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1. 一阶时谐 Maxwell 方程的拟 Trefftz 空间
Quasi-Trefftz spaces for the first-order time-harmonic Maxwell’s equations
作者: Ilaria Fontana, Lise-Marie Imbert-Gérard
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-05
arXiv ID: 2610.05975v1
摘要翻译: 本文旨在研究一阶时谐 Maxwell 方程的最优高阶基于 Taylor 的多项式拟 Trefftz 空间。与标准多项式空间相比，拟 Trefftz 空间的目的在于更高效地保持相同的高阶最佳逼近性质：其维数显著更小。为实现这一目标，它们仅逼近控制方程的光滑解，而不是逼近一般光滑函数。尽管对于标量方程，基于 Taylor 的多项式拟 Trefftz 空间有自然定义，但对于向量值方程，情形根本不同，因为朴素的拟 Trefftz 性质并不能系统地定义具有所需最佳逼近性质的最小空间。本文确定了一阶时谐 Maxwell 方程的最优拟 Trefftz 空间，提出了两种构造拟 Trefftz 基的方法，并证明了这些空间的最佳逼近性质。这些理论结果强烈利用了多项式 Helmholtz 分解和多项式 de Rham 序列的正合性，并通过数值实验得到了验证。
Comment: 无
链接: http://arxiv.org/abs/2610.05975v1
1. 研究对象和背景
本文研究一阶时谐 Maxwell 方程的局部最优高阶 Taylor 型多项式准 Trefftz 空间. 设 $\Omega\subset\mathbb R^3$ 为开集, 未知量为电场 $E$ 和磁场 $B$, 波数 $\kappa>0$, 电介质常数 $\varepsilon$ 和磁导率 $\mu$ 可以是空间变量, 即 $\varepsilon(x),\mu(x)$. 方程写作
$$ \begin{cases} \nabla\times E - i\kappa\mu B =0,\\ \nabla\times B + i\kappa\varepsilon E =0, \end{cases} $$以及相应的散度条件 $\nabla\cdot(\varepsilon E)=0$ 和 $\nabla\cdot(\mu B)=0$. 为避免散度条件退化, 文中引入 Assumption 1.1: 在局部点 $x_T$ 处 $\varepsilon(x_T)\ne0$ 且 $\mu(x_T)\ne0$.
准 Trefftz (QT) 间断 Galerkin 方法是一类数值方法, 其局部离散空间依赖于控制方程. 与 Trefftz 方法使用局部精确解不同, QT 方法使用局部近似解. 对于方程 $L u=0$, Taylor 型 QT 性质是 $\mathcal T_{p-1}^{x_T}[L\varphi]=0$, 其中 $\mathcal T_{p-1}^{x_T}$ 表示以 $x_T$ 为中心、次数至多 $p-1$ 的 Taylor 多项式算子. 对标量方程, QT 空间有自然定义, 且 QT 算子的主部总是满射, 这对理论分析和基构造都至关重要. 但对向量值方程组, 主部通常不是满射, 直接用 naive QT 性质不能保证得到最小维数且保持最佳逼近性质的空间. 本文试图补的空白是: 对一阶时谐 Maxwell 方程, 识别最优 QT 空间, 给出两种基构造方法, 并证明其最佳逼近性质. 理论工具是齐次多项式 Helmholtz 分解和多项式 de Rham 序列的精确性.
已有工作: 标量 QT-DG 方法 [25,28,15,27] 包括广义平面波 ansatz 和多项式 ansatz; 抽象框架 [24,13]. 系统方面, [26] 处理二维一阶 Helmholtz 方程, [23] 处理二阶时谐 Maxwell 方程. 本文处理一阶时谐 Maxwell 方程, 三个空间维度和可变系数. 散度条件在 Maxwell 分析中处于核心地位. 从提供内容看, 作者强调局部空间按网格单元定义, 全局 QT-DG 空间是分片局部 QT 空间的乘积.
2. 主要定理或主要结果
主要结果围绕局部 QT 空间 $QT_p(T)$ 的定义、最佳逼近性质、维数最优性和基构造展开.
定义 1.2 给出局部多项式 QT 空间: 给定 $p\in\mathbb N$, 开集 $T\subset\Omega$, 点 $x_T\in T$, 假设 $(\varepsilon,\mu)\in(C^p(T;\mathbb C))^2$. 局部 QT 空间为
$$ QT_p(T)=\left\{(Q_E,Q_B)\in(\mathbb P_p)^3\times(\mathbb P_p)^3: \begin{array}{l} \mathcal T_{p-1}^{x_T}[\nabla\times Q_E - i\kappa\mu Q_B]=0,\\ \mathcal T_{p-1}^{x_T}[\nabla\times Q_B + i\kappa\varepsilon Q_E]=0,\\ \mathcal T_{p-1}^{x_T}[\nabla\cdot(\varepsilon Q_E)]=0,\\ \mathcal T_{p-1}^{x_T}[\nabla\cdot(\mu Q_B)]=0 \end{array} \right\}. $$这里 $\mathbb P_p$ 是复值标量多项式空间.
命题 3.1 (Taylor 多项式与 QT 空间): 若 $(E,B)\in C^{p+1}(T;\mathbb C^3)\times C^{p+1}(T;\mathbb C^3)$ 满足 Maxwell 系统 (1.1), 则 $(\mathcal T_p^{x_T}[E],\mathcal T_p^{x_T}[B])\in QT_p(T)$.
定理 3.2 (最佳逼近性质): 给定 $p\in\mathbb N$, 开集 $T\subset\mathbb R^3$, 点 $x_T\in T$ 使 $T$ 关于 $x_T$ 星形, 且 $\varepsilon,\mu\in C^p(T;\mathbb C)$. 若 $(E,B)\in C^{p+1}(T;\mathbb C^3)\times C^{p+1}(T;\mathbb C^3)$ 满足 Maxwell 系统, 则
$$ \inf_{(Q_E,Q_B)\in QT_p(T)}\left(\|E-Q_E\|_{C^0(T)}+\|B-Q_B\|_{C^0(T)}\right) \le \frac{3^{p+1}}{(p+1)!}h_T^{p+1}\left(|E|_{C^0(T)}+|B|_{C^0(T)}\right), $$且对任意 $s\in\mathbb N$, $s\le p$,
$$ \inf_{(Q_E,Q_B)\in QT_p(T)}\left(\|E-Q_E\|_{C^s(T)}+\|B-Q_B\|_{C^s(T)}\right) \le \frac{3^{p+1-s}}{(p+1-s)!}h_T^{p+1-s}\left(|E|_{C^s(T)}+|B|_{C^s(T)}\right). $$其中 $h_T$ 为单元尺寸, $|\cdot|_{C^s(T)}$ 为 $C^s$ 半范数. 这些估计表明 QT 空间保持与标准多项式空间相同的高阶最佳逼近阶.
维数方面, 文中 Corollary 3.4 和 Figure 1 比较 $QT_p(T)$ 与完整空间 $(\mathbb P_p)^3\times(\mathbb P_p)^3$ 的维数, 说明前者显著更小. 第 4 节进一步证明 naive QT 空间不是最小空间, 并证明 $QT_p(T)$ 在具有最佳逼近性质的空间中维数最小. 从提供内容中无法确认 Corollary 3.4 的具体维数公式.
构造方面, Algorithm 1 给出显式构造 QT 多项式的过程. 将 $Q_E,Q_B$ 按齐次分量分解, 将系数 Taylor 展开写为 $\mathcal T_{p-1}^{x_T}[\varepsilon]=\sum_{k=0}^{p-1}\varepsilon_k$, $\mathcal T_{p-1}^{x_T}[\mu]=\sum_{k=0}^{p-1}\mu_k$. QT 条件等价于对 $k=1,\ldots,p$:
$$ \begin{cases} \nabla\times Q_E^k - i\kappa\sum_{j=0}^{k-1}\mu_j Q_B^{k-1-j}=0,\\ \nabla\times Q_B^k + i\kappa\sum_{j=0}^{k-1}\varepsilon_j Q_E^{k-1-j}=0,\\ \nabla\cdot\left(\sum_{j=0}^{k}\varepsilon_j Q_E^{k-j}\right)=0,\\ \nabla\cdot\left(\sum_{j=0}^{k}\mu_j Q_B^{k-j}\right)=0. \end{cases} $$算法要求 $\varepsilon_0\mu_0\ne0$, 这正是 Assumption 1.1 的作用. 第 5 节给出两种实现, 用于构造 QT 基. 数值实验在常系数和变系数情形验证理论结果.
3. 研究方法、关键技术和核心工具
本文的主要技术障碍是: 对标量方程, QT 算子的主部 (冻结系数的高阶项) 总是满射, 因此可以方便地定义空间、计算维数并构造基; 但对向量值 Maxwell 方程组, QT 算子的主部一般不是满射, 这导致 naive QT 性质不能系统性地定义最小空间, 也不能直接保证最佳逼近. 作者的真正创新在于利用齐次多项式 Helmholtz 分解和多项式 de Rham 序列的精确性, 把 curl 和 divergence 限制到合适的子空间, 使其变成双射, 从而逐阶求解.
关键工具一: 齐次多项式 Helmholtz 分解. 对 $k\in\mathbb N$, 任意 $Q\in(\tilde{\mathbb P}_k)^3$ 唯一分解为
$$ (\tilde{\mathbb P}_k)^3=\tilde S_k^*\oplus\tilde I_k^*\oplus\tilde H_k,\quad Q=F+G+H, $$其中 $F\in\tilde S_k^*$ 为无散部分, $G\in\tilde I_k^*$ 为无旋部分, $H\in\tilde H_k$ 为调和部分. 这里 $\tilde S_k=\ker(\nabla\cdot|_{(\tilde{\mathbb P}_k)^3})$, $\tilde I_k=\ker(\nabla\times|_{(\tilde{\mathbb P}_k)^3})$, $\tilde H_k=\tilde S_k\cap\tilde I_k$. 该分解是后续构造和维数分析的基础.
关键工具二: 多项式 de Rham 复形的精确性:
$$ \{0\}\to\tilde{\mathbb P}_{k+3}\xrightarrow{\nabla}(\tilde{\mathbb P}_{k+2})^3\xrightarrow{\nabla\times}(\tilde{\mathbb P}_{k+1})^3\xrightarrow{\nabla\cdot}\tilde{\mathbb P}_k\to\{0\}. $$作者证明 (Lemma 2.4): $\nabla\times|_{\tilde S_k}:\tilde S_k\to\tilde S_{k-1}$ 是满射; $\nabla\cdot|_{\tilde I_k}:\tilde I_k\to\tilde{\mathbb P}_{k-1}$ 是满射. 进一步 (Proposition 2.5): 限制到 $\tilde S_k^*$ 的 curl 算子 $\nabla\times|_{\tilde S_k^*}:\tilde S_k^*\to\tilde S_{k-1}$ 是双射; 限制到 $\tilde I_k^*$ 的 divergence 算子 $\nabla\cdot|_{\tilde I_k^*}:\tilde I_k^*\to\tilde{\mathbb P}_{k-1}$ 是双射. 证明用 de Rham 复形的精确性给出值域包含关系, 再用秩-零化度定理和核为 $\tilde H_k$ 得到维数相等. 这两个双射是 Algorithm 1 逐阶求解 curl 和 divergence 方程的关键: 给定低阶项后, curl 方程唯一确定 $\tilde S_k^*$ 部分, divergence 方程唯一确定 $\tilde I_k^*$ 部分, 调和部分则提供空间自由度.
关键工具三: Taylor 多项式的性质 (附录 A 的 Proposition A.2 和 A.3). 这些性质保证对 $|i|\le p-1$,
$$ D^i(\mu\mathcal T_p^{x_T}[B])(x_T)=D^i(\mu B)(x_T),\quad D^i(\varepsilon\mathcal T_p^{x_T}[E])(x_T)=D^i(\varepsilon E)(x_T), $$从而精确解的 Taylor 多项式满足 QT 性质. 最佳逼近定理的证明直接利用这一事实: $\inf_{QT_p}(...)\le \|E-\mathcal T_p^{x_T}[E]\|_{C^s}+\|B-\mathcal T_p^{x_T}[B]\|_{C^s}$, 然后用 Taylor 余项估计. 星形区域假设用于控制余项, 得到 $3^{p+1-s}/(p+1-s)! h_T^{p+1-s}$ 型估计.
关键工具四: 维数最优性分析. 第 4 节通过 QT 算子 $D_p$ 的结构和 Helmholtz 分解的自由度, 说明 naive QT 空间可能包含多余自由度, 最优空间需要适当选取调和部分. 文中 Corollary 3.4 和 Figure 1 给出维数比较, 但提供内容未完整展示推导细节. 从可获取文本看, 作者将构造与维数分析结合, 给出了保持最佳逼近的最小空间.
计算方面, 第 5 节给出两种实现: 第一种实现和替代实现, 以及构造 QT 基的流程. 从提供内容中无法确认两种实现的完整算法和复杂度分析. 数值实验部分 (第 6 节) 在常系数和变系数情形验证了理论误差阶.
4. 与之前工作的比较
与既有 QT-DG 文献相比, 本文的推进主要体现在从标量方程到一阶时谐 Maxwell 方程组, 以及从自然定义到维数最优和显式基构造.
第一, 与标量 QT-DG 方法 [25,28,15,27] 及抽象框架 [24,13] 比较. 标量情形中, QT 算子的主部总是满射, 因此可以自然定义 QT 空间, 维数和基构造相对直接. 本文指出向量值方程组中主部一般不满射, naive QT 性质不能系统定义最小空间. 作者必须借助齐次多项式 Helmholtz 分解和 de Rham 复形精确性, 把 curl 和 divergence 限制到合适子空间得到双射. 这是概念上的关键推进.
第二, 与 [26] 的一阶 Helmholtz 方程二维工作比较. [26] 处理二维一阶 Helmholtz 方程, 是一个标量系统; 本文处理三维一阶时谐 Maxwell 方程, 涉及两个向量未知场 $E$ 和 $B$, 两个准 PDE 和两个准散度条件. 此外, 本文允许标量但空间变化的 $\varepsilon$ 和 $\mu$, 而 [26] 的设定不同. 从提供内容看, 作者未详细展开与 [26] 的逐项技术比较.
第三, 与 [23] 的二阶时谐 Maxwell 方程工作比较. [23] 研究二阶公式, 常磁导率, 利用 de Rham 复形和齐次多项式 Helmholtz 分解定义 QT 空间并研究 QT 算子结构以找维数. 本文研究一阶公式, 包含两个准 PDE 和两个准散度条件, 允许可变标量系数 $\varepsilon,\mu$. 本文不仅定义 QT 空间, 还证明最佳逼近性质、证明维数最优性、给出显式基构造算法 (两种实现) 并进行数值实验. 因此, 本文在理论完整性和算法方面比 [23] 更进一步. 代价是需要 $\varepsilon,\mu\in C^p$, Assumption 1.1 非零条件, 以及最佳逼近证明中的星形区域假设.
第四, 与 Trefftz DG 方法 [19] 比较. [19] 分析二阶时谐方程常系数的 Trefftz DG 方法, Trefftz 基逐元素精确满足散度条件, 但不是全局. 本文的 QT 基是近似满足控制方程, 通过 Taylor 条件实现, 维数更小且保持高阶最佳逼近. 与精确 Trefftz 基相比, QT 基的构造只需递推求解, 而不是逐元素数值求解, 这是 QT-DG 的优点.
第五, 与标准有限元 [35]、混合与 DG 方法 [34,18,7,17,22,21] 比较. 标准多项式空间在每一单元上使用完整 $\mathbb P_p$ 空间, 维数较大; QT 空间只逼近光滑解, 因此维数显著降低, 同时保持相同的高阶最佳逼近阶 (定理 3.2). 在连续设定中, 有限元外微积分构造与 de Rham 序列兼容的空间; 本文在间断框架下利用多项式 de Rham 序列的精确性构造 QT 空间, 但不需要全局散度约束.
局限与未确认内容: 从提供内容无法确认数值实验中与标准多项式空间的实际维数比、计算时间比较以及变系数情形下的完整误差表. 作者也未显式展开与 [26] 和 [23] 在所有技术假设上的逐条比较. 此外, 第 4 节和第 5 节的完整算法和复杂度分析在提供的 PDF 摘录中未完整给出.
2. 含 Lorentz 色散的非线性 Kerr-Debye 模型的保结构高阶 FDTD 方法
Structure Preserving High-Order FDTD Methods for the Nonlinear Kerr-Debye Model with Lorentz Dispersion
作者: Emmanuel E. Oguadimma, Vrushali A. Bokil, Nathan L. Gibson
类别: math.NA, physics.comp-ph
发布日期: 2026-10-04
arXiv ID: 2610.05507v1
摘要翻译: 我们开发并分析了几类全离散、高阶方法，这些方法在时域有限差分（FDTD）框架下用于描述非线性光学介质中超短脉冲传播的非线性色散电磁模型。该模型由时域 Maxwell 方程组与两个常微分方程耦合而成；在一维空间中，这两个常微分方程分别为非线性 Kerr-Debye 方程和线性色散 Lorentz 方程。所提出的方法将 $2M$ 阶交错空间离散（其中整数 $M>0$）与二阶显式蛙跳或隐式梯形时间积分器相结合。为处理非线性 Kerr-Debye 方程中的刚性弛豫，我们采用 \cite{PengJCP2020} 中引入的修正指数积分器，该积分器确保在弛豫时间消失极限下的渐近保持（AP）行为。我们证明所得格式满足连续能量恒等式的离散对应形式，并保持非线性极化率的正性（PP）。对于基于蛙跳时间积分器的格式，我们在 CFL 条件下建立能量稳定性；而基于梯形时间积分器的格式则无条件能量稳定。基于梯形时间积分器格式的高阶时间精度进一步通过 Richardson 外推实现，从而得到在空间和时间上均为 $2M$ 阶精度的格式。数值实验验证了理论收敛率以及所提格式捕捉非线性波现象（如孤子传播、自陡峭和奇次谐波产生）的能力。这项工作将先前间断 Galerkin 框架中的 AP-PP 和能量稳定方法推广到 FDTD 情形，为模拟非线性色散光学介质中的电磁波传播提供了一种计算高效、灵活且稳健的工具。
Comment: 44 pages, 7 figures
链接: http://arxiv.org/abs/2610.05507v1
1. 研究对象和背景
本文研究一维非线性色散光学介质中超短脉冲传播的时域电磁模型。设计算域 $\Omega\subset\mathbb{R}$，时间区间 $(0,T]$，未知量为电场 $E$、磁场 $H$、电位移 $D$、三阶非线性极化率 $\chi$、线性 Lorentz 极化 $P$ 及其极化电流 $J$。作者考虑的 Maxwell-Kerr-Debye-Lorentz 系统由时域 Maxwell 方程与两个辅助常微分方程耦合而成：
$$\mu_0\partial_t H=\partial_x E,\quad \partial_t D=\partial_x H,\quad \partial_t\chi=-\frac{1}{\varepsilon}(\chi-E^2),\quad \partial_t P=J,\quad \partial_t J+\frac{1}{\tau}J+\omega_0^2P=\omega_p^2E,$$本构关系为
$$D=\epsilon_0\big((\epsilon_\infty+a\chi)E+P\big),$$其中 $a>0$ 为非线性系数，$\varepsilon>0$ 为非线性 Kerr 效应的弛豫时间，$\tau$ 为 Lorentz 阻尼时间，$\omega_0$ 为共振频率，$\omega_p$ 为等离子体频率，$\epsilon_\infty$ 为无穷频率相对介电常数。该模型同时包含线性 Lorentz 色散、瞬时或弛豫型三阶 Kerr 非线性以及非磁介质中的传播。
物理上，该模型用于描述超短激光脉冲在非线性光学介质中的传播。当电场很强时，极化不再是线性函数，三阶非线性项产生光学 Kerr 效应；当脉冲宽度达到飞秒量级或材料响应时间不可忽略时，瞬时 Kerr 模型不足，需要引入 Debye 弛豫方程 $\partial_t\chi=-\frac{1}{\varepsilon}(\chi-E^2)$。当 $\varepsilon\to0$ 时形式上有 $\chi=E^2$，模型退化为 Maxwell-Kerr-Lorentz 极限系统，其本构关系为
$$D=\epsilon_0\big((\epsilon_\infty+aE^2)E+P\big).$$连续模型具有两个关键结构。第一，非线性极化率满足正性：若 $\chi(x,0)\ge0$，则对一切 $t\ge0$ 有 $\chi(x,t)\ge0$。第二，满足能量恒等式。对 Maxwell-Kerr-Debye-Lorentz 系统定义能量
$$\mathcal{E}(t)=\frac12\int_\Omega\left(\mu_0H^2+\epsilon_0\epsilon_\infty E^2+a\epsilon_0\chi E^2+\frac{a\epsilon_0}{2}\chi^2+\epsilon_0\frac{\omega_0^2}{\omega_p^2}P^2+\frac{\epsilon_0}{\omega_p^2}J^2\right)dx,$$则
$$\frac{d\mathcal{E}}{dt}=-\int_\Omega\left(\frac{a\epsilon_0}{2\varepsilon}(\chi-E^2)^2+\frac{\epsilon_0}{\tau\omega_p^2}J^2\right)dx.$$对极限 Maxwell-Kerr-Lorentz 系统，能量
$$\mathcal{E}_{\mathrm{Kerr}}(t)=\frac12\int_\Omega\left(\epsilon_0\epsilon_\infty E^2+\frac{3\epsilon_0a}{2}E^4+\mu_0H^2+\epsilon_0\frac{\omega_0^2}{\omega_p^2}P^2+\frac{\epsilon_0}{\omega_p^2}J^2\right)dx$$满足
$$\frac{d\mathcal{E}_{\mathrm{Kerr}}}{dt}=-\frac{\epsilon_0}{\tau\omega_p^2}\int_\Omega J^2dx.$$这些连续性质是构造保结构数值格式的出发点。
数值上，有限差分时域（FDTD）方法，即 Yee 格式，是电磁波传播模拟的主流方法之一。经典 Yee 格式在交错空间和时间网格上离散 Maxwell 方程，具有二阶精度、显式、无全局矩阵求逆、易于并行等优点。但其二阶精度和在高频、长时、强非线性问题中的数值色散误差限制了应用。已有工作将 FDTD 推广到线性色散、非线性以及非线性色散介质，并发展了高阶 Yee-FDTD 空间离散。同时，间断 Galerkin（DG）方法、有限元方法、有限体积方法和 Godunov 型方法也被用于此类模型。
然而，Kerr-Debye 模型带来两个额外困难。首先，当弛豫时间 $\varepsilon$ 很小时，方程 $\partial_t\chi=-\frac{1}{\varepsilon}(\chi-E^2)$ 是刚性的，传统显式时间离散通常要求 $\Delta t=O(\varepsilon)$，导致小 $\varepsilon$ 时时间步极受限。其次，数值格式最好保持 $\chi$ 的非负性，因为正性与能量稳定性密切相关。理想格式还应是渐近保持（AP）的，即在 $\varepsilon\to0$ 时稳定且恢复到正确的极限模型，而不需要按 $\varepsilon$ 细化网格。作者指出，已有 AP、保正（PP）和能量稳定的方法主要在 DG 框架中发展，例如 Peng 等提出的修改指数时间积分器。本文试图将该类保结构思想扩展到高阶 FDTD 框架，构造并分析高阶交错 Yee 型全离散格式，使其同时具备 AP、PP、离散能量恒等和能量稳定性，并通过 Richardson 外推获得时空高阶精度。这就是本文所填补的空白。
2. 主要定理或主要结果
作者的主要贡献是构造并分析若干族全离散高阶 FDTD 格式。空间离散方面，在交错 primal 和 dual 网格上定义 $V_{0,h}$ 与 $V_{1/2,h}$，并用二阶中心差分的线性组合构造 $2M$ 阶一阶导数近似
$$D_h^{(2M)}=\sum_{p=1}^M\lambda_{2p-1}^{2M}D_{p,h}^{(2)},\quad \tilde D_h^{(2M)}=\sum_{p=1}^M\lambda_{2p-1}^{2M}\tilde D_{p,h}^{(2)},$$其中
$$\lambda_{2p-1}^{2M}=\frac{2(-1)^{p-1}((2M-1)!!)^2}{(2M+2p-2)!!(2M-2p)!!(2p-1)},\quad 1\le p\le M.$$离散算子满足交错求和分部恒等式
$$\langle D_h^{(2M)}U_h,W_h\rangle_{1/2,h}=-\langle \tilde D_h^{(2M)}W_h,U_h\rangle_{0,h}.$$时间离散方面，作者构造两类 $(2,2M)$ 格式：一类对 Maxwell 方程使用显式交错 leapfrog 时间积分，另一类使用隐式 trapezoidal 时间积分；材料响应的常微分方程使用 trapezoidal 时间积分。对刚性 Kerr-Debye 方程，采用修改指数积分器。以 leapfrog 族为例，离散格式为
$$\mu_0\frac{H_{j+1/2}^{n+1/2}-H_{j+1/2}^{n-1/2}}{\Delta t}=(D_h^{(2M)}E_h^n)_{j+1/2},\quad \frac{D_j^{n+1}-D_j^n}{\Delta t}=(\tilde D_h^{(2M)}H_h^{n+1/2})_j,$$$$\left(\frac12+\frac12e^{-\Delta t/\varepsilon}+\frac{\Delta t}{2\varepsilon}e^{-\Delta t/(2\varepsilon)}\right)\chi_j^{n+1}=e^{-\Delta t/\varepsilon}\chi_j^n+\frac12(1-e^{-\Delta t/\varepsilon})(E_j^{n+1})^2+\frac{\Delta t}{2\varepsilon}e^{-\Delta t/(2\varepsilon)}(E_j^n)^2,$$$$\frac{P_j^{n+1}-P_j^n}{\Delta t}=\frac12(J_j^{n+1}+J_j^n),\quad \frac{J_j^{n+1}-J_j^n}{\Delta t}=-\frac{1}{2\tau}(J_j^{n+1}+J_j^n)-\frac{\omega_0^2}{2}(P_j^{n+1}+P_j^n)+\frac{\omega_p^2}{2}(E_j^{n+1}+E_j^n),$$$$D_j^{n+1}=\epsilon_0\big((\epsilon_\infty+a\chi_j^{n+1})E_j^{n+1}+P_j^{n+1}\big).$$主要理论结果包括：
- 渐近保持性质。对上述离散 Kerr-Debye 方程，当 $\varepsilon\to0$ 时，$e^{-\Delta t/\varepsilon}\to0$，$1-e^{-\Delta t/\varepsilon}\to1$，$\frac{\Delta t}{2\varepsilon}e^{-\Delta t/(2\varepsilon)}\to0$，于是格式化为 $\chi_j^{n+1}=(E_j^{n+1})^2$，与极限 Kerr-Lorentz 模型一致。
- 保正性。定理 3.3 证明：若 $\chi_j^n\ge0$，则 $\chi_j^{n+1}\ge0$。证明直接来自离散公式右端各系数 $e^{-\Delta t/\varepsilon}>0$、$\frac12(1-e^{-\Delta t/\varepsilon})>0$、$\frac{\Delta t}{2\varepsilon}e^{-\Delta t/(2\varepsilon)}>0$。
- 离散能量恒等与稳定性。摘要和引言声称，所构造格式满足连续能量恒等的离散类比；对基于 leapfrog 的格式，在 CFL 条件下能量稳定；对基于 trapezoidal 的格式，无条件能量稳定。
- 高阶时间精度。对基于 trapezoidal 的格式，通过 Richardson 外推可获得时空均为 $2M$ 阶的 $(2M,2M)$ 方法。对极限 Maxwell-Kerr-Lorentz 模型，时间误差展开只含 $\Delta t$ 的偶次幂，因此用 $M$ 个逐次细化解即可构造 $2M$ 阶时间精度；对 Maxwell-Kerr-Debye-Lorentz 模型，修改指数积分器引入 $\Delta t$ 的奇偶次幂，作者发展修改 Richardson 外推，用 $2M-1$ 个逐次细化解获得 $2M$ 阶时间精度。对 Richardson 外推格式，作者还声称在极限 Kerr 非线性情形下建立了关于时间一致的能量界。
- 数值验证。数值实验展示了理论收敛率，并模拟了孤子传播、自陡峭和奇次谐波产生等非线性波现象。
需要说明：提供的 PDF 文本只到第 10 页，因此梯形格式的显式公式、无条件能量稳定定理的完整陈述、leapfrog 能量恒等的具体形式、Richardson 外推的误差展开定理、均匀时间能量界以及数值实验的具体表格和收敛率细节，从提供内容中无法确认。上述第 3、4、5 点主要依据摘要和引言，而非完整证明文本。
3. 研究方法、关键技术和核心工具
核心技术障碍有三类：刚性 Kerr-Debye 方程的时间积分、交错高阶空间算子的保结构性质，以及外推格式的构造与能量分析。
第一，修改指数时间积分器。Kerr-Debye 方程
$$\partial_t\chi=-\frac{1}{\varepsilon}(\chi-E^2)$$在 $\varepsilon\ll\Delta t$ 时刚性。作者没有直接显式离散，而是从精确解
$$\chi(t_{n+1})=e^{-\Delta t/\varepsilon}\chi(t_n)+\int_0^{\Delta t}\frac{1}{\varepsilon}e^{(\tau-\Delta t)/\varepsilon}E(t_n+\tau)^2d\tau$$出发，用中点求积近似积分，得到
$$\chi(t_{n+1})=e^{-\Delta t/\varepsilon}\chi(t_n)+\frac{\Delta t}{\varepsilon}e^{-\Delta t/(2\varepsilon)}E(t_{n+1/2})^2+O(\Delta t^3).$$接着减去 $\chi(t_n)$、除以 $\Delta t$ 并在 $t_{n+1/2}$ 展开，得到修改方程
$$\left(\frac12+\frac12e^{-\Delta t/\varepsilon}\right)\partial_t\chi(t_{n+1/2})=\frac{e^{-\Delta t/\varepsilon}-1}{\Delta t}\chi(t_{n+1/2})+\frac{1}{\varepsilon}e^{-\Delta t/(2\varepsilon)}E(t_{n+1/2})^2+O(\Delta t^2).$$再用中心差分并利用关键估计
$$\left|\frac{\Delta t}{\varepsilon}e^{-\Delta t/(2\varepsilon)}-(1-e^{-\Delta t/\varepsilon})\right|=O\left(\frac{\Delta t^3}{\varepsilon^3}\right),$$当 $\varepsilon\ll\Delta t$ 时该差趋于 $-1$ 且有界。这样得到的离散格式形如
$$\left(\frac12+\frac12e^{-\Delta t/\varepsilon}+\frac{\Delta t}{2\varepsilon}e^{-\Delta t/(2\varepsilon)}\right)\chi^{n+1}=e^{-\Delta t/\varepsilon}\chi^n+\frac12(1-e^{-\Delta t/\varepsilon})(E^{n+1})^2+\frac{\Delta t}{2\varepsilon}e^{-\Delta t/(2\varepsilon)}(E^n)^2+O\left(\frac{\Delta t^3}{\varepsilon^3}\right).$$其中所有系数为正，直接给出保正性；在 $\varepsilon\to0$ 时退化为 $\chi^{n+1}=(E^{n+1})^2$，保证 AP。作者明确指出，该二阶一致性关于 $\varepsilon$ 不是一致的：固定 $\varepsilon$ 时余项随 $\Delta t\to0$ 消失；但当 $\varepsilon=O(\Delta t)$ 时，$\Delta t^3/\varepsilon^3=O(1)$，在过渡区可能损失设计的时间精度。
第二，高阶交错空间离散与 SBP。作者没有简单套用高阶中心差分，而是在 primal 和 dual 网格上构造二阶算子 $D_{p,h}^{(2)}$、$\tilde D_{p,h}^{(2)}$ 的线性组合，使空间精度达到 $2M$ 阶。系数由显式公式给出。该构造保持交错网格上的伴随关系，即引理 3.4 的求和分部恒等式。这个 SBP 性质是能量分析的关键，因为它允许把 Maxwell 方程中 $\partial_xE$ 与 $\partial_xH$ 的耦合项在离散能量中相互抵消，从而得到与连续能量恒等一致的离散关系。
第三，时间积分框架。Maxwell 方程可用显式 leapfrog 或隐式 trapezoidal。leapfrog 族保持显式、计算简单，但受 CFL 限制；梯形族无条件稳定，但每步需要隐式求解耦合的非线性方程组。材料方程用 trapezoidal 离散，保证二阶时间精度和能量对称性。非线性 $\chi$ 与 $E$ 的耦合使格式隐式，需在每步解关于 $E^{n+1},\chi^{n+1},P^{n+1},J^{n+1}$ 的方程。提供文本未给出具体非线性求解算法，只说明第 5 节描述数值实现。
第四，能量稳定性分析。对 leapfrog 族，作者使用 SBP 恒等式和算子正定性，将离散能量差表示为负定项加时间截断误差，从而在 CFL 条件下得到能量稳定。对梯形族，隐式对称的时间离散使能量恒等式无需 CFL 限制，因而无条件稳定。具体能量表达式和 CFL 条件在提供的第 10 页之后，无法确认。
第五，Richardson 外推。作者的关键观察是：对极限 Maxwell-Kerr-Lorentz 模型，梯形格式的时间误差展开只含 $\Delta t$ 的偶次幂，因此可以用经典 Richardson 外推从 $M$ 个逐次细化解消去低阶偶次误差，得到 $2M$ 阶时间精度。对含 Debye 弛豫的模型，修改指数积分器使误差展开同时含奇次和偶次幂，经典外推失效；作者构造修改 Richardson 外推，使用 $2M-1$ 个逐次细化解消去混合阶误差，得到 $(2M,2M)$ 精度。外推还引入额外的能量分析问题，作者在极限 Kerr 非线性下证明外推解具有关于时间一致的能量界。
第六，实现与验证。数值实验部分用孤子传播、自陡峭和奇次谐波产生测试格式，并验证理论收敛率。具体实现细节、非线性求解器、CFL 常数、误差表和与理论阶的定量比较，从提供内容中无法确认。
4. 与之前工作的比较
本文与已有工作的比较可以从几个层面展开。
第一，与经典 Yee-FDTD 及传统 FDTD 扩展相比。经典 Yee 格式在交错网格上离散 Maxwell 方程，空间和时间均为二阶，显式且无全局矩阵求逆，但数值色散误差较大。已有大量工作将 Yee-FDTD 扩展到线性色散、非线性及非线性色散介质，例如文中提到的多项工作。本文保留 Yee 型交错网格和 FDTD 的显式或半隐式结构，但把空间精度提升到任意偶数阶 $2M$，并在时间上通过 Richardson 外推提升到 $2M$ 阶。因此，相对于经典二阶 FDTD，本文的推进是高阶精度和保结构性质的结合，而不是单纯提高格式阶数。
第二，与高阶 Yee-FDTD 工作相比。文中提到的高阶 Yee-FDTD 工作分别在线性介质和非线性介质中发展。本文的差别在于同时处理非线性 Kerr-Debye 弛豫与线性 Lorentz 色散，并证明 AP、PP 和离散能量稳定性。作者采用已有工作的高阶空间离散和隐式 trapezoidal 时间离散思路来构造无条件稳定族，但把模型从极限 Kerr-Lorentz 推广到含 Debye 弛豫的 Kerr-Debye-Lorentz，并针对刚性弛豫引入修改指数积分器。
第三，与间断 Galerkin 保结构方法相比。作者明确指出，本文是将在 DG 框架中已有的 AP-PP 和能量稳定方法扩展到 FDTD 设置。特别是已有工作提出了修改指数时间积分器，用于 DG 离散中的 Kerr-Debye 方程，保证 AP、PP 和能量稳定。本文沿用该修改指数积分器，但空间离散从 DG 变为高阶交错 Yee 型有限差分，时间离散也改为 leapfrog 或 trapezoidal，并需要重新建立 SBP 恒等式和离散能量分析。因此，本文的推进在于证明这些性质可以在 FDTD 框架中实现，从而提供计算更高效、实现更灵活、并行更直接的替代方案。代价是 FDTD 的高阶空间算子构造和能量证明与 DG 不同，且显式 leapfrog 族仍受 CFL 条件限制，而隐式梯形族需要求解非线性隐式系统。
第四，与修改指数积分器的 AP-PP 方法相比。两者都处理 $\partial_t\chi=-(\chi-E^2)/\varepsilon$，并都追求 $\varepsilon\to0$ 时的 AP 性质和 $\chi$ 的 PP 性质。区别在于：本文的格式空间精度为 $2M$ 阶，时间基础精度为二阶，并进一步通过 Richardson 外推达到 $2M$ 阶；而已有 AP-PP 方法在 DG 框架中讨论 AP-PP 和能量稳定，本文将其迁移到 FDTD。本文还显式指出修改指数积分器的二阶一致性关于 $\varepsilon$ 不一致，在 $\Delta t/\varepsilon=O(1)$ 的过渡区可能降阶，而固定 $\varepsilon$ 且 $\Delta t\ll\varepsilon$ 时恢复二阶。这一限制在已有工作中可能也存在，但本文在 FDTD 上下文中明确指出。
第五，与高阶能量稳定方法相比。文中说作者 following 已有工作构造基于二阶 trapezoidal 时间离散的隐式族，同时保持空间高阶交错离散。本文的推进包括：加入 Kerr-Debye 弛豫的非线性 ADE，采用修改指数积分器；为 leapfrog 族建立 CFL 下的能量稳定；为梯形族建立无条件能量稳定；以及为两类模型分别设计 Richardson 和修改 Richardson 外推，获得 $(2M,2M)$ 精度。代价是外推需要多个逐次细化解，计算量和存储量增加；对含 Debye 弛豫的模型，外推需要 $2M-1$ 个解，而极限 Kerr-Lorentz 只需 $M$ 个解。
第六，与其他数值方法相比。文中还提到有限元、高阶 DG、有限体积和 Godunov 方法。本文没有与这些方法做全面的计算效率比较。作者强调 FDTD 的优点是显式、简单、易于并行，适合材料属性依赖局部场的非线性问题。但提供文本只到第 10 页，未包含数值比较章节，因此无法确认本文在精度、效率、鲁棒性上相对于 DG 或 FEM 的实际优势。作者未显式展开与所有前人工作的定量比较。
第七，适用范围的推进与局限。本文把高阶梯形 FDTD、修改指数积分器、保正性和能量稳定性统一在一个框架中，并处理了从弛豫 Kerr-Debye 到极限 Kerr-Lorentz 的渐近过渡。局限包括：分析主要在一维周期边界下进行；高阶空间离散要求解足够光滑；修改指数积分器在 $\Delta t/\varepsilon=O(1)$ 时可能损失时间精度；显式 leapfrog 族受 CFL 约束；隐式梯形族和外推格式的每步计算更复杂；非周期边界和实际光学器件中的反射、吸收边界条件在提供内容中尚未展开。总的来说，本文的推进方向与已有 AP-PP 和高阶能量稳定工作密切相关，但把保结构高阶方法从 DG 扩展到了 FDTD，并增加了 Richardson 外推的高阶时间精度分析。
3. 三次薛定谔方程的傅里叶能量层
Fourier Energy Strata for the Cubic Schrödinger Equation
作者: Yulin Xie
类别: math.AP, math.NA
发布日期: 2026-10-04
arXiv ID: 2610.05165v1
摘要翻译: 我们证明在 $\mathbb T_π\times\mathbb T_1$ 上弱非线性三次薛定谔方程的傅里叶层能量的几何层级，并保留其非平凡共振动力学。对于位于一个矩形中的初始傅里叶支集，构造嵌套矩形，使其半宽为初始半宽的 $(2j+1)$ 倍；层是相邻矩形之差。在 $0\le t\le Tδ^{-1}$ 上，层 $j$ 中的能量，由其平方 $H^1$ 范数度量，对 $1\le j\le N$ 至多为 $C_Nδ^{2j}$；第 $N$ 个矩形外的能量至多为 $C_Nδ^{2N+2}$。这些界在一致 $H^s$ 界（$s>2$）下对每个固定深度 $N$ 成立，常数依赖于 $N$。在散焦情形，Sobolev 界对每个固定 $T$ 成立。我们还获得对于一个坐标中有界的支集以及几何衰减的初始傅里叶尾部的层估计。证明使用一个过滤 Poincare-Dulac 正规形：输入层选择哪些非共振相互作用被移除，而相同的层权重控制方程中留下的相互作用。有限坐标变换和稳定性估计将这一层级转移到精确解。
Comment: 25 pages, no figures
链接: http://arxiv.org/abs/2610.05165v1
1. 研究对象和背景
本文研究弱非线性三次薛定谔方程在共振矩形环面上的长时间傅里叶能量分布. 具体方程是
$$i\partial_t u^\delta=-\Delta u^\delta+\lambda\delta |u^\delta|^2u^\delta,\quad u^\delta(0)=u_0\in H^s(\mathbb T_\pi\times\mathbb T_1),\ s>2,$$其中 $\lambda\in\{-1,+1\}$ 分别对应聚焦与散焦非线性, $0<\delta\le1$ 是弱非线性强度, $\mathbb T_L=\mathbb R/(L\mathbb Z)$, 主环面取 $L=\pi$, 另一个方向周期为 1. 归一化 Haar 测度下, 傅里叶基为 $e_{m,n}=e^{2imx+2\pi i n y}$, 线性频率为 $\omega_{m,n}=4m^2+4\pi^2n^2$, 并记 $\langle k\rangle=(1+\omega_k)^{1/2}$. 三次薛定谔方程是光学中强度相关折射的慢变包络模型, 也是水波理论中的典型模型; 其在环面上的周期版本用来研究非线性相互作用如何在傅里叶模态之间重新分配能量. 由于 $\delta$ 虽小, 在时间 $T\delta^{-1}$ 上其累积效应可达 $O(1)$, 共振能量交换不能当作小修正丢弃, 因此该问题同时涉及长时间稳定性和共振动力学. 本文的目标是证明一个几何式的傅里叶层能量等级: 若初始傅里叶支撑位于矩形 $B_0$ 内, 则把半宽分别放大为原来的 $2j+1$ 倍, 得到嵌套矩形 $B_j$, 层 $\Gamma_j=B_j\setminus B_{j-1}$ 是相邻矩形之差. 对层能量和外层尾部定义
$$E_j^\delta(t)=\sum_{k\in\Gamma_j}(1+\omega_k)|\widehat{u^\delta_k}(t)|^2,\quad E_{>N}^\delta(t)=\sum_{k\notin B_N}(1+\omega_k)|\widehat{u^\delta_k}(t)|^2.$$本文要在 $0\le t\le T\delta^{-1}$ 上证明第 $j$ 层能量至多 $C_N\delta^{2j}$ ($1\le j\le N$), 而 $B_N$ 之外的总尾部能量至多 $C_N\delta^{2N+2}$. 这一结论比仅仅控制某个固定盒子外的总泄漏更强, 因为它对每一个有限深度都给出逐层增益 $\delta^2$. 已有文献中, Staffilani 和 Wilson 研究同一类无势散焦三次薛定谔方程在无理矩形环面上的小数据长时间行为, 用部分正规形和三次共振的坐标结构控制初始傅里叶盒的泄漏, 给出 Sobolev 比较估计, 其误差关于初始振幅是三次的. 其他非共振能量层结果, 如 Gauckler-Lubich 的傅里叶作用量近守恒, Gauckler 的加权能量层, Gauckler-Hairer-Lubich-Weiss 的波方程亚稳能量层, Faou-Gauckler-Lubich 的平面波轨道稳定性, 通常依赖非共振条件或排除某些质量参数, 并且不直接处理本文中保留的非平凡共振. 对于共振 NLS, Colliander 等人在标准二维环面上构造高 Sobolev 范数的有限大增长, Carles 和 Faou 用五模态数据描述高模产生, 无理环面上的准共振 Sobolev 增长也提醒不能把所有时间尺度上的局域化简单外推. 本文试图补的空白正是: 在保留非平凡共振动力学的前提下, 把外层泄漏控制细化为任意固定有限深度的几何层估计, 并同时给出总外层尾部的界. 方法上采用过滤 Poincaré-Dulac 正规形, 由输入傅里叶层选择每阶要消去的非共振相互作用, 而同一套层权重又用来控制留在方程中的相互作用. 此外, 作者还处理仅在一个坐标方向有界的带状支撑和几何衰减的初始傅里叶尾部, 并指出周期 $\pi$ 可替换为任意固定 $L>0$ 且 $L^2\notin\mathbb Q$.
2. 主要定理或主要结果
主要结果是定理 2.3. 先设 Assumption 2.1 (精确解包络): 存在 $\bar\delta\in(0,1]$ 和 $R_s<\infty$, 使得方程 (2.1) 的解在 $[0,T\delta^{-1}]$ 上存在, 且
$$\sup_{0<\delta\le\bar\delta}\sup_{0\le t\le T\delta^{-1}}\|u^\delta(t)\|_{H^s}\le R_s.$$对散焦情形 $\lambda=+1$, 若 $s>2$, $u_0\in H^s$, 则引理 2.2 证明该包络对每个固定 $T>0$ 成立, 且可取 $\bar\delta=1$, 常数可依赖 $T,s,u_0$. 这是周期 $H^s$ 版本的 Brézis-Gallouët 论证. 聚焦情形则保留 Assumption 2.1; 局部 $H^s$ 理论对足够小的 $T$ (依赖 $\|u_0\|_{H^s}$) 提供该假设. 然后固定 $N\ge1$. 对矩形选择
$$B_j=\{(m,n): |m|\le(2j+1)M_0,\ |n|\le(2j+1)N_0\},\quad \Gamma_j=B_j\setminus B_{j-1},\ B_{-1}=\varnothing.$$定理断言: 存在 $C_N<\infty$ 和 $\delta_N^*>0$ (不依赖 $\delta$), 令 $\delta_N=\min\{\bar\delta,\delta_N^*\}$, 则对所有 $0\le t\le T\delta^{-1}$ 和 $0<\delta\le\delta_N$ 有 (i) 若 $\operatorname{supp}\widehat{u_0}\subset B_0$, 则
$$\sup_t\|P_{\Gamma_j}u^\delta(t)\|_{H^1}\le C_N\delta^j\quad(1\le j\le N),\qquad \sup_t\|P_{B_N^c}u^\delta(t)\|_{H^1}\le C_N\delta^{N+1}.$$等价地, 层能量满足
$$\sup_t E_j^\delta(t)\le C_N^2\delta^{2j},\quad \sup_t E_{>N}^\delta(t)\le C_N^2\delta^{2N+2}.$$(ii) 对两种带状选择
$$B_j=\mathbb Z\times\{n: |n|\le(2j+1)N_0\}\quad\text{或}\quad B_j=\{m: |m|\le(2j+1)M_0\}\times\mathbb Z,$$初始支撑在 $B_0$ 内时, 同样的估计成立. (iii) 对矩形选择, 若 $E_*>0$, $0<\eta<1$, 且初始层能量满足
$$\|P_{\Gamma_j}u_0\|_{H^1}^2\le E_*\eta^j\quad(j\ge0),$$则存在 $C_{N,E_*}$ (可依赖 $E_*$ 但不依赖 $0<\eta<1$) 使得
$$\sup_t\|P_{\Gamma_j}u^\delta(t)\|_{H^1}\le C_{N,E_*}(E_*^{1/2}\eta^{j/2}+\delta^j),\quad 1\le j\le N,$$$$\sup_t\|P_{B_N^c}u^\delta(t)\|_{H^1}\le C_{N,E_*}\left(\frac{E_*^{1/2}\eta^{(N+1)/2}}{\sqrt{1-\eta}}+\delta^{N+1}\right).$$相应地, $\sup_t E_j^\delta(t)\le 2C_{N,E_*}^2(E_*\eta^j+\delta^{2j})$. 常数对两个符号 $\lambda$ 都可选取. 对散焦方程, 引理 2.2 自动提供包络, 因此不需要额外的解包络假设; 此时 $\bar\delta=1$, 但正规形阈值 $0<\delta\le\delta_N$ 仍然保留. 定理还允许把周期 $\pi$ 替换为任意固定 $L>0$ 且 $L^2\notin\mathbb Q$, 常数依赖 $L$. 需要强调, 常数不必关于 $N$ 或纵横比一致; 与 $\eta$ 的一致性来自共同的 $H^s$ 包络, 因子 $(1-\eta)^{-1/2}$ 来自对初始外层能量的求和. 此外, 文中提到定理 3.3 建立坐标变换在合适区域上的可逆性, 但提供摘录未包含其完整陈述; 从现有内容可以确认这用于把正规形后的动力学和精确解连接起来.
3. 研究方法、关键技术和核心工具
核心技术障碍是: 虽然 $\delta$ 小, 但时间尺度 $T\delta^{-1}$ 使非线性累积效应达到 $O(1)$, 共振能量交换不能丢弃; 同时每向外一层必须额外获得 $\delta^2$ 增益, 仅靠整体局域化或总能量控制不够. 作者的创新是过滤 Poincaré-Dulac 正规形: 与完整正规形不同, 它只消去由输入傅里叶层选中的非共振相互作用, 而保留其余非共振项和所有共振项; 消去项由一个可控坐标变换处理, 保留项则由同一套层权重估计控制. 证明框架如下.\n\n(1) 相互作用变量与分裂. 令 $a_k(t)=e^{i\omega_k t}\widehat{u^\delta_k}(t)$, 则
$$\frac{da_k}{dt}=-i\lambda\delta\sum_{k_1-k_2+k_3=k}e^{-i\Omega t}a_{k_1}a_{k_2}a_{k_3},\quad \Omega=\omega_{k_1}-\omega_{k_2}+\omega_{k_3}-\omega_k.$$简写 $da/dt=\delta F(t,a)$. 按 $\Omega=0$ 和 $\Omega\ne0$ 分裂 $F=RF+NF$, 其中 $R$ 选共振项, $N$ 选非共振项.\n\n(2) 层投影与过滤规则. 取终端深度 $K=N+1$, 对选定几何定义 $P_j=P_{\Gamma_j}$ ($0\le j 于是 $F=RF+Q_{K,1}NF+E_{0,K}$, 并记 $C_0=RF+E_{0,K}$. 注意 $C_0$ 不全是共振项. 对要消去的部分解同调方程 $\partial_tG_1=Q_{K,1}NF$, 通过积分振荡因子得到 这里关键是要对选中项证明 $1/|\Omega|$ 的一致下界, 并在 $h^s$ 上估计三线性卷积; 文中引理 3.1 和 3.2 给出这些估计, 证明在附录 B. 然后作坐标变换 $a=b+\delta G_1(t,b)$.\n\n(3) 精确变换后的方程. 对 $F(b+\delta g)$ 作关于 $\delta$ 的泰勒展开, 由于非线性是三次的, 展开在四阶截断. 链式法则导致 $(I+\delta D_bG_1)db/dt=\delta F(t,b+\delta G_1)-\delta\partial_tG_1$. 利用 $F-\partial_tG_1=C_0$ 并精确求逆, 得到 第一行保留原始三次共振和; 第二行保留输入层指标满足 $j_1+j_2+j_3\ge K$ 的非共振项, 这些项将在第 4 节用层权重控制; 第三行包含显式计算的五次修正 $H_1=V_1-D_bG_1[C_0]$ 和精确高阶余项.\n\n(4) 递推. 设 $v^{[0]}=a$, 经过 $q-1$ 次变换后写成 $\partial_tv^{[q-1]}=\delta X^{[q-1]}_\delta(t,v^{[q-1]})$. 对 $\delta$ 作泰勒展开, 得到系数 $H_{q-1}$ 和精确余项 $T_{q-1}$. $H_{q-1}$ 是 $2q+1$ 次多项式, 有 $q+1$ 个 $z$ 因子和 $q$ 个 $\bar z$ 因子. 一般多线性和在替换一个 $z$ 槽为同型单项式时内部频率抵消, 故可写成 其中乘子 $c$ 包含早先的层限制和相位分母, 且关于傅里叶指标一致有界. 选择消去块 由 $\partial_tG_q=Q_{K,q}NH_{q-1}$ 定义 $G_q=SQ_{K,q}NH_{q-1}$, 其中 $S$ 把 $ce^{-i\Omega t}$ 送到 $ce^{-i\Omega t}/(-i\Omega)$ ($\Omega\ne0$), 在共振部分取零. 作坐标变换 $v^{[q-1]}=z+\delta^qG_q(t,z)$, 并令 $A_q=I+\delta^qDG_q$, 得到精确新方程 再作泰勒展开得到 在最后一步 $q=K$ 停止, 并令 $R_K=U_K$. 文中给出余项估计
则给出相应的 $h^s$ 多线性有界性. 提供摘录在此处截断, 完整证明见附录 B. 引理 3.2 提供相位分母的一致下界估计. 这些估计是过滤正规形中消去项能被坐标变换控制、保留项能被层能量估计控制的技术基础.\n\n(6) 从近似到精确解. 有限次坐标变换后, 需要用稳定性估计把分层近似解的能量等级转移到精确解. 第 4 节正是证明精确解的估计; 第 5 节通过一个五次例子和稳定性计算讨论结果的极限. 提供摘录未包含第 4、5 节和附录的细节, 因此无法确认其中具体常数、稳定性论证和五次例子结论的完整形式.
4. 与之前工作的比较
最接近的前人工作是 Staffilani 和 Wilson [18]. 他们研究同一类无势散焦三次薛定谔方程在无理矩形环面上的小数据长时间行为. 对 $\lambda=+1$, 作标度 $v=\sqrt\delta u^\delta$ 可把本文方程化为他们的小数据形式, 只差符号约定. 因此本文的时间尺度 $0\le t\le T\delta^{-1}$ 可通过振幅和时间重标度与他们的小数据长时间问题以及固定时间区间上的高振荡问题相联系; Liu, Wang 和 Zhao [17] 正是利用这些联系和两尺度格式在等边周期区域上构造数值积分器. 本文选择弱非线性表述, 是为了逐阶组织正规形并追踪 $\delta$ 的幂次在傅里叶能量等级中的位置. Staffilani 和 Wilson 使用部分正规形约化以及三次共振的坐标方向结构来控制初始傅里叶盒的泄漏; 他们的证明给出关于初始振幅三次的 Sobolev 比较估计, 并保留非平凡共振和某些涉及高模的非共振相互作用. 本文的推进是把他们的外层泄漏控制细化为通过每个固定有限深度的几何层估计, 并加上总外层尾部的界. 与相关非共振能量层结果相比, 本文保留并控制非平凡共振. 正如作者指出, 整体局域化或总能量控制不能给出逐层越来越尖锐的泄漏界; 本文通过按输入傅里叶层过滤非共振项来克服: 被选中的项允许受控坐标变换, 而同一套层权重控制留在分层近似中的项.\n\n在非共振 NLS 的长时间稳定性方面, 正规形 [1,3,15] 和 Galerkin 平均 [2] 提供更广泛框架. 对带非共振卷积势的 NLS, Gauckler 和 Lubich [13] 证明傅里叶作用量在任意多项式时间上的近守恒; Gauckler [11, Corollary 2.16] 对小且足够正则的数据得到奇数倍频带中的加权能量层; Gauckler, Hairer, Lubich 和 Weiss [12] 用调制傅里叶展开证明弱非线性波方程的亚稳能量层, 在有界质量区间内固定深度时排除有限多个质量参数; Faou, Gauckler 和 Lubich [9] 对小正则扰动和满足约化非共振条件的满测度线性稳定质量参数证明平面波轨道稳定性在任意多项式时间上成立. 本文的估计既不需要这种质量参数选择, 也不需要接近单个平面波. 这是一处重要差别: 本文处理的是共振环面上的立方 NLS, 其共振动力学被保留, 而不是通过非共振条件消去.\n\n在共振 NLS 方面, Colliander 等 [8] 在标准二维环面上构造高 Sobolev 范数的有限大增长; Carles 和 Faou [6] 通过共振振幅方程描述从五模态数据产生高模; 无理环面上的准共振 Sobolev 增长 [14] 提醒不能把局域化外推到所有更长时间尺度. 本文的时间尺度是 $T\delta^{-1}$ (固定 $T$), 并不是任意多项式时间, 也不是无限时间. 因此它并不与 Sobolev 增长结果矛盾, 而是给出在弱非线性长时间尺度内的逐层局域化.\n\n在适用范围和代价方面, 本文的定理对每个固定深度 $N$ 成立, 常数 $C_N$ 依赖 $N$ 和纵横比, 作者明确说明常数不必关于 $N$ 或纵横比一致. 因此它不能直接推出 $N\to\infty$ 的一致估计或全傅里叶空间的整体局域化. 时间尺度固定为 $0\le t\le T\delta^{-1}$, 不是任意多项式时间; 正规形阈值 $0<\delta\le\delta_N$ 也依赖 $N$. 对聚焦情形, 需要 Assumption 2.1 的 $H^s$ 包络; 对散焦情形, 引理 2.2 用 Brézis-Gallouët 论证自动提供该包络, 但仍需正规形小性阈值. 初始支撑限制为矩形、单坐标有界的带状, 或几何衰减尾部; 后一种情形允许傅里叶支撑在两个方向都无界, 但初始层能量需满足 $\|P_{\Gamma_j}u_0\|_{H^1}^2\le E_*\eta^j$, 并且外层界含有因子 $(1-\eta)^{-1/2}$. 与 Staffilani-Wilson 相比, 本文给出了更强的逐层几何衰减和总外层尾部界, 但代价是常数依赖深度 $N$, 并且需要更细的过滤正规形构造.\n\n还有一些比较维度在提供内容中无法完整确认: 作者没有在摘录中给出与 [18] 的逐项常数、初始振幅大小或时间尺度的精确数值比较; 也没有给出第 4、5 节中稳定性估计和五次例子所揭示的极限的完整陈述. 因此, 关于本文是否在最优性、常数对 $N$ 的依赖或能否推广到任意多项式时间等方面, 从提供内容中无法确认. 作者明确提到的比较对象包括 [18], [17], [13], [11], [12], [9], [8], [6], [14] 等, 本文与它们的核心区别是: 在保留共振动力学的同时, 通过过滤正规形得到逐层能量等级, 而不是依赖非共振条件、质量参数排除或单平面波邻近性.
4. 二维和三维弹性 Helmholtz 方程的色散校正紧致有限差分离散化
Dispersion-corrected compact finite difference discretizations for the elastic Helmholtz equation in two and three dimensions
作者: Rachel Yovel, Eli Turkel, Eran Treister
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-04
arXiv ID: 2610.05110v1
摘要翻译: 我们为弹性 Helmholtz 方程发展了一族紧致的、色散校正的、基于 marker-and-cell (MAC) 的有限差分离散化。尽管色散校正对于标量 Helmholtz 问题已经成熟，但针对弹性问题的办法较少，且大多使用非紧致模板。为此，我们引入一个广义 MAC (GMAC) 框架，该框架能够对弹性 Helmholtz 方程进行紧致离散化。我们证明，尽管 GMAC 是非对称的，该离散化不产生数值耗散，也不产生剪切模式分离。对于某些权重，GMAC 比标准 MAC 具有更低的极化误差。我们还引入一个弹性色散校正 (EDC) 过程，将实移位波数色散校正方法从声学 Helmholtz 问题推广到弹性 Helmholtz 问题。我们证明并数值表明 GMAC 是二阶精确的。此外，我们表明 EDC 显著降低了标准 MAC 的色散，并且在某些 GMAC 情形下能够提供额外校正。色散分析表明，所得方法在色散精度方面优于现有的紧致有限差分离散化，并与一些非紧致格式具有竞争力。我们给出数值证据，表明在弱非均匀介质中相位对齐得到改善。
Comment: 28 pages, 8 figures
链接: http://arxiv.org/abs/2610.05110v1
1. 研究对象和背景
论文研究频率域弹性 Helmholtz 方程及其紧凑有限差分离散化. 声学 Helmholtz 方程作为参考问题为
$$ -\Delta p - k^2 p = q, $$其中 $p$ 为压力场的 Fourier 变换, $q$ 为源, $k=\kappa\omega$ 为波数, $\kappa$ 为慢度, $\omega=2\pi f$ 为角频率. 弹性版本在各向同性、无衰减介质中由位移 $\vec u$ 满足
$$ \nabla \lambda \nabla\cdot\vec u + \vec\nabla\cdot\mu(\vec\nabla\vec u + \vec\nabla\vec u^T) + \rho\omega^2\vec u = \vec q_s, $$常系数时等价于
$$ \nabla(\lambda+\mu)\nabla\cdot\vec u + \vec\nabla\cdot\mu\vec\nabla\vec u + \rho\omega^2\vec u = \vec q_s, $$其中 $\lambda,\mu$ 为 Lamé 系数, $\rho$ 为密度, $\vec q_s$ 为源. 压力波与剪切波速度及波数为
$$ V_p=\sqrt{(\lambda+2\mu)/\rho},\quad V_s=\sqrt{\mu/\rho},\quad k_p=\omega/V_p,\quad k_s=\omega/V_s. $$泊松比 $\sigma=\lambda/(2(\lambda+\mu))$, 近不可压介质对应 $\sigma\to 0.5$. 引入压力变量 $p=-(\lambda+\mu)\nabla\cdot\vec u$ 后, 方程可写成鞍点形式, 其耦合块包含 $\vec\nabla\cdot\mu\vec\nabla+\rho\omega^2$、$-\nabla$ 与 $\nabla\cdot$, 第二块为 $\frac{1}{\lambda+\mu}I$. 该鞍点形式自然适合 MAC 交错网格: 位移分量位于面, 压力位于单元中心. 频率域波传播在声学、电磁、地震成像和全波形反演中很重要, 脑断层与空洞检测等应用需要弹性模型. 有限差分离散的主要困难是高频污染误差: 二阶格式需要 $N\propto (kl)^{3/2}$ 个网格点, 实践中常用 10–25 点每波长; 弹性波包含剪切波与压力波, 剪切波波数更高, 需要更细网格. 声学 Helmholtz 的色散校正已较成熟, 包括紧凑高阶 Padé 格式、优化权重和实移位波数方法; 弹性情形则方法较少, 且大多使用非紧凑模板. 已有频率域弹性格式 [32] 虽降低色散但模板非紧凑, [33] 比较表明紧凑格式为达到同等精度可能需要约 3 倍网格点. [17] 的紧凑弹性格式也未达到声学格式的校正程度. 难点在于同时对齐剪切波与压力波, 两者波数不同, 泊松比越大差异越明显. 本文试图填补这一空白: 构造紧凑、可色散校正的弹性 Helmholtz 离散, 并使其色散精度与现有非紧凑格式竞争.
2. 主要定理或主要结果
本文主要结果分为 GMAC 框架、EDC 过程和理论/数值性质. 首先, 作者提出广义 MAC (GMAC) 框架. 在二维中, 定义加权一阶导数
$$ (\partial_{x_1})_h^a = a(\partial_{x_1})^{\text{standard}}_{h/2} + (1-a)(\partial_{x_1})^{\text{spread}}_{h/2}, $$其中标准导数为 $\frac{1}{h}[-1,*,1]$, 扩展模板为 $\frac{1}{4h}$ 的六点模板. 梯度取 $\nabla_h^a=((\partial_{x_1})_h^a,(\partial_{x_2})_h^a)^T$, 散度取 $(\nabla\cdot)_h=((\partial_{x_1})_{h/2},(\partial_{x_2})_{h/2})$. 质量项 $M^{b,c}$ 采用与声学九点模板类似的形式, 但将 $k^2$ 替换为 $\rho\omega^2$. GMAC 离散为
$$ H^{[a,b,c]}\begin{pmatrix}\vec u\\p\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\vec\nabla_h^T A_e(\mu)\vec\nabla_h^a + M^{b,c}A_f(\rho) & (\nabla\cdot)_h^T \\ (\nabla\cdot)_h^a & \mathrm{diag}(1/(\lambda+\mu)) \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\vec u\\p\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\vec q_s\\0\end{pmatrix}, $$其中 $A_e(\mu)$ 与 $A_f(\rho)$ 为边平均和面平均对角矩阵. 二维情形中 [40] 的离散是 GMAC 在 $a=b=2/3,c=1/3$ 时的特例; 一般权重提供额外自由度以降低色散. 三维中, 作者构造一般对称 19 点 Laplacian, 它是标准二阶 Laplacian 与 skew Laplacian 的凸组合, 参数为 $a$, 且 $a=1/3$ 时退化为四阶 Laplacian. 相应地给出一阶导数模板, 使 $(\nabla\cdot)^a_h\nabla_h=\Delta^{19pt}$. 质量项用一般 19 点模板 $M^{b,c}$, 其中 $[b,c]=[1/2,1/2]$ 给出七点四阶质量. 由此定义三维 GMAC 鞍点离散. 其次, 作者证明 GMAC 虽非对称, 但不产生数值耗散; 在三维中不出现剪切模式分离, 即两个剪切模态始终重合. 对任意权重 $a,b,c$, GMAC 是二阶精确的; 数值实验也验证了这一点. 某些权重下 GMAC 的极化误差低于标准 MAC. 第三, 作者提出弹性色散校正 (EDC) 过程, 将声学中的实移位波数色散校正推广到弹性情形. 设 $t_s,t_p$ 分别为剪切波与压力波对应的最优声学移位常数. EDC 步骤为: (1) 令 $\omega^*=t_s\omega$, 先校正剪切波; (2) 计算
$$ s=\frac{t_s^2}{t_p^2}+\left(\frac{t_s^2}{t_p^2}-1\right)\frac{2\mu}{\lambda}; $$(3) 令 $\lambda^*=s\lambda$. 该选择使得 $k_s^*=t_s k_s$, 同时 $k_p^{**}=\frac{t_p}{t_s}k_p^*=t_p k_p$, 从而同时对齐剪切与压力波. 所需的 $t_s,t_p$ 可来自声学色散校正的优化值, 例如 [26] 的逐 $G$ 优化移位或 [27] 的渐近闭式移位. 作者证明并数值展示 EDC 能显著降低标准 MAC 的色散, 并在某些 GMAC 权重下提供额外校正. 第四, 通过采样离散算子的 Fourier 符号进行色散分析, 作者比较了 GMAC 与现有紧凑有限差分格式, 表明其相位对齐显著更好, 并与一些非紧凑格式有竞争力. 数值实验还显示在轻度非均匀介质中相位对齐改善. GMAC 的二阶精度在二维和三维数值中被验证, EDC 进一步降低截断误差. 作者未在提供内容中给出具体定理编号, 但从文本可确认上述结论均为文中证明或数值展示的结果.
3. 研究方法、关键技术和核心工具
技术障碍在于弹性色散校正必须同时对齐两个不同波数的波: 剪切波 $k_s$ 与压力波 $k_p$. 对于给定网格, 每剪切波长网格数 $G_s$ 与每压力波长网格数 $G_p$ 不同, 因此声学中简单的 $\omega^*\ne\omega$ 替换会校正剪切波却在压力波中引入错位. 此外, GMAC 由于使用加权而非对称模板, 其离散矩阵非对称, 需要证明它不引入数值耗散且不导致剪切模式分离. 这两个问题是作者分析的核心. 第一项核心工具是 GMAC 构造. 作者不直接离散二阶弹性算子, 而是从混合鞍点形式出发, 通过兼容的梯度与散度构造 Laplacian. 二维中, 将一阶导数写成标准模板与扩展模板的凸组合, 使其乘积仍为紧凑九点 Laplacian. 这样既保持模板紧凑, 又引入权重 $a$ 作为色散调节参数. 质量项采用带权重 $b,c$ 的九点模板, 提供额外自由度. 三维中, 这一思想被推广为一般 19 点 Laplacian: 先注意四阶 Laplacian 可写成标准二阶 Laplacian 与 skew Laplacian 的凸组合, 再构造相应的一阶导数模板, 使散度与梯度之积产生该 19 点 Laplacian. 质量项也推广为一般 19 点模板. 这些构造的实质创新是: 它把声学紧凑色散校正格式中的权重自由度系统地移植到弹性鞍点混合形式, 同时保持 MAC 网格的紧凑性和边界条件处理便利性. 第二项核心工具是 EDC. 作者没有简单地对整个方程使用同一个移位波数, 而是先移位 $\omega$ 以校正剪切波, 再通过修改只影响压力波速度的 Lamé 系数 $\lambda$ 来修正压力波. 推导出修正因子
$$ s=\frac{t_s^2}{t_p^2}+\left(\frac{t_s^2}{t_p^2}-1\right)\frac{2\mu}{\lambda}, $$并证明 $\lambda^*=s\lambda$ 与 $\omega^*=t_s\omega$ 联合可给出 $k_s^*=t_s k_s$ 和 $k_p^{**}=t_p k_p$. 这一步将弹性色散校正归约为两个声学色散校正问题, 从而可以直接调用 [26] 或 [27] 等声学移位方法. 第三项核心工具是符号分析. 作者定义连续和离散色散关系为算子 Fourier 符号的核, 对模板 $S$ 用 $\widehat A_h(\theta)=\sum s_{l,m}e^{i(l\theta_1+m\theta_2)}$ 计算符号. 通过分析 GMAC 鞍点系统的符号, 作者证明尽管矩阵非对称, 符号的特征值没有导致数值耗散的部分; 在三维中进一步证明两个剪切模式的特征值始终相等, 因而不发生剪切模式分离. 作者还引入压力极化误差与剪切极化误差的定义, 用于量化矢量方程特有的误差. 第四项工具是截断误差展开与数值验证. 作者通过 Taylor 展开证明 GMAC 对任意权重 $a,b,c$ 具有二阶精度, 并用数值实验展示 EDC 可降低截断误差. 还通过采样 Fourier 符号在多个传播方向和不同每波长网格数下比较色散, 并给出轻度非均匀介质的数值证据. 需要指出, 从提供内容中无法确认作者是否给出了无耗散与无剪切模式分离的完整逐条引理编号, 但上述证明思路在摘要与正文第 5 节中有明确陈述.
4. 与之前工作的比较
与既有工作相比, 本文的推进主要体现在三个方面. 第一, 声学 Helmholtz 的紧凑色散校正已有丰富结果: [18] 给出基于 Padé 的四阶紧致九点模板; [25] 用三个参数 $a,b,c$ 描述一般对称九点模板, 并通过在整个传播方向和不同 $G$ 上最小化 $L^2$ 色散误差选择全局权重, 报告 $G\ge 4$ 时最优 $[a,b,c]=[0.5461,0.6248,0.37524]$; [26] 进一步对每个 $G$ 优化权重并引入实移位波数 $k^*$, 例如 $G=4$ 时 $[a,b,c]=[0.6054,1.0532,0.0002]$, $k^*=0.87725k$, $G=2.5$ 时 $[a,b,c]=[0.5324,1.0553,0.0003]$, $k^*=0.72186k$; [27] 给出渐近最优实移位的闭式表达式, 对 $G\ge 5$ 有效. 这些方法均针对标量声学方程, 不能直接用于弹性. 本文的 GMAC 将 [25] 型权重自由度与 [26]/[27] 型实移位机制推广到弹性鞍点形式, 其中 EDC 可视为从声学色散校正到弹性色散校正的归约. 第二, 弹性波离散方面, 时域或应力基格式 [28,29,30] 及边界元 [31] 已有色散研究; 频率域 [32] 提出色散减小的有限差分格式但模板非紧凑; [33] 比较非紧凑与紧凑离散, 指出紧凑格式为达到相同精度需要约 3 倍网格点; [17] 给出紧凑弹性格式, 但其校正程度不及声学格式. 本文的 GMAC 保持紧凑性, 同时色散精度优于现有紧凑弹性格式, 并与一些非紧凑格式竞争. 与标准 MAC 相比, GMAC 是推广, 包含 [40] 的二维格式作为 $a=b=2/3,c=1/3$ 的特例; 额外质量项自由度可进一步降低色散. 作者还证明 GMAC 非对称但不耗散、无剪切模式分离, 某些权重极化误差低于标准 MAC, 这些都是标准 MAC 或 [40] 未同时给出的性质. 第三, 在适用范围与代价方面, 本文方法为二阶精度, 而非四阶或更高阶; 其优势来自色散校正而非形式精度. EDC 目前针对常系数问题发展, 所需 $t_s,t_p$ 需由声学色散校正预先给出; 在轻度非均匀介质中仅提供数值证据, 未给出严格理论保证. 从提供内容中无法确认作者是否与所有前人工作做了定量逐项比较, 但文中明确将自身与 [17,25,26,27,32,33,40] 等进行了对照. 总体而言, 本文的推进是: 在弹性 Helmholtz 方程中首次系统构造紧凑、带权重自由度、可同时校正剪切与压力波的有限差分离散, 并在二维与三维中分析其色散、耗散、模式分离与极化误差.
了解领域论文（摘要翻译）
1. 神经PDE求解器中的奇异参数与缺失极限
Singular parameters and missing limits in neural PDE solvers
作者: Daniel Fernández
类别: math.NA, cs.LG
发布日期: 2026-10-05
arXiv ID: 2610.06770v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.06770v1
摘要翻译
中文标题: 神经PDE求解器中的奇异参数与缺失极限
摘要翻译: 偏微分方程（PDEs）的神经求解器可以在其参数无界增长的同时逼近精确解。在这种情况下，极限解在所选模型中可能没有有限表示，导致最佳损失无法达到。我们的分析将深度神经 tanh 网络中的缺失极限与无界的隐藏参数或日益冗余的神经元联系起来。对于一类由平移核构建的模型，我们描述了缺失函数，并通过向模型中加入核导数来恢复它们。这种补全使得在标准假设下可以达到最佳逼近。数值研究追踪了相关的参数增长，并探讨了补全如何影响 PDE 优化。
2. 曲面 Stokes-Cahn-Hilliard 系统：分析与保结构离散化
Surface Stokes-Cahn-Hilliard System: Analysis and Structure-Preserving Discretization
作者: Maxim Olshanskii, Mansur Shakipov
类别: math.AP, math.NA
发布日期: 2026-10-05
arXiv ID: 2610.06552v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.06552v1
摘要翻译
中文标题: 曲面 Stokes-Cahn-Hilliard 系统：分析与保结构离散化
摘要翻译: 我们研究描述黏性流体膜中切向流动与相分离的曲面 Stokes-Cahn-Hilliard 系统。该方程定义在闭的、静止的 $C^2$ 超曲面 $Γ\subset\mathbb{R}^{d+1}$ 上，$d=2,3$。对于常黏性和常迁移率以及一类正则双阱势，我们证明了对属于 $H^1(Γ)$ 的初始相场，弱解的全局存在唯一性，其中速度选取为与 Killing 场正交。这些解满足能量等式并保持质量守恒。我们建立了在每个有限时间区间上能量范数中的 Lipschitz 连续依赖性，包括对具有不同均值的初始数据，并在对曲面、势和初始数据附加光滑性假设下，对 $d=2$ 推导了更高正则性结果。我们还发展了一种全离散非拟合有限元方法，该方法保持总相守恒并满足精确的离散能量恒等式。该方法将关于近似 Killing 场的惩罚与输运项和毛细项中的投影相结合，以控制这些模态，同时保持能量平衡。数值实验考察了 Killing 场的识别，并展示了在环面和脂质体上、基于实验信息的材料参数下的相分离。
3. IGA-KAN：基于物理信息闭式 Kolmogorov-Arnold 网络的等几何分析，用于正问题和反问题 PDE
IGA-KAN: Isogeometric Analysis with Physics-Informed Closed-Form Kolmogorov-Arnold Networks for Forward and Inverse PDEs
作者: Sima Naraghi, Kourosh Parand, Amirhossein Sadr, Dara Rahmati
类别: math.NA, cs.LG
发布日期: 2026-10-05
arXiv ID: 2610.06348v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.06348v1
摘要翻译
中文标题: IGA-KAN：基于物理信息闭式 Kolmogorov-Arnold 网络的等几何分析，用于正问题和反问题 PDE
摘要翻译: 等几何分析（IGA）能够在精确 NURBS 几何上准确地求解偏微分方程，而神经求解器虽然无网格，但通常精度低若干数量级，并且通常通过无误差控制的非凸优化训练。我们提出 IGA-KAN，它使用局部 Kolmogorov-Arnold 网络，以闭式拟合，来改进 IGA 解而不是取代它。一次 IGA Galerkin 求解产生 u_h；在每个节点-顶点面片上，将一个 Kolmogorov-Arnold ridge 模型拟合到方程的强形式、精确边界数据和 u_h，并通过 IGA 帽函数混合这些模型。在固定内函数的情况下，拟合是一个批量线性最小二乘问题，无需优化器、学习率或初始化。一个由最大值原理界启发的后验防护机制决定在何处使用局部模型，其他区域保留 IGA 解。在具有精确解的八个基准上，其中五个来自文献，另有一个还设置在根据 MRI 脑切片拟合的域上，该方法在 Galerkin 未知量数目不变的情况下，在参考网格上将 IGA 的误差在 L^2 中降低 4.2 到 90 倍，在 H^1 中降低 4.1 到 220 倍，并且其 L^2 误差比在相同方程上以固定预算从头训练的最佳 Kolmogorov-Arnold 网络小 6 到 6x10^4 倍。在一个反问题中，它从一次无噪声观测中恢复未知常数源，比 IGA 准确 167 倍。该增益归因于 Galerkin 解的局部平均的超收敛性。
4. 面向物理信息学习的神经网络表示与样条表示的比较
Comparison of neural and spline representations for physics-informed learning
作者: R{é}gis Duvigneau
类别: math.AP, math.NA, math.OC
发布日期: 2026-10-05
arXiv ID: 2610.06294v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.06294v1
摘要翻译
中文标题: 面向物理信息学习的神经网络表示与样条表示的比较
摘要翻译: 物理信息机器学习近来作为求解偏微分方程的一种新范式而出现，其功能包括参数化建模与逆向设计，并使用神经网络来表示解场。然而，已有研究报告了关于此类网络训练的若干困难，导致收敛缓慢、解的精度低以及对超参数选择的敏感性。为了更好地理解这些困难背后的机制，本文提出在同一物理信息学习框架内，对神经网络表示与 B-Splines 表示进行严格的比较。针对四个具有闭式解的问题开展了数值研究，以从渐近收敛率、采样需求、损失函数最小化以及所需算术精度等方面，对这两种表示的精度与效率建立严格的分析。
5. 复杂混合三维网格上的非参数基于面的有限元方法
Nonparametric face-based finite element methods on complex hybrid three-dimensional meshes
作者: Aubin Brunel, J. -C. Latch{é}
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-05
arXiv ID: 2610.06208v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.06208v1
摘要翻译
中文标题: 复杂混合三维网格上的非参数基于面的有限元方法
摘要翻译: 在这项工作中，我们提出并分析低阶非协调基于面的有限元方法，用于复杂混合三维网格上的椭圆问题，这些网格由任意多面体单元组成。重点在于标量问题，但该方法可以以张量方式推广，以设计针对混合格式的经典 Crouzeix–Raviart 和 Rannacher–Turek 方法的推广。我们采用局部逼近空间的非参数构造。我们证明，在畸变网格上，它避免了通常由参数映射引起的逼近性质退化。使用这些逼近空间，我们为非常一般的单元定义了有限元格式。我们进一步证明，在严重退化的网格上，一种受间断 Galerkin 方法启发的方法能够消除一致性误差，即使存在可能弯曲的面。对于棱柱（三角形底面）和棱锥（四边形底面）单元，给出了多项式空间构造的显式例子。所得格式在理论上和数值上均被证明是稳定且收敛的，并具有最优收敛阶。
6. 向量不变形式可压缩 Euler 方程的熵稳定与良平衡间断 Galerkin 方法
Entropy-Stable and Well-Balanced Discontinuous Galerkin Methods for the Compressible Euler Equations in Vector-Invariant Form
作者: Marco Artiano, Kieran Ricardo, Oswald Knoth, Peter Spichtinger, Hendrik Ranocha
类别: math.NA, physics.ao-ph, physics.comp-ph
发布日期: 2026-10-05
arXiv ID: 2610.05820v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.05820v1
摘要翻译
中文标题: 向量不变形式可压缩 Euler 方程的熵稳定与良平衡间断 Galerkin 方法
摘要翻译: 我们在通量差分间断 Galerkin 谱元方法（DGSEM）框架内，针对以向量不变形式表示、并以位温作为预报变量的含重力可压缩 Euler 方程，发展了保结构方法。通过将非守恒项离散为对称和反对称乘积，我们推导出同时守恒热力学熵和总能量的两点数值通量。此外，我们设计了一个熵稳定数值通量，它对等温和等熵背景态均良平衡。所有性质都被证明可保持到一般曲线网格上的高阶 DGSEM。若干数值算例证实了理论发现，并表明该格式用于大气流动现代动力核心时具有鲁棒性和精度。
7. 参数化单调非线性与神经逼近的全局误差估计子
Global error estimators for parametric monotone nonlinearities and neural approximations
作者: Pablo Cortés Castillo, Wolfgang Dahmen, Jay Gopalakrishnan
类别: math.NA, stat.ML
发布日期: 2026-10-05
arXiv ID: 2610.05767v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.05767v1
摘要翻译
中文标题: 参数化单调非线性与神经逼近的全局误差估计子
摘要翻译: 我们为一类具有单调性性质的参数化非线性偏微分方程构造可计算的误差估计子，它们同时可作为神经网络的损失函数，并证明它们全局可靠且有效。这种损失函数的值被自然试探范数下的误差平方从上下方界定，且对每个试探函数成立，而不仅仅对接近精确解的试探函数成立；这一全局性质依赖于单调性。构造依赖于将非线性算子分裂为一个线性部分和一个强单调闭包，并依赖于在离散对偶范数中度量线性残差。由于当试探范数强于一个 $L_2$ 范数时，该闭包贡献的对偶范数没有闭式表达式，估计子围绕其一个可计算替代量构造，仅要求该替代量满足配对界和 Lipschitz 界。主定理随后给出具有显式常数的双边界，并涵盖两个实例。在协调试探空间上的一阶系统最小二乘估计子是所研究的第一个实例：其双边界在整个试探空间上成立，因此适用于任意逼近，包括那些不在离散有限元空间中的逼近。第二个实例是间断 Petrov-Galerkin 估计子，它针对每个参数值建立在有限元函数试探空间上，并用破碎检验空间构造；它不需要协调性，且对偶范数由独立的单元局部问题计算。所有假设都对一类模型非线性通量进行了验证，其中的常数按参数范围被显式追踪。由于对任意输入均可计算，这两个估计子都作为变分正确的损失函数，用于参数到解映射的神经网络逼近。
8. 利用物理约束注意力神经算子从不完整观测中推断未知参数耦合系统中的物理场
Inferring physical fields in coupled systems with unknown parameters from incomplete observations using physics-constrained attentive neural operators
作者: Shilun Wei, Xiaoqiang Sun, Wei Li, Kejun Tang
类别: cs.LG, math.NA
发布日期: 2026-10-05
arXiv ID: 2610.05723v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.05723v1
摘要翻译
中文标题: 利用物理约束注意力神经算子从不完整观测中推断未知参数耦合系统中的物理场
摘要翻译: 在参数未知的耦合系统中，仅给定对单一物理场的不完整测量，我们能否推断其完整物理状态并辨识底层参数？该问题具有挑战性，因为必须在仅有单一物理场有限观测的情况下同时重构多个耦合场，同时系统参数未知。本文提出一种机器学习框架，用于从单一物理场的稀疏观测中对未知物理系统进行全场重构和参数辨识。具体而言，交叉注意力编码器将稀疏传感器观测传播到规则网格上，以构建以传感器为条件的隐表示，而傅里叶神经算子（FNO）解码器捕获全局空间依赖关系，以重构所有耦合物理场。通过最小化观测损失、控制方程残差以及边界/初始条件约束，联合优化网络参数与未知物理参数。所提方法在二维和三维顶盖驱动方腔流、二维圆柱尾流以及二维非理想磁流体力学问题上得到验证，展示了从不完整观测中恢复未观测场和物理参数的性能。
9. 多分辨率 Sobolev 训练的傅里叶神经算子用于多孔介质中参数化两相 Darcy 流的跨分辨率代理建模
Multiresolution Sobolev Trained Fourier Neural Operator for Cross-Resolution Surrogate Modelling of Parametric Two-Phase Darcy Flows in Porous Media
作者: Zhao Zhang, Chengjin Guo, Zhenglong Chen, Kai Zhang, Piyang Liu, Xia Yan
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-04
arXiv ID: 2610.05188v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.05188v1
摘要翻译
中文标题: 多分辨率 Sobolev 训练的傅里叶神经算子用于多孔介质中参数化两相 Darcy 流的跨分辨率代理建模
摘要翻译: 代理建模对于提高涉及随机参数的物理过程的不确定性量化的计算效率很重要。与传统代理模型相比，傅里叶神经算子（FNO）的优势在于其跨分辨率预测能力。在本研究中，针对具有随机参数的多孔介质中两相瞬态 Darcy 流，构建了一个基于 FNO 的跨分辨率代理模型。提出了一种用于 FNO 的多分辨率 Sobolev 学习方法，通过使用不同分辨率的训练样本，在损失函数中引入一阶和二阶梯度，以提高跨分辨率预测精度。这些梯度通过分辨率相关的有限差分格式近似，该格式与数值模拟的网格兼容。实验结果表明，新方法在训练 FNO 以构建跨分辨率代理模型方面是有效的。
10. 用于估计周长并计算其 Wasserstein 梯度流的有向点云变分流形
Oriented point-cloud varifolds for estimating the perimeter and computing its Wasserstein gradient flow
作者: Tokuhiro Eto, Noboru Isobe
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-04
arXiv ID: 2610.05064v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.05064v1
摘要翻译
中文标题: 用于估计周长并计算其 Wasserstein 梯度流的有向点云变分流形
摘要翻译: 本文为单相 Mullins-Sekerka 流发展了一种无网格数值方法；在该流中，界定一个集合的界面作为其周长的 Wasserstein 梯度流运动。计算该流的一个困难在于，当连通分支合并时，界面中具有相反法向的两片会形成一条隐藏边界。我们的方法用有向点云表示界面，并将其视为有向变分流形。我们引入一个度量邻近法向相互抵消程度的量，并用它检测隐藏边界。基于该量，我们构造了一个周长估计量，证明其期望误差随点数以代数速率衰减，且在存在隐藏边界时亦然，并将其用于二维中该流的极小化运动格式。数值实验表明，该格式能计算连通分支通过隐藏边界发生的合并，同时格式中的周长项在每一步都下降，且面积几乎守恒。由于隐藏边界也出现在其他由周长驱动的界面问题中，我们预期我们的有向表示也适用于这些问题。
11. 面向 Navier–Stokes 方程的二阶能量稳定低正则性积分器
A second-order energy-stable low-regularity integrator for the Navier–Stokes equations
作者: Shu Ma
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-04
arXiv ID: 2610.05045v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.05045v1
摘要翻译
中文标题: 面向 Navier–Stokes 方程的二阶能量稳定低正则性积分器
摘要翻译: 针对不可压缩 Navier–Stokes 方程，提出了一种二阶指数型低正则性积分器。该方法仅需要线性求解，并满足离散能量衰减性质。在一致 $H^4$ 解界下，建立了二阶时间收敛性，且误差常数在粘性趋于零时保持有界。对于 Fourier–Galerkin 离散，在固定粘性下建立了最优空间收敛阶。该方法还可以推广到协调有限元方法，同时保持离散能量衰减结构。数值结果验证了收敛阶以及关于粘性的鲁棒性。
12. 用于稀薄气体混合物流动的具有高阶空间离散的通用合成迭代格式
A general synthetic iterative scheme with high-order spatial discretization for rarefied gas mixture flows
作者: Jianan Zeng, Wei Su
类别: math.NA, physics.comp-ph
发布日期: 2026-10-04
arXiv ID: 2610.04880v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.04880v1
摘要翻译
中文标题: 用于稀薄气体混合物流动的具有高阶空间离散的通用合成迭代格式
摘要翻译: 我们针对稳态稀薄气体混合物流动，开发了通用合成迭代格式（GSIS）的高阶间断伽辽金（DG）格式。所得的 GSIS-DG 以相同的多项式阶数离散单原子气体混合物的介观动理学方程和宏观合成方程，并交替求解二者。动理学解为应力和热流提供非平衡修正，而合成方程则加速向稳态收敛。渐近分析表明，GSIS-DG 无需空间网格分辨分子平均自由程即可恢复连续介质极限。在宽 Knudsen 数范围内的数值结果展示了高阶空间精度和快速的稳态收敛；在近连续区，相对于传统动理学迭代，计算成本降低超过一个数量级。与二阶有限体积 GSIS 的比较进一步表明，在更粗的物理网格上且总空间自由度更少的情况下，GSIS-DG 能达到相当或更好的精度。
13. 具有外心质量集中的基于旋转的 Biot 离散的压力单调性
Pressure Monotonicity for a Rotation-Based Biot Discretization with Circumcentric Mass Lumping
作者: Huipeng Gu, Mingchao Cai, Jingzhi Li
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-03
arXiv ID: 2610.04535v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.04535v1
摘要翻译
中文标题: 具有外心质量集中的基于旋转的 Biot 离散的压力单调性
摘要翻译: 我们为基于旋转的 Biot 系统的混合有限元离散建立了逐单元压力单调性。空间离散基于相容的离散 de Rham 复形，对旋转、位移、Darcy 通量和压力使用标准最低阶元。时间离散采用向后 Euler 方法。离散复形的正合性将力学项对压力 Schur 补的贡献约化为一个缩放的压力质量矩阵，从而产生正的对角力学容量。对于 Darcy 部分，正的外心面权重在消去通量后产生一个加权单元图 Laplacian，而质量集中乘积仍一致等价于标准 Darcy 乘积。对角力学容量和加权单元图 Laplacian 使凝聚压力矩阵为 Stieltjes 矩阵。因此，压力传播子是逐元素非负的，从而得到逐单元离散最大值原理。数值实验证实了预测的收敛阶，并表明所提出的离散抑制了虚假的逐单元压力振荡。
14. 椭圆偏微分方程的一种局部守恒富集线性化神经网络逼近
A Locally Conservative Enriched Linearized Neural Network Approximation to Elliptic PDEs
作者: Seungil Kim, Gwanghyun Jo, Young Ju Lee
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-03
arXiv ID: 2610.04524v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.04524v1
摘要翻译
中文标题: 椭圆偏微分方程的一种局部守恒富集线性化神经网络逼近
摘要翻译: 本文针对 Darcy 流模型提出了一种局部守恒的富集线性化神经网络（ENN）方法。一个线性化的浅层 ReLU$^k$ 网络承担逼近，其隐藏层参数固定在球面的一个拟一致集合上，并在区域的一个辅助剖分上加入分片常值函数，以确保局部质量守恒。该剖分可由一般的、甚至可能是曲边的单元组成。由于神经网络函数不满足逆不等式，标准间断 Galerkin 内罚格式的稳定性和误差分析不适用。缺失的逆不等式通过一个边恒等式与 Galerkin 最小二乘（GLS）项相结合来弥补，同时借助一个在 $L^2$、$H^1$ 和 $H^2$ 范数下同时最优的单个神经网络逼近元。我们使用非对称内罚（NIPG）形式，它对每个正罚参数都是强制的。设 $n$ 为 ENN 中所用浅层神经网络的宽度，我们证明了在 EG 范数下的误差估计具有最优 $H^1$ 阶，即对于 $H^r$，$r\ge2$ 中的解为 $O(n^{-(r-1)/d})$，对于 $H^s$，$\frac32 CEENs: Causality-enforced evolutional networks for solving time-dependent partial differential equations 作者: Jeahan Jung, Heechang Kim, Hyomin Shin, Minseok Choi 类别: cs.LG, math.NA 发布日期: 2026-10-03 arXiv ID: 2610.04405v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.04405v1 中文标题: CEENs: 求解时间依赖偏微分方程的因果强制演化网络 摘要翻译: 尽管物理信息神经网络（PINNs）日益流行，但其在偏微分方程（PDEs）长时间积分中的适用性仍然受到限制。我们认为，这一问题源于原始 PINN 构造中缺乏对时间因果性的考虑，导致其偏向于在学习初始条件之前先满足较晚时刻的控制方程，从而产生错误解。为此，我们提出一种新方法，将时间因果性无缝集成到训练过程中。受体现时间因果性的经典数值方法启发，我们将时间域划分为互不重叠的子区间，为每个子区间分配一个唯一的神经网络，并基于这些子区间内 PDEs 的积分形式构造损失函数。所提出的网络从初始时间步开始进行顺序训练。我们的方法在多种 PDE 问题的长时间模拟中显著提高了精度，而原始 PINN 方法在这些问题上失效；同时，与 PINN 方法相比，它需要更少的计算成本和内存。我们提供了一个并行化算法以进一步提高计算效率，在求解时间依赖 PDEs 时显示出显著加速。 Arbitrarily High-Order Structure-Preserving Parametric Finite Element Methods for Geometric PDEs via Local Pullback Flow Maps 作者: Weizhu Bao, Yifei Li, Dongmin Wang 类别: math.NA 发布日期: 2026-10-03 arXiv ID: 2610.04389v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.04389v1 中文标题: 基于局部拉回流映射的几何偏微分方程任意高阶保结构参数化有限元方法 摘要翻译: 我们发展了基于局部拉回流映射的、用于几何偏微分方程（包括表面扩散和保体积平均曲率流）的任意高阶保结构参数化有限元方法。核心思想是将几何偏微分方程重新表述在任意中间超曲面上，并通过局部拉回流映射表示随后的演化。利用容许局部拉回，我们从 Laplace-Beltrami 算子相应的拉回恒等式出发推导出两种形式，分别称为共形形式和等分布形式。我们使用任意次等参有限元和具有正权重的 Runge-Kutta 配点法对这两种形式进行离散。对于共形形式，法向-Jacobian 向量的加权平均确保所围面积或体积的精确保持，而 Runge-Kutta 方法的代数稳定性额外保证周长或表面积的耗散。对于等分布形式，路径平均的法向-Jacobian 向量与几何离散梯度同时保证所围面积或体积的精确保持以及周长或表面积的耗散，且不需要代数稳定性。数值实验证实了预期的高阶精度和保结构性质。 Checkable NTK Positivity and Finite-Width Gradient Descent for Scalar- and Vector-Valued PINNs with Strong-Form, Weak-Form, and Nonlocal Linear Constraints 作者: Zifan Lyu 类别: cs.LG, math.NA 发布日期: 2026-10-03 arXiv ID: 2610.04357v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.04357v1 中文标题: 具有强形式、弱形式和非局部线性约束的标量值和向量值 PINNs 的可检验 NTK 正定性与有限宽度梯度下降 摘要翻译: 我们针对极限神经切核 (NTK) 给出可检验的正定性判据，并针对带有线性约束的标量值或向量值物理信息神经网络 (PINNs) 给出高概率有限宽度梯度下降保证。这些约束可以是任意固定有限阶的强形式微分行，包括耦合系统，并带有任意线性初始或边界条件；也可以是弱形式残差和边界泛函；或者是有限测度非局部观测，例如积分、非局部扩散和 Dirac 数据行，所有这些都在任意维数中。对每一类，极限 NTK 的正定性等价于固定设计的某个有限系数矩阵、泛函矩阵或矩矩阵上的秩条件：一个在训练前计算、可检测结构零模的证书。模型假设就是普通两层 PINN 的假设，即光滑非多项式激活函数与有界对称初始化，并且可由诸如均匀初始化的 $\tanh$ 等标准选择满足。给定一个证书，显式的宽度和步长条件以高概率确保：经验 NTK 至少保留极限间隙的一半，并且全批量梯度下降在每次迭代中都几何式地降低训练损失。受控实验检验了这些证书和有限宽度机制。 Inference of Hamiltonian and Lie-Poisson structures from vector field samples 作者: Jason E. Frank, Georg A. Gottwald 类别: math.NA, math.DS, math.SG 发布日期: 2026-10-03 arXiv ID: 2610.04350v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.04350v1 中文标题: 从向量场样本推断哈密顿结构与 Lie-Poisson 结构 摘要翻译: 我们提出一种由向量场样本出发、以数据驱动方式推断哈密顿与 Lie-Poisson 动力系统的方法，其中哈密顿量与底层的 Poisson 张量是联合估计的，而不是假定该结构已知。哈密顿量被表示为具有固定随机内部权重的随机特征映射的线性组合，因此对于任意给定的 Poisson 结构，其估计都是一个线性回归问题。我们处理三种一般性递增的情形：已知的 Poisson 张量；未知的常数可逆（辛）结构矩阵；以及 Lie-Poisson 结构与仿射 Poisson 结构，其结构矩阵关于状态是线性的。在常数情形下，哈密顿量与结构矩阵由一个特征值问题联合恢复，该问题避开了由于哈密顿系统的尺度对称性而产生的平凡零解。对于 Lie-Poisson 与仿射 Poisson 系统，我们在如下两步之间交替进行：由针对近似首次积分的广义特征值问题得到初始的哈密顿量估计；以及对结构常数进行带约束的非线性最小二乘拟合，该拟合通过关于罚参数的延拓来强制满足 Jacobi 恒等式，并且对仿射结构还强制满足余圈条件。正交匹配追踪选取出一个紧致且良态的随机特征子集。由于所学到的哈密顿量是单特征项之和，该模型容许一个显式的 Poisson/辛分裂积分器，我们用它通过长时间庞加莱截面来验证所学习的系统。我们在四维与五维 Lorenz-86 模型以及一个六维 Kirchhoff 刚体系统上演示了该方法，高精度地恢复出哈密顿量、结构常数与 Casimir 不变量，并表明随着随机特征数目的增加，推断出的庞加莱截面收敛到正确的不变环面拓扑。 On the involution preserving properties of semi-discrete Active Flux methods on simplex 作者: Remi Abgrall, Yongle Liu, Mario Ricchiuto 类别: math.NA 发布日期: 2026-10-03 arXiv ID: 2610.04349v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.04349v1 中文标题: 关于单纯形上半离散 Active Flux 方法的对合保持性质 摘要翻译: 我们研究非结构三角形网格上 Active Flux 方法的对合保持性质。考虑两个模型问题：满足速度场上旋度对合的二维线性声学系统，以及满足散度对合的带面内磁场的二维 Maxwell 方程。这两个系统均可写成守恒形式。我们处理的问题是：单一离散化如何能够同时满足守恒形式和对合。在单纯形上的离散 Active Flux 框架内，我们推导出离散旋度算子的显式公式，该算子在声学问题中被格式精确保持；并推导出离散散度算子的显式公式，该算子在 Maxwell 系统中被保持。该分析适用于一般单纯形网格以及任意多项式次数，包括该方法在三阶以上的推广。三阶格式的数值实验证实了理论结果。 On the Growth Factor of Random Matrices 作者: John Urschel 类别: math.NA 发布日期: 2026-10-05 arXiv ID: 2610.06785v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.06785v1 摘要: Gaussian elimination is the oldest and most popular method for solving a linear system. Its numerical stability for a given matrix is controlled by the growth factor, a measure of how large entries can become during elimination. In this work, we prove a number of new results regarding the growth factor of random matrices. First, we provide tight estimates for the growth factor of a matrix preconditioned by a Haar orthogonal matrix without pivoting and characterize the asymptotic distribution of the growth factor of Gaussian matrices without pivoting. Second, and most notably, we prove that the growth factor of an $n \times n$ Gaussian matrix under partial pivoting is rarely much larger than $\sqrt{n}$, resolving an old conjecture of Nick Trefethen. The same techniques used to prove this conjecture also provide an improved smoothed analysis of the growth factor under partial pivoting. Quantitative $Γ$-Convergence: A Variational Extrapolation Framework 作者: Oscar Dominguez, Mario Milman 类别: math.FA, math.AP, math.NA 发布日期: 2026-10-05 arXiv ID: 2610.06645v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.06645v1 摘要: This paper introduces a new extrapolation framework within the Calculus of Variations. We develop a robust quantitative theory of the $Γ$-convergence approach of De Giorgi by combining it with Gagliardo’s work on relative completions in interpolation theory. A central new tool is the extrapolation of \emph{variational $K$-functionals}, which associates to an arbitrary family of functionals a dynamic penalty method that simultaneously characterizes their $Γ$-limits and yields explicit rates of convergence for minimizers. As a technical foundation we prove compactness extrapolation theorems also involving Gagliardo completions. To illustrate the mechanism, we apply the technique to variational models arising in image processing, notably the Rudin–Osher–Fatemi (ROF) and Chan–Esedoglu models. Our main result in this setting is a contribution to the \emph{inverse regularity problem} associated to discrete approximations of the ROF model: we show that the required regularity of the observed image that guarantees a prescribed optimal rate of convergence is measured in terms of the decay of variational $K$-functionals. Surprisingly, our characterization is explicitly captured by using the recently introduced spaces of Brezis, Van Schaftingen, and Yung. Moreover, our methods unify, and considerably extend, classical pointwise convergence and $Γ$-versions of the Bourgain–Brezis–Mironescu and Maz’ya–Shaposhnikova formulae, as well as related results in a variety of settings that involve BMO-type functionals, heat kernels, Sobolev spaces on metric measure spaces, … By bridging De Giorgi’s variational convergence with Gagliardo’s completion through variational $K$-functionals and extrapolation of compactness, this work establishes a quantitative approach to the Calculus of Variations. Transparent Boundary Conditions for the Time-Fractional Heat Equation on Metric Graphs 作者: Anis Bel Hadj Hassin, Matthias Ehrhardt 类别: math.AP, math.NA 发布日期: 2026-10-05 arXiv ID: 2610.06631v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.06631v1 摘要: In this work, we study transparent boundary conditions for the time-fractional heat equation on a metric star graph. This equation is the standard continuum model for subdiffusive heat and mass transport in disordered and porous branched media. Using the Laplace transform to solve the exterior branch problems, we demonstrate that the non-local vertex operator observed by the incoming bond is an Abel-type convolution kernel of order $β/2$, which generalizes the classical half-derivative kernel recovered at $β=1$. Our main result is that the diffusion-coefficient sum rule $κ_1=κ_2+κ_3$, known to eliminate thermal backflow for the classical heat equation, remains unchanged for every fractional order $β$: the transparency of the junction depends only on the network’s diffusivities and not on the memory of the transport law. We rigorously prove this and uniqueness for the coupled vertex problem. We confirm our results numerically at the level of the underlying coupled partial differential equation system with an implicit L1 finite-difference scheme. We compare the star-graph solution to a reference solution on an unbranched line with matching diffusivity. One Extra Dimension Suffices for the Complete-Graph Squared-Stress 作者: Lilin Yan, Hongwei Zhao 类别: math.NA 发布日期: 2026-10-05 arXiv ID: 2610.06531v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.06531v1 摘要: Let all pairwise distances of an arbitrary configuration of points in $\mathbb{R}^{\ell}$ be known exactly. We prove that every second-order stationary point of the complete-graph squared-stress objective over configurations in $\mathbb{R}^{k}$ has zero residual whenever $k > \ell$. The result holds for every number of points, without a genericity assumption, and allows repeated points and degenerate ground-truth configurations. It resolves the one-extra-dimension conjecture for complete, uniformly weighted data. The proof combines positivity of the residual stress, polar normalization of the candidate configuration, a row-wise rank-nullity argument, and propagation of zero curvature through the full Hessian. The theorem, including the passage from derivatives of the original quartic objective to its matrix formulation, has been formalized in Lean 4. The accompanying verification records include a kernel check with zero trust level and a transitive axiom audit. Delta Redistribution: a variation of State Redistribution for steady-state embedded boundary computations 作者: Marsha Berger, Andrew Giuliani 类别: math.NA 发布日期: 2026-10-05 arXiv ID: 2610.06459v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.06459v1 摘要: We present an algorithm for handling the small cell problem in Cartesian cut cell grids. The advantage of this variation is that it preserves the base scheme’s steady state exactly. We show several computational examples using finite volume schemes in two space dimensions. A Mixed-Precision Model for Matrix-Splitting Methods 作者: Neil Lindquist, David Appelhans, Chales W. Jackson, Joseph M. Derlaga 类别: math.NA, cs.CE 发布日期: 2026-10-05 arXiv ID: 2610.06414v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.06414v1 摘要: The performance of stationary iterative methods is memory-bound, due to the low arithmetic intensity. So, we propose a mixed-precision technique to reduce the amount of data movement in matrix-splitting iterative methods. We demonstrate both theoretically and experimentally that this technique will generally converge at a similar rate as an exact-precision iteration, depending on the precision used and the conditioning of the $M$ matrix. Furthermore, we demonstrate that iterative refinement can be used to refine the solution to full double-precision accuracy. Using this approach, we mixed half and double precision to achieve an average speedup over uniform double precision of $1.60\times$ for scalar and block Jacobi and $1.25\times$ for scalar and block Gauss-Seidel. Furthermore, we reduced the precision in the SSOR iteration used by OVERFLOW, a NASA code for compressible fluid dynamics simulations, and achieved a $1.14\times$ speedup to the overall application. Sharp dimensional analysis of midpoint methods for Langevin sampling 作者: Fan Chen, Sinho Chewi, Jianfeng Lu, Matthew S. Zhang 类别: math.ST, cs.DS, cs.LG, math.NA 发布日期: 2026-10-05 arXiv ID: 2610.06308v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.06308v1 摘要: We study deterministic and randomized midpoint discretizations of Langevin dynamics for a target $π\propto e^{-V}$, where $0 \prec αI\preceq\nabla^2V\preceqβI$ and $κ=β/α$. To achieve $\sqrtα\,W_2\leqslant\varepsilon$, we show that deterministic Heun uses at most $\widetilde O(κ^{4/3}d^{1/3}\varepsilon^{-2/3})$ gradient queries, and underdamped exponential midpoint uses $\widetilde O(κ^{5/4}d^{1/4}\varepsilon^{-1/2})$. The proofs exploit cancellation at stationarity and smoothing using techniques from Malliavin calculus, outperforming previous upper bounds based on standard couplings. At bounded condition number, a lower bound matches the $d$ and $\varepsilon$ powers of both deterministic methods. To contrast, for the randomized midpoint methods and Poisson midpoint with at least two grid points (both overdamped and underdamped variants), a simple Gaussian calculation yields a lower bound $d^{1/3}\varepsilon^{-1/3}$ to get an $\varepsilon$-close sample despite starting at a benign initialization. This shows surprisingly that in high dimensions, deterministic discretizations can outperform their random counterparts. A Relaxed Maximum-Based Normal \texorpdfstring{$S$}{S}-Iteration Method for Generalized Absolute Value Equations 作者: Abhishek Kumar Singh Sengar, Bharat Kumar, Deepmala 类别: math.OC, math.NA 发布日期: 2026-10-05 arXiv ID: 2610.06154v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.06154v1 摘要: A relaxed maximum-based normal $S$-iteration method (RMNSI) is proposed for solving generalized absolute value equations (GAVEs). The method combines a maximum-based fixed-point formulation with a constant relaxation parameter and avoids the selection of an auxiliary matrix. Assuming that $A+B$ is non-singular, both stages require linear systems with the same coefficient matrix $A+B$, allowing a single factorization to be reused throughout the iteration. A single spectral condition is established that guarantees unique solvability of the GAVE and global convergence from an arbitrary initial vector. An admissible range of the relaxation parameter is characterized, and $R$-linear convergence and error estimates are derived. Since the global condition can be conservative, a local convergence analysis based on the solution sign pattern is also presented. Numerical experiments on complementarity-derived, dense mixed-sign, and asymmetric ridge-regression problems are presented, and comparisons with several recent methods demonstrate the competitive efficiency and accuracy of RMNSI. The results further indicate that the preferred relaxation parameter depends mainly on the matrix structure and diagonal shift, while its dependence on the problem dimension is generally weak. Polynomial Acceleration of Alternating Projections: Chebyshev Acceleration, Convergence Rates, and Retractions 作者: Dengyu Zheng, Shixiang Chen 类别: math.OC, math.NA 发布日期: 2026-10-05 arXiv ID: 2610.06150v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.06150v1 摘要: Alternating projections (AP) near a clean intersection of smooth manifolds can converge slowly when the Friedrichs angle is small. We develop the \emph{Fixed-Point Manifold Acceleration (FPMA) framework} for {local convergence and polynomial acceleration of} smooth maps that fix a manifold pointwise. {Under suitable regularity and uniform normal spectral stability, FPMA establishes local R-linear convergence and a smooth limiting map inducing a local retraction. At fixed points, consistent polynomial acceleration with $p(1)=1$ preserves the selected limit’s first-order response to normal initial perturbations whenever the transformed normal blocks are uniformly spectrally stable. Under sufficient smoothness, we give a curvature criterion for second-order induced retractions and show that stable consistent polynomial acceleration preserves both the quadratic retraction expansion and this criterion. {As a special case, we establish new local R-linear convergence guarantees for fixed-degree Chebyshev-accelerated exact AP and second-order induced retractions. For uniform Friedrichs angle $θ_F\in(0,π/2)$, acceleration strictly improves the local convergence rate per AP evaluation. The large-degree limiting spectral factor at fixed $θ_F$ predicts $O(θ_F^{-1})$ evaluations for fixed relative error reduction as $θ_F\downarrow0$, versus $O(θ_F^{-2})$ for ordinary AP.}} {The framework also covers} inexact, relaxed, and generalized AP {under their respective regularity and stability conditions.} Near-Exact Computation of Independent Chip Model Placement Probabilities for Thousands of Players 作者: Wataru Inariba 类别: cs.DS, cs.GT, math.NA 发布日期: 2026-10-05 arXiv ID: 2610.06028v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.06028v1 摘要: The Independent Chip Model (ICM) converts the chip stacks of the players remaining in a poker tournament into finishing-place probabilities and prize equities. It is the standard model in tournament solvers, but its definition considers all possible finishing orders, and exact computation has been regarded as intractable for large fields. The same mathematics appears in other fields; for instance, the ICM is a Plackett-Luce ranking model with stacks as weights. We present DE-ICM, a deterministic algorithm that computes the placement probabilities of all $n$ players for all paid places in $O(M n^{2})$ time, where the number $M$ of quadrature nodes is fixed for the admissible inputs and the target accuracy. Its numerical scheme allows the target to be set close to the accuracy of double-precision arithmetic. The algorithm evaluates a classical integral representation in which, conditional on a player’s exponential clock, the number of players ahead is Poisson-binomial. A double-exponential quadrature on a single grid evaluates every integral; its truncation errors have closed-form bounds, and the step size, which controls the discretization error, follows from the field size. A numerically stable deconvolution then recovers each player’s leave-one-out coefficients in $O(n)$ time from one shared product. On exactly solvable instances with up to 4,000 players, the worst observed relative error of an equity is $4.0 \times 10^{-14}$ and the worst absolute error of a placement probability $1.1 \times 10^{-14}$. The full placement matrix for 1,000 players takes 0.2 seconds on one CPU core. A TVD Active Flux method for scalar conservation laws 作者: Wasilij Barsukow 类别: math.NA 发布日期: 2026-10-05 arXiv ID: 2610.05920v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.05920v1 摘要: Focusing on scalar conservation laws, a TVD theory is developed for the fully discrete, single-stage Active Flux method. The classical choice of degrees of freedom is considered, yielding a third-order method. Starting from an adaptation of the concept of (discrete) total variation to Active Flux, a corresponding adaptation of Harten’s lemma is achieved. Finally, the high-order method is endowed with parameters chosen such that they can be efficiently computed to fulfill the conditions of the lemma. On solid angles and simplex shape measures 作者: Martin W. Licht 类别: math.MG, math.NA 发布日期: 2026-10-05 arXiv ID: 2610.05883v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.05883v1 摘要: The minimum solid angle of a simplex is shown to be a shape measure in any dimension. While this has been known in dimensions two and three, the higher-dimensional generalization is new. We prove inequalities between the minimum solid angle of a non-degenerate simplex and its fullness. Up to dimension-dependent constants, the fullness is bounded from above by the minimum solid angle and from below by the square of the minimum solid angle. The exponents are optimal for three and higher dimensions. This work therefore generalizes the minimum angle condition. We also review several simplex shape measures and their relationships. On the Sequentially Semiseparable Structure of SDE-Induced Kernels and Efficient Algorithms for Kernel-Based Estimation Problems 作者: Mikkel Paltorp, Luigi Caglio, Tianshi Chen, Evangelos Katsanos, Martin S. Andersen 类别: stat.ML, math.NA 发布日期: 2026-10-05 arXiv ID: 2610.05856v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.05856v1 摘要: We study kernel functions induced by a linear time-invariant (LTI) stochastic differential equation (SDE), an approach that embeds prior knowledge about the function to be estimated directly into the state-space description of the SDE. This kernel-design perspective is relevant across the many settings where kernels play a central role, including kernel methods in statistics, Gaussian process (GP) regression in machine learning, and kernel-based regularization methods in system identification. The resulting class of SDE-induced kernels includes several kernels of practical interest, such as Matérn kernels with half-integer smoothness, spline kernels, and related kernels used in system identification. In contrast to existing linear-time GP regression methods for these kernels, which are typically based on Kalman filtering and Rauch–Tung–Striebel smoothing on the latent state, we work directly with the SSS representation of the observed covariance matrix. This yields linear-complexity recursive algorithms for the matrix operations required in GP regression, including factorization, linear solves, log determinants, posterior covariance, log-marginal-likelihood gradients, and posterior sampling; the same generator-level recursions extend, with only minor modifications, to the analogous computations in kernel-based regularization methods for system identification. Compared with previous uses of SSS representations in GP regression, we derive efficient recursive algorithms for analytic marginal-likelihood gradients in three application-relevant cases, and we develop new recursions for posterior computations and Matheron-type sampling. Numerical experiments verify the accuracy of the proposed recursions and illustrate posterior inference and sampling for representative SDE-induced kernels. A Class of Function-Preserving Neural Network Operators with Applications to Modulated Signal Denoising 作者: Sachin Saini 类别: math.FA, math.NA 发布日期: 2026-10-05 arXiv ID: 2610.05759v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.05759v1 摘要: In this paper, we introduce a class of function-preserving neural network operators designed to preserve a prescribed strictly positive function. We examine the approximation behaviour of the proposed operators on the space of continuous functions and show that they are positive, linear, well-defined, and bounded. Specifically, we demonstrate uniform convergence on compact intervals and get quantitative estimates of the approximation error in terms of the modulus of continuity. To support the theoretical analysis, we present several numerical experiments focusing on the preservation of exponential and logarithmic functions. These examples show how well the proposed operators perform and compare them with existing neural network operators. Also, an application to denoising modulated signals is provided, demonstrating the practical relevance of the proposed approach. Ground state energy estimation and preparation by the truncated power method 作者: Savero Lukianto Chandra, Daochen Wang, Carolyn Zhang 类别: quant-ph, math.NA 发布日期: 2026-10-04 arXiv ID: 2610.05627v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.05627v1 摘要: The Guided Local Hamiltonian Problem (GLHP) is the problem of ground state energy estimation and preparation given a guiding state having good overlap with the true ground state. The problem is known to be BQP-complete for small error but is classically tractable for larger error. In this work, we identify an orthogonal regime in which the problem is classically tractable, namely when the true ground state $ψ$ has polynomially bounded $\ell_1$-norm. In particular, we show that the Truncated Power Method (TPM), a classical algorithm introduced by Kirby et al. in the quantum context, has a runtime that is polynomially comparable to quantum algorithms for GLHP in all relevant parameters, except for an extra factor of $\|ψ\|_1^2$. In other words, if $\|ψ\|_1^2$ is polynomially bounded, then TPM dequantizes quantum algorithms for GLHP. A Finite Element Method for the Grad–Mercier Equation 作者: Ben Ashby, Tristan Pryer 类别: math.NA 发布日期: 2026-10-04 arXiv ID: 2610.05313v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.05313v1 摘要: We develop and analyse a conforming piecewise affine finite element method for the Grad–Mercier equation, a nonlocal elliptic model for magnetic equilibria whose source depends on the global rank of a flux function. The principal difficulty is that the unique continuum equilibrium has a maximum plateau of prescribed positive area. The solution therefore samples the rank law only above the plateau mass, while perturbations that separate equal values may distribute this mass over several numerical ranks and thereby alter the non-strict rank source.
We exploit the continuum well-posedness structure to replace the rank law by an equivalent clipped, nonnegative law, and replace Lebesgue measure by a mass-lumped nodal measure. Equal nodal values are assigned a common rank interval, thereby retaining the full lumped mass of each tied level.
The resulting weighted rearrangement gives a strictly convex discrete energy and hence a unique finite element equilibrium. On meshes satisfying a discrete comparison principle, the discrete equilibrium is nonnegative and bounded above by a computable barrier. A Poisson-preconditioned rearrangement iteration converges on each fixed mesh and admits computable a posteriori energy and energy-norm bounds. As polygonal finite element domains converge to the physical cross-section, the discrete equilibria converge strongly in $H^1_0(Ω)$ and uniformly on $\overlineΩ$ to the unique Grad–Mercier equilibrium. Reconstructed equilibrium sources converge weak-* in $L^{\infty}(Ω)$ to the original nonlocal source. On finite elements for geometrically-exact planar beams with hyperelastic material models 作者: Abhishek Ghosh, Chennakesava Kadapa, Djordje Peric, Mokarram Hossain 类别: math.NA, physics.comp-ph 发布日期: 2026-10-04 arXiv ID: 2610.05231v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.05231v1 摘要: A geometrically-exact planar beam finite-element framework is developed for the analysis of beams with hyperelastic constitutive models. A conventional three-field beam model is first formulated with full geometrical nonlinearity and a linear elastic material law. The kinematics are then enriched by an additional global field that permits deformation through the in-plane thickness. The out-of-plane direction is incorporated separately through plane-strain and plane-stress constitutive reductions, allowing the cross-sectional deformation assumptions and constitutive behaviour to be formulated independently. Numerical results for the present benchmarks show that the plane-stress condition gives essentially coincident centreline deformations for the Poisson’s ratio values considered. In contrast, the plane-strain condition, which is widely employed in the literature, makes the formulation sensitive to Poisson’s ratio coupling, with the beam becoming significantly stiffer at higher Poisson’s ratios. Comparisons between Saint Venant-Kirchhoff and Neo-Hookean hyperelastic models further demonstrate close agreement in the global deformation and in-plane thickness response, with small constitutive differences becoming more apparent in the local out-of-plane stretch. The proposed approach offers a simple and consistent framework to integrate hyperelastic material models into planar geometrically-exact beam models. Convergence and error analysis for numerical approximations of stochastic Leray-Lions equations 作者: Ngan Le, Huateng Zhu 类别: math.NA, math.PR 发布日期: 2026-10-04 arXiv ID: 2610.05171v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.05171v1 摘要: We analyse a divergence form stochastic differential equation featuring a Leray-Lions flux function that satisfies standard Carathéodory, growth, monotonicity, and coercivity conditions. We consider two types of noise: multiplicative Lipschitz continuous noise and a transport noise. Our approach utilises the gradient discretisation method, a generic framework encompassing various numerical schemes such as conforming and nonconforming finite element methods, hybrid mimetic mixed methods, and hybrid high order methods. For both types of noise, we propose a stable generic scheme, prove that scheme solutions converge to a strong solution in the probabilistic sense. For the multiplicative Lipschitz continuous noise, we establish the rate of convergence. From Inverse Problems to Adjoint Gradients: A Discrete, Implementation-Oriented Tutorial on PDE-Constrained Optimization 作者: Solmaz S. Kia 类别: math.OC, math.NA 发布日期: 2026-10-03 arXiv ID: 2610.04789v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.04789v1 摘要: The adjoint method is a standard approach for computing gradients in PDE-constrained optimization and central to parameter estimation, model calibration, and optimal control. This tutorial presents a discrete, implementation-oriented introduction to the method with an emphasis on conceptual understanding. Starting from an inverse problem governed by a partial differential equation, it develops the corresponding optimization problem and derives the adjoint gradient from the perspective of iterative descent methods. The roles of the state, the parameters, the objective, and the constraint are made explicit, and the adjoint equation is obtained directly from the gradient computation rather than postulated. Particular attention is given to explicit derivations, implementation details, and the connection between the mathematical development and the resulting computational algorithm. The tutorial also examines the influence of discretization on the adjoint construction, explains the origin of the backward-in-time adjoint recursion, and presents practical procedures for gradient verification. A vibrating-string inverse problem serves as a running example, illustrating the complete workflow from model formulation to adjoint-based optimization. The presentation is intended for advanced undergraduate students, graduate students, and practitioners seeking a step-by-step understanding of adjoint gradient computation. Instability of Gaussian elimination is exponentially rare (proof of partial result) 作者: Lloyd N. Trefethen 类别: math.NA 发布日期: 2026-10-03 arXiv ID: 2610.04761v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.04761v1 摘要: Gaussian elimination with partial pivoting is the standard algorithm for solving a dense $n\times n$ system of linear equations $Ax=b$. The ``growth factor’’ $ρ\,$ for this process may be as large as $2^{n-1}$, and when $ρ$ is large, the algorithm is unstable. Nevertheless, long experience has shown that Gaussian elimination is resoundingly stable in practice. Experiments indicate that among random matrices with independent normally distributed entries, growth factors $ρ\gg n^{1/2}$ are in a precise sense exponentially rare. Here we take a step toward confirming this observation by proving it not for the full growth factor, which depends on all the entries of the upper-triangular factor $U$, but for the corner entry $u_{nn}^{}$. On randomized batch-sampling coordinate descent methods for solving linear least-squares problems 作者: Dong-Yue Xie, Xi Yang 类别: math.OC, math.NA 发布日期: 2026-10-03 arXiv ID: 2610.04685v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.04685v1 摘要: This paper refines randomized block coordinate descent by introducing a coordinate-level batch-sampling distribution characterization, yielding a fine-grained randomized batch-sampling coordinate descent framework, which applies to any block coordinate descent method under an arbitrary static stochastic sampling rule for solving large-scale linear least-squares problems. Based on this framework, we derive new linear convergence rate bounds that are invariant to the column scaling of data matrices. Theoretical analysis and numerical experiments validate that the new bounds are significantly sharper than existing results and better aligned with the practical convergence rate. Furthermore, we proposed a learning-based sampling strategy by parameterizing the batch-sampling distribution and optimizing its parameters through gradient-based training. Preliminary numerical results on computed tomography (CT) reconstruction problems demonstrate that the resulting method converges significantly faster than variants using other fixed sampling rules, and outperforms tested adaptive coordinate descent methods and full gradient descent in computational efficiency, confirming that learned sampling distributions can effectively capture problem-specific structure to accelerate convergence within the framework. The Numerical Linear Algebra of Large Language Models 作者: Abdelkader Baggag, Yousef Saad 类别: cs.LG, math.NA 发布日期: 2026-10-03 arXiv ID: 2610.04631v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.04631v1 摘要: Numerical Linear Algebra (NLA) has consistently played a vital role in advancing science by providing tools to solve fundamental problems encountered in scientific and engineering applications. Over the decades, it has continually evolved to meet the demands driven by successive waves of scientific discovery. For instance, during the 1950s and 1960s, substantial efforts were devoted to developing methods for solving eigenvalue problems that emerged from the rapidly growing field of aerodynamics. This led to the discovery of the LR and QR algorithms. Later the attention turned to the solution of sparse linear systems that were common in applications like computational aerodynamics. Today we are experiencing yet another wave of major scientific advancement and NLA is once more at the heart of its development. This Machine Learning (ML) wave is proving to be utterly disruptive in science and engineering. Many tools in ML particularly Large Language Models (LLMs) are grounded in matrix and tensor methods. As we are approaching Artificial General Intelligence (AGI), it is clear that matrix methods will be called to play an even more significant role. For the numerical linear practitioner the speed of the current change makes it particularly challenging to adapt.
This is a survey article that centers on machine learning techniques, with a particular focus on large language models. It has two main objectives. The first is to clarify the core concepts behind Large Language Models in a manner accessible to specialists in numerical methods. The second is to examine the key Numerical Linear Algebra concepts employed by LLM techniques, while also highlighting several significant recent contributions of NLA to the field. Quasi-Optimal Randomized Recovery of $\mathcal{H}^2$ Matrices 作者: Anna Yesypenko 类别: math.NA 发布日期: 2026-10-03 arXiv ID: 2610.04574v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.04574v1 摘要: An $\mathcal H^2$ matrix represents well-separated interactions using nested low-rank bases while retaining nearby interactions explicitly. We consider the problem of constructing an explicit, strongly admissible $\mathcal H^2$ approximation using only products with the matrix and its adjoint, and develop two randomized recovery algorithms on an adaptive geometric hierarchy.
Carried recovery begins with a single pair of dense Gaussian test matrices, without hierarchy-specific probing, and updates the resulting forward–adjoint sketches across levels. All operator samples can therefore be acquired in one batch. Resketched recovery applies the same recovery procedure using fresh Gaussian test matrices at each level. For this variant, we prove a global quasi-optimal bound on the expected Frobenius error relative to the best approximation with the prescribed hierarchy, rank bounds, and retained near-neighbor pattern.
Carried recovery requires only $O(k+p)$ applications of the matrix and its adjoint, independent of tree depth, whereas resketched recovery requires $O((k+p)\log(N/k))$ on trees of logarithmic depth. Here $N$ is the matrix dimension, $k$ the maximum prescribed box rank, and $p$ the oversampling parameter. These bounds assume bounded near-neighbor counts and $O(k)$ local dimensions. Experiments on Laplace, Dirichlet-to-Neumann, and Helmholtz operators in two and three dimensions with up to $1.28$ million unknowns show that, with sufficient oversampling, carried recovery achieves nearly refinement-independent error and accuracy comparable to resketched recovery while using many fewer operator applications. Its compressed application cost scales linearly for a fixed rank. Conditioning and Singular Value Distribution of Jacobi Weighted Histopolation Matrices 作者: Allal Guessab, Federico Nudo, Stefano Serra-Capizzano 类别: math.NA 发布日期: 2026-10-03 arXiv ID: 2610.04383v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.04383v1 摘要: In this paper, we first study the singular value distribution of the unscaled matrices arising from Jacobi weighted histopolation. For the Jacobi weight with parameters $(α,β)$, and using the Jacobi basis with parameters $(α+1,β+1)$, we previously proved that, for $α,β>1/2$ and quasi-uniform meshes, the growth of these matrices in the sense of singular value distribution is slower than any positive power of the logarithm of the matrix size. However, the numerical behavior of the unscaled matrices suggested a nontrivial singular value symbol, which we identify explicitly in this paper. Starting from the standard asymptotic formula for Jacobi polynomials, we derive an asymptotic representation of the weighted cell averages defining the entries of the histopolation matrices. This representation allows us to analyze the associated Gram sequence by means of GLT theory. We identify its GLT symbol and, consequently, we obtain the singular value distribution of the histopolation matrices for any $α,β>-1$. We also characterize the set $\mathcal Z$ where the resulting symbol vanishes and compute its measure, showing that this set depends only on the mesh, while the Jacobi parameters affect the values of the symbol on its support. When this measure is positive, the singular value distribution implies the discrete asymptotic ill-posedness of the problem, while a comparison with the Toeplitz setting suggests exponential growth of the spectral condition number. When the measure of $\mathcal Z$ is zero, the problem is well-posed and the observed conditioning is algebraic in the matrix size. Finally, numerical experiments supporting the theoretical findings are reported and discussed, while conclusions are given in the final section of the current work together with a few open problems. Operator splitting methods for non-autonomous evolution equations comprising three parts, with application to the Bloch-Torrey equation of MRI 作者: Barbara Kaltenbacher, Pablo Muñoz, Mechthild Thalhammer 类别: math.NA 发布日期: 2026-10-03 arXiv ID: 2610.04355v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.04355v1 摘要: In this paper we devise and analyze Lie Trotter splitting schemes for non-autonomous evolution equations, following two approaches: 1) A fully non-autonomous scheme, motivated by the potential use of explicit solutions of some subproblems. 2) A splitting scheme relying on the concept of Magnus integrators, where we freeze the operators at the beginning of each time interval as this suffices for first order convergence of the Lie-Trotter integrator. We derive first order convergence in a general setting and apply the analysis to the Bloch-Torrey equation of magnetic resonance imaging, where a decomposition into three subproblems is well-motivated by the physical role of the underlying operators. Numerical tests, complementing the time stepping scheme by a finite element space discretization, illustrate the theoretical findings. On architectural choices for interpretability and thermodynamic consistency in Physically Recurrent Neural Networks in the low-data regime 作者: M. A. Maia, K. A. Meyer, A. M. C. M. van Gils, I. B. C. M. Rocha, F. P. van der Meer 类别: cs.LG, math.NA 发布日期: 2026-10-02 arXiv ID: 2610.04067v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.04067v1 摘要: In this paper, we unravel the effect of different decoder architectures on the interpretability of the latent space of the Physically Recurrent Neural Network. Particular emphasis is given to a new weight normalization constraint, which acts as a regularization technique and enables robust training in the low-data regime. A brief visual exploration illustrates how these changes impact the latent space and how the fictitious stress can align with the true state of the RVE without explicit training. Reaping the benefits of a meaningful latent space, a case study illustrates how information from the microscopic level can be retrieved and incorporated into a multi-task approach that does not require extra parameters or larger training sets. Another key contribution shows that a specific architectural choice can naturally lead to a thermodynamically consistent formulation. By enforcing an adjoint encoder-decoder structure with positive scalar contributions, this modification ensures energy consistency across scales and non-negative dissipation, leading to even lower training requirements. This alternative completes the study on interpretability, inductive bias, and thermodynamic consistency, and demonstrates that data efficiency can be improved with careful architectural choices rooted in the underlying physics. Latent Score-Based Bayesian Cramér-Rao Bound Estimation for High-Dimensional Imaging Systems 作者: Evan Scope Crafts, Thomas Wynn, Seonyeong Park, Mark Anastasio, Umberto Villa 类别: stat.ML, cs.IT, cs.LG, math-ph, math.NA 发布日期: 2026-10-02 arXiv ID: 2610.03956v1 链接: http://arxiv.org/abs/2610.03956v1 摘要: We propose a data-driven framework for estimating the Bayesian Cramér-Rao bound (CRB) in high-dimensional imaging systems with complex, analytically intractable priors. Direct CRB computation is challenging in this setting due to the need to model the prior score and to form and invert the Bayesian Fisher information matrix in very high dimensions. To address these issues, we first reformulate the inverse problem in the latent space of a pre-trained variational autoencoder, thereby dramatically reducing the dimensionality of the bound estimation problem while preserving the spatial structure of the images. The Bayesian CRB is formed in this latent space and mapped back to the native parameter space using a change-of-variables formula. Second, to learn the latent prior score, we introduce a new sliced score matching objective defined in a Bochner space endowed with an $H^1(Ω)$ Sobolev norm in space. This “Bochner-space sliced score matching” objective is consistent with standard sliced score matching, but penalizes errors in the spatial gradients of the score, suppressing high-frequency artifacts that otherwise contaminate the resulting CRB estimates. We validate the approach on a stylized quantitative photoacoustic computed tomography (qPACT) breast imaging problem with over one million unknown parameters, using a foundation-model autoencoder derived from Stable Diffusion. The proposed method yields stable, artifact-free Bayesian CRB estimates that reflect the highly non-Gaussian structure of the learned prior and reveal the substantial impact of the prior on the relative performance of competing qPACT design schemes.15. CEENs: 求解时间依赖偏微分方程的因果强制演化网络
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