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1. PEC边界下电场矢量波问题的对称性继承与精确镜像对称约化
Symmetry Inheritance and Exact Mirror Symmetry Reduction for Electric Field Vector Wave Problems with PEC Boundaries
作者: Wei Jiang
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.29481v1
摘要翻译: 针对有界区域中、具有完美电导体(PEC)边界和一般空间变化各向异性介质的电场二阶矢量波方程，建立了一个对称性继承与精确区域约化框架。利用正交群在极向量、轴向量和二阶本构张量上的作用，直接从原始边值问题推导出变换后的 curl–curl 方程和 PEC 迹条件。在唯一可解性假设下，问题数据的公共对称群被电场继承。当电磁介质的对称群容许一个镜像对称时，任意外加电流都可通过相关反射投影算子分解为镜像偶和镜像奇分量。相应的全域场继承各自的奇偶性，而将它们精确限制到一个半域上，分别对偶场给出理想磁导体(PMC)条件、对奇场给出 PEC 条件。因此，原问题可由两个独立的约化域问题精确表示。一种与对称性相容的第一族 Nédélec 离散在离散层面保持该分解。解析和数值结果验证了对称性继承理论、精确的 PEC/PMC 约化域表述，以及在对称与非对称激励下针对常数和空间变化各向异性导电介质的离散重构。
Comment: 24 pages
链接: http://arxiv.org/abs/2610.29481v1
1. 研究对象和背景
本文研究有界连通 Lipschitz 区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ 中, 全边界为理想电导体(PEC)的频域电场二阶矢量波方程. 采用 $e^{j\omega t}$ 时间约定, 介质参数 $\varepsilon,\mu,\sigma:\Omega\to\mathbb{C}^{3\times3}$ 允许为一般空间变化各向异性张量, 仅要求 $\mu(x)$ 非奇异, 并且在对称性分析中不要求 Hermitian 性, 正性, 互易性, 各向同性或无损耗性. 记介质数据 $M:=(\varepsilon,\mu,\sigma)$, 定义算子
$$L_{M,\omega}v:=\operatorname{curl}\left(\mu^{-1}\operatorname{curl}v\right)-\omega^2\varepsilon v+j\omega\sigma v.$$论文研究的边值问题为
$$L_{M,\omega}E=-j\omega J\quad\text{in }\Omega,\qquad B_{\mathrm{PEC}}E:=n\times E=0\quad\text{on }\partial\Omega,$$其中 $J$ 为外加极化电流, $n$ 为外法向. 该问题是以电场为未知量的时谐 Maxwell 方程标准二阶形式, 其优点是可直接用 curl 协调棱单元逼近 $E$, 并通过切向迹施加 PEC 条件. 因而它是电磁有限元分析的核心模型之一, 也是研究对称性约化与区域分解的自然对象. 论文关心的问题是: 当区域, PEC 边界, 介质张量和激励具有某种正交变换对称性时, 电场是否继承该对称性; 更进一步, 当介质具有镜面反射对称而外加电流没有确定镜像宇称时, 能否把原问题精确化为一个半区域上的两个独立问题. 这一问题的困难在于, 几何对称并不自动保证解对称. 微分算子, 材料张量, 物理边界条件和激励必须在同一变换下相容地变换. 对二阶标量椭圆问题, 已有工作把唯一性作为对称性继承的机制. 但电场矢量波问题包含 curl 算子, 极化矢量与轴矢量的不同群作用, 反射时 curl 的方向改变, 以及 PEC 切向迹在反射下的轴矢量变换. 各向异性介质的反射不变性也不能简化为材料矩阵逐元素对称, 而必须按二阶张量场的整体变换 $T_g^2A=gA(g^{-1}x)g^{-1}$ 判断. 因此, 把标量椭圆情形的对称性继承推广到电场矢量波问题并非平凡推广. 论文试图补的空白正是: 在一般空间变化各向异性介质和全 PEC 边界下, 建立电场二阶矢量波问题的对称性继承理论; 对任意外加电流给出精确镜像分解; 证明半区域上的精确 PEC/PMC 内部条件; 并说明最低阶第一族 Nédélec 离散与这一分解相容. 与既有电磁对称性约化文献相比, 本文特别针对源破坏镜像对称的情形, 而不是只处理已经具有确定宇称的激励.
2. 主要定理或主要结果
论文的主要严格结果可分为连续问题的对称性继承, 镜像分解与半区域精确约化, 以及变分离散框架三部分. 首先, 作者对 $g\in G_\Omega:=\{g\in O(3):g\Omega=\Omega\}$ 定义标量场, 极化矢量, 轴矢量和二阶张量的左作用:
$$(T_g^0f)(x)=f(g^{-1}x),\quad (T_g^pv)(x)=gv(g^{-1}x),\quad (T_g^aw)(x)=\det(g)gw(g^{-1}x),\quad (T_g^2A)(x)=gA(g^{-1}x)g^{-1}.$$论文证明关键变换恒等式
$$\operatorname{curl}(T_g^pv)=T_g^a(\operatorname{curl}v),\qquad \operatorname{curl}(T_g^aw)=T_g^p(\operatorname{curl}w),$$以及 PEC 迹关系
$$B_{\mathrm{PEC}}(T_g^pv)=T_g^a(B_{\mathrm{PEC}}v),\qquad g\in G_\Omega.$$由此得到变换后问题的协变性: 若 $\varepsilon_g=T_g^2\varepsilon$, $\mu_g=T_g^2\mu$, $\sigma_g=T_g^2\sigma$, $J_g=T_g^pJ$, $E_g=T_g^pE$, 则原问题变换为同一区域上由 $M_g=(\varepsilon_g,\mu_g,\sigma_g)$ 和 $J_g$ 驱动的 PEC 问题. 定义材料对称群 $G_{\mathrm{med}}:=G_\varepsilon\cap G_\mu\cap G_\sigma$ 和源对称群 $G_J:=\{g\in G_\Omega:T_g^pJ=J\}$, 并令
$$G_{\mathrm{data}}:=G_\varepsilon\cap G_\mu\cap G_\sigma\cap G_J.$$定理 3.1 断言: 若原 PEC 问题唯一可解, 则
$$G_{\mathrm{data}}\subseteq G_E:=\{g\in G_\Omega:T_g^pE=E\}.$$证明只使用协变性与唯一性: 对 $g\in G_{\mathrm{data}}$, 场 $T_g^pE$ 与原场 $E$ 满足完全相同的 PEC 边值问题, 故相等. 作者明确指出反向包含一般不成立, 并给出球腔中零源且工作频率非本征频率的例子: 此时 $G_{\mathrm{data}}=\{I\}$, 但零场满足 $G_E=O(3)$, 故 $G_{\mathrm{data}}\subsetneq G_E$. 其次, 取区域体积质心为原点, 设镜面 $\Pi=\{x:n_S\cdot x=0\}$, 反射 $R=I-2n_Sn_S^T$, 并假设 $R\in G_\varepsilon\cap G_\mu\cap G_\sigma$. 对任意外加电流 $J$ 不作宇称假设. 令 $T:=T_R^p$, 反射投影算子为
$$P_+=\frac12(I+T),\qquad P_-=\frac12(I-T),$$并分解 $J=J_++J_-$, $J_+=P_+J$, $J_-=P_-J$. 设 $E_+$ 与 $E_-$ 分别为全区域上以 $J_+$ 与 $J_-$ 为源的唯一解. 唯一性给出
$$T_R^pE_+=E_+,\qquad T_R^pE_-=-E_-,$$并且
$$E=E_++E_-.$$这是全区域层面的精确分解, 也是后续限制到半区域的前提. 在镜面固定点 $x\in\Pi$ 上, 奇场满足 $(E_-)_t=0$, 即
$$n_S\times E_-=0\quad\text{on }\Pi\cap\Omega,$$对应内部 PEC 条件. 偶场满足 $R E_+(x)=E_+(x)$, 故法向分量为零; 又由轴矢量 curl 变换和 $\det R=-1$ 得 $R\operatorname{curl}E_+(x)=-\operatorname{curl}E_+(x)$, 故 $\operatorname{curl}E_+$ 法向于镜面. 结合 $R\mu R^T=\mu$ 在镜面上推出的 $R\mu^{-1}=\mu^{-1}R$, 得到
$$n_S\times\mu^{-1}\operatorname{curl}E_+=0\quad\text{on }\Pi\cap\Omega,$$等价于 $n_S\times H_+=0$, 即内部 PMC 条件; 同时由 $R\varepsilon=\varepsilon R$ 得到 $n_S\cdot D_+=0$. 令 $\Omega_+$ 为 $\Omega$ 的一半, $\Gamma_P=\partial\Omega_+\cap\partial\Omega$, $\Gamma_S=\partial\Omega_+\cap\Pi$. 则偶场限制 $u_+=E_+|_{\Omega_+}$ 解
$$L_{M,\omega}u_+=-j\omega J_+\ \text{in }\Omega_+,\quad n\times u_+=0\ \text{on }\Gamma_P,\quad n_S\times\mu^{-1}\operatorname{curl}u_+=0\ \text{on }\Gamma_S;$$奇场限制 $u_-=E_-|_{\Omega_+}$ 解
$$L_{M,\omega}u_-=-j\omega J_-\ \text{in }\Omega_+,\quad n\times u_-=0\ \text{on }\Gamma_P,\quad n_S\times u_-=0\ \text{on }\Gamma_S.$$定理 4.1 断言: 在上述唯一可解与介质反射不变假设下, 对任意 $J$, 原唯一解精确分解为 $E=E_++E_-$, 两个半区域问题分别有唯一解, 且通过偶/奇宇称延拓可精确重构原场
$$E=\mathcal{E}^+u_++\mathcal{E}^-u_-.$$对一般非对称源, 需要求解两个半区域问题; 若源已具有确定宇称, 则一个投影为零, 只需一次半区域求解. 最后, 变分框架定义
$$V^+:=\{v\in H(\operatorname{curl},\Omega_+):n\times v=0\ \text{on }\Gamma_P\},\qquad V^-:=\{v\in H(\operatorname{curl},\Omega_+):n\times v=0\ \text{on }\partial\Omega_+\},$$双线性形式
$$a_\omega(u,v)=\int_{\Omega_+}(\mu^{-1}\operatorname{curl}u)\cdot\operatorname{curl}v\,dx-\omega^2\int_{\Omega_+}(\varepsilon u)\cdot v\,dx+j\omega\int_{\Omega_+}(\sigma u)\cdot v\,dx,$$以及 $\ell^\pm(v)=-j\omega\int_{\Omega_+}J_\pm\cdot v\,dx$. 两个约化问题写成统一形式: 求 $u_\pm\in V^\pm$ 使 $a_\omega(u_\pm,v)=\ell^\pm(v)$ 对所有 $v\in V^\pm$ 成立. 在离散层面, 作者采用最低阶第一族 Nédélec 棱单元空间 $V_{h,\pm}\subset V^\pm$, 得到
$$A^\pm U^\pm=b^\pm,\qquad A^\pm=K^\pm-\omega^2M^{\varepsilon,\pm}+j\omega M^{\sigma,\pm}.$$摘要声称该对称相容的第一族 Nédélec 离散在离散层面保持分解, 并对常系数与空间变化各向异性导电介质, 在对称与非对称激励下进行了解析和数值验证. 但提供的 PDF 内容只到第 10 页矩阵形成处, 未包含离散保持的详细证明, 误差估计, 收敛率或具体数值表格, 因此这些数值结论和离散重构细节从提供内容中无法独立核验.
3. 研究方法、关键技术和核心工具
本文的核心技术障碍不是常规能量估计, 而是如何在同一框架中处理反射下极化场, 轴矢量 curl, PEC 切向迹和二阶材料张量的不同变换, 并把连续层面的精确宇称传递到半区域和 Nédélec 离散. 第一项关键技术是建立协变性. 作者没有直接假设解对称, 而是从原边值问题出发, 分别定义标量, 极化矢量, 轴矢量和二阶张量的群作用. 这里的关键是区分 $T_g^p$ 与 $T_g^a$: 电场 $E$ 和电流 $J$ 是极化矢量, 而 $\operatorname{curl}E$ 在反射下按轴矢量变换, 多出 $\det(g)$ 因子. 作者在附录中通过链式法则, 法向变换和 curl 的 Levi-Civita 结构证明
$$\operatorname{curl}(T_g^pv)=T_g^a(\operatorname{curl}v),\qquad B_{\mathrm{PEC}}(T_g^pv)=T_g^a(B_{\mathrm{PEC}}v).$$第二个恒等式尤其关键, 因为它保证齐次 PEC 条件在全物理边界上被所有 $g\in G_\Omega$ 保持, 从而可以把变换后的场代回同一个 PEC 问题. 对材料张量, 作者坚持使用整体变换 $T_g^2A=gA(g^{-1}x)g^{-1}$, 从而避免把各向异性介质的反射不变性错误地化为矩阵逐元素对称. 第二项关键技术是把唯一性当作对称性继承机制. 作者明确把唯一性假设与对称性论证分离: 不建立新的 Maxwell 存在性理论, 只要求固定频率下 PEC 问题唯一可解, 即齐次问题只有零解. 对 $g\in G_{\mathrm{data}}$, 变换后的 $T_g^pE$ 与原 $E$ 满足完全相同的方程和边界条件, 故由唯一性得到 $T_g^pE=E$. 这一论证给出了保证的对称群包含 $G_{\mathrm{data}}\subseteq G_E$, 并用零场例子说明不能期望反向包含. 第三项关键技术是先在全区域分解源, 再限制到半区域. 这是处理源破坏镜像对称的核心. 若直接在对称面上施加 PEC 或 PMC, 一般只对具有确定镜像宇称的源成立; 对任意 $J$ 会得到错误问题. 作者用 $T^2=I$ 构造互补投影 $P_\pm$, 把 $J$ 分成偶源和奇源, 在全区域上分别求解, 由唯一性强制 $E_+$ 偶, $E_-$ 奇, 再由线性叠加得到 $E=E_++E_-$. 只有在此之后才讨论半区域限制, 因而内部边界条件不是猜测而是由全区域场的固定平面性质推出. 第四项关键技术是内部 PEC/PMC 条件的推导. 对奇场, 固定平面上 $RE_-=-E_-$ 推出切向电场为零, 即 $n_S\times E_-=0$; 对偶场, $RE_+=E_+$ 推出法向电场为零. 更精细的是, 由轴矢量 curl 变换得 $R\operatorname{curl}E_+=-\operatorname{curl}E_+$, 故 $\operatorname{curl}E_+$ 法向于镜面. 再利用介质反射不变性 $R\mu R^T=\mu$ 在镜面上给出 $R\mu^{-1}=\mu^{-1}R$, 从而 $n_S\times\mu^{-1}\operatorname{curl}E_+=0$, 即 PMC 条件; 类似地由 $R\varepsilon=\varepsilon R$ 得到 $n_S\cdot D_+=0$. 作者还给出逆方向: 任何约化问题的解通过偶/奇宇称延拓都满足全区域齐次 PEC 问题, 因此全区域唯一性蕴含两个约化问题的唯一性, 并保证重构精确. 第五项关键技术是变分与离散的相容选择. 偶问题的 PMC 条件是自然边界条件, 奇问题的 PEC 条件是本质边界条件; 因此作者分别取 $V^+$ 在 $\Gamma_P$ 上强加 PEC, 在 $\Gamma_S$ 上不强加切向条件, 而 $V^-$ 在 $\partial\Omega_+$ 上强加 PEC. 对 curl-curl 项分部积分时, 偶问题产生边界迹 $n_S\times\mu^{-1}\operatorname{curl}u_+$, 由 PMC 条件消去; 奇问题的试探与检验函数在 $\Gamma_S$ 上的切向迹为零. 离散采用最低阶第一族 Nédélec 棱单元, 依赖全局定向的边自由度来保持切向连续性; 矩阵形式为 $A^\pm=K^\pm-\omega^2M^{\varepsilon,\pm}+j\omega M^{\sigma,\pm}$. 摘要称这种对称相容离散保持分解, 但具体如何定义反射作用下的边定向, 如何证明离散投影与 Nédélec 插值交换, 以及数值误差表现, 在提供的 PDF 摘录中没有展开, 无法确认. 总体而言, 本文的方法创新点是把精确等变性, 唯一性, 投影分解和半区域迹条件组织成一条严格链条, 而不是依赖泛泛的紧性方法或能量估计.
4. 与之前工作的比较
与 Bossavit 的几何对称边值问题及有限元理论相比, 本文把一般几何对称框架具体化为电场二阶矢量波问题, 并显式处理了极化矢量与轴矢量的区别, PEC 切向迹在反射下的轴矢量变换, 以及各向异性材料张量的整体变换. Bossavit 的理论提供了边界值问题与有限元近似的对称性基础, 但本文的推进在于: 对 $\operatorname{curl}(\mu^{-1}\operatorname{curl}E)-\omega^2\varepsilon E+j\omega\sigma E$ 这一具体算子建立协变性, 并把唯一性作为从数据对称群 $G_{\mathrm{data}}$ 到解对称群 $G_E$ 的传递机制. 与 Ballisti, Hafner 和 Leuchtmann 引入有限群表示论, 以及 Weiland 和 Zagorodnov 针对对称结构 Maxwell 问题的对称适应分解相比, 本文不主要发展表示论基函数, 而是给出源层面的精确投影分解和半区域 PEC/PMC 约化. 特别地, 已有对称适应方法通常要求结构或源具有可利用的对称性; 本文允许外加电流完全破坏镜像对称, 只要介质和区域具有镜像对称, 就通过 $J=J_++J_-$ 化为两个独立半区域问题. 这是适用范围上的实质推进. 与 Johnson 等人在积分方程电磁散射与辐射中用对称面减少未知量的工作相比, 本文针对的是有限元 curl 协调离散和 PEC 腔体问题, 并且强调内部 PMC 条件来自偶场的自然边界条件, 奇场的 PEC 条件来自本质边界条件. 与 Jiang 和 Pan 最近针对二阶线性椭圆问题的对称性继承相比, 本文的推进在于向量 curl 结构: 标量椭圆中没有极化/轴矢量之分, 也没有 $\operatorname{curl}$ 在反射下多出的 $\det R$ 符号; 本文必须额外证明 curl 变换和 PEC 迹变换, 否则内部边界条件会出错. 在各向异性方面, 本文明确强调介质反射不变性由 $T_g^2\varepsilon=\varepsilon$ 等整体张量变换决定, 不能化为材料矩阵逐元素对称, 这比仅处理各向同性或对角介质的对称约化更一般. 与直接在对称面上施加 PEC 或 PMC 的常见做法相比, 本文指出该做法只对具有确定镜像宇称的源成立; 对一般非对称源, 必须先在原全区域分解源并利用唯一性建立宇称, 然后才能限制. 代价是: 对一般非对称激励需要求解两个半区域问题, 而不是一个全区域问题; 虽然每个半区域问题规模减小, 但总计算量不一定严格减半, 且实现上需要管理两套边界条件和宇称重构. 若源已具有偶或奇宇称, 则一个投影消失, 只需一次半区域求解, 此时约化收益最明显. 在频率范围上, 本文是频域分析, 不存在时间演化尺度; 其适用频率由 PEC 问题唯一可解性界定. 无损情形下要求工作频率不是 PEC Maxwell 本征频率; 有损情形下, 在额外 Hermitian 与正性假设下, 一致正定电导率可提供唯一性的充分条件. 这与时域对称约化关心的长时间行为不同, 不能直接比较时间尺度. 局限方面, 本文设定整边界为 PEC, 只详细处理一个镜面反射; 群框架虽可容纳更一般正交对称, 但提供的文本没有展开多镜面或旋转对称的区域约化. 离散层面采用最低阶第一族 Nédélec 元, 摘要声称离散保持分解, 但提供 PDF 只到矩阵形成, 未给出误差估计, 收敛率或离散投影交换性的完整证明, 因此与已有 Nédélec 对称适应离散工作的定量比较从提供内容中无法确认. 作者也未显式展开与所有前人工作在数值代价上的比较; 本文的比较主要应理解为适用范围和精确性层面的推进.
2. 复合材料中时间非局部分数阶阻尼波问题的高阶多尺度方法及其误差分析
A high-order multi-scale method and its error analysis for nonlocal-in-time fractionally damped wave problems in composite materials
作者: Gehao Wang, Hao Dong, Yufeng Nie, Junzhi Cui
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.29451v1
摘要翻译: 复合材料中显著的空间非均匀性和非局部历史依赖衰减共同支配波的传播，使得全尺度直接数值模拟（DNS）在计算上难以承受。本研究针对具有高度振荡且不连续材料系数的时间非局部分数阶阻尼波问题，提出了一种高阶多尺度（HOMS）方法。采用多尺度渐近展开方法，推导出宏观均匀化方程以及一阶和二阶修正项，以构造高精度 HOMS 解。此外，局部逐点误差分析识别出该 HOMS 解所消除的主导残差，并验证了其局部物理平衡保持性。随后，全局能量范数误差估计建立了 HOMS 解的 $O(\varepsilon)$ 阶收敛率。接着，设计了一种结合有限元法和有限差分法的高效时空多尺度算法，该算法采用一种新颖的全离散 $L2\text{-}1_σ$-Newmark 格式，并分别针对宏观均匀化位移和速度得到了相应的无条件移位能量稳定性和显式收敛率。给出了二维和三维算例，以展示所提 HOMS 方法的精度、效率、成本降低和鲁棒性。本工作为工程应用中的时间非局部波模拟提供了一种有效的多尺度工具。
Comment: 无
链接: http://arxiv.org/abs/2610.29451v1
1. 研究对象和背景
本文研究复合材料中具有历史依赖衰减的标量波传播问题。设 $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 为有界连通凸多面体区域, $\varepsilon$ 为微观周期尺度, $Y=[0,1]^d$ 为周期单胞, $y=x/\varepsilon$。未知量为位移场 $u^\varepsilon(x,t)$。控制方程为非局部时间分数阶阻尼波方程\n
$$\rho^\varepsilon(x)u^\varepsilon_{tt}(x,t)+\mu^\varepsilon(x){}^{C}D_t^\alpha u^\varepsilon(x,t)-\partial_{x_i}\left(a^\varepsilon_{ij}(x)\partial_{x_j}u^\varepsilon(x,t)\right)=f(x,t),\quad (x,t)\in\Omega\times(0,T],$$\n其中 $1<\alpha<2$, ${}^{C}D_t^\alpha$ 为 Caputo 分数阶导数, $\rho^\varepsilon,\mu^\varepsilon,A^\varepsilon=\{a^\varepsilon_{ij}\}$ 分别为质量密度、分数阻尼系数和刚度矩阵, 且 $\rho^\varepsilon(x)=\rho(y)$, $\mu^\varepsilon(x)=\mu(y)$, $A^\varepsilon(x)=A(y)$ 为 $Y$-周期系数, 允许在材料界面处间断。边界条件为 $u^\varepsilon=\hat u(x)$ 于 $\partial\Omega\times[0,T]$, 初始条件为 $u^\varepsilon(x,0)=g(x)$, $u^\varepsilon_t(x,0)=\psi(x)$。\n\n该模型同时包含经典惯性项 $\rho^\varepsilon u^\varepsilon_{tt}$、非局部时间记忆阻尼项 $\mu^\varepsilon {}^{C}D_t^\alpha u^\varepsilon$ 和具有快速空间振荡的椭圆型刚度算子。分数阶阻尼刻画复合材料耗散组分中依赖于先前运动的衰减, 其频率依赖常呈非整数幂律; 空间异质性和材料界面间断则导致局部波场和梯度出现强烈微观振荡。直接数值模拟需要同时解析微小周期结构和使用细时间步长存储卷积历史, 计算量和存储量随界面分辨率和时间步数急剧增加。\n\n现有理论背景包括: 均匀介质中 Newmark 时间积分和高阶隐式/隐显格式; 分数阶阻尼波方程的适定性与数值误差估计; 多尺度有限元、异构多尺度方法、局部正交分解、FE$^2$ 等计算均匀化方法; 周期复合材料的渐近均匀化方法和高阶多尺度 (HOMS) 方法; 以及时间分数阶扩散方程的二阶 $L2$-$1_\sigma$ 时间离散。已有 HOMS 工作主要处理热传导、力学问题或经典阻尼波问题, 而对同时具有经典惯性、Caputo 分数阶阻尼、空间高度振荡且允许间断系数的复合材料波问题, 其建模、局部物理平衡保持、全局能量误差以及全离散稳定性与收敛性仍不充分。本文试图补足这一空白: 构造宏观均匀化方程与一阶、二阶辅助单胞问题, 建立 HOMS 解, 分析其逐点残差和全局能量误差, 并设计耦合有限元与 $L2$-$1_\sigma$-Newmark 的时空多尺度算法。
2. 主要定理或主要结果
本文的主要严格结果可分为适定性、多尺度渐近展开、局部残差与全局误差、以及全离散格式的稳定性与收敛性几个层次。\n\n1. 适定性。在假设 (A1)-(A3) 下, 即 $A$ 实对称一致椭圆、$\rho,\mu$ 一致正且上下有界、系数 $Y$-周期并属于 $L^\infty$ 且允许分片光滑间断、边界与初值满足 $\hat u\in H^{1/2}(\partial\Omega)$, $g\in H^1(\Omega)$, $\mathrm{Tr}\,g=\hat u$, $\psi\in L^2(\Omega)$, $f\in L^1(0,T;L^2(\Omega))$, Theorem 1 证明问题 (1) 存在唯一弱解\n
$$u^\varepsilon\in C([0,T];H^1(\Omega)),\quad u^\varepsilon_t\in C([0,T];L^2(\Omega)),\quad \mathrm{Tr}\,u^\varepsilon(t)=\hat u,$$\n其中 ${}^{C}D_t^\beta u^\varepsilon_t:=\frac{d}{dt}I^{1-\beta}(u^\varepsilon_t-\psi)$ 取为 $L^2(\Omega)$-值分布, 弱方程在 $\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))$ 中成立。并给出与 $\varepsilon$ 无关的能量估计\n
$$\sup_{0\le t\le T}\left(\|u^\varepsilon_t(t)\|_{L^2(\Omega)}^2+\|u^\varepsilon(t)\|_{H^1(\Omega)}^2\right)\le C_T\left(\|g\|_{H^1(\Omega)}^2+\|\psi\|_{L^2(\Omega)}^2+\|f\|_{L^1(0,T;L^2(\Omega))}^2+\|\hat u\|_{H^{1/2}(\partial\Omega)}^2\right).$$\n\n2. 渐近展开与单胞问题。假设 $u^\varepsilon(x,t)=u_0(x,t,y)+\varepsilon u_1(x,t,y)+\varepsilon^2u_2(x,t,y)+O(\varepsilon^3)$ 并利用 $\partial_{x_i}\mapsto\partial_{x_i}+\varepsilon^{-1}\partial_{y_i}$, 由 $O(\varepsilon^{-2})$ 得 $u_0=u_0(x,t)$。一阶修正为 $u_1(x,t,y)=N^k(y)\partial_{x_k}u_0(x,t)$, 其中 $N^k$ 满足\n
$$\mathcal{L}_yN^k=\partial_{y_i}a_{ik}\ \text{in}\ Y,\quad N^k\ Y\text{-周期},\quad \langle N^k\rangle_Y=0.$$\n宏观均匀化方程为\n
$$\hat\rho u_{0,tt}+\hat\mu {}^{C}D_t^\alpha u_0-\partial_{x_k}(\hat a_{k\ell}\partial_{x_\ell}u_0)=f,$$\n其中 $\hat\rho=\langle\rho\rangle_Y$, $\hat\mu=\langle\mu\rangle_Y$, $\hat a_{k\ell}=\langle a_{k\ell}+a_{kj}\partial_{y_j}N^\ell\rangle_Y$。二阶修正为\n
$$u_2=F(y)u_{0,tt}+G(y){}^{C}D_t^\alpha u_0+N^{k\ell}(y)\partial_{x_kx_\ell}u_0,$$\n其中 $F,G,N^{k\ell}$ 分别满足零平均的单胞问题\n
$$\mathcal{L}_yF=\hat\rho-\rho,\quad \mathcal{L}_yG=\hat\mu-\mu,\quad \mathcal{L}_yN^{k\ell}=a_{k\ell}+a_{kj}\partial_{y_j}N^\ell+\partial_{y_i}(a_{ik}N^\ell)-\hat a_{k\ell},$$\n并均为 $Y$-周期且 $\langle F\rangle_Y=\langle G\rangle_Y=\langle N^{k\ell}\rangle_Y=0$。由此定义低阶多尺度解 $u^{(1\varepsilon)}=u_0+\varepsilon N^k\partial_{x_k}u_0$ 与高阶多尺度解\n
$$u^{(2\varepsilon)}=u_0+\varepsilon N^k\partial_{x_k}u_0+\varepsilon^2\left(Fu_{0,tt}+G{}^{C}D_t^\alpha u_0+N^{k\ell}\partial_{x_kx_\ell}u_0\right).$$\n\n3. 局部逐点残差。令 $u^{(1\varepsilon)}_\Delta=u^\varepsilon-u^{(1\varepsilon)}$, $u^{(2\varepsilon)}_\Delta=u^\varepsilon-u^{(2\varepsilon)}$。作者给出残差方程: LOMS 残差右端为 $F^\varepsilon_0+\varepsilon F^\varepsilon_1$, 其中 $F^\varepsilon_0$ 不含 $\varepsilon$ 前因子且一般不消失, 因而 LOMS 解不能保持局部物理平衡; HOMS 残差右端为 $\varepsilon F^\varepsilon_2$。在假设 2 的正则性 $u_0\in W^{4,2}(0,T;W^{4,\infty}(\Omega))$ 且 $u_{0,tt}(0)=u_{0,ttt}(0)=0$ 下, 形式上有 $O(\varepsilon)$ 的逐点强残差, 说明二阶项消去了 LOMS 的领头 $O(1)$ 局部平衡缺陷。边界与初始残差也分别含 $\varepsilon$ 与 $\varepsilon^2$ 项。\n\n4. 全局能量误差。作者进一步建立 HOMS 解的全局能量范数误差估计, 得到 $O(\varepsilon)$ 收敛率。文中明确提到采用齐次 Dirichlet 单胞条件处理边界层对全局误差的影响。具体能量范数形式和常数依赖于后续第 3 节的引理与证明, 但从提供内容中无法确认其逐项表达式。\n\n5. 全离散格式。作者设计耦合有限元与有限差分的时空多尺度算法, 并采用新的全离散 $L2$-$1_\sigma$-Newmark 格式。摘要与引言声称: 该格式具有无条件 shifted-energy 稳定性; 在所述假设下, 宏观均匀化解的位移与速度误差分别为\n
$$\|u_0-u_{0,h}\|_{H^1}=O\left(h_Y^{2p_Y}+h^p+\tau^2\right),\quad \|u_{0,t}-u_{0,h,t}\|_{L^2}=O\left(h_Y^{2p_Y}+h^p+\tau^2\right),$$\n其中 $h_Y$ 与 $p_Y$ 对应单胞离散尺度和阶数, $h$ 与 $p$ 对应宏观有限元网格和阶数, $\tau$ 为时间步长。更精确的稳定性与收敛性定理编号、常数依赖和范数定义在提供 PDF 摘录的第 4-5 节中未给出, 从现有内容无法确认。数值部分给出二维与三维例子, 验证 HOMS 的精度、效率、成本降低和稳健性, 并包含一个大规模复合材料板算例以说明 DNS 超出资源时的可行性。
3. 研究方法、关键技术和核心工具
本文的技术核心不是简单套用均匀化或能量估计, 而是把高阶多尺度构造、分数阶历史项处理、局部残差识别和全离散稳定性分析连接起来。\n\n第一, 多尺度渐近展开与一阶/二阶单胞问题的构造。作者利用链式法则 $\partial_{x_i}\mapsto\partial_{x_i}+\varepsilon^{-1}\partial_{y_i}$, 将原方程按 $\varepsilon^{-2},\varepsilon^{-1},\varepsilon^0$ 分层。$O(\varepsilon^{-2})$ 方程强制零阶项与 $y$ 无关, 这是均匀化能成立的关键。$O(\varepsilon^{-1})$ 方程分离变量后引入一阶单胞函数 $N^k$, 其右端为 $\partial_{y_i}a_{ik}$。由于 $A$ 一致椭圆且 $N^k\in H^1_{\#,0}(Y)$ 的零平均条件保证唯一性, Lax-Milgram 给出 $N^k$ 的适定性并产生均匀化刚度 $\hat a_{k\ell}$。这一步将微观刚度振荡编码进宏观常数系数。\n\n第二, 二阶修正项的设计与局部平衡保持。作者真正推进局部精度的关键, 是发现 LOMS 残差中的领头项\n
$$F^\varepsilon_0=(\hat\rho-\rho)u_{0,tt}+(\hat\mu-\mu){}^{C}D_t^\alpha u_0+\left(a_{k\ell}+a_{kj}\partial_{y_j}N^\ell+\partial_{y_i}(a_{ik}N^\ell)-\hat a_{k\ell}\right)\partial_{x_kx_\ell}u_0$$\n不带 $\varepsilon$ 前因子, 因而形式上是 $O(1)$ 强残差; 仅用一阶修正无法保持局部物理平衡。为消去该领头残差, 作者引入三个二阶单胞函数: $F$ 修正密度涨落 $\hat\rho-\rho$ 引起的惯性项局部振荡, $G$ 修正阻尼系数涨落 $\hat\mu-\mu$ 引起的历史阻尼局部振荡, $N^{k\ell}$ 修正刚度通量在宏观曲率 $\partial_{x_kx_\ell}u_0$ 驱动下的局部涨落。由于这些源项在 $Y$ 上的平均为零, 单胞问题在零平均函数空间中适定。代入后 HOMS 残差右端变为 $\varepsilon F^\varepsilon_2$, 从而把局部强残差从 $O(1)$ 降到形式 $O(\varepsilon)$。这是本文区别于普通一阶均匀化的关键创新。\n\n第三, 全局能量误差分析。局部逐点残差只说明形式精度; 全局估计还要处理边界条件不满足、边界层以及单胞离散误差向宏观解的传播。文中明确说采用齐次 Dirichlet 单胞条件建立全局能量误差估计, 以减弱周期单胞修正与外部边界条件不匹配造成的边界层贡献。全域证明依赖能量方法: 对残差方程乘以 $u^{(2\varepsilon)}_{\Delta,t}$ 或相应测试函数, 利用一致椭圆性、$\rho,\mu$ 的正下界以及分数阶 Gronwall 型不等式控制历史项。关键工具包括 Lemma 1 的分数阶耗散不等式\n
$$v(t){}^{C}D_t^\beta v(t)\ge \frac12 {}^{C}D_t^\beta(v^2)(t),$$\n以及 Lemma 2 的分数阶 Gronwall 不等式, 其解由 Mittag-Leffler 函数控制:\n
$$y(t)\le y_0E_\beta(\lambda t^\beta)+\int_0^t(t-s)^{\beta-1}E_{\beta,\beta}(\lambda(t-s)^\beta)q(s)\,ds.$$\n这些工具用于吸收非局部时间阻尼带来的历史积分项, 并保持常数对 $\varepsilon$ 一致。\n\n第四, 适定性与弱解框架。Theorem 1 的证明先把非齐次边界提升为弱调和延拓 $B^\varepsilon$, 令 $w^\varepsilon=u^\varepsilon-B^\varepsilon$, 将问题化为齐次边界问题。随后采用 Volterra 型约化和 Galerkin 能量框架, 参考文献 [7] 中关于分数阶阻尼波方程的定理, 但适配到空间异质、仅有 $g-B^\varepsilon\in H^1_0(\Omega)$, $\psi\in L^2(\Omega)$, $f\in L^1(0,T;L^2(\Omega))$ 的较弱正则情形; 时间方程按分布意义解释, Galerkin 极限取时间积分形式。强连续性通过更正则数据的逼近和差分解的能量估计得到。\n\n第五, 全离散 $L2$-$1_\sigma$-Newmark 格式。空间上对宏观均匀化方程使用有限元, 时间上把 $L2$-$1_\sigma$ 公式用于 Caputo 分数阶导数, 并与 Newmark 结构动力学时间推进耦合。$L2$-$1_\sigma$ 公式在适当正则性下对分数阶扩散具有二阶精度; Newmark 格式处理经典惯性项。作者声称该全离散格式具有无条件 shifted-energy 稳定性, 即通过构造含移位参数的能量泛函吸收分数阶卷积和 Newmark 参数的影响, 不施加通常的步长限制。稳定性与收敛性证明需要同时控制位移、速度和分数阶历史卷积; 但具体移位能量泛函、稳定性不等式和收敛定理的逐项形式未在提供的 PDF 前 10 页中出现, 从现有内容无法确认。
4. 与之前工作的比较
作者在引言中明确把本文置于多尺度均匀化、HOMS、分数阶阻尼波数值分析和 $L2$-$1_\sigma$ 时间离散几条文献脉络的交汇处, 其推进主要体现在以下几个方面。\n\n第一, 与经典均匀化和低阶多尺度方法相比。标准渐近均匀化通过单胞问题得到常数系数宏观方程, 能大幅减少空间未知量和历史存储, 但宏观解本身不能恢复局部微观振荡。MsFEM、HMM、LOD、FE$^2$ 等计算均匀化方法可在粗尺度近似中嵌入微观信息, 但文中指出它们通常比均匀化宏观模型计算效率低, 又比完全解析微观模型精度低。本文的 HOMS 解在宏观均匀化解 $u_0$ 基础上加入一阶修正 $\varepsilon N^k\partial_{x_k}u_0$ 和二阶修正 $\varepsilon^2(Fu_{0,tt}+G{}^{C}D_t^\alpha u_0+N^{k\ell}\partial_{x_kx_\ell}u_0)$, 目标是在保持宏观常数系数计算优势的同时恢复局部场。与仅含一阶修正的 LOMS 相比, 本文明确指出 LOMS 残差含不消失的 $O(1)$ 源项 $F^\varepsilon_0$, 因而不能保持局部物理平衡; HOMS 通过二阶项消去该领头残差, 把局部强残差降到形式 $O(\varepsilon)$。这是相对普通一阶 HOMS 的实质推进。\n\n第二, 与 Cui 等及其合作者的 HOMS 工作相比。文中引用 [17-20] 说明 HOMS 已用于复合材料热传导和力学问题; 也引用 Dong 和 Cao 关于快速振荡系数二阶波方程的高阶修正与算法 [21], Dong 等关于准周期复合材料阻尼波的三阶两尺度展开与 Newmark 算法 [22]。本文的差异在于控制方程同时含经典惯性项和 Caputo 非局部时间分数阶阻尼项, 且 $\rho,\mu,A$ 均允许周期间断。二阶修正中除刚度曲率项 $N^{k\ell}$ 外, 还出现密度修正 $F$ 和阻尼系数修正 $G$, 分别对应 $u_{0,tt}$ 与 ${}^{C}D_t^\alpha u_0$ 的局部涨落。这使得局部残差结构与经典阻尼波有本质不同: 分数阶历史项也产生需要单胞修正的 $O(1)$ 残差。\n\n第三, 与分数阶阻尼波方程数值分析相比。文中引用 Mielke 等从波-扩散耦合系统导出分数阶阻尼波方程并刻画能量耗散结构 [6], Baker [7] 和 Cao [8] 建立分数阶阻尼波方程数值误差估计, Baker 等分析非线性 Westervelt 方程时间分数阶阻尼与初始奇异性修正 [9]。这些工作主要针对均匀或非复合材料介质。本文把这些分析推进到具有快速空间振荡和界面间断的复合材料, 并处理非局部时间记忆与空间异质性的耦合。代价是需要尺度分离假设、周期结构假设、一致椭圆假设以及较高的宏观正则性假设 $u_0\in W^{4,2}(0,T;W^{4,\infty}(\Omega))$; 这些假设排除了高对比介质、非周期或随机微结构以及低正则初值。\n\n第四, 与异质介质中波传播多尺度方法相比。文中引用 Ljung 等针对强阻尼波的广义有限元方法 [1], 允许阻尼系数和传播系数具有独立空间变化; 还提到时间依赖多尺度系数 [23]、全显式质量集中多尺度离散 [24] 和高对比介质 [25]。与这些方法不同, 本文处理的是非局部时间 Caputo 阻尼而非强阻尼, 且给出高阶修正的逐点残差与全局能量误差。Krumbiegel 和 Maier 建立高阶局部正交分解结合时间积分的能量范数误差估计 [26], 本文则在 HOMS 框架下给出 $O(\varepsilon)$ 全局能量误差并设计 $L2$-$1_\sigma$-Newmark 全离散算法。两者都属于高精度多尺度-时间耦合分析, 但本文的修正项显式包含分数阶历史项和密度/阻尼单胞函数。\n\n第五, 与时间分数阶均匀化和时间离散工作相比。文中引用一维分数阶弹性的算子范数均匀化估计 [2], 光滑周期系数时间分数阶扩散的一阶近似估计 [27], 以及 Bai 等针对高对比异质系数时间分数阶扩散-波方程的多连续均匀化 [28]。本文与 [27] 的差别在于: 本文是二阶双曲型波方程、含经典惯性、允许间断系数, 并构造到二阶修正和逐点局部平衡; 与 [28] 的差别在于本文采用周期渐近展开和 HOMS 修正, 而非多连续均匀化框架, 且给出全离散 $L2$-$1_\sigma$-Newmark 稳定性与收敛率。时间离散方面, 文中引用 $L2$-$1_\sigma$ 公式对分数阶扩散在适当正则性下的二阶精度 [29], 以及多术语分数阶扩散-波方程 [30] 和变系数分数阶波方程 [31] 的二阶格式。本文的新意是把 $L2$-$1_\sigma$ 与 Newmark 耦合, 用于宏观均匀化方程, 并声称得到无条件 shifted-energy 稳定性以及位移 $H^1$、速度 $L^2$ 的显式误差率 $O(h_Y^{2p_Y}+h^p+\tau^2)$。不过, 这些全离散定理的精确假设、稳定性常数和证明细节未在提供的前 10 页中出现, 因此无法与 [29-31] 做逐项技术比较。\n\n第六, 适用范围与局限。本文的目标是尺度分离成立、周期微结构、系数一致椭圆且允许分片光滑间断的复合材料。它不直接覆盖高对比介质、非周期随机微结构、时间依赖系数或移动界面; 对边界层仅通过齐次 Dirichlet 单胞条件处理, 并未给出一般 Neumann 或混合边界下的边界层高阶修正。数值上作者展示二维与三维算例以及大规模复合材料板, 说明相对 DNS 的成本降低, 但未提供与 LOD、MsFEM、FE$^2$ 等方法的系统数值对比。整体上, 本文的推进在于把 HOMS 的局部平衡思想、分数阶历史项的单胞修正、全局能量误差和 $L2$-$1_\sigma$-Newmark 全离散分析整合为一个针对非局部时间分数阶阻尼复合材料波问题的框架; 其代价是较强的周期性和正则性假设, 以及全离散部分在提供内容中尚无法核验的细节。
了解领域论文（摘要翻译）
1. 将 H2 分解扩展到十亿未知量三维问题
Scaling H2 Factorization to Billion-Unknown Three-Dimensional Problems
作者: Tianyu Liang, Chao Chen, James Demmel, Yang Liu
类别: math.NA, math-ph
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.30131v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.30131v1
摘要翻译
中文标题: 将 H2 分解扩展到十亿未知量三维问题
摘要翻译: 强递归骨架化为来自积分方程与核方法的稠密矩阵提供了近似直接求解器，但分布式实现面临显著的通信开销和有限的并行性，尤其是在三维情形。我们提出了一种用于对称矩阵的分布式内存 $\mathcal{H}^2$ 分解求解器，它结合了空间盒着色、延迟 Schur 补更新、流式基于 sketching 的插值分解，以及 BLAS-3 与共享内存内核。空间着色使每个进程都能参与每个边界阶段，而延迟更新与流式 sketching 降低了稠密存储和通信。据我们所知，这是首个在十亿未知量规模的三维体积积分方程上得到验证的分布式内存强递归骨架化分解。 在多达 512 个计算节点上的实验展示了具有 36.2 亿未知量的三维 Laplace 系统的分解，同时还包括三维 Helmholtz 测试以及一个具有 2.68 亿未知量的二维 Matérn 系统。相对于未使用 sketching 的 eager 配置，结合流式 sketching 与完全延迟更新使 Laplace 和 Helmholtz 的分解时间分别获得 $6.9\times$ 与 $8.5\times$ 的缩减，同时将每进程最大常驻内存分别降低 57% 和 54%。
2. 用于 CHQ 粘弹性相分离模型的线性二阶无条件能量稳定标量辅助变量格式
A linear, second-order, unconditionally energy-stable scalar-auxiliary-variable scheme for the CHQ viscoelastic phase-separation model
作者: Ritesh Bhola, Michael te Vrugt
类别: math.NA, cond-mat.soft
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.30077v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.30077v1
摘要翻译
中文标题: 用于 CHQ 粘弹性相分离模型的线性二阶无条件能量稳定标量辅助变量格式
摘要翻译: CHQ 模型描述聚合物–溶剂混合物中的粘弹性相分离：关于聚合物体积分数 $φ$ 的 Cahn–Hilliard 方程通过一个相依赖的交叉扩散通量，与关于标量体积弹性应力 $q$ 的阻尼松弛方程双向耦合。我们为该体系提出一种标量辅助变量 (SAV) 时间离散，将双势阱势的 SAV 重构与二阶向后差分公式 (BDF2) 以及对所有相依赖迁移率的二阶外推相结合：这是对参考格式的全非线性 Newton 求解的一个线性、计算成本更低的补充。所得方法 (i) 在每个时间步均为线性，且我们证明其耦合结构对任意时间步长选择在每个步都有恰好一个解；(ii) 精确质量守恒，作为离散方程本身的代数恒等式（数值中唯一见到的漂移可追溯到迭代线性求解器的有限容差，而不是守恒性质的失效）；以及 (iii) 对修改后的离散能量无条件稳定，其依据是一个精确的一步能量–耗散恒等式。我们证明该能量恒等式也推广到这个滤波变体，并带有两个显式的额外非负项。因此，实际产生物理结果的格式本身可证明对同一能量稳定。一个 Fourier–Galerkin 实现验证了该能量恒等式在每个时间步均在浮点舍入误差范围内成立。它还确认了二阶时间精度（包括在陡峭界面区域），以及与独立实现的非线性 Newton–BDF2 求解器的一致性。与那个独立的非线性 Newton–BDF2 求解器相比，在相同网格分辨率下，SAV 方法使用的线性求解器迭代次数少 $2.5$–$3.0\times$，实际耗时少 $1.7$–$2.0\times$。
3. 一个由 PDE 理论引导的神经算子与二维各向异性 Boussinesq 系统的长时间松弛
A PDE-theory-guided neural operator and the long-time relaxation of the two-dimensional anisotropic Boussinesq system
作者: Akram Moustafa, Jiahong Wu, Xiaoming Zheng
类别: math.AP, math.NA
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.29938v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.29938v1
摘要翻译
中文标题: 一个由 PDE 理论引导的神经算子与二维各向异性 Boussinesq 系统的长时间松弛
摘要翻译: 我们设计了一个用于周期盒上具有各向异性耗散的二维 Boussinesq 系统的神经算子，其设计由对该系统长时间行为的严格分析所引导。该算子将振幅为 $\varepsilon$ 的静水平衡的小扰动映射到晚时刻的涡量。我们证明流动松弛到一个分层剪切流，其水平平均涡量与初始值 $\barω_0$ 的偏差保持在 $O(\varepsilon^2)$，且围绕它的振荡为 $\varepsilon$ 阶。相应地，网络输出 $\barω_0$ 加上这两部分，每一部分都按其大小缩放，其大小分别按 $\varepsilon^2$ 和 $\varepsilon$ 增长。没有这种引导，训练要么不收敛，要么无法捕捉到 $\varepsilon^2$ 增长。有了这种引导，一个网络在振幅跨越 $23$ 倍的 $2\times10^3$ 次测试运行中逐样本重现了定理所界定的该量，中位误差为 $2.2$%。由于该网络快速且关于初始数据可微，它也被用于搜索初始数据空间；在每一个候选初始数据都由求解器检验的情况下，该搜索找到了使该量达到测试运行中最大值 $4.4$ 倍的初始数据，从而将该定理中常数的下界提高了该因子。
4. 半线性抛物型偏微分方程的严格积分：前向演化界与投影边值问题
Rigorous integration of semilinear parabolic PDEs: forward evolution bounds and projected boundary value problems
作者: Jean-Philippe Lessard, Akitoshi Takayasu
类别: math.NA, math.DS
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.29871v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.29871v1
摘要翻译
中文标题: 半线性抛物型偏微分方程的严格积分：前向演化界与投影边值问题
摘要翻译: 本文提出一种用于半线性抛物型偏微分方程初值和边值问题的严格积分器。该方法建立在早期基于半群的方法之上，同时改进了不动点论证中所使用的界，并扩展了可处理问题的类别。特别地，它控制解算子而无需对变分方程进行反向积分，并通过一种简化的线性化算子近似逆构造，使得投影边值问题得以研究。为说明该方法的适用范围，我们给出其在二维 Ohta–Kawasaki 方程上的三个应用。对于两个初值问题，我们证明了全局存在性，并获得了在条纹和斑点平衡态的数值近似周围、对所有充分大时间均成立的显式包围。这些结果使用无界时间区间上的不动点表述，避免了捕获区域的构造。我们还严格求解了一个投影边值问题，其端点条件选取自两个鞍点平衡态的不稳定空间和稳定空间的线性近似。这为严格研究异宿鞍点到鞍点连接迈出了一步。
5. 对流扩散问题的超收敛拟间断 Galerkin 方法
A Super-Convergent Quasi-Discontinuous Galerkin Method for Advection-Diffusion Problems
作者: Daniel Y Le Roux
类别: math.AP, math.NA
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.29818v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.29818v1
摘要翻译
中文标题: 对流扩散问题的超收敛拟间断 Galerkin 方法
摘要翻译: 本研究旨在发展用于求解二维对流扩散方程的间断 Galerkin 和非协调有限元方法。离散格式通过一族数值通量进行稳定化，并且通过 Fourier/稳定性分析构造色散关系。研究了线性间断 P1DG 和非协调 P1NC Galerkin 离散。通过检查离散频率（色散关系的解），证明了此处所考察的 P1NC 和 P1DG 格式及通量的长时间稳定性结果。与 P1DG 的 O(h 2 ) 精度相比，还证明了 P1NC 离散频率的超收敛结果（O(h 4 ) 精度）。这些结果与之前一篇关于浅水系统的论文中得到的结果一致。
6. 波动方程边界元方法的稳定性分析：$1d$ 中的弱奇异算子
Stability analysis of boundary element methods for the wave equation: The weakly singular operator in $1d$
作者: Daniel Hoonhout, Richard Löscher, Carolina Urzúa-Torres
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.29795v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.29795v1
摘要翻译
中文标题: 波动方程边界元方法的稳定性分析：$1d$ 中的弱奇异算子
摘要翻译: 我们讨论波动方程稳定离散的试探空间与检验空间对的构造。基于一个一般抽象算子理论框架，我们展示如何为基于间接单层位势拟设、具有给定 Dirichlet 数据的波动方程一维边界元格式推导最优配对。在此设定下，最优检验空间可以解析计算，并具有物理解释，反映了底层算子的非局部性质。
7. BGG序列的稀疏网格离散化
Sparse-grid discretizations of BGG sequences
作者: Yihanqi Hu, Yuwen Li
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.29516v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.29516v1
摘要翻译
中文标题: BGG序列的稀疏网格离散化
摘要翻译: 我们发展了Bernstein–Gelfand–Gelfand (BGG)复形的首个张量积稀疏网格有限元离散。Alpert小波及其一阶和二阶原函数产生不连续、连续和连续可微分段多项式的相容层级，这些可作为BGG稀疏网格有限元的一维构件。我们构造了一个有界交换稀疏网格投影，该投影为Hessian、弹性和div-div复形产生稳定的离散势。在混合Sobolev正则性下，我们证明了稀疏网格逼近估计，其在自由度数目上具有与维数无关的收敛速率。针对三维不相容问题和圆环域上的二维双调和问题的实验说明了稀疏网格相对于全网格的效率。
8. 非均质和各向异性扩散问题的杂交导出内罚 Nitsche 方法
A hybridization-derived interior penalty Nitsche method for heterogeneous and anisotropic diffusion
作者: Vincent Fontaine
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.29214v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.29214v1
摘要翻译
中文标题: 非均质和各向异性扩散问题的杂交导出内罚 Nitsche 方法
摘要翻译: 我们针对非均质和各向异性扩散问题建立了一个内罚 Nitsche 有限元格式，该格式由内罚稳定化 Lagrange 乘子法导出。所导出方法的一个显著特点是同时结合了两种常用的稳定化策略：(i) 类似于 Nitsche 方法的边界罚机制；(ii) 如连续内罚 (CIP) 方法中的内罚机制。此外，数值通量的法向分量在网格骨架上是单值的，并具有闭式表达。我们建立了杂交 Lagrange 乘子格式与其凝聚的内罚 Nitsche (IPN) 形式之间的等价性，并给出后者的稳定性与收敛性分析。对于充分正则的解，我们为三种对称性变体建立了能量范数误差估计。在共轭问题的分片椭圆正则性假设下，$L^2$ 估计对对称变体是最优的，而对不完全变体和非对称变体则出现半阶损失；其常数可能通过共轭正则性常数依赖于扩散系数。这种具有闭式表达的单值数值法向通量为局部守恒的 $H(\mathrm{div})$-协调通量重构提供了起点，留待未来工作。数值实验验证了理论结果。
9. 热辅助沉降模型的混合有限元方法
Mixed finite element methods for a heat-assisted model of sedimentation
作者: Julio Careaga, Cristian Inzunza
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-20
arXiv ID: 2610.28903v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.28903v1
摘要翻译
中文标题: 热辅助沉降模型的混合有限元方法
摘要翻译: 分析了一个包含热效应的固结-沉降过程模型。该模型源于对矿物悬浮液热辅助沉降的新应用。浓度和温度的对流-扩散方程组与体积平均速度及压力的流动方程耦合。模型补充了 Dirichlet 和混合边界条件。通过混合变分形式分析该系统的准静态方法，其中引入附加变量，如伪应力张量以及温度和浓度的梯度变量。在数据小性和解具有附加正则性的假设下，利用 Babu{\v s}ka-Brezzi 理论和 Banach 不动点定理证明了该系统解的存在唯一性。提出并分析了一个基于有限元空间的离散格式，并借助 Brouwer 不动点定理得到解的存在性。此外，针对混合格式推导了 Céa 估计和先验估计。最后，给出了数值算例以展示模型性能并验证理论收敛阶。
不相关论文（基本信息）
1. 加窗 Anderson 加速何时收敛更快
When Windowed Anderson Acceleration Converges Faster
作者: Gilad Lerman, Teng Zhang
类别: math.NA, stat.CO
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.30073v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.30073v1
摘要: Windowed Anderson acceleration AA($m$) combines at most $m+1$ recent iterates by least squares. For a real affine contraction $x\mapsto Wx+b$ with $q=\|W\| \in(0,1)$, we determine exactly when AA($m$) converges from every starting point with an asymptotic factor below $q$. We give a polynomial criterion for this improvement and an equivalent spectral condition: there is no probability distribution on the phases of the eigenvalues of modulus $q$ whose first $m$ cosine moments are $q,q^2,\ldots,q^m$. If such a distribution exists, we construct a starting point from which AA($m$) reproduces fixed-point iteration at every step. Otherwise, over a fixed number of consecutive steps, every run contracts the residual norm by a common factor strictly smaller than the corresponding power of $q$. The polynomial criterion also gives explicit convergence-rate bounds with constants independent of the dimension. When $q$ equals the spectral radius, this characterizes improvement over the asymptotic convergence factor of fixed-point iteration. For general affine contractions, the asymptotic factor never exceeds the numerical radius of $W$, and a related moment condition gives a uniform upper bound strictly below that radius.
2. 基于 Kolmogorov-Arnold 网络的可处理推断
Tractable Inference with Kolmogorov-Arnold Networks
作者: Juan Diego Toscano, Sascha Ranftl, Zhiwei Gao, Li-Lian Wang, George Em Karniadakis
类别: physics.comp-ph, cs.LG, math.NA
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.29909v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.29909v1
摘要: Machine-learning surrogates in computational science often require not only accurate predictions but also expectations, variances, conserved integrals, and normalization constants. Conventional neural networks, including Kolmogorov–Arnold networks (KANs), generally evaluate these quantities through Monte Carlo sampling or multidimensional quadrature, making repeated inference costly, particularly in high dimensions. We introduce KANs with Tractable Operators for Uncertainty and Constraints (TOUCKANs), whose finite-degree polynomial outer functions yield a decomposable sum–product representation. Under factorizing input measures, expectations and higher moments then reduce algebraically to deterministic recursions over one-dimensional leaf integrals. Independent and shared inner-block variants form a parameter-efficiency hierarchy, and a universal-approximation proof for its most restricted member extends to the complete class. The same deterministic operators allow conserved integrals and normalization to be imposed throughout training. Across uniform and Gaussian benchmarks through 50 dimensions, deterministic mean and variance errors remained below the median fixed-budget Monte Carlo errors in every case. TOUCKANs also conserved Cahn–Hilliard mass to machine precision and imposed normalization and orthogonality through deterministic moments, enabling joint computation of the lowest four Schrödinger eigenpairs in two, three, and five dimensions. TOUCKANs therefore connect KAN approximation with tractable probabilistic circuits, making statistical operators and integral constraints directly available within an expressive neural surrogate.
3. Swarmlet：一种面向耦合多旋翼气动与飞行动力学的GPU常驻重表述涡粒子方法
Swarmlet: a GPU-resident reformulated vortex particle method for coupled multirotor aerodynamics and flight dynamics
作者: Wyatt James Horne
类别: math.NA, physics.flu-dyn
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.29867v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.29867v1
摘要: We present Swarmlet, a GPU solver for the unsteady aerodynamics and flight dynamics of one or many multirotor vehicles. The wake is a meshless, evolving-core vortex particle field in the reformulated (rVPM) large-eddy formulation, coupled to rotor models of three fidelities, six-degree-of-freedom vehicles and flight control. Particles carry a smooth core of compact support whose field outside four core radii is exactly the singular Biot-Savart field, so the multipole far field of the treecode carries no regularization error. The subfilter closure is a dynamic eddy viscosity on a fixed filter width, applied by core spreading with a Lagrangian exchange of its local excess under an explicit stability bound, and the strengths are relaxed by projection; global corrections make both the exchange and the relaxation conserve total vorticity and linear impulse. All rotor models shed connected bound circulation, the disks along the arcs swept in each step however long, so the wake receives the lift impulse. The solver agrees with direct summation to $5\times 10^{-7}$ and converges at third order in time. Without calibration, an actuator-line model that includes its own near sheet predicts the hover thrust of a DJI 9443 propeller within 2%. With calibrated section polars it reproduces a Crazyflie propeller’s thrust and torque within 3.2% at three speeds and the near wake of a hovering quadrotor with relative $L^2$ differences of 0.08-0.21 against particle image velocimetry, while the wake keeps the delivered impulse. A closed-loop formation of 100 quadrotors, run at a coarser setting on one GPU, illustrates the coupled method at swarm scale.
4. 体外淀粉消化动力学、形式分析及新动力学模型
In vitro starch digestion kinetic, formal analysis and new kinetic model
作者: Flavien Alonzo, Yuzi Wang, Luc Saulnier, Jean-Philippe Ral, Kamal Kansou
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.29806v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.29806v1
摘要: Describing mathematically the kinetics of the enzymatic hydrolysis of starch is a crucial part of nutrition and industrial applications studies. The majority of math models aim to fit the hydrolysis-extent curve ($X\_t$), so-called digestogram, whose simple shape which can be fitted equally well by various math models. A relevant model of starch digestion kinetics should be more specific of the phenomenon. This study proposes a novel analytical framework that jointly fits the hydrolysis-extent curve ($X\_t$) and the instantaneous reaction-rate coefficient ($k\_a(t)$). A large dataset comprising 672 wheat-starch time-course measurements (including normal, waxy, and high-amylose genotypes), and additional experiments on other botanical starches was analysed. Standard First-Order and Weibull models were compared with two newly derived kinetic formulations \eqref{Eq.11} and \eqref{Eq.12} based on expected starch hydrolysis’ phenomenon by which $k\_a(t)$ tends with time towards an asymptotic-rate constant value, $k\_e$, following a characteristic relaxation time ($τ$). A mathematical proof of the existence of $k\_e$, specific of the type of starch, is provided, based on an analysis of the Weibull’s parameters. Model ability to fit both $X\_t$ and $k\_a(t)$ was assessed by examining coefficients of determination ($R^2$) for both data types, and its adjusted version ($R^2\_{adj}$) was used to compare performances between models. All models fit very well $X\_t$ data, while $k\_a(t)$ is much more discriminant of the model formulation. Wheat starch types are well distinguished, regarding ke, by the new models, with higher susceptibility to amylase for waxy samples ($\approx 5.7\times 10^{-3} min^{-1}$), than normal ($\approx 2.2\times 10^{-3} min^{-1}$) and high-amylose ($\approx 1.7\times 10^{-3} min^{-1}$) ones. The new models outperformed the other models for monotonic evolution of $k\_a(t)$, particularly digestion of high-amylose, and allow a more accurate estimation of $k\_e$. However, the analysis also highlighted limitations for modelling non-monotonic kinetics observed for waxy wheat starch digestion, suggesting a need for more sophisticated differential-equation descriptions for $k\_a(t)$. Overall, the combined fitting strategy provides a robust method for extracting physically meaningful kinetic parameters, facilitating deeper insight into the factors controlling starch digestion and supporting the development of more accurate predictive models for glycaemic response and food processing.
5. 含非线性对流输运的热孔弹性问题的参数鲁棒可并行迭代解耦算法
Parameters Robust Parallelizable Iterative Decoupled Algorithms for Thermo-Poroelasticity with Nonlinear Convective Transport
作者: Ziliang Li, Jingzhi Li
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.29668v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.29668v1
摘要: This paper presents several parallel iterative algorithms for the nonlinear thermo-poroelasticity. We introduce an auxiliary variable to transform the original model into a four-field formulation to overcome Poisson locking. The iterative idea is extended to linearize and decouple the four-field model. Different coupling strategies are employed among these three subproblems, combined with appropriately designed iteration settings, yielding distinct iterative parallel algorithms. Stabilization terms are incorporated into these algorithms to ensure parameter robustness in extreme situations. We derive error estimates and prove the convergence of these parallel iterative decoupled algorithms. Finally, numerical experiments are presented to compare the performance of the different parallel algorithms in extreme parameter settings, thereby validating their efficiency and robustness.
6. 矩阵常微分方程最优控制的动态低秩逼近
Dynamical low-rank approximations for the optimal control of matrix ODEs
作者: Benjamin Carrel, Tommaso Vanzan
类别: math.NA, math.OC
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.29554v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.29554v1
摘要: We consider the open-loop optimal control of a dynamical system whose state is described by a time-dependent matrix $X(t)\in\mathbb{R}^{m\times n}$. Gradient-based optimization methods may incur substantial computational and memory costs, particularly for large-scale systems and fine temporal discretizations. To alleviate this computational burden, we develop a mathematical framework to use Dynamical Low Rank Approximations (DLRA) in optimal control problems. We study two distinct paradigms: the first one, called Optimize-then-Project (OtP), first derives the optimality system and then approximates both the state and adjoint equations using DLRA. The second one, called Project-then-Optimize (PtO), first replaces the state equation with its DLR approximation, and then derives the optimality conditions for the resulting optimization problem. The two approaches differ fundamentally concerning the role of the adjoint variable. In OtP, the adjoint variable evolves on the manifold of fixed rank matrices, whereas in PtO, the adjoint variable belongs to the tangent space to the fixed-rank manifold at the evolving state variable. This latter formulation leads to a covariant ODE describing the dynamics of the adjoint variable as the underlying tangent space evolves in time. For both approaches we establish rigorous error estimates for the approximated gradients, identifying how their accuracy depends on the low-rank approximations of initial and terminal conditions, the components of the state and adjoint vector fields normal to the relevant tangent spaces, the stability properties of the dynamics, and the manifold curvature. PtO further requires tailored time discretization strategies for the adjoint covariant ODE, which we show to be robust against small singular values of the state variable. To illustrate the framework, we apply these methods to the optimal control of a random parabolic PDE.
7. 基于多层蒙特卡罗的贝叶斯反问题序贯熵正则最优传输
Sequential Entropic Optimal Transport for Bayesian Inverse Problems via Multilevel Monte Carlo
作者: Jason Beh, Pierre Del Moral, Ajay Jasra
类别: math.NA, stat.CO
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.29546v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.29546v1
摘要: We consider the problem of Bayesian estimation associated to inverse problems governed by partial differential equations (PDEs). In most cases of practical interest, one must use numerical solvers to implement computational methods based on Monte Carlo methods. This inevitably leads to an adaptation of multilevel Monte Carlo (MLMC) methods to reduce computational efforts to achieve a pre-specified mean square error (MSE). MLMC is based on sampling coupled versions of Bayesian posteriors associated to increasingly precise numerical solves of the PDE. In this article we present a novel method to implement MLMC based upon sequential entropic optimal transport couplings learned with light Schrödinger bridges, and correct the transport with Metropolis–Hastings steps that preserve the pairing. We bound the mean square error associated to a version of our new estimation method and show, for an elliptic inverse problem, that to achieve a MSE of $\mathcal{O}(δ^2)$ ($δ>0$) one can have an optimal cost of $\mathcal{O}(δ^{-2})$. The results feature explicit bounds on the effect of the fitted transport and of the Metropolis–Hastings correction. From a numerical perspective, on elliptic, Darcy-flow and Navier-Stokes problems, the method reduces the variance of the most precise solver by a factor of five to ten and is faster than multilevel sequential Monte Carlo [arXiv:1503.07259] at tight accuracies.
8. Monge–Ampère 方程的一种基于恢复的线性有限元方法
A recovery based linear finite element method for the Monge–Ampère equation
作者: Tianyang Chu, Hailong Guo, Zhimin Zhang
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.29536v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.29536v1
摘要: In this paper, we study finite element approximations of a fourth-order perturbed semilinear partial differential equation that arises naturally in the computation of viscosity solutions to the fully nonlinear Monge–Ampère equation. We develop a novel recovery-based $C^0$ linear finite element method for discretizing this model problem. The key analytical tool is a Miranda–Talenti-type estimate for the recovery operator, which guides the formulation of the discrete scheme and guarantees its well-posedness. We rigorously establish convergence in the $H^2$ norm by employing a fixed-point argument. Furthermore, optimal $H^1$-error estimates are derived using a duality argument. Numerical experiments confirm the efficiency of the proposed method and validate the theoretical convergence results.
9. 低 NFE 生成流的密度层面后向误差
Density-Level Backward Error for Low-NFE Generative Flows
作者: Ewsey Obzherin, Valentin Khrulkov
类别: cs.LG, math.NA, stat.ML
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.29475v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.29475v1
摘要: Low-NFE generative ODE sampling is constrained not only by solver order, but also by how a fixed budget of network evaluations is distributed along the flow. We develop a density-level backward-error framework that identifies the component of a solver’s modified-equation defect that changes the evolving marginal, while excluding solenoidal trajectory distortion that is invisible in Wasserstein tangent geometry. The resulting residual induces a solver-order-aware compute-allocation rule and, through gauge freedom, an objective for selecting numerically favorable velocity representatives of the same density path. This separates our approach from schedule search driven by trajectory or endpoint surrogates and from higher-order solver design. Exact Gaussian and mixture models establish the mechanism, including cases where curvature-based allocation fails and continuum-optimal transport is not discretization-optimal. On a pretrained CIFAR-10 EDM probability-flow ODE, density-aware allocation consistently improves fixed-update Euler sampling in the low-NFE regime. Matched-seed convergence to a dense Euler reference confirms that the method accelerates approximation of the same high-NFE flow rather than changing the asymptotic sampler.
10. 含浓度垂向剖面的悬浮泥沙一般函数基矩模型
General function bases moment models for suspended sediment with vertical profile of concentration
作者: Celia Caballero-Cárdenas, José Garres-Díaz, Irene Gómez-Bueno, Tomás Morales de Luna
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.29468v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.29468v1
摘要: We introduce a general hydrostatic shallow moment framework for suspended sediment transport with vertically varying horizontal velocity and concentration profiles. The formulation is constructed over arbitrary vertical functional bases that are numerically orthogonalised via the Gram-Schmidt algorithm. This approach allows the approximation spaces for the vertical profile to be adapted to the specific structure of each physical variable, where also the velocity and sediment concentration can be projected onto different functional spaces. To overcome the limitations due to the inherent oscillatory nature of global Legendre polynomials, we explore a specific continuous piecewise linear $\mathbb{P}_1$ finite-element basis. Furthermore, non-uniform vertical partitions are considered, enabling an enhanced representation of the vertical profiles in specific regions. Numerical experiments involving boundary layers and suspended sediment transport demonstrate that the proposed framework is accurate to reproduce the expected vertical profiles. The improvement is particularly significant for sediment concentration profiles with sharp vertical variations, where polynomial reconstructions exhibit pronounced oscillations leading to physically meaningless profiles, whereas the $\mathbb{P}_1$ bases produce a qualitatively accurate representation of the vertical profiles observed in the sedimentation processes.
11. 基于联合杠杆分数采样的近似矩阵乘法
Approximate Matrix Multiplication through Joint Leverage Score Sampling
作者: Neophytos Charalambides, Mert Pilanci, Alfred O. Hero
类别: math.NA, eess.SP
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.29466v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.29466v1
摘要: In this paper, we investigate approximate matrix multiplication through random sampling. Specifically, we propose using a non-uniform sampling distribution constructed from the leverage scores of the two matrices, and characterize the associated approximation error in terms of the matrix spectral norm; which is well-known to better characterize the downstream error when the matrix product operator is applied to an input vector. We provide the probability error bounds for the proposed algorithm are also given, and discuss connections to data-oblivious approximate matrix multiplication, and graph sparsification algorithms.
12. 指定阶数的四元数 CP 分解：模型、算法与应用
Order-Specified Quaternion CP Decomposition: Models, Algorithms, and Applications
作者: Jifei Miao, Niansheng Tang, Michael K. Ng, Juan Han, Kit Ian Kou
类别: math.NA
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.29370v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.29370v1
摘要: Tensor CP decomposition serves as a fundamental tool for representing multiway data. While quaternion tensors are well suited to modeling color visual data, extending CP decomposition to the quaternion domain is nontrivial due to the noncommutativity of quaternion multiplication. This paper develops an order-specified quaternion CP decomposition (OS-QCP) for third-order tensors, allowing all three factor matrices to be quaternion-valued and explicitly incorporating their multiplication order into the model. We show that different multiplication orders can yield different OS-QCP ranks for the same quaternion tensor, characterize the permutation and quaternion scaling indeterminacies, and establish a sufficient condition for essential uniqueness for any prescribed multiplication order. An explicit example further shows that OS-QCP rank can depend on the multiplication order even when the complex representation of the quaternion tensor admits an essentially unique CP decomposition. An alternating least-squares (ALS) algorithm is derived by expressing quaternion left and right multiplication as real linear operators, reducing each factor update to real least-squares problems. To accommodate order dependence in tensor completion, we further introduce an order-ensemble quaternion CP (OE-QCP) model that incorporates different multiplication orders through nonnegative weights. The model jointly estimates three quaternion factor matrices and the order weights, with each single-order OS-QCP model included as a special case. The resulting completion problem is solved by a parallel row-wise masked ALS algorithm. Experiments on color video inpainting demonstrate the effectiveness and competitive performance of the proposed method.
13. 神经向量场变换：通过共轭到显式可积参考流学习自治系统的流
Neural Vector Field Transformations: Learning the Flow of Autonomous Systems by Conjugation to Explicitly Integrable Reference Flows
作者: Andrew Qing He
类别: math.DS, math.NA
发布日期: 2026-10-21
arXiv ID: 2610.29039v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.29039v1
摘要: We represent the flow map of an autonomous ODE $\dot x=f(x)$ as a conjugate $Φ_t=F_θ^{-1}\circΨ_t\circ F_θ$ of an explicitly integrable reference flow $Ψ_t$ by an invertible neural network $F_θ$, the neural vector field transformation. The representation is an exact flow for every parameter value and inherits the phase portrait of the reference. A $C^1$ conjugacy preserves the eigenvalues of equilibria, the periods and Floquet multipliers of periodic orbits and the frequency-amplitude relation of centers, so these invariants must be learnable parameters of $Ψ$. We give parametrized reference flows with explicit integral curves, show that an action-angle reference is Hamiltonian only if its learnable frequency map is a gradient, and show that an orientation-preserving $F_θ$ cannot reverse the rotation sense of the reference, so it must be fixed before training. The main contribution is a training recipe: a push-forward equation residual made relative to $|f|$ and sampled log-uniformly in $|x|$ around an equilibrium, with the anchors $F_θ(0)=0$, $DF_θ(0)=I$; a symplectic transformation with the gradient-form frequency map; and invariants initialized from the field or data. With it the full spectrum of a three- and a six-dimensional nonlinear sink is recovered (eigenvalue deviation $8.3\times10^{-3}$ and relative error 2.3%, three seeds each), and the action-angle variables of a four-dimensional integrable Hamiltonian system with frequency maps and actions correct to a median of 0.09% and 0.22%, and an exactly symplectic flow. On a dispersive system a time-input network is eight times more accurate inside its horizon, and the data-only identification of the Van der Pol oscillator yields a conjugacy on the data region with the Floquet exponent 17% off; an oracle run with the true invariants frozen attributes this to the expressivity of $F_θ$.
14. DSINC 超越 Heston：3/2 模型及其他非仿射随机波动率模型
DSINC beyond Heston: the 3/2 and other non-affine stochastic-volatility models
作者: Andrey Itkin
类别: q-fin.CP, math.NA, q-fin.MF, q-fin.PR
发布日期: 2026-10-20
arXiv ID: 2610.28847v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.28847v1
摘要: This paper extends the damped-sinc (DSINC) method for American options beyond the affine Heston class to general one-factor stochastic-volatility models. We show that the collapse identity, which reduces the early-exercise integral to a single spectral integral, remains valid for these models. Damping between zero and one is admissible whenever the discounted spot is a nonnegative local martingale. An Itô transformation of the volatility factorizes the conditional characteristic function and identifies a natural coordinate for approximating the exercise boundary. The 3/2 model admits closed-form joint transforms in terms of Kummer functions, while uncorrelated SABR admits a Bessel representation. When a practical closed-form transform is unavailable, the required volatility integral is computed directly by solving one backward equation per frequency, without a grid in the log-price. Through a known change of volatility coordinate, this approach also accommodates correlated SABR. Tests on the 3/2, SABR, GARCH and lognormal-volatility models show agreement with fine finite-difference benchmarks to within one basis point of the strike. Computational cost is comparable to or lower than that of our finite-difference implementation, except for the slower Hankel implementation of uncorrelated SABR.
15. 扰动系统上共轭梯度法的基于紧缩的谱预处理
Deflation-Based Spectral Preconditioning for the Conjugate Gradient Method on Perturbed Systems
作者: Youssef Diouane, Selime Gürol, Oussama Mouhtal, Dominique Orban
类别: math.NA, math.OC
发布日期: 2026-10-20
arXiv ID: 2610.28808v1
链接: http://arxiv.org/abs/2610.28808v1
摘要: We consider sequences of large symmetric positive-definite linear systems in which spectral information from a reference matrix $A$ is reused to accelerate the solution of a nearby system with perturbed matrix $A(t)=A+tE$, where $E$ is symmetric, $\|E\|_F=1$, and $t\geq0$ is the perturbation size. We compare deflated conjugate gradient (deflated CG) with preconditioned CG (PCG) equipped with a scaled spectral preconditioner constructed from the same spectral information of $A$. First, we derive an energy-norm error characterization of deflated CG. We then use perturbation analysis to show that, after one additional PCG iteration, the squared PCG error is bounded, up to terms of order $t^2$, by an explicit multiple of the squared deflated CG error. This result clarifies the role of the scaling parameter in the preconditioner. Experiments show that the scaled spectral preconditioner recovers much of the convergence improvement provided by deflation while requiring fewer products with $A(t)$.