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1. 基于直接第二类自由空间边界积分方程的光子能带结构
Photonic band structure by direct second-kind free-space boundary integral equations
作者: Carlos Pérez-Arancibia, Tao Yin
类别: math.NA, physics.comp-ph, physics.optics
发布日期: 2026-10-20
arXiv ID: 2610.28494v1
摘要翻译: 我们给出二维光子晶体 Bloch 特征值问题的一种直接边界积分方程（BIE）格式，该格式仅使用自由空间 Helmholtz Green 函数。未知量是 Bloch 模在夹杂边界和两条元胞壁上的 Cauchy 数据。在夹杂边界上，传输条件通过 Müller 格式施加。元胞壁方程则来自一种堆叠格式：其中 Green 公式应用于三个元胞组成的堆叠上，使得元胞壁自相互作用以及共享端点的弧段之间的相互作用精确抵消。所得系统是第二类的、零指标的 Fredholm 系统，且无角点奇异性；并且元胞壁可以弯曲，以使元胞边界远离夹杂。其算子对每个频率只组装一次，并对所有 Bloch 向量重复使用。我们证明：每个 Bloch 模都产生一个非零零空间向量；并且一个零空间向量来自某个 Bloch 模，当且仅当其元胞表示在元胞外为零，这为伪零空间向量提供了一种低成本检验。能带频率采用高阶 Nyström 离散以及 Bruno、Santana 和 Trefethen 的搜索方法计算；该方法将在实频率轴上采样的随机标量化预解式的自适应 Antoulas–Anderson (AAA) 有理逼近的极点定位为这些频率。数值算例用精确能带结构和已发表能带结构验证了该方法，并包含一个具有挑战性的介质中空气孔三角晶格，其元胞需要采用弯曲壁。
Comment: 无
链接: http://arxiv.org/abs/2610.28494v1
1. 研究对象和背景
本文研究二维光子晶体的 Bloch 特征值问题, 即周期介质中频域 Helmholtz 方程在准周期条件与非齐次透射条件下的非线性特征值问题. 设 $a_1,a_2\in\mathbb{R}^2$ 为线性无关的原始格矢, $\Lambda=\{ma_1+na_2:(m,n)\in\mathbb{Z}^2\}$; 设 $\Omega\subset U$ 为原胞 $U$ 中的介质夹杂, $D_2=\bigcup_{v\in\Lambda}(\Omega+v)$, $D_1=\mathbb{R}^2\setminus D_2$. 界面 $\Gamma_0=\partial\Omega$ 以及原胞壁 $\Gamma_1,\Gamma_2$ 满足平移配对关系 $\partial U=\Gamma_1\cup(\Gamma_1+a_1)\cup\Gamma_2\cup(\Gamma_2+a_2)$. 未知场 $u$ 可解释为 E 极化下的 $E_z$ 或 H 极化下的 $H_z$, 在两侧分别满足
$$\Delta u+k_1^2u=0\ \text{in }D_1,\qquad \Delta u+k_2^2u=0\ \text{in }D_2,$$其中 $k_s=\omega\sqrt{\varepsilon_s\mu_s}$, $s=1,2$, $\omega>0$. 在夹杂界面上满足透射条件
$$\gamma_{D,\partial D_2}^+u=\gamma_{D,\partial D_2}^-u,\qquad \gamma_{N,\partial D_2}^+u=\eta\,\gamma_{N,\partial D_2}^-u,$$其中 $\eta=\mu_1/\mu_2$ 对应 E 极化, $\eta=\varepsilon_1/\varepsilon_2$ 对应 H 极化; 同时满足准周期性
$$u(r+a_1)=\zeta_1u(r),\qquad u(r+a_2)=\zeta_2u(r),$$且 $\zeta_j=e^{ik\cdot a_j}$, $\zeta=(\zeta_1,\zeta_2)\in\mathbb{T}^2$. 由于问题是齐次的, 有非零解 $u$ 的参数对 $(\omega,\zeta)$ 称为 Bloch 特征值, 所有这样的参数对构成物理色散关系 $\mathcal{B}$, 对固定 $\zeta$ 得到频带 $0\le\omega_1(\zeta)\le\omega_2(\zeta)\le\cdots\to\infty$. 该问题的意义在于, 光子带结构决定光在周期介质中的传播、禁带与导模性质, 因此高精度、可靠且计算代价可控的数值方法具有重要价值. 传统平面波展开、有限元和时域有限差分方法需要离散整个原胞; 在高介电对比、曲面界面、微小几何特征和高频情形下, 可能出现未知量大、界面分辨率低、数值色散与污染效应等问题. 边界积分方程只离散界面, 对光滑几何可实现高阶收敛, 但其自然核函数是准周期 Green 函数, 涉及缓慢收敛的格点求和, 并且在空晶格特征值即 Wood 型异常附近不存在或导致病态. 已有的自由空间间接边界积分公式 [7] 通过相位化 $3\times 3$ 最近像与胞壁辅助密度避免准周期 Green 函数, 但其未知量是间接密度, 需要单独论证每个 Bloch 模式都有密度表示, 且带频率搜索依赖扫描系统最小奇异值. 本文试图补上的空白是: 对二维双周期光子晶体建立仅使用自由空间 Helmholtz Green 函数的直接边界积分方程, 未知量取 Bloch 模式在夹杂边界与两条胞壁上的 Cauchy 数据, 得到第二类 Fredholm 指标零且无角点奇异性的系统; 同时给出由 Bloch 模式到非零零向量的保证、伪零向量的廉价判别, 以及可对全部 Bloch 矢量重用频率相关算子的高阶 Nyström 离散与非线性特征值搜索方案.
2. 主要定理或主要结果
在问题设定上, 作者将 Bloch 特征值问题定义为: 固定格、夹杂与材料常数, 称 $(\omega,\zeta)\in[0,\infty)\times\mathbb{T}^2$ 为 Bloch 特征值, 若 (10) 存在满足正则性 (7) 的非零解 $u$, 并称所有此类参数对的集合 $\mathcal{B}$ 为物理色散关系; 对固定 $\zeta$, 允许频率构成离散频带 $0\le\omega_1(\zeta)\le\omega_2(\zeta)\le\cdots\to\infty$. 作者在光滑曲线与经典解假设下, 以 Cauchy 数据
$$\Phi_\ell=(\phi_\ell,\psi_\ell)=\gamma_\ell^-u,\qquad \ell\in\{0,1,2\},$$为未知量, 其中 $\ell=0$ 对应夹杂边界 $\Gamma_0$, $\ell=1,2$ 对应两条胞壁. 文中证明的核心表示结果之一为 Lemma 3.2: 若 $u$ 是 Bloch 模式而 $\phi=(\Phi_0,\Phi_1,\Phi_2)$ 是其 Cauchy 数据, 则原胞表示 $u_U[\phi]$ 满足
$$u_U[\phi]=u\ \text{in }U\setminus D_2,\qquad u_U[\phi]=0\ \text{in }(U\cap D_2)\cup(\mathbb{R}^2\setminus U),$$内部表示 $u_\Omega[\phi]:=-G_2^0\Phi_0$ 满足
$$u_\Omega[\phi]=u\ \text{in }\Omega,\qquad u_\Omega[\phi]=0\ \text{in }\mathbb{R}^2\setminus\Omega,$$并且对每个胞壁对应的三胞堆叠 $S_j$ 也有相应的堆叠表示 $u_{S_j}[\phi]$. 在边界积分系统层面, 作者将透射条件通过 Müller 公式写成夹杂边界上的方程
$$E_0\Phi_0=\sum_{i=0}^2L^{0,i}\Phi_i\quad\text{on }I_0,$$其中 $E_0=\operatorname{diag}(1,(1+\eta)/2)$, 而 $L^{0,i}$ 由自由空间边界积分算子与 Bloch 相位组合而成. 对胞壁, 作者通过三胞堆叠表示并利用迹恒等式得到 Proposition 4.1: 对 $j\in\{1,2\}$,
$$\gamma_j^+u_{S_j}[\phi]+\zeta_j^{-1}\gamma_j^-[a_j]u_{S_j}[\phi]=\Phi_j+\sum_{i=0}^2L^{j,i}\Phi_i,$$其中块 $L^{j,i}$ 显式由 $C^{j,i}[na_{j'}]$, $C^{j,i}[-a_j+na_{j'}]$, $C^{j,i}[a_j+na_{j'}]$ 等算子组成, 并且每个积分算子项的源曲线与目标曲线 $\Gamma_j$ 不相交. 由摘要与引言给出的结论是, 将 Müller 透射行与上述胞壁行组合后得到的系统为第二类 Fredholm 指标零系统, 无角点奇异性; 胞壁可以弯曲, 从而可使胞边界远离夹杂. 该系统还有一个结构性优点: 其算子只需在每个频率组装一次, 便可对所有 Bloch 矢量重复使用, 因为 Bloch 相位仅通过有限个 $\zeta_1^n\zeta_2^m$ 单项式进入. 关于零点与伪模, 作者证明 Lemma 5.1: 每一个 Bloch 模式都产生一个非零零向量, 因此直接公式不会漏掉真实频带. 反之, 全文并未无条件证明每个零向量都来自 Bloch 模式; 引言明确说反向命题仍未解决. 作者证明的是: 每个零向量都满足透射条件, 且一个零向量来自 Bloch 模式当且仅当其原胞表示在原胞外消失; 伪零向量则由原胞表示的非零辐射刻画, 由此得到一个廉价的 a posteriori 判别. 在数值层面, 作者采用高阶 Nyström 离散, 并按 Bruno, Santana 与 Trefethen [11] 的方法, 将随机标量化预解式在实频率轴上采样, 用自适应 AAA 有理逼近的极点定位频带频率. 数值实验验证了该方法与精确解及已发表带结构的一致性, 并包含一个具有弯曲胞壁的三角晶格空气孔算例. 从提供的 PDF 摘录中无法确认后续章节给出的具体收敛阶、误差常数、计算复杂度上界以及全部数值误差表; 也未见作者在此摘录中给出 $\omega=0$ 极限的层势公式.
3. 研究方法、关键技术和核心工具
本文的技术核心不是简单地“用边界元离散”, 而是构造一个仅含自由空间 Helmholtz Green 函数、同时避免角点奇异性和胞壁自相互作用的第二类直接边界积分系统. 首先, 作者以
$$G_k(r,r')=\frac{i}{4}H_0^{(1)}(k|r-r'|)$$为唯一核函数, 引入单层、双层位势及其四个边界积分算子 $V,K,\tilde K,W$, 并采用 Cauchy 数据对 $\Phi=(\phi,\psi)$ 将 Green 位势写成
$$G^i[v]\Phi=D^i[v]\phi-S^i[v]\psi,$$相应的 $2\times2$ 迹算子记为 $C^{\ell,i}[v]$. 这样做的好处是未知量直接是物理场在界面上的 Dirichlet 与 Neumann 迹, 而非间接密度; 因而真实 Bloch 模式自然给出非零零向量, 不需要像间接方法那样额外证明密度的存在性. 主要技术障碍之一来自开放胞壁弧的端点: 不同弧共享端点时, 双层位势或法向导数可能在端点奇异, 胞壁自相互作用还包含超奇异算子 $W^{j,j}$, 相邻共线弧的核在端点也奇异. 作者的关键创新是“三胞堆叠”表示: 对每条胞壁 $\Gamma_j$, 在由三个相邻原胞构成的柱状或行状区域 $S_j$ 上应用 Green 公式, 得到堆叠表示 $u_{S_j}[\phi]$. 在该表示中, 每条壁及其平移的贡献以 $G^j[na_{j'}]-\zeta_jG^j[a_j+na_{j'}]$ 等形式组合, 使得胞壁自相互作用以及共享端点弧之间的相互作用精确抵消. 这一构造直接消除了角点奇异性, 使密度保持光滑, 并将系统化为第二类 Fredholm 指标零系统. 第二个关键点是胞壁方程的推导. 作者不是分别强制 $\gamma_j^+u=\Phi_j$ 和 $\gamma_j^-[a_j]u=\zeta_j\Phi_j$, 而是将第二个迹乘以 $\zeta_j^{-1}$ 后与第一个迹相加; 这样超奇异自相互作用项与共线相邻弧的奇异端点贡献成对抵消. Proposition 4.1 给出了这一恒等式及块算子 $L^{j,i}$ 的显式形式, 并证明每个积分算子项的源曲线与目标曲线不相交, 从而所有核在参数端点附近光滑, 可直接使用高阶求积. 第三个关键点是准周期性的代数编码与算子复用. 由于位势平移只改变核的变量 $r-r_i(\tau)$ 而不改变法向与速度, 作者用 $G^i[v]$ 与 $C^{\ell,i}[v]$ 的平移记号把 Bloch 相位完全放入有限个 $\zeta_1^n\zeta_2^m$ 单项式中. 于是对固定频率 $\omega$, 与频率相关的积分算子只需组装一次, 后续对布里渊区中大量 Bloch 矢量只需重新组合这些块, 显著降低了带结构扫描的组装成本. 第四, 几何适应性由弯曲胞壁与近奇异积分处理保证. 原胞壁允许弯曲, 从而当夹杂不落在原始平行四边形内时, 仍可将胞边界放在远离夹杂的位置; 对于近奇异积分, 作者采用 density interpolation method [26], 以保持高阶 Nyström 离散的精度. 第五, 非线性特征值搜索采用 [11] 的 AAA 有理逼近策略: 对每个 Bloch 矢量, 将离散算子视为频率 $\omega$ 的非线性特征值问题, 随机标量化预解式, 在实频率轴上采样, 再用自适应 AAA 有理逼近定位极点, 这些极点即候选带频率. 与直接扫描最小奇异值相比, 这一策略更适合在实轴上系统搜索多个极点. 最后, 在分析框架上, 作者利用 Green 表示公式、跳关系、平移算子和紧算子分解来证明第二类 Fredholm 性质; 但 PDF 摘录只显示到 Proposition 4.1, 后续 §4.4 的紧性与正则性论证未在提供内容中展开, 因此无法确认其中具体的紧算子分解细节. 作者也明确指出, 光滑曲线与经典解假设是为了高阶求积; 层势与边界积分算子可推广到 Lipschitz 曲线, 但紧性与正则性论证需要不同处理.
4. 与之前工作的比较
与基于准周期 Green 函数的边界积分方法相比, 本文最明显的推进是彻底避免准周期格点求和. 准周期 Green 函数在空晶格特征值即 Wood 型异常处不存在, 其截断求和收敛慢, 且相关公式在接近这些频率时病态; 本文只用自由空间 Helmholtz Green 函数, 周期性通过 Cauchy 数据的平移规则与有限个 Bloch 单项式代数地施加, 因而在原理上绕开了空晶格特征值导致的核函数不存在问题. 代价是特征值问题仍非线性依赖于频率, 且需要对每个 Bloch 矢量进行非线性极点搜索; 此外, 自由空间核的周期化被转移到堆叠表示与块算子组合中, 公式和实现比直接使用准周期核更复杂. 与本文最直接相关的前作是自由空间间接边界积分公式 [7]. 该文对双周期问题使用相位化 $3\times3$ 最近像、胞壁辅助单双层密度及其延拓, 得到第二类、光滑密度、谱精度且仅通过有限个 Bloch 单项式依赖相位的系统, 并通过扫描最小奇异值定位频带. 本文的推进主要体现在四点: 第一, 从间接密度改为直接 Cauchy 数据, 因而每个真实 Bloch 模式自动产生非零零向量, 不需要 [7, Conjecture 7] 那样的密度表示猜想; 第二, 给出伪零向量的判别: 零向量来自 Bloch 模式当且仅当其原胞表示在原胞外消失, 从而可用原胞表示的非零辐射做廉价 a posteriori 检验; 第三, 使用三胞堆叠表示, 使夹杂与最近像之间不出现相互作用, 并使胞壁自相互作用和共享端点弧相互作用精确抵消, 得到无角点奇异性的第二类系统; 第四, 允许弯曲胞壁并结合 density interpolation 处理近奇异积分, 从而处理夹杂不适合放入原始平行四边形的情形. 不过, 本文并未证明反向命题“每个零向量都来自 Bloch 模式”; 这一点仍是开放问题, 而 [7] 的间接公式则需另行论证密度表示. 与 [54] 的自由空间直接公式相比, 本文把线阵列可穿透障碍的公式推广到双周期格: 核心新构造是沿每条胞壁取三胞堆叠 $S_j$, 将 Green 公式应用于三胞区域并令相邻弧贡献相消. 这一推广不是平凡改动, 因为二维双周期情形同时存在两个方向的平移、共享端点与胞壁自相互作用; 三胞堆叠正是为解决这些额外奇异性而设计. 与平面波展开、有限元和时域有限差分等全胞方法相比, 本文只离散夹杂边界与两条胞壁, 对光滑几何可实现高阶精度, 在高介电对比、曲面界面和微小几何特征方面可能显著减少未知量; 全胞方法则更容易处理任意几何和宽频带, 但平面波展开在材料间断处收敛慢, 有限差分对曲面界面仅低阶表示, 有限元与有限差分在高频下受数值色散与污染效应影响. 本文的边界积分方法代价是 dense 算子、非线性特征值搜索以及对光滑曲线和高阶求积的依赖; 从提供内容中无法确认其在大规模三维或极高对比问题上的实际复杂度与并行可扩展性. 与胞 Dirichlet-to-Neumann 映射 [57]、小波边界元 [56]、周期快速多极 [46] 以及 Rayleigh 多极与多重散射展开 [9,37,44,50] 等方法相比, 引言只作了背景性列举, 没有给出逐项数值比较; 因此从提供内容中无法确认本文相对这些方法在精度、条件数或计算时间上的具体优势. 在特征值算法层面, 本文沿用 [11] 的 AAA 有理逼近与极点搜索, 这一部分不是本文的主要理论创新; 本文的创新在于使离散算子适合这种搜索: 算子按频率组装一次并可对所有 Bloch 矢量复用, 且真实模式不会因间接密度表示问题而漏失. 需要强调的局限是: 作者未在摘录中建立 $\omega=0$ 极限的层势公式, 因此严格来说该方法针对 $\omega>0$ 及其解析延拓; 对零频附近最低频带的处理需要另行分析. 此外, 反向零点刻画仍开放, 伪零向量虽可用原胞外辐射检验, 但该检验的计算成本与可靠性在摘录中未量化. 总体而言, 本文相对于 [7] 和 [54] 的推进是明确的: 直接自由空间公式、第二类无角点奇异性、算子复用、弯曲胞壁与伪模判别; 其局限也同样明确: 非线性特征值搜索、光滑几何假设、反向命题未完全解决以及零频极限未纳入公式.
2. 椭圆界面问题的迹逆估计与基于核的 Nitsche Galerkin 方法
Trace Inverse Estimates and Kernel-based Nitsche Galerkin Methods for Elliptic Interface Problems
作者: Leevan Ling, Shu Ma, Weifeng Qiu, Yizhong Sun
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-20
arXiv ID: 2610.27537v1
摘要翻译: 我们为 Lipschitz 子域上独立生成的 Sobolev 核试探空间的乘积建立迹逆估计，并用其分析椭圆界面问题的对称 Nitsche Galerkin 方法。这些估计用子域梯度、界面跳跃和外边界迹来控制单侧梯度迹。它们的余法向形式提供了 Nitsche 格式所需的通量控制，而不必对试探空间施加值约束，包括带有内部夹杂的构型。对于具有可比填充距离和固定核尺度的拟一致中心族，我们得到在充分大且与加密无关的罚参数下的强制性和适定性。我们证明对分片 $H^s$ 解的能量误差和 $L^2$ 误差界分别为 $h^{s-1}$ 和 $h^s$ 阶，其中 $2\le s\le m$，$h$ 是最大填充距离，$m$ 是核 Sobolev 阶。$L^2$ 界还要求齐次伴随界面问题的分片 $H^2$ 正则性。对于 $0<\varepsilon\le1$ 的缩放核 $Φ_{m,\varepsilon}$，我们还推导了核平移基下显式依赖尺度的条件数界。该分析假设精确几何与精确积分。平面实验考察收敛性和支撑缩放，而一个三维混合边界计算说明了该方法。
Comment: 无
链接: http://arxiv.org/abs/2610.27537v1
1. 研究对象和背景
本文研究有界连通 Lipschitz 区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ ($d\ge2$) 被分成两个连通 Lipschitz 子域 $\Omega^-,\Omega^+$ 的标量椭圆界面问题。记界面为 $\Gamma=(\partial\Omega^-\cap\partial\Omega^+)\cap\Omega$，外边界分片为 $\Gamma_{\Omega}^{\eta}=\partial\Omega^{\eta}\cap\partial\Omega$，单位法向 $\vec n_\Gamma$ 由 $\Omega^-$ 指向 $\Omega^+$，$\vec n_{\partial\Omega}$ 为外法向。扩散张量 $A^\eta\in[W^{1,\infty}(\Omega^\eta)]^{d\times d}$ 对称且满足一致椭圆性[\alpha_0|\vec\xi|^2\le \vec\xi^\top A^\eta(\vec x)\vec\xi\le \alpha_1|\vec\xi|^2,\qquad \vec\xi\in\mathbb{R}^d,\ \text{a.e. }\vec x\in\Omega^\eta,]其中 $0<\alpha_0\le\alpha_1<\infty$。模型问题为[\begin{cases}-\nabla\cdot(A^\pm\nabla u^\pm)=f^\pm & \text{in }\Omega^\pm,\ u^\pm=g_D & \text{on }\Gamma_{\Omega}^\pm,\ u^- - u^+ = g_\Gamma & \text{on }\Gamma,\ (A^-\nabla u^- - A^+\nabla u^+)\cdot\vec n_\Gamma=\psi_\Gamma & \text{on }\Gamma.\end{cases}]等价地，以乘积记号 $u=(u^-,u^+)$、$A=(A^-,A^+)$ 可写成 $ -\nabla\cdot(A\nabla u)=f$ in $\Omega$，$u=g_D$ on $\Gamma_\Omega$，$[[u]]=g_\Gamma$ on $\Gamma$，$[[A\nabla u]]\cdot\vec n_\Gamma=\psi_\Gamma$ on $\Gamma$，其中 $[[v]]=v^- - v^+$，$\{v\}=\frac12(v^-+v^+)$。在 $H^1_0(\Omega)=\{v\in H^1(\Omega):v=0\text{ on }\Gamma_\Omega,\ [[v]]=0\text{ on }\Gamma\}$ 上，弱形式为[(A\nabla u,\nabla v){\Omega}=(f,v){\Omega}+\langle\psi_\Gamma,{v}\rangle_{\Gamma}\qquad\forall v\in H^1_0(\Omega).]该模型描述异质介质中的热传导、具有不连续介电常数的静电问题等；界面上的解跳量和共法向通量跳量耦合相邻材料方程。若强行施加 Dirichlet 条件和界面值条件，会约束逼近空间；对分别在各子域独立生成的核平移空间尤其如此。已有拟合有限元、未拟合有限元和 Nitsche 界面有限元方法可处理此类问题，但核 Galerkin 方法使用散点平移构造试探空间，无需单元连接，也不需要界面或外边界上的中心点。对单域 Dirichlet 问题，Chernih 等 [18] 在假定边界法向导数可由体积梯度控制的条件下分析了 Nitsche 核 Galerkin 方法；但界面问题需要同时控制平均共法向通量和外边界通量，且 Nitsche 罚项只控制界面跳量而不控制单个界面值。本文试图补的空白是：对独立生成的 Sobolev 核乘积试探空间建立迹逆估计，并由此在无需对试探空间施加值约束的情形下证明对称 Nitsche Galerkin 方法的稳定性、误差阶和条件数界。
2. 主要定理或主要结果
作者首先给出 Nitsche 形式的一致性。若 $u\in H^{1+\delta}(\Omega)$，$\delta>1/2$，则对任意 $v_h\in V_h$ 有[a_h(u,v_h)=\ell_h(v_h),]从而 Galerkin 正交性 $a_h(u-u_h,v_h)=0$ 成立。这里 $a_h$ 包含子域扩散项、界面平均通量项与界面罚项、外边界通量项与外边界罚项；Nitsche 能量范数为[|v|h^2=|\nabla v|{\Omega}^2+h^{-1}|[[v]]|{\Gamma}^2+h^{-1}|v|{\Gamma_{\Omega}}^2.]作者证明带界面项的 Poincaré 不等式：在 $|\Gamma|_{d-1}>0$ 且 $|\Gamma_{\Omega}^+|_{d-1}>0$ 的几何假设下，存在常数 $C>0$ 使[|v|{\Omega}^2\le C\left(|\nabla v|{\Omega}^2+|[[v]]|{\Gamma}^2+|v^+|{\Gamma_{\Omega}^+}^2\right)\qquad\forall v\in H^1(\Omega).]该引理用于在核空间迹估计中把子域体积 $L^2$ 项转化为 Nitsche 范数可控制的量。核心结果是对独立核平移乘积空间 $V_h=V_h^-\times V_h^+$ 的迹逆估计。在核的 Fourier 条件 $c_\phi(1+|\vec\xi|^2)^{-m}\le\widehat\Phi_m(\vec\xi)\le C_\phi(1+|\vec\xi|^2)^{-m}$、$m>d/2$ 且 $m\ge2$，以及中心族准均匀、填充距离可比的假设下，存在与细化无关的常数 $C>0$，使[|v_h^\eta|{\partial\Omega^\eta}\le C h^{-1/2}|v_h^\eta|{\Omega^\eta},\qquad \eta\in{- ,+},]并且[|\nabla v_h|{\partial\Omega}\le C h^{-1/2}\left(|\nabla v_h|{\Omega}+|[[v_h]]|{\Gamma}+|v_h^+|{\Gamma_{\Omega}^+}\right)\qquad\forall v_h\in V_h.]作为推论，单域迹逆估计 $\|\nabla v\|_{\partial D}\le Ch_D^{-1/2}(\|\nabla v\|_D+\|v\|_{\partial D})$ 成立。进一步，在扩散张量一致椭圆性条件下，作者得到离散共法向控制[h^{1/2}\left(|{A\nabla v_h}\cdot\vec n_\Gamma|{\Gamma}+|A\nabla v_h\cdot\vec n{\partial\Omega}|{\Gamma{\Omega}}\right)\le C_{tr}|v_h|h,]其中 $C_{tr}$ 与 $h$ 和罚参数无关。该估计正是对称 Nitsche 稳定性所需的通量控制。由 Cauchy–Schwarz 与 Young 不等式，作者得到连续性和强制性：存在与 $h$ 无关的常数 $C,c>0$，使 $|a_h(w_h,v_h)|\le C\|w_h\|_h\|v_h\|_h$，且当罚参数 $\gamma_\Gamma>0$、$\gamma_{\partial,\pm}>0$ 足够大但不依赖于细化时，$a_h(v_h,v_h)\ge c\|v_h\|_h^2$。因此离散问题适定，刚度矩阵正定。误差分析使用核插值逼近估计：对 $2\le s\le m$ 且 $j\le s$，有[|w-I_h w|{H^j(\Omega)}\le C h^{s-j}|w|_{H^s(\Omega)}.]由此作者报告：对分段 $H^s$ 解，$2\le s\le m$，能量误差阶为 $h^{s-1}$，即 $\|u-u_h\|_h\lesssim h^{s-1}\|u\|_{H^s(\Omega)}$；若齐次伴随界面问题具有分段 $H^2$ 正则性估计 $\|z\|_{H^2(\Omega)}\le C_{reg}\|r\|_{\Omega}$，则 $L^2$ 误差阶为 $h^s$，即 $\|u-u_h\|_{\Omega}\lesssim h^s\|u\|_{H^s(\Omega)}$。此外，对缩放核 $\Phi_{m,\varepsilon}$，$0<\varepsilon\le1$，作者导出了核平移基下条件数的尺度显式上界；但提供的内容未展开该界的具体表达式，因而无法确认其精确常数形式和所针对的矩阵类型。分析明确假设精确几何与精确积分；数值部分仅报告平面收敛与支持尺度实验，以及一个三维混合边界算例。
3. 研究方法、关键技术和核心工具
主要技术障碍在于：核平移空间的元素没有逐单元多项式结构，因而不能直接使用有限元中标准的逐单元多项式迹逆估计；同时，核平移的导数一般不属于原来的试探空间，直接对梯度使用连续迹不等式会引入 $H^2(D)$ 范数。要把 $H^2(D)$ 范数压回 $H^1(D)$ 范数，需要低阶 Sobolev 范数之间的逆估计；经典的 Bernstein 不等式要求较低阶 Sobolev 指标大于 $d/2$，不能直接覆盖所需的 $H^2$–$H^1$ 情形。作者的真正创新之一是把最近的全范围 Bernstein 不等式用于这一核空间分析。具体地，在核假设下，对任意 $0\le t\le\alpha\le m$ 有[|v|{H^\alpha(D)}\le C q_D^{t-\alpha}|v|{H^t(D)}\qquad\forall v\in V_{X_D,\Phi_m,D}.]在证明梯度迹估计时，作者先用连续迹不等式[|\nabla v_h^\eta|{\partial\Omega^\eta}\le C|\nabla v_h^\eta|{\Omega^\eta}^{1/2}|\nabla v_h^\eta|{H^1(\Omega^\eta)}^{1/2}\le C|\nabla v_h^\eta|{\Omega^\eta}^{1/2}|v_h^\eta|{H^2(\Omega^\eta)}^{1/2},]再取 Bernstein 不等式的 $\alpha=2$、$t=1$ 得 $\|v_h^\eta\|_{H^2(\Omega^\eta)}\le C q_\eta^{-1}\|v_h^\eta\|_{H^1(\Omega^\eta)}$，从而[|\nabla v_h^\eta|{\partial\Omega^\eta}\le C q_\eta^{-1/2}|\nabla v_h^\eta|{\Omega^\eta}^{1/2}|v_h^\eta|{H^1(\Omega^\eta)}^{1/2}\le C h^{-1/2}\left(|\nabla v_h^\eta|{\Omega^\eta}+|v_h^\eta|{\Omega^\eta}\right).]这里使用了准均匀性和可比填充距离给出的 $q_\eta\simeq h_\eta\simeq h$。第二个关键点是界面处理。若把单域估计分别用于两个子域，右端会出现单个界面值 $v_h^-|_\Gamma$ 和 $v_h^+|_\Gamma$，而 Nitsche 界面罚项只控制其跳量 $[[v_h]]$，不能控制每个单侧值。作者用带界面项的 Poincaré 不等式把体积 $L^2$ 项 $\|v_h\|_{\Omega}$ 替换为 $\|\nabla v_h\|_{\Omega}$、$\|[[v_h]]\|_\Gamma$ 和 $\|v_h^+\|_{\Gamma_{\Omega}^+}$ 的组合，从而使最终迹估计与 Nitsche 能量范数完全匹配。这一组合不是简单的技术修补，而是界面问题稳定性分析的核心。第三个关键点是从梯度迹到共法向通量。作者利用 $\|\{A\nabla v_h\}\cdot\vec n_\Gamma\|_\Gamma+\|A\nabla v_h\cdot\vec n_{\partial\Omega}\|_{\Gamma_{\Omega}}\le\sqrt2\,\alpha_1\|\nabla v_h\|_{\partial\Omega}$，把扩散张量的一致椭圆性上界与上述迹逆估计结合，得到[h^{1/2}\left(|{A\nabla v_h}\cdot\vec n_\Gamma|\Gamma+|A\nabla v_h\cdot\vec n{\partial\Omega}|{\Gamma{\Omega}}\right)\le C_{tr}|v_h|_h.]有了这个离散共法向控制，Nitsche 双线性形式的界面通量项和外边界通量项可由扩散项和罚项吸收；通过 Cauchy–Schwarz 和 Young 不等式即可得到连续性与强制性，且罚参数阈值不随中心加密而恶化。误差分析方面，作者使用分片核插值 $I_h$ 的逼近界，将一致性、稳定性和逼近性结合得到能量误差；$L^2$ 误差则通过对偶论证，并额外假设齐次伴随界面问题具有 $H^2$ 正则性。总体框架可概括为：全范围 Bernstein 不等式提供核空间的低阶逆估计；连续迹不等式与界面 Poincaré 不等式将梯度迹转化为 Nitsche 范数；共法向估计提供通量控制；最后用 Nitsche 稳定性与核逼近完成误差和条件数分析。需要强调，作者明确假设精确几何和精确积分，因此上述分析不包含几何近似误差、数值求积误差以及 cut-cell 型稳定化误差。
4. 与之前工作的比较
与 Chernih 等 [18] 的单域 Dirichlet Nitsche 核 Galerkin 分析相比，本文的推进在于不再把边界法向导数估计作为附加假设，而是从核的 Fourier 条件和中心集假设出发证明迹逆估计。单域情形只需体积梯度与边界值项即可，因为边界值项由 Nitsche 罚项控制；界面情形则复杂得多：Nitsche 罚项只控制界面跳量，不控制单侧界面值，因此必须建立同时包含子域梯度、界面跳量和外边界迹的乘积空间估计。本文的定理 3.5 和定理 3.7 正是补齐了这一环节。与拟合有限元和未拟合有限元界面方法 [6,7,8,9,10,11] 相比，本文不使用与界面拟合的网格，也不使用切割背景网格的 cut-cell 稳定化；试探空间由两个子域内独立生成的核平移组成，不需要界面或外边界上的中心点。代价是核矩阵通常是全局或带宽较大的，条件数分析更重要，并且分析依赖精确几何积分。有限元方法中的多项式迹逆估计在本文中被核空间的全范围 Bernstein 不等式替代；后者适用于固定核阶和固定核尺度下的中心加密，但不适用于在固定中心集上改变核阶的 $p$-型加密，这一点作者在 Remark 3.3 中明确指出。与 Guo 等 [11] 通过局部 Cauchy 延拓构造高阶浸入有限元空间并建立迹不等式和最优误差估计的工作相比，本文处理的是完全不同的离散空间：无单元连接的核平移空间，而不是高阶浸入有限元空间。与 RBF 配点类界面方法 [14,15]、moving-Kriging Galerkin Nitsche 耦合 [16] 以及移动最小二乘无网格 Nitsche 方法 [17] 相比，本文的贡献不是提出新的配点或移动最小二乘格式，而是针对独立 Sobolev 核平移空间给出严格的稳定性、能量与 $L^2$ 误差以及条件数尺度分析。适用范围方面，本文要求子域为 Lipschitz 区域、扩散张量属于 $W^{1,\infty}$ 且一致椭圆、界面和外边界分片具有正测度，并要求核阶 $m\ge2$、解正则 $2\le s\le m$、中心族准均匀且填充距离可比、核阶与核尺度在细化下固定。$L^2$ 误差还额外要求齐次伴随界面问题具有分段 $H^2$ 正则性；作者明确说明该假设在 Lipschitz 几何下是额外假设，仅在 $L^2$ 分析中使用。与有限元界面方法相比，本文没有处理几何逼近误差和数值积分误差，作者明确假设精确几何与精确积分；因此其结论不能直接覆盖实际中曲面界面离散和求积误差占主导的情形。条件数方面，作者对缩放核 $\Phi_{m,\varepsilon}$ 给出尺度显式界，说明核尺度 $\varepsilon$ 会影响核平移基的条件数；这弥补了以往核 Galerkin 分析中常把条件数问题留作数值观察的不足，但提供的内容未展开具体界，无法与已有条件数结果作逐项常数比较。总体而言，本文把 Nitsche 核 Galerkin 分析从单域 Dirichlet 问题推进到具有独立子域核空间的椭圆界面问题，把“假设通量可由体积梯度控制”改为“从核与中心假设证明迹逆估计”，并把罚参数阈值、能量误差阶和 $L^2$ 误差阶推进到与中心加密无关的形式；其主要局限是精确几何积分假设、固定核尺度与核阶、准均匀中心以及 $L^2$ 分析中的伴随 $H^2$ 正则性假设。作者未在提供内容中显式展开与所有上述文献在计算代价、条件数常数和三维几何误差方面的逐项比较。
了解领域论文（摘要翻译）
1. 逆障碍散射的统计成像框架及其分辨率分析
A Statistical Imaging Framework for Inverse Obstacle Scattering and Its Resolution Analysis
作者: Jinrui Zhang, Hai Zhang
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-20
arXiv ID: 2610.28553v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.28553v1
摘要翻译
中文标题: 逆障碍散射的统计成像框架及其分辨率分析
摘要翻译: 我们建立了一个一般统计框架，用于基于随机照射下远场二阶矩的逆障碍成像与分辨率分析。引入正则化 $Q$-统计量，并用其度量合成与采样点相关联的测试远场所需的最小统计加权代价；其倒数给出一个成像指标。在均匀全孔径平面波照射下，我们将该指标与若干经典采样指标联系起来，并推导它们在一般随机照射下的统计对应量。对于分辨率分析，我们将辐射和噪声的影响与诱导边界源的统计特性分离，用边界过渡的单侧半高宽来度量无相关分辨率极限。在固定波数 $k$ 且噪声校准正则化水平 $ρ_τ\to 0$ 的情形下，我们针对具有解析边界的单连通区域，为该宽度建立了一个精确的渐近律。该宽度按 (h_Γ(x)\log\log(1/ρ_τ)/\log(1/ρ_τ)) 缩放，其中 $h_Γ(x)$ 是沿边界的一个几何前因子，同时决定边界图像对比度和局部过渡宽度。对于一般的边界源统计特性，我们考察源的均值、方差和相关性如何影响成像质量。最后，在具有代表性的散射配置中，我们通过其诱导边界源的统计结构，对一些典型成像现象给出定性解释。数值算例说明了这些机制，并表明实际分辨率是由源统计特性、辐射和噪声水平共同决定的，而不是仅由波长决定。
2. 一种面向声表面波器件模拟的具有物理动机粗空间的新型两级区域分解方法
A Novel Two-Level Domain Decomposition Method with Physically Motivated Coarse Space for Surface Acoustic Wave Device Simulations
作者: Likun Qiu, Jianguo Huang, Xuejun Xu
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-20
arXiv ID: 2610.27837v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.27837v1
摘要翻译
中文标题: 一种面向声表面波器件模拟的具有物理动机粗空间的新型两级区域分解方法
摘要翻译: 声表面波（SAW）方程是描述 SAW 器件工作原理的基础，这类器件具有高工作频率、多物理场耦合以及定义于无界区域等特点。有限元（FE）仿真是此类器件最精确的数值方法之一。然而，该方法通常导致具有大量自由度（DOFs）的病态线性系统，从而限制了其应用。为解决该问题，本文基于有限元撕裂与互连（FETI）算法，提出一种迭代次数关于子域数、频率和网格尺寸保持稳定的区域分解方法，命名为 FETI-SAW。其主要创新在于构造了结合基于 Rayleigh 波的粗空间的 Dirichlet 预条件子，以形成 Lagrange 乘子线性系统的预条件迭代算法。在某种意义上，该方法反映了 SAW 方程的物理本质。在数值实验中，我们以叉指换能器（IDT）和 SAW 谐振器为例，展示 FETI-SAW 算法的效率。此外，随文提供 MATLAB 和 C++ 源代码。
3. 多尺度波动方程的质量集中多时间步分裂格式
Multi-time-stepping splitting scheme with mass lumping for the multiscale wave equation
作者: Yating Wang, Wing Tat Leung, Zhengya Yang, Shufan Li
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-20
arXiv ID: 2610.27715v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.27715v1
摘要翻译
中文标题: 多尺度波动方程的质量集中多时间步分裂格式
摘要翻译: 高对比介质中波传播的高效模拟具有挑战性，因为标准显式格式受到由细空间尺度和快速多尺度模态引起的严重时间步限制，而全隐式格式需要代价高昂的全局耦合求解。本文针对多尺度波动方程发展了一种质量集中的多时间步部分显式分裂方法。基于逼近空间的非局部多连续统（NLMC）分解，将解分离为依赖于对比度的快速分量和不依赖于对比度的慢速分量，并分别对其进行隐式和显式推进。质量集中近似使粗尺度质量算子对角化，并消除两个子问题之间的耦合，从而能够对这两部分采用多速率时间积分。为进一步提高效率，我们引入基于残差的自适应策略，根据显式处理子系统的时域误差指示子动态调整其时间步。在适当假设下，所提格式被证明是能量稳定的。数值实验表明，所提出的质量集中多时间步格式在保持与标准全隐式方法相当精度的同时，大幅降低了计算成本。
4. 一维孤子轮廓：增强神经网络求解器与约束 Deep Ritz 方法
Soliton Profiles in 1D: Enhanced Neural-Network Solvers and Constrained Deep Ritz Methods
作者: Chandler Haight, Alex D Rodriguez, Svetlana Roudenko
类别: math.NA, cs.LG, math.AP, nlin.PS
发布日期: 2026-10-20
arXiv ID: 2610.27500v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.27500v1
摘要翻译
中文标题: 一维孤子轮廓：增强神经网络求解器与约束 Deep Ritz 方法
摘要翻译: 我们开发并比较了用于一维基态轮廓的增强神经网络求解器，这些轮廓是
$$ Q^{\prime\prime}=bQ-γQ^{p},\quad Q>0,\quad p>1, \quad b, γ>0, $$的解，该方程是非线性 Schrödinger 方程、广义 Korteweg-de Vries 方程和非线性 Klein-Gordon 方程的驻定轮廓方程。其显式 sech 型解可作为误差计算和基准超参数选择的精确参考。我们通过引入基于 Gauss-Newton/Levenberg-Marquardt 和 L-BFGS 精化的高阶优化，以及 Fourier 特征 PINN 和约束 Deep Ritz (DR) 形式，改进了标准 Adam 训练的物理信息神经网络 (PINN) 基线。在 DR 方法中，我们引入两种新的神经网络形式，它们实现了两种经典变分刻画：一种是 Nehari 约束 Deep Ritz 方法，其中高度通过投影到 Nehari/Pokhozhaev 流形上来学习；另一种是 Weinstein Deep Ritz 方法，其中归一化轮廓最小化 Weinstein 商。Deep Ritz 形式总体表现最佳，特别是 Weinstein 变体给出了最佳的误差-运行时间平衡。基于神经网络的求解器在一维中仍不如经典 Petviashvili 迭代精确和高效，然而，当前研究提供了一个概念验证：无网格形式、不依赖精确轮廓或相关特征，使其在高维以及更复杂的非线性与色散算子情形中具有前景。
5. 低残差，错误值：用 PINNs 学习 Hamilton-Jacobi-Isaacs 方程的粘性解
Low Residuals, Wrong Value: Learning the Viscosity Solution of Hamilton-Jacobi-Isaacs Equations with PINNs
作者: Raul Jimenez, Pablo Tejerina-Pérez, Leonid Sarieddine, Pedro Tarancón-Álvarez, Marisol Traforetti, Pau Solé-Vilaró, Oleksii Ignatenko, Nazar Tkach, Pavlos Protopapas
类别: math.NA, cs.LG, math.AP, math.OC
发布日期: 2026-10-19
arXiv ID: 2610.27193v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.27193v1
摘要翻译
中文标题: 低残差，错误值：用 PINNs 学习 Hamilton-Jacobi-Isaacs 方程的粘性解
摘要翻译: 物理信息神经网络（PINNs）和其他按残差训练的求解器通过候选解的采样 PDE 残差大小来评判它。对于一阶 Hamilton-Jacobi 方程，这并不充分：同一方程和边界数据允许 Lipschitz 几乎处处解，它们与粘性解相差 $O(1)$，却只在零测集上违反方程。我们研究在固定时域追逃博弈中，残差最小化是否会选择此类解；该博弈的 Hamilton-Jacobi-Isaacs 值函数在圆 $S^1$ 以及平坦环面 $\mathbb{T}^{2}$ 和 $\mathbb{T}^{4}$ 上具有闭式表达式。我们在每种几何上以十个随机种子训练四种神经参数化，共 120 次运行。带周期 Fourier 特征的标准网络在全部 30 次运行中收敛到折叠的几乎处处解：残差很小且具有预期的捕获层梯度，但在大部分区域上值错误。通过损失函数施加周期性的网络在一维和二维中恢复粘性解，但在四维中变得不可靠。两种接收测地距离的参数化明显更好：一个输入环绕位移及其距离的单个网络在全部 30 次运行中恢复粘性解，而对周期像图卡取最小值的方法在 30 次中成功 27 次，并引入错误像的失败模式。最后，对于此处考虑的凸哈密顿量，我们利用粘性解的半凹性构建了一个无网格有限差分检验，该检验仅需前向网络求值；它无需访问精确值函数即可检测折叠解和有害的图卡最小值失败。因此，小的采样残差本身并不能验证一个学习到的 Hamilton-Jacobi 解；参数化与独立的结构诊断对于选择粘性解可能是必不可少的。
6. 具有非局部压力的时间分数阶多孔介质方程的保结构数值格式
Structure-Preserving Numerical Schemes for a Time-Fractional Porous Medium Equation with Nonlocal Pressure
作者: Łukasz Płociniczak, Hubert Woszczek
类别: math.NA, math.AP
发布日期: 2026-10-19
arXiv ID: 2610.27172v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.27172v1
摘要翻译
中文标题: 具有非局部压力的时间分数阶多孔介质方程的保结构数值格式
摘要翻译: 本文研究方程 \begin{equation} \partial_t^αu-\nabla\cdot\left(u^{m-1}\nabla(-Δ)^{-σ}u\right)=0, \end{equation} 的数值逼近，其中 $0<α<1$，$0<σ<1$ 且 $m>1$。Caputo 导数采用 L1 公式离散，而非线性非局部通量由守恒型迎风有限差分格式逼近。我们在任意空间维数下建立了该隐格式的若干结构性质，包括离散最大值原理、非负性、质量守恒、$\ell^\infty$ 与 $\ell^2$ 稳定性、非负离散解的存在性，以及离散能量耗散估计。我们的假设包括自然对称性、方向系数之和的符号条件以及离散权重的衰减性。我们还推导了完整非线性空间算子的一致性估计。为进行严格的收敛性分析，我们限定于一维空间，并引入与密度相关的累积变量。这将离散问题转化为一个涉及分数阶 Laplacian 的方程的单调逼近。有趣的是，对于基于半群的压力梯度权重，所得的离散算子可与分数阶离散 Laplacian 等同。接下来，利用积分格式的比较与压缩性质，在 $m\geq2$ 以及所述空间正则性和加权时间一致性假设下，我们证明了累积数值解的一致收敛，以及相应密度对紧支撑光滑检验函数的收敛性。时间估计允许初始时刻出现弱奇异性。我们还分析了该格式的一个显式变体，并推导了覆盖整个范围 $0<σ<1$ 的充分 CFL 条件。
不相关论文（基本信息）
1. 时间变换随机时滞微分方程的全离散驯服Euler逼近的强收敛性
Strong Convergence of Fully Discrete Tamed Euler Approximations for Time-Changed Stochastic Delay Differential Equations
作者: Ruchun Zuo, Qian Guo
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-20
arXiv ID: 2610.28552v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.28552v1
摘要: We establish the strong convergence of a fully discrete equidistant tamed Euler–Maruyama (ETEM) method for time-changed stochastic delay differential equations (TCSDDEs) with state-dependent $\mathrm{d}t$ drifts. A coupled one-sided condition on the subordinator-driven drift and diffusion allows superlinear coefficients with polynomial growth in both the current and delayed states. For subordinators whose Laplace exponent satisfies $ψ(λ)\geq c_1λ^α$ for all sufficiently large $λ$, with $α\in(0,1)$, we derive strong error bounds in terms of the time step $Δ$ and the subordinator sampling step $δ$, without imposing a relationship between them. Comparing the partitions generated by the exact and approximate inverse subordinators controls the sampling error without introducing a factor proportional to the number of time steps. For coefficients Lipschitz in both time arguments and Lipschitz history, the scheme achieves a strong convergence rate of order $Δ^{α/2}(1+|\logΔ|)^{(1-α)/2}+\sqrt{δ(1+|\logδ|)}$. A terminal lower bound $c(Δ^{α/2}+δ^{1/2})$ for a multiplicative-noise equation with a stable subordinator establishes the sharpness of both polynomial exponents for this Euler scheme. Numerical experiments illustrate convergence for nonautonomous and multidimensional superlinear delay equations, as well as delay equations with low-regularity time dependence.
2. 用于三维非局部扩散问题渐近相容离散化的快速可扩展多 GPU 切片 FFT 求解器
Fast and scalable multi-GPU sliced FFT solvers for asymptotically compatible discretizations of 3D nonlocal diffusion problems
作者: Yulong Li, Jiale Meng, Zhenlin Guo, Jiwei Zhang
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-20
arXiv ID: 2610.28372v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.28372v1
摘要: Large-scale 3D peridynamic transient diffusion simulations are constrained by the computational cost and memory requirements of nonlocal interactions. We propose a fast and scalable multi-GPU sliced FFT algorithm based on the recently developed asymptotically compatible finite difference (ACFD) scheme. By exploiting the discrete operator’s structure and finite interaction range, the algorithm combines FFT acceleration with local inter-GPU communication. It preserves the ACFD scheme while avoiding the global data redistribution required by full 3D FFTs. We build a matrix-free GPU conjugate gradient (CG) solver, use multigrid preconditioning to reduce iteration counts, and introduce a human-audited configuration agent for efficient cross-level configuration. Strong-scaling tests show that sliced FFT-CG achieves 93.2% parallel efficiency on eight GPUs, compared with 28.2% for full FFT-CG on the same problem and hardware. The framework supports approximately 10.29 billion degrees of freedom on eight RTX 4090 GPUs with 24 GB of memory each. The insulated penny-shaped cutout benchmark demonstrates transient simulation with approximately 8.58 billion degrees of freedom. Three-dimensional star-shaped interface evolution further demonstrates convergence toward the local solution in a nonlinear phase-field problem. These results demonstrate that sliced FFT provides a scalable multi-GPU approach for fast computation of 3D peridynamic diffusion.
3. 具有时间可测且 $C ^{1,1}$ 的 Hamilton 函数的一阶平均场博弈：分析与逼近
First-Order Mean Field Games with Time-Measurable and $C ^{1,1}$ Hamiltonians: Analysis and Approximation
作者: Elisabetta Carlini, Valentina Coscetti, Francisco J. Silva
类别: math.NA, math.OC
发布日期: 2026-10-20
arXiv ID: 2610.28335v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.28335v1
摘要: We introduce and analyze a numerical framework for a class of first-order, non-local Mean Field Game (MFG) systems with two sources of low regularity: the time-dependent data are merely measurable, and the Hamiltonian is only of class $C^{1,1}$ with respect to the momentum variable. The proposed method combines a semi-Lagrangian approximation of the Hamilton–Jacobi–Bellman equation with a Lagrange–Galerkin discretization of the continuity equation. Temporal measurability is handled by averaging the data over the time-grid intervals and using the stability theory of $L^1$-viscosity solutions. The limited regularity of the Hamiltonian is addressed through arguments from nonsmooth analysis, based in particular on Clarke’s generalized differential calculus. We prove that the discrete solutions converge, up to some subsequence, to a solution of the MFG system. As a consequence, the numerical approximation also provides a constructive existence result. Under a monotonicity assumption on the coupling terms, we show that the solution to the MFG system is unique, implying the convergence of the whole sequence of discrete solutions. Finally, numerical experiments in one and two spatial dimensions illustrate the robustness of the method, including a linear–quadratic example with a running cost that is discontinuous in time and for which we compute an exact solution.
4. 由α-稳定过程驱动的随机动力系统的密度演化：一种无方程数值方法
Density Evolution for Stochastic Dynamical Systems Driven by α-Stable Processes: An Equation-Free Numerical Approach
作者: Yan Liu, Xu Sun
类别: math.NA, math.PR
发布日期: 2026-10-20
arXiv ID: 2610.28243v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.28243v1
摘要: While well-established approaches exist for computing probability densities of stochastic differential equations driven by Brownian motion, computing probability densities for general stochastic differential equations driven by α-stable processes remains challenging, and few general-purpose methods are available. A major difficulty is that the corresponding Fokker–Planck equations governing the density are generally unavailable in explicit form. In this paper, we develop an efficient approach to compute probability densities for stochastic differential equations driven by α-stable processes without relying on Fokker–Planck equations or any other governing equations. The proposed approach is easy to implement and computationally efficient. Numerical examples demonstrate its effectiveness and indicate an approximately first-order convergence rate with respect to the time step.
5. 再生核Hilbert空间中的范数最优模型降阶
Norm-optimal model order reduction in reproducing kernel Hilbert spaces
作者: Tamás Dózsa, Andrea Angino, Rolf Krause, Matthias Voigt
类别: math.NA, eess.SY
发布日期: 2026-10-20
arXiv ID: 2610.28224v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.28224v1
摘要: We consider the problem of model order reduction (MOR) in reproducing kernel Hilbert spaces (RKHSs). We prove generalizations of well-known necessary interpolatory conditions for norm-optimal reduced-order models, originally stated for rational functions in $H_2$ Hardy-Hilbert spaces. We construct an alternative to the iterative rational Krylov (IRKA) algorithm for RKHSs with differentiable kernels to obtain norm-optimal reduced-order models. Then, we introduce generalized Malmquist-Takenaka (GMT) functions that can be used to define orthonormal bases in an arbitrary RKHS. Using GMT functions, we propose unitary transformations between separable RKHSs. This allows us to extend our optimality conditions and subsequent algorithms to MOR problems posed in RKHSs with non-differentiable kernels. The potential and versatility of the proposed MOR framework is demonstrated in several numerical experiments. We perform norm-optimal MOR on various machine learning models such as support vector machines and deep ReLU networks. In addition, we show how the proposed MOR framework can be used to solve seemingly unrelated problems. In particular, we provide an example for fitting high degree polynomials to data and also obtain a FEM-like method for solving partial differential equations (PDEs) with an optimal kernel basis.
6. 前向与反问题中带约束的自动微分
Automatic Differentiation with Constraints in Forward and Inverse Problems
作者: Nikolay Yavich, Alexander Ryabov, Viacheslav Naumov, Sayan Ranu, N. M. Anoop Krishnan, Evgeny Burnaev, Vladimir Vanovskiy
类别: cs.AI, math.NA
发布日期: 2026-10-20
arXiv ID: 2610.27888v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.27888v1
摘要: Approximate solutions of partial differential equations (PDEs) on unstructured grids can be represented on a graph. Numerical optimization involving stiff evolutionary and static PDEs often requires solving a large system of equations, which can be treated as a constraint. In this work, we present a fully differentiable graph-based implicit solver that incorporates this constraint. We evaluate its performance across four key tasks: a) linear and nonlinear forward modeling of evolutionary and static problems, b) solving inverse problems to estimate equation coefficients, c) solving inverse problems to estimate the right-hand side, and d) learnable graph coarsening to accelerate forward modeling. The stability and differentiability of our solver enable significant reductions in the complexity of forward modeling while efficiently addressing related inverse problems. These capabilities make it a powerful tool for different physics and engineering applications, in particular for geophysics, where inverse problems are commonly solved in order to reduce the model uncertainty.
7. 基于约束最缓上升动力学计算偶极玻色–爱因斯坦凝聚体的激发态
Computing excited states of dipolar Bose–Einstein condensates by constrained gentlest ascent dynamics
作者: Fu Zheng, Wei Liu, Xu Qian
类别: cond-mat.quant-gas, math.NA, quant-ph
发布日期: 2026-10-20
arXiv ID: 2610.27878v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.27878v1
摘要: Dipolar Bose–Einstein condensates (BECs), i.e., BECs with long-range dipole-dipole interactions (DDI), exhibit extraordinarily rich physics and serve as a versatile experimental platform for exploring exotic quantum states of matter. Within the mean-field framework, a dipolar BEC can be described by the Gross–Pitaevskii (GP) model with a DDI term. Its stationary states consist of the ground state, which minimizes the GP energy functional under the normalization constraint, and excited states, which are higher-energy critical points that typically correspond to constrained saddle points. Excited states encode collective excitation modes and play a key role in the dynamical stability and quantum phase transitions of cold-atom systems. However, in contrast to the extensively studied ground state, they remain far less explored numerically, especially in dipolar systems. In this work, we develop a numerical method based on the constrained gentlest ascent dynamics (CGAD) that systematically computes excited states of dipolar BECs by stably targeting constrained saddle points with any prescribed Morse index. Specifically, a semi-implicit sine-pseudospectral discretization with an orthonormalization correction step is adopted, and the nonlocal DDI terms are evaluated efficiently and accurately via the nonuniform fast Fourier transform (NUFFT). The resulting scheme is applied to one-, two-, and three-dimensional dipolar BECs, enabling a detailed numerical investigation of their excited states. Remarkably, our simulations reveal that excited states can persist even in regimes where the ground state of the condensate becomes mean-field unstable. This work provides a computational framework for studying excited states in dipolar quantum gases and offers insights for future theoretical and experimental investigations.
8. 血流动力学中的反演区域不确定性量化：约束下采样虚拟患者队列
Inverse domain uncertainty quantification in hemodynamics: sampling virtual patient cohorts under constraints
作者: Francesco Romor, Jose Rodrigo Rojo-Garcia, André-Alexander Zepernick, Ana Djurdjevac, Alfonso Caiazzo
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-20
arXiv ID: 2610.27869v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.27869v1
摘要: We consider the following inverse domain uncertainty quantification problem: given a prescribed value or measurement of a hemodynamic biomarker, characterize the distribution of vascular geometries compatible with it. The problem is formulated as a Bayesian inverse problem in which a high-dimensional latent parameter encodes the cardiovascular shape and accounts for inter-patient variability. The parameter-to-observable map composes a conditional LDDMM stochastic interpolant generating the aortic surface with a high-performance numerical finite element solver for the unsteady incompressible Navier–Stokes equations, from which biomarkers of interest are evaluated. The map is nonlinear, high-dimensional and computationally expensive. To address the problem, we compare three ensemble strategies: ensemble adjusted Kalman inversion (EAKI), adaptive Bayesian updating with structural reliability (aBUS), and a Wasserstein–Fisher–Rao (WFR) sequential Monte Carlo scheme. The first two approaches are derivative-free. For the third method, we introduce a novel differentiable flow-matching surrogate that reduces the cost of a single forward map evaluation at the price of a distribution shift depending on the training distribution used for the surrogate. We apply the framework to the generation of virtual patient cohorts matching prescribed pressure drops along aortic geometries affected by coarctation, and we validate and compare the three methods on synthetic data.
9. 用于火焰问题及相关点火问题的锋面钉扎谱配置法
Front-pinned spectral collocation for the flame problem and related ignition problems
作者: Imre Boros
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-20
arXiv ID: 2610.27864v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.27864v1
摘要: We consider global Chebyshev collocation for the ignition problems $y'=y^q(1-y)$, $y(0)=δ$, $q\ge2$; for $q=2$ this is the flame problem, a standard stiff test equation. After rescaling to $[-1,1]$ the solution has an interior layer of width $O(μ)$, $μ=(q-1)δ^{q-1}$, at a $δ$-dependent position. Two obstacles arise: plain Chebyshev collocation needs $O(1/μ)$ nodes, and imposing the initial condition amplifies errors by a factor of order $1/μ$, which makes the collocation equations severely ill-conditioned. Our main contribution addresses the second one. Since all solutions are translates of one profile, the initial condition can be replaced by an equivalent interior condition. For an unknown $u=\varphi(y)$, imposing it where the speed $|\varphi'f_q|$ of $u$ along the orbit is maximal bounds the propagator of the linearized equation by one; for $u=\ln y$ this is $y(x^\ast)=(q-1)/q$. For the first obstacle we use the sinh map of Tee and Trefethen: the time function is explicit, the complex singularities of the profile lie exactly at $\pm(2k+1)πi$, and the map parameters follow in closed form, so that $O(\ln(1/μ))$ nodes suffice. In double precision the pinned scheme reaches the interpolation error of the exact solution in five or six Newton iterations for $μ$ down to $10^{-12}$, whereas the initial-condition form fails or converges to wrong discrete solutions, also in an integral (Birkhoff) reformulation. Computations in $256$-bit arithmetic confirm the predicted rate down to errors of $10^{-70}$, AAA approximation locates the singularities to within $2\%$, and the method carries over to an Arrhenius reaction rate, with all parameters computed numerically.
10. 二元 $C^2$ 样条的维数图景
The Dimension Landscape of Bivariate $C^2$ Splines
作者: Xinyu Wu, Jiansong Deng
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-20
arXiv ID: 2610.27814v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.27814v1
摘要: Schumaker’s lower bound incorporates local geometric corrections and provides insight into the dimensions of bivariate spline spaces. Building on this bound, we study bivariate $C^2$ spline dimensions from three perspectives: universal attainment, generic attainment, and geometric jumps. We prove universal attainment in degree seven for every legal realization of every triangulation. We prove generic attainment in degrees five and six for every fixed combinatorial triangulation and give explicit polynomial conditions certifying generic failure on fixed triangulations in degrees three and four. For geometric jumps with matching local direction types at corresponding interior vertices, we prove nonexistence in degree seven and construct examples in degrees three and five. In degree six, universal attainment and the existence of such geometric jumps remain open questions.
11. 超越指数倾斜：稀有事件的精确渐近与改进重要性抽样
Beyond exponential tilting: sharp asymptotics and improved importance sampling for rare events
作者: Mingxin Li, Hans Reimann, Timo Schorlepp, Georg Stadler
类别: stat.CO, math.NA, math.PR, math.ST
发布日期: 2026-10-20
arXiv ID: 2610.27434v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.27434v1
摘要: A classical approach for importance sampling (IS) of a rare event is to tilt the measure using its large deviation minimizer, thereby shifting the proposal mean towards the event set. While this tilt is log-efficient, we show that the coefficient of variation of the resulting estimator still grows like $\varepsilon^{-1/4}$ in the small-noise limit $\varepsilon\downarrow0$. Motivated by sharp large deviation asymptotics and the local geometry of the event set at the minimizer, we propose improvements using a control variate or an anisotropic, non-Gaussian proposal. We prove, up to truncations that hold with high probability, and confirm empirically in high-dimensional examples, that the former bounds the coefficient of variation and the latter makes it vanish, so that a bounded number of samples suffices. Our analysis addresses both the coefficient of variation of the different proposals and their necessary and sufficient sample size based on the Kullback–Leibler divergence of the IS target from the proposal; both yield the same rates in $\varepsilon$. We demonstrate the resulting samplers, including a variant that blends the classical and the new proposal across noise levels, for a stochastic Korteweg–de Vries equation with thousands of random inputs.
12. 变阶分数阶反应–扩散方程的自适应历史压缩卷积求积
Convolution Quadrature with Adaptive History Compression for Variable-Order Fractional Reaction–Diffusion Equations
作者: Pu Yuan, Paul Zegeling
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-19
arXiv ID: 2610.27262v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.27262v1
摘要: We develop a fully implicit fast method for semilinear variable-order fractional reaction–diffusion equations with periodic fractional diffusion and exponential-transition Scarpi memory. A Volterra-resolvent analysis establishes local well-posedness and temporal regularity estimates that describe the weak initial singularity. Backward Euler convolution quadrature combined with Fourier pseudospectral discretization achieves mesh-uniform stability and positive-time first-order convergence. To accelerate the scheme, we utilize Cauchy–FFT weight recovery and adaptive blockwise sum-of-exponentials compression, which significantly reduces the cost of history evaluation under local error control. A logarithmic perturbation bound quantifies the effects of weight recovery, history compression, and inexact nonlinear solves, giving tolerance conditions that preserve the convergence order. Numerical experiments confirm the first-order accuracy and demonstrate that the accelerated method efficiently resolves long-time spatial patterns at a substantially reduced computational cost.