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1. 时谐 Maxwell 透射问题的 Costabel FEM-BEM 耦合的算子预条件

Operator preconditioning of the Costabel FEM-BEM coupling for the time-harmonic Maxwell transmission problem

作者: Quang Huy Nguyen, Van Chien Le, Kristof Cools

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.09765v1

摘要翻译: 本文针对具有 Lipschitz 界面的时谐 Maxwell 透射问题，推导了 Costabel FEM-BEM 耦合的一个等价形式，并为所得离散系统构造了一个块对角预条件子。重构后的耦合建立在迹空间的乘积上，是通过引入一个迹提升算子和 Steklov–Poincar{' e} 算子得到的。在代数层面，它对应于消去内部 FEM 未知量，从而得到一个包含内部 FEM 块的 Schur 补的离散系统。假设频率位于共振集之外，我们证明重构后的耦合在连续和离散层面均等价于 Costabel 耦合。利用算子预条件框架，我们由 Maxwell 单层边界积分算子诱导的 Galerkin 矩阵构造了一个预条件子。预条件后矩阵的谱条件数被证明是一致有界的。数值实验说明了所提方法的实际有效性。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2610.09765v1

1. 研究对象和背景

本文研究时谐 Maxwell 传输问题及其 Costabel 有限元-边界元耦合的算子预条件。设 $\Omega_s\subset\mathbb R^3$ 为有界 Lipschitz 域，外部区域 $\Omega_0:=\mathbb R^3\setminus\overline{\Omega_s}$ 连通，界面 $\Gamma:=\partial\Omega_s$。$\Omega_s$ 由非均匀各向同性介质填充，磁导率 $\mu_s$ 与介电常数 $\epsilon_s$ 实值、分段 Lipschitz 且几乎处处一致正；外部 $\Omega_0$ 为常数 $\mu_0>0$、$\epsilon_0>0$ 的均匀各向同性介质。固定角频率 $\omega>0$，入射电场 $E^{\mathrm{inc}}$ 在 $\Omega_0$ 中且在 $\Gamma$ 的外邻域满足齐次 Maxwell 方程。未知电场 $E$ 在 $\Omega_s$ 内为总场、在 $\Omega_0$ 内为散射场，满足

$$\operatorname{curl}(\mu_s^{-1}\operatorname{curl} E)-\omega^2\epsilon_s E=0 \quad \text{in } \Omega_s,\quad \operatorname{curl}(\mu_0^{-1}\operatorname{curl} E)-\omega^2\epsilon_0 E=0 \quad \text{in } \Omega_0,\quad \gamma_D^s E-\gamma_D^0 E=\gamma_D^0 E^{\mathrm{inc}} \quad \text{on } \Gamma,\quad \gamma_N^s E-\gamma_N^0 E=\gamma_N^0 E^{\mathrm{inc}} \quad \text{on } \Gamma,$$

以及 Silver-Müller 辐射条件

$$\lim_{r\to+\infty}\int_{\partial B_r}|\operatorname{curl} E\times n_r+i\kappa(n_r\times E)\times n_r|^2 ds=0,$$

其中 $\kappa=\omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$，$B_r$ 为以原点为中心半径 $r$ 的球，$n_r$ 为 $\partial B_r$ 的外法向。该问题描述时谐电磁波被非均匀散射体散射，在成像、通信技术与生物医学工程中有广泛应用。分析的自然空间包括 $H(\operatorname{curl},\Omega_s)$、$H_{\mathrm{loc}}(\operatorname{curl},\Omega_0)$、$H_{\mathrm{loc}}(\operatorname{curl}^2,\Omega_0)$，以及边界迹空间 $H^{-1/2}_{\times}(\operatorname{div}_\Gamma,\Gamma)$。Dirichlet 迹为 $\gamma_D^s u:=\gamma^s u\times n$，Neumann 迹 $\gamma_N^s$ 通过分部积分定义；外部 Dirichlet 与 Neumann 迹记为 $\gamma_D^0$、$\gamma_N^0$。FEM-BEM 耦合的基本思想是：用有限元处理有界非均匀区域 $\Omega_s$，用边界元与边界积分方程处理均匀无界区域 $\Omega_0$，再通过 Steklov-Poincaré 算子或 Calderón 恒等式耦合内外迹。过去四十年，FEM-BEM 耦合已被广泛研究，涵盖椭圆界面问题、声学与电磁散射。就时谐 Maxwell 传输问题而言，已有若干耦合格式：de La Bourdonnaye 将耦合约化为单个边界方程，其中出现 Steklov-Poincaré 算子与电场的切向迹；另有具有鞍点结构的耦合格式，其未知量来自 Helmholtz 与 Hodge 分解；Badia 等引入带最优传输算子的弱耦合格式，可用非重叠 Schwarz 域分解高效求解，但这些工作多依赖光滑界面假设。相比之下，Costabel FEM-BEM 耦合 [4,5] 是首个在非光滑、特别是 Lipschitz 界面上具有严格分析的格式。Hiptmair 在 [4] 中建立了 Costabel 耦合及其 Galerkin 离散的适定性与准最优先验误差估计；Hiptmair 与 Meury 在 [5] 中发展稳定化格式以避免伪共振。本文正是在此 Costabel 耦合框架下工作。本文试图填补的空白是：Costabel 耦合的离散系统通常同时包含来自体积有限元的稀疏块和来自边界元的稠密块，直接解法不现实，迭代法几乎唯一可行；但已有预条件技术要么依赖光滑界面上的 Calderón 预条件，要么对一般 FEM-BEM 耦合缺乏严格理论，要么依赖 Laplace/Yukawa 界面问题中 FEM 矩阵的正定或半正定性。对于时谐 Maxwell 传输问题，Steklov-Poincaré 算子通常是 Hermitian 但既不正定也不半正定，且非光滑界面使 Calderón 预条件所依赖的 Fredholm 第二类性质不再直接可用。本文因此推导 Costabel 耦合的一个等价表述：引入迹提升算子与 Steklov-Poincaré 算子，将体积项改写为边界配对，得到仅含边界未知量的乘积迹空间变分问题；在代数层，这等价于消去内部 FEM 未知量，得到涉及内部 FEM 块 Schur 补的离散系统。随后在算子预条件框架下，基于 Maxwell 单层边界积分算子的 Galerkin 矩阵构造块对角预条件子，并在频率位于共振集之外时研究预条件矩阵谱条件数的一致有界性。该研究的重要性在于，它不依赖 Galerkin 矩阵的正定性，而是依赖相关 sesquilinear 形式与对偶配对的一致 inf-sup 条件，从而为 Lipschitz 界面上的电磁 Costabel 耦合提供具有理论保证的预条件路径。

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果可分为连续重表述、离散等价性与一致 inf-sup、以及预条件三部分。首先，作者列出关于角频率 $\omega$ 的假设。假设 1：$\omega$ 位于源自由常系数与变系数 Maxwell 问题在 $\Omega_s$ 中共振集之外，即 (i) $\operatorname{curl}\mu_0^{-1}\operatorname{curl} u-\omega^2\epsilon_0 u=0$ 于 $\Omega_s$、$\gamma_D^s u=0$ 于 $\Gamma$ 只有零解；(ii) $\operatorname{curl}\mu_s^{-1}\operatorname{curl} u-\omega^2\epsilon_s u=0$ 于 $\Omega_s$、$\gamma_D^s u=0$ 于 $\Gamma$ 只有零解。命题 3.1 证明在假设 1(i) 下，原 Costabel 耦合问题 (5) 适定；其依据是相应 sesquilinear 形式 T-coercive 至多相差紧扰动，且在假设 1(i) 下算子单射，再用 Riesz-Schauder 定理。其次，作者引入迹提升算子 $\mathcal E:H^{-1/2}_{\times}(\operatorname{div}_\Gamma,\Gamma)\to H(\operatorname{curl},\Omega_s)$，对每个 $\zeta$ 定义 $\mathcal E\zeta$ 为提升问题

$$a(\mathcal E\zeta,v)=0 \quad \forall v\in H_0(\operatorname{curl},\Omega_s),\qquad \gamma_D^s(\mathcal E\zeta)=\zeta$$

的唯一解。引理 3.1 证明在假设 1(ii) 下，该提升问题对每个 $\zeta\in H^{-1/2}_{\times}(\operatorname{div}_\Gamma,\Gamma)$ 有唯一解，且 $\mathcal E$ 有界线性。进一步，作者定义 Steklov-Poincaré 算子 $S:H^{-1/2}_{\times}(\operatorname{div}_\Gamma,\Gamma)\to H^{-1/2}_{\times}(\operatorname{div}_\Gamma,\Gamma)$，通过任意右逆 $R$ 写成

$$\langle S\zeta,\eta\rangle_{\times,\Gamma}:=a(\mathcal E\zeta,R\eta),$$

并证明其定义不依赖 $R$，且满足

$$\langle S\zeta,\eta\rangle_{\times,\Gamma}=\langle\gamma_N^s\mathcal E\zeta,\eta\rangle_{\times,\Gamma};$$

因此 $S\zeta$ 正是 $\mathcal E\zeta$ 的 Neumann 迹。文中强调 $S$ 诱导的 Hermitian sesquilinear 形式一般既不正定也不半正定。基于 $S$ 与边界积分算子，作者得到仅边界未知量的等价变分问题 (9)：求 $(\tau,\lambda)\in H^{-1/2}_{\times}(\operatorname{div}_\Gamma,\Gamma)\times H^{-1/2}_{\times}(\operatorname{div}_\Gamma,\Gamma)$，使得

$$\langle(S+\omega^2\epsilon_0 V_\kappa)\tau,\xi\rangle_{\times,\Gamma}+\langle(-\tfrac12 I+K_\kappa)\lambda,\xi\rangle_{\times,\Gamma}=\ell_{1,\Gamma}(\xi),\qquad \langle(\tfrac12 I+K_\kappa)\tau,\varphi\rangle_{\times,\Gamma}+\mu_0\langle V_\kappa\lambda,\varphi\rangle_{\times,\Gamma}=\ell_2(\varphi)$$

对所有 $(\xi,\varphi)$ 成立。这里 $V_\kappa$ 与 $K_\kappa$ 分别为 Maxwell 单层与双层边界积分算子。定理 3.2 证明在假设 1 下，原 Costabel 问题 (5) 与重表述问题 (9) 等价；由定理证明可见，(9) 形式上确定 $\tau=\gamma_D^s E$ 与 $\lambda=\gamma_N^0 E$。作者还指出 (9) 与 Calderón 预条件文献中 [7, Eq. (41)] 形式相似，但未知量含义不同：本文确定 $(\gamma_D^s E,\gamma_N^0 E)$，而 [7, Eq. (41)] 求 $(-\gamma_D^s E,m_0)$，其中 $m_0$ 是进入外部积分表示的辅助变量，并非 Neumann 迹本身。在离散层面，作者设 $\Omega_s$ 为多面体，采用准均匀四面体网格，取最低阶 Nédélec 有限元空间 $X_h$ 及其迹空间 $Y_h=\gamma_D^s X_h$，后者是边界上的最低阶 Raviart-Thomas 空间。原 Costabel 离散问题 (10) 为求 $(E_h,\lambda_h)\in X_h\times Y_h$ 满足相应耦合方程。作者定义离散提升 $\mathcal E_h\zeta_h\in X_h$ 为

$$a(\mathcal E_h\zeta_h,v_h)=0 \quad \forall v_h\in X_{h,0}:=X_h\cap H_0(\operatorname{curl},\Omega_s),\qquad \gamma_D^s(\mathcal E_h\zeta_h)=\zeta_h$$

的解，并定义离散 Steklov-Poincaré 算子 $S_h:Y_h\to Y_h'$ 为

$$\langle S_h\zeta_h,\eta_h\rangle_{Y_h',Y_h}:=a(\mathcal E_h\zeta_h,R_h\eta_h),$$

其中 $R_h$ 为 $\gamma_D^s$ 的离散右逆。引理 3.2 证明在假设 1(ii) 下，存在 $h^\#>0$，使得对充分小 $h$，提升问题 (12) 适定，$\mathcal E_h$ 一致有界，且 $S_h$ 的定义不依赖 $R_h$ 的选取。离散重表述问题 (14) 为求 $(\tau_h,\lambda_h)\in Y_h\times Y_h$ 满足相应边界乘积空间方程。定理 3.3 证明在假设 1 下，存在充分小 $h^\#$，使得原 Costabel 离散问题 (10) 与离散重表述问题 (14) 对所有 $h\in(0,h^\#)$ 等价。定理 3.4 是核心的稳定离散化结果：在假设 1 下，存在常数 $C>0$，使得

$$\sup_{(\xi_h,\varphi_h)\in Y_h\times Y_h\setminus\{(0,0)\}}\frac{|B_R((\tau_h,\lambda_h),(\xi_h,\varphi_h))|}{\|(\xi_h,\varphi_h)\|_{\Gamma,\Gamma}}\ge C\|(\tau_h,\lambda_h)\|_{\Gamma,\Gamma}$$

对所有 $(\tau_h,\lambda_h)\in Y_h\times Y_h$ 与所有充分小 $h$ 成立，即重表述离散系统具有与 $h$ 无关的 inf-sup 常数。关于预条件，摘要与引言声称：使用算子预条件框架，基于 Maxwell 单层边界积分算子诱导的 Galerkin 矩阵构造预条件子；在频率不在共振集的假设下，预条件矩阵的谱条件数一致有界；数值实验说明方法有效。但提供的 PDF 文本在第 4 节开头截断，因此第 4 节中预条件子的具体块结构、定理编号、条件数界的证明细节、常数对网格与频率的依赖，以及第 5 节数值实验的具体结果，从提供内容中无法确认。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的技术障碍与创新点集中在如何为 Lipschitz 界面上的时谐 Maxwell Costabel 耦合构造可严格分析的预条件。第一个障碍是 Costabel 耦合的变分问题同时含体积未知 $E\in H(\operatorname{curl},\Omega_s)$ 与边界未知 $\lambda\in H^{-1/2}_{\times}(\operatorname{div}_\Gamma,\Gamma)$，体积项 $a(E,W)=\int_{\Omega_s}(\mu_s^{-1}\operatorname{curl} E\cdot\operatorname{curl} W-\omega^2\epsilon_s E\cdot W)dx$ 只作用于第一卷，导致离散矩阵是典型鞍点或耦合块结构。已有 Calderón 预条件依赖光滑界面上正则化 Steklov-Poincaré 算子为第二类 Fredholm 算子，但该性质在非光滑 Lipschitz 界面上不成立；而 Laplace/Yukawa 界面问题的预条件分析常依赖相关 FEM 矩阵的正定或半正定，Maxwell 情形下相应 Steklov-Poincaré 算子既不正定也不半正定，使这些论证失效。作者真正的创新点不是直接对原 Costabel 矩阵做代数操作，而是先构造一个等价的重表述，使问题完全落在边界迹空间乘积上，并且该重表述适合算子预条件框架。关键构造是迹提升算子 $\mathcal E$ 与 Steklov-Poincaré 算子 $S$。利用分解

$$H(\operatorname{curl},\Omega_s)=R(H^{-1/2}_{\times}(\operatorname{div}_\Gamma,\Gamma))\oplus H_0(\operatorname{curl},\Omega_s),$$

其中 $R$ 为 $\gamma_D^s$ 的任意有界右逆，作者将任意 $E$ 写成 $E=R\tau+U$，$U\in H_0(\operatorname{curl},\Omega_s)$，$\tau=\gamma_D^s E$。提升问题 $a(\mathcal E\zeta,v)=0$ 对所有 $v\in H_0(\operatorname{curl},\Omega_s)$ 成立且 $\gamma_D^s(\mathcal E\zeta)=\zeta$，正是从 Dirichlet 迹唯一确定体积场中满足齐次变分方程的分量。在假设 1(ii) 下，作者用 Hiptmair 关于 $H_0(\operatorname{curl},\Omega_s)$ 上变分问题适定性的结果 [26, Thm. 5.2] 得到唯一解与有界性。随后，通过分部积分证明

$$a(\mathcal E\zeta,v)=\langle\gamma_N^s\mathcal E\zeta,\gamma_D^s v\rangle_{\times,\Gamma},$$

于是 $S\zeta$ 等于 $\mathcal E\zeta$ 的 Neumann 迹；这一定义用任意右逆 $R$ 写成 $\langle S\zeta,\eta\rangle_{\times,\Gamma}=a(\mathcal E\zeta,R\eta)$，并证明与 $R$ 无关。这一步将原本的体积项 $a(E,W)$ 完全改写为边界配对 $\langle S\tau,\xi\rangle_{\times,\Gamma}$，从而得到仅含 $(\tau,\lambda)$ 的变分问题 (9)。第二个技术要点是连续等价的证明。给定原 Costabel 解 $(E,\lambda)$，测试 $W\in H_0(\operatorname{curl},\Omega_s)$ 得 $a(E,W)=0$，故 $E=\mathcal E\tau$，$\tau=\gamma_D^s E$；再对一般 $W$ 分解 $W=R\xi+v$，$v\in H_0$，利用 $S$ 的定义把 $a(E,W)$ 写为 $\langle S\tau,\xi\rangle$，从而导出 (9)。反过来，给定 (9) 的解 $(\tau,\lambda)$，用提升问题重构 $E=\mathcal E\tau$，并在测试空间 $R(H^{-1/2}_{\times}(\operatorname{div}_\Gamma,\Gamma))\times H^{-1/2}_{\times}(\operatorname{div}_\Gamma,\Gamma)$ 上恢复原 Costabel 方程；再结合 $H(\operatorname{curl},\Omega_s)$ 的分解恢复全部测试函数。第三个关键技术点是离散 inf-sup 的传递。作者没有重新证明一个独立的离散 inf-sup，而是从 Hiptmair 对 Costabel 离散问题 (10) 的 inf-sup 估计出发。该估计对 $X_h\times Y_h$ 成立且常数与 $h$ 无关。由于原问题测试 $X_{h,0}$ 得 $E_h\in X_h^E:=\{u_h\in X_h:a(u_h,v_h)=0\ \forall v_h\in X_{h,0}\}$，可限制试空间为 $X_h^E\times Y_h$。再取一致有界的离散右逆 $R_h$，将任意 $W_h$ 分解为 $W_h=R_h\xi_h+v_h$，$v_h\in X_{h,0}$，并利用 $a(E_h,v_h)=0$ 与提升问题 (12) 得到 $B_C((E_h,\lambda_h),(W_h,\varphi_h))=B_C((\mathcal E_h\tau_h,\lambda_h),(R_h\xi_h,\varphi_h))$。关键估计是

$$\|(R_h\xi_h,\varphi_h)\|_{\Omega_s,\Gamma}\le C\|(\xi_h,\varphi_h)\|_{\Gamma,\Gamma}\le C\|(W_h,\varphi_h)\|_{\Omega_s,\Gamma},\qquad \|(\mathcal E_h\tau_h,\lambda_h)\|_{\Omega_s,\Gamma}\le C\|(\tau_h,\lambda_h)\|_{\Gamma,\Gamma},$$

其中一致有界性来自离散右逆的选择与提升算子的一致有界性。由这些估计，作者将 Costabel 离散 inf-sup 常数传递到重表述形式 $B_R$，从而证明定理 3.4。这里的技术核心是：离散 Steklov-Poincaré 算子的定义虽然依赖右逆，但通过 $X_{h,0}$ 的正交关系可证明不依赖选择；而为了获得与 $h$ 一致的 inf-sup，必须使用一致有界的离散右逆，尽管 $S_h$ 本身定义不需此性质。第四个技术点是算子预条件框架的适配。作者采用 [18, Sect. 2] 的算子预条件框架，该框架不要求 Galerkin 矩阵正定，而要求相关 sesquilinear 形式满足一致 inf-sup 条件并与对偶配对相容。文中构造两个 sesquilinear 形式：一个由 Maxwell 单层边界积分算子 $V_\kappa$ 诱导，另一个提供离散空间之间的对偶配对；预条件子由这两个形式对应的 Galerkin 矩阵块对角地组成。由于 $S$ 不定，无法使用正定性论证，作者转而使用 $V_\kappa$ 的边界积分算子性质与定理 3.4 的一致离散 inf-sup 来建立预条件系统的谱等价。摘要声称预条件矩阵谱条件数一致有界，但第 4 节具体证明细节与预条件子块结构在提供的截断文本中未展示，因此无法在此展开。总体而言，本文的证明框架是：连续提升与 Steklov-Poincaré 重写、连续与离散等价、一致离散 inf-sup 传递、再嵌入算子预条件框架。

4. 与之前工作的比较

本文与既有工作的差别可以从界面正则性、耦合格式、预条件机制、代数结构与适用范围几个维度比较。第一，与 de La Bourdonnaye [2] 的比较。 [2] 将时谐 Maxwell 传输的 FEM-BEM 耦合约化为单个边界方程，其中涉及 Steklov-Poincaré 算子和电场切向迹；本文也使用 Steklov-Poincaré 算子，但出发点不同：本文从 Costabel 耦合 [4] 出发，推导出与原 Costabel 问题等价的仅边界未知量变分问题 (9)，并在离散层对应消去内部 FEM 未知量后的 Schur 补系统。文中没有显式展开与 [2] 在误差估计或预条件条件数上的完整比较，因此从提供内容中无法确认两者在数值代价和适用范围上的所有差异。第二，与 [3] 的鞍点结构耦合比较。 [3] 的未知量由 Helmholtz 与 Hodge 分解的分量构成，而本文的未知量直接是边界 Dirichlet 迹 $\tau=\gamma_D^s E$ 与外部 Neumann 迹 $\lambda=\gamma_N^0 E$。本文的未知量物理意义更直接，且不依赖分解。但作者未在提供内容中显式比较两种格式的 inf-sup 常数、网格依赖或计算复杂度。第三，与 Badia 等 [6] 的弱耦合格式比较。 [6] 引入最优传输算子并可用非重叠 Schwarz 域分解高效求解，但依赖光滑界面假设；本文在 Lipschitz 界面情形工作，且离散分析建立在 Hiptmair 对 Costabel 耦合的 Lipschitz 界面理论之上。因此本文在界面正则性上比 [6] 更一般，代价是采用 Costabel 耦合而非弱耦合，并且预条件基于边界积分算子与算子预条件框架，而非区域分解。第四，与 Costabel 耦合原始工作 [4,5] 的比较。 [4] 建立了 Costabel 耦合及 Galerkin 离散的适定性和准最优误差，[5] 发展稳定化格式避免伪共振。本文不改变 Costabel 耦合的物理解，而是证明重表述问题 (9) 与 (14) 分别与原连续和离散 Costabel 问题等价；因此本文应视为在 [4,5] 的适定性与离散 inf-sup 理论之上，增加可预条件化的等价形式和一致离散 inf-sup。本文的假设 1 比 [4] 中适定性的频率假设更明确地列出共振集：假设 1(i) 用于原 Costabel 问题适定，假设 1(ii) 用于提升问题适定。第五，与 Calderón 预条件 [7] 的比较。 [7] 用 Maxwell 单层边界积分算子正则化 Steklov-Poincaré 算子，并依赖光滑曲面上正则化 Steklov-Poincaré 算子为第二类 Fredholm 算子；该性质在非光滑界面不成立。本文受 [7] 启发也使用 Maxwell 单层算子，但明确避免依赖第二类 Fredholm 性质，转而使用算子预条件框架与一致 inf-sup。Remark 3.1 进一步指出，本文问题 (9) 与 [7, Eq. (41)] 都定义在 $H^{-1/2}_{\times}(\operatorname{div}_\Gamma,\Gamma)\times H^{-1/2}_{\times}(\operatorname{div}_\Gamma,\Gamma)$ 上，形式相似，但未知量概念不同：本文确定 $(\gamma_D^s E,\gamma_N^0 E)$，而 [7, Eq. (41)] 求 $(-\gamma_D^s E,m_0)$，其中 $m_0$ 是进入外部积分表示的辅助变量而非 Neumann 迹。这是本文对 [7] 的一个明确概念性推进：在非光滑界面上给出与 Costabel 耦合等价的边界形式，并使其适合预条件。第六，与其他电磁 FEM-BEM 预条件 [8-10] 的比较。文中指出这些预条件在许多复杂工程应用中有效，但理论结果仍然有限，部分原因是难以像 Costabel 耦合那样进行严格且全面的分析。本文则选择 Costabel 耦合作为基础，以换取严格分析，并证明 Lipschitz 界面下的一致离散 inf-sup 与预条件谱界。第七，与 Laplace 和 Yukawa 界面问题 FEM-BEM 预条件 [11-14] 的比较。 [11-14] 中 FEM 矩阵的正定或半正定性在建立预条件矩阵条件数一致界时起核心作用；本文强调对时谐 Maxwell 传输问题，这种正定性论证不再可用，因为 Steklov-Poincaré 算子 $S$ 是 Hermitian 但一般既不正定也不半正定。因此本文的技术路线从正定性转向算子预条件框架所要求的一致 inf-sup 条件与对偶配对。第八，与 Steklov-Poincaré 重表述及预条件 [15-17] 的比较。文中指出这些先前研究的主要工具或是 Steklov-Poincaré 算子的正定性，或是半正定性；而本文考虑的 Steklov-Poincaré 算子不具备这些性质，因此不能直接套用。本文的贡献是在 Lipschitz 界面时谐 Maxwell 情形下，证明所得表述仍能纳入算子预条件框架。第九，适用范围与代价。本文适用于 Lipschitz 界面乃至多面体界面的离散，频率需位于共振集之外，离散采用准均匀四面体网格与最低阶 Nédélec/Raviart-Thomas 元。代价包括：需要假设 1(ii) 以保证提升问题适定；需要一致有界的离散右逆来传递 inf-sup 常数；预条件子基于 Maxwell 单层边界积分算子，因此仍需处理边界积分算子的稠密 Galerkin 矩阵；数值实验虽在摘要中称有效，但提供文本未包含第 5 节细节，无法比较实际迭代次数、CPU 时间或对频率的鲁棒性。最后，对于本文与 [2,3,6] 在光滑界面情形下的退化关系、与 [7] 在光滑界面下 Calderón 预条件的理论优劣、以及本文预条件条件数常数对 $\omega$、$\mu_s$、$\epsilon_s$ 和网格形状正则性的依赖，提供内容中未显式展开，因此无法确认。总体而言，本文在界面正则性上推进到 Lipschitz 界面，在预条件机制上摆脱正定性与第二类 Fredholm 性质的限制，给出与 Costabel 耦合严格等价的边界重表述及一致离散 inf-sup，为后续构造块对角预条件提供了理论入口；但其完整预条件定理与数值效率仍超出所提供文本的可见范围。

了解领域论文（摘要翻译）

1. CAFE+FNO：通过乘性特征组合生成傅里叶核

CAFE+FNO: Fourier Kernel Generation via Multiplicative Feature Composition

作者: Hyungjoon Juen, Minwoo Shin

类别: cs.LG, math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.10105v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.10105v1

摘要翻译

中文标题: CAFE+FNO：通过乘性特征组合生成傅里叶核

摘要翻译: 傅里叶神经算子（FNO）通过傅里叶空间核参数化学习偏微分方程（PDE）的解算子，但频率截断可能限制对高频变化的学习。AM-FNO 和 SirenFNO 使用共享网络从谱坐标生成所有网格模态的核，这使得坐标编码和生成器设计变得重要。近期关于隐式神经表示（INRs）的工作提出通过显式特征组合构造频率相互作用，而不是依赖后续 MLP 隐式地形成它们。基于这一思路，我们提出 CAFE+FNO，将内容感知频率编码+（CAFE+）融入傅里叶核生成。CAFE+ 通过并行仿射分支和 Hadamard 积组合 Fourier–Chebyshev 特征，形成两个特征族内部及跨特征族的相互作用。一个核 MLP 将每个归一化谱坐标的所得表示映射为复通道混合矩阵。每一层在所有存储模态上共享其生成器，使得在固定架构下可训练参数数量与模态数量无关。我们在五个 PDE 基准上比较 CAFE+FNO 与现有 FNO 变体，并对基配置、乘法组合和带宽可学习性进行消融研究。代码和实验配置可在 https://github.com/fabsk101/CAFEPlusFNO.git 获取。

2. 非拟合 T 网格上基于 PHT 样条的 UnCut FEM

UnCut FEM with PHT-splines on unfitted T-meshes

作者: Falai Chen, Nuo Lei, Buyang Li

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.09909v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.09909v1

摘要翻译

中文标题: 非拟合 T 网格上基于 PHT 样条的 UnCut FEM

摘要翻译: 我们提出了一种基于分层 T 网格上的多项式样条（PHT-splines）的新型非拟合有限元方法，用于求解定义在边界由水平集函数隐式描述的区域上的椭圆型偏微分方程（PDEs）。利用样条空间增强的光滑性，我们通过在物理域的扩展邻域上最小化 PDE 的 $L^2$ 残差来构造该方法。该格式允许方法完全在背景网格上使用标准逐单元求积来实现。它产生一个对称正定线性系统，并避免了边界单元中弯曲切割子区域的几何构造以及相关的非平凡数值积分。我们建立了数值格式的适定性，并推导了 $H^1$ 范数下的最优 \emph{a priori} 误差估计。此外，我们采用基于残差的 \emph{a posteriori} 误差指示子来指导分层 T 网格的局部自适应加密。数值实验证实了理论结果，并展示了所提方法的精度和效率。

3. 一类非线性波系统的任意高阶精确且局部能量/熵稳定时空方法

An arbitrarily high-order accurate and locally energy/entropy-stable space-time method for a class of nonlinear wave systems

作者: Michael Dumbser, Ilaria Perugia, Enrico Zampa

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.09797v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.09797v1

摘要翻译

中文标题: 一类非线性波系统的任意高阶精确且局部能量/熵稳定时空方法

摘要翻译: 我们提出了一类新的保结构、任意高阶精度的时空格式，用于一类非线性声波传播系统，空间上采用非结构单纯形网格；其中非线性编码在状态变量与对偶变量之间的本构关系中，而微分算子保持标准一阶声波结构。在全离散层面，这些格式满足以下性质：I) 状态变量的局部守恒；II) 每个时空单元上的局部能量/熵平衡，具有相容、单值的数值能量/熵通量和非负局部能量/熵耗散，并且当稳定项被省略时精确能量守恒；III) 速度场旋度对合的弱保持，即使在存在间断且激波捕捉项被激活的情况下也是如此。新格式的关键要素为：i) 空间上的间断 Galerkin (DG) 离散，其中对偶变量被计算为能量关于守恒变量的导数到 DG 空间上的 L2 投影；ii) 数值通量以及以对偶变量表示的泡函数加权的、单元局部黏性正则化；iii) 时间上的连续-间断 Petrov-Galerkin 方法。性质 I)-III) 首先在数学上得到证明，随后通过合适的数值试验加以验证。

4. 精确球面三角形上的各向异性 Lagrange 插值

Anisotropic Lagrange interpolation on exact spherical triangles

作者: Hiroki Ishizaka

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.09686v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.09686v1

摘要翻译

中文标题: 精确球面三角形上的各向异性 Lagrange 插值

摘要翻译: 我们研究由弦三角形径向投影得到的精确测地球面三角形上的线性 Lagrange 插值。将单元映射分解为一个仿射映射和一个径向修正，可将弦向各向异性与径向畸变分离。我们推导了关于曲面测度、Dirichlet 能量和方向导数的精确恒等式，并利用它们将平面各向异性插值估计转移到球面上。由此得到的局部误差估计保留了弦向的两个方向长度尺度，并使几何因子保持显式，其中常数与单元大小、形状和球半径无关。在梯度估计中，最大角因子仅乘以较长的方向尺度。四类显式三角形族量化了用直径替换这些尺度所造成的损失，并建立了尖锐的最大角依赖性。它们还表明，在具有与单元无关的常数的同一两项方向界内，最大角因子既不能移到较短尺度上，其指数也不能降到 1 以下。第四类三角形族证明了平方根径向传递因子的最优性，同时保持相同的传递方向尺度。这些局部估计可推广到相容球面三角剖分。作为一个应用，它们为带精确积分的零均值 Laplace–Beltrami 问题的协调近似给出了一个各向异性能量误差估计。

5. 一种用于三维准静态电多孔弹性方程的无锁定虚拟元方法

A locking-free virtual element method for the three-dimensional quasi-static electroporoelasticity equations

作者: Jianguo Huang, Wenxuan Wang

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.09646v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.09646v1

摘要翻译

中文标题: 一种用于三维准静态电多孔弹性方程的无锁定虚拟元方法

摘要翻译: 我们开发并分析了一种用于三维准静态电多孔弹性方程的无锁定虚拟元方法。压力、电场、磁场和位移场分别由最低阶节点型、边型、面型和类 Stokes 虚拟元空间离散，因此该格式适用于一般多面体网格，而时间离散采用后向 Euler 格式。锁定现象通过在一个加密网格 $\widetilde{\mathcal{T}}_h$ 上定义类 Stokes 空间来克服，在该网格上我们可以构造一个插值算子 $\mathrm{I}_s$，满足 $÷(\mathrm{I}_s\bm v)|_K=Π^K_0÷\bm v$，这使得误差估计独立于 Lamé 常数 $λ$。此外，由于精确序列 $\curl\bm V^e_h=\bm V^f_{h,0}$ 成立，磁场被显式更新，从而将四场系统简化为三场系统并降低了计算成本。数值实验用于展示所提方法的性能。

6. 物理信息神经可塑性：能够自我重塑的 PDE 求解器

Physics-Informed Neural Plasticity: PDE Solvers That Reshape Themselves

作者: Chun-Wun Cheng, Bingcheng Hu, Angelica I. Aviles-Rivero

类别: cs.LG, math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.09510v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.09510v1

摘要翻译

中文标题: 物理信息神经可塑性：能够自我重塑的 PDE 求解器

摘要翻译: 物理信息神经 PDE 求解器通过调整其参数以满足控制方程，然而其表示结构通常在训练过程中保持固定。这种刚性难以匹配在空间以及空间–时间上具有强异质复杂度的 PDE 解，从而在物理困难处容量不足，而在物理简单处容量冗余。我们提出物理信息神经可塑性，一种表示本身在优化过程中根据未解析物理进行重塑的范式。我们以 Representation Capacity Adaptation for PDEs (ReCAP) 实例化这一原则，这是一种高斯局部化求解器，通过局部富集、残差导向分裂、基于门控的剪枝和函数感知合并来动态重新分配容量。ReCAP 使用责任加权误差指标和残差能量的几何来确定在哪里以及如何细化。为限制分裂引入的扰动，我们引入 quiet-child refinement（静默子代细化），它通过迁移父表示来初始化新组件，同时控制瞬时函数扰动。我们进一步建立条件后验可靠性和结构稳定性保证，将局部化物理残差与解的误差以及稳定细化联系起来。在五个具有挑战性的 3D 和 4D PDE 基准上，与 11 个物理信息求解器对比，ReCAP 在每个问题上取得最低的相对 $L^2$ 误差，相对于最强竞争结果将误差降低 $10.7\%$–$27.5\%$。这些结果表明，物理信息求解器不必仅仅学习其参数——它们可以学习其表示容量应如何组织。

7. 用于热-机械裂纹扩展的扩展深度能量法

An extended deep energy method for thermo-mechanical crack propagation

作者: Han Zhang, Mehrisadat Makki Alamdari, Babak Shahbodagh, Mohammad Vahab, Cosmin Anitescu, Timon Rabczuk, Elena Atroshchenko

类别: cs.LG, cond-mat.mtrl-sci, math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.09433v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.09433v1

摘要翻译

中文标题: 用于热-机械裂纹扩展的扩展深度能量法

摘要翻译: 热-机械断裂将含裂纹区域上的瞬态热传导与一条随温度和位移演化而扩展的裂纹耦合起来。神经能量求解器已被提出用于相场断裂，后来扩展为通过网络输入表示尖锐裂纹，但在这些求解器中，含裂纹区域上的热传导以及由此产生的热应力下的裂纹扩展尚未被一起处理。我们提出一种用于热-机械裂纹扩展的扩展深度能量法，其中裂纹保持为尖锐折线。两个网络分别表示温度和位移，并通过一个标量嵌入函数接收裂纹；该函数在裂纹处不连续，在其他地方光滑，从而两个场都能跨裂纹跳跃而无需正则化长度，且位移在裂尖附近由具有可训练幅值的 Williams 展开增强。这两个场通过以交错序列最小化增量传导泛函和热弹性势能获得，其中采用蒙特卡洛积分，积分点分层分布在背景单元上，在裂尖附近加密，并在训练过程中重新抽取。应力强度因子通过带 Wilson 和 Yu 面积项的交互积分提取，并通过围道半径扫描进行校验；当扭折的能量释放率达到裂尖温度下的临界值时，裂纹沿最大环向应力角扩展。对于一个静止热边缘裂纹，提取的应力强度因子与已发表值吻合到 0.11%；在功能梯度剪切试验的起裂中，与独立的尖锐裂纹有限元解在一个载荷步内吻合；在缺口十字形试样上，裂纹路径在机械、热和组合载荷下均遵循已发表解。

8. 用于 Navier–Stokes 自由边界流的具有补偿切向速度的能量稳定 ALE–FEM

An energy–stable ALE–FEM with compensated tangential velocity for Navier–Stokes free–boundary flows

作者: Nuo Lei, Weiying Zheng, Na Zhu

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.09301v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.09301v1

摘要翻译

中文标题: 用于 Navier–Stokes 自由边界流的具有补偿切向速度的能量稳定 ALE–FEM

摘要翻译: 我们针对具有表面张力驱动的自由边界的不可压缩 Navier-Stokes 流动，提出了一种能量稳定的任意拉格朗日-欧拉（ALE）有限元格式。其关键要素是一种无乘子的补偿切向速度格式，该格式通过离散切向曲率残差重新分布边界节点。控制人工切向速度的松弛参数根据黏性-毛细平衡进行缩放，从而得到自然选择 $α= γ_0/ μ$，其中 $γ_0$ 是表面张力系数，$μ$ 是动力黏度。我们证明全离散格式是适定的、能量耗散的，并且在时间上与其半离散对应格式相容。数值结果证实了所提方法在一系列 $μ$ 和 $γ_0$ 值下的鲁棒性。此外，与 BGN 方法相比，该方法表现出更优的网格质量保持能力，特别是在小时间步长情形下。

9. 无界区域上 Hamilton–Jacobi–Bellman 方程的核方法与神经网络方法的收敛性

Convergence of kernel and neural-network methods for Hamilton–Jacobi–Bellman equations on unbounded domains

作者: Yumiharu Nakano

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.09299v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.09299v1

摘要翻译

中文标题: 无界区域上 Hamilton–Jacobi–Bellman 方程的核方法与神经网络方法的收敛性

摘要翻译: 我们针对无界空间区域上 Hamilton–Jacobi–Bellman 方程的两种非单调、无网格近似，从经验平方残差导出误差界：在原生空间范数约束下使用 Wendland 核的配点法，以及在 Sobolev 范数约束下具有光滑激活函数的物理信息神经网络。主要步骤是从经验损失中恢复粘性解误差估计所需的逐点残差控制，同时量化离散化误差或采样误差。对于核方法，我们在经典正则性与原生空间正则性下证明紧集上的一致收敛，并为唯一有界连续粘性解导出后验定量误差界。对于神经网络方法，我们证明紧集上的一致收敛依概率成立，并在经典 Sobolev 正则性下给出定量的高概率误差界。这些界分别由核方法的填充距离以及神经网络的网络规模与样本量控制。证明结合了经验到总体估计、一个将 $L^2$ 残差转化为 sup 范数界的插值不等式，以及针对由截断定义域所导致误差的受控扩散估计。用于从逼近性质获得收敛的正则性假设，是在粘性解适定性之外的额外假设。一维和二维空间中的数值实验展示了这些方法和估计。

10. 有限扇形上的移位锥形极点逼近：精确渐近与维数控制

Shifted tapered-pole approximation on finite sectors: an exact asymptotic and dimension control

作者: Fei Xue, Tianqi Zhang

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.09256v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.09256v1

摘要翻译

中文标题: 有限扇形上的移位锥形极点逼近：精确渐近与维数控制

摘要翻译: 我们研究闭单位半径扇形上 $g(z)z^α(\log z)^m$ 的显式 lightning-plus-polynomial (LP) 逼近，其中 $0<α<1$，$m$ 固定，且 $g$ 在该扇形附近解析。由于基本的扇形根指数速率已经已知，我们处理三个更精细的问题。第一，一个单侧 Abel–Poisson 公式和一个无极点缺口围道给出了逐分支误差界，该误差界对于 $(0,1)$ 的紧子集中的网格移位是一致的，并且对每个固定的对数幂均成立。第二，对于稠密与平衡情形下的 $z^α$，一个精确的顶点尺度重缩放为指定的移位序列确定了一个正有限的首项常数。第三，一个率匹配的附加表示极点带，随后进行多项式压缩，给出了显式表示维数 $N+2\sqrt{2αλ_σN}+O(1)$，同时保持前 $N$ 个锥形极点不变。一个略微过分辨的混合序列也保持精确的首项常数。匹配维数实验，包括凹入扇形，说明了该分配。这些精确渐近与维数结论针对所述构造，而非扇形极小极大逼近或总计算复杂度。

11. 可压缩 Navier–Stokes 方程的高阶熵稳定等温壁边界条件

High-order entropy stable isothermal wall boundary condition for the compressible Navier–Stokes equations

作者: Mohammed Sayyari, Nail K. Yamaleev

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.09249v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.09249v1

摘要翻译

中文标题: 可压缩 Navier–Stokes 方程的高阶熵稳定等温壁边界条件

摘要翻译: 熵稳定边界条件对于确保相应数值格式满足离散熵不等式至关重要，从而在离散层面模拟可压缩 Navier–Stokes 方程的热力学第二定律。可证明熵稳定的绝热壁边界条件由 Parsani 2014~\cite{parsani2014entropy} 引入。这些离散壁边界条件在 Dalcin 2019~\cite{dalcin2019conservative} 中被进一步推广到运动绝热固体壁或具有给定热通量的壁面，用于使用分部求和 (SBP) 和同时逼近项 (SAT) 算子离散的可压缩 Navier–Stokes 方程。目前，文献中尚无使用 SBP-SAT 算子处理等温壁边界条件的熵稳定格式。本文提出一种新的等温无滑移壁边界条件，其：1) 在保持稳定性的同时，以设计精度阶强制满足 $T|_{y=0}=T^{wall}$ 和 $\vec{v}|_{y=0}=\vec{v}^{wall}$ 条件，2) 给出壁面处熵产生的正确符号，3) 在离散层面模拟 Navier-Stokes 方程的熵平衡。所提方法的保结构性和设计精度阶性质在可压缩流动的标准基准问题上得到展示和验证。

12. 通过核分解改进格林函数的学习

Improving Learning of Green’s Functions Through Kernel Decomposition

作者: Beiji Chen, Qiang Du, Kui Ren, Tian-Yi Zhou

类别: math.NA, math.AP

发布日期: 2026-10-06

arXiv ID: 2610.09101v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.09101v1

摘要翻译

中文标题: 通过核分解改进格林函数的学习

摘要翻译: 本文分析了一个用于学习一般自伴二阶椭圆算子 $\cL$ 的解算子（或等价地，格林函数）的框架。减去格林函数的奇异部分——该部分或者解析已知，或者由显式 Laplace 拟基本解给出——将 $\cL^{-1}$ 的学习重新表述为学习边界上的 $\cL$-调和延拓算子。我们将该过程表述为再生核希尔伯特空间（RKHSs）之间的算子学习，以表明核分解策略将代数输入速率提高两个数量级，并且，在诱导边界数据的一致解析正则性以及相容输出空间下，将输出速率从代数级提升为指数级。我们通过迭代分解进一步将该框架推广到半线性问题，其中唯一学习的对象仍为线性算子，确保改进后的线性速率可直接传递到非线性迭代。提供了数值实验以验证理论发展。

13. 正交均匀网格上具有能量与动量乘子的多项式差分格式：模板限制与 Monge–Ampère 型示例

Polynomial Difference Schemes with Energy and Momentum Multipliers on Orthogonal Uniform Meshes: Stencil Restrictions and Monge–Ampère-Type Examples

作者: E. I. Kaptsov

类别: math.NA, math-ph

发布日期: 2026-10-06

arXiv ID: 2610.08979v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.08979v1

摘要翻译

中文标题: 正交均匀网格上具有能量与动量乘子的多项式差分格式：模板限制与 Monge–Ampère 型示例

摘要翻译: 关于函数 $u(t,x)$ 的一维流体动力学型方程的不变有限差分格式的经验表明，在具有 9 点模板的正交均匀网格上，非线性多项式格式不能同时保持能量守恒律和动量守恒律的差分类似式，其中乘子由 $u_t$ 和 $u_x$ 的标准差分近似给出。对于 9 点模板，该假设已对任意次数的多项式得到证明。在更大的模板上，借助直接法的差分类似式对此进行了研究：对于有界次数的多项式，发现此类格式仅存在于足够大的模板上，而它们所近似的二阶方程属于 Monge–Ampère 型。作为一个副产品，得到了齐次 Monge–Ampère 方程的一个格式，该格式具有五个守恒律，容许该微分方程的大部分对称性，并且在离散二面体群 $D_4$ 下不变。对精确解的数值试验证实了其具有二阶逼近精度，并表明在这些解上守恒律以相同的精度阶得到满足。

14. 高阶有限元等参 BGN 方法对闭曲面平均曲率流的收敛性

Convergence of isoparametric BGN methods for mean curvature flow of closed surfaces with high-order finite elements

作者: Yifei Li

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-06

arXiv ID: 2610.08972v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.08972v1

摘要翻译

中文标题: 高阶有限元等参 BGN 方法对闭曲面平均曲率流的收敛性

摘要翻译: 我们证明了用于闭曲面平均曲率流的等参 Barrett–Garcke–Nürnberg (BGN) 方法的收敛性。对于次数为 $k\ge6$ 的有限元和满足 $τ=O(h^2)$ 的时间步长，数值曲面在流形距离意义下以 $h^2$ 阶收敛到精确曲面。证明依赖于两个要素。首先，我们通过时间展开构造逼近流，其插值满足具有改进缺陷的 BGN 方法。其次，我们由切向测试函数的一个代数恒等式导出切向误差的精细估计。

不相关论文（基本信息）

1. 分数阶电导率反问题中的有限元外到内重构

A finite element exterior-to-interior reconstruction in the fractional conductivity inverse problem

作者: Mukul Dwivedi, Jesse Railo, Andreas Rupp

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.10484v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.10484v1

摘要: We develop a regularized finite element method for the fractional conductivity equation, recovering the conductivity on an exterior observation region from noisy Dirichlet-to-Neumann measurements and using this reconstruction to determine the interior conductivity. Mesh-localized inputs and mass-lumped Tikhonov regularization discretize the exterior determination principle of Covi–Railo–Zimmermann (2026, Calc. Var. PDE). We prove exterior (L^2)- and (L^\infty)-convergence with error estimates, including the logarithmic correction at the critical Hölder exponent. The exterior reconstruction enables the Liouville reduction to the Calderón problem for the fractional Schrödinger equation. Separated measurements recover the interior potential, after which overlapping measurements determine the exterior potential tail. Together with the recovered exterior conductivity, the tail supplies the exterior Cauchy data for a Tikhonov-regularized finite element least-squares continuation. We prove (H^s)-convergence of the transformed conductivity and (L^2)-convergence of the interior conductivity, together with logarithmic state-bias and conductivity error estimates for full observation spaces. The admissible reconstructions remain uniformly positive and bounded. We present one- and two-dimensional numerical experiments illustrating the accuracy of the exterior and interior reconstructions and their sensitivity to measurement noise and discretization.

2. 使用 GEPP 的随机排列

Random permutations using GEPP

作者: Kenji Gunawan, John Peca-Medlin, Chenyang Zhong

类别: math.PR, math.CO, math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.10481v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.10481v1

摘要: Gaussian elimination with partial pivoting (GEPP) remains the most widely used solver for dense linear systems $A \mathbf x = \mathbf b$ for $A \in \mathbb C^{n\times n}$. We study the permutation $π= π(A)$ that arises in the GEPP factorization $PA = LU$, encoded by the permutation matrix factor $P = P_π$. When the input matrix is random, so is $π$. For random scalar butterfly matrices of size $2^n$ (a recursively defined family originally introduced to eliminate the need for pivoting altogether), we give the exact GEPP factorization and fully classify the induced permutation as an element of a $2$-Sylow subgroup of $S_{2^n}$ contained in the separable permutations. Moreover, the uniform-angle model induces the uniform distribution on this subgroup. For the GOE, GUE, and iid Bernoulli models, the induced permutation is never exactly uniform for $n \ge 2$. We give the precise rate of departure from uniformity at the leading pivot for the GOE and GUE, and give evidence that this non-uniformity vanishes asymptotically in the permuton sense. In contrast, for banded random matrices of sublinear bandwidth, including the tridiagonal $β$-Hermite ensembles, the induced permutation converges to the diagonal permuton. We further show that the resulting pivot probabilities are sensitive to implementation choices: standard LAPACK routines compare complex pivot candidates using the $\ell^1$ rather than $\ell^2$ norm, changing the GUE(2) pivot probability from $1/\sqrt3$ to $2/3$. Together these results establish a new connection between random matrix theory and permutation combinatorics through numerical linear algebra.

3. 基于帽函数的保正接触间断捕捉 Boltzmann 格式

A hat function based positive contact discontinuity capturing Boltzmann scheme

作者: Balwinder Singh, S. V. Raghurama Rao

类别: math.NA, physics.flu-dyn

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.10419v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.10419v1

摘要: The suitable moments of the Maxwell velocity distribution function recover the conserved variable and flux vectors of the Euler equations of gas dynamics. However, the Maxwellian has infinite support in velocity space, which poses challenges for the numerical analysis of kinetic schemes based on it. Although Maxwellian is a natural choice, it is not the only distribution function that preserves these key moments. In his seminal paper, Perthame (1990) introduced a compactly supported hat function as an alternative. This paper presents the formulation and analysis of a contact discontinuity capturing Boltzmann scheme based on peculiar velocity, constructed using the hat function. Owing to the compact support of the hat function in velocity space, the numerical analysis of the proposed scheme is considerably simplified, allowing for a direct proof of its positivity. The scheme, extended to second-order accuracy without compromising the positivity-preserving property of its first-order counterpart, is tested on several benchmark inviscid flow problems in one- and two-dimensions.

4. 微磁学中 Landau-Lifshitz-Gilbert 方程的 BDF2 型积分器：IMEX 时间步进与完整有效场

BDF2-type integrator for Landau-Lifshitz-Gilbert equation in micromagnetics: IMEX time-stepping and full effective field

作者: Michele Aldé, Dirk Praetorius, Agus L. Soenjaya

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.10291v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.10291v1

摘要: We extend the BDF2-type finite-element integrator proposed in [M. Aldé, M. Feischl, D. Praetorius; BDF2-type integrator for Landau-Lifshitz-Gilbert equation in micromagnetics: unconditional weak convergence to weak solutions. (Math. Comp., 2026, doi:10.1090/mcom/4210)] to the Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) equation with lower-order effective-field contributions and current-induced non-conservative torques arising in micromagnetic applications. To incorporate these additional terms while retaining a linear solve at each time step, we employ an implicit-explicit (IMEX) time splitting. Our main theorem proves unconditional weak convergence of the fully discrete approximations towards weak solutions of the LLG equation. The analysis removes the mild but artificial CFL-type restrictions required at the first and final time steps in [Aldé M., Feischl M., Praetorius D.; Math. Comp., 2026]. Furthermore, in the presence of the Dzyaloshinskii-Moriya interaction (DMI), the convergence is likewise unconditional and does not require the CFL-type restriction imposed in [G. Hrkac, C.-M. Pfeiler, D. Praetorius, M. Ruggeri, A. Segatti, and B. Stiftner. Convergent tangent plane integrators for the simulation of chiral magnetic skyrmion dynamics. (Adv. Comput. Math., 2019. doi: 10.1007/s10444- 019-09667-z)]. Numerical experiments support the theoretical findings.

5. 基于 Wasserstein–Fisher–Rao JKO 格式的重加权归一化流神经采样

Neural Sampling with Reweighted Normalizing Flows via the Wasserstein–Fisher–Rao JKO Scheme

作者: Chenguang Duan, Johannes Hertrich, Gabriele Steidl

类别: math.NA, cs.LG, math.PR, stat.ML

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.10278v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.10278v1

摘要: We propose a neural algorithm for sampling from distributions specified by unnormalized Boltzmann densities. Our approach is based on the Jordan–Kinderlehrer–Otto scheme for the Kullback–Leibler divergence in the Wasserstein–Fisher–Rao geometry (WFR JKO scheme). Our contributions are twofold. First, we prove that, for any fixed step size, the exact WFR JKO iterates converge exponentially fast to the target as the number of iterations tends to infinity. Notably, this result requires no structural assumptions on the target, such as log-concavity or a logarithmic Sobolev inequality. Second, we develop a neural implementation of the WFR JKO scheme that parametrizes its transport and reaction components using reweighted normalizing flows. Numerical experiments on challenging multimodal targets demonstrate the promising performance of the proposed method.

6. 一种生成多元多重正交多项式的方法

A method for generating multivariate multiple orthogonal polynomials

作者: Lidia Fernández, Juan Antonio Villegas

类别: math.CA, math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.09805v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.09805v1

摘要: In the framework of multiple orthogonal polynomials (MOPs) and their extension to the multivariate setting, a unified mechanism for generating structured families of multiple orthogonal polynomials across diverse multidimensional domains is still lacking. In this work, we bridge this gap by developing an extended Koornwinder-type methodology for constructing multivariate multiple orthogonal polynomials. We introduce two distinct coupling schemes: combining a univariate MOPs family with a standard orthogonal family, which enables the definition of both Type I and Type II bivariate systems along with their dual biorthogonality relations, and coupling two univariate MOPs families to form Type II multivariate systems. Using this general framework, we provide the first explicit formulations of multiple orthogonal polynomials on a variety of bivariate regions, including bounded domains such as a parabolic domain and the square $[0,1]^2$, non-standard unbounded geometries like the positive quadrant $(\mathbb{R}_0^+)^2$ and the wedge $\mathbb{V}^2$, as well as new constructions on the triangle $T$. Furthermore, explicit multiple orthogonal systems on the $d$-dimensional simplex $T^d$ and on the $d$-dimensional cone $\mathbb{V}^d$ are given.

7. 波-热型问题的 Leapfrog Crank–Nicolson 解耦

Leapfrog Crank–Nicolson decoupling of wave–heat-type problems

作者: Benjamin Dörich, Julian Dörner

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.09603v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.09603v1

摘要: This paper proposes and analyzes a numerical method for coupled wave-heat systems that arise, for example, in visco-elasticity with memory, thermo-elastic wave propagation with finite thermal speed, and Maxwell’s equations coupled to dispersive material laws. Motivated by the widespread use of explicit leapfrog schemes for wave problems and the parabolic time-step restriction for heat equations, we design a second-order scheme that combines leapfrog time integration for the wave part with a Crank–Nicolson step for the heat part. The coupling is arranged in a Strang-splitting–type fashion so that the overall scheme remains explicit in the coupling and is subject only to a CFL condition of hyperbolic type, rather than the more restrictive parabolic constraint. We introduce an abstract space discretization that covers a broad class of wave–heat systems and accommodates both conforming and stabilized non-conforming discretizations. Using a general error decomposition, we derive error estimates for the fully discrete scheme under the desired CFL condition. Numerical experiments for our model applications confirm the theoretical results.

8. 用于 Lindblad 方程最优控制的保结构全秩与低秩指数方法

Structure-preserving full- and low-rank exponential methods for the optimal control of Lindblad equations

作者: Hao Chen, Alfio Borzi

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.09403v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.09403v1

摘要: Optimal control of open quantum systems governed by the Lindblad master equation requires the repeated solution of forward and adjoint evolution equations. For large Hilbert spaces, these computations demand numerical methods that are structure-preserving, accurate, and computationally efficient, while remaining compatible with nonsmooth optimization techniques. In this work, a unified framework for optimal control of Lindblad equations is presented. The continuous optimality system is derived from the Pontryagin maximum principle and solved by a sequential quadratic Hamiltonian (SQH) method. Its numerical realization is based on second-order exponential midpoint propagators for the forward and adjoint Lindblad equations with time-dependent Hamiltonians. Full-rank schemes preserving the Hermitian and positive-semidefinite structure of the density matrix are developed together with low-rank formulations that substantially reduce storage requirements and computational cost. Rigorous error estimates are established for the full- and low-rank forward and adjoint propagators. Numerical experiments confirm the predicted convergence rates, demonstrate the effectiveness of the low-rank approximations, and illustrate the performance of the proposed FREM-SQH and LREM-SQH algorithms for optimal control problems with smooth and nonsmooth control costs.

9. 用于热学性质的粒子数守恒量子信号处理：正则系综估计与巨正则重构

Particle-Number-Preserving Quantum Signal Processing for Thermal Properties: Canonical-Ensemble Estimation and Grand-Canonical Reconstruction

作者: Taehee Ko, Sungbin Lim, Sangkook Choi

类别: quant-ph, math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.09373v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.09373v1

摘要: We develop an end-to-end framework for estimating canonical thermal properties of particle-number-conserving second-quantized Hamiltonians using quantum simulations. The framework integrates initial state preparation with mixed Dicke states, particle-number-preserving Trotterized simulation, and generalized quantum signal processing to estimate canonical partition functions and observables. Building on this canonical scheme, we introduce a grand-canonical reconstruction scheme in which the same quantum measurement data can be reused for arbitrary chemical potentials through classical reweighting, thereby avoiding repeated quantum circuit executions as the chemical potential is varied. We prove the existence of system-size-independent temperature regimes in which both the canonical and reconstructed grand-canonical schemes have lower asymptotic time complexity than classical Lanczos methods, up to polynomial factors, for physically relevant Hamiltonians. We numerically validate our theoretical results for the two-dimensional Hubbard model in both weak- and intermediate-coupling regimes.

10. 具有局部化激活的全确定性浅层神经网络。第二部分：条件数估计

Fully Deterministic Shallow Neural Networks with Localized Activations. Part II: Condition Number Estimates

作者: Ran Bi, Weibing Deng

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.09357v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.09357v1

摘要: We prove positive definiteness and quantitative condition-number bounds for continuous Sobolev Gram matrices of deterministic shallow networks with Gaussian and tanh-difference activations. The prescribed feature families include the optimal Sobolev approximation constructions of Part I. On every fixed nonempty bounded Lipschitz domain in $\R^d$, $d\ge2$, and for every fixed integer $m\ge0$, the raw and column-normalized Gram matrices in the full $H^m$ inner product have spectral condition numbers bounded by $\exp(CN^{2/d}/\log(N+2))$ for sufficiently large $N$, where $N$ is the feature count and $C>0$ is independent of $N$. The upper bounds hold for midpoint and Gauss-Legendre offsets. For midpoint offsets and a suitable angular sequence, matching lower bounds on fixed ellipsoids establish sharpness of this exponent over the stated domain class for raw Gaussian matrices and both raw and normalized tanh-difference matrices. The proof combines homogeneous differential operators that isolate direction groups with one-dimensional coefficient-recovery estimates. Two-dimensional $L^2$ experiments on a square illustrate condition-number growth and normalization effects.

11. 具有局部化激活函数的完全确定性浅层神经网络. 第一部分：构造与最优 Sobolev 逼近

Fully Deterministic Shallow Neural Networks with Localized Activations. Part I: Construction and Optimal Sobolev Approximation

作者: Ran Bi, Weibing Deng

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.09338v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.09338v1

摘要: We construct shallow neural networks with fixed Gaussian and tanh-difference activations on bounded Lipschitz domains $Ω\subset\mathbb{R}^d$, $d\ge2$. For each $s>0$, explicit deterministic rules prescribe all hidden parameters independently of the target $u\in H^s(Ω)$. At frequency resolution $M$, the $N_M\asymp M^d$ prescribed features span a linear space $V_M$. For every sufficiently large integer $N$, we choose $M\asymp N^{1/d}$ with $N_M\le N$ and construct a bounded linear operator $A_N:H^s(Ω)\to V_M$ such that [ |u-A_Nu|{H^m(Ω)} \le C N^{-(s-m)/d}|u|{H^s(Ω)} ] for every $u\in H^s(Ω)$ and every integer $0\le m

12. 无限扇形上指数函数的重极点有理逼近的收敛性

Convergence of repeated-pole rational approximation of the exponential on infinite sectors

作者: Fei Xue, Tianqi Zhang

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.09251v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.09251v1

摘要: For $h>0$, degree $m\ge0$, $0\leβ<π$, and $q>0$, let $Σ_β=\{re^{iθ}:r\ge0,\ |θ|\leβ/2\}$ and let $E_{m,β}(q)$ denote the best uniform error for approximating $e^{-hz}$ on $Σ_β$ by rational functions whose only possible finite pole is $s=-q/h$, with multiplicity at most $m$. For the linear scaling $q=αm$ with a fixed $α>0$, a Möbius map reduces the problem to polynomial approximation on a compact lens. Write $γ_β=2-β/π$ and let $α_c(γ_β)$ denote the saddle-coalescence threshold. For $0<α<α_c(γ_β)$, let $H_β(α)\in(0,1)$ be the exponential of the real saddle action. An exact boundary Faber integral, a global fractional-power contour deformation, and a two-saddle expansion yield the sharp two-sided order $E_{m,β}(αm)\asymp m^{-1/2}H_β(α)^m$, uniformly on compact subsets of $0<α<α_c(γ_β)$. On this noncoalescing interval, the exponential factor $H_β(α)$ has the unique minimizer $α_β^*=1/[γ_β\sin(π/(2γ_β))]$ and minimum $\tan(π/(4γ_β))$, recovering the classical half-line factor $\tan(π/8)=\sqrt{2}-1$ at $β=0$. Numerical-range estimates give matrix dimension-independent upper bounds for projected shift-and-invert Arnoldi, while finite-degree pole searches and nonnormal experiments illustrate the distinction between the sector-uniform law and individual matrix computations.

13. JAXIGA——面向GPU加速与可微等几何分析的软件框架

JAXIGA - A software framework for GPU-enabled and differentiable isogeometric analysis

作者: Cosmin Anitescu, Yongjie Jessica Zhang

类别: math.NA, cs.MS

发布日期: 2026-10-06

arXiv ID: 2610.09083v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.09083v1

摘要: In this paper, we present JAXIGA, an open-source library for isogeometric analysis based on JAX. The library separates the construction of the mesh from the computations which are traced for compilation and differentiation. This allows geometry evaluation, assembly and the supported solvers to be combined in a just-in-time compiled program, for which first-order reverse-mode derivatives can be computed. We consider three numerical methods obtained from a single pointwise energy density. The Galerkin and energy-minimization methods use the same discrete potential and have the same stationary points, while collocation enforces the corresponding strong form. The sensitivities of a converged solution are obtained by solving one adjoint problem, and their accuracy depends on the tolerances of both the primal and adjoint problems. We also describe hierarchical extraction for local refinement of the variational methods and the use of smooth spline spaces for fourth-order problems. The numerical results are compared with analytical solutions and independent FEniCSx and JAX-FEM computations. For the reported GPU benchmark with 36,448 unknowns, assembly is twenty-four times faster than on the host CPU. When the conjugate-gradient solver is also run on the GPU, the total solution time is reduced from 31.8 to 1.38 seconds, and the result agrees with the direct solution to $5\times10^{-11}$. These results show that the choice of solver and the reuse of compilation are important for obtaining an overall reduction in computational cost.

14. Toeplitz Bottcher Wenzel 形式的平方和与非平方和区域

Sum of Squares and Non Sum of Squares Regimes for the Toeplitz Bottcher Wenzel Form

作者: Wenqi Zhu, Ping Nie

类别: math.NA, math.OC

发布日期: 2026-10-06

arXiv ID: 2610.08980v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.08980v1

摘要: Toeplitz matrices are among the simplest structured models of translation invariance, arising naturally in convolution, stationary covariance models, and discretizations of translation-invariant operators. For a pair of real matrices, the Böttcher–Wenzel form (BW form) is a nonnegative quartic measuring the gap in the corresponding commutator inequality. László conjectured that, when both matrices are Toeplitz, this quartic is a sum of squares for every matrix order. We show that the conjecture is false. More precisely, we identify an explicit family of corner-supported Toeplitz pairs, retaining only the outermost diagonals on the two sides, for which the associated BW form is not a sum of squares at all sufficiently large orders. The proof reduces the complete family of Gram representations to a finite complex test: its Gram-invariant part develops a strictly negative limiting direction, while the remaining Gram-dependent contribution vanishes. We also give an explicit sufficient threshold for the matrix order. The negative result is complemented by two positive regimes. If either Toeplitz factor is symmetric or skew-symmetric, then the corresponding BW form is SoS for every order, with the other factor allowed to be an arbitrary real Toeplitz matrix. For unrestricted Toeplitz pairs, we further prove SoS representability for every $2\le N\le50$, with formal Lean 4 verification through order 20.

15. 玻色多体量子动力学的数值Bogoliubov近似

Numerical Bogoliubov approximation of bosonic many-body quantum dynamics

作者: Yoann Le Hénaff, Christian Lubich, Peter Pickl

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-06

arXiv ID: 2610.08956v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.08956v1

摘要: We propose an algorithm for the numerical solution of the time-dependent Schrödinger equation for N » 1bosons interacting via a two-body interaction potential in the mean-field scaling regime. Unlike existing numerical algorithms for quantum dynamics, the proposed algorithm has a computational complexity that is independent of the number N of particles. It is based on an ansatz for the wave function inspired by the Bogoliubov theory, which is an asymptotic theory for large N. In a first part, we follow Bogoliubov theory in evolving the condensate function by the Hartree equation, but we use the Dirac–Frenkel time-dependent variational principle to derive nonlinear equations of motion for the excitation functions in the Bogoliubov ansatz. By carefully exploiting the bosonic symmetry, the so obtained approximate wave functions are shown to have derivatives bounded independently of N apart from a time-dependent global phase factor which rotates with a frequency proportional to N. In the second part, we numerically approximate the wave function (modulo the phase) by a composite algorithm, which employs an appropriate splitting of the equations of motion and uses a dynamical low-rank approximation of the fundamental two-particle excitation function by linear combinations of products of single-particle functions. The low-rank excitation function is evolved in time by a basis update and Galerkin (BUG) integrator that is robust to small singular values of the coefficient matrix and allows for rank adaptivity. Numerical results are provided to assess the performance of the proposed algorithm.