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1. 面向高频 Helmholtz 方程的物理驱动多尺度方法
A Physics-Driven Multiscale Method for High-Frequency Helmholtz Equations
作者: Huangxin Chen, Jianhui Chen, Shubin Fu, Zhiyu Tan
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-02
arXiv ID: 2610.03144v1
摘要翻译: 我们开发并分析了一种物理驱动的多尺度方法，用于高频 Helmholtz 方程的模型降阶。该方法在采用速度消元的混合有限元格式中，由局部波响应构造降阶近似空间。这些响应通过在过采样区域上求解带有边界激励的 Helmholtz 问题来计算，从而给出包含底层介质的振荡行为和传播特性的快照。随后，局部广义特征值问题从这一物理信息空间中选取模态，以形成具有稀疏单元间耦合的降阶全局系统。为建立这种降阶的稳定性和收敛性，我们将局部谱逼近与全局伴随问题的逼近联系起来。从细网格格式的 inf–sup 估计出发，这一论证得到一个由细网格分辨率、过采样和最先被舍弃的局部特征值控制的多尺度 inf–sup 条件。所得稳定性在离散能量范数下建立了多尺度逼近的适定性和拟最优性。结合局部谱估计，它给出一个先验误差界，明确量化了粗网格和细网格尺寸、过采样深度、谱截断和波数的作用。该分析为局部空间降阶与全局逼近的稳定性和精度之间提供了定量联系。二维和三维数值实验表明，对于均匀和强非均匀介质，包括完美匹配层截断，该方法在显著降低全局维数和求解成本的同时实现了准确的波场逼近。
Comment: 无
链接: http://arxiv.org/abs/2610.03144v1
1. 研究对象和背景
本文研究高频 Helmholtz 方程的时间谐波波传播与散射模型。设 $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ 为有界凸多边形区域，边界 Lipschitz 连续，波数 $k>0$，源项 $f$，边界阻抗数据 $g$，方程为
$$-\Delta u-k^2u=f\quad\text{in }\Omega,\qquad \partial_n u-iku=g\quad\text{on }\partial\Omega.$$这里 $u$ 是复值波场，$i=\sqrt{-1}$，$n$ 是外法向。该模型在声学、地震成像和光学器件中重要。当高频与材料异质性同时出现时，网格必须同时分辨波长和介质细尺度，低阶有限元还有污染效应，需要比波长分辨率更细的离散；所得线性系统大、不定且难解。成像与反演中，固定介质和频率下要为多个源计算波场，因此构造可复用的缩减空间特别有吸引力。 引入通量 $q=-\nabla u$，二阶问题等价于混合形式
$$q+\nabla u=0,\quad \nabla\cdot q-k^2u=f,\quad -q\cdot n-iku=g.$$其弱形式在 $V=H(\mathrm{div},\Omega;\mathbb{C})$ 与 $W=L^2(\Omega;\mathbb{C})$ 中寻求 $(q,u)$。离散采用最低阶 Raviart–Thomas 元 $RT_0$ 与分片常数 $P_0$。关键是对通量质量项使用梯形求积
$$(w,v)_{Q,t}=\frac12\sum_{e\in\partial t}w_e v_e,$$使内部边通量系数满足 $q_e=\llbracket u_h\rrbracket_e$，边界边满足 $q_e=\alpha\llbracket u_h\rrbracket_e-\beta g_e^{\mathrm{av}}$，其中
$$\alpha=\frac{2kh}{kh+2i},\qquad \beta=\frac{2hi}{kh+2i}.$$于是通量可局部消去，得到仅含标量波场的离散问题
$$a_h(u_h,p_h)=(f,p_h)_\Omega+\frac{2i}{kh+2i}\langle g,p_h\rangle_{\partial\Omega},$$其中 $a_h$ 包含内部边和边界边跳跃项以及负的 $k^2$ 质量项，因而具有不定性。 已有 Helmholtz 离散方法包括广义有限元和单位分解有限元、内罚间断 Galerkin 与连续内罚方法、可杂交间断 Galerkin、Trefftz 与平面波间断 Galerkin。对于一般异质介质，预设平面波不够，需要由局部系数驱动的多尺度空间。已有异质 Helmholtz 多尺度方法包括子网格 Green 函数、多尺度渐近、异质多尺度法和广义多尺度有限元法；后者通过局部快照与局部广义特征值问题构造减少全局未知量。算子自适应多尺度方法如局部正交分解、多分辨与超局部变体、谱广义有限元以及近似分量模态综合也提供了稳定耦合或局部最优空间。混合多尺度方法已用于异质椭圆问题，速度消除与求积消去通量也已用于流动问题。然而，在快照–谱型 Helmholtz 缩减中，局部特征值问题控制被丢弃的局部模态，而缩减 Helmholtz 问题通过不定 sesquilinear 形式耦合保留模态；将局部谱截断与装配空间的 inf–sup 条件定量联系起来仍是一个空白，过采样又使局部谱逼近先在扩大区域构造再限制到目标粗单元。本文正是要补这块空白：构造并分析速度消除混合广义多尺度有限元法，用边界驱动的局部 Helmholtz 响应生成快照，用局部广义特征值问题选模态，并证明稳定性和先验误差估计，显式量化粗网格 $H$、细网格 $h$、过采样深度 $m$、谱截断和波数 $k$ 的作用。
2. 主要定理或主要结果
主要结果可分如下层次。首先，第 2 节建立速度消除混合有限元格式。对 $RT_0$–$P_0$ 离散使用梯形求积 (2.5) 后，内部边通量系数为 $q_e=\llbracket u_h\rrbracket_e$，边界边通量系数为 $q_e=\alpha\llbracket u_h\rrbracket_e-\beta g_e^{\mathrm{av}}$，其中 $\alpha=2kh/(kh+2i)$，$\beta=2hi/(kh+2i)$。通量因此可以局部消去并局部恢复，标量波场满足 (2.10)。文中 Remark 2.1 指出求积诱导的范数 $\|\cdot\|_{Q,\Omega}$ 与 $L^2$ 范数在 $V_h$ 上等价。 其次，第 3 节构造多尺度空间。对每个粗单元 $T_i$ 及其 $m$ 层过采样区域 $T_i^m$，在每条细边界边 $e_i^j$ 上施加 Dirichlet 值 1，其余边界施加阻抗条件，求解局部混合 Helmholtz 问题 (3.1)。Lemma 3.1 证明：对任意边常量 $\zeta$，相应的离散局部问题有唯一解。由所有边界激发得到快照空间 $W_{i,m}^{\mathrm{snap}}$，将其限制到 $T_i$ 并在 $\Omega\setminus T_i$ 上零延拓，得到 $W_i^{\mathrm{snap}}$ 和全局快照空间 $W^{\mathrm{snap}}$。Remark 3.2 给出多项式边界迹变体 $W_{i,m}^{\mathrm{snap},p}$，一次激发整个边或面，多个右端共享同一局部矩阵，从而显著减少三维中的局部因子分解次数。Remark 3.3 说明对全局 PML 截断问题，可先在过采样区域外加辅助局部 PML 层求解，再丢弃辅助层并限制到目标粗单元。 第三，局部谱缩减由广义特征值问题
$$a_i(u,v)=\lambda s_i(u,v),\qquad \forall v\in W_{i,m}^{\mathrm{snap}},$$给出。这里 $a_i$ 包含过采样区域内细边跳跃项、非全局边界上的阻抗项以及全局边界上的 $|\alpha|$ 加权项；$s_i$ 包含因子 $(m+1)/H^2$、边界阻抗项和 $k^2$ 质量项。特征值按非降序排列 $\lambda_1^{(i)}\le\cdots\le\lambda_{r_i}^{(i)}$，特征函数选为 $s_i$-正交归一。保留前 $l_i$ 个模态得到 $W_i^{\mathrm{ms}}$ 和全局 $W^{\mathrm{ms}}$。若 $l_i=r_i$，局部谱尾消失，约定 $\lambda_{r_i+1}^{(i)}=+\infty$。 第四，源项通过局部特解校正处理。对每个粗单元，在 $T_i^m$ 上解局部源问题 (3.4)，取其限制到 $T_i$ 的部分组装成全局源校正 $u_f$。多尺度未知量 $u_{\mathrm{ms}}\in W^{\mathrm{ms}}$ 由
$$a_h(u_{\mathrm{ms}},p_h)=(f,p_h)_\Omega-a_h(u_f,p_h)+\frac{2i}{kh+2i}\langle g,p_h\rangle_{\partial\Omega},\qquad \forall p_h\in W^{\mathrm{ms}},$$确定。总近似为 $u_f+u_{\mathrm{ms}}$。该构造不将源信息放入缩减空间，因此离线构造的快照、模态和缩减算子可跨源复用。 在稳定性方面，Lemma 4.1 给出连续 Helmholtz 问题的波数显式估计：当 $k\ge k_0>0$，$f\in L^2$，$g=0$ 时，解满足 $u\in H^2$ 且
$$k\|u\|_{0,\Omega}+\|u\|_{1,\Omega}+k^{1/2}\|u\|_{0,\partial\Omega}+k^{-1}\|q\|_{1,\Omega}\le C_{\mathrm{stab}}\|f\|_{0,\Omega},$$其中 $C_{\mathrm{stab}}$ 依赖 $\Omega$ 和 $k_0$ 但不依赖 $k$。文中还引入 $k$ 加权能量范数 $\|u\|_{E,k}^2=\|\nabla u\|_{0,\Omega}^2+k\|u\|_{0,\partial\Omega}^2+k^2\|u\|_{0,\Omega}^2$ 和离散范数 $\|u_h\|_D^2=\sum_{e\in E_h^0}|\llbracket u_h\rrbracket_e|^2+|\alpha|\sum_{e\in E_h^B}|\llbracket u_h\rrbracket_e|^2+k^2\|u_h\|_{0,\Omega}^2$，并引入辅助形式 $b_h(v,w)=a_h(v,w)+2k^2(v,w)_\Omega$。Lemma 4.2 给出多尺度格式的一致性：$a_h(u_h-(u_f+u_{\mathrm{ms}}),v_{\mathrm{ms}})=0$ 对所有 $v_{\mathrm{ms}}\in W^{\mathrm{ms}}$ 成立。 摘要进一步声称：从细网格格式的 inf–sup 估计出发，通过将局部谱逼近与全局伴随问题逼近相联系，可得到由细网格分辨率、过采样深度和第一个被忽略局部特征值控制的多尺度 inf–sup 条件；由此建立多尺度近似的良定性与离散能量范数下的准最优性；结合局部谱估计得到先验误差界，显式量化 $H,h,m$、谱截断和 $k$ 的作用。然而，从提供的 PDF 截断内容中，只能确认到 Lemma 4.2 的一致性部分；准最优性和先验误差的具体公式、定理编号、常数以及网格分辨率条件并未出现，因此无法在此确认。数值实验方面，摘要和引言称在二维和三维中，对均匀介质、Marmousi 和 Overthrust 强异质介质以及全局 PML 截断，得到准确波场近似并大幅降低全局维数和求解成本；多项式边界迹降低三维快照构造成本。具体误差表和成本数据未在提供内容中给出，无法确认。
3. 研究方法、关键技术和核心工具
本文的核心技术障碍不是单个有限元离散的构造，而是如何把局部快照–谱缩减与不定 Helmholtz 全局问题的稳定性定量连接起来，并在过采样、混合速度消除和源校正同时存在时仍得到可计算的 inf–sup 条件。作者的处理可分为以下几个相互衔接的技术点。 第一，速度消除混合离散是整个缩减的代数基础。对 $RT_0$–$P_0$ 混合元，通量自由度位于边上；若直接使用 $L^2$ 通量质量矩阵，通量不能逐边解耦。作者采用梯形求积 (2.5)，使通量质量项在每个边上只贡献 $q_e v_e/2$。于是内部边满足 $q_e=\llbracket u_h\rrbracket_e$，边界边满足 $q_e=\alpha\llbracket u_h\rrbracket_e-\beta g_e^{\mathrm{av}}$。这一步把混合鞍点问题化为仅含标量 $u_h$ 的 sesquilinear 形式 $a_h$。其关键作用是：局部多尺度基函数可以在过采样区域计算后直接限制到目标粗单元，不需要像 conforming GMsFEM 那样用单位分解扩大支撑；缩减系统只耦合相邻粗单元，显著降低全局维数和矩阵连通性。同时，通量可在标量解求得后局部恢复。 第二，物理驱动快照空间的设计。作者不预设平面波或解析函数，而是在过采样区域 $T_i^m$ 上求解由边界数据驱动的局部 Helmholtz 混合问题 (3.1)：在细边界边 $e_i^j$ 上给定 Dirichlet 值 1，在其余边界上施加阻抗条件 $\partial_n\psi-ik\psi=0$。这样得到的快照 $\psi_i^j$ 是局部介质中真实的波动响应，包含振荡、传播和异质相互作用。Lemma 3.1 的唯一性保证快照定义合理。过采样在这里承担双重角色：一方面让边界激发产生的波进入目标粗单元前经过更广邻域，另一方面削弱人工边界条件对限制到 $T_i$ 的函数的影响。多项式边界迹变体把逐条细边激发改为整个边或面上的张量积多项式迹激发，多个右端共享同一局部矩阵，尤其降低三维中大量局部分解的成本。PML 截断的处理则用辅助局部 PML 层提供吸收闭合，再把快照限制回目标粗单元，使全局 PML 保持参与细网格和缩减算子。 第三，局部谱问题的设计。缩减不是简单取快照的主成分，而是解广义特征值问题 $a_i(u,v)=\lambda s_i(u,v)$。这里 $a_i$ 是局部速度消除形式在过采样区域上的版本，包含内部边跳跃、非全局边界上的阻抗项和全局边界上的 $|\alpha|$ 加权项；$s_i$ 包含 $(m+1)/H^2$ 因子、边界项和 $k^2$ 质量项。这个配对的目的在于让第一个被省略的特征值 $\lambda_{l_i+1}^{(i)}$ 能够同时控制局部谱截断误差和全局 inf–sup 稳定性。特征函数选为 $s_i$-正交归一，保留前 $l_i$ 个模态。与一般 GMsFEM 只在逼近误差中使用特征值不同，本文分析让局部谱进入稳定因子，这是技术上的关键区别。 第四，从细网格 inf–sup 到多尺度 inf–sup 的伴随逼近框架。Helmholtz 算子不定，因此不能靠局部 coercivity 直接推出全局稳定。作者先建立速度消除细网格格式的 inf–sup 估计，其输入包括连续 Helmholtz 的波数显式稳定性与正则性 Lemma 4.1，以及离散一致性估计。然后，为了把稳定性转移到多尺度空间，作者考察全局伴随问题，并在每个过采样区域上把细网格伴随解分解为两部分：一个源驱动分量，和一个由局部快照空间表示的局部齐次分量。对前者进行直接估计，对后者使用局部广义特征值问题给出的谱逼近。这个分解使伴随逼近误差可以逐区域控制，并最终给出多尺度 inf–sup 条件，其中显式出现细网格分辨率、过采样深度和第一个被忽略局部特征值。换言之，局部谱截断不是事后误差项，而是稳定性的组成部分。 第五，源校正、Galerkin 正交与准最优性。由于缩减空间不包含源信息，作者引入局部源问题 (3.4) 得到 $u_f$，并在多尺度方程 (3.5) 中同时作用到右端和重构。Lemma 4.2 的一致性表明 $u_h-(u_f+u_{\mathrm{ms}})$ 与多尺度空间 Galerkin 正交。结合多尺度 inf–sup 条件，可用 Galerkin 正交性得到总近似在离散能量范数下的准最优性：误差由修正多尺度空间中的最佳逼近乘以稳定因子控制。再把细网格解分解为源驱动和局部齐次部分，最佳逼近估计化为过采样区域上的局部谱截断。最后与局部谱估计结合，得到显式含 $H,h,m$、被忽略特征值和 $k$ 的先验误差界。提供文本尚未展示这些定理的完整证明和具体公式，但该框架的独特点已经明确：它把物理边界驱动快照、局部广义特征值选择和全局不定问题的 inf–sup 稳定性放在同一条分析链上。 在实现层面，作者还使用了跳跃算子、边通量系数 $\alpha,\beta$、局部 $s_i$-正交归一特征基、递归过采样区域、张量积多项式迹以及 PML 拉伸等技术。离线阶段可并行构造快照和局部谱问题，在线阶段对新源只需局部特解和同一缩减算子求解，这使方法适合固定介质和频率下的多源波模拟。
4. 与之前工作的比较
与已有工作相比，本文的推进可以从构造、变分框架、稳定性分析、源处理和适用范围几个维度来看。 首先，在离散与缩减空间构造上，广义有限元和单位分解有限元通过问题自适应富集函数增强逼近，内罚间断 Galerkin 和连续内罚方法通过修改耦合改善稳定性与污染，可杂交间断 Galerkin 具有波数显式分析，Trefftz 和平面波间断 Galerkin 把局部波方程直接放入基函数。但平面波型方法对一般异质介质需要预先知道波传播方向；本文改为在过采样区域解边界驱动的局部 Helmholtz 问题，快照自动包含介质相关的振荡和传播。与子网格 Green 函数、多尺度渐近和异质多尺度法相比，本文不要求显式尺度分离或有效均质化描述，而是直接在细网格上采样局部响应。与广义多尺度有限元法的快照–谱思想一致，但本文采用混合速度消除形式，而非通常的 conforming 多尺度空间。特别地，许多 conforming GMsFEM 用单位分解把局部函数粘合到全局，导致支撑重叠并增加全局耦合；本文的局部函数在过采样区域计算，但限制到目标粗单元后支撑不重叠，缩减矩阵只耦合相邻粗单元。这直接减少了全局维数和因子分解成本，是相对 [24,25] 一类构造的显著结构差异。代价是每个粗单元需要求解多个过采样局部问题，三维中边界细边数量大；作者用多项式边界迹共享局部矩阵来缓解。 其次，在稳定性分析上，局部正交分解及其多分辨、超局部变体通过局部化细尺度修正给出稳定准最优误差估计；谱广义有限元构造局部最优空间并给出波数显式收敛估计；异质 Helmholtz 的指数收敛局部逼近也已被研究；近似分量模态综合分离局部 Helmholtz 问题和全局界面问题，用局部特征模态缩减界面问题。本文与这些工作的共同点是都把局部谱信息用于降维，但分析目标不同：本文要建立快照–谱型混合 GMsFEM 的全局 inf–sup 条件，并让局部第一个被忽略特征值进入该条件。与 LOD 类方法主要控制局部化误差不同，本文的过采样区域和局部广义特征值问题直接决定缩减格式的稳定性阈值。与谱 GFEM 的局部最优空间相比，本文的快照来自物理边界激发而非纯数值最优构造，分析中还需要处理 Dirichlet–阻抗边界和速度消除带来的跳跃形式。文中没有在提供内容中给出与 LOD 或谱 GFEM 的误差常数逐项比较，因此这些差异的定量优劣无法确认。 第三，在混合多尺度传统中，混合多尺度方法已用于异质椭圆问题，可杂交混合形式也已用于异质 Helmholtz 的分析，带求积消去通量的方法用于混合有限元，速度消除 GMsFEM 用于单相流。本文将速度消除的混合 GMsFEM 从流动问题推广到高频 Helmholtz 模型缩减。与 [11,33] 的流动背景不同，Helmholtz 算子不定、高频且具有污染效应，因此不能沿用正定椭圆问题的 coercivity 分析，必须转向 inf–sup 和伴随逼近。与 [9] 的 hybrid-mixed Helmholtz 分析相比，本文的重点不是混合离散本身的波数显式误差，而是局部快照–谱缩减与全局稳定性的联系。与 [54] 的求积消去通量技术相比，本文进一步把消去后的标量形式用于多尺度缩减，并分析局部谱截断的影响。 第四，在源处理和多源复用方面，本文的离线–在线结构很突出：固定介质和频率时，快照、局部模态和缩减算子构造一次；每个新源只需要局部特解和同一缩减系统求解。这适合成像和反演中的多源波场计算。近似分量模态综合也分离局部与全局问题，但本文的全局耦合是标量速度消除形式，局部支撑不重叠，且源校正明确进入右端和重构。作者未在提供内容中与其他多源复用方法的在线成本做定量比较，因此只能从结构上判断。 第五，在适用范围与代价方面，数值实验覆盖二维和三维、均匀介质、Marmousi 和 Overthrust 强异质介质以及全局 PML 截断，显示全局维数和求解成本显著降低。分析中假设 $k\ge k_0$、区域为凸多边形、网格为形状规则正方形或矩形、细网格离散为 $RT_0$–$P_0$，连续稳定性引理还取 $g=0$。这说明理论目前主要覆盖常波数、规则网格和特定混合元；对更一般网格、变波数、非凸区域或更一般边界数据，提供内容无法确认。过采样深度 $m$ 和局部谱维度 $l_i$ 的选择由理论显式依赖第一个被忽略特征值，但具体阈值、$H/h$ 与 $k$ 的分辨率条件以及误差阶常数没有在截断文本中给出。作者也未显式展开与 HDG、IPDG、LOD 等方法在计算代价和误差常数上的逐项比较。总体而言，本文的主要推进是：把物理边界驱动的快照–谱缩减放到速度消除混合 Helmholtz 框架中，并首次在这一类构造中把局部谱截断与全局 inf–sup 稳定性定量挂钩，从而为选择局部模态数和过采样区域提供可分析的依据；其代价是需要局部过采样求解，尤其三维成本较高，且当前理论范围受规则网格和特定混合元限制。
了解领域论文（摘要翻译）
1. 贝叶斯算子学习：高斯先验下后验的存在性与点估计的收敛性
Bayesian Operator Learning: Posterior Existence and Convergence of Point Estimates for Gaussian Priors
作者: Niklas Reinhardt, Jakob Zech
类别: math.ST, math.NA
发布日期: 2026-10-02
arXiv ID: 2610.03666v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.03666v1
摘要翻译
中文标题: 贝叶斯算子学习：高斯先验下后验的存在性与点估计的收敛性
摘要翻译: 我们建立了一个用于学习无穷维空间之间非线性算子的贝叶斯框架。给定可分离 Hilbert 空间之间的映射 $g_0:\mathcal{X}\to\mathcal{Y}$，我们研究从 $n\in\mathbb{N}$ 个带噪输入-输出对 $(\boldsymbol{X},\boldsymbol{Z})=(X_i,Z_i)_{i=1}^n$ 中恢复 $g_0$ 的问题，其中 $Z_i= g_0 (X_i ) + E_i$。这里 $X_i\in\mathcal{X}$ 是随机抽取的“设计”点，位于 $\mathcal X$ 的一个紧子集中，并假设 $E_i$ 是来自以 $\mathcal{Y}$ 为指标的高斯白噪声过程的 i.i.d. 样本。对任意支集在连续算子空间上的“算子值”先验 $\mathbb{P}_G$，我们证明后验 $\mathbb P_{G|(\boldsymbol{X},\boldsymbol{Z})}$ 作为正则条件分布存在，并给出其 Radon-Nikodym 导数的刻画。对于高斯先验，我们建立后验均值向真值收敛的代数速率（关于样本量 $n$）；这对应于一个岭正则化核估计量。此外，我们证明当先验的光滑性与真值的光滑性匹配时，后验均值在超矩形上是最小最大最优的（至多相差对数因子）。为说明我们分析的适用性，我们推导了 Darcy 流解算子的显式学习速率。
2. 物理信息神经网络对热-波流固耦合系统的误差估计
Error Estimates in Physics-Informed Neural Networks to Heat-Wave Fluid-Structure Interactive System
作者: Pelin G. Geredeli, Mohammad Mahabubur Rahman, Deepanshu Verma
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-02
arXiv ID: 2610.03575v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.03575v1
摘要翻译
中文标题: 物理信息神经网络对热-波流固耦合系统的误差估计
摘要翻译: 我们研究一类耦合偏微分方程系统的物理信息神经网络（PINN）逼近，该系统建模流体与弹性动力学之间的相互作用。这里考虑的标准热-波模型通过固定边界界面上的传输条件耦合一个抛物型方程和一个双曲型方程，并作为实际应用中出现的 Stokes-弹性系统的原型。这种耦合使得误差分析比单个偏微分方程的误差分析更为精细。我们用相关的 PINN 残差界定精确解与 PINN 解之间的误差，并且进一步证明泛化误差由训练误差、求积点数量和网络规模控制。{据我们所知}，这些是首个针对耦合流固相互作用 PDE 系统的 PINN 逼近的误差估计。我们还针对一个给定测试问题展示了数值实验。
3. 用轻量级神经算子学习 Willmore 流
Learning the Willmore flow with a lightweight neural operator
作者: Elie Bretin, Roland Denis, Tokuhiro Eto, Simon Masnou
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-02
arXiv ID: 2610.03534v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.03534v1
摘要翻译
中文标题: 用轻量级神经算子学习 Willmore 流
摘要翻译: 我们将 Bretin、Denis、Masnou 和 Terii (2022) 针对二维和三维平均曲率运动提出的相场神经算子方法推广到 Willmore 流。由此得到的轻量级、单时间步架构受 Allen-Cahn 半群的 Bence-Merriman-Osher 型展开启发，并使用由混合极小化运动格式生成的轨迹进行训练。在关于非定向界面的实验中，无约束卷积核产生各向异性动力学，而径向核能增强演化过程。我们还通过训练好的二维核的径向 Fourier 剖面构造三维核，这为非定向三维模型提供了有效的初始化。最后，我们展示了从非定向点云进行曲线和曲面重建的应用，包括使用迁移模型进行重建而无需额外的三维训练。
4. 粘弹性与反应-扩散模型耦合的全混合有限元方法
Fully mixed finite element methods for the coupling of viscoelasticity and reaction-diffusion models
作者: Alonso J. Bustos, Jeonghun J. Lee, Ricardo Ruiz-Baier
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-02
arXiv ID: 2610.03317v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.03317v1
摘要翻译
中文标题: 粘弹性与反应-扩散模型耦合的全混合有限元方法
摘要翻译: 我们提出并分析一种全混合有限元方法，用于粘弹性组织中钙信号的双向耦合力学化学模型。力学响应遵循 Kelvin–Voigt 定律，以弹性应力和粘性应力、速度以及自旋张量作为未知量，并弱施加总应力的对称性。钙和失活三磷酸肌醇的反应-扩散系统也以混合形式表述，引入扩散通量作为附加未知量。耦合是双向的：钙产生主动应力，而局部膨胀反馈到钙动力学中。我们通过将耦合系统约化为一个积分-微分问题，并随后恢复混合变量，来建立全局存在性和唯一性。半离散格式针对一般协调有限元空间进行构造，并证明在单一 inf-sup 条件下是适定的。一个与散度可交换并保持弱对称配对的插值算子可给出最优先验误差估计。我们将分析具体化到三类弱对称有限元，推导出显式收敛率，并针对其中一类给出位移的超收敛局部后处理。二维和三维数值实验证实了预测的收敛率，并通过粘弹性基准问题和机械驱动的钙波列说明了该方法。
5. 虚拟区域方法中连续与不连续 Lagrange 乘子的选择
On the Choice of Continuous and Discontinuous Lagrange Multipliers in Fictitious-Domain Methods
作者: Najwa Alshehri, Shumoua F. Alrzqi
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-02
arXiv ID: 2610.03267v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.03267v1
摘要翻译
中文标题: 虚拟区域方法中连续与不连续 Lagrange 乘子的选择
摘要翻译: 本文考察采用分布式 Lagrange 乘子的虚拟区域方法（FD-DLM），该方法处理椭圆界面问题时使用分离网格，而不要求界面与背景网格匹配。文中比较了在使用连续和不连续乘子空间时的两种稳定的低阶 FD-DLM 离散化。研究区分了逐单元满足弱耦合约束与两个离散原始场之间差异大小这两件事。数值实验表明，连续格式通常产生更小的局部误差和最大不匹配值，而不连续格式在网格加密时不匹配量下降得更规则，并且原始误差更小。
6. 从连续 Carleman 估计到全离散 Carleman 估计：抛物型格式的转移原理
From Continuous to Fully Discrete Carleman Estimates: A Transfer Principle for Parabolic Schemes
作者: Qi Lü, Yu Wang
类别: math.NA, math.OC
发布日期: 2026-10-02
arXiv ID: 2610.02983v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.02983v1
摘要翻译
中文标题: 从连续 Carleman 估计到全离散 Carleman 估计：抛物型格式的转移原理
摘要翻译: 离散抛物型 Carleman 估计的直接方法通常依赖于针对离散算子定制的加权恒等式。我们证明了一个抽象转移定理：在连续 Carleman 不等式以及适当的加权逼近与相容性性质的条件下，该定理为具有协调空间重构的全离散后向 Euler 格式导出此类估计。对于一类与时间无关的正自伴算子，关键构造为每个离散状态指定一个平移后的连续辅助问题，其离散解恰好是给定的状态。加权时空误差估计在整个离散载荷空间上一致，随后转移该不等式，同时保持原格式的残差项和观测项。这将偏微分方程特有的 Carleman 分析与每种离散化所需的数值验证分离开来。我们验证了这些假设：对于热方程，在二维和三维中采用局部分级网格上的一致质量 $P_1$ 有限元离散，以及在任意固定维数中采用标准笛卡尔有限差分离散。对于热方程，所转移的估计对 Carleman 参数有效，直至尺度 $\min\{h^{-4/5},(δt)^{-2/5}\}$。对于有界实值时空位势，所得估计给出松弛的可观测性和近似零控制，其代价一致有界，并且在空间与时间独立加密下终端误差指数小；重构控制的弱聚点是连续零控制。
7. 用于椭圆与移动界面问题的高效且精确的提升-解耦广义可迁移神经网络
Efficient and Accurate Lift-and-Decoupling Generalized Transferable Neural Networks for Elliptic and Moving Interface Problems
作者: Tao Cheng, Junqing Jia, Lili Ju, Xiaoping Zhang
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-02
arXiv ID: 2610.02891v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.02891v1
摘要翻译
中文标题: 用于椭圆与移动界面问题的高效且精确的提升-解耦广义可迁移神经网络
摘要翻译: 本文提出一种高效且精确的方法，称为“提升-解耦广义可迁移神经网络”（LD-GTransNet），用于数值求解椭圆界面问题和移动界面问题。我们的方法利用多层 GTransNet 方法，并结合一种新颖的提升-解耦策略，其中隐层神经元参数被预设，物理坐标和所添加的辅助变量由独立子网络分别处理。这样的设计能够统一全局逼近分段光滑解，而无需显式区域分解，同时保持网络表达能力，并避免传统提升方法固有的冗余。所得公式可化为线性最小二乘问题，从而无需非线性训练，并确保高计算效率和高精度。针对二维和三维基准界面问题的大量数值实验表明，与现有的基于神经网络的数值方法和传统数值方法相比，我们提出的 LD-GTransNet 始终具有更优的性能，特别是对于具有高对比度系数和复杂界面几何的问题。
8. 基于预计算数值格林函数的快速纳米光子逆设计
Fast Nanophotonic Inverse Design using Precomputed Numerical Green Functions
作者: Thi Phuong Thao Nguyen, James Wang, Constantine Sideris
类别: physics.optics, math.NA, physics.comp-ph
发布日期: 2026-10-02
arXiv ID: 2610.02821v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.02821v1
摘要翻译
中文标题: 基于预计算数值格林函数的快速纳米光子逆设计
摘要翻译: 逆设计在纳米光子学中具有变革性，为 realization 高性能、非直观器件提供了一种自动化手段。然而，现有逆设计方法的主要瓶颈在于其依赖耗时且计算代价高昂的全波电磁仿真。在本工作中，我们首次将预计算数值格林函数（PNGF）方法推广到纳米光子逆设计，与全波解相比，在精度无损失的情况下将正问题的评估加速多个数量级。经过单个、完全可并行化的预计算步骤后，目标函数及其梯度均可通过简单计算进行评估，其代价随设计区域的尺寸线性缩放。低秩矩阵更新技术进一步降低了目标函数评估的代价，使每次迭代的计算时间达到亚毫秒级。使用基于梯度的水平集优化和瓦片翻转直接二进制搜索的设计示例，通常在设计时间上实现超过三个数量级的加速，从而形成超快光子逆设计平台，可在数秒内从零开始设计新器件。
9. 不可压缩流动的保性质数据压缩
Property-Preserving Data Compression for Incompressible Flows
作者: Andrey Pluzhnik, Ramansh Sharma, Martin Burtscher, Varun Shankar
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-02
arXiv ID: 2610.02776v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.02776v1
摘要翻译
中文标题: 不可压缩流动的保性质数据压缩
摘要翻译: 我们发展了一种针对不可压缩（即无散度）速度场的有损压缩方法，该方法保持零散度，并且在周期区域上保持周期性。我们使用保性质的矩阵值核拟合节点速度，并使用标准有损压缩器压缩其系数。每个解压后的系数向量都定义一个满足相同约束的场，且与压缩容差无关。我们提出了若干拟合方案，这些方案分别围绕插值矩阵的低秩表示或稀疏性设计。更具体地，我们展示了全局 Matérn 插值、两级 Nyström 近似、Nyström–Wendland 残差插值、多级 Wendland 插值以及一个保性质（冗余）核框架的结果。我们推导了节点误差界，将压缩器容差与附加速度误差联系起来。在方腔流、Taylor–Green 流和组分输运流上使用四个压缩器进行的实验，在各自的系数误差假设下验证了这些界，并在匹配速度精度下比较了存储量。当低秩方法足够精确地分辨速度场时，它们给出紧致表示；当不能时，残差插值、多级插值和框架插值可扩展可达到的精度。我们还测量了湍流速度统计量的变化。所得表示支持精度–压缩权衡，同时在解析上保持不可压缩性和周期性。
10. 输运型最优控制的残差最小化
Residual Minimisation for Transport-Based Optimal Control
作者: Tristan Pryer, Nikolaos Rekatsinas
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-01
arXiv ID: 2610.02499v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.02499v1
摘要翻译
中文标题: 输运型最优控制的残差最小化
摘要翻译: 我们考虑一个由二维或三维空间中的定常线性输运方程支配的最优控制问题，其动机来自放射治疗计划中的光子输运。控制是入流边界源，观测算子既可以追踪角通量，也可以追踪其角积分，后者用作简化的剂量代理。相关的最优性系统由具有角度依赖性的输运–伴随对组成，并通过边界最优性条件耦合。
我们构造一个残差最小二乘泛函，其极小元与 Karush–Kuhn–Tucker 系统的解一致，并证明该泛函控制状态和伴随中的 $L^2$ 误差以及控制中的通量加权 $L^2$ 误差。这给出了一个无需借助离散化的连续层面后验估计。一个额外的不加权最优性残差可在目标泛函范数意义下验证控制。该估计对每个容许逼近都成立，并考虑了控制惩罚项与输运迹中不同的边界测度，且不要求 $|ω\cdot n|$ 有正下界。随后，我们使用神经网络对状态、伴随和控制进行参数化，并使用适当的求积在神经网络空间上进行最小化。蒙特卡洛形式将每个残差积分替换为加权样本均值，其求积误差进入后验估计。
我们在关于逼近、求积和优化的显式假设下证明收敛性，并推导出总误差在逼近、求积和优化误差意义下的界。二维和三维数值算例展示了残差–误差关系，以及残差框架对于场追踪控制问题（包括正则制造解）的灵活性。
不相关论文（基本信息）
1. 用于求解高维稳态 Fokker-Planck 方程的能量变分深度学习
Energetic Variational Deep Learning for Solving High-Dimensional Stationary Fokker-Planck Equations
作者: Fanze Kong, Zhouyuan Qin, Shuangquan Xie
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-02
arXiv ID: 2610.03325v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.03325v1
摘要: This paper develops a deep learning framework for solving high-dimensional stationary Fokker-Planck equations by combining Monte Carlo weak supervision, energy-variational physics constraints, and quasi-Newton refinement. Monte Carlo statistics anchor the scale of the stationary density, while a free-energy variational loss enforces equilibrium physics; the formulation also applies to stationary systems with pointwise orthogonal rotational components and, using a family of test functions, to systems with more general non-gradient drift. Numerical results demonstrate accurate and robust density approximations across a range of high-dimensional stationary Fokker-Planck problems, including rough-potential and noisy-data settings.
2. 一种几何精确剪切变形梁的时空有限元列式
A space-time finite element formulation for geometrically exact shear-deformable beams
作者: Ivo Steinbrecher, Alexander Humer
类别: cs.CE, math.NA
发布日期: 2026-10-02
arXiv ID: 2610.03285v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.03285v1
摘要: We present a space-time finite element formulation for the transient analysis of geometrically exact shear-deformable beams. The formulation treats space and time within a unified finite element framework and employs a mixed approach in which translational and angular velocities are introduced as independent fields. The rotation field is parametrized using nodal rotation (pseudo-)vectors and a suitable objective interpolation of the triad field is employed. The resulting formulation supports generally curved beam structures, including geometric kinks and rigid joints. Furthermore, time-dependent material domains can be represented directly through the geometry of the space-time surface, enabling the treatment of non-material boundaries without modifying the underlying beam formulation. Numerical examples demonstrate convergence to solutions obtained with classical time-stepping schemes, objectivity of the formulation, and the influence of the space-time stabilization. Finally, the sliding spaghetti problem illustrates the applicability of the proposed approach to axially moving continua.
3. 四次情形下 Newton 法与 Halley 法的同时全局收敛失败
Simultaneous Global Convergence Failure of Newton’s and Halley’s Methods in Degree Four
作者: Alessio Basti, Tommaso Cremaschi
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-02
arXiv ID: 2610.03246v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.03246v1
摘要: We construct an explicit quartic polynomial for which Newton’s and Halley’s root-finding methods both fail to converge to a root on nonempty open sets of initial values. The example can be found through a reproducible computational search within a one-parameter family of quartics designed to exhibit a prescribed Newton two-cycle. We then prove analytically that Newton’s method has a superattracting two-cycle and that Halley’s method has a distinct attracting extraneous two-cycle, using a two-interval contraction argument. This fills a degree-four gap in the simultaneous Newton–Halley failure problem. The computational approach also identifies another quartic with numerical evidence of simultaneous failure of Newton’s, Halley’s, and Schröder’s methods.
4. 用于加速 Langevin 动力学收敛到平衡态的可逆 Stratonovich 扰动
Reversible Stratonovich perturbations for accelerating convergence to equilibrium of Langevin dynamics
作者: Guillaume Louis, Grigorios A. Pavliotis, Gilles Vilmart
类别: math.NA, math.PR
发布日期: 2026-10-02
arXiv ID: 2610.03191v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.03191v1
摘要: In this paper, we study the problem of sampling from a probability distribution using Langevin-type dynamics. We consider overdamped Langevin dynamics perturbed by adding a Stratonovich perturbation that preserves reversibility. We prove an optimal scaling for the Stratonovich perturbation applied to Gaussian target distributions and derive an algorithm to construct such perturbation. Our theoretical results are supplemented by numerical experiments in which we compare our proposed method with nonreversible samplers and overdamped Langevin dynamics. Our numerical experiments demonstrate the efficiency of the approach beyond the quadratic case.
5. 成对比较矩阵的递归多级分解：算法与不一致性诊断
Recursive Multilevel Decomposition of Pairwise Comparison Matrices: Algorithms and Inconsistency Diagnostics
作者: Mert Çarboğa, Waldemar W. Koczkodaj, Yusuf Yaylı
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-02
arXiv ID: 2610.03184v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.03184v1
摘要: Positive reciprocal pairwise comparison matrices are studied in entrywise logarithmic coordinates. Starting from the established consistent-residual split, we show that, for any fixed ordering, the residual matrix admits a unique top-down decomposition into mutually Frobenius-orthogonal layers. The construction applies to every positive reciprocal PC matrix of size $n \geq 3$, without additional spectral, sparsity, or genericity assumptions. An explicit active-matrix recursion and an equivalent cumulative parameter-extraction procedure have computational complexities $O(n^3)$ and $O(n^2)$, respectively. The squared Frobenius norms of the layers define an ordering-conditioned residual-energy profile that provides structural information complementary to the geometric-mean priorities and the Koczkodaj inconsistency indicator (Kii). Entrywise exponentiation yields an exact Hadamard-product reconstruction of the original reciprocal matrix. Numerical experiments confirm agreement between the two computational procedures, exact reconstruction, mutual orthogonality, and numerical accuracy to machine precision.
6. 使用三次 Hermite 插值的解析函数根隔离
Root isolation for analytic functions using cubic hermite interpolation
作者: Christophe Raffalli
类别: cs.SC, math.NA
发布日期: 2026-10-02
arXiv ID: 2610.02934v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.02934v1
摘要: We present a root isolation algorithm for an analytic function. The method combines interval subdivision with a heuristic test based on local cubic Hermite interpolation. Whenever the function is sufficiently close to its cubic Hermite interpolant at a few sample points, we assume that the critical points of the cubic interpolant give a valid root isolation for the original function. Such an algorithm cannot, in general, provide a rigorous certification of the computed intervals. Nevertheless, extensive numerical experiments show that it is highly efficient and almost always produces the correct results. We hope that a probabilistic or exact algorithm can be derived from this work.
7. 近期基于共识的优化变体的定量平均场极限
Quantitative Mean-Field Limits for Recent Variants of Consensus-Based Optimization Optimization
作者: Konstantin Haug
类别: math.OC, math.NA
发布日期: 2026-10-02
arXiv ID: 2610.02901v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.02901v1
摘要: Consensus-based optimization (CBO) is a robust and flexible zero-order, multi-particle class of methods devised to provide provable solutions to high-dimensional global optimization problems, including truly nonconvex and/or nonsmooth cases. The algorithmic framework is grounded in a principled trade-off between stochastic exploration of the search space and deterministic contraction toward a consensus point. This thesis is concerned with three recently established variants of CBO. The $δ$-CBO method is similar to the classic CBO method, with the difference that the diffusion function is constant. The consensus freezing (CF) scheme can be understood as a piecewise CBO method. The overall time horizon is divided into intervals in which the consensus point is fixed. The consensus hopping (CH) scheme can be understood as a deterministic iterative scheme that jumps at each iteration to a Gaussian distribution centered at the consensus point of the previous distribution. The central contribution of this thesis is the rigorous derivation of propagation of chaos results for all three schemes. For each variant, we establish that the empirical measure of the interacting particle system converges, as the number of particles $N$ approaches infinity, to the solution of the corresponding mean-field equation. Two regimes are treated: first, on a high-probability set on which the empirical measures are uniformly bounded; second, in the unrestricted setting, where moment bounds and a careful treatment of the inter-particle dependence yield convergence without imposing conditioning on favorable events. The propagation of chaos estimates are derived by the coupling method. Together, these results provide quantitative propagation of chaos estimates for all three CBO variants and establish that the particle systems faithfully approximate the idealized mean-field dynamics in the large-particle limit.
8. 利用矩方程从含噪 Allen-Cahn 影像中推断本构力
Inferring constitutive forces from noisy Allen-Cahn movies with moment equations
作者: Soobeen Jung, Hyunju Kim
类别: math.NA, math-ph, nlin.PS, physics.flu-dyn
发布日期: 2026-10-02
arXiv ID: 2610.02672v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.02672v1
摘要: Inferring an Allen-Cahn constitutive force from images requires more than an accurate optimizer: nonlinear observation noise alters the mean of force features, shared noise couples instruments to the response, and a temporal balance borrowed from another solver can remain biased even on clean data. We develop observation-aware, noise-adjusted moment equations that address these effects before inversion. The surface-tension-calibrated constitutive transformer (SCCT) couples the resulting moments to a positive Bernstein inverse and can adapt its prior and precision from images and moments. A conditional stability bound separates moment residuals from prior error. Synthetic tests show that correcting the estimating equation matters more than increasing regularizer flexibility; the benefit of learned adaptation is smaller and depends on the training comparison. Forces inferred from planar movies predict unseen planar and three-dimensional evolutions. A ring-cage breakup shows why diffuse-interface accuracy distinguishes forces even when their topological predictions agree, while external surface tension sets the energy scale separately.
9. 一种用于磁共振弹性成像中黏弹性组织特性重建的混合 CNN-伴随优化框架
A hybrid CNN-adjoint optimization framework for reconstruction of viscoelastic tissue properties in magnetic resonance elastography
作者: Anwesa Dey, Johann Rudi, Elena Cherkaev
类别: math.OC, cs.LG, math.NA
发布日期: 2026-10-02
arXiv ID: 2610.02634v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.02634v1
摘要: Magnetic resonance elastography (MRE) is a noninvasive imaging modality for quantifying the viscoelastic properties of soft tissues from shear wave propagation. Recovering the complex-valued shear modulus from measured displacement fields leads to a severely ill-posed inverse problem, particularly in the presence of noise and limited boundary excitations. We investigate adjoint-based optimization, convolutional neural network (CNN) reconstruction, and a hybrid framework combining both approaches. The forward model is based on a scalar form of the modified stationary Stokes system with a complex shear modulus. We establish well-posedness of the forward problem, existence of minimizers, and first-order optimality conditions for the adjoint-based formulation, and implement a nonlinear conjugate-gradient method with Armijo line search. While PDE-constrained optimization can accurately refine coefficient reconstructions, its performance depends strongly on initialization. We therefore construct a two-dimensional CNN that maps complex-valued displacement measurements to spatially varying complex shear modulus fields and provides rapid, informative initial reconstructions. The proposed hybrid method uses the CNN reconstruction to initialize the adjoint-based optimization, yielding faster convergence and improved accuracy. The CNN is trained on coefficient fields containing individual perturbations and tested on both individual and previously unseen combined configurations. Numerical experiments demonstrate that the CNN generalizes to these more challenging configurations, while subsequent PDE-constrained optimization further refines the reconstructed coefficient. These results demonstrate the potential of combining data-driven initialization with physics-based optimization for efficient and accurate MRE reconstruction.
10. 基于核岭回归学习动力系统的闭合
Learning Closure of Dynamical Systems with Kernel Ridge Regression
作者: Evan Habbershaw, John Harlim, Senwei Liang
类别: math.NA, cs.LG, math.DS
发布日期: 2026-10-01
arXiv ID: 2610.02564v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.02564v1
摘要: We develop a closure modeling framework for identifying missing components of dynamical systems using Kernel Ridge Regression (KRR). The framework addresses two classes of closure problems: difference-equation closures arising in ODE and PDE settings, and algebraic closures arising from moment closure in kinetic equations. For the first class, we derive an error bound in an ODE setting that quantifies contributions from time integration, approximation of unresolved scales, and interpolation required to couple unresolved-scale effects to the resolved solver. Numerical experiments on the Lorenz-63 system and the Kuramoto-Sivashinsky equation demonstrate accurate long-horizon predictions and substantial improvements over an LSTM-based closure model. For the second class, we consider moment closure for a one-dimensional kinetic equation by modeling discrepancies between kinetic and macroscopic fluxes as a function of the resolved macroscopic variables. We compare global KRR models based on PCA coordinates with spatially local models. While the global model performs well for unimodal initial conditions, its accuracy deteriorates for bimodal initial conditions. Spatially local models with appropriate modeling inputs improve robustness and achieve higher predictive accuracy.
11. 有限群表示的同型块对角化的一致可计算性
Uniform Computability of Isotypic Block Diagonalization for Finite-Group Representations
作者: Konrad Burnik
类别: math.LO, math.NA, math.RT
发布日期: 2026-10-01
arXiv ID: 2610.02547v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.02547v1
摘要: We study the universal isotypic block-diagonalization problem in the Type-2 theory of effectivity (TTE). We obtain a uniform computability result for the universal block diagonalizer for commutants of given finite group representations. As an application, when the given representation is orthogonal, we compute ordinary $QR$ factorizations blockwise in the isotypic basis. After transforming back to the original coordinates this yields a factorization $A=QX$, where $Q$ is orthogonal and $X$ is generally not upper triangular. Moreover, given a Wedderburn-adapted orthogonal basis, the transformed-back factors can be computed within the commutant.
12. 由 H<1/2 的分数布朗运动驱动的 SPDEs 的随机指数积分器的强误差分析
Strong error analysis of a stochastic exponential integrator for SPDEs driven by fractional Brownian motion with H<1/2
作者: Antoine Tambue, Aurelien Junior Noupelah, Louis Aime Fono
类别: math.NA, math.PR
发布日期: 2026-10-01
arXiv ID: 2610.02412v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.02412v1
摘要: Fractional Brownian motion provides a useful framework for modeling random phenomena with anti-persistent temporal correlations that arise in applications such as anomalous diffusion, hydrology, finance, and geophysical processes. In this paper, we study a class of semilinear stochastic partial differential equations driven by additive fractional Brownian motion with Hurst parameter $H\in(0,\frac12)$. We establish the well-posedness and space-time regularity of the mild solution and investigate the strong convergence of a stochastic exponential integrator for the temporal discretization. The analysis allows the linear operator to be non-self-adjoint and combines analytic semigroup estimates with the canonical Hilbert-space structure associated with fractional Brownian motion and Malliavin calculus to handle the low temporal regularity of the noise. We derive an $H$-dependent strong temporal convergence rate, which reaches $H+\frac12$ under maximal spatial regularity. Numerical experiments for a stochastic advection–diffusion–reaction problem with heterogeneous Darcy flow confirm the theoretical temporal convergence rates. We also estimate the mean of the solution with different Hurst parameters $H\in(0,\frac12)$ using the Monte Carlo method.
13. FlashSinkhorn 2：块稀疏熵正则最优传输
FlashSinkhorn 2: Block-Sparse Entropic Optimal Transport
作者: Felix X. -F. Ye, Yu Chin Fabian Lim, Naigang Wang, Davis Wertheimer
类别: cs.AI, astro-ph.IM, math.NA
发布日期: 2026-10-01
arXiv ID: 2610.02395v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.02395v1
摘要: Streaming GPU solvers for entropic optimal transport (EOT), such as FlashSinkhorn, avoid storing the dense kernel but still evaluate all $n\times m$ point pairs in every Sinkhorn iteration. We present \textbf{FlashSinkhorn~2} (FS2), a solver for squared-Euclidean cost on low-dimensional point clouds that solves large discrete EOT problems to a prescribed marginal residual on a single GPU by coupling two stages. A coarse stage solves on cell centroids, lifts the potentials to every point and, when a sampled marginal check rejects the lift, continues on the centroids, replacing most point-level updates. A block-sparse fine stage then removes the centroid error that coarse updates cannot. Its Morton-ordered blocks support screening and fused tensor-core execution, and a threshold set by the block masses bounds each omitted tile’s contribution to every row and column. On synthetic benchmarks, FS2 reaches the target residual on all 32 problems and GeomLoss multiscale on 10. On one A100, FS2 solves discrete EOT between two $1.34\times10^8$-particle measures from a cosmological $N$-body simulation, at an entropic blur equal to the mean interparticle distance, to an all-particle marginal residual below 0.01 in under 2.5 hours. To our knowledge, it is the largest discrete EOT problem solved to this accuracy within hours. For reproducibility, we release an open-source implementation at https://github.com/ot-triton-lab/flash-sinkhorn
14. 用于贝叶斯反问题中快速后验采样的流匹配
Flow Matching for Fast Posterior Sampling in Bayesian Inverse Problems
作者: Jan Blechschmidt, Oliver G. Ernst, Moritz Poguntke, Björn Sprungk
类别: math.NA, cs.LG, stat.CO
发布日期: 2026-10-01
arXiv ID: 2610.02377v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.02377v1
摘要: Sampling from the posterior is the central task of computational Bayesian inverse problems. The standard workhorse in Bayesian inference - Markov chain Monte Carlo (MCMC) - is sequential, yields correlated samples, and must be rerun for each observation. Conditional flow matching offers an amortized alternative: a transport map, trained once on joint samples of parameter and data, that yields independent approximate posterior samples for any observation at negligible online cost, without new likelihood evaluations. We give a careful, MCMC-literate assessment of flow matching for PDE-based inverse problems with function-valued parameters. Exploiting the flow’s tractable density, we derive computable accuracy estimates of the underlying approximate posterior in total-variation distance and Kullback-Leibler divergence and, moreover, propose a hybrid sampler that is asymptotically exact by Metropolization. We validate the accuracy estimates and demonstrate the amortization in several numerical examples, including electrical impedance tomography and a likelihood-free Lotka-Volterra model.
15. 一个结合纠缠基张量网络的多项式复杂度 PDE 求解器
A Polynomial-Scaling PDE Solver with Entanglement-Basis Tensor Networks
作者: Abhijatmedhi Chotrattanapituk, Michael J. Landry, Chu-Liang Fu, Mingda Li
类别: math.NA, cond-mat.other, hep-lat, physics.comp-ph
发布日期: 2026-10-01
arXiv ID: 2610.02316v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.02316v1
摘要: We develop a finite element method (FEM) for partial differential equation (PDE) solver based on the entanglement-basis representation introduced in our companion work. By lifting non-linear finite-element equations into an augmented coefficient space, the governing PDE together with boundary, initial, and inter-element constraints can be expressed through a unified quadratic residual minimization. Although this augmented space grows exponentially with the number of elements, its tensor-product structure allows it to be represented efficiently using tensor networks. Using the matrix product state (MPS) as a concrete example, we show that density matrix renormalization group (DMRG) sweeps enable element-by-element optimization without explicitly constructing the full augmented space. For bounded bond dimension, the resulting computational cost scales polynomially with the number of finite elements. We extend the framework to time-dependent problems through implicit temporal discretization and demonstrate convergence under both mesh and polynomial refinement using diffusion equations.