差估计的证明框架使用 Ritz 型投影 (沿袭 [4,30]), 将离散误差分解为投影误差与投影后离散解的误差. 能量误差估计 $h^{k+1}$ 和 $L^2$ 误差估计 $h^{k+2}$ 分别通过能量范数和 $L^2$ 范数的对偶论证得到. 辅助的波方程估计借鉴 [9], 非拟合 HHO 的离散工具借鉴 [5]. 时间离散方面, Newmark 格式通过其能量守恒性质保证长时间稳定性; SDIRK 格式最高四阶, 但提供内容未展开其理论分析. 作者还指出, 将多项式延拓 [11,24] 与当前公式结合是令人感兴趣的未来方向, 但本文选择单元凝聚来处理坏切割单元. 本文与已有工作的比较可从多个维度展开. 首先, 与 Hansbo 和 Hansbo [19,20] 的非拟合有限元方法相比, 本文将其核心思想——使用正则化界面刚度 $S_h=(h\delta^{-1}I+K)^{-1}$ 和 Nitsche 型公式统一处理全范围柔度——推广到任意阶 HHO 框架, 并用于弹性动力学问题. Hansbo 和 Hansbo 的方法针对静态弹性问题 (1), 对分段仿射逼近证明了最优收敛性且常数关于 $\alpha,\beta$ 一致; 本文则处理时间依赖的弹性波方程, 提供空间半离散的强制性和连续性证明、能量误差 $h^{k+1}$ 和 $L^2$ 误差 $h^{k+2}$ , 并讨论与 Newmark 和 SDIRK 时间离散的结合. 此外, 本文的局部对称应变重构和界面稳定化虽然借鉴了 $S_h$ , 但在 HHO 的局部重构算子框架内重新设计, 使得任意阶 $k\ge 1$ 均可实现. 因此, 本文在多项式阶数、时间依赖性和误差估计的完整程度上均推进了 [19,20]. 其次, 与非拟合 HHO 椭圆界面问题 [10,5] 和 Stokes 界面问题 [6] 相比, 这些工作处理的是椭圆型问题, 界面条件通常为完美粘合或弱不连续, 小切割单元通过单元凝聚处理, 并建立了相应的稳定性与误差估计. 本文将这些技术扩展到弹性动力学, 并引入线性滑移界面条件, 其难点在于柔度张量 $K$ 的引入使得界面条件不再是简单的位移或通量跳跃约束, 而需要通过 $S_h$ 和 $I-S_hK$ 统一处理从完美粘合到牵引自由的连续过渡. 本文明确借用了 [5] 中的单元凝聚程序和离散不等式 (引理 4.2), 以及 [10] 中的乘性迹不等式 (引理 4.3), 但增加了界面稳定化和带界面条件的局部重构, 并证明了常数不依赖柔度参数. 因此, 本文在 [10,5,6] 的基础上将非拟合 HHO 从椭圆问题推进到弹性动力学界面问题. 第三, 与 HHO 波方程 [7,9] 和标量波非拟合 HHO [8] 相比, [9] 建立了 HHO 对波方程的空间半离散 $H^1$ 和 $L^2$ 最优误差估计, 但针对的是拟合网格且为标量方程; [7] 进行了数值研究; [8] 考虑了标量波的非拟合 HHO. 本文处理的是矢量弹性动力学, 包含 Lamé 参数的不连续和线性滑移界面条件, 并给出与柔度参数无关的误差估计. 在误差阶数上, 本文的 $h^{k+1}$ 能量误差和 $h^{k+2}$ 的 $L^2$ 误差与 [9] 的拟合网格结果一致, 但本文的估计对界面切割方式和柔度参数具有鲁棒性, 这是 [9] 和 [8] 未涉及的. 第四, 与 HDG 和弱 Galerkin 方法 [17,22] 相比, 这些工作针对线性声波方程 (标量), 时间方向采用 leapfrog 或隐式 Newmark, 并证明了空间与时间的最优收敛性. 本文处理的是弹性波方程 (矢量), 且包含非完美界面; 在时间离散上, 本文也使用 Newmark 和 SDIRK, 但主要理论贡献在空间半离散的稳定性与误差估计, 时间离散的理论分析未在提供内容中完整展开. 因此, 在方程类型和界面条件方面, 本文扩展了 [17,22] 的适用范围, 但在时间离散的理论深度上, 从提供内容看不如 [17,22] 完整. 第五, 与切割有限元弹性波 [29] 相比, 切割有限元方法通常使用 Nitsche 或罚方法处理界面, 但可能不保持离散能量或未证明对柔度参数的鲁棒性. 本文的方法通过 Newmark 格式精确守恒离散能量, 并通过 $S_h$ 的设计证明常数不依赖柔度参数, 在稳定性与能量守恒方面更为完善. 但本文是非拟合 HHO 方法, 需要切割单元自由度加倍和单元凝聚, 实现代价可能高于传统切割有限元. 第六, 与拟合 HHO 静态弹性 [12] 相比, [12] 提出了覆盖整个柔度范围的任意阶 HHO 方法, 但网格拟合界面且仅处理静态问题. 本文是非拟合且时间相关的, 避免了生成拟合界面网格的成本, 但需要处理小切割单元和界面稳定化. 在柔度鲁棒性方面, 两者都实现了全范围覆盖; 在问题类型上, 本文面向弹性动力学, 因此需要额外处理时间离散和能量守恒. 在代价方面, 非拟合方法增加了单元凝聚和界面稳定化的实现复杂性. 第七, 与弹性动力学 HHO 综合研究 [24,25] 相比, 这些工作发展了 HHO 用于弹性动力学, 包括弹-声耦合、高阶 Runge-Kutta 时间推进和大规模地球物理应用; 其中也考虑非拟合 HHO, 但仅针对标量椭圆界面问题, 且坏切割单元通过多项式延拓 [11] 而非凝聚处理. 本文专注于非拟合 HHO 用于弹性动力学带线性滑移界面, 使用单元凝聚处理小切割, 并提供柔度鲁棒性证明. 作者在引言中明确指出, 将多项式延拓 [11,24] 与当前公式结合是令人感兴趣的未来方向, 但本文未展开. 因此, 在问题类型 (弹性动力学滑移界面) 和坏切割处理方式 (凝聚 vs. 多项式延拓) 上, 本文与 [24,25] 形成互补. 在假设与适用范围方面, 本文要求界面 $\Gamma$ 为 $C^2$ , 网格满足假设 3.1–3.3, 其中假设 3.1 通过单元凝聚强制满足; Lamé 参数分段常数且 $\mu_1\le\mu_2$ , 柔度张量各向同性 $K=\alpha I+(\beta-\alpha)n\otimes n$ , $\alpha,\beta\ge 0$ . 这些假设与 [19] 类似, 但推广到 HHO 和高阶. 与 [10,5] 相比, 本文的假设增加了界面柔度张量的要求, 但通过 $S_h$ 的设计避免了额外限制. 在时间尺度方面, 本文关注长时间能量守恒, Newmark 格式精确守恒离散能量, SDIRK 最高四阶; 与 [9] 的波方程分析相比, 本文增加了界面条件和柔度鲁棒性, 但时间离散的理论分析在提供内容中未完整给出. 最后, 本文的局限与代价包括: 非拟合 HHO 在切割单元中加倍自由度, 并使用单元凝聚处理小切割, 增加了实现复杂性; 理论分析主要针对空间半离散问题, 时间离散的误差估计未在提供内容中展开; 数值实验限于二维, 未提供三维算例; 未与多项式延拓 [11,24] 进行数值比较. 从提供内容中无法确认作者是否进行了与 [12] 的数值对比, 也无法确认时间离散的稳定性证明. 总体而言, 本文在非拟合 HHO 用于弹性动力学带滑移界面这一方向上, 相对于 [19,20] 推进了多项式阶数和时间依赖性, 相对于 [10,5,6] 推进了问题类型和界面条件, 相对于 [7,9,8] 推进了矢量、非拟合和柔度鲁棒性, 相对于 [12] 推进了非拟合和时间相关, 相对于 [24,25] 则专注于弹性动力学滑移界面并采用凝聚而非多项式延拓. Dirichlet–Neumann waveform relaxation for heterogeneous heat equations: fully discrete $l^2$ analysis 作者: Philipp Birken, Niklas Kotarsky 类别: math.NA 发布日期: 2026-10-01 arXiv ID: 2610.01475v1 摘要翻译: 我们考虑不同空间区域上的两个耦合线性热方程，它们通过一个低维界面相互作用。这建模了共轭传热。该问题采用 Dirichlet–Neumann 波形松弛求解。这允许使用独立的代码求解子问题，即所谓的分区方法。我们的总体目标是开发更高效的分区方法，为此，我们希望获得可靠的误差估计。 Comment: 无 链接: http://arxiv.org/abs/2610.01475v1 本文研究由两个一维线性热方程通过低维界面耦合而成的共轭传热模型. 设两个空间区域为 $Q_1=(-a,0)$ 与 $Q_2=(0,b)$, $a,b>0$, 未知量 $u_1(x,t)$ 与 $u_2(x,t)$ 分别表示两个子区域中的温度. 模型为 其中 $\alpha_i$ 是热容, $\lambda_i$ 是热导率, $f_i$ 是外源. 外边界与初值条件为 界面 $x=0$ 处要求温度连续和热流连续, 即 这类模型是共轭传热的原型, 在火箭发动机冷却、涡轮叶片、金属淬火以及气候海洋-大气耦合等分区多物理场计算中具有代表性. 实际计算中往往不能把两个子问题放在同一套离散与求解器中, 而希望每个子域使用独立代码, 只通过界面条件交换数据, 这就是分区 (partitioned) 方法. Dirichlet-Neumann 波形松弛 (DNWR) 是这一类方法的重要代表: 在每次波形迭代中, 一个子问题在界面上取 Dirichlet 数据, 另一个子问题使用 Neumann 热流条件, 并通过松弛参数 $\theta$ 更新界面 Dirichlet 迹. 对给定界面初猜 $h^0(t)$, 连续 DNWR 迭代可写为 并配合边界/界面条件 以及松弛步 已有工作已经在连续、时间离散、空间离散以及全离散等不同层次分析波形松弛的收敛性. 例如 [3] 对异质热方程使用指数加权 Fourier 技术得到有限时间 $T$ 的连续 $L^2$ 误差估计和任意松弛参数下的结果, 并说明在材料相关松弛参数 $\theta_*=\sqrt{\alpha_1\lambda_1}/(\sqrt{\alpha_1\lambda_1}+\sqrt{\alpha_2\lambda_2})$ 时可出现超线性收敛; [3] 又把该分析推进到隐式 Euler 时间离散, 得到有限时间 $l^2$ 估计; [4] 对异质对流扩散方程用 $z$ 变换得到线性误差估计; [17] 只分析两个子求解器各做一步隐式 Euler 的特殊情形, 发现 CFL 数和网格比 $\Delta x_1/\Delta x_2$ 会显著影响收敛因子, 特别地当 CFL 数小时收敛因子与 $\Delta x_1/\Delta x_2$ 成正比; [23] 用时空 Fourier 分析空间离散反应扩散方程. 然而, 据作者所述, 在全离散情形此前主要只有线性误差估计, 空间网格不匹配的影响尚不完全清楚, 连续、半离散与全离散迭代之间的关系也缺少系统理解. 本文正是在这一空白上, 对隐式 Euler 时间离散和中心有限差空间离散的两个异质热方程, 建立有限时间全离散 $l^2$ 误差估计, 并分析 CFL 数、网格比、材料参数和 $T$ 对收敛行为的影响. 论文的核心结果是全离散 DNWR 的有限时间 $l^2$ 误差估计及其渐近分析. 全离散格式使用隐式 Euler 时间步进, 并在两个子区域分别采用间距为 $\Delta x_1=a/n_1$ 与 $\Delta x_2=b/n_2$ 的等距中心有限差分离散; Neumann 条件通过一个虚拟点处理. 对误差序列作指数加权离散时间 Fourier 变换 其中序列按 $n<0$ 与 $n>N$ 作零延拓. 在频域中精确求解空间差分方程, 得到全离散收敛因子 其中 而 基于此, 定理 1 给出: 全离散迭代在时间区间 $[0,T]$ 上的误差满足 证明的关键是零延拓后应用指数加权 Fourier 变换, 再用 Parseval 恒等式把时间 $l^2$ 误差与频域积分联系起来. 令 $r=0$ 得到线性估计的推论: 论文进一步通过小参数与大参数渐近给出定理 2. 令 并定义子求解器 CFL 数 $c_m=\lambda_m\Delta t/(\alpha_m\Delta x_m^2)$, 从而 $|s_m|\le 1/c_m$. 若 $|s_1|\gg1$ 且 $|s_2|\gg1$, 则 若 $|s_1|\ll1$ 且 $|s_2|\ll1$, 则 这一结果说明: 当两个子求解器的 CFL 数都很大时, $|s_m|$ 很小, 全离散估计接近时间离散估计, 从而在很大范围内与 $\Delta x_1$ 和 $\Delta x_2$ 无关; 当 CFL 数都很小时, $|s_m|$ 很大, 收敛因子近似为 $1-\theta-\theta\alpha_1\Delta x_1/(\alpha_2\Delta x_2)$, 因而空间离散和网格比 $\Delta x_1/\Delta x_2$ 起着重要作用. 关于 $T$ 的影响, 论文指出: 当 $T$ 大时, $e^{rT}$ 主导, 最优 $r$ 接近零, 表现为线性收敛; 当 $T$ 小时, $e^{rT}\approx1$, 最优 $r$ 接近使频域最大值最小化的参数, 可观察到超线性或更快的收敛行为. 摘要还声称数值实验表明全离散估计在广泛的网格大小、时间步长和 $T$ 下都是准确的, 但所提供的 PDF 截断在第 10 页之前结束, 具体数值实验设计与验证细节无法从该内容中确认. 论文的主要技术障碍在于: 全离散 DNWR 同时包含时间迭代、空间有限差分、两个不同网格以及界面松弛, 因此收敛因子不能仅由连续或半离散的符号计算直接得到; 需要在一个有限时间窗口 $[0,T]$ 上对 $l^2$ 意义下的误差进行全局估计, 同时保留线性与超线性两种可能行为. 更具体地说, 空间差分方程的特征根 $r_{m,\pm}$ 依赖于频率 $\omega$、权重参数 $r$、时间步 $\Delta t$、材料参数以及各自网格 $\Delta x_m$, 且收敛因子通过 $f_2/f_1$ 非线性地依赖网格点数 $n_1,n_2$. 这使得直接做能量估计或简单矩阵谱分析很难给出带 $T$ 的锐利估计. 作者的真正创新点是用指数加权离散时间 Fourier 变换系统处理全离散波形松弛. 第一步是把界面序列 $h^k$ 和两个子域的离散解按时间指标延拓为零, 使其成为双边序列; 第二步定义变换 该变换等价于先对序列乘上指数衰减因子 $e^{-rn\Delta t}$, 再作通常的离散时间 Fourier 变换. 作者引用并复述了引理 1: 若 $r>0$, 序列平方可和且负时间部分为零, 则变换存在, 且满足 这个 Parseval 型不等式是把频域估计转回时间 $l^2$ 误差的关键工具. 第三步是对全离散迭代作变换. 由于时间差分被 $ (1-e^{-r\Delta t-i\omega})/\Delta t $ 替换, 空间差分方程变成一个具有常系数的二阶差分方程. 作者没有用近似或数值求根, 而是精确求解该差分方程, 得到 其中 $r_{m,\pm}$ 由二次特征方程显式给出. 接着代入两侧边界条件和界面条件, 解出 $A,B$, 并利用松弛步消去界面未知量, 最终得到频域收敛因子 这一步是全离散分析的核心: 它把复杂的时空迭代压缩成一个可显式分析的标量乘子. 第四步是误差估计. 利用变换的线性性、时间平移性质和 Parseval 恒等式, 作者证明 这里的 $e^{rT}$ 来自把有限时间区间上的加权 $l^2$ 和嵌入到全时间轴上的加权 $l^2$ 和; 对 $r$ 取下确界则允许在有限时间窗口内选择最优指数权重, 这正是能够同时描述线性与超线性收敛的机制. 第五步是渐近分析. 作者围绕 $s_m=\frac{\alpha_m(1-e^{-r\Delta t-i\omega})}{2\lambda_m}\frac{\Delta x_m^2}{\Delta t}$ 的大小展开. 当 $|s_m|\gg1$ 时, 特征根近似为 $r_{m,+}\approx s_m$ 与 $r_{m,-}\approx1$, 从而 $f_m\approx1/s_m$, 收敛因子退化为 当 $|s_m|\ll1$ 时, 特征根近似为 $r_{m,\pm}\approx1\pm\sqrt{s_m}$, 并且 由此恢复时间离散收敛因子 $\hat\rho_{IE}$, 其中连续极限下的 $\coth$ 与 $\tanh$ 结构重新出现. 这些展开解释了为什么大 CFL 时空间离散影响消失, 而小 CFL 时网格比 $\Delta x_1/\Delta x_2$ 进入收敛因子. 此外, 第 5 节的数值实验据说使用空气和钢、以及大气和海洋的真实材料参数来验证理论, 但提供的 PDF 截断没有包含实验表格与图形, 因此无法从现有内容确认实验设计、误差测量方式和参数扫描范围. 与已有工作相比, 本文的推进主要体现在全离散、有限时间 $l^2$ 估计以及网格不匹配影响三个层面. 首先, 与作者先前在 [3] 中的连续 $L^2$ 分析和时间离散 $l^2$ 分析相比, 本文把指数加权 Fourier 框架推进到全离散有限差分离散. 连续和时间离散估计都不显式包含 $\Delta x_1,\Delta x_2$; 本文证明在大 CFL 情形下, 全离散估计接近时间离散估计, 从而也接近连续估计, 并给出定量条件 $|s_m|\ll1$ 或 $c_m\gg1$. 这回答了论文引言中提出的连续、半离散与全离散迭代之间关系的一部分问题: 在时间步相对网格较大时, 空间离散不会显著改变收敛行为. 其次, 与 Clement 等人在 [4] 中的全离散分析相比, 本文的差别在于: [4] 用 $z$ 变换处理隐式 Euler 与 Runge-Kutta 以及有限差分/有限体积离散, 得到的是线性误差估计, 并且没有讨论不同空间网格大小对收敛的影响; 本文在有限时间区间上得到带有 $\inf_r e^{rT}\max_\omega$ 结构的估计, 可以描述线性和超线性行为, 并显式分析网格比. 当 $r=0$ 时本文的推论退化为线性 $l^2$ 估计, 与 [4] 和 [5] 所述线性估计在类型上一致; 但本文额外给出了空间离散如何通过 CFL 数进入估计. 第三, 与 Monge 和 Birken 在 [17] 中的分析相比, [17] 只考虑了每个子求解器各做一个隐式 Euler 时间步的特殊情形, 并得到一个收敛因子, 指出小 CFL 时收敛因子与 $\Delta x_1/\Delta x_2$ 成正比, 大 CFL 时 CFL 数和网格比也有显著影响. 本文把这种观察推广到任意多个时间步、波形松弛迭代和有限时间 $T$ 的全离散 $l^2$ 误差估计. 在小 CFL 情形下, 本文的近似收敛因子为 $1-\theta-\theta\alpha_1\Delta x_1/(\alpha_2\Delta x_2)$, 其中除网格比外还出现热容比 $\alpha_1/\alpha_2$; 这说明 [17] 的网格比结论在更一般的异质材料与多步设置下仍然保留, 但具体系数会依赖材料参数. 需要注意的是, [17] 允许有限元或有限体积空间离散, 而本文的严格分析针对中心有限差分; 因此本文并不是在所有离散类型上都覆盖 [17]. 第四, 与 [9] 中基于 Laplace 变换和核估计的 DNWR/NNWR 超线性 $L^\infty$ 分析相比, [9] 处理齐次热方程并使用特殊松弛参数 $\theta=1/2$ (DNWR) 与 $\theta=1/4$ (NNWR), 而本文处理异质热方程、任意松弛参数和全离散 $l^2$ 框架, 并指出材料相关的 $\theta_*$ 可以产生超线性收敛. 本文没有分析 NNWR, 也没有采用 $L^\infty$ 范数, 因此与 [9] 的范数和耦合方式不同. 与 [23] 中空间离散反应扩散方程的 Fourier-in-time 线性估计相比, 本文的模型是异质热方程, 空间离散是两个不同网格上的有限差分, 并且目标是全离散有限时间估计而非仅空间离散的无界区域估计. 从适用范围看, 本文的结论建立在一维、线性、常系数、两个子域、隐式 Euler 时间离散和中心有限差空间离散的设定上. 对于多维问题、变系数问题、其他时间积分格式、非线性耦合或更复杂界面条件, 从提供内容中无法确认是否可推广. 代价方面, 指数加权 Fourier 方法要求常系数和简单几何以便精确求解差分方程; 虽然给出了锐利的频域乘子, 但最终估计中的 $\inf_r\max_\omega$ 通常需要进一步渐近或数值优化来解释. 此外, 作者在引言中明确将本文与 [3,4,17,23] 等工作对比, 但并未在提供的 PDF 截断中展开与所有前人工作的逐项数值比较; 因此哪些前人方法在具体参数下更优, 从现有内容中无法确认. 最后, 本文的主要贡献可以概括为: 在异质热方程全离散 DNWR 中首次给出有限时间 $l^2$ 误差估计, 证明大 CFL 时估计接近时间离散并独立于 $\Delta x$, 小 CFL 时收敛行为依赖 $\Delta x_1/\Delta x_2$, 并用渐近分析把连续、时间离散和全离散收敛因子置于同一框架下. Kolmogorov-Arnold Networks for Free-Boundary Partial Differential Equations 作者: Tan Phuong Dong Le 类别: math.NA, cs.LG 发布日期: 2026-10-01 arXiv ID: 2610.02084v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.02084v1 中文标题: 面向自由边界偏微分方程的 Kolmogorov-Arnold 网络 摘要翻译: 我们在物理信息框架内，利用 Kolmogorov-Arnold 网络（KAN）近似研究自由边界问题。所提方法通过基于残差的损失函数纳入障碍约束、偏微分方程（PDE）不等式、互补条件以及边界条件。我们考虑线性椭圆障碍问题、非线性 $p$-Laplacian 障碍问题以及时间相关单相 Stefan 问题。将所提出的 KAN 求解器与物理信息神经网络（PINN）和残差网络基线进行比较。数值实验表明，KAN 在准确分辨接触区域和移动界面的同时，实现了较低的相对 $L^2$ 和 $L^\infty$ 误差。结果表明，KAN 表示为求解自由边界偏微分方程提供了一种有效的替代方案。 Entropy dissipative high order schemes for a hyperbolic model of two-layer thin film flow 作者: Rahul Barthwal, Philipp Öffner, Chetan Singh, Jan Zawallich 类别: math.NA, math.AP 发布日期: 2026-10-01 arXiv ID: 2610.02059v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.02059v1 中文标题: 两层薄膜流双曲模型的熵耗散高阶格式 摘要翻译: 本文针对描述含完全可溶溶质颗粒的互不相溶流体的两层薄膜流的一阶动力学的一个双曲守恒律系统，构造了高阶、熵耗散格式。关键之处在于构造 Tadmor 意义下的熵守恒通量。这里，我们考虑并比较两种不同的构造过程：精确公式和在通量计算中常用的简化近似。尽管近似方法在构造层面更简单，并且在实际中（也在其他情形中）经常被采用，但其结构性较差，导致在实现时相比精确公式——后者推导起来要复杂得多——计算成本增加。我们在熵耗散有限差分框架和熵耗散间断 Galerkin 谱元方法中均使用了这些通量。通过使用两种不同空间离散的数值实验，我们考察了所提方法的性能和鲁棒性，并表明数值通量的选择对所得求解器的效率有明显影响。 Adaptive Multiresolution Diffusion Operators: A Variational Theory on Evolving Multiresolution Spaces 作者: Christian Tantardini, Stig Rune Jensen, Roberto Di Remigio Eikås, Joakim Henrik Beck 类别: math.NA 发布日期: 2026-10-01 arXiv ID: 2610.01809v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.01809v1 中文标题: 自适应多分辨率扩散算子：演化多分辨率空间上的变分理论 摘要翻译: 我们建立了一个变分框架，用于自适应多分辨率表示上的状态相关扩散，其中扩散算子由自适应状态自身生成。状态由一个容许多分辨率树、其活跃近似空间与基，以及相应的系数表示组成。它确定一个对称非负相互作用形式以及一个相关联的半正定内蕴扩散算子。与经典自适应小波方法中给定算子表示在演化近似空间上不同，这里的细化和粗化同时修改表示、相互作用图与算子。由于自适应层级通过离散拓扑变化演化，耦合动力学通过时间离散变分原理而非固定空间上的微分演化来表述。我们建立了离散更新的存在性、离散能量不等式、系数空间零模，以及冻结自适应状态的收缩性。对于正则化反问题，该构造产生自适应多分辨率扩散成像（AMDI），在状态相关能量中结合数据保真、内蕴扩散、系数稀疏性和树复杂度。数值实验验证了组装算子恒等式，考察了细化-交换子衰减，并确认了离散能量耗散。自适应 Haar 和高阶多小波计算展示了在异质数据上的分辨率局部化。在去噪中，AMDI 以少于完整活跃表示的 10% 保留了高结构重建质量，并且在留出噪声实现上表现稳定。 An unstructured finite-volume Helmholtz method with perfectly matched layers for heterogeneous two-phase acoustics 作者: Chuanchao Xu, Jun Liu, Jan-Helge Dörsam, Mario Kupnik, Tomislav Maric, Dieter Bothe 类别: physics.flu-dyn, math.NA, physics.comp-ph 发布日期: 2026-10-01 arXiv ID: 2610.01593v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.01593v1 中文标题: 一种用于非均质两相声学的带完美匹配层的非结构有限体积 Helmholtz 方法 摘要翻译: 本文提出一种用于时谐两相声学的单元中心非结构有限体积方法。体积分数表示提供密度与声学压缩性。面分数对可用的相邻平面界面切割进行平均，且与速度方向无关，同时保留已确立的单场面密度闭合。笛卡尔复坐标拉伸提供完美匹配层 (PMLs)。实部-虚部分裂得到一个实值块系统，并用修正的非正交通量和一致的边界贡献进行离散。验证涵盖均匀波、带 PML 截断的层状气液透射、采用 Kirchhoff 远场重构的障板活塞辐射，以及已分辨的刚性球辐射力。均匀波压力在正交网格上，以及在具有非正交内部和正交边界单元的网格上，均以近似二阶收敛。重构速度在正交网格上以近似二阶收敛，而在后一类网格族上观测阶约为 1.7。在对齐加密下，分层情形的全域复压力相对 $L_2$ 误差降至 $2.657\times10^{-4}$。在测试的 Rayleigh 尺寸范围内，已分辨球体的受力与 Gorkov 预测相差至多 1.5%。结果量化了非均质 Helmholtz-PML 格式的精度和当前局限。 Finite element exterior calculus for spectra and pseudospectra of advection-diffusion of differential forms 作者: Daniele Boffi, Kaibo Hu, Yizhou Liang, Umberto Zerbinati 类别: math.NA 发布日期: 2026-10-01 arXiv ID: 2610.01501v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.01501v1 中文标题: 微分形式平流扩散的谱与伪谱的有限元外微积分 摘要翻译: 过去几十年中，发电机作用的数值研究在流体力学中一直保持活跃，提出了许多挑战和开放问题。与此同时，结构保持方法和有限元外微积分 (FEEC) 的发展激发了对数值发电机研究的重新审视，以及对计算中已有开放问题的探索。在本文中，我们提出了一种用于发电机问题的 FEEC 方法。特别地，我们研究了用于计算微分形式的平流扩散算子的谱与伪谱的结构保持有限元格式。这些格式及其分析基于有限元 de Rham 复形。 Positivity-preserving scalar auxiliary variable schemes for gradient flows via a quadratic reformulation 作者: Qiong-Ao Huang, Zhi-Hao Liu, Ying-Wei Wang, Li-Na Yan 类别: math.NA 发布日期: 2026-10-01 arXiv ID: 2610.01063v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.01063v1 中文标题: 通过二次重构的梯度流保正标量辅助变量格式 摘要翻译: 标量辅助变量 (SAV) 方法将自由能的非线性部分替换为正标量 $r(t)=\sqrt{\mathcal{E}_{_\mathcal{N}}[φ]+C}>0$，从而为梯度流产生线性、无条件能量稳定的格式。然而，在离散层面，标准后向欧拉和 Crank–Nicolson 离散化不能保证计算得到的 $r^{n+1}$ 保持为正，这种与连续定义的不一致违背了平方根假设，并可能损害长期鲁棒性。尽管 SAV 方法已被广泛应用，这一微妙但影响深远的问题却很少受到关注。我们首先通过推导关于时间步长的尖锐判据和充分条件，定量刻画这种失效，并构造一个显式反例，表明在实际相关参数下会发生符号丢失。我们没有像现有保正变体那样修改 $r$ 的定义，而是保留平方根形式，并将离散演化从 $r_t$ 重写为 $(r^{2})_t$，这会将标量方程转化为一个常数项严格为负的凸二次方程，始终产生唯一正根。对于 Crank–Nicolson 格式，乘积形式离散化 $r^{n+1}r^{n}$ 保持这种二次结构，而传统替代方案则不能。所得格式的计算成本与原 SAV 方法相同，并被证明无条件能量稳定。针对 Cahn–Hilliard 方程的数值实验证实了所预测的正性、能量稳定性和收敛速率。 A relaxation system for the low-Mach limit of kinetic equations: Stability and higher order asymptotic preserving scheme 作者: Giacomo Dimarco, Axel Klar, Theresa Köfler, Lorenzo Pareschi, Sudarshan Tiwari, Yizhou Zhou 类别: math.NA 发布日期: 2026-09-30 arXiv ID: 2610.00811v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.00811v1 中文标题: 动理学方程低马赫数极限的松弛系统：稳定性与高阶渐近保持格式 摘要翻译: 本文引入了一个双曲松弛系统，用于模拟低马赫数极限下的动理学方程。该方法基于对缩放后 BGK 模型的微观-宏观分解，将动理学分布函数重新表述为由宏观平衡部分和微观非平衡余项组成的耦合系统。通过将微观偏差投影到一组正交多项式上，我们推导出一个封闭的矩松弛系统。所得系统是 Grad 13 矩系统的一个版本，具有线性双曲部分以及适应不可压缩极限的松弛项。我们证明了该模型在不可压缩 Navier-Stokes 极限下的结构稳定性。此外，我们建立了一个高阶渐近保持（AP）数值框架，使用时隐显（IMEX）Runge-Kutta 格式以获得时间精度，并使用有限差分 WENO 重构以及中心差分近似以获得高阶空间分辨率。所提出的格式保证了在不同物理区域中的一致稳定性和相容性，当缩放参数趋于零时，自动退化为不可压缩热 Navier-Stokes 极限的一个相容高阶离散。一维和二维数值实验证实了理论发现，表明计算成本显著降低，并在广泛的 Knudsen 数和 Mach 数范围内具有稳健性能。 Approximation and computation of the geodesic Sinkhorn distance 作者: Hugo Lavenant, Jonas Luckhardt, Bernhard Schmitzer 类别: math.NA, math.MG, math.OC 发布日期: 2026-10-01 arXiv ID: 2610.02007v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.02007v1 摘要: In [H. Lavenant, J. Luckhardt, G. Mordant, B. Schmitzer, L. Tamanini, The Riemannian geometry of Sinkhorn divergences. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 43 (2026)] we introduced a Riemannian metric $\mathsf{d}_S$ on the space of probability distributions obtained from entropic optimal transport, specifically from the Sinkhorn divergence $S_\varepsilon$. In the present work we discuss how to approximate and compute $\mathsf{d}_S$. Spatially, we prove Gromov–Hausdorff convergence of the metric and convergence of geodesics for increasingly fine Eulerian discretization of the base space. Temporally, we show $Γ$-convergence of the chain discretization $N \sum_{k=0}^{N-1} S_\varepsilon(μ_k, μ_{k+1})$ to the energy functional defining $\mathsf{d}_S$. We deduce and implement numerical schemes to compute approximations of $\mathsf{d}_S$. Rigorous and effective numerics for Liverani-Saussol-Vaienti maps 作者: Alexey Korepanov, YuTong Wei, Caroline Wormell 类别: math.DS, math.NA 发布日期: 2026-10-01 arXiv ID: 2610.01879v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.01879v1 摘要: We make highly accurate numerical estimates of basic properties of the invariant measure for Liverani-Saussol-Vaienti intermittent maps, an archetypal slowly mixing dynamical system. We solve the challenge of precise and efficient estimation for a map with non-uniform expansion, where the transfer operator does not have a spectral gap. We do this using an Abel function, which solves the neutral dynamics, and which we can compute accurately via an asymptotic expansion.
Our work covers both finite and sigma-finite invariant measure cases. In particular, we obtain the first practical estimates for the parameter far from zero, including the sigma-finite case. This opens the door to much deeper numerical study of intermittent dynamics than was previously possible.
A driving motivation for this work is the upcoming proof of optimal rates of memory loss which works equally for finite and infinite invariant measure cases. No prior results on rates of memory loss for dynamical systems with infinite invariant measure exist, with a single exception of a recent paper by I.Chevyrev and A.K. on null recurrent Markov chains. Toeplitz Infinite GMRES for Parameterized Linear Systems 作者: Weiguo Gao, Feiyang Jiang 类别: math.NA 发布日期: 2026-10-01 arXiv ID: 2610.01740v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.01740v1 摘要: We develop Toeplitz infinite GMRES for solving large sparse analytic parameterized systems $A(s)x(s)=z$ at many parameter values. The method exploits a block upper triangular Toeplitz structure in the companion Krylov sequence to construct the Arnoldi process and recover solution approximations without storing full Arnoldi vectors. We derive incremental recurrences requiring $\mathcal{O}(np^2+p^3)$ arithmetic and $\mathcal{O}(np+p^2)$ storage for $p$ Arnoldi steps, excluding factorization setup and assuming linear-cost coefficient actions and triangular solves. A dynamic generator-refreshing strategy addresses cancellation in the basic recurrence. For matrix functions admitting a fixed separated representation, we further develop an implicitly rebased method based on a compact, contractive nilpotent matrix. Both variants preserve the Arnoldi process in exact arithmetic, with exact matrix-function actions required for the rebased method. A residual lower bound for square-summable Taylor coefficients explains a scaling obstruction outside the normalized unit disk. Theoretical analysis and numerical experiments illustrate the computational efficiency of the proposed methods. Deterministic and stochastic particle methods for the Fokker-Planck equation in S–formulation with application to point set registration 作者: Klaas Willems, Angelo Iollo, Giovanni Russo, Tommaso Taddei 类别: math.NA 发布日期: 2026-10-01 arXiv ID: 2610.01700v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.01700v1 摘要: We present two particle methods for point set registration in bounded domains based on the Fokker-Planck equation. The first method relies on a moving least squares discretization of the S–formulation, in which moving grid points (particles) are advected by the drift with the target distribution, diffusion is resolved on a dynamically evolving particle cloud. This setting naturally leads to strong compression and expansion of the particle cloud. Obstacles are handled by enforcing reflective boundary conditions through a novel ghost point method. The second method is a Monte Carlo solver for the associated Langevin stochastic differential equation. It relies on a local approximation of the logarithmic gradient of the evolving particle density to extract macroscopic osmotic paths from individual stochastic trajectories. Owing to its inherent parallelism, this method exhibits excellent scalability and is well suited for high-dimensional registration problems. We illustrate the main features and performance of both approaches through extensive numerical experiments. Theoretical guarantees for stochastic gradient Langevin dynamics 作者: Daniel Paulin, Peter A. Whalley 类别: math.PR, math.NA, stat.CO 发布日期: 2026-10-01 arXiv ID: 2610.01651v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.01651v1 摘要: We prove asymptotic bias bounds for stochastic gradient Langevin dynamics in Wasserstein distance of order two. We assume that the negative log-density is strongly convex with a Lipschitz gradient, and that the stochastic gradient estimator is unbiased with an error satisfying a mean-square Lipschitz condition. The bounds are of order $h$ under a fourth moment assumption on the stochastic gradient error and of order $h^{1/2}$ under only a second moment assumption, where $h$ is the stepsize. A spiked-noise example shows that a second moment assumption alone is insufficient for a bound of order $h$ that is uniform over noise distributions with a fixed variance. On the Pricing of American Options under Stochastic Local Volatility and Stochastic Correlation via the RBSDE Framework 作者: Long Teng 类别: q-fin.CP, math.NA 发布日期: 2026-10-01 arXiv ID: 2610.01187v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.01187v1 摘要: In this work, we study the pricing of American options under stochastic local volatility (SLV) models extended by including stochastic correlation driven by an additional stochastic process. We generalize the class of SLV models by incorporating a flexible stochastic correlation structure. To price options within these extended models, we derive the corresponding reflected forward-backward stochastic differential equations (RBSDEs) and employ data-driven numerical methods to solve them for both pricing and hedging purposes. The RBSDE framework enables the modelling of the future evolution of the option price. Furthermore, we conduct a convergence analysis of the proposed numerical method and present numerical experiments that illustrate the performance of the extended models, as well as the accuracy and efficiency of the RBSDE-based approach. Sign-Switched Antithetic Coupling for Signed Gradient-Particle Methods 作者: Stephen Abkin, Prabir Daripa 类别: math.NA 发布日期: 2026-10-01 arXiv ID: 2610.01120v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.01120v1 摘要: Gradient random-walk methods represent the spatial derivative of a solution by signed particles and recover the solution by summing their masses. We reduce the sampling error of such simulations for one-dimensional convection-diffusion equations by running them in pairs with particles matched in order of position. Reflected pairing, the standard antithetic choice, gives matched particles opposite displacements. In sign-switched pairing, matched particles of equal sign receive opposite displacements and those of opposite sign the same displacement. Each simulation keeps the probability distribution of the solver, so the pair average has the expectation and bias of one simulation. For a fixed matching, we prove that sign-switched pairing minimizes the variance contribution of each matched pair at the last diffusion step. We also derive an exact formula for the variance it removes relative to reflected pairing. For the heat equation both results extend to every step, and we measure the accumulated variance reduction numerically. In Burgers tests, with sample sizes chosen from pilot runs and checked on fresh runs, sign-switched pairing meets a mean-squared-error target with 4 simulations, compared with 65 for independent sampling and 34 for reflected pairing. Against within-sign pairing, which matches only particles of equal sign, it has about 26% lower variance with 8192 particles. With 2048 particles it meets a second target in about 40% less time. The gain persists for further profiles, later times, other viscosities, and a cubic flux, supporting sign-switched pairing as an inexpensive way to improve repeated field estimates where particles of opposite sign meet. A higher order lattice-based method for high-dimensional numerical integration using periodization 作者: Felix Bartel, Alexander D. Gilbert, Michael Griebel, Frances Y. Kuo, Ian H. Sloan 类别: math.NA 发布日期: 2026-10-01 arXiv ID: 2610.01113v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.01113v1 摘要: We present a novel numerical integration method for non-periodic functions over the high-dimensional unit cube $[0,1]^s$ by a specially crafted (unequally-)weighted quadrature rule using transformed lattice points, with the additional option of subsampling. The method is designed for integrands whose mixed derivatives up to order $α$ are square-integrable with respect to a product Chebyshev density. The ingredients are (i) periodizing the integrand, (ii) approximating the smooth periodic function by a kernel interpolant at lattice points, (iii) integrating exactly the product of the kernel interpolant and the nonsmooth density, together with subsampling alternatives for (ii) and~(iii). With $|J|$ corresponding to the number of function evaluations, we achieve the convergence rate close to the order $|J|^{-(α-1/2)}$ and $|J|^{-α}\,($1.110721$)^s$, where the implied constants are independent of $s$ under favorable conditions. We can interpolate these two results to trade between the convergence rate and the growth in $s$. We provide numerical experiments to demonstrate our theory. A Deferred Correction, Continuous Galerkin Method for Curvilinear Staggered-Grid Lagrangian Hydrodynamics 作者: Steven Walton, Svetlana Tokareva, Nathaniel Morgan 类别: math.NA 发布日期: 2026-10-01 arXiv ID: 2610.00932v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.00932v1 摘要: We present a continuous Galerkin, Deferred Correction (cG-DeC) method for the equations of Lagrangian hydrodynamics. The proposed scheme combines a high-order continuous finite element discretization with an explicit Deferred Correction time integrator, yielding a formulation that avoids the inversion of a global sparse mass matrix at each update. To stabilize the method in the presence of strong shocks we introduce a modification of the hyperviscosity model that is compatible with the cG-DeC framework and likewise does not require a global solve to construct the finite element approximation to the polyharmonic operator. We further present an alternative reformulation of the DeC iteration which admits a simple recursive algorithmic structure and provides insight into previously observed convergence behavior of explicit DeC applied to hyperbolic partial differential equations. Conservation of momentum and total energy of the resulting fully discrete scheme is analyzed. A set of numerical experiments illustrates the accuracy and robustness of the cG-DeC scheme. Comparisons with a continuous Galerkin Runge-Kutta (cG-RK) method are provided. Uncertainty Quantification for Landweber Iteration with Randomized Normal-Operator Approximation 作者: Anuj Abhishek, Sean Holman 类别: math.NA, math.ST 发布日期: 2026-10-01 arXiv ID: 2610.00882v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.00882v1 摘要: Iterative methods are extremely popular for solving linear ill-posed inverse problems. While deterministic convergence, or more precisely, semi-convergence of such methods is widely studied, the problem of quantifying uncertainty in the resulting reconstructions due to random noise in the observed data has received far less attention. In this work, we study uncertainty quantification for the Landweber iteration in linear inverse problems using the Radon transform as a motivating example. We interpret the Landweber reconstruction statistically by analyzing how uncertainty in the measured data is propagated through the reconstruction map. This perspective is closely related to generalized fiducial inference, where uncertainty about the parameter is induced by inverting the relation between the observed data and the unknown (fixed) quantity. We combine the resulting stochastic uncertainty with a theoretical bound on the regularization bias to construct confidence intervals for the reconstructed solution. The evaluation of the resulting uncertainty estimates require repeated operations with the forward operator that can become expensive in large-scale problems. To reduce this cost, we use randomized singular value decomposition to obtain a low-rank approximation of the normal operator associated with the Radon transform and incorporate this approximation in quantifying uncertainty. {In particular, this requires that the additional randomization error introduced due to the use of such randomized techniques be included in our approach for uncertainty quantification.} Numerical results show that the proposed method provides accurate reconstructions and reliable uncertainty estimates at substantially reduced computational cost. Matrix-Free Moment-Matching Method for Reduced-Order Modeling of Quadratic-Bilinear Descriptor Systems with Multiple Inputs 作者: Zeyuan Gao, Cheol W. Lee, Oleg Zikanov 类别: math.NA 发布日期: 2026-09-30 arXiv ID: 2610.00830v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.00830v1 摘要: This paper develops a new moment-matching order reduction method for multi-input quadratic-bilinear descriptor systems. The proposed approach accommodates multiple inputs acting on both the differential and algebraic equations and constructs separate projection spaces associated with different input channels and input combinations. The method uses a matrix-free algorithm, allowing the reduced-order matrices and tensors to be computed without explicitly assembling or storing the full-order system matrices and tensors. This feature makes the proposed method particularly suitable for large-scale computational fluid dynamics problems. Numerical experiments carried out for two-dimensional flow problems demonstrate that the resulting reduced-order models accurately reproduce the transient responses of the full-order models under multiple time-varying inputs. Multifidelity Formulations for Triangular Transport 作者: Owen Davis, Daniel Sharp, Youssef Marzouk, Gianluca Geraci 类别: stat.CO, math.NA, stat.ML 发布日期: 2026-09-30 arXiv ID: 2610.00698v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.00698v1 摘要: We develop multifidelity methods for constructing triangular transport maps from samples, when high-fidelity data are scarce but lower-fidelity data are more abundant. Using this set of multifidelity data, we approximate a triangular transport map that bijectively maps between a tractable reference density and the high-fidelity target distribution. We introduce two strategies to leverage low-fidelity data: a hierarchical approach that composes maps between adjacent fidelity levels, and a non-hierarchical method that incorporates low-fidelity information through monotonicity-preserving corrections to the map parameterization. Numerical experiments compare these strategies with single-fidelity transport and demonstrate how the proposed multifidelity approaches can improve map estimation from limited high-fidelity data. To illustrate the broader utility of the learned maps, we also deploy them in a downstream amortized simulation-based inference task. This example shows that multifidelity improvements in map estimation can translate to improved conditional sampling and uncertainty quantification when high-fidelity data are scarce.2. 主要定理或主要结果
3. 研究方法、关键技术和核心工具
4. 与之前工作的比较
2. 异质热方程的 Dirichlet–Neumann 波形松弛：全离散 $l^2$ 分析
1. 研究对象和背景
2. 主要定理或主要结果
3. 研究方法、关键技术和核心工具
4. 与之前工作的比较
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