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1. 基于边界积分方程的复杂介质弹性透射问题求解器

Boundary integral equation based solvers for elastic transmission problems in complex media

作者: V. Domínguez, C. Turc

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.11836v1

摘要翻译: 我们提出了一个用于二维时谐弹性透射问题的边界积分方程（BIE）框架。利用 Helmholtz 分解，将弹性动力学位移场表示为标量压力势和剪切势，从而只需要四个经典的 Helmholtz 边界积分算子。关键步骤是在界面的局部法向–切向标架中重写 Navier 牵引算子，其中二阶法向导数被消去，代之以切向导数和曲率项。这导出了一族单参数的间接组合场积分方程，其依赖于耦合常数 $α\ne 0$，我们证明其是唯一可解的。然而，所得算子的主部是亏损的，并且离散化系统严重病态。利用 Helmholtz 边界积分算子（BIOs）的伪微分演算，我们构造了显式的左、右解析预条件子，并证明预条件后的算子是恒等算子的紧扰动。基于高阶 Nyström 离散化的数值实验证实，该预条件子使谱聚集：GMRES 迭代次数变得与离散化无关，并且降低一个数量级或更多，在高频情形以及非凸散射体情况下也是如此。

Comment: 37 pages, 7 figures

链接: http://arxiv.org/abs/2610.11836v1

1. 研究对象和背景

本文研究二维时间调和线性各向同性弹性透射问题, 目标是复杂分段均匀介质中 Navier 方程的边界积分方程数值求解. 设 (\Omega_2\subset\mathbb{R}^2) 为有界内含物, (\Omega_1:=\mathbb{R}^2\setminus\overline{\Omega_2}) 为无界外区域, 界面 (\Gamma=\partial\Omega_2) 为光滑闭曲线. 两个介质中的 Lamé 参数记为 ((\mu_j,\lambda_j)), 满足物理可容许条件 (\mu_j>0), (\lambda_j+\mu_j>0). 外介质密度归一化为 1, 内介质密度对比为 (\rho>0); 相应地, 物理 Lamé 参数被吸收到方程系数中, 密度对比只出现在物理牵引的透射条件内. 位移场 (u_j) 满足时间调和 Navier 方程 [\operatorname{div}\sigma_{\mu_j,\lambda_j}(u_j)+\omega^2 u_j=0\quad\text{in }\Omega_j,\quad j=1,2,] 其中 (\omega>0) 为频率, 应变张量和应力张量分别为 [\epsilon(u)=\frac12\bigl(\nabla u+(\nabla u)^\top\bigr),\qquad \sigma_{\mu,\lambda}(u)=2\mu\epsilon(u)+\lambda(\operatorname{div}u)I_2.] 界面上的牵引算子为 [T_j u_j:=\sigma_{\mu_j,\lambda_j}(u_j)n=\lambda_j(\operatorname{div}u_j)n+2\mu_j\partial_n u_j-\mu_j(\operatorname{curl}u_j)t,\quad \operatorname{curl}u=\partial_{x_1}u_2-\partial_{x_2}u_1,] 其中 (n) 为指向 (\Omega_1) 的单位外法向, (t=-Qn), (Q=\begin{pmatrix}0&1\-1&0\end{pmatrix}). 入射弹性场 (u^{\mathrm{inc}}) 在 (\Omega_2) 邻域内满足外介质参数的 Navier 方程. 总场为 (u=u_1+u^{\mathrm{inc}}) 于 (\Omega_1), (u=u_2) 于 (\Omega_2). 散射场 (u_1) 满足 Kupradze 辐射条件. 界面透射条件为 [\gamma u_2=\gamma u_1+\gamma u^{\mathrm{inc}},\qquad \rho T_2u_2=T_1u_1+T_1u^{\mathrm{inc}}\quad \text{on }\Gamma.] 该透射问题对所有 (\omega>0) 和可容许 Lamé 参数存在唯一解, 这是后续边界积分方程可解性讨论的连续问题背景. 此类问题在地震学, 地球物理, 无损检测和医学成像中有重要意义, 困难在于复杂非凸界面上波传播的高精度高效数值求解. 边界积分方程方法能把区域问题降维到界面, 并严格处理无穷远辐射条件, 因此特别适合此类透射问题. 然而标准弹性边界积分方程直接依赖 Navier 边界积分算子, 其 Green 张量具有更复杂的张量结构和更强奇异性, 高阶数值离散的实现与计算代价明显高于标量声学 Helmholtz 情形. 为绕开 Navier 边界积分算子, 一种有吸引力的替代是采用 Helmholtz 分解, 把弹性位移场表示为压力纵波标量势和剪切横波标量势的组合: [u_j=\nabla u_p^{(j)}+\overrightarrow{\operatorname{curl}}u_s^{(j)},\qquad \overrightarrow{\operatorname{curl}}\phi=Q\nabla\phi,] 其中 (u_p^{(j)}) 与 (u_s^{(j)}) 分别满足波数 [(k_p^{(j)})^2=\frac{\omega^2}{\lambda_j+2\mu_j},\qquad (k_s^{(j)})^2=\frac{\omega^2}{\mu_j}] 的 Helmholtz 方程. 在这一框架下, Dirichlet 迹的连续性容易通过局部正交标架 ((n,t)) 投影处理; 真正的瓶颈是 Neumann 迹, 即牵引算子的连续性. 将牵引算子作用于 Helmholtz 分解会自然产生势函数的二阶法向导数, 即 Hessian 迹, 而这些量不能仅由界面 Cauchy 数据直接获得. 已有 Helmholtz 分解边界积分方程工作多集中于 Dirichlet 或 Neumann 问题, 并观察到所得算子在伪微分意义下可能是退化的, 难以直接得到 Fredholm 结构. 本文试图补的空白是: 对二维弹性透射问题, 在 Helmholtz 分解框架下构造仅使用四个经典标量 Helmholtz 边界积分算子的间接组合场积分方程; 通过局部 ((n,t)) 标架重写牵引算子, 消去二阶法向导数; 进而分析所得算子的退化性, 并构造解析预条件子恢复良态性, 使高阶 Nyström 离散和 Krylov 迭代在高频复杂几何下仍然高效.

2. 主要定理或主要结果

本文的主要严格结果可分为三个层次. 第一层是牵引算子的局部重写. 作者证明, 在光滑界面 (\Gamma) 的局部正交标架 ((n,t)) 中, 利用 Helmholtz 方程和曲率项, 可以把牵引算子中出现的 Hessian 二阶法向导数完全消去, 改写为切向导数, 曲率以及 Cauchy 数据的表达式. 关键恒等式包括 [\Delta u=\partial_n^2 u+\kappa\partial_n u+\partial_t^2 u,\qquad \nabla u=\partial_n u,n+\partial_t u,t,\qquad \partial_t n=\kappa t,] 由此得到 [n^\top\operatorname{Hes}u_p^{(j)}n=-\kappa\partial_n u_p^{(j)}-\partial_t^2 u_p^{(j)}-(k_p^{(j)})^2u_p^{(j)},] [t^\top\operatorname{Hes}u_p^{(j)}n=\partial_t\partial_n u_p^{(j)}-\kappa\partial_t u_p^{(j)},] 剪切势有完全相同形式. 代入牵引算子后, 法向和切向分量为 [T_j u_j\cdot n=-\omega^2 u_p^{(j)}-2\mu_j\bigl(\kappa\partial_n u_p^{(j)}+\partial_t^2 u_p^{(j)}\bigr)+2\mu_j\bigl(\partial_t\partial_n u_s^{(j)}-\kappa\partial_t u_s^{(j)}\bigr),] [T_j u_j\cdot t=2\mu_j\bigl(\partial_t\partial_n u_p^{(j)}-\kappa\partial_t u_p^{(j)}\bigr)+\omega^2 u_s^{(j)}+2\mu_j\bigl(\kappa\partial_n u_s^{(j)}+\partial_t^2 u_s^{(j)}\bigr).] 这些公式只涉及势的 Cauchy 数据, 切向导数和曲率, 不再需要不可由边界数据恢复的二阶法向导数. 第二层结果是提出一参数族间接组合场积分方程, 作者称为 ((n,t))-CFIE(\alpha). 该方程依赖耦合常数 (\alpha\neq 0), 通过 Helmholtz 单层或双层势表示压力势和剪切势, 并把上述局部牵引公式与 Dirichlet 透射条件耦合起来. 摘要中明确给出的严格结论是: 对每一个 (\alpha\neq 0), 每一个密度比 (\rho>0), 以及每一对可容许 Lamé 参数 ((\mu_j,\lambda_j)), 该 ((n,t))-CFIE(\alpha) 是唯一可解的. 这意味着该间接公式在连续层面上没有杂散频率导致的非唯一性, 且覆盖了物理上广泛的材料对比. 具体定理编号和完整假设在提供的 PDF 摘录中未出现, 因此无法确认其精确陈述形式. 第三层结果是伪微分分析和解析预条件. 作者指出, 尽管 ((n,t))-CFIE(_\alpha) 唯一可解, 其主部算子在伪微分意义下是退化的: 主部具有无限维核和余核, 因而算子不是 Fredholm 算子, 更不可能是单位算子的紧扰动. 这一现象与已有 Helmholtz 分解边界积分方程中观察到的退化性一致. 退化性在离散后表现为线性系统严重病态, 以及 GMRES 等 Krylov 迭代次数随未知数增加而增长, 且在高频时更为严重. 本文的主要理论贡献是构造显式的左解析预条件子和右解析预条件子, 并证明预条件后的算子是单位算子的紧扰动. 这一结论是严格的算子层面结果, 它把非 Fredholm 的退化方程转化为 Fredholm 方程, 从而为离散系统的谱聚类和迭代方法的高效性提供理论基础. 摘要中未给出预条件子的显式公式和紧扰动定理的编号, 提供文本也未展开证明, 因此无法确认其具体算子组合形式. 在数值层面, 作者使用基于全局三角插值的高阶 Nyström 离散, 对对数核, 强奇异核和超奇异核进行适当分裂. 数值实验覆盖凸和非凸散射体, 并在高频区域测试. 报告的结果是: 预条件子使离散系统谱聚类, GMRES 迭代次数基本独立于离散规模, 并且迭代次数降低一个数量级或更多. 这些数值结果验证了理论预条件策略, 尤其是对非凸复杂界面和高频情形. 需要区分的是, 唯一可解性和预条件后算子为紧扰动属于严格证明结论; 高频非凸数值表现属于实验验证. 提供内容中未给出具体误差阶, 条件数增长率或迭代次数的定量表格, 因此不能进一步量化.

3. 研究方法、关键技术和核心工具

本文的核心技术障碍是弹性 Neumann 迹, 即牵引算子的处理. 在 Helmholtz 分解框架下, 位移被写成压力标量势和剪切标量势的梯度与旋转梯度组合. 若直接对牵引算子作用, 会出现势函数的 Hessian 矩阵及其二阶法向导数. 这些 Hessian 迹不是界面 Cauchy 数据的一部分, 不能由 Dirichlet 和 Neumann 迹直接给出. 传统做法是使用 Navier 边界积分算子, 但其 Green 张量具有复杂张量结构和强奇异性, 高阶离散实现困难. 本文的第一个真正创新点是局部 ((n,t)) 标架中的牵引重写. 作者不是通过新的奇异积分核来直接计算 Hessian 迹, 而是利用 Helmholtz 方程在局部标架中的 Laplacian 分解 [\Delta u=\partial_n^2u+\kappa\partial_nu+\partial_t^2u,] 以及 Frenet-Serret 关系 (\partial_t n=\kappa t), 把 (n^\top\operatorname{Hes}u,n) 和 (t^\top\operatorname{Hes}u,n) 表示为切向导数, 曲率和势函数值. 这一步把不可得的二阶法向导数替换为可直接由边界 Cauchy 数据及其切向导数表达的局部边界微分算子. 因此, 牵引条件的实施不再需要 Navier 边界积分算子, 而只需要四个经典标量 Helmholtz 边界积分算子: 单层算子 (V_k), 双层算子 (K_k), 伴随双层算子 (K_k^\top), 以及超奇异算子 (W_k). 它们的跳跃关系为 [\gamma^{(j)}SL_k=V_k,\qquad \partial_n^{(j)}SL_k=\frac{(-1)^j}{2}I+K_k^\top,\qquad \gamma^{(j)}DL_k=\frac{(-1)^{j+1}}{2}I+K_k,\qquad \partial_n^{(j)}DL_k=W_k.] 第二个技术点是构造 ((n,t))-CFIE(\alpha) 并证明唯一可解. 作者把 Helmholtz 分解后的压力势和剪切势写成单层势或双层势, 然后把 Dirichlet 透射条件和局部重写后的 Neumann 透射条件组装成 2x2 分块边界积分方程. 耦合常数 (\alpha\neq0) 的引入类似于 Helmholtz 问题中的经典组合场积分方程, 目的在于避免实波数下的非唯一性. 证明唯一可解需要仔细处理内外跳跃关系, 辐射条件以及材料参数对比. 具体证明在提供文本中未展开, 但摘要明确说明对任意 (\alpha\neq0), 任意密度比和任意可容许 Lamé 参数成立. 第三个技术点是伪微分演算. 作者把 Helmholtz 边界积分算子视为 (\Gamma) 上的伪微分算子, 并用 (D) 表示切向导数, (H) 表示 Hilbert 变换, (J) 表示平均算子. 在弧长参数化下, (D\in OPS(1), H\in OPS(0), H^2=-I, J\in OPS(-\infty)). 关键的符号展开为 [V_k-\Bigl(\frac12HD^{-1}-\frac{k^2}{4}HD^{-3}\Bigr)\in OPS(-5),] [W_k-\Bigl(\frac12HD+\frac{k^2}{4}HD^{-1}\Bigr)\in OPS(-3),] [K_k^\top-\Bigl(-\frac{k^2\kappa}{4}HD^{-3}\Bigr)\in OPS(-4),\qquad K_k-\Bigl(-\frac{k^2\kappa}{4}HD^{-3}\Bigr)\in OPS(-4).] 这些展开说明各算子的主符号和低阶项如何依赖于频率, 曲率和切向导数. 通过分析 ((n,t))-CFIE(\alpha) 的分块主符号, 作者发现其主部不是椭圆的, 而是具有无限维核和余核, 因此原方程不是 Fredholm 方程. 这一发现解释了离散系统的严重病态和 Krylov 迭代次数随网格增长的现象. 第四个技术点是显式解析预条件的构造. 由于原算子非 Fredholm, 普通预条件加速不足以解决问题; 必须构造能够消除主部退化性的左右预条件子. 作者利用上述伪微分展开的主符号, 设计左预条件 (P_{\mathrm{left}}) 和右预条件 (P_{\mathrm{right}}), 它们本身也是由 Helmholtz 边界积分算子和局部边界微分算子组成的解析算子. 证明目标是预条件后的算子为 (I+\text{compact}), 或等价地为单位算子的紧扰动. 一旦得到该结论, 预条件算子满足 Fredholm 二择一, 其离散矩阵的特征值将聚拢, 从而 GMRES 迭代次数不随离散规模增长. 提供文本没有给出 (P_{\mathrm{left}},P_{\mathrm{right}}) 的显式公式, 因此无法在此重述其精确结构. 第五个技术点是数值离散与实验验证. 作者采用高阶 Nyström 方法, 基于全局三角插值, 并对对数核, 强奇异核和超奇异核分别进行分裂处理. 这种离散适合光滑闭曲线上的 Helmholtz 边界积分算子, 并能达到高阶精度. 数值实验在凸和非凸几何上进行, 覆盖高频区域, 报告 GMRES 迭代次数基本独立于离散规模, 且比未预条件时减少一个数量级或更多. 这些实验说明解析预条件不仅理论上有紧扰动结构, 而且在复杂介质和高频波传播中具有实际效果. 需要指出的是, 提供文本仅到第 3 节附近, 后续定理, 预条件构造细节和数值表格未包含, 因此上述方法层面的描述主要依据摘要和第 1 至第 3 节可确认内容.

4. 与之前工作的比较

与标准 Navier 边界积分方程方法相比, 本文的主要推进是避免直接使用 Navier 边界积分算子. 既有弹性边界积分方程通常依赖 Navier Green 张量和相应的张量边界积分算子, 例如文中提到的 [10,19,17] 以及三维离散 [39,8]. 这些算子的张量结构更复杂, 奇异性更强, 高阶离散实现和奇异积分计算代价显著高于标量 Helmholtz 边界积分算子. 本文转而采用 Helmholtz 分解, 把弹性场表示为压力标量势和剪切标量势, 并仅使用四个经典标量 Helmholtz 边界积分算子 (V_k,K_k,K_k^\top,W_k). 这带来模块化和实现上的优势, 也便于接入多迹公式和 Calderón 投影框架. 代价是需要引入局部 ((n,t)) 标架, 切向导数和曲率项来处理牵引条件, 并且后续伪微分分析更复杂. 与已有 Helmholtz 分解边界积分方程工作相比, 文中明确提到单层和组合层表示 [38,21] 以及三维对应工作 [25]. 这些工作已经用标量势和 Helmholtz 层势处理弹性 Dirichlet 和 Neumann 问题, 但在 Neumann 迹的实施上仍面临 Hessian 迹困难. 本文的新意在于对牵引算子做局部 ((n,t)) 重写, 消去二阶法向导数, 从而把透射问题完全纳入经典 Helmholtz 边界积分算子. 此外, 本文指出其发现的退化性并非偶然, 同样的主部退化现象已在 [38,21] 对 Dirichlet 和 Neumann 问题的 Helmholtz 分解公式中观察到. 本文进一步针对透射问题构造解析预条件, 把退化算子修复为 Fredholm 算子. 从提供内容看, 作者未详细比较 [38,21] 中是否已有预条件, 因此无法确认本文预条件构造在多大程度上是全新还是首次用于透射问题. 本文还修正了 [21, Prop. 3.7 和 Thm. A.3] 中 (K_k,K_k^\top) 展开的一个印刷错误, 将 (k^2\kappa/2) 修正为 (k^2\kappa/4); 该修正项被吸收到余项中, 对后续主部分析不起作用. 与标量 Helmholtz 组合场积分方程相比, 文中将其 ((n,t))-CFIE(_\alpha) 类比于经典 Helmholtz CFIE [13,36] 以及 Helmholtz 透射问题的 CFIE 扩展 [16]. 本文的推进在于把这种组合场思想推广到二维弹性透射问题, 并证明对任意 (\alpha\neq0), 任意密度比和任意可容许 Lamé 参数唯一可解. 不过, 由于弹性牵引算子含有法向和切向耦合以及曲率项, 其主符号分析比标量情形复杂得多, 且原 CFIE 的主部退化, 不能直接继承标量 CFIE 的 Fredholm 性质. 与算子预条件和解析预条件文献相比, 本文强调预条件在这里不是单纯加速手段, 而是恢复良态性的必要条件. 文中提到标量 Helmholtz 的预条件工作 [3,2,6,15,4], Maxwell 问题 [28] 以及弹性动力学 [9]. 通常这些预条件用于加速 Krylov 迭代; 本文的未预条件方程甚至不是 Fredholm 方程, 因此预条件的目标是使预条件算子成为单位算子的紧扰动. 这比仅仅降低条件数更强. 从适用范围看, 本文严格分析限于二维光滑闭曲线, 这是为了保证伪微分展开和曲率等几何项的光滑性. 作者提到角点可通过向角点加密的参数化 [35,33,16,27,26] 在实际中处理, 但未在本文中给出角点情形的严格分析. 与三维弹性问题相比, 二维情形是必要的 stepping stone. 三维 Helmholtz 分解需要一个压力标量势和一个无散向量势, 其结构与 Maxwell 方程类似, 需要向量迹代数和表面切向微积分. 本文通过理解二维 CFIE 的退化性和解析预条件, 为三维弹性透射和三维电磁边界积分方程提供基础. 从多迹公式和 Calderón 预条件角度看, 本文的模块化 Helmholtz 分解方法可避免直接反演和奇异积分全弹性 Green 张量, 因此适合融入多迹公式 [29,11,30,32,7] 和广义算子预条件边界元求解器. 但提供文本没有给出多迹公式的具体实现或与 [29,11,30,32,7] 的定量比较. 与高频数值方法相比, 本文的数值实验声称在高频和非凸散射体上 GMRES 迭代次数基本独立于离散规模, 并降低一个数量级或更多. 这比未预条件的 Helmholtz 分解 BIE 有明显推进, 因为后者在高频下迭代次数增长严重. 然而, 提供内容未包含具体频率, 网格规模, 迭代次数表格和误差数据, 因此无法评估其在高频极限下的渐近代价. 总体而言, 本文在二维光滑界面弹性透射问题上, 把 Helmholtz 分解 BIE 从 Dirichlet/Neumann 问题推进到透射问题, 从非 Fredholm 退化公式推进到通过解析预条件恢复紧扰动结构, 并把数值验证推进到高频非凸几何. 主要局限是严格理论限于二维光滑域, 预条件子的显式计算和三维推广仍需后续工作.

2. 用于高频 Helmholtz 方程且采用预渐近分段多项式粗空间的两层混合 Schwarz 预条件子

Two-level hybrid Schwarz preconditioners with preasymptotic piecewise-polynomial coarse spaces for the high-frequency Helmholtz equation

作者: Jeffrey Galkowski, Euan A. Spence, Pierre-Henri Tournier

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.11774v1

摘要翻译: 我们考虑对高频 Helmholtz 方程（波数为 $k$）的有限元离散的两层混合 Schwarz 区域分解预条件子。迄今为止，针对这些预条件子的所有现有 $k$-显式理论都考虑 $\textit{asymptotic regime}$ 中的粗空间，即 Galerkin 解是 $k$-一致拟最优的情形。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2610.11774v1

1. 研究对象和背景

本文研究高频 Helmholtz 方程的有限元离散的两级混合 Schwarz 区域分解预条件子, 其中波数 $k$ 显式出现. 研究对象是如下截断吸收 Helmholtz 问题: 给定 $f \in L^2(\Omega)$, 求 $u \in H^1(\Omega)$ 使得

$$P u := -k^{-2} \operatorname{div}(\tilde A \nabla u) - i k^{-1}\frac12(\tilde b\cdot\nabla u+\operatorname{div}(\tilde b u))-\tilde n u=f \quad \text{in } \Omega,$$

边界条件为 $(\tilde B u)|_{\partial\Omega_+}=0$, $u|_{\partial\Omega_{tr}}=0$, 其中 $\tilde B u|_{\Gamma_{\mathrm{soft}}}=u$, $\tilde B u|_{\Gamma_{\mathrm{hard}}}=\nu\cdot(\tilde A k^{-1}\nabla u+\frac{i}{2}\tilde b u)$. 这个模型来自外区域 Helmholtz 散射问题, 用吸收层如完美匹配层或复吸收势近似 Sommerfeld 辐射条件. 相应的双线性形式为

$$a(u,v) := \langle \tilde A k^{-1}\nabla u, k^{-1}\nabla v\rangle_\Omega - \frac{i}{2}\langle \tilde b\cdot k^{-1}\nabla u, v\rangle_\Omega + \frac{i}{2}\langle \tilde b u, k^{-1}\nabla v\rangle_\Omega - \langle \tilde n u, v\rangle_\Omega,$$

能量空间为

$$Z := \{u\in H^1(\Omega): u|_{\partial\Omega_{tr}}=0, u|_{\Gamma_{\mathrm{soft}}}=0\},$$

范数为 $\|u\|_Z^2 := \|k^{-1}\nabla u\|_{L^2(\Omega)}^2 + \|u\|_{L^2(\Omega)}^2$. 关键未知量是离散解和预条件迭代收敛性. 文中用解算子范数

$$\rho(a) := \left(\inf_{0\ne u\in Z}\sup_{0\ne v\in Z} \frac{|a(u,v)|}{\|u\|_Z\|v\|_Z}\right)^{-1}$$

来量化 Helmholtz 问题在 $k$ 上的性态; 对自由空间 Helmholtz 方程有 $\rho(k)\sim k$.

两级区域分解预条件子由粗空间校正和局部子域校正组成. 细空间 $V_h$ 是网格宽 $h$ 上的 $p$ 次映射分段多项式, 粗空间 $V_{H_c}$ 是网格宽 $H_c$ 上的 $p$ 次映射分段多项式. 子域尺寸和重叠均约为 $k^{-1}$, 子域问题在非障碍边界上带有吸收. 已有 k-显式理论中, 所有两级 DD 分析都要求粗空间处于渐近区域, 即粗空间中的 Galerkin 解 k-一致拟最优. 本文考虑预渐近区域: 粗空间只需满足

$$(H_c k)^{2p}\rho(k)\ll1,$$

其中 $\rho(k)$ 是解算子范数. 该条件正是 h-version 有限元在粗网格上对振荡数据具有 k-一致有界相对误差的熟悉阈值, 但不保证拟最优. 分段多项式粗空间在高频波动问题中已有经验研究, 但缺少 k-显式收敛理论. 本文填补的空白是: 证明在预渐近粗空间下, 两级混合 Schwarz 预条件固定点迭代和 GMRES 收敛, 迭代次数至多像 $\log k$ 增长. 一水平 DD 子域尺寸 $\sim k^{-1}$ 时, 至少需要 $\sim k$ 次迭代才能分辨独立于 k 的传播尺度, 因此粗空间必须解析该传播, 这解释了条件 $(H_c k)^{2p}\rho\ll1$ 的必要性.

2. 主要定理或主要结果

主要严格结果是定理 2.7. 设 $M>0$, $00$, $k_0>0$, $p\ge1$, $c_0>0$, 以及一族分段 $C^\infty$ 带吸收和 $C^\infty$ 截断的 Helmholtz 问题 $a=a(k)$. 存在 $c,C>0$, 使得对所有 $k>k_0$ 满足

$$\rho := \rho(a(k)) \le \Upsilon k^M,$$

所有单纯形仿射协调 $C^{p+1}$ 三角剖分 $\mathcal T_c,\mathcal T_f$ 满足

$$V^p_{\mathcal T_c}\subset V^p_{\mathcal T_f}, \quad (H_c k)^{2p}\rho + H_c k \le c, \quad H_c := h(\mathcal T_c,\Omega), \quad U(\mathcal T_c,k^{-1})+U(\mathcal T_f,k^{-1})\le \Upsilon,$$

以及所有覆盖、单位分解、子域问题、吸收层、插值算子满足 (2.19)-(2.26), 则对任意 $K\ge1$, 预条件矩阵满足

$$\|D_{k,\{\phi\}}(I-B_L^{-1}A)^K D_{k,\{\phi\}}^{-1}\|_{\ell^2\to\ell^2} + \|D_{k,\{\phi\}}^{-1}(I-A B_R^{-1})^K D_{k,\{\phi\}}\|_{\ell^2\to\ell^2} \le C K \epsilon^{K-1}\left( \epsilon + \max_\ell \{ \rho_\ell(k\delta_\ell)^{-1}\rho(H_c k)^p + \rho_\ell(H_c k)^p + \langle k\delta_\ell\rangle^{-M} \} \right).$$

其中 $\epsilon$ 定义为

$$\epsilon := \max_\ell \{ \rho_\ell(k\delta_\ell)^{-1}\rho(H_c k)^{2p} + \rho_\ell(H_c k)^{2p} + \langle k\delta_\ell\rangle^{-M}(H_c k)^p + (h/H_c)^p + \mu_\ell + ((h_\ell k)^p\rho_\ell+(h_\ell k)^s)(\rho_\ell(k\delta_\ell)^{-1}+1) \}.$$

这里 $\rho_\ell := \rho(a_\ell(k)) \le \Upsilon(\delta_\ell k)^M$, $\delta_\ell := \delta(\Omega_\ell,D_0)$ 是子域尺度. 在标准节点插值下 $\mu_\ell = h_\ell\delta_\ell^{-1}$. 当 $\epsilon\ll1$ 时, 固定点迭代和加权 GMRES 在 $D_{k,\{\phi\}}$ 加权内积中达到残差 $\gamma>0$ 所需迭代次数为

$$\sim \frac{\log \gamma - \log(1+(H_c k)^p\rho)}{\log \epsilon}.$$

非加权 GMRES 额外需要 $C\log(hk)^{-1}$ 次迭代. 因此, 只要 $(H_c k)^{2p}\rho\ll1$ 且 $h$ 不是超代数小, 固定点、加权 GMRES、非加权 GMRES 均在至多 $\sim\log k$ 次迭代内收敛. 定理还恢复 [20] 的结果: 若 $(H_c k)^p\rho\le C$, 则固定点/加权 GMRES 的迭代数与 $k$ 无关. 在典型子域尺寸 $\delta_\ell\sim k^{-1}$ 且子域问题非 trapping 时, $\rho_\ell\le Ck\delta_\ell$, 于是 $\epsilon$ 主要由 $\rho(H_c k)^{2p}$, $(H_c k)^p$, $(h/H_c)^p$, $(hk)^s$, $\max_\ell(h_\ell k)^pk\delta_\ell$ 控制. 为使 $\epsilon\ll1$, 需 $\rho(H_c k)^{2p}\ll1$, $h\ll H_c$, $(h_\ell k)^p(k\delta_\ell)\ll1$. 当 $k\delta_\ell\sim1$ 时最后一条自动成立. 数值实验表明该条件在如下意义下是尖锐的: 对分段多项式粗空间, 当 $(H_c k)^{2p}\rho\gg1$ 时, 即使 $h$ 很小, GMRES 迭代次数随 $k$ 快速增长. 作者明确将定理 2.7 作为严格证明, 将尖锐性表述为数值实验指示.

3. 研究方法、关键技术和核心工具

主要技术障碍是粗空间处于预渐近区域, 粗 Galerkin 解不满足 k-一致拟最优, 因此经典两级 DD 的粗网格校正分析失效. 作者必须显式追踪粗空间误差 $(H_c k)^{2p}\rho$ 并证明它足够小即可. 核心误差分解为

$$I-B_L^{-1}A = \left( I - \sum_{\ell=1}^N \iota_{\ell,h} I_\ell \chi_\ell \iota_\ell A_\ell^{-1}\iota_{\ell,h}^* A \right)(I-\iota_{0,h}A_0^{-1}\iota_{0,h}^* A).$$

右因子对应粗空间校正误差, 需要预渐近 h-FEM 误差分析和解算子范数 $\rho$ 估计; 左因子对应局部混合 Schwarz 校正, 需要单位分解、子域吸收、超逼近和局部解算子范数 $\rho_\ell$. 证明框架大致为: 先用 $H^1_k$ 范数和 $D_{k,\{\phi\}}$ 加权内积把矩阵幂范数转化为连续算子的幂范数; 然后分别估计粗校正和局部校正; 最后通过 $\epsilon$ 收缩得到幂次估计 (2.27).

关键工具包括: (i) 预渐近 h-FEM 误差估计. 条件 $(H_c k)^{2p}\rho\ll1$ 来自 [19] 等预渐近分析, 它保证粗空间对振荡数据的相对误差有界, 但不保证拟最优. 作者将其嵌入两级 DD 框架. (ii) 尺度定义. 文中对函数、双线性形式和 Lipschitz 域定义尺度 $\delta$, 以控制单位分解 $\chi_\ell$, 子域几何 $\Omega_\ell$ 和系数 $\tilde A,\tilde b,\tilde n$ 的依赖. 条件 (2.22) 要求 $\Upsilon\min\{\delta(a_\ell,\{D_\alpha\},p+1),\delta(\chi_\ell,\{D_\alpha\},p+1)\} \ge \delta_\ell \ge c_0 k^{-1}$, 这保证 $\chi_\ell$ 是 $H^{p+1}_k$ 上的有界乘子, 从而超逼近估计在分段多项式空间中成立. (iii) 单位分解与超逼近. 对节点插值 $I_\ell$, 使用

$$\|(I-I_\ell)\chi_\ell v_{\ell,h}\|_{H^1_k(\Omega_\ell)} \le \Upsilon\mu_\ell\|v_{\ell,h}\|_{H^1_k(\Omega_\ell)}, \quad \mu_\ell = h_\ell\delta_\ell^{-1},$$

以及逼近性质

$$\|(I-I_\ell)u\|_{H^1_k(\Omega_\ell)}^2 \le \Upsilon(h_\ell k)^{2p}\sum_{T\in\mathcal T_f, T\cap\Omega_\ell\ne\emptyset}\|u\|_{H^{p+1}_k(T)}^2.$$

这些估计使局部校正误差可控. (iv) 子域吸收和非 trapping 分析. 条件 (2.13) 要求子域吸收在接触 $\Gamma_p$ 或 $\partial\Omega_-$ 时使用 CAP 而非 PML. 对中间尺度 $c\le k\delta_\ell\le C$, 用 Fredholm 备择和唯一延拓控制 $\rho_\ell$; 对大子域 $k\delta_\ell\ge C$, 用双特征线分析证明非 trapping 时 $\rho_\ell\le Ck\delta_\ell$. 这解释了为何迭代数对子域尺度不过分敏感. (v) $D_{k,\{\phi\}}$ 加权. 定义实对称正定矩阵 $D_{k,\{\phi\}}$ 使得 $\|\sum_i V_i\phi_i\|_{H^1_k(\Omega)}^2 = \langle D_{k,\{\phi\}}V,D_{k,\{\phi\}}V\rangle_2$, 从而把算子范数等价为矩阵加权范数. 这使固定点和 GMRES 的收敛估计可以在离散层面统一表述. (vi) 条件 (2.21) 确保 $\chi_\ell$ 把算子 $P$ 的定义域映射到自身, 这对局部解之和接近真实解至关重要. 证明中大量使用局部化、吸收层和椭圆正则性. 作者真正创新点在于首次将预渐近 FEM 误差理论用于两级 DD 粗空间, 并证明迭代数从 k-无关退化为 $\log k$ 但无需粗空间拟最优. 严格证明与数值观察区分: 定理 2.7 是严格结果, 尖锐性由数值实验指示, 未证明最优性.

4. 与之前工作的比较

与既有 k-显式两级 DD 理论相比, 本文的主要推进是取消粗空间渐近拟最优假设. 文中明确指出, 近期六篇论文 [28,34,35,16,20,24] 考虑 Helmholtz 方程有限元离散的两级 Schwarz DD 预条件, 给出固定点或 GMRES 在 k-无关迭代数收敛的充分条件, 但都要求粗空间处于渐近区域, 即粗 Galerkin 解 k-一致拟最优. 本文代之以预渐近条件 $(H_c k)^{2p}\rho\ll1$, 只要求粗空间对振荡数据的相对误差 k-一致有界, 不要求拟最优. 作为代价, 迭代数从 k-无关变为至多 $\log k$. 当进一步假设 $(H_c k)^p\rho\le C$ 时, 定理 2.7 恢复 [20] 的 k-无关迭代数.

与分段多项式粗空间的经验工作 [25,26,7,6,5,8,42] 相比, 本文首次给出 k-显式收敛理论, 并量化粗网格条件. 理论上, 条件 $(H_c k)^{2p}\rho\ll1$ 与预渐近 h-FEM 误差分析 [19,14] 一致; 渐近/预渐近术语来自 [29,30]. 本文假设全局截断边界光滑且吸收形式满足 (2.6), 这排除了 Cartesian PML 截断. 作者指出, 要覆盖 Cartesian PML, 需要重复 [19] 的预渐近 h-FEM 误差分析并利用 PML 区域解算子更好行为 (如 [17]). 此外, 本文假设系数和散射体边界光滑, 使局部化误差超代数小; 可放宽到 $C^p$ 正则性, 但需增强 $\rho(k)$ 的多项式增长假设 (2.18), 对每个 $p$ 允许固定的依赖于 $p$ 的多项式增长.

在子域吸收方面, 本文的条件 (2.13) 要求当子域接触 $\Gamma_p$ 或 $\partial\Omega_-$ 时, 吸收必须用 CAP 而非 PML. 这比某些前人工作更具体, 也限制了适应 Cartesian PML 的直接应用. 几何上, 子域尺寸和重叠需 $\sim k^{-1}$, 吸收层宽度至少 $c\delta_\ell$, 且 $\delta_\ell\ge c_0 k^{-1}$. 粗空间尺寸受 $(H_c k)^{2p}\rho\ll1$ 限制, 这意味着实际计算中粗空间不能任意小. 数值实验显示该条件尖锐: 当 $(H_c k)^{2p}\rho\gg1$ 时, 固定点和 GMRES 迭代数随 $k$ 快速增长. 作者未显式展开与所有前人工作逐项假设的比较, 也未证明条件的必要性; 从提供内容中无法确认某些细节, 例如 Cartesian PML 情形下的具体误差阶. 总体而言, 本文把两级 DD 方法从渐近粗空间推进到预渐近粗空间, 以 $\log k$ 迭代增长为代价, 并给出与 h-FEM 预渐近阈值一致的充分条件.

了解领域论文（摘要翻译）

1. 一种神经特征映射方法：基于流映射的拉格朗日 PINNs 用于输运主导问题

A neural characteristic mapping method: Lagrangian PINNs based on flow maps for transport-dominated problems

作者: Martin Campos Pinto, Victor Fournet, Emmanuel Franck, Philipp Krah, Victor Michel-Dansac

类别: math.NA, physics.comp-ph, physics.plasm-ph

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.12395v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.12395v1

摘要翻译

中文标题: 一种神经特征映射方法：基于流映射的拉格朗日 PINNs 用于输运主导问题

摘要翻译: 我们针对输运主导问题提出了一种使用物理信息神经网络（PINNs）的新型数值方法。在这类问题中，解随时间可能发展出大梯度和精细结构。这对经典 PINNs 尤其具有挑战性，因为经典 PINNs 表示的是解本身。在我们的方法中，我们选择逼近方程的流映射，而不是逼近解本身。随后通过拉回精确的初始条件来恢复解，从而使其精细结构由该映射产生，而不是由网络表示。我们的方法通过用多个 PINNs 逼近方程的流映射来构造，每个时间子区间一个网络，并利用流的半群性质将它们复合起来，因此每个网络只需表示一个接近恒等的映射。为了突出我们的方法相较于经典 PINNs 或经典数值格式的优势，我们给出了线性平流方程、涡量形式下的不可压缩 Euler 方程、Vlasov-Poisson 方程以及最后一个漂移-动理学方程的数值结果。

2. 涉及自由面的黏性流动弱形式的变分推导及其对地球动力学模拟的启示

Variational Derivation of the Weak Form for Viscous Flows Involving Free Surfaces with Implications for Geodynamic Simulations

作者: Karim Norouzi Moghanjoghi, Javier Garcia Pintado, Daniel R. Shapero, Marta Perez-Gussinye

类别: math.NA, physics.flu-dyn, physics.geo-ph

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.12152v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.12152v1

摘要翻译

中文标题: 涉及自由面的黏性流动弱形式的变分推导及其对地球动力学模拟的启示

摘要翻译: 地球动力学模拟涉及求解 Stokes 方程，其中边界条件在控制内部动力学和地表地形演化方面起着关键作用。一种常见方法是将与空气接触的界面建模为自由表面。该界面无应力，并响应内部力平衡而变形，这对于理解从裂谷边缘到俯冲等一系列过程至关重要。然而，自由表面会在数值解中引入不稳定性与振荡，通常称为“drunken sailor”不稳定性，从而迫使采用小时间步长。因此，地球动力学模型通常采用基于自由表面运动的重力效应的稳定化项。迄今为止，这些项主要是在启发式基础上推导的。在这里，我们将变分法应用于不可压缩 Stokes 流的能量最小化表述。利用 Gateaux 导数，我们推导了变形自由表面区域的完整弱形式，并表明稳定化项自然产生于自由表面假设。我们考虑线性黏性情形，并识别出两项边界积分贡献：一项与内部黏性变形相关，另一项与重力体力相关。两个基准案例表明，所推导的表述与先前提出的稳定化方法一致。我们的结果为常用的重力稳定化提供了数学基础，并识别出一个额外的黏性边界贡献。

3. 通过保结构指数时间差分从轨迹中学习数据驱动自由能

Data-Driven Free-Energy Learning from Trajectories via Structure-Preserving Exponential Time Differencing

作者: Wenshuai Hu, Guanghua Ji, Xiao Li

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.11931v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.11931v1

摘要翻译

中文标题: 通过保结构指数时间差分从轨迹中学习数据驱动自由能

摘要翻译: 当控制方程和自由能已知时，梯度流的保结构数值方法已得到广泛发展。然而，在保持内在物理性质的同时，从观测数据准确预测动力学仍然具有挑战性。尽管神经算子，例如傅里叶神经算子 (FNOs)，提供了强大的数据驱动近似，但其预测本身并不保证物理结构的保持。为应对这一挑战，我们将深度学习与保结构指数时间差分 (ETD) 方法相结合。我们并不直接学习演化算子，而是引入 轨迹推断自由能 (TIFE)，其通过基于 Duhamel 的学习框架从观测轨迹重构未知的能量密度。学习到的能量决定了变分力和稳定化参数，从而能够进行保结构数值演化。我们进一步扩展该框架，以联合辨识自由能和扩散系数。在适当假设下，我们建立了最大值有界原理、原始学习到的能量的无条件耗散，以及包含离散化误差和推断误差的误差估计。数值实验表明能量恢复准确，并具有可靠的长时间预测。

4. 树张量网络的鲁棒二阶时间积分

Robust second-order time integration of tree tensor networks

作者: Jonas Kusch, Dominik Sulz

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.11747v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.11747v1

摘要翻译

中文标题: 树张量网络的鲁棒二阶时间积分

摘要翻译: 我们提出并分析了两种二阶 basis-update & Galerkin (BUG) 时间积分方法，用于 Tucker 张量和树张量网络上的动态低秩逼近。二者都建立在一次顺序预计算扫描之上，此后所有基矩阵和连接张量的微分方程通过 Galerkin 方法演化。此外，所提出的方法从构造上就是秩自适应的。第一个是二阶并行 BUG 积分器，它完全并行地求解所有这些微分方程，这在并行体系结构上是有利的，随后进行顺序增广与截断步骤。第二个是二阶增广 BUG 积分器，它放弃了完全并行性，但在截断容差范围内保持 Schrödinger 方程的范数和能量，并对梯度流耗散能量。对于这两个积分器，我们证明了一个二阶误差界，该误差界对于连接张量矩阵化的小奇异值具有鲁棒性。针对辐射传输和量子自旋系统的数值实验验证了理论结果。

5. 紧集上算子学习的一致逼近

Uniform Approximation for Operator Learning on Compact Sets

作者: Rui Liu, Jie Shen

类别: math.FA, math.NA

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.11709v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.11709v1

摘要翻译

中文标题: 紧集上算子学习的一致逼近

摘要翻译: 我们研究 Banach 空间紧子集上算子学习的一致逼近。我们根据紧集复杂度、目标 gauge 与恢复稳定性，对恢复维数和网络参数量给出界。对具有可分定义域的有界线性算子，我们用具有共同消失 gauge 和任意小加性误差的坐标分解来刻画 gauge 可逼近性。它们的部分和给出一个固定的非线性编码器–解码器对族。我们证明，具有共同消失 gauge 且秩界仅依赖于模型维数的非线性恢复，等价于一致逼近性质 (UAP)。我们还得到具有相同秩界的线性恢复估计，以及针对非线性目标线性因子的算子版本。对于取值于 $p\in(1,2]$ 型 Banach 空间 $Y$ 并容许 Bochner 可积密度的 Barron 算子，采样对期望 $L^p(λ;Y)$ 误差给出速率 $N^{-(1-1/p)}$，其中 $λ$ 是输入紧集上的概率测度。对于固定有限维因子和一类 Hölder 映射，我们在固定且充分大的深度下得到匹配的参数上界与下界。经典采样与截断例子提供了显式恢复映射，一个非线性积分算子说明了参数界。

6. 非拟合网格上椭圆界面问题的局部化混合有限元–随机特征方法

A Localized Hybrid Finite Element–Random Feature Method for Elliptic Interface Problems on Unfitted Meshes

作者: Siyuan Lang, Zhiyue Zhang

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.11688v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.11688v1

摘要翻译

中文标题: 非拟合网格上椭圆界面问题的局部化混合有限元–随机特征方法

摘要翻译: 我们提出一种用于非拟合背景网格上椭圆界面问题的局部化混合有限元–随机特征方法 (FEM–RFM)。其核心思想是仅在均匀笛卡尔背景网格中由界面切割单元形成的窄带内使用随机特征方法 (RFM)，而在其余未切割单元上保留标准 $Q_p$ 有限元。在窄带内，在界面的两个物理侧上使用局部 RFM 表示。解与法向通量的给定跳跃通过涉及物理界面 $Γ$ 上两个 RFM 表示的残差方程纳入，而有限元方法 (FEM) 与 RFM 分量则通过迹残差和变分法向通量残差在另一个网格对齐的人工界面 $Γ_c$ 上耦合。Schur 消元通过稀疏求解消去内部有限元未知量，同时保留其 Galerkin 方程作为等式约束。剩余窄带和界面残差在一个仅涉及耦合节点值和随机特征系数的约化最小二乘问题中被极小化。该方法在一系列二维和三维界面问题上进行了数值评估，这些问题涉及高系数对比度、非光滑界面和多界面以及不规则外边界，并结合一个面向应用的周期性双连续复合材料热均匀化问题。

7. $L^2$ 梯度流保平衡指数 Runge–Kutta 方法的原始能量耗散统一框架

A unified framework for original energy dissipation of equilibrium-preserving exponential Runge–Kutta methods for $L^2$ gradient flows

作者: Chaoyu Quan, Pinzhong Zheng, Zhi Zhou

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.11532v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.11532v1

摘要翻译

中文标题: $L^2$ 梯度流保平衡指数 Runge–Kutta 方法的原始能量耗散统一框架

摘要翻译: 本文建立了一个统一框架，用于证明 $L^2$ 梯度流的保平衡指数时间差分 Runge–Kutta (ETDRK) 方法的原始能量耗散。该分析基于一般 ETDRK 方法的一个辅助连续演化表示，它允许控制能量变化，而无需对 Butcher 系数施加正定性条件或引入稳定化项。对于一大类保平衡 ETDRK 格式，我们推导出一个可显式计算的时间步长限制。对于二阶到五阶的代表性格式，得到了显式限制，并且该框架也适用于任意高阶的基于插值的 ETDRK 方法。对于后一类方法，所得到的允许步长比先前针对插值的分析所得到的步长要大得多。针对 Allen–Cahn 方程的数值实验证实了理论耗散限制。

8. 数值神经算子：数值分析与算子学习之间的联系，以及从有限元方法构建离散化神经算子

Numerical Neural Operator: Connection Between Numerical Analysis and the Operator Learning and Building Discretized Neural Operators from Finite Element Methods

作者: Zecheng Zhang

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.11120v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.11120v1

摘要翻译

中文标题: 数值神经算子：数值分析与算子学习之间的联系，以及从有限元方法构建离散化神经算子

摘要翻译: 算子学习旨在学习函数空间之间的映射，并已广泛用于与 PDE 相关的问题。这提出了两个基本问题。第一，鉴于标准数值方法和神经算子都旨在逼近 PDE 解算子，它们之间是否存在联系？第二，当神经算子在数值生成的数据上训练时，它逼近的是底层的无穷维算子、训练数据本身，还是用于生成这些数据的离散化数值格式？本文的一个关键假设是，训练后的神经算子可能模仿生成训练数据的离散化数值格式。该假设已通过 Chen Chen 1995 论文中提出的线性逼近原理以及随后的缩放律论文得到部分和初步验证。然而，从数值离散化角度的神经算子逼近仍未得到探索。在这项工作中，我们考虑一类 PDE，并从数值格式推导神经算子架构。首先，数值基函数，例如有限元基函数，可以由可学习神经网络逼近或直接构造。然后，用于时间离散的有限差分格式可以展开为迭代神经架构，该架构生成所得神经算子的基的系数。通过借助数值分析，我们为这些由数值推导出的神经算子建立了收敛误差估计。值得注意的是，网络规模对 $L_2$ 中的逼近误差呈多项式依赖，改进了一般神经算子逼近中推导出的嵌套指数依赖，并与数值观测一致。最后，数值实验表明误差降低且参数效率提高。

不相关论文（基本信息）

1. 随机交替投影中的体积采样与谱均衡

Volume Sampling and Spectral Equalization in Randomized Alternating Projections

作者: Alireza Entezari, Arunava Banerjee, Leila Kalantari

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.12346v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.12346v1

摘要: We study a family of randomized alternating projection methods that alternate among subspaces spanned by subsets of (n) vectors from a prescribed set. We derive an explicit characterization of performance bounds when these subspaces are sampled with probabilities proportional to the volumes subtended by the vectors in their corresponding subsets. For each (n), the bound is obtained through an explicit nonlinear transformation of the spectrum of an associated matrix. Our analysis reveals an explicit spectral equalization mechanism that drives the spectrum toward improved conditioning as $n$ increases, establishing an unexpected connection between volume sampling and the Cayley-Hamilton theorem. Furthermore, we introduce a computationally efficient uniform sampling scheme that achieves comparable theoretical guarantees through a specific relaxation strategy. Empirical results show that this relaxation method achieves convergence rates comparable to, and often better than, volume sampling, while avoiding the infeasibility of volume sampling at large scale. Besides the randomized Kaczmarz, these results also directly apply to randomized Gauss-Seidel and coordinate descent methods.

2. asdex：JAX 中的自动稀疏微分

asdex: Automatic Sparse Differentiation in JAX

作者: Adrian Hill, Guillaume Dalle

类别: cs.MS, cs.LG, math.NA

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.12336v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.12336v1

摘要: Many tasks in scientific computing and machine learning require the Jacobian or Hessian matrix of a function. Automatic differentiation (AD) computes these derivatives to machine precision, but materializing a dense $m \times n$ Jacobian requires $n$ forward-mode or $m$ reverse-mode AD passes, one per column or row. For a large class of functions, each output depends on only a few inputs, making the derivative matrix sparse. Automatic sparse differentiation (ASD) exploits this structure in four steps: detection of the input-agnostic sparsity pattern, coloring of a graph to group columns or rows that can share an AD pass, compressed differentiation to compute a compressed derivative matrix with one AD pass per color, and finally decompression into the original sparsity pattern. The number of colors, and hence of AD passes, is often independent of the problem dimension: a banded Jacobian with $b$ contiguous bands, for instance, only ever requires $b$ colors, regardless of its size. asdex offers the first standalone ASD toolkit in the popular JAX ecosystem. With asdex.jacobian and asdex.hessian, it provides sparse drop-in replacements for jax.jacobian and jax.hessian.

3. 一种快速且稳定的无平方根酉核心追踪算法

A Fast and Stable Square-Root-Free Unitary Core-Chasing Algorithm

作者: Mónica Esquivel-Rosado, Jared L. Aurentz, Giovanni Barbarino, María C. Quintana

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.12228v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.12228v1

摘要: Symmetric and unitary matrices are among the most important classes of structured matrices admitting efficient and stable eigenvalue algorithms. Notable examples include structure-preserving variants of the QR algorithm and their square-root-free counterparts. For unitary matrices, these algorithms were historically derived from recurrence relations for orthogonal polynomials on the unit circle. A matrix-based derivation using core chasing was later given in [3]; this family of algorithms is backward stable, but the underlying symmetries needed to cast out the square roots were not identified, and the question of structured backward stability was left open. In this paper we present a matrix-based derivation of the symmetric unitary core-chasing algorithm and use it to obtain a square-root-free variant. We give a matrix-based proof of backward stability and show that strict structured backward stability is impossible in general. Open-source Fortran code and numerical experiments demonstrate that the combination of exploiting the symmetry and removing the square roots reduces computation time without degrading accuracy.

4. 用于聚合物电解质离子的保结构神经密度泛函

A structure-preserving neural density functional for the ions of a polymer electrolyte

作者: Liyao Lyu

类别: cond-mat.soft, cs.LG, math.NA

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.12132v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.12132v1

摘要: Predicting the structure and response of inhomogeneous polymer electrolytes requires a description of ion correlations that retains molecular-scale accuracy while remaining transferable across spatial scales and geometries. We develop a neural density functional for electrolytes that preserves spatial symmetries, thermodynamic integrability and the Noether identities, with perfect screening recovered in stable, noncritical bulk states. Its nonlinear density dependence captures the concentration-dependent correlations missed by a pair closure, including a crossover from enhanced to suppressed long-wavelength number fluctuations at strong coupling. The functional describes density profiles at an untrained salt concentration and predicts bulk structure factors and the long-wavelength number response. Trained solely on planar density and internal-force profiles from molecular dynamics, the functional predicts ionic structure in larger domains and in two-dimensional external fields. On the same ion data, it is more accurate than three other neural density-functional architectures and keeps its accuracy with a quarter of the training runs, where the errors of the best alternative grow by about two thirds. The spatial transferability provides a necessary foundation for connecting molecular correlations to continuum predictions at larger scales.

5. 粗网格或畸变网格的后验误差估计

A posteriori error estimation for coarse or distorted meshes

作者: Franz Chouly, Michel Duprez, Claudio Lobos, Zuqi Tang

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.12088v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.12088v1

摘要: Finite element simulations carried out on meshes issued from real-world geometries - patient-specific anatomies, scanned industrial parts, fractured media - almost never satisfy the shape-regularity assumptions under which classical a posteriori error analysis is written. Practitioners are therefore left without a quantitative answer to a very legitimate question: how wrong is my simulation when my mesh is coarse and contains badly shaped elements? In this work, we study to which extent equilibrated flux estimators can provide such an answer. Indeed, they deliver a guaranteed and fully computable upper bound of the energy-norm discretization error, with a constant equal to one; and, crucially for the present study, its derivation uses no shape-regularity, quasi-uniformity or angle condition. The only geometric ingredient is the Poincaré constant on a single cell, which Payne and Weinberger showed to be at most hK /pi on any convex cell K, however distorted (hK being the cell size). Mesh quality affects the local efficiency - the sharpness of the estimator - but never its reliability, so that the failure mode under distortion is pessimism rather than false confidence.

6. 参数化耗散量子系统的模型降阶

Model Order Reduction for Parametric Dissipative Quantum Systems

作者: Bernard Haasdonk, Benjamin Stamm, Zhuoyao Zeng

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.12017v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.12017v1

摘要: We consider reduced basis approximations of non-equilibrium steady states of parameter-dependent Lindbladians, whose ambient matrix space grows exponentially with system size. We give a unified structural view of the problem through its characterizations as an eigenvalue problem or as a trace-constrained source problem. Building on these characterizations, we propose a residual-driven reduced basis framework for both formulations. Under the assumption of a unique steady state, we derive residual-based state-error estimates, and establish (sub-)exponential convergence of the greedy algorithms under real-analytic parameter dependence of the problem data. Numerical experiments on boundary-driven Fermi–Hubbard and dissipative XYZ chains support the analysis and suggest that the trace-constrained greedy method offers the best overall balance of accuracy and computational cost.

7. 对称快速傅里叶变换的数学基础

Mathematical foundation of symmetric fast Fourier transform

作者: Weifeng Hou, Kai Jiang, Jingfei Tang

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.11972v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.11972v1

摘要: In this work, we study the fast Fourier transform (FFT) of discrete data with crystallographic symmetry, for which standard FFT algorithms incur substantial redundant computation. We establish a rigorous mathematical theory of the symmetric fast Fourier transform (SFFT) for $n$-dimensional crystallographic groups and propose the SFFT and symmetric inverse fast Fourier transform (SIFFT) algorithms. We derive symmetry-reduction formulas for both linear and translational symmetries and unify them into a recursive framework. We analyze the arithmetic complexity to obtain theoretical speedup factors relative to the standard FFT, and we confirm the accuracy and efficiency of the proposed methods by numerical experiments on representative three-dimensional space groups.

8. 利用预平坦化与消元技术加速非线性代数方程组的 Newton 法

Acceleration of Newton’s method for nonlinear algebraic systems by preflattening and elimination techniques

作者: Ngoc Do Quyen Dang, Ibtihel Ben Gharbia, Clément Cancès, Quang Huy Tran

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.11912v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.11912v1

摘要: In this paper, we propose a new approach called {\em preflattening} to speed up the resolution of nonlinear algebraic systems by Newton-type methods. Preflattening is meant to be for nonlinear systems what preconditioning is for linear ones. The idea is to transform the system into an equivalent one that is more favorable to Newton’s method. To this end, we introduce the notion of {\em flatness}, which is intended to play for nonlinear systems a role similar to that of the condition number for linear systems. For a physical model of interest in the geosciences, namely the chemical equilibrium problem, we combine this strategy with the nonlinear elimination technique and demonstrate the value of the resulting approach through numerical simulations.

9. 计算旋转 Gross-Pitaevskii 能量极小元的有限体积离散与归一化梯度流

Finite volume discretization and normalized gradient flow for computing minimizers of the rotating Gross-Pitaevskii energy

作者: Quentin Chauleur, Guillaume Dujardin, Robin Roussel

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.11820v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.11820v1

摘要: We study the approximation by a finite volume scheme of the stationary Gross-Pitaevskii equation with angular momentum rotation. We prove that, under standard mesh regularity assumptions, the discrete global minimizers converge to the continuous one as the mesh diameter tends to zero. Moreover, under a spectral gap assumption on the Hessian of the discrete energy, we prove that solutions to a normalized continuous gradient flow converges exponentially fast to such discrete minimizers. Additionally, we show that this previous discrete spectral gap assumption can be derived from similar hypotheses in the continuous setting. We support our theoretical results with numerical simulations, which broaden the scope of the analysis.

10. Gauss–Chebyshev 求积、$\mathbb S^1$-设计与平面 Minkowski 逆问题：设计诱导凸几何的一维模型

Gauss–Chebyshev Quadrature, $\mathbb S^1$-Designs, and the Planar Minkowski Inverse Problem: A One-Dimensional Model for Design-Induced Convex Geometry

作者: Congpei An

类别: math.NA, math.MG

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.11814v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.11814v1

摘要: We study the relation between equal-weight circle quadrature, Gauss–Chebyshev quadrature, and planar Minkowski reconstruction. The regular $N$-point grid is an $\mathbb S^1$-design of strength $N-1$; a half-step rotation of the $2M$-point grid projects to the classical $M$-point Gauss–Chebyshev rule. A common family of quadrature-error functionals gives exact identities for integration error, mixed-area error, and support-function error. For $N\ge3$, the centered Minkowski polygon $P_N$ with perimeter $2π$ has the exact Hausdorff distance from the unit disk $B^2$ [ d_H(P_N,B^2)=1-\fracπ{N}\cot\fracπ{N} =\frac{π^2}{3N^2}+O(N^{-4}). ] With Steiner centering, we obtain $d_H(K_μ,K_ν)\leπW_1(μ,ν)$ for balanced, nondegenerate probability measures, where $W_1$ uses geodesic distance. Its exponent is sharp even for smooth positive densities near the uniform measure. The identity $W_1(ν_N,σ)=π/(2N)$ yields a general $O(N^{-1})$ bound for the regular grid. The sharper $O(N^{-2})$ rate follows from the sparse discrepancy spectrum and the inverse multiplier $(1-k^2)^{-1}$. Finally, a perturbation estimate gives sufficient conditions for preserving the quadratic rate and its leading constant.

11. 当 $0

Almost $L^\infty$-stability of the Ritz projection for the integral fractional Laplacian with $0

作者: Jia Li, Shuonan Wu

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.11795v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.11795v1

摘要: For $0

12. 带最小二乘稳定化 Nitsche 边界条件的 CutIGA：双调和问题

CutIGA with Least Squares Stabilized Nitsche Boundary Conditions: The Biharmonic Problem

作者: Mats G. Larson, Karl Larsson

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.11636v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.11636v1

摘要: We propose a symmetric Nitsche method for the biharmonic Dirichlet problem on a smooth domain whose boundary may cut arbitrarily through the computational mesh. Bulk least-squares stabilization in a boundary strip and tangential boundary penalties control the consistency terms through an explicit lifting of the two Dirichlet traces. This gives coercivity on $H^4(Ω)$ without inverse inequalities and permits a fixed penalty independent of the cut configuration for sufficiently thin strips. Under suitable regularity assumptions, splines of degree $p\geq4$ give energy and $L^2$ error bounds of orders $h^{p-1}$ and $h^{p+1}$. We also analyze a face-stabilized extension to $C^1$ splines of degree $p=2$ and $C^2$ splines of degree $p=3$. Exact-ellipse experiments examine convergence, cut stability, and parameter sensitivity.

13. 理想 MHD 中 Alfvén 波散射场的定量有限时间逼近

Quantitative finite-time approximation of scattering fields for Alfvén waves in ideal MHD

作者: Junming Duan, Mengni Li

类别: math.NA, math.AP

发布日期: 2026-10-08

arXiv ID: 2610.11595v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.11595v1

摘要: In this paper, we establish a quantitative finite-time approximation of scattering fields for nonlinear Alfvén waves in three-dimensional ideal incompressible magnetohydrodynamics near a strong constant magnetic background. Using the global weighted estimates, we prove that truncating the scattering profiles at time $T$ introduces an error in both the $L^\infty$ norm and the $H^{N_*+1}$ norm of order

$$ O\bigl(\varepsilon^2(R+T)^{-δ}\bigr), $$

where $\varepsilon\in (0,1)$ measures the size of the initial perturbation, $R\ge100$ is the scale parameter in the weighted energy, $δ\in(0,2/3)$ is the exponent related to weights, and $N_*+1$ is the Sobolev regularity order assumed for the initial data. The pointwise estimate follows from the decay of the nonlocal pressure along nonlinear characteristics, while the Sobolev estimate combines higher-order weighted pressure bounds with estimates for derivatives of the characteristic flows. Numerical experiments measure pointwise and Sobolev pressure-integral tails to verify the quadratic dependence of the initial perturbation amplitude.

14. 一种面向血流动力学中松耦合 FSI 模拟稳定性的神经网络方法

A Neural-Network Approach for the Stability of Loosely-Coupled FSI Simulations in Hemodynamics

作者: Francesca Renzi, Stefano Pagani, Paola F. Antonietti, Christian Vergara

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.10943v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.10943v1

摘要: The development of accurate and efficient computational methods for fluid-structure interaction (FSI) problems remains an active research area due to its broad engineering and biomedical applications. Partitioned loosely coupled (LC) schemes are attractive for large-scale simulations because of their modularity and low computational cost. However, their applicability is limited by stability issues in high added-mass regimes, where fluid and structure densities are comparable, as in hemodynamics. In our recent work, we proposed an LC algorithm based on Dirichlet-Neumann interface coupling, the LC-DN-α scheme, which improves the stability of the coupling through a stabilization parameter α. Although theoretical stability has been demonstrated under suitable constraints on α, its optimal value depends on the physical and numerical characteristics of the FSI problem and is difficult to determine in practice. In this work, we propose a data-driven strategy to automatically estimate the optimal value of α. We develop a feed-forward neural network to predict α from the descriptors of the FSI problem. The model is trained on a dataset of baseline FSI problems in large added-mass regimes and evaluated on more realistic configurations to assess robustness and generalization. Numerical results show that the proposed model generalizes across the considered FSI scenarios and provides robust estimates of α under moderate variations in the problem setup, including changes in geometry and loading conditions, that do not completely alter the interaction mechanics represented in the training set. The methodology is intentionally developed and validated on simplified FSI problems, providing a proof of concept for data-driven strategies to improve the efficiency of partitioned FSI simulations and supporting their extension to more complex and realistic scenarios.

15. 带跳 McKean-Vlasov 随机微分方程的多层 Picard 逼近

Multilevel Picard approximations for McKean-Vlasov stochastic differential equations with jumps

作者: Ariel Neufeld, Tuan Anh Nguyen, Philipp Schmocker

类别: math.NA, math.PR

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.10863v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.10863v1

摘要: We introduce multilevel Picard (MLP) approximations of McKean-Vlasov stochastic differential equations (SDEs) with jumps of finite or infinite activity. Under Lipschitz and integrability assumptions on the coefficients, we show that the MLP algorithm does not suffer from the curse of dimensionality when approximating the solution of the McKean-Vlasov SDE. The latter means that its computational cost grows at most polynomially in both the state-space dimension of the SDE and the reciprocal of the prescribed error tolerance. In two numerical experiments, we demonstrate the practical applicability of the MLP algorithm for two different McKean-Vlasov SDEs in dimensions up to 200.

16. 浮点求和中的停滞分析与检测

Analysis and Detection of Stagnation in Floating-Point Summation

作者: Mantas Mikaitis, William Woolfenden

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-07

arXiv ID: 2610.10819v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.10819v1

摘要: Stagnation in the summation of floating-point numbers occurs when the running sum, or the accumulator, does not change its value despite addends being greater than zero. Here we define different types of stagnation - commonly referred to as swamping or absorption, where one operand in an addition is nearly or completely rounded off—in floating-point summation, and propose algorithms for detecting it in numerical code that uses floating-point arithmetic. Whilst cancellation in floating-point arithmetic has been studied, for example by Lam et al. in `Dynamic floating point cancellation detection’, stagnation has not been exploited as a property for detecting and reporting accuracy loss in floating-point operations. We have built prototype dynamic stagnation detection tools in two languages, MATLAB and Julia, and applied them to applications ranging from basic summation of a vector, to matrix multiplication, to a fluid flow simulation model. With this tool, users are able to identify areas of their floating-point code where stagnation occurs - in those areas of the code one may need to switch to a higher precision number format, apply stochastic rounding, or use different summation algorithms such as compensated summation. To the best of our knowledge we provide a first rigorous definition of stagnation in floating-point summation.