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1. 面向瞬态多连续介质问题的带修正基重构的 POD 加速高阶多尺度方法

POD-accelerated high-order multiscale method with corrected-basis reconstruction for transient multi-continuum problems

作者: Jiayuan Peng, Hao Dong, Jiale Linghu

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-13

arXiv ID: 2610.17758v1

摘要翻译: 多连续介质模型通过在每个宏观位置引入若干相互作用的状态变量，为裂缝性和高度非均质多孔介质中的瞬态流动提供了一种有效的宏观描述。尽管高阶多尺度 (HOMS) 方法降低了刻画微观非均质性的成本，同时恢复局部振荡特征，但在长时间和大规模三维模拟中，重复求解耦合均匀化系统以及重复进行高阶重构仍然代价高昂。本工作提出了一种用于瞬态多连续介质问题的本征正交分解 (POD) 加速 HOMS 框架。由耦合均匀化解的快照构造向量值 POD 空间，并将所得块系统投影到低维空间。考虑了两种恢复策略。第一种重构降维均匀化场，并在每个输出时间执行完整 HOMS 组装。第二种离线将多尺度恢复算子的空间部分应用于保留的 POD 模态，并通过修正基与时间导数基的直接线性组合来评估在线解。针对该耦合系统，建立了全离散均匀化解与其 POD 降维近似之间的误差估计。然后，通过将 HOMS 相容性误差与通过值、梯度、连续介质间交换、二阶导数和时间导数恢复项传播的 POD 截断误差相结合，得到了恢复的 POD-HOMS 估计。二维和三维非均质构型的数值实验表明，降维解在保持相应 HOMS 解的精度和局部振荡行为的同时，显著降低了计算成本。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2610.17758v1

1. 研究对象和背景

本文研究裂缝和高度非均质多孔介质中瞬态流动的多连续介质模型及其高阶多尺度离散的降阶加速。设 $\Omega\subset\mathbb{R}^d, d=2,3$ 为有界 Lipschitz 区域，$T>0$，$Y=(0,1)^d$，微观坐标 $y=x/\varepsilon$。对两个连续介质 $l=1,2$，记 $\bar l=3-l$，$u_l^\varepsilon$ 为第 $l$ 个连续介质的压力，细尺度系统为

$$c_l(y)\frac{\partial u_l^\varepsilon}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\kappa_{l,ij}(y)\frac{\partial u_l^\varepsilon}{\partial x_j}\right)+q_l+\varepsilon^{-1}Q_l(y)(u_{\bar l}^\varepsilon-u_l^\varepsilon),\quad (x,t)\in\Omega\times(0,T),$$

在 $\partial\Omega$ 上齐次 Dirichlet，初值 $u_l^\varepsilon(x,0)=u_{l,0}(x)$。这里 $c_l$ 正且有界，$\kappa_l$ 一致椭圆且 $Y$ 周期，$Q_l\ge0$ 为交换系数，保守对称时 $Q_1=Q_2$。该模型由 Barenblatt 等、Warren 和 Root 的双孔隙概念发展而来，并经 Kazemi 等、Pruess 和 Narasimhan 的 MINC、Wu 和 Pruess 的多孔模型等推广。其核心是不同孔隙系统压力可能未达局部平衡，因此单一宏观变量不足以描述耦合瞬态行为；交换项表示基质与裂缝之间的非平衡交换。由于 $c_l,\kappa_l$ 随微观 $y$ 强振荡且可能高对比，直接求解细尺度系统需要极细网格，在长时和大尺度三维中不可行。为降低空间异质成本，已有 MsFEM、GMsFEM、CEM-GMsFEM、NLMC 等方法构造适应系数的粗尺度基函数或连续介质变量。本文采用前期 HOMS 工作建立的二阶多尺度表示

$$u_l^{(2\varepsilon)}=u_l^{(0)}+\varepsilon N_l^\alpha\partial_{x_\alpha}u_l^{(0)}+\varepsilon M_l(u_{\bar l}^{(0)}-u_l^{(0)})+\varepsilon^2\left[G_l\partial_t u_l^{(0)}+N_l^{\alpha\beta}\partial^2_{x_\alpha x_\beta}u_l^{(0)}+C_l^\alpha\partial_{x_\alpha}u_l^{(0)}+F_l^\alpha\partial_{x_\alpha}u_{\bar l}^{(0)}+K_l(u_{\bar l}^{(0)}-u_l^{(0)})\right],$$

其中 cell 函数 $N_l^\alpha,M_l,G_l,N_l^{\alpha\beta},C_l^\alpha,F_l^\alpha,K_l$ 由局部 cell 问题确定，有效系数 $c_l^*,\kappa_l^*,K_{lm,i}^*,Q_l^*$ 由这些 cell 函数给出。均匀化耦合系统为

$$c_1^*\partial_t u_1^{(0)}=\partial_{x_i}(\kappa_{1,ij}^*\partial_{x_j}u_1^{(0)})+K_{12,j}^*\partial_{x_j}u_2^{(0)}-K_{11,j}^*\partial_{x_j}u_1^{(0)}+Q_1^*(u_2^{(0)}-u_1^{(0)})+q_1,$$

对 $l=2$ 类似。其弱形式为

$$M_0\left(\frac{\partial u^{(0)}}{\partial t},v\right)+B_0(u^{(0)},v)=F(v;t),\quad \forall v\in V,$$

其中 $V=H_0^1(\Omega)^2$，$M_0$ 是质量双线性形式，$B_0=B_d+B_K+B_Q$ 包括扩散、交叉梯度和交换。由于 $B_K$ 和 $B_Q$ 不一定对称，标准对称 coercivity 不直接适用，需用 Gårding 框架。全离散：$V_h\subset H_0^1(\Omega)$ 为协调有限元空间，$V_h=V_h^2$，时间网格 $t_n=n\Delta t$，后向 Euler 离散为

$$M_0\left(\frac{U_h^n-U_h^{n-1}}{\Delta t},v_h\right)+B_0(U_h^n,v_h)=F(v_h;t_n),\quad \forall v_h\in V_h,$$

并等价于矩阵形式 $\left(\frac{M}{\Delta t}+A\right)U^n=F^n+\frac{M}{\Delta t}U^{n-1}$。POD 降阶在离散层面进行。从耦合快照 $U_h^n=(U_{1,h}^n,U_{2,h}^n)^T$ 构造质量加权相关矩阵 $C_{ij}=\frac1m M_0(U_h^i,U_h^j)$，特征问题 $C\xi_k=\lambda_k\xi_k$ 给出质量正交模态 $\phi_k=\frac{1}{\sqrt{m\lambda_k}}\sum_{j=1}^m\xi_{k,j}U_h^j$，秩 $r$ 由 $\sum_{k=1}^r\lambda_k/\sum_{k=1}^s\lambda_k\ge1-\delta_{\rm pod}$ 选取，投影块系统为 $\left(\frac{M_r}{\Delta t}+A_r\right)z^n=f_r^n+\frac{M_r}{\Delta t}z^{n-1}$。与逐分量降阶不同，联合空间保留基质和裂缝压力在快照层面的相关性，从而保留扩散、漂移和连续介质交换诱导的耦合。现有降阶方法多针对均匀化或宏观系统，且最终量通常就是宏观解。然而 HOMS 的最终量是重构多尺度场，恢复过程需要均匀化压力的值、空间梯度、高阶空间导数、连续介质压差、跨连续介质梯度和时间导数。因此，仅对均匀化系统做 POD 误差估计不足以控制恢复场误差；同时，重复高阶恢复在长时大尺度三维输出中可能成为主导成本。本文旨在补此空白：建立 POD 加速 HOMS 框架，构造向量值联合 POD 空间，给出均匀化降阶误差和恢复场误差传播估计，并提出两种恢复策略，使在线阶段避免重复组装完整 HOMS 恢复。

2. 主要定理或主要结果

论文的严格结果集中在提供的前三节。设 $V=H_0^1(\Omega)^2$，$M_0(u,v)=\sum_{l=1}^2\int_\Omega c_l^* u_l v_l dx$，$B_0=B_d+B_K+B_Q$。假设 $00$，漂移和交换系数本质有界，质量范数满足 $c_M\|v\|_{L^2(\Omega)^2}^2\le\|v\|_M^2\le C_M\|v\|_{L^2(\Omega)^2}^2$。定义 $\|v\|_V^2=\sum_{l=1}^2\sum_{j=1}^d\|\partial_{x_j}v_l\|_{L^2(\Omega)}^2$。在这些假设下，Lemma 1 证明 $B_0$ 连续且满足 Gårding 不等式：$|B_0(u,v)|\le C_B\|u\|_V\|v\|_V$，$B_0(v,v)\ge\alpha\|v\|_V^2-\beta\|v\|_M^2$，其中 $C_B,\alpha>0$，$\beta\ge0$。证明中扩散部分给出 $\kappa_0\|v\|_V^2$，漂移项用 Hölder 和 Young 吸收，交换项用恒等式 $\frac{Q_1^*+Q_2^*}{2}(v_1-v_2)^2+\frac{Q_1^*-Q_2^*}{2}(v_1^2-v_2^2)$ 处理。POD 方面，设 $C_{ij}=\frac1m M_0(U_h^i,U_h^j)$，$C\xi_k=\lambda_k\xi_k$，$\lambda_1\ge\cdots\ge\lambda_s>0$，质量正交模态 $\phi_k=\frac{1}{\sqrt{m\lambda_k}}\sum_{j=1}^m\xi_{k,j}U_h^j$。令 $P_r:V_h\to V_r$ 为 $M_0$ 正交投影，$\eta^n=U_h^n-P_rU_h^n$，$\theta^n=P_rU_h^n-U_r^n$，$e^n=\eta^n+\theta^n$。Lemma 2 证明 $\frac1m\sum_{n=1}^m\|\eta^n\|_M^2=\sum_{k=r+1}^s\lambda_k$，$\frac1m\sum_{n=1}^m\|\eta^n\|_V^2=\sum_{k=r+1}^s\lambda_k\|\phi_k\|_V^2$。关键点是 V 内积中模态不必正交，但协方差对角化消除交叉项。定义 $\mathcal P_r=\max_{1\le n\le m}\|\eta^n\|_M^2+\Delta t\sum_{n=1}^m\|\eta^n\|_V^2$。若理论快照每个分析时间层一个且 $m\Delta t=T$，则 $\mathcal P_r\le m\sum_{k=r+1}^s\lambda_k+T\sum_{k=r+1}^s\lambda_k\|\phi_k\|_V^2$；若快照时间子采样，则需加权快照或时间插值估计。Theorem 1：设 $U_h^n$ 解全离散均匀化问题，$U_r^n$ 解 POD 降阶问题，取 $U_r^0=P_rU_h^0$。若 $\beta>0$，假设 $2\beta\Delta t\le\rho<1$ 对固定 $\rho$。则 $\max_{1\le n\le m}\|U_h^n-U_r^n\|_M^2+\Delta t\sum_{n=1}^m\|U_h^n-U_r^n\|_V^2\le C_T\mathcal P_r$，其中 $C_T$ 独立于 $h,r$ 和被丢弃特征值，并在步长条件下对 $\Delta t$ 一致。若 $\beta=0$，可直接求和，不需要 Gronwall 或时间步限制。证明通过 $V_r\subset V_h$ 测试相减，利用 $P_r$ 时间无关和 $M_0$ 正交性使投影误差时间项消失，得到 $\theta^n$ 的方程，再用 Gårding 和 Young 不等式、离散 Gronwall 和三角不等式。关于恢复场，摘要和第 1、3 节指出：通过将 HOMS 一致性误差与 POD 截断误差在值、梯度、连续介质交换、二阶导数和时间导数恢复项中传播，得到恢复的 POD-HOMS 估计。但提供的 PDF 只到 Theorem 1 证明，未给出该恢复估计的完整显式定理、常数或编号；从提供内容中无法确认其精确形式。恢复策略有两个：策略一在每个输出时间重构降阶均匀化场并执行完整 HOMS 组装；策略二离线将多尺度恢复算子的空间部分作用于保留的 POD 模态，在线通过修正基和时间导数基的直接线性组合求值。数值实验（二维和三维异质构型）表明降阶解保留对应 HOMS 解的精度和局部振荡行为，同时显著降低计算成本；在大三维测试中，当直接细尺度 FEM 方法超出可用内存时，修正基重构仍可行。具体误差数值、加速比和内存数据在提供内容中未列出。

3. 研究方法、关键技术和核心工具

技术障碍有三。第一，多连续耦合均匀化系统包含非对称交叉梯度和交换项，$B_0$ 不一定对称正定，标准对称 coercivity 误差分析失效。第二，POD 降阶必须针对耦合块状态，而不是逐分量独立降阶，否则会丢失基质-裂缝相关性。第三，最终感兴趣的是重构多尺度场，POD 只控制均匀化解误差，截断误差需通过 HOMS 恢复算子传播到值、梯度、交换、二阶导数和时间导数项。作者创新：1) 联合质量加权 POD 空间。快照是向量值 $U_h^n=(U_{1,h}^n,U_{2,h}^n)^T$，相关矩阵 $C_{ij}=\frac1m M_0(U_h^i,U_h^j)$ 使用质量矩阵，模态 $\phi_k$ 是向量值。投影块系统保留耦合。2) corrected-basis reconstruction。离线阶段对保留的 POD 模态施加多尺度恢复算子的空间部分，预计算修正基；在线阶段用时间系数和时间导数基直接组合，避免每个输出时间完整 HOMS 组装。3) 误差分析框架。在离散层面比较 $U_h^n$ 与 $U_r^n$，用连续弱形式建立 $B_0$ 的连续性和 Gårding 稳定性，用投影误差和演化误差分裂，用 POD 投影恒等式和离散 Gronwall 得到 $O(\mathcal P_r)$ 式估计，并将恢复误差与 HOMS 一致性误差组合。关键证明细节：Lemma 1 中，扩散项直接给 coercivity；漂移项如 $\int_\Omega K_{12,j}^*\partial_{x_j}v_2 v_1 dx$ 用 Hölder 和 Young 得 $\delta\sum_j\|\partial_{x_j}v_2\|^2+C_\delta\|v_1\|^2$，四个漂移项同样处理，选 $\delta<\kappa_0$ 吸收；交换项用恒等式，非负部分可正，非对称部分有界，因此 $B_Q(v,v)\ge -C_Q\|v\|_{L^2}^2$。Lemma 2 中，快照展开 $U_h^n=\sum_k c_k^n\phi_k$，$c_k^n=M_0(U_h^n,\phi_k)$，相关矩阵特征问题给出 $\frac1m\sum_n c_i^n c_j^n=\lambda_i\delta_{ij}$。因此质量投影误差平均等于丢弃特征值之和；V 半范投影误差平均等于 $\sum_{k=r+1}^s\lambda_k\|\phi_k\|_V^2$，交叉项因系数协方差对角化而消失，不是因为 V 正交。Theorem 1 中，减去 reduced 方程后，由于 $P_r$ 是时间无关 $M_0$ 投影，$\eta^n$ 与 $V_r$ 的 $M_0$ 正交性使 $M_0((\eta^n-\eta^{n-1})/\Delta t,v_r)=0$，得到 $M_0((\theta^n-\theta^{n-1})/\Delta t,v_r)+B_0(\theta^n,v_r)=-B_0(\eta^n,v_r)$。取 $v_r=\theta^n$，极化恒等式得 $\|\theta^n\|_M^2-\|\theta^{n-1}\|_M^2+\|\theta^n-\theta^{n-1}\|_M^2+2\Delta t B_0(\theta^n,\theta^n)=-2\Delta t B_0(\eta^n,\theta^n)$。用 Gårding 和 Young 得单步估计，求和并用 $2\beta\Delta t\le\rho<1$ 及 Gronwall，最后 $e^n=\eta^n+\theta^n$ 和三角不等式得 (35)。恢复估计中，作者将恢复算子分解为值、梯度、交换、二阶导数和时间导数项，并指出 POD 截断误差通过这些项传播；但具体推导和常数未在提供内容中展开。

4. 与之前工作的比较

与多连续介质建模工作比较：经典双孔隙 [1,2]、MINC [4]、多孔 [5] 建立宏观连续介质变量，但直接数值模拟仍受细尺度异质限制。本文不改变多连续物理模型，而是基于 HOMS 均匀化框架做降阶和重构。与 Berre 等 [6] 综述中的模型相比，本文聚焦瞬态非平衡交换和长时演化。与多尺度/升尺度方法比较：MsFEM [7]、GMsFEM [8]、CEM-GMsFEM [9]、NLMC [10]、[11-15] 等主要降低空间异质成本，构造局部基或连续介质变量，但通常仍需反复求解粗尺度瞬态耦合系统，并且若最终需要微观重构，还可能需要重复重构。本文在 [27] 的 HOMS 二阶恢复基础上，进一步用 POD 减少耦合均匀化系统的瞬态演化和重复恢复成本。相对于仅空间升尺度，本文推进到时间降阶和在线恢复加速。与 POD/降阶模型比较：Sirovich [16] 快照 POD、Kunisch-Volkwein [17,18] 的 POD-Galerkin 误差分析、[19] 将误差与丢弃特征值/模态联系、[20] 快照位置、[21] 有限元框架、[22] Krylov 富集、[23] 投影降阶综述、[24-26] 异质多孔介质 POD/多尺度结合。本文区别：1) 针对瞬态多连续耦合系统，构造向量值联合 POD 空间而非逐分量；2) 误差分析不仅控制均匀化降阶解，还通过 HOMS 恢复算子传播到重构多尺度场；3) 提出 corrected-basis reconstruction，离线预计算多尺度恢复空间算子，在线仅组合，避免每个输出时间完整 HOMS 组装。这相对于仅对均匀化系统做 POD 的方法更贴合最终量。代价是训练阶段需要快照和 cell 问题求解，恢复误差估计依赖 HOMS 一致性误差，快照子采样会影响 $\mathcal P_r$ 估计。与本文前期 HOMS [27] 比较：空间多尺度表示、cell 问题、均匀化块系统和恢复库沿用 [27]；本文新增 POD 降阶、两种恢复策略、向量 POD 误差估计和恢复误差传播。推进：长时和大尺度三维中减少重复求解和重复重构。适用范围：从提供内容看，理论针对两连续介质、线性交换、周期 cell 和一致椭圆假设；未显式讨论多连续介质 $l>2$、非线性交换、随机系数、参数变化大或在线自适应。时间尺度：策略二在线成本低，适合大量输出时间；但离线成本、快照质量和训练区间代表性是限制。数值实验中，二维和三维异质构型显示精度和局部振荡保持，大三维在直接细尺度 FEM 内存超限时仍可行；但具体加速比和误差量级未在提供内容中给出，无法确认。

2. 开放波导网络的菲涅耳散射

Fresnel scattering for open waveguide networks

作者: Solomon Quinn, Charles L. Epstein

类别: math.AP, math-ph, math.NA

发布日期: 2026-10-12

arXiv ID: 2610.17398v1

摘要翻译: 本文研究开放波导网络的 Helmholtz 散射问题，将 [arXiv:2302.04353, arXiv:2310.05816, arXiv:2401.04674] 中的分析推广到平面波入射数据。我们首先将问题约化为无限界面上的 Fredholm 第二类积分方程。由此得到原散射问题解的积分表示，继而利用该表示获得解在无穷远处的精细渐近估计。在主阶意义下、且在远离波导处，散射场本身就是一个平面波；其振幅与相移在依赖于入射平面波方向的临界极角两侧出现跳跃。我们的估计还蕴含散射场在弱意义下是出射的，从而使我们能够建立一个唯一性结果。最后，我们在微扰区域中计算波导模式对散射场的贡献。

Comment: 无

链接: http://arxiv.org/abs/2610.17398v1

1. 研究对象和背景

本文研究二维开放波导网络的 Helmholtz 散射问题, 即两个半无限开放波导在界面处对接且具有平行端面, 波导势只依赖于横向坐标. 固定 k,d>0 与 q_l,q_r\in C_c^{\infty}(-d,d), 求 u 满足

$$[\Delta+k^2(1+\chi_{(-\infty,0)}(x_1)q_l(x_2)+\chi_{[0,\infty)}(x_1)q_r(x_2))]u(x)=0,\quad x\in\mathbb{R}^2\setminus\{x_1=0\},$$

并在界面 x_1=0 上满足

$$\lim_{\varepsilon\to0+}(u(\varepsilon,x_2)-u(-\varepsilon,x_2))=0,\quad \lim_{\varepsilon\to0+}(u_{x_1}(\varepsilon,x_2)-u_{x_1}(-\varepsilon,x_2))=0,\quad x_2\in\mathbb{R}.$$

这里 u=u_{\mathrm{in}}+u_{\mathrm{out}}, 入射场为平面波

$$u_{\mathrm{in}}(x)=e^{ik\omega\cdot x},\quad \omega=(\omega_1,\omega_2)\in S^1,\ \omega_1>0,\ \omega_2<0,$$

即从左上角入射到波导网络中. 势 q_l,q_r 的支撑在 |x_2|<d, 因此左右两侧分别是半无限开放波导. 由于 q_l,q_r 紧支, 方程在远离通道处退化为自由 Helmholtz 方程, 但波导本身在 x_1 方向无限延伸, 所以散射问题不是经典紧支势散射问题.

为了描述平面波入射下的几何结构, 作者引入临界角. 令 0<\varphi<\pi/2 与 \check\omega\in S^1 满足

$$(\cos\varphi,\sin\varphi):=\check\omega:=(\omega_1,|\omega_2|),$$

并定义

$$\gamma(t)=(|t|\cos\varphi,t\sin\varphi),\quad \Gamma=\{\gamma(t):t\in\mathbb{R}\},\quad \Omega_l=\{x\in\mathbb{R}^2:x_1<|x_2|\cot\varphi\},\quad \Omega_r=\mathbb{R}^2\setminus\overline{\Omega_l}.$$

界面 \Gamma 由两条从原点出发的射线组成, 将平面分成两个互补锥形区域 \Omega_l 与 \Omega_r. 入射方向为 \omega=(\cos\varphi,-\sin\varphi), 反射方向为 \check\omega=(\cos\varphi,\sin\varphi). 本文的关键现象是: 在无穷远且远离波导处, 散射场的主导项本身是平面波; 其振幅与相移在临界极角 \theta=\pm\varphi 处发生跳跃, 这一跳跃依赖于入射平面波方向.

在已有理论中, 作者之一在 [11,12,14] 中已对同一偏微分方程进行了系统分析, 但要求入射数据沿界面 x_1=0 具有某种衰减. 那些工作建立了适定的 Fredholm 第二类边界积分方程, 给出了无穷远渐近展开, 并给出了保证唯一性的辐射条件. 本文的空缺正是平面波入射: 平面波及其散射场在无穷远处不衰减, 沿界面的数据 f_D,f_N 也不衰减, 因此之前依赖衰减性的分析不能直接使用. 此外, 开放波导会产生波导模式, 其频率位于连续谱阈值以上; 这些模式与平面波入射的耦合以及临界角处的 Stokes 型跳跃, 都无法由经典紧支势散射理论直接解释. 本文试图补全这一情形下的适定性、无穷远精确渐近、唯一性以及小扰动下波导模式激发公式.

从应用动机看, 声学与光学波导广泛出现在光子芯片、光纤、超声、卫星通信与扬声器等技术中; 实际器件长度常远大于宽度, 因而可近似为无限长. 本文的模型是两个半无限开放波导通过界面并联, 左右两端可以有不同横向势 q_l 与 q_r. 这种非紧支、开放且具有临界几何阴影的结构, 使得无穷远行为与经典散射有本质差异, 也使得波导模式激发问题具有独立意义.

2. 主要定理或主要结果

本文的主要结果可概括为四部分: 边界积分方程适定性、唯一解结构、无穷远渐近展开、以及小扰动下波导模式耦合.

首先, 定理 2.3 给出边界积分方程 formulation. 令 u_i^l,u_i^r 分别为入射角 \omega 与势 q_l,q_r 对应的 Fresnel 解, 并定义界面跳跃数据

$$f_D(x_2)=\lim_{\varepsilon\to0+}(u_i^r(\varepsilon,x_2)-u_i^l(-\varepsilon,x_2)),\quad f_N(x_2)=\lim_{\varepsilon\to0+}(\partial_{x_1}u_i^r(\varepsilon,x_2)-\partial_{x_1}u_i^l(-\varepsilon,x_2)).$$

由于平面波入射, f_D,f_N 在 |x_2|\to\infty 时不衰减. 作者令

$$(\tilde f_D,\tilde f_N):=-K(f_D,f_N),$$

并证明积分方程

$$(I+K)\begin{pmatrix}\tilde\sigma\\\tilde\tau\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tilde f_D\\\tilde f_N\end{pmatrix},\quad x_2\in\mathbb{R}$$

在空间 \bigcap_{\alpha<1/2}(C^\alpha\oplus C^{\alpha+1/2}) 中存在唯一解 (\tilde\sigma,\tilde\tau). 再令

$$\begin{pmatrix}\sigma\\\tau\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tilde\sigma\\\tilde\tau\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}f_D\\f_N\end{pmatrix},$$

则 u=(u_i^l+u^l)\chi_{(-\infty,0)}(x_1)+(u_i^r+u^r)\chi_{[0,\infty)}(x_1) 是原散射问题 (1.1) 的解, 其中 u^{l,r} 由单层与双层位势表示.

与定理 2.3 配套, 命题 2.5 证明 (\tilde f_D,\tilde f_N) 作为振荡积分良定义, 并且

$$(\tilde f_D,\tilde f_N)\in C^{1/2}\oplus C^{3/2},$$

且当 \pm x_2\to\infty 时有渐近展开

$$\tilde f_D(x_2)\sim \frac{e^{ik|x_2|}}{|x_2|^{1/2}}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{c_j^\pm}{(\pm x_2)^j},\quad \tilde f_N(x_2)\sim \frac{e^{ik|x_2|}}{|x_2|^{3/2}}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{d_j^\pm}{(\pm x_2)^j}.$$

这给出了 BIE 右端可解性的核心估计.

第二, 定理 1.3 给出原问题的唯一解结构. 设 u_i^l,u_i^r 为左右两侧的 Fresnel 解, u_{g,j}^{\pm,l},u_{g,j}^{\pm,r} 为左右波导模式. 则 (1.1)–(1.2) 存在形如

$$u(x)=u_i^l(x)\chi_{\Omega_l}(x)+u_i^r(x)\chi_{\Omega_r}(x)+u_g(x)+u_o(x)$$

的解, 其中存在常数 a_j^l,a_j^r\in\mathbb{C}, 使得

$$u_g(x)=\begin{cases}\sum_{j=1}^{N_l}a_j^l u_{g,j}^{-,l}(x), & x\in\Omega_l,\\ \sum_{j=1}^{N_r}a_j^r u_{g,j}^{+,r}(x), & x\in\Omega_r,\end{cases}$$

而 u_o 是经典 outgoing 的. 进一步, 该解是 (1.1)–(1.2) 中满足 u-u_{\mathrm{in}} 为非 incoming 的唯一解. 这里非 incoming 条件来自 Vasy 的辐射条件, 能同时处理波导模式分量与平面波分量; 它排除了平凡解 u_{\mathrm{out}}=-u_{\mathrm{in}}. 波导模式频率满足

$$k<\xi_1^l<\cdots<\xi_{N_l}^l 作者假设横向算子 H_1 在 k^2 处没有共振.

第三, 定理 3.3 给出散射场的精细无穷远渐近. 定义散射场

$$u_s(x)=u(x)-u_i^l(x)\chi_{\Omega_l}(x)-u_i^r(x)\chi_{\Omega_r}(x).$$

则 u_s=u_o+u_g, 其中 u_o 经典 outgoing, 即 |(\partial_r-ik)u_o|\le C r^{-1}, 强于 Sommerfeld 辐射条件. 对任意 \theta\in\mathbb{T}\setminus{0,\varphi,\pi,-\varphi}=:T_\varphi, 有

$$u_o(r,\theta)\sim \frac{e^{ikr}}{r^{1/2}}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{a_j(\theta)}{r^j},\quad r\to\infty,$$

每个 a_j\in C^{\infty}(T_\varphi), 并可光滑延拓到区间 [0,\varphi), (\varphi,\pi], [-\pi,-\varphi), (-\varphi,0]. 在 \theta 接近 \varphi 时, 分解 u_o=u_o^0+u_o^1. u_o^0 满足经典 outgoing 展开且系数在 (\varphi-\eta,\varphi+\eta) 光滑. u_o^1 的行为由 \rho=r^{1/2}(\theta-\varphi) 控制: 当 |\rho| 大时,

$$u_o^1(r,\theta)\sim \frac{e^{ikr}}{\rho}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{a_j^1(\theta)}{\rho^{2j}},\quad |\rho|\to\infty;$$

当 |\rho| 小时,

$$u_o^1(r,\theta)=e^{ikr}b(r^{-1/2},\rho),$$

其中 b\in C^{\infty}([0,1]\times(\mathbb{R}\setminus{0})) 可光滑延拓到 [0,1]\times[0,\infty) 与 [0,1]\times(-\infty,0], 且

$$e^{ikr}b_\pm=\pm\frac12(u_i^r(r,\varphi)-u_i^l(r,\varphi)),\quad b_\pm=\lim_{\rho\to0\pm}b(0,\rho).$$

这精确刻画了振幅与相移在临界极角 \theta=\varphi 处的跳跃; 对 \theta=-\varphi 有类似结论. 几何上, 渐近展开需要在 \mathbb{R}^2 的径向紧化中, 在边界点 e^{\pm i\varphi} 处作抛物 blow-up, 因为系数在临界角处并不光滑.

第四, 第 5 节在小扰动 regime q_l-q_r 小的情况下计算波导模式对散射场的贡献. 命题 5.4 给出波导模式振幅的首阶显式公式, 表明“一般地”一个入射平面波打到具有两个不同平行端的波导网络会激发所有波导模式, 而打到双无限波导时不会激发任何波导模式. 但提供文本未包含第 5 节完整推导与命题 5.4 的具体公式, 因此其精确表达式从提供内容中无法确认.

3. 研究方法、关键技术和核心工具

核心障碍是平面波入射带来非衰减数据. 在 [11,12,14] 中, 入射数据沿界面 x_1=0 具有衰减, 因而可直接在加权空间 C^\alpha 中求解第二类 Fredholm 积分方程. 本文的 f_D,f_N 在 |x_2|\to\infty 时完全不衰减, 只具有振荡且 outgoing 的行为. 因此不能直接把 (I+K)(\sigma,\tau)=(f_D,f_N) 放入原有框架. 作者的真正创新点在于用 Fresnel 解作为分片背景, 先把平面波在左右势中的传播精确解出, 再把剩余部分写成位势, 从而把不衰减数据转化为可解数据.

第一, 构造 Fresnel 解. 当 q_l=q_r=q 时, 方程在 x_1 方向平移不变, 作者令 u(x)=e^{ik\omega_1x_1}v(x_2), 则 v_{\mathrm{out}} 满足一维常微分方程

$$[\partial_{x_2}^2+\omega_2^2k^2+k^2q(x_2)]v_{\mathrm{out}}(x_2)=-k^2q(x_2)e^{ik\omega_2x_2}.$$

由常微分方程理论得到唯一 outgoing 解, 在 |x_2|>d 处为

$$v(x_2)=\begin{cases}e^{ik\omega_2x_2}+C_+e^{-ik\omega_2x_2}, & x_2>d,\\ C_-e^{ik\omega_2x_2}, & x_2<-d,\end{cases}$$

并满足守恒律 |C_+|^2+|C_-|^2=1. 对应二维解称为“入射角 \omega 与势 q 的 Fresnel 解”. 这一步给出左右两侧的入射背景 u_i^l,u_i^r.

第二, 边界积分方程. 作者定义自由 Helmholtz 基本解

$$G_0(x;y)=\frac{i}{4}H_0(k|x-y|),\quad -(\Delta+k^2)G_0=\delta(x-y),$$

以及带势 q 的 outgoing 基本解 G, 其满足 -(\Delta+k^2(1+q(x_2)))G=\delta. 再定义单层位势 S 与双层位势 D. 令 w^{l,r}=G^{l,r}-G_0, 并定义核

$$k_D(x_2,y_2)=w^r(0,x_2;0,y_2)-w^l(0,x_2;0,y_2),\quad k_C(x_2,y_2)=w^r_{x_1,y_1}(0,x_2;0,y_2)-w^l_{x_1,y_1}(0,x_2;0,y_2),$$

以及积分算子

$$Df(x_2)=\int_{\mathbb{R}}k_D(x_2,y_2)f(y_2)dy_2,\quad Cf(x_2)=-\int_{\mathbb{R}}k_C(x_2,y_2)f(y_2)dy_2,\quad K=\begin{pmatrix}0&D\\C&0\end{pmatrix}.$$

把解写成 u=u_i+u_s, 其中 u_i 分片为左右 Fresnel 解, u_s 分片用 Sl-S 与 Dl-D 表示. 界面连续性与跳跃条件导出

$$(I+K)\begin{pmatrix}\sigma\\\tau\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f_D\\f_N\end{pmatrix}.$$

若直接求解, 右端不衰减. 作者于是定义 (\tilde f_D,\tilde f_N)=-K(f_D,f_N), 先解

$$(I+K)\begin{pmatrix}\tilde\sigma\\\tilde\tau\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tilde f_D\\\tilde f_N\end{pmatrix},$$

再令 (\sigma,\tau)=(\tilde\sigma,\tilde\tau)+(f_D,f_N). 这样 (I+K)(\sigma,\tau)=(f_D,f_N) 自动成立, 而待解右端属于衰减空间.

第三, 证明 \tilde f 的衰减. 这是技术核心之一. 作者利用 f_D,f_N 在 |x_2|>d 的显式形式

$$f_N(y_2)=\begin{cases}ik\omega_1C_+e^{ik|\omega_2|y_2}, & y_2\ge d,\\ ik\omega_1C_-e^{-ik|\omega_2|y_2}, & y_2\le -d,\end{cases}\quad f_D(y_2)=\begin{cases}C_+e^{ik|\omega_2|y_2}, & y_2\ge d,\\ C_-e^{-ik|\omega_2|y_2}, & y_2\le -d.\end{cases}$$

引入截断函数 \psi 在 [-d,d] 上为 1, 把积分拆成紧支部分与无穷部分. 紧支部分由 [12, Eq. (45)] 直接得 \tilde f_D^0\in C^{1/2}, \tilde f_N^0\in C^{3/2}. 无穷部分含有 e^{ik(1+|\omega_2|)y_2} 的振荡因子. 作者把核写成

$$\tilde k_D(x_2,y_2)=e^{-ik(|x_2|+y_2)}k_D(x_2,y_2),$$

并利用 [12, Eq. (44),(46)] 的渐近展开

$$\tilde k_D(x_2,y_2)=\frac{1}{(|x_2|+|y_2|)^{1/2}}\sum_{\ell=0}^{N}\frac{M_{0,\ell}^\pm}{(|x_2|+|y_2|)^\ell}+o((|x_2|+|y_2|)^{-N-1/2}),$$

以及对 y_2 的导数类似展开. 对无穷积分分部积分, 把 e^{ik(1+|\omega_2|)y_2} 的振荡用于积分, 得到 \tilde f_D^{1,\pm}\in C^{1/2}. 对 \tilde f_N 类似, 但核奇性高一阶, 得 \tilde f_N^{1,\pm}\in C^{3/2}. 最终

$$(\tilde f_D,\tilde f_N)\in C^{1/2}\oplus C^{3/2}.$$

这一步把“完全不衰减”的平面波数据转化为具有合适衰减的右端, 是本文能够使用 Fredholm 理论的关键.

第四, 无穷远渐近与抛物 blow-up. 由定理 2.3 得到 u 的位势表示后, 作者利用 G^{l,r} 与 \partial_{y_1}G^{l,r} 在无穷远的渐近, 结合波导模式的谱分解, 把散射场分解为经典 outgoing 部分 u_o 与波导模式部分 u_g. 难点在于临界角 \theta=\pm\varphi 附近: 系数在 \theta=\pm\varphi 不光滑, 不能用常规 r^{-1/2}e^{ikr}\sum a_j(\theta)r^{-j} 展开. 作者把 \mathbb{R}^2 径向紧化, 在边界点 e^{\pm i\varphi} 处作抛物 blow-up, 引入坐标

$$R_\pm=\sqrt{s+(\theta\pm\varphi)^2},\quad \eta_1=\frac{\sqrt{s}}{R_\pm},\quad \eta_2=\frac{\theta\pm\varphi}{R_\pm},\quad s=r^{-1}.$$

在 blown-up 空间中新边界曲线即 front face {R_\pm=0}. 作者证明 u_o 在该 blown-up 空间上光滑, 从而得到 |\rho| 大与 |\rho| 小两种展开, 其中 \rho=r^{1/2}(\theta-\varphi). 在 front face 附近还得到 b_\pm 的显式跳跃公式

$$e^{ikr}b_\pm=\pm\frac12(u_i^r(r,\varphi)-u_i^l(r,\varphi)).$$

这从技术上解释了临界角处的振幅与相移跳跃.

第五, 唯一性. 作者没有使用经典 Sommerfeld 条件, 而是采用 Vasy 的非 incoming 辐射条件 [36, Proposition 17.8]. 该条件足够一般, 能同时禁止波导模式分量与平面波分量中的入射径向振荡; 具体地说, 它排除 u-u_{\mathrm{in}} 在无穷远具有频率 -k 的入射径向振荡. 由此证明定理 2.3 构造的解是满足该非 incoming 条件的唯一解, 并排除 u_{\mathrm{out}}=-u_{\mathrm{in}} 的平凡解.

第六, 小扰动波导模式激发. 第 5 节考虑 q_l-q_r 小的 regime. 作者利用 BIE 解对势差的扰动展开, 计算波导模式振幅的首阶项. 其机理是平面波在左右不同势的 Fresnel 解在界面处产生不匹配, 从而耦合到波导模式. 这一部分的具体推导未在提供文本中完整出现, 因此只能概括其结论.

4. 与之前工作的比较

与作者此前工作 [11,12,14] 相比, 本文最直接的推进是把入射数据从“沿界面衰减”扩展到“平面波”. 在 [11,12,14] 中, 对一大类衰减入射数据, 作者建立了适定的 Fredholm 边界积分方程, 无穷远渐近展开以及保证唯一性的辐射条件. 那些结果允许处理波导模式数据, 但要求数据在 x_2\to\pm\infty 时具有足够衰减. 本文的平面波入射破坏这一前提: f_D,f_N 在无穷远不衰减, 只振荡且 outgoing. 因此本文必须引入 (\tilde f_D,\tilde f_N)=-K(f_D,f_N) 来“减去”不衰减部分, 并在加权空间 C^{1/2}\oplus C^{3/2} 中求解修正后的第二类方程. 这一技巧与 [13, Section 6.1] 中修正波导模式数据的方法精神相近, 但本文情形更 subtle: f_D,f_N 完全不衰减, 而不是仅缓慢衰减; 因此需要把无穷积分作为振荡积分处理, 并利用核的精确渐近展开与分部积分得到 \tilde f_D\in C^{1/2}, \tilde f_N\in C^{3/2}. 可以说, 本文把 [11,12,14] 的 BIE 框架从衰减数据推进到了平面波数据, 代价是右端估计与渐近分析显著复杂化.

与经典紧支势散射理论相比, 差异是本质性的. 经典理论中, 若势紧支且入射波为平面波, 散射场满足 Sommerfeld 辐射条件, 并在无穷远有

$$u_{\mathrm{cl}}(r,\theta)=r^{-1/2}e^{ikr}\sum_{j=0}^{N-1}a_j(\theta)r^{-j}+O(r^{-N-1/2}),$$

其中所有系数 a_j 对 \theta 光滑; 参见 [21]. 经典散射理论 [1,27,28,32,35] 也保证存在唯一 outgoing 散射场. 本文的模型虽然势 q_l,q_r 紧支于横向区间, 但波导结构本身沿 x_1 方向非紧支, 且开放波导支持波导模式. 结果是: 散射场的主导项在 \Omega_l,\Omega_r 中分别由左右 Fresnel 解决定, 在临界角 \theta=\pm\varphi 处出现平面波振幅与相移的不连续跳跃. 这种不连续性类似 Stokes 现象 [26,34] 与几何光学中的阴影 [3,18,33], 使得系数不能像经典情形那样对 \theta 光滑. 本文必须在径向紧化空间中对 e^{\pm i\varphi} 作抛物 blow-up, 才能得到一致渐近. 因此本文的结果不能由经典紧支势散射加微扰直接推出, 尽管作者指出若把入射平面波当作自由方程的解, 它只会在紧支势情形中产生紧支源项.

在唯一性条件方面, 本文与经典 Sommerfeld 辐射条件也不同. 经典 Sommerfeld 条件只要求 (\partial_r-ik)u=o(r^{-1/2}) 一致成立, 而本文使用的是 Vasy 的非 incoming 条件 [36, Proposition 17.8]. 该条件更一般, 能同时覆盖波导模式与平面波分量. 作者明确指出, 局部经典 outgoing 条件不足以刻画本文解, 因为散射场可能包含波导模式, 且平面波分量本身并不按经典 r^{-1/2} 衰减. 因此本文的唯一性结果是在 Vasy 框架下建立的, 而不是直接引用经典散射理论.

与更广泛的波导散射文献相比, 作者在引言中引用了若干相关工作. [16] 综述了二维和三维中周期衍射光栅存在时的波导模式激发; [30] 研究了半无限闭合波导引起的声波衍射; [37] 对一维周期光栅引起的二维平面波散射作了广泛分析; [31] 对平面周期波导的三维声光散射给出了严格处理. 本文与这些工作的区别在于模型: 本文处理的是两个半无限开放波导通过一个无限界面并联, 两端横向势可以不同, 且没有周期结构; 入射数据是平面波, 而不是沿界面衰减的数据或周期入射数据; 关注的是临界角处 Fresnel 型跳跃、非 incoming 唯一性以及小扰动下波导模式激发. 作者并未在提供文本中逐项展开与这些文献的定量比较, 因此更细的差异, 例如常数、误差阶或适用参数范围, 从提供内容中无法确认. 可以确认的是, 本文把开放波导网络的平面波散射推进到了精确渐近与唯一性层面, 而不仅仅是形式渐近或数值计算.

中文标题: 高效浅层 Ritz 方法：一维半线性扩散-反应方程与 Allen-Cahn 方程

摘要翻译: 文献 [8, 9] 针对一维线性扩散和扩散-反应问题提出了一种高效浅层 Ritz 方法。本文将这一方法推广至具有三次反应项的非线性扩散-反应方程：(1) 建立了浅层 Ritz 离散的基本误差估计；(2) 提出了求解由此产生的非凸优化问题的约化块 Newton (rBN) 方法。同样，对于一维问题，rBN 方法的计算代价为 $\mathcal{O}(n)$，其中 $n$ 是神经元个数。将用于时间离散的凸分裂格式与高效浅层 Ritz 方法相结合，我们提出了一种求解 Allen-Cahn 方程的时步神经网络方法。建立了时间离散的无条件能量稳定性以及 $L^2$ 范数下的误差估计。数值实验表明，该神经网络方法对奇异摄动非线性扩散-反应方程和 Allen-Cahn 方程都能给出精确解。该方法能有效分辨内部层和边界层且不产生振荡，并且在固定均匀网格上显著优于有限元方法。

不相关论文（基本信息）

1. 基于集合变量的采样：一般条件下伞形采样的相对误差分析

Sampling with collective variables: Relative error analysis for umbrella sampling under general conditions

作者: Holden Lee, Matheau Santana-Gijzen, Jonathan Weare

类别: math.ST, math.NA, math.PR, stat.CO

发布日期: 2026-10-13

arXiv ID: 2610.18717v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.18717v1

摘要: We consider the problem of estimating the expectation of a function (observable) with respect to a high-dimensional probability distribution, under the assumption that a low-dimensional collective variable map captures all the directions of slow mixing for the distribution. More precisely, under the assumption that the fibers of the collective variable map satisfy a log-Sobolev inequality, we establish non-asymptotic relative-error guarantees for this problem using the eigenvector method for umbrella sampling (EMUS). Our analysis applies to both log-Lipschitz observables and indicator of convex sets, and gives complexity bounds that are polynomial in regularity parameters and inverse relative accuracy, and exponential in the dimension of the collective variable space. As a relative error guarantee, our bounds apply to rare event estimation. We consider Gaussian biasing windows defined on a low-dimensional collective variable space and analyze a modified sparse matrix version of EMUS. The bounds quantify the effect of the map through mixing of the conditional distribution and fluctuation of the observable along the fibers.

2. 基于半定规划的任意对称性分子冷冻电镜图像取向估计

Orientation Estimation of Cryo-EM Images for Molecules with Arbitrary Symmetry by Semidefinite Programming

作者: Yunpeng Shi, Amit Singer, Jinxin Wang, Ruiyi Yang

类别: cs.CV, math.NA, math.OC

发布日期: 2026-10-13

arXiv ID: 2610.18691v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.18691v1

摘要: This paper extends the non-unique games framework introduced in Bandeira et al. (2020) to address symmetric structures. Precisely, we consider the problem [ \begin{aligned} \underset{g_1,\ldots,g_n\in \mathcal{G}}{\operatorname{min}},, \frac{1}{|S|}\sum_{i,j=1}^n \sum_{s\in S} f_{ij}(g_i s g_j^{-1}), \end{aligned} ] where $\mathcal{G}$ is a compact group, $S\subset \mathcal{G}$ is a finite subgroup of symmetry elements, and $f_{ij}:\mathcal{G}\rightarrow \mathbb{R}$ is a loss function. A notable example is common lines based orientation estimation of cryo-EM images for molecules with point group symmetry $S$, where $\mathcal{G}$ is the rotation group $\operatorname{SO}(3)$. With a semidefinite programming relaxation, we turn the problem into a convex program that is solved with the alternating direction method of multipliers. Unlike existing approaches which are tailored to specific symmetry groups, ours provides a unified computational framework for addressing all point group symmetries. We demonstrate the applicability of the proposed algorithm on the cryo-EM orientation estimation problem on both simulated and experimental datasets. In particular, our algorithm is effective in generating high-quality ab initio models from only a few class averages computed from experimental images.

3. 面向二维高阶离散的带 GDSW 粗空间的两层加性 Schwarz 预条件子

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作者: Tommaso Bevilacqua, Axel Klawonn, Martin Lanser, Adam Wasiak

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-13

arXiv ID: 2610.18502v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.18502v1

摘要: Two-level overlapping Schwarz preconditioners with Generalized Dryja-Smith-Widlund (GDSW) and Reduced GDSW (RGDSW) coarse spaces for high-order finite element methods (FEM) and virtual element methods (VEM) are investigated and applied to the Poisson problem in 2D. The GDSW coarse space is a well-established robust choice for preconditioners in domain decomposition, while the RGDSW coarse space offers a competitive alternative by reducing the coarse problem dimension while maintaining robustness. On the theoretical side, a condition number bound for both preconditioners is proved for conforming $\mathbb{P}_k$ and $\mathbb{Q}_k$ finite element spaces with explicit dependence on the polynomial degree $k$. Through numerical experiments on structured triangular and quadrilateral meshes for FEM and on polygonal meshes for VEM, it is demonstrated that both GDSW and RGDSW maintain scalability properties across polynomial orders up to $k=9$ for selected degrees. The RGDSW approach achieves a reduction in the coarse problem dimension by a factor of approximately three compared to GDSW while maintaining competitive iteration counts.

4. 用于反应扩散方程动态低秩逼近的低成本非迭代 Sylvester 求解器

Low-cost non-iterative Sylvester solvers for dynamical low-rank approximation of reaction-diffusion equations

作者: Joy Saha, Jun Yang, Peimeng Yin

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-13

arXiv ID: 2610.18419v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.18419v1

摘要: In this work, we develop low-cost non-iterative Sylvester solvers for dynamical low-rank approximation of reaction-diffusion equations and incorporate them into a basis-update & Galerkin mass-lumped finite element method (\mbox{BUG-MLFEM}). By incorporating mass lumping via Gauss-Lobatto quadrature, the spatial discretization yields a matrix differential equation equipped with diagonal positive-definite mass matrices. We establish the weighted dynamical low-rank approximation (WDLRA) within the Galerkin framework of the MLFEM system, proving the theoretical equivalence between the BUG integrator and MLFEM on low-rank subspaces, which guarantees the discrete well-posedness of the implicit BUG steps. To overcome the severe computational bottleneck of standard $O(m^3+n^3)$ Sylvester solvers, we develop tailored, low-cost non-iterative solvers that exploit the inherent sparse-by-small algebraic structure. Under Dirichlet and Neumann boundary conditions (BCs), the large coefficient matrices are banded, enabling efficient diagonalization of the small $r \times r$ factor matrix and reducing the per-step computational complexity to $O((m+n)r^2)$ and storage to $O((m+n)r)$. For periodic BCs, we combine this diagonalization strategy with a rank-2 Sherman-Morrison-Woodbury update to handle wrap-around corner entries at negligible additional cost. Numerical experiments demonstrate first-order temporal and $(k+1)$th-order spatial convergence of the proposed BUG-MLFEM in the discrete $L^2$ norm, where $k$ denotes the polynomial degree of the finite element space, together with significant computational speedups over existing low-rank integrators.

5. 求解具有Hölder连续项的非拟单调变分不等式的投影Anderson加速算法

A Projection Anderson Acceleration Algorithm for Non-quasi-monotone Variational Inequalities with Hölder Continuous Terms

作者: Xiaojun Chen, C. T. Kelley, Lei Wang

类别: math.OC, math.NA

发布日期: 2026-10-13

arXiv ID: 2610.18370v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.18370v1

摘要: This paper proposes a Projection Anderson Acceleration (PAA) algorithm for variational inequality (VI) problems, where the underlying function is expressed as a finite sum of Hölder continuous functions and satisfies the $σ$-star strongly monotone condition that includes the star strong monotonicity with $σ= 1$ as a special case. In the absence of quasi-monotonicity and Lipschitz continuity, we establish the evaluation complexity of the PAA algorithm for finding an approximate solution. Specifically, for the star strongly monotone VI problems, the PAA algorithm needs at most $O (\log (ε^{-1}) ε^{2 (\underlineα - 1)})$ evaluations of the function and projection for finding an $ε$-approximate solution, where $\underlineα \in (0, 1]$ is the smallest exponent of H{ö}lder continuity of the component functions. We illustrate our theoretical results by numerical examples of non-quasi-monotone complementarity problems and non-monotone semilinear elliptic equations with non-Lipschitz terms.

6. 具有迟滞与颤振的单向压力无关阀

One-way pressure-independent valves with hysteresis and chattering

作者: Fabio Bagagiolo, Andrea Corli, Stefan Moreti, Massimiliano D. Rosini

类别: physics.flu-dyn, math.AP, math.NA

发布日期: 2026-10-13

arXiv ID: 2610.18242v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.18242v1

摘要: We propose a model for the one-dimensional isothermal gas flow through a valve in a pipe. The valve aims at keeping the outgoing flow in an assigned interval; moreover, its opening and closing depend on a further parameter. The model is realized by a system of two conservation laws with suitable conditions coupling the ingoing and the outgoing flow. We study the corresponding Riemann problem, where non-classical shocks show up. Although simple, the model allows to study two key oscillatory behaviors of the flow, which are due, respectively, to the chattering of the valve, especially seen in the numerical simulations, and to the stabilizing hysteresis induced by the valve operation. We characterize the states leading to chattering and show how they depend on the parameters of the model. Through several numerical simulations, we study the interplay between the two above phenomena.

7. 面向数据配准的心脏组织变形超弹性建模

Hyperelastic Modeling of Cardiac Tissue Deformation for Data Registration

作者: Joyce Ghantous, Yves Coudiere, Michael Leguèbe

类别: math.NA, math.OC, physics.med-ph

发布日期: 2026-10-13

arXiv ID: 2610.18207v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.18207v1

摘要: This work proposes a biomechanical registration framework designed to combine functional optical-mapping data with structural high-resolution MRI of cardiac tissue. The two acquisitions are performed in different mechanical configurations: optical mapping is obtained after stretching the sample, whereas MRI is acquired in a fixed resting state. To estimate the deformation between these configurations, the tissue is modeled as a nearly incompressible transversely isotropic hyperelastic material, and the traction amplitude is identified from optical-map marker positions through an inverse problem. Two-and threedimensional simulations show physically admissible deformations and provide a first proof of concept for the proposed strategy.

8. Rayleigh-Bénard 对流的时空并行直接数值模拟

Space-Time Parallel Direct Numerical Simulation of Rayleigh-Bénard Convection

作者: Thomas Saupe, Thibaut Lunet, Mathis Bode, Robert Speck, Sebastian Götschel, Daniel Ruprecht

类别: math.NA, cs.DC, physics.flu-dyn

发布日期: 2026-10-13

arXiv ID: 2610.17942v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.17942v1

摘要: Rayleigh-Bénard convection (RBC) is a model for turbulent flow and challenging to simulate by direct numerical simulation (DNS). Adequate resolution of all relevant length scales requires very fine grids in space and stability restrictions can dictate small step sizes. In this paper, we investigate the use of parallel spectral deferred correction (SDC) as a high-order time-stepping method to reduce wall-clock times of direct numerical simulation of RBC. Performance results on JUSUF (CPUs) and JUPITER (GPUs) with two different codes show parallel SDC can offer some concurrency along the temporal axis plus larger maximum stable time steps. Taken together, this allows for a reduction of wall-clock time required for simulations over one free-fall time by having to compute fewer steps and being able to mitigate the higher cost per time step through temporal parallelization.

9. 箭头型多重鞍点线性系统的块对角预条件子

Block diagonal preconditioners for arrow-shaped multiple saddle-point linear systems

作者: Luca Bergamaschi, Michele Bergamaschi

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-13

arXiv ID: 2610.17940v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.17940v1

摘要: We consider multiple saddle-point linear systems with block-arrow structure. We analyze exact and inexact Schur complement based block diagonal preconditioner, by characterizing the eigenvalues of the preconditioned matrices in terms of the zeros of specific rational functions. Numerical results onto large tests coming from liquid crystal modeling and PDE-constrained optimization validate the obtained eigenvalue bounds

10. 用于冷冻电镜的可证明矩量法

Provable Method of Moments for Cryo-EM

作者: Amnon Balanov, Tamir Bendory, Dan Edidin, Josh Katz, Shay Kreymer, Nir Sharon

类别: math.NA, eess.SP

发布日期: 2026-10-13

arXiv ID: 2610.17892v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.17892v1

摘要: We study the recovery of a three-dimensional volume in single-particle cryo-electron microscopy (cryo-EM) from noisy tomographic projections acquired at unknown viewing rotations, drawn independently and uniformly from $\mathrm{SO}(3)$. We show that, in a spherical-shell representation satisfying an explicit shell-separation condition, the first three moments generically determine the underlying real volume up to its intrinsic global $\mathrm{O}(3)$ ambiguity. The proof is constructive and yields a frequency-marching procedure that successively recovers the volume. Consequently, consistent recovery in the high-noise regime has sample complexity $n=ω(σ^6)$, where $n$ is the number of observations and $σ^2$ is the noise variance. Numerical experiments validate the constructive recovery scheme under finite sampling and additive noise, and indicate that direct third-moment optimization can succeed beyond the structural assumptions required by the constructive proof.

11. 有限图上带个体噪声的主方程的半拉格朗日近似

Semi-Lagrangian Approximation of Master Equations with Individual Noise on Finite Graphs

作者: Jianbo Cui, Tonghe Dang

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-13

arXiv ID: 2610.17700v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.17700v1

摘要: We develop and analyze a fully discrete semi-Lagrangian method for vector master equations associated with mean field games (MFGs) with individual noise on finite graphs. The method discretizes both the characteristic evolution in time and the population variable on the probability simplex. A central challenge is the degeneracy of the transport coefficients near the boundary of the open simplex, where no boundary condition is prescribed. To overcome this difficulty in the analysis, we introduce an interior localization based on exact density characteristics, which keeps numerical arrivals within compact regions of uniform coefficient control. Combined with a closure argument for the coupled numerical recursion, this localization yields local solvability of the updates and quantitative error bounds on compact subsets of the open simplex. Under additional $C^2$-regularity of the exact solution and suitable space–time mesh coupling, these bounds imply first-order accuracy. Furthermore, the density and value trajectories generated by the numerical master feedback converge to the corresponding MFG characteristics at the same rate. In the potential setting, the associated reconstructed density–flux pair is admissible and asymptotically optimal for the planning problem, with an action gap quadratic in the feedback error. Numerical experiments illustrate the convergence rates, feedback responses to population redistribution, and the effects of graph topology.

12. 随机 KdV 方程隐式中点法的强收敛率

Strong convergence rate of the implicit midpoint method for stochastic KdV equations

作者: Junjie Li, Xinyan Niu, Chun Li

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-13

arXiv ID: 2610.17600v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.17600v1

摘要: We establish a strong convergence rate for the implicit midpoint method applied to the periodic stochastic Korteweg-de Vries equation with additive noise, addressing a question that has remained open since the work of Debussche and Printems. To control nonlinear error growth, we obtain exponential integrability estimates for the exact and comparison solutions using the coercivity of a classical KdV invariant. We then derive local error bounds from estimates for the comparison solutions and control error accumulation through an $L^2$ error propagation identity that isolates a martingale increment. Under $H_0^{9/2}$ regularity assumptions on the noise and the deterministic initial data, we prove that, on every fixed finite time interval, the maximum $L^2(\mathbb{T})$ error at the time points is $O(h)$ in $L^p(Ω)$ for every $1\le p<\infty$. Notably, the exponential integrability and the convergence rate hold for every damping coefficient $λ\ge0$, including the undamped case $λ=0$. Numerical experiments confirm the predicted first-order convergence.

13. 一般曲边三角形区域上边界条件精确施加的一种方法：算法及其在科学机器学习中的应用

A Method for Exact Enforcement of Boundary Conditions on General Curved Triangular Domains: Algorithm and Application to Scientific Machine Learning

作者: Suchuan Dong, Yuchuan Zhang

类别: math.NA, cs.LG, physics.comp-ph

发布日期: 2026-10-12

arXiv ID: 2610.17392v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.17392v1

摘要: We present a method for enforcing exactly Dirichlet, Neumann, and Robin conditions on general triangular domains with arbitrarily curved boundaries. The algorithmic constructions developed here complements those in a previous work for general quadrilateral domains. Our method combines (i) the exact mapping between a general curved triangular domain and the standard triangle, (ii) TFC constrained expressions, and (iii) Barnhill transfinite interpolations, to provide explicit closed-form trial ansatze that mathematically satisfy the imposed boundary conditions exactly. Corner compatibility induced by the boundary conditions is pivotal, and enforcing exactly the imposed boundary conditions hinges on the exact enforcement of the induced compatibility constraints. The corner compatibility associated with the acute vertices of the standard triangle and the coupling between gradient components when the hypotenuse corresponds to a Neumann/Robin boundary pose particular challenges. Two strategies are critical to resolving these issues, by reformulating conditional corner constraints into equivalent unconditional forms and by introducing a separate TFC-style auxiliary edge construction together with an associated linear solve on the hypotenuse. We analyze the corner compatibility constraints and present formulations for the general form of functions that exactly satisfy the imposed Dirichlet, Neumann, or Robin conditions on curved triangular domains. The proposed method has been implemented using extreme learning machine type randomized neural networks for solving PDE problems. We present ample numerical experiments with linear/nonlinear PDE problems on a variety of domains with complex boundary geometries. Numerical results show that the current method has enforced the Dirichlet, Neumann, and Robin conditions on curved domain boundaries to the machine precision.

14. 超越周期性：最优控制的傅里叶方法

Beyond periodicity: Fourier methods for optimal control

作者: Milena Ispiryan, Vahagn Makaryan, Lusine Poghosyan, Tigran Bakaryan

类别: math.OC, math.NA

发布日期: 2026-10-12

arXiv ID: 2610.17386v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.17386v1

摘要: Fourier-based spectral methods provide compact global approximations, permit simple differentiation and integration, and achieve spectral convergence for smooth periodic functions. Their use in finite-horizon optimal control problems (OCPs) is nevertheless challenged by the generally nonperiodic state and control trajectories: endpoint mismatch induces artificial discontinuities and can destroy spectral convergence. Leveraging Eckhoff-type endpoint-correction techniques, we develop a Fourier-based spectral framework for OCPs with possibly nonlinear dynamics and constraints. The correction improves convergence without enlarging the set of decision variables, yielding an efficient finite-dimensional numerical method. Furthermore, we formulate selected dynamics and obstacle-avoidance constraints through Sobolev residual bounds, which incorporate information about the residuals over the entire time horizon and improve constraint satisfaction. Numerical experiments on benchmark problems demonstrate competitive computational performance, lower residual errors, and improved solution accuracy.

15. 基于光学傅里叶变换的大规模反问题预条件

Optical Fourier Transform-Based Preconditioning for Large-Scale Inverse Problems

作者: Chelsea Drum, Lucas Onisk, Ariana N. Brown, James G. Nagy

类别: math.NA

发布日期: 2026-10-12

arXiv ID: 2610.17275v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.17275v1

摘要: Fast Fourier Transform (FFT)-based preconditioners provide an efficient approach for approximating inverse operators in large-scale linear inverse problems when the underlying operator structure can be exploited in the Fourier domain. Optical Fourier transforms (OFTs), the analog of digital Fourier transforms, exploit light propagation through optical systems and offer the potential for greater throughput and energy efficiency than conventional digital FFT implementations. However, practical optical systems are inherently imperfect and introduce a variety of errors into the computed output. Thus, OFTs can only provide approximations to their digital counterpart, and the implications of these inexact transforms for iterative solvers remains largely unexplored. This work investigates the feasibility of OFT-based preconditioning of iterative Krylov subspace methods for the solution of discrete inverse problems. We digitally simulate the optical Fourier transform using the FFT and incorporate sources of error expected in practical optical systems into the simulation. Numerical experiments suggest that given sufficient optical system quality, iterative methods utilizing OFT-based preconditioners can maintain reconstruction quality and convergence comparable to those with fully digital FFT-based preconditioners.

16. 内点法半定规划求解器在矩–SOS 层级上的失效模式

Failure Modes of Interior-Point SDP Solvers on Moment–SOS Hierarchies

作者: Michal Kocvara

类别: math.OC, math.NA

发布日期: 2026-10-12

arXiv ID: 2610.17261v1

链接: http://arxiv.org/abs/2610.17261v1

摘要: Standard semidefinite programming (SDP) solvers working in double precision can become unreliable on difficult problems, even when their output appears plausible. We study this issue for SDP problems arising from high-order moment-SOS hierarchies. Three polynomial optimization problems are analysed by comparing standard double-precision computations with reference solutions obtained using the extended-precision solver \mbox{Loraine,64x4}. We observe two distinct patterns of numerical failure. In \emph{false convergence}, the computed bounds form a smooth sequence but approach the limit at the wrong rate. In \emph{stagnation}, the sequence develops a plateau or oscillations and no longer reflects the convergence of the underlying hierarchy. We introduce an empirical effective condition number based on the positive spectral components of the primal and dual solution matrices. It serves as a warning indicator rather than an error bound, and its growth accompanies numerical deterioration in our examples. We also examine the imbalance between primal and dual spectral conditioning and a Cholesky inverse residuum as potential diagnostic indicators. The results show that solver termination messages and apparently regular convergence curves may be insufficient to establish the reliability of high-order moment-SOS bounds.

重点关注论文（完整分析）#

1. 面向瞬态多连续介质问题的带修正基重构的 POD 加速高阶多尺度方法#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

2. 开放波导网络的菲涅耳散射#

1. 研究对象和背景#

2. 主要定理或主要结果#

3. 研究方法、关键技术和核心工具#

4. 与之前工作的比较#

了解领域论文（摘要翻译）#

1. 全离散多熵稳定紧致 Runge–Kutta 间断 Galerkin 方法用于双曲守恒律#

摘要翻译#

2. 用于具有不规则子域的间断虚拟元方法的两级预条件子#

摘要翻译#

3. 基于界面拟合多边形网格的生物胶囊数值模拟#

摘要翻译#

4. 可压缩 Navier–Stokes 方程体积惩罚浸入边界方法的能量与熵同时稳定性#

摘要翻译#

5. 使用核方法从轨迹数据中学习哈密顿量#

摘要翻译#

6. 弱施加边界条件的最小二乘有限元方法：范数与误差等价性、过度惩罚及全间断离散化#

摘要翻译#

7. 量子 Boltzmann 碰撞算子的保结构有效线性近似#

摘要翻译#

8. 面向高阶谱元分部求和离散化的定向熵稳定非线性人工耗散#

摘要翻译#

9. 高效浅层 Ritz 方法：一维半线性扩散-反应方程与 Allen-Cahn 方程#

摘要翻译#

不相关论文（基本信息）#

1. 基于集合变量的采样：一般条件下伞形采样的相对误差分析#

2. 基于半定规划的任意对称性分子冷冻电镜图像取向估计#

3. 面向二维高阶离散的带 GDSW 粗空间的两层加性 Schwarz 预条件子#

4. 用于反应扩散方程动态低秩逼近的低成本非迭代 Sylvester 求解器#

5. 求解具有Hölder连续项的非拟单调变分不等式的投影Anderson加速算法#

6. 具有迟滞与颤振的单向压力无关阀#

7. 面向数据配准的心脏组织变形超弹性建模#

8. Rayleigh-Bénard 对流的时空并行直接数值模拟#

9. 箭头型多重鞍点线性系统的块对角预条件子#

10. 用于冷冻电镜的可证明矩量法#

11. 有限图上带个体噪声的主方程的半拉格朗日近似#

12. 随机 KdV 方程隐式中点法的强收敛率#

13. 一般曲边三角形区域上边界条件精确施加的一种方法：算法及其在科学机器学习中的应用#

14. 超越周期性：最优控制的傅里叶方法#

15. 基于光学傅里叶变换的大规模反问题预条件#

16. 内点法半定规划求解器在矩–SOS 层级上的失效模式#

重点关注论文（完整分析）

1. 面向瞬态多连续介质问题的带修正基重构的 POD 加速高阶多尺度方法

1. 研究对象和背景

2. 主要定理或主要结果

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4. 与之前工作的比较

2. 开放波导网络的菲涅耳散射

1. 研究对象和背景

2. 主要定理或主要结果

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1. 全离散多熵稳定紧致 Runge–Kutta 间断 Galerkin 方法用于双曲守恒律

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摘要翻译

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摘要翻译

9. 高效浅层 Ritz 方法：一维半线性扩散-反应方程与 Allen-Cahn 方程

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1. 基于集合变量的采样：一般条件下伞形采样的相对误差分析

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4. 用于反应扩散方程动态低秩逼近的低成本非迭代 Sylvester 求解器

5. 求解具有Hölder连续项的非拟单调变分不等式的投影Anderson加速算法

6. 具有迟滞与颤振的单向压力无关阀

7. 面向数据配准的心脏组织变形超弹性建模

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10. 用于冷冻电镜的可证明矩量法

11. 有限图上带个体噪声的主方程的半拉格朗日近似

12. 随机 KdV 方程隐式中点法的强收敛率

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16. 内点法半定规划求解器在矩–SOS 层级上的失效模式