[{"content":"生成时间: 2026年10月28日 16:30:41\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 5\n不相关论文数量: 17\n了解领域论文（摘要翻译） 1. AMOR：任意网格与不规则三维几何上算子学习的自适应模态算子精化 AMOR: Adaptive Modal Operator Refinement for Operator Learning on Arbitrary Meshes and Irregular 3D Geometries\n作者: David Voderholzer, Leonard Vetter, Thomas O\u0026rsquo;Leary-Roseberry\n类别: math.NA, cs.CE, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-10-27\narXiv ID: 2610.37485v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.37485v1\n摘要翻译 中文标题: AMOR：任意网格与不规则三维几何上算子学习的自适应模态算子精化\n摘要翻译: 科学与工程中的参数化 PDE 通常定义在不规则网格上，其几何可能包含孔洞或复杂边界，然而诸如傅里叶神经算子（FNO）等流行的算子代理架构依赖结构化几何来实现快速计算核。我们引入自适应模态算子精化（AMOR），它用降基块替代 FNO 基于傅里叶的谱卷积，并通过统一的编码/解码接口支持数据驱动基和预设输入/输出基。因此，AMOR 可未经修改地应用于任意网格；并且由于其谱参数化对空间维度没有张量积依赖，它能有利地扩展到三维，而在三维中 FNO 的谱权重随谱模态数 $m$ 以 $m^3$ 增长。我们证明 AMOR 是连续算子的通用逼近器。在二维结构网格基准上，AMOR 总体上与 FNO 具有竞争力并超过 PCANet：它在非线性扩散和 Helmholtz 问题上优于 FNO，而静态快照基使其在时间相关的 Kolmogorov 流问题上无法达到 FNO 的精度。在三维问题上，它在线性弹性静力学上以更低的推理成本达到或超过 FNO 的精度，而在湍流顶盖驱动方腔流上落后于 FNO，并能有利地扩展到需要高容量的问题。在不规则网格上，FNO 不能直接适用，AMOR 相对于 FNO 的扩展 Geo-FNO 将相对 $L^2$ 误差降低 $31\\%$（翼型）和 $42\\%$（弹性）。最后，AMOR 在一个拓扑非平凡的三维飞机肋网格上，在三个物理上不同、由实验启发的载荷工况中保持强劲性能，证明其无需修改即可适用于现实工程问题。\n2. 椭圆方程的算子 Barron 正则性及其在神经算子逼近中的应用 Operator Barron Regularity for Elliptic Equations and Application to Neural Operator Approximation\n作者: Shuhao Cao, Ruchi Guo, Daniel Zhengyu Huang, Na Liu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-27\narXiv ID: 2610.37101v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.37101v1\n摘要翻译 中文标题: 椭圆方程的算子 Barron 正则性及其在神经算子逼近中的应用\n摘要翻译: 我们建立了一个面向无限维函数空间之间非线性算子的谱 Barron 正则性框架。利用有限维输入截断的取值于 Hilbert 空间的 Fourier 表示，我们建立了关于输入截断维数一致的界，并证明了一类椭圆解算子的任意阶 Barron 正则性。其次，我们利用这种算子 Barron 正则性推导了 FNO 型神经算子的逼近误差界，该界显式依赖于输入截断维数、输出重构维数和网络宽度。对于固定的输入截断维数，在 Barron 正则性阶数上优化神经逼近界，可得到逼近误差随网络宽度呈拉伸指数衰减。我们还给出了一些数值实验来支持所预测的速率。\n3. 非均匀声学介质中的运动点源反问题：唯一性、稳定性与重构 An inverse moving point source problem in inhomogeneous acoustic media: uniqueness, stability and reconstruction\n作者: Dong Qiu, Xiang Xu, Yue Zhao\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-10-27\narXiv ID: 2610.36830v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.36830v1\n摘要翻译 中文标题: 非均匀声学介质中的运动点源反问题：唯一性、稳定性与重构\n摘要翻译: 本文研究非均匀声学介质中未知运动点源的轨迹与强度的同时反演。我们证明，在有限时间区间上的全边界测量唯一确定该运动源。此外，在适当的传播假设与秩假设下，利用源区域外四个固定接收器测得的波形，得到了确定轨迹与强度的 Lipschitz 稳定性。提出了一种新的 Volterra\u0026ndash;Euler 重构格式用于求解该反问题，并给出了该格式的误差估计。数值实验验证了所提数值方法的有效性。\n4. 各向异性曲线缩短流的参数有限元逼近的极小化运动框架 A minimizing-movement framework for parametric finite element approximation of anisotropic curve shortening flows\n作者: Wei Jiang, Chunmei Su, Ganghui Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-27\narXiv ID: 2610.36753v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.36753v1\n摘要翻译 中文标题: 各向异性曲线缩短流的参数有限元逼近的极小化运动框架\n摘要翻译: 我们提出了一个极小化运动框架，用于构造各向异性曲线缩短流的参数有限元方法（PFEMs）。其基石是一个容许的修正能量：一个光滑、凸且依赖于迭代的替代泛函，它优超原各向异性能量，并在当前迭代点与之一致。对于任意固定的有限元次数 $n\\geq1$ 和任意正表面能密度 $γ\\in C^2(\\mathbb{S}^1)$，只要当前离散曲线的参数导数在任何网格单元上不为零，无约束单步问题对任意时间步长都有唯一解。它还满足单步离散能量耗散不等式。因此，它保持了底层 $L^2$-梯度流的变分结构。该框架恢复了对 Dziuk 各向同性格式的一种变分解释，并直接适用于弱各向异性情形。对于强各向异性，凸分裂去除了对原始密度的弱各向异性限制。一个标量约束进一步将该框架推广到保面积流。数值实验对光滑的各向同性和弱各向异性算例展示了大致预期的收敛性。它们也证实了能量耗散和面积保持。在强各向异性情形下，计算产生了尖锐的类小平面轮廓，但在网格加密下暴露出网格尺度振荡。\n5. 面向网格协调与浸入式近不可压缩弹性分析的具有间断压力的局部稳定化等几何格式 A Local Stabilized Isogeometric Formulation with Discontinuous Pressure for Mesh-Conforming and Immersed Analysis of Nearly Incompressible Elasticity\n作者: Ashkan Ali Madadi, Thomas J. R. Hughes\n类别: cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-10-26\narXiv ID: 2610.36349v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.36349v1\n摘要翻译 中文标题: 面向网格协调与浸入式近不可压缩弹性分析的具有间断压力的局部稳定化等几何格式\n摘要翻译: 近不可压缩材料出现在软组织、弹性体、凝胶和其他软固体中。然而，数值建模仍然具有挑战性，因为基于位移的格式在接近不可压缩时可能出现体积锁定。混合位移-压力格式解决了这一困难，但需要满足 inf-sup 条件的相容近似空间。在混合格式中，间断压力空间具有吸引力，因为压力自由度可以局部凝聚。然而，在高阶等几何分析中，其 Galerkin 稳定性要求压力网格粗化，且粗化程度随多项式次数增加。本文提出一种变分多尺度（VMS）稳定化混合等几何格式，在保留这种局部性的同时显著放宽该限制。关键观察是：VMS 稳定化控制单元内非常数压力模态，并且只要单元内常数压力分量满足 inf-sup 条件，该稳定化关于其参数无条件稳定。因此，对于最大连续位移样条，粗化因子为 2 的压力网格满足常数模态 inf-sup 判据，且与多项式次数无关。局部凝聚随后得到仅含位移的系统，便于在现有位移求解器中使用。该格式进一步扩展到浸入等几何分析，采用扩展 B-splines、压力单元聚合、基于细分的切割单元求积以及本质边界条件的弱施加。在 Kirsch 和 Cook\u0026rsquo;s membrane 基准中的离散 inf-sup 研究与收敛性分析证明了稳定性，并表明浸入处理保持了混合稳定性性质。因此，所提出的框架为网格协调和浸入设置下的近不可压缩问题提供了一种局部、高阶且稳健的方法。\n不相关论文（基本信息） 1. 强稳定性保持 Runge\u0026ndash;Kutta 方法的相位型表示 Phase-type representations for Strong Stability Preserving Runge\u0026ndash;Kutta methods\n作者: Haijun Yu, Quafan Zhu, Zhanyang Weng\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-10-27\narXiv ID: 2610.37425v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.37425v1\n摘要: We develop a phase-type (PH) representation of strong stability preserving (SSP) Runge\u0026ndash;Kutta (RK) methods. This representation provides a probabilistic interpretation of the RK coefficients and translates the chain order conditions into absorption-time moment identities. Using moment ratio bounds for PH distributions, we prove the conjectured optimal SSP coefficients for general implicit RK methods of orders two and three. The equality characterizations also establish uniqueness of the optimal RK tableaux.\n2. 双线性二次输出系统的截断 $\\mathcal{H}_2$ 最优模型降阶 Truncated $\\mathcal{H}_2$ Optimal Model Order Reduction for Bilinear Quadratic Output Systems\n作者: Heike Faßbender, Serkan Gugercin, Till Peters\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-27\narXiv ID: 2610.37387v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.37387v1\n摘要: We develop an $\\mathcal{H}_2$ model reduction framework for polynomial bilinear systems with quadratic outputs. We define the associated $\\mathcal{H}_2$ norm and show its consistency with the established norm in the original (non-polynomial) BQO case. We derive first-order necessary conditions for $\\mathcal{H}_2$ optimal model reduction of these polynomial systems and use them to construct an efficient iterative algorithm for computing reduced BQO models that approximately satisfy these conditions. Numerical results on two examples demonstrate the accuracy and effectiveness of the proposed reduction approach.\n3. 面向无导数 PDE 约束反问题的多保真度变分推断 Multifidelity variational inference for derivative-free PDE-constrained inverse problems\n作者: Eric J. Parish\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-27\narXiv ID: 2610.37359v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.37359v1\n摘要: We develop a multifidelity black-box variational inference (MF-BBVI) approach for PDE-constrained Bayesian inverse problems in which forward solves are expensive and PDE gradients are unavailable. The method is built on score-function estimators for the evidence lower bound (ELBO), which avoid differentiation through the PDE model but are known to suffer from high variance. To address this high variance, we employ multifidelity approximate control-variate estimators that combine a small number of high-fidelity samples with a larger number of low-fidelity samples to reduce estimator variance and the number of high-fidelity evaluations required for optimization. We further develop a PDE-derivative-free second-order optimization strategy based on both gradient and Hessian score-function estimators. For low-fidelity model generation, we propose an on-the-fly strategy that builds and adaptively updates a reduced-order model (ROM) as the variational distribution evolves throughout the optimization. We investigate strategies for adapting the ROM and estimating the approximate control-variate gains, examining tradeoffs between estimator bias, variance reduction, and computational cost. The resulting approach facilitates derivative-free variational inference for large-scale inverse problems through a reduction in overall computational cost. We demonstrate the method on four numerical examples: a linear benchmark with an exact posterior and three PDE-constrained inverse problems.\n4. 带正型记忆项的发展方程有限元逼近的后验误差分析 A Posteriori Error Analysis of Finite Element Approximation to an Evolution Equation with a Positive-Type Memory Term\n作者: Sandhya Mel, Amiya Kumar Pani, Gujji Murali Mohan Reddy\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-27\narXiv ID: 2610.37264v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.37264v1\n摘要: This paper develops reliable a posteriori error estimates for finite element approximation of an evolution equation with a positive-type memory kernels on bounded convex polygonal or polyhedral domains, including both smooth and weakly singular kernels. For the weakly singular kernel $t^{α-1}/Γ(α),\\; 0\u003cα\u003c1,$ the model captures the transition from parabolic diffusion to wave propagation, recovering the corresponding limiting equations as $α\\to0^+$ and $α\\to1^-$, respectively, with the memory term governing the intermediate dynamics. The spatial discretization employs time-dependent finite element spaces, while the backward Euler method combined with numerical quadrature is used for time integration. A unified \\emph{a posteriori} analysis is established for both semidiscrete and fully discrete approximations. Elliptic reconstruction yields optimal spatial error estimates, while a memory-lag estimate preserves the essential cancellation in the convolution term, yielding a first-order temporal estimator whose kernel dependence is characterized by its integral. The resulting estimators are robust, with constants independent of the final time, spatial mesh size, and time step. Their kernel dependence involves only computable quantities, avoiding exponential growth in time. Moreover, for the weakly singular kernel, the $α$-dependent factors remain uniformly bounded for $α\\in(0,1).$ Numerical experiments on a convex domain validate the theoretical results, and a space-time adaptive algorithm is also demonstrated on an L-shaped domain featuring a corner singularity and two temporal layers.\n5. 基于Schrödingerisation的弹性波方程量子线路 Quantum circuits of elastic wave equations via Schrödingerisation\n作者: Shi Jin, Chundan Zhang\n类别: quant-ph, math.NA\n发布日期: 2026-10-27\narXiv ID: 2610.37247v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.37247v1\n摘要: We construct explicit quantum circuits for the velocity-stress formulation of elastic wave equations in homogeneous media using Schrödingerisation. After rewriting the equations in symmetric matrix form(SMF), we use Fourier spectral discretization for source-driven periodic problems and staggered-grid finite differences for Dirichlet, Neumann, and impedance boundary conditions. The Schrödingerisation method transforms any linear PDEs into a system of Schrödinger-type PDEs -with unitary evolution- using the warped phase transformation that maps the equations in one higher dimension. For periodic problems, we develop circuits by combining controlled Fourier-mode rotations. For physical boundaries, interleaved encoding swaps the spatial and field-component registers, enabling a more efficient circuit construction using shift operators. We analyze $p$th-order Trotter-Suzuki formulas and derive splitting-error and CNOT-gate estimates, under the assumptions of smooth auxiliary initialization and solution-state recovery. Comparison with classical partitioned splitting methods identifies a polynomial improvement in spatial-resolution dependence for the quantum state-evolution subroutine. Noiseless circuit simulations of a forced periodic problem and an impedance problem illustrate the constructions and quantify their errors against exact solutions and classical reference computations.\n6. 通过分层退火降低伪边际序贯蒙特卡洛的复杂度 Reducing Complexity of Pseudo-Marginal Sequential Monte Carlo via Hierarchical Tempering\n作者: Josef Martínek, Julian Hofstadler, Alexander M. G. Cox, Robert Scheichl\n类别: stat.CO, math.NA, stat.ME\n发布日期: 2026-10-27\narXiv ID: 2610.37082v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.37082v1\n摘要: The Bayesian approach to inverse problems provides a powerful framework for inferring unknown parameters from noisy observations. Among the computationally most challenging statistical inference problems are problems with intractable likelihoods, especially if no unbiased likelihood estimator is available. We focus on a class of such problems, where a biased likelihood estimator is obtained through a stochastic approximation of a forward map (stochastic solver). Obtaining an empirical posterior approximation in applications is very expensive due to the repeated stochastic solver evaluations required by standard sampling methods. To address this computational bottleneck, we develop a novel algorithm based on a density-tempered marginalized Sequential Monte Carlo (SMC) sampler. Our approach (hierarchical SMC) accelerates inference by leveraging a hierarchy of stochastic solvers with increasing accuracy both along the tempering sequence and within mutation stages of the SMC sampler. We establish, under additional assumptions, that the asymptotic speedup is proportional to the number of tempering stages $T$. We demonstrate computational gains on several examples, including a nonlinear, high-contrast inverse problem arising in photoacoustic medical imaging. On this problem, we demonstrate a speedup by a factor of 14.3, reducing the inference wall-clock time from about 4.6 days to 7.7 hours on an NVIDIA A40 GPU.\n7. 部分饱和土中弹塑性水-力耦合问题的超缩减策略 A hyper-reduction strategy for elastoplastic hydro-mechanical problems in partially saturated soil\n作者: Alba Muixí, Lluís Monforte, Antonio Rodríguez-Ferran, Sergio Zlotnik\n类别: cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-10-27\narXiv ID: 2610.37060v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.37060v1\n摘要: This work proposes a hyper-reduced order model for coupled hydro-mechanical simulations of elastoplastic deformation and water flow in partially saturated soils. These simulations are used to monitor and assess the safety of geotechnical structures such as earthfill dams, where calibration, uncertainty quantification and scenario analysis require solving the same transient model many times for different parameter values. The displacement and the pore pressure are approximated in a field-split reduced basis obtained by proper orthogonal decomposition, and the Galerkin-projected equations are integrated with decomposed cubature rules, one per balance equation, built with the energy-conserving sampling and weighting (ECSW) method. Each residual is split into an affine part and a nonlinear correction: the affine part is computed exactly, at negligible online cost, so that the cubature rule only needs to approximate the correction, which is localized in space. The construction is independent of the constitutive model choices and is implemented in FEniCSx by assembling the original variational forms on the small set of elements selected by ECSW. The method is tested on two- and three-dimensional dams retaining tailings and water, simulating a raise of the dam and the subsequent consolidation phase, with the friction angle, stiffness and hydraulic conductivity of the dam material and the height of the raise as varying parameters. The hyper-reduced model reproduces the displacement and pressure fields with errors below $0.5\\%$ with respect to the finite element solution, achieving speed-ups of up to $43\\times$ in two dimensions and $77\\times$ in three. These performance gains grow with the extent of the plastic yielding, and the selected elements concentrate in the plastified and unsaturated zones, whose size is set by the physics rather than by the mesh resolution.\n8. 随机非线性特征值问题的多层蒙特卡罗方法 Multilevel Monte Carlo methods for random nonlinear eigenvalue problems\n作者: Jürgen Dölz, Jimena Lozano-Simón\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-27\narXiv ID: 2610.36955v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.36955v1\n摘要: We develop a multilevel Monte Carlo (MLMC) estimator to compute statistical quantities of interest of solutions to parameter-dependent nonlinear eigenvalue problems. The main difficulty for this problem is that parametrized eigenpairs often lack a globally well-defined parameter-to-solution map due to crossings and bifurcations. These phenomena render eigenvalue-tracking infeasible in multi-dimensional parameter domains. To overcome this issue, we propose both an Eulerian and a Lagrangian perspective on parameter-to-solution maps for nonlinear eigenvalue problems, which remain well-defined even in the presence of local crossings and bifurcations. Their implementation is based on a straightforward modification of Beyn\u0026rsquo;s contour integral approach. Building on these maps, we propose an MLMC estimator that does not rely on matching eigenvalues or eigenvectors across samples or discretization levels. Nested approximation spaces and inter-level prolongation are only required when statistical quantities of interest related to the eigenspaces are of interest, but not for quantities of interest related to the eigenvalues. We demonstrate the feasibility and validity of our approach by numerical examples using a quasi-Monte Carlo method, including a nonlinear formulation of the Laplace Dirichlet eigenvalue problem on random domains in three dimensions motivated by the work of Steinbach and Unger. To the best of our knowledge, this is the first work considering the approximation of statistical quantities of interest for random nonlinear eigenvalue problems.\n9. 用 GMRES 加速子空间上的交替投影法 Acceleration of the Method of Alternating Projections on subspaces by GMRES\n作者: Luis Manuel Hernández-Ramos, Maryam Calles-Cabriles, Gorka Emaldi-Porco\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-27\narXiv ID: 2610.36938v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.36938v1\n摘要: In this paper we propose a GMRES-accelerated version of the Method of Alternating Projections (MAP) for subspaces. It is proved that the accelerated version not only converges to a feasible solution, but also solves a best approximation problem. Comparisons are made with other accelerations proposed in the literature, for solving saddle point problems.\n10. 从随机游走到骨架：面向交互式蒙特卡罗偏微分方程求解器的可复用输运架构 From Walks to Skeletons: A Reusable Transport Architecture for Interactive Monte Carlo PDE Solvers\n作者: Yunfeng Liao, Yucheng Wu, Xiucheng Li\n类别: cs.GR, math.NA\n发布日期: 2026-10-27\narXiv ID: 2610.36931v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.36931v1\n摘要: Walk-on-Spheres (WoS) enables mesh-free solutions of elliptic PDEs, but conventional methods repeatedly discard sampled trajectories, limiting their efficiency in interactive applications. We introduce reusable transport skeletons, a persistent representation that organizes stochastic walks into a shared computational graph. Our framework enables efficient reuse across spatial queries and boundary conditions, while supporting progressive refinement, structure-preserving compression, and local adaptation to dynamic geometry. It further enables interactive editing of transport between selected regions. Experiments demonstrate substantial computational savings while preserving solution accuracy. By transforming transient stochastic trajectories into reusable transport structures, our method provides a flexible foundation for interactive Monte Carlo PDE solving.\n11. 全隐式形式的随机传染病模型数值解的动力学性质 Dynamic Properties of Numerical Solution for Stochastic Epidemic Models with a Fully Implicit Form\n作者: Zeyao Jin, Zhiming Li, Shenglong Chen\n类别: math.NA, math.PR, stat.AP\n发布日期: 2026-10-27\narXiv ID: 2610.36924v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.36924v1\n摘要: This paper establishes a fully implicit model to investigate the spread of epidemics and studies its dynamic properties, extending the semi-implicit model in Yang et al.(Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 152 (2026) 109140 ). We first employ the split-step backward Euler method to address the non-adaptability arising from backward Euler discretization and ensure the global convergence of the numerical solution. By linearizing the model, the computational cost is reduced at the expense of a slight increase in error, effectively avoiding complex iterative solution processes. Then, we derive the existence, uniqueness, positivity, and boundedness of the numerical solution, and obtain its global convergence order. On this basis, the extinction and persistence of the disease are investigated under three different scenarios. The results indicate that environmental noise is a key factor leading to disease extinction. Finally, numerical simulations visually verify the obtained theoretical conclusions.\n12. ODAT-SE：一个用于基于模拟的反问题的模块化并行框架 ODAT-SE: A modular and parallel framework for simulation-based inverse problems\n作者: Tatsumi Aoyama, Kazuyoshi Yoshimi, Yuichi Motoyama, Akito Nakano, Hengyu Li, Yusuke Konishi, Takeo Hoshi\n类别: math.NA, cond-mat.mtrl-sci\n发布日期: 2026-10-27\narXiv ID: 2610.36746v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.36746v1\n摘要: Open Data Analysis Tool for Science and Engineering (ODAT-SE) is an open-source Python framework for inverse problems that are solved by repeated forward simulations. It succeeds 2DMAT, which was developed for surface-structure analysis with quantum-beam diffraction and has since been applied to other fields. In version 3, the search algorithms were separated from the application-specific solvers, which became independent packages, and the software was renamed; this paper describes the current version 4.0. The framework connects optimization and sampling algorithms to solvers through a common interface for parameter mapping, constraints, and objective evaluation, so that an existing simulation code can be used with any of the algorithms. Relative to the previously published 2DMAT, it provides two-level MPI parallelism, which distributes candidate evaluations over processes and each evaluation over a parallel solver, checkpoint and continuation facilities, random search, global optimizers from SciPy, tensor-train optimization, and a Bayesian workflow that estimates partition-function ratios, model evidence, effective noise levels, and marginal posterior distributions. We validate the Bayesian workflow against closed-form results for a linear regression, benchmark tensor-train optimization on continuous, binary, and mixed-integer problems, and verify the two-level parallelization by the same optimum for all process decompositions. Taking up the positron-diffraction example of the 2DMAT paper, the workflow identifies the correlated structural solutions and an effective noise scale close to the imposed perturbation, while exposing incomplete convergence of symmetry-related mode weights. Solver packages, templates, and a gallery of examples support the use of the framework as a general platform for inverse-problem analysis.\n13. 用于高维反射布朗运动中高效平稳尾部计算的全纯Cauchy网络 Holomorphic Cauchy Networks for Efficient Stationary Tail Computation in High-Dimensional Reflected Brownian Motions\n作者: Kehan Wang\n类别: cs.LG, math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-10-27\narXiv ID: 2610.36558v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.36558v1\n摘要: Stationary tail computation for high-dimensional reflected Brownian motions (RBMs) remains computationally challenging. Building on NN4MGF\u0026rsquo;s shared-coordinate basic-adjoint-relationship (BAR) framework, we develop Holomorphic Cauchy Networks (HCNs). Native complex-valued rational Cauchy subnetworks enforce holomorphicity on pole-free domains, removing sampled Cauchy-Riemann penalties and their input-derivative graphs. Exact origin anchoring and boundary-coordinate exclusion enforce structural identities, while anchored interactions represent dependent transforms. Under holomorphic-log assumptions, we establish simultaneous value and first-derivative approximation for the constrained architectures and a mixed-derivative lower bound for coordinate-only representations under nonzero cross-covariance. Closed-form real-axis derivatives and sequential backpropagation further control memory. On the same NVIDIA H100 NVL, the tested 30D HCN configuration uses approximately tenfold less peak allocated memory and has 9.7-fold lower mean update time than NN4MGF; extrapolation to the respective scheduled update counts gives a projected full-schedule update-time ratio of 58.2. With 64 million sampled base inputs per high-dimensional run, HCN reaches 50 dimensions on a laptop GPU with 6.367% mean relative error over thresholds 1 through 8. Degree-matched comparisons yield lower reported mean relative errors over the primary evaluation ranges, including 1.422% versus 6.684% on the 2D Harrison non-product benchmark. An exploratory 10D correlated example illustrates the interaction extension.\n14. QT-乘积下四元数张量奇异值分解的快速算法及其在彩色视频处理中的应用 A Fast Algorithm for Quaternion Tensor Singular Value Decomposition under the QT-Product with Applications to Color Video Processing\n作者: Daochang Zhang, Yue Zhao, Jingqian Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-27\narXiv ID: 2610.36550v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.36550v1\n摘要: Based on the complex representation of quaternion matrices, this paper revisits the quaternion tensor singular value decomposition (QT-SVD) under the QT-product and establishes the corresponding $z$-block circulant matrix decomposition. We develop an efficient implementation of the QT-SVD. Numerical experiments show that this implementation is substantially faster than QT-SVD based on the quaternion matrix SVD approach \\cite[Theorem~2.3]{AMLzhang2022} while maintaining high numerical accuracy. We further apply the QT-SVD to color video encryption and reconstruction. Experiments on five DAVIS video sequences show that the QT-SVD achieves higher reconstruction quality and shorter decomposition times than the quaternion T-SVD \\cite{tsvdarxiv} under the same processing procedure. Both methods exhibit comparable ciphertext statistics and differential sensitivity, while the QT-SVD introduces less additional distortion under the tested input perturbations.\n15. 基于轨迹优化的最优控制平衡活跃子空间 Balanced Active Subspaces for Optimal Control via Trajectory Optimization\n作者: Emmanuel S. Ameh, Samuel E. Otto\n类别: math.OC, cs.LG, math.DS, math.NA\n发布日期: 2026-10-26\narXiv ID: 2610.36342v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.36342v1\n摘要: The curse of dimensionality associated with solving the Hamilton-Jacobi-Bellman equation for the value function remains a key obstacle for real-time optimal feedback control of high-dimensional nonlinear dynamical systems. This is especially severe in aerospace applications such as relaminarizing unsteady turbulent flows and recovering from aerodynamic stall where nonlinear dynamics play a significant role. We introduce Balanced Active Subspaces for Optimal Control (BASOC), a model reduction framework which seeks to find directions in state space along which the value function is most sensitive, and the distribution of states exhibits maximum variance along optimal trajectories. BASOC leverages trajectory optimization and the Pontryagin minimum principle to obtain state and co-state (value function gradient) data along locally optimal trajectories for constructing state and gradient covariance matrices. Balancing these matrices provides an oblique projection for approximating the value function, which can also be used to construct reduced-order models and surrogate feedback control laws. We show that for linear-quadratic optimal control problems, BASOC becomes equivalent to a snapshot method for initial condition balancing of the optimally controlled closed-loop realization. The framework is demonstrated on a nonlinear three-dimensional system where POD and balanced truncation are known to perform poorly, and on the nonlinear complex Ginzburg-Landau equation to demonstrate feasibility for larger-scale systems.\n16. 蒙特卡洛幂迭代算法：收敛性、分析及其在反应堆临界计算中的应用 Monte Carlo Power Iteration Algorithms: Convergence, Analysis and Application to Reactor Criticality Calculations\n作者: Alexander M. G. Cox, Tom Davis, Julian Hofstadler, Andreas E. Kyprianou\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-10-26\narXiv ID: 2610.36266v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.36266v1\n摘要: We study Monte Carlo power iteration algorithms in the context of reactor criticality simulations. Under mild conditions on the underlying physical system and the algorithmic structure, we derive explicit error bounds, which are to the best of our knowledge the first rigorous results for such methods which are ubiquitous in nuclear engineering. This is done by exploiting connections to Sequential Monte Carlo algorithms, and extending recent developments about stochastic neutron transport. We demonstrate the applicability of our results by considering a concrete version of the Monte Carlo power iteration algorithm as well as variance reduction schemes.\n17. Wigner\u0026ndash;Fokker\u0026ndash;Planck 方程的动态张量列近似及其在开放量子系统中的应用 Dynamical Tensor Train Approximation for Wigner\u0026ndash;Fokker\u0026ndash;Planck Equation with Applications to Open Quantum Systems\n作者: Geshuo Wang, Jingwei Hu\n类别: math.NA, quant-ph\n发布日期: 2026-10-26\narXiv ID: 2610.36257v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.36257v1\n摘要: We develop a dynamical tensor-train method for the Wigner\u0026ndash;Fokker\u0026ndash;Planck equation arising in continuous-variable open quantum systems. The Wigner function is evolved directly in tensor-train form using a projector-splitting integrator, while the nonlocal Wigner pseudo-differential operator is treated through low-rank representations of the potential difference and matrix-free exponential actions. The resulting method avoids full tensor-product computations in high-dimensional phase space. Numerical experiments in one, two, and three spatial dimensions demonstrate the accuracy and scalability of the method, including simulations in a six-dimensional phase space.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-10-28_16-30-41/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年10月28日 16:30:41\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 5\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 17\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-amor任意网格与不规则三维几何上算子学习的自适应模态算子精化\"\u003e1. AMOR：任意网格与不规则三维几何上算子学习的自适应模态算子精化\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eAMOR: Adaptive Modal Operator Refinement for Operator Learning on Arbitrary Meshes and Irregular 3D Geometries\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年10月28日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年10月27日 15:50:23\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 17\n不相关论文数量: 39\n重点关注论文（完整分析） 1. 三维含角区域上 Laplace 边界积分方程的奇性分析 Singularity Analysis of Laplace Boundary Integral Equations on Three-Dimensional Domains with Corners\n作者: Wenmao Hua, Jun Lai, Baoling Xie, Lu Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-26\narXiv ID: 2610.35664v1\n摘要翻译: 三维非光滑区域上椭圆边值问题的解在棱边和顶点附近表现出奇性行为。利用层势理论，我们研究 Laplace 方程对应的边界积分方程，并刻画锥域上表面密度的主奇异指数。针对两类典型几何，我们给出了二面楔形区域上两族棱边奇异指数的显式公式，并通过连带 Legendre 函数及其导数的零点刻画了轴对称圆锥上的逐模态顶点奇异指数。基于这两个原型和伸缩不变性，我们为一般锥形区域建立相应的算子束，并发展了一个非线性特征值求解器。该求解器采用带分级网格的 Nyström 方法、对数修正梯形公式以及 Brent 方法，以准确高效地计算这些奇异指数。针对三面锥、正 m-面锥和液滴型锥的数值算例验证了方法的有效性，并展示了棱边奇异性和顶点奇异性之间的相互作用。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.35664v1\n1. 研究对象和背景 本文研究三维含边和顶点的 Lipschitz 角域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^3$ 上 Laplace 方程的 Dirichlet 问题及其双层位势边界积分方程. 具体地, 考虑 $$\\Delta u=0\\quad \\text{in }\\Omega,\\qquad u=f\\quad \\text{on }S=\\partial\\Omega,$$ 其中 $\\Omega$ 可以为有界内部区域或无穷外部区域; 外部问题附加 $u(x)=o(1)$ 当 $|x|\\to\\infty$. 设 $$\\Phi(x,y)=\\frac{1}{4\\pi |x-y|},\\qquad D[\\rho](x)=\\mathrm{p.v.}\\frac{1}{4\\pi}\\int_S \\frac{(x-y)\\cdot n_y}{|x-y|^3}\\rho(y)\\,ds_y,$$ 通过跳关系得到第二类边界积分方程 $$\\left(\\frac{\\sigma}{2}I+D\\right)\\rho=f\\quad \\text{a.e. on }S,$$ 其中 $\\sigma=\\pm1$ 对应外部或内部问题. 对光滑边界, $D$ 紧且密度 $\\rho$ 具有与边值数据相同的正则性; 但对分段光滑边界, 即使 $f$ 光滑, 密度也会在边和顶点附近出现分数幂、对数等奇异性, 从而破坏边界积分算子的紧性并限制高阶边界元方法的精度. 因此, 准确刻画密度 $\\rho$ 的局部奇性指数是构造高阶数值格式、分析后验误差以及理解反散射唯一性的基础问题.\n作者的几何框架是文中的 Lipschitz 三维角域: 对每个 $x\\in S$, 存在半径 $r_x$ 和局部微分同胚 $\\chi_x$, 使 $\\chi_x(\\Omega\\cap B(x,r_x))$ 与切锥 $$\\Gamma_x=\\{r\\vartheta: r\u003e0,\\ \\vartheta\\in G_x\\}$$ 重合, 其中球面截面 $G_x\\subset S^2$ 为 Lipschitz 区域. 按 $G_x$ 的拓扑, 边界分为面 $F$、边 $E$ 和顶点 $V$: 在 $F$ 处切锥为半空间; 在 $E$ 处切锥为二面楔 $\\Gamma_x\\simeq C_\\alpha\\times\\mathbb{R}$, $C_\\alpha\\subset\\mathbb{R}^2$ 是开角为 $\\alpha\\in(0,2\\pi)$ 的平面扇形; 在 $V$ 处 $G_x$ 为球面多边形或球面曲线多边形. 本文不直接处理全局域, 而研究这些切锥上的局部奇性, 因为主奇异项由切锥决定. 作者聚焦于伸缩不变锥, 即 $x\\in\\Gamma\\Rightarrow \\lambda x\\in\\Gamma$ 对任意 $\\lambda\u003e0$ 成立; 该性质保持层位势核的齐次性, 使密度可写成分离变量形式, 并导出算子 pencil.\n已有理论方面, 层位势理论对光滑边界有成熟 Fredholm 框架; 对多边形和多面体域, 椭圆边值问题解的渐近展开包含分数幂与对数项. 在位势理论层面, 文中所引 [18] 通过 Mellin 卷积刻画锥上层位势算子的可逆性, [19,20] 研究 Neumann–Poincaré 算子的本质谱. 计算方法上, 二维角域已有局部网格加密与递归压缩预条件、角点圆化、显式奇性展开、核分裂等; 三维方面, Li [26] 处理带孤立锥点的曲面, 其他高阶方法多针对光滑或轴对称曲面. 作者明确指出, 同时覆盖边奇性、顶点奇性及其在一般分段光滑锥上相互作用的系统处理仍然缺乏. 本文试图补上这一空白: 先对二面楔和轴对称圆锥两个可解析原型分别给出边与顶点奇异指数的显式或半显式刻画, 再基于伸缩不变性建立一般分段光滑锥的算子 pencil 和非线性特征值算法, 用数值例子展示三面锥、正 $m$ 面锥和液滴型锥上的边-顶奇性耦合.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要严格结果集中在两类切锥模型上. 对开角 $\\alpha\\in(0,2\\pi)$ 的无限二面楔 $S=S_1\\cup S_2$, 作者先假设密度具有平移不变形式 $$\\rho(y)=\\begin{cases}r_y^\\mu,\u0026y\\in S_1,\\\\ \\eta r_y^\\mu,\u0026y\\in S_2,\\end{cases}\\qquad \\mu\u003e-1,$$ 并在 Proposition 3.1 中算出双层位势算子作用后的显式表达式; 例如在 $S_1$ 上 $$D(\\rho)(x)=-\\frac{\\eta\\sin((\\pi-\\alpha)\\mu)}{2\\sin(\\pi\\mu)}r_x^\\mu-\\sum_{k=1}^{\\infty}\\frac{\\eta\\sin(k\\alpha)}{2\\pi(\\mu-k)}r_x^k,$$ 在 $S_2$ 上有类似表达式. 该计算显示非整数 $\\mu$ 产生 $r^\\mu$ 主项, 而整数附近出现极点, 对应对数项.\n在此基础上, Theorem 3.2 给出二面楔 Dirichlet 问题的截断密度展开. 假设 $\\alpha$ 避开某个有限例外集, 且诱导的一维截面边值数据的偶部和奇部可由收敛 Taylor 级数表示, 则对每个正整数 $N$, 存在唯一系数 $b_0,\\dots,b_N$ 和 $c_0,\\dots,c_N$, 使截断密度 $$\\rho^{(N)}(y)=\\begin{cases}\\sum_{k=0}^{N}b_k r_y^{k\\pi/\\alpha}+\\sum_{k=0}^{N}c_k r_y^{k\\pi/(2\\pi-\\alpha)},\u0026y\\in S_1,\\\\ \\sum_{k=0}^{N}(-1)^{k+1}b_k r_y^{k\\pi/\\alpha}+\\sum_{k=0}^{N}(-1)^k c_k r_y^{k\\pi/(2\\pi-\\alpha)},\u0026y\\in S_2,\\end{cases}$$ 满足边界积分方程至残差 $O(r^{N+1})$. 因此二面楔边附近密度的局部奇性由两族分数幂生成: $$\\mathcal{S}_{\\mathrm{dihedral}}=\\left\\{\\frac{k\\pi}{\\alpha}:k\\in\\mathbb{N}_0\\right\\}\\cup\\left\\{\\frac{k\\pi}{2\\pi-\\alpha}:k\\in\\mathbb{N}_0\\right\\},$$ 主奇异指数为 $$\\mu_{\\mathrm{dihedral}}(\\alpha)=\\min\\left\\{\\frac{\\pi}{\\alpha},\\frac{\\pi}{2\\pi-\\alpha}\\right\\}.$$ 这一结果与经典二维分析一致, 但以三维双层位势密度的形式给出.\n对半顶角 $\\alpha\\in(0,\\pi)$ 的轴对称圆锥, 取密度 ansatz $$\\rho(y)=r_y^\\mu e^{im\\varphi_y},\\qquad \\mu\u003e-1,\\ m\\in\\mathbb{Z}.$$ Proposition 3.5 得到 $$D(\\rho)(x)=\\frac{\\pi\\sin^2\\alpha}{4\\sin(\\pi\\mu)}A_{\\mu,m}(\\alpha)r_x^\\mu e^{im\\varphi_x}+\\frac{\\sin^2\\alpha}{4}\\sum_{n=|m|}^{\\infty}\\frac{B_{n,m}(\\alpha)}{n-\\mu}r_x^n e^{im\\varphi_x},$$ 其中 $$A_{\\mu,m}(\\alpha)=P_\\mu^{-|m|}(-\\cos\\alpha)(P_\\mu^{|m|})'(\\cos\\alpha)-(P_\\mu^{-|m|})'(-\\cos\\alpha)P_\\mu^{|m|}(\\cos\\alpha),$$ $$B_{n,m}(\\alpha)=\\frac{2(n-|m|)!}{(n+|m|)!}P_n^{|m|}(\\cos\\alpha)(P_n^{|m|})'(\\cos\\alpha).$$ 对光滑边值数据, 主项须消失, 从而顶点奇异指数由 transcendental equation $$V_{\\mu,m}(\\alpha)=\\frac{\\sigma}{2}+\\frac{\\pi\\sin^2\\alpha}{4\\sin(\\pi\\mu)}A_{\\mu,m}(\\alpha)=0$$ 的根决定. Proposition 3.7 利用 Legendre 函数的 Wronskian 恒等式和 Euler 反射公式将其化简为: 内部问题 $$V_{\\mu,m}(\\alpha)=-\\frac{\\pi\\sin^2\\alpha}{2\\sin(\\pi\\mu)}\\kappa_{\\mu,m}(P_\\mu^{-|m|})'(-\\cos\\alpha)P_\\mu^{-|m|}(\\cos\\alpha),$$ 外部问题 $$V_{\\mu,m}(\\alpha)=\\frac{\\pi\\sin^2\\alpha}{2\\sin(\\pi\\mu)}\\kappa_{\\mu,m}P_\\mu^{-|m|}(-\\cos\\alpha)(P_\\mu^{-|m|})'(\\cos\\alpha),$$ 其中 $\\kappa_{\\mu,m}=(-1)^{|m|}\\Gamma(\\mu+|m|+1)/\\Gamma(\\mu-|m|+1)$. 由此定义 $$S_m^{(D)}(\\alpha)=\\{\\mu\\in\\mathbb{R}_+\\setminus\\mathbb{Z}:P_\\mu^m(\\cos\\alpha)=0\\},$$ $$S_m^{(N)}(\\alpha)=\\{\\mu\\in\\mathbb{R}_+\\setminus\\mathbb{Z}:(P_\\mu^m)'(\\cos\\alpha)=0\\},$$ 则圆锥第 $m$ 模的奇异指数集合为 $$S_m(\\alpha)=\\begin{cases}S_m^{(D)}(\\alpha)\\cup S_m^{(N)}(\\pi-\\alpha),\u0026\\text{内部问题},\\\\ S_m^{(D)}(\\pi-\\alpha)\\cup S_m^{(N)}(\\alpha),\u0026\\text{外部问题},\\end{cases}$$ 第 $m$ 模主指数 $\\mu_{\\mathrm{circular},m}(\\alpha)=\\min S_m(\\alpha)$, 总主指数 $\\mu_{\\mathrm{circular}}(\\alpha)=\\min_{m\\in\\mathbb{N}_0}\\mu_{\\mathrm{circular},m}(\\alpha)$.\n作者还给出边值到系数的映射基础: Lemma 3.8 证明若 $g(r,\\varphi)=\\sum_m g_m(r)e^{im\\varphi}$ 是顶点邻域内 $C^\\infty$ 函数在圆锥上的迹, 则对每个 $m$ 和正整数 $N$, 存在 $d_{m,0},\\dots,d_{m,N-1}$ 使 $$g_m(r)=\\sum_{j=0}^{N-1}d_{m,j}r^{|m|+j}+O(r^{|m|+N}),\\qquad r\\to0,$$ 特别 $g_m(r)=O(r^{|m|})$. 于是取 $S_m(\\alpha)$ 的前 $N$ 个非整数指数 $\\mu_{m,1}\u003c\\cdots\u003c\\mu_{m,N}$, 可构造截断展开 $$\\rho_m^{(N)}(r,\\varphi)=\\sum_{k=1}^{N}a_{m,k}r^{\\mu_{m,k}}e^{im\\varphi},$$ 并由 Proposition 3.5 得到 $$\\left(\\frac{\\sigma}{2}I+D\\right)\\rho_m^{(N)}(x)=\\sum_{n=|m|}^{\\infty}\\left(\\sum_{k=1}^{N}\\frac{\\sin^2\\alpha}{4}\\frac{B_{n,m}(\\alpha)}{n-\\mu_{m,k}}a_{m,k}\\right)r_x^n e^{im\\varphi_x}.$$ 对一般分段光滑锥, 作者基于伸缩不变性构造 associated operator pencil, 并发展 Nyström 型非线性特征值求解器以计算奇异指数; 但就所提供 PDF 内容而言, 一般锥的完整定理陈述和收敛性证明未显示, 只能确认作者提出该框架并在三面锥、正 $m$ 面锥和液滴型锥上做了数值验证. 摘要还指出数值实验展示了边奇性与顶点奇性之间的相互作用, 但具体定量结果从提供内容中无法确认.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术障碍是: 双层位势算子 $D$ 在分段光滑边界上不再紧, 密度奇性同时受局部开角、球面截面拓扑和边界数据展开控制; 在一般分段光滑锥上边奇性与顶点奇性耦合, 且没有现成显式公式. 作者的处理不是简单套用能量估计, 而是把伸缩不变锥上的层位势作用写成 Mellin 型卷积/分离变量形式, 从而把偏微分方程的局部奇性转化为 Legendre 函数或一般球面截面上的非线性特征值问题.\n第一项关键工具是 Mellin 变换与 Legendre 函数积分表示. 对二面楔, 作者沿 $z$ 方向积分消去平移不变性, 将二维核化为 $$\\int_{-\\infty}^{\\infty}\\frac{dz}{(A^2+z^2)^{3/2}}=\\frac{2}{A^2},$$ 再对径向变量使用文中所引 Mellin 变换引理 $$\\int_0^{\\infty}\\frac{t^\\mu}{(1-2xt+t^2)^{1/2}}dt=-\\pi\\csc(\\pi\\mu)P_\\mu(-x),\\qquad -1","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-10-27_15-50-23/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年10月27日 15:50:23\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 17\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 39\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-三维含角区域上-laplace-边界积分方程的奇性分析\"\u003e1. 三维含角区域上 Laplace 边界积分方程的奇性分析\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eSingularity Analysis of Laplace Boundary Integral Equations on Three-Dimensional Domains with Corners\u003c/p\u003e","title":"2026年10月27日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年10月26日 16:40:46\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 10\n不相关论文数量: 16\n了解领域论文（摘要翻译） 1. Born 近似的神经网络增强 Neural network enhancement of the Born approximation\n作者: J. Ma, A. Desai, T. Lahivaara, P. Monk\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32764v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32764v1\n摘要翻译 中文标题: Born 近似的神经网络增强\n摘要翻译: 我们考察将神经网络与 Born 近似结合，用于求解频率域中可穿透介质的逆散射问题。目标是从单一频率的多基地远场测量中快速确定散射体的折射率。我们提出一个新的神经网络模型，旨在通过锐化重建图像来改进我们此前的结果。此外，我们提出另外两个受修正的 Born 方法启发的网络，它们避免了对正则化 Born 算子求逆的需要。当逆 Born 近似难以计算或使用近场测量时，后两种算法对于未来的三维应用将很重要。计算结果表明，对 Born 近似的新修正可以为逆散射问题提供一种准确而灵活的方法。\n2. 基于非线性波动方程与物理信息神经网络的含气泡液体灵敏度引导参数估计 Sensitivity-Guided Parameter Estimation of Bubbly Liquid via a Nonlinear Wave Equation and Physics-InformedNeuralNetworks\n作者: Takeru Hasegawa, Naoto Mitsume, Shota Deguchi, Mitsuteru Asai, Tetsuya Kanagawa\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32668v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32668v1\n摘要翻译 中文标题: 基于非线性波动方程与物理信息神经网络的含气泡液体灵敏度引导参数估计\n摘要翻译: 超声与微气泡之间的相互作用构成了一系列生物医学和工业应用的基础，然而预测介质和气泡的物理参数如何支配非线性波传播仍然很困难。本研究提出了一种参数估计框架，该框架将描述含气泡液体中弱非线性波传播的 Korteweg-de Vries-Burgers（KdVB）方程与物理信息神经网络（PINN）相结合。本文的贡献有三方面。第一，PINN 在正问题中重现了控制方程的参考解，初始时刻的预测误差接近零，这证实初始条件按预期被精确施加。第二，在反演估计之前，引入灵敏度分析，在系数层面和解层面上量化八个物理参数各自如何影响 KdVB 方程，从而可以预先评估每个参数的估计难度。第三，基于这一评估，使用 PINN 对八个参数中的七个进行单参数反演估计。液体黏度、气泡初始半径、液体密度、声速和液体压力的估计误差为 0.8-2.1%，多方指数仅部分收敛，表面张力系数完全无法估计，这与灵敏度分析一致。这些结果建立了一个通用框架，用于从观测波形数据中识别和估计控制含气泡液体中非线性波传播的物理参数。\n3. 不可压缩 MHD 的线性双场有限元方法，第一部分：周期域中的交叉螺旋度与 Alfvén 对齐 A linear dual-field finite element method for incompressible MHD, part I: cross-helicity and Alfvénic alignment in periodic domains\n作者: Shusheng Li, Siyuan Tong, Qilong Zhai, Qian Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32476v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32476v1\n摘要翻译 中文标题: 不可压缩 MHD 的线性双场有限元方法，第一部分：周期域中的交叉螺旋度与 Alfvén 对齐\n摘要翻译: 交叉螺旋度与总能量一起决定了 Elsässer 能量，从而量化不可压缩 MHD 中偏离 Alfvén 对齐的程度。在 [Mao and Xi, \\emph{J. Comput. Phys.}, 2025] 中双场方法的基础上，我们针对周期域构造了一种线性有限元方法，该格式重现交叉螺旋度平衡。我们通过非负的 Elsässer 能量表示，将离散能量守恒律与离散交叉螺旋度守恒律同 Alfvén 对齐联系起来，并证明：在无外力理想情形下，当任一 Elsässer 能量初值为零时，相应的精确关系得以保持。我们在 Mao-Xi 格式内重新将磁场的两个离散近似分配到整数和半整数时间层，并重新设计 Lorentz 耦合与感应耦合。所得格式采用线性交错更新，并保持能量平衡、强与弱无散度性质以及磁螺旋度和流体螺旋度平衡。数值实验说明了交叉螺旋度平衡在理想情形下保持对齐态以及在弱耗散下对齐动力学中的作用。\n4. 用于带 Tresca 摩擦接触力学的任意阶增广拉格朗日离散 de Rham 格式 An Arbitrary-Order Augmented Lagrangian Discrete De Rham Scheme for Contact Mechanics with Tresca Friction\n作者: Jérôme Droniou, Raman Kumar, Roland Masson\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32471v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32471v1\n摘要翻译 中文标题: 用于带 Tresca 摩擦接触力学的任意阶增广拉格朗日离散 de Rham 格式\n摘要翻译: 我们设计并分析了一种用于裂隙介质中接触力学的任意阶增广拉格朗日离散 de Rham（DDR）多面体格式。裂隙被表示为基质（一种线弹性介质）中的余维一对象，并且当裂隙壁之间发生接触时采用 Tresca 摩擦模型。法向 Signorini 型/牵引约束与 Tresca 摩擦定律均被重写为投影恒等式，并合并为单个增广拉格朗日双线性形式。位移由任意多项式次数 $k\\ge 0,$ 的 DDR 空间离散，并在裂隙面上用泡自由度进行加富；这些泡自由度通过 Lagrange 乘子空间与沿裂隙的位移离散跳跃之间存在离散提升来确保稳定性。我们建立了一个抽象误差估计，给出了位移和 Lagrange 乘子变量的最优阶收敛性。大量数值实验验证了理论分析，并展示了该格式的实用精度和鲁棒性。\n5. CoPiT：一种用于非结构网格气动场预测的条件位置诱导 Transformer CoPiT: A conditional Position-induced Transformer for aerodynamic field prediction on unstructured meshes\n作者: Junfeng Chen, Yongchen Fan, Zhonghua Qiao, Kailiang Wu\n类别: physics.comp-ph, cs.LG, math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32299v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32299v1\n摘要翻译 中文标题: CoPiT：一种用于非结构网格气动场预测的条件位置诱导 Transformer\n摘要翻译: 高保真 Reynolds 平均 Navier\u0026ndash;Stokes (RANS) 模拟仍然是气动分析的标准工具，但在非结构网格上的每次求解计算代价高昂，使得设计探索、优化和多工况评估等多次查询任务成本很高。神经算子提供了网格灵活的代理模型，用于将几何和运行条件映射到流场；然而，在许多现有架构中，自由来流状态和设计变量等全局参数与逐点输入拼接，使其对中间特征的影响保持隐式。本文提出 CoPiT，一种 \\textbf{Co}nditional \\textbf{P}osition-induced \\textbf{T}ransformer，它以 Position-induced Transformer (PiT) 作为几何骨干，并通过多阶段特征级线性调制 (FiLM) 注入全局条件向量，从而使参数调制显式化，同时保留基于几何的注意力权重。该模型在二维 AirfRANS 翼型场（包括稀缺数据和外推情形）以及三维 BlendedNet++ 翼身融合体表面上进行评估。在 AirfRANS 全数据测试集上，CoPiT 相对于 Transolver 分别将表面损失和体积损失降低约 54% 和 24%，并在 BlendedNet++ 上取得所比较基线中最低的整体归一化测试 MSE。匹配消融实验表明，FiLM 条件化通常优于输入拼接，而更优的放置位置取决于任务。因此，CoPiT 为非结构网格上的参数化气动问题提供了一种实用的算子学习代理模型。\n6. 曲基底上具有移动接触线的表面扩散的能量稳定参数化有限元框架 An energy-stable parametric finite element framework for surface diffusion with moving contact lines on curved substrates\n作者: Harald Garcke, Robert Nürnberg, Rong Tang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32270v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32270v1\n摘要翻译 中文标题: 曲基底上具有移动接触线的表面扩散的能量稳定参数化有限元框架\n摘要翻译: 我们针对曲基底上具有移动接触线的固体薄膜表面扩散，发展了能量稳定的参数化有限元方法。通过对薄膜表面和基底贴片同时进行离散，可以引入无条件能量稳定的线性格式。这些格式的一个非线性变体还保证，基底近似的顶点在整个过程中始终保持附着于真实基底。此外，我们的框架能够纳入薄膜表面和基底的各向异性表面能密度，以及不同的切向运动。二维和三维空间中的数值实验说明了所引入方法的实用性。\n7. 用于高维 Fokker-Planck 方程的弱对抗张量神经网络 Weak adversarial tensor neural network for high-dimensional Fokker-Planck equations\n作者: Sihong Shao, Zhongwei Xu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32169v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32169v1\n摘要翻译 中文标题: 用于高维 Fokker-Planck 方程的弱对抗张量神经网络\n摘要翻译: 求解高维稳态 Fokker-Planck（SFP）方程仍然具有挑战性。近年来，深度学习方法由于其通用逼近能力和无网格训练而在求解高维 SFP 方程方面展现出巨大潜力。然而，损失计算与归一化中涉及的高维积分若使用 Monte Carlo 积分进行精确逼近，代价可能很高。为解决这一问题，我们提出一种用于求解高维 SFP 方程的弱对抗张量神经网络（WATNN）方法，它将弱对抗（WA）形式与张量神经网络（TNN）相结合。WA 形式避免了对强残差平方所引入的交叉项，从而减少了需要计算的积分数量。当主网络和对抗测试网络均设置为 TNN 时，TNN 求积格式能够以相对较少的固定求积点实现准确且高效的归一化与损失计算，避免了使用 Monte Carlo 积分时产生的统计采样误差。我们在四个高维 SFP 方程上数值验证了该方法的有效性。对于 6D 单峰、6D 多峰、10D 多峰和 20D 多峰问题，WATNN 分别在仅几分钟内达到了 1.50%、1.13%、1.20% 和 7.93% 的平均相对误差。\n8. 用神经基方法求解与学习 Navier-Stokes 动力学 Solving and Learning Navier-Stokes Dynamics with the Neural Basis Method\n作者: Yuhe Wang, Zhu Wang, Min Wang\n类别: physics.flu-dyn, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32167v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32167v1\n摘要翻译 中文标题: 用神经基方法求解与学习 Navier-Stokes 动力学\n摘要翻译: 物理信息机器学习已成为流体动力学预测建模的一个主要方向，它将控制物理与学习表示相结合。然而，现有形式既不能保证小的 PDE 残差损失意味着小的解误差，也不能随着问题规模增大而有效扩展。在此，我们提出神经基方法（NBM），作为处理 Navier\u0026ndash;Stokes 动力学的一种新途径。NBM 基于“表示-投影”原则：固定的神经基定义表示空间，而控制方程的投影确定展开系数。同一组基为参数化解流形定义公共坐标，将算子学习重新表述为参数到系数的映射，并通过消除显式空间依赖实现可扩展性。对于不可压缩流，NBM 给出仅速度形式，其残差提供速度误差的后验估计，从而为系数学习建立一个可认证的、无数据的训练目标。理论分析和数值实验证明了 NBM 的准确性、效率、泛化性和可扩展性，并较基线有显著改进。\n9. 空间表示随机系数的多面体DG离散的多层蒙特卡洛方法 Multilevel Monte Carlo for Polytopic DG Discretisations with Spatially Represented Random Coefficients\n作者: Veronika Chronholm, Matt Evans, Emmanuil H. Georgoulis, Tristan Pryer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-22\narXiv ID: 2610.31861v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.31861v1\n摘要翻译 中文标题: 空间表示随机系数的多面体DG离散的多层蒙特卡洛方法\n摘要翻译: 我们针对多面体网格上具有随机扩散系数和反应系数的强制椭圆问题，建立了一个多层蒙特卡洛框架，特别强调由空间表示隐场生成的随机系数的逼近以及层间耦合。主要分析贡献是在DG范数下的一种Strang型误差分解，该分解将正演离散误差与逼近随机系数所引入的误差分离。在此基础上，我们研究两种系数生成与多层耦合策略：一种基于定义在固定笛卡尔参考网格上的平稳高斯隐场的谱采样器；另一种是基于SPDE的Matérn采样器，其中各层通过凝聚层级上的投影白噪声载荷进行耦合。两者都纳入同一个系数感知的分析框架，并通过共同的隐随机输入直接耦合相邻层。理论得到了一般Voronoi网格和凝聚多面体网格上的数值实验支持，这些实验展示了所预测的正演误差与系数表示误差、多层修正的衰减、强的层间耦合，以及相对于单层蒙特卡洛所得到的工作量-精度行为。\n10. 分段光滑区域上的有限元逼近 Finite element approximation on piecewise smooth domains\n作者: Daniele Boffi, Lucia Gastaldi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-22\narXiv ID: 2610.31822v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.31822v1\n摘要翻译 中文标题: 分段光滑区域上的有限元逼近\n摘要翻译: 有限元逼近理论通常在多边形或多面体区域这类简化几何上描述。虽然回避边界逼近问题使分析更简单，但实际应用可能涉及分段光滑区域，且在某些情况下将经典结果推广到一般边界可能很棘手。本文以系统的方式讨论二维和三维分段曲线区域上标准非等参有限元空间的逼近性质与误差分析。我们详细表明，几何误差为 Dirichlet 和 Neumann 椭圆问题解的 $H^1$ 与 $L^2$ 误差引入一个障碍，且该障碍与问题的正则性以及所用有限元空间的次数无关。\n不相关论文（基本信息） 1. 平流方程的 Lax-Wendroff 型格子 Boltzmann 格式的数值分析 Numerical analysis of a Lax-Wendroff type lattice Boltzmann scheme for the advection equation\n作者: Thomas Bellotti, Filipa Caetano, François Dubois, Benjamin Graille\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32810v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32810v1\n摘要: A linear monodimensional lattice Boltzmann scheme with three velocities tackling the advection equation is investigated. We prove that it is second-order accurate and provide necessary and sufficient stability conditions through an explicit formula involving the two relaxation parameters. Relying on existing results for finite difference schemes, we prove convergence for smooth initial data with initialization of the non-conserved moments at equilibrium. Several numerical simulations illustrate these theoretical findings.\n2. 学习型优化器调度中的乘性与加性状态耦合 Multiplicative vs. Additive State Coupling in Learned Optimizer Schedules\n作者: M. Harper Langston, Pierre-David Letourneau, Dalton Jones, Roland Memisevic, Peter Scott, Mingu Lee, Richard A. Lethin, Christopher Lott, Fatih Porikli, Harris Teague\n类别: cs.LG, cs.AI, cs.CL, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32801v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32801v1\n摘要: We learn schedules for a continuous penalty relaxation of MAX-CUT by backpropagating through an unrolled classical solver. A state-blind schedule generalizes to instances substantially larger than those used for training. A state-adaptive bilinear schedule also generalizes out of distribution, outperforming its untrained baseline across 15 seeds ($t=4.1$). By contrast, an additive ablation with identical inputs and output heads is statistically indistinguishable from the bilinear model in distribution but performs worse than its own baseline out of distribution ($t=-11.7$). This separation appears without regularization and persists across a $30$ round weight-decay sweep: the bilinear advantage remains significant at every tested value, whereas the additive model never recovers. The results in this setting isolate how solver state enters the schedule, rather than state adaptivity alone, as the architectural distinction associated with out-of-distribution transfer.\n3. 使用历史 Ritz 步长的循环梯度法的超线性收敛 Superlinear Convergence of Cyclic Gradient Methods with Historical Ritz Step Sizes\n作者: Ran Gu\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32705v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32705v1\n摘要: Simplified spectral models predict dimension-dependent superlinear convergence for gradient methods, but the corresponding behavior of actual iterations remains only partially understood. Historical methods introduce an additional difficulty: the gradients defining the step sizes differ from those receiving them. We study this offset for cyclic reuse of historical Ritz step sizes on strictly convex quadratics. Within the existing limited memory steepest descent with retards (LMSDR) family, a rolling cyclic Ritz (RCR) rule reuses $m$ historical Ritz values $\\ell$ times per cycle, ending with a complete sweep. At $q=m+1$ active distinct eigenvalues, an exact delayed recurrence gives almost-everywhere doubly exponential convergence with an explicit rate and exceptional weights. Nonempty open basins also exist for $m+1\\binom{q-1}{m}$. Increasing $\\ell$ admits larger $q$ for fixed $m$. The guarantee extends to history-dependent choices from finite sampling menus under a bound on the number of admissible sampling sequences. Geometrically spaced decisions retain the SCR condition and rate range. Every update is counted, including sampling; a numerical illustration compares finite-tolerance update counts.\n4. 带正权的随机节点：Richter-Tchakaloff 规则与最优正求积 Random nodes with positive weights: Richter-Tchakaloff rules and optimal positive quadrature\n作者: Sebastian Neumayer, Martin Schäfer, Tino Ullrich\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32699v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32699v1\n摘要: We show that independent random points support exact quadrature rules with positive weights. For any $n$-dimensional space $V$ of integrable functions a constant multiple of $n\\log n$ points sampled from a suitable density yields, with high probability, positive weights which integrate the functions in the space exactly. The weights stay close to the natural importance sampling weights according to the Lewis density with respect to $V$. They are the result of a weight adaptation procedure which requires an explicit $L_1$-norm discretization result that is proved on the way. As an application, we study numerical integration in reproducing kernel Hilbert spaces. Combining the random rules with a subsampling step, we show that positive quadrature rules with constantly oversampled nodes achieve the best possible worst-case error bound in terms of the singular numbers of the embedding into $L_2$.\n5. 对称多凸能量及其包络的通用神经网络逼近 Universal neural network approximation of symmetric polyconvex energies and envelopes\n作者: Florian Gammer\n类别: math.NA, cs.CE, cs.LG\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32598v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32598v1\n摘要: Symmetric polyconvexity provides a sufficient condition for weak lower semicontinuity in small-strain elasticity and a tractable lower bound for the relaxation of non-(quasi)convex energies. Since classical algorithms for computing such functions can be computationally expensive, neural network approximations have recently emerged as an alternative. A central difficulty with establishing such neural network based approaches for symmetric polyconvexity is the additional monotonicity property. As we show, the corresponding weight restrictions on ReLU-based input-convex networks do not yield universal approximation of the lifted representers. Here, we introduce symmetric polyconvex neural networks (SPCNNs) for constitutive modeling and approximation of symmetric polyconvex envelopes. The deep architecture combines convexity with the monotonicity required of a representer in the space of minors. We prove a universal approximation theorem for symmetric polyconvex energies, without requiring isotropy, and quantify the number of affine pieces attainable by the lifted network and derive reduced architectures for isotropic energies. Numerical examples illustrate stress-based regression and approximation of the symmetric polyconvex envelope of a double-well potential. Symmetric polyconvexity is guaranteed by construction, while the accuracy of the fitted energies and envelopes is assessed numerically.\n6. 随机调和映射热流的概率强解的数值逼近 Numerical approximation of probabilistically strong solutions to the stochastic harmonic map heat flow\n作者: Robert Lasarzik, Stefan Metzger, Maximilian E. V. Reiter\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32588v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32588v1\n摘要: We study the stochastic harmonic map heat flow into the sphere driven by a Stratonovich noise term that formally preserves the spherical constraint by construction. Starting from a fully discrete, implementable numerical scheme, we prove its convergence to the novel solution concept of probabilistically strong, analytically energy-variational solutions. This yields the first existence result for probabilistically strong solutions in the three-dimensional setting on the prescribed stochastic basis. In addition, we establish weak-strong uniqueness and illustrate our theoretical findings with numerical experiments.\n7. 具衰退记忆的抛物型方程 BDF3 方法的长时间稳定性与收敛性 Long-time stability and convergence of a BDF3 method for a parabolic equation with fading memory\n作者: Wenlin Qiu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32364v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32364v1\n摘要: We analyze the long-time stability and convergence of a third-order backward differentiation formula (BDF3) for parabolic equations with exponentially fading memory. The BDF3 scalar resolvent has oscillatory coefficients, so the monotonicity argument used for lower-order formulas in [Math. Comp. 62 (1994) 477-496] does not apply. We instead control memory feedback by the absolute mass of its discrete Green sequence and establish the rigorous stability-constant bounds $23/20\u003cΛ_3\u003c579/500$. A causal third-order memory quadrature with nonnegative assembled weights then yields exponentially weighted stability without a parabolic step-size restriction. With third-order starting values, we prove a uniform-in-time third-order temporal error estimate and extend it to conforming finite elements. Numerical tests confirm the predicted convergence orders and the long-time behavior.\n8. 含移动井的两相 CO$_2$ 封存的区域分解降阶模型 A domain-decomposition reduced-order model for two-phase CO$_2$ sequestration with moving wells\n作者: Xin He, Xianda Shen, Lei Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32340v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32340v1\n摘要: We present a domain-decomposition reduced-order model for two-phase geological CO$_2$ storage with fixed and moving wells. The approach builds on a nonoverlapping Schur formulation of a conservative RT0\u0026ndash;P0 discretization solved by a sequential pressure\u0026ndash;transport algorithm. The distinctive feature of the formulation is that local reduced models are coupled through physically meaningful interface variables: pressure traces for the pressure solve and inflow saturation traces for the transport solve. To address moving wells, we introduce a well-aware strategy that combines source-response enrichment, HAPOD-based far-field compression, and hybrid full-order/reduced-order treatment of well and near-well subdomains. We also formulate conservation-oriented hyper-reduction rules where interface fluxes, boundary terms and source terms are protected. Numerical results are presented to demonstrate accuracy, computational efficiency, robustness of the overall methodology.\n9. 面向乳腺成像全波形反演的即插即用流匹配探索 An exploration of plug-and-play flow matching for full-waveform inversion on breast imaging\n作者: Cristina Garcia-Cardona, Siting Liu, Fatma Terzioglu, Shanyin Tong, Lu Zhang\n类别: eess.IV, math.NA\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32185v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32185v1\n摘要: Full-waveform inversion (FWI) reconstructs sound-speed fields from measured waveforms, by solving an optimization problem that minimizes the discrepancy between measured waveforms and those predicted by a numerical wave-propagation model. However, choosing suitable regularization for this optimization is challenging because it must stabilize the inversion while preserving relevant structures, prompting us to investigate whether priors learned from representative sound-speed images can improve reconstruction. In this work, we adapt plug-and-play flow matching (PnP-Flow) to FWI by alternating waveform-misfit updates with updates from a pretrained flow prior. We explore the effectiveness of PnP-Flow reconstruction by comparing it with total-variation (TV) regularization using noiseless transmission-only plane-wave data. Separate flow priors are trained on two circular-inclusion model families with constant and spatially varying backgrounds. We evaluate the method both on these in-distribution circle models and under substantial distribution shift by transferring the Gaussian-circle prior and reconstruction settings to breast phantom patches without retraining or retuning. Using the same number of waveform-misfit updates, the proposed PnP-Flow framework generally improves circle reconstruction accuracy and recovers breast lesion contrast more accurately than TV baselines.\n10. 混合整数线性规划的分支-过滤方法 A branch-and-filter method for mixed-integer linear programming\n作者: Nikos Dimou\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32165v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32165v1\n摘要: We develop a new tree-search framework for mixed-integer linear programming problems, which incorporates a filter mechanism as a node-acceptance device. The introduced branch-and-filter algorithm combines proper branching actions with a filter on integrality violation and an incumbent-dependent objective coordinate. Inspired by classical filter methods in nonconvex constrained optimization, the proposed method moves to a restoration phase whenever sufficient progress cannot be provided by the filter and funnel mechanisms, the latter of which is anchored at global relaxation lower bounds. Under mild assumptions, the introduced method either certifies infeasibility in finitely many iterations, or converges to global optimality. Moreover, we establish a total outer iteration complexity bound of order $\\mathcal{O}(\\varepsilon^{-1})$ to certification of an $\\varepsilon$-optimal mixed-integer solution through fixed-integer linear programming recovery. We finally perform several numerical experiments to study the performance of branch-and-filter against benchmark solvers, under a branch-and-bound, a branch-and-cut, and a novel cell-deletion realization of the proposed restoration oracle.\n11. 协方差信息引导的集合得分滤波：将局部化协方差几何嵌入基于得分的输运 Covariance-Informed Ensemble Score Filtering: Embedding Localized Covariance Geometry into Score-Based Transport\n作者: Siming Liang, Peter Jan van Leeuwen, Hristo G. Chipilski, Zezhong Zhang, Feng Bao, Guannan Zhang\n类别: math.NA, physics.ao-ph, stat.ML\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32148v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32148v1\n摘要: Background-error covariance models are central to atmospheric data assimilation because they spread partial observational information across space, variables, and dynamically coupled scales. Ensemble and variational methods exploit this covariance geometry efficiently, but their standard analysis formulations are largely built around Gaussian or locally quadratic approximations. Score-based ensemble filtering provides a framework for nonlinear distributional transport, but existing Ensemble Score Filter (EnSF) formulations lack an intrinsic covariance-mediated pathway for propagating likelihood information from observed to unobserved state components. We introduce a covariance-informed ensemble score filter (CI-EnSF) that embeds localized forecast-error covariance geometry directly into the forward diffusion and reverse transport. The proposed forward diffusion is covariance-shaped in standardized state space and becomes isotropic under the corresponding control-variable transformation. This covariance structure continuously propagates observational information from observed to unobserved state components throughout the reverse transport analysis trajectory. Experiments with Lorenz-96 and surface quasi-geostrophic (SQG) dynamics show a clear regime dependence. For linear observations, a well-tuned LETKF is more accurate, while CI-EnSF maintains stable cycling and effective covariance-mediated information propagation. Under strongly nonlinear observations and under climatological initialization, CI-EnSF achieves lower analysis error and greater cycling robustness than Gaussian ensemble benchmarks such as the LETKF, with improvements extending across spatial scales in the nonlinear SQG experiment. These results suggest that the principal benefit of CI-EnSF arises from combining nonlinear distributional transport with the mature covariance geometry used in conventional data assimilation.\n12. 任意维矩形网格上用于双调和方程的分片 $P_2$ 有限元空间 Piecewise $P_2$ finite element space on rectangular meshes in arbitrary dimensions for the biharmonic equation\n作者: Rui Ma, Yang Xing, Shuo Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32048v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32048v1\n摘要: This paper develops a piecewise $P_2$ finite element space on rectangular meshes in arbitrary dimensions for the biharmonic equation. The discrete space imposes continuity of vertex sums on $(d-2)$-faces and of averaged normal derivatives across interior $(d-1)$-faces. A local algebraic characterization of $P_2$ is first established through the unisolvence of an enriched polynomial space and the resulting compatibility conditions. For each interior element, a $3^d$-element patch is then introduced, and the associated homogeneous patch space is shown to be one-dimensional. The corresponding patch functions, extended by zero, form a basis of the global homogeneous discrete space. A local quadratic interpolation operator is further constructed in arbitrary dimensions. Its approximation properties, together with a consistency estimate derived from the weak continuity conditions, lead to the optimal broken $H^2$ error estimate for the biharmonic problem.\n13. 任意剖分上二次非节点样条插值的最优收敛性 Optimal Convergence of Quadratic Not-a-Knot Spline Interpolation on Arbitrary Partitions\n作者: Aussie Greene\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-23\narXiv ID: 2610.32044v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.32044v1\n摘要: The not-a-knot condition provides a simple spline interpolation scheme that requires no derivative data at the endpoints. Whereas the classical not-a-knot scheme using odd-degree splines selects knots that coincide with the data points, this approach does not extend to the even-degree case. In this paper we establish the well-posedness of the not-a-knot interpolation problem for even-degree splines, where knots are selected at midpoints of data values. We then show that the quadratic case, introduced in [M. J. D. Powell, Approximation Theory and Methods, Cambridge University Press, 1981], achieves $\\mathcal{O}(h^3)$ convergence for $C^3$ functions on arbitrary partitions without mesh-ratio restrictions. The proof derives a linear system defining the interpolating spline, normalizes the system to bound the matrix norm of its inverse using a Neumann-series argument, and establishes global error bounds.\n14. 用于间断 Galerkin 谱元高效预处理的新型无矩阵近似单元逆 A Novel Matrix-Free Approximate Elemental Inverse for Efficient Preconditioning of Discontinuous Galerkin Spectral Elements\n作者: Boyang Xia, David Moxey\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-22\narXiv ID: 2610.31982v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.31982v1\n摘要: Efficient matrix-free preconditioning remains a challenge for discontinuous Galerkin spectral element discretisations of elliptic problems, particularly for general element shapes with collapsed-coordinate bases, such as prisms, tetrahedra and pyramids. Multigrid provides a promising framework, but its efficiency depends strongly on the effectiveness and computational cost of the smoother. For modal bases, point Jacobi can provide insufficient smoothing, whereas applying block Jacobi through stored dense inverses incurs substantial storage and computational costs. We propose a matrix-free approximate elemental inverse, an approximation to the inverse of each elemental diagonal block, constructed from inverse modal-to-nodal transforms and an element-dependent sparse matrix. Its application exploits generalised sum-factorisation and partial sum-factorisation in collapsed coordinates, avoiding the explicit storage and multiplication of large dense matrices. The method is evaluated as both a standalone preconditioner and a multigrid smoother on hexahedral, prismatic, tetrahedral and pyramidal elements. Although the proposed approximation generally increases iteration counts compared to exact block Jacobi, the cost per iteration is far lower. This trade-off yields substantial reductions in total solution time for hexahedral and prismatic elements, while achieving comparable performance for tetrahedral and pyramidal elements. This study can also serve as a practical guide for tuning the convergence of the discontinuous Galerkin interior-penalty Poisson solver.\n15. 极化集合卡尔曼反演：一种用于多模态反问题的无导数方法及其非渐近分析 Polarized Ensemble Kalman Inversion: A Derivative-Free Method for Multimodal Inverse Problems with Non-asymptotic Analysis\n作者: Huchen Yang, Jin-Long Wu\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-10-22\narXiv ID: 2610.31907v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.31907v1\n摘要: Inverse problems often admit multiple solutions consistent with the same noisy, indirect observations, especially with sparse data and/or strongly nonlinear forward models. Ensemble Kalman inversion (EKI) provides a robust, derivative-free framework to solve inverse problems, but its global empirical covariances couple all ensemble members across distinct solution modes, limiting its effectiveness for multimodal problems. We introduce polarized ensemble Kalman inversion (PEKI), which constructs distance-weighted local covariances for each ensemble member. This localization weakens contributions from distant, data-consistent regions and enables different clusters of ensemble members to evolve toward distinct solution modes. For the practical algorithm with finite ensemble size and polarization radius, we also establish non-asymptotic bounds and perform numerical studies, showing that cross-cluster effects decay exponentially with cluster separation relative to the polarization radius. For linear forward maps, we further establish particle-wise residual contraction and derive an exact cluster-mean decomposition that separates cross-cluster leakage, within-cluster gain variation, and observation perturbations. These results further motivate a one-step procedure for choosing the polarization radius by reusing stored forward-model evaluations. We studied the performance of PEKI on several numerical experiments, including low-dimensional nonconvex benchmarks, a problem equipped with many-mode landscape, and a high-dimensional inverse problem governed by Navier\u0026ndash;Stokes equations. The results confirm the theoretical exponential decay of cross-cluster effects and show that PEKI can serve as a robust and derivative-free method for inverse problems with multiple solution modes.\n16. 近静力平衡大气流动的高阶模拟 High-order Simulation of Nearly Hydrostatic Atmospheric Flows\n作者: Shoyon Panday, Stéphane Gaudreault, Carlos Pereira, Philipp Birken\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-10-22\narXiv ID: 2610.31836v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.31836v1\n摘要: Accurate simulation of atmospheric flows is challenging. Low-Mach-number dynamics often need to be resolved in the presence of a dominant, nearly hydrostatic background state. Conventional upwind numerical fluxes can introduce excessive acoustic-speed-based dissipation in the low-Mach regime. Discretization errors in the balance law can also generate spurious motion. This work investigates these two issues within a high-order Direct Flux Reconstruction (DFR) framework coupled with a third-order exponential time integrator for the 3D compressible Euler equations with gravity. Low-Mach-number accuracy is addressed using a modified AUSM$^+$-up flux, denoted AUSM$^+$-upH. Preservation of the background equilibrium is improved through a deviation-based formulation. The resulting approach is assessed using a hierarchy of idealized atmospheric test cases. The results show that AUSM$^+$-upH preserves low-Mach flow structures more effectively than the more dissipative Rusanov flux. However, reduced numerical dissipation also makes AUSM$^+$-upH more sensitive to residual errors in the discrete hydrostatic balance. The deviation formulation substantially suppresses these errors by several orders of magnitude, with the strongest improvement observed for flows over orography. Overall, AUSM$^+$-upH exhibits greater robustness when combined with the deviation formulation across the atmospheric test cases considered.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-10-26_16-40-46/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年10月26日 16:40:46\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 10\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 16\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-born-近似的神经网络增强\"\u003e1. Born 近似的神经网络增强\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eNeural network enhancement of the Born approximation\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e作者\u003c/strong\u003e: J. Ma, A. Desai, T. Lahivaara, P. Monk\u003c/p\u003e","title":"2026年10月26日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年10月23日 14:46:52\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 13\n不相关论文数量: 20\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 超声速与高超声速流动中薄板的保结构降阶模型 Structure-preserving reduced-order models of thin panels in supersonic and hypersonic flow\n作者: Miguel A. Aguilo\n类别: cs.CE, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-10-22\narXiv ID: 2610.31504v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.31504v1\n摘要翻译 中文标题: 超声速与高超声速流动中薄板的保结构降阶模型\n摘要翻译: 我们为 AePW-4 高速工作组的两个挑战问题构建保结构降阶模型。这两个问题分别是 Mach 1.92 下的固支薄板 (RC-19) 和 Mach 5.85 下的悬臂板 (HyMAX)。每个案例已发表的数据均不包含时间分辨响应，也不包含重复运行。因此，物理机理必须由模型的形式来承载。一种构造为每个问题给出两个模型。一个 Ritz-Galerkin 参考模型描述该板。一个学习模型保留参考模型的精确势能，拟合其余广义力，并且只训练不能增加能量的耗散。其能量平衡由构造方式保证对任意权重成立。在训练后的模型上，最坏相对残差为 2.2e-15。在 RC-19 上，激波关系式预测板两侧的压比为 1.521。压敏涂料测量得到相同的值。学习模型的三十次运行将平均主频置于测量值 236 Hz 的 1.0% 以内。在一个周期工况和一个混沌工况下，学习模型在全部十六次运行中复现了一个已发表降阶模型的响应状态。它做到这一点，且不包含该模型具有的 113 Hz 谱峰，而测量并未显示该峰。测量位移还可以通过一个额外且遵守能量平衡的力来校正混沌响应。我们在实验的 5 kHz 采样率下用合成数据测试了这一点。状态误差在无噪声时为板厚的 1.25%，在存在 10 微米噪声时为 3.5%。在 HyMAX 上，学习模型在 65 ms 内跟踪参考模型的后缘位移，相对误差为 3.7%。这些结果表明，当可用数据无法训练模型时，其结构承载物理的模型仍能匹配测得的颤振行为。\n2. Kirchhoff 型方程的守恒有限元方法 Conservative Finite Element Methods for Kirchhoff-Type Equations\n作者: Benjamin Dörich, Felix Krumbiegel, Jemal Rogava, Andreas Rupp, Zurab Vashakidze\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-22\narXiv ID: 2610.31487v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.31487v1\n摘要翻译 中文标题: Kirchhoff 型方程的守恒有限元方法\n摘要翻译: 我们构造并分析了一个全离散格式，用于二维空间中带时间依赖系数的 Kirchhoff 型非线性积分微分方程。该格式将 Crank\u0026ndash;Nicolson 型的对称三层时间离散、任意多项式次数 $p$ 的协调有限元方法以及针对非线性项的 Picard 迭代相结合。我们证明了 Picard 迭代是良定义的，并且迭代序列在以离散 Laplacian 的分数次幂范数度量下收敛到精确解的 Ritz 投影。在未平移范数中运行相同的能量论证，并在相同假设下，我们进而得到整体误差在 $L^2$ 中的最优阶 $\\mathcal{O} ( h^{p+1} + τ^2 )$ 以及在 $H^1$ 中的 $\\mathcal{O} ( h^{p} + τ^2 )$。对于常系数的齐次问题，该格式的精确解还恒等地保持一个离散能量。采用制造解的数值实验再现了预测的时间二阶精度以及 $L^2$ 范数下的完整空间阶 $h^{p+1}$。\n3. 用于 Monge\u0026ndash;Ampère 的凸平衡势：曲率界与后验评估 Convex Equilibrium Potentials for Monge\u0026ndash;Ampère: Curvature Bounds and A Posteriori Evaluation\n作者: Edison Vázquez, Yingdong Lu, Tomasz Nowicki\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-10-22\narXiv ID: 2610.31386v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.31386v1\n摘要翻译 中文标题: 用于 Monge\u0026ndash;Ampère 的凸平衡势：曲率界与后验评估\n摘要翻译: 平衡神经网络将其隐藏状态定义为压缩映射的不动点，因此其有效深度是在评估时而非由架构设定的。将其用于完全非线性偏微分方程会带来显式网络可避免的两个问题：二阶导数可能随有效深度增长，并且势函数只能被近似评估。我们研究压缩因子为 $q\u003c1$ 的非负 softplus 平衡网络，这是一类适用于 Monge\u0026ndash;Ampère 方程的凸网络类。预解式中的正性抵消表明 Hessian 至多以 $(1-q)^{-2}$ 的速率增长，而不是直接估计给出的 $(1-q)^{-3}$；并且一个显式的单神经元族表明该指数是尖锐的；三阶导数满足尖锐的 $(1-q)^{-3}$ 界。基于残差的后验估计进而控制近似平衡点处的状态、其输入导数，以及在二维情形下的 Hessian 行列式。结合定义域完整覆盖上的区间算术，它们给出 Monge\u0026ndash;Ampère 残差的严格一致界，并通过比较论证给出固定训练网络的解误差的严格一致界。在单位圆盘上的两个制造 Dirichlet 问题上，所有六个训练模型均被认证，其残差低于 $0.25$，边界误差低于 $0.01$。自适应停止最多将 float64 评估时间减半，而带认证的自适应评估仍然比固定深度成本更高。\n4. 基于图划分的自适应局部本征正交分解及有限维函数空间中参数化序列的可证明误差有界有损压缩 Adaptive Local Proper Orthogonal Decomposition via Graph Partitioning and Provable Error-Bounded Lossy Compression for Parametric Series in Finite-Dimensional Function Spaces\n作者: Roberto Nuca, Matteo Parsani, Lisandro Dalcin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-22\narXiv ID: 2610.31375v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.31375v1\n摘要翻译 中文标题: 基于图划分的自适应局部本征正交分解及有限维函数空间中参数化序列的可证明误差有界有损压缩\n摘要翻译: 我们提出一种空间自适应本征正交分解（POD）方法，用于有限维函数空间中快照数据的误差有界有损压缩。该方法将层次图划分与空间子域上的独立低秩逼近相结合，使局部逼近秩能够适应数据中信息的空间分布。对于在离散内积意义下正交的划分，我们建立了全局平方重构误差到局部贡献的精确分解，并刻画了在固定划分和秩下所得局部 POD 逼近的最优性。这些结果为在子域之间分配给定的全局误差容限并选择最小的可容许局部秩提供了严格机制。我们进一步建立了系数空间归一化均方根误差（NRMSE）的一个充分误差界。一种贪心层次细化算法仅在空间细分能够减少局部低秩因子所需存储且同时保持给定重构误差界时，才接受该空间细分。使用合成数据以及来自二维和三维可压缩流模拟的快照序列对该方法进行了评估。数值结果说明了空间自适应秩和划分相对于全局 POD 和固定空间划分如何改进压缩，特别是当数据表现出空间异质动力学时。\n5. 利用衍射波对多边形障碍物的数值重建 Numerical reconstruction of polygonal obstacles by diffracted waves\n作者: Xi Chen, Kuangmiao Xiong, Boxi Xu\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-10-22\narXiv ID: 2610.31271v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.31271v1\n摘要翻译 中文标题: 利用衍射波对多边形障碍物的数值重建\n摘要翻译: 我们提出一种用于恢复二维刚性多边形障碍物的数值方法，该方法基于 Bao、Chen、Lu 和 Xiong 的基于衍射的逆散射理论。从点源发射单个脉冲，并在接收曲线上测量所得的波场。在分离出衍射信号后，我们由到达时间恢复可见顶点，并由振幅恢复角点取向和开口角。振幅信息的使用允许在反射阴影区进行局部重建，而在该区域反射波无法到达接收器。振幅还确定了与可见顶点相邻的阴影边的方向，从而实现局部非视线成像。针对凸角、凹角、三角形、五边形和星形障碍物的数值实验证实，可以从衍射信号稳定地恢复边界的可见部分。进一步在单弧 $L_1$ 上带有水平为 $0.2\\%$ 的加性噪声的凸角测试证实，尖端和开口仍然可恢复。\n6. 具有非线性幂律粘性的旋转 MHD-Boussinesq 流动的有限元逼近 Finite Element Approximation of Rotating MHD-Boussinesq Flows with Nonlinear Power-Law Viscosity\n作者: Akash Ashirbad Panda, Evana Islam Sarkar\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-22\narXiv ID: 2610.31091v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.31091v1\n摘要翻译 中文标题: 具有非线性幂律粘性的旋转 MHD-Boussinesq 流动的有限元逼近\n摘要翻译: 我们提出并分析具有非线性幂律（$p$-Laplace）粘性的三维不可压缩旋转 MHD-Boussinesq 系统的一个全离散有限元逼近。对速度和温度采用协调元，对磁感应采用 $\\mathbf H(\\operatorname{curl})$-协调 Nédélec 元，时间上采用半隐式向后 Euler 格式。该离散保持主要能量结构：Lorentz 项与感应项精确抵消，而 Coriolis 力保持能量中性。由此得到适定性和与网格无关的能量稳定性。非线性幂律扩散带来两个主要分析困难。由于离散速度的一致时间导数估计不可得，强紧性通过时间平移论证和 Simon 紧性准则获得。然后借助基于离散能量 $\\limsup$ 不等式的 Minty 论证识别非线性扩散的弱极限。紧性和取极限在整个剪切增稠区域成立，而在 Newtonian 情形以及在三维中高于一个由 Lorentz 力而非对流决定的显式阈值时，可获得真正弱解的识别。我们进一步建立了无需任何网格-时间耦合条件的先验误差估计。三维数值实验证实了分析所预测的稳定性和收敛行为。\n7. ADER-DG方法中的刚性源项 Stiff source terms inside ADER-DG method\n作者: I. S. Popov, A. P. Popova\n类别: physics.comp-ph, math-ph, math.NA, physics.app-ph, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-10-22\narXiv ID: 2610.30852v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.30852v1\n摘要翻译 中文标题: ADER-DG方法中的刚性源项\n摘要翻译: 当用于求解带刚性源项的双曲方程时，采用LST-DG预测器的ADER-DG数值方法表现出IMEX计算格式的特征。随着刚性增加（由参数 $z = ν{Δt}^{n} \u003c 0$ 表征），ADER-DG数值方法的Courant数最大值 $\\mathrm{CFL}_{\\rm max}$ 增大。在强刚性区域 $|z| \\gg 1$，Courant数出现线性增长 $\\mathrm{CFL}_{\\rm max}(z) \\sim |z|$。在小源项区域 $|z| \\ll 1$，结果 $\\mathrm{CFL}_{\\rm max}(z)$ 转化为无源项问题 $\\mathrm{CFL}_{\\rm max}(0)$ 的已知结果。在过渡区域 $|z| \\sim 1$，发现了Courant数 $\\mathrm{CFL}_{\\rm max}(z)$ 的一个不显著下降区间。在线性情形下，不稳定性恰好在矩阵的某个特征值达到 $λ= -1$ 时被破坏，而与数值解的相位 $θ$ 无关。针对基多项式的任意次数 $N$，构造了刚性问题的ADER-DG数值方法的严格稳定性理论。稳定性条件被简化为求解关于Courant数 $\\mathrm{CFL}$ 的多项式方程。获得了ADER-DG方法的Courant数 $\\mathrm{CFL}_{\\rm max}(N, z)$ 对参数 $z$ 的高精度依赖关系。给出了ADER-DG方法逼近性的严格直接证明。严格推导了任意次数 $N$ 的逼近阶 $p = N+1$。开展了一组数值实验，将ADER-DG方法应用于求解线性平流-反应方程以及双组分反应介质的Euler方程组。这些计算得到的结果很好地验证了理论结果。\n8. 球面上 Allen-Cahn 方程的广义 MLS 与 LS-SVR Generalized MLS and LS-SVR for Allen-Cahn Equations on Spheres\n作者: Vahid Mohammadi, Mehdi Dehghan, Stefano De Marchi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-22\narXiv ID: 2610.30714v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.30714v1\n摘要翻译 中文标题: 球面上 Allen-Cahn 方程的广义 MLS 与 LS-SVR\n摘要翻译: 本文将基于广义移动最小二乘（GMLS）逼近的最小二乘支持向量回归（LS-SVR）推广到球面上偏微分方程的数值求解。我们证明，所提方法以其对偶形式构造了一个基于核的逼近器，并建立了其与相应再生核 Hilbert 空间（RKHS）的联系。此外，我们证明通过所提 LS-SVR 框架求解 PDE 等价于在相应 RKHS 中求解一个平滑问题或核岭回归问题。作为应用，该方法被用于求解球面上的 Allen-Cahn 方程及其守恒对应模型。采用隐式一阶算子分裂格式将每个模型分离为线性与非线性子问题。线性子问题采用向后差分公式离散，并在每个时间步使用由基于 GMLS 的配点格式导出的 LS-SVR 进行逼近，而非线性部分则解析处理。所得格式被证明在每个时间步均具有唯一数值解。对于守恒 Allen-Cahn 模型，引入校正过程以保持质量。数值实验验证了所提框架的精度与有效性。\n9. 算子适配多重网格中的学习型光滑：受控精度增益与计算限制 Learned smoothing in operator-adapted multigrid: controlled accuracy gains and computational limits\n作者: Kumar Kaushik Ranjan\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-22\narXiv ID: 2610.30692v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.30692v1\n摘要翻译 中文标题: 算子适配多重网格中的学习型光滑：受控精度增益与计算限制\n摘要翻译: 学习型多重网格组件通常是在固定迭代预算下评估的，但这种比较不能区分局部逼近增益与实际求解器效率。我们针对非结构有限元网格上的高对比度椭圆问题研究这一区分。一个学习型 V-cycle 使用算子相关转移算子、Galerkin 粗网格算子、近核收缩和能量范数保护机制；仅其光滑子被训练。该架构表示一类指定的固定多项式光滑子，并且关于载荷为正齐次。在新的导电通道问题上，一次学习型遍历相对于使用四步 Jacobi 预条件共轭梯度光滑的同一循环，将能量误差缩小 5.7-6.1 倍；对于绝缘势垒，相应的因子为 1.38-1.45。在通道问题上的另一项固定输入测试中，对于每个位置和训练初始化，细网格层学习型光滑子在 100 个新输入中的 97-100 个上取得了比其自身输入的五维 Krylov 空间上的精确最小值更小的能量范数误差；这并不确立其优于所有多项式光滑循环。当经典光滑预算增加时，配对的几何平均精度在通道问题上每次光滑调用 8 到 14 步之间、在势垒问题上 5 到 8 步之间超过学习型循环的精度。所测量的 CPU 实现相对于所测试的经典求解器没有计算优势，且载荷变化和浮岛进一步限制其精度。\n10. 具有紧致显式单步时间离散的高阶全离散熵稳定 DG 方法 High-Order Fully Discrete Entropy-Stable DG Methods with Compact Explicit Single-Step Time Discretizations\n作者: Yuchang Liu, Yan Jiang, Mengping Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.30535v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.30535v1\n摘要翻译 中文标题: 具有紧致显式单步时间离散的高阶全离散熵稳定 DG 方法\n摘要翻译: 我们为具有紧致显式单步时间离散的高阶全离散熵稳定间断 Galerkin（DG）方法建立了一个统一框架。在每个时间步结束时，将初步的 DG 多项式向其单元平均缩放，以强制满足强单元熵不等式，同时保持守恒性。该修正可行当且仅当更新后的单元平均满足弱单元熵不等式；而标准的三阶强稳定性保持 Runge\u0026ndash;Kutta DG 更新在任意小的正 CFL 数下都可能违反该不等式。对于紧致单步格式，包括紧致 Runge\u0026ndash;Kutta、Lax\u0026ndash;Wendroff 和 ADER-DG 方法，我们在每个界面上推导了可行数值熵通量的显式区间，并证明该区间在 CFL 条件下非空。将一个相容的高阶目标通量投影到该区间上，可保证弱单元熵不等式，并在光滑解上保持单步高阶精度，包括在非退化极值附近。该限制器还同时强制多个熵不等式成立。我们还建立了一个 Lax\u0026ndash;Wendroff 型定理。针对标量守恒律和可压缩 Euler 方程的数值实验表明，该方法具有高阶精度、多熵控制和强激波鲁棒性。\n11. 双曲守恒律的熵有界紧致模板Runge-Kutta间断Galerkin方法 Entropy bounded compact stencil Runge-Kutta discontinuous Galerkin method for hyperbolic conservation laws\n作者: Deepak Kumar, Pratima Rai, Arvind Patel\n类别: math.NA, math-ph, math.AP\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.30496v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.30496v1\n摘要翻译 中文标题: 双曲守恒律的熵有界紧致模板Runge-Kutta间断Galerkin方法\n摘要翻译: 本文介绍一种用于可压缩气体动力学Euler方程的紧致模板Runge-Kutta间断Galerkin方法，该方法保持类似于Tadmor在Euler方程熵解[4]中引入的最小熵原理。紧致模板RKDG由Chen等人在[15]中引入，是标准RKDG方法的一种变体，以更小的模板尺寸和并行效率著称。主要挑战在于，cRKDG方法必须表示为Butcher形式，而并非该形式下的每个Runge-Kutta方法都是前向Euler步的凸组合。因此，为了建立该性质，我们利用cRKDG格式的保界框架[8]、一个熵有界限制器[6]和经典的保正限制器。最后一节给出数值实验以证明该方法的稳健性。\n12. 梯度流自适应 SSAV\u0026ndash;BDF2 积分的能量速率等分布 Energy-rate equidistribution for adaptive SSAV\u0026ndash;BDF2 integration of gradient flows\n作者: Suki Shergill, JF Williams\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.30454v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.30454v1\n摘要翻译 中文标题: 梯度流自适应 SSAV\u0026ndash;BDF2 积分的能量速率等分布\n摘要翻译: 我们为梯度流中结合变步长 BDF2 离散的标量辅助变量（SAV）格式发展了一种自适应时间步进策略。该策略根据瞬时能量耗散率选取步长，并通过步长拒绝机制强制一个可计算的对称能量具有单调性。我们证明，实际使用的步长规则对应于沿能量曲线对监视函数进行等分布，从而将能量自适应时间步进与 r-自适应网格方法的经典理论联系起来。监视函数 $g = |\\dot{E}|$ 是渐近最优的，因为它在给定步数下最小化主导阶的最大对称能量偏差。一种在平衡附近切换到 $g = \\sqrt{|\\dot{E}|}$ 的组合监视函数限制了步长增长，且不降低该误差界。先前工作中使用的弧长参数 $β$ 被证明是最大允许步长与能量误差容限之比。该控制器与 SSAV\u0026ndash;BDF2 离散相结合。被接受的步满足对称能量的单调性，由此我们推出物理能量的一个关于步数一致的界，$\\sup_n E(u^n) \\le E(u^{0}) + τ_1 + O(Δt_{\\max}^2)$，并且在标准步长比限制下，该格式达到二阶全局精度。在 Cahn\u0026ndash;Hilliard、Ohta\u0026ndash;Kawasaki、Phase\u0026ndash;Field Crystal 和 functionalized Cahn\u0026ndash;Hilliard 模型上的数值实验证实了该理论并展示了该方法的效率。\n13. 一般函数空间的分部求和算子：通量差分、熵稳定性与精度 Summation-by-parts operators for general function spaces: Flux differencing, entropy stability, and accuracy\n作者: Henry M. Haase, Andrew R. Winters, Jan Glaubitz\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.30272v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.30272v1\n摘要翻译 中文标题: 一般函数空间的分部求和算子：通量差分、熵稳定性与精度\n摘要翻译: 分部求和（SBP）算子是双曲守恒律的可证明稳定高阶方法的基石。对于非线性问题，Fisher 和 Carpenter 的通量差分框架将此类 SBP 算子与熵守恒两点通量相结合，得到在 Lax\u0026ndash;Wendroff 意义下守恒、且离散熵守恒或稳定的半离散化。迄今为止，该框架仅针对对多项式精确的算子发展。函数空间 SBP（FSBP）算子在可针对具体问题定制的一般有限维函数空间上精确，从而解除了这一限制。本文中，我们将通量差分推广到适用于一般（可能非多项式）函数空间的 FSBP 算子。我们证明：只要该算子具有对角范数且其函数空间包含常数，所得半离散化就在 Lax\u0026ndash;Wendroff 意义下守恒、在单个单元内半离散熵守恒，并且跨单元界面熵稳定。我们还给出了 FSBP 算子的首个理论精度分析：我们通过底层函数空间上的代数准则刻画其设计阶，证明合适的非多项式空间达到与同维多项式空间相同的设计阶，并表明通量差分半离散化保持该阶。值得注意的是，熵守恒两点通量原样复用；仅底层函数空间与多项式情形不同。针对一维和二维 Burgers 方程与可压缩 Euler 方程的数值实验验证了这些性质。\n不相关论文（基本信息） 1. 从随机特征到完全可训练网络的相变 Phase Transition from Random Features to Fully Trainable Networks\n作者: Xin He, Huan Lao, Xiliang Lu, Shijun Zhang\n类别: math.NA, cs.LG, math.ST, stat.ML\n发布日期: 2026-10-22\narXiv ID: 2610.31663v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.31663v1\n摘要: Constructing accurate and computationally tractable approximation spaces is a fundamental task in scientific computing. Partially trainable neural networks bridge fixed random features and fully adaptive representations. This paper quantifies a phase transition pattern in approximation bounds and observes analogous behavior in training errors: a rapid but smooth initial improvement followed by diminishing returns, with a sharper transition under greater initialization mismatch. Under polynomial spectral decay with exponent $α\u003e1$ and leverage compatibility, we establish a squared $L_2$ approximation rate $\\mathcal{O}((κ_P\\log(m/δ)/m)^α)$ for two-layer networks of width $m$ and trainable proportion $P$, where $κ_P=(P/κ_1^*+(1-P)/κ_0^*)^{-1}$. The bound holds uniformly over the unit ball of a reproducing kernel Hilbert space (RKHS) with probability at least $1-δ$. The constants $κ_0^*$ and $κ_1^*$ quantify the fixed and trainable groups\u0026rsquo; sampling mismatches relative to the target RKHS. For spherical biased-ReLU features in dimension $d$, we verify these assumptions with $α=(d+2)/(d-1)$ and $κ_0^*=4\\sqrt{2}τ(d+1)/d$ for initialization scale $τ\\ge1$, and $κ_1^*=1$ under ridge leverage sampling. For $d=5$ and $τ=10$, a trainable proportion of approximately $4.1\\%$ captures $90\\%$ of the reduction in the approximation bound from $P=0$ to $P=1$. A structured three-layer example illustrates how a few trainable first-layer neurons exploit fixed downstream blocks through nonlinear composition. Numerical experiments across diverse settings, including networks with up to 15 layers, exhibit similar phase transitions in training errors.\n2. 凸Bernstein极限与扩张区间上的锐利恢复 Convex Bernstein limits and sharp recovery on expanding intervals\n作者: Matthew J. Colbrook, Catherine Drysdale\n类别: math.NA, math.CA\n发布日期: 2026-10-22\narXiv ID: 2610.31546v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.31546v1\n摘要: We determine when approximation by convex polynomials on expanding intervals converges to best approximation on the real line by convex entire functions of exponential type at most $σ\u003e0$. For intervals of radius $(n-γ_n)/σ$, where $0\\leγ_n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-10-23_14-46-52/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年10月23日 14:46:52\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 13\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 20\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-超声速与高超声速流动中薄板的保结构降阶模型\"\u003e1. 超声速与高超声速流动中薄板的保结构降阶模型\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eStructure-preserving reduced-order models of thin panels in supersonic and hypersonic flow\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年10月23日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年10月22日 14:59:02\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 9\n不相关论文数量: 15\n重点关注论文（完整分析） 1. PEC边界下电场矢量波问题的对称性继承与精确镜像对称约化 Symmetry Inheritance and Exact Mirror Symmetry Reduction for Electric Field Vector Wave Problems with PEC Boundaries\n作者: Wei Jiang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.29481v1\n摘要翻译: 针对有界区域中、具有完美电导体(PEC)边界和一般空间变化各向异性介质的电场二阶矢量波方程，建立了一个对称性继承与精确区域约化框架。利用正交群在极向量、轴向量和二阶本构张量上的作用，直接从原始边值问题推导出变换后的 curl\u0026ndash;curl 方程和 PEC 迹条件。在唯一可解性假设下，问题数据的公共对称群被电场继承。当电磁介质的对称群容许一个镜像对称时，任意外加电流都可通过相关反射投影算子分解为镜像偶和镜像奇分量。相应的全域场继承各自的奇偶性，而将它们精确限制到一个半域上，分别对偶场给出理想磁导体(PMC)条件、对奇场给出 PEC 条件。因此，原问题可由两个独立的约化域问题精确表示。一种与对称性相容的第一族 Nédélec 离散在离散层面保持该分解。解析和数值结果验证了对称性继承理论、精确的 PEC/PMC 约化域表述，以及在对称与非对称激励下针对常数和空间变化各向异性导电介质的离散重构。\nComment: 24 pages\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.29481v1\n1. 研究对象和背景 本文研究有界连通 Lipschitz 区域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^3$ 中, 全边界为理想电导体(PEC)的频域电场二阶矢量波方程. 采用 $e^{j\\omega t}$ 时间约定, 介质参数 $\\varepsilon,\\mu,\\sigma:\\Omega\\to\\mathbb{C}^{3\\times3}$ 允许为一般空间变化各向异性张量, 仅要求 $\\mu(x)$ 非奇异, 并且在对称性分析中不要求 Hermitian 性, 正性, 互易性, 各向同性或无损耗性. 记介质数据 $M:=(\\varepsilon,\\mu,\\sigma)$, 定义算子 $$L_{M,\\omega}v:=\\operatorname{curl}\\left(\\mu^{-1}\\operatorname{curl}v\\right)-\\omega^2\\varepsilon v+j\\omega\\sigma v.$$ 论文研究的边值问题为 $$L_{M,\\omega}E=-j\\omega J\\quad\\text{in }\\Omega,\\qquad B_{\\mathrm{PEC}}E:=n\\times E=0\\quad\\text{on }\\partial\\Omega,$$ 其中 $J$ 为外加极化电流, $n$ 为外法向. 该问题是以电场为未知量的时谐 Maxwell 方程标准二阶形式, 其优点是可直接用 curl 协调棱单元逼近 $E$, 并通过切向迹施加 PEC 条件. 因而它是电磁有限元分析的核心模型之一, 也是研究对称性约化与区域分解的自然对象. 论文关心的问题是: 当区域, PEC 边界, 介质张量和激励具有某种正交变换对称性时, 电场是否继承该对称性; 更进一步, 当介质具有镜面反射对称而外加电流没有确定镜像宇称时, 能否把原问题精确化为一个半区域上的两个独立问题. 这一问题的困难在于, 几何对称并不自动保证解对称. 微分算子, 材料张量, 物理边界条件和激励必须在同一变换下相容地变换. 对二阶标量椭圆问题, 已有工作把唯一性作为对称性继承的机制. 但电场矢量波问题包含 curl 算子, 极化矢量与轴矢量的不同群作用, 反射时 curl 的方向改变, 以及 PEC 切向迹在反射下的轴矢量变换. 各向异性介质的反射不变性也不能简化为材料矩阵逐元素对称, 而必须按二阶张量场的整体变换 $T_g^2A=gA(g^{-1}x)g^{-1}$ 判断. 因此, 把标量椭圆情形的对称性继承推广到电场矢量波问题并非平凡推广. 论文试图补的空白正是: 在一般空间变化各向异性介质和全 PEC 边界下, 建立电场二阶矢量波问题的对称性继承理论; 对任意外加电流给出精确镜像分解; 证明半区域上的精确 PEC/PMC 内部条件; 并说明最低阶第一族 Nédélec 离散与这一分解相容. 与既有电磁对称性约化文献相比, 本文特别针对源破坏镜像对称的情形, 而不是只处理已经具有确定宇称的激励.\n2. 主要定理或主要结果 论文的主要严格结果可分为连续问题的对称性继承, 镜像分解与半区域精确约化, 以及变分离散框架三部分. 首先, 作者对 $g\\in G_\\Omega:=\\{g\\in O(3):g\\Omega=\\Omega\\}$ 定义标量场, 极化矢量, 轴矢量和二阶张量的左作用: $$(T_g^0f)(x)=f(g^{-1}x),\\quad (T_g^pv)(x)=gv(g^{-1}x),\\quad (T_g^aw)(x)=\\det(g)gw(g^{-1}x),\\quad (T_g^2A)(x)=gA(g^{-1}x)g^{-1}.$$ 论文证明关键变换恒等式 $$\\operatorname{curl}(T_g^pv)=T_g^a(\\operatorname{curl}v),\\qquad \\operatorname{curl}(T_g^aw)=T_g^p(\\operatorname{curl}w),$$ 以及 PEC 迹关系 $$B_{\\mathrm{PEC}}(T_g^pv)=T_g^a(B_{\\mathrm{PEC}}v),\\qquad g\\in G_\\Omega.$$ 由此得到变换后问题的协变性: 若 $\\varepsilon_g=T_g^2\\varepsilon$, $\\mu_g=T_g^2\\mu$, $\\sigma_g=T_g^2\\sigma$, $J_g=T_g^pJ$, $E_g=T_g^pE$, 则原问题变换为同一区域上由 $M_g=(\\varepsilon_g,\\mu_g,\\sigma_g)$ 和 $J_g$ 驱动的 PEC 问题. 定义材料对称群 $G_{\\mathrm{med}}:=G_\\varepsilon\\cap G_\\mu\\cap G_\\sigma$ 和源对称群 $G_J:=\\{g\\in G_\\Omega:T_g^pJ=J\\}$, 并令 $$G_{\\mathrm{data}}:=G_\\varepsilon\\cap G_\\mu\\cap G_\\sigma\\cap G_J.$$ 定理 3.1 断言: 若原 PEC 问题唯一可解, 则 $$G_{\\mathrm{data}}\\subseteq G_E:=\\{g\\in G_\\Omega:T_g^pE=E\\}.$$ 证明只使用协变性与唯一性: 对 $g\\in G_{\\mathrm{data}}$, 场 $T_g^pE$ 与原场 $E$ 满足完全相同的 PEC 边值问题, 故相等. 作者明确指出反向包含一般不成立, 并给出球腔中零源且工作频率非本征频率的例子: 此时 $G_{\\mathrm{data}}=\\{I\\}$, 但零场满足 $G_E=O(3)$, 故 $G_{\\mathrm{data}}\\subsetneq G_E$. 其次, 取区域体积质心为原点, 设镜面 $\\Pi=\\{x:n_S\\cdot x=0\\}$, 反射 $R=I-2n_Sn_S^T$, 并假设 $R\\in G_\\varepsilon\\cap G_\\mu\\cap G_\\sigma$. 对任意外加电流 $J$ 不作宇称假设. 令 $T:=T_R^p$, 反射投影算子为 $$P_+=\\frac12(I+T),\\qquad P_-=\\frac12(I-T),$$ 并分解 $J=J_++J_-$, $J_+=P_+J$, $J_-=P_-J$. 设 $E_+$ 与 $E_-$ 分别为全区域上以 $J_+$ 与 $J_-$ 为源的唯一解. 唯一性给出 $$T_R^pE_+=E_+,\\qquad T_R^pE_-=-E_-,$$ 并且 $$E=E_++E_-.$$ 这是全区域层面的精确分解, 也是后续限制到半区域的前提. 在镜面固定点 $x\\in\\Pi$ 上, 奇场满足 $(E_-)_t=0$, 即 $$n_S\\times E_-=0\\quad\\text{on }\\Pi\\cap\\Omega,$$ 对应内部 PEC 条件. 偶场满足 $R E_+(x)=E_+(x)$, 故法向分量为零; 又由轴矢量 curl 变换和 $\\det R=-1$ 得 $R\\operatorname{curl}E_+(x)=-\\operatorname{curl}E_+(x)$, 故 $\\operatorname{curl}E_+$ 法向于镜面. 结合 $R\\mu R^T=\\mu$ 在镜面上推出的 $R\\mu^{-1}=\\mu^{-1}R$, 得到 $$n_S\\times\\mu^{-1}\\operatorname{curl}E_+=0\\quad\\text{on }\\Pi\\cap\\Omega,$$ 等价于 $n_S\\times H_+=0$, 即内部 PMC 条件; 同时由 $R\\varepsilon=\\varepsilon R$ 得到 $n_S\\cdot D_+=0$. 令 $\\Omega_+$ 为 $\\Omega$ 的一半, $\\Gamma_P=\\partial\\Omega_+\\cap\\partial\\Omega$, $\\Gamma_S=\\partial\\Omega_+\\cap\\Pi$. 则偶场限制 $u_+=E_+|_{\\Omega_+}$ 解 $$L_{M,\\omega}u_+=-j\\omega J_+\\ \\text{in }\\Omega_+,\\quad n\\times u_+=0\\ \\text{on }\\Gamma_P,\\quad n_S\\times\\mu^{-1}\\operatorname{curl}u_+=0\\ \\text{on }\\Gamma_S;$$ 奇场限制 $u_-=E_-|_{\\Omega_+}$ 解 $$L_{M,\\omega}u_-=-j\\omega J_-\\ \\text{in }\\Omega_+,\\quad n\\times u_-=0\\ \\text{on }\\Gamma_P,\\quad n_S\\times u_-=0\\ \\text{on }\\Gamma_S.$$ 定理 4.1 断言: 在上述唯一可解与介质反射不变假设下, 对任意 $J$, 原唯一解精确分解为 $E=E_++E_-$, 两个半区域问题分别有唯一解, 且通过偶/奇宇称延拓可精确重构原场 $$E=\\mathcal{E}^+u_++\\mathcal{E}^-u_-.$$ 对一般非对称源, 需要求解两个半区域问题; 若源已具有确定宇称, 则一个投影为零, 只需一次半区域求解. 最后, 变分框架定义 $$V^+:=\\{v\\in H(\\operatorname{curl},\\Omega_+):n\\times v=0\\ \\text{on }\\Gamma_P\\},\\qquad V^-:=\\{v\\in H(\\operatorname{curl},\\Omega_+):n\\times v=0\\ \\text{on }\\partial\\Omega_+\\},$$ 双线性形式 $$a_\\omega(u,v)=\\int_{\\Omega_+}(\\mu^{-1}\\operatorname{curl}u)\\cdot\\operatorname{curl}v\\,dx-\\omega^2\\int_{\\Omega_+}(\\varepsilon u)\\cdot v\\,dx+j\\omega\\int_{\\Omega_+}(\\sigma u)\\cdot v\\,dx,$$ 以及 $\\ell^\\pm(v)=-j\\omega\\int_{\\Omega_+}J_\\pm\\cdot v\\,dx$. 两个约化问题写成统一形式: 求 $u_\\pm\\in V^\\pm$ 使 $a_\\omega(u_\\pm,v)=\\ell^\\pm(v)$ 对所有 $v\\in V^\\pm$ 成立. 在离散层面, 作者采用最低阶第一族 Nédélec 棱单元空间 $V_{h,\\pm}\\subset V^\\pm$, 得到 $$A^\\pm U^\\pm=b^\\pm,\\qquad A^\\pm=K^\\pm-\\omega^2M^{\\varepsilon,\\pm}+j\\omega M^{\\sigma,\\pm}.$$ 摘要声称该对称相容的第一族 Nédélec 离散在离散层面保持分解, 并对常系数与空间变化各向异性导电介质, 在对称与非对称激励下进行了解析和数值验证. 但提供的 PDF 内容只到第 10 页矩阵形成处, 未包含离散保持的详细证明, 误差估计, 收敛率或具体数值表格, 因此这些数值结论和离散重构细节从提供内容中无法独立核验.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术障碍不是常规能量估计, 而是如何在同一框架中处理反射下极化场, 轴矢量 curl, PEC 切向迹和二阶材料张量的不同变换, 并把连续层面的精确宇称传递到半区域和 Nédélec 离散. 第一项关键技术是建立协变性. 作者没有直接假设解对称, 而是从原边值问题出发, 分别定义标量, 极化矢量, 轴矢量和二阶张量的群作用. 这里的关键是区分 $T_g^p$ 与 $T_g^a$: 电场 $E$ 和电流 $J$ 是极化矢量, 而 $\\operatorname{curl}E$ 在反射下按轴矢量变换, 多出 $\\det(g)$ 因子. 作者在附录中通过链式法则, 法向变换和 curl 的 Levi-Civita 结构证明 $$\\operatorname{curl}(T_g^pv)=T_g^a(\\operatorname{curl}v),\\qquad B_{\\mathrm{PEC}}(T_g^pv)=T_g^a(B_{\\mathrm{PEC}}v).$$ 第二个恒等式尤其关键, 因为它保证齐次 PEC 条件在全物理边界上被所有 $g\\in G_\\Omega$ 保持, 从而可以把变换后的场代回同一个 PEC 问题. 对材料张量, 作者坚持使用整体变换 $T_g^2A=gA(g^{-1}x)g^{-1}$, 从而避免把各向异性介质的反射不变性错误地化为矩阵逐元素对称. 第二项关键技术是把唯一性当作对称性继承机制. 作者明确把唯一性假设与对称性论证分离: 不建立新的 Maxwell 存在性理论, 只要求固定频率下 PEC 问题唯一可解, 即齐次问题只有零解. 对 $g\\in G_{\\mathrm{data}}$, 变换后的 $T_g^pE$ 与原 $E$ 满足完全相同的方程和边界条件, 故由唯一性得到 $T_g^pE=E$. 这一论证给出了保证的对称群包含 $G_{\\mathrm{data}}\\subseteq G_E$, 并用零场例子说明不能期望反向包含. 第三项关键技术是先在全区域分解源, 再限制到半区域. 这是处理源破坏镜像对称的核心. 若直接在对称面上施加 PEC 或 PMC, 一般只对具有确定镜像宇称的源成立; 对任意 $J$ 会得到错误问题. 作者用 $T^2=I$ 构造互补投影 $P_\\pm$, 把 $J$ 分成偶源和奇源, 在全区域上分别求解, 由唯一性强制 $E_+$ 偶, $E_-$ 奇, 再由线性叠加得到 $E=E_++E_-$. 只有在此之后才讨论半区域限制, 因而内部边界条件不是猜测而是由全区域场的固定平面性质推出. 第四项关键技术是内部 PEC/PMC 条件的推导. 对奇场, 固定平面上 $RE_-=-E_-$ 推出切向电场为零, 即 $n_S\\times E_-=0$; 对偶场, $RE_+=E_+$ 推出法向电场为零. 更精细的是, 由轴矢量 curl 变换得 $R\\operatorname{curl}E_+=-\\operatorname{curl}E_+$, 故 $\\operatorname{curl}E_+$ 法向于镜面. 再利用介质反射不变性 $R\\mu R^T=\\mu$ 在镜面上给出 $R\\mu^{-1}=\\mu^{-1}R$, 从而 $n_S\\times\\mu^{-1}\\operatorname{curl}E_+=0$, 即 PMC 条件; 类似地由 $R\\varepsilon=\\varepsilon R$ 得到 $n_S\\cdot D_+=0$. 作者还给出逆方向: 任何约化问题的解通过偶/奇宇称延拓都满足全区域齐次 PEC 问题, 因此全区域唯一性蕴含两个约化问题的唯一性, 并保证重构精确. 第五项关键技术是变分与离散的相容选择. 偶问题的 PMC 条件是自然边界条件, 奇问题的 PEC 条件是本质边界条件; 因此作者分别取 $V^+$ 在 $\\Gamma_P$ 上强加 PEC, 在 $\\Gamma_S$ 上不强加切向条件, 而 $V^-$ 在 $\\partial\\Omega_+$ 上强加 PEC. 对 curl-curl 项分部积分时, 偶问题产生边界迹 $n_S\\times\\mu^{-1}\\operatorname{curl}u_+$, 由 PMC 条件消去; 奇问题的试探与检验函数在 $\\Gamma_S$ 上的切向迹为零. 离散采用最低阶第一族 Nédélec 棱单元, 依赖全局定向的边自由度来保持切向连续性; 矩阵形式为 $A^\\pm=K^\\pm-\\omega^2M^{\\varepsilon,\\pm}+j\\omega M^{\\sigma,\\pm}$. 摘要称这种对称相容离散保持分解, 但具体如何定义反射作用下的边定向, 如何证明离散投影与 Nédélec 插值交换, 以及数值误差表现, 在提供的 PDF 摘录中没有展开, 无法确认. 总体而言, 本文的方法创新点是把精确等变性, 唯一性, 投影分解和半区域迹条件组织成一条严格链条, 而不是依赖泛泛的紧性方法或能量估计.\n4. 与之前工作的比较 与 Bossavit 的几何对称边值问题及有限元理论相比, 本文把一般几何对称框架具体化为电场二阶矢量波问题, 并显式处理了极化矢量与轴矢量的区别, PEC 切向迹在反射下的轴矢量变换, 以及各向异性材料张量的整体变换. Bossavit 的理论提供了边界值问题与有限元近似的对称性基础, 但本文的推进在于: 对 $\\operatorname{curl}(\\mu^{-1}\\operatorname{curl}E)-\\omega^2\\varepsilon E+j\\omega\\sigma E$ 这一具体算子建立协变性, 并把唯一性作为从数据对称群 $G_{\\mathrm{data}}$ 到解对称群 $G_E$ 的传递机制. 与 Ballisti, Hafner 和 Leuchtmann 引入有限群表示论, 以及 Weiland 和 Zagorodnov 针对对称结构 Maxwell 问题的对称适应分解相比, 本文不主要发展表示论基函数, 而是给出源层面的精确投影分解和半区域 PEC/PMC 约化. 特别地, 已有对称适应方法通常要求结构或源具有可利用的对称性; 本文允许外加电流完全破坏镜像对称, 只要介质和区域具有镜像对称, 就通过 $J=J_++J_-$ 化为两个独立半区域问题. 这是适用范围上的实质推进. 与 Johnson 等人在积分方程电磁散射与辐射中用对称面减少未知量的工作相比, 本文针对的是有限元 curl 协调离散和 PEC 腔体问题, 并且强调内部 PMC 条件来自偶场的自然边界条件, 奇场的 PEC 条件来自本质边界条件. 与 Jiang 和 Pan 最近针对二阶线性椭圆问题的对称性继承相比, 本文的推进在于向量 curl 结构: 标量椭圆中没有极化/轴矢量之分, 也没有 $\\operatorname{curl}$ 在反射下多出的 $\\det R$ 符号; 本文必须额外证明 curl 变换和 PEC 迹变换, 否则内部边界条件会出错. 在各向异性方面, 本文明确强调介质反射不变性由 $T_g^2\\varepsilon=\\varepsilon$ 等整体张量变换决定, 不能化为材料矩阵逐元素对称, 这比仅处理各向同性或对角介质的对称约化更一般. 与直接在对称面上施加 PEC 或 PMC 的常见做法相比, 本文指出该做法只对具有确定镜像宇称的源成立; 对一般非对称源, 必须先在原全区域分解源并利用唯一性建立宇称, 然后才能限制. 代价是: 对一般非对称激励需要求解两个半区域问题, 而不是一个全区域问题; 虽然每个半区域问题规模减小, 但总计算量不一定严格减半, 且实现上需要管理两套边界条件和宇称重构. 若源已具有偶或奇宇称, 则一个投影消失, 只需一次半区域求解, 此时约化收益最明显. 在频率范围上, 本文是频域分析, 不存在时间演化尺度; 其适用频率由 PEC 问题唯一可解性界定. 无损情形下要求工作频率不是 PEC Maxwell 本征频率; 有损情形下, 在额外 Hermitian 与正性假设下, 一致正定电导率可提供唯一性的充分条件. 这与时域对称约化关心的长时间行为不同, 不能直接比较时间尺度. 局限方面, 本文设定整边界为 PEC, 只详细处理一个镜面反射; 群框架虽可容纳更一般正交对称, 但提供的文本没有展开多镜面或旋转对称的区域约化. 离散层面采用最低阶第一族 Nédélec 元, 摘要声称离散保持分解, 但提供 PDF 只到矩阵形成, 未给出误差估计, 收敛率或离散投影交换性的完整证明, 因此与已有 Nédélec 对称适应离散工作的定量比较从提供内容中无法确认. 作者也未显式展开与所有前人工作在数值代价上的比较; 本文的比较主要应理解为适用范围和精确性层面的推进.\n2. 复合材料中时间非局部分数阶阻尼波问题的高阶多尺度方法及其误差分析 A high-order multi-scale method and its error analysis for nonlocal-in-time fractionally damped wave problems in composite materials\n作者: Gehao Wang, Hao Dong, Yufeng Nie, Junzhi Cui\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.29451v1\n摘要翻译: 复合材料中显著的空间非均匀性和非局部历史依赖衰减共同支配波的传播，使得全尺度直接数值模拟（DNS）在计算上难以承受。本研究针对具有高度振荡且不连续材料系数的时间非局部分数阶阻尼波问题，提出了一种高阶多尺度（HOMS）方法。采用多尺度渐近展开方法，推导出宏观均匀化方程以及一阶和二阶修正项，以构造高精度 HOMS 解。此外，局部逐点误差分析识别出该 HOMS 解所消除的主导残差，并验证了其局部物理平衡保持性。随后，全局能量范数误差估计建立了 HOMS 解的 $O(\\varepsilon)$ 阶收敛率。接着，设计了一种结合有限元法和有限差分法的高效时空多尺度算法，该算法采用一种新颖的全离散 $L2\\text{-}1_σ$-Newmark 格式，并分别针对宏观均匀化位移和速度得到了相应的无条件移位能量稳定性和显式收敛率。给出了二维和三维算例，以展示所提 HOMS 方法的精度、效率、成本降低和鲁棒性。本工作为工程应用中的时间非局部波模拟提供了一种有效的多尺度工具。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.29451v1\n1. 研究对象和背景 本文研究复合材料中具有历史依赖衰减的标量波传播问题。设 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 为有界连通凸多面体区域, $\\varepsilon$ 为微观周期尺度, $Y=[0,1]^d$ 为周期单胞, $y=x/\\varepsilon$。未知量为位移场 $u^\\varepsilon(x,t)$。控制方程为非局部时间分数阶阻尼波方程\\n\n$$\\rho^\\varepsilon(x)u^\\varepsilon_{tt}(x,t)+\\mu^\\varepsilon(x){}^{C}D_t^\\alpha u^\\varepsilon(x,t)-\\partial_{x_i}\\left(a^\\varepsilon_{ij}(x)\\partial_{x_j}u^\\varepsilon(x,t)\\right)=f(x,t),\\quad (x,t)\\in\\Omega\\times(0,T],$$\\n其中 $1\u003c\\alpha\u003c2$, ${}^{C}D_t^\\alpha$ 为 Caputo 分数阶导数, $\\rho^\\varepsilon,\\mu^\\varepsilon,A^\\varepsilon=\\{a^\\varepsilon_{ij}\\}$ 分别为质量密度、分数阻尼系数和刚度矩阵, 且 $\\rho^\\varepsilon(x)=\\rho(y)$, $\\mu^\\varepsilon(x)=\\mu(y)$, $A^\\varepsilon(x)=A(y)$ 为 $Y$-周期系数, 允许在材料界面处间断。边界条件为 $u^\\varepsilon=\\hat u(x)$ 于 $\\partial\\Omega\\times[0,T]$, 初始条件为 $u^\\varepsilon(x,0)=g(x)$, $u^\\varepsilon_t(x,0)=\\psi(x)$。\\n\\n该模型同时包含经典惯性项 $\\rho^\\varepsilon u^\\varepsilon_{tt}$、非局部时间记忆阻尼项 $\\mu^\\varepsilon {}^{C}D_t^\\alpha u^\\varepsilon$ 和具有快速空间振荡的椭圆型刚度算子。分数阶阻尼刻画复合材料耗散组分中依赖于先前运动的衰减, 其频率依赖常呈非整数幂律; 空间异质性和材料界面间断则导致局部波场和梯度出现强烈微观振荡。直接数值模拟需要同时解析微小周期结构和使用细时间步长存储卷积历史, 计算量和存储量随界面分辨率和时间步数急剧增加。\\n\\n现有理论背景包括: 均匀介质中 Newmark 时间积分和高阶隐式/隐显格式; 分数阶阻尼波方程的适定性与数值误差估计; 多尺度有限元、异构多尺度方法、局部正交分解、FE$^2$ 等计算均匀化方法; 周期复合材料的渐近均匀化方法和高阶多尺度 (HOMS) 方法; 以及时间分数阶扩散方程的二阶 $L2$-$1_\\sigma$ 时间离散。已有 HOMS 工作主要处理热传导、力学问题或经典阻尼波问题, 而对同时具有经典惯性、Caputo 分数阶阻尼、空间高度振荡且允许间断系数的复合材料波问题, 其建模、局部物理平衡保持、全局能量误差以及全离散稳定性与收敛性仍不充分。本文试图补足这一空白: 构造宏观均匀化方程与一阶、二阶辅助单胞问题, 建立 HOMS 解, 分析其逐点残差和全局能量误差, 并设计耦合有限元与 $L2$-$1_\\sigma$-Newmark 的时空多尺度算法。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要严格结果可分为适定性、多尺度渐近展开、局部残差与全局误差、以及全离散格式的稳定性与收敛性几个层次。\\n\\n1. 适定性。在假设 (A1)-(A3) 下, 即 $A$ 实对称一致椭圆、$\\rho,\\mu$ 一致正且上下有界、系数 $Y$-周期并属于 $L^\\infty$ 且允许分片光滑间断、边界与初值满足 $\\hat u\\in H^{1/2}(\\partial\\Omega)$, $g\\in H^1(\\Omega)$, $\\mathrm{Tr}\\,g=\\hat u$, $\\psi\\in L^2(\\Omega)$, $f\\in L^1(0,T;L^2(\\Omega))$, Theorem 1 证明问题 (1) 存在唯一弱解\\n\n$$u^\\varepsilon\\in C([0,T];H^1(\\Omega)),\\quad u^\\varepsilon_t\\in C([0,T];L^2(\\Omega)),\\quad \\mathrm{Tr}\\,u^\\varepsilon(t)=\\hat u,$$\\n其中 ${}^{C}D_t^\\beta u^\\varepsilon_t:=\\frac{d}{dt}I^{1-\\beta}(u^\\varepsilon_t-\\psi)$ 取为 $L^2(\\Omega)$-值分布, 弱方程在 $\\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\\Omega))$ 中成立。并给出与 $\\varepsilon$ 无关的能量估计\\n\n$$\\sup_{0\\le t\\le T}\\left(\\|u^\\varepsilon_t(t)\\|_{L^2(\\Omega)}^2+\\|u^\\varepsilon(t)\\|_{H^1(\\Omega)}^2\\right)\\le C_T\\left(\\|g\\|_{H^1(\\Omega)}^2+\\|\\psi\\|_{L^2(\\Omega)}^2+\\|f\\|_{L^1(0,T;L^2(\\Omega))}^2+\\|\\hat u\\|_{H^{1/2}(\\partial\\Omega)}^2\\right).$$\\n\\n2. 渐近展开与单胞问题。假设 $u^\\varepsilon(x,t)=u_0(x,t,y)+\\varepsilon u_1(x,t,y)+\\varepsilon^2u_2(x,t,y)+O(\\varepsilon^3)$ 并利用 $\\partial_{x_i}\\mapsto\\partial_{x_i}+\\varepsilon^{-1}\\partial_{y_i}$, 由 $O(\\varepsilon^{-2})$ 得 $u_0=u_0(x,t)$。一阶修正为 $u_1(x,t,y)=N^k(y)\\partial_{x_k}u_0(x,t)$, 其中 $N^k$ 满足\\n\n$$\\mathcal{L}_yN^k=\\partial_{y_i}a_{ik}\\ \\text{in}\\ Y,\\quad N^k\\ Y\\text{-周期},\\quad \\langle N^k\\rangle_Y=0.$$\\n宏观均匀化方程为\\n\n$$\\hat\\rho u_{0,tt}+\\hat\\mu {}^{C}D_t^\\alpha u_0-\\partial_{x_k}(\\hat a_{k\\ell}\\partial_{x_\\ell}u_0)=f,$$\\n其中 $\\hat\\rho=\\langle\\rho\\rangle_Y$, $\\hat\\mu=\\langle\\mu\\rangle_Y$, $\\hat a_{k\\ell}=\\langle a_{k\\ell}+a_{kj}\\partial_{y_j}N^\\ell\\rangle_Y$。二阶修正为\\n\n$$u_2=F(y)u_{0,tt}+G(y){}^{C}D_t^\\alpha u_0+N^{k\\ell}(y)\\partial_{x_kx_\\ell}u_0,$$\\n其中 $F,G,N^{k\\ell}$ 分别满足零平均的单胞问题\\n\n$$\\mathcal{L}_yF=\\hat\\rho-\\rho,\\quad \\mathcal{L}_yG=\\hat\\mu-\\mu,\\quad \\mathcal{L}_yN^{k\\ell}=a_{k\\ell}+a_{kj}\\partial_{y_j}N^\\ell+\\partial_{y_i}(a_{ik}N^\\ell)-\\hat a_{k\\ell},$$\\n并均为 $Y$-周期且 $\\langle F\\rangle_Y=\\langle G\\rangle_Y=\\langle N^{k\\ell}\\rangle_Y=0$。由此定义低阶多尺度解 $u^{(1\\varepsilon)}=u_0+\\varepsilon N^k\\partial_{x_k}u_0$ 与高阶多尺度解\\n\n$$u^{(2\\varepsilon)}=u_0+\\varepsilon N^k\\partial_{x_k}u_0+\\varepsilon^2\\left(Fu_{0,tt}+G{}^{C}D_t^\\alpha u_0+N^{k\\ell}\\partial_{x_kx_\\ell}u_0\\right).$$\\n\\n3. 局部逐点残差。令 $u^{(1\\varepsilon)}_\\Delta=u^\\varepsilon-u^{(1\\varepsilon)}$, $u^{(2\\varepsilon)}_\\Delta=u^\\varepsilon-u^{(2\\varepsilon)}$。作者给出残差方程: LOMS 残差右端为 $F^\\varepsilon_0+\\varepsilon F^\\varepsilon_1$, 其中 $F^\\varepsilon_0$ 不含 $\\varepsilon$ 前因子且一般不消失, 因而 LOMS 解不能保持局部物理平衡; HOMS 残差右端为 $\\varepsilon F^\\varepsilon_2$。在假设 2 的正则性 $u_0\\in W^{4,2}(0,T;W^{4,\\infty}(\\Omega))$ 且 $u_{0,tt}(0)=u_{0,ttt}(0)=0$ 下, 形式上有 $O(\\varepsilon)$ 的逐点强残差, 说明二阶项消去了 LOMS 的领头 $O(1)$ 局部平衡缺陷。边界与初始残差也分别含 $\\varepsilon$ 与 $\\varepsilon^2$ 项。\\n\\n4. 全局能量误差。作者进一步建立 HOMS 解的全局能量范数误差估计, 得到 $O(\\varepsilon)$ 收敛率。文中明确提到采用齐次 Dirichlet 单胞条件处理边界层对全局误差的影响。具体能量范数形式和常数依赖于后续第 3 节的引理与证明, 但从提供内容中无法确认其逐项表达式。\\n\\n5. 全离散格式。作者设计耦合有限元与有限差分的时空多尺度算法, 并采用新的全离散 $L2$-$1_\\sigma$-Newmark 格式。摘要与引言声称: 该格式具有无条件 shifted-energy 稳定性; 在所述假设下, 宏观均匀化解的位移与速度误差分别为\\n\n$$\\|u_0-u_{0,h}\\|_{H^1}=O\\left(h_Y^{2p_Y}+h^p+\\tau^2\\right),\\quad \\|u_{0,t}-u_{0,h,t}\\|_{L^2}=O\\left(h_Y^{2p_Y}+h^p+\\tau^2\\right),$$\\n其中 $h_Y$ 与 $p_Y$ 对应单胞离散尺度和阶数, $h$ 与 $p$ 对应宏观有限元网格和阶数, $\\tau$ 为时间步长。更精确的稳定性与收敛性定理编号、常数依赖和范数定义在提供 PDF 摘录的第 4-5 节中未给出, 从现有内容无法确认。数值部分给出二维与三维例子, 验证 HOMS 的精度、效率、成本降低和稳健性, 并包含一个大规模复合材料板算例以说明 DNS 超出资源时的可行性。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的技术核心不是简单套用均匀化或能量估计, 而是把高阶多尺度构造、分数阶历史项处理、局部残差识别和全离散稳定性分析连接起来。\\n\\n第一, 多尺度渐近展开与一阶/二阶单胞问题的构造。作者利用链式法则 $\\partial_{x_i}\\mapsto\\partial_{x_i}+\\varepsilon^{-1}\\partial_{y_i}$, 将原方程按 $\\varepsilon^{-2},\\varepsilon^{-1},\\varepsilon^0$ 分层。$O(\\varepsilon^{-2})$ 方程强制零阶项与 $y$ 无关, 这是均匀化能成立的关键。$O(\\varepsilon^{-1})$ 方程分离变量后引入一阶单胞函数 $N^k$, 其右端为 $\\partial_{y_i}a_{ik}$。由于 $A$ 一致椭圆且 $N^k\\in H^1_{\\#,0}(Y)$ 的零平均条件保证唯一性, Lax-Milgram 给出 $N^k$ 的适定性并产生均匀化刚度 $\\hat a_{k\\ell}$。这一步将微观刚度振荡编码进宏观常数系数。\\n\\n第二, 二阶修正项的设计与局部平衡保持。作者真正推进局部精度的关键, 是发现 LOMS 残差中的领头项\\n\n$$F^\\varepsilon_0=(\\hat\\rho-\\rho)u_{0,tt}+(\\hat\\mu-\\mu){}^{C}D_t^\\alpha u_0+\\left(a_{k\\ell}+a_{kj}\\partial_{y_j}N^\\ell+\\partial_{y_i}(a_{ik}N^\\ell)-\\hat a_{k\\ell}\\right)\\partial_{x_kx_\\ell}u_0$$\\n不带 $\\varepsilon$ 前因子, 因而形式上是 $O(1)$ 强残差; 仅用一阶修正无法保持局部物理平衡。为消去该领头残差, 作者引入三个二阶单胞函数: $F$ 修正密度涨落 $\\hat\\rho-\\rho$ 引起的惯性项局部振荡, $G$ 修正阻尼系数涨落 $\\hat\\mu-\\mu$ 引起的历史阻尼局部振荡, $N^{k\\ell}$ 修正刚度通量在宏观曲率 $\\partial_{x_kx_\\ell}u_0$ 驱动下的局部涨落。由于这些源项在 $Y$ 上的平均为零, 单胞问题在零平均函数空间中适定。代入后 HOMS 残差右端变为 $\\varepsilon F^\\varepsilon_2$, 从而把局部强残差从 $O(1)$ 降到形式 $O(\\varepsilon)$。这是本文区别于普通一阶均匀化的关键创新。\\n\\n第三, 全局能量误差分析。局部逐点残差只说明形式精度; 全局估计还要处理边界条件不满足、边界层以及单胞离散误差向宏观解的传播。文中明确说采用齐次 Dirichlet 单胞条件建立全局能量误差估计, 以减弱周期单胞修正与外部边界条件不匹配造成的边界层贡献。全域证明依赖能量方法: 对残差方程乘以 $u^{(2\\varepsilon)}_{\\Delta,t}$ 或相应测试函数, 利用一致椭圆性、$\\rho,\\mu$ 的正下界以及分数阶 Gronwall 型不等式控制历史项。关键工具包括 Lemma 1 的分数阶耗散不等式\\n\n$$v(t){}^{C}D_t^\\beta v(t)\\ge \\frac12 {}^{C}D_t^\\beta(v^2)(t),$$\\n以及 Lemma 2 的分数阶 Gronwall 不等式, 其解由 Mittag-Leffler 函数控制:\\n\n$$y(t)\\le y_0E_\\beta(\\lambda t^\\beta)+\\int_0^t(t-s)^{\\beta-1}E_{\\beta,\\beta}(\\lambda(t-s)^\\beta)q(s)\\,ds.$$\\n这些工具用于吸收非局部时间阻尼带来的历史积分项, 并保持常数对 $\\varepsilon$ 一致。\\n\\n第四, 适定性与弱解框架。Theorem 1 的证明先把非齐次边界提升为弱调和延拓 $B^\\varepsilon$, 令 $w^\\varepsilon=u^\\varepsilon-B^\\varepsilon$, 将问题化为齐次边界问题。随后采用 Volterra 型约化和 Galerkin 能量框架, 参考文献 [7] 中关于分数阶阻尼波方程的定理, 但适配到空间异质、仅有 $g-B^\\varepsilon\\in H^1_0(\\Omega)$, $\\psi\\in L^2(\\Omega)$, $f\\in L^1(0,T;L^2(\\Omega))$ 的较弱正则情形; 时间方程按分布意义解释, Galerkin 极限取时间积分形式。强连续性通过更正则数据的逼近和差分解的能量估计得到。\\n\\n第五, 全离散 $L2$-$1_\\sigma$-Newmark 格式。空间上对宏观均匀化方程使用有限元, 时间上把 $L2$-$1_\\sigma$ 公式用于 Caputo 分数阶导数, 并与 Newmark 结构动力学时间推进耦合。$L2$-$1_\\sigma$ 公式在适当正则性下对分数阶扩散具有二阶精度; Newmark 格式处理经典惯性项。作者声称该全离散格式具有无条件 shifted-energy 稳定性, 即通过构造含移位参数的能量泛函吸收分数阶卷积和 Newmark 参数的影响, 不施加通常的步长限制。稳定性与收敛性证明需要同时控制位移、速度和分数阶历史卷积; 但具体移位能量泛函、稳定性不等式和收敛定理的逐项形式未在提供的 PDF 前 10 页中出现, 从现有内容无法确认。\n4. 与之前工作的比较 作者在引言中明确把本文置于多尺度均匀化、HOMS、分数阶阻尼波数值分析和 $L2$-$1_\\sigma$ 时间离散几条文献脉络的交汇处, 其推进主要体现在以下几个方面。\\n\\n第一, 与经典均匀化和低阶多尺度方法相比。标准渐近均匀化通过单胞问题得到常数系数宏观方程, 能大幅减少空间未知量和历史存储, 但宏观解本身不能恢复局部微观振荡。MsFEM、HMM、LOD、FE$^2$ 等计算均匀化方法可在粗尺度近似中嵌入微观信息, 但文中指出它们通常比均匀化宏观模型计算效率低, 又比完全解析微观模型精度低。本文的 HOMS 解在宏观均匀化解 $u_0$ 基础上加入一阶修正 $\\varepsilon N^k\\partial_{x_k}u_0$ 和二阶修正 $\\varepsilon^2(Fu_{0,tt}+G{}^{C}D_t^\\alpha u_0+N^{k\\ell}\\partial_{x_kx_\\ell}u_0)$, 目标是在保持宏观常数系数计算优势的同时恢复局部场。与仅含一阶修正的 LOMS 相比, 本文明确指出 LOMS 残差含不消失的 $O(1)$ 源项 $F^\\varepsilon_0$, 因而不能保持局部物理平衡; HOMS 通过二阶项消去该领头残差, 把局部强残差降到形式 $O(\\varepsilon)$。这是相对普通一阶 HOMS 的实质推进。\\n\\n第二, 与 Cui 等及其合作者的 HOMS 工作相比。文中引用 [17-20] 说明 HOMS 已用于复合材料热传导和力学问题; 也引用 Dong 和 Cao 关于快速振荡系数二阶波方程的高阶修正与算法 [21], Dong 等关于准周期复合材料阻尼波的三阶两尺度展开与 Newmark 算法 [22]。本文的差异在于控制方程同时含经典惯性项和 Caputo 非局部时间分数阶阻尼项, 且 $\\rho,\\mu,A$ 均允许周期间断。二阶修正中除刚度曲率项 $N^{k\\ell}$ 外, 还出现密度修正 $F$ 和阻尼系数修正 $G$, 分别对应 $u_{0,tt}$ 与 ${}^{C}D_t^\\alpha u_0$ 的局部涨落。这使得局部残差结构与经典阻尼波有本质不同: 分数阶历史项也产生需要单胞修正的 $O(1)$ 残差。\\n\\n第三, 与分数阶阻尼波方程数值分析相比。文中引用 Mielke 等从波-扩散耦合系统导出分数阶阻尼波方程并刻画能量耗散结构 [6], Baker [7] 和 Cao [8] 建立分数阶阻尼波方程数值误差估计, Baker 等分析非线性 Westervelt 方程时间分数阶阻尼与初始奇异性修正 [9]。这些工作主要针对均匀或非复合材料介质。本文把这些分析推进到具有快速空间振荡和界面间断的复合材料, 并处理非局部时间记忆与空间异质性的耦合。代价是需要尺度分离假设、周期结构假设、一致椭圆假设以及较高的宏观正则性假设 $u_0\\in W^{4,2}(0,T;W^{4,\\infty}(\\Omega))$; 这些假设排除了高对比介质、非周期或随机微结构以及低正则初值。\\n\\n第四, 与异质介质中波传播多尺度方法相比。文中引用 Ljung 等针对强阻尼波的广义有限元方法 [1], 允许阻尼系数和传播系数具有独立空间变化; 还提到时间依赖多尺度系数 [23]、全显式质量集中多尺度离散 [24] 和高对比介质 [25]。与这些方法不同, 本文处理的是非局部时间 Caputo 阻尼而非强阻尼, 且给出高阶修正的逐点残差与全局能量误差。Krumbiegel 和 Maier 建立高阶局部正交分解结合时间积分的能量范数误差估计 [26], 本文则在 HOMS 框架下给出 $O(\\varepsilon)$ 全局能量误差并设计 $L2$-$1_\\sigma$-Newmark 全离散算法。两者都属于高精度多尺度-时间耦合分析, 但本文的修正项显式包含分数阶历史项和密度/阻尼单胞函数。\\n\\n第五, 与时间分数阶均匀化和时间离散工作相比。文中引用一维分数阶弹性的算子范数均匀化估计 [2], 光滑周期系数时间分数阶扩散的一阶近似估计 [27], 以及 Bai 等针对高对比异质系数时间分数阶扩散-波方程的多连续均匀化 [28]。本文与 [27] 的差别在于: 本文是二阶双曲型波方程、含经典惯性、允许间断系数, 并构造到二阶修正和逐点局部平衡; 与 [28] 的差别在于本文采用周期渐近展开和 HOMS 修正, 而非多连续均匀化框架, 且给出全离散 $L2$-$1_\\sigma$-Newmark 稳定性与收敛率。时间离散方面, 文中引用 $L2$-$1_\\sigma$ 公式对分数阶扩散在适当正则性下的二阶精度 [29], 以及多术语分数阶扩散-波方程 [30] 和变系数分数阶波方程 [31] 的二阶格式。本文的新意是把 $L2$-$1_\\sigma$ 与 Newmark 耦合, 用于宏观均匀化方程, 并声称得到无条件 shifted-energy 稳定性以及位移 $H^1$、速度 $L^2$ 的显式误差率 $O(h_Y^{2p_Y}+h^p+\\tau^2)$。不过, 这些全离散定理的精确假设、稳定性常数和证明细节未在提供的前 10 页中出现, 因此无法与 [29-31] 做逐项技术比较。\\n\\n第六, 适用范围与局限。本文的目标是尺度分离成立、周期微结构、系数一致椭圆且允许分片光滑间断的复合材料。它不直接覆盖高对比介质、非周期随机微结构、时间依赖系数或移动界面; 对边界层仅通过齐次 Dirichlet 单胞条件处理, 并未给出一般 Neumann 或混合边界下的边界层高阶修正。数值上作者展示二维与三维算例以及大规模复合材料板, 说明相对 DNS 的成本降低, 但未提供与 LOD、MsFEM、FE$^2$ 等方法的系统数值对比。整体上, 本文的推进在于把 HOMS 的局部平衡思想、分数阶历史项的单胞修正、全局能量误差和 $L2$-$1_\\sigma$-Newmark 全离散分析整合为一个针对非局部时间分数阶阻尼复合材料波问题的框架; 其代价是较强的周期性和正则性假设, 以及全离散部分在提供内容中尚无法核验的细节。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 将 H2 分解扩展到十亿未知量三维问题 Scaling H2 Factorization to Billion-Unknown Three-Dimensional Problems\n作者: Tianyu Liang, Chao Chen, James Demmel, Yang Liu\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.30131v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.30131v1\n摘要翻译 中文标题: 将 H2 分解扩展到十亿未知量三维问题\n摘要翻译: 强递归骨架化为来自积分方程与核方法的稠密矩阵提供了近似直接求解器，但分布式实现面临显著的通信开销和有限的并行性，尤其是在三维情形。我们提出了一种用于对称矩阵的分布式内存 $\\mathcal{H}^2$ 分解求解器，它结合了空间盒着色、延迟 Schur 补更新、流式基于 sketching 的插值分解，以及 BLAS-3 与共享内存内核。空间着色使每个进程都能参与每个边界阶段，而延迟更新与流式 sketching 降低了稠密存储和通信。据我们所知，这是首个在十亿未知量规模的三维体积积分方程上得到验证的分布式内存强递归骨架化分解。 在多达 512 个计算节点上的实验展示了具有 36.2 亿未知量的三维 Laplace 系统的分解，同时还包括三维 Helmholtz 测试以及一个具有 2.68 亿未知量的二维 Matérn 系统。相对于未使用 sketching 的 eager 配置，结合流式 sketching 与完全延迟更新使 Laplace 和 Helmholtz 的分解时间分别获得 $6.9\\times$ 与 $8.5\\times$ 的缩减，同时将每进程最大常驻内存分别降低 57% 和 54%。\n2. 用于 CHQ 粘弹性相分离模型的线性二阶无条件能量稳定标量辅助变量格式 A linear, second-order, unconditionally energy-stable scalar-auxiliary-variable scheme for the CHQ viscoelastic phase-separation model\n作者: Ritesh Bhola, Michael te Vrugt\n类别: math.NA, cond-mat.soft\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.30077v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.30077v1\n摘要翻译 中文标题: 用于 CHQ 粘弹性相分离模型的线性二阶无条件能量稳定标量辅助变量格式\n摘要翻译: CHQ 模型描述聚合物\u0026ndash;溶剂混合物中的粘弹性相分离：关于聚合物体积分数 $φ$ 的 Cahn\u0026ndash;Hilliard 方程通过一个相依赖的交叉扩散通量，与关于标量体积弹性应力 $q$ 的阻尼松弛方程双向耦合。我们为该体系提出一种标量辅助变量 (SAV) 时间离散，将双势阱势的 SAV 重构与二阶向后差分公式 (BDF2) 以及对所有相依赖迁移率的二阶外推相结合：这是对参考格式的全非线性 Newton 求解的一个线性、计算成本更低的补充。所得方法 (i) 在每个时间步均为线性，且我们证明其耦合结构对任意时间步长选择在每个步都有恰好一个解；(ii) 精确质量守恒，作为离散方程本身的代数恒等式（数值中唯一见到的漂移可追溯到迭代线性求解器的有限容差，而不是守恒性质的失效）；以及 (iii) 对修改后的离散能量无条件稳定，其依据是一个精确的一步能量\u0026ndash;耗散恒等式。我们证明该能量恒等式也推广到这个滤波变体，并带有两个显式的额外非负项。因此，实际产生物理结果的格式本身可证明对同一能量稳定。一个 Fourier\u0026ndash;Galerkin 实现验证了该能量恒等式在每个时间步均在浮点舍入误差范围内成立。它还确认了二阶时间精度（包括在陡峭界面区域），以及与独立实现的非线性 Newton\u0026ndash;BDF2 求解器的一致性。与那个独立的非线性 Newton\u0026ndash;BDF2 求解器相比，在相同网格分辨率下，SAV 方法使用的线性求解器迭代次数少 $2.5$\u0026ndash;$3.0\\times$，实际耗时少 $1.7$\u0026ndash;$2.0\\times$。\n3. 一个由 PDE 理论引导的神经算子与二维各向异性 Boussinesq 系统的长时间松弛 A PDE-theory-guided neural operator and the long-time relaxation of the two-dimensional anisotropic Boussinesq system\n作者: Akram Moustafa, Jiahong Wu, Xiaoming Zheng\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.29938v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.29938v1\n摘要翻译 中文标题: 一个由 PDE 理论引导的神经算子与二维各向异性 Boussinesq 系统的长时间松弛\n摘要翻译: 我们设计了一个用于周期盒上具有各向异性耗散的二维 Boussinesq 系统的神经算子，其设计由对该系统长时间行为的严格分析所引导。该算子将振幅为 $\\varepsilon$ 的静水平衡的小扰动映射到晚时刻的涡量。我们证明流动松弛到一个分层剪切流，其水平平均涡量与初始值 $\\barω_0$ 的偏差保持在 $O(\\varepsilon^2)$，且围绕它的振荡为 $\\varepsilon$ 阶。相应地，网络输出 $\\barω_0$ 加上这两部分，每一部分都按其大小缩放，其大小分别按 $\\varepsilon^2$ 和 $\\varepsilon$ 增长。没有这种引导，训练要么不收敛，要么无法捕捉到 $\\varepsilon^2$ 增长。有了这种引导，一个网络在振幅跨越 $23$ 倍的 $2\\times10^3$ 次测试运行中逐样本重现了定理所界定的该量，中位误差为 $2.2$%。由于该网络快速且关于初始数据可微，它也被用于搜索初始数据空间；在每一个候选初始数据都由求解器检验的情况下，该搜索找到了使该量达到测试运行中最大值 $4.4$ 倍的初始数据，从而将该定理中常数的下界提高了该因子。\n4. 半线性抛物型偏微分方程的严格积分：前向演化界与投影边值问题 Rigorous integration of semilinear parabolic PDEs: forward evolution bounds and projected boundary value problems\n作者: Jean-Philippe Lessard, Akitoshi Takayasu\n类别: math.NA, math.DS\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.29871v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.29871v1\n摘要翻译 中文标题: 半线性抛物型偏微分方程的严格积分：前向演化界与投影边值问题\n摘要翻译: 本文提出一种用于半线性抛物型偏微分方程初值和边值问题的严格积分器。该方法建立在早期基于半群的方法之上，同时改进了不动点论证中所使用的界，并扩展了可处理问题的类别。特别地，它控制解算子而无需对变分方程进行反向积分，并通过一种简化的线性化算子近似逆构造，使得投影边值问题得以研究。为说明该方法的适用范围，我们给出其在二维 Ohta\u0026ndash;Kawasaki 方程上的三个应用。对于两个初值问题，我们证明了全局存在性，并获得了在条纹和斑点平衡态的数值近似周围、对所有充分大时间均成立的显式包围。这些结果使用无界时间区间上的不动点表述，避免了捕获区域的构造。我们还严格求解了一个投影边值问题，其端点条件选取自两个鞍点平衡态的不稳定空间和稳定空间的线性近似。这为严格研究异宿鞍点到鞍点连接迈出了一步。\n5. 对流扩散问题的超收敛拟间断 Galerkin 方法 A Super-Convergent Quasi-Discontinuous Galerkin Method for Advection-Diffusion Problems\n作者: Daniel Y Le Roux\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.29818v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.29818v1\n摘要翻译 中文标题: 对流扩散问题的超收敛拟间断 Galerkin 方法\n摘要翻译: 本研究旨在发展用于求解二维对流扩散方程的间断 Galerkin 和非协调有限元方法。离散格式通过一族数值通量进行稳定化，并且通过 Fourier/稳定性分析构造色散关系。研究了线性间断 P1DG 和非协调 P1NC Galerkin 离散。通过检查离散频率（色散关系的解），证明了此处所考察的 P1NC 和 P1DG 格式及通量的长时间稳定性结果。与 P1DG 的 O(h 2 ) 精度相比，还证明了 P1NC 离散频率的超收敛结果（O(h 4 ) 精度）。这些结果与之前一篇关于浅水系统的论文中得到的结果一致。\n6. 波动方程边界元方法的稳定性分析：$1d$ 中的弱奇异算子 Stability analysis of boundary element methods for the wave equation: The weakly singular operator in $1d$\n作者: Daniel Hoonhout, Richard Löscher, Carolina Urzúa-Torres\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.29795v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.29795v1\n摘要翻译 中文标题: 波动方程边界元方法的稳定性分析：$1d$ 中的弱奇异算子\n摘要翻译: 我们讨论波动方程稳定离散的试探空间与检验空间对的构造。基于一个一般抽象算子理论框架，我们展示如何为基于间接单层位势拟设、具有给定 Dirichlet 数据的波动方程一维边界元格式推导最优配对。在此设定下，最优检验空间可以解析计算，并具有物理解释，反映了底层算子的非局部性质。\n7. BGG序列的稀疏网格离散化 Sparse-grid discretizations of BGG sequences\n作者: Yihanqi Hu, Yuwen Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.29516v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.29516v1\n摘要翻译 中文标题: BGG序列的稀疏网格离散化\n摘要翻译: 我们发展了Bernstein\u0026ndash;Gelfand\u0026ndash;Gelfand (BGG)复形的首个张量积稀疏网格有限元离散。Alpert小波及其一阶和二阶原函数产生不连续、连续和连续可微分段多项式的相容层级，这些可作为BGG稀疏网格有限元的一维构件。我们构造了一个有界交换稀疏网格投影，该投影为Hessian、弹性和div-div复形产生稳定的离散势。在混合Sobolev正则性下，我们证明了稀疏网格逼近估计，其在自由度数目上具有与维数无关的收敛速率。针对三维不相容问题和圆环域上的二维双调和问题的实验说明了稀疏网格相对于全网格的效率。\n8. 非均质和各向异性扩散问题的杂交导出内罚 Nitsche 方法 A hybridization-derived interior penalty Nitsche method for heterogeneous and anisotropic diffusion\n作者: Vincent Fontaine\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.29214v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.29214v1\n摘要翻译 中文标题: 非均质和各向异性扩散问题的杂交导出内罚 Nitsche 方法\n摘要翻译: 我们针对非均质和各向异性扩散问题建立了一个内罚 Nitsche 有限元格式，该格式由内罚稳定化 Lagrange 乘子法导出。所导出方法的一个显著特点是同时结合了两种常用的稳定化策略：(i) 类似于 Nitsche 方法的边界罚机制；(ii) 如连续内罚 (CIP) 方法中的内罚机制。此外，数值通量的法向分量在网格骨架上是单值的，并具有闭式表达。我们建立了杂交 Lagrange 乘子格式与其凝聚的内罚 Nitsche (IPN) 形式之间的等价性，并给出后者的稳定性与收敛性分析。对于充分正则的解，我们为三种对称性变体建立了能量范数误差估计。在共轭问题的分片椭圆正则性假设下，$L^2$ 估计对对称变体是最优的，而对不完全变体和非对称变体则出现半阶损失；其常数可能通过共轭正则性常数依赖于扩散系数。这种具有闭式表达的单值数值法向通量为局部守恒的 $H(\\mathrm{div})$-协调通量重构提供了起点，留待未来工作。数值实验验证了理论结果。\n9. 热辅助沉降模型的混合有限元方法 Mixed finite element methods for a heat-assisted model of sedimentation\n作者: Julio Careaga, Cristian Inzunza\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-20\narXiv ID: 2610.28903v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.28903v1\n摘要翻译 中文标题: 热辅助沉降模型的混合有限元方法\n摘要翻译: 分析了一个包含热效应的固结-沉降过程模型。该模型源于对矿物悬浮液热辅助沉降的新应用。浓度和温度的对流-扩散方程组与体积平均速度及压力的流动方程耦合。模型补充了 Dirichlet 和混合边界条件。通过混合变分形式分析该系统的准静态方法，其中引入附加变量，如伪应力张量以及温度和浓度的梯度变量。在数据小性和解具有附加正则性的假设下，利用 Babu{\\v s}ka-Brezzi 理论和 Banach 不动点定理证明了该系统解的存在唯一性。提出并分析了一个基于有限元空间的离散格式，并借助 Brouwer 不动点定理得到解的存在性。此外，针对混合格式推导了 Céa 估计和先验估计。最后，给出了数值算例以展示模型性能并验证理论收敛阶。\n不相关论文（基本信息） 1. 加窗 Anderson 加速何时收敛更快 When Windowed Anderson Acceleration Converges Faster\n作者: Gilad Lerman, Teng Zhang\n类别: math.NA, stat.CO\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.30073v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.30073v1\n摘要: Windowed Anderson acceleration AA($m$) combines at most $m+1$ recent iterates by least squares. For a real affine contraction $x\\mapsto Wx+b$ with $q=\\|W\\| \\in(0,1)$, we determine exactly when AA($m$) converges from every starting point with an asymptotic factor below $q$. We give a polynomial criterion for this improvement and an equivalent spectral condition: there is no probability distribution on the phases of the eigenvalues of modulus $q$ whose first $m$ cosine moments are $q,q^2,\\ldots,q^m$. If such a distribution exists, we construct a starting point from which AA($m$) reproduces fixed-point iteration at every step. Otherwise, over a fixed number of consecutive steps, every run contracts the residual norm by a common factor strictly smaller than the corresponding power of $q$. The polynomial criterion also gives explicit convergence-rate bounds with constants independent of the dimension. When $q$ equals the spectral radius, this characterizes improvement over the asymptotic convergence factor of fixed-point iteration. For general affine contractions, the asymptotic factor never exceeds the numerical radius of $W$, and a related moment condition gives a uniform upper bound strictly below that radius.\n2. 基于 Kolmogorov-Arnold 网络的可处理推断 Tractable Inference with Kolmogorov-Arnold Networks\n作者: Juan Diego Toscano, Sascha Ranftl, Zhiwei Gao, Li-Lian Wang, George Em Karniadakis\n类别: physics.comp-ph, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.29909v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.29909v1\n摘要: Machine-learning surrogates in computational science often require not only accurate predictions but also expectations, variances, conserved integrals, and normalization constants. Conventional neural networks, including Kolmogorov\u0026ndash;Arnold networks (KANs), generally evaluate these quantities through Monte Carlo sampling or multidimensional quadrature, making repeated inference costly, particularly in high dimensions. We introduce KANs with Tractable Operators for Uncertainty and Constraints (TOUCKANs), whose finite-degree polynomial outer functions yield a decomposable sum\u0026ndash;product representation. Under factorizing input measures, expectations and higher moments then reduce algebraically to deterministic recursions over one-dimensional leaf integrals. Independent and shared inner-block variants form a parameter-efficiency hierarchy, and a universal-approximation proof for its most restricted member extends to the complete class. The same deterministic operators allow conserved integrals and normalization to be imposed throughout training. Across uniform and Gaussian benchmarks through 50 dimensions, deterministic mean and variance errors remained below the median fixed-budget Monte Carlo errors in every case. TOUCKANs also conserved Cahn\u0026ndash;Hilliard mass to machine precision and imposed normalization and orthogonality through deterministic moments, enabling joint computation of the lowest four Schrödinger eigenpairs in two, three, and five dimensions. TOUCKANs therefore connect KAN approximation with tractable probabilistic circuits, making statistical operators and integral constraints directly available within an expressive neural surrogate.\n3. Swarmlet：一种面向耦合多旋翼气动与飞行动力学的GPU常驻重表述涡粒子方法 Swarmlet: a GPU-resident reformulated vortex particle method for coupled multirotor aerodynamics and flight dynamics\n作者: Wyatt James Horne\n类别: math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.29867v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.29867v1\n摘要: We present Swarmlet, a GPU solver for the unsteady aerodynamics and flight dynamics of one or many multirotor vehicles. The wake is a meshless, evolving-core vortex particle field in the reformulated (rVPM) large-eddy formulation, coupled to rotor models of three fidelities, six-degree-of-freedom vehicles and flight control. Particles carry a smooth core of compact support whose field outside four core radii is exactly the singular Biot-Savart field, so the multipole far field of the treecode carries no regularization error. The subfilter closure is a dynamic eddy viscosity on a fixed filter width, applied by core spreading with a Lagrangian exchange of its local excess under an explicit stability bound, and the strengths are relaxed by projection; global corrections make both the exchange and the relaxation conserve total vorticity and linear impulse. All rotor models shed connected bound circulation, the disks along the arcs swept in each step however long, so the wake receives the lift impulse. The solver agrees with direct summation to $5\\times 10^{-7}$ and converges at third order in time. Without calibration, an actuator-line model that includes its own near sheet predicts the hover thrust of a DJI 9443 propeller within 2%. With calibrated section polars it reproduces a Crazyflie propeller\u0026rsquo;s thrust and torque within 3.2% at three speeds and the near wake of a hovering quadrotor with relative $L^2$ differences of 0.08-0.21 against particle image velocimetry, while the wake keeps the delivered impulse. A closed-loop formation of 100 quadrotors, run at a coarser setting on one GPU, illustrates the coupled method at swarm scale.\n4. 体外淀粉消化动力学、形式分析及新动力学模型 In vitro starch digestion kinetic, formal analysis and new kinetic model\n作者: Flavien Alonzo, Yuzi Wang, Luc Saulnier, Jean-Philippe Ral, Kamal Kansou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.29806v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.29806v1\n摘要: Describing mathematically the kinetics of the enzymatic hydrolysis of starch is a crucial part of nutrition and industrial applications studies. The majority of math models aim to fit the hydrolysis-extent curve ($X\\_t$), so-called digestogram, whose simple shape which can be fitted equally well by various math models. A relevant model of starch digestion kinetics should be more specific of the phenomenon. This study proposes a novel analytical framework that jointly fits the hydrolysis-extent curve ($X\\_t$) and the instantaneous reaction-rate coefficient ($k\\_a(t)$). A large dataset comprising 672 wheat-starch time-course measurements (including normal, waxy, and high-amylose genotypes), and additional experiments on other botanical starches was analysed. Standard First-Order and Weibull models were compared with two newly derived kinetic formulations \\eqref{Eq.11} and \\eqref{Eq.12} based on expected starch hydrolysis\u0026rsquo; phenomenon by which $k\\_a(t)$ tends with time towards an asymptotic-rate constant value, $k\\_e$, following a characteristic relaxation time ($τ$). A mathematical proof of the existence of $k\\_e$, specific of the type of starch, is provided, based on an analysis of the Weibull\u0026rsquo;s parameters. Model ability to fit both $X\\_t$ and $k\\_a(t)$ was assessed by examining coefficients of determination ($R^2$) for both data types, and its adjusted version ($R^2\\_{adj}$) was used to compare performances between models. All models fit very well $X\\_t$ data, while $k\\_a(t)$ is much more discriminant of the model formulation. Wheat starch types are well distinguished, regarding ke, by the new models, with higher susceptibility to amylase for waxy samples ($\\approx 5.7\\times 10^{-3} min^{-1}$), than normal ($\\approx 2.2\\times 10^{-3} min^{-1}$) and high-amylose ($\\approx 1.7\\times 10^{-3} min^{-1}$) ones. The new models outperformed the other models for monotonic evolution of $k\\_a(t)$, particularly digestion of high-amylose, and allow a more accurate estimation of $k\\_e$. However, the analysis also highlighted limitations for modelling non-monotonic kinetics observed for waxy wheat starch digestion, suggesting a need for more sophisticated differential-equation descriptions for $k\\_a(t)$. Overall, the combined fitting strategy provides a robust method for extracting physically meaningful kinetic parameters, facilitating deeper insight into the factors controlling starch digestion and supporting the development of more accurate predictive models for glycaemic response and food processing.\n5. 含非线性对流输运的热孔弹性问题的参数鲁棒可并行迭代解耦算法 Parameters Robust Parallelizable Iterative Decoupled Algorithms for Thermo-Poroelasticity with Nonlinear Convective Transport\n作者: Ziliang Li, Jingzhi Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.29668v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.29668v1\n摘要: This paper presents several parallel iterative algorithms for the nonlinear thermo-poroelasticity. We introduce an auxiliary variable to transform the original model into a four-field formulation to overcome Poisson locking. The iterative idea is extended to linearize and decouple the four-field model. Different coupling strategies are employed among these three subproblems, combined with appropriately designed iteration settings, yielding distinct iterative parallel algorithms. Stabilization terms are incorporated into these algorithms to ensure parameter robustness in extreme situations. We derive error estimates and prove the convergence of these parallel iterative decoupled algorithms. Finally, numerical experiments are presented to compare the performance of the different parallel algorithms in extreme parameter settings, thereby validating their efficiency and robustness.\n6. 矩阵常微分方程最优控制的动态低秩逼近 Dynamical low-rank approximations for the optimal control of matrix ODEs\n作者: Benjamin Carrel, Tommaso Vanzan\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.29554v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.29554v1\n摘要: We consider the open-loop optimal control of a dynamical system whose state is described by a time-dependent matrix $X(t)\\in\\mathbb{R}^{m\\times n}$. Gradient-based optimization methods may incur substantial computational and memory costs, particularly for large-scale systems and fine temporal discretizations. To alleviate this computational burden, we develop a mathematical framework to use Dynamical Low Rank Approximations (DLRA) in optimal control problems. We study two distinct paradigms: the first one, called Optimize-then-Project (OtP), first derives the optimality system and then approximates both the state and adjoint equations using DLRA. The second one, called Project-then-Optimize (PtO), first replaces the state equation with its DLR approximation, and then derives the optimality conditions for the resulting optimization problem. The two approaches differ fundamentally concerning the role of the adjoint variable. In OtP, the adjoint variable evolves on the manifold of fixed rank matrices, whereas in PtO, the adjoint variable belongs to the tangent space to the fixed-rank manifold at the evolving state variable. This latter formulation leads to a covariant ODE describing the dynamics of the adjoint variable as the underlying tangent space evolves in time. For both approaches we establish rigorous error estimates for the approximated gradients, identifying how their accuracy depends on the low-rank approximations of initial and terminal conditions, the components of the state and adjoint vector fields normal to the relevant tangent spaces, the stability properties of the dynamics, and the manifold curvature. PtO further requires tailored time discretization strategies for the adjoint covariant ODE, which we show to be robust against small singular values of the state variable. To illustrate the framework, we apply these methods to the optimal control of a random parabolic PDE.\n7. 基于多层蒙特卡罗的贝叶斯反问题序贯熵正则最优传输 Sequential Entropic Optimal Transport for Bayesian Inverse Problems via Multilevel Monte Carlo\n作者: Jason Beh, Pierre Del Moral, Ajay Jasra\n类别: math.NA, stat.CO\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.29546v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.29546v1\n摘要: We consider the problem of Bayesian estimation associated to inverse problems governed by partial differential equations (PDEs). In most cases of practical interest, one must use numerical solvers to implement computational methods based on Monte Carlo methods. This inevitably leads to an adaptation of multilevel Monte Carlo (MLMC) methods to reduce computational efforts to achieve a pre-specified mean square error (MSE). MLMC is based on sampling coupled versions of Bayesian posteriors associated to increasingly precise numerical solves of the PDE. In this article we present a novel method to implement MLMC based upon sequential entropic optimal transport couplings learned with light Schrödinger bridges, and correct the transport with Metropolis\u0026ndash;Hastings steps that preserve the pairing. We bound the mean square error associated to a version of our new estimation method and show, for an elliptic inverse problem, that to achieve a MSE of $\\mathcal{O}(δ^2)$ ($δ\u003e0$) one can have an optimal cost of $\\mathcal{O}(δ^{-2})$. The results feature explicit bounds on the effect of the fitted transport and of the Metropolis\u0026ndash;Hastings correction. From a numerical perspective, on elliptic, Darcy-flow and Navier-Stokes problems, the method reduces the variance of the most precise solver by a factor of five to ten and is faster than multilevel sequential Monte Carlo [arXiv:1503.07259] at tight accuracies.\n8. Monge\u0026ndash;Ampère 方程的一种基于恢复的线性有限元方法 A recovery based linear finite element method for the Monge\u0026ndash;Ampère equation\n作者: Tianyang Chu, Hailong Guo, Zhimin Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.29536v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.29536v1\n摘要: In this paper, we study finite element approximations of a fourth-order perturbed semilinear partial differential equation that arises naturally in the computation of viscosity solutions to the fully nonlinear Monge\u0026ndash;Ampère equation. We develop a novel recovery-based $C^0$ linear finite element method for discretizing this model problem. The key analytical tool is a Miranda\u0026ndash;Talenti-type estimate for the recovery operator, which guides the formulation of the discrete scheme and guarantees its well-posedness. We rigorously establish convergence in the $H^2$ norm by employing a fixed-point argument. Furthermore, optimal $H^1$-error estimates are derived using a duality argument. Numerical experiments confirm the efficiency of the proposed method and validate the theoretical convergence results.\n9. 低 NFE 生成流的密度层面后向误差 Density-Level Backward Error for Low-NFE Generative Flows\n作者: Ewsey Obzherin, Valentin Khrulkov\n类别: cs.LG, math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.29475v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.29475v1\n摘要: Low-NFE generative ODE sampling is constrained not only by solver order, but also by how a fixed budget of network evaluations is distributed along the flow. We develop a density-level backward-error framework that identifies the component of a solver\u0026rsquo;s modified-equation defect that changes the evolving marginal, while excluding solenoidal trajectory distortion that is invisible in Wasserstein tangent geometry. The resulting residual induces a solver-order-aware compute-allocation rule and, through gauge freedom, an objective for selecting numerically favorable velocity representatives of the same density path. This separates our approach from schedule search driven by trajectory or endpoint surrogates and from higher-order solver design. Exact Gaussian and mixture models establish the mechanism, including cases where curvature-based allocation fails and continuum-optimal transport is not discretization-optimal. On a pretrained CIFAR-10 EDM probability-flow ODE, density-aware allocation consistently improves fixed-update Euler sampling in the low-NFE regime. Matched-seed convergence to a dense Euler reference confirms that the method accelerates approximation of the same high-NFE flow rather than changing the asymptotic sampler.\n10. 含浓度垂向剖面的悬浮泥沙一般函数基矩模型 General function bases moment models for suspended sediment with vertical profile of concentration\n作者: Celia Caballero-Cárdenas, José Garres-Díaz, Irene Gómez-Bueno, Tomás Morales de Luna\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.29468v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.29468v1\n摘要: We introduce a general hydrostatic shallow moment framework for suspended sediment transport with vertically varying horizontal velocity and concentration profiles. The formulation is constructed over arbitrary vertical functional bases that are numerically orthogonalised via the Gram-Schmidt algorithm. This approach allows the approximation spaces for the vertical profile to be adapted to the specific structure of each physical variable, where also the velocity and sediment concentration can be projected onto different functional spaces. To overcome the limitations due to the inherent oscillatory nature of global Legendre polynomials, we explore a specific continuous piecewise linear $\\mathbb{P}_1$ finite-element basis. Furthermore, non-uniform vertical partitions are considered, enabling an enhanced representation of the vertical profiles in specific regions. Numerical experiments involving boundary layers and suspended sediment transport demonstrate that the proposed framework is accurate to reproduce the expected vertical profiles. The improvement is particularly significant for sediment concentration profiles with sharp vertical variations, where polynomial reconstructions exhibit pronounced oscillations leading to physically meaningless profiles, whereas the $\\mathbb{P}_1$ bases produce a qualitatively accurate representation of the vertical profiles observed in the sedimentation processes.\n11. 基于联合杠杆分数采样的近似矩阵乘法 Approximate Matrix Multiplication through Joint Leverage Score Sampling\n作者: Neophytos Charalambides, Mert Pilanci, Alfred O. Hero\n类别: math.NA, eess.SP\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.29466v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.29466v1\n摘要: In this paper, we investigate approximate matrix multiplication through random sampling. Specifically, we propose using a non-uniform sampling distribution constructed from the leverage scores of the two matrices, and characterize the associated approximation error in terms of the matrix spectral norm; which is well-known to better characterize the downstream error when the matrix product operator is applied to an input vector. We provide the probability error bounds for the proposed algorithm are also given, and discuss connections to data-oblivious approximate matrix multiplication, and graph sparsification algorithms.\n12. 指定阶数的四元数 CP 分解：模型、算法与应用 Order-Specified Quaternion CP Decomposition: Models, Algorithms, and Applications\n作者: Jifei Miao, Niansheng Tang, Michael K. Ng, Juan Han, Kit Ian Kou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.29370v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.29370v1\n摘要: Tensor CP decomposition serves as a fundamental tool for representing multiway data. While quaternion tensors are well suited to modeling color visual data, extending CP decomposition to the quaternion domain is nontrivial due to the noncommutativity of quaternion multiplication. This paper develops an order-specified quaternion CP decomposition (OS-QCP) for third-order tensors, allowing all three factor matrices to be quaternion-valued and explicitly incorporating their multiplication order into the model. We show that different multiplication orders can yield different OS-QCP ranks for the same quaternion tensor, characterize the permutation and quaternion scaling indeterminacies, and establish a sufficient condition for essential uniqueness for any prescribed multiplication order. An explicit example further shows that OS-QCP rank can depend on the multiplication order even when the complex representation of the quaternion tensor admits an essentially unique CP decomposition. An alternating least-squares (ALS) algorithm is derived by expressing quaternion left and right multiplication as real linear operators, reducing each factor update to real least-squares problems. To accommodate order dependence in tensor completion, we further introduce an order-ensemble quaternion CP (OE-QCP) model that incorporates different multiplication orders through nonnegative weights. The model jointly estimates three quaternion factor matrices and the order weights, with each single-order OS-QCP model included as a special case. The resulting completion problem is solved by a parallel row-wise masked ALS algorithm. Experiments on color video inpainting demonstrate the effectiveness and competitive performance of the proposed method.\n13. 神经向量场变换：通过共轭到显式可积参考流学习自治系统的流 Neural Vector Field Transformations: Learning the Flow of Autonomous Systems by Conjugation to Explicitly Integrable Reference Flows\n作者: Andrew Qing He\n类别: math.DS, math.NA\n发布日期: 2026-10-21\narXiv ID: 2610.29039v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.29039v1\n摘要: We represent the flow map of an autonomous ODE $\\dot x=f(x)$ as a conjugate $Φ_t=F_θ^{-1}\\circΨ_t\\circ F_θ$ of an explicitly integrable reference flow $Ψ_t$ by an invertible neural network $F_θ$, the neural vector field transformation. The representation is an exact flow for every parameter value and inherits the phase portrait of the reference. A $C^1$ conjugacy preserves the eigenvalues of equilibria, the periods and Floquet multipliers of periodic orbits and the frequency-amplitude relation of centers, so these invariants must be learnable parameters of $Ψ$. We give parametrized reference flows with explicit integral curves, show that an action-angle reference is Hamiltonian only if its learnable frequency map is a gradient, and show that an orientation-preserving $F_θ$ cannot reverse the rotation sense of the reference, so it must be fixed before training. The main contribution is a training recipe: a push-forward equation residual made relative to $|f|$ and sampled log-uniformly in $|x|$ around an equilibrium, with the anchors $F_θ(0)=0$, $DF_θ(0)=I$; a symplectic transformation with the gradient-form frequency map; and invariants initialized from the field or data. With it the full spectrum of a three- and a six-dimensional nonlinear sink is recovered (eigenvalue deviation $8.3\\times10^{-3}$ and relative error 2.3%, three seeds each), and the action-angle variables of a four-dimensional integrable Hamiltonian system with frequency maps and actions correct to a median of 0.09% and 0.22%, and an exactly symplectic flow. On a dispersive system a time-input network is eight times more accurate inside its horizon, and the data-only identification of the Van der Pol oscillator yields a conjugacy on the data region with the Floquet exponent 17% off; an oracle run with the true invariants frozen attributes this to the expressivity of $F_θ$.\n14. DSINC 超越 Heston：3/2 模型及其他非仿射随机波动率模型 DSINC beyond Heston: the 3/2 and other non-affine stochastic-volatility models\n作者: Andrey Itkin\n类别: q-fin.CP, math.NA, q-fin.MF, q-fin.PR\n发布日期: 2026-10-20\narXiv ID: 2610.28847v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.28847v1\n摘要: This paper extends the damped-sinc (DSINC) method for American options beyond the affine Heston class to general one-factor stochastic-volatility models. We show that the collapse identity, which reduces the early-exercise integral to a single spectral integral, remains valid for these models. Damping between zero and one is admissible whenever the discounted spot is a nonnegative local martingale. An Itô transformation of the volatility factorizes the conditional characteristic function and identifies a natural coordinate for approximating the exercise boundary. The 3/2 model admits closed-form joint transforms in terms of Kummer functions, while uncorrelated SABR admits a Bessel representation. When a practical closed-form transform is unavailable, the required volatility integral is computed directly by solving one backward equation per frequency, without a grid in the log-price. Through a known change of volatility coordinate, this approach also accommodates correlated SABR. Tests on the 3/2, SABR, GARCH and lognormal-volatility models show agreement with fine finite-difference benchmarks to within one basis point of the strike. Computational cost is comparable to or lower than that of our finite-difference implementation, except for the slower Hankel implementation of uncorrelated SABR.\n15. 扰动系统上共轭梯度法的基于紧缩的谱预处理 Deflation-Based Spectral Preconditioning for the Conjugate Gradient Method on Perturbed Systems\n作者: Youssef Diouane, Selime Gürol, Oussama Mouhtal, Dominique Orban\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-10-20\narXiv ID: 2610.28808v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.28808v1\n摘要: We consider sequences of large symmetric positive-definite linear systems in which spectral information from a reference matrix $A$ is reused to accelerate the solution of a nearby system with perturbed matrix $A(t)=A+tE$, where $E$ is symmetric, $\\|E\\|_F=1$, and $t\\geq0$ is the perturbation size. We compare deflated conjugate gradient (deflated CG) with preconditioned CG (PCG) equipped with a scaled spectral preconditioner constructed from the same spectral information of $A$. First, we derive an energy-norm error characterization of deflated CG. We then use perturbation analysis to show that, after one additional PCG iteration, the squared PCG error is bounded, up to terms of order $t^2$, by an explicit multiple of the squared deflated CG error. This result clarifies the role of the scaling parameter in the preconditioner. Experiments show that the scaled spectral preconditioner recovers much of the convergence improvement provided by deflation while requiring fewer products with $A(t)$.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-10-22_14-59-02/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年10月22日 14:59:02\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 9\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 15\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-pec边界下电场矢量波问题的对称性继承与精确镜像对称约化\"\u003e1. PEC边界下电场矢量波问题的对称性继承与精确镜像对称约化\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eSymmetry Inheritance and Exact Mirror Symmetry Reduction for Electric Field Vector Wave Problems with PEC Boundaries\u003c/p\u003e","title":"2026年10月22日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年10月21日 14:58:41\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 6\n不相关论文数量: 12\n重点关注论文（完整分析） 1. 基于直接第二类自由空间边界积分方程的光子能带结构 Photonic band structure by direct second-kind free-space boundary integral equations\n作者: Carlos Pérez-Arancibia, Tao Yin\n类别: math.NA, physics.comp-ph, physics.optics\n发布日期: 2026-10-20\narXiv ID: 2610.28494v1\n摘要翻译: 我们给出二维光子晶体 Bloch 特征值问题的一种直接边界积分方程（BIE）格式，该格式仅使用自由空间 Helmholtz Green 函数。未知量是 Bloch 模在夹杂边界和两条元胞壁上的 Cauchy 数据。在夹杂边界上，传输条件通过 Müller 格式施加。元胞壁方程则来自一种堆叠格式：其中 Green 公式应用于三个元胞组成的堆叠上，使得元胞壁自相互作用以及共享端点的弧段之间的相互作用精确抵消。所得系统是第二类的、零指标的 Fredholm 系统，且无角点奇异性；并且元胞壁可以弯曲，以使元胞边界远离夹杂。其算子对每个频率只组装一次，并对所有 Bloch 向量重复使用。我们证明：每个 Bloch 模都产生一个非零零空间向量；并且一个零空间向量来自某个 Bloch 模，当且仅当其元胞表示在元胞外为零，这为伪零空间向量提供了一种低成本检验。能带频率采用高阶 Nyström 离散以及 Bruno、Santana 和 Trefethen 的搜索方法计算；该方法将在实频率轴上采样的随机标量化预解式的自适应 Antoulas\u0026ndash;Anderson (AAA) 有理逼近的极点定位为这些频率。数值算例用精确能带结构和已发表能带结构验证了该方法，并包含一个具有挑战性的介质中空气孔三角晶格，其元胞需要采用弯曲壁。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.28494v1\n1. 研究对象和背景 本文研究二维光子晶体的 Bloch 特征值问题, 即周期介质中频域 Helmholtz 方程在准周期条件与非齐次透射条件下的非线性特征值问题. 设 $a_1,a_2\\in\\mathbb{R}^2$ 为线性无关的原始格矢, $\\Lambda=\\{ma_1+na_2:(m,n)\\in\\mathbb{Z}^2\\}$; 设 $\\Omega\\subset U$ 为原胞 $U$ 中的介质夹杂, $D_2=\\bigcup_{v\\in\\Lambda}(\\Omega+v)$, $D_1=\\mathbb{R}^2\\setminus D_2$. 界面 $\\Gamma_0=\\partial\\Omega$ 以及原胞壁 $\\Gamma_1,\\Gamma_2$ 满足平移配对关系 $\\partial U=\\Gamma_1\\cup(\\Gamma_1+a_1)\\cup\\Gamma_2\\cup(\\Gamma_2+a_2)$. 未知场 $u$ 可解释为 E 极化下的 $E_z$ 或 H 极化下的 $H_z$, 在两侧分别满足 $$\\Delta u+k_1^2u=0\\ \\text{in }D_1,\\qquad \\Delta u+k_2^2u=0\\ \\text{in }D_2,$$ 其中 $k_s=\\omega\\sqrt{\\varepsilon_s\\mu_s}$, $s=1,2$, $\\omega\u003e0$. 在夹杂界面上满足透射条件 $$\\gamma_{D,\\partial D_2}^+u=\\gamma_{D,\\partial D_2}^-u,\\qquad \\gamma_{N,\\partial D_2}^+u=\\eta\\,\\gamma_{N,\\partial D_2}^-u,$$ 其中 $\\eta=\\mu_1/\\mu_2$ 对应 E 极化, $\\eta=\\varepsilon_1/\\varepsilon_2$ 对应 H 极化; 同时满足准周期性 $$u(r+a_1)=\\zeta_1u(r),\\qquad u(r+a_2)=\\zeta_2u(r),$$ 且 $\\zeta_j=e^{ik\\cdot a_j}$, $\\zeta=(\\zeta_1,\\zeta_2)\\in\\mathbb{T}^2$. 由于问题是齐次的, 有非零解 $u$ 的参数对 $(\\omega,\\zeta)$ 称为 Bloch 特征值, 所有这样的参数对构成物理色散关系 $\\mathcal{B}$, 对固定 $\\zeta$ 得到频带 $0\\le\\omega_1(\\zeta)\\le\\omega_2(\\zeta)\\le\\cdots\\to\\infty$. 该问题的意义在于, 光子带结构决定光在周期介质中的传播、禁带与导模性质, 因此高精度、可靠且计算代价可控的数值方法具有重要价值. 传统平面波展开、有限元和时域有限差分方法需要离散整个原胞; 在高介电对比、曲面界面、微小几何特征和高频情形下, 可能出现未知量大、界面分辨率低、数值色散与污染效应等问题. 边界积分方程只离散界面, 对光滑几何可实现高阶收敛, 但其自然核函数是准周期 Green 函数, 涉及缓慢收敛的格点求和, 并且在空晶格特征值即 Wood 型异常附近不存在或导致病态. 已有的自由空间间接边界积分公式 [7] 通过相位化 $3\\times 3$ 最近像与胞壁辅助密度避免准周期 Green 函数, 但其未知量是间接密度, 需要单独论证每个 Bloch 模式都有密度表示, 且带频率搜索依赖扫描系统最小奇异值. 本文试图补上的空白是: 对二维双周期光子晶体建立仅使用自由空间 Helmholtz Green 函数的直接边界积分方程, 未知量取 Bloch 模式在夹杂边界与两条胞壁上的 Cauchy 数据, 得到第二类 Fredholm 指标零且无角点奇异性的系统; 同时给出由 Bloch 模式到非零零向量的保证、伪零向量的廉价判别, 以及可对全部 Bloch 矢量重用频率相关算子的高阶 Nyström 离散与非线性特征值搜索方案.\n2. 主要定理或主要结果 在问题设定上, 作者将 Bloch 特征值问题定义为: 固定格、夹杂与材料常数, 称 $(\\omega,\\zeta)\\in[0,\\infty)\\times\\mathbb{T}^2$ 为 Bloch 特征值, 若 (10) 存在满足正则性 (7) 的非零解 $u$, 并称所有此类参数对的集合 $\\mathcal{B}$ 为物理色散关系; 对固定 $\\zeta$, 允许频率构成离散频带 $0\\le\\omega_1(\\zeta)\\le\\omega_2(\\zeta)\\le\\cdots\\to\\infty$. 作者在光滑曲线与经典解假设下, 以 Cauchy 数据 $$\\Phi_\\ell=(\\phi_\\ell,\\psi_\\ell)=\\gamma_\\ell^-u,\\qquad \\ell\\in\\{0,1,2\\},$$ 为未知量, 其中 $\\ell=0$ 对应夹杂边界 $\\Gamma_0$, $\\ell=1,2$ 对应两条胞壁. 文中证明的核心表示结果之一为 Lemma 3.2: 若 $u$ 是 Bloch 模式而 $\\phi=(\\Phi_0,\\Phi_1,\\Phi_2)$ 是其 Cauchy 数据, 则原胞表示 $u_U[\\phi]$ 满足 $$u_U[\\phi]=u\\ \\text{in }U\\setminus D_2,\\qquad u_U[\\phi]=0\\ \\text{in }(U\\cap D_2)\\cup(\\mathbb{R}^2\\setminus U),$$ 内部表示 $u_\\Omega[\\phi]:=-G_2^0\\Phi_0$ 满足 $$u_\\Omega[\\phi]=u\\ \\text{in }\\Omega,\\qquad u_\\Omega[\\phi]=0\\ \\text{in }\\mathbb{R}^2\\setminus\\Omega,$$ 并且对每个胞壁对应的三胞堆叠 $S_j$ 也有相应的堆叠表示 $u_{S_j}[\\phi]$. 在边界积分系统层面, 作者将透射条件通过 Müller 公式写成夹杂边界上的方程 $$E_0\\Phi_0=\\sum_{i=0}^2L^{0,i}\\Phi_i\\quad\\text{on }I_0,$$ 其中 $E_0=\\operatorname{diag}(1,(1+\\eta)/2)$, 而 $L^{0,i}$ 由自由空间边界积分算子与 Bloch 相位组合而成. 对胞壁, 作者通过三胞堆叠表示并利用迹恒等式得到 Proposition 4.1: 对 $j\\in\\{1,2\\}$, $$\\gamma_j^+u_{S_j}[\\phi]+\\zeta_j^{-1}\\gamma_j^-[a_j]u_{S_j}[\\phi]=\\Phi_j+\\sum_{i=0}^2L^{j,i}\\Phi_i,$$ 其中块 $L^{j,i}$ 显式由 $C^{j,i}[na_{j'}]$, $C^{j,i}[-a_j+na_{j'}]$, $C^{j,i}[a_j+na_{j'}]$ 等算子组成, 并且每个积分算子项的源曲线与目标曲线 $\\Gamma_j$ 不相交. 由摘要与引言给出的结论是, 将 Müller 透射行与上述胞壁行组合后得到的系统为第二类 Fredholm 指标零系统, 无角点奇异性; 胞壁可以弯曲, 从而可使胞边界远离夹杂. 该系统还有一个结构性优点: 其算子只需在每个频率组装一次, 便可对所有 Bloch 矢量重复使用, 因为 Bloch 相位仅通过有限个 $\\zeta_1^n\\zeta_2^m$ 单项式进入. 关于零点与伪模, 作者证明 Lemma 5.1: 每一个 Bloch 模式都产生一个非零零向量, 因此直接公式不会漏掉真实频带. 反之, 全文并未无条件证明每个零向量都来自 Bloch 模式; 引言明确说反向命题仍未解决. 作者证明的是: 每个零向量都满足透射条件, 且一个零向量来自 Bloch 模式当且仅当其原胞表示在原胞外消失; 伪零向量则由原胞表示的非零辐射刻画, 由此得到一个廉价的 a posteriori 判别. 在数值层面, 作者采用高阶 Nyström 离散, 并按 Bruno, Santana 与 Trefethen [11] 的方法, 将随机标量化预解式在实频率轴上采样, 用自适应 AAA 有理逼近的极点定位频带频率. 数值实验验证了该方法与精确解及已发表带结构的一致性, 并包含一个具有弯曲胞壁的三角晶格空气孔算例. 从提供的 PDF 摘录中无法确认后续章节给出的具体收敛阶、误差常数、计算复杂度上界以及全部数值误差表; 也未见作者在此摘录中给出 $\\omega=0$ 极限的层势公式.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的技术核心不是简单地“用边界元离散”, 而是构造一个仅含自由空间 Helmholtz Green 函数、同时避免角点奇异性和胞壁自相互作用的第二类直接边界积分系统. 首先, 作者以 $$G_k(r,r')=\\frac{i}{4}H_0^{(1)}(k|r-r'|)$$ 为唯一核函数, 引入单层、双层位势及其四个边界积分算子 $V,K,\\tilde K,W$, 并采用 Cauchy 数据对 $\\Phi=(\\phi,\\psi)$ 将 Green 位势写成 $$G^i[v]\\Phi=D^i[v]\\phi-S^i[v]\\psi,$$ 相应的 $2\\times2$ 迹算子记为 $C^{\\ell,i}[v]$. 这样做的好处是未知量直接是物理场在界面上的 Dirichlet 与 Neumann 迹, 而非间接密度; 因而真实 Bloch 模式自然给出非零零向量, 不需要像间接方法那样额外证明密度的存在性. 主要技术障碍之一来自开放胞壁弧的端点: 不同弧共享端点时, 双层位势或法向导数可能在端点奇异, 胞壁自相互作用还包含超奇异算子 $W^{j,j}$, 相邻共线弧的核在端点也奇异. 作者的关键创新是“三胞堆叠”表示: 对每条胞壁 $\\Gamma_j$, 在由三个相邻原胞构成的柱状或行状区域 $S_j$ 上应用 Green 公式, 得到堆叠表示 $u_{S_j}[\\phi]$. 在该表示中, 每条壁及其平移的贡献以 $G^j[na_{j'}]-\\zeta_jG^j[a_j+na_{j'}]$ 等形式组合, 使得胞壁自相互作用以及共享端点弧之间的相互作用精确抵消. 这一构造直接消除了角点奇异性, 使密度保持光滑, 并将系统化为第二类 Fredholm 指标零系统. 第二个关键点是胞壁方程的推导. 作者不是分别强制 $\\gamma_j^+u=\\Phi_j$ 和 $\\gamma_j^-[a_j]u=\\zeta_j\\Phi_j$, 而是将第二个迹乘以 $\\zeta_j^{-1}$ 后与第一个迹相加; 这样超奇异自相互作用项与共线相邻弧的奇异端点贡献成对抵消. Proposition 4.1 给出了这一恒等式及块算子 $L^{j,i}$ 的显式形式, 并证明每个积分算子项的源曲线与目标曲线不相交, 从而所有核在参数端点附近光滑, 可直接使用高阶求积. 第三个关键点是准周期性的代数编码与算子复用. 由于位势平移只改变核的变量 $r-r_i(\\tau)$ 而不改变法向与速度, 作者用 $G^i[v]$ 与 $C^{\\ell,i}[v]$ 的平移记号把 Bloch 相位完全放入有限个 $\\zeta_1^n\\zeta_2^m$ 单项式中. 于是对固定频率 $\\omega$, 与频率相关的积分算子只需组装一次, 后续对布里渊区中大量 Bloch 矢量只需重新组合这些块, 显著降低了带结构扫描的组装成本. 第四, 几何适应性由弯曲胞壁与近奇异积分处理保证. 原胞壁允许弯曲, 从而当夹杂不落在原始平行四边形内时, 仍可将胞边界放在远离夹杂的位置; 对于近奇异积分, 作者采用 density interpolation method [26], 以保持高阶 Nyström 离散的精度. 第五, 非线性特征值搜索采用 [11] 的 AAA 有理逼近策略: 对每个 Bloch 矢量, 将离散算子视为频率 $\\omega$ 的非线性特征值问题, 随机标量化预解式, 在实频率轴上采样, 再用自适应 AAA 有理逼近定位极点, 这些极点即候选带频率. 与直接扫描最小奇异值相比, 这一策略更适合在实轴上系统搜索多个极点. 最后, 在分析框架上, 作者利用 Green 表示公式、跳关系、平移算子和紧算子分解来证明第二类 Fredholm 性质; 但 PDF 摘录只显示到 Proposition 4.1, 后续 §4.4 的紧性与正则性论证未在提供内容中展开, 因此无法确认其中具体的紧算子分解细节. 作者也明确指出, 光滑曲线与经典解假设是为了高阶求积; 层势与边界积分算子可推广到 Lipschitz 曲线, 但紧性与正则性论证需要不同处理.\n4. 与之前工作的比较 与基于准周期 Green 函数的边界积分方法相比, 本文最明显的推进是彻底避免准周期格点求和. 准周期 Green 函数在空晶格特征值即 Wood 型异常处不存在, 其截断求和收敛慢, 且相关公式在接近这些频率时病态; 本文只用自由空间 Helmholtz Green 函数, 周期性通过 Cauchy 数据的平移规则与有限个 Bloch 单项式代数地施加, 因而在原理上绕开了空晶格特征值导致的核函数不存在问题. 代价是特征值问题仍非线性依赖于频率, 且需要对每个 Bloch 矢量进行非线性极点搜索; 此外, 自由空间核的周期化被转移到堆叠表示与块算子组合中, 公式和实现比直接使用准周期核更复杂. 与本文最直接相关的前作是自由空间间接边界积分公式 [7]. 该文对双周期问题使用相位化 $3\\times3$ 最近像、胞壁辅助单双层密度及其延拓, 得到第二类、光滑密度、谱精度且仅通过有限个 Bloch 单项式依赖相位的系统, 并通过扫描最小奇异值定位频带. 本文的推进主要体现在四点: 第一, 从间接密度改为直接 Cauchy 数据, 因而每个真实 Bloch 模式自动产生非零零向量, 不需要 [7, Conjecture 7] 那样的密度表示猜想; 第二, 给出伪零向量的判别: 零向量来自 Bloch 模式当且仅当其原胞表示在原胞外消失, 从而可用原胞表示的非零辐射做廉价 a posteriori 检验; 第三, 使用三胞堆叠表示, 使夹杂与最近像之间不出现相互作用, 并使胞壁自相互作用和共享端点弧相互作用精确抵消, 得到无角点奇异性的第二类系统; 第四, 允许弯曲胞壁并结合 density interpolation 处理近奇异积分, 从而处理夹杂不适合放入原始平行四边形的情形. 不过, 本文并未证明反向命题“每个零向量都来自 Bloch 模式”; 这一点仍是开放问题, 而 [7] 的间接公式则需另行论证密度表示. 与 [54] 的自由空间直接公式相比, 本文把线阵列可穿透障碍的公式推广到双周期格: 核心新构造是沿每条胞壁取三胞堆叠 $S_j$, 将 Green 公式应用于三胞区域并令相邻弧贡献相消. 这一推广不是平凡改动, 因为二维双周期情形同时存在两个方向的平移、共享端点与胞壁自相互作用; 三胞堆叠正是为解决这些额外奇异性而设计. 与平面波展开、有限元和时域有限差分等全胞方法相比, 本文只离散夹杂边界与两条胞壁, 对光滑几何可实现高阶精度, 在高介电对比、曲面界面和微小几何特征方面可能显著减少未知量; 全胞方法则更容易处理任意几何和宽频带, 但平面波展开在材料间断处收敛慢, 有限差分对曲面界面仅低阶表示, 有限元与有限差分在高频下受数值色散与污染效应影响. 本文的边界积分方法代价是 dense 算子、非线性特征值搜索以及对光滑曲线和高阶求积的依赖; 从提供内容中无法确认其在大规模三维或极高对比问题上的实际复杂度与并行可扩展性. 与胞 Dirichlet-to-Neumann 映射 [57]、小波边界元 [56]、周期快速多极 [46] 以及 Rayleigh 多极与多重散射展开 [9,37,44,50] 等方法相比, 引言只作了背景性列举, 没有给出逐项数值比较; 因此从提供内容中无法确认本文相对这些方法在精度、条件数或计算时间上的具体优势. 在特征值算法层面, 本文沿用 [11] 的 AAA 有理逼近与极点搜索, 这一部分不是本文的主要理论创新; 本文的创新在于使离散算子适合这种搜索: 算子按频率组装一次并可对所有 Bloch 矢量复用, 且真实模式不会因间接密度表示问题而漏失. 需要强调的局限是: 作者未在摘录中建立 $\\omega=0$ 极限的层势公式, 因此严格来说该方法针对 $\\omega\u003e0$ 及其解析延拓; 对零频附近最低频带的处理需要另行分析. 此外, 反向零点刻画仍开放, 伪零向量虽可用原胞外辐射检验, 但该检验的计算成本与可靠性在摘录中未量化. 总体而言, 本文相对于 [7] 和 [54] 的推进是明确的: 直接自由空间公式、第二类无角点奇异性、算子复用、弯曲胞壁与伪模判别; 其局限也同样明确: 非线性特征值搜索、光滑几何假设、反向命题未完全解决以及零频极限未纳入公式.\n2. 椭圆界面问题的迹逆估计与基于核的 Nitsche Galerkin 方法 Trace Inverse Estimates and Kernel-based Nitsche Galerkin Methods for Elliptic Interface Problems\n作者: Leevan Ling, Shu Ma, Weifeng Qiu, Yizhong Sun\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-20\narXiv ID: 2610.27537v1\n摘要翻译: 我们为 Lipschitz 子域上独立生成的 Sobolev 核试探空间的乘积建立迹逆估计，并用其分析椭圆界面问题的对称 Nitsche Galerkin 方法。这些估计用子域梯度、界面跳跃和外边界迹来控制单侧梯度迹。它们的余法向形式提供了 Nitsche 格式所需的通量控制，而不必对试探空间施加值约束，包括带有内部夹杂的构型。对于具有可比填充距离和固定核尺度的拟一致中心族，我们得到在充分大且与加密无关的罚参数下的强制性和适定性。我们证明对分片 $H^s$ 解的能量误差和 $L^2$ 误差界分别为 $h^{s-1}$ 和 $h^s$ 阶，其中 $2\\le s\\le m$，$h$ 是最大填充距离，$m$ 是核 Sobolev 阶。$L^2$ 界还要求齐次伴随界面问题的分片 $H^2$ 正则性。对于 $0\u003c\\varepsilon\\le1$ 的缩放核 $Φ_{m,\\varepsilon}$，我们还推导了核平移基下显式依赖尺度的条件数界。该分析假设精确几何与精确积分。平面实验考察收敛性和支撑缩放，而一个三维混合边界计算说明了该方法。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.27537v1\n1. 研究对象和背景 本文研究有界连通 Lipschitz 区域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$ ($d\\ge2$) 被分成两个连通 Lipschitz 子域 $\\Omega^-,\\Omega^+$ 的标量椭圆界面问题。记界面为 $\\Gamma=(\\partial\\Omega^-\\cap\\partial\\Omega^+)\\cap\\Omega$，外边界分片为 $\\Gamma_{\\Omega}^{\\eta}=\\partial\\Omega^{\\eta}\\cap\\partial\\Omega$，单位法向 $\\vec n_\\Gamma$ 由 $\\Omega^-$ 指向 $\\Omega^+$，$\\vec n_{\\partial\\Omega}$ 为外法向。扩散张量 $A^\\eta\\in[W^{1,\\infty}(\\Omega^\\eta)]^{d\\times d}$ 对称且满足一致椭圆性[\\alpha_0|\\vec\\xi|^2\\le \\vec\\xi^\\top A^\\eta(\\vec x)\\vec\\xi\\le \\alpha_1|\\vec\\xi|^2,\\qquad \\vec\\xi\\in\\mathbb{R}^d,\\ \\text{a.e. }\\vec x\\in\\Omega^\\eta,]其中 $0\u003c\\alpha_0\\le\\alpha_1\u003c\\infty$。模型问题为[\\begin{cases}-\\nabla\\cdot(A^\\pm\\nabla u^\\pm)=f^\\pm \u0026amp; \\text{in }\\Omega^\\pm,\\ u^\\pm=g_D \u0026amp; \\text{on }\\Gamma_{\\Omega}^\\pm,\\ u^- - u^+ = g_\\Gamma \u0026amp; \\text{on }\\Gamma,\\ (A^-\\nabla u^- - A^+\\nabla u^+)\\cdot\\vec n_\\Gamma=\\psi_\\Gamma \u0026amp; \\text{on }\\Gamma.\\end{cases}]等价地，以乘积记号 $u=(u^-,u^+)$、$A=(A^-,A^+)$ 可写成 $ -\\nabla\\cdot(A\\nabla u)=f$ in $\\Omega$，$u=g_D$ on $\\Gamma_\\Omega$，$[[u]]=g_\\Gamma$ on $\\Gamma$，$[[A\\nabla u]]\\cdot\\vec n_\\Gamma=\\psi_\\Gamma$ on $\\Gamma$，其中 $[[v]]=v^- - v^+$，$\\{v\\}=\\frac12(v^-+v^+)$。在 $H^1_0(\\Omega)=\\{v\\in H^1(\\Omega):v=0\\text{ on }\\Gamma_\\Omega,\\ [[v]]=0\\text{ on }\\Gamma\\}$ 上，弱形式为[(A\\nabla u,\\nabla v){\\Omega}=(f,v){\\Omega}+\\langle\\psi_\\Gamma,{v}\\rangle_{\\Gamma}\\qquad\\forall v\\in H^1_0(\\Omega).]该模型描述异质介质中的热传导、具有不连续介电常数的静电问题等；界面上的解跳量和共法向通量跳量耦合相邻材料方程。若强行施加 Dirichlet 条件和界面值条件，会约束逼近空间；对分别在各子域独立生成的核平移空间尤其如此。已有拟合有限元、未拟合有限元和 Nitsche 界面有限元方法可处理此类问题，但核 Galerkin 方法使用散点平移构造试探空间，无需单元连接，也不需要界面或外边界上的中心点。对单域 Dirichlet 问题，Chernih 等 [18] 在假定边界法向导数可由体积梯度控制的条件下分析了 Nitsche 核 Galerkin 方法；但界面问题需要同时控制平均共法向通量和外边界通量，且 Nitsche 罚项只控制界面跳量而不控制单个界面值。本文试图补的空白是：对独立生成的 Sobolev 核乘积试探空间建立迹逆估计，并由此在无需对试探空间施加值约束的情形下证明对称 Nitsche Galerkin 方法的稳定性、误差阶和条件数界。\n2. 主要定理或主要结果 作者首先给出 Nitsche 形式的一致性。若 $u\\in H^{1+\\delta}(\\Omega)$，$\\delta\u003e1/2$，则对任意 $v_h\\in V_h$ 有[a_h(u,v_h)=\\ell_h(v_h),]从而 Galerkin 正交性 $a_h(u-u_h,v_h)=0$ 成立。这里 $a_h$ 包含子域扩散项、界面平均通量项与界面罚项、外边界通量项与外边界罚项；Nitsche 能量范数为[|v|h^2=|\\nabla v|{\\Omega}^2+h^{-1}|[[v]]|{\\Gamma}^2+h^{-1}|v|{\\Gamma_{\\Omega}}^2.]作者证明带界面项的 Poincaré 不等式：在 $|\\Gamma|_{d-1}\u003e0$ 且 $|\\Gamma_{\\Omega}^+|_{d-1}\u003e0$ 的几何假设下，存在常数 $C\u003e0$ 使[|v|{\\Omega}^2\\le C\\left(|\\nabla v|{\\Omega}^2+|[[v]]|{\\Gamma}^2+|v^+|{\\Gamma_{\\Omega}^+}^2\\right)\\qquad\\forall v\\in H^1(\\Omega).]该引理用于在核空间迹估计中把子域体积 $L^2$ 项转化为 Nitsche 范数可控制的量。核心结果是对独立核平移乘积空间 $V_h=V_h^-\\times V_h^+$ 的迹逆估计。在核的 Fourier 条件 $c_\\phi(1+|\\vec\\xi|^2)^{-m}\\le\\widehat\\Phi_m(\\vec\\xi)\\le C_\\phi(1+|\\vec\\xi|^2)^{-m}$、$m\u003ed/2$ 且 $m\\ge2$，以及中心族准均匀、填充距离可比的假设下，存在与细化无关的常数 $C\u003e0$，使[|v_h^\\eta|{\\partial\\Omega^\\eta}\\le C h^{-1/2}|v_h^\\eta|{\\Omega^\\eta},\\qquad \\eta\\in{- ,+},]并且[|\\nabla v_h|{\\partial\\Omega}\\le C h^{-1/2}\\left(|\\nabla v_h|{\\Omega}+|[[v_h]]|{\\Gamma}+|v_h^+|{\\Gamma_{\\Omega}^+}\\right)\\qquad\\forall v_h\\in V_h.]作为推论，单域迹逆估计 $\\|\\nabla v\\|_{\\partial D}\\le Ch_D^{-1/2}(\\|\\nabla v\\|_D+\\|v\\|_{\\partial D})$ 成立。进一步，在扩散张量一致椭圆性条件下，作者得到离散共法向控制[h^{1/2}\\left(|{A\\nabla v_h}\\cdot\\vec n_\\Gamma|{\\Gamma}+|A\\nabla v_h\\cdot\\vec n{\\partial\\Omega}|{\\Gamma{\\Omega}}\\right)\\le C_{tr}|v_h|h,]其中 $C_{tr}$ 与 $h$ 和罚参数无关。该估计正是对称 Nitsche 稳定性所需的通量控制。由 Cauchy\u0026ndash;Schwarz 与 Young 不等式，作者得到连续性和强制性：存在与 $h$ 无关的常数 $C,c\u003e0$，使 $|a_h(w_h,v_h)|\\le C\\|w_h\\|_h\\|v_h\\|_h$，且当罚参数 $\\gamma_\\Gamma\u003e0$、$\\gamma_{\\partial,\\pm}\u003e0$ 足够大但不依赖于细化时，$a_h(v_h,v_h)\\ge c\\|v_h\\|_h^2$。因此离散问题适定，刚度矩阵正定。误差分析使用核插值逼近估计：对 $2\\le s\\le m$ 且 $j\\le s$，有[|w-I_h w|{H^j(\\Omega)}\\le C h^{s-j}|w|_{H^s(\\Omega)}.]由此作者报告：对分段 $H^s$ 解，$2\\le s\\le m$，能量误差阶为 $h^{s-1}$，即 $\\|u-u_h\\|_h\\lesssim h^{s-1}\\|u\\|_{H^s(\\Omega)}$；若齐次伴随界面问题具有分段 $H^2$ 正则性估计 $\\|z\\|_{H^2(\\Omega)}\\le C_{reg}\\|r\\|_{\\Omega}$，则 $L^2$ 误差阶为 $h^s$，即 $\\|u-u_h\\|_{\\Omega}\\lesssim h^s\\|u\\|_{H^s(\\Omega)}$。此外，对缩放核 $\\Phi_{m,\\varepsilon}$，$0\u003c\\varepsilon\\le1$，作者导出了核平移基下条件数的尺度显式上界；但提供的内容未展开该界的具体表达式，因而无法确认其精确常数形式和所针对的矩阵类型。分析明确假设精确几何与精确积分；数值部分仅报告平面收敛与支持尺度实验，以及一个三维混合边界算例。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 主要技术障碍在于：核平移空间的元素没有逐单元多项式结构，因而不能直接使用有限元中标准的逐单元多项式迹逆估计；同时，核平移的导数一般不属于原来的试探空间，直接对梯度使用连续迹不等式会引入 $H^2(D)$ 范数。要把 $H^2(D)$ 范数压回 $H^1(D)$ 范数，需要低阶 Sobolev 范数之间的逆估计；经典的 Bernstein 不等式要求较低阶 Sobolev 指标大于 $d/2$，不能直接覆盖所需的 $H^2$\u0026ndash;$H^1$ 情形。作者的真正创新之一是把最近的全范围 Bernstein 不等式用于这一核空间分析。具体地，在核假设下，对任意 $0\\le t\\le\\alpha\\le m$ 有[|v|{H^\\alpha(D)}\\le C q_D^{t-\\alpha}|v|{H^t(D)}\\qquad\\forall v\\in V_{X_D,\\Phi_m,D}.]在证明梯度迹估计时，作者先用连续迹不等式[|\\nabla v_h^\\eta|{\\partial\\Omega^\\eta}\\le C|\\nabla v_h^\\eta|{\\Omega^\\eta}^{1/2}|\\nabla v_h^\\eta|{H^1(\\Omega^\\eta)}^{1/2}\\le C|\\nabla v_h^\\eta|{\\Omega^\\eta}^{1/2}|v_h^\\eta|{H^2(\\Omega^\\eta)}^{1/2},]再取 Bernstein 不等式的 $\\alpha=2$、$t=1$ 得 $\\|v_h^\\eta\\|_{H^2(\\Omega^\\eta)}\\le C q_\\eta^{-1}\\|v_h^\\eta\\|_{H^1(\\Omega^\\eta)}$，从而[|\\nabla v_h^\\eta|{\\partial\\Omega^\\eta}\\le C q_\\eta^{-1/2}|\\nabla v_h^\\eta|{\\Omega^\\eta}^{1/2}|v_h^\\eta|{H^1(\\Omega^\\eta)}^{1/2}\\le C h^{-1/2}\\left(|\\nabla v_h^\\eta|{\\Omega^\\eta}+|v_h^\\eta|{\\Omega^\\eta}\\right).]这里使用了准均匀性和可比填充距离给出的 $q_\\eta\\simeq h_\\eta\\simeq h$。第二个关键点是界面处理。若把单域估计分别用于两个子域，右端会出现单个界面值 $v_h^-|_\\Gamma$ 和 $v_h^+|_\\Gamma$，而 Nitsche 界面罚项只控制其跳量 $[[v_h]]$，不能控制每个单侧值。作者用带界面项的 Poincaré 不等式把体积 $L^2$ 项 $\\|v_h\\|_{\\Omega}$ 替换为 $\\|\\nabla v_h\\|_{\\Omega}$、$\\|[[v_h]]\\|_\\Gamma$ 和 $\\|v_h^+\\|_{\\Gamma_{\\Omega}^+}$ 的组合，从而使最终迹估计与 Nitsche 能量范数完全匹配。这一组合不是简单的技术修补，而是界面问题稳定性分析的核心。第三个关键点是从梯度迹到共法向通量。作者利用 $\\|\\{A\\nabla v_h\\}\\cdot\\vec n_\\Gamma\\|_\\Gamma+\\|A\\nabla v_h\\cdot\\vec n_{\\partial\\Omega}\\|_{\\Gamma_{\\Omega}}\\le\\sqrt2\\,\\alpha_1\\|\\nabla v_h\\|_{\\partial\\Omega}$，把扩散张量的一致椭圆性上界与上述迹逆估计结合，得到[h^{1/2}\\left(|{A\\nabla v_h}\\cdot\\vec n_\\Gamma|\\Gamma+|A\\nabla v_h\\cdot\\vec n{\\partial\\Omega}|{\\Gamma{\\Omega}}\\right)\\le C_{tr}|v_h|_h.]有了这个离散共法向控制，Nitsche 双线性形式的界面通量项和外边界通量项可由扩散项和罚项吸收；通过 Cauchy\u0026ndash;Schwarz 和 Young 不等式即可得到连续性与强制性，且罚参数阈值不随中心加密而恶化。误差分析方面，作者使用分片核插值 $I_h$ 的逼近界，将一致性、稳定性和逼近性结合得到能量误差；$L^2$ 误差则通过对偶论证，并额外假设齐次伴随界面问题具有 $H^2$ 正则性。总体框架可概括为：全范围 Bernstein 不等式提供核空间的低阶逆估计；连续迹不等式与界面 Poincaré 不等式将梯度迹转化为 Nitsche 范数；共法向估计提供通量控制；最后用 Nitsche 稳定性与核逼近完成误差和条件数分析。需要强调，作者明确假设精确几何和精确积分，因此上述分析不包含几何近似误差、数值求积误差以及 cut-cell 型稳定化误差。\n4. 与之前工作的比较 与 Chernih 等 [18] 的单域 Dirichlet Nitsche 核 Galerkin 分析相比，本文的推进在于不再把边界法向导数估计作为附加假设，而是从核的 Fourier 条件和中心集假设出发证明迹逆估计。单域情形只需体积梯度与边界值项即可，因为边界值项由 Nitsche 罚项控制；界面情形则复杂得多：Nitsche 罚项只控制界面跳量，不控制单侧界面值，因此必须建立同时包含子域梯度、界面跳量和外边界迹的乘积空间估计。本文的定理 3.5 和定理 3.7 正是补齐了这一环节。与拟合有限元和未拟合有限元界面方法 [6,7,8,9,10,11] 相比，本文不使用与界面拟合的网格，也不使用切割背景网格的 cut-cell 稳定化；试探空间由两个子域内独立生成的核平移组成，不需要界面或外边界上的中心点。代价是核矩阵通常是全局或带宽较大的，条件数分析更重要，并且分析依赖精确几何积分。有限元方法中的多项式迹逆估计在本文中被核空间的全范围 Bernstein 不等式替代；后者适用于固定核阶和固定核尺度下的中心加密，但不适用于在固定中心集上改变核阶的 $p$-型加密，这一点作者在 Remark 3.3 中明确指出。与 Guo 等 [11] 通过局部 Cauchy 延拓构造高阶浸入有限元空间并建立迹不等式和最优误差估计的工作相比，本文处理的是完全不同的离散空间：无单元连接的核平移空间，而不是高阶浸入有限元空间。与 RBF 配点类界面方法 [14,15]、moving-Kriging Galerkin Nitsche 耦合 [16] 以及移动最小二乘无网格 Nitsche 方法 [17] 相比，本文的贡献不是提出新的配点或移动最小二乘格式，而是针对独立 Sobolev 核平移空间给出严格的稳定性、能量与 $L^2$ 误差以及条件数尺度分析。适用范围方面，本文要求子域为 Lipschitz 区域、扩散张量属于 $W^{1,\\infty}$ 且一致椭圆、界面和外边界分片具有正测度，并要求核阶 $m\\ge2$、解正则 $2\\le s\\le m$、中心族准均匀且填充距离可比、核阶与核尺度在细化下固定。$L^2$ 误差还额外要求齐次伴随界面问题具有分段 $H^2$ 正则性；作者明确说明该假设在 Lipschitz 几何下是额外假设，仅在 $L^2$ 分析中使用。与有限元界面方法相比，本文没有处理几何逼近误差和数值积分误差，作者明确假设精确几何与精确积分；因此其结论不能直接覆盖实际中曲面界面离散和求积误差占主导的情形。条件数方面，作者对缩放核 $\\Phi_{m,\\varepsilon}$ 给出尺度显式界，说明核尺度 $\\varepsilon$ 会影响核平移基的条件数；这弥补了以往核 Galerkin 分析中常把条件数问题留作数值观察的不足，但提供的内容未展开具体界，无法与已有条件数结果作逐项常数比较。总体而言，本文把 Nitsche 核 Galerkin 分析从单域 Dirichlet 问题推进到具有独立子域核空间的椭圆界面问题，把“假设通量可由体积梯度控制”改为“从核与中心假设证明迹逆估计”，并把罚参数阈值、能量误差阶和 $L^2$ 误差阶推进到与中心加密无关的形式；其主要局限是精确几何积分假设、固定核尺度与核阶、准均匀中心以及 $L^2$ 分析中的伴随 $H^2$ 正则性假设。作者未在提供内容中显式展开与所有上述文献在计算代价、条件数常数和三维几何误差方面的逐项比较。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 逆障碍散射的统计成像框架及其分辨率分析 A Statistical Imaging Framework for Inverse Obstacle Scattering and Its Resolution Analysis\n作者: Jinrui Zhang, Hai Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-20\narXiv ID: 2610.28553v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.28553v1\n摘要翻译 中文标题: 逆障碍散射的统计成像框架及其分辨率分析\n摘要翻译: 我们建立了一个一般统计框架，用于基于随机照射下远场二阶矩的逆障碍成像与分辨率分析。引入正则化 $Q$-统计量，并用其度量合成与采样点相关联的测试远场所需的最小统计加权代价；其倒数给出一个成像指标。在均匀全孔径平面波照射下，我们将该指标与若干经典采样指标联系起来，并推导它们在一般随机照射下的统计对应量。对于分辨率分析，我们将辐射和噪声的影响与诱导边界源的统计特性分离，用边界过渡的单侧半高宽来度量无相关分辨率极限。在固定波数 $k$ 且噪声校准正则化水平 $ρ_τ\\to 0$ 的情形下，我们针对具有解析边界的单连通区域，为该宽度建立了一个精确的渐近律。该宽度按 (h_Γ(x)\\log\\log(1/ρ_τ)/\\log(1/ρ_τ)) 缩放，其中 $h_Γ(x)$ 是沿边界的一个几何前因子，同时决定边界图像对比度和局部过渡宽度。对于一般的边界源统计特性，我们考察源的均值、方差和相关性如何影响成像质量。最后，在具有代表性的散射配置中，我们通过其诱导边界源的统计结构，对一些典型成像现象给出定性解释。数值算例说明了这些机制，并表明实际分辨率是由源统计特性、辐射和噪声水平共同决定的，而不是仅由波长决定。\n2. 一种面向声表面波器件模拟的具有物理动机粗空间的新型两级区域分解方法 A Novel Two-Level Domain Decomposition Method with Physically Motivated Coarse Space for Surface Acoustic Wave Device Simulations\n作者: Likun Qiu, Jianguo Huang, Xuejun Xu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-20\narXiv ID: 2610.27837v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.27837v1\n摘要翻译 中文标题: 一种面向声表面波器件模拟的具有物理动机粗空间的新型两级区域分解方法\n摘要翻译: 声表面波（SAW）方程是描述 SAW 器件工作原理的基础，这类器件具有高工作频率、多物理场耦合以及定义于无界区域等特点。有限元（FE）仿真是此类器件最精确的数值方法之一。然而，该方法通常导致具有大量自由度（DOFs）的病态线性系统，从而限制了其应用。为解决该问题，本文基于有限元撕裂与互连（FETI）算法，提出一种迭代次数关于子域数、频率和网格尺寸保持稳定的区域分解方法，命名为 FETI-SAW。其主要创新在于构造了结合基于 Rayleigh 波的粗空间的 Dirichlet 预条件子，以形成 Lagrange 乘子线性系统的预条件迭代算法。在某种意义上，该方法反映了 SAW 方程的物理本质。在数值实验中，我们以叉指换能器（IDT）和 SAW 谐振器为例，展示 FETI-SAW 算法的效率。此外，随文提供 MATLAB 和 C++ 源代码。\n3. 多尺度波动方程的质量集中多时间步分裂格式 Multi-time-stepping splitting scheme with mass lumping for the multiscale wave equation\n作者: Yating Wang, Wing Tat Leung, Zhengya Yang, Shufan Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-20\narXiv ID: 2610.27715v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.27715v1\n摘要翻译 中文标题: 多尺度波动方程的质量集中多时间步分裂格式\n摘要翻译: 高对比介质中波传播的高效模拟具有挑战性，因为标准显式格式受到由细空间尺度和快速多尺度模态引起的严重时间步限制，而全隐式格式需要代价高昂的全局耦合求解。本文针对多尺度波动方程发展了一种质量集中的多时间步部分显式分裂方法。基于逼近空间的非局部多连续统（NLMC）分解，将解分离为依赖于对比度的快速分量和不依赖于对比度的慢速分量，并分别对其进行隐式和显式推进。质量集中近似使粗尺度质量算子对角化，并消除两个子问题之间的耦合，从而能够对这两部分采用多速率时间积分。为进一步提高效率，我们引入基于残差的自适应策略，根据显式处理子系统的时域误差指示子动态调整其时间步。在适当假设下，所提格式被证明是能量稳定的。数值实验表明，所提出的质量集中多时间步格式在保持与标准全隐式方法相当精度的同时，大幅降低了计算成本。\n4. 一维孤子轮廓：增强神经网络求解器与约束 Deep Ritz 方法 Soliton Profiles in 1D: Enhanced Neural-Network Solvers and Constrained Deep Ritz Methods\n作者: Chandler Haight, Alex D Rodriguez, Svetlana Roudenko\n类别: math.NA, cs.LG, math.AP, nlin.PS\n发布日期: 2026-10-20\narXiv ID: 2610.27500v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.27500v1\n摘要翻译 中文标题: 一维孤子轮廓：增强神经网络求解器与约束 Deep Ritz 方法\n摘要翻译: 我们开发并比较了用于一维基态轮廓的增强神经网络求解器，这些轮廓是 $$ Q^{\\prime\\prime}=bQ-γQ^{p},\\quad Q\u003e0,\\quad p\u003e1, \\quad b, γ\u003e0, $$ 的解，该方程是非线性 Schrödinger 方程、广义 Korteweg-de Vries 方程和非线性 Klein-Gordon 方程的驻定轮廓方程。其显式 sech 型解可作为误差计算和基准超参数选择的精确参考。我们通过引入基于 Gauss-Newton/Levenberg-Marquardt 和 L-BFGS 精化的高阶优化，以及 Fourier 特征 PINN 和约束 Deep Ritz (DR) 形式，改进了标准 Adam 训练的物理信息神经网络 (PINN) 基线。在 DR 方法中，我们引入两种新的神经网络形式，它们实现了两种经典变分刻画：一种是 Nehari 约束 Deep Ritz 方法，其中高度通过投影到 Nehari/Pokhozhaev 流形上来学习；另一种是 Weinstein Deep Ritz 方法，其中归一化轮廓最小化 Weinstein 商。Deep Ritz 形式总体表现最佳，特别是 Weinstein 变体给出了最佳的误差-运行时间平衡。基于神经网络的求解器在一维中仍不如经典 Petviashvili 迭代精确和高效，然而，当前研究提供了一个概念验证：无网格形式、不依赖精确轮廓或相关特征，使其在高维以及更复杂的非线性与色散算子情形中具有前景。\n5. 低残差，错误值：用 PINNs 学习 Hamilton-Jacobi-Isaacs 方程的粘性解 Low Residuals, Wrong Value: Learning the Viscosity Solution of Hamilton-Jacobi-Isaacs Equations with PINNs\n作者: Raul Jimenez, Pablo Tejerina-Pérez, Leonid Sarieddine, Pedro Tarancón-Álvarez, Marisol Traforetti, Pau Solé-Vilaró, Oleksii Ignatenko, Nazar Tkach, Pavlos Protopapas\n类别: math.NA, cs.LG, math.AP, math.OC\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.27193v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.27193v1\n摘要翻译 中文标题: 低残差，错误值：用 PINNs 学习 Hamilton-Jacobi-Isaacs 方程的粘性解\n摘要翻译: 物理信息神经网络（PINNs）和其他按残差训练的求解器通过候选解的采样 PDE 残差大小来评判它。对于一阶 Hamilton-Jacobi 方程，这并不充分：同一方程和边界数据允许 Lipschitz 几乎处处解，它们与粘性解相差 $O(1)$，却只在零测集上违反方程。我们研究在固定时域追逃博弈中，残差最小化是否会选择此类解；该博弈的 Hamilton-Jacobi-Isaacs 值函数在圆 $S^1$ 以及平坦环面 $\\mathbb{T}^{2}$ 和 $\\mathbb{T}^{4}$ 上具有闭式表达式。我们在每种几何上以十个随机种子训练四种神经参数化，共 120 次运行。带周期 Fourier 特征的标准网络在全部 30 次运行中收敛到折叠的几乎处处解：残差很小且具有预期的捕获层梯度，但在大部分区域上值错误。通过损失函数施加周期性的网络在一维和二维中恢复粘性解，但在四维中变得不可靠。两种接收测地距离的参数化明显更好：一个输入环绕位移及其距离的单个网络在全部 30 次运行中恢复粘性解，而对周期像图卡取最小值的方法在 30 次中成功 27 次，并引入错误像的失败模式。最后，对于此处考虑的凸哈密顿量，我们利用粘性解的半凹性构建了一个无网格有限差分检验，该检验仅需前向网络求值；它无需访问精确值函数即可检测折叠解和有害的图卡最小值失败。因此，小的采样残差本身并不能验证一个学习到的 Hamilton-Jacobi 解；参数化与独立的结构诊断对于选择粘性解可能是必不可少的。\n6. 具有非局部压力的时间分数阶多孔介质方程的保结构数值格式 Structure-Preserving Numerical Schemes for a Time-Fractional Porous Medium Equation with Nonlocal Pressure\n作者: Łukasz Płociniczak, Hubert Woszczek\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.27172v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.27172v1\n摘要翻译 中文标题: 具有非局部压力的时间分数阶多孔介质方程的保结构数值格式\n摘要翻译: 本文研究方程 \\begin{equation} \\partial_t^αu-\\nabla\\cdot\\left(u^{m-1}\\nabla(-Δ)^{-σ}u\\right)=0, \\end{equation} 的数值逼近，其中 $0\u003cα\u003c1$，$0\u003cσ\u003c1$ 且 $m\u003e1$。Caputo 导数采用 L1 公式离散，而非线性非局部通量由守恒型迎风有限差分格式逼近。我们在任意空间维数下建立了该隐格式的若干结构性质，包括离散最大值原理、非负性、质量守恒、$\\ell^\\infty$ 与 $\\ell^2$ 稳定性、非负离散解的存在性，以及离散能量耗散估计。我们的假设包括自然对称性、方向系数之和的符号条件以及离散权重的衰减性。我们还推导了完整非线性空间算子的一致性估计。为进行严格的收敛性分析，我们限定于一维空间，并引入与密度相关的累积变量。这将离散问题转化为一个涉及分数阶 Laplacian 的方程的单调逼近。有趣的是，对于基于半群的压力梯度权重，所得的离散算子可与分数阶离散 Laplacian 等同。接下来，利用积分格式的比较与压缩性质，在 $m\\geq2$ 以及所述空间正则性和加权时间一致性假设下，我们证明了累积数值解的一致收敛，以及相应密度对紧支撑光滑检验函数的收敛性。时间估计允许初始时刻出现弱奇异性。我们还分析了该格式的一个显式变体，并推导了覆盖整个范围 $0\u003cσ\u003c1$ 的充分 CFL 条件。\n不相关论文（基本信息） 1. 时间变换随机时滞微分方程的全离散驯服Euler逼近的强收敛性 Strong Convergence of Fully Discrete Tamed Euler Approximations for Time-Changed Stochastic Delay Differential Equations\n作者: Ruchun Zuo, Qian Guo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-20\narXiv ID: 2610.28552v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.28552v1\n摘要: We establish the strong convergence of a fully discrete equidistant tamed Euler\u0026ndash;Maruyama (ETEM) method for time-changed stochastic delay differential equations (TCSDDEs) with state-dependent $\\mathrm{d}t$ drifts. A coupled one-sided condition on the subordinator-driven drift and diffusion allows superlinear coefficients with polynomial growth in both the current and delayed states. For subordinators whose Laplace exponent satisfies $ψ(λ)\\geq c_1λ^α$ for all sufficiently large $λ$, with $α\\in(0,1)$, we derive strong error bounds in terms of the time step $Δ$ and the subordinator sampling step $δ$, without imposing a relationship between them. Comparing the partitions generated by the exact and approximate inverse subordinators controls the sampling error without introducing a factor proportional to the number of time steps. For coefficients Lipschitz in both time arguments and Lipschitz history, the scheme achieves a strong convergence rate of order $Δ^{α/2}(1+|\\logΔ|)^{(1-α)/2}+\\sqrt{δ(1+|\\logδ|)}$. A terminal lower bound $c(Δ^{α/2}+δ^{1/2})$ for a multiplicative-noise equation with a stable subordinator establishes the sharpness of both polynomial exponents for this Euler scheme. Numerical experiments illustrate convergence for nonautonomous and multidimensional superlinear delay equations, as well as delay equations with low-regularity time dependence.\n2. 用于三维非局部扩散问题渐近相容离散化的快速可扩展多 GPU 切片 FFT 求解器 Fast and scalable multi-GPU sliced FFT solvers for asymptotically compatible discretizations of 3D nonlocal diffusion problems\n作者: Yulong Li, Jiale Meng, Zhenlin Guo, Jiwei Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-20\narXiv ID: 2610.28372v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.28372v1\n摘要: Large-scale 3D peridynamic transient diffusion simulations are constrained by the computational cost and memory requirements of nonlocal interactions. We propose a fast and scalable multi-GPU sliced FFT algorithm based on the recently developed asymptotically compatible finite difference (ACFD) scheme. By exploiting the discrete operator\u0026rsquo;s structure and finite interaction range, the algorithm combines FFT acceleration with local inter-GPU communication. It preserves the ACFD scheme while avoiding the global data redistribution required by full 3D FFTs. We build a matrix-free GPU conjugate gradient (CG) solver, use multigrid preconditioning to reduce iteration counts, and introduce a human-audited configuration agent for efficient cross-level configuration. Strong-scaling tests show that sliced FFT-CG achieves 93.2% parallel efficiency on eight GPUs, compared with 28.2% for full FFT-CG on the same problem and hardware. The framework supports approximately 10.29 billion degrees of freedom on eight RTX 4090 GPUs with 24 GB of memory each. The insulated penny-shaped cutout benchmark demonstrates transient simulation with approximately 8.58 billion degrees of freedom. Three-dimensional star-shaped interface evolution further demonstrates convergence toward the local solution in a nonlinear phase-field problem. These results demonstrate that sliced FFT provides a scalable multi-GPU approach for fast computation of 3D peridynamic diffusion.\n3. 具有时间可测且 $C ^{1,1}$ 的 Hamilton 函数的一阶平均场博弈：分析与逼近 First-Order Mean Field Games with Time-Measurable and $C ^{1,1}$ Hamiltonians: Analysis and Approximation\n作者: Elisabetta Carlini, Valentina Coscetti, Francisco J. Silva\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-10-20\narXiv ID: 2610.28335v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.28335v1\n摘要: We introduce and analyze a numerical framework for a class of first-order, non-local Mean Field Game (MFG) systems with two sources of low regularity: the time-dependent data are merely measurable, and the Hamiltonian is only of class $C^{1,1}$ with respect to the momentum variable. The proposed method combines a semi-Lagrangian approximation of the Hamilton\u0026ndash;Jacobi\u0026ndash;Bellman equation with a Lagrange\u0026ndash;Galerkin discretization of the continuity equation. Temporal measurability is handled by averaging the data over the time-grid intervals and using the stability theory of $L^1$-viscosity solutions. The limited regularity of the Hamiltonian is addressed through arguments from nonsmooth analysis, based in particular on Clarke\u0026rsquo;s generalized differential calculus. We prove that the discrete solutions converge, up to some subsequence, to a solution of the MFG system. As a consequence, the numerical approximation also provides a constructive existence result. Under a monotonicity assumption on the coupling terms, we show that the solution to the MFG system is unique, implying the convergence of the whole sequence of discrete solutions. Finally, numerical experiments in one and two spatial dimensions illustrate the robustness of the method, including a linear\u0026ndash;quadratic example with a running cost that is discontinuous in time and for which we compute an exact solution.\n4. 由α-稳定过程驱动的随机动力系统的密度演化：一种无方程数值方法 Density Evolution for Stochastic Dynamical Systems Driven by α-Stable Processes: An Equation-Free Numerical Approach\n作者: Yan Liu, Xu Sun\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-10-20\narXiv ID: 2610.28243v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.28243v1\n摘要: While well-established approaches exist for computing probability densities of stochastic differential equations driven by Brownian motion, computing probability densities for general stochastic differential equations driven by α-stable processes remains challenging, and few general-purpose methods are available. A major difficulty is that the corresponding Fokker\u0026ndash;Planck equations governing the density are generally unavailable in explicit form. In this paper, we develop an efficient approach to compute probability densities for stochastic differential equations driven by α-stable processes without relying on Fokker\u0026ndash;Planck equations or any other governing equations. The proposed approach is easy to implement and computationally efficient. Numerical examples demonstrate its effectiveness and indicate an approximately first-order convergence rate with respect to the time step.\n5. 再生核Hilbert空间中的范数最优模型降阶 Norm-optimal model order reduction in reproducing kernel Hilbert spaces\n作者: Tamás Dózsa, Andrea Angino, Rolf Krause, Matthias Voigt\n类别: math.NA, eess.SY\n发布日期: 2026-10-20\narXiv ID: 2610.28224v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.28224v1\n摘要: We consider the problem of model order reduction (MOR) in reproducing kernel Hilbert spaces (RKHSs). We prove generalizations of well-known necessary interpolatory conditions for norm-optimal reduced-order models, originally stated for rational functions in $H_2$ Hardy-Hilbert spaces. We construct an alternative to the iterative rational Krylov (IRKA) algorithm for RKHSs with differentiable kernels to obtain norm-optimal reduced-order models. Then, we introduce generalized Malmquist-Takenaka (GMT) functions that can be used to define orthonormal bases in an arbitrary RKHS. Using GMT functions, we propose unitary transformations between separable RKHSs. This allows us to extend our optimality conditions and subsequent algorithms to MOR problems posed in RKHSs with non-differentiable kernels. The potential and versatility of the proposed MOR framework is demonstrated in several numerical experiments. We perform norm-optimal MOR on various machine learning models such as support vector machines and deep ReLU networks. In addition, we show how the proposed MOR framework can be used to solve seemingly unrelated problems. In particular, we provide an example for fitting high degree polynomials to data and also obtain a FEM-like method for solving partial differential equations (PDEs) with an optimal kernel basis.\n6. 前向与反问题中带约束的自动微分 Automatic Differentiation with Constraints in Forward and Inverse Problems\n作者: Nikolay Yavich, Alexander Ryabov, Viacheslav Naumov, Sayan Ranu, N. M. Anoop Krishnan, Evgeny Burnaev, Vladimir Vanovskiy\n类别: cs.AI, math.NA\n发布日期: 2026-10-20\narXiv ID: 2610.27888v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.27888v1\n摘要: Approximate solutions of partial differential equations (PDEs) on unstructured grids can be represented on a graph. Numerical optimization involving stiff evolutionary and static PDEs often requires solving a large system of equations, which can be treated as a constraint. In this work, we present a fully differentiable graph-based implicit solver that incorporates this constraint. We evaluate its performance across four key tasks: a) linear and nonlinear forward modeling of evolutionary and static problems, b) solving inverse problems to estimate equation coefficients, c) solving inverse problems to estimate the right-hand side, and d) learnable graph coarsening to accelerate forward modeling. The stability and differentiability of our solver enable significant reductions in the complexity of forward modeling while efficiently addressing related inverse problems. These capabilities make it a powerful tool for different physics and engineering applications, in particular for geophysics, where inverse problems are commonly solved in order to reduce the model uncertainty.\n7. 基于约束最缓上升动力学计算偶极玻色\u0026ndash;爱因斯坦凝聚体的激发态 Computing excited states of dipolar Bose\u0026ndash;Einstein condensates by constrained gentlest ascent dynamics\n作者: Fu Zheng, Wei Liu, Xu Qian\n类别: cond-mat.quant-gas, math.NA, quant-ph\n发布日期: 2026-10-20\narXiv ID: 2610.27878v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.27878v1\n摘要: Dipolar Bose\u0026ndash;Einstein condensates (BECs), i.e., BECs with long-range dipole-dipole interactions (DDI), exhibit extraordinarily rich physics and serve as a versatile experimental platform for exploring exotic quantum states of matter. Within the mean-field framework, a dipolar BEC can be described by the Gross\u0026ndash;Pitaevskii (GP) model with a DDI term. Its stationary states consist of the ground state, which minimizes the GP energy functional under the normalization constraint, and excited states, which are higher-energy critical points that typically correspond to constrained saddle points. Excited states encode collective excitation modes and play a key role in the dynamical stability and quantum phase transitions of cold-atom systems. However, in contrast to the extensively studied ground state, they remain far less explored numerically, especially in dipolar systems. In this work, we develop a numerical method based on the constrained gentlest ascent dynamics (CGAD) that systematically computes excited states of dipolar BECs by stably targeting constrained saddle points with any prescribed Morse index. Specifically, a semi-implicit sine-pseudospectral discretization with an orthonormalization correction step is adopted, and the nonlocal DDI terms are evaluated efficiently and accurately via the nonuniform fast Fourier transform (NUFFT). The resulting scheme is applied to one-, two-, and three-dimensional dipolar BECs, enabling a detailed numerical investigation of their excited states. Remarkably, our simulations reveal that excited states can persist even in regimes where the ground state of the condensate becomes mean-field unstable. This work provides a computational framework for studying excited states in dipolar quantum gases and offers insights for future theoretical and experimental investigations.\n8. 血流动力学中的反演区域不确定性量化：约束下采样虚拟患者队列 Inverse domain uncertainty quantification in hemodynamics: sampling virtual patient cohorts under constraints\n作者: Francesco Romor, Jose Rodrigo Rojo-Garcia, André-Alexander Zepernick, Ana Djurdjevac, Alfonso Caiazzo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-20\narXiv ID: 2610.27869v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.27869v1\n摘要: We consider the following inverse domain uncertainty quantification problem: given a prescribed value or measurement of a hemodynamic biomarker, characterize the distribution of vascular geometries compatible with it. The problem is formulated as a Bayesian inverse problem in which a high-dimensional latent parameter encodes the cardiovascular shape and accounts for inter-patient variability. The parameter-to-observable map composes a conditional LDDMM stochastic interpolant generating the aortic surface with a high-performance numerical finite element solver for the unsteady incompressible Navier\u0026ndash;Stokes equations, from which biomarkers of interest are evaluated. The map is nonlinear, high-dimensional and computationally expensive. To address the problem, we compare three ensemble strategies: ensemble adjusted Kalman inversion (EAKI), adaptive Bayesian updating with structural reliability (aBUS), and a Wasserstein\u0026ndash;Fisher\u0026ndash;Rao (WFR) sequential Monte Carlo scheme. The first two approaches are derivative-free. For the third method, we introduce a novel differentiable flow-matching surrogate that reduces the cost of a single forward map evaluation at the price of a distribution shift depending on the training distribution used for the surrogate. We apply the framework to the generation of virtual patient cohorts matching prescribed pressure drops along aortic geometries affected by coarctation, and we validate and compare the three methods on synthetic data.\n9. 用于火焰问题及相关点火问题的锋面钉扎谱配置法 Front-pinned spectral collocation for the flame problem and related ignition problems\n作者: Imre Boros\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-20\narXiv ID: 2610.27864v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.27864v1\n摘要: We consider global Chebyshev collocation for the ignition problems $y'=y^q(1-y)$, $y(0)=δ$, $q\\ge2$; for $q=2$ this is the flame problem, a standard stiff test equation. After rescaling to $[-1,1]$ the solution has an interior layer of width $O(μ)$, $μ=(q-1)δ^{q-1}$, at a $δ$-dependent position. Two obstacles arise: plain Chebyshev collocation needs $O(1/μ)$ nodes, and imposing the initial condition amplifies errors by a factor of order $1/μ$, which makes the collocation equations severely ill-conditioned. Our main contribution addresses the second one. Since all solutions are translates of one profile, the initial condition can be replaced by an equivalent interior condition. For an unknown $u=\\varphi(y)$, imposing it where the speed $|\\varphi'f_q|$ of $u$ along the orbit is maximal bounds the propagator of the linearized equation by one; for $u=\\ln y$ this is $y(x^\\ast)=(q-1)/q$. For the first obstacle we use the sinh map of Tee and Trefethen: the time function is explicit, the complex singularities of the profile lie exactly at $\\pm(2k+1)πi$, and the map parameters follow in closed form, so that $O(\\ln(1/μ))$ nodes suffice. In double precision the pinned scheme reaches the interpolation error of the exact solution in five or six Newton iterations for $μ$ down to $10^{-12}$, whereas the initial-condition form fails or converges to wrong discrete solutions, also in an integral (Birkhoff) reformulation. Computations in $256$-bit arithmetic confirm the predicted rate down to errors of $10^{-70}$, AAA approximation locates the singularities to within $2\\%$, and the method carries over to an Arrhenius reaction rate, with all parameters computed numerically.\n10. 二元 $C^2$ 样条的维数图景 The Dimension Landscape of Bivariate $C^2$ Splines\n作者: Xinyu Wu, Jiansong Deng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-20\narXiv ID: 2610.27814v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.27814v1\n摘要: Schumaker\u0026rsquo;s lower bound incorporates local geometric corrections and provides insight into the dimensions of bivariate spline spaces. Building on this bound, we study bivariate $C^2$ spline dimensions from three perspectives: universal attainment, generic attainment, and geometric jumps. We prove universal attainment in degree seven for every legal realization of every triangulation. We prove generic attainment in degrees five and six for every fixed combinatorial triangulation and give explicit polynomial conditions certifying generic failure on fixed triangulations in degrees three and four. For geometric jumps with matching local direction types at corresponding interior vertices, we prove nonexistence in degree seven and construct examples in degrees three and five. In degree six, universal attainment and the existence of such geometric jumps remain open questions.\n11. 超越指数倾斜：稀有事件的精确渐近与改进重要性抽样 Beyond exponential tilting: sharp asymptotics and improved importance sampling for rare events\n作者: Mingxin Li, Hans Reimann, Timo Schorlepp, Georg Stadler\n类别: stat.CO, math.NA, math.PR, math.ST\n发布日期: 2026-10-20\narXiv ID: 2610.27434v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.27434v1\n摘要: A classical approach for importance sampling (IS) of a rare event is to tilt the measure using its large deviation minimizer, thereby shifting the proposal mean towards the event set. While this tilt is log-efficient, we show that the coefficient of variation of the resulting estimator still grows like $\\varepsilon^{-1/4}$ in the small-noise limit $\\varepsilon\\downarrow0$. Motivated by sharp large deviation asymptotics and the local geometry of the event set at the minimizer, we propose improvements using a control variate or an anisotropic, non-Gaussian proposal. We prove, up to truncations that hold with high probability, and confirm empirically in high-dimensional examples, that the former bounds the coefficient of variation and the latter makes it vanish, so that a bounded number of samples suffices. Our analysis addresses both the coefficient of variation of the different proposals and their necessary and sufficient sample size based on the Kullback\u0026ndash;Leibler divergence of the IS target from the proposal; both yield the same rates in $\\varepsilon$. We demonstrate the resulting samplers, including a variant that blends the classical and the new proposal across noise levels, for a stochastic Korteweg\u0026ndash;de Vries equation with thousands of random inputs.\n12. 变阶分数阶反应\u0026ndash;扩散方程的自适应历史压缩卷积求积 Convolution Quadrature with Adaptive History Compression for Variable-Order Fractional Reaction\u0026ndash;Diffusion Equations\n作者: Pu Yuan, Paul Zegeling\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.27262v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.27262v1\n摘要: We develop a fully implicit fast method for semilinear variable-order fractional reaction\u0026ndash;diffusion equations with periodic fractional diffusion and exponential-transition Scarpi memory. A Volterra-resolvent analysis establishes local well-posedness and temporal regularity estimates that describe the weak initial singularity. Backward Euler convolution quadrature combined with Fourier pseudospectral discretization achieves mesh-uniform stability and positive-time first-order convergence. To accelerate the scheme, we utilize Cauchy\u0026ndash;FFT weight recovery and adaptive blockwise sum-of-exponentials compression, which significantly reduces the cost of history evaluation under local error control. A logarithmic perturbation bound quantifies the effects of weight recovery, history compression, and inexact nonlinear solves, giving tolerance conditions that preserve the convergence order. Numerical experiments confirm the first-order accuracy and demonstrate that the accelerated method efficiently resolves long-time spatial patterns at a substantially reduced computational cost.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-10-21_14-58-41/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年10月21日 14:58:41\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 6\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 12\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-基于直接第二类自由空间边界积分方程的光子能带结构\"\u003e1. 基于直接第二类自由空间边界积分方程的光子能带结构\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003ePhotonic band structure by direct second-kind free-space boundary integral equations\u003c/p\u003e","title":"2026年10月21日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年10月20日 14:51:59\n重点关注论文数量: 3\n了解领域论文数量: 14\n不相关论文数量: 35\n重点关注论文（完整分析） 1. 光子晶体中能带结构的混合非拟合有限元逼近 Mixed Unfitted finite element approximation of band structures in photonic crystals\n作者: Yuyan Zou, Luke G. Bennetts, Hailong Guo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.25598v1\n摘要翻译: 光子晶体是周期介电结构，其光学性质由具有不连续材料系数的 Maxwell 特征值问题刻画。对于任意形状的夹杂物，由于几何变化时网格生成与重新划分代价高昂，其数值求解仍然具有挑战性。本文针对这一挑战，发展了基于 Floquet-Bloch 变换的混合非拟合有限元方法。我们的方法使用与夹杂物几何无关的均匀背景网格，从而避免界面拟合网格划分，并允许我们通过直接识别自由度来施加周期边界条件。我们构造的一个关键特征是，所得有限元对保持移位算子的 de Rham 交换关系。该结构使我们能够建立关于切割位置一致成立的 inf-sup 条件，并特别排除伪模。我们进一步建立了特征值和特征空间的最优收敛性，其中常数不依赖于网格尺寸和界面位置。最后，我们给出二维和三维的大量数值实验，以验证理论结果并展示所提方法的鲁棒性。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.25598v1\n1. 研究对象和背景 本文研究周期性介电结构中的光子晶体能带计算。物理模型为无自由电荷、无电流、线性非色散介质中的时谐 Maxwell 特征值问题： $$ \\nabla\\times\\left(\\varepsilon^{-1}\\nabla\\times H\\right)=\\omega^2 H,\\qquad \\nabla\\cdot H=0\\quad \\text{in }\\mathbb{R}^d,\\ d=2,3, $$ 其中 $H$ 为磁场, $\\omega\\ge 0$ 为角频率, 介电常数 $\\varepsilon(x)$ 按 Bravais 格 $\\mathcal{A}$ 周期排列, 并在基体 $\\Omega^+$ 与夹杂 $\\Omega^-$ 中分别取正常数 $\\varepsilon^+$ 与 $\\varepsilon^-$, 在材料界面 $\\Sigma=\\partial\\Omega^-$ 上间断。界面条件要求切向磁场与切向电场连续, 即 $[[\\gamma_t(H)]]=0$ 与 $[[\\gamma_T(\\varepsilon^{-1}\\nabla\\times H)]]=0$。由 Floquet\u0026ndash;Bloch 理论, 全场可写成 $H(x)=e^{\\mathrm{i}k\\cdot x}u_k(x)$, 其中 $u_k$ 按 $\\mathcal{A}$ 周期, 准动量 $k$ 位于第一 Brillouin 区 $\\mathcal{B}$。于是原问题化为单位胞 $\\Omega$ 上的一族准周期界面特征值问题: $$ \\nabla_k\\times\\left(\\varepsilon^{-1}\\nabla_k\\times u_k\\right)=\\omega^2 u_k,\\qquad \\nabla_k\\cdot u_k=0, $$ 其中移位算子为 $\\nabla_k:=\\nabla+\\mathrm{i}k$, 且界面条件也通过 $\\nabla_k\\times$ 进入。对每个固定的 $k$, 特征值 $0\\le \\omega_1(k)^2\\le \\omega_2(k)^2\\le\\cdots\\to\\infty$ 给出色散关系, 全体 $\\omega_n(k)$ 构成能带结构 $\\sigma=\\bigcup_{k\\in\\mathcal{B}}\\bigcup_{n\\ge1}\\{\\omega_n(k)\\}$, 其带隙决定电磁波能否传播。因此能带的高精度数值计算是光子晶体设计中的核心问题。\n该问题的数值计算有三类本质困难: (i) 系数 $\\varepsilon$ 在 $\\Sigma$ 上间断, 解只有分片正则性; (ii) Floquet\u0026ndash;Bloch 边界条件 $u_k(x+R)=u_k(x)$ 虽在变换后变为周期条件, 但 quasi-momentum 通过移位算子 $\\nabla_k=\\nabla+\\mathrm{i}k$ 进入方程与界面条件; (iii) $\\nabla\\times\\nabla\\times$ 算子具有无穷维核, 必须正确处理无散约束, 否则离散谱会出现伪模。现有方法中, 平面波展开法在尖锐界面处因 Gibbs 现象收敛慢, 时域有限差分法用阶梯近似曲界面, 精度受限; 拟合网格有限元方法理论成熟但每变一次夹杂几何都要重新生成界面贴合网格, 代价高。非拟合有限元方法允许界面任意切割背景网格, 可重复使用同一均匀网格, 但已有非拟合 Maxwell 界面工作多针对源问题, 而非特征值问题; 从源问题到谱问题需要离散核的一致控制和排除谱污染。对于光子晶体的准周期 Maxwell 界面特征值问题, 据作者所述, 现有唯一非拟合方法为二维 Petrov\u0026ndash;Galerkin 界面有限元, 但缺少严格理论分析。本文试图填补的空白正是: 在二维和三维中建立非拟合离散的严格谱收敛理论, 证明 inf\u0026ndash;sup 条件关于界面切割位置一致, 排除伪模, 并给出特征值与特征空间的最优收敛估计。\n在弱形式层面, 作者引入标量 Lagrange 乘子 $p$ 处理无散约束, 在分片空间 $V=H_{\\mathrm{per}}(\\mathrm{curl};\\Omega^+\\cup\\Omega^-)$ 与 $P=H^1_{\\mathrm{per}}(\\Omega^+\\cup\\Omega^-)$ 中求 $(\\omega^2,u,p)$ 使得 $$ a(u,v)+b(p,v)=\\omega^2(u,v),\\qquad b(q,u)=0\\qquad \\forall v\\in V,\\ q\\in P, $$ 其中 $a(u,v)=\\sum_{m=\\pm}\\int_{\\Omega^m}\\varepsilon_m^{-1}(\\nabla_k\\times u)\\cdot(\\nabla_k\\times v)\\,dx$, $b(p,v)=-\\sum_{m=\\pm}\\int_{\\Omega^m}p(\\nabla_k\\cdot v)\\,dx$。这一混合形式既保留无散约束, 又为后续构造保持 de Rham 结构的离散空间提供框架。\n2. 主要定理或主要结果 作者的主要结论可概括为: 对每个固定 quasi-momentum $k\\in\\mathcal{B}\\setminus\\{0\\}$, 在界面 $\\Sigma$ 足够光滑、背景网格 $\\mathcal{T}_h$ 均匀且形状正则、$h$ 足够小、Nitsche 参数与 ghost penalty 参数固定且不依赖于 $h$ 和切割位置的假设下, 所构造的混合非拟合有限元问题适定且稳定, 并具有关于界面切割位置一致的 inf\u0026ndash;sup 条件; 由此离散核得到一致控制, 伪模被排除, 特征值与特征空间满足最优谱收敛。摘要与引言明确声称特征值和特征空间具有二阶收敛, 且误差常数不依赖于网格尺寸 $h$ 与界面相对于背景网格的位置。\n具体离散框架为: 取不贴合界面的均匀网格 $\\mathcal{T}_h$, 定义界面单元集 $\\mathcal{T}_\\Sigma=\\{K\\in\\mathcal{T}_h: K\\cap\\Sigma\\neq\\emptyset\\}$; 通过扩展虚拟区域 $\\Omega^\\pm_h$ 和两套分支构造扩展空间 $V_h^{\\mathrm{ext}}\\subset V$ 与 $P_h^{\\mathrm{ext}}\\subset P$。修正 Nédélec 空间与修正 $P^2$ 空间定义为 $$ V_h^m=\\{v_h^m\\in H(\\mathrm{curl};\\Omega_h^m): e^{\\mathrm{i}k\\cdot x}v_h^m|_K\\in \\mathrm{NE}_1(K),\\ \\forall K\\cap\\Omega^m\\neq\\emptyset\\}, $$ $$ P_h^m=\\{q_h^m\\in H^1(\\Omega_h^m): e^{\\mathrm{i}k\\cdot x}q_h^m|_K\\in P^2(K),\\ \\forall K\\cap\\Omega^m\\neq\\emptyset\\}, $$ 其中 $\\mathrm{NE}_1$ 为第二族一阶 Nédélec 边元。全局空间取 $V_h^{\\mathrm{ext}}=\\{(v_h^+,v_h^-):v_h^m\\in V_h^m\\}$ 及其周期子空间 $V_{h,\\mathrm{per}}^{\\mathrm{ext}}$, 对 $P_h^{\\mathrm{ext}}$ 同理。周期边界条件通过对相应自由度直接认同实现。界面条件用 Nitsche 方法弱施加, 并用基于面的 ghost penalty 稳定任意小切割单元。\n离散形式为: 求 $(\\omega_h^2,u_h,p_h)\\in\\mathbb{R}^+\\times V_{h,\\mathrm{per}}^{\\mathrm{ext}}\\times P_{h,\\mathrm{per}}^{\\mathrm{ext}}$, $u_h\\neq0$, 使得 $$ A_h(u_h,v_h)+b_h(p_h,v_h)=\\omega_h^2(u_h,v_h)\\quad \\forall v_h\\in V_{h,\\mathrm{per}}^{\\mathrm{ext}}, $$ $$ b_h(q_h,u_h)-S_h(p_h,q_h)=0\\quad \\forall q_h\\in P_{h,\\mathrm{per}}^{\\mathrm{ext}}, $$ 其中 $A_h=a_h+g_u$ 包含 Nitsche 界面项与磁场 ghost penalty, $S_h=J_h+g_p$ 包含 Lagrange 乘子的界面跳量稳定与 ghost penalty。等价地可写成全局形式 $\\mathcal{A}_h[(u_h,p_h),(v_h,q_h)]=\\omega_h^2(u_h,v_h)$。\n在稳定性方面, 作者首先证明修正空间保持移位算子的 de Rham 交换关系。定义修正插值算子 $\\Pi_h^{\\mathrm{curl}}=\\Phi_k^{-1}\\tilde{\\Pi}_h^{\\mathrm{curl}}\\Phi_k$, $\\Pi_h^{\\mathrm{grad}}=\\Phi_k^{-1}\\tilde{\\Pi}_h^{\\mathrm{grad}}\\Phi_k$, 其中 $\\Phi_k u=e^{\\mathrm{i}k\\cdot x}u$ 为 Bloch 映射。关键引理为 $$ \\Pi_h^{\\mathrm{curl}}\\nabla_k=\\nabla_k\\Pi_h^{\\mathrm{grad}}, $$ 且对任意 $q_h\\in P_{h,\\mathrm{per}}^{\\mathrm{ext}}$ 有 $\\Pi_h^{\\mathrm{curl}}(\\nabla_k q_h)=\\nabla_k q_h$ 与 $\\nabla_k q_h\\in V_{h,\\mathrm{per}}^{\\mathrm{ext}}$。该性质保证离散标量空间的移位梯度落入离散 Nédélec 空间, 是后续 inf\u0026ndash;sup 分析的核心。\n另一个关键稳定性工具是切割单元迹不等式: 对每个界面单元 $K\\in\\mathcal{T}_\\Sigma$ 与任意 $v_h\\in V_h^m$, 存在与 $h$ 和切割位置无关的常数 $C$ 使得 $$ \\|\\nabla_k\\times v_h^m\\|_{0,\\Sigma_K}^2\\le C h^{-1}\\|\\nabla_k\\times v_h^m\\|_{0,K}^2. $$ 作者利用 $e^{\\mathrm{i}k\\cdot x}v_h^m|_K\\in\\mathrm{NE}_1(K)=[P^1(K)]^d$, 故 $e^{\\mathrm{i}k\\cdot x}\\nabla_k\\times v_h^m=\\nabla\\times(e^{\\mathrm{i}k\\cdot x}v_h^m)$ 在 $K$ 上为常数, 再结合切割单元迹不等式得到。该估计的常数不依赖切割位置。\n在源问题误差估计与谱逼近方面, 作者先建立离散问题的适定性与关于切割位置一致的稳定性, 再得到源问题误差估计; 随后应用 Babuška\u0026ndash;Osborn 谱逼近理论, 证明特征值与特征空间收敛, 并给出二阶收敛结论。由于摘要与引言只给出收敛阶和一致性声明, 提供内容未展开具体定理编号、误差泛函的精确形式以及常数所依赖的假设细节, 故无法从现有文本确认各定理的完整陈述。数值实验方面, 作者在二维和三维中进行了广泛实验, 声称验证了理论收敛率并展示了方法对界面位置的稳健性; 具体算例、误差表和收敛阶数据在提供内容中未出现, 无法进一步核对。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的技术核心不是简单地把源问题的非拟合有限元搬到特征值问题, 而是构造一个在移位算子 $\\nabla_k$ 下仍保持离散 de Rham 复形的混合有限元对, 并用它来获得关于切割位置一致的稳定性和无伪模的谱逼近。主要障碍有三点。第一, 准动量 $k$ 不仅进入方程, 还通过 $\\nabla_k\\times$ 进入界面跳量条件, 标准未移位 de Rham 复形不能直接给出离散核控制。第二, 界面任意切割背景网格会产生任意小的切割单元, 标准迹估计和逆估计的常数会依赖切割位置, 从而破坏 inf\u0026ndash;sup 条件的一致性。第三, Maxwell 特征值问题的谱污染不能仅靠源问题稳定性排除, 必须控制离散核并证明离散解算子按合适意义收敛。作者的真正创新点在于: 通过 Bloch 映射共轭构造修正空间与修正插值, 使第二族 Nédélec 边元与 $P^2$ Lagrange 元在移位算子下形成交换图; 用 Nitsche 方法弱施加界面条件, 用基于面的 ghost penalty 分别稳定两个材料分支上的场与乘子; 并建立与切割位置无关的 inf\u0026ndash;sup 条件, 从而排除伪模。\n具体证明框架可分为以下层次。第一层是修正 de Rham 结构。作者定义 Bloch 映射 $\\Phi_k:u\\mapsto e^{\\mathrm{i}k\\cdot x}u$, 利用 $\\nabla_k u=\\Phi_k^{-1}\\nabla\\Phi_k u$ 与 $\\nabla_k\\times u=\\Phi_k^{-1}\\nabla\\times\\Phi_k u$, 把移位问题共轭变换为未移位问题。修正 Nédélec 空间中的基函数形如 $e^{-\\mathrm{i}k\\cdot x}\\phi$, 其中 $\\phi$ 遍历标准第二族 $\\mathrm{NE}_1$ 基; 修正 $P^2$ 空间同理。修正插值算子通过共轭定义。于是标准未移位交换关系 $\\tilde{\\Pi}_h^{\\mathrm{curl}}\\nabla=\\nabla\\tilde{\\Pi}_h^{\\mathrm{grad}}$ 被提升为 $$ \\Pi_h^{\\mathrm{curl}}\\nabla_k=\\nabla_k\\Pi_h^{\\mathrm{grad}}. $$ 更重要的是, 对离散标量 $q_h\\in P_{h,\\mathrm{per}}^{\\mathrm{ext}}$, 插值固定 $q_h$, 因而 $\\nabla_k q_h\\in V_{h,\\mathrm{per}}^{\\mathrm{ext}}$。这一步直接解决了移位梯度与离散 Nédélec 空间不匹配的问题, 是 inf\u0026ndash;sup 证明的骨架。\n第二层是界面切割的稳健估计。作者采用扩展虚拟区域 $\\Omega_h^\\pm$, 在每个切割单元上保留两套独立自由度, 并用权重平均 $\\{v\\}_\\theta=\\theta_K^+v^++\\theta_K^-v^-$, 其中 $\\theta_K^\\pm$ 由 $\\alpha^\\pm|K^\\pm|$ 定义, $\\alpha^\\pm=1/\\varepsilon^\\pm$。Nitsche 项包含 $\\int_\\Sigma\\{\\varepsilon^{-1}\\nabla_k\\times u_h\\}_\\theta\\cdot[[v_h\\times n]]$ 及其共轭项和罚项 $\\gamma h^{-1}\\int_\\Sigma[[u_h\\times n]]\\cdot[[v_h\\times n]]$。对 Lagrange 乘子, 弱形式含 $\\int_\\Sigma[[p_h]]\\{v_h\\cdot n\\}_\\theta$ 与界面跳量稳定 $J_h(p_h,q_h)=\\gamma_q h^{-1}\\int_\\Sigma[[p_h]]\\cdot[[q_h]]$。为处理小切割单元, 作者引入基于 ghost 面的罚项 $g_u$ 与 $g_p$: $g_u$ 惩罚 $\\nabla_k\\times u_h^m$ 在 ghost 面上的跳量, $g_p$ 惩罚 $\\nabla_k p_h^m$ 及其法向导数在 ghost 面上的跳量。这些罚项分别作用于两个材料分支, 不跨越材料界面耦合, 从而在保持一致性的同时稳定任意小切割。切割单元迹不等式 $\\|\\nabla_k\\times v_h^m\\|_{0,\\Sigma_K}^2\\le C h^{-1}\\|\\nabla_k\\times v_h^m\\|_{0,K}^2$ 的常数与切割位置无关, 是证明 Nitsche 项和 ghost penalty 项可控的关键。\n第三层是离散稳定性与 inf\u0026ndash;sup。作者定义能量半范数 $$ |v_h|_{V_h}^2=\\sum_{m=\\pm}\\|\\varepsilon_m^{-1/2}\\nabla_k\\times v_h\\|_{0,\\Omega_h^m}^2+\\sum_{K\\in\\mathcal{T}_\\Sigma}\\frac{\\gamma}{h}\\|[[v_h\\times n]]\\|_{0,\\Sigma_K}^2+g_u(v_h,v_h), $$ 以及 $\\|q_h\\|_{Q_h}^2=\\sum_{m=\\pm}\\|\\nabla_k q_h\\|_{0,\\Omega_h^m}^2+\\sum_{K\\in\\mathcal{T}_\\Sigma}h^{-1}\\|[[q_h]]\\|_{0,\\Sigma_K}^2+g_p(q_h,q_h)$。利用修正交换图和迹估计, 作者证明离散混合形式在乘积范数下满足关于切割位置一致的 inf\u0026ndash;sup 条件。该一致性进一步用于控制离散核 $\\{v_h:\\nabla_k\\times v_h=0\\text{ 分片}\\}$ 及其与梯度空间的交互, 从而排除零特征值附近的伪模。\n第四层是谱逼近。作者先对固定右端项的源问题建立稳定性与误差估计, 再验证 Babuška\u0026ndash;Osborn 理论所需的条件: 离散解算子一致收敛、离散核维数稳定、特征值隔离等。由于离散问题一致稳定且无伪模, 可得到特征值与特征空间的收敛; 作者进一步声称达到二阶收敛, 且常数不依赖 $h$ 与界面位置。这里需要区分: 从提供内容可以确认作者明确使用了 Babuška\u0026ndash;Osborn 框架并声明二阶谱收敛, 但具体定理的假设、误差范数、特征值误差公式以及证明中各项估计的完整细节未在摘录中展开, 无法核实其精确形式。\n4. 与之前工作的比较 与已有光子晶体计算方法相比, 本文的推进主要体现在四个方面。其一, 相对于平面波展开法, 本文不将场展开为截断 Fourier 级数, 因而避免了尖锐介电界面处的 Gibbs 现象和慢收敛; 相对于时域有限差分法, 本文不通过阶梯近似曲界面, 因而不会因界面几何近似而损失精度。作者在引言中明确把这两类方法作为背景, 但未给出与它们在同一算例上的定量比较, 因此无法从提供内容判断本文方法在具体计算成本上相对 PWE 或 FDTD 的优势幅度。\n其二, 相对于拟合网格有限元, 本文使用与夹杂几何无关的均匀背景网格, 同一网格可用于一系列形状、朝向和填充率变化的光子晶体, 避免每次几何变化都重新生成界面贴合网格。拟合网格方法包括自适应 $h$-FEM、谱元法和间断 Galerkin 方法, 它们理论成熟, 但网格生成成本高。本文的代价是: 在切割单元上需要保留两个材料分支的独立自由度, 扩展空间 $V_h^{\\mathrm{ext}}\\times P_h^{\\mathrm{ext}}$ 的自由度数量高于单分支拟合网格; 同时需要选择 Nitsche 罚参数与 ghost penalty 参数。作者未在提供内容中给出自由度计数或与拟合网格的计算量对比, 故无法量化这一代价。\n其三, 相对于已有非拟合 Maxwell 界面源问题方法, 本文的关键差别是离散 de Rham 结构。作者明确指出, 已有自适应浸入有限元、浸入虚拟元、高阶非拟合有限元、界面罚方法以及混合非拟合方法等主要处理源问题, 而不是 Maxwell 特征值问题。尤其是文献 [69] 的混合非拟合方法使用第二族一阶 Nédélec 元与 $P^1$ Lagrange 元, 对源问题收敛, 但其标量空间不是本文谱分析所需的 $P^2$, 因而不能实现兼容序列; 当用于 Maxwell 特征值问题时仍会出现伪特征值。本文改用第二族 $\\mathrm{NE}_1$ 与 $P^2$ 的兼容对, 并通过 Bloch 共轭保持移位算子的交换关系, 从而建立关于切割位置一致的 inf\u0026ndash;sup 条件并排除伪模。这是从源问题稳定性到谱问题无污染的关键推进。\n其四, 相对于已有非拟合光子晶体能带方法, 作者称文献中唯一可用的非拟合方法是 [67] 的 Petrov\u0026ndash;Galerkin 有限元界面方法。该方法在二维 Maxwell 界面特征值问题中使用 Lagrange 型单元, 直接施加准周期边界条件而不使用 Floquet\u0026ndash;Bloch 变换, 且主要关注数值格式与实验, 未提供严格理论分析。本文则在二维和三维中结合 Floquet\u0026ndash;Bloch 变换与非拟合混合有限元, 给出严格谱收敛理论、一致 inf\u0026ndash;sup 条件和无伪模结论。与 [67] 相比, 本文的适用范围从二维扩展到二维和三维, 从数值实验推进到理论分析; 但本文假设界面光滑、$h$ 足够小、介电常数为两相分片常数, 未在提供内容中处理更一般的色散、损耗或非光滑界面情形。\n其五, 相对于 Guo 在 $H^1$ 椭圆型方程上的非拟合 Floquet\u0026ndash;Bloch 谱分析, 本文处理的是 $H(\\mathrm{curl})$ 中的 Maxwell 特征值问题。后者具有无穷维核、缺乏 $H^1$ 椭圆性, 且需要保持 de Rham 复形才能获得无伪模离散, 因此 Guo 的 $H^1$ 框架不能直接推广。本文通过修正 Nédélec\u0026ndash;$P^2$ 混合对和移位交换图填补了这一理论空白。作者在引言中明确声称, 据其所知, 准周期 Maxwell 界面特征值问题的非拟合离散严格谱收敛理论此前尚不存在; 这一声明是作者自述, 提供内容未给出完整文献检索证明。\n局限与未确认之处包括: 作者未在提供内容中给出与拟合网格有限元、PWE、FDTD 或 [67] 的具体数值对比; 未给出三维复杂夹杂的详细算例数据; 未讨论参数 $\\gamma,\\gamma_q,\\gamma_u,\\gamma_p$ 的最优选取; 未说明误差常数对介电比 $\\varepsilon^+/\\varepsilon^-$ 的依赖; 也未讨论准动量 $k$ 在 Brillouin 区上整体扫描时的计算成本。由于提供内容仅含论文前 10 页, 后续定理证明与数值表格无法核对, 上述比较中涉及具体收敛阶和实验表现的判断只能依据摘要与引言的作者声明。\n2. 电动-磁流体动力学 Casson 微流动中依赖于屈服的 Taylor 弥散 Yielding-dependent Taylor dispersion in electrokinetic-magnetohydrodynamic Casson microflows\n作者: Nanda Poddar, Debabrata Das, Suman Chakraborty\n类别: physics.flu-dyn, math-ph, math.NA\n发布日期: 2026-10-18\narXiv ID: 2610.25433v1\n摘要翻译: 屈服流体中的纵向弥散取决于速度分布以及流动如何维持。我们研究了 Casson 流体在狭缝微通道中压力辅助的电动与磁流体动力学流动中的中性示踪剂。非线性应力与速度方程确定了屈服层、未屈服核心和轴向流动。随后，Mei 的对流-扩散方程多尺度均匀化将横向弛豫、平均漂移和纵向扩展分离，得到 Taylor-Aris 辅助问题和有效扩散率。精确的压力驱动解给出在流动停滞附近平均速度的三次衰减和弥散增强的八次幂衰减。在固定压力和电驱动力下，将屈服参数从 $Y=0$ 增至 $0.7$ 会使最优 Hartmann 数从 $Ha_p=0.696$ 移至 $2.634$，而相应的归一化扩散率从 $D_T^{\\mathrm C}=1.454$ 降至 $1.015$。在固定平均流量和 $Ha_p=1$ 时，趋势反转：$D_T^{\\mathrm C}$ 从 $1.000433$ 增至 $1.002311$。均匀化能量恒等式将这一差异归因于速度偏离截面平均值，包括未屈服核心内的偏离。解析极限解、直接浓度计算、数值收敛性研究以及耦合 Casson 剪切试验支持简化流动模型的预测。基于电解质的量纲评估将磁最优值识别为代表性水相微通道的理论驱动状态。这些结果对于预测在压力或流量控制下、承载具有屈服应力流体的微通道中的纵向示踪剂扩展具有意义。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.25433v1\n1. 研究对象和背景 本文研究对象是高度为 $2h$、宽度为 $W$、长度为 $L$ 的狭缝微通道中不可压缩 Casson 流体的定常完全发展流动与其中性示踪剂的纵向弥散, 典型几何假设为 $2h\\ll W$ 且 $h\\ll L$。坐标取 $x^*$ 沿流向、$y^*$ 为壁面法向、$z^*$ 为展向; 外加轴向压力梯度、轴向电场 $E_x$、壁面法向磁场 $B_0\\mathbf e_y$ 以及展向电场 $-E_z\\mathbf e_z$, 两侧壁具有相同 zeta 电位 $\\zeta$。速度取单向形式 $\\mathbf U=u^*(y^*)\\mathbf e_x$, 但 Casson 本构使应力与速度通过屈服面耦合: 在简单剪切中 $$\\frac{du^*}{dy^*}=0,\\quad |\\tau_{xy}|\\le\\tau_y,\\qquad \\frac{du^*}{dy^*}=\\frac{\\mathrm{sgn}(\\tau_{xy})}{\\mu_p}\\left(\\sqrt{|\\tau_{xy}|}-\\sqrt{\\tau_y}\\right)^2,\\quad |\\tau_{xy}|\u003e\\tau_y.$$ 屈服条件 $|\\tau_{xy}|\\le\\tau_y$ 给出未屈服核心, 屈服面 $|\\tau_{xy}|=\\tau_y$ 是待求自由边界; 在未屈服区应变率为零但示踪剂仍可分子扩散。动量平衡为 $$0=-\\frac{dp^*}{dx^*}+\\frac{d\\tau_{xy}}{dy^*}-\\sigma B_0^2u^*+\\rho_eE_x+\\sigma B_0E_z,$$ 其中 $\\rho_e$ 为净电荷密度, $\\sigma$ 为电导率。低 Reynolds 数与低磁 Reynolds 数、准静态 Ohm 律 $\\mathbf J=\\sigma(\\mathbf E+\\mathbf U\\times\\mathbf B)$ 下得到轴向 Lorentz 力项 $\\sigma B_0E_z-\\sigma B_0^2u^*$。电场在 Debye-Hückel 近似下满足 $$\\frac{d^2\\psi}{dy^2}=\\kappa^2\\psi,\\quad \\psi(\\pm1)=1,\\quad \\psi=\\frac{\\cosh(\\kappa y)}{\\cosh\\kappa},$$ 其中 $\\kappa=h/\\lambda_D$。无量纲化后耦合应力-速度方程写为 $$\\frac{d\\hat\\tau}{dy}=-\\Pi-\\Omega\\kappa^2\\frac{\\cosh(\\kappa y)}{\\cosh\\kappa}-S_pHa_p+Ha_p^2\\hat u,$$ $$\\frac{d\\hat u}{dy}=0,\\quad |\\hat\\tau|\\le Y,\\qquad \\frac{d\\hat u}{dy}=\\mathrm{sgn}(\\hat\\tau)\\left(\\sqrt{|\\hat\\tau|}-\\sqrt Y\\right)^2,\\quad |\\hat\\tau|\u003eY.$$ 示踪剂满足对流-扩散方程 $$\\frac{\\partial C^*}{\\partial t^*}+u^*\\frac{\\partial C^*}{\\partial x^*}=D\\left(\\frac{\\partial^2C^*}{\\partial x^{*2}}+\\frac{\\partial^2C^*}{\\partial y^{*2}}\\right),$$ 壁面为零通量, 初始条件为在 $x^*=0$ 处沿截面均匀释放的脉冲。该问题重要, 因为 Taylor-Aris 弥散由轴向对流与横向分子扩散的平衡决定, 而屈服应力流体中未屈服核心以近似刚性塞运动, 但示踪剂仍可穿过并扩散; 若只用剪切层速度而忽略塞速度相对于截面平均的偏离, 会错误估计长时展宽。已有理论分别处理 Newtonian 的 Taylor-Aris 与 Mei 多尺度均匀化、电渗流与电磁流、以及 Casson 屈服应力对压力驱动或电渗弥散的影响, 但屈服面随电磁强迫移动时如何改变磁弥散极值, 以及固定压力与固定平均流量两种运行约束是否给出相反趋势, 尚缺统一分析。本文试图在完全发展狭缝流动极限中同时确定屈服面、未屈服核心、轴向速度与有效弥散系数, 并用精确压力驱动解、线性黏度参考解与近流动停止渐近标度分离流变屈服效应和电磁响应。\n2. 主要定理或主要结果 第一, 对任意给定稳态轴向速度 $u(y)$ 或 $\\hat u(y)$, 在 $\\epsilon=h/L\\ll1$、$|Pe|=O(1)$、横向扩散时间 $T_0=O(h^2/D)$ 与轴向对流时间 $T_1=O(L/|u_{HS}|)$、轴向扩散时间 $T_2=O(L^2/D)$ 分离的区分极限下, Mei 多尺度展开给出 $C=C_0+\\epsilon C_1+\\epsilon^2C_2+\\epsilon^3C_3+O(\\epsilon^4)$; 在横向模态衰减后 $C_0=C_0(x,t_1,t_2)$ 与 $y$ 无关。一阶横向修正满足辅助边值问题 $$\\frac{d^2A_1}{dy^2}=u-\\langle u\\rangle,\\quad \\left.\\frac{dA_1}{dy}\\right|_{y=\\pm1}=0,\\quad \\langle A_1\\rangle=0,$$ 对 Casson 速度相应有 $$\\frac{d^2\\hat A_1}{dy^2}=\\hat u-\\langle\\hat u\\rangle,\\quad \\left.\\frac{d\\hat A_1}{dy}\\right|_{y=\\pm1}=0,\\quad \\langle\\hat A_1\\rangle=0,$$ 有效弥散系数为 $$D_T^{\\mathrm C}=\\frac{D_{\\mathrm{eff}}}{D}=1+Pe_0^2\\left\\langle\\left(\\frac{d\\hat A_1}{dy}\\right)^2\\right\\rangle.$$ 因此弥散增强非负, 且由完整截面的速度结构控制; 未屈服核心即使局部剪切率为零, 只要其速度不等于截面平均 $\\langle\\hat u\\rangle$, 仍会通过 $\\hat u-\\langle\\hat u\\rangle$ 对 $D_T^{\\mathrm C}$ 作贡献。第二, 线性有效黏度参考 $\\tau_{xy}=\\mu(1+1/\\beta)du^*/dy^*$ 给出闭合解 $$u(y)=\\frac{\\beta_1+S Ha}{m^2(1+1/\\beta)}\\left[1-\\frac{\\cosh(my)}{\\cosh m}\\right]+\\frac{1}{(1+1/\\beta)}\\frac{\\kappa^2}{\\kappa^2-m^2}\\left[\\frac{\\cosh(my)}{\\cosh m}-\\frac{\\cosh(\\kappa y)}{\\cosh\\kappa}\\right],$$ 其中 $m^2=Ha^2/(1+1/\\beta)$; 在纯压力驱动参考情形下 $$u_{pd}(y)=\\frac{\\Pi_{\\mathrm{ref}}}{Ha^2}\\left[1-\\frac{\\cosh(my)}{\\cosh m}\\right],\\quad m=\\frac{Ha}{\\sqrt{1+1/\\beta}}.$$ 精确压力驱动 Casson 极限取 $E_x=E_z=B_0=0$、$P=G\u003e0$, 上半个通道的应力为 $\\tau_{xy}=-Ghy$, 定义 $\\alpha=\\tau_y/(Gh)$、$U_P=Gh^2/\\mu_p$, 当 $0\\le\\alpha\u003c1$ 时中心塞占据 $|y|\\le\\alpha$, 速度可写为 $$\\frac{u^*(y)}{U_P}=F(\\alpha),\\quad 0\\le|y|\\le\\alpha,\\qquad \\frac{u^*(y)}{U_P}=F(|y|),\\quad \\alpha\u003c|y|\\le1,$$ $$F(y)=\\frac{1-y^2}{2}-\\frac{4\\sqrt\\alpha}{3}(1-y^{3/2})+\\alpha(1-y),$$ 截面平均为 $$\\frac{\\langle u^*\\rangle}{U_P}=1-\\frac{\\alpha^3}{3}-\\frac{4\\sqrt\\alpha}{5}(1-\\alpha^{5/2})+\\frac{\\alpha}{2}(1-\\alpha^2).$$ 令 $\\delta=1-\\alpha$ 为到完全停止的距离, 在 $\\delta\\to0^+$ 且 $G,h,\\mu_p$ 固定时 $$\\frac{\\langle u^*\\rangle}{U_P}=\\frac{\\delta^3}{12}+O(\\delta^4),$$ 摘要进一步报告近流动停止时弥散增强按 $\\delta^8$ 衰减; 附录 D 给出该近停止展开, 但提供的前十页文本未显示其显式前因子, 因而不在此确认其精确系数。第三, 电磁强迫下的数值结果表明: 在固定压力和电强迫时, 屈服参数从 $Y=0$ 增至 $Y=0.7$ 会把最优 Hartmann 数从 $Ha_p=0.696$ 移到 $Ha_p=2.634$, 同时对应的归一化弥散从 $D_T^{\\mathrm C}=1.454$ 降到 $D_T^{\\mathrm C}=1.015$; 在固定平均流量且 $Ha_p=1$ 时趋势反转, $D_T^{\\mathrm C}$ 从 $1.000433$ 增至 $1.002311$。作者用均匀化能量恒等式把这一差异追溯到速度相对截面平均的偏离, 包括未屈服核心内的偏离; 解析极限解、直接浓度计算、数值收敛研究和耦合 Casson 剪切测试支持这些约化流动预测。作者还明确区分了理论强迫状态与代表性水溶液微通道的电解质尺度评估: 磁最优值被视为理论强迫状态, 而非直接实验参数。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 核心障碍有三点。其一是屈服面 $|\\hat\\tau|=Y$ 是自由边界, 必须与非线性 Casson 本构和电磁体力同时求解; 其二是未屈服核心的速度不等于截面平均时仍影响 Taylor 弥散, 因此不能把塞区简单当作无贡献区域; 其三是固定压力与固定平均流量对应不同约束, 前者改变流量, 后者需调整压力梯度以维持给定平均速度, 两者不能在同一归一化下混为一谈。作者的技术路线是: 先由 Poisson-Boltzmann 方程的 Debye-Hückel 解得到 $\\rho_e$ 与电渗体力, 再对无量纲应力方程 $$\\frac{d\\hat\\tau}{dy}=-\\Pi-\\Omega\\kappa^2\\frac{\\cosh(\\kappa y)}{\\cosh\\kappa}-S_pHa_p+Ha_p^2\\hat u$$ 从对称轴 $\\hat\\tau(0)=0$ 积分, 并用 Casson 逆本构 $$\\frac{d\\hat u}{dy}=0\\ (|\\hat\\tau|\\le Y),\\qquad \\frac{d\\hat u}{dy}=\\mathrm{sgn}(\\hat\\tau)(\\sqrt{|\\hat\\tau|}-\\sqrt Y)^2\\ (|\\hat\\tau|\u003eY)$$ 确定屈服面位置 $y_f$、未屈服分数 $f_u$ 与速度剖面。对一般电磁强迫情形, 该耦合系统数值求解; 对纯压力驱动情形, 作者给出精确分段解, 以 $\\alpha=\\tau_y/(Gh)$ 和 $\\delta=1-\\alpha$ 为小参数得到近停止标度。\n弥散部分使用 Mei 的多尺度均匀化, 而不是直接对有限时间浓度场作矩近似。作者引入 $t_0=t$、$t_1=\\epsilon t$、$t_2=\\epsilon^2t$ 与 $x=x^*/L$, 把 $\\partial_t$ 展开为 $\\partial_{t_0}+\\epsilon\\partial_{t_1}+\\epsilon^2\\partial_{t_2}$, 并对 $$\\frac{\\partial C}{\\partial t}+\\epsilon uPe\\frac{\\partial C}{\\partial x}=\\epsilon^2\\frac{\\partial^2C}{\\partial x^2}+\\frac{\\partial^2C}{\\partial y^2}$$ 逐阶匹配。零阶横向扩散问题给出 $C_0$ 在横向弛豫后与 $y$ 无关; 一阶可解性条件消去长期项并产生 $A_1$ 的 Neumann 辅助问题 $$\\frac{d^2A_1}{dy^2}=u-\\langle u\\rangle,\\quad \\left.\\frac{dA_1}{dy}\\right|_{y=\\pm1}=0,\\quad \\langle A_1\\rangle=0.$$ 该问题的相容性由 $\\langle u-\\langle u\\rangle\\rangle=0$ 保证, 解在相差常数下唯一, 常数由 $\\langle A_1\\rangle=0$ 固定。作者在附录 C 中引入逆 Neumann 算子来处理该辅助问题, 在附录 A 中完成多尺度可解性计算。二阶与三阶展开进一步给出平均漂移、纵向扩散和横向浓度结构; 最终有效弥散由 $D_T^{\\mathrm C}=1+Pe_0^2\\langle(d\\hat A_1/dy)^2\\rangle$ 表示。这个框架的关键不是泛泛的“能量估计”, 而是把可解性条件、横向平均和逆 Neumann 算子结合, 将三维或二维对流-扩散问题严格降为截面上的一维辅助问题。\n作者还系统处理了归一化与奇异极限。电渗速度尺度 $u_{HS}=-\\epsilon\\zeta E_x/\\mu$ 在 $E_x=0$ 时消失, 因此不能在所有比较中使用同一 $Pe$; 他们引入独立参考速度 $U_0$ 与 $Pe_0=U_0h/D$, 并在无电渗压力驱动比较中引入 $U_{\\mathrm{ref}}$、$\\Pi_{\\mathrm{ref}}$、$Pe_{\\mathrm{ref}}$。当 $\\Omega\\ne0$ 时, 两套无量纲量满足 $Ha=Ha_p$、$\\beta_1=\\Pi/\\Omega$、$S=S_p/\\Omega$、$Pe=\\Omega Pe_0$、$u=\\hat u/\\Omega$, 因而对同一物理速度剖面有 $Pe\\,u=Pe_0\\hat u$ 与 $\\hat A_1=\\Omega A_1$, 弥散增强保持不变; 但作者强调这一归一化恒等式并不把 Casson 本构与线性本构的预测等同。线性有效黏度解用于基准和分离电磁响应, Casson 精确压力驱动解用于检验非线性屈服面与近停止标度。验证方面, 作者使用直接二维浓度计算、独立矩计算、数值收敛研究以及双分量 Casson 剪切测试来评估轴向剪切近似和屈服面预测; 对磁最优值还做了基于电解质的量纲评估, 以说明其作为理论强迫状态而非直接实验点的含义。作者明确指出, 完全发展单向流动、低 Re 与低 Rm、准静态 Ohm 律、Debye-Hückel 线性化、常数示踪扩散系数以及忽略侧电极附近流动和展向剪切对轴向屈服面的影响等, 都是该分析框架的假设; 双分量剪切测试只用于检验这些约化的敏感度, 并不构成完整三维闭包。\n4. 与之前工作的比较 与经典 Taylor-Aris 理论和 Mei 多尺度均匀化相比, 本文的推进在于把屈服应力流体的未屈服核心纳入有效弥散核。经典理论通常假定黏度给定或速度剖面已知, 弥散增强由 $\\langle(u-\\langle u\\rangle)^2\\rangle$ 一类截面速度偏离控制; 本文则先由 Casson 本构和电磁动量平衡确定屈服面与塞速度, 再把完整 $\\hat u(y)$ 代入 Mei 辅助问题。因此它不只是把 Newtonian 结果套用到非 Newtonian 速度场, 而是显式处理了 $|\\hat\\tau|=Y$ 的自由边界、塞区 $\\hat u-\\langle\\hat u\\rangle$ 的贡献以及压力驱动近停止时 $\\langle u^*\\rangle/U_P=\\delta^3/12+O(\\delta^4)$ 与弥散增强 $\\delta^8$ 标度。\n与作者明确引用的 Ng 关于压力辅助电渗 Casson 狭缝流的工作相比, 本文增加了壁面法向磁场与展向电场导致的 Lorentz 力、长时纵向弥散的多尺度均匀化、磁弥散极值随屈服参数移动的分析, 以及固定压力与固定平均流量两种约束的对照。Ng 的工作主要给出屈服层、未屈服层与压力辅助电渗速度; 本文则把这些速度结构进一步送入 $A_1$ 辅助问题和 $D_T^{\\mathrm C}$。与 Dash 等关于 Casson 屈服应力对通道和管中纵向溶质弥散影响的工作相比, 本文的差别在于同时引入电渗与电磁强迫, 并把“移动屈服面”与“磁最优 Hartmann 数”联系起来; 不过作者在提供文本中没有逐项展开与 Dash 等在所有参数区间上的定量比较, 因此不能从现有片段确认两者在全部流变参数下的优劣。与 Casson 电渗弥散、带壁面吸收的多尺度输运以及脉动流相间交换等研究相比, 本文限定于定常完全发展狭缝流, 不含壁面反应、吸收或脉动强迫, 但换来了对屈服面、磁屏遮和两种运行约束的闭合分析。\n与 Sen 和 Kairi 的电渗-EMHD Casson 通道研究相比, 本文没有考虑浮力、滑移相关表面电位和壁面反应, 而是聚焦压力辅助、屈服面和纵向弥散; 作者把后者列为背景工作, 但未在提供文本中给出完整的假设差异表, 故其精确适用边界从现有内容无法完全确认。与 Das 等、Sen 等和 Hossain 等关于 Newtonian 或 couple-stress 流体的电磁弥散研究相比, 本文的新意在于 Casson 屈服使速度剖面出现未屈服核心, 并使磁响应不再仅由黏性剪切层控制; 固定压力下最优 $Ha_p$ 从 $0.696$ 移到 $2.634$、$D_T^{\\mathrm C}$ 从 $1.454$ 降到 $1.015$, 而固定平均流量且 $Ha_p=1$ 时 $D_T^{\\mathrm C}$ 从 $1.000433$ 升到 $1.002311$, 这种趋势反转是本文相对 Newtonian 磁弥散讨论的主要推进之一。与 Boyko 和 Stone 关于剪切率相关流动中的 Taylor-Aris 弥散相比, 本文保持示踪剂扩散系数为常数, 流变依赖性完全通过 Casson 速度场与屈服面进入; 因此它不处理示踪剂扩散率随剪切变化的情形。\n在适用范围上, 本文把时间尺度推进到横向扩散已弛豫后的长时 Taylor-Aris 极限, 并用直接有限时间浓度计算检验该极限的可达性; 但有限时间瞬态本身不是本文的主要定理对象。其代价是几何与物理假设较强: 完全发展单向流、狭缝无限宽近似、低 Re 与低 Rm、准静态 Ohm 律、Debye-Hückel 线性化、常数示踪扩散, 以及把轴向剪切律作为忽略展向剪切和侧电极附近流动的近似。作者用双分量 Casson 剪切测试评估了这一近似的敏感度, 但未给出有限宽器件中侧壁电流回路和展向剪切的完整闭包; 磁最优值也仅被标定为理论强迫状态。总体而言, 相对既有工作, 本文放宽了对 Newtonian 黏度和固定速度剖面的依赖, 加入了屈服面自由边界与电磁强迫的耦合, 并把固定压力与固定流量两种微流体运行方式放在同一均匀化框架下比较; 其局限则是结论集中在完全发展狭缝极限和长时有效弥散, 尚不能直接外推到有限宽、强展向剪切或瞬态输运主导的装置。\n3. $A$-调和函数的局部逼近与超局部化猜想 Local Approximation of $A$-Harmonic Functions and the Super-Localization Conjecture\n作者: Moritz Hauck, Chupeng Ma, Daniel Peterseim\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-18\narXiv ID: 2610.25230v1\n摘要翻译: 我们考虑 $\\mathbb{R}^d$（$d\\ge2$）中具有固定尺寸比的同心立方体上、针对有界、对称、一致椭圆的扩散张量 $A$ 的 $A$-调和函数的局部能量逼近。我们对 Ma [Found.\\ Comput.\\ Math.\\ 26 (2026), 1699\u0026ndash;1758] 所猜想的 Kolmogorov $n$-宽度衰减率 $\\exp(-cn^{1/(d-1)})$ 给出一个简短证明，其中 $n$ 表示逼近维数。我们将该结果应用于数值均匀化，改进了多尺度谱广义有限元方法的局部逼近估计，并证明了 Hauck 和 Peterseim [Math.\\ Comp.\\ 92 (2023), 981\u0026ndash;1003] 针对内部笛卡尔片所猜想的局部超局部化速率。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.25230v1\n1. 研究对象和背景 本文研究粗糙系数椭圆方程所对应的 $A$-调和函数在同心立方体上的局部能量逼近问题. 设 $d\\ge 2$, $r\u003e0$, 取同心立方体 $$ \\omega:=(-r,r)^d,\\qquad \\omega^*:=(-3r,3r)^d, $$ 并设扩散张量 $A\\in L^\\infty(\\omega^*;\\mathbb{R}^{d\\times d}_{\\rm sym})$ 满足一致椭圆条件 $$ \\alpha |\\xi|^2\\le (A(x)\\xi)\\cdot\\xi\\le \\beta |\\xi|^2 \\qquad \\text{对几乎处处的 }x\\in\\omega^*\\text{ 与所有 }\\xi\\in\\mathbb{R}^d, $$ 其中 $0\u003c\\alpha\\le\\beta\u003c\\infty$. 对任意开集 $G\\subseteq\\omega^*$, 记 $$ a_G(u,v):=\\int_G (A(x)\\nabla u(x))\\cdot\\nabla v(x)\\,dx,\\qquad \\|u\\|_{a,G}:=a_G(u,u)^{1/2}, $$ 并定义 $A$-调和函数空间 $$ H(G):=\\left\\{u\\in H^1(G):\\ a_G(u,\\varphi)=0\\ \\forall \\varphi\\in H^1_0(G)\\right\\}. $$ 等价地, $u\\in H(G)$ 是散度型方程 $-\\nabla\\cdot(A\\nabla u)=0$ 在 $G$ 中的弱解. 本文关注的核心对象是限制算子 $$ P:H(\\omega^*)\\to H(\\omega),\\qquad Pu=u|_{\\omega}, $$ 及其在能量半范数下的 Kolmogorov $n$-width $$ d_n:=\\inf_{\\substack{V_n\\subset H(\\omega)\\\\ \\dim V_n=n}}\\ \\sup_{\\substack{u\\in H(\\omega^*)\\\\ \\|u\\|_{a,\\omega^*}=1}}\\ \\inf_{v\\in V_n}\\|u-v\\|_{a,\\omega}. $$ 这里 $n$ 是局部逼近空间的维数, $d_n$ 刻画了用 $\\omega$ 上的 $n$ 维空间去逼近由更大区域 $\\omega^*$ 上的 $A$-调和函数限制到 $\\omega$ 所得到函数的最优能量误差. 由于 $v=0$ 始终 admissible 且限制不增加能量, 总有 $d_n\\le 1$; 真正的问题是 $d_n$ 随 $n$ 如何衰减, 以及衰减指数与空间维数 $d$、系数对比度 $\\beta/\\alpha$ 的关系.\n这个问题在数值均匀化中有直接背景. 多尺度谱广义有限元方法 (MS-GFEM) 由 Babuška 和 Lipton 提出, 其局部逼近空间正是通过上述限制算子的 Kolmogorov $n$-width 与广义特征值问题来刻画. 若局部空间使用 $n$ 个基函数, 则局部逼近误差就是本文的 $d_n$. 因此 $d_n$ 的衰减率直接决定 MS-GFEM 局部基函数的效率. 类似地, Grasedyck-Greff-Sauter 的 AL 基也依赖 $A$-调和函数的局部逼近; 局部正交分解 (LOD) 通过截断指数衰减的修正来构造算子适应基函数, 而子空间分解方法用一致压缩的局部迭代解释这种衰减. 另一方面, 局部逼近估计还可以反过来用于设计具有局部化响应的源项: 若一个归一化粗源在所有 $A$-调和函数上的配对都很小, 则其全局椭圆响应与 patch 局部响应之差也小. Hauck 和 Peterseim 在超局部化正交分解 (SLOD) 中正是利用这一机制优化粗源, 并猜想局部化误差随过采样层数 $\\ell$ 呈超指数衰减.\n已有理论中, Babuška 和 Lipton 对一般一致椭圆 $A$ 证明了形如 $\\exp(-n^{1/(d+1)-\\epsilon})$ 的 $n$-width 衰减率, 对任意 $\\epsilon\u003e0$. Ma 在统一 MS-GFEM 框架中把指数改进到 $1/d$, 并进一步猜想最优指数应为 $1/(d-1)$. 对 Laplacian, Mohr 证明了与指数 $1/(d-1)$ 相对应的局部 SLOD 衰减估计. 对一般有界、对称、一致椭圆扩散张量, 近期也有证明出现. 本文试图补上的空白正是: 对一般 $A$ 给出一个简短、自包含的证明, 证实 Ma 猜想的 $\\exp(-c n^{1/(d-1)})$ 衰减率, 并给出显式常数与改进的系数对比度依赖; 同时把该局部逼近结果应用于 MS-GFEM 与 SLOD, 证明 Hauck-Peterseim 关于内部 Cartesian patch 的局部超局部化率猜想.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要严格结果是定理 1 与推论 2. 定理 1 确认了 Ma 猜想的 Kolmogorov $n$-width 衰减率. 设 $d\\ge 2$, $r\u003e0$, $\\omega=(-r,r)^d$, $\\omega^*=(-3r,3r)^d$, $A$ 满足上述一致椭圆条件. 对每个满足 $$ n+1\\ge 2(3^d-1) $$ 的 $n\\in\\mathbb{N}$, 定义 $$ d_n:=\\inf_{\\substack{V_n\\subset H(\\omega)\\\\ \\dim V_n=n}}\\ \\sup_{\\substack{u\\in H(\\omega^*)\\\\ \\|u\\|_{a,\\omega^*}=1}}\\ \\inf_{v\\in V_n}\\|u-v\\|_{a,\\omega}. $$ 则 $$ d_n\\le \\exp\\left(-c\\sqrt{\\frac{\\alpha}{\\beta}}\\,(n+1)^{1/(d-1)}\\right), \\qquad c:=\\frac{1}{128(1+\\pi^{-1})}. $$ 这里常数 $c$ 是显式的, 且指数中的系数对比度依赖为 $\\sqrt{\\alpha/\\beta}$, 而不是 $\\alpha/\\beta$ 或其他更差的依赖. 定理还指出 $d_n\\le 1$ 是平凡的, 上面的估计在 $n$ 足够大时才有实质意义. 证明针对内部子区域; 若 $\\omega^*$ 与区域 $\\Omega$ 的边界相交, 则把 $\\omega$ 与 $\\omega^*$ 替换为 $\\omega\\cap\\Omega$ 与 $\\omega^*\\cap\\Omega$, 并在 $H$ 的定义中对 $\\partial\\Omega\\cap\\omega^*$ 施加齐次 Dirichlet 条件, 证明可作与 Ma 等人类似的微小修改后沿用. 通过平移、缩放和有限覆盖, 该结果可推广到紧嵌套的有界 Lipschitz 区域, 但常数会额外依赖几何.\n该定理的直接应用是 MS-GFEM 的局部逼近估计. 在 Babuška-Lipton 的原始 MS-GFEM 中, 局部空间由 $\\omega^*$ 上的 $A$-调和函数限制到 $\\omega$ 构造, 其 $n$ 维最优误差正是 $d_n$. 因此定理 1 给出局部误差上界 $\\exp(-c\\sqrt{\\alpha/\\beta}(n+1)^{1/(d-1)})$, 对同心立方体成立; 对紧嵌套 Lipschitz 区域由覆盖论证得到相同率, 常数依赖几何. 这改进了 Ma 先前建立的指数 $1/d$. 对较新版本的 MS-GFEM, 局部空间还要乘以与 $\\omega$ 相关的单位分解函数 $\\chi$, 相应算子为 $$ P_\\chi:H(\\omega^*)\\to H^1_0(\\omega),\\qquad P_\\chi u:=\\chi\\,(u|_{\\omega}), $$ 其中 $H(\\omega^*)$ 配以能量范数并识别相差常数的函数. 其 $n$-width 记为 $d_n(P_\\chi)$. 文中指出可 straightforwardly 证明 $d_n(P_\\chi)$ 被 $d_n$ 的常数倍控制, 常数只依赖 $\\chi$, 因而这些方法获得同一衰减率.\n第二个主要结果是推论 2, 即 SLOD 的超指数局部化. 取 Cartesian 网格, 网格尺寸 $H\u003e0$, 过采样参数 $\\ell\\in\\mathbb{N}$ 表示一个单元外加周围 $\\ell$ 层单元. 将 patch 中心置于原点, 有 $$ \\omega^*=\\left(-\\frac{2\\ell+1}{2}H,\\frac{2\\ell+1}{2}H\\right)^d. $$ 记 $T_H(\\omega^*)$ 为 $\\omega^*$ 分成 $(2\\ell+1)^d$ 个边长 $H$ 的开 Cartesian 立方体, $Q^0_H(\\omega^*)$ 为相应的分片常数函数空间. 定义 $$ \\sigma_{H,\\ell}:=\\inf_{\\substack{g\\in Q^0_H(\\omega^*)\\\\ \\|g\\|_{L^2(\\omega^*)}=1}}\\ \\sup_{\\substack{v\\in H(\\omega^*)\\\\ \\|v\\|_{H^1(\\omega^*)}=1}}\\ (g,v)_{L^2(\\omega^*)}, $$ 其中 $\\|v\\|^2_{H^1(\\omega^*)}:=\\|v\\|^2_{L^2(\\omega^*)}+\\|\\nabla v\\|^2_{L^2(\\omega^*)}$. 该量控制 SLOD 的局部化误差. 推论 2 断言: 对每个 $\\ell\\ge 1$, $$ \\sigma_{H,\\ell}\\le \\frac{(\\ell+2)H}{\\pi}\\sqrt{\\frac{\\beta}{\\alpha}}\\,\\exp\\left(-\\frac{c}{8}\\sqrt{\\frac{\\alpha}{\\beta}}\\,\\ell^{d/(d-1)}\\right), $$ 其中 $c$ 为定理 1 中的常数. 因而局部化误差随 $\\ell^{d/(d-1)}$ 超指数衰减, 这证明了 Hauck 和 Peterseim 对内部 Cartesian patch 的局部超局部化率猜想. 作者还指出, 超局部化广义有限元方法的局部化误差贡献同样由 $\\sigma_{H,\\ell}$ 控制; 在相应定理假设下, 推论 2 给出该贡献随过采样参数 $\\ell$ 的超指数衰减. 需要强调的是, 这里的超指数是指 $\\exp(-c\\ell^{d/(d-1)})$ 对 $\\ell$ 的依赖, 而不是简单的 $\\exp(-c\\ell)$; 这是本文证明的局部 SLOD 率.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 证明的核心技术障碍在于: 由 Babuška-Lipton 的谱刻画, $d_n$ 等于限制算子 $P:H(\\omega^*)\\to H(\\omega)$ 的奇异值序列中第 $n+1$ 个奇异值, 即 $$ d_n=\\sqrt{\\lambda_{n+1}}, $$ 其中 $\\lambda_1\\ge\\lambda_2\\ge\\cdots\\ge 0$ 是 $P^*P$ 在能量内积下的特征值, 相应特征函数 $u_i\\in H(\\omega^*)$ 满足 $$ a_{\\omega}(u_i,v)=\\lambda_i a_{\\omega^*}(u_i,v)\\qquad \\forall v\\in H(\\omega^*). $$ 因此要证明 $d_n$ 的指数衰减, 必须控制第 $n+1$ 个特征值. 已有证明往往依赖边界谱估计或较复杂的局部化迭代; 本文的真正创新是采用 Li-Wang 的能量行列式思想, 把问题转化为固定有限维空间 $V=\\operatorname{span}\\{u_1,\\dots,u_{n+1}\\}$ 上不同区域能量矩阵的行列式比较, 并只使用局部 Poincaré 不等式与 Hadamard 不等式. 这避免了边界谱估计, 给出显式常数, 并把指数中的系数对比度依赖改进为 $\\sqrt{\\alpha/\\beta}$.\n具体框架如下. 首先把 $\\omega^*$ 与 $\\omega$ 之间的环带分成 $K$ 层. 取 $$ K:=\\left\\lfloor\\left(\\frac{n+1}{2(3^d-1)}\\right)^{1/(d-1)}\\right\\rfloor,\\qquad h:=\\frac{2r}{K}, $$ 并定义 $$ \\omega_k:=(-r-kh,r+kh)^d,\\qquad k=0,\\dots,K, $$ 于是 $\\omega_0=\\omega$, $\\omega_K=\\omega^*$. 将 $\\omega^*$ 分成边长 $h$ 的开 Cartesian 立方体, 记第 $k$ 层为 $S_k:=\\omega_k\\setminus\\omega_{k-1}$, 其包含的单元数为 $$ m_k=(K+2k)^d-(K+2k-2)^d,\\qquad \\sum_{k=1}^K m_k=(3^d-1)K^d. $$ 这是关键的维数计数: 每层新增 $m_k$ 个单元, 所有层的单元总数为 $(3^d-1)K^d$, 而 $K$ 的选择保证该总数约为 $(n+1)/2$.\n其次, 对每层定义子空间 $$ W_k:=\\left\\{v\\in V:\\ \\int_T v\\,dx=0\\quad \\forall T\\in T_h(S_k)\\right\\}, $$ 即 $V$ 中在每个第 $k$ 层单元上均值为零的函数. 这是 $m_k$ 个线性条件, 故 $$ \\dim W_k\\ge (n+1-m_k)_+. $$ 对 $v\\in W_k$, 在每个小单元上用均值为零的 Poincaré 不等式, 常数在 $(0,1)^d$ 上为 $\\pi^{-1}$, 缩放并求和得到 $$ \\|v\\|_{L^2(S_k)}\\le \\pi^{-1}h\\|\\nabla v\\|_{L^2(S_k)}. $$ 再取 cutoff 函数 $$ \\eta_k(x):=\\min\\left\\{1,\\max\\left\\{0,\\frac{r+kh-\\|x\\|_\\infty}{h}\\right\\}\\right\\}, $$ 它满足在 $\\omega_{k-1}$ 上为 $1$, 在 $\\omega_k$ 外为 $0$, 且 $|\\nabla\\eta_k|\\le h^{-1}$ a.e. 因 $\\eta_k v\\in H^1_0(\\omega^*)$, 用弱调和性 $a_{\\omega^*}(v,\\eta_k v)=0$ 可把 $\\omega_{k-1}$ 上的能量与层 $S_k$ 上的能量联系起来: $$ \\|v\\|^2_{a,\\omega_{k-1}} \\le \\int_{\\omega^*}\\eta_k(A\\nabla v)\\cdot\\nabla v\\,dx = -\\int_{S_k} v(A\\nabla v)\\cdot\\nabla\\eta_k\\,dx \\le \\frac{\\sqrt{\\beta}}{h}\\|v\\|_{L^2(S_k)}\\|v\\|_{a,S_k}. $$ 结合 Poincaré 不等式与 $h$ 的定义, 得到层压缩估计 $$ \\|v\\|^2_{a,\\omega_{k-1}}\\le \\theta\\|v\\|^2_{a,\\omega_k}, \\qquad \\theta:=\\frac{\\pi^{-1}\\sqrt{\\beta/\\alpha}}{1+\\pi^{-1}\\sqrt{\\beta/\\alpha}}\u003c1. $$ 这一步是证明的几何与 PDE 核心: 它说明在每层上均值为零的函数, 其内层能量被外层能量的固定比例 $\\theta$ 控制.\n第三步是 Li-Wang 的能量行列式比较. 对固定的 $V$, 定义 $(n+1)\\times(n+1)$ 矩阵 $$ G_k:=\\left(a_{\\omega_k}(u_i,u_j)\\right)_{i,j=1}^{n+1},\\qquad k=0,\\dots,K. $$ 由特征方程, 端点满足 $$ G_0=\\operatorname{diag}(\\lambda_1,\\dots,\\lambda_{n+1}),\\qquad G_K=I_{n+1}. $$ 固定一层 $k$, 取 $V$ 关于 $a_{\\omega_k}$ 的标准正交基 $\\{v_1,\\dots,v_{n+1}\\}$, 并使其前 $\\dim W_k$ 个向量张成 $W_k$. 令 $Q_k$ 为相应基变换矩阵, 则 $$ Q_k^\\top G_k Q_k=I_{n+1},\\qquad B_k:=Q_k^\\top G_{k-1}Q_k=\\left(a_{\\omega_{k-1}}(v_i,v_j)\\right)_{i,j=1}^{n+1}. $$ 由层压缩估计, $B_k$ 的前 $\\dim W_k$ 个对角元不超过 $\\theta$; 其余对角元由能量在限制下的单调性不超过 $1$. 于是, 利用行列式乘性与正定矩阵的 Hadamard 不等式, $$ \\frac{\\det G_{k-1}}{\\det G_k}=\\det B_k\\le \\prod_{i=1}^{n+1}(B_k)_{ii}\\le \\theta^{\\dim W_k}\\le \\theta^{(n+1-m_k)_+}. $$ 将所有层相乘, 并用 $\\sum m_k=(3^d-1)K^d$, 得到 $$ \\prod_{i=1}^{n+1}\\lambda_i=\\frac{\\det G_0}{\\det G_K}\\le \\theta^{\\sum_{k=1}^K(n+1-m_k)_+}\\le \\theta^{(n+1)K-(3^d-1)K^d}. $$ 由 $K$ 的选择, $(3^d-1)K^{d-1}\\le (n+1)/2$, 故指数至少为 $(n+1)K/2$. 再由特征值排序 $\\lambda_{n+1}^{n+1}\\le \\prod_{i=1}^{n+1}\\lambda_i$, 得到 $d_n=\\sqrt{\\lambda_{n+1}}\\le \\theta^{K/4}$. 最后, 由 $$ -\\log\\theta=\\log\\left(1+\\pi\\sqrt{\\frac{\\alpha}{\\beta}}\\right) \\ge \\frac{1}{1+\\pi^{-1}}\\sqrt{\\frac{\\alpha}{\\beta}} $$ 和 $K$ 的下界, 得到 $$ d_n\\le \\exp\\left(-\\frac{1}{8(1+\\pi^{-1})}\\sqrt{\\frac{\\alpha}{\\beta}}\\left(\\frac{n+1}{2(3^d-1)}\\right)^{1/(d-1)}\\right), $$ 再用 $(2(3^d-1))^{1/(d-1)}\\le 16$ 即得定理 1 的常数.\nSLOD 部分的技术路线是把局部 $n$-width 估计转化为源项 $\\sigma_{H,\\ell}$ 的估计. 对 $\\ell\\ge 7$, 取 $m=\\lfloor(\\ell-1)/3\\rfloor$, 在内部子立方体 $\\omega$ 上取最优 $n$ 维空间 $V_n\\subset H(\\omega)$, 其中 $n=(2m+1)^d-2$, 使分片常数源空间 $Q^0_H(\\omega)$ 的维数为 $n+2$. 由于对 $g\\in Q^0_H(\\omega)$ 要求它与 $V_n+\\operatorname{span}\\{1\\}$ 在 $L^2(\\omega)$ 上正交, 至多 $n+1$ 个线性条件, 而未知元有 $n+2$ 个, 故存在非零的 $g$ 满足正交条件, 并归一化为 $\\|g\\|_{L^2(\\omega^*)}=1$. 对任意 $v\\in H(\\omega^*)$ 与 $q\\in V_n$, 利用 $g$ 在 $\\omega$ 外为零、与 $q$ 及常数正交、Cauchy-Schwarz 不等式和 Poincaré 不等式, 得 $$ (g,v)_{L^2(\\omega^*)}\\le \\frac{(\\ell+2)H}{\\pi\\sqrt{\\alpha}}\\|v-q\\|_{a,\\omega}. $$ 对 $q\\in V_n$ 取下确界, 用 $V_n$ 的最优性与定理 1, 得到 $\\sigma_{H,\\ell}$ 的界. 对 $1\\le\\ell\\le 6$ 的小过采样参数, 作者改用两个相邻单元上的正负常数源, 通过 Poincaré 不等式和初等估计单独处理. 这体现了证明的完整性: 大 $\\ell$ 用渐近率, 小 $\\ell$ 用显式粗糙界.\n总体而言, 本文的方法不是泛泛的能量估计加紧性, 而是通过: (i) 用谱刻画把 $n$-width 转化为特征值; (ii) 用同心层的局部 Poincaré 与 cutoff 得到几何压缩; (iii) 用固定有限维空间上的能量矩阵行列式与 Hadamard 不等式把逐层压缩转化为特征值乘积的指数界; (iv) 用维数计数把指数与 $n$ 精确联系起来; (v) 再把该 $n$-width 界用于构造与最优局部空间正交的源, 从而控制 SLOD 的局部化误差. 这些步骤共同给出了显式常数与 $\\sqrt{\\alpha/\\beta}$ 的对比度依赖.\n4. 与之前工作的比较 与 Babuška 和 Lipton 的原始 MS-GFEM 理论相比, 本文首先把一般一致椭圆 $A$ 下的 $n$-width 衰减指数从他们证明的 $1/(d+1)-\\epsilon$ 推进到 $1/(d-1)$. 原工作建立了局部逼近空间与 Kolmogorov $n$-width 的谱刻画, 并证明近指数收敛; 但其率较弱. 本文不仅给出更优指数, 而且证明是简短的, 常数显式. 代价是定理 1 的陈述针对同心立方体, 需要 $n+1\\ge 2(3^d-1)$ 的门槛; 对更一般的区域需通过有限覆盖, 常数依赖几何. 作者没有讨论该率的最优性, 也没有给出匹配下界, 因此这里的“最优指数”应理解为证实 Ma 的猜想率, 而非证明在所有可能逼近空间中的绝对最优性.\n与 Ma 的统一框架相比, 本文的直接推进是把指数从 $1/d$ 改进到 $1/(d-1)$, 这正是 Ma 明确提出的猜想. Ma 的工作统一处理 MS-GFEM 与多尺度 PDE 的低秩逼近, 并给出 $\\exp(-c n^{1/d})$ 型估计; 本文则给出一个 alternative short proof, 不依赖边界谱估计, 而依赖 Li-Wang 的能量行列式思想、局部 Poincaré 不等式和 Hadamard 不等式. 因此两者在证明技术上差别明显: Ma 的框架更一般、更系统, 本文更专注于局部 $n$-width 的核心机制. 在应用层面, 本文指出原始 MS-GFEM 的局部误差就是 $d_n$, 而带单位分解的变体 $P_\\chi$ 的 $n$-width 至多被 $d_n$ 的常数倍控制, 故同样获得 $1/(d-1)$ 率; 这一比较在文中是显式给出的. 但作者未展开 $P_\\chi$ 常数对 $\\chi$ 的精确依赖, 从提供内容中只能确认“常数只依赖 $\\chi$”.\n与 Mohr 的工作相比, 本文的关键差异是一般有界、对称、一致椭圆扩散张量 $A$, 而 Mohr 的结果针对 Laplacian. 对 Laplacian 可利用更多的显式调和函数结构与谱信息; 本文的层压缩与行列式论证对粗糙系数仍成立, 因此适用范围更广. 与近期 Jin 对一般可测系数给出的局部逼近宽度证明相比, 本文在摘要与引言中明确承认 [6] 已给出一般 $A$ 的证明, 并说明本文给出的是 short alternative proof, 同样使用 Li-Wang 的能量行列式思想. 两文的详细常数、假设门槛和证明长度在提供内容中未展开比较, 因此无法确认本文在常数或对比度依赖上是否严格优于 [6]; 可以确认的是, 本文强调其证明只依赖局部 Poincaré 与 Hadamard 不等式, 给出显式 numerical constant, 并改进 exponent 中的 contrast 依赖. 这是一个方法性与定量性的推进, 但不应表述为首次证明一般 $A$ 的猜想.\n与 Hauck 和 Peterseim 的 SLOD 工作相比, 本文证明了他们关于内部 Cartesian patch 的局部超局部化率猜想. 原工作通过优化粗源并利用与 $A$-调和函数的配对来控制全局响应与 patch 局部响应之差, 猜想误差随过采样参数 $\\ell$ 呈超指数衰减; 本文给出 $$ \\sigma_{H,\\ell}\\le \\frac{(\\ell+2)H}{\\pi}\\sqrt{\\frac{\\beta}{\\alpha}}\\exp\\left(-\\frac{c}{8}\\sqrt{\\frac{\\alpha}{\\beta}}\\,\\ell^{d/(d-1)}\\right), $$ 从而严格证实 $\\exp(-c\\ell^{d/(d-1)})$ 型衰减. 这里的推进是明确的: 把猜想的率变成定理, 并给出显式常数与对比度依赖. 代价是限制在 Cartesian 网格与内部 patch; 作者在文中说更一般的设置可以考虑, 但未证明. 对 $1\\le\\ell\\le 6$ 的小过采样参数, 证明使用粗糙的显式界, 不是渐近率; 因此该推论的实际意义主要在 $\\ell$ 较大时.\n与 Freese-Hauck-Keil-Peterseim 的超局部化广义有限元方法相比, 本文的贡献是把该方法的局部化误差贡献与 $\\sigma_{H,\\ell}$ 联系起来, 并代入推论 2 得到超指数衰减. 文中引用 [2, Theorem 5.3] 说明局部化贡献由 $\\sigma_{H,\\ell}$ 控制, 因此在该定理假设下可直接得到结论. 这意味着本文不是重新分析整个 SLOD-GFEM 的全局误差, 而是补上了其局部化误差衰减率这一关键环节. 与 LOD 和子空间分解类方法 [8,7,12] 相比, 那些工作通过算子适应基函数、指数衰减修正或一致压缩迭代给出局部化估计, 并可导出 $n$-width 界; 本文则直接从 $A$-调和函数的局部 $n$-width 出发, 用谱与行列式论证得到 $1/(d-1)$ 指数, 技术路线不同. 文中没有显式比较本文常数与 LOD 类估计的常数大小, 也没有讨论在更一般网格、边界 patch 或非对称系数下的扩展.\n最后需要区分严格结论与未讨论内容. 本文严格证明的是: 同心立方体上定理 1 的 $n$-width 界, 边界情形可经 Dirichlet 修改类似处理; 紧嵌套 Lipschitz 区域经有限覆盖得到同率但几何相关常数; Cartesian 内部 patch 上推论 2 的 $\\sigma_{H,\\ell}$ 界, 以及 MS-GFEM/SLOD 的相应局部误差率. 文中没有给出下界、没有证明指数 $1/(d-1)$ 的最优性, 没有数值实验, 也没有证明任意非 Cartesian patch 或边界 patch 的 SLOD 超局部化率. 这些应视为该文未覆盖或需未来工作处理的范围, 不能从提供内容中推断为已解决.\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 计算非均匀介电环境中电子排斥积分的边界积分方法 A boundary integral method for computing electron repulsion integrals in heterogeneous dielectric environments\n作者: Xuanzhao Gao, Malte Rösner, Jason Kaye, Alex Barnett\n类别: math.NA, cond-mat.mtrl-sci\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.26745v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.26745v1\n摘要翻译 中文标题: 计算非均匀介电环境中电子排斥积分的边界积分方法\n摘要翻译: 我们提出一种边界积分方法，用于在分段常数介电常数的介电环境中计算电子排斥积分 (ERIs)。该方法通过引入结构化介电环境（例如现代二维材料器件中存在的基底和/或封装层）的屏蔽，推广了传统的裸库仑 ERIs。我们将问题表述为介电界面上诱导表面电荷的第二类边界积分方程，并在自适应细化面板上用 Nyström 方法对其进行离散。由每个光滑轨道源密度产生的入射势，在其源盒内或附近通过 Fourier 截断核方法计算，在较远处通过快速多极方法 (FMM) 加速的求积计算。线性系统由同样经 FMM 加速的 Krylov 迭代求解。我们关注长方体器件几何，并通过近接触面板求积在高纵横比下保持效率。我们进一步开发了一个分布式流水线，用于计算嵌入单一介电几何中的完整 ERI 张量，其中包含数千个轨道对。我们在 Si/SiO$_2$ 异质结上的有效三层石墨烯板上演示了该方法，重点关注由 $198$ 个 $p_z$ 型轨道表示的中央石墨烯层，并保留 $198^4$ 大小的 ERI 张量中 $2613^2$ 个不可忽略元素。该模型在 $1.3$ 百万个表面未知量上求解，相对误差为 $0.004\\%$，代价为 $22$ 节点小时。\n2. 基于 Whitney 形式的不可压缩磁流体动力学鲁棒有限元方法 A robust finite element method for incompressible magnetohydrodynamics using Whitney forms\n作者: Tianwei Yu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.26606v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.26606v1\n摘要翻译 中文标题: 基于 Whitney 形式的不可压缩磁流体动力学鲁棒有限元方法\n摘要翻译: 本文提出了一种用于不可压缩磁流体动力学系统的稳定化半离散有限元格式。该格式分别对流体速度和磁感应强度使用 Whitney $2$-形式和 $1$-形式。关键要素是一个磁旋度跳跃罚项，它使我们能够证明阶为 $O(h^{1/2})$ 的预渐近误差估计，其中常数依赖于解范数，但不显式依赖于流体黏度和磁扩散率。\n3. 含角区域上非齐次修正 Helmholtz 方程的闪电算法及其应用 Lightning Algorithm for Inhomogeneous Modified Helmholtz Equations on Cornered Domains and Their Applications\n作者: Desong Kong, Jie Shen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.26540v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.26540v1\n摘要翻译 中文标题: 含角区域上非齐次修正 Helmholtz 方程的闪电算法及其应用\n摘要翻译: 本文针对二维复杂区域中的非齐次修正 Helmholtz 方程发展了一种高效求解器，特别关注角点奇性的解析。我们将解表示为一个特解与修正 Helmholtz 方程的解之和。基于合适的区域嵌入方法，我们使用 Fourier 谱方法和/或 Legendre\u0026ndash;Fourier 谱方法计算该特解。为处理角点奇性，我们发展了一种闪电算法：采用第二类修正 Bessel 函数的展开，并结合渐缩的指数聚簇极点来逼近角点奇性，同时使用第一类修正 Bessel 函数的展开来逼近解的光滑部分。最后，我们通过求解一个最小二乘问题以满足边界条件来确定未知展开系数。数值实验表明，对于含角点奇性的修正 Helmholtz 方程可以实现根指数收敛。为进一步说明所提算法的适用性，该算法已成功应用于求解一些典型的线性与非线性抛物型方程。我们还首次尝试将闪电算法推广到三维修正 Helmholtz 方程。\n4. 混合 Dirichlet-Neumann 边界条件下奇异椭圆 PDE 的混合变分-配点 PINNs 中基于残差的自适应加密 Residual-Based Adaptive Refinement in Hybrid Variational-Collocation PINNs for Singular Elliptic PDEs with Mixed Dirichlet-Neumann Boundary Conditions\n作者: Somnath Giri, Muslim Malik, Rishikesh Yadav\n类别: math.NA, cs.LG, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.26458v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.26458v1\n摘要翻译 中文标题: 混合 Dirichlet-Neumann 边界条件下奇异椭圆 PDE 的混合变分-配点 PINNs 中基于残差的自适应加密\n摘要翻译: 在非凸或含裂纹区域上、具有混合 Dirichlet-Neumann 条件的二阶椭圆 PDE 问题的解通常不属于 $H^2(Ω)$。在凹角、裂纹尖端以及边界条件类型发生改变的点附近，梯度按 $r^{λ-1}$ 增长，其中 $λ\u003c1$。我们研究混合变分-配点 PINNs 中基于残差的自适应加密。一个多尺度 Fourier 特征网络在复合损失上训练。该损失结合了以 Legendre 气泡函数检验的变分残差、强形式配点项以及针对 Dirichlet 和 Neumann 数据的惩罚项。变分项仅需要网络的一阶导数，而配点项需要二阶导数，并提供一个可在任意点求值的残差。在每个训练阶段之后，由该残差选出的候选点被加入配点集。该方法在五个二维基准问题上进行测试，即 Mode~III 裂纹、具有四个不等幅凹角的十字形区域、具有四个局部峰的反应-扩散问题、带边界层的单调半线性问题以及 Motz 问题。在相同的配点与迭代预算下，与均匀插点相比，基于残差的加密使相对 $L^2$ 误差最多降低至原来的 $1/32$，使相对 $L^\\infty$ 误差最多降低至原来的 $1/38$，并使相对 $H^1$ 半范数误差最多降低至原来的 $1/15$。\n5. 波动方程的贝叶斯几何反演：适定性与多尺度多模态后验近似 Bayesian Geometric Inversion for Wave Equation: Well-Posedness and Multiscale Multimodal Posterior Approximation\n作者: Xiong-Bin Yan, Ming-Jia Pei, Guang-Hui Zheng, Ting Wei\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.26151v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.26151v1\n摘要翻译 中文标题: 波动方程的贝叶斯几何反演：适定性与多尺度多模态后验近似\n摘要翻译: 几何全波形反演旨在从含噪波形观测中恢复尖锐的地下界面。我们在贝叶斯水平集框架内表述该问题，其中未知界面表示为赋予高斯先验的潜函数的零水平集。尽管水平集到介质参数的映射是不连续的，我们证明水平集到观测的映射关于先验几乎必然连续，从而保证后验测度是适定的，并且在 Hellinger 度量下关于数据局部 Lipschitz 连续。为在反问题的严重非线性及由此产生的多模态性下实现可处理的后验计算，我们提出一种多尺度多模态 Laplace 近似。频率延拓策略从低频到高频逐步引入波形数据，在相继尺度上识别并传播多个候选模态。在最终频率层级，围绕保留的模态构造局部高斯近似，并将其组合为高斯混合，其权重通过最小二乘拟合未归一化后验密度确定。数值实验表明，该方法能够准确重建异常界面，同时有效捕捉后验多模态性以及与不同合理几何形态相关的局部不确定性。\n6. 逆散射问题的迭代截断SVD Iterative Truncated SVD for Inverse Scattering Problems\n作者: Zhinan Han, Ying Liang, Hongkai Zhao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.25726v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.25726v1\n摘要翻译 中文标题: 逆散射问题的迭代截断SVD\n摘要翻译: 我们提出一种基于非线性最小二乘形式的 Newton 法的迭代截断 SVD（iTSVD）算法，用于逆散射问题。其关键思想是估计相应线性化算子（或离散化后的 Jacobian 矩阵）的有效秩，该有效秩定义了相关正演算子的信号空间的维数。一旦估计出有效秩，便可在信号空间中基于快速随机 SVD（RSVD）高效计算截断 SVD（TSVD）重构——仅需要矩阵-向量乘法，而该乘法可通过求解多个同类型正演与伴随问题以无矩阵形式实现。我们的分析和数值实验表明，iTSVD 能通过减少迭代次数显著提高计算效率，并通过基于物理/信息的反演增强稳定性。此外，有效秩估计自然基于模型和数据。我们给出了大量实验，包括远场或近场、有限孔径以及无噪声或有噪声的随机测量数据。\n7. 基于微观-宏观分解的高场 Vlasov-Poisson-Fokker-Planck 系统的降阶模型 A Reduced-Order Model for the High-Field Vlasov-Poisson-Fokker-Planck System Based on a Micro-Macro Decomposition\n作者: Shiheng Zhang, Jingwei Hu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-18\narXiv ID: 2610.25569v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.25569v1\n摘要翻译 中文标题: 基于微观-宏观分解的高场 Vlasov-Poisson-Fokker-Planck 系统的降阶模型\n摘要翻译: 我们为高场 Vlasov-Poisson-Fokker-Planck 系统建立了一个基于投影的降阶模型。基于微观-宏观分解，所提出的 Micro-ROM 仅对微观涨落应用本征正交分解（POD）-Galerkin 降阶，同时在完整空间网格上保留宏观密度。依赖于场的 Maxwellian 和碰撞算子引入了额外的计算成本，这些成本无法仅通过 Galerkin 投影消除。为消除在线模拟中对速度网格分辨率的依赖，我们使用局部电场函数的预计算 Chebyshev 展开来近似投影后的 Maxwellian 项，并利用碰撞算子的可分离离散化，由预计算块精确组装降阶碰撞矩阵。采用一阶隐式-显式格式演化降阶系数和密度。所得方法保持离散质量守恒，并在 $\\varepsilon\\rightarrow 0$ 时形式上恢复极限高场模型的离散化。其每个时间步的在线计算成本与速度网格分辨率无关。数值实验展示了所提出方法在一系列参数（包括高场区域）下的精度和效率。\n8. 用于不可压缩流中最优混合的自监督上下文算子学习 Self-Supervised In-Context Operator Learning for Optimal Mixing in Incompressible Flows\n作者: Weiwei Hu, Rongjie Lai, Ziqian Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-18\narXiv ID: 2610.25556v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.25556v1\n摘要翻译 中文标题: 用于不可压缩流中最优混合的自监督上下文算子学习\n摘要翻译: 我们开发了一个用于不可压缩流中最优混合的自监督算子学习框架，旨在克服经典 PDE 约束最优控制的计算局限性。目标是在最小化动能的同时，设计能够高效均匀化被动标量的速度场，并通过 $\\dot H^{-1}(Ω)$ 混合范数进行量化。经典方法使用迭代前向-伴随过程为每个初始条件求解一个单独的最优控制问题，导致巨大的计算成本和有限的可扩展性。相比之下，我们提出直接学习将初始标量场映射到最优混合控制的解算子。所提出的自监督方法不需要访问监督标签，从而显著降低监督算子学习方法的数据生成负担。我们的框架将输运方程的拉格朗日重构与基于 transformer 的神经算子架构相结合。输运动力学通过特征 ODEs 表示，使得基于粒子的 Monte Carlo 优化成为可能；同时，学习到的速度场在无散度谱基中参数化，精确施加不可压缩性和无穿透条件。在二维和三维空间中对初始条件参数族进行的数值实验表明，该方法对未见情形具有稳健泛化能力，并且混合范数近似指数衰减。学习到的控制也一致地迁移到独立的欧拉有限体积模拟中，验证了学习算子的物理保真度。据我们所知，本文提供了首个用于最优混合的自监督算子学习框架，并且属于完全三维不可压缩流中最优混合的首批数据驱动方法之一。\n9. 熵稳定的单元局部连续-间断残差修正分部求和离散 Entropy Stable Element-Local Continuous-Discontinuous Residual Correction Summation-By-Parts Discretization\n作者: Zelalem Arega Worku, David C. Del Rey Fernandez\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-18\narXiv ID: 2610.25388v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.25388v1\n摘要翻译 中文标题: 熵稳定的单元局部连续-间断残差修正分部求和离散\n摘要翻译: 残差修正为在高阶双曲偏微分方程离散中强制熵稳定性提供了一种高效替代两点体积通量差分的方案。我们发展了一种单元局部残差修正分部求和（SBP）方法，该方法在协调网格上耦合连续-SBP（C-SBP）与间断-SBP（D-SBP）。该构造在适当之处保留无需同时逼近项（SATs）的连续组装，将 SATs 限制于选定的间断面片，并允许耦合随时间变化，作为自适应离散的基础。标量熵亏损和作用于守恒变量的基于图的分布向量完全由单元局部数据计算，无需相邻状态、辅助梯度或修正 SATs。同一修正适用于每一种面片划分，包括纯 C-SBP 与 D-SBP 极限。对于固定划分，我们建立了每个单元残差的守恒与熵恒等式、精确全局守恒、至多相差一个显式正则化亏损的熵稳定性，以及设计阶一致性。划分的变化由质量加权正交投影处理，该投影保持守恒矩和凸容许集，不增加熵，并且不放大分片范数中的误差。一至三维数值实验表明，在重复重划分下，该混合方法保持其 D-SBP 端点的光滑解精度。非线性测试表明其鲁棒性与 Hadamard 形式的两点通量离散相当，尤其是与人工耗散耦合时。\n10. 量子化学模拟中的空间离散化误差 Spatial Discretization Error for Quantum Chemistry Simulation\n作者: Di Fang, Jiaqi Zhang\n类别: quant-ph, math-ph, math.NA\n发布日期: 2026-10-18\narXiv ID: 2610.25260v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.25260v1\n摘要翻译 中文标题: 量子化学模拟中的空间离散化误差\n摘要翻译: 非相对论量子化学基于连续、无界空间中的 Schrödinger 方程。经典计算机与量子计算机上的计算方法通常截断空间区域并引入有限维基，从而将连续问题约化为有限维问题。因此存在一个基本问题：这种近似在多大程度上捕捉了原始的连续问题？在本工作中，我们针对无界 Hamiltonians 的量子模拟，建立了一个用于估计空间离散化误差的一般 Sobolev-Galerkin 框架。我们将该框架应用于多体 Coulomb 系统，并为波函数动力学与基态能量建立了周期化误差估计和 Galerkin 误差估计。对于动力学，精确波函数的有限基投影误差并不能刻画完整的基离散化误差：一个额外的动力学投影误差以不同速率进入我们的界，我们引入内积论证来控制这一贡献。有趣的是，波函数动力学与基态能量的空间收敛速率在定量上不同。对于基态能量，我们在固定元胞尺寸下建立了一个尖锐的 $M^{-1}$ 收敛速率，其中 $M$ 是单粒子基函数的数量。我们还证明，对于相应的一般 $H^2$ 初值的实时波函数误差，一致的 $M^{-1}$ 收敛速率是不可能的。该分析依赖于具有对系统规模的显式多项式依赖的多体 Sobolev 估计。将这些估计与最先进的量子算法相结合，据我们所知，我们得到了分子与电子动力学量子模拟的首个严格端到端复杂度界，且所有空间误差均被显式控制。基函数的数量直接由连续问题确定，无需正则化。\n11. 可压缩反应流动方程的斜对称形式与能量稳定格式 Skew-Symmetric Formulations and Energy-Stable Schemes for Compressible Reactive Flow Equations\n作者: Junbo Gong, Weifeng Zhao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-17\narXiv ID: 2610.24524v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.24524v1\n摘要翻译 中文标题: 可压缩反应流动方程的斜对称形式与能量稳定格式\n摘要翻译: 本文针对反应 Euler 方程和反应 Navier\u0026ndash;Stokes 方程发展了斜对称形式与能量稳定的有限差分格式。通过引入适当的变换变量，我们将控制方程改写为斜对称形式，并利用标准的分部积分论证得到连续能量估计。所提出的形式将可压缩流动方程的斜对称框架推广到反应系统；在其中，化学能和组分方程必须纳入变换变量中。基于这些形式，我们利用分部求和（SBP）算子构造半离散格式。对流项由线性迎风 SBP 算子的非耗散部分离散，而非线性 SBP\u0026ndash;WENO 算子仅用于在间断附近提供人工耗散。在周期边界条件下，所得格式满足与连续分析一致的半离散能量估计。一维和二维空间中的数值实验验证了所设计的精度阶，并展示了其在含激波、黏性层、爆轰型波和复杂波相互作用问题上的稳定性能。\n12. 神经偏微分方程中的 Segal-Bargmann 变换 The Segal-Bargmann Transform in Neural Partial Differential Equations\n作者: Jie Xu, Julio Castrillón-Candás, Mark Kon, Qinxun Bai\n类别: math.NA, math.ST\n发布日期: 2026-10-17\narXiv ID: 2610.24497v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.24497v1\n摘要翻译 中文标题: 神经偏微分方程中的 Segal-Bargmann 变换\n摘要翻译: 我们提出了一种新的神经算子方法，该方法基于 Segal-Bargmann 变换和 Bargmann-Fock 空间，用于学习偏微分方程 (PDEs) 的解算子。该方法将数据编码、隐空间表示、算子学习和解码统一到一个框架中。仅从有限多个观测出发，我们建立了阶为 $ L^{-\\frac{1}{2}} $ 的 sup 范数重构误差，其中 L 是与原始采样和观测解耦的复采样点的数量。该重构误差与空间维数和原始采样点的数量无关。我们证明，这种新的无网格 Segal-Bargmann 神经算子方法相比现有的 NO 方法（如 FNO、BelNet、GNOT 等）具有更优的性能，特别是在对 PDE $ \\mathcal{L}u = f $ 的解的逐点控制 $ \\sup_{x}\\lvert\\hat{u}_{NO} - u_{truth}\\rvert $ 方面，这提供了如经典数值求解器般的逐点精度和可解释性。我们还展示了更高维非线性 PDE 的解算子的重构，这表明我们提出的方法在应用于更具挑战性的 PDE 乃至更高空间维度方面具有很大潜力。\n13. 时间依赖 Ginzburg\u0026ndash;Landau 方程的规范不变有限元方法 A Gauge-Invariant Finite Element Method for the Time-Dependent Ginzburg\u0026ndash;Landau Equations\n作者: Huadong Gao, Yuhui Huang, Wen Xie\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-17\narXiv ID: 2610.24470v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.24470v1\n摘要翻译 中文标题: 时间依赖 Ginzburg\u0026ndash;Landau 方程的规范不变有限元方法\n摘要翻译: 众所周知，Ginzburg\u0026ndash;Landau 方程具有规范不变性。实际模拟中最常用的规范选择是时间规范，也称为零电势规范。然而，常用的 Nédélec 近似在具有凹角的区域上可能产生伪巨涡旋。为了解决该问题并同时保留 Nédélec 近似，我们提出一个在离散层面保持时间依赖 Ginzburg\u0026ndash;Landau 方程规范不变性的有限元格式。在时间规范下，该方法在三角形和四面体网格上对磁势采用最低阶 Nédélec 棱单元，对序参量采用连续分片线性单元，并得到一个线性解耦格式，该格式在每个时间步仅需求解线性方程组。我们证明该格式具有规范不变性，保持序参量的离散最大值有界原理 $\\|ψ_h^n\\|_{L^\\infty(Ω)}\\le 1$，并在温和的步长与网格条件下满足离散能量律。数值实验验证了这些理论性质。特别地，在具有凹角的区域上，该格式计算出正确的物理解，而采用 Nédélec 单元的传统时间规范离散则会产生非物理解。\n14. 抛物型障碍问题的可认证神经网络近似 Certified neural approximations for parabolic obstacle problems\n作者: Davood Damircheli\n类别: math.NA, cs.LG, math.FA\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.24202v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.24202v1\n摘要翻译 中文标题: 抛物型障碍问题的可认证神经网络近似\n摘要翻译: 残差训练的神经代理不提供误差保证，这对相变和接触等自由边界问题构成限制。我们为一阶状态\u0026ndash;通量\u0026ndash;乘子形式下抛物型障碍问题的神经网络近似推导了有保证的误差界。主要结果用本构残差、初始失配、互补缺陷以及由 $c_F^2/α$ 加权的 PDE 残差来界定网络通量误差及其可行投影 $\\max\\{v,g\\}$ 的能量误差，而无需一阶表述的强制性和范数等价常数。它将热算子的 Apushkinskaya\u0026ndash;Repin 上界泛函推广到一般系数、自由乘子和通量界。一个穿透\u0026ndash;相容性结果表明，存在具有任意小界的神经三元组。逐单元向外舍入的 Taylor 模型包络将该界转化为在任意自适应剖分上有效的有限计算。对于一维 Stefan 问题，投影输出的通量误差和梯度误差被认证为分别低于解尺度的 $0.27$ 和 $0.33$；在二维扩张圆盘上，经过自适应细化后，全部三个训练网络的这些误差被认证为低于一半。在扩张椭圆上，梯度界仍高于一半；代入诊断将训练网络的下限归因于自由边界附近的投影状态，并将剩余差距归因于包络开销。在没有闭式解的情况下，一个经验证的下界替代解范数；此时包络几乎精确，但训练网络的误差高于解尺度，且未认证出任何有用的精度。这些界控制的是状态\u0026ndash;通量范数，而不是乘子或自由边界位置。\n不相关论文（基本信息） 1. 双曲空间上 Lipschitz 测地凸优化的紧下界 Tight lower bounds for Lipschitz geodesically convex optimization on hyperbolic space\n作者: Christopher Criscitiello\n类别: math.OC, math.DG, math.NA\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.26815v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.26815v1\n摘要: We determine the dimension-independent first-order query complexity of minimizing a Lipschitz geodesically convex (g-convex) function on hyperbolic space. Given a ball of radius $r$ containing a global minimizer, we prove that $Ω(ζ_r/ε^2)$ queries are necessary to attain accuracy $εMr$, where $M$ is the Lipschitz constant and $ζ_r=r/\\tanh r$ captures the effect of curvature. This matches the known $O(ζ_r/ε^2)$ upper bound for the Riemannian subgradient method (Zhang and Sra, 2016). This is the first query-complexity result for g-convex optimization that is tight simultaneously in curvature and target accuracy. The standard Euclidean recipe of constructing hard instances as maxima of affine functions does not transfer to hyperbolic space, so the lower bound requires a new mechanism. Our starting point is the worst-function construction of Criscitiello and Boumal (2023, Appendix A). It gives the same lower bound for a subclass of algorithms, including the subgradient method, whose queries remain in prescribed g-convex regions. We retain this geometric setup and carefully tune and augment their hard function to accommodate every deterministic first-order algorithm. The key new mechanism is an advance-or-stall scheme: when a query lies in these regions, the oracle reveals at most one new information direction (advance); when a query leaves them, we show that the oracle can answer without revealing any new hidden direction (stall). Unlike earlier curvature-dependent lower bounds, the proof uses no ball-packing argument.\n2. 用于干燥损伤耐火浇注料热-湿-力相场模拟的高效开源框架 An Efficient Open-Source Framework for Thermohygromechanical Phase-Field Simulation of Drying Damage Refractory Castables\n作者: Murilo H. Moreira, Roberto F. Ausas, Stefano Dal Pont\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.26752v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.26752v1\n摘要: The water removal from refractory castables is a complex process involving heat and mass transport and thermohygromechanical stresses. In order to reduce the risk of explosive spalling by improving the heat-up curves, numerical models are critical to predict the castable behavior during drying. However, most of the existing models either neglect the thermomechanical stresses or consider them as an \\textit{a posteriori} assessment of the likelihood of failure. The present work proposes an open-source thermohygromechanical phase-field model to simulate the drying of refractory castables and predict the occurrence of explosive spalling. The model is based on an adaptive two-scale time-stepping strategy that allows for a significant reduction of the computational cost associated with the simulation. The model was validated against literature results and qualitative comparisons with experimental data were carried out to assess its ability to predict the failure behavior of partially saturated porous media during heating. The numerical simulations were also applied to investigate the impact of different heating methods on the risk of failure during drying. It was found that even at the significantly lower heating rates typical of refractory castable drying - compared to the fire accidents that motivate most thermomechanical studies on concrete structures - thermomechanical stresses still play a significant role in the explosive spalling, a finding well established for concrete under fire but novel for refractory castables. As a consequence, it was also concluded that the use of heterogeneous heating methods can increase the likelihood of explosive spalling. Ultimately, feasible solutions to increase the drying efficiency and safety that are compatible with the industrial setting were proposed and a free, open-source implementation of the model is provided.\n3. Polar Switch：基于多项式电路的快速 Muon 正交化 Polar Switch: Fast Muon Orthogonalization with Polynomial Circuits\n作者: Zhehang Du, Weijie Su\n类别: math.NA, cs.LG, math.OC\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.26742v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.26742v1\n摘要: Muon, a 2024-born optimizer for language models, differs from the 2015-born spectral gradient descent mainly in its fast, GPU-friendly Newton\u0026ndash;Schulz polynomial for orthogonalizing the gradient matrix. Accordingly, a line of research proposes faster polynomial iterations for gradient orthogonalization, such as Polar Express and Gram Newton\u0026ndash;Schulz, both built on quintic polynomials. In this paper, we introduce Polar Switch, a new approach to polynomial gradient orthogonalization. Using simple polynomial circuits, Polar Switch reaches a given high polynomial degree at a lower FLOP cost than quintic iterations. We define a circuit as a short sequence of symmetric matrix products on a few square buffers, and circuits with $k$ products form a restricted family of odd polynomials of degree up to $2^{k+1}+1$. We choose the sequence of products in each circuit, their coefficients, and how the circuits are composed by numerically minimizing a worst-case bound on the polar approximation error. This minimization is subject to a FLOP budget that accounts for symmetric matrix multiplication kernels and a rounding constraint for numerical stability in half precision. Our two recommended Polar Switch methods have 15.5\u0026ndash;18.7% lower runtime than Polar Express on square matrices and 8.6\u0026ndash;16.2% lower runtime than Gram Newton\u0026ndash;Schulz on rectangular matrices with aspect ratios 3.25, 3.5, and 8, with comparable approximation accuracy. In pretraining Modded-NanoGPT #91, Qwen3-0.6B, and Gemma 3-1B, Polar Switch reaches final validation losses similar to those of established orthogonalization methods. Across the more than 14 million matrices that each of the two recommended methods orthogonalized in these runs, the estimated output spectral norms never exceed the designed bounds by more than 3%, demonstrating their numerical stability.\n4. 基于张量缩并聚合的同时矩阵乘法 Simultaneous Matrix Multiplication by Tensor Contraction Aggregation\n作者: Edgar Solomonik, Markus Bläser\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.26563v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.26563v1\n摘要: We present an interpretation of the fast matrix multiplication algorithms of Coppersmith and Winograd as aggregations of tensor contractions. This point of view provides a direct connection to older constructions by Pan and to more recent work on bilinear algorithms for symmetric tensor contraction. Further, we provide a new simple approach for exact aggregation of tensor contractions, each one yielding an independent matrix-matrix product. These constructions and border rank adaptations thereof do not come close to improving the best known bounds on $ω$ (the matrix multiplication exponent), but provide explicit moderate-size fast matrix multiplication algorithms that achieve a better exponent than Strassen\u0026rsquo;s algorithm and have potential practical value. These results imply improvements to the best known bounds on the rank and border rank of a fixed number of independent square matrix products. In particular, using $\\langle m,m,m\\rangle$ to denote the matrix multiplication tensor for matrices of dimension $m$, we obtain constructions that give bounds such as the border rank bound [ \\underline R!\\left(\\langle n^2,n^2,n^2\\rangle^{\\oplus9}\\right) \\le (n+1)^6+6(n+1)^5, ] and the exact rank bound [ R!\\left(\\langle n^3,n^3,n^3\\rangle^{\\oplus14}\\right)\\le (n+1)^9. ] We quantify the accuracy of such constructions in finite precision, and provide border-rank constructions that reduce cost with limiting retained fractions of accuracy at least $1/2$, $1/3$, or $1/4$ relative to the classical matrix-multiplication approach under the stated error model.\n5. 关于垂心四面体与等角四面体的二面角和的精确范围 On Exact Dihedral Angle Sum Ranges for Orthocentric and Isogonic Tetrahedra\n作者: Sergey Korotov\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.26529v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.26529v1\n摘要: For a nondegenerate Euclidean tetrahedron T, let Σ(T) denote the sum of its six interior dihedral angles. We establish the exact range [6 arccos(1/3), 3π) for the orthocentric and isogonic classes. The orthocentric part gives a short alternative proof of the sharp lower bound; the main new result is the corresponding isogonic theorem. Starting from classical insphere-contact geometry, we derive a reciprocal half-angle identity and a sharp defect inequality controlled by the scale-invariant dispersion of the reciprocal tangent-length parameters. This quantitative refinement shows that any nonzero dispersion forces a positive dihedral-angle-sum gap, and that near equality forces the normalized reciprocal parameters to be close to equality. Finally, the common kite subfamily realizes every value in the interval and proves sharpness of both endpoints.\n6. 用于光度立体三维重建的 Matlab/Octave 软件包 A Matlab/Octave package for photometric stereo 3D reconstruction\n作者: Alessandro Buccini, Elisa Crabu, Federica Pes, Giuseppe Rodriguez\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.26162v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.26162v1\n摘要: The photometric stereo model allows the construction of 3D virtual replicas of real objects from images acquired under different light conditions. The assumptions of this model are strongly restrictive and are seldom fully satisfied in applications. Indeed, the surface of the observed objects may deviate from ideal conditions, and the geometry of the scene is often only an approximation of the one assumed by the model. Additionally, real-world surfaces may present reflection phenomena, which introduce distortions in reconstructions. In this paper, we present a revised version of the Matlab package \\ttt{\\small ps3d}~\\cite{cdfrv21}, developed to implement the photometric stereo model under various conditions. The new package contains various extensions, the most notable one is the presence of an alternative model to address the presence of a reflective object surface. In addition, it implements particular metrics to analyze the compliance of a dataset to model assumptions, and it is compatible with GNU Octave. The tool allows users to test the model under different observation configurations, also in presence of reflection, using either synthetic or experimental data.\n7. 对偶四元数离散线性正则变换：基于FFT的快速算法与联合旋转\u0026ndash;平移位姿去噪 Dual Quaternion Discrete Linear Canonical Transforms: FFT-Based Fast Algorithms and Joint Rotation\u0026ndash;Translation Pose Denoising\n作者: Yi Wu, Xuan Chen, Kit Ian Kou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.26140v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.26140v1\n摘要: Rigid-body pose signals couple rotation and translation, yet most existing denoising pipelines treat them separately and analyse them only in the Fourier domain. We show that this separation is unnecessary and often suboptimal. We fuse dual quaternions, which encode rotation and translation in a single singularity-free algebra, with linear canonical transforms, which supply flexible quadratic-phase analysis, to develop one- and two-dimensional dual quaternion discrete linear canonical transforms (DQ-DLCTs) with an explicit kernel ordering. We establish inverse and energy-preservation properties, structured spatial and frequency convolution relations, and, crucially, fast algorithms built on complex FFTs. These algorithms make the DQ-DLCT practical: a two-stage chirp-adaptive scheme then performs joint rotation\u0026ndash;translation denoising in a single transform domain. Numerical experiments confirm the accuracy and efficiency of the fast transform and demonstrate strong denoising performance on measured pose sequences and constructed two-dimensional pose fields. The DQ-DLCT thus turns a heavy algebraic construction into a deployable tool for pose signal processing.\n8. 关于信赖域半径更新的结构条件。第二部分：二阶收敛性与半径的渐近行为 Structural conditions on trust-region radius updates. Part II: second-order convergence and asymptotic radius behaviour\n作者: Jérémy Rieussec, Fabian Bastin\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.26137v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.26137v1\n摘要: Continuing Part I (arXiv:2606.30202), we ask not which structural conditions on $\\{Δ_k\\}$ suffice for global convergence but what the radius does; the answers separate the mechanisms by whether the radius is tied to a criticality measure. We identify three asymptotic regimes: the criticality-anchored rules give $\\sum_k Δ_k^2/M_k \u003c +\\infty$, hence $\\liminf_k Δ_k = 0$, and $Δ_k \\to 0$ once the model Hessians are bounded; the step-driven rules inherit the summability of the step series, hence $\\sum_k Δ_k \u003c +\\infty$; the fixed-factor rules keep $Δ_k$ bounded away from zero. Near a critical point with positive definite Hessian, convergence of a subsequence forces convergence of the full sequence. We then extend the framework to second-order criticality through $τ_k = \\max\\{\\|g_k\\|, -λ_k^-\\}$, obtaining convergence to second-order critical points with the worst-case complexity $\\mathcal{O}(\\max\\{\\varepsilon_g^{-2}\\varepsilon_H^{-1}, \\varepsilon_H^{-3}\\})$, which reduces to $\\mathcal{O}(\\varepsilon^{-3})$ for a common tolerance and is sharp for quadratic models. Finally we establish eventual inactivity of the constraint and superlinear convergence, isolating the two properties of the radius rule through which the mechanism enters; the rate itself is mechanism-independent. The criticality-anchored and capped gradient-scaled rules reach inactivity only under a side condition, $ζ\u003e \\overlineκ$ or $\\overlineμ \u003e \\overlineκ$, with $\\overlineκ$ a constant of the solution that cannot be checked in advance. These conditions are necessary, not artefacts: on $f(x) = \\sin(x)/x$, $\\overlineκ$ is unbounded over the minimisers, so no parameter value meets the condition at all of them. Among the rules tied to a criticality measure, only those with an unbounded multiplier escape such a constant.\n9. 信赖域算法中半径更新规则的数值研究 A numerical study of radius update rules in trust-region algorithms\n作者: Jérémy Rieussec, Fabian Bastin\n类别: math.OC, cs.MS, math.NA\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.26134v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.26134v1\n摘要: Part I [arXiv:2606.30202] and Part II establish which trust-region radius update mechanisms can fail and under which hypotheses they must succeed. Neither says where the thresholds sit once a rule runs with real constants, or how the rule interacts with the model Hessian and the subproblem solver. This paper turns them into nine falsifiable claims and settles what it can, on four designed problems where the theory\u0026rsquo;s quantities are computable and on CUTEst, where only aggregate cost is visible. Every mechanism runs in one Julia package written for this study, so two runs differing in one component differ in nothing else. The rule is worth less than the model and more than nothing. Crossing the mechanisms with four model Hessians puts $96.5$ per cent of the variation on the model and $1.6$ on the rule, and the rules separate most under the most accurate model rather than least. Uncapped R-grad is the robust default among the criticality-anchored rules, though the retrospective rule is ahead of it on this collection. No constant escapes the side conditions. For every cap there is a minimiser at which the constraint stays active, and for every anchoring constant a flatness on which escape takes arbitrarily long. The second of these is proved here as well as measured, and the proof uses no property of the model or of the subproblem solution beyond $\\|s_k\\| \\leq Δ_k$. The radius rule governs the length of the step, and so the cost of a run. The model decides the search direction, and with it whether the run converges at all.\n10. 迭代拟可逆性方法的有限元离散研究——Laplacian 数据同化情形 Study of the finite element discretization of the iterated quasi-reversibility method \u0026ndash; The Laplacian data assimilation case\n作者: Jérémi Dardé, Jérémy Heleine\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.26117v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.26117v1\n摘要: We investigate the finite element discretization of the iterated quasi-reversibility method, in the context of the data assimilation problem for the Laplacian. We provide error estimates explicit in all the parameters appearing in the model and the method (i.e. the amplitude of noise, the size mesh, the regularization parameter and the number of iterations of the method). This allows to devise strategies to choose the aforementioned parameters, for example to guarantee convergence of the method when the level of noise goes to zero. Numerical experiments on a two-dimensional problem are provided, illustrating the relevance of the obtained estimates.\n11. 面向等离子体约束的 Vlasov\u0026ndash;Poisson 系统的全时域磁控制 Full-horizon magnetic control of the Vlasov\u0026ndash;Poisson system for plasma confinement\n作者: Giacomo Albi, Giacomo Dimarco, Federica Ferrarese, Lorenzo Pareschi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.26110v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.26110v1\n摘要: We study the full-horizon control of a two-dimensional Vlasov\u0026ndash;Poisson system through an externally imposed magnetic field. The control is represented by time-dependent coefficients associated with smooth, spatially localized basis functions, and is designed to steer selected position and velocity moments of the distribution function while limiting particle dispersion and the control effort. Starting from the kinetic constrained optimization problem, we derive the continuous first-order optimality conditions, including a backward Vlasov equation, an elliptic adjoint equation, and the variational inequality associated with bounded controls. We then project this system onto a particle\u0026ndash;grid representation and identify the resulting particle adjoints and control gradient. The full-horizon field is then computed on a reduced particle ensemble, initialized by an instantaneous control, and subsequently applied to a larger set of particles. Numerical experiments indicate that the instantaneous control field already provides an effective baseline, while the full-horizon correction can further reduce the relative thermal energy near the boundaries and improve confinement over the prescribed time interval.\n12. 论降秩回归 On Reduced Rank Regression\n作者: Th{é}o Rudkiewicz, Manon Verbockhaven\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.26051v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.26051v1\n摘要: We propose a decoupled solution to the Reduced Rank Regression (RRR) problem, i.e. a pair of matrices (A*, B*) whose product AB minimizes the least squares error under a rank constraint. Using our formalism, we rewrite two other solutions from the literature and compare them with ours. In particular, we prove that all these formulations are equivalent. We then analyze their time complexity, and compare their running time and numerical precision on synthetic data, from which we derive practical recommendations. An open-source implementation of the algorithms and experiments is available here: https://gitlab.inria.fr/trudkiew/reduced_rank_regression.\n13. 一种用于具有连续内能的多原子 Boltzmann 碰撞算子的快速 Laguerre\u0026ndash;Fourier 谱方法 A fast Laguerre\u0026ndash;Fourier spectral method for the polyatomic Boltzmann collision operator with continuous internal energ\n作者: Pei Zhang, Yanli Wang, Zhenning Cai\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.25921v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.25921v1\n摘要: The polyatomic Boltzmann equation extends the classical kinetic description to gases whose molecules possess internal energy in addition to their translational motion. The distribution function then has one more variable than in the monatomic case, and the collision operator becomes an eight-fold integral whose evaluation dominates the cost of solving the equation. In this work, we propose a fast Laguerre\u0026ndash;Fourier spectral method for the polyatomic Boltzmann equation with continuous internal energy, which evaluates the collision operator in $O(K^2MN^4\\log N + K^3MN^4)$ online operations after a solution-independent precomputation, where $N$ is the number of Fourier modes in each velocity direction, $K$ is the number of Laguerre modes and $M$ is the number of quadrature points on the sphere. Specifically, the distribution function is expanded in generalized Laguerre functions in the internal energy and in Fourier modes in velocity. A sequence of changes of variables then separates the internal-energy integrals from the velocity convolutions, so that the former no longer involve the distribution function and are computed once and stored. Numerical experiments are presented for both the spatially homogeneous and the spatially inhomogeneous Boltzmann equation. They confirm the spectral accuracy of the proposed method and its agreement with the direct simulation Monte Carlo method.\n14. 正则化 Landau 粒子动力学的交替 score-系统迭代的收敛性 Convergence of alternating score-system iterations for regularized Landau particle dynamics\n作者: Yeoneung Kim, Donghyun Lee, Sung-Jun Son\n类别: math.NA, math-ph, math.AP\n发布日期: 2026-10-19\narXiv ID: 2610.25780v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.25780v1\n摘要: We analyze an alternating iteration for score-based particle approximations of the homogeneous Landau equation. Each step computes a regularized score along the previous trajectory and recomputes the trajectory with that score frozen. First, at fixed positive regularization, we prove existence, uniqueness, and $W_1$-Lipschitz stability of a Tikhonov score minimizer in a vector-valued reproducing kernel Hilbert space embedded in $C_b^2$. For bounded Lipschitz collision matrices, this yields factorial convergence to the coupled regularized dynamics on every finite interval, with constants independent of particle number. Global objective gaps and system residuals control inexact solves, and structural kernel assumptions ensure momentum and energy conservation. The mean-field and alternating-iteration limits commute at fixed regularization in this regime. Second, score-difference cancellation extends the theory to far-field-truncated Landau kernels with $γ\\geq -2$ and the uncut case $γ=-2$. For the uncut three-dimensional Coulomb kernel, a separate continuum construction gives local factorial convergence from bounded, compactly supported densities. Third, we characterize the obstruction to removing regularization at fixed particle number and establish a separate conditional density-level convergence criterion under uniform regularity and approximation assumptions, using relative entropy. A heat-equation counterexample shows that an unregularized density-level Picard iteration can diverge. Atomic Coulomb and simultaneous particle-zero-regularization limits remain open.\n15. 二次方程组线性化的一种方法 A Method for Linearization of Systems of Quadratic Equations\n作者: A. A. Pak, A. S. Pak\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-18\narXiv ID: 2610.25506v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.25506v1\n摘要: Integrating physical conservation laws into deep neural architectures remains a central SciML challenge. Soft-penalty approaches, including many PINNs, may be sensitive to loss weighting and optimization; generic DEQ and implicit-layer solvers may require instance-dependent iteration counts. We study a norm-linearization scheme for networked systems with linear continuity constraints and nonlinear quadratic or power-law energy balances. We derive sharp universal and finite-$n$ bounds on relative variance and, via the weighted Kantorovich inequality, relate them to worst-case single-step squared-norm distortion when target and operating states have a bounded multiplicative ratio. Euler\u0026rsquo;s theorem shows that the scheme is Newton\u0026rsquo;s method for degree-one norm differences $u_i(\\mathbf{x})-v_i(\\mathbf{x})=0$. Recasting raw degree-$α$ balances as norm differences removes radial curvature, yields a degree-zero homogeneous Jacobian, eliminates the affine Newton term, and row-equilibrates the loop Jacobian at equilibrium. Under regularity and nonsingularity assumptions, this gives local quadratic convergence for Darcy-Weisbach ($α=2$) and Hazen-Williams ($α=1.852$) models. We implement dynamic sign partitioning in a FlowDEQ layer using a reduced incidence matrix and implicit-function adjoint differentiation.\n16. KernelPack-JAX：一个用于节点生成及正向与反向PDE问题的无网格可微GPU框架 KernelPack-JAX: a meshless differentiable GPU framework for node generation and forward and inverse PDE problems\n作者: Alberto Cattaneo, M. Keith Ballard, Robert M. Kirby, Grady B. Wright, Varun Shankar\n类别: math.NA, cs.MS\n发布日期: 2026-10-18\narXiv ID: 2610.25484v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.25484v1\n摘要: We present KernelPack-JAX, a meshless, differentiable, GPU framework in JAX for solving forward and inverse PDE problems in domains whose boundaries, including internal obstacles, are given only by samples of their smooth pieces. Our node generator is based on a new stacked representation of piecewise-smooth boundaries, in which a parametric partition of unity of each smooth piece induces the supports of a curl-free implicit partition of unity of the whole boundary. This representation keeps the edges and corners of the boundary and classifies every point of space without a global fit. Boundary and interior nodes are then selected by a parallel greedy independent-set algorithm that reproduces sequential Poisson-disk sampling exactly. We discretize elliptic and parabolic problems with radial basis function-generated finite differences (RBF-FD) on stencils selected by a new visibility heuristic to avoid crossing the boundary, with ghost nodes for the boundary conditions. In addition, our framework exposes a GPU sparse direct solver to JAX as a differentiable linear solve, so that Jacobians of time-dependent problems cost a small multiple of a forward solve. We derive error estimates that separate consistency from stability and bound the parameter error by the forward error. We demonstrate high-order convergence for Darcy flow, reaction-diffusion, and advection-diffusion in 2D and 3D domains, including one with an internal obstacle, and show that the recovered parameters largely follow the forward errors. We also present timings for every stage.\n17. 通过对偶 Padé 有理逼近推进 Sheffer 序列理论 Advancing the Theory of Sheffer Sequences via Dual Padé Rational Approximants\n作者: Ujair Ahmad, Subuhi Khan\n类别: math.CA, math.NA\n发布日期: 2026-10-18\narXiv ID: 2610.25457v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.25457v1\n摘要: Sheffer sequences offer an operational framework that unifies a wide range of classical polynomial families. In this article, a rational approximation is developed for both the amplitude and the delta-operator symbol in the exponential generating function. The resulting Padé Sheffer polynomials are shown, within the umbral calculus framework, to retain the Sheffer structure. Explicit operational representations are obtained, together with finite-order differential recurrences and closed-form connection constants characterizing the deviation from the underlying polynomial family. An important consequence of the construction is that rational generating indicators reduce the usual transcendental Lagrange inversion problem to a finite multinomial computation. The framework also suggests an interpretation in terms of weighted finite automata, linking polynomial constructions with state-space dynamics for unbounded combinatorial partitions.\n18. 玻尔兹曼方程的一个守恒约化碰撞模型 A conservative reduced collision model for the Boltzmann equation\n作者: Pei Zhang, Yanli Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-18\narXiv ID: 2610.25398v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.25398v1\n摘要: The evaluation of the quadratic collision operator is a major computational bottleneck in solving the Boltzmann equation owing to the high dimensionality and the nonlinear structure of the collision term. In this work, we develop a conservative reduced collision (RC) model within the discrete velocity framework. The bilinear collision operator is approximated through a kernel tensor preassembled using problem-dependent reduced bases for the distribution function and the collision term. Consequently, online evaluation of the quadratic collision operator is reduced to tensor contractions. Exact discrete conservation of mass, momentum, and energy is enforced by constructing the collision basis in the orthogonal complement of the space spanned by the discrete collision invariants. The resulting model can be incorporated into existing deterministic Boltzmann solvers. Numerical experiments on the spatially homogeneous relaxation, the steady channel and lid-driven cavity flows, and an unsteady diffusion problem show that the proposed RC model attains the accuracy of the fast Fourier spectral method (FSM) at moderate ranks. Since the kernel tensor is assembled once in the offline stage, the online cost of each solve is reduced by orders of magnitude, so that the total cost is substantially lower even when the offline stage is included.\n19. 基于双指数公式计算矩阵对数的改进算法 Improved algorithms for computing the matrix logarithm based on the double-exponential formula\n作者: Tomoaki Okayama, Tsubasa Setogawa\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-18\narXiv ID: 2610.25361v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.25361v1\n摘要: Tatsuoka et al. proposed an efficient algorithm for computing the matrix logarithm using the double-exponential (DE) formula. Its discretization error decreases exponentially as the number of quadrature nodes grows, and its nested grids allow previously computed values to be reused when the mesh is refined. They also reported that their approach is more robust than Gauss\u0026ndash;Legendre quadrature for ill-conditioned matrices. We propose two algorithms based on the DE formula. The first adaptively refines the mesh while reusing previously computed values and requires no matrix norm computations. The second uses a rigorous error bound to select the number of quadrature nodes a priori. Numerical experiments show that both methods attain lower errors than Tatsuoka et al.\u0026rsquo;s method at comparable elapsed times over the tested ranges.\n20. 用格规则逼近高维积分的浅显导引，以及 QMC 积分相关函数空间的或许并不那么浅显的导引 A gentle introduction to approximating high-dimensional integrals with lattice rules and a maybe-not-so-gentle introduction to the relevant function spaces for QMC integration\n作者: Dirk Nuyens\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-18\narXiv ID: 2610.25331v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.25331v1\n摘要: These lecture notes give both a practical and theoretical introduction to high-dimensional integration with lattice rules. We introduce lattice points and rules in combination with accompanying Julia code. Next we introduce the typical function spaces used in the literature. We compare classical Sobolev spaces with Sobolev spaces of dominating mixed smoothness. We derive lower bounds and show that the curse of dimensionality is unavoidable for these unweighted function spaces. Next we switch to weighted periodic spaces and derive a constructive upper bound using the component-by-component construction for the generating vector of a lattice rule. We pick periodic spaces because they are a perfect match with lattice rules. The upper bound shows that under suitable conditions on the weights we obtain dimension-independent worst-case error bounds. We then use embedding constants to transfer these bounds to some common norms for these periodic spaces.\n21. 多边形区域上随机抛物型方程有限元方法的极大 $L^p$-$L^q$ 正则性 Maximal $L^p$-$L^q$ regularity of finite element methods for stochastic parabolic equations in polygonal domains\n作者: Genming Bai, Jianbo Cui, Buyang Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-18\narXiv ID: 2610.25275v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.25275v1\n摘要: We prove that a spatial semidiscrete finite element method preserves the stochastic maximal regularity of the heat equation on bounded convex polygonal and polyhedral domains in dimensions two and three. A main difficulty is to establish suitable Green-function estimates for stochastic convolutions, whose paths generally lack classical time derivatives. Besides, the failure of the Burkholder-Davis-Gundy (BDG) inequality at the endpoint $p=\\infty$ creates additional difficulties. Our approach leverages a hidden symmetry structure of the discrete Green\u0026rsquo;s function, which enables the use of a key integration-by-parts type formula. Then the discrete stochastic maximal $L^p$-$L^p$ regularity with $p\\in [2,\\infty)$ is obtained from the discrete local energy estimates and interpolation inequalities. To extend further the discrete stochastic maximal $L^p$-$L^q$ regularity with the full range of integrability exponents, i.e., $p\\in (2,\\infty), q\\in [2,\\infty)$ or $p=q=2$, we also show that the discrete convolution kernel satisfies the stochastic Hörmander\u0026rsquo;s condition, allowing the application of a stochastic version of the Calderón-Zygmund theory.\n22. 双调和方程有限元方法的尖锐逐点误差估计 Sharp Pointwise Error Estimates of Finite Element Methods for the Biharmonic Equation\n作者: Buyang Li, Zhenglei Li, Qigang Liang, Xuejun Xu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-18\narXiv ID: 2610.25115v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.25115v1\n摘要: We prove sharp pointwise error estimates for finite element approximations of the clamped biharmonic equation on convex polygonal domains. For $C^1$-conforming elements, we establish $W^{2,p}$-stability for all $2\\le p\\le \\infty$, together with best-approximation type estimates in $W^{1,\\infty}$ and $L^\\infty$. For the nonconforming Morley element, we derive optimal estimates in $W^{2,p}$, $W^{1,\\infty}$, and $L^\\infty$; in particular, the $L^\\infty$-error is of order $O(h^2)$ without an additional logarithmic factor. The analysis is based on three ingredients: local energy estimates for conforming and nonconforming plate elements, a removal of the local $L^2$-error term in these estimates, and Hölder estimates for derivatives of the Green\u0026rsquo;s function. These tools are combined with a dyadic decomposition argument for regularized Green\u0026rsquo;s functions. The results remove logarithmic losses present in earlier pointwise estimates for fourth-order problems and yield sharp rates for classical plate elements such as the Argyris, Bogner\u0026ndash;Fox\u0026ndash;Schmit (BFS), Hsieh\u0026ndash;Clough\u0026ndash;Tocher (HCT), and Morley elements.\n23. 辛神经网络的可积构建模块：学习型层、保纤维层以及单层能做什么 Integrable building blocks for symplectic neural networks: learned-type layers, fiber-preserving layers, and what a single layer can do\n作者: Andrew Qing He\n类别: math.NA, cs.LG, math.SG\n发布日期: 2026-10-18\narXiv ID: 2610.25023v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.25023v1\n摘要: Exactly symplectic neural networks are built almost exclusively from shear maps and gain expressivity only through depth. We ask what else a single explicit symplectic layer can be. Observing that every layer in use is the exact flow of a Hamiltonian that is a function of commuting integrals, we obtain three families of layers: a learned-type layer, in which every conjugate pair is rotated, squeezed or sheared by a state-dependent amount and the type is found by training; moving-plane shears, residual symplectic maps outside the known ridge-function class; and fiber-preserving layers, which combine an unconstrained point transformation with a fiber translation at the cost of one linear solve. We characterize residual symplectic layers $x \\mapsto x + J\\nabla H(x)$: in one degree of freedom they are exactly the shears along a line, while from two degrees of freedom on a strictly larger class exists. Conjugating a learned-type layer by a symplectic network yields an exact one-parameter group with an exactly conserved learned Hamiltonian. In experiments on sixteen systems with one to forty degrees of freedom, against SympNets, HénonNets and learned-plane shear networks, layers built on nonlinear integrals are far more accurate when the Hamiltonian contains functions of those integrals. On nonlinear Schrödinger lattices with six to forty sites, twist layers alternating with linear symplectic maps are over a hundred times more accurate than every shear-based network, and with an on-site potential of learned form three to four orders of magnitude more accurate. On chains of Tao oscillators with the step size as an input, stretch layers are 45 to 70 times more accurate than learned-plane shears and recover the Hamiltonian to 1%. On generic non-separable systems, fiber layers improve on learned-plane shears by at most a factor of two, and widening the networks does not help any architecture.\n24. LowNet：具有24个可学习参数、用于求解Poisson方程的循环小波神经网络 LowNet: Looped Wavelet Neural Networks with 24 Learnable Parameters for Solving Poisson Equations\n作者: Yuanhao Gong\n类别: cs.AI, cs.CV, cs.LG, eess.IV, math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-10-18\narXiv ID: 2610.24941v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.24941v1\n摘要: Poisson equations frequently appear in various fields, such as mathematics, physics and informatics. Solving Poisson equation, however, is challenging. Traditional methods are not data-specific, although have high certainty. They require a large number of iterations due to the CFL numerical stability. In contrast, deep learning methods are data-driven and more efficient, but require accurate training data and suffer from heavy computation. To tackle these issues, we propose a wavelet-inspired Poisson solver with 24 trainable scalars. The proposed network has several advantages. First, it is compact. It has four independent $5\\times5$ kernels, each represented by six parameters, leading to 24 scalars in total. Such compact format can be deployed on most devices. Second, thanks to the loop design, it achieves higher accuracy than previous methods. A residual loop reuses the wavelet block without increasing its parameters. Numerical experiments confirm that such loop indeed improves the solving accuracy. On 10000 images, one, two, and three loops of the wavelet block lead to PSNRs of $47.27$, $74.14$, and $100.74$ dB, respectively. Third, the proposed method is computationally fast. Thanks to the wavelet transform, the proposed method has linear computation complexity, leading to high computation performance. In short, we propose a novel looped wavelet neural network with compactness, accuracy and efficiency for solving Poisson equations. Our method can be applied in various fields, such as computational fluid dynamics, image reconstruction, biomedical engineering, electromagnetic field simulation.\n25. 具有二阶离散误差的随机梯度 Leimkuhler-Matthews 积分器 Stochastic Gradient Leimkuhler-Matthews Integrator with Second Order Discretization Error\n作者: Xuda Ye, Yuliang Wang, Guang Lin, Cindy Xiangrui Kong\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-10-17\narXiv ID: 2610.24781v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.24781v1\n摘要: Stochastic gradient Langevin dynamics (SGLD) has a discretization error of first order in the step size $h$, even with the full gradient. We study the stochastic gradient Leimkuhler-Matthews (SGLM) integrator, which has the same cost as SGLD, one stochastic gradient per step, and reuses each Gaussian vector in consecutive steps. With the full gradient, SGLM is the Leimkuhler-Matthews (LM) integrator, whose discretization error for the invariant distribution is of second order. For a potential strongly convex outside a ball, we prove the bound $\\mathcal O(\\frac{1}{Nh} + Σ^2 h^2 + h^4)$ on the mean square error (MSE) of time averages of SGLM over $N$ steps, where $Σ$ bounds the variance of the gradient noise. The proof uses a modified class that absorbs the non-Markovian part of SGLM. The discretization error enters this bound as $h^4$ and the MSE bound of SGLD as $h^2$, while a larger batch reduces only the term $Σ^2 h^2$ in both bounds. In Bayesian logistic regression on MNIST, SGLM has a smaller estimated MSE than SGLD. The coefficient of $h$ in the numerical bias of SGLM is given explicitly by the covariance of the gradient noise and the continuous Poisson equation. The coefficient for SGLD contains in addition the Hessian of the potential, which comes from the discretization error. Through Riesz representors, the coefficients of the numerical bias determine the coefficients of the Wasserstein-1 errors of SGLM and SGLD.\n26. 具有声学边界条件的非线性耦合热弹性系统的数值分析 Numerical Analysis for a Nonlinear Coupled Thermoelastic System with Acoustic Boundary Conditions\n作者: Adriano A. Alcântara, Bruno A. Carmo, Juan B. Límaco, Carlos M. Guzmán\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-17\narXiv ID: 2610.24704v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.24704v1\n摘要: This paper presents the first $L^2$-norm error analysis for a nonlinear thermoelastic system with acoustic boundary conditions. The model involves three coupled variables: the acoustic potential $u$, the temperature $θ$, and the normal displacement to the boundary $δ$, with nonlinearities $|u|^d u$ in the domain and $g(\\cdot,u')$ on the boundary, in addition to a nonlocal term $β(\\int_Ωθdx)Δθ$ in the heat equation. We establish error estimates for the fully discrete problem, using the Crank-Nicolson method for time discretization and finite element method with basis of degree $r \\geqslant 1$ for space discretization. We demonstrate that the domain-boundary coupling induces a half-power loss in the spatial convergence order for the variable $u$, and this effect propagates to the remaining variables due to the thermoelastic and boundary couplings, resulting in the final error estimate $\\mathcal{O}(h^{r+\\frac{1}{2}} + τ^2)$. A bootstrap argument is employed to ensure the uniform boundedness of $\\|U_h^n\\|_{L^\\infty}$, which is essential for handling the nonlinearity. Numerical results using Lagrange finite element basis of degrees $ r = 1, 2, 3 $ (linear, quadratic, and cubic) corroborate the theoretical estimates and illustrate the transition from suboptimal to optimal convergence orders when the exact solution possesses additional $L^\\infty$ regularity.\n27. 多变量 Vandermonde 矩阵的谱与高维超分辨问题的极小极大误差界 Spectra of Multivariate Vandermonde Matrices and Min-max Error Bounds for the High-dimensional Super-resolution Problem\n作者: Nuha Diab, Dmitry Batenkov\n类别: math.SP, cs.IT, math.NA\n发布日期: 2026-10-17\narXiv ID: 2610.24670v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.24670v1\n摘要: We study multivariate rectangular Vandermonde matrices $U_N$ whose rows are indexed by the grid $G_N=\\{-N,\\ldots,N\\}^d, $ and whose columns correspond to irregularly spaced points on the unit $d$-dimensional torus. Motivated by the problem of super-resolution (recovery of spike trains from low frequency noisy measurements), we consider configurations in which the points form several clusters, with points within each cluster separated by at most $h$ and distinct clusters are well-separated. We show that the column subspaces associated with different clusters are nearly orthogonal, i.e. for $N \\rightarrow \\infty, Nh \\ll 1$, the minimal principal angle between any such pair is at least $ {π\\over 2} - \\frac{C_1}{N} - C_2Nh - \\frac{C_3}{\\sqrt{N}}, $ for some constants $C_1,C_2,C_3$ independent of $N$ and $h$. This near-orthogonality enables the spectral analysis of such $U_N$ to be reduced to the analysis of each individual cluster. As a consequence, we derive sharp scaling for all singular values of $U_N$, revealing how the geometry of clustered points controls the conditioning of the high-dimensional super-resolution problems. Then we establish min-max error bounds for the recovery of clustered point sources, requiring only an upper bound on the largest cluster size and no knowledge of the geometry within the clusters. These bounds coincide with the optimal rates known in the one-dimensional setting. Furthermore, when the clustered points are in generic position (i.e. do not lie on a low-dimensional algebraic variety) our results indicate that super-resolution in high dimensions is more stable than in one dimension.\n28. 闭合轮廓序列的能量极小化插值B样条放样 Energy-minimized interpolatory B-spline lofting for sequences of closed contours\n作者: Shutao Tang, Zixuan Zhao\n类别: cs.GR, math.NA\n发布日期: 2026-10-17\narXiv ID: 2610.24569v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.24569v1\n摘要: B-spline lofting through closed cross-sections is common in reverse engineering, but interpolating each section on its own knot vector can produce an unnecessarily large control net. We construct a common-knot method for closed section curves of odd and even degree by minimizing the strain energy of each section subject to its interpolation constraints. Feasibility for closed section data and uniqueness of the resulting saddle-point solution require full row rank of the periodic collocation matrices, a property that a previously proposed periodic Schoenberg-Whitney window condition does not always guarantee. We establish the exact parity distinction: the condition is sufficient at odd point counts but admits singular configurations at every admissible even point count. For the odd and even degrees used here, the natural and shifting anchor knots are nonsingular; at odd point counts the window condition certifies the selected candidate, whereas at even point counts a rank test with an anchor fallback is applied. The lofting method therefore retains a nonsingular square subsystem for each section and uses nestedness to transfer full row rank to the rectangular common-knot system. Across six closed-contour models the common-knot method uses 83-98% fewer control points than traditional interpolating lofting, with section energies no larger than those of a previous knot-selection method within numerical precision.\n29. 非均匀介质中空间依赖变指数次扩散反势问题的分析与逼近 Analysis and approximation for inverse potential problem of space-dependent variable-exponent sub-diffusion in heterogeneous medium\n作者: Zhiyuan Li, Chunlong Sun, Xiangcheng Zheng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-17\narXiv ID: 2610.24531v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.24531v1\n摘要: Anomalous transport in complex heterogeneous medium is often characterized by non-Markovian memory effects and spatially varying trapping properties. From the point of view of continuous-time random walks, such heterogeneity can be described by a position-dependent heavy-tailed waiting-time density $q(t \\mid x)\\sim C(x)t^{-1-α(x)}$, where $0\u003cα(x)\u003c1$ is the local anomalous exponent. This microscopic interpretation naturally leads to the sub-diffusion with a space-dependent variable exponent $α(x)$. Compared with constant-exponent models, the variable-exponent fractional operators generally do not commute with the spatial Laplacian, which makes both the forward and inverse analysis substantially more delicate. This paper investigates the inverse problem of recovering a spatially dependent radiative or potential coefficient in variable-exponent sub-diffusion from terminal observation data. We formulate the inverse problem as a nonlinear fixed-point equation and prove that the associated fixed-point operator is monotone such that the fixed-point iteration converges decreasingly to the unique solution. We further establish a Lipschitz-type conditional stability estimate for the terminal observation map, which also implies uniqueness of the inverse problem for sufficiently large terminal time. For numerical reconstruction, we develop a fully discrete finite element scheme and derive an error estimate for the inverse problem. Numerical simulations are conducted to validate the effectiveness of the method, even in the presence of noisy data.\n30. Transformer 作为跨任务的自适应核学习器以实现上下文学习 Transformers as Adaptive Kernel Learners across Tasks for In-Context Learning\n作者: Zhaiming Shen, Alexander Cloninger, Rongjie Lai, Wenjing Liao\n类别: cs.LG, math.NA, math.ST\n发布日期: 2026-10-17\narXiv ID: 2610.24441v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.24441v1\n摘要: Transformers have emerged as a dominant architecture in modern machine learning, with in-context learning (ICL) enabling models to adapt to new tasks by conditioning on prompts, without any parameter updates. To understand the attention mechanism in transformer blocks, a growing line of theoretical work interprets ICL through the lens of classical statistical estimators. Recent works have established a connection between the attention mechanism and kernel methods, while the kernel function is usually assumed to be fixed. In practice, the query and key matrices in the attention mechanism are trained, which allows the attention mechanism to serve as an adaptive kernel method. In this work, we demonstrate that transformers can act as adaptive anisotropic kernel learners. Specifically, we study ICL for low-rank linear and multi-index nonlinear regressions, and conduct numerical simulations to show that the learned attention scores closely resemble the oracle kernels for these function classes. We then develop a general framework to analyze the generalization error of ICL by connecting transformers to the oracle kernel estimator for each function class. Our theory gives an explicit and constructive implementation of the oracle kernel estimators for these function classes using a wide and shallow transformer architecture, illustrating how the prediction is carried out by the interaction between the query token and the context tokens. Our work complements existing studies by providing numerical and theoretical evidence of how the attention mechanism adapts to anisotropic kernels in both linear and nonlinear settings.\n31. 关于夹持 B 样条的矩形 Schoenberg-Whitney 定理的一点注记 A note on the rectangular Schoenberg-Whitney theorem for clamped B-splines\n作者: Shutao Tang, Zixuan Zhao\n类别: math.NA, cs.GR\n发布日期: 2026-10-17\narXiv ID: 2610.24425v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.24425v1\n摘要: Wang et al.(Computer-Aided Design 40 (2008) 999-1008) proposed a knot-subsequence characterization of full row rank for rectangular B-spline collocation matrices. We identify an incorrect inequality in their Appendix proof, which invalidates the argument as written, and make explicit the endpoint and multiplicity conventions on which the criterion depends. The defect lies in the proof, not in the underlying result, which is valid under suitably stated hypotheses; in the lofting construction of Wang et al. these hypotheses are implicitly satisfied, so the lofted curves are unaffected. We state the corrected result and give a new proof, independent of the disputed argument, for clamped B-splines of arbitrary degree with continuous interior multiplicities. In our proof, sufficiency follows from inclusion of spline spaces and knot insertion; necessity selects independent columns and builds the reduced knot vector from them. The proof uses no recursive column-selection construction.\n32. 实 Grothendieck 不等式的带证书 Fourier 舍入 Certified Fourier rounding for the real Grothendieck inequality\n作者: Bo Peng\n类别: math.FA, math.NA\n发布日期: 2026-10-17\narXiv ID: 2610.24417v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.24417v1\n摘要: We give a computer-assisted proof that the real Grothendieck constant is strictly smaller than $1.77987164$. The proof provides a complete interval-arithmetic realization of Ren\u0026rsquo;s five-variable construction. A finite Fourier calculation encloses every scalar coefficient through degree $403$; a fourth-derivative estimate on the entire unit circle bounds the remaining coefficient sum by $10^{-4}$. Exact rational arithmetic then certifies the final inequality. We include the transfer to all finite real matrices and arbitrary vector dimensions, the analytic quadrature errors, the rational parameters, and source code for checking and regenerating the certificate.\n33. 用于零阶优化的球面设计预言机：确定性、无方差梯度估计 Spherical-Design Oracles for Zeroth-Order Optimisation: Deterministic, Variance-Free Gradient Estimation\n作者: Amir Ali Farzin, Yuen-Man Pun, Philipp Braun, Iman Shames\n类别: math.OC, cs.GT, math.NA\n发布日期: 2026-10-17\narXiv ID: 2610.24373v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.24373v1\n摘要: In this work, we develop a zeroth-order (ZO) method that estimates the gradient with minimal bias and variance. Instead of the random directions often used in the ZO literature, we consider central differences with directions given by a fixed spherical $t$-design, a finite point set that integrates every polynomial of degree at most $t$ exactly. The oracle is deterministic and thus does not induce any variance.We also propose a general finite difference method in the higher-order-smoothness regime and show the bias of both finite difference methods. We then show the convergence of the proposed ZO method via the input-to-state stability concept. Numerical experiments show the superiority of our proposed method over the existing random ZO methods.\n34. 用于固定算子有限差分 PDE 求解器的可复用 QUBO 导出 Block-Schur 逆因子 Reusable QUBO-Derived Block-Schur Inverse Factors for Fixed-Operator Finite-Difference PDE Solvers\n作者: Arash Fath Lipaei, Özgür E. Müstecaplıoğlu, Özlem Salehi, Selin Aslan\n类别: math.NA, quant-ph\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.24158v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.24158v1\n摘要: Many simulations of partial differential equations require the repeated solution of linear systems whose matrix remains fixed while the righthand side changes. We present a hybrid offline online framework for this setting. The discretized operator is organized into small coupled blocks and reduced through block Schur complements. Instead of expressing the complete PDE solution as one large binary optimization problem, quadratic unconstrained binary optimization is used only to construct reusable local inverse factors. These factors are computed during an offline stage, decoded and stored, and then reused in an ordinary classical block solve for subsequent righthand sides. The optimizer facing problem size is governed by the local block size and chosen numerical precision, rather than by the dimension of the full spatial grid. We develop the mathematical formulation, analyze the accuracy and resource requirements of the binary representation, and examine the method on representative finite difference PDE problems, including execution of the local optimization stage on quantum optimization hardware. The resulting architecture provides a reusable interface between conventional numerical linear algebra and QUBO based quantum optimization.\n35. 对称经典Dunkl正交多项式的时间-频带限制 Time-and-band limiting for symmetric classical Dunkl orthogonal polynomials\n作者: M. M. Castro, F. A. Grünbaum\n类别: math.CA, math.NA, math.SP\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.24100v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.24100v1\n摘要: The problem of \u0026lsquo;\u0026rsquo;time and band limiting\u0026rsquo;\u0026rsquo; has been previously considered for expansions in orthonormal polynomials that are common eigenfunctions of some second order differential operator. In this paper we consider the situation of orthonormal polynomials that are eigenfunctions of some second order differential-difference operator as introduced by Ch. Dunkl. These polynomials appear already in the work of G. Szegő and at the same time play a role in supersymmetric quantum mechanics.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-10-20_14-51-59/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年10月20日 14:51:59\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 14\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 35\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-光子晶体中能带结构的混合非拟合有限元逼近\"\u003e1. 光子晶体中能带结构的混合非拟合有限元逼近\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eMixed Unfitted finite element approximation of band structures in photonic crystals\u003c/p\u003e","title":"2026年10月20日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年10月19日 16:52:27\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 8\n不相关论文数量: 13\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 混合椭圆—双曲 Monge\u0026ndash;Ampère 问题：建模与最小二乘求解器 A Mixed Elliptic\u0026ndash;Hyperbolic Monge\u0026ndash;Ampère Problem: Modeling and a Least-Squares Solver\n作者: G. V. Carvalho, M. J. H. Anthonissen, J. H. M. ten Thije Boonkkamp, L. Kusch, W. L. IJzerman\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.23544v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.23544v1\n摘要翻译 中文标题: 混合椭圆—双曲 Monge\u0026ndash;Ampère 问题：建模与最小二乘求解器\n摘要翻译: 我们考虑一个由平行光到远场反射器的自由曲面光学设计所启发的输运问题。经典表述依赖于椭圆型或双曲型 Monge\u0026ndash;Ampère 方程，分别导致全局凸/凹或鞍形反射器几何。然而，光滑反射器阵列的设计可能需要同时结合两类曲率的光学表面。为此，我们引入一个混合椭圆—双曲 Monge\u0026ndash;Ampère 系统，其通过将源区域划分为一个椭圆子区域和一个双曲子区域得到，并为其数值逼近建立了一种最小二乘方法。数值例子展示了所提出框架计算孤立和周期混合型输运解的能力，从而得到光滑的反射器构型。\n2. 无需稳定化或Piola变换的曲面双调和问题的有限元方法 A Finite Element Method for the Surface Biharmonic Problem without Stabilization or Piola Transforms\n作者: Jiachen Gu, Xia Ji, Shuo Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.23492v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.23492v1\n摘要翻译 中文标题: 无需稳定化或Piola变换的曲面双调和问题的有限元方法\n摘要翻译: 针对闭合光滑曲面上的双调和问题，我们构造了一种既不需要稳定化也不需要Piola变换的非协调有限元方法。该简约富化四次（REQ）单元仅依赖于顶点值和标量边矩。相同的局部构造适用于分片平面曲面的每个三角形。双线性形式由逐单元的Laplacian内积组成，并允许标准的有限元组装。通过将平面顶点残差与角亏损贡献分离，我们在平面网格和闭合分片平面曲面上建立了弱离散Miranda\u0026ndash;Talenti型估计。这些估计保证了在充分细化的插值曲面网格上的均匀稳定性。我们证明了该方法的适定性、能量范数下的一阶收敛性，以及分裂$H^1$范数和$L^2$范数下的二阶收敛性。在三个曲面上的数值试验显示了预测的收敛阶，并考察了离散Miranda\u0026ndash;Talenti常数和角亏损的缩放行为。\n3. 面向带不确定性 Vlasov\u0026ndash;Poisson 系统的保结构半拉格朗日双保真方法 A Structure-Preserving Semi-Lagrangian based bi-fidelity method for the Vlasov\u0026ndash;Poisson system with uncertainties\n作者: Xiaofeng Cai, Jiaojiao Guo, Liu Liu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.23484v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.23484v1\n摘要翻译 中文标题: 面向带不确定性 Vlasov\u0026ndash;Poisson 系统的保结构半拉格朗日双保真方法\n摘要翻译: Vlasov\u0026ndash;Poisson (VP) 系统的不确定性量化需要进行重复的动态模拟，从而带来巨大的计算成本。我们发展了一种保结构的半拉格朗日 (SL) 双保真近似，用于宏观可观测量。采用 MUSCL 作为无压 Euler\u0026ndash;Poisson 系统的低保真求解器，从而能够更经济地探索随机参数空间。采用守恒 SL 格式与高阶间断 Galerkin 相结合，作为无碰撞 VP 系统的高保真求解器；其质量守恒、正性保持和低数值耗散为双保真重构提供了更可靠的高保真快照。我们进一步推导了一个条件误差界，该误差界将投影误差、离散误差和模型误差分离。针对确定性和不确定性 VP 问题的数值实验，包括多物种和高维情形，表明所提出的框架实现了准确且稳健的不确定性传播。\n4. 弱非径向介质中高频强散射的加速 Born 级数 Accelerated Born series for high-frequency strong scattering by weakly non-radial media\n作者: Mirza Karamehmedović, Faouzi Triki\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.23428v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.23428v1\n摘要翻译 中文标题: 弱非径向介质中高频强散射的加速 Born 级数\n摘要翻译: 我们提出一种实用方法，用于加速一维、二维和三维中高频 Helmholtz 散射的修正 Born 级数。我们考虑有界、非负、紧支撑的介质，并在二维和三维中允许对径向对称性的小偏离。该方法利用散射算子谱的近似来选择单个复松弛参数。从常数参考介质的预计算特征值出发，我们估计这些特征值向给定径向剖面的演化。首阶 Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) 近似将该谱传播约化为标量非线性方程，随后对介质的非径向部分进行一阶修正。估计出的特征值连同对省略谱的界，定义了一个用于选择松弛参数的凸极小极大问题。这种谱准备与源无关，因此可复用于同一介质中的多个散射问题。数值算例展示了在散射算子谱半径大于 1 的强散射情形下的收敛性。与直接积分方程和有限差分解算器的比较评估了精度、残差收敛和计算时间，并在所选算例中表明在可比精度下可节省计算量。\n5. 参数化 Riemann 流形上抛物型方程的基于拟蒙特卡罗的无网格方法 Quasi-Monte Carlo based meshfree methods for parabolic equations on parameterized Riemannian manifolds\n作者: Zhijian He, Zhiyuan Hui, Changtao Sheng, Bihao Su, Tao Zhou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.23341v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.23341v1\n摘要翻译 中文标题: 参数化 Riemann 流形上抛物型方程的基于拟蒙特卡罗的无网格方法\n摘要翻译: 我们针对参数化 Riemann 流形上线性抛物型方程的逐点逼近，建立并分析了一个随机路径采样框架，同时处理闭流形和带 Dirichlet 边界的流形。基于 Feynman-Kac 表示，我们针对由一致椭圆算子生成的流形扩散构造了一种基于参数坐标回缩的离散化，称为 p-Ret 格式，并用其构造 Monte Carlo (MC) 与 randomized quasi-Monte Carlo (RQMC) 方法。我们推导了 p-Ret 转移的局部弱相容性以及闭流形上时间离散的一阶弱收敛性。对固定 $h$，我们证明 RQMC 采样产生比标准 MC 渐近更快的方差衰减。在闭流形上，方差为 $o(n^{-1})$，并且在额外正则性下，对任意 $\\varepsilon\u003e0$ 满足更尖锐的界 $O(n^{-2+\\varepsilon})$。对 Dirichlet 问题，尽管由数值首次退出引起不连续性，嵌套均匀 scrambled Sobol\u0026rsquo; 采样在适当正则性假设下对任意 $\\varepsilon\u003e0$ 达到 $O(n^{-1-1/s+\\varepsilon})$ 的方差，其中 $s$ 表示名义路径空间维数。更值得注意的是，我们进一步提出一种 Array-RQMC 策略，该策略基于逐级低维随机点集以及将高维粒子状态映射为一维排序的 Hilbert 空间填充曲线，并在适当假设下建立 $o(n^{-1})$ 的方差率。数值结果表明，两种 RQMC 方法相对于标准 MC 均降低方差和均方根误差 (RMSE)，并且对于内在维数高达 $50$ 的流形仍然有效。\n6. 可压缩多相流热力学相容有限体积格式的构型数值粘性 A configurational numerical viscosity for thermodynamically compatible finite volume schemes of compressible multiphase flows\n作者: Davide Ferrari, Ilya Peshkov, Michael Dumbser\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.23247v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.23247v1\n摘要翻译 中文标题: 可压缩多相流热力学相容有限体积格式的构型数值粘性\n摘要翻译: 我们考虑由变分方法导出的可压缩多相流双曲热力学相容（HTC）模型的流体子系统。其总能量在自然状态变量下通常不是凸的，因此作用于这些变量的标量数值粘性未必产生非负熵。以体积分数重新表述方程，可将各相数量的变化与其内禀状态的变化分离。这指导了在相变量中构造构型数值粘性；在相变量中能量是凸的，同时格式保持 HTC 模型的结构。在半离散层面，新格式满足：I）相质量、混合物动量和总能量的局部守恒；II）单元熵不等式，其产生项逐面、逐相非负，且不对演化变量作凸性假设且无需裁剪；III）在显式时间步条件下分密度和体积分数的正性；IV）接触平衡的精确保持；V）与密度加权体积分数格式的等价性。关键要素为：i）将每个相跨面的跳跃精确分解为以物质速度耗散的构型部分和以声速耗散的内禀部分；ii）这种耗散在相邻单元之间具有非负权重的交换形式；iii）通过每个单元的链式法则将耗散逐侧传递到演化变量，从而将能量缺陷转化为单流体能量的 Bregman 散度；iv）在相变量中构建的可逆部分的热力学修正。性质 I）–V）得到证明并数值验证，包括一个 Rusanov 粘性产生负熵的激波管以及激波–水柱相互作用。\n7. PINN-LPCDD：用于可压缩多介质流动的具有可学习且物理一致区域分解的物理信息神经网络 PINN-LPCDD: Physics-Informed Neural Network with Learnable and Physically Consistent Domain Decomposition for Compressible Multi-Medium Flows\n作者: Weiheng Zeng, Hao Wang, Jiaxin Zhu, Kun Wang, Tiegang Liu, Chengliang Feng\n类别: physics.comp-ph, math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.22903v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.22903v1\n摘要翻译 中文标题: PINN-LPCDD：用于可压缩多介质流动的具有可学习且物理一致区域分解的物理信息神经网络\n摘要翻译: 物理信息神经网络（PINN）在求解可压缩多介质流动时面临显著挑战，包括无法定位界面位置、对间断的逼近效果较差，以及难以处理大刚度差异介质之间的高压比问题。为解决这些问题，我们提出了具有可学习且物理一致区域分解的 PINN（PINN-LPCDD），该框架将锐利界面方法（SIM）融入 PINN 以求解可压缩多介质流动。首先，我们为每种介质设计具有可学习参数的独立子网络，以自动学习界面位置，从而使区域分解在物理上一致，并使界面处的接触间断自然保持锐利。其次，求解带人工粘性的 Euler 方程，以增强处理涉及激波问题时的鲁棒性。最后，利用 Euler 方程的尺度不变性来便于求解高压比问题。针对空气-空气、空气-氦气、空气-水以及空气-R22 问题的数值实验表明，所提方法在模拟多介质流动时具有可接受的精度。\n8. de Rham 复形的非贴体离散化的几何多重网格预条件子 Geometric multigrid preconditioners for unfitted discretisations of the de Rham complex\n作者: Santiago Badia, Jordi Manyer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.22865v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.22865v1\n摘要翻译 中文标题: de Rham 复形的非贴体离散化的几何多重网格预条件子\n摘要翻译: 我们提出两族多重网格预条件子，用于 de Rham 复形的 Riesz 映射在 H(grad)、H(curl) 和 H(div) 中的非贴体有限元离散化，这些离散化通过单元聚合进行稳定化。第一种是直接施加于非贴体算子的几何多重网格方法，其定义在一族共享相同边界表示的背景网格的层级上。其光滑子是在聚合网格上构造的星形片，从而每个片都能捕捉稳定化的核。第二种是多层辅助空间预条件子，它将在切割单元附近局部化的片光滑子与活动网格上的贴体问题相结合，而后者又由非嵌套几何多重网格方法求解。两者都被用作混合 Hodge Laplacian 的块对角预条件子的构建模块。在二维和三维、具有受控切割比例的几何以及一般几何上的数值实验表明，迭代次数对切割构型、网格尺寸和层数具有鲁棒性。我们还报告了高阶离散化、弱施加的 Dirichlet 边界条件以及基于面的稳定化的结果。\n不相关论文（基本信息） 1. 线性和半线性次扩散方程在分级网格上向后 L2 方法的误差分析 Error analysis of a backward L2 method on graded meshes for linear and semilinear subdiffusion equations\n作者: Natalia Kopteva, Lu Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.23780v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.23780v1\n摘要: Time-fractional linear and semilinear parabolic equations with a Caputo time derivative of order $α\\in(0,1)$ are considered. Their solutions exhibit an initial singularity of type $t^σ$ for any fixed $σ\\in (0,1) \\cup (1,2)$. A backward L2-type discrete fractional-derivative operator of order $3-α$ is considered on nonuniform temporal meshes. Sufficient conditions for inverse monotonicity of this operator areestablished. Hence, sharp pointwise-in-time error bounds are obtained on graded temporal meshes with arbitrary degree of grading. The theoretical findings are illustrated by numerical experiments.\n2. 面向随机微分方程的谱延迟校正方法 Toward Spectral Deferred Correction Methods for Stochastic Differential Equations\n作者: Lisa Binkowski, Matthew R. Christian, Sebastian Götschel, Michael L. Minion\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.23693v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.23693v1\n摘要: The numerical solution of stochastic differential equations is computationally very demanding. Often it is of interest to evaluate certain moments, e.g., the expectation, by Monte Carlo sampling, thus requiring the computation of numerous realizations. The discretization error of the numerical scheme induces bias in the computed Monte Carlo estimator. As popular numerical schemes, like Euler-Maruyama or Milstein, are low-order, even reasonably coarse error bounds for the simulation are costly to achieve. While the evaluation of moments requires only weak convergence, in other applications like parameter estimation, strong convergence is important, but higher-order is typically harder to obtain in the strong than in the weak sense. In this paper we develop an efficient method with the potential of achieving higher strong and weak convergence order. It is based on the smooth approximation of Brownian bridges combined with spectral deferred correction methods well known for the numerical solution of ordinary differential equations. We discuss convergence, and present numerical results.\n3. 基于结构化草图的张量列格式快速矩阵-向量乘积 Fast matrix-vector products in tensor-train format via structured sketching\n作者: Alberto Bucci, Stefan Güttel, John W. Pearson\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.23451v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.23451v1\n摘要: We propose a randomized, streamable algorithm that computes a tensor-train approximation of a matrix-vector product without ever forming the full intermediate tensor. We develop three contraction strategies for streaming tensor-train approximation (STTA): sequential, fused, and pre-sketched. We focus on the regime of large operator mode sizes and show that pre-sketching can provide significant speed-ups when a lower-rank approximation of the input is sought, by pre-computing all sketch-related contractions with the operator. The pre-sketched strategy can also accelerate successive randomized compression (SRC), although to a lesser extent since its second sweep depends on the input vector and cannot be pre-computed. We compare the three strategies in terms of computational cost and memory, and demonstrate their performance on synthetic and application-driven examples where rank reduction is relevant.\n4. 矩阵函数的 Cayley 访问模型：可达类与代价 Cayley access models for matrix functions: reachable class and cost\n作者: Gianna M. Del Corso\n类别: quant-ph, math.NA\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.23429v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.23429v1\n摘要: We study how to compute $f(A)b$ on a quantum computer, where $A$ is Hermitian. When $f$ is nonsmooth or has localized difficulty in the spectrum, classical numerical linear algebra approximates it with rational functions rather than polynomials. We propose the Cayley transform, parameterized by $σ\\in \\mathbb{R}$ and $γ\u003e 0$, as an alternative to the standard quantum access model. The two parameters let one concentrate accuracy where $f$ is difficult, which standard models can achieve only by raising the polynomial degree globally. This transformation converts Hermitian matrices to unitaries, allowing generalized quantum signal processing to apply Laurent polynomials bounded on the unit circle. We compare three access models (block encoding, matrix exponential, and Cayley encoding) in terms of query complexity and of the cost of their circuit realization. When the difficulty of $f$ is localized in the spectrum, the Cayley encoding reduces the required degree by a factor of three to four, and it represents the shifted resolvent exactly at degree one. For spectral projectors, the standard models cannot reach the target accuracy at fixed degree, because their approximants cannot concentrate resolution near the discontinuity. Realizing the Cayley encoding from a block encoding requires solving a shifted linear system, whose cost offsets its query-complexity gain over the standard models. For structured matrices arising in practice, however, low-depth circuits for the encoding can be constructed directly, and the gain is preserved at the circuit level.\n5. Łojasiewicz 型条件与多项式受控噪声下随机梯度下降的收敛速率 Convergence rate of stochastic gradient descent under Łojasiewicz type condition and polynomially controlled noise\n作者: Paweł Węgrzyn\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.23386v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.23386v1\n摘要: Stochastic gradient methods are widely used for solving optimization problems in many scientific fields. Recently, their popularity has risen due to the increase in machine learning\u0026rsquo;s prominence. Their convergence is often studied under the convexity assumption, which is too restrictive in modern applications. In this paper, we investigate the almost sure convergence rate and expectation under a Łojasiewicz-type gradient domination condition. This framework includes both bounded and decaying noise, as well as noise with controlled polynomial growth. The obtained results extend existing convergence by allowing a broader class of noise sequences and explicitly capturing the effect of their asymptotic behavior on the convergence rate and applicability.\n6. 近似离散Radon变换的显式斜逆 Explicit Oblique Inverses of the Approximate Discrete Radon Transform\n作者: Donsub Rim\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.23363v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.23363v1\n摘要: The approximate discrete Radon transform (ADRT) is a fast, hierarchical approximation of the Radon transform whose levels have explicit spectral decompositions, but its Moore-Penrose inverse, needed for data outside the range, has no closed form. We construct explicit left inverses of the ADRT, oblique projections onto its range, that are exact for every choice of their parameters and amplify noise by a constant factor relative to the Moore-Penrose inverse. Realized with polynomial filters on the butterfly structure of the levels, they are fixed linear maps of cost $O(N^{5/2}\\log^{3/2}N/σ_{\\min})$ for an $N\\times N$ image, where $σ_{\\min}$ is the smallest singular value of the ADRT; with the measured growth $σ_{\\min}\\sim N^{1/4}$ this is $O(N^{2.25}\\log^{3/2}N)$. A hybrid that keeps the explicit inverse of the cross-quadrant level is cheaper and closer to the Moore-Penrose inverse. In compiled implementations both outperform a polynomial solver of the normal equations from $N=256$ on, and their conditioning is traced to the aliasing of integer-sampled lines.\n7. 多层高斯过程及其在反问题中的应用 Multilevel Gaussian Processes with Applications to Inverse Problems\n作者: Stjepan Salatovic, Aretha L. Teckentrup, Sebastian Krumscheid\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.23202v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.23202v1\n摘要: We present a multilevel Gaussian process (GP) regression framework for approximating functions that are accessible only through a hierarchy of approximations of increasing accuracy and computational cost. One example is the response surface of a parametrized partial differential equation, where the hierarchy arises from the resolution of the numerical solver. Modeling level increments independently with Matérn-kernel GPs and allocating samples flexibly across discretization levels yields substantial computational savings over single-level GP regression. We derive $L^2$ convergence rates for the posterior mean and variance, accounting for maximum likelihood estimation of the marginal variance and for kernel misspecification. When increment regularity or solver cost is unknown a priori, an adaptive sequential-design algorithm with cost-adapted active learning criteria allocates samples across levels. We apply the surrogate to Bayesian inverse problems, for which Hellinger distance bounds between the true and approximate posteriors are known. Numerical experiments illustrate the theoretical rates and the resulting computational savings.\n8. 烧伤愈合形态弹性模型中的无量纲化、变分不等式与不确定性量化 Nondimensionalization, Variational Inequalities and Uncertainty Quantification in a Morphoelastic Model for Burn Injury Healing\n作者: Wilbert den Hertog, Fred Vermolen\n类别: math.NA, q-bio.TO\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.23177v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.23177v1\n摘要: Mathematical modelling of burn injury healing involves coupling biological processes with mechanical deformation, resulting in computationally stiff, nonlinear partial differential equations that severely limit the scalability of existing numerical solutions. We present a computational framework addressing these challenges. By nondimensionalizing the model and performing scaling analysis, we show that chemotaxis and inertia are negligible, permitting a quasi-static momentum approach. To enforce non-negativity constraints, we implement a Variational Inequality formulation using the Finite Element Method in FEniCSx, and verify it via numerical convergence studies and mass balances. We identify high-order parameter interactions, specifically equilibrium collagen density and signalling dynamics, as the primary drivers of solver stability. A sensitivity analysis of nearly four million simulations reveals that isolated parameter variations predominantly govern the maximum wound contraction. In contrast, higher-order interactions determine the timing of maximum contraction and the permanent contracture. However, no significant pairwise parameter interactions were found, suggesting that the model\u0026rsquo;s behaviour is governed by higher-order interactions, highlighting the inherent complexity of the wound-healing process.\n9. 径向符号界下卷积求积的稳定性与误差估计 Stability and Error Estimates for Convolution Quadrature under Radial Symbol Bounds\n作者: Jingchuang Ren, Haibin Su\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.23163v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.23163v1\n摘要: We develop stability and error estimates for multistep convolution quadrature (CQ) under general radial bounds on the Laplace symbol. Instead of the classical single-power condition $|F(z)|\\leq M|z|^{-μ}$, we assume $|F(z)|\\leq CΦ(|z|)$ and consider two classes of radial functions: monotone bounds satisfying a scaling condition and regularly varying bounds with locally bounded above and away from zero. For strongly $A(α)$-stable multistep methods, we derive approximation and stability estimates for the CQ weights, as well as error bounds for power-type inputs $g_β(t)=t^{β-1}/Γ(β)$ with $β\u003e0$. These estimates explicitly retain the dependence on the memory law through the factor $Φ(t_n^{-1})$. The framework accommodates symbols whose behavior cannot be described by a global single-power. It also preserves slowly varying and multiscale factors that would be lost under a coarser power majorant. The theory is applied to fractional viscoelastic models, distributed-order operators, and logarithmic-power memory operators. Numerical experiments with backward Euler and second-order backward differentiation CQ confirm the expected temporal convergence orders for direct responses. Complementary evolution examples demonstrate the corresponding temporal behavior for smooth and nonsmooth initial data.\n10. 面向不规则颗粒阻力系数预测的几何感知隐表示学习 Geometry-Aware Latent Representation Learning for Drag Coefficient Prediction of Irregular Particles\n作者: Zihao Li, Shota Deguchi, Mitsuteru Asai, Shunhua Chen, Naoto Mitsume\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-16\narXiv ID: 2610.23087v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.23087v1\n摘要: Predicting the drag coefficient $C_\\mathrm{d}$ of irregular particles requires representing their complex three-dimensional geometry in a form suitable for predictive models. Empirical drag correlations and many data-driven models represent particle geometry through a small set of hand-crafted shape descriptors. Geometric differences omitted by these descriptors are unavailable to the predictor. We propose a variational autoencoder-multilayer perceptron (VAE-MLP) framework that learns a latent representation directly from voxelized particle geometry. Geometry reconstruction and drag coefficient prediction jointly guide the learning of this representation. We compare VAE-MLP with a descriptor-based MLP (Descriptor-MLP) and established empirical correlations using CFD data for synthetic particle geometries at Reynolds numbers of 10\u0026ndash;200. When the evaluated geometric variations are represented in the training data, the two learned models achieve comparable accuracy for regular ellipsoids, while VAE-MLP yields lower errors for irregular particles. When high-order surface perturbations are excluded from training, VAE-MLP achieves lower overall mean absolute relative error in all five training runs. At the strongest tested perturbation, the mean errors across these runs are 4.97% for VAE-MLP and 9.88% for Descriptor-MLP. These results support learning geometric representations directly from particle geometry to improve drag prediction for the irregular geometries and unseen surface perturbations examined here.\n11. ReLU神经网络对光滑函数的最优逼近 Optimal approximation of smooth functions by ReLU neural networks\n作者: Thomas Nagler\n类别: stat.ML, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-10-15\narXiv ID: 2610.22693v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.22693v1\n摘要: We study uniform approximation of the Hölder ball $\\mathcal H_1^s([0,1]^D)$ by fully connected ReLU networks. Except in the one-dimensional Lipschitz case, existing constructions remain separated from the information-theoretic efficiency limit. This article closes the gap for every $s\u003e0$ and $D\\ge1$: networks with width $O(N)$, depth $O(L)$, and parameter magnitude $O(1)$ attain uniform approximation error of order $(N^2L^2\\log N)^{-s/D}$. No relation between width and depth is required. The construction uses new encoding and decoding mechanisms that exploit higher-order finite-difference bounds for local Taylor coefficients of the target function. As a statistical consequence, empirical risk minimizers over the corresponding clipped network classes attain the minimax regression rate $n^{-2s/(2s+D)}$ without additional logarithmic factors. The paper also gives a detailed exposition of the key approximation techniques, covering both established and new mechanisms.\n12. 刚性问题的优化线性多步方法 Optimized linear multistep methods for stiff problems\n作者: Tyler Jensen, David I Ketcheson, Lajos Lóczi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-15\narXiv ID: 2610.22685v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.22685v1\n摘要: We design and test several new optimized linear multistep methods for stiff problems. Each method is A-stable, implicit, and second-order accurate. We focus on achieving the smallest possible error constant while also ensuring that stiff modes are damped. We recover some known optimal L-stable three- and four-step methods, and provide new and improved five-step methods. We also develop new methods that are not L-stable but provide a prescribed rate of damping in the infinitely stiff limit. Variable-step-size formulae are also provided for some of the new methods. Numerical tests demonstrate that the improved error constants lead to improved accuracy.\n13. 稀疏随机矩形矩阵的奇异向量：离域相与半局域相之间的转变 Singular vectors of sparse random rectangular matrices: Transition between delocalized and semilocalized phases\n作者: Ioana Dumitriu, Hai-Xiao Wang\n类别: math.PR, math.CO, math.NA, math.ST\n发布日期: 2026-10-15\narXiv ID: 2610.22658v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.22658v1\n摘要: Consider the bipartite Erdős\u0026ndash;Rényi graph $\\mathbb{G}(n,m,d/\\sqrt{mn})$ at the critical sparsity $d = b\\log(N)$ for some $b \u003e 0$ with $N = n + m$, and constant aspect ratio $γ= n/m \\geq 1$. We show that the spectrum of its centered and rescaled bi-adjacency matrix, whose limiting law is the Marčenko\u0026ndash;Pastur (MP) distribution, is split into two phases: in the bulk, singular vectors are completely delocalized, while near the edges, singular vectors are semilocalized, with their mass concentrating on small disjoint balls, centered at vertices with extreme degrees. As $b$ decreases, we identify sharp thresholds for the emergence of outlier singular values. For explicit $b_{\\rm R}^{\\star}$ and $b_{\\rm L}^{\\star}$ as functions of $γ$, we prove that when $b \u003e b_{\\rm R}^{\\star}$, there is no outlier outside the bulk; when $b_{\\rm L}^{\\star}\u003c b \u003c b_{\\rm R}^{\\star}$, only right outliers emerge; and when $b \u003c b_{\\rm L}^{\\star}$, outliers are present on both sides, all with high probability. This removes an extra technical condition from our previous work arxiv:2508.01456, providing a complete characterization of the parameter space. In sparser regimes, in terms of left outliers, we provide some nontrivial generating mechanisms, demonstrating that local graph structure plays a key role in understanding extreme singular values. Our proofs rely on two technical inputs: (1) an entrywise local law in the MP bulk, where the deterministic equivalent of the resolvent depends on both variance profiles and normalized vertex degrees, different from the Gaussian setting; (2) spectral radius upper bounds for nonbacktracking matrices constructed from regularized random graphs, recently developed in arXiv: 2609.26615. Our results reveal fruitful phenomena for sparse random rectangular matrices at criticality, which are beyond the universality class of their Gaussian counterparts.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-10-19_16-52-27/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年10月19日 16:52:27\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 8\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 13\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-混合椭圆双曲-mongeampère-问题建模与最小二乘求解器\"\u003e1. 混合椭圆—双曲 Monge\u0026ndash;Ampère 问题：建模与最小二乘求解器\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eA Mixed Elliptic\u0026ndash;Hyperbolic Monge\u0026ndash;Ampère Problem: Modeling and a Least-Squares Solver\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年10月19日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年10月16日 14:42:01\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 7\n不相关论文数量: 15\n重点关注论文（完整分析） 1. 时间调制 Drude\u0026ndash;Lorentz 介质的可杂交间断伽辽金方法 A Hybridizable Discontinuous Galerkin Method for Time-Modulated Drude\u0026ndash;Lorentz Media\n作者: Jeonghun J. Lee\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-15\narXiv ID: 2610.21991v1\n摘要翻译: 我们构造并分析了一种用于 Maxwell 方程组与四类时间调制 Drude\u0026ndash;Lorentz 模型耦合的可杂交间断伽辽金 (HDG) 方法：调制入耦合、调制极化密度、调制电流密度和调制有效质量。使用电位移和依赖于模型的连续材料状态，为时间界面提供统一处理，同时保持各自不同的物理透射规则。我们推导了能量与稳定性估计，建立了空间误差界以及与事件对齐的时间误差界，并将时间积分误差与切换时刻错置所导致的误差分离。三维及约化模态系统中的数值实验验证了所预测的空间、时间以及切换时序行为，包括极化密度模型特有的场跳跃效应。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.21991v1\n1. 研究对象和背景 本文研究有界多面体 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^3$ 上时间域 Maxwell 方程与四类时空调制 Drude\u0026ndash;Lorentz 色散材料模型的耦合. 边界取理想电导体 (PEC) 条件 $n\\times E=0$, 也可替换为成对周期边界. 背景介电常数与磁导率 $\\epsilon_0,\\mu_0\u003e0$ 固定, 设 $s=\\omega_p^2$ 为等离子体频率平方 (振子强度), $b=\\omega_0^2$ 为 Lorentz 共振频率平方, $\\gamma\\ge0$ 为阻尼. Maxwell 方程组为 $$\\partial_t D-\\nabla\\times H=0,\\quad \\mu_0\\partial_t H+\\nabla\\times E=0,\\quad D=\\epsilon_0 E+P,$$ 无外加源项, 以隔离调制引起的能量转移. 材料是各向同性, 仅有一个电 Lorentz 极点, 无磁色散. 时间调制由全局事件时间 $0=\\theta_0\u003c\\theta_1\u003c\\cdots\u003c\\theta_{N_{\\rm ev}}","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-10-16_14-42-01/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年10月16日 14:42:01\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 7\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 15\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-时间调制-drudelorentz-介质的可杂交间断伽辽金方法\"\u003e1. 时间调制 Drude\u0026ndash;Lorentz 介质的可杂交间断伽辽金方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eA Hybridizable Discontinuous Galerkin Method for Time-Modulated Drude\u0026ndash;Lorentz Media\u003c/p\u003e","title":"2026年10月16日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年10月15日 14:49:03\n重点关注论文数量: 4\n了解领域论文数量: 5\n不相关论文数量: 17\n重点关注论文（完整分析） 1. 面向谐波传播的 HDG 离散的模型降阶 Model order reduction of HDG discretizations for harmonic wave propagation\n作者: Hélène Barucq, Florian Faucher, Ha Pham, Ishak Tifouti\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.20145v1\n摘要翻译: 我们提出并分析了一种基于投影的模型降阶方法，用于在频带上快速可靠地求解时谐声波传播问题，特别强调地震应用。高保真模型基于可杂交间断伽辽金 (HDG) 离散，并被表述为耦合体未知量和迹未知量的广义鞍点系统。基构造结合了基于残差的频率参数贪心采样、以 HDG 解的频率导数进行增广，以及本征正交分解 (POD) 压缩。我们建立了高保真问题和降阶问题的适定性，并用 inf-sup 常数刻画其稳定性。我们研究了 HDG 离散固有的静态凝聚与到降阶空间上的投影之间的相互作用，刻画了其对降阶格式和逼近误差的影响。由于这些运算一般不可交换，我们推导了迹变量和体变量的先验误差估计，以量化这两种运算之间的差距。我们进一步识别出体降阶空间上的一个提升条件，该条件消除了这些差距，并给出不依赖于体逼近误差的迹误差估计。在二维 Marmousi 模型和具有超过 $10^{7}$ 个未知量的三维非均匀介质上的数值实验验证了理论估计，并表明降阶模型相较于高保真求解器实现了数个数量级的加速。\nComment: 32 pages, 17 figures\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.20145v1\n1. 研究对象和背景 本文研究阻尼时谐声波在二维或三维截断区域中的传播问题, 目标是在频率扫描或多频查询场景下, 为基于 HDG 离散的高保真模型构造并分析基于投影的模型降阶方法. 设区域 Ω ⊂ R^d, d = 2,3, 边界 Γ = Γ_N ∪ Γ_A, 其中 Γ_N 为反射边界, Γ_A 为人工吸收边界. 介质由密度 ρ ∈ L^∞(Ω) 和体积模量 κ ∈ L^∞(Ω) 描述, 假定二者分片常且满足 0 \u0026lt; ρ_min ≤ ρ ≤ ρ_max, 0 \u0026lt; κ_min ≤ κ ≤ κ_max. 引入复频率 σ = iω - s, 其中 ω ∈ R_+ 为角频率, s \u0026gt; 0 为阻尼参数. 一阶速度-压力形式的时间调和声波方程为 $$ -σ κ^{-1} p + ∇·v = f, in Ω, -σ ρ v + ∇p = 0, in Ω, v·ν = 0, on Γ_N, -(cρ)^{-1} p + v·ν = 0, on Γ_A, $$ 其中 c = sqrt(κ/ρ) 为波速, 未知量为压力 p ∈ H^1(Ω; C) 和速度 v ∈ H_div(Ω; C^d), 右端项 f ∈ L^2(Ω) 为标量源. 该模型的重要之处在于, 在地震成像和全波形反演等应用中, 需要在较宽频带上反复求解正问题, 因此对多频查询的边际成本提出了很高要求. 然而, 三维大尺度问题的频率扫描计算量往往非常巨大.\n高保真离散采用 hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) 方法. HDG 在网格单元内部使用体积未知量 (p_h, v_h), 并在网格骨架 Σ 上引入 hybrid trace 未知量 λ_h, 即寻找 (p_h, v_h, λ_h) ∈ W_h × W_h^d × M_h, 其中 W_h 和 M_h 分别为分片多项式空间. HDG 的局部结构允许逐单元消去体积未知量, 得到仅含 trace 变量的凝聚系统 KΛ = F, 其中 $$ K = ∑_e R_e^T (L_e - B_e A_e^{-1} C_e) R_e, F = -∑_e R_e^T B_e A_e^{-1} S_e. $$ 凝聚系统显著减小了全局耦合规模, 但 K 中含有参数相关的逆矩阵 A_e^{-1}, 因而不再关于频率 σ 仿射. 这会破坏模型降阶中离线-在线分解所依赖的仿射参数结构. 为此, 作者保留等价的未凝聚块系统 $$ (A C; B L)(U; Λ) = (S; 0), $$ 其中 A = diag_e(A_e), C = diag_e(C_e R_e), 类似定义 B, L, S. 未凝聚系统关于 σ 保持仿射: G(σ) = G_0 + σ G_1. 本文正是在这一未凝聚格式上构造 Galerkin 投影约简, 同时保持 HDG 的块结构.\n已有理论背景方面, HDG 方法已被成功用于连续介质力学和波传播, 对 Helmholtz 问题也有误差分析. 在模型降阶领域, 参数化偏微分方程的投影式降阶已有系统理论, 常用 proper orthogonal decomposition (POD) 构造快照空间, 或用 weak-greedy 算法结合后验残差指示子自适应选点. 另一类方法从离散算子的代数结构出发, 如 asymptotic waveform evaluation (AWE), WCAWE, MWCAWE 以及 rational Krylov 方法, 通过匹配解关于参数的矩或导数来构造降维空间. 在波传播和地震领域, 也有频率域降阶、法向模态降阶以及作为反演代理的降阶模型. 对于鞍点或混合格式, 已有工作讨论其降阶扩展. 与本文最接近的是 HDG 系统的降阶工作 [63, 64], 其中采用两场 (p_h, λ_h) 格式并消去通量变量, 以保持仿射参数依赖; 需要恢复通量时再额外回代计算.\n本文试图补齐的空白在于: HDG 的 hybrid 结构使得体积变量和 trace 变量耦合于网格骨架, 但如何对二者分别构造降阶空间、如何分析降阶问题的适定性, 以及静态凝聚与投影操作之间的非交换性对误差有何影响, 此前尚缺乏系统分析. 特别地, 先凝聚再投影与先投影再凝聚通常不交换, 由此产生的 trace 误差与体积误差之间的耦合需要定量刻画. 此外, 本文面向全波形反演等应用, 速度场本身是感兴趣量, 因此不能像两场格式那样简单消去通量变量, 而需要保留完整三场 (p_h, v_h, λ_h). 本文的参数化目前仅针对频率, 介质固定; 介质变化留作未来工作.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果可分为适定性、解析性、降阶模型误差分析以及数值验证四部分.\n第一, 作者证明了未凝聚 HDG 系统 (13) 的适定性. 在假设 s \u0026gt; 0, τ ≥ τ_min \u0026gt; 0 且 μ ≥ μ_min \u0026gt; 0 下, 定义算子 T(p, v, λ) = (p, v, -λ), 并证明 A 满足 T-coercivity: 存在 β \u0026gt; 0, 使得对任意 x ∈ V_h, $$ Re A(x, Tx) ≥ β ||x||_{V_h}^2. $$ 证明依赖能量恒等式 $$ Re A(x, Tx) = ∑_{K_e} ( s ρ ||v||_{K_e}^2 + s μ ||p||_{K_e}^2 + τ ||p - λ||_{∂K_e}^2 ) + ∑_{f_A} c_e ||λ||_f^2. $$ 由此得到 β^{-1} 的显式上界, 包含 1/(sρ_min), 1/(sμ_min), 2/τ_min, 2 C_tr/(h_min s μ_min) 以及 1/c_min 等项. 进一步, 作者证明 inf-sup 条件 $$ inf_{x≠0} sup_{y≠0} |A(x,y)|/(||x||_{V_h}||y||_{V_h}) ≥ β, $$ 以及反向 inf-sup 条件成立, 从而由 Banach-Nečas-Babuška 定理得到 HDG 系统适定性. 同时, 局部矩阵 A_e 在相同假设下强制且可逆, 因此静态凝聚 (10) 良定义. 作者还证明凝聚算子 -K 强制: $$ Re(-K(λ, λ)) ≥ β ||λ||_{L^2(Σ)}^2, ∀ λ ∈ M_h, $$ 该估计在后续误差分析中起关键作用. 作者指出, -K 的实际强制常数 β_k 通常大于 β, 因为 β 需要控制所有变量, 而 -K 只需控制 trace 变量.\n第二, 作者建立了 HDG 解映射关于复频率的解析性. 对 σ ∈ D_σ = { iω - s : ω ∈ D_ω }, 解映射 σ ↦ X(σ) = (U(σ), Λ(σ)) 解析. 证明思路是: A(σ) 关于 σ 是一次矩阵多项式且可逆, 由 Cramer 法则 A(σ)^{-1} = adj(A(σ))/det(A(σ)), 故 A(σ)^{-1} 解析; 进而 K(σ) = L - B A(σ)^{-1} C 解析, 其逆也解析, 于是 Λ(σ) 和 U(σ) 解析. 该性质为在降阶基中加入频率导数提供了理论基础. 具体地, 将解和算子按 (σ - σ_ℓ) 展开, 得到多右端系统 $$ G^{(0)} X^{(0)} = R_S, G^{(0)} X^{(j)} = -G^{(1)} X^{(j-1)}, j ≥ 1, $$ 其中 G 关于 σ 仿射, 所以二阶以上导数为零. 在实际计算中, 导数通过静态凝聚恢复: $$ K Λ^{(j)} = ∑_e R_e^T B_e A_e^{-1} A_{1,e} U_e^{(j-1)}, U_e^{(j)} = A_e^{-1}(-A_{1,e} U_e^{(j-1)} - C_e R_e Λ^{(j)}). $$ 所有导数复用同一分解, 每个导数只需一次额外回代.\n第三, 作者构造并分析了降阶模型. 降阶空间分为体积变量空间 Z_U^n 和 trace 变量空间 Z_Λ^n, 且分别正交于 L^2(Ω) 和 L^2(Σ). 降阶解写成 u_r = Z_U b_U, λ_r = Z_Λ b_Λ. 基于未凝聚仿射系统 G(σ) = G_0 + σ G_1 进行 Galerkin 投影, 保持块结构. 作者证明高保真问题和降阶问题均适定, 并用 inf-sup 常数刻画稳定性. 由于静态凝聚与投影一般不交换, 作者推导了 trace 变量和体积变量的先验误差估计, 量化了两种操作之间的差距. 这些估计表明, trace 误差通常会受到体积约简空间近似误差的污染. 进一步, 作者识别出一个 volume reduced space 上的 lifting condition: 若将 trace-coupling 贡献的提升项纳入体积约简空间, 则可以消除该差距, 使 trace 误差估计不再依赖体积近似误差. 其结果是 trace 变量的降阶近似能够继承相应高保真 HDG 近似的逼近性质. 从提供内容中无法确认误差估计的具体定理编号、完整误差阶以及 lifting condition 的精确代数形式; 但摘要与引言明确给出上述结论.\n第四, 数值实验在二维 Marmousi 模型和三维非均匀介质上进行, 后者未知量超过 10^7. 实验验证了理论估计, 并显示降阶模型相对于高保真求解器可获得数个数量级的加速. 基构造算法结合了基于残差的 weak-greedy 频率采样、频率导数富集以及 POD 压缩. 贪婪指示子为 $$ Δ(σ) = ||r(σ)||_{V'_h} / ||R_S||_{V'_h}, r(σ) = G(σ)(Z_U b_U, Z_Λ b_Λ)^T - R_S. $$ 由于 G 仿射, 残差范数关于 σ 和 σ̄ 是二次多项式, 可通过预计算 Gram 矩阵并在 online 阶段以 O((n_U + n_Λ)^2) 代价评估. 作者强调, 上述结果为固定介质、仅以频率为参数的降阶框架; 介质变化和全波形反演集成留作未来方向.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的技术障碍首先来自 HDG 的 hybrid 结构与模型降阶投影之间的不匹配. HDG 高保真求解通常使用静态凝聚后的系统 KΛ = F, 其全局未知量仅为 trace 变量, 计算效率高. 然而凝聚算子 K = L - B A^{-1} C 含有参数相关的 A^{-1}, 因而关于频率 σ 非仿射. 而投影式降阶若要实现高效离线-在线分解, 通常需要算子关于参数仿射. 作者的核心选择是: 不直接对凝聚系统降阶, 而是保留未凝聚块系统 (A C; B L)(U; Λ) = (S; 0), 在该系统上做 Galerkin 投影, 并分别构造体积和 trace 的降阶空间. 这样既保持了 G(σ) = G_0 + σ G_1 的仿射结构, 又保留了完整三场 (p_h, v_h, λ_h), 从而速度场可直接作为感兴趣量. 与只保留两场 (p_h, λ_h) 的方法相比, 该策略的代价是离线阶段需要处理更多体积自由度, 但作者通过逐单元访问局部矩阵 A_e, B_e, C_e, L_e, S_e 并进行并行投影来补偿, 全局未凝聚系统从不需要真正组装.\n第二个关键工具是 T-coercivity 与能量恒等式. 由于本文考虑阻尼 Laplace-Fourier 域, s \u0026gt; 0 使算子具有符号确定性, 作者选择算子 T(p, v, λ) = (p, v, -λ). 在双线性形式 A 中取 y = Tx 后, 交叉项因 Re(z̄ - z) = 0 而消失, 得到纯能量恒等式 $$ Re A(x, Tx) = ∑_{K_e} (s ρ ||v||^2 + s μ ||p||^2 + τ ||p - λ||_{∂K_e}^2) + ∑_{f_A} c_e ||λ||_f^2. $$ 随后作者用离散迹不等式 ||q||_{∂K}^2 ≤ C_tr h_K^{-1} ||q||_K^2 控制边界迹项, 并分别估计体积项、内部面项和吸收边界项, 得到显式 β. 这一路线避免了无阻尼 Helmholtz 分析中常用的 Gårding 不等式加对偶论证, 因为 s \u0026gt; 0 使问题更接近强制问题. 该能量恒等式不仅证明全局适定性, 还用于证明局部 A_e 可逆以及 -K 的强制性与凝聚系统良定. 第三个技术点是解映射解析性与频率导数富集. 作者利用 Cramer 法则证明 σ ↦ X(σ) 解析, 从而可在贪婪选点得到的训练频率处加入解的 Fréchet 导数. 导数通过多右端系统 G^{(0)} X^{(j)} = -G^{(1)} X^{(j-1)} 计算, 并利用静态凝聚复用已有分解: 先求 trace 导数 Λ^{(j)}, 再逐单元回代 U_e^{(j)}. 每个导数仅增加一次回代, 因此相对于高保真求解成本很低. 这使降阶基同时具有全局自适应采样信息和局部导数信息, 有望在不增加高保真训练求解次数的前提下提高频率域逼近效率.\n第四个技术点是残差指示子的高效装配-评估分裂. 贪婪算法需要在大量候选频率上评估后验残差, 若每次全局装配代价过高. 作者利用 G 关于 σ 仿射这一事实, 将残差范数写成关于 σ 和 σ̄ 的二次多项式, 并预计算投影算子的 Gram 矩阵, 如 $$ H_{00} = (A_0 Z_U)^* M_U^{-1} (A_0 Z_U), H_{01} = (A_0 Z_U)^* M_U^{-1} (A_1 Z_U), H_{11} = (A_1 Z_U)^* M_U^{-1} (A_1 Z_U). $$ 每次基更新后装配一次这些 Gram 矩阵, online 评估每个候选频率仅花费 O((n_U + n_Λ)^2), 与高保真自由度 N 无关. 这使 weak-greedy 循环在数百个频率点上可行.\n第五个技术核心是投影与凝聚的非交换性分析. 作者比较了两种操作: 先对未凝聚系统投影再凝聚, 与先凝聚再投影. 由于 K 含 A^{-1}, 二者一般不交换, 因此降阶 trace 误差会与体积近似误差耦合. 作者通过先验误差估计显式刻画这种传播. 更进一步, 作者提出 volume reduced space 上的 lifting condition: 在体积约简空间中显式加入 trace-coupling 贡献的提升项. 若该条件满足, 则投影与凝聚在 trace 误差层面解耦, 使 trace 的降阶误差估计不含体积近似误差项, 从而继承高保真 HDG 的 trace 逼近性质. 这一提升策略不是简单的后处理, 而是构造降阶基时的空间设计准则. 作者还强调, 独立构造体积和 trace 降阶空间对适定性和误差分析至关重要: 它提供试验/测试函数的额外灵活性, 并允许在推导能量恒等式时利用 HDG 的块结构. 最后, 数值实现方面, 作者在二维和三维异质介质中验证方法, 三维问题超过 10^7 未知量, 显示该框架在 HPC 环境下具有实际可扩展性, 并取得数个数量级加速.\n4. 与之前工作的比较 与最接近的 HDG 降阶工作 [63, 64] 相比, 本文的首要推进在于保留完整三场 HDG 格式 (p_h, v_h, λ_h), 而不是只保留两场 (p_h, λ_h) 并在需要时回代恢复通量. [63, 64] 通过只消去通量变量来保持仿射参数依赖, 并减少离线阶段的变量维度; 其效果在 Helmholtz 问题某个感兴趣量的随机评估中得到展示. 本文则因为目标应用是全波形反演, 速度场本身是感兴趣量, 所以显式保留通量变量. 代价是离线阶段体积未知量更多, 计算和存储成本更高, 但作者通过逐单元投影和并行计算补偿. 更重要的是, 本文为体积变量和 trace 变量构造相互独立的降阶空间, 这一区分是其适定性和误差分析的核心; 在 [63, 64] 的两场框架中不存在这种分离. 此外, 本文给出了投影与静态凝聚非交换性的先验误差量化, 并提出 lifting condition 使 trace 误差与体积近似误差解耦, 这是 [63, 64] 未展开的分析层面.\n与无阻尼 Helmholtz 或对流 Helmholtz 的 HDG 适定性分析相比, 本文的假设和证明路线不同. 已有工作 [20] 对无阻尼 Helmholtz 问题、[6] 对无对流阻尼的 convected Helmholtz 问题证明 HDG 适定性, 通常依赖 Gårding 不等式加对偶论证. 本文处于阻尼 Laplace-Fourier 设定 s \u0026gt; 0, 算子具有符号确定性, 因此采用 T-coercivity 和能量恒等式直接得到 inf-sup 稳定性, 证明更简单且不需要额外先验误差估计. 这既是本文分析的优势, 也意味着其适定性结论不能直接推广到 s = 0 的无阻尼情形; 从提供内容中无法确认作者是否讨论了 s → 0 的极限或统一分析.\n在广义模型降阶文献中, POD 和 weak-greedy 是成熟工具. 本文的组合方式是: weak-greedy 基于残差指示子自适应选择频率, 在每个选点加入解及其频率导数, 再用加权 POD 压缩. 导数富集与 AWE, WCAWE, MWCAWE 以及 rational Krylov 等矩匹配方法在思想上有相通之处: 它们都利用解映射关于参数的导数或矩来增强局部逼近. 但那些方法通常直接构造代数降阶模型并依赖线性系统的矩匹配, 而本文是在 HDG 未凝聚系统上做投影, 导数的计算通过多右端系统和静态凝聚实现, 并复用高保真分解. 因此, 本文的贡献不是提出全新的导数富集概念, 而是将其与 HDG 混合结构、残差贪婪采样和 POD 压缩结合, 并给出相应适定性与误差分析. 作者也明确指出, 方法各个组成部分在降阶基文献中已建立, 新颖性在于组合方式及分析.\n与局部模型降阶或域分解型降阶相比, 例如 reduced basis element method, static condensation reduced basis element method, 以及界面经验降阶或传递算子主导特征函数构造, 本文不采用子域局部降阶和界面耦合, 而是在全局频率参数上构造线性降阶空间. 其参数目前仅为频率, 介质固定. 这使方法更适合频率扫描, 但尚未处理介质变化. 作者在引言中说明, 介质变化和全波形反演集成留作未来工作. 从提供内容中无法确认本文是否与局部降阶方法进行了数值比较. 此外, 对于高度振荡解, 谐波问题的 Kolmogorov n-width 虽被证明可指数衰减, 但在达到渐近指数区之前降维维数可能较大; 作者提到可用截断策略或局部/非线性方法控制维数, 但因频率域解映射的良好逼近性质, 本文仍限制在线性降阶空间. 这也构成适用范围上的一个限制: 对极宽带、强多尺度或高对比度介质, 线性全局基的维数可能增长.\n从时间尺度与适用范围看, 已有地震波传播降阶工作多关注频率域或法向模态 formulation, 或把降阶模型作为反演代理. 本文的数值规模推进到三维超过 10^7 未知量, 并报告相对高保真求解器数个数量级加速, 这比常见二维演示更接近实际三维地震应用. 但本文的在线加速依赖于固定介质下频率参数的仿射结构; 若引入介质参数, 局部矩阵 A_e 等会依赖介质, 仿射结构可能更复杂, 离线-在线分解需要重新设计. 作者未在提供内容中给出与其他 ROM 方法在同一基准上的数值比较, 因此无法判断其相对 POD-only, 两场 HDG-ROM 或 rational Krylov 的具体精度-效率优势. 总结而言, 本文相较既有 HDG 降阶工作推进了完整三场保留、独立体积/trace 降阶空间、适定性分析和投影-凝聚非交换误差理论; 主要代价是离线阶段维度与成本增加, 主要局限是参数范围限于频率且介质固定.\n2. 大波数电磁散射问题的球面完美匹配层方法 Spherical Perfectly Matched Layer Method for Electromagnetic Scattering Problems with Large Wave Number\n作者: Jian Shi, Yonglin Li, Haijun Wu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.19982v1\n摘要翻译: 我们研究大波数时谐 Maxwell 散射问题的球面完美匹配层 (PML) 方法。利用向量球谐函数以及对耦合横磁分量进行的模态变换，我们建立了截断 PML 问题的尖锐且波数显式的稳定性估计，并证明其 inf-sup 常数为 $O(κ^{-1})$ 阶。随后，我们分析一阶 Nédélec 棱单元方法及其连续内罚对应方法。在 $κ^3h^2$ 充分小的条件下，能量范数中的预渐近误差与 $κ$-缩放的 $\\mathbf{L}^2$ 范数中的预渐近误差分别为 $O(κh+κ^3h^2)$ 和 $O(κ^2h^2+κ^3h^2)$ 阶。数值实验验证了理论结果。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.19982v1\n1. 研究对象和背景 本文研究三维时谐 Maxwell 散射问题在大波数 $\\kappa$ 情形下的球面完美匹配层 (PML) 截断及其有限元离散. 设源项 $f \\in L^2(\\mathbb{R}^3)$ 支集含于球 $\\Omega := B_R$，未知电场 $E$ 满足 $$\\operatorname{curl}\\operatorname{curl} E - \\kappa^2 E = f \\quad \\text{in } \\mathbb{R}^3,$$ 并满足 Silver-Müller 辐射条件 $$\\lim_{r\\to\\infty}\\int_{\\partial B_r} |\\operatorname{curl} E \\times \\hat{x} - i\\kappa E|^2\\, ds = 0,$$ 其中 $r=|x|$，$\\hat{x}=x/r$，波数 $\\kappa\\ge 1$. 该问题描述高频电磁波在无界介质中的散射，其数值难点在于无界区域与高波数导致的污染误差. 直接截断外区域会引入人工边界反射，因此采用球面 PML：在物理区域外加入吸收层 $\\hat{\\Omega} = \\{x\\in\\mathbb{R}^3: R\u003c|x|\u003c\\hat{R}\\}$，令 $L=\\hat{R}-R$，通过径向复坐标拉伸 $$\\tilde{r} = \\int_0^r \\alpha(s)\\,ds = r\\beta(r), \\quad \\alpha(r)=1+i\\sigma(r), \\quad \\beta(r)=1+i\\delta(r),$$ 其中吸收函数取 $\\sigma(r)=0$ 当 $0\\le r\\le R$，$\\sigma(r)=\\sigma_0$ 当 $r\u003eR$，$\\delta(r)=0$ 当 $0\\le r\\le R$，$\\delta(r)=\\sigma_0(r-R)/r$ 当 $r\u003eR$. 由此得到截断问题 $$\\operatorname{curl}(A\\operatorname{curl}\\hat{E})-\\kappa^2 A^{-1}\\hat{E}=f \\quad \\text{in } D:=B_{\\hat{R}}, \\qquad \\hat{E}\\times \\hat{x}=0 \\quad \\text{on } \\hat{\\Gamma}:=\\partial D,$$ 变分形式为找 $\\hat{E}\\in H_0(\\operatorname{curl},D)$ 使 $$a(\\hat{E},v)=(f,v),\\quad \\forall v\\in H_0(\\operatorname{curl},D),$$ 其中 $a(u,v)=(A\\operatorname{curl} u,\\operatorname{curl} v)-\\kappa^2(A^{-1}u,v)$，能量范数 $$|||v|||^2 = \\Re\\{a(v,v)+2\\kappa^2(A^{-1}v,v)\\} \\simeq \\|\\operatorname{curl} v\\|_{L^2(D)}^2+\\kappa^2\\|v\\|_{L^2(D)}^2.$$ 本文的关键未知量是截断 PML 解 $\\hat{E}$ 的波数显式稳定性与 inf-sup 常数，以及边元离散解 $E_h$ 的预渐近误差. 已有 PML 理论表明截断误差随吸收或层厚指数衰减，但波数显式稳定性分析主要针对标量 Helmholtz 方程：Chen-Xiang 对二维 UPML 给出 $O(\\kappa^{-3/2})$ 的 inf-sup 下界，Li-Wu 对圆/球 PML 改进到最优 $O(\\kappa^{-1})$，Wang-Zheng 对二维障碍问题分段线性 UPML 得到最优 $O(\\kappa^{-1})$ 稳定性和离散正则性. 对 Maxwell PML，Bao-Wu 首次证明三维球面 PML 适定性与指数收敛，Bramble-Pasciak 建立变分框架、稳定性及 Nédélec 离散拟最优收敛，但尚缺波数显式 inf-sup 估计. 本文填补该空白，并进一步分析一阶第二类 Nédélec 边元 EEM 与其连续内罚 CIP-EEM 的预渐近误差. 技术困难有两个：$\\operatorname{curl}$ 算子的无限维核，以及每个 TM 模中径向与切向系数的耦合. 作者通过加权 Helmholtz 分解处理第一个困难，通过矢量球谐展开和 TM 耦合系数的正交模态变换处理第二个困难，将耦合系统化为 $l-1$ 与 $l+1$ 阶标量径向 PML 方程，再借助标量 Helmholtz PML 分析与 Bessel/Hankel 一致渐近估计完成证明.\n2. 主要定理或主要结果 主要结果包括连续问题稳定性、截断 PML 稳定性与 inf-sup、正则性、模态约化以及有限元预渐近误差. 首先，对原始无界 Maxwell 散射问题，Theorem 2.1 证明：若 $f\\in L^2(\\Omega)$ 且 $\\operatorname{supp} f\\subset\\Omega$，则 (1.1) 有唯一解 $E\\in H_{\\mathrm{loc}}(\\operatorname{curl},\\mathbb{R}^3)$，且 $$\\kappa\\|E\\|_{L^2(\\Omega)}+\\|\\operatorname{curl} E\\|_{L^2(\\Omega)}\\lesssim \\|f\\|_{L^2(\\Omega)}.$$ 若额外 $\\operatorname{div} f=0$，Corollary 2.2 表明 Helmholtz 体积势 $u$ 本身即为解，且 $$\\kappa\\|u\\|_{L^2(\\Omega)}+\\|u\\|_{H^1(\\Omega)}+\\kappa^{-1}\\|u\\|_{H^2(\\Omega)}\\lesssim \\|f\\|_{L^2(\\Omega)}.$$ 对截断 PML 问题，在 Assumption 3.1 下，即 $R\\simeq \\hat{R}\\simeq 1$，$\\kappa R\u003e1$，$\\kappa\\sigma_0 L\\ge \\max\\{2\\kappa R+\\sqrt{3}\\kappa L,10\\}$，Theorem 3.3 给出对任意 $f\\in L^2(D)$ 的解 $\\hat{E}\\in H_0(\\operatorname{curl},D)$ 满足 $$\\kappa\\|\\hat{E}\\|_{L^2(D)}+\\|\\operatorname{curl}\\hat{E}\\|_{L^2(D)}\\lesssim \\|f\\|_{L^2(D)}.$$ Theorem 3.4 进一步给出尖锐 inf-sup 估计 $$\\inf_{0\\ne u\\in H_0(\\operatorname{curl},D)}\\sup_{0\\ne v\\in H_0(\\operatorname{curl},D)}\\frac{|a(u,v)|}{|||u|||\\,|||v|||}\\eqsim \\kappa^{-1}.$$ 这里 inf-sup 常数的阶 $O(\\kappa^{-1})$ 是波数显式且最优的. Lemma 3.5 给出后续有限元分析所需的分片正则性：若 $f\\in H(\\operatorname{div},D)\\cap H^m(\\operatorname{div},\\Omega\\cup\\hat{\\Omega})$，则解 $\\omega\\in H^{m+1}(\\operatorname{curl},\\Omega\\cup\\hat{\\Omega})$ 且 $$\\kappa\\|\\omega\\|_{H^{m+1}(\\Omega\\cup\\hat{\\Omega})}+\\|\\operatorname{curl}\\omega\\|_{H^{m+1}(\\Omega\\cup\\hat{\\Omega})}\\lesssim \\kappa^{m+1}C_{m+1,f};$$ 若 $\\operatorname{div} f=0$，则 $\\omega\\in H^{m+2}(\\Omega\\cup\\hat{\\Omega})$ 且 $$\\|\\omega\\|_{H^{m+2}(\\Omega\\cup\\hat{\\Omega})}\\lesssim \\kappa^{m+1}C_{m+1,f},$$ 其中 $C_{m+1,f}=\\|f\\|_{L^2(D)}+\\sum_{j=0}^m \\kappa^{-j-1}\\|f\\|_{H^j(\\Omega\\cup\\hat{\\Omega})}+\\kappa^{-m-2}|\\operatorname{div} f|_{H^m(\\Omega\\cup\\hat{\\Omega})}$. 在模态层面，Lemma 3.7 将拉伸电场按矢量球谐展开并导出 TM 与 TE 分量满足的径向方程：\n$$\\tilde{L}_l[\\tilde{r}\\hat{E}^{(1)}_{lm}]=\\tilde{r}\\hat{f}^{(1)}_{lm},\\quad \\tilde{L}_l[\\tilde{r}\\hat{E}^{(2)}_{lm}]=\\tilde{r}\\hat{f}^{(2)}_{lm}+\\frac{2}{\\sqrt{l(l+1)}}(\\alpha\\beta^2\\kappa^2\\tilde{r}\\hat{E}^{(1)}_{lm}+\\tilde{r}\\hat{f}^{(1)}_{lm}),\\quad \\tilde{L}_l[\\hat{E}^{(3)}_{lm}]=\\hat{f}^{(3)}_{lm},$$ 其中 $\\tilde{L}_l[v]=-\\frac{1}{r^2}\\frac{d}{dr}(\\frac{\\beta^2}{\\alpha}r^2\\frac{dv}{dr})-(\\alpha\\beta^2\\kappa^2-\\frac{\\alpha l(l+1)}{r^2})v$，并配有边界条件 (3.15a-c). 对有限元离散，作者分析一阶第二类 Nédélec 边元 EEM 及其 CIP-EEM. 在 $\\kappa^3h^2$ 足够小的条件下，对足够正则的数据，预渐近能量范数误差和 $\\kappa$ 缩放 $L^2$ 误差分别为 $$|||\\hat{E}-E_h|||_\\gamma=O(\\kappa h+\\kappa^3h^2),\\qquad \\kappa\\|\\hat{E}-E_h\\|_{L^2(D)}=O(\\kappa^2h^2+\\kappa^3h^2).$$ $O(\\cdot)$ 中隐藏因子为数据相应的分片 Sobolev 范数；若数据无散，则可替换为 $\\|f\\|_{L^2(D)}$. 标准 EEM 通过令所有罚参数为零得到. 数值实验确认理论结果.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 核心障碍有二. 第一，Maxwell 算子的 $\\operatorname{curl}$ 核是无限维的，不能像标量 Helmholtz 方程那样直接对解做单一标量估计；第二，在球坐标和矢量球谐展开下，每个 TM 模的径向与切向系数强烈耦合，耦合项含 $\\kappa^2$ 和 $\\sqrt{l(l+1)}$，直接对两个耦合标量方程做能量估计会失去波数显式性. 作者的真正创新在于用加权 Helmholtz 分解消除第一个障碍，并用一个受 Hill 构造启发的正交模态变换解耦第二个障碍. 对第一个障碍，作者将截断 PML 方程写成 $$\\operatorname{curl}(A\\operatorname{curl}\\hat{E})-\\kappa^2 A^{-1}\\hat{E}=f,$$ 并利用 $\\operatorname{div} f=0$ 推出 $\\operatorname{div}(A^{-1}\\hat{E})=0$ 或等价地加权 $\\operatorname{div}$ 条件，从而在加权 Helmholtz 分解中控制 $\\operatorname{curl}$ 核分量. 对第二个障碍，作者采用矢量球谐函数 $$Y_{lm}=Y_l^m\\hat{x},\\quad U_{lm}=\\frac{1}{\\sqrt{l(l+1)}}\\nabla_{S^2}Y_l^m,\\quad V_{lm}=U_{lm}\\times\\hat{x},$$ 将拉伸电场展开为 $$\\hat{E}=\\sum_{l,m}(\\alpha\\hat{E}^{(1)}_{lm}Y_{lm}+\\beta\\hat{E}^{(2)}_{lm}U_{lm}+\\beta\\hat{E}^{(3)}_{lm}V_{lm}).$$ 由此得到的 TM 系统 (3.11a)-(3.11b) 中 $\\hat{E}^{(1)}_{lm}$ 与 $\\hat{E}^{(2)}_{lm}$ 耦合，而 TE 分量 $\\hat{E}^{(3)}_{lm}$ 已解耦. 作者引入正交变换，把两个耦合 TM 径向系数组合成新的未知量，使其分别满足阶为 $l-1$ 与 $l+1$ 的标量径向 PML 方程，而未耦合的 TE 系数满足阶为 $l$ 的标量方程. 这一步是证明的关键，因为变换后可以逐阶调用 Li-Wu 对球面 Helmholtz PML 的波数显式稳定性分析，并利用 Bao-Wu 中 Bessel 与 Hankel 函数的一致渐近估计处理低阶、高阶模态及大 $l$ 区域. 具体而言，对阶 $\\nu$ 的标量径向 PML 方程，需要估计 $\\kappa\\|v\\|_{L^2}+\\|v'\\|_{L^2}$ 之类的量，并统一控制由 $\\sqrt{l(l+1)}$ 产生的因子；作者通过精细的模态求和与正交性，将这些估计汇总为 Theorem 3.3 和 Theorem 3.4. 对原始无界问题，Theorem 2.1 的证明采用 Helmholtz 体积势 $u(x)=\\int_\\Omega g_\\kappa(|x-y|)f(y)dy$，其中 $g_\\kappa(r)=e^{i\\kappa r}/(4\\pi r)$，并令 $E=u+\\kappa^{-2}\\nabla\\operatorname{div} u$，从而将 Maxwell 解用标量 Helmholtz 解表示；分量估计使用 [32, Lemma 3.5]，辐射条件和唯一性分别由 Silver-Müller 条件、Rellich 引理和唯一延拓原理得到. 对无散源，Corollary 2.2 进一步证明 $\\operatorname{div} u=0$，因此 $u$ 本身即 Maxwell 解，并给出 $H^2$ 估计. 正则性方面，Lemma 3.5 不直接做模态估计，而是利用 [34] 中关于分片光滑系数 $A$ 与 $A^{-1}$ 的椭圆正则性定理 2.10 和移位估计 2.7，从 Theorem 3.3 推出分片 $H^{m+1}(\\operatorname{curl})$ 与 $H^{m+2}$ 估计. 对有限元分析，作者采用一阶第二类 Nédélec 边元空间 $V_h\\subset H_0(\\operatorname{curl},D)$，标准 EEM 为 $$a(\\hat{E}_h,v_h)=(f,v_h)\\quad \\forall v_h\\in V_h;$$ CIP-EEM 在标准 Galerkin 形式上加内面罚项，罚的是离散 $\\operatorname{curl}$ 的切向迹跳跃. 由于 CIP 形式含网格依赖的内面项，[18,9] 的抽象 Galerkin 框架不能直接覆盖，因此作者需要同时建立离散稳定性和一致性误差分解. 关键条件是 $\\kappa^3h^2$ 足够小，它保证污染项被控制并得到预渐近估计. 对 $\\kappa$ 缩放 $L^2$ 误差，作者使用对偶论证；为了在 PML 截断区域中应用对偶问题，他们允许源 $f\\in H(\\operatorname{div}^0,D)$ 可以延伸到 PML 层，并利用 Lemma 3.5 的分片正则性. 误差估计中的 $\\kappa h$ 项来自最佳逼近，$\\kappa^3h^2$ 项来自污染误差；若取标准 EEM，则 CIP 罚参数为零. 文中还指出，$O(\\cdot)$ 中隐藏常数依赖数据分片 Sobolev 范数，对无散数据可用 $\\|f\\|_{L^2(D)}$ 控制.\n4. 与之前工作的比较 本文与既有工作的差别可从四个层面理解. 第一，在标量 Helmholtz PML 的波数显式稳定性方面，Chen-Xiang [12] 对二维 UPML 建立 $O(\\kappa^{-3/2})$ 的 inf-sup 下界，Li-Wu [27] 用 Fourier 级数和球谐展开分别对圆/球 PML 改进到最优 $O(\\kappa^{-1})$，Wang-Zheng [39] 对二维障碍问题的分段线性 UPML 也得到 $O(\\kappa^{-1})$ 稳定性及离散正则性. 本文将最优 $O(\\kappa^{-1})$ 稳定性和 inf-sup 估计推广到三维 Maxwell 球面 PML 截断问题. 与标量情形相比，Maxwell 情形多出两个本质困难：$\\operatorname{curl}$ 的无限维核和 TM 模两个径向系数的耦合. 因此本文不是简单重复标量证明，而是引入加权 Helmholtz 分解和受 Hill 启发的正交模态变换，将耦合 TM 系统化为 $l-1$ 与 $l+1$ 阶标量方程. 代价是吸收剖面仍取分段常数，且 Assumption 3.1 与 Li-Wu [27] 的 Helmholtz 分析一致；作者明确指出一般连续吸收剖面的尖锐波数显式稳定性仍是细致问题. 第二，与 Bao-Wu [2] 和 Bramble-Pasciak [4,5,6] 的 Maxwell PML 工作相比，这些工作首次证明三维球面 PML 的适定性、指数收敛和 Nédélec 离散拟最优收敛，但未给出 inf-sup 常数关于 $\\kappa$ 的尖锐下界. 本文补上了这一波数显式稳定性，并直接服务于有限元误差分析. 第三，与高频 Maxwell 有限元误差估计相比，Chaumont-Frelet-Galkowski-Spence [9] 对高阶两类 Nédélec h-FEM 证明相对误差 $$\\frac{\\|E-E_h\\|_{H_\\kappa(\\operatorname{curl},\\Omega)}}{\\|E\\|_{H_\\kappa(\\operatorname{curl},\\Omega)}}\\le C(1+(\\kappa h)^pC_{\\mathrm{sol}})(\\kappa h)^p,$$ 其中 $C_{\\mathrm{sol}}$ 是 Maxwell 解算子的 $L^2$ 范数，并区分最佳逼近项与污染项. 该估计是抽象的，包含标准 EEM 对 PML 截断 Maxwell 问题，但以 $C_{\\mathrm{sol}}$ 表述，未显式指定其对 $\\kappa$ 的依赖. 本文通过 Theorem 3.3 和 Theorem 3.4 给出 $C_{\\mathrm{sol}}\\lesssim \\kappa$ 的显式控制，从而把条件具体化为 $\\kappa^3h^2$ 足够小，并得到一阶第二类 EEM 与 CIP-EEM 的预渐近误差 $O(\\kappa h+\\kappa^3h^2)$ 和 $\\kappa$ 缩放 $L^2$ 误差 $O(\\kappa^2h^2+\\kappa^3h^2)$. Lu-Wu [31] 对曲线区域高阶第二类 EEM 建立能量范数和 $\\kappa$ 缩放 $L^2$ 估计，Chaumont-Frelet 等 [9] 给出高阶两类 EEM 能量范数估计；本文聚焦一阶第二类 EEM 和 CIP-EEM，并覆盖 PML 截断. 第四，与 CIP 方法文献相比，Douglas-Dupont [16] 提出 CIP，Zhou-Wu [41] 用色散分析证明合适罚参数可将主导相位误差从 $O((\\kappa h)^{2p})$ 降到 $O((\\kappa h)^{2p+2})$；Du-Wu [17] 对 Helmholtz 建立线性和高阶预渐近估计，Li-Wu [27,28] 纳入径向 PML 截断；Lu-Wu-Xu [29] 对 Maxwell 证明绝对稳定和一阶预渐近估计，Lu-Wu [30] 获得一阶第二类 EEM 和 CIP-EEM 的统一 $O(\\kappa h+\\kappa^3h^2)$ 估计. 本文也得到相同的能量范数阶，但更强调在球面 PML 截断下从第一原理建立波数显式稳定性和 inf-sup，并给出 $\\kappa$ 缩放 $L^2$ 估计. 由于 CIP-EEM 含网格依赖内面罚项，它不被 [18,9] 的标准 Galerkin 框架直接覆盖，这也是本文独立分析 CIP-EEM 的必要性. 作者在文中未逐项详细比较所有前人估计的常数和网格条件；从提供内容看，本文的主要推进是 Maxwell PML 的尖锐 $O(\\kappa^{-1})$ inf-sup 以及由此得到的可验证预渐近有限元误差界. 局限方面，分析依赖 Assumption 3.1 的分段常数吸收剖面、$R\\simeq\\hat{R}\\simeq 1$ 和 $\\kappa R\u003e1$；一般连续吸收剖面的尖锐分析未解决. 数值实验只确认理论结果，具体实验参数和更细比较从提供的 PDF 摘录中无法确认.\n3. 三维无界区域 Helmholtz 方程的纯源转移区域分解方法 A pure source transfer domain decomposition method for Helmholtz equations in 3D unbounded domain\n作者: Xinran Bai, Yu Du, Haijun Wu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.19435v1\n摘要翻译: 我们开发并分析了一种用于自由空间中 Helmholtz 方程的三维纯源转移区域分解方法（PSTDDM）。该方法推广了 [Du and Wu, J. Sci. Comput., 83(2020),83:68] 提出的二维 PSTDDM，所提方法沿 $x_1$、$x_2$ 和 $x_3$ 方向依次转移源，得到层状、条状和块状 PSTDDM。收敛性分析中的主要挑战在于推导显含波数的截断误差估计。为应对这一挑战，我们在放宽 PML 参数限制的条件下，为单轴完美匹配层（UPML）问题建立 inf\u0026ndash;sup 条件，并重新表述源转移算子。随后，我们引入一个正定重构步骤，从而产生全局协调近似。此外，我们为复 PML 距离的虚部建立了一个新的定量下界，这更容易在三维中得到指数衰减估计。这些结果导出了所有三种 PSTDDM 的显含波数收敛性估计。数值实验证明了所提方法作为直接求解器以及 GMRES 预条件子的有效性。\nComment: 46pages\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.19435v1\n1. 研究对象和背景 本文研究三维全空间中的 Helmholtz 方程及其 Sommerfeld 辐射条件：\n$$ \\Delta u + k^2 u = f \\quad \\text{in } \\mathbb{R}^3, $$$$ r\\left(\\frac{\\partial u}{\\partial r} - i k u\\right) \\to 0 \\quad \\text{as } r=|x| \\to \\infty, $$其中 $k\u003e0$ 为波数，$f \\in L^2(\\mathbb{R}^3)$ 具有紧支撑。该问题是频域声学、弹性波和电磁散射等问题的核心模型。大波数时 Helmholtz 算子高度不定，离散问题还受到污染误差影响，自由度规模巨大，因此快速且具有波数显式误差控制的数值方法十分重要。\n为截断无界区域，作者采用单轴完美匹配层（uniaxial perfectly matched layer, UPML）。UPML 通过复坐标拉伸实现。令\n$$ \\alpha_j(x_j)=1+(\\zeta+i)\\sigma_j(x_j), \\quad j=1,2,3, $$其中 $0 \\le \\zeta \\lesssim 1$，$\\sigma_j$ 在物理区域内部为零、在 PML 层内为正，并满足分段光滑性。定义拉伸坐标\n$$ \\tilde{x}_j(x_j)=\\int_0^{x_j}\\alpha_j(t)\\,dt =x_j+(\\zeta+i)\\int_0^{x_j}\\sigma_j(t)\\,dt. $$于是 PML 方程为\n$$ J^{-1}\\nabla\\cdot(A\\nabla\\tilde{u})+k^2\\tilde{u}=f \\quad \\text{in } \\mathbb{R}^3, $$其中 $J=\\alpha_1\\alpha_2\\alpha_3$，且\n$$ A=\\operatorname{diag}\\left( \\frac{\\alpha_2\\alpha_3}{\\alpha_1}, \\frac{\\alpha_1\\alpha_3}{\\alpha_2}, \\frac{\\alpha_1\\alpha_2}{\\alpha_3} \\right). $$相应的截断 PML 问题为：在 $B_L=(-L_1,L_1)\\times(-L_2,L_2)\\times(-L_3,L_3)$ 中求 $\\hat{u}$，使得\n$$ J^{-1}\\nabla\\cdot(A\\nabla\\hat{u})+k^2\\hat{u}=f \\quad \\text{in } B_L, \\qquad \\hat{u}=0 \\quad \\text{on } \\partial B_L. $$在算法层面，源转移区域分解方法（STDDM）由 Chen 和 Xiang 提出并分析，之后 Du 和 Wu 针对二维 Helmholtz 问题提出了纯源转移区域分解方法（PSTDDM）。与原始 STDDM 相比，二维 PSTDDM 使用两个方向相反、彼此独立的源转移扫描；在每一步中，局部双层层状 PML 问题还可继续沿横向递归分解，从而显著减小局部子问题规模。\n本文试图填补的空白是：将二维 PSTDDM 推广到三维全空间 Helmholtz 问题，并给出波数显式的收敛分析。三维推广并不是在二维构造上简单增加一个坐标。首先，沿 $x_1$、$x_2$ 和 $x_3$ 方向依次进行源转移会自然产生层状、条状和块状三种 PSTDDM，其中嵌套的源转移和波的传播会产生大量误差项。其次，截断 PML 算法在层间界面处的输出一般不再属于 $H^1(B_L)$，因此需要额外重构才能得到全局协调近似。再次，为得到波数显式截断误差估计，需要建立 UPML 问题在更宽松 PML 参数限制下的 inf\u0026ndash;sup 条件，并重新表述源转移算子。本文正是在这些方面展开：作者引入正定重构步骤，建立复 PML 距离虚部的新的定量下界，并据此对三种 PSTDDM 给出波数显式的收敛估计。\n2. 主要定理或主要结果 作者的主要结果可以分为源转移恒等式、非截断 PML 的精确性、截断算法的重构与稳定性估计，以及三维三种 PSTDDM 的收敛估计。\n首先，对于非截断 PML 问题，作者定义了沿 $x_1$ 方向的层状源转移算子 $\\Psi_i^\\pm$。若 $\\bar f_i^+$ 表示正向扫描中的累积源，则 $\\Psi_{i+1}^+(\\bar f_i^+)$ 由如下恒等式刻画：\n$$ \\int_{\\Omega_i}\\bar f_i^+(y)\\tilde{G}(x,y),dy \\int_{\\Omega_{i+1}}\\Psi_{i+1}^+(\\bar f_i^+)(y)\\tilde{G}(x,y),dy, \\qquad x\\in \\Omega(\\xi_{i+2},+\\infty), $$\n反向扫描有类似恒等式\n$$ \\int_{\\Omega_{i+2}}\\bar f_{i+2}^-(y)\\tilde{G}(x,y),dy \\int_{\\Omega_{i+1}}\\Psi_{i+1}^-(\\bar f_{i+2}^-)(y)\\tilde{G}(x,y),dy, \\qquad x\\in \\Omega(-\\infty,\\xi_{i+1}). $$\n这里 $\\tilde{G}(x,y)=J(y)G(\\tilde{x},\\tilde{y})$，$G(\\tilde{x},\\tilde{y})=e^{ik\\rho(\\tilde{x},\\tilde{y})}/(4\\pi\\rho(\\tilde{x},\\tilde{y}))$。基于这些恒等式，作者证明局部子问题解具有积分表示，例如\n$$ u_i^+(x)=\\int_{\\Omega(-\\infty,\\xi_{i+2})}f(y)G(\\tilde{x},\\tilde{y})\\,dy, \\qquad x\\in \\Omega_{i+1}, $$以及\n$$ u_i^-(x)=\\int_{\\Omega(\\xi_{i+1},+\\infty)}f(y)G(\\tilde{x},\\tilde{y})\\,dy, \\qquad x\\in \\Omega_i. $$由此得到层状 PSTDDM 对非截断 PML 问题的精确性：算法输出 $\\tilde{u}_p=-(u_{i-1}^++u_i^-)$ 在每一层 $\\Omega_i$ 中重构原解，并且\n$$ \\tilde{u}=\\tilde{u}_p \\quad \\text{in } \\mathbb{R}^3. $$这是文中 Theorem 2.9 的内容。\n其次，对于截断 PML 问题，作者给出 Algorithm 2.2。该算法在有限矩形 $B_L$ 中求解局部 PML 子问题。由于截断算法的直接输出 $\\hat{v}$ 一般在界面 $x_1=\\xi_i$ 处不连续，作者引入一个正定重构步骤：求解一个正定问题，得到提升 $\\hat{u}_p\\in H_0^1(B_L)$。文中称其为层状 PSTDDM 近似。该重构步骤保证输出属于全局协调空间 $H_0^1(B_L)$，并且对应的线性系统正定，可用高效迭代方法求解。\n第三，作者给出若干关键稳定性与衰减估计。在假设\n$$ \\|\\tilde{u}\\|_{L^2(\\mathbb{R}^3)}\\lesssim C_{\\mathrm{sta}}\\|f\\|_{L^2(\\mathbb{R}^3)} $$成立时，文中 Lemma 2.6 证明 $C_{\\mathrm{sta}}\\lesssim 1$。作者同时指出，基于球坐标 PML 的已有估计，期望有 $C_{\\mathrm{sta}}\\simeq k^{-1}$，但本文只严格证明了 $C_{\\mathrm{sta}}\\lesssim 1$；这一更精细的波数下界在提供内容中未展开。\n对于源转移过程中产生的解 $u_i^\\pm$，Lemma 2.7 给出\n$$ u_i^\\pm\\in H^1(\\mathbb{R}^3), \\qquad \\|u_i^\\pm\\|_{\\mathbb{R}^3}\\lesssim k(kC_{\\mathrm{sta}})^i\\ 9f9'_{B_l}, $$并证明远场指数衰减：存在与 $k$ 无关的常数和几何量，使得对足够远的 $|x|$ 有\n$$ k|u_i^\\pm(x)|+|\\nabla u_i^\\pm(x)| \\lesssim k^2(kC_{\\mathrm{sta}})^{i-1}e^{-\\frac18 k\\sigma_0|x|}\\ 9f9'_{B_l}. $$这说明嵌套源转移带来的增长可由 $C_{\\mathrm{sta}}$ 控制，而远离源区的贡献按 $e^{-k\\sigma_0|x|/8}$ 指数衰减。\n第四，作者建立了一个便于三维使用的复 PML 距离虚部下界。设\n$$ b_j=\\left|[\\min\\{x_j,y_j\\},\\max\\{x_j,y_j\\}]\\setminus[-\\bar l_j,\\bar l_j]\\right| $$表示区间落在 PML 中且 $\\sigma_j=\\sigma_0$ 的部分长度。若 $(b_1^2+b_2^2+b_3^2)^{1/2}\\ge b_0\u003e0$，且 $|x_j-y_j|\\le a_j+b_j$，$a_j\\ge 0$，则\n$$ \\operatorname{Im}\\rho(\\tilde{x},\\tilde{y})\n\\frac{\\sigma_0 b_0^2}{\\left(\\sum_{j=1}^3(a_j+b_0)^2\\right)^{1/2}}. $$\n该估计来自对已有虚部下界的重新组织，作者强调它比此前类似结果更易于在三维截断误差分析中使用。\n最后，摘要和引言声明：通过上述 inf\u0026ndash;sup 条件、源转移算子重表述、正定重构和新复距离下界，作者对层状、条状和块状三种 PSTDDM 均得到波数显式的收敛估计，并且这些估计不依赖于自由度数目。截断误差随 PML 厚度或吸收参数 $\\sigma_0$ 指数衰减。然而，在提供的 PDF 摘录中只展开了前两节及部分稳定性估计，三种 PSTDDM 收敛定理的完整误差阶、常数依赖和定理编号未给出，无法从现有内容确认其精确形式。数值实验部分声称方法可作为直接求解器和 GMRES 预条件子，但具体迭代数、精度与波数依赖也未在摘录中展开。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术障碍在于：三维 PSTDDM 的源转移是嵌套进行的，沿 $x_1$ 方向完成层状转移后，局部双层层状 PML 问题还要沿 $x_2$ 方向分解为条状问题，再沿 $x_3$ 方向分解为块状问题。每一步都会引入新的源转移算子、局部 PML 问题、界面误差和传播误差，误差项数量随维数和嵌套层数迅速增加。为了证明波数显式收敛，必须控制这些误差项，并给出与 $k$ 和自由度无关的截断误差估计。\n作者的关键创新之一是对截断算法引入正定重构。Algorithm 2.2 的直接输出 $\\hat{v}$ 在层间界面处一般不连续，因此不能作为 $H_0^1(B_L)$ 中的协调近似。作者求解一个正定提升问题，将 $\\hat{v}$ 提升为 $\\hat{u}_p\\in H_0^1(B_L)$。这一步不仅使近似属于正确解空间，还使后续误差分析可以借助变分形式进行。代价是原始源转移算子的简单等价表示不再直接成立，因此作者必须重新表述截断算法中使用的源转移算子，以使重构后的算法仍与局部 PML 问题和全局误差估计兼容。\n另一关键工具是 UPML 问题的 inf\u0026ndash;sup 条件。作者在比已有文献更宽松的 PML 参数限制下证明该条件，即允许 $0\\le \\zeta\\lesssim 1$ 与 $\\sigma_0\\ge 1$。这一参数范围对于三维分析尤为重要，因为它允许使用吸收较强的 PML，同时不要求 $\\zeta$ 很大。与 [20] 中类似结果相比，本文的假设更灵活，从而为后续截断误差估计提供更广的适用范围。\n在估计复 PML 距离的虚部时，作者没有直接沿用 [16] 或 [20] 的形式，而是引入新的定量下界 Lemma 2.3。其思路是：将区间 $[x_j,y_j]$ 分解为位于 PML 内且 $\\sigma_j=\\sigma_0$ 的部分和其余部分，记 PML 内长度为 $b_j$。若 $(b_1^2+b_2^2+b_3^2)^{1/2}\\ge b_0\u003e0$，则虚部至少按 $\\sigma_0 b_0^2/\\left(\\sum_j(a_j+b_0)^2\\right)^{1/2}$ 增长。这一下界直接与 PML 内有效长度联系，避免了在三维中追踪复杂几何交叠，从而更容易得到基本解及其梯度的指数衰减。\n配合该下界，作者使用拉伸基本解 $G(\\tilde{x},\\tilde{y})$ 的衰减估计：\n$$ |G(\\tilde{x},\\tilde{y})|\\lesssim e^{-k\\operatorname{Im}\\rho(\\tilde{x},\\tilde{y})}|x-y|^{-1}, $$$$ |\\nabla_xG(\\tilde{x},\\tilde{y})|\\lesssim e^{-k\\operatorname{Im}\\rho(\\tilde{x},\\tilde{y})}\\left(k|x-y|^{-1}+|x-y|^{-2}\\right), $$$$ |\\nabla_x\\nabla_yG(\\tilde{x},\\tilde{y})|\\lesssim e^{-k\\operatorname{Im}\\rho(\\tilde{x},\\tilde{y})}\\left(k^2|x-y|^{-1}+k|x-y|^{-2}+|x-y|^{-3}\\right). $$并进一步证明积分估计\n$$ \\max_{x\\in\\mathbb{R}^3}\\int_{\\mathbb{R}^3}|G(\\tilde{x},\\tilde{y})|\\,dy\\lesssim 1, \\qquad \\max_{x\\in\\mathbb{R}^3}\\int_{\\mathbb{R}^3}|\\nabla_xG(\\tilde{x},\\tilde{y})|\\,dy\\lesssim k. $$这些估计用于控制局部 PML 解和源转移算子的范数。\n源转移恒等式本身是算法正确性的基础。作者定义 $\\Psi_i^\\pm$ 使得源在相邻层中的贡献在远场中保持不变，从而可以在每一层局部求解两个独立问题。非截断情形下，Theorem 2.8 给出源转移恒等式和局部解的积分表示，Theorem 2.9 进一步证明算法输出与原非截断 PML 解完全一致。该精确性结果为截断分析提供了出发点。\n在截断情形下，作者采用“局部 PML 稳定性 + 区域分解 + 复距离估计”的框架。首先，借助假设 (H1) 控制 PML 全局稳定性，并证明 $C_{\\mathrm{sta}}\\lesssim 1$；其次，利用 Lemma 2.7 控制源转移过程中解的增长和远场衰减；再次，将区域划分为不同部分，分别估计近场局部 PML 稳定性和远场指数衰减贡献；最后，将所有误差项汇总，得到截断算法相对于非截断 PML 解的误差界。这一误差界对波数显式，并且不依赖于网格自由度数目。\n对于条状和块状 PSTDDM，作者沿用相同思想，但将局部双层层状 PML 问题继续沿横向坐标递归分解。条状方法沿 $x_2$ 方向做第二族源转移，块状方法再沿 $x_3$ 方向分解。这样可以进一步减小局部子问题规模，更适合大规模三维计算。递归分解的代价是分析中需要同时处理多个方向的源转移算子及其耦合误差。作者强调，正是新虚部下界、放宽的 inf\u0026ndash;sup 条件以及正定重构，使得这些嵌套误差可以在三维中被一致控制。\n需要区分的是，文中严格证明的部分包括：非截断层状 PSTDDM 的精确性、若干基本解衰减估计、新的复距离虚部下界、PML 稳定性 $C_{\\mathrm{sta}}\\lesssim 1$、源转移解的增长与远场衰减估计，以及在放宽参数下的 UPML inf\u0026ndash;sup 条件。至于三种 PSTDDM 的完整收敛定理，摘要声明已获得波数显式估计，但具体证明细节和误差公式未在提供的 PDF 摘录中展开，因此不能从现有内容进一步确认其技术细节。\n4. 与之前工作的比较 本文与已有工作的比较可以从维度、算法层级、PML 参数假设、误差分析工具和适用范围几个方面展开。\n首先，与 Du 和 Wu 的二维 PSTDDM [22] 相比，本文的直接推进是将纯源转移区域分解从二维推广到三维全空间 Helmholtz 问题。二维 PSTDDM 已经使用两个方向相反的独立源转移扫描，并在每一步中对局部双层层状 PML 问题沿横向递归分解。本文在三维中沿 $x_1$、$x_2$、$x_3$ 方向依次进行源转移，得到层状、条状和块状三种 PSTDDM。作者明确指出，这一推广不是形式上的重复。在二维中相对简单的源转移等价表示，在三维截断算法中由于正定重构而不再直接成立，因此需要重新表述源转移算子；同时，三维嵌套误差项更多，必须建立新的复距离虚部下界和更灵活的 inf\u0026ndash;sup 条件。\n其次，与 Chen 和 Xiang 的原始 STDDM [14] 相比，PSTDDM 的基本区别在于：原始 STDDM 主要沿一个方向进行源转移扫描，而 PSTDDM 使用两个彼此独立的相反方向扫描；并且 PSTDDM 在每一步中允许对局部两层 PML 问题继续沿横向递归分解。本文继承并扩展了这一思想，将递归分解推进到三维的条状和块状层级。因此，本文在算法层面不仅增加了维度，还增加了层级结构：层状 PSTDDM 只在 $x_1$ 方向转移，条状 PSTDDM 进一步在 $x_2$ 方向转移，块状 PSTDDM 再在 $x_3$ 方向转移。这样可进一步减小局部子问题规模，更适合大规模三维问题。\n第三，与 [20] 中已有的虚部下界和 PML 分析相比，本文的 Lemma 2.3 是一个可明确比较的技术推进。[20] 的类似结果要求 $\\zeta\\ge 1$，或者 $\\zeta=0$ 且 $0\u003c\\sigma_0\u003c1$。本文则在 $0\\le \\zeta\\lesssim 1$ 和 $\\sigma_0\\ge 1$ 的更灵活假设下建立 UPML 的 inf\u0026ndash;sup 条件。作者引入的虚部下界以 PML 内有效长度 $b_j$ 表达，形式为\n$$ \\operatorname{Im}\\rho(\\tilde{x},\\tilde{y})\n\\frac{\\sigma_0 b_0^2}{\\left(\\sum_{j=1}^3(a_j+b_0)^2\\right)^{1/2}}, $$\n这比依赖特定 $\\zeta$ 或 $\\sigma_0$ 范围的下界更容易在三维中产生指数衰减估计。换言之，本文在 PML 参数假设上放宽了限制，但代价是分析更复杂，且常数可能对 $\\sigma_0$ 有多项式依赖。\n第四，与复距离估计和 PML 基本解分析相关的工作 [4,16,36] 相比，本文大量依赖已有的拉伸基本解表示和复距离上下界，但加上了新的虚部下界与积分估计。作者在 Lemma 2.5 中给出了 $\\int|G(\\tilde{x},\\tilde{y})|\\,dy\\lesssim 1$ 与 $\\int|\\nabla_xG(\\tilde{x},\\tilde{y})|\\,dy\\lesssim k$ 的证明，并指出 [20, Lemma 6] 提供类似估计但没有显式波数依赖。这些估计是后续控制源转移增长和截断误差的关键。\n第五，在 PML 稳定性常数方面，本文证明了 $C_{\\mathrm{sta}}\\lesssim 1$，并指出基于球坐标 PML 的已有结果 [38] 可期望 $C_{\\mathrm{sta}}\\simeq k^{-1}$，但本文未证明这一更精细的波数下界。因此，与理想的大波数 PML 稳定性预期相比，本文的稳定性估计在波数依赖上仍有改进空间。这一点也影响后续源转移增长因子 $(kC_{\\mathrm{sta}})^i$ 的显式波数依赖。\n第六，在适用范围和代价方面，本文面向三维自由空间 Helmholtz 问题，源项 $f$ 紧支撑，采用 UPML 截断并在外边界上施加齐次 Dirichlet 条件。算法可作为直接求解器，也可作为 GMRES 预条件子。与二维 PSTDDM 相比，三维 PSTDDM 的层状、条状、块状递归分解虽然减小了局部问题规模，但算法实现和误差分析都更复杂。截断算法还需要额外的正定重构步骤，以得到全局 $H_0^1(B_L)$ 近似。这一重构增加了每一步的计算，但由于问题是正定的，作者指出可用高效迭代方法求解，因此代价可控。\n第七，作者在引言中提到了 multigrid、butterfly、Schwarz、sweeping preconditioner、STDDM、PSTDDM 和两级 Schwarz 等一系列 Helmholtz 快速求解器。本文与 PML sweeping preconditioner [25] 有思想渊源：PSTDDM 受其启发，但采用源转移和区域分解形式。与 sweeping preconditioner 相比，本文强调纯源转移、双向扫描和横向递归分解，并给出波数显式的收敛分析。不过，从提供的 PDF 摘录中无法确认本文与所有这些方法在数值性能上的详细对比，因为数值实验部分未展开。\n最后，关于与已有工作差异的局限：作者在摘要和引言中明确说明了与 [14,22,20] 的关系，但对三维条状和块状算法的收敛定理如何具体优于二维结果、误差界中常数如何依赖 PML 参数和波数，提供内容不足以确认。数值实验只声称验证了方法作为直接求解器和 GMRES 预条件子的有效性，但没有给出具体波数、网格、迭代次数和误差数据。因此，在评价其相对于已有三维 Helmholtz 快速算法的实际优势时，需要依赖论文后续章节或完整数值结果。\n4. 面向高频 Helmholtz 问题的基于离散边多尺度空间的混合 Schwarz 预条件子 Discrete Edge Multiscale Space based Hybrid Schwarz Preconditioner for High-Frequency Helmholtz Problems\n作者: Shubin Fu, Shihua Gong, Guanglian Li, Yueqi Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.19354v1\n摘要翻译: 在这项工作中，我们发展了一种新颖的混合 Schwarz 方法，称为基于边多尺度空间的混合 Schwarz (EMs-HS)，用于求解大波数的 Helmholtz 问题。该问题在网格尺寸 $h$ 减小快于 $k^{-3/2}$ 的网格上使用 $H^1$-协调节点有限元方法离散化，使得离散误差可由数据关于 $k$ 一致地界定。EMs-HS 由一个单层 Schwarz 预条件子 (RAS-imp) 和一个粗求解器以乘性方式组成。RAS-imp 预条件子并行求解带阻抗边界条件的重叠子区域上的局部问题，并利用单位分解组合局部解。在 PDE 层面，该粗空间对应于 {[S. Fu, G. Li, R. Craster, and S. Guenneau, \\emph{Multiscale Model. Simul.}, 19(4):1684-1709, 2021]} 中提出的边多尺度空间。该粗空间对来自原始问题和伴随问题的离散解的逼近性质，通过一种基于非标准变分形式的新的协调 Galerkin 有限元方法导出。这项工作代表了对离散层面边多尺度空间的首次理论分析。我们通过严格分析粗空间对全局 Helmholtz 调和延拓部分以及对伴随问题解的逼近性质，证明 EMs-HS 预条件子对大波数能一致地产生收敛的不动点迭代。我们提供了关于理论结果尖锐性的广泛数值结果，并在具有挑战性的非均质模型上展示了该方法。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.19354v1\n1. 研究对象和背景 本文研究有界凸多边形或多面体区域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$（$d=2,3$）上带阻抗边界条件的高频 Helmholtz 方程。未知量为复值场 $u$，波数 $k\\ge k_0\u003e0$ 很大，源项 $f\\in(H^1(\\Omega;\\mathbb{C}))'$，边界数据 $g\\in H^{-1/2}(\\partial\\Omega;\\mathbb{C})$。方程写作 $$ -\\Delta u-k^2u=f\\quad \\text{in }\\Omega,\\qquad \\frac{\\partial u}{\\partial n}+iku=g\\quad \\text{on }\\partial\\Omega. $$ 其变分形式为求 $u\\in V:=H^1(\\Omega;\\mathbb{C})$ 使 $$ a(u,v)=F(v),\\quad \\forall v\\in V, $$ 其中 $$ a(v_1,v_2)=\\int_{\\Omega}\\nabla v_1\\cdot\\nabla\\overline{v_2}\\,dx-k^2\\int_{\\Omega}v_1\\overline{v_2}\\,dx+ik\\int_{\\partial\\Omega}v_1\\overline{v_2}\\,ds, $$ $$ F(v)=\\int_{\\Omega}f\\overline{v}\\,dx+\\int_{\\partial\\Omega}g\\overline{v}\\,ds. $$ 本文使用 k 加权范数 $$ \\|v\\|_V^2=\\|\\nabla v\\|_{L^2(\\Omega)}^2+k^2\\|v\\|_{L^2(\\Omega)}^2. $$ 双线性形式有界，且满足 Gårding 不等式 $$ \\Re a(v,v)+2k^2\\|v\\|_{L^2(\\Omega)}^2\\ge \\|v\\|_V^2. $$ 这些性质保证弱解存在唯一，但算子不定、非自伴，因此分析不能直接沿用自伴椭圆问题的经典 Schwarz 理论。\\n\\n离散层面采用 $H^1$ 协调节点线性有限元空间 $V_h$，网格尺寸 $h$ 需满足 $$ h^2k^3\\le C_0, $$ 即 $h$ 以快于 $k^{-3/2}$ 的速度减小。此时离散问题稳定，且离散误差可由数据对 $k$ 一致地控制：存在常数 $C_{\\mathrm{stab}}$ 独立于 $h,k$，使 $$ \\|u_h\\|_V\\le C_{\\mathrm{stab}}\\big(\\|f\\|_{L^2(\\Omega)}+\\|g\\|_{L^2(\\partial\\Omega)}\\big). $$ 高频 Helmholtz 数值求解的困难在于：解高度振荡，需极细网格；系统矩阵大规模、不定且非正规，标准迭代法不可靠；传播性质使源点影响远方，破坏基于局部化的并行算法。\\n\\n一 level Schwarz 方法近年有重要进展：例如 shifted-Laplacian 稳定化、基于单位分解的对称加权投影与限制、波型截断、使用吸收边界条件的 RAS-imp 预条件子以及使用完美匹配层的 RAS-PML。这些方法在局部问题稳定时具有幂压缩性，在固定分解和足够重叠下可对 $k$ 鲁棒，但子域问题昂贵且算法不可扩展。为获得可扩展性，通常需要两 level 方法，引入粗空间捕捉全局信息并在子域间传递。经典两 level Schwarz 理论针对自伴正定问题，或不定项为椭圆部分小扰动的问题；对高频 Helmholtz，不定项按 $k^2$ 放大，经典估计非常悲观。传统多项式粗空间又与 Helmholtz 有限元逼近和污染效应紧密相关：若粗网格直径不够小，甚至不能保证粗投影存在。已有粗空间包括 DtN、GenEO、LOD、MS-GFEM 等，它们各有适用范围，但构造对 $k$ 弱尺度、稳定投影并克服污染的粗空间仍是关键。\\n\\n本文试图补的空白是：在离散层构造并分析一类边多尺度粗空间 $V_{h,0}$，将其与一 level RAS-imp 预条件子以乘法方式组合为 EMs-HS，并证明所得不动点迭代对大波数一致收敛。具体地，$V_{h,0}$ 对应 Fu、Li、Craster 与 Guenneau 在 PDE 层提出的 edge multiscale space，但本文首次在离散层给出理论分析。粗空间基于全局 Helmholtz 调和延拓与 bubble 部分的分解，通过局部齐次 Helmholtz 问题、层次基和单位分解粘合构造。本文要回答的核心问题是：加入这样的多尺度粗空间后，能否在温和的重叠尺寸、子域直径和层级参数条件下，使混合 Schwarz 迭代对高频 Helmholtz 问题一致收缩，并在异质系数模型上保持有效性。\n2. 主要定理或主要结果 根据摘要和已提供的 PDF 正文，本文的主要结果包括以下几类。第一，离散稳定性和有限元框架。在凸区域、$H^1$ 协调线性有限元以及网格条件 $$ h^2k^3\\le C_0 $$ 下，Theorem 2 给出离散问题适定性和稳定性 $$ \\|u_h\\|_V\\le C_{\\mathrm{stab}}\\big(\\|f\\|_{L^2(\\Omega)}+\\|g\\|_{L^2(\\partial\\Omega)}\\big), $$ 常数不依赖 $h,k$；对伴随问题 $a^*(z,v)=(w,v)_{\\Omega}$ 同样成立。第二，局部-全局稳定性。Lemma 1 证明对 $v_i\\in V_{h,i}$ 和 $v_h=\\sum_{i=1}^N\\tilde R_i^T v_i$，有 $$ \\|v_h\\|_V\\le \\sqrt{\\Lambda}(1+C_I)\\Big(\\sum_{i=1}^N\\|\\chi_i v_i\\|_{V(\\Omega_i)}^2\\Big)^{1/2}, $$ 其中 $\\Lambda$ 是有限重叠常数，$C_I$ 来自节点插值稳定性；该估计是后续 RAS-imp 分析的基础。第三，局部 Schwarz 投影与限制的差异。Lemma 2 证明，在网格条件和尺度分辨假设下，对 $v_h\\in V_h$，有 $$ \\Big(\\sum_{i=1}^N\\|Q_i v_h-v_h|_{\\Omega_i}\\|_{V(\\Omega_i)}^2\\Big)^{1/2}\\le C_\\partial \\sigma\\|v_h\\|_V,\\quad \\sigma=(k\\bar d)^{-3/2}(k h)^{-1/2}, $$ 其中 $\\bar d$ 是子域最大直径。这说明一 level RAS-imp 校正后剩余的高频部分由 $\\sigma$ 控制。\\n\\n第四，粗空间构造与维数。局部 Helmholtz 调和空间定义为 $$ V_i^\\partial=\\{v_h\\in V_{h,i}: a_i(v_h,w_h)=0,\\ \\forall w_h\\in V_{h,i}^0\\}, $$ 全局空间由加权延拓粘合 $$ V^\\partial=\\mathrm{span}\\Big\\{\\sum_{i=1}^N\\tilde R_i^T v_i^\\partial: v_i^\\partial\\in V_i^\\partial\\Big\\}. $$ 粗空间 $V_{h,0}$ 近似 $V^\\partial$，并用单位区间上的层次帽函数基和张量积构造骨架上的 Dirichlet 数据。其维数为 $$ \\dim V_{h,0}=H^{-d}2^{\\ell(d-1)},\\qquad \\ell\\le \\log_2\\frac{H}{h}. $$ 摘要指出，在最优均匀网格情形，为使大波数 Helmholtz 方程收敛，迭代求解器仅需粗空间维数约为 $$ \\min\\{k^{3d-2},k^{-1/2}h^{-d}\\}. $$\\n\\n第五，混合 Schwarz 预条件子与误差传递。定义粗算子 $A_0=R_0AR_0^T$，RAS-imp 预条件子 $B_{\\mathrm{RAS-imp}}=\\sum_{i=1}^N\\tilde R_i^T A_i^{-1}R_i$。EMs-HS 预条件子为 $$ B_{\\mathrm{hybrid}}=R_0^T A_0^{-1}R_0(I-AB_{\\mathrm{RAS-imp}})+B_{\\mathrm{RAS-imp}}. $$ 对应预条件算子为 $$ B_{\\mathrm{hybrid}}A=R_0^T A_0^{-1}R_0A(I-B_{\\mathrm{RAS-imp}}A)+B_{\\mathrm{RAS-imp}}A, $$ 误差传递算子为 $$ I-B_{\\mathrm{hybrid}}A=(I-R_0^TQ_0)(I-B_{\\mathrm{RAS-imp}}A), $$ 其中 $Q_0=A_0^{-1}R_0A$。因此分析归结为证明 $I-B_{\\mathrm{RAS-imp}}A$ 对高频余项的压缩和 $I-R_0^TQ_0$ 对全局调和延拓部分的压缩。\\n\\n第六，核心收敛定理。摘要明确宣称 Theorem 6 建立 EMs-HS 预条件子导致固定点迭代对大波数一致收敛，即粗校正对全局 Helmholtz 调和延拓部分具有收缩性质。证明使用 Schatz 论证，条件涉及重叠尺寸 $\\delta$、子域最大直径 $\\bar d$ 和层级参数 $\\ell$，摘要称这些条件非常温和。为达到该结论，Corollary 1 给出粗空间局部逼近性质：通过 transposition method 将粗骨架上的逼近性质转移到子域内部，并分析一个非标准变分形式的协调 Galerkin 有限元逼近误差。Lemmas 10 和 11 进一步给出粗空间对全局 Helmholtz 调和延拓部分以及伴随问题解的逼近性质，将全局误差表示为局部误差。需要指出：提供的 PDF 文本只到第 10 页，并未包含 Theorem 6、Corollary 1、Lemmas 10 和 11 的完整陈述，因此上述关于具体常数、对 $\\delta,\\bar d,\\ell$ 的精确条件以及收缩因子的细节无法从所给内容中核验。\\n\\n第七，数值结果。摘要和正文说明作者提供大量二维和三维数值实验，包括均匀系数和异质系数模型，用以检验理论发现并展示方法在挑战性异质模型上的表现。摘要特别指出，数值上 $\\ell=1$ 已足以实现快速收敛。从提供内容中无法确认数值部分的具体误差表、迭代次数和参数扫描范围。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 主要技术障碍有三方面。第一，经典两 level Schwarz 理论不能直接用于高频 Helmholtz：不定项 $-k^2u$ 在能量范数下按 $k^2$ 放大，经典对自伴或小扰动不定问题的估计非常悲观。第二，传统多项式粗空间与 Helmholtz 有限元逼近和污染效应绑定，粗网格不够细时粗投影可能不存在或不稳定；因此需要构造对 $k$ 弱尺度、能捕捉全局传播的粗空间。第三，edge multiscale space 此前主要在 PDE 层为强振荡椭圆问题设计，本文需要在离散层证明其对 Helmholtz 正问题与伴随问题的逼近性质，并进一步证明其在混合 Schwarz 迭代中的收缩性。\\n\\n作者的真正创新点及其证明框架可概括如下。第一，一 level RAS-imp 与单位分解加权延拓。局部问题使用阻抗边界条件 $$ a_i(u_i,v_i)=\\int_{\\Omega_i}\\nabla u_i\\cdot\\nabla\\overline{v_i}\\,dx-k^2\\int_{\\Omega_i}u_i\\overline{v_i}\\,dx+ik\\int_{\\partial\\Omega_i}u_i\\overline{v_i}\\,ds, $$ 使局部算子具有稳定性和幂压缩性。加权延拓 $\\tilde R_i^T v_i=R_i^T\\Pi_{h,i}(\\chi_i v_i)$ 利用单位分解 $\\{\\chi_i\\}$，满足 $\\sum_i\\tilde R_i^T(v_h|_{\\Omega_i})=v_h$。Lemma 1 的证明结合三角不等式、节点插值稳定性 $$ \\|(I-\\Pi_{h,i})v_i\\|_{L^2(\\Omega_i)}+h\\|\\nabla(I-\\Pi_{h,i})v_i\\|_{L^2(\\Omega_i)}\\le C_Ih\\|\\nabla v_i\\|_{L^2(\\Omega_i)} $$ 以及有限重叠假设，得到局部到全局的 $V$ 范数稳定性。Lemma 2 则借用并推广 [24, Lemma 4.4] 中局部 Schwarz 投影与限制的差异估计，得到因子 $\\sigma=(k\\bar d)^{-3/2}(kh)^{-1/2}$，这一步是后续证明高频余项可被压缩的关键。\\n\\n第二，粗空间构造基于全局 Helmholtz 调和延拓与 bubble 分解。作者观察到全局解可拆为局部可并行恢复的 bubble 部分和不可局部恢复的全局 Helmholtz 调和延拓部分。前者可由一 level 方法处理，后者需要粗空间捕捉。为此定义局部 Helmholtz 调和空间 $V_i^\\partial$，即满足局部齐次 Helmholtz 方程且具有 Dirichlet 边界数据的离散函数；再用加权延拓和单位分解粘合为全局空间 $V^\\partial$。粗空间 $V_{h,0}$ 不直接在粗网格上取分片多项式，而是在每个子域的粗骨架 $\\partial T_H$ 上使用区间 $I=[0,1]$ 的层次帽函数基 $\\psi_{\\ell,j}$ 及其张量积 $V_\\ell^{\\otimes(d-1)}$ 作为 Dirichlet 数据，求解局部齐次 Helmholtz 问题，再粘合。该构造给出维数 $H^{-d}2^{\\ell(d-1)}$，且与任意重叠子域分解及相应单位分解兼容。创新点在于：粗空间直接近似全局 Helmholtz 调和延拓，而非普通粗网格多项式，从而在粗网格上仍有精度并避免污染效应的过度限制。\\n\\n第三，非标准变分形式的协调 Galerkin 有限元误差分析。为证明粗空间对离散解的逼近性质，作者在第 5.1 节建立了一个自包含的协调 Galerkin 有限元误差分析框架，但基于非标准变分形式。这与标准 Helmholtz 有限元误差分析不同，因为这里要处理粗骨架上的层次基作为 Dirichlet 数据、局部齐次问题以及单位分解粘合。随后使用 transposition method，将粗骨架上的逼近性质转移到子域内部，得到 Corollary 1 的局部逼近估计。该步骤是连接粗骨架可逼近性与全局粗空间逼近性质的核心桥梁。\\n\\n第四，全局误差分解与伴随问题分析。Lemmas 10 和 11 将全局 Helmholtz 调和延拓部分和伴随问题解的误差表示为局部误差的贡献。伴随问题 $$ a^*(z,v)=(w,v)_{\\Omega},\\quad \\forall v\\in V $$ 在 Gårding 框架下同样非正定且非自伴，因此 Schatz 论证需要正问题与伴随问题两侧的稳定性和逼近性。作者通过伴随问题分析获得对偶估计，从而控制粗校正 $I-R_0^TQ_0$ 对全局调和延拓部分的作用。\\n\\n第五，收缩性证明与 Schatz 论证。误差传递算子为 $$ I-B_{\\mathrm{hybrid}}A=(I-R_0^TQ_0)(I-B_{\\mathrm{RAS-imp}}A). $$ 证明分两步：先用 Lemma 2 说明 $I-B_{\\mathrm{RAS-imp}}A$ 将误差变成局部小量 $v_h^\\partial$，即高频余项被压缩；再用 Theorem 6 证明粗校正 $I-R_0^TQ_0$ 对 $v_h^\\partial$ 的全局调和延拓部分具有收缩性。该证明使用 Schatz 论证，需要显式处理重叠尺寸 $\\delta$、子域最大直径 $\\bar d$ 和层级参数 $\\ell$ 之间的关系。最终得到固定点迭代对大的 $k$ 一致收敛。\\n\\n总体而言，关键工具包括：k 加权能量范数、Gårding 不等式、单位分解加权延拓、局部阻抗边界条件、局部 Helmholtz 调和空间、层次基与张量积、transposition method、非标准变分形式的 Galerkin 误差估计、伴随问题对偶估计以及 Schatz 论证。作者没有仅仅使用能量估计和紧性，而是建立了一个针对离散边多尺度空间与混合 Schwarz 的完整逼近与收缩框架。\n4. 与之前工作的比较 本文与已有工作的比较可以从几个层面展开。\\n\\n第一，与一 level Schwarz 方法的比较。已有 RAS-imp 预条件子 [18,19] 使用阻抗边界条件和单位分解组合局部解，RAS-PML [15] 使用完美匹配层，PU 加权方法 [20,22] 对吸收 Helmholtz 问题给出良好数值域，shifted-Laplacian [9,10] 提供稳定化，波型截断 [8,27] 构造局部问题。这些方法在局部问题稳定时具有幂压缩性，在固定分解和足够重叠下可以对 $k$ 鲁棒；缺点是子域问题昂贵且算法不随子域数可扩展。本文保留 RAS-imp 作为一 level 部分，但加入基于离散边多尺度空间的粗求解器，以乘法方式组合。因此本文的目标不是替代 RAS-imp，而是通过粗空间增强子域间全局信息交换并改善可扩展性。摘要中还提出两个自然问题：加入粗空间能否加速信息交换，能否减少对重叠尺寸的要求。Theorem 6 在温和条件（重叠尺寸 $\\delta$、最大子域直径 $\\bar d$、层级参数 $\\ell$）下证明收敛，但提供内容未给出与一 level 方法在重叠需求上的定量对比。\\n\\n第二，与经典两 level Schwarz 理论及传统粗空间的比较。经典 Schwarz 理论 [41] 可预测自伴问题的两 level 方法性能，而 [4,43] 可处理不定项为小扰动的非对称不定问题。对高频 Helmholtz，不定项按 $k^2$ 放大，经典估计 [21] 非常悲观。传统粗空间如 DtN、GenEO、LOD、MS-GFEM [2,3,7,14,24,31,33] 在异质 Helmholtz 中有重要应用，但粗网格分片多项式逼近与 Helmholtz 有限元逼近和污染效应紧密相关：粗网格不够细时粗投影可能不存在，粗空间精度也受限。本文的粗空间 $V_{h,0}$ 是离散边多尺度空间，基于全局 Helmholtz 调和延拓与 bubble 分解，而不是粗网格分片多项式。其维数为 $H^{-d}2^{\\ell(d-1)}$，在最优均匀网格下所需维数约为 $\\min\\{k^{3d-2},k^{-1/2}h^{-d}\\}$。这一构造意在同时获得粗网格精度、对 $k$ 的弱尺度和稳定粗投影。与 [24] 的关系尤其紧密：Theorem 6 的收缩性证明受到 [24] 启发，并采用 Schatz 论证。但本文粗空间与 [24] 的粗空间不同，且本文强调首次对离散 edge multiscale space 做理论分析。\\n\\n第三，与 edge multiscale space 原工作的比较。EMs 空间最初为强振荡系数椭圆 PDE 的逼近而发展，相关 PDE 层构造见 [11,12,29] 以及 Fu、Li、Craster 和 Guenneau 的 [2021] 工作。本文粗空间在 PDE 层对应上述 edge multiscale space，但本文的分析发生在离散层：构造 $V_{h,0}$，证明其对离散正问题、全局 Helmholtz 调和延拓部分以及伴随问题解的逼近性质，并进一步证明 EMs-HS 的收缩性。这是从椭圆多尺度逼近框架到高频 Helmholtz 混合 Schwarz 预条件子框架的推进。原工作主要关注椭圆 PDE 的逼近，本文处理的是不定、非自伴、传播全局的高频 Helmholtz 算子，并需要伴随问题分析。\\n\\n第四，假设、适用范围与代价的比较。本文离散稳定条件为 $h^2k^3\\le C_0$，即细网格需显著解析波；尺度分辨假设要求子域直径满足 $\\max_i C_P(\\Omega_i)^{1/2}d_i k\u003c1$，对规则区域等价于 $d_i\u003c\\pi k^{-1}$。粗空间构造使用重叠子域、单位分解、局部齐次 Helmholtz 问题以及层次基。代价包括：粗空间维数随 $k$ 和 $h$ 增长，虽比传统多项式粗空间可能更有效，但在极端高频下仍可能较大；构造粗空间需解许多局部齐次 Helmholtz 问题并生成层次基，实现复杂；理论分析依赖非标准变分形式和 transposition 方法。数值上摘要称 $\\ell=1$ 已足够快速收敛，并在二维、三维均匀与异质系数模型上展示方法，但提供内容未包含与 DtN、GenEO、LOD、MS-GFEM 等粗空间的直接数值比较，也未显式展开与这些方法在重叠尺寸、子域数量、粗空间维数和计算代价上的逐项对比。因此，关于本文相对这些既有粗空间在具体常数和实际可扩展性上的优势，从提供内容中无法完全确认。\\n\\n第五，时间尺度与适用问题。已有一 level 方法在固定分解和足够重叠下可对 $k$ 鲁棒，但不可扩展；本文的目标是两 level 可扩展方法，收敛性对大的 $k$ 一致。已有两 level 方法多针对自伴或小扰动不定问题，或使用不同粗空间处理异质 Helmholtz。本文把多尺度粗空间用于高频 Helmholtz 预条件子，并首次在离散层建立理论。其适用范围包括有界凸多边形/多面体区域、阻抗边界条件、$H^1$ 协调节点有限元、准均匀细网格以及满足尺度分辨假设的重叠分解。作者未显式讨论非凸区域、高阶有限元、非均匀细网格或变波数情况下理论是否成立；从提供内容中无法确认这些扩展。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 用热半群泛函演算与逐点乘积模拟 Darcy 解算子 Emulating the Darcy Solution Operator by Heat-Semigroup Functional Calculus and Pointwise Products\n作者: Dawid Hanrahan\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.20106v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.20106v1\n摘要翻译 中文标题: 用热半群泛函演算与逐点乘积模拟 Darcy 解算子\n摘要翻译: 我们通过算子网络逼近 $-\\operatorname{div}(a\\nabla u)=f$ 的解算子 $(a,f)\\mapsto u$，该算子网络仅有的原语是固定参考算子的热半群函数与逐点乘积。主要结果是在具有谱隙和 Bakry\u0026ndash;Émery 界 $\\mathrm{BE}(-K,\\infty)$ 的强局部 Dirichlet 空间上的模拟定理：一个显式格式对具有有界 carré du champ 和有界生成元像的系数以及 $L^2$ 数据一致地达到 $\\dot H^1$ 误差 $\\varepsilon$，其参数仅依赖于系数界、精度和 $K$；在环面上，这给出一个 $C^2$ 型系数类，其常数与维数无关。环面版本将其细化为分数正则性 $A^{1+θ}$ 的 Wiener 类，并具有由该格式的乘积缺陷块达到的显式速率。该格式展开拉普拉斯预条件的 Richardson 迭代，在不使用 Galerkin 截断的情况下以 $\\dot H^1$ 的算子范数控制每个不精确步骤，并从一层热层的乘积缺陷合成耦合项 $\\nabla a\\cdot\\nabla u$。所有参数都是显式的；这些结果是连续算子的逼近定理。\n2. 通过 SAV-E 方法逼近驻点的二阶流 Second-Order Flows for Approaching Stationary Points via the SAV-E Approach\n作者: Haifan Chen, Wei Liu, Ziqing Xie, Yifang Yuan\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.19884v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.19884v1\n摘要翻译 中文标题: 通过 SAV-E 方法逼近驻点的二阶流\n摘要翻译: 二阶流是一种新兴的计算框架，用于逼近变分能量的驻点，其特征为阻尼双曲偏微分方程。在本文中，我们针对这一类流发展了一种标量辅助变量（SAV）方法，称为 SAV-E。所得格式是线性的且解耦的，并且我们证明了无条件修正能量稳定性。我们进一步在适当假设下，对 Ginzburg-Landau 模型和守恒 Swift-Hohenberg 模型建立了到驻点的子列收敛性。数值实验支持了该分析，并表明与代表性基线和相应的梯度流相比，该方法具有鲁棒性和效率。\n3. 四阶椭圆问题的稳定化 CR-CR 方法 A Stabilized CR-CR Method for Fourth-Order Elliptic Problems\n作者: Yule Sun, Shudan Tian, Qian Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.19514v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.19514v1\n摘要翻译 中文标题: 四阶椭圆问题的稳定化 CR-CR 方法\n摘要翻译: 我们提出一种用于应变梯度弹性的 CR-CR 方法，并证明其关于 Lamé 参数 $λ$ 和长度尺度 $ι$ 的鲁棒性。该方法将应变作为独立的对称张量引入，并使用 CR 单元同时离散应变和位移。CR 插值算子与相关微分算子的交换性质带来了关于 $λ$ 的鲁棒性。一个稳定项弱施加应变与位移的对称梯度之间的关系。该方法也直接适用于双调和方程和奇异摄动四阶问题。对于这些问题，我们证明 CR-CR 方法等价于 Huang 和 Tang 提出的 RT-CR 方法。这一结果将 Poisson 方程的 RT-P0 混合方法与 CR 方法之间的经典等价性推广到四阶问题。该等价性表明，稳定项自然地源于 RT-CR 混合格式。\n4. 具有低正则性势的非线性 Schrödinger 方程的一种势投影方法 A potential projection method for the nonlinear Schrödinger equation with low regularity potential\n作者: Weizhu Bao, Qingyuan Sun, Chushan Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.19430v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.19430v1\n摘要翻译 中文标题: 具有低正则性势的非线性 Schrödinger 方程的一种势投影方法\n摘要翻译: 我们通过将势替换为其 Fourier 投影（截断 Fourier 级数），针对具有低正则性和奇异势的非线性 Schrödinger 方程 (NLSE) 提出了一种势投影 (PP) 方法。这产生了一个具有投影势的 NLSE (NLSEwPP)。我们严格建立了其在低正则性势下的适定性，以及其向原 NLSE 的收敛性。随后，NLSEwPP 由标准时间分裂 Fourier 伪谱 (TS-FP) 方法直接离散，其中网格尺寸根据势投影参数选取，从而得到全离散 TS-PP-FP 方法。数值上，在低正则性乃至奇异势下，TS-PP-FP 就精确解的正则性而言总能达到最优的时间与空间收敛阶。与时间分裂 Fourier 谱方法相比，TS-PP-FP 在显著更低计算成本下达到相同的收敛阶，并保持质量守恒和时间对称性（这些在时间分裂方法的 Fourier 谱离散中会丢失）；与时间分裂 FP 方法相比，在相同计算成本下，它对低正则性势明显更精确。\n5. 非线性参数问题的变分正确损失函数及其神经逼近 Variationally correct loss functions for nonlinear parametric problems and their neural approximations\n作者: Pablo Cortés Castillo, Wolfgang Dahmen, Jay Gopalakrishnan\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-13\narXiv ID: 2610.19296v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.19296v1\n摘要翻译 中文标题: 非线性参数问题的变分正确损失函数及其神经逼近\n摘要翻译: 我们通过在一个测试空间的闭子空间的对偶范数中度量变分形式的残差，为非线性椭圆问题的参数族构造可计算的后验误差估计子。一个抽象定理表明，所得估计子可由试探范数中的误差从上方和下方界住，即它是一个变分正确的损失函数。涵盖两个实例。第一个考虑一个类 $L_2$ 的测试空间，产生一个非线性一阶系统最小二乘损失函数，该损失函数可验证任意的、可能无网格的近似。第二个将测试空间分片，产生一个由单元局部问题计算的非线性不连续 Petrov-Galerkin 损失函数。所有假设均针对拟线性扩散（包括单调通量和半线性问题）以及一个非局部 Kirchhoff 模型得到验证。数值研究使用后一种损失函数训练逼近参数到解映射的神经网络，并度量损失与平方误差之比。\n不相关论文（基本信息） 1. 四面体网格上离散最大值原理的 Strang-Fix 注记的推广 Generalization of Strang-Fix remark for discrete maximum principles on tetrahedral meshes\n作者: Safdar Ali, Maksat Ashyraliyev, Sergey Korotov, Sergei Silvestrov\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.20403v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.20403v1\n摘要: Most of qualitative properties of finite element (FE) approximations for various PDE models, in particular the validity of the discrete maximum principles (DMPs), are usually guaranteed by certain geometric properties (e.g. acuteness/nonobtuseness) of FE meshes used. In this work, we revisit the linear FE discretization of the Poisson equation and discuss, in the context of DMPs, the representation of the stiffness matrix entries in terms of the edge lengths and cotangents of the dihedral angles of the tetrahedral meshes, thus avoiding the common use of face areas and element volumes. Using this type of entry representation, certain structural properties of meshes, and simple trigonometric relations, as proposed in the two-dimensional case by Strang and Fix, we show that DMPs still hold (as the stiffness matrices remain $M$-matrices) for many tetrahedral configurations with obtuse dihedral angles. Such a relaxation of the standard acuteness/nonobtuseness conditions can be vital in practical calculations, as these angle properties are difficult to preserve in global and local mesh refinements. Several representative examples are presented.\n2. 面向逐系数后向稳定性的缩放友线性化 Scaled Companion Linearizations for Coefficientwise Backward Stability\n作者: Javier Pérez\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.20285v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.20285v1\n摘要: A central goal in solving a polynomial eigenvalue problem is to compute eigenpairs that are exact for a nearby polynomial, with each coefficient perturbation bounded by a modest multiple of unit roundoff times that coefficient\u0026rsquo;s norm. A backward stable eigensolver for a linearization does not automatically provide this coefficientwise relative guarantee. Scaling can improve accuracy, but a single scaling may not work across a widely spread spectrum. We construct a family of scaled companion linearizations that covers the nonzero complex plane. Each linearization is paired with a region and an eigenvector recovery rule for which the backward-error amplification factor is bounded at exact pencil eigenvectors, independently of coefficient norm disparities. Tropical roots guide the construction, and their multiplicities reduce the number of required solves. These results provide a basis for coefficientwise relative backward stability across the spectrum.\n3. 用于深度高斯过程采样的小波压缩 Wavelet compression for sampling deep Gaussian processes\n作者: Oskar Broukal, Michael Feischl, Conor Osborne\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.20266v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.20266v1\n摘要: Deep Gaussian processes (DGPs) use iterative sampling to create non-stationary random fields. This is notoriously expensive because the covariance at each non-initial layer depends on the realised field from the layer below, so it changes with every sample. Moreover, standard fast sampling techniques like circulant embedding or matrix compression fail since the underlying kernel usually lacks the necessary regularity and structure. We develop and analyse a wavelet compression method for convolution Matérn DGPs. At each layer the covariance matrix is compressed using wavelets and a Lanczos algorithm computes the random sample. For specific parameter ranges involving the smoothness of the Matérn kernel as well as the smoothness of the wavelets, we show that the accumulative compression and sampling errors through all layers decay exponentially with increasing truncation parameter. We obtain a practical DGP sampling algorithm by choosing a truncation that gives log-linear covariance storage and matrix-vector costs, enabling DGP sampling at nearly linear computational cost.\n4. Volterra 积分方程的快速谱方法 Fast spectral methods for Volterra integral equations\n作者: Xi Chen, Kuan Xu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.20206v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.20206v1\n摘要: We develop novel methods for the fast construction of spectral approximations to smooth linear and weakly singular Volterra integral operators and for the fast evaluation of smooth nonlinear Volterra integrals. The proposed methods employ the Duffy mapping, which transforms the original indefinite integral into a definite integral and maps the original causal triangular domain to a square, thereby avoiding any artificial extension of the kernel function. For smooth linear and weakly singular Volterra operators, the resulting approximations are almost-banded and lower-banded, respectively. The $N\\times N$ principal finite section of these approximations can be constructed in $O(N)$ and $O(N^2)$ flops, respectively, via recurrence relations. For Volterra integrals with a smooth kernel that depends nonlinearly on a given function, recurrence relations lead to fast evaluation with a complexity of $O(N^2\\log N)$ when the function is approximated by a degree-$N$ Chebyshev approximant. These spectral approximations and evaluation procedures give rise to fast and stable spectral methods for solving Volterra integral equations, as well as a broad class of problems involving Volterra integral operators. Extensive numerical experiments show that these spectral methods significantly outperform existing methods in terms of stability, speed, accuracy, and ease of implementation.\n5. eMOOD：用于高阶激波捕捉有限体积格式的基于熵的多维最优阶检测 eMOOD: Entropy-Based Multidimensional Optimal Order Detection for High-Order Shock-Capturing Finite-Volume Schemes\n作者: Michał Umiński, Panagiotis Tsoutsanis, Ahmed A Sheikh Al-Shabab, Alan S. Dawes\n类别: math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.20133v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.20133v1\n摘要: We present eMOOD, an entropy-guided evolution of the Multidimensional Optimal Order Detection (MOOD) framework for high-order finite-volume methods on unstructured meshes. A novel troubled-cell indicator based on numerical entropy production replaces the classical relaxed discrete maximum principle. Using entropy generation as a physically motivated measure of non-smoothness, the detector targets shocks, contact discontinuities and under-resolved flow features with a compact stencil. Compared with conventional MOOD detection, eMOOD reduces flagged cells by up to 75%, improving efficiency and reducing memory-access overhead. The detector is used within both the classical MOOD cascade of progressively reduced-order schemes and a novel MOOD-CWENO hybrid, which retains inexpensive linear reconstruction in smooth regions and activates nonlinear high-order reconstruction only where needed. Implemented in the open-source parallel solver UCNS3D, the methodology is assessed on the Shu-Osher shock-entropy-wave interaction, double Mach reflection, supersonic forward-facing step, shock-helium-bubble interaction and triple material point problems. These benchmarks encompass strong shock interactions, shock-induced instabilities, multi-material interfaces and vortex-dominated flows, testing robustness, shock capturing and accuracy on unstructured meshes. Results show that eMOOD preserves the accuracy and robustness of reference CWENO and MOOD formulations while achieving speed-ups of up to 20% without loss of solution quality. Its compact detection stencil, reduced memory footprint and improved localisation offer a more scalable and efficient framework for massively parallel high-order compressible-flow simulations. UK Ministry of Defence (copyright) Crown owned copyright 2026 AWE.\n6. P_2 半拉格朗日格式的稳定性 Stability of the P_2 semi-Lagrangian scheme\n作者: Roberto Ferretti, Michel Mehrenberger\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.19806v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.19806v1\n摘要: Among the various space interpolation operators used in high-order semi-Lagrangian schemes, the case of finite element interpolation presents a somewhat incomplete stability theory, partly due to the impossibility of applying in a standard form the framework of Von Neumann analysis, even in the constant coefficient case. In this work, the stability of the P_2 semi-Lagrangian scheme is stated in the case of the constant coefficient equation on a uniform mesh, using a suitable extension of the Von Neumann technique to treat block circulant matrices.\n7. 用于基于FFT的微分的外推与混合光滑周期延拓 Smooth periodic extensions by extrapolation and blending for FFT-based differentiation\n作者: Ivan Méndez-Cruz, Faisal Amlani\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.19797v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.19797v1\n摘要: Non-periodic functions on closed intervals are extended into sufficiently smooth periodic functions through a continuous Hermite interpolation framework with necessary and sufficient endpoint conditions, using smooth blend-to-zero operators and short extrapolation recurrences. A matrix-free method is introduced for generating these smooth periodic extensions on the fly directly from function values at equidistant points. No precomputed continuation operator or auxiliary basis construction is required. The resulting extensions can then be used for FFT-based differentiation of non-periodic functions. Numerical tests are provided to show the effectiveness of the method, including for the highly accurate solution of a 1D linear advection equation.\n8. 有限体积方法 Finite Volume Methods\n作者: Robert Eymard, Thierry Gallou{ë}t, Rapha{è}le Herbin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.19748v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.19748v1\n摘要: This chapter focuses on finite volume methods. The finite volume method is a discretization method that is well suited for the numerical simulation of various types (for instance, elliptic, parabolic, or hyperbolic) of conservation laws; it has been extensively used in several engineering fields, such as fluid mechanics, heat and mass transfer, or petroleum engineering. Some of the important features of the finite volume method are similar to those of the finite element method: it may be used on arbitrary geometries, using structured or unstructured meshes, and it leads to robust schemes. The finite volume method is locally conservative because it is based on a balance'' approach: a local balance is written on each discretization cell that is often called control volume;\u0026rsquo;\u0026rsquo; by the divergence formula, an integral formulation of the fluxes over the boundary of the control volume is then obtained. The fluxes on the boundary are discretized with respect to the discrete unknowns.\n9. 具有流函数形式的 Oseen 方程最优控制的 C1 虚拟元方法 C1 Virtual Element Methods for the Optimal Control of Oseen Equations with Stream-Function Formulation\n作者: Arbaz Khan, David Mora, Alberth Silgado, Harpal Singh\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.19662v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.19662v1\n摘要: This work analyzes a $C^1$-conforming virtual element method for the optimal control of generalized Oseen equations, formulated using the stream-function on simply connected polygonal domains. The method is based on a conforming discretization in $H^2$ of arbitrary order $k \\ge 2$. The discrete scheme considers an approximation of the state and co-state equations which involves a specifically designed operator for the convective term and a \\textit{variational discretization} of the control variable. We derive quasi-optimal a priori error estimates in the $H^1$ and $H^2$-norms for the stream-function, and in the $L^2$-norm for the control, under standard assumptions on the family of polygonal meshes. The proposed method recovers the fluid velocity, vorticity, and pressure using suitable projections. Finally, we report several numerical experiments to support the theoretical findings using different polygonal meshes including the cavity problem. We highlight that this analysis also covers OCPs governed by Brinkman and Stokes equation.\n10. 哪些反问题可以用神经网络求解？ What Inverse Problems Can Be Solved Using Neural Networks?\n作者: A. S. Leonov, D. V. Lukyanenko\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.19637v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.19637v1\n摘要: The relationship between classical methods for solving inverse problems and neural network methods is examined. An answer is provided to the question of what inverse problems can be solved using neural networks. The answer is that neural network algorithms can solve only conditionally well-posed problems (well-posed according to Tikhonov). The reason is that the design of standard neural network algorithms violates the well-known Bakushinsky veto from the theory of ill-posed problems. It requires that any method theoretically guaranteeing a stable solution to an ill-posed problem must depend explicitly on the error level of data. The article highlights the distinction between the concept of regularization (RA) in the theory of ill-posed problems and regularization as understood in neural network training, where Bakushinsky\u0026rsquo;s veto is violated. Due to this violation, any changes to the neural network architecture, regularization during training, or training dataset augmentation cannot alter the answer specified above. It is theoretically demonstrated that an ill-posed inverse problem can be solved only by using a parametric set of neural networks that explicitly depend on the known error levels (as parameters) of data. Accordingly, as an alternative to standard neural network algorithms, \\neural network based regularization algorithms (NNBRAs) are proposed to solve ill-posed inverse problems. One approach to their construction involves using a regularized dataset. Such a dataset can be generated from perturbed inverse-problem data using a specific base RA explicitly depended on the error level of the data. Test solving the simplest finite-dimensional ill-posed inverse problem demonstrate that the accuracy of the NNBRA approximate solutions is comparable to that of the base RA. At the same time, errors of conventional neural network methods may be unacceptable.\n11. 多项式谱 Ritz 投影的几乎尖锐 $W^{1,\\infty}$ 稳定性 Nearly sharp $W^{1,\\infty}$ stability of polynomial spectral Ritz projections\n作者: Yongxing Guo, Yuwen Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.19531v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.19531v1\n摘要: We establish nearly sharp $W^{1,\\infty}$ stability estimates for the Legendre spectral Ritz projection associated with Laplacian on a square domain. Its norm grows proportionally to the square root of the polynomial degree, up to a cubic logarithmic factor. The upper bound uses an integral representation of the discrete gradient projection in terms of one-dimensional semigroup kernels and a rank-two Duhamel comparison between the mass-matrix semigroup and its infinite-dimensional counterpart. The lower bound follows from the endpoint concentration of the Legendre kernel. As an application, we derive gradient maximum-norm error estimates for the Poisson and heat equations, with spatial factors optimal up to logarithmic terms.\n12. 一种捕捉非平衡态的统一气体动理学格式 I：速度空间上离散正交基的构造与展开 A nonequilibrium-capturing unified gas-kinetic scheme I: discrete orthogonal basis construction and expansion on velocity space\n作者: Hongyu Liu, Kun Xu\n类别: physics.comp-ph, math.NA\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.19486v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.19486v1\n摘要: Velocity space discretization is a primary source of computational cost in deterministic methods for multiscale gas flows. A fixed velocity grid often retains redundant kinetic degrees of freedom (DOFs), particularly under near equilibrium conditions. To address this issue, this work develops a nonequilibrium-capturing formulation based on the unified gas kinetic scheme (UGKS), in which the number of kinetic DOFs adapts locally to the degree of nonequilibrium. A discrete orthogonal basis is constructed for numerical implementation, and the velocity distribution function is decomposed into an analytical local equilibrium and a basis expanded nonequilibrium component. The retained, locally adapted DOFs are evolved directly, substantially lowering computational overhead while preserving the discrete conservation of mass, momentum, and energy, as well as accurately capturing nonequilibrium states. The formulation retains the core multiscale coupling of molecular transport and collision inherent to UGKS, providing explicit and implicit schemes for unsteady and steady flows, respectively. Numerical tests across a wide range of flow speeds and rarefaction regimes (from continuum to highly rarefied) demonstrate close agreement with benchmark solutions. For unsteady flows, the explicit scheme achieves speedups of 12.64 to 58.50 over the standard UGKS. In steady state tests, only about $2\\%$ of the original kinetic DOFs are required in continuum regions, accelerating each implicit iteration by a factor of 33.87. Even in the most rarefied cases, the scheme captures nonequilibrium behavior using only about $27\\%$ of the original DOFs.\n13. 用于高维周期逼近的权重自适应 ANOVA 核 Weight-adapted ANOVA kernels for high-dimensional periodic approximation\n作者: Zhengjie Sun\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.19409v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.19409v1\n摘要: In this paper, we construct normalized periodic kernels from univariate functions satisfying suitable moment conditions and derive sufficient conditions for high-order convolution approximation. Two computable quasi-interpolation schemes are obtained by discretizing the convolution integral using either a full tensor grid or random samples. In each case, the analysis separates the continuous convolution error from the error introduced by discretization. The contribution of kernel energy to the error exposes the dimensional dependence of tensor-product kernels and motivates our weight-adapted ANOVA constructions. Under suitable summability conditions on the weights, we establish convolution error and kernel energy estimates that yield dimension-uniform error bounds for the resulting quasi-interpolants. Numerical experiments corroborate the theoretical convergence rates and illustrate the effect of coordinate weighting on dimensional dependence.\n14. 使用快照与行子采样求解一系列特征值问题 Solving a sequence of eigenvalue problems using snapshot and row subsampling\n作者: Francesco Hrobat, Yuji Nakatsukasa\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-14\narXiv ID: 2610.19326v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.19326v1\n摘要: A sequence of eigenvalue problems requires solving $A_i\\vec{x}_i= λ_i\\vec{x}_i$ where $i \\in \\{1, \\dots, N\\}$, $N \\gg 1$ and (usually) $λ_i$ is the largest or smallest eigenvalue of $A_i$. Often, the matrices $A_i$ come from a discretization of a smooth map depending on a parameter $p \\rightarrow A(p)$, that is $A_i = A(p_i)$, so the matrices $A_i$ change gradually along the sequence. Under this latter assumption, we introduce an efficient algorithm for solving sequences of eigenvalue problems. Our algorithm combines the ideas of reduced order model and row subsampling, as done in [E. Jones and Y. Nakatsukasa, arXiv, 2025] for linear systems. In addition, in our approach, the same set of rows is guaranteed to work well independently of the value of the parameter $p$ or the matrix $A(p)$ as long as the snapshot matrix is unchanged and given that the row subset was chosen well at the beginning. Furthermore, we implement an update strategy of the snapshot matrix. Along these results, we present theoretical analysis of the snapshot matrix for eigenvalue problems, showing an exponential decay of the singular values, and we give bounds on the error on eigenvectors for unseen value of the parameter. This analysis generalizes that in [M. Guido, D. Kressner, and P. Ricci, J. Sci. Comput., 2024] and shows that, regardless of the distribution of the snapshot points, the convergence is always (asymptotically) exponential in the number of snapshot points if the function $A(p)$ admits an analytical extension. We further generalize our algorithm for computing largest or smallest singular values and relative singular vectors and to generalized eigenvalue problems. We conclude with numerical results showing the efficiency of our approach.\n15. 用于复杂区域上拉回有限元方法的神经样条流微分同胚 Neural Spline Flow Diffeomorphisms for Pullback Finite Element Methods on Complex Domains\n作者: Ioannis Kalogeris, Anaksagoras Spitas, Konstantinos Atzarakis, George Stavroulakis, Vissarion Papadopoulos\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-13\narXiv ID: 2610.19092v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.19092v1\n摘要: We propose a method for solving partial differential equations on complex domains by learning smooth, invertible mappings from a fixed reference domain using Neural Spline Flows (NSFs). Monotone rational-quadratic spline coupling layers ensure a strictly positive Jacobian determinant by construction, eliminating the need for Jacobian-sign penalties. A diffeomorphic pullback transfers the weak form of the PDE to the reference domain, enabling finite element analysis on reusable structured meshes. To generalize across shapes, a shared NSF is conditioned on low-dimensional latent codes learned through an auto-decoder framework; a subsequent encoder predicts these codes for unseen geometries in a single forward pass. For a given learned map, the pullback preserves the mathematical structure of the PDE and is exactly equivalent to solving on the domain represented by that map. Because the learned domain generally approximates the target geometry, geometric mapping error remains distinct from finite element discretization and quadrature errors. Numerical benchmarks show that sufficiently accurate learned mappings yield reliable finite element solutions. By avoiding repeated generation of unstructured meshes, the method addresses a bottleneck in simulation workflows. The fixed reference mesh also creates opportunities for efficient assembly, memory-aligned data access, and precomputed quadrature. The resulting framework assigns geometric complexity to the neural network while retaining conventional finite element discretization and convergence properties on the learned domain, with overall accuracy also governed by geometric fidelity.\n16. 图粗化使计算受限的非凸 MAX-CUT 能够逃离局部最优 Graph Coarsening Enables Escaping Local Optima in Compute-Constrained Nonconvex MAX-CUT\n作者: M. Harper Langston, Pierre-David Letourneau, Dalton Jones, Harris Teague, Peter Scott, Mingu Lee, Richard Lethin, Chris Lott, Roland Memisevic, Fatih Porikli\n类别: cs.LG, cs.AI, cs.CL, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-10-13\narXiv ID: 2610.19043v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.19043v1\n摘要: Because its binary optimization landscape contains exponentially many local optima, MAX-CUT is highly sensitive to initialization. We study Particle Polynomial Relaxation (PPR), a moment-based nonconvex continuous reformulation possessing an advantageous optimization landscape. We warm-start PPR with Combinatorial Multigrid (CMG), a spectral graph-coarsening method that produces structure-aware initial solutions in near-linear time without training data. On \\texttt{t2g20} ($n=400$), benchmark instance with known exact optimum, the combined CMG+PPR pipeline reaches $97.5\\%$ of optimum on average and $98.4\\%$ on the best run. An extended variant with discrete local-search refinement reaches the published optimum on all sixty Biq Mac instances evaluated by a recent neural branch-and-bound method. Using a sparse CSR representation, the same approach scales to G-set instances with up to $20{,}000$ vertices reducing memory requirements by up to $3333\\times$ while maintaining a consistent improvement over the CMG warm start. Gains are largest on sparse weighted graphs; on dense graphs we complement the pipeline with spectral sparsification.\n17. 具有小时滞的慢-快随机系统的指数稳定性 Exponential Stability of Slow\u0026ndash;Fast Stochastic Systems with a Small Delay\n作者: Yudong Wang, Kele Sun, Shijie Zhou, Xuerong Mao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-13\narXiv ID: 2610.19008v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.19008v1\n摘要: In this paper, we investigate the exponential stability of coupled slow\u0026ndash;fast stochastic systems with a small delay. Under an averaged Lyapunov condition, we establish practical $p$th-moment exponential stability for $0","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-10-15_14-49-03/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年10月15日 14:49:03\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 4\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 5\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 17\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-面向谐波传播的-hdg-离散的模型降阶\"\u003e1. 面向谐波传播的 HDG 离散的模型降阶\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eModel order reduction of HDG discretizations for harmonic wave propagation\u003c/p\u003e","title":"2026年10月15日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年10月14日 14:59:34\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 9\n不相关论文数量: 16\n重点关注论文（完整分析） 1. 面向瞬态多连续介质问题的带修正基重构的 POD 加速高阶多尺度方法 POD-accelerated high-order multiscale method with corrected-basis reconstruction for transient multi-continuum problems\n作者: Jiayuan Peng, Hao Dong, Jiale Linghu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-13\narXiv ID: 2610.17758v1\n摘要翻译: 多连续介质模型通过在每个宏观位置引入若干相互作用的状态变量，为裂缝性和高度非均质多孔介质中的瞬态流动提供了一种有效的宏观描述。尽管高阶多尺度 (HOMS) 方法降低了刻画微观非均质性的成本，同时恢复局部振荡特征，但在长时间和大规模三维模拟中，重复求解耦合均匀化系统以及重复进行高阶重构仍然代价高昂。本工作提出了一种用于瞬态多连续介质问题的本征正交分解 (POD) 加速 HOMS 框架。由耦合均匀化解的快照构造向量值 POD 空间，并将所得块系统投影到低维空间。考虑了两种恢复策略。第一种重构降维均匀化场，并在每个输出时间执行完整 HOMS 组装。第二种离线将多尺度恢复算子的空间部分应用于保留的 POD 模态，并通过修正基与时间导数基的直接线性组合来评估在线解。针对该耦合系统，建立了全离散均匀化解与其 POD 降维近似之间的误差估计。然后，通过将 HOMS 相容性误差与通过值、梯度、连续介质间交换、二阶导数和时间导数恢复项传播的 POD 截断误差相结合，得到了恢复的 POD-HOMS 估计。二维和三维非均质构型的数值实验表明，降维解在保持相应 HOMS 解的精度和局部振荡行为的同时，显著降低了计算成本。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.17758v1\n1. 研究对象和背景 本文研究裂缝和高度非均质多孔介质中瞬态流动的多连续介质模型及其高阶多尺度离散的降阶加速。设 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d, d=2,3$ 为有界 Lipschitz 区域，$T\u003e0$，$Y=(0,1)^d$，微观坐标 $y=x/\\varepsilon$。对两个连续介质 $l=1,2$，记 $\\bar l=3-l$，$u_l^\\varepsilon$ 为第 $l$ 个连续介质的压力，细尺度系统为 $$c_l(y)\\frac{\\partial u_l^\\varepsilon}{\\partial t}=\\frac{\\partial}{\\partial x_i}\\left(\\kappa_{l,ij}(y)\\frac{\\partial u_l^\\varepsilon}{\\partial x_j}\\right)+q_l+\\varepsilon^{-1}Q_l(y)(u_{\\bar l}^\\varepsilon-u_l^\\varepsilon),\\quad (x,t)\\in\\Omega\\times(0,T),$$ 在 $\\partial\\Omega$ 上齐次 Dirichlet，初值 $u_l^\\varepsilon(x,0)=u_{l,0}(x)$。这里 $c_l$ 正且有界，$\\kappa_l$ 一致椭圆且 $Y$ 周期，$Q_l\\ge0$ 为交换系数，保守对称时 $Q_1=Q_2$。该模型由 Barenblatt 等、Warren 和 Root 的双孔隙概念发展而来，并经 Kazemi 等、Pruess 和 Narasimhan 的 MINC、Wu 和 Pruess 的多孔模型等推广。其核心是不同孔隙系统压力可能未达局部平衡，因此单一宏观变量不足以描述耦合瞬态行为；交换项表示基质与裂缝之间的非平衡交换。由于 $c_l,\\kappa_l$ 随微观 $y$ 强振荡且可能高对比，直接求解细尺度系统需要极细网格，在长时和大尺度三维中不可行。为降低空间异质成本，已有 MsFEM、GMsFEM、CEM-GMsFEM、NLMC 等方法构造适应系数的粗尺度基函数或连续介质变量。本文采用前期 HOMS 工作建立的二阶多尺度表示 $$u_l^{(2\\varepsilon)}=u_l^{(0)}+\\varepsilon N_l^\\alpha\\partial_{x_\\alpha}u_l^{(0)}+\\varepsilon M_l(u_{\\bar l}^{(0)}-u_l^{(0)})+\\varepsilon^2\\left[G_l\\partial_t u_l^{(0)}+N_l^{\\alpha\\beta}\\partial^2_{x_\\alpha x_\\beta}u_l^{(0)}+C_l^\\alpha\\partial_{x_\\alpha}u_l^{(0)}+F_l^\\alpha\\partial_{x_\\alpha}u_{\\bar l}^{(0)}+K_l(u_{\\bar l}^{(0)}-u_l^{(0)})\\right],$$ 其中 cell 函数 $N_l^\\alpha,M_l,G_l,N_l^{\\alpha\\beta},C_l^\\alpha,F_l^\\alpha,K_l$ 由局部 cell 问题确定，有效系数 $c_l^*,\\kappa_l^*,K_{lm,i}^*,Q_l^*$ 由这些 cell 函数给出。均匀化耦合系统为 $$c_1^*\\partial_t u_1^{(0)}=\\partial_{x_i}(\\kappa_{1,ij}^*\\partial_{x_j}u_1^{(0)})+K_{12,j}^*\\partial_{x_j}u_2^{(0)}-K_{11,j}^*\\partial_{x_j}u_1^{(0)}+Q_1^*(u_2^{(0)}-u_1^{(0)})+q_1,$$ 对 $l=2$ 类似。其弱形式为 $$M_0\\left(\\frac{\\partial u^{(0)}}{\\partial t},v\\right)+B_0(u^{(0)},v)=F(v;t),\\quad \\forall v\\in V,$$ 其中 $V=H_0^1(\\Omega)^2$，$M_0$ 是质量双线性形式，$B_0=B_d+B_K+B_Q$ 包括扩散、交叉梯度和交换。由于 $B_K$ 和 $B_Q$ 不一定对称，标准对称 coercivity 不直接适用，需用 Gårding 框架。全离散：$V_h\\subset H_0^1(\\Omega)$ 为协调有限元空间，$V_h=V_h^2$，时间网格 $t_n=n\\Delta t$，后向 Euler 离散为 $$M_0\\left(\\frac{U_h^n-U_h^{n-1}}{\\Delta t},v_h\\right)+B_0(U_h^n,v_h)=F(v_h;t_n),\\quad \\forall v_h\\in V_h,$$ 并等价于矩阵形式 $\\left(\\frac{M}{\\Delta t}+A\\right)U^n=F^n+\\frac{M}{\\Delta t}U^{n-1}$。POD 降阶在离散层面进行。从耦合快照 $U_h^n=(U_{1,h}^n,U_{2,h}^n)^T$ 构造质量加权相关矩阵 $C_{ij}=\\frac1m M_0(U_h^i,U_h^j)$，特征问题 $C\\xi_k=\\lambda_k\\xi_k$ 给出质量正交模态 $\\phi_k=\\frac{1}{\\sqrt{m\\lambda_k}}\\sum_{j=1}^m\\xi_{k,j}U_h^j$，秩 $r$ 由 $\\sum_{k=1}^r\\lambda_k/\\sum_{k=1}^s\\lambda_k\\ge1-\\delta_{\\rm pod}$ 选取，投影块系统为 $\\left(\\frac{M_r}{\\Delta t}+A_r\\right)z^n=f_r^n+\\frac{M_r}{\\Delta t}z^{n-1}$。与逐分量降阶不同，联合空间保留基质和裂缝压力在快照层面的相关性，从而保留扩散、漂移和连续介质交换诱导的耦合。现有降阶方法多针对均匀化或宏观系统，且最终量通常就是宏观解。然而 HOMS 的最终量是重构多尺度场，恢复过程需要均匀化压力的值、空间梯度、高阶空间导数、连续介质压差、跨连续介质梯度和时间导数。因此，仅对均匀化系统做 POD 误差估计不足以控制恢复场误差；同时，重复高阶恢复在长时大尺度三维输出中可能成为主导成本。本文旨在补此空白：建立 POD 加速 HOMS 框架，构造向量值联合 POD 空间，给出均匀化降阶误差和恢复场误差传播估计，并提出两种恢复策略，使在线阶段避免重复组装完整 HOMS 恢复。\n2. 主要定理或主要结果 论文的严格结果集中在提供的前三节。设 $V=H_0^1(\\Omega)^2$，$M_0(u,v)=\\sum_{l=1}^2\\int_\\Omega c_l^* u_l v_l dx$，$B_0=B_d+B_K+B_Q$。假设 $00$，漂移和交换系数本质有界，质量范数满足 $c_M\\|v\\|_{L^2(\\Omega)^2}^2\\le\\|v\\|_M^2\\le C_M\\|v\\|_{L^2(\\Omega)^2}^2$。定义 $\\|v\\|_V^2=\\sum_{l=1}^2\\sum_{j=1}^d\\|\\partial_{x_j}v_l\\|_{L^2(\\Omega)}^2$。在这些假设下，Lemma 1 证明 $B_0$ 连续且满足 Gårding 不等式：$|B_0(u,v)|\\le C_B\\|u\\|_V\\|v\\|_V$，$B_0(v,v)\\ge\\alpha\\|v\\|_V^2-\\beta\\|v\\|_M^2$，其中 $C_B,\\alpha\u003e0$，$\\beta\\ge0$。证明中扩散部分给出 $\\kappa_0\\|v\\|_V^2$，漂移项用 Hölder 和 Young 吸收，交换项用恒等式 $\\frac{Q_1^*+Q_2^*}{2}(v_1-v_2)^2+\\frac{Q_1^*-Q_2^*}{2}(v_1^2-v_2^2)$ 处理。POD 方面，设 $C_{ij}=\\frac1m M_0(U_h^i,U_h^j)$，$C\\xi_k=\\lambda_k\\xi_k$，$\\lambda_1\\ge\\cdots\\ge\\lambda_s\u003e0$，质量正交模态 $\\phi_k=\\frac{1}{\\sqrt{m\\lambda_k}}\\sum_{j=1}^m\\xi_{k,j}U_h^j$。令 $P_r:V_h\\to V_r$ 为 $M_0$ 正交投影，$\\eta^n=U_h^n-P_rU_h^n$，$\\theta^n=P_rU_h^n-U_r^n$，$e^n=\\eta^n+\\theta^n$。Lemma 2 证明 $\\frac1m\\sum_{n=1}^m\\|\\eta^n\\|_M^2=\\sum_{k=r+1}^s\\lambda_k$，$\\frac1m\\sum_{n=1}^m\\|\\eta^n\\|_V^2=\\sum_{k=r+1}^s\\lambda_k\\|\\phi_k\\|_V^2$。关键点是 V 内积中模态不必正交，但协方差对角化消除交叉项。定义 $\\mathcal P_r=\\max_{1\\le n\\le m}\\|\\eta^n\\|_M^2+\\Delta t\\sum_{n=1}^m\\|\\eta^n\\|_V^2$。若理论快照每个分析时间层一个且 $m\\Delta t=T$，则 $\\mathcal P_r\\le m\\sum_{k=r+1}^s\\lambda_k+T\\sum_{k=r+1}^s\\lambda_k\\|\\phi_k\\|_V^2$；若快照时间子采样，则需加权快照或时间插值估计。Theorem 1：设 $U_h^n$ 解全离散均匀化问题，$U_r^n$ 解 POD 降阶问题，取 $U_r^0=P_rU_h^0$。若 $\\beta\u003e0$，假设 $2\\beta\\Delta t\\le\\rho\u003c1$ 对固定 $\\rho$。则 $\\max_{1\\le n\\le m}\\|U_h^n-U_r^n\\|_M^2+\\Delta t\\sum_{n=1}^m\\|U_h^n-U_r^n\\|_V^2\\le C_T\\mathcal P_r$，其中 $C_T$ 独立于 $h,r$ 和被丢弃特征值，并在步长条件下对 $\\Delta t$ 一致。若 $\\beta=0$，可直接求和，不需要 Gronwall 或时间步限制。证明通过 $V_r\\subset V_h$ 测试相减，利用 $P_r$ 时间无关和 $M_0$ 正交性使投影误差时间项消失，得到 $\\theta^n$ 的方程，再用 Gårding 和 Young 不等式、离散 Gronwall 和三角不等式。关于恢复场，摘要和第 1、3 节指出：通过将 HOMS 一致性误差与 POD 截断误差在值、梯度、连续介质交换、二阶导数和时间导数恢复项中传播，得到恢复的 POD-HOMS 估计。但提供的 PDF 只到 Theorem 1 证明，未给出该恢复估计的完整显式定理、常数或编号；从提供内容中无法确认其精确形式。恢复策略有两个：策略一在每个输出时间重构降阶均匀化场并执行完整 HOMS 组装；策略二离线将多尺度恢复算子的空间部分作用于保留的 POD 模态，在线通过修正基和时间导数基的直接线性组合求值。数值实验（二维和三维异质构型）表明降阶解保留对应 HOMS 解的精度和局部振荡行为，同时显著降低计算成本；在大三维测试中，当直接细尺度 FEM 方法超出可用内存时，修正基重构仍可行。具体误差数值、加速比和内存数据在提供内容中未列出。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 技术障碍有三。第一，多连续耦合均匀化系统包含非对称交叉梯度和交换项，$B_0$ 不一定对称正定，标准对称 coercivity 误差分析失效。第二，POD 降阶必须针对耦合块状态，而不是逐分量独立降阶，否则会丢失基质-裂缝相关性。第三，最终感兴趣的是重构多尺度场，POD 只控制均匀化解误差，截断误差需通过 HOMS 恢复算子传播到值、梯度、交换、二阶导数和时间导数项。作者创新：1) 联合质量加权 POD 空间。快照是向量值 $U_h^n=(U_{1,h}^n,U_{2,h}^n)^T$，相关矩阵 $C_{ij}=\\frac1m M_0(U_h^i,U_h^j)$ 使用质量矩阵，模态 $\\phi_k$ 是向量值。投影块系统保留耦合。2) corrected-basis reconstruction。离线阶段对保留的 POD 模态施加多尺度恢复算子的空间部分，预计算修正基；在线阶段用时间系数和时间导数基直接组合，避免每个输出时间完整 HOMS 组装。3) 误差分析框架。在离散层面比较 $U_h^n$ 与 $U_r^n$，用连续弱形式建立 $B_0$ 的连续性和 Gårding 稳定性，用投影误差和演化误差分裂，用 POD 投影恒等式和离散 Gronwall 得到 $O(\\mathcal P_r)$ 式估计，并将恢复误差与 HOMS 一致性误差组合。关键证明细节：Lemma 1 中，扩散项直接给 coercivity；漂移项如 $\\int_\\Omega K_{12,j}^*\\partial_{x_j}v_2 v_1 dx$ 用 Hölder 和 Young 得 $\\delta\\sum_j\\|\\partial_{x_j}v_2\\|^2+C_\\delta\\|v_1\\|^2$，四个漂移项同样处理，选 $\\delta\u003c\\kappa_0$ 吸收；交换项用恒等式，非负部分可正，非对称部分有界，因此 $B_Q(v,v)\\ge -C_Q\\|v\\|_{L^2}^2$。Lemma 2 中，快照展开 $U_h^n=\\sum_k c_k^n\\phi_k$，$c_k^n=M_0(U_h^n,\\phi_k)$，相关矩阵特征问题给出 $\\frac1m\\sum_n c_i^n c_j^n=\\lambda_i\\delta_{ij}$。因此质量投影误差平均等于丢弃特征值之和；V 半范投影误差平均等于 $\\sum_{k=r+1}^s\\lambda_k\\|\\phi_k\\|_V^2$，交叉项因系数协方差对角化而消失，不是因为 V 正交。Theorem 1 中，减去 reduced 方程后，由于 $P_r$ 是时间无关 $M_0$ 投影，$\\eta^n$ 与 $V_r$ 的 $M_0$ 正交性使 $M_0((\\eta^n-\\eta^{n-1})/\\Delta t,v_r)=0$，得到 $M_0((\\theta^n-\\theta^{n-1})/\\Delta t,v_r)+B_0(\\theta^n,v_r)=-B_0(\\eta^n,v_r)$。取 $v_r=\\theta^n$，极化恒等式得 $\\|\\theta^n\\|_M^2-\\|\\theta^{n-1}\\|_M^2+\\|\\theta^n-\\theta^{n-1}\\|_M^2+2\\Delta t B_0(\\theta^n,\\theta^n)=-2\\Delta t B_0(\\eta^n,\\theta^n)$。用 Gårding 和 Young 得单步估计，求和并用 $2\\beta\\Delta t\\le\\rho\u003c1$ 及 Gronwall，最后 $e^n=\\eta^n+\\theta^n$ 和三角不等式得 (35)。恢复估计中，作者将恢复算子分解为值、梯度、交换、二阶导数和时间导数项，并指出 POD 截断误差通过这些项传播；但具体推导和常数未在提供内容中展开。\n4. 与之前工作的比较 与多连续介质建模工作比较：经典双孔隙 [1,2]、MINC [4]、多孔 [5] 建立宏观连续介质变量，但直接数值模拟仍受细尺度异质限制。本文不改变多连续物理模型，而是基于 HOMS 均匀化框架做降阶和重构。与 Berre 等 [6] 综述中的模型相比，本文聚焦瞬态非平衡交换和长时演化。与多尺度/升尺度方法比较：MsFEM [7]、GMsFEM [8]、CEM-GMsFEM [9]、NLMC [10]、[11-15] 等主要降低空间异质成本，构造局部基或连续介质变量，但通常仍需反复求解粗尺度瞬态耦合系统，并且若最终需要微观重构，还可能需要重复重构。本文在 [27] 的 HOMS 二阶恢复基础上，进一步用 POD 减少耦合均匀化系统的瞬态演化和重复恢复成本。相对于仅空间升尺度，本文推进到时间降阶和在线恢复加速。与 POD/降阶模型比较：Sirovich [16] 快照 POD、Kunisch-Volkwein [17,18] 的 POD-Galerkin 误差分析、[19] 将误差与丢弃特征值/模态联系、[20] 快照位置、[21] 有限元框架、[22] Krylov 富集、[23] 投影降阶综述、[24-26] 异质多孔介质 POD/多尺度结合。本文区别：1) 针对瞬态多连续耦合系统，构造向量值联合 POD 空间而非逐分量；2) 误差分析不仅控制均匀化降阶解，还通过 HOMS 恢复算子传播到重构多尺度场；3) 提出 corrected-basis reconstruction，离线预计算多尺度恢复空间算子，在线仅组合，避免每个输出时间完整 HOMS 组装。这相对于仅对均匀化系统做 POD 的方法更贴合最终量。代价是训练阶段需要快照和 cell 问题求解，恢复误差估计依赖 HOMS 一致性误差，快照子采样会影响 $\\mathcal P_r$ 估计。与本文前期 HOMS [27] 比较：空间多尺度表示、cell 问题、均匀化块系统和恢复库沿用 [27]；本文新增 POD 降阶、两种恢复策略、向量 POD 误差估计和恢复误差传播。推进：长时和大尺度三维中减少重复求解和重复重构。适用范围：从提供内容看，理论针对两连续介质、线性交换、周期 cell 和一致椭圆假设；未显式讨论多连续介质 $l\u003e2$、非线性交换、随机系数、参数变化大或在线自适应。时间尺度：策略二在线成本低，适合大量输出时间；但离线成本、快照质量和训练区间代表性是限制。数值实验中，二维和三维异质构型显示精度和局部振荡保持，大三维在直接细尺度 FEM 内存超限时仍可行；但具体加速比和误差量级未在提供内容中给出，无法确认。\n2. 开放波导网络的菲涅耳散射 Fresnel scattering for open waveguide networks\n作者: Solomon Quinn, Charles L. Epstein\n类别: math.AP, math-ph, math.NA\n发布日期: 2026-10-12\narXiv ID: 2610.17398v1\n摘要翻译: 本文研究开放波导网络的 Helmholtz 散射问题，将 [arXiv:2302.04353, arXiv:2310.05816, arXiv:2401.04674] 中的分析推广到平面波入射数据。我们首先将问题约化为无限界面上的 Fredholm 第二类积分方程。由此得到原散射问题解的积分表示，继而利用该表示获得解在无穷远处的精细渐近估计。在主阶意义下、且在远离波导处，散射场本身就是一个平面波；其振幅与相移在依赖于入射平面波方向的临界极角两侧出现跳跃。我们的估计还蕴含散射场在弱意义下是出射的，从而使我们能够建立一个唯一性结果。最后，我们在微扰区域中计算波导模式对散射场的贡献。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.17398v1\n1. 研究对象和背景 本文研究二维开放波导网络的 Helmholtz 散射问题, 即两个半无限开放波导在界面处对接且具有平行端面, 波导势只依赖于横向坐标. 固定 k,d\u0026gt;0 与 q_l,q_r\\in C_c^{\\infty}(-d,d), 求 u 满足 $$[\\Delta+k^2(1+\\chi_{(-\\infty,0)}(x_1)q_l(x_2)+\\chi_{[0,\\infty)}(x_1)q_r(x_2))]u(x)=0,\\quad x\\in\\mathbb{R}^2\\setminus\\{x_1=0\\},$$ 并在界面 x_1=0 上满足 $$\\lim_{\\varepsilon\\to0+}(u(\\varepsilon,x_2)-u(-\\varepsilon,x_2))=0,\\quad \\lim_{\\varepsilon\\to0+}(u_{x_1}(\\varepsilon,x_2)-u_{x_1}(-\\varepsilon,x_2))=0,\\quad x_2\\in\\mathbb{R}.$$ 这里 u=u_{\\mathrm{in}}+u_{\\mathrm{out}}, 入射场为平面波 $$u_{\\mathrm{in}}(x)=e^{ik\\omega\\cdot x},\\quad \\omega=(\\omega_1,\\omega_2)\\in S^1,\\ \\omega_1\u003e0,\\ \\omega_2\u003c0,$$ 即从左上角入射到波导网络中. 势 q_l,q_r 的支撑在 |x_2|\u0026lt;d, 因此左右两侧分别是半无限开放波导. 由于 q_l,q_r 紧支, 方程在远离通道处退化为自由 Helmholtz 方程, 但波导本身在 x_1 方向无限延伸, 所以散射问题不是经典紧支势散射问题.\n为了描述平面波入射下的几何结构, 作者引入临界角. 令 0\u0026lt;\\varphi\u0026lt;\\pi/2 与 \\check\\omega\\in S^1 满足 $$(\\cos\\varphi,\\sin\\varphi):=\\check\\omega:=(\\omega_1,|\\omega_2|),$$ 并定义 $$\\gamma(t)=(|t|\\cos\\varphi,t\\sin\\varphi),\\quad \\Gamma=\\{\\gamma(t):t\\in\\mathbb{R}\\},\\quad \\Omega_l=\\{x\\in\\mathbb{R}^2:x_1\u003c|x_2|\\cot\\varphi\\},\\quad \\Omega_r=\\mathbb{R}^2\\setminus\\overline{\\Omega_l}.$$ 界面 \\Gamma 由两条从原点出发的射线组成, 将平面分成两个互补锥形区域 \\Omega_l 与 \\Omega_r. 入射方向为 \\omega=(\\cos\\varphi,-\\sin\\varphi), 反射方向为 \\check\\omega=(\\cos\\varphi,\\sin\\varphi). 本文的关键现象是: 在无穷远且远离波导处, 散射场的主导项本身是平面波; 其振幅与相移在临界极角 \\theta=\\pm\\varphi 处发生跳跃, 这一跳跃依赖于入射平面波方向.\n在已有理论中, 作者之一在 [11,12,14] 中已对同一偏微分方程进行了系统分析, 但要求入射数据沿界面 x_1=0 具有某种衰减. 那些工作建立了适定的 Fredholm 第二类边界积分方程, 给出了无穷远渐近展开, 并给出了保证唯一性的辐射条件. 本文的空缺正是平面波入射: 平面波及其散射场在无穷远处不衰减, 沿界面的数据 f_D,f_N 也不衰减, 因此之前依赖衰减性的分析不能直接使用. 此外, 开放波导会产生波导模式, 其频率位于连续谱阈值以上; 这些模式与平面波入射的耦合以及临界角处的 Stokes 型跳跃, 都无法由经典紧支势散射理论直接解释. 本文试图补全这一情形下的适定性、无穷远精确渐近、唯一性以及小扰动下波导模式激发公式.\n从应用动机看, 声学与光学波导广泛出现在光子芯片、光纤、超声、卫星通信与扬声器等技术中; 实际器件长度常远大于宽度, 因而可近似为无限长. 本文的模型是两个半无限开放波导通过界面并联, 左右两端可以有不同横向势 q_l 与 q_r. 这种非紧支、开放且具有临界几何阴影的结构, 使得无穷远行为与经典散射有本质差异, 也使得波导模式激发问题具有独立意义.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果可概括为四部分: 边界积分方程适定性、唯一解结构、无穷远渐近展开、以及小扰动下波导模式耦合.\n首先, 定理 2.3 给出边界积分方程 formulation. 令 u_i^l,u_i^r 分别为入射角 \\omega 与势 q_l,q_r 对应的 Fresnel 解, 并定义界面跳跃数据 $$f_D(x_2)=\\lim_{\\varepsilon\\to0+}(u_i^r(\\varepsilon,x_2)-u_i^l(-\\varepsilon,x_2)),\\quad f_N(x_2)=\\lim_{\\varepsilon\\to0+}(\\partial_{x_1}u_i^r(\\varepsilon,x_2)-\\partial_{x_1}u_i^l(-\\varepsilon,x_2)).$$ 由于平面波入射, f_D,f_N 在 |x_2|\\to\\infty 时不衰减. 作者令 $$(\\tilde f_D,\\tilde f_N):=-K(f_D,f_N),$$ 并证明积分方程 $$(I+K)\\begin{pmatrix}\\tilde\\sigma\\\\\\tilde\\tau\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}\\tilde f_D\\\\\\tilde f_N\\end{pmatrix},\\quad x_2\\in\\mathbb{R}$$ 在空间 \\bigcap_{\\alpha\u0026lt;1/2}(C^\\alpha\\oplus C^{\\alpha+1/2}) 中存在唯一解 (\\tilde\\sigma,\\tilde\\tau). 再令 $$\\begin{pmatrix}\\sigma\\\\\\tau\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}\\tilde\\sigma\\\\\\tilde\\tau\\end{pmatrix}+\\begin{pmatrix}f_D\\\\f_N\\end{pmatrix},$$ 则 u=(u_i^l+u^l)\\chi_{(-\\infty,0)}(x_1)+(u_i^r+u^r)\\chi_{[0,\\infty)}(x_1) 是原散射问题 (1.1) 的解, 其中 u^{l,r} 由单层与双层位势表示.\n与定理 2.3 配套, 命题 2.5 证明 (\\tilde f_D,\\tilde f_N) 作为振荡积分良定义, 并且 $$(\\tilde f_D,\\tilde f_N)\\in C^{1/2}\\oplus C^{3/2},$$ 且当 \\pm x_2\\to\\infty 时有渐近展开 $$\\tilde f_D(x_2)\\sim \\frac{e^{ik|x_2|}}{|x_2|^{1/2}}\\sum_{j=0}^{\\infty}\\frac{c_j^\\pm}{(\\pm x_2)^j},\\quad \\tilde f_N(x_2)\\sim \\frac{e^{ik|x_2|}}{|x_2|^{3/2}}\\sum_{j=0}^{\\infty}\\frac{d_j^\\pm}{(\\pm x_2)^j}.$$ 这给出了 BIE 右端可解性的核心估计.\n第二, 定理 1.3 给出原问题的唯一解结构. 设 u_i^l,u_i^r 为左右两侧的 Fresnel 解, u_{g,j}^{\\pm,l},u_{g,j}^{\\pm,r} 为左右波导模式. 则 (1.1)\u0026ndash;(1.2) 存在形如 $$u(x)=u_i^l(x)\\chi_{\\Omega_l}(x)+u_i^r(x)\\chi_{\\Omega_r}(x)+u_g(x)+u_o(x)$$ 的解, 其中存在常数 a_j^l,a_j^r\\in\\mathbb{C}, 使得 $$u_g(x)=\\begin{cases}\\sum_{j=1}^{N_l}a_j^l u_{g,j}^{-,l}(x), \u0026 x\\in\\Omega_l,\\\\ \\sum_{j=1}^{N_r}a_j^r u_{g,j}^{+,r}(x), \u0026 x\\in\\Omega_r,\\end{cases}$$ 而 u_o 是经典 outgoing 的. 进一步, 该解是 (1.1)\u0026ndash;(1.2) 中满足 u-u_{\\mathrm{in}} 为非 incoming 的唯一解. 这里非 incoming 条件来自 Vasy 的辐射条件, 能同时处理波导模式分量与平面波分量; 它排除了平凡解 u_{\\mathrm{out}}=-u_{\\mathrm{in}}. 波导模式频率满足 $$k\u003c\\xi_1^l\u003c\\cdots\u003c\\xi_{N_l}^l","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-10-14_14-59-34/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年10月14日 14:59:34\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 9\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 16\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-面向瞬态多连续介质问题的带修正基重构的-pod-加速高阶多尺度方法\"\u003e1. 面向瞬态多连续介质问题的带修正基重构的 POD 加速高阶多尺度方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003ePOD-accelerated high-order multiscale method with corrected-basis reconstruction for transient multi-continuum problems\u003c/p\u003e","title":"2026年10月14日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年10月12日 19:43:13\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 9\n不相关论文数量: 16\n重点关注论文（完整分析） 1. 有限薄涂层引起的波衍射：渐近展开与有效模型 Diffraction of waves by finite thin coatings: asymptotic expansion and effective models\n作者: Cédric Baudet\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-10-09\narXiv ID: 2610.13680v1\n摘要翻译: 我们考虑位于 Dirichlet 角扇形区域（可能局部扰动）中的 Helmholtz 方程，该区域的一侧被一个薄均匀层覆盖。首先，我们利用匹配渐近展开，在薄层厚度趋于 0 时，对任意角度给出解的任意阶渐近展开。这包括在三个子区域——角点附近、薄层以及区域其余部分——中引入不同的渐近展开，并通过匹配条件将它们联系起来。角点的存在使得这些匹配条件难以推导，因为场具有复杂的奇异行为。我们借助一套新颖的代数工具克服这一困难，其中包括形式级数以及作用在这些级数上的算子。此外，我们通过误差估计证明该渐近展开的合理性，并详细说明展开形式如何依赖于角度。\nComment: PhD thesis, 288 pages, 55 figures\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.13680v1\n1. 研究对象和背景 本文研究二维 Helmholtz 方程在角形区域一侧覆盖有限薄均匀涂层时的波衍射问题。设角 $\\Theta\\in(0,2\\pi)$，引入角形域、层和界面：\n$$\\Omega=\\{(r\\cos\\theta,r\\sin\\theta): r\\in\\mathbb{R}_+^*,\\ \\theta\\in(0,\\Theta)\\},\\quad \\Lambda=\\mathbb{R}_+^*\\times(-1,0),\\quad \\Gamma=\\mathbb{R}_+^*\\times\\{0\\},\\quad \\Sigma_\\Omega=\\{(r\\cos\\Theta,r\\sin\\Theta): r\\in\\mathbb{R}_+^*\\}.$$ 进一步设 $\\Omega_1\\subset\\mathbb{R}^2$ 为开集，在圆盘 $B(0,R_c)$ 外与 $\\Omega\\cup\\Gamma\\cup\\Lambda$ 重合，从而允许角点附近在层厚度尺度上的局部几何扰动。系数 $\\mu,\\rho\\in L^\\infty(\\Omega_1)$ 满足一致椭圆性，且在 $\\Omega\\setminus B(0,R_c)$ 中等于常数 $\\mu_0,\\rho_0$，在 $\\Lambda\\setminus B(0,R_c)$ 中等于 $\\mu_1,\\rho_1$。薄层厚度记为 $\\varepsilon\u003e0$，物理域为 $$\\Omega_\\varepsilon=\\{(x,y)\\in\\mathbb{R}^2: (x/\\varepsilon,y/\\varepsilon)\\in\\Omega_1\\},$$ 缩放系数为 $\\mu_\\varepsilon(x,y)=\\mu(x/\\varepsilon,y/\\varepsilon)$，$\\rho_\\varepsilon(x,y)=\\rho(x/\\varepsilon,y/\\varepsilon)$。设频率参数 $\\omega\\in\\mathbb{C}\\setminus\\mathbb{R}$，源项 $f_s\\in H^{-1}(\\Omega)$ 且 $\\mathrm{dist}(\\mathrm{supp}(f_s),\\Gamma)\u003e0$。精确解 $u_\\varepsilon\\in H^1_0(\\Omega_\\varepsilon)$ 满足 Dirichlet 边值问题 $$\\mathrm{div}(\\mu_\\varepsilon\\nabla u_\\varepsilon)+\\omega^2\\rho_\\varepsilon u_\\varepsilon=f_s\\quad \\text{in }\\Omega_\\varepsilon,\\qquad u_\\varepsilon=0\\quad \\text{on }\\partial\\Omega_\\varepsilon.$$ 由于 $\\Im(\\omega)\\neq0$，Lax-Milgram 给出适定性与关于 $\\varepsilon$ 一致的稳定性估计 $$\\exists C\u003e0,\\ \\forall f_s\\in H^{-1}(\\Omega),\\ \\forall\\varepsilon\u003e0,\\quad \\|u_\\varepsilon\\|_{H^1(\\Omega_\\varepsilon)}\\le C\\|f_s\\|_{H^{-1}(\\Omega)}.$$ 该设定对应半无限直层与角点的学术模型，重点关注薄层边缘或角点附近。动机来自薄涂层在电磁学、弹性、流体等中的广泛应用：直接数值求解需要解析极小厚度，代价高；因此需要渐近展开或有效边界条件。已有文献对完全覆盖的无限平面层和光滑曲层以及异质周期层已有大量结果，但对部分覆盖或有限涂层，尤其带任意角点的情况，研究仍处早期。本文试图填补的空白是：在保留角点奇异性和可能局部扰动的几何下，建立任意阶、任意角的匹配渐近展开，证明误差估计，并构造高阶有效模型。从提供内容无法确认该工作是否处理有界障碍的完整辐射条件；文中说明 $\\Im(\\omega)\\neq0$ 是为半无限层学术设定服务的技术假设，并指出有界障碍可用经典 Sommerfeld 条件。\n2. 主要定理或主要结果 从摘要、引言与目录可见，论文的主要结果可分为以下几个层次。第一，作者对精确解 $u_\\varepsilon$ 构造了当 $\\varepsilon\\to0$ 时任意阶、任意角 $\\Theta$ 的匹配渐近展开。展开不是在单一尺度上给出，而是在三个子域中分别引入不同渐近展开：角点邻域、薄层内部以及其余区域；这些展开通过匹配条件连接。由于角点处场具有复杂奇异行为，匹配条件的推导是核心困难。作者用新的代数工具系统处理这些匹配条件，包括形式级数以及作用在形式级数上的算子。摘要明确说该方法覆盖任意阶和任意角，并给出与角度有关的展开形式细节。第二，作者用误差估计严格证明该渐近展开，即构造出的近似解与原解之差在适当范数下由高阶项控制。具体误差阶、范数和常数从提供内容中无法完整确认，但目录第 5 章标题为“Construction of the asymptotic expansion and error estimates”，其中 5.4 节分为匹配误差估计以及全局与远场误差估计。第三，论文给出展开的进一步性质。目录第 6 章涉及用 Bessel 函数表达远场奇异性，并讨论依角度的简化，区分有理情形与无理情形；第 7 章给出远场的模态分解，目录中可见定理 7.1.1、定理 7.1.3 与推论 7.1.4。模态分解为后续 DtN 有效模型提供基础。第四，数值验证达到 5 阶。为了计算展开中的角剖面在无穷远处的行为，作者引入一种 Galerkin 型方法，并用“无穷远处的补充项” enrich。这些补充项是已知函数，出现在角剖面无穷远展开中，其系数成为离散系统的未知量。目录第 8 章还给出远场的数值计算。第五，论文提出 3 阶和 5 阶有效模型。远离角点时，薄层被替换为有效 Robin 边界条件（3 阶）或 Ventcel 边界条件（5 阶）；角点附近引入人工边界并施加 Dirichlet-to-Neumann 型条件。该 DtN 映射基于截断到 3 阶或 5 阶的渐近展开的模态分解；模态包含展开项的奇异行为、角剖面以及一些代数匹配系数。作者证明这些有效模型的适定性与误差估计，并给出数值结果。目录第 9.5 节标题为“Final error estimates of order 3 and 5”，因此可推断相应误差阶为 $O(\\varepsilon^3)$ 与 $O(\\varepsilon^5)$，但具体范数与常数从提供内容中无法确认。第六，关于角奇异性的具体结构，引言给出：在角 $\\Theta$ 中，无层或主导远场可写为 $$u_0(r,\\theta)=c r^{\\pi/\\Theta}\\sin\\left(\\frac{\\pi}{\\Theta}\\theta\\right)+u_0^{\\mathrm{reg}},\\qquad u_0^{\\mathrm{reg}}\\in H^2,$$ 其中 $c\\in\\mathbb{C}$。当 $\\Theta\u003e\\pi$ 且 $c\\neq0$ 时，$\\partial_n u_0=-\\frac{\\pi}{\\Theta}c r^{\\pi/\\Theta-1}+\\partial_n u_0^{\\mathrm{reg}}$ 不属于 $H^{1/2}$，因此不能寻找 $u_1\\in H^1$，而必须允许远场 $u_1$ 在角点发散。对于较小角 $\\Theta$，$u_1$ 可以有 $H^1$ 意义，但对某些更高阶远场 $u_n$ 仍会出现同类问题。这些奇异结构正是匹配条件复杂和需要形式代数工具的原因。第七，有效边界条件的形状在引言中以无限平面层为例给出：Robin 型条件为 $$\\mu_0\\partial_n v_\\varepsilon=-\\frac{\\mu_1}{\\varepsilon}v_\\varepsilon,$$ Ventcel 型条件为 $$\\mu_0\\partial_n v_\\varepsilon=-\\frac{\\mu_1}{\\varepsilon}v_\\varepsilon+\\frac{\\varepsilon}{3}(\\mu_1\\partial_x^2+\\omega^2\\rho_1)v_\\varepsilon.$$ 本文在远离角点处采用同类条件，并在角点附近用 DtN 条件处理截断的奇异展开。具体本文模型的完整变分形式和边界条件从提供内容中无法逐项确认。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 技术障碍首先来自角点。对于完全覆盖的无限平面层或光滑曲层，渐近展开可写成外层 $\\sum_{n\\ge0}\\varepsilon^n u_n(s,\\nu)$ 与内层 $\\sum_{n\\ge0}\\varepsilon^n U_n(s,\\nu/\\varepsilon)$，并通过归纳计算。但在角形区域中，主导远场含角奇异 $r^{\\pi/\\Theta}\\sin(\\pi\\theta/\\Theta)$，其法向导数在 $\\Theta\u003e\\pi$ 时失去 $H^{1/2}$ 正则性。于是某些远场项必须在角点发散，匹配条件不能简单在 $H^1$ 或 $H^{1/2}$ 框架中推导。作者的关键创新是建立一套代数形式级数工具，用来系统处理带角奇异性的匹配条件。目录第 3 章定义形式级数集合，并扩展到指标在 $\\mathbb{R}$ 和 $\\mathbb{R}^2$（涉及 $\\varepsilon$）中的形式级数，引入具有“度”的算子以及算子的几何级数。这些工具使作者能够把匹配条件写成形式级数方程，并在形式层面求解、消元或逆运算。第 4 章将这套工具用于准齐次角奇异空间 $\\mathcal{A}$，在该空间中求解 Poisson 与 Helmholtz 模型问题，并研究角奇异形式级数的 $r$ 渐近行为及其按 $\\varepsilon$ 的缩放。随后第 4.3 节证明匹配假设与匹配条件等价，第 4.4 节总结方法，第 4.5 节数值计算场行为与匹配系数。第二个技术点是三分区匹配渐近展开的构造。作者在角点邻域、层内和其余区域分别设 ansatz，并利用匹配区条件连接。匹配区位于距层 $y\\in(\\varepsilon^a,2\\varepsilon^a)$，$a\\in(0,1)$，从远场看趋于界面，从近场看趋于无穷。因此需要精确描述近场在无穷远处的渐近行为，包括可能的多项式、对数与角奇异模态。第 5 章建立 far-field-like 与 corner-field-like 模型问题的存在唯一性，证明其 $r$ 渐近行为，然后归纳构造各阶场，并估计匹配误差、全局误差和远场误差。第三，远场模态分解和第 6、7 章的进一步性质是构造透明边界条件的基础。第 6 章用 Bessel 函数表示远场奇异性，并按角 $\\Theta$ 是否为有理数讨论简化。第 7 章证明远场模态展开的收敛性，区分有理情形与一般情形，并对单个模态与形式级数给出估计。目录中定理 7.1.1、7.1.3 与推论 7.1.4 是这一部分的核心。第四，数值方法方面，为了验证 5 阶展开，需要计算角剖面在无穷远处的行为。作者提出一种 Galerkin 型方法，并用“无穷远处的补充项”丰富试探空间。这些补充项是已知函数，出现在角剖面无穷远渐近展开中，其系数作为额外未知量与离散解一起求解。这样可以把无穷远条件以稳定方式纳入有限计算。第 8 章还说明如何数值计算远场。第五，有效模型的技术核心是 DtN 映射。第 9 章先构造精确解的近似模态分解，再重新表达远场的角点条件，得到最终分解。然后在角点附近引入人工边界，定义 DtN 算子；DtN 的模式由截断到 3 阶或 5 阶的渐近展开给出，包含展开项的奇异行为、角剖面和代数匹配系数。作者研究 DtN 算子当 $\\varepsilon$ 小时的渐近行为，利用椭圆正则性工具证明有效模型的适定性与稳定性，最后给出 3 阶和 5 阶误差估计。真正的新意不在于泛泛使用能量估计或紧性，而在于把角点奇异、薄层微观尺度和匹配条件统一到形式代数级数框架中，并用该框架生成可证明误差的高阶有效边界条件。\n4. 与之前工作的比较 与已有文献相比，本文的推进点首先是几何设定。90 年代 [BL96; EN93] 对无限平面层和光滑曲层建立了形如 $$\\sum_{n\\ge0}\\varepsilon^n u_n(s,\\nu)\\quad(\\nu\u003e0),\\qquad \\sum_{n\\ge0}\\varepsilon^n U_n(s,\\nu/\\varepsilon)\\quad(-\\varepsilon\u003c\\nu\u003c0)$$ 的渐近展开，并导出 Robin 型或 Ventcel 型有效条件；例如在无限平面 Dirichlet 层情形，Robin 条件 $$\\mu_0\\partial_n v_\\varepsilon=-\\frac{\\mu_1}{\\varepsilon}v_\\varepsilon$$ 对应 $O(\\varepsilon^3)$ 误差，而 Ventcel 条件 $$\\mu_0\\partial_n v_\\varepsilon=-\\frac{\\mu_1}{\\varepsilon}v_\\varepsilon+\\frac{\\varepsilon}{3}(\\mu_1\\partial_x^2+\\omega^2\\rho_1)v_\\varepsilon$$ 对应 $O(\\varepsilon^5)$ 误差。本文在远离角点处采用同类 Robin/Ventcel 条件，但对象是有限薄涂层且存在角点和局部扰动。已有工作主要处理完全覆盖的无限或光滑曲层，均匀同质层可直接用 Fourier 变换求 DtN 并 Taylor 展开；异质和周期层在 [AH97; AH98; AL98; MV07; DHJ12; DC13; Del14; DH20; Bou23] 中研究，此时微观变化会泄漏到涂层外的薄边界层，需要多尺度或匹配渐近展开。本文属于部分覆盖或有限涂层方向，引言明确指出该方向“仍处早期”。第二个推进是角点奇异性。带角无层 Poisson 问题的多尺度渐近展开已在 [Cal+06; Via03] 中建立，形式为 $$\\sum_{p\\in\\mathbb{N}+\\frac{\\pi}{\\Theta}\\mathbb{N}}\\sum_{\\ell=0}^{\\infty}\\varepsilon^p\\ln^\\ell\\varepsilon\\,u_{p,\\ell}(x,y).$$ 本文把类似角奇异结构与薄层匹配结合，并允许任意角 $\\Theta\\in(0,2\\pi)$。与 [TVD06] 中角无层的多尺度与匹配方法比较不同，本文需要同时处理薄层内微观尺度与角点准齐次奇异。第三，方法层面，已有工作分别使用多尺度渐近展开和匹配渐近展开；本文明确采用匹配渐近展开，并在角点邻域、层和远场三部分分别展开。与仅在单一尺度或简单几何可做 Fourier 展开的情形相比，本文必须引入形式级数与算子工具来推导匹配条件。这是本文最显著的技术推进。第四，有效模型层面，已有高阶模型大多在远处用 Robin/Ventcel 条件，不显式处理角点附近的透明条件。本文在 3 阶和 5 阶模型中，在远离角点处使用 Robin/Ventcel，在角点附近引入人工边界并施加 DtN 型条件。DtN 映射基于截断渐近展开的模态分解，包含角奇异、角剖面和匹配系数。这比单纯局部边界条件更能捕捉角点衍射，但代价是模型更复杂，需要预先计算角剖面、匹配系数和 DtN 模态。第五，适用范围与代价。本文设定为半无限直层并假设 $\\Im(\\omega)\\neq0$，作者说明这是为半无限层选取合适辐射条件的技术假设，对有界障碍可用经典 Sommerfeld 条件。因此本文不是直接处理实际有界障碍的全部辐射问题，而是先解决角点与薄层相互作用的学术模型。从提供内容看，作者未显式展开与所有已有有效模型的数值代价比较；关于三维、随机层、均匀化边界层等文献主要作为相关技术背景被提及，本文是否覆盖这些情形从提供内容无法确认。总体而言，本文把有限薄涂层、任意角点和局部扰动下的渐近展开推进到任意阶，并给出带角点 DtN 的高阶有效模型，其代价是形式代数工具与角剖面计算的额外复杂性。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 三维不精确 Schwarz 区域分解方法的分析 Analysis of an inexact Schwarz domain decomposition method in 3D\n作者: Nibedita Ghosh\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-09\narXiv ID: 2610.13793v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.13793v1\n摘要翻译 中文标题: 三维不精确 Schwarz 区域分解方法的分析\n摘要翻译: 我们考虑 $3$D 中 Schwarz 区域分解方法的一个不精确版本，用以求解一个区域上的 Laplace 问题，该区域是两个重叠球体的并集。我们通过将其边界数据 $L^2$-正交投影到次数至多为 $N$ 的球谐函数空间上，来近似求解每个子问题。该模型问题来源于计算化学中用于隐式溶剂化的 ddCOSMO 求解器。我们通过建立最大值原理的一个新变体来分析 Schwarz-球面区域分解方法。\n2. 用于确定性和随机旋转浅水方程的能量守恒相容时空有限元法 Energy conserving compatible space\u0026ndash;time FEM for deterministic and stochastic rotating shallow water\n作者: Maneesh Kumar Singh, Colin J. Cotter\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-09\narXiv ID: 2610.13624v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.13624v1\n摘要翻译 中文标题: 用于确定性和随机旋转浅水方程的能量守恒相容时空有限元法\n摘要翻译: 我们提出一种旋转浅水方程的全离散能量守恒离散化，其在空间和时间上具有任意阶。采用时空有限元离散，空间部分由相容有限元方法构建，时间部分由连续 Petrov-Galerkin 格式构建。为精确能量守恒，需要针对 Hamiltonian 导数的投影辅助变量。我们提供一种基于整体式 patch 光滑子的迭代求解器方法，使我们能够高效地将 Newton 法充分收敛，从而使由求解器引起的能量误差非常小。我们将该构造推广到能量守恒的 Lie 输运随机强迫（Stochastic Forcing by Lie Transport）格式。随后，我们在数值测试中展示了收敛性、守恒性和鲁棒性。\n3. 关于球谐函数离散化中的一个最大值原理 On a maximum principle in discretization with spherical harmonics\n作者: Arnold Reusken\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-09\narXiv ID: 2610.13540v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.13540v1\n摘要翻译 中文标题: 关于球谐函数离散化中的一个最大值原理\n摘要翻译: 球谐函数已被广泛研究，并应用于许多领域。我们考虑球谐函数很可能是最早的应用，即用球谐函数基表示边界数据，来表示 $d$ 维单位球面上 Laplace 方程的解。我们考虑一般的 $d \\geq 2$。对于 Laplace 方程的解 $u$，基本最大值原理成立。如果在由次数至多为 $N$ 的所有球谐函数张成的有限维空间中逼近边界数据，则所得的离散解，记作 $u_N$，一般不满足最大值原理。在本文中，我们推导出 $r_N^{\\rm max}$ 的尖锐估计，使得对于所有满足 $\\|x\\| \\leq r_N^{\\rm max}$ 的 $x \\in \\Bbb{R}^d$，最大值原理对 $u_N(x)$ 成立。我们证明，当 $d=3$ 时，有 $r_N^{\\rm max} \\gtrsim 1- 3 N^{-1} \\ln\\big( 2^\\frac13 N \\big) $。对于 $d \\neq 3$，也推导出了类似的估计。我们还研究了这些估计的尖锐性。\n4. 关于带有键断裂准则的非线性键基近场动力学模型的无网格离散的收敛性 On the Convergence of the Mesh-Free Discretization of a Non-Linear Bond-Based Peridynamic Model with a Bond-Breakage Criterion\n作者: Lukas Pflug, Michael Stingl, Max Zetzmann\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-09\narXiv ID: 2610.13355v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.13355v1\n摘要翻译 中文标题: 关于带有键断裂准则的非线性键基近场动力学模型的无网格离散的收敛性\n摘要翻译: 我们证明了针对固定视界 $δ\u003e0$ 的、通过键断裂准则实现不可逆损伤的动态非线性键基近场动力学模型的一种常用无网格离散的收敛性。这里选取的模型是文献中常见的不连续近场动力学算子的一个数学上适定的正则化，该算子假设断裂仅由拉伸应变引起。我们在分析中显式包含了该格式所采用的一点求积。收敛性是相对于由 $C^1([0,T],L^\\infty(Ω)^d)$ 给出的解空间的自然范数而言的，因此在空间坐标中为 $L^\\infty(Ω)^d$。该结果极大地约束了连续解的空间正则性，我们随后证明这一点。更具体地说，对于局部 $L$-Lipschitz 连续的输入数据，无论损伤如何，都推导出位移的局部 Lipschitz 界。这与将此处使用的近场动力学模型解释为对具有由视界 $δ\u003e0$ 给出的长度尺度参数的一个真正不连续断裂模型的近似是一致的。我们注意到，我们不处理当 $δ\\searrow 0$ 时解的极限。\n5. ADER-ZIST——一种用于笛卡尔切割单元网格的混合显式 ADER-DG 与分区隐式时空 DG 方法 ADER-ZIST - a mixed explicit ADER-DG and zonally implicit space-time DG approach for Cartesian cut cell meshes\n作者: Michael Dumbser, Christian Engwer, Sandra May, Peter Munch\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-09\narXiv ID: 2610.13245v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.13245v1\n摘要翻译 中文标题: ADER-ZIST——一种用于笛卡尔切割单元网格的混合显式 ADER-DG 与分区隐式时空 DG 方法\n摘要翻译: 我们提出用于求解笛卡尔切割单元网格上双曲守恒律系统的高阶精确混合显隐式间断 Galerkin (DG) 格式。这类网格可能包含任意小的切割单元，这导致众所周知的小单元问题：显式格式的 CFL 条件会严重限制允许的时间步长。为克服这一困难，我们仅在远离嵌入边界的笛卡尔单元上使用高阶显式全离散单步 ADER-DG 格式。靠近嵌入边界的区域（由切割单元及其直接面相邻单元组成）采用隐式时空 DG 格式离散，该格式通过数值通量与显式格式直接耦合。所得格式称为 ADER-ZIST（具有分区隐式时空 DG 的 ADER-DG），其构造是守恒的，并且其时间步长仅由笛卡尔背景单元的大小决定。弯曲嵌入边界由切割单元内部的高阶等参子三角形表示，隐式单元的非线性系统通过非精确无矩阵 Newton-Krylov 方法求解。对于含激波的问题，我们添加人工黏性项，其强度由消除振荡的光滑性传感器控制。ADER-ZIST 在可压缩 Euler 方程的一组综合测试问题上进行了评估，范围从直线和弯曲嵌入边界周围的平滑流动到声散射和激波主导的流动。对于光滑解以及高达 N=5 的多项式次数，在最小切割单元体积分数低至 10^-7 量级的网格上，该格式基本达到其标称精度阶 N+1。\n6. 非等温液-汽流动的动态 van der Waals 模型的线性熵稳定格式 Linear and entropy-stable scheme for the dynamic van der Waals model of non-isothermal liquid-vapor flows\n作者: Yunzhuo Guo, Zhonghua Qiao, Xianmin Xu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-09\narXiv ID: 2610.13029v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.13029v1\n摘要翻译 中文标题: 非等温液-汽流动的动态 van der Waals 模型的线性熵稳定格式\n摘要翻译: 本文提出了一种线性且解耦的全离散格式，该格式保持了动态 van der Waals 模型的熵产性质。该模型为描述单组分液-汽系统中的非等温相变提供了一个热力学一致的扩散界面框架，包含质量、动量和能量的耦合守恒律。我们首先引入控制方程的一种等价重述，以避免使用链式法则恒等式，因为这类恒等式在离散微分下通常不成立。进一步，采用逐分量凸分裂方法来计算离散化学势和温度。这种处理给出了一个无时间步长限制的离散熵稳定不等式。基于显式处理的速度，该格式允许三个守恒方程以解耦方式线性且顺序求解。由于动量方程不直接影响熵稳定性分析，我们采用经典线性半隐格式求解它。数值实验验证了预期的数值精度。液滴蒸发以及二维和三维 Leidenfrost 效应的模拟进一步表明，所提方法能够捕捉复杂的非等温相变动力学，同时在数值上重现离散熵产行为。\n7. 演化方程的数值光滑性与误差分析 Numerical Smoothness and Error Analysis for Evolution Equations\n作者: Tong Sun\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-09\narXiv ID: 2610.12888v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.12888v1\n摘要翻译 中文标题: 演化方程的数值光滑性与误差分析\n摘要翻译: 这是一份讲义，旨在介绍数值光滑性这一创新概念及其在演化方程数值解误差分析中的应用。我们从两种根本不同的误差分裂出发。一种分裂很常用，它把我们引向沿原解定义的局部误差以及由数值格式导致的误差传播。众所周知的 Lax 等价定理正是基于这种误差分裂。另一种分裂只能在少数数值 ODE 教材中见到，它把我们引向沿数值解定义的局部误差以及由演化方程的解导致的误差传播。数值光滑性这一创新概念源自第二种误差分裂。尽管在非线性演化方程的误差分析中使用数值稳定性存在许多困难，但我们将表明，数值光滑性在误差分析/估计/控制中自然地发挥作用，并在若干方面具有优势。我们将定义时间与空间数值光滑性指标，证明这些指标的有界性对于获得最优收敛阶是必要的，并给出作为这些光滑性指标函数的可计算误差估计。此外，这些误差估计在近似解的收敛阶方面是最优的，在演化方程的误差传播方面也是最优的。与 Lax 等价定理的误差分析框架相比，基于数值光滑性框架中证明的必要性结果和误差估计，我们得到一个新的等价理论：Consistency + Numerical Smoothness \u0026lt;=\u0026gt; optimal error estimates。与 Lax 等价定理不同，新的等价理论适用于非线性问题、非线性格式以及问题的许多其他复杂情形。\n8. 聚集-扩散方程的变分神经输运 Variational neural transport for aggregation-diffusion equations\n作者: Qianyi Li, Hailiang Liu\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-10-08\narXiv ID: 2610.12745v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.12745v1\n摘要翻译 中文标题: 聚集-扩散方程的变分神经输运\n摘要翻译: 我们提出了一个神经输运框架，用于处理来源于趋化性、聚合物动力学及相关应用中的非线性、非局部聚集-扩散方程。基于 Onsager 变分原理，我们将控制方程重新表述为一个约束最优控制问题，以速度场作为控制，并通过相应的连续性方程演化密度。速度场由神经网络参数化，该神经网络在沿粒子轨迹计算的变分目标上进行训练。通过将密度方程和广义得分方程耦合为一个用 Euler 方法求解的单一系统，得分函数能够高效传播以用于损失评估。此外，我们建立了一个严格的误差分析，将总误差分解为逼近、优化、Monte Carlo 采样和时间离散化分量，并证明了相应的误差界。在若干代表性模型上的数值实验证明了所提方法的精度和有效性。\n9. 基于 Maxwell 方程解析解的任意阶电磁场逼近框架 A Framework for Arbitrary-Order Electromagnetic Field Approximation Based on Analytical Solutions of Maxwell\u0026rsquo;s Equations\n作者: David Wei Ge\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-10-08\narXiv ID: 2610.12682v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.12682v1\n摘要翻译 中文标题: 基于 Maxwell 方程解析解的任意阶电磁场逼近框架\n摘要翻译: 标准的 Yee 有限差分时域 (FDTD) 算法利用 Maxwell 方程将一阶时间导数替换为空间旋度。本文将这一关系推广到任意阶：一个时间-空间定理建立了高阶时间导数与逐次高阶空间旋度算子之间的对应关系。基于这一关系，发展了用于电磁场逼近的任意阶框架。该框架通过更高阶的旋度构造更高阶的时间阶，并允许不同的空间离散和旋度估计技术，从而为发展任意阶数值算法提供了通用基础。作为一种实现，利用交错时间与空间步进以及递归旋度估计构造了任意阶 FDTD 算法。在空间和时间步长保持固定时，对一个初值问题进行了时间逼近阶从二阶到十阶的数值模拟。与解析解的比较表明，随着逼近阶的提高，误差迅速且单调地减小。这些结果展示了该框架在高精度电磁计算中的实际潜力，并为进一步发展任意阶数值方法提供了基础。\n不相关论文（基本信息） 1. 快速且稳定的任意精度近似矩阵乘法 Fast and Stable Arbitrary Precision Approximate Matrix Multiplication\n作者: Ioana Dumitriu, Olga Holtz, Abraham Hsu, Nicholas Liskij, Yoav Moran, Ryan Schneider, Oded Schwartz, Shuncheng Yuan\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-09\narXiv ID: 2610.13905v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.13905v1\n摘要: We present several new and surprising results on the theory and practice of Arbitrary Precision Approximate (APA) matrix multiplication, which refers to algorithms that output merely approximations to matrix multiplication even in exact arithmetic. While APA algorithms have been around for nearly half a century, and despite the fact that they have potentially lower (asymptotic) cost than many fast exact matrix multiplication schemes, they have not been studied as closely, to the extent that relatively little is known about their numerical properties. In this paper, we shine a spotlight on these algorithms by presenting three important results. First, we provide a new search algorithm for APA routines that is easy to use, automatically generates encoding matrices with functional entries, and can match or beat the best known APA algorithms for several sizes. In particular, we improve the upper bound on the border rank of $\\langle 2,4,5 \\rangle$ matrix multiplication. Second, we combine this insight with alternative bases to minimize the number of additions in an APA algorithm, thereby improving its leading coefficient. Finally, we prove the same kind of stability that characterizes fast exact matrix multiplication for an algorithm of Bini [Calcolo 1980] that computes an exact product of two matrices using a modified APA scheme (with or without alternative bases).\n2. 约束概率数值方法：线性不等式约束下线性偏微分方程的高斯过程求解器 Constrained Probabilistic Numerics: Gaussian Process Solvers for Linear PDEs under Linear Inequality Constraints\n作者: Boyuan Deng, Kshitiz Upadhyay, Michael Shields\n类别: stat.ML, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-10-09\narXiv ID: 2610.13804v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.13804v1\n摘要: Gaussian process solvers for linear partial differential equations (PDEs) return posteriors rather than point estimates, but they condition only on equality information: the PDE residual, boundary data, and measurements. Many solutions of interest also obey inequality constraints, including nonnegativity, monotonicity, and absence of arbitrage, which equality conditioning cannot enforce. We prove that conditioning a Gaussian process prior jointly on linear equality observations and a finite-dimensional inequality event is equivalent to conditioning sequentially in terms of Borel measures on the solution space. The physics-informed posterior is therefore a valid prior for the inequality update at virtual points. The combined law is non-Gaussian yet computable through truncated-Gaussian moments, and neither the PDE conditioning nor the inequality update requires modification. We evaluated the construction on a Poisson benchmark, option-price surfaces, and air-quality fields. Under incomplete boundary data, a monotonicity constraint lowered the error of a two-dimensional Poisson reconstruction by $63\\%$. On a real S\u0026amp;P 500 option chain thinned to $20$ retained quotes, no-arbitrage constraints reduced held-out extrapolation error by $22\\%$ and cut the calendar-arbitrage rate from $10\\%$ to $1\\%$. On four real air-quality snapshots, nonnegativity reduced a Gaussian moment-based sub-zero-tail proxy by $74\\%$ at the sparsest monitor count. Changes in mean accuracy and constraint diagnostics differed across data regimes. The probability of the noisy virtual constraint event under the equality posterior measures agreement with the specified bounds before the update. The construction turns admissibility from a post-processing step into conditioning information for probabilistic PDE solvers.\n3. 边界上具有变化 Robin 参数的波动方程的一个逆谱问题 An inverse spectral problem for the wave equation with a varying Robin parameter at the boundary\n作者: Antti Hannukainen, Petr Kulikov, Matti Lassas, Lauri Oksanen\n类别: math.AP, math.NA, math.OC, math.SP\n发布日期: 2026-10-09\narXiv ID: 2610.13629v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.13629v1\n摘要: An inverse spectral problem for a $(1+1)$-dimensional wave equation with wave speed $c(x)$ is considered. The spectral data consist of the eigenvalues of the Neumann\u0026ndash;Dirichlet problem for the operator $-c^2(x)\\partial_x^2$ together with their derivatives with respect to a Robin parameter at the boundary. We propose a two-step recovery procedure. In the first step, the Neumann-to-Dirichlet map $Λ$ is reconstructed from the spectral data using the results of arXiv/0406582. In the second step, the reconstructed $Λ$ is used within the regularization strategy for the boundary control method presented in arXiv:1509.04478. As an improvement, the regularization of the control problems employs a weighted combination of $L^2$ and $H^1$ penalty terms, and we prove a uniform convergence result for the family of optimal controls, thereby allowing the regularization parameters to be tuned simultaneously. We also prove that the forward spectral map, which assigns to a wave speed its spectral data, is Lipschitz continuous, and that the inverse spectral map underlying the reconstruction procedure is Hölder continuous on a subclass of wave speeds. The method is implemented numerically and validated on both smooth and piecewise smooth wave speed profiles. Numerical experiments demonstrate that the recovery of the wave speed exhibits high accuracy and robustness.\n4. 预处理近端 Galerkin：变分不等式的网格与阶数稳健求解器 Preconditioning proximal Galerkin: mesh and degree robust solvers for variational inequalities\n作者: Ioannis P. A. Papadopoulos, Pablo D. Brubeck\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-09\narXiv ID: 2610.13591v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.13591v1\n摘要: The proximal Galerkin algorithm is a structure-preserving solver for variational inequalities that results in discretization-independent nonlinear iteration counts. However, in large three-dimensional simulations, the arising Newton saddle point systems cannot be feasibly solved by direct methods. To leverage an iterative linear solver, we propose a robust and scalable block preconditioner. Instead of using the usual dual Schur complement that acts on the latent variable, we design a preconditioner for the primal Schur complement. This leads to a block preconditioner that requires two approximate inverses of the latent block and only one of the primal Schur complement. The latent block represents an algebraic equation which, after a small perturbation, can be cheaply inverted. We then introduce two choices of approximations for the primal Schur complement: a PDE-operator-based and an algebraic approach. Either approximation can be efficiently inverted by geometric multigrid. We investigate the effectiveness of these strategies when proximal Galerkin is applied to obstacle, Signorini, and strain-constrained elasticity problems and also compare with a monolithic multigrid approach. Choices of standard relaxation methods, in the block preconditioner route, lead to robust iteration counts with respect to the mesh size and discretization degree. Moreover, in the context of the Signorini, specialized relaxation and prolongation also result in effective solvers for nearly-incompressible elastic materials. The linear solves are parameter-robust in 2D, with only mild growth in 3D. This allows for the solution of a three-dimensional contact problem, with a Poisson\u0026rsquo;s ratio of 0.499, discretized with over ten million degrees of freedom.\n5. 复合线性反问题的正则化与参数选择规则 Regularisation and Parameter Choice Rules for Composite Linear Inverse Problems\n作者: Christina Brandt, Patrick Horn\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-09\narXiv ID: 2610.13483v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.13483v1\n摘要: In this paper we propose a novel regularisation strategy for structured linear inverse problems of the form $Ax=F \\circ G x = z$. Instead of using the operator $A$ or a complex scheme involving both $F$ and $G$ simultaneously, combining already existing and simpler regularisations for $F$ and $G$ allows the use of established and optimised programs for high-speed computations. As classical parameter choice rules fail in the scenario when no source conditions are known because intermediate error bounds may be unavailable, we provide both a-priori and a-posteriori rules with a convergence speed analysis given source conditions. We test the proposed method on the pre-clinical medical imaging technique of magnetic particle imaging with different choices of regularisation and on a convolution problem for an analysis of the convergence speed.\n6. 用于抑制尾隆不稳定性的束流剖面全局优化 Global Optimization of Beam Profiles for Suppressing the Bump-On-Tail Instability\n作者: Sandro Mignelli, Lukas Einkemmer\n类别: math.NA, physics.acc-ph, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-10-09\narXiv ID: 2610.13391v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.13391v1\n摘要: A particle beam with constant intensity that propagates into a plasma triggers a bump-on-tail instability. It has been demonstrated that beam modulation can be used to significantly reduce this instability. However, finding the optimal beam profiles that accomplish this is a complex optimization problem that suffers from an extremely rugged optimization landscape and a relatively high-dimensional parameter space. In this paper, we evaluate a number of optimization algorithms and find that population based methods (in particular, CMA-ES and Differential Evolution) perform best. In particular, we investigate beam profiles where the beam is either completely turned ON or OFF. This configuration is easier to accomplish experimentally, but leads to a higher-dimensional and thus more challenging optimization problem. We obtain ON/OFF beam profiles that reduce the instability by more than 80% and thus perform significantly better than what has been reported in the literature.\n7. 面向智能建筑的可持续云-雾-边缘系统：内存约束下的算法自适应与动态编排策略 Sustainable Cloud-Fog-Edge Systems for Smart Buildings: Algorithmic Adaptation under Memory Constraints and Dynamic Orchestration Strategies\n作者: Mamadou Sow, Christophe Cerin\n类别: cs.LG, cs.DC, math.NA\n发布日期: 2026-10-09\narXiv ID: 2610.13307v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.13307v1\n摘要: The escalating environmental footprint of the Information and Communication Technol- ogy (ICT) sectorwith global Data Center electric- ity usage potentially reaching 3% by 2030 and the imperative for real-time responsiveness in smart buildings demand a foundational shift towards Edge Computing. This article proposes a holis- tic architectural and algorithmic approach for cre- ating autonomous, resilient, and privacy-preserving learning systems within smart buildings, advancing the core concept of the building itself as the data center. Our contributions, demonstrating originality compared to conventional centralized systems, are structured around three main pillars: 1) Validation of resilient data acquisition chains using the af- fordable Arduino ecosystem (Uno R4 WiFi/BME280) and secure persistence solutions including centralized archiving (Node-RED/MySQL) and secure remote transfer (Python/rsync/SSH). 2). The proposal of a lightweight, KOptim orchestration framework, inter- operable with the FIWARE standard, for the dynamic management of Service Level Agreements (SLA). 3) The adaptation and experimental valida- tion of the Generalized Hebbian Algorithm (GHA) for Principal Component Analysis (PCA) on low- power microcontrollers,We introduce and compare an iterative learning strategy using data buffers, featuring sorting and explicit preservation of extreme samples to maintain diversity. Experimental results on the high-dimensional Tour Perret sensor data confirm that this novel method, despite introducing a necessary temporal complexity of O(W log W ) due to sorting, achieves convergence and final result quality that is visually equivalent to processing the entire dataset in full memory, reliably identifying two distinct operational states.\n8. 半可分矩阵通过其生成元的块编码 Block encoding of semiseparable matrices via their generators\n作者: Giacomo Antonioli, Gianna M. Del Corso, Roel Van Beeumen\n类别: quant-ph, math.NA\n发布日期: 2026-10-09\narXiv ID: 2610.13228v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.13228v1\n摘要: We present an explicit quantum circuit that constructs a block encoding of a generator-representable semiseparable (one-pair) matrix directly from its two generators. For an $N\\times N$ semiseparable matrix with $N=2^{n}$, the circuit uses $2n+2$ ancilla qubits and has $O({\\rm polylog} N)$ depth, and it realizes a $(2\\sqrt{N},\\,2n+2,\\,2 \\sqrt{2}\\ \\varepsilon)$-block encoding, where $\\varepsilon$ is controlled by the accuracy of the state-preparation routines that load the generators. The building blocks of the circuit are cyclic shifts, swaps, and Hadamard gates, each admitting an efficient implementation through the binary decomposition of the relevant indices.\n9. 扩展域谱配点法的数值稳定性：浮点正则化与框架常数的平衡律 Numerical Stability of Extended-Domain Spectral Collocation: Floating-Point Regularization and an Equilibrium Law for the Frame Constants\n作者: Po-Yi Wu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-09\narXiv ID: 2610.13222v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.13222v1\n摘要: Extended-domain spectral collocation expands the solution of a boundary value problem in the Laplacian eigenbasis of an enclosing box and collocates at as many nodes as modes. The square system is exponentially ill-conditioned, and the impossibility theorem for equispaced data rules out stable geometric convergence; yet such solvers converge geometrically to a few orders of magnitude above the unit roundoff. We explain why in one dimension. The collocation solution is the solution operator applied to the interpolant of the data in an operator-dependent test space whose Lebesgue constant must grow exponentially for geometric convergence, so exact solutions can amplify data errors exponentially. In floating-point arithmetic the error of any coefficient vector is bounded by its nodal residual, its distance to a competitor and two frame constants, a leakage and a restricted Marcinkiewicz\u0026ndash;Zygmund constant, bounded uniformly in the number of modes at a fixed positive threshold; for a backward-stable solve, under a condition on the perturbed matrix, the bound is uniform in the conditioning for suitably analytic data and, with computed constants, within a factor of about ten of the error floor of a direct solver. For the Poisson operator the rate of the two constants along the tail of the spectrum is given by a constrained equilibrium problem of logarithmic potential theory. For an interval of length $L$ extended by $δ$ at each end, the problems for $δ$ and $L^2/(4δ)$ are dual, the rate is linear for $δ= L/2$, and it starts with slope minus the fraction of the extended domain occupied by the extension, so for $δ\u003c L/2$ the leakage constant obeys no power law with the exponent of the end of the spectrum. In experiments, convection\u0026ndash;diffusion operators behave like the Poisson operator at moderate Péclet numbers.\n10. Gross\u0026ndash;Pitaevskii 基态问题的 Sobolev 梯度流的黎曼 Hessian 分析 Riemannian Hessian analysis of Sobolev gradient flows for the Gross\u0026ndash;Pitaevskii ground state problem\n作者: Shixin Zheng, Xiangxiong Zhang\n类别: math.NA, math.OC, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-10-09\narXiv ID: 2610.12833v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.12833v1\n摘要: Sobolev gradient flows for the Gross\u0026ndash;Pitaevskii ground state problem are Riemannian gradient descent methods on the sphere under a metric induced by a discrete elliptic operator. We analyze their convergence through the condition number of the Riemannian Hessian at the ground state. Bounds of the Rayleigh quotient of the Riemannian Hessian give a uniform analysis of these methods for different metrics. The uniform analysis applies to the classical metrics, such as the shifted Laplacian and the energy-adaptive metrics. Inspired by this analysis, we also consider three new metrics. One of them is a Thomas\u0026ndash;Fermi metric, whose condition number is bounded uniformly in the interaction strength for the one-dimensional harmonic trap and whose iteration count does not grow in the Thomas\u0026ndash;Fermi regime in the numerical tests. The performance suggested by our analysis is consistent with three-dimensional numerical tests with up to one billion unknowns, for both Riemannian gradient descent and Riemannian conjugate gradient methods, whose practical performance is also related to the Hessian condition number. The Thomas\u0026ndash;Fermi flow needs the fewest iterations, while the metrics inverted exactly by tensor-product solvers are the fastest in computational time on one GPU card.\n11. 一种核无关的预校正快速傅里叶变换方法 A kernel-independent precorrected-FFT method\n作者: Tristan Goodwill, Owen Melia\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-09\narXiv ID: 2610.12821v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.12821v1\n摘要: The precorrected-FFT has been used to rapidly evaluate $N$-body sums arising in electromagnetics and acoustics settings. It has, however, been historically limited to kernels that satisfy a Green\u0026rsquo;s identity. In this work, we demonstrate that, using an improved version of the method of proxy points, the precorrected-FFT can be used to efficiently compute $N$-body sums with a wide variety of kernels. This algorithm requires no analytic information beyond pointwise access to the kernel. Our examples include kernels from non-local PDEs, Matern kernels, anisotropic kernels, and the Green\u0026rsquo;s functions of high order PDEs. We also provide a detailed algorithm for choosing the proxy points and spreading grid, as implemented in the new pcfft package. We show these algorithmic choices result in favorable scaling when compared to other kernel-independent fast summation methods. Finally, we use the algorithm to accelerate a wide variety of integral equations solvers involving non-standard kernels, with applications in surface scattering, geophysics, and microbial community formation.\n12. 面向各向异性超弹性均匀化的具有学习配对方向特征的多凸神经网络代理模型 Polyconvex neural-network surrogates with learned paired directional features for anisotropic hyperelastic homogenization\n作者: S. Ares de Parga, A. Cornejo, J. A. Hernández, R. Rossi\n类别: physics.comp-ph, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-10-08\narXiv ID: 2610.12801v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.12801v1\n摘要: Approximating the effective anisotropic hyperelastic response of a representative volume element (RVE) requires constitutive expressiveness, mechanical consistency, and computational efficiency. This work develops a polyconvex physics-augmented neural network (PANN) construction based on paired directional features whose orientations, stretch powers, and determinant exponents adapt to the RVE response. The features are composed with convex, componentwise nondecreasing cores, realized as an input-convex neural network (ICNN) or an input-convex Kolmogorov-Arnold network (ICKAN). The complete energies satisfy objectivity, an exactly stress-free reference, two-dimensional polyconvexity, and prescribed growth conditions by construction, and nonnegative energy is certified separately for the selected models. On a multicavity and a single-cavity periodic cell, these energies are compared with an Unconstrained energy, trained identically without the curvature and growth constraints, and with three hyperreduced projection-based reduced-order models (HPROMs), which serve as physics-based references. On the first cell, learning the features lowers the stress error sevenfold, and six features suffice on both. The constrained energies remain below one percent in stress error and in the displacement error of a tensile-coupon FE$^2$ application with a full-order reference, whereas the Unconstrained energy and the HPROMs are more accurate inside the data. Beyond the data, however, the Unconstrained energy loses rank-one convexity, and under confined compression it stops below half of the 500 MPa that the constrained energies reach. These results quantify what the guarantees cost in accuracy and what they secure beyond the data.\n13. 面向加速潮流分析的基于符号置换的稀疏雅可比矩阵直接装配 Symbolic-Permutation-Based Direct Sparse Jacobian Assembly for Accelerated Power-Flow Analysis\n作者: Tianshi Cheng, Venkata Dinavahi\n类别: eess.SY, cs.PF, math.NA\n发布日期: 2026-10-08\narXiv ID: 2610.12654v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.12654v1\n摘要: The repeated assembly of the sparse Jacobian matrix constitutes a primary computational bottleneck in the Newton-Raphson power-flow analysis. Through an algebraic equivariance analysis of the Jacobian matrix, this paper proposes a direct sparse Jacobian assembly method based on symbolic permutation. By pre-applying the permutation to the admittance matrix during a one-time symbolic phase, the runtime bus-type projection overhead is entirely eliminated. Consequently, complex Jacobian differentiation and global matrix assembly fuse into a single operation, yielding a single-pass, branchless algorithm that streams values directly into contiguous memory. The framework is realized in the open-source RustPower solver. Benchmarks on IEEE test systems and PEGASE 9241 demonstrate that the proposed assembly is 24.4-30.1x faster than the MATPOWER- style baseline and 6.0-7.8x faster than the Schafer-Braun optimized assembly. End-to-end, the grid-level solve time is 11.7x-154.3x faster than pandapower 3.5.4 with Numba, while leaving numerical results and convergence behavior unchanged. Compared with the native C++ LightSim2Grid 1.0.0, grid-level performance is comparable on IEEE 39 and 1.3x-1.8x faster on IEEE 118 and the PEGASE systems. The method extends directly to general problems where a sparse Jacobian inherits its structure from a static network operator, including transient stability analysis, EMT simulation, and OPF Hessian assembly.\n14. 用于嵌套积分的中位数随机化拟蒙特卡洛 Median randomized quasi-Monte Carlo for nested integration\n作者: Arved Bartuska, Yang Liu, Raúl Tempone\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-08\narXiv ID: 2610.12643v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.12643v1\n摘要: Nested integrals $\\int f\\left(\\int g(\\boldsymbol{y},\\boldsymbol{x})\\mathrm{d}{}\\boldsymbol{x}\\right)\\mathrm{d}{}\\boldsymbol{y}$ where $\\boldsymbol{y}\\in[0,1]^{d_1}$ and $\\boldsymbol{x}\\in[0,1]^{d_2}$ frequently arise in Bayesian experimental design, medical decision making, and computational finance. Statistical estimators for nested integrals are more computationally demanding than for standard integrals. Recent studies demonstrate that the median randomized quasi-Monte Carlo (mRQMC) method achieves super-polynomial convergence rates for analytic integrands. We extend mRQMC methods to nested integrations and propose a novel double-loop mRQMC estimator with super-polynomial convergence rate if both the inner and outer integrands are analytic. Established estimators for nested integrals, such as double-loop or multilevel Monte Carlo, are by contrast limited to algebraic convergence rates. However, expected information gain (EIG) applications from experimental design typically do not fulfill this condition due to a lack of regularity in the outer integrand. We address this through a theoretically-grounded importance sampling regularization scheme. Although super-polynomial convergence rates remain achievable for the inner integral, only the algebraic rate $α+3/2-ε$ for any $ε\u003e0$ can be theoretically guaranteed for the outer integral in the EIG, where $α\\in\\mathbb{N}\\cup\\{0\\}$ denotes the order of the mixed derivatives of the regularized outer integrand. Our approach shows substantial improvements over double-loop randomized quasi-Monte Carlo methods based on the sample mean in moderately high-dimensional settings for a simple polynomial example. Moreover, we demonstrate improved convergence behavior of the median-based estimator for the more challenging setting of EIG estimation.\n15. 网格原生标记化：将基础模型改造以适配非结构化数据 Mesh-Native Tokenisation: Retrofitting Foundation Models to Unstructured Data\n作者: Georg Maierhofer, Miles Cranmer, Payel Mukhopadhyay\n类别: cs.CE, cs.AI, math.NA\n发布日期: 2026-10-08\narXiv ID: 2610.12618v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.12618v1\n摘要: Physics foundation models are an increasingly popular approach for building versatile emulators for spatiotemporal systems. They require tokenisation layers that lift physical field data into a latent representation suitable for dynamic processing. A typical choice for this layer is a convolutional encoder, which lifts field information in a locality-aware way and can be trained very efficiently. However, this choice cannot be applied to a large class of scientific computing problems where data are represented on unstructured meshes, for example simulations on domains with curved boundaries. Such data typically require graph neural network architectures, which are more expensive to train and, in the form currently used, encode information differently from their CNN counterparts, thus limiting the portability of physics emulators between these data regimes. In this work we introduce Mesh-Native Convolution (MNC), a locality-aware tokenisation layer that encodes unstructured mesh-based data in a way that is analogous to CNNs. This approach leads to models that can be trained once on mesh data and then deployed to arbitrary unstructured meshes, even if these are irregular, with minimal retraining. We show that this tokenisation approach can be used to retrofit grid-pretrained foundation models efficiently on unstructured meshes and provide theoretical results to confirm the consistency of this approach with classical CNN encoders. We demonstrate the favourable performance of this retrofitting approach, which in many cases reaches acceptable accuracy even in zero-shot deployment, and outperforms existing baselines after only a few epochs of fine-tuning, thus providing an efficient bridge between the two data regimes.\n16. 基于傅里叶变换的双电子四中心库仑排斥积分计算 Fourier Transform-Based Computation of Two-Electron Four-Center Coulomb Repulsion Integrals\n作者: William Chen, Lior Silberman, Ury Segal, Chen Greif\n类别: math.NA, physics.chem-ph, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-10-08\narXiv ID: 2610.12608v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.12608v1\n摘要: We present a Fourier-based method for evaluating two-electron four-center Coulomb repulsion integrals over Slater-type orbitals. Spherical Fourier-Bessel coefficients of the convolution factors are precomputed and reused. Since the spherical part of the integral can be evaluated directly, there remains only a one-dimensional quadrature problem in the radial direction. For the ten reference integrals reported here, the largest absolute discrepancy is $1.7\\times10^{-9}$. A preliminary resident-cache benchmark computes approximately $4.2\\times10^5$ unique integrals per second on an NVIDIA V100 at the contraction stage.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-10-12_19-43-13/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年10月12日 19:43:13\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 9\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 16\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-有限薄涂层引起的波衍射渐近展开与有效模型\"\u003e1. 有限薄涂层引起的波衍射：渐近展开与有效模型\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eDiffraction of waves by finite thin coatings: asymptotic expansion and effective models\u003c/p\u003e","title":"2026年10月12日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年10月09日 16:54:31\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 8\n不相关论文数量: 16\n重点关注论文（完整分析） 1. 基于边界积分方程的复杂介质弹性透射问题求解器 Boundary integral equation based solvers for elastic transmission problems in complex media\n作者: V. Domínguez, C. Turc\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-08\narXiv ID: 2610.11836v1\n摘要翻译: 我们提出了一个用于二维时谐弹性透射问题的边界积分方程（BIE）框架。利用 Helmholtz 分解，将弹性动力学位移场表示为标量压力势和剪切势，从而只需要四个经典的 Helmholtz 边界积分算子。关键步骤是在界面的局部法向\u0026ndash;切向标架中重写 Navier 牵引算子，其中二阶法向导数被消去，代之以切向导数和曲率项。这导出了一族单参数的间接组合场积分方程，其依赖于耦合常数 $α\\ne 0$，我们证明其是唯一可解的。然而，所得算子的主部是亏损的，并且离散化系统严重病态。利用 Helmholtz 边界积分算子（BIOs）的伪微分演算，我们构造了显式的左、右解析预条件子，并证明预条件后的算子是恒等算子的紧扰动。基于高阶 Nyström 离散化的数值实验证实，该预条件子使谱聚集：GMRES 迭代次数变得与离散化无关，并且降低一个数量级或更多，在高频情形以及非凸散射体情况下也是如此。\nComment: 37 pages, 7 figures\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.11836v1\n1. 研究对象和背景 本文研究二维时间调和线性各向同性弹性透射问题, 目标是复杂分段均匀介质中 Navier 方程的边界积分方程数值求解. 设 (\\Omega_2\\subset\\mathbb{R}^2) 为有界内含物, (\\Omega_1:=\\mathbb{R}^2\\setminus\\overline{\\Omega_2}) 为无界外区域, 界面 (\\Gamma=\\partial\\Omega_2) 为光滑闭曲线. 两个介质中的 Lamé 参数记为 ((\\mu_j,\\lambda_j)), 满足物理可容许条件 (\\mu_j\u0026gt;0), (\\lambda_j+\\mu_j\u0026gt;0). 外介质密度归一化为 1, 内介质密度对比为 (\\rho\u0026gt;0); 相应地, 物理 Lamé 参数被吸收到方程系数中, 密度对比只出现在物理牵引的透射条件内. 位移场 (u_j) 满足时间调和 Navier 方程 [\\operatorname{div}\\sigma_{\\mu_j,\\lambda_j}(u_j)+\\omega^2 u_j=0\\quad\\text{in }\\Omega_j,\\quad j=1,2,] 其中 (\\omega\u0026gt;0) 为频率, 应变张量和应力张量分别为 [\\epsilon(u)=\\frac12\\bigl(\\nabla u+(\\nabla u)^\\top\\bigr),\\qquad \\sigma_{\\mu,\\lambda}(u)=2\\mu\\epsilon(u)+\\lambda(\\operatorname{div}u)I_2.] 界面上的牵引算子为 [T_j u_j:=\\sigma_{\\mu_j,\\lambda_j}(u_j)n=\\lambda_j(\\operatorname{div}u_j)n+2\\mu_j\\partial_n u_j-\\mu_j(\\operatorname{curl}u_j)t,\\quad \\operatorname{curl}u=\\partial_{x_1}u_2-\\partial_{x_2}u_1,] 其中 (n) 为指向 (\\Omega_1) 的单位外法向, (t=-Qn), (Q=\\begin{pmatrix}0\u0026amp;1\\-1\u0026amp;0\\end{pmatrix}). 入射弹性场 (u^{\\mathrm{inc}}) 在 (\\Omega_2) 邻域内满足外介质参数的 Navier 方程. 总场为 (u=u_1+u^{\\mathrm{inc}}) 于 (\\Omega_1), (u=u_2) 于 (\\Omega_2). 散射场 (u_1) 满足 Kupradze 辐射条件. 界面透射条件为 [\\gamma u_2=\\gamma u_1+\\gamma u^{\\mathrm{inc}},\\qquad \\rho T_2u_2=T_1u_1+T_1u^{\\mathrm{inc}}\\quad \\text{on }\\Gamma.] 该透射问题对所有 (\\omega\u0026gt;0) 和可容许 Lamé 参数存在唯一解, 这是后续边界积分方程可解性讨论的连续问题背景. 此类问题在地震学, 地球物理, 无损检测和医学成像中有重要意义, 困难在于复杂非凸界面上波传播的高精度高效数值求解. 边界积分方程方法能把区域问题降维到界面, 并严格处理无穷远辐射条件, 因此特别适合此类透射问题. 然而标准弹性边界积分方程直接依赖 Navier 边界积分算子, 其 Green 张量具有更复杂的张量结构和更强奇异性, 高阶数值离散的实现与计算代价明显高于标量声学 Helmholtz 情形. 为绕开 Navier 边界积分算子, 一种有吸引力的替代是采用 Helmholtz 分解, 把弹性位移场表示为压力纵波标量势和剪切横波标量势的组合: [u_j=\\nabla u_p^{(j)}+\\overrightarrow{\\operatorname{curl}}u_s^{(j)},\\qquad \\overrightarrow{\\operatorname{curl}}\\phi=Q\\nabla\\phi,] 其中 (u_p^{(j)}) 与 (u_s^{(j)}) 分别满足波数 [(k_p^{(j)})^2=\\frac{\\omega^2}{\\lambda_j+2\\mu_j},\\qquad (k_s^{(j)})^2=\\frac{\\omega^2}{\\mu_j}] 的 Helmholtz 方程. 在这一框架下, Dirichlet 迹的连续性容易通过局部正交标架 ((n,t)) 投影处理; 真正的瓶颈是 Neumann 迹, 即牵引算子的连续性. 将牵引算子作用于 Helmholtz 分解会自然产生势函数的二阶法向导数, 即 Hessian 迹, 而这些量不能仅由界面 Cauchy 数据直接获得. 已有 Helmholtz 分解边界积分方程工作多集中于 Dirichlet 或 Neumann 问题, 并观察到所得算子在伪微分意义下可能是退化的, 难以直接得到 Fredholm 结构. 本文试图补的空白是: 对二维弹性透射问题, 在 Helmholtz 分解框架下构造仅使用四个经典标量 Helmholtz 边界积分算子的间接组合场积分方程; 通过局部 ((n,t)) 标架重写牵引算子, 消去二阶法向导数; 进而分析所得算子的退化性, 并构造解析预条件子恢复良态性, 使高阶 Nyström 离散和 Krylov 迭代在高频复杂几何下仍然高效.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要严格结果可分为三个层次. 第一层是牵引算子的局部重写. 作者证明, 在光滑界面 (\\Gamma) 的局部正交标架 ((n,t)) 中, 利用 Helmholtz 方程和曲率项, 可以把牵引算子中出现的 Hessian 二阶法向导数完全消去, 改写为切向导数, 曲率以及 Cauchy 数据的表达式. 关键恒等式包括 [\\Delta u=\\partial_n^2 u+\\kappa\\partial_n u+\\partial_t^2 u,\\qquad \\nabla u=\\partial_n u,n+\\partial_t u,t,\\qquad \\partial_t n=\\kappa t,] 由此得到 [n^\\top\\operatorname{Hes}u_p^{(j)}n=-\\kappa\\partial_n u_p^{(j)}-\\partial_t^2 u_p^{(j)}-(k_p^{(j)})^2u_p^{(j)},] [t^\\top\\operatorname{Hes}u_p^{(j)}n=\\partial_t\\partial_n u_p^{(j)}-\\kappa\\partial_t u_p^{(j)},] 剪切势有完全相同形式. 代入牵引算子后, 法向和切向分量为 [T_j u_j\\cdot n=-\\omega^2 u_p^{(j)}-2\\mu_j\\bigl(\\kappa\\partial_n u_p^{(j)}+\\partial_t^2 u_p^{(j)}\\bigr)+2\\mu_j\\bigl(\\partial_t\\partial_n u_s^{(j)}-\\kappa\\partial_t u_s^{(j)}\\bigr),] [T_j u_j\\cdot t=2\\mu_j\\bigl(\\partial_t\\partial_n u_p^{(j)}-\\kappa\\partial_t u_p^{(j)}\\bigr)+\\omega^2 u_s^{(j)}+2\\mu_j\\bigl(\\kappa\\partial_n u_s^{(j)}+\\partial_t^2 u_s^{(j)}\\bigr).] 这些公式只涉及势的 Cauchy 数据, 切向导数和曲率, 不再需要不可由边界数据恢复的二阶法向导数. 第二层结果是提出一参数族间接组合场积分方程, 作者称为 ((n,t))-CFIE(\\alpha). 该方程依赖耦合常数 (\\alpha\\neq 0), 通过 Helmholtz 单层或双层势表示压力势和剪切势, 并把上述局部牵引公式与 Dirichlet 透射条件耦合起来. 摘要中明确给出的严格结论是: 对每一个 (\\alpha\\neq 0), 每一个密度比 (\\rho\u0026gt;0), 以及每一对可容许 Lamé 参数 ((\\mu_j,\\lambda_j)), 该 ((n,t))-CFIE(\\alpha) 是唯一可解的. 这意味着该间接公式在连续层面上没有杂散频率导致的非唯一性, 且覆盖了物理上广泛的材料对比. 具体定理编号和完整假设在提供的 PDF 摘录中未出现, 因此无法确认其精确陈述形式. 第三层结果是伪微分分析和解析预条件. 作者指出, 尽管 ((n,t))-CFIE(_\\alpha) 唯一可解, 其主部算子在伪微分意义下是退化的: 主部具有无限维核和余核, 因而算子不是 Fredholm 算子, 更不可能是单位算子的紧扰动. 这一现象与已有 Helmholtz 分解边界积分方程中观察到的退化性一致. 退化性在离散后表现为线性系统严重病态, 以及 GMRES 等 Krylov 迭代次数随未知数增加而增长, 且在高频时更为严重. 本文的主要理论贡献是构造显式的左解析预条件子和右解析预条件子, 并证明预条件后的算子是单位算子的紧扰动. 这一结论是严格的算子层面结果, 它把非 Fredholm 的退化方程转化为 Fredholm 方程, 从而为离散系统的谱聚类和迭代方法的高效性提供理论基础. 摘要中未给出预条件子的显式公式和紧扰动定理的编号, 提供文本也未展开证明, 因此无法确认其具体算子组合形式. 在数值层面, 作者使用基于全局三角插值的高阶 Nyström 离散, 对对数核, 强奇异核和超奇异核进行适当分裂. 数值实验覆盖凸和非凸散射体, 并在高频区域测试. 报告的结果是: 预条件子使离散系统谱聚类, GMRES 迭代次数基本独立于离散规模, 并且迭代次数降低一个数量级或更多. 这些数值结果验证了理论预条件策略, 尤其是对非凸复杂界面和高频情形. 需要区分的是, 唯一可解性和预条件后算子为紧扰动属于严格证明结论; 高频非凸数值表现属于实验验证. 提供内容中未给出具体误差阶, 条件数增长率或迭代次数的定量表格, 因此不能进一步量化.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术障碍是弹性 Neumann 迹, 即牵引算子的处理. 在 Helmholtz 分解框架下, 位移被写成压力标量势和剪切标量势的梯度与旋转梯度组合. 若直接对牵引算子作用, 会出现势函数的 Hessian 矩阵及其二阶法向导数. 这些 Hessian 迹不是界面 Cauchy 数据的一部分, 不能由 Dirichlet 和 Neumann 迹直接给出. 传统做法是使用 Navier 边界积分算子, 但其 Green 张量具有复杂张量结构和强奇异性, 高阶离散实现困难. 本文的第一个真正创新点是局部 ((n,t)) 标架中的牵引重写. 作者不是通过新的奇异积分核来直接计算 Hessian 迹, 而是利用 Helmholtz 方程在局部标架中的 Laplacian 分解 [\\Delta u=\\partial_n^2u+\\kappa\\partial_nu+\\partial_t^2u,] 以及 Frenet-Serret 关系 (\\partial_t n=\\kappa t), 把 (n^\\top\\operatorname{Hes}u,n) 和 (t^\\top\\operatorname{Hes}u,n) 表示为切向导数, 曲率和势函数值. 这一步把不可得的二阶法向导数替换为可直接由边界 Cauchy 数据及其切向导数表达的局部边界微分算子. 因此, 牵引条件的实施不再需要 Navier 边界积分算子, 而只需要四个经典标量 Helmholtz 边界积分算子: 单层算子 (V_k), 双层算子 (K_k), 伴随双层算子 (K_k^\\top), 以及超奇异算子 (W_k). 它们的跳跃关系为 [\\gamma^{(j)}SL_k=V_k,\\qquad \\partial_n^{(j)}SL_k=\\frac{(-1)^j}{2}I+K_k^\\top,\\qquad \\gamma^{(j)}DL_k=\\frac{(-1)^{j+1}}{2}I+K_k,\\qquad \\partial_n^{(j)}DL_k=W_k.] 第二个技术点是构造 ((n,t))-CFIE(\\alpha) 并证明唯一可解. 作者把 Helmholtz 分解后的压力势和剪切势写成单层势或双层势, 然后把 Dirichlet 透射条件和局部重写后的 Neumann 透射条件组装成 2x2 分块边界积分方程. 耦合常数 (\\alpha\\neq0) 的引入类似于 Helmholtz 问题中的经典组合场积分方程, 目的在于避免实波数下的非唯一性. 证明唯一可解需要仔细处理内外跳跃关系, 辐射条件以及材料参数对比. 具体证明在提供文本中未展开, 但摘要明确说明对任意 (\\alpha\\neq0), 任意密度比和任意可容许 Lamé 参数成立. 第三个技术点是伪微分演算. 作者把 Helmholtz 边界积分算子视为 (\\Gamma) 上的伪微分算子, 并用 (D) 表示切向导数, (H) 表示 Hilbert 变换, (J) 表示平均算子. 在弧长参数化下, (D\\in OPS(1), H\\in OPS(0), H^2=-I, J\\in OPS(-\\infty)). 关键的符号展开为 [V_k-\\Bigl(\\frac12HD^{-1}-\\frac{k^2}{4}HD^{-3}\\Bigr)\\in OPS(-5),] [W_k-\\Bigl(\\frac12HD+\\frac{k^2}{4}HD^{-1}\\Bigr)\\in OPS(-3),] [K_k^\\top-\\Bigl(-\\frac{k^2\\kappa}{4}HD^{-3}\\Bigr)\\in OPS(-4),\\qquad K_k-\\Bigl(-\\frac{k^2\\kappa}{4}HD^{-3}\\Bigr)\\in OPS(-4).] 这些展开说明各算子的主符号和低阶项如何依赖于频率, 曲率和切向导数. 通过分析 ((n,t))-CFIE(\\alpha) 的分块主符号, 作者发现其主部不是椭圆的, 而是具有无限维核和余核, 因此原方程不是 Fredholm 方程. 这一发现解释了离散系统的严重病态和 Krylov 迭代次数随网格增长的现象. 第四个技术点是显式解析预条件的构造. 由于原算子非 Fredholm, 普通预条件加速不足以解决问题; 必须构造能够消除主部退化性的左右预条件子. 作者利用上述伪微分展开的主符号, 设计左预条件 (P_{\\mathrm{left}}) 和右预条件 (P_{\\mathrm{right}}), 它们本身也是由 Helmholtz 边界积分算子和局部边界微分算子组成的解析算子. 证明目标是预条件后的算子为 (I+\\text{compact}), 或等价地为单位算子的紧扰动. 一旦得到该结论, 预条件算子满足 Fredholm 二择一, 其离散矩阵的特征值将聚拢, 从而 GMRES 迭代次数不随离散规模增长. 提供文本没有给出 (P_{\\mathrm{left}},P_{\\mathrm{right}}) 的显式公式, 因此无法在此重述其精确结构. 第五个技术点是数值离散与实验验证. 作者采用高阶 Nyström 方法, 基于全局三角插值, 并对对数核, 强奇异核和超奇异核分别进行分裂处理. 这种离散适合光滑闭曲线上的 Helmholtz 边界积分算子, 并能达到高阶精度. 数值实验在凸和非凸几何上进行, 覆盖高频区域, 报告 GMRES 迭代次数基本独立于离散规模, 且比未预条件时减少一个数量级或更多. 这些实验说明解析预条件不仅理论上有紧扰动结构, 而且在复杂介质和高频波传播中具有实际效果. 需要指出的是, 提供文本仅到第 3 节附近, 后续定理, 预条件构造细节和数值表格未包含, 因此上述方法层面的描述主要依据摘要和第 1 至第 3 节可确认内容.\n4. 与之前工作的比较 与标准 Navier 边界积分方程方法相比, 本文的主要推进是避免直接使用 Navier 边界积分算子. 既有弹性边界积分方程通常依赖 Navier Green 张量和相应的张量边界积分算子, 例如文中提到的 [10,19,17] 以及三维离散 [39,8]. 这些算子的张量结构更复杂, 奇异性更强, 高阶离散实现和奇异积分计算代价显著高于标量 Helmholtz 边界积分算子. 本文转而采用 Helmholtz 分解, 把弹性场表示为压力标量势和剪切标量势, 并仅使用四个经典标量 Helmholtz 边界积分算子 (V_k,K_k,K_k^\\top,W_k). 这带来模块化和实现上的优势, 也便于接入多迹公式和 Calderón 投影框架. 代价是需要引入局部 ((n,t)) 标架, 切向导数和曲率项来处理牵引条件, 并且后续伪微分分析更复杂. 与已有 Helmholtz 分解边界积分方程工作相比, 文中明确提到单层和组合层表示 [38,21] 以及三维对应工作 [25]. 这些工作已经用标量势和 Helmholtz 层势处理弹性 Dirichlet 和 Neumann 问题, 但在 Neumann 迹的实施上仍面临 Hessian 迹困难. 本文的新意在于对牵引算子做局部 ((n,t)) 重写, 消去二阶法向导数, 从而把透射问题完全纳入经典 Helmholtz 边界积分算子. 此外, 本文指出其发现的退化性并非偶然, 同样的主部退化现象已在 [38,21] 对 Dirichlet 和 Neumann 问题的 Helmholtz 分解公式中观察到. 本文进一步针对透射问题构造解析预条件, 把退化算子修复为 Fredholm 算子. 从提供内容看, 作者未详细比较 [38,21] 中是否已有预条件, 因此无法确认本文预条件构造在多大程度上是全新还是首次用于透射问题. 本文还修正了 [21, Prop. 3.7 和 Thm. A.3] 中 (K_k,K_k^\\top) 展开的一个印刷错误, 将 (k^2\\kappa/2) 修正为 (k^2\\kappa/4); 该修正项被吸收到余项中, 对后续主部分析不起作用. 与标量 Helmholtz 组合场积分方程相比, 文中将其 ((n,t))-CFIE(_\\alpha) 类比于经典 Helmholtz CFIE [13,36] 以及 Helmholtz 透射问题的 CFIE 扩展 [16]. 本文的推进在于把这种组合场思想推广到二维弹性透射问题, 并证明对任意 (\\alpha\\neq0), 任意密度比和任意可容许 Lamé 参数唯一可解. 不过, 由于弹性牵引算子含有法向和切向耦合以及曲率项, 其主符号分析比标量情形复杂得多, 且原 CFIE 的主部退化, 不能直接继承标量 CFIE 的 Fredholm 性质. 与算子预条件和解析预条件文献相比, 本文强调预条件在这里不是单纯加速手段, 而是恢复良态性的必要条件. 文中提到标量 Helmholtz 的预条件工作 [3,2,6,15,4], Maxwell 问题 [28] 以及弹性动力学 [9]. 通常这些预条件用于加速 Krylov 迭代; 本文的未预条件方程甚至不是 Fredholm 方程, 因此预条件的目标是使预条件算子成为单位算子的紧扰动. 这比仅仅降低条件数更强. 从适用范围看, 本文严格分析限于二维光滑闭曲线, 这是为了保证伪微分展开和曲率等几何项的光滑性. 作者提到角点可通过向角点加密的参数化 [35,33,16,27,26] 在实际中处理, 但未在本文中给出角点情形的严格分析. 与三维弹性问题相比, 二维情形是必要的 stepping stone. 三维 Helmholtz 分解需要一个压力标量势和一个无散向量势, 其结构与 Maxwell 方程类似, 需要向量迹代数和表面切向微积分. 本文通过理解二维 CFIE 的退化性和解析预条件, 为三维弹性透射和三维电磁边界积分方程提供基础. 从多迹公式和 Calderón 预条件角度看, 本文的模块化 Helmholtz 分解方法可避免直接反演和奇异积分全弹性 Green 张量, 因此适合融入多迹公式 [29,11,30,32,7] 和广义算子预条件边界元求解器. 但提供文本没有给出多迹公式的具体实现或与 [29,11,30,32,7] 的定量比较. 与高频数值方法相比, 本文的数值实验声称在高频和非凸散射体上 GMRES 迭代次数基本独立于离散规模, 并降低一个数量级或更多. 这比未预条件的 Helmholtz 分解 BIE 有明显推进, 因为后者在高频下迭代次数增长严重. 然而, 提供内容未包含具体频率, 网格规模, 迭代次数表格和误差数据, 因此无法评估其在高频极限下的渐近代价. 总体而言, 本文在二维光滑界面弹性透射问题上, 把 Helmholtz 分解 BIE 从 Dirichlet/Neumann 问题推进到透射问题, 从非 Fredholm 退化公式推进到通过解析预条件恢复紧扰动结构, 并把数值验证推进到高频非凸几何. 主要局限是严格理论限于二维光滑域, 预条件子的显式计算和三维推广仍需后续工作.\n2. 用于高频 Helmholtz 方程且采用预渐近分段多项式粗空间的两层混合 Schwarz 预条件子 Two-level hybrid Schwarz preconditioners with preasymptotic piecewise-polynomial coarse spaces for the high-frequency Helmholtz equation\n作者: Jeffrey Galkowski, Euan A. Spence, Pierre-Henri Tournier\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-08\narXiv ID: 2610.11774v1\n摘要翻译: 我们考虑对高频 Helmholtz 方程（波数为 $k$）的有限元离散的两层混合 Schwarz 区域分解预条件子。迄今为止，针对这些预条件子的所有现有 $k$-显式理论都考虑 $\\textit{asymptotic regime}$ 中的粗空间，即 Galerkin 解是 $k$-一致拟最优的情形。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.11774v1\n1. 研究对象和背景 本文研究高频 Helmholtz 方程的有限元离散的两级混合 Schwarz 区域分解预条件子, 其中波数 $k$ 显式出现. 研究对象是如下截断吸收 Helmholtz 问题: 给定 $f \\in L^2(\\Omega)$, 求 $u \\in H^1(\\Omega)$ 使得 $$P u := -k^{-2} \\operatorname{div}(\\tilde A \\nabla u) - i k^{-1}\\frac12(\\tilde b\\cdot\\nabla u+\\operatorname{div}(\\tilde b u))-\\tilde n u=f \\quad \\text{in } \\Omega,$$ 边界条件为 $(\\tilde B u)|_{\\partial\\Omega_+}=0$, $u|_{\\partial\\Omega_{tr}}=0$, 其中 $\\tilde B u|_{\\Gamma_{\\mathrm{soft}}}=u$, $\\tilde B u|_{\\Gamma_{\\mathrm{hard}}}=\\nu\\cdot(\\tilde A k^{-1}\\nabla u+\\frac{i}{2}\\tilde b u)$. 这个模型来自外区域 Helmholtz 散射问题, 用吸收层如完美匹配层或复吸收势近似 Sommerfeld 辐射条件. 相应的双线性形式为 $$a(u,v) := \\langle \\tilde A k^{-1}\\nabla u, k^{-1}\\nabla v\\rangle_\\Omega - \\frac{i}{2}\\langle \\tilde b\\cdot k^{-1}\\nabla u, v\\rangle_\\Omega + \\frac{i}{2}\\langle \\tilde b u, k^{-1}\\nabla v\\rangle_\\Omega - \\langle \\tilde n u, v\\rangle_\\Omega,$$ 能量空间为 $$Z := \\{u\\in H^1(\\Omega): u|_{\\partial\\Omega_{tr}}=0, u|_{\\Gamma_{\\mathrm{soft}}}=0\\},$$ 范数为 $\\|u\\|_Z^2 := \\|k^{-1}\\nabla u\\|_{L^2(\\Omega)}^2 + \\|u\\|_{L^2(\\Omega)}^2$. 关键未知量是离散解和预条件迭代收敛性. 文中用解算子范数 $$\\rho(a) := \\left(\\inf_{0\\ne u\\in Z}\\sup_{0\\ne v\\in Z} \\frac{|a(u,v)|}{\\|u\\|_Z\\|v\\|_Z}\\right)^{-1}$$ 来量化 Helmholtz 问题在 $k$ 上的性态; 对自由空间 Helmholtz 方程有 $\\rho(k)\\sim k$.\n两级区域分解预条件子由粗空间校正和局部子域校正组成. 细空间 $V_h$ 是网格宽 $h$ 上的 $p$ 次映射分段多项式, 粗空间 $V_{H_c}$ 是网格宽 $H_c$ 上的 $p$ 次映射分段多项式. 子域尺寸和重叠均约为 $k^{-1}$, 子域问题在非障碍边界上带有吸收. 已有 k-显式理论中, 所有两级 DD 分析都要求粗空间处于渐近区域, 即粗空间中的 Galerkin 解 k-一致拟最优. 本文考虑预渐近区域: 粗空间只需满足 $$(H_c k)^{2p}\\rho(k)\\ll1,$$ 其中 $\\rho(k)$ 是解算子范数. 该条件正是 h-version 有限元在粗网格上对振荡数据具有 k-一致有界相对误差的熟悉阈值, 但不保证拟最优. 分段多项式粗空间在高频波动问题中已有经验研究, 但缺少 k-显式收敛理论. 本文填补的空白是: 证明在预渐近粗空间下, 两级混合 Schwarz 预条件固定点迭代和 GMRES 收敛, 迭代次数至多像 $\\log k$ 增长. 一水平 DD 子域尺寸 $\\sim k^{-1}$ 时, 至少需要 $\\sim k$ 次迭代才能分辨独立于 k 的传播尺度, 因此粗空间必须解析该传播, 这解释了条件 $(H_c k)^{2p}\\rho\\ll1$ 的必要性.\n2. 主要定理或主要结果 主要严格结果是定理 2.7. 设 $M\u003e0$, $0","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-10-09_16-54-31/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年10月09日 16:54:31\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 8\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 16\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-基于边界积分方程的复杂介质弹性透射问题求解器\"\u003e1. 基于边界积分方程的复杂介质弹性透射问题求解器\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eBoundary integral equation based solvers for elastic transmission problems in complex media\u003c/p\u003e","title":"2026年10月09日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年10月08日 17:18:42\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 14\n不相关论文数量: 15\n重点关注论文（完整分析） 1. 时谐 Maxwell 透射问题的 Costabel FEM-BEM 耦合的算子预条件 Operator preconditioning of the Costabel FEM-BEM coupling for the time-harmonic Maxwell transmission problem\n作者: Quang Huy Nguyen, Van Chien Le, Kristof Cools\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.09765v1\n摘要翻译: 本文针对具有 Lipschitz 界面的时谐 Maxwell 透射问题，推导了 Costabel FEM-BEM 耦合的一个等价形式，并为所得离散系统构造了一个块对角预条件子。重构后的耦合建立在迹空间的乘积上，是通过引入一个迹提升算子和 Steklov\u0026ndash;Poincar{' e} 算子得到的。在代数层面，它对应于消去内部 FEM 未知量，从而得到一个包含内部 FEM 块的 Schur 补的离散系统。假设频率位于共振集之外，我们证明重构后的耦合在连续和离散层面均等价于 Costabel 耦合。利用算子预条件框架，我们由 Maxwell 单层边界积分算子诱导的 Galerkin 矩阵构造了一个预条件子。预条件后矩阵的谱条件数被证明是一致有界的。数值实验说明了所提方法的实际有效性。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.09765v1\n1. 研究对象和背景 本文研究时谐 Maxwell 传输问题及其 Costabel 有限元-边界元耦合的算子预条件。设 $\\Omega_s\\subset\\mathbb R^3$ 为有界 Lipschitz 域，外部区域 $\\Omega_0:=\\mathbb R^3\\setminus\\overline{\\Omega_s}$ 连通，界面 $\\Gamma:=\\partial\\Omega_s$。$\\Omega_s$ 由非均匀各向同性介质填充，磁导率 $\\mu_s$ 与介电常数 $\\epsilon_s$ 实值、分段 Lipschitz 且几乎处处一致正；外部 $\\Omega_0$ 为常数 $\\mu_0\u003e0$、$\\epsilon_0\u003e0$ 的均匀各向同性介质。固定角频率 $\\omega\u003e0$，入射电场 $E^{\\mathrm{inc}}$ 在 $\\Omega_0$ 中且在 $\\Gamma$ 的外邻域满足齐次 Maxwell 方程。未知电场 $E$ 在 $\\Omega_s$ 内为总场、在 $\\Omega_0$ 内为散射场，满足 $$\\operatorname{curl}(\\mu_s^{-1}\\operatorname{curl} E)-\\omega^2\\epsilon_s E=0 \\quad \\text{in } \\Omega_s,\\quad \\operatorname{curl}(\\mu_0^{-1}\\operatorname{curl} E)-\\omega^2\\epsilon_0 E=0 \\quad \\text{in } \\Omega_0,\\quad \\gamma_D^s E-\\gamma_D^0 E=\\gamma_D^0 E^{\\mathrm{inc}} \\quad \\text{on } \\Gamma,\\quad \\gamma_N^s E-\\gamma_N^0 E=\\gamma_N^0 E^{\\mathrm{inc}} \\quad \\text{on } \\Gamma,$$ 以及 Silver-Müller 辐射条件 $$\\lim_{r\\to+\\infty}\\int_{\\partial B_r}|\\operatorname{curl} E\\times n_r+i\\kappa(n_r\\times E)\\times n_r|^2 ds=0,$$ 其中 $\\kappa=\\omega\\sqrt{\\mu_0\\epsilon_0}$，$B_r$ 为以原点为中心半径 $r$ 的球，$n_r$ 为 $\\partial B_r$ 的外法向。该问题描述时谐电磁波被非均匀散射体散射，在成像、通信技术与生物医学工程中有广泛应用。分析的自然空间包括 $H(\\operatorname{curl},\\Omega_s)$、$H_{\\mathrm{loc}}(\\operatorname{curl},\\Omega_0)$、$H_{\\mathrm{loc}}(\\operatorname{curl}^2,\\Omega_0)$，以及边界迹空间 $H^{-1/2}_{\\times}(\\operatorname{div}_\\Gamma,\\Gamma)$。Dirichlet 迹为 $\\gamma_D^s u:=\\gamma^s u\\times n$，Neumann 迹 $\\gamma_N^s$ 通过分部积分定义；外部 Dirichlet 与 Neumann 迹记为 $\\gamma_D^0$、$\\gamma_N^0$。FEM-BEM 耦合的基本思想是：用有限元处理有界非均匀区域 $\\Omega_s$，用边界元与边界积分方程处理均匀无界区域 $\\Omega_0$，再通过 Steklov-Poincaré 算子或 Calderón 恒等式耦合内外迹。过去四十年，FEM-BEM 耦合已被广泛研究，涵盖椭圆界面问题、声学与电磁散射。就时谐 Maxwell 传输问题而言，已有若干耦合格式：de La Bourdonnaye 将耦合约化为单个边界方程，其中出现 Steklov-Poincaré 算子与电场的切向迹；另有具有鞍点结构的耦合格式，其未知量来自 Helmholtz 与 Hodge 分解；Badia 等引入带最优传输算子的弱耦合格式，可用非重叠 Schwarz 域分解高效求解，但这些工作多依赖光滑界面假设。相比之下，Costabel FEM-BEM 耦合 [4,5] 是首个在非光滑、特别是 Lipschitz 界面上具有严格分析的格式。Hiptmair 在 [4] 中建立了 Costabel 耦合及其 Galerkin 离散的适定性与准最优先验误差估计；Hiptmair 与 Meury 在 [5] 中发展稳定化格式以避免伪共振。本文正是在此 Costabel 耦合框架下工作。本文试图填补的空白是：Costabel 耦合的离散系统通常同时包含来自体积有限元的稀疏块和来自边界元的稠密块，直接解法不现实，迭代法几乎唯一可行；但已有预条件技术要么依赖光滑界面上的 Calderón 预条件，要么对一般 FEM-BEM 耦合缺乏严格理论，要么依赖 Laplace/Yukawa 界面问题中 FEM 矩阵的正定或半正定性。对于时谐 Maxwell 传输问题，Steklov-Poincaré 算子通常是 Hermitian 但既不正定也不半正定，且非光滑界面使 Calderón 预条件所依赖的 Fredholm 第二类性质不再直接可用。本文因此推导 Costabel 耦合的一个等价表述：引入迹提升算子与 Steklov-Poincaré 算子，将体积项改写为边界配对，得到仅含边界未知量的乘积迹空间变分问题；在代数层，这等价于消去内部 FEM 未知量，得到涉及内部 FEM 块 Schur 补的离散系统。随后在算子预条件框架下，基于 Maxwell 单层边界积分算子的 Galerkin 矩阵构造块对角预条件子，并在频率位于共振集之外时研究预条件矩阵谱条件数的一致有界性。该研究的重要性在于，它不依赖 Galerkin 矩阵的正定性，而是依赖相关 sesquilinear 形式与对偶配对的一致 inf-sup 条件，从而为 Lipschitz 界面上的电磁 Costabel 耦合提供具有理论保证的预条件路径。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果可分为连续重表述、离散等价性与一致 inf-sup、以及预条件三部分。首先，作者列出关于角频率 $\\omega$ 的假设。假设 1：$\\omega$ 位于源自由常系数与变系数 Maxwell 问题在 $\\Omega_s$ 中共振集之外，即 (i) $\\operatorname{curl}\\mu_0^{-1}\\operatorname{curl} u-\\omega^2\\epsilon_0 u=0$ 于 $\\Omega_s$、$\\gamma_D^s u=0$ 于 $\\Gamma$ 只有零解；(ii) $\\operatorname{curl}\\mu_s^{-1}\\operatorname{curl} u-\\omega^2\\epsilon_s u=0$ 于 $\\Omega_s$、$\\gamma_D^s u=0$ 于 $\\Gamma$ 只有零解。命题 3.1 证明在假设 1(i) 下，原 Costabel 耦合问题 (5) 适定；其依据是相应 sesquilinear 形式 T-coercive 至多相差紧扰动，且在假设 1(i) 下算子单射，再用 Riesz-Schauder 定理。其次，作者引入迹提升算子 $\\mathcal E:H^{-1/2}_{\\times}(\\operatorname{div}_\\Gamma,\\Gamma)\\to H(\\operatorname{curl},\\Omega_s)$，对每个 $\\zeta$ 定义 $\\mathcal E\\zeta$ 为提升问题 $$a(\\mathcal E\\zeta,v)=0 \\quad \\forall v\\in H_0(\\operatorname{curl},\\Omega_s),\\qquad \\gamma_D^s(\\mathcal E\\zeta)=\\zeta$$ 的唯一解。引理 3.1 证明在假设 1(ii) 下，该提升问题对每个 $\\zeta\\in H^{-1/2}_{\\times}(\\operatorname{div}_\\Gamma,\\Gamma)$ 有唯一解，且 $\\mathcal E$ 有界线性。进一步，作者定义 Steklov-Poincaré 算子 $S:H^{-1/2}_{\\times}(\\operatorname{div}_\\Gamma,\\Gamma)\\to H^{-1/2}_{\\times}(\\operatorname{div}_\\Gamma,\\Gamma)$，通过任意右逆 $R$ 写成 $$\\langle S\\zeta,\\eta\\rangle_{\\times,\\Gamma}:=a(\\mathcal E\\zeta,R\\eta),$$ 并证明其定义不依赖 $R$，且满足 $$\\langle S\\zeta,\\eta\\rangle_{\\times,\\Gamma}=\\langle\\gamma_N^s\\mathcal E\\zeta,\\eta\\rangle_{\\times,\\Gamma};$$ 因此 $S\\zeta$ 正是 $\\mathcal E\\zeta$ 的 Neumann 迹。文中强调 $S$ 诱导的 Hermitian sesquilinear 形式一般既不正定也不半正定。基于 $S$ 与边界积分算子，作者得到仅边界未知量的等价变分问题 (9)：求 $(\\tau,\\lambda)\\in H^{-1/2}_{\\times}(\\operatorname{div}_\\Gamma,\\Gamma)\\times H^{-1/2}_{\\times}(\\operatorname{div}_\\Gamma,\\Gamma)$，使得 $$\\langle(S+\\omega^2\\epsilon_0 V_\\kappa)\\tau,\\xi\\rangle_{\\times,\\Gamma}+\\langle(-\\tfrac12 I+K_\\kappa)\\lambda,\\xi\\rangle_{\\times,\\Gamma}=\\ell_{1,\\Gamma}(\\xi),\\qquad \\langle(\\tfrac12 I+K_\\kappa)\\tau,\\varphi\\rangle_{\\times,\\Gamma}+\\mu_0\\langle V_\\kappa\\lambda,\\varphi\\rangle_{\\times,\\Gamma}=\\ell_2(\\varphi)$$ 对所有 $(\\xi,\\varphi)$ 成立。这里 $V_\\kappa$ 与 $K_\\kappa$ 分别为 Maxwell 单层与双层边界积分算子。定理 3.2 证明在假设 1 下，原 Costabel 问题 (5) 与重表述问题 (9) 等价；由定理证明可见，(9) 形式上确定 $\\tau=\\gamma_D^s E$ 与 $\\lambda=\\gamma_N^0 E$。作者还指出 (9) 与 Calderón 预条件文献中 [7, Eq. (41)] 形式相似，但未知量含义不同：本文确定 $(\\gamma_D^s E,\\gamma_N^0 E)$，而 [7, Eq. (41)] 求 $(-\\gamma_D^s E,m_0)$，其中 $m_0$ 是进入外部积分表示的辅助变量，并非 Neumann 迹本身。在离散层面，作者设 $\\Omega_s$ 为多面体，采用准均匀四面体网格，取最低阶 Nédélec 有限元空间 $X_h$ 及其迹空间 $Y_h=\\gamma_D^s X_h$，后者是边界上的最低阶 Raviart-Thomas 空间。原 Costabel 离散问题 (10) 为求 $(E_h,\\lambda_h)\\in X_h\\times Y_h$ 满足相应耦合方程。作者定义离散提升 $\\mathcal E_h\\zeta_h\\in X_h$ 为 $$a(\\mathcal E_h\\zeta_h,v_h)=0 \\quad \\forall v_h\\in X_{h,0}:=X_h\\cap H_0(\\operatorname{curl},\\Omega_s),\\qquad \\gamma_D^s(\\mathcal E_h\\zeta_h)=\\zeta_h$$ 的解，并定义离散 Steklov-Poincaré 算子 $S_h:Y_h\\to Y_h'$ 为 $$\\langle S_h\\zeta_h,\\eta_h\\rangle_{Y_h',Y_h}:=a(\\mathcal E_h\\zeta_h,R_h\\eta_h),$$ 其中 $R_h$ 为 $\\gamma_D^s$ 的离散右逆。引理 3.2 证明在假设 1(ii) 下，存在 $h^\\#\u003e0$，使得对充分小 $h$，提升问题 (12) 适定，$\\mathcal E_h$ 一致有界，且 $S_h$ 的定义不依赖 $R_h$ 的选取。离散重表述问题 (14) 为求 $(\\tau_h,\\lambda_h)\\in Y_h\\times Y_h$ 满足相应边界乘积空间方程。定理 3.3 证明在假设 1 下，存在充分小 $h^\\#$，使得原 Costabel 离散问题 (10) 与离散重表述问题 (14) 对所有 $h\\in(0,h^\\#)$ 等价。定理 3.4 是核心的稳定离散化结果：在假设 1 下，存在常数 $C\u003e0$，使得 $$\\sup_{(\\xi_h,\\varphi_h)\\in Y_h\\times Y_h\\setminus\\{(0,0)\\}}\\frac{|B_R((\\tau_h,\\lambda_h),(\\xi_h,\\varphi_h))|}{\\|(\\xi_h,\\varphi_h)\\|_{\\Gamma,\\Gamma}}\\ge C\\|(\\tau_h,\\lambda_h)\\|_{\\Gamma,\\Gamma}$$ 对所有 $(\\tau_h,\\lambda_h)\\in Y_h\\times Y_h$ 与所有充分小 $h$ 成立，即重表述离散系统具有与 $h$ 无关的 inf-sup 常数。关于预条件，摘要与引言声称：使用算子预条件框架，基于 Maxwell 单层边界积分算子诱导的 Galerkin 矩阵构造预条件子；在频率不在共振集的假设下，预条件矩阵的谱条件数一致有界；数值实验说明方法有效。但提供的 PDF 文本在第 4 节开头截断，因此第 4 节中预条件子的具体块结构、定理编号、条件数界的证明细节、常数对网格与频率的依赖，以及第 5 节数值实验的具体结果，从提供内容中无法确认。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的技术障碍与创新点集中在如何为 Lipschitz 界面上的时谐 Maxwell Costabel 耦合构造可严格分析的预条件。第一个障碍是 Costabel 耦合的变分问题同时含体积未知 $E\\in H(\\operatorname{curl},\\Omega_s)$ 与边界未知 $\\lambda\\in H^{-1/2}_{\\times}(\\operatorname{div}_\\Gamma,\\Gamma)$，体积项 $a(E,W)=\\int_{\\Omega_s}(\\mu_s^{-1}\\operatorname{curl} E\\cdot\\operatorname{curl} W-\\omega^2\\epsilon_s E\\cdot W)dx$ 只作用于第一卷，导致离散矩阵是典型鞍点或耦合块结构。已有 Calderón 预条件依赖光滑界面上正则化 Steklov-Poincaré 算子为第二类 Fredholm 算子，但该性质在非光滑 Lipschitz 界面上不成立；而 Laplace/Yukawa 界面问题的预条件分析常依赖相关 FEM 矩阵的正定或半正定，Maxwell 情形下相应 Steklov-Poincaré 算子既不正定也不半正定，使这些论证失效。作者真正的创新点不是直接对原 Costabel 矩阵做代数操作，而是先构造一个等价的重表述，使问题完全落在边界迹空间乘积上，并且该重表述适合算子预条件框架。关键构造是迹提升算子 $\\mathcal E$ 与 Steklov-Poincaré 算子 $S$。利用分解 $$H(\\operatorname{curl},\\Omega_s)=R(H^{-1/2}_{\\times}(\\operatorname{div}_\\Gamma,\\Gamma))\\oplus H_0(\\operatorname{curl},\\Omega_s),$$ 其中 $R$ 为 $\\gamma_D^s$ 的任意有界右逆，作者将任意 $E$ 写成 $E=R\\tau+U$，$U\\in H_0(\\operatorname{curl},\\Omega_s)$，$\\tau=\\gamma_D^s E$。提升问题 $a(\\mathcal E\\zeta,v)=0$ 对所有 $v\\in H_0(\\operatorname{curl},\\Omega_s)$ 成立且 $\\gamma_D^s(\\mathcal E\\zeta)=\\zeta$，正是从 Dirichlet 迹唯一确定体积场中满足齐次变分方程的分量。在假设 1(ii) 下，作者用 Hiptmair 关于 $H_0(\\operatorname{curl},\\Omega_s)$ 上变分问题适定性的结果 [26, Thm. 5.2] 得到唯一解与有界性。随后，通过分部积分证明 $$a(\\mathcal E\\zeta,v)=\\langle\\gamma_N^s\\mathcal E\\zeta,\\gamma_D^s v\\rangle_{\\times,\\Gamma},$$ 于是 $S\\zeta$ 等于 $\\mathcal E\\zeta$ 的 Neumann 迹；这一定义用任意右逆 $R$ 写成 $\\langle S\\zeta,\\eta\\rangle_{\\times,\\Gamma}=a(\\mathcal E\\zeta,R\\eta)$，并证明与 $R$ 无关。这一步将原本的体积项 $a(E,W)$ 完全改写为边界配对 $\\langle S\\tau,\\xi\\rangle_{\\times,\\Gamma}$，从而得到仅含 $(\\tau,\\lambda)$ 的变分问题 (9)。第二个技术要点是连续等价的证明。给定原 Costabel 解 $(E,\\lambda)$，测试 $W\\in H_0(\\operatorname{curl},\\Omega_s)$ 得 $a(E,W)=0$，故 $E=\\mathcal E\\tau$，$\\tau=\\gamma_D^s E$；再对一般 $W$ 分解 $W=R\\xi+v$，$v\\in H_0$，利用 $S$ 的定义把 $a(E,W)$ 写为 $\\langle S\\tau,\\xi\\rangle$，从而导出 (9)。反过来，给定 (9) 的解 $(\\tau,\\lambda)$，用提升问题重构 $E=\\mathcal E\\tau$，并在测试空间 $R(H^{-1/2}_{\\times}(\\operatorname{div}_\\Gamma,\\Gamma))\\times H^{-1/2}_{\\times}(\\operatorname{div}_\\Gamma,\\Gamma)$ 上恢复原 Costabel 方程；再结合 $H(\\operatorname{curl},\\Omega_s)$ 的分解恢复全部测试函数。第三个关键技术点是离散 inf-sup 的传递。作者没有重新证明一个独立的离散 inf-sup，而是从 Hiptmair 对 Costabel 离散问题 (10) 的 inf-sup 估计出发。该估计对 $X_h\\times Y_h$ 成立且常数与 $h$ 无关。由于原问题测试 $X_{h,0}$ 得 $E_h\\in X_h^E:=\\{u_h\\in X_h:a(u_h,v_h)=0\\ \\forall v_h\\in X_{h,0}\\}$，可限制试空间为 $X_h^E\\times Y_h$。再取一致有界的离散右逆 $R_h$，将任意 $W_h$ 分解为 $W_h=R_h\\xi_h+v_h$，$v_h\\in X_{h,0}$，并利用 $a(E_h,v_h)=0$ 与提升问题 (12) 得到 $B_C((E_h,\\lambda_h),(W_h,\\varphi_h))=B_C((\\mathcal E_h\\tau_h,\\lambda_h),(R_h\\xi_h,\\varphi_h))$。关键估计是 $$\\|(R_h\\xi_h,\\varphi_h)\\|_{\\Omega_s,\\Gamma}\\le C\\|(\\xi_h,\\varphi_h)\\|_{\\Gamma,\\Gamma}\\le C\\|(W_h,\\varphi_h)\\|_{\\Omega_s,\\Gamma},\\qquad \\|(\\mathcal E_h\\tau_h,\\lambda_h)\\|_{\\Omega_s,\\Gamma}\\le C\\|(\\tau_h,\\lambda_h)\\|_{\\Gamma,\\Gamma},$$ 其中一致有界性来自离散右逆的选择与提升算子的一致有界性。由这些估计，作者将 Costabel 离散 inf-sup 常数传递到重表述形式 $B_R$，从而证明定理 3.4。这里的技术核心是：离散 Steklov-Poincaré 算子的定义虽然依赖右逆，但通过 $X_{h,0}$ 的正交关系可证明不依赖选择；而为了获得与 $h$ 一致的 inf-sup，必须使用一致有界的离散右逆，尽管 $S_h$ 本身定义不需此性质。第四个技术点是算子预条件框架的适配。作者采用 [18, Sect. 2] 的算子预条件框架，该框架不要求 Galerkin 矩阵正定，而要求相关 sesquilinear 形式满足一致 inf-sup 条件并与对偶配对相容。文中构造两个 sesquilinear 形式：一个由 Maxwell 单层边界积分算子 $V_\\kappa$ 诱导，另一个提供离散空间之间的对偶配对；预条件子由这两个形式对应的 Galerkin 矩阵块对角地组成。由于 $S$ 不定，无法使用正定性论证，作者转而使用 $V_\\kappa$ 的边界积分算子性质与定理 3.4 的一致离散 inf-sup 来建立预条件系统的谱等价。摘要声称预条件矩阵谱条件数一致有界，但第 4 节具体证明细节与预条件子块结构在提供的截断文本中未展示，因此无法在此展开。总体而言，本文的证明框架是：连续提升与 Steklov-Poincaré 重写、连续与离散等价、一致离散 inf-sup 传递、再嵌入算子预条件框架。\n4. 与之前工作的比较 本文与既有工作的差别可以从界面正则性、耦合格式、预条件机制、代数结构与适用范围几个维度比较。第一，与 de La Bourdonnaye [2] 的比较。 [2] 将时谐 Maxwell 传输的 FEM-BEM 耦合约化为单个边界方程，其中涉及 Steklov-Poincaré 算子和电场切向迹；本文也使用 Steklov-Poincaré 算子，但出发点不同：本文从 Costabel 耦合 [4] 出发，推导出与原 Costabel 问题等价的仅边界未知量变分问题 (9)，并在离散层对应消去内部 FEM 未知量后的 Schur 补系统。文中没有显式展开与 [2] 在误差估计或预条件条件数上的完整比较，因此从提供内容中无法确认两者在数值代价和适用范围上的所有差异。第二，与 [3] 的鞍点结构耦合比较。 [3] 的未知量由 Helmholtz 与 Hodge 分解的分量构成，而本文的未知量直接是边界 Dirichlet 迹 $\\tau=\\gamma_D^s E$ 与外部 Neumann 迹 $\\lambda=\\gamma_N^0 E$。本文的未知量物理意义更直接，且不依赖分解。但作者未在提供内容中显式比较两种格式的 inf-sup 常数、网格依赖或计算复杂度。第三，与 Badia 等 [6] 的弱耦合格式比较。 [6] 引入最优传输算子并可用非重叠 Schwarz 域分解高效求解，但依赖光滑界面假设；本文在 Lipschitz 界面情形工作，且离散分析建立在 Hiptmair 对 Costabel 耦合的 Lipschitz 界面理论之上。因此本文在界面正则性上比 [6] 更一般，代价是采用 Costabel 耦合而非弱耦合，并且预条件基于边界积分算子与算子预条件框架，而非区域分解。第四，与 Costabel 耦合原始工作 [4,5] 的比较。 [4] 建立了 Costabel 耦合及 Galerkin 离散的适定性和准最优误差，[5] 发展稳定化格式避免伪共振。本文不改变 Costabel 耦合的物理解，而是证明重表述问题 (9) 与 (14) 分别与原连续和离散 Costabel 问题等价；因此本文应视为在 [4,5] 的适定性与离散 inf-sup 理论之上，增加可预条件化的等价形式和一致离散 inf-sup。本文的假设 1 比 [4] 中适定性的频率假设更明确地列出共振集：假设 1(i) 用于原 Costabel 问题适定，假设 1(ii) 用于提升问题适定。第五，与 Calderón 预条件 [7] 的比较。 [7] 用 Maxwell 单层边界积分算子正则化 Steklov-Poincaré 算子，并依赖光滑曲面上正则化 Steklov-Poincaré 算子为第二类 Fredholm 算子；该性质在非光滑界面不成立。本文受 [7] 启发也使用 Maxwell 单层算子，但明确避免依赖第二类 Fredholm 性质，转而使用算子预条件框架与一致 inf-sup。Remark 3.1 进一步指出，本文问题 (9) 与 [7, Eq. (41)] 都定义在 $H^{-1/2}_{\\times}(\\operatorname{div}_\\Gamma,\\Gamma)\\times H^{-1/2}_{\\times}(\\operatorname{div}_\\Gamma,\\Gamma)$ 上，形式相似，但未知量概念不同：本文确定 $(\\gamma_D^s E,\\gamma_N^0 E)$，而 [7, Eq. (41)] 求 $(-\\gamma_D^s E,m_0)$，其中 $m_0$ 是进入外部积分表示的辅助变量而非 Neumann 迹。这是本文对 [7] 的一个明确概念性推进：在非光滑界面上给出与 Costabel 耦合等价的边界形式，并使其适合预条件。第六，与其他电磁 FEM-BEM 预条件 [8-10] 的比较。文中指出这些预条件在许多复杂工程应用中有效，但理论结果仍然有限，部分原因是难以像 Costabel 耦合那样进行严格且全面的分析。本文则选择 Costabel 耦合作为基础，以换取严格分析，并证明 Lipschitz 界面下的一致离散 inf-sup 与预条件谱界。第七，与 Laplace 和 Yukawa 界面问题 FEM-BEM 预条件 [11-14] 的比较。 [11-14] 中 FEM 矩阵的正定或半正定性在建立预条件矩阵条件数一致界时起核心作用；本文强调对时谐 Maxwell 传输问题，这种正定性论证不再可用，因为 Steklov-Poincaré 算子 $S$ 是 Hermitian 但一般既不正定也不半正定。因此本文的技术路线从正定性转向算子预条件框架所要求的一致 inf-sup 条件与对偶配对。第八，与 Steklov-Poincaré 重表述及预条件 [15-17] 的比较。文中指出这些先前研究的主要工具或是 Steklov-Poincaré 算子的正定性，或是半正定性；而本文考虑的 Steklov-Poincaré 算子不具备这些性质，因此不能直接套用。本文的贡献是在 Lipschitz 界面时谐 Maxwell 情形下，证明所得表述仍能纳入算子预条件框架。第九，适用范围与代价。本文适用于 Lipschitz 界面乃至多面体界面的离散，频率需位于共振集之外，离散采用准均匀四面体网格与最低阶 Nédélec/Raviart-Thomas 元。代价包括：需要假设 1(ii) 以保证提升问题适定；需要一致有界的离散右逆来传递 inf-sup 常数；预条件子基于 Maxwell 单层边界积分算子，因此仍需处理边界积分算子的稠密 Galerkin 矩阵；数值实验虽在摘要中称有效，但提供文本未包含第 5 节细节，无法比较实际迭代次数、CPU 时间或对频率的鲁棒性。最后，对于本文与 [2,3,6] 在光滑界面情形下的退化关系、与 [7] 在光滑界面下 Calderón 预条件的理论优劣、以及本文预条件条件数常数对 $\\omega$、$\\mu_s$、$\\epsilon_s$ 和网格形状正则性的依赖，提供内容中未显式展开，因此无法确认。总体而言，本文在界面正则性上推进到 Lipschitz 界面，在预条件机制上摆脱正定性与第二类 Fredholm 性质的限制，给出与 Costabel 耦合严格等价的边界重表述及一致离散 inf-sup，为后续构造块对角预条件提供了理论入口；但其完整预条件定理与数值效率仍超出所提供文本的可见范围。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. CAFE+FNO：通过乘性特征组合生成傅里叶核 CAFE+FNO: Fourier Kernel Generation via Multiplicative Feature Composition\n作者: Hyungjoon Juen, Minwoo Shin\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.10105v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.10105v1\n摘要翻译 中文标题: CAFE+FNO：通过乘性特征组合生成傅里叶核\n摘要翻译: 傅里叶神经算子（FNO）通过傅里叶空间核参数化学习偏微分方程（PDE）的解算子，但频率截断可能限制对高频变化的学习。AM-FNO 和 SirenFNO 使用共享网络从谱坐标生成所有网格模态的核，这使得坐标编码和生成器设计变得重要。近期关于隐式神经表示（INRs）的工作提出通过显式特征组合构造频率相互作用，而不是依赖后续 MLP 隐式地形成它们。基于这一思路，我们提出 CAFE+FNO，将内容感知频率编码+（CAFE+）融入傅里叶核生成。CAFE+ 通过并行仿射分支和 Hadamard 积组合 Fourier\u0026ndash;Chebyshev 特征，形成两个特征族内部及跨特征族的相互作用。一个核 MLP 将每个归一化谱坐标的所得表示映射为复通道混合矩阵。每一层在所有存储模态上共享其生成器，使得在固定架构下可训练参数数量与模态数量无关。我们在五个 PDE 基准上比较 CAFE+FNO 与现有 FNO 变体，并对基配置、乘法组合和带宽可学习性进行消融研究。代码和实验配置可在 https://github.com/fabsk101/CAFEPlusFNO.git 获取。\n2. 非拟合 T 网格上基于 PHT 样条的 UnCut FEM UnCut FEM with PHT-splines on unfitted T-meshes\n作者: Falai Chen, Nuo Lei, Buyang Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.09909v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.09909v1\n摘要翻译 中文标题: 非拟合 T 网格上基于 PHT 样条的 UnCut FEM\n摘要翻译: 我们提出了一种基于分层 T 网格上的多项式样条（PHT-splines）的新型非拟合有限元方法，用于求解定义在边界由水平集函数隐式描述的区域上的椭圆型偏微分方程（PDEs）。利用样条空间增强的光滑性，我们通过在物理域的扩展邻域上最小化 PDE 的 $L^2$ 残差来构造该方法。该格式允许方法完全在背景网格上使用标准逐单元求积来实现。它产生一个对称正定线性系统，并避免了边界单元中弯曲切割子区域的几何构造以及相关的非平凡数值积分。我们建立了数值格式的适定性，并推导了 $H^1$ 范数下的最优 \\emph{a priori} 误差估计。此外，我们采用基于残差的 \\emph{a posteriori} 误差指示子来指导分层 T 网格的局部自适应加密。数值实验证实了理论结果，并展示了所提方法的精度和效率。\n3. 一类非线性波系统的任意高阶精确且局部能量/熵稳定时空方法 An arbitrarily high-order accurate and locally energy/entropy-stable space-time method for a class of nonlinear wave systems\n作者: Michael Dumbser, Ilaria Perugia, Enrico Zampa\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.09797v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.09797v1\n摘要翻译 中文标题: 一类非线性波系统的任意高阶精确且局部能量/熵稳定时空方法\n摘要翻译: 我们提出了一类新的保结构、任意高阶精度的时空格式，用于一类非线性声波传播系统，空间上采用非结构单纯形网格；其中非线性编码在状态变量与对偶变量之间的本构关系中，而微分算子保持标准一阶声波结构。在全离散层面，这些格式满足以下性质：I) 状态变量的局部守恒；II) 每个时空单元上的局部能量/熵平衡，具有相容、单值的数值能量/熵通量和非负局部能量/熵耗散，并且当稳定项被省略时精确能量守恒；III) 速度场旋度对合的弱保持，即使在存在间断且激波捕捉项被激活的情况下也是如此。新格式的关键要素为：i) 空间上的间断 Galerkin (DG) 离散，其中对偶变量被计算为能量关于守恒变量的导数到 DG 空间上的 L2 投影；ii) 数值通量以及以对偶变量表示的泡函数加权的、单元局部黏性正则化；iii) 时间上的连续-间断 Petrov-Galerkin 方法。性质 I)-III) 首先在数学上得到证明，随后通过合适的数值试验加以验证。\n4. 精确球面三角形上的各向异性 Lagrange 插值 Anisotropic Lagrange interpolation on exact spherical triangles\n作者: Hiroki Ishizaka\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.09686v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.09686v1\n摘要翻译 中文标题: 精确球面三角形上的各向异性 Lagrange 插值\n摘要翻译: 我们研究由弦三角形径向投影得到的精确测地球面三角形上的线性 Lagrange 插值。将单元映射分解为一个仿射映射和一个径向修正，可将弦向各向异性与径向畸变分离。我们推导了关于曲面测度、Dirichlet 能量和方向导数的精确恒等式，并利用它们将平面各向异性插值估计转移到球面上。由此得到的局部误差估计保留了弦向的两个方向长度尺度，并使几何因子保持显式，其中常数与单元大小、形状和球半径无关。在梯度估计中，最大角因子仅乘以较长的方向尺度。四类显式三角形族量化了用直径替换这些尺度所造成的损失，并建立了尖锐的最大角依赖性。它们还表明，在具有与单元无关的常数的同一两项方向界内，最大角因子既不能移到较短尺度上，其指数也不能降到 1 以下。第四类三角形族证明了平方根径向传递因子的最优性，同时保持相同的传递方向尺度。这些局部估计可推广到相容球面三角剖分。作为一个应用，它们为带精确积分的零均值 Laplace\u0026ndash;Beltrami 问题的协调近似给出了一个各向异性能量误差估计。\n5. 一种用于三维准静态电多孔弹性方程的无锁定虚拟元方法 A locking-free virtual element method for the three-dimensional quasi-static electroporoelasticity equations\n作者: Jianguo Huang, Wenxuan Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.09646v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.09646v1\n摘要翻译 中文标题: 一种用于三维准静态电多孔弹性方程的无锁定虚拟元方法\n摘要翻译: 我们开发并分析了一种用于三维准静态电多孔弹性方程的无锁定虚拟元方法。压力、电场、磁场和位移场分别由最低阶节点型、边型、面型和类 Stokes 虚拟元空间离散，因此该格式适用于一般多面体网格，而时间离散采用后向 Euler 格式。锁定现象通过在一个加密网格 $\\widetilde{\\mathcal{T}}_h$ 上定义类 Stokes 空间来克服，在该网格上我们可以构造一个插值算子 $\\mathrm{I}_s$，满足 $÷(\\mathrm{I}_s\\bm v)|_K=Π^K_0÷\\bm v$，这使得误差估计独立于 Lamé 常数 $λ$。此外，由于精确序列 $\\curl\\bm V^e_h=\\bm V^f_{h,0}$ 成立，磁场被显式更新，从而将四场系统简化为三场系统并降低了计算成本。数值实验用于展示所提方法的性能。\n6. 物理信息神经可塑性：能够自我重塑的 PDE 求解器 Physics-Informed Neural Plasticity: PDE Solvers That Reshape Themselves\n作者: Chun-Wun Cheng, Bingcheng Hu, Angelica I. Aviles-Rivero\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.09510v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.09510v1\n摘要翻译 中文标题: 物理信息神经可塑性：能够自我重塑的 PDE 求解器\n摘要翻译: 物理信息神经 PDE 求解器通过调整其参数以满足控制方程，然而其表示结构通常在训练过程中保持固定。这种刚性难以匹配在空间以及空间\u0026ndash;时间上具有强异质复杂度的 PDE 解，从而在物理困难处容量不足，而在物理简单处容量冗余。我们提出物理信息神经可塑性，一种表示本身在优化过程中根据未解析物理进行重塑的范式。我们以 Representation Capacity Adaptation for PDEs (ReCAP) 实例化这一原则，这是一种高斯局部化求解器，通过局部富集、残差导向分裂、基于门控的剪枝和函数感知合并来动态重新分配容量。ReCAP 使用责任加权误差指标和残差能量的几何来确定在哪里以及如何细化。为限制分裂引入的扰动，我们引入 quiet-child refinement（静默子代细化），它通过迁移父表示来初始化新组件，同时控制瞬时函数扰动。我们进一步建立条件后验可靠性和结构稳定性保证，将局部化物理残差与解的误差以及稳定细化联系起来。在五个具有挑战性的 3D 和 4D PDE 基准上，与 11 个物理信息求解器对比，ReCAP 在每个问题上取得最低的相对 $L^2$ 误差，相对于最强竞争结果将误差降低 $10.7\\%$\u0026ndash;$27.5\\%$。这些结果表明，物理信息求解器不必仅仅学习其参数——它们可以学习其表示容量应如何组织。\n7. 用于热-机械裂纹扩展的扩展深度能量法 An extended deep energy method for thermo-mechanical crack propagation\n作者: Han Zhang, Mehrisadat Makki Alamdari, Babak Shahbodagh, Mohammad Vahab, Cosmin Anitescu, Timon Rabczuk, Elena Atroshchenko\n类别: cs.LG, cond-mat.mtrl-sci, math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.09433v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.09433v1\n摘要翻译 中文标题: 用于热-机械裂纹扩展的扩展深度能量法\n摘要翻译: 热-机械断裂将含裂纹区域上的瞬态热传导与一条随温度和位移演化而扩展的裂纹耦合起来。神经能量求解器已被提出用于相场断裂，后来扩展为通过网络输入表示尖锐裂纹，但在这些求解器中，含裂纹区域上的热传导以及由此产生的热应力下的裂纹扩展尚未被一起处理。我们提出一种用于热-机械裂纹扩展的扩展深度能量法，其中裂纹保持为尖锐折线。两个网络分别表示温度和位移，并通过一个标量嵌入函数接收裂纹；该函数在裂纹处不连续，在其他地方光滑，从而两个场都能跨裂纹跳跃而无需正则化长度，且位移在裂尖附近由具有可训练幅值的 Williams 展开增强。这两个场通过以交错序列最小化增量传导泛函和热弹性势能获得，其中采用蒙特卡洛积分，积分点分层分布在背景单元上，在裂尖附近加密，并在训练过程中重新抽取。应力强度因子通过带 Wilson 和 Yu 面积项的交互积分提取，并通过围道半径扫描进行校验；当扭折的能量释放率达到裂尖温度下的临界值时，裂纹沿最大环向应力角扩展。对于一个静止热边缘裂纹，提取的应力强度因子与已发表值吻合到 0.11%；在功能梯度剪切试验的起裂中，与独立的尖锐裂纹有限元解在一个载荷步内吻合；在缺口十字形试样上，裂纹路径在机械、热和组合载荷下均遵循已发表解。\n8. 用于 Navier\u0026ndash;Stokes 自由边界流的具有补偿切向速度的能量稳定 ALE\u0026ndash;FEM An energy\u0026ndash;stable ALE\u0026ndash;FEM with compensated tangential velocity for Navier\u0026ndash;Stokes free\u0026ndash;boundary flows\n作者: Nuo Lei, Weiying Zheng, Na Zhu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.09301v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.09301v1\n摘要翻译 中文标题: 用于 Navier\u0026ndash;Stokes 自由边界流的具有补偿切向速度的能量稳定 ALE\u0026ndash;FEM\n摘要翻译: 我们针对具有表面张力驱动的自由边界的不可压缩 Navier-Stokes 流动，提出了一种能量稳定的任意拉格朗日-欧拉（ALE）有限元格式。其关键要素是一种无乘子的补偿切向速度格式，该格式通过离散切向曲率残差重新分布边界节点。控制人工切向速度的松弛参数根据黏性-毛细平衡进行缩放，从而得到自然选择 $α= γ_0/ μ$，其中 $γ_0$ 是表面张力系数，$μ$ 是动力黏度。我们证明全离散格式是适定的、能量耗散的，并且在时间上与其半离散对应格式相容。数值结果证实了所提方法在一系列 $μ$ 和 $γ_0$ 值下的鲁棒性。此外，与 BGN 方法相比，该方法表现出更优的网格质量保持能力，特别是在小时间步长情形下。\n9. 无界区域上 Hamilton\u0026ndash;Jacobi\u0026ndash;Bellman 方程的核方法与神经网络方法的收敛性 Convergence of kernel and neural-network methods for Hamilton\u0026ndash;Jacobi\u0026ndash;Bellman equations on unbounded domains\n作者: Yumiharu Nakano\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.09299v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.09299v1\n摘要翻译 中文标题: 无界区域上 Hamilton\u0026ndash;Jacobi\u0026ndash;Bellman 方程的核方法与神经网络方法的收敛性\n摘要翻译: 我们针对无界空间区域上 Hamilton\u0026ndash;Jacobi\u0026ndash;Bellman 方程的两种非单调、无网格近似，从经验平方残差导出误差界：在原生空间范数约束下使用 Wendland 核的配点法，以及在 Sobolev 范数约束下具有光滑激活函数的物理信息神经网络。主要步骤是从经验损失中恢复粘性解误差估计所需的逐点残差控制，同时量化离散化误差或采样误差。对于核方法，我们在经典正则性与原生空间正则性下证明紧集上的一致收敛，并为唯一有界连续粘性解导出后验定量误差界。对于神经网络方法，我们证明紧集上的一致收敛依概率成立，并在经典 Sobolev 正则性下给出定量的高概率误差界。这些界分别由核方法的填充距离以及神经网络的网络规模与样本量控制。证明结合了经验到总体估计、一个将 $L^2$ 残差转化为 sup 范数界的插值不等式，以及针对由截断定义域所导致误差的受控扩散估计。用于从逼近性质获得收敛的正则性假设，是在粘性解适定性之外的额外假设。一维和二维空间中的数值实验展示了这些方法和估计。\n10. 有限扇形上的移位锥形极点逼近：精确渐近与维数控制 Shifted tapered-pole approximation on finite sectors: an exact asymptotic and dimension control\n作者: Fei Xue, Tianqi Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.09256v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.09256v1\n摘要翻译 中文标题: 有限扇形上的移位锥形极点逼近：精确渐近与维数控制\n摘要翻译: 我们研究闭单位半径扇形上 $g(z)z^α(\\log z)^m$ 的显式 lightning-plus-polynomial (LP) 逼近，其中 $0\u003cα\u003c1$，$m$ 固定，且 $g$ 在该扇形附近解析。由于基本的扇形根指数速率已经已知，我们处理三个更精细的问题。第一，一个单侧 Abel\u0026ndash;Poisson 公式和一个无极点缺口围道给出了逐分支误差界，该误差界对于 $(0,1)$ 的紧子集中的网格移位是一致的，并且对每个固定的对数幂均成立。第二，对于稠密与平衡情形下的 $z^α$，一个精确的顶点尺度重缩放为指定的移位序列确定了一个正有限的首项常数。第三，一个率匹配的附加表示极点带，随后进行多项式压缩，给出了显式表示维数 $N+2\\sqrt{2αλ_σN}+O(1)$，同时保持前 $N$ 个锥形极点不变。一个略微过分辨的混合序列也保持精确的首项常数。匹配维数实验，包括凹入扇形，说明了该分配。这些精确渐近与维数结论针对所述构造，而非扇形极小极大逼近或总计算复杂度。\n11. 可压缩 Navier\u0026ndash;Stokes 方程的高阶熵稳定等温壁边界条件 High-order entropy stable isothermal wall boundary condition for the compressible Navier\u0026ndash;Stokes equations\n作者: Mohammed Sayyari, Nail K. Yamaleev\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.09249v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.09249v1\n摘要翻译 中文标题: 可压缩 Navier\u0026ndash;Stokes 方程的高阶熵稳定等温壁边界条件\n摘要翻译: 熵稳定边界条件对于确保相应数值格式满足离散熵不等式至关重要，从而在离散层面模拟可压缩 Navier\u0026ndash;Stokes 方程的热力学第二定律。可证明熵稳定的绝热壁边界条件由 Parsani 2014~\\cite{parsani2014entropy} 引入。这些离散壁边界条件在 Dalcin 2019~\\cite{dalcin2019conservative} 中被进一步推广到运动绝热固体壁或具有给定热通量的壁面，用于使用分部求和 (SBP) 和同时逼近项 (SAT) 算子离散的可压缩 Navier\u0026ndash;Stokes 方程。目前，文献中尚无使用 SBP-SAT 算子处理等温壁边界条件的熵稳定格式。本文提出一种新的等温无滑移壁边界条件，其：1) 在保持稳定性的同时，以设计精度阶强制满足 $T|_{y=0}=T^{wall}$ 和 $\\vec{v}|_{y=0}=\\vec{v}^{wall}$ 条件，2) 给出壁面处熵产生的正确符号，3) 在离散层面模拟 Navier-Stokes 方程的熵平衡。所提方法的保结构性和设计精度阶性质在可压缩流动的标准基准问题上得到展示和验证。\n12. 通过核分解改进格林函数的学习 Improving Learning of Green\u0026rsquo;s Functions Through Kernel Decomposition\n作者: Beiji Chen, Qiang Du, Kui Ren, Tian-Yi Zhou\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-10-06\narXiv ID: 2610.09101v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.09101v1\n摘要翻译 中文标题: 通过核分解改进格林函数的学习\n摘要翻译: 本文分析了一个用于学习一般自伴二阶椭圆算子 $\\cL$ 的解算子（或等价地，格林函数）的框架。减去格林函数的奇异部分——该部分或者解析已知，或者由显式 Laplace 拟基本解给出——将 $\\cL^{-1}$ 的学习重新表述为学习边界上的 $\\cL$-调和延拓算子。我们将该过程表述为再生核希尔伯特空间（RKHSs）之间的算子学习，以表明核分解策略将代数输入速率提高两个数量级，并且，在诱导边界数据的一致解析正则性以及相容输出空间下，将输出速率从代数级提升为指数级。我们通过迭代分解进一步将该框架推广到半线性问题，其中唯一学习的对象仍为线性算子，确保改进后的线性速率可直接传递到非线性迭代。提供了数值实验以验证理论发展。\n13. 正交均匀网格上具有能量与动量乘子的多项式差分格式：模板限制与 Monge\u0026ndash;Ampère 型示例 Polynomial Difference Schemes with Energy and Momentum Multipliers on Orthogonal Uniform Meshes: Stencil Restrictions and Monge\u0026ndash;Ampère-Type Examples\n作者: E. I. Kaptsov\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-10-06\narXiv ID: 2610.08979v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.08979v1\n摘要翻译 中文标题: 正交均匀网格上具有能量与动量乘子的多项式差分格式：模板限制与 Monge\u0026ndash;Ampère 型示例\n摘要翻译: 关于函数 $u(t,x)$ 的一维流体动力学型方程的不变有限差分格式的经验表明，在具有 9 点模板的正交均匀网格上，非线性多项式格式不能同时保持能量守恒律和动量守恒律的差分类似式，其中乘子由 $u_t$ 和 $u_x$ 的标准差分近似给出。对于 9 点模板，该假设已对任意次数的多项式得到证明。在更大的模板上，借助直接法的差分类似式对此进行了研究：对于有界次数的多项式，发现此类格式仅存在于足够大的模板上，而它们所近似的二阶方程属于 Monge\u0026ndash;Ampère 型。作为一个副产品，得到了齐次 Monge\u0026ndash;Ampère 方程的一个格式，该格式具有五个守恒律，容许该微分方程的大部分对称性，并且在离散二面体群 $D_4$ 下不变。对精确解的数值试验证实了其具有二阶逼近精度，并表明在这些解上守恒律以相同的精度阶得到满足。\n14. 高阶有限元等参 BGN 方法对闭曲面平均曲率流的收敛性 Convergence of isoparametric BGN methods for mean curvature flow of closed surfaces with high-order finite elements\n作者: Yifei Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-06\narXiv ID: 2610.08972v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.08972v1\n摘要翻译 中文标题: 高阶有限元等参 BGN 方法对闭曲面平均曲率流的收敛性\n摘要翻译: 我们证明了用于闭曲面平均曲率流的等参 Barrett\u0026ndash;Garcke\u0026ndash;Nürnberg (BGN) 方法的收敛性。对于次数为 $k\\ge6$ 的有限元和满足 $τ=O(h^2)$ 的时间步长，数值曲面在流形距离意义下以 $h^2$ 阶收敛到精确曲面。证明依赖于两个要素。首先，我们通过时间展开构造逼近流，其插值满足具有改进缺陷的 BGN 方法。其次，我们由切向测试函数的一个代数恒等式导出切向误差的精细估计。\n不相关论文（基本信息） 1. 分数阶电导率反问题中的有限元外到内重构 A finite element exterior-to-interior reconstruction in the fractional conductivity inverse problem\n作者: Mukul Dwivedi, Jesse Railo, Andreas Rupp\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.10484v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.10484v1\n摘要: We develop a regularized finite element method for the fractional conductivity equation, recovering the conductivity on an exterior observation region from noisy Dirichlet-to-Neumann measurements and using this reconstruction to determine the interior conductivity. Mesh-localized inputs and mass-lumped Tikhonov regularization discretize the exterior determination principle of Covi\u0026ndash;Railo\u0026ndash;Zimmermann (2026, Calc. Var. PDE). We prove exterior (L^2)- and (L^\\infty)-convergence with error estimates, including the logarithmic correction at the critical Hölder exponent. The exterior reconstruction enables the Liouville reduction to the Calderón problem for the fractional Schrödinger equation. Separated measurements recover the interior potential, after which overlapping measurements determine the exterior potential tail. Together with the recovered exterior conductivity, the tail supplies the exterior Cauchy data for a Tikhonov-regularized finite element least-squares continuation. We prove (H^s)-convergence of the transformed conductivity and (L^2)-convergence of the interior conductivity, together with logarithmic state-bias and conductivity error estimates for full observation spaces. The admissible reconstructions remain uniformly positive and bounded. We present one- and two-dimensional numerical experiments illustrating the accuracy of the exterior and interior reconstructions and their sensitivity to measurement noise and discretization.\n2. 使用 GEPP 的随机排列 Random permutations using GEPP\n作者: Kenji Gunawan, John Peca-Medlin, Chenyang Zhong\n类别: math.PR, math.CO, math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.10481v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.10481v1\n摘要: Gaussian elimination with partial pivoting (GEPP) remains the most widely used solver for dense linear systems $A \\mathbf x = \\mathbf b$ for $A \\in \\mathbb C^{n\\times n}$. We study the permutation $π= π(A)$ that arises in the GEPP factorization $PA = LU$, encoded by the permutation matrix factor $P = P_π$. When the input matrix is random, so is $π$. For random scalar butterfly matrices of size $2^n$ (a recursively defined family originally introduced to eliminate the need for pivoting altogether), we give the exact GEPP factorization and fully classify the induced permutation as an element of a $2$-Sylow subgroup of $S_{2^n}$ contained in the separable permutations. Moreover, the uniform-angle model induces the uniform distribution on this subgroup. For the GOE, GUE, and iid Bernoulli models, the induced permutation is never exactly uniform for $n \\ge 2$. We give the precise rate of departure from uniformity at the leading pivot for the GOE and GUE, and give evidence that this non-uniformity vanishes asymptotically in the permuton sense. In contrast, for banded random matrices of sublinear bandwidth, including the tridiagonal $β$-Hermite ensembles, the induced permutation converges to the diagonal permuton. We further show that the resulting pivot probabilities are sensitive to implementation choices: standard LAPACK routines compare complex pivot candidates using the $\\ell^1$ rather than $\\ell^2$ norm, changing the GUE(2) pivot probability from $1/\\sqrt3$ to $2/3$. Together these results establish a new connection between random matrix theory and permutation combinatorics through numerical linear algebra.\n3. 基于帽函数的保正接触间断捕捉 Boltzmann 格式 A hat function based positive contact discontinuity capturing Boltzmann scheme\n作者: Balwinder Singh, S. V. Raghurama Rao\n类别: math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.10419v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.10419v1\n摘要: The suitable moments of the Maxwell velocity distribution function recover the conserved variable and flux vectors of the Euler equations of gas dynamics. However, the Maxwellian has infinite support in velocity space, which poses challenges for the numerical analysis of kinetic schemes based on it. Although Maxwellian is a natural choice, it is not the only distribution function that preserves these key moments. In his seminal paper, Perthame (1990) introduced a compactly supported hat function as an alternative. This paper presents the formulation and analysis of a contact discontinuity capturing Boltzmann scheme based on peculiar velocity, constructed using the hat function. Owing to the compact support of the hat function in velocity space, the numerical analysis of the proposed scheme is considerably simplified, allowing for a direct proof of its positivity. The scheme, extended to second-order accuracy without compromising the positivity-preserving property of its first-order counterpart, is tested on several benchmark inviscid flow problems in one- and two-dimensions.\n4. 微磁学中 Landau-Lifshitz-Gilbert 方程的 BDF2 型积分器：IMEX 时间步进与完整有效场 BDF2-type integrator for Landau-Lifshitz-Gilbert equation in micromagnetics: IMEX time-stepping and full effective field\n作者: Michele Aldé, Dirk Praetorius, Agus L. Soenjaya\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.10291v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.10291v1\n摘要: We extend the BDF2-type finite-element integrator proposed in [M. Aldé, M. Feischl, D. Praetorius; BDF2-type integrator for Landau-Lifshitz-Gilbert equation in micromagnetics: unconditional weak convergence to weak solutions. (Math. Comp., 2026, doi:10.1090/mcom/4210)] to the Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) equation with lower-order effective-field contributions and current-induced non-conservative torques arising in micromagnetic applications. To incorporate these additional terms while retaining a linear solve at each time step, we employ an implicit-explicit (IMEX) time splitting. Our main theorem proves unconditional weak convergence of the fully discrete approximations towards weak solutions of the LLG equation. The analysis removes the mild but artificial CFL-type restrictions required at the first and final time steps in [Aldé M., Feischl M., Praetorius D.; Math. Comp., 2026]. Furthermore, in the presence of the Dzyaloshinskii-Moriya interaction (DMI), the convergence is likewise unconditional and does not require the CFL-type restriction imposed in [G. Hrkac, C.-M. Pfeiler, D. Praetorius, M. Ruggeri, A. Segatti, and B. Stiftner. Convergent tangent plane integrators for the simulation of chiral magnetic skyrmion dynamics. (Adv. Comput. Math., 2019. doi: 10.1007/s10444- 019-09667-z)]. Numerical experiments support the theoretical findings.\n5. 基于 Wasserstein\u0026ndash;Fisher\u0026ndash;Rao JKO 格式的重加权归一化流神经采样 Neural Sampling with Reweighted Normalizing Flows via the Wasserstein\u0026ndash;Fisher\u0026ndash;Rao JKO Scheme\n作者: Chenguang Duan, Johannes Hertrich, Gabriele Steidl\n类别: math.NA, cs.LG, math.PR, stat.ML\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.10278v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.10278v1\n摘要: We propose a neural algorithm for sampling from distributions specified by unnormalized Boltzmann densities. Our approach is based on the Jordan\u0026ndash;Kinderlehrer\u0026ndash;Otto scheme for the Kullback\u0026ndash;Leibler divergence in the Wasserstein\u0026ndash;Fisher\u0026ndash;Rao geometry (WFR JKO scheme). Our contributions are twofold. First, we prove that, for any fixed step size, the exact WFR JKO iterates converge exponentially fast to the target as the number of iterations tends to infinity. Notably, this result requires no structural assumptions on the target, such as log-concavity or a logarithmic Sobolev inequality. Second, we develop a neural implementation of the WFR JKO scheme that parametrizes its transport and reaction components using reweighted normalizing flows. Numerical experiments on challenging multimodal targets demonstrate the promising performance of the proposed method.\n6. 一种生成多元多重正交多项式的方法 A method for generating multivariate multiple orthogonal polynomials\n作者: Lidia Fernández, Juan Antonio Villegas\n类别: math.CA, math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.09805v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.09805v1\n摘要: In the framework of multiple orthogonal polynomials (MOPs) and their extension to the multivariate setting, a unified mechanism for generating structured families of multiple orthogonal polynomials across diverse multidimensional domains is still lacking. In this work, we bridge this gap by developing an extended Koornwinder-type methodology for constructing multivariate multiple orthogonal polynomials. We introduce two distinct coupling schemes: combining a univariate MOPs family with a standard orthogonal family, which enables the definition of both Type I and Type II bivariate systems along with their dual biorthogonality relations, and coupling two univariate MOPs families to form Type II multivariate systems. Using this general framework, we provide the first explicit formulations of multiple orthogonal polynomials on a variety of bivariate regions, including bounded domains such as a parabolic domain and the square $[0,1]^2$, non-standard unbounded geometries like the positive quadrant $(\\mathbb{R}_0^+)^2$ and the wedge $\\mathbb{V}^2$, as well as new constructions on the triangle $T$. Furthermore, explicit multiple orthogonal systems on the $d$-dimensional simplex $T^d$ and on the $d$-dimensional cone $\\mathbb{V}^d$ are given.\n7. 波-热型问题的 Leapfrog Crank\u0026ndash;Nicolson 解耦 Leapfrog Crank\u0026ndash;Nicolson decoupling of wave\u0026ndash;heat-type problems\n作者: Benjamin Dörich, Julian Dörner\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.09603v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.09603v1\n摘要: This paper proposes and analyzes a numerical method for coupled wave-heat systems that arise, for example, in visco-elasticity with memory, thermo-elastic wave propagation with finite thermal speed, and Maxwell\u0026rsquo;s equations coupled to dispersive material laws. Motivated by the widespread use of explicit leapfrog schemes for wave problems and the parabolic time-step restriction for heat equations, we design a second-order scheme that combines leapfrog time integration for the wave part with a Crank\u0026ndash;Nicolson step for the heat part. The coupling is arranged in a Strang-splitting\u0026ndash;type fashion so that the overall scheme remains explicit in the coupling and is subject only to a CFL condition of hyperbolic type, rather than the more restrictive parabolic constraint. We introduce an abstract space discretization that covers a broad class of wave\u0026ndash;heat systems and accommodates both conforming and stabilized non-conforming discretizations. Using a general error decomposition, we derive error estimates for the fully discrete scheme under the desired CFL condition. Numerical experiments for our model applications confirm the theoretical results.\n8. 用于 Lindblad 方程最优控制的保结构全秩与低秩指数方法 Structure-preserving full- and low-rank exponential methods for the optimal control of Lindblad equations\n作者: Hao Chen, Alfio Borzi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.09403v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.09403v1\n摘要: Optimal control of open quantum systems governed by the Lindblad master equation requires the repeated solution of forward and adjoint evolution equations. For large Hilbert spaces, these computations demand numerical methods that are structure-preserving, accurate, and computationally efficient, while remaining compatible with nonsmooth optimization techniques. In this work, a unified framework for optimal control of Lindblad equations is presented. The continuous optimality system is derived from the Pontryagin maximum principle and solved by a sequential quadratic Hamiltonian (SQH) method. Its numerical realization is based on second-order exponential midpoint propagators for the forward and adjoint Lindblad equations with time-dependent Hamiltonians. Full-rank schemes preserving the Hermitian and positive-semidefinite structure of the density matrix are developed together with low-rank formulations that substantially reduce storage requirements and computational cost. Rigorous error estimates are established for the full- and low-rank forward and adjoint propagators. Numerical experiments confirm the predicted convergence rates, demonstrate the effectiveness of the low-rank approximations, and illustrate the performance of the proposed FREM-SQH and LREM-SQH algorithms for optimal control problems with smooth and nonsmooth control costs.\n9. 用于热学性质的粒子数守恒量子信号处理：正则系综估计与巨正则重构 Particle-Number-Preserving Quantum Signal Processing for Thermal Properties: Canonical-Ensemble Estimation and Grand-Canonical Reconstruction\n作者: Taehee Ko, Sungbin Lim, Sangkook Choi\n类别: quant-ph, math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.09373v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.09373v1\n摘要: We develop an end-to-end framework for estimating canonical thermal properties of particle-number-conserving second-quantized Hamiltonians using quantum simulations. The framework integrates initial state preparation with mixed Dicke states, particle-number-preserving Trotterized simulation, and generalized quantum signal processing to estimate canonical partition functions and observables. Building on this canonical scheme, we introduce a grand-canonical reconstruction scheme in which the same quantum measurement data can be reused for arbitrary chemical potentials through classical reweighting, thereby avoiding repeated quantum circuit executions as the chemical potential is varied. We prove the existence of system-size-independent temperature regimes in which both the canonical and reconstructed grand-canonical schemes have lower asymptotic time complexity than classical Lanczos methods, up to polynomial factors, for physically relevant Hamiltonians. We numerically validate our theoretical results for the two-dimensional Hubbard model in both weak- and intermediate-coupling regimes.\n10. 具有局部化激活的全确定性浅层神经网络。第二部分：条件数估计 Fully Deterministic Shallow Neural Networks with Localized Activations. Part II: Condition Number Estimates\n作者: Ran Bi, Weibing Deng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.09357v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.09357v1\n摘要: We prove positive definiteness and quantitative condition-number bounds for continuous Sobolev Gram matrices of deterministic shallow networks with Gaussian and tanh-difference activations. The prescribed feature families include the optimal Sobolev approximation constructions of Part I. On every fixed nonempty bounded Lipschitz domain in $\\R^d$, $d\\ge2$, and for every fixed integer $m\\ge0$, the raw and column-normalized Gram matrices in the full $H^m$ inner product have spectral condition numbers bounded by $\\exp(CN^{2/d}/\\log(N+2))$ for sufficiently large $N$, where $N$ is the feature count and $C\u003e0$ is independent of $N$. The upper bounds hold for midpoint and Gauss-Legendre offsets. For midpoint offsets and a suitable angular sequence, matching lower bounds on fixed ellipsoids establish sharpness of this exponent over the stated domain class for raw Gaussian matrices and both raw and normalized tanh-difference matrices. The proof combines homogeneous differential operators that isolate direction groups with one-dimensional coefficient-recovery estimates. Two-dimensional $L^2$ experiments on a square illustrate condition-number growth and normalization effects.\n11. 具有局部化激活函数的完全确定性浅层神经网络. 第一部分：构造与最优 Sobolev 逼近 Fully Deterministic Shallow Neural Networks with Localized Activations. Part I: Construction and Optimal Sobolev Approximation\n作者: Ran Bi, Weibing Deng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-07\narXiv ID: 2610.09338v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.09338v1\n摘要: We construct shallow neural networks with fixed Gaussian and tanh-difference activations on bounded Lipschitz domains $Ω\\subset\\mathbb{R}^d$, $d\\ge2$. For each $s\u003e0$, explicit deterministic rules prescribe all hidden parameters independently of the target $u\\in H^s(Ω)$. At frequency resolution $M$, the $N_M\\asymp M^d$ prescribed features span a linear space $V_M$. For every sufficiently large integer $N$, we choose $M\\asymp N^{1/d}$ with $N_M\\le N$ and construct a bounded linear operator $A_N:H^s(Ω)\\to V_M$ such that [ |u-A_Nu|{H^m(Ω)} \\le C N^{-(s-m)/d}|u|{H^s(Ω)} ] for every $u\\in H^s(Ω)$ and every integer $0\\le m","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-10-08_17-18-42/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年10月08日 17:18:42\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 14\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 15\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-时谐-maxwell-透射问题的-costabel-fem-bem-耦合的算子预条件\"\u003e1. 时谐 Maxwell 透射问题的 Costabel FEM-BEM 耦合的算子预条件\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eOperator preconditioning of the Costabel FEM-BEM coupling for the time-harmonic Maxwell transmission problem\u003c/p\u003e","title":"2026年10月08日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年10月07日 17:22:17\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 7\n不相关论文数量: 18\n重点关注论文（完整分析） 1. 基于 Grassmann 插值的多尺度 PDE 高效局部化模型降阶 Efficient localised model reduction for multiscale PDEs via Grassmannian interpolation\n作者: Christian Alber, Markus Bachmayr, Robert Scheichl, Huqing Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-06\narXiv ID: 2610.08657v1\n摘要翻译: 多尺度、参数相关的偏微分方程 (PDEs) 由于强系数异质性和高维参数空间而带来严峻的计算挑战。我们在多尺度广义有限元方法 (MS-GFEM) 中发展了一种几何插值方法，该方法针对其中最昂贵的组成部分：计算参数相关的最优局部逼近空间。利用 MS-GFEM 的空间局部化，并假设局部参数依赖性，我们将全局问题分解为参数低维的局部子问题。每个参数对应的最优子空间被识别为 Grassmann 流形上的点，并通过稀疏网格上的 Grassmann 插值进行逼近，这在高效处理高维参数空间的同时保持了这些空间的几何结构。由此得到的局部化模型降阶方法继承了 MS-GFEM 的近乎指数阶空间收敛性和稀疏网格的参数收敛速率。针对椭圆问题的数值实验证实了理论收敛结果。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.08657v1\n1. 研究对象和背景 本文研究参数依赖的二阶椭圆扩散问题，其强形式为 $$ -\\nabla\\cdot\\big(A(x,z)\\nabla u(x,z)\\big)=f(x)\\quad \\text{in }\\Omega,\\qquad u(x,z)=0\\quad \\text{on }\\partial\\Omega, $$ 其中 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^N$ 是有界 Lipschitz 区域，参数 $z\\in[-1,1]^d$，$f\\in L^2(\\Omega)$，而系数 $A:D\\to L^\\infty(\\Omega;\\mathbb{C})$ 是定义在包含 $[-1,1]^d$ 的开集 $D\\subset\\mathbb{C}^d$ 上的全纯映射，并且对实参数 $z$ 满足 $A(z)\\in L^\\infty(\\Omega;\\mathbb{R})$。弱形式为：对给定 $z\\in D$，求 $u_z\\in H^1_0(\\Omega;\\mathbb{C})$ 使得 $$ a_{\\Omega,z}(u_z,v):=\\int_\\Omega A(x,z)\\nabla u_z(x)\\cdot\\nabla v(x)\\,dx=\\int_\\Omega f(x)v(x)\\,dx,\\qquad \\forall v\\in H^1_0(\\Omega;\\mathbb{C}). $$ 在一致椭圆性假设下，即存在 $0","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-10-07_17-22-17/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年10月07日 17:22:17\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 7\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 18\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-基于-grassmann-插值的多尺度-pde-高效局部化模型降阶\"\u003e1. 基于 Grassmann 插值的多尺度 PDE 高效局部化模型降阶\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eEfficient localised model reduction for multiscale PDEs via Grassmannian interpolation\u003c/p\u003e","title":"2026年10月07日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年10月06日 16:38:27\n重点关注论文数量: 4\n了解领域论文数量: 19\n不相关论文数量: 27\n重点关注论文（完整分析） 1. 一阶时谐 Maxwell 方程的拟 Trefftz 空间 Quasi-Trefftz spaces for the first-order time-harmonic Maxwell\u0026rsquo;s equations\n作者: Ilaria Fontana, Lise-Marie Imbert-Gérard\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-05\narXiv ID: 2610.05975v1\n摘要翻译: 本文旨在研究一阶时谐 Maxwell 方程的最优高阶基于 Taylor 的多项式拟 Trefftz 空间。与标准多项式空间相比，拟 Trefftz 空间的目的在于更高效地保持相同的高阶最佳逼近性质：其维数显著更小。为实现这一目标，它们仅逼近控制方程的光滑解，而不是逼近一般光滑函数。尽管对于标量方程，基于 Taylor 的多项式拟 Trefftz 空间有自然定义，但对于向量值方程，情形根本不同，因为朴素的拟 Trefftz 性质并不能系统地定义具有所需最佳逼近性质的最小空间。本文确定了一阶时谐 Maxwell 方程的最优拟 Trefftz 空间，提出了两种构造拟 Trefftz 基的方法，并证明了这些空间的最佳逼近性质。这些理论结果强烈利用了多项式 Helmholtz 分解和多项式 de Rham 序列的正合性，并通过数值实验得到了验证。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.05975v1\n1. 研究对象和背景 本文研究一阶时谐 Maxwell 方程的局部最优高阶 Taylor 型多项式准 Trefftz 空间. 设 $\\Omega\\subset\\mathbb R^3$ 为开集, 未知量为电场 $E$ 和磁场 $B$, 波数 $\\kappa\u003e0$, 电介质常数 $\\varepsilon$ 和磁导率 $\\mu$ 可以是空间变量, 即 $\\varepsilon(x),\\mu(x)$. 方程写作 $$ \\begin{cases} \\nabla\\times E - i\\kappa\\mu B =0,\\\\ \\nabla\\times B + i\\kappa\\varepsilon E =0, \\end{cases} $$ 以及相应的散度条件 $\\nabla\\cdot(\\varepsilon E)=0$ 和 $\\nabla\\cdot(\\mu B)=0$. 为避免散度条件退化, 文中引入 Assumption 1.1: 在局部点 $x_T$ 处 $\\varepsilon(x_T)\\ne0$ 且 $\\mu(x_T)\\ne0$.\n准 Trefftz (QT) 间断 Galerkin 方法是一类数值方法, 其局部离散空间依赖于控制方程. 与 Trefftz 方法使用局部精确解不同, QT 方法使用局部近似解. 对于方程 $L u=0$, Taylor 型 QT 性质是 $\\mathcal T_{p-1}^{x_T}[L\\varphi]=0$, 其中 $\\mathcal T_{p-1}^{x_T}$ 表示以 $x_T$ 为中心、次数至多 $p-1$ 的 Taylor 多项式算子. 对标量方程, QT 空间有自然定义, 且 QT 算子的主部总是满射, 这对理论分析和基构造都至关重要. 但对向量值方程组, 主部通常不是满射, 直接用 naive QT 性质不能保证得到最小维数且保持最佳逼近性质的空间. 本文试图补的空白是: 对一阶时谐 Maxwell 方程, 识别最优 QT 空间, 给出两种基构造方法, 并证明其最佳逼近性质. 理论工具是齐次多项式 Helmholtz 分解和多项式 de Rham 序列的精确性.\n已有工作: 标量 QT-DG 方法 [25,28,15,27] 包括广义平面波 ansatz 和多项式 ansatz; 抽象框架 [24,13]. 系统方面, [26] 处理二维一阶 Helmholtz 方程, [23] 处理二阶时谐 Maxwell 方程. 本文处理一阶时谐 Maxwell 方程, 三个空间维度和可变系数. 散度条件在 Maxwell 分析中处于核心地位. 从提供内容看, 作者强调局部空间按网格单元定义, 全局 QT-DG 空间是分片局部 QT 空间的乘积.\n2. 主要定理或主要结果 主要结果围绕局部 QT 空间 $QT_p(T)$ 的定义、最佳逼近性质、维数最优性和基构造展开.\n定义 1.2 给出局部多项式 QT 空间: 给定 $p\\in\\mathbb N$, 开集 $T\\subset\\Omega$, 点 $x_T\\in T$, 假设 $(\\varepsilon,\\mu)\\in(C^p(T;\\mathbb C))^2$. 局部 QT 空间为 $$ QT_p(T)=\\left\\{(Q_E,Q_B)\\in(\\mathbb P_p)^3\\times(\\mathbb P_p)^3: \\begin{array}{l} \\mathcal T_{p-1}^{x_T}[\\nabla\\times Q_E - i\\kappa\\mu Q_B]=0,\\\\ \\mathcal T_{p-1}^{x_T}[\\nabla\\times Q_B + i\\kappa\\varepsilon Q_E]=0,\\\\ \\mathcal T_{p-1}^{x_T}[\\nabla\\cdot(\\varepsilon Q_E)]=0,\\\\ \\mathcal T_{p-1}^{x_T}[\\nabla\\cdot(\\mu Q_B)]=0 \\end{array} \\right\\}. $$ 这里 $\\mathbb P_p$ 是复值标量多项式空间.\n命题 3.1 (Taylor 多项式与 QT 空间): 若 $(E,B)\\in C^{p+1}(T;\\mathbb C^3)\\times C^{p+1}(T;\\mathbb C^3)$ 满足 Maxwell 系统 (1.1), 则 $(\\mathcal T_p^{x_T}[E],\\mathcal T_p^{x_T}[B])\\in QT_p(T)$.\n定理 3.2 (最佳逼近性质): 给定 $p\\in\\mathbb N$, 开集 $T\\subset\\mathbb R^3$, 点 $x_T\\in T$ 使 $T$ 关于 $x_T$ 星形, 且 $\\varepsilon,\\mu\\in C^p(T;\\mathbb C)$. 若 $(E,B)\\in C^{p+1}(T;\\mathbb C^3)\\times C^{p+1}(T;\\mathbb C^3)$ 满足 Maxwell 系统, 则 $$ \\inf_{(Q_E,Q_B)\\in QT_p(T)}\\left(\\|E-Q_E\\|_{C^0(T)}+\\|B-Q_B\\|_{C^0(T)}\\right) \\le \\frac{3^{p+1}}{(p+1)!}h_T^{p+1}\\left(|E|_{C^0(T)}+|B|_{C^0(T)}\\right), $$ 且对任意 $s\\in\\mathbb N$, $s\\le p$, $$ \\inf_{(Q_E,Q_B)\\in QT_p(T)}\\left(\\|E-Q_E\\|_{C^s(T)}+\\|B-Q_B\\|_{C^s(T)}\\right) \\le \\frac{3^{p+1-s}}{(p+1-s)!}h_T^{p+1-s}\\left(|E|_{C^s(T)}+|B|_{C^s(T)}\\right). $$ 其中 $h_T$ 为单元尺寸, $|\\cdot|_{C^s(T)}$ 为 $C^s$ 半范数. 这些估计表明 QT 空间保持与标准多项式空间相同的高阶最佳逼近阶.\n维数方面, 文中 Corollary 3.4 和 Figure 1 比较 $QT_p(T)$ 与完整空间 $(\\mathbb P_p)^3\\times(\\mathbb P_p)^3$ 的维数, 说明前者显著更小. 第 4 节进一步证明 naive QT 空间不是最小空间, 并证明 $QT_p(T)$ 在具有最佳逼近性质的空间中维数最小. 从提供内容中无法确认 Corollary 3.4 的具体维数公式.\n构造方面, Algorithm 1 给出显式构造 QT 多项式的过程. 将 $Q_E,Q_B$ 按齐次分量分解, 将系数 Taylor 展开写为 $\\mathcal T_{p-1}^{x_T}[\\varepsilon]=\\sum_{k=0}^{p-1}\\varepsilon_k$, $\\mathcal T_{p-1}^{x_T}[\\mu]=\\sum_{k=0}^{p-1}\\mu_k$. QT 条件等价于对 $k=1,\\ldots,p$: $$ \\begin{cases} \\nabla\\times Q_E^k - i\\kappa\\sum_{j=0}^{k-1}\\mu_j Q_B^{k-1-j}=0,\\\\ \\nabla\\times Q_B^k + i\\kappa\\sum_{j=0}^{k-1}\\varepsilon_j Q_E^{k-1-j}=0,\\\\ \\nabla\\cdot\\left(\\sum_{j=0}^{k}\\varepsilon_j Q_E^{k-j}\\right)=0,\\\\ \\nabla\\cdot\\left(\\sum_{j=0}^{k}\\mu_j Q_B^{k-j}\\right)=0. \\end{cases} $$ 算法要求 $\\varepsilon_0\\mu_0\\ne0$, 这正是 Assumption 1.1 的作用. 第 5 节给出两种实现, 用于构造 QT 基. 数值实验在常系数和变系数情形验证理论结果.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的主要技术障碍是: 对标量方程, QT 算子的主部 (冻结系数的高阶项) 总是满射, 因此可以方便地定义空间、计算维数并构造基; 但对向量值 Maxwell 方程组, QT 算子的主部一般不是满射, 这导致 naive QT 性质不能系统性地定义最小空间, 也不能直接保证最佳逼近. 作者的真正创新在于利用齐次多项式 Helmholtz 分解和多项式 de Rham 序列的精确性, 把 curl 和 divergence 限制到合适的子空间, 使其变成双射, 从而逐阶求解.\n关键工具一: 齐次多项式 Helmholtz 分解. 对 $k\\in\\mathbb N$, 任意 $Q\\in(\\tilde{\\mathbb P}_k)^3$ 唯一分解为 $$ (\\tilde{\\mathbb P}_k)^3=\\tilde S_k^*\\oplus\\tilde I_k^*\\oplus\\tilde H_k,\\quad Q=F+G+H, $$ 其中 $F\\in\\tilde S_k^*$ 为无散部分, $G\\in\\tilde I_k^*$ 为无旋部分, $H\\in\\tilde H_k$ 为调和部分. 这里 $\\tilde S_k=\\ker(\\nabla\\cdot|_{(\\tilde{\\mathbb P}_k)^3})$, $\\tilde I_k=\\ker(\\nabla\\times|_{(\\tilde{\\mathbb P}_k)^3})$, $\\tilde H_k=\\tilde S_k\\cap\\tilde I_k$. 该分解是后续构造和维数分析的基础.\n关键工具二: 多项式 de Rham 复形的精确性: $$ \\{0\\}\\to\\tilde{\\mathbb P}_{k+3}\\xrightarrow{\\nabla}(\\tilde{\\mathbb P}_{k+2})^3\\xrightarrow{\\nabla\\times}(\\tilde{\\mathbb P}_{k+1})^3\\xrightarrow{\\nabla\\cdot}\\tilde{\\mathbb P}_k\\to\\{0\\}. $$ 作者证明 (Lemma 2.4): $\\nabla\\times|_{\\tilde S_k}:\\tilde S_k\\to\\tilde S_{k-1}$ 是满射; $\\nabla\\cdot|_{\\tilde I_k}:\\tilde I_k\\to\\tilde{\\mathbb P}_{k-1}$ 是满射. 进一步 (Proposition 2.5): 限制到 $\\tilde S_k^*$ 的 curl 算子 $\\nabla\\times|_{\\tilde S_k^*}:\\tilde S_k^*\\to\\tilde S_{k-1}$ 是双射; 限制到 $\\tilde I_k^*$ 的 divergence 算子 $\\nabla\\cdot|_{\\tilde I_k^*}:\\tilde I_k^*\\to\\tilde{\\mathbb P}_{k-1}$ 是双射. 证明用 de Rham 复形的精确性给出值域包含关系, 再用秩-零化度定理和核为 $\\tilde H_k$ 得到维数相等. 这两个双射是 Algorithm 1 逐阶求解 curl 和 divergence 方程的关键: 给定低阶项后, curl 方程唯一确定 $\\tilde S_k^*$ 部分, divergence 方程唯一确定 $\\tilde I_k^*$ 部分, 调和部分则提供空间自由度.\n关键工具三: Taylor 多项式的性质 (附录 A 的 Proposition A.2 和 A.3). 这些性质保证对 $|i|\\le p-1$, $$ D^i(\\mu\\mathcal T_p^{x_T}[B])(x_T)=D^i(\\mu B)(x_T),\\quad D^i(\\varepsilon\\mathcal T_p^{x_T}[E])(x_T)=D^i(\\varepsilon E)(x_T), $$ 从而精确解的 Taylor 多项式满足 QT 性质. 最佳逼近定理的证明直接利用这一事实: $\\inf_{QT_p}(...)\\le \\|E-\\mathcal T_p^{x_T}[E]\\|_{C^s}+\\|B-\\mathcal T_p^{x_T}[B]\\|_{C^s}$, 然后用 Taylor 余项估计. 星形区域假设用于控制余项, 得到 $3^{p+1-s}/(p+1-s)! h_T^{p+1-s}$ 型估计.\n关键工具四: 维数最优性分析. 第 4 节通过 QT 算子 $D_p$ 的结构和 Helmholtz 分解的自由度, 说明 naive QT 空间可能包含多余自由度, 最优空间需要适当选取调和部分. 文中 Corollary 3.4 和 Figure 1 给出维数比较, 但提供内容未完整展示推导细节. 从可获取文本看, 作者将构造与维数分析结合, 给出了保持最佳逼近的最小空间.\n计算方面, 第 5 节给出两种实现: 第一种实现和替代实现, 以及构造 QT 基的流程. 从提供内容中无法确认两种实现的完整算法和复杂度分析. 数值实验部分 (第 6 节) 在常系数和变系数情形验证了理论误差阶.\n4. 与之前工作的比较 与既有 QT-DG 文献相比, 本文的推进主要体现在从标量方程到一阶时谐 Maxwell 方程组, 以及从自然定义到维数最优和显式基构造.\n第一, 与标量 QT-DG 方法 [25,28,15,27] 及抽象框架 [24,13] 比较. 标量情形中, QT 算子的主部总是满射, 因此可以自然定义 QT 空间, 维数和基构造相对直接. 本文指出向量值方程组中主部一般不满射, naive QT 性质不能系统定义最小空间. 作者必须借助齐次多项式 Helmholtz 分解和 de Rham 复形精确性, 把 curl 和 divergence 限制到合适子空间得到双射. 这是概念上的关键推进.\n第二, 与 [26] 的一阶 Helmholtz 方程二维工作比较. [26] 处理二维一阶 Helmholtz 方程, 是一个标量系统; 本文处理三维一阶时谐 Maxwell 方程, 涉及两个向量未知场 $E$ 和 $B$, 两个准 PDE 和两个准散度条件. 此外, 本文允许标量但空间变化的 $\\varepsilon$ 和 $\\mu$, 而 [26] 的设定不同. 从提供内容看, 作者未详细展开与 [26] 的逐项技术比较.\n第三, 与 [23] 的二阶时谐 Maxwell 方程工作比较. [23] 研究二阶公式, 常磁导率, 利用 de Rham 复形和齐次多项式 Helmholtz 分解定义 QT 空间并研究 QT 算子结构以找维数. 本文研究一阶公式, 包含两个准 PDE 和两个准散度条件, 允许可变标量系数 $\\varepsilon,\\mu$. 本文不仅定义 QT 空间, 还证明最佳逼近性质、证明维数最优性、给出显式基构造算法 (两种实现) 并进行数值实验. 因此, 本文在理论完整性和算法方面比 [23] 更进一步. 代价是需要 $\\varepsilon,\\mu\\in C^p$, Assumption 1.1 非零条件, 以及最佳逼近证明中的星形区域假设.\n第四, 与 Trefftz DG 方法 [19] 比较. [19] 分析二阶时谐方程常系数的 Trefftz DG 方法, Trefftz 基逐元素精确满足散度条件, 但不是全局. 本文的 QT 基是近似满足控制方程, 通过 Taylor 条件实现, 维数更小且保持高阶最佳逼近. 与精确 Trefftz 基相比, QT 基的构造只需递推求解, 而不是逐元素数值求解, 这是 QT-DG 的优点.\n第五, 与标准有限元 [35]、混合与 DG 方法 [34,18,7,17,22,21] 比较. 标准多项式空间在每一单元上使用完整 $\\mathbb P_p$ 空间, 维数较大; QT 空间只逼近光滑解, 因此维数显著降低, 同时保持相同的高阶最佳逼近阶 (定理 3.2). 在连续设定中, 有限元外微积分构造与 de Rham 序列兼容的空间; 本文在间断框架下利用多项式 de Rham 序列的精确性构造 QT 空间, 但不需要全局散度约束.\n局限与未确认内容: 从提供内容无法确认数值实验中与标准多项式空间的实际维数比、计算时间比较以及变系数情形下的完整误差表. 作者也未显式展开与 [26] 和 [23] 在所有技术假设上的逐条比较. 此外, 第 4 节和第 5 节的完整算法和复杂度分析在提供的 PDF 摘录中未完整给出.\n2. 含 Lorentz 色散的非线性 Kerr-Debye 模型的保结构高阶 FDTD 方法 Structure Preserving High-Order FDTD Methods for the Nonlinear Kerr-Debye Model with Lorentz Dispersion\n作者: Emmanuel E. Oguadimma, Vrushali A. Bokil, Nathan L. Gibson\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-10-04\narXiv ID: 2610.05507v1\n摘要翻译: 我们开发并分析了几类全离散、高阶方法，这些方法在时域有限差分（FDTD）框架下用于描述非线性光学介质中超短脉冲传播的非线性色散电磁模型。该模型由时域 Maxwell 方程组与两个常微分方程耦合而成；在一维空间中，这两个常微分方程分别为非线性 Kerr-Debye 方程和线性色散 Lorentz 方程。所提出的方法将 $2M$ 阶交错空间离散（其中整数 $M\u003e0$）与二阶显式蛙跳或隐式梯形时间积分器相结合。为处理非线性 Kerr-Debye 方程中的刚性弛豫，我们采用 \\cite{PengJCP2020} 中引入的修正指数积分器，该积分器确保在弛豫时间消失极限下的渐近保持（AP）行为。我们证明所得格式满足连续能量恒等式的离散对应形式，并保持非线性极化率的正性（PP）。对于基于蛙跳时间积分器的格式，我们在 CFL 条件下建立能量稳定性；而基于梯形时间积分器的格式则无条件能量稳定。基于梯形时间积分器格式的高阶时间精度进一步通过 Richardson 外推实现，从而得到在空间和时间上均为 $2M$ 阶精度的格式。数值实验验证了理论收敛率以及所提格式捕捉非线性波现象（如孤子传播、自陡峭和奇次谐波产生）的能力。这项工作将先前间断 Galerkin 框架中的 AP-PP 和能量稳定方法推广到 FDTD 情形，为模拟非线性色散光学介质中的电磁波传播提供了一种计算高效、灵活且稳健的工具。\nComment: 44 pages, 7 figures\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.05507v1\n1. 研究对象和背景 本文研究一维非线性色散光学介质中超短脉冲传播的时域电磁模型。设计算域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}$，时间区间 $(0,T]$，未知量为电场 $E$、磁场 $H$、电位移 $D$、三阶非线性极化率 $\\chi$、线性 Lorentz 极化 $P$ 及其极化电流 $J$。作者考虑的 Maxwell-Kerr-Debye-Lorentz 系统由时域 Maxwell 方程与两个辅助常微分方程耦合而成： $$\\mu_0\\partial_t H=\\partial_x E,\\quad \\partial_t D=\\partial_x H,\\quad \\partial_t\\chi=-\\frac{1}{\\varepsilon}(\\chi-E^2),\\quad \\partial_t P=J,\\quad \\partial_t J+\\frac{1}{\\tau}J+\\omega_0^2P=\\omega_p^2E,$$ 本构关系为 $$D=\\epsilon_0\\big((\\epsilon_\\infty+a\\chi)E+P\\big),$$ 其中 $a\u003e0$ 为非线性系数，$\\varepsilon\u003e0$ 为非线性 Kerr 效应的弛豫时间，$\\tau$ 为 Lorentz 阻尼时间，$\\omega_0$ 为共振频率，$\\omega_p$ 为等离子体频率，$\\epsilon_\\infty$ 为无穷频率相对介电常数。该模型同时包含线性 Lorentz 色散、瞬时或弛豫型三阶 Kerr 非线性以及非磁介质中的传播。\n物理上，该模型用于描述超短激光脉冲在非线性光学介质中的传播。当电场很强时，极化不再是线性函数，三阶非线性项产生光学 Kerr 效应；当脉冲宽度达到飞秒量级或材料响应时间不可忽略时，瞬时 Kerr 模型不足，需要引入 Debye 弛豫方程 $\\partial_t\\chi=-\\frac{1}{\\varepsilon}(\\chi-E^2)$。当 $\\varepsilon\\to0$ 时形式上有 $\\chi=E^2$，模型退化为 Maxwell-Kerr-Lorentz 极限系统，其本构关系为 $$D=\\epsilon_0\\big((\\epsilon_\\infty+aE^2)E+P\\big).$$ 连续模型具有两个关键结构。第一，非线性极化率满足正性：若 $\\chi(x,0)\\ge0$，则对一切 $t\\ge0$ 有 $\\chi(x,t)\\ge0$。第二，满足能量恒等式。对 Maxwell-Kerr-Debye-Lorentz 系统定义能量 $$\\mathcal{E}(t)=\\frac12\\int_\\Omega\\left(\\mu_0H^2+\\epsilon_0\\epsilon_\\infty E^2+a\\epsilon_0\\chi E^2+\\frac{a\\epsilon_0}{2}\\chi^2+\\epsilon_0\\frac{\\omega_0^2}{\\omega_p^2}P^2+\\frac{\\epsilon_0}{\\omega_p^2}J^2\\right)dx,$$ 则 $$\\frac{d\\mathcal{E}}{dt}=-\\int_\\Omega\\left(\\frac{a\\epsilon_0}{2\\varepsilon}(\\chi-E^2)^2+\\frac{\\epsilon_0}{\\tau\\omega_p^2}J^2\\right)dx.$$ 对极限 Maxwell-Kerr-Lorentz 系统，能量 $$\\mathcal{E}_{\\mathrm{Kerr}}(t)=\\frac12\\int_\\Omega\\left(\\epsilon_0\\epsilon_\\infty E^2+\\frac{3\\epsilon_0a}{2}E^4+\\mu_0H^2+\\epsilon_0\\frac{\\omega_0^2}{\\omega_p^2}P^2+\\frac{\\epsilon_0}{\\omega_p^2}J^2\\right)dx$$ 满足 $$\\frac{d\\mathcal{E}_{\\mathrm{Kerr}}}{dt}=-\\frac{\\epsilon_0}{\\tau\\omega_p^2}\\int_\\Omega J^2dx.$$ 这些连续性质是构造保结构数值格式的出发点。\n数值上，有限差分时域（FDTD）方法，即 Yee 格式，是电磁波传播模拟的主流方法之一。经典 Yee 格式在交错空间和时间网格上离散 Maxwell 方程，具有二阶精度、显式、无全局矩阵求逆、易于并行等优点。但其二阶精度和在高频、长时、强非线性问题中的数值色散误差限制了应用。已有工作将 FDTD 推广到线性色散、非线性以及非线性色散介质，并发展了高阶 Yee-FDTD 空间离散。同时，间断 Galerkin（DG）方法、有限元方法、有限体积方法和 Godunov 型方法也被用于此类模型。\n然而，Kerr-Debye 模型带来两个额外困难。首先，当弛豫时间 $\\varepsilon$ 很小时，方程 $\\partial_t\\chi=-\\frac{1}{\\varepsilon}(\\chi-E^2)$ 是刚性的，传统显式时间离散通常要求 $\\Delta t=O(\\varepsilon)$，导致小 $\\varepsilon$ 时时间步极受限。其次，数值格式最好保持 $\\chi$ 的非负性，因为正性与能量稳定性密切相关。理想格式还应是渐近保持（AP）的，即在 $\\varepsilon\\to0$ 时稳定且恢复到正确的极限模型，而不需要按 $\\varepsilon$ 细化网格。作者指出，已有 AP、保正（PP）和能量稳定的方法主要在 DG 框架中发展，例如 Peng 等提出的修改指数时间积分器。本文试图将该类保结构思想扩展到高阶 FDTD 框架，构造并分析高阶交错 Yee 型全离散格式，使其同时具备 AP、PP、离散能量恒等和能量稳定性，并通过 Richardson 外推获得时空高阶精度。这就是本文所填补的空白。\n2. 主要定理或主要结果 作者的主要贡献是构造并分析若干族全离散高阶 FDTD 格式。空间离散方面，在交错 primal 和 dual 网格上定义 $V_{0,h}$ 与 $V_{1/2,h}$，并用二阶中心差分的线性组合构造 $2M$ 阶一阶导数近似 $$D_h^{(2M)}=\\sum_{p=1}^M\\lambda_{2p-1}^{2M}D_{p,h}^{(2)},\\quad \\tilde D_h^{(2M)}=\\sum_{p=1}^M\\lambda_{2p-1}^{2M}\\tilde D_{p,h}^{(2)},$$ 其中 $$\\lambda_{2p-1}^{2M}=\\frac{2(-1)^{p-1}((2M-1)!!)^2}{(2M+2p-2)!!(2M-2p)!!(2p-1)},\\quad 1\\le p\\le M.$$ 离散算子满足交错求和分部恒等式 $$\\langle D_h^{(2M)}U_h,W_h\\rangle_{1/2,h}=-\\langle \\tilde D_h^{(2M)}W_h,U_h\\rangle_{0,h}.$$时间离散方面，作者构造两类 $(2,2M)$ 格式：一类对 Maxwell 方程使用显式交错 leapfrog 时间积分，另一类使用隐式 trapezoidal 时间积分；材料响应的常微分方程使用 trapezoidal 时间积分。对刚性 Kerr-Debye 方程，采用修改指数积分器。以 leapfrog 族为例，离散格式为 $$\\mu_0\\frac{H_{j+1/2}^{n+1/2}-H_{j+1/2}^{n-1/2}}{\\Delta t}=(D_h^{(2M)}E_h^n)_{j+1/2},\\quad \\frac{D_j^{n+1}-D_j^n}{\\Delta t}=(\\tilde D_h^{(2M)}H_h^{n+1/2})_j,$$ $$\\left(\\frac12+\\frac12e^{-\\Delta t/\\varepsilon}+\\frac{\\Delta t}{2\\varepsilon}e^{-\\Delta t/(2\\varepsilon)}\\right)\\chi_j^{n+1}=e^{-\\Delta t/\\varepsilon}\\chi_j^n+\\frac12(1-e^{-\\Delta t/\\varepsilon})(E_j^{n+1})^2+\\frac{\\Delta t}{2\\varepsilon}e^{-\\Delta t/(2\\varepsilon)}(E_j^n)^2,$$ $$\\frac{P_j^{n+1}-P_j^n}{\\Delta t}=\\frac12(J_j^{n+1}+J_j^n),\\quad \\frac{J_j^{n+1}-J_j^n}{\\Delta t}=-\\frac{1}{2\\tau}(J_j^{n+1}+J_j^n)-\\frac{\\omega_0^2}{2}(P_j^{n+1}+P_j^n)+\\frac{\\omega_p^2}{2}(E_j^{n+1}+E_j^n),$$ $$D_j^{n+1}=\\epsilon_0\\big((\\epsilon_\\infty+a\\chi_j^{n+1})E_j^{n+1}+P_j^{n+1}\\big).$$主要理论结果包括：\n渐近保持性质。对上述离散 Kerr-Debye 方程，当 $\\varepsilon\\to0$ 时，$e^{-\\Delta t/\\varepsilon}\\to0$，$1-e^{-\\Delta t/\\varepsilon}\\to1$，$\\frac{\\Delta t}{2\\varepsilon}e^{-\\Delta t/(2\\varepsilon)}\\to0$，于是格式化为 $\\chi_j^{n+1}=(E_j^{n+1})^2$，与极限 Kerr-Lorentz 模型一致。 保正性。定理 3.3 证明：若 $\\chi_j^n\\ge0$，则 $\\chi_j^{n+1}\\ge0$。证明直接来自离散公式右端各系数 $e^{-\\Delta t/\\varepsilon}\u003e0$、$\\frac12(1-e^{-\\Delta t/\\varepsilon})\u003e0$、$\\frac{\\Delta t}{2\\varepsilon}e^{-\\Delta t/(2\\varepsilon)}\u003e0$。 离散能量恒等与稳定性。摘要和引言声称，所构造格式满足连续能量恒等的离散类比；对基于 leapfrog 的格式，在 CFL 条件下能量稳定；对基于 trapezoidal 的格式，无条件能量稳定。 高阶时间精度。对基于 trapezoidal 的格式，通过 Richardson 外推可获得时空均为 $2M$ 阶的 $(2M,2M)$ 方法。对极限 Maxwell-Kerr-Lorentz 模型，时间误差展开只含 $\\Delta t$ 的偶次幂，因此用 $M$ 个逐次细化解即可构造 $2M$ 阶时间精度；对 Maxwell-Kerr-Debye-Lorentz 模型，修改指数积分器引入 $\\Delta t$ 的奇偶次幂，作者发展修改 Richardson 外推，用 $2M-1$ 个逐次细化解获得 $2M$ 阶时间精度。对 Richardson 外推格式，作者还声称在极限 Kerr 非线性情形下建立了关于时间一致的能量界。 数值验证。数值实验展示了理论收敛率，并模拟了孤子传播、自陡峭和奇次谐波产生等非线性波现象。 需要说明：提供的 PDF 文本只到第 10 页，因此梯形格式的显式公式、无条件能量稳定定理的完整陈述、leapfrog 能量恒等的具体形式、Richardson 外推的误差展开定理、均匀时间能量界以及数值实验的具体表格和收敛率细节，从提供内容中无法确认。上述第 3、4、5 点主要依据摘要和引言，而非完整证明文本。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 核心技术障碍有三类：刚性 Kerr-Debye 方程的时间积分、交错高阶空间算子的保结构性质，以及外推格式的构造与能量分析。\n第一，修改指数时间积分器。Kerr-Debye 方程 $$\\partial_t\\chi=-\\frac{1}{\\varepsilon}(\\chi-E^2)$$ 在 $\\varepsilon\\ll\\Delta t$ 时刚性。作者没有直接显式离散，而是从精确解 $$\\chi(t_{n+1})=e^{-\\Delta t/\\varepsilon}\\chi(t_n)+\\int_0^{\\Delta t}\\frac{1}{\\varepsilon}e^{(\\tau-\\Delta t)/\\varepsilon}E(t_n+\\tau)^2d\\tau$$ 出发，用中点求积近似积分，得到 $$\\chi(t_{n+1})=e^{-\\Delta t/\\varepsilon}\\chi(t_n)+\\frac{\\Delta t}{\\varepsilon}e^{-\\Delta t/(2\\varepsilon)}E(t_{n+1/2})^2+O(\\Delta t^3).$$ 接着减去 $\\chi(t_n)$、除以 $\\Delta t$ 并在 $t_{n+1/2}$ 展开，得到修改方程 $$\\left(\\frac12+\\frac12e^{-\\Delta t/\\varepsilon}\\right)\\partial_t\\chi(t_{n+1/2})=\\frac{e^{-\\Delta t/\\varepsilon}-1}{\\Delta t}\\chi(t_{n+1/2})+\\frac{1}{\\varepsilon}e^{-\\Delta t/(2\\varepsilon)}E(t_{n+1/2})^2+O(\\Delta t^2).$$ 再用中心差分并利用关键估计 $$\\left|\\frac{\\Delta t}{\\varepsilon}e^{-\\Delta t/(2\\varepsilon)}-(1-e^{-\\Delta t/\\varepsilon})\\right|=O\\left(\\frac{\\Delta t^3}{\\varepsilon^3}\\right),$$ 当 $\\varepsilon\\ll\\Delta t$ 时该差趋于 $-1$ 且有界。这样得到的离散格式形如 $$\\left(\\frac12+\\frac12e^{-\\Delta t/\\varepsilon}+\\frac{\\Delta t}{2\\varepsilon}e^{-\\Delta t/(2\\varepsilon)}\\right)\\chi^{n+1}=e^{-\\Delta t/\\varepsilon}\\chi^n+\\frac12(1-e^{-\\Delta t/\\varepsilon})(E^{n+1})^2+\\frac{\\Delta t}{2\\varepsilon}e^{-\\Delta t/(2\\varepsilon)}(E^n)^2+O\\left(\\frac{\\Delta t^3}{\\varepsilon^3}\\right).$$ 其中所有系数为正，直接给出保正性；在 $\\varepsilon\\to0$ 时退化为 $\\chi^{n+1}=(E^{n+1})^2$，保证 AP。作者明确指出，该二阶一致性关于 $\\varepsilon$ 不是一致的：固定 $\\varepsilon$ 时余项随 $\\Delta t\\to0$ 消失；但当 $\\varepsilon=O(\\Delta t)$ 时，$\\Delta t^3/\\varepsilon^3=O(1)$，在过渡区可能损失设计的时间精度。\n第二，高阶交错空间离散与 SBP。作者没有简单套用高阶中心差分，而是在 primal 和 dual 网格上构造二阶算子 $D_{p,h}^{(2)}$、$\\tilde D_{p,h}^{(2)}$ 的线性组合，使空间精度达到 $2M$ 阶。系数由显式公式给出。该构造保持交错网格上的伴随关系，即引理 3.4 的求和分部恒等式。这个 SBP 性质是能量分析的关键，因为它允许把 Maxwell 方程中 $\\partial_xE$ 与 $\\partial_xH$ 的耦合项在离散能量中相互抵消，从而得到与连续能量恒等一致的离散关系。\n第三，时间积分框架。Maxwell 方程可用显式 leapfrog 或隐式 trapezoidal。leapfrog 族保持显式、计算简单，但受 CFL 限制；梯形族无条件稳定，但每步需要隐式求解耦合的非线性方程组。材料方程用 trapezoidal 离散，保证二阶时间精度和能量对称性。非线性 $\\chi$ 与 $E$ 的耦合使格式隐式，需在每步解关于 $E^{n+1},\\chi^{n+1},P^{n+1},J^{n+1}$ 的方程。提供文本未给出具体非线性求解算法，只说明第 5 节描述数值实现。\n第四，能量稳定性分析。对 leapfrog 族，作者使用 SBP 恒等式和算子正定性，将离散能量差表示为负定项加时间截断误差，从而在 CFL 条件下得到能量稳定。对梯形族，隐式对称的时间离散使能量恒等式无需 CFL 限制，因而无条件稳定。具体能量表达式和 CFL 条件在提供的第 10 页之后，无法确认。\n第五，Richardson 外推。作者的关键观察是：对极限 Maxwell-Kerr-Lorentz 模型，梯形格式的时间误差展开只含 $\\Delta t$ 的偶次幂，因此可以用经典 Richardson 外推从 $M$ 个逐次细化解消去低阶偶次误差，得到 $2M$ 阶时间精度。对含 Debye 弛豫的模型，修改指数积分器使误差展开同时含奇次和偶次幂，经典外推失效；作者构造修改 Richardson 外推，使用 $2M-1$ 个逐次细化解消去混合阶误差，得到 $(2M,2M)$ 精度。外推还引入额外的能量分析问题，作者在极限 Kerr 非线性下证明外推解具有关于时间一致的能量界。\n第六，实现与验证。数值实验部分用孤子传播、自陡峭和奇次谐波产生测试格式，并验证理论收敛率。具体实现细节、非线性求解器、CFL 常数、误差表和与理论阶的定量比较，从提供内容中无法确认。\n4. 与之前工作的比较 本文与已有工作的比较可以从几个层面展开。\n第一，与经典 Yee-FDTD 及传统 FDTD 扩展相比。经典 Yee 格式在交错网格上离散 Maxwell 方程，空间和时间均为二阶，显式且无全局矩阵求逆，但数值色散误差较大。已有大量工作将 Yee-FDTD 扩展到线性色散、非线性及非线性色散介质，例如文中提到的多项工作。本文保留 Yee 型交错网格和 FDTD 的显式或半隐式结构，但把空间精度提升到任意偶数阶 $2M$，并在时间上通过 Richardson 外推提升到 $2M$ 阶。因此，相对于经典二阶 FDTD，本文的推进是高阶精度和保结构性质的结合，而不是单纯提高格式阶数。\n第二，与高阶 Yee-FDTD 工作相比。文中提到的高阶 Yee-FDTD 工作分别在线性介质和非线性介质中发展。本文的差别在于同时处理非线性 Kerr-Debye 弛豫与线性 Lorentz 色散，并证明 AP、PP 和离散能量稳定性。作者采用已有工作的高阶空间离散和隐式 trapezoidal 时间离散思路来构造无条件稳定族，但把模型从极限 Kerr-Lorentz 推广到含 Debye 弛豫的 Kerr-Debye-Lorentz，并针对刚性弛豫引入修改指数积分器。\n第三，与间断 Galerkin 保结构方法相比。作者明确指出，本文是将在 DG 框架中已有的 AP-PP 和能量稳定方法扩展到 FDTD 设置。特别是已有工作提出了修改指数时间积分器，用于 DG 离散中的 Kerr-Debye 方程，保证 AP、PP 和能量稳定。本文沿用该修改指数积分器，但空间离散从 DG 变为高阶交错 Yee 型有限差分，时间离散也改为 leapfrog 或 trapezoidal，并需要重新建立 SBP 恒等式和离散能量分析。因此，本文的推进在于证明这些性质可以在 FDTD 框架中实现，从而提供计算更高效、实现更灵活、并行更直接的替代方案。代价是 FDTD 的高阶空间算子构造和能量证明与 DG 不同，且显式 leapfrog 族仍受 CFL 条件限制，而隐式梯形族需要求解非线性隐式系统。\n第四，与修改指数积分器的 AP-PP 方法相比。两者都处理 $\\partial_t\\chi=-(\\chi-E^2)/\\varepsilon$，并都追求 $\\varepsilon\\to0$ 时的 AP 性质和 $\\chi$ 的 PP 性质。区别在于：本文的格式空间精度为 $2M$ 阶，时间基础精度为二阶，并进一步通过 Richardson 外推达到 $2M$ 阶；而已有 AP-PP 方法在 DG 框架中讨论 AP-PP 和能量稳定，本文将其迁移到 FDTD。本文还显式指出修改指数积分器的二阶一致性关于 $\\varepsilon$ 不一致，在 $\\Delta t/\\varepsilon=O(1)$ 的过渡区可能降阶，而固定 $\\varepsilon$ 且 $\\Delta t\\ll\\varepsilon$ 时恢复二阶。这一限制在已有工作中可能也存在，但本文在 FDTD 上下文中明确指出。\n第五，与高阶能量稳定方法相比。文中说作者 following 已有工作构造基于二阶 trapezoidal 时间离散的隐式族，同时保持空间高阶交错离散。本文的推进包括：加入 Kerr-Debye 弛豫的非线性 ADE，采用修改指数积分器；为 leapfrog 族建立 CFL 下的能量稳定；为梯形族建立无条件能量稳定；以及为两类模型分别设计 Richardson 和修改 Richardson 外推，获得 $(2M,2M)$ 精度。代价是外推需要多个逐次细化解，计算量和存储量增加；对含 Debye 弛豫的模型，外推需要 $2M-1$ 个解，而极限 Kerr-Lorentz 只需 $M$ 个解。\n第六，与其他数值方法相比。文中还提到有限元、高阶 DG、有限体积和 Godunov 方法。本文没有与这些方法做全面的计算效率比较。作者强调 FDTD 的优点是显式、简单、易于并行，适合材料属性依赖局部场的非线性问题。但提供文本只到第 10 页，未包含数值比较章节，因此无法确认本文在精度、效率、鲁棒性上相对于 DG 或 FEM 的实际优势。作者未显式展开与所有前人工作的定量比较。\n第七，适用范围的推进与局限。本文把高阶梯形 FDTD、修改指数积分器、保正性和能量稳定性统一在一个框架中，并处理了从弛豫 Kerr-Debye 到极限 Kerr-Lorentz 的渐近过渡。局限包括：分析主要在一维周期边界下进行；高阶空间离散要求解足够光滑；修改指数积分器在 $\\Delta t/\\varepsilon=O(1)$ 时可能损失时间精度；显式 leapfrog 族受 CFL 约束；隐式梯形族和外推格式的每步计算更复杂；非周期边界和实际光学器件中的反射、吸收边界条件在提供内容中尚未展开。总的来说，本文的推进方向与已有 AP-PP 和高阶能量稳定工作密切相关，但把保结构高阶方法从 DG 扩展到了 FDTD，并增加了 Richardson 外推的高阶时间精度分析。\n3. 三次薛定谔方程的傅里叶能量层 Fourier Energy Strata for the Cubic Schrödinger Equation\n作者: Yulin Xie\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-10-04\narXiv ID: 2610.05165v1\n摘要翻译: 我们证明在 $\\mathbb T_π\\times\\mathbb T_1$ 上弱非线性三次薛定谔方程的傅里叶层能量的几何层级，并保留其非平凡共振动力学。对于位于一个矩形中的初始傅里叶支集，构造嵌套矩形，使其半宽为初始半宽的 $(2j+1)$ 倍；层是相邻矩形之差。在 $0\\le t\\le Tδ^{-1}$ 上，层 $j$ 中的能量，由其平方 $H^1$ 范数度量，对 $1\\le j\\le N$ 至多为 $C_Nδ^{2j}$；第 $N$ 个矩形外的能量至多为 $C_Nδ^{2N+2}$。这些界在一致 $H^s$ 界（$s\u003e2$）下对每个固定深度 $N$ 成立，常数依赖于 $N$。在散焦情形，Sobolev 界对每个固定 $T$ 成立。我们还获得对于一个坐标中有界的支集以及几何衰减的初始傅里叶尾部的层估计。证明使用一个过滤 Poincare-Dulac 正规形：输入层选择哪些非共振相互作用被移除，而相同的层权重控制方程中留下的相互作用。有限坐标变换和稳定性估计将这一层级转移到精确解。\nComment: 25 pages, no figures\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.05165v1\n1. 研究对象和背景 本文研究弱非线性三次薛定谔方程在共振矩形环面上的长时间傅里叶能量分布. 具体方程是 $$i\\partial_t u^\\delta=-\\Delta u^\\delta+\\lambda\\delta |u^\\delta|^2u^\\delta,\\quad u^\\delta(0)=u_0\\in H^s(\\mathbb T_\\pi\\times\\mathbb T_1),\\ s\u003e2,$$ 其中 $\\lambda\\in\\{-1,+1\\}$ 分别对应聚焦与散焦非线性, $0\u003c\\delta\\le1$ 是弱非线性强度, $\\mathbb T_L=\\mathbb R/(L\\mathbb Z)$, 主环面取 $L=\\pi$, 另一个方向周期为 1. 归一化 Haar 测度下, 傅里叶基为 $e_{m,n}=e^{2imx+2\\pi i n y}$, 线性频率为 $\\omega_{m,n}=4m^2+4\\pi^2n^2$, 并记 $\\langle k\\rangle=(1+\\omega_k)^{1/2}$. 三次薛定谔方程是光学中强度相关折射的慢变包络模型, 也是水波理论中的典型模型; 其在环面上的周期版本用来研究非线性相互作用如何在傅里叶模态之间重新分配能量. 由于 $\\delta$ 虽小, 在时间 $T\\delta^{-1}$ 上其累积效应可达 $O(1)$, 共振能量交换不能当作小修正丢弃, 因此该问题同时涉及长时间稳定性和共振动力学. 本文的目标是证明一个几何式的傅里叶层能量等级: 若初始傅里叶支撑位于矩形 $B_0$ 内, 则把半宽分别放大为原来的 $2j+1$ 倍, 得到嵌套矩形 $B_j$, 层 $\\Gamma_j=B_j\\setminus B_{j-1}$ 是相邻矩形之差. 对层能量和外层尾部定义 $$E_j^\\delta(t)=\\sum_{k\\in\\Gamma_j}(1+\\omega_k)|\\widehat{u^\\delta_k}(t)|^2,\\quad E_{\u003eN}^\\delta(t)=\\sum_{k\\notin B_N}(1+\\omega_k)|\\widehat{u^\\delta_k}(t)|^2.$$ 本文要在 $0\\le t\\le T\\delta^{-1}$ 上证明第 $j$ 层能量至多 $C_N\\delta^{2j}$ ($1\\le j\\le N$), 而 $B_N$ 之外的总尾部能量至多 $C_N\\delta^{2N+2}$. 这一结论比仅仅控制某个固定盒子外的总泄漏更强, 因为它对每一个有限深度都给出逐层增益 $\\delta^2$. 已有文献中, Staffilani 和 Wilson 研究同一类无势散焦三次薛定谔方程在无理矩形环面上的小数据长时间行为, 用部分正规形和三次共振的坐标结构控制初始傅里叶盒的泄漏, 给出 Sobolev 比较估计, 其误差关于初始振幅是三次的. 其他非共振能量层结果, 如 Gauckler-Lubich 的傅里叶作用量近守恒, Gauckler 的加权能量层, Gauckler-Hairer-Lubich-Weiss 的波方程亚稳能量层, Faou-Gauckler-Lubich 的平面波轨道稳定性, 通常依赖非共振条件或排除某些质量参数, 并且不直接处理本文中保留的非平凡共振. 对于共振 NLS, Colliander 等人在标准二维环面上构造高 Sobolev 范数的有限大增长, Carles 和 Faou 用五模态数据描述高模产生, 无理环面上的准共振 Sobolev 增长也提醒不能把所有时间尺度上的局域化简单外推. 本文试图补的空白正是: 在保留非平凡共振动力学的前提下, 把外层泄漏控制细化为任意固定有限深度的几何层估计, 并同时给出总外层尾部的界. 方法上采用过滤 Poincaré-Dulac 正规形, 由输入傅里叶层选择每阶要消去的非共振相互作用, 而同一套层权重又用来控制留在方程中的相互作用. 此外, 作者还处理仅在一个坐标方向有界的带状支撑和几何衰减的初始傅里叶尾部, 并指出周期 $\\pi$ 可替换为任意固定 $L\u003e0$ 且 $L^2\\notin\\mathbb Q$.\n2. 主要定理或主要结果 主要结果是定理 2.3. 先设 Assumption 2.1 (精确解包络): 存在 $\\bar\\delta\\in(0,1]$ 和 $R_s\u003c\\infty$, 使得方程 (2.1) 的解在 $[0,T\\delta^{-1}]$ 上存在, 且 $$\\sup_{0\u003c\\delta\\le\\bar\\delta}\\sup_{0\\le t\\le T\\delta^{-1}}\\|u^\\delta(t)\\|_{H^s}\\le R_s.$$ 对散焦情形 $\\lambda=+1$, 若 $s\u003e2$, $u_0\\in H^s$, 则引理 2.2 证明该包络对每个固定 $T\u003e0$ 成立, 且可取 $\\bar\\delta=1$, 常数可依赖 $T,s,u_0$. 这是周期 $H^s$ 版本的 Brézis-Gallouët 论证. 聚焦情形则保留 Assumption 2.1; 局部 $H^s$ 理论对足够小的 $T$ (依赖 $\\|u_0\\|_{H^s}$) 提供该假设. 然后固定 $N\\ge1$. 对矩形选择 $$B_j=\\{(m,n): |m|\\le(2j+1)M_0,\\ |n|\\le(2j+1)N_0\\},\\quad \\Gamma_j=B_j\\setminus B_{j-1},\\ B_{-1}=\\varnothing.$$ 定理断言: 存在 $C_N\u003c\\infty$ 和 $\\delta_N^*\u003e0$ (不依赖 $\\delta$), 令 $\\delta_N=\\min\\{\\bar\\delta,\\delta_N^*\\}$, 则对所有 $0\\le t\\le T\\delta^{-1}$ 和 $0\u003c\\delta\\le\\delta_N$ 有 (i) 若 $\\operatorname{supp}\\widehat{u_0}\\subset B_0$, 则 $$\\sup_t\\|P_{\\Gamma_j}u^\\delta(t)\\|_{H^1}\\le C_N\\delta^j\\quad(1\\le j\\le N),\\qquad \\sup_t\\|P_{B_N^c}u^\\delta(t)\\|_{H^1}\\le C_N\\delta^{N+1}.$$ 等价地, 层能量满足 $$\\sup_t E_j^\\delta(t)\\le C_N^2\\delta^{2j},\\quad \\sup_t E_{\u003eN}^\\delta(t)\\le C_N^2\\delta^{2N+2}.$$ (ii) 对两种带状选择 $$B_j=\\mathbb Z\\times\\{n: |n|\\le(2j+1)N_0\\}\\quad\\text{或}\\quad B_j=\\{m: |m|\\le(2j+1)M_0\\}\\times\\mathbb Z,$$ 初始支撑在 $B_0$ 内时, 同样的估计成立. (iii) 对矩形选择, 若 $E_*\u003e0$, $0\u003c\\eta\u003c1$, 且初始层能量满足 $$\\|P_{\\Gamma_j}u_0\\|_{H^1}^2\\le E_*\\eta^j\\quad(j\\ge0),$$ 则存在 $C_{N,E_*}$ (可依赖 $E_*$ 但不依赖 $0\u003c\\eta\u003c1$) 使得 $$\\sup_t\\|P_{\\Gamma_j}u^\\delta(t)\\|_{H^1}\\le C_{N,E_*}(E_*^{1/2}\\eta^{j/2}+\\delta^j),\\quad 1\\le j\\le N,$$ $$\\sup_t\\|P_{B_N^c}u^\\delta(t)\\|_{H^1}\\le C_{N,E_*}\\left(\\frac{E_*^{1/2}\\eta^{(N+1)/2}}{\\sqrt{1-\\eta}}+\\delta^{N+1}\\right).$$ 相应地, $\\sup_t E_j^\\delta(t)\\le 2C_{N,E_*}^2(E_*\\eta^j+\\delta^{2j})$. 常数对两个符号 $\\lambda$ 都可选取. 对散焦方程, 引理 2.2 自动提供包络, 因此不需要额外的解包络假设; 此时 $\\bar\\delta=1$, 但正规形阈值 $0\u003c\\delta\\le\\delta_N$ 仍然保留. 定理还允许把周期 $\\pi$ 替换为任意固定 $L\u003e0$ 且 $L^2\\notin\\mathbb Q$, 常数依赖 $L$. 需要强调, 常数不必关于 $N$ 或纵横比一致; 与 $\\eta$ 的一致性来自共同的 $H^s$ 包络, 因子 $(1-\\eta)^{-1/2}$ 来自对初始外层能量的求和. 此外, 文中提到定理 3.3 建立坐标变换在合适区域上的可逆性, 但提供摘录未包含其完整陈述; 从现有内容可以确认这用于把正规形后的动力学和精确解连接起来.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 核心技术障碍是: 虽然 $\\delta$ 小, 但时间尺度 $T\\delta^{-1}$ 使非线性累积效应达到 $O(1)$, 共振能量交换不能丢弃; 同时每向外一层必须额外获得 $\\delta^2$ 增益, 仅靠整体局域化或总能量控制不够. 作者的创新是过滤 Poincaré-Dulac 正规形: 与完整正规形不同, 它只消去由输入傅里叶层选中的非共振相互作用, 而保留其余非共振项和所有共振项; 消去项由一个可控坐标变换处理, 保留项则由同一套层权重估计控制. 证明框架如下.\\n\\n(1) 相互作用变量与分裂. 令 $a_k(t)=e^{i\\omega_k t}\\widehat{u^\\delta_k}(t)$, 则 $$\\frac{da_k}{dt}=-i\\lambda\\delta\\sum_{k_1-k_2+k_3=k}e^{-i\\Omega t}a_{k_1}a_{k_2}a_{k_3},\\quad \\Omega=\\omega_{k_1}-\\omega_{k_2}+\\omega_{k_3}-\\omega_k.$$ 简写 $da/dt=\\delta F(t,a)$. 按 $\\Omega=0$ 和 $\\Omega\\ne0$ 分裂 $F=RF+NF$, 其中 $R$ 选共振项, $N$ 选非共振项.\\n\\n(2) 层投影与过滤规则. 取终端深度 $K=N+1$, 对选定几何定义 $P_j=P_{\\Gamma_j}$ ($0\\le jK}z_{k_1,j_1}z_{k_2,j_2}z_{k_3,j_3}.$$ 于是 $F=RF+Q_{K,1}NF+E_{0,K}$, 并记 $C_0=RF+E_{0,K}$. 注意 $C_0$ 不全是共振项. 对要消去的部分解同调方程 $\\partial_tG_1=Q_{K,1}NF$, 通过积分振荡因子得到 $$(G_1)_k(t,z)=\\lambda\\sum_{k_1-k_2+k_3=k,\\ \\Omega\\ne0}\\frac{e^{-i\\Omega t}}{\\Omega}\\sum_{j\\in J_{K,1}}z_{k_1,j_1}z_{k_2,j_2}z_{k_3,j_3}.$$ 这里关键是要对选中项证明 $1/|\\Omega|$ 的一致下界, 并在 $h^s$ 上估计三线性卷积; 文中引理 3.1 和 3.2 给出这些估计, 证明在附录 B. 然后作坐标变换 $a=b+\\delta G_1(t,b)$.\\n\\n(3) 精确变换后的方程. 对 $F(b+\\delta g)$ 作关于 $\\delta$ 的泰勒展开, 由于非线性是三次的, 展开在四阶截断. 链式法则导致 $(I+\\delta D_bG_1)db/dt=\\delta F(t,b+\\delta G_1)-\\delta\\partial_tG_1$. 利用 $F-\\partial_tG_1=C_0$ 并精确求逆, 得到 $$\\frac{db_k}{dt}=-i\\lambda\\delta\\sum_{\\Omega=0}b_{k_1}b_{k_2}b_{k_3}-i\\lambda\\delta\\sum_{\\Omega\\ne0}e^{-i\\Omega t}\\sum_{1+j_1+j_2+j_3\u003eK}b_{k_1,j_1}b_{k_2,j_2}b_{k_3,j_3}+\\delta^2(H_1)_k(t,b)+\\delta^3(E_{1,\\delta})_k(t,b).$$ 第一行保留原始三次共振和; 第二行保留输入层指标满足 $j_1+j_2+j_3\\ge K$ 的非共振项, 这些项将在第 4 节用层权重控制; 第三行包含显式计算的五次修正 $H_1=V_1-D_bG_1[C_0]$ 和精确高阶余项.\\n\\n(4) 递推. 设 $v^{[0]}=a$, 经过 $q-1$ 次变换后写成 $\\partial_tv^{[q-1]}=\\delta X^{[q-1]}_\\delta(t,v^{[q-1]})$. 对 $\\delta$ 作泰勒展开, 得到系数 $H_{q-1}$ 和精确余项 $T_{q-1}$. $H_{q-1}$ 是 $2q+1$ 次多项式, 有 $q+1$ 个 $z$ 因子和 $q$ 个 $\\bar z$ 因子. 一般多线性和在替换一个 $z$ 槽为同型单项式时内部频率抵消, 故可写成 $$M_k(t,z)=\\sum_{k_1-k_2+\\cdots-k_{2q}+k_{2q+1}=k}c(k_1,\\ldots,k_{2q+1};k)e^{-i\\Omega t}z_{k_1}z_{k_2}\\cdots z_{k_{2q}}z_{k_{2q+1}},$$ $$\\Omega=\\omega_{k_1}-\\omega_{k_2}+\\cdots-\\omega_{k_{2q}}+\\omega_{k_{2q+1}}-\\omega_k,$$ 其中乘子 $c$ 包含早先的层限制和相位分母, 且关于傅里叶指标一致有界. 选择消去块 $$(Q_{K,q}M)(t;h_1,\\ldots,h_d)=\\sum_{0\\le j_i\\le K,\\ q+j_1+\\cdots+j_d\\le K}M(t;P_{j_1}h_1,\\ldots,P_{j_d}h_d),\\quad d=2q+1.$$ 由 $\\partial_tG_q=Q_{K,q}NH_{q-1}$ 定义 $G_q=SQ_{K,q}NH_{q-1}$, 其中 $S$ 把 $ce^{-i\\Omega t}$ 送到 $ce^{-i\\Omega t}/(-i\\Omega)$ ($\\Omega\\ne0$), 在共振部分取零. 作坐标变换 $v^{[q-1]}=z+\\delta^qG_q(t,z)$, 并令 $A_q=I+\\delta^qDG_q$, 得到精确新方程 $$X^{[q]}_\\delta=A_q^{-1}\\left[X^{[q-1]}_\\delta(t,z+\\delta^qG_q)-\\delta^{q-1}\\partial_tG_q\\right].$$ 再作泰勒展开得到 $$X^{[q]}_\\delta=\\sum_{r=0}^{q-1}\\delta^r(Z_r+E_{r,K})+\\delta^qH_q+\\delta^{q+1}T_q.$$ 在最后一步 $q=K$ 停止, 并令 $R_K=U_K$. 文中给出余项估计 $$\\|U_q\\|_{h^s}+\\|T_q\\|_{h^s}\\le C,\\quad \\|D_zU_q[h]\\|_{h^1}+\\|D_zT_q[h]\\|_{h^1}\\le C\\|h\\|_{h^1}\\quad(q","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-10-06_16-38-27/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年10月06日 16:38:27\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 4\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 19\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 27\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-一阶时谐-maxwell-方程的拟-trefftz-空间\"\u003e1. 一阶时谐 Maxwell 方程的拟 Trefftz 空间\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eQuasi-Trefftz spaces for the first-order time-harmonic Maxwell\u0026rsquo;s equations\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e作者\u003c/strong\u003e: Ilaria Fontana, Lise-Marie Imbert-Gérard\u003c/p\u003e","title":"2026年10月06日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年10月05日 19:10:19\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 10\n不相关论文数量: 15\n重点关注论文（完整分析） 1. 面向高频 Helmholtz 方程的物理驱动多尺度方法 A Physics-Driven Multiscale Method for High-Frequency Helmholtz Equations\n作者: Huangxin Chen, Jianhui Chen, Shubin Fu, Zhiyu Tan\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-02\narXiv ID: 2610.03144v1\n摘要翻译: 我们开发并分析了一种物理驱动的多尺度方法，用于高频 Helmholtz 方程的模型降阶。该方法在采用速度消元的混合有限元格式中，由局部波响应构造降阶近似空间。这些响应通过在过采样区域上求解带有边界激励的 Helmholtz 问题来计算，从而给出包含底层介质的振荡行为和传播特性的快照。随后，局部广义特征值问题从这一物理信息空间中选取模态，以形成具有稀疏单元间耦合的降阶全局系统。为建立这种降阶的稳定性和收敛性，我们将局部谱逼近与全局伴随问题的逼近联系起来。从细网格格式的 inf\u0026ndash;sup 估计出发，这一论证得到一个由细网格分辨率、过采样和最先被舍弃的局部特征值控制的多尺度 inf\u0026ndash;sup 条件。所得稳定性在离散能量范数下建立了多尺度逼近的适定性和拟最优性。结合局部谱估计，它给出一个先验误差界，明确量化了粗网格和细网格尺寸、过采样深度、谱截断和波数的作用。该分析为局部空间降阶与全局逼近的稳定性和精度之间提供了定量联系。二维和三维数值实验表明，对于均匀和强非均匀介质，包括完美匹配层截断，该方法在显著降低全局维数和求解成本的同时实现了准确的波场逼近。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.03144v1\n1. 研究对象和背景 本文研究高频 Helmholtz 方程的时间谐波波传播与散射模型。设 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^2$ 为有界凸多边形区域，边界 Lipschitz 连续，波数 $k\u003e0$，源项 $f$，边界阻抗数据 $g$，方程为 $$-\\Delta u-k^2u=f\\quad\\text{in }\\Omega,\\qquad \\partial_n u-iku=g\\quad\\text{on }\\partial\\Omega.$$ 这里 $u$ 是复值波场，$i=\\sqrt{-1}$，$n$ 是外法向。该模型在声学、地震成像和光学器件中重要。当高频与材料异质性同时出现时，网格必须同时分辨波长和介质细尺度，低阶有限元还有污染效应，需要比波长分辨率更细的离散；所得线性系统大、不定且难解。成像与反演中，固定介质和频率下要为多个源计算波场，因此构造可复用的缩减空间特别有吸引力。 引入通量 $q=-\\nabla u$，二阶问题等价于混合形式 $$q+\\nabla u=0,\\quad \\nabla\\cdot q-k^2u=f,\\quad -q\\cdot n-iku=g.$$ 其弱形式在 $V=H(\\mathrm{div},\\Omega;\\mathbb{C})$ 与 $W=L^2(\\Omega;\\mathbb{C})$ 中寻求 $(q,u)$。离散采用最低阶 Raviart\u0026ndash;Thomas 元 $RT_0$ 与分片常数 $P_0$。关键是对通量质量项使用梯形求积 $$(w,v)_{Q,t}=\\frac12\\sum_{e\\in\\partial t}w_e v_e,$$ 使内部边通量系数满足 $q_e=\\llbracket u_h\\rrbracket_e$，边界边满足 $q_e=\\alpha\\llbracket u_h\\rrbracket_e-\\beta g_e^{\\mathrm{av}}$，其中 $$\\alpha=\\frac{2kh}{kh+2i},\\qquad \\beta=\\frac{2hi}{kh+2i}.$$ 于是通量可局部消去，得到仅含标量波场的离散问题 $$a_h(u_h,p_h)=(f,p_h)_\\Omega+\\frac{2i}{kh+2i}\\langle g,p_h\\rangle_{\\partial\\Omega},$$ 其中 $a_h$ 包含内部边和边界边跳跃项以及负的 $k^2$ 质量项，因而具有不定性。 已有 Helmholtz 离散方法包括广义有限元和单位分解有限元、内罚间断 Galerkin 与连续内罚方法、可杂交间断 Galerkin、Trefftz 与平面波间断 Galerkin。对于一般异质介质，预设平面波不够，需要由局部系数驱动的多尺度空间。已有异质 Helmholtz 多尺度方法包括子网格 Green 函数、多尺度渐近、异质多尺度法和广义多尺度有限元法；后者通过局部快照与局部广义特征值问题构造减少全局未知量。算子自适应多尺度方法如局部正交分解、多分辨与超局部变体、谱广义有限元以及近似分量模态综合也提供了稳定耦合或局部最优空间。混合多尺度方法已用于异质椭圆问题，速度消除与求积消去通量也已用于流动问题。然而，在快照\u0026ndash;谱型 Helmholtz 缩减中，局部特征值问题控制被丢弃的局部模态，而缩减 Helmholtz 问题通过不定 sesquilinear 形式耦合保留模态；将局部谱截断与装配空间的 inf\u0026ndash;sup 条件定量联系起来仍是一个空白，过采样又使局部谱逼近先在扩大区域构造再限制到目标粗单元。本文正是要补这块空白：构造并分析速度消除混合广义多尺度有限元法，用边界驱动的局部 Helmholtz 响应生成快照，用局部广义特征值问题选模态，并证明稳定性和先验误差估计，显式量化粗网格 $H$、细网格 $h$、过采样深度 $m$、谱截断和波数 $k$ 的作用。\n2. 主要定理或主要结果 主要结果可分如下层次。首先，第 2 节建立速度消除混合有限元格式。对 $RT_0$\u0026ndash;$P_0$ 离散使用梯形求积 (2.5) 后，内部边通量系数为 $q_e=\\llbracket u_h\\rrbracket_e$，边界边通量系数为 $q_e=\\alpha\\llbracket u_h\\rrbracket_e-\\beta g_e^{\\mathrm{av}}$，其中 $\\alpha=2kh/(kh+2i)$，$\\beta=2hi/(kh+2i)$。通量因此可以局部消去并局部恢复，标量波场满足 (2.10)。文中 Remark 2.1 指出求积诱导的范数 $\\|\\cdot\\|_{Q,\\Omega}$ 与 $L^2$ 范数在 $V_h$ 上等价。 其次，第 3 节构造多尺度空间。对每个粗单元 $T_i$ 及其 $m$ 层过采样区域 $T_i^m$，在每条细边界边 $e_i^j$ 上施加 Dirichlet 值 1，其余边界施加阻抗条件，求解局部混合 Helmholtz 问题 (3.1)。Lemma 3.1 证明：对任意边常量 $\\zeta$，相应的离散局部问题有唯一解。由所有边界激发得到快照空间 $W_{i,m}^{\\mathrm{snap}}$，将其限制到 $T_i$ 并在 $\\Omega\\setminus T_i$ 上零延拓，得到 $W_i^{\\mathrm{snap}}$ 和全局快照空间 $W^{\\mathrm{snap}}$。Remark 3.2 给出多项式边界迹变体 $W_{i,m}^{\\mathrm{snap},p}$，一次激发整个边或面，多个右端共享同一局部矩阵，从而显著减少三维中的局部因子分解次数。Remark 3.3 说明对全局 PML 截断问题，可先在过采样区域外加辅助局部 PML 层求解，再丢弃辅助层并限制到目标粗单元。 第三，局部谱缩减由广义特征值问题 $$a_i(u,v)=\\lambda s_i(u,v),\\qquad \\forall v\\in W_{i,m}^{\\mathrm{snap}},$$ 给出。这里 $a_i$ 包含过采样区域内细边跳跃项、非全局边界上的阻抗项以及全局边界上的 $|\\alpha|$ 加权项；$s_i$ 包含因子 $(m+1)/H^2$、边界阻抗项和 $k^2$ 质量项。特征值按非降序排列 $\\lambda_1^{(i)}\\le\\cdots\\le\\lambda_{r_i}^{(i)}$，特征函数选为 $s_i$-正交归一。保留前 $l_i$ 个模态得到 $W_i^{\\mathrm{ms}}$ 和全局 $W^{\\mathrm{ms}}$。若 $l_i=r_i$，局部谱尾消失，约定 $\\lambda_{r_i+1}^{(i)}=+\\infty$。 第四，源项通过局部特解校正处理。对每个粗单元，在 $T_i^m$ 上解局部源问题 (3.4)，取其限制到 $T_i$ 的部分组装成全局源校正 $u_f$。多尺度未知量 $u_{\\mathrm{ms}}\\in W^{\\mathrm{ms}}$ 由 $$a_h(u_{\\mathrm{ms}},p_h)=(f,p_h)_\\Omega-a_h(u_f,p_h)+\\frac{2i}{kh+2i}\\langle g,p_h\\rangle_{\\partial\\Omega},\\qquad \\forall p_h\\in W^{\\mathrm{ms}},$$ 确定。总近似为 $u_f+u_{\\mathrm{ms}}$。该构造不将源信息放入缩减空间，因此离线构造的快照、模态和缩减算子可跨源复用。 在稳定性方面，Lemma 4.1 给出连续 Helmholtz 问题的波数显式估计：当 $k\\ge k_0\u003e0$，$f\\in L^2$，$g=0$ 时，解满足 $u\\in H^2$ 且 $$k\\|u\\|_{0,\\Omega}+\\|u\\|_{1,\\Omega}+k^{1/2}\\|u\\|_{0,\\partial\\Omega}+k^{-1}\\|q\\|_{1,\\Omega}\\le C_{\\mathrm{stab}}\\|f\\|_{0,\\Omega},$$ 其中 $C_{\\mathrm{stab}}$ 依赖 $\\Omega$ 和 $k_0$ 但不依赖 $k$。文中还引入 $k$ 加权能量范数 $\\|u\\|_{E,k}^2=\\|\\nabla u\\|_{0,\\Omega}^2+k\\|u\\|_{0,\\partial\\Omega}^2+k^2\\|u\\|_{0,\\Omega}^2$ 和离散范数 $\\|u_h\\|_D^2=\\sum_{e\\in E_h^0}|\\llbracket u_h\\rrbracket_e|^2+|\\alpha|\\sum_{e\\in E_h^B}|\\llbracket u_h\\rrbracket_e|^2+k^2\\|u_h\\|_{0,\\Omega}^2$，并引入辅助形式 $b_h(v,w)=a_h(v,w)+2k^2(v,w)_\\Omega$。Lemma 4.2 给出多尺度格式的一致性：$a_h(u_h-(u_f+u_{\\mathrm{ms}}),v_{\\mathrm{ms}})=0$ 对所有 $v_{\\mathrm{ms}}\\in W^{\\mathrm{ms}}$ 成立。 摘要进一步声称：从细网格格式的 inf\u0026ndash;sup 估计出发，通过将局部谱逼近与全局伴随问题逼近相联系，可得到由细网格分辨率、过采样深度和第一个被忽略局部特征值控制的多尺度 inf\u0026ndash;sup 条件；由此建立多尺度近似的良定性与离散能量范数下的准最优性；结合局部谱估计得到先验误差界，显式量化 $H,h,m$、谱截断和 $k$ 的作用。然而，从提供的 PDF 截断内容中，只能确认到 Lemma 4.2 的一致性部分；准最优性和先验误差的具体公式、定理编号、常数以及网格分辨率条件并未出现，因此无法在此确认。数值实验方面，摘要和引言称在二维和三维中，对均匀介质、Marmousi 和 Overthrust 强异质介质以及全局 PML 截断，得到准确波场近似并大幅降低全局维数和求解成本；多项式边界迹降低三维快照构造成本。具体误差表和成本数据未在提供内容中给出，无法确认。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术障碍不是单个有限元离散的构造，而是如何把局部快照\u0026ndash;谱缩减与不定 Helmholtz 全局问题的稳定性定量连接起来，并在过采样、混合速度消除和源校正同时存在时仍得到可计算的 inf\u0026ndash;sup 条件。作者的处理可分为以下几个相互衔接的技术点。 第一，速度消除混合离散是整个缩减的代数基础。对 $RT_0$\u0026ndash;$P_0$ 混合元，通量自由度位于边上；若直接使用 $L^2$ 通量质量矩阵，通量不能逐边解耦。作者采用梯形求积 (2.5)，使通量质量项在每个边上只贡献 $q_e v_e/2$。于是内部边满足 $q_e=\\llbracket u_h\\rrbracket_e$，边界边满足 $q_e=\\alpha\\llbracket u_h\\rrbracket_e-\\beta g_e^{\\mathrm{av}}$。这一步把混合鞍点问题化为仅含标量 $u_h$ 的 sesquilinear 形式 $a_h$。其关键作用是：局部多尺度基函数可以在过采样区域计算后直接限制到目标粗单元，不需要像 conforming GMsFEM 那样用单位分解扩大支撑；缩减系统只耦合相邻粗单元，显著降低全局维数和矩阵连通性。同时，通量可在标量解求得后局部恢复。 第二，物理驱动快照空间的设计。作者不预设平面波或解析函数，而是在过采样区域 $T_i^m$ 上求解由边界数据驱动的局部 Helmholtz 混合问题 (3.1)：在细边界边 $e_i^j$ 上给定 Dirichlet 值 1，在其余边界上施加阻抗条件 $\\partial_n\\psi-ik\\psi=0$。这样得到的快照 $\\psi_i^j$ 是局部介质中真实的波动响应，包含振荡、传播和异质相互作用。Lemma 3.1 的唯一性保证快照定义合理。过采样在这里承担双重角色：一方面让边界激发产生的波进入目标粗单元前经过更广邻域，另一方面削弱人工边界条件对限制到 $T_i$ 的函数的影响。多项式边界迹变体把逐条细边激发改为整个边或面上的张量积多项式迹激发，多个右端共享同一局部矩阵，尤其降低三维中大量局部分解的成本。PML 截断的处理则用辅助局部 PML 层提供吸收闭合，再把快照限制回目标粗单元，使全局 PML 保持参与细网格和缩减算子。 第三，局部谱问题的设计。缩减不是简单取快照的主成分，而是解广义特征值问题 $a_i(u,v)=\\lambda s_i(u,v)$。这里 $a_i$ 是局部速度消除形式在过采样区域上的版本，包含内部边跳跃、非全局边界上的阻抗项和全局边界上的 $|\\alpha|$ 加权项；$s_i$ 包含 $(m+1)/H^2$ 因子、边界项和 $k^2$ 质量项。这个配对的目的在于让第一个被省略的特征值 $\\lambda_{l_i+1}^{(i)}$ 能够同时控制局部谱截断误差和全局 inf\u0026ndash;sup 稳定性。特征函数选为 $s_i$-正交归一，保留前 $l_i$ 个模态。与一般 GMsFEM 只在逼近误差中使用特征值不同，本文分析让局部谱进入稳定因子，这是技术上的关键区别。 第四，从细网格 inf\u0026ndash;sup 到多尺度 inf\u0026ndash;sup 的伴随逼近框架。Helmholtz 算子不定，因此不能靠局部 coercivity 直接推出全局稳定。作者先建立速度消除细网格格式的 inf\u0026ndash;sup 估计，其输入包括连续 Helmholtz 的波数显式稳定性与正则性 Lemma 4.1，以及离散一致性估计。然后，为了把稳定性转移到多尺度空间，作者考察全局伴随问题，并在每个过采样区域上把细网格伴随解分解为两部分：一个源驱动分量，和一个由局部快照空间表示的局部齐次分量。对前者进行直接估计，对后者使用局部广义特征值问题给出的谱逼近。这个分解使伴随逼近误差可以逐区域控制，并最终给出多尺度 inf\u0026ndash;sup 条件，其中显式出现细网格分辨率、过采样深度和第一个被忽略局部特征值。换言之，局部谱截断不是事后误差项，而是稳定性的组成部分。 第五，源校正、Galerkin 正交与准最优性。由于缩减空间不包含源信息，作者引入局部源问题 (3.4) 得到 $u_f$，并在多尺度方程 (3.5) 中同时作用到右端和重构。Lemma 4.2 的一致性表明 $u_h-(u_f+u_{\\mathrm{ms}})$ 与多尺度空间 Galerkin 正交。结合多尺度 inf\u0026ndash;sup 条件，可用 Galerkin 正交性得到总近似在离散能量范数下的准最优性：误差由修正多尺度空间中的最佳逼近乘以稳定因子控制。再把细网格解分解为源驱动和局部齐次部分，最佳逼近估计化为过采样区域上的局部谱截断。最后与局部谱估计结合，得到显式含 $H,h,m$、被忽略特征值和 $k$ 的先验误差界。提供文本尚未展示这些定理的完整证明和具体公式，但该框架的独特点已经明确：它把物理边界驱动快照、局部广义特征值选择和全局不定问题的 inf\u0026ndash;sup 稳定性放在同一条分析链上。 在实现层面，作者还使用了跳跃算子、边通量系数 $\\alpha,\\beta$、局部 $s_i$-正交归一特征基、递归过采样区域、张量积多项式迹以及 PML 拉伸等技术。离线阶段可并行构造快照和局部谱问题，在线阶段对新源只需局部特解和同一缩减算子求解，这使方法适合固定介质和频率下的多源波模拟。\n4. 与之前工作的比较 与已有工作相比，本文的推进可以从构造、变分框架、稳定性分析、源处理和适用范围几个维度来看。 首先，在离散与缩减空间构造上，广义有限元和单位分解有限元通过问题自适应富集函数增强逼近，内罚间断 Galerkin 和连续内罚方法通过修改耦合改善稳定性与污染，可杂交间断 Galerkin 具有波数显式分析，Trefftz 和平面波间断 Galerkin 把局部波方程直接放入基函数。但平面波型方法对一般异质介质需要预先知道波传播方向；本文改为在过采样区域解边界驱动的局部 Helmholtz 问题，快照自动包含介质相关的振荡和传播。与子网格 Green 函数、多尺度渐近和异质多尺度法相比，本文不要求显式尺度分离或有效均质化描述，而是直接在细网格上采样局部响应。与广义多尺度有限元法的快照\u0026ndash;谱思想一致，但本文采用混合速度消除形式，而非通常的 conforming 多尺度空间。特别地，许多 conforming GMsFEM 用单位分解把局部函数粘合到全局，导致支撑重叠并增加全局耦合；本文的局部函数在过采样区域计算，但限制到目标粗单元后支撑不重叠，缩减矩阵只耦合相邻粗单元。这直接减少了全局维数和因子分解成本，是相对 [24,25] 一类构造的显著结构差异。代价是每个粗单元需要求解多个过采样局部问题，三维中边界细边数量大；作者用多项式边界迹共享局部矩阵来缓解。 其次，在稳定性分析上，局部正交分解及其多分辨、超局部变体通过局部化细尺度修正给出稳定准最优误差估计；谱广义有限元构造局部最优空间并给出波数显式收敛估计；异质 Helmholtz 的指数收敛局部逼近也已被研究；近似分量模态综合分离局部 Helmholtz 问题和全局界面问题，用局部特征模态缩减界面问题。本文与这些工作的共同点是都把局部谱信息用于降维，但分析目标不同：本文要建立快照\u0026ndash;谱型混合 GMsFEM 的全局 inf\u0026ndash;sup 条件，并让局部第一个被忽略特征值进入该条件。与 LOD 类方法主要控制局部化误差不同，本文的过采样区域和局部广义特征值问题直接决定缩减格式的稳定性阈值。与谱 GFEM 的局部最优空间相比，本文的快照来自物理边界激发而非纯数值最优构造，分析中还需要处理 Dirichlet\u0026ndash;阻抗边界和速度消除带来的跳跃形式。文中没有在提供内容中给出与 LOD 或谱 GFEM 的误差常数逐项比较，因此这些差异的定量优劣无法确认。 第三，在混合多尺度传统中，混合多尺度方法已用于异质椭圆问题，可杂交混合形式也已用于异质 Helmholtz 的分析，带求积消去通量的方法用于混合有限元，速度消除 GMsFEM 用于单相流。本文将速度消除的混合 GMsFEM 从流动问题推广到高频 Helmholtz 模型缩减。与 [11,33] 的流动背景不同，Helmholtz 算子不定、高频且具有污染效应，因此不能沿用正定椭圆问题的 coercivity 分析，必须转向 inf\u0026ndash;sup 和伴随逼近。与 [9] 的 hybrid-mixed Helmholtz 分析相比，本文的重点不是混合离散本身的波数显式误差，而是局部快照\u0026ndash;谱缩减与全局稳定性的联系。与 [54] 的求积消去通量技术相比，本文进一步把消去后的标量形式用于多尺度缩减，并分析局部谱截断的影响。 第四，在源处理和多源复用方面，本文的离线\u0026ndash;在线结构很突出：固定介质和频率时，快照、局部模态和缩减算子构造一次；每个新源只需要局部特解和同一缩减系统求解。这适合成像和反演中的多源波场计算。近似分量模态综合也分离局部与全局问题，但本文的全局耦合是标量速度消除形式，局部支撑不重叠，且源校正明确进入右端和重构。作者未在提供内容中与其他多源复用方法的在线成本做定量比较，因此只能从结构上判断。 第五，在适用范围与代价方面，数值实验覆盖二维和三维、均匀介质、Marmousi 和 Overthrust 强异质介质以及全局 PML 截断，显示全局维数和求解成本显著降低。分析中假设 $k\\ge k_0$、区域为凸多边形、网格为形状规则正方形或矩形、细网格离散为 $RT_0$\u0026ndash;$P_0$，连续稳定性引理还取 $g=0$。这说明理论目前主要覆盖常波数、规则网格和特定混合元；对更一般网格、变波数、非凸区域或更一般边界数据，提供内容无法确认。过采样深度 $m$ 和局部谱维度 $l_i$ 的选择由理论显式依赖第一个被忽略特征值，但具体阈值、$H/h$ 与 $k$ 的分辨率条件以及误差阶常数没有在截断文本中给出。作者也未显式展开与 HDG、IPDG、LOD 等方法在计算代价和误差常数上的逐项比较。总体而言，本文的主要推进是：把物理边界驱动的快照\u0026ndash;谱缩减放到速度消除混合 Helmholtz 框架中，并首次在这一类构造中把局部谱截断与全局 inf\u0026ndash;sup 稳定性定量挂钩，从而为选择局部模态数和过采样区域提供可分析的依据；其代价是需要局部过采样求解，尤其三维成本较高，且当前理论范围受规则网格和特定混合元限制。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 贝叶斯算子学习：高斯先验下后验的存在性与点估计的收敛性 Bayesian Operator Learning: Posterior Existence and Convergence of Point Estimates for Gaussian Priors\n作者: Niklas Reinhardt, Jakob Zech\n类别: math.ST, math.NA\n发布日期: 2026-10-02\narXiv ID: 2610.03666v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.03666v1\n摘要翻译 中文标题: 贝叶斯算子学习：高斯先验下后验的存在性与点估计的收敛性\n摘要翻译: 我们建立了一个用于学习无穷维空间之间非线性算子的贝叶斯框架。给定可分离 Hilbert 空间之间的映射 $g_0:\\mathcal{X}\\to\\mathcal{Y}$，我们研究从 $n\\in\\mathbb{N}$ 个带噪输入-输出对 $(\\boldsymbol{X},\\boldsymbol{Z})=(X_i,Z_i)_{i=1}^n$ 中恢复 $g_0$ 的问题，其中 $Z_i= g_0 (X_i ) + E_i$。这里 $X_i\\in\\mathcal{X}$ 是随机抽取的“设计”点，位于 $\\mathcal X$ 的一个紧子集中，并假设 $E_i$ 是来自以 $\\mathcal{Y}$ 为指标的高斯白噪声过程的 i.i.d. 样本。对任意支集在连续算子空间上的“算子值”先验 $\\mathbb{P}_G$，我们证明后验 $\\mathbb P_{G|(\\boldsymbol{X},\\boldsymbol{Z})}$ 作为正则条件分布存在，并给出其 Radon-Nikodym 导数的刻画。对于高斯先验，我们建立后验均值向真值收敛的代数速率（关于样本量 $n$）；这对应于一个岭正则化核估计量。此外，我们证明当先验的光滑性与真值的光滑性匹配时，后验均值在超矩形上是最小最大最优的（至多相差对数因子）。为说明我们分析的适用性，我们推导了 Darcy 流解算子的显式学习速率。\n2. 物理信息神经网络对热-波流固耦合系统的误差估计 Error Estimates in Physics-Informed Neural Networks to Heat-Wave Fluid-Structure Interactive System\n作者: Pelin G. Geredeli, Mohammad Mahabubur Rahman, Deepanshu Verma\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-02\narXiv ID: 2610.03575v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.03575v1\n摘要翻译 中文标题: 物理信息神经网络对热-波流固耦合系统的误差估计\n摘要翻译: 我们研究一类耦合偏微分方程系统的物理信息神经网络（PINN）逼近，该系统建模流体与弹性动力学之间的相互作用。这里考虑的标准热-波模型通过固定边界界面上的传输条件耦合一个抛物型方程和一个双曲型方程，并作为实际应用中出现的 Stokes-弹性系统的原型。这种耦合使得误差分析比单个偏微分方程的误差分析更为精细。我们用相关的 PINN 残差界定精确解与 PINN 解之间的误差，并且进一步证明泛化误差由训练误差、求积点数量和网络规模控制。{据我们所知}，这些是首个针对耦合流固相互作用 PDE 系统的 PINN 逼近的误差估计。我们还针对一个给定测试问题展示了数值实验。\n3. 用轻量级神经算子学习 Willmore 流 Learning the Willmore flow with a lightweight neural operator\n作者: Elie Bretin, Roland Denis, Tokuhiro Eto, Simon Masnou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-02\narXiv ID: 2610.03534v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.03534v1\n摘要翻译 中文标题: 用轻量级神经算子学习 Willmore 流\n摘要翻译: 我们将 Bretin、Denis、Masnou 和 Terii (2022) 针对二维和三维平均曲率运动提出的相场神经算子方法推广到 Willmore 流。由此得到的轻量级、单时间步架构受 Allen-Cahn 半群的 Bence-Merriman-Osher 型展开启发，并使用由混合极小化运动格式生成的轨迹进行训练。在关于非定向界面的实验中，无约束卷积核产生各向异性动力学，而径向核能增强演化过程。我们还通过训练好的二维核的径向 Fourier 剖面构造三维核，这为非定向三维模型提供了有效的初始化。最后，我们展示了从非定向点云进行曲线和曲面重建的应用，包括使用迁移模型进行重建而无需额外的三维训练。\n4. 粘弹性与反应-扩散模型耦合的全混合有限元方法 Fully mixed finite element methods for the coupling of viscoelasticity and reaction-diffusion models\n作者: Alonso J. Bustos, Jeonghun J. Lee, Ricardo Ruiz-Baier\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-02\narXiv ID: 2610.03317v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.03317v1\n摘要翻译 中文标题: 粘弹性与反应-扩散模型耦合的全混合有限元方法\n摘要翻译: 我们提出并分析一种全混合有限元方法，用于粘弹性组织中钙信号的双向耦合力学化学模型。力学响应遵循 Kelvin\u0026ndash;Voigt 定律，以弹性应力和粘性应力、速度以及自旋张量作为未知量，并弱施加总应力的对称性。钙和失活三磷酸肌醇的反应-扩散系统也以混合形式表述，引入扩散通量作为附加未知量。耦合是双向的：钙产生主动应力，而局部膨胀反馈到钙动力学中。我们通过将耦合系统约化为一个积分-微分问题，并随后恢复混合变量，来建立全局存在性和唯一性。半离散格式针对一般协调有限元空间进行构造，并证明在单一 inf-sup 条件下是适定的。一个与散度可交换并保持弱对称配对的插值算子可给出最优先验误差估计。我们将分析具体化到三类弱对称有限元，推导出显式收敛率，并针对其中一类给出位移的超收敛局部后处理。二维和三维数值实验证实了预测的收敛率，并通过粘弹性基准问题和机械驱动的钙波列说明了该方法。\n5. 虚拟区域方法中连续与不连续 Lagrange 乘子的选择 On the Choice of Continuous and Discontinuous Lagrange Multipliers in Fictitious-Domain Methods\n作者: Najwa Alshehri, Shumoua F. Alrzqi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-02\narXiv ID: 2610.03267v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.03267v1\n摘要翻译 中文标题: 虚拟区域方法中连续与不连续 Lagrange 乘子的选择\n摘要翻译: 本文考察采用分布式 Lagrange 乘子的虚拟区域方法（FD-DLM），该方法处理椭圆界面问题时使用分离网格，而不要求界面与背景网格匹配。文中比较了在使用连续和不连续乘子空间时的两种稳定的低阶 FD-DLM 离散化。研究区分了逐单元满足弱耦合约束与两个离散原始场之间差异大小这两件事。数值实验表明，连续格式通常产生更小的局部误差和最大不匹配值，而不连续格式在网格加密时不匹配量下降得更规则，并且原始误差更小。\n6. 从连续 Carleman 估计到全离散 Carleman 估计：抛物型格式的转移原理 From Continuous to Fully Discrete Carleman Estimates: A Transfer Principle for Parabolic Schemes\n作者: Qi Lü, Yu Wang\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-10-02\narXiv ID: 2610.02983v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.02983v1\n摘要翻译 中文标题: 从连续 Carleman 估计到全离散 Carleman 估计：抛物型格式的转移原理\n摘要翻译: 离散抛物型 Carleman 估计的直接方法通常依赖于针对离散算子定制的加权恒等式。我们证明了一个抽象转移定理：在连续 Carleman 不等式以及适当的加权逼近与相容性性质的条件下，该定理为具有协调空间重构的全离散后向 Euler 格式导出此类估计。对于一类与时间无关的正自伴算子，关键构造为每个离散状态指定一个平移后的连续辅助问题，其离散解恰好是给定的状态。加权时空误差估计在整个离散载荷空间上一致，随后转移该不等式，同时保持原格式的残差项和观测项。这将偏微分方程特有的 Carleman 分析与每种离散化所需的数值验证分离开来。我们验证了这些假设：对于热方程，在二维和三维中采用局部分级网格上的一致质量 $P_1$ 有限元离散，以及在任意固定维数中采用标准笛卡尔有限差分离散。对于热方程，所转移的估计对 Carleman 参数有效，直至尺度 $\\min\\{h^{-4/5},(δt)^{-2/5}\\}$。对于有界实值时空位势，所得估计给出松弛的可观测性和近似零控制，其代价一致有界，并且在空间与时间独立加密下终端误差指数小；重构控制的弱聚点是连续零控制。\n7. 用于椭圆与移动界面问题的高效且精确的提升-解耦广义可迁移神经网络 Efficient and Accurate Lift-and-Decoupling Generalized Transferable Neural Networks for Elliptic and Moving Interface Problems\n作者: Tao Cheng, Junqing Jia, Lili Ju, Xiaoping Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-02\narXiv ID: 2610.02891v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.02891v1\n摘要翻译 中文标题: 用于椭圆与移动界面问题的高效且精确的提升-解耦广义可迁移神经网络\n摘要翻译: 本文提出一种高效且精确的方法，称为“提升-解耦广义可迁移神经网络”（LD-GTransNet），用于数值求解椭圆界面问题和移动界面问题。我们的方法利用多层 GTransNet 方法，并结合一种新颖的提升-解耦策略，其中隐层神经元参数被预设，物理坐标和所添加的辅助变量由独立子网络分别处理。这样的设计能够统一全局逼近分段光滑解，而无需显式区域分解，同时保持网络表达能力，并避免传统提升方法固有的冗余。所得公式可化为线性最小二乘问题，从而无需非线性训练，并确保高计算效率和高精度。针对二维和三维基准界面问题的大量数值实验表明，与现有的基于神经网络的数值方法和传统数值方法相比，我们提出的 LD-GTransNet 始终具有更优的性能，特别是对于具有高对比度系数和复杂界面几何的问题。\n8. 基于预计算数值格林函数的快速纳米光子逆设计 Fast Nanophotonic Inverse Design using Precomputed Numerical Green Functions\n作者: Thi Phuong Thao Nguyen, James Wang, Constantine Sideris\n类别: physics.optics, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-10-02\narXiv ID: 2610.02821v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.02821v1\n摘要翻译 中文标题: 基于预计算数值格林函数的快速纳米光子逆设计\n摘要翻译: 逆设计在纳米光子学中具有变革性，为 realization 高性能、非直观器件提供了一种自动化手段。然而，现有逆设计方法的主要瓶颈在于其依赖耗时且计算代价高昂的全波电磁仿真。在本工作中，我们首次将预计算数值格林函数（PNGF）方法推广到纳米光子逆设计，与全波解相比，在精度无损失的情况下将正问题的评估加速多个数量级。经过单个、完全可并行化的预计算步骤后，目标函数及其梯度均可通过简单计算进行评估，其代价随设计区域的尺寸线性缩放。低秩矩阵更新技术进一步降低了目标函数评估的代价，使每次迭代的计算时间达到亚毫秒级。使用基于梯度的水平集优化和瓦片翻转直接二进制搜索的设计示例，通常在设计时间上实现超过三个数量级的加速，从而形成超快光子逆设计平台，可在数秒内从零开始设计新器件。\n9. 不可压缩流动的保性质数据压缩 Property-Preserving Data Compression for Incompressible Flows\n作者: Andrey Pluzhnik, Ramansh Sharma, Martin Burtscher, Varun Shankar\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-02\narXiv ID: 2610.02776v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.02776v1\n摘要翻译 中文标题: 不可压缩流动的保性质数据压缩\n摘要翻译: 我们发展了一种针对不可压缩（即无散度）速度场的有损压缩方法，该方法保持零散度，并且在周期区域上保持周期性。我们使用保性质的矩阵值核拟合节点速度，并使用标准有损压缩器压缩其系数。每个解压后的系数向量都定义一个满足相同约束的场，且与压缩容差无关。我们提出了若干拟合方案，这些方案分别围绕插值矩阵的低秩表示或稀疏性设计。更具体地，我们展示了全局 Matérn 插值、两级 Nyström 近似、Nyström\u0026ndash;Wendland 残差插值、多级 Wendland 插值以及一个保性质（冗余）核框架的结果。我们推导了节点误差界，将压缩器容差与附加速度误差联系起来。在方腔流、Taylor\u0026ndash;Green 流和组分输运流上使用四个压缩器进行的实验，在各自的系数误差假设下验证了这些界，并在匹配速度精度下比较了存储量。当低秩方法足够精确地分辨速度场时，它们给出紧致表示；当不能时，残差插值、多级插值和框架插值可扩展可达到的精度。我们还测量了湍流速度统计量的变化。所得表示支持精度\u0026ndash;压缩权衡，同时在解析上保持不可压缩性和周期性。\n10. 输运型最优控制的残差最小化 Residual Minimisation for Transport-Based Optimal Control\n作者: Tristan Pryer, Nikolaos Rekatsinas\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-01\narXiv ID: 2610.02499v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.02499v1\n摘要翻译 中文标题: 输运型最优控制的残差最小化\n摘要翻译: 我们考虑一个由二维或三维空间中的定常线性输运方程支配的最优控制问题，其动机来自放射治疗计划中的光子输运。控制是入流边界源，观测算子既可以追踪角通量，也可以追踪其角积分，后者用作简化的剂量代理。相关的最优性系统由具有角度依赖性的输运\u0026ndash;伴随对组成，并通过边界最优性条件耦合。\n我们构造一个残差最小二乘泛函，其极小元与 Karush\u0026ndash;Kuhn\u0026ndash;Tucker 系统的解一致，并证明该泛函控制状态和伴随中的 $L^2$ 误差以及控制中的通量加权 $L^2$ 误差。这给出了一个无需借助离散化的连续层面后验估计。一个额外的不加权最优性残差可在目标泛函范数意义下验证控制。该估计对每个容许逼近都成立，并考虑了控制惩罚项与输运迹中不同的边界测度，且不要求 $|ω\\cdot n|$ 有正下界。随后，我们使用神经网络对状态、伴随和控制进行参数化，并使用适当的求积在神经网络空间上进行最小化。蒙特卡洛形式将每个残差积分替换为加权样本均值，其求积误差进入后验估计。\n我们在关于逼近、求积和优化的显式假设下证明收敛性，并推导出总误差在逼近、求积和优化误差意义下的界。二维和三维数值算例展示了残差\u0026ndash;误差关系，以及残差框架对于场追踪控制问题（包括正则制造解）的灵活性。\n不相关论文（基本信息） 1. 用于求解高维稳态 Fokker-Planck 方程的能量变分深度学习 Energetic Variational Deep Learning for Solving High-Dimensional Stationary Fokker-Planck Equations\n作者: Fanze Kong, Zhouyuan Qin, Shuangquan Xie\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-02\narXiv ID: 2610.03325v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.03325v1\n摘要: This paper develops a deep learning framework for solving high-dimensional stationary Fokker-Planck equations by combining Monte Carlo weak supervision, energy-variational physics constraints, and quasi-Newton refinement. Monte Carlo statistics anchor the scale of the stationary density, while a free-energy variational loss enforces equilibrium physics; the formulation also applies to stationary systems with pointwise orthogonal rotational components and, using a family of test functions, to systems with more general non-gradient drift. Numerical results demonstrate accurate and robust density approximations across a range of high-dimensional stationary Fokker-Planck problems, including rough-potential and noisy-data settings.\n2. 一种几何精确剪切变形梁的时空有限元列式 A space-time finite element formulation for geometrically exact shear-deformable beams\n作者: Ivo Steinbrecher, Alexander Humer\n类别: cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-10-02\narXiv ID: 2610.03285v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.03285v1\n摘要: We present a space-time finite element formulation for the transient analysis of geometrically exact shear-deformable beams. The formulation treats space and time within a unified finite element framework and employs a mixed approach in which translational and angular velocities are introduced as independent fields. The rotation field is parametrized using nodal rotation (pseudo-)vectors and a suitable objective interpolation of the triad field is employed. The resulting formulation supports generally curved beam structures, including geometric kinks and rigid joints. Furthermore, time-dependent material domains can be represented directly through the geometry of the space-time surface, enabling the treatment of non-material boundaries without modifying the underlying beam formulation. Numerical examples demonstrate convergence to solutions obtained with classical time-stepping schemes, objectivity of the formulation, and the influence of the space-time stabilization. Finally, the sliding spaghetti problem illustrates the applicability of the proposed approach to axially moving continua.\n3. 四次情形下 Newton 法与 Halley 法的同时全局收敛失败 Simultaneous Global Convergence Failure of Newton\u0026rsquo;s and Halley\u0026rsquo;s Methods in Degree Four\n作者: Alessio Basti, Tommaso Cremaschi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-02\narXiv ID: 2610.03246v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.03246v1\n摘要: We construct an explicit quartic polynomial for which Newton\u0026rsquo;s and Halley\u0026rsquo;s root-finding methods both fail to converge to a root on nonempty open sets of initial values. The example can be found through a reproducible computational search within a one-parameter family of quartics designed to exhibit a prescribed Newton two-cycle. We then prove analytically that Newton\u0026rsquo;s method has a superattracting two-cycle and that Halley\u0026rsquo;s method has a distinct attracting extraneous two-cycle, using a two-interval contraction argument. This fills a degree-four gap in the simultaneous Newton\u0026ndash;Halley failure problem. The computational approach also identifies another quartic with numerical evidence of simultaneous failure of Newton\u0026rsquo;s, Halley\u0026rsquo;s, and Schröder\u0026rsquo;s methods.\n4. 用于加速 Langevin 动力学收敛到平衡态的可逆 Stratonovich 扰动 Reversible Stratonovich perturbations for accelerating convergence to equilibrium of Langevin dynamics\n作者: Guillaume Louis, Grigorios A. Pavliotis, Gilles Vilmart\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-10-02\narXiv ID: 2610.03191v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.03191v1\n摘要: In this paper, we study the problem of sampling from a probability distribution using Langevin-type dynamics. We consider overdamped Langevin dynamics perturbed by adding a Stratonovich perturbation that preserves reversibility. We prove an optimal scaling for the Stratonovich perturbation applied to Gaussian target distributions and derive an algorithm to construct such perturbation. Our theoretical results are supplemented by numerical experiments in which we compare our proposed method with nonreversible samplers and overdamped Langevin dynamics. Our numerical experiments demonstrate the efficiency of the approach beyond the quadratic case.\n5. 成对比较矩阵的递归多级分解：算法与不一致性诊断 Recursive Multilevel Decomposition of Pairwise Comparison Matrices: Algorithms and Inconsistency Diagnostics\n作者: Mert Çarboğa, Waldemar W. Koczkodaj, Yusuf Yaylı\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-02\narXiv ID: 2610.03184v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.03184v1\n摘要: Positive reciprocal pairwise comparison matrices are studied in entrywise logarithmic coordinates. Starting from the established consistent-residual split, we show that, for any fixed ordering, the residual matrix admits a unique top-down decomposition into mutually Frobenius-orthogonal layers. The construction applies to every positive reciprocal PC matrix of size $n \\geq 3$, without additional spectral, sparsity, or genericity assumptions. An explicit active-matrix recursion and an equivalent cumulative parameter-extraction procedure have computational complexities $O(n^3)$ and $O(n^2)$, respectively. The squared Frobenius norms of the layers define an ordering-conditioned residual-energy profile that provides structural information complementary to the geometric-mean priorities and the Koczkodaj inconsistency indicator (Kii). Entrywise exponentiation yields an exact Hadamard-product reconstruction of the original reciprocal matrix. Numerical experiments confirm agreement between the two computational procedures, exact reconstruction, mutual orthogonality, and numerical accuracy to machine precision.\n6. 使用三次 Hermite 插值的解析函数根隔离 Root isolation for analytic functions using cubic hermite interpolation\n作者: Christophe Raffalli\n类别: cs.SC, math.NA\n发布日期: 2026-10-02\narXiv ID: 2610.02934v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.02934v1\n摘要: We present a root isolation algorithm for an analytic function. The method combines interval subdivision with a heuristic test based on local cubic Hermite interpolation. Whenever the function is sufficiently close to its cubic Hermite interpolant at a few sample points, we assume that the critical points of the cubic interpolant give a valid root isolation for the original function. Such an algorithm cannot, in general, provide a rigorous certification of the computed intervals. Nevertheless, extensive numerical experiments show that it is highly efficient and almost always produces the correct results. We hope that a probabilistic or exact algorithm can be derived from this work.\n7. 近期基于共识的优化变体的定量平均场极限 Quantitative Mean-Field Limits for Recent Variants of Consensus-Based Optimization Optimization\n作者: Konstantin Haug\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-10-02\narXiv ID: 2610.02901v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.02901v1\n摘要: Consensus-based optimization (CBO) is a robust and flexible zero-order, multi-particle class of methods devised to provide provable solutions to high-dimensional global optimization problems, including truly nonconvex and/or nonsmooth cases. The algorithmic framework is grounded in a principled trade-off between stochastic exploration of the search space and deterministic contraction toward a consensus point. This thesis is concerned with three recently established variants of CBO. The $δ$-CBO method is similar to the classic CBO method, with the difference that the diffusion function is constant. The consensus freezing (CF) scheme can be understood as a piecewise CBO method. The overall time horizon is divided into intervals in which the consensus point is fixed. The consensus hopping (CH) scheme can be understood as a deterministic iterative scheme that jumps at each iteration to a Gaussian distribution centered at the consensus point of the previous distribution. The central contribution of this thesis is the rigorous derivation of propagation of chaos results for all three schemes. For each variant, we establish that the empirical measure of the interacting particle system converges, as the number of particles $N$ approaches infinity, to the solution of the corresponding mean-field equation. Two regimes are treated: first, on a high-probability set on which the empirical measures are uniformly bounded; second, in the unrestricted setting, where moment bounds and a careful treatment of the inter-particle dependence yield convergence without imposing conditioning on favorable events. The propagation of chaos estimates are derived by the coupling method. Together, these results provide quantitative propagation of chaos estimates for all three CBO variants and establish that the particle systems faithfully approximate the idealized mean-field dynamics in the large-particle limit.\n8. 利用矩方程从含噪 Allen-Cahn 影像中推断本构力 Inferring constitutive forces from noisy Allen-Cahn movies with moment equations\n作者: Soobeen Jung, Hyunju Kim\n类别: math.NA, math-ph, nlin.PS, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-10-02\narXiv ID: 2610.02672v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.02672v1\n摘要: Inferring an Allen-Cahn constitutive force from images requires more than an accurate optimizer: nonlinear observation noise alters the mean of force features, shared noise couples instruments to the response, and a temporal balance borrowed from another solver can remain biased even on clean data. We develop observation-aware, noise-adjusted moment equations that address these effects before inversion. The surface-tension-calibrated constitutive transformer (SCCT) couples the resulting moments to a positive Bernstein inverse and can adapt its prior and precision from images and moments. A conditional stability bound separates moment residuals from prior error. Synthetic tests show that correcting the estimating equation matters more than increasing regularizer flexibility; the benefit of learned adaptation is smaller and depends on the training comparison. Forces inferred from planar movies predict unseen planar and three-dimensional evolutions. A ring-cage breakup shows why diffuse-interface accuracy distinguishes forces even when their topological predictions agree, while external surface tension sets the energy scale separately.\n9. 一种用于磁共振弹性成像中黏弹性组织特性重建的混合 CNN-伴随优化框架 A hybrid CNN-adjoint optimization framework for reconstruction of viscoelastic tissue properties in magnetic resonance elastography\n作者: Anwesa Dey, Johann Rudi, Elena Cherkaev\n类别: math.OC, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-10-02\narXiv ID: 2610.02634v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.02634v1\n摘要: Magnetic resonance elastography (MRE) is a noninvasive imaging modality for quantifying the viscoelastic properties of soft tissues from shear wave propagation. Recovering the complex-valued shear modulus from measured displacement fields leads to a severely ill-posed inverse problem, particularly in the presence of noise and limited boundary excitations. We investigate adjoint-based optimization, convolutional neural network (CNN) reconstruction, and a hybrid framework combining both approaches. The forward model is based on a scalar form of the modified stationary Stokes system with a complex shear modulus. We establish well-posedness of the forward problem, existence of minimizers, and first-order optimality conditions for the adjoint-based formulation, and implement a nonlinear conjugate-gradient method with Armijo line search. While PDE-constrained optimization can accurately refine coefficient reconstructions, its performance depends strongly on initialization. We therefore construct a two-dimensional CNN that maps complex-valued displacement measurements to spatially varying complex shear modulus fields and provides rapid, informative initial reconstructions. The proposed hybrid method uses the CNN reconstruction to initialize the adjoint-based optimization, yielding faster convergence and improved accuracy. The CNN is trained on coefficient fields containing individual perturbations and tested on both individual and previously unseen combined configurations. Numerical experiments demonstrate that the CNN generalizes to these more challenging configurations, while subsequent PDE-constrained optimization further refines the reconstructed coefficient. These results demonstrate the potential of combining data-driven initialization with physics-based optimization for efficient and accurate MRE reconstruction.\n10. 基于核岭回归学习动力系统的闭合 Learning Closure of Dynamical Systems with Kernel Ridge Regression\n作者: Evan Habbershaw, John Harlim, Senwei Liang\n类别: math.NA, cs.LG, math.DS\n发布日期: 2026-10-01\narXiv ID: 2610.02564v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.02564v1\n摘要: We develop a closure modeling framework for identifying missing components of dynamical systems using Kernel Ridge Regression (KRR). The framework addresses two classes of closure problems: difference-equation closures arising in ODE and PDE settings, and algebraic closures arising from moment closure in kinetic equations. For the first class, we derive an error bound in an ODE setting that quantifies contributions from time integration, approximation of unresolved scales, and interpolation required to couple unresolved-scale effects to the resolved solver. Numerical experiments on the Lorenz-63 system and the Kuramoto-Sivashinsky equation demonstrate accurate long-horizon predictions and substantial improvements over an LSTM-based closure model. For the second class, we consider moment closure for a one-dimensional kinetic equation by modeling discrepancies between kinetic and macroscopic fluxes as a function of the resolved macroscopic variables. We compare global KRR models based on PCA coordinates with spatially local models. While the global model performs well for unimodal initial conditions, its accuracy deteriorates for bimodal initial conditions. Spatially local models with appropriate modeling inputs improve robustness and achieve higher predictive accuracy.\n11. 有限群表示的同型块对角化的一致可计算性 Uniform Computability of Isotypic Block Diagonalization for Finite-Group Representations\n作者: Konrad Burnik\n类别: math.LO, math.NA, math.RT\n发布日期: 2026-10-01\narXiv ID: 2610.02547v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.02547v1\n摘要: We study the universal isotypic block-diagonalization problem in the Type-2 theory of effectivity (TTE). We obtain a uniform computability result for the universal block diagonalizer for commutants of given finite group representations. As an application, when the given representation is orthogonal, we compute ordinary $QR$ factorizations blockwise in the isotypic basis. After transforming back to the original coordinates this yields a factorization $A=QX$, where $Q$ is orthogonal and $X$ is generally not upper triangular. Moreover, given a Wedderburn-adapted orthogonal basis, the transformed-back factors can be computed within the commutant.\n12. 由 H\u0026lt;1/2 的分数布朗运动驱动的 SPDEs 的随机指数积分器的强误差分析 Strong error analysis of a stochastic exponential integrator for SPDEs driven by fractional Brownian motion with H\u0026lt;1/2\n作者: Antoine Tambue, Aurelien Junior Noupelah, Louis Aime Fono\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-10-01\narXiv ID: 2610.02412v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.02412v1\n摘要: Fractional Brownian motion provides a useful framework for modeling random phenomena with anti-persistent temporal correlations that arise in applications such as anomalous diffusion, hydrology, finance, and geophysical processes. In this paper, we study a class of semilinear stochastic partial differential equations driven by additive fractional Brownian motion with Hurst parameter $H\\in(0,\\frac12)$. We establish the well-posedness and space-time regularity of the mild solution and investigate the strong convergence of a stochastic exponential integrator for the temporal discretization. The analysis allows the linear operator to be non-self-adjoint and combines analytic semigroup estimates with the canonical Hilbert-space structure associated with fractional Brownian motion and Malliavin calculus to handle the low temporal regularity of the noise. We derive an $H$-dependent strong temporal convergence rate, which reaches $H+\\frac12$ under maximal spatial regularity. Numerical experiments for a stochastic advection\u0026ndash;diffusion\u0026ndash;reaction problem with heterogeneous Darcy flow confirm the theoretical temporal convergence rates. We also estimate the mean of the solution with different Hurst parameters $H\\in(0,\\frac12)$ using the Monte Carlo method.\n13. FlashSinkhorn 2：块稀疏熵正则最优传输 FlashSinkhorn 2: Block-Sparse Entropic Optimal Transport\n作者: Felix X. -F. Ye, Yu Chin Fabian Lim, Naigang Wang, Davis Wertheimer\n类别: cs.AI, astro-ph.IM, math.NA\n发布日期: 2026-10-01\narXiv ID: 2610.02395v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.02395v1\n摘要: Streaming GPU solvers for entropic optimal transport (EOT), such as FlashSinkhorn, avoid storing the dense kernel but still evaluate all $n\\times m$ point pairs in every Sinkhorn iteration. We present \\textbf{FlashSinkhorn~2} (FS2), a solver for squared-Euclidean cost on low-dimensional point clouds that solves large discrete EOT problems to a prescribed marginal residual on a single GPU by coupling two stages. A coarse stage solves on cell centroids, lifts the potentials to every point and, when a sampled marginal check rejects the lift, continues on the centroids, replacing most point-level updates. A block-sparse fine stage then removes the centroid error that coarse updates cannot. Its Morton-ordered blocks support screening and fused tensor-core execution, and a threshold set by the block masses bounds each omitted tile\u0026rsquo;s contribution to every row and column. On synthetic benchmarks, FS2 reaches the target residual on all 32 problems and GeomLoss multiscale on 10. On one A100, FS2 solves discrete EOT between two $1.34\\times10^8$-particle measures from a cosmological $N$-body simulation, at an entropic blur equal to the mean interparticle distance, to an all-particle marginal residual below 0.01 in under 2.5 hours. To our knowledge, it is the largest discrete EOT problem solved to this accuracy within hours. For reproducibility, we release an open-source implementation at https://github.com/ot-triton-lab/flash-sinkhorn\n14. 用于贝叶斯反问题中快速后验采样的流匹配 Flow Matching for Fast Posterior Sampling in Bayesian Inverse Problems\n作者: Jan Blechschmidt, Oliver G. Ernst, Moritz Poguntke, Björn Sprungk\n类别: math.NA, cs.LG, stat.CO\n发布日期: 2026-10-01\narXiv ID: 2610.02377v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.02377v1\n摘要: Sampling from the posterior is the central task of computational Bayesian inverse problems. The standard workhorse in Bayesian inference - Markov chain Monte Carlo (MCMC) - is sequential, yields correlated samples, and must be rerun for each observation. Conditional flow matching offers an amortized alternative: a transport map, trained once on joint samples of parameter and data, that yields independent approximate posterior samples for any observation at negligible online cost, without new likelihood evaluations. We give a careful, MCMC-literate assessment of flow matching for PDE-based inverse problems with function-valued parameters. Exploiting the flow\u0026rsquo;s tractable density, we derive computable accuracy estimates of the underlying approximate posterior in total-variation distance and Kullback-Leibler divergence and, moreover, propose a hybrid sampler that is asymptotically exact by Metropolization. We validate the accuracy estimates and demonstrate the amortization in several numerical examples, including electrical impedance tomography and a likelihood-free Lotka-Volterra model.\n15. 一个结合纠缠基张量网络的多项式复杂度 PDE 求解器 A Polynomial-Scaling PDE Solver with Entanglement-Basis Tensor Networks\n作者: Abhijatmedhi Chotrattanapituk, Michael J. Landry, Chu-Liang Fu, Mingda Li\n类别: math.NA, cond-mat.other, hep-lat, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-10-01\narXiv ID: 2610.02316v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.02316v1\n摘要: We develop a finite element method (FEM) for partial differential equation (PDE) solver based on the entanglement-basis representation introduced in our companion work. By lifting non-linear finite-element equations into an augmented coefficient space, the governing PDE together with boundary, initial, and inter-element constraints can be expressed through a unified quadratic residual minimization. Although this augmented space grows exponentially with the number of elements, its tensor-product structure allows it to be represented efficiently using tensor networks. Using the matrix product state (MPS) as a concrete example, we show that density matrix renormalization group (DMRG) sweeps enable element-by-element optimization without explicitly constructing the full augmented space. For bounded bond dimension, the resulting computational cost scales polynomially with the number of finite elements. We extend the framework to time-dependent problems through implicit temporal discretization and demonstrate convergence under both mesh and polynomial refinement using diffusion equations.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-10-05_19-10-19/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年10月05日 19:10:19\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 10\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 15\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-面向高频-helmholtz-方程的物理驱动多尺度方法\"\u003e1. 面向高频 Helmholtz 方程的物理驱动多尺度方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eA Physics-Driven Multiscale Method for High-Frequency Helmholtz Equations\u003c/p\u003e","title":"2026年10月05日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年10月02日 16:11:16\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 7\n不相关论文数量: 12\n重点关注论文（完整分析） 1. 用于具有不完美界面的弹性动力学问题的非拟合混合高阶方法 An Unfitted Hybrid High-Order Method for the Elastodynamics Problem with Imperfect Interface\n作者: Peiqi Huang, Erik Burman\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-10-01\narXiv ID: 2610.01504v1\n摘要翻译: 我们设计并分析了一种非拟合混合高阶 (HHO) 方法，用于求解由两部分组成的介质中的弹性波方程，这两部分被一个线性滑移型不完美界面分隔；在该界面两侧，面力连续，且位移跳跃通过柔度张量 $\\bK=α\\bI+(β-α)\\bn\\otimes\\bn$ 与面力成正比。网格不拟合于界面：在切割单元中离散未知量被加倍，小切割通过单元聚并过程处理，且没有未知量附着在界面上。该方法的两个特有要素是：每个切割子单元中的局部对称应变重构，它通过正则化界面刚度 $\\bS_h=(h_Tδ^{-1}\\bI+\\bK)^{-1}$ 纳入界面条件，其思想源自 Hansbo 和 Hansbo {\\em{A finite element method for the simulation of strong and weak discontinuities in solid mechanics.}} {Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.}, 193, 2004；以及由同一矩阵构造的界面稳定化。对于空间半离散问题，我们证明离散双线性形式是强制的且连续的，并推导出阶为 $h^{k+1}$ 的能量误差估计和阶为 $h^{k+2}$ 的 $L^2$ 误差估计，其中的常数不依赖于柔度参数，也不依赖于界面切割网格的方式。该格式或者与 Newmark 格式（它精确守恒一个离散能量）结合，或者与最高四阶的单对角隐式 Runge\u0026ndash;Kutta 格式结合。二维数值实验验证了 $k\\in\\{1,2,3\\}$ 时预测的收敛阶、在十六个数量级范围内关于柔度的鲁棒性，并展示了弹性波穿过未分辨滑移界面的传播。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2610.01504v1\n1. 研究对象和背景 本文研究由两种材料组成、被非完美界面 Γ 分隔的弹性波传播问题. 设 $\\Omega \\subset \\mathbb{R}^d$ ( $d\\in\\{2,3\\}$ ) 为连通凸多边形/多面体区域, 内部界面 $\\Gamma$ 为 $C^2$ 曲线/曲面, 将 $\\Omega$ 分为两个子区域 $\\Omega_1$ 和 $\\Omega_2$ , 即 $\\Omega = \\Omega_1 \\cup \\Omega_2$ , $\\Gamma = \\partial\\Omega_1 \\cap \\partial\\Omega_2$ . 记位移场为 $u: J\\times\\Omega \\to \\mathbb{R}^d$ , 其中 $J=(0,T)$ 为时间区间. 弹性动力学方程由本构关系与运动方程给出: $$ \\sigma(u) = C\\varepsilon(u) = 2\\mu\\varepsilon(u) + \\lambda(\\nabla\\cdot u)I \\quad \\text{in } J\\times(\\Omega_1\\cup\\Omega_2), $$ $$ \\varrho \\partial_{tt}u - \\nabla\\cdot\\sigma(u) = f \\quad \\text{in } J\\times(\\Omega_1\\cup\\Omega_2), $$ 其中 $\\varepsilon(u)=\\frac12(\\nabla u + \\nabla u^{T})$ 为对称应变张量, $C = 2\\mu I + \\lambda I\\mathrm{tr}$ 为四阶弹性张量, $\\varrho\u003e0$ 为质量密度, $f$ 为外力. Lamé 参数 $\\lambda,\\mu$ 在 $\\Omega_1$ 与 $\\Omega_2$ 上分别取常数, 满足 $0","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-10-02_16-11-16/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年10月02日 16:11:16\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 7\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 12\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-用于具有不完美界面的弹性动力学问题的非拟合混合高阶方法\"\u003e1. 用于具有不完美界面的弹性动力学问题的非拟合混合高阶方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eAn Unfitted Hybrid High-Order Method for the Elastodynamics Problem with Imperfect Interface\u003c/p\u003e","title":"2026年10月02日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年10月01日 17:00:13\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 8\n不相关论文数量: 22\n重点关注论文（完整分析） 1. 复杂几何区域上波动方程的一种基于能量的间断 Galerkin 方法 An energy-based discontinuous Galerkin method for wave equations on complex geometric domains\n作者: Yangxin Fu, Yan Jiang, Siyang Wang, Lu Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.38378v1\n摘要翻译: 本文提出了一种高阶切割型基于能量的间断 Galerkin (CutEDG) 方法，用于求解复杂区域上以及跨越静态材料界面的二阶声波方程。该方法采用非贴体笛卡尔网格，并通过在定义 EDG 能量的局部双线性形式中直接引入 ghost-penalty 稳定化来处理小切割单元问题，同时保持原始空间耦合和数值通量结构不变。我们建立了半离散能量稳定性以及先验误差估计，表明高阶精度得以保持。该格式进一步推广到具有不连续波速的界面问题。数值实验验证了预期的收敛阶，并展示了对任意小切割单元的鲁棒性。特别地，显式时间步长限制由背景网格尺寸决定，而不是由最小物理切割单元决定；并且稳定化能量 Gram 矩阵具有与切割无关的条件数。\nComment: 34 pages\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.38378v1\n1. 研究对象和背景 本文研究复杂几何区域以及静止材料界面上的二阶声波方程的高阶未贴合数值离散. 设物理区域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$ 为有界区域, 边界为 $\\Gamma=\\partial\\Omega$, 未知位移 $u(x,t)$ 满足 $$u_{tt}=\\Delta u+f(x,t),\\quad x\\in\\Omega,\\ t\\in(0,T),$$ $$u=0,\\quad x\\in\\Gamma,\\ t\\in[0,T],$$ $$u(x,0)=u_0(x),\\quad u_t(x,0)=v_0(x),\\quad x\\in\\Omega.$$ 引入速度变量 $v=u_t$ 后, 方程等价于时间一阶系统 $$u_t=v,\\quad v_t=\\Delta u+f.$$ 这类声波传播问题出现在声学、地震成像、无损检测和波与结构相互作用等应用中. 在许多场景中, 波要传播很多波长或很长时间, 数值色散和相位误差会累积, 因此高阶离散比低阶方法更有吸引力, 因为达到给定精度所需的每波长自由度更少. 与此同时, 实际计算区域常包含曲边界、嵌入障碍物或复杂材料界面. 如何同时获得高阶精度和几何灵活性, 是计算波传播中的重要问题.\n传统高阶有限元和间断 Galerkin 方法通常依赖贴合物理边界或界面的网格. 当合适的网格可以构造时, body-fitted 和曲线网格很有效, 但对复杂几何, 尤其是高阶情形, 网格构造可能昂贵且技术困难. 当需要考察许多几何构型或界面在模拟之间变化时, 这一问题更突出. 未贴合和浸入方法提供了有吸引力的替代: 把物理区域嵌入简单的背景网格, 通常是结构化或 Cartesian 网格, 允许物理边界和界面切割网格而不要求网格贴合. 本文正是在这一背景下, 研究二阶声波方程在复杂区域和静止材料界面上的未贴合高阶离散.\n未贴合网格的灵活性伴随着著名的小切胞问题. 当边界或界面任意接近网格顶点或边时, 切割单元中属于物理区域的部分可以任意小. 定义体积分数 $\\eta_K=|K_\\Omega|/|K|$, 其中 $K_\\Omega=K\\cap\\Omega$. 对内部单元 $\\eta_K=1$, 对切割单元 $\\eta_K\\in(0,1)$, 并可能任意接近 $0$. 当 $\\eta_K\\ll1$ 时, 物理体积积分对定义在完整背景单元 $K$ 上的多项式自由度只提供很弱的控制, 主要位于虚拟部分 $K\\setminus\\Omega$ 的模式可能几乎不受约束, 从而导致严重病态和一致稳定性丧失. 对时间依赖波问题, 这个问题尤其重要, 因为任意小的切割单元还可能对显式时间积分施加过于严格的步长限制. 一个有效的未贴合波离散必须对切割构型保持鲁棒, 包括物理部分比例趋于零的极限情形.\nGhost penalty 稳定提供了恢复这种鲁棒性的系统机制, 并且是 Cut Finite Element Methods (CutFEM) 的核心成分. 已有稳定 CutFEM 格式被用于椭圆、界面和波问题. 对波方程, 高阶扩展已在未贴合格网上展示高阶精度和良好的显式稳定性质; 特别地, 前人工作 [26] 数值显示 CFL 限制基本不受浸入边界影响. 相关思想也被扩展到间断有限元空间. 文献 [13] 发展了稳定 CutDG 框架用于椭圆边值问题和界面问题, 给出关于切割构型鲁棒的误差和条件数估计. 随后 ghost-penalty CutDG 也被用于双曲问题. 特别是, 高阶 CutDG 用于双曲守恒律时, 显式时间推进的时间步限制可以独立于最小切割单元的尺寸. 这些发展说明 ghost 稳定是未贴合离散的有效工具, 但它们本身并未确定应如何把稳定引入某个特定波方程格式.\n本文在 energy-based discontinuous Galerkin (EDG) 框架内考虑这一问题. DG 方法由于局部结构、高阶精度和与显式时间积分的自然兼容性, 对高阶波传播很有吸引力. 在用于二阶波方程的各种 DG 格式中, EDG 特别适合本文目标, 因为它的构造直接围绕波能量的离散对应物组织. 与网格无关的数值通量可以选择得使半离散格式满足能量守恒或能量耗散关系. 因此能量不仅是分析最终格式的工具, 也是设计离散的自然原则. 这一点在未贴合格网上很重要. 在 EDG 形式中, 离散能量与两个局部双线性形式相关, 一个涉及位移变量的梯度, 另一个涉及速度变量的 $L^2$ 内积. 当单元物理部分任意小时, 这两个形式都失去对该单元上自由度的一致控制. 小切胞问题因此直接作用在定义 EDG 能量的局部形式上. 这提示应在这些能量分量的层面设计切割稳定, 而不是把连续 CutFEM 的质量-刚度稳定直接转移到 EDG 空间算子. 本文试图补的空白正是: 发展高阶 cut energy-based discontinuous Galerkin (CutEDG) 方法, 在复杂区域和静止材料界面上求解二阶声波方程; 用未贴合 Cartesian 网格; 通过把 ghost-penalty 稳定直接引入定义 EDG 能量的局部双线性形式来解决小切胞问题; 保持原始空间耦合和数值通量结构; 建立半离散能量稳定性和先验误差估计; 并把格式扩展到波速不连续的界面问题.\n2. 主要定理或主要结果 从摘要和 PDF 摘录中能够确认的主要结果如下. 需要区分作者声称严格证明的结论、摘要层面的声明以及数值观察; 由于提供的 PDF 摘录只到稳定 CutEDG 的抽象形式 (2.20), 未包含后续定理、误差估计细节和数值实验数据, 因此具体误差阶、范数、定理编号和稳定权假设无法确认.\n第一, 模型与离散格式. 作者考虑二阶声波方程 (2.1a-c) 及其一阶时间系统 (2.2). 在边界拟合网格上回顾 EDG 格式 (2.5a-c), 使用离散能量 $$E_h(t)=\\frac12\\sum_{K\\in\\mathcal{T}_h^{fit}}\\int_K(|v_h|^2+|\\nabla u_h|^2)\\,dx.$$ 在未贴合 Cartesian 背景网格 $\\tilde{\\mathcal{T}}_h$ 上定义活跃网格 $$\\mathcal{T}_h=\\{K\\in\\tilde{\\mathcal{T}}_h: |K\\cap\\Omega|\u003e0\\},\\quad \\Omega_h=\\bigcup_{K\\in\\mathcal{T}_h}K,$$ 以及每个背景单元的物理部分 $K_\\Omega=K\\cap\\Omega$. 未稳定 CutEDG 格式由把拟合 EDG 中的每个 $K$ 替换为 $K_\\Omega$ 得到, 见 (2.16a-c). 在内部单元上它退化为拟合 EDG, 只在切割单元附近不同.\n第二, 小切胞稳定和能量稳定性. 作者引入体积分数 $\\eta_K=|K_\\Omega|/|K|$, 并指出当 $\\eta_K\\ll1$ 时, 物理体积贡献变小, 离散系统可能失去对主要位于虚拟部分 $K\\setminus\\Omega$ 的模式的一致控制. 为恢复控制, 定义切相关背景面集合 $$F_h^g=\\{F=\\partial K^+\\cap\\partial K^-\\in F_h^{int}: K^+\\in T_h^\\Gamma \\text{ 或 } K^-\\in T_h^\\Gamma\\},$$ 并引入 ghost-penalty 形式 $$J_r(w,z)=\\sum_{F\\in F_h^g}\\sum_{\\ell=0}^r\\frac{\\omega_\\ell}{h^{2\\ell+1}(2\\ell+1)(\\ell!)^2}\\int_F [[\\partial_{n_F}^\\ell w]][[\\partial_{n_F}^\\ell z]]\\,dS.$$ 该稳定项在完整背景面上积分, 而不是只在物理部分 $F\\cap\\Omega$ 上积分, 因此把控制从物理域传递到相邻虚拟部分. 由于 DG 空间不连续, $\\ell=0$ 项被保留, 惩罚函数值跳变. 稳定化被加入到定义 EDG 能量的两个局部双线性形式中, 而原始空间耦合和数值通量结构保持不变. 作者在摘要和第 4 页声明: 若 $E_h(t)$ 表示物理域上的标准 EDG 能量, $D_h(t)\\ge0$ 表示切稳定贡献, 则半离散 CutEDG 方法满足 $$\\frac{d}{dt}(E_h(t)+D_h(t))\\le0\\quad(3.23).$$ 这是提供内容中可以确认的核心稳定性估计形式. 它说明总能量 $E_h+D_h$ 不增, 并且额外项 $D_h$ 恢复在任意小物理交叠上失去的控制. 作者还明确称建立了半离散能量稳定性.\n第三, 先验误差估计. 摘要声明建立了 a priori error estimates, 显示高阶精度被保留. 然而, 提供内容没有给出误差定理的具体陈述, 例如误差是在哪个范数中度量, 时间半离散误差是否包含时间导数, 网格和多项式阶 $p,q$ 的关系, 正则性假设, 稳定权 $\\omega_\\ell$ 的下界条件, 以及误差阶是否为预期的高阶收敛率. 因此不能从提供内容中确认 $\\|u-u_h\\|_{L^2}=O(h^{p+1})$ 或类似具体估计. 只能确认作者声称高阶精度保持.\n第四, 界面问题. 摘要称格式进一步扩展到具有不连续波速的界面问题, 界面可以任意切割 Cartesian 背景网格. 但摘录中没有给出界面问题的变分形式、界面条件、稳定项在界面附近的修改、误差估计或稳定性定理. 因此界面扩展的严格理论结论从提供内容中无法确认.\n第五, 数值结果和条件数. 摘要声称数值实验确认了预测的收敛率, 并展示对任意小切割单元的鲁棒性. 特别是, 显式时间步限制由背景网格尺寸而不是最小物理切割单元控制, 稳定后的能量 Gram 矩阵表现出与切割无关的条件数. 作者还比较说, 在所考虑的多项式阶下, 相应条件数关于切割位置保持有界, 并且与类似高阶连续 CutFEM 离散同量级, 但略小. 这些是摘要层面的数值观察或引言中的陈述; 是否在正文中被严格证明, 从提供内容中无法确认. 此外, 作者在引言中把主要贡献概括为三点: 发展单区域和静止界面波问题的高阶未贴合 EDG 格式; 构造适合 EDG 局部能量形式的 ghost 稳定, 在不改变原始空间耦合和数值通量结构的情况下恢复小切胞上的一致控制; 建立稳定性和高阶误差估计, 并数值展示切割无关的显式稳定性和有利条件数.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 核心障碍是小切胞同时破坏 EDG 能量的两个局部双线性形式. EDG 的能量不是事后分析量, 而是离散设计原则. 离散能量由 $$E_h(t)=\\frac12\\sum_K\\int_K(|v_h|^2+|\\nabla u_h|^2)\\,dx$$ 给出, 其中空间部分和速度部分分别对应两个局部双线性形式. 在未贴合格网上, 物理积分只在 $K_\\Omega$ 上, 当 $\\eta_K=|K_\\Omega|/|K|$ 任意小时, 定义在完整背景单元 $K$ 上的多项式模式中主要位于虚拟部分 $K\\setminus\\Omega$ 的分量不能被物理积分控制. 这导致稳定性、条件数以及显式时间步限制的恶化. 因此需要稳定虚拟部分, 但不能破坏 EDG 原有的能量守恒或耗散机制和数值通量结构. 直接从连续 CutFEM 移植质量-刚度 ghost penalty 到 EDG 空间算子并不自然, 因为 EDG 的稳定性来自能量形式, 而不是来自单独的空间算子.\n作者的真正创新点是把 ghost penalty 直接加入定义 EDG 能量的局部双线性形式, 而不是修改原空间耦合或数值通量. 具体地, 切相关背景面集合取 $$F_h^g=\\{F=\\partial K^+\\cap\\partial K^-\\in F_h^{int}: K^+\\in T_h^\\Gamma \\text{ 或 } K^-\\in T_h^\\Gamma\\},$$ 稳定形式为 $$J_r(w,z)=\\sum_{F\\in F_h^g}\\sum_{\\ell=0}^r\\frac{\\omega_\\ell}{h^{2\\ell+1}(2\\ell+1)(\\ell!)^2}\\int_F [[\\partial_{n_F}^\\ell w]][[\\partial_{n_F}^\\ell z]]\\,dS.$$ 它在完整背景面 $F$ 上积分, 而不是只在物理部分 $F\\cap\\Omega$ 上积分. 因此, 稳定项把物理侧的控制传递到相邻虚拟部分. 由于近似空间是间断的, $\\ell=0$ 项被保留, 惩罚函数值本身的跳变; $\\ell\\ge1$ 项惩罚法向导数跳变. 高阶项与多项式阶 $r$ 匹配, 权重 $\\omega_\\ell\u003e0$ 和网格尺度 $h$ 进入稳定. 在抽象形式中, 稳定贡献如 $\\gamma_u M h^{-2}J_p((u_h)_t,\\phi_u)$ 被加入到演化方程, 见 (2.20), 而原 EDG 的空间耦合项和数值通量不变. 这样稳定化可解释为把 EDG 能量扩展到切割区域: 若 $D_h$ 是 $J_r$ 对应的非负贡献, 则得到 $d/dt(E_h+D_h)\\le0$. 这是与连续 CutFEM 中把 mass-stiffness 稳定加到空间算子的关键区别.\n证明中的关键分析任务包括: 用 ghost penalty 恢复切割单元上虚拟部分的控制, 使稳定后的能量 $E_h+D_h$ 对完整背景单元上的自由度一致有意义; 将物理体积项、物理面数值通量和 ghost penalty 结合, 得到某种一致强制或范数等价; 在 EDG 混合阶空间 $U_h^p\\times V_h^q$ 中处理 $u_h$ 和 $v_h$ 的不同多项式阶; 保持原 EDG 数值通量的一致性, 从而使先验误差分析可以采用 Galerkin 型误差分解; 对时间半离散问题建立能量不增估计, 再结合逼近和投影得到误差估计. 从提供内容可确认作者使用了 EDG 能量方法、背景面跳变罚、高阶法向导数罚和稳定权; 但具体引理、迹不等式、逆不等式、谱等价或投影算子在摘录中没有展开, 无法确认其精确形式.\n界面扩展的方法是在界面附近施加类似的切稳定, 以处理波速不连续和界面任意切割背景网格. 从摘要看, 稳定构造仍保持原 EDG 空间耦合和数值通量结构, 并扩展能量稳定机制. 但界面处的具体数值通量、稳定项权重和误差分析在提供内容中未给出.\n条件数和显式时间步方面的机制可以由稳定 Gram 矩阵的谱行为解释: 稳定后有效质量或刚度矩阵在切割单元上的尺度不再由 $\\eta_K$ 决定, 而由背景网格 $h$ 和稳定权决定. 因此显式 CFL 限制由背景网格尺寸 $h$ 控制, 而不是由最小物理切割单元尺寸控制. 稳定能量 Gram 矩阵的条件数关于切位置有界, 并且在所考察的多项式阶下与高阶连续 CutFEM 同量级而略小. 这些性质在摘要中作为数值结果陈述; 是否完全由严格定理保证, 从提供内容中无法确认.\n4. 与之前工作的比较 与已有工作的比较可以从几个维度展开. 首先, 与拟合网格 EDG 的关系. 本文以 [2] 的 EDG 格式为参考, 保留其围绕离散能量构造空间离散的思想以及数值通量 (2.7), 但把网格从边界拟合 $T_h^{fit}$ 换成未贴合 Cartesian 活跃网格 $T_h$. 未稳定时在内部单元上格式完全退回拟合 EDG, 只在切割单元处出现小切胞问题. 因此本文推进的是几何灵活性: 不需要构造高阶曲线拟合格网, 同时试图保持 EDG 的能量稳定机制. 代价是引入 ghost penalty 和额外的背景面耦合, 稳定参数 $\\omega_\\ell$ 需要选择, 代数系统带宽或耦合增加, 并且切割几何积分和边界条件施加带来额外复杂性. 与 body-fitted 或曲线 DG 和传统高阶有限元相比, 那些方法在合适网格可用时有效, 但复杂几何或界面变化时网格生成代价高. 本文用 Cartesian 背景网格避免拟合, 但必须面对小切胞、稳定参数、切割几何积分和边界条件施加等额外复杂性. 显式时间步从可能依赖最小切胞 $\\eta_K h$ 改善为依赖背景网格 $h$ 是主要优势之一; 代价是每步增加 ghost penalty 项, 且稳定性或精度依赖稳定权足够大, 过大可能影响精度常数和条件数.\n第二, 与连续 CutFEM 的波方程工作 [8,7,25,26,27] 的比较. CutFEM 通常在连续有限元空间中对质量矩阵和刚度矩阵加 ghost penalty, 以恢复切割单元上的一致强制. 本文明确指出, 不把连续 CutFEM 的 mass-stiffness 稳定直接迁移到 EDG 空间算子, 而是在定义 EDG 能量的两个局部双线性形式中加稳定. 这是一个结构性差别: EDG 的能量同时决定离散设计, 因此稳定必须保持能量形式. 与 [26] 的高阶未贴合波离散相比, 两者都追求显式时间步不受浸入边界控制; [26] 数值显示 CFL 限制基本不受浸入边界影响, 本文摘要则声称时间步限制由背景网格尺寸而非最小物理切胞控制. 本文的不同在于针对 EDG 或 DG 空间, 并且强调稳定能量 Gram 矩阵条件数 cut-independent, 在所用多项式阶下与高阶连续 CutFEM 同量级且略小. 但这是数值观察, 严格证明在摘录中未见. 此外, 本文的稳定项放在 EDG 能量双线性形式中, 而连续 CutFEM 通常直接加在质量与刚度矩阵上, 因此两者在实现、能量解释和条件数行为上并不相同.\n第三, 与 CutDG 椭圆和界面问题 [13] 的比较. [13] 发展了稳定 CutDG 框架用于椭圆边值问题和界面问题, 并给出关于切割配置鲁棒的误差和条件数估计. 本文处理的是二阶声波时间依赖问题, 而不是椭圆问题; 稳定项被嵌入 EDG 能量而非一般 CutDG 空间算子; 目标是半离散稳定、先验误差和显式时间步. 因此本文可看作把 CutDG 的 ghost 稳定思想专门化到 EDG 波方程框架. 与 [13] 相比, 本文的推进在于二阶波方程的能量设计和时间依赖稳定性, 但摘录未给出界面误差定理和完整数值结果, 因此无法比较界面情形与 [13] 等界面 CutDG 的具体优劣.\n第四, 与双曲守恒律的 ghost-penalty CutDG [14,10,9,11] 的比较. 这些工作处理一阶双曲守恒律, 并显示显式时间推进的时间步限制独立于最小切元 [10,11]. 本文处理二阶声波方程, 使用 EDG 的能量形式, 数值通量和耦合结构与守恒律 CutDG 不同. 本文的贡献在于说明在 EDG 能量中直接加 ghost penalty 可以实现类似效果, 同时不改变原 EDG 通量结构. 在适用范围上, 本文包括单区域和静止材料界面; 但摘录未给出界面误差定理和完整数值结果, 因此无法比较界面情形与 [13] 等界面 CutDG 的具体优劣. 与双曲 CutDG 相比, 本文的未知量是二阶位移及其速度, 能量由梯度项和速度 $L^2$ 项组成, 而双曲守恒律 CutDG 的稳定和误差分析针对一阶守恒量, 因此不能直接互推.\n第五, 时间尺度、适用范围和代价. 本文最明确的时间尺度推进是显式时间步限制由背景网格尺寸 $h$ 控制, 而不是由最小切割单元的物理尺寸控制. 这与 [26] 和 [10,11] 中的数值或理论结论方向一致, 但本文是在 EDG 框架内实现. 适用范围从单区域声波方程扩展到静止材料界面和波速不连续. 代价和局限包括: ghost penalty 增加每步计算和矩阵耦合; 稳定权 $\\omega_\\ell$ 的选择影响稳定性和精度; 误差常数如何依赖 $\\eta_K$、稳定权最优选择、界面波速对比度的影响以及三维复杂几何下的表现, 从提供内容中无法确认. 作者在摘录中提到了前人工作, 但未显式展开与每一个工作的定量比较. 因此, 本文最明确的推进是: 在 EDG 框架内构造 cut 稳定, 保持原通量结构, 给出半离散能量不增估计和摘要层面的高阶误差、显式稳定及条件数声明, 并把格式扩展到静止界面.\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 一种用于虚拟区域界面问题的约化耦合空间多重网格 Schur 预条件子 A Reduced Coupling-Space Multigrid Schur Preconditioner for Fictitious-Domain Interface Problems\n作者: Najwa Alshehri\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.40006v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.40006v1\n摘要翻译 中文标题: 一种用于虚拟区域界面问题的约化耦合空间多重网格 Schur 预条件子\n摘要翻译: 我们研究一种约化多重网格 Schur 预条件子，用于采用分布式 Lagrange 乘子的虚拟区域法求解椭圆界面问题。该方法用多重网格近似替代代价高昂的背景求解，并仅通过 Woodbury 公式在乘子耦合空间中处理由此产生的校正。数值实验表明，与基线预条件子相比有显著改进，并且在网格加密和系数对比下始终保持快速收敛。\n2. 曲面 Stokes 问题的无压力虚拟元方法 A Pressure-Free Virtual Element Method for the Surface Stokes Problem\n作者: Jun Hu, Shengyang Xu, Hao Zhou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.39996v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.39996v1\n摘要翻译 中文标题: 曲面 Stokes 问题的无压力虚拟元方法\n摘要翻译: 我们针对任意亏格闭曲面的多边形逼近，提出了一种用于曲面 Stokes 问题的无压力虚拟元方法。该方法建立在一个非协调 Stokes 复形之上，该复形具有交换插值和正确的离散上同调。其速度空间是精确切向的且 (H(\\operatorname{div}))-协调的，而一个基于顶点的边约束在不增加额外自由度的情况下强制切向边平均的连续性。由此得到的格式无需罚项，并且一个局部保散度重构提供了一个可计算的压力鲁棒载荷。我们还构造了该复形的一个显式宏单元实现，并证明了相应的诱导虚拟格式在代数上等价于直接宏单元 Galerkin 方法。我们建立了稳定性，以及速度在分片 (H^1) 范数下的最优一阶收敛和在 (L^2) 范数下的二阶收敛。该边约束给出了恢复最优 (L^2) 速率所需的二阶弱一致性估计。数值实验证实了理论结果。\n3. 有限元外微积分中的旋转基：顶点置换下的闭式基变换 Rotating bases for finite element exterior calculus: closed-form change of basis under vertex permutations\n作者: Santiago Badia, Jordi Manyer, Antoine Marteau\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.39511v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.39511v1\n摘要翻译 中文标题: 有限元外微积分中的旋转基：顶点置换下的闭式基变换\n摘要翻译: 单纯形上多项式微分形式空间 $\\mathcal{P}_rΛ^1$ 与 $\\mathcal{P}_r^-Λ^1$ 的几何分解基，是重心标量多项式与方向 1-形式或 Whitney 1-形式的乘积。这些基依赖于单纯形顶点的排序。在非结构网格上，相邻单元不必就该排序一致，这使得在有限元软件中实现协调性并非平凡。现有策略通过数值方法计算自由度变换矩阵，或者通过面气泡空间或预处理网格来施加全局顶点排序。我们考虑 $\\mathcal{P}_r^-Λ^1$（trimmed）空间的标准基，并为 $\\mathcal{P}_rΛ^1$（full）空间引入一组新基，针对任意多项式阶 $r \\geq 1$ 和维数 $D \\geq 2$，并将其基多项式指定为形状函数。我们证明，形状函数在由对称群 $S_{D+1}$ 中任意顶点重标号 $π$ 诱导的坐标变换下的拉回，具有闭式的组合表达式。对大多数基函数，该拉回在相差一个符号的意义下是重标号排序下的单个基函数。在一个被显式刻画的“filter-hit”集合上，该拉回是至多 $D$ 个（full 空间）或恰好两个（trimmed 空间）重标号基函数的带符号和。对所有 $r$、$D$ 和 $π$，所有系数均属于 $\\{-1, +1\\}$。逆变换通过在 $π^{-1}$ 处计算这些公式得到，因此无需对基变换矩阵进行数值求逆。在具有任意顶点排序的单纯形网格上，协调装配与求值归结为索引操作。我们的结果与 Berchenko-Kogan 和 Licht 关于重标号不变基的研究进行了比较，并在 Gridap.jl 库中的开源 Julia 实现中得到了验证。\n4. 通过优化的 Kolmogorov\u0026ndash;Arnold 神经网络对双调和方程进行无网格数值逼近 Mesh-Free Numerical Approximation of the Biharmonic Equation via Optimized Kolmogorov\u0026ndash;Arnold Neural Networks\n作者: B. Veena S. N. Rao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.39469v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.39469v1\n摘要翻译 中文标题: 通过优化的 Kolmogorov\u0026ndash;Arnold 神经网络对双调和方程进行无网格数值逼近\n摘要翻译: 开发了一个基于 \\textit{Kolmogorov\u0026ndash;Arnold Physics-Informed Neural Networks} (KAN-PINNs) 的无网格数值框架，用于逼近四阶椭圆边值问题，并具体应用于支配薄板挠度的双调和方程。与传统依赖固定节点激活的多层感知机不同，可学习的单变量函数通过径向基函数参数化并部署在网络边上，同时通过双曲正切激活映射保持高阶可微性。四阶微分算子和完全夹紧边界条件固有的严重数值刚性，通过直接归一化残差形式与混合多阶段 AdamW-to-L-BFGS 优化流程相结合来处理。实施了一种自动化的 \\textit{24/7 hill-climbing search protocol}，以系统地校准边界惩罚权重和优化调度。在单位正方形上的一个光滑制造基准上进行评估时，经过连续迭代获得了超过 $150\\times$ 的误差缩减因子，最终得到相对 $L_2$ 误差为 $1.593 \\times 10^{-5}$（$0.00159\\%$）和训练损失为 $3.065 \\times 10^{-6}$，且仅使用 $7,801$ 个可训练参数。这些结果表明，高阶 PDE 问题可以使用紧凑的无网格 KAN-PINNs 架构精确求解，而无需辅助变量变换或离散网格生成。\n5. 求解多维椭圆型问题的良态 Birkhoff 配点法 Well-Conditioned Birkhoff-Collocation Methods for Elliptic-type Problems in Multiple Dimensions\n作者: Shunchang Li, Zixuan Gao, Yujian Jiao, Li-Lian Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.39353v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.39353v1\n摘要翻译 中文标题: 求解多维椭圆型问题的良态 Birkhoff 配点法\n摘要翻译: 基于在 Gaussian 型点处的 Birkhoff 插值的配点法对于一维初值和边值问题是良态的 [Wang et al., {\\em SIAM J. Sci. Comput.} 36 (2014)]，但其基本构造不能直接推广到多维。我们处理二阶椭圆型问题的多维配点法长期存在的病态性。关键观察是，二阶微分矩阵及其逆——由 Legendre-Gauss-Lobatto 点处的 Birkhoff 插值构造的伪谱积分矩阵 (PSIM)——都相似于对称负定矩阵。这使得稠密、非对称且病态的微分和积分矩阵能够稳定对角化，即使对于数千个配点也是如此，并得到高效的多维 Birkhoff 预条件子。对于变系数问题，系数被直接纳入对角化和预条件子构造中，这对于高度各向异性、高对比度、振荡和退化的椭圆算子至关重要。我们提供谱分析和广泛的二维和三维数值实验，表明条件数大幅降低，并且 GMRES 收敛性几乎与多项式次数无关，同时保持高阶精度。由此得到的 Birkhoff 配点格式使多维谱配点法对于具有挑战性的椭圆问题变得实用。\n6. 粗时间监督下长时间 Cahn-Hilliard 动力学的保结构傅里叶神经算子 Structure-preserving Fourier Neural Operators for Long-time Cahn-Hilliard Dynamics under Coarse Temporal Supervision\n作者: Yingli Li, Y. C. Zhou\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.39053v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.39053v1\n摘要翻译 中文标题: 粗时间监督下长时间 Cahn-Hilliard 动力学的保结构傅里叶神经算子\n摘要翻译: 对 Cahn-Hilliard 动力学，尤其是后期粗化阶段，进行精确的长期预测在计算上要求很高，因为它需要在延长的物理时间上进行模拟。为通过高效的替代模型评估来加速模拟，已发展了多种机器学习方法。虽然学习到的映射在单个学习区间上可以很精确，但当该映射在长期预测中被反复应用时，小的预测误差会累积，导致很大的数值误差。在这项工作中，我们识别了 Cahn-Hilliard 方程粗化动力学的结构函数，并提出了一个两阶段保结构傅里叶神经算子 (FNO) 学习框架。StageI 引入一个具有软的、依赖幅值的振幅惩罚的保界 FNO (bcFNO)。StageII 保留保界目标，并用结构函数正则化对其进行补充，从而得到一个保结构 FNO (spFNO)，用于校正后期粗化统计量。在不同空间分辨率和参考求解器时间步上的数值实验表明，bcFNO 通过抑制大幅值偏移来稳定长期预测，同时不改变 FNO 较低的在线成本。此外，结构函数项持续减小归一化结构函数中的差异，并在相关的后期粗化量中提供进一步校正，包括 $L^3(t)$ 增长趋势和标度坍缩。这些结果表明，我们在算子学习中对物理原理的多阶段实施可以应用于其他具有统计标度的多尺度系统，例如泛函化 Cahn\u0026ndash;Hilliard 方程和湍流，前提是状态约束和统计可观测量能适应支配动力学。\n7. 面向单元中心近不可压弹性问题的核感知两重网格预条件子 A Kernel-Aware Two-Grid Preconditioner for Cell-Centered Nearly Incompressible Elasticity\n作者: Shubin Fu, Xiang Zhong\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.38871v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.38871v1\n摘要翻译 中文标题: 面向单元中心近不可压弹性问题的核感知两重网格预条件子\n摘要翻译: 近不可压弹性问题常通过混合方法离散以避免锁定，但由此产生的鞍点系统求解代价可能很高。我们考虑一种弱对称多点应力离散，其应力和旋转未知量可在顶点相互作用区域上独立消去，从而仅留下关于单元中心位移的对称正定系统。尽管规模更小，该缩减系统包含一个依赖参数的 Schur 补，随着 Lamé 比增大，对其进行预条件变得困难。我们证明其能量由一个一致强制的剪切部分和一个占优的半正定体积部分组成。标准单元中心插值未必保持体积核，并且可能在近不可压附近引入能量放大。受此结构启发，我们发展了一个两重网格预条件子，结合两个互补的粗子空间：一个常规位移子空间和一个恰好位于细网格体积核中的离散旋度子空间。对称顶点片光滑补全了仅位移求解器。能量分裂和核相容分解对每个固定网格对给出与 Lamé 比无关的条件数界。二维和三维实验证实了局部消去离散的逼近性质，并表明核校正防止了单独位移粗子空间的退化，对于不连续材料系数也是如此。\n8. 一种用于模拟具有时间与空间依赖性质的石墨烯上等离激元的近似方法 An Approximate Method for Modeling Plasmons on Graphene with Time- and Space-dependent Properties\n作者: Kaleigh Rudge, Fadil Santosa\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.38370v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.38370v1\n摘要翻译 中文标题: 一种用于模拟具有时间与空间依赖性质的石墨烯上等离激元的近似方法\n摘要翻译: 本文提出了近似计算方法，用于模拟具有时间与空间依赖材料性质的石墨烯片上的表面等离激元传播。从 Maxwell 方程组出发，在空间和时间调制的 Drude 权重下，电流密度的演化被表述为一个偏积分微分方程 (PIDE)。假设 Drude 权重的小振幅扰动，建立了正则摄动展开。在适当的 Sobolev 空间中，建立了所得逐阶积分方程的可解性与 Fourier 可逆性。介绍了一种将 Volterra 积分方程表述与快速 Fourier 变换 (FFT) 相结合的数值求解器，并给出了逐点误差估计和计算复杂度分析。此外，针对行波 Drude 权重调制，推导了利用围道积分和 Laplace 反演的基于变换的解析解。数值模拟展示了多种波动现象，包括行波、驻波和指数增长的等离激元电流密度。\n不相关论文（基本信息） 1. 圆盘上泊松方程的一种快速非均匀求解器 A Fast Nonuniform Solver for the Poisson Equation over a Disk\n作者: Charlie Pyle, Prabir Daripa\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.40344v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.40344v1\n摘要: We study fast numerical methods for the Poisson equation on a disk within the FFTRR (Fast Fourier Transform Radial Recurrence) framework, which is built on Green\u0026rsquo;s function representations. Classical FFTRR schemes apply FFTs in the azimuthal variable and evaluate mode-by-mode radial recurrences, achieving a complexity of (O(MN\\log N)) on an (N\\times M) uniform grid. However, they require a uniformly spaced azimuthal mesh of (N) points. In this work we develop a Nonuniform (NUFFTRR) solver that admits nonuniform grids in both the radial and azimuthal directions while retaining the favorable structure of the original FFTRR formulation. The azimuthal analysis-synthesis step is implemented using either a dense NUDFT least-squares solver or one of two NUFFT-based iterative schemes: a Toeplitz solver using circulant-preconditioned conjugate gradients (PCG), and a preconditioned conjugate gradient for least squares (PCGLS) solver with Pipe\u0026ndash;Menon density compensation. These yield azimuthal complexities (O(N^3 + MN^2)) for the NUDFT variant and (O(K_{\\mathrm{iter}} MN\\log N)) for the NUFFT-based variants on an (N\\times M) grid and Krylov iteration count (K_{\\mathrm{iter}}). Numerical experiments on nonuniform meshes demonstrate that the proposed method is robust, spectrally accurate in the azimuthal variable, and competitive in runtime with existing fast Poisson solvers. We make use of vectorization and batched BLAS/GPU-accelerated linear algebra operations to eliminate explicit loops while also formulating azimuthal and radial steps entirely in terms of dense array operations, FFTs, and NUFFTs, allowing for straightforward GPU acceleration. The implementation is released as an open-source Python package at https://github.com/CharliePyle4/NUFFTRR_Poisson, and its methodology can be extended directly to related elliptic problems such as the Helmholtz equation.\n2. adapol: 面向量子多体物理的自适应极点拟合 adapol: Adaptive pole-fitting for quantum many-body physics\n作者: Zhen Huang, Chia-Nan Yeh, Lin Lin, Nils Wentzell, Jason Kaye, Hugo U. R. Strand\n类别: cond-mat.str-el, math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.40150v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.40150v1\n摘要: We describe adapol, a Python package for fitting Matsubara Green\u0026rsquo;s functions, self-energies, and hybridization functions by a compact sum of simple poles with real pole locations and matrix-valued residues. This pole-fitting step arises in many contexts, including hybridization fitting for quantum impurity solvers based on exact diagonalization, perturbation theory, and tensor networks, the compression of existing pole expansions such as the discrete Lehmann representation, diagrammatic methods based on discrete pole representations, and the analytic continuation of Matsubara Green\u0026rsquo;s functions. adapol uses a modified version of the AAA rational approximation algorithm to estimate pole locations, and non-convex optimization to refine them. This procedure yields accurate and compact fits in a black-box and noise-robust manner. adapol provides a simple, self-contained interface with extensive documentation and examples, as well as an interface to the TRIQS package.\n3. 有限测量下测地射线变换的反演：稳定性与重建 Inverting the geodesic ray transform with finite measurements: stability and reconstruction\n作者: Yernat M. Assylbekov\n类别: math.AP, math.DG, math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.40015v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.40015v1\n摘要: We study the inversion of the geodesic ray transform from finitely many local averages of its data. Under suitable geometric assumptions, we prove Lipschitz stability on any fixed finite-dimensional reconstruction space when the measurement partition is sufficiently fine. We develop convergent reconstruction algorithms based on Steepest Gradient Descent and Conjugate Gradients and implement them using piecewise constant finite element spaces. Numerical experiments in 2D and 3D illustrate the influence of geometry and measurement discretization on reconstruction quality.\n4. 计算群体感应反应网络中的灭绝屏障 Computing Extinction Barriers in a Quorum-Sensing Reaction Network\n作者: Mario Ayala, Johannes Zimmer\n类别: math.PR, cond-mat.stat-mech, math.NA, q-bio.PE\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.39946v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.39946v1\n摘要: We introduce a simple reaction-network model of a quorum-sensing population that couples the cell density $x$ to the signal density $w$. In the four-channel cell-signal network studied here, scaling signal production and removal by the same factor $r$ leaves all deterministic equilibria, and their stability types, unchanged. Nevertheless, we show that $r$ shifts the quasipotential barrier $ΔV(r)$ for rare transitions towards extinction, and thus, under metastable exit assumptions, the mean time to reach a fixed neighbourhood of the extinction state on the exponential scale $e^{NΔV(r)}$. We compute the barrier by minimization of the path action with the signal retained as a fluctuating coordinate, and we compare it with exact stochastic simulation of population-threshold crossing times regressed in $N$. Over a range of $r$, the minimum-action barriers satisfy $ΔV(r)=ΔV_\\infty+O(1/r)$, where $ΔV_\\infty$ is obtained by eliminating the signal first. At $r=1$, the barrier is 55% larger than $ΔV_\\infty$. The saddle barrier $ΔV(r)$ is also the least action needed to enter the basin of extinction, but the density threshold can be crossed more cheaply: at $r=0.5$ the cheapest crossing costs 7.7% less action, keeps the signal high, and is usually followed by recovery. Simulated arrival times in this neighbourhood, which include failed attempts, grow with slopes within two fitted standard errors of the saddle barrier at every tested rate, and within $0.004$ of it if the logarithmic prefactor term is omitted. Under either regression model they exclude $ΔV_\\infty$ at $r\\le2$ by at least $4.4$ fitted standard errors, without using the action solver.\n5. 双隐层多层感知机对分段多项式有限元函数的精确表示 Exact Representation of Piecewise Polynomial Finite Element Functions by Two-Hidden-Layer Multilayer Perceptrons\n作者: Jun Hu, Pengzhan Jin, Shengyang Xu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.39856v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.39856v1\n摘要: We construct exact representations of finite element functions of arbitrary polynomial degree on simplicial meshes in any spatial dimension by two-hidden-layer multilayer perceptrons (MLPs). The first hidden layer uses $\\mathrm{ReLU}^0+\\mathrm{ReLU}$, and the second uses the degree-dependent activation $\\mathrm{ReLU}^k$. The neural networks can realize both zero-skeleton and prescribed-skeleton representatives of discontinuous finite element functions, where the former vanish on the mesh skeleton and the latter admit independently prescribed polynomial data on each relatively open lower-dimensional mesh subsimplex; in particular, continuous finite element functions can be represented pointwise on the closed domain. In the continuous case, a half-open decomposition reduces the second-hidden-layer width by assigning each subsimplex to a single incident element. The number of nonzero parameters grows linearly with the number of elements for fixed spatial dimension, polynomial degree, and output dimension, and it is of the same order as the number of global degrees of freedom of the finite element space in the continuous case, provided that the mesh is shape-regular. All parameters in the neural network can be explicitly computed via the information of the mesh and finite element function without training.\n6. 解析函数的精确重心有理插值及其在贝塞尔函数中的应用 Exact barycentric rational interpolation of analytic functions with an application to the Bessel functions\n作者: Brett R. Green\n类别: math.NA, math.CA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.39805v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.39805v1\n摘要: We derive a method of analytic function expansion using barycentric rational interpolation, in which an arbitrary analytic weight function defines the interpolation and nodes. Truncating these expansions yields successive approximations, and the derivation of the expansions gives the approximation error as a byproduct. We demonstrate the method with cosine and the Bessel functions of the first kind for several choices of weight functions, and we examine the accuracy and convergence of the approximate interpolations as a function of the weight and the number of nodes used in the interpolation.\n7. 关于原子尺度位错模型分析中的线性化力平衡条件 On the linearised force balance condition in the analysis of atomistic dislocation models\n作者: Julian Braun, Thomas Hudson\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.39642v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.39642v1\n摘要: A technical condition arising in the analysis of atomistic models for dislocations is studied. Key estimates for the far-field strain behaviour proved in Ehrlacher, Ortner, Shapeev (2016) rely on a summation-by-parts argument for linearised forces, under conditions of sufficient decay and of vanishing net force in an infinite system. In particular, the latter condition is required for an application of this theory to the standard far-field dislocation predictor, but the vanishing of the associated force sum has not been fully justified. Here, the missing verification of this condition is provided and its role in determining the far-field decay of the corrector is clarified. It is moreover shown that for more general physically compatible predictors, the linearised force sum need not vanish, leading to slower decay and potentially divergent finite-domain approximations.\n8. 深度截断FBSDE方法：一种用于高维非线性偏微分方程与完全耦合FBSDE的鲁棒求解器 Deep Truncated FBSDE Method: A Robust Solver for High-Dimensional Nonlinear PDEs and Fully Coupled FBSDEs\n作者: Xinyu Cheng, Yunzhang Li, Weiran Xiong\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.39616v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.39616v1\n摘要: In this paper, we introduce a deep truncated forward-backward stochastic differential equation (FBSDE) method for high-dimensional partial differential equations (PDEs). Compared with existing deep-learning solvers for fully coupled FBSDEs, where strong coupling may lead to numerical instability, our approach exhibits improved stability. The proposed method combines gradient-truncated iterative decoupling with fictitious-play averaging to separate the forward and backward processes in a coupled framework. This preserves the coupled dynamics while reducing the unstable feedback induced by parameter-dependent forward paths during optimization. Furthermore, we incorporate a pathwise consistency term to create explicit local gradient shortcuts, thereby providing a structural mechanism that may mitigate gradient vanishing. We also derive a residual-based error estimate and establish conditional convergence of the fully discrete numerical approximations under suitable conditions, in which the pathwise consistency loss is not required. Our approach is particularly effective for convection-dominated equations, where the coupled formulation provides a stable representation of nonlinear transport without introducing singular terms into the BSDE. Numerical experiments demonstrate improved accuracy and stability in both low- and high-dimensional problems and robust performance for strongly coupled problems.\n9. LampAttention：面向专用加速器的前瞻混合精度 FlashAttention LampAttention: Look-Ahead Mixed-Precision FlashAttention for Dedicated Accelerators\n作者: Stanislav Budzinskiy, Marian Gloser, Tolunay Yilmaz, Ying Hong Tham, Yuanyi Lin, Wenyi Fang, Fan Wu, Philipp Petersen\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.39361v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.39361v1\n摘要: While most attention logits can be computed in low precision without degrading numerical stability, current attention kernels fail to exploit this phenomenon. We introduce a novel hardware-algorithm co-design in the form of mixed-precision FlashAttention. Our method accumulates key-query products and evaluates their exponentials in 8-bit formats, then adaptively identifies sensitive sub-blocks and recomputes them in 16-bit formats. We propose the specifications for a dedicated accelerator capable of executing this pipeline efficiently. Simulated experiments with Qwen3 and Gemma 3 show that rerouting a selective minority of sub-blocks to high precision is sufficient to recover the baseline model performance.\n10. 关于 Lyapunov 方程共轭梯度法中迭代量秩增长的界 On bounds for rank growth of iterands in conjugate gradients for Lyapunov equation\n作者: Jana Lungová, Martin Plešinger\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.39308v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.39308v1\n摘要: We focus on solving the Lyapunov equation $AX + XA^T = F$, where $A$, $X$ and $F$ are square matrices, $A$ is symmetric positive definite (SPD) and sparse, and $F$ is symmetric and of a low-rank. The solution $X$ is then also symmetric and in general dense, but it can be approximated by a low-rank matrix. If $n$ is large, $X$ cannot be computed directly, but it is accessible by using the so-called low-rank arithmetics (LRA). The equation is solved by matrix reformulation of the method of conjugate gradients (MCG). We are interested in the behavior of ranks of the solution approximations $X_\\ell$, residuals $R_\\ell$, and direction vectors $P_\\ell$ during iterations.\n11. 基于移动最小二乘对分布不良数据的快速稳定调和逼近 Fast and Stable Harmonic Approximation from Ill-distributed Data using Moving Least Squares\n作者: Ralf Hielscher, Tim Pöschl, Erik Wünsche\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.39200v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.39200v1\n摘要: We consider harmonic approximation on the torus $\\mathbb{T}^d$, the sphere $\\mathcal{S}^d$, and the rotation group $\\mathrm{SO}(3)$. While several global approaches are available for computing a harmonic expansion from scattered data, their stability and, especially, their runtime depend strongly on the geometry of the nodes, in particular on a sufficiently small fill distance. Even a single large hole in the data may cause instability and long runtimes. We propose harmonic approximation via moving least squares (HAMLS), a global harmonic approximation scheme that avoids the ill-conditioned global solve and works well in both the overdetermined and the underdetermined settings. The main idea is an intermediate transition from the scattered data to a quadrature grid, which is realized via moving least squares (MLS). This replaces one large global problem by many small local ones that can be regularized individually. The global harmonic approximation is then obtained via quadrature using a fast Fourier transform. This makes the global stage fast, stable and non-iterative. For sufficiently smooth functions sampled at well-distributed nodes with small fill distance $h$, we bound the resulting $\\mathrm{L}^2$-error by the error of the harmonic approximation obtained from exact values on the quadrature grid, plus a term of order $h^{K+1}$, where $K$ is the polynomial degree employed in the MLS step. Numerical experiments on $\\mathcal{S}^2$ with ill-distributed nodes show that HAMLS achieves errors comparable to those of global least-squares approximation, while being significantly faster, especially for larger bandwidths.\n12. 半球 $t$-设计的 Marcinkiewicz-Zygmund 不等式 Marcinkiewicz-Zygmund inequalities for hemispherical $t$-designs\n作者: Chao Li, Xiaojun Chen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.39171v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.39171v1\n摘要: In this paper, we introduce a new set of $\\mathbb{L}_2$-orthogonal polynomials on the hemisphere $\\mathbb{S}^d_+:=\\{\\mathbf{x}\\in\\mathbb{R}^{d+1}:\\|\\mathbf{x}\\|=1, \\mathbf{x}\\cdot\\mathbf{e}_{d+1}\\geq0\\}$ and establish $\\mathbb{L}_1$ Marcinkiewicz-Zygmund inequalities on the hemisphere for even and odd spherical polynomials. Hemispherical $t$-designs provide equal weight cubature rules on the hemisphere which are exact for polynomials up to degree $t$. We propose variational characterizations of hemispherical $t$-designs by the $\\mathbb{L}_2$-orthogonal polynomials. Moreover, based on the Marcinkiewicz-Zygmund inequalities and the $\\mathbb{L}_2$-orthogonal polynomials, we prove that for each $n\\geq C_d t^d$, there exists a hemispherical $t$-design on the hemisphere with $n$ points, where $C_d$ is a constant depending only on $d$.\n13. 带 LCHS 的量子 Frozen\u0026ndash;Oseen 同伦分析方法求解非线性偏微分方程 Quantum Frozen\u0026ndash;Oseen homotopy analysis method with LCHS for solving nonlinear partial differential equations\n作者: Jinhao Yuan, Leyu Chen, Tiegang Liu, Kun Wang\n类别: math.NA, quant-ph\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.39170v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.39170v1\n摘要: Nonlinear partial differential equations (PDEs) underpin computational fluid dynamics, yet resolving nonlinear transport on fine grids remains computationally demanding. Quantum linear-evolution algorithms offer a possible route to large-scale simulation but cannot directly propagate nonlinear coupling. Here we develop a Frozen\u0026ndash;Oseen quantum homotopy method (FOQHAM) framework that links transport-aware auxiliary-operator selection to the size of the resulting linear representation. We freeze the full Fréchet derivative at a prescribed flow profile, retaining transport and profile-gradient coupling and close each prescribed finite-order homotopy hierarchy as a fixed affine linear system by product lifting. We formulate its propagation through Linear Combinations of Hamiltonian Simulations (LCHS), without outer homotopy iterations or profile updates. For spatially semidiscrete equations, we establish local approximation bounds and exact closure of the finite-order hierarchy. Classical tests on Burgers, Korteweg\u0026ndash;de Vries, Zakharov\u0026ndash;Kuznetsov, and one- and two-dimensional isothermal compressible Navier\u0026ndash;Stokes equations provide numerical evidence of accurate non-iterative approximations in the tested regimes. The framework thus connects nonlinear PDE approximation to quantum linear evolution and offers a conditional path toward quantum acceleration.\n14. 通过深度 ReLU 神经网络学习谱 Barron 函数的极小极大速率 Minimax rates for learning spectral Barron functions by deep ReLU neural networks\n作者: Songqiu Ma, Yunfei Yang\n类别: stat.ML, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.39020v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.39020v1\n摘要: We study how well deep neural networks approximate and learn spectral Barron functions. Recent studies have shown that these function classes can be efficiently approximated by shallow neural networks without suffering from the curse of dimensionality. We complement these results by providing new approximation bounds for deep networks with ReLU activation and establishing the minimax rates for learning these function classes. Specifically, we show that $d$-dimensional spectral Barron functions with smoothness index $s\u003e0$ can be approximated by deep ReLU neural networks with approximation rate $\\widetilde{\\mathcal{O}} (S^{-\\frac{1}{2}-\\frac{s}{d}})$, where $S$ denotes the number of nonzero parameters in the network. Using this approximation result, we further show that deep ReLU neural networks can learn spectral Barron functions in a fast rate $n^{-\\frac{d+2s}{2d+2s}}$ with $n$ training samples. Finally, we prove that this convergence rate is minimax optimal up to logarithmic factors.\n15. 一种用于具有高阶相互作用的玻色\u0026ndash;爱因斯坦凝聚体基态的保正守恒 Fourier 优化方法 A positive-conservative Fourier optimization method for ground states of Bose\u0026ndash;Einstein condensates with higher-order interactions\n作者: Bo Lin, Xinran Ruan\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.38965v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.38965v1\n摘要: We develop a positive-conservative Fourier optimization (PCFO) method for computing ground states of Bose\u0026ndash;Einstein condensates with higher-order interactions. The ground-state problem admits a convex density formulation, but the singular behavior near zero density poses difficulties for high-accuracy computation. We introduce convex regularizations of the density energy and establish their $Γ$-convergence on the computational domain as the regularization parameters vanish. The regularized problem is discretized by a Fourier pseudospectral method with mass conservation and nodal positivity. For the resulting constrained optimization problem, we use an accelerated first-order method for the main energy reduction, followed by a Newton refinement to reduce the remaining optimality residual. Numerical experiments show spectral-type convergence for regularized problems, quantify the effects of the regularization parameters on accuracy and spatial resolution, and demonstrate the effectiveness of the two-stage optimization method.\n16. 用于双曲守恒律稳态的、采用 WENO-JS 局部求解器的完全收敛定点快速扫描法 A fully convergent fixed-point fast sweeping method with the WENO-JS local solver for steady state of hyperbolic conservation laws\n作者: Liang Li, Jun Zhu, Yong-Tao Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.38841v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.38841v1\n摘要: The fixed-point fast sweeping methods with weighted essentially non-oscillatory (WENO) local solvers are a class of efficient and high-order accuracy numerical methods for solving steady-state solutions of hyperbolic conservation laws. However, with the classical WENO-JS local solver, the iteration residue of high-order fixed-point fast sweeping scheme often has difficulty to settle down to round-off errors. To achieve the full convergence in a fast sweeping method, the fixed-point fast sweeping methods with non-traditional WENO local solvers based on unequal-sized substencils were designed. However, the WENO schemes based on unequal-sized stencils are more complex and in general more expensive in computational costs than the classical WENO-JS schemes. In this paper, we go back to the classical WENO-JS local solver and develop a new fully convergent fifth-order fixed-point fast sweeping method for solving steady-state problems of hyperbolic conservation laws. Based on recent studies on the nonlinear weighting process around discontinuities of solution, we apply the technique of frozen weights for avoiding unnecessary adjustment of nonlinear weights in the WENO-JS local solver, which freezes the nonlinear weights once the residual sequence in the fast sweeping iterations has stabilized. Different from the existing work on frozen weights, we design a simple and robust approach to judge stabilization of iteration residues and determine the iteration step when the nonlinear weights are frozen in the fast sweeping method. Extensive numerical experiments on a wide range of challenging two-dimensional steady-state problems demonstrate that, unlike the previous fast sweeping method with the fifth-order WENO-JS local solver, the proposed new scheme consistently drives the iteration residues to round-off errors and achieves the full convergence.\n17. 退化预条件下具有最优非遍历收敛的 Halpern 加速主化 ADMM Halpern-Accelerated Majorized ADMM with Optimal Non-Ergodic Convergence under Degenerate Preconditioning\n作者: Ning Zhang, Benqi Liu, Liwei Zhang\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.38808v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.38808v1\n摘要: We develop a Halpern-accelerated majorized alternating direction method of multipliers (ADMM) with possibly indefinite proximal terms for linearly constrained convex composite optimization. Majorization simplifies the subproblems but introduces a forward perturbation to the standard degenerate proximal point representation. We reformulate majorized ADMM as a perturbed degenerate proximal point method and characterize the fixed points of the induced mapping as Karush\u0026ndash;Kuhn\u0026ndash;Tucker (KKT) solutions. Under range compatibility and metric cocoercivity conditions, the mapping is nonexpansive in the seminorm induced by a possibly singular preconditioner. In finite dimensions, a verifiable block-matrix condition permits indefinite proximal regularization while retaining the required metric properties. A relaxed Halpern iteration then yields an $\\mathcal O(1/k)$ fixed-point residual bound, sharp in the general nonexpansive setting, and an $\\mathcal O(1/k)$ nonergodic KKT residual bound at the intermediate iterates. Numerical experiments illustrate the predicted residual decay and the benefits of majorization and indefinite proximal terms.\n18. 具有近似少量 ANOVA 项的张量的最坏情况补全 Worst-Case Completion of Tensors with Approximately Few ANOVA Terms\n作者: Simon Foucart, Jingchun Shao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.38749v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.38749v1\n摘要: In this article, the problem of completing a tensor from some incomplete knowledge of its entries is treated by adopting a worst-case perspective, given the realistic assumption that the tensor\u0026rsquo;s low-order ANOVA terms are dominant. We survey and leverage some recent all-purpose results from the field of Optimal Recovery to provide solutions on a theoretical level. But the accompanying constructions of optimal completion procedures, which often feature semidefinite programs, are not directly applicable in the tensor case due to the huge dimensions involved. To resolve the issue, we put forward a storage-friendly way to produce low-order ANOVA projections based on the fast Fourier transform (FFT), while exploiting the specificities of the completion problem to efficiently compute regularizers and extremal eigenvalues. Numerical experiments on synthetic tensors and real-world datasets demonstrate the accuracy and scalability of our FFT-based method.\n19. ABrA-GD：面向相对光滑与（强）凸优化的自适应 Bregman 加速梯度下降 ABrA-GD: Adaptive Bregman Accelerated Gradient Descent for Relatively Smooth and (Strongly-)Convex Optimization\n作者: Damien Scieur\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.38741v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.38741v1\n摘要: We propose ABrA-GD (Adaptive Bregman Accelerated Gradient Descent), an adaptive algorithm for relatively smooth convex optimization. The algorithm is derived from a computable primal\u0026ndash;dual certificate that guarantees progress by comparing the objective value with a lower bound on the minimum of a regularized objective. This certificate enables adaptation to both smoothness and geometry, using only the relative strong convexity constant as a problem-dependent input. We introduce the dual Bregman Length Distortion Factor (BLDF), which measures how dual Bregman lengths change under an anchor shift or rescaling. Under bounded local dual BLDF, ABrA-GD achieves an accelerated $O(1/k^2)$ rate for convex objectives and an accelerated linear rate for relatively strongly convex objectives.\n20. Picard HMC 的高精度模拟，第一部分：高斯云校正 High-accuracy simulation of Picard HMC, part I: Gaussian cloud correction\n作者: Fan Chen, Sinho Chewi, Jianfeng Lu, Matthew S. Zhang\n类别: math.ST, cs.DS, math.NA\n发布日期: 2026-09-30\narXiv ID: 2609.38710v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.38710v1\n摘要: We study the problem of sampling from a continuous density $π\\propto \\exp(-V)$ on $\\mathbb R^d$, where $V\\in C^2(\\mathbb R^d)$ has a $β$-Lipschitz gradient and $π$ satisfies a logarithmic Sobolev inequality with constant $α^{-1}$, and write $κ= β/α$. We introduce the Gaussian cloud sampler, which achieves total variation accuracy $\\varepsilon$ using $\\widetilde O(κd^{1/5}\\,\\text{polylog}(1/\\varepsilon))$ gradient queries in expectation. The algorithm uses first-order rejection sampling (FORS) to correct the law of smoothed Picard HMC trajectories. To do so, we represent the iterates of the ideal Picard iteration via Gaussian clouds, whose centers are never evaluated, and we develop a suite of likelihood correction gadgets which only use samples from this indirect cloud representation.\n21. Null-A 模式：广义逆的组合式计算 The Mode of Null-A: Compositional Computation of a Generalized Inverse\n作者: Barak A. Pearlmutter, Jeffrey Mark Siskind\n类别: math.NA, cs.PL\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.38497v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.38497v1\n摘要: We present a novel algorithm for calculating the preimage of an affine space through a product ${J}={J}_{T-1}\\cdots{J}_0$ of matrices ${J}_t$ of special form: finding the largest input space $\\mathbf{X}$ such that $\\mathbf{x}\\in\\mathbf{X}$ implies ${J}\\mathbf{x}\\in \\mathbf{Y}$, where $\\mathbf{Y}$ is a given output affine space. These special matrices arise in AD, where the Jacobians $J$ describing the linearized computation have precisely this structure: the product of a series of linearized primitive numeric operations. This allows us to use the new algorithm to formulate Null-A mode preimage AD, which finds the affine preimage through the Jacobian or Jacobian transpose of a numeric computation. This is a generalization of the inverse AD problem of solving ${J}\\acute{\\mathbf{x}}^{\\ast}=\\acute{\\mathbf{y}}^{\\ast}$ or ${J}^{T}\\grave{\\mathbf{y}}^{\\ast}=\\grave{\\mathbf{x}}^{\\ast}$. The key is to represent affine spaces in a fashion which lends itself to efficient preimage calculation, in a compositional and quasi-local fashion, through a succession of matrices ${J}_t$. Unlike previous methods, Null-A preimage mode AD allows the ${J}_t$ matrices to be non-square, corresponding to a computer program whose number of active variables swells and shrinks during the computation. When ${J}$ is square and the initial affine space is a single point, this finds the conventional inverse. But in the more general case, having the entire affine space provides freedom which can be leveraged in a problem-specific manner. We apply the method to small problems on-CPU where the $J_t$ are linearized scalar unary or binary numeric functions; and to larger problems on-GPU where the $J_t$ are linearized aggregate array operations like convolution and attention.\n22. 具有滞留和吸收性动脉壁的微极环形流中导管调控的瞬态溶质弥散 Catheter-modulated transient solute dispersion in micropolar annular flow with a retentive and absorptive arterial wall\n作者: Sohel Ahmed, Nanda Poddar, Kajal Kumar Mondal, Subham Dhar\n类别: physics.flu-dyn, math-ph, math.NA, physics.bio-ph, q-bio.TO\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.38423v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.38423v1\n摘要: We study transient solute dispersion in pressure-driven micropolar flow through a concentric annulus representing a catheterized artery. The catheter is impermeable to solute, whereas the arterial wall combines irreversible removal with reversible surface retention. The exact steady micropolar velocity field is coupled to the Gill-Sankarasubramanian generalized-dispersion framework; the resulting bulk-surface hierarchy is advanced with Rannacher-damped Crank-Nicolson time stepping to determine $K_0(t)$, $K_1(t)$ and $K_2(t)$. The exchange coefficient is independent of the micropolar parameters and satisfies $-K_0(0^+)=2(β+θDa)/(1-λ^2)$, whereas $K_2-Pe^{-2}\\simσ_v^2t$ initially, so the leading short-time dispersion is hydrodynamic and independent of wall kinetics. In the weak-reaction regime, micropolarity modifies convection approximately linearly and shear dispersion quadratically through the velocity-amplitude factor. A narrow-gap analysis with $\\varepsilon=1-λ$ gives $\\bar v\\sim(2-N_c)\\varepsilon^2/6$ and $K_2-Pe^{-2}\\sim(2-N_c)^2\\varepsilon^6/7560$ for a fixed pressure gradient, revealing a sixth-power suppression of shear dispersion as the catheter approaches the arterial wall. Increasing $λ$ from $0.01$ to $0.30$ reduces effective convection by about a factor of $2.45$, while chemically passive shear-induced dispersion falls by a factor of $24$. The coupled formulation also yields the exact partition $Φ_m+Φ_s+Φ_a=1$, separating mobile, reversibly retained and irreversibly absorbed solute. The reconstructed field quantifies reaction-modulated transverse non-uniformity, while the results distinguish hydrodynamic effects of confinement and microrotation from kinetic wall effects.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-10-01_17-00-13/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年10月01日 17:00:13\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 8\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 22\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-复杂几何区域上波动方程的一种基于能量的间断-galerkin-方法\"\u003e1. 复杂几何区域上波动方程的一种基于能量的间断 Galerkin 方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eAn energy-based discontinuous Galerkin method for wave equations on complex geometric domains\u003c/p\u003e","title":"2026年10月01日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年09月30日 16:21:06\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 11\n不相关论文数量: 16\n重点关注论文（完整分析） 1. 线性多尺度守恒律的数值均匀化 Numerical homogenization of a linear multiscale conservation law\n作者: Claude Le Bris, Frédéric Legoll, Giulia Merlini\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.37546v1\n摘要翻译: 我们研究线性情形下具有高度振荡通量的标量守恒律的数值逼近。利用所采用格式的内蕴数值黏性（该黏性产生原双曲型方程的抛物正则化），我们使用均匀化理论推导出一个有效方程，并进而对其数值求解。我们的数值实验以 Lax-Friedrichs 格式为例展示了该方法的性能。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.37546v1\n1. 研究对象和背景 本文研究具有高度振荡通量的标量守恒律的数值均匀化问题. 一般对象为 $$\\partial_t u^\\varepsilon(t,x)+\\operatorname{div} F\\left(\\frac{x}{\\varepsilon},u^\\varepsilon(t,x)\\right)=0,$$ 并配以适当的初值与边值条件, 其中 $\\varepsilon\u003e0$ 表示微观尺度, $F$ 依赖于慢变量 $x$ 与快变量 $x/\\varepsilon$, 且对微观尺度高度振荡. 本文聚焦线性通量情形 $$F\\left(\\frac{x}{\\varepsilon},u^\\varepsilon(t,x)\\right)=u^\\varepsilon(t,x)b\\left(\\frac{x}{\\varepsilon}\\right),$$ 其中速度场 $b$ 取光滑且关于小尺度周期. 于是方程化为守恒形式的线性输运方程 $$\\partial_t u^\\varepsilon(t,x)+\\operatorname{div}\\left(u^\\varepsilon(t,x)b\\left(\\frac{x}{\\varepsilon}\\right)\\right)=0.$$ 直接数值求解该问题的困难在于, 若想分辨 $u^\\varepsilon$ 预期的微观振荡, 时空离散参数必须细到 $O(\\varepsilon)$, 在高维或长时计算中通常不可接受. 因此需要借助均匀化思想构造有效方程或有效数值方法. 均匀化理论在振荡系数椭圆或抛物问题中已是成熟工具, 但对双曲守恒律, 情形远比椭圆或抛物复杂. 一维线性输运方程中, 经典结果给出 $\\varepsilon\\to0$ 时 $$\\partial_t u^\\star(t,x)+\\operatorname{div}(u^\\star(t,x)b^\\star)=0,\\qquad b^\\star=\\langle b^{-1}\\rangle^{-1},$$ 即有效速度为周期胞元上的调和平均, 其中 $\\langle\\cdot\\rangle$ 表示周期胞元平均. 然而在二维及以上, 对一般周期速度场 $b$, 通常不能指望存在单一的宏观均匀化方程; 极限方程可能仍耦合微观变量 $y=x/\\varepsilon$ 与宏观变量 $x$, 因而本质上保持多尺度结构. 只有在特殊几何或动力学情形下, 微观变量才能被消去, 例如遍历流可得到仅含宏观变量的线性输运方程, 而剪切流则给出带记忆项的非局部扩散方程. 另一方面, 若在原双曲方程中加入一个与 $\\varepsilon$ 竞争的合适小粘性项, 即 $$\\partial_t u^\\varepsilon(t,x)+\\operatorname{div}\\left(u^\\varepsilon(t,x)b\\left(\\frac{x}{\\varepsilon}\\right)\\right)-\\delta\\varepsilon\\Delta_x u^\\varepsilon(t,x)=0,$$ 且 $\\delta\u003e0$ 固定, 则不论速度场和流线拓扑如何, 均匀化极限都较为清晰: 存在完全宏观的双曲型线性输运极限, 形式为 $\\partial_t\\bar u+\\operatorname{div}(\\bar u b^\\star)=0$. 这一方向的参考理论工作是 A.-L. Dalibard 的工作 [9], 本文频繁将其作为理论指导. 本文试图补足的空白并非重新证明连续方程本身的均匀化定理, 而是把参考对象从连续解 $u^\\varepsilon$ 转向数值格式自身. 作者观察到大多数守恒律数值格式含有内禀数值粘性, 因此格式所对应的修正方程在合适离散参数尺度下会呈现抛物正则化. 若能对这一修正方程应用均匀化理论, 便可得到格式层面的有效方程, 进而用粗网格求解有效方程来廉价地近似原始格式的离散解. 本文以 Lax-Friedrichs 格式作为具体例子, 因为该格式以强扩散性著称, 其数值粘性足以产生与 $\\delta\\varepsilon\\Delta_x$ 类似的正则化项. 核心问题因此变为三个尺度的相互作用: 时间步长 $\\delta t$, 空间步长 $h$, 以及通量振荡尺度 $\\varepsilon$. 此外还涉及数值粘性前因子 $\\delta$ 与 CFL 参数. 均匀化与离散化一般不交换, 而在双曲问题中这一不交换性尤为关键. 作者关心的实际场景是: 已决定使用某个格式, 例如 Lax-Friedrichs 格式, 但由于 $b(x/\\varepsilon)$ 振荡过强, 直接使用该格式需要 $h$ 与 $\\delta t$ 小到无法承受. 本文提出的路线是对该格式的修正方程做均匀化, 得到不含 $\\varepsilon$ 的有效方程, 再用用户选择的数值方法求解有效方程, 从而在更粗的时空网格上获得对原格式离散解的高效替代. 文中还明确讨论了高维和剪切流带来的复杂情形, 并强调 $(c_t,c_x)\\to(0,0)$ 与 $\\varepsilon\\to0$ 两个极限不交换, 因此正则化抛物型问题的均匀化极限与原双曲型问题的均匀化极限可能根本不同.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果可以概括为对 Lax-Friedrichs 格式的修正方程进行均匀化, 并由此获得宏观有效输运方程. 在一维设定中, 网格为 $x_i=ih$, 时间步为 $t_n=n\\delta t$, 未知量记为 $(U^\\varepsilon)^n_i$. Lax-Friedrichs 格式写作 $$\\frac{(U^\\varepsilon)^{n+1}_i-\\frac12((U^\\varepsilon)^n_{i+1}+(U^\\varepsilon)^n_{i-1})}{\\delta t}+\\frac{(U^\\varepsilon)^n_{i+1}b^\\varepsilon_{i+1}-(U^\\varepsilon)^n_{i-1}b^\\varepsilon_{i-1}}{2h}=0,$$ 其中 $b^\\varepsilon_i=b(x_i/\\varepsilon)$. 该格式可改写为守恒形式 $$(U^\\varepsilon)^{n+1}_i=(U^\\varepsilon)^n_i-\\frac{\\delta t}{h}\\left(F^n_{i+1/2}-F^n_{i-1/2}\\right),$$ 数值通量为 $$F^n_{i+1/2}=\\frac{h}{2\\delta t}\\left((U^\\varepsilon)^n_i-(U^\\varepsilon)^n_{i+1}\\right)+\\frac12\\left((U^\\varepsilon)^n_{i+1}b^\\varepsilon_{i+1}+(U^\\varepsilon)^n_i b^\\varepsilon_i\\right).$$ 稳定性由 CFL 条件保证: $$\\delta t\u003c\\frac{h}{\\|b^\\varepsilon\\|_{L^\\infty(\\Omega)}},$$ 文中为简化取 $$\\delta t=\\alpha\\frac{h}{\\|b^\\varepsilon\\|_{L^\\infty}},\\qquad \\alpha\u003c1.$$ 在 $\\varepsilon$ 固定时, 作者通过 Taylor 展开和修正方程方法得到 Lax-Friedrichs 格式对应的修正方程 $$\\partial_t u^\\varepsilon_{\\mathrm{mod}}+\\partial_x(u^\\varepsilon_{\\mathrm{mod}}b^\\varepsilon)+\\frac{\\delta t}{2}\\left(\\partial_x[u^\\varepsilon_{\\mathrm{mod}}b^\\varepsilon\\partial_x b^\\varepsilon]+(\\partial_x[(b^\\varepsilon)^2])\\partial_x u^\\varepsilon_{\\mathrm{mod}}\\right)-\\left(\\frac{h^2}{2\\delta t}-\\frac{\\delta t(b^\\varepsilon)^2}{2}\\right)\\partial_{xx}u^\\varepsilon_{\\mathrm{mod}}=0.$$ 关键的观察是, 由于 CFL 条件, 二阶项前因子保持正定: $$\\frac{h^2}{2\\delta t}\\left(1-\\frac{\\delta t^2(b^\\varepsilon)^2}{h^2}\\right)\\ge\\frac{h^2}{2\\delta t}(1-\\alpha^2)\u003e0.$$ 因而该修正方程是抛物型正则化方程, 其形式与连续层面加入 $\\delta\\varepsilon\\Delta_x$ 正则化的方程类似. 随后作者选择离散参数与微观尺度同阶: $$h=c_x\\varepsilon,\\qquad \\delta t=c_t\\varepsilon,\\qquad c_t=\\alpha\\frac{c_x}{\\|b^\\varepsilon\\|_{L^\\infty}},\\qquad \\alpha\u003c1.$$ 在这一标度下, 修正方程仅通过 $\\varepsilon$ 参数化, 且形式上对应一个特定校准的粘性系数 $$\\delta=\\frac{c_x^2}{2c_t}(1-\\alpha^2).$$ 接着作者借助 Dalibard [9] 的均匀化机制对该修正方程进行均匀化, 得到宏观有效方程 $$\\partial_t\\bar u(t,x)+\\bar b\\partial_x\\bar u(t,x)=0,$$ 其中有效速度 $\\bar b$ 由周期胞元问题确定. 摘录中提到该胞元问题见 (26), 是在最简单一维设定中参数化于 $c_x$ 与 $c_t$ 的. 作者之后写 $\\bar u_{c_x}$ 与 $\\bar b_{c_x}$ 以强调对 $c_x$ 的依赖, 其中 $c_t$ 又由 $c_x$ 固定. 从数值实现的角度, 一旦求出胞元问题和有效速度, 只需数值求解不含 $\\varepsilon$ 的有效方程 (9), 即可获得对原 Lax-Friedrichs 格式离散解的经济近似. 论文进一步把推导扩展到二维设定, 但提供的前十页摘录没有给出二维修正方程或二维胞元问题的完整公式, 因此从现有材料无法确认二维定理的精确形式. 数值实验部分设计了两个渐近 regime. 第一个 regime 固定离散参数 $c_x$ 与 $c_t$, 令微观尺度 $\\varepsilon$ 逐渐趋于零, 用以在格式层面展示第 2 节的均匀化过程. 第二个 regime 固定较小的 $\\varepsilon$, 令 $c_x$ 越来越细, 使原格式的数值解趋向原守恒律的精确振荡解. 第二个 regime 分别在一维和二维考察. 二维中流动拓扑起作用, 特别对比了原守恒律的均匀化极限为经典输运方程的情形与剪切流这一更复杂情形. 作者报告: 当连续均匀化极限是经典输运方程时, 本文方法不仅是对特定 Lax-Friedrichs 格式的有效替代, 也可作为原双曲守恒律精确数值解在 $\\varepsilon\\to0$ 时的有效替代. 在剪切流情形中, 若适当调整离散参数, 有效方程数值解仍是 Lax-Friedrichs 格式的高效替代, 但它与 $\\varepsilon\\to0$ 时原守恒律解的行为根本不同. 这并不意外, 因为正则化抛物型方程与原双曲型方程具有不同的均匀化极限, 即 $(c_t,c_x)\\to(0,0)$ 与 $\\varepsilon\\to0$ 不可交换. 最后, 第四节第三小节在一维中比较了本文方法与经典有限差分格式在给定计算代价下的精度以及达到给定精度所需代价. 不过, 提供片段未包含具体误差阶、收敛率、表格或定理编号, 因此无法在本文分析中确认相应定量结论.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的技术核心不是重新建立双曲守恒律的连续均匀化理论, 而是把均匀化理论应用于数值格式的修正方程, 并把数值粘性视为实现均匀化的正则化机制. 主要障碍有三层. 第一, 双曲守恒律本身的均匀化在二维及以上非常微妙: 一般周期速度场下可能不存在单一的宏观有效方程, 极限可能保持微观-宏观耦合结构; 即便存在有效方程, 其类型和形式也依赖流场几何. 第二, 离散化与均匀化不交换, 尤其当双曲问题中三个尺度, 即时空步长 $(\\delta t,h)$, 格式数值粘性前因子 $\\delta$ 以及微观尺度 $\\varepsilon$, 以不同相对速率变化时, 会进入完全不同的渐近 regime. 第三, 在振荡系数 $b^\\varepsilon=b(\\cdot/\\varepsilon)$ 下推导修正方程时, Taylor 展开本身需要小心处理, 因为系数在网格尺度上快速变化. 作者的真正创新点在于改变参考对象: 不是先对连续方程 $\\partial_t u^\\varepsilon+\\operatorname{div}(u^\\varepsilon b^\\varepsilon)=0$ 做均匀化, 而是承认实际计算中使用的是某个格式, 然后对该格式进行均匀化. 对 Lax-Friedrichs 格式, 作者先将其写成有限体积守恒形式, 并写出数值通量. 这一保守形式为后续修正方程分析提供了系统框架. 随后, 假设存在光滑函数 $u^\\varepsilon_{\\mathrm{mod}}$ 使得 $u^\\varepsilon_{\\mathrm{mod}}(t_n,x_i)=(U^\\varepsilon)^n_i$, 对时间与空间做 Taylor 展开, 保留到第一个非平凡修正项, 得到抛物型修正方程. 这一步的关键技术作用是显示数值粘性项 $$-\\left(\\frac{h^2}{2\\delta t}-\\frac{\\delta t(b^\\varepsilon)^2}{2}\\right)\\partial_{xx}u^\\varepsilon_{\\mathrm{mod}}$$ 的系数为正. CFL 条件 $\\delta t=\\alpha h/\\|b^\\varepsilon\\|_{L^\\infty}$ 与 $\\alpha\u003c1$ 保证正性估计 $$\\frac{h^2}{2\\delta t}\\left(1-\\frac{\\delta t^2(b^\\varepsilon)^2}{h^2}\\right)\\ge\\frac{h^2}{2\\delta t}(1-\\alpha^2)\u003e0.$$ 因此格式的内禀数值粘性自动给出一个一致抛物正则化, 其尺度可由 $h$ 与 $\\delta t$ 调节. 第二个关键步骤是参数标度校准. 作者选择 $$h=c_x\\varepsilon,\\qquad \\delta t=c_t\\varepsilon,\\qquad c_t=\\alpha c_x/\\|b^\\varepsilon\\|_{L^\\infty},$$ 使修正方程中的二阶项与连续正则化模型中的 $\\delta\\varepsilon\\Delta_x$ 相匹配, 其中 $$\\delta=\\frac{c_x^2}{2c_t}(1-\\alpha^2).$$ 这一步使修正方程只通过 $\\varepsilon$ 参数化, 从而可以直接调用已有的均匀化机器. 作者明确采用 Dalibard [9] 的框架作为理论指导, 该框架处理带合适小粘性的守恒律并给出完全宏观的双曲极限. 本文把该框架应用于格式的修正方程, 而不是原连续方程. 由此得到的有效方程为 $$\\partial_t\\bar u+\\bar b\\partial_x\\bar u=0,$$ 有效速度 $\\bar b$ 通过周期胞元问题计算. 摘录中只提到一维最简单胞元问题见 (26), 并说明它参数化于 $c_x$ 与 $c_t$. 因此可以确认计算有效速度需要解一个与周期振荡场相关的椭圆/胞元问题, 但具体变分形式或显式表达式在提供片段中未给出. 在实现层面, 作者在第三节描述有效方程的离散、胞元问题的求解、有效速度的计算, 以及相关离散参数 regime 和数值评价指标. 数值试验不是单纯验证连续均匀化, 而是分 regime 检验格式层面均匀化的有效性和计算优势. 一个 regime 固定 $c_x$, 令 $\\varepsilon\\to0$, 以展示格式修正方程的均匀化; 另一个 regime 固定小 $\\varepsilon$, 令 $c_x\\to0$, 比较原始 Lax-Friedrichs 格式的数值解、原守恒律精确振荡解与有效方程解. 二维试验特别强调流动拓扑的作用, 对比经典输运型均匀化极限与剪切流导致的非局部极限. 作者还指出, 虽然推导以 Lax-Friedrichs 为例, 因为该格式粘性大且技术细节较简单, 但原则上方法可适用于任何含粘性的数值格式; 不过一般性结论尚未获得. 局限也很明确: 本文处理线性通量、周期光滑速度场; 非线性通量、局部周期介质、随机介质、高阶格式和不同标度留作后续工作. 因此当前方法的核心工具是修正方程, 数值粘性正性分析, 尺度匹配, 以及将均匀化定理应用于格式层面的抛物正则化方程.\n4. 与之前工作的比较 与经典均匀化理论文献相比, 例如一般性著作 [3,20,14,7,4], 本文的出发点不是直接计算连续方程 $\\partial_t u^\\varepsilon+\\operatorname{div}(u^\\varepsilon b^\\varepsilon)=0$ 当 $\\varepsilon\\to0$ 的极限. 经典椭圆和抛物均匀化中, 系数振荡可导致有效系数张量, 数值均匀化方法也已相当成熟; 但双曲守恒律的均匀化要困难得多, 因为一般情形下极限可能保持多尺度, 或只在特殊流场下退化为宏观方程. 本文明确把研究定位在数值格式层面, 并利用格式固有的数值粘性构造抛物正则化, 这是与经典连续均匀化路线的主要区别. 在一维连续线性输运情形, 已有经典结果为 $\\varepsilon\\to0$ 时有效速度取调和平均 $b^\\star=\\langle b^{-1}\\rangle^{-1}$. 本文并不否定这一连续结果, 但其均匀化对象是 Lax-Friedrichs 格式的修正方程, 得到的有效速度由胞元问题决定, 并且依赖离散参数 $c_x$ 与 $c_t$. 因此两者在概念上相关, 但本文的有效速度是格式层面而非原连续方程层面的对象. 与二维双曲均匀化的既有认识相比, 作者在引言中清楚回顾了若干情形: 对一般周期速度场, 方程在 $\\varepsilon\\to0$ 时仍可能多尺度, 甚至不存在单一有效方程; 对遍历流, 极限可化为线性输运方程; 对剪切流, 极限为带记忆项的非局部扩散方程. 本文的数值实验专门考察了这些差异. 当原守恒律的均匀化极限是经典输运方程时, 本文有效方程既是 Lax-Friedrichs 格式的良好替代, 也接近原双曲守恒律的精确数值解. 当流场为剪切流时, 作者报告有效方程数值解仍是 Lax-Friedrichs 格式在适当离散参数下的高效替代, 但它与原守恒律在 $\\varepsilon\\to0$ 时的解行为不同. 这是因为本文实际均匀化的是数值格式的抛物修正方程, 而正则化抛物型方程与原双曲型方程具有不同的均匀化极限; 换言之, 两个极限 $(c_t,c_x)\\to(0,0)$ 与 $\\varepsilon\\to0$ 不交换. 这一发现与既有双曲均匀化理论一致, 但将其推到数值方法层面, 并给出了具体的计算策略和实验比较. 与 Dalibard [9] 的关系最为直接. [9] 研究的是连续方程中显式加入小粘性 $\\delta\\varepsilon\\Delta_x$ 后的均匀化, 覆盖线性通量甚至拟线性通量, 并给出完全宏观的双曲极限. 本文把 [9] 作为理论指导, 但起点是数值格式的修正方程, 而不是连续正则化方程. 因此本文的新意在于指出 Lax-Friedrichs 等格式的内禀数值粘性可以提供所需正则化, 并通过尺度匹配 $h=c_x\\varepsilon$, $\\delta t=c_t\\varepsilon$ 使修正方程落入 [9] 的适用框架. 代价是有效速度依赖于离散参数, 且方法继承 Lax-Friedrichs 的强扩散性; 一旦换格式, 数值粘性结构可能不同, 一般性尚待研究. 与直接使用 Lax-Friedrichs 格式求解原方程相比, 直接方法为了分辨 $b(x/\\varepsilon)$ 的振荡, 通常需要 $h$ 和 $\\delta t$ 小到与 $\\varepsilon$ 同阶或更细, 计算代价高昂. 本文的均匀化有效方程不含 $\\varepsilon$, 因而允许在更粗的网格上求解, 这是其主要计算优势. 作者在第四节第三小节对一维情形进行了性能评估, 比较本文方法与经典有限差分格式在给定计算代价下的精度以及达到给定精度所需代价. 不过, 提供的前十页摘录未包含具体误差数据、复杂度标度或定量加速比, 因此无法确认这些比较的精确数值结论. 与交通流模型中的非局部到局部极限研究 [8] 也有相似之处: 那里同样存在离散化与连续极限过程相互干扰的现象. 但作者强调视角根本不同, 因为 [8] 关注连续层面的非局部到局部极限, 而本文完全以计算为目标, 构造原守恒律的实际数值近似. 最后, 本文的比较范围受假设限制: 速度场周期、光滑, 通量线性, 例子限于 Lax-Friedrichs 格式. 作者明确表示非线性通量、局部周期介质、随机介质、高阶格式和更一般标度尚待研究; 对随机介质能否扩展, 作者也表示不确定. 因此与更广泛数值均匀化文献相比, 本文目前提供的是一维和二维部分情形下的格式层面均匀化框架及数值验证, 而不是一般非线性多尺度守恒律的完备理论.\n2. 针对穿过多孔膜的 Stokes 流的具有有效界面条件的均匀化模型的数值研究 Numerical investigation of a homogenized model with effective interface conditions for Stokes flow through porous membranes\n作者: Jonas Knoch, Pietro Italiano, Markus Gahn, Carsten Gräser, Maria Neuss-Radu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.37068v1\n摘要翻译: 我们数值研究了穿过薄多孔层的流体流动，该薄多孔层被建模为分隔两个体区域的低维界面。在该界面上，我们施加涉及均匀化系数的有效传输条件，这些系数由先前工作中的双尺度方法严格推导得到。这些系数由编码多孔层微观性质的单胞问题确定。第一步，我们定性分析有效系数如何依赖于孔隙几何。基于这些计算，我们随后给出包含有效界面条件的宏观模型的数值模拟。尽管用有效界面替代薄多孔层显著降低了计算成本，但所得的非标准传输条件给数值实现带来了额外挑战。我们采用 Taylor\u0026ndash;Hood 型混合有限元离散，其中界面上的压力和切向速度不连续，并证明了所得格式的稳定性以及误差估计。最后，对于仍可在计算上分辨的微观几何，我们将宏观模型的结果与微观模型直接模拟所得结果进行比较。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.37068v1\n1. 研究对象和背景 本文研究由两个宏观体域 $\\Omega^{+}$ 与 $\\Omega^{-}$ 被一层厚度为 $O(\\varepsilon)$ 的薄多孔膜 $\\Omega^{M}_{\\varepsilon}$ 分隔的 Stokes 流问题. 在微观尺度上, 需要同时解析体域和膜内孔隙中的流动, 未知量为 $(v^{+}_{\\varepsilon},p^{+}_{\\varepsilon})$ 与 $(v^{-}_{\\varepsilon},p^{-}_{\\varepsilon})$, 其模型由第一性原理给出, 但直接数值模拟因复杂孔隙结构而计算代价很高. 通过两尺度均匀化和降维, 薄层被替换为低维界面 $\\Sigma$, 得到微宏观传输模型. 本文所处理的有效模型是: 在 $\\Omega^{\\pm}$ 中 $$ -\\nabla \\cdot D(v^{\\pm}) + \\nabla p^{\\pm} = f^{\\pm}, \\qquad \\nabla \\cdot v^{\\pm} = 0 \\quad \\text{in } \\Omega^{\\pm}, $$ 在 $\\Sigma$ 上施加有效传输条件 $$ [v^{+}]_3 = [v^{-}]_3, $$ $$ -[ (D(v)-pI)\\nu \\cdot \\nu ] = K^{+}v^{+}\\cdot \\nu^{+} - K^{-}v^{-}\\cdot \\nu^{-}, $$ $$ [ (D(v^{\\pm})-p^{\\pm}I)\\nu^{\\pm} ]_t = -[K^{\\pm}v^{\\pm}]_t - M^{\\mp}v^{\\mp}, $$ 其中 $[\\cdot]$ 表示跨 $\\Sigma$ 的跳跃, $[\\cdot]_t$ 表示切向部分, $\\nu^{\\pm}$ 为外法向, $K^{\\pm},M^{\\pm}\\in\\mathbb{R}^{3\\times 3}$ 是有效渗透率系数. 这些系数由标准周期胞 $Z=Y\\times(-1,1)=(0,1)^2\\times(-1,1)$ 上的 Stokes 胞问题决定. 设 $Z_f$ 为流体部分, $Z_s$ 为固体骨架, $\\Gamma=\\mathrm{int}(Z_f\\cap Z_s)$, $S^{\\pm}=Y\\times\\{\\pm1\\}$. 本文假设 $\\partial Z_s\\cap S^{\\pm}=\\emptyset$, 即固体骨架不接触上下边界. 胞问题为 $$ -\\nabla_y \\cdot D_y(q^{\\pm}_i) + \\nabla_y \\pi^{\\pm}_i = 0, \\qquad \\nabla_y \\cdot q^{\\pm}_i = 0 \\quad \\text{in } Z_f, $$ $$ q^{\\pm}_i = 0 \\text{ on } \\Gamma\\cup S^{\\mp}, \\qquad q^{\\pm}_i = e_i \\text{ on } S^{\\pm}, \\qquad q^{\\pm}_i,\\pi^{\\pm}_i \\text{ 是 } Y\\text{-周期}, $$ 以及相应的 $q_3,\\pi_3$ 问题. 有效系数由 $$ K^{\\alpha}_{ij}=\\int_{Z_f} D_y(q^{\\alpha}_i):D_y(q^{\\alpha}_j)\\,dy, \\qquad M^{+}_{ij}=\\int_{Z_f} D_y(q^{+}_j):D_y(q^{-}_i)\\,dy $$ 等公式定义. 该模型的一个重要特征是微宏观单向耦合: 胞问题独立于宏观解, 只通过系数进入宏观界面条件. 问题的重要性在于: 直接解析薄多孔层在三维复杂孔隙几何中计算代价很高, 而有效界面模型可显著降低计算量; 但与现象学模型不同, 这里的界面系数来自微观结构, 因此能够反映孔隙几何对宏观流动的影响. 已有 [4,8,10] 通过严格均匀化推导了该模型, 但数值分析、稳定有限元格式、实现细节及系统数值验证仍不充分. 特别是有效传输条件非标准: 仅法向速度连续, 切向速度和压力一般跨 $\\Sigma$ 不连续, 导致经典 Taylor-Hood 或全局连续压力方法遇到困难. 本文试图填补这一空白: 首先数值求解胞问题并考察有效系数对孔几何的依赖; 然后对宏观有效传输模型构造 Taylor-Hood 型混合有限元离散, 允许压力和切向速度跨界面不连续, 并证明稳定性与误差估计; 最后在仍可计算分辨的微观几何上, 将有效模型与直接微观模型进行比较. 此外, 作者研究对称和非对称胞几何、四种外边界条件下的有效流行为, 并对圆柱高度和半径做灵敏度分析. 从提供内容中无法确认后续数值实验的全部细节和误差表.\n2. 主要定理或主要结果 从提供内容看, 可以确认的主要理论结果如下.\n第一, 作者给出有效传输模型的弱形式. 定义 $X=H^{+}\\times H^{-}$, $H^{\\pm}=H^1(\\Omega^{\\pm},\\partial_D\\Omega^{\\pm})^3$, 并定义 $$ H=\\{\\varphi\\in X: [\\varphi^{+}]_3=[\\varphi^{-}]_3 \\text{ on } \\Sigma\\}=X\\cap H_{\\mathrm{div}}(\\Omega), $$ $$ V=\\{\\varphi\\in H: \\nabla\\cdot \\varphi=0 \\text{ in } \\Omega^{+}\\cup\\Omega^{-}\\}, $$ $$ Q=\\begin{cases} L^2_0(\\Omega), \u0026 \\partial_N\\Omega=\\emptyset,\\\\ L^2(\\Omega), \u0026 |\\partial_N\\Omega|\u003e0. \\end{cases} $$ 弱解定义为 $(v-v_D,p)\\in V\\times Q$, 且对所有 $\\varphi\\in H$ 满足双线性形式与线性形式构成的变分方程. 作者进一步将其写成鞍点问题 $$ a(v,\\varphi)+b(\\varphi,p)=\\ell(\\varphi) \\quad \\forall\\varphi\\in H, \\qquad b(v,q)=0 \\quad \\forall q\\in Q. $$ 其中 $a=a^{+}+a^{-}+a_{\\Sigma}$, 界面项为 $$ a_{\\Sigma}(v,\\varphi)=\\int_{\\Sigma} K v\\cdot\\varphi\\,d\\sigma, \\qquad K=\\begin{pmatrix} K^{+} \u0026 M^{-}\\\\ M^{+} \u0026 K^{-} \\end{pmatrix}. $$第二, 在假设 (A1) 与 (A2) 下, 作者证明 Proposition 2.1: 若 $Z_s\\neq\\emptyset$, 则有效传输模型 (2.2) 与边界条件 (2.3) 存在唯一弱解. 假设 (A1) 要求 $f^{\\pm}\\in L^2(\\Omega^{\\pm})$; 假设 (A2) 要求 $v^{\\pm}_D\\in H^1(\\Omega^{\\pm})$ 且在 $\\Omega^{\\pm}\\setminus\\Sigma$ 中具紧支集、散度为零, $g^{\\pm}\\in L^2(\\partial_N\\Omega^{\\pm})$, 并区分 $|\\partial_N\\Omega|\u003e0$ 与 $\\partial_N\\Omega=\\emptyset$ 两种情形选择压力空间.\n第三, 适定性证明的核心是 coercivity 与 inf-sup 条件. Coercivity 用到 [8, Lemma 5] 的结果: 对任意 $\\xi^{\\pm}\\in\\mathbb{R}^3$ 且 $\\xi^{+}_3=\\xi^{-}_3$, 有 $$ K\\xi\\cdot\\xi = M^{+}\\xi^{+}\\cdot\\xi^{-}+M^{-}\\xi^{-}\\cdot\\xi^{+}+\\sum_{\\pm}K^{\\pm}\\xi^{\\pm}\\cdot\\xi^{\\pm} \\ge c_0\\sum_{\\pm}|\\xi^{\\pm}|^2, $$ 即对称矩阵 $K$ 在相应五维子空间上正定. 于是 $$ a(v,v)\\ge \\sum_{\\pm}\\int_{\\Omega^{\\pm}}|D(v^{\\pm})|^2\\,dx + c_0\\int_{\\Sigma}|v^{\\pm}|^2\\,d\\sigma \\ge C\\sum_{\\pm}\\|v^{\\pm}\\|^2_{H^1(\\Omega^{\\pm})}, $$ 最后一步使用 Korn 第二不等式. Inf-sup 条件通过作者给出的 Lemma 2.1 拼接子域上的 inf-sup 条件得到; 该引理断言若 $Y=Y_1\\oplus Y_2$, 且 $X_i$ 与 $Y_i$ 关于 $b$ 双正交, 各 $X_i\\times Y_i$ 满足 inf-sup, 则 $X\\times Y$ 也满足 inf-sup, 常数 $\\beta=\\frac12\\min\\{\\beta_1,\\beta_2\\}$. 作者用 $H^{\\pm}_0=H^1(\\Omega^{\\pm},\\partial_D\\Omega^{\\pm}\\cup\\Sigma)^3$ 与 $Q^{\\pm}=L^2(\\Omega^{\\pm})$ 或 $L^2_0(\\Omega^{\\pm})$ 处理分块, 并对 $\\partial_N\\Omega^{\\pm}=\\emptyset$ 的情形构造对偶空间 $\\mathrm{span}\\{\\hat p\\}$ 与 $\\mathrm{span}\\{\\hat v\\}$, 利用 div 的满射性和法向速度连续性证明 $b(\\hat v,\\hat p)\\neq0$.\n第四, 关于离散格式, 摘要和引言声称采用 Taylor-Hood 型混合有限元, 跨界面的压力和切向速度不连续, 并证明稳定性以及误差估计. 引言还称经典鞍点理论给出最优阶误差界, 数值例子中观察到最优阶. 然而, 提供 PDF 文本截止于第 10 页, 未给出离散定理编号、精确误差范数、网格条件、稳定性常数和误差阶公式, 因此无法确认其具体形式.\n第五, 数值结果方面: 作者计算胞问题解和有效系数, 考察对称胞 (圆柱并集) 与非对称胞 (含倾斜段) 的差异; 选择四种外边界条件驱动流动; 对圆柱高度和半径做灵敏度分析. 引言指出当竖向圆柱高度接近最大值, 即固体骨架与体域距离很小时, 有效系数爆炸, 界面有效速度趋于零, 膜趋于不可渗透; 极限接触情形在 [8] 中处理并得到界面速度为零, 因此数值结果暗示速度对微观几何连续依赖, 但该连续性尚未解析证明. 最后, 对仍可计算分辨的微观几何, 将宏观有效模型与直接微观模型数值比较. 具体数值误差、收敛阶表和参数值从提供内容中无法确认.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 主要技术障碍有四个层面.\n(1) 模型本身非标准. 界面条件只要求法向速度连续, 而切向速度和压力一般跨 $\\Sigma$ 不连续. 因此弱形式不能在整体 $H^1(\\Omega)^3$ 中取测试函数, 而应取 $H=X\\cap H_{\\mathrm{div}}(\\Omega)$, 其中 $X=H^{+}\\times H^{-}$ 允许跨界面切向不连续; 压力则取 $Q=L^2(\\Omega)$ 或 $L^2_0(\\Omega)$, 取决于 Neumann 边界是否为空. 界面项 $a_{\\Sigma}(v,\\varphi)=\\int_{\\Sigma}Kv\\cdot\\varphi\\,d\\sigma$ 带有耦合矩阵 $K=(K^{+},M^{-};M^{+},K^{-})$, 它把两侧速度耦合起来. 这种结构使问题不能直接套用标准 Stokes 鞍点理论.\n(2) 适定性与 inf-sup 条件的证明. 关键障碍是全局压力空间的分块 inf-sup 条件. 作者提出并证明 Lemma 2.1: 若 $Y=Y_1\\oplus Y_2$, $X_i$ 与 $Y_i$ 关于 $b$ 双正交, 且各 $X_i\\times Y_i$ 满足 inf-sup, 则全空间 $X\\times Y$ 也满足 inf-sup, 常数 $\\beta=\\frac12\\min\\{\\beta_1,\\beta_2\\}$. 然后取 $X_1=H^{+}_0\\times H^{-}_0$, $Y_1=Q^{+}\\times Q^{-}$, 利用子域上经典 Stokes inf-sup 条件; 对纯 Dirichlet 或混合边值造成的额外常数压力模态, 取 $Y_2=Y_1^{\\perp}=\\mathrm{span}\\{\\hat p\\}$, $X_2=\\mathrm{span}\\{\\hat v\\}$, 并利用 $\\mathrm{div}:H^{\\pm}\\to L^2(\\Omega^{\\pm})$ 的满射性以及条件 $[\\hat v^{+}]_3=[\\hat v^{-}]_3$ 构造 $\\hat v$, 从而证明 $b(\\hat v,\\hat p)\\neq0$. 这一步把分块 inf-sup 提升为全局 inf-sup, 是该文适定性分析的关键工具.\n(3) Coercivity 证明. 作者不通过极限论证, 而是直接用线性存在理论. 核心是使用模型推导中已有结果: 矩阵 $K$ 在满足 $\\xi^{+}_3=\\xi^{-}_3$ 的五维子空间上正定, 即 $$ K\\xi\\cdot\\xi \\ge c_0\\sum_{\\pm}|\\xi^{\\pm}|^2. $$ 结合 Korn 第二不等式, 得到 $a(v,v)\\ge C\\sum_{\\pm}\\|v^{\\pm}\\|^2_{H^1(\\Omega^{\\pm})}$. 这里的真正创新不是重复经典能量估计, 而是把有效界面系数的正定性恰当地嵌入变分形式, 从而在仅法向速度连续的空间 $H$ 上获得强制性和适定性.\n(4) 有限元离散与实现. 作者采用 Taylor-Hood 型混合有限元, 但作了非标准修改: 压力空间和切向速度允许跨界面 $\\Sigma$ 不连续, 而法向速度保持连续. 该离散可视为两个子域上经典 Taylor-Hood 格式的耦合, 压力空间按外边界条件调整. 引言称稳定性与最优阶误差估计由经典鞍点理论证明. 但提供文本未展示离散空间精确定义、离散 inf-sup 证明、网格匹配条件和误差阶公式, 因此无法确认技术细节. 实现层面, 作者使用模块化 C++ 框架 DUNE, 利用其 product spaces 构造乘积有限元空间, 利用变分形式 assembler 在子域和界面上装配; 文中指出对子域和界面上有限元空间与变分形式的支持是 DUNE 模块近期才加入的, 本应用推动了该实现. 胞问题则在复杂周期胞 $Z_f$ 上数值求解, 包括网格生成、周期边界处理、嵌固体结构处理, 然后积分公式 (2.4) 得到 $K$ 与 $M$.\n总体而言, 该文的真正创新点是: 针对由严格均匀化得到的非标准界面传输条件, 构造并分析允许压力和切向速度跨界面不连续的 Taylor-Hood 型混合有限元, 并用一个分块 inf-sup 拼接引理与有效系数正定性证明适定性; 同时借助 DUNE 的乘积空间和变分形式功能实现复杂子域-界面耦合. 数学证明与实现工具紧密结合, 而不仅是泛泛的能量估计或紧性方法.\n4. 与之前工作的比较 与现象学模型 [7,24,25] 相比, 本文的界面条件中的 $K^{\\pm},M^{\\pm}$ 不是从应用数据估计, 而是由微观胞问题 (2.5)-(2.6) 和公式 (2.4) 严格均匀化得到, 因此把有效参数与膜孔隙几何和膜内流动联系起来. 现象学模型的主要缺点正是有效参数与微观结构或膜内流动无直接关系, 必须对每个应用场景重新估计.\n与严格均匀化推导 [4,8,10] 相比, 本文不重新推导模型, 而是对这些微宏观传输模型进行数值分析、有限元离散和仿真. 其中 [4] 在 $\\partial_N\\Omega\\cap(\\partial\\Sigma\\times(-\\varepsilon,\\varepsilon))=\\emptyset$ 下推导 (2.2); [8] 推导时间依赖版本, 并处理周期外边值和上下边界法向应力齐次条件, 还处理固体骨架接触上下边界导致不可渗透的情形. 本文考虑定常 Stokes 问题, 外边值可混合 Dirichlet 与 Neumann, 也包括纯 Dirichlet、纯 Neumann 以及上下边界条件或周期条件. 因此本文在数值层面拓展了 [4,8] 所得模型的应用范围, 但并未在此提供文本中重新处理时间依赖或接触极限的解析理论.\n与 [29] 和 [28] 的微宏观传输模型相比, 差异首先在胞问题. [29] 的 Stokes 胞问题定义在无限外域, [28] 的胞问题对所有坐标方向周期; 本文胞问题只沿平行膜方向周期, 在标准胞上下 $S^{\\pm}$ 施加 Dirichlet 条件. 差异其次在界面条件. [28,29] 中流体速度在 $\\Sigma$ 连续, 法向应力跳跃通过渗透率张量与速度关联, 压力跨 $\\Sigma$ 不连续; 因此 [29] 发展并分析全局连续速度、单元不连续压力的稳定混合有限元. 其数值例子观察到经典 Taylor-Hood 全局连续压力需要界面附近严重加密才能得到合理近似, 而修正方法表现良好, 但该修正方法的稳定性和误差界未讨论. [28] 使用 [29] 的稳定方法. 本文模型只要求法向速度连续, 切向速度和压力一般不连续, 所以不能直接使用上述格式; 作者提出新的 Taylor-Hood 型离散, 允许压力和切向速度跨界面不连续, 证明稳定性与最优阶误差. 这是相对 [28,29] 的主要推进.\n与 [9,26] 的非线性反应扩散微宏观传输模型相比, 那里的胞问题不能与有效模型解耦, 形成强双向耦合; 本文 Stokes 模型是单向耦合, 胞问题先独立求解, 再用于宏观模型, 因此数值实现和理论结构不同. 本文也因此在模型复杂度与可计算性之间取得不同平衡.\n适用范围与代价方面: 用有效界面替代薄层显著降低计算成本, 但非标准传输条件带来额外实现挑战, 需要特殊有限元空间和装配; 胞问题仍需解析复杂微观几何并计算系数. 微观宏观对比只对仍可计算的微观几何进行. 当固体骨架接近上下边界时, 数值显示系数爆炸和界面速度趋零, 但连续依赖的解析证明尚未给出; [8, Section 6.3] 处理了接触极限并得到零速度, 本文数值结果暗示两者连续过渡. 从提供内容中无法确认与更多文献在误差常数、参数范围、三维复杂几何和计算复杂度方面的定量比较, 作者也未显式展开所有比较.\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 计算曲面上微分算子的谱性质 Computing Spectral Properties of Differential Operators on Surfaces\n作者: Gustav Conradie, Matthew J. Colbrook, Daniel Fortunato\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.37764v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.37764v1\n摘要翻译 中文标题: 计算曲面上微分算子的谱性质\n摘要翻译: 计算曲面上的微分算子谱在许多应用中至关重要，从医学图像分析到纳米尺度量子结构。然而，无穷维算子和底层曲面的离散化可能导致不准确且误导性的结果。本文引入 SurfSpec 算法套件，用于在误差控制和收敛性保证下计算曲面上算子的特征值与谱测度。我们结合基于复围道积分和残差的方法来计算离散谱和高频特征模态，包括非线性特征值问题的情形。随后，我们计算谱测度与有理核的卷积，以处理连续谱。在这两种情况下，关键工具是作用于函数的算子预解式，其通过求解曲面 PDE 的高阶方法进行计算。我们在各种微分算子和曲面上展示我们的算法，包括一个三角龙。\n2. 混合联合选择性优化：感兴趣低维参数的约化空间 Levenberg-Marquardt 精化 Hybrid Joint-Selective Optimization: Reduced-Space Levenberg-Marquardt Refinement of Low-Dimensional Parameters of Interest\n作者: Muhammad Luthfi Shahab, Gabriella Alfa Indahsari, Imam Mukhlash, Hadi Susanto\n类别: math.NA, cs.LG, cs.NE, math.OC\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.37308v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.37308v1\n摘要翻译 中文标题: 混合联合选择性优化：感兴趣低维参数的约化空间 Levenberg-Marquardt 精化\n摘要翻译: 本文提出一种混合联合选择性优化（HJSO）框架，用于大规模数值问题，其中一小部分可训练量是主要关注对象。我们将完整参数向量划分为高维剩余块和低维感兴趣参数（POIs）块，在完整参数集上进行联合一阶优化，然后冻结剩余变量，同时对 POIs 应用约化空间 Levenberg-Marquardt（LM）精化。该方法面向以下情形设计：POIs 是低维的，但强烈影响计算解的质量，而完整参数空间对于全空间二阶方法而言仍然过大。该框架在三个代表性问题上进行评估：一个矩阵特征值问题、一个使用物理信息神经网络求解的逆 Bratu 问题，以及一个使用 DeepBSDE 方法求解的 100 维非线性 Black-Scholes 问题。在每个测试中，HJSO 比相应的联合一阶基线更快达到规定的 POI 误差阈值，并在所报告的求解器配置下提高了最终 POI 精度。因此，本文的贡献不是通用优化器，而是针对已知低维感兴趣参数且高维训练变量代价高昂的问题的一种实用约化空间策略。\n3. 耦合 Stokes-Brinkman-Darcy 流的硬迹一阶残差学习 Hard-Trace First-Order Residual Learning for Coupled Stokes-Brinkman-Darcy Flow\n作者: Zefeng Liu, Hongxing Rui\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.36793v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.36793v1\n摘要翻译 中文标题: 耦合 Stokes-Brinkman-Darcy 流的硬迹一阶残差学习\n摘要翻译: Stokes-Brinkman-Darcy (SBD) 模型通过有限厚度的 Brinkman 层连接自由流动与多孔流动。用于求解这些耦合方程的所提方法由混合一阶格式、共享界面迹和硬牵引约束，以及基于边界质量平衡的压力修正组成。独立的应力、Darcy 通量和压力梯度辅助量避免网络输出的二阶导数。边界提升和共享迹精确施加外部与界面运动学条件，而应力映射强制原生 Brinkman-Darcy 力平衡。积分动量关系在训练后确定压力修正，无需参考压力标签。在两个制造解和三种渗透率下，平均修正后上层压力相对 $L^2$ 误差范围为 0.87% 至 2.58%；修正在每次运行中均同时降低上层压力 $L^2$ 误差和完整 Brinkman 压力 $H^1$ 误差。配对对照评估界面共享和牵引施加的贡献。一个非制造过滤问题以独立细化的有限元参考为基准测试混合边界自适应，所有四次运行均满足规定的场和物理一致性准则。\n4. 用于具有对数型 Flory\u0026ndash;Huggins 势的固态去润湿的保结构迎风 Lagrange 乘子格式 Structure-preserving upwind Lagrange multiplier schemes for solid-state dewetting with a logarithmic Flory\u0026ndash;Huggins potential\n作者: Qiong-Ao Huang, Ying-wei Wang, Cheng Yuan\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.36719v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.36719v1\n摘要翻译 中文标题: 用于具有对数型 Flory\u0026ndash;Huggins 势的固态去润湿的保结构迎风 Lagrange 乘子格式\n摘要翻译: 基于多项式势的固态去润湿相场模拟可能会出现虚假的体扩散粗化，这与表面扩散主导的物理机制不一致。为解决这一问题，我们针对薄膜\u0026ndash;基底\u0026ndash;气相三相接触线，建立了一个具有对数型 Flory\u0026ndash;Huggins 势和动态接触线边界条件的退化 Cahn\u0026ndash;Hilliard 模型。对数障碍将相变量限制在其物理范围内，并在连续统层面抑制虚假粗化。我们发展了一个全离散、保结构的格式，它结合 Lagrange 乘子方法与迎风有限体积离散，并严格保证逐点有界性、质量守恒和能量耗散，无需人工截断或投影。维数分裂策略进一步降低计算成本，同时在每个一维扫描中保持这些性质。我们还推导了由薄膜自发收缩引起的平衡半径收缩的显式估计，表明对数势产生的虚假收缩弱于多项式势。数值实验验证了分析，并表明对于小温度参数，所提出的格式抑制了虚假粗化和夹断，同时准确再现表面扩散主导的动力学以及向平衡岛状结构的松弛。\n5. 进入危险区：高维函数与算子学习中的稳定外推 Into the danger zone: stable extrapolation in high-dimensional function and operator learning\n作者: Ben Adcock, Simone Brugiapaglia, Xuemeng Wang\n类别: math.NA, cs.LG, stat.ML\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.36709v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.36709v1\n摘要翻译 中文标题: 进入危险区：高维函数与算子学习中的稳定外推\n摘要翻译: 分布外 (OOD) 泛化是科学机器学习中的一个核心挑战。我们研究测试分布不同于训练分布的回归问题，并追问：在对目标函数或算子的何种假设下，稳定外推是可能的，以及可以外推到训练域之外多远？现有理论通过度量训练分布与测试分布之间差异的可加惩罚项来控制测试误差。此类保证表明对小的分布偏移具有鲁棒性，但与经验观察到的 OOD 性能相比可能非常悲观。我们识别出若干全纯函数和算子类，对于它们，即使存在大的分布偏移，OOD 泛化误差也以代数速率收敛。这一现象源于更高索引坐标的平滑性不断增加，从而导致我们称之为“高维度的福音”的现象。对于使用多项式、深度神经网络或深度神经算子进行学习，我们针对支撑在合适区域上的任意测试测度推导出显式速率，并量化容许区域如何依赖于函数或算子的底层正则性。我们的外推保证独立于测试分布，仅依赖于其支撑集。我们还给出了一系列涵盖多种函数和算子的数值实验，这些实验支持主要理论发现。\n6. CI-PINN: 求解演化方程的因果积分物理信息神经网络 CI-PINN: Causal Integral Physics-Informed Neural Network for Solving Evolution Equations\n作者: Xiaodong Feng, Ziyu Sun, Tao Tang, Xiaoliang Wan, Tao Zhou\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.36615v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.36615v1\n摘要翻译 中文标题: CI-PINN: 求解演化方程的因果积分物理信息神经网络\n摘要翻译: 物理信息神经网络（PINNs）通过将控制物理定律纳入训练损失来求解偏微分方程（PDEs）。然而，对于演化方程，其传统的逐点空间\u0026ndash;时间表示并未显式编码时间依赖性，这可能妨碍准确预测。为缓解这一局限，本文提出一种新颖的神经网络架构，称为因果积分神经网络（CinNet）。CinNet 的核心模块是 Volterra 型因果积分项，它聚合历史特征以编码时间依赖性，从而在架构层面而非像许多现有方法那样通过训练层面的修改引入时间因果性。在 CinNet 的基础上，我们进一步开发了用于求解演化方程的因果积分物理信息神经网络（CI-PINN）。在基准演化方程上的大量数值实验表明，所提出的方法在求解精度方面优于各种基线 PINN 变体，并在稀疏配点情形下具有显著优势。额外的实证分析表明，CI-PINN 对超参数选择具有低敏感性，而消融研究证实了所提出网络组件的有效性。\n7. 具有取向与曲率耦合依赖的几何流的统一保结构框架 A unified structure-preserving framework for geometric flows with coupled orientation and curvature dependence\n作者: Yulin Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.36419v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.36419v1\n摘要翻译 中文标题: 具有取向与曲率耦合依赖的几何流的统一保结构框架\n摘要翻译: 我们建立了一个保结构参数化有限元框架，用于能量密度耦合单位法向与曲率的几何流。该类包括具有取向依赖刚性或自发曲率的弯曲能量。一个常见的全离散格式处理二维闭合曲线和三维闭合曲面，并适用于 $L^2$ 流、曲线或曲面扩散，以及面积或体积约束的 $L^2$ 流。该格式将几何更新与曲率更新耦合，使其贡献满足离散能量不等式。它使用连续分片线性元、一个曲面能量矩阵，以及密度关于曲率的导数的质量集中投影。对于满足方向条件和关于曲率的凸性的正密度，我们证明了能量耗散，且无时间步长限制。扩散流和约束流也精确保持所围面积或体积。该分析允许非偶各向异性以及对取向和曲率的不可分离依赖。数值实验在流形距离上表现出近似二阶收敛，并验证了离散结构性质。各向异性 Helfrich 型能量下的形状松弛说明了该框架用于耦合方向与弯曲效应的用途。\n8. 一种能量守恒的非交错电磁势粒子云网格方法，第二部分：采用适配 Higuera\u0026ndash;Cary 推进器的全相对论格式 An Energy-Conserving Unstaggered Electromagnetic-Potential Particle-in-Cell Method, Part II: Fully Relativistic Formulation with an Adapted Higuera\u0026ndash;Cary Pusher\n作者: Andrew Christlieb, Luis Chacon, Sining Gong\n类别: math.NA, astro-ph.HE\n发布日期: 2026-09-28\narXiv ID: 2609.36383v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.36383v1\n摘要翻译 中文标题: 一种能量守恒的非交错电磁势粒子云网格方法，第二部分：采用适配 Higuera\u0026ndash;Cary 推进器的全相对论格式\n摘要翻译: 我们发展了在我们早期非相对论工作中引入的能量守恒、非交错电磁势粒子云网格方法的一个全相对论扩展。如同非相对论广义动量格式中那样，场通过 Lorenz 规范势方程的 Crank\u0026ndash;Nicolson 离散进行推进，电流由粒子轨道沉积，电荷通过离散连续性方程推进。新要素是对 Higuera\u0026ndash;Cary 相对论粒子推进器的广义动量适配。矢势力被分解为一个轨道离散梯度部分，其强制使用与我们早期非相对论格式中相同的有限差分链式法则，以及一个斜对称部分，其在机械动量中生成 Higuera\u0026ndash;Cary 磁旋转。对于给定场和冻结轨道数据，这个广义动量 Higuera\u0026ndash;Cary 映射是机械 Higuera\u0026ndash;Cary 映射的一个单位雅可比共轭，并保持 $(\\xx,\\PP)$ 中的粒子相体积。对于全耦合隐式步，相同的轨道数据定义电流沉积、网格到粒子收集、矢势链式法则和相对论动能割线速度。所得的粒子做功抵消 Crank\u0026ndash;Nicolson 场能量平衡，从而在非线性求解器容差、轨道求积误差和舍入误差范围内得到精确的相对论总能量守恒。一个自伴 Fourier 投影移除偶网格 Nyquist 平面上的模式，同时保持粒子\u0026ndash;网格做功恒等式。数值测试围绕冷相对论双流不稳定性和 Weibel/成丝不稳定性组织，并配备对能量漂移、Gauss 定律、Lorenz 规范、粒子\u0026ndash;网格做功和轨道链式法则的诊断。\n9. 预条件物理信息神经算子训练 Preconditioned Physics-Informed Neural Operator Training\n作者: Shizheng Wen, Siddhartha Mishra, Marius Zeinhofer\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-09-28\narXiv ID: 2609.36216v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.36216v1\n摘要翻译 中文标题: 预条件物理信息神经算子训练\n摘要翻译: 神经算子通常以监督方式训练，这需要用经典求解器生成数据集。以物理信息方式训练它们，即纯粹从控制方程出发，消除了这一巨大的离线成本，并允许在每个优化步抽取新样本，但迄今为止仅限于简化问题，且在精度上落后于监督训练。障碍在于物理信息损失的不良条件性，这由微分算子诱导，并随着离散化加密而恶化。因此，我们提出一种预条件残差损失函数，并证明椭圆问题具有网格无关的条件性，且鞍点问题的条件性得到极大改善。通过几何与代数多重网格实现，该构造适用于线性与非线性方程、稳态或时间相关方程、结构网格与非结构网格，且与神经算子架构无关，并且在推理时不增加成本。在 Poisson、Allen-Cahn 和 stationary Stokes 方程上，由此得到的无标签训练与监督训练相当，并且比先前的物理信息算子学习方法精确四到二十五倍。\n10. 张量列压缩的可分离 PINNs：高维参数化 PDE 的曲率感知优化框架 Tensor-Train Compressed Separable PINNs: A Curvature-Aware Optimization Framework for Parametric PDEs in High Dimensions\n作者: Denis Korolev, Martin Eigel\n类别: math.OC, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-09-28\narXiv ID: 2609.36165v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.36165v1\n摘要翻译 中文标题: 张量列压缩的可分离 PINNs：高维参数化 PDE 的曲率感知优化框架\n摘要翻译: 本文为应用于高维参数化偏微分方程（PDEs）的物理信息神经网络（PINNs）建立了一个二阶优化框架。该框架建立在 Gauss\u0026ndash;Newton 拉回度量之上；该度量给出了参数空间中由算子信息诱导的曲率概念，并将该方法联系到更广泛的自然梯度格式族。我们证明，对于坐标可分离的神经网络架构以及允许有限可分离表示的线性微分算子（在非线性情形下为线性化算子），残差 Jacobian 继承一种结构化的可分离分解。这给出了在约化空间中 Gauss\u0026ndash;Newton 步的精确压缩表述，而无需在指数级大的张量积配点网格上组装完整的残差 Jacobian。约化空间的维数（有效压缩维数）由局部配点网格大小、可分离算子结构以及架构的收缩模式决定，从而避免对完整张量积网格大小的依赖，并用一个显著更小的结构化问题替代参数空间中的稠密线性代数。在我们的框架内，我们研究了 canonical polyadic 与 tensor-train 参数化，并推导了它们与 Gauss\u0026ndash;Newton 方法相关的完整代数刻画，包括残差 Jacobian 的结构、所得的压缩系统及其有效压缩维数。针对高维 PDEs（包括参数化问题）的数值实验表明，所提出的压缩 Gauss\u0026ndash;Newton 方法具有很高效率：与张量压缩的一阶基线相比，它以少若干数量级的迭代次数和仅一小部分计算时间，达到显著更低的误差。\n11. 面向有限元 ALE 流体动力学的弯曲区域滑移壁边界条件 Slip Wall Boundary Conditions in Curved Domains for Finite Element ALE Hydrodynamics\n作者: Nabil Atallah, Kevin Sweet, Paul Moujaes, Jan Nikl, Ketan Mittal, Vladimir Z. Tomov\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-09-28\narXiv ID: 2609.36053v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.36053v1\n摘要翻译 中文标题: 面向有限元 ALE 流体动力学的弯曲区域滑移壁边界条件\n摘要翻译: 我们提出了一种高阶有限元任意拉格朗日-欧拉（ALE）方法，用于在解析弯曲区域上具有滑移壁边界条件的流体动力学。该方法结合了不同的拉格朗日、重网格和重映射阶段，同时保持弯曲边界的几何特征，并允许边界节点的切向运动。在拉格朗日阶段，我们采用边界条件的弱施加方式来施加滑移壁条件，而不冻结切向运动。在网格优化阶段，我们通过将选定的边界坐标自由度替换为曲线或曲面参数，使 TMOP（目标矩阵优化范式）适用于解析壁面。随后牛顿求解使边界节点相对于指定几何作切向移动，同时携带由拉格朗日阶段引入的漂移。在重映射阶段，我们通过在伪时间上的守恒的基于平流的重映射，将解从旧网格转移到优化后的网格。我们给出了二维和三维数值结果，在高阶曲线网格上展示了该方法，并表明其在保持边界保真度的同时产生预期的流体动力学解特征。\n不相关论文（基本信息） 1. 在 $\\widetilde{O}(mn \\log \\fracκε)$ 位运算内求解线性系统 Solving Linear Systems in $\\widetilde{O}(mn \\log \\fracκε)$ Bit Operations\n作者: Jonathan A. Kelner\n类别: cs.DS, cs.CC, math.NA\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.38101v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.38101v1\n摘要: We give a deterministic algorithm that solves a nonsingular linear system $Ax=b$, where $A\\in\\mathbb{R}^{n\\times n}$ has $m$ nonzero entries and condition number $κ$, to any relative residual tolerance $0\u003cε\\le1/2$ using $\\widetilde{O(}mn\\log(κ/ε))$ bit operations for inputs with logarithmically many bits per entry. For sparse, polynomially conditioned systems with $m=\\widetilde{O}(n)$, this gives an $\\widetilde{O}(n^2)$ algorithm for any inverse-polynomial accuracy, improving on the algorithm of Peng and Vempala, as sharpened by Nie, whose running time in this regime is approximately $O(n^{2.2707})$ with the best current matrix multiplication exponent, and largely closing a gap between the idealized performance of the conjugate gradient method in exact arithmetic and the running time achievable with finite-precision computation that has persisted for over 70 years. The algorithm is surprisingly simple. For integer inputs, we apply Dixon\u0026rsquo;s lifting algorithm to the perturbed system $(A+I/R)x=b$ for a suitable integer $R$. After scaling, the matrix of this system is $RA+I\\equiv I\\pmod R$, so its modular inverse is trivial, and each lifting step needs only a sparse matrix-vector product with $A$ on $O(\\log R)$-bit numbers. Fast rational reconstruction then recovers the exact solution of the perturbed system, which is an $ε$-accurate solution of the original one. Normalization and rounding extend the result to fixed-point and floating-point inputs, with floating-point outputs represented using short integer significands and a common encoded exponent. A computable certificate removes the need for prior knowledge of $κ$.\n2. 推进机械振动作用下船舶结构的神经网络拓扑优化 Neural topology optimization of ship structures under propulsion machinery vibrations\n作者: Shengyu Yan, Muhammad Muztahidul Hakim Zareer, Jasmin Jelovica\n类别: cs.CE, cs.AI, cs.LG, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.38089v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.38089v1\n摘要: Ship structural vibrations contribute to noise, fatigue, and equipment damage, while dynamic-compliance topology optimization can produce pathological designs near resonance. This study extends neural-reparameterized topology optimization using a convolutional Kolmogorov-Arnold network (KATO) to forced-vibration design with active input power (AIP) as the objective. Applications include a 100 Hz engine-supporting deck panel and an 18 Hz thruster foundation frame. Helmholtz PDE filtering and Heaviside projection control feature sizes and manufacturing tolerance. Across both deck families, all eight optimized layouts reduce AIP relative to size-optimized references and, after finite-depth extrusion, also achieve lower static compliance. For unrestricted, manufacturing-aware, and stress-aware frame variants, KATO matches GCMMA in AIP within 0.5 dB while yielding 22-36x lower static compliance after matched-volume binary re-analysis. In a near-resonant 300 Hz case, both methods reduce initial AIP by more than 32 dB; KATO maintains a connected design, achieves 59x lower binary static compliance, and reduces maximum AIP over 1-500 Hz by 2.7 dB. KATO runs 6.4-10.4x faster than GCMMA for the implemented stress-aware formulations. The results demonstrate neural AIP-driven topology optimization as an efficient approach for designing connected, feature-size-controlled ship structures with improved forced-vibration performance.\n3. 有限元核中的运行误差界 Running error bounds in finite element kernels\n作者: Michal Habera, Paul T. Kühner, Matteo Croci, Andreas Zilian\n类别: math.NA, cs.MS\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.37844v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.37844v1\n摘要: Rounding errors in finite element computations can lead to a complete loss of accuracy, stalled convergence, and incorrect results. Moreover, the effects of rounding errors accumulated within automatically generated and compiled kernels are difficult to analyze a priori. We present the first software framework for automated rounding error estimation within finite element kernels. The proposed methodology is based on an a posteriori technique called Running Error Analysis (REA), where a forward error estimate is automatically computed concurrently with the value. An open-source implementation is provided for the FEniCS Form Compiler (FFCx), based on a C++ backend for generating type-generic templated kernels over a custom arithmetic type that tracks both the value and its error estimate. We demonstrate REA on two examples. First, we use it to detect catastrophic cancellation in the assembly of a Neo-Hooke hyperelastic model in the small deformation regime. A series expansion circumvents the cancellation problem and the computed error estimates show this. Second, we study the assembly of the Laplace operator on a near-degenerate mesh. We demonstrate that our REA implementation typically incurs only 2-4x performance overhead. Applications of this work include robust reduced-precision computations in embedded systems, numerical debugging of new, possibly ill-conditioned or unstable PDE formulations, and guiding the design of mixed-precision kernels.\n4. 高压下大涡模拟中所用亚格子尺度混合模型的评估 Assessment of subgrid scale mixing models used in LES at high pressures\n作者: Neelakantan Padmanabhan, Richard S. Miller\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.37758v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.37758v1\n摘要: Molecular mixing models for the conditional scalar diffusion (CSD) term in the filtered mass density function (FMDF) transport equation used in Large Eddy Simulation (LES-FMDF) approach are evaluated against direct numerical simulation (DNS) of spatially evolving jets. A database of DNS of turbulent mixing slot jets of $C_{7}H_{16} / O_2$ and $C_{7}H_{16} / Air$ is developed. The formulation includes the compressible form of the governing equations, a generalized multicomponent diffusion model, a cubic real gas equation of state and realistic property models. Simulations are conducted over a wide range of initial pressures ($1 atm \u003c P_0 \u003c 100 atm$) and jet width based Reynolds numbers of 850 and 1300. FMDF of mixture fraction at various filter widths are obtained from the simulation at several spatial locations within the flow. The CSD term in the exact transport equation of FMDF is calculated from the DNS. An \\textit{a priori} analysis of Interaction by Exchange of Mean (IEM), Modified Curl (MC) and Mapping Closure (MAPPING) mixing models for CSD is conducted. At high pressures, significant deviations are observed between the CSD measured from the DNS and those predicted by the models. The source of the deviations is determined to be the mixing frequency used in the models. The significance of the mixing frequency and its variation with change in pressure and diffusion models is studied. The primary objective of this work is to assess the applicability of aforementioned mixing models to flows at large pressures and determine the causes for deviation in prediction.\n5. Bessel $(p,s)$-Laplace 算子的有限元逼近 Finite element approximation for the Bessel $(p,s)$-Laplacian\n作者: Juan Pablo Borthagaray, José Camilo Rueda Niño\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.37747v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.37747v1\n摘要: We study the finite element approximation of the Dirichlet problem for the Bessel $(p,s)$-Laplacian, $\\operatorname{div}^{s} \\left(|\\nabla^{s} u|^{p-2}\\nabla^{s} u\\right)$, built from the Riesz fractional gradient $\\nabla^s$ and posed on the Bessel potential space $X^{s,p}$, obtained by complex interpolation between $L^p$ and $W^{1,p}$. For $p = 2$ this operator reduces to the fractional Laplacian, while for $p \\neq 2$ it differs from the fractional $p$-Laplacian arising from real interpolation. Since a direct Galerkin discretization requires reassembling a dense stiffness matrix at every nonlinear iteration, we propose an augmented Lagrangian formulation based on the projected fractional gradient $B_h = \\mathbfΠ_h \\nabla^s$, in which the only dense matrix is assembled once and the nonlinearity decouples elementwise. We analyze the resulting consistency error, establish a priori convergence rates in $X^{s,p}$, conditional on a discrete inf-sup condition for the augmented Lagrangian scheme, and present numerical experiments that illustrate the convergence of the method and its ability to deal with degenerate and strongly nonlinear problems.\n6. 过参数化多项式插值中的双下降与 Runge 现象 The double descent and Runge phenomena in overparametrized polynomial interpolation\n作者: Jason Wein, Stephan Wojtowytsch\n类别: math.NA, math.CA, stat.ML\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.37657v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.37657v1\n摘要: The Runge phenomenon in polynomial interpolation is often considered a classical analogue of the double descent phenomenon in machine learning. In this note, we explore overparameterized polynomial interpolation in three popular polynomial bases: Monomial, Chebyshev and Legendre basis with coefficients that are minimal in the $\\ell^2$-norm (and, for the monomial basis, also those minimal in the $\\ell^1$-norm). We present our results primarily for equidistant and Chebyshev data points, but many results are independent of the exact form of sampling.\n7. 具有非线性渗透率的 Biot 问题的增广混合有限元方法 An augmented mixed finite element method for the Biot problem with nonlinear permeability\n作者: Felipe Lepe, Gonzalo Rivera, Ricardo Ruiz-Baier, Segundo Villa-Fuentes\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.37618v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.37618v1\n摘要: In two and three dimensions, we analyze a mixed formulation of the nonlinear Biot equations in terms of the poroelastic stress tensor, the displacement, the pressure, and the rotation tensor. To establish the well-posedness of the problem, we introduce suitable stabilization terms, leading to an augmented mixed formulation in which the associated parameters are chosen appropriately. Owing to the nonlinearity of the problem, we employ a fixed-point strategy to prove the existence and uniqueness of solutions. We propose a finite element scheme for which we establish existence and uniqueness of a discrete solution, together with a priori error estimates. Additionally, we design and analyze an a posteriori error estimator of the residual type which results to be reliable and efficient. Finally, we present a series of numerical experiments in two and three dimensions in order to assess the performance of the proposed method.\n8. BandPC：学习用于灵活共轭梯度求解器的残差带预条件子组合 BandPC: Learning Residual-Band Preconditioner Combinations for Flexible Conjugate Gradient Solvers\n作者: D. M. Li, Shang-Tian Yang, Xin Qiu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.37140v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.37140v1\n摘要: The conjugate gradient (CG) method is a classical iterative solver for sparse symmetric positive definite (SPD) linear systems, but its convergence strongly depends on the spectral properties of the system matrix. Preconditioning can improve these properties; however, designing preconditioners that generalize across diverse and irregular sparsity patterns remains challenging. We propose BandPC (Band Preconditioner Combinations, where \u0026ldquo;Band\u0026rdquo; denotes residual-norm bands), a data-driven framework that leverages graph neural networks (GNNs) to predict multi-stage preconditioning strategies for the flexible conjugate gradient (FCG) method. BandPC partitions the FCG iteration into three residual-norm-based bands and defines a structured search space of 125 candidate combinations over five classical preconditioners. By exploiting FCG\u0026rsquo;s ability to switch preconditioners across iterations, BandPC learns to map matrix structure directly to a promising preconditioner sequence. To improve training and generalization, we introduce a soft-labeling mechanism that retains near-optimal combinations and normalizes their scores into a label distribution, together with a hierarchical feature representation that captures node-level attributes, edge-level algebraic coupling strengths, and global matrix statistics. Experiments on a hybrid benchmark of synthetic SPD problems and diverse matrices from the SuiteSparse Collection show that BandPC achieves the best iteration count and solution time on 41.3% and 33.1% of test matrices, respectively, even when compared with each matrix\u0026rsquo;s individually best traditional preconditioner. These results demonstrate that learned residual-band preconditioner scheduling can effectively accelerate flexible CG solvers.\n9. 面向科学发现的混合精度计算：格式、协同设计与负责任近似 Mixed-Precision Computing for Scientific Discovery: Formats, Co-Design, and Responsible Approximation\n作者: Emmanuel Agullo, Hartwig Anzt, Daniel Bauer, David Bindel, Alfredo Buttari, Alexandru Calotoiu, Erin Claire Carson, Pasqua D\u0026rsquo;Ambra, Ieva Daužickaitė, James W. Demmel, Jack Dongarra, Iain Duff, Massimiliano Fasi, Dominik Göddeke, Stef Graillat, Laslo Hunhold, Roman Iakymchuk, Fabienne Jézéquel, Nils Kohl, Harald Köstler, Jakub Kružík, Julien Langou, Xiaoye Sherry Li, Hatem Ltaief, Piotr Luszczek, Yuxin Ma, Theo Mary, Mantas Mikaitis, Hiroyuki Ootomo, Daniel Osei-Kuffuor, Enrique S. Quintana-Ortí, Ulrich Rüde, Jennifer Scott, John Shalf, Linda Stals, Rasmus Tamstorf, Stefan Turek, Petr Vacek, Bastien Vieublé, Rio Yokota\n类别: math.NA, cs.AR, cs.MS\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.37137v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.37137v1\n摘要: Reduced and mixed precision have moved from a niche optimization to a central design axis in scientific computing and engineering, driven by energy constraints, heterogeneous accelerators, and the convergence of simulation and machine learning. This paper organizes the landscape around seven coupled themes\u0026mdash;number formats, floating-point emulation, emerging architectures, hardware/software co-design, relation to other approximations, software design, and precision as a multilevel resource \u0026mdash;and, for each theme, synthesizes the state of the art, future directions, and open questions. We emphasize \\emph{energy per trusted solution} as the core objective, and we frame \\say{recklessly responsible} computing as a pragmatic doctrine: exploit low precision aggressively, but with systematic detection, escalation, and certification pathways.\n10. 面向 Gross-Pitaevskii 方程的低秩张量列流形上的黎曼优化 Riemannian optimization on low-rank tensor train manifolds for the Gross-Pitaevskii equation\n作者: Ivan Bioli, Carlo Marcati, Maxim Rakhuba\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.37103v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.37103v1\n摘要: This work is concerned with the numerical computation of Gross-Pitaevskii ground states using the tensor train (TT) format. We regard the problem as the minimization of the Gross-Pitaevskii energy functional under a unit mass constraint, and propose a first-order Riemannian optimization scheme that preserves both the mass constraint and the low-rank representation throughout the optimization, by operating on the manifold of unit-norm functions of fixed TT-rank. On this manifold, we derive the energy-adaptive Riemannian gradient and show how to compute it efficiently in the TT format. Spatial discretization is performed using a spectral method with numerical integration, which allows the required computations to be carried out efficiently while preserving the low-rank format. The method is shown to substantially reduce computational time compared to full-rank computations, while maintaining accuracy for both single- and multicomponent Gross-Pitaevskii equations.\n11. 可控性格拉姆矩阵的两项小时间谱展开 Two-term small-time spectral expansions for controllability Gramians\n作者: Emmanuel Trélat, Enrique Zuazua\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.37077v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.37077v1\n摘要: For a controllable single-input linear system in dimension $n$, the controllability Gramian eigenvalues, ordered decreasingly, are known to have the successive small-time orders $T, T^3, \\ldots, T^{2n-1}$. We refine this leading-order hierarchy by explicitly computing the next-order coefficient of every eigenvalue and the first-order variation of its eigendirection and of the nested spectral subspaces. The resulting formulas have intrinsic expressions in the orthonormal Krylov basis: eigenvalue corrections describe the action of the dynamics along each Krylov direction, while variations of the spectral subspaces describe coupling to the next direction. We also establish local joint real-analytic dependence on $(T, A, b)$ near $T=0$ for the eigenvalues divided by their leading powers of $T$, consistently oriented eigenvectors, and spectral projectors. This provides convergent expansions with remainders uniform on compact families of controllable pairs. These results yield refined asymptotics for the worst-case minimum energy required to reach a unit target from the origin, the Gramian determinant and condition number, and the Ornstein\u0026ndash;Uhlenbeck Gaussian profile in moving principal coordinates. The energy equals the reciprocal of the smallest Gramian eigenvalue, whose eigendirection identifies the most energy-demanding targets for sufficiently small times. We further derive an exact Gramian-weighted energy identity for the forward Fokker\u0026ndash;Planck equation and sharp anisotropic short-time smoothing asymptotics using, respectively, the Lyapunov equation and an exact Fourier norm formula combined with the graded Gramian factorization. For symmetric dynamics, the spectral data reconstruct $A$ and determine $b$ up to its global sign.\n12. 由分数布朗运动驱动的随机泛函微分方程的后向 Euler 格式的一致性与收敛性 Consistency and Convergence of the Backward-Euler Scheme for Stochastic Functional Differential Equations Driven by Fractional Brownian Motion\n作者: Alexander Abreu, Lisandro Fermin, Ernesto Mordecki, Soledad Torres\n类别: math.PR, math.NA\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.37019v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.37019v1\n摘要: We study the backward-Euler scheme for a class of stochastic functional differential equations (SFDEs) with memory driven by a fractional Brownian motion with Hurst parameter H \u0026gt; 1/2. We first establish the local consistency of the method, with a local truncation error of order H -$ρ$- $β$ + 1, and then, as the main result, prove the uniform global pathwise convergence of the numerical approximation, on a set of probability one, with order H -$ρ$ -$β$, for $β$ $\\in$ (1-H, 1/2) and 0 \u0026lt; $ρ$ \u0026lt; H -$β$. A uniform high-probability formulation with deterministic constants follows as a corollary. In particular, the convergence order can be taken arbitrarily close to 2H -1, matching the order obtained for the explicit Euler scheme. The convergence proof relies on an exact integral representation of the scheme at mesh points, an a priori bound for the numerical solution, fractional calculus estimates, and a Gronwall inequality for weakly singular kernels.\n13. 面向鲁棒 $H_{\\infty}$ 控制的带离散 Kalman 滤波的 SDRE 模型高性能计算 High Performance Computing of SDRE models with Discrete Kalman Filtering for Robust $H_{\\infty}$-Controls\n作者: Yunfeng Cai, Tiexiang Li, Wen-Wei Lin, Junxin Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.36840v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.36840v1\n摘要: State-dependent Riccati equation (SDRE) control requires repeated online solution of continuous-time algebraic Riccati equations (CAREs). A projected-channel $H_\\infty$ formulation preserves the physical actuator and sensor dimensions of under-actuated, partially observed systems. We derive a computable sufficient attenuation bound for positive-semidefinite stabilizing Riccati solutions and construct an update that enforces their spectral-radius coupling condition. A discrete Kalman recursion supplies the scheduling state estimates. The two CAREs arising in controller synthesis are solved by a structure-preserving doubling algorithm (SDA) or a warm-started Newton\u0026ndash;Kleinman iteration equipped with a doubling Lyapunov solver. Numerical studies use a twelve-state F-16 model with complete aerodynamic forces, moments, and trim, together with quadrotor spiral tracking. With instantaneous command updates, all three CARE backends give essentially the same closed-loop response. In the tracking simulations, measured computation times determine when new control inputs are applied, and the previous inputs are held during computation. SDA and Newton reduce airspeed and pitch errors in all six paired aircraft tracking runs. In the faster quadrotor task with limited computational resources, SDA and Newton complete all paired runs, while runs using MATLAB \\texttt{icare} terminate early.\n14. 基于量子化张量列（QTTs）的压缩感知 Compressed Sensing with Quantized Tensor Trains (QTTs)\n作者: Jingchun Shao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-29\narXiv ID: 2609.36506v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.36506v1\n摘要: The storage and recovery of a vector of length (2^d) can become prohibitively expensive as (d) grows, a manifestation of the curse of dimensionality. For certain structured functions and multiscale quantities, the resulting discretized vectors admit compact quantized tensor train (QTT) representations after binary tensorization: a length-(2^d) vector is reshaped into a (d)-way binary tensor with low tensor-train (TT) rank. Motivated by this construction, we study compressed sensing of tensorized signals that combine bounded TT rank with sparse low-order interaction structure, using randomly sampled Walsh\u0026ndash;Hadamard measurements. For this structured model class, we establish a uniform restricted isometry property and derive a measurement condition guaranteeing uniqueness of noiseless recovery. We also propose a structure-aware initializer for the alternating linear scheme (ALS), obtained by projecting the adjoint backprojection onto the low-order interaction space before applying TT-SVD. We prove a uniform initialization error bound whose measurement requirement, for fixed structural parameters, grows polynomially with the tensor order (d) rather than with the ambient dimension (2^d). Numerical experiments support the predicted RIP and initialization scaling and demonstrate more reliable ALS recovery.\n15. 超越各向异性椭圆型方程的解析解制造 Beyond the analytic solution manufacturing for anisotropic elliptic equations\n作者: Fabrice Deluzet, Valdimir Latocha, Frédéric Robert\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-28\narXiv ID: 2609.36309v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.36309v1\n摘要: This article is aimed at introducing a new procedure to define reference solutions to which the numerical approximations of anisotropic problems arising in plasma physics may be compared. In this context, the main issue is related to the construction of functions with no gradients along the vector field defining the anisotropy direction. The so-called solution manufacturing, implemented so far in the literature, only applies to frame- work where all the computations can be carried out analytically. In the present paper, we propose a new method in which this requirement is not mandatory. Indeed, via a Riemannian metric, we use a propagation of the boundary value by the flows related to the vector field defining the anisotropy direction. This permits to extend the application of the solution manufacturing to a broader range of contexts.\n16. 面向参数化抛物型偏微分方程的基于树的局部化缩减基方法 A Tree-Based Localized Reduced Basis Method for Parametrized Parabolic PDEs\n作者: Mohamed Barakat, Diane Guignard\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-28\narXiv ID: 2609.36141v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.36141v1\n摘要: We propose a localized reduced basis method for parametrized parabolic partial differential equations based on an adaptive partitioning of the parameter domain using hierarchical binary trees. A POD-Greedy procedure is employed to construct reduced spaces associated with each parameter subdomain. A certified \\emph{a posteriori} error estimator is derived from an inf-sup stability analysis and shown to be equivalent to the underlying approximation error. This equivalence, together with suitable regularity assumptions on the parameter-to-solution map, enables a rigorous convergence analysis and is used to derive a strategy for selecting the number of POD modes to retain in each local reduced space. Numerical experiments for a parametrized convection\u0026ndash;diffusion problem demonstrate the effectiveness of the proposed approach and confirm the predicted convergence behavior.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-30_16-21-06/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月30日 16:21:06\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 11\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 16\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-线性多尺度守恒律的数值均匀化\"\u003e1. 线性多尺度守恒律的数值均匀化\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eNumerical homogenization of a linear multiscale conservation law\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e作者\u003c/strong\u003e: Claude Le Bris, Frédéric Legoll, Giulia Merlini\u003c/p\u003e","title":"2026年09月30日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年09月29日 16:28:29\n重点关注论文数量: 4\n了解领域论文数量: 31\n不相关论文数量: 29\n重点关注论文（完整分析） 1. 单参数 Lagrange 和 POD 降阶方法的先验误差分析 A priori error analysis for one-parameter Lagrange and POD reduced order methods\n作者: Antti Hannukainen, Vigdis Toresen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-28\narXiv ID: 2609.34865v1\n摘要翻译: 本文研究参数化线性椭圆偏微分方程的数值解：采用有限元方法进行空间离散，并使用基于本征正交分解（POD）或 Lagrange 子空间方法的降阶模型（ROM）来处理参数依赖性。我们研究一个简单的单参数模型问题，并证明这些 ROM 的误差估计，该估计是快照点集的函数。在关于点集非常温和的假设下，建立了关于快照点数目的次指数收敛。对于结构化点集，证明了指数收敛。与现有的 Lagrange 子空间方法误差分析不同，我们的估计不基于插值或扰动论证。相反，我们从快照子空间定义了一个新的逼近算子，并为其证明了误差估计和稳定性估计。\nComment: 29 pages\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.34865v1\n1. 研究对象和背景 本文研究参数线性椭圆偏微分方程的降阶模型先验误差分析. 设 $\\Omega\\subset\\mathbb R^d$, $d=2$ 或 $3$, 边界 Lipschitz. 对参数 $y\\in(-1,1)$, 求 $u(y)\\in H^1_0(\\Omega)$ 使得 $$ a(y;u(y),v)=L(v),\\quad \\forall v\\in H^1_0(\\Omega). $$ 双线性形式为仿射形式 $$ a(y;v,z)=a_0(v,z)+y a_1(v,z), $$ 其中 $a_0,a_1$ 对称连续, $a_0$ 强制正定, $a_1$ 半正定, 并存在 $0","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-29_16-28-29/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月29日 16:28:29\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 4\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 31\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 29\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-单参数-lagrange-和-pod-降阶方法的先验误差分析\"\u003e1. 单参数 Lagrange 和 POD 降阶方法的先验误差分析\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eA priori error analysis for one-parameter Lagrange and POD reduced order methods\u003c/p\u003e","title":"2026年09月29日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年09月28日 18:02:19\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 7\n不相关论文数量: 12\n了解领域论文（摘要翻译） 1. NEXT：物理信息神经谱指数时间差分架构 NEXT: Physics-Informed Neuro-Spectral Exponential Time Differencing Architectures\n作者: Márcio Marques, Leonardo Mendonça, Leonardo M. Moreira, Christian Júnior de Oliveira, Vitor Balestro, Tiago Novello, Daniel Yukimura, Pavel Petrov, Lucas Nissenbaum\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-09-25\narXiv ID: 2609.31539v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.31539v1\n摘要翻译 中文标题: NEXT：物理信息神经谱指数时间差分架构\n摘要翻译: 物理信息神经网络（PINNs）构建含时偏微分方程解的神经表示，自然地融合物理知识与观测数据，这使得它们非常适合正向与逆向 PDE 问题。然而，PINNs 已知会遭受谱偏差和缺乏因果性的问题。神经谱架构（NeuSA）是最近提出的 PINNs 替代方案，缓解了这两个问题，但它们的数值积分对于许多相关物理问题中出现的刚性微分方程会变得不稳定。本研究提出神经谱指数时间差分架构（NEXT），它将 NeuSA 中 PDE 解的谱表示与高阶指数积分器相结合。在该方法中，由 PDE 诱导的向量场的线性刚性部分通过矩阵指数被精确积分，而可能非线性的剩余部分则由神经网络建模。NEXT 的有效性通过在一组刚性 PDE 上的基准实验得到验证，在这些实验中，NEXT 稳定且准确，而 NeuSA 在数值上发散。还表明 NEXT 可应用于反问题，其中模型必须从稀疏数据中学习未知参数或边界条件。本工作使用的所有代码公开于：https://github.com/marcioh2m/next.git 。\n2. 用于可压缩 Euler 方程的热力学相容半隐式有限体积格式 A thermodynamically compatible semi-implicit finite volume scheme for the compressible Euler equations\n作者: M. Dumbser, G. Puppo, S. Rinaldi, A. Thomann\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-25\narXiv ID: 2609.31065v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.31065v1\n摘要翻译 中文标题: 用于可压缩 Euler 方程的热力学相容半隐式有限体积格式\n摘要翻译: 本文针对气体动力学中的可压缩 Euler 方程，构造了一种新的半隐式 (SI)、双曲且热力学相容 (HTC) 格式。其中的挑战在于将熵不等式作为主要演化方程求解，而不是求解总能量守恒律；在我们的框架中，总能量守恒律是一个附加守恒律，需要由数值格式作为相容离散化的结果来满足。所提方法具有预测-校正特征，其中我们首先在不考虑熵产生的情况下求解等熵问题。在此过程中，熵以及动量通量中的非线性对流项被显式离散，而质量通量和压力项则被隐式处理。然后，将离散动量方程代入离散质量守恒方程，得到一个关于压力的弱非线性系统，可用嵌套 Newton 型算法高效求解。在此预测的基础上，加入熵中的非负产生项，从而保证数值格式满足单元熵不等式。为保证离散层面上的总能量全局守恒，引入了一种新的修正全局 Abgrall 型通量校正。所提出的数值方法允许时间步长仅受物质波速限制，而不受声速限制。这使得该格式特别适用于低 Mach 数区域的流动。给出一维和二维空间中的数值结果，以评估新格式的理论性质。\n3. 无穷拉普拉斯问题与 $p$-Laplace 问题的深度学习求解器与代理模型 Deep-Learning Solvers and Surrogates for Infinity and p-Laplace Problems\n作者: Tak Shing Au Yeung, Ka Chun Cheung, Hannah Potgieter, Steven J. Ruuth, Simon See\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-09-25\narXiv ID: 2609.30809v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.30809v1\n摘要翻译 中文标题: 无穷拉普拉斯问题与 $p$-Laplace 问题的深度学习求解器与代理模型\n摘要翻译: 我们研究了使用神经网络求解器处理无穷拉普拉斯问题与 $p$-Laplace 问题，这些问题在非线性分析中具有基础性地位，并且有实际应用。我们的方法采用物理信息神经网络（PINNs）和深度算子网络（DeepONets），来处理与较大 $p$ 值（从 $2$ 到 $1000$）相关的计算挑战，覆盖多种二维和三维区域。与传统基于物理的求解器相比，我们的方法具有优势，尤其是在三维情形下，此时基于网格的求解器处理这些问题会变得非常昂贵。我们还针对这两个问题的 PINN 近似建立了条件收敛结果，并针对参数化 $p$-Poisson 问题建立了 DeepONet 的通用逼近结果。我们通过数值实验证明了这些神经网络求解器的有效性，并将它们的性能与常规方法进行了比较。\n4. 稀疏连接秩启发神经网络 Sparsely connected rank-inspired neural network\n作者: Yunqing Huang, Wu Su, Nianyu Yi, Peimeng Yin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-25\narXiv ID: 2609.30750v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.30750v1\n摘要翻译 中文标题: 稀疏连接秩启发神经网络\n摘要翻译: 我们提出了一种用于函数逼近和偏微分方程（PDEs）数值求解的稀疏连接秩启发神经网络（SCRINN）。通过引入结构化稀疏连接架构以及正交性和归一化引导的损失函数，SCRINN 在构造近似标准正交神经基的同时，促进其求值矩阵的秩逐步增长，并减少可训练参数的数量。我们建立了一个两阶段框架，其中首先构造近似标准正交神经基，随后使用最小二乘方法确定输出权重。针对函数逼近以及多种稳态、时间依赖和非线性偏微分方程的数值实验表明，SCRINN 能够以显著更低的训练成本持续获得高逼近精度。代码已在 GitHub 上公开。\n5. 具有 Radon 测度跟踪和逐点控制约束的 Darcy 最优控制整体式间断 Galerkin 框架 A Monolithic Discontinuous Galerkin Framework for Darcy Optimal Control with Radon-Measure Tracking and Pointwise Control Constraints\n作者: SeongHee Jeong, Sanghyun Lee\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-09-25\narXiv ID: 2609.30707v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.30707v1\n摘要翻译 中文标题: 具有 Radon 测度跟踪和逐点控制约束的 Darcy 最优控制整体式间断 Galerkin 框架\n摘要翻译: 我们研究非均质多孔介质中由 Darcy 方程支配的椭圆型最优控制问题，其中控制带有逐点箱约束。目标泛函通过一个 Radon 测度构造，这使得期望压力状态可以在不同维数的观测集上跟踪，包括点、曲线和子区域，并在单一表述内完成。状态方程和伴随方程采用对称内罚间断 Galerkin 方法离散，得到对强渗透率间断稳健的局部质量守恒逼近，而控制则用分片常数逼近。状态、伴随和控制作为主要未知量保留在单一耦合最优性系统中，并通过原始-对偶主动集策略整体求解。我们建立离散的稳定性和适定性，并推导两个变量的先验 $L^2$ 误差估计。主要困难是由测度值跟踪数据引起的伴随状态正则性降低。该分析通过由连续最优状态驱动的中间伴随来控制由此产生的伴随-控制耦合。数值实验证实了点、曲线和子区域观测的预期收敛阶，展示了与网格无关的原始-对偶主动集迭代次数，并展示了局部质量守恒。\n6. 一种用于各向异性椭圆问题的内罚间断 Galerkin 离散的非重叠谱加性 Schwarz 方法 A nonoverlapping spectral additive Schwarz method for interior penalty discontinuous Galerkin discretizations of Anisotropic Elliptic Problems\n作者: Maurice S. Fabien, Sijing Liu, Marcus Sarkis\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-25\narXiv ID: 2609.30639v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.30639v1\n摘要翻译 中文标题: 一种用于各向异性椭圆问题的内罚间断 Galerkin 离散的非重叠谱加性 Schwarz 方法\n摘要翻译: 我们设计并分析了一种用于各向异性椭圆问题的内罚间断 Galerkin 离散的非重叠加性 Schwarz 预条件子。该预条件方法与 Krylov 子空间迭代相结合，被证明独立于高度间断（且各向异性）的跳跃系数以及子域尺寸。为了提高有效性，考虑了各种辅助空间以减小粗网格算子的规模。我们展示了如何修改加性 Schwarz 预条件子，使其适用于非对称 IPDG 格式。若干数值实验验证了理论并证实了预条件子的稳健性。\n7. 冻结 Calderón：形状不确定性下 Maxwell 散射的鲁棒预条件 Freezing Calderón: Robust Preconditioning for Maxwell Scattering under Shape Uncertainty\n作者: Paul Escapil-Inchauspé, Carlos Jerez-Hanckes\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-24\narXiv ID: 2609.30559v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.30559v1\n摘要翻译 中文标题: 冻结 Calderón：形状不确定性下 Maxwell 散射的鲁棒预条件\n摘要翻译: Calderón 预条件恢复了 Maxwell 电场积分方程边界元离散的与网格无关的条件性，但组装对偶重心算子可能主导计算成本。我们证明，该预条件子可以在一个标称几何上组装一次，并在保持连通性的形状扰动中重复使用。RWG-BC 自由度的精确组合对齐传输了对偶配对，仅使对偶网格算子保持冻结。在一致离散稳定性和几何算子连续性假设下，一项双参数算子预条件分析给出了一个谱条件数界，该界在网格尺寸上一致，并在张量化后对随机 Galerkin 维数也一致。在光滑和非光滑散射体上的数值实验表明，在显著的形状变化下，冻结预条件子紧密跟踪新组装的 Calderón 预条件子。在 NASA almond 上的一项 Monte Carlo 实验，其中在构造每个形状之前筛选其可容许性，以确保没有任何实现被拒绝，使两种策略之间的差异小于实现之间的变化，并且该处的网格加密使冻结迭代次数保持不变。在我们的稠密实现中，重用对每个新实现带来约 30 倍的实测加速；基于已发表的压缩组装计时的成本模型估计给出约 2 倍。\n不相关论文（基本信息） 1. 皮质骨与松质骨电学性质的数值模拟：一个简化模型 Numerical Simulation of Electrical Properties in Cortical and Trabecular Bone: A Simplified Model\n作者: María José Cervantes, Catalina A. Cely-Ortíz, C. Manuel Carlevaro, Ramiro M. Irastorza\n类别: physics.med-ph, math.NA\n发布日期: 2026-09-25\narXiv ID: 2609.31584v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.31584v1\n摘要: The electrical properties of biological tissues depend on their composition and microstructure and determine their response to applied electric fields. In bone tissue, these properties are closely related to its composition, porosity, and microstructural organization. However, simplified models that link bone microstructure (trabecular and cortical) to its effective electrical properties while accounting for the electrical anisotropy of cortical bone remain scarce. In this work, a multiscale approach was developed, combining finite element simulations with Bruggeman-based homogenization models. Trabecular bone was modeled using microCT derived geometries, and its effective conductivity was analyzed as a function of BV/TV and free water content. Cortical bone was represented by a simplified three-dimensional network of Haversian canals (axial = z) and Volkmann canals (transverse), incorporating their directional organization through an anisotropic Bruggeman formulation. The models captured the conductivity range reported experimentally for trabecular bone (approximately 25-200 mS/m) and reproduced the anisotropic behavior observed in the cortical FEM simulations, with higher conductivity in the axial direction. In the generated cortical geometries, 65.5% of the total porosity was associated with axial Haversian canals. At the macroscale, the tibia model with lower trabecular and cortical BV/TV and reduced cortical thickness showed an approximately 38-39% reduction in impedance relative to the reference model. These results indicate that microstructural variations in bone tissue are reflected in its effective electrical properties and in the macroscopic impedance of the model, providing a physical and computational basis for future investigations into the sensitivity of electrical measurements to changes in bone microstructure.\n2. 边界元方法的边值修正 Boundary Value Correction for the Boundary Element Method\n作者: Erik Burman, Peter Hansbo, Mats G. Larson\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-25\narXiv ID: 2609.31555v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.31555v1\n摘要: We develop a boundary element method for the Laplace equation with Dirichlet boundary conditions in a bounded three-dimensional domain. The method uses flat panels of maximum diameter (h) on an interior surrogate boundary and corrects the imposed boundary values by a first-order Taylor expansion along the panel normals. The correction uses the normal flux already present in the Calderón formulation and introduces no additional unknown field. Under uniform assumptions on the surrogate geometry and boundary operators, the penalised form is coercive when (γδ_h\\le c_0\u0026lt;4), where (γ) is the penalty parameter and (δ_h) is the maximum normal offset. The error estimate separates trace approximation from a geometry term of size (γ^{1/2}δ_h^2|u|{H^3(Ω)}). With (γ\\simeq h^{-1}), the sufficient condition (δ_h\\lesssim h^{(k+1)/2}) yields an error of order (h^{k+1/2}) for (P_k/P{k-1}) Dirichlet/flux spaces under the stated regularity and uniform trace bounds. Thus an offset of order (h^2) supports the estimate through cubic Dirichlet approximation. We analyse two penalty variants and present numerical experiments on a sphere and an ellipsoid to examine convergence and sensitivity to geometry, penalty scaling and quadrature.\n3. 面向复杂三维几何的谱/hp 元方法的低阶精化预处理 Low-Order Refined Preconditioning for Spectral/hp Element Method for Complex, 3D Geometries\n作者: Parv Khurana, Henrik Wüstenberg, Spencer J. Sherwin, David Moxey, Julien Hoessler, Athanasios Chatzopoulos\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-25\narXiv ID: 2609.31443v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.31443v1\n摘要: Low-order refined (LOR) preconditioning replaces a high-order operator with a low-order discretisation on a refined nodal mesh. For tensor-product elements, the two operators are spectrally equivalent with bounds independent of the polynomial order $P$, but the construction does not extend directly to simplex and mixed-element discretisations. This work makes two contributions: it extends LOR preconditioning to simplex and mixed-element discretisations, including triangular, tetrahedral, and prismatic elements, and establishes a generalised Vandermonde transformation linking the modal and nodal LOR formulations, showing that the resulting preconditioned spectra and Krylov convergence are independent of the high-order basis. Numerical experiments show controlled iteration growth on triangular meshes despite increasing condition number, and controlled iteration counts up to $P=6$ on tetrahedral, prismatic, and mixed-element meshes. A single algebraic multigrid V-cycle per outer iteration gives the best balance of iteration count and cost. The method is applied to a production incompressible Navier-Stokes simulation of a race-car front-wing and wheel configuration, discretised on a mesh of $2.87\\times10^6$ mixed prismatic and tetrahedral elements giving $32.2\\times10^6$ pressure degrees of freedom at $P=3$. LOR reduces the mean pressure conjugate gradient (CG) iteration count from $235.3$ to $5.5$, and the pressure-solve time over 1000 timesteps by 16.1%, relative to the default production static-condensation diagonal preconditioner in Nektar++. The one-time cost of constructing the LOR preconditioner is amortised over the production simulation.\n4. 基于免纤维束成像的弥散张量成像的解剖连接及其在EEG脑成像中的应用 Anatomical Connectivity from Tractography-free Diffusion Tensor Imaging and Its Application to EEG Brain Imagin\n作者: Joonas Lahtinen\n类别: math.NA, math.DS, math.PR\n发布日期: 2026-09-25\narXiv ID: 2609.31410v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.31410v1\n摘要: This proof-of-concept paper demonstrates how the Kalman filter, as a brain imaging method, can be enhanced by incorporating raw diffusion tensor imaging (DTI) data without tractography, in addition to EEG recordings. An efficient algorithm is designed to streamline the otherwise tedious process of inferring connectivity between brain regions from DTI data. The DTI-based evolution model is applied to the Kalman filter and the Standardized Kalman filter, and these are compared with their conventional counterparts using the random walk evolution model. The numerical experiments use synthetic somatosensory and auditory evoked potentials. The results show that the DTI-modelled Kalman filter can obtain deep activity in the brainstem and thalamus. Moreover, the connection model limits the estimated spreads to the correct or nearest anatomical brain region.\n5. 带 Kraichnan 输运噪声的随机二维 Euler 方程的全离散逼近的收敛性 Convergence of a fully discrete approximation for the stochastic 2D Euler equations with Kraichnan transport noise\n作者: Abhishek Chaudhary, Ujjwal Koley, Andreas Prohl\n类别: math.PR, math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-09-25\narXiv ID: 2609.31369v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.31369v1\n摘要: We study a fully discrete approximation theory for the two-dimensional incompressible Euler equations on $\\mathbb{T}^{2}$, in vorticity form, driven by Kraichnan-type transport noise and with $\\mathbb{H}^{-1}(\\mathbb{T}^2)$-valued initial vorticity. The main new ingredient is a finite-dimensional coercivity estimate for the torus Kraichnan model, which captures at the discrete level the regularizing mechanism induced by the rough transport noise. Together with a new compactness strategy based on continuous equation-based interpolants and localized discrete estimates, this coercivity estimate gives tightness of the approximations and shows that subsequential limit is a weak martingale solution of the Euler equations.\n6. 非均匀平板输运的扩散综合加速的一致收敛性 Uniform convergence of diffusion synthetic acceleration for heterogeneous slab transport\n作者: Matthias Schlottbom\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-25\narXiv ID: 2609.31346v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.31346v1\n摘要: The diffusion synthetic accelerated (DSA) source iteration is a standard solver for the radiative transfer equation. Using Fourier analysis, a convergence rate (ρ_\\infty(c)\\le0.2247,c) with (c) the maximum ratio of scattering to total cross section has been established for an infinite homogeneous medium. For slab geometry with inflow boundary conditions and arbitrary bounded cross sections we prove that the spectral radius of the DSA iteration is at most (ρ_\\infty(c)). We show that this convergence rate carries over to a variational discretization of the DSA iteration on every conforming tensor-product Galerkin space whose angular factor contains the constants. The analysis rests on an exact min\u0026ndash;max characterization of the spectral radius. From it we derive a checkable sufficient condition for a given rate. We verify this condition using a suitable energy-stable projection, a weighted angular average whose weight is chosen so that the condition holds with the rate (ρ_\\infty(c)). Since the projection maps discrete spaces into discrete spaces, the argument applies verbatim to the discrete iteration. As a consequence, the condition number of the preconditioned system is uniformly bounded by (1+0.29,c), which implies rapid convergence of the preconditioned conjugate gradients method.\n7. 一种新的用于耦合偏微分方程问题的算子分裂方法，及其在孔隙力学中的应用 A new operator splitting method for coupled PDE problems, with an application to poromechanics\n作者: Francesca Marcon, Stefano Scialò\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-25\narXiv ID: 2609.31320v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.31320v1\n摘要: The present work proposes a new operator splitting technique. The method leverages ideas used in PDE-constrained domain decomposition, adapting them to the objective of decoupling equations defined on the same geometric domain. The methodology is applied here to the resolution of coupled flow and deformation in the linear quasi-static Biot problem. An overview of its main characteristics is provided, also in comparison with the well established fixed-stress split for poroelasticity.\n8. 能量极小化区域分解 Energy-minimizing domain decomposition\n作者: Muhammad Hassan, Benjamin Stamm, Lambert Theisen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-25\narXiv ID: 2609.31182v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.31182v1\n摘要: We propose a novel domain decomposition framework based on energy minimization, applicable to a wide class of linear and nonlinear partial differential equations. This energy-minimizing domain decomposition (EMDD) method addresses problems whose solutions are minimizers of an energy functional, either unconstrained or constrained to a manifold, and thus covers source and eigenvalue problems in a single formulation. Besides introducing the general framework, we derive the algorithmic realization of the method for four classes of model problems, namely linear and nonlinear source and eigenvalue problems, and derive the computational complexity of the method. Numerical experiments demonstrate the robustness and efficiency of the method across all four model problems and show that it compares favourably against existing model-specific domain decomposition methods.\n9. 时滞微分系统的算子-ADI平衡截断 Operator-ADI balanced truncation of delay differential systems\n作者: Timo Reis\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-25\narXiv ID: 2609.31044v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.31044v1\n摘要: We develop a balanced truncation method for linear delay differential systems based on a finite-rank alternating-direction implicit (ADI) iteration for the associated operator Lyapunov equations. The method acts directly on the infinite-dimensional history-state realization and does not discretize the delay interval during Gramian approximation or balancing. The finite-rank reachability and observability factors are represented exactly in Takenaka\u0026ndash;Malmquist coordinates, reducing the required computations to finite-dimensional linear algebra. These factors yield a finite-dimensional, delay-free reduced model. For real system data, the implementation remains in real arithmetic. Under suitable conditions on the ADI shifts and a gap in the Hankel singular values, we prove convergence in $\\mathcal H_\\infty$ to the reduced transfer function obtained by exact balanced truncation of the infinite-dimensional system. The construction extends to finitely many discrete delays. Numerical experiments validate the method against independent reference computations. The complete MATLAB implementation used in the experiments is provided as supplementary material.\n10. 求解标量守恒律的一种消失粘性极小化运动 Fourier 谱方法 A vanishing-viscosity minimizing movement Fourier spectral method for scalar conservation laws\n作者: Lun Ji, Buyang Li, Fangyan Yao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-25\narXiv ID: 2609.30876v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.30876v1\n摘要: We propose a vanishing-viscosity minimizing movement (VVMM) Fourier spectral method for scalar hyperbolic conservation laws under periodic boundary conditions. The method is a fully discrete space\u0026ndash;time residual-minimizing scheme, Fourier spectral in space and polynomial in time, stabilized by vanishing viscosity and heat-kernel postprocessing. A basic analytical difficulty in Fourier discretizations of nonlinear conservation laws is the interaction between Fourier projection and the nonlinear flux; the resulting projection residual contains unresolved high-frequency components. VVMM addresses this issue by selecting, on each time slab, the numerical solution that minimizes {a penalized cut-off viscous conservation laws residual} and then applies heat-kernel postprocessing to damp unresolved modes. We prove a fully discrete $L^1$ error estimate, in any fixed space dimension, that separates the vanishing-viscosity error, the temporal interpolation error, and the spatial Fourier truncation error. {Under exact minimization of the penalized cut-off residual and suitable parameter coupling,} the estimate yields, for each fixed $γ\u003e0$, an $L^1$ convergence rate $N^{-1/2+γ}$, with a constant depending on $γ$. Numerical experiments in one and two dimensions illustrate stable shock capturing without visible Gibbs oscillations and convergence behavior consistent with the theory.\n11. 水平海床运动生成的全非线性波下方的质点轨迹 Particle Trajectories Beneath Fully Nonlinear Waves Generated by Horizontal Seabed Motion\n作者: João Vitor P. Poletto, David Andrade, Marcelo V. Flamarion, Roberto Ribeiro-Jr\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-09-25\narXiv ID: 2609.30687v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.30687v1\n摘要: We investigate fully nonlinear water waves and fluid-particle dynamics generated by the horizontal motion of a seabed obstacle with prescribed time-dependent velocity. The governing equations are the full Euler equations, formulated in a time-dependent conformal domain that simultaneously maps the moving free surface and seabed onto fixed boundaries. The main contribution of this work is a Lagrangian formulation for computing particle trajectories in the resulting genuinely unsteady conformal domain. We derive a closed-form trajectory system in the canonical domain in which the time dependence of the conformal map is entirely represented by the real and imaginary parts of an analytic function that can be evaluated spectrally from the surface. We apply the formulation to waves generated by horizontal submarine landslide motion and characterize particle displacements throughout the fluid as functions of the initial particle position and Froude number. Our findings identify distinct regions in which particle motion is predominantly associated with the moving seabed, the generated wave, or the combined action of both. The results reveal a transition in the dominant mechanism driving particle motion: at low Froude numbers, particle displacements are primarily associated with the moving seabed, whereas at high Froude numbers the generated wave becomes increasingly dominant, particularly near the free surface and away from the obstacle path.The numerical predictions are benchmarked against laboratory data available in the literature, showing good agreement and providing a quantitative assessment of the model accuracy. Moreover, laboratory topographies beyond those considered here can be readily incorporated into the numerical framework through a Hermite interpolation procedure.\n12. Muon 的收敛性保证：新的参数区域与推广 Convergence guarantees for Muon: New parameter regimes and generalizations\n作者: Arthur C. B. de Oliveira, Dhruv D. Jatkar, Guilherme S. Vicinansa, Eduardo D. Sontag\n类别: math.NA, cs.AI, math.OC\n发布日期: 2026-09-24\narXiv ID: 2609.30546v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.30546v1\n摘要: In this paper, we establish the first asymptotic convergence guarantees for the Muon algorithm through a more accurate proxy for the Newton-Schultz iteration than the typical matrix sign function. We prove that, for appropriate choices of hyperparameters, the iterates satisfy $\\lim_{k\\to\\infty}\\|\\nabla f(x_k)\\|=0$, and, under a global Polyak-Łojasiewicz condition, that the sequence of function values converges linearly. The key insight is that the regularization, implicit in Muon\u0026rsquo;s Newton-Schulz implementation, induces a bounded preconditioner, exposing Muon as a \\emph{preconditioned Polyak heavy-ball} method and enabling a classical Lyapunov analysis. This observation naturally motivates applying the same preconditioning structure to the Nesterov gradient evaluation. We formalize this idea by introducing \\emph{Muesterov}, a Nesterov-based variant of Muon, and prove that it enjoys the same convergence guarantees, extending the theoretical framework beyond the heavy-ball setting. Numerical experiments on a scalar cross-entropy problem corroborate the theory and illuminate the joint role of the learning rate and the Newton-Schulz regularizer in controlling convergence. Preliminary numerical simulations training the nanoGPT dataset provide intuition regarding the relevance of the observations in this paper to practical applications.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-28_18-02-19/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月28日 18:02:19\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 7\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 12\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-next物理信息神经谱指数时间差分架构\"\u003e1. NEXT：物理信息神经谱指数时间差分架构\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eNEXT: Physics-Informed Neuro-Spectral Exponential Time Differencing Architectures\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年09月28日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年09月25日 15:06:02\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 10\n不相关论文数量: 12\n重点关注论文（完整分析） 1. Eigendamage：一种用于反平面剪切变形中内聚断裂变分逼近的本征变形模型 Eigendamage: an Eigendeformation model for the variational approximation of cohesive fracture in antiplane shear deformations\n作者: Veronika Auer-Volkmann, Lisa Beck, Bernd Schmidt\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-09-24\narXiv ID: 2609.29734v1\n摘要翻译: 我们建立并研究了一种用于反平面剪切变形中内聚断裂变分理论的逼近格式。我们考虑一族作用于一般维数标量值函数的泛函，它们依赖于小参数 $0 \u003c \\varepsilon \\ll 1$ 以及两个场：位移场的弹性部分和一个描述材料超出弹性范围的非弹性响应的本征变形场。我们通过一个非局部能量泛函来度量后者的非弹性贡献。我们的主要结果表明，当 $\\varepsilon \\to 0$ 时，近似泛函 $Γ$-收敛到一个内聚区模型。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.29734v1\n1. 研究对象和背景 本文研究反平面剪切变形下韧性材料内聚断裂的变分近似。设 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$ 为有界开集，$d\\ge 1$，边界 Lipschitz。反平面剪切用标量位移 $u:\\Omega\\to\\mathbb{R}$ 描述，而材料在弹性范围之外的非弹性响应由特征变形场 $\\gamma$ 表示，$\\gamma$ 是 $\\Omega$ 上 $\\mathbb{R}^d$ 值 Radon 测度。近似模型取小参数 $0\u003c\\varepsilon\\ll 1$，考虑双场 $(u_\\varepsilon,\\gamma_\\varepsilon)$，其中 $\\gamma_\\varepsilon=g_\\varepsilon\\mathcal{L}^d$。对 $u\\in W^{1,1}(\\Omega)$、$\\|u\\|_{L^\\infty(\\Omega)}\\le K$、$g\\in L^1(\\Omega,\\mathbb{R}^d)$ 且 $\\nabla u-g\\in L^2(\\Omega,\\mathbb{R}^d)$，定义近似能量 $$E_\\varepsilon(u,\\gamma)=\\int_\\Omega |\\nabla u-g|^2\\,dx+\\frac{1}{\\varepsilon}\\int_\\Omega f\\left(\\varepsilon-\\int_{B_\\varepsilon(x)\\cap\\Omega}|g|\\,dy\\right)dx,$$ 否则取 $+\\infty$。这里 $f$ 是最简单的连续线性增长截断函数：$f(t)=c_0 t$ 当 $t\u003c1$，$f(t)=c_0$ 当 $t\\ge 1$，其中 $c_0\u003e0$ 固定。第一项是弹性应变能，$\\nabla u-g$ 表示弹性应变；$\\gamma=g\\mathcal{L}^d$ 描述超过弹性范围后的永久非弹性变形。第二项是非局部能量，通过在半径 $\\varepsilon$ 的球 $B_\\varepsilon(x)$ 上平均 $|g|$ 来惩罚非弹性贡献。\n本文的核心问题是研究 $\\{E_\\varepsilon\\}_{\\varepsilon\u003e0}$ 在 $\\varepsilon\\to0$ 时的渐近行为，并识别其 $\\Gamma$-极限。极限构型取 $u\\in BV(\\Omega)$、$\\gamma\\in\\mathcal{M}(\\Omega,\\mathbb{R}^d)$。若 $u\\in BV(\\Omega)$、$\\|u\\|_{L^\\infty(\\Omega)}\\le K$、$\\gamma=D^s u+g\\mathcal{L}^d$、$g\\in L^1(\\Omega,\\mathbb{R}^d)$ 且 $\\nabla u-g\\in L^2(\\Omega,\\mathbb{R}^d)$，则极限能量为 $$E(u,\\gamma)=\\int_\\Omega |\\nabla u-g|^2\\,dx+c_0\\int_\\Omega |g|\\,dx+\\int_{J_u}\\theta([u])\\,d\\mathcal{H}^{d-1}+c_0|D^c u|(\\Omega),$$ 否则取 $+\\infty$。其中 $D u=\\nabla u\\mathcal{L}^d+[u]\\nu_u\\mathcal{H}^{d-1}\\lfloor J_u+D^c u$，$J_u$ 是跳集，$[u]$ 是裂缝开度，$D^c u$ 是 Cantor 部分。函数 $\\theta$ 由 $$\\theta(t)=2\\int_0^1 f\\left(\\frac{\\omega_{d-1}}{\\omega_d}(1-s^2)^{\\frac{d-1}{2}}|t|\\right)ds$$ 定义，$\\omega_k$ 为 $\\mathbb{R}^k$ 中单位球体积；当 $d=1$ 时 $\\theta(t)=f(|t|/2)$，与已有的一维梁情形相衔接。由 Fubini 公式和 $f$ 的凹性可知，$\\theta(t)$ 与 $\\min\\{|t|,1\\}$ 上下等价。\n该模型的物理与分析重要性在于：它试图在反平面剪切框架中统一描述弹性、塑性和断裂三种机制。传统相场或损伤模型通常引入显式损伤变量，并让本构关系依赖该变量；而特征变形模型把损伤增长与从弹性场向非弹性特征变形场的过渡联系起来，不显式构造损伤变量。与脆性 Griffith 型模型不同，这里体能量密度在无穷远处只有线性增长，表面能也随小裂缝开度线性尺度变化，因此体项与面项之间会发生非平凡耦合。已有理论包括 Francfort-Marigo 的变分断裂理论、Ambrosio-Tortorelli 相场近似、Schmidt 等人的 eigenfracture 模型、Lussardi-Vitali 的非局部应变近似，以及本文作者先前在一维梁中研究的 ABS22 情形。本文试图补上的空白是：将 eigendeformation 型内聚断裂近似从一维推广到一般维反平面剪切，并处理由此产生的 $u_\\varepsilon$ 与 $\\gamma_\\varepsilon$ 之间的强耦合。关键困难在于，两个场仅通过正则性约束 $\\nabla u_\\varepsilon-\\gamma_\\varepsilon\\in L^2$ 联系，而它们的收敛在负 Sobolev 或 flat 拓扑下非常弱，导致通常的体切片技巧失效。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结论是：在 $L^1(\\Omega)$ 强拓扑与 $\\mathcal{M}(\\Omega,\\mathbb{R}^d)$ 的 flat 拓扑乘积空间上，近似泛函族 $\\{E_\\varepsilon\\}_{\\varepsilon\u003e0}$ $\\Gamma$-收敛到内聚区模型能量 $E$。定理 2.1 给出两条不等式。第一，liminf 不等式：对任意序列 $(u_\\varepsilon,\\gamma_\\varepsilon)$，若 $u_\\varepsilon\\to u$ 在 $L^1(\\Omega)$ 中且 $\\gamma_\\varepsilon\\to\\gamma$ 在 flat 范数下，则 $$\\liminf_{\\varepsilon\\to0}E_\\varepsilon(u_\\varepsilon,\\gamma_\\varepsilon)\\ge E(u,\\gamma).$$ 第二，limsup 不等式：对任意 $(u,\\gamma)\\in L^1(\\Omega)\\times\\mathcal{M}(\\Omega,\\mathbb{R}^d)$，存在恢复序列 $(u_\\varepsilon,\\gamma_\\varepsilon)$，使得 $u_\\varepsilon\\to u$ 在 $L^1(\\Omega)$ 中、$\\gamma_\\varepsilon\\to\\gamma$ 在 flat 范数下，并且 $$\\limsup_{\\varepsilon\\to0}E_\\varepsilon(u_\\varepsilon,\\gamma_\\varepsilon)\\le E(u,\\gamma).$$ 因此 $\\{E_\\varepsilon\\}_\\varepsilon$ 的 $\\Gamma$-极限正是 $E$。\n紧性方面，定理 4.2 断言：若 $E_\\varepsilon(u_\\varepsilon,\\gamma_\\varepsilon)\\le C_0$ 对所有 $\\varepsilon\u003e0$ 成立，则存在 $u\\in BV(\\Omega)$、$\\|u\\|_{L^\\infty(\\Omega)}\\le K$ 以及 $\\gamma\\in\\mathcal{M}(\\Omega,\\mathbb{R}^d)$，使得沿子列 $u_\\varepsilon\\to u$ 在 $L^1(\\Omega)$ 中；并且第二个分量实际上在更强的负 Sobolev 空间 $W^{-1,q}(\\Omega,\\mathbb{R}^d)$ 中对所有 $1","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-25_15-06-02/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月25日 15:06:02\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 10\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 12\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-eigendamage一种用于反平面剪切变形中内聚断裂变分逼近的本征变形模型\"\u003e1. Eigendamage：一种用于反平面剪切变形中内聚断裂变分逼近的本征变形模型\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eEigendamage: an Eigendeformation model for the variational approximation of cohesive fracture in antiplane shear deformations\u003c/p\u003e","title":"2026年09月25日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年09月24日 14:45:00\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 13\n不相关论文数量: 14\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 液晶动力学 Beris-Edwards 系统的全离散有限元方法的收敛性 Convergence of a fully discrete finite element method for the Beris-Edwards system of liquid crystal dynamics\n作者: Gonzalo A. Benavides, Franziska Weber\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.28444v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.28444v1\n摘要翻译 中文标题: 液晶动力学 Beris-Edwards 系统的全离散有限元方法的收敛性\n摘要翻译: 我们提出并分析了一种用于向列相液晶动力学的 Beris-Edwards 系统的全离散有限元格式。在该系统中，不可压缩 Navier-Stokes 方程与 Landau-de Gennes Q-张量的梯度流耦合。该格式将时间上的线性隐式、形式二阶精度的向后微分公式与用于不可压缩约束的增量 Chorin 投影步、空间中的协调有限元以及用于非线性体势的质量集中不变能量二次化方法相结合。每个时间步需要求解一个线性系统和一个 Poisson 问题。我们证明该格式唯一可解，保持离散 Q-张量和分子场的对称性和无迹结构，并且对时间步长没有任何限制地满足离散能量定律。我们的主要结果是：当网格尺寸 $h$ 和时间步长 $Δt$ 在满足 $h^{2} = o(Δt)$ 的条件下趋于零时，近似解沿子序列收敛到 Beris-Edwards 系统的弱解。收敛性证明处理了两个困难：投影方法产生两个速度近似，其中只有一个在 $L^2(0,T;H^1_0(Ω))$ 中一致有界；并且耦合项 $\\mathcal{H}\\nabla Q$ 需要 $\\nabla Q$ 的强收敛，我们是从 $\\mathcal{H}$ 方程的结构中得到这一点，而不是从任何离散 $H^2$ 界中得到。二维数值实验显示出空间和时间上近似二阶收敛，并再现了 $+1$ 点缺陷分裂为两个 $+1/2$ 缺陷，以及由恒定压力梯度诱导的斯格明子的输运和变形。\n2. Vlasov 方程的二阶保结构与保正性凸限制方法 A second-order structure- and positivity-preserving convex limiting method for the Vlasov equations\n作者: Katharina Kormann, Murtazo Nazarov, Junjie Wen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.28412v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.28412v1\n摘要翻译 中文标题: Vlasov 方程的二阶保结构与保正性凸限制方法\n摘要翻译: 本文引入了一种新的二阶、保正有限元方法，用于 Vlasov 方程，采用凸限制算法。该方法采用强稳定性保持（SSP）Runge-Kutta 时间积分以及相空间网格的张量积构造，以实现高效的高维实现。凸限制算法将稳健的一阶保正图黏性方法与高阶基于残差的黏性稳定化相结合，从而获得高阶保正格式。文中提出了适用于诸如 Vlasov 系统等高维问题的新型一阶和高阶方法。此外，我们针对 Maxwell 方程提出一种散度清理技术，以确保电磁场的散度约束得到满足。数值实验用于证明所提方法的精度和鲁棒性。\n3. 单纯形上离散de Rham复形的高阶双正交函数* High order biorthogonal functions for the discrete de Rham complex on simplices*\n作者: Tim Haubold, Sven Beuchler, Joachim Schöberl\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.28345v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.28345v1\n摘要翻译 中文标题: 单纯形上离散de Rham复形的高阶双正交函数*\n摘要翻译: 众所周知，在hp-FEM中，基函数的选择极大地影响了获得近似解的稳定性和计算成本。对于二维和三维空间中的单纯形单元，由具有不同权重的Jacobi多项式构建的张量积型基函数在条件数和稀疏性方面具有最优性质。在本文中，我们为Nédélec空间以及Raviart-Thomas和Brezzi-Douglas-Marini空间构造了这样的高阶基，修改了Zaglmayr的现有定义，使得这些函数属于第一类Nédélec空间和Raviart-Thomas空间。这些基的设计使得第二类Nédélec空间和BDM空间分别是各自其他空间的扩展。在本文的第二部分，我们引入了$H(\\text{div}, Ω)$的双正交基函数，延续了先前对$H^1(Ω)$和$H(\\text{curl}, Ω)$的研究。这些函数可以以Jacobi多项式张量积之和的闭式形式表达，从而允许快速计算$L^2$-投影。\n4. phi-FD：用于由水平集函数定义的几何区域的二阶有限差分格式——Neumann 情形 phi-FD, a second order finite difference scheme for geometries defined by a level-set function: the Neumann case\n作者: Michel Duprez, Vanessa Lleras, Alexei Lozinski, Vincent Vigon, Lisl Weynans\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.28313v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.28313v1\n摘要翻译 中文标题: phi-FD：用于由水平集函数定义的几何区域的二阶有限差分格式——Neumann 情形\n摘要翻译: 我们将 phi-FD 有限差分格式推广到 Neumann 边界条件，该格式处理在笛卡尔网格上由水平集函数描述的区域。该条件通过水平集和一个辅助场在边界附近被放宽；通过将放宽后的条件写在边界节点及其最近的内部节点处，辅助场被消去。该格式仅使用内部节点和水平集：不使用 ghost 值、通量重构或 cut-cell 体积。我们证明了最优相容性，并在非凸区域上展示了 L2、H1 和 Linf 范数下的二阶收敛性。两个基本预防措施——对边界方程进行单独归一化，以及为耦合内部节点的选择制定规则——使条件数为 O(h^-2)，且独立于最小的 cut cell，而无需任何稳定项。\n5. 多面体网格上的离散 Sobolev 与 Trudinger 不等式 Discrete Sobolev and Trudinger inequalities on polyhedral meshes\n作者: Maxime Herda, Ariane Trescases, Antoine Zurek\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.28152v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.28152v1\n摘要翻译 中文标题: 多面体网格上的离散 Sobolev 与 Trudinger 不等式\n摘要翻译: 我们重新审视多面体网格上分片常数函数在有界区域上的离散 Sobolev 不等式及相关不等式的推导。我们的结果改进了 Sobolev 常数对 Lebesgue 指数的依赖，并使我们能够恢复连续情形的渐近性。作为推论，我们推导出 Trudinger 不等式的一个离散版本及其变体。我们将结果推广到破碎 Sobolev 空间，并讨论这些新的或精细化的离散泛函不等式在非协调数值方法数值分析中的意义。\n6. 一种高效的守恒且保正的空间零维电池模型 An efficient 0D-space conservative and positivity preserving battery model\n作者: S. Clain, M. C. Lucas, M. T. Malheiro, C. M. Costa\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.28121v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.28121v1\n摘要翻译 中文标题: 一种高效的守恒且保正的空间零维电池模型\n摘要翻译: 嵌入式软件旨在实时提供电池单体的主要特性，以管理和优化电池使用。完整的多维模型在就地可用的低计算资源下难以处理。一类空间零维模型由 P2D Doyle-Fuller-Newman 系统导出，并附加了关于函数在空间中形状的假设；它在保持主要特性随时间不变的同时，大幅降低了复杂度。我们提出一个基于 P2D 系统构建的守恒、保正模型，该模型基于 Butler-Volmer 源项在每个子域（阳极、隔膜、阴极）中为常数这一论断。我们给出了数学上严格的构造，以得到该简化模型，并设计了求解该系统的格式。我们强调，该模型保证了守恒性质以及浓度的正性。特别地，我们显式得到了扩散限制电流密度，它表示在仍保持阳离子浓度正性的同时所能使用的最大电流。\n7. Kirchhoff 型方程的守恒三层格式 Conservative Three-Layer Schemes for Kirchhoff-Type Equations\n作者: Felix Krumbiegel, Jemal Rogava, Andreas Rupp, Zurab Vashakidze\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.27707v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.27707v1\n摘要翻译 中文标题: Kirchhoff 型方程的守恒三层格式\n摘要翻译: 我们研究二维空间中一类 Kirchhoff 型非线性积分微分方程，其系数允许依赖于时间；针对相应的初边值问题，我们构造了时间上的守恒离散格式。我们考虑两个 Crank\u0026ndash;Nicolson 型的对称三层格式，一个是局部线性的，另一个是真正非线性的，并证明它们各自保持常系数齐次问题总机械能的离散类似量。对于非线性格式，我们通过直接使用离散能量建立离散解及其离散速度的一致先验界，而不借助非线性离散 Grönwall 不等式；其中的常数仍随最终时间指数增长；并且我们证明了解及其一阶时间导数的中心差分近似在时间上均具有局部二阶收敛性。每个时间层上出现的非线性系统通过不动点迭代求解：给定满足先验界的前两个层上的迭代值，该方程恰有一个解，且只要时间步长足够小，迭代就以几何速率收敛到该解。由于这些先验界是指标局部的，将它们与该单步求解器交替使用，即可逐步构造轨迹；对时变系数亦然，且是在这些界成立的局部区间上。数值实验在空间离散不贡献误差的情形下进行，展示了离散不变量的守恒性，证实了时间上的二阶收敛，并验证了不动点迭代的几何收敛性。\n8. 带 Coriolis 源项的二维双曲系统的半离散 Active Flux 方法 Semi-discrete Active Flux method for two-dimensional hyperbolic systems with Coriolis source terms\n作者: Nikhil Manoj, Wasilij Barsukow, Christian Klingenberg\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.27555v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.27555v1\n摘要翻译 中文标题: 带 Coriolis 源项的二维双曲系统的半离散 Active Flux 方法\n摘要翻译: 我们研究应用于带 Coriolis 源项的二维线性与非线性浅水方程的笛卡尔网格上的半离散 Active Flux 数值方法。这些双曲系统具有由地转平衡支配的非平凡定常解。在此情形下，我们分析半离散 Active Flux 格式的保持定常性的性质。为对线性系统做到这一点，我们对半离散方法应用离散空间 Fourier 变换，并分析所得的演化矩阵。我们证明其离散核是地转平衡的一个非平凡离散化，这意味着该方法保持一个离散地转平衡态。这是 Active Flux 的固有特征，并且无需任何额外修改即可实现。数值实验证实了该方法对线性系统维持地转定常态的能力。此外，我们数值研究了 Active Flux 方法对非线性浅水系统的性能。\n9. 通过残差最小化的稳定时间推进：瞬态抛物问题的有限元与神经网络近似 Stable time-stepping via residual minimization: finite-element and neural-network approximations for transient parabolic problems\n作者: Judit Muñoz-Matute, Sergio Rojas\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.27548v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.27548v1\n摘要翻译 中文标题: 通过残差最小化的稳定时间推进：瞬态抛物问题的有限元与神经网络近似\n摘要翻译: 我们提出一个用于瞬态强制变分问题的时间推进最小残差（MinRes）框架，适用于有限元与神经网络试探近似。对于 Backward Euler 格式，我们在每个时间层上，以由稳态检验空间范数诱导、并按时间步长缩放的对偶范数来度量残差。该选择给出稳定性估计，控制一个离散抛物能量量，直至相差一个时间离散化缺陷项。我们发展了协调与破碎检验格式，并将分析具体应用于扩散-对流-反应问题。对于有限维检验空间，我们通过用一个补充贡献来补足可计算离散残差，从而推导出全离散可靠性估计；该补充贡献考虑了检验空间无法分辨的残差分量。我们随后将该框架推广到神经网络试探类，并得到协调与破碎多项式检验空间的可计算残差分解。数值实验证实了预期的有限元收敛率，考察了全局时空神经网络近似中检验空间加密的影响，并展示了对具有移动局部特征的瞬态问题进行残差驱动的空间加密。\n10. 球面上轴对称核的形变方法：球谐耦合与正则性 A Deformation Approach to Axially Symmetric Kernels on the Sphere: Harmonic Coupling and Regularity\n作者: Janin Jäger, Fabian Stallbauer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.27419v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.27419v1\n摘要翻译 中文标题: 球面上轴对称核的形变方法：球谐耦合与正则性\n摘要翻译: 本文构造球面上的轴对称核。我们首先取一个各向同性核，并通过一个特定形变将其变换为轴对称核。对于一般的形变，未必能获得显式的球谐表示。对于我们的形变，可以用原各向同性核的展开系数得到变形后核的这种表示。我们通过显式描述该形变对球谐基的影响来推导这一表示。由此，推导出耦合系数的显式有限和公式，并证明对于每个固定输入模态，这些系数以由我们的形变参数控制的速率几何衰减。我们进一步指出，如果各向同性核的原生空间与某个 Sobolev 空间范数等价，那么变形后的核具有相同的原生空间，并具有等价范数。在数值实验中，我们表明当底层随机场具有轴对称协方差时，我们的形变可以改进预测。\n11. 面向椭圆界面问题的混合迭代深度 Ritz 方法 A Hybrid Iterative Deep Ritz Method for Elliptic Interface Problems\n作者: Tianhao Hu, Bangti Jin, Fengru Wang, Yifeng Xu\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.27325v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.27325v1\n摘要翻译 中文标题: 面向椭圆界面问题的混合迭代深度 Ritz 方法\n摘要翻译: 本文针对一类二阶椭圆算子界面问题，提出了一种混合迭代深度 Ritz 方法（H-IDRM）。该方法基于该问题的一种新混合形式，并涉及求解一系列凸极小化问题。我们采用水平集神经网络架构，其特征是界面的水平集表示，以适应该问题解与通量的分片光滑性。该方法仅涉及体积表示，而不是界面上的对偶配对，并避免了对于复杂界面几何而言不方便的显式界面采样。此外，我们给出了该方法的分析，包括由神经网络逼近、Monte Carlo 逼近、迭代格式和惩罚参数引起的误差。数值实验表明，在高维区域、复杂界面几何和较低子区域正则性的问题上，H-IDRM 优于现有的神经求解器。\n12. 基于物理信息神经网络的面向气候感知数字孪生的稀疏观测大气热力预报 Sparse-Observation Atmospheric Thermal Forecasting with Physics-Informed Neural Networks for Climate-Aware Digital Twins\n作者: Tannaz Goodarzvand Chegini, Elyas Shivanian, Behzad Karimi, Faraz Dadgostari\n类别: cs.AI, math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.27290v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.27290v1\n摘要翻译 中文标题: 基于物理信息神经网络的面向气候感知数字孪生的稀疏观测大气热力预报\n摘要翻译: 短期大气温度预报对于支撑气候感知数字孪生系统是必要的，但此类预报必须在热力观测不完整的区域生成。本研究评估了一个用于位温预报的物理信息神经网络，该网络受气压坐标热力学平流-源方程以及一个非绝热源闭合关系约束，该闭合关系由前12小时时段拟合得到，并在未来时刻训练之前冻结。利用三个气压层上的逐小时ERA5再分析资料，将该模型作为条件后报进行评估，提前时间为1、2、3小时，并与持续性、局部趋势以及两个匹配的神经网络基线进行比较；其中一个基线接收与PINN相同的未来气象强迫，从而有助于区分物理约束与对未来强迫的获取。在俄克拉何马州开发案例中，相对于最强基线的平均RMSE改进从1小时的8.1%增长到3小时的23.8%；在观测密度扫描降至候选位置的5%时，这一3小时优势仍保持在14.6\u0026ndash;16.9%，且没有证据表明更低密度会改善性能。在将固定协议迁移至具有三种虚拟观测布局的阿拉巴马州高温事件时，3小时改进范围为19.7-24.4%，并在各起报时刻均一致胜出。一项并行的蒙大拿州压力测试中，固定气压层与复杂地形相交，导致3小时性能下降约17.5%，从而识别出该方案与地形相关的适用性限制。总之，这些结果表明，物理约束的收益随预报时效增长，在严重观测稀疏下依然存在，并可跨区域迁移，但受限于固定垂直坐标表示在复杂地形上的有效性；这些证据与气候感知预报和数字孪生系统中的物理约束组件相关。\n13. 多组分反应流离散化中的逐层离散证书 Layer-wise discrete certificates in multicomponent reacting-flow discretizations\n作者: Jingchao Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.27272v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.27272v1\n摘要翻译 中文标题: 多组分反应流离散化中的逐层离散证书\n摘要翻译: 多组分反应流离散化必须守恒总组分质量、保持质量分数为正，并耗散一个凸混合势。然而，这些性质在求解器的不同阶段受到控制，在一个阶段建立的证书未必能延续到下一阶段。我们针对混合平均扩散、非正交有限体积重构以及保正 Patankar 时间积分研究这一兼容性问题。该分析是等温的，使用给定密度，并使用合成细致平衡反应网络进行化学测试。在面级，熵变量跳跃被证明等于一个对数平均 Gibbs Hessian 精确作用于质量分数跳跃的结果。要求单纯形切空间上的质量修正项具有守恒性和熵中性，则得到唯一逐分量正的面组分以及精确的两点熵证书。算术权重面准则也由生产的中性空气/碳数据和准中性双极性空气对照所满足，但面级证书不会自动延伸到后续的离散化层。在所测试原型中，加权最小二乘非正交修正可以将一个耗散的两点算子转化为一个反耗散的多点算子。同样，Patankar 重缩放可以在增加自由能的同时保持正性和守恒性；一个显式有限步有理反例在不依赖系综统计的情况下确立了这一失败。一个全离散双单元例子进一步表明，正的面熵裕量并不保证全离散更新的正性。因此，守恒性、正性和自由能耗散是各层特有的性质，并且需要不同的离散证书。\n不相关论文（基本信息） 1. Hutch#：最优非自适应 Frobenius 范数估计 Hutch#: Optimal non-adaptive Frobenius norm estimation\n作者: Tyler Chen, Diana Halikias, Christopher Musco, David Persson\n类别: math.NA, cs.DS\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.28472v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.28472v1\n摘要: The Girard\u0026ndash;Hutchinson estimator provides an extremely simple randomized estimate of the Frobenius norm of a matrix $A$ that can only be accessed implicitly via matrix-vector products. In particular, if $Ω$ is a random Gaussian matrix with $r = O(1/\\varepsilon^2)$ columns, than $\\frac{1}{r}\\|AΩ\\|_F^2$ provides a $(1\\pm \\varepsilon)$ multiplicative approximation to $\\|A\\|_F^2$ with high probability. In this work, we introduce a closely related estimator, given by \\begin{align*} {\\frac{1}{r}|AΩ|_F^2 + \\frac{1}{r}|Ψ^T A|_F^2 - \\frac{1}{r^2}|Ψ^T AΩ|_F^2}, \\end{align*} where $Ψ$ is a second, independent random Gaussian matrix with $r$ columns. We prove that this estimator yields a $(1\\pm\\varepsilon)$ multiplicative approximation to $\\|A\\|_F^2$ when $r = O(1/\\varepsilon)$, a quadratic improvement over Girard\u0026ndash;Hutchinson. This dependence on $\\varepsilon$ is optimal. Our method, which we call Hutch# (pronounced ``Hutch sharp\u0026rsquo;\u0026rsquo;), matches the complexity of the Hutch++ algorithm [Meyer, Musco, Musco, Woodruff, 2021]. However, unlike Hutch++, Hutch# uses only \\textit{non-adaptive} matrix-vector products with $A$ and $A^T$ and requires no orthogonalization or other adaptive linear algebra steps. Thus, Hutch# combines the simplicity of the Girard\u0026ndash;Hutchinson estimator and the optimal query complexity of Hutch++.\n2. 由 Epstein zeta 函数的高阶导数计算各向异性奇异和 Computation of anisotropic singular sums from high-order derivatives of Epstein zeta functions\n作者: Andreas A. Buchheit, Jonathan K. Busse\n类别: math.NA, cond-mat.str-el, math.NT\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.28282v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.28282v1\n摘要: The precise and efficient evaluation of large-scale lattice sums involving power-law kernels is a fundamental computational problem in the simulation of classical and quantum systems with long-range interactions. While methods for spatially isotropic kernels, some based on Epstein zeta functions, have advanced considerably in recent years, the anisotropic case has lagged behind, despite its broad relevance to both fundamental and effective interactions such as the dipole interaction in magnetic materials. In this work, we solve this issue by defining and analyzing anisotropic Epstein zeta functions for which we derive stably computable representations obtained from wave vector derivatives of lattice sums over isotropic interaction kernels. These functions find direct application in the analytical and numerical study of anisotropically interacting lattice systems. Going further, they provide the correction term in an exact equivalence between discrete lattices and their continuous analogs in a recent generalization of the classical Euler-Maclaurin summation formula to lattices and summands involving power-law kernels. Their connection to high-order derivatives of zeta functions can be used to improve convergence rates of numerical algorithms, for instance in micromagnetics, or to provide rapidly convergent expansions suitable for precomputations of generalized zeta functions. We derive a stably computable representation of anisotropic Epstein zeta functions, including the possibility for analytically removing Rayleigh\u0026ndash;Wood singularities, and we develop a numerical algorithm for their stable evaluation for any lattice, power-law decay exponent and anisotropy order. We benchmark the algorithm against closed-form identities, direct summation and multi-precision results, obtaining machine precision across various lattices, power-law exponents, and anisotropy orders.\n3. 耦合 Fokker-Planck-Darcy 系统的贝叶斯统计反问题 Bayesian statistical inverse problems for a coupled Fokker-Planck-Darcy system\n作者: Grigorios A. Pavliotis, Andrew M. Stuart, Andrea Zanoni\n类别: math.ST, math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.28242v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.28242v1\n摘要: We study the nonparametric statistical inverse problem of recovering the space-dependent permittivity in a coupled Fokker-Planck-Darcy system from discrete, noisy observations of the Fokker-Planck solution. We consider the coupled parabolic-elliptic system on a bounded domain with the physically natural no-flux boundary condition for the Fokker-Planck equation and homogeneous Dirichlet boundary conditions for the Darcy equation. The inverse problem is indirect, since the unknown coefficient enters only through the elliptic equation and is observed only through its effect on the density in the parabolic equation. We first develop the analytical theory of the forward problem required for the statistical analysis, establishing well-posedness and a priori bounds uniform over the admissible set of permittivities. We then derive two stability estimates for the inverse problem, namely a Lipschitz-type forward estimate and a generalized backward estimate. Placing a rescaled Gaussian process prior on the log-shifted permittivity, we show that the posterior contracts around the truth at an explicit polynomial rate in the number of observations, with the posterior mean converging at the same rate. Numerical experiments in one and two dimensions, using preconditioned Crank-Nicolson and ensemble Kalman filter algorithms, complement our theoretical results.\n4. 一种 Lloyd 稳定化的 Voronoi 粒子方法 A Lloyd-stabilized Voronoi particle method\n作者: Bruno Després, Borjan Geshkovski\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.28135v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.28135v1\n摘要: We study the stability and consistency of Lloyd\u0026rsquo;s algorithm used in combination with the Lagrangian transport of a density on a Voronoï tessellation. We show that relaxation rates as strong as $O(h^{-1/2})$, where $h$ is the mesh size, give convergence to the continuity equation in Wasserstein distance at the rate $O(h^{1/4})$. Thus the mesh can be kept regular by the correction alone, without the remeshing that Lagrangian methods usually require. An application is proposed for the compressible Euler equations.\n5. Transformer 键值缓存的张量分解：谱结构与格式比较 Tensor Decomposition of Transformer Key-Value Caches: Spectral Structure and Format Comparison\n作者: Rahul Krishnan, Volker Schulz\n类别: math.NA, cs.CL, cs.LG\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.28029v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.28029v1\n摘要: The key-value (KV) cache of autoregressive transformers can be viewed as a fourth-order tensor spanning attention heads, tokens, features, and grouped layers. We measure the singular-value spectra of all four mode unfoldings on Mistral-7B-v0.3 and LLaMA-2-13B and compare four standard tensor decompositions: Tucker, CP, tensor train, and t-SVD, at matched storage. The spectra partition the four axes into two classes. The token and feature modes carry low-rank structure, particularly for keys. The head and layer modes are nearly full-rank and resist compression at any practical error level. Among the four decompositions, Tucker achieves the lowest reconstruction error at every compression ratio from $2\\times$ to $5\\times$, because it can leave the full-rank modes untouched. Comparisons with two-dimensional unfolding baselines show that the preferred representation differs between keys and values: 2D methods achieve lower key error, while four-way Tucker achieves lower value error at matched storage. A mode-pinning theorem certifies the full-rank preservation from the measured spectra alone. Two further spectral properties affect the compressible modes without touching the full-rank ones: values reach a higher error floor than keys at every ratio, and post-RoPE keys lose $41\\%$ - $64\\%$ of their pre-RoPE compressibility on both models.\n6. 一类低参数正交矩阵的黎曼结构与优化 Riemannian Structure and Optimization for a Class of Low-Parametric Orthogonal Matrices\n作者: Ali Aliev, Maxim Rakhuba\n类别: cs.LG, cs.AI, math.DG, math.NA\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.27982v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.27982v1\n摘要: In this paper, we are concerned with matrices formed by block-diagonal factors interleaved with fixed permutations \u0026ndash; a flexible family of structured matrices. This class has recently drawn interest in deep learning architectures for its balanced expressivity-efficiency trade-off, yet efficient computational strategies for working with it remain to be found. We approach this problem through Riemannian geometry and examine under what conditions this class admits a smooth manifold structure. For the practically important case of orthogonal two-factor matrices, we derive the essential Riemannian tools and propose efficient algorithms for their implementation. The algorithms leverage automatic differentiation, support parameter sharing within each factor, and avoid explicit dense matrix construction. We test them within the Riemannian optimization framework on the best matrix approximation problem and for parameter-efficient fine-tuning of large language models. Beyond the two-factor setting, we study the geometric and matrix-theoretic properties of factorizations with a larger number of block-diagonal factors.\n7. 聚点对谱有限记忆预条件子中舍入误差与敏感性的影响 The Influence of the Cluster Point on Rounding Errors and Sensitivity in the Spectral Limited-Memory Preconditioner\n作者: Hisham Elzayyadi, Jemima M. Tabeart\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.27652v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.27652v1\n摘要: The spectral limited-memory preconditioner (sLMP) clusters leading eigenvalues of symmetric positive definite matrices to accelerate conjugate gradient (CG) convergence. In practice, the cluster point is often chosen to be unity. In some cases, however, this choice can fail to accelerate convergence relative to unpreconditioned CG, even when highly accurate spectral information is available. Alternative cluster points have been proposed based on exact-arithmetic convergence analysis, but such analysis does not explain this finite-precision behaviour. We study how the cluster point influences two sources of numerical error in sLMP-preconditioned CG. First, we analyse the propagation of floating-point rounding errors during application of the preconditioner and derive computable relative-error bounds. For the dominant subspace (spanned by the eigenvectors associated with the leading eigenvalues of the unpreconditioned system) and its orthogonal complement (spanned by the remaining eigenvectors), these bounds are minimized by a weighted median and a weighted arithmetic mean of the leading eigenvalues, respectively. Our analysis explains why small cluster points can strongly amplify errors in the dominant subspace. Second, we investigate sensitivity to perturbations in the dominant spectral information when constructing the preconditioner. The resulting perturbation bound is minimized by a weighted median of the perturbed dominant eigenvalues, with weights determined by the eigenvector perturbation magnitudes. Numerical experiments on synthetic problems illustrate the predicted rounding-error and sensitivity behaviour. Together, these results show that cluster-point selection in finite precision should account for exact-arithmetic convergence, rounding errors, and inaccuracies in the available spectral information.\n8. 型材挤出模具形状优化的高效几何表示策略 Efficient Geometry Representation Strategies for the Shape Optimization of Profile Extrusion Dies\n作者: Jana Sasse, Maximilian Esser, Markus Mügge, Stefan Turek\n类别: math.NA, cs.GR, math.OC\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.27602v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.27602v1\n摘要: The design of profile extrusion dies remains a challenging task due to the complex rheological behavior of polymer melts and the geometric intricacies of flow channels. Traditional manual optimization approaches, which rely heavily on human experience, are inefficient and often employ unvalidated heuristics. To address these challenges, we present a deterministic and explainable framework for automatic die design based on adjoint-based shape optimization. This approach enables the computation of sensitivities that directly indicate beneficial modifications to the flow channel geometry. A major difficulty in such optimization processes lies in generating boundary-conforming meshes that evolve consistently with changing geometries. To overcome this issue, we employ non-boundary conforming geometry representation methods that eliminate the need for an explicit surface representation along physical boundaries. A dedicated reconstruction technique is developed to recover accurate sensitivity information at the virtual interface between fluid and solid regions. The proposed algorithm is demonstrated on 3D geometries with varying complexity, including realistic extrusion die flow channels. Several objective functionals relevant to industrial applications, such as flow balance at the outflow, are considered. The results highlight significant improvements in performance metrics while maintaining numerical robustness. This work showcases the potential of adjoint-based techniques for automated die design in a domain still largely governed by manual trial-and-error procedures, establishing a foundation for data-efficient, sustainable manufacturing workflows using computational rheology.\n9. 计算奇异 M-矩阵平方根的逐分量精确不动点迭代 Component-wise accurate fixed point iterations for computing the square root of a singular M-matrix\n作者: Dario Andrea Bini, Bruno Iannazzo, Beatrice Meini, Jie Meng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.27520v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.27520v1\n摘要: We analyze two fixed-point iterations for computing the principal square root of an M-matrix $A$. Although these iterations, with customary initialization, converge sublinearly when $A$ is a singular M-matrix, we show that, under suitable mild conditions on the initial approximation, the convergence is linear. Moreover, we provide component-wise accurate versions of these iterations, which allow us to approximate the principal square root with a component-wise relative error uniformly bounded by a small multiple of the machine precision. Numerical experiments demonstrating the effectiveness of the proposed algorithms for certain classes of problems are presented.\n10. 随机强迫的二维 Navier-Stokes 方程的快速平流极限中平稳测度在大尺度上的集中 Concentration of Stationary Measures onto Large Scales in the Fast-Advection Limit of the Stochastically Forced Two-Dimensional Navier-Stokes Equations\n作者: Tobias Rohner\n类别: physics.flu-dyn, math-ph, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.27512v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.27512v1\n摘要: We investigate the fast-advection limit ($\\varepsilon \\to 0$) of the stochastically forced two-dimensional incompressible Navier-Stokes equations on the torus. Numerical simulations are performed at resolution $N = 128$ for four different forcing shells on both the square torus and a thin torus, with the advection parameter $\\varepsilon$ varied over approximately one decade. We find that the stationary distributions become increasingly concentrated on the lowest Fourier modes as $\\varepsilon \\to 0$, with the energy-to-enstrophy ratio $E/Ω$ and the fraction $R$ of enstrophy in the lowest modes both increasing monotonically. At finite $\\varepsilon$ the degree of concentration depends on the forcing shell through the effective spectral value $B_1/B_0$, in agreement with the condensation bound of Sznitman and Widmayer. Linear extrapolation to $\\varepsilon = 0$ suggests that the limiting values may be forcing-independent, with $B_1/B_0$ governing only the rate of convergence. The same qualitative behaviour persists on the thin torus.\n11. 算子复合信赖域方法的相对原始–对偶间隙证书 Relative Primal\u0026ndash;Dual Gap Certificates for Operator-Composite Trust-Region Methods\n作者: Harbir Antil\n类别: math.OC, math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.27348v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.27348v1\n摘要: We study trust-region minimization of a smooth, possibly nonconvex functional plus a convex functional composed with a bounded linear operator. A relative primal\u0026ndash;dual gap condition controls both the error in an approximate proximal-gradient step and its linear-model decrease. Together with a computable absolute stationarity test, it yields a finite Cauchy search, convergence of the proximal stationarity measure to zero, and an $O(\\varepsilon^{-2})$ bound on outer trials. The outer analysis allows the linear operator to take values in a Banach space and does not require dual attainment. When the operator takes values in a Hilbert space and the regularizer is finite and Lipschitz, the dual proximal-gradient method produces finite gaps tending to zero, provided the required proximal maps and functional values can be evaluated. We prove $O(j^{-1})$ gap bounds for both recovered and averaged primal candidates and give a sharper bound on the primal error for exactly recovered points. A semilinear elliptic control problem with unsmoothed total-variation regularization and an $L^2$ control cost illustrates the method in the full $H^1$ metric. Across five meshes, outer and state Newton counts remain constant, while interior-point iteration counts vary mildly.\n12. 从变分优化到基于流的传输：面向病态数据同化的后验几何正则化 From Variational Optimization to Flow-Based Transport: Posterior-Geometry Regularization for Ill-Conditioned Data Assimilation\n作者: Siming Liang, Feng Bao, Hristo G. Chipilski, Peter Jan van Leeuwen, Guannan Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.27243v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.27243v1\n摘要: Variational data assimilation computes a Bayesian update through optimization on a fixed posterior geometry, whose conditioning is determined by the prior covariance and the observation operator. In strongly anisotropic, weakly observed, or highly informative regimes, this geometry can become severely ill conditioned, leading to substantial sensitivity to solver design and preconditioning. This work investigates an alternative computational route based on flow-based transport, using the ensemble score filter as a training-free realization. Rather than repeatedly optimizing over the full posterior geometry, the flow-based update transports the predictive distribution through a sequence of intermediate distributions whose covariance and curvature are progressively regularized before reaching the target posterior. In the linear-Gaussian setting, we characterize this mechanism through the evolution of the diffused posterior covariance and the associated time-dependent curvature, revealing a continuation from a near-isotropic reference geometry to the ill-conditioned posterior geometry targeted by variational assimilation. Numerical stress tests show that this geometric regularization makes the flow-based method substantially less sensitive to severe ill-conditioning than the variational method, while a heterogeneous $10^4$-dimensional Lorenz-96 benchmark demonstrates improved robustness and lower delivered computational cost. These results identify posterior-geometry regularization as a key mechanism distinguishing transport-based from optimization-based data assimilation.\n13. KATOsuper：基于灵敏度一致的傅里叶神经算子的代理加速神经拓扑优化 KATOsuper: Surrogate-accelerated neural topology optimization with sensitivity-consistent Fourier neural operators\n作者: Shengyu Yan, Jasmin Jelovica\n类别: cs.CE, cs.AI, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-09-23\narXiv ID: 2609.27216v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.27216v1\n摘要: Topology optimization (TO) remains computationally intensive due to repeated finite element analysis (FEA) evaluations required at each iteration. While neural network-based surrogates offer potential acceleration, existing approaches often suffer from gradient inconsistency between predicted objectives and sensitivities, leading to optimization instability. This work presents KATOsuper, an objective-agnostic framework that couples neural-reparameterized topology optimization with a Sensitivity-Consistent Fourier Neural Operator (SC-FNO). The framework employs the forward_split architecture, which derives deployed sensitivities via automatic differentiation through the predicted objective field and thereby preserves consistency between the predicted objective and the gradient used for optimization. The case studies include three 2D benchmark problems and three 3D structures considering compliance or stress minimization. A physics-informed multi-channel input encoding with Fourier position embedding enables resolution-invariant learning, supporting zero-shot extrapolation beyond the training resolution, with useful performance at moderate scaling factors and topology-preserving exploration at up to 64x without retraining. The framework extends to 3D through KATO3D, featuring novel KANConv3D blocks with learnable B-spline activations. KATOsuper demonstrates 15\u0026ndash;110x deployment-time speedup over MATLAB baselines while maintaining competitive optimality, with the clearest gains observed in complex 3D and stress-optimization cases. The insight that sensitivity direction matters more than magnitude enables robust optimization even with approximate physics evaluation, extensible to other differentiable physics-driven design objectives.\n14. mKdV 呼吸子的鲁棒性：数值视角 Robustness of mKdV Breathers: A Numerical Perspective\n作者: Chandler Haight, Svetlana Roudenko, Diana Son, Kai Yang\n类别: nlin.PS, math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.27080v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.27080v1\n摘要: We systematically investigate breather solutions in the modified Korteweg-de Vries (mKdV) equation via numerical simulations. We show that the breather solutions are stable under a variety of perturbations, including amplitude changes, modifications of internal parameters, and perturbations of the nonlinearity of the equation. Our results are not only consistent with the known analytical studies on the stability of breathers in integrable systems, extending them further, but also provide numerical evidence that such breather-type structures can persist and remain stable over the simulated time scales in some non-integrable settings with symmetric potentials.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-24_14-45-00/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月24日 14:45:00\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 13\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 14\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-液晶动力学-beris-edwards-系统的全离散有限元方法的收敛性\"\u003e1. 液晶动力学 Beris-Edwards 系统的全离散有限元方法的收敛性\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eConvergence of a fully discrete finite element method for the Beris-Edwards system of liquid crystal dynamics\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年09月24日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年09月23日 14:49:08\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 10\n不相关论文数量: 20\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 可压缩 MHD 高阶格式的全离散多熵稳定性：一个弱到强框架 Fully Discrete Multi-Entropy Stability of High-Order Schemes for Compressible MHD: A Weak-to-Strong Framework\n作者: Huihui Cao, Kailiang Wu, Caiyou Yuan\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.26791v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.26791v1\n摘要翻译 中文标题: 可压缩 MHD 高阶格式的全离散多熵稳定性：一个弱到强框架\n摘要翻译: 我们针对一般多面体网格上理想可压缩磁流体力学 (MHD) 方程的任意高阶有限体积与间断 Galerkin (DG) 逼近，建立了一个全离散弱到强 (W2S) 多熵稳定性理论，其中单次数值更新可同时满足对任意给定有限族凸 Harten 熵对的离散熵不等式。由于物理熵仅对正密度和正压力有定义，核心分析困难在于协调离散熵稳定性与正性保持、磁场散度约束以及非守恒 Godunov\u0026ndash;Powell 耦合。基于 Wu 和 Shu 的可证明保正 MHD 框架，我们发展了有限体积与 DG 方法共同单元平均演化的弱多熵分析。通过凸分解与相对熵，我们建立了这种弱稳定性在一般多面体网格上成立的两个充分准则。相容磁修正与局部无散度逼近协同抵消非守恒 Godunov\u0026ndash;Powell 耦合，并提供对正性保持和熵稳定性都至关重要的离散消去。随后，一个 W2S 提升将正性与熵限制统一为单个逐单元缩放限制器，在严格保持单元平均和局部无散度磁场的同时实现强多熵稳定性。高阶时间精度由变步长强稳定性保持多步方法得到。数值实验验证了理论发现并展示了计算鲁棒性。该框架为在高阶 MHD 逼近中统一物理容许性、磁场散度控制与多熵稳定性提供了严格的全离散基础。\n2. 随机神经网络求解椭圆界面问题的误差分析 Error Analysis for Solving Elliptic Interface Problems with Randomized Neural Networks\n作者: Jun Hu, Sidi Wu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.26534v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.26534v1\n摘要翻译 中文标题: 随机神经网络求解椭圆界面问题的误差分析\n摘要翻译: 本文针对椭圆界面问题，提出了随机神经网络 (RaNNs) 的统一误差分析。我们首先利用标准 $\\tanh$ 激活函数推导出 Barron 函数的积分表示，由此得到一个 $C^2$-逼近界，该界对任意支撑在立方体上且密度严格为正的隐参数分布均成立。然后，我们针对同时施加偏微分方程、边界和界面条件的复合损失建立了一个定量的 $\\mathcal{O}(n^{-1})$ 泛化界，其中 $n$ 表示训练样本数。将这些结果与 RaNNs 的优化保证相结合，我们得到了在界面间断存在时神经网络解的先验 $L^2$ 误差估计。给出了数值实验以验证理论结果。\n3. Richards方程混合形式的线性Robin型区域分解格式 Linear Robin-type Domain Decomposition scheme for Mixed Formulation of Richards\u0026rsquo; Equation\n作者: Åsmund v. B. Synnevåg, Wietse M. Boon, Florin A. Radu, Sarah E. Gasda\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.26478v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.26478v1\n摘要翻译 中文标题: Richards方程混合形式的线性Robin型区域分解格式\n摘要翻译: 在这项工作中，我们提出了一种求解Richards方程混合形式的线性Robin型区域分解格式（mLRDD-scheme），该方程描述变饱和多孔介质中的流动。假设多孔介质高度非均质，由多种不同材料构成的多个块体/层组成，我们应用非重叠区域分解来分离各个材料，从而在每个子域内获得近似均匀的条件。Richards方程在时间上通过后向Euler离散，并使用L-scheme线性化。随后推导出一个与混合形式相容的Robin型界面条件，用于耦合各子域。对于空间离散，采用混合有限元，从而确保局部质量守恒，并提供与Robin条件相容的通量变量。所提格式的收敛性得到了严格证明。给出了2D/3D非均质、多区域数值算例，以展示该格式的效率和鲁棒性，并对理论收敛结果进行了数值验证。\n4. 非结构网格上连续介质力学的保结构交错半隐式四分裂有限体积格式 A structure-preserving staggered semi-implicit four-split finite volume scheme for continuum mechanics on unstructured meshes\n作者: M. Dumbser, W. Boscheri, M. Tavelli, A. Thomann\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.25935v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.25935v1\n摘要翻译 中文标题: 非结构网格上连续介质力学的保结构交错半隐式四分裂有限体积格式\n摘要翻译: 我们提出了一种新的半隐式保结构 (SP) 有限体积离散，用于连续介质力学的统一一阶双曲模型。该框架为流体和固体提供了统一的数学描述，并在单个双曲偏微分方程系统中包含了输运、粘性效应、热传导和弹性变形。多种物理机制的共存产生了多个特征波速，导致完全显式离散受到严重的时间步长限制。为克服这一困难，我们发展了一种四分裂格式，其中控制方程被分解为对流、温度、力学和压力子系统。对流子系统是唯一在时间上显式推进的子系统，而其余子系统则以顺序方式隐式处理。因此，所提方法的时间步长限制仅依赖于材料速度，而与刻画该模型的声波、剪切波和热波速度无关。该格式旨在非结构网格上保持底层方程的关键结构性质。特别地，三角形上的相容顶点交错空间离散使得：只要控制 PDE 中的松弛源项为线性或不存在，与畸变场和热冲量相关的无旋对合就能够得到满足。与此同时，该格式是渐近保持的，因为它与低 Mach 数极限以及 GPR 模型的刚性松弛极限相容，而这些极限可恢复流体力学中经典的 Navier-Stokes-Fourier 方程。一系列涵盖流体和固体的数值实验展示了所提方法的精度、鲁棒性和多尺度能力。\n5. 阻抗边界腔体中的弹性逆散射问题 The inverse elastic scattering problem in the cavity with impedance boundary\n作者: Shiyu Xu, Huiling Zheng, Fang Zeng\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.25858v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.25858v1\n摘要翻译 中文标题: 阻抗边界腔体中的弹性逆散射问题\n摘要翻译: 本文研究具有阻抗边界条件的二维腔体中的弹性逆散射问题。我们证明了腔体内部的散射场满足互易关系，并证明了腔体的形状以及边界上的阻抗参数均可由在一条内部曲线上测量的散射场唯一确定。在数值方面，我们首先采用线性采样法重建形状，然后结合位势理论与最小二乘法反演阻抗参数。我们给出了若干数值实验，以验证所提方法的可行性和有效性。\n6. Scott-Vogelius 元在 Freudenthal 网格上对于 $k \\geq 4$ 是 inf-sup 稳定的 The Scott-Vogelius element is inf-sup stable on Freudenthal meshes for $k \\geq 4$\n作者: Siqi Ding, Pingbing Ming, Haijun Yu, Quanfan Zhu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.25690v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.25690v1\n摘要翻译 中文标题: Scott-Vogelius 元在 Freudenthal 网格上对于 $k \\geq 4$ 是 inf-sup 稳定的\n摘要翻译: Scott-Vogelius 元是用于 Stokes 问题的一种经典无散度混合有限元，数十年来一直受到研究关注，但其理论框架仍不完整。在二维情形，Freudenthal 网格及其他正则网格上的 inf-sup 稳定性已被严格建立。在三维情形，Zhang 于 2011 年建立了当 $k\\ge6$ 时 Freudenthal 网格上的 inf-sup 稳定性，而数值证据表明 inf-sup 稳定性对 $k=4,5$ 仍然成立。在本文中，我们强化了 Zhang 的方法，并证明 Scott\u0026ndash;Vogelius 元在 Freudenthal 网格上对每个速度次数 $k\\ge 4$ 都是 inf-sup 稳定的，从而解决了 Farrell、Mitchell 和 Scott 在 2024 年提出的一个猜想。该证明通过对局部小块上的显式构造进行，且不依赖于计算机验证。\n7. AKAPINN：用于逼近拟线性偏微分方程解的自适应 Kolmogorov-Arnold 物理信息神经网络 AKAPINN: Adaptive Kolmogorov-Arnold Physics-Informed Neural Networks for approximating solutions to quasilinear partial differential equations\n作者: B. Veena S. N. Rao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.25507v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.25507v1\n摘要翻译 中文标题: AKAPINN：用于逼近拟线性偏微分方程解的自适应 Kolmogorov-Arnold 物理信息神经网络\n摘要翻译: 本文提出了一项受控比较研究，研究对象是无网格 Kolmogorov\u0026ndash;Arnold 物理信息神经网络 (KAN-PINN) 在非线性应变限制型偏微分方程上的应用。在包含精确硬边界 ansatz、稳健的 pseudo-Huber 残差损失以及多阶段 Adam-to-L-BFGS 优化器调度的固定计算流程内，评估了对应于不同材料参数对 $(α, β)$ 的三组不同训练运行。分析揭示了一个基本指标反转：虽然训练损失反映算子特定的残差缩放和本构刚度，但算子无关的相对 $L_2$ 误差表明，中间参数区域实现了更优的解精度和增强的泛化能力。\n8. 用于相场梯度流的高阶变尺度能量变分神经网络 High-Order Variable-Scaled Energetic Variational Neural Networks for Phase-Field Gradient Flows\n作者: Xiaobo Jing, Leiyi Dong, Jia Zhao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.25489v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.25489v1\n摘要翻译 中文标题: 用于相场梯度流的高阶变尺度能量变分神经网络\n摘要翻译: 本文中，我们为相场梯度流发展了一种高阶变尺度能量变分神经网络 (VS-EVNN) 方法。每个离散阶段都使用一个更新状态网络，其空间输入被中心化并除以界面尺度，而采样能量和运动惩罚相对于基线 EVNN 形式保持不变。这种重缩放的动机来自能量中的坐标变换，该变换归一化了变换后泛函的梯度系数。我们将尺度化表示与高阶、多阶段变分外推格式以及启发式自适应时间步进控制器相结合。每一阶段均作为网络最小化问题求解，其中较早阶段在求积网格上充当固定锚点，从而给出这些多阶段变分格式的神经网络实现，包括用于 Cahn\u0026ndash;Hilliard 流的迁移率加权、质量守恒版本。该方法在一维和二维 Allen\u0026ndash;Cahn 和 Cahn\u0026ndash;Hilliard 流上进行了测试，后者在质量守恒度量下。在所报告的优化设置下，尺度化网络比未尺度化 EVNN 基线产生更低的解误差，并且高阶格式在测试示例中提高了精度。\n9. 原始 BGN 方法对平均曲率流的收敛性 Convergence of the original BGN method for mean curvature flow\n作者: Yifei Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.25402v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.25402v1\n摘要翻译 中文标题: 原始 BGN 方法对平均曲率流的收敛性\n摘要翻译: 我们证明，曲线平均曲率流的原始 Barrett\u0026ndash;Garcke\u0026ndash;Nürnberg (BGN) 方法在时间步长 $τ=h^2$ 下以 $h^2$ 阶在流形距离中收敛。关键的新技术是后向误差分析，它源于常微分方程的数值分析。通过结合离散速度在空间和时间上的展开，我们构造了一个近似流，其插值以改进的缺陷满足 BGN 方法，缺陷为 $h^4$ 阶，其中切向部分为 $h^6$ 阶。该构造还确定了 BGN 方法的切向速度，并表明 $τ=O(h^2)$ 是 $τ$ 与 $h$ 之间的正确关系。借助改进的缺陷，我们随后使用演化曲面有限元方法的技术，证明数值解到该近似流的 $H^1$ 超收敛阶为 $h^4$，从而得到流形距离意义下的收敛性。数值实验验证了所预测的缺陷阶。\n10. 一种用于流体-多孔弹性结构相互作用的无条件稳定二阶 Robin 分区方法 An unconditionally stable second-order Robin partitioned method for fluid-poroelastic structure interaction\n作者: Wenlong He, Thomas Wick, Xiaohe Yue, Jiwei Zhang, Haibiao Zheng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.25350v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.25350v1\n摘要翻译 中文标题: 一种用于流体-多孔弹性结构相互作用的无条件稳定二阶 Robin 分区方法\n摘要翻译: 我们研究一个非定常流体-多孔弹性结构相互作用 (FPSI) 问题，其中自由流体区域由不可压缩 Stokes 方程控制，而多孔弹性区域由完全动态 Biot 系统控制。原始物理耦合条件被等价地重新表述为 Robin 型界面条件，并引入一个辅助界面变量作为两个子系统共享的公共 Robin 数据。这种重新表述将耦合的 FPSI 问题分解为流体和多孔弹性子问题，它们分别定义在各自的子区域上。该问题在空间上采用有限元方法 (FEM) 离散，而在时间离散中则采用向后 Euler 格式和结合二阶界面外推的 BDF2 格式。通过利用所得的离散动态关系，我们推导了辅助界面变量的更新公式，并得到全离散的一阶和二阶 Robin 分区格式，其中两个子问题在每个时间步独立求解。两种格式的无条件稳定性均被严格建立。数值实验验证了所提格式的时间收敛阶，并研究了 Robin 参数的影响。一个经典的压力波基准测试验证了所提方法的精度，而补充的非线性移动区域模拟展示了它们对更复杂 FPSI 配置的适用性。\n不相关论文（基本信息） 1. 带 $(2,1)$-范数正则化的 Stiefel 流形优化问题的 NEPv 方法 NEPv Approach for Optimization on Stiefel Manifold with the $(2,1)$-norm Regularization\n作者: Ren-Cang Li, Li Wang, Lei-Hong Zhang, Zhaojun Bai\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.26675v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.26675v1\n摘要: Row-sparse projection provides a useful tool in machine learning (ML) when it comes to, for example, feature selection, aiming to choose most relevant features for various ML objectives. One way to seek a high quality row-sparse projection is to combine an ML objective, such as the ones for PCA, LDA, and OCCA, with the matrix $(2,1)$-norm regularization which is nonsmooth. Such combinations result in challenging optimization problems on the Stiefel manifold that need to be solved efficiently. In this paper, a unifying NEPv framework is established to efficiently deal with optimization on the Stiefel manifold with the $(2,1)$-norm regularization. The effect of the $(2,1)$-norm regularization is also investigated. The wide applicability of the framework is demonstrated through the combinations of common learning objectives in today\u0026rsquo;s data science applications with the $(2,1)$-norm regularization. Numerical experiments are presented to illustrate the use of the NEPv approach and to gain insights as to what a proper regularizing parameter should have in real-world applications.\n2. 用于走时层析成像中的大规模贝叶斯推断的分布式近端Stein变分梯度下降算法 Distributed Proximal Stein Variational Gradient Descent Algorithm for Large-scale Bayesian Inference in Traveltime Tomography\n作者: Akshay Vishwakarma, Kamal Aghazade, Ali Siahkoohi, Ali Gholami\n类别: physics.geo-ph, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.26653v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.26653v1\n摘要: We present a distributed framework for large-scale Bayesian inverse problems governed by the eikonal equation, with a specific focus on seismic traveltime tomography. Traditional deterministic approaches often fail to provide the uncertainty quantification (UQ) necessary for ill-posed problems, while conventional Bayesian sampling methods such as Markov chain Monte Carlo (MCMC) suffer from the curse of dimensionality and slow convergence in high-dimensional model spaces. The proposed framework addresses these challenges through a three-tier computational strategy. First, we utilize the Fast Marching Method (FMM) to solve the eikonal equation, ensuring high numerical accuracy. Second, we reformulate the global tomographic objective into a decentralized consensus form, allowing the inversion to be decomposed into independent subproblems solved in parallel via the Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM). This architecture eliminates the need for the explicit construction of large-scale sensitivity matrices, significantly reducing the memory footprint for 3D surveys. Finally, we integrate Stein Variational Gradient Descent (SVGD) within the ADMM workers to perform approximate posterior sampling. By evolving a set of model particles along a functional gradient direction that balances data-fitting forces with a repulsive kernel-based diversity force, we obtain an ensemble from which posterior summaries are computed. We derive a data-space Gauss-Newton update using the Woodbury matrix identity to further accelerate the particle evolution in large-scale 3D problems. Numerical experiments on complex 2D and 3D models demonstrate that the algorithm achieves stable convergence, produces high-fidelity velocity reconstructions, and provides posterior uncertainty maps.\n3. 正则化稀疏随机矩阵的集中性：基于非回溯算子的谱边缘界 Concentration of Regularized Sparse Random Matrices: Spectral Edge Bounds via Nonbacktracking Operators\n作者: Hai-Xiao Wang\n类别: math.PR, math.CO, math.NA, math.ST\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.26615v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.26615v1\n摘要: In sparse random matrices, spectral outliers (eigenvalues and singular values located away from the bulk) emerge due to degree fluctuations: high degrees inflate the operator norm, while low column degrees reduce the least singular value. As proved by Feige and Ofek (2005) and Le, Levina, and Vershynin (2017), degree regularization enforces concentration at the expected norm scale. However, precise bounds incorporating the cutoffs remain unexplored and challenging since regularization introduces dependencies among entries. For the first time in the literature, we provide variance- and cutoff-dependent bounds for extreme singular values and eigenvalues of regularized inhomogeneous random matrices. In the absence of regularization, our lower bound for the least singular value matches the same leading constant obtained by Brailovskaya and van Handel (2024). Moreover, our error term vanishes under the milder condition $d/\\log N\\to\\infty$, as opposed to their stronger requirement $d/(\\log N)^4\\to\\infty$. A key ingredient is to extend spectral radius bounds for nonbacktracking matrices to the dependent setting. We build on approaches for independent cases established by Benaych-Georges, Bordenave, and Knowles (2020), as well as Dumitriu and Zhu (2024), and carefully handle edges traversed only once. Our proof framework separates deterministic spectral comparisons from probabilistic estimates: once Loewner inequalities and columnwise variance controls are established, the remaining probabilistic analysis boils down to verifying the graph moment conditions formulated in this paper. We hope this framework can be extended to handle general random matrices with more complex dependencies.\n4. 关于 Fourier-Bessel 小波的注记 Notes on Fourier-Bessel wavelets\n作者: Marcel Venturotti, Georgios Exarchakis\n类别: cs.LG, cs.CV, math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.26537v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.26537v1\n摘要: These notes develop the mathematical foundations and construction of a Fourier-Bessel wavelet family inspired by the disk harmonics of Shaqfa et al.[9]. We begin with the relevant properties of Bessel and modified Bessel functions and introduce the wavelet properties required for the construction. We then derive the Fourier-Bessel disk harmonics as solutions to the Helmholtz equation on the unit disk subject to a Neumann boundary condition. Building on this basis, we construct a wavelet family by applying a Gaussian spatial envelope and introducing a zero-mean correction for the zeroth angular order. We derive the corresponding normalisation constants for $L^2$-based applications and discuss $L^1$-based normalisation for frequency-domain peak consistency. Finally, we derive a closed-form Fourier-domain representation of the resulting wavelets. The main motivation is the approximately linear spacing, which converges to $π$ between consecutive radial eigenvalues. Rather than replacing the conventional dyadic organisation of wavelet families, this construction lays out the foundation to explore whether a more uniform radial frequency allocation can be useful for applications in which broad and balanced frequency coverage is desirable.\n5. 基于六元排列的四面体多形式最长边二分法 Multiform Longest Edge Bisection of Tetrahedra via Sextuple Permutations\n作者: Agustin Trujillo, Jose Pablo Suarez, Tania Moreno-García\n类别: cs.CG, math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.26522v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.26522v1\n摘要: We introduce a new formulation of the Longest Edge Bisection (LEB) of tetrahedra entirely in sextuple space R6, where tetrahedra are represented by the squares of their edge lengths. This representation renders the LEB refinement equations fully linear and eliminates the need for coordinate-based data structures. A central difficulty in three-dimensional LEB arises when a tetrahedron possesses multiple longest edges, making the refinement rule intrinsically multivalued. We formalize this phenomenon through the notion of Multiform Longest Edge Bisection (MLEB), which systematically explores all admissible longest-edge choices. To encode this multivalued behavior, we introduce the concept of bisection patterns, defined as sequences of sextuple permutations governing the refinement process. We prove that the set of sextuples sharing a common LEB pattern forms a convex region in R6. For structurally significant families of tetrahedra, including the R1+ family and the Liu-Joe family, we show that the infinite refinement tree collapses into a finite directed graph with eight states. Remarkably, both families are governed by the same graph, differing only in their initial state. This directed-graph formulation provides a unified combinatorial description of the refinement process and offers an efficient computational framework for deep iterative LEB analysis.\n6. 基于 FFT 加速 Toeplitz 算子的快速 Karhunen-Loève 展开 Fast Karhunen-Loève Expansions via FFT-Accelerated Toeplitz Operators\n作者: Nils Wildt, Wolfgang Nowak\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.26459v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.26459v1\n摘要: Gaussian random fields are a versatile tool used in the fields of stochastic PDEs, uncertainty quantification, and geostatistical simulation. One way to obtain them is to use a truncated Karhunen\u0026ndash;Loève expansion (KLE). Computing the expansion requires the leading eigenpairs of an $N \\times N$ covariance matrix, where $N$ is the total number of grid cells. These are usually computed with a Krylov eigensolver, which relies on the covariance operator only within matrix\u0026ndash;vector products. Stored densely, the matrix takes $\\mathcal{O}(N^{2})$ memory and each product $\\mathcal{O}(N^{2})$ time. For a stationary kernel on an equispaced grid, the covariance matrix becomes (block-) Toeplitz and the product evaluates in $\\mathcal{O}(N\\log N)$ time using FFT-based circulant embedding, without the need to assemble the dense matrix. In a matched single-threaded comparison, the median speedup of the eigensolve grows from $18 \\times$ at $N = 4096$ to $183 \\times$ at $N = 2^{15}$. This makes it possible to compute discretized fields that would otherwise be infeasible to compute in the standard formulation. We show that the same construction carries over to non-separable kernels as well as $d$ dimensions, using block-Toeplitz matrices. We extend it to piecewise-constant fields on arbitrary domains given as subsets of a tensor grid. Computational savings grow with problem size, and storage drops from $\\mathcal{O}(N^{2})$ to $\\mathcal{O}(2^{d}N)$.\n7. 基于块三角联合漂移的一步生成式代理模型 One-Step Generative Surrogate Models via Block-Triangular Joint Drifting\n作者: Nicholas Geissler, Shreya Jha, Ricardo Baptista, Benjamin Peherstorfer\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.26435v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.26435v1\n摘要: Drifting provides a direct route to one-step generative models, but applying it directly to stochastic transition modeling requires multiple samples of the next state conditioned on the same current state. Standard trajectory data, however, typically provide only one realized next state for each observed current state and therefore do not provide an empirical approximation of the corresponding conditional distribution over possible next states. We introduce block-triangular joint drifting, which instead applies a projected drift field to the empirically accessible joint distribution of consecutive states. Importantly, the block-triangular architecture preserves the current-state marginal while making its second component a direct sampler of the conditional distribution of possible next states. The resulting surrogate generates stochastic trajectories with one model evaluation per time step, without auxiliary generative steps between time steps. Numerical experiments demonstrate accurate marginal and trajectory-dependent statistics and favorable accuracy-cost tradeoffs compared with deterministic, diffusion-, flow-, and distillation-based generative surrogate models.\n8. SuperPCA：子空间分析与高维 PCA 的高效算法 SuperPCA: subspace analysis and an efficient algorithm for high-dimensional PCA\n作者: Irina-Beatrice Haas, Maike Meier, Yuji Nakatsukasa, Taejun Park\n类别: stat.ML, cs.LG, math.NA, stat.CO\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.26406v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.26406v1\n摘要: Principal component analysis (PCA) is a fundamental tool to reduce the dimensionality of the data in many applications. PCA finds a few signal directions that contain most of the variability of the data by computing the eigenvectors of the sample covariance matrix. In this work, we focus on the spiked covariance model, in which the data vectors are defined by a few orthogonal signals plus an isotropic Gaussian noise, and our goal is to estimate one or more of the leading signals. Our main theoretical finding is that the subspace spanned by several leading eigenvectors of the sample covariance matrix contains significant information about the desired signals long before the individual eigenvectors converge to the population principal components. To prove this, we derive a posteriori bounds for the angle between the subspace spanned by the desired population signals and the subspace obtained from the sample using perturbation theory for singular vectors. This leads to a new algorithm, SuperPCA (SUbsPace subsamplER PCA), which capitalizes on an approximate eigenspace of the sample covariance matrix to find the leading signals far more efficiently and accurately than classical PCA in the high-dimensional, multi-signal setting. SuperPCA exploits only a small number of subsampled coordinates of the data, which can lead to tremendous savings in data acquisition cost, especially when the signals are approximately sparse. For the same number of measurements, SuperPCA can offer a factor $10$ improvement in accuracy compared to the classical PCA method.\n9. 计算同伦路径奇异端点的螺旋终局 Spiral Endgames for Computing Singular Endpoints of Homotopy Paths\n作者: Emma R. Cobian, Jonathan D. Hauenstein, Charles W. Wampler\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.26370v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.26370v1\n摘要: We develop a new endgame for numerically computing singular solutions to complex analytic systems by means of a homotopy path whose endpoint is the solution to be computed. When the solution is singular, prediction-correction path tracking may fail at the endpoint. Instead of tracking the path all the way to its end, endgames sample nonsingular points on the incoming path and approximate the endpoint by interpolating the samples with a truncated Puiseux series. By collecting sample points along a logarithmic spiral in the complex plane, the proposed spiral endgame balances between the superior numerical conditioning of a circular sample (known as the Cauchy endgame) and the update efficiency of a linear sample (known as the power series endgame), these being tied together as two extremes of the new approach. The numerical conditioning of the methods are analyzed and compared, and computational examples illustrate the effectiveness of the new spiral sampling method compared with the circular sampling method of the Cauchy endgame.\n10. 病例特异性非线性颈动脉力学的流固耦合建模与出口边界条件的作用 FSI modeling of case-specific nonlinear carotid artery mechanics and the role of outlet boundary conditions\n作者: Tristan Probst, Anna Hundertmark, Ashkan Shiravand, Giorgio Cattaneo\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.26038v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.26038v1\n摘要: Compliant arterial wall mechanics, contributing to the Windkessel effect in the carotid artery (CA), have significant impact on hemodynamic patterns and surface shear indicators for cardiovascular diseases, e.g. atherosclerosis. In this study, we extend the linear elastic Fluid-Structure Interaction (FSI) framework to account for nonlinear strain-dependent wall behavior. The model incorporates a Young\u0026rsquo;s modulus generalized from tensile tests on silicone phantoms to capture the nonlinear stress-strain relation of arterial tissue. The final computational model, using a resistance-type boundary condition and in vitro measured stress-strain relation is validated against both, in vitro assessed silicon CA phantom as well as published clinical data on the flow splitting to the daughter branches in CA bifurcations. To better reflect physiological conditions, our model is subsequently extended to incorporate prestress of patient-specific geometries, and clinically measured stress-strain relations, followed by validation against clinical CA data. The present study demonstrates the feasibility of strain-dependent Young\u0026rsquo;s (elastic) modulus as a means to enhance the capacity of the linear elastic framework to accurately represent the physiologically nonlinear mechanics of arterial walls, striking a balance between implementation effort and physiological fidelity. This approach yields realistic strains, volumetric inflation behavior and nonlinear pressure-volume relationships. Furthermore, the study reveals the importance of proper outlet boundary conditions and the shortcomings of resistance-type boundary condition in patient-specific modeling, leading to non-physiological pressure profiles and non-physiological temporal flow splitting.\n11. 一种用于具有高维参数空间的参数化系统模型降阶的迭代活跃子空间方法 An Iterative Active Subspace Approach for Model Order Reduction of Parametric Systems with High-Dimensional Parameter Spaces\n作者: Chenzi Wang, Peizhi Yu, Lihong Feng, Peter Benner, Wenshuai Lu, Zheng You\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.26009v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.26009v1\n摘要: The increasing complexity in design and manufacturing has driven the need for advanced techniques for fast modeling problems with large-dimensional parameter spaces. Avoiding high-fidelity finite element models while achieving fast and accurate simulations in such contexts is challenging. Parametric model order reduction (pMOR) has drawn significant attention in recent years. Nevertheless, the curse of dimensionality in parameter spaces has severely limited its effectiveness. The active subspace (AS) approach has been successfully applied to pMOR for systems with many parameters. However, the balance between accuracy and compactness of the reduced model remains problematic for such systems with high-dimensional parameter spaces. It often results in models that are either not small enough or not accurate enough. In this paper, we propose an iterative active subspace (IAS) approach for parametric model order reduction, which, to some extent, addresses the trade-off between accuracy and reduced model size and achieves substantial computational gains compared to the original active subspace method.\n12. 抽象框架下第二类变分不等式的后验误差估计 A posteriori error estimates for variational inequalities of the second kind in an abstract framework\n作者: Lothar Banz, Miriam Schönauer, Andreas Schröder\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.26001v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.26001v1\n摘要: In this paper, an abstract framework is introduced for the derivation of reliable a posteriori error estimators for variational inequalities of the second kind. Under certain conditions (local) efficiency of the error estimators can also be derived. The framework is based on the estimation of a residuum which results from an equivalent mixed formulation and from the replacement of the Lagrange multiplier by its (possibly post-processed) discrete counterpart. The approach is applied to an idealized frictional contact problem and a Mosolov type model problem in an $hp$-finite element discretization setup. Several numerical experiments demonstrate the broad applicability of the theoretical findings.\n13. 多光谱计算机断层成像的增强衰减建模 Enhanced attenuation modelling for multispectral computed tomography\n作者: Jürgen Jeschke, Dirk Lorenz\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.25926v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.25926v1\n摘要: We revisit the modelling of the material decomposition problem in multispectral computed tomography and propose to leverage the known absorption spectra of different materials. With this we both derive new uniqueness conditions for the material decomposition and also offer a three-step reconstruction model. Our uniqueness criterion only requires certain characteristics of the bin sensitivity functions and the material attenuation spectra and hence, can be computed a-priori before measurements are taken.\n14. AURA：用于训练复值神经网络的角度更新速率自适应 AURA: Angular Update Rate Adaptation for training complex-valued neural networks\n作者: Enrico Ballini, Allan Peter Engsig-Karup, Tito Andriollo\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.25914v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.25914v1\n摘要: Complex-valued neural networks (CVNNs) are increasingly adopted for complex-valued data; however, they are often trained with first-order optimizers inherited from the real-valued case. The efficiency of these methods depends largely on the step size, and their step-size rules ignore the angular information available in the complex plane. We address step-size adaptation in the complex domain by introducing AURA (Angular Update Rate Adaptation), a per-parameter step-size adaptation that can be added on top of any first-order optimizer, and removed from it, without altering its update direction. AURA measures the agreement between consecutive updates of each complex parameter, in length, alignment, and sense of rotation, and enlarges the step when they are consistent and reduces it when they are not. It requires no additional gradient evaluations and only inexpensive vector operations per step. We combine AURA with Adam and Muon and compare the resulting methods with well-known first-order optimizers on four test cases of increasing complexity, ranging from the approximation of scalar complex functions to physics-informed training. Fully connected neural networks are used throughout this work. All hyperparameters other than the step size are held fixed across test cases; for one case, we also tune the hyperparameters of each optimizer under the same budget. Our empirical tests show that AURA improves the convergence of its base optimizer in most cases with a small per-step overhead, and we identify the conditions under which it fails to do so.\n15. 一种由积分微分方程描述的电路的多速率瞬态仿真技术 A Multirate Transient Simulation Technique for Circuits described by Integro-Differential Equations\n作者: Hans Georg Brachtendorf, Kai Bittner\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.25854v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.25854v1\n摘要: The multirate partial differential equation (PDE) technique is considered as one of the most powerful methods for the simulation of radio frequency (RF) circuits. The method reformulates the underlying ordinary differential algebraic equation (DAE) by a PDE. The DAE solution is obtained along a characteristic curve of the PDE. Numerical solution techniques comprise (envelope modulated) Harmonic Balance (HB), multistep finite difference (FD) and spline/wavelet techniques. All techniques have disadvantages when mixed lumped/distributed devices occur and the waveforms exhibit pulse shaped behavior. Furthermore, communication systems are modeled and simulated by the Equivalent Complex Baseband (ECB) approach. Signals and impulse responses are described by their baseband counterparts, employing the Hilbert transformation. A coupled system/circuit simulation requires therefore novel numerical techniques for the solution of integro-differential equations.\n16. 稀疏网格上高维函数的基于各向异性核的多水平插值 Anisotropic Kernel-based Multilevel Interpolation of High-Dimensional Functions on Sparse Grids\n作者: Rüdiger Kempf\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.25828v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.25828v1\n摘要: The tensor product multilevel method (TPML) approximates high-dimensional functions from scattered data on general bounded domains by combining Smolyak\u0026rsquo;s sparse grid construction with the kernel-based multilevel interpolation, coupling the kernel scale to the fill distance at each level so that condition numbers stay uniformly bounded. Its original formulation depended only implicitly on the target function, which precluded numerical evaluation. Using a recent nodal representation of the low-dimensional multilevel operators, we derive an explicit, computable representation of the high-dimensional interpolant. On this basis we prove error estimates in mixed-regularity Sobolev and continuity norms, extending the existing $ L_2 $-theory, and we characterise the full range of anisotropy weights that attain the optimal rate against the number of degrees of freedom. Three explicit weight strategies follow, equilibrating the accuracy, the degrees of freedom, or the cost-benefit ratio. Numerical experiments in up to ten dimensions illustrate the theory.\n17. 基于离散正弦变换离散化的线性二阶微分算子谱的一致逼近 Uniform approximation of spectra of linear second order differential operators via discrete sine transform based discretisation\n作者: Oliver Křenek, Vít Průša, Rebecca Tozzi, Martin Vejvoda\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.25796v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.25796v1\n摘要: We study various discretisation schemes for the regular Sturm\u0026ndash;Liouville operator on a bounded interval and for the Laplace operator on an arbitrary planar domain, in both cases subject to zero Dirichlet boundary conditions. The objective is to identify a discretisation scheme such that the corresponding discretised operator\u0026mdash;a matrix of size $N \\times N$\u0026mdash;produces $N$ eigenvalues that approximate as closely as possible the first $N$ eigenvalues of the corresponding operator at the continuous level. By means of numerical experiments we examine several conventional discretisation schemes, and we corroborate the known fact that the conventional discretisations fail to achieve the objective, with the failure attributable to the poor approximation of high-index eigenvalues, and, as a result, to the non-uniform spectrum approximation. In contrast, the newly proposed discrete sine transform based discretisation scheme is designed in such a way that it replicates the asymptotic behaviour of high-index eigenvalues, thereby providing the sought uniform spectrum approximation. Of equal significance is the fact that the proposed discrete sine transform based scheme can be, unlike many Fourier transform based methods, applied to non-rectangular domains.\n18. 关于一个与特征值扰动相关的猜想 On a Conjecture Related to Eigenvalue Perturbations\n作者: Lei-Hong Zhang, Ren-Cang Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-22\narXiv ID: 2609.25552v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.25552v1\n摘要: In connection with eigenvalue perturbation bounds, Li [Linear Algebra Appl., 278 (1998), pp. 317-326] formulated three minimization problems involving Hadamard products. The third asks how to relate $$ \\min_{W\\ \\mathrm{nonsingular}}\\|W\\circ G\\|_\\mathrm{ui}\\,\\|W^{-1}\\circ G^\\mathrm{T}\\|_\\mathrm{ui} \\quad\\mbox{and}\\quad \\min_{P\\ \\mathrm{permutation}}\\|P\\circ G\\|_\\mathrm{ui}^2, $$ where $\\|\\cdot\\|_\\mathrm{ui}$ denotes a unitarily invariant norm and $\\circ$ denotes the Hadamard product, i.e., entrywise multiplication. The first quantity never exceeds the second, and a reverse inequality with a constant independent of the matrix size was conjectured. Romeo and Tilli [Linear Algebra Appl., 326 (2001), pp. 161-172] showed that if such a bound holds for every $G$, then $\\|\\cdot\\|_\\mathrm{ui}$ must be uniformly equivalent to the Frobenius norm $\\|\\cdot\\|_\\mathrm{F}$. We prove that the two quantities coincide when $\\|\\cdot\\|_\\mathrm{ui}=\\|\\cdot\\|_\\mathrm{F}$: for every complex matrix $G$, $$ \\min_{W\\ \\mathrm{nonsingular}} \\|W\\circ G\\|_\\mathrm{F}\\,\\|W^{-1}\\circ G^\\mathrm{T}\\|_\\mathrm{F} =\\min_{P\\ \\mathrm{permutation}}\\|P\\circ G\\|_\\mathrm{F}^2. $$ The associated conjecture therefore holds with the optimal constant $c=1$.\n19. 基于 CP 参数化核的三维盲反卷积 Three-dimensional blind deconvolution by CP-parameterized kernels\n作者: Fatoumata Sanogo, Stefan Kindermann\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.25394v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.25394v1\n摘要: We consider the problem of reconstructing a kernel $k$ and image $u$ in a blind deconvolution problem from convolutional data $g = k*u$. We particularly focus on the 3D case, i.e., on volumetric images. The problem is approached by imposing a semiparametric CP decomposition for the kernel and a variational TV penalty for the image. We also discuss a motion blur ambiguity effect, i.e., a nonuniqueness issue of the kernel in the blind deconvolution problem that may appear in certain videos of moving objects. The blind deconvolution algorithm uses an alternating minimization approach with TV regularization for $u$ and a CP decomposition step for the kernel. These are implemented with positivity projection, kernel normalization, and\\textbackslash or causal support projection steps. Several numerical examples for 3D MRI images, hyperspectral images, and a grayscale test video show the effectiveness of the method.\n20. 基于采样的随机模型预测控制中退出泛函的高阶近似 Higher-Order Approximation of Exit Functionals in Sampling-Based Stochastic Model Predictive Control\n作者: Sashank Modali, Takashi Tanaka\n类别: eess.SY, cs.RO, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.25257v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.25257v1\n摘要: Safety evaluation in sampling-based stochastic model predictive control often requires numerical estimation of exit functionals. The approximation of first-exit times and exit indicators is therefore a key numerical bottleneck, and discretization error in these quantities directly affects the resulting controller. This paper studies how existing higher-order methods for strong approximation of exit times can be brought into safe control. Two cases are highlighted. For general noncommutative dynamics, an adaptive order-1 Milstein discretization is used together with Lévy-area simulation via Wiktorsson\u0026rsquo;s method. For commutative dynamics, an adaptive order-1.5 construction achieves a stronger exit-time rate. Under a local anti-concentration condition on the exit-time law, we show that strong exit-time approximation transfers to strong approximation of the failure indicator. The methods are then studied in the context of chance-constrained path integral control, which provides an exact continuous-time representation of safety through exit events. Numerical experiments compare the two cases in terms of strong exit-time error, failure-indicator error, and closed-loop constraint satisfaction, showing improvement over Euler-Maruyama and thereby enabling existing and future techniques whose applicability depends on improved strong approximation.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-23_14-49-08/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月23日 14:49:08\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 10\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 20\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-可压缩-mhd-高阶格式的全离散多熵稳定性一个弱到强框架\"\u003e1. 可压缩 MHD 高阶格式的全离散多熵稳定性：一个弱到强框架\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eFully Discrete Multi-Entropy Stability of High-Order Schemes for Compressible MHD: A Weak-to-Strong Framework\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年09月23日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年09月22日 14:32:39\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 13\n不相关论文数量: 30\n重点关注论文（完整分析） 1. 时域中理想导体电磁散射的区域导数 A Domain Derivative for Electromagnetic Scattering by Perfect Conductors in the Time Domain\n作者: Marvin Knöller\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24822v1\n摘要翻译: 建立了理想导体时变电磁散射的区域导数。通过 Laplace 域，推导了 Maxwell 方程解的频率相关界。这些界既用于建立区域导数的时间正则性性质，也用于证明所提出的时间上 Runge\u0026ndash;Kutta 卷积求积半离散化的收敛性。当该时间离散与空间上的 Galerkin 方法相结合时，还对区域导数的逐点求值进行了完整的收敛性分析。最后，区域导数被应用于一个迭代形状重构算法，其中测量了远离理想导体的若干接收器位置处的电场近场。数值例子表明了该算法的可行性，并特别突出了当对数据施加额外噪声时该算法的鲁棒性。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24822v1\n1. 研究对象和背景 本文研究三维自由空间中完美导体障碍对时变电磁波的散射, 并建立相应的时域区域导数. 设 $D\\subset\\mathbb{R}^3$ 为有界 $C^2$ 区域, 其边界为 $\\Gamma=\\partial D$, 外域为 $\\Omega=\\mathbb{R}^3\\setminus\\overline{D}$, 外法向为 $\\nu$. 时域 Maxwell 方程描述总电场 $E$ 与总磁场 $H$ 在完美导体外部的传播:\n$$\\varepsilon_0\\partial_t E-\\operatorname{curl}H=0,\\quad \\mu_0\\partial_t H+\\operatorname{curl}E=0\\quad \\text{in }\\Omega\\times(0,\\infty),$$$$\\nu\\times E=0\\quad \\text{on }\\Gamma\\times(0,\\infty).$$这里 $\\varepsilon_0$ 与 $\\mu_0$ 分别为真空介电常数与磁导率. 入射场 $(E^i,H^i)$ 在初始时刻 $t=0$ 的支撑远离 $D$, 随着时间推进传播到障碍物, 在 $\\Gamma$ 上诱导电流并产生散射场 $(E^s,H^s)$. 总场满足 $(E,H)=(E^i,H^i)+(E^s,H^s)$. 散射场本身满足\n$$\\varepsilon_0\\partial_t E^s-\\operatorname{curl}H^s=0,\\quad \\mu_0\\partial_t H^s+\\operatorname{curl}E^s=0\\quad \\text{in }\\Omega\\times(0,\\infty),$$$$\\nu\\times E^s=-\\nu\\times E^i\\quad \\text{on }\\Gamma\\times(0,\\infty),$$也可以化为散射电场单独满足的二阶方程\n$$c^{-2}\\partial_t^2 E^s+\\operatorname{curl}^2 E^s=0\\quad \\text{in }\\Omega\\times(0,\\infty),$$$$\\nu\\times E^s=-\\nu\\times E^i\\quad \\text{on }\\Gamma\\times(0,\\infty),$$其中 $c=(\\varepsilon_0\\mu_0)^{-1/2}$ 为光速, 通过时间尺度变换可设 $c=1$. 本文关注的核心对象是上述散射问题关于障碍物几何形状的区域导数. 令 $h\\in C^1(\\Gamma,\\mathbb{R}^3)$ 为边界变形向量场, 将其延拓为 $h\\in C_0^1(D_0,\\mathbb{R}^3)$, 定义微分同胚 $\\zeta(x)=x+h(x)$, 变形后的障碍物为 $D_h=\\zeta(D)$, 其边界为 $\\Gamma_h=\\zeta(\\Gamma)$. 给定远离 $D_h$ 的接收点 $z_1,\\dots,z_M$, 定义算子 $\\hat{F}_\\Gamma(h)=\\hat{X}(\\Gamma_h)=(\\hat{E}^s(z_j))_{j=1}^M\\in\\mathbb{C}^{3M}$, 其中 $\\hat{E}^s$ 是 Laplace 域中的散射电场. 区域导数问题就是求 Fréchet 导数 $\\hat{F}_\\Gamma'(0):C^1(\\Gamma,\\mathbb{R}^3)\\to\\mathbb{C}^{3M}$, 使得\n$$\\frac{1}{\\|h\\|_{C^1(\\Gamma)}}\\bigl|\\hat{F}_\\Gamma(h)-\\hat{F}_\\Gamma(0)-\\hat{F}_\\Gamma'(0)h\\bigr|\\to 0\\quad \\text{as }\\|h\\|_{C^1(\\Gamma)}\\to 0.$$在 Laplace 域中, 散射电场 $\\hat{E}^s=\\mathcal{L}\\{E^s\\}$ 满足\n$$\\operatorname{curl}^2\\hat{E}^s+s^2\\hat{E}^s=0\\quad \\text{in }\\Omega,$$$$\\nu\\times\\hat{E}^s=-\\nu\\times\\hat{E}^i\\quad \\text{on }\\Gamma.$$该问题之所以重要, 是因为许多真实电磁源是宽频或多色光, 其时域数据拟合和形状优化不能简单归结为单一频率的时谐问题. 在时谐情形, 电磁散射的区域导数已有大量研究, 例如完美导体的频域形状导数见 [21,23,37], 可穿透介质见 [24,16], 高阶形状导数见 [7], 声软障碍物的早期工作见 [27]. 在时域情形, 完美导体散射问题通过 Laplace 域已有适定性分析, 见 [3,6,31], 但区域导数的严格推导、时间正则性以及数值离散误差分析仍不完整. 已有的时域 Maxwell 形状导数工作 [12,13,45] 处理的是有界区域上的内问题, 而不是本文的自由空间散射外问题. 时域形状优化在完美导体上的数值实现可见 [39,41], 但它们分别使用时间域间断 Galerkin 方法和时间域边界元方法, 并未建立本文所考虑的 Runge\u0026ndash;Kutta 卷积求积半离散与全离散的逐点误差理论. 近年来卷积求积也被用于逆散射 [17,42,43,44], 其思路通常是把时域数据拟合转化为一组 Laplace 域问题, 再在 Laplace 域计算形状导数; 本文则直接建立时域区域导数, 并对其时间离散和空间离散进行收敛分析. 因此, 本文试图补上的空白是: 在完美导体时域电磁散射外问题中, 建立可计算的区域导数, 证明其时间正则性, 给出 Runge\u0026ndash;Kutta 卷积求积时间半离散与 Galerkin 空间全离散的收敛结果, 并将该导数用于带噪近场数据的迭代形状重构.\n2. 主要定理或主要结果 在提供的内容中, 可核实的定量结果主要集中在 Laplace 域频域界限、时域映射性质以及区域导数的一阶扰动估计. 完整的时间域区域导数定理、Runge\u0026ndash;Kutta 卷积求积误差阶和全离散误差阶的定理编号与精确常数在提供的 PDF 文本中未出现, 因此下面只列出已有明确公式的结论, 并明确区分摘要中声称但细节未展开的部分.\n时域散射解的 Laplace 域表示与时间映射. 对 Laplace 域算子 $S(s)V^{-1}(s)$ 有估计 $$\\|S(s)V^{-1}(s)\\hat{u}\\|_{H(\\operatorname{curl},\\Omega)}\\le M_\\sigma\\frac{|s|^2}{\\operatorname{Re}s}\\|\\hat{u}\\|_{H^{-1/2}(\\operatorname{Div},\\Gamma)}.$$由此得到时域散射电场\n$$E^s=-(S V^{-1})(\\partial_t)\\gamma_t E^i,$$并且对任意 $r\\in\\mathbb{R}$ 有有界映射\n$$(S V^{-1})(\\partial_t):H^{r+2}_0(0,T;H^{-1/2}(\\operatorname{Div},\\Gamma))\\to H^r_0(0,T;H(\\operatorname{curl},\\Omega)).$$这是把频域显式 $s$ 界限转化为时域正则性的关键结论.\n点值估计. 对固定 $x\\in\\Omega$, 令 $d_x=\\operatorname{dist}(x,\\Gamma)$. 单层势与双层势的点值算子满足 $$|(S\\cdot)(x)|+|(D\\cdot)(x)|\\le C(\\sigma,d_x)|s|^2e^{-d_x\\operatorname{Re}s},\\quad \\operatorname{Re}s\u003e\\sigma\u003e0,$$常数 $C(\\sigma,d_x)$ 依赖 $\\sigma^{-1}$ 与 $d_x^{-1}$, 但不依赖 $s$. 该指数衰减因子 $e^{-d_x\\operatorname{Re}s}$ 对远离导体的接收点处逐点评估区域导数至关重要.\n频域正则性. 设 $D$ 为 $C^2$ 区域, $\\Omega=\\mathbb{R}^3\\setminus\\overline{D}$, $O\\in\\{D,\\Omega\\}$, $\\hat{g}\\in H^{1/2}_t(\\Gamma)$. 则边值问题 $$\\operatorname{curl}^2\\hat{v}+s^2\\hat{v}=0\\quad \\text{in }O,\\quad \\nu\\times\\hat{v}=\\hat{g}\\quad \\text{on }\\Gamma$$的任意弱解 $\\hat{v}\\in H(\\operatorname{curl},O)$ 满足 $\\hat{v}\\in H^1(O)^3$ 且\n$$\\|\\hat{v}\\|_{H^1(O)^3}\\le C\\frac{|s|^2}{\\operatorname{Re}s}\\|\\hat{g}\\|_{H^{1/2}(\\Gamma)^3}.$$进一步, 若 $\\hat{g}\\in H^{3/2}_t(\\Gamma)$, 则 $\\operatorname{curl}\\hat{v}\\in H^1(O)^3$ 且\n$$\\|\\operatorname{curl}\\hat{v}\\|_{H^1(O)^3}\\le C\\frac{|s|^3}{\\operatorname{Re}s}\\|\\hat{g}\\|_{H^{3/2}(\\Gamma)^3}.$$相应的单层算子逆满足\n$$V^{-1}(s):H^{3/2}_t(\\Gamma)\\to H^{1/2}_t(\\Gamma),\\quad \\|V^{-1}(s)\\|_{H^{1/2}(\\Gamma)^3\\leftarrow H^{3/2}(\\Gamma)^3}\\le C\\frac{|s|^2}{\\operatorname{Re}s}.$$更一般地, 若 $\\Gamma$ 是 $C^{m+1}$ 区域边界, $m\\in\\mathbb{N}$, 则\n$$V^{-1}(s):H^{m+1/2}_t(\\Gamma)\\to H^{m-1/2}_t(\\Gamma),\\quad \\|V^{-1}(s)\\|_{H^{m-1/2}(\\Gamma)^3\\leftarrow H^{m+1/2}(\\Gamma)^3}\\le C\\frac{|s|^2}{\\operatorname{Re}s}.$$ 区域导数的一阶扰动估计. 对边界变形 $h\\in C^1(\\Gamma,\\mathbb{R}^3)$, 通过变量变换回到未扰动域后, 有 $$\\|(\\hat{E}^s_h)^*-\\hat{E}^s\\|_{|s|,\\Omega}=\\|\\hat{z}_h^*-\\hat{z}\\|_{|s|,\\Omega}\\le C\\frac{|s|^2}{(\\operatorname{Re}s)^2}\\|h\\|_{C^1(\\Gamma)}\\|\\hat{E}^i\\|_{H(\\operatorname{curl},D_1\\setminus D_0)}.$$该估计给出了区域导数关于边界扰动 $h$ 的线性化误差控制, 是证明 $\\hat{F}_\\Gamma$ 在 $0$ 处 Fréchet 可微的基础.\n摘要中声称的结果. 作者在摘要中声称建立了完美导体时域电磁散射的区域导数, 推导了 Maxwell 方程解的频域界限, 并用这些界限建立了区域导数的时间正则性以及 Runge\u0026ndash;Kutta 卷积求积时间半离散的收敛性. 摘要还声称对区域导数的逐点求值进行了完整收敛分析, 其中时间离散为 Runge\u0026ndash;Kutta 卷积求积, 空间离散为 Galerkin 方法. 最后, 区域导数被用于迭代形状重构算法, 测量远离完美导体的若干接收点处的电场近场, 数值例子显示了算法可行性以及在附加噪声下的鲁棒性. 不过, 具体的收敛阶、时间步长与空间网格的耦合关系、Runge\u0026ndash;Kutta 方法的阶数假设、全离散误差中的常数依赖以及逆问题中的正则化参数选择, 从提供的 PDF 文本中无法确认. 3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的技术路线不是直接在时域对边界变形做形状微分, 而是先进入 Laplace 域, 在频域建立显式依赖于 $s$ 的界限, 再通过 Laplace 域卷积算子与时间域映射定理回到时域. 这一选择的核心障碍在于: 时域 Maxwell 解是时间卷积型算子作用在边界数据上的结果, 边界变形会同时改变算子核与积分曲面, 直接估计会遇到时间正则性与空间迹正则性的耦合. Laplace 域把时间导数变为乘以 $s$, 把时间卷积变为算子乘积, 从而使频域边值问题可以逐点、逐阶地控制.\n第一项关键工具是 [32, Lem. 1] 给出的 Laplace 域到时间域的映射定理. 若解析算子族 $K(s)$ 满足多项式有界性\n$$\\|K(s)\\|_{Y\\leftarrow X}\\le M_\\sigma\\frac{|s|^\\kappa}{(\\operatorname{Re}s)^\\nu},\\quad \\operatorname{Re}s\\ge\\sigma\u003e0,$$则卷积型算子 $K(\\partial_t)g=\\mathcal{L}^{-1}\\{K\\}*g$ 可延拓为\n$$K(\\partial_t):H^{r+\\kappa}_0(0,T;X)\\to H^r_0(0,T;Y),\\quad \\forall r\\in\\mathbb{R}.$$本文正是通过证明单层势、双层势、单层算子逆 $V^{-1}(s)$ 以及区域导数算子的频域界限具有上述形式, 来获得时域正则性和离散误差估计. 因此, 频域界限中的 $|s|^\\kappa/(\\operatorname{Re}s)^\\nu$ 结构不是技术装饰, 而是后续时间映射阶数的直接来源.\n第二项关键工具是频域 Maxwell 解的高阶正则性. 作者没有只使用标准的 $H(\\operatorname{curl})$ 能量估计, 而是通过紧嵌入 $X_N(D)\\hookrightarrow H^1(D)^3$ 和外域截断分解, 证明弱解 $\\hat{v}$ 属于 $H^1(O)^3$, 并得到 $\\|\\hat{v}\\|_{H^1(O)^3}\\le C|s|^2/(\\operatorname{Re}s)\\|\\hat{g}\\|_{H^{1/2}(\\Gamma)^3}$. 进一步, 利用 $\\nu\\cdot\\operatorname{curl}\\hat{v}=\\operatorname{Div}(\\nu\\times\\hat{v})=\\operatorname{Div}\\hat{g}$ 以及另一个紧嵌入 $X_T(D)\\hookrightarrow H^1(D)^3$, 作者在 $\\hat{g}\\in H^{3/2}_t(\\Gamma)$ 时得到 $\\operatorname{curl}\\hat{v}\\in H^1(O)^3$ 与 $\\|\\operatorname{curl}\\hat{v}\\|_{H^1(O)^3}\\le C|s|^3/(\\operatorname{Re}s)\\|\\hat{g}\\|_{H^{3/2}(\\Gamma)^3}$. 这些估计既用于边界积分算子的可逆性与范数控制, 也用于区域导数中 Jacobian 变换后的误差项. 作者还指出, 若边界更光滑, 则 $V^{-1}(s):H^{m+1/2}_t(\\Gamma)\\to H^{m-1/2}_t(\\Gamma)$ 且范数仍为 $C|s|^2/(\\operatorname{Re}s)$, 这为更高阶空间离散或高阶形状导数预留了正则性框架.\n第三项关键工具是点值势估计. 对固定 $x\\in\\Omega$, 作者直接估计基本解及其一阶、二阶、三阶导数, 得到 $|\\partial_{x_i}\\partial_{x_j}\\Phi_s(x,y)|\\le C(\\sigma,d_x)|s|^2e^{-d_x\\operatorname{Re}s}$ 以及三阶导数对应的 $|s|^3e^{-d_x\\operatorname{Re}s}$ 界. 由此推出单层势和双层势的点值算子在 $H^{-1/2}(\\operatorname{Div},\\Gamma)$ 上有界, 且具有 $|s|^2e^{-d_x\\operatorname{Re}s}$ 的衰减. 这一指数衰减因子使得接收点远离导体时, 逐点评估区域导数的 Laplace 域表达式具有良好可积性, 并允许在时间域中通过逆 Laplace 变换获得点值误差估计. 若没有这个估计, 逐点评估区域导数会受到边界近场奇性的严重干扰.\n第四项关键工具是边界积分表示与 Stratton\u0026ndash;Chu 公式. 作者引入 Maxwell 单层势 $S(s)$, 双层势 $D(s)$ 和单层算子 $V(s)=\\gamma_t S(s)$, 并利用 $V(s)$ 的可逆性得到散射电场的表示. 通过 Stratton\u0026ndash;Chu 公式\n$$a_O\\bigl(-(D(s)\\gamma_t\\hat{v})(x)+\\frac{1}{s}(S(s)\\gamma_t\\operatorname{curl}\\hat{v})(x)\\bigr)=\\begin{cases}\\hat{v}(x),\u0026x\\in O,\\\\0,\u0026x\\notin O,\\end{cases}$$其中 $a_D=1$, $a_\\Omega=-1$, 作者推出 $\\hat{E}^s(x)=-\\frac{1}{s}(S(s)\\gamma_t\\operatorname{curl}\\hat{E})(x)$ 以及 $\\frac{1}{s}\\gamma_t\\operatorname{curl}\\hat{E}=V^{-1}(s)\\gamma_t\\hat{E}^i$. 这些表示把散射场写成边界积分算子作用于入射迹的形式, 为区域导数提供了可以对 $\\Gamma$ 和 $h$ 做微分的显式结构.\n第五项关键工具是区域导数的弱形式与变量变换. 为了比较未扰动域 $\\Omega$ 与扰动域 $\\Omega_h$ 上的解, 作者引入截断函数 $\\chi$, 使得 $\\hat{E}^s+\\chi\\hat{E}^i$ 与 $(\\hat{E}^s_h)^*+\\chi\\hat{E}^i$ 在相应边界上具有消失的切向迹, 从而可以放在 $H_0(\\operatorname{curl},\\Omega)$ 中比较. 弱形式为\n$$a(\\hat{z},\\hat{\\varphi})=\\int_\\Omega \\operatorname{curl}\\hat{z}\\cdot\\operatorname{curl}\\hat{\\varphi}+s^2\\hat{z}\\cdot\\hat{\\varphi}\\,dx,$$$$f(\\hat{\\varphi})=\\int_\\Omega \\operatorname{curl}(\\hat{E}^i\\chi)\\cdot\\operatorname{curl}\\hat{\\varphi}+s^2(\\hat{E}^i\\chi)\\cdot\\hat{\\varphi}\\,dx =-\\int_{D_1\\setminus D_0}\\nabla\\chi\\cdot(\\operatorname{curl}\\hat{\\varphi}\\times\\hat{E}^i+\\hat{\\varphi}\\times\\operatorname{curl}\\hat{E}^i)\\,dx.$$随后通过 $\\zeta(x)=x+h(x)$ 的 Jacobian $J_\\zeta$ 把扰动域上的弱形式拉回参考域, 得到双线性形式\n$$a_h(\\hat{z}_h^*,\\hat{\\varphi})=\\int_\\Omega \\frac{1}{\\det(J_\\zeta)}\\operatorname{curl}(\\hat{z}_h^*)^\\top J_\\zeta^\\top J_\\zeta\\operatorname{curl}\\hat{\\varphi}+s^2(\\hat{z}_h^*)^\\top J_\\zeta^{-1}J_\\zeta^{-\\top}\\hat{\\varphi}\\det(J_\\zeta)\\,dx.$$在证明中, 作者用 Riesz 表示定理引入有界可逆算子 $T,T_h:H_0(\\operatorname{curl},\\Omega)\\to H_0(\\operatorname{curl},\\Omega)$, 满足 $\\langle T\\hat{u},\\hat{\\varphi}\\rangle_{|s|,\\Omega}=a(\\hat{u},\\hat{\\varphi})$ 与 $\\langle T_h\\hat{u},\\hat{\\varphi}\\rangle_{|s|,\\Omega}=a_h(\\hat{u},\\hat{\\varphi})$. 通过比较 $a$ 与 $a_h$ 中 Jacobian 因子的扰动, 并控制 $\\det(J_\\zeta)$ 与 $J_\\zeta$ 在 $C^1$ 范数下的偏差, 最终得到 Lemma 3.1 中的 $|s|^2/(\\operatorname{Re}s)^2$ 估计. 这是全文区域导数存在性与误差分析的核心技术步骤.\n第六项是时间离散与空间离散. 作者采用 Runge\u0026ndash;Kutta 卷积求积作为时间半离散, 并计划用 Laplace 域界限和卷积求积的稳定性与收敛理论证明误差估计. 空间离散采用 Galerkin 方法, 对区域导数的逐点求值进行全离散误差分析. 由于提供的 PDF 文本只到第 10 页, Runge\u0026ndash;Kutta 卷积求积的具体阶数假设、卷积权重的构造、半离散与全离散误差中的时间步长 $\\Delta t$ 和网格尺寸 $h$ 的耦合关系, 以及空间 Galerkin 的离散空间选择, 从提供内容中无法确认. 最后, 作者把全离散区域导数用于迭代形状重构: 在若干接收点测量散射电场近场, 通过最小化数据残差更新障碍物边界, 数值例子表明算法在附加噪声下仍具有鲁棒性.\n4. 与之前工作的比较 与已有工作相比, 本文的推进可以从以下几个维度理解.\n第一, 与频域电磁形状导数相比. 时谐电磁散射的形状导数已有成熟理论, 引言中列举了 [15,28,35,36] 等时谐分析, [27] 的声软障碍物区域导数, [21,23] 的完美导体频域区域导数与高阶形状导数, [7] 的高阶形状导数系统研究, [37] 的通过边界积分方程的完美导体频域形状导数, [16] 的可穿透介质频域形状导数, 以及 [25] 的微分形式方法. 这些工作的共同点是固定频率, 方程是 Helmholtz 型或时谐 Maxwell 型, 时间变量被频率参数取代. 本文处理的是时域多频散射, 通过 Laplace 变换把频率 $s$ 作为复参数引入, 并在频域得到显式依赖于 $s$ 的界限. 因此, 本文不是简单重复频域形状导数, 而是把频域结果提升为时间域卷积算子的映射性质, 并进一步分析时间离散. 代价是必须处理 $s$ 的复参数依赖性、Laplace 逆变换以及时间正则性, 而不是只处理单一实频率.\n第二, 与时域 Maxwell 形状导数相比. 引言中明确指出, 时域 Maxwell 系统的形状导数已在 [12,13,45] 中获得, 但它们处理的是有界区域上的内问题, 而不是自由空间中的外散射问题. 内问题通常有紧区域和体积积分, 外问题则需要处理辐射条件、边界积分算子和远场衰减. 本文针对完美导体外散射, 使用 Laplace 域中的单层势、双层势和边界积分算子, 并利用远离导体的接收点处的指数衰减估计. 因此, 本文把时域形状导数的适用范围从有界内问题推进到完美导体自由空间散射外问题, 同时保留了时间卷积求积的数值可计算性.\n第三, 与卷积求积用于逆散射的工作相比. 引言提到 [17,42,43,44] 将卷积求积方法用作时间离散, 把时域数据拟合转化为一组 Laplace 域问题, 然后在 Laplace 域计算形状导数. 这些工作通常把时间离散和形状导数计算分开: 先离散时间数据, 再在频域做形状优化. 本文的不同在于直接建立时域区域导数, 并对其 Runge\u0026ndash;Kutta 卷积求积半离散与 Galerkin 全离散进行收敛分析, 包括区域导数逐点求值的误差. 这意味着本文不仅提供算法, 还提供离散误差理论. 代价是分析更复杂, 需要 Laplace 域频域界限、点值势估计以及区域导数一阶扰动估计的共同配合. 从提供内容中无法确认本文是否在数值实验中与 [17,42,43,44] 做了直接对比.\n第四, 与时间域形状优化数值工作相比. [39] 使用时间域间断 Galerkin 方法, [41] 使用时间域边界元方法进行完美导体形状优化. 这些工作侧重于数值实现和优化效果. 本文则采用 Runge\u0026ndash;Kutta 卷积求积作为时间离散, 采用 Galerkin 方法作为空间离散, 并给出半离散与全离散误差分析. 与 [39,41] 相比, 本文的推进在于理论收敛保证和区域导数的显式构造, 但代价是可能需要更强的边界正则性假设 $D\\in C^2$ 和变形场 $h\\in C^1(\\Gamma,\\mathbb{R}^3)$, 以及接收点远离导体以保证点值估计中的指数衰减. 从提供内容中无法确认本文是否与这些数值方法在相同算例上进行了效率比较.\n第五, 与波动方程区域导数相比. [29] 和 [20] 分别建立了声软障碍物和可穿透障碍物的波动方程区域导数, 其中 [20] 还数值求解了三维逆散射问题. 这些工作与本文共享时域区域导数的基本困难, 但对象是标量波动方程或声学散射, 边界条件为声软或穿透型. 本文处理的是矢量 Maxwell 系统, 边界条件为完美导体条件 $\\nu\\times E=0$, 涉及切向迹空间 $H^{-1/2}(\\operatorname{Div},\\Gamma)$、$H^{-1/2}(\\operatorname{Curl},\\Gamma)$ 以及表面散度与表面旋度. 因此, 本文在函数空间、边界积分算子和正则性分析上都需要新的处理. 从提供内容中无法确认作者是否把 [29,20] 的方法直接推广到 Maxwell 系统, 还是发展了新的估计.\n第六, 与直接散射问题的数值分析相比. 引言提到直接散射问题的相关研究已在 [3] 中进行. 本文研究的是区域导数问题, 即散射场关于几何变形的灵敏度, 而不是直接散射场的正问题. 两者共享 Laplace 域频域界限和边界积分表示, 但区域导数还需要对边界和计算域做变量变换、引入截断函数并控制 Jacobian 扰动. 因此, 本文在 [3] 的基础上增加了形状微分的层次. 从提供内容中无法确认本文是否完全复用了 [3] 中的空间离散和误差分析框架.\n第七, 假设、适用范围与代价. 本文的频域界限在 $\\operatorname{Re}s\\to 0^+$ 时以 $|s|^2/(\\operatorname{Re}s)$ 或 $|s|^3/(\\operatorname{Re}s)$ 的速率增长, 在空间点值估计中则带有指数衰减 $e^{-d_x\\operatorname{Re}s}$. 这些尺度关系说明: 接收点离导体越远, 高频分量的衰减越快; 而当 Laplace 参数实部很小时, 低频或长时行为需要更仔细的估计. 本文的边界正则性假设为 $D\\in C^2$, 在需要 $\\operatorname{curl}\\hat{v}\\in H^1$ 时进一步要求 $\\hat{g}\\in H^{3/2}_t(\\Gamma)$, 更一般地要求 $\\Gamma$ 为 $C^{m+1}$ 以得到 $V^{-1}(s):H^{m+1/2}_t(\\Gamma)\\to H^{m-1/2}_t(\\Gamma)$. 这些假设比某些仅要求 Lipschitz 边界或低正则性的正问题分析更强, 但为形状导数的 Fréchet 可微性和边界积分算子的可逆性提供了基础. 代价是本文的方法可能不直接适用于非光滑边界、角点或裂缝, 也不直接覆盖可穿透介质、非完美导体或非线性材料. 从提供内容中无法确认作者是否讨论了这些扩展或给出了数值例子来验证更弱正则性下的行为.\n总体而言, 本文相对于已有文献的主要推进是: 在完美导体时域电磁散射外问题中, 通过 Laplace 域建立频域显式界限, 进而得到区域导数的时间正则性和 Runge\u0026ndash;Kutta 卷积求积半离散与 Galerkin 全离散收敛分析, 并将区域导数用于带噪近场数据的迭代形状重构. 与频域形状导数相比, 它把问题推进到时域多频; 与内问题时域形状导数相比, 它处理外散射; 与卷积求积逆散射相比, 它直接分析时域区域导数的离散误差; 与声学波动方程区域导数相比, 它处理矢量 Maxwell 系统和完美导体边界条件. 这些推进的代价是需要更强的正则性假设、精细的频域界限和点值势估计, 以及更复杂的全离散误差分析.\n2. Helmholtz 问题的自适应局部正交分解方法 An adaptive localized orthogonal decomposition method for Helmholtz problems\n作者: Yuwen Li, Chuxin Que\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24776v1\n摘要翻译: 我们针对具有局部振荡和奇异性的 Helmholtz 问题，发展了一种自适应局部正交分解（ALOD）方法。主要结果是首个在标准分辨率、过采样与离散稳定性范围内，针对 Helmholtz LOD 离散的波数鲁棒残差型后验误差估计。该估计相对于细网格解是双侧的，并包含校正子局部化误差的可计算界，从而能够分别自适应在线粗空间、细校正子网格和过采样水平。对于给定载荷族，我们复用指示子已经计算出的局部残差 Riesz 代表元，作为区域加性 Schwarz 修正量。它们张成的空间构成共享富集，随后通过能量加权本征正交分解（POD）压缩以供在线使用。因此，约化空间直接由自适应误差控制机制生成。对于在原始 LOD 检验空间上满足 Galerkin 正交性的富集解，该误差估计仍然有效。核提升检验函数在统一过采样条件下提供了稳定、拟最优的耦合，且无需额外的全局细网格求解，并通过逐成员检查控制压缩引起的扰动。二维实验展示了针对给定载荷族的在线压缩与低秩重用。\nComment: 24 pages, 5 figures\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24776v1\n1. 研究对象和背景 本文研究二维有界多边形 Lipschitz 区域 Ω⊂R^2 上带混合 Dirichlet、Neumann 与 Robin 阻抗边界条件的 Helmholtz 方程。设波数 k≥k_min\u0026gt;0，边界 Γ_D、Γ_N、Γ_R 互不相交至端点，且 |Γ_R|\u0026gt;0。强形式为 $$ -Δu - k^2 u = f \\quad 在 Ω 内, \\qquad u=0 \\quad 在 Γ_D 上, \\qquad ∂_ν u=0 \\quad 在 Γ_N 上, \\qquad ∂_ν u - i k u=0 \\quad 在 Γ_R 上, $$ 其中 ν 为外法向。相应弱形式在 V={v∈H^1(Ω;C): v|{Γ_D}=0} 中寻找 u，使 $$ a(u,v)=F(v) \\quad 对所有 v∈V, $$ 其中 $$ a(v,w)=(∇v,∇w)_Ω - k^2(v,w)_Ω - i k (v,w)_{Γ_R}, \\qquad F(v)=(f,v)_Ω. $$ 能量内积与能量范数定义为 $$ b_k(v,w)=(∇v,∇w)_Ω + k^2(v,w)_Ω, \\qquad \\|v\\|_k^2=b_k(v,v). $$ 这类问题出现在声学、电磁学、地震成像、逆问题、不确定量化与设计中，核心困难是波传播是全局现象，必须全局解析波长；但角点、局部源或介质奇异又只在局部要求细分辨率。对标准有限元，解析波长本身不能避免大波数下的 pollution 误差，即累积相位误差；即使名义上每个波长有若干单元，误差仍可能随 k 增长，因此需要越来越严格的全局网格。Wavenumber-explicit 先验分析已对线性与高阶方法、非捕获与变系数散射问题给出定量估计，但这些估计通常要求全局过分辨，多查询场景下代价很高。\\n\\n局部正交分解（LOD）把上述两种分辨率需求分离：局部细尺度 corrector 编码未解析振荡，算子自适应的粗空间保持在线维度。对 Helmholtz 方程，已有先验理论在粗网格解析波长、过采样深度随波数对数增长、局部 corrector 问题被准确求解的条件下，证明了稳定性和一阶能量误差估计，且常数不依赖波数；multiresolution LOD 进一步解耦离散尺度；super-localized LOD 改善了 localization 误差的衰减并放宽过采样要求；并行 patch 求解器和 reduced corrector 模型用于降低 setup 成本。然而，这些结果都是先验地规定分辨率和 localization 参数，没有提供可计算指标来区分粗尺度分辨率不足、细尺度分辨率不足和过采样深度不足。\\n\\n标准 Helmholtz 自适应有限元后验指标通过残差或平衡通量控制 conforming、stabilized 与 HDG 有限元离散误差，但它们不控制 LOD 截断 corrector 导致的 localization 误差，也不能把粗尺度误差、细尺度误差与 localization 误差分开。本文要补的正是这一空白：在标准 LOD 分辨率、过采样和离散稳定性 regime 内，为 Helmholtz LOD 离散建立首个 wavenumber-robust 残差型后验误差估计。估计相对于当前细网格解是双边的，并给出 corrector-localization 误差的可计算上界，从而使在线粗空间、用于 corrector 与残差的细网格以及过采样层数可以分别自适应。\\n\\n在离散层面，论文采用嵌套形状正则三角网格 T{H,n} ⪯ T_{h,n}，对应连续分片仿射空间 V_{H,n}⊂V_{h,n}⊂V。粗空间决定在线维度，细空间用于求解 corrector 和残差。细网格 Galerkin 解 u_h 满足 a(u_h,v_h)=F(v_h)，并用 inf-sup 常数 $$ γ_h(k)= inf_{0≠v_h∈V_h} sup_{0≠w_h∈V_h} |a(v_h,w_h)|/(\\|v_h\\|_k\\|w_h\\|_k)\u003e0 $$ 度量稳定性。LOD 通过准插值 I_H:V→V_H 定义细尺度核 W=ker I_H，W_h=W∩V_h，分解 V_h=V_H⊕W_h。在分辨率条件 $$ χ_res=C_app C_patch(1)^{1/2} \\|kH\\|_{L∞(Ω)} ≤ χ_0\u003c1 $$ 下，核上有强迫性 Re a(w,w)≥c_W|w|_k^2，其中 c_W=(1−χ_res^2)/(1+χ_res^2)。这些是本文后验分析的基础假设。\\n\\n论文还处理 prescribed load family：同一 Helmholtz 形式 a 下反复求解不同右端 F_μ，μ∈P。这类问题出现在多入射场逆散射、多候选源定位、多发射器地震或超声成像、以及不确定量化与设计中。为每个右端重复自适应构造代价高，而只针对一个名义载荷自适应的空间可能遗漏其他载荷激活的特征。作者因此把训练族上已经由后验指标计算出的局部残差 Riesz 代表回收为区域加性 Schwarz 修正，其张成形成共享 enrichment；再用能量加权 POD 压缩供在线使用。这样 reduced space 直接由自适应误差控制机制产生，而不是用独立全局代理模型替代 LOD。\n2. 主要定理或主要结果 论文在标准 LOD regime 内建立了局部残差等价、可计算的 corrector-localization 控制和覆盖 enrichment 解的细网格误差界。核心假设是：核强迫性成立，即 χ_res≤χ_0\u0026lt;1；当前细网格 Galerkin 问题满足 γ_h(k)\u0026gt;0；并且近似解 U 在原始局部 LOD 测试空间 Y_{H,ℓ}=T*ℓ V_H 上满足 Galerkin 正交 R_U(y)=0。\\n\\n1. 残差局部化与效率，定理 3.2。对每个粗顶点 z，令 W{h,z}={w∈W_h: supp w⊂N^2(z)}。对 G∈V_h^，定义 ξ_z(G)∈W_{h,z} 为 $$ b_k(ξ_z(G),w)=G(w), \\quad w∈W_{h,z} $$ 的解，并令 η(G)^2=Σ_z |ξ_z(G)|k^2。则有 $$ C_syn^{-1} η(G) ≤ \\|G\\|_{W_h^*} ≤ C_sd η(G). $$ 因此对任意 U∈V_h，有 $$ η_H(U) ≤ C_a C_syn \\|u_h-U\\|_k, $$ 且局部形式 η{H,z}(U)≤C_{a,z}|u_h-U|{k,N^2(z)}。这里 η_H(U)=η(R_U)，R_U=F-a(U,·)。该结果把细尺度核上的残差范数等价地表示为局部可计算 Riesz 代表之和，并给出效率。\\n\\n2. corrector-localization 误差，定理 3.4。设 D_ℓ=Q∞−Q_ℓ，δ_ℓ=|D_ℓ|_{L(V_H,V_h)}=|Dℓ|{L(V_H,V_h)}。定义 G_ℓ(v_H)(w)=a(w,T*ℓ v_H)，以及 $$ Θ_ℓ= sup_{0≠v_H∈V_H} η(G_ℓ(v_H))/\\|v_H\\|_k. $$ 则 $$ Θ_ℓ/(C_a C_syn) ≤ δ_ℓ ≤ (C_sd/c_W) Θ_ℓ. $$ 与通常先验衰减估计 δ_ℓ≤C_loc C_patch(ℓ+1)^{1/2}β^ℓ，0\u0026lt;β\u0026lt;1 相比，Θ_ℓ 是可计算的，且不需要对 C_patch(ℓ) 的增长规律作假设。\\n\\n3. 双边可靠性，定理 3.5。若 U∈V_h 满足 R_U(y)=0 对所有 y∈Y{H,ℓ}，则 $$ \\|u_h-U\\|_k ≤ C_sd (c_W^{-1}+ C_I C_F/γ_h(k) δ_ℓ) η_H(U). $$ 结合 Θ_ℓ 的可计算界，得到 $$ η_H(U)/(C_a C_syn) ≤ \\|u_h-U\\|_k ≤ C_sd (c_W^{-1}+ C_I C_F C_sd/(γ_h(k)c_W) Θ_ℓ) η_H(U). $$ 该估计对不位于基 LOD 试探空间中的 enrichment 与压缩解同样成立，只要其测试空间包含 Y_{H,ℓ}，并在接受解处重算残差。若基正交仅近似成立，即 $$ ϵ_0= sup_{0≠v_H∈V_H} |R_U(T*_ℓ v_H)|/\\|v_H\\|_k, $$ 则右端增加 (C_I C_F/γ_h(k))ϵ_0。\\n\\n4. 波数鲁棒性，注 3.6。该估计中唯一显式波数依赖通过 δ_ℓ/γ_h(k) 或 Θ_ℓ/γ_h(k)。若 δ_ℓ≲γ_h(k) 或充分条件 Θ_ℓ≲γ_h(k) 成立，则可靠性常数关于 k 一致。若 γ_h(k)^{-1} 关于 k 至多多项式增长，且先验局部化衰减中的 patch 因子关于 ℓ 至多多项式增长，则指数局部化衰减给出 ℓ=O(log k) 足够。\\n\\n5. 局部化稳定性与过采样，命题 3.7 及 (3.12)。令 A_ℓ(p_H,q_H)=a(T_ℓ p_H,T*ℓ q_H)，A∞ 在 V_H 上的能量 inf-sup 常数为 $$ bα_{H,∞} ≥ γ_h(k)/(C_F C_I^2). $$ 展开差得 $$ A_ℓ(p_H,q_H)-A_∞(p_H,q_H)=a(D_ℓ p_H,D*_ℓ q_H). $$ 若 C_a δ_ℓ^2\u0026lt;bα_{H,∞}，则局部问题唯一可解且 $$ \\|U_{H,ℓ}-U_{H,∞}\\|_k ≤ C_os(δ_ℓ) δ_ℓ \\|u_h\\|_k, $$ $$ C_os(δ)= (C_I+C_a(C_F+δ)(1+C_Iδ))/(bα_{H,∞}-C_aδ^2). $$ 作者进一步给出可计算的稳定性与鲁棒性条件 $$ C_a^2/c_W (C_sd/c_W Θ_ℓ)^2 ≤ ρ_stab γ_h(k)/(C_F C_I^2), \\qquad (C_sd/c_W) Θ_ℓ ≤ C_rob γ_h(k), $$ 其中 0\u0026lt;ρ_stab\u0026lt;1。失败时增加过采样层 ℓ。为在自适应细化中区分 localization 截断误差与当前 LOD 误差，还引入平衡指标 $$ eq_ℓ = d_{μ_nom} Θ_ℓ/η_{H,μ_nom}, $$ 其中 d_μ=max{|U_μ|k,d_min}，μ_nom 为指定名义参数；超过阈值则增加 ℓ。\\n\\n6. 载荷族共享 enrichment 与压缩。对给定训练族，作者把局部残差 Riesz 代表 ξ_z(R{μ,U}) 作为区域加性 Schwarz 修正，其张成形成共享 enrichment，然后用能量加权 POD 进行在线压缩。误差估计仍适用于满足原始 LOD 测试空间 Galerkin 正交的 enriched 解。Kernel-lifted tests 由现有 LOD 基构造，在统一过采样条件下提供稳定且准最优的耦合，无需额外全局细网格解；memberwise checks 控制压缩带来的扰动。二维实验，包括光滑波包与重入角算例，展示了在线压缩和有限载荷族上的低秩复用。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 技术障碍主要有三层。第一，Helmholtz 形式 a 是不定的，没有全局强制性，标准残差后验估计依赖的全局能量 coercivity 不成立；已有 LOD 先验分析虽然能在核 W_h 上得到强迫性，但要把核上的残差控制转化为全局细网格误差，必须利用 LOD 正交性和细网格 inf-sup 稳定性。第二，LOD 误差由粗尺度离散误差、细尺度表示误差和 corrector-localization 截断误差耦合而成；后验指标必须能区分这三者，并能分别驱动在线粗空间、细 corrector 网格和过采样层。第三，多查询载荷族要求重用已经计算的局部信息，但复用压缩不能破坏误差控制的正交性。\\n\\n作者的第一项核心工具是粗顶点斑块上的细尺度核局部残差 Riesz 代表。为了在 W_h 上做局部化，论文证明稳定局部分解：任意 w∈W_h 可写成 w=Σ_z w_z，w_z∈W_{h,z}={w∈W_h: supp w⊂N^2(z)}，且 $$ Σ_z \\|w_z\\|_k^2 ≤ C_sd^2 \\|w\\|_k^2, \\qquad \\|Σ_z w_z\\|_k^2 ≤ C_syn^2 Σ_z \\|w_z\\|_k^2. $$ 构造取 w_z=Π_f I_h(λ_z w)，其中 λ_z 为粗节点帽函数，I_h 为细网格节点插值，Π_f=I−I_H。关键观察是 I_H 的局部性使 w_z 落在 N^2(z) 上，而 λ_z w 在每个细三角形上是二次多项式，故多项式 scaling 与 product rule 控制能量；再用 I_H w=0 和准插值估计消去 H^{-1} 项。这个分解避免了依赖粗斑块中细单元数目的常数。\\n\\n第二项工具是把局部残差指标解释为加性 Schwarz 预条件诱导的残差范数。定义 ξ_z(G) 为 $$ b_k(ξ_z(G),w)=G(w), \\quad w∈W_{h,z} $$ 的局部 Riesz 代表，η(G)^2=Σ_z |ξ_z(G)|k^2。则 M_h G=Σ_z ξ_z(G) 给出 η(G)^2=G(M_hG)。在 W_h 上 b_k 强制，因此 η(G) 等价于 |G|{W_h^}。这与预条件型后验估计和 smoother 型指标有联系，但本文的实现是在细尺度核子空间上做 subspace correction。由于全局 Helmholtz 形式不定，作者先用该 Schwarz 构造控制 W_h 上的残差，再用 LOD Galerkin 正交性、localization 控制和细网格 inf-sup 把受限估计转成全局误差界。\\n\\n第三项工具是可计算的 corrector-localization 控制。传统 LOD 先验证明直接估计 Q_∞−Q_ℓ 的算子范数，得到 δ_ℓ≤C_loc C_patch(ℓ+1)^{1/2}β^ℓ；但该界含不可计算常数且需要 patch 因子增长规律。作者改为考察 G_ℓ(v_H)(w)=a(w,Tℓ v_H)，并利用理想正交性得到对 w∈W_h 有 G_ℓ(v_H)(w)=a(w,D*ℓ v_H)。核强迫性与连续性给出 $$ c_W \\|D*_ℓ v_H\\|_k ≤ \\|G_ℓ(v_H)\\|_{W_h^*} ≤ C_a \\|D*_ℓ v_H\\|_k. $$ 再结合残差等价 η，得到 Θ_ℓ/(C_a C_syn)≤δ_ℓ≤(C_sd/c_W)Θ_ℓ。因此 Θ_ℓ 完全由局部 Riesz 问题和已构造的测试空间决定，可作为 localization 的在线控制量。对于先验衰减，作者也给出 kernel-preserving cut-off 论证：用 Π_f I_h(ϑ w) 截断 corrector 尾，其中 ϑ 为粗分片仿射截断函数；稳定局部分解的 product estimate 控制截断函数，核强迫性导出固定宽度环上的 corrector 尾收缩，求和得到 δ_ℓ≤C_loc C_patch(ℓ+1)^{1/2}β^ℓ。\\n\\n可靠性证明的框架是误差分解 e=u_h−U=e_W+e_H，e_W=Q∞e∈W_h，e_H=T∞e∈X_{H,∞}。细尺度部分由 corrector 方程和核强迫性直接得 |e_W|k≤c_W^{-1}|R_U|{W_h^}。粗尺度部分是关键：假设 U 在 Y_{H,ℓ} 上正交，则对 y_∞=T∞v_H 有 $$ a(e_H,y_∞)=R_U(y_∞)=R_U(y_∞−T*_ℓ v_H)=−R_U(D*_ℓ v_H). $$ 这里只要求 U 在局部测试空间上正交，不要求 U 属于基 LOD 试探空间。于是 v_H=I_H y∞，由准插值稳定性和理想 LOD inf-sup 常数得 |e_H|k≤C_I C_F/γ_h(k) δ_ℓ|R_U|{W_h^}。相加并用定理 3.2 得可靠性。这个结构解释了为什么 enriched 与 POD 压缩解仍可被同一估计覆盖：只要保留原始 LOD 测试空间上的正交性，压缩只通过重算残差和 ϵ_0 项进入。\\n\\n局部化稳定性分析则利用 A_ℓ−A_∞ 的一次项因理想正交而消失，只剩二次扰动 a(D_ℓ p_H,Dℓ q_H)。这给出 δ_ℓ 小条件下的唯一可解性和系数误差界。作者把先验的 δ_ℓ 衰减与可计算的 Θ_ℓ 阈值分开：稳定性与波数鲁棒性条件用 Θ_ℓ 表述，避免依赖 C_patch(ℓ) 的增长规律。为适应自适应细化，作者另设平衡指标 eq_ℓ=d{μ_nom}Θ_ℓ/η_{H,μ_nom}，因为局部网格细化会缩小斑块物理尺寸，使 localization 可能成为限制误差源。\\n\\n在载荷族部分，作者把已经算出的局部残差 Riesz 代表直接作为区域加性 Schwarz 修正，而不是重新构造全局 reduced basis。共享 enrichment 的张成携带训练族激活的局部特征；能量加权 POD 仅用于压缩该残差生成空间。Kernel-lifted tests 从已有 LOD 基构造，在统一过采样条件下保持稳定和准最优，并避免额外全局细网格求解；memberwise checks 逐成员验证压缩扰动。整体上，作者的技术路线可概括为：局部核残差等价，然后可计算 localization 控制，再用 LOD 正交性转全局可靠性，最后以同一局部代表生成载荷族 enrichment 并压缩。\n4. 与之前工作的比较 与已有 Helmholtz LOD 先验理论相比，本文的主要推进是把后验误差控制引入 LOD，并且在标准 LOD regime 内做到 wavenumber-robust。已有工作，如文中引用的 [19,36]，在粗网格解析波长、过采样深度随 k 对数增长、局部 corrector 问题准确求解的条件下，证明稳定性和一阶能量误差估计，常数不依赖波数；但这些结论是先验的，参数必须预先给定。本文不否定这些假设，而是在同一 regime 内给出双边残差估计，并增加可计算的 corrector-localization 界，使粗空间、细 corrector 网格和过采样层可分别自适应。代价是估计依赖核强迫性 χ_res≤χ_0\u0026lt;1、细网格 inf-sup γ_h(k)\u0026gt;0 以及近似解在原始 LOD 测试空间上的 Galerkin 正交；对于 enriched 解，需要额外监控正交缺陷 ϵ_0。\\n\\n与标准 Helmholtz AFEM 后验估计，如文中提到的 [13,10,9]，相比，那些指标针对 conforming、stabilized 或 HDG 有限元离散，通过残差或平衡通量控制离散误差。它们没有 LOD 的 corrector-localization 环节，因此不能直接区分粗尺度误差、细尺度误差和截断 corrector 误差。本文的指标 η_H 定义在细尺度核 W_h 上，并额外给出 Θ_ℓ 控制 localization；因此可把三种误差源纳入同一自适应循环。与预条件型后验估计 [28,29] 和 smoother 型指标 [27] 相比，本文借用了加性 Schwarz 预条件诱导残差范数的思想，但针对 Helmholtz 不定形式，先在核 W_h 上控制残差，再通过 LOD 正交性转全局；这与直接在全局空间上做指标不同。\\n\\n与 multiresolution LOD [20] 和 super-localized LOD [17] 相比，后者分别解耦离散尺度和改善 localization 衰减、放松过采样要求，但仍然是先验设计。本文的自适应策略可以随误差分布调整在线粗空间、细网格和过采样层数；同时可计算的 Θ_ℓ 不要求 C_patch(ℓ) 的增长规律，而先验衰减界仍含 patch 因子。与并行 patch 求解器、reduced corrector 模型 [14,1,23] 相比，本文不是主要降低 setup 成本，而是把局部残差代表同时用于误差指示和载荷族 enrichment。POD 压缩只压缩残差生成空间，不替代 LOD 或引入独立全局代理。\\n\\n与问题自适应 enrichment [33,2]、reduced spaces [25,39,40,5] 和局部自适应降阶 [35,8] 相比，本文的特点是 reduced space 直接由自适应误差控制机制产生：局部残差 Riesz 代表先作为加性 Schwarz 修正，其张成形成共享 enrichment，再经能量加权 POD 压缩。误差估计对 enriched 或压缩解仍有效，只要它们在原始 LOD 测试空间上满足 Galerkin 正交；这使压缩误差通过 memberwise checks 和 ϵ_0 项被显式控制。与 hybrid FEM-LOD [46] 相比，后者可用有限元处理局部奇异但可能牺牲 LOD 的自由度减少；本文则识别局部奇异区域并用区域残差修正 enrichment，目标是在保留 LOD 在线降维的同时改善局部奇异性分辨率。\\n\\n适用范围与局限方面，论文正文分析和数值实验限于二维；备注 3.8 声称构造可推广到三维形状正则四面体网格，但常数可能额外依赖空间维数和三维形状正则界。波数鲁棒性不是无条件的：可靠性常数中显式出现 δ_ℓ/γ_h(k) 或 Θ_ℓ/γ_h(k)，要得到关于 k 一致的常数需要 δ_ℓ≲γ_h(k) 或充分条件 Θ_ℓ≲γ_h(k)；若 γ_h(k)^{-1} 至多多项式增长且 patch 因子至多多项式增长，则指数局部化衰减给出 ℓ=O(log k) 足够。从提供内容无法确认作者是否给出完整的三维数值验证、POD 压缩误差的显式先验界、以及载荷族规模与低秩压缩的定量理论保证。作者也未显式展开与所有已有 Helmholtz LOD 变体的逐项数值比较，因此关于实际计算代价和参数选择的优势仍需以文中二维实验为准。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. GradAgent：一种用于保结构梯度流计算的知识引导多智能体系统及其在多组分囊泡动力学中的应用 GradAgent: A Knowledge-Guided Multi-Agent System for Structure-Preserving Gradient-Flow Computation with an Application to Multicomponent Vesicle Dynamics\n作者: Zhenlin Guo, Jiale Meng, Shuqi Tang, Haiyan Su, Maosheng Jiang, Kaiwen Shi, Meng Zhao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24871v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24871v1\n摘要翻译 中文标题: GradAgent：一种用于保结构梯度流计算的知识引导多智能体系统及其在多组分囊泡动力学中的应用\n摘要翻译: 高阶微分算子和非线性耦合使得为耦合梯度流系统构造守恒且能量稳定的格式具有挑战性。我们提出 GradAgent，一种知识引导的多智能体系统，它协调三个智能体，分别涵盖模型分析、算法设计与证明，以及数值实现与验证。独立审计通过发现数学错误和证明缺口、指导修订并保持各阶段之间的一致性，从而增强了可靠性。在重构模式中，GradAgent 重构了 20 项已发表研究，并将经审计的知识组织在一个可扩展的知识图谱（KG）GradAgent-KG 中，连接模型结构、离散化策略与证明、实现以及数值证据。在设计模式中，智能体评估检索到的知识的适用性，并在相关离散化策略的启发下开发新格式。应用于完全耦合的多组分囊泡相场-流体模型，GradAgent 在三个算法族中产生了三个一阶和三个二阶格式，其中包括四个线性、解耦格式。在所述假设下，所有六个格式都守恒膜组分质量和囊泡体积，并无条件耗散其各自的时间离散能量。使用与不使用 GradAgent-KG 的对比表明，它促进了针对该目标模型的保结构格式设计的多样性。数值测试证实了二阶空间精度、预期的时间阶、守恒性和时间离散能量耗散，而三维剪切流模拟与实验定性一致。这些结果证明了 GradAgent 能够结合可重用知识、协调推理和独立审计，为复杂耦合系统开发和验证保结构算法。\n2. 耗散哈密顿系统的四阶能量一致平均向量场离散梯度方法 Fourth-Order Energy-Consistent Average Vector Field Discrete Gradient Methods for Dissipative Hamiltonian Systems\n作者: Lucas Lautwein, Nicole Marheineke, Håkon Noren Myhr, Kevin Schäfers\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24692v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24692v1\n摘要翻译 中文标题: 耗散哈密顿系统的四阶能量一致平均向量场离散梯度方法\n摘要翻译: 离散梯度方法为耗散哈密顿系统的能量一致时间积分提供了一种保结构途径。然而，在其传统表述中，它们通常至多达到二阶收敛。将此前为 Poisson 系统发展的扰动原理推广到耗散情形，我们推导了四阶平均向量场离散梯度格式。基于合同变换的补全保持了耗散矩阵的半正定性，从而保证对所有正步长的无条件能量耗散性。这一补全概念为高阶能量一致格式提供了系统性途径。对于纯耗散系统，推导了另一种指数补全，以及保结构的有理逼近。特别地，我们刻画了保持半正定性且可纳入能量关联分裂格式的 Padé 逼近。对阻尼物理摆和耗散 Fermi\u0026ndash;Pasta\u0026ndash;Ulam 系统的数值实验表明，半正定补全对于避免非物理数值不稳定性和捕捉正确的定性动力学至关重要。它们进一步表明，所提方法在与现有 Galerkin 型方法相当的计算成本下达到了所需的精度和能量一致性。此外，尽管四阶格式的每步成本更高，但在所考虑的精度范围内，其在计算效率上优于传统的二阶离散梯度方法。\n3. 鞍点问题中的转置方法 The transposition method in saddle-point problems\n作者: Dietmar Gallistl, Zhen Liu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24478v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24478v1\n摘要翻译 中文标题: 鞍点问题中的转置方法\n摘要翻译: 来自二阶椭圆偏微分方程理论的转置方法，在由 Brezzi 分裂已知的某些结构假设以及反映带边界条件微分算子具体情形中椭圆正则性的映射性质下，被表述用于鞍点问题。构建了一个框架，该框架允许通过标准的、未经修改的 Galerkin 型方法进行逼近，而这些方法相对于转置算子所允许的更一般数据可能是非协调的。数据无需正则化是鞍点方法所特有的优势。该框架涵盖的例子包括 Laplacian、Stokes 算子、线弹性、双 Laplacian 以及具有 $L^2$ 边界数据的稳态 Maxwell 问题。\n4. 线性应变梯度弹性问题的 Morley 单元 Morley element for the linear strain gradient elasticity problem\n作者: Xiao Li, Shudan Tian, Hua Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24340v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24340v1\n摘要翻译 中文标题: 线性应变梯度弹性问题的 Morley 单元\n摘要翻译: 我们建立了一个离散 $H^1$-Korn 不等式，适用于满足二阶弱连续性条件的有限元空间。这意味着经典的 $H^2$-非协调元满足离散 Korn 不等式。基于此结果，我们仅使用分片二次多项式，为线性应变梯度弹性问题发展了一种稳定化 Morley 有限元方法。得益于离散 $H^1$-Korn 不等式，该方法不需要任何罚参数。我们证明该方法对 $λ$ 和 $ι$ 均具有鲁棒性。数值实验验证了理论结果。\n5. 一种带有基于卷积的算子压缩的基于物理的非线性降阶模型 A Nonlinear Physics-based Reduced Order Model with Convolutional-based Operator Compression\n作者: Anna Ivagnes, Giovanni Stabile, Gianluigi Rozza\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24300v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24300v1\n摘要翻译 中文标题: 一种带有基于卷积的算子压缩的基于物理的非线性降阶模型\n摘要翻译: 降阶模型（ROMs）被广泛用于加速参数化偏微分方程的求解，其中基于投影的方法依赖于在低维空间中对控制方程的线性表示。然而，其效率从根本上受限于解流形的 Kolmogorov N-宽度：当 N-宽度 衰减缓慢时，精确近似需要大量线性模态。这一局限促使了非线性 ROMs，这类方法通常用通过自编码器架构学习到的非线性潜表示来替代解场的线性表示。在本工作中，我们通过将非线性直接引入控制算子的表示，提出了一种不同的视角。我们不是仅压缩解场，而是学习全阶算子的非线性低维表示，同时保留显式的降阶方程组。采用卷积架构来利用微分算子的局部性和空间结构，所得压缩算子通过一种同时考虑重构精度和降阶解误差的训练策略，与解的非线性表示耦合。为处理由细密和非结构化离散化产生的大型稀疏算子，使用连续卷积直接作用于其非零元。最后，径向基函数插值能够预测未见过参数配置下的压缩算子，从而提供一个无需组装相应全阶系统的高效在线阶段。在三个参数化问题上的数值实验展示了非线性算子压缩作为基于方程的 ROMs 的一种替代策略的潜力。\n6. 基于杂交分裂形式微分算子与广义熵投影的离散熵守恒/稳定通量重构格式 A Discretely Entropy Conserving/Stable Flux Reconstruction Scheme via Hybridized Split Form Differential Operator and Generalized Entropy Projection\n作者: Geng Liang, Junjie Wang, Hui Xu\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24257v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24257v1\n摘要翻译 中文标题: 基于杂交分裂形式微分算子与广义熵投影的离散熵守恒/稳定通量重构格式\n摘要翻译: 本文针对非线性守恒律提出了一种新颖的离散熵守恒/稳定通量重构（FR）格式。该格式将杂交分裂形式微分算子与广义熵投影相结合，能够在无需修改原始求积权重的情况下，对任意节点分布和任意校正函数实现离散熵守恒。该构造直接建立在经典 FR 框架之上，并被证明在保持守恒性质的同时，在半离散意义下实现熵守恒。使用等熵涡问题的数值实验证实了理论预测的精度，并展示了在熵耗散界面通量下稳健的熵行为。\n7. 用于 Stokes 方程的一种基于笛卡尔网格的实现友好、具有压力鲁棒性和超收敛性的 SDG 格式 An Implementation-Friendly SDG Scheme based on Cartesian Grids for Stokes Equations with Pressure Robustness and Superconvergence\n作者: Bohan Yang, Eric Chung\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24232v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24232v1\n摘要翻译 中文标题: 用于 Stokes 方程的一种基于笛卡尔网格的实现友好、具有压力鲁棒性和超收敛性的 SDG 格式\n摘要翻译: 本文针对 Stokes 方程发展了一种基于笛卡尔网格的交错间断 Galerkin (SDG) 格式，该格式易于实现、内蕴压力鲁棒，并且对所有变量均超收敛。我们不是使用标准 SDG 中的复合网格，而是由笛卡尔网格构造交错四边形网格。该格式以速度、压力和速度梯度为未知量，并采用具有精心设计的交错连续性的分片常数空间。额外的梯度未知量通过静力凝聚被局部消元，并且可以通过质量集中进一步消去而不损失精度。推导了该格式的显式逐点形式，这便于实现，并使得详细的逐点分析成为可能。我们严格证明了压力鲁棒性和二阶超收敛性，其中二阶超收敛性在一般的非均匀笛卡尔网格上成立。该格式通过引入一个具有二阶相容性的新颖离散对流项，进一步推广到 Navier-Stokes 方程。结合标量辅助变量 (SAV) 方法和 Crank-Nicolson (CN) 格式，这给出了一个无条件能量稳定且二阶精确的格式。数值实验验证了理论，并展示了精度和鲁棒性。\n8. 成本-精度权衡：神经算子与经典数值求解器 Cost-Accuracy Trade-offs: Neural Operator vs Classical Numerical Solver\n作者: Daniel Zhengyu Huang, Andrew M. Stuart\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24021v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24021v1\n摘要翻译 中文标题: 成本-精度权衡：神经算子与经典数值求解器\n摘要翻译: 神经算子是数据驱动的模型，学习从参数化偏微分方程的输入——例如空间变化系数、初始条件、强迫项、边界条件或几何——到解场或感兴趣量的映射。一旦训练完成，在需要对变化输入进行重复评估的多查询场景中，它们可以作为经典数值求解器的代理。我们研究神经算子代理在给定精度下于成本方面何时、以及为何优于经典数值求解器。我们关注训练后的多查询极限，其中数据获取和训练成本被视为固定且完全摊销。即使在这一刻意有利于神经算子的情形中，仍然存在经典求解器优于代理模型的情形。我们通过一项可复现的基准研究，在计算科学与工程中的代表性问题上将神经算子与问题匹配的经典求解器进行比较，关注预测误差、每次查询的浮点成本以及墙钟运行时间，从而比较神经算子代理与经典数值求解器的成本-精度性能。神经算子在低到中等精度要求下最具竞争力。其浮点成本优势强烈依赖于问题结构：当它们避免时间迭代或非线性迭代，或者预测约化的感兴趣量而非完整解场时，这种优势就会出现。额外的墙钟加速来自非常适合现代硬件的稠密张量运算。随着目标精度收紧，用神经算子达到所需精度变得越来越具有挑战性，而在此情形下经典求解器优于代理模型；因此，经典求解器对于验证和高精度计算仍将重要。\n9. 平均曲率流的动态 Ritz 投影与参数有限元的最优 ${\\bf L^2}$ 收敛性 Dynamic Ritz projection of mean curvature flow and optimal ${\\bf L^2}$ convergence of parametric FEM\n作者: Buyang Li, Rong Tang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-20\narXiv ID: 2609.23361v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.23361v1\n摘要翻译 中文标题: 平均曲率流的动态 Ritz 投影与参数有限元的最优 ${\\bf L^2}$ 收敛性\n摘要翻译: 本文提出了一种新方法，用于研究三维空间中闭曲面平均曲率流的参数有限元逼近的收敛性。在该方法中，误差分析通过将数值解与本文引入的平均曲率流的动态 Ritz 投影进行比较来进行，而不是与文献中通常使用的平均曲率流的插值进行比较。在 $L^2$ 和 $W^{1,p}$ 范数下建立了动态 Ritz 投影逼近平均曲率流的相关误差。利用这些结果，证明了闭曲面平均曲率流的参数有限元方法在 $L^\\infty(0,T;L^2)$ 范数下的最优阶收敛性，包括采用分片线性有限元的参数有限元方法的收敛性。\n10. 非线性 Schrödinger 方程的高阶质量、能量与动量守恒方法 High-order mass-, energy- and momentum-conserving methods for the nonlinear Schrödinger equation\n作者: Georgios Akrivis, Buyang Li, Rong Tang, Hui Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-20\narXiv ID: 2609.23344v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.23344v1\n摘要翻译 中文标题: 非线性 Schrödinger 方程的高阶质量、能量与动量守恒方法\n摘要翻译: 本文提出了一种新颖的 formulation 以及相应的时空有限元方法，用于模拟非线性 Schrödinger 方程的解。所提算法的一个主要优点是其内在能力，即在离散层面保持质量、能量和动量的守恒。这一点已对由全离散隐式格式确定的数值解得到证明。基于一种等价 formulation，本文提出了一种有效的迭代格式来求解该非线性系统；该等价 formulation 表明，对解使用 Newton 迭代，而对非线性系统中的 Lagrange 乘子不进行迭代。本文提供了大量数值算例，以验证所提算法在模拟一维 Ma-孤子和双孤子以及由非线性 Schrödinger 方程支配的二维孤子时的高阶收敛性，以及在保持质量、能量和动量守恒方面的有效性。数值结果表明，与不守恒这些量的方法相比，本文设计的质量、能量和动量守恒方法在长时间模拟中也显著减小了数值解的误差。\n11. 采用分片线性参数有限元的稳定化 BGN 方法用于曲线缩短流的超逼近与最优 $L^2$ 收敛性 Super-approximation and optimal $L^2$ convergence of the stabilized BGN method with piecewise linear parametric finite elements for curve-shortening flow\n作者: Genming Bai\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-20\narXiv ID: 2609.23326v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.23326v1\n摘要翻译 中文标题: 采用分片线性参数有限元的稳定化 BGN 方法用于曲线缩短流的超逼近与最优 $L^2$ 收敛性\n摘要翻译: 我们发展了一个双同伦论证，用于估计相容性泛函的离散物质时间导数。结合分部求和，当用法向误差速度作测试时，该论证给出相容性贡献的一个方向性超收敛估计。结合反向加权离散法向的超逼近，这些技巧建立了采用分片线性参数有限元的曲线缩短流稳定化 BGN 方法的投影误差 $L_t^\\infty H_x^1$ 超收敛性以及轨迹误差的最优 $L_t^\\infty L_x^2$ 收敛性。\n12. 面向扩散主导偏微分方程的 TASE 稳定化时间演化自然梯度方法 TASE-Stabilized Time-Evolving Natural Gradient Methods for Diffusion-Dominated PDEs\n作者: Zihao Shi, Dongling Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-19\narXiv ID: 2609.23054v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.23054v1\n摘要翻译 中文标题: 面向扩散主导偏微分方程的 TASE 稳定化时间演化自然梯度方法\n摘要翻译: 时间演化自然梯度 (TENG) 方法通过局部自然梯度迭代将时间离散目标状态投影到神经网络流形上，来演化时间相关偏微分方程的神经网络逼近。然而，对于刚性扩散主导问题，显式 Runge\u0026ndash;Kutta 方法面临严重的稳定性限制。高频扩散分量可能驱使级目标超出神经网络流形的局部可达区域，从而恶化局部最小二乘投影的条件数，并使参数更新失稳。我们提出 TASE\u0026ndash;TENG，它在投影之前对每个 Runge\u0026ndash;Kutta 级增量应用高稳定的显式算子 $T_p(hW_0)$，其中 $W_0$ 近似主导的刚性扩散算子。为了在无网格设置中构造该替代算子，我们发展了一个可学习算子，其局部相互作用系数由共享的依赖几何的神经规则生成。结构化分解强制满足离散自伴性、耗散性和常数保持性。该算子在离线阶段训练，并在在线积分期间保持固定，其中它仅用于 TASE 稳定化算子内部。在刚性扩散和反应\u0026ndash;扩散问题上的数值实验表明，在相同时间步长下，稳定性和精度得到提高，并且来自高频扩散模态的误差降低。学到的规则还允许在不同空间点分辨率下重构稳定化算子，而无需重新训练。\n13. NeSTR：面向高斯 SPDEs 的神经 $S$-变换重构 NeSTR: Neural S-Transform Reconstruction for Gaussian SPDEs\n作者: Nacira Agram, Fred Espen Benth, Jan Rems\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-09-19\narXiv ID: 2609.23001v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.23001v1\n摘要翻译 中文标题: NeSTR：面向高斯 SPDEs 的神经 $S$-变换重构\n摘要翻译: 我们提出了用于高斯随机偏微分方程（SPDEs）的神经 $S$-变换重构（NeSTR）。所学习的对象不是随机解本身，而是其在白噪声检验空间的一个有限维子空间上的 $S$-变换。对于 Wick 型 SPDEs，NeSTR 对受限 $S$-变换给出一个确定性参数化 PDE，并且随机解由该变换在原点处的 Taylor 系数恢复。因此，神经近似直接与解的 Wiener 混沌展开相联系。NeSTR 的主要创新点是将逆 $S$-变换重构原理与有限模态学习相结合：我们证明恢复的混沌系数的一致性，分离噪声模态误差、混沌截断误差、确定性求解器误差和神经近似误差，并给出受限变换的确定性学习表述。对加性随机热方程和乘性 Wick 热方程的数值实验表明，变换变量中的多项式谱表示为高阶混沌系数提供了稳定的获取途径。所得重构将依赖于方程的确定性系数场与可重用的 Gaussian\u0026ndash;Hermite 基分离。因此，NeSTR 学习一个解析生成函数，其导数恢复 Wiener 混沌系数，而不是直接学习随机轨迹。\n不相关论文（基本信息） 1. 多参数特征值问题的一种围道方法 A Contour Method for Multiparameter Eigenvalue Problems\n作者: Emil Graf, Alex Townsend\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24943v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24943v1\n摘要: Multiparameter eigenvalue problems arise in boundary value problems, stability analysis, and delay-differential equations. Despite their importance, existing methods either require solving extremely large global problems or rely on local iterative techniques that only recover a few eigenvalues at a time. In this work we develop the first contour method for analytic multiparameter eigenvalue problems. The key theoretical ingredient is a new residue formula for multivariate matrix-valued analytic functions, extending Beyn\u0026rsquo;s Keldysh-based residue theorem for meromorphic operator functions to several complex variables. Using this, we derive a multidimensional analogue of Beyn\u0026rsquo;s contour method that computes all the eigenvalues of a multiparameter eigenvalue problem contained in a prescribed region of $\\mathbb{C}^d$. The resulting algorithm targets eigenvalues in a region without constructing preposterously large matrices and is embarrassingly parallelizable. Numerical experiments demonstrate that we can now successfully solve large multiparameter problems arising in applications where existing approaches struggle.\n2. Rayleigh-残差流 I：正规矩阵 Rayleigh-Residual Flow I: Normal Matrices\n作者: Eric Shen\n类别: math.FA, math.DS, math.NA\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24901v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24901v1\n摘要: We study the squared Rayleigh-residual functional on complex projective space and its negative gradient flow. For an arbitrary complex matrix, every positive-residual critical point has a strictly descending tangent direction; consequently, the local minima are precisely the eigenlines. For normal matrices, we describe the critical set in terms of circles through spectral points and identify the amplitude dynamics with a replicator equation whose payoff matrix has rank at most four. This gives explicit logarithmic first integrals and a reduced representation of interior trajectories. We compute transverse escape rates near critical components and analyze how polynomial reweighting changes unstable coordinates. Finally, we distinguish local saddle trapping from concentration of Haar-distributed initial states and derive the density of the filtered ensemble. Numerical examples with random spectra and a Jordan block illustrate convergence, nonmonotone Rayleigh motion, and the improvement of finite-time spectral exploration by low-degree random polynomial filters.\n3. 一种用于时域阻抗壁的、耦合辅助微分方程的高阶虚拟点浸入边界方法 A high-order ghost-point immersed boundary method coupled with auxiliary differential equations for time-domain impedance walls\n作者: Abdoulaye Ouattara\n类别: physics.flu-dyn, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24785v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24785v1\n摘要: A ghost-point immersed boundary method is coupled with auxiliary differential equations to impose a locally-reacting impedance condition on a wall that does not conform to a Cartesian grid, in the framework of the linearized Euler equations. The ghost-point reconstruction follows the normal-stencil approach: an elliptical least squares cloud of fluid nodes is used to build a high-order polynomial along the local wall normal, which is then extrapolated onto the ghost points by one-dimensional La grange interpolation. The impedance, modeled as a massspringdamper oscillator, is advanced in time through two auxiliary state variables per ghost point, coupled to the reconstruction at every RungeKutta stage. The method is validated against exact and semi-analytical references on a flat immersed wall, a cylindrical wall reflecting an acoustic pulse, and a cylinder scattering a harmonic monopole. Convergence orders ranging from about three on the curved wall to about four and a half on the flat wall are measured, and a cross-check against an exact harmonic reference shows that a persistent offset observed against a semi-analytical reference is a property of that ref erence rather than of the coupled solver. A spectral stability analysis of the linearized semi-discrete operator further shows that the normal-stencil reconstruction reduces, without eliminating, a known instability that occurs when the immersed wall becomes tangent to the grid.\n4. 关于 GMRES 应用于三对角 Toeplitz 系统的容许行为的约束 Constraints on admissible behavior of GMRES applied to tridiagonal Toeplitz systems\n作者: Fei Chen, Kirk M. Soodhalter\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24751v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24751v1\n摘要: The result of Greenbaum and Strakoš that for a given set of eigenvalues, any convergence curve is possible [SIMAX 1996] and the subsequent parameterization of such matrix-right-hand side pairs $(A,\\mathbf{b})$ of Arioli, Pták, and Strakoš [BIT 1998] demonstrated that the behavior of the \\gmres could not be completely characterized by the eigenvalues of $A$ alone. In this paper, we consider how to use this theory to understand the admissible and attainable \\gmres behavior for matrices with constrained structure, focussing on non-Hermitian (non-symmetric) tridiagonal Toeplitz matrices. We show that Toeptliz structure necessarily constrains the how the theory from these papers can manifest but that a continuum of admissible behaviors is still attainable.\n5. 面向时空多重网络的基于边的Katz中心性 Edge-based Katz centralities for spatio-temporal multiplex networks\n作者: Kai Bergermann, Francesco Gravili, Valeria Simoncini, Martin Stoll\n类别: math.NA, cs.SI\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24638v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24638v1\n摘要: Katz centrality is a well-established measure to identify and rank the most important nodes in complex networks by means of a linear system solve. Recent works have developed notions of Katz centrality for temporal, i.e., time-evolving networks. Their drawback is that small changes in the network structure may drastically change centralities across large parts of the network. Moreover, an unproportional effort in the network science community has been devoted to the study of node-based quantities while edge-based measures are far less explored. In this manuscript, we introduce a novel failure-aware temporal multiplex network model for computing edge-based Katz centralities for spatial networks. This class of networks admits the use of the line graph as network representation. We use a block-triangular and -banded supra-adjacency matrix representation, modeling inter-layer connections as low-rank matrices, which assigns a spatially constrained emphasis on up- or downdated edges. These could represent, e.g., breakages of water/gas pipes or obstructions in street networks in real-time infrastructure monitoring applications. We analyze the structure of the of the block matrix inverse with respect to entry decay in the blocks above the block-diagonal. This gives rise to two truncation approaches that allow drastic computational runtime reductions at the cost of introducing a controlled truncation error. Numerical experiments on a range of real-world spatio-temporal networks of size up to $2\\cdot 10^8$ illustrate accuracy and efficiency with runtime gains of up to a factor of $679$.\n6. 逆热流的先验正则性与高阶扩散采样器的维度依赖复杂度 A priori regularity of the reverse heat flow and dimension-dependent complexity of higher-order diffusion samplers\n作者: Xixian Wang, Zhongjian Wang\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24622v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24622v1\n摘要: We establish arbitrary-order a priori regularity estimates for the reverse heat flow in the Ornstein\u0026ndash;Uhlenbeck setting, that is, for the probability-flow ODE of score-based diffusion models. For compactly supported, possibly singular targets satisfying a dimension-uniform doubling condition on supporting-cap masses, we bound the iterated material derivatives of the flow and their first spatial derivatives pointwise, with constants independent of the dimension $d$ and explicit in time and support radius. The proof rests on two ingredients: a spatially uniform bound on normal-direction posterior fluctuations, which is the only point where the geometry of the target enters, and a centered posterior-moment normal form closed under material differentiation. This algebraic structure, together with a weighted regularity calculus, yields quantitative bounds at every order, including the mixed space\u0026ndash;time directional derivatives required by Runge\u0026ndash;Kutta stages. As an application, for exact-score sampling stopped at forward time $δ\u003e0$, order-$p$ Taylor and explicit Runge\u0026ndash;Kutta schemes reach accuracy $\\varepsilon$ in $\\widetilde O(d^{1/p}\\varepsilon^{-1/p})$ steps in total variation, and the Taylor scheme in $\\widetilde O(d^{1/(2p)}\\varepsilon^{-1/p})$ steps in $W_2$.\n7. AWE：用于在 FP4 张量核心上以更少 GEMM 实现精确整数矩阵乘积的自适应权重编码 AWE: Adaptive Weight Encoding for Exact Integer Matrix Products with Fewer GEMMs on FP4 Tensor Cores\n作者: Shun-ichiro Hayashi, Daichi Mukunoki, Tetsuya Hoshino, Takahiro Katagiri\n类别: cs.MS, cs.AR, math.NA\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24519v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24519v1\n摘要: Emulation of high-accuracy floating-point matrix multiplication, as in the Ozaki scheme, splits the inputs into low-precision components and multiplies them pairwise. These products must be error-free, and each is an integer matrix product times a scale factor. FP4 Tensor Cores are the fastest on the NVIDIA B200 and B300 but cannot hold INT8 operands. The FP4 values scaled by 2 form the set $S = \\{0, \\pm1, \\pm2, \\pm3, \\pm4, \\pm6, \\pm8, \\pm12\\}$, which contains every residue modulo 13, so with carries any integer splits into base-13 digits that FP4 can store. Prior work splits each INT8 operand into 3 such digits (limbs) with weights $(1, 13, 169)$ and multiplies them pairwise, 9 FP4 matrix multiplications (GEMMs) for INT8$\\times$INT8. The classical ways to reduce products, such as the Karatsuba and Toom\u0026ndash;Cook methods, do not apply as they stand: sums of limbs reach $\\pm 24$ and leave $S$. This paper asks how many FP4 GEMMs are needed for one integer matrix product. We propose Adaptive Weight Encoding (AWE): the limbs take freely chosen integer weights, the stored planes are linear combinations of limbs, and the exact product is the sum of the FP4 GEMMs scaled by reconstruction coefficients. For each input range, we searched these choices for encodings with fewer products and found INT8$\\times$INT8 in 6 products and INT4$\\times$INT8 in 4. The formulation also holds modulo $m$, which covers the residue number systems of Ozaki scheme II: for the FP64 significand, the 75 products of prior work are reduced to 59. The boundary in product count between encodings with and without residues lies near input width 15. We release the encodings found.\n8. 混合精度DEIM-CUR分解的误差分析与精度选择 Error Analysis and Precision Selection for Mixed-Precision DEIM-CUR Decompositions\n作者: Ioannis Thanasis, Erin Carson\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24509v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24509v1\n摘要: CUR approximation is a popular approach for constructing an interpretable low-rank approximation of a matrix. There are many approaches for constructing the CUR approximation, many of which are based on the SVD. Results in the literature bounding the quality of the approximation usually rely on the assumption that all or part of the SVD is computed exactly. In this work, we relax this assumption and show how the quality of the approximation is affected by an inexact SVD. Moreover, we analyze the effect of finite precision arithmetic on the DEIM-CUR method. Our analysis suggests guidelines for selecting the working precisions for the SVD and the DEIM index selection algorithm. In particular, it suggests that in many cases one can use very low precisions for these computations without significantly impacting the approximation quality. A set of numerical experiments is presented to demonstrate the theoretical results.\n9. 基于熵的选择原理在开尔文-亥姆霍兹不稳定性示例中的数值实现 Numerical Realization of an Entropy-Based Selection Principle in the Example of Kelvin-Helmholtz Instability\n作者: Shaoshuai Chu, Michael Herty\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24479v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24479v1\n摘要: In this paper, we extend numerical schemes based on parameterized Young measures and linear programming to two space dimensions and apply them to the Kelvin-Helmholtz instability governed by the two-dimensional Euler equations of gas dynamics. We construct first-, second-, third-, fifth-, seventh-, and ninth-order Young-measure schemes and compare them with corresponding standard local Lax-Friedrichs (LLF) flux-splitting schemes and LLF schemes equipped with an entropy-based local characteristic decomposition (LLF-ELCD). We examine instantaneous and time-averaged density profiles, cumulative averages across spatial reconstruction orders, regional empirical density distributions, averaged density marginals, and several selection criteria for dissipative weak solutions. The numerical results reveal scheme-dependent flow patterns, particularly in the small-scale structures generated during the roll-up of the shear layers. At every reconstruction order considered, the Young-measure schemes yield the largest time-averaged physical entropy. By contrast, the LLF-ELCD schemes do not systematically yield larger entropy than the standard LLF schemes and therefore do not constitute a consistent maximum-entropy selection mechanism. The averaged density marginals of the Young measures are concentrated on several neighboring density states, and the later cumulative averages are closer for all Young-measure schemes. These results demonstrate the feasibility of the two-dimensional Young-measure formulation and show that the objective function in the linear-programming problem can act as an effective selection mechanism. The observed entropy preference is consistent with the local optimization of the expected physical entropy. It cannot be reproduced by merely incorporating entropy into a conventional numerical construction.\n10. 由线性热孔隙弹性支配的分布最优控制问题的数值逼近 Numerical approximation of distributed optimal control problems governed by linear thermo-poroelasticity\n作者: Jeonghun J. Lee\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24448v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24448v1\n摘要: In this paper, we propose and analyze a novel three-field symmetric formulation for optimal control problems governed by linear thermo-poroelasticity. The state variables are the solid displacement $\\boldsymbol{u}$, the fluid pressure $p$, and the temperature $θ$, and both the distributed fluid source $m_p$ and the distributed heat source $m_θ$ serve as control variables. We prove well-posedness of the symmetric differentiated formulation, establish the existence and uniqueness of an optimal control pair $(\\bar{m}_p,\\bar{m}_θ)$, and derive the first-order necessary optimality conditions via a coupled three-field adjoint system. For the fully discrete scheme based on dG(0) time discretization, we employ a variational discretization approach for both controls and derive a priori error estimates of order $\\mathcal{O}(h^s + Δt)$ for the state, adjoint, and control errors. We also present manufactured-solution experiments that validate the fully discrete optimality system and illustrate the storage-degenerate regime covered by our analysis.\n11. 面向 Navier\u0026ndash;Stokes 流的自编码器与数值分析指导的流形学习对比 Autoencoders vs. Numerical Analysis\u0026ndash;Informed Manifold Learning for Navier\u0026ndash;Stokes Flows\n作者: Alessandro Della Pia, Lucia Russo, Ioannis Kevrekidis, Constantinos Siettos\n类别: math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24332v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24332v1\n摘要: Autoencoders (AEs) have become a dominant approach to nonlinear latent-space construction in data-driven reduced-order modelling (ROM), with their decoders lifting latent representations back to the ambient state space. Their prominence, however, has overshadowed an established alternative: manifold-learning methods grounded in classical numerical analysis. We revisit this alternative using Parsimonious Diffusion Maps (PDMs), benchmarking them against Proper Orthogonal Decomposition (POD)-based ROMs and several convolutional AE architectures for the two-dimensional incompressible flow past a rotating cylinder \u0026mdash;a bifurcating Navier-Stokes (NS) system organized by a codimension-2 Bogdanov-Takens point and its associated Hopf, saddle-node, and homoclinic bifurcations. Our approach uses PDMs to identify a parsimonious and interpretable set of intrinsic latent coordinates and to estimate their dimension directly from data. Gaussian process regression then learns the latent dynamics, while convex K-nearest-neighbor (K-NN) interpolation in PDMs space constructs the pre-image map, for which we establish pointwise consistency. The resulting nonlinear ROM substantially outperforms POD-based ROMs and achieves reconstruction and prediction accuracy comparable to \u0026mdash;and, in some bifurcating regimes, better than\u0026mdash; that of AE-based ROMs. At the same time, latent-variable learning with PDMs requires orders of magnitude less computational time than AE training.\n12. 体积约束非局部扩散问题有限元离散的网格与作用半径鲁棒预条件子 A mesh- and horizon-robust preconditioner for finite element discretizations of volume-constrained nonlocal diffusion problems\n作者: Jiashu Lu, Yufeng Nie, Haolun Zhang, Pingrui Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24143v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24143v1\n摘要: In this paper, we develop a preconditioner that is robust with respect to both the mesh size and the interaction horizon for finite element discretizations of volume-constrained nonlocal diffusion problems. Motivated by the Fourier multiplier of the nonlocal operator, we construct the preconditioner $B_h=G_h+βδ^2D_h^{-1}$, where $G_h$ is a symmetric local Poisson solver, $D_h$ is the lumped mass matrix, and $β$ is a kernel-dependent constant. We rigorously prove that the spectrum of the $B_h$-preconditioned system is bounded above and away from zero uniformly with respect to the mesh size and horizon. Moreover, we develop a pair-cell assembly for the finite element matrix that preserves the symmetry and positive definiteness required by the preconditioner and PCG, and establish an $L^2$-error estimate for the finite element discretization. Finally, we use a single symmetric geometric multigrid V-cycle for $G_h$ in the numerical experiments, and the corresponding numerical results confirm the predicted convergence rate and show bounded condition numbers and PCG iteration counts over the tested meshes, horizons, and kernels.\n13. 浸入式流动分析中的精确壁面剪应力及其在基于点云的CFD中的应用 Accurate wall shear stress in immersed flow analysis with application to point cloud-based CFD\n作者: Monu Jaiswal, Ming-Chen Hsu\n类别: math.NA, cs.CE, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.24069v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.24069v1\n摘要: Point cloud-based CFD enables flow analysis directly on discrete points obtained from 3D scanning and medical imaging, bypassing surface reconstruction, geometry cleanup, and boundary-fitted mesh generation. Derived from immersogeometric analysis, the method immerses the point cloud in a background mesh and enforces no-slip conditions on discrete points through a Nitsche-based weak boundary condition (BC). The framework delivers accurate velocity fields, pressure distribution, and integrated loads; however, accurate prediction of the local wall shear stress (WSS) has remained a critical challenge. The geometry intersects the background mesh arbitrarily, producing cut elements that lack the regularity required for consistent gradient evaluation. The issue is compounded by the stabilization term of the weak BC, whose parameter estimation in the symmetric Nitsche formulation is dependent on the cut configuration and affects the variationally consistent definition of traction from which the WSS is computed. In this work, we propose a new method to obtain accurate wall shear stress in immersed flow analysis with application to point cloud-based CFD, using a non-symmetric Nitsche\u0026rsquo;s formulation with near-wall modeling and a patch-based stress recovery approach with traction compatibility. The method is validated on canonical benchmarks and applied to turbulent flow past a sphere and to a patient-specific aorta, showcasing excellent agreement with reference results.\n14. MGRD：用于方差感知跨域神经突起预测的紧凑形态门控残差扩散 MGRD: Compact morphology-gated residual diffusion for variance-aware cross-domain neurite forecasting\n作者: Tsung Yeh Hsieh, Cosmin Anitescu, Chunghwan Kim, Victoria A. Webster-Wood, Yongjie Jessica Zhang\n类别: cs.LG, math.NA, physics.bio-ph\n发布日期: 2026-09-21\narXiv ID: 2609.23990v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.23990v1\n摘要: Tracking neurite morphology over time helps characterize structural changes during neuronal development and deterioration, but long-term time-lapse imaging is resource-intensive and difficult to scale. Forecasting future morphology could reduce this burden. Existing neurite digital-twin models such as gated spatiotemporal attention (gSTA) produce a single deterministic forecast without representing variability among plausible futures. We introduce Morphology-Gated Residual Diffusion (MGRD), a compact stochastic surrogate that jointly forecasts twenty future neurite-morphology frames from ten observed frames while conditioning on morphology features derived from the latest observation. On controlled phase-field trajectories, MGRD reduces trajectory-wise mean MAE by 9.7% relative to a matched control while updating 4.46 times fewer parameters. On human iPSC-derived neuron microscopy, MGRD improves all four reported metrics over gSTA, including a 39.6% reduction in trajectory-wise mean MAE and a 45.3% increase in skeleton F1. Without mouse-domain retraining or fine-tuning, MGRD also improves MAE and skeleton F1 on mouse cortical-neurosphere microscopy across 10-40-min sampling intervals and forecast horizons beyond 13 hours. Repeated sampling provides a case-level variance score for ranking forecast difficulty. Retaining approximately 60% of the lowest-variance cases reduces mean MAE by 17.6% on iPSC microscopy and 16.8% on simulation data. MGRD uses 1.01% of gSTA\u0026rsquo;s parameters, requires less than one tenth of its training-update time, and generates a 50-step DDIM trajectory 7.9% faster when morphology features are cached. These results establish MGRD as a compact stochastic surrogate for neurite-morphology forecasting and case prioritization across simulation and microscopy datasets.\n15. 带局地化的集合卡尔曼滤波的时间一致精度 Time-uniform accuracy of ensemble Kalman filters with localization\n作者: Xiaoou Cheng, Daniel Sanz-Alonso, Nathan Waniorek\n类别: math.NA, math.DS, math.OC, math.ST\n发布日期: 2026-09-20\narXiv ID: 2609.23927v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.23927v1\n摘要: This paper establishes time-uniform accuracy guarantees for deterministic square-root ensemble Kalman filters in linear\u0026ndash;Gaussian state-space models under perfect-model dynamics. For hyperbolic, detectable systems, we prove that the ensemble means and covariances approximate their Kalman filter counterparts uniformly in time, with high probability and without inflation or resampling. The required ensemble size depends on the effective rank of the initial covariance and the dimension of the unstable subspace, rather than on the ambient state dimension. We also analyze a localized square-root ensemble Kalman filter for weakly coupled spatial systems. We show that the stabilizing Kalman covariance inherits spatial decay from the dynamics and derive accuracy bounds that separate sampling error from localization bias. For the localized filter, the required ensemble size depends on the local intrinsic dimension and only logarithmically on the number of spatial blocks, while the localization bias scales with the interaction strength. Our analysis combines stability and forgetting for possibly singular Riccati recursions, nonasymptotic covariance concentration, and perturbation estimates for localized covariance dynamics.\n16. 半直线上函数在加权一致度量下的数值微分 Numerical differentiation of functions on the half-line in a weighted uniform metric\n作者: S. G. Solodky, Y. A. Volynets\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-20\narXiv ID: 2609.23833v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.23833v1\n摘要: We consider the problem of numerical differentiation of functions defined on the half-line: the derivative $f^{(r)}$, $ r=1,2,\\ldots$, is recovered from a finite set of perturbed Fourier\u0026ndash;Laguerre coefficients of a function $f$, whose error is measured in $\\ell_p$, while the accuracy of approximation is measured in the uniform metric with the weight $t^αe^{-t}$. It is established that the Wiener class $W^μ_{s}$ admits such a setting for $μ\u003er+1-1/s$. A class of methods $\\mathcal{S}^θ$ is constructed that realize the optimal order of accuracy of numerical differentiation on $W^μ_{s}$ and use the smallest amount of input information in order.\n17. CUR 逼近的盲误差估计 Blind error estimation for CUR approximation\n作者: Lorenzo Lazzarino, Katherine J. Pearce, Nathaniel Pritchard\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-20\narXiv ID: 2609.23810v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.23810v1\n摘要: Low-rank approximation is a fundamental tool for scalable matrix computations. While such approximations have classically been formed via the truncated SVD, recent advances in randomized numerical linear algebra have produced methods of comparable accuracy at a fraction of the cost. A key advantage of these approaches is their ability to operate with limited access to the full matrix. A prominent example is the CUR decomposition, which builds an approximation from only a subset of columns and rows, making it particularly well-suited to settings where global matrix access is unavailable, such as in the design of spectro-microscopy experiments where even matrix-vector products cannot be computed. However, the randomness inherent to these methods introduces a key challenge: efficiently assessing approximation accuracy under the stringent constraint that only a subset of matrix entries can be observed. We derive a \u0026ldquo;blind\u0026rdquo; estimator of the Frobenius error of a CUR decomposition. For this estimator, we derive a worst-case lower bound on the number of required column queries, and provide techniques for quantifying its uncertainty. Finally, we demonstrate the performance of the estimator and the uncertainty sets on a mix of synthetic problems and real spectro-microscopy examples.\n18. ELIPPS：基于部分自监督的反问题精确学习 ELIPPS: Exact Learning for Inverse Problems from Partial Self-supervision\n作者: Benjamin Walder Markus Haltmeier, Lukas Neumann, Nadja Gruber, Gyeongha Hwang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-20\narXiv ID: 2609.23683v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.23683v1\n摘要: In undersampled inverse problems (such as sparse-view computed tomography), only a small number of measurements are collected, which reduces radiation exposure and acquisition time and cost, and can also address the inaccessibility of certain acquisition arrangements. Most learning-based methods for such problems require supervision in the form of fully sampled measurements and ground-truth images, which are costly or even infeasible to acquire. To overcome this issue, we propose \\emph{Exact Learning for Inverse Problems from Partial Self-supervision} (ELIPPS), an incomplete self-supervised training paradigm for undersampled inverse problems that requires neither ground-truth images nor fully sampled measurements. ELIPPS learns solely from incomplete forward measurements on a fixed incomplete supervision set. Our theory shows that when the data distribution is invariant under certain transformations, minimizing a masked empirical risk is equivalent to minimizing the full self-supervised risk, i.e. the risk against the complete, noise-free measurement. The equivalence is exact for arbitrary equivariant hypothesis classes and holds for signal-dependent noise such as the pre-log Poisson statistics of low-dose tomography, and for the log-transformed count model up to a quantifiable bias. When the underlying coverage condition is only approximately satisfied on a discrete grid, we give a stability estimate in terms of the associated frame constants and the irreducible error of the inverse problem. We realize ELIPPS for computed tomography by exploiting rotation and reflection invariance. In our experiments, ELIPPS substantially outperforms naive masked supervision and reaches the same order of accuracy as a reference model trained with full clean measurements.\n19. 具有play型Prandtl\u0026ndash;Ishlinskii迟滞的抛物型方程的数值分析 Numerical analysis of parabolic equations with Prandtl\u0026ndash;Ishlinskii hysteresis of play type\n作者: Shu Xu, Liqun Cao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-20\narXiv ID: 2609.23676v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.23676v1\n摘要: Rigorous error analysis for numerical approximations of parabolic equations with hysteresis remains limited, even for the widely used Prandtl\u0026ndash;Ishlinskii hysteresis of play type. In this work, we establish an $O(h+τ)$ error bound for an implicit Euler $P_1$ finite element discretization. The analysis requires neither higher-order temporal regularity of the hysteresis variables, which cannot in general be expected in hysteretic evolutions, nor additional spatial regularity of these variables. For the temporal discretization, we exploit a convex subgradient-flow structure in a weighted Hilbert space together with the associated dissipation and coercive subgradient remainder to obtain first-order convergence. For the spatial discretization, only the diffusive field is restricted to the finite element space, and a constraint-preserving comparison yields an $O(h)$ semidiscrete estimate. The analysis is developed for play-type Prandtl\u0026ndash;Ishlinskii operators formulated directly on a spatial Hilbert space, encompassing the canonical pointwise model as well as more general spatially structured constraints.\n20. 对流占优扩散问题的一种新颖单调有限体积元格式 A novel monotonous finite volume element scheme for convection dominant diffusion problem\n作者: Cunyun Nie, Xiaoling Chen, Zhujun wang, Zhikun Tian, Chengjie Xia\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-20\narXiv ID: 2609.23546v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.23546v1\n摘要: One novel monotonous finite volume element (MFVE) scheme is put forward for convection dominant diffusion problem. The main contributions of this paper include four aspects. Firstly, one upwind sub-control volume, called upwind volume, is introduced for the discretization of the convection term similar to the upwind element, which leads to the upwind property. Secondly, one first-order linear discrete operator for the convection term in the balance equation is directly obtained by numerical integration in upwind volume, which is different from the classical finite volume methods.Thirdly, one asymptotic expansion of gradient functions in the dual element of each node is derived by one extension interpolation function. Then, one second-order nonlinear discrete operator for the convection term is constructed by the asymptotic expansion and error estimation of its FVE solution, where some perturbed coefficients are skillfully put into the expansion, which serves as a high-order correction. Fourthly, one novel two-order MFVE scheme, also accompanied by another one-order MFVE, is designed for convection-dominated diffusion problems together with one positivity-preserving finite volume element (PFVE) discrete diffusive operator. The L2 norm of the error of the approximate solution is derived. Finally, numerical results validate theoretical conclusions.\n21. 反演基于通路的 Keller\u0026ndash;Segel 模型中时空依赖的扩散与对流系数 Recovering the spatiotemporally dependent diffusion and advection coefficients in a pathway-based Keller\u0026ndash;Segel model\n作者: Yu\u0026rsquo;an Li, Lingyun Qiu, Min Tang, Hui Yu, Shenwen Yu, Siqin Zheng\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-09-20\narXiv ID: 2609.23364v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.23364v1\n摘要: We investigate an inverse coefficient problem for an augmented Keller\u0026ndash;Segel model arising in the description of phototactic and chemotactic population dynamics. The spatiotemporal evolution of the population density is governed by an advection-diffusion equation in which both the diffusion coefficient and the advection coefficient depend on space and time. Due to the underlying intracellular adaptation mechanism, even in a time-independent external environment, the diffusion coefficient (D(x,t)) and the scalar advection coefficient (K(x,t)) remain time-dependent and relax exponentially toward their respective steady-state profiles. Importantly, their relaxation is governed by the same rate, determined by the intracellular adaptation dynamics. From internal measurements of the density, we establish conditional Lipschitz stability for recovering either coefficient when the other is known, and derive cross-sensitivity estimates quantifying the compensation between diffusion and advection perturbations that produce the same density data. We further identify a finite-time separation between the transient and steady regimes: the full dynamics admit an exponentially accurate frozen-coefficient approximation at late times. When the steady-state coefficients are known, we also prove unique identification of the relaxation rate from the long-time behavior of the solution. Finally, we derive an explicit linearization of the forward map and, motivated by the temporal separation above, develop a two-stage gradient-based reconstruction strategy. Numerical experiments demonstrate the feasibility of the proposed method.\n22. Lagrange 有限元函数的稀疏连接神经网络表示 Sparsely connected neural network representation of Lagrange finite element function\n作者: Jiaxiong Hao, Yunqing Huang, Nianyu Yi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-20\narXiv ID: 2609.23299v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.23299v1\n摘要: We construct a mesh-induced sparsely connected neural network framework that exactly reproduces arbitrary-order Lagrange finite element spaces over simplicial meshes. Unlike conventional black-box neural surrogates, the proposed network architecture is fully dictated by finite element discretization rules: local computations stem from simplex geometry and barycentric coordinate transformations, while global consistency is enforced through shared degrees of freedom. For linear Lagrange elements, local basis functions are directly implemented via affine barycentric layers, and high-order polynomial bases are explicitly decomposed into barycentric product compositions realized by specially designed $\\mathrm{ReLU}^p$ modules. Equipped with element indicator branches and multiplication units, these modular local components are globally assembled into a sparsely connected neural network whose function space coincides exactly with the target finite element space, thereby inheriting the complete classical finite element approximation theory. By prescribing customized backward differentiation rules for piecewise activations, function values and their spatial gradients can be simultaneously extracted via automatic differentiation within a unified computational graph, eliminating the separate gradient calculation subroutines required in standard finite element implementations. Numerical experiments verify the accuracy of the neural network representation of Lagrange finite elements. Furthermore, by virtue of the intrinsic mesh-free nature of this neural network representation, finite element functions can be interpolated between non-matching meshes, and the proposed scheme can be applied to adaptive finite element methods for solving parabolic partial differential equations. An open-source code implementation of the proposed architecture is made publicly available.\n23. K-格上三维镜像模型中的路由与记忆 Routing and memory in the three-dimensional mirror model on K-lattice\n作者: Jian Gu, Paul Schaeffer, Qin Hao\n类别: math-ph, math.NA\n发布日期: 2026-09-19\narXiv ID: 2609.23244v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.23244v1\n摘要: We study numerical observables relevant to delocalization in the three-dimensional Manhattan mirror model, also known as the K-lattice. Our principal experiment separates the locations of transmitting boundary channels from the routing between them. We derive an exact conditional comparison that preserves all transmission and reflection aperture sets, and find a statistically resolved deficit of physical transmission relative to this comparison. Nearby transmitting channels are themselves suppressed relative to a uniform subset with the same cardinality. A second experiment resolves the contribution of repeated vertices by their return age. The squared norm of the signed old-memory remainder is consistent with an inverse-square-root decay over the measured range. Annular experiments quantify decreasing continuation losses, while an initially apparent history dependence fails independent replication. Finally, a periodic configuration has a connected auxiliary contact graph but only finite routing cycles. These results identify estimates on reflection routing and adaptively selected revisit charges that may assist a rigorous proof. They do not establish an infinite-volume delocalized phase.\n24. Landau 方程的一种快速谱粒子方法 A fast spectral particle method for the Landau equation\n作者: Giacomo Borghi, Lorenzo Pareschi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-19\narXiv ID: 2609.23086v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.23086v1\n摘要: We propose a fast deterministic particle method for the spatially homogeneous Landau equation. The method combines a particle representation of the solution with a Fourier approximation of the nonlinear collision flux. Nonuniform fast Fourier transforms are used to reconstruct the density from the particles and to evaluate the flux and density at the particle locations, while the convolutional structure of the flux enables its efficient computation by FFTs. For a fixed transform tolerance, the cost per time step is $\\mathcal{O}(N+M^d\\log M)$, where $N$ is the number of particles and $M$ the number of Fourier modes per velocity dimension. We establish a consistency estimate for the reconstructed velocity field on regions where the reference density is bounded away from zero. The estimate separates the spectral truncation error from the particle-density reconstruction error, showing how the latter can dominate for sufficiently smooth densities. Two-dimensional numerical experiments with Maxwellian interactions illustrate the accuracy and efficiency of the method, its sensitivity to particle and spectral resolution, and the effects of filtering. Comparisons with a direct blob implementation demonstrate improved accuracy at a strongly reduced computational cost.\n25. 具有多个临界点的哈密顿快速平流下指数 Euler 方法的渐近保持性 Asymptotic preservation of an exponential Euler method under Hamiltonian fast advection with multiple critical points\n作者: Jianbo Cui, Guozhen Li, Derui Sheng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-19\narXiv ID: 2609.23045v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.23045v1\n摘要: We establish the asymptotic-preserving property of the exponential Euler method for stochastic reaction-diffusion-advection equations in $\\mathbb R^2$ under fast Hamiltonian advection with multiple critical points. In the fast-advection limit, the dynamics reduces to a stochastic partial differential equation on a noncompact metric graph. A key ingredient is the strong convergence analysis of the limiting exponential Euler scheme, which is complicated by the graph\u0026rsquo;s noncompactness, its multiple edges and vertices, and the nonuniform ellipticity and vertex degeneracy of the graph operator. Using a weighted $L^2$ framework and analytic-semigroup smoothing estimates, we prove a temporal convergence order arbitrarily close to $1/2$ for weighted $L^2$ initial data and exactly $1/2$ under a half-order fractional-domain condition. Combining these estimates with the fast-advection limits yields the asymptotic-preserving property in the multiple-critical-point setting. Numerical experiments illustrate the asymptotic behavior and confirm the predicted temporal convergence rate.\n26. 多面体网格上的拉链有限元方法 The Zipped Finite Element Method on polyhedral meshes\n作者: Stefano Berrone, Gioana Teora\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-19\narXiv ID: 2609.22955v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.22955v1\n摘要: We extend the high-order Zipped Finite Element Method to three-dimensional polyhedral elements. The construction relies on a local sub-tetrahedralization obtained by triangulating the polygonal faces and connecting the resulting vertices to a suitable interior point. High-order shape functions are constructed as linear combinations of standard finite element basis functions, with coefficients chosen to ensure exact polynomial reproduction on the faces and in the element interior while preserving global C0-conformity. We further introduce a QR-based strategy as a systematic alternative to the heuristic procedure that was adopted for the two-dimensional case. The QR-strategy is more systematic and robust than the heuristic strategy, while being independent of the spatial dimension and avoiding geometric alignment tests and problem-dependent tolerances. The resulting method is formulated for a diffusion-reaction problem and numerically assessed through three-dimensional convergence tests, confirming the expected optimal polynomial order of accuracy.\n27. 渐近保持指数积分器在双曲型 Korteweg-de Vries 系统中的应用 Asymptotic-Preserving Exponential Integrators applied to the Hyperbolic Korteweg-de Vries System\n作者: Abhijit Biswas, Sebastiano Boscarino, David I. Ketcheson, Giovanni Russo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-19\narXiv ID: 2609.22864v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.22864v1\n摘要: We study the application of exponential time integration methods, coupled with Fourier pseudospectral space discretization, to the hyperbolic Korteweg-de Vries (KdVH) system. We investigate the asymptotic preserving (AP) properties of such discretizations, showing that, in general, Lawson methods are not asymptotic preserving, because the auxiliary (derivative-approximating) variables do not satisfy the limit equilibrium manifold, whereas exponential time differencing (ETD) methods are AP for all components, including both the solution variable and the auxiliary variables. We also present an efficient numerical implementation based on an exact formula for the matrix exponential of this system, and compare it with previously-proposed ImEx Runge-Kutta time integration, showing that exponential methods can be competitive in this context.\n28. 基于切比雪夫级数展开的高效严格延拓 I Efficient Rigorous Continuation via Chebyshev Series Expansion I\n作者: Maxime Breden, Olivier Hénot\n类别: math.NA, math.DS\n发布日期: 2026-09-19\narXiv ID: 2609.22689v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.22689v1\n摘要: We study the global continuation of solution manifolds arising in dynamical systems. We present a rigorous continuation method based on a Chebyshev series expansion of the solution manifold. The branch is first approximated by a high-order Chebyshev interpolation polynomial, and an explicit error bound is then obtained by verifying the contraction of a quasi-Newton operator near this approximation. The contraction is formulated on a weighted $\\ell^1$ space, giving a finer control than the typical $C^0$-error bound obtained from the uniform contraction theorem. In fact, the latter follows directly from our contraction operator. Furthermore, we discuss how our strategy applies naturally to pseudo-arclength continuation, where the continuation parameter fails to provide a valid local coordinate, and extends to multi-parameter continuation. Lastly, we detail two applications in which we compute a two-parameter family of steady-states for the Cahn\u0026ndash;Hilliard equation, and a one-parameter family of steady-states undergoing saddle-node bifurcations for the Shigesada\u0026ndash;Kawasaki\u0026ndash;Teramoto system.\n29. 悬臂剪切作用下加筋板的单元相关屈曲载荷 Element-dependent buckling loads of stiffened panels under cantilevered shear\n作者: Lifeng Wang, Zhongli Qiu, Xuanhao Cheng, Run Du, Wenming Cheng, Min Xie, Xiong Rao\n类别: cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-09-19\narXiv ID: 2609.22656v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.22656v1\n摘要: The linearized buckling load of a stiffened panel depends on the stress stiffness its shell element assembles. We read it from exported operators against three truncations of one second variation. The classic pass of ANSYS SHELL181 carries a rotation-rotation block pairing the drilling freedom with the bending rotations and its perturbation pass does not; removing the block recovers the perturbation load factor to 0.02%. SHELL281 carries block and couplings in both passes. Abaqus S4 matches the critical mode of the complete second variation to 1.0000 on the translations and its load factor to 1.7%, against 17% and 34% for the other two forms. On an optimized panel under cantilevered shear a 20-node continuum lies 3% to 6% above that form, S4 and SHELL281, 11% and 23% below both SHELL181 passes and 25% above Abaqus S8R, at the finest meshes. On a conventionally stiffened panel the SHELL181 passes stand 1.0% and 3.5% above the complete form, 9% and 21% at half the rib pitch; under a shear flow, on cylinders, open beams and under axial compression the three forms coincide and no pass parts by more than 0.3%.\n30. 更新：谱集：数值域及其他 Update to: Spectral sets: Numerical range and beyond\n作者: Michel Crouzeix, Anne Greenbaum\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-18\narXiv ID: 2609.22460v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.22460v1\n摘要: We use the results of Lorist and Schwenninger, {\\em A solution to Crouzeix\u0026rsquo;s conjecture}, arXiv:2608.03841v2, https://arxiv.org/abs/2608.03841, to update the 2019 paper of Crouzeix and Greenbaum, {\\em Spectral sets: Numerical range and beyond}, SIAM J.~Matrix Anal.~Appl., 40(3):1087-1101. For all regions considered in the 2019 paper, we are able to show that the region is a $K$-spectral set with a bound on $K$ that is smaller than that established in the 2019 paper. In particular, we show that various annular regions are $2$-spectral sets and that a more general convex region with a circular hole or cutout is a $4$-spectral set.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-22_14-32-39/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月22日 14:32:39\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 13\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 30\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-时域中理想导体电磁散射的区域导数\"\u003e1. 时域中理想导体电磁散射的区域导数\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eA Domain Derivative for Electromagnetic Scattering by Perfect Conductors in the Time Domain\u003c/p\u003e","title":"2026年09月22日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年09月21日 16:21:46\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 8\n不相关论文数量: 8\n重点关注论文（完整分析） 1. Helmholtz 传输特征值问题的等几何分析 Isogeometric analysis for the Helmholtz transmission eigenvalue problem\n作者: Nizheng Liao, Guanghui Hu, Xucheng Meng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-18\narXiv ID: 2609.21862v1\n摘要翻译: 传输特征值问题在逆散射理论中发挥着越来越重要的作用。尽管过去二十年来在该问题的高效数值方法开发方面已取得显著进展，但对于 $\\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 中的弯曲区域，其数值处理仍然具有挑战性。本文中，我们引入并分析了一种几何灵活且 $H^2$-协调的等几何方法，用于求解由 Helmholtz 传输特征值问题产生的一个四阶、二次且非自伴的特征值问题。利用紧非自伴算子的谱逼近理论，我们推导了离散特征值和特征函数的最优误差估计。给出了二维和三维基准问题的数值结果，包括定义在弯曲区域中的问题，以验证我们的理论结果，并展示该方法在精度和几何灵活性方面相较于现有数值方法的优势。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.21862v1\n1. 研究对象和背景 本文研究非齐次介质中 Helmholtz 方程的透射特征值问题及其等几何数值离散. 设 $\\Omega \\subset \\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 是有界开区域, 边界 $\\partial\\Omega$ Lipschitz 连续, $\\nu$ 为单位外法向. 折射率 $n:=n(x)\\in L^\\infty(\\Omega)$ 满足 $n(x)-1\\ge \\alpha$ a.e. 于 $\\Omega$, 其中 $\\alpha\u003e0$ 为常数; 当 $n$ 严格小于 1 时, 理论分析可作明显修改后成立. 透射特征值问题寻求 $k\\in\\mathbb{C}$ 和非平凡对 $(u_1,u_2)\\in L^2(\\Omega)\\times L^2(\\Omega)$, 且 $u_1-u_2\\in H^2(\\Omega)$, 使得 $$\\begin{cases} \\Delta u_1 + k^2 n u_1 = 0 \u0026 \\text{in } \\Omega,\\\\ \\Delta u_2 + k^2 u_2 = 0 \u0026 \\text{in } \\Omega,\\\\ u_1-u_2 = 0 \u0026 \\text{on } \\partial\\Omega,\\\\ \\frac{\\partial u_1}{\\partial \\nu}-\\frac{\\partial u_2}{\\partial \\nu}=0 \u0026 \\text{on } \\partial\\Omega. \\end{cases}$$ 该问题起源于 Colton-Monk 与 Kirsch 的工作, 在逆散射理论中具有核心地位. 透射特征值可由散射数据确定, 并用于估计散射体的物理性质, 因而在目标识别、无损检测和隐形材料设计中有重要应用. 与标准椭圆特征值问题不同, 该问题是四阶、二次且非自伴的, 不满足标准椭圆特征值问题的自伴谱理论, 分析上较为困难, 因此数值方法成为估计透射特征值的重要工具. 令 $u=u_1-u_2\\in H^2_0(\\Omega)$, 其中 $H^2_0(\\Omega)=\\{u\\in H^2(\\Omega),\\, u=\\partial u/\\partial\\nu=0 \\text{ on } \\partial\\Omega\\}$, 则上述耦合二阶系统可等价改写为四阶特征值问题 $$(\\Delta+k^2 n)\\left[\\frac{1}{n-1}(\\Delta+k^2)u\\right]=0 \\quad \\text{in } \\Omega, \\qquad u=\\frac{\\partial u}{\\partial\\nu}=0 \\quad \\text{on } \\partial\\Omega.$$ 乘以测试函数 $v\\in H^2_0(\\Omega)$ 并利用 Green 公式, 得到连续变分形式: 求 $k\\in\\mathbb{C}$ 和非零 $u\\in H^2_0(\\Omega)$, 使得 $$\\left(\\frac{1}{n-1}\\Delta u,\\Delta v\\right)_0 + k^2\\left[\\left(\\frac{n}{n-1}\\Delta u,v\\right)_0+\\left(\\frac{1}{n-1}u,\\Delta v\\right)_0\\right] + k^4\\left(\\frac{n}{n-1}u,v\\right)_0=0$$ 对所有 $v\\in H^2_0(\\Omega)$ 成立. 令 $\\lambda:=-k^2$, 则得到关于 $\\lambda$ 的二次特征值问题. 本文关注该问题在一般弯曲区域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 上的数值求解与误差分析. 已有数值方法包括: Colton 等 2010 年首次提出的三种有限元方法; 基于 Argyris 元素或 Bogner-Fox-Schmit 元素的 $H^2$ 协调有限元; 混合有限元; 非协调有限元; 间断 Galerkin 方法; 使用梯度恢复算子的 $C^0$ 线性有限元; $C^1$ 虚拟元和混合虚拟元; 以及针对圆盘、球、柱等特殊弯曲域的谱方法. 这些方法在多面体区域表现良好, 但在弯曲边界区域精度可能退化; 谱方法虽然对特殊弯曲域可达到谱收敛, 但推广到一般弯曲域并不容易. 等几何分析由 Hughes 等提出, 使用非均匀有理 B 样条等样条基函数同时表示 CAD 几何和解空间, 易于构造全局 $C^k$ ($k\\ge 1$) 连续基函数, 使用精确 CAD 几何, 且支持 $h$、$p$、$k$ 细化. 本文采用几何独立场近似方案, 即 GIFT 方案, 几何用 NURBS 表示, 解近似用 B 样条基函数, 从而避免在细化时更新控制点和权重, 兼顾几何灵活性与实现效率. 本文试图补足的空白是: 为 Helmholtz 透射特征值问题在一般弯曲有界域上构造并分析 $H^2$ 协调的等几何方法, 并借助紧非自伴算子谱逼近理论建立离散特征值和特征函数的最优误差估计. 从提供的 PDF 内容看, 引言和前三节明确了线性化框架、GIFT 离散格式以及 B 样条投影误差估计, 但第 4 节的谱逼近主定理和数值结果尚未在提供文本中展开.\n2. 主要定理或主要结果 从提供文本可以严格确认的主要结果包括以下几部分. 首先, 作者将二次四阶特征值问题线性化. 令 $\\lambda:=-k^2$, 引入辅助变量 $z:=-\\lambda u$, 在乘积空间 $\\mathcal{H}=H^2_0(\\Omega)\\times L^2(\\Omega)$ 上定义双线性形式 $$A((u,z),(v,w))=\\left(\\frac{1}{n-1}\\Delta u,\\Delta v\\right)_0+(z,w)_0,$$ $$B((u,z),(v,w))=\\left(\\frac{n}{n-1}\\Delta u,v\\right)_0+\\left(\\frac{1}{n-1}u,\\Delta v\\right)_0+\\left(\\frac{n}{n-1}z,v\\right)_0-(u,w)_0.$$ 线性特征值问题为: 求 $\\lambda\\in\\mathbb{C}$, $\\lambda\\neq 0$ 和非零 $(u,z)\\in\\mathcal{H}$, 使得 $$A((u,z),(v,w))=\\lambda B((u,z),(v,w)) \\quad \\forall (v,w)\\in\\mathcal{H}.$$ 引理 2.1 证明存在仅依赖折射率 $n$ 的正常数 $\\beta$ 和 $C$, 使得 $A((u,z),(u,z))\\ge \\beta\\|(u,z)\\|_{\\mathcal{H}}^2$, $|A((u,z),(v,w))|\\le C\\|(u,z)\\|_{\\mathcal{H}}\\|(v,w)\\|_{\\mathcal{H}}$, $|B((u,z),(v,w))|\\le C\\|(u,z)\\|_{\\mathcal{H}}\\|(v,w)\\|_{\\mathcal{H}}$, 且 $A((u,z),(v,w))=\\overline{A((v,w),(u,z))}$, 即 $A(\\cdot,\\cdot)$ 在 $\\mathcal{H}$ 上定义内积. 其次, 作者引入源问题: 对任意 $(f,g)\\in\\mathcal{H}$, 求 $(\\tilde f,\\tilde g)\\in\\mathcal{H}$ 使 $A((\\tilde f,\\tilde g),(v,w))=B((f,g),(v,w))$ 对所有 $(v,w)\\in\\mathcal{H}$ 成立, 并定义解算子 $T(f,g)=(\\tilde f,\\tilde g)$. 由 Lax-Milgram 定理, $T$ 良定义、线性、有界. 若 $(\\lambda,(u,z))$ 是线性特征值问题的特征对, 则 $(\\lambda^{-1},(u,z))$ 是 $T$ 的特征对, 即 $T(u,z)=\\mu(u,z)$, $\\mu=\\lambda^{-1}$; 且当 $\\mu\\neq 0$ 时不会引入伪特征值. 正则性引理 2.2 证明存在 $\\sigma\\in(0,1]$ 和常数 $C$ 使源问题解满足 $(\\tilde f,\\tilde g)\\in H^{2+\\sigma}(\\Omega)\\times H^2_0(\\Omega)$, 且 $\\|\\tilde f\\|_{2+\\sigma,\\Omega}+\\|\\tilde g\\|_{2,\\Omega}\\le C\\|(f,g)\\|_{\\mathcal{H}}$. 由于 $H^{2+\\sigma}(\\Omega)\\times H^2_0(\\Omega)$ 紧嵌入到 $\\mathcal{H}$, 解算子 $T:\\mathcal{H}\\to H^{2+\\sigma}(\\Omega)\\times H^2_0(\\Omega)$ 是紧算子. 伴随问题也有相同正则性, 见引理 2.3. 第三, 作者构造 GIFT 离散. 设几何映射 $F$ 由 NURBS 给出, 物理解空间为 $$V_h=\\mathrm{span}\\{B^{(p,q)}_{i,j}\\circ F^{-1}: 1\\le i\\le n_\\xi,\\, 1\\le j\\le n_\\eta\\}\\cap H^2_0(\\Omega), \\quad p=q\\ge 2,$$ 离散空间 $\\mathcal{H}_h=V_h\\times V_h\\subset\\mathcal{H}$. 离散特征值问题为: 求 $(\\lambda_h,(u_h,z_h))\\in\\mathbb{C}\\times\\mathcal{H}_h$, $\\lambda_h\\neq 0$, $u_h\\neq 0$, 使 $A((u_h,z_h),(v_h,w_h))=\\lambda_h B((u_h,z_h),(v_h,w_h))$ 对所有 $(v_h,w_h)\\in\\mathcal{H}_h$ 成立. 定义离散解算子 $T_h$ 和伴随 $T_h^*$, 满足 $T_h(u_h,z_h)=\\lambda_h^{-1}(u_h,z_h)$. 第四, 作者建立了物理域 B 样条投影的误差估计. 定义参数域 B 样条空间 $S_h$ 和投影 $\\Pi_{S_h}$, 物理域空间 $\\tilde V_h=\\mathrm{span}\\{B^{(p,q)}_{i,j}\\circ F^{-1}\\}$ 上的投影 $\\Pi_{\\tilde V_h}v=(\\Pi_{S_h}(v\\circ F))\\circ F^{-1}$. 定理 3.1 给出局部投影误差: 对 $0\\le \\ell\\le s\\le p+1$, $\\hat K\\in\\hat{\\mathcal{T}}_h$, $K=F(\\hat K)$, 有 $$|v-\\Pi_{\\tilde V_h}v|_{\\ell,K}\\le C_{\\mathrm{shape}}h_K^{s-\\ell}\\sum_{i=0}^s\\|\\nabla F\\|_{L^\\infty(\\hat{\\tilde K})}^{i-s}|v|_{i,\\tilde K},$$ 其中 $\\tilde K$ 是 $\\hat K$ 的支撑延拓. 定理 3.2 给出全局估计: 若 $0\\le\\ell\\le p+1$, $\\ell\\le s$, 且 $\\ell\\le r_{\\min}+1$, 则 $$|v-\\Pi_{\\tilde V_h}v|_{\\ell,\\Omega}\\le C_{\\mathrm{shape}}h^{\\min\\{p+1,s\\}-\\ell}\\|v\\|_{s,\\Omega}, \\quad v\\in H^s(\\Omega).$$ 定理 3.3 处理源问题解的低正则性: 取 $p=q=2$, 若 $0\\le\\ell\\le 2$ 且 $\\ell\\le r_{\\min}+1$, 则对 $v\\in H^{2+\\sigma}(\\Omega)$, $\\sigma\\in(0,1]$, $$\\|v-\\Pi_{\\tilde V_h}v\\|_{\\ell,\\Omega}\\le C_{\\mathrm{shape}}h^{2+\\sigma-\\ell}\\|v\\|_{2+\\sigma,\\Omega}.$$ 该定理通过 $H^2$ 与 $H^3$ 之间的实插值证明. 最后, 论文摘要和第 1 节声明, 作者使用紧非自伴算子的谱逼近理论, 推导了离散特征值和特征函数的最优误差估计, 并在第 4 节标题中称为证明最优误差估计. 然而, 提供的 PDF 文本只到第 10 页, 尚未包含第 4 节的具体定理编号、完整假设、误差阶表达式以及第 5 节数值结果. 因此, 特征值误差阶如 $O(h^{2(p-1)})$ 或 $O(h^{2\\sigma})$, 特征函数误差阶如 $O(h^{p-1})$ 或 $O(h^\\sigma)$, 以及它们的适用范围, 从提供内容中无法确认. 作者是否区分简单特征值和重特征值、是否要求目标特征值的隔离性、如何选择离散特征对等关键细节, 也未在提供文本中出现.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术障碍在于: 原问题是非自伴、四阶、二次特征值问题, 解在 $H^2_0(\\Omega)$ 中, 标准二阶椭圆特征值问题的谱理论和 $C^0$ 有限元误差分析不能直接使用; 若采用 $H^2$ 协调有限元, 需要 $C^1$ 连续的基函数, 在二维中可用 Argyris 或 BFS 元素, 但在三维中构造困难; 若采用混合、非协调或 DG 方法, 则要引入额外变量、稳定化项或一致性误差; 在弯曲区域上, 几何逼近误差会污染高阶精度. 作者的创新点不是简单地把等几何分析用于该问题, 而是结合 GIFT 方案、二次特征值线性化和紧非自伴算子谱逼近, 建立一个可证明最优收敛性的 $H^2$ 协调框架. 具体技术路线如下. 第一, 线性化与解算子框架. 作者引用已有线性化技巧, 令 $\\lambda=-k^2$, $z=-\\lambda u$, 将二次特征值问题化为 $\\mathcal{H}=H^2_0(\\Omega)\\times L^2(\\Omega)$ 上的线性广义特征值问题. 这一变换的关键在于选取 $z$ 使原来含 $\\lambda^2$ 的项被吸收, 同时保持第一分量 $u$ 的 $H^2_0$ 正则性和第二分量 $z$ 的 $L^2$ 正则性. 双线性形式 $A$ 被设计成在 $\\mathcal{H}$ 上强制且 Hermitian, 因此可作为内积; $B$ 仅有界, 这是非自伴性的来源. 通过源问题定义解算子 $T$, 将特征值问题等价转化为 $T$ 的特征值问题, 且 $\\lambda$ 与 $\\mu=\\lambda^{-1}$ 对应. 由于源问题的解具有 $H^{2+\\sigma}\\times H^2_0$ 正则性, $T$ 是紧算子, 从而可以使用紧算子谱逼近理论. 这是整个误差分析的起点. 第二, GIFT 等几何离散. 作者使用 NURBS 几何映射 $F$ 精确表示物理区域, 但用 B 样条基函数 $B^{(p,q)}_{i,j}\\circ F^{-1}$ 构造解空间, 并要求 $p=q\\ge 2$ 以保证 $H^2$ 协调性. 与经典 NURBS 等几何分析不同, 这里几何和控制点、权重在 $h$、$p$、$k$ 细化时保持固定, 只需细化用于场近似的 B 样条基函数. 这既避免了更新几何控制网, 又使误差分析可以基于固定的几何映射 $F$ 进行. 边界条件 $u=\\partial u/\\partial\\nu=0$ 通过取 $V_h=\\tilde V_h\\cap H^2_0(\\Omega)$ 强加. 第三, 物理域 B 样条投影误差估计. 这是处理几何映射和低正则性的关键. 作者先在参数域定义 B 样条空间 $S_h$ 及对偶泛函投影 $\\Pi_{S_h}$, 再通过几何映射拉回到物理域定义 $\\Pi_{\\tilde V_h}$. 定理 3.1 的局部估计显式包含 $\\|\\nabla F\\|_{L^\\infty}$ 的负幂次, 反映几何映射畸变对逼近误差的影响; 定理 3.2 在网格形状正则和连续性条件 $\\ell\\le r_{\\min}+1$ 下得到全局 $h^{\\min\\{p+1,s\\}-\\ell}$ 阶估计. 由于源问题解通常只有 $H^{2+\\sigma}$ 正则性, $\\sigma\\in(0,1]$, 标准整数阶估计不够用. 定理 3.3 采用 Banach 空间实插值: 在 $E_0=H^2$ 和 $E_1=H^3$ 上分别有 $h^{2-\\ell}$ 和 $h^{3-\\ell}$ 的算子范数估计, 由 $[H^2,H^3]_{\\sigma,2}=H^{2+\\sigma}$ 插值得到 $h^{2+\\sigma-\\ell}$ 阶. 这是后续谱逼近误差估计的基础. 第四, 谱逼近理论. 作者计划使用紧非自伴算子谱逼近理论, 比较连续解算子 $T$ 与离散解算子 $T_h$, 并处理伴随算子 $T^*$ 和 $T_h^*$. 非自伴性意味着左右特征函数不同, 谱投影非正交, 因此需要双正交基或广义谱投影. 通常的技术步骤包括: 证明 $\\|T-T_h\\|_{\\mathcal{L}(\\mathcal{H})}\\to 0$; 对目标特征值建立隔离性; 使用谱投影算子比较特征函数; 再推导特征值误差. 对于二次线性化后的块算子, 还要确保 $\\lambda=0$ 不进入谱, 以及 $z=-\\lambda u$ 的辅助变量不引入伪特征值. 作者在文本中已指出 $k=0$ 不是原问题特征值, 且 $\\mu\\neq 0$ 时 $(0,z)$ 不是特征函数. 然而, 从提供的 PDF 内容看, 第 4 节中谱逼近的具体展开、谱投影的构造、非自伴情形下的对偶性处理、特征值误差与特征函数误差的最终阶数及其证明细节尚未给出. 第五, 数值验证. 摘要说明论文给出二维和三维基准问题, 包括弯曲区域, 用于验证理论结果并展示方法在精度和几何灵活性上的优势. 但提供的文本未包含数值表格、收敛曲线和三维算例细节, 因此无法确认实际收敛阶、计算代价和与已有方法的定量比较. 总体而言, 真正创新点在于: 用 GIFT 的高连续 B 样条构造 $H^2$ 协调空间, 避免三维 $C^1$ 有限元的困难; 用固定几何映射和物理域投影估计处理弯曲区域; 用线性化和紧非自伴谱逼近把误差分析化归为解算子逼近. 这些步骤环环相扣, 而不是泛泛的能量估计或紧性论证.\n4. 与之前工作的比较 与已有工作相比, 本文的推进可以从几个维度理解. 第一, 与 $H^2$ 协调有限元方法相比. 已有工作使用 Argyris 元素或 Bogner-Fox-Schmit 元素直接离散四阶问题, 见文献 [45,14,29,24]. 这类方法在二维多面体区域上有效, 但 $C^1$ 有限元构造本身复杂, 在三维中尤其困难, 且弯曲边界通常需要用多边形逼近, 导致几何误差可能限制高阶收敛. 本文使用 B 样条基函数, 天然具有高阶连续性和局部支撑, 可以方便地构造 $H^2_0$ 协调空间, 并通过 NURBS 几何映射精确表示弯曲边界. 因此, 在几何灵活性、三维可实现性和高阶精度方面, 本文相对经典 $C^1$ 有限元有明确推进. 第二, 与混合有限元、非协调有限元、间断 Galerkin 方法和 $C^0$ 线性有限元梯度恢复方法相比. 这些方法见 [18,28,52,51]、[54,30,50,55]、[21,32,49] 和 [15]. 它们避免直接构造 $C^1$ 基函数, 但代价是引入额外未知量、鞍点结构、稳定化参数、惩罚项、非协调一致性误差或梯度恢复算子. 本文回归 $H^2$ 协调框架, 但用等几何样条实现, 不需要这些额外机制. 其代价是需要样条参数化和几何映射的规则性假设, 例如 $F$ 可逆且光滑、网格形状正则等. 第三, 与虚拟元方法相比. 文献 [36,38,33] 发展了 $C^1$ 虚拟元, [34] 发展了混合虚拟元. 特别是 [38] 也使用了与本文相同的线性化技术来建立离散透射特征值的误差估计. 本文与虚拟元方法的共同点是都采用线性化四阶问题到 $H^2_0\\times L^2$ 的框架, 但差异在于离散空间: 虚拟元可处理一般多边形网格, 而等几何方法使用样条基和 NURBS 几何, 对 CAD 描述的弯曲区域可精确表示, 几何误差更小, 且高阶连续基函数构造直接. 从提供内容看, 作者明确说与这些方法相比, GIFT 方案在几何上更灵活. 第四, 与谱方法相比. 针对圆盘、球、柱等特殊弯曲域, 谱方法可以达到谱收敛, 见 [2,47,48]. 但这类方法依赖特殊区域的坐标分离或特殊基函数, 推广到一般弯曲域并不容易. 本文面向一般弯曲有界域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$), 只要区域可由 NURBS 精确参数化, 方法即可使用. 不过, 等几何方法得到的是 $h$ 型代数收敛阶, 而不是谱方法的指数收敛; 在特殊区域上, 谱方法可能仍然更高效. 第五, 与 NURBS 等几何分析相比. 经典 NURBS 等几何分析用同一组 NURBS 基同时表示几何和解. 本文采用 GIFT 方案, 几何用 NURBS, 解用 B 样条, 因此在 $h$、$p$、$k$ 细化时不需要更新几何控制点和权重. 作者认为这使其比经典 NURBS 等几何分析更容易实现、更高效. 代价是几何映射 $F$ 固定, 解空间和几何空间不一致, 误差分析需要额外的物理域投影估计, 即定理 3.1 至 3.3. 第六, 关于弯曲边界精度退化. 作者指出已有方法在多面体区域表现优异, 但在弯曲边界区域精度可能退化, 见 [14,52]. 本文通过 NURBS 精确几何和 GIFT 离散试图解决这一问题. 摘要声称数值结果展示了在精度和几何灵活性上优于已有数值方法, 但提供的 PDF 未包含数值对比, 因此无法确认优势的具体幅度, 也无法判断与谱方法在特殊区域上的效率差异. 第七, 假设与适用范围. 本文假设 $n\\in L^\\infty(\\Omega)$, $n-1\\ge\\alpha\u003e0$ a.e. 或 $n\u003c1$ 的类似情形; $\\Omega$ 有 Lipschitz 边界且可被 NURBS 精确参数化; 几何映射 $F$ 在每个参数单元上可逆且光滑; 网格形状正则. 与一些仅适用于多面体区域或特殊弯曲区域的方法相比, 这些假设扩大了适用范围, 但仍排除无法精确 NURBS 参数化或几何映射高度畸变的区域. 第八, 误差分析框架的继承与差异. 本文的线性化技术来自 [53], 并已被虚拟元 [38,34]、混合有限元 [52]、非协调有限元 [54,55] 等使用. 因此, 从方法论看, 线性化本身不是全新; 本文的新意在于把该框架与 GIFT 等几何离散结合, 并建立相应的物理域 B 样条投影估计和 $H^2$ 协调离散空间. 谱逼近理论引用 [41,4], 属于紧非自伴算子谱逼近的标准工具. 作者需要克服的新困难主要来自等几何几何映射和 $H^2$ 协调样条空间的构造. 最后, 由于提供的 PDF 只到第 10 页, 第 4 节主定理和第 5 节数值实验未包含, 因此无法比较本文与已有方法在相同算例上的具体误差常数、收敛阶、自由度和计算时间, 也无法确认作者是否进行了系统的定量对比. 从现有文本可以确认的比较结论是: 本文在几何灵活性、弯曲区域精确表示、避免三维 $C^1$ 有限元构造以及 GIFT 实现效率方面具有潜在优势; 其局限是依赖样条几何参数化, 收敛阶为 $h$ 型, 且完整误差估计与数值验证在提供文本中尚未展开.\n2. 不规则区域上 Allen-Cahn 和 Cahn-Hilliard 方程的无核边界积分方法 Kernel-free Boundary Integral Methods for Allen-Cahn and Cahn-Hilliard Equations on Irregular Domains\n作者: Xinru Liu, Pensong Yin, Wenjun Ying, Yulin Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-18\narXiv ID: 2609.21295v1\n摘要翻译: 针对二维和三维不规则区域上具有齐次无通量边界条件的 Allen-Cahn 和 Cahn-Hilliard 方程，提出一个统一的无核边界积分 (KFBI) 框架。采用稳定化一阶隐式-显式 (IMEX) 离散后，Allen-Cahn 更新归结为一个 Neumann 修正 Helmholtz 问题。通过辅助变量重构，Cahn-Hilliard 更新被化为同一类型的子问题，而无需计算非线性源的 Laplacian。Cahn-Hilliard 更新需要针对实平移进行两次顺序求解，而复共轭平移允许通过单次复求解重构实值解。所有子问题均由同一个 KFBI 求解器处理，该求解器通过等价界面问题间接计算势。为校正 Cahn-Hilliard 更新中的离散质量缺陷，构造了一个几何加权的离散 $Lš$ 质量投影，其针对 KFBI 对不规则边界的处理方式定制。外部重叠权重被重新分配到物理节点，从而将辅助 KFBI 延拓值从质量计算中排除。数值实验表明二阶空间收敛、成对时间误差指标的一阶收敛，以及预定离散质量的保持。所报告的无源模拟呈现出能量衰减，且投影引起的累积能量扰动相对于观察到的耗散保持较小。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.21295v1\n1. 研究对象和背景 相场模型通过扩散界面描述两相或多相演化, 在相分离, 凝固, 晶粒生长, 微结构演化和多相流中有广泛应用. 本文研究有界不规则区域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 上的两个经典相场方程, 其中 $\\partial\\Omega$ 光滑但不规则, 并施加齐次无通量边界条件. Allen-Cahn 方程是非守恒的 $L^2$ 梯度流, 其形式为 \\n\n$$\\partial_t u=\\varepsilon\\Delta u-\\varepsilon^{-1}f(u),\\quad (x,t)\\in\\Omega_T=\\Omega\\times(0,T),$$\\n\n$$u(x,0)=u_0(x),\\quad x\\in\\Omega,\\qquad \\partial_n u=0,\\quad (x,t)\\in\\partial\\Omega\\times(0,T),$$\\n其中 $F(u)=\\frac14(u^2-1)^2$ 是双井势, $f(u)=F'(u)$, $\\varepsilon\u003e0$ 是界面厚度参数, $n$ 是外单位法向. Cahn-Hilliard 方程是守恒的 $H^{-1}$ 梯度流, 写作二阶-四阶系统 \\n\n$$\\partial_t u=\\Delta\\mu,\\quad \\mu=\\varepsilon^{-1}f(u)-\\varepsilon\\Delta u,\\quad (x,t)\\in\\Omega_T,$$\\n\n$$u(x,0)=u_0(x),\\quad x\\in\\Omega,\\qquad \\partial_n u=\\partial_n\\mu=0,\\quad (x,t)\\in\\partial\\Omega\\times(0,T).$$\\n两方程都耗散 Ginzburg-Landau 自由能 $E(u)=\\int_\\Omega (\\frac{\\varepsilon}{2}|\\nabla u|^2+\\varepsilon^{-1}F(u))dx$, 且无源 Cahn-Hilliard 方程保持质量 $\\int_\\Omega u(x,t)dx=\\int_\\Omega u_0(x)dx$. 小参数 $\\varepsilon$ 与双井势导致强刚性, 因而凸分裂和稳定化半隐式或隐式-显式 (IMEX) 格式被广泛使用. 本文采用稳定化一阶 IMEX 离散, 将 Allen-Cahn 与 Cahn-Hilliard 更新分别化为 modified Helmholtz 与 modified bi-Helmholtz 问题. 空间离散的核心困难是: 在不规则区域上, 既要处理无通量边界, 又要保证高效椭圆求解和 Cahn-Hilliard 的质量守恒. 规则区域可用有限差分和谱方法获得高阶精度和快速求解; 复杂区域常用有限元, 有限体积, 混合有限元, 间断 Galerkin, 或边界积分, 嵌入边界, 浸入边界, cut-cell, diffuse-domain 方法. 经典边界积分方法显式使用 Green 函数和奇异求积, 对不规则区域和四阶 Cahn-Hilliard 方程的成功应用有限. 无核边界积分 (KFBI) 方法通过笛卡尔网格上的等价界面问题间接计算体积势和边界势, 避免显式 Green 函数和直接奇异求积, 同时保留 FFT 快速椭圆求解器. 已有 KFBI 工作 Zeng 和 Xie 处理了二维不规则区域 Allen-Cahn 方程的齐次 Dirichlet 边界. 本文试图补的空白是: 为二维和三维不规则区域上的齐次无通量 Allen-Cahn 与 Cahn-Hilliard 方程建立统一 KFBI 框架; 对 Cahn-Hilliard 更新引入辅助变量降阶, 避免计算非线性源的 Laplacian; 对实 shift 和复共轭 shift 给出统一处理; 并在全离散 KFBI 中构造几何加权质量投影以修正质量缺陷. 因此, 本文的研究对象不只是单个时间推进格式, 而是把相场方程的时间离散, 边界积分约化, 笛卡尔网格界面求解和质量约束投影组合成一个可复用的求解框架.\n2. 主要定理或主要结果 从提供内容看, 论文没有以编号定理形式给出完整的全离散收敛定理, 主要结果由离散格式推导, 边界积分约化, 质量投影构造和数值验证组成. 第一, 稳定一阶 IMEX 离散将 Allen-Cahn 更新写成 \\n\n$$\\left(\\frac1\\tau+\\varepsilon^{-1}s-\\varepsilon\\Delta\\right)u^{n+1}=\\left(\\frac1\\tau+\\varepsilon^{-1}s\\right)u^n-\\varepsilon^{-1}f(u^n),\\quad \\partial_n u^{n+1}=0,$$\\n等价地 \\n\n$$(\\Delta-\\lambda^2)u^{n+1}=q^n,\\quad \\partial_n u^{n+1}=0,$$\\n其中 $\\lambda^2=\\varepsilon^{-2}s+\\tau^{-1}\\varepsilon^{-1}$, $q^n=\\varepsilon^{-2}f(u^n)-\\lambda^2u^n$. 因此 Allen-Cahn 每步只需一个正实 shift 的 Neumann modified Helmholtz 问题. 第二, 对 Cahn-Hilliard 更新, 作者引入 $b=s\\varepsilon^{-2}$, $c=\\tau^{-1}\\varepsilon^{-1}$, $D=b^2-4c$, 并令 $\\lambda_1^2,\\lambda_2^2$ 为方程 $x^2-bx+c=0$ 的根. 通过辅助变量 \\n\n$$z=(\\Delta-\\lambda_2^2)u^{n+1}-f_2=\\lambda_1^2u^{n+1}-\\varepsilon^{-1}\\mu^{n+1},$$\\n其中 $f_2=((u^n)^3-(1+s)u^n)\\varepsilon^{-2}$, 四阶 Cahn-Hilliard 更新被约化为两个二阶 Neumann modified Helmholtz 问题: \\n\n$$(\\Delta-\\lambda_1^2)z=c u^n+\\lambda_1^2 f_2,\\quad \\partial_n z=0,$$\\n\n$$(\\Delta-\\lambda_2^2)u^{n+1}=z+f_2,\\quad \\partial_n u^{n+1}=0.$$\\n这个约化的关键结论是 $\\Delta f_2$ 在离散前被消去, 避免对非线性源直接求 Laplacian. 第三, 两个 shift 的类型由判别式决定. 文中给出 $D=b^2-4c=s^2\\varepsilon^{-4}(1-\\tau_c/\\tau)$, $\\tau_c=4\\varepsilon^3s^{-2}$. 当 $\\tau\u003e\\tau_c$ 时两个 shift 为互异正实数, 需要两次顺序 KFBI 求解; 当 $\\tau=\\tau_c$ 时 shift 重合; 当 $0\u003c\\tau\u003c\\tau_c$ 时 $\\lambda_1^2,\\lambda_2^2$ 为复共轭, 记为 $\\alpha=a+\\mathrm{i}\\eta$, $\\eta=\\sqrt{-D}/2\u003e0$. 作者指出此时只需做一次复 shift KFBI 求解, 因为 $\\operatorname{Im}z=\\eta u^{n+1}$, 于是 \\n\n$$u^{n+1}=\\frac{\\operatorname{Im}z}{\\eta}.$$\\n这避免第二次复求解并直接由虚部恢复实值相场. 第四, 对每个 shift, 利用嵌入盒 $B$ 上满足 $LG=\\delta$ 且 $G=0$ 于 $\\partial B$ 的 modified Helmholtz Green 函数, 将解表示为 Yukawa 体积势和单层势之和. 对 Allen-Cahn, 密度满足第二类 Fredholm 边界积分方程 \\n\n$$\\frac12\\psi-\\partial_n\\int_{\\partial\\Omega}G(x,y)\\psi(y)ds_y=-\\partial_n\\int_\\Omega G(x,y)q^n(y)dy.$$\\n对 Cahn-Hilliard, 两个 shift 对应两个同类边界积分方程, 分别确定 $\\psi_1$ 和 $\\psi_2$. 第五, KFBI 部分不显式求这些势, 而是通过等价界面问题 \\n\n$$(\\Delta-\\lambda^2)u=F\\ \\text{in }B\\setminus\\partial\\Omega,\\quad [[u]]=\\Phi,\\quad [[\\partial_n u]]=\\Psi,\\quad u=0\\ \\text{on }\\partial B,$$\\n来间接计算体积势和单层势: 对体积势取 $F=f$ 于 $\\Omega$, $0$ 于外部, $\\Phi=\\Psi=0$; 对单层势取 $F=\\Phi=0$, $\\Psi=-\\psi$. 因此 Allen-Cahn 求解器, 实 shift Cahn-Hilliard 求解器和复 shift Cahn-Hilliard 求解器共享同一空间求解架构. 第六, 对 Cahn-Hilliard 的全离散质量缺陷, 作者构造几何加权离散 $L^2$ 质量投影. 设物理节点集为 $I_h$, 权重 $\\omega_i\u003e0$, 离散质量 $M_h(v_h)=\\sum_{i\\in I_h}\\omega_i v_i$, 目标质量 $M_h^\\star=M_h(u_h^0)$. 临时 KFBI-IMEX 更新为 $\\tilde u_h^{n+1}$, 缺陷为 $d_h^{n+1}=M_h(\\tilde u_h^{n+1})-M_h^\\star$. 投影使用同一套几何权重, 把外部 cut-control-volume 权重重新分配给相邻物理节点, 排除 KFBI 的辅助延拓值; 由此得到空间均匀的最小加权范数修正, 恢复指定离散质量, 且不需要额外求解椭圆问题. 第七, 数值实验报告: 二维和三维制造解情形下空间二阶收敛, 成对时间误差指标一阶收敛; Cahn-Hilliard 质量投影保持指定离散质量; 无源模拟中两个方程均观察到能量衰减, 投影引起的累积能量扰动相对于能量耗散较小. 文中还引用了已有结论: 对 Allen-Cahn 稳定 IMEX 加二阶中心差分, 在 $s\\ge2$ 且 $\\|u_0\\|_{L^\\infty}\\le1$ 时满足离散最大界 $\\|u^{n+1}\\|_{L^\\infty}\\le1$ 并能量稳定; 对 Cahn-Hilliard 时间离散空间连续格式, 在 He, Liu 和 Tang 给出的依赖连续两时间层数值解的充分条件下满足 $E(u^{n+1})\\le E(u^n)$. 本文实验统一取 $s=2$. 需要强调, 上述最大界和能量耗散条件来自已有文献, 并非本文新证明; 本文对全离散 KFBI-IMEX 的能量行为主要通过数值实验评估, 从提供内容中无法确认作者给出了完整的全离散能量稳定性定理.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的技术障碍首先来自相场方程的刚性和 Cahn-Hilliard 方程的四阶结构. 若直接对 stabilized IMEX 后的 Cahn-Hilliard 更新 $(\\Delta^2-b\\Delta+c)u^{n+1}=f_1$ 与 $(\\Delta-b)u^{n+1}+\\varepsilon^{-1}\\mu^{n+1}=f_2$ 做空间离散, 右端项 $f_1=cu^n+\\Delta f_2$ 含有非线性源 $f_2$ 的 Laplacian, 这会在不规则区域上引入额外的数值微分和边界处理困难. 作者真正的创新点之一是辅助变量降阶. 令 $z=(\\Delta-\\lambda_2^2)u^{n+1}-f_2$, 由第二个方程和 $\\lambda_1^2+\\lambda_2^2=b$ 可得 $z=\\lambda_1^2u^{n+1}-\\varepsilon^{-1}\\mu^{n+1}$. 对 $z$ 应用 $\\Delta-\\lambda_1^2$, 右端的 $\\Delta f_2$ 与来自 $f_1$ 的项相消, 得到 $(\\Delta-\\lambda_1^2)z=cu^n+\\lambda_1^2f_2$. 同时无通量条件给出 $\\partial_n z=\\lambda_1^2\\partial_n u^{n+1}-\\varepsilon^{-1}\\partial_n\\mu^{n+1}=0$. 于是四阶 Cahn-Hilliard 更新被严格改写为两个二阶 Neumann modified Helmholtz 子问题: 先解 $z$, 再解 $u^{n+1}$. 这一改写是后续统一 KFBI 求解的基础. 第二个技术点是实 shift 与复共轭 shift 的统一处理. 判别式 $D=b^2-4c$ 的正负决定了两个 shift 是实正还是复共轭. 对实 shift, 需要顺序求解两个 modified Helmholtz 问题; 对复共轭 shift, 若仍做两次复求解会浪费计算量. 作者观察到 $z=(\\Delta-a)u^{n+1}-f_2+\\mathrm{i}\\eta u^{n+1}$, 因而 $\\operatorname{Im}z=\\eta u^{n+1}$. 因此只需用复 shift $\\alpha=a+\\mathrm{i}\\eta$ 解一次 $z$, 再从虚部除以 $\\eta$ 得到实值 $u^{n+1}$. 这既减少了复 KFBI 求解次数, 又保持了实值重构. 第三个技术点是 KFBI 对势的间接计算. 经典边界积分方法需要显式 Green 函数并对奇异核做求积, 在不规则区域和无通量边界下实现复杂. KFBI 将 Yukawa 体积势 $Y_i f$ 和单层势 $S_i\\psi$ 转化为嵌入盒中的等价界面问题. 对体积势, 在 $\\Omega$ 内右端为源项, 在外部为零, 界面跳跃为零; 对单层势, 右端为零, 法向跳跃为 $-\\psi$. 嵌入盒用均匀笛卡尔网格离散, 规则节点用二阶中心差分. 在不规则节点, 差分模板跨越界面, 作者用给定跳跃条件构造修正项加到右端. 关键之处是修正项只改变右端, 系数矩阵仍为标准 modified Helmholtz 算子在矩形盒上的矩阵, 因而可以用 FFT 快速求解. 求解后, 边界值和法向导数由附近网格值通过含界面跳跃的多项式插值局部重构; 对插值多项式沿外法向求导得到 Neumann 问题所需的内部法向导数. 边界积分方程本身在边界节点上离散, 并用 GMRES 迭代求解, 每次边界积分算子的作用都通过上述笛卡尔网格求解器实现. 这样 Allen-Cahn, 实 shift Cahn-Hilliard 和复 shift Cahn-Hilliard 可以共享同一个空间求解模块. 第四个技术点是全离散质量缺陷的几何加权投影. Cahn-Hilliard 的时间离散空间连续格式保持质量, 因为对 $\\partial_t u=\\Delta\\mu$ 积分并用 $\\partial_n\\mu=0$ 可得 $\\int_\\Omega u^{n+1}dx=\\int_\\Omega u^ndx$. 然而 KFBI 空间离散中, 界面修正和边界迹重构不必满足关于几何加权质量的离散 Green 恒等式, 因而临时更新可能破坏质量并随时间累积缺陷. 作者没有通过修改空间算子强制通量抵消, 而是在每个临时 KFBI 更新之后施加质量投影. 具体地, 构造 cut-control-volume 权重 $\\omega_i$, 将外部节点的重叠面积或体积权重重新分配给相邻物理节点, 并明确排除 KFBI 辅助延拓值, 使离散质量只由物理节点值计算. 质量约束和离散 $L^2$ 范数使用同一套权重, 这使得满足质量约束的修正是空间均匀的, 并且是加权最小范数意义下的修正. 因此只需对物理节点值加一个常数型调整, 不需要再解一个椭圆问题或伴随问题. 这一构造受到 Qiao 等人在闭合曲面上用面积加权 $L^2$ 投影保持质量的启发, 但本文针对 KFBI 的不规则边界和嵌入延拓结构做了权重重分配. 第五个技术点是数值验证和能量评估. 作者在二维和三维中采用制造解测试空间二阶收敛, 并用成对时间误差指标检验一阶时间收敛. 对 Cahn-Hilliard 检查质量投影前后的离散质量, 对无源模拟检查能量衰减和投影引起的能量扰动. 稳定参数取 $s=2$. 从提供内容看, 作者没有展开质量投影对能量稳定性的严格影响分析, 也没有给出全离散最大界定理; 这些部分以数值观察为主.\n4. 与之前工作的比较 与规则区域上的有限差分和 Fourier 谱方法相比, 本文处理的是二维和三维不规则区域上的齐次无通量问题. 规则区域方法可以利用快速 FFT 或谱精度, 但不直接适用于任意边界. 本文的 KFBI 仍在嵌入矩形盒上使用 FFT 型椭圆求解器, 但通过等价界面问题引入边界效应. 代价是需要在边界节点上离散第二类 Fredholm 积分方程并用 GMRES 迭代, 还要在 irregular nodes 上构造界面修正和边界迹重构. 对三维问题, 嵌入盒网格和边界积分迭代的存储与计算代价显然高于规则区域谱方法, 但提供内容没有给出详细的复杂度或三维性能比较. 与贴体有限元, 有限体积和混合有限元方法相比, 后两者可以适应复杂几何, 混合元还可把四阶 Cahn-Hilliard 方程降为耦合二阶问题. 本文也做了二阶降阶, 但采用辅助变量和 KFBI 间接势计算, 避免贴体体积网格和全局 $C^1$ 试探空间. 与间断 Galerkin 方法相比, DG 通过数值通量避免全局 $C^1$ 连续性; 本文则通过边界积分和嵌入界面问题避免四阶算子的直接离散. 这些方法的质量守恒通常依赖空间离散结构: 有限差分和有限体积通过通量抵消, 有限元通过常数函数测试, DG 通过守恒数值通量, 谱方法通过保持零 Fourier 模式. 本文的 KFBI 空间离散不具备这种自动守恒结构, 因此作者额外引入几何加权质量投影. 与 Shin 等用边界控制函数构造守恒有限差分, 以及 Kim 等把几何处理与线性 IMEX Runge-Kutta 结合的方法相比, 本文不通过空间离散本身强制守恒, 而是把质量修正作为后处理投影. 好处是修正无需额外椭圆求解且空间均匀, 代价是可能引入能量扰动. 作者仅报告该扰动相对于耗散较小, 从提供内容中无法确认有严格稳定性或收敛性证明. 与已有 KFBI 工作相比, 最直接的前人是 Zeng 和 Xie 将 KFBI 用于二维不规则区域 Allen-Cahn 方程, 边界条件为齐次 Dirichlet, 并使用体积势和双层势. 本文的推进有四点: 第一, 从 Allen-Cahn 扩展到 Allen-Cahn 与 Cahn-Hilliard 的统一框架; 第二, 从 Dirichlet 边界转为齐次无通量 Neumann 边界; 第三, 从二维扩展到二维和三维; 第四, 将 Cahn-Hilliard 更新通过辅助变量化为 modified Helmholtz 子问题, 并统一处理实 shift 与复共轭 shift. 与 Wei 等在二维 Cahn-Hilliard wetting 问题中的积分方程方法相比, 后者使用体积势重构以避免对非线性源做数值微分; 本文同样避免了 $\\Delta f(u)$ 的直接计算, 但机制不同: 本文通过辅助变量 $z$ 和两个 shifted modified Helmholtz 问题降阶, 并把所有子问题交给同一个 KFBI 求解器. 在质量守恒维度上, Qiao 等在闭合曲面上用面积加权 $L^2$ 投影保持质量, 本文的几何加权投影与其精神相近, 但针对 KFBI 不规则边界做了外部 cut-control-volume 权重到物理节点的重分配, 并明确排除辅助延拓值. 与那些直接在空间离散中实现守恒的方法相比, 本文的质量投影是分离的, 因此更容易与既有 KFBI 代码结合, 但需要接受投影带来的能量扰动和额外的理论分析缺口. 在时间离散层面, 本文使用已有稳定一阶 IMEX 格式, 没有提出新的时间积分方法; 能量耗散和最大界条件引用 Tang 和 Yang 以及 He, Liu 和 Tang 的结果. 与二阶或高阶时间格式相比, 本文时间精度只有一阶, 数值实验报告成对时间误差指标一阶收敛. 作者在实验中固定 $s=2$, 但没有系统比较不同 $s$ 或不同 $\\tau_c$ 区域下的效率. 从提供内容看, 作者没有显式展开与所有前人在三维计算成本, 条件数, GMRES 迭代次数, 质量投影能量误差上界等方面的定量比较. 因此, 可以确认的推进主要是统一 KFBI 框架, 无通量边界, 二维三维推广, 辅助变量降阶, 复 shift 单次求解和质量投影构造; 更完整的理论收敛性, 能量稳定性影响和三维性能优势仍需依据论文后续内容确认.\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 高维非线性随机对流扩散方程的全离散 LDG-IMEX 方法的高阶矩稳定性与误差分析 High-Moment Stability and Error Analysis of a Fully Discrete LDG-IMEX Method for High Dimensional Nonlinear Stochastic Convection-Diffusion Equations\n作者: Yiming Chen, Yunzhang Li, Yulong Xing\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-09-18\narXiv ID: 2609.21920v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.21920v1\n摘要翻译 中文标题: 高维非线性随机对流扩散方程的全离散 LDG-IMEX 方法的高阶矩稳定性与误差分析\n摘要翻译: 针对一类由乘性 $\\mathcal Q$-Wiener 噪声驱动的高维非线性随机对流扩散方程，提出并分析了一种与隐式-显式 (IMEX) Euler 时间离散耦合的全离散局部间断 Galerkin (LDG) 方法。该模型允许非线性首项系数、非线性对流项、耗散源项以及梯度依赖噪声。扩散算子通过 LDG 格式隐式处理，而非线性对流项、低阶漂移项和随机项则显式处理。主要贡献是针对该全离散格式的高阶矩稳定性与误差分析。一个核心困难在于，非线性项会导致逐路径增长因子，而这些因子无法在整个样本空间上被一致控制。为给出稳定性与误差估计，我们引入适应数值解的递归定义嵌套子集。在所述的随机抛物性与加细条件下，我们证明这些子集的概率收敛到 1。在这些子集上，数值解满足高阶矩稳定性，并且全离散误差在空间上以任意接近 $r+1$ 的阶、在时间上以 $1/2$ 阶收敛。我们还通过将高阶矩误差界与离散 Kolmogorov 论证相结合，推导出逐路径误差估计。针对随机 Burgers 方程和 Allen-Cahn 方程的数值实验证实了理论收敛阶，并展示了所提方法对非线性随机模型的鲁棒性。\n2. 用于开曲线与闭曲线的曲线缩短流的滤波时间步进格式 A filtered time stepping scheme for curve shortening flow for open and closed curves\n作者: Klaus Deckelnick, Robert Nürnberg\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-18\narXiv ID: 2609.21871v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.21871v1\n摘要翻译 中文标题: 用于开曲线与闭曲线的曲线缩短流的滤波时间步进格式\n摘要翻译: 我们提出了一种用于任意余维中开曲线和闭曲线的曲线缩短流的滤波时间步进有限元格式，该格式在时间上具有二阶精度。假定开曲线在给定区域 $Ω\\subset \\mathbb R^n$（$n\\geq2$）内演化，并与外部边界 $\\partialΩ$ 正交相交。我们证明了 $L^2$\u0026ndash; 和 $H^1$\u0026ndash; 范数的最优误差界。在实际中，每个时间步只需求解一个线性系统。数值实验验证了所引入方法的精度和实用性，包括一个渐近等分布性质。\n3. 曲线缩短流的经典 BGN 格式的切向稳定性与全离散收敛性 Tangential stability and fully discrete convergence of the classical BGN scheme for curve shortening flow\n作者: Qiqi Rao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-18\narXiv ID: 2609.21868v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.21868v1\n摘要翻译 中文标题: 曲线缩短流的经典 BGN 格式的切向稳定性与全离散收敛性\n摘要翻译: 我们证明经典 Barrett\u0026ndash;Garcke\u0026ndash;Nürnberg (BGN) 格式对光滑嵌入闭合平面曲线的曲线缩短流的全离散收敛性。主要障碍在于质量形式仅控制法向运动，而切向运动由曲率方程隐式决定并支配参数化。因此，通常的长度衰减估计不能控制全位置更新的扰动。我们通过时间半离散 BGN 解分离时间误差与空间误差。一个标量法向预解式以及精确的曲率和长度恒等式给出了一致正则性和一阶时间收敛性。对于空间分析，一个自适应的法向\u0026ndash;切向范数给出了线性化更新的近压缩估计。Gauss\u0026ndash;Lobatto 消去和组装节点法向的精确协方差恒等式产生阶为 $h^{k+1}$ 的 $H^1$ 单步缺陷，而一个精确差分恒等式控制非线性余项。对每个固定的 $k\\ge1$，包括原始分片线性方法，我们在满足 $h\\le cτ^2$ 的周期拟一致网格上获得匹配的 $W^{1,\\infty}$ 误差界 $C(τ+h^k)$。所有离散步均唯一可解，且数值曲线保持正则且嵌入。据我们所知，这是经典 BGN 曲线缩短格式无需额外稳定化的首个全离散收敛结果。\n4. Allen\u0026ndash;Cahn型梯度流的二阶保最大界与能量稳定的指数时间差分方法 A Second-Order Maximum-Bound-Preserving and Energy-Stable Exponential Time-Differencing Method for Allen\u0026ndash;Cahn-Type Gradient Flows\n作者: Wenshuai Hu, Guanghua Ji, Xiao Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-18\narXiv ID: 2609.21820v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.21820v1\n摘要翻译 中文标题: Allen\u0026ndash;Cahn型梯度流的二阶保最大界与能量稳定的指数时间差分方法\n摘要翻译: 能量耗散律和最大界原理（MBP）是著名的 Allen\u0026ndash;Cahn 方程的两个重要物理特征。本文针对一类 Allen\u0026ndash;Cahn 型梯度流，提出并分析新的二阶线性数值格式。我们的格式基于广义标量辅助变量（GSAV）方法和一种新的二阶指数时间差分 Runge\u0026ndash;Kutta（ETDRK2）方法。所得格式克服了将这两种技术结合时长期存在的困难，同时保持 MBP 和能量稳定性。我们证明所提格式无条件地保持 MBP 和能量稳定性。此外，我们对所提格式进行了严格的误差分析，在不对时间步长 $τ$ 与空间网格尺寸 $h$ 施加任何耦合条件的情况下，建立了时间和空间均为二阶的精度。我们还给出了一些数值实验，以展示所提格式的效率及其对理论性质的保持。\n5. 具有动态边界条件的椭圆问题的 Crank Nicolson 型格式的先验和后验误差估计 A Priori and A Posteriori Error Estimates for a Crank Nicolson Type Scheme of an Elliptic Problem with Dynamical Boundary Conditions\n作者: Rola Ali Ahmad, Toufic El Arwadi, Houssam Chrayteh, Jean-Marc Sac-Épée\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-18\narXiv ID: 2609.21524v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.21524v1\n摘要翻译 中文标题: 具有动态边界条件的椭圆问题的 Crank Nicolson 型格式的先验和后验误差估计\n摘要翻译: 在本文中，我们声称将给出 Crank Nicolson 型格式的先验和后验误差估计。该问题在空间上采用有限元离散。本文的主要结果在于建立两类误差指示子：第一类与时间离散有关，第二类与空间离散有关。\n6. FrFNO：将解析 Mittag-Leffler 传播子注入到用于时空分数阶偏微分方程的分辨率鲁棒神经算子 FrFNO:Injecting the analytic Mittag-Leffler propagator into a resolution-robust neural operator for space-time fractional PDEs\n作者: Guofei Pang\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-09-18\narXiv ID: 2609.21512v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.21512v1\n摘要翻译 中文标题: FrFNO：将解析 Mittag-Leffler 传播子注入到用于时空分数阶偏微分方程的分辨率鲁棒神经算子\n摘要翻译: 分数阶偏微分方程将依赖记忆的时间导数与非局部分数阶 Laplacian 耦合起来，而在变化的分数阶、初始数据或扩散率场下反复求解它们在计算上非常昂贵。神经算子提供了快速代理，但标准架构必须从数据中重新学习占主导的线性分数阶演化。我们提出 \\emph{Fractional Fourier Neural Operator} (FrFNO)，一种分辨率鲁棒的条件算子。它将冻结线性部分的解析 Mittag\u0026ndash;Leffler 响应作为一次预计算、与分辨率无关的传播子表注入，并且仅在由变系数和非线性对流诱导的残差上训练一个谱卷积网络，同时连续地以两个分数阶为条件。核心理论结果是，在零样本超分辨率下，注入的传播子填充了标准 Fourier 神经算子置零的带外模态，用较小的残差尾部替代带外全场尾部（弱扰动下与 $K$ 无关的常数因子缩减）。残差与全解具有相同的 Sobolev 阶，因此优势是振幅缩减而不是更陡的尾部。网格加密将误差驱动到由残差控制的下限。在非线性二维时空分数阶 Burgers 问题上，FrFNO 在训练分辨率下以及零样本超分辨率下，在六个基线（FNO、PINO、PDNO、CNO、DeepONet、U-Net）中取得最低的相对 $L^2$ 误差，产生最小的谱相位误差，并且在整数阶极限和长积分窗口下仍然最佳。同样的构造可推广到耦合分数阶系统，例如分数阶 Allen-Cahn 与 Navier\u0026ndash;Stokes 方程。代码、训练脚本和参考输出可在 https://github.com/Derek2021Pang/FrFNO 获取。\n7. 非线性孔隙弹性的变分模型 A variational model of nonlinear poroelasticity\n作者: James H. Adler, Xiaozhe Hu, Arkadz Kirshtein\n类别: math.AP, math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-09-18\narXiv ID: 2609.21294v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.21294v1\n摘要翻译 中文标题: 非线性孔隙弹性的变分模型\n摘要翻译: 我们推导了一个热力学一致（thermodynamically-consistent）的模型，用于描述流体通过孔隙弹性介质的流动。从弹性和流体自由能密度、能量耗散率以及一个运动学约束出发，利用变分原理推导出力平衡方程，其中压力\u0026ndash;密度本构关系作为变分结构的直接结果出现；同一运动学约束还提供了总通量输运结构。在理想气体极限下，该模型的线性化恢复了经典线性 Biot 方程。对于幂律流体能量，它给出等熵压力\u0026ndash;密度关系。变分表述的一个关键优势在于，向更丰富物理的扩展，例如热效应、化学反应或多组分流体，可以通过增广能量和耗散泛函系统地纳入，而无需重新设计力平衡或输运闭合。我们通过一个能量相容的双场离散来支撑该模型，并研究在表面载荷下、采用三种侧边界处理和三个流体可压缩性指数时的固结。\n8. 近晶-A液晶的二阶保结构指数积分器方法的能量稳定性与误差估计 Energy stability and error estimates for a second-order structure-preserving exponential integrator method for smectic-A liquid crystals\n作者: Wenshuai Hu, Guanghua Ji, Xiao Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-18\narXiv ID: 2609.21175v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.21175v1\n摘要翻译 中文标题: 近晶-A液晶的二阶保结构指数积分器方法的能量稳定性与误差估计\n摘要翻译: 本文中，我们针对近晶-A（SmA）液晶的修正 Landau\u0026ndash;de Gennes 模型，建立了一个二阶、线性、解耦且保结构的数值格式。主要贡献有三方面。第一，据我们所知，我们首次将广义标量辅助变量（GSAV）方法与二阶指数时间差分 Runge\u0026ndash;Kutta（ETDRK2）离散相结合，提出了一个二阶 GSAV\u0026ndash;ETD2 格式。第二，我们证明了所提格式满足无条件能量耗散律，从而弥补了此类二阶 GSAV 指数积分器在能量稳定性分析方面的理论空白。第三，通过推导一个强制性的离散重构，我们建立了全离散误差估计，且无需对 $τ$ 与 $h$ 施加任何耦合条件，达到了最优收敛率 $\\mathcal{O}(τ^2+h^2)$。给出了数值实验以验证我们的理论结果，并模拟 SmA 相的自组装动力学。\n不相关论文（基本信息） 1. 曲边网格上的有限体积元法 Finite Volume Element Method on Curved-Edge Meshes\n作者: Xiaoxiao Chen, Zexi Hu, Zhiming Gao, Junliang Lv, Xiang Wang, Hongtao Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-18\narXiv ID: 2609.21719v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.21719v1\n摘要: This paper proposes and analyzes a high-order finite volume element method on curved-edge quadrilateral meshes for elliptic equations. Unlike existing theories, which are primarily based on straight-edge meshes, this study is the first to establish an analysis of the stability and optimal convergence of the finite volume method on curved-edge meshes. By constructing a dual mesh based on Gaussian points, we overcome the accuracy degradation issues caused by geometric deformation and Jacobian non-uniformity of curved-edge meshes. We prove the coercivity of the discrete bilinear form under weak mesh regularity conditions, thereby obtaining an optimal error estimate in the energy norm. Furthermore, using orthogonality and the Aubin-Nitsche technique, we derive an optimal $L^2$ error estimate. Numerical experiments cover problems with constant and anisotropic coefficients, different dual partition strategies, complex curved boundary domains, and interfaces with large deformations. Numerical results indicate that this method consistently achieves the optimal convergence order in both the $H^1$ and $L^2$ norms on a variety of curved-edge meshes. Compared to straight-edge meshes, curved-edge meshes offer significant advantages in approximating complex curved boundaries and demonstrate better resistance to distortion in cases involving sudden changes in coefficients and large deformations at interfaces. This paper provides a unified theoretical framework for the finite volume element method on curved-edge meshes and verifies the efficiency and robustness of the proposed method.\n2. 积分化学反应神经网络 Integral chemical reaction neural networks\n作者: Abraham Reyes-Velázquez, Stefan Güttel\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-18\narXiv ID: 2609.21715v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.21715v1\n摘要: Discovering the structure and kinetics of chemical reaction networks (CRNs) from time-series concentration data is a fundamental challenge in chemical kinetics, with existing approaches relying on prior mechanistic assumptions or suffering from high computational cost and noise sensitivity. In this work, we present integral chemical reaction neural networks (iCRNNs), a framework that combines the interpretable, physics-constrained, architecture of chemical reaction neural networks (CRNNs) with an integral collocation formulation of the governing dynamics. Rather than solving ODEs forward in time at each training step, we approximate the integral of the learned rate functions directly using numerical quadrature. This yields an entirely algebraic forward pass consisting only of matrix operations, eliminating the repeated adaptive ODE solves of standard CRNN and producing smoother, more predictable training. We provide a recovery error analysis characterising the structural sources of ill-conditioning (conservation laws, reaction reversibility, and shared reactant sets) that limit network identifiability. On two benchmark CRNs, iCRNN trains in roughly half the wall-clock time of the baseline CRNN method on a four-species mechanism and between three and four times faster on a five-species mechanism, while completing every training run reliably and attaining comparable or lower loss.\n3. 子空间迭代的逐元素收敛行为 Element-wise Convergence Behavior of Subspace Iteration\n作者: Mingyang Zhao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-18\narXiv ID: 2609.21540v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.21540v1\n摘要: This paper studies the element-wise convergence behavior of subspace iteration. All results are established for both (\\mathbb{F}=\\mathbb{R}) and (\\mathbb{F}=\\mathbb{C}). For a diagonal matrix (Λ=\\mathrm{diag}(λ_1,\\ldots,λ_n)) with (|λ_1|\u0026gt;\\cdots\u0026gt;|λ_n|\u0026gt;0), we analyze the modulus of each entry of the iterative matrix sequence generated by subspace iteration, both without and with the Rayleigh\u0026ndash;Ritz procedure. Under mild assumptions on the initial matrix (X\\in\\mathbb{F}^{n\\times m}), we first derive exact asymptotic expressions for (|Q_k(i,j)|) in the subspace iteration without the Rayleigh\u0026ndash;Ritz procedure: entries with (i\\neq j) decay as ((|λ_{\\max{i,j}}|/|λ_{\\min{i,j}}|)^k), and the deviation of (|Q_k(j,j)|) from (1) decays as (\\max{|λ_j|/|λ_{j-1}|,|λ_{j+1}|/|λ_j|}^{2k}), with explicit coefficients determined by the LU factorization of (X). For the Rayleigh\u0026ndash;Ritz variant, we obtain element-wise bounds for the normalized Ritz vectors (Z_k). Specifically, for (|Z_k(i,j)|), off-diagonal entries with (i\\geq m+1) decay as ((|λ_i|/|λ_j|)^k), off-diagonal entries with (i\\leq m) decay as ((|λ_{m+1}|^2/(|λ_i||λ_j|))^k), and the deviation of (|Z_k(j,j)|) from (1) decays as ((|λ_{m+1}|/|λ_j|)^{2k}). These results give an element-wise description of the convergence behavior of subspace iteration. After an orthogonal or unitary change of basis, the results apply to real symmetric or complex normal matrices.\n4. 动网格上变密度 Cahn\u0026ndash;Hilliard\u0026ndash;Navier\u0026ndash;Stokes 流动的历史相容能量稳定有限元格式 History-Compatible Energy-Stable Finite Element Schemes for Variable-Density Cahn\u0026ndash;Hilliard\u0026ndash;Navier\u0026ndash;Stokes Flows on Evolving Meshes\n作者: Wenbin Wang, Yunqing Huang, Yin Yang, Huayi Wei\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-18\narXiv ID: 2609.21328v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.21328v1\n摘要: We consider variable-density Cahn\u0026ndash;Hilliard\u0026ndash;Navier\u0026ndash;Stokes (CHNS) discretizations on finite element meshes that may change between accepted time levels through fixed-topology motion or topology-changing remeshing. When the discrete spaces vary in time, the phase, kinetic, and pressure histories entering a multistep scheme are measured in different discrete structures and cannot, in general, be transferred by a single operator. We develop decoupled backward Euler (BE) and second-order backward differentiation formula (BDF2) schemes by combining exact physical cross-mesh pairings with history representations compatible with the corresponding phase-energy, kinetic-energy, and pressure-gradient storages. The phase update also determines an Abels\u0026ndash;Garcke\u0026ndash;Grün-consistent mass flux used in the momentum transport. A scalar capillary-exchange equation separates the phase and fluid solves while retaining the discrete energy exchange. The resulting field subproblems are linear, the scalar equation has a unique positive solution, and the schemes satisfy modified energy balances without a time-step restriction under the stated admissibility assumptions. Numerical experiments confirm second-order temporal convergence under both mesh updates, phase-mass conservation, modified-energy decay in the unforced tests, and comparable Rayleigh\u0026ndash;Taylor and rising-bubble dynamics.\n5. 用于大规模离散时间非对称代数 Riccati 方程数值求解的低秩 ADI 算法 A Low-rank ADI Algorithm for the Numerical Solution of Large Discrete-time Non-symmetric Algebraic Riccati Equations\n作者: Umair Zulfiqar\n类别: math.NA, eess.SY\n发布日期: 2026-09-18\narXiv ID: 2609.21282v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.21282v1\n摘要: Discrete-time non-symmetric algebraic Riccati equations (DTNAREs) arise in game-theoretic computations of Nash equilibria. Solving such equations at large scale is often computationally prohibitive. This paper develops a numerical approach for large-scale DTNAREs whose solutions are low rank. A low-rank alternating direction implicit (ADI) method is introduced that recursively constructs a low-rank stabilizing solution without explicitly solving any projected DTNARE. Through the pole-placement property of the low-rank ADI iteration, the method ensures that the implicitly solved projected DTNARE always admits a stabilizing solution. An automatic shift-generation strategy is also developed for the ADI iterations. Once an initial shift is provided, the algorithm computes the low-rank solution without further user intervention. Numerical experiments on DTNAREs with dimensions between (10^6) and (10^7) demonstrate the accuracy and efficiency of the method. The results confirm that the proposed low-rank ADI algorithm is an effective solver for large-scale DTNAREs that would otherwise be computationally prohibitive.\n6. 用于 Muon 与半定规划中无分解矩阵滤波的谱收缩 Spectral Deflation for Factorization-Free Matrix Filtering in Muon and Semidefinite Programming\n作者: Haoran Sun, Shucheng Kang, Heng Yang\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-09-17\narXiv ID: 2609.21102v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.21102v1\n摘要: GPU implementations of the Muon optimizer and of first-order semidefinite programming (SDP) solvers share one computational pattern: a matrix factorization is replaced by a fixed-depth polynomial filter applied after normalization. When a few dominant spectral components carry most of the input\u0026rsquo;s scale, normalization pushes the remaining spectrum toward zero, where the filter is least accurate. We propose spectral deflation: estimate the dominant components, remove them, filter the normalized residual with the unchanged filter, and restore them. Deflation preserves the target matrix function, and we prove that it strictly reduces the finite-step error of the classical Newton\u0026ndash;Schulz family. Implemented with batched randomized SVD for Muon and warm-started subspace tracking for ADMM, deflation consistently improves GPT-2 pretraining over the corresponding Muon baselines with both the Newton\u0026ndash;Schulz and Polar Express mappings, also in wall-clock time, and lowers the KKT residuals of factorization-free ADMM on large-scale SDPs within a similar projection time.\n7. Stiefel-AdamW：面向线性因子分解块的几何感知 AdamW Stiefel-AdamW: Geometry-Aware AdamW for Linear Factorization Blocks\n作者: Emanuele Zangrando, Marco Sutti, Francesco Tudisco\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-09-17\narXiv ID: 2609.21039v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.21039v1\n摘要: A pervasive structural pattern in modern deep learning is the linear factorization block: a submodule of the form $W = BA$ in which two parameter matrices are multiplied directly, with no intervening nonlinearity. Such blocks appear in LoRA adapters, low-rank compressed layers, query-key products of self-attention, and share a common pathology: the factorization is non-unique, which can destabilize training and limit usable learning rates. Despite this, factorization blocks are typically optimized with standard Euclidean methods that ignore the underlying geometry. We introduce Stiefel-AdamW, a near drop-in replacement for AdamW for use wherever such blocks appear. By constraining one factor on the Stiefel manifold while leaving the other Euclidean, Stiefel-AdamW relaxes the full $\\mathrm{GL}(\\mathbb{R}^r)$ gauge symmetry to a compact orthogonal symmetry, ruling out factor blow-up while retaining the coordinate-wise diagonal preconditioning that gives AdamW its practical strength. Moment estimation is performed in the ambient Euclidean space, with geometry entering only through a tangent-space projection and a manifold retraction. The implementation overhead over AdamW is minimal, and we show that the resulting optimizer inherits both the stability benefits of Riemannian methods and standard convergence guarantees. We validate Stiefel-AdamW on LoRA-style fine-tuning of GPT2, ViT, and Mistral 7B and on full pretraining of GPT2 on OpenWebText, showing consistent improvements over strong baselines at essentially no additional cost over AdamW.\n8. 指数函数的重极点有理逼近的一致 Chebyshev 渐近 Uniform Chebyshev asymptotics for repeated-pole rational approximation of the exponential\n作者: Fei Xue, Tianqi Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-17\narXiv ID: 2609.21028v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.21028v1\n摘要: We study uniform approximation of $\\exp(tz)$, $t\u003e0$, on $(-\\infty,0]$ by rational functions $P_m(z)/(q_m-z)^m$ with a prescribed repeated pole $q_m\u003e0$. A Möbius transformation reduces the problem to polynomial approximation of $F_λ(x)=\\exp\\!\\left(-λ\\frac{1-x}{1+x}\\right)$ on $[-1,1]$, where $λ=tq_m$. We derive a uniform two-saddle asymptotic formula for the Chebyshev coefficients, including explicit amplitude and phase and a relative remainder for each localized complex saddle contribution, covering fixed, sublinear, and linear pole scalings away from saddle coalescence. Because the two saddle contributions can cancel in a single coefficient, we pass to a growing block of neighboring coefficients and prove that the whole block cannot cancel. This transfers the coefficient asymptotics to approximation errors. For $q_m=(α/t)m$, $0\u003cα\u003c3\\sqrt3/2$, the best uniform error has two-sided order $m^{-1/2}H_e(α)^m$; at the optimal ratio $α=1/\\sqrt2$ this becomes $m^{-1/2}(\\sqrt2-1)^m$. The normalized Chebyshev-weighted $L^2$ projection error has an explicit bounded oscillatory profile. These prefactor-resolved estimates yield a two-term precision-to-work law and quantify mismatch between pole-design and stopping degrees. Finally, the scalar error gives an exact worst-case matrix-action benchmark for self-adjoint negative semidefinite matrices and dimension-independent shift-and-invert Krylov bounds.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-21_16-21-46/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月21日 16:21:46\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 8\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 8\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-helmholtz-传输特征值问题的等几何分析\"\u003e1. Helmholtz 传输特征值问题的等几何分析\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eIsogeometric analysis for the Helmholtz transmission eigenvalue problem\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e作者\u003c/strong\u003e: Nizheng Liao, Guanghui Hu, Xucheng Meng\u003c/p\u003e","title":"2026年09月21日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年09月18日 14:15:02\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 7\n不相关论文数量: 13\n重点关注论文（完整分析） 1. 具有线性滑移界面的弹性问题的杂交高阶方法 A Hybrid High-Order Method for the Elasticity Problem with Linear Slip Interface\n作者: Erik Burman, Peiqi Huang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-17\narXiv ID: 2609.20444v1\n摘要翻译: 我们设计并分析一种用于具有线性滑移界面的线弹性问题的杂交高阶（HHO）方法，即具有弹簧型界面条件，其中界面两侧位移的跳跃通过柔度张量 $\\bK=α\\bI+(β-α)\\udl{n}\\otimes\\udl{n}$ 与面力成正比。网格与界面贴合，离散未知量在网格面上为次数 $k\\ge 1$ 的多项式，在网格单元内为次数 $k+1$ 的多项式，并且允许一般多面体单元。该方法的两个创新点在于局部对称应变重构，它融入了界面条件，以及界面稳定化，它按照 Hansbo 和 Hansbo \\cite{HH04} 的思想由正则化界面刚度 $\\bS_h$ 构造。因此，单一格式覆盖整个柔度范围，从完全粘结界面 $α=β=0$，此时界面稳定化起 Nitsche 型罚项作用，到由 $α,β\\to+\\infty$ 得到的无面力界面，并且没有未知量附加于跳跃。我们证明离散双线性形式是强制的，并且误差在能量范数下以 $h^{k+1}$ 阶收敛，在 $L^2$ 范数下以 $h^{k+2}$ 阶收敛，其中的常数独立于柔度参数和 Lamé 系数 $λ$，因此该方法也是无锁定的。提供了各种数值算例和比较以验证理论结果。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.20444v1\n1. 研究对象和背景 本文研究带线性滑移界面的线性弹性问题. 设 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$ , $d=2,3$ , 是连通凸多边形或多面体区域, 由内部光滑界面 $\\Gamma=\\partial\\Omega_1\\cap\\partial\\Omega_2$ 分成两个子区域 $\\Omega_1$ 与 $\\Omega_2$ . 位移未知量为 $u:\\Omega\\to\\mathbb{R}^d$ . 材料是分段各向同性线弹性体, 本构关系与平衡方程为 $$\\sigma(u)=2\\mu\\epsilon(u)+\\lambda\\nabla\\cdot u\\,I,\\quad -\\nabla\\cdot\\sigma(u)=f\\quad \\text{in }\\Omega_1\\cup\\Omega_2,$$ 其中 $\\epsilon(u)=\\frac12(\\nabla u+\\nabla u^T)$ , $\\mu,\\lambda$ 是分段常数的 Lamé 系数, 满足 $0","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-18_14-15-02/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月18日 14:15:02\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 7\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 13\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-具有线性滑移界面的弹性问题的杂交高阶方法\"\u003e1. 具有线性滑移界面的弹性问题的杂交高阶方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eA Hybrid High-Order Method for the Elasticity Problem with Linear Slip Interface\u003c/p\u003e","title":"2026年09月18日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年09月17日 14:49:07\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 8\n不相关论文数量: 13\n重点关注论文（完整分析） 1. 磁感应断层成像中支撑恢复的一种因子分解方法 A Factorization Method for Support Recovery in Magnetic Induction Tomography\n作者: Junqing Chen, Chengzhe Jiang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-16\narXiv ID: 2609.18235v1\n摘要翻译: 我们针对涡流区域下的磁感应断层成像建立了一个因子分解框架。感应电流密度由无散度电流矢量势表示，外部激励由观测球面上的磁偶极子密度表示。这一选择揭示了近场算子的一种自然物理因子分解，将其分解为数据算子、内部边界响应算子及其伴随对应算子。通过在通量空间上引入 Riesz 映射，我们将该因子分解重述于 Hilbert 空间框架中，从而得到一个具有强制中间因子的半正定算子。Douglas 值域定理随后将该耗散算子平方根的值域与数据算子的值域等同起来。对于具有正则边界的夹杂物，这一值域恒等式给出了电导率支撑的唯一性定理。该刻画导出了一个非迭代谱指示器，其基于由近场数据矩阵的 Hermitian 虚部计算得到的正则化 Picard 商。重构阶段不需要正问题求解。数值实验证实，该指示器能够准确定位并分离夹杂物，在噪声增大时平缓退化，并且无需任何凸性先验即可捕捉非凸支撑几何。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.18235v1\n1. 研究对象和背景 本文研究磁感应断层成像(MIT)在涡流近似下的时谐逆问题. 设未知导电区域 $D\\Subset B_R\\subset\\mathbb R^3$, 其中 $B_R$ 是半径 $R$ 的球, $\\Gamma_R=\\partial B_R$ 同时作为测量与激励球面. 导电率 $\\sigma\\in L^\\infty(\\mathbb R^3)$ 支在 $D$ 上, 即 $\\sigma(x)=0$ 于 $\\mathbb R^3\\setminus D$, 且 $0\u003c\\sigma_0\\le\\sigma(x)\\le\\sigma_1\u003c\\infty$ 于 $D$. 磁导率 $\\mu\u003e0$ 在全空间为常数. 时间约定为 $e^{-i\\omega t}$, 频率 $\\omega\u003e0$. 全空间涡流模型为 $$\\operatorname{curl} E=i\\omega\\mu H,\\quad \\operatorname{curl} H=J_0+\\sigma E\\quad \\text{in }\\mathbb R^3,$$ $$E(x)=O(|x|^{-1}),\\quad H(x)=O(|x|^{-1}),\\quad |x|\\to\\infty.$$ 其中源电流 $J_0$ 无散, 紧支且支集与 $D$ 不交. 消去磁场后等价地有 $$\\operatorname{curl}\\mu^{-1}\\operatorname{curl} E-i\\omega\\sigma E=i\\omega J_0\\quad \\text{in }\\mathbb R^3,\\quad \\operatorname{div} E=0\\quad \\text{in }\\mathbb R^3\\setminus D,$$ 并伴随无穷远衰减条件. 背景场 $(E_0,H_0)$ 对应 $\\sigma=0$, 在 $D$ 附近入射磁场满足 $\\operatorname{curl} H_0=0$, $\\operatorname{div} H_0=0$, 因而可写成 $H_0=\\nabla h$, 其中 $\\Delta h=0$ 于 $D$. 本文考虑测量由 $\\Gamma_R$ 上的磁偶极密度生成, 数据是远离导体的近场磁场. 感应电流为 $J=\\sigma E$, 因 $\\sigma$ 在 $D$ 外为零, 可视为支在 $D$ 上的函数. 由 $\\operatorname{div} J_0=0$ 可得 $\\operatorname{div} J=0$ 于 $D$, 且 $J\\cdot n=0$ 于 $\\partial D$. 在几何假设下, 存在唯一电流向量势 $M$ 使得 $J=\\operatorname{curl} M$, 其中 $$A_D=\\{M\\in H_0(\\operatorname{curl},D)\\cap H(\\operatorname{div},D):\\operatorname{div} M=0\\},$$ 且 $M\\times n=0$ 于 $\\partial D$. 该表示把全空间问题约化为 $D$ 内的变分问题, 外部感应场仅通过法向通量 $q=M\\cdot n$ 依赖内部未知量. 定义通量空间 $$X_D=\\gamma_n(A_D)=\\{M\\cdot n: M\\in A_D\\},$$ 并赋予商范数 $\\|q\\|_{X_D}=\\inf_{M\\in A_D, M\\cdot n=q}\\|M\\|_{A_D}$. 于是 $X_D$ 是 Hilbert 空间, 且连续嵌入 $X_D\\hookrightarrow H^{-1/2}(\\partial D)$, 但一般没有简单的 Sobolev 空间刻画. 近场数据算子由 $$G_D:X_D\\to Y=L^2(\\Gamma_R)^3,\\quad G_Dq=-\\nabla S_{\\partial D}q|_{\\Gamma_R}$$ 给出, 其中 $S_{\\partial D}$ 是单层位势. 对应的弱问题是求 $M_f\\in A_D$ 使得 $$a_D(M_f,V)=(f,V\\cdot n)_{X_D},\\quad \\forall V\\in A_D,$$ 其中 $$a_D(M,V)=\\frac{1}{i\\omega\\mu}(\\rho\\operatorname{curl} M,\\operatorname{curl} V)_D-(M,V)_D+V_D(M\\cdot n,V\\cdot n),$$ $\\rho=\\sigma^{-1}$, 且 $$V_D(q,r)=\\int_{\\partial D}\\left(\\int_{\\partial D}\\Phi(x,y)q(y)dS_y\\right)r(x)dS_x,\\quad \\Phi(x,y)=\\frac{1}{4\\pi|x-y|}.$$ 该模型的重要性在于 MIT 不使用电极, 适用于生物医学成像与工业无损检测, 但低频涡流逆问题严重不适定. 实际重建通常迭代最小化正则化数据失配, 需要反复大规模正演, 且对初值与正则化敏感. 因此非迭代定性方法, 即直接方法, 具有吸引力: 它们不重建完整 $\\sigma$, 而是判断采样点是否位于未知导体支撑内. 已有直接方法包括线性采样法, 因子分解法, 反向时间迁移, 直接采样法等; 在 MIT 专门方向上, 已有小导电目标的渐近公式与 MUSIC 型定位, 轴对称近场线性采样, 瞬态涡流形状唯一检测, 作者先前提出的 MIT 直接采样法, 以及基于单调性原理的方法. 然而, 据作者所述, 针对 MIT 时谐涡流近场算子的因子分解法尚未建立. 本文正是补这一空白: 在常磁导率, 导电率支在未知有界区域 $D$ 的时谐涡流近场模型下, 建立因子分解框架, 证明支撑唯一性, 并由此构造非迭代谱指示器.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果可分为适定性, 因子分解与 range 恒等式, 支撑唯一性, 以及数值指标四个层面. 第一, 命题 2.1 给出弱问题的适定性. 假设 $D$ 是有界 Lipschitz 开集, 具有限个连通分量 $D_1,\\dots,D_N$, 每个分量单连通且边界连通, 并假设 $0\u003c\\sigma_0\\le\\sigma\\le\\sigma_1\u003c\\infty$. 则对任意 $f\\in X_D$, 问题 $$a_D(M_f,V)=(f,V\\cdot n)_{X_D},\\quad \\forall V\\in A_D$$ 存在唯一解 $M_f\\in A_D$, 且满足稳定性估计 $$\\|M_f\\|_{A_D}\\le C\\|f\\|_{X_D}.$$ 证明的关键是旋转形式 $\\tilde a_D=i a_D$ 的强制性与 Lax\u0026ndash;Milgram 定理. 具体地, 利用 $$(\\operatorname{curl} S_DM,\\operatorname{curl} M)_D\\in\\mathbb R$$ 以及 $$a_D(M,V)=\\frac{1}{i\\omega\\mu}(\\rho\\operatorname{curl} M,\\operatorname{curl} V)_D-(M,V)_D+V_D(M\\cdot n,V\\cdot n),$$ 得到 $$\\operatorname{Re}(i a_D(M,M))=\\frac{1}{\\omega\\mu}\\int_D\\rho|\\operatorname{curl} M|^2dx\\ge\\frac{1}{\\omega\\mu\\sigma_1}\\|\\operatorname{curl} M\\|^2_{L^2(D)}.$$ 再结合 $A_D$ 上的 Maxwell 估计 $\\|M\\|_{A_D}\\le C\\|\\operatorname{curl} M\\|_{L^2(D)}$ 即可. 第二, 数据算子 $G_D:X_D\\to Y=L^2(\\Gamma_R)^3$ 由 $G_Dq=-\\nabla S_{\\partial D}q|_{\\Gamma_R}$ 定义. 由于 $\\operatorname{dist}(\\partial D,\\Gamma_R)\u003e0$ 且 $X_D\\hookrightarrow H^{-1/2}(\\partial D)$ 连续, $G_D$ 有界且紧. 对磁偶极密度 $m\\in Y$, 其生成的自由空间磁标量势为 $$h_m(y)=\\int_{\\Gamma_R}m(x)\\cdot\\nabla_y\\Phi(x,y)dS_x,\\quad y\\in D,$$ 在 $D$ 的邻域内调和. 通过 $$(m,G_Dq)_Y=\\int_{\\partial D}h_m q\\,dS$$ 可识别反对偶伴随 $G_D^*:Y\\to X_D'$ 为 $$G_D^*m=\\ell_{h_m},\\quad \\ell_{h_m}(q)=\\int_{\\partial D}h_m q\\,dS.$$ Hilbert 伴随 $G_D^\\dagger:Y\\to X_D$ 则由 Riesz 映射 $R_D:X_D\\to X_D'$ 联系, 满足 $$(G_D^\\dagger m,q)_{X_D}=(m,G_Dq)_Y.$$ 第三, 论文建立近场算子的物理因子分解. 文中给出的形式为 $$F_D=G_D B_D G_D^*,$$ 其中 $B_D$ 是内部边界响应算子, $G_D^*$ 是反对偶伴随. 通过通量空间 $X_D$ 上的 Riesz 映射把对偶伴随与 Hilbert 伴随分离, 作者把该分解提升为 Hilbert 空间中的正因子分解 $$\\operatorname{Im} F_D=G_D P_D G_D^\\dagger,$$ 其中 $P_D$ 是正半定算子, 且中间因子具有强制性. 随后应用 Douglas 值域定理, 得到本文的核心 range 恒等式 $$\\operatorname{Range}\\left((\\operatorname{Im} F_D)^{1/2}\\right)=\\operatorname{Range}(G_D).$$ 该恒等式把不可直接观测的近场算子虚部的平方根值域与数据算子的值域等同起来. 第四, 对具有正则边界的夹杂, 上述 range 恒等式给出导电支撑的唯一性定理. 具体地, 当 $D$ 的连通分量属于 $C^{1,1}$ 类或为凸集时, 有逐点刻画 $$a\\in D\\iff \\varphi_{a,p}\\in\\operatorname{Range}\\left((\\operatorname{Im} F_D)^{1/2}\\right),$$ 其中 $\\varphi_{a,p}$ 是偶极采样场. 因此, 导电支撑 $D$ 由磁近场算子唯一确定. 从提供内容中无法确认 $\\varphi_{a,p}$ 的完整定义以及附加正则性条件 (P1)\u0026ndash;(P2) 的具体形式, 但作者明确把它们用于从 range 恒等式过渡到逐点支撑判别. 第五, 基于该刻画, 作者提出一种非迭代谱指示器. 该指示器使用近场数据矩阵的 Hermitian 虚部 $\\operatorname{Im} F_D$, 并计算一个正则化 Picard 商. 重建阶段不需要求解正演问题. 摘要声称数值实验表明该指示器能够准确局部化并分离夹杂, 在噪声增强时性能优雅退化, 并且无需凸性先验即可捕捉非凸支撑几何. 不过, 提供的 PDF 文本主要截至近场算子定义与伴随构造部分, 未包含第 5 节数值实验的矩阵规模, 噪声水平, 误差指标, 正则化参数选取和具体重建图像, 因此这些数值结论只能按摘要陈述, 无法从提供内容进一步核实.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的技术障碍在于: MIT 的时谐涡流近场算子定义在无界区域上, 且本质非自伴; 因子分解法通常需要构造一个具有强制性中间因子的正算子分解, 以便应用 Douglas 值域定理; 而 MIT 中直接可测的近场算子并不天然具有这种结构. 作者的真正创新点不是简单套用因子分解法, 而是通过电流向量势, 法向通量空间和 Riesz 映射, 把物理上的边界响应分解提升为 Hilbert 空间中的正因子分解. 具体技术路线如下. 第一, 无散电流向量势表示. 由 $J=\\sigma E$, 在 $D$ 内 $\\operatorname{div} J=0$ 且 $J\\cdot n=0$ 于 $\\partial D$. 在拓扑假设下, 每个连通分量单连通且边界连通, 存在唯一 $M\\in A_D$ 使得 $J=\\operatorname{curl} M$, 且 $M\\times n=0$ 于 $\\partial D$. 这一表示把全空间涡流问题转化为 $D$ 内关于 $M$ 的变分问题, 外部场仅通过 $q=M\\cdot n$ 依赖内部未知量. 第二, 建立非局部项的边界表示. 作者证明关键恒等式 $$\\operatorname{div}_x S_DM(x)=-S_{\\partial D}q_M(x),\\quad x\\in D,$$ 以及 $$\\operatorname{curl}\\operatorname{curl} S_DM=-\\nabla S_{\\partial D}q_M+M\\quad \\text{in }D.$$ 利用 $V\\times n=0$ 与 $\\operatorname{div} V=0$, 得到 $$(\\operatorname{curl} S_DM,\\operatorname{curl} V)_D=(M,V)_D-V_D(q_M,q_V),$$ 其中 $$V_D(q,r)=\\int_{\\partial D}\\left(\\int_{\\partial D}\\Phi(x,y)q(y)dS_y\\right)r(x)dS_x.$$ 该恒等式是弱形式改写和强制性的核心. 第三, 引入法向通量空间 $X_D$ 与商 Hilbert 结构. $X_D=\\gamma_n(A_D)$ 配备商范数, 因而是 Hilbert 空间, 并连续嵌入 $H^{-1/2}(\\partial D)$. 这一选择的微妙之处在于: 测量数据自然产生 $X_D'$ 中的反对偶泛函, 而因子分解的 range 定理需要在 Hilbert 空间中使用真正的 Hilbert 伴随. 作者引入 Riesz 映射 $R_D:X_D\\to X_D'$, 满足 $\\langle R_Df,q\\rangle_{X_D',X_D}=(f,q)_{X_D}$, 从而把反对偶伴随 $G_D^*$ 与 Hilbert 伴随 $G_D^\\dagger$ 区分并相互转换. 这是证明能够闭合的关键技术步骤. 第四, 适定性与强制性的证明. 对 $M\\in A_D$, 由于 $$(\\operatorname{curl} S_DM,\\operatorname{curl} M)_D=\\|M\\|^2_{L^2(D)}-V_D(q_M,q_M)\\in\\mathbb R,$$ 旋转形式 $i a_D$ 的实部只留下耗散项: $$\\operatorname{Re}(i a_D(M,M))=\\frac{1}{\\omega\\mu}\\int_D\\rho|\\operatorname{curl} M|^2dx.$$ 又因 $H_D=\\{U\\in H_0(\\operatorname{curl},D):\\operatorname{curl} U=0,\\operatorname{div} U=0\\}=\\{0\\}$, 有 $\\|M\\|_{A_D}\\le C\\|\\operatorname{curl} M\\|_{L^2(D)}$. 于是 $i a_D$ 在 $A_D$ 上强制, 结合 Lax\u0026ndash;Milgram 定理得到唯一解与稳定性. 第五, 数据算子及其伴随. 作者定义 $G_Dq=-\\nabla S_{\\partial D}q|_{\\Gamma_R}$, 并证明其有界紧. 对 $m\\in Y$, 由 $h_m(y)=\\int_{\\Gamma_R}m(x)\\cdot\\nabla_y\\Phi(x,y)dS_x$ 计算 $$(m,G_Dq)_Y=\\int_{\\partial D}h_m q\\,dS,$$ 因而 $G_D^*m=\\ell_{h_m}$ 是边界泛函. Hilbert 伴随 $G_D^\\dagger$ 通过 $(G_D^\\dagger m,q)_{X_D}=(m,G_Dq)_Y$ 定义, 并由 Riesz 映射与 $G_D^*$ 联系. 第六, 物理因子分解与 Riesz 提升. 物理上, 近场算子写成 $$F_D=G_D B_D G_D^*,$$ 其中 $B_D$ 是内部边界响应算子. 但该分解中 $G_D^*$ 取值于对偶空间, 不能直接应用 Hilbert 空间算子值域定理. 作者用 $R_D$ 把 $B_D$ 提升为 $P_D$, 得到 $$\\operatorname{Im} F_D=G_D P_D G_D^\\dagger,$$ 并证明 $P_D$ 正半定且具有强制性. 这一步把物理因子分解转化为 Douglas 值域定理可用的形式. 第七, 应用 Douglas 值域定理. 该定理给出 $$\\operatorname{Range}\\left((\\operatorname{Im} F_D)^{1/2}\\right)=\\operatorname{Range}(G_D).$$ 随后, 对 $C^{1,1}$ 或凸的连通分量, 作者利用附加正则性条件 (P1)\u0026ndash;(P2) 证明偶极采样场 $\\varphi_{a,p}$ 属于 $G_D$ 的值域当且仅当 $a\\in D$, 从而得到支撑唯一性. 从提供内容中无法确认 (P1)\u0026ndash;(P2) 的具体内容以及该逐点判别的完整证明细节. 第八, 离散谱指示器. 基于 range 恒等式, 作者在有限维中计算 $\\operatorname{Im} F_D$ 的正则化 Picard 商, 构造非迭代指示器. 由于只需要数据矩阵的 Hermitian 虚部和谱分解, 重建阶段不需要正演求解. 但具体正则化策略, 谱截断准则和离散矩阵组装方式未在提供的 PDF 片段中展开.\n4. 与之前工作的比较 与既有工作相比, 本文的推进可以从四条线索理解. 第一, 与一般因子分解法和直接采样法相比. 因子分解法由 Kirsch 等人在逆散射中提出, 后来推广到 Maxwell 散射, 电阻抗断层成像和低频电磁成像. 文中特别提到 Colton\u0026ndash;Kirsch 的线性采样法, Kirsch 的因子分解法, Brühl 对 EIT 的推广, 以及 Gebauer\u0026ndash;Hanke\u0026ndash;Schneider 对低频电磁成像的处理. 本文的差别在于对象是 MIT 的时谐涡流近场算子, 而不是声散射或全 Maxwell 远场. 由于 MIT 数据位于导电体外部球面 $\\Gamma_R$ 上, 近场算子不是标准远场算子; 作者通过电流向量势和通量空间把问题化为 $D$ 内变分问题, 再用 Riesz 映射构造正因子分解. 因此本文补上了作者所称的空白: 因子分解法尚未针对 MIT 时谐涡流近场算子建立. 第二, 与 MIT 专门的非迭代方法相比. 文中列举了 Ammari 等基于导电极化张量的渐近公式与 MUSIC 型定位算法, 这类方法通常针对小导电目标; Haddar\u0026ndash;Riahi 的近场线性采样法针对轴对称配置; Arnold\u0026ndash;Harrach 证明瞬态涡流的形状唯一检测, 并把构造性判据与因子分解法相联系; 作者先前在 [7] 中提出 MIT 的直接采样法; 此外还有 Tamburrino\u0026ndash;Rubinacci 的单调性原理方法, 后被推广到磁准静态 regime, 通过无源时间常数和 Laplace 域传递算子的单调性实现. 本文与这些工作的关键差别是: 它不依赖小目标渐近, 不要求轴对称, 不是瞬态模型, 而是时谐涡流近场模型; 它给出的是 range 恒等式和支撑唯一性, 而不是仅采样指示器或单调性判据. 代价是需要在 $D$ 上施加拓扑条件: 每个连通分量有界 Lipschitz, 单连通, 边界连通, 从而排除绝缘腔和 handle 型分量; 唯一性还要求连通分量为 $C^{1,1}$ 或凸. 第三, 与迭代 MIT 重建相比. 迭代法最小化正则化数据失配, 可融入先验信息和真实线圈模型, 但需要反复大规模正演, 对初值和正则化敏感. 本文的重建阶段不需要正演求解, 只需构造近场数据矩阵的 Hermitian 虚部并计算正则化 Picard 商, 因此计算模式是非迭代的. 但代价是它只恢复导电支撑, 不重建完整电导率分布; 定量信息可能丢失. 此外, 从提供内容中无法确认该指标在大规模三维问题上的实际计算复杂度和内存需求. 第四, 与单调性原理方法相比. 单调性方法基于源无关时间常数或 Laplace 域传递算子的单调性, 通常不需要因子分解的 range 结构; 本文则基于 Douglas 值域定理, 通过 $\\operatorname{Im} F_D$ 的平方根值域刻画支撑. 两类方法都可能给出唯一性, 但本文的假设和适用频率 regime 不同: 本文是时谐涡流近场, 常磁导率, 导电率支在 $D$; 单调性方法覆盖电阻抗和磁准静态等. 文中没有给出与单调性方法的数值比较或分辨率比较, 因此从提供内容中无法确认两者在实际重建中的优劣. 第五, 与作者先前 MIT 直接采样法 [7] 相比. 本文明确采用因子分解框架, 而不是直接采样; 核心新意是发现物理因子分解 $F_D=G_D B_D G_D^*$, 并通过 Riesz 映射得到 $\\operatorname{Im} F_D=G_D P_D G_D^\\dagger$, 进而用 Douglas 值域定理证明 range 恒等式. 这比单纯构造指示器更强, 因为它提供了支撑唯一性. 但本文的数值实验只声称能定位, 分离夹杂, 噪声下优雅退化并处理非凸几何; 未提供与 [7] 或单调性方法的误差对比. 最后, 需要指出作者在文中对前人工作的比较主要是定位式引用, 没有逐项展开假设差异, 时间尺度推进和代价分析. 例如, 文中提到小目标方法, 轴对称线性采样, 瞬态涡流唯一性和单调性方法, 但没有详细讨论本文方法在分辨率极限, 噪声稳定性理论, 正则化参数选择方面与它们的定量差别. 从提供内容中无法确认这些比较是否在未提供的后续章节中给出.\n2. 双周期粗糙表面上方向性接触角滞后区间的区域分解方法 A domain decomposition method for the directional contact angle hysteresis interval on doubly periodic rough surfaces\n作者: Zijie Lin, William M Feldman, Braxton Osting\n类别: math.AP, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17811v1\n摘要翻译: 我们研究三维双周期粗糙表面上的润湿。尽管液-气界面以局部杨氏角与固体接触，但微观尺度粗糙度可导致宏观表观角与该值有显著差异。我们根据与钉扎微观构型相关的表观角来表述方向性接触角滞后（CAH）区间。为近似其后退和前进端点，我们将毛细平均曲率流（CMCF）演化至极值稳态。计算这些状态是困难的，因为产生滞后的钉扎是在粗糙度尺度上产生的，而表观角仅在宏观尺度上有意义，因此单一均匀网格必须同时解析两者。因此，我们引入一种基于 Schwarz 分解的双尺度交替（TSA）方法：Merriman-Bence-Osher (MBO) 扩散生成格式解析接触线近区，而线性化极小曲面问题更新远区。对于一个理想化参考迭代，我们证明近似界面能量的衰减。在代表性双周期表面上的数值实验表明，一个强各向异性的 CAH 区间，其宽度随接触线取向的变化超过三倍，并在对角方向附近急剧变化。由于稳态液滴必须以该区间内的表观角与固体接触，计算得到的各向异性约束了该表面能够支撑哪些宏观润湿区域；这与一个边与对角方向对齐的类方形稳态液滴一致。\nComment: 33 pages, 15 figures\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17811v1\n1. 研究对象和背景 本文研究三维空间中双周期粗糙表面上的润湿问题. 设区域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^n$, $n=2,3$, 被分为液体区域 $L$、蒸汽区域 $V$ 与固体区域 $S$, 即 $\\Omega=L\\cup V\\cup S$. 相应界面记为 $\\Sigma_{LV}=\\partial L\\cap\\partial V$, $\\Sigma_{SL}=\\partial S\\cap\\partial L$, $\\Sigma_{SV}=\\partial S\\cap\\partial V$, 接触线记为 $\\Gamma_{SLV}=\\partial S\\cap\\partial L\\cap\\partial V$. 设固体-液体、固体-蒸汽与液体-蒸汽界面能密度分别为 $\\gamma_{SL}(x)$, $\\gamma_{SV}(x)$ 与 $\\gamma_{LV}$. 系统平衡态是总界面能 $$E(L,V;\\Omega)=\\gamma_{LV}|\\Sigma_{LV}|+\\int_{\\Sigma_{SL}}\\gamma_{SL}(x)\\,dx+\\int_{\\Sigma_{SV}}\\gamma_{SV}(x)\\,dx$$ 在体积约束或其它侧条件之下的临界点. 在体积约束下, 经典变分计算给出毛细自由边界问题 $$\\kappa_{LV}=p\\quad \\text{on }\\Sigma_{LV},\\qquad \\theta_{SLV}(x)=\\theta_Y(x)\\quad x\\in\\Gamma_{SLV},$$ 其中 $\\kappa_{LV}$ 是液体-蒸汽界面的平均曲率, $p$ 是体积约束对应的 Lagrange 乘子, 而 $\\theta_{SLV}(x)=\\angle(n_{SL}(x),n_{LV}(x))$ 是局部 Young 角. Young 角由 $$\\cos\\theta_Y(x)=\\frac{\\gamma_{SV}(x)-\\gamma_{SL}(x)}{\\gamma_{LV}}$$ 给出. 若固体表面理想光滑且均匀, 静止液滴在接触线处满足 Young 角条件. 然而真实固体常有微尺度粗糙或化学异质, 使得接触线在小尺度上被钉扎, 宏观表观接触角 $\\theta_{app}(x)=\\angle(\\bar n_{LV}(x),\\bar n_{SL}(x))$ 可以显著偏离 $\\theta_Y$. 这里 $\\bar n_{LV}$ 与 $\\bar n_{SL}$ 是宏观平均后的法向. 这种允许表观角在一个区间内变化的性质就是接触角滞后, 区间记为 $[\\theta_{rec},\\theta_{adv}]$, 端点分别称为后退角与前进角. 接触角滞后是润湿现象中的基本性质, 影响微结构表面上的液滴吸入、自清洁表面设计、喷墨打印、生物微阵列以及液滴蒸发模式等.\n本文关注粗糙度导致的方向性接触角滞后. 对于 $\\mathbb{Z}^2$ 周期粗糙表面, 方向性 CAH 区间独立于宏观位置 $x$, 只依赖接触线宏观法向方向 $k$. 作者将经典接触角条件松弛为区间约束 $$\\kappa_{LV}=p\\quad \\text{on }\\Sigma_{LV},\\qquad \\theta_{app}(x)\\in[\\theta_{rec}(\\bar n_{SL}(x)),\\theta_{adv}(\\bar n_{SL}(x))]\\quad x\\in\\Gamma_{SLV}.$$ 在接触线附近以 $x/\\varepsilon$ 作尺度伸缩, 主导阶分析给出近区问题 $$\\kappa_{LV}=0\\quad \\text{on }\\Sigma_{LV},\\qquad \\theta_{SLV}(x)=\\theta_Y(x)\\quad x\\in\\Gamma_{SLV}.$$ 考虑固体区域 $S=\\{x=(x,y,z)\\in\\mathbb{R}^3:z\\le\\psi(x,y)\\}$, 其中 $\\psi$ 是 $\\mathbb{Z}^2$ 周期函数, 并令 $\\Pi=\\{z\u003e\\psi(x,y)\\}$. 设 $k(x)=-\\bar n_{SL}(x)|_{\\mathbb{R}^2}$ 为宏观外法向的平面分量. 作者称 $\\theta$ 为关于 $k$ 的钉扎角, 若存在 (3) 的解, 使液体区域 $L$ 满足夹逼条件 $$\\{x\\in\\Pi:k\\cdot(x,y)+z\\cot\\theta\u003c-C_0\\}\\subset L\\subset\\{x\\in\\Pi:k\\cdot(x,y)+z\\cot\\theta","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-17_14-49-07/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月17日 14:49:07\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 8\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 13\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-磁感应断层成像中支撑恢复的一种因子分解方法\"\u003e1. 磁感应断层成像中支撑恢复的一种因子分解方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eA Factorization Method for Support Recovery in Magnetic Induction Tomography\u003c/p\u003e","title":"2026年09月17日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年09月16日 14:44:50\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 10\n不相关论文数量: 20\n重点关注论文（完整分析） 1. Interface Control Domain Decomposition (ICDD) 方法的代数收敛性分析 Algebraic convergence analysis for the Interface Control Domain Decomposition (ICDD) method\n作者: Marco Discacciati, Paola Gervasio, Alfio Quarteroni\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17271v1\n摘要翻译: 我们发展了对 Interface Control Domain Decomposition (ICDD) 方法的收敛性分析，该方法是一种基于最优控制框架的重叠区域分解方法，采用 Dirichlet 界面控制函数和界面观测。我们考虑具有可能不连续系数的椭圆问题，并在每个子区域中由 $hp-$FEM 逼近。当离散化在二维区域之间的重叠部分上协调时，我们给出了求解与 ICDD 相关联的非对称界面 Schur 补系统所需的 GMRES 迭代次数的理论估计。我们的结果是通过结合 ICDD 的 Schur 补矩阵的新谱估计与经典 GMRES 收敛理论得到的。我们证明收敛率表现为 $\\mathcal{O}(δ^{-1} p^{3/2}\\log p)$，其中 $δ$ 表示重叠宽度，$p$ 表示局部多项式次数，同时保持与网格尺寸 $h$ 无关。数值实验验证了理论预测，并表明在计算域中存在大系数跳跃时 ICDD 的有效性。由于在协调情形下，所考虑的 ICDD 格式与 Substructured Restricted Additive Schwarz (SRAS) 方法一致，该分析也为二维情形下的 SRAS 提供了收敛估计，并通过其已知等价性，为 Restricted Additive Schwarz (RAS) 方法提供了收敛估计。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17271v1\n1. 研究对象和背景 本文研究重叠型区域分解方法 ICDD (Interface Control Domain Decomposition) 的代数收敛性. 考虑定义在开有界 Lipschitz 区域 $\\Omega\\subset\\mathbb R^d$ ($d=1,2,3$) 上的二阶线性椭圆边值问题 $$Lu=f \\quad \\text{in }\\Omega,\\qquad u=0 \\quad \\text{on }\\partial\\Omega,$$ 其中 $f\\in L^2(\\Omega)$，$L$ 是二阶线性椭圆强制算子，典型例子为 $$Lu=-\\nabla\\cdot(\\nu\\nabla u)+\\gamma u,$$ $\\nu,\\gamma\\in L^\\infty(\\Omega)$，且存在 $\\nu\u003e0$ 使得 $\\nu(x)\\ge \\nu$ a.e.，$\\gamma(x)\\ge 0$ a.e.。区域 $\\Omega$ 被分成两个非重叠子域 $\\tilde\\Omega_1,\\tilde\\Omega_2$，系数 $\\nu,\\gamma$ 可能在公共边界 $\\partial\\tilde\\Omega_1\\cap\\partial\\tilde\\Omega_2$ 上发生间断。随后将每个子域向外扩展形成两个重叠子域 $\\Omega_1,\\Omega_2$，满足 $\\Omega=\\Omega_1\\cup\\Omega_2$，并令内部边界（界面）为 $\\Gamma_k=\\partial\\Omega_k\\setminus\\partial\\Omega$，假设 $$\\delta:=\\operatorname{dist}(\\Gamma_1,\\Gamma_2)\u003e0.$$ 在经典多域问题中，求 $u_k$ 使得 $$ \\begin{cases} L_k u_k=f_k \u0026 \\text{in }\\Omega_k,\\ k=1,2,\\\\ u_k=0 \u0026 \\text{on }\\partial\\Omega_k\\setminus\\Gamma_k,\\\\ u_1=u_2 \u0026 \\text{on }\\Gamma_1\\cup\\Gamma_2, \\end{cases} $$ 其中 $L_k u=-\\nabla\\cdot(\\nu_k\\nabla u)+\\gamma_k u$，$\\nu_k=\\nu|_{\\Omega_k}$，$\\gamma_k=\\gamma|_{\\Omega_k}$，$f_k=f|_{\\Omega_k}$。该多域问题与原问题等价。注意局部系数 $\\nu_k,\\gamma_k$ 可能在 $\\Omega_k$ 内仍不连续；作者强调不能为了消除内部间断而将系数连续延拓，否则等价性不成立。\nICDD 方法将上述多域问题重新表述为界面上的最优控制问题。具体地，引入两个未知界面函数 $\\lambda_1$ 在 $\\Gamma_1$ 上、$\\lambda_2$ 在 $\\Gamma_2$ 上，称为虚拟控制；对 $k=1,2$ 定义状态问题 $$ \\begin{cases} L_k u_k=f_k \u0026 \\text{in }\\Omega_k,\\\\ u_k=\\lambda_k \u0026 \\text{on }\\Gamma_k,\\\\ u_k=0 \u0026 \\text{on }\\partial\\Omega_k\\setminus\\Gamma_k, \\end{cases} $$ 其中 $u_k=u_k(\\lambda_k)$。成本泛函为界面观测 $$J_\\Gamma(\\lambda_1,\\lambda_2)=\\frac12\\|u_1(\\lambda_1)-u_2(\\lambda_2)\\|^2_{L^2(\\Gamma_1\\cup\\Gamma_2)},$$ 并通过 $$\\inf_{\\mu_1,\\mu_2} J_\\Gamma(\\mu_1,\\mu_2)$$ 定义最优控制问题。其最优性系统（不含对偶状态问题）为：对 $k=1,2$，$\\ell=3-k$，求 $u_k^0\\in V_k^0$ 和 $\\lambda_k\\in\\widehat\\Lambda_k$ 使得 $$ \\begin{cases} a_k(u_k^0,v_k)+a_k(E_k\\lambda_k,v_k)=F_k(v_k) \u0026 \\forall v_k\\in V_k^0,\\\\ u_k=u_k^0+E_k\\lambda_k,\\\\ \\lambda_k=u_\\ell \u0026 \\text{on }\\Gamma_k, \\end{cases} $$ 其中 $a_k(w,v)=\\int_{\\Omega_k}\\nu_k\\nabla w\\cdot\\nabla v+\\int_{\\Omega_k}\\gamma_k wv$，$F_k(v)=\\int_{\\Omega_k}fv$，$E_k:\\widehat\\Lambda_k\\to V_k$ 是提升算子。连续层面还等价地可写出含对偶状态问题的系统，对应 dual ICDD 方法，但本文主要分析上述无对偶问题的 ICDD 离散格式。\n数值实现中，在每个子域采用独立的 $hp$-FEM 离散，允许网格在重叠区域非协调、网格尺寸 $h_1,h_2$ 不同、局部多项式阶 $p_1,p_2$ 不同。离散后消去内部自由度，得到关于界面控制变量的 Schur 补系统 $$\\Sigma\\lambda=\\chi,$$ 其中 $$\\Sigma=I-T_\\Gamma+T_0 A_{II}^{-1}A_{I\\Gamma},\\qquad \\chi=T_0 A_{II}^{-1}f.$$ 当两个网格在重叠上协调时，$T_\\Gamma=0$，且 $T_0$ 变为限制矩阵 $R_{\\Gamma I}$，于是 $$\\Sigma=I+R_{\\Gamma I}A_{II}^{-1}A_{I\\Gamma}.$$ 该 Schur 补矩阵非对称，因此用 GMRES 求解。矩阵向量乘只需在子域内解 Dirichlet 问题，从而 ICDD 可以非侵入式实现，复用局部求解器。\n本文试图填补的空白是：尽管 ICDD 方法的适定性和应用已有研究，但缺乏对其迭代求解收敛率的理论分析；特别是，需要给出 GMRES 迭代次数关于重叠宽度 $\\delta$、网格尺寸 $h$ 和局部多项式阶 $p$ 的显式估计。由于在协调情形下 ICDD 格式与 Substructured Restricted Additive Schwarz (SRAS) 方法一致，而 SRAS 的收敛分析此前尚未建立，本文的分析也推进了 SRAS 以及通过已知等价性推广到 Restricted Additive Schwarz (RAS) 的理论。\n2. 主要定理或主要结果 在 Assumption 1 和 Assumption 2 下，作者对 ICDD 的界面 Schur 补系统进行了谱分析，并结合经典 GMRES 收敛理论，证明了 GMRES 迭代次数的上界估计。Assumption 1 要求两个子域 $\\Omega_k\\subset\\mathbb R^2$ 为相同尺寸 $H_x\\times H_y$ 的矩形，界面 $\\Gamma_1,\\Gamma_2$ 为竖直平行线段，重叠宽度 $\\delta=\\operatorname{dist}(\\Gamma_1,\\Gamma_2)\u003e0$ 且 $\\delta\\ll H_x$。Assumption 2 要求每个子域内的 $hp$-FEM 离散采用仿射正则拟一致剖分；单纯形时使用 Legendre-Gauss-Lobatto (LGL) 节点，内部点（$p_k\\ge3$）为 electrostatic 点；四边形时使用张量积 LGL 节点，局部空间为 $Q_{p_k}$ 或 $P_{p_k}$。\n核心结论是：当两个子域内的离散在重叠区域上协调时，ICDD 的 GMRES 收敛速率满足 $$\\mathcal{O}(\\delta^{-1}p^{3/2}\\log p),$$ 其中 $\\delta$ 为重叠宽度，$p$ 为局部多项式阶，且该估计关于网格尺寸 $h$ 一致，即与 $h$ 无关。这里“收敛速率”指保证相对残差低于给定容差所需的最小迭代次数的上界估计。该结果基于作者提出的新 Schur 补矩阵谱估计。需要强调，该结论是在协调离散、二维矩形子域、竖直平行界面的假设下严格证明的；摘要明确说“we prove that the convergence rate behaves as $\\mathcal{O}(\\delta^{-1}p^{3/2}\\log p)$”。\n此外，连续层面作者证明了调和延拓的内部迹的 $L^2$ 估计（Theorem 1 和 Corollary 2）。在矩形 $D=(0,H_x)\\times(0,H_y)$，$\\gamma_t=\\{(x,y)\\in D:x=t\\}$，$\\Gamma=\\{H_x\\}\\times(0,H_y)$，对 $\\lambda\\in H^{1/2}_{00}(\\Gamma)$ 及其调和延拓 $u_\\lambda$，有 $$\\|u_\\lambda\\|_{L^2(\\gamma_t)}\\le C_M(t)\\|\\lambda\\|_{L^2(\\Gamma)},$$ 其中 $C_M(t)$ 的显式表达式为 $$C_M(t)=\\left(1-\\frac{1}{\\frac{\\|\\nu\\|_\\infty}{\\nu}+C(t)}\\right)^{1/2}\u003c1,\\qquad C(t)=\\frac{c^2\\|\\nu\\|_\\infty}{c_1}\\frac{\\max\\{H_t,H_t^{-1}\\}}{H_x-t},$$ $H_t=\\max\\{t,H_y\\}$，$c\u003e0$ 仅依赖区域形状，$c_1$ 由 (14) 定义：当 $\\gamma=0$ 时 $c_1=\\frac{4\\nu}{4+2tH_x+(H_x-t)^2}$，当 $\\gamma\\ne0$ 时 $c_1=\\min\\{\\nu,\\gamma\\}$。在 Assumption 1 下，对 $k=1,2$，$\\ell=3-k$， $$\\|u_{\\lambda_k}^k\\|_{L^2(\\Gamma_\\ell)}\\le C_{\\delta,k}\\|\\lambda_k\\|_{L^2(\\Gamma_k)},$$ 其中 $$C_{\\delta,k}=\\left(\\frac{\\delta\\left(\\frac{\\|\\nu_k\\|_\\infty}{\\nu_k}-1\\right)+c_{L,k}c_{H,k}}{\\delta\\frac{\\|\\nu_k\\|_\\infty}{\\nu_k}+c_{L,k}c_{H,k}}\\right)^{1/2},$$ $c_{L,k}$ 仅依赖局部算子物理量，$c_{H,k}$ 仅依赖局部域几何，二者均与 $\\delta$ 无关。当 $\\delta\\to0$ 时 $C_{\\delta,k}\\to1$，表明界面耦合增强。这些估计是证明 Schur 补谱性质、进而得到 GMRES 迭代次数估计的关键。\n由于在协调情形下 ICDD 格式与 SRAS 一致，上述收敛估计也直接给出 SRAS 方法在二维、$hp$-FEM 离散下的收敛率。再结合 [8] 中 SRAS 与 RAS 的等价性，本文结果为 RAS 方法提供了收敛估计，这是此前文献中缺乏的。作者在引言中明确指出：“In those cases where ICDD and SRAS coincide, the theory developed here advances the state of the art by providing a convergence rate for the latter method as well.” 并且“Given the equivalence between SRAS and RAS discussed above, our results also apply to the RAS method.”\n作者还报告了数值实验，验证理论预测，并观察到大系数跳跃时 ICDD 的收敛率趋于失去对 $\\delta$ 的依赖：跳跃越大，迭代次数越低，对 $\\delta$ 的依赖越弱。这一现象在摘要中以数值观察形式给出：“the larger the jump, the lower the number of iterations and the weaker the dependence on $\\delta$.” 此外，数值结果还显示收敛率实际上似乎独立于 $p$，尽管理论估计中含 $p^{3/2}\\log p$；这是数值观察，严格证明的估计仍为 $\\mathcal{O}(\\delta^{-1}p^{3/2}\\log p)$。需要区分：严格证明的结论是 GMRES 迭代次数上界；数值观察包括对 $p$ 的独立性和对系数跳跃的弱化依赖。从提供内容中无法确认第 4 节中 GMRES 估计的具体定理编号和完整证明细节。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 主要技术障碍在于 ICDD 的界面 Schur 补矩阵 $\\Sigma$ 非对称，因此条件数不能直接控制 GMRES 的收敛行为；需要估计 GMRES 残差多项式在谱上的表现，或者使用非对称矩阵的字段值 (field of values) 分析。作者采用 [18,30] 的 GMRES 收敛理论，将迭代次数估计转化为对 Schur 补矩阵谱性质或字段值的估计。\n第一个关键工具是调和延拓的内部迹的尖锐 $L^2$ 估计。连续层面，界面控制到另一界面的传播由状态解的迹控制。作者证明 Theorem 1，给出 $C_M(t)$ 的显式表达式，其中依赖域尺寸 $H$、系数 $\\nu,\\gamma$ 和重叠宽度相关变量 $t$。该结果源于 [27] 的更一般引理，但本文的创新在于显式追踪常数对 $H$、$\\nu,\\gamma$ 和 $t$ 的依赖，特别是当 $t$ 接近 $H_x$（即重叠宽度 $\\delta=H_x-t$ 很小时）给出非常尖锐的界。Corollary 2 进一步在 Assumption 1 下将跨界面传播估计写成 $C_{\\delta,k}$，其结构显示当 $\\delta\\to0$ 时 $C_{\\delta,k}\\to1$，从而界面耦合增强，这最终导致 GMRES 迭代次数随 $\\delta^{-1}$ 增长。具体地，$C_{\\delta,k}$ 的分母含 $\\delta\\frac{\\|\\nu_k\\|_\\infty}{\\nu_k}+c_{L,k}c_{H,k}$，分子含 $\\delta(\\frac{\\|\\nu_k\\|_\\infty}{\\nu_k}-1)+c_{L,k}c_{H,k}$，当 $\\delta$ 很小时二者接近，因此 $C_{\\delta,k}$ 接近 1；但 $1-C_{\\delta,k}$ 的行为与 $\\delta$ 成正比，这给出了衰减率。\n第二个关键工具是对 ICDD Schur 补矩阵的谱估计。利用 $\\Sigma=I-T_\\Gamma+T_0 A_{II}^{-1}A_{I\\Gamma}$（协调时 $\\Sigma=I+R_{\\Gamma I}A_{II}^{-1}A_{I\\Gamma}$），作者将 Schur 补的谱与局部子问题的解算子以及界面迹的传播联系起来。$A_{II}^{-1}A_{I\\Gamma}$ 对应于在子域内以单位 Dirichlet 数据求解局部问题并在界面观测其解；再通过 $R_{\\Gamma I}$ 限制到另一界面。上述调和延拓迹估计给出了该复合算子的 $L^2$ 范数界。结合有限元逆估计和 $hp$-FEM 的逼近性质，可以得到 Schur 补矩阵的谱聚集区域或字段值包含关系。摘要明确指出“novel spectral estimates for the Schur complement matrix of ICDD”是核心贡献。从提供内容中无法确认完整的谱定理证明细节，但可以推断其思路是将 $\\Sigma$ 分解为 $I$ 加上一个由跨界面传播算子构成的扰动，并利用 $C_{\\delta,k}$ 和 $p$ 的显式依赖控制该扰动的谱半径或字段值，从而应用 GMRES 收敛理论。\n第三个工具是 $hp$-FEM 离散的节点选择与质量矩阵性质。Assumption 2 要求使用 Legendre-Gauss-Lobatto (LGL) 节点（单纯形内部用 electrostatic 点），四边形时张量积 LGL 节点。作者指出这能保证 Lebesgue 插值常数较小、稳定性更好，并且四边形时插值节点与 LGL 求积节点一致，可高效组装刚度矩阵和质量矩阵，降低计算成本。文中提到 Assumption 2 用于建立质量矩阵的性质（如 Lemma 4）。这些性质可能在谱等价和逆估计中用于控制 $L^2$ 范数与节点值向量之间的关系，从而将连续估计转化为矩阵谱估计。例如，质量矩阵的谱等价可给出节点值向量的 $\\ell^2$ 范数与有限元函数 $L^2$ 范数之间的双向界，使得连续层面的 $L^2$ 估计能转化为 Schur 补矩阵的范数或谱界。\n第四个工具是代数消元与 Schur 补框架。从离散最优性系统 (23) 或协调情形 (31) 中消去内部自由度 $u_k^0$，得到界面控制变量 $\\lambda$ 的 Schur 补系统。该系统的矩阵向量乘只需解局部 Dirichlet 问题，因此分析可以聚焦于界面算子。作者还给出 dual ICDD 方法的代数形式 (33)，并指出对偶问题可解释为预处理步骤，能改善极薄重叠时的稳定性；但本文的主要分析针对无对偶问题的 ICDD。dual ICDD 的矩阵结构更复杂，包含额外的对偶未知量 $p_1^0,p_2^0$，作者未在主要收敛率分析中展开。\n创新点总结：首次为 ICDD 建立代数收敛率理论；给出显式依赖于 $\\delta$ 和 $p$、独立于 $h$ 的 GMRES 迭代次数估计；提出新的 Schur 补谱估计和尖锐的调和延拓迹估计；在协调情形下将结果推广至 SRAS 和 RAS。技术障碍的突破依赖于将连续层面的界面传播估计与矩阵谱分析结合，并利用 GMRES 的非对称收敛理论绕过条件数。需要指出，作者明确区分了严格证明的估计与数值观察：理论估计为 $\\mathcal{O}(\\delta^{-1}p^{3/2}\\log p)$，而数值上观察到对 $p$ 的独立性以及对大系数跳跃时对 $\\delta$ 依赖的减弱，这些是启发式/数值现象，而非已证明的定理。\n4. 与之前工作的比较 与经典重叠 Schwarz 方法相比，ICDD 是一种基于最优控制框架的重叠区域分解方法，控制变量取为界面上的 Dirichlet 迹，观测也在界面上。经典重叠 Schwarz 方法（如 Additive Schwarz、RAS）通常在体积自由度上操作，利用原变量的连续性作为耦合条件；而 ICDD 只引入界面控制，不需要额外 Lagrange 乘子或对偶变量，局部求解器可作为黑箱，因而非侵入性更强。ICDD 与 SRAS 的关系是本文比较的关键：在离散协调时，本文所考虑的 ICDD 格式与 SRAS 一致；但 SRAS 此前缺乏收敛分析。本文通过 ICDD 的 Schur 补分析间接给出了 SRAS 在二维的收敛估计。再通过 [8] 中 SRAS 与 RAS 的已知等价性，结果也适用于 RAS。作者在引言中明确说：“In those cases where ICDD and SRAS coincide, the theory developed here advances the state of the art by providing a convergence rate for the latter method as well.”\n与 RAS 的已有收敛分析相比：RAS 的收敛分析在 [19] 中针对 M 矩阵，用加权最大范数证明了收敛，但没有显式给出对重叠宽度 $\\delta$ 的依赖；[31] 在系统矩阵对应于 1D Laplace 方程二阶中心差分离散时，证明了带粗网格的 RAS 收敛率约为 $(1+H/h)$，其中 $H$ 为子域尺寸，$h$ 为网格尺寸。这些分析局限于一维、特定差分格式或 M 矩阵，对不连续系数、更一般的离散和二维/三维区域仍是开放问题。本文在二维、可能不连续系数、$hp$-FEM 离散、协调网格的设定下，给出了 ICDD/SRAS 的 GMRES 迭代次数估计 $\\mathcal{O}(\\delta^{-1}p^{3/2}\\log p)$，显式依赖于 $\\delta$ 和 $p$，且独立于 $h$。这一结果推进了适用范围：从 M 矩阵/一维差分到二维椭圆问题的不连续系数和 $hp$-FEM；从无显式 $\\delta$ 依赖到显式 $\\delta^{-1}$ 依赖；从条件数分析到非对称 GMRES 收敛分析。\n与 ICDD 自身已有工作相比：ICDD 方法此前在 [14,16,15,13,12] 等中被提出并应用于各类偏微分方程，其适定性通过最优控制理论在 [14] 中证明。但此前没有迭代求解器的收敛率分析。本文填补了这一空白，首次给出 ICDD 的代数收敛估计。此外，ICDD 最初的最优性系统包含两对 PDE（两个原始问题和两个对偶问题）加两个界面方程；本文分析的是不含对偶问题的 ICDD 格式（系统 (10)），而在极薄重叠时 dual ICDD 可能稳定性更好但更昂贵。作者在引言中说：“When the overlap width is really tiny, solving the optimality system of ICDD with the dual problems performs better than solving the optimality system without dual problems, but it is, in general, more expensive, so we omit them in the formulation considered in this work.” 本文的主要理论结果针对无对偶问题的 ICDD；dual ICDD 的收敛分析未在提供内容中展开，作者也未显式比较两者的收敛率。\n局限与代价：本文的收敛估计在 Assumption 1 下要求两个子域为相同尺寸的矩形、界面为竖直平行线段、$\\delta\\ll H_x$；在 Assumption 2 下要求局部网格仿射正则拟一致、节点为 LGL/electrostatic 点；最关键的是要求重叠区域上的离散协调（网格和多项式阶一致），此时 $T_\\Gamma=0$，Schur 补具有简化形式。对非协调网格、一般区域、三维情形、以及不满足 Assumption 1 的几何，理论分析尚未覆盖。此外，GMRES 迭代次数估计是最坏情况上界，数值实验显示实际收敛率可能独立于 $p$，且大系数跳跃时对 $\\delta$ 的依赖减弱，这说明理论估计在系数跳跃很大时可能偏保守。作者未显式展开与 dual ICDD 的收敛比较，也未给出非协调情况的严格结果。从提供内容中无法确认该等价性在非协调或更一般情形是否仍成立。\n与 SRAS/RAS 的比较中还应注意：虽然 ICDD 与 SRAS 在协调情形下数学等价，但两者的线性系统维度和实现不同；SRAS 只涉及界面自由度，而 RAS 涉及体积自由度。本文的估计通过等价性传递到 RAS，但需要假设对应的离散和重叠几何满足本文条件。作者在引言中明确将本文定位为对 SRAS 和 RAS 的推进，并指出 RAS 的既有分析在 [19] 和 [31]，而“the analysis with discontinuous coefficients, more general discretizations, and 2D and 3D domains is still an open problem”。本文在二维、不连续系数、$hp$-FEM 协调离散的设定下给出了部分回答，但三维和非协调情形仍开放。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 关于超临界流体压力平衡保持（Pressure-Equilibrium-Preserving）数值通量的存在性 On the Existence of Pressure-Equilibrium-Preserving Numerical Fluxes for Supercritical Fluids\n作者: Robin Ben Klein\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17492v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17492v1\n摘要翻译 中文标题: 关于超临界流体压力平衡保持（Pressure-Equilibrium-Preserving）数值通量的存在性\n摘要翻译: 在这项工作中，我们为超临界流体的保持压力平衡（PEP）的数值通量函数提出了一个新的存在性定理。特别地，我们刻画了满足一个代数 PEP 性质的相容数值通量函数的存在性。我们的理论将 PEP 格式的存在性与描述流体热力学的状态方程（equation of state）的几何性质联系起来。当这些几何性质在同一等压线（isobar）上的一对状态处失效时，在所考虑形式的任何 PEP 格式都不能存在于包含这些状态的区域上。在我们的分析中，状态方程本身可以完全一般，只需满足一些基本热力学原理。最近，针对一般状态方程的 PEP 相容性条件已被推导出来 \\cite{channodal}，这些条件依赖于某些热力学导数的存在性，而这些导数在基本热力学原理下不保证有定义。我们理论中的几何条件不依赖于这些导数的存在性，并在这些导数有定义的情形下重新得到最近的相容性条件。最后，我们通过数值实验对两种超临界流体表明，我们的存在性条件是限制性的，因此对于这些流体，在所指定的区域上不存在我们所考虑形式的 PEP 格式。利用我们的几何视角，我们还揭示了 PEP 格式可能产生数值问题的机制，并通过数值实验对此进行了演示。\n2. 用于捕捉不可压缩湍流宏观行为的无导数框架 A derivative-free framework for capturing macroscopic behavior of incompressible turbulent flows\n作者: Jihun Han, Yoonsang Lee\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17323v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17323v1\n摘要翻译 中文标题: 用于捕捉不可压缩湍流宏观行为的无导数框架\n摘要翻译: 无导数损失方法 (DFLM) 是一种无网格神经网络方法，通过模拟随机游走者而不是直接计算导数来求解偏微分方程。尽管 DFLM 先前已应用于 Navier\u0026ndash;Stokes 方程，但将其推广到湍流时暴露出其最简单实现的两个局限性。游走者没有考虑流动的旋涡式、方向性拉伸运动，并且随机采样用于评估目标的游走者会给学习到的解引入噪声。我们利用对游走者局部运动的解析近似来解决这两个局限性，该近似捕捉方向拉伸并消除这种采样噪声，同时保持计算高效。我们将所得方法作为一种非侵入式多尺度求解器进行研究，该求解器能够学习宏观流动行为，而无需在细网格上解析每个尺度，也无需显式耦合粗尺度和细尺度模型。对于两个湍流二维流动，所提方法比标准方法更准确地再现完全解析参考模拟的宏观能谱，特别是在方向拉伸最强之处，从而证实了 DFLM 作为湍流流体系统多尺度求解器的有效性。\n3. 高维输运方程的分片常数稀疏网格间断 Galerkin 方法的尖锐 CFL 条件 The sharp CFL condition of the piecewise constant sparse grid discontinuous Galerkin method for high-dimensional transport equations\n作者: Juntao Huang\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17312v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17312v1\n摘要翻译 中文标题: 高维输运方程的分片常数稀疏网格间断 Galerkin 方法的尖锐 CFL 条件\n摘要翻译: 我们建立了用于任意维周期区域上常系数输运方程的分片常数稀疏网格间断 Galerkin (DG) 方法（采用前向 Euler 时间步进）的尖锐 CFL 条件。对于输运速度 $\\boldsymbol c=(c_1,\\ldots,c_d)$ 和尺寸为 $h$ 的均匀网格，我们证明该格式是 $L^2$ 稳定的当且仅当 $Δt \\leq {h}/{\\max_{1\\leq \\ell\\leq d}|c_\\ell|}$，而相应的全网格迎风格式众所周知需要 $Δt\\leq h/\\sum_{\\ell=1}^d |c_\\ell|$。因此，稀疏网格离散化将允许的时间步长放大了因子 ${(\\sum_{\\ell=1}^d |c_\\ell|)}/{(\\max_{1\\leq \\ell\\leq d}|c_\\ell|)}$，该因子介于 $1$ 和 $d$ 之间，并在各向同性输运时达到 $d$。充分性的证明依赖于多层 Haar 分解的投影泄漏恒等式，这些恒等式允许能量估计中的混合方向项被稀疏网格投影所丢弃的能量吸收。尖锐性的证明来自一维最细层上的交替模式。作为副产物，我们得到了放大算子的 $L^2$ 算子范数和谱半径的显式公式。对于一般下闭指标集上的空间，我们推导了一个显式充分 CFL 条件及其尖锐性的几何准则。二维和四维数值实验证实了理论结果。\n4. 用于高阶全局多迹积分方程的准 Helmholtz Calderón 乘性预条件 Quasi-Helmholtz Calderón Multiplicative Preconditioning for Higher-Order Global Multi-Trace Integral Equations\n作者: Cedric Münger, Alessandro Zuccotti, Van Chien Le, Kristof Cools\n类别: cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17252v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17252v1\n摘要翻译 中文标题: 用于高阶全局多迹积分方程的准 Helmholtz Calderón 乘性预条件\n摘要翻译: 本文给出了一种用于复合目标时谐电磁散射的高阶全局多迹积分方程。该高阶多迹格式采用基于高阶准 Helmholtz 投影算子的 Calderón 乘性预条件器进行预条件。高阶准 Helmholtz 投影算子将基函数的无散和非无散分量分离。对 Helmholtz 分量的分别访问避免了对病态混合 Gram 矩阵的显式求逆。这使得能够应用 Calderón 乘性预条件，而无需细化网格，也无需诉诸对偶基函数。此外，它实现了低频稳定化，因为无散和非无散分量可以分别重新缩放。高阶准 Helmholtz 投影算子通过迭代计算，使得迭代求解器能够高效求解预条件后的矩阵系统，在几十次迭代内得到准确解。针对复合介质体进行了数值实验，验证了所提预条件器对于使用高阶基函数离散的全局多迹格式在稠密网格和极低频率下的有效性。\n5. 基于有限测试与神经代理模型的边界数据材料系数潜空间反演 Latent Inversion of Material Coefficients from Boundary Data via Finite Tests and Neural Surrogates\n作者: Erik Burman, Mats G. Larson, Karl Larsson, Jonatan Vallin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17137v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17137v1\n摘要翻译 中文标题: 基于有限测试与神经代理模型的边界数据材料系数潜空间反演\n摘要翻译: 我们从有限多个边界激励中重建标量椭圆方程中的空间变化材料系数，每个激励产生完整的 Dirichlet 迹。为缓解不适定性和重复求解 PDE 的成本，我们将系数限制在一个低维族中，该族可解析指定或从样本中学习，并在其潜坐标中求解反问题。我们考虑一个具有 (m) 个潜坐标且在参考点处导数为满秩的 (C^1) 参数化。如果连续线性化 Neumann-to-Dirichlet 映射在相应的切空间上单射，则至多 (m) 个激励就足以实现局部单射性和 Lipschitz 稳定性。系数灵敏度的收敛性随后将这种稳定性传递到协调有限元离散化。对于足够细的网格，稳定性常数和邻域可以选得与网格尺寸无关。在局部残差比较条件下，代理正演映射的一致精度产生系数误差界，将表示误差、数据噪声、有限元误差和代理误差分离。导数精度还保持代理模型自身的局部稳定性。所有稳定性结论都相对于参考系数局部成立。二维数值实验将夹杂物和类裂纹系数的解析表示与学习表示同神经正演代理模型相结合。它们展示了潜空间重建、降低的在线成本，以及来自可选基于 FEM 的细化的进一步改进。\n6. 用于多边形网格上 Reissner\u0026ndash;Mindlin 板问题的一个基于 BGG 的任意阶离散格式 An arbitrary-order BGG-based discrete scheme for the Reissner\u0026ndash;Mindlin plate problem on polygonal meshes\n作者: Arax Leroy\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17122v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17122v1\n摘要翻译 中文标题: 用于多边形网格上 Reissner\u0026ndash;Mindlin 板问题的一个基于 BGG 的任意阶离散格式\n摘要翻译: 针对一般多边形网格上的 Reissner\u0026ndash;Mindlin 板问题，我们设计并分析了一种任意阶数值格式。该格式由与离散 Bernstein\u0026ndash;Gelfand\u0026ndash;Gelfand (BGG) 扭曲复形相关联的 Hodge\u0026ndash;Laplacian 导出，并利用了横向位移的一种基于离散 $H_2$ 的构造。我们为底层的离散 de Rham 方法 (DDR) 空间建立了一个离散 Korn 不等式，并证明了该方法的收敛性。在最低阶时，分析给出了一个关于板厚一致的误差估计，表明该格式是无锁定的。在若干族多边形网格上的数值实验支持了理论结果，并展示了横向位移离散化增强连续性所带来的优势。\n7. 一种 Reynolds 半鲁棒、全局无散度的 E-HDG/IMEX-SAV 方法，用于 Navier-Stokes 方程的变分初始状态数据同化 A Reynolds-Semi-Robust, Globally Divergence-Free E-HDG/IMEX-SAV Method for Variational Initial-State Data Assimilation of the Navier-Stokes Equations\n作者: Ya Min, Xian Zhang, Xiaoping Xie\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17096v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17096v1\n摘要翻译 中文标题: 一种 Reynolds 半鲁棒、全局无散度的 E-HDG/IMEX-SAV 方法，用于 Navier-Stokes 方程的变分初始状态数据同化\n摘要翻译: 本文针对由非定常不可压缩 Navier-Stokes 方程支配的变分初始状态数据同化，发展了一种嵌入式杂交间断 Galerkin (E-HDG) 方法，并将其与一阶隐式-显式标量辅助变量 (IMEX-SAV) 时间离散相结合。我们采用先优化后离散 (optimize-then-discretize) 策略。空间离散对单元速度和压力分别使用次数为 $k$ 和 $k-1$ 的间断分片多项式，一个连续次数-$k$ 的速度迹，以及一个间断次数-$k$ 的压力迹。所得状态速度和伴随速度，以及重构的初始速度，都是全局无散度的。前向 IMEX-SAV 状态格式是无条件能量稳定的。在适当的正则性和局部轨迹假设（其界不引入黏度的显式负幂）、网格相关条件 $Δt\\lesssim h^2$ 以及 Tikhonov 参数的收缩性条件下，我们建立了全离散 OTD 最优性系统的局部存在唯一性，以及状态、伴随和重构初始速度的 Reynolds 半鲁棒 $L^2$ 误差估计，其阶为 $O(h^k+Δt)$；常数中不包含黏度的显式负幂。数值实验在光滑测试上确认了收敛性，并展示了机器精度级别的离散不可压缩性、有效的非线性求解器行为，以及在小黏度情形下的稳定性能。\n8. 保持双线性的代数通量修正 Bilinearity Preserving Algebraic Flux Correction\n作者: Sarthak Sourav Dash, Abhinav Jha\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16830v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16830v1\n摘要翻译 中文标题: 保持双线性的代数通量修正\n摘要翻译: 对流\u0026ndash;扩散\u0026ndash;反应方程的代数通量修正格式依赖于线性保持性，以避免不必要的人工扩散：只要离散解是仿射的，限制器就不起作用。在四边形和六面体网格上，这是不够的，因为有限元空间还包含在轴对齐网格上可被精确重构的双线性函数。我们证明，一个网格片具有双线性保持性当且仅当在将每个相邻节点按其坐标差的乘积提升之后，中心节点位于其相邻节点的凸包中；并且当单元边平行于坐标轴时，我们在此类网格片上推导出限制器参数的一个精确的显式值。我们进一步刻画了映射双线性有限元空间能够精确重构双线性函数的网格，从而确立了任何限制器在一般四边形上所能达到效果的一个根本局限。数值实验验证了该理论：在轴对齐网格上，所提出的限制器能够将双线性解重构到非线性迭代的精度，而保持线性性的限制器则不能。一项敏感性研究表明，实现双线性保持所需的参数接近本文所考虑的不动点迭代能够求解该非线性问题的范围的上端。\n9. 变系数双调和问题的无矩阵增广高阶紧致求解器 A Matrix-free Augmented High Order Compact Solver for Variable-Coefficient Biharmonic Problems\n作者: Jin Li, Kejia Pan, Xu Qian, Li-Lian Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16478v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16478v1\n摘要翻译 中文标题: 变系数双调和问题的无矩阵增广高阶紧致求解器\n摘要翻译: 我们提出一种用于具固支边界条件和变系数的双调和方程的增广高阶紧致有限差分方法。标准混合型格式引入一个辅助变量，但其边界值不可得，使得所得离散系统全局耦合，在大规模下难以求解。我们的关键贡献是发展了一种新的增广格式，将这些不可得的边界值视为额外未知量，将全局耦合约化为一个低维 Schur 补系统，并得到解耦的二阶子问题。Schur 补通过无矩阵 GMRES 求解，而子问题由基于 FFT 的快速求解器处理。该方法使用紧致模板达到四阶精度，并具有 $O(n\\log n)$ 的计算复杂度，使得能够在几分钟内求解具有 $1024^3$ 自由度的双调和方程。据我们所知，这种水平的计算效率此前在文献或实践中均未达到。利用能量估计和 Fourier 分析，我们为具有不精确 Dirichlet 边界的 Poisson 方程推导了一个新的 $L^2$ 估计，然后证明了所提格式的收敛性。我们提供了大量数值实验以验证其精度、效率，并进一步将该快速且精确的求解器应用于三调和方程、高波数问题、Stokes 流和板弯曲问题。\n10. 求解偏微分方程的物理信息随机特征神经网络 Physics Informed Random Feature Neural Networks for Solving PDEs\n作者: Chi-An Chen, Chunyang Liao, Ming Zhong\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-09-14\narXiv ID: 2609.16406v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16406v1\n摘要翻译 中文标题: 求解偏微分方程的物理信息随机特征神经网络\n摘要翻译: 基于机器学习的偏微分方程 (PDEs) 求解器近年来引起了广泛关注。该领域的大多数进展由深度神经网络推动，例如物理信息神经网络 (PINNs) 和核方法（如物理信息高斯过程）。我们引入一种物理信息随机特征方法，用于对抗基于 PINN 的求解器在某类偏微分方程中面临的部分谱偏置。随机特征方法最初被提出用于逼近大规模核机器，并可视为一种专门的随机化神经网络。与其他需要大量配点的最先进的基于 PINN 的求解器相比，我们提出的方法降低了计算复杂度。本文中，我们建立了严格的逼近误差分析，并推导了 $H^1$ 范数上的高概率误差界。我们提供了广泛的数值实验，以验证我们关于误差衰减率的理论保证，以及若干比较实验，以展示我们所声称的在这些基于深度学习的方法中对抗谱偏置的能力。\n不相关论文（基本信息） 1. 随机 Volterra 方程的马尔可夫逼近在 Hölder 范数下的收敛性 Convergence in Hölder norms for Markovian approximations of stochastic Volterra equations\n作者: Noé Corneille, Kristin Kirchner, Pietro Pezzoli Frigerio\n类别: math.PR, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17472v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17472v1\n摘要: We bound the difference between two stochastic Volterra processes with identical Lipschitz coefficients but different kernels. For non-convolution kernels, we establish estimates in $C^0([0,T];L^p(Ω))$, $p\\geq 2$, and for convolution kernels in $L^p(Ω;L^q(0,T))$, $q \\in [1,p]$, and $C^β([0,T];L^p(Ω))$, $L^p(Ω;C^β([0,T]))$, where the range of the Hölder exponent $β\\in (0,1]$ is the maximal permitted by the regularity of the processes. For the fractional kernel, we then construct Markovian approximations whose error we show to decay as $e^{-a\\sqrt{N}}$ in the aforementioned norms, using an $N$-node quadrature based on sinc methods. Numerical experiments for the fractional Brownian motion verify our findings.\n2. 面向大规模反问题的一种可证明收敛的 MM-GKS 变体 A provably convergent MM-GKS variant for large-scale inverse problems\n作者: Mirjeta Pasha, Eric de Sturler, Misha Kilmer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17229v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17229v1\n摘要: For high-quality images with sharp edges, a popular choice for edge-preserving regularization is using a general(ized) $\\ell_q$-norm of the gradient of the image. This can be implemented efficiently using the $\\ell_2$-norm and a sequence of weighted gradients, with weights derived from the current solution estimate. We can solve the resulting sequence of regularized least squares problems using hybrid Krylov subspace methods, which efficiently compute the regularization parameter using the problem projected on the Krylov subspace. However, each update of the regularization operator requires a new Krylov subspace. The majorization-minimization generalized Krylov subspace method (MM-GKS) addresses this problem by using a single, generalized, Krylov subspace (GKS). Unfortunately, for large-scale problems, if convergence is not fast, MM-GKS has overwhelming memory requirements and computational costs. We propose a variant of MM-GKS that alternately compresses and expands the search space while maintaining strict monotonic convergence. We show that our method provably converges to the minimum of the selected functional, even if the search space dimension is kept very small. This substantially improves on previous theoretical results for MM-GKS, where the convergence proof relies on the basis for the solution space (eventually) spanning the full space. We show that our method can solve large-scale problems efficiently both in terms of memory requirements and computational complexity. We further generalize our proposed method to handle streaming problems, where the data is either not all available simultaneously or needs to be treated as such because of the extreme memory requirements. We use numerical examples from image deblurring, dynamic photoacoustic tomography, and streaming X-ray computed tomography (CT) to illustrate the effectiveness of our proposed methods.\n3. 迈向 Pólya 猜想：通过能量正交性改进单个 Li-Yau 界 Toward Pólya\u0026rsquo;s Conjecture: Improving the Individual Li-Yau Bound via Energy Orthogonality\n作者: Yifan Wang, Hehu Xie\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17219v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17219v1\n摘要: We establish two complementary lower-bound mechanisms for individual eigenvalues of the Dirichlet Laplacian. First, energy orthogonality yields a frequency-dependent cap on the Fourier density of a finite spectral projection. Combining this cap with the standard $L^2$ Bessel estimate and a radial-capacity bathtub principle gives, on every open set of finite positive measure in $\\mathbb R^n$ with $n\\geq2$, [ λ_k\\geq c_n(2π)^2ω_n^{-2/n}|Ω|^{-2/n}k^{2/n}, \\qquad \\frac{n}{n+2}\u0026lt;c_n\u0026lt;1. ] The constant $c_n$ is characterized by a scalar equation, with $c_2=0.5383068077\\ldots$. This estimate preserves Weyl scaling and strictly improves the individual consequence of the Li-Yau sum inequality, although it does not improve the sharp leading coefficient in that sum inequality. Second, we retain part of the spectral deficit discarded when an eigenvalue sum is bounded by its largest term. A lower bound for the counting function, integrated through the exact first Riesz-mean identity, leads to a strictly monotone scalar equation. Its unique positive root is no weaker than the volume-only bound, and we give necessary and sufficient criteria for strict improvement over both that baseline and any independent lower bound. Quantitative estimates of Jiang-Lin provide an explicit implementation on bounded Lipschitz domains. The final comparisons and numerical example distinguish improvements within this framework from stronger estimates available under additional geometric or spectral assumptions.\n4. 时间因果带通小波的框架界与带宽铺砌 Frame bounds and bandwidth tiling for time-causal bandpass wavelets\n作者: Jens E. Pedersen, Tony Lindeberg, Peter Gerstoft\n类别: eess.SP, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17201v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17201v1\n摘要: Wavelets and frames that provide strong guarantees for signal representations are a cornerstone in signal processing theory, but have long been restricted to non-causal settings. Recent work extended wavelet analysis to time-causal systems that operate on streaming signals, with exact reconstruction and time-recursive implementations. However, the frame guarantees that make such representations reliable under noise and quantization are uncharacterized. We derive closed-form frame bounds and conditioning on band-limited domains, peak frequencies, constant-Q bandwidth tiling, and spectral decay rates for time-causal bandpass wavelets. Our work provides design rules for the scale ratio and channel count, which we validate numerically against discrete implementations of the causal wavelets in terms of recursive filters.\n5. Hamilton\u0026ndash;Jacobi\u0026ndash;Bellman 方程的边界停止正求积格式的误差界 Error Bounds for Boundary-Stopped Positive Cubature Schemes for Hamilton\u0026ndash;Jacobi\u0026ndash;Bellman Equations\n作者: Haoran Xu, Xingye Yue\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17186v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17186v1\n摘要: We derive error bounds for a boundary-stopped positive cubature scheme for degenerate parabolic Hamilton\u0026ndash;Jacobi\u0026ndash;Bellman equations with Dirichlet data on bounded domains. The scheme balances antipodal branches at their first boundary contacts and uses a control-dependent effective time. Its stopped-barrier remainder is (O(τΔt^{γ/2})), and the total mass of interpolated branches is at most (2τ/Δt), where (τ) is the effective time. After division by the effective time, these estimates give a consistency bound that is uniform as (τ\\to0). Under a common strict boundary barrier and the stated mesh conditions, interior consistency, coefficient shaking, switching, and localized comparison yield [ |(u-u_h)^+|\\infty\\le C(Δt^{1/4}+hΔt^{-1/2}), \\qquad |(u_h-u)^+|\\infty\\le C(Δt^{1/10}+h^{1/2}Δt^{-1/4}). ] Thus (Δt\\asymp h^{10/7}) gives an (O(h^{1/7})) maximum-norm bound. The analysis applies to any fixed centrally symmetric positive degree-two cubature and permits rank-deficient diffusion. Numerical examples examine parallel heat loss to a cold wall and control-dependent, rank-deficient diffusion.\n6. 基于随机动态模态分解和深度学习的高保真数字孪生数据模型及其在流体力学中的应用 High-Fidelity Digital Twin Data Models by Randomized Dynamic Mode Decomposition and Deep Learning with Applications in Fluid Dynamics\n作者: Diana A. Bistrian\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17101v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17101v1\n摘要: The purpose of this paper is the identification of high-fidelity digital twin data models from numerical code outputs by non-intrusive techniques (i.e., not requiring Galerkin projection of the governing equations onto the reduced modes basis). In this paper the author defines the concept of the digital twin data model (DTM) as a model of reduced complexity that has the main feature of mirroring the original process behavior. The significant advantage of a DTM is to reproduce the dynamics with high accuracy and reduced costs in CPU time and hardware for settings difficult to explore because of the complexity of the dynamics over time. This paper introduces a new framework for creating efficient digital twin data models by combining two state-of-the-art tools: randomized dynamic mode decomposition and deep learning artificial intelligence. It is shown that the outputs are consistent with the original source data with the advantage of reduced complexity. The DTMs are investigated in the numerical simulation of three shock wave phenomena with increasing complexity. The author performs a thorough assessment of the performance of the new digital twin data models in terms of numerical accuracy and computational efficiency.\n7. 在HLL型多状态近似Riemann解中加入慢磁声模式 Adding slow magnetoacoustic mode to the HLL-type multi-state approximate Riemann solution\n作者: Fan Zhang, Stefaan Poedts, Andrea Lani\n类别: physics.comp-ph, astro-ph.IM, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17049v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17049v1\n摘要: Multi-state HLL-type approximate Riemann solutions of ideal magnetohydrodynamics (MHD) typically assume that the medium within the Riemann fan is incompressible, and thus the slow magnetoacoustic mode cannot be included in their space-time wave configurations for the approximated states. We propose a new strategy to design multi-state HLL-type approximate solutions, allowing for the medium within the Riemann fan to be compressible. In particular, for the complete seven-wave configuration of the MHD Riemann problem, we first estimate the slow magnetoacoustic speeds and a longitudinal flow speed between the slow modes, and then follow the conservation laws and Rankine-Hugoniot jump relations across the fast, Alfvén, and slow waves, to calculate all the intermediate states within the Riemann fan. Moreover, we discuss the solutions when certain wave modes degenerate, ensuring well-posedness and smooth transitions between complete and degenerate wave configurations. Numerical simulations using a Finite Volume (FV) solver show that the proposed approximate Riemann solution is less diffusive than the classic HLLD scheme, particularly for slow mode waves. For example, in a 1D test case with a strong longitudinal magnetic field, the new scheme needs one order of magnitude fewer grid cells compared to the classic HLLD scheme to resolve all wave modes.\n8. 近乎最优的非凸矩阵补全 Near-Optimal Nonconvex Matrix Completion\n作者: Jian-Feng Cai, Xiliang Lu, Juntao You\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17048v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17048v1\n摘要: We study nonconvex methods for matrix completion, the problem of recovering a low-rank matrix from a subset of its entries. Convex methods achieve sample complexity linear in the matrix dimension and the rank, up to logarithmic factors, whereas global guarantees for commonly used nonconvex methods require a higher polynomial dependence on the rank. We close this gap by analyzing Riemannian gradient descent (RGD) and Riemannian Gauss\u0026ndash;Newton (RGN) methods. For an $n\\times n$ matrix of rank $r$ with incoherence parameter $μ$ and condition number $κ$, the two methods achieve exact recovery with high probability from $O(μnr\\log n\\log(nκ))$ and $O(μnr\\log n\\log(2μrκ))$ observations, respectively. The methods use a multiscale residual initialization, while the analysis simultaneously controls the spectral error and incoherence. The resulting RGD iterates converge linearly, whereas RGN eventually converges Q-quadratically.\n9. 从基于共识的优化到粒子群优化：漂移-扩散耦合下的收敛保证 From Consensus-Based Optimization to Particle Swarm Optimization: Convergence Guarantees under Drift-Diffusion Coupling\n作者: Franca Hoffmann, Dohyeon Kim, Ritvik Teegavarapu\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17002v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17002v1\n摘要: Particle swarm optimization (PSO) is a widely used algorithm featured in many state-of-the-art optimization tool-kits. However, rigorous performance guarantees are still lacking. The standard PSO dynamics do not admit a natural mean-field description, which would provide an avenue for theoretical analysis. By modifying the PSO formulation, one can recover the consensus-based optimization (CBO) algorithm with memory, which admits a mean-field limit and facilitates rigorous convergence analysis. These theoretical guarantees rely heavily on the fact that for CBO, the drift and noise strengths can be chosen independently, whereas they are coupled for PSO. We analyze how the PSO parameter coupling affects existing convergence guarantees for CBO and its variant with memory effect. We show, by an explicit construction, that the coupling still leaves a non-empty set of admissible parameters for these convergence guarantees to hold. However, the admissible parameter ranges shrink in the limits used to recover PSO. The resulting convergence guarantees from CBO therefore do not directly extend to the classical PSO model. We provide numerical simulations illustrating the parameter tradeoffs shown in the theoretical analysis.\n10. 准地转方程的非线性滤波稳定化 Nonlinear filtering stabilizations for the quasi-geostrophic equations\n作者: Lander Besabe, Sachin Kumar, Annalisa Quaini\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16983v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16983v1\n摘要: Numerical simulations of ocean flows typically require fine computational meshes to resolve the Munk scale, leading to high computational costs. Filtering-based large eddy simulation (LES) provides a way to relax the mesh size requirement by modeling the effects of the unresolved scales. For the implementation of this strategy, we propose a three-step algorithm called Evolve-Filter-Relax (EFR) that requires (i) the solution of a QGE problem, (ii) a nonlinear Helmholtz filter for the potential vorticity field leveraging an indicator function, and (iii) a final relaxation step. We show that the EFR algorithm can be interpreted as a splitting scheme for a perturbed QGE problem with additional dissipation and provide a practical choice for the relaxation parameter. For comparison, we also investigate a nonlinear Bardina regularization of the QGE. Numerical results on a classical benchmark show that both the EFR approach and the nonlinear Bardina regularization significantly improve the accuracy and stability of coarse mesh simulations with no LES model. Additionally, the EFR method with a deconvolution-based indicator function delivered the best balance between accuracy, stability, and computational efficiency in a test case involving a more realistic geometry (Mediterranean Sea).\n11. 超线性随机反应扩散方程的适定性、正则性与强逼近 Well-posedness, Regularity, and Strong Approximations of Superlinear Stochastic Reaction-Diffusion Equation\n作者: Zhihui Liu\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16979v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16979v1\n摘要: This paper develops a general framework for the well-posedness, regularity, and strong approximation of the stochastic reaction\u0026ndash;diffusion equation (SRDE) with superlinear drift and diffusion coefficients. We first extend the well-posedness results in \\emph{W. Liu and M. Röckner, J. Funct. Anal., 2902\u0026ndash;2922, 2010} and \\emph{W. Liu, J. Differential Equations, 572\u0026ndash;592, 2013} to the case of superlinear diffusion in the Gelfand triple (V \\hookrightarrow H \\hookrightarrow V^*), with (V) equipped with the norm (|\\cdot|_V), and derive a moment estimate by establishing a new Itô formula for (|X|_V^p) with general (p \\ge 2). We then apply this abstract result to the SRDE, establish higher spatial regularity (\\dot H^{1+γ}) for any (γ\\in [0,1]) whenever the initial datum lies in the same Sobolev space, and obtain temporal Hölder regularity. Finally, we construct a family of tamed finite element methods (tamed-FEMs) for the SRDE under general assumptions on the tamed functions, derive their long-time unconditional stability, and establish optimal strong convergence rates. To our knowledge, this is the first strong approximation result for SPDEs with superlinear diffusion coefficients.\n12. 基于SAV方法的能量稳定且保精度的有限体积格式及其在壁面距离计算中的应用 An energy stable and accuracy-preserving finite volume scheme based on the SAV method with application to wall-distance computation\n作者: Xiaorui Xu, Qian Wang\n类别: physics.comp-ph, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16885v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16885v1\n摘要: A novel semi-implicit second-order finite volume scheme integrating the scalar auxiliary variable (SAV) approach is proposed for solving the pseudo-time Eikonal equation in wall-distance computation. Unconditional energy stability under zero boundary conditions is rigorously proved, eliminating the dependence of the time step on the grid scale and enabling large-time-step computation. The scheme is a priori accuracy-preserving, and its discretization matrix forms an M-matrix, thereby guaranteeing strict non-negativity of the numerical solution inherently. The framework extends readily to any non-conservative scalar equation and, being independent of the specific finite-volume reconstruction, is compatible with schemes of arbitrary order of accuracy. A vanishing artificial viscosity is introduced to smooth the solution without compromising formal accuracy, and upwinding is incorporated through directional weighting in the weighted least-squares (WLS) reconstruction. Numerical experiments confirm that the scheme achieves the designed accuracy and permits stable computations with uniformly large time steps. For complex configurations such as a three-element airfoil and the three-dimensional ONERA M6 wing, accurate results are obtained on high-aspect-ratio grids, with relative errors in the computed wall distance below 3% relative to the search-based reference, except near geometric singularities.\n13. 通过流形插值与子空间更新的在线自适应非侵入式模型降阶：在流固耦合收敛加速中的应用 Online adaptive non-intrusive model reduction via manifold interpolation and subspace updates: application to FSI convergence acceleration\n作者: Azzeddine Tiba, Florian de Vuyst, Iraj Mortazavi\n类别: cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16876v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16876v1\n摘要: We introduce a novel online adaptive non-intrusive reduced-order modeling strategy for parameterized dynamical systems involving parameter and time-dependent reduced bases. The proposed framework is based on a unified Grassmann manifold formulation combining three key components: interpolation of local reduced subspaces for unseen parameters, geodesic online subspace updates driven by incoming high-fidelity snapshots, and a latent-space regression strategy relying on Grassmann-distance weighting and Procrustes alignment to consistently aggregate predictions from multiple local models. The adaptive reduced-order model is embedded in a partitioned fluid-structure interaction framework, where it predicts fluid interface forces to provide accurate initial guesses for the nonlinear coupling iterations, thus achieving computational speedups with no loss of accuracy. The reduced basis and the regression operators are adapted independently during the simulation and without requiring the storage of high-dimensional streaming data, preserving computational efficiency while substantially improving predictive capabilities. Numerical results on reference FSI test cases demonstrate superior accuracy with respect to static and global reduced-order models, leading to a significant reduction in the number of fixed-point iterations required for convergence. The proposed framework offers a flexible and fully non-intrusive approach for the efficient simulation of nonlinear parameter-dependent multiphysics problems.\n14. 用于热方程全时程 Runge\u0026ndash;Kutta 离散的混合精度求解器 Mixed precision solvers for the all-at-once Runge\u0026ndash;Kutta discretization of the heat equation\n作者: Santolo Leveque, Luca Bergamaschi, Ángeles Martínez, Erin Carson\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16863v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16863v1\n摘要: We study the effect of mixed precision on the numerical integration of the heat equation discretized with a Runge\u0026ndash;Kutta method in time. A full space-time discretization is applied, which results in a very large and sparse linear system to be solved for the numerical approximations and the Runge\u0026ndash;Kutta stages of all time steps. The linear system is solved by applying a suitable preconditioned iterative method that can be run in parallel. In order to speed up the solution process, the preconditioner is applied using a mixed precision framework. Sequential results show the robustness of the preconditioner, even when applied in mixed precision. Finally, we present numerical evidence of the improved performance of the mixed precision strategy when applied in a parallel environment, achieving up to a 50% reduction in CPU time.\n15. 状态约束策略迭代的罚参数一致局部化 Penalty-Uniform Localization for State-Constrained Policy Iteration\n作者: Yeongjong Kim, Jiwoong Jang, Yeoneung Kim\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16829v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16829v1\n摘要: Penalizing a state constraint creates a singular localization problem: whole-space values may grow like the inverse penalty parameter, while numerical diffusion allows even an inward feedback to cross the boundary. For deterministic discounted optimal control, we show how the penalty itself supplies confinement that offsets this growth. With mesh size $h$ and penalty parameter $\\varepsilon$, an inward barrier bounds the additional cost of numerical leakage by $O(h/\\varepsilon)$ for a monotone centered-difference scheme with vanishing viscosity. Under $h\\le\\varepsilon$, an occupation estimate then yields $O(h)$ localization error with a sufficient box margin logarithmic in $1/h$ and independent of $\\varepsilon$. We extend the result to bounded squared-distance penalties and combine it with residual-based evaluation bounds and discounted policy-error propagation. Under coupled refinement with vanishing penalization and discretization errors, explicit conditions on evaluation errors and greedy gaps ensure convergence of the neural value approximations to the constrained value, allowing measurable, nonunique greedy selectors. Reference calculations isolate leakage and localization across mesh and penalty scales, and distinguish evaluation, iteration, and approximation errors. An explicit cylindrical state-constraint solution provides a benchmark in arbitrary dimension, tested up to dimension twenty. Paired obstacle-navigation experiments illustrate why policy-value accuracy must be assessed alongside sampled residuals when comparing raw-residual and finite-grid-assisted neural evaluation.\n16. 一种适应学习到的多变量结构的加权核逼近方法 A Weighted Kernel Method for Approximation that Adapts to Learned Multivariable Structure\n作者: John E. Darges, Laura Weidensager\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16606v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16606v1\n摘要: Approximating the input-output behavior of a multivariable black-box function from limited data is challenging when blind to the importance of its inputs and their interactions. We introduce total sensitivity kernels (TSKs), a method based on families of weighted ANOVA kernels that learn and adapt to this multivariable structure. TSKs parameterize the weights on each multivariable component of the target function by factors for each input. We propose learning these factors directly from function evaluations by selecting the reproducing kernel Hilbert space (RKHS) in which the target function has minimum norm. Under suitable conditions, we show that this norm-minimization problem admits a unique solution, and we establish consistency of a finite-data formulation based on minimum-norm interpolation. The learned TSK factors characterize the participation of individual inputs across interactions and main effects, providing a kernel-dependent notion of input sensitivity related to total Sobol indices. Numerical experiments demonstrate that adapting the kernel to learned multivariable structure can substantially improve approximation accuracy over a standard product kernel.\n17. 结构驱动反演：求解反问题的一种新范式 Structure-Driven Inversion: A New Paradigm for Solving Inverse Problems\n作者: Shengchang Chen\n类别: math.NA, physics.geo-ph\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16536v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16536v1\n摘要: Inverse problems are predominantly solved within the optimization-driven paradigm, which formulates the problem as objective-function minimization and approaches the solution by iterative search. Though universal, it suffers from limitations in efficiency, interpretability, and multi-parameter decoupling. This paper proposes a new paradigm\u0026mdash;Structure-Driven Inversion (SDI). Instead of iterative search, SDI identifies and exploits the intrinsic structure of the problem to construct a solution method. It has two types of structure\u0026mdash;mathematical structure and physical structure\u0026mdash;and two corresponding driving inversion types: Mathematical Structure-Driven Inversion (MSDI) and Physical Structure-Driven Inversion (PSDI). The current representative method of MSDI is Mathematical Structure-Driven Pseudo-Inverse Inversion (MSDPII), which constructs a pseudo-inverse in the spectral domain via unitary diagonalization. The current representative methods of PSDI are Physical Structure-Driven Waveform Inversion Imaging (PSDWII), which performs inversion through virtual-source projection, and Physical Structure-Driven Back-Propagation (PSDBP), which implements three structural projections for deep neural networks via physical-system analogy. SDI is not a rejection but a complement and extension of Optimization-Driven Inversion (ODI). To the best of the author\u0026rsquo;s knowledge, no existing study has systematically presented structure-driven inversion as an independent paradigm; this paper aims to fill that gap.\n18. 基于动理学缺陷测度的结构信息引导数据驱动标量双曲守恒律降阶建模 Structure-Informed Data-Driven Reduced-Order Modeling of Scalar Hyperbolic Conservation Laws via Kinetic Defect Measure\n作者: Marissa Llamas, Jan Fuhg, Hannah Lu\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16525v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16525v1\n摘要: Reduced-order modeling of transport-dominated systems remains challenging because moving fronts and shocks are poorly represented by low-dimensional linear subspaces. We develop a structure-informed data-driven reduced-order model(ROM) for scalar hyperbolic conservation laws based on the kinetic defect formulation. This formulation separates the nonlinear dynamics into known characteristic transport and a kinetic entropy defect localized on the shock manifold. We exploit this structure by first removing the known transport from the solution snapshots. We then extract and register the remaining defect-driven dynamics in a shock-attached coordinate system. Separate ROMs are used to evolve the shock geometry and the registered defect-driven source. During prediction, the predicted shock geometry is used to inverse-register the learned defect-driven source, which advances the kinetic state and recovers the physical solution. Numerical examples in one and two spatial dimensions demonstrate accurate reconstruction and prediction of nonlinear transport with shocks, including evolution beyond the training interval, while accurately capturing the mass and entropy-dissipation behavior of the reference solution.\n19. 超越相位约化：耦合振子最优控制中的振幅塌缩 Beyond Phase Reduction: Amplitude Collapse in Optimal Control of Coupled Oscillators\n作者: Faranak Rajabi, Frédéric Gibou, Jeff Moehlis\n类别: math.OC, eess.SY, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16449v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16449v1\n摘要: We solve the four-dimensional Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation for two diffusively coupled Stuart-Landau-like oscillators to obtain full-state optimal feedback control. A sweep over coupling strength reveals a sharp change in the numerically optimal strategy: below a threshold coupling value, the controller steers the phase difference toward anti-phase while keeping both oscillators near the limit cycle, as reduced-order models would suggest. Above this threshold, the HJB solution changes qualitatively; the controller transiently collapses one oscillator\u0026rsquo;s amplitude to near zero, thereby enabling large phase repositioning near the origin before rebuilding its amplitude. Direct gradient-based and stochastic optimization do not recover this lower-cost collapse trajectory from the initializations considered, suggesting that it occupies a region of the control landscape that is difficult to access by direct search. A joint sweep over nonisochronicity and coupling shows that collapse can occur even for an isochronous oscillator: phase repositioning near the origin can favor an off-cycle strategy. Nonisochronicity provides an additional energetic benefit through a phase-velocity surplus at small amplitude, quantitatively accounting for the observed reduction in control cost. Comparisons with uncoupled and coupled phase-reduced baselines show that phase models become increasingly inaccurate and cost significantly more energy for strong coupling. Results for coupled Van der Pol oscillators further demonstrate that exploitation of off-cycle dynamics is not specific to the Stuart-Landau-like oscillators.\n20. 带 BGK 碰撞的 Vlasov-Poisson 方程的特征映射方法 Characteristic Mapping Method for Vlasov-Poisson with BGK-collisions\n作者: Xi-Yuan Yin, Philipp Krah, Zetao Lin, Jean-Christophe Nave, Kai Schneider\n类别: physics.plasm-ph, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-14\narXiv ID: 2609.16328v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16328v1\n摘要: This work presents the first steps for simulating kinetic plasmas with collisions using the characteristic mapping method (CMM). The CMM is a semi-Lagrangian method that explores a semi-group structure to store diffeomorphic flow maps efficiently. Using the semi-group structure, individual submaps can be composed to relate the flow backward in time to its initial food point. The novelty of the presented work is handling the source term by storing sub-integrals that correspond to the individual sub-maps and allow efficient integration. Furthermore, we use the Lagrangian structure to avoid implicit time integration in the hydrodynamic regime, which is known to be stiff. We benchmark our method on the Boltzmann-BGK and Vlasov-Poisson-BGK equations and consider different test cases, the Sod shock tube problem and nonlinear Landau damping for different Knudsen numbers. We show third-order spatial and temporal convergence and illustrate the fine-scale zoom property of CMM for the bump-on-tail instability.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-16_14-44-50/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月16日 14:44:50\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 10\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 20\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-interface-control-domain-decomposition-icdd-方法的代数收敛性分析\"\u003e1. Interface Control Domain Decomposition (ICDD) 方法的代数收敛性分析\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eAlgebraic convergence analysis for the Interface Control Domain Decomposition (ICDD) method\u003c/p\u003e","title":"2026年09月16日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年09月16日 06:15:13\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 19\n不相关论文数量: 45\n重点关注论文（完整分析） 1. 基于多点应力离散的非均质弹性波传播的时间显式多尺度框架 A time explicit multiscale framework for heterogeneous elastic wave propagation based on multipoint stress discretization\n作者: Xiang Zhong, Eric T. Chung, Shubin Fu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-14\narXiv ID: 2609.14954v1\n摘要翻译: 模拟非均质介质中的弹性波传播在数学和计算上均面临重大挑战，因为分辨细尺度材料变化需要极细的空间离散，而应力\u0026ndash;位移混合格式通常会产生大型鞍点系统，这类系统并不适合高效的时间积分。此外，传统多尺度约化通常会产生非平凡的粗尺度质量矩阵，从而需要在每个时间步进行额外的线性求解，并削弱显式格式的优势。为解决这些困难，我们发展了一种基于多点应力控制体积离散的时间显式多尺度方法。其核心创新是一种统一的空间\u0026ndash;时间约化策略，可同时消除两个主要的代数瓶颈：复杂的全局细尺度混合求解，以及传统多尺度时间步进中出现的重复粗尺度质量求解。更具体地说，应力和辅助旋转变量被局部消去，从而得到一个对称正定约化刚度算子；在此基础上，利用密度加权局部谱问题构造多尺度空间。相应的投影质量双线性形式保持物理质量内积，并在密度正交归一辅助基下给出单位质量矩阵，从而自然地导向显式中心差分格式。我们在粗尺度CFL条件下建立了离散能量稳定性，并分别推导了密度加权位移和局部重构应力的收敛性估计。非均质介质中的数值实验验证了理论结果，并展示了所提方法用于弹性波传播的有效性。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.14954v1\n1. 研究对象和背景 本文研究非均质介质中线性弹性波传播的高效数值逼近. 设 $\\Omega \\subset \\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 为多面体区域, 未知量为对称应力张量 $\\sigma(\\cdot,t):\\Omega\\to\\mathbb{R}^{d\\times d}$, 位移场 $u(\\cdot,t)$ 以及弱对称混合格式中的辅助旋转变量 $\\gamma$. 控制方程为 $$ A\\sigma = \\varepsilon(u), \\quad \\rho \\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2} - \\operatorname{div}\\sigma = f \\quad \\text{in } \\Omega\\times(0,T], $$ 并配以齐次 Dirichlet 边界条件 $u=0$ 于 $[0,T]\\times\\partial\\Omega$ 和初值 $u(x,0)=u_0(x)$, $u_t(x,0)=v_0(x)$. 这里 $\\varepsilon(u)=\\frac12(\\nabla u+(\\nabla u)^T)$ 是线性化应变张量, $A$ 是弹性柔度张量, 定义为 $$ A\\tau := \\frac{1}{2\\mu}\\left(\\tau - \\frac{\\lambda}{d\\lambda+2\\mu}(\\operatorname{tr}\\tau)I\\right), $$ 其中 $\\lambda,\\mu$ 为 Lamé 系数, 由 Young 模量 $E$ 和 Poisson 比 $\\nu$ 给出. 本文允许 $\\lambda,\\mu$ 在空间上高度非均质且可能高对比, 也允许接近不可压缩情形 $\\lambda\\to\\infty$ 而 $\\mu$ 有界.\n在数值框架上, 混合应力-位移格式直接逼近应力, 对近不可压缩材料具有鲁棒性. 强对称格式把离散应力逐点约束在对称张量的 $H(\\operatorname{div})$ 空间中, 例如 Arnold-Winther 元及其三维对应; 弱对称格式则在完整的矩阵值 $H(\\operatorname{div})$ 空间中逼近应力, 并通过辅助旋转变量以 Lagrange 乘子方式变分地施加对称性, 从而允许更简单的稳定单元. 然而标准混合离散通常产生大型鞍点系统, 不适合高效时间积分. 多点应力混合有限元方法通过局部化应力质量矩阵, 可以局部消去应力和旋转, 得到以单元中心位移为未知量的系统. Fu 和 Zhao 进一步提出了多点应力控制体积方法, 使用分片常数近似且不需要特殊求积规则; 在合适旋转空间下, 应力与旋转均可局部消去, 得到对称正定位移系统, 同时保留局部守恒和廉价应力恢复. 但当介质包含大量未解析细尺度时, 细网格上的全局求解仍然昂贵.\n多尺度模型约化通过把细尺度系数信息编码到粗基函数中来降低空间复杂度. 已有方法包括多尺度有限元、广义多尺度有限元、局部正交分解、变分多尺度有限元、数值升尺度、异质多尺度方法等. 基于 GMsFEM 与 LOD 的约束能量最小化广义多尺度有限元在过采样区域上构造局部多尺度基函数, 对高对比介质具有鲁棒性. 这些思想已被推广到弹性与弹性波问题, 包括非均质各向异性弹性波传播的 GMsFEM, 时域弹性波的高阶多尺度基, 以及高对比弹性问题的无锁多尺度混合格式. 但传统 Galerkin 约化通常产生非对角粗质量矩阵, 每个时间步都需要额外线性求解, 从而削弱显式格式的优势. 现有显式多尺度波方法也没有同时利用局部凝聚的多点应力格式, 在约化层面保持物理密度内积, 并提供局部应力恢复. 本文要补的空白正是: 在同一个空间-时间约化框架中, 同时消除全局细尺度混合求解与重复粗尺度质量求解, 构造真正时间显式的多尺度弹性波格式, 并建立稳定性与收敛性分析.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果是构造并分析了一个基于多点应力控制体积离散的时间显式多尺度弹性波格式. 首先, 从混合应力-位移-旋转弱形式出发, 离散空间取 $\\Sigma_h$, $U_h$, $\\Gamma_h$, 其中应力分片常数, 位移在宏观单元上分片常数, 旋转在交互区域上分片常数. 利用 (7a) 中应力质量矩阵的块对角结构, 可以局部消去应力, 并根据 (7c) 进一步消去旋转. 由此得到仅含位移的细尺度二阶常微分方程 $$ M_u \\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2} + K u = F, $$ 其中 $K$ 是由 Schur 补得到的对称正定刚度矩阵. 对应的变分形式为 $$ (\\rho \\partial_t^2 u_h, v_h) + a(u_h, v_h) = (f, v_h), \\quad \\forall v_h\\in U_h, $$ 能量双线性形式为 $$ a(u_h, v_h) = (A^{-1}P_\\star(u_h), P_\\star(v_h)), $$ 其中 $P_\\star$ 是弱对称应力投影, 定义在局部消去旋转之后.\n在粗网格 $T_H$ 上, 作者首先在每个粗单元 $K_i$ 上求解密度加权局部谱问题 $$ a_i(\\phi_j^i, w) = \\frac{\\lambda_j^i}{H^2}(\\rho \\phi_j^i, w), \\quad \\forall w\\in U_h(K_i), $$ 并取前 $l_i$ 个特征函数张成局部辅助空间 $V_{aux}^i$, 归一化条件为 $(\\rho\\phi_j^i,\\phi_{j'}^i)=\\delta_{jj'}$. 全局辅助空间 $V_{aux}$ 为这些局部空间的直和. 随后通过约束能量最小化构造多尺度试探基 $$ \\psi_j^i = \\arg\\min_{\\psi\\in U_h}\\{a(\\psi,\\psi): \\pi(\\psi)=\\phi_j^i\\}, $$ 并在过采样区域 $K_{i,m}$ 上局部化为 $\\psi_{j,m}^i$. 这样得到多尺度试探空间 $V_{ms}$. 论文引用并使用了两个关键性质: 投影算子 $\\pi$ 的逼近性质 $$ \\|(I-\\pi)v\\|_{\\rho(K_i)}^2 \\le \\frac{H^2}{\\lambda_{l_i+1}^i}\\|v\\|_{a(K_i)}^2, $$ 以及多尺度基函数的指数衰减 $$ \\|\\psi_j^i-\\psi_{j,m}^i\\|_a \\le C\\theta^m \\|\\psi_j^i\\|_a. $$ 这些性质来自 CEM-GMsFEM 框架.\n时间离散采用密度适配的 Petrov-Galerkin 投影. 定义双线性形式 $$ \\hat\\rho(v,w) = (\\rho\\pi v,\\pi w). $$ 由于辅助基满足 $\\rho$-正交归一化, 有 $$ \\hat\\rho(\\psi_{j,m}^i,\\psi_{j',m}^{i'}) = (\\rho\\phi_j^i,\\phi_{j'}^{i'}) = \\delta_{ii'}\\delta_{jj'}. $$ 因此粗质量矩阵是恒等矩阵. 全离散格式为 $$ \\hat\\rho(D_{tt}u_{ms}^n, w) + a(u_{ms}^n, w) = (f^n, \\pi w), \\quad \\forall w\\in V_{ms}, $$ 在基坐标下给出显式中心差分更新 $$ U^{n+1} = 2U^n - U^{n-1} + \\tau^2(F^n - K_{ms}U^n), $$ 其中 $(K_{ms})_{\\alpha\\beta}=a(\\psi_\\beta,\\psi_\\alpha)$, $F_\\alpha^n=(f^n,\\pi\\psi_\\alpha)$. 这意味着每一步不需要求解线性系统.\n稳定性方面, 论文证明了多尺度空间上的逆 Poincaré 不等式: 存在 $\\beta\u003e0$ 使得 $$ \\|\\pi v\\|_\\rho^2 \\ge \\beta H^2 \\|v\\|_a^2, \\quad \\forall v\\in V_{ms}, $$ 且 $\\beta$ 依赖网格正则性和特征值 $\\lambda_{\\max}$, 但不依赖 $h$, $H$ 和系数对比度. 在此基础上, 定义离散总能量 $$ E_{\\pi,\\rho}^{n+1/2}(v) := \\frac12\\|\\pi D_t v^{n+1/2}\\|_\\rho^2 - \\frac{\\tau^2}{8}\\|D_t v^{n+1/2}\\|_a^2 + \\frac12\\|\\bar v^{n+1/2}\\|_a^2. $$ 在粗尺度 CFL 条件 $$ \\frac{\\tau}{2H\\sqrt{\\beta}} \u003c 1 $$ 下, 能量满足正定性估计 $$ E_{\\pi,\\rho}^{n+1/2}(v) \\ge \\frac12\\left(1-\\frac{\\tau^2}{4\\beta H^2}\\right)\\|\\pi D_t v^{n+1/2}\\|_\\rho^2 + \\frac12\\|\\bar v^{n+1/2}\\|_a^2, $$ 并由此建立离散能量稳定性. 摘要还声称导出了密度加权位移与局部恢复应力的收敛估计, 正文提到 Theorem 4.7 和 Theorem 4.9 分别给出位移和应力的收敛结果. 然而, 在提供的 PDF 前 10 页中, 这两个定理的完整陈述, 具体误差阶, 对正则性假设的依赖以及应力恢复误差的显式表达式均未给出, 因此从现有内容无法确认其精确收敛率. 可确认的是, 稳定性常数和逆 Poincaré 常数不依赖细网格 $h$, 粗网格 $H$ 和系数对比度, 且多尺度基的局部化误差随过采样层数 $m$ 指数衰减.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的技术障碍主要有三类. 第一, 原始混合应力-位移-旋转格式是鞍点系统, 不能直接用于显式时间推进; 第二, 传统多尺度 Galerkin 约化会产生非对角粗质量矩阵, 每步都需要质量求解; 第三, 局部化多尺度基后, 需要证明约化格式仍满足粗尺度能量稳定性和粗尺度 CFL 条件. 作者的真正创新是把空间约化与时间约化统一设计, 使得局部应力凝聚和显式时间步进在同一刚度算子上实现, 而不是分别处理后拼接.\n第一项关键技术是混合系统的局部静态凝聚. 离散方程 (7a) 中应力质量项是块对角的, 因此可以从 (7a) 解出 $$ \\sigma_h = A^{-1}(J(u_h)-A\\,as^*(\\gamma_h)). $$ 再代入 (7c) 确定旋转 $\\gamma_h(u_h)$, 使其满足局部正交条件 $$ (J(u_h)-A\\,as^*(\\gamma_h(u_h)), as^*(\\xi_h)) = 0, \\quad \\forall \\xi_h\\in\\Gamma_h. $$ 由此定义弱对称应力投影 $$ P_\\star(u_h) := J(u_h)-A\\,as^*(\\gamma_h(u_h)), $$ 它是 $J(u_h)$ 在弱对称应力子空间上关于 $A^{-1}$ 内积的正交投影. 最终能量双线性形式 $a(u_h,v_h)=(A^{-1}P_\\star(u_h),P_\\star(v_h))$ 正是消去应力和旋转后的 Schur 补能量. 这一步把全局混合求解转化为对称正定的位移问题, 为后续多尺度约化和显式时间积分提供基础.\n第二项关键技术是密度加权局部谱与约束能量最小化基. 与标准 GMsFEM 类似, 作者在粗块 $K_i$ 上求解 $$ a_i(\\phi_j^i,w)=\\frac{\\lambda_j^i}{H^2}(\\rho\\phi_j^i,w), $$ 但这里的能量形式 $a_i$ 来自多点应力控制体积的 Schur 补, 且内积带密度权 $\\rho$. 归一化 $(\\rho\\phi_j^i,\\phi_{j'}^i)=\\delta_{jj'}$ 使得后续辅助基是密度正交的. 多尺度试探基通过约束能量最小化定义: 在满足 $\\pi(\\psi)=\\phi_j^i$ 的函数中最小化能量 $a(\\psi,\\psi)$. 过采样区域 $K_{i,m}$ 上的局部化基 $\\psi_{j,m}^i$ 具有指数衰减性质, 这是 CEM-GMsFEM 框架的核心工具. 作者证明该衰减性质可以迁移到多点应力弹性波的能量形式上, 因为约化双线性形式 $a(\\cdot,\\cdot)$ 对称, 强制, 局部, 并满足与标准椭圆能量形式相同的局部稳定性和逆估计.\n第三项关键技术是密度适配的 Petrov-Galerkin 投影. 作者不采用标准 Galerkin 测试, 而是用辅助空间 $V_{aux}$ 作为测试空间, 并引入双线性形式 $$ \\hat\\rho(v,w)=(\\rho\\pi v,\\pi w). $$ 因为辅助基是 $\\rho$-正交归一的, 粗质量矩阵在基坐标下恰好是恒等矩阵. 这是实现显式中心差分的代数核心. 从分析角度看, 该投影保留了物理质量内积, 使得粗尺度质量矩阵不再需要求逆, 从而消除了传统多尺度时间步进中反复出现的粗质量求解. 作者也指出, 在全局试探空间 $V_{glo}$ 上, 该格式等价于带投影质量的对称格式; 在局部化试探空间 $V_{ms}$ 上, 采用类似标量波 CEM 显式格式的投影质量定义.\n第四项关键技术是稳定性分析. 为了在粗尺度 CFL 条件下证明能量稳定, 作者需要多尺度空间上的逆 Poincaré 不等式. 证明思路是: 先对全局多尺度空间 $V_{glo}$ 使用稳定右逆 $Rq$. 对任意 $q\\in V_{aux}$, 存在 $Rq\\in U_h$ 使得 $\\pi(Rq)=q$, 且 $$ \\|Rq\\|_a^2 \\le C_{lift}H^{-2}\\|q\\|_\\rho^2. $$ 利用 $V_{glo}$ 与核空间 $\\ker\\pi$ 在能量意义下的正交性, 得到 $\\|v\\|_a^2 \\le C_{lift}H^{-2}\\|\\pi v\\|_\\rho^2$. 再对局部化空间 $V_{ms}$ 使用过采样基的指数衰减和有限重叠论证, 得到 $$ \\|v_{ms}-v_{glo}\\|_a \\le \\eta_m H^{-1}\\|\\pi v_{ms}\\|_\\rho, $$ 其中 $\\eta_m$ 随 $m$ 指数衰减. 结合两者即得 $$ \\|\\pi v\\|_\\rho^2 \\ge \\beta H^2\\|v\\|_a^2, $$ 其中 $\\beta$ 不依赖 $h$, $H$ 和对比度. 有了该逆不等式, 作者定义包含动能, 罚项和势能的离散总能量, 并证明其在粗尺度 CFL 条件 $\\tau/(2H\\sqrt{\\beta})\u003c1$ 下保持正定, 从而建立能量稳定性. 最后, 收敛性分析使用椭圆投影和时间投影误差估计, 分别处理密度加权位移和局部恢复应力; 但如前所述, 具体估计式在提供的 PDF 前 10 页中未被完整展示.\n4. 与之前工作的比较 与经典混合有限元相比, 本文建立在弱对称混合弹性框架上. 强对称格式, 如 Arnold-Winther 元及其三维推广, 直接约束离散应力到对称张量 $H(\\operatorname{div})$ 空间, 能逐点保持应力对称, 但构造复杂. 弱对称格式允许应力取完整矩阵值 $H(\\operatorname{div})$ 空间, 通过辅助旋转以 Lagrange 乘子变分施加对称性, 从而允许更简单的稳定单元. 本文继承了这一路线, 但进一步采用多点应力控制体积离散, 使得应力与旋转都能局部消去. 与标准混合有限元相比, 本文避免了全局鞍点求解, 并把问题约化为位移对称正定系统.\n与多点应力混合有限元以及 Fu-Zhao 的多点应力控制体积方法相比, 本文的直接前身是 Fu 和 Zhao 的格式. 该格式使用分片常数近似且无需特殊求积规则, 具有局部守恒和廉价应力恢复. 本文在此基础上增加了多尺度模型约化, 处理细尺度非均质导致的高计算量问题. 也就是说, 之前的多点应力控制体积方法虽然局部凝聚了应力和旋转, 但在未解析细尺度介质中仍需细网格全局求解; 本文通过粗网格上的谱基和约束能量最小化基, 把全局演化未知量降到粗尺度, 同时保留局部应力恢复能力. 推进点在于空间-时间联合约化, 而不是单纯空间多尺度.\n与传统多尺度方法相比, 本文与 GMsFEM, LOD, CEM-GMsFEM 有密切关系. 多尺度有限元和广义多尺度有限元通过局部细尺度问题构造基函数, 局部正交分解通过局部谱问题构造校正子, 异质多尺度方法和数值升尺度则从不同角度处理尺度分离. 本文借用了 CEM-GMsFEM 的过采样局部化和约束能量最小化思想, 并引用其投影算子逼近性质和基函数指数衰减性质. 与标量椭圆或标量波问题中的 CEM 相比, 本文的能量形式来自多点应力弹性混合离散, 需要处理应力对称性, 旋转消元和局部应力恢复. 因此, 本文把 CEM 型分析从标量波和标准椭圆问题推进到混合弹性波问题.\n与已有的弹性多尺度工作相比, 文中提到 GMsFEM 用于非均质各向异性弹性波传播, 时域弹性波的高阶多尺度基, 以及高对比弹性问题的无锁多尺度混合格式. 这些工作分别关注各向异性, 高阶精度和锁定现象. 本文的区别在于同时追求三件事: 局部凝聚多点应力格式, 约化层面保持物理密度内积, 以及局部恢复应力. 摘要明确指出, 现有显式多尺度波方法没有同时利用这些特征. 因此, 本文的定位不是替代所有弹性多尺度方法, 而是针对显式时间推进这一特定目标, 消除粗质量矩阵求逆这一瓶颈.\n与显式多尺度波方法相比, 谱多尺度空间结合间断 Galerkin 可产生块对角质量矩阵并支持显式时间步进; LOD 也被用于降低空间复杂度并放宽细尺度 CFL 限制; 在 CEM 框架内还有针对标量波方程的能量守恒显式 Petrov-Galerkin 方法. 本文与后者的相似之处在于也使用密度适配的 Petrov-Galerkin 投影, 并在全局空间上讨论对称化. 但本文的对象是弹性波混合应力-位移-旋转系统, 测试空间由密度加权局部谱构造, 粗质量矩阵在密度正交辅助基下成为恒等矩阵, 从而自然得到中心差分显式更新. 与间断 Galerkin 块对角质量方法相比, 本文不依赖 DG 空间, 而是依赖多点应力局部凝聚和密度正交辅助基. 与 LOD 放宽 CFL 的目标相比, 本文仍受粗尺度 CFL 条件 $\\tau/(2H\\sqrt{\\beta})\u003c1$ 限制, 但该条件基于粗网格 $H$, 而不是细网格 $h$; 这是多尺度显式方法的主要收益.\n代价与局限方面, 本文需要离线求解每个粗单元上的局部谱问题, 构造过采样多尺度基, 并选择足够多的过采样层数 $m$ 以控制指数衰减误差. 稳定性常数 $\\beta$ 依赖网格正则性和谱问题的最大特征值, 虽然不依赖 $h$, $H$ 和对比度, 但仍需估计. CFL 条件依赖 $H$ 和 $\\beta$, 因此粗网格不能任意放大. 论文的构造和分析主要在 $d=2$ 下进行, 并说明向 $d=3$ 的扩展是自然的, 但提供的 PDF 前 10 页未展开三维细节. 收敛性方面, 摘要和正文引出 Theorem 4.7 与 Theorem 4.9, 但提供的摘录没有给出完整定理和误差阶, 因此无法与已有显式多尺度方法的误差率做定量比较. 作者在前 10 页中也没有显式展开与所有前人工作的逐项数值比较, 因此关于计算代价和精度优势的判断主要来自方法结构, 而非完整实验数据.\n2. 各向异性多相 Mullins-Sekerka 流的保结构对称 Galerkin 边界元方法 A Structure-Preserving Symmetric Galerkin Boundary Element Method for Anisotropic Multi-phase Mullins-Sekerka Flow\n作者: Tokuhiro Eto\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-13\narXiv ID: 2609.14742v1\n摘要翻译: 针对 $\\mathbb R^2$ 中的各向异性多相 Mullins-Sekerka 问题，发展了一种保结构的对称 Galerkin 边界元方法 (SGBEM)。通过由分区域 SGBEM 离散组装得到的离散 Dirichlet-to-Neumann 算子消去体调和问题，从而得到与带三叉结点的多边形曲线网络演化耦合的仅边界提法。证明所得边界问题的 Galerkin 近似唯一可解，并且只要演化的多边形网络保持在容许类中，全离散格式关于时间步无条件稳定。通过在与由三个同心圆组成的相似重缩放精确解进行对比的时空耦合加密下的收敛性测试，验证了所提方法的精度。\nComment: 39 pages, 5 figures, 3 tables\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.14742v1\n1. 研究对象和背景 本文研究 $\\mathbb R^2$ 中带三重点的各向异性多相 Mullins-Sekerka 流的数值逼近。设演化曲线网络 $\\Gamma(t)=\\cup_{i=1}^{I_S}\\Gamma_i(t)$ 将平面分割为连通区域 $R_\\ell(t)$，$1\\le \\ell\\le I_R$，其中一个区域无界。每个区域被赋予相 $p=0,\\dots,I_P-1$，相与区域的关系由映射 $p\\mapsto \\Omega_p\\subset\\{1,\\dots,I_R\\}$ 描述，且无界区域属于相 $0$。曲线网络可以包含三重点 $T_k(t)$，每个三重点由三条开曲线相交而成。未知量是化学势向量 $w(\\cdot,t):\\mathbb R^2\\setminus\\Gamma(t)\\to\\mathbb R^{I_P}$ 与曲线网络 $\\Gamma(t)$ 的演化。系统为 $$\\Delta w=0 \\quad \\text{in } \\mathbb R^2\\setminus\\Gamma(t),$$ $$w\\cdot\\llbracket\\chi\\rrbracket=\\kappa_\\gamma \\quad \\text{on } \\Gamma(t),$$ $$\\llbracket\\nabla w\\rrbracket\\vec\\nu=-V\\llbracket\\chi\\rrbracket \\quad \\text{on } \\Gamma(t),$$ $$\\nabla w(\\vec x,t)=O(|\\vec x|^{-2}) \\quad \\text{as } |\\vec x|\\to\\infty,$$ $$\\llbracket w\\rrbracket=0,\\quad w\\cdot\\mathbf 1=0,$$ $$\\sum_{\\ell=1}^3 \\epsilon_{k,\\ell}\\vec\\xi_{s^k_\\ell}(\\vec\\nu_{s^k_\\ell})^\\perp=\\vec 0 \\quad \\text{at } T_k(t),$$ $$\\Gamma(0)=\\Gamma_0.$$ 这里 $\\chi$ 是相的特征向量，$\\llbracket\\cdot\\rrbracket$ 是跨界面跳跃，$V$ 是法向速度，$\\kappa_\\gamma$ 是各向异性曲率。每条曲线 $\\Gamma_i$ 可带自己的平方根型各向异性 $$\\gamma_i(\\vec\\nu)=c_i\\sum_{l=1}^{L_i}\\sqrt{\\vec\\nu^\\top G_{i,l}\\vec\\nu},$$ 其中 $G_{i,l}$ 对称正定，$c_i\u003e0$。Cahn-Hoffman 向量与各向异性曲率定义为 $$\\vec\\xi_i(\\vec\\nu_i)=\\nabla\\gamma_i(\\vec\\nu_i),\\quad \\kappa_{\\gamma_i}=-\\nabla_\\Gamma\\cdot\\vec\\xi_i(\\vec\\nu_i),$$ 各向异性表面能为 $$E_\\gamma(\\Gamma)=\\sum_{i=1}^{I_S}\\int_{\\Gamma_i}\\gamma_i(\\vec\\nu_i)\\,d\\mathcal H^1.$$ 该模型源自扩散控制的形态演化、Ostwald 熟化的尖锐界面描述，并可作为 Cahn-Hilliard 方程的尖锐界面极限。其核心困难在于界面几何与体相调和场之间的非局部耦合：Gibbs-Thomson 关系用曲率给出界面化学势，而化学势法向导数跳跃决定法向速度。因此每个时刻都必须在所有相中求解调和问题。该耦合还导致两个基本结构：各向异性界面能耗散，以及每个有界相的面积守恒；在多相三重点处还需满足 Young-Herring 力平衡。\n已有解析工作包括两相流在面积保持曲线缩短框架下的存在性、带表面张力的经典适定性、多相格式的提出，以及最近用位势方法把平面两相问题化为仅界面演化的边界形式。数值方面，相场法演化 Cahn-Hilliard 方程，水平集和阈值动力学隐式表示界面，边界积分法只离散界面并用层位势表示调和场，参数有限元法在各向异性几何演化方程中实现了无条件稳定与结构保持；Stefan 与 Mullins-Sekerka 问题也有耦合参数界面与体有限元场的稳定格式，并扩展到多相 Mullins-Sekerka、带动力学过冷的各向异性变体等。作者此前基于电荷模拟法的配点格式也实现了两相面积保持和多相速度级面积守恒。\n本文试图补的空白是：在消去体相自由度的同时，仍保留全离散能量耗散不等式和相面积守恒的速度级约束。为此，作者采用界面 Dirichlet-to-Neumann 算子即 Steklov-Poincaré 映射，将体相调和问题化为边界问题，并用对称 Galerkin 边界元法逐区域组装该算子，从而得到一个仅含界面曲线网络演化的变分格式。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果可分为连续层面、离散算子层面和全离散格式层面。连续层面，作者定义组装的界面 Dirichlet-to-Neumann 算子 $$\\Lambda_\\Gamma:=\\sum_{r=1}^{I_R}P_{R_r}^*S_{R_r}P_{R_r}:H^{1/2}(\\Gamma)\\to H^{-1/2}(\\Gamma),$$ 其中 $S_{R_r}$ 是区域 $R_r$ 上的 Dirichlet-to-Neumann 映射。命题 3.1 证明 $\\Lambda_\\Gamma$ 对称、半正定，且 $\\ker\\Lambda_\\Gamma=\\mathrm{span}\\{1\\}$。其核心恒等式为 $$\\langle\\Lambda_\\Gamma w_2,w_1\\rangle_\\Gamma=\\sum_{r=1}^{I_R}\\int_{R_r}\\nabla w_1^{(r)}\\cdot\\nabla w_2^{(r)}\\,dL^2.$$ 命题 3.2 证明光滑解满足各向异性能量耗散 $$\\frac{d}{dt}E_\\gamma(\\Gamma(t))=-\\sum_{p=0}^{I_P-1}\\langle\\Lambda_{\\Gamma(t)}w_p,w_p\\rangle_{\\Gamma(t)}\\le 0.$$ 命题 3.3 证明每个相的面积守恒，即对 $p=1,\\dots,I_P-1$， $$\\frac{d}{dt}A_p(t)=0.$$ 此外，作者给出边界约化混合弱形式：寻求 $(w,\\kappa,V)\\in W_\\Gamma\\times K_\\Gamma\\times X_\\Gamma^{-1/2}$ 满足 $$\\sum_{p=0}^{I_P-1}\\langle\\Lambda_\\Gamma w_p,\\phi_p\\rangle_\\Gamma-\\langle V,D_\\Gamma^*\\phi\\rangle_\\Gamma=0\\quad\\forall\\phi\\in S_\\Gamma^{I_P},$$ $$(D_\\Gamma^*w-\\kappa,\\psi)_{L^2(\\Gamma)}=0\\quad\\forall\\psi\\in K_\\Gamma,$$ $$\\sum_{i=1}^{I_S}\\int_{\\Gamma_i}\\kappa_i\\vec\\nu_i\\cdot\\vec\\eta_i\\,d\\mathcal H^1+a_{\\gamma,\\Gamma}(I,\\vec\\eta)=0\\quad\\forall\\vec\\eta\\in X_\\Gamma,$$ 其中 $W_\\Gamma$ 用 $g_\\Gamma(w)=0$ 固定常数核。\n离散层面，作者用逐区域 SGBEM 离散化组装离散界面 Steklov-Poincaré 算子，并在命题 5.6 中证明该离散算子仍对称、半正定，并具有精确常数核。该性质是后续能量耗散与面积守恒证明的关键。全离散格式方面，摘要和引言中指出：对平方根类各向异性，作者构造了一个半隐式全离散格式，并证明定理 6.4：只要演化多边形网络保持在其 admissible class 中，该格式对时间步长无条件稳定，并且每个时间步满足能量耗散不等式。\n在相面积守恒方面，命题 6.6 证明每个有界相离散带符号面积的一阶变分消失；命题 6.7 进一步证明多边形面积缺陷恰好等于位移多边形的带符号面积。这给出了速度级面积守恒的离散对应物，而不仅是最终面积的近似守恒。关于可解性，定理 6.10 证明在 solvability-admissible 曲线网络上，带 gauge 边界条件的一步系统唯一可解。\n数值实验中，作者用三个同心圆的相似重缩放精确解进行耦合时空加密收敛测试，验证所提方法精度；在三个数量级的时间步扫描中确认能量耗散和面积守恒，并验证面积缺陷恒等式达到机器精度；还测试了各向异性粗化，其中不同相具有不同各向异性，以及三重点网络混合三种对称性的情形。需要指出，提供的 PDF 摘录没有给出定理 6.4 的显式能量不等式、收敛阶或误差估计细节，因此这些具体常数、阶数和 admissible class 的精确定义从现有内容中无法确认。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 核心障碍是：Mullins-Sekerka 流本身含体相调和场，若直接离散体会引入大量自由度；若只做界面配点，则通常难以同时保持离散能量耗散和速度级面积守恒。作者的技术路线是用边界积分算子严格消去体相，同时把离散算子设计成具有与连续 Steklov-Poincaré 算子相同的对称性、半正定性和常数核。\n第一，连续层面使用区域 Dirichlet-to-Neumann 映射组装界面算子。对每个区域 $R$，令 $u$ 为 Dirichlet 数据 $\\phi$ 的调和延拓，定义 $S_R\\phi=\\partial u/\\partial\\vec\\nu_R$。界面算子由区域算子组装为 $\\Lambda_\\Gamma=\\sum_r P_{R_r}^*S_{R_r}P_{R_r}$。证明对称半正定的关键工具是 Green 恒等式。作者对每个有界区域用 $$\\langle S_{R_r}P_{R_r}w_2,P_{R_r}w_1\\rangle_{\\partial R_r}=\\int_{R_r}\\nabla w_1^{(r)}\\cdot\\nabla w_2^{(r)}\\,dL^2,$$ 对无界区域则在截断球 $B_L(\\vec 0)$ 上作 Green 恒等式，并利用远场条件使球面积分 $O(L^{-1})$ 趋于零。由此得到 $\\langle\\Lambda_\\Gamma w_2,w_1\\rangle_\\Gamma$ 等于所有区域上的 Dirichlet 能量内积。常数核的证明也由此推出：若 $\\Lambda_\\Gamma w=0$，则每个区域的梯度为零，区域上的调和延拓为常数；共享曲线两侧迹相等，曲线网络连通区域链又把这些常数连接起来，故只能是全局常数。\n第二，边界积分离散采用对称 Galerkin 边界元法。作者引入单层、双层和超奇异算子 $$(V_R\\psi)(\\vec x)=\\int_{\\Gamma_R}G(\\vec x-\\vec y)\\psi(\\vec y)\\,d\\mathcal H^1(\\vec y),$$ $$(K_R\\phi)(\\vec x)=\\int_{\\Gamma_R}\\frac{\\partial G}{\\partial\\vec\\nu_R(\\vec y)}(\\vec x-\\vec y)\\phi(\\vec y)\\,d\\mathcal H^1(\\vec y),$$ $$W_R\\phi=-\\frac{\\partial}{\\partial\\vec\\nu_R(\\vec x)}\\widetilde K_R\\phi(\\vec x),$$ 其中 $G(\\vec x)=-\\frac{1}{2\\pi}\\log|\\vec x|$。区域 Dirichlet-to-Neumann 的对称表示来自 Calderón 关系 $$S_R^-=W_R+J_R^*V_R^{-1}J_R,\\quad J_R=\\frac12 I+K_R.$$ 作者明确说是基于 Maue 恒等式构建 SGBEM，这使得离散算子的对称性、半正定性和精确常数核在变分实现中透明可见。与普通过程中先离散体问题再消元不同，这里直接从界面变分形式出发，把离散 DtN 算子作为非局部 mobility。\n第三，多相与三重点的处理需要几何相容空间。作者定义逐曲线 Sobolev 空间 $X_\\Gamma^s=\\prod_i H^s(\\Gamma_i)$，其中不强制三重点相容性；再定义满足三重点处三条曲线位移相等的几何空间 $$X_\\Gamma=\\{\\vec\\eta=(\\vec\\eta_i)\\in\\prod_i H^1(\\Gamma_i;\\mathbb R^2):\\vec\\eta_{s^k_1}(T_k)=\\vec\\eta_{s^k_2}(T_k)=\\vec\\eta_{s^k_3}(T_k)\\}.$$ 相-界面 incidence 算子 $M_p$ 记录每条界面上相 $p$ 在哪一侧，其元素 $m_{p,i}=\\llbracket\\chi_p\\rrbracket|_{\\Gamma_i}\\in\\{-1,0,1\\}$。由此定义 $D_\\Gamma^*\\phi=\\sum_p M_pP_\\Gamma\\phi_p$ 及其伴随 $D_\\Gamma$，把界面速度与相跳跃耦合起来。弱形式中的曲率项 $a_{\\gamma,\\Gamma}(I,\\vec\\eta)$ 通过对 $\\kappa_\\gamma$ 分部积分产生，三重点处的边界项正好由 Young-Herring 力平衡消去。\n第四，离散结构保持的证明依赖离散算子的三个性质：对称性、半正定性、精确常数核。连续能量耗散恒等式为 $dE_\\gamma/dt=-\\sum_p\\langle\\Lambda_\\Gamma w_p,w_p\\rangle_\\Gamma$，离散格式的能量不等式正是这一恒等式的全离散对应物。面积守恒的速度级约束则来自 $\\Lambda_\\Gamma\\mathbf 1=0$：连续情形有 $\\langle V\\llbracket\\chi_p\\rrbracket,1\\rangle_\\Gamma=\\langle\\Lambda_\\Gamma w_p,1\\rangle_\\Gamma=0$，即 $\\int_\\Gamma\\llbracket\\chi_p\\rrbracket V\\,d\\mathcal H^1=0$。离散格式通过保持 $\\Lambda_\\Gamma$ 的常数核来保持这一约束。命题 6.6 和 6.7 进一步说明离散面积的一阶变分消失以及面积缺陷恒等式，因而守恒不是事后修正，而是格式结构的一部分。\n第五，全离散一步系统的唯一可解性使用带 gauge 的 bordered 系统。由于 $\\Lambda_\\Gamma$ 有常数核，必须用 $g_\\Gamma(w)=0$ 固定加性常数，类似混合有限元中的鞍点系统。定理 6.10 的假设是曲线网络属于 solvability-admissible 类。作者还要求多边形网络保持 admissible，以保证无条件稳定性。需要强调，提供的 PDF 摘录只到 Calderón 关系附近，未给出 SGBEM 矩阵的具体组装、离散 Maue 恒等式细节、能量不等式的显式形式以及唯一可解性证明步骤，因此这些技术细节从现有内容中无法完整确认。\n4. 与之前工作的比较 与参数有限元法 PFEM 的结构保持结果相比，本文的主要推进在于消去体相自由度。PFEM 文献 [10] 对 Stefan 和 Mullins-Sekerka 问题引入耦合参数界面与体有限元场的稳定离散，[29] 发展了多相 Mullins-Sekerka 的保结构格式，[31] 处理带动力学过冷的各向异性变体，[30] 处理密切相关的多相 Stefan 问题。这些方法基于体或全域弱形式，因而需要离散整个相区域或至少保存体网格；本文则通过界面 Steklov-Poincaré 算子把调和问题严格消去，只演化曲线网络，同时仍证明全离散能量耗散和速度级面积守恒。代价是分析限制在二维曲线网络，并需要 admissible 类与 solvability-admissible 类假设；三维推广、拓扑变化与更复杂奇异性未在提供内容中讨论。\n与一般边界积分法相比，已有工作 [1,13,14,18,53] 用层位势只离散界面，建立在界面动力学的边界积分与梯度流框架 [37,43] 上，后来扩展到多组分流体与 Ostwald 熟化 [38]，并通过递归压缩逆预条件 RCIP 处理含三重点的边界椭圆问题 [34,35]。这些工作展示了边界积分法的能力，但本文的侧重点不同：作者把 SGBEM 放在变分 Galerkin 框架中，显式证明离散 DtN 算子对称半正定且具有精确常数核，并以此推出无条件能量耗散和速度级面积守恒。RCIP 文献处理三重点的方式与本文的曲线网络三重点 Young-Herring 弱形式不同；提供内容没有给出与这些边界积分法在数值精度、条件数或计算代价上的直接比较。\n与作者自己此前的边界-only 配点格式相比，本文的推进是把方法提升为变分 Galerkin 框架。作者在引言中说，基于电荷模拟法的配点格式已近似两相和多相流，两相具有面积保持性质 [27]，多相在速度级达到机器精度的相面积守恒 [28]。本文把这一边界-only 观点放入 SGBEM 变分框架，获得无条件稳定性，并首次给出速度级面积守恒的离散恒等式。与配点法相比，SGBEM 的对称变分结构更适合证明结构保持；但代价是需要处理单层、双层、超奇异算子的离散化及其 Calderón 关系，实施复杂度更高。\n与解析边界-only 方法相比，最近平面两相 Mullins-Sekerka 问题已被用位势方法重写为仅界面演化并证明适定性 [25]。本文在思想上与这一边界-only 视角对应，但对象是多相、各向异性、带三重点，并进一步构造可计算的全离散 SGBEM 格式。本文的数值实验包括三同心圆相似重缩放精确解、三个数量级时间步的耗散与守恒验证、机器精度的面积缺陷恒等式，以及不同相不同各向异性与混合三对称的粗化算例。不过，提供内容没有给出与 PFEM 或相场/水平集方法的定量比较，也没有给出收敛阶的具体数值；摘要只说明做了耦合时空加密的收敛测试。\n假设与适用范围方面，本文各向异性限定为平方根类 (2.3)，曲线网络需保持在 admissible 类中；一步系统唯一可解性还要求 solvability-admissible 曲线网络。与 PFEM 文献中可能允许更一般 anisotropy 或 kinetic undercooling 的设置相比，本文没有处理动力学过冷、三维或拓扑变化。与相场和水平集方法相比，本文是尖锐界面方法，天然保持界面几何和相面积，但需要对三重点和曲线网络几何作显式追踪，因而对拓扑变化和网格质量有额外要求。与基于体有限元的方法相比，本文优势是降维和结构保持；潜在代价是非局部界面算子稠密、需要组装超奇异算子，以及 admissible 类条件对界面运动的限制。作者在引言中明确承认这些工作属于参数有限元结构保持结果的对应发展，但没有在提供内容中显式展开与所有前人工作的逐项代价比较，因此部分比较只能从方法结构推断。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 一个用于捕捉不可压缩湍流宏观行为的无导数框架 A derivative-free framework for capturing macroscopic behavior of incompressible turbulent flows\n作者: Jihun Han, Yoonsang Lee\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17323v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17323v1\n摘要翻译 中文标题: 一个用于捕捉不可压缩湍流宏观行为的无导数框架\n摘要翻译: 无导数损失方法（DFLM）是一种无网格神经网络方法，通过模拟随机游走子而非直接计算导数来求解偏微分方程。尽管 DFLM 此前已被应用于 Navier\u0026ndash;Stokes 方程，但将其推广到湍流会揭示其最简单实现的两个局限。这些游走子未考虑流动的旋涡状、方向拉伸运动，而用于评估目标的游走子的随机采样会给学习到的解引入噪声。我们通过游走子局部运动的解析近似来解决这两个局限，该近似捕捉方向拉伸并消除这种采样噪声，同时保持计算高效。我们研究所得方法作为一种非侵入式多尺度求解器，能够学习宏观流动行为，而无需在细网格上分辨每个尺度，也无需显式耦合粗尺度与细尺度模型。对于两个二维湍流流动，所提方法比标准方法更准确地重现完全解析的参考模拟的宏观能谱，尤其是在方向拉伸最强的地方，证实了 DFLM 作为湍流流体系统多尺度求解器的有效性。\n2. 高维输运方程的分段常数稀疏网格间断 Galerkin 方法的尖锐 CFL 条件 The sharp CFL condition of the piecewise constant sparse grid discontinuous Galerkin method for high-dimensional transport equations\n作者: Juntao Huang\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17312v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17312v1\n摘要翻译 中文标题: 高维输运方程的分段常数稀疏网格间断 Galerkin 方法的尖锐 CFL 条件\n摘要翻译: 我们建立了采用前向 Euler 时间步进的分段常数稀疏网格间断 Galerkin (DG) 方法应用于任意维周期区域上常系数输运方程时的尖锐 CFL 条件。对于输运速度 $\\boldsymbol c=(c_1,\\ldots,c_d)$ 和尺寸为 $h$ 的一致网格，我们证明该格式是 $L^2$ 稳定的当且仅当 $Δt \\leq {h}/{\\max_{1\\leq \\ell\\leq d}|c_\\ell|}$，而相应的全网格迎风格式众所周知需要 $Δt\\leq h/\\sum_{\\ell=1}^d |c_\\ell|$。因此，稀疏网格离散将容许时间步长放大了因子 ${(\\sum_{\\ell=1}^d |c_\\ell|)}/{(\\max_{1\\leq \\ell\\leq d}|c_\\ell|)}$，该因子介于 $1$ 和 $d$ 之间，并在各向同性输运时达到 $d$。充分性的证明依赖于多级 Haar 分解的投影泄漏恒等式，这些恒等式使得能量估计中的混合方向项可被稀疏网格投影所丢弃的能量吸收。尖锐性的证明来自一维最细层级上的交替模式。作为副产品，我们得到了放大算子的 $L^2$ 算子范数和谱半径的显式公式。对于一般向下封闭指标集上的空间，我们推导了一个显式充分 CFL 条件和其尖锐性的几何准则。二维和四维数值实验证实了理论结果。\n3. Interface Control Domain Decomposition (ICDD) 方法的代数收敛性分析 Algebraic convergence analysis for the Interface Control Domain Decomposition (ICDD) method\n作者: Marco Discacciati, Paola Gervasio, Alfio Quarteroni\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17271v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17271v1\n摘要翻译 中文标题: Interface Control Domain Decomposition (ICDD) 方法的代数收敛性分析\n摘要翻译: 我们发展了 Interface Control Domain Decomposition (ICDD) 方法的收敛性分析。ICDD 是一种基于最优控制框架的重叠型区域分解方法，使用 Dirichlet 界面控制函数和界面观测。我们考虑可能具有不连续系数的椭圆问题，并用 $hp-$FEM 在每个子区域中进行近似。当离散化在二维区域之间的重叠区域上是协调的时，我们给出了求解与 ICDD 相关的非对称界面 Schur 补系统所需的 GMRES 迭代次数的理论估计。我们的结果是通过结合 ICDD 的 Schur 补矩阵的新谱估计和经典 GMRES 收敛理论得到的。我们证明收敛速率表现为 $\\mathcal{O}(δ^{-1} p^{3/2}\\log p)$，其中 $δ$ 表示重叠宽度，$p$ 表示局部多项式次数，同时保持与网格尺寸 $h$ 无关。数值实验验证了理论预测，并表明 ICDD 在计算域中存在大系数跳跃时的有效性。由于在协调情形下，所考虑的 ICDD 格式与子结构限制加性 Schwarz (SRAS) 方法一致，该分析也为二维中的 SRAS 提供了收敛估计，并且通过其已知的等价性，为限制加性 Schwarz (RAS) 方法提供了收敛估计。\n4. 高阶全局多迹积分方程的准 Helmholtz Calderón 乘性预条件 Quasi-Helmholtz Calderón Multiplicative Preconditioning for Higher-Order Global Multi-Trace Integral Equations\n作者: Cedric Münger, Alessandro Zuccotti, Van Chien Le, Kristof Cools\n类别: cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17252v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17252v1\n摘要翻译 中文标题: 高阶全局多迹积分方程的准 Helmholtz Calderón 乘性预条件\n摘要翻译: 本文提出了一种用于复合物体时谐电磁散射的高阶全局多迹积分方程。该高阶多迹格式采用一个使用高阶准 Helmholtz 投影算子的 Calderón 乘性预条件子进行预处理。高阶准 Helmholtz 投影算子将基函数的无散分量和非无散分量分离。对 Helmholtz 分量的分别访问避免了对病态混合 Gram 矩阵的显式求逆。这使得无需细化网格和借助对偶基函数即可应用 Calderón 乘性预条件。此外，由于无散分量和非无散分量可以分别重新缩放，它还实现了低频稳定化。高阶准 Helmholtz 投影算子通过迭代计算，使迭代求解器能够高效求解预条件后的矩阵系统，在几十次迭代内获得准确解。针对复合介质体进行了数值实验，证实了所提出的预条件子对于采用高阶基函数离散的全局多迹格式在稠密网格和极低频率下的有效性。\n5. 通过有限测试与神经代理从边界数据潜空间反演材料系数 Latent Inversion of Material Coefficients from Boundary Data via Finite Tests and Neural Surrogates\n作者: Erik Burman, Mats G. Larson, Karl Larsson, Jonatan Vallin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17137v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17137v1\n摘要翻译 中文标题: 通过有限测试与神经代理从边界数据潜空间反演材料系数\n摘要翻译: 我们由有限多个边界激励重构标量椭圆方程中空间变化的材料系数，每个激励产生一个完整的 Dirichlet 迹。为缓解不适定性和重复求解 PDE 的代价，我们将系数限制在一个低维族中，该族由解析方式指定或从样本中学习得到，并在其潜坐标中求解反问题。我们考虑一个具有 (m) 个潜坐标且在参考点处导数为满秩的 (C^1) 参数化。若连续线性化 Neumann-to-Dirichlet 映射在相应切空间上单射，则至多 (m) 个激励就足以保证局部单射性和 Lipschitz 稳定性。系数灵敏度的收敛性进而将该稳定性传递到协调有限元离散。对足够细的网格，稳定性常数和邻域可选取为与网格尺寸无关。在局部残差比较条件下，代理前向映射的一致精度给出系数误差界，将表示误差、数据噪声、有限元误差和代理误差分离。导数精度还保持代理自身的局部稳定性。所有稳定性陈述都相对于参考系数是局部的。二维数值实验将夹杂和类裂纹系数的解析表示与学习表示同神经前向代理相结合。它们展示了潜空间重构、降低的在线成本，以及来自可选的基于 FEM 的细化带来的进一步改进。\n6. 多边形网格上 Reissner\u0026ndash;Mindlin 板问题的一种基于 BGG 的任意阶离散格式 An arbitrary-order BGG-based discrete scheme for the Reissner\u0026ndash;Mindlin plate problem on polygonal meshes\n作者: Arax Leroy\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17122v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17122v1\n摘要翻译 中文标题: 多边形网格上 Reissner\u0026ndash;Mindlin 板问题的一种基于 BGG 的任意阶离散格式\n摘要翻译: 我们设计并分析了一种用于一般多边形网格上 Reissner\u0026ndash;Mindlin 板问题的任意阶数值格式。该格式由与离散 Bernstein\u0026ndash;Gelfand\u0026ndash;Gelfand (BGG) 扭曲复形相关联的 Hodge\u0026ndash;Laplacian 导出，并利用了一种基于离散 $H_2$ 的横向位移构造。我们为底层离散 de Rham 方法 (DDR) 空间建立了一个离散 Korn 不等式，并证明了该方法的收敛性。在最低阶时，该分析给出了一个关于板厚度一致的误差估计，表明该格式是无闭锁的。在若干族多边形网格上的数值实验支持了理论结果，并说明了横向位移离散化增强连续性带来的优势。\n7. 一种用于 Navier-Stokes 方程变分初始状态数据同化的 Reynolds 半鲁棒、全局散度为零的 E-HDG/IMEX-SAV 方法 A Reynolds-Semi-Robust, Globally Divergence-Free E-HDG/IMEX-SAV Method for Variational Initial-State Data Assimilation of the Navier-Stokes Equations\n作者: Ya Min, Xian Zhang, Xiaoping Xie\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17096v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17096v1\n摘要翻译 中文标题: 一种用于 Navier-Stokes 方程变分初始状态数据同化的 Reynolds 半鲁棒、全局散度为零的 E-HDG/IMEX-SAV 方法\n摘要翻译: 本文针对由非定常不可压缩 Navier-Stokes 方程控制的变分初始状态数据同化，提出了一种嵌入杂交间断 Galerkin (E-HDG) 方法，该方法与一阶隐式-显式标量辅助变量 (IMEX-SAV) 时间离散相结合。我们采用先优化后离散策略。空间离散对单元速度和压力分别使用次数为 $k$ 和 $k-1$ 的不连续分片多项式，对速度迹使用连续 $k$ 次多项式，对压力迹使用不连续 $k$ 次多项式。所得状态速度和伴随速度以及重构的初始速度均为全局散度为零。正向 IMEX-SAV 状态格式是无条件能量稳定的。在适当的正则性和局部轨道假设（这些假设的界不引入黏度的显式负幂）、依赖于网格的条件 $Δt\\lesssim h^2$ 以及 Tikhonov 参数上的压缩性条件下，我们建立了全离散 OTD 最优性系统的局部存在性和唯一性，以及针对状态、伴随和重构初始速度的 Reynolds 半鲁棒 $L^2$ 误差估计，阶为 $O(h^k+Δt)$；其中的常数不含黏度的显式负幂。数值实验在光滑测试上证实了收敛性，并展示了达到机器精度的离散不可压缩性、有效的非线性求解器行为，以及小黏性区域中的稳定性能。\n8. 超线性随机反应-扩散方程的适定性、正则性与强逼近 Well-posedness, Regularity, and Strong Approximations of Superlinear Stochastic Reaction-Diffusion Equation\n作者: Zhihui Liu\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16979v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16979v1\n摘要翻译 中文标题: 超线性随机反应-扩散方程的适定性、正则性与强逼近\n摘要翻译: 本文为具有超线性漂移和扩散系数的随机反应\u0026ndash;扩散方程 (SRDE) 的适定性、正则性和强逼近建立了一个一般框架。我们首先将 \\emph{W. Liu and M. Röckner, J. Funct. Anal., 2902\u0026ndash;2922, 2010} 和 \\emph{W. Liu, J. Differential Equations, 572\u0026ndash;592, 2013} 中的适定性结果推广到 Gelfand 三元组 (V \\hookrightarrow H \\hookrightarrow V^*) 中的超线性扩散情形，其中 (V) 配备范数 (|\\cdot|_V)，并通过为 (|X|_V^p) 建立一个新的 Itô 公式（对一般 (p \\ge 2)）导出一个矩估计。然后，我们将这一抽象结果应用于 SRDE，只要初始数据属于同一 Sobolev 空间，就对任意 (γ\\in [0,1]) 建立更高的空间正则性 (\\dot H^{1+γ})，并获得时间 Hölder 正则性。最后，我们在关于 tamed 函数的一般假设下，为 SRDE 构造了一族 tamed 有限元方法 (tamed-FEMs)，推导了其长时间无条件稳定性，并建立了最优强收敛阶。据我们所知，这是首个针对具有超线性扩散系数的 SPDE 的强逼近结果。\n9. Hellan-Herrmann-Johnson 方法的局部化最大范数误差估计 Localized maximum-norm error estimates for the Hellan-Herrmann-Johnson method\n作者: Yuwen Li, Zhuoran Teng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-13\narXiv ID: 2609.14602v2\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.14602v2\n摘要翻译 中文标题: Hellan-Herrmann-Johnson 方法的局部化最大范数误差估计\n摘要翻译: 我们推导了针对固支 Kirchhoff 板问题、由 Hellan-Herrmann-Johnson 方法计算得到的弯矩的局部化最大范数界。主要困难在于将离散应力局部化，同时不离开 HHJ 空间或不违反其核约束。利用对称旋度势，我们构造了一种保持核的局部化，并将局部 Green 应力与一个全局离散 Green 应力联系起来。该论证将局部插值误差与一个较弱的全局污染项分离。在辅助问题的显式正则性假设下，所得估计对弯矩值和逐单元一阶导数给出最优逐点收敛性。对正多项式次数，不出现对数损失；而最低阶的值估计仍保留一个对数因子。在附加的反射对称性下，对称恢复对偶多项式次数改善弯矩值，对奇次数改善一阶导数。所证明的增益分别为三分之一阶和二分之一阶。数值实验证实了这种奇偶依赖性，并显示出接近整整一阶的增益，超过了理论上所证明的增益。\n10. 用于求解偏微分方程的物理信息随机特征神经网络 Physics Informed Random Feature Neural Networks for Solving PDEs\n作者: Chi-An Chen, Chunyang Liao, Ming Zhong\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-09-14\narXiv ID: 2609.16406v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16406v1\n摘要翻译 中文标题: 用于求解偏微分方程的物理信息随机特征神经网络\n摘要翻译: 近年来，基于机器学习的偏微分方程（PDEs）求解器引起了显著关注。该领域的大部分进展由深度神经网络推动，例如物理信息神经网络（PINNs）和核方法（如物理信息高斯过程）。我们引入一种物理信息随机特征方法，用于对抗基于 PINN 的求解器在某类 PDEs 上面临的部分谱偏差。随机特征方法最初被提出用于近似大规模核机器，并可视为一种专门的随机化神经网络。与其他需要大量配点的最先进的基于 PINN 的求解器相比，我们提出的方法降低了计算复杂度。在本文中，我们发展了一套严格的近似误差分析，并推导了 $H^1$ 范数上的高概率误差界。我们提供了大量数值实验以验证我们关于误差衰减率的理论保证，以及若干比较实验以展示我们所声称的在这些基于深度学习的方法中对抗谱偏差的能力。\n11. 周期三次非线性薛定谔（NLS）方程的 Strang 分裂方法的时间误差增长 Temporal Error Growth of Strang Splitting Method for the Periodic Cubic NLS\n作者: Yue Feng, Yifei Wu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-14\narXiv ID: 2609.15912v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.15912v1\n摘要翻译 中文标题: 周期三次非线性薛定谔（NLS）方程的 Strang 分裂方法的时间误差增长\n摘要翻译: 我们研究周期三次非线性薛定谔（NLS）方程的 Strang 分裂方法的时间误差增长。主导误差由受迫线性化方程支配，其增长急剧依赖于维数和非线性项的符号。在一维散焦情形，我们利用全局 Birkhoff 变换以及线性化流由此产生的退化结构，证明了一致二次上界 $C(1+T^2)τ^2$。在高维散焦情形，指数增长通过任意小的不稳定驻波构造得到。此外，为证明高维散焦上界，我们使用 Killip 和 Vişan 的周期 Strichartz 估计证明 $\\int_0^T\\|u(t)\\|_{L^\\infty}^2\\,dt\\le C(u_0)(1+T)$。这给出了不依赖于最终时间的指数速率，尽管高阶 Sobolev 范数可能增长。聚焦情形中的指数下界由平面波附近的不稳定线性化动力学得到，其中 Akhmediev 呼吸子提供了底层机制。此外，对于小初值的一维聚焦情形，局部 Birkhoff 变换的应用保证误差随时间至多二次增长。各种数值实验验证了尖锐的线性、二次和指数误差增长率。\n12. 基于张量仿积的积分算子核的正则化与压缩 Regularization and compression of integral operator kernels with tensor paraproducts\n作者: Oluwadamilola Fasina, Ronald R. Coifman\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-14\narXiv ID: 2609.15822v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.15822v1\n摘要翻译 中文标题: 基于张量仿积的积分算子核的正则化与压缩\n摘要翻译: 我们提出了一个关于由距离的非线性函数给出的积分算子核的新视角。该视角很有用，因为它允许人们对作用在距离 d(x,y) 的张量 Haar 展开上的非线性变换进行拟线性化。由此得到一种由主项和余项组成的新表示，并具有良好性质；即主分量局部正则性增强（并且在某些情形下具有快速的非对角衰减，从而导致 O(N) 存储），以及由于全局正则性增强而获得具有改进逼近的余项展开。文中包含了对位势核的数值实验。\n13. 面向鲁棒 PDE 反问题的物理引导条件流匹配与能量正则化 Physics-Guided Conditional Flow Matching with Energy Regularization for Robust PDE Inverse Problems\n作者: Yongsheng Chen, Shuo Lu, Wei Guo, Xinghui Zhong\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-14\narXiv ID: 2609.15536v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.15536v1\n摘要翻译 中文标题: 面向鲁棒 PDE 反问题的物理引导条件流匹配与能量正则化\n摘要翻译: 我们考虑由稀疏、含噪且受污染的观测出发的偏微分方程 (PDE) 反问题，目标是在无网格设置下恢复未知系数场及相应的状态变量。在此类稀疏且受污染的观测下，标准的物理信息方法与生成方法通常不加区分地对待所有样本，因而缺乏一种有原则的机制来协调物理规律与受污染数据。我们通过一个两阶段流匹配框架来解决这一困难。在第一阶段，我们提出物理引导条件流匹配 (PG-CFM)，它通过沿生成轨迹的残差正则化以及间歇性的全局配点约束，将强形式 PDE 信息纳入其中。在第二阶段，我们引入能量正则化流匹配 (ERFM)，它通过从冻结教师模型为每个观测分配一个物理\u0026ndash;数据能量分数，并重新加权流匹配目标，以减少高能量、与 PDE 不一致样本的影响，从而微调 Stage-1 模型。我们证明，所得的 Stage-2 目标等价于在教师诱导的重加权数据分布下的流匹配，这给出了鲁棒性机制在总体层面的解释。在若干反问题基准（包括 Poisson 和 Navier\u0026ndash;Stokes 问题）上的数值实验表明，所提出的框架比鲁棒 PINN 变体和竞争性生成基线能获得更准确的系数恢复。\n14. 不可压缩 Navier-Stokes 方程的强拟涡能稳定积分格式 Strongly enstrophy-stable integrators for the incompressible Navier-Stokes equations\n作者: Boris D. Andrews, Matin Shams, Patrick E. Farrell\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-14\narXiv ID: 2609.15520v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.15520v1\n摘要翻译 中文标题: 不可压缩 Navier-Stokes 方程的强拟涡能稳定积分格式\n摘要翻译: 我们提出一种用于不可压缩 Navier-Stokes 方程的混合有限元离散化，它保持能量和拟涡能的演化规律，且这种保持比先前的离散化更强。在二维情形，对于热力学孤立系统，拟涡能的演化规律仅允许耗散，由此得到速度梯度的与 Reynolds 数无关的界，这自然地稳定了格式，即使在严重欠分辨的网格上也是如此。在三维情形，该格式同时保持耗散以及通过涡旋拉伸产生的拟涡能。我们通过系统地在离散化中引入辅助变量来强制这些演化规律。虽然这些格式的协调实现需要具有增强正则性的离散 Stokes 复形，但我们同时引入 (i) 等价重参数化以及 (ii) 罚格式，它们只需要标准离散 de Rham 复形中典型的 curl- 和 div- 协调空间。该格式可处理不同类型的边界条件和弯曲区域。所提格式的稳健稳定性质通过剪切流、球形涡和绕障碍物流动的数值模拟得到展示。我们在数值上观察到，以这种方式保持拟涡能的离散演化对数值解具有很强的稳定作用，尤其是在二维情形。\n15. 用于应变梯度弹性的杂交化交错间断 Galerkin\u0026ndash;混合有限元方法 A Hybridized Staggered Discontinuous Galerkin\u0026ndash;Mixed Finite Element Method for Strain Gradient Elasticity\n作者: Bohan Yang, Eric T. Chung\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-09-14\narXiv ID: 2609.15186v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.15186v1\n摘要翻译 中文标题: 用于应变梯度弹性的杂交化交错间断 Galerkin\u0026ndash;混合有限元方法\n摘要翻译: 我们提出了一种用于应变梯度弹性模型的杂交化交错间断 Galerkin\u0026ndash;混合有限元方法；该模型是由材料长度尺度参数 $ι$ 以及 Lamé 常数 $λ$ 和 $μ$ 支配的四阶奇异摄动问题。通过引入总应力以及缩放后的 Cauchy 应力和超应力作为辅助未知量，我们将模型重写为一阶系统，并用交错间断 Galerkin 空间离散位移和总应力，用 Raviart\u0026ndash;Thomas 对离散两个缩放应力，同时对三个应力均强式施加对称性。高阶 Dirichlet 边界条件自然地进入变分形式，从而使该格式避免了限制基于位移方法的数值边界层。通过在对称子空间上建立 inf-sup 条件以及离散 Korn 不等式，我们证明了代数稳定性和最优收敛性，且二者均关于 $ι$ 和 $λ$ 一致。我们进一步发展了一个杂交化格式，其中局部静力凝聚仅将网格骨架上的两个乘子留作全局耦合未知量。数值实验证实了所预测的收敛率和参数鲁棒性。\n16. 非全局 Lipschitz 条件下 index-1 随机微分代数方程的随机 theta Milstein 方法强收敛率 Strong convergence rates of stochastic theta Milstein methods for index-1 stochastic differential algebraic equations under non-globally Lipschitz conditions\n作者: Caiyuan Zhu, Shiye Wan, Ziheng Chen, Lin Chen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-13\narXiv ID: 2609.14583v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.14583v1\n摘要翻译 中文标题: 非全局 Lipschitz 条件下 index-1 随机微分代数方程的随机 theta Milstein 方法强收敛率\n摘要翻译: 本文研究了一类具有时间依赖奇异矩阵和非全局 Lipschitz 系数的 index-$1$ 随机微分代数方程（SDAEs）的保结构随机 theta Milstein 方法的强收敛阶。奇异矩阵允许随时间变化，同时保持固定的微分代数分裂，并且漂移和扩散系数可能表现出超线性增长。通过利用精确解的 index-$1$ 代数-微分分解，我们直接在原始 SDAE 变量中确定约化随机微分方程的 Milstein 系数，并建立了所提方法对 $θ\\in[1/2,1]$ 的适定性和约束保持性质。在耦合单调性条件和适当的多项式正则性假设下，证明该方法在所有时间层保持代数约束，并在均方根范数下以强一阶收敛。数值实验证实了保结构性质和理论收敛阶。\n17. 关于对流扩散方程的一类超收敛 Hermite 型方法 On a class of supraconvergent Hermite-type methods for advection-diffusion equations\n作者: Xianyi Zeng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-13\narXiv ID: 2609.14545v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.14545v1\n摘要翻译 中文标题: 关于对流扩散方程的一类超收敛 Hermite 型方法\n摘要翻译: 我们开发并分析了一类用于一维周期区域上线性对流扩散方程的 Hermite 型方法。这些方法同时演化节点值和单元平均值，因此被称为混合变量 (HV) 方法。利用 Hermite 插值理论，我们将 HV 方法构造到任意精度阶，并证明该方法具有超收敛性，即该方法的空间精度阶高于局部截断误差。在本文第二部分，我们利用正三角级数理论证明，对于线性扩散方程和线性对流扩散方程，所有中心 HV 方法在半离散层面都是稳定的。超收敛性质和中心 HV 格式的稳定性均通过大量数值算例得到验证。\n18. Hankel-Koopman 耦合实验数据的有限时域能量分解：一种三阶段数据驱动孪生预测框架 Hankel-Koopman Finite-Horizon Energy Decomposition of Coupled Experimental Data: A Three-Phase Data-Driven Twin Forecasting Framework\n作者: Diana A. Bistrian, Marcel Topor\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-13\narXiv ID: 2609.14501v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.14501v1\n摘要翻译 中文标题: Hankel-Koopman 耦合实验数据的有限时域能量分解：一种三阶段数据驱动孪生预测框架\n摘要翻译: 本文提出了一种统一的三阶段数据驱动孪生框架，用于从耦合实验测量中对物理量进行有限时域预测。该框架将一种新的、具有正交模态的 Hankel\u0026ndash;Koopman 有限时域能量分解与一个逆校准的带外生输入的多输出非线性自回归模型相结合。非线性动力学在给定校准窗口内于 Hankel 系数空间中被辨识和模拟。随后，在物理测量空间中经过反对角恢复和相应轨迹的重构之后，对候选模型进行评估。由此得到的模拟通道轨迹作为感兴趣量的递归预测模型的外生输入。通过这种方式，所提出的框架集成了降阶表示、非线性动力学辨识、测量重构以及可解释预测。数学分析将 Koopman 延迟坐标理论专门应用于序列化多通道 Hankel 提升，并建立其与移位 Hankel 表示的兼容性。它还证明了模态的正交性以及有限时域模态能量分解，并在明确陈述的假设下证明了所辨识模型的存在性、唯一性、逆稳定性和前向稳定性。在一个太阳能发电厂案例研究中，该框架在所有考虑的预测时域上均产生了一致的高相关性和低相对误差，表明其能够在递归预测过程中保持感兴趣量的时间演化。\n19. 线性输运不确定性量化的批量波前扫描 Batched Wavefront Sweeps for Linear Transport Uncertainty Quantification\n作者: Tristan Pryer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-13\narXiv ID: 2609.14496v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.14496v1\n摘要翻译 中文标题: 线性输运不确定性量化的批量波前扫描\n摘要翻译: 我们为线性输运的迎风间断 Galerkin 离散开发了一种图兼容的批量波前表述。对于可扫描离散，在有向迎风依赖图的拓扑排序下，单元方程构成块下三角系统。这种因果结构可以在局部算子、源和入流数据变化的固定源问题族之间共享。我们利用这一观察，将具有共同依赖图的通道分组为图兼容扫描类，并在统一的波前调度中，将样本、右端项、能群和符号兼容的角度坐标作为张量维度承载。我们证明，所得的批量波前算法在代数上等价于对类中每个通道独立进行的经典 DG 扫描，同时在波前单元和通道维度上暴露并行性。我们基于批量单元局部求解将该表述实现为 GPU 张量程序，并量化其工作量、深度和存储需求，包括由样本微批处理引入的吞吐量\u0026ndash;内存权衡。我们进一步刻画固定面符号分支上的离散参数到可观测量映射，并表明通过波前算法进行反向模式微分再现相应的离散伴随作用。数值实验验证了预期的 DG 收敛性和伴随一致性，展示了样本批处理带来的显著 GPU 执行增益，并在一个材料遮蔽不确定性量化问题和一个受 C5G7/KAIST 启发的耦合多群幂迭代工作负载中说明了该方法。\n不相关论文（基本信息） 1. 关于超临界流体保压力平衡数值通量的存在性 On the Existence of Pressure-Equilibrium-Preserving Numerical Fluxes for Supercritical Fluids\n作者: Robin Ben Klein\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17492v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17492v1\n摘要: In this work we propose a new existence theorem for numerical flux functions for supercritical fluids that are pressure-equilibrium preserving (PEP). In particular, we characterize the existence of consistent numerical flux functions that satisfy an algebraic PEP property. Our theory links the existence of PEP schemes to geometric properties of the equation of state describing the thermodynamics of the fluid. When these geometric properties fail for a pair of states on the same isobar, no PEP schemes of the considered form can exist on a domain containing those states. In our analysis the equation of state itself can be fully general only needing to satisfy some fundamental thermodynamic principles. Recently, PEP compatibility conditions for general equations of state have been derived \\cite{channodal} that rely on the existence of certain thermodynamic derivatives which are not guaranteed to be defined under fundamental thermodynamic principles. The geometric conditions in our theory do not depend on the existence of these derivatives and recover the recent compatibility conditions in the case that these derivatives are defined. Finally, using numerical experiments we demonstrate for two supercritical fluids that our existence conditions are restrictive and thus that no PEP schemes of the form we consider exist on the domain we specify for these fluids. Using our geometric perspective, we also shed light on mechanisms by which PEP schemes can develop numerical issues, which we also demonstrate using numerical experiments.\n2. 随机 Volterra 方程的马尔可夫逼近在 Hölder 范数下的收敛性 Convergence in Hölder norms for Markovian approximations of stochastic Volterra equations\n作者: Noé Corneille, Kristin Kirchner, Pietro Pezzoli Frigerio\n类别: math.PR, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17472v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17472v1\n摘要: We bound the difference between two stochastic Volterra processes with identical Lipschitz coefficients but different kernels. For non-convolution kernels, we establish estimates in $C^0([0,T];L^p(Ω))$, $p\\geq 2$, and for convolution kernels in $L^p(Ω;L^q(0,T))$, $q \\in [1,p]$, and $C^β([0,T];L^p(Ω))$, $L^p(Ω;C^β([0,T]))$, where the range of the Hölder exponent $β\\in (0,1]$ is the maximal permitted by the regularity of the processes. For the fractional kernel, we then construct Markovian approximations whose error we show to decay as $e^{-a\\sqrt{N}}$ in the aforementioned norms, using an $N$-node quadrature based on sinc methods. Numerical experiments for the fractional Brownian motion verify our findings.\n3. 一种可证明收敛的 MM-GKS 变体，用于大规模反问题 A provably convergent MM-GKS variant for large-scale inverse problems\n作者: Mirjeta Pasha, Eric de Sturler, Misha Kilmer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17229v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17229v1\n摘要: For high-quality images with sharp edges, a popular choice for edge-preserving regularization is using a general(ized) $\\ell_q$-norm of the gradient of the image. This can be implemented efficiently using the $\\ell_2$-norm and a sequence of weighted gradients, with weights derived from the current solution estimate. We can solve the resulting sequence of regularized least squares problems using hybrid Krylov subspace methods, which efficiently compute the regularization parameter using the problem projected on the Krylov subspace. However, each update of the regularization operator requires a new Krylov subspace. The majorization-minimization generalized Krylov subspace method (MM-GKS) addresses this problem by using a single, generalized, Krylov subspace (GKS). Unfortunately, for large-scale problems, if convergence is not fast, MM-GKS has overwhelming memory requirements and computational costs. We propose a variant of MM-GKS that alternately compresses and expands the search space while maintaining strict monotonic convergence. We show that our method provably converges to the minimum of the selected functional, even if the search space dimension is kept very small. This substantially improves on previous theoretical results for MM-GKS, where the convergence proof relies on the basis for the solution space (eventually) spanning the full space. We show that our method can solve large-scale problems efficiently both in terms of memory requirements and computational complexity. We further generalize our proposed method to handle streaming problems, where the data is either not all available simultaneously or needs to be treated as such because of the extreme memory requirements. We use numerical examples from image deblurring, dynamic photoacoustic tomography, and streaming X-ray computed tomography (CT) to illustrate the effectiveness of our proposed methods.\n4. 迈向 Pólya 猜想：通过能量正交性改进单个 Li-Yau 界 Toward Pólya\u0026rsquo;s Conjecture: Improving the Individual Li-Yau Bound via Energy Orthogonality\n作者: Yifan Wang, Hehu Xie\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17219v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17219v1\n摘要: We establish two complementary lower-bound mechanisms for individual eigenvalues of the Dirichlet Laplacian. First, energy orthogonality yields a frequency-dependent cap on the Fourier density of a finite spectral projection. Combining this cap with the standard $L^2$ Bessel estimate and a radial-capacity bathtub principle gives, on every open set of finite positive measure in $\\mathbb R^n$ with $n\\geq2$, [ λ_k\\geq c_n(2π)^2ω_n^{-2/n}|Ω|^{-2/n}k^{2/n}, \\qquad \\frac{n}{n+2}\u0026lt;c_n\u0026lt;1. ] The constant $c_n$ is characterized by a scalar equation, with $c_2=0.5383068077\\ldots$. This estimate preserves Weyl scaling and strictly improves the individual consequence of the Li-Yau sum inequality, although it does not improve the sharp leading coefficient in that sum inequality. Second, we retain part of the spectral deficit discarded when an eigenvalue sum is bounded by its largest term. A lower bound for the counting function, integrated through the exact first Riesz-mean identity, leads to a strictly monotone scalar equation. Its unique positive root is no weaker than the volume-only bound, and we give necessary and sufficient criteria for strict improvement over both that baseline and any independent lower bound. Quantitative estimates of Jiang-Lin provide an explicit implementation on bounded Lipschitz domains. The final comparisons and numerical example distinguish improvements within this framework from stronger estimates available under additional geometric or spectral assumptions.\n5. 时间因果带通小波的框架界与带宽铺砌 Frame bounds and bandwidth tiling for time-causal bandpass wavelets\n作者: Jens E. Pedersen, Tony Lindeberg, Peter Gerstoft\n类别: eess.SP, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17201v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17201v1\n摘要: Wavelets and frames that provide strong guarantees for signal representations are a cornerstone in signal processing theory, but have long been restricted to non-causal settings. Recent work extended wavelet analysis to time-causal systems that operate on streaming signals, with exact reconstruction and time-recursive implementations. However, the frame guarantees that make such representations reliable under noise and quantization are uncharacterized. We derive closed-form frame bounds and conditioning on band-limited domains, peak frequencies, constant-Q bandwidth tiling, and spectral decay rates for time-causal bandpass wavelets. Our work provides design rules for the scale ratio and channel count, which we validate numerically against discrete implementations of the causal wavelets in terms of recursive filters.\n6. Hamilton\u0026ndash;Jacobi\u0026ndash;Bellman 方程的边界停止正求积格式的误差界 Error Bounds for Boundary-Stopped Positive Cubature Schemes for Hamilton\u0026ndash;Jacobi\u0026ndash;Bellman Equations\n作者: Haoran Xu, Xingye Yue\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17186v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17186v1\n摘要: We derive error bounds for a boundary-stopped positive cubature scheme for degenerate parabolic Hamilton\u0026ndash;Jacobi\u0026ndash;Bellman equations with Dirichlet data on bounded domains. The scheme balances antipodal branches at their first boundary contacts and uses a control-dependent effective time. Its stopped-barrier remainder is (O(τΔt^{γ/2})), and the total mass of interpolated branches is at most (2τ/Δt), where (τ) is the effective time. After division by the effective time, these estimates give a consistency bound that is uniform as (τ\\to0). Under a common strict boundary barrier and the stated mesh conditions, interior consistency, coefficient shaking, switching, and localized comparison yield [ |(u-u_h)^+|\\infty\\le C(Δt^{1/4}+hΔt^{-1/2}), \\qquad |(u_h-u)^+|\\infty\\le C(Δt^{1/10}+h^{1/2}Δt^{-1/4}). ] Thus (Δt\\asymp h^{10/7}) gives an (O(h^{1/7})) maximum-norm bound. The analysis applies to any fixed centrally symmetric positive degree-two cubature and permits rank-deficient diffusion. Numerical examples examine parallel heat loss to a cold wall and control-dependent, rank-deficient diffusion.\n7. 基于随机化动态模态分解与深度学习的高保真数字孪生数据模型及其在流体力学中的应用 High-Fidelity Digital Twin Data Models by Randomized Dynamic Mode Decomposition and Deep Learning with Applications in Fluid Dynamics\n作者: Diana A. Bistrian\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17101v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17101v1\n摘要: The purpose of this paper is the identification of high-fidelity digital twin data models from numerical code outputs by non-intrusive techniques (i.e., not requiring Galerkin projection of the governing equations onto the reduced modes basis). In this paper the author defines the concept of the digital twin data model (DTM) as a model of reduced complexity that has the main feature of mirroring the original process behavior. The significant advantage of a DTM is to reproduce the dynamics with high accuracy and reduced costs in CPU time and hardware for settings difficult to explore because of the complexity of the dynamics over time. This paper introduces a new framework for creating efficient digital twin data models by combining two state-of-the-art tools: randomized dynamic mode decomposition and deep learning artificial intelligence. It is shown that the outputs are consistent with the original source data with the advantage of reduced complexity. The DTMs are investigated in the numerical simulation of three shock wave phenomena with increasing complexity. The author performs a thorough assessment of the performance of the new digital twin data models in terms of numerical accuracy and computational efficiency.\n8. 在HLL型多状态近似Riemann解中加入慢磁声模式 Adding slow magnetoacoustic mode to the HLL-type multi-state approximate Riemann solution\n作者: Fan Zhang, Stefaan Poedts, Andrea Lani\n类别: physics.comp-ph, astro-ph.IM, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17049v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17049v1\n摘要: Multi-state HLL-type approximate Riemann solutions of ideal magnetohydrodynamics (MHD) typically assume that the medium within the Riemann fan is incompressible, and thus the slow magnetoacoustic mode cannot be included in their space-time wave configurations for the approximated states. We propose a new strategy to design multi-state HLL-type approximate solutions, allowing for the medium within the Riemann fan to be compressible. In particular, for the complete seven-wave configuration of the MHD Riemann problem, we first estimate the slow magnetoacoustic speeds and a longitudinal flow speed between the slow modes, and then follow the conservation laws and Rankine-Hugoniot jump relations across the fast, Alfvén, and slow waves, to calculate all the intermediate states within the Riemann fan. Moreover, we discuss the solutions when certain wave modes degenerate, ensuring well-posedness and smooth transitions between complete and degenerate wave configurations. Numerical simulations using a Finite Volume (FV) solver show that the proposed approximate Riemann solution is less diffusive than the classic HLLD scheme, particularly for slow mode waves. For example, in a 1D test case with a strong longitudinal magnetic field, the new scheme needs one order of magnitude fewer grid cells compared to the classic HLLD scheme to resolve all wave modes.\n9. 近最优非凸矩阵补全 Near-Optimal Nonconvex Matrix Completion\n作者: Jian-Feng Cai, Xiliang Lu, Juntao You\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17048v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17048v1\n摘要: We study nonconvex methods for matrix completion, the problem of recovering a low-rank matrix from a subset of its entries. Convex methods achieve sample complexity linear in the matrix dimension and the rank, up to logarithmic factors, whereas global guarantees for commonly used nonconvex methods require a higher polynomial dependence on the rank. We close this gap by analyzing Riemannian gradient descent (RGD) and Riemannian Gauss\u0026ndash;Newton (RGN) methods. For an $n\\times n$ matrix of rank $r$ with incoherence parameter $μ$ and condition number $κ$, the two methods achieve exact recovery with high probability from $O(μnr\\log n\\log(nκ))$ and $O(μnr\\log n\\log(2μrκ))$ observations, respectively. The methods use a multiscale residual initialization, while the analysis simultaneously controls the spectral error and incoherence. The resulting RGD iterates converge linearly, whereas RGN eventually converges Q-quadratically.\n10. 从基于共识的优化到粒子群优化：漂移-扩散耦合下的收敛性保证 From Consensus-Based Optimization to Particle Swarm Optimization: Convergence Guarantees under Drift-Diffusion Coupling\n作者: Franca Hoffmann, Dohyeon Kim, Ritvik Teegavarapu\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.17002v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.17002v1\n摘要: Particle swarm optimization (PSO) is a widely used algorithm featured in many state-of-the-art optimization tool-kits. However, rigorous performance guarantees are still lacking. The standard PSO dynamics do not admit a natural mean-field description, which would provide an avenue for theoretical analysis. By modifying the PSO formulation, one can recover the consensus-based optimization (CBO) algorithm with memory, which admits a mean-field limit and facilitates rigorous convergence analysis. These theoretical guarantees rely heavily on the fact that for CBO, the drift and noise strengths can be chosen independently, whereas they are coupled for PSO. We analyze how the PSO parameter coupling affects existing convergence guarantees for CBO and its variant with memory effect. We show, by an explicit construction, that the coupling still leaves a non-empty set of admissible parameters for these convergence guarantees to hold. However, the admissible parameter ranges shrink in the limits used to recover PSO. The resulting convergence guarantees from CBO therefore do not directly extend to the classical PSO model. We provide numerical simulations illustrating the parameter tradeoffs shown in the theoretical analysis.\n11. 准地转方程的非线性滤波稳定化 Nonlinear filtering stabilizations for the quasi-geostrophic equations\n作者: Lander Besabe, Sachin Kumar, Annalisa Quaini\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16983v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16983v1\n摘要: Numerical simulations of ocean flows typically require fine computational meshes to resolve the Munk scale, leading to high computational costs. Filtering-based large eddy simulation (LES) provides a way to relax the mesh size requirement by modeling the effects of the unresolved scales. For the implementation of this strategy, we propose a three-step algorithm called Evolve-Filter-Relax (EFR) that requires (i) the solution of a QGE problem, (ii) a nonlinear Helmholtz filter for the potential vorticity field leveraging an indicator function, and (iii) a final relaxation step. We show that the EFR algorithm can be interpreted as a splitting scheme for a perturbed QGE problem with additional dissipation and provide a practical choice for the relaxation parameter. For comparison, we also investigate a nonlinear Bardina regularization of the QGE. Numerical results on a classical benchmark show that both the EFR approach and the nonlinear Bardina regularization significantly improve the accuracy and stability of coarse mesh simulations with no LES model. Additionally, the EFR method with a deconvolution-based indicator function delivered the best balance between accuracy, stability, and computational efficiency in a test case involving a more realistic geometry (Mediterranean Sea).\n12. 基于SAV方法的能量稳定且保精度的有限体积格式及其在壁面距离计算中的应用 An energy stable and accuracy-preserving finite volume scheme based on the SAV method with application to wall-distance computation\n作者: Xiaorui Xu, Qian Wang\n类别: physics.comp-ph, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16885v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16885v1\n摘要: A novel semi-implicit second-order finite volume scheme integrating the scalar auxiliary variable (SAV) approach is proposed for solving the pseudo-time Eikonal equation in wall-distance computation. Unconditional energy stability under zero boundary conditions is rigorously proved, eliminating the dependence of the time step on the grid scale and enabling large-time-step computation. The scheme is a priori accuracy-preserving, and its discretization matrix forms an M-matrix, thereby guaranteeing strict non-negativity of the numerical solution inherently. The framework extends readily to any non-conservative scalar equation and, being independent of the specific finite-volume reconstruction, is compatible with schemes of arbitrary order of accuracy. A vanishing artificial viscosity is introduced to smooth the solution without compromising formal accuracy, and upwinding is incorporated through directional weighting in the weighted least-squares (WLS) reconstruction. Numerical experiments confirm that the scheme achieves the designed accuracy and permits stable computations with uniformly large time steps. For complex configurations such as a three-element airfoil and the three-dimensional ONERA M6 wing, accurate results are obtained on high-aspect-ratio grids, with relative errors in the computed wall distance below 3% relative to the search-based reference, except near geometric singularities.\n13. 基于流形插值与子空间更新的在线自适应非侵入式模型降阶：在FSI收敛加速中的应用 Online adaptive non-intrusive model reduction via manifold interpolation and subspace updates: application to FSI convergence acceleration\n作者: Azzeddine Tiba, Florian de Vuyst, Iraj Mortazavi\n类别: cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16876v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16876v1\n摘要: We introduce a novel online adaptive non-intrusive reduced-order modeling strategy for parameterized dynamical systems involving parameter and time-dependent reduced bases. The proposed framework is based on a unified Grassmann manifold formulation combining three key components: interpolation of local reduced subspaces for unseen parameters, geodesic online subspace updates driven by incoming high-fidelity snapshots, and a latent-space regression strategy relying on Grassmann-distance weighting and Procrustes alignment to consistently aggregate predictions from multiple local models. The adaptive reduced-order model is embedded in a partitioned fluid-structure interaction framework, where it predicts fluid interface forces to provide accurate initial guesses for the nonlinear coupling iterations, thus achieving computational speedups with no loss of accuracy. The reduced basis and the regression operators are adapted independently during the simulation and without requiring the storage of high-dimensional streaming data, preserving computational efficiency while substantially improving predictive capabilities. Numerical results on reference FSI test cases demonstrate superior accuracy with respect to static and global reduced-order models, leading to a significant reduction in the number of fixed-point iterations required for convergence. The proposed framework offers a flexible and fully non-intrusive approach for the efficient simulation of nonlinear parameter-dependent multiphysics problems.\n14. 热方程全时 Runge\u0026ndash;Kutta 离散的混合精度求解器 Mixed precision solvers for the all-at-once Runge\u0026ndash;Kutta discretization of the heat equation\n作者: Santolo Leveque, Luca Bergamaschi, Ángeles Martínez, Erin Carson\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16863v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16863v1\n摘要: We study the effect of mixed precision on the numerical integration of the heat equation discretized with a Runge\u0026ndash;Kutta method in time. A full space-time discretization is applied, which results in a very large and sparse linear system to be solved for the numerical approximations and the Runge\u0026ndash;Kutta stages of all time steps. The linear system is solved by applying a suitable preconditioned iterative method that can be run in parallel. In order to speed up the solution process, the preconditioner is applied using a mixed precision framework. Sequential results show the robustness of the preconditioner, even when applied in mixed precision. Finally, we present numerical evidence of the improved performance of the mixed precision strategy when applied in a parallel environment, achieving up to a 50% reduction in CPU time.\n15. 保持双线性的代数通量修正 Bilinearity Preserving Algebraic Flux Correction\n作者: Sarthak Sourav Dash, Abhinav Jha\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16830v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16830v1\n摘要: Algebraic flux correction schemes for convection\u0026ndash;diffusion\u0026ndash;reaction equations rely on linearity preservation to avoid unnecessary artificial diffusion: the limiter is inactive whenever the discrete solution is affine. On quadrilateral and hexahedral meshes, this is insufficient, since the finite element space also contains bilinear functions that are reproduced exactly on axis-aligned meshes. We show that a mesh patch admits bilinearity preservation if and only if the central node lies in the convex hull of its neighbours after lifting each neighbour by the product of its coordinate differences, and we derive a sharp explicit value for the limiter parameter on such patches when the cell edges are parallel to the coordinate axes. We further characterize the meshes on which a mapped bilinear finite element space reproduces a bilinear function exactly, thereby establishing a fundamental limitation on what any limiter can achieve on general quadrilaterals. Numerical experiments confirm the theory: on axis-aligned grids, the proposed limiter reproduces a bilinear solution to the accuracy of the nonlinear iteration, whereas the linearity-preserving limiter does not. A sensitivity study shows that the parameter required for bilinearity preservation lies close to the upper end of the range for which the nonlinear problem can be solved by the fixed-point iteration considered here.\n16. 状态约束策略迭代的罚参数一致局部化 Penalty-Uniform Localization for State-Constrained Policy Iteration\n作者: Yeongjong Kim, Jiwoong Jang, Yeoneung Kim\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16829v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16829v1\n摘要: Penalizing a state constraint creates a singular localization problem: whole-space values may grow like the inverse penalty parameter, while numerical diffusion allows even an inward feedback to cross the boundary. For deterministic discounted optimal control, we show how the penalty itself supplies confinement that offsets this growth. With mesh size $h$ and penalty parameter $\\varepsilon$, an inward barrier bounds the additional cost of numerical leakage by $O(h/\\varepsilon)$ for a monotone centered-difference scheme with vanishing viscosity. Under $h\\le\\varepsilon$, an occupation estimate then yields $O(h)$ localization error with a sufficient box margin logarithmic in $1/h$ and independent of $\\varepsilon$. We extend the result to bounded squared-distance penalties and combine it with residual-based evaluation bounds and discounted policy-error propagation. Under coupled refinement with vanishing penalization and discretization errors, explicit conditions on evaluation errors and greedy gaps ensure convergence of the neural value approximations to the constrained value, allowing measurable, nonunique greedy selectors. Reference calculations isolate leakage and localization across mesh and penalty scales, and distinguish evaluation, iteration, and approximation errors. An explicit cylindrical state-constraint solution provides a benchmark in arbitrary dimension, tested up to dimension twenty. Paired obstacle-navigation experiments illustrate why policy-value accuracy must be assessed alongside sampled residuals when comparing raw-residual and finite-grid-assisted neural evaluation.\n17. 一种适应学习到的多变量结构的加权核逼近方法 A Weighted Kernel Method for Approximation that Adapts to Learned Multivariable Structure\n作者: John E. Darges, Laura Weidensager\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16606v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16606v1\n摘要: Approximating the input-output behavior of a multivariable black-box function from limited data is challenging when blind to the importance of its inputs and their interactions. We introduce total sensitivity kernels (TSKs), a method based on families of weighted ANOVA kernels that learn and adapt to this multivariable structure. TSKs parameterize the weights on each multivariable component of the target function by factors for each input. We propose learning these factors directly from function evaluations by selecting the reproducing kernel Hilbert space (RKHS) in which the target function has minimum norm. Under suitable conditions, we show that this norm-minimization problem admits a unique solution, and we establish consistency of a finite-data formulation based on minimum-norm interpolation. The learned TSK factors characterize the participation of individual inputs across interactions and main effects, providing a kernel-dependent notion of input sensitivity related to total Sobol indices. Numerical experiments demonstrate that adapting the kernel to learned multivariable structure can substantially improve approximation accuracy over a standard product kernel.\n18. 具有复合状态方程的可压缩 Euler 方程的保证波速界 Guaranteed wave-speed bounds for the compressible Euler equations with a composite equation of state\n作者: Nicolas Favrie, Matthias Maier\n类别: math.AP, math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-09-13\narXiv ID: 2609.14287v2\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.14287v2\n摘要: We derive computable upper bounds on the maximum wave speed in the Riemann problem for the compressible Euler equations with a composite equation of state, in which the pressure is the sum of a convex hydrodynamical part and a barotropic correction. The correction may destroy the convexity of the equation of state, so that the Riemann solution can contain composite shock-rarefaction waves. The bounds are obtained by comparison with the auxiliary Riemann problem for the hydrodynamical equation of state alone. The bounds hold irrespective of whether the outer waves are elementary or composite and require no case distinction on the wave type.\n19. 结构驱动反演：求解反问题的新范式 Structure-Driven Inversion: A New Paradigm for Solving Inverse Problems\n作者: Shengchang Chen\n类别: math.NA, physics.geo-ph\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16536v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16536v1\n摘要: Inverse problems are predominantly solved within the optimization-driven paradigm, which formulates the problem as objective-function minimization and approaches the solution by iterative search. Though universal, it suffers from limitations in efficiency, interpretability, and multi-parameter decoupling. This paper proposes a new paradigm\u0026mdash;Structure-Driven Inversion (SDI). Instead of iterative search, SDI identifies and exploits the intrinsic structure of the problem to construct a solution method. It has two types of structure\u0026mdash;mathematical structure and physical structure\u0026mdash;and two corresponding driving inversion types: Mathematical Structure-Driven Inversion (MSDI) and Physical Structure-Driven Inversion (PSDI). The current representative method of MSDI is Mathematical Structure-Driven Pseudo-Inverse Inversion (MSDPII), which constructs a pseudo-inverse in the spectral domain via unitary diagonalization. The current representative methods of PSDI are Physical Structure-Driven Waveform Inversion Imaging (PSDWII), which performs inversion through virtual-source projection, and Physical Structure-Driven Back-Propagation (PSDBP), which implements three structural projections for deep neural networks via physical-system analogy. SDI is not a rejection but a complement and extension of Optimization-Driven Inversion (ODI). To the best of the author\u0026rsquo;s knowledge, no existing study has systematically presented structure-driven inversion as an independent paradigm; this paper aims to fill that gap.\n20. 基于动理学缺陷测度的标量双曲守恒律结构信息引导数据驱动降阶建模 Structure-Informed Data-Driven Reduced-Order Modeling of Scalar Hyperbolic Conservation Laws via Kinetic Defect Measure\n作者: Marissa Llamas, Jan Fuhg, Hannah Lu\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16525v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16525v1\n摘要: Reduced-order modeling of transport-dominated systems remains challenging because moving fronts and shocks are poorly represented by low-dimensional linear subspaces. We develop a structure-informed data-driven reduced-order model(ROM) for scalar hyperbolic conservation laws based on the kinetic defect formulation. This formulation separates the nonlinear dynamics into known characteristic transport and a kinetic entropy defect localized on the shock manifold. We exploit this structure by first removing the known transport from the solution snapshots. We then extract and register the remaining defect-driven dynamics in a shock-attached coordinate system. Separate ROMs are used to evolve the shock geometry and the registered defect-driven source. During prediction, the predicted shock geometry is used to inverse-register the learned defect-driven source, which advances the kinetic state and recovers the physical solution. Numerical examples in one and two spatial dimensions demonstrate accurate reconstruction and prediction of nonlinear transport with shocks, including evolution beyond the training interval, while accurately capturing the mass and entropy-dissipation behavior of the reference solution.\n21. 变系数双调和问题的无矩阵增广高阶紧致求解器 A Matrix-free Augmented High Order Compact Solver for Variable-Coefficient Biharmonic Problems\n作者: Jin Li, Kejia Pan, Xu Qian, Li-Lian Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16478v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16478v1\n摘要: We propose an augmented high-order compact finite difference method for biharmonic equations with clamped boundary conditions and variable coefficients. Standard mixed-type formulations introduce an auxiliary variable, but its boundary values are unavailable, leaving the resulting discrete systems globally coupled and difficult to solve at large scales. Our key contribution is the development of a new augmented formulation that treats these unavailable boundary values as additional unknowns, reduces the global coupling to a lower-dimensional Schur complement system, and yields decoupled second-order subproblems. The Schur complement is solved by matrix-free GMRES, while the subproblems are handled by FFT-based fast solvers. The method achieves fourth-order accuracy using compact stencils, and has $O(n\\log n)$ computational complexity, enabling the solution of the biharmonic equation with $1024^3$ degrees of freedom within several minutes. To the best of our knowledge, this level of computational efficiency has not previously been achieved in either the literature or practice. Using energy estimates and Fourier analysis, we derive a new $L^2$-estimate for Poisson equations with inexact Dirichlet boundary and then prove the convergence of the proposed scheme. We provide ample numerical experiments to confirm the accuracy, efficiency, and further apply the fast and accurate solver to triharmonic equations, high-wavenumber problems, Stokes flow, and plate bending problems.\n22. 超越相位约化：耦合振子最优控制中的振幅坍缩 Beyond Phase Reduction: Amplitude Collapse in Optimal Control of Coupled Oscillators\n作者: Faranak Rajabi, Frédéric Gibou, Jeff Moehlis\n类别: math.OC, eess.SY, math.NA\n发布日期: 2026-09-15\narXiv ID: 2609.16449v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16449v1\n摘要: We solve the four-dimensional Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation for two diffusively coupled Stuart-Landau-like oscillators to obtain full-state optimal feedback control. A sweep over coupling strength reveals a sharp change in the numerically optimal strategy: below a threshold coupling value, the controller steers the phase difference toward anti-phase while keeping both oscillators near the limit cycle, as reduced-order models would suggest. Above this threshold, the HJB solution changes qualitatively; the controller transiently collapses one oscillator\u0026rsquo;s amplitude to near zero, thereby enabling large phase repositioning near the origin before rebuilding its amplitude. Direct gradient-based and stochastic optimization do not recover this lower-cost collapse trajectory from the initializations considered, suggesting that it occupies a region of the control landscape that is difficult to access by direct search. A joint sweep over nonisochronicity and coupling shows that collapse can occur even for an isochronous oscillator: phase repositioning near the origin can favor an off-cycle strategy. Nonisochronicity provides an additional energetic benefit through a phase-velocity surplus at small amplitude, quantitatively accounting for the observed reduction in control cost. Comparisons with uncoupled and coupled phase-reduced baselines show that phase models become increasingly inaccurate and cost significantly more energy for strong coupling. Results for coupled Van der Pol oscillators further demonstrate that exploitation of off-cycle dynamics is not specific to the Stuart-Landau-like oscillators.\n23. 带 BGK 碰撞的 Vlasov-Poisson 方程的特征映射方法 Characteristic Mapping Method for Vlasov-Poisson with BGK-collisions\n作者: Xi-Yuan Yin, Philipp Krah, Zetao Lin, Jean-Christophe Nave, Kai Schneider\n类别: physics.plasm-ph, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-14\narXiv ID: 2609.16328v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.16328v1\n摘要: This work presents the first steps for simulating kinetic plasmas with collisions using the characteristic mapping method (CMM). The CMM is a semi-Lagrangian method that explores a semi-group structure to store diffeomorphic flow maps efficiently. Using the semi-group structure, individual submaps can be composed to relate the flow backward in time to its initial food point. The novelty of the presented work is handling the source term by storing sub-integrals that correspond to the individual sub-maps and allow efficient integration. Furthermore, we use the Lagrangian structure to avoid implicit time integration in the hydrodynamic regime, which is known to be stiff. We benchmark our method on the Boltzmann-BGK and Vlasov-Poisson-BGK equations and consider different test cases, the Sod shock tube problem and nonlinear Landau damping for different Knudsen numbers. We show third-order spatial and temporal convergence and illustrate the fine-scale zoom property of CMM for the bump-on-tail instability.\n24. 具有驾驶员依赖加速度的Aw-Rascle-Zhang型模型的微观到宏观推导与稳定性分析 Micro-to-macro derivation and stability analysis of an Aw-Rascle-Zhang-type model with driver-dependent acceleration\n作者: Stephan Gerster, Giuseppe Visconti\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-14\narXiv ID: 2609.15934v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.15934v1\n摘要: We introduce a new traffic flow model. The main idea is to describe acceleration effects in the Aw-Rascle-Zhang model through an additional driver-dependent equation, thereby allowing individual driver characteristics to evolve dynamically rather than being prescribed solely by the traffic density. The resulting system provides a hyperbolic description of traffic dynamics and admits an explicit analysis of its characteristic structure, Riemann problem, and entropy properties. To investigate the stability of the proposed model, we perform a Chapman-Enskog expansion up to second order and derive the corresponding diffusive and higher-order corrections. This analysis reveals how the stability properties depend on the underlying velocity and pressure functions. Several examples are presented to illustrate the theoretical results.\n25. 用于波浪能的短行程海水泵式动力输出装置的分块模块化灰箱辨识：损耗分解与多工况验证 Block-modular grey-box identification of a short-stroke seawater-pump power take-off for wave energy: loss decomposition and multi-regime validation\n作者: Mahdi Tayyebati, Amir Hamza Siddiqui, Mian Masoud, Kristian Glejbøl, Christian Berggreen\n类别: cs.CE, math.NA, physics.app-ph\n发布日期: 2026-09-14\narXiv ID: 2609.15835v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.15835v1\n摘要: Physically interpretable power take-off models support wave-energy development at every stage. For the seawater-pump class, few have been identified on a real machine and validated at the system level. This paper presents a block-modular grey-box model of a short-stroke seawater pump, identified from bench data alone. The pump decomposes into chamber, relief valve, piston seal and tip check valve, each structured by component physics, and the few parameters are identified block by block from terminal pressure, displacement, force and discharged-mass measurements, with a closed-cycle mass balance that decouples the degenerate seal and valve losses and closes to within 1% of the inflow. Over the sinusoidal campaign, the pressure-energised piston seal carries 84% of the lost mass and 97% of the lost energy, and the pump delivers about four-fifths of its input as high-pressure flow. Generalisation is demonstrated rather than assumed. With parameters fixed on ramps and sinusoids, the model reproduces 360 s sea-state records in free run to about 10% of range, captures 80% of several thousand peaks within 5 bar, transfers to a re-sprung valve on cracking strokes once its crack pressure is identified, follows thousand-cycle endurance records that drift below 0.1 bar, and reproduces the force and cycle-mean absorbed power, 0.1 to 5.7 kW, to a 4% median error. A practical-identifiability and uncertainty analysis confirms the terminal data resolve the retained parameters; thirty-seven repeated records set the experimental floor. The result is a compact, physically labelled model for design, energy assessment and model-based control of seawater-pump power take-offs.\n26. 中心有限差分逼近的超收敛性 Superconvergence of Centered Finite Difference Approximations\n作者: Mario J. Bencomo, Joseph Igot, Emma Maltes\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-14\narXiv ID: 2609.15831v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.15831v1\n摘要: The finite difference (FD) method is commonly used to approximate derivatives of smooth functions, with accuracy typically determined by stencil size and derivative order. However, certain centered stencils exhibit unexpectedly higher accuracy, a phenomenon known as superconvergence, which has been observed in practice but lacks rigorous explanation. We present a mathematical framework for superconvergence in centered FD approximations based on Taylor expansions of the truncation error and the resulting linear system for the FD coefficients. By analyzing symmetry properties of these coefficients and their interaction with the parity of the derivative order, we identify conditions under which higher-order error terms cancel. We show that superconvergence occurs for odd-order derivatives with even centered stencils and for even-order derivatives with odd centered stencils, while no superconvergence occurs for even derivatives with even centered stencils. Numerical experiments in MATLAB confirm the predicted convergence rates.\n27. 球面上的嵌套 QMC 设计 Nested QMC designs on spheres\n作者: Hao-Ning Wu, Xiaosheng Zhuang\n类别: math.NA, math.CA, math.ST\n发布日期: 2026-09-14\narXiv ID: 2609.15767v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.15767v1\n摘要: Nested cubature rules, in which each refinement retains all previously used nodes and thus reuses earlier function evaluations, are natural in multilevel and adaptive integration. For every fixed $s\u003ed/2$, we show that the equal-weight QMC integration rate on $\\mathbb S^d$ is compatible with such nested point sets. In the subcritical range $d/2","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-16_06-15-13/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月16日 06:15:13\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 19\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 45\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-基于多点应力离散的非均质弹性波传播的时间显式多尺度框架\"\u003e1. 基于多点应力离散的非均质弹性波传播的时间显式多尺度框架\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eA time explicit multiscale framework for heterogeneous elastic wave propagation based on multipoint stress discretization\u003c/p\u003e","title":"2026年09月16日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年09月11日 14:12:15\n重点关注论文数量: 3\n了解领域论文数量: 5\n不相关论文数量: 31\n重点关注论文（完整分析） 1. Helmholtz 方程的笛卡尔 PML 截断在高频下具有指数精度 Cartesian PML truncation for the Helmholtz equation is exponentially accurate at high frequency\n作者: Martin Averseng, Jeffrey Galkowski, Euan A. Spence\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-09-10\narXiv ID: 2609.11343v1\n摘要翻译: 对于广泛一类 Helmholtz 散射问题（即那些适合 Sjöstrand\u0026ndash;Zworski 黑箱框架的问题），我们证明：用笛卡尔完美匹配层（PML）近似辐射条件所产生的误差，随 PML 的宽度、PML 缩放的强度以及频率呈指数衰减。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.11343v1\n1. 研究对象和背景 本文研究频域 Helmholtz 散射问题的数值截断误差, 特别是用笛卡尔完全匹配层 (perfectly matched layer, PML) 近似无穷远辐射条件时产生的误差. 考虑半经典缩放下的 Helmholtz 散射算子 $P$, 它属于 Sjöstrand\u0026ndash;Zworski 的黑箱框架 [SZ91]: 在某个球 $Q_{bb}=\\prod_{i=1}^d(-R_{bb,i},R_{bb,i})$ 外, $P=-k^{-2}\\Delta$; 在球内 $P$ 是某个自伴算子. 该框架涵盖 Dirichlet, Neumann 以及可穿透 Lipschitz 障碍的散射问题, 也涵盖变系数介质的散射问题. 我们考虑方程 $$ (P-1)u=g $$ 的 outgoing 解, 其中 $k$ 是频率, 方程在半经典缩放下对应于通常的 Helmholtz 方程 $(\\Delta+k^2)u=f$. 关键未知量是限制吸收预解 $R_P=\\lim_{\\epsilon\\to0^+}(P-1-i\\epsilon)^{-1}$, 它给出满足辐射条件的物理散射解. 在数值上, 为了在无界区域上求解, 人们引入复坐标变换 $$ \\gamma_\\theta: x\\mapsto x+i\\tan\\theta\\,\\nabla F(x), \\qquad F(x)=\\sum_{j=1}^d F_j(x_j), $$ 其中 $F_j\\in C^\\infty(\\mathbb{R})$ 满足 $F_j\\equiv0$ 在 $[-R_{bb,j},R_{bb,j}]$ 上, $F'_j(x)=x$ 当 $|x|\\ge R_{lin,j}$, 并且 $\\{F''_j\u003e0\\}=\\{|x|\u003eR_{st,j}\\}$, $F_j$ 凸. 该变换在层 $Q_{tr}\\setminus Q_{st}$ 中引入复吸收, 然后在截断边界 $\\partial Q_{tr}$ 上施加齐次 Dirichlet 条件. 对应的变形算子为 $$ \\Delta_\\theta=\\sum_{j=1}^d\\left(\\frac{1}{1+i\\tan\\theta\\,F''_j(x_j)}\\partial_{x_j}\\right)^2, $$ 而 PML 问题为 $(P_\\theta^D-1)u_D=\\chi g$, 其中 $P_\\theta^D$ 是 $P$ 变形到 $\\gamma_\\theta$ 后的 Dirichlet 实现. 本文的核心问题是: 当频率 $k$ 很大时, PML 截断解 $u_D$ 与真实散射解 $R_P(\\chi g)$ 在未缩放区域内的误差如何随频率衰减. 已有理论背景方面, 径向 PML 早已被证明误差随 PML 宽度和缩放强度指数衰减 [LS98, LS01, HSZ03, BP07], 最近 [GLS23] 又证明了径向 PML 误差随频率指数衰减. 然而, 笛卡尔 PML 在数值分析中使用更广泛, 其分析却更困难: 因为笛卡尔 PML 算子的阻尼每次只出现在一个坐标方向, 一条垂直于缩放方向的射线在 PML 中不会衰减. 此前 [Kim09, KP10a, KP10b] 证明了笛卡尔 PML 误差随 PML 宽度指数小, [BP13] 进一步证明了误差同时随 PML 宽度和缩放强度指数小. 关于频率依赖性, 用传播奇异性方法可以较容易地得到误差超多项式小, 即对任意 $N\u003e0$ 存在 $C_N$ 使得误差 $\\le C_Nk^{-N}$; 这一般复吸收情形的结果见 [GGG+24, Theorem 4.7]. 在无散射且缩放函数在 PML 边界为线性的特殊情形, [CX13, Lemma 3.4] 证明了误差随 PML 宽度, 缩放强度和频率指数小; 最近 [WZ26, Theorem 5.6] 将该结果推广到星形 Dirichlet 障碍的散射. 本文填补的空白是: 对一大类黑箱 Helmholtz 散射问题, 在解算子多项式有界的假设下, 证明笛卡尔 PML 截断误差随 PML 宽度, 缩放强度和频率指数衰减. 这一结果把之前径向 PML 的频率指数精度推广到笛卡尔 PML, 并把无散射或星形障碍的特殊结果推广到一般 Lipschitz 障碍和变系数介质, 同时显式处理了笛卡尔 PML 在截断边界附近缺乏强制性的根本困难.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果是定理 2.1, 它给出笛卡尔 PML 截断误差的指数上界. 首先回顾假设: 取 $\\chi\\in C_c^\\infty(Q_{st})$ 且 $\\text{supp}(1-\\chi)\\cap Q_{bb}=\\emptyset$. 假设存在 $J\\subset(0,\\infty)$ 和 $M\u003e0$, 使得对每个 $k_0\u003e0$ 存在 $C\u003e0$, 满足对一切 $k\\in J$, $k\\ge k_0$, 有 $$ \\|\\chi R_P\\chi\\|_{H\\to H}\\le Ck^M. $$ 这是解算子多项式有界的条件; 对非 trapping 散射体包括星形障碍它总是成立, 对一般情形 [LSW21, Theorem 3.3] 说明它发生在“大多数”频率. 在此假设下, 定理断言: 对任意 $\\delta,\\epsilon\u003e0$, 存在 $C,c,k_1\u003e0$, 使得当 $R_{st,i}+\\epsilon","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-11_14-12-15/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月11日 14:12:15\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 5\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 31\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-helmholtz-方程的笛卡尔-pml-截断在高频下具有指数精度\"\u003e1. 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Di Pietro, Jérôme Droniou, Kaibo Hu, Arax Leroy\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-09\narXiv ID: 2609.10150v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.10150v1\n摘要翻译 中文标题: 多边形 Stokes 与 BGG Hessian 复形的分析性质及其在 Kirchhoff\u0026ndash;Love 板中的应用\n摘要翻译: 我们开发并分析了一种新的任意阶方法，用于一般多边形网格上的 Kirchhoff\u0026ndash;Love 板问题。该构造依赖于通过 Bernstein\u0026ndash;Gelfand\u0026ndash;Gelfand 构造得到的离散 Hessian 复形，该复形将一个 Stokes 复形叠加在一个张量化的 de Rham 复形之上。分析的一个关键组成部分是对前者的详细研究。我们具体建立了原始与伴随相容性估计，以及一致 Poincaré 不等式，并利用这些结果推导出所得离散 Hessian 复形的分析性质。随后证明所提方法具有强制性，并关于网格尺寸以 $k+1$ 阶收敛，其中 $k\\ge 0$ 是该复形的多项式次数。多边形网格上的数值实验验证了理论收敛速率。\n6. 多物种种群超线性非局部扩散系统：适定性与离散链式法则 Superlinear nonlocal diffusion systems for multispecies populations: well-posedness and discrete chain rules\n作者: Peter Hirvonen, Ansgar Jüngel, Annamaria Pollino\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-09-09\narXiv ID: 2609.09921v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.09921v1\n摘要翻译 中文标题: 多物种种群超线性非局部扩散系统：适定性与离散链式法则\n摘要翻译: 本文在一个有界区域中分析了一个非局部扩散系统，该系统描述多物种种群的动力学并逼近 Shigesada-Kawasaki-Teramoto (SKT) 模型。该模型由 Andreu-Mazón-Rossi-Toledo 型积分微分方程组构成，其中非局部交叉扩散算子作用于非线性扩散势。我们建立了强解的全局存在性和唯一性。存在性证明依赖于由熵不等式导出的适当先验估计，而该熵不等式的证明需要发展新的离散链式法则不等式。作为副产品，这些不等式为相应的局部 SKT 系统构造保结构有限体积格式提供了基础。解的唯一性通过一种对偶论证建立。最后，一维数值模拟展示了非局部到局部极限以及超线性和次线性扩散势下解的定性行为。\n7. 流形上并行区域分解方法的几何收敛性 The geometric convergence of a parallel domain decomposition method on manifolds\n作者: Lizhen Qin\n类别: math.NA, math.DG\n发布日期: 2026-09-09\narXiv ID: 2609.09911v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.09911v1\n摘要翻译 中文标题: 流形上并行区域分解方法的几何收敛性\n摘要翻译: 本文为流形上椭圆方程的连续区域分解方法建立了一个收敛性理论。该方法起源于 \\cite{lions2} 中欧几里得区域的情形，后来由 \\cite{qin_wang_wang} 调整并推广到流形上。尽管其收敛性已知，但其收敛是否为几何收敛一直悬而未决。我们证明其几何收敛性，并给出关于收敛速度的各种估计。\n8. 一般流形上标量值与向量值偏微分方程的内蕴有限元框架 An intrinsic finite element framework for scalar- and vector-valued partial differential equations on general manifolds\n作者: Tamara A. Tambyah, Alberto F. Martín, David Lee, Santiago Badia\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-09\narXiv ID: 2609.09592v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.09592v1\n摘要翻译 中文标题: 一般流形上标量值与向量值偏微分方程的内蕴有限元框架\n摘要翻译: 我们提出了一个内蕴有限元框架，用于对由坐标卡图册描述的一般流形上的标量值与向量值偏微分方程进行数值逼近。弱形式及其离散化完全在流形的平坦参数空间中表达，其中精确几何仅通过求积点处计算的度量张量进入。通过纯拓扑的坐标卡间粘合，在多坐标卡图册上获得了整个 de Rham 复形的任意阶协调有限元空间。我们为多坐标卡图册上的向量值空间发展了节点基变换构造，其中节点自由度通过传递映射耦合具有不相容坐标系的坐标卡。坐标卡间连续性在节点处成立，其跳跃为逼近误差量级，并且所得的离散场精确切于流形。对于表面 Stokes 问题，数值上观察到该方法的最优收敛阶；未提供 a priori 误差分析。在二维和三维立方球流形上针对 Hodge Laplacian 问题的数值实验表明，对于足够的求积阶数，该内蕴框架没有几何相容性误差，并且内蕴装配比其外蕴对应方法便宜得多。进一步考虑将地形作为几何扰动的旋转浅水方程，表明质量精确守恒，而能量守恒精确到时间离散误差。\n9. 具有相互作用势的收敛反应-漂移-扩散主方程 A Convergent Reaction-Drift-Diffusion Master Equation with Interaction Potentials\n作者: Max Heldman, Samuel A. Isaacson\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-09\narXiv ID: 2609.09546v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.09546v1\n摘要翻译 中文标题: 具有相互作用势的收敛反应-漂移-扩散主方程\n摘要翻译: 我们将非结构化网格上的收敛反应-扩散主方程（CRDME）框架推广到包含粒子间两体相互作用势。此类相互作用对于模拟粒子经历静电排斥、体积排斥或范德华吸引的系统至关重要。我们的方法对基于粒子的随机反应-漂移-扩散模型的前向方程的弱形式进行离散，通过结合两种互补技术来获得一个新的 CRDME：一种带质量集中求积的边平均有限元方法，用于包含势相互作用的空间输运项；以及有限体积与质量集中求积近似的混合，用于反应项。这给出了粒子在对偶网格体元之间跳跃并发生反应的空间跳跃过程的转移速率。所得的空间离散 CRDME 在闭区域中保留了连续系统的关键物理性质。在无反应时，它保持吉布斯-玻尔兹曼平衡分布；对于具有可逆反应的系统，它满足漂移-扩散通量和反应通量的细致平衡。与布朗动力学模拟的数值比较验证了我们的方法，并且我们展示了当网格细化时的经验二阶收敛性。\n不相关论文（基本信息） 1. 有限元空间的一种拟插值方法 A quasi-interpolation method for finite element spaces\n作者: Ohannes Karakashian\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-09\narXiv ID: 2609.10374v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.10374v1\n摘要: A combination of Taylor polynomial approximation and averaging results in a powerful quasi-interpolation technique that can be used to analyze the approximation properties of finite element spaces. With this particular approach, the notion of affine equivalent families is completely bypassed in the sense that the degrees of freedom are defined locally rather than being exported from a reference element. In particular, domains with curved boundaries can be handled in a natural manner. Finally, the ease of its application to a particular finite element makes it a valuable pedagogical tool.\n2. 量子线性系统求解器的迭代精化分析 An analysis of iterative refinement for quantum linear system solvers\n作者: Adrian Harkness, Mohammadhossein Mohammadisiahroudi, Brandon Augustino, Giacomo Nannicini, Tamás Terlaky\n类别: quant-ph, math.NA\n发布日期: 2026-09-09\narXiv ID: 2609.10250v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.10250v1\n摘要: We present and analyze an iterative refinement (IR) framework for improving the precision dependence of algorithms that combine a quantum linear system algorithm (QLSA) with quantum state tomography. Existing QLSAs achieve polylogarithmic dependence on the inverse error tolerance to prepare a quantum state encoding the solution, but extracting a classical description of such a state via tomography typically introduces a polynomial dependence on the target precision. To retain polylogarithmic dependence in the inverse error tolerance throughout the entire process, we develop an IR scheme that solves a sequence of related linear systems to progressively refine the solution while requiring only fixed-precision quantum subroutines, finally obtaining a classical description of a high-precision solution. We analyze the proposed framework under three input models: quantum-read/classical-write RAM (QRAM), linear combinations of unitaries (LCU), and sparse-access oracles. We evaluate the proposed scheme through numerical experiments on both quantum simulators and real quantum hardware. The results demonstrate that iterative refinement efficiently improves the precision of the solution and exhibits robustness to hardware noise.\n3. 用于瞬态动力学的直接自启动子步隐式积分器的升阶 Order elevation of directly self-starting sub-step implicit integrators for transient dynamics\n作者: Jinze Li, Yaokun Liu, Kewei Chen, Hua Li, Kaiping Yu\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-09\narXiv ID: 2609.10240v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.10240v1\n摘要: Directly self-starting implicit methods are attractive for transient analysis because they avoid auxiliary starting procedures while retaining the original first- or second-order governing equations. However, most existing formulations usually fix the last sub-step at the end of each time interval, which restricts the attainable order. This study develops a generalized $s$-sub-step implicit framework by releasing this constraint and treating all sub-step locations as design variables. The resulting methods admit a unified Runge\u0026ndash;Kutta representation for both first- and second-order transient systems and preserve identical effective matrices over all sub-steps. Accuracy conditions are derived by simultaneously matching the numerical amplification factor and load operator, thereby accounting for both homogeneous and forced responses. For $s=1,~\\cdots,~6$, two complementary families are obtained: $s$th-order members with user-controllable high-frequency numerical dissipation and adjustable sub-step locations, and $(s+1)$th-order members obtained by selecting the sub-step locations, with fixed dissipation. The latter reach up to seventh-order accuracy without increasing the number of sub-steps, although some high-order members are $A(α)$-stable with stability angles extremely close to $90^\\circ$. Analytical amplitude and phase errors further reveal parity-dependent superconvergence in undamped systems, and appropriate parameter selections can substantially increase either phase or amplitude accuracy beyond the formal order. Numerical benchmarks confirm the predicted convergence orders and the controllable suppression of spurious high-frequency responses.\n4. 关于点-回旋曲线距离算法的注记 A Note on the Point-Clothoid Distance Algorithm\n作者: Haibin Ye, Hao Ge, Gong Cheng\n类别: math.NA, cs.CG\n发布日期: 2026-09-09\narXiv ID: 2609.10179v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.10179v1\n摘要: Computing the closest point on a clothoid is a recurring task in geometric design, road and railway alignment, and path planning. The efficient algorithm of Frego and Bertolazzi addresses this problem, but its candidate-selection analysis assumes at most one local minimum per search interval. We exhibit admissible configurations with two local minima, raising the question of whether the existing strategy accounts for every possible minimum. Using the geometry of the clothoid evolute, we prove that, for any query point and any proper no-inflection planar clothoid segment with tangent-angle variation at most $2π$, the squared-distance function has at most three stationary points; if all three are local extrema, their order is min-max-min. This establishes the completeness of the original candidate-selection logic beyond the one-minimum premise. It also shows that no interior search is needed when neither endpoint derivative test is active, allowing unnecessary midpoint searches to be omitted while retaining numerical fallback. Numerical experiments demonstrate reductions in iteration count and evaluation time.\n5. 用于抑制显式等几何分析中裁剪诱导的高频异常值的边界层级约束细化 Boundary-Level-Constrained Refinement for Suppressing Trimming-Induced High-Frequency Outliers in Explicit Isogeometric Analysis\n作者: Christoph Hollweck, Lukas Leidinger, Stefan Hartmann, Marcus Wagner, Roland Wüchner\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-09\narXiv ID: 2609.10161v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.10161v1\n摘要: In explicit dynamics, the critical time step is governed by the maximum eigenfrequency of the semi-discrete system. In Isogeometric Analysis (IGA), open knot vectors introduce a characteristic spectral boundary effect that can lead to high-frequency outliers and restrict the admissible time step. In the row-sum-lumped setting considered here, extending the computational patch and trimming away the exterior boundary functions mitigates this time-step penalty, but does not necessarily prevent boundary-adjacent basis functions from governing the maximum eigenfrequency. We show that reduced-support basis functions adjacent to the trimming boundary can remain critical spectral contributors even for knot-exact trimming, i.e., in the absence of small cut cells. Hence, small cut cells are not required for trimming-induced time-step penalties. Knot-exact and arbitrary trimming represent different degrees of support reduction within the same underlying mechanism. To control this effect, we propose the Boundary-Level-Constrained Refinement (BLCR) strategy, a local refinement constraint for LR- and THB-splines. BLCR constrains the refinement level of basis functions whose support intersects the trimming boundary relative to that of the refined interior. In all configurations investigated in this work, this constraint ensures that the maximum eigenfrequency is governed by untrimmed interior basis functions rather than by refined trimmed functions. Consequently, the trimming-induced high-frequency outliers governing the critical time step are suppressed, yielding a larger admissible time step than globally refined trimmed B-splines with the same interior resolution.[\u0026hellip;]\n6. 加筋铝制翼盒壁板中的连接非线性及其对降阶基的要求 Joint nonlinearity in a stiffened aluminium wingbox panel and what it requires of a reduced basis\n作者: Nikolaos D. Tantaroudas, Evangelos Papatheou\n类别: cs.CE, eess.SY, math-ph, math.NA\n发布日期: 2026-09-09\narXiv ID: 2609.10088v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.10088v1\n摘要: A shell finite-element model of a stiffened aluminium wingbox panel, a laboratory structure shared by several experimental studies, is built with its plate-to-stiffener joints at the $78$ physical fastener positions and calibrated against measured modal data, a six-parameter sensitivity update of the substructure moduli within $\\pm20\\%$ reproducing the first five measured modes to $1.1$\u0026ndash;$4.3\\%$ with modal-assurance values of $0.88$\u0026ndash;$1.00$. Making the fasteners nonlinear, at equal mesh, mass and damping, shows that joint nonlinearity enters the response strongly asymmetrically. Hardening is almost invisible, at most $+1\\%$ in frequency, whereas softening or slipping the joints moves the first three resonances by $-2.1$, $-4.9$ and $-9.2\\%$, and friction removes up to $80\\%$ of the resonant peak before it recovers. Newmark integration of all $18{,}804$ degrees of freedom and a harmonic balance condensed exactly onto the joints and continued in arclength agree to $5.5\\times10^{-4}$. A projection-based nonlinear model order reduction then locates the criterion that a jointed structure imposes on a reduced basis. The binding quantity is not the linear response, which eleven vectors reproduce to better than $0.01\\%$, but the receptance of the structure between the joints, of which $126$ global eigenvectors carry about $2\\%$, and without which the reduced model overpredicts the hardening shift of the fundamental by a factor of thirty and returns a value beyond the rigid-joint limit of the panel.\n7. 线性代数中计算不确定性的随机 Lanczos 求积 Stochastic Lanczos Quadrature for Computational Uncertainty in Linear Algebra\n作者: Hassan Fifen, Issa Karambal, Philipp Hennig\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-09\narXiv ID: 2609.10080v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.10080v1\n摘要: Applying a matrix function to a vector is a common operation in large-scale scientific computing, such as Bayesian inference. When the matrix is symmetric positive definite and the function is its inverse, the Lanczos algorithm gives a matrix-free approximation from matrix-vector products alone. Stopping after a fixed number of steps keeps the approximation on the explored Krylov subspace but assigns nothing to its orthogonal complement, which holds the smallest eigenvalues and therefore the largest contributions to the inverse. This truncation is usually treated as a silent numerical error rather than as measurable uncertainty. We show that a single Lanczos run yields both a matrix-free approximation of the inverse and a Gaussian distribution over the exact result, whose covariance measures what the truncation discarded and concentrates as the number of steps grows. The covariance restores the complement in two parts: a rank-one coupling at the truncation boundary, given exactly by the Lanczos residual, and an isotropic term on the remaining bulk, whose size we estimate by Projected Stochastic Lanczos Quadrature, reusing one Krylov basis across all probes. We prove consistency, with bias decaying exponentially in the quadrature depth and variance at the Monte Carlo rate\n8. McKean-Vlasov 随机微分方程的单集合多水平格式的收敛性 Convergence of a single-ensemble multilevel scheme for McKean-Vlasov SDEs\n作者: Arne Bouillon, Giovanni Samaey\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-09-09\narXiv ID: 2609.10000v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.10000v1\n摘要: Numerically solving McKean-Vlasov stochastic differential equations is computationally challenging due to the compounding costs of discretizing in time and in the distribution of the solution. Multilevel ideas have been proposed to provide speed-ups. In this work, we study the multilevel Monte Carlo method proposed by Ricketson (2015) for equations whose drift and diffusion terms depend on the law of the solution $X_t$ through the expectation $E[R(X_t)]$. The scheme follows the single-ensemble paradigm, where particles interact across levels at each timestep. While cross-level feedback makes this scheme attractive in practice, the correlations it introduces have so far confined its cost-error analysis to a model problem with linear drift, deterministic diffusion, and $R$ the identity. We use additional coarse particles to enforce geometrically decaying coupling errors towards the coarser levels. This allows us to prove our main contribution, an $L^p$-error of $O(ε)$ at cost $O(ε^{-2-δ})$ for any $p\\ge2$ and $δ\u003e0$ (with a constant that grows as $δ\\to0$), assuming only global Lipschitz bounds on the drift, the diffusion, and $R$. An exploratory experiment is consistent with the derived rates and suggests that in practice the constant does not grow significantly for small $δ$. Our methodology and proof strategy may also be useful for other single-ensemble multilevel schemes, such as multilevel ensemble Kalman filters.\n9. 指数 Runge\u0026ndash;Kutta 方法的阶数降低：非交换算子的四阶格式 Order Reduction of Exponential Runge\u0026ndash;Kutta Methods: Fourth-Order Schemes for Non-Commuting Operators\n作者: Thi Tam Dang, Pablo Alexei Gazca-Orozco, Trung Hau Hoang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-09\narXiv ID: 2609.09932v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.09932v1\n摘要: This paper extends the convergence analysis of explicit exponential Runge\u0026ndash;Kutta methods for linear parabolic problems $u'(t) + Au(t) = Bu(t)$, where $A$ generates an analytic semigroup and $B$ is relatively bounded with respect to $A$, from the third-order case to fourth-order schemes. By establishing the global error recursion relation and extending the defect-based analytical framework, we identify the terms responsible for stiff order reduction when $A$ and $B$ do not commute. Numerical experiments are performed on a non-commuting advection-diffusion problem to validate the theoretical results. Numerical tests using the classical four-stage, fourth-order schemes of Krogstad and Strehmel \u0026amp; Weiner exhibit an observed convergence order of approximately 2.75, which matches the theoretical prediction from the convergence analysis.\n10. 针对倾斜绝对值的依赖于初始化的 BFGS 试探速率 Initialization-dependent BFGS trial rates for tilted absolute values\n作者: Qiuyu Chen\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-09-09\narXiv ID: 2609.09872v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.09872v1\n摘要: Lewis and Overton conjectured in 2008 that, for BFGS applied to the one-dimensional tilted absolute value with their Armijo\u0026ndash;Wolfe line search, every nonterminating execution converges at a trial-normalized rate determined only by the tilt parameter and independent of the initial data. We prove that this initialization-independent rate assertion is false. In fact, for every tilt parameter in an explicit open interval, we construct two nonterminating executions with different sharp trial-normalized convergence rates. The proof reduces the line search to a scale-free state consisting of the iterate sign and the zero-crossing stepsize, and verifies two periodic state cycles by elementary rational inequalities. This yields an explicit family of counterexamples and shows that the asymptotic trial-normalized behavior of nonsmooth BFGS can depend essentially on the initialization even for this canonical one-dimensional model.\n11. 一种实用的面向中等规模黑箱全局优化的 DIRECT 型算法 A practical DIRECT-type algorithm for medium-scale black-box global optimization\n作者: Linas Stripinis, Remigijus Paulavičius\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-09-09\narXiv ID: 2609.09796v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.09796v1\n摘要: The DIRECT algorithm is a deterministic global optimization method known for its versatility and balanced exploration-exploitation strategy. However, DIRECT-type algorithms are primarily effective for low-dimensional problems and often exhibit slow convergence as dimensionality increases, limiting their applicability to more complex optimization tasks. To address this limitation, this paper introduces X-DTC-GL, a novel DIRECT-type algorithm that incorporates dynamic partitioning and hybridization techniques. The dynamic partitioning approach adaptively refines the search space based on local one-dimensional surrogate models, enabling rapid subdivision of promising hyper-rectangles. The hybridization strategy selectively employs a hill-climbing method to exploit promising regions identified by the surrogate models. Extensive experiments on four diverse benchmark suites demonstrate that X-DTC-GL significantly outperforms existing DIRECT-type baselines, achieving improvements of ~12% in solvability and ~27% in solution quality. Performance-profile analyses indicate the fastest convergence on up to ~40% of instances, the best runtime performance on ~17% of problems, and competitive overall execution times. By improving performance within the partition-based framework, these advances strengthen the algorithm\u0026rsquo;s competitiveness in state-of-the-art black-box optimization.\n12. 满足变差型条件的函数的一致切比雪夫逼近：图上时变信号的重构 Uniform Chebyshev approximations of functions satisfying a variation-type condition: reconstruction of time-varying signals on graphs\n作者: Davide Bianchi, Sandra Saliani, Dimitrios Vavitsas\n类别: math.NA, math.FA\n发布日期: 2026-09-09\narXiv ID: 2609.09792v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.09792v1\n摘要: We prove uniform approximation theorems for Chebyshev expansions of continuous functions of two variables. Under a variation-type condition on the square $[-1,1]^2$, a continuous function admits a uniformly convergent Chebyshev expansion in the first variable whose coefficients are continuous functions of the second variable. These results are applied to the spectral graph wavelet transform of time-varying signals on finite weighted graphs: the scaling and wavelet kernels are approximated by expansions with time-varying coefficients whose degrees do not depend on time, the composition of the approximate transform with its adjoint admits the same explicit coefficient formulas as in the time-independent case, and reconstruction by the pseudoinverse is stable, with explicit bounds in terms of the uniform kernel errors. Numerical experiments on a sensor network confirm the convergence and stability estimates. In a denoising problem, soft thresholding of the graph wavelet coefficients with a time-varying transform parameter improves over its time-independent, fixed-parameter counterpart.\n13. 带控制与状态约束的稀疏最优控制中 BDDC 预处理的函数空间框架 A Function-Space Framework for BDDC Preconditioning in Control- and State-Constrained Sparse Optimal Control\n作者: Harbir Antil, Keegan L. A. Kirk, Umarkhon Rakhimov\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.09541v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.09541v1\n摘要: We develop a Balancing Domain Decomposition by Constraints (BDDC) preconditioner for the interface systems arising from active-set semi-smooth Newton linearizations of elliptic optimal control problems with box-constrained controls, $L^1$-sparsity, and Moreau\u0026ndash;Yosida regularized state constraints. The domain decomposition and BDDC construction are formulated directly at the infinite-dimensional level. Eliminating the interior variables yields a Schur complement for the state and adjoint traces assembled from local subdomain operators. We prove a global\u0026ndash;local equivalence result, establish well-posedness of the local and partially assembled problems under verifiable conditions on the primal constraints. The BDDC operator admits a two-level additive Schwarz representation with independent local solves and a finite-dimensional coarse solve. We implement the preconditioner using conforming finite elements and test it for distributed and Neumann boundary control. For a fixed ratio of subdomain diameter $H$ to mesh size $h$, the GMRES iteration counts are nearly independent of mesh refinement and grow only moderately as this ratio increases. Enriching the coarse space substantially improves convergence and reduces sensitivity to the control regularization and sparsity weights. For the state-constrained problem, scaling the Moreau\u0026ndash;Yosida penalty parameter proportionally to $h^2$ yields nearly constant GMRES iteration counts as the mesh is refined.\n14. 构造性 Tchakaloff 结果与基于随机最小二乘的良态求积 Constructive Tchakaloff results and well-conditioned quadrature through randomized least squares\n作者: Filip Bělík, Akil Narayan, John Turnage\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.09506v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.09506v1\n摘要: We consider using randomized least squares to construct quadrature rules exact on a subspace of functions. Using new conditions that we call relative admissibility and reference weight concentration, we establish both that the quadrature weights from such a procedure concentrate close to their asymptotic values with prescribed and arbitrarily large probability, and this in turn provides useful finite-sample probabilistic bounds on the stability of the resulting quadrature rules for very general classes of possibly complex-valued functions. Our analysis both significantly generalizes the existing analysis of randomized least squares quadrature construction, and provides new bounds on stability for these rules. These results specialize to existence results for positive quadrature rules, when such rules can be theoretically expected. Because our procedures are formally algorithmic, our analysis is a substantive advance toward computationally constructive generalized Tchakaloff theorems.\n15. 从速度测量恢复压力与应力的基于应力的估计子 A Stress-Based Estimator for Pressure and Stress Recovery from Velocity Measurements\n作者: Nicolás Barnafi, Benjamín Cisternas, Ernesto Castillo, Felipe Galarce\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.09484v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.09484v1\n摘要: Non-invasive pressure field estimation from velocity measurements is a longstanding engineering problem. We propose, analyze, and test a pressure-recovery method that computes a full stress field from velocity measurements, and leaves the pressure estimation as a cheap post-processing step. The method relies on a stress-velocity first order formulation of the Navier-Stokes equations, and we show that the formulation accounts for deviations from incompressibility in the measured velocity field by construction. In addition, we theoretically establish the convergence of the finite element (FE) approximation scheme, the stability of the stress recovery with respect to finite-resolution velocity measurements, and then validate this theory numerically. Our results show that the proposed estimator is robust in convective flow regimes and remains accurate at reduced spatial resolution, improving upon state-of-the-art pressure-recovery strategies.\n16. 用于低秩量子态层析的块张量列车 Burer-Monteiro 框架 A Block Tensor Train Burer-Monteiro Framework for Low-Rank Quantum State Tomography\n作者: Shakir Showkat Sofi, Charlotte Vermeylen, Fatemeh Mohammadi, Lieven De Lathauwer\n类别: quant-ph, cs.LG, eess.SP, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.09457v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.09457v1\n摘要: Quantum state tomography is a fundamental technique for estimating the state of a quantum system from measured data and plays a crucial role in evaluating the performance of quantum devices. However, standard estimation methods become computationally prohibitive as the system size increases due to the exponential growth of the density matrix, describing a quantum state, with the number of qubits. We propose a low-rank tensor-network framework for mixed-state quantum state tomography based on a block tensor train (Block-TT) factorization. Specifically, the density matrix is represented as the contraction of a Block-TT with its Hermitian transpose, yielding a TT analogue of the Burer-Monteiro factorization. This parameterization guarantees Hermiticity and positive semidefiniteness by construction while compressing the number of optimization variables from exponential to linear in the number of qubits. Building on this representation, we develop single-site and two-site density matrix renormalization group (DMRG) algorithms for estimating quantum states from compressed measurements. The resulting methods operate directly on the compressed parameterization, support adaptive rank refinement, and exploit efficient tensor-network contractions for expectation-value evaluation. The framework is applicable to a broad class of low-rank quantum states, including pure states, nearly pure states, and ground states that admit accurate tensor-network approximations. Numerical experiments demonstrate accurate state reconstruction from limited measurements together with substantial reductions in memory requirements and computational cost compared with conventional low-rank tomography methods.\n17. 基于迭代重加权最小二乘的固定费用网络流支撑集发现 Support Discovery With Iteratively Reweighted Least Squares for Fixed-Charge Network Flow\n作者: Sindura Saraswathi, Christian Kümmerle\n类别: math.OC, cs.AI, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.09295v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.09295v1\n摘要: The fixed-charge network flow problem (FCNFP) couples continuous flow allocation with discrete arc-activation decisions, making it a canonical but computationally challenging model for a variety of network design and resource allocation problems. Exact mixed-integer linear programming formulations capture the fixed-charge structure faithfully, but often become difficult to solve on large networks. We propose a scalable continuous-optimization algorithm for large-scale single-commodity FCNFP based on an iteratively reweighted least-squares (IRLS) framework. The method replaces the discontinuous fixed-charge and linear arc cost objective with a smooth nonconvex Lasry\u0026ndash;Lions surrogate and solves a sequence of weighted quadratic flow subproblems. Each subproblem is solved by a warm-started dual semismooth Newton method whose Newton systems have weighted graph-Laplacian structure, enabling the use of modern Laplacian solvers. To further improve the discovered arc supports of the challenging underlying combinatorial problem, we also develop an algorithmic variant that incorporates objective-driven perturbation restarts and an anchor-union restricted search that jointly leverages supports discovered by IRLS and by complementary FCNFP heuristics. Computational experiments on 410 benchmark, synthetic, and large-scale instances show that our method obtains the best objective quality among the evaluated scalable FCNFP algorithms, with a mean gap of $1.316\\%$ to a time-limited MILP reference and a win-or-tie rate of $90.0\\%$ among the non-MILP methods. The results indicate that combining smooth continuous optimization with support-level search is an effective strategy for producing high-quality feasible solutions to large-scale FCNFP.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-10_14-10-47/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月10日 14:10:47\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 9\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 17\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-一般网格上双曲方程点值与单元平均混合离散的不变域保持\"\u003e1. 一般网格上双曲方程点值与单元平均混合离散的不变域保持\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eInvariant domain preservation for hybrid point-value and cell-average discretizations of hyperbolic equations on general meshes\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年09月10日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年09月09日 14:16:48\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 3\n不相关论文数量: 21\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 标量双曲守恒律的高阶间断切割有限元方法 High-Order Discontinuous Cut Finite Element Methods for Scalar Hyperbolic Conservation Laws\n作者: Pei Fu, Gunilla Kreiss, Zelin Xin, Sara Zahedi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.08880v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.08880v1\n摘要翻译 中文标题: 标量双曲守恒律的高阶间断切割有限元方法\n摘要翻译: 本文针对复杂域上的标量双曲守恒律，提出了一族基于间断伽辽金（DG）框架的高阶切割有限元方法。在我们前期工作的基础上，我们发展了一种多维格式，将宏单元稳定化与通量限制相结合，以获得保持最大值原理且对背景网格的任意边界切割具有鲁棒性的格式。物理域嵌入到规则背景网格中，该网格可能产生任意小的切割单元。为了避免此类单元通常导致的严苛时间步长限制，我们在宏单元的内部面上添加了幽灵惩罚稳定项。所得方法在稳定性与精度方面与拟合网格上的标准DG方法类似。在周期和流入-流出边界条件下，我们推导了半离散格式的$L^2$稳定性结果。为强制最大值原理并抑制非物理振荡，我们将标准DG方法中的限制器技术推广到CutFEM设置中，通过在宏单元上定义限制参数来实现。特别地，我们提出了一种基于宏单元的参数化通量限制器，以及Zhang-Shu保界限制器和Barth-Jespersen斜率限制器的适配版本。二维和三维空间中的数值实验表明，即使对于涉及极小切割单元相交的具有挑战性的切割构型，该方法也能实现最优收敛阶、保持最大值原理，并在无伪振荡的情况下准确捕获激波。\n2. 水下结构水弹性分析的间断有限元方法 A discontinuous finite element method for the hydroelastic analysis of submerged structures\n作者: Zachary J. Wegert, Oriol Colomés, Michael H. Meylan, Ngamta Thamwattana, Vivien J. Challis\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.08313v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.08313v1\n摘要翻译 中文标题: 水下结构水弹性分析的间断有限元方法\n摘要翻译: 本文针对水下弹性板水弹性建模中出现的波-结构相互作用问题，发展了一种有限元方法。该方法适用于二维情形和三维管道情形。对于问题中的流体部分，我们采用对称间断伽辽金格式，以捕捉势函数在板两侧的间断性。为了施加Sommerfeld辐射条件，我们借鉴Dirichlet-to-Neumann映射方法，利用半无限域中的解析解构造适当的非局部边界条件。对于板，我们使用连续/间断伽辽金方法，在不使用连续可微有限元的情况下求解4$^{\rm th}$阶算子。我们证明了该方法的适定性，表明所得半双线性形式有界且满足Gårding不等式，从而保证解存在唯一且稳定。我们使用Julia语言中的Gridap包将所提格式实现为开源工具。我们将该方法与超奇异边界积分方法进行验证，结果吻合良好。通过对二维斜板和三维板几何体（包括中心矩形板、偏置矩形板和环形板）的数值模拟，展示了该方法的灵活性。本文提出的有限元方法可直接用于压电双晶片波能转换的建模。此外，该方法还可轻松扩展以考虑固定或刚性结构或变化底部地形的波散射，且不局限于水弹性应用。\n3. GridapGeosciences.jl：用于一般流形上偏微分方程的 Julia 有限元软件包 GridapGeosciences.jl: A Julia finite element package for partial differential equations on general manifolds\n作者: Tamara A. Tambyah, Alberto F. Martín, David Lee, Santiago Badia\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-09-07\narXiv ID: 2609.08036v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.08036v1\n摘要翻译 中文标题: GridapGeosciences.jl：用于一般流形上偏微分方程的 Julia 有限元软件包\n摘要翻译: 我们介绍了 GridapGeosciences.jl，这是一个用于一般流形上偏微分方程数值逼近的新的并行分布式内存 Julia 软件包。我们生成离散流形域的抽象方法总体上依赖于网格细化，并在 Gridap 有限元库中实现；该库的高级接口使得内蕴和外蕴变分公式能够无缝定义。GridapGeosciences.jl 以立方球流形为特色，本文用它来展示 GridapGeosciences.jl 在不同应用中的功能。第一个应用涉及标量输运，我们建立了常见稳定项的内蕴公式，并证明了这些公式与众所周知的外蕴稳定化公式等价。这些稳定项被用于建立包含迎风数值通量的二维热浅水方程的内蕴公式。最后一个应用是 Boussinesq 方程的线性化，我们展示了 GridapGeosciences.jl 在三维流形上捕捉表面动力学和垂直动力学的能力。\n不相关论文（基本信息） 1. 含相关非高斯输入的不确定性量化的二次点估计法 Quadratic Point Estimate Method for Uncertainty Quantification with Dependent Non-Gaussian Inputs\n作者: Minhyeok Ko, Konstantinos G. Papakonstantinou\n类别: math.NA, math.PR, math.ST, stat.CO, stat.ME\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.09053v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.09053v1\n摘要: As an extension of the Point Estimate Method (PEM) to evaluate probabilistic moments of quantities of interest (QoI) in general $n$-dimensional spaces, the Quadratic Point Estimate Method (QPEM) has been recently developed. This new method is defined to fully represent up to fifth-order input moments in the Gaussian space, providing general analytical expressions for sample locations and weights, without requiring any numerical optimization. The QPEM can significantly improve the estimation accuracy of the output QoI moments, in relation to PEM-based methods whose numbers of sigma points grow linearly with the problem dimension, while at the same time having an affordable and competitive computational cost up to a considerable number of dimensions. The QPEM is further enhanced in this work by enabling copula integration into the framework, which enables effective modeling of the joint input probability density function by estimating marginals and the dependence structure of the involved random variables. The validity and efficient performance of the copula-based QPEM are showcased against numerous other sampling methods in various examples considering two practical scenarios: (i) when the joint dependence structure can be inferred from data, and (ii) when only marginal distributions and correlation matrices are known.\n2. 薛定谔算子谱类型的最优计算界 Sharp Computational Bounds for Spectral Types of Schrödinger Operators\n作者: Matthew J. Colbrook, George Coote\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.08945v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.08945v1\n摘要: We prove sharp bounds for determining the spectral-type decomposition of Schrödinger operators in the spirit of Smale\u0026rsquo;s program on the foundations of computation. For explicit one-dimensional self-adjoint Schrödinger operators $H=-{\\mathrm d^2}/{\\mathrm dx^2}+V$ on $L^2(\\mathbb R)$, where $V\\in C^\\infty(\\mathbb R;\\mathbb R)$ is given by a finite description of all derivatives and derivative bounds, the pure point and absolutely continuous spectral sets cannot, in general, be recovered by any single limiting procedure. The singular continuous spectral set is strictly harder: it cannot, in general, be recovered by two nested limiting procedures. Analytic constructions of dichotomies realize the lower bounds: Gordon-type repetitions for pure point spectrum, high barriers for absolutely continuous spectrum, and an inverse spectral construction for singular continuous spectrum based on Riesz products, moment-killing perturbations, and a computational Gelfand\u0026ndash;Levitan scheme. The finite-description framework also implies corresponding limitations on what can be certified in fixed formal systems (e.g., when used in computer-assisted proofs). Conversely, using wavelet-based certified computation, we prove matching upper bounds for broad classes of self-adjoint differential operators on $\\mathbb R^d$ with coefficients of locally bounded variation and quantitative local variation control: two limits suffice for the pure point and absolutely continuous parts, and three for the singular continuous part. This provides a sharp hierarchy for spectral types.\n3. 关于活动子空间方法的样本复杂度 On the sample complexity of the active subspace method\n作者: Fabio Nobile, Matteo Raviola, Raúl Tempone\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.08940v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.08940v1\n摘要: Active subspaces identify low-dimensional linear structure in high-dimensional parameter-to-output maps by estimating the dominant eigenspace of a gradient covariance operator. In practice this covariance is replaced by a Monte Carlo estimator built from a limited number of gradient evaluations. Classical analyses based on controlling the covariance error in operator norm lead to sample-complexity estimates that can be substantially more pessimistic than the sampling rules commonly used in computations. This paper studies the empirical active subspace method directly in the projection-error metric relevant for ridge approximation. We derive non-asymptotic quasi-optimality bounds governed by a regularized inverse Christoffel function associated with the gradient field. Under a bounded-gradient assumption, the resulting estimates already improve the sample-complexity estimates obtained from operator-norm covariance bounds. We then show that additional smoothness of the gradient map, expressed through membership in a reproducing kernel Hilbert space, yields sharper coherence estimates and motivates tractable importance sampling from kernel diagonal measures. Furthermore, the same smoothness assumption yields a priori decay bounds for the population active subspace tail energy, which can be combined with our finite-sample estimate to prescribe rank, regularization scale, and sample size, allowing to fully characterize the a priori sample complexity. The abstract assumptions are verified for lognormal Gaussian and affine uniform parametric elliptic PDEs using weighted summability of Hermite and Legendre series expansions.\n4. 关于悬索桥中经典Melan方程的适定性与高效逼近 On the well-posedness and efficient approximation for the classical Melan equation in suspension bridges\n作者: Jinxiang Wang\n类别: math.NA, math.CA\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.08912v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.08912v1\n摘要: The classical Melan equation modeling suspension bridges is considered. We first study the explicit expression and global properties of the analytical solution for the simplified less stiff'' model, based on which we derive an a priori estimate for the original classical Melan equation and establish, under an explicit load condition, that it has a unique solution with nonnegative integral under downward live loads, thereby showing the uniqueness of the corresponding deflection curve in the engineering setting. We also develop an efficient iterative approximation method by taking the solution of the simplified less stiff\u0026rsquo;\u0026rsquo; model as the first iterate, and prove its geometric convergence with explicit error estimates. The applicability and computational efficiency of the method are demonstrated through calculations for two actual bridges, which also quantify the influence of the nonlinear nonlocal term on the solution and clarify the relationship between the simplified and original models. Several engineering observations are verified and explained, and some related open problems are suggested.\n5. 超线性双曲型SPDE的驯化指数欧拉格式的强收敛速率 Strong convergence rates of tamed exponential Euler schemes for superlinear hyperbolic SPDEs\n作者: Katharina Klioba\n类别: math.NA, math.AP, math.FA, math.PR\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.08872v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.08872v1\n摘要: In this paper, we prove pathwise uniform convergence at rates up to $1/2$ for tamed exponential Euler schemes for semilinear hyperbolic stochastic evolution equations with superlinearly growing nonlinearities and multiplicative noise. We take the term hyperbolic to mean that the leading operator generates a contractive $C_0$-semigroup but no parabolic smoothing occurs. Under local Lipschitz, polynomial growth, coercivity, and monotonicity conditions on the nonlinearities, we establish pathwise uniform strong error estimates of the form \\begin{equation*} \\Big(\\mathbb{E}\\max_{0\\le j \\le N} |U(t_j)-U^j|_X^p\\Big)^{1/p} \\lesssim \\sqrt{k} \\end{equation*} on a Hilbert space $X$ for $p\\in [2,\\infty)$. Here, $U$ is the mild solution and $U^j$ is the tamed exponential Euler approximation at time $t_j=jk$ with step size $k\u003e0$. This extends previous convergence results for non-parabolic SPDEs from globally to locally Lipschitz nonlinearities, allowing both drift and diffusion to grow polynomially. In a stochastic Kato framework, we further establish local and global well-posedness as well as uniform a priori estimates for the mild solution and its approximation. Applications to nonlinear stochastic transport, Airy, wave-type, and dissipatively damped nonlinear Schrödinger equations are included, covering different nonlinearities-stopped and fractionally tamed schemes. For the Klein-Gordon equation with cubic velocity damping, this complements previous results obtained for additive noise.\n6. 稀疏有限孔径数据下基于Hankel补全的离网点散射体定位 Off-Grid Point-Scatterer Localization from Sparse Limited-Aperture Data via Hankel Completion\n作者: Jingzhi Li, Xiliang Lu, Juntao You\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.08665v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.08665v1\n摘要: We study the localization of $s$ distinct planar point scatterers from sparsely sampled single-incidence, single-frequency acoustic far-field data over a limited receiver aperture. Under the first Born approximation, the coherent data form a two-dimensional off-grid exponential sum and admit a low-rank Hankel representation. A limited aperture generally admits multiple aperture-admissible Hankel pencils with different lifted dimensions, sampling multiplicities, and Vandermonde conditioning. Hence, the choice of the Hankel pencil affects both data completion and subsequent localization. In this work, we introduce a unified framework for structured completion and off-grid localization based on general aperture admissible Hankel pencils. We establish exact recovery in the noiseless case and stable recovery under bounded noise from a number of random aperture samples that is linear in $s$, up to factors determined by the pencil geometry, source conditioning, and logarithmic terms, together with an explicit localization bound in terms of the completion error. The analysis separates the contribution of the pencil geometry from the conditioning induced by the source configuration and provides verifiable sufficient conditions for stable completion and MUSIC resolution. These results yield quantitative criteria for selecting sample efficient Hankel pencils under a prescribed physical aperture. Numerical experiments on connected and disconnected apertures demonstrate the effects of pencil geometry, sampling, and noise.\n7. 使用GenEO谱粗空间的全对偶区域分解方法用于极限学习机 A Fully Dual Domain Decomposition Method for Extreme Learning Machines Using GenEO Spectral Coarse Spaces\n作者: Chang-Ock Lee, Byungeun Ryoo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.08630v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.08630v1\n摘要: Extreme learning machines (ELMs) are a class of machine learning algorithms that randomly intialize and subsequently fix the hidden layer parameters, and solve for the last layer coefficients using a least squares method. ELMs have been successfully applied to the solution of various partial differential equations, but the cost of solving large least squares problems limits their use in large scale problems or when high accuracy is desired. To address this limitation, domain decomposition methods (DDMs) have been developed for ELMs, reducing training times via parallel computation. Yet these methods, even those incorporating a coarse space, have struggled with scalability. This paper introduces a novel nonoverlapping DDM for ELMs that treats and enforces continuity and flux conditions equally. Additive Schwarz preconditioners and GenEO (Generalized Eigenvalues problems in the Overlaps) coarse spaces are constructed to accelerate the method. Numerical experiments show the new method outperforms previous DDMs for ELMs in both iteration count and accuracy, especially for the Stokes and wave equations. Furthermore, weak scalability has been observed in up to 4,096 subdomains when employing GenEO coarse spaces.\n8. 采用基于THB样条的局部自适应等几何分析的肿瘤生长Cahn-Hilliard相场建模 Cahn-Hilliard phase-field modeling of tumor growth via locally adaptive isogeometric analysis with THB-splines\n作者: Dhiraj S. Bombarde, Carlotta Giannelli, Alessandro Reali, Guillermo Lorenzo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.08479v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.08479v1\n摘要: Predicting tumor dynamics in biological systems under physiologically relevant conditions using mathematical and computational models remains a challenging problem. Continuum models based on phase-field (diffuse-interface) formulations have proven to be an effective modeling strategy to govern tumor dynamics and interactions of multiple species. Within this framework, the present work investigates a tumor growth model based on the Cahn-Hilliard (CH) equation. The formulation involves a fourth-order differential operator that imposes higher continuity requirement on approximation spaces for a well-defined primal variational formulation. To address this challenge, we use isogeometric analysis (IGA), which inherently satisfies this requirement through spline-based basis functions and eliminates the need for mixed or auxiliary-variable approaches commonly used in standard finite element discretizations. Additionally, a locally adaptive IGA scheme with truncated hierarchical B-splines (THB-splines) is used to reduce computational cost while maintaining accuracy. The model is first evaluated on standard benchmark cases and then applied to an organ-scale, patient-specific geometric model of the breast reconstructed from magnetic resonance imaging (MRI) data. Our results show that the model reproduces known tumor morphologies, ranging from a spheroidal pattern to fingered growth. A series of numerical experiments further shows the diversity of tumor dynamics produced by different model parameter choices. Our findings demonstrate the predictive potential of the CH-based phase-field tumor growth model integrated with a locally adaptive IGA framework.\n9. 基于学习误差门控的选择性边界条件约化 Selective boundary condition reduction via learned error gating\n作者: Daniel Fernández, Dominik Penk, Dominik Riedelbauch\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.08461v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.08461v1\n摘要: Parametric PDEs can admit different boundary conditions with different accuracy and computational cost. We introduce a framework for learning when one reduced boundary condition can replace another: paired solutions train a neural network to estimate the resulting domain and boundary errors, and the simpler condition is used only when both predicted errors meet prescribed tolerances. We focus on singular limits in applications, in which a stiff Robin or nonlinear boundary law is replaced by its limiting Dirichlet form. We evaluate the method on a galvanic corrosion problem and other nonlinear stationary and evolution problems.\n10. 爱因斯坦方程中特征初值问题的Picard迭代 Picard Iteration for the Characteristic Initial Value Problem in Einstein Equations\n作者: Shengrong Wu\n类别: gr-qc, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.08421v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.08421v1\n摘要: We present an iteration algorithm for vacuum and Einstein scalar-field equations in double-null gauge, which transform the non-linear PDE into systems of ODE. The numerical realization combines characteristic constraint solves, LGL spectral elements, pole-free spherical operators, Galerkin projection, and independent first-order residual and consistency checks.\n11. 一种用于具有Kelvin-Voigt阻尼的内禀梁模型的间断Galerkin方法 A Discontinuous Galerkin Method for the Intrinsic Beam Model with Kelvin-Voigt Damping\n作者: Shivam Sundriyal, Christian Bleffert, Lukas Dreyer, Melven Röhrig-Zöllner, Gregor Gassner, Vadym Aizinger\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.08397v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.08397v1\n摘要: We present an energy-stable discontinuous Galerkin (DG) spatial discretization of the intrinsic beam equations with Kelvin-Voigt damping. We reformulate the governing equations by splitting the total sectional resultants into elastic and viscous parts, thereby exposing a mixed system without mixed space-time derivatives. For homogeneous cantilever boundary data, the continuous system obeys an energy dissipation identity. With characteristic upwinding and alternating auxiliary traces the DG discretization is energy stable at the semidiscrete level for the stated homogeneous split boundary closure. The method is implemented in the Julia-based simulation framework Trixi.jl. A physically compatible manufactured solution with all state and viscous components active assesses convergence, while a rotating-beam test verifies the analytic constant-spin branch and the actuated energy balance.\n12. 具有朗缪尔吸附的多组分输运问题的紧凑隐式高分辨率数值格式 Compact implicit high-resolution numerical scheme for multicomponent transport problems with Langmuir sorption\n作者: Dagmar Zakova, Peter Frolkovic\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.08320v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.08320v1\n摘要: We present a compact implicit high-resolution finite volume scheme for one-dimensional multicomponent transport problems with nonlinear Langmuir sorption. The method combines a second order compact implicit discretization with WENO reconstruction and a time limiter for the treatment of steep gradients and discontinuities. A special attention is given to the Courant number used in the limiter, where local characteristic Courant numbers based on the eigenvalues of the inverse retardation matrix are considered. The compact implicit schemes are compared with analogous explicit first and second order methods. Numerical experiments show second order convergence for smooth solutions and demonstrate that the implicit approach can be used with significantly larger Courant numbers. The method is also applied to a three-component displacement chromatography problem with sharp concentration fronts.\n13. 三类具有自由边界的反应扩散方程的有限差分方法 Finite difference methods for three kinds of reaction-diffusion equations with free boundaries\n作者: Caiyun Huang, Weizhi Liao, Weiping Bu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.08212v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.08212v1\n摘要: This work considers to numerically solve three kinds of reaction-diffusion equations with free boundaries. First, the popular front-fixing method is used to transform the considered free boundary problems into fixed boundary problems. Then, by employing the finite difference method, numerical schemes with $\\mathrm{M}$-matrices as their coefficient matrices are developed for these transformed fixed-boundary problems. Next, for the developed numerical schemes, we establish numerical theory involving positivity preservation, monotonicity preservation, and stability. It is noteworthy that, unlike some existing works that impose tight restrictions on the time step-size to discuss the numerical theory, the proposed numerical schemes require only a mild restriction. Finally, numerical examples are provided to test the developed numerical schemes and to confirm the theoretical results.\n14. 带正且有界校正函数的三阶Halley型迭代法 Third-order Halley-type iterative method with positive and bounded correction function\n作者: Hirai Mukasa\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.08110v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.08110v1\n摘要: In this paper, we propose a new one-point iterative method for finding simple roots of nonlinear equations by modifying Halley\u0026rsquo;s method. Its correction function is positive and bounded on $\\mathbb{R}$ and matches the local expansion of Halley\u0026rsquo;s correction function near a simple root. The method avoids the singularity and sign reversal of Halley\u0026rsquo;s correction function while retaining at least third-order local convergence. We also establish sufficient conditions for global convergence. Numerical experiments show that the proposed method achieves high convergence success rates and favorable iteration counts over a wide range of initial guesses. Further experiments near the singularity of Halley\u0026rsquo;s correction function demonstrate robust convergence behavior of the proposed method. An application to the van der Waals equation illustrates the effectiveness of the proposed method.\n15. 有限精度对称Krylov方法：精确舍入示例、块Paige恒等式与变块Lanczos模型 Finite-Precision Symmetric Krylov Methods: Exact Rounding Examples, Block Paige Identities,and a Variable-Block Lanczos Model\n作者: Mohit Sinha\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-08\narXiv ID: 2609.08066v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.08066v1\n摘要: Short-recurrence Krylov methods that are equivalent in exact arithmetic often diverge in floating-point arithmetic. To illustrate this, we provide an exactly representable two-cycle for steepest descent with a recursively updated residual. A complementary convergence theorem gives a sufficient condition under which the stored residual decreases geometrically. We then show that a second positive definite family yields different outcomes for a Hestenes\u0026ndash;Stiefel Conjugate Gradient (CG) implementation and a direct Lanczos\u0026ndash;Galerkin approach. CG finds the exact solution after four updates, whereas the two-step projected system becomes inconsistent. Under stated perturbation and transfer hypotheses, a common spectral enclosure gives comparable convergence bounds. For a dense, left-to-right evaluation order, we prove a sufficient precision bound for a prescribed backward error within $n$ updates for an $n\\times n$ matrix, together with a computable stopping test and specified exponent-range assumptions. We use polynomial estimates and numerical experiments to examine the trade-off between working precision and the number of CG iterations needed to achieve a prescribed backward error. We also compare results on inexact matrix-vector products and preconditioning with the frameworks of Paige and Greenbaum. For block Lanczos, we analyze Householder orthogonalization and singular-value truncation as the block size changes. Under componentwise and normwise error bounds, the computed coefficients satisfy a controlled local recurrence and an exact block Lanczos relation for a nearby symmetric problem in a larger space. A block form of Paige\u0026rsquo;s identity bounds the overlap with a Ritz vector along its residual coordinate direction. An inter-block recurrence describes the evolution of overlap, and a Gram-matrix argument gives a count of additional nearby Ritz values.\n16. 考虑焦耳热的电-热-力接触的第三介质方法 A third-medium approach for electro-thermo-mechanical contact considering Joule heating\n作者: Maximilian Vorwerk\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-07\narXiv ID: 2609.08031v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.08031v1\n摘要: Connectors are ubiquitous in technical systems and frequently combine mechanical contact with electric current transfer and heat generation. To capture these interacting processes, an electro-thermo-mechanical contact formulation based on the third-medium concept is proposed. Mechanical contact, electric current flow, and heat conduction are represented within a unified finite element framework without explicit contact-surface tracking. Deformation-dependent switching functions govern the onset of electrical and thermal transport during interface closure. Electrical conduction is coupled to the transient thermal problem through Joule heating, while the temperature dependence of the electrical conductivity provides the corresponding feedback on the current flow. The coupled displacement, electric potential, and temperature fields are solved monolithically and combined with an independently interpolated deformation-gradient-like field for robust third-medium regularization under severe compression. Numerical examples demonstrate contact-induced current transfer, subsequent Joule heating and transient temperature evolution, as well as localized current paths during progressive closure of rough interfaces.\n17. 加速Fourier-Motzkin消去：冗余消除与变量消去顺序的选择 Accelerating Fourier\u0026ndash;Motzkin elimination: redundancy removal and the choice of variable elimination order\n作者: Shashaank Khanna\n类别: cs.CC, math.CO, math.NA, math.OC, quant-ph\n发布日期: 2026-09-07\narXiv ID: 2609.07960v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.07960v1\n摘要: Fourier-Motzkin elimination computes an inequality description of the projection of a polyhedron onto a subset of its coordinates by eliminating one variable at a time. It is used in several areas of optimisation and computer science, and it is a standard way of obtaining the entropic constraints of a causal structure, where the marginalisation over the latent variables produces such a projection. Its limitation is the growth of the intermediate systems of inequalities, which can be doubly exponential in the number of eliminated variables even though the projection itself grows only as a single exponential. In practice the computational overload of the method therefore depends on two choices: how the redundant inequalities are removed after each step, and the order in which the variables are eliminated. We consider both. We first show, by an explicit example, that Imbert\u0026rsquo;s redundancy test cannot be interleaved with redundancy removal by linear programming. We show that the two methods, however, can be combined soundly if the derivation records used by Imbert\u0026rsquo;s test are re-initialised after every step at which linear programming is used. We then propose a rule for choosing the elimination order of the variables that gives a significant computational advantage, however, at the cost of increased resource usage. We demonstrate this advantage on some random polytopes, where the rule reduces the running time by factors of between 6 and 25 compared with the same elimination under a fixed order. For entropic descriptions of causal structures, with more than 250 inequalities and more than 100 variables to eliminate, our rule keeps the number of inequalities handled at each step one to two orders of magnitude lower than a fixed order.\n18. 关于Laplace双层算子Kenig猜想的一个反例 A counterexample to Kenig\u0026rsquo;s conjecture for the Laplace double-layer operator\n作者: Matthew J. Colbrook, Siavash Sadeghi\n类别: math.AP, math-ph, math.NA, math.SP\n发布日期: 2026-09-07\narXiv ID: 2609.07947v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.07947v1\n摘要: Layer potentials provide a classical approach to boundary value problems for Laplace\u0026rsquo;s equation on Lipschitz domains. Kenig\u0026rsquo;s 1994 spectral-radius conjecture for the double-layer operator would ensure operator-norm convergence of the associated Neumann series on mean-zero $L^2$ densities when the boundary is connected. We disprove this conjecture by constructing a bounded simply connected planar Lipschitz domain whose double-layer operator on arclength $L^2$ has essential spectral radius strictly greater than $1/2$. More precisely, for every $t\u003e1/2$ sufficiently close to $1/2$, we obtain such a domain with $\\pm i t$ in its Fredholm essential spectrum. The construction starts from smooth graphs whose shapes repeat under translation. In the limit of separated scales, refinement makes solutions of adjoint resolvent equations grow with fixed forcing. The graph slopes remain uniformly bounded. A computer-assisted certificate proves this growth through an inequality for Hermitian $2\\times2$ matrices. Its strict margin at $- i/2$ persists at nearby spectral parameters. Normalisation and a Floquet transform then give compactly supported densities with small residuals on the full graphs. We insert rescaled segments of successive graphs into one bounded boundary, where these densities form a weakly null sequence of approximate eigenvectors. The same spectral conclusion holds on a single periodic Lipschitz graph. The certificate combines continuous estimates, exact rational arithmetic and rigorous interval enclosures.\n19. 亚扩散晶粒生长的阈值动力学 Threshold dynamics for subdiffusive grain growth\n作者: Marvin Fritz\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-07\narXiv ID: 2609.07938v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.07938v1\n摘要: We propose a new fractional threshold-dynamics algorithm for subdiffusive interface motion and apply it to multiphase grain-growth simulations. The method combines the L1 discretization of the Caputo time derivative with a Helmholtz-resolvent thresholding step. At each time level, the L1 convolution produces a convex history average of the previously thresholded states; this history-dependent field is then propagated by a Helmholtz diffusion solve and projected back to pure phases by thresholding. For $α=1$, the method reduces to a Helmholtz-resolvent analogue of the Merriman-Bence-Osher scheme, whereas for $0\u003cα\u003c1$ it introduces a subdiffusive temporal memory. We establish a variational characterization, maximum and comparison principles, and stability for the continuous Helmholtz diffusion step. We also derive a memory-tail estimate and a finite-dimensional pinning criterion under an explicit resolvent-contraction hypothesis. The equal-tension multiphase scheme is implemented on periodic grids. The numerical experiments investigate the joint influence of the L1 history and the smoothing length. The fixed-step runs show faster coarsening for smaller fractional orders in the tested regime, while a comparison at fixed smoothing length examines the influence of the L1 history on successive updates.\n20. 使用极小极大凹和加权 $\\ell_1$ 罚的泊松图像去噪：非盲与盲方法 Poisson Image Denoising Using Minimax Concave and Reweighted $\\ell_1$ Penalties: Nonblind and Blind Approaches\n作者: Reza Parvaz\n类别: cs.CV, math.NA\n发布日期: 2026-09-07\narXiv ID: 2609.07916v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.07916v1\n摘要: Images are important tools in various sciences. Despite the development of photo-taking tools, creating clear and image without noise remains challenging in practice. In particular, Poisson noise has an effect on medical and astronomical images, and reduces their quality. Additionally, blur is another factor that has an effect on image quality. The problem of image restoration becomes very complicated when we have no information about the Point Spread Function (PSF). These types of problems are known as blind case. However, in some images, such as some astronomical images, the type of PSF can be specified, and these types of problems are known as nonblind problems. Total Variation (TV) is a widely used method for solving such inverse problems, where the selection of the penalty function is the most critical factor that affects the method\u0026rsquo;s performance. In this paper, to improve edge preservation, we employ a reweighted $\\ell_1$-regularization of the fractional order derivative. Furthermore, we propose a nonblind and blind image deblurring approach under Poisson noise using the Minimax Concave Penalty (MCP), which is a continuous, sparsity promoting, and nearly unbiased regularizer. This formulation leads to a nonconvex optimization model. To solve the proposed model, we introduce an efficient numerical algorithm based on the Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) and provide an analysis of its convergence. Finally, the effectiveness of the proposed algorithm are demonstrated through extensive experiments on various images.\n21. LoCCA：基于节点扰动稳定性的核矩阵分解的局部切比雪夫交叉逼近 LoCCA: Localized Chebyshev Cross Approximation for Kernel Matrix Factorization via Nodal Perturbation Stability\n作者: Sumit Singh, Shrirup Dutta, Sivaram Ambikasaran\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-07\narXiv ID: 2609.07882v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.07882v1\n摘要: We propose Local Chebyshev Cross-Approximation (LoCCA), a data-driven framework that bridges smooth polynomial interpolation with flexible matrix factorizations. LoCCA dynamically maps ideal grid nodes to their nearest physical neighbors within unstructured point sets. We support this framework with a new perturbation theory, proving that displacing Chebyshev nodes onto physical data points retains mathematical stability and accuracy without explosive error growth. Numerically, LoCCA provides strict, reliable error control even on irregular geometries where standard grid-based methods fail, achieving substantial speedups and near-optimal matrix compression.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-09_14-16-48/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月09日 14:16:48\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 21\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-标量双曲守恒律的高阶间断切割有限元方法\"\u003e1. 标量双曲守恒律的高阶间断切割有限元方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eHigh-Order Discontinuous Cut Finite Element Methods for Scalar Hyperbolic Conservation Laws\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年09月09日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年09月07日 15:40:12\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 2\n不相关论文数量: 13\n重点关注论文（完整分析） 1. 高度非均匀散射问题的多尺度有限元方法的频率显式收敛性分析 Frequency-explicit convergence analysis of a multiscale finite element method for highly heterogeneous scattering problems\n作者: T. Chaumont-Frelet, Z. Kassali\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-09-04\narXiv ID: 2609.04930v1\n摘要翻译: 我们分析了高度非均匀可穿透障碍物对时间谐波散射的数值逼近问题。在高频区域，这些问题的求解尤其具有挑战性，此时散射体尺寸 $L$ 远大于波长，即波数 $k$ 满足 $kL \\gg 1$。这里我们进一步考虑散射体包含不同材料的情形，其特征尺寸为 $\\varepsilon$，满足 $k\\varepsilon \\ll 1$。我们提出了一种高阶多尺度有限元方法，并给出了对 $k$ 和 $\\varepsilon$ 均显式的误差分析。至关重要的是，我们的误差估计表明，使用高阶方法应能降低大频率下的计算成本，数值算例也印证了这一结论。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.04930v1\n1. 研究对象和背景 本文研究高频时间谐波散射中强非均匀介质的数值逼近. 设 $D\\subset\\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 为光滑有界且可穿透的散射体, 记其直径为 $\\ell_D$; $\\Omega$ 为包含 $\\overline D$ 的光滑计算域, 记 $\\Gamma=\\partial D$, 并设 $d(\\partial\\Omega,D)\\ge\\ell_D$ 以简化若干几何常数. 在 $D$ 内材料具有小周期 $\\varepsilon$ 的周期微结构: $\\mu_\\varepsilon=\\hat\\mu(x/\\varepsilon)$, $A_\\varepsilon=\\hat A(x/\\varepsilon)$, 在 $\\Omega\\setminus\\overline D$ 中 $\\mu_\\varepsilon=1$, $A_\\varepsilon=I$. 对波数 $k\u003e0$ 与右端 $f\\in L^2(\\Omega)$, 模型问题为 $$-k^2\\mu_\\varepsilon u_\\varepsilon-\\nabla\\cdot(A_\\varepsilon\\nabla u_\\varepsilon)=f\\ \\text{in}\\ \\Omega,\\qquad \\nabla u_\\varepsilon\\cdot n-iku_\\varepsilon=0\\ \\text{on}\\ \\partial\\Omega,$$ 其弱形式为求 $u_\\varepsilon\\in H^1(\\Omega)$ 使 $b_\\varepsilon(u_\\varepsilon,v)=(f,v)_\\Omega$ 对所有 $v\\in H^1(\\Omega)$ 成立, 其中 $b_\\varepsilon(\\phi,v)=-k^2(\\mu_\\varepsilon\\phi,v)_\\Omega-ik(\\phi,v)_{\\partial\\Omega}+(A_\\varepsilon\\nabla\\phi,\\nabla v)_\\Omega$. 阻抗边界条件用于截断无界区域并近似 Sommerfeld 辐射条件. 本文关注所谓高频高对比区域: $k\\ell_D\\gg1$ 且 $k\\varepsilon\\ll1$, 即散射体远大于波长但波长远大于微结构尺寸. 直接离散要求网格同时分辨 $\\varepsilon$ 与波长, 计算量随 $k^d\\varepsilon^{-d}$ 增长; 多尺度有限元方法旨在仅用宏观网格尺寸 $H\\gg\\varepsilon$ 求解, 但误差分析必须对 $k$ 与 $\\varepsilon$ 同时显式. 为此需要原问题稳定常数 $C^\\varepsilon_{\\mathrm{st}}:=k^2\\sup_{\\|f\\|_{L^2}=1}\\|u_\\varepsilon\\|_{L^2(\\Omega)}$ 关于 $\\varepsilon$ 的一致上界. 已有均质化理论, 如 [9] 的均质化结果一般只对单个右端 $f$ 给出; [14] 仅在系数不依赖某坐标、波速大于 $1$ 且满足几何符号条件 $x_d n_d\\ge0$ 等特殊情形证明 $C^\\varepsilon_{\\mathrm{st}}\\lesssim(k\\ell_D)^3$; 一般情形的 $\\varepsilon$ 一致稳定界此前缺乏. 本文旨在填补该空白, 并进一步获得频率显式的均质化误差与多尺度杂交混合 (MHM) 有限元误差界.\n2. 主要定理或主要结果 设均质化系数如下: $\\mu_0$ 在 $D$ 内等于 $\\mu_H=\\langle\\hat\\mu\\rangle_Y$, 在 $\\Omega\\setminus\\overline D$ 内等于 $1$; 对 $j=1,\\dots,d$, 令 $\\hat\\chi_j\\in H^1_\\sharp(Y)$ 为单元问题 $$-\\nabla_y\\cdot(\\hat A\\nabla_y\\hat\\chi_j)=-\\sum_{\\ell=1}^d\\partial_{y_\\ell}\\hat A_{j\\ell}$$ 的零均值解, 并记 $\\hat\\chi=(\\hat\\chi_1,\\dots,\\hat\\chi_d)$. 若 $\\hat C_{j\\ell}=\\partial_{y_j}\\hat\\chi_\\ell$, 则 $A_0$ 在 $D$ 内取 $A_H=\\langle\\hat A(I-\\hat C)\\rangle_Y$, 在外部取 $I$. 定理3.3证明稳定常数关于 $\\varepsilon$ 一致有界: $C_{\\mathrm{st}}:=\\sup_{0\u003c\\varepsilon\\le\\ell_D}C^\\varepsilon_{\\mathrm{st}}\u003c+\\infty$, 即对所有 $f\\in L^2(\\Omega)$ 与 $0\u003c\\varepsilon\\le\\ell_D$ 一致地有 $$k^2\\|u_\\varepsilon\\|_{L^2(\\Omega)}\\le C_{\\mathrm{st}}\\|f\\|_{L^2(\\Omega)}.$$ 这里 $C_{\\mathrm{st}}$ 可依赖 $k$, 但不依赖 $\\varepsilon$; 文中先以引理3.1建立 $C^\\varepsilon_{\\mathrm{st}}$ 对 $\\varepsilon$ 的连续性. 定理4.1给出频率显式均质化误差估计: 令 $\\chi_\\varepsilon$ 在 $D$ 内为 $\\hat\\chi(x/\\varepsilon)$, 在 $\\Omega\\setminus\\overline D$ 内为零, 则 $$k\\|u_\\varepsilon-u_0-\\varepsilon\\chi_\\varepsilon\\cdot\\nabla u_0\\|_{H^1_k(\\Omega\\setminus\\Gamma)}\\lesssim C_{\\mathrm{st}}\\big(k\\|u_0\\|_{H^1_k(\\Omega)}+|u_0|_{H^2(D)}\\big)\\lesssim C_{\\mathrm{st}}C^{\\mathrm{H}}_{\\mathrm{st}}(k\\varepsilon)^{1/2}\\|f\\|_{L^2(\\Omega)},$$ 其中 $u_0$ 是对应均质化问题的解, $C^{\\mathrm{H}}_{\\mathrm{st}}$ 是均质化问题的稳定性常数. 系4.2进一步得到 $C^{\\mathrm{H}}_{\\mathrm{st}}\\lesssim C_{\\mathrm{st}}\\lesssim(1+C_{\\mathrm{st}}(k\\varepsilon)^{1/2})C^{\\mathrm{H}}_{\\mathrm{st}}$. 对多尺度杂交混合有限元, 取单元尺寸为 $H$, 多项式界面次数为 $\\ell\\ge0$, 且假定单元上用于构造基函数的 Neumann 型局部问题被精确求解. 若 $\\varepsilon\\ll H$, $C_{\\mathrm{st}}^2(k\\varepsilon)^{1/2}\\ll1$, $C_{\\mathrm{st}}(kH)^{\\ell+1}\\ll1$, 则离散解 $u_H$ 满足 $$k\\|u_\\varepsilon-u_H\\|_{L^2(\\Omega)}+\\|\\nabla(u_\\varepsilon-u_H)\\|_{L^2(\\Omega)}\\lesssim kH+C_{\\mathrm{st}}(kH)^{\\ell+1}+C_{\\mathrm{st}}^2(k\\varepsilon)^{1/2}.$$ 该估计推广了无振荡系数时标准有限元的误差界 [8,13,26]; 当 $\\varepsilon\\sim H$ 时, 经典理论要求增加含 $\\varepsilon/H$ 的共振项, 而本文的估计在尺度分离条件 $\\varepsilon\\ll H$ 下不含该项. 误差估计中 $C_{\\mathrm{st}}(kH)^{\\ell+1}$ 随 $\\ell$ 增大快速衰减, 故高阶单元可补偿 $C_{\\mathrm{st}}$ 随频率增长带来的影响; 数值实验支持这一结论. 需要强调的是, 理论结果假设基函数精确计算, 实际计算中第二层网格取 $h\\sim\\varepsilon$, 但其离散误差未被纳入定理分析.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 证明的第一个关键是建立 $C^\\varepsilon_{\\mathrm{st}}$ 的一致上界. 由于无法对任意 $\\varepsilon$ 直接做紧性论证, 作者先证明连续依赖性: 对相邻尺度 $\\varepsilon,\\varepsilon'$, 利用周期系数的 Lipschitz 连续性比较 $u_\\varepsilon$ 与 $u_{\\varepsilon'}$, 得到 $$b_\\varepsilon(u_\\varepsilon-u_{\\varepsilon'},v)\\lesssim\\ell_D\\frac{|\\varepsilon-\\varepsilon'|}{\\varepsilon\\varepsilon'}\\|u_{\\varepsilon'}\\|_{H^1_k(\\Omega)}\\|v\\|_{H^1_k(\\Omega)},$$ 再结合命题2.4的对偶范数估计推出 $|C^\\varepsilon_{\\mathrm{st}}-C^{\\varepsilon'}_{\\mathrm{st}}|\\lesssim\\ell_D(C^\\varepsilon_{\\mathrm{st}})^2|\\varepsilon-\\varepsilon'|/(\\varepsilon\\varepsilon')$, 从而得到引理3.1的连续性. 随后用反证法: 若上确界无界, 则存在 $\\varepsilon_n\\to0$ 和归一化右端 $f_n$ 使 $k^2\\|u_{\\varepsilon_n}\\|_{L^2}\\ge n$. 将解和右端同时除以 $\\|u_{\\varepsilon_n}\\|_{L^2}$ 得到归一化解 $\\hat u_n$ 与右端 $\\hat f_n$, 满足 $\\hat f_n\\to0$ 于 $L^2$. 从能量等式可得 $\\hat u_n$ 在 $H^1(\\Omega)$ 中有界, 因此可选子列使 $\\hat u_n$ 在 $L^2$ 强收敛于 $u_0$, 且 $\\nabla\\hat u_n$ 双尺度收敛到 $\\nabla u_0+\\nabla_y u_1$. 利用双尺度收敛和均质化理论, 可证 $b_{\\varepsilon_n}(\\hat u_n,v)\\to b_0(u_0,v)$ 对所有 $v$; 另一方面又有 $b_{\\varepsilon_n}(\\hat u_n,v)=(\\hat f_n,v)_{\\Omega}\\to0$, 故 $u_0$ 满足齐次均质化问题. 由均质化问题的唯一性(及唯一延拓原理)得 $u_0=0$, 这与 $\\|u_0\\|_{L^2}=1$ 矛盾. 这一方法继承了 [9] 的紧性思路, 但把结果从单个右端 $f$ 提升为对所有 $L^2$ 右端一致, 这正是后续有限元误差分析所需要的. 均质化误差定理4.1的证明沿用 [14] 的校正子框架: 令辅助函数 $W_\\varepsilon$ 满足 [14, Eq. (4.28)] 型估计 $\\|W_\\varepsilon\\|_{H^1_k}\\lesssim C_{\\mathrm{st}}\\|\\psi\\|_{(H^1_k)'}$, 从而把原文中依赖局部半径和层厚度的常数 $C_{\\mathrm{layer}}(kR,kR_0,b_{\\min})$ 全部替换为不依赖 $\\varepsilon$ 的整体稳定常数 $C_{\\mathrm{st}}$; [14] 的若干引理可直接平移, 只有涉及 $u_0$ 的正则性项被替换为 $|u_0|_{H^2(D)}$. 对 MHM 方法的分析, 文中采用与散射体界面 $\\Gamma$ 拟合的曲网格, 在每个单元上通过带 $\\ell$ 次多项式 Neumann 数据局部问题构造基函数, 从而把单元尺度 $H\\gg\\varepsilon$ 内的振荡信息吸收进离散空间. 在基函数精确求解的假设下, 整体误差被分离为宏观均质化误差和局部离散误差; 附录 A 专门建立用于单元局部 Neumann 问题的辅助均质化估计, 这是控制 $H$-单元内 $\\varepsilon$ 尺度振荡的关键. 需要说明的是, 摘录文本没有展开第六节的 inf-sup 稳定性和局部逼近引理, 因此无法从提供内容重建每一个精细常数; 但引言明确说明其证明是把(1.1)的稳定常数纳入标准有限元工具, 并与定理4.1耦合. 作者强调第二个创新点是首次在多尺度有限元误差界中显式显示高阶单元能够抑制 $C_{\\mathrm{st}}$ 随频率增长的影响, 而非仅仅沿用传统有限元的色散误差直觉.\n4. 与之前工作的比较 与均质化文献 [9] 相比, 本文的主要推进是把均质化结果从单个固定右端 $f$ 提升为对任意 $f\\in L^2(\\Omega)$ 一致成立的稳定估计(1.1). 这一右端无关性对 Galerkin 误差分析至关重要, 因为离散误差方程中出现的是与离散残差相关的任意右端, 而非仅仅原始数据 $f$. 与 [15] 相比, 本文在需要显式刻画 $C_{\\mathrm{st}}$ 对 $k$ 的依赖时沿用 [15] 的技术, 因而所谓 fully explicit 的 $C_{\\mathrm{st}}$ 上界只是在关于系数的合适额外假设下成立, 并非无条件显式; 摘录没有给出这些额外假设的具体形式. 与 [14] 相比, 本文对 $C^\\varepsilon_{\\mathrm{st}}$ 的一致界去掉了 [14] 中的特殊几何与材料假设, 包括系数不依赖某空间坐标、波速大于 $1$、以及 $x_d n_d\\ge0$ 的符号条件; 代价是 [14] 能给出显式 $C^\\varepsilon_{\\mathrm{st}}\\lesssim(k\\ell_D)^3$, 而本文的一般性定理通常只给出有限常数 $C_{\\mathrm{st}}(k)$, 不直接给出它的 $k$ 增长阶. 此外, 本文要求周期系数具有 $W^{1,\\infty}$ 正则性, 比 [14] 允许的分片常值模式更强; 作者在注记3.2中认为该正则性假设可放松, 但未给出严格证明. 与标准有限元误差估计 [8,13,26] 相比, 在没有系数振荡的形式极限(可令 $k\\varepsilon\\to0$)下, 新估计(1.2)回到经典形式; 新的贡献是显式保留了 $C_{\\mathrm{st}}$ 和 $(k\\varepsilon)^{1/2}$ 项, 并且表明在固定 $H$ 时增大多项式次数 $\\ell$ 可使 $C_{\\mathrm{st}}(kH)^{\\ell+1}$ 迅速变小. 对多尺度方法本身, 文中定位了与局部正交分解 (LOD) 类方法 [10,21,30,31] 的差异: LOD 方法在 $kH\\ll1$ 下对高频鲁棒, 且当 $\\varepsilon\\sim H$ 时不受共振效应影响, 但其局部问题需要在由多个单元组成的补丁上求解, 计算成本更高; 本文的 MHM 方法只做单元素上的 Neumann 局部求解, 在尺度分离 $\\varepsilon\\ll H$ 下可能更高效. 类似评论也适用于 [27] 的 MsGFEM. 相对于经典 MsFEM [3,24,33], 本文在 $\\varepsilon\\ll H$ 时不出现 $\\varepsilon/H$ 共振项; 但若 $\\varepsilon\\sim H$, 则仍须像 [24] 那样加入共振项, 而 LOD 方法在该情形更具优势. 代价方面, 文中所有误差估计都假设多尺度基函数被精确求解; 数值实现中采用的第二层网格 $h\\sim\\varepsilon$ 的误差未进入理论, 因此完整全离散多尺度方法的严格误差分析仍是空白. 同样, 本文假设网格精确拟合散射体边界, 没有讨论等参有限元或变分犯罪; 如注记5.2所述, 作者预期可仿照 [15] 引入 Strang 型引理来推广, 但未在本文件出. 数值例子部分在摘录中只有概述, 未包含具体表格和图, 故无法对其精度和计算量做进一步比较.\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 一个用于模拟奇异摄动问题解的简单浅层神经网络 A simple shallow neural network for emulating the solution to singularly perturbed problems\n作者: Christos Xenophontos, Aayushman Raina\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-04\narXiv ID: 2609.05180v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.05180v1\n摘要翻译 中文标题: 一个用于模拟奇异摄动问题解的简单浅层神经网络\n摘要翻译: 我们考虑（前馈）神经网络（NN）用于模拟具有两个小参数的奇异摄动二阶边值问题的解。我们描述了一个浅层NN，它利用了可用的解的渐近展开。这些光滑部分和层部分的可加分解允许导数估计，这些估计在微分阶数和奇异摄动参数方面是显式的 \\cite{melenk, Irene, SX}。利用这种分解，我们提出了一个简单的NN，使用$\\tanh$激活函数以及不同的训练目标（如残差或能量最小化）来模拟此类问题的解。关键思想是用适当的指数函数扩充逼近空间，类似于有限元方法中的富化空间，例如~\\cite{Kellogg}。一维和二维的数值算例，包括一个光滑的非张量积域，说明了在测试的摄动范围内所产生的参数鲁棒行为。\n2. 一类满足无穷多个熵条件的高阶间断伽辽金方法，具有可证明的误差估计和一般非线性守恒律的强收敛性 A class of high-order discontinuous-Galerkin methods satisfying infinitely many entropy conditions with provable error estimates and strong convergence for general nonlinear conservation laws\n作者: Yuanzhe Wei, Chi-Wang Shu\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-04\narXiv ID: 2609.04687v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.04687v1\n摘要翻译 中文标题: 一类满足无穷多个熵条件的高阶间断伽辽金方法，具有可证明的误差估计和一般非线性守恒律的强收敛性\n摘要翻译: 我们提出了一种新的框架，利用算子半群为标量守恒律推导半离散间断伽辽金（DG）方法，然后应用该框架构造了一类在非均匀网格上满足具有一般E-通量的无穷多个局部熵不等式的高阶OFDG型格式[13]。此类格式通过使用文[1]意义下的熵稳定数值通量，进一步推广到任意空间维数下的守恒律方程组。最后，我们证明了非线性标量守恒律光滑解的最优误差估计，并借助补偿紧性方法证明了严格凸守恒律间断解的强收敛性。\n不相关论文（基本信息） 1. 浅层神经网络在混合Sobolev空间中的逼近 Shallow neural network approximation in mixed Sobolev spaces\n作者: Yuwen Li, Guozhi Zhang\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-09-04\narXiv ID: 2609.05263v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.05263v1\n摘要: We investigate the best $L_2$ approximation of mixed Sobolev spaces by shallow neural networks with $n$ neurons and general activation functions. We first establish an activation-independent Fourier-block principle: if an activation has univariate approximation order $ρ$ in the sense of the Fourier-block property, then the global approximation rate has algebraic order $\\min\\{α,ρ\\}$ for target functions of mixed smoothness $α$, up to explicit logarithmic factors. To verify this property for concrete activations, we introduce a structured univariate approximation condition that implies the Fourier-block property with explicit parameters. For $\\mathrm{ReLU}^k$, a matching algebraic lower bound identifies $\\min\\{α,k+1\\}$ as the optimal algebraic approximation exponent in any dimension, up to logarithmic factors in the upper bound. The framework also yields the exponent $\\min\\{α,k+1\\}$ for cardinal B-splines and soft-$\\mathrm{ReLU}^k$, and the full mixed-smoothness exponent $α$ for ELU and cosine activations, again up to logarithmic~factors.\n2. 一种针对非线性端口哈密顿微分代数方程的保结构高效积分的广义标量辅助变量方法 A Generalized Scalar Auxiliary Variable Method for Structure-Preserving and Efficient Integration of Nonlinear port-Hamiltonian DAEs\n作者: Aashutosh Sharma, Andreas Bartel, Manuel Schaller\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-04\narXiv ID: 2609.05246v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.05246v1\n摘要: We develop an energy-optimal generalized scalar auxiliary variable (EOP-GSAV) framework for nonlinear index-one port-Hamiltonian differential-algebraic equations (pH-DAEs). Exploiting the port-Hamiltonian structure, we separate the nonlinear effort, interconnection, and dissipation terms from a constant implicit core. The resulting BDF-1 and BDF-2 schemes require one linear solve per time step with a reusable factorization, while retaining discrete passivity and accurate tracking of the Hamiltonian. The schemes are compared with the implicit midpoint method equipped with full, modified, and frozen-Jacobian Newton iterations. Numerical experiments ranging from a strongly state-dependent nonlinear stress test to large-scale benchmarks demonstrate robust and competitive performance, with substantial efficiency gains in matched-accuracy regimes. A comparison with SUNDIALS IDA shows comparable work-precision behavior at equal order despite a non-specialized Python/SciPy implementation, while unrestricted variable-order adaptive IDA is faster in the high-accuracy regime.\n3. PRICE：比特币价格预测中大语言模型适配选择的系统性研究 PRICE: A Systematic Study of LLM Adaptation Choices for Bitcoin Price Forecasting\n作者: Maryam Fakhari, Mehran Safayani\n类别: cs.LG, cs.AI, math.NA\n发布日期: 2026-09-04\narXiv ID: 2609.05235v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.05235v1\n摘要: Cryptocurrency markets exhibit extreme volatility and non-stationary dynamics that challenge conventional forecasting methods. Although Large Language Models (LLMs) have shown promise for time series forecasting, the combined effects of adaptation choices remain largely unexplored in financial settings. This study introduces PRICE, a structured approach for adapting LLMs to short-term Bitcoin price forecasting. Built on a 4-bit quantized LLaMA-3 8B model, PRICE investigates how fine-tuning, numerical representation, prompting, inference, and decoding jointly influence forecasting performance. PRICE integrates Parameter-efficient fine-tuning with Low-Rank Adaptation (LoRA), Recursive multi-step inference, Integer-rounded numerical representation, Context-Task-Format (CTF) prompting, and Exact zero-temperature decoding. Ablation studies show that each component contributes to forecasting accuracy and reliability. LoRA enables efficient training on limited hardware, recursive inference improves accuracy, integer-rounded values reduce errors, CTF prompting outperforms Chain-of-Thought, Implicit Chain-of-Thought (iCoT), and few-shot prompting, and zero-temperature decoding improves stability during recursive forecasting. Comparative evaluation against eight transformer-based and time-series foundation models shows that PRICE achieves the lowest forecasting errors on both validation and test sets while maintaining robust performance across evaluation periods. Despite being based on a model primarily pretrained on text rather than time-series data, PRICE achieves competitive or superior performance relative to specialized foundation models. These findings demonstrate that adaptation choices critically determine the accuracy and robustness of LLMs for numerical time-series forecasting.\n4. 重新审视动态离子存在下的动理学静电电子非线性(KEEN)波 Revisiting kinetic electrostatic electron non-linear (KEEN) waves in the presence of dynamical ions\n作者: Rostislav-Paul Wilhelm, Philipp Krah, Kai Schneider, Fabio Bacchini, Virginie Grandgirard\n类别: physics.plasm-ph, math.NA\n发布日期: 2026-09-04\narXiv ID: 2609.04941v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.04941v1\n摘要: We revisit the kinetic electrostatic electron nonlinear (KEEN) waves studied by Afeyan et. al in 2014 using a hybrid flow-mapping strategy that combines the characteristic mapping method (CMM) with numerical flow iteration (NuFi). The study extends the classical setup to dynamical ions, comparing their impact on the long-time KEEN dynamics with the static-ion case. To this end, we extend the CMM-NuFI framework with a multi-map strategy, assigning one map to the ion and one to the electron characteristic flow. The resulting problem exhibits a wide separation of spatial and temporal scales, driven by the fine structures generated by the ponderomotive force and by the large ion-to-electron mass ratio, which renders it computationally prohibitive for conventional grid-based methods. Our multi-map CMM-NuFI method efficiently resolves these disparate scales, enabling long-time simulations of KEEN dynamics with fully dynamical ions.\n5. 保持迹的Fortin算子的构造 Construction of trace-preserving Fortin operators\n作者: Franziska Eickmann, Tabea Tscherpel\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-04\narXiv ID: 2609.04926v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.04926v1\n摘要: We present a unifying framework to construct local Fortin operators for conforming mixed finite element pairs for the Stokes equations. The operators are constructed to satisfy the divergence-preservation property, local stability and approximation properties, and certain trace-preservation properties. For the latter, some of the finite element pairs require an enrichment of the velocity space. We present the construction for the $P_d-P_0$ element, the Bernardi-Raugel element, the conforming Crouzeix-Raviart element, a modified MINI element and generalised Taylor-Hood elements. Furthermore, we discuss implications of the existence of such a Fortin operator beyond inf-sup stability. These include applications to non-Newtonian fluid flow, problems with inhomogeneous Dirichlet boundary conditions, as well as uniform inf-sup stability relevant for domain approximation and moving domains.\n6. 基于Flash Attention的快速高斯和 Fast Gauss Sums via Flash Attention\n作者: Nicolaj Rux, Sebastian Neumayer\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-09-04\narXiv ID: 2609.04910v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.04910v1\n摘要: Gaussian kernel sums are the computational core of maximum mean discrepancies (MMDs), kernel gradient flows, Stein variational gradient descent (SVGD), and many other kernel methods. At the same time, softmax attention has received an extraordinary amount of hardware-aware code engineering, culminating in flash attention. We show that Gauss kernel sums with arbitrary, signed weights can be evaluated via flash attention: two small input augmentations turn the normalized softmax reduction into the unnormalized Gauss sum, without writing a single line of custom GPU code. For feature dimension D\u0026gt;8 in fp16, this approach beats compiled PyTorch code as well as PyKeOps kernels (often significantly) in speed, memory-overhead and accuracy. Indeed, its memory scaling remains linear.\n7. 耦合port-Hamiltonian常微分方程的能量一致分裂与分解方法 Energy-Consistent Splitting and Decomposition Approaches for Coupled port-Hamiltonian ODEs\n作者: Marius Mönch, Nicole Marheineke, Andreas Bartel, Kevin Schäfers, Michael Günther\n类别: math.NA, math.DS\n发布日期: 2026-09-04\narXiv ID: 2609.04884v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.04884v1\n摘要: Operator splitting provides an attractive approach for the numerical integration of (coupled) port-Hamiltonian systems, as it allows the underlying system structure to be exploited at the level of the individual subproblems. However, the choice of the decomposition is not unique and may strongly affect both the computational efficiency and the preservation of the energy behavior of the original system. In this work, we investigate this interplay systematically and introduce energy consistency as a criterion for assessing splitting methods for port-Hamiltonian ordinary differential equations. We derive sufficient conditions under which a splitting based on a given decomposition inherits the energy behavior of the continuous system and use these conditions to analyze several decomposition strategies for coupled port-Hamiltonian systems. In particular, we compare decompositions that preserve the structure with approaches that exploit lower-dimensional subsystem dynamics or separated time scales. The analysis is complemented by numerical experiments using Strang splitting and its multiple-time-stepping extension. A scalable electro-thermal benchmark with fast electrical and slow thermal dynamics is employed to assess accuracy, energy behavior, and computational efficiency. The results demonstrate that preserving the port-Hamiltonian structure of the subflows is essential for energy-consistent splitting, whereas decompositions that exploit subsystem structure or time-scale separation can provide substantial computational advantages. In particular, the time-scale decomposition yields significant efficiency gains for systems with pronounced multirate characteristics, while structure-destroying decompositions may lead to undesirable energy behavior.\n8. 高斯圆问题中哈代猜想的数值实验 Numerical experiments on the Hardy conjecture for the Gauss circle problem\n作者: Satoshi Yamaguchi, Shoichi Fujima, Shigehiko Kuratsubo, Eiichi Nakai, Tsuyoshi Yoneda\n类别: math.NT, math.NA\n发布日期: 2026-09-04\narXiv ID: 2609.04725v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.04725v1\n摘要: The classical unsolved Gauss circle problem concerns estimating the error between the number of lattice points inside a circle and the area of the circle as its radius tends to infinity. About a century ago, Hardy proposed a conjecture concerning this problem. In this paper, we attempt to provide numerical evidence in support of the Hardy conjecture through large-scale numerical computations.\n9. 关于重启共轭梯度法的Forsythe猜想的完全解决 A Complete Resolution of Forsythe\u0026rsquo;s Conjecture for Restarted Conjugate Gradients\n作者: Matthew J. Colbrook, George Stepaniants, Alex Townsend\n类别: math.NA, math.DS, math.OC\n发布日期: 2026-09-04\narXiv ID: 2609.04659v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.04659v1\n摘要: Forsythe\u0026rsquo;s conjecture, published in 1968, asserts that for each restart length $s$, every exact-arithmetic restarted conjugate-gradient iteration on a real symmetric positive definite problem either terminates or has normalised residuals that converge separately along the even and odd restart subsequences. Apart from the classical steepest-descent case, this asymptotic question remained unresolved in full generality for nearly six decades. We give a complete classification by restart length in the original finite-dimensional setting and identify a sharp threshold. For $s=2$ and $s=3$, every problem either terminates or has convergent even and odd residual directions. For every $s\\ge4$, there is a diagonal positive definite counterexample of dimension $s+4$ which never terminates and whose even residual directions do not converge. Together with Akaike\u0026rsquo;s theorem for $s=1$, this shows that the conjectured universal conclusion is true precisely for $s\\in\\{1,2,3\\}$ and false for every $s\\ge4$. The positive results follow from a degree-independent double-orthogonality identity and an analysis of the low-degree fixed-point sets. At restart length four, rational interval arithmetic and Sturm sequences certify a transverse Hopf point of the leading vector field of the rescaled squared-weight map. Analytic periodic-orbit and shadowing arguments yield the counterexample at restart length four, and degree elevation extends the construction to every larger restart length.\n10. GPU上的自适应多层间断伽辽金方法 Adaptive Multilevel Discontinuous Galerkin Methods on GPUs\n作者: Michał Wichrowski\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.04534v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.04534v1\n摘要: I present a matrix-free symmetric interior penalty discontinuous Galerkin method for adaptively refined Cartesian meshes on GPUs. At non-matching interfaces, auxiliary \\emph{shadow cells} represent the adjacent coarse polynomial on the fine level. This approach converts non-matching interfaces into matching faces, permitting uniform face evaluation throughout the mesh. I prove that this construction is equivalent to the standard non-matching formulation. Furthermore, this representation yields a local geometric multigrid method in which frozen shadows provide inter-level boundary data and carry residual contributions to coarser levels. A primal\u0026ndash;dual pairing eliminates shadow assembly from the Krylov iteration. Numerical experiments with cubic elements ($p=3$) on an NVIDIA A100 show stable multigrid convergence under increasing refinement depth and efficient GPU execution.\n11. 一种基于能量的守恒-耗散潜在神经演化算子用于磁化动力学 An Energy-Based Conservative-Dissipative Latent Neural Evolution Operator for Magnetization Dynamics\n作者: Sebastian Schaffer, Lukas Exl\n类别: cs.LG, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.04530v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.04530v1\n摘要: We develop an energy-based reduced-order model for micromagnetic magnetization dynamics that couples a convolutional autoencoder to a structured latent neural ordinary differential equation. Motivated by the precessional-dissipative structure of the Landau-Lifshitz-Gilbert equation, the latent vector field is generated from the gradient of a learned scalar potential through an antisymmetric operator and a symmetric positive-semidefinite dissipative operator. This potential is learned in nonunique latent coordinates and is not identified with the Gibbs free energy, but decreases monotonically along autonomous continuous-time solutions, while the antisymmetric component permits motion along its level sets. The encoder, decoder, latent energy, and operators are trained jointly on short trajectory windows using latent and decoded-rollout losses alone, without time-derivative supervision, physical-energy labels, or dissipation penalties. At inference, an initial state is encoded once, evolved in latent space, and decoded only at the requested output times, enabling substantially cheaper trajectory prediction than the micromagnetic solver used to generate the training data. We compare quadratic, deep, and additive deep-quadratic latent energies on two datasets parameterized by field amplitude and generated for the two applied-field directions of the NIST $μ$MAG Standard Problem 4. Dissipative-only and antisymmetric-dissipative models achieve comparable accuracy on short training-style windows but differ substantially on uninterrupted rollouts, for which the antisymmetric-dissipative models provide markedly more accurate trajectory predictions. The deep-quadratic energy gives the best overall accuracy for both field directions and exhibits slower error growth when rollouts are extended to twice the training horizon.\n12. 改进用于逼近逆矩阵的超幂方法的效率 Improving the efficiency of a Hyperpower method for approximating inverse matrices\n作者: Alicia Cordero, Juan R. Torregrosa\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.04433v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.04433v1\n摘要: In this manuscript, scalar norm-type accelerators are used for first time in order to increase the order of convergence of known iterative methods for solving the matrix equation $X^{-1}-A=0$, while decreasing the number of matrix-matrix products. Specifically, our proposed scheme upgrades the order of convergence in a $50\\%$, achieving the sixth-order of convergence with the computational cost of fourth-order Hyperpower method, in terms of matrix-matrix multiplications. In the main results, not only the convergence and its order is proven, but also its efficiency and stability. This new technique provides good numerical results, even compared with existing fourth-, sixth- and eighth-order schemes in large matrices of up to $10^6$ entries, but also promises the opening of a new kind of procedures with good performance and scalability. Finally, an application to digital image restoration is made to show the behavior of the method, compared with existing ones.\n13. 通过不动点迭代高精度计算Lewis权重 Computing Lewis Weights to High Precision by Fixed-Point Iteration\n作者: Swati Padmanabhan\n类别: cs.DS, math.NA\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.04338v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.04338v1\n摘要: The $\\ell_p$-Lewis weights of a matrix are defined by a fixed-point equation. For $p\u003c4$, Cohen and Peng [CP15] showed that iterating an equivalent rearrangement of this equation computes Lewis weights to high precision; for $p\\geq4$, prior high-precision methods instead use optimization-based approaches. We show that the direct Lewis fixed-point iteration, appearing in the thesis of Lee [Lee16], computes Lewis weights to high precision for every $p\u003e2$. For a matrix $\\mathbf{A}\\in\\mathbb{R}^{m\\times n}$ partitioned into row blocks $\\mathbf{A}_{[1]},\\ldots,\\mathbf{A}_{[k]}$, we compute, for $p\u003e2$, coordinatewise $\\varepsilon$-approximate $\\ell_p$ block Lewis weights in $O\\left(p\\log\\frac{p\\sqrt{\\sum_{i=1}^k\\operatorname{rank}(\\mathbf{A}_{[i]})}}{\\varepsilon}\\right)$ rounds of exact leverage-score-vector computations. For ordinary Lewis weights, this becomes $O\\left(p\\log\\frac{p\\sqrt{m}}{\\varepsilon}\\right)$, improving the $O\\left(p^2\\log(m/\\varepsilon)\\right)$ bound of Gribling, Sidford, and Zhang [GSZ26] for $p\\geq4$. Our main observation is that each direct Lewis update contracts the KL divergence to the true weights by a factor of $1-\\frac{2}{p}$. We also give an alternate explanation of this contraction through volume sampling and entropic independence. Synthetic experiments closely match our predicted local contraction rates and iteration counts grow approximately linearly with $p$; real-data experiments illustrate the information-concentration tradeoff of finite-$p$ block Lewis designs.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-07_15-40-12/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月07日 15:40:12\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 13\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-高度非均匀散射问题的多尺度有限元方法的频率显式收敛性分析\"\u003e1. 高度非均匀散射问题的多尺度有限元方法的频率显式收敛性分析\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eFrequency-explicit convergence analysis of a multiscale finite element method for highly heterogeneous scattering problems\u003c/p\u003e","title":"2026年09月07日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年09月04日 14:09:07\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 2\n不相关论文数量: 18\n重点关注论文（完整分析） 1. 一种用于 CutFEM 的多重网格方法及其收敛性 A Multigrid Method for CutFEM and its Convergence\n作者: Michal Wichrowski\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.04067v1\n摘要翻译: 我们为带顶点块光滑子的几何多重网格发展了收敛性理论，该多重网格应用于 Poisson 问题的切割有限元离散。该框架处理非继承的层形式以及物理区域与活动区域之间的不匹配。利用离散延拓性质，我们证明了关于网格尺寸和切割几何一致的两层收敛界，并在两层收敛率的附加小性假设下证明了 W-循环界。数值实验有意采用更强的 V-循环，对于该循环此处不宣称收敛界。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.04067v1\n1. 研究对象和背景 本文研究基于笛卡尔背景网格的切割有限元法 (CutFEM) 在高阶多项式离散下的 Poisson 问题的几何多重网格求解。设 $\\Omega$ 为有界区域, 具有 $C^2$ 边界 $\\Gamma = \\partial\\Omega$; 将 $\\Omega$ 嵌入到均匀笛卡尔网格族 $\\{\\mathcal{M}_\\ell\\}$ 中, 网格尺寸递推 $h_\\ell = h_{\\ell-1}/2$。对每个水平 $\\ell$, 活动网格由与 $\\Omega$ 相交的单元组成, $\\mathcal{M}_{\\ell,\\Omega}:=\\{K\\in\\mathcal{M}_\\ell : K\\cap\\Omega\\neq\\emptyset\\}$, 其并集为活动域 $\\Omega_\\ell\\supset\\Omega$; 在活动域上定义 $Q_p$ 张量积有限元空间 $V_\\ell$。连续问题为经典 Poisson 边值问题 $$ -\\Delta u = f \\quad \\text{in } \\Omega, \\qquad u = g \\quad \\text{on } \\Gamma . $$ 离散使用 Nitsche 方法配合 ghost penalty 稳定化: 对所有 $u,v\\in V_\\ell$, 定义 $$ A_\\ell(u,v)=a_\\ell(u,v)+g_\\ell(u,v), $$ 其中 $$ a_\\ell(u,v)=(\\nabla u,\\nabla v)_\\Omega-(\\partial_n u,v)_\\Gamma-(u,\\partial_n v)_\\Gamma+\\gamma_D h_\\ell^{-1}(u,v)_\\Gamma, $$ 以及 ghost penalty $$ g_\\ell(u,v)=\\gamma \\sum_{F\\in\\mathcal{F}^G_\\ell}\\sum_{k=1}^{p}\\frac{h_F^{2k-1}}{(k!)^2}\\left(\\llbracket\\partial_n^k u\\rrbracket,\\llbracket\\partial_n^k v\\rrbracket\\right)_F,\\quad \\gamma\\in(0,1], $$ 其中 $\\mathcal{F}^G_\\ell$ 为边界区域中的面集, 即至少有一个相邻单元是被切割单元格的活跃面。难题在于: 当 $\\Gamma$ 穿过背景网格时, 被切割单元在物理域内的支撑可能退化, 使未加稳定的能量模不再一致强制。Ghost penalty 通过约束相邻单元间法向导数的跳跃, 让被切单元从相邻完整单元借取稳定性, 在固定多项式次数下恢复对切割位置一致的离散延拓性、强制性和条件数界。本文要建立的多重网格收敛理论面向上述格式, 期望产生网格尺寸和切割位置一致的收缩率。但由于水平间 ghost penalty 面集 $\\mathcal{F}^G_\\ell$ 不同、活动域 $\\Omega_\\ell$ 与物理域 $\\Omega$ 不一致, 双线性形式 $A_\\ell$ 不是由粗层形式 Galerkin 继承得到的, 因此标准 fitted-mesh 多重网格分析失效。特别地, 延长算子不能按 Galerkin 选取, 而是自然注入; 同时顶点 patch smoother 的子空间之间的正交性也会被 ghost penalty 破坏。本文试图弥补的空白是为这种带顶点 patch smoother 的几何多重网格提供严格的收敛性基础, 并显式追踪多项式次数与 ghost 权重 $\\gamma$ 的影响。这也是随时间演化或移动边界问题高效求解的重要一步: CutFEM 的优点是避免随边界演化重新网格化, 而有效的多重网格求解器正是其大规模应用所需要的。\n2. 主要定理或主要结果 作者证明的主要结果可归结为以下几个定理与引理。 引理1 (延拓稳定性): 取自然注入延拓 $I_\\ell^\\uparrow: V_{\\ell-1}\\to V_\\ell$, 即函数在 $\\Omega_\\ell$ 上逐点相等。设 $w=I_\\ell^\\uparrow v$。在 Assumption 1 的几何条件下, 存在与水平 $\\ell$ 和切割位置无关的常数 $C_{\\mathrm{pr}}=(2C_A/c_A)^{1/2}$, 使得能量模估计 $$ |||I_\\ell^\\uparrow v|||_\\ell \\le C_{\\mathrm{pr}}|||v|||_{\\ell-1}, \\qquad \\forall v\\in V_{\\ell-1}, $$ 成立。证明中关键事实是细层 ghost penalty 不超过粗层 ghost penalty 的一半, 即 $g_\\ell(w,w)\\le \\frac12 g_{\\ell-1}(v,v)$, 该估计不含迹、Markov 或逆不等式, 因而转移稳定性在网格范数意义下与 $p$ 无关。 引理2 (ghost 能与 $H^1$ 半范的控制): 对单一网格立方体 $K$ 的边 $H$, 面 $F\\subset\\partial K$, $q\\in Q_p(K)$, 有 $$ \\|\\partial_n^k q\\|_{0,F}^2 \\le C_T (p+1)^2 H^{-1} (C_M^2 p^4 H^{-2})^{k-1} |q|_{1,K}^2,\\qquad 1\\le k\\le p, $$ 其中 $C_T$ 与 $C_M$ 分别是迹常数和 $L^2$ Markov 常数。由此得到对任何 $u\\in V_m$, 全局 ghost 能估计 $g_m(u,u)\\le \\gamma\\,2d\\,\\Theta'_p |u|_{1,\\Omega_m}^2$, 且 $$ \\Theta'_p:=2C_T(p+1)^2\\sum_{k=1}^{p}\\frac{(C_M^2 p^4)^{k-1}}{(k!)^2}. $$ 该常数满足 $\\log\\Theta'_p=2p\\log p+O(p)$, 呈超指数增长, 是后文稳定分解常数 $C_{\\mathrm{sd}}(p)$ 中唯一的 $p$ 依赖来源。 定理1 (稳定分解): 在 Assumption 1 与离散延拓性质 (9) 下, 顶点 patch 子空间族 $\\{V_{\\ell,j}\\}$ 构成 $V_\\ell$ 的稳定加性 Schwarz 分解: 存在常数 $C_{\\mathrm{sd}}(p)$, 与 $\\ell$ 和切割配置无关, 使得每个 $u\\in V_\\ell$ 有分解 $u=\\sum_j u_j$, $u_j\\in V_{\\ell,j}$, 且 $$ \\sum_j |||u_j|||_\\ell^2 \\le C_{\\mathrm{sd}}(p)\\, |||u|||_\\ell^2. $$ 定理2 (两水平收敛): 基于定理1的稳定分解与引理1的转移稳定性, 两水平方法的收缩率存在一个与网格尺寸 $h_\\ell$ 和边界切割几何无关的上界 $\\rho_{\\mathrm{two}}\u003c1$。即对任意水平 $\\ell$, 由一次预平滑、一次粗空间修正和一次后平滑组成的迭代收缩因子满足 $\\rho \\le \\rho_{\\mathrm{two}}$, 其中 $\\rho_{\\mathrm{two}}$ 只依赖 $p$、Nitsche 参数和 Assumption 2 中的常数。 推论2 (W 循环): 若两水平收缩率满足小性条件 $q\\le 1/4$, 则 W-循环的收缩率一致有界, 且该界与切割几何无关。该条件是证明多层收敛的归纳假设, 文中并未对不满足该条件的参数范围给出无条件 W-循环结论。 并行性与半乘法 smoother: 标准 $2^d$ 着色在 ghost penalty 下不能使同色 patch 精确正交。对同色索引 $i\\neq j$, 体积项与 Nitsche 项贡献消失, 但残留耦合 $A_\\ell(u,v)=g_\\ell^{ij}(u,v)$ 可能非零。为保留廉价 $2^d$ 着色, 作者提出半乘法 smoother: 仅对边界条带的跨色耦合做加性处理, 并对条带更新引入切割无关的阻尼。推论4证明该半乘法更新对应的收敛界与精确乘法更新的估计只差一个与切割无关的常数因子。数值实验采用无阻尼变体, 不属于该推论假设。若改用 stride-3 着色, 则同色 patch 的 ghost 面集互不重叠, 从而恢复精确乘性正交性, 此为推论3。 命题3 ($p$ 依赖的定位): 设 $\\sigma_\\ell(p)$ 为边界条带上精确 cut sweep 的收缩因子。存在与 $\\ell$ 和切割无关的 $\\sigma(p)\u003c1$, 使得 $\\sigma_\\ell(p)\\le \\sigma(p)\u003c1$ 对所有水平成立。然而 $\\sigma(p)$ 关于 $p$ 的精确依赖仍是开放问题。由此导出一个平衡条件 (文中式 (51)), 给出所需的 cut-sweep 重复次数 $n_c^*$, 使条带收缩因子不超过内部/粗网格收缩的参考值; 该诊断与实测迭代次数进行了对比。此外 Remark 11 指出, 在导数跳跃型 ghost penalty 权重族内, 无法通过调整权重使文中建立的组装界成为 $p$ 的多项式。 关于 V-cycle: 文中所有多层数值实验均采用 V-cycle, 但 V-cycle 的收敛界不在证明范围内。作者指出, 对非继承形式建立 V-cycle 界需要 BPX 型工具, 这是一个未解决的方向。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 证明的主要障碍来自三层: (i) 多层形式 $A_\\ell$ 的非继承性, 使得粗层函数在细层上的能量不能由粗层能量直接控制; (ii) 活动域 $\\Omega_\\ell$ 与物理域 $\\Omega$ 不重合, 被切割单元在物理域外延部分需要由 ghost penalty 和离散延拓性质桥接; (iii) 并行着色下 ghost penalty 使同色 patch 之间出现非零耦合, 破坏乘性 Schwarz 的精确性。 针对障碍 (i), 作者没有使用复杂的拟插值延拓, 而是证明自然注入本身在稳定能量模下是稳定的。证明的关键在于对细层 ghost 面按粗网格分类: 设细面 $F$ 的两个细单元共享同一粗父单元, 则 $F$ 落在粗单元内部, 粗函数在该单元上是整体多项式, 所有跳跃消失; 若细面跨越粗面, 则细面上的法向导数跳跃拼起来恰为粗面上的跳跃, 且权重 $h_\\ell^{2k-1}\\le \\frac12 h_{\\ell-1}^{2k-1}$, 从而 $g_\\ell(w,w)\\le \\frac12 g_{\\ell-1}(v,v)$。这一估计不依赖任何多项式逆不等式, 是完全组合和几何层面的, 因此转移在网格范数意义下保持 $p$-无关。 针对障碍 (ii), 论文将 ghost 能的局部控制归结为引理2。这里利用笛卡尔网格的张量积结构与 $Q_p$ 空间的特殊性质: 任一坐标方向导数仍是 $Q_p$ 函数, 沿该方向的割线是一维多项式。将一元端点迹估计 (对应 Gauss-Lobatto 节点 Christoffel 数) 张量化, 再对余法向低阶项反复应用一维 $L^2$ Markov 不等式, 得到对第 $k$ 阶法向导数在面 $F$ 上的界。该界中的放大因子 $(C_M^2 p^4)^{k-1}$ 正是超指数增长 $\\Theta'_p$ 的来源。作者指出此上界是不紧的, 因为完整 Bessel 级数的主项 $k\\approx C_M p^2$ 落在求和截断 $k\\le p$ 之外; 但它在现有分析框架中无法避免。 在得到单层 ghost 能与 $H^1$ 半范的控制后, 作者结合 Assumption 2 的离散延拓性质 (9), 利用标准 Schwarz 分解论证证明定理1的稳定分解。具体而言, 对任意 $u\\in V_\\ell$, 先在物理域内部用内部自由度构造一个在物理域上与 $u$ 相同且跨过边界条带光滑的中间函数, 再把由 ghost penalty 控制的边界条带部分分配到各个 patch。离散延拓性质保证了分解后 patch 函数的 ghost 能可以被 $|u|_{1,\\Omega_\\ell}$ 控制, 从而得到与切割无关的常数。这一步提取了稳定分解常数 $C_{\\mathrm{sd}}(p)$。 针对障碍 (iii), 作者在分析中把 smoother 对 patch 的访问方式区分为乘性序贯和按色组并行。由于 ghost penalty 的作用, 同色 patch 的能量内积可能非零, 经典的色组加性近似会引入额外误差。论文引入半乘法 smoother, 将色组内部仍作乘性, 但只在边界条带的耦合面上作加性处理, 并利用条带耦合的稀疏性给出收敛估计。对阻尼参数 $\\theta$ 的选择, 推论4证明了其界与切割无关。为了提供对照, 又提出 stride-3 着色, 使同色 patch 在背景网格上至少相距三个单元, 此时 ghost 跳跃面完全分离, 能量正交性恢复。作者还比较了两种局部空间的覆盖能力: 经典 Neumann 型 patch 空间 $V^D_{\\ell,j}$ (仅取 patch 内部节点自由度) 与全残差空间 $V^{\\mathrm{FR}}_{\\ell,j}$ (额外包含所有支撑完全落在 patch 内、但节点位于活动域边界上的自由度), 后者迭代次数降低约 1.6–1.8 倍。 数值实验中, 作者故意使用比已证明范围更强的 V-cycle 和半乘法无阻尼变体, 这不是证明对象, 而是用于反映实际行为。实验还采用张量积高阶 ghost penalty 求值, 研究了全局权重 $\\gamma$ 的缩放、与 $p$ 有关的半定阈值等。这些实验展示了理论界中出现的 $p$ 依赖在实际迭代中确实出现, 并支持了\u0026quot;将 $p$ 依赖视为边界条带现象\u0026quot;的解释。\n4. 与之前工作的比较 与已有工作的差异可从多个维度看。 第一, 对 CutFEM 上多重网格收敛理论本身。此前 [14] 将顶点 patch smoother 推广到 CutFEM 并给出数值实验, 但没有任何收敛性证明; 本文填补了这一空白, 给出了两水平与条件 W-cycle 的严格界。相比 fitted 网格上的顶点 patch 理论 [26,24,35,4,34,12,13], 本文显式量化了因切割几何产生的 $p$ 退化: 在 fitted 情形下该 smoother 是 $p$-鲁棒的, 但 cut 情形下 convergence 常数随 $p$ 恶化, 作者将原因局部化为边界条带上的 ghost-penalty 耦合。这一发现与 [14] 观察到的迭代次数随 $p$ 增长一致, 并解释为 ghost penalty 跨层与跨 patch 作用所致。 第二, 与界面非贴体多重网格工作 [22,21] 相比, 那些方法为 unfitted 界面问题设计了特殊延拓算子和界面校正 smoother, 其界面更新需求解全局界面未知量; 本文保留标准自然注入延拓和顶点 patch 局部问题, 没有引入额外全局界面求解器, 因此更易并行和矩阵-free 实现。代价是需要 Assumption 1 的几何条件 (边界只简单穿过网个, 正 reach, 水平嵌套) 和离散延拓性质 (9), 而 [22,21] 可能允许更复杂的界面拓扑。 第三, 与 [18] 相比, 后者构造了 CutFEM 空间的一个两子空间加性 Schwarz 预处理器, 将空间分解为背景空间与 cut 基函数张成空间, 对界面和 fictitious domain 问题得到最优条件数, 但那是两子空间方法且不含粗空间? 实际上其最优性依赖于界面子空间的性质。本文则使用多水平粗空间校正, 因此条件数不随水平数增长; 同时本文的 smoother 是局部顶点 patch 而非全局界面求解。 第四, 与 ghost penalty 稳定性文献 [5,7,23] 相比, 这些文献证明了离散延拓性质 (9) 并在固定 $p$ 下给出 cut-uniform 的强制性与条件数, 但没有将其嵌入到多网格框架。本文直接调用该性质, 并进一步追踪其常数对 $p$ 的依赖。与 [8] 中通过扩展有限元空间将延拓直接内建到离散空间 (从而避免 ghost penalty) 相比, 本文保留 ghost penalty 是为了不改变每个背景网格上的有限元空间, 从而保持层次间空间的包含关系 $V_{\\ell-1}|_{\\Omega_\\ell} \\subset V_\\ell$。这个选择使 multigrid 转移简单, 但代价是引入了需要显式分析的 ghost 项。Remark 11 进一步指出, 在导数跳跃型 penalty 族内无法通过权重选择把组装界的 $p$ 依赖变为多项式, 因此若想恢复 $p$-鲁棒, 可能需要像 [8] 那样修改空间而不是只改形式。 第五, 关于 V-cycle 与 W-cycle。经典几何多重网格中 V-cycle 往往与 W-cycle 一样可证; 但本文由于形式非继承, V-cycle 界需要 BPX 型工具 [3], 文中只证明了 W-cycle 在 $q\\le1/4$ 小性条件下收敛。数值实验使用 V-cycle 且效果良好, 说明实际 V-cycle 很可能也收敛, 但理论没有覆盖。这个局限是当前方法的明显短处, 也是与 fitted-mesh 多网格理论的重要差异。 第六, 对高阶 ghost penalty 的设计。作者没有采用通常固定 $\\gamma=O(1)$ 的做法, 而是允许 $\\gamma\\in(0,1]$ 并可随 $p$ 改变。实验发现降低 $\\gamma$ 能改善迭代次数。摘要中的 aligned two-cell 模型显现半定阈值约 $p^{-2}$: 当 $\\gamma$ 低于该量级时, 由两个对齐单元构成的简化模型出现半定失效; 而 $p$ 次 cut 模态的可见尺度则随 $p$ 指数衰减。这提示: 要避免高阶模态被过度惩罚, $\\gamma$ 可能需与 $p$ 反向缩放; 但作者说明这些实验并未证明组装修理后的全局算子具有相同的阈值, 只是对设计的启发。这种将 ghost-penalty 权重作为设计变量并与 $p$ 的退化相联系的分析, 在先前 ghost penalty 文献中未见系统展开。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 自适应可细化的极样条离散微分形式：层次构造、正合性与应用 Adaptively-refinable polar-spline discrete differential forms: hierarchical construction, exactness, and applications\n作者: Diogo C. Cabanas, Deepesh Toshniwal, Rafael Vazquez\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.03461v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.03461v1\n摘要翻译 中文标题: 自适应可细化的极样条离散微分形式：层次构造、正合性与应用\n摘要翻译: 在等几何分析中，表示圆盘状和球状几何的一种常用方法是在底层参数化中使用塌缩边奇点。在这种奇异参数化上所得的张量积 B 样条空间缺乏等几何分析所需的足够光滑性。极样条（Toshniwal 等，CMAME 2017）通过提取一个更光滑的子空间解决了这一问题，并已成功用于离散高阶偏微分方程，以及对 de Rham 复形进行保结构离散。后者对于电磁学和流体动力学等应用中出现的混合形式尤为重要。 本文的主要贡献有两点。我们将极样条构造与层次样条相结合，得到自适应可细化的极样条。此外，我们是在保结构方法的框架内进行这一工作的。即，我们展示了如何构造层次极样条 $k$-形式空间，证明了相应的基函数是线性无关的，并证明它们构成一个上同调正确的离散 de Rham 复形。 这些贡献为极几何上的自适应保结构模拟提供了坚实的数学基础。我们还提供了数值实验来验证理论，并通过必须保持结构的问题展示该构造的实际行为。这些实验包括：一项关于伪谐波的研究，该研究突出了在极坐标与张量积设定下，破坏上同调的细化方式有何不同；一个在局部细化的极网格上 Maxwell 特征值问题的离散化；以及一个 Hodge\u0026ndash;Laplace 问题的自适应收敛性研究。\n2. 用于模拟微波加热流的间断Petrov-Galerkin有限元框架 A discontinuous Petrov-Galerkin finite-element framework for the simulation of microwave-heated flows\n作者: Oreste Marquis, Matthias Maier, Bruno Blais\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.03155v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.03155v1\n摘要翻译 中文标题: 用于模拟微波加热流的间断Petrov-Galerkin有限元框架\n摘要翻译: 我们提出了一种用于模拟微波加热流的高阶多物理场求解器。该求解器将用于时谐Maxwell方程的间断Petrov-Galerkin (DPG) 有限元方法与用于热方程和不可压缩Navier-Stokes方程的连续Galerkin有限元方法耦合。我们针对多个基准问题验证了电磁求解器：矩形波导中的波传播、具有奇异解的腔体问题以及微波加热障碍物问题，并将我们的结果与文献中的数值和实验数据进行了比较。结果证实了实现的正确性，并展示了其利用DPG方法内置误差估计器进行自适应网格细化的能力。研究的最后部分通过模拟具有奇异几何特征的障碍物周围的微波加热流，展示了多物理场框架的能力。这些结果突出了所提出的框架在微波辅助化学过程的模拟和优化方面的潜力。最后，所开发的高阶多物理场求解器具有较低的内存占用，因为电磁求解器依赖于共轭梯度 (CG) 迭代求解器，而流体求解器以无矩阵方式实现，使得整体方法具有可扩展性，非常适合大规模并行模拟。\n不相关论文（基本信息） 1. 贝叶斯概率数值方法中的Bernstein\u0026ndash;von Mises定理 Bernstein\u0026ndash;von Mises theorems for Bayesian probabilistic numerics\n作者: Sascha Gaudlitz, Sven Wang\n类别: math.ST, math.NA\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.04124v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.04124v1\n摘要: We study probabilistic numerical methods for solving nonlinear PDEs from a Bayesian nonparametric perspective. Given noisy evaluations at random collocation points, we place a truncated Gaussian series prior on the unknown solution and establish contraction at the minimax nonparametric rate, up to a logarithmic factor. Our main results give Gaussian approximations of the posterior in positive-order Sobolev spaces and, under suitable conditions, in the uniform topology. This contrasts with classical ill-posed inverse problems, where Bernstein\u0026ndash;von Mises theorems typically require substantially weaker topologies. Here, the observation operator is differential rather than smoothing, and inversion of its linearisation gains regularity, making these strong-topology results possible. The posterior may be centred at either the posterior mean or the posterior mode. We further prove that the Gaussian Laplace approximation is asymptotically equivalent to the true posterior at a $\\sqrt{N}$-scale.\n2. 由微分方程定义的边界约束的横截性条件 Transversality Conditions for Boundary Constraints Defined by Differential Equations\n作者: Isaac M Ross\n类别: math.OC, eess.SY, math.DG, math.NA\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.04084v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.04084v1\n摘要: What are the transversality conditions for an optimal control problem when the boundary conditions are defined by differential equations? This seemingly bizarre question is motivated by trajectory optimization problems in the $N$-body system. The question, however, is more fundamental and goes beyond problems in astrodynamics to nonintegrable dynamical systems in general. The main contribution of this paper is the development of generic initial- and final-time transversality conditions for optimal control problems whose boundary conditions are defined in terms of differential equations with side conditions. The mathematical definition of differential boundary conditions are part of the foundations developed in this paper. To support the new fundamentals, the concept of coordinated/uncoordinated clock times and weak adjoint covectors are introduced. In the case of uncoordinated clock times, the new transversality conditions reveal that there exists a special situation where a weak adjoint covector is orthogonal to the vector field of the boundary differential equation. This condition is sharply different from the classical statement of orthogonality with respect to the endpoint manifold. The theorems developed in this paper are generic. An application of the theorems to several cases in the three-body problem are described in separate papers.\n3. Sylvester方程解的条件性 Conditioning of solutions to the Sylvester equation\n作者: Massimiliano Fasi, Behnam Hashemi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.04050v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.04050v1\n摘要: We partially answer an open problem, posed by Nick Higham, concerning the conditioning of solutions to Sylvester and Lyapunov equations. The question arises in the backward stability analysis of numerical algorithms for these equations. We first show that the solution to the Sylvester equation $AX-XB = C$ can be arbitrarily ill-conditioned even if $A, B, C$ and the Kronecker sum $I \\otimes A - B^T \\otimes I$ are all perfectly conditioned. We then derive general a priori bounds on the condition number of the solution, as well as bounds for the Sylvester equation when $A$ and $B$ are diagonalizable. We also provide lower bounds involving matrix exponentials and Zolotarev numbers. For the Lyapunov equation $AX+XA^T = -C$, we obtain upper bounds in two settings: (i) when $A$ is symmetric positive definite while $C$ is symmetric negative definite, and (ii) when $A$ is strictly dissipative and $C$ is symmetric positive definite.\n4. 挤压丝材形状对3D混凝土打印可建造性的影响：一种几何信息驱动的深度学习-有限元方法 Influence of Extruded Filament Shape on Buildability in 3D Concrete Printing: A Geometry-Informed Deep Learning-FEM Approach\n作者: Giacomo Rizzieri, Saif-Ur-Rehman, Jörg F. Unger, Annika Robens-Radermacher\n类别: cs.CE, cs.AI, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.04028v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.04028v1\n摘要: The geometric morphology of deposited filaments can significantly influence the structural performance and stability of 3D concrete-printed (3DCP) structures. However, most finite element (FEM)-based approaches for buildability assessment represent printed layers as simplified rectangles, potentially limiting predictive accuracy. This study proposes a geometry-informed modelling framework that integrates the deep-learning-based filament shape prediction tool ShapeGen3DCP with a layer-activation FEM approach to investigate the effect of realistic filament geometries on buildability. The framework generates geometry-aware numerical models directly from material and process parameters, eliminating the need for experimental filament characterization or computationally intensive fluid-flow simulations. Validation against experimental data and a parametric study of rectilinear walls demonstrate that extrusion parameters and the resulting filament geometry can significantly influence buildability predictions. Realistic filament representations are particularly important for free-flow deposition, whereas layer-pressing strategies are less sensitive to geometric simplifications. Among the investigated representations, an elliptical approximation provides an effective balance between geometric fidelity and modelling simplicity. When rectangular representations are preferred to enable regular computational meshes for faster simulations, defining their dimensions based on volume conservation improves prediction reliability compared with calibrating them using either the maximum filament width or the interlayer contact width. Overall, the proposed methodology demonstrates the importance of incorporating filament geometry into 3DCP simulations and provides practical guidance for selecting efficient and accurate geometric representations for buildability assessment.\n5. 可微混合建模用于从实验数据学习和优化化学输运过程 Differentiable Hybrid Modelling for Learning and Optimising Chemical Transport Processes from Experimental Data\n作者: Arthur Jessop, Mohammed Alsubeihi, Ben Moseley, Ashwin Kumar Rajagopalan\n类别: cs.CE, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.04011v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.04011v1\n摘要: Reliable transport models are essential when modelling and optimising many chemical engineering processes, yet, most models assume hand-picked constitutive laws which may not reflect reality, and often assume initial conditions are known exactly. Both restrictions can significantly bias model predictions and lead to systematic error when used in predictive and control settings. Black-box neural surrogate alternatives for modelling can better match real example data, but are confined to the task they were trained on and cannot be interrogated for physical consistency. Here we introduce a general-purpose differentiable hybrid modelling framework for transport processes, specifically for the case of population balance equations. Our framework integrates a JAX finite volume population balance solver with learnable neural network components which are trained to both discover constitutive laws and fit initial conditions from real experimental data, allowing us to better model real experimental transport systems. Furthermore, we use our framework for process optimisation, using its differentiability to allow us to direct optimising experimental settings for quantities of interest. This work highlights the huge potential of such differentiable hybrid modelling frameworks for learning and optimising any given chemical separation which involves mass, energy, and/or momentum transport.\n6. 三角形网格最长边二分的闭包复杂度 Closure complexity of longest-edge bisection for triangular meshes\n作者: Yuwen Li, Zhiyuan Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.04003v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.04003v1\n摘要: On triangular meshes, we analyze local mesh refinement based on longest-edge bisection equipped with the serial longest-edge propagation-path closure. Ties are resolved by terminal priority: if the incoming shared edge is a longest edge of the neighboring triangle, the pair is declared terminal and that edge is bisected. For every adaptive mesh sequence $\\mathcal{T}_0, \\mathcal{T}_1, \\ldots, \\mathcal{T}_L$ with marked subset sequence $\\mathcal{M}_0, \\mathcal{M}_1, \\ldots, \\mathcal{M}_{L-1}$, we prove the cumulative closure estimate $\\#\\mathcal{T}_L - \\#\\mathcal{T}_0 \\lesssim \\sum_{\\ell=0}^{L-1}\\#\\mathcal{M}_\\ell$. The proof has two ingredients. First, the finite-similarity-class theorem for planar longest-edge bisection turns the set of possible diameters into a finite union of $\\sqrt{2}$-geometric lattices. Hence diameters grow by a uniform strict factor at every nonterminal step. This yields generation and spatial locality for all triangles created by a single mark. Second, a Binev\u0026ndash;Dahmen\u0026ndash;DeVore type charging argument converts this single-mark locality into the cumulative estimate.\n7. 满足离散最大值原理的时间分数阶对流-扩散-反应方程的一种稳定化格式 A stabilized scheme satisfying the discrete maximum principle for a time fractional convection-diffusion-reaction equation\n作者: Christos Pervolianakis\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.03808v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.03808v1\n摘要: We study a time fractional convection-diffusion-reaction equation in a bounded domain $Ω\\subset\\mathbb{R}^2$. A stabilized numerical scheme satisfying a discrete maximum principle is constructed by combining the conforming linear finite element method with the algebraic flux correction method. The resulting semi-discrete scheme is nonlinear, and its well-posedness is established. Assuming nonsmooth initial data, we derive error estimates for the semi-discrete scheme using energy arguments. For the temporal discretization, we employ the L1 method, obtaining a fully discrete scheme for which we prove well-posedness and the discrete maximum principle. We also present numerical experiments that validate the order of convergence as well as we test our schemes to solutions that possess layers.\n8. 近不可压缩线弹性问题的MINI混合有限元方法 Mini mixed finite element method for nearly incompressible linear elasticity problems\n作者: Zhijin Guan, Yue Feng, Hehu Xie, Chenguang Zhou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.03780v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.03780v1\n摘要: This paper addresses the numerical solution of nearly incompressible linear elasticity boundary value problems and their associated eigenvalue problems. A mixed finite element formulation based on Mini element is proposed to circumvent the locking phenomenon that plagues standard low-order elements in the nearly incompressible limit. For the boundary value problem, we establish the well-posedness of mixed variational formulation and derive a priori error estimates that are uniform with respect to the Lamé constant $\\underlineλ$, thereby proving the method\u0026rsquo;s locking-free property. For the eigenvalue problem, we develop an efficient non-nested augmented subspace algorithm designed within the mixed finite element framework. A comprehensive convergence analysis is provided for the discrete eigenvalue approximation and the proposed iterative solver, demonstrating that the convergence rates remain independent of $\\underlineλ$. Numerical experiments on both problems confirm the theoretical conclusions, showing optimal convergence rates and robustness as $\\underlineλ \\to \\infty$. The results validate the effectiveness of Mini element and proposed augmented subspace algorithm for reliable and efficient computation in the nearly incompressible regime.\n9. 一个基于Darbo型定理的泛函积分方程的存在性结果，以及一个求解它的迭代算法 An existence result of a functional integral equation via Darbo type theorem and an iterative algorithm to solve it\n作者: Bhuban Chandra Deuri, Anupam Das\n类别: math.FA, math.NA\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.03733v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.03733v1\n摘要: In our study, Darbo\u0026rsquo;s fixed point theorem and the coupled fixed point theorem have been extended. The two theorems were generalized using $C-class$ mapping. Using the Darbo type theorem, we gave an existence result for a functional integral equation along with an appropriate illustration. In addition, we explored the numerical solution of a given functional integral problem using modified homotopy perturbation.\n10. 精确数据下离散化椭圆系数反问题的完全全局化求解器 A fully globalized solver for discretized inverse elliptic coefficient problems with exact data\n作者: Bastian Harrach\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.03631v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.03631v1\n摘要: We consider finite-dimensional nonlinear inverse problems arising from finite element discretizations of elliptic inverse coefficient problems such as the Calderón problem with finitely many measurements and unknowns. Such inverse coefficient problems are notorious for their nonlinearity and ill-posedness, and numerical solvers tend to depend strongly on good initial values. In this work, we develop a new locally convergent algorithm with an explicit residual criterion that ensures convergence to the inverse problem solution, and a globalized variant that is guaranteed to automatically switch to the faster locally convergent algorithm after finitely many global search steps.\n11. 残差神经网络克服半线性热方程的维数灾难 Residual neural networks overcome the curse of dimensionality for semilinear heat equations\n作者: Ilkhom Mukhammadiev, Diyora Salimova\n类别: math.NA, cs.LG, math.AP, math.PR\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.03626v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.03626v1\n摘要: Rigorous results show that feedforward neural networks can overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of high-dimensional partial differential equations (PDEs), but comparatively little is known about residual neural networks (ResNets) in the nonlinear PDE setting. We prove that ResNets overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of solutions of semilinear heat equations with globally Lipschitz continuous, gradient-independent nonlinearities: under polynomial growth and network approximability hypotheses on the PDE data, there exist $η\\in(0,\\infty)$ and ResNets $Ψ_{d,\\varepsilon}$, $d\\in\\mathbb{N}$, $\\varepsilon\\in(0,1]$, with at most $ηd^η\\varepsilon^{-η}$ parameters whose realizations approximate the solution in dimension $d$ with an $L^2$-error of at most $\\varepsilon$. The proof represents one deterministic realization of a multilevel Picard estimator by a ResNet whose shortcut connections transmit the spatial variable and a scalar accumulator, while the residual branches successively add the summands of the estimator. For ridge-sum initial conditions, admissible sigmoidal activations, and globally Lipschitz truncations of the nonlinearity, we obtain, for every $ξ\u003e0$, the explicit bound $C_ξd^{4+ξ}\\varepsilon^{-(3+ξ)}$ on the number of parameters.\n12. 半离散二次Wasserstein能量与状态依赖的Langevin探索 Semi-discrete quadratic Wasserstein energy and state-dependent Langevin exploration\n作者: Ran Gu, Gaoyue Guo, Kelvin Shuangjian Zhang\n类别: math.NA, math.OC, math.PR\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.03405v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.03405v1\n摘要: We study the semi-discrete quadratic Wasserstein energy. The energy is nonsmooth at collisions of sites. We prove local Lipschitz continuity on the full configuration space, together with global semiconcavity, coercivity, and dissipativity; show that every global minimizer is interior and collision free; and establish $C^2$ regularity on the collision-free configuration space. The gradient is expressed through the barycenters of the balanced Laguerre cells, while the Hessian is given by an explicit facet formula and satisfies a global one-sided bound. We also solve the one-dimensional problem explicitly in each ordering chamber and give a two-site example on the unit square with non-minimizing Lloyd fixed points. For $d\\ge 2$, we then formulate an entropy-regularized relaxed control of the Langevin temperature. The controlled dynamics is strongly well posed, nonexplosive, and collision free. Its value function is a classical interior solution of the exploratory Hamilton-Jacobi-Bellman equation; the Laplacian of the value function is locally $C^1$, which yields a locally Lipschitz optimal temperature feedback. Independently of this optimal-control result, for every fixed Borel temperature rule bounded away from zero, and every sufficiently small step size, the associated Gaussian Euler chain is geometrically ergodic with a full-support invariant law. The raw iterates do not converge, whereas the best-so-far energy converges almost surely to the global minimum and the running record approaches the set of global minimizers.\n13. 多维情形下随机特征方法的谱收敛 Spectral Convergence of Random Feature Method in Multiple Dimensions\n作者: Pingbing Ming, Hao Yu\n类别: math.NA, cs.AI, cs.LG, math.ST\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.03401v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.03401v1\n摘要: We first prove spectral convergence of the random feature method (RFM) for multidimensional targets in Sobolev, Gevrey, ultra-analytic, and bandlimited classes. The analysis establishes general high-probability approximation estimates in the interpolation scale generated by a kernel integral operator. On a single event determined only by the sampled features, one random space approximates every target in a prescribed source ball; moreover, for each target, a single coefficient vector defines an approximant that attains spectral accuracy simultaneously in all admissible error norms. For both regularity-adapted frequency distributions and uniform distributions on growing frequency windows, the resulting rates range from super-exponential to algebraic, depending on the regularity of the target. Second, we establish abstract error estimates for strong- and weak-form RFM discretizations, thereby converting the preceding approximation bounds into convergence estimates for multidimensional second-order elliptic boundary value and eigenvalue problems. Finally, for random feature matrices (RFMtxs), we prove super-exponential singular-value decay with Fourier features and exponential decay with $\\tanh$ features, together with corresponding condition-number lower bounds. The analysis identifies a common mechanism: the same spectral approximation that yields high accuracy also drives severe ill-conditioning.\n14. 面向贝叶斯反问题的基于无限维连续归一化流的信息先验学习 Learning Informative Prior with Infinite-Dimensional Continuous Normalizing Flow for Bayesian Inverse Problem\n作者: Yang Zhao, Junxiong Jia, Tao Zhou\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.03343v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.03343v1\n摘要: This paper addresses infinite-dimensional Bayesian inference for inverse problem of partial differential equations with model parameters in infinite-dimensional Hilbert space. To effectively incorporate prior information, we propose a novel continuous normalizing flows based infinite-dimensional model. Specifically, by introducing a well-defined neural ordinary differential equation in infinite-dimensional space, a simple reference measure can be transformed into a more complex measure which encodes the prior information. A corresponding theoretical framework is established to ensure the well-posedness of our proposed Bayesian prior in infinite-dimensional space. We also provide training methods of the prior for two distinct data settings, along with two sampling algorithms for the resulting Bayesian posterior. The proposed framework is applied to three representative inverse problems: the simple smooth inverse problem, inverse scattering problem, and the inverse heat conduction problem. Numerical experiments support the theoretical analysis and demonstrate the efficiency of the proposed algorithms.\n15. 仿射不变集成Langevin及其离散时间变体的几何遍历性 Geometric Ergodicity of Affine Invariant Ensemble Langevin and its Discrete Time Variants\n作者: Hong Ye Tan, Yifan Chen\n类别: math.ST, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-09-03\narXiv ID: 2609.03326v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.03326v1\n摘要: Affine-invariant ensemble samplers are widely used in Bayesian applications. However, their quantitative convergence theory, in particular geometric ergodicity, remains a basic open question. We study the affine invariant ensemble Langevin dynamics, an interacting particle system that uses the empirical covariance of the whole ensemble as a preconditioner. While effective in practice, theoretical understanding of this method is not available beyond plain qualitative convergence in total variation; a central difficulty is that the empirical covariance can approach singularity. This paper addresses this challenge. For potentials with bounded Hessian that are strongly convex outside a ball, we prove geometric ergodicity using a novel Lyapunov function that combines an inverse-covariance barrier with a coercive exponential energy. We then show that directly applying the Euler\u0026ndash;Maruyama scheme can diverge with positive probability, even for a one-dimensional Gaussian target. This motivates a covariance-trace time regularization. We prove geometric ergodicity of the regularized diffusion and, for sufficiently small step size, of its unadjusted Euler\u0026ndash;Maruyama discretization. We also show that the invariant distributions of the discretization converge weakly to the product target distribution as the step size tends to zero.\n16. 一种求解某些自由边界值问题的新型并行方法 A novel parallel approach for solving some free boundary value problems\n作者: Peeyush Singh, Amboru Yalmanda\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.03214v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.03214v1\n摘要: This paper introduces a novel, efficient class of parallel direct and indirect iterative schemes to solve general obstacle and free boundary value problems. The uniqueness of the solution for the direct parallel method is established under the assumption that the model problem yields an $M$-matrix. The convergence analysis of the indirect approach is predicated on minimizing the discrete energy functional at each iterative stage of the linear approximation process. Under the aforementioned setting, we establish theoretical convergence results for both smooth and nonsmooth energy functionals defined over a convex set, in the sense of Ferris and Mangasarian \\cite{ferris1994parallel}. For the numerical computation of the one-dimensional obstacle problem, we adopt a direct generalized parallel approach based on the SPIKE algorithm \\cite{polizzi2006parallel}. To accelerate convergence and reduce computational complexity, a fast recursive version of the scheme is generalized to the nonsmooth case. For two- and three-dimensional obstacle problems, we employ a directional splitting method that treats each directional subproblem as a one-dimensional obstacle minimization problem. By framing the energy functional minimization as a parabolic time-dependent problem and utilizing an Armijo time-stepping rule during the solution update process, we successfully obtain results for higher-dimensional obstacles. Additionally, this study explores the possibility of extending the algorithm into a constrained quadratic programming optimization solver. We also evaluate the framework on image deblurring phenomena under the aforementioned setting, successfully recovering the original images. Finally, numerical illustrations are provided to validate the theoretical results.\n17. 耦合张量-张量补全方法及其在药物重定位中的应用 Coupled Tensor-Tensor Completion Method with Applications in Drug Repurposing\n作者: Maryam Bagherian, Albert Hung, Ivo Dinov, Joshua Welch\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.03190v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.03190v1\n摘要: Many biomedical challenges can be posed as tensor completion problems where the observed entries of a multidimensional array (a tensor) are used to impute the missing values. In such settings, incorporating side information about the modes of the tensor, such as gene-gene similarity, can significantly enhance the solutions of the completion problem. Most existing tensor completion methods can only incorporate side information in the form of matrices. In this study, we introduce a novel framework to incorporate side information in the form of tensors. Our new approach, called Coupled Tensor-Tensor Completion (CTTC), leverages the hidden connections among multimodal tensors to improve tensor completion performance. In addition to practical utility, CTTC has theoretical foundations in distance metric learning and group theory. We derive an alternating algorithm to solve the CTTC optimization problem and establish its convergence to a stationary point. Finally, we show that CTTC outperforms state-of-the-art tensor completion methods at predicting drug effects. Results: Compared with other tensor completion methods, including HaLRTC, CTRC, Cell, and NTDDR, CTTC demonstrates superior run-time and RSE tensor completion accuracy on two benchmark datasets, DTD and LINCS.\n18. 非线性有限元模型的维度超缩减：基于流形自适应权重的经验求积 Dimensional hyperreduction of nonlinear finite element models via empirical cubature with manifold-adaptive weights\n作者: Joaquín A. Hernández, S. Ares de Parga, Riccardo Rossi\n类别: math.NA, cs.CE\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.03068v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.03068v1\n摘要: Nonlinear-manifold reduced-order models for parametrized finite element problems can achieve substantial compression both in the number of generalized (latent) coordinates and, through sampling-and-weighting hyperreduction, in the number of sampled elements/integration points. Yet current sampling-and-weighting approaches employ weights that remain fixed over the solution manifold. We contend that this restriction leaves hyperreduction potential untapped: allowing the weights to vary continuously and nonlinearly with the latent coordinates can further decrease the number of sampled spatial entities. To exploit this possibility, we propose the Manifold-Adaptive-Weight Empirical Cubature Method (MAW-ECM). Starting from a feasible fixed-weight ECM rule, a greedy pruning strategy removes sampled entities through convex quadratic weight-redistribution problems enforcing local conditions and positivity. The method is assessed on two nonlinear benchmarks: homogenization of a metamaterial unit cell exhibiting negative incremental stiffness, and a history-dependent continuum-damage problem. In both cases, the nonlinear manifold is constructed from an initial linear compression followed by an input-informed identification of the latent coordinates as general linear combinations of the retained modal amplitudes, incorporating graph information when relevant to seek the intrinsic dimensionality of the solution manifold. We show that combining the nonlinear-manifold representation with MAW-ECM reduces the number of sampled integration points by more than two orders of magnitude relative to the corresponding standard linear reduced model. Relative to the fixed-weight manifold models alone, the adaptive weights eliminate approximately 80% of the remaining points in the homogenization benchmark and more than 97% in the damage benchmark, while essentially preserving their accuracy.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-04_14-09-07/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月04日 14:09:07\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 18\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-一种用于-cutfem-的多重网格方法及其收敛性\"\u003e1. 一种用于 CutFEM 的多重网格方法及其收敛性\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eA Multigrid Method for CutFEM and its Convergence\u003c/p\u003e","title":"2026年09月04日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年09月03日 14:17:13\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 3\n不相关论文数量: 16\n重点关注论文（完整分析） 1. 中子学反应扩散特征值问题的多尺度有限元方法 A Multiscale Finite Element Method for reaction-diffusion eigenproblems arising from neutronics\n作者: Claude Le Bris, Albéric Lefort, Frédéric Legoll\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.02420v1\n摘要翻译: 我们考虑具有振荡扩散系数和反应系数的反应扩散特征值问题。反应系数的量级很大：周期均匀化所识别的校正子方程同时涉及扩散算子和反应算子。我们使用多尺度有限元方法（MsFEM）研究该问题的数值逼近。这种经典方法是一种有限元型方法，它在一个特定的、与问题相关的基函数集上对振荡问题进行Galerkin逼近。基函数在离线阶段预先计算。受均匀化理论的启发，并利用一些滤波思想，我们证明了如何定义这些基函数以获得一种高效的方法。我们在周期情形和非周期情形下，对问题的标量值版本（此时为自伴的）和向量值版本（此时一般为非自伴的）进行了全面的数值实验，实验结果验证了该方法的有效性。一些理论论证补充了数值观察结果。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.02420v1\n1. 研究对象和背景 我们考虑定义在有界区域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$ 上的反应-扩散特征值问题(1): $$\\Sigma_\\varepsilon u_\\varepsilon-\\varepsilon^2\\,\\mathrm{div}(A_\\varepsilon\\nabla u_\\varepsilon)=\\lambda_\\varepsilon\\sigma_\\varepsilon u_\\varepsilon\\;\\text{in }\\Omega,\\qquad u_\\varepsilon=0\\;\\text{on }\\partial\\Omega,$$ 目标是求最小特征对 $(\\lambda_\\varepsilon,u_\\varepsilon)\\in\\mathbb{R}\\times H^1_0(\\Omega)$。系数 $A_\\varepsilon,\\Sigma_\\varepsilon,\\sigma_\\varepsilon$ 以远小于区域尺寸的典型长度 $\\varepsilon$ 振荡；$A_\\varepsilon$ 可取值于对称 $d\\times d$ 矩阵或四阶张量, $\\Sigma_\\varepsilon,\\sigma_\\varepsilon$ 为标量或矩阵, 且在以下意义上一致椭圆和有界: 存在 $\\beta\\ge\\alpha\u003e0$ 使 $\\alpha|\\xi|^2\\le\\xi^\\mathsf{T}A_\\varepsilon(x)\\xi$, $|\\eta^\\mathsf{T}A_\\varepsilon(x)\\xi|\\le\\beta|\\eta||\\xi|$, 且 $\\alpha\\le\\sigma_\\varepsilon(x),\\Sigma_\\varepsilon(x)$ a.e. 因而问题适定, 最小特征值 $\\lambda_\\varepsilon$ 为实且单重, 特征函数可取正。该问题出现在中子学中: $u_\\varepsilon$ 表示中子密度, 振荡系数源于介质非均匀性; 标量版本对应单能中子, 向量版本对应多能中子(多个能量族), 后者一般不再自伴。直接采用经典 $P_1$ 有限元需要网格尺度 $h\\ll\\varepsilon$ 以分辨系数振荡, 即使只计算最小特征值或特征函数的宏观形态, 计算代价也过高。为此需要多尺度方法。已有的多尺度方法, 如 HMM [1,13], LOD [6,21] 和 MsFEM [16,14,17], 主要用于纯扩散问题或相应特征问题, 尚未被系统适应到这里带大反应系数的反应-扩散特征问题(1); 本文填补这一空白。在周期框架下, 均质化理论给出如下关键事实(定理4, 源自[5]): 设 $(\\lambda_\\infty,\\psi)$ 是胞元特征值问题(4)的最小正解, $$\\Sigma\\psi-\\mathrm{div}(A\\nabla\\psi)=\\lambda_\\infty\\sigma\\psi\\quad\\text{in }\\mathbb{R}^d,\\qquad \\psi\\ Y\\text{-周期},$$ 则 $v_\\varepsilon=u_\\varepsilon/\\psi(\\cdot/\\varepsilon)$ 满足纯扩散型广义特征问题(6): $$-\\mathrm{div}\\big(\\psi^2(\\cdot/\\varepsilon)A(\\cdot/\\varepsilon)\\nabla v_\\varepsilon\\big)=\\nu_\\varepsilon\\,\\sigma(\\cdot/\\varepsilon)\\psi^2(\\cdot/\\varepsilon)v_\\varepsilon,$$ 其中 $\\nu_\\varepsilon=(\\lambda_\\varepsilon-\\lambda_\\infty)/\\varepsilon^2$。这个变换把原问题中与反应算子的耦合转嫁到权重函数 $\\psi$ 上, 是后面构造数值方法的基础。正文随后分别处理标量自伴、向量非自伴以及非周期情形, 提出两种 MsFEM 型离散并附理论估计与数值验证。\n2. 主要定理或主要结果 在标量周期情形, 作者先给出两个已知均质化定理作为工具。定理4确认: 对所有 $m$ 有收敛 $\\nu_{\\varepsilon,m}\\to\\nu_{\\star,m}$ 与 $v_{\\varepsilon,m}\\rightharpoonup v_{\\star,m}$ in $H^1(\\Omega)$, 其中 $(\\nu_{\\star,m},v_{\\star,m})$ 是均匀化纯扩散问题(7) $$-\\mathrm{div}(\\tilde A_\\star\\nabla v_\\star)=\\nu_\\star\\sigma_\\star v_\\star\\;\\text{in }\\Omega,\\quad v_\\star=0\\;\\text{on }\\partial\\Omega$$ 的特征对, 且 $\\sigma_\\star=\\int_Y\\sigma\\psi^2$, $[\\tilde A_\\star]_{ij}=\\int_Y\\psi^2 e_i^\\mathsf{T}A(e_j+\\nabla\\tilde w_j)$, 其中校正子 $\\tilde w_j$ 满足 (8): $$-\\mathrm{div}_y(\\psi^2A(e_j+\\nabla_y\\tilde w_j))=0,\\quad \\tilde w_j\\ Y\\text{-周期}.$$ 若极限特征值简单(如第一个), 则整列收敛。定理5进一步保证, 若 $v_\\star\\in H^1_0\\cap H^2$, 则一阶展开 $v_{\\varepsilon,1}=v_\\star+\\varepsilon\\sum_{j=1}^d\\tilde w_j(\\cdot/\\varepsilon)\\partial_jv_\\star$ 满足 $\\|v_\\varepsilon-v_{\\varepsilon,1}\\|_{L^2}\\to0$ 与 $\\|\\nabla v_\\varepsilon-\\nabla v_{\\varepsilon,1}\\|_{L^2}\\to0$。基于这些结果, 作者在第2.2节提出初步 MsFEM: 取每个粗元 $K$ 上的局部问题(12) $$-\\mathrm{div}(\\psi^2(\\cdot/\\varepsilon)A(\\cdot/\\varepsilon)\\nabla\\chi^{\\varepsilon,\\psi,i})=0\\;\\text{in }K,\\quad \\chi^{\\varepsilon,\\psi,i}=\\chi^{P_1,i}\\;\\text{on }\\partial K$$ 的解组成空间 $V_{\\varepsilon,\\psi,H}^{\\text{interm}}$, 再乘上 $\\psi(\\cdot/\\varepsilon)$ 得到原变量的基函数 $\\phi^{\\varepsilon,\\psi,i}=\\psi(\\cdot/\\varepsilon)\\chi^{\\varepsilon,\\psi,i}$ 和空间 $V_{\\varepsilon,\\psi,H}$。在 $V_{\\varepsilon,\\psi,H}$ 上做 Galerkin 离散(16), 所得最小特征对 $(\\lambda_H^{\\varepsilon,\\psi},u_H^{\\varepsilon,\\psi})$ 满足误差界(见定理14): $$\\frac{\\|u_\\varepsilon-u_H^{\\varepsilon,\\psi}\\|_{H^1(\\Omega)}}{\\|u_\\varepsilon\\|_{H^1(\\Omega)}}\\le C\\bigl(\\varepsilon+R(\\varepsilon)+\\varepsilon\\sqrt{\\varepsilon/H}+H^2\\bigr),$$ 其中 $R(\\varepsilon)$ 由(9)定义, 随 $\\varepsilon\\to0$ 趋于零。第2.3节把方法改造成不依赖周期假设的实际方法, 思路是用一种滤波技术构造 $\\psi(\\cdot/\\varepsilon)$ 的代理; 具体构造见原文(摘录未展开), 但数值结果显示: 在周期情形下两种方法精度几乎相同; 固定粗网格尺度 $H$ 时精度随 $\\varepsilon$ 减小而提高; 当周期与准周期问题在标准 $P_1$ 下精度同样差时, 本方法给出相近良好精度; 缩小 $H$ 会提高精度, 但要求每个粗元仍包含足够多小尺度振荡。第3节将实际方法推广到向量值问题(多能中子), 其在一般情况下非自伴; 数值实验表明所得结论对标量和向量版本均成立。最后, 第4节给出初步方法在标量情形下的收敛性证明(即上述误差界的严格陈述), 第5节在受限设定下给出滤波方法的完整分析, 并在一般设定下辅以数值比较。需要指出, 从提供内容看, 向量情形的理论误差估计和一般非周期情形的完整收敛证明并未显式列为定理, 作者主要依赖 comprehensive numerical experiments。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 核心困难在于原问题并不是以 $\\mathrm{div}(A_\\varepsilon\\nabla)$ 为主导的纯扩散问题: 反应项 $\\Sigma_\\varepsilon u_\\varepsilon$ 与已用 $\\varepsilon^2$ 缩放的扩散项同阶, 因此经典的 MsFEM 基函数(在粗元内部求解 $\\mathrm{div}(A_\\varepsilon\\nabla\\chi)=0$)不能直接用来逼近特征对。作者的第一个关键转化是引入胞元特征函数 $\\psi$ 做未知函数替换 $u_\\varepsilon=\\psi(\\cdot/\\varepsilon)v_\\varepsilon$。由定理4, $v_\\varepsilon$ 满足纯扩散广义特征问题(6)。这一步把大反应效应“吸收”到权重 $\\psi^2$ 之中, 使问题变成标准的、扩散占优的算子, 从而可以套用 MsFEM 的离线在线框架。在初步方法中, 作者在粗网格上为每个节点 $i$ 求解局部 Dirichlet 问题(12): $$-\\mathrm{div}(\\psi^2A\\nabla\\chi^{\\varepsilon,\\psi,i})=0\\ \\text{in }K,\\quad \\chi^{\\varepsilon,\\psi,i}=\\chi^{P_1,i}\\ \\text{on }\\partial K,$$ 用这些局部解代替多项式形函数; 然后为了回到原变量, 将每个基函数乘以 $\\psi(\\cdot/\\varepsilon)$ 得到 $\\phi^{\\varepsilon,\\psi,i}$。注意乘 $\\psi$ 这一步不是任意的, 它保证了 Galerkin 空间 $V_{\\varepsilon,\\psi,H}$ 能表示特征函数 $u_\\varepsilon$ 的振荡包络; 若直接用 $v_\\varepsilon$ 的 MsFEM 空间, 并不能同时逼近 $u_\\varepsilon$。这里的创新点在于把均质化理论的已知结果(定理4)用作数值格式的设计原理。\n第二个重要创新是处理非周期问题: 实际方法不再需要知道周期 cell 的 $\\psi$。他们从 [10,8] 的滤波思想出发, 构造一个代理函数来近似 $\\psi(\\cdot/\\varepsilon)$, 该代理应满足两条性质: (i) 构造过程不依赖周期; (ii) 在周期情形下它可靠逼近 $\\psi(\\cdot/\\varepsilon)$。滤波的作用是从振荡的系数和局部解中提取慢变的调制包络; 摘录没有给出滤波算子的具体公式和算法流程, 但强调了这个代理一旦构造出来, 就可以像初步方法那样生成 $\\phi^{\\varepsilon,\\psi}_{i}$ 型基函数。这样 MsFEM 就摆脱了周期性假设, 可以用于任意微观结构。\n在误差分析中, 作者用到了几个关键工具。一是 $v_\\varepsilon$ 满足的问题(6)在标量情况下是自伴的纯扩散型问题, 因而可借助 min-max 原理对特征值 $\\nu_\\varepsilon$ 建立先验界, 并用能量估计控制 $v_\\varepsilon$ 的 $H^1$ 模; 这些估计在 [5] 中已经得到, 本文直接使用。二是运用周期均质化的一阶校正子展开式 $v_{\\varepsilon,1}=v_\\star+\\varepsilon\\sum\\tilde w_j(\\cdot/\\varepsilon)\\partial_jv_\\star$ (定理5), 该展开式不仅给出精确特征函数的近似, 还是构造局部 Dirichlet 问题边界条件与误差分解的出发点。初步方法误差界中出现的 $\\varepsilon\\sqrt{\\varepsilon/H}$ 项是 MsFEM 局部谱误差与均质化误差相互作用的结果, 而 $H^2$ 项反映粗有限元空间对光滑极限解的逼近, $\\varepsilon+R(\\varepsilon)$ 项来自均质化及校正子展开误差。定理14的证明细节不在摘录中; 从文章结构看, 它应是在标准能量估计框架中逐项控制上述误差分量。对于滤波方法, 第5节的分析被刻意限制在一个简化设定中, 即可以严格控制代理与真 $\\psi(\\cdot/\\varepsilon)$ 之差的情形; 在更一般的周期、准周期和非周期情形, 作者用数值实验说明鲁棒性。此外, 向量值情形本质非自伴, 特征问题和谱隙的结构更难处理, 作者没有给出其完整收敛定理, 只是通过数值实验展示方法可用。从文本可见, 作者真正的方法论贡献不是提出新的有限元空间或后处理技巧, 而是将均质化中的“除以最小特征函数”技巧与滤波近似相结合, 为反应-扩散特征问题设计出可离线预处理、对微结构不敏感的多尺度基函数。\n4. 与之前工作的比较 与经典多尺度有限元文献相比: 本文所研究的问题不是常见的二阶椭圆算子特征问题(例如 $-\\mathrm{div}(A_\\varepsilon\\nabla u)=\\lambda u$ 一类), 而是带大反应项 $\\Sigma_\\varepsilon$ 的方程(1)。在均质化极限中, 该方程的最小特征值 $\\lambda_\\varepsilon$ 不以 $\\varepsilon^2$ 量级趋近某个平凡极限, 而是逼近胞元特征值 $\\lambda_\\infty$; 同时特征函数 $u_\\varepsilon$ 含有周期胞元特征函数 $\\psi(\\cdot/\\varepsilon)$ 作为强振荡包络。正因为如此, 如果只是沿用标准 MsFEM 中求解 $\\mathrm{div}(A_\\varepsilon\\nabla\\chi)=0$ 的基函数, 离散空间无法再现 $\\psi$ 因子; 也不像 HMM/LOD 方法那样可以将微分算子直接视为标准二阶形式。作者特意指出, 在他们知识范围内, 没有现成的 MsFEM 推广覆盖该问题, 这一空白正是本文贡献所在。\n与均质化理论 [2,5,20] 的关系: 定理4来自 [5], 定理5来自 [2], 这些是纯理论结果。本文的推进在于把它们从理论刻画变成可计算的数值算法: 先用它们定义基函数(初步方法), 再引入滤波代理消除对胞元解的依赖(实际方法)。在周期情形, 初步方法数值结果与滤波方法几乎一致, 这反过来验证了滤波代理的正确性。但在一般非周期或向量值情形, 极限问题本身尚未有像周期情形那样完备的显式均匀化公式, 因此作者没有提出新的均匀化理论, 而是依托数值实验。\n与只做滤波或均匀化的工作比较: 滤波技术最初由 [10] 提出, 后来 [8] 在周期均匀化背景下使用。本文将该思想用于 MsFEM 离线基函数构造, 其作用不是简单平滑短波, 而是提取局部问题解的慢变调制以逼近未知的 $\\psi(\\cdot/\\varepsilon)$, 从而使格式可应用于非周期几何。\n误差尺度与代价: 初步方法的误差界 $C(\\varepsilon+R(\\varepsilon)+\\varepsilon\\sqrt{\\varepsilon/H}+H^2)$ 可视为 MsFEM 针对该问题的自然推广。若固定 $\\varepsilon$, 标准 $P_1$ 方法需要网格尺度 $h\\ll\\varepsilon$, 而本方法允许粗网格尺度 $H$ 大于或等于 $\\varepsilon$, 只需 offline 阶段在每个粗元上用更细网格计算局部基函数。数值结果显示, 当 $H$ 固定时误差随 $\\varepsilon$ 减小而减小, 且减小 $H$ 会提高精度, 但要求每个粗元含足够多的振荡周期。这些是多尺度方法的常见性质, 本文在反应-扩散特征问题中给出了定量验证。\n局限与未竟之处: 从提供内容无法确认滤波方法在一般设定下的完整收敛定理; 作者明确说明第5节分析限于 restricted setting。向量值问题由于非自伴, 文中主要提供数值证据; 理论证明是否完全覆盖这一情形未有明确断言。此外, 误差界中的常数 $C$ 是否依赖于 $\\varepsilon/H$ 之比, 以及如何依赖 $\\alpha,\\beta$ 和谱隙, 摘录没有展开。与直接使用极小网格的标准有限元相比, MsFEM 的优势是多查询场景: 计算多个特征对、时间依赖演化或系数空间重组时, 离线基函数可重复使用(参 [19, Chapter 4-5]), 这正是中子学应用(如 [4] 所述)中需要反复求解问题(1)的典型情况。该计算收益是文章开篇强调的动机, 但本文没有给出实际 wall-clock 时间对比。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 神经算子逼近强连续凸单调半群 Neural operators approximate strongly continuous convex monotone semigroups\n作者: Jonas Blessing, Philipp Schmocker, Alessandro Sgarabottolo\n类别: math.NA, cs.LG, math.AP, math.PR, stat.ML\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.02727v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.02727v1\n摘要翻译 中文标题: 神经算子逼近强连续凸单调半群\n摘要翻译: 我们通过用神经算子学习其Chernoff型一步算子来逼近强连续凸单调半群。首先，我们引入所谓Chernoff-神经算子的一般类，并在一个万能逼近定理中证明它们可以任意好地逼近Chernoff一步算子。通过利用加权Hölder空间之间的稳定性估计，一步逼近误差可以通过迭代传播，从而得到相应半群的万能逼近。其次，我们引入更专门的包络-神经算子类用于包络半群，这使得我们能够推导出定量逼近率。最后，我们在来自非线性偏微分方程、随机最优控制和模型不确定性下的随机过程的几个数值例子中展示了这些神经算子的有效性。\n2. 面向自组织表面几何的耦合体-表面问题的无网格求解器 A meshfree solver for coupled bulk-surface problems with self-organizing surface geometry\n作者: Lennart J. Schulze, Alejandra Foggia, Ivo F. Sbalzarini\n类别: cs.CE, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.02489v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.02489v1\n摘要翻译 中文标题: 面向自组织表面几何的耦合体-表面问题的无网格求解器\n摘要翻译: 在许多系统中，可变形表面或界面与周围体相流体之间的相互作用，与运动表面内部固有的时空动力学相耦合。实例包括肿瘤生长、生物组织形态发生、心脏力学、多相表面活性剂化学、增材制造、衣物磨损以及反应性燃烧流。求解此类问题既需要用于跟踪和分辨表面的几何计算算法，也需要用于求解表面及周围体相中耦合控制方程的数值方法。在此，我们提出一种用于此类具有可变形界面的耦合体-表面问题的全无网格数值求解器。该求解器隐式地跟踪表面，基于与周围流体相耦合的应力平衡来求解动态表面几何。我们展示了在增长球体上质量守恒情形的收敛性，并求解了不可压缩Navier-Stokes流体与表面内非线性反应-扩散动力学相耦合的体-表面问题。最后，我们展示了一个生物形态发生模型，通过双向耦合同时求解动态表面形状和弯曲表面上的场。\n3. 表面Stokes-Helfrich模型的流函数公式——表面有限元离散与验证 A Stream-Function Formulation for the Surface Stokes-Helfrich Model - Surface Finite Element Discretization and Validation\n作者: Enno Igel, Maik Porrmann, Axel Voigt\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.02347v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.02347v1\n摘要翻译 中文标题: 表面Stokes-Helfrich模型的流函数公式——表面有限元离散与验证\n摘要翻译: 我们引入了表面Stokes-Helfrich模型的一种流函数公式，并研究了这些方程在空间上的任意拉格朗日-欧拉（ALE）表面有限元（SFEM）离散和时间上的半隐式离散。与静止或给定演化表面上的表面Stokes模型的特殊情形相比，表面压力仍然作为未知量，并且需要在每个时间步重构。如同在给定演化表面上的表面Stokes模型一样，该公式还需要一个额外的梯度势。针对单连通表面的代表性问题设定，我们进行了详细的数值比较：将所提流函数公式的ALE-SFEM空间离散和类似半隐式时间离散与相应的速度-压力公式的ALE-SFEM空间离散和类似半隐式时间离散进行比较，证明了该方法的有效性。\n不相关论文（基本信息） 1. GRADSOLVE：GPU上ODE集成的快速精确梯度 GRADSOLVE: fast exact gradients for ODE ensembles on GPUs\n作者: Alessio Spurio Mancini\n类别: cs.MS, cs.DC, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.02876v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.02876v1\n摘要: Ordinary differential equations (ODEs) underlie models in science and engineering, and many applications need derivatives of their solutions with respect to parameters. Ensembles of independent trajectories suit graphics processing units (GPUs), but current GPU software forces a trade-off: the fastest ensemble solvers cannot be differentiated in reverse mode at the speed they solve, and the solvers built for differentiation solve more slowly. No single tool has yet offered a reverse-mode gradient at the speed of a fused-kernel solve. We present GRADSOLVE, an open-source JAX library for solving and reverse-mode differentiating low-dimensional ODE ensembles on NVIDIA GPUs. It records the steps an adaptive solver accepts and differentiates a fixed-step replay of them; the returned gradient is the exact discrete adjoint of those steps, the same derivative Diffrax returns by default, obtained more cheaply from a fixed-length chain than from an adaptive loop. It targets ensembles differentiated many times against one recorded mesh, keeps Diffrax as a fallback, and supports explicit and Rosenbrock integrators. Used as a solver, GRADSOLVE\u0026rsquo;s forward-only kernel ran 2.8x faster than DiffEqGPU.jl; used for gradients, once a record exists, it computed them 5.6-14.1x faster than Diffrax\u0026rsquo;s checkpointed adjoint at matched forward-state accuracy across three GPU generations, the advantage narrowing on large ensembles and, on stiff systems, down to parity at tight accuracy. GRADSOLVE is released at https://github.com/ECLIPSE-AI4Science/gradsolve.\n2. 具有未知粘性的定常Navier-Stokes方程中的连续数据同化：稳健且高效的求解器与快速参数恢复 Continuous data assimilation in steady Navier-Stokes equations with unknown viscosity: robust and efficient solvers and fast parameter recovery\n作者: L. Rebholz, J. Reyes, J. Whitehead\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.02862v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.02862v1\n摘要: Recent advances in equation discovery methods such as SINDy have highlighted the growing interest in identifying governing parameters and models directly from data. In this work, we take a complementary approach grounded in analysis and numerical PDE methods: we recover an unknown viscosity in steady Navier-Stokes equations (NSE) from partial incompressible flow observations using continuous data assimilation (CDA). We propose a simple and efficient parameter recovery algorithm and also a nonlinear solver for CDA-NSE. Together, this creates a highly efficient technique for recovering an unknown viscosity from partial solution data. Our analysis establishes the well-posedness of steady CDA-NSE, quadratic convergence of the parameter recovery algorithm, and quadratic convergence of a CDA-Picard + CDA-Newton nonlinear solver. Numerical experiments illustrate that the methods are very effective in restoring parameters quickly, even with poor initial guesses.\n3. 分段线性边界区域上Vlasov输运的稳定秩自适应步进-截断有限体积法 A stable rank-adaptive step-and-truncate finite volume method for Vlasov transport on domains with piecewise linear boundaries\n作者: André Uschmajew, Andreas Zeiser\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.02721v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.02721v1\n摘要: We consider the numerical solution of the linear Vlasov transport equation on bounded spatial domains with inflow boundary conditions based on low-rank approximation. We combine a finite volume discretization with a rank-adaptive step-and-truncate scheme for the resulting matrix ODE. The spatial and velocity meshes may be unstructured, while suitable numerical fluxes retain a separated space-velocity representation. For homogeneous inflow, we show that the low-rank scheme inherits the $L_2$ stability and CFL restriction of the underlying full finite volume forward Euler method. In addition, the low-rank approximation error is bounded explicitly in terms of the truncation tolerances, avoiding the modeling error associated with tangent-space projections in dynamical low-rank approximation. Numerical experiments in 1d1v and 2d2v confirm the predicted error behavior. In 2d2v, the method handles an unstructured spatial mesh with nonzero inflow and a full tensor-product discretization of approximately $5.8\\cdot10^{10}$ phase-space cells while the numerical rank is at most twelve.\n4. 球面上带限谱再现中的正性损失 Positivity loss in bandlimited spectral reproduction on spheres\n作者: Hao-Ning Wu\n类别: math.NA, math.CA\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.02695v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.02695v1\n摘要: How small can the positivity loss be for an $N$-bandlimited spectral operator that exactly reproduces all modes up to degree $L$? For spherical polynomial approximation on $\\mathbb S^d$, we prove that the smallest possible excess of the uniform operator norm above 1, equivalently the least positivity loss, is of sharp order $\\left({L}/{(N+1)}\\right)^2$ when $1\\le L\u003c N$. The lower bound follows from a Fejér peak test and a concentration estimate for bandlimited kernels, while a matching upper bound is obtained by correcting a positive Jackson operator with a smooth filter. We illustrate the result in three settings. On the circle, taking $N=sL-1$, this determines the sharp order of the generalized-projection constant above 1 and identifies the gap between the $s^{-1}$ excess of delayed de la Vallée\u0026ndash;Poussin means and the optimal $s^{-2}$ order. For filtered hyperinterpolation, whose operator norm has long been known to be uniformly bounded, we give a quantitative lower bound on its separation from the positivity threshold 1. Finally, we identify an operator-level obstruction to maximum principles.\n5. 参数化逼近的本征正交分解方法的计算研究 Computational study of Proper Orthogonal Decomposition methods for parametric approximations\n作者: Bosco García-Archilla, Alicia García-Mascaraque, Julia Novo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.02583v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.02583v1\n摘要: This paper studies the computational implementation of proper orthogonal decomposition reduced-order models (POD-ROMs) for evolutionary parametric time-dependent partial differential equations (PDEs). For a one-parameter model, many papers in the literature build the correlation matrix by projecting onto $L^2(Ω)$ even though optimal pointwise error estimates are proved when projecting onto $H^1_0(Ω)$. We compare both scenarios and observe the similar performance in practice. Additionally, to get the POD approximation it is necessary to compute the nonlinear term in the reduced equations. This requires a high computational cost that increases when the problem gets more complex. Numerical results in this paper show different approaches to address this issue. Discrete Empirical Interpolation Method (DEIM) is the most efficient approach. It reduces computational time by approximately half compared to computing the whole FEM formulation by a tensor construction while maintaining the same accuracy. For a multiparameter model, we analyze the new and standard method proposed in \\cite{newmethod} using a two-dimensional Brusselator model to complement the results and support the error analysis with a more complex system.\n6. 参数化Boltzmann方程的降阶模型及其在反问题中的应用 Reduced order model for parametric Boltzmann equation and its application to inverse problems\n作者: Shanyin Tong, Jingwei Hu, Fengyan Li, Zhaiming Shen, Yunan Yang, Jiajia Yu\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.02578v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.02578v1\n摘要: The Boltzmann equation plays an important role in modeling mesoscopic behavior in a wide range of scientific and engineering applications. However, its numerical solution is computationally expensive due to the high dimensionality of the model and the nonlinear nonlocal collision operator, especially for steady-state problems that require iterative solvers. This cost becomes prohibitive for inverse problems, where the induced optimization problem requires repeated forward solves. In this work, we propose a reduced-order model (ROM) for the parametric Boltzmann equation to address this computational challenge. The ROM constructs a low-dimensional approximation space for the parameter-induced solution manifold through a residual-based greedy strategy, and the reduced solution is then obtained via residual minimization over the reduced space, subject to mass conservation. The overall efficiency of the ROM is achieved by exploiting the quadratic structure of the collision operator and a precomputed separable approximation of the collision kernel. The resulting ROM is further applied to a thermally-driven inverse problem for reconstructing collision parameters from the observed macroscopic temperature data. This is accomplished either by directly replacing the PDE constraint with the ROM, leading to a bilevel optimization formulation, or by reformulating the task as a single-level optimization problem through the Karush\u0026ndash;Kuhn\u0026ndash;Tucker (KKT) conditions. Numerical experiments in both collision-dominated and transport-dominated cases are performed to demonstrate the efficiency and accuracy of the proposed ROM and its effectiveness in inverse problems. In particular, the resulting inverse problem is computationally much more tractable, achieving speedups of several orders of magnitude over that based on the full-order model while maintaining comparable accuracy.\n7. Smagorinsky 湍流模型的虚拟元逼近的数值分析 Numerical Analysis of the Virtual Element Approximation for the Smagorinsky Turbulence Model\n作者: Karol L. Cascavita, Francesca Marcon, Maria Strazzullo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.02433v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.02433v1\n摘要: In this paper, we consider the Smagorinsky model for the Navier-Stokes equations within a virtual element framework. Under the standard assumption of small data, we prove the existence and uniqueness of a solution. Assuming more regularity to the solutions, we derive the known convergence rates $h$ for the a priori error estimates of the Smagorinsky model in two dimensional domains. We additionally prove that divergence-free virtual discretizations provide improved convergence orders, with weaker regularity assumptions than in the finite element literature. We conclude the paper with numerical results that corroborate the theory.\n8. $C^1$三次样条空间中几何依赖的秩亏 Geometry-dependent rank defect in $C^1$ cubic spline space\n作者: Xinyu Wu, Jiansong Deng\n类别: math.NA, math.CO\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.02424v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.02424v1\n摘要: Determining the dimension of the $C^1$ cubic spline space $S_3^1(\\mathcal{T})$ on an arbitrary nondegenerate planar triangulation has remained unresolved since the 1970s. Schumaker\u0026rsquo;s lower bound includes a local correction $σ$ for singular interior four-stars, and it was conjectured that this bound is always attained. We disprove this conjecture by constructing a one-parameter family of nondegenerate realizations of a fixed 18-triangle complex, with only the central vertex moving as $v_6(t)=(t,0)$ on the admissible interval $I=(-3/4,24/55)$. The family exhibits three distinct cases. For $t\\in I\\setminus\\{1/5,3/83\\}$, the lower bound is attained and $\\dim S_3^1(\\mathcal{T}(t))=33$. At $t=3/83$, the central four-star is singular, $σ=1$, and the resulting dimension 34 is exactly accounted for by the classical local correction. At $t=1/5$, however, all interior vertices are nonsingular and $σ=0$, yet $\\dim S_3^1(\\mathcal{T}(1/5))=34\u003eP_{\\mathcal{T}(1/5)}(1,3)=33$. The smoothing-cofactor calculation shows that the dependence at $t=3/83$ is confined to the central vertex block, whereas the dependence at $t=1/5$ couples all seven interior vertex cycles even though every individual block has full row rank. A complementary Bernstein\u0026ndash;Bézier calculation gives the same dimension profile. Thus the singular-four-star correction does not capture every geometry-dependent contribution to $\\dim S_3^1(\\mathcal{T})$; genuinely global compatibility must also be taken into account.\n9. 紧支撑多节点Shepard算子在环面上的散乱数据插值 Scattered data interpolation on the torus by compactly supported multinode Shepard operators\n作者: F. Dell\u0026rsquo;Accio, F. Di Tommaso, R. Lammirato, F. Larosa\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.02259v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.02259v1\n摘要: We introduce a compactly supported multinode Shepard operator for the interpolation of scattered data on the torus embedded in $\\mathbb{R}^3$. The method combines local polynomial interpolation of total degree $d\\in \\mathbb{N}$ with compactly supported Shepard-type weights, so that the approximation at each evaluation point depends only on neighbouring stencils of nodes. The torus is treated as an algebraic surface defined by a quartic polynomial, and Gröbner bases are used to construct reduced polynomial spaces on the surface by removing the redundancy induced by the defining equation. This yields local Vandermonde systems adapted to the toroidal geometry. We discuss the metric structure of the torus, show the local equivalence between the periodic parameter distance and the Euclidean distance inherited from $\\mathbb{R}^3$, and use this equivalence to motivate the compact support construction. We establish a uniform error estimate in terms of the maximal support radius and the local Lebesgue constants. Under uniform locality and stability assumptions, the method converges with order $d+1$ with respect to the fill distance. Numerical experiments on analytical test functions confirm polynomial reproduction and exhibit an error decay consistent with the theoretical analysis. The approach is also tested on Computational Fluid Dynamics data mapped onto the torus, including the interpolation of the velocity components, the reconstruction of the velocity magnitude from the interpolated components, and the reconstruction of a tangent velocity field through an orthonormal lifting of the interpolated components.\n10. 基于多尺度解分解的次扩散方程非均匀BDF3-L2方法的误差估计 Error estimate of the nonuniform BDF3-L2 method for subdiffusion equations via multiscale solution decomposition\n作者: Wenlin Qiu, Kexin Li, Yiqun Li, Hao Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.02178v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.02178v1\n摘要: Numerical experiments reported by Quan and Wu [SIAM J Numer Anal 61 (2023) 2106-2132] show that the observed temporal convergence rates of nonuniform L2 methods for subdiffusion models are not consistent with the theoretically predicted order $3-α$. This discrepancy suggests that a more refined analysis is needed and motivates the development of a nonuniform BDF3-L2 method for the subdiffusion equation. To account for the initial solution singularity, we employ the multiscale solution decomposition to decompose the original solution and approximate a smoother unknown variable that satisfies the subdiffusion model with a smoother source term. The resulting formulation, however, involves restrictive high-order boundary conditions on the source term and initial data. To overcome this difficulty, we introduce a spectral truncation technique that requires only slightly stronger regularity of the data and a controllable truncation error. We establish high-order regularity estimates of the solution to the truncated problem and develop a nonuniform BDF3-L2 method for its numerical approximation, based on which we derive a rigorous error estimate of temporal convergence order $2+α$. Numerical experiments are carried out to substantiate the theoretical findings.\n11. 随机投影保持几何的精确极限：高斯模型中的距离恢复、最近邻排序与协方差形状 Exact Limits of Random Projections for Preserving Geometry: Distance Recovery, Nearest-Neighbor Rankings, and Covariance Shape in Gaussian Models\n作者: Piyush Sao\n类别: cs.LG, cs.IT, math.NA, math.PR, math.ST\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.02155v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.02155v1\n摘要: The Johnson-Lindenstrauss (JL) lemma guarantees that a random projection of $n$ points to $m=O(\\varepsilon^{-2}\\log n)$ dimensions preserves pairwise squared distances within relative error $\\varepsilon$ with high probability, and this dimension order is asymptotically optimal. In high dimensions, however, distances concentrate around a baseline while key geometric information lies in much smaller fluctuations. We show that the JL bound can therefore be uninformative about retained geometry: an independent Gaussian replacement map can satisfy it even though the replacement cloud is independent of the original data. We then ask how well any decoder can recover a feature $f(D)$ of a squared distance $D$ from a linear sketch. Under squared-error loss, the optimal decoder is conditional expectation, so recovery defines a linear operator whose singular values quantify feature recovery. For isotropic Gaussian data ($Σ=σ^2 I_d$), we diagonalize this operator in closed form. For fixed $k$ with $m,d-m\\to\\infty$, its $k$th singular value satisfies $\\ell_k\\approx(m/ d)^{k/2}$. This yields three sharp consequences. A rank-$m$ sketch retains at most an $m/d$ fraction of the variance of any feature of one squared distance. If $m\\to\\infty$ and $m/d\\to0$, the expected Kendall correlation is $\\frac{2}π\\sqrt{m/d}(1+o(1))$; for fixed $q$, nearest- neighbor agreement tends to $1/q$. Yet one projection can satisfy the JL bound while mean Kendall correlation vanishes when $\\log n\\ll m\\ll d$. After removing scale, Haar-averaged retained covariance-shape information is $(m/d)^2$. Thus JL distance preservation does not quantify the geometry available for comparison or inference.\n12. Fokker-Planck优化的两个伴随视角：微观-宏观对应 Two Adjoint Perspectives on Fokker-Planck Optimization: A Microscopic-Macroscopic Correspondence\n作者: Kathrin Hellmuth, Qin Li, Yunan Yang\n类别: math.NA, math.AP, math.OC, math.PR\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.02072v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.02072v1\n摘要: The Fokker-Planck equation admits both a macroscopic Eulerian description through probability densities and a microscopic Lagrangian description through stochastic trajectories. Consequently, optimization problems constrained by the Fokker-Planck equation can be formulated from either perspective. Surprisingly, the corresponding adjoint equations appear to be fundamentally different: the macroscopic adjoint is governed by the backward Kolmogorov equation, whereas the microscopic adjoint evolves pathwise along stochastic trajectories. In this note, we reconcile these two formulations by establishing their correspondence in the continuum setting. We further show that, although their discrete gradients no longer coincide after discretization, both provide consistent numerical approximations of the continuum gradient. Explicit convergence rates are established for both discretization strategies.\n13. FlashKAN：基于截断幂形式的B样条KAN FlashKAN: B-Spline KANs via Truncated Power Form\n作者: Naveen Mysore\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-09-02\narXiv ID: 2609.01956v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.01956v1\n摘要: Kolmogorov-Arnold Networks (KANs) place learnable B-spline activations on network edges rather than fixed activations on nodes. The standard Cox-de Boor recursion evaluates these activations through k sequential passes for degree-k splines, consuming over 90% of forward-pass time. FlashKAN replaces this recursion with the truncated power form, a classical result from approximation theory that expresses each uniform cubic B-spline as five (x)_+^3 terms at shifted knot positions. This paper makes three contributions: (1) a torch.compile-fused implementation that collapses these operations into a single GPU kernel, eliminating all recursion, span lookup, and scatter-gather operations; (2) a bounded-coordinate stabilization that clamps the normalized input to [0, k+1], preventing the catastrophic cancellation that historically motivated the Cox-de Boor recursion; and (3) a production-ready, open-source package (pip install flashkan) that serves as a drop-in replacement for existing KAN layers.\n14. 时间依赖偏微分方程的界约束有限元逼近 Bounds-Constrained Finite Element Approximation of Time-Dependent Partial Differential Equations\n作者: Robert C. Kirby, John D. Stephens\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-01\narXiv ID: 2609.01915v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.01915v1\n摘要: Finite elements provide accurate and efficient methods for the numerical solution of partial differential equations by means of restricting variational problems to finite-dimensional approximating spaces. However, they do not, in general, guarantee enforcement of bounds constraints inherent in the original problem. We propose two approaches to enforcing bounds constraints for time-dependent problems. First, we propose general projective methods which result from a systematic modification of any abstract time-stepping scheme. Second, we present a monolithic technique for which we take a modified formulation of implicit single-stage Runge-Kutta methods and general implicit multistep methods as prototypical examples. By solving a constrained optimization problem, we are able to ensure that the bounds constraints are enforced by the approximate solution at the discrete time levels, obtaining (formally) high order methods both in space and time. Numerical examples for the linear heat and advection equations and nonlinear Allen-Cahn equation are given.\n15. 从分子动力学中学习一类一般的可容许多物种碰撞算子 Learning a general class of admissible multi-species collision operators from molecular dynamics\n作者: Yue Zhao, Andrew Christlieb, Huan Lei\n类别: physics.comp-ph, math.NA, physics.plasm-ph\n发布日期: 2026-09-01\narXiv ID: 2609.01845v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.01845v1\n摘要: We develop a structure-preserving, data-driven collision operator for spatially homogeneous multi-species kinetic systems from molecular dynamics (MD). The operator consists of diagonal self-collision blocks and ordered off-diagonal cross-species blocks to describe intra- and inter-species momentum and energy exchange. Within a local and point-wise identifiable kernel class, we develop the necessary and sufficient condition for the admissible kernel class satisfying the conservation laws, the H-theorem, and the frame indifference. Unlike the classical Landau operator, the off-diagonal kernels are not restricted to be symmetric under permutation of the two velocity variables. This unique structural freedom captures the distinct responses of different species to unresolved correlations and many-body effects arising from micro-scale particle interactions. The equivalent parameterizable kernel formalization enables us to learn a generalized data-driven collision operator directly from MD, where the low-rank tensor representations and random sampling are used to achieve efficient kernel training and numerical simulation. Numerical experiments show that the learned operator accurately predicts transport coefficients and the non-equilibrium relaxation, while retaining discrete conservation and entropy production. In particular, it captures plasma kinetics in the moderately coupled regime, where the predictions of both the Landau and the data-driven model restricted to velocity-permutation symmetry show significant discrepancies.\n16. 抛物型偏微分方程的双重自适应求解器 A Double-Adaptivity Solver for Parabolic PDEs\n作者: Gregor Gantner, Robin Smeets, Rob Stevenson\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-09-01\narXiv ID: 2609.01748v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.01748v1\n摘要: We study minimal residual space-time finite element discretizations of linear parabolic initial value problems in canonical space-time variational form. To deal with the arising dual norm, we introduce the Riesz lift of the residual as an additional variable. Quasi-optimality of the primal variable of the mixed system follows from a uniform inf-sup condition. This condition is known to be satisfied for finite element spaces w.r.t. prismatic partitions of the space-time cylinder that allow for a decomposition into time-slabs. We prove that this condition cannot be expected to hold otherwise. To recover stability for general partitions and the data at hand, we derive an a posteriori condition on the error between the exact Riesz lift of the residual and its Galerkin approximation \u0026ndash; being the secondary variable of our system \u0026ndash; under which the primal variable is quasi-optimal. We derive a posteriori error estimators for both variables, and use them in a double-adaptive loop that alternates test-space with trial-space enrichment. We illustrate our findings with numerical experiments in $1+1$ and $2+1$ dimensions.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-03_14-17-13/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月03日 14:17:13\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 16\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-中子学反应扩散特征值问题的多尺度有限元方法\"\u003e1. 中子学反应扩散特征值问题的多尺度有限元方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eA Multiscale Finite Element Method for reaction-diffusion eigenproblems arising from neutronics\u003c/p\u003e","title":"2026年09月03日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年09月02日 14:16:33\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 1\n不相关论文数量: 22\n重点关注论文（完整分析） 1. $α$-极限问题：一个线性退化界面传输问题的收敛性 The $α$-Limit Problem: Convergence of a Linear Degenerate Interface Transmission Problem\n作者: Toai Luong, Tadele Mengesha, Kerrek Stinson, Steven M. Wise, Ming Hei Wong\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-09-01\narXiv ID: 2609.01237v1\n摘要翻译: 我们研究了一族线性退化界面传输问题的奇异极限，该问题源于新提出的双参数扩散域方法（DDM2p）中的正则化过程。对于 $α\u003e0$，正则化问题在 $H^{1}(Ω)$ 上具有严格凸的变分形式。在极限 $α\\to0$ 下，问题退化为具有非标准能量结构的弱耦合界面系统。为了刻画该极限，我们引入了一个闭的 Hilbert 子空间 $\\mathcal{H}\\subset H^{1}(Ω)$，该子空间通过环形子域 $Ω_2\\subset Ω$ 上的辅助 Helmholtz 问题定义，并确定了 $\\mathcal{H}$ 上的极限能量泛函 $\\mathcal{E}_{0}$。我们利用标准框架证明了正则化能量 $\\mathcal{E}_α$ 在强 $L^{2}(Ω)$ 拓扑下 $Γ$-收敛到 $\\mathcal{E}_{0}$。因此，$\\mathcal{E}_α$ 的极小元收敛到 $\\mathcal{E}_{0}$ 的唯一极小元，而后者被证明等价于极限界面问题的解。我们进一步证明了在 $H^{1}(Ω)$ 中的强收敛性 $u_α\\to u_{0}$，并建立了 $O(α)$ 的收敛速率。一维空间中的数值实验证实了预测的一阶收敛速率，并表明该速率是最优的。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2609.01237v1\n1. 研究对象和背景 本文研究由 Two-Parameter Diffuse Domain Method (DDM2p) 的正则化过程诱导的一族线性退化界面透射问题的奇异极限. 设 $\\Omega_1\\subset \\mathbb{R}^n$ 是具有 Lipschitz 边界 $\\Sigma=\\partial\\Omega_1$ 的有界开集, $\\gamma\u003e0$, $\\kappa\\ge 0$, $q\\in H^1(\\Omega_1)'$, $g\\in H^{-1/2}(\\Sigma)$. 出发问题是单侧 Robin 边值问题: $-\\Delta u_0^{(1)}+\\gamma u_0^{(1)}=q$ in $\\Omega_1$, $-n_1\\cdot\\nabla u_0^{(1)}=\\kappa u_0^{(1)}+g$ on $\\Sigma$. 它在 $H^1(\\Omega_1)$ 中有唯一解. 由于边界 $\\Sigma$ 可能很复杂, 为便于在矩形或分片多边形网格上计算, 将 $\\Omega_1$ 紧嵌入更大的有界区域 $\\Omega$, 记 $\\Omega_2=\\Omega\\setminus\\Omega_1$, 并引入外延解 $u_0^{(2)}$, 满足 $-\\Delta u_0^{(2)}+\\beta u_0^{(2)}=0$ in $\\Omega_2$, $u_0^{(2)}=u_0^{(1)}$ on $\\Sigma$, $n_2\\cdot\\nabla u_0^{(2)}=0$ on $\\partial\\Omega$. 把 Robin 问题与外延问题合起来记作问题 (P0), 其解为 $u_0=u_0^{(1)}\\chi_1+u_0^{(2)}\\chi_2$, 其中 $\\chi_i$ 是 $\\Omega_i$ 的特征函数. (P0) 是弱耦合的两侧界面问题, 但它在 $H^1(\\Omega)$ 上没有自然的单个强制能量泛函.\n为了让问题具有标准的变分结构, 对 $\\alpha\u003e0$ 引入退化正则化问题 (Pα): $-\\Delta u_\\alpha^{(1)}+\\gamma u_\\alpha^{(1)}=q$ in $\\Omega_1$, $-\\alpha\\Delta u_\\alpha^{(2)}+\\alpha\\beta u_\\alpha^{(2)}=0$ in $\\Omega_2$, $u_\\alpha^{(1)}=u_\\alpha^{(2)}$ on $\\Sigma$, $-n_1\\cdot\\nabla(u_\\alpha^{(1)}-\\alpha u_\\alpha^{(2)})=\\kappa u_\\alpha^{(1)}+g$ on $\\Sigma$, $\\alpha n_2\\cdot\\nabla u_\\alpha^{(2)}=0$ on $\\partial\\Omega$. 它的能量泛函为 $E_\\alpha[u]=\\int_\\Omega \\frac12(D_\\alpha|\\nabla u|^2+c_\\alpha u^2)dx+\\int_\\Sigma \\frac12\\kappa u^2dS-\\langle q_0,u\\rangle_\\Omega+\\langle g,u\\rangle_\\Sigma$, 其中 $D_\\alpha=\\chi_1+\\alpha\\chi_2$, $c_\\alpha=\\gamma\\chi_1+\\alpha\\beta\\chi_2$, $q_0=q\\chi_1$. 对固定 $\\alpha\u003e0$, $E_\\alpha$ 在 $H^1(\\Omega)$ 上强制且严格凸, 因此存在唯一极小元 $u_\\alpha$, 它正是 (Pα) 的解. 注意 (Pα) 在 $\\Omega_2$ 内的方程等价于 $-\\Delta u_\\alpha^{(2)}+\\beta u_\\alpha^{(2)}=0$, 所以每个 $u_\\alpha$ 都落在同一个由混合 Helmholtz 条件刻画的约束空间 $H$ 中. 随着 $\\alpha\\to 0$, $\\Omega_2$ 上的系数 $\\alpha$ 消失, 能量在 $H^1(\\Omega)$ 上不再一致强制, 极限能量具有非标准的约束结构. 本文要填补的空白是: 从正则问题 (Pα) 到弱耦合极限问题 (P0) 的 $\\Gamma$-收敛、极小元收敛以及定量收敛阶; 同时为 DDM2p 的双参数收敛分析提供目标能量 $E_0$.\n2. 主要定理或主要结果 从摘要与正文摘录可确认以下严格结论.\n(1) 辅助混合 Helmholtz 问题的适定性 (命题 3.1). 设 $U$ 是有界连通开集, $\\partial U=\\Gamma_1\\cup\\Gamma_2$, $\\Gamma_1,\\Gamma_2$ 都具有正 $(n-1)$ 维测度, $\\Gamma_1$ 相对开且其相对闭包可用 Lipschitz 图局部表示. 对任意 $f\\in H^{1/2}(\\Gamma_1)$, 问题 $-\\Delta u+\\beta u=0$ in $U$, $u=f$ on $\\Gamma_1$, $n\\cdot\\nabla u=0$ on $\\Gamma_2$ 有唯一弱解 $u_f\\in H^1(U)$, 并且存在只依赖于 $U$ 与 $\\beta$ 的常数 $C_0\u003e0$, 使得 $\\|u_f\\|_{H^1(U)}\\le C_0\\|f\\|_{H^{1/2}(\\Gamma_1)}$.\n(2) 极限空间 $H$ 的定义与良定性. 定义 $H=\\{v\\in H^1(\\Omega): v^{(2)}=v|_{\\Omega_2}\\ \\text{满足}\\ -\\Delta v^{(2)}+\\beta v^{(2)}=0\\ \\text{in}\\ \\Omega_2,\\ n_2\\cdot\\nabla v^{(2)}=0\\ \\text{on}\\ \\partial\\Omega\\}$. 由命题 3.1 可知 $H$ 是 $H^1(\\Omega)$ 的闭 Hilbert 子空间. 对任意 $v^{(1)}\\in H^1(\\Omega_1)$, 存在唯一的 $v\\in H$ 使得 $v|_{\\Omega_1}=v^{(1)}$; 反之若 $v\\in H$, 则 $v|_{\\Omega_1}\\in H^1(\\Omega_1)$. 换言之, $H$ 中的函数由其在 $\\Omega_1$ 上的部分完全决定, $\\Omega_2$ 上的部分是混合 Helmholtz 外延.\n(3) 极限能量. 在 $H$ 上定义 $E_0[u]=\\frac12\\int_{\\Omega_1}(|\\nabla u|^2+\\gamma u^2)dx+\\frac12\\int_\\Sigma\\kappa u^2dS-\\langle q,u\\rangle_{\\Omega_1}+\\langle g,u\\rangle_\\Sigma$, 其中将 $u|_{\\Omega_1}$ 仍记为 $u$. 这里 $u_0$ 是 $E_0$ 在 $H$ 上的唯一极小元, 并且它等价于原耦合问题 (P0) 的解. 对 $u\\in H$, 系数定义直接给出恒等式 $E_\\alpha[u]=E_0[u]+\\frac{\\alpha}{2}\\int_{\\Omega_2}(|\\nabla u|^2+\\beta u^2)dx$.\n(4) $\\Gamma$-收敛. 将 $E_\\alpha|_H$ 按 $+\\infty$ 延拓到 $L^2(\\Omega)$ 得到 $F_\\alpha$, 同样得到 $F_0$. 则当 $\\alpha\\to 0$ 时, $F_\\alpha$ 在强 $L^2(\\Omega)$ 拓扑下 $\\Gamma$-收敛到 $F_0$. 因此 $E_\\alpha$ 在 $H$ 上的唯一极小元 $u_\\alpha$ 收敛到 $E_0$ 的唯一极小元 $u_0$.\n(5) 强 $H^1$ 收敛与误差阶. 对问题 (Pα) 的解 $u_\\alpha$ 与极限解 $u_0$, 除 $L^2$ 收敛外, 作者证明更强的强收敛 $u_\\alpha\\to u_0$ in $H^1(\\Omega)$, 并建立一阶误差估计 $\\|u_\\alpha-u_0\\|_{H^1(\\Omega)}=O(\\alpha)$ ($\\alpha\\to 0$).\n(6) 数值实验. 一维数值实验验证了预测的一阶收敛率, 并提示该 $O(\\alpha)$ 阶在一般意义下是尖锐的. 从提供的内容无法确认定理编号或常数是否显式给出; 上述是摘录中明确出现的数学结论.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 证明的核心困难是: 当 $\\alpha\\to 0$ 时 $\\Omega_2$ 上的二次项以 $\\alpha$ 加权消失, 所以 $E_\\alpha$ 不能在固定 $H^1(\\Omega)$ 上一致强制; 直接对极小元列取极限会丢失 $\\Omega_2$ 部分的信息. 作者的真正创新点是不把极限问题当作一个局部 PDE 系数趋于零的平凡极限, 而是把约束集 $H$ 写入变分框架.\n(1) 公共约束空间. 对 $\\alpha\u003e0$, (Pα) 在 $\\Omega_2$ 内的方程虽带因子 $\\alpha$, 但除以 $\\alpha$ 后正是 $-\\Delta u_\\alpha^{(2)}+\\beta u_\\alpha^{(2)}=0$; 外边界条件也化为零 Neumann 条件. 因此所有 $u_\\alpha$ 都属于 $H$. 于是问题被约化为在固定 Hilbert 空间 $H$ 上极小化 $E_\\alpha$. 这一约化避免了 $\\alpha\\to 0$ 时 $H^1(\\Omega_2)$ 范数被 $\\alpha$ 加权所抹掉的问题.\n(2) 构造 $H$ 的辅助 Helmholtz 问题. $H$ 不是简单的局部 Dirichlet 空间, 而是通过混合边值 Helmholtz 问题定义的像空间. 命题 3.1 的证明使用提升函数 $\\tilde f\\in H^1(U)$, 令 $w=u-\\tilde f$ 属于 $V=\\{v\\in H^1(U): v=0\\ \\text{on}\\ \\Gamma_1\\}$, 在 $V$ 上用 Lax-Milgram 定理求解. 关键在于 $\\Gamma_1$ 具有正测度, 因而 $V$ 上成立 Poincaré 不等式, 使双线性形式 $A(v_1,v_2)=\\int_U(\\nabla v_1\\cdot\\nabla v_2+\\beta v_1v_2)dx$ 在 $V$ 上强制. 得到的先验估计 $\\|u_f\\|_{H^1(U)}\\le C_0\\|f\\|_{H^{1/2}(\\Gamma_1)}$ 随后用于控制 $H$ 中函数在 $\\Omega_2$ 上的 $H^1$ 范数.\n(3) 能量差恒等式. 对每个 $u\\in H$, 有 $E_\\alpha[u]-E_0[u]=\\frac{\\alpha}{2}\\|u^{(2)}\\|_{H^1_\\beta(\\Omega_2)}^2$, 其中 $\\|u^{(2)}\\|_{H^1_\\beta(\\Omega_2)}^2=\\int_{\\Omega_2}(|\\nabla u^{(2)}|^2+\\beta|u^{(2)}|^2)dx$. 这个恒等式把奇异参数 $\\alpha$ 的全部影响集中为 $\\Omega_2$ 上的一个小加权能量项. 它在 $H$ 上给出逐点收敛 $E_\\alpha[u]\\to E_0[u]$, 从而为 $\\Gamma$-收敛的 limsup 不等式提供了常数恢复序列.\n(4) $\\Gamma$-收敛与紧性. 作者采用标准框架: 把 $E_\\alpha|_H$ 和 $E_0$ 通过 $+\\infty$ 延拓为 $L^2(\\Omega)$ 上的 $F_\\alpha$, $F_0$, 再证明强 $L^2$ 拓扑下的 liminf 不等式与恢复序列. liminf 的困难在于 $u_\\alpha$ 可能在 $\\Omega_2$ 上缺乏与 $\\alpha$ 无关的 $H^1$ 一致界. 这里命题 3.1 起到关键作用: 若 $u_\\alpha$ 都在 $H$ 中且 $E_\\alpha(u_\\alpha)$ 有界, 则 $\\Omega_1$ 部分的能量给出 $H^1(\\Omega_1)$ 一致界; $u_\\alpha^{(2)}$ 由其边界迹唯一确定, 迹定理与命题 3.1 再把 $H^1(\\Omega_2)$ 范数控制到迹范数, 从而得到整个 $H^1(\\Omega)$ 的一致界. 由此可以取出弱 $H^1$ 收敛子列并证明下半连续性.\n(5) 强 $H^1$ 收敛与 $O(\\alpha)$ 误差. 只用 $\\Gamma$-收敛只能得到 $L^2$ 收敛. 为了得到一阶 $H^1$ 率, 作者利用变分等式而非仅仅紧性. 令 $e=u_\\alpha-u_0$. 定义双线性型 $B_0(u,v)=\\int_{\\Omega_1}(\\nabla u\\cdot\\nabla v+\\gamma uv)dx+\\int_\\Sigma\\kappa uvdS$, $B_2(u,v)=\\int_{\\Omega_2}(\\nabla u\\cdot\\nabla v+\\beta uv)dx$. 则极小条件分别为 $B_0(u_\\alpha,v)+\\alpha B_2(u_\\alpha,v)=L(v)$, $B_0(u_0,v)=L(v)$ 对所有 $v\\in H$ 成立. 相减并取 $v=e$, 得 $B_0(e,e)+\\alpha B_2(e,e)=-\\alpha B_2(u_0,e)$. 再利用 $e\\in H$, 所以 $e^{(2)}$ 是 $e|_\\Sigma$ 的 Helmholtz 外延, 因而 $\\|e^{(2)}\\|_{H^1(\\Omega_2)}\\le C\\|e|_\\Sigma\\|_{H^{1/2}(\\Sigma)}\\le CB_0(e,e)^{1/2}$. 于是右端被 $\\alpha C\\|u_0\\|_{H^1(\\Omega_2)}B_0(e,e)^{1/2}$ 控制, 得到 $B_0(e,e)^{1/2}\\le C\\alpha$, 再由外延估计得到 $\\|e\\|_{H^1(\\Omega)}=O(\\alpha)$. 这一误差机制比普通能量差给出的 $O(\\alpha^{1/2})$ 更强, 是本文强收敛结果的定量核心.\n(6) 推广性. 文中指出, 虽然系数取常数 $D_\\alpha=\\chi_1+\\alpha\\chi_2$, 结果可自然推广到椭圆变系数 $D_\\alpha=A\\chi_1+\\alpha B\\chi_2$, 其中 $A,B\\in L^\\infty(\\Omega;\\mathbb{R}^{d\\times d})$ 对称正定且最小特征值一致有正下界. 摘录中未给出常数依赖与变系数情形的完整证明.\n4. 与之前工作的比较 本文最直接的对比对象是作者前两篇关于 DDM2p 的工作. 文献 [23,24] 已在固定 $\\alpha\u003e0$ 的情形证明 $E_{\\varepsilon,\\alpha}$ 随 $\\varepsilon\\to 0$ $\\Gamma$-收敛到 $E_{0,\\alpha}$, 并证明解 $u_{\\varepsilon,\\alpha}$ 在 $H^1(\\Omega)$ 中收敛到 $u_{0,\\alpha}$; 但那两篇没有给出理论收敛阶, 只给出 $\\varepsilon$ 一阶渐近并由数值支持. 本文补上的是另一个方向的极限: 在去掉扩散界面近似后, 让正则化参数 $\\alpha\\to 0$, 证明 $E_{0,\\alpha}\\xrightarrow{\\Gamma}E_{0,0}$ 与 $u_{0,\\alpha}\\to u_{0,0}$ in $H^1$, 并给出 $O(\\alpha)$ 理论速率. 因此本文为图 2.1 中的 $(\\varepsilon,\\alpha)$ 双参数收敛程序提供了关键的中间目标能量 $E_{0,0}$.\n与许多单参数 DDM 工作相比, 本文的极限问题不是直接在原区域 $\\Omega_1$ 上写出的一个局部 Robin 方程. 传统 DDM 通常用相场近似 $\\chi_1$ 和 $\\delta_\\Sigma$, 再证明 $\\varepsilon\\to 0$ 时恢复 $\\Omega_1$ 上的 Dirichlet/Neumann/Robin 问题; 极限边界条件只出现在 $\\Sigma$ 上. 在 DDM2p 中, 由于显式引入第二个参数 $\\alpha$, 极限问题还包含 $\\Omega_2$ 上的混合 Helmholtz 外延, 因此极限能量必须在非局部约束空间 $H$ 上定义. 这种非标准能量结构是该方法与已有单参数 DDM 分析的主要区别.\n从计算的角度看, DDM2p 中的 $\\alpha$ 并不是可有可无的辅助参数: 作者明确指出, 在有限元或有限差分离散中, 加入 $\\alpha$ 能保证整体刚度矩阵对角元有下界 $\\alpha$; 如果不做这种正则化, $\\Omega_2$ 内可能产生指数小的对角元, 导致条件数恶化. 已有 DDM 文献虽然常在实际数值中使用类似截断或修正, 但理论框架往往不显式分析 $\\alpha$ 的作用. 本文把 $\\alpha$ 视作一个真正的奇异摄动参数, 并证明其极限不损失 $\\Omega_2$ 外延结构, 这比单纯令 $\\varepsilon\\to 0$ 的分析更接近可计算格式.\n在假设方面, 本文只要求 $\\Omega_1$ 有 Lipschitz 边界且紧含于 $\\Omega$, $\\partial\\Omega$ 与 $\\Sigma$ 不相交; 对 $\\alpha$-极限本身不要求 $\\Sigma$ 光滑. 作为对比, 相场 DDM 的 $\\varepsilon$ 近似通常需要界面附近有符号距离函数, 这在实际构造中往往要求 $\\Sigma$ 足够光滑. 作者还说明主要结果可推广到对称正定变系数 $A\\chi_1+\\alpha B\\chi_2$, 这比仅处理标量常系数更宽. 代价是论文中的数值验证只在一维进行; 高维与变系数情形的一阶率和尖锐性并未由数值实验直接验证.\n本文尚未回答双参数 DDM 的终极收敛问题. 文中收敛图显示, $(\\varepsilon,\\alpha)\\to(0,0)$ 的联合 $\\Gamma$-收敛、沿路径 $\\alpha=\\alpha(\\varepsilon)$ 例如 $\\alpha=\\varepsilon^2$ 的收敛, 以及 $u_{\\varepsilon,\\varepsilon^p}\\to u_{0,0}$ 的收敛阶, 都留作未来工作. 从当前摘录看, 作者也未显式展开与 [1,10,11,15,20,22,27] 等单参数 DDM 理论在误差常数或正则性假设上的详细定量比较; 本文的价值主要在于第一次严格刻画 $\\alpha$-极限及其一阶率.\n2. 麦克斯韦电场积分算子的形状全纯性与稀疏逼近 Shape Holomorphy and Sparse Approximation of the Maxwell Electric Field Integral Operator\n作者: Paul Escapil-Inchauspé, Carlos Jerez-Hanckes\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-08-31\narXiv ID: 2609.00466v1\n摘要翻译: 不确定形状障碍物的时谐麦克斯韦散射的不确定性量化所需要的不仅仅是散射场的全纯依赖性：对于边界元方法而言，必须是边界积分算子族本身关于形状参数全纯地依赖。存在两个障碍。电场积分方程的自然能量空间 $\\boldsymbol H^{-1/2}_{\\mathrm{div}_Γ}(Γ)$ 依赖于几何，而现有的针对弱奇异核的算子值形状全纯性理论是在 $L^2$ 中建立的，无法触及该空间。我们消除了这两个障碍。一种曲面逆变 Piola 变换将依赖于几何的麦克斯韦迹空间与一个固定的参考空间等同起来，并且在拉回变分表述中，曲面雅可比行列式精确抵消。主要的分析成分是一个一致分数阶映射定理 $H^{-1/2}\\to H^{1/2}$，该定理适用于一致 $C^{1,1}$ 曲面上的复形变标量单层族，它通过将拉普拉斯主部实现为固定环境空间上复系数 Newton 问题的迹而得到。因此，拉回算子对 $\\bm b\\in\\ell^p(\\N)$, $0","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-02_14-16-33/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月02日 14:16:33\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 22\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1--极限问题一个线性退化界面传输问题的收敛性\"\u003e1. $α$-极限问题：一个线性退化界面传输问题的收敛性\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eThe $α$-Limit Problem: Convergence of a Linear Degenerate Interface Transmission Problem\u003c/p\u003e","title":"2026年09月02日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年09月01日 14:41:20\n重点关注论文数量: 4\n了解领域论文数量: 8\n不相关论文数量: 31\n重点关注论文（完整分析） 1. 使用FE-HMM方法的局部受限非线性涡流问题的磁场共形多尺度格式 Magnetic Field Conforming Multiscale Formulations for Locally-Confined Nonlinear Eddy Current Problems Using the FE-HMM Method\n作者: Innocent Niyonzima, Gérard Meunier, Antoine Marteau, Ruth V. Sabariego, Olivier Chadebec, Nicolas Galopin, Christophe Geuzaine\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-31\narXiv ID: 2608.30542v1\n摘要翻译: 用于电能转换的磁性复合材料通常包含相互绝缘的铁磁夹杂物以减少涡流损耗。这些复合材料的数值模型必须足够稳健，以解决由非线性磁性夹杂物和单元中显著受限涡流的存在而可能出现的收敛问题。本文在周期框架下提出了一种用于磁性复合材料的$\\mathbf{h}$-共形多尺度格式。该方法使用异质多尺度方法（HMM），包含两个介观尺度问题：一个磁准静态问题用于升尺度均匀化磁通密度$\\mathbf{B}_M$，一个静磁问题用于升尺度宏观增量磁阻率$(\\partial \\mathbf{B}_M/\\partial \\mathbf{H}_M)$。此外，该方法在宏观和介观尺度上均使用松弛牛顿-拉夫逊格式，以缓解与$\\mathbf{h}$-共形格式中非线性BH本构关系相关的众所周知的NR收敛问题。使用具有线性和非线性BH曲线的二维和三维理想化周期性软磁复合材料评估了该格式的精度和性能。此外，本文证明了磁准静态介观尺度问题可以被一个磁\nComment: 31 pages, including the bibliography, 14 figures, 1 algorithm, 1 table, paper accepted for publication (but not published yet) in SIAM Multiscale Modeling and Simulations\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.30542v1\n1. 研究对象和背景 本文研究周期性软磁复合材料中的低频电磁问题, 具体为磁准静态 (magnetoquasistatic, MQS) 涡流问题. 设多尺度域 $\\Omega \\subset \\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 由导电子域 $\\Omega_c$ 与非导电子域 $\\Omega_c^C$ 组成, 其中存在绝缘的铁磁夹杂物以抑制涡流损耗. 微观结构具有周期性, 以尺度参数 $\\varepsilon$ 表征, 材料参数 (电导率 $\\sigma^\\varepsilon$, 磁导率 $\\mu^\\varepsilon$) 和场量均在胞元尺度上快速振荡. 控制方程为 MQS 近似下的 Maxwell 方程组 $$ \\partial_t \\mathbf{b}^\\varepsilon + \\operatorname{curl} \\mathbf{e}^\\varepsilon = 0, \\quad \\operatorname{curl} \\mathbf{h}^\\varepsilon = \\mathbf{j}^\\varepsilon, \\quad \\operatorname{div} \\mathbf{b}^\\varepsilon = 0 \\quad \\text{in } \\Omega, $$ 其中本构关系为 $\\mathbf{j}^\\varepsilon = \\sigma^\\varepsilon \\mathbf{e}^\\varepsilon + \\mathbf{j}_s$, $\\mathbf{b}^\\varepsilon = \\mathcal{B}(\\mathbf{h}^\\varepsilon) = \\mu(\\mathbf{h}^\\varepsilon) \\mathbf{h}^\\varepsilon$. 未知量为磁场 $\\mathbf{h}^\\varepsilon$ [A/m], 电场 $\\mathbf{e}^\\varepsilon$ [V/m], 磁通密度 $\\mathbf{b}^\\varepsilon$ [T] 和电流密度 $\\mathbf{j}^\\varepsilon$ [A/m$^2$]. 边界条件为 $\\mathbf{n} \\times \\mathbf{h}^\\varepsilon|_\\Gamma = 0$ 以及初值 $\\mathbf{h}^\\varepsilon(\\mathbf{x},0) = \\mathbf{h}_0^\\varepsilon(\\mathbf{x})$. 通过消去电场, 可得到 $\\mathbf{h}$-共形强形式: $$ \\partial_t \\mathcal{B}(\\mathbf{h}^\\varepsilon) + \\operatorname{curl}(\\rho^\\varepsilon \\operatorname{curl} \\mathbf{h}^\\varepsilon) = 0 \\quad \\text{in } \\Omega_c, $$ 其中 $\\rho^\\varepsilon = 1/\\sigma^\\varepsilon$. 其弱形式为: 求 $\\mathbf{h}^\\varepsilon \\in C^1([0,T]; V^I(\\Omega))$ 使得 $$ (\\partial_t \\mathcal{B}(\\mathbf{h}^\\varepsilon), \\mathbf{v})_\\Omega + (\\rho \\operatorname{curl} \\mathbf{h}^\\varepsilon, \\operatorname{curl} \\mathbf{v})_{\\Omega_c} = 0 $$ 对所有 $\\mathbf{v} \\in V^0(\\Omega)$ 成立. 文中假定电导率一致有界, 微分磁导率 $\\partial \\mathbf{B}/\\partial \\mathbf{h}$ 满足 $0\u003c\\mu_{\\min} \\le |\\cdot| \\le \\mu_{\\max}$, 且 $\\mathcal{B}$ 满足强单调性和 Lipschitz 连续性, 以保证解的唯一性. 这类问题在电气工程中至关重要, 例如变压器、电机和三维打印磁性材料的优化设计. 然而, 由于微观结构尺寸可能与集肤深度 $\\delta$ 相当, 即 $l_c \\approx \\delta$, 经典的尺度分离假设 ($l_c \\ll \\delta$) 失效, 且非线性磁性材料与局部受限涡流 (confined eddy currents) 的耦合使得均匀化过程复杂. 此前大多数方法针对 2D 线性问题或层叠结构, 难以处理 3D 非线性、非层叠的周期复合材料的瞬态过程. 本文旨在填补这一空白: 提出一种基于异质多尺度方法 (HMM) 的 $\\mathbf{h}$-共形多尺度格式, 能够处理 3D 非线性 MQS 问题, 并正确处理局部受限涡流, 同时避免牛顿-拉夫森 (NR) 迭代在 $\\mathbf{h}$-共形格式中因非线性 $BH$ 曲线引起的收敛困难.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果是提出并验证了一种 $\\mathbf{h}$-共形多尺度格式, 用于解决局部受限涡流非线性磁准静态问题. 具体结论如下:\n在周期框架下, 采用 HMM 方法构造了两个介观 (mesoscale) 问题: 一个磁准静态问题用于上调均匀化磁通密度 $\\mathbf{B}_M$, 一个磁静力学问题用于上调宏观增量磁阻率 $\\partial \\mathbf{B}_M/\\partial \\mathbf{H}_M$. 宏观问题具有磁静力学形式, 即求 $\\mathbf{H}_M \\in H(\\operatorname{curl}; \\Omega)$ 满足 $$ \\operatorname{curl} \\mathbf{H}_M = \\mathbf{j}_s, \\quad \\mathbf{H}_M = \\mathbf{H}_s + \\operatorname{grad} \\phi_M, $$ 其中 $\\phi_M$ 为宏观标量势, $\\mathbf{H}_s$ 为源场. 宏观本构关系通过上标获得: $\\mathbf{B}_M = \\mathcal{B}_M(\\mathbf{H}_M)$, 其中 $\\mathcal{B}_M$ 由介观磁准静态问题求得. 证明了当磁准静态介观问题中的涡流功率 $P_{\\text{eddy}}^m$ 远小于磁功率 $P_{\\text{mag}}^m$ 时, 即 $P_{\\text{eddy}}^m / P_{\\text{mag}}^m \\ll 1$, 该磁准静态介观问题可以用磁静力学问题替代, 而上调得到的 $\\mathbf{B}_M$ 相同. 文中通过数值实验表明, 即使集肤深度 $\\delta$ 远小于夹杂物尺寸 (例如 $f=10^4$ Hz, $\\mu_r=10^4$, $\\delta=5\\,\\mu$m, 夹杂物半径 $r=40\\,\\mu$m), 只要功率比足够小, 静态与动态介观问题给出相同的均匀化磁通密度. 提出了在宏观和介观两个层面使用松弛牛顿-拉夫森 (relaxed Newton-Raphson) 方案. 对于 $\\mathbf{h}$-共形格式, 经典的 NR 方法在非线性 $BH$ 曲线存在时可能不收敛; 通过引入松弛参数, 改进了迭代的鲁棒性. 具体地, 在第 $k$ 次迭代中, 增量磁阻率 $\\partial \\mathbf{B}_M/\\partial \\mathbf{H}_M$ 在介观问题上计算, 并用于宏观问题的线性化. 通过 2D 和 3D 理想化周期软磁复合材料算例验证了方法的精度和性能. 对线性和非线性 $BH$ 曲线均进行了测试, 并将 HMM 结果与直接细网格参考解 (finescale 解) 对比. 结果表明, 所提出的多尺度格式能够准确捕捉平均场行为, 即使在集肤深度与胞元尺寸相当的情况下, 只要涡流功率占比不高. 文中还报告了强扩展和弱扩展 (strong/weak scaling) 数值实验, 展示了方法在并行计算中的可扩展性. 具体加速比数据在 PDF 中未完整给出, 但作者声称所提格式具有较好的计算效率. 在理论分析方面, 作者通过量纲分析和渐近展开 (第 3 节) 明确了尺度分离假设在涡流问题中的失效条件: 当 $l_c \\approx \\delta$ 时, 经典展开的阶数匹配不再成立. 但对于局部受限涡流问题, 只要胞元内涡流功率远小于磁功率, 宏观方程仍为磁静力学方程, 从而避免了完全动态均匀化的复杂性. 3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术障碍在于:(i) 局部受限涡流导致宏观方程中有效电导率为零, 经典渐近均匀化方法 (基于材料参数上调) 不再适用;(ii) $\\mathbf{h}$-共形格式中非线性 $BH$ 曲线导致 NR 迭代收敛困难;(iii) 尺度分离假设 $l_c \\ll \\delta$ 可能失效. 作者的创新点体现在以下方面:\n两尺度 HMM 框架与双介观问题: 与传统均匀化方法不同, 作者不在宏观尺度上均匀化电导率, 而是将介观问题分为一个磁准静态问题和一个磁静力学问题. 磁准静态介观问题用于计算均匀化磁通密度 $\\mathbf{B}_M$: 给定宏观磁场 $\\mathbf{H}_M$, 在胞元 $\\Omega_m$ 上求解 $$ \\operatorname{curl}(\\rho_m \\operatorname{curl} \\mathbf{h}_m) = -\\partial_t \\mathbf{b}_m, \\quad \\mathbf{b}_m = \\mathcal{B}(\\mathbf{h}_m), $$ 再体积平均 $\\mathbf{B}_M = \\frac{1}{|\\Omega_m|}\\int_{\\Omega_m} \\mathbf{b}_m \\, d\\Omega_m$. 磁静力学介观问题用于计算增量磁阻率 $\\partial \\mathbf{B}_M/\\partial \\mathbf{H}_M$: 在胞元上对每个方向施加单位增量磁场, 求解静态问题并平均. 这种双问题策略将非线性动态效应纳入 $\\mathbf{B}_M$, 而将切线刚度用于 NR 线性化. 局部受限涡流的渐近分析: 作者通过量纲分析 (第 3.1 节) 将完整 Maxwell 方程归一化, 得到无量纲方程 (3.4), 其中涡流项系数为 $1/(\\pi \\delta_c^2)$, 磁项系数为 $1/L_c^2$. 他们指出, 经典渐近展开要求 $l_c \\ll \\delta_c$, 但当 $l_c \\approx \\delta_c$ 时, 展开中 $\\varepsilon^{-2}$ 阶项不再主导, 导致均匀化失效. 然而, 对于局部受限涡流 (导电域不连通), 宏观问题退化为磁静力学, 不需要对时间导数项进行渐近展开. 这一分析为后续格式的合理性提供了理论依据. 松弛 NR 方法: 在 $\\mathbf{h}$-共形弱形式中, 非线性项 $\\partial_t \\mathcal{B}(\\mathbf{h})$ 的线性化涉及 $\\partial \\mathbf{B}/\\partial \\mathbf{h}$. 由于 $\\mathcal{B}$ 的非单调性 (或强饱和) 可能导致 NR 迭代发散. 作者在宏观和介观两个层面引入松弛因子 $\\omega$, 即更新 $\\mathbf{H}_{M}^{k+1} = \\mathbf{H}_M^k + \\omega \\Delta \\mathbf{H}_M^k$, 其中 $\\omega \\in (0,1]$. 这种松弛策略类似于阻尼牛顿法, 但作者特别强调了其针对 $\\mathbf{h}$-共形格式中磁导率非光滑性的作用. 文中通过数值实验证明, 即使标准 NR 不收敛, 松弛 NR 仍能收敛. 数值实现细节: 细网格问题使用 $\\mathbf{h}-\\phi$ 格式, 即导体中采用 Nédélec 棱单元, 非导体中采用节点标量势的梯度, 并引入环路积分约束处理多连通域 (3.3 节). 宏观问题同样采用 $\\mathbf{H}_M = \\mathbf{H}_s + \\operatorname{grad} \\phi_M$ 的表示, 从而将三维问题简化为标量势问题. 介观问题的边界条件取周期性条件, 但文中没有显式讨论, 从算法描述看应使用周期性边界或 Dirichlet 边界 (PDF 未明确). 功率比判据: 作者通过数值实验 (图 2 和图 3) 提出并验证了以下判据: 当胞元内涡流功率 $P_{\\text{eddy}}^m$ 与磁功率 $P_{\\text{mag}}^m$ 之比很小 (例如 $\\ll 1$) 时, 可以用静态介观问题替代动态介观问题. 这为实际计算提供了简化准则, 减少了计算代价. 扩展性与并行计算: 作者报告了强扩展和弱扩展测试, 说明算法适合大规模并行. 但具体性能数据未详细摘录. 在证明框架上, 作者没有给出严格的收敛性定理 (如 $\\varepsilon \\to 0$ 的误差估计), 而是通过数值验证确认方法的有效性. 这一点在摘要和正文中均未明确声称理论证明, 因此应视为数值方法研究.\n4. 与之前工作的比较 本文将所提方法与文献中多种均匀化方法进行了比较, 主要推进点和差异如下:\n与 Bottauscio 等人 (文献 [12,13]) 的比较: Bottauscio 等人使用渐近展开法、多尺度有限元法 (MsFEM) 和变分多尺度方法 (VMS) 求解 2D/3D 非线性周期复合材料问题, 考虑了导体子域中的涡流和非导体子域中的位移电流. 但这些方法在处理局部受限涡流的动态问题时精度不高. 相比之下, 本文的方法专门针对局部受限涡流设计, 通过宏观磁静力学和介观磁准静态的双尺度分解, 能够更准确地捕捉动态效应. 与 HMM 系列工作 (文献 [58,60,59,48,73]) 的比较: 这些工作使用 HMM 求解 2D 层叠材料和理想软磁复合材料的 MQS 问题, 后来扩展到 3D 非线性问题并耦合多谐波方法求解稳态. 但多谐波方法只能得到稳态周期解, 无法模拟瞬态过程. 本文的时域方法能够直接模拟瞬态行为, 这是显著推进. 与 Niyonzima 等人之前的 2D 工作 (文献 [51,50]) 的比较: 之前的 $\\mathbf{b}$-和 $\\mathbf{h}$-共形格式针对 2D 问题, 包括绕组, 但仅限于线性问题. 本文将 $\\mathbf{h}$-共形格式扩展到 3D 非线性问题, 并处理了非线性 $BH$ 曲线. 与 Schöbinger 和 Hollaus (文献 [40,75,41]) 的比较: 他们的 MsFEM 变体模拟了层叠结构的非线性涡流问题, 并引入降阶模型. 但该方法本质上仅适用于层叠复合材料, 而本文的方法适用于任意周期性胞元几何 (如三维球形夹杂物). 与 Ren 等人 (文献 [69,71,70]) 的比较: Ren 等人使用局部正交分解 (LOD) 方法, 基于变分多尺度方法, 实现了 2D 非线性涡流问题的均匀化, 并扩展到拓扑优化. 但该方法在 3D 和复杂几何上的应用受限. 本文的方法能够处理 3D 情况, 但没有涉及优化. 与均场方法 (文献 [22,19,67]) 的比较: 均场方法处理 3D 非线性迟滞问题, 并扩展到涡流, 但无法正确应对强烈受限的涡流. 本文的方法基于周期均匀化, 能够处理强受限涡流. 与经典均匀化方法 (文献 [36,38,37]) 的比较: 这些方法针对层叠结构和绕组, 可以处理全局涡流 (例如接触缺陷引起的涡流), 但不适用于任意周期或非周期胞元. 本文的方法针对周期框架, 但可以推广到非周期? 作者未明确, 但 HMM 通常允许非周期胞元. 与渐近展开法的比较: 经典渐近展开法需要尺度分离 $l_c \\ll \\delta$, 本文通过量纲分析指出该假设在涡流问题中可能失效, 并提出了基于功率比判据的替代方案. 这是理论上的一个重要补充. 代价与局限: 本文的方法需要求解两个介观问题 (一个瞬态一个静态), 计算成本比单一静态均匀化高, 但对于瞬态问题仍是可行的. 此外, 方法仅限于周期性框架, 虽然 HMM 可以处理非周期性, 但本文的算例都是理想周期结构. 文中没有给出严格的误差估计, 收敛性仅通过数值验证.\n需要注意: 作者在摘要和引言中指出, 本文针对理想化周期性软磁复合材料, 未考虑随机分布或迟滞效应. 从提供内容中无法确认作者是否讨论了非周期推广, 但 HMM 框架本身可扩展. 此外, 文中提到的功率比判据是基于数值观察, 没有理论证明, 作者称“seems to corroborate”, 因此应视为经验准则.\n2. 界面问题中由大局部误差产生的二阶精度：离散格林函数分析 Second-Order Accuracy from Large Local Errors in Interface Problems: A Discrete Green\u0026rsquo;s Function Analysis\n作者: So-Hsiang Chou, Patrick Nyadjo Fonga\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-30\narXiv ID: 2608.30020v1\n摘要翻译: 界面问题的有限差分方法通常在界面附近表现出较大的局部截断误差，尤其是当系数或解的导数存在间断时。然而，许多此类格式仍能达到二阶精度，这一现象无法用标准逐点相容性论证完全解释。\nComment: 23 pages\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.30020v1\n1. 研究对象和背景 本文研究一类经典的椭圆界面问题。设区间 $(a,b)$ 内含一个界面点 $\\alpha$，系数 $\\beta(x)$ 在 $\\alpha$ 两侧取不同的正值，但可能在 $\\alpha$ 处发生跳跃。具体地，考虑方程 $$-\\frac{d}{dx}\\left(\\beta(x)\\frac{du}{dx}\\right)=f,\\quad x\\in(a,\\alpha)\\cup(\\alpha,b),\\quad u(a)=u(b)=0,$$ 并施加界面条件 $[u]_\\alpha=w$，$[\\beta u_x]_\\alpha=v$。这里 $[g]_\\alpha=g(\\alpha+)-g(\\alpha-)$ 表示跳跃。关键未知量为解 $u(x)$。由于系数间断或解导数间断，有限差分格式在界面附近的标准局部截断误差可能达到 $O(1)$，而非 $O(h^2)$。\n尽管局部误差很大，许多实际格式仍然在最大模意义下保持二阶全局精度，即 $\\|U-u\\|_\\infty=O(h^2)$。经典的点态一致性分析无法解释这一现象：它只说明局部误差小是充分条件，而这里局部误差并不小。因此，需要从离散算子整体结构的角度理解误差传播。\n已有理论背景包括浸入界面法（LeVeque 和 Li [7]）、界面条件代数强加方法（Wiegmann 和 Bube [11]）、简单有限差分构造（Tzou 和 Stechmann [10]）以及调和型格式（[3,9]）。Beale 和 Layton [1] 最早指出，通过离散椭圆正则性和格林函数估计，弱局部一致性仍可能产生二阶解精度。然而，由于缺乏离散格林函数的显式表达式，其中的作用机制尚未被完全揭示。\n本文针对一维守恒型差分格式，系统推导了与通量形式算子 $L_h=h^{-2}A_h$ 相关联的离散格林函数 $G=(L_h)^{-1}$，并发现了其加权增量的“双平台”结构。作者将这一结构用于分析界面处的两个相邻大局部误差，证明了在守恒性和组合一致性条件下，这两个 $O(1)$ 误差对全局误差的贡献仅为 $O(h^2)$。这一结果将精度归因于局部缺陷与离散算子的全局结构之间的相互作用，并推广到二维平直界面的情形。填补的空白是：给出了支持性的显式格林函数分析，建立了一类守恒界面格式的二阶收敛判据。\n2. 主要定理或主要结果 论文的主要结果按如下逻辑展开。\n首先，对于一般的通量形式三对角矩阵 $$(A_hU)_i=-\\beta_{i-1/2}U_{i-1}+(\\beta_{i-1/2}+\\beta_{i+1/2})U_i-\\beta_{i+1/2}U_{i+1},\\quad U_0=U_{n+1}=0,$$ 其中 $\\beta_{i+1/2}\u003e0$，定理2.1给出逆矩阵的显式公式： $$(A_h^{-1})_{ij}=\\frac{S(1,\\min\\{i,j\\})S(\\max\\{i,j\\}+1,n+1)}{S(1,n+1)},$$ 其中 $s_k=1/\\beta_{k-1/2}$，$S(c,d)=\\sum_{k=c}^d s_k$。由此，有限差分算子 $L_h=h^{-2}A_h$ 的离散格林函数 $G_{ij}=(L_h^{-1})_{ij}=h^2(A_h^{-1})_{ij}$ 满足（命题2.2）： $$G_{ij}=\\frac{h^2}{S(1,n+1)}\\begin{cases}S(1,i)S(j+1,n+1),\u0026i\\le j\\\\S(1,j)S(i+1,n+1),\u0026i\u003ej.\\end{cases}$$ 其加权一阶差分具有双平台性：对固定源点 $j$， $$\\beta_{i+1/2}(G_{i+1,j}-G_{ij})=\\frac{h^2}{S(1,n+1)}\\begin{cases}S(j+1,n+1),\u0026i","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-01_14-41-20/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月01日 14:41:20\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 4\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 8\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 31\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-使用fe-hmm方法的局部受限非线性涡流问题的磁场共形多尺度格式\"\u003e1. 使用FE-HMM方法的局部受限非线性涡流问题的磁场共形多尺度格式\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eMagnetic Field Conforming Multiscale Formulations for Locally-Confined Nonlinear Eddy Current Problems Using the FE-HMM Method\u003c/p\u003e","title":"2026年09月01日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年09月01日 09:33:16\n重点关注论文数量: 5\n了解领域论文数量: 7\n不相关论文数量: 31\n重点关注论文（完整分析） 1. 使用FE-HMM方法的局部受限非线性涡流问题的磁场保形多尺度公式 Magnetic Field Conforming Multiscale Formulations for Locally-Confined Nonlinear Eddy Current Problems Using the FE-HMM Method\n作者: Innocent Niyonzima, Gérard Meunier, Antoine Marteau, Ruth V. Sabariego, Olivier Chadebec, Nicolas Galopin, Christophe Geuzaine\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-31\narXiv ID: 2608.30542v1\n摘要翻译: 磁性复合材料常用于电能转换，其中往往包含相互绝缘的铁磁夹杂物以减少涡流损耗。针对这些复合材料的数值模型必须足够稳健，以处理由非线性磁性夹杂物和胞元中显著受限涡流的存在而可能引起的收敛性问题。本文提出了一种周期框架下磁性复合材料的$\\mathbf{h}$协调多尺度公式。所提方法使用异质多尺度方法（HMM），并包含两个细观尺度问题：一个用于升尺度化均匀化磁通密度$\\mathbf{B}_M$的磁准静态问题，以及一个用于升尺度化宏观增量磁阻率$(\\partial \\mathbf{B}_M/\\partial \\mathbf{H}_M)$的静磁问题。此外，该方法在宏观和细观尺度上都采用松弛的Newton\u0026ndash;Raphson迭代，以缓解与$\\mathbf{h}$协调公式中非线性BH本构关系相关的众所周知的NR收敛问题。利用具有线性和非线性BH曲线的二维和三维理想化周期软磁复合材料评估了该公式的准确性和性能。此外，论文证明了磁准静态细观尺度问题可以被一个磁体 a 所替代。\nComment: 31 pages, including the bibliography, 14 figures, 1 algorithm, 1 table, paper accepted for publication (but not published yet) in SIAM Multiscale Modeling and Simulations\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.30542v1\n1. 研究对象和背景 本文研究磁性复合材料中局部受限涡流问题的多尺度数值建模. 研究对象是周期性复合材料, 其微观结构含有铁磁夹杂物, 夹杂物彼此绝缘以降低涡流损耗. 在低频电磁设备中, 控制方程为磁准静态 (MQS) 近似下的 Maxwell 方程组: $\\partial_t \\mathbf{b}^{\\varepsilon} + \\operatorname{curl} \\mathbf{e}^{\\varepsilon} = 0$, $\\operatorname{curl} \\mathbf{h}^{\\varepsilon} = \\mathbf{j}^{\\varepsilon}$, $\\operatorname{div} \\mathbf{b}^{\\varepsilon} = 0$, 其中 $\\varepsilon$ 表示多尺度特征, 本构关系为 $\\mathbf{j}^{\\varepsilon} = \\sigma^{\\varepsilon} \\mathbf{e}^{\\varepsilon} + \\mathbf{j}_{s}$, $\\mathbf{b}^{\\varepsilon} = B(\\mathbf{h}^{\\varepsilon}) = \\mu(\\mathbf{h}^{\\varepsilon}) \\mathbf{h}^{\\varepsilon}$. 求解域 $\\Omega$ 分为导电区 $\\Omega_c$ 和非导电区 $\\Omega_c^C$, 边界满足 $\\mathbf{n} \\times \\mathbf{h}^{\\varepsilon}|_{\\Gamma} = 0$, 初始条件 $\\mathbf{h}^{\\varepsilon}(\\mathbf{x},0) = \\mathbf{h}^{\\varepsilon}_0(\\mathbf{x})$. 弱形式为: 求 $\\mathbf{h}^{\\varepsilon} \\in C^1([0,T]; V^I(\\Omega))$ 使得 $(\\partial_t B(\\mathbf{h}^{\\varepsilon}), \\mathbf{v})_{\\Omega} + (\\rho \\operatorname{curl} \\mathbf{h}^{\\varepsilon}, \\operatorname{curl} \\mathbf{v})_{\\Omega_c} = 0$ 对所有 $\\mathbf{v} \\in V^0(\\Omega)$ 成立, 其中 $\\rho = 1/\\sigma$, $V^I(\\Omega)$ 和 $V^0(\\Omega)$ 是 $H(\\operatorname{curl}; \\Omega)$ 中带有电流约束和零切向边界的空间. 本文针对的问题类别是所谓\u0026rsquo;局部受限涡流问题\u0026rsquo;, 即导电域在周期单元内是不连通的 (disconnected conducting domain), 此时宏观问题为静磁问题, 而介观单元内仍保持磁准静态. 这类问题在经典渐近均匀化中因均匀化电导率趋于零而难以处理. 此外, $\\mathbf{h}$-conforming 格式中非线性 $B$-$H$ 律直接导致 Newton-Raphson (NR) 迭代的收敛困难, 且当集肤深度 $\\delta$ 与微结构尺寸 $l_c$ 同量级时, 尺度分离假设 $l_c \\ll \\delta$ 被破坏. 本文旨在填补如下空白: 提出一个能够在 3D 周期框架下处理非线性、局部受限涡流、且允许瞬态模拟的 $\\mathbf{h}$-conforming 多尺度格式, 并避免 NR 不收敛问题.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果如下: (1) 提出基于 HMM 的 $\\mathbf{h}$-conforming 多尺度格式, 在宏观尺度求解磁静力型均匀化方程, 在介观尺度构造两个辅助问题: 一个磁准静态 (MQS) 问题用于升尺度均匀化磁通密度 $\\mathbf{B}_M$, 一个磁静力问题用于升尺度宏观增量磁阻率 $\\partial \\mathbf{B}_M / \\partial \\mathbf{H}_M$. 具体地, 宏观有效关系通过体积平均定义: $\\mathbf{B}_M = \\frac{1}{|\\Omega_m|} \\int_{\\Omega_m} \\mathbf{b}_m \\, d\\Omega_m$, 而增量磁阻率由静磁单元问题解得 (提供文本中未给出完整闭式公式). (2) 通过量纲分析归一化 Maxwell 方程 (3.1)\u0026ndash;(3.4), 证明了在涡流问题中尺度分离条件 (3.10) 中的 $l_{c,i} = \\varepsilon L_{c,i} \\ll \\delta_c$ 可能不满足, 从而说明经典渐近展开需要沿 [6,7] 的思路重新推导. (3) 针对局部受限涡流问题, 提出了将介观 MQS 问题在特定条件下简化为静磁问题的判据: 当单元内磁功率 $P_m^{mag}$ 远大于涡流损耗功率 $P_m^{eddy}$ (即 $P_m^{eddy}/P_m^{mag} \\ll 1$) 时, 两者给出相同的均匀化磁通密度; 否则动态 MQS 解与静磁解不同 (见第 3.2 节及图 2\u0026ndash;3). 文中通过数值算例\u0026rsquo;演示\u0026rsquo;了这一判据, 但未给出严格的定理证明. (4) 在宏观和介观两个尺度上均采用松弛 Newton-Raphson 迭代, 以缓解 $\\mathbf{h}$-conforming 格式中因非线性 $B$-$H$ 曲线导致的 NR 不收敛. (5) 数值验证: 对 2D 和 3D 理想化周期软磁复合材料, 在线性和非线性 $B$-$H$ 曲线下, 将 HMM 结果与细尺度参考解对比, 验证了准确性; 并做了强扩展和弱扩展性能测试. 需要说明的是, 由于提供文本不完整, 具体误差阶、收敛率定理编号等细节无法从提供内容中确认.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文方法的核心障碍有两点: (i) 局部受限涡流导致均匀化电导率消失, 经典渐近展开不适用; (ii) $\\mathbf{h}$-conforming 格式中非线性 $B$-$H$ 律使 Newton-Raphson 迭代鲁棒性差. 作者的真正创新点在于: 针对局部受限涡流问题, 不再试图升尺度材料参数, 而是采用 HMM 框架直接升尺度电磁场量, 即通过介观单元问题的解来构造宏观磁通密度和增量磁阻率. 具体工具包括: (1) 无量纲化与渐近分析: 利用特征长度 $L_c$, 集肤深度 $\\delta_c = \\sqrt{2/(\\sigma_c \\omega_c \\mu_c)}$, 波长 $\\lambda_c$ 等, 将 Maxwell 方程归一化为 (3.4), 然后忽略位移电流得到 (3.6). 通过分析各项系数, 指出当 $\\delta_c$ 与 $l_c$ 同量级时, 标准渐近展开的阶数假设失效. 这一分析为后续提出新的升尺度策略提供了理论依据. (2) 双介观问题构造: 在 HMM 框架下, 每个宏观点 $\\mathbf{x}$ 处定义周期单元 $\\Omega_m$, 求解带周期边界条件或绝缘边界的单元问题. 其中 MQS 单元问题包含时间导数项 $\\partial_t \\mathbf{b}_m$, 用于捕获单元内涡流对 $\\mathbf{B}_M$ 的影响; 静磁单元问题则用于计算恒定磁化下的响应, 从而获得增量磁阻率 $\\partial \\mathbf{B}_M / \\partial \\mathbf{H}_M$. 文中提到通过边缘平均或面平均等技术准确升尺度 $\\mathbf{H}_M$, 并引入涡流产生的磁化 $\\mathbf{M} = \\frac{1}{|\\Omega_m|} \\int_{\\Omega_m} \\frac{1}{2}(\\mathbf{x}-\\mathbf{x}_c) \\times \\mathbf{j}_m \\, d\\Omega_m$ 来修正宏观磁场, 避免直接取 $\\mathbf{h}_m$ 平均值带来的误差. (3) 松弛 Newton-Raphson (NR) 方案: 在宏观与介观非线性系统求解中, 采用松弛因子或阻尼 NR 迭代. 文中并未给出具体松弛参数公式, 但强调这一做法可显著提升收敛性. (4) 数值离散: 在导体内使用一阶 Nédélec 元 $\\mathrm{ND}_1(T) = \\{\\mathbf{a} + \\mathbf{b} \\times \\mathbf{x}\\}$, 在非导体区域使用 $P_1$ 节点元表示梯度场; 通过全局基函数和树-余树规范处理电流约束与拓扑. 强/弱扩展性测试表明算法可并行高效实现. 需要注意的是, 提供文本未给出具体时间离散格式和松弛参数取值, 这些细节无法从当前内容中确认.\n4. 与之前工作的比较 与已有工作的比较: (1) 与 Bottauscio 等人的工作相比: 他们基于渐近展开、MsFEM 和 VMS 求解 2D/3D 非线性问题, 能处理周期复合材料的静态和动态问题, 但对局部受限涡流动态问题不准确. 本文的 HMM 格式专门针对这类问题, 在介观保留 MQS 从而捕获涡流. (2) 与 [58,60,59,48,73] 的 HMM 工作相比: 这些工作已用于 2D 叠片和理想软磁复合材料, 最近扩展到 3D 非线性和多谐波稳态, 但不能模拟瞬态过程. 本文的 $\\mathbf{h}$-conforming 格式直接基于时间域, 支持瞬态模拟. (3) 与 [51,50] 的多尺度 $\\mathbf{b}$-和 $\\mathbf{h}$-conforming 格式相比: 它们处理了 2D 问题包括绕组, 并提出了适合受限涡流的升尺度技术, 但仅限线性问题. 本文将其扩展到非线性 $B$-$H$ 曲线, 并解决 NR 收敛问题. (4) 与 Schöbinger 和 Hollaus 的非线性叠片 MsFEM 相比: 他们引入了模型降阶, 但方法固有地限于叠层复合材料. 本文适用于任意周期单元 (至少理想化软磁复合材料). (5) 与 Ren 等人的 LOD/VMS 方法相比: 他们处理 2D 非线性涡流并扩展到拓扑优化; 本文面向 3D 更一般的微结构. (6) 与平均场方法相比: 平均场方法不能正确应对具有强受限涡流的 3D 非线性问题, 本文 HMM 能够处理. (7) 与经典均匀化方法 [36,38,37] 相比: 那些方法用于叠片和绕组, 不适用于任意周期/非周期单元. 本文在周期框架下对任意单元构造介观问题. (8) 关于尺度分离失效: 本文明确指出现有方法通常隐含假设 $l_c \\ll \\delta_c$, 而本文通过量纲分析指出在涡流问题中该条件可能被破坏, 并提出了基于功率比 $P_m^{eddy}/P_m^{mag}$ 的判定准则. 这一对比是本文的重要贡献. 代价: 本文方法需要在每个宏观点求解两个介观非线性问题, 计算成本较高; 但通过强/弱扩展性展示可并行化. 另外, 作者未显式讨论非周期或随机分布夹杂物; 文中说明只考虑周期性设置.\n2. 带非线性跳跃条件的抛物型界面问题的浸入界面方法 An Immersed Interface Method for Parabolic Interface Problems with Nonlinear Jump Conditions\n作者: So-Hsiang Chou, Patrick Nyadjo Fonga\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-30\narXiv ID: 2608.30062v1\n摘要翻译: 我们针对一维非线性抛物型界面问题发展了一种浸入界面有限差分方法，其跳跃条件为 [ [u]_α=λu^+u^-。] 该方法将 Crank\u0026ndash;Nicolson 浸入界面离散与非线性界面条件的 (s) 参数约化相结合，从而将非线性耦合约化为一个标量二次方程。我们还讨论了将牛顿迭代与浸入界面离散相结合的两种不同观点，即 IIM\u0026ndash;Newton 和 Newton\u0026ndash;IIM 格式。文中给出了数值实验，以说明该方法的性质和精度。\nComment: 17 pages,6figures\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.30062v1\n1. 研究对象和背景 本文研究一维非线性抛物型界面问题(nonlinear parabolic interface problem, NPIP)的浸入界面有限差分方法. 研究对象为如下方程(对应原文(1)-(5)): $$ Lu := u_t - (\\beta u_x)_x + q u = f, \\quad x \\in \\Omega^- \\cup \\Omega^+, \\ t \\in (0,T], $$ $$ u(a,t) = \\xi(t), \\quad u(b,t) = \\eta(t), $$ $$ [u]_\\alpha = \\lambda u^+ u^-, \\quad [\\beta u_x]_\\alpha = 0, $$ $$ u(x,0) = g(x), \\quad x \\in \\Omega^- \\cup \\Omega^+. $$ 其中 $\\alpha$ 为固定界面点, $\\Omega^- = (a,\\alpha)$, $\\Omega^+ = (\\alpha,b)$, 扩散系数 $\\beta = \\beta(x) \u003e 0$ 为分段常数: $\\beta = \\beta^-$ 在 $\\Omega^-$ 内, $\\beta = \\beta^+$ 在 $\\Omega^+$ 内. 记号 $[u]_\\alpha = u^+ - u^-$, $[\\beta u_x]_\\alpha = \\beta^+ u_x^+ - \\beta^- u_x^-$, 其中 $u^\\pm = \\lim_{x \\to \\alpha^\\pm} u(x,t)$. 非线性界面条件 $[u]_\\alpha = \\lambda u^+ u^-$ 耦合了界面两侧的解迹, 是问题的主要非线性来源.\n这类问题广泛出现于涉及界面、膜与非均匀介质的扩散与输运模型中. 在数值方法层面, 处理间断系数界面问题的常用手段包括拟合有限差分、浸入界面方法(IIM)、浸入有限元方法以及相关非拟合网格离散. 其中由 LeVeque 和 Li 引入的浸入界面方法(参考文献[4])通过在界面附近非规则网格点处添加修正项, 在笛卡尔网格上保持了高阶精度. 后续对椭圆与抛物型界面问题的 IIM 发展可见文献[1,5,6], 浸入有限元方法的相关讨论见文献[7].\n经典 IIM 的修正项构造依赖于跳跃条件被显式给定. 当界面条件为非线性时, 跳跃量 $[u]_\\alpha$ 不再是已知数据, 而是依赖于未知解自身在界面两侧的迹 $u^+$ 和 $u^-$. 这使得修正项无法直接构造, 也使得非线性与离散格式的耦合变得复杂. 已有的基于拟合网格的有限差分方法(文献[2])和非线性跳跃的 $s$ 参数化思想(文献[3])提供了些线索, 但尚未在浸入界面框架下系统发展.\n本文试图填补的空白是: 在经典 IIM 框架中纳入非线性跳跃条件 $[u]_\\alpha = \\lambda u^+ u^-$, 使得界面修正仍然保持局部性和稀疏性, 同时不破坏二阶全局精度. 作者将 $s$ 参数化引入 IIM, 将解分解为 $u = u_0 + s u_1$, 从而把非线性界面耦合约化为一个标量二次方程. 该分解把非线性界面条件与线性体方程分离, 使得复杂的非线性问题在时间方向可以通过 Crank-Nicolson 结合两个线性 IIM 问题来处理. 此外, 作者还对比了两种牛顿迭代与 IIM 离散结合的顺序(IIM-Newton 与 Newton-IIM), 并给出理论上的局部截断误差分析. 这些工作为非线性界面问题的非拟合网格高精度求解提供了新的视角和可行性验证.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果可归纳为以下几个方面.\n线性问题的浸入界面离散与截断误差. 对于带一般线性跳跃条件 $A(t) u^+ - B(t) u^- = w(t)$, $[\\beta u_x]_\\alpha = v(t)$ 的线性抛物型界面问题(7)-(11), 作者给出了 θ-方法(12)在非规则网格点 $x_j$ 和 $x_{j+1}$ 处的修正项 $C_j$ 和 $C_{j+1}$, 具体公式为(16)和(20). 这些修正项通过泰勒展开并匹配至 $O(h^2)$ 项而得到. 在 $A=B=1$ 时退化为标准已知跳跃情形, 修正项相应简化. 在引理1中, 作者证明了空间截断误差的局部阶: 在规则点 $i \\notin \\{j,j+1\\}$ 有 $\\tau_i = O(h^2)$; 在两个非规则点有 $\\tau_j = O(h)$ 和 $\\tau_{j+1} = O(h)$. 进一步, 作者利用一维问题中非规则缺陷仅支撑在两个网格点以及离散逆算子(离散Green函数)的 $O(h)$ 量级, 说明 $O(h)$ 的局部截断误差并不破坏全局二阶精度. 这是本文对经典 IIM 中“局部低阶但全局高阶”现象的严格论证.\n非线性界面条件的 $s$ 参数化. 对于非线性界面条件 $[u]_\\alpha = \\lambda u^+ u^-$, 作者采用 $s$ 参数化: 设 $u = u_0 + s u_1$, 其中 $u_0$ 满足齐次跳跃 $[u_0]_\\alpha = 0$, $[\\beta u_{0,x}]_\\alpha = 0$(或给定 $v$), 而 $u_1$ 对应单位跳跃 $[u_1]_\\alpha = 1$. 将分解代入非线性跳跃条件后, 得到关于 $s$ 的标量二次方程. 该方程的解 $s$ 唯一确定了界面跳跃量, 从而将非线性问题转化为两个线性 IIM 子问题. 这种处理避免了迭代耦合, 也使得 Crank-Nicolson 时间离散能直接适用.\n稳态椭圆模型的 IIM-Newton 格式. 为清晰展示非线性代数结构, 作者先考虑稳态椭圆问题(21)-(24). 非线性跳跃可改写为 $w = \\lambda (u^-)^2/(1-\\lambda u^-)$, 它与未知迹 $u^-$ 相关. 在离散层面, 系统形如 $A_h U = F_h + \\Phi(U)$, 其中修正向量 $\\Phi(U)$ 仅在两个非规则点 $I$ 和 $I+1$ 处非零. 采用二次拉格朗日外推 $\\tilde U^- = U_{I-2}\\ell_{I-2}(\\alpha) + U_{I-1}\\ell_{I-1}(\\alpha) + U_I\\ell_I(\\alpha)$ 来逼近 $u^-(\\alpha)$, 并定义离散非线性跳跃 $\\mu(U) = \\lambda(\\tilde U^-)^2/(1-\\lambda\\tilde U^-)$. 修正项可写为 $\\Phi_I = \\kappa_I \\mu(U) + r_I$, $\\Phi_{I+1} = \\kappa_{I+1} \\mu(U) + r_{I+1}$, 其中 $\\kappa_i$ 和 $r_i$ 由线性 IIM 格式确定. 于是 Jacobian $G'(U) = A_h - \\Phi'(U)$ 与线性矩阵仅差少数几项, 并且 $\\Phi'(U)$ 只涉及 $\\mu$ 对 $U_{I-2}, U_{I-1}, U_I$ 的导数, 公式(32)-(34)给出了这些偏导数. 因此 Newton 迭代保持稀疏性, 且避免了全域稠密 Jacobian.\nNewton-IIM 的困难. 作者讨论了另一种结合顺序: 先在连续层面对非线性问题线性化, 再对校正方程应用 IIM. 文中指出这需要离散带有分布源和跳跃的校正方程, 在标准 IIM 框架内会产生实际困难, 而 IIM-Newton 则是更自然的选择. 该讨论虽未给出严格分析, 但为非线性 IIM 的实现提供了重要指导.\n数值验证. 在椭圆实验中, 作者构造了带 $\\lambda = 1.5, \\beta^- = 2, \\beta^+ = 1$ 的问题, 精确解为(39), 其中常数 $A$ 满足二次方程 $\\lambda r A^2 = (r+1)A$, $r = \\beta^-/\\beta^+$. 方程存在两个解: 连续解 $u_c$ 与间断解 $u_d$. 数值试验显示, 初始迭代取 $t u_d(x_i)$ 时, $0 \\le t \\le 0.67$ 收敛到 $u_c$, 更大的 $t$ 则可能收敛到 $u_d$, 说明解的多重性与迭代敏感性. 在抛物实验中, 采用 Crank-Nicolson 结合 $s$ 参数化, 并利用精确辅助解提供界面迹, 在离散最大范数下获得了二阶精度. 文中虽未列出误差表, 但明确说明数值结果与前述二阶全局精度相容.\n总的来说, 本文的主要结果是一套将非线性跳跃条件 $[u]_\\alpha = \\lambda u^+ u^-$ 纳入经典浸入界面有限差分框架的完整构造, 包括线性修正项、$s$ 参数化、IIM-Newton 迭代、截断误差分析和数值实验. 它首次在 IIM 文献中系统展示了非线性跳跃条件如何在不牺牲精度和稀疏性的情况下被处理.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的方法具有以下技术特点, 这些特点共同解决了非线性跳跃条件带来的核心障碍.\n核心障碍: 跳跃未知导致的构造困难 在经典 IIM 中, 跳跃 $[u]_\\alpha = w(t)$ 和 $[\\beta u_x]_\\alpha = v(t)$ 是已知函数, 因此非规则点处的修正项可直接从界面数据算出. 而在非线性问题中, $[u]_\\alpha = \\lambda u^+ u^-$ 依赖于未知解迹, 修正项无法预先给定. 如果直接迭代求解非线性代数系统, 则每次迭代都要重新计算修正项, 且 Jacobian 可能充满, 破坏稀疏性.\n$s$ 参数化: 将非线性耦合化为标量方程 作者采用文献[3]提出的 $s$ 参数化, 但在 IIM 框架下重新诠释. 将解 $u$ 分解为 $u = u_0 + s u_1$, 并定义 $u_0$ 和 $u_1$ 满足特定的线性跳跃条件. 则 $u^+$ 和 $u^-$ 都是 $s$ 的线性函数, 代入非线性条件 $[u]_\\alpha = \\lambda u^+ u^-$ 后, 得到关于 $s$ 的二次方程. 解出 $s$ 后, 界面跳跃量 $w$ 就确定了. 于是可以像线性情形一样构造修正项. 这相当于把非线性问题在界面处等价地转化为一个代数方程, 其系数来自辅助线性问题的解. 这种处理的创新在于, 它不需要在每次迭代中更新整个离散系统, 而是几乎无额外代价地确定跳跃.\n线性修正项的精细推导 对于线性问题, 作者在非规则点 $x_j$ 和 $x_{j+1}$ 处以界面 $\\alpha$ 为展开点做泰勒展开: 在 $x_j$ 处展开 $u_{j-1}, u_j$ 利用 $u^-$ 及其导数, 展开 $u_{j+1}$ 利用 $u^+$ 及其导数, 并通过界面条件 $u^+ = (B u^- + w)/A$ 和 $u_x^+ = (v + \\beta^- u_x^-)/\\beta^+$ 消去 $u^+$ 和 $u_x^+$. 为确定 $u_{xx}^+$, 还需要对 $A u^+ - B u^- = w$ 关于时间求导, 结合原方程在两侧的限制, 得到 $u_{xx}^+$ 的表达式, 其中包含 $A_t, B_t, w_t$ 以及 $q, f$ 的差. 将这些展开代入差分算子并匹配 $u^-$, $u_x^-$, $u_{xx}^-$ 的系数, 便得到修正项公式(16). 类似地, 在 $x_{j+1}$ 处得到(20). 这一推导是标准 IIM 技巧在带时变系数跳跃条件上的推广, 其难点在于正确处理时间导数与界面一致性的关系.\n局部截断误差与全局精度的论证 引理1证明了 $\\tau_i = O(h^2)$ 在规则点成立, $\\tau_j = O(h)$, $\\tau_{j+1} = O(h)$ 在非规则点成立. 由于差分算子系数的量级为 $O(h^{-2})$, 泰勒展开中 $O(h^3)$ 的剩余项产生 $O(h)$ 的局部截断. 为了说明这不破坏全局二阶精度, 作者采用了一维离散 Green 函数的表示: 非规则点只有两个, 而 $G_h$ 对单位缺陷的响应为 $O(h)$ 量级, 因此 $O(h)$ 的缺陷贡献为 $O(h) \\cdot O(h) = O(h^2)$. 这个论证是 IIM 文献中的常见思想, 但作者在这里给出了清晰的文字说明.\n迹近似与拉格朗日外推 为了在离散系统中表述 $\\mu(U)$, 需要逼近 $u^-(\\alpha)$. 作者采用三个相邻节点 $U_{I-2}, U_{I-1}, U_I$ 的二次拉格朗日外推, 公式给出了基函数 $\\ell_{I-2}, \\ell_{I-1}, \\ell_I(\\alpha)$. 这是简单的一侧外推, 对于光滑解具有 $O(h^3)$ 的逼近精度, 与格式的整体精度匹配. 但作者也注明, 在抛物验证实验中, 为了隔离离散误差, 界面迹直接从精确辅助解求得, 而没有采用外推.\nIIM-Newton: 先离散后线性化的策略 对稳态问题, 作者构造非线性残量 $G(U) = A_h U - F_h - \\Phi(U)$. 关键的观察是 $\\Phi(U)$ 只依赖于标量 $\\mu(U)$, 且 $\\Phi'(U)$ 的稀疏模式非常有限: 只涉及 $U_{I-2}, U_{I-1}, U_I$. 这样 Newton 迭代的每个线性系统都可以用高效的稀疏求解器处理. 对这个策略, 作者还给出了 $d\\mu/d\\tilde U^-$ 的表达式和偏导数公式(32)-(34), 便于实际实现. 与直接对非线性系统应用牛顿法相比, IIM-Newton 避免了对整体 Jacobian 的稠密填充, 是本文方法实用性的核心.\n4. 与之前工作的比较 Newton-IIM 的讨论 作者还分析了另一种顺序: 先在连续问题中对解 $u$ 做牛顿线性化, 得到校正方程, 再对校正方程应用 IIM. 但由于校正方程含有 $\\delta u$ 的跳跃项和非线性导数项, 其界面条件系数依赖于当前迭代值, 在标准 IIM 框架中难以构造一致的修正项. 作者指出, IIM-Newton 是更可行的选择. 这个讨论虽然没有进行严格的数值比较, 但为后续研究提供了方向.\n数值实验中的技术处理 在椭圆问题中, 精确解已知, 作者利用它验证了牛顿迭代对不同初始值的敏感性. 在抛物问题中, 采用 Crank-Nicolson 与 $s$ 参数化相结合, 在每个时间层上先根据已知辅助解计算 $s$, 再组装线性方程组. 这种验证方式避免了额外迹重构误差, 使实验能够聚焦于 IIM 离散和 $s$ 参数化本身. 这体现了作者在实验设计上的细致考虑.\n总体而言, 本文的方法论创新在于通过 $s$ 参数化和 IIM-Newton 策略, 将非线性界面问题转化为少量线性 IIM 问题和一个标量方程, 同时保持了离散矩阵的稀疏性与二阶收敛精度. 这些工具在文献中多为零散出现, 而本文进行了系统整合和数值验证.\n4. 与之前工作的比较 本文的比较对象包括经典 IIM 及其在非线性跳跃上的应用, 以及 $s$ 参数化的历史. 下面从几个维度展开.\n与经典 IIM(LeVeque-Li 等)的比较 经典 IIM(参考文献[4])专门处理预设跳跃条件, 修正项直接由已知 jump 数据构造. 本文将其推广到非线性跳跃 $[u]_\\alpha = \\lambda u^+ u^-$, 这是 IIM 文献中的首次系统尝试. 经典 IIM 中的修正项在本文中保留了线性框架, 但把跳跃量 $w$ 替换为未知迹的非线性函数 $\\mu(U)$. 这种替代在数学上并无本质困难, 但在理论分析和数值实现上引入了新的非线性耦合. 本文通过 $s$ 参数化避免了迭代耦合, 从而使非线性处理几乎不增加额外成本. 需要指出的是, 经典 IIM 通常还会分析椭圆问题的最优收敛性, 而本文只给出了空间截断误差的局部阶和启发式解释, 并未证明非线性问题的全局 $L^\\infty$ 误差估计. 这是与最新 IIM 收敛性理论(如针对界面问题的 $H^2$ 或 $L^2$ 误差估计)相比的一大简化.\n与 $s$ 参数化来源(文献[3])的关系 摘要和引言中明确说明 $s$ 参数化由文献[3]提出. 从上下文看, 文献[3]很可能是针对界面条件为 $[u] = \\lambda u^+ u^-$ 的某种方法, 但未必是浸入界面有限差分. 本文的贡献在于将 $s$ 参数化嵌入 IIM 的离散框架, 并利用它构造出局部化的非线性修正项. 因此, 本文不是提出新的参数化, 而是展示了该参数化与 IIM 的相容性. 作者没有详细比较文献[3]中的具体格式, 但从本文的数值实验可以看出, $s$ 参数化在 IIFDM 中能顺利计算.\n与拟合有限差分方法(文献[2])的对比 文献[2]研究非线性跳跃的拟合有限差分方法. 拟合方法要求网格线与界面对齐, 通常需要移动网格或使用曲线坐标. 本文采用非拟合笛卡尔网格, 界面可以位于网格单元内部, 这更符合 IIM 的初衷. 虽然本文是一维问题, 但 IIM 的优势在于容易推广到多维和复杂界面, 而拟合方法在多维中网格生成较复杂. 此外, 拟合方法往往需要显式处理界面两侧的连续性, 而 IIM 通过修正项自动满足. 但本文也付出了代价: 非规则点处的截断误差只有 $O(h)$, 需要依赖离散 Green 函数的特殊性质来保证整体二阶精度, 这在多维情形中不一定成立.\n两种牛顿顺序的系统讨论 本文明确区分了 IIM-Newton 和 Newton-IIM, 并指出 Newton-IIM 的标准实现会遇到困难. 据我所知, 这种对“线性化与离散化顺序”的细致讨论在此前 IIM 文献中较少出现. IIM-Newton 保持了 Jacobian 的稀疏性, 而 Newton-IIM 在连续层面线性化后, 校正方程的界面跳跃仍然是非线性的, 导致修正项难以构造. 作者没有进行数值对比, 但这为实践者提供了重要警示. 然而, 也可以考虑将 Newton-IIM 与不同的离散策略(例如虚拟节点法)结合, 或许能克服困难, 这超出了本文范围.\n与处理其他非线性界面条件的方法比较 本文只考虑了乘积型非线性 $\\lambda u^+ u^-$. 在材料科学和电化学中, 还可能出现 $[u] = g(u^+,u^-)$ 的复杂函数. 本文的 $s$ 参数化依赖于跳跃关于 $u^+ u^-$ 的特殊代数形式, 对于更一般的非线性, 未必能约化为二次方程. 文献中也有用 Schur complement 或迭代法处理一般非线性跳跃, 但本文的方法更直接. 因此, 本文的适用范围有一定限制, 但为类似乘积型非线性提供了模板.\n局限性与代价 本文的所有分析均在一维和分段常数 $\\beta$ 下进行. 对于变系数 $\\beta(x)$ 和多维情形, 修正项推导会更复杂, 且离散 Green 函数的 $O(h)$ 性质未必成立. 此外, 作者在数值验证抛物问题时使用了精确解的迹, 而没有在整体计算中实现一致的迹重构. 作者承认, 迹恢复系统分析留待后续工作. 这意味着在实际应用中, 需要额外的同侧重构或耦合求解, 可能带来额外误差. 从误差理论角度看, 本文只给出了空间截断误差的渐近阶, 没有给出非线性问题解的存在唯一性、牛顿迭代收敛性等理论分析. 这些都是在未来工作中需要补全的.\n从整体上看, 本文的推进在于将经典 IIM 扩展到非线性跳跃, 并且提供了有效的参数化手段和两种离散-线性化顺序的洞察. 与已发表的 IIM 扩展工作相比, 本文的贡献是概念清晰、实现简单, 但理论分析尚不完善. 作者尚未显式展开与更近期 IIM 变体(如高阶 IIM, 隐式 IIM)的比较, 上述比较仅基于本文引用的文献信息.\n3. 界面问题中来自大局部误差的二阶精度：离散 Green 函数分析 Second-Order Accuracy from Large Local Errors in Interface Problems: A Discrete Green\u0026rsquo;s Function Analysis\n作者: So-Hsiang Chou, Patrick Nyadjo Fonga\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-30\narXiv ID: 2608.30020v1\n摘要翻译: 界面问题的有限差分方法通常在界面附近表现出大的局部截断误差，特别是当系数或解导数存在不连续时。然而，许多此类格式仍能达到二阶精度，这一现象无法由标准的逐点相容性论证完全解释。\nComment: 23 pages\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.30020v1\n1. 研究对象和背景 本文研究一维和二维界面问题中有限差分格式的收敛性, 重点关注局部截断误差很大但全局误差仍达到二阶精度的现象. 设一维界面问题为 $$ -\\frac{d}{dx}\\left(\\beta(x)\\frac{du}{dx}\\right)=f,\\quad x\\in(a,\\alpha)\\cup(\\alpha,b),\\quad u(a)=u(b)=0, $$ 其中 $\\beta(x)\u003e0$ 在界面 $x=\\alpha$ 处可能间断. 界面上施加跳跃条件 $[u]_\\alpha=w$, $[\\beta u_x]_\\alpha=v$. 在均匀网格 $x_i=a+ih$ 上, 数值解 $U_i$ 满足守恒型通量格式 $$ -\\beta_{i-\\frac12}U_{i-1}+\\left(\\beta_{i-\\frac12}+\\beta_{i+\\frac12}\\right)U_i-\\beta_{i+\\frac12}U_{i+1}=h^2 r_i^h, $$ 其中 $\\beta_{i+\\frac12}$ 为数值面系数. 当界面 $\\alpha$ 位于两个相邻网格点 $x_I","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-09-01_09-33-16/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年09月01日 09:33:16\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 5\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 7\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 31\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-使用fe-hmm方法的局部受限非线性涡流问题的磁场保形多尺度公式\"\u003e1. 使用FE-HMM方法的局部受限非线性涡流问题的磁场保形多尺度公式\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eMagnetic Field Conforming Multiscale Formulations for Locally-Confined Nonlinear Eddy Current Problems Using the FE-HMM Method\u003c/p\u003e","title":"2026年09月01日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月31日 10:59:54\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 4\n不相关论文数量: 15\n重点关注论文（完整分析） 1. 基于主导分量的时间依赖多尺度高对比度问题的两级预条件器 A Two-Level Preconditioner Based on Dominant Components for Time-Dependent Multiscale High-Contrast Problem\n作者: Yating Wang, Yibao Li, Wing Tat Leung\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-28\narXiv ID: 2608.27958v1\n摘要翻译: 本文中，我们为高对比度多尺度介质中的时间依赖问题开发了一种两级重叠预条件器。我们提出了一种基于多尺度方法的粗空间构造，重点放在松弛非局部多连续统（NLMC）方法上。NLMC空间可以分解为代表高渗透率区域和低渗透率背景的分量。我们表明，完整的NLMC空间能有效地预处理异质刚度算子，而仅高渗透率分量就能捕获对比度依赖的全局模态。对于适当的小时间步长，质量矩阵控制低渗透率贡献，在两级预条件器中仅需NLMC空间中的高渗透率分量即可进行全局粗校正。对于一般时间步长，可以通过使用完整的NLMC空间或用标准多尺度空间扩充高渗透率分量来保持性能。所提出的粗空间构造降低了计算成本，同时保持了关于系数对比度和细尺度分辨率的稳健性。为了进一步提高效率，可以通过迭代求解松弛能量最小化公式来构造多尺度基函数。我们通过几个数值实验证明了所提出方法的稳健性、效率和可扩展性。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.27958v1\n1. 研究对象和背景 本文研究时间依赖的多尺度高对比扩散问题. 设 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$), 渗透率或热导率 $\\kappa\\in L^\\infty(\\Omega)$ 满足 $0\u003c\\kappa_{\\min}\\le \\kappa(x)\\le \\kappa_{\\max}$, 对比度 $\\eta:=\\kappa_{\\max}/\\kappa_{\\min}\\gg1$. 方程为 $$\\partial_t u-\\nabla\\cdot(\\kappa\\nabla u)=f\\quad\\text{in }\\Omega\\times(0,T],$$ 配以零 Dirichlet 边界条件 $u=0$ 于 $\\partial\\Omega\\times[0,T]$ 和初始条件 $u|_{t=0}=u_0$. 这类方程描述地下渗流、污染物输运以及复合材料中的热传导. 由于 $\\kappa$ 在细小空间尺度上剧烈变化, 并形成高渗透通道、裂缝或长导电通道, 精确数值模拟需要在细网格上离散, 导致每个时间步需要求解大规模且严重病态的代数系统.\n采用全隐式 Euler 时间离散后, 问题化为 $$(\\Delta t A+M)U^{n+1}=MU^n+\\Delta t F,$$ 其中 $A$ 和 $M$ 分别是细网格刚度矩阵和质量矩阵, $\\Delta t$ 为时间步长. 已知 $A$ 的条件数随对比度 $\\eta$ 和 $h^{-2}$ 增长, 其中 $h$ 为细网格尺寸. 经典的多项式粗空间无法表示高渗透通道产生的对比度相关近零空间模态, 因此需要基于多尺度信息的粗空间. 已有的 GMsFEM、CEM-GMsFEM、NLMC 等方法的粗空间构造和理论分析大多面向稳态椭圆算子或定常不可压流系统, 针对时间依赖问题全隐式线性系统的系统化粗空间构造较少. 本文试图填补这一空白: 利用质量矩阵的作用, 为 $\\Delta t A+M$ 构造只含主导分量的两级重叠预条件子, 降低粗空间维数和离线构造代价, 同时保持对 $\\eta$ 和细网格分辨率的鲁棒性.\n2. 主要定理或主要结果 记 $\\mathcal{T}^H$ 为粗网格, $V_H$ 为松弛 NLMC 空间. 对每个粗单元 $K$, 先定义辅助空间 $V_{\\rm aux}^K=V_{\\rm aux,1}^K+V_{\\rm aux,2}^K$, 其中 $V_{\\rm aux,1}^K=\\operatorname{span}\\{\\chi_{K_i^h}:K_i^h\\subset K\\}$ 对应高渗透连通分量, $V_{\\rm aux,2}^K=\\operatorname{span}\\{\\chi_{K^l}\\}$ 对应低渗透背景. 设 $\\pi_K:H^1(K)\\to L^2(K)$ 满足 $$\\|(I-\\pi_K)u\\|_{s(K)}^2\\le C_\\pi\\|u\\|_{a(K)}^2,$$ 则松弛 NLMC 基函数定义为 $$\\phi_{j,K}=\\arg\\min_{\\phi\\in V_{h,0}}\\{a(\\phi,\\phi)+s(\\pi(\\phi)-\\psi_{j,K},\\pi(\\phi)-\\psi_{j,K})\\},$$ 等价于变分问题 $a(\\phi_{j,K},v)+s(\\pi\\phi_{j,K},\\pi v)=s(\\psi_{j,K},\\pi v)$ 对所有 $v\\in V_{h,0}$ 成立. 令 $V_H=V_{H,1}+V_{H,2}$, 其中 $V_{H,1}$ 由高渗透通道或裂缝对应的基函数生成, $V_{H,2}$ 表示低渗透矩阵连续介质.\n论文的主要结论如下. (1) 完整 NLMC 空间 $V_H$ 可作为异质刚度算子 $A$ 的有效粗空间; $V_{H,1}$ 单独即可捕捉对比度相关的全局模态. (2) 对两级重叠 Schwarz 预条件子 $$\\tilde A_{\\rm pre}^{-1}=R_0^T\\tilde A_0^{-1}R_0+\\sum_{i=1}^N R_i^T\\tilde A_i^{-1}R_i,\\quad \\tilde A=\\Delta tA+M,$$ 当 $\\Delta t\\lesssim H^2$ 时, 质量矩阵 $M$ 控制低渗透部分对刚度矩阵的贡献, 因此粗空间只需取 $V_{H,1}$ 即可; 对一般时间步长, 应取 $V_H=V_{H,1}+W_H$, 其中 $W_H$ 可以是 $V_{H,2}$ 或其他标准多尺度有限元空间. (3) 基函数可通过迭代求解构造: 令 $A_{S,\\rm loc}^{-1}=\\sum_i R_i^T(A_i+S_i)^{-1}R_i$, 其中 $S$ 为 $s(\\pi\\cdot,\\pi\\cdot)$ 对应的矩阵, 定理 1 证明 $$\\operatorname{cond}(A_{S,\\rm loc}^{-1}(A+S))=O(1),$$ 常数与对比度 $\\eta$, 细网格尺寸 $h$ 和粗网格尺寸 $H$ 均无关. 因此可用 PCG 迭代求解基函数. 在假设 1 下, 若近似粗空间 $\\hat V_H^{(m)}$ 满足 $$|||v_0-T_mv_0|||\\le\\varepsilon_m\\|v_0\\|_{\\tilde a},\\quad \\varepsilon_m\u003c\\varepsilon_*\u003c1,$$ 则由指数收敛性, $m=O(\\log\\eta)$ 个迭代步即可满足要求. 数值实验展示了方法对对比度、细网格分辨率的鲁棒性, 以及并行可扩展性.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 核心数学障碍在于高对比度会产生沿高渗透通道传播的全局近零空间模态, 这些模态既不能被多项式粗空间局部化, 又使刚度矩阵条件数随 $\\eta$ 增长; 同时, 多尺度粗空间的离线构造通常需要求解大范围 oversampling 区域上的局部问题, 代价很高. 作者真正的创新点不是简单地引入更多谱模态, 而是将 NLMC 空间按物理连续介质分为高渗透分量 $V_{H,1}$ 和低渗透分量 $V_{H,2}$, 并利用时间离散中质量矩阵 $M$ 的局部控制作用: 在 $\\Delta t\\lesssim H^2$ 时, $M$ 已经对低渗透区域的刚度贡献提供了足够控制, 因而全局粗校正只需保留 $V_{H,1}$. 这体现了多尺度逼近与多尺度预条件之间的本质区别: 直接降阶模型需要为每个连续介质配置基函数, 但预条件子中若离散算子的其余部分已控制相应模态, 则可以省略该基函数.\n证明的核心是定理 1 的稳定分解论证, 而非泛泛的能量估计. 定义 $b(u,v)=a(u,v)+s(\\pi u,\\pi v)$, 则 $\\|u\\|_b^2=\\|u\\|_a^2+\\|\\pi u\\|_s^2$. 首先由辅助空间逼近性质 (3.1) 可得 $$\\|u\\|_s^2\\le2\\|\\pi u\\|_s^2+2C_\\pi\\|u\\|_a^2\\le C\\|u\\|_b^2.$$ 对任意 $u\\in V_h$, 取 $u_i=I_h(\\chi_i u)\\in V_i$, 其中 $\\chi_i$ 是满足 $\\sum_i\\chi_i=1$, $|\\nabla\\chi_i|\\le CH^{-1}$, $\\sum_i\\chi_i^2\\le1$ 的单位分解, $I_h$ 为满足稳定性 $\\|I_h(v)\\|_a\\le C_I\\|v\\|_a$, $\\|I_h(v)\\|_s\\le C_I\\|v\\|_s$ 的节点插值. 利用 $\\nabla(\\chi_i u)=\\chi_i\\nabla u+u\\nabla\\chi_i$ 和上述不等式, 得到 $$\\sum_i b(u_i,u_i)\\le C_{sd}b(u,u).$$ 另一方面, 由 $u=\\sum_i u_i$ 及局部支撑的有限重叠性质, 有 $$b(u,u)\\le C_{ov}\\sum_i b(u_i,u_i).$$ 合并两式即得 $\\operatorname{cond}(A_{S,\\rm loc}^{-1}(A+S))\\le C_{sd}C_{ov}$, 且常数与 $h,H,\\eta$ 无关. 这保证了用局部子域求解器作为预条件子时, PCG 迭代求解基函数的收敛性不依赖于对比度.\n在粗空间分析中, 作者引入 $s$-正交投影 $\\pi_1,\\pi_2$ 使得 $\\pi=\\pi_1+\\pi_2$, 并定义 $V_{H,1}$ 上的投影 $P_1$ 满足 $s(\\pi_1P_1u,\\pi_1v)=s(\\pi_1u,\\pi_1v)$, 由此导出 $a(P_1u,P_1u)+s(\\pi P_1u,\\pi P_1u)=a(P_1u,u)+s(\\pi P_1u,\\pi u)$. 这类恒等式用于说明 $V_{H,1}$ 能够捕获主导模态. 基函数离线构造采用松弛 NLMC 的罚函数形式, 用 $s(\\pi\\phi-\\psi,\\pi\\phi-\\psi)$ 代替严格正交约束, 从而允许在较小的 oversampling 区域上计算; 再以 $A+S$ 为系统矩阵、$A_{S,\\rm loc}$ 为预条件子做 PCG 迭代. 对于最终两级预条件子的条件数估计, 提供内容中未展示显式定理; 作者通过数值实验验证其鲁棒性.\n4. 与之前工作的比较 与既有工作的比较可从以下几个层面展开.\n第一, 与 GMsFEM 类两级预条件子相比. 已有工作如文献 [17,14,15,31,32] 利用 GMsFEM 局部特征函数或谱模态构造粗空间, 在稳态椭圆问题中可获得与对比度无关的条件数上界. 但这些构造大多针对 $A$ 本身, 且较少处理时间依赖问题的全隐式矩阵 $\\Delta tA+M$. 本文将时间项纳入粗空间设计, 明确指出质量矩阵的存在使得所需粗空间可以显著小于纯刚度矩阵所需粗空间, 这是对稳态情形的重要推进.\n第二, 与 CEM-GMsFEM [13] 的比较. CEM-GMsFEM 通过严格正交约束和充分大的 oversampling 区域得到接近 1 的条件数, 但需要在扩大后的区域上求解约束能量极小化问题, 离线计算成本较高. 本文采用松弛 NLMC 罚形式, 以罚项代替硬约束, 可在较小 oversampling 区域上构造基函数; 进一步地, 定理 1 对迭代构造基函数时的局部预条件系统给出 $O(1)$ 条件数, 因此基函数可以通过 PCG 迭代高效求解. 从收敛性角度看, 松弛处理保留了对比度无关的逼近性质, 但代价是基函数不再严格满足正交约束, 需要指数收敛性假设 (假设 1) 保证有限次迭代后的粗空间仍然有效.\n第三, 与原始 NLMC 方法作为降阶模型的比较. NLMC 方法通常为每个物理连续介质构造独立的粗变量和基函数, 并在 reduced approximation space 中直接求解粗尺度问题. 本文的视角不同: NLMC 基函数被用作预条件子的粗空间, 而不是逼近空间. 作者强调, 一个基函数对于直接降阶模型可能是必要的, 但当离散算子中的质量矩阵或其他局部求解器已经对低渗透背景提供足够控制时, 它在预条件子中不一定是必要的. 对于 $\\Delta t\\lesssim H^2$, 低渗透分量 $V_{H,2}$ 完全可以不进入全局粗空间; 对于一般时间步长, 使用完整 $V_H=V_{H,1}+W_H$, 其中 $W_H$ 可取 $V_{H,2}$ 或标准多尺度有限元空间. 这放宽了以往多尺度预条件子必须包含全部连续介质模态的隐含假设.\n第四, 代价与局限. 当高渗透区域体积较小时, 只保留 $V_{H,1}$ 能显著降低全局粗问题的维数和计算成本; 若高渗透区域体积较大, $V_{H,1}$ 本身维数也会增大, 降维收益受限. 此外, 迭代构造基函数的效率依赖指数收敛性, 实际迭代次数约为 $O(\\log\\eta)$, 仍需在实现中选取合适的阈值. 对于最终两级预条件子 $\\tilde A_{\\rm pre}^{-1}(\\Delta tA+M)$ 的条件数是否具有显式理论界, 从提供的 PDF 摘录中无法确认; 作者主要通过数值实验说明其鲁棒性、效率和可扩展性.\n了解领域论文（摘要翻译） 1. QGPINNs：量子图上非局部微分方程的物理信息神经网络框架 QGPINNs: A Physics-Informed Neural Network Framework for Nonlocal Differential Equations on Quantum Graphs\n作者: Vaibhav Mehandiratta, Saket Ramchandra\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-28\narXiv ID: 2608.28589v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.28589v1\n摘要翻译 中文标题: QGPINNs：量子图上非局部微分方程的物理信息神经网络框架\n摘要翻译: 我们提出QGPINNs，一个在PyTorch中开发的物理信息神经网络框架，用于数值求解量子图上的非局部微分方程。该框架被设计为一个通用的计算实现，其中图上的每条边上的解由神经网络逼近，而一个统一的基于图的损失函数同时强制执行控制方程以及初始条件、边界条件和顶点传输条件。特别地，该公式将标准连续性条件、Kirchhoff-Neumann顶点条件和Dirichlet边界条件纳入学习过程，从而将局部的逐边神经逼近耦合为图上的全局解。该框架针对两类具有代表性的非线性模型开发：量子图上的多阶分数阶椭圆问题和时间分数阶演化方程。为了提高精度和训练稳定性，QGPINNs集成了多种图自适应学习策略，包括软约束和硬约束强制执行、动态损失平衡、Fourier特征嵌入，以及一个可学习的奇异性捕获特征，用于处理所考虑问题中出现的弱奇异解。该框架还自然地扩展到反问题，包括从含噪声的观测数据中识别分数阶算子的阶数和物理参数。我们通过在基准图结构和真实网络（包括IEEE 14节点系统和一个明渠农业排水网络）上的数值实验，验证了所提出框架的精度、计算效率和物理一致性。\n2. 神经算子的保形不确定性量化保证 Conformal Uncertainty Quantification Guarantees for Neural Operators\n作者: Tom Stent, Nicolas Boullé\n类别: math.NA, cs.AI, math.PR\n发布日期: 2026-08-28\narXiv ID: 2608.28515v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.28515v1\n摘要翻译 中文标题: 神经算子的保形不确定性量化保证\n摘要翻译: 神经算子为逼近函数空间之间的算子提供了快速替代模型，但其预测往往缺乏不确定性量化。我们开发了一个分裂保形框架，以保证在至少 $1-γ$ 的评估域内，神经算子输出周围的校准逐点带包含真实解，且对测试和校准输入的概率至少为 $1-α$，其中 $α,γ\\in(0,1)$。我们的方法将归一化残差场简化为其空间上的 $(1-γ)$ 分位数，并使用留出的校准数据集计算缩放因子。我们证明了定义在任意概率空间上的可测残差场的边际覆盖保证，涵盖了连续域和固定离散化。在对数据分布的温和假设下，我们表明以校准集为条件的覆盖率服从 Beta 分布，并通过 Darcy 流和 Navier\u0026ndash;Stokes 方程的数值实验验证了这一点，其中我们的校准产生的带始终比现有校正更紧，同时保持目标覆盖率。\n3. 修正的Camassa\u0026ndash;Holm方程的一种局部间断Galerkin方法 A Local Discontinuous Galerkin method for the modified Camassa\u0026ndash;Holm equation\n作者: Xiang-Ke Chang, Yong Liu, Qi Tao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-28\narXiv ID: 2608.28077v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.28077v1\n摘要翻译 中文标题: 修正的Camassa\u0026ndash;Holm方程的一种局部间断Galerkin方法\n摘要翻译: 在本文中，我们针对修正的Camassa-Holm（mCH）方程提出了一种局部间断Galerkin（LDG）方法，该方程包含三次非线性和高阶导数项。利用守恒通量和耗散通量分别得到了能量守恒性和稳定性。还建立了半离散格式的误差估计。数值算例验证了我们的理论结果是精确的，并且所提出的LDG方法能够捕获mCH方程的peakon解。\n4. 奇异Zienkiewicz四面体：定义与积分 The singular Zienkiewicz tetrahedron: Definition and Integration\n作者: Johannes Storn\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.27741v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.27741v1\n摘要翻译 中文标题: 奇异Zienkiewicz四面体：定义与积分\n摘要翻译: 我们将二维奇异Zienkiewicz单元推广到三维，从而在四面体网格上得到一种基于有理形函数的新型$H^2$-协调有限元。除有限元构造及其协调性分析外，我们还为相应的有理函数类发展了一种精确的迭代积分方法。所得公式能够精确积分基函数、其导数以及有限元组装中出现的乘积。\n不相关论文（基本信息） 1. 利用黎曼优化再次求解最近正规矩阵 Closest Normal Matrix Found Again Using Riemannian Optimization\n作者: Vanni Noferini, Matvei Zhukov\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-28\narXiv ID: 2608.28545v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.28545v1\n摘要: We propose an approach based on Riemannian optimization to compute a nearest normal matrix to a given one. The problem can be formulated as the minimization of a smooth function either on the manifold $U(n)$ of unitary matrices of size n or on the flag manifold $U (n)/U (1)^n$. The flag manifold is particularly suitable for theoretical analysis; we characterize the global maximum of the objective function and prove that, for generic inputs, its local minimizers are finitely many and isolated; in turn, this implies the original nearest normal matrix problem generically has finitely many local minimizers, all with distinct eigenvalues. We also develop a Riemannian trust-region method that improves substantially on classical algorithms and can handle considerably larger matrices, as well as a variant for computing the nearest real normal matrix. The paper is complemented by extensive numerical experiments.\n2. 带积分约束的线性抛物问题源项的适定性与数值重构 Well-posedness and numerical reconstruction of a source term for linear parabolic problems with an integral constraint\n作者: Jason R. Morris, Sedar Ngoma\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-08-28\narXiv ID: 2608.28171v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.28171v1\n摘要: This work investigates a time-dependent source identification problem for linear parabolic equations subject to an integral constraint and Neumann boundary conditions in a domain of $\\mathbb{R}^d$, $d\\ge 1$. We establish well-posedness and higher regularity of the solution pair in parabolic Hölder spaces. A numerical algorithm based on a finite element discretization in space and an implicit time-stepping scheme is then developed for the reconstruction of the unknown source. The resulting discrete inverse problem involves a well-conditioned operator. We show that identity Tikhonov regularization provides only uniform, nonselective shrinkage in this setting, whereas Tikhonov regularization with derivative-based penalties, analyzed through the generalized singular value decomposition, provides an effective denoising strategy. The regularization parameter is selected using the Morozov discrepancy principle. Numerical errors are evaluated using full parabolic Hölder norms, which provide a more comprehensive assessment of the reconstruction by incorporating errors in the solution, its derivatives, and the associated Hölder seminorms. Numerical experiments for smooth and piecewise constant sources demonstrate accurate and robust reconstructions under increasing levels of noise.\n3. 正迹类算子的随机迹估计 Stochastic trace estimation for positive trace-class operators\n作者: Zvonimir Bujanović, Luka Grubišić, Daniel Kressner, Hrvoje Olić\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-28\narXiv ID: 2608.28135v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.28135v1\n摘要: Implicit trace estimation aims to approximate the trace of a matrix or linear operator accessible only through matrix-vector or operator-vector products. In the matrix setting, the Girard-Hutchinson estimator typically requires $\\mathcal{O}(\\varepsilon^{-2})$ products to achieve accuracy $\\varepsilon$, while the variance-reduced Hutch++ algorithm reduces this sample complexity to $\\mathcal{O}(\\varepsilon^{-1})$ for positive semidefinite matrices. We develop infinite-dimensional analogues of these estimators for positive trace-class operators on separable Hilbert spaces. The idealized estimators use Gaussian random elements whose covariance is determined by the target operator, leading to unbiased operator versions of Girard-Hutchinson and Hutch++. We prove high-probability error bounds analogous to the finite-dimensional matrix results; in particular, idealized infHutch++ achieves $\\mathcal{O}(\\varepsilon^{-1})$ sample complexity. For practical computation, we introduce truncated implementations that restrict the random samples to finite-dimensional subspaces; for fixed sample budget, we show that truncated infHutch++ converges in distribution to its idealized counterpart as the truncation dimension tends to infinity. Numerical experiments with integral operators, density-of-states approximations, and spectral filtering for a radial Dirac operator show that these truncated estimators can achieve accuracy comparable to the ContHutch++ algorithm by Zvonek, Horning \u0026amp; Townsend while using lower-degree function representations and smaller internal discretizations in chebfun.\n4. 一种用于模拟完全非线性水波的高阶多项式修正移动边界方法 A high-order polynomial-corrected shifted boundary method for simulating fully nonlinear water waves\n作者: Jens Visbech, Allan P. Engsig-Karup, Harry B. Bingham, Mario Ricchiuto\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-08-28\narXiv ID: 2608.28123v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.28123v1\n摘要: We present a novel unfitted computational framework for simulating fully nonlinear potential flow-based water waves. Focusing on wave propagation, we describe the core methodology, which involves a high-order polynomial-corrected shifted-boundary approximation on unfitted spectral elements. This approach allows for the simulation of a curved, highly time-dependent (moving and deforming) free surface affected by bathymetric changes. All that on a simple Cartesian background mesh without re-meshing or further approximations of non-affine geometric features. In addition, we highlight the importance of proper gradient recovery using a polynomial-preserving technique to accurately capture the vertical free-surface velocity. Ultimately, the goal is to develop a high-order convergent numerical scheme capable of simulating highly nonlinear waves over long periods. This is achieved through an arbitrary-order finite-difference approximation of the free surface combined with added hyperviscosity for numerical stability. We present verification and validation test cases for wave propagation in both periodic and finite domains. Emphasis is placed on convergence studies, the justification for using high-order approximations, the importance of optimal gradient recovery, long-time simulation of highly nonlinear waves, and nonlinear wave interactions with both affine and curved bathymetry changes, as well as with vertical walls, for highly nonlinear stream function waves and high-amplitude solitons. The novel computational model offers a comprehensive, all-in-one framework for simulating ocean waves and their interactions with offshore structures. It provides significant geometric flexibility, enabling boundaries such as the free surface to move and deform over time without the need to re-mesh a boundary-fitted mesh.\n5. 带奇异逆平方势的时间分数阶扩散波动方程的反源问题 Inverse Source Problem for a Time-Fractional Diffusion-Wave Equation with a Singular Inverse-Square Potential\n作者: Zewen Wang, Bin Wu, Yikan Liu, Liangwei Jin, Shufang Qiu\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-08-28\narXiv ID: 2608.28103v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.28103v1\n摘要: This paper investigates an inverse source problem for a time-fractional diffusion-wave equation with a singular inverse-square potential. The source term is assumed to consist of a known temporal factor and an unknown spatial component, which is to be recovered from terminal-state measurements. The well-posedness and regularity of the forward problem are established within an appropriate energy framework by exploiting Hardy-type inequalities and the spectral properties of the associated singular elliptic operator. The terminal observation operator is then shown to be compact, and uniqueness of the spatial source is established under a suitable nondegeneracy condition on the temporal factor. To stabilize the resulting ill-posed inverse problem, a Tikhonov regularization approach is introduced. The gradient of the regularized functional is derived through an adjoint problem involving a right-sided fractional derivative, leading to an adjoint-based conjugate gradient method with an exact line search for the numerical reconstruction of the unknown source. Numerical experiments are conducted on both one-and two-dimensional spatial domains, using both exact and noisy terminal data, to demonstrate the effectiveness and stability of the proposed source reconstruction method.\n6. 支持向量扩展的新兴RISC-V硬件上快速傅里叶变换的性能评估 Performance Evaluation of Fast Fourier Transforms on Emerging RISC-V Hardware with Vector Extension Support\n作者: Daniel Seibel, Kaveh Haghighi Mood, Jayesh Badwaik, Prateek Chawla, Stepan Nassyr, Andreas Herten\n类别: cs.MS, cs.DC, math.NA\n发布日期: 2026-08-28\narXiv ID: 2608.28076v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.28076v1\n摘要: This manuscript presents a performance evaluation of Fast Fourier Transform (FFT) implementations on emerging processors supporting the RISC-V Vector Extension (RVV 1.0). By introducing juFFTe, a light-weight high-performance library for discrete Fourier transforms, it is demonstrated how effective vectorization of performance-critical FFT kernels can be achieved on RVV-enabled hardware. Comprehensive benchmarks on three RVV 1.0-ready processors, the SiFive X280, the X100 core of the SpacemiT K3 and the C920v2 core of the Sophon SG2044, reveal substantial performance improvements of juFFTe (https://github.com/FZJ-JSC/juFFTe) over the widely used FFTW3 library. Although RVV-enabled platforms show promising results at this stage of development, a comparison with AMD\u0026rsquo;s Zen 5 architecture indicates that RISC-V needs further maturing to reach the performance of established micro-architectures.\n7. 具有闭式逆的二阶 Stiefel 回缩的条件性与插值误差界 Conditioning and interpolation error bounds for second-order Stiefel retractions with closed-form inverses\n作者: Rasmus Jensen, Ralf Zimmermann\n类别: math.NA, math.DG\n发布日期: 2026-08-28\narXiv ID: 2608.28073v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.28073v1\n摘要: Retractions provide a computationally efficient alternative to the Riemannian exponential and logarithm maps for practical data-processing tasks on manifolds. In particular, second-order retractions with closed-form inverse are well-suited for interpolation problems on manifolds. On the Stiefel manifold of orthogonal frames, there are only two retractions of this type: the Cayley retraction, which is second-order accurate under the canonical metric, and the recently proposed polar-light retraction, which is second-order accurate under the Euclidean metric. In this paper, we study the properties of these maps in the context of interpolation on the Stiefel manifold. To obtain explicit interpolation error bounds, we examine the conditioning of the retraction maps and their inverses. We show that the retractions are well-conditioned, and we derive interpolation error bounds similar to those of classical Euclidean interpolation. The inverse retractions are not well-conditioned in general, and we discuss how data can be mapped via an isometric group action to ensure stable computations. As with all retractions on compact manifolds, the inverse canonical Cayley retraction and the inverse polar-light retraction exist only locally, and we construct normal neighborhoods around any point in which either the inverse Cayley retraction or the invese polar-light retraction are guaranteed to be computable. As an application of the retraction maps, we consider Hermite interpolation, where the objective is to reproduce both sampled function values and derivative information. A numerical example demonstrates that retraction-based interpolation is competitive with classical methods based on Riemannian normal coordinates.\n8. 多面体间断伽辽金离散的扩散综合加速的输运匹配惩罚 Transport-Matched Penalties for Diffusion Synthetic Acceleration of Polytopic Discontinuous Galerkin Discretisations\n作者: Ansar Calloo, Matthew Evans, Francois Madiot, Tristan Pryer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-28\narXiv ID: 2608.28022v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.28022v1\n摘要: Diffusion synthetic acceleration is most effective when its diffusion correction reflects the transport discretisation that generates the iteration error. We develop this principle for high-order upwind discontinuous Galerkin discretisations of discrete-ordinates transport on polytopic meshes. From the discrete transport sweep, we derive the exact scalar correction that removes the source-iteration scalar error in one step. We prove that the associated scalar response is positive and self-adjoint, obtain an exact expression for the source-iteration convergence factor, and quantify the additional damping produced by vacuum leakage. Using the exact correction as a reference, we construct a transport-matched modified interior penalty correction whose boundary terms are inherited directly from homogeneous vacuum inflow. In the optically thick regime, the resulting MIP form approximates the exact correction with relative error proportional to the effective cell Knudsen number. This gives a strict acceleration of source iteration, with bounds uniform in mesh size, polynomial degree, and element face count for admissible polytopic meshes. Numerical experiments on Cartesian and centroidal Voronoi meshes confirm the predicted convergence and correction-operator scaling.\n9. 带马萨特噪声的流式线性系统的分位数随机卡奇马兹方法 Quantile Randomized Kaczmarz for Streaming Linear Systems with Massart Noise\n作者: Emeric Battaglia, Jian-Feng Cai, Junren Chen, Anna Ma, Deanna Needell, Tong Wu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-28\narXiv ID: 2608.27968v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.27968v1\n摘要: Quantile randomized Kaczmarz (QRK) has proven to be an efficient solver for corrupted linear systems and has received much attention. It was recently shown by Cai et al. (SIAM J. Matrix Anal. Appl. 47(2):802-823, 2026) that using $O(\\log T/\\log(1/β))$ samples for computing the quantile is necessary and sufficient for QRK to converge linearly over $T$ iterations when solving linear systems with a $β$-fraction of arbitrary corruptions, as long as $β$ is small enough. However, it remains unclear how large the corruption level $β$ can be, and how to compute the required subsample size $D$ explicitly, without hidden constants. This paper studies streaming linear systems with Massart noise via QRK using an order-optimal batch size $D=O(\\log T)$ in each update. The independence of samples from previous iterations in the streaming setting enables a sharper analysis, yielding explicit, computable bounds on both the tolerable corruption level and the required subsample size. In particular, we establish linear convergence for corruption levels of up to approximately 7%. We also discuss how the constants improve under oblivious noise.\n10. Stokes方程的半步反弹格子Boltzmann方法的最优误差估计 Optimal error estimates for the half-way bounce-back lattice Boltzmann method for the Stokes equations\n作者: Kai Koike\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-08-28\narXiv ID: 2608.27926v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.27926v1\n摘要: We give a mathematical proof of the optimal convergence rates for the D2Q9 BGK lattice Boltzmann method with the half-way bounce-back rule for the incompressible Stokes equations in a flat channel. The convergence rates are second-order for the velocity and first-order for the pressure as the lattice spacing $h$ tends to zero, in agreement with formal analyses and numerical experiments, whereas the available rigorous convergence theorems only yield an $O(h^{1/2})$ bound for the velocity error. A key step in the proof is a decomposition of the leading boundary consistency error into macroscopic and kinetic components. These components are absorbed by suitably constructed Stokes and discrete Knudsen layer correctors, respectively. Incorporating these correctors into the prediction function used in previous rigorous analyses, we obtain a refined prediction function with consistency errors of sufficiently high order. Combined with the known weighted $L^2$-stability estimate, this gives the optimal convergence rates.\n11. 面向GPU上可压缩流动直接数值模拟的大规模并行杂交化间断伽辽金求解器 A Massively Parallel Hybridizable Discontinuous Galerkin Solver for Direct Numerical Simulation of Compressible Flows on GPUs\n作者: Andrew Welter, Thea Collin, Ngoc Cuong Nguyen, Jaime Peraire\n类别: math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-08-28\narXiv ID: 2608.27863v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.27863v1\n摘要: Direct numerical simulation (DNS) of compressible transitional and turbulent flows requires numerical methods that combine high-order accuracy, robustness, and computational efficiency to resolve a broad range of spatial and temporal scales. This paper presents a massively parallel hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) solver for DNS of the compressible Navier-Stokes equations on GPU-accelerated high-performance computing systems. The proposed solver combines high-order HDG discretization with robust shock capturing, diagonally implicit Runge-Kutta (DIRK) time integration, and an efficient Newton-GMRES solution strategy accelerated by additive Schwarz preconditioning and reduced-basis approximation. A distributed implementation of these methods based on GPU-aware MPI, Kokkos, and CUDA/HIP libraries enables scalable execution on heterogeneous computing platforms. The solver is demonstrated on three canonical benchmark problems covering a wide range of Mach-number flow regimes: subsonic transitional flow over the Eppler 387 airfoil, the supersonic Taylor-Green vortex, and hypersonic boundary-layer transition. Numerical results are compared with available experimental measurements and published DNS data, showing good agreement across distinct flow regimes. The results demonstrate the ability of the proposed solver to resolve laminar-turbulent transition, strong compressibility effects, shock-associated flow structures, and fully three-dimensional turbulent dynamics.\n12. 带Dirac测度的分数阶扩散最优控制 Optimal control of fractional diffusion with Dirac measures\n作者: Enrique Otarola, Abner J. Salgado\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.27776v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.27776v1\n摘要: We study a PDE-constrained optimization problem for an elliptic equation with the spectral fractional Laplacian and a linear combination of Dirac measures as the forcing term; the controls are the amplitudes of these singular sources. We prove existence and uniqueness of an optimal solution and derive first-order optimality conditions. We then propose a discretization based on finite elements. Since the set of admissible controls is finite dimensional, the control variable itself does not require discretization. We conclude by deriving a priori error bounds\n13. 高阶鲁棒基更新与Galerkin积分器用于动力低秩近似 High-order robust basis-update \u0026amp; Galerkin integrators for dynamical low-rank approximation\n作者: Cory D. Hauck, Jonas Kusch, Steffen Schotthöfer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.27749v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.27749v1\n摘要: Dynamical low-rank approximation has become a widely used numerical method in diverse disciplines. Its main idea is to represent the matrix or tensor-valued solution to a time-dependent differential equation as a low-rank factorization. The evolution of the factorization leads to highly stiff dynamics and requires the derivation of novel time integration methods that are not prone to this stiffness. A promising family of integrators are basis-update \u0026amp; Galerkin (BUG) integrators as they enable implicit time integration and structure\u0026ndash;preservation. However, current BUG integrators are limited to second\u0026ndash;order accuracy while general-order BUG integrators are designed as projections of explicit time integration methods, thus severely limiting their use. In this work, we propose general-order BUG integrators that do not rely on an explicit time integration scheme while requiring a smaller number of basis functions to achieve high-order accuracy. We prove a general order error bound for the proposed augmented and parallel BUG integrators and demonstrate their behaviour for a series of stiff and non-stiff numerical benchmarks in which they significantly outperform previous BUG versions.\n14. 带连续源注入的变系数输运的高效量子模拟 Efficient Quantum Simulation of Variable-Coefficient Transport with Continuous Source Injection\n作者: Mohammad Mehedi Hasan Akash, Turag Dev, Nhat-Quang Nguyen, Yanzhu Chen, Huixuan Wu, Kourosh Shoele\n类别: quant-ph, math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.27712v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.27712v1\n摘要: Quantum time-marching algorithms for transport PDEs often represent variable coefficients and forcing through register-expanding dilations, block-encoding oracles, or repeated postselection. We present an alternative algorithm for a forced variable-coefficient advection-diffusion equation in flow-inspired skew-symmetric form that incorporates spatially varying velocity, viscous dissipation, and persistent source injection with a peak logical requirement of $n_q+1$ qubits. A centered skew-symmetric discretization makes the advection operator strictly skew-Hermitian for arbitrary velocity profiles, enabling an ancilla-free unitary realization using a Gray-code Trotter sequence of controlled-$R_y$ rotations. Diffusion is applied in the Fourier basis through a uniformly controlled rotation on one postselected ancilla, which is measured, reset, and reused between the two diffusion half-steps, while the source is incorporated classically through second-order Strang splitting. Statevector simulations for $N=16$ and $32$ recover second-order temporal convergence against high-accuracy classical solutions, while Richardson extrapolation gives fourth-order accuracy and reduces kernel calls by factors of four to fourteen. Independent tests through $N=256$ confirm second-order spatial consistency. We further show that the per-step ancilla failure probability is proportional to the instantaneous viscous dissipation rate, making postselection cost self-regulating over a fifty-fold viscosity range. Stable evolution is demonstrated for $5\\times10^4$ time steps without observable secular error growth, while Gray-code advection accounts for $71$\u0026ndash;$95\\%$ of transpiled controlled-NOT gates. The fixed-width kernel provides a qubit-efficient building block for near-term hardware studies, although classical readout and state re-preparation remain the main obstacles to coherent multistep evolution.\n15. 微可压缩流数据同化的数值分析 Numerical analysis of data assimilation for slightly compressible flow\n作者: Aytekin Çıbık, Rui Fang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.27647v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.27647v1\n摘要: Continuous data assimilation improves flow predictions by continually nudging a model toward available observational data. For slightly compressible flow, a recent model addresses the limitations of velocity-only nudging by assimilating both velocity and pressure data and nudging both quantities into the incompressible Navier-Stokes equations [5]; continuous-in-time error estimates and preliminary experiments show that this joint nudging is effective and substantially reduces the model error relative to velocity-only nudging. Motivated by these results, we carry out the numerical analysis of the model and its finite element discretizations. We establish stability and error estimates for the semi-discrete scheme and for the fully discrete, linearized backward Euler scheme. The analysis shows an infinite predictability horizon: the effect of the initial error decays exponentially in time, and the model error is first order in the observation resolution H and of order $μ_1^{-1/2}$ in the pressure nudging parameter $μ_1$. Balancing these two error terms, we choose $μ_1=\\mathcal{O}(H^{-2})$, which yields the optimal convergence rate. Numerical experiments confirm the predicted rates.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-31_10-59-54/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月31日 10:59:54\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 4\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 15\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-基于主导分量的时间依赖多尺度高对比度问题的两级预条件器\"\u003e1. 基于主导分量的时间依赖多尺度高对比度问题的两级预条件器\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eA Two-Level Preconditioner Based on Dominant Components for Time-Dependent Multiscale High-Contrast Problem\u003c/p\u003e","title":"2026年08月31日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月28日 16:46:51\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 6\n不相关论文数量: 17\n重点关注论文（完整分析） 1. 高对比谐振器系统中的波导：理论与快速计算 Waveguiding in systems of high contrast resonators: Theory and fast computations\n作者: Habib Ammari, Bowen Li, Borui Miao, Jiayu Qiu, Lara Vrabac\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.26906v1\n摘要翻译: 在这项工作中，我们研究高对比谐振器系统在非零内部Neumann频率附近、超亚波长区域之外的导波模式。在正则外部区域（参考波数处外部Dirichlet问题适定）中，我们通过将外部Helmholtz Dirichlet-to-Neumann映射压缩到内部共振Neumann特征空间的迹上，引入一个无穷维频率相关的电容算子。我们证明当对比度$δ\\to0$时，连续问题按范数预解收敛到该离散有效算子，并推导了紧致缺陷频率和线缺陷带函数的一阶渐近公式。随后，我们通过Combes\u0026ndash;Thomas论证建立电容系数的指数离对角衰减，从而得到离散算子的指数精确截断，并证明其保留系数可由局部Helmholtz问题计算。在物理频率处，该局部近似在增长有限簇问题的一致稳定性假设下指数收敛。通过引入消失复吸收以及Hermitian对称化，可以去除稳定性假设。特别地，阶为$\\sqrtδ$的吸收参数，连同相互作用截断和修补半径阶为$|\\logδ|$，足以保持缺陷本征频率的一阶高对比展开的$O(δ^2)$精度，从而产生一种快速计算方法。偶极和四极共振的数值实验说明了该离散模型对由材料或几何失谐产生的直波导和弯曲波导的精度、指数局部性和适用性。\nComment: 39 pages\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.26906v1\n1. 研究对象和背景 本文研究高对比度谐振器系统中的波导现象，着重于非亚波长频率下的有效模型与快速计算。系统由无限周期阵列的谐振器构成，每个谐振器为$\\mathbb{R}^d$（$d=2,3$）中的有界连通$C^{1,1}$域$D_j$，其内部波速为$v_j$，外部均匀介质波速为$v$。引入对比度参数$0\u003c\\delta\\ll1$，定义$a_\\delta=\\delta\\mathbf{1}_{\\mathbb{R}^d\\setminus D}+\\mathbf{1}_D$与$m_\\delta=\\frac{\\delta}{v^2}\\mathbf{1}_{\\mathbb{R}^d\\setminus D}+\\sum_{j\\in\\Lambda}\\frac{1}{v_j^2}\\mathbf{1}_{D_j}$，则本征问题$L_\\delta u=\\omega^2 u$等价于要求$u$在外部满足$\\Delta u+\\frac{\\omega^2}{v^2}u=0$，在每个谐振器内满足$\\Delta u+\\frac{\\omega^2}{v_j^2}u=0$，在边界$\\partial D_j$上满足$u|^+=u|^-$以及$\\delta\\partial_\\nu u|^+-\\partial_\\nu u|^-=0$。这里$L_\\delta=-m_\\delta^{-1}\\nabla\\cdot(a_\\delta\\nabla)$定义在$L^2(\\mathbb{R}^d,m_\\delta dx)$上，是自伴椭圆算子。研究的核心未知量是共振频率$\\omega$（或$z=\\omega^2$）和场$u$，希望在对比度参数$\\delta\\to0$时刻画它们在基准频率$\\omega_0$附近的渐近行为。\n本文选择$\\omega_0\\neq0$，并假设$\\omega_0$是某个缺陷谐振器的内部Neumann本征频率，即存在非平凡函数$u_{j,\\ell}$满足$-\\Delta u_{j,\\ell}=\\frac{\\omega_0^2}{v_j^2}u_{j,\\ell}$于$D_j$内且$\\partial_\\nu u_{j,\\ell}=0$于$\\partial D_j$上。这种设定超出了经典亚波长（$\\omega_0=0$）范围。在亚波长情形，每个谐振器上主导模式是常数函数，有效模型是经典电容矩阵；而在非亚波长情形，内部Neumann本征空间维数$m_j$可能大于1，外部场满足Helmholtz方程而非Laplace方程，辐射效应也可能进入一阶项。\n这类问题的重要性在于，高对比度谐振器阵列通过局部共振的杂化可以引导电磁波或声波，形成缺陷模式、直线波导、弯曲波导以及拓扑保护边缘态。为了设计此类器件，需要定量预测当$\\delta$很小时共振频率随系统参数变化的规律。亚波长的电容矩阵理论已经成熟，但只能处理低频。许多应用场景（例如偶极和四极谐振）要求更高的频率，此时必须发展非亚波长有效理论。\n已有理论背景包括：Ammari等人在[9]中引入频率依赖电容矩阵，对周期系统刻画了Fabry–Pérot共振的一阶渐近，但未涉及非周期缺陷；随后[10]在亚波长机制下建立了一般非周期系统的范数-预解收敛与局部patch近似理论，但其主要工具Poincaré不等式在$\\omega_0\\neq0$时不适用。本文的目标正是填补这一空白：在外部谱隙条件（即$\\omega_0^2/v^2$属于外部Dirichlet问题预解集）下，引入无穷维频率依赖电容算子$C(\\omega_0)$，证明连续问题到该离散算子的范数-预解收敛，推导缺陷频率和线缺陷能带的一阶渐近，并建立指数型局域化从而支持快速局部计算。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果分为三部分。\n（1）范数-预解收敛与一阶渐近（定理3.1、3.8、3.12、3.13）。设$\\omega_0$满足内部共振条件(3.2)、(3.4)与外部谱隙条件(3.5)。定义电容算子$C(\\omega_0)$为$\\ell^2(I(\\omega_0))$上有界自伴算子，其核为$C_{(j,\\ell),(j',\\ell')}(\\omega_0)=-\\frac{v_jv_{j'}}{2\\omega_0}\\int_{\\partial D_j}\\partial_\\nu U_{j',\\ell'}|_+ u_{j,\\ell}d\\sigma$，其中$U_{j',\\ell'}$是外部Helmholtz问题(3.8)的唯一解。令$K\\subset\\rho(2\\omega_0C(\\omega_0))$为紧集，$z_{\\delta,\\zeta}=\\omega_0^2+\\delta\\zeta$，则对充分小的$\\delta\u003e0$，$A_\\delta(z_{\\delta,\\zeta})$可逆，且缩放后的预解$\\delta R(z_{\\delta,\\zeta},\\delta)$按算子范数收敛于$(2\\omega_0C(\\omega_0)-\\zeta)^{-1}$的嵌入（定理3.8）。因此，若$\\lambda$是$C(\\omega_0)$的特征值，则存在$L_\\delta$的共振频率$\\omega_\\delta$满足 $$\\omega_\\delta=\\omega_0+\\delta\\lambda+O(\\delta^2).$$ 对于紧致缺陷，此式在定理3.12中给出；对于直线缺陷$J_{def}=\\{(j_1,0):j_1\\in\\mathbb{Z}\\}$，利用部分Floquet–Bloch变换得到准周期电容矩阵$C_\\alpha(\\omega_0)$，其特征值$\\lambda_j^\\alpha$确定导带 $$\\omega_j^\\alpha(\\delta)=\\omega_0+\\delta\\lambda_j^\\alpha+O(\\delta^2),\\qquad \\text{对 }\\alpha\\in\\widehat{Y}^*\\text{ 一致}.$$ 并证明当$\\delta$足够小时这些缺陷特征值与导带位于未扰动体算子谱隙中。\n（2）指数局域化与算子压缩（定理3.15、4.1）。利用Combes–Thomas估计，存在$\\beta\u003e0$使得 $$|C_{(j,\\ell),(j',\\ell')}(\\omega_0)|\\lesssim e^{-\\beta|j-j'|}.$$ 从而截断到距离$N$的算子$C_N^{tr}$满足$\\|C-C_N^{tr}\\|=O(e^{-\\mu N})$，其中$\\mu\u003e0$。达到算子精度$O(\\epsilon)$只需$N=O(\\log\\epsilon^{-1})$。若缺陷集有内蕴维数$d_{\\mathrm{act}}$，则每谐振器只需$O((\\log\\epsilon^{-1})^{d_{\\mathrm{act}}})$个相互作用块；对含$N_{\\mathrm{act}}$个谐振器的有限线缺陷，压缩矩阵非零块数为$O(N_{\\mathrm{act}}\\log\\epsilon^{-1})$，而稠密矩阵为$O(N_{\\mathrm{act}}^2)$。\n（3）局部patch逼近与快速算法（定理4.2、4.8、4.11）。在实频率$\\omega_0$处，用半径为$R$的局部Helmholtz问题代替全局问题，得到的截断电容$C_{N,R}$满足 $$\\|C(\\omega_0)-C_{N,R}\\|=O(e^{-\\beta N}+e^{-\\mu R}),$$ 但需要增长簇问题的一致可解性假设。若引入复吸收$z_\\gamma=\\omega_0^2+i\\gamma$（$\\gamma\u003e0$）并通过Schwarz反射和Hermite对称化构造对称化局部逼近$C_{N,R,\\gamma}$，则无条件成立 $$C(\\omega_0)=C_{N,R,\\gamma}+O(\\gamma^2+e^{-\\beta N}+\\gamma^{-1}e^{-\\mu R}).$$ 取$\\gamma R=e^{-\\mu R/3}$且$N\\asymp R$，可得到指数收敛稳定近似。特别地，当$\\gamma=\\sqrt{\\delta}$、$N,R=O(|\\log\\delta|)$时，有限簇近似保持一阶模型的$O(\\delta^2)$精度： $$\\omega_{\\delta,j}=\\omega_0+\\delta\\lambda_{j,N,R,\\sqrt{\\delta}}+O(\\delta^2),$$ 且对直线缺陷的准动量$\\alpha$一致成立。文中还给出了数值实验，对偶极和四极谐振验证了直线和弯曲波导中模式重构的准确性。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 证明的核心困难在于，非亚波长设定下内部共振本征值使补空间算子失去强制性。作者通过四步递进地建立理论。\n（1）外部DtN压缩与电容算子。为了消除外部区域，引入外部Dirichlet-to-Neumann映射$T^z$：对边界数据$\\phi\\in H^{1/2}(\\partial D)$，$T^z\\phi=\\partial_\\nu u|^+$，其中$u$是$\\mathbb{R}^d\\setminus D$中满足$(-\\Delta-z/v^2)u=0$且$u|^+=\\phi$的有界能量解。在外部谱隙条件(3.5)下，$T^z$在$z=\\omega_0^2$附近解析。将原问题化为定义在$H^1(D)$上的算子$A_\\delta(z)$，其内积为 $$a(u,w;z,\\delta)=\\sum_{j\\in\\Lambda}\\int_{D_j}(\\nabla u\\cdot\\nabla w-\\frac{z}{v_j^2}uw)dx-\\delta\\langle T^z[u|_{\\partial D}],w|_{\\partial D}\\rangle.$$ 随后在每个谐振器上选取内部Neumann本征空间$E_j(\\omega_0)$，并构造离散系数空间$\\ell^2(I(\\omega_0))$。定义算子$G:a\\mapsto\\sum a_{j,\\ell}u_{j,\\ell}$和$M:a\\mapsto v_j^{-2}a_{j,\\ell}$，则电容算子写为$C(\\omega_0)=-\\frac{1}{2\\omega_0}M^{-1/2}G^*T^{\\omega_0^2}GM^{-1/2}$。$C(\\omega_0)$的有界自伴性由迹定理和$T^{\\omega_0^2}$的自伴性得到（命题3.3）。\n（2）补空间的谱演算与Schur补消去。设$P$为从$L^2(D)$到$\\bigoplus_j E_j(\\omega_0)$的投影，$Q=I-P$。作者将$A_\\delta$按$P^*\\ell^2\\oplus Q$分解为四块。在亚波长情形，$\\omega_0=0$时$Q$块强制；这里$\\omega_0^2/v_j^2$是内部Neumann本征值，$Q$块可能不定。定理3.7证明，若(3.4)和(3.5)成立，则存在与$j$无关的常数使得补块$A_{QQ}+$（含$\\delta$修正）一致可逆，其逆关于$\\delta$有界。这是通过谱演算和外部DtN的小ness估计获得的，取代了[10]中的Poincaré不等式。随后利用Schur补消去$Q$，得到有效算子$A_\\delta^{eff}$，其展开的零阶项正是$-2\\omega_0C(\\omega_0)$，从而得到范数-预解收敛。\n（3）Combes–Thomas权估计与指数衰减。电容系数$C_{(j,\\ell),(j',\\ell')}$可表示为边界上$T^{\\omega_0^2}$的内积，其中外部函数$U_{j',\\ell'}$由区域$D_{j'}$上的源$u_{j',\\ell'}$通过外部Helmholtz问题传播而来。由于$\\omega_0^2/v^2$属于外部Dirichlet谱隙，作者对预解$(-\\Delta-\\omega_0^2/v^2)^{-1}$应用Combes–Thomas估计：存在$\\beta\u003e0$使$\\|e^{\\beta|x|}(-\\Delta-\\omega_0^2/v^2)^{-1}e^{-\\beta|x|}\\|$有界。将其作用于单位点源，得到$U_{j',\\ell'}$在距离$|j-j'|$处的迹指数衰减，进而得到(3.18)中的指数界。这个衰减不仅导出压缩定理，也决定了patch半径的尺度。\n（4）局部patch逼近与复吸收对称化。由于每个电容系数涉及全局问题，作者提出用有界局部域$B_R(j)$上的外部Helmholtz问题近似。在实频率下，增长局部问题可能遇到散射共振，使预解无界；作者在频率中加入正虚部$i\\gamma$，使局部问题预解界为$O(\\gamma^{-1})$且与簇尺寸无关。直接使用复吸频率会改变电容系数一阶项；利用Schwarz反射关系$T^{\\bar z}=\\overline{T^z}$，作者构造$C_{N,R,\\gamma}$为两个复频率$z_\\gamma$和$\\bar z_\\gamma$下局部系数的Hermite平均，使得一阶项抵消，仅留下$O(\\gamma^2)$偏差。这一技巧使得不需要任何实频率稳定性假设即可获得定理4.8的无条件误差估计。最后，在定理4.11中取$\\gamma=\\sqrt{\\delta}$，平衡稳定化误差与截断误差，并证明局部解的频率移位与真实一阶渐近相差$O(\\delta^2)$。\n4. 与之前工作的比较 本文与已有工作的比较可以从三个层面展开。\n首先，与亚波长电容矩阵理论（例如[2,8,6,1,10]）相比，本文把有效模型的适用范围从$\\omega_0=0$推进到任意非零内部Neumann频率。在亚波长机制中，每个谐振器的共振模式是常数，有效算子为经典电容矩阵/算子，外部场是调和的。本文在非亚波长情形下，内部模式可以是多个非平凡本征函数（偶极、四极等），外部场必须求解Helmholtz方程。从证明角度看，文献[10]的范数-预解收敛依赖补空间的强制性；本文通过谱演算建立补算子的一致可逆性，因此这是一个本质性推广。代价是引入了外部谱隙假设(3.5)，该假设在谐振器近紧贴的几何中可以通过谱隙开方获得，但并非任意几何都成立。\n其次，与周期结构的频率依赖电容矩阵工作[9]相比，本文不再要求整体周期性。事实上，本文的构造允许任意非周期缺陷，包括紧致缺陷、直线缺陷和完全非周期的弯曲波导。当配置退化为直线缺陷时，部分Floquet–Bloch变换给出的准周期电容矩阵$C_\\alpha(\\omega_0)$与[9]的周期性Bloch电容矩阵一致，因而本文包含了周期结果。本文还补充了缺陷本征值和导带位于体谱隙中的证明，并建立了指数衰减，这是[9]未涉及的。\n第三，与超晶胞方法和基于DtN映射的能带计算[25,26,22,19]相比，本文的计算方法具有明显的复杂度优势。传统方法需要在包含许多谐振器的大超晶胞上求解精细Helmholtz问题，而高对比度参数要求非常细的网格，导致计算量极大。本文利用电容算子的指数局域性，通过截断到$N=O(|\\log\\delta|)$和局部patch半径$R=O(|\\log\\delta|)$来近似每个矩阵元，仅需求解小尺寸局部问题。对于有限线缺陷，压缩矩阵的非零块数从$O(N_{\\mathrm{act}}^2)$降到$O(N_{\\mathrm{act}}\\log\\epsilon^{-1})$，因此可以处理长缺陷和宽频率范围。数值实验表明，在直波导和弯波导中均能重构偶极和四极局域模式。\n需要指出，作者并未显式展开对所有已有方法的数值对比，其对计算复杂度的讨论是理论层面上的。此外，本文的严格结果依赖于外部谱隙条件，对于外部谱无隙的情形（例如孤立谐振子列阵），作者未做讨论。局部patch方法在实频率下需要一致可解性假设，虽然复吸收可以去除该假设，但引入的$\\gamma$需要适当选取以保持精度，这增加了实现中的参数调节。总体而言，本文的贡献在于首次将高对比度谐振器系统的局部可计算性理论从亚波长扩展到非亚波长，并为弯曲波导等非周期结构提供了快速、可靠的数值方案。\n2. 三维声散射中多极展开法的谱收敛 Spectral Convergence of the Multipole Expansion Method for Acoustic Scattering in Three Dimensions\n作者: Jinrui Zhang, Jun Lai\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.26884v1\n摘要翻译: 多重散射是声学和电磁学中一种基本的波相互作用现象。多极展开法（MEM）是此类问题许多快速算法（如快速多极方法（FMM））的基础。然而，由于涉及无穷多次波反射，其在三维空间中的收敛性仍未得到探索。本文证明了三维空间中由有限多个分离良好的球体产生的时谐声散射的 MEM 的谱收敛性。利用对角预处理单层公式，我们在自然的球谐能量空间中分析 $N$ 阶截断系统。我们将相互作用截断分为目标侧和源侧的高阶部分，并为每一部分选择不同的表示：前者采用投影格林核表示，后者采用平移球波族的逐阶估计。由此得到的基于帕塞瓦尔恒等式和球谐加法定理的论证，为 MEM 的收敛性分析提供了一个通用框架，并揭示了收敛因子的几何和物理起源。我们还通过首次传递分析获得了更精细的估计。数值实验证实了预测的谱衰减和几何收敛因子。这为一大类多重散射快速算法的收敛性分析铺平了道路。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.26884v1\n1. 研究对象和背景 本文研究三维时间调和声波在有限个互相分离的球体上的多体散射问题。设 $B_p=\\{x\\in\\mathbb R^3: |x-c_p|a_p+a_q$ ($p\\ne q$)。散射场 $u^s$ 在外区域 $\\Omega^+=\\mathbb R^3\\setminus\\bigcup_p\\overline{B_p}$ 中满足 Helmholtz 方程 $\\Delta u^s+k^2u^s=0$, 在边界上满足声软条件 $u^s=-u^{\\mathrm{inc}}$ 于 $\\Gamma=\\bigcup_p\\Gamma_p$, 以及 Sommerfeld 辐射条件 $\\lim_{r\\to\\infty}r(\\partial_r u^s-iku^s)=0$。入射波可取平面波 $u^{\\mathrm{inc}}(x)=e^{ik\\hat d\\cdot x}$ 或点源 $u^{\\mathrm{inc}}(x)=\\Phi_k(x,x_0)=e^{ik|x-x_0|}/(4\\pi|x-x_0|)$。本文采用单层位势表示 $u^s=S\\phi$, $S\\phi(x)=\\int_\\Gamma \\Phi_k(x,y)\\phi(y)\\,ds_y$, 导出边界积分方程 $V\\phi=-u^{\\mathrm{inc}}|_\\Gamma$。多极展开方法(MEM)将每个球面上的密度或出射多极系数按球谐函数 $Y_n^m$ 展开, 通过球谐加法定理把不同球心的展开平移耦合起来。实际计算必须截断到 degree $N$, 形成维数为 $M(N+1)^2$ 的代数系统。此前虽然已有针对单个平移、快速求和过程或约化 T-matrix 的误差估计, 但对三维全局耦合 MEM 截断系统的稳定性和收敛性, 严格理论是缺失的。二维分析 [9] 已经指出, 三维平移系数由 Gaunt 系数控制, 连带 Legendre 函数和超几何函数使逐项估计极其困难; 本文正是要填补这一空白。\n2. 主要定理或主要结果 在假设 2.1 成立时, 即对所有 $p,n$ 有 $j_n(ka_p)\\ne0$ (等价地 $k^2$ 不是任意球 $B_p$ 的内部 Dirichlet 特征值), 作者建立了 MEM 截断系统的谱收敛。记 $V_{pp}$ 在球谐基下对角化, $V_{pp}b_{p,nm}=\\lambda_n^{(p)}b_{p,nm}$, 其中 $\\lambda_n^{(p)}=ika_p^2j_n(ka_p)h_n^{(1)}(ka_p)=a_p/(2n+1)(1+O(n^{-1}))$。令 $D=\\mathrm{diag}(V_{11},\\dots,V_{MM})$, $W=D^{-1}V=I+A$, $G=-D^{-1}u^{\\mathrm{inc}}|_\\Gamma$, 则无穷系统为 $W\\Phi=G$。设 $P_N$ 为保留每个球上 $0\\le n\\le N$ 所有 order 的投影, $Q_N=I-P_N$, 截断系统为 $P_N(I+A)P_N\\Phi_N=P_NG$。作者证明: 存在 $N_0$, 当 $N\\ge N_0$ 时 $W_N:=I+P_NAP_N$ 在 $H^{-1/2}:=\\bigoplus_p H^{-1/2}(\\Gamma_p)$ 上可逆, 且零延拓后的截断解满足精确误差恒等式 $$\\Phi-\\Phi_N=W_N^{-1}\\bigl[Q_NG-(A-P_NAP_N)\\Phi\\bigr],$$ 从而 $$\\|\\Phi-\\Phi_N\\|_{H^{-1/2}}\\le \\|W_N^{-1}\\|_{H^{-1/2}\\to H^{-1/2}}\\bigl(\\|Q_NG\\|_{H^{-1/2}}+\\|A-P_NAP_N\\|_{H^{-1/2}\\to H^{-1/2}}\\|\\Phi\\|_{H^{-1/2}}\\bigr).$$ 对交叉块, 令 $r_q(x)=|x-c_q|$, $\\hat r_q=(x-c_q)/r_q$, 作者在 Lemma 3.3 中对 $r_q\\in[R_-,R_+]$, $R_-\u003ea_q$ 建立了 degree-wise 估计: $$\\sum_{m=-n}^n\\|j_n(ka_q)h_n^{(1)}(kr_q)Y_n^m(\\hat r_q)\\|_{H^{1/2}(\\Gamma_p)}^2\\le C\\langle n\\rangle^\\mu\\eta^{2n},$$ $$\\sum_{m=-n}^n\\left\\|\\frac{h_n^{(1)}(kr_q)}{h_n^{(1)}(ka_q)}Y_n^m(\\hat r_q)\\right\\|_{H^{1/2}(\\Gamma_p)}^2\\le C\\langle n\\rangle^\\mu\\eta^{2n},$$ 其中 $\\eta$ 可任意接近 $a_q/R_-$。由 Lemma 3.2, 这类尾项满足 $\\sum_{n\u003eN}\\langle n\\rangle^\\alpha\\theta^{2n}\\le C\\eta^N$ 对任意 $\\eta\u003e\\theta$ 成立, 故得到 $\\|Q_NG\\|+\\|A-P_NAP_N\\|\\lesssim \\eta^N$。最终收敛因子由几何决定, 其典型形式为 $a_p/(d_{pq}-a_q)$, 即目标球半径与目标球心到源球最近点距离之比。文中还通过 first-transfer 分析得到更尖锐的估计, 该因子由孤立粒子场可解析延拓的更大区域决定。数值实验验证了谱衰减和几何收敛因子。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 证明的核心障碍是三维球谐 mode 的多重性: degree $n$ 有 $2n+1$ 个 order, 平移耦合通过 Gaunt 系数将 $(n,m)$ 与 $(\\ell,r)$ 混合, 若像二维那样逐个估计平移系数, 将面对连带 Legendre 函数和超几何函数的不可控渐近。作者的真正创新在于不估计单个 Gaunt 系数, 而是先把截断误差分解为目标端(target-side)和源端(source-side)的高阶部分, 再分别用不同的积分表示处理。具体框架如下:\n对角预处理与能量空间。单层算子 $V$ 的分块 $V_{pq}$ 中, 自块 $V_{pp}$ 在球谐基下对角, 特征值渐近为 $\\lambda_n^{(p)}=a_p/(2n+1)(1+O(n^{-1}))$。定义 $D=\\mathrm{diag}(V_{11},\\dots,V_{MM})$, 则 $W=D^{-1}V=I+A$, 其中 $A_{pq}=V_{pp}^{-1}V_{pq}$ 对 $p\\ne q$ 因核光滑而紧。自然能量空间取 $H^{-1/2}=\\bigoplus_p H^{-1/2}(\\Gamma_p)$, 其范数 $\\|\\Phi\\|^2=\\sum_{p,n,m}\\langle n\\rangle^{-1}|\\Phi_{p,nm}|^2$ 与球谐系数权重匹配。\n截断误差恒等式。Proposition 3.1 给出 $\\Phi-\\Phi_N=W_N^{-1}[Q_NG-(A-P_NAP_N)\\Phi]$。因此只需分别控制入射数据尾部 $Q_NG$ 和相互作用算子尾部 $A-P_NAP_N$。\n目标端估计。对固定输出模, 将 Helmholtz Green kernel 投影后, 自块中的正则 Bessel 因子被消去, 留下由 Hankel 比控制的核。利用球谐加法定理可先对 order 求和, 例如 $\\sum_{m=-n}^n|h_n^{(1)}(kr)Y_n^m(\\hat r)|^2=(2n+1)/(4\\pi)|h_n^{(1)}(kr)|^2$, 以及梯度版本的公式 (33)\u0026ndash;(34), 从而把高阶重数约化为关于 degree 的 Bessel 函数比值估计。\n源端估计。固定输入模后得到一族平移出射球波 $j_n(ka_q)h_n^{(1)}(kr_q)Y_n^m(\\hat r_q)$, 其 $H^{1/2}$ 范数通过物理值能量和梯度能量控制。Lemma 3.3 在 $r_q\\in[R_-,R_+]$, $R_-\u003ea_q$ 的假设下给出 degree-wise 估计, 其中常数含多项式因子 $\\langle n\\rangle^\\mu$ 和几何因子 $\\eta^n$。这里的关键是先用 Parseval 恒等式和加法定理把 order 全部求和, 再做 large-degree 估计; 因此三维空间中的 $2n+1$ 重数只贡献多项式因子, 不改变第 $N$ 次根的几何速率。\n尾部求和与可逆性。Lemma 3.2 证明 $\\sum_{n\u003eN}\\langle n\\rangle^\\alpha\\theta^{2n}$ 的 $2N$ 次根收敛到 $\\theta$, 所以多项式因子不影响谱衰减。结合 $A$ 的紧性和小尾估计, 可证明 $W_N$ 对充分大 $N$ 一致可逆, 最后代入误差恒等式得到谱收敛。\n此外, 作者使用单层密度的系数而非传统出射多极振幅作为变量; 在任意有限截断度下两者由对角关系联系, 因此截断系统本质仍是同一 MEM 离散。这一选择让 Sobolev 结构和 interaction tails 更加透明。作者还指出, 该 target/source 分解框架在二维同样适用, 可绕过 [9] 中的双指标求和。\n4. 与之前工作的比较 与最相关的二维工作 [9] 相比, [9] 从显式圆柱平移系数出发, 估计耦合双指标和, 将其化为超几何函数并用大阶渐近处理; 本文证明不必逐个估计平移系数。通过目标/源分解和 Parseval-加法定理, 先在所有 order 上求和, 再对 degree 取渐近, 因而三维 Gaunt 系数的复杂性不会进入估计。作者还指出该框架在二维同样适用, 可绕过 [9] 的 double-index sums, 说明这不是三维特有的技巧。\n与截断球谐加法定理和 FMM 平移估计 [1,7,21,26,28] 相比, 那些工作主要针对单个平移或快速求和过程, 不涉及全局耦合 degree-$N$ MEM 系统; 本文处理的是经过任意多次反射传播后的截断算子 $A-P_NAP_N$, 因此属于系统级误差分析。与约化基 T-matrix 近似 [12] 相比, [12] 针对单个散射体的 T-matrix 做约化基逼近, 本文分析的是粒子间多极平移的截断误差; 文章提出可将两者结合以获得一般形状粒子的联合收敛率, 但未在本文中实现, 属于未来方向。与计算研究 [16,24] 相比, 本文提供了严格证明; 与低频多体散射的谱和条件数估计 [2,32] 相比, 本文给出了 $H^{-1/2}$ 中的稳定性与显式收敛阶。\n推进之处包括: 证明对任意固定球面 Sobolev 尺度 $H^s$ 成立, 额外的 Sobolev 权重只影响多项式因子; 改变边界条件(声硬或阻抗)或积分表示只改变亚指数因子, 只要对应的 modal self block 估计可用; 收敛因子的几何来源被揭示, 全收敛因子由目标半径与目标球心到源粒子最近点距离之比决定, 例如 $a_p/(d_{pq}-a_q)$; 更尖锐的 first-transfer 因子由孤立粒子场的解析延拓区域决定。作者未在摘要或节选部分给出 first-transfer 因子的显式公式, 从提供内容中无法确认其具体闭式表达。\n代价和局限方面, 本文需要单层非共振假设 2.1, 但作者说明可通过组合层位势移除, 只是分析会更长; 目前结果限于有限个、严格分离的球体和声软边界条件, 对一般形状粒子只是提出结合局部 T-matrix 的未来框架。证明中的常数 $C$ 依赖固定波数与粒子构型, 且不讨论 $N$ 很小时的预渐近行为, 这些在文中未被详细量化。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 在算子学习中强制实施Dirichlet边界条件 Enforcing Dirichlet Boundary Conditions in Operator Learning\n作者: Andrew M. Stuart, Margaret Trautner\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.27256v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.27256v1\n摘要翻译 中文标题: 在算子学习中强制实施Dirichlet边界条件\n摘要翻译: 科学机器学习中的算子学习关注无限维函数空间之间映射的逼近；这类映射经常作为偏微分方程（PDE）的解算子出现。神经算子在从数据逼近此类映射方面展现了广泛的经验成功。然而，大多数现有的神经算子架构通过从数据训练来间接实施边界条件，尽管边界条件通常是精确已知的。此外，现有的显式实施边界条件的修改和方法受到不切实际的限制，包括边界光滑性、均匀网格以及可分离的盒状区域。在这项工作中，我们提出了一种架构，该架构独立于训练，满足齐次Dirichlet边界条件，同时保留现有核积分神经算子架构的表达能力。这是通过强制每层输出包含在输出域上Laplacian的齐次Dirichlet特征函数子集的张成中来实现的。该方法仅要求输出域具有Lipschitz边界的有界域，并且对离散化的选择没有限制，使其适用于任意网格数据和一般几何。我们证明了所得架构的普适逼近性；此外，我们在分析中采用的方法证明了广泛类别的核积分神经算子的普适性，从而统一了各种算子学习方法的现有理论。我们在二维PDE中由系数到解映射定义的映射上验证了所提方法：方形域上的Darcy流和圆形域上的Helmholtz方程。并与替代方法进行了比较。\n2. B-稳定DIRK格式的Bochner稳定性 Bochner Stability for B-stable DIRK Schemes\n作者: Anthony E. Ramirez, Abner J. Salgado\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.27210v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.27210v1\n摘要翻译 中文标题: B-稳定DIRK格式的Bochner稳定性\n摘要翻译: 在 Abner J. Salgado 和 Ignacio Tomas 的论文 \u0026ldquo;Diagonally implicit Runge-Kutta schemes: discrete energy-balance laws and compactness properties\u0026rdquo;（J. Number. Math., 31(4):313-341, 2023）中，引入了对角隐式 Runge-Kutta (DIRK) 格式的 $U$-稳定性概念。本文我们建立了两级和三级 DIRK 格式的 $U$-稳定性与 $B$-(代数)稳定性之间的等价性，从而为 $B$-稳定方法提供了合适的 Bochner 范数先验估计。作为应用，我们首先通过能量估计和紧致性，在线性强制演化问题的最小正则性条件下证明了 $U$-稳定 DIRK 格式的收敛性。其次，我们将这些离散化应用于梯度流，由此推导出离散局部能量耗散不等式，并提供了反例以说明逐级能量单调性的局限性。\n3. 缩放核空间的尺度一致逆不等式 Scale-uniform inverse inequalities for scaled kernel spaces\n作者: Davoud Mirzaei\n类别: math.NA, math.AP, math.FA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.26945v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.26945v1\n摘要翻译 中文标题: 缩放核空间的尺度一致逆不等式\n摘要翻译: 逆不等式是核近似方法稳定性与收敛性分析中的重要工具。然而，在多尺度情形下，试验空间随核尺度 $δ$ 变化，固定核的逆估计并不充分。当 $δ\\to0$ 时，常数必须保持可控。本文研究由原生空间为 Sobolev 空间的缩放正定核所生成的空间上的尺度一致逆不等式。我们首先在依赖于尺度的 Sobolev 空间中建立逆估计。在有界区域上，这导出了以 $L^2$ 为较弱范数的标准 Sobolev 范数下的尺度一致逆不等式。该估计仅要求中心点的分离距离具有由核尺度的固定倍数给出的上界。这使得核尺度可以比分离距离下降得更慢，这与多尺度加密相关。然后我们在全空间上建立更一般的尺度一致 Bernstein 不等式。我们的结果在分离距离与核尺度之间的同一关系下，涵盖了较弱和较强 Sobolev 指标的广泛范围。证明直接利用核空间中函数的 Fourier 表示，并将低频-高频分解与分离指数多项式的框架估计相结合。这避免了因分别比较缩放 Sobolev 范数和标准 Sobolev 范数而产生的额外尺度因子。\n4. 海冰动力学的间断伽辽金离散 A Discontinuous Galerkin discretization for the sea ice dynamics\n作者: Emma Lagracie, Thomas Richter\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.26810v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.26810v1\n摘要翻译 中文标题: 海冰动力学的间断伽辽金离散\n摘要翻译: 海冰动力学在地球气候系统中起着至关重要的作用，使其成为天气和气候预测模型的重要组成部分。然而，由于其非线性冰流变学以及与外部物理强迫的相互作用，其数值模拟仍然具有挑战性。特别是，海冰呈现出线性运动学特征（LKFs），即与冰间水道开启或压力脊形成等过程相关的强烈变形的窄带。准确表示这些特征至关重要，因为它们影响热力学和海洋-大气交换。然而，它们的数量、定位和结构对空间分辨率以及所选的海冰速度离散方式高度敏感。在本工作中，我们研究了使用所有变量的完全间断伽辽金（DG）表示（包括速度场）对Hibler粘塑性海冰模型的空间离散。DG单元在具有高阶局部多项式逼近的同时表示不连续性的能力，使其非常适合解析复杂的冰变形特征，并确保对网格引起的数值伪影的鲁棒性。我们使用一个既定的海冰动力学基准来评估完全DG方法，并将获得的海冰变形与最先进的离散化方法进行比较。此外，我们研究了修正的弹性-粘塑性（mEVP）公式作为粘塑性（VP）动量方程的伪时间迭代求解器的理论收敛性。我们证明了底层连续伪时间动力系统向粘塑性形式极限的收敛性，从而为使用mEVP作为Hibler VP模型的迭代求解器提供了理论基础。\n5. 物理信息随机配置机：一种用于非线性微分方程的免反向传播快速训练神经网络 Physics-Informed Stochastic Configuration Machine: A Backpropagation-Free Neural Network with Fast Training for Nonlinear Differential Equations\n作者: Yuehao Song, Zhong Chen, Lihui Cen, Liang Wu, Kai Zhang\n类别: math.NA, cs.AI, cs.LG, eess.SY\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.26549v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.26549v1\n摘要翻译 中文标题: 物理信息随机配置机：一种用于非线性微分方程的免反向传播快速训练神经网络\n摘要翻译: 尽管物理信息神经网络（PINNs）已成为求解复杂微分方程的变革性范式，但其对基于反向传播的梯度下降和自动微分（AD）的依赖，带来了显著的计算瓶颈和严重的非凸优化挑战。为克服这些根本性限制，我们提出了物理信息随机配置机（PI-SCM），一种新颖的免反向传播框架，适用于微分方程的正问题与反问题。核心数学贡献在于对非线性微分算子的局部雅可比矩阵进行解析求值，这有助于物理损失的线性化表示，并将其投影到统一的线性化代数子空间中。这种重新表述允许通过一系列广义线性最小二乘求解器显式确定最优网络权重，从而有效绕过传统非线性优化器的迭代陷阱。我们开发了一套渐进式算法体系，包括局部构造（PI-SC-I）、滑动窗口更新（PI-SC-II）和全局更新（PI-SC-III），并严格建立了它们的通用逼近性质。大量实验表明，与标准PINNs相比，PI-SCM在实现高保真预测精度和稳健参数识别的同时，将训练过程加速了数量级。我们的工作为下一代实时科学机器学习应用提供了高效且可扩展的基础。\n6. 基于固定应力分裂与能量自然梯度下降的Biot模型物理信息神经网络 Physics-Informed Neural Networks for Biot\u0026rsquo;s Model via Fixed-Stress Splitting and Energy Natural Gradient Descent\n作者: Kexin Sun, Qiang Liu, Minfu Feng, Mingchao Cai\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.26303v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.26303v1\n摘要翻译 中文标题: 基于固定应力分裂与能量自然梯度下降的Biot模型物理信息神经网络\n摘要翻译: 物理信息神经网络（PINNs）近年来作为求解偏微分方程的无网格框架受到了广泛关注。然而，当应用于强耦合多物理场系统（如Biot固结模型）时，由于优化景观严重病态，其性能会下降。在这项工作中，我们提出了一种基于PINN的稳健求解器，称为FS-ENGD-PINN，它协同整合了基于物理的解耦与几何感知优化。具体而言，采用固定应力（Fixed-Stress, FS）分裂格式将耦合的孔隙弹性系统分解为收缩的力学子问题和流动子问题，从而显著提高训练稳定性和收敛性。为了进一步加速优化，我们采用能量自然梯度下降（Energy Natural Gradient Descent, ENGD），该方法在函数空间中近似牛顿方向，有效缓解了刚度引起的慢收敛问题。此外，为了解决近不可压缩区域中出现的体积锁死问题，我们将带有附加总压力变量的三场混合公式纳入PINN框架。大量数值实验表明，所提出的FS-ENGD-PINN在精度和稳健性方面始终优于标准PINN公式，为广泛材料参数范围内的孔隙弹性问题提供了一种统一且可靠的基于学习的求解器。\n不相关论文（基本信息） 1. 采用Mortar单元方法的高阶稳定化无矩阵旋转混合设备模拟 High-order stabilized matrix-free simulation of rotating mixing devices using the Mortar Element Method\n作者: B. Campos, P. Munch, V. O. Ferreira, D. C. Boffito, X. Banquy, B. Blais\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.27423v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.27423v1\n摘要: We present a finite element framework to simulate rotating mixing devices using the Mortar Element Method as a domain decomposition strategy. The model is implemented within a matrix-free Navier-Stokes framework which uses a high-order Continuous Galerkin method. The discretized domain is subdivided into rotor and stator parts. An Arbitrary Lagrangian-Eulerian approach accounts for the relative rotor-stator motion, and stabilization is ensured through the Streamline-Upwind/Petrov-Galerkin and Pressure-Stabilizing Petrov-Galerkin methods. The rotor-stator domains are connected by an interface composed of mortar cells, and continuity is weakly enforced in a Discontinuous Galerkin fashion by accounting for boundary integrals at the rotor-stator interface. Verifications of the convergence order in two-dimensional steady and transient examples report optimal rates. The geometric non-conformity created at the mortar interface due to rotor rotation does not introduce significant error in the solution. A three-dimensional example is used to investigate the model\u0026rsquo;s scalability, which yields ideal strong scaling for large problems. A two-dimensional Rushton impeller example uses a torque analysis to showcase the mesh convergence, and the corresponding velocity profile is in agreement with existing numerical results. In a three-dimensional pitched blade turbine case, the power number curve (Np vs Re) shows good agreement with experimental data for Reynolds number values from 1 to 2000. An energy balance analysis reports a numerical dissipation of 1% for Re=200 and of 10% for Re=2000. By exploiting modern hardware capabilities through matrix-free methods, the proposed model is a robust, accurate, and efficient framework suitable for simulating flows with rotating geometries.\n2. 用于失效概率估计的多层交互粒子系统方法 A Multilevel Interacting Particle System Method for the estimation of Failure Probabilities\n作者: Rubén Aylwin, José Pinto\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.27275v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.27275v1\n摘要: We propose a novel method that combines a multilevel decomposition with the framework of Interacting Particle Systems to compute the probability that given quantities of interest take values above or below a certain pre-specified value. Through the application of a sequential sampling scheme, the algorithm is able to achieve convergence rates faster than those achieved by the classical Multilevel Monte Carlo algorithm, and competes with the current state of the art techniques, while also being dimension independent. Furthermore, the sample points generated by the algorithm form a sequence which concentrates near the critical value of the quantity of interest. Our results are rigorously established and later verified through numerical experiments.\n3. QH-GEM：量子流体动力学生成建模 QH-GEM: Quantum-Hydrodynamic Generative Modeling\n作者: Harbir Antil, Alex Kaltenbach, Sarswati Shah\n类别: math.NA, math-ph, math.OC, quant-ph\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.27216v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.27216v1\n摘要: In this paper, we develop a deterministic, physically constrained generative framework based on the Madelung formulation of the free-particle Schrödinger equation. A reference Born probability density and a controllable initial phase function serve as initial data for the free Madelung system, which couples the Born probability density and phase function through the Bohm quantum potential, while the phase function determines the hydrodynamic velocity field. Provided that the Born probability density remains positive and the hydrodynamic velocity field generates a unique global characteristic flow, samples drawn from the reference density and transported along the characteristic flow are distributed according to the evolving Born probability density at every time. As a consequence, randomness enters only through the initial sampling; the subsequent generation is deterministic and involves neither stochastic dynamics nor an independently parameterized time-dependent velocity field. We formulate terminal-time distribution matching as a PDE-constrained phase-identification problem and derive the underlying Hamiltonian and Fisher-information structure. For isotropic Gaussian wave packets, we obtain explicit dynamics and a necessary and sufficient condition for exact reachability of isotropic Gaussian targets by quadratic initial phase functions, together with the corresponding sampling map. For a smooth prescribed potential initial velocity field, we further establish that the characteristic flow approximates the associated first-order transport map with an O(T^2) error, both uniformly and in the 1- and 2-Wasserstein distances. A numerical Gaussian benchmark validates the fully discrete forward solver, while full-grid PDE-constrained phase identification is demonstrated for asymmetric bimodal targets.\n4. 多类动理学交通流模型：离散速度公式与扩散修正的宏观极限 A multi-class kinetic traffic flow model: discrete-velocity formulation and diffusively-corrected macroscopic limits\n作者: Carmen Mezquita-Nieto, Paola Goatin, Axel Klar\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.27159v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.27159v1\n摘要: This paper introduces a multi-class extension of a discrete-velocity kinetic traffic flow model based on a non-local Prigogine-Herman framework. We derive a hyperbolically scaled system of equations from a continuous kinetic formulation describing interactions between different vehicle classes through braking and relaxation terms. The model is then discretized with respect to the velocity variable for an arbitrary number of vehicle classes, and the structural properties of the resulting formulation are analyzed. In particular, we prove hyperbolicity and total linear degeneracy. Due to the non-conservative structure of the model, we employ a path-conservative finite volume scheme for the numerical approximation of the system. Finally, we derive the corresponding diffusively-corrected macroscopic multi-class model, investigate its stability and present numerical simulations on a single-lane road to illustrate the theoretical findings.\n5. 原始-对偶方法与加速用于Morozov和等式约束正则化 Primal-dual methods and acceleration for Morozov and equality constrained regularization\n作者: Diana-Elena Mirciu, Martin Benning, Elena Resmerita\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.27106v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.27106v1\n摘要: This work develops a regularization analysis of non-accelerated and accelerated primal-dual methods for solving linear inverse problems in the presence of noisy data. We investigate a Condat-Vũ algorithm and an accelerated primal-dual hybrid gradient method in Hilbert spaces, with focus on quantifying the effect of data perturbations on the reconstruction error. For the non-accelerated scheme, we derive error estimates in terms of Bregman distances, whereas for the accelerated scheme we establish error estimates in norm. The study accommodates a general class of convex data fidelities satisfying suitable perturbation conditions, which are verified explicitly for equality constrained and Morozov regularization. For the non-accelerated method, the analysis is further extended to Banach spaces, taking into account non-Euclidean geometries and including a particular non-reflexive setting tailored to nonnegative solution reconstruction. The results recover known behavior in classical settings while extending the regularization analysis to these more general frameworks. Numerical experiments with representative regularizers, including sparsity and entropic models, support the theoretical findings and illustrate practical performance under noise.\n6. 随机拟高斯-牛顿法求解一般非线性方程组 Randomized Quasi-Gauss\u0026ndash;Newton Methods for Solving General Nonlinear Equations\n作者: Chengchang Liu, Luo Luo\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.27084v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.27084v1\n摘要: This paper considers the local convergence for solving general nonlinear equations. We establish randomized quasi-Gauss\u0026ndash;Newton methods based on the approximation of the Gram matrix, addressing both the underdetermined and the overdetermined settings. For the underdetermined case, we show that our methods achieve local superlinear convergence to the optimal solution. For the overdetermined case, we show that our methods achieve local condition-number-free convergence to the stationary point of the nonlinear least-square formulation of the problem. In contrast, existing quasi-Newton methods mostly focus on square systems and additionally require the initial Jacobian estimate to be sufficiently close to the exact one.\n7. 正则化谱近似的精确低维重构 Exact low-dimensional reformulations for regularized spectral approximation\n作者: Shengxiang Deng, Xudong Li, Yangjing Zhang\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.27052v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.27052v1\n摘要: We study exact low-dimensional reformulations for a regularized spectral approximation problem and its weighted variant. In the unweighted setting, weak-majorization monotonicity of the fidelity term enables an exact reformulation over singular values. In the weighted setting, we establish such a reformulation under compatibility and simultaneous diagonalization conditions. We further show, via a counterexample, that this exact reformulation can fail in the absence of simultaneous diagonalization.\n8. 基于偏微分方程的贝叶斯反问题的量子辅助框架 A quantum-assisted framework for PDE-based Bayesian inverse problems\n作者: Dong An, Yinan Li, Pucheng Tang, Yunfeng Xiong\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.27028v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.27028v1\n摘要: Quantum computing offers potential advantages for solving partial differential equations (PDEs). However, most existing quantum PDE solvers primarily focus on preparing quantum states for solutions, while the efficient recovery of classical information from these states remains less explored. Motivated by the readout limitation, we propose a quantum-classical hybrid framework for Bayesian PDE inversion problems: The quantum processor evolves the PDE and evaluate the loss function with sampling noises, while the classical computer tunes the hyper-parameters in the Gaussian Process Regression to explore the next trial candidate. To match the quantum solvers for linear and semi-linear autonomous evolution PDEs, we suggest to use a normalized quantum-state loss as the data-misfit function and evaluate the new misfit by combining quantum PDE solvers with the Hadamard test, thereby allowing us to extract useful classical information using only a limited number of quantum state copies without reconstructing the full solution vector. The analysis of error propagation and overall complexity of loss evaluation under a prescribed accuracy shows that the new data-misfit function outperforms the conventional L2-loss under quantum measurements. Quantum circuit simulations of 1D and 2D linear convection diffusion equations under approximate and finite sampling loss evaluations, together with classical numerical experiments on a nonlinear forced viscous Burgers equation, demonstrate the feasibility of the proposed approach for parameter inversion even when the loss evaluations are affected by sampling noise. This framework may provide a viable quantum-assisted scheme for PDE-based inverse problems and elucidate the potential of quantum PDE algorithms in addressing a complete quantum-to-end optimization stack.\n9. 为何不使用高斯核 Why not to use the Gaussian kernel\n作者: Toni Karvonen, Chris J. Oates\n类别: stat.ML, cs.LG, math.NA, math.ST\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.26974v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.26974v1\n摘要: Kernels measure similarity or correlation in tasks such as regression and classification. The Gaussian kernel, other names of which include squared exponential and radial basis function kernel, is one of the most popular in Gaussian process regression. We argue that the Gaussian kernel is best avoided and should never be used as a default. The argument rests on two results demonstrating that the Gaussian kernel is extremely brittle. First, the Gaussian kernel gives rise to a conditional variance that is unrealistically small. If the variance is used to quantify predictive uncertainty, catastrophic overconfidence is almost inevitable. Second, a small variance goes hand in hand with numerical ill-conditioning, so that to use the Gaussian kernel in practice requires tricks such as nugget terms that effectively modify the underlying regression or classification model. These problems are caused by the unnatural smoothness of the Gaussian kernel, a fact we are far from the first to take notice of. The problem is not the Gaussian form itself but the analyticity of the kernel: Our argument is more broadly that analytic kernels are best avoided. For stationary kernels analyticity is essentially equivalent to an exponential decay of the spectral density.\n10. 变步长 Peer 两步方法的刚性范数估计 Stiff Norm Estimates for Variable-Stepsize Peer Two-Step Methods\n作者: Jens Lang, Bernhard A. Schmitt\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.26913v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.26913v1\n摘要: Peer two-step methods are attractive for the numerical solution of stiff initial value problems because they combine favorable features of Runge-Kutta and multi-step methods, including high-order accuracy, strong stability properties, and the avoidance of order reduction. This paper develops rigorous norm estimates for the propagation operators of variable-stepsize diagonally-implicit $L(α)$-stable Peer methods applied to stiff semi-linear systems. The analysis relies on a class of Peer methods whose propagation matrices possess a grid-independent left eigenvector, enabling the construction of suitable matrix norms for entire coefficient families. We show that this class contains $L(α)$-stable methods of stage order $q=s$ and super-convergence of order $s+1$ with $s$ stages, exceeding the classical stage-order barrier $q\\le 2$ of irreducible $s$-stage diagonally-implicit Runge-Kutta methods, and construct such methods up to order 5. Achieving high stage order is one of the principal advantages of Peer methods, especially for stiff differential equations where it helps mitigate order reduction. The resulting theory provides uniform stability bounds for stiff semi-linear problems on variable grids and establishes a foundation for further applications to optimal control and related boundary value problems. Comparative numerical results are presented for three classical stiff benchmark problems, including three novel Peer two-step methods of order 3, 4, 5, and four singly diagonally implicit Runge-Kutta methods with a first explicit step of stage order 2 and order 3, 4, 5, and 6.\n11. TOPIQ：有损压缩下感兴趣量预测的统计误差传播 TOPIQ: Statistical Error Propagation for Quantity-of-Interest Prediction under Lossy Compression\n作者: Youyuan Liu, Bo Jiang, Taolue Yang, Sheng Di, Robert Underwood, Sian Jin\n类别: cs.PF, cs.IT, math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.26912v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.26912v1\n摘要: Lossy compression is essential for managing massive scientific data, but per-element error bounds do not translate into bounds on downstream quantities of interest (QoIs) such as regional averages, neural network predictions, or multi-field derived quantities. We present TOPIQ, a statistical error-propagation framework that predicts QoI-level bias and uncertainty from compact compression metadata (less than 0.1% of original data). TOPIQ decomposes QoIs into primitive operators with closed-form propagation rules accounting for spatial error correlation and data-error coupling; new QoIs are supported by composition at runtime with no per-QoI derivation or retraining. Across 552 evaluations spanning 4 datasets, 3 compressors, 4 QoI families, and 8 error bounds, 93.1% of configurations achieve well-calibrated predictions. Pre-computed metadata enables post-hoc uncertainty quantification for arbitrary query regions at 56x-402x speedup over direct computation. A case study demonstrates integration into an AI-driven analysis pipeline with end-to-end confidence intervals for dynamically composed queries.\n12. 分层介质中多粒子弹性散射的快速求解器 A fast solver for many-particle elastic scattering in layered media\n作者: Jinrui Zhang, Yixiao He, Jun lai\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.26875v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.26875v1\n摘要: This paper proposes a fast solver for time-harmonic elastic scattering by multiple particles embedded in layered media, with either Dirichlet or Neumann boundary conditions imposed on the particle surfaces. Such problems arise in many important applications, including composite material optimization, nondestructive testing, and subsurface imaging. They are computationally challenging because of strong multiple scattering interactions among the particles and the layered interface. The proposed method represents the layered medium contribution through Sommerfeld integrals and couples this representation with a well-posed boundary integral formulation for the particle scattering problem. High-order integral equation discretization and scattering matrix are used to handle particles of general shape, while multiple scattering theory provides an efficient description of particle interactions. To reduce the cost for large particle systems, the resulting multiple scattering computation is further accelerated by the fast multipole method. The main formulation is developed in both two and three dimensions. Numerical experiments for rigid and traction-free particles validate the accuracy of the formulation, and demonstrate its flexibility in both direct scattering simulations and inverse scattering applications.\n13. 朗道-利夫希茨-吉尔伯特方程的线性质量集中有限元方法：无条件能量耗散与长度保持 A linear mass-lumped finite element method for the Landau-Lifshitz-Gilbert equation: unconditional energy dissipation and length preservation\n作者: Qiumei Huang, Binghong Li, Xiaoli Li, Cheng Wang, Jiang Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.26687v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.26687v1\n摘要: We develop a linear, unconditionally energy-dissipative, mass-lumped finite element method for the highly nonlinear Landau\u0026ndash;Lifshitz\u0026ndash;Gilbert (LLG) equation on quasi-uniform triangular meshes. The method is built on a projection strategy for enforcing the nonconvex pointwise constraint $|\\mathbf{m}| = 1$, whose simultaneous preservation with unconditional energy stability remains challenging for standard finite element discretizations. The key innovation is a unified hybrid finite element-finite difference framework that underlies both the design and the analysis of the proposed method. In the scheme construction, we exploit the weak formulation and nodal structure of mass-lumped finite element method, while incorporating suitable interpolation operators and a node-wise length-preserving mechanism inspired by finite difference discretizations. This combination yields a linear scheme that preserves the node-wise unit-length constraint and satisfies a discrete energy dissipation law. The same hybrid framework also plays a central role in the error analysis, where the weak formulation and quasi-uniform mesh structure of finite elements are combined with interpolation-based and nodewise finite difference method to control the strongly nonlinear damping term and to establish an optimal-order error estimate. More importantly, the proposed method provides a unified framework that systematically integrates the geometric flexibility of finite element method with the pointwise constraint-preserving property of finite difference method, and thus offers a general strategy for designing and analyzing structure-preserving discretizations of constrained dissipative systems. Numerical experiments, including a classical blow-up simulation, confirm the predicted accuracy, energy dissipation, and robustness of the method.\n14. 动态线性粘弹性的一种稳定的DG-POD降阶方法 A stable DG-POD reduced-order method for dynamic linear viscoelasticity\n作者: Byeong-Chun Shin, Yongseok Jang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.26625v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.26625v1\n摘要: We present a reduced-order modeling framework based on proper orthogonal decomposition for dynamic linear viscoelasticity governed by generalized Maxwell models. The hereditary constitutive law is reformulated using internal variables, and the resulting problem is discretized in space by a symmetric interior penalty discontinuous Galerkin method and in time by either the backward Euler or Crank\u0026ndash;Nicolson scheme. The reduced model is obtained by projecting the fully discrete system onto low-dimensional spaces constructed from displacement snapshots. For the full-order discontinuous Galerkin formulation, we show well-posedness and derive an a priori stability bound without using Gronwall\u0026rsquo;s inequality. Consequently, the bound grows at most linearly, rather than exponentially, with the final time. We further derive spatial error estimates and an error decomposition that separates the effects of spatial discretization, temporal discretization, and proper orthogonal decomposition truncation. The reduced formulation replaces the large full-order systems with low-dimensional problems, enabling efficient long-time simulations. Numerical experiments verify the predicted convergence behavior, assess different inner products for constructing the reduced basis, and demonstrate accurate recovery of transient oscillations and viscoelastic relaxation with substantial computational savings, even after accounting for snapshot generation and basis construction.\n15. 超立方体上随机tanh神经网络的高概率导数界 High Probability Derivative Bounds for Random tanh Neural Networks on a Hypercube\n作者: Josef Dick, Michael Feischl, Fabian Zehetgruber\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-27\narXiv ID: 2608.26526v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.26526v1\n摘要: We establish high-probability bounds for mixed input derivatives of wide random neural networks whose activation derivatives satisfy a factorial growth bound. Our main result specializes these estimates to $\\tanh$ networks with Xavier initialization. A direct deterministic analysis based on Euclidean operator norms of the weight matrices yields derivative bounds that generally grow exponentially with the depth. We show that this growth can be substantially improved for sufficiently wide Gaussian networks by isolating the term that is linear in the highest-order derivative and controlling the corresponding tangent directions by measurable finite nets. For scalar-output $\\tanh$ networks with Gaussian weights and Xavier initialization, we prove that there exist constants $C,C_0,C_1\u003e0$ such that, whenever the common hidden width satisfies $n \\geq C\\left(L^3n_0^2(1+\\log n_0)+L^2\\left(1+\\log(L/η)\\right)\\right)$, then, with probability at least $1-η$, the estimate $\\left|D^u\\mathcal{R}_{Φ^{(L)}}(x)\\right| \\leq C_0 |u|! (C_1L)^{|u|-1}\\prod_{j\\in u}β_j(η,n_0)$ holds simultaneously for every non-empty $u\\subseteq[n_0]$ and every $x\\in[0,1]^{n_0}$. Thus, the first-order derivative bound is independent of the depth, while a square-free mixed derivative of order $|u|$ grows at most polynomially as $L^{|u|-1}$, apart from the coordinate factors. As consequences, we obtain high-probability bounds for the Euclidean Lipschitz constant and for weighted Sobolev norms of the network realization. The latter connect the derivative estimates to quasi-Monte Carlo integration and indicate how such regularity can enter the analysis of QMC-based training.\n16. 非等温相场系统的广义耗散解：存在性、弱-强唯一性与长时间行为 Generalised dissipative solutions for a non-isothermal phase-field system: existence, weak-strong uniqueness, and long-time behaviour\n作者: Aaron Brunk, Marvin Fritz\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.26297v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.26297v1\n摘要: We study a thermodynamically consistent non-isothermal phase-field system coupling two order parameters and the inverse temperature through a fully non-diagonal Onsager mobility. The model describes the interaction of mass diffusion, heat conduction, and local phase relaxation while conserving mass and internal energy and producing entropy. Global generalised dissipative weak solutions are constructed using a fully discrete approximation. The discrete scheme conserves mass and internal energy and satisfies a discrete entropy inequality. An availability estimate, together with a dimension-adapted barrier, yields strict positivity at fixed mesh and uniform estimates. Compactness then allow passage to the continuous system. Concentration of the singular part of the internal energy is represented by a non-negative defect measure. The entropy-availability structure yields finite dissipation on the infinite time interval and the existence of stationary $ω$-limit states. Finally, a relative-entropy argument establishes weak-strong uniqueness whenever the weak and strong solutions remain in a bounded thermodynamic state range.\n17. 一种简单的交错级数求和算法 A simple algorithm for the summation of alternating series\n作者: Eleonora Denich, Paolo Novati, Alvise Sommariva\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.26287v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.26287v1\n摘要: This paper deals with the computation of the sum of alternating series, whose general terms can be expressed by means of analytic functions. After rewriting the series as a weighted integral with the Abel weight, we employ the sinc (trapezoidal) rule and analyze the remainder term with respect to the number of quadrature points. We provide some numerical experiments to show the reliability of the derived error estimate and to test the algorithm for automatic summation with prescribed accuracy. All the Matlab codes used in the present paper can be found as open-source software at the authors\u0026rsquo; homepage.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-28_16-46-51/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月28日 16:46:51\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 6\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 17\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-高对比谐振器系统中的波导理论与快速计算\"\u003e1. 高对比谐振器系统中的波导：理论与快速计算\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eWaveguiding in systems of high contrast resonators: Theory and fast computations\u003c/p\u003e","title":"2026年08月28日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月27日 15:23:23\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 2\n不相关论文数量: 25\n重点关注论文（完整分析） 1. 基于神经网络的多尺度可混合间断伽辽金方法求解多孔介质中的偏微分方程 A Neural-network-based multiscale Hybridizable Discontinuous Galerkin method for solving PDEs in porous media\n作者: Tony Haines, Ke Shi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25850v1\n摘要翻译: 我们开发了一种神经网络加速的多尺度可混合间断伽辽金方法，用于求解具有非均匀系数的椭圆问题。该方法保留了标准MsHDG的局部到全局结构：粗块上的细尺度HDG问题定义了离散的Dirichlet-to-Neumann算子，这些算子通过标准MsHDG全局骨架方程进行组装。为了降低构造这些局部算子的成本，我们在参考块上的系数场上训练神经网络，并使用预测的算子代替重复的细尺度局部求解。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25850v1\n1. 研究对象和背景 研究对象是描述多孔介质中流动的达西方程。设 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 为有界多边形或多面体区域, 控制方程为 $-\\nabla\\cdot(\\kappa(x)\\nabla u)=f(x)$ ($x\\in\\Omega$), 边界条件 $u=0$ ($x\\in\\partial\\Omega$), 其中 $\\kappa(x)\\geq\\kappa_0\u003e0$ 为高度异质的渗透率系数。在混合形式下, 引入通量未知量 $\\boldsymbol{q}=-\\kappa\\nabla u$ 或等价地 $\\alpha\\boldsymbol{q}+\\nabla u=0$ ($\\alpha=\\kappa^{-1}$), 以及质量守恒方程 $\\nabla\\cdot\\boldsymbol{q}=f$。这类问题广泛出现在多孔介质流动、复合材料热传导、非均质扩散等应用中。由于系数场可能在多个空间尺度上变化且对比度很大, 直接采用细网格离散会导致巨大的代数系统。混合可杂交间断伽辽金(HDG)方法通过局部消元将全局未知量限制在网格骨架上, 减少了全局自由度。多尺度HDG(MsHDG)方法进一步将域分解为粗块 $\\{\\Omega_i\\}_{i=1}^{N_c}$, 在每个粗块上用细网格求解局部HDG问题, 从而定义从粗迹到法向通量的离散Dirichlet-to-Neumann(DtN)算子。全局问题仅包含粗骨架上的迹变量 $\\mu_H\\in M_H$, 通过通量连续性条件组装。然而, 构造这些局部DtN算子需要对每一个粗块反复求解细尺度局部问题, 即对每个粗迹基函数应用细尺度局部HDG矩阵的逆。在参数依赖、时间依赖或非线性问题中, 局部算子可能需要在每一步或每次迭代中重新构造, 导致计算负担占主导。本文旨在填补的空白是: 如何用神经网络高效地近似这些局部算子, 从而避免重复的细尺度局部求解, 同时保持标准MsHDG的全局耦合结构。作者提出训练一个神经网络, 学习从局部系数场到离散DtN矩阵 $\\boldsymbol{S}_i(\\alpha)$ 和源向量 $\\boldsymbol{g}_i(\\alpha,f)$ 的映射, 并将预测结果直接组装到标准MsHDG骨架系统中。\n2. 主要定理或主要结果 本文未建立新的全局收敛定理, 而是通过数值实验验证所提出的神经网络加速多尺度HDG方法(NN-MsHDG)的精度与在线效率。在理论上, 论文沿用标准MsHDG的适定性结果: 若局部有限元空间满足参考文献[9, Theorem 2.5]的相容性条件, 且稳定化参数在每个细单元的至少一个面及每个粗迹面的非空部分为正, 则MsHDG问题存在唯一解。本文采用细尺度空间 $W(K)=P_1(K)$, $\\boldsymbol{V}(K)=[P_1(K)]^d$, $M(F_h)=P_1(F_h)$, 稳定化参数 $\\tau=1$ 在每个细面上, 因此适定性成立。关于误差估计, 若粗迹空间为 $M_H(F_H)=P_\\ell(F_H)$, 粗块直径量级为1, 且满足参考文献[9, Theorem 3.8]的单面稳定化条件, 则理论误差为 $\\|u-u_h\\|_{L^2(\\Omega)}\\leq C\\big(H^{\\ell+3/2}\\max\\{1,h^{1/2}H^{-1}\\}+h^2\\big)$。但本文所采用的 $\\tau=1$ 在所有细面上的稳定化不满足单面稳定化假设, 因此不声称该最优收敛阶; 作者明确指出其目标不是证明新收敛理论, 而是检验神经网络替代局部求解器的效果。主要数值结果如下: (i) 对于二维二元渗透率场(即系数在两个常数之间取值的随机场), 在对比度适中的情形下, 神经网络预测的局部算子组装后得到的近似解与标准MsHDG解之间的相对建模误差约为百分之几。当粗迹空间维度变化时, 总在线计算时间(包括局部算子生成与全局组装)相比标准MsHDG减少约5到16倍。(ii) 在高对比度情形下, 选用的多项式粗迹空间 $P_\\ell(F_H)$ 本身在标准MsHDG中已产生较大的离散误差, 作者认为需要系数自适应的谱迹空间(如文献[8]中的空间)才能改善。(iii) 学习到的局部算子会引入额外的建模误差, 并且当粗迹空间被富化(即 $\\ell$ 增大)时, 该误差变得严重。论文还包含一维固定样本系数分辨率研究, 但具体数值结果在提供的文本中未详细展开。这些结果表明, 神经网络替代物能够加速多尺度HDG计算, 但在高对比度问题中需要改进算子表示并理解误差放大机制。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术障碍是标准MsHDG中局部粗块DtN算子的构造成本过高。对于一个粗块 $\\Omega_i$, 局部矩阵 $\\boldsymbol{S}_i(\\alpha)$ 和源向量 $\\boldsymbol{g}_i(\\alpha,f)$ 需要求解细尺度HDG问题, 其中涉及对细尺度局部矩阵求逆并施加到所有粗迹基函数上。在时间依赖或非线性问题中, 该过程需要重复进行, 成为瓶颈。作者的真正创新点在于将神经网络替代用在粗块级别, 而不是像文献[6]那样用在细元素级别, 也不是像文献[1]那样用在协调有限元子结构上。具体而言, 作者训练一个神经网络学习映射 $\\alpha|_{\\Omega_i}\\mapsto \\boldsymbol{S}_i(\\alpha)$, 以及 $\\alpha,f\\mapsto \\boldsymbol{g}_i(\\alpha,f)$。网络输入是参考块上系数场的表示(如细网格上的系数值), 输出是 $\\boldsymbol{S}_i$ 的独立项(由于对称性等, 可能只输出上三角或独立分量)和 $\\boldsymbol{g}_i$ 的分量。训练数据通过在参考块上对随机系数场求解局部HDG问题生成。在线阶段, 只需进行网络前向传播即可获得近似的局部算子, 然后组装到全局骨架系统。作者没有给出理论收敛性证明, 而是通过数值实验考察精度和效率。关键分析工具包括: 标准MsHDG的局部-全局分解、HDG的数值通量定义 $\\widehat{\\boldsymbol{q}}\\cdot\\boldsymbol{n}=\\boldsymbol{q}\\cdot\\boldsymbol{n}+\\tau(u-\\widehat{u})$, 以及将局部问题写为鞍点矩阵形式(见方程(4.6))。技术障碍还包括高对比度下的误差放大: 当系数对比度大时, 多项式粗迹空间本身逼近能力不足, 且学习到的算子误差会放大, 尤其是在迹空间富化时。作者未详细展开网络架构与训练超参数, 因此从提供内容中无法确认具体细节。\n4. 与之前工作的比较 本文与已有工作的区别主要体现在替代学习的级别和离散化框架上。首先, 与Du和Stechmann[6]的element-learning框架相比, 他们在标准HDG的每个细元素上学习局部输入-输出算子(例如流入-流出算子), 而本文在粗块上学习DtN算子。在低阶有限元细网格下, 单个细元素的局部求解规模很小, 神经网络替代收益有限; 而粗块包含大量细元素, 其局部算子构造昂贵, 因此本文的替代更有意义。其次, 与文献[1]相比, 他们学习非线性DtN映射并用于协调有限元子结构, 而本文在MsHDG框架中学习线性Darcy模型的系数到算子映射, 全局未知量是粗骨架上的杂交迹。本文的方法保留了HDG的局部消元和通量连续性结构, 预测的算子直接组装进入标准的骨架系统。第三, 与标准MsHDG[9]相比, 本文用神经网络近似替换了细尺度局部求解, 在中等对比度的二维二元渗透率场下相对误差为几个百分点, 在线成本降低5至16倍, 但代价是引入了额外的建模误差。在高对比度情形, 多项式粗迹空间本身误差已较大, 作者认为需要系数自适应谱迹空间[8]来改进, 同时指出学习算子在高对比度下的误差放大机制尚不清楚。此外, 本文没有发展新的误差分析理论, 而是采用数值实验验证, 与[9, Theorem 3.8]的收敛理论对比, 本文的稳定化选择(所有细面 $\\tau=1$)不满足单面稳定化假设, 因此无法直接应用最优误差估计。作者未显式展开与其他机器学习加速PDE方法(如DeepONet, FNO)的实验比较, 也未提供网络结构和训练代价的详细讨论, 这些从提供内容中无法确认。\n2. 具有双通道传输条件的快速收敛有限元区域分解方法 Rapidly Convergent Finite-Element Domain Decomposition Method With Two-Channel Transmission Conditions\n作者: Furkan Şık, Fernando L. Teixeira, Balasubramaniam Shanker\n类别: physics.comp-ph, math.NA\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.25041v1\n摘要翻译: 针对麦克斯韦方程组的求解，提出了一种新颖的对偶-原始有限元撕裂与互联 (FETI-DP) 区域分解方法 (DDM)。该方法基于一种双通道传输条件 (TC)，该条件在子域界面上同时强制执行切向场和法向通量的连续性。这两个界面通道分别由法拉第方程和安培-麦克斯韦方程构造。与广泛使用的 Robin 传输条件相比，同时强制执行切向场和法向通量的连续性可将界面跳跃减少几个数量级。由此产生的全局界面方程展现出显著改善的迭代收敛性。针对不同划分策略、子域数量和体积、网格分辨率以及几何形状的数值实验表明，迭代次数大幅减少，同时保持了准确性、大规模并行性和可扩展性。\nComment: 9 pages, 4 figures\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25041v1\n1. 研究对象和背景 本文研究时谐 Maxwell 方程组的三维有限元求解问题. 在非重叠区域分解框架下, 将计算域 $\\Omega$ 划分为 $N_s$ 个非重叠子域 $\\Omega_i$, $i=1,\\dots,N_s$, 界面为 $\\Gamma_{ij}=\\partial\\Omega_i\\cap\\partial\\Omega_j$. 在每个子域内, 电场 $\\mathbf{E}_i$ 与磁感应强度 $\\mathbf{B}_i$ 满足 Faraday 定律与 Ampère-Maxwell 定律: $$\\nabla\\times\\mathbf{E}_i=-j\\omega\\mathbf{B}_i,\\qquad \\nabla\\times\\mathbf{H}_i=\\mathbf{J}_i+j\\omega\\mathbf{D}_i,$$ 其中 $\\mathbf{D}_i=\\varepsilon_i\\mathbf{E}_i$, $\\mathbf{H}_i=\\mu_i^{-1}\\mathbf{B}_i$, $\\omega$ 为角频率, $\\mathbf{J}_i$ 为外加电流密度. 作者采用混合 E-B 有限元离散, 即 $\\mathbf{E}_i\\in W^1(\\Omega_i)\\subset H(\\mathrm{curl};\\Omega_i)$ 以 Whitney 棱元展开, $\\mathbf{B}_i\\in W^2(\\Omega_i)\\subset H(\\mathrm{div};\\Omega_i)$ 以 Whitney 面元展开, 未知系数向量记为 $\\bar{\\mathbf{x}}^{(i)}=(\\bar{\\mathbf{b}}^{(i)T},\\bar{\\mathbf{e}}^{(i)T})^T$. 这种离散直接保留了两个一阶旋度方程的结构, 而不是化为关于 $\\mathbf{E}$ 的二阶矢量波动方程.\n区域分解方法的目的是将一个大规模体积问题转化为定义在子域界面上的全局界面方程, 进而用 Krylov 子空间方法迭代求解. 在 FETI-DP 方法中, 子域界面上的连续性通过 Lagrange 乘子强制, 而角边未知量作为 primal 变量保留, 形成全局粗空间. 传输条件 (TC) 的选择决定了子域问题的适定性和界面方程的迭代收敛性. 目前广泛使用的 Robin TC 在每个界面上引入两个乘子 (FETI-DP-2$\\lambda$), 但作者指出, Robin TC 只能阻尼界面误差模式中的传播谱, 无法同时阻尼 TE 型和 TM 型倏逝模; 不存在单一 Robin 系数能同时做到这一点. 二阶传输条件 (SOTC) 通过引入切向导数修正来针对倏逝模, 但其辅助界面电流和电荷在角边上出现冗余, 导致近奇异矩阵而需要专门的角边惩罚; 并且在深倏逝波区域, SOTC 的阻尼效果退化, 趋近于 Robin 行为. 因此, 现有 TC 在大规模问题 (子域数多、角边多、含谐振、多尺度特征、深倏逝波) 下可能导致收敛缓慢甚至停滞, 这促使一些实践者转向基于直接解法的 DDM, 但直接解法牺牲了并行性和可扩展性. 本文的目标是构造一种新的 TC, 使得全局界面方程能够通过稳健的迭代求解器快速无停滞收敛, 同时保持大规模并行与计算可扩展性.\n这种空白正是本文试图填补的: 作者从混合 E-B 公式出发, 分别为 Faraday 和 Ampère-Maxwell 方程构造一个通道, 形成两通道传输条件, 同时强制切向场与法向通量在界面上连续, 从而消除 Robin TC 和 SOTC 的关键缺陷.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果分为算法构造与数值验证两部分.\n在算法层面, 作者提出的两通道 TC 为: 在界面 $\\Gamma_{ij}$ 上, 从子域 $\\Omega_i$ 侧定义 Faraday 通道 $$\\Lambda_{ij}^1=\\hat{\\mathbf{n}}_i\\times\\mathbf{E}_i+a_{B,i}\\,\\hat{\\mathbf{n}}_i(\\hat{\\mathbf{n}}_i\\cdot\\mathbf{B}_i),$$ 和 Ampère-Maxwell 通道 $$\\Lambda_{ij}^2=\\hat{\\mathbf{n}}_i\\times\\mathbf{H}_i+a_{D,i}\\,\\hat{\\mathbf{n}}_i(\\hat{\\mathbf{n}}_i\\cdot\\mathbf{D}_i),$$ 其中 $\\hat{\\mathbf{n}}_i$ 为外法向, $a_{B,i}$ 与 $a_{D,i}$ 为按局部波速 $v_i=1/\\sqrt{\\mu_i\\varepsilon_i}$ 选取的系数. 每个通道在界面两侧各配一个 Lagrange 乘子 $\\lambda_{ij}^1,\\lambda_{ij}^2$ 及其相邻侧对应乘子, 因此每个界面共有四个乘子, 即 FETI-DP-4$\\lambda$ 方法. 对每个子域施加边界条件 $\\Lambda_{ij}^q+\\lambda_{ij}^q=0$ 后, 得到分块局部系统 (9): $$\\overline{\\overline{A}}^{(i)}\\bar{\\mathbf{x}}^{(i)}+\\overline{\\overline{G}}^{(i)}\\bar{\\boldsymbol{\\lambda}}^{(i)}=\\bar{\\mathbf{f}}^{(i)},$$ 其中 $\\overline{\\overline{A}}^{(i)}$ 的具体形式由 (10) 给出, 包含面元质量矩阵 $\\overline{\\overline{M}}_B^{(i)}$, 棱元质量矩阵 $\\overline{\\overline{M}}_E^{(i)}$, 离散旋度耦合矩阵 $\\overline{\\overline{C}}^{(i)}$ 以及法向算子 $\\overline{\\overline{N}}_B^{(i)}$, $\\overline{\\overline{N}}_D^{(i)}$. 这些法向算子直接来自混合 E-B 离散, 不引入额外界面未知量. 将各子域系统与界面交换条件组装, 得到全局鞍点系统 (13), 再消去子域内部未知量 $\\bar{\\mathbf{x}}_r$ 和 primal 角边未知量 $\\bar{\\mathbf{x}}_c$, 得到作用于乘子向量 $\\bar{\\boldsymbol{\\lambda}}$ 的全局界面方程 (15): $$\\overline{\\overline{F}}_{4\\lambda}\\bar{\\boldsymbol{\\lambda}}=\\bar{\\mathbf{d}}_{4\\lambda},$$ 该方程用 GMRES 求解, 每次矩阵-向量积只需一次子域级稀疏分解和一次小规模角边粗空间求解.\n在数值结果方面, 作者通过一系列三维波导算例展示收敛性改善. 对于均匀划分的 WR-90 波导 (40 个子域, 39 个界面), 在相对残差 $10^{-6}$ 和 $10^{-10}$ 容差下, 与 Robin TC 相比, GMRES 迭代次数分别从 188 和 301 降至 55 和 68, 即减少因子分别为 3.42 和 4.42; 在 $10^{-10}$ 容差下, 壁钟时间从 380.7 s 降至 189.3 s, 约 2 倍加速. 对于 30 个不规则宽度子域的同一波导 (宽度 $\\Delta x\\in[0.8,18.8]$ mm), 收敛迭代次数减少约 9 倍. 对于脊加载波导和 METIS 划分的 WR-90 波导 (16 个不规则子域, 37 个界面), 在 $10^{-10}$ 容差下迭代次数分别减少 3.39 倍和 9.53 倍. 对 L 形波导在 40 和 100 个子域情形, 以及 X 波段带通滤波器 (METIS 划分为 110 个子域) 的算例中, 也观察到数倍至近 6 倍的迭代次数下降 (滤波器: 180 次 vs 1020 次). 同时, 精度没有损失: 例如均匀波导中, 提出 TC 与 Robin TC 的电场解相对 $L^2$ 差仅为 $3.2\\times10^{-7}$, 两种 TC 均与解析解符合到约 99.25%; 不规则划分时相对 $L^2$ 差约为 0.0001%. 特别地, 界面连续性显著改善: 在 METIS 划分波导的 $10^{-6}$ 停止容差下, 最大法向磁通跳变 $|\\Delta(\\hat{\\mathbf{n}}\\cdot\\mathbf{B})|$ 从 Robin TC 的 $9.1\\times10^{-7}$ 降至提出 TC 的 $2.2\\times10^{-12}$, 降低近六个数量级; 最大切向场跳变 $|\\Delta(\\hat{\\mathbf{n}}\\times\\mathbf{E})|$ 从 $1.4\\times10^{-8}$ 降至 $1.2\\times10^{-10}$, 降低两个数量级以上. 这些结果表明, 在数值上, 两通道 TC 能够在大范围子域划分、子域数目和体积、网格分辨率以及几何复杂度下保持快速收敛.\n需要说明的是, 文中没有给出迭代收敛率的理论估计或误差阶定理; 上述结论均来自数值实验. 关于系数 $a_{B,i}$ 和 $a_{D,i}$ 的选取, 作者说明是按照用于设计 SOTC 和分析 Robin TC 的 Fourier 分析来设置的, 但本文未展开该 Fourier 分析的细节.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文面对的核心技术障碍有二: 一是 Robin TC 的单一系数无法同时为 TE 和 TM 型倏逝模提供阻尼; 二是 SOTC 在角边处产生冗余辅助变量, 且深倏逝波下其阻尼退化为 Robin. 针对这些障碍, 作者的真正创新在于从混合 E-B 公式的一阶旋度方程出发, 为每一种旋度方程单独构造一个通道, 从而将两种倏逝波族分配到不同的通道, 每个通道有独立的阻尼系数. 具体地说, 通道定义 (4)-(5) 中, Faraday 通道包含切向电场 $\\hat{\\mathbf{n}}\\times\\mathbf{E}$ 和法向磁通 $\\hat{\\mathbf{n}}(\\hat{\\mathbf{n}}\\cdot\\mathbf{B})$, 而 Ampère-Maxwell 通道包含切向磁场 $\\hat{\\mathbf{n}}\\times\\mathbf{H}$ 和法向电通 $\\hat{\\mathbf{n}}(\\hat{\\mathbf{n}}\\cdot\\mathbf{D})$. 由于 $\\mathbf{B}$ 在混合 E-B 离散中直接以面元展开, $\\hat{\\mathbf{n}}\\cdot\\mathbf{B}$ 是天然自由度, 这使得法拉第通道可以直接构造而不需要额外辅助未知量; 同理, $\\hat{\\mathbf{n}}\\cdot\\mathbf{D}$ 通过切向电场迹的表面 grad-div 算子 $\\overline{\\overline{N}}_D$ 表示. 这样就在有限元层面同时实现了切向场与法向通量的强制连续.\n关键的技术步骤包括:\n弱形式与界面数据的处理. 对 (1) 和 (2) 分别用 $\\mu_i^{-1}\\mathbf{W}_f^{(2)}$ 和 $\\mathbf{W}_a^{(1)}$ 检验, 得到界面配对 (3). 将通道边界条件 (6) 代入后, 界面数据被重写为乘子和法向通量项的线性组合, 从而导出局部矩阵中的 $\\overline{\\overline{N}}_B$ 和 $\\overline{\\overline{N}}_D$. 这里 $\\overline{\\overline{N}}_B$ 是面元法向迹的 Gram 矩阵, 由于 $\\mathbf{B}$ 本身是面元, 该矩阵可直接在界面网格上集成; $\\overline{\\overline{N}}_D$ 则通过表面上的 grad-div 算子将切向 $\\mathbf{E}$ 转化为 $\\mathbf{D}$ 的法向通量. 两个算子都只在界面上活动, 不增加新的界面自由度. 全局装配. 在界面 $\\Gamma_{ij}$ 上, 两个子域的通道必须相等. 作者通过邻居侧边界条件 $\\lambda_{ij}^q+\\Lambda_{ij}^q[\\mathbf{E}_j,\\mathbf{B}_j]=0$ 和局部侧条件 (6) 消去相邻侧切向迹, 得到离散交换关系 (12), 其中 $\\overline{\\overline{P}}_{ij}^q$ 为方向重定向矩阵, $\\overline{\\overline{T}}_{ji}^q$ 为迹限制. 这样每个界面有两个通道交换方程, 配合局部系统构成鞍点系统 (13). 双重 Schur 补约简. 首先对每个子域进行稀疏分解, 消去内部未知量 $\\bar{\\mathbf{x}}_r$, 得到 (14) 所示的 Schur 补量; 然后再消去 primal 角边未知量 $\\bar{\\mathbf{x}}_c$, 得到全局界面方程 (15). 后者在 GMRES 迭代中每次矩阵-向量积需要一次每个子域的三角回代以及一个以角边为未知量的粗空间求解. 粗空间在 FETI-DP 中负责全局信息传播, 这是并行可扩展性的关键. 系数选取与 Fourier 分析. 作者将 $a_{B,i}$ 和 $a_{D,i}$ 设置为与局部波速 $v_i$ 相关, 并声称依据 Fourier 分析确定具体数值 (参考文献 [14], [17], [27]). 然而, 论文并未给出 Fourier 分析的显式推导或最优公式, 也没有给出严格的收敛率证明. 因此, 本文的理论贡献主要体现在构造性算法和数值验证, 而不是数学证明. 证明框架的推进主要体现在: 作者通过数值实验展示, 在深倏逝波区, 本文 TC 的阻尼是单调的, 而 Robin 停滞、SOTC 反弹. 这与文献中关于 Robin/SOTC 的 Fourier 分析结果一致, 但本文没有提供新的理论分析.\n4. 与之前工作的比较 与既有工作的比较可从以下几个维度展开.\n与 Robin TC (FETI-DP-2$\\lambda$) 相比. Robin TC 在界面上的典型形式为 $\\hat{\\mathbf{n}}\\times\\nabla\\times\\mathbf{E}+\\alpha\\,\\hat{\\mathbf{n}}\\times(\\hat{\\mathbf{n}}\\times\\mathbf{E})=\\cdots$, 它只能近似强制切向场连续性, 而没有直接强制法向通量连续性. 本文的双通道 TC 通过额外引入法拉第和安培-麦克斯韦通道, 同时强制 $\\hat{\\mathbf{n}}\\times\\mathbf{E}$ 和 $\\hat{\\mathbf{n}}\\cdot\\mathbf{B}$ 在界面上连续, 因此界面跳变显著下降. 数值上, 迭代次数减少 3.42 至 9.53 倍, 且精度不损失. 代价是每个界面的乘子数从 2 增至 4, 子域未知量从 $N_e^{(i)}$ 增至 $N_e^{(i)}+N_f^{(i)}$, 但作者指出增加的矩阵都是无旋度的质量矩阵或界面 Gram 矩阵, 每迭代一次的额外成本仅为有界因子, 而迭代次数下降一个数量级, 总时间下降. 例如均匀波导中壁钟时间从 380.7 s 降至 189.3 s.\n与二阶传输条件 (SOTC) 相比. SOTC 通过添加切向导数修正项来加速倏逝模收敛, 例如参考文献 [14], [17] 中的方法. 但 SOTC 需要引入额外的辅助界面电流和电荷变量, 导致角边上这些变量线性相关, 使得 DDM 矩阵近奇异; 因此需要专门的角边惩罚技术. 本文的 TC 没有引入辅助变量, 乘子直接作用于通道, 因而角边处理自然, 不需要额外惩罚项. 此外, 在深倏逝波区, SOTC 的切向导数修正项贡献相对减小, 阻尼行为退化为 Robin, 而本文的两个通道直接来自一阶方程, 在深倏逝波区仍是单调阻尼. 数值实验中, SOTC-Full 和 SOTC-TE 的迭代次数都明显高于本文方法 (见图 1 和表 I).\n与直接求解器型 DDM 相比. 近年来部分工作转向直接求解器型 DDM, 如文献 [21]-[23], 以避免迭代停滞. 但直接求解器需要更大的内存和通信代价, 牺牲了 FETI 类方法的并行可扩展性. 本文通过改进 TC 使迭代求解器在困难问题上也能快速收敛, 从而保留了并行性和可扩展性, 这是对直接求解器路线的一种替代.\n与基于第二阶矢量波动方程的传统 FETI-DP 相比. 传统 FETI-DP 只将电场 $\\mathbf{E}$ 作为子域未知量, 并求解 $\\nabla\\times\\mu^{-1}\\nabla\\times\\mathbf{E}-\\omega^2\\varepsilon\\mathbf{E}=-j\\omega\\mathbf{J}$. 这样的公式无法直接以面元自由度表达 $\\mathbf{B}$, 因此难以自然构造同时包含 $\\hat{\\mathbf{n}}\\cdot\\mathbf{B}$ 的法拉第通道. 本文采用的混合 E-B 公式 (文献 [24], [25]) 将 $\\mathbf{E}$ 和 $\\mathbf{B}$ 同时离散, 从而使得法向通量连续性成为可施加的强条件. 代价是子域系统规模和界面乘子数增加, 但换来了更快的迭代收敛和更好的界面连续性.\n局限与未展开比较. 本文结果没有提供严格的迭代收敛率理论证明, 也没有公开 Fourier 分析的完整细节, 系数 $a_{B,i}, a_{D,i}$ 的具体取值公式未给出 (只说明按参考文献设置). 所有数值实验限于共形四面体网格的波导结构, 没有测试开放域辐射问题和非共形界面. 此外, 作者没有与其他先进预条件子或优化型粗空间方法进行对比, 也没有讨论调参敏感性. 从提供内容中无法确认作者是否在更复杂的实际天线或散射问题上进行过测试; 这些未展开的部分可能限制其普适性.\n了解领域论文（摘要翻译） 1. CARE-SAV：面向梯度流能量稳定模拟的条件感知随机特征框架 CARE-SAV: A Conditioning-Aware Random-Feature Framework for Energy-Stable Simulation of Gradient Flows\n作者: Bingcheng Hu, Zhaoxiang Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25300v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25300v1\n摘要翻译 中文标题: CARE-SAV：面向梯度流能量稳定模拟的条件感知随机特征框架\n摘要翻译: 梯度流模型具有内在的能量耗散结构，在离散层面忠实地保持这一结构对于稳定可靠的长时间模拟至关重要。为此，我们提出了一种具有标量辅助变量的条件感知表示增强（CARE-SAV）框架，该框架从灵活候选特征中构造紧凑的空间逼近空间，并直接在此空间内演化梯度流动力学。所得到的全离散格式保持离散能量耗散律，同时为传统的预设空间离散提供了一种灵活的替代方案。严格的分析确立了所提方法的逼近能力、可解性、稳定性和收敛性。对代表性梯度流问题的数值实验验证了其准确性、鲁棒性和计算效率。我们相信CARE-SAV能够为梯度流问题的保结构离散提供一种简单、灵活且计算高效的范例。\n2. 用于多尺度算子学习的框架核方法 The Frame Kernel Method for Multiscale Operator Learning\n作者: Branden Frieden, Ryan Whitehead, M. Keith Ballard, Robert M. Kirby, Varun Shankar\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.25084v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25084v1\n摘要翻译 中文标题: 用于多尺度算子学习的框架核方法\n摘要翻译: 我们提出了一种原生多尺度算子学习方法，用于（多尺度偏微分方程（PDE）的数值求解器的）代理建模。我们方法的主要新颖之处在于一种新颖的多尺度核框架函数逼近技术。利用这种新的核框架技术，我们将算子学习问题转化为学习输出函数的框架系数作为输入函数框架系数的函数的问题。然后，泛化步骤自动允许输出函数的多尺度分解。我们的方法适用于张量积网格和点云。我们给出了框架逼近的插值证明、误差估计和数值收敛率。然后，我们展示了我们的方法在固有多尺度PDE代理建模中的适用性。新的多尺度框架核方法在文献中的具有挑战性的问题上比流行的神经算子显著更准确，同时在泛化时允许后验多尺度分解。\n不相关论文（基本信息） 1. Cahn-Hilliard-Navier-Stokes方程的一族二阶线性无条件稳定方法 A family of second order, linear, unconditionally stable methods for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes equations\n作者: Daozhi Han, Nan Jiang, Jonah H. Nissan, Sayantan Sarkar\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.26046v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.26046v1\n摘要: We present a family of second-order, linear, unconditionally stable implicit-explicit (IMEX) methods for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes (CHNS) equations modeling matched-density two-phase flows. The proposed semi-discrete scheme combines extrapolation of the nonlinear terms with an auxiliary-variable formulation of the nonlinear free-energy term and a temporal-curvature regularization controlled by a parameter $ε$. We establish a discrete energy estimate showing unconditional long-time stability of the method for $θ\\in(1/2,1]$ and $ε\\geq0$. The resulting scheme requires only linear solves at each time step. Numerical experiments demonstrate approximately second-order temporal convergence and examine mass conservation, energy dissipation, numerical robustness, and several representative interfacial-flow problems, including spinodal decomposition, droplet shape relaxation, two-phase lid-driven cavity flow, and Rayleigh-Taylor instability.\n2. 随机材料中的风险规避优化：算法进展与高性能计算加速 Risk-averse Optimization in Random Materials: Algorithmic Advances and HPC Acceleration\n作者: Niklas Baumgarten, Marcel Koch, David Schneiderhan, Tim Schrader, Robin Weiß\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25967v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25967v1\n摘要: We summarize our advances in the algorithmic development and hardware utilization for risk-averse optimization problems in random materials. This includes risk-averse optimization using the entropic risk measure, as well as recently developed sampling techniques for random materials, that are interoperable with the optimization framework. Furthermore, we discuss recent progress in the efficient utilization of modern hybrid hardware architectures for these methods to solve three-dimensional partial differential equations.\n3. 资源约束下的优化多层采样方法 Optimized Multilevel Sampling Methods under Resource Constraints\n作者: Niklas Baumgarten\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25958v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25958v1\n摘要: We present recent developments in multilevel sampling methods under resource constraints. Over the past 15 years, multilevel methods have become widely used for uncertainty quantification. However, scaling them to high-dimensional problems and high-performance computing (HPC) environments remains challenging. In this work, we discuss two algorithms designed to address these issues: the budgeted Multilevel Monte Carlo (MLMC) method and the Multilevel Stochastic Gradient Descent (MLSGD) method. We demonstrate their effectiveness on HPC systems under consideration of the available computational resources for applications in forward uncertainty quantification (UQ) and optimal control (OC) under uncertainty.\n4. $L_2$ Marcinkiewicz-Zygmund不等式中的所需点数 Required Number of Points in $L_2$ Marcinkiewicz-Zygmund Inequalities\n作者: Felix Bartel\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25886v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25886v1\n摘要: We determine, up to absolute constants, the worst-case number of point evaluations required for a weighted $L_2$ Marcinkiewicz-Zygmund inequality for an $m$-dimensional complex function space. If $0\u003c\\varepsilon\u003c1$ is the relative distortion, this number is $$Θ\\Big(\\min\\Big\\{m^2,\\frac{m}{\\varepsilon^2}\\Big\\}\\Big),$$ and exact discretization has the sharp worst-case value $m^2$. While the upper bounds follow from recent constructions, our contribution is the construction of function spaces that are hard to discretize and yield matching lower bounds. We use a trace-variance inequality for weighted subframes of unit-norm tight frames. One such instance is the complete-graph edge frame, which yields a construction in every dimension. Singer equiangular tight frames improve the constant when $m-1$ is a prime power, while maximal equiangular tight frames give the strongest bound possible using our method whenever they exist. We also derive consequences for the conditioning of weighted least-squares systems and for standard condition-number-based iteration estimates when these systems are solved by LSQR.\n5. 完整电极模型下电阻抗断层成像的自适应Nesterov动量方法 Adaptive Nesterov Momentum Method for Electrical Impedance Tomography with the Complete Electrode Model\n作者: Kai Zhu, Jijun Liu, Min Zhong\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25837v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25837v1\n摘要: We apply the adaptive Nesterov momentum (ANM) method [30] to electrical impedance tomography under the complete electrode model. The forward problem is formulated in the variational CEM setting, accounting for finite electrode size, contact impedance, insulating gaps, and the mean-free voltage gauge. The resulting nonlinear inverse problem is treated within a unified dual-to-primal framework using three classes of strongly convex structural penalties: an L2-type penalty, an L1-type penalty promoting sparse deviations from a calibrated homogeneous background, and a TV-type penalty favoring approximately piecewise-constant conductivities with sharp interfaces. The TV class is implemented using both smoothed TV and Huber-TV formulations. The data- misfit gradient is computed through CEM adjoint equations and stabilized by Sobolev smoothing. The method is evaluated on the publicly available KIT4 tank measurement data after calibration of the background conductivity and contact impedance from no-object measurements. The experiments include single, multiple, mixed-conductivity, and geometrically challenging phantom configurations. The L2-type penalty generally produces smooth but diffuse reconstructions, whereas the L1-type penalty yields cleaner backgrounds with occasional geometric distortion. The smoothed TV and Huber-TV penalties provide more spatially coherent localization and exhibit similar reconstruction behavior across most tested configurations. These results demonstrate the practical applicability of the adaptive Nesterov framework to measured CEM-EIT data.\n6. 弱非线性耗散微分方程及其推广的快速推进量子算法 Fast-forwarding quantum algorithms for weakly nonlinear dissipative differential equations and beyond\n作者: Yixiang Li, Dong An\n类别: quant-ph, math.NA\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25822v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25822v1\n摘要: We study a fast-forwarded quantum algorithm for solving weakly nonlinear dissipative ordinary differential equations. Our approach is a combination of the Carleman embedding technique and the linear combination of Hamiltonian simulation algorithm for linearized systems with fast-forwarded scaling. The complexity of our algorithm does not explicitly depend on the evolution time $T$, thus greatly improving the previous state-of-the-art $\\widetilde{\\mathcal{O}}(\\sqrt{T})$ to $\\mathcal{O}(1)$, and any remaining time dependence enters through the output norm and forcing parameters. We rigorously analyze the performance of this approach by convergence guarantees of the Carleman embedding for time-dependent coefficient matrices and detailed complexity estimates, and improve the realization of the Carleman-embedding-based algorithms by simplifying the post-selection step. In addition, we perform a numerical study on differential equations beyond the weakly nonlinear case, and identify possibility of achieving fast-forwarding scaling for systems with stronger nonlinearity or linear non-resonant effect.\n7. 基于GLT分析的全耦合变系数分数阶演化方程的块预处理 Block preconditioning for all-at-once variable-coefficient fractional evolution equations via the GLT analysis\n作者: Muhammad Faisal Khan, Stefano Serra-Capizzano\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25796v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25796v1\n摘要: We study a class of nonlocal evolutionary partial differential equations with weakly singular temporal kernel and spatially variable diffusion coefficient. The model is posed on $Ω\\subset \\mathbb{R}$, and involves a left-sided Riemann\u0026ndash;Liouville fractional derivative in space multiplied by a variable coefficient $a(x)$. The temporal derivative is approximated by an $L1$ type scheme, while the spatial operator is discretized by finite difference techniques, resulting in large scale all at once linear systems with a twolevel Toeplitz like structure. We develop and analyze a block lower triangular strategy that mimics the structure of the coefficient matrix while simplifying its components for computational efficiency. The analysis is carried out at the level of matrix sequences by means of generalized locally Toeplitz (GLT) theory. Within this framework, we characterize the asymptotic spectral distribution of the discretized operators and use the associated GLT symbol to guide the construction of the structured approximation. Numerical experiments using the GMRES solver demonstrate that the proposed preconditioning strategy significantly improves convergence rates, robustness, and scalability for large-scale problems. Open problems and possible extensions are briefly discussed at the end of the present work.\n8. 从估计到证明：奇异薛定谔算子的可验证基态能量界 From estimate to proof: certified ground-state energy bounds for singular Schrödinger operators\n作者: Xuefeng Liu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25760v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25760v1\n摘要: Many predictions in quantum chemistry, materials science, and spectral geometry hinge on the lowest energy levels of a Schrödinger operator, yet standard simulations return approximations with no guarantee of how far they sit from the true value. We present a computational framework that returns mathematically certified bounds\u0026mdash;an interval provably containing the exact energy\u0026mdash;even for the singular, unbounded, sign-changing potentials of real molecules, where existing certified methods fail. For the hydrogen molecular ion this framework delivers, to our knowledge, the first guaranteed two-sided enclosure of the true infinite-domain ground-state energy: an interval of width below $5\\times10^{-4}$ that provably contains the accepted reference value. The key that makes a whole-space guarantee possible is an \\emph{explicit}, computable bound on the error of restricting the problem to a finite box\u0026mdash;replacing the classical argument that the wavefunction merely decays\u0026mdash;which brackets the true energy from both sides. Remarkably, the certified interval reproduces the uncertified numerical value to eleven digits, so mathematical rigor costs almost nothing in accuracy. The result turns eigenvalue computation from an estimate into a proof.\n9. 实直线上离散多重正交多项式的递推关系的更新与降阶更新 Updating and Downdating the Recurrences of Discrete Multiple Orthogonal Polynomials on the Real Line\n作者: Amin Faghih, Marc Van Barel, Raf Vandebril\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25758v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25758v1\n摘要: We study multiple orthogonal polynomials with orthogonality defined by multiple positive discrete measures on the real line. Focusing on typeI and typeII multiple orthogonal polynomials and their step-line recurrence relations, we consider the reconstruction of the associated banded upper Hessenberg recurrence matrix from given nodes and weights of the measures. We propose efficient updating and downdating procedures that modify an existing recurrence matrix when nodes are added to or removed from the discrete measures. The updating strategy is based on solving an inverse eigenvalue problem, while the downdating procedure relies on an eigenvalue deflation technique inspired by a QR-type of algorithm. Numerical experiments confirm the stability and efficiency of the proposed approaches.\n10. 反电导率问题的分散测量误差分析 Error Analysis of the Inverse Conductivity Problem with Scattered Measurements\n作者: Bangti Jin, Qimeng Quan, Wenlong Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25749v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25749v1\n摘要: In this work, we investigate the inverse problem of recovering the conductivity coefficient in an elliptic equation from noisy measurements collected at finitely many deterministic scattered points in the domain $Ω$, and corrupted by random noise. Inspired by the regularity analysis, we propose a numerical scheme based on the regularized least-squares formulation with a $W^{1,4}(Ω)$ penalty, and discretize the regularized problem using the Galerkin finite element method with continuous piecewise linear elements. Under suitable assumptions on the problem data, we provide an error analysis of the regularized solution and its Galerkin approximation. We establish $L^2(Ω)$ error bounds in a high-probability sense, which depend explicitly on the regularization parameter $γ$, the number $n$ of data points and the mesh size $h$. We also present numerical experiments to illustrate the theoretical findings.\n11. Jacobi加权直方插值中的精确对角Gram矩阵 Exactly Diagonal Gram Matrices in Jacobi Weighted Histopolation\n作者: Allal Guessab, Federico Nudo, Stefano Serra-Capizzano\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25714v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25714v1\n摘要: In the current work, we study univariate polynomial weighted histopolation on $[-1,1]$, where the data are weighted integrals over a family of intervals. After choosing a polynomial basis, the weighted moment conditions lead to a histopolation matrix whose structure depends on the weight and on the geometry of the cells. We investigate its nonsingularity, which guarantees unisolvence, together with exact diagonality of its Gram matrix, which allows its singular values and spectral condition number to be determined explicitly. For families of intervals whose endpoints belong to a fixed grid, we characterize unisolvence in terms of the connectedness of the associated endpoint graph. In the unisolvent case, this graph is a tree, and the unique paths joining consecutive grid points provide an explicit expression for the inverse matrix. This identity gives explicit formulas for the singular values of both matrices, and shows that their condition numbers in the two-norm coincide and grow linearly with the matrix size. Moreover, it yields the limiting singular value distributions of the two matrix sequences. We also establish a general diagonalization criterion based on discrete weighted orthogonality. The criterion recovers the first kind Chebyshev construction and leads to a diagonal configuration for the constant weight based on discrete sine orthogonality. For interval families with a connected endpoint graph, the corresponding moment vectors define an inner product on the polynomial space and lead to a monic basis with a diagonal weighted Gram matrix. Finally, we derive reduction formulas for cell moments associated with generalized Jacobi weights and introduce an alternative basis for shifted Jacobi weights. Applied to the Chebyshev weight of the fourth kind, this basis, together with a correction of one nonconstant element, yields an exactly diagonal Gram matrix.\n12. 一类标量随机微分方程的一阶显式保正格式分析 Analysis of a first-order explicit positivity preserving scheme for a class of scalar SDEs\n作者: Charles-Edouard Bréhier, David Cohen\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25689v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25689v1\n摘要: We propose and analyze a first-order numerical scheme for a class of scalar Itô stochastic differential equations with almost surely positive solutions. We construct a new explicit numerical scheme, such that for any choice of the time-step size, the numerical solution is guaranteed to remain almost surely positive. The main result of this article is the first-order strong convergence of the proposed positivity preserving scheme, which is illustrated with numerical experiments and proved rigorously. It is also shown how to adapt the scheme and the results to Stratonovich stochastic differential equations with positive solutions.\n13. 一类随机微分方程的显式保域数值格式 Explicit domain preserving numerical schemes for a class of stochastic differential equations\n作者: Charles-Edouard Bréhier, David Cohen\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25685v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25685v1\n摘要: We construct and analyze numerical schemes for systems of stochastic differential equations, which preserve almost surely a given hypercube of arbitrary dimension. We propose a new general class of explicit schemes, such that for any choice of the time-step size the numerical solution takes values in the hypercube. We prove strong and weak convergence results for this general class of domain preserving numerical schemes, with strong order $1/2$ and weak order $1$ in general. We also construct a variant of the scheme which achieves strong order $1$ when the stochastic differential equation is driven by a one-dimensional Brownian motion. The convergence results are illustrated with numerical experiments.\n14. 全尺度全球海洋动力学的计算模型 A Computational Model for Global Ocean Dynamics at all Scales\n作者: Peter Korn\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25679v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25679v1\n摘要: The dynamics of the world\u0026rsquo;s ocean spans a breathtaking range of scales. The circulation carries processes from thousands of kilometres down to the millimetre, and from seconds to millennia. Our understanding of global ocean dynamics is to a large extent based on the analysis of ocean model simulation data; computational models provide spatial and temporal coverage that observations can not deliver. However, the scales a computational ocean model can simulate are limited by the available computational capacity. Smaller scales, anticipated as out of reach, have been excluded a priori by shortcuts in the dynamical equations; examples are the hydrostatic and Boussinesq approximations. Hydrostatic Boussinesq models have been used since \\citet{Bryan1969} up to now to simulate the planetary scale down to the mesoscale eddy resolving scale of the order of kilometers, and the hydrostatic approximation holds for most oceanic phenomena at the $\\sim$1\u0026ndash;100,km resolutions that have been computationally affordable. The effect of removed scales on represented scales\u0026ndash;the convective scale in the case of the hydrostatic approximation-had to be substituted by ad hoc parametrizations.\n15. 基于迭代区域分解法的组合高维与降阶建模 Combined High-Dimensional and Reduced-Order Modeling Based on an Iterative Domain Decomposition Method\n作者: Taiji Saito, Tomoshi Miyamura, Yasunori Yusa\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25567v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25567v1\n摘要: A method is developed for structural analysis in which parts of an analysis domain are modeled by reduced-order models (ROMs) and the remaining part is modeled by a high-dimensional model (HDM). The multiple ROMs and HDM are combined based on an iterative domain decomposition method (DDM) with an arbitrary number of non-overlapping subdomains. A diagonal preconditioner is derived for the iterative DDM. The method is implemented based on a framework of the existing DDM-based analysis code. The ROM is implemented on GPU. Snapshot generation methods for the ROM are also proposed. Static structural analyses of nuclear power plant models are conducted using the combined multiple ROMs and HDM with multiple-subdomains model. The analyses are performed in parallel by the hybrid MPI-CUDA implementation. The convergence property of the iterative DDM is improved by the preconditioner.\n16. 扩散界面肿瘤生长模型的预处理 Preconditioning for Diffuse Interface Tumor Growth Models\n作者: Jessica Bosch, Pelin Çiloğlu, Chen Greif, Martin Stoll\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25537v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25537v1\n摘要: Computational models of tumor growth form a contemporary area of study. Diffuse interface models have been proposed as an important tool for cancer modeling. In this work, we consider preconditioners for numerical simulations of two tumor growth models based on diffuse interface models. For numerical efficiency, we propose block preconditioners that rely on using effective Schur-complement approximations. We show that these methods combined with state-of-the-art adaptive finite element discretizations lead to robust simulations in two and three dimensions. In extensive numerical experiments, we show that the proposed methods show robust convergence behavior.\n17. 面向大规模最小二乘问题的带充分性监控的自适应混合子空间莱文贝格-马夸特算法 Adaptive Hybrid Subspace Levenberg Marquardt Algorithm with Adequacy Monitor for Large Scale Least Squares Problems\n作者: M. Duc Hoang, Timothy J. Lewis\n类别: math.NA, cs.LG, math.OC\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25524v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25524v1\n摘要: The Levenberg-Marquardt (LM) algorithm is the most widely used method for solving nonlinear least-squares problems, as it combines the robustness of steepest descent with the fast local convergence of the Gauss-Newton method. However, its computational cost can become prohibitive for large-scale problems because each iteration requires solving a large damped linear system, and conventional step acceptance strategies may require repeated solves as the damping parameter is adjusted. Despite this computational challenge, many large-scale least-squares problems exhibit effective low-dimensional structure, with only a small number of parameter-space directions strongly informed by the data. We propose an adaptive hybrid subspace Levenberg-Marquardt (HSLM) algorithm that constructs a low-dimensional subspace from complementary sources of gradient, memory, Krylov-subspace, and randomized curvature information and computes a spectrally damped LM step within this subspace. A distinguishing feature of the method is a deterministic adequacy monitor that quantifies how much descent information is captured by the reduced space and adaptively enriches the subspace when necessary. Step acceptance is decoupled from damping adjustment: Armijo backtracking determines the accepted step length, while the ratio of actual to predicted reduction is used solely to update the damping parameter, thereby avoiding repeated damped-system solves during step acceptance. For the HSLM algorithm, we establish global convergence to stationarity and prove local linear and superlinear convergence. Numerical experiments on neural-network training problems show that HSLM achieves convergence behavior comparable to classical and Krylov subspace LM (KSLM) while substantially reducing per-iteration computational cost, with increasing advantages observed as the parameter dimension grows.\n18. 随机化学反应网络的数据驱动有效建模 Data-driven Effective Modeling of Stochastic Chemical Reaction Networks\n作者: Yuan Chen, Weize Mao, Dongbin Xiu\n类别: math.NA, cs.LG, math.DS\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25421v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25421v1\n摘要: The Stochastic Simulation Algorithm (SSA), widely considered an exact algorithm for stochastic chemical reaction networks, suffers from high computational cost. In this work, we propose a data-driven effective model that operates on a user-defined coarse time step independent of the underlying microscopic reaction-event scale. This is accomplished by directly approximating the finite-time transition kernel of the continuous-time Markov chain induced by SSA, using a generative machine learning model trained on short bursts of SSA simulation data. The trained model constructs a stochastic propagator that recursively generates statistically consistent trajectories at the constant coarse time step, with significantly reduced computational cost. In this paper, we employ conditional normalizing flow as the stochastic propagator. A comprehensive set of numerical examples is presented to demonstrate the accuracy and efficiency of the proposed method.\n19. 闵可夫斯基时空双曲叶状结构上的三维分部求和格式 A 3D Summation-by-Parts scheme on a Hyperboloidal Foliation of Minkowski\n作者: Shalabh Gautam\n类别: gr-qc, math-ph, math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25363v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25363v1\n摘要: This paper summarises our previous work on a fully $3$D Summation-by-Parts scheme, derived for a class of linear wave equations on hyperboloidal slices on a fixed Minkowski background. The scheme is derived in spherical polar coordinates, and allows having grid points at the origin and on the $z$-axis, despite coordinate singularities, and at infinity, by introducing compactification followed by rescaling, and is proved to be stable. Reducing it to the standard Cauchy problem, or to finite spacelike slices with an outer boundary, will follow a similarly. Second-order accurate finite-difference methods are used to implement this scheme numerically, but higher-order finite-difference or spectral methods could also be used. Kreiss-Oliger dissipation operators are generalized to curvilinear coordinates and are defined everywhere in the domain, including at the boundary points, such that they satisfy the dissipative property in the energy norms. We also propose new norm convergence tests that include all the grid points at all resolutions and produce more accurate results. Promising results are obtained, giving hope for application to fully nonlinear systems, like the Einstein Field Equations, and extracting the resulting gravitational waves free of systematic errors or gauge ambiguities.\n20. 动力学Langevin动力学的标准Strang分裂的可证明非加速性 Provable Non-Acceleration of Standard Strang Splittings of Kinetic Langevin Dynamics\n作者: Nawaf Bou-Rabee\n类别: math.PR, math.NA, stat.CO, stat.ML\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25279v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25279v1\n摘要: The OBABO and BAOAB schemes and the other standard Strang splittings of kinetic (underdamped) Langevin dynamics are widely used Markov chain Monte Carlo algorithms. Under a suitable friction scaling, the underlying diffusion relaxes on a ballistic time scale, suggesting that these discretizations, suitably tuned, sample targets with condition number $κ$ in $O(\\sqrtκ)$ iterations. We prove that no fixed choice of step size and friction, based only on the curvature bounds and the dimension, achieves this acceleration: total variation mixing time lower bounds for OBABO show that ballistic cold-start mixing fails uniformly over the smooth strongly convex class, and the lower bounds extend, with the same orders, to BAOAB and the other four Strang splittings. The proof transfers non-acceleration from optimization to sampling. Eliminating velocity gives an exact noisy heavy-ball recursion, and by the non-acceleration theorem of Goujaud, Taylor and Dieuleveut, for every tuning either some Gaussian target has a mode with relaxation time at least of order $κ$, or an attracting cycle exists on a smooth potential; dilating such a potential as $U_R(x)=R^2U(x/R)$ preserves its curvature bounds and produces metastability for a number of steps exponential in $R^2$, from an initial state at Wasserstein distance $O(R)$ from equilibrium. Using contraction estimates of Leimkuhler, Paulin and Whalley and a Wasserstein-to-total-variation regularization estimate, we prove a complementary upper bound of $O(κ)$ steps, up to logarithmic factors, for a fixed-parameter OBABO tuning. Hence, among fixed-parameter OBABO tunings, the optimal condition-number dependence of cold-start total variation mixing over this class is linear, up to logarithmic factors. A direct Gaussian calculation also rules out fixed-parameter acceleration for the left-endpoint exponential integrator.\n21. “截断傅里叶滤波”方法用于一般域中积分与卷积的快速高阶求值 \u0026ldquo;Truncated Fourier Filtering\u0026rdquo; method for fast and high-order evaluation of integrals and convolutions in general domains\n作者: Oscar P. Bruno, Ambuj Pandey, Krishna Y. Poojara\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-26\narXiv ID: 2608.25264v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25264v1\n摘要: This paper introduces and analyzes a novel algorithm\u0026mdash;Truncated Fourier Filtering (TFF)\u0026mdash;for the fast, high-order accurate evaluation of standard integrals and convolutions involving piecewise-smooth (possibly discontinuous) integrands over general $m$-dimensional domains ($m \\ge 1$) employing an $m$-dimensional Cartesian grid. For an $N$-point discretization, the method runs at a computational cost of $\\mathcal{O}(N)$ operations for standard integrals and $\\mathcal{O}(N \\log N)$ operations for convolutions, following, in either case, a one-time $\\mathcal{O}(N \\log N)$ precomputation step (not required in dimension $m = 1$). The core idea underlying TFF is to approximate the characteristic function of the integration domain by a truncated Fourier expansion of it over a suitably extended periodic domain, and to evaluate the resulting integrals via trapezoidal quadrature on a Cartesian grid with an appropriately chosen discretization size. Despite its conceptual simplicity, TFF attains high-order accuracy even for complex, possibly non-smooth or even non-Lipschitz geometries. A complete theoretical analysis is provided that establishes the superalgebraic convergence (i.e., convergence faster than any negative power of $N$) of the overall approach.\n22. 哈密顿非线性波与三维流的双向耦合 Hamiltonian Two-Way Coupling of Nonlinear Waves and 3D Flows\n作者: Sinan Wang, Ruicheng Wang, Taiyuan Zhang, Fan Feng, Jinjin He, Yuchen Sun, Zhiqi Li, Bo Zhu\n类别: cs.GR, math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.25203v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25203v1\n摘要: Simulating large-scale free-surface water by coupling a localized 3D fluid solver to a cheaper 2D surface model has long faced a mismatch in wave dynamics: efficient 2D wave models used in graphics are typically either linear or non-dispersive. These models are fast, simple, and accurate for calm, small-amplitude seas, but coupling them with strongly nonlinear 3D solvers produces visible reflections and artifacts at the 2D\u0026ndash;3D interface. We address this problem by introducing a nonlinear and dispersive 2D wave model based on the canonical Zakharov formulation. Its Hamiltonian structure, in which the surface elevation and surface potential form a canonical pair ($η$, $ψ$) governed by the wave energy, enables a canonically consistent two-way coupling scheme, allowing information to pass smoothly across the 2D\u0026ndash;3D interface. Our 2D solver reduces mean wave-height error by 1.7\u0026ndash;5$\\times$ over SWE, BEM, and Airy baselines while running more than $10^3\\times$ faster than BEM; it achieves greater nonlinear accuracy and coupling fidelity than SWE and Airy, with minor losses in speed and stability. Coupling it with a 3D Navier\u0026ndash;Stokes solver yields a full system that suppresses visible seam artifacts across a range of experiments, including dispersion-matching and Kelvin-wake tests, and runs over 4$\\times$ faster than a pure GPU NB-FLIP simulation on the same domain.\n23. ROMNet：一种混合降阶建模与机器学习的波形反演方法 ROMNet: a hybrid reduced order modeling and machine learning approach to waveform inversion\n作者: Liliana Borcea, Alexander Mamonov, Kui Ren, Haizhao Yang, Chugang Yi\n类别: math.NA, cs.LG, physics.geo-ph\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.25160v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25160v1\n摘要: Waveform inversion seeks to estimate the wave speed of a heterogeneous, inaccessible medium, from time-resolved measurements of the waves at user controlled sensors. We consider this inverse problem for acoustic waves and an active array of source/receiver sensors that emit probing signals and measure the generated pressure waves. The forward map, from the wave speed to the measurements, is nonlinear and oscillatory. The oscillations cause cycle skipping, the main impediment to using the standard, nonlinear least-squares data fitting formulation, known as full waveform inversion (FWI). A recently introduced alternative waveform inversion approach computes from the measurements an algebraic surrogate of the wave operator, a reduced order model (ROM) matrix, which is then used to estimate the wave speed. The mapping from the measurements to the ROM is nonlinear, but well understood. It is computed efficiently, in a non-iterative manner. The nonlinear mapping from the ROM to the wave speed is less understood, and its approximation involves time-consuming optimization. Our goal in this paper is to use a neural network to map the ROM matrix to a nearby one, that has a simpler and explicit dependence on the wave speed. This simplifies and reduces the computational cost of the ROM-based waveform inversion. We introduce the methodology, called ROMNet, and test it with numerical simulations, using two training data sets: The first set consists of random media with variations of the wave speed modeled by a superposition of Gaussians with random amplitudes and standard deviations. The second is the publicly available GeoFWI dataset introduced for benchmarking FWI using deep learning. We compare the performance of ROMNet with the direct ROM-based inversion and with two representative deep learning approaches to FWI: Fourier-DeepONet\u0026quot; and InversionNet\u0026quot;.\n24. 可压缩Navier-Stokes方程ALE格式的熵稳定运动壁边界条件 Entropy-stable moving-wall boundary conditions for the ALE formulation of the compressible Navier-Stokes equations\n作者: Luca Galimberti, Roberto Nuca, Lisandro Dalcin, Alberto Guardone, Matteo Parsani\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.25146v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25146v1\n摘要: We present a high-order entropy-stable framework for the compressible Euler and Navier-Stokes equations on moving domains. The space-time mapping describing the domain motion is recast in an arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) formulation, in which the physical inviscid fluxes and the contributions induced by mesh motion are treated in a unified manner. At the continuous level, we prove that the proposed moving-wall boundary conditions are entropy conservative for the Euler equations and entropy stable for the Navier-Stokes equations. The no-slip condition is formulated in terms of the velocity relative to the moving wall, yielding a bounded inviscid contribution to the entropy balance, while the viscous terms contribute only entropy dissipation. Using diagonal norm summation-by-parts (SBP) operators together with appropriate numerical fluxes, these properties are extended to the semi-discrete formulation, resulting in nonlinear stability in the $L^2$ sense. The accuracy, robustness, and scalability of the proposed method are demonstrated in practice through an extensive set of numerical experiments, ranging from canonical two-dimensional verification cases to large-scale turbulent and supersonic simulations involving moving boundaries and fluid-structure interaction. The results confirm the suitability of high-order entropy-stable schemes for complex moving-domain problems across a broad range of flow regimes and multiphysics applications. Because the analysis relies on the SBP property rather than on a particular discretization, the framework naturally extends to a broad class of methods based on diagonal-norm SBP operators, including finite volume, finite element, and flux reconstruction schemes.\n25. 关于由前$N$个Rademacher函数张成的空间中$L_2$范数的精确离散化 On exact discretization of the $L_2$-norm in the space spanned by the first $N$ Rademacher functions\n作者: Anna Kazakova\n类别: math.FA, math.NA\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.25058v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.25058v1\n摘要: We study the exact discretization of the $L_2$-norm in the space spanned by the first $N$ Rademacher functions. It is shown that the sufficient number of nodes for discretization with the minimal number of nodes is equal to $N$ or $N+1$ and depends on the dimension $N$. The connection with Hadamard matrices and the Hadamard conjecture is demonstrated.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-27_15-23-23/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月27日 15:23:23\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 25\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-基于神经网络的多尺度可混合间断伽辽金方法求解多孔介质中的偏微分方程\"\u003e1. 基于神经网络的多尺度可混合间断伽辽金方法求解多孔介质中的偏微分方程\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eA Neural-network-based multiscale Hybridizable Discontinuous Galerkin method for solving PDEs in porous media\u003c/p\u003e","title":"2026年08月27日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月26日 05:03:25\n重点关注论文数量: 3\n了解领域论文数量: 7\n不相关论文数量: 13\n重点关注论文（完整分析） 1. 准周期 Hamilton\u0026ndash;Jacobi 方程的高精度数值均匀化框架 A High-Accuracy Numerical Homogenization Framework for Quasiperiodic Hamilton\u0026ndash;Jacobi Equations\n作者: Kai Jiang, Meng Li, Juan Zhang, Lei Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.24313v1\n摘要翻译: 在这项工作中，我们开发了一个精确的数值均匀化框架，用于计算具有如下形式的凸哈密顿量的准周期 Hamilton\u0026ndash;Jacobi 方程（QHJEs）的有效哈密顿量：$H(x,p) = |p|^k/{k}-f(x), ~k\u003e1$，其中 $f$ 是准周期的。在准周期背景下计算有效哈密顿量需要求解定义在全空间上的 QHJEs。它们的解通常既不具有平移对称性也不具有衰减性，并且可能表现出低正则性。这些特性给数值计算带来了巨大的挑战。为了解决这些困难，我们引入了一种准周期边界条件，使得原始的全空间问题可以在有界区域上处理，同时在边界上保持准周期性。然后我们提出了一种 SL\u0026ndash;FPR 格式，将半拉格朗日逼近与有限点恢复法相结合，并为所得格式建立了稳定性和误差估计。我们还将准周期均匀化结果从二次情形推广到一般 $k\u003e1$，并应用所提方法精确逼近相应的有效哈密顿量。数值实验说明了该方法的收敛性和适用性，并验证了推广的均匀化结果。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.24313v1\n1. 研究对象和背景 本文研究一维凸型准周期 Hamilton-Jacobi 方程 (QHJE) 的数值均匀化问题. 考虑如下含小尺度参数的 Hamilton-Jacobi 方程: $$ \\begin{cases} u_t^\\varepsilon + H(x/\\varepsilon, u_x^\\varepsilon) = 0, \u0026 (x,t)\\in\\mathbb{R}\\times(0,\\infty),\\\\ u^\\varepsilon(x,0) = u_0(x), \u0026 x\\in\\mathbb{R}, \\end{cases} $$ 其中 Hamilton 量为 $$ H(x,p) = \\frac{|p|^k}{k} - f(x), \\quad k\u003e1, $$ $f$ 是准周期函数, 初始数据满足 $u_0\\in\\mathrm{BUC}(\\mathbb{R})\\cap\\mathrm{Lip}(\\mathbb{R})$ 且为准周期函数. 在准周期均匀化理论中, 已知当 $\\varepsilon\\to 0^+$ 时, $u^\\varepsilon$ 在 $\\mathbb{R}\\times[0,\\infty)$ 上局部一致收敛到均匀化解 $u$, 满足 $$ u_t + \\bar H(u_x) = 0, $$ 其中 $\\bar H$ 是有效 Hamilton 量. 有效 Hamilton 量的计算是准周期均匀化的核心问题, 因为 $\\bar H$ 决定了多尺度问题的宏观行为. 对于固定的 $p\\in\\mathbb{R}$, 有效 Hamilton 量 $\\bar H(p)$ 是唯一使得以下 $\\delta$-近似正确子问题对任意 $\\delta\u003e0$ 都有粘性解 $v$ 的常数: $$ \\bar H(p) - \\delta \\le H(x, p+v'(x)) \\le \\bar H(p) + \\delta, \\quad x\\in\\mathbb{R}. $$ 当 $\\delta=0$ 时, 精确正确子一般不存在; 但对具有准周期势的凸力学 Hamilton 量, 正确子问题可以化为精确胞元问题 $$ H(x, p+v'(x)) = \\bar H(p), \\quad x\\in\\mathbb{R}. $$ 在二次情形 $k=2$ 时, 这一约化可以给出 $\\bar H(p)$ 的显式公式. 本文要推进的问题是: 对一般 $k\u003e1$, 零阶 ($\\delta=0$) 近似正确子公式以及相应的有效 Hamilton 量公式是否仍然成立. 另一方面, 计算 $\\bar H$ 可以利用大时间平均公式: 设 $w$ 满足 $$ w_t + H(x, p+w') = 0, $$ 则 $$ \\bar H(p) = -\\lim_{t\\to\\infty} \\frac{w(x,t)}{t}. $$ 因此, 精确求解 QHJE 是计算有效 Hamilton 量的基础. 与周期问题不同, 准周期 Hamilton-Jacobi 方程的解定义在整个空间上, 一般不具有平移对称性, 也不具有衰减性, 甚至可能只有很低的正则性. 这些性质给数值计算带来本质困难: 无法直接使用周期边界条件, 也无法依赖衰减做远场截断. 已有的周期近似方法 (PAM) 会把准周期问题近似为周期问题, 但会引入用有理数逼近无理数的 Diophantine 误差, 并且不能保持解的准周期结构. 投影方法 (PM) 将低维准周期系统嵌入高维周期系统, 但通常结合 Fourier 谱配点, 对光滑问题有效, 却不适合具有非光滑解或低正则性梯度的 QHJE. 本文旨在填补的空白是: 构造一个不引入 Diophantine 误差、不过度提升维数、能处理低正则性的有限区域数值框架, 并在此基础上进行准周期均匀化计算.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果可以分成数值格式和均匀化理论两部分.\n(1) 给出了可计算的有限域 QHJE 模型. 利用物理空间到高维环面的同态 $C(x) = (P^T x)/(2\\pi\\mathbb{Z}^n)$, 引入 Dirichlet 型准周期边界条件 (QBC): $$ u(x,t) = U(C(x),t), \\quad x\\in\\partial\\Omega, $$ 其中 $U$ 是 $u$ 的母函数. 由此将原全空间问题限制在有限区域 $\\Omega$ 上: $$ \\begin{cases} u_t + H(x,u_x) = 0, \u0026 (x,t)\\in\\Omega\\times(0,\\infty),\\\\ u(x,0) = u_0(x), \u0026 x\\in\\Omega,\\\\ u(x,t) = U(C(x),t), \u0026 (x,t)\\in\\partial\\Omega\\times(0,\\infty). \\end{cases} $$ 该边界条件在连续层是精确恒等式, 数值实现时边界值通过有限点恢复方法 (FPR) 由内部有限个点插值恢复, 因而避免了对无理频率的有理逼近.\n(2) 提出了 SL-FPR 格式. 该格式将半 Lagrange (SL) 时间离散与 FPR 空间恢复相结合. 对 Hamilton 量 $H(x,p)=|p|^k/k-f(x)$, Lagrange 量为 $$ L(x,a) = \\frac{|a|^{k'}}{k'} + f(x), \\quad k' = \\frac{k}{k-1}. $$ SL-FPR 格式写为 $$ u_i^{m+1} = \\min_{a\\in\\mathbb{R}} \\left\\{ I_s[u^m](x_i - a\\tau) + \\tau\\left(\\frac{|a|^{k'}}{k'} + f(x_i)\\right) \\right\\}, $$ 其中 $I_s = I_{FPR}^{(s)}$ 是 $s$ 阶 FPR 插值算子.\n(3) 建立了格式的稳定性与误差估计. 引理 3.2 给出 FPR 插值误差: 若 $u\\in QP(\\mathbb{R}^d)$ 且其母函数 $U\\in H^{s+1}(\\mathbb{T}^n)$, 则 $$ \\|u - I_s u\\|_\\infty \\lesssim h^{s+1}\\|U\\|_{H^{s+1}(\\mathbb{T}^n)}, \\quad s\\ge 1. $$ 定理 4.2 证明 SL-FPR 格式关于准周期势 $f$ 和初始值 $u_0$ 是稳定的, 并给出如下 $L^\\infty$ 界: $$ \\|u^m\\|_\\infty \\le \\|u_0\\|_\\infty + m\\tau\\left(\\frac{C_a^{k'}}{k'} + \\|f\\|_\\infty\\right), $$ 其中 $C_a$ 是控制变量的一个一致上界. 定理 4.3 证明, 当精确解的母函数 $U\\in H^{s+1}(\\mathbb{T}^n)$ 时, 误差满足 $$ \\|u(x_i,t_{m+1}) - u_i^{m+1}\\|_\\infty \\le O(h^{s+1}) + O(\\tau), \\quad s\\ge 1. $$ 也就是说, 空间方向可以达到 $s+1$ 阶精度, 时间方向保持一阶精度.\n(4) 将准周期均匀化结果从二次情形 $k=2$ 推广到一般 $k\u003e1$. 摘要和引言明确指出, 本文证明了零阶近似正确子公式对一般 $k\u003e1$ 仍然成立, 并用所提方法数值计算对应的有效 Hamilton 量. 具体定理编号、显式公式和证明细节位于原文第 5 节, 从当前提供的 PDF 摘录中无法进一步确认.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术障碍有三个: 一是 QHJE 的解定义在全空间且不具衰减性, 截断后边界条件无法直接给定; 二是半 Lagrange 格式追踪特征足时, 特征足 $x_i - a\\tau$ 可能落在计算区域之外, 需要恢复其值; 三是极小化问题中的控制变量 $a$ 可能无界, 给稳定性分析带来困难.\n针对第一个障碍, 作者利用了准周期函数的基本性质: 投影矩阵 $P\\in\\mathcal{P}^{d\\times n}$ 诱导的映射 $C:\\mathbb{R}^d\\to\\mathbb{T}^n$ 满足 $C(\\mathbb{R}^d)$ 在 $\\mathbb{T}^n$ 中稠密, 且该 $\\mathbb{R}^d$-作用具有唯一遍历性和极小性 (引理 2.3). 因此, 对边界点 $x^*\\in\\partial\\Omega$, 虽然其相位 $C(x^*)$ 一般不对应某个内部网格点的相位, 但可以在内部网格点中选取 $K$ 个相位与 $C(x^*)$ 充分接近的点 $\\{x_{j_\\ell}\\}_{\\ell=1}^K$, 用这些点上的函数值做局部插值来恢复 $u(x^*)$. 这就是有限点恢复 (FPR) 方法的核心思想. 由于不需要把无理数近似为有理数, 该方法避免了周期近似中的 Diophantine 误差; 又因为计算仍然在低维物理空间中进行, 相比投影方法避免了维度诅咒. FPR 采用局部插值, 因此对低正则性函数也比 Fourier 谱方法更适用.\n针对第二个障碍, 作者将 SL 格式与 FPR 插值结合. 首先对凸 Hamilton 量做 Legendre 变换, 将 QHJE 写成 Hamilton-Jacobi-Bellman 形式: $$ u_t - \\min_{a\\in\\mathbb{R}}\\{ -a u_x + L(x,a) \\} = 0, $$ 其中 $L(x,a) = |a|^{k'}/k' + f(x)$. 半 Lagrange 离散的基本更新是 $$ u_i^{m+1} = \\min_{a\\in\\mathbb{R}} \\left\\{ u^m(x_i - a\\tau) + \\tau L(x_i,a) \\right\\}. $$ 由于 $x_i - a\\tau$ 通常不在网格点上, 且可能越出 $\\Omega$, 作者用 FPR 插值算子 $I_s$ 恢复 $u^m$ 在该特征足处的值. 其技术细节是: 先通过同态 $C$ 将目标点映射到 $\\mathbb{T}^n$, 再在 $C(\\Omega_N)$ 中选取靠近 $C(x_i-a\\tau)$ 的物理点, 构造局部基函数完成插值. 这一步骤使得格式既保持了 SL 格式在非线性 Hamilton-Jacobi 方程中的稳定性, 又获得了高阶空间精度.\n针对第三个障碍, 作者引用了已知命题 (引理 4.1): 对满足一定条件的凸 Hamilton 量, 存在有界集 $A\\subset\\mathbb{R}$ 使得 $\\bar H(p)=\\sup_{a\\in A}\\{p\\cdot a - L(a)\\}$. 由此可以得到每个时间层上极小化子 $a_j$ 的一致界 $|a_j|\\le C_a$. 这个界是定理 4.2 稳定性证明的关键: 它把目标函数中的 $|a|^{k'}$ 项控制住, 从而递推得到 $\\|u^m\\|_\\infty$ 的线性增长估计. 误差分析则基于两步比较: 先将精确解代入 SL 一步更新算子 $S$, 得到时间方向的 $O(\\tau)$ 相容性误差; 再将 SL-FPR 数值解与 SL 更新比较, 利用 FPR 插值引理得到 $O(h^{s+1})$ 的空间恢复误差. 两者叠加最终得到定理 4.3 的全局误差估计. 这种将半 Lagrange 时间离散与有限点恢复边界/特征足处理相结合的分析框架, 是本文方法层面的主要创新.\n4. 与之前工作的比较 与既有工作相比, 本文的推进主要体现在以下几个方面.\n首先, 在数值方法层面, 准周期 Hamilton-Jacobi 方程的数值求解远不如周期情形成熟. 周期情形的均匀化理论由 Lions-Papanicolaou-Varadhan 开创, 并已发展出大量数值方法. 准周期情形的主要困难在于解不具周期性和衰减性, 且可能低正则. 最直接的周期近似方法 (PAM) 通过在有限区域上逼近周期解来近似准周期解, 但这种方式不能保持解的准周期性质, 并且会引入用有理数逼近无理数的 Diophantine 误差. 本文的 QBC 直接利用物理-父空间同态 $C$, 在边界上施加由同一母函数产生的 Dirichlet 值, 因而在连续层是精确的, 数值误差只来自 FPR 插值, 从原理上消除了 Diophantine 误差.\n其次, 与近年来提出的投影方法 (PM) 相比, PM 将低维准周期系统嵌入高维周期系统, 再用 Fourier 谱配点求解, 这对光滑准周期系统非常有效, 但对 QHJE 这类可能具有非光滑解或低正则性梯度的问题不太适合, 而且高维嵌入会带来维度诅咒. 本文采用的 FPR 方法在低维物理空间中用有限点局部插值恢复全局准周期结构, 因此既能处理低正则性, 又避免了维度提升. 需要说明的是, FPR 方法本身并非本文首创, 而是由文献 [29] 提出; 本文的贡献在于将 FPR 引入到 QHJE 的边界条件实现和 SL 格式的特征足恢复中, 并给出了 SL-FPR 格式的稳定性与误差分析. 作者并未在摘录中对 PM 和本文方法做定量计算代价对比, 因此无法给出精确的复杂度比较.\n第三, 在均匀化理论层面, 文中引用 [10, 11] 证明了准周期 Hamilton-Jacobi 方程均匀化收敛性, 但有效 Hamilton 量的显式公式仅在二次情形 $k=2$ 由 [12] 给出. 本文把这一结果推广到一般 $k\u003e1$ 的 Hamilton 量 $H(x,p)=|p|^k/k-f(x)$. 从引言来看, 作者证明了对一般 $k\u003e1$, 零阶近似正确子方程 $H(x,p+v')=\\bar H(p)$ 的约化仍然有效, 并据此计算有效 Hamilton 量. 这一推广在理论上统一了更多凸 Hamilton 量, 并为数值计算 $\\bar H$ 提供了正确的胞元问题基础. 不过, 由于第 5 节的详细定理和证明未被包含在提供的 PDF 摘录中, 这里无法给出推广后的公式或定理编号.\n第四, 在误差分析与数值实验方面, 本文给出的 SL-FPR 格式误差为 $O(h^{s+1})+O(\\tau)$, 其中空间阶数 $s$ 可以通过提高 FPR 插值阶数而增加, 时间方向保持一阶. 这一误差结构使得空间精度可以做到很高, 但整体精度仍受时间步长一阶限制. 作者在数值实验中验证了误差分析和均匀化推广结果的正确性. 需要指出的是, 误差估计要求精确解的母函数 $U\\in H^{s+1}(\\mathbb{T}^n)$, 因此如果 QHJE 的解正则性不足, 高阶 FPR 插值的 $h^{s+1}$ 阶误差可能无法达到. 此外, 边界处理的精度依赖于有限点选取和插值节点的局部覆盖, 计算域 $\\Omega$ 的大小以及选取点数 $K$ 也会影响实际效率, 但关于这些参数的系统性讨论和与现有方法的定量对比, 从提供内容中无法确认.\n2. 亚波长介质散射的非线性模态约化 Nonlinear Modal Reduction for Subwavelength Dielectric Scattering\n作者: Habib Ammari, Ioan Gorea, Bowen Li\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.24290v1\n摘要翻译: 我们通过非线性Lippmann-Schwinger方程，研究平面波入射下具有Kerr型非线性的高折射率介质谐振器的三维波散射，以及相关的非线性介质散射共振。利用Newtonian势的简单特征模态附近的Lyapunov-Schmidt约化，我们获得了散射波分解为共振贡献和受控余项的局部分解，并在对比参数足够小、共振振幅和入射场局部小的条件下，导出了共振模态系数的显式非线性方程。第二次约化覆盖了入射场为量级一且非线性较弱的情形。我们的结果首次将线性模态分解推广到非线性波散射问题。我们还开发了一种基于Nyström离散化、实Newton迭代和伪弧长延拓的数值框架来补充这些结果。对于几种几何构型的单个谐振器，我们的计算证实了预测的高对比度共振标度和非线性模态近似，并展示了多值入射波响应。对于镜像对称的谐振器二聚体，我们在很宽的间距范围内跟踪了对称、反对称和对称破缺的共振分支。我们的计算表明，对称破缺阈值随着谐振器之间间隙的减小而增大，这与前导阶分岔理论一致。\nComment: 32 pages, 17 figures\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.24290v1\n1. 研究对象和背景 本文研究三维高折射率介电谐振器在 Kerr 型非线性作用下的波动散射问题。设 $D \\subset \\mathbb{R}^3$ 为具有 $C^{1,1}$ 边界的有界开集，$\\\\chi_D$ 为其特征函数。给定满足自由空间 Helmholtz 方程的入射场 $u_{\\\\mathrm{inc}} \\in H^2_{\\\\mathrm{loc}}(\\\\mathbb{R}^3)$，即 $- (\\\\Delta + \\\\omega^2) u_{\\\\mathrm{inc}} = 0$，总场 $u = u_{\\\\mathrm{inc}} + u_{\\\\mathrm{sc}}$ 满足非线性 Helmholtz 方程 $$\n\\Delta u - \\omega^2 u = \\omega^2 \\tau \\chi_D \\, q_\\eta(u) u \\quad \\text{in } \\mathbb{R}^3, $$ 其中 $q_\\\\eta(z) := 1 + \\\\eta |z|^2$ 描述折射率对场强的依赖，$\\\\eta \u003e 0$ 为非线性强度，$\\\\tau$ 为对比度参数，散射场 $u_{\\\\mathrm{sc}}$ 满足 Sommerfeld 辐射条件。当 $u_{\\\\mathrm{inc}} = 0$ 时，非平凡解称为非线性介电散射共振。通过引入自由 Green 函数 $G_\\\\omega(x) = e^{i\\\\omega |x|}/(4\\\\pi |x|)$ 及体积位势算子 $K_D^\\\\omega$，散射问题等价于非线性 Lippmann-Schwinger 方程 $$ u = u_{\\mathrm{inc}} + \\tau \\omega^2 K_D^\\omega [q_\\eta(u) u] \\quad \\text{in } D. $$ 在亚波长 regime 中，频率满足 $\\\\omega(\\\\tau) \\\\to 0$（$\\\\tau \\\\to \\\\infty$）。令 $\\\\varepsilon = \\\\tau^{-1/2}$ 和 $\\\\hat\\\\omega = \\\\varepsilon^{-1} \\\\omega$，方程化为 $$ u = u_{\\mathrm{inc}} + \\hat\\omega^2 K_D^{\\varepsilon\\hat\\omega} [u + \\eta |u|^2 u] \\quad \\text{in } D. $$ 线性情形已有成熟的数学框架，例如 Mie 散射、任意形状纳米颗粒的 Helmholtz 问题以及全 Maxwell 系统的介电共振理论。然而非线性亚波长介电散射共振由于问题缺乏变分结构，长期以来缺乏严格的数学理解。最近的工作 [5] 证明了从零解在线性共振频率处分叉出非线性共振态，但尚未回答线性模态分解能否推广到非线性散射问题，也没有系统地处理入射场驱动的散射态和分支跟踪。本文旨在填补这一空白：对 Kerr 型非线性散射问题建立严格的模态约化理论，将散射场分解为一个共振模态加可控余项，并给出模态系数的显式非线性标量方程；同时发展相应的数值方法以验证理论并探索对称性破缺等非线性现象。 2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果分为两个 regime。第一个是局部小振幅 regime，由 Proposition 2.5 给出。设 $\\\\lambda_j$ 为 Newtonian 势 $K_D$ 的简单正特征值，$\\\\varphi_j$ 为对应的归一化本征函数（$K_D \\\\varphi_j = \\\\lambda_j \\\\varphi_j$，$\\\\|\\\\varphi_j\\\\|_{L^2(D)} = 1$），$\\\\hat\\\\omega_j := \\\\lambda_j^{-1/2}$。则存在 $r, R, \\\\varepsilon_0 \u003e 0$，使得当 $0 \u003c \\\\eta \u003c \\\\eta_{\\\\max}$、$0 \u003c \\\\varepsilon \u003c \\\\varepsilon_0$、$\\\\hat\\\\omega$ 在 $\\\\hat\\\\omega_j$ 的小邻域 $U$ 内，且 $|a| + \\\\|u_{\\\\mathrm{inc}}\\\\|_{H^2(D)} \\\\le r$ 时，方程 $Q_j F = 0$ 在球 $\\\\|h\\\\|_{H^2(D)} \\\\le R$ 内有唯一解 $h = W_\\\\eta(a, \\\\hat\\\\omega, \\\\varepsilon, u_{\\\\mathrm{inc}}) \\\\in \\\\ker P_j \\\\cap H^2(D)$，其中 $P_j$ 是到 $\\\\varphi_j$ 方向的正交投影。此解关于参数 $(a, \\\\hat\\\\omega, \\\\varepsilon, \\\\eta, u_{\\\\mathrm{inc}})$ 联合实解析。进而每个满足约束的解 $u$ 可唯一分解为 $$ u = a \\\\varphi_j + W_\\\\eta(a, \\\\hat\\\\omega, \\\\varepsilon, u_{\\\\mathrm{inc}}), $$ 且振幅 $a$ 满足显式标量方程 $$ \\\\left(1 - \\\\hat\\\\omega^2 \\\\langle \\\\varphi_j, K_D^{\\\\varepsilon\\\\hat\\\\omega}[\\\\varphi_j] \\\\rangle_D \\\\right) a = \\\\langle \\\\varphi_j, u_{\\\\mathrm{inc}} \\\\rangle_D + \\\\hat\\\\omega^2 \\\\langle \\\\varphi_j, K_D^{\\\\varepsilon\\\\hat\\\\omega}[W_\\\\eta] \\\\rangle_D + \\\\hat\\\\omega^2 \\\\eta \\\\langle \\\\varphi_j, K_D^{\\\\varepsilon\\\\hat\\\\omega}[|a\\\\varphi_j + W_\\\\eta|^2 (a\\\\varphi_j + W_\\\\eta)] \\\\rangle_D. $$ 进一步，余项 $W_\\\\eta$ 满足估计（Lemma 2.8） $$ \\\\|W_\\\\eta\\\\|_{H^2(D)} \\\\le C_W \\\\left( \\\\|Q_j u_{\\\\mathrm{inc}}\\\\|_{H^2(D)} + \\\\varepsilon |a| + \\\\eta |a|^3 \\\\right), $$ 且由 Lemma 2.9，方程右端的可控余项 $R_W$ 满足 $$ |R_W| \\\\le C \\\\left( \\\\varepsilon \\\\|W\\\\|_{H^2(D)} + |\\\\eta| (|a|^2 \\\\|W\\\\|_{H^2(D)} + |a| \\\\|W\\\\|_{H^2(D)}^2 + \\\\|W\\\\|_{H^2(D)}^3) \\\\right). $$ 第二个 regime 适用于入射场为 $O(1)$ 而非线性极弱的情形，由 Proposition 2.6 给出。固定 $r, M \u003e 0$，存在 $\\\\eta_0, \\\\varepsilon_0 \u003e 0$，使得当 $|a| \u003c r$、$\\\\|u_{\\\\mathrm{inc}}\\\\|_{H^2(D)} \u003c M$、$\\\\hat\\\\omega \\\\in U$、$0 \u003c \\\\varepsilon \\\\le \\\\varepsilon_0$、$|\\\\eta| \\\\le \\\\eta_0$ 时，方程 (2.37) 有唯一解 $W_\\\\eta$，且与线性解 $h_{\\\\mathrm{lin}} = (Q_j(I - \\\\hat\\\\omega^2 K_D^{\\\\varepsilon\\\\hat\\\\omega}))^{-1}(Q_j u_{\\\\mathrm{inc}} + \\\\hat\\\\omega^2 Q_j K_D^{\\\\varepsilon\\\\hat\\\\omega}[a\\\\varphi_j])$ 的差满足 $$ \\\\|W_\\\\eta - h_{\\\\mathrm{lin}}\\\\|_{H^2(D)} \\\\le C |\\\\eta| \\\\left( \\\\|Q_j u_{\\\\mathrm{inc}}\\\\|_{H^2(D)} + |a| \\\\right)^3. $$ 数值实验表明：对于多种几何形状的单个谐振器，计算验证了高对比共振频率的渐近尺度（$\\\\omega = O(\\\\tau^{-1/2})$）和模态近似的有效性；入射波响应出现多值性；对于镜像对称的二聚体，跟踪了对称、反对称和对称破缺共振分支随间距的变化，发现对称破缺阈值随间隙减小而增大，与前沿阶分叉理论一致。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术障碍在于非线性项 $\\\\eta |u|^2 u$ 破坏了解析框架和线性叠加原理，且问题没有变分结构，无法直接使用临界点理论。作者的方法是基于 Newtonian 势的谱分解和 Lyapunov-Schmidt 约化。首先利用 $K_D$ 的谱分解 $K_D u = \\\\sum_{j=0}^\\\\infty \\\\lambda_j \\\\langle \\\\varphi_j, u \\\\rangle_D \\\\varphi_j$，选定一个简单特征值 $\\\\lambda_j$，将内部场分解为 $u = a\\\\varphi_j + h$，其中 $h \\\\in X_p := \\\\ker P_j \\\\cap H^2(D)$。关键的一步是证明约化后算子的可逆性：Lemma 2.3 证明在 $\\\\hat\\\\omega_j$ 的小邻域内，$I - \\\\hat\\\\omega^2 K_D: X_p \\\\to X_p$ 可逆且一致有界，其证明依赖于特征值的孤立性和谱间隙；Lemma 2.4 进一步利用 $K_D^{\\\\varepsilon\\\\hat\\\\omega} - K_D = O(\\\\varepsilon)$ 的算子范数估计，通过 Neumann 级数扰动论证得到 $Q_j(I - \\\\hat\\\\omega^2 K_D^{\\\\varepsilon\\\\hat\\\\omega}): X_p \\\\to X_p$ 的一致可逆性。这两个引理是后续隐函数定理和不动点定理的基础。在局部 regime 中，作者构造映射 $A(\\\\hat\\\\omega, a, h, \\\\varepsilon, \\\\eta, u_{\\\\mathrm{inc}})$，验证在基点 $(\\\\hat\\\\omega_j, 0, 0, 0, \\\\eta, 0)$ 处 $\\\\partial_h A = I - \\\\hat\\\\omega_j^2 K_D$ 可逆，从而直接应用参数化实解析隐函数定理得到余项 $W_\\\\eta$ 的存在唯一性，并导出振幅方程。在弱非线性 regime 中，作者采用不同的策略：先求解线性问题得到 $h_{\\\\mathrm{lin}}$，再将非线性方程转化为不动点问题 $h = T_\\\\eta(h)$，利用三维 Sobolev 嵌入 $H^2(D) \\\\hookrightarrow L^\\\\infty(D)$ 估计非线性映射的 Lipschitz 常数，通过压缩映射原理得到 $W_\\\\eta$ 的存在唯一性和 $O(\\\\eta)$ 误差界。此外，作者还证明了 $W_\\\\eta$ 关于参数的实解析性，这使得振幅方程 $G_j(a, \\\\hat\\\\omega, \\\\varepsilon, \\\\eta, u_{\\\\mathrm{inc}}) = 0$ 具有充分的连续性以便进行分支分析。数值方面，作者发展了基于体单元等式的 Nyström 离散，结合实 Newton 迭代求解非线性方程组；由于方程具有 $S^1$ 相位不变性，作者通过归一化约束和局部相位条件消除零特征值；使用伪弧长延拓以跨越鞍结分叉并跟踪多值解分支。数值实现适用于非球形谐振器和多粒子构型，特别是用于跟踪二聚体中的对称破缺分支。\n4. 与之前工作的比较 与现有工作的比较体现在多个层面。首先，线性情形下，[15, 8] 已建立了基于亚波长共振的线性模态分解，即散射场可近似为若干共振模式的线性叠加。本文将这一分解首次推广到非线性散射问题：通过 Lyapunov-Schmidt 约化，在简单共振附近证明散射场可局部分解为一个非线性共振模态加一个受控余项，且模态系数满足显式标量方程（2.42）。这比线性模态分解多出了非线性耦合项 $\\\\eta |a|^2 a$，并给出了余项的 $H^2$ 范数估计。其次，与 [5] 相比，[5] 只处理了无入射场（$u_{\\\\mathrm{inc}} = 0$）情形下的非线性共振态存在性，并利用 $L^2$ 归一化条件 $\\\\|u\\\\|_{L^2(D)} = N$ 固定振幅；本文则同时处理有入射场的散射问题，并给出了两种不同的 regime：一种是入射场和共振振幅都小、非线性强度 $\\\\eta = O(1)$；另一种是入射场 $O(1)$、非线性强度 $\\\\eta \\\\to 0$。这两种情形分别对应于实际应用中不同的物理场景，且后者通过线性解的扰动给出了明确的 $O(\\\\eta)$ 误差界，比 [5] 的纯存在性结果更具定量性。第三，与 [21, 4] 相比，那些工作采用渐近展开并事先假设非线性共振具有收敛级数形式，本文则通过严格的约化证明和余项估计，不需要这样的先验假设。第四，数值方面，本文提出的 Nyström 离散 + 实 Newton + 伪弧长延拓框架可以处理任意形状的谐振器和多粒子系统，而以往非线性散射计算多局限于球对称或微扰情形。对于二聚体系统，本文跟踪了对称、反对称和对称破缺分支，并发现对称破缺阈值随间隙减小而增大，这与基于非线性 Schrödinger 方程的对称性破缺理论（如 [18, 19]）在定性上一致，但本文首次在三维介电散射共振背景下进行数值验证。值得注意的是，作者在比较时并未显式讨论与全 Maxwell 系统非线性情形的差距，也未给出模态分解的全局有效性范围，这些局限性从提供内容中无法进一步确认。此外，振幅方程 (2.42) 中的系数依赖于 $\\\\langle \\\\varphi_j, K_D^{\\\\varepsilon\\\\hat\\\\omega}[\\\\varphi_j] \\\\rangle_D$ 和 $\\\\langle \\\\varphi_j, K_D^{\\\\varepsilon\\\\hat\\\\omega}[|\\\\varphi_j|^2 \\\\varphi_j] \\\\rangle_D$，这些系数的精确计算在文中仅通过数值验证，没有显式闭式公式，这可能限制理论结果的直接应用。\n3. 椭圆界面问题的四边形与六面体浸没有限元方法 Quadrilateral and Hexahedral Immersed Finite Element Methods for Elliptic Interface Problems\n作者: Fangfang Qin, Haifeng Ji\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.24055v1\n摘要翻译: 浸没有限元（IFE）方法为在非贴合网格上求解界面问题提供了一个有效的框架。IFE方法的基本思想是通过在特定点强制施加界面条件来修改标准有限元空间。众所周知，对于节点自由度，三角单元上线性IFE基函数的唯一可解性在标量扩散系数下受非钝角条件约束。对于张量扩散系数，这一限制更为严重，此时非钝角条件不再足以保证唯一可解性。即使在矩形网格上，对于张量扩散系数，传统的双线性IFE基函数也可能不唯一可解。在本文中，我们开发并分析了一种在四边形和六面体网格上的节点等参IFE方法，并表明通过适当选择离散通量条件的强制施加点可以克服唯一可解性问题。关键观察在于，与三角单元不同，四边形和六面体单元中的离散通量不是常数，这为选择这样的强制施加点以确保唯一可解性提供了灵活性。我们给出了一个系统性的选择程序，该程序不仅确保了在具有标量或张量值扩散系数的一般四边形和六面体单元上IFE基函数的唯一可解性，而且还保持了所得IFE空间的最优逼近性质。所提出的IFE方法具有若干优点：对复杂几何的灵活性、无角度限制以及适用于张量扩散系数，从而克服了现有节点IFE方法在矩形和三角网格上的局限性。我们建立了最优误差估计，并通过数值实验加以验证。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.24055v1\n1. 研究对象和背景 本文研究如下椭圆界面问题。设 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^N$（$N=2,3$）为有界凸多边形/多面体区域，$\\Gamma$ 为 $\\Omega$ 内一条闭 $C^2$ 超曲面，将 $\\Omega$ 划分为两个子域 $\\Omega^+$ 与 $\\Omega^-$。模型方程为 $$ -\\nabla\\cdot (B^\\pm \\nabla u^\\pm) = f^\\pm \\quad \\text{in } \\Omega^\\pm, $$ $$ u^+ = u^- \\quad \\text{on } \\Gamma, $$ $$ B^+\\nabla u^+\\cdot n = B^-\\nabla u^-\\cdot n \\quad \\text{on } \\Gamma, $$ $$ u=0 \\quad \\text{on } \\partial\\Omega. $$ 其中 $n$ 为 $\\Gamma$ 上由 $\\Omega^-$ 指向 $\\Omega^+$ 的单位法向量。这里 $B(x)$ 为有界对称正定矩阵函数，其分量逐段光滑且在界面上可能间断；$f\\in L^2(\\Omega)$。由于材料参数的间断，解及其导数跨越界面时可能产生跳跃，正则性降低：一般地，$u\\in H^1_0(\\Omega)$，但在每个子域内有更高的正则性 $u|_{\\Omega^\\pm}\\in H^2(\\Omega^\\pm)$。这种低正则性给数值方法的设计带来困难，尤其是当界面穿过单元内部时，标准有限元函数无法准确逼近解的局部非光滑性。\n使用界面贴合网格时，需要不断更新网格以匹配界面几何，对复杂或演化界面成本较高，因此发展非贴合（unfitted）网格方法成为重要方向。浸入式有限元（IFE）方法是一类重要的非贴合网格方法，其基本思想是修改标准有限元空间，在单元内通过离散界面条件嵌入界面信息，同时保留与标准有限元相同的自由度。与富集类方法（如XFEM）相比，IFE方法不需要额外的全局自由度，更易融入现有有限元代码。自上世纪90年代首次提出以来，IFE方法已被广泛应用于各类界面问题，包括 Poisson、Stokes、弹性波等。然而，节点型IFE基函数的唯一可解性（unisolvence）一直是一个基础且关键的问题。\n已有研究表明，对于三角形单元上的线性IFE，当扩散系数为标量常数时，需要满足非钝角条件才能保证任意界面位置与正系数对下的唯一可解性；对于张量扩散系数，即使满足非钝角条件也可能失效。在矩形单元上，常规双线性IFE基函数对张量扩散系数也可能不唯一可解。这些限制使得现有节点IFE方法的应用范围受限，尤其在复杂几何区域和材料系数为张量的情形下。\n本文试图填补的空白是：在一般四边形和六面体网格上，构造一种节点等参IFE方法，通过适当选择离散通量条件的强制点，保证对任意界面配置和任意对称正定扩散张量唯一可解，同时保持最优逼近性质与最优误差收敛阶。这一进展有望为复杂几何区域上的界面问题提供更灵活、稳健的数值工具。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果如下。\n首先，在构造局部IFE空间时，作者引入了假设1（近似界面假设），要求存在点 $x_K\\in K$ 和单位向量 $n_h$ 使得 $|x_K-x_\\Gamma^K|+h_K|n_h-n(x_\\Gamma^K)|\\le Ch_K^2$，并且近似界面与精确界面给出相同的顶点分类。在此假设下，作者证明了存在通量强制点 $\\hat M_K\\in\\hat K$ 满足几何条件 $\\nabla\\hat\\Pi\\hat w(\\hat M_K)=\\lambda\\hat n_h$，其中 $\\lambda\\in[0,1]$（引理2.4）。基于此，离散通量条件的分母 $D(\\hat M_K)\\ge\\min\\{1,\\beta^-_{\\min}/\\beta^+_{\\max}\\}\u003e0$，从而对任意节点值，局部IFE基函数唯一存在（引理2.5）。该结果对任意界面位置和任意对称正定扩散张量成立，无需非钝角条件。\n然后，对于 $N=2,3$，论文分别给出了通量强制点的显式构造。在二维中，通过对称变换可将法向量化为非负分量，从而只需处理三种规范配置（图2），每种配置下均选取特定的顶点或内部点作为 $\\hat M_K$。在三维中，类似地处理各类切割拓扑。\n其次，第4节建立了IFE空间的最优逼近性质。对任意界面元素 $K$，令 $v|_{\\Omega^\\pm}\\in H^2(\\Omega^\\pm\\cap K)$，则存在插值 $v_I\\in V^{IFE}(K)$ 满足 $$ \\|v-v_I\\|_{L^2(K)} + h_K|v-v_I|_{H^1(K)} \\le C h_K^2 \\big(\\|v\\|_{H^2(K^+)} + \\|v\\|_{H^2(K^-)}\\big), $$ 其中常数 $C$ 不依赖于界面与网格的相对位置。这里 $K^\\pm=K\\cap\\Omega^\\pm$。\n第三，第5节对全局IFE方法建立了最优误差估计。设 $u$ 和 $u_h$ 分别为精确解和离散解，则在 $H^1$ 范数下 $$ \\|u-u_h\\|_{H^1(\\Omega)} \\le C h \\|f\\|_{L^2(\\Omega)}, $$ 在 $L^2$ 范数下 $$ \\|u-u_h\\|_{L^2(\\Omega)} \\le C h^2 \\|f\\|_{L^2(\\Omega)}, $$ 常数 $C$ 同样不依赖于界面位置。数值实验验证了这些收敛阶。\n最后，作为动机，论文在附录A中给出了两个反例：在轻微倾斜的平行四边形上，若将通量强制点取为近似界面线段的中点，则对标量扩散系数会失去唯一可解性；在正方形上，对张量扩散系数也会失去唯一可解性。这进一步说明通量强制点选择的必要性。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的证明存在多个技术难点，以下分别阐述。\n第一个难点是局部IFE基函数的唯一可解性。在标准构造中，离散通量条件通常强制在近似界面的某一点（如线段中点）上，但该点可能使线性系统奇异。作者的关键创新在于观察到四边形和六面体上的离散通量并非常数，因此可以通过移动强制点来避免奇异。具体地，在参考单元上，他们定义增广变量 $\\alpha_K = [\\hat\\nabla\\hat\\phi^\\pm\\cdot\\hat n_h](\\hat M_K)$，并利用增广方法（引理2.5之前的推导）将任一IFE函数表示为标准插值加上一个修正项：$\\hat\\phi = \\hat\\Pi\\hat\\phi + (\\hat w - \\hat\\Pi\\hat w)\\alpha_K$。代入离散通量条件后，$\\alpha_K$ 的分母为 $D(\\hat M_K)$。通过选择 $\\hat M_K$ 使 $\\nabla\\hat\\Pi\\hat w(\\hat M_K)$ 与 $\\hat n_h$ 平行，即可保证 $D(\\hat M_K)\u003e0$。\n实现上述选择的关键是几何引理2.4：存在 $\\hat M_K\\in\\hat K$ 使得 $\\nabla\\hat\\Pi\\hat w(\\hat M_K)=\\lambda\\hat n_h$ 且 $\\lambda\\in[0,1]$。该引理的证明是构造性的，利用了三类工具：(i) 对称变换（引理3.2），通过坐标置换和反射将法向量化为非负分量，因而只需考虑有限种规范切割配置；(ii) 互补配置（引理3.1），通过交换 $\\hat K^+$ 与 $\\hat K^-$ 以及反转法向，可将问题归约为处理较简单的情形；(iii) 逐配置分析。在二维，只有三种配置（图2），例如当 $|I^+_{h,K}|=3$ 时取 $\\hat M_K=(1,1)^\\top$；当 $|I^+_{h,K}|=2$ 时取 $\\hat M_K=(\\delta/n_1-1,-1)^\\top$ 等。在三维，配置更多，但原理相同，只是代数处理更复杂。\n第二个难点是处理等参非仿射映射。一般四边形/六面体单元不是仿射的，从物理单元到参考单元的拉回会改变扩散张量和法向。作者定义 $\\hat B^\\pm_h = J_K^{-1}\\hat B^\\pm_h J_K^{-\\top}$，其中 $\\hat B^\\pm_h$ 是冻结的系数矩阵，并引入了高阶导数连续性条件 (2.8c) 来确保自由度数目合适。条件 (2.8c) 等价于 $[\\hat\\partial^\\alpha \\hat v^\\pm]=0$，这一额外耦合条件是本文构造的重要组成部分。\n第三个难点是保持最优逼近性质。由于通量条件改在点 $\\hat M_K$ 处强制，而 $\\hat M_K$ 通常不在精确界面上，因此构造的IFE函数并不精确满足原始界面通量条件。作者证明该偏差仅为 $O(h^2)$（由假设1保证），不会破坏最优逼近阶。在逼近性证明中，他们利用局部插值算子将函数值、梯度和高阶导数联系起来，并通过标准估计处理界面附近的部分。由于界面几何是 $C^2$，界面可被局部参数化，误差项可以控制为 $O(h^2)$。\n最后，全局误差估计采用标准IFE分析框架。利用IFE空间的逼近性质，结合斯特兰引理，可以将 $\\|u-u_h\\|_{H^1}$ 归结为插值误差和界面积分误差。作者仔细处理了界面条件在离散尺度下的扰动，得到常数与界面位置无关。（从提供内容中无法确认具体的技术细节，如是否使用Nitsche方法或内部惩罚，但第5节给出了误差估计。）\n4. 与之前工作的比较 本文的方法与已有工作有显著差异，以下从多个维度比较。\n首先，与三角形节点IFE方法相比。文献[14]指出，对于线性IFE基函数，当扩散系数为标量时，需要非钝角条件才能保证唯一可解性；文献[1]进一步表明，对于张量扩散系数，非钝角条件不再充分。本文的方法在四边形和六面体元素上完全避免了角度限制，并且适用于任意对称正定扩散张量。这是通过选择通量强制点实现的，而这一策略在三角形上不可行，因为三角形上的离散通量是常数，移动强制点不会改变通量连续性条件。因此，本文填补了保留节点自由度同时去除角度限制的空白。\n其次，与使用边/面平均自由度的IFE方法（如文献[12]）相比。文献[12]通过将节点自由度替换为边/面平均自由度，去除了非钝角限制，但改变了标准有限元的数据结构。本文保留了节点自由度，因此可以无缝整合到现有有限元框架中。代价是需要更复杂的局部构造，特别是在三维中需要对不同切割配置选择通量强制点。\n第三，与矩形/立方体网格上的IFE方法相比。许多已有的IFE构造（如[18,10,15,19]等）局限于矩形或立方体网格，这限制了它们在复杂几何区域上的应用。本文支持一般四边形和六面体网格，通过等参映射处理非仿射单元。文中还给出了反例表明，即使对于矩形单元，常规双线性IFE也可能对张量系数失去唯一可解性，因此本文的方法在矩形情形也带来改进。\n第四，在逼近性和误差估计方面。已有IFE方法通常要求离散界面与真实界面足够接近，并在界面条件中略去高阶扰动。本文的独特之处在于通量强制点不是界面上的点，而是一个在单元内部、与界面距离为 $O(h^2)$ 的点。作者证明了这种扰动不影响最优逼近阶，这是方法理论分析中的一个新贡献。\n在代价与适用性方面。本文的方法需要构造等参映射、选择通量强制点，并处理更复杂的界面几何，实现难度高于矩形网格上的IFE。但作为回报，它提供了网格几何上的灵活性，且对扩散系数为张量的情形稳健。三维情形的构造更为复杂，但论文给出了系统的处理。\n需要注意的是，本文仅针对稳态椭圆界面问题（1.1）。对于时间依赖或非线性问题，该构造是否可以直接推广尚不清楚，作者在文中未显式展开讨论。此外，虽然文中声称对任意界面配置成立，但严格依赖于假设1中对界面与网格相交模式的限制（如界面每个边最多交一次）。与更一般的水平集处理相比（例如文献[12]中的插值水平集方法），本文的离散界面采用平面近似，可能对高曲率界面引起更大的几何误差，但由于假设1保证了 $O(h^2)$ 逼近，这并不影响最优阶。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 基于神经矩阵算子的实时反演求解 Real-time inverse solutions via neural matrix operators\n作者: Julie Pham, Thomas O\u0026rsquo;Leary-Roseberry, Omar Ghattas, Karen Willcox\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.24833v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.24833v1\n摘要翻译 中文标题: 基于神经矩阵算子的实时反演求解\n摘要翻译: 数字孪生中的实时预测与控制需要快速数据同化。对于许多物理系统，数据同化任务需要求解受物理约束的反问题，而使用传统物理求解器在实时情况下通常计算上是难以处理的。本文提出了一种基于降基神经算子的方法，以实现在数字孪生环境中实时求解反问题。我们的方法专门针对一大类由偏微分方程（PDEs）控制的时空动力学问题，这些方程关于模型参数 $m$ 是非线性的，而关于反演参数 $q$ 是线性的。基于这一物理结构，我们的神经算子在降子空间中逼近从模型参数 $m$ 到参数-观测算子 $\\mathcal{F}(m)$ 的非线性映射。由于神经算子的输出是参数-观测算子本身（以矩阵形式体现），我们将该方法称为神经矩阵算子（NEMO）。利用 NEMO，对于新给定的 $m$，我们能够在降子空间中实现 $q$ 的闭式反问题求解。我们将 NEMO 应用于两个实际场景：污染物输运初始条件识别和高超声速飞行器载荷识别。我们表明，NEMO 能够为实时数据同化提供高质量的反问题解，与使用 PDE 求解器构造降算子相比，加速超过三个数量级。此外，NEMO 展示了与最先进的多输入神经算子相当的反演性能，同时将在线计算复杂度降低了一个数量级以上，并提供实时不确定性量化。\n2. $p$-Laplace 方程的物理信息神经网络的稳健训练与严格误差分析 Robust training and rigorous error analysis of physics-informed neural networks for the $p$-Laplace equation\n作者: Kyueon Choi, Seungchan Ko, Dohyun Kwon\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.24205v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.24205v1\n摘要翻译 中文标题: $p$-Laplace 方程的物理信息神经网络的稳健训练与严格误差分析\n摘要翻译: 随着科学机器学习的兴起，物理信息神经网络（PINNs）已被广泛应用于各种问题。然而，大多数 PINNs 的理论分析仍局限于线性方程，并且 PINNs 与非线性问题的经典数值分析之间仍存在巨大差距。为了解决这一问题，我们提出了一种用于求解非线性偏微分方程的 PINNs 稳健训练框架，并给出了严格的误差分析。具体而言，对于 $p$-Laplace 方程，我们引入了一种新的损失公式，该公式将 $W^{-1,p'}$ 中测量的对偶残差损失与分数 Sobolev 范数 $W^{1-\\frac{1}{p},p}$ 中测量的边界损失相结合。该公式旨在适应弱解的有限正则性，并使我们能够建立严格的 extit{先验} 和 extit{后验} 误差估计。此外，所提出的框架及其分析被扩展到参数化设置，其中指数、源项和边界条件都可以随参数变化。最后，我们提出了数值实验来证实我们的理论发现。\n3. 块Toeplitz矩阵的条件数与波动方程和薛定谔方程的时空等几何分析逼近的稳定性 Condition numbers of block Toeplitz matrices and stability of space-time IgA approximations for the wave and Schrödinger equations\n作者: Manuel Bogoya, Albrecht Böttcher, Matteo Ferrari, Sergei M Grudsky, Stefano Serra-Capizzano\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.24151v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.24151v1\n摘要翻译 中文标题: 块Toeplitz矩阵的条件数与波动方程和薛定谔方程的时空等几何分析逼近的稳定性\n摘要翻译: 在先前多位作者的工作中，研究了带状Toeplitz矩阵的条件数在矩阵尺寸趋于无穷大时的行为。在本文中，我们沿着两个主要方向进行探讨。第一步，我们将该研究推广到块大小固定为$N$的块Toeplitz矩阵。与标量情形一样，我们证明即使符号生成一个Fredholm无穷Toeplitz算子，有限矩阵的条件数也可能至少指数增长。我们获得了条件数的上下界，并给出了表明它们可能任意快速增长的例子。第二步，我们将所发展的理论应用于时空Galerkin方法的稳定性分析，其中时间方向采用正则度$r$（$1\\le r\\le p-1$，$p$为所使用的多项式次数）的等几何方法。这些稳定性问题恰好与块大小为$N=p-r$的类块Toeplitz矩阵的条件数相关。我们详细处理了具体例子，并给出相关数值实验且进行了批判性讨论。最后，我们列出了一些相关的开放问题。\n4. 一种无网格多分辨率深度能量方法及其在脆性断裂相场建模中的应用 A mesh-free multiresolution deep energy method with phase-field modeling of brittle fracture\n作者: Han Zhang, Mehrisadat Makki Alamdari, Babak Shahbodagh, Mohammad Vahab, Cosmin Anitescu, Timon Rabczuk, Elena Atroshchenko\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.24126v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.24126v1\n摘要翻译 中文标题: 一种无网格多分辨率深度能量方法及其在脆性断裂相场建模中的应用\n摘要翻译: 脆性断裂的相场建模通过将裂纹演化重新表述为能量泛函的最小化，避免了显式追踪裂纹的需要。作为代价，它要求足够密集的离散化来分辨局部化带，该带的宽度由正则化长度设定，而其路径事先未知。我们提出一种无网格离散化，其中单个神经网络同时表示位移场和相场，并通过直接最小化增量能量进行训练。坐标通过由 $C^1$ 二次B样条网格构建的多分辨率特征编码进入网络，因此表示所能表达的最细尺度由选择决定，而非通过缓慢训练达到；能量则通过在每次优化迭代时重新采样的点上进行分层蒙特卡洛积分来估计。这种配对被证明是关键性的：当积分点保持固定或编码过于粗糙而无法表示局部化带时，裂纹均无法扩展；而一旦另一个成分到位，每个成分都能容忍较广泛的设置。由于表示是全局 $C^1$ 的，二阶和四阶断裂能量密度可在完全相同的离散化上运行。在六个问题中，从单边缺口拉伸和剪切到单个样条块上的厚壁圆环，计算得到的载荷-位移曲线在匹配的正则化长度下与交错有限元参考结果一致，其中单边缺口试验的峰值载荷误差在约1%以内，而裂纹模式发生拓扑变化时误差在8%以内。在公开的随机多裂纹构型基准数据集上，该方法在二十次零样本运行中正确分类了90%的种子裂纹的激活或休眠状态，而数据集作者提供的深度Ritz基线方法则未能做到。\n5. 面向Cahn-Hilliard方程的保结构广义可迁移神经网络 Structure-preserving generalized transferable neural networks for the Cahn-Hilliard equation\n作者: Cao-Kha Doan, Thi-Thao-Phuong Hoang, Lili Ju, Shuting Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.23980v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.23980v1\n摘要翻译 中文标题: 面向Cahn-Hilliard方程的保结构广义可迁移神经网络\n摘要翻译: 本文关注混合形式的Cahn-Hilliard方程的保结构神经网络框架。我们采用广义可迁移神经网络（GTransNet）进行空间逼近，并采用稳定向后微分公式（BDF）进行时间离散。所得的时间一阶和二阶GTransNet-BDF格式被证明在时间离散层面守恒质量并满足能量稳定性。这些格式通过基于配点的方法实现，其中每个时间步需要求解一个具有常数系数矩阵的最小二乘系统。该系统的解决定了网络的输出层权重，但由于预期的最小二乘残差非零，它违反了质量守恒。为克服这一问题，我们引入了一种新颖的后处理保质量投影，通过一个极小化问题强制执行质量约束，其解的计算代价可忽略不计。所提方法的一个关键优势在于其预定义的隐藏层和无网格特性，使得该方法适用于复杂区域、变迁移率以及长时间模拟。二维和三维的大量数值实验验证了收敛性、质量守恒和能量耗散，并展示了所提GTransNet-BDF格式的准确性和鲁棒性。\n6. 与弹性复形相关的向量值链/上链复形 A Vector-Valued Co-Chain/Chain Complex Associated to the Elasticity Complex\n作者: Jennifer Amador Peña, Sara de Ángel, Fernanda Porras\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-24\narXiv ID: 2608.23829v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.23829v1\n摘要翻译 中文标题: 与弹性复形相关的向量值链/上链复形\n摘要翻译: 在本报告中，我们回顾Christiansen [2011, Num. Math.] 的离散弹性复形，它使用多项式和分布的空间。利用这些空间的自由度，我们写出一个使用向量值链和上链的复形，它与Christiansen的复形同构。新复形的算子是代数的，但使用单纯复形的几何。最后，我们定义一个从光滑弹性复形到该离散复形的类de Rham映射。\n7. PWDG-UWVF 等价性再探 The PWDG-UWVF Equivalence Revisited\n作者: Shelvean Kapita\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-24\narXiv ID: 2608.23822v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.23822v1\n摘要翻译 中文标题: PWDG-UWVF 等价性再探\n摘要翻译: 超弱变分公式（UWVF）已知是通过设置 (α=β=δ=1/2) 从标准 PWDG 通量族得到的 Trefftz 间断 Galerkin 格式。我们给出这一事实的一个简短的结构性解释。在每一个内部网格边上，这两个参数值下的两个 PWDG 跳跃项恰好是 UWVF 所用的两个有向阻抗-透射缺陷的范数平方和的一半。因此，Trefftz-DG 范数是全局透射缺陷的自然 Riesz 范数。在 PWDG 坐标下，其 Gram 矩阵是离散矩阵的反对 Hermite 部分，Riesz 归一化将算子化为正规形式 (K+\\ii I)，其中 (K) 是 Hermite 的。将同样的论证直接应用于离散 UWVF，得到互补正规形式 (\\tfrac12 I+\\ii K_{\\rm U})。这揭示了经典等价性是同一边耦合问题的破碎场坐标与阻抗-迹坐标之间的关系，而不仅仅是一种特定的惩罚选择。\n不相关论文（基本信息） 1. 微磁模拟中线性系统的高效埃尔米特与斜埃尔米特分裂方法 Efficient Hermitian and skew-Hermitian splitting methods for linear systems in micromagnetic simulations\n作者: Yingxi Miao, Changjian Xie\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.24576v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.24576v1\n摘要: For the Landau-Lifshitz equation, the discrete linear systems obtained by our semi-implicit method possess the following properties: they are large-sparse systems with non-Hermitian yet positive-definite coefficient matrices. To solve these systems efficiently, we apply the Hermitian/skew-Hermitian splitting (HSS) method and its inexact variant (IHSS). Numerical experiments in one and three dimensions show that the spectral radius of the HSS iteration remains below its theoretical upper bound and strictly below one for the tested grid resolutions and damping parameters. Moreover, the theoretical bound closely follows the actual spectral radius, providing an accurate estimate of the convergence behavior. The IHSS results demonstrate effective convergence for the tested cases and show that its efficiency is sensitive to the splitting parameter. Overall, the two semi-implicit schemes exhibit comparable convergence behavior.\n2. 用于平面波密度泛函理论的随机化块Davidson特征求解器 Randomized Block Davidson Eigensolvers for Plane-Wave Density-Functional Theory\n作者: Moritz Gubler, Taejun Park, Augustin Bussy, Johannes Laute, Nicola Marzari, Iurii Timrov, Laura Grigori\n类别: math.NA, cond-mat.mtrl-sci, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.24529v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.24529v1\n摘要: Iterative diagonalization is the dominant cost of plane-wave density-functional theory (DFT), with search-space orthogonalization scaling particularly quickly with problem size and the number of target states. We present a randomized block Davidson-type eigensolver that replaces Euclidean orthogonalization with randomized Gram-Schmidt in a sketched inner product, requiring only a single pass over the basis while keeping its conditioning bounded independently of the input vectors. This modification changes only the Rayleigh-Ritz step, which becomes a definite generalized Hermitian eigenproblem. Ritz extraction remains exact, preserving true Ritz pairs and the interlacing property that makes each band energy an upper bound on the true one. The method is implemented in mixed precision for CPUs and GPUs from a single Julia code, interfaces matrix-free with DFTK, and is released in the open-source RandESC library. On sparse test problems with a fixed number of eigenpairs, the sketched solver overtakes its deterministic counterpart beyond matrix dimensions of about $2\\times 10^4$ and is $25\\%$ faster at $5\\times 10^5$. In full self-consistent field DFT calculations, however, both Davidson variants outperform the locally optimal block preconditioned conjugate gradient (LOBPCG) reference only by $5$ to $11\\%$ in total time, while the additional benefit of sketching is limited. As the number of requested states grows with system size, orthogonalization savings are offset by the generalized eigenproblem. Therefore, the regime in which sketching pays off is set by how the number of wanted states scales with the problem dimension, not by the eigensolver as such.\n3. 聚合物生产工厂中具有强制联产的耦合感知销售与运营计划 Coupling-Aware Sales and Operations Planning with Forced Co-Production in Polymer Production Plants\n作者: Mansur Arief, Yan Pratama Akhra, Bilal Ahmadi, Pradipta Apsarini, Iwan Vanany\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.24399v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.24399v1\n摘要: Profitability metrics, such as the single-product gross profit margin, constitute the standard toolbox to prioritize products in sales and operations planning (S\u0026amp;OP). These metrics leverage the premise that production lines can be committed independently, which endows them with a simple per-ton ranking that a planner can compute and use easily in practice. However, coupled plants, especially polymer plants whose parallel lines draw simultaneously on a single bulk feed, can fundamentally undermine this premise and mislead to value-destroying production plans. We propose a framework built on what we call the Augmented Gross Profit for Product Clusters (AGPPC), which converts the per-ton ranking metric into a per-coupled-hour ranking that carries a per-instance optimality certificate. We present the theory of AGPPC, which combines the co-production column concept with a fluid relaxation of the planning problem, alongside an integrated bilinear mixed integer program of the plant and a McCormick-linearized baseline that provides certified bounds for it, and we demonstrate its effectiveness on real operational data from an Indonesian polymer producer, where the coupling-aware metric alone raises operating profit by 7.6% and the full optimization by 28% over current practice.\n4. Samplet压缩用于条件正定核和通用Kriging Samplet compression for conditionally positive definite kernels and universal Kriging\n作者: Sara Avesani, Rüdiger Kempf, Michael Multerer, Holger Wendland\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.24283v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.24283v1\n摘要: We present a samplet-based framework for the efficient numerical solution of saddle-point systems arising from conditionally positive definite (CPD) kernel approximation in general and universal Kriging in particular. The vanishing moment property of samplets as well as the particular structure of the associated scaling distributions, which correspond to discrete orthogonal polynomials, allow for a numerically favorable representation of these saddle-point systems. Concretely, they enable a natural null-space reduction of the indefinite saddle-point system to a (large) linear system for the detail coefficients and a small triangular system for the polynomial coefficients. We derive error bounds for the approximation by polyharmonic splines in Beppo-Levi spaces and show that the detail coefficients span precisely the subspace on which the CPD kernel is positive definite, rendering the reduced block symmetric positive definite. In view of the quasi-sparsity of the samplet-transformed kernel matrix for asymptotically smooth kernels, the resulting method achieves O(N log N) cost for the assembly and the storage of the saddle-point system. The reduced system can efficiently be solved by a sparse Cholesky factorization. We illustrate the framework with three applications, namely Gaussian process regression with generalized covariances, landmark-based image registration via samplet-compressed thin plate splines, and three-dimensional mesh deformation.\n5. 带块三角预条件子的预处理对称多重鞍点矩阵的特征值界 Eigenvalue bounds for preconditioned symmetric multiple saddle-point matrices with block-triangular preconditioners\n作者: Luca Bergamaschi, Michele Bergamaschi, John W. Pearson\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.24203v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.24203v1\n摘要: We develop eigenvalue bounds for symmetric, block-tridiagonal multiple saddle-point linear systems, preconditioned with block-triangular matrices, based on approximate Schur complements. Irrespective on the number of blocks, we prove that all complex eigenvalues, with nontrivial imaginary part, are strictly contained in a circle within the complex plane, with center 1. The real and positive eigenvalues are bounded in terms of the extremal roots of a sequences of parametric polynomials. Numerical results reveal that the bounds describe very well the eigenvalue distribution of the preconditioned matrix.\n6. 三维具有$p$-Laplacian黏性的磁流体动力学有限元方法的稳定性、收敛性和误差分析 Stability, Convergence, and Error Analysis of Finite Element Methods for 3D Magnetohydrodynamics with $p$-Laplacian Viscosity\n作者: Kim Ngan Le, Akash Ashirbad Panda, Evana Islam Sarkar\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.24197v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.24197v1\n摘要: This paper develops a fully discrete finite element method for three-dimensional incompressible magnetohydrodynamic (MHD) flows with nonlinear $p$-Laplace viscosity. The scheme combines spatial finite elements with a semi-implicit Euler time discretisation. Convergence to a weak solution is proved using a time-translation compactness argument together with Minty\u0026rsquo;s monotonicity method. Under additional regularity assumptions, we derive unconditional error estimates for both the velocity and magnetic field, with no coupling restriction between the time step and mesh size. The framework extends finite element analysis of incompressible MHD systems to non-Newtonian shear-thickening fluids ($p\u003e2$), while recovering the classical Newtonian case ($p=2$). Finally, numerical simulations are provided to validate the theoretical convergence rates and demonstrate the robustness of the proposed method.\n7. Strang猜想：强可坍缩复形的正面结果及验证猜想的代码 Strang\u0026rsquo;s Conjecture: Positive Result on Strong Collapsible Complexes and a Code to Check the Conjecture\n作者: Aranzazu Romero, Renaldi-Bradley Bodombo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.24120v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.24120v1\n摘要: Splines, which are piecewise polynomial functions with given smoothness, are used in numerous applications such as computer aided geometric design, algebraic geometry and for implementation of the finite element method. In many applications, it is important to know the dimension of the space of splines over a domain, but this continues to be an open problem. Strang\u0026rsquo;s conjecture predicts the dimension of the space of bivariate $C^1$ splines of degree at most $k$ over a polygonal domain with no holes. For the cases, $k=4$ and $k \\geq 5$ the conjecture has been proven true. For the case $k=2$, John Morgan and L. Ridgway Scott provided a counterexample. In this project, we begin by relating the space of bivariate $C^1$ splines of degree at most $k$ to various other function spaces. With the aid of some intrinsic operators on these spaces, we obtain a complex that yields an equivalence statement to Strang\u0026rsquo;s conjecture. The equivalent statement admits a computational approach to the conjecture and thus we present an NGSolve code to check Strang\u0026rsquo;s conjecture for a given mesh. In addition, we prove that if the simplicial complex associated to a triangulation is strongly collapsible (with a non-collinear condition), then Strang\u0026rsquo;s conjecture holds for $k=2$.\n8. 自由边界DCIS模型中非线性项的无导数恢复 Derivative-Free Recovery of a Nonlinearity in a Free-Boundary DCIS Model\n作者: De-Han Chen, Hongyu Liu, Keji Liu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.24090v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.24090v1\n摘要: We investigate an inverse coefficient problem for a multidimensional free-boundary model of ductal carcinoma in situ (DCIS), in which the tumor interface is governed by the nonlinear coupling of nutrient concentration, tissue pressure and curvature, and the unknown nutrient consumption function is recovered from a temporal trace of the nutrient concentration obtained by needle aspiration biopsy. For the forward problem, we establish uniform local well-posedness over an admissible class of consumption functions. The inverse problem is recast as a fixed-point problem: approximating the admissible set by finite-dimensional spaces yields discrete iteration operators, for which we prove the existence of fixed points, and the strong convergence of a subsequence of discrete fixed points to a fixed point of the continuous operator, which solves the inverse problem under a consistency condition. To approximate these fixed points, we develop a homotopy-continuation method combining a linearly convergent Picard iteration with a cubical Sperner search, without differentiating an objective functional or computing an adjoint state. Several numerical experiments on radially symmetric and non-symmetric DCIS models corroborate the theoretical findings.\n9. 间歇性与孤立拓扑转变的尖锐-弥散界面模型 A sharp-diffuse interface model for intermittent and isolated topological transitions\n作者: Raaghav Ramani\n类别: physics.comp-ph, math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-08-25\narXiv ID: 2608.24030v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.24030v1\n摘要: We propose a hybrid sharp-diffuse interface representation for modeling intermittent and isolated topological transitions during Cahn-Hilliard phase coarsening. Away from topological events, the evolution is approximated by the Mullins-Sekerka sharp-interface limit system and computed using a boundary integral formulation. When diffuse transition layers overlap, a novel interface surgery algorithm resolves topology changes through a localized Cahn-Hilliard pseudo-time evolution, after which the sharp-interface calculation is resumed. We develop the mathematical formulation underlying this decomposition, present a simple two-dimensional numerical implementation, and simulate a mass-exchange problem with interface coalescence. By localizing the diffuse evolution to topological events, the method achieves a speedup of two to three orders of magnitude over conventional diffuse-interface simulations.\n10. 新型高效隐式-显式延迟校正方法 New Efficient Implicit-Explicit Deferred Correction methods\n作者: Lorenzo Micalizzi, Davide Torlo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-24\narXiv ID: 2608.23919v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.23919v1\n摘要: In this work, we investigate implicit-explicit (IMEX) arbitrary high-order Deferred Correction (DeC) methods for the approximation of ordinary differential equations (ODEs). Such schemes are characterized by an iterative procedure that increases the order of accuracy by one at each iteration. More precisely, we study an efficient modification based on the introduction of interpolation processes between consecutive iterations, with the aim of systematically matching the accuracy achieved at each iteration with the order of the discretization employed. On the one hand, this modification leads to computational advantages, since the low-order iterations are performed on cheaper lower-order discretization structures; on the other hand, it endows the methods with a natural $p$-adaptive character, which is particularly appealing in the context of practical applications. We investigate this modification for two families of DeC schemes, providing numerical validation, efficiency assessments, and stability region plots. The numerical validation includes several examples involving stiff ODEs and partial differential equations (PDEs) with high-order spatial derivatives. The ability of the modified schemes to provide high-fidelity results at reduced computational cost, as well as the effectiveness of the adaptive strategy, is demonstrated through the numerical experiments.\n11. 计算三维Navier-Stokes方程的统计欧拉极限 Computing statistical Euler limits of the Navier\u0026ndash;Stokes equations in three dimensions\n作者: Johannes L. Grafen, Tobias Rohner, Stephan Simonis\n类别: math.NA, math-ph, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-08-24\narXiv ID: 2608.23786v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.23786v1\n摘要: We develop a Monte Carlo lattice Boltzmann method to efficiently compute statistical solutions to the three-dimensional incompressible Navier\u0026ndash;Stokes and Euler equations. By employing entropic space-time adaptive relaxation for higher order kinetic moments, our scheme is found to yield stable and consistent numerical solutions in the vanishing viscosity limit. We establish a convergence result that is conditional on four explicitly stated assumptions regarding the discrete dynamics. First, under diffusive scaling, the laws of the discrete ensemble are shown to converge along a subsequence to a limit satisfying the Foias\u0026ndash;Temam Liouville formulation of the Navier\u0026ndash;Stokes equations. Second, by lifting these measures to the Fjordholm\u0026ndash;Mishra\u0026ndash;Weber framework, we show that, provided the structure-function scaling holds uniformly, the vanishing viscosity limit satisfies the multi-point statistical Euler hierarchy. Unconditionally, we establish weak-strong uniqueness of the limit measures on the interval of existence of a strong Euler solution, and under explicit scaling assumptions, we formally derive a fractional 1-Wasserstein convergence rate of approximately $0.5$. Our method enables the first three-dimensional computations of time-dependent statistical solutions along the inviscid limit of the incompressible Navier\u0026ndash;Stokes equations. Numerical experiments on a randomized Taylor\u0026ndash;Green vortex with 24-dimensional initial uncertainty successfully recover Kolmogorov\u0026rsquo;s K41 scaling for energy spectra and structure functions, exhibit the failure of pathwise strong convergence, and are consistent with the predicted Wasserstein convergence rate. Finally, based on error measurements with respect to spectral hyperviscosity computations, we provide numerical evidence for the universality of statistical solutions of the incompressible Euler equations.\n12. 核范数最小化IRLS的紧控制与收敛速率 Tight Majorizations and Convergence Rates of Nuclear Norm Minimization IRLS\n作者: Christian Kümmerle, Tomas Masak, Dominik Stöger\n类别: cs.LG, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-08-24\narXiv ID: 2608.23765v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.23765v1\n摘要: Iteratively reweighted least squares (IRLS) methods constitute a natural approach to nuclear norm minimization, but their convergence rates and the role of the weight operator have remained poorly understood. This paper establishes sharp convergence rates for IRLS methods for constrained nuclear norm minimization in low-rank recovery. A central ingredient is a new majorization analysis for the smoothed nuclear norm: we prove that the harmonic-mean weight operator defines a valid global quadratic majorizer. Furthermore, we show that this weight operator is optimal within the family of power-mean weights, clarifying why it improves over classical one-sided reweighting schemes that use only row- or column-space information. Under a Schatten-1 null space property, we prove global linear convergence of IRLS algorithms using a variety of weight operators, including the harmonic-mean weights. For IRLS with harmonic-mean weights, we prove a dimension-independent, locally linear convergence rate. We provide a counterexample showing that this dimension-independent local rate cannot in general be obtained for IRLS algorithms using one-sided weight operators, which predominate in the literature. Numerical experiments corroborate the theoretical results and illustrate the practical advantage of harmonic-mean reweighting across square, rectangular, and adversarially initialized recovery problems.\n13. 隔膜几何中线性弹性问题的最小二乘RBF-PU方法 The least squares RBF-PU method for linear elasticity in the diaphragm geometry\n作者: Andreas Michael, Elisabeth Larsson, Pierre-Frédéric Villard, Davoud Mirzaei\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-24\narXiv ID: 2608.23718v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.23718v1\n摘要: The human diaphragm is vital for respiration and its simulation can aid in further understanding complications arising in individuals that have been subjected to mechanical ventilation. The diaphragm geometry is very thin and hence its numerical simulation poses a challenge for most numerical methods. In this paper, we compute the deformation of real diaphragm geometries which are modelled as linearly elastic and are subject to realistic boundary conditions. The method used is the unfitted least-squares radial basis function partition of unity method, which is well suited to solve problems on thin geometries given its unfitted nature and the shape and refinement of the cylindrical patches that are used. We derive a theoretical proof showing that the method converges with high order to the solution of this problem.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-26_05-03-25/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月26日 05:03:25\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 7\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 13\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-准周期-hamiltonjacobi-方程的高精度数值均匀化框架\"\u003e1. 准周期 Hamilton\u0026ndash;Jacobi 方程的高精度数值均匀化框架\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eA High-Accuracy Numerical Homogenization Framework for Quasiperiodic Hamilton\u0026ndash;Jacobi Equations\u003c/p\u003e","title":"2026年08月26日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月25日 05:03:24\n重点关注论文数量: 3\n了解领域论文数量: 8\n不相关论文数量: 39\n重点关注论文（完整分析） 1. 为什么凯洛格网格是径向的：一种隐藏的能量对称性 Why the Kellogg Mesh Is Radial: A Hidden Energy Symmetry\n作者: Shun Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-24\narXiv ID: 2608.22991v1\n摘要翻译: 凯洛格（Kellogg）棋盘界面问题是鲁棒自适应有限元方法的一个经典基准。其成功的自适应网格是径向的：尽管存在大的对比度和非对称解，网格仍向界面交叉点强烈加密，却不显示任何角向结构。我们通过证明奇异解 $u(r,θ)=r^γμ(θ)$ 满足精确恒等式 $κ|\\nabla u|^2=Λr^{2γ-2}$ 和 $κ|\\nabla^2 u|_F^2=2(1-γ)^2Λr^{2γ-4}$ 来解释这一点，其中 $|\\cdot|_F$ 是 Frobenius 范数，Hessian 在每个象限内分别计算，且 $Λ=γ^2\\cos^2(πγ/4)$。关键之处在于消失的量：尽管 $κ$ 和 $u$ 也都依赖于角度，右端项却仅依赖于 $r$。这两个恒等式都跨越界面成立，且交叉点处的单元以相同方式平衡。结合等离散误差分布原则，这些恒等式表明目标单元密度是径向的，因此正确的网格除了向中心加密外不应显示任何其他结构。因此，熟悉的图像是鲁棒误差分析背后系数加权要求的空间结果，而非独立经验事实。这也使得该基准肉眼可读：一个非径向的凯洛格网格是计算未遵循系数加权局部困难的可见证据。这种解读特定于该基准；在加权困难非径向的两材料问题上，同样的鲁棒估计器会产生强材料偏置的网格。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.22991v1\n1. 研究对象和背景 本文研究 Kellogg 棋盘式界面问题, 它是鲁棒自适应有限元方法的经典基准. 设 $\\Omega=(-1,1)^2$, 扩散系数为 $$ \\kappa(x)=\\begin{cases} R, \u0026 x\\in Q_1\\cup Q_3,\\\\ 1, \u0026 x\\in Q_2\\cup Q_4, \\end{cases} \\qquad R\u003e1, $$ 其中 $Q_1,\\dots,Q_4$ 按逆时针排列. 模型问题为 $$ -\\nabla\\cdot(\\kappa\\nabla u)=0\\quad\\text{in }\\Omega,\\qquad u=g:=u_{\\mathrm{exact}}\\big|_{\\partial\\Omega}\\quad\\text{on }\\partial\\Omega. $$ Kellogg 齐次奇异解具有形式 $u(r,\\theta)=r^\\gamma\\mu(\\theta)$, 其中 $\\mu$ 在每个象限内是 $\\cos(\\gamma(\\theta-\\theta_i))$ 的适当组合, 参数 $\\gamma,\\rho,\\sigma,R$ 满足匹配关系 (1.3). 经典取 $\\gamma=0.1$ 时 $R\\approx 161.4476387975881$, $\\rho=\\pi/4$, $\\sigma\\approx -14.92256510455152$. 该解在原点附近只有 $H^{1+\\delta}$ 正则性 ($\\delta\u003c\\gamma$), 且系数和角度分布都强烈不对称: 低系数象限中的振幅比高系数象限大约 $\\sqrt{R}$ 倍. 因此从 $u$ 或 $|\\nabla u|$ 本身完全看不出网格应具有径向对称性. 在自适应有限元文献中, Kellogg 问题的成功网格表现为向原点同心加密, 沿系数界面没有额外细化, 四个象限的元素数几乎相等; Chen 和 Dai 的数值比较清楚地展示了这一现象. 已有理论主要关注该基准上最优能量衰减 $(\\#T)^{-1/2}$ 的恢复, 但最优收敛阶并不决定自由度的空间分配. 本文要填补的空白是: 为什么正确的 Kellogg 网格是径向的? 作者证明, 尽管 $\\kappa$ 和 $u$ 都依赖角度, 但系数加权的局部误差量恰好只依赖半径; 再结合等分布原则, 就自然推出目标网格密度是径向的.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果是如下精确恒等式. 定理 3.1 (隐藏能量对称性): 对 Kellogg 垂直两相棋盘构型及其齐次奇异模, 存在常数 $\\Lambda\u003e0$, 使得 $$ \\kappa(x)|\\nabla u(x)|^2=\\Lambda r^{2\\gamma-2}, $$ $$ \\kappa(x)|\\nabla^2_P u(x)|_F^2=2(1-\\gamma)^2\\Lambda r^{2\\gamma-4}, $$ 其中 $\\nabla^2_P$ 是在四个象限内分别取二阶导数的破碎 Hessian, $|\\cdot|_F$ 是 Frobenius 范数, 且 $$ \\Lambda=\\frac{\\gamma^2 R}{1+R}=\\gamma^2\\cos^2\\left(\\frac{\\pi\\gamma}{4}\\right). $$ 两个恒等式的右端都只依赖 $r$, 既不出现角度, 也不出现系数. 恒等式在每个开象限内成立; 由于振幅平衡 (3.19), 两个系数加权量的单侧迹跨界面相等, 因此可连续延拓到 $\\Omega\\setminus\\{0\\}$. 作为推论, $$ \\int_{B_h}\\kappa|\\nabla u|^2\\,dx=\\frac{\\pi\\Lambda}{\\gamma}h^{2\\gamma}, $$ 且每个象限各贡献四分之一. 推论 3.2 给出基准常数的闭式公式: $$ R=\\cot^2\\left(\\frac{\\pi\\gamma}{4}\\right),\\qquad \\rho=\\frac{\\pi}{4},\\qquad \\sigma=\\frac{\\pi}{4}-\\frac{\\pi}{2\\gamma}=-\\frac{\\arctan\\sqrt{R}}{\\gamma}, $$ 故 $\\gamma=4\\pi^{-1}\\arctan(1/\\sqrt{R})\\in(0,1)$. 网格结论: 对不接触原点的界面拟合单元 $K$, 取 $s_K=1$, 局部误差尺度满足 $$ \\varepsilon_K^2=2(1-\\gamma)^2\\Lambda h_K^2\\int_K r^{2\\gamma-4}\\,dx \\asymp h_K^4 r_K^{2\\gamma-4}, $$ 即 $\\varepsilon_K\\asymp h_K^2 r_K^{\\gamma-2}$. 等分布原则 $\\varepsilon_K\\asymp\\varepsilon$ 给出 $h(r)\\asymp\\varepsilon^{1/2}r^{1-\\gamma/2}$ 和局部密度 $n(r)\\asymp\\varepsilon^{-1}r^{\\gamma-2}$. 对任意角区间 $I$ 和同心环域, $$ N_I(r_1,r_2)=c_*\\varepsilon^{-1}\\frac{|I|}{\\gamma}(r_2^\\gamma-r_1^\\gamma), $$ 所以等角扇区获得等量元素质量, 四象限平衡只是 $|I|=\\pi/2$ 的特例. 对接触原点的单元, 固定 $s\\in(0,\\gamma)$, 局部尺度为 $$ \\varepsilon_{K_{h_i,i}}=C_{s,K_1}h_i^\\gamma,\\qquad i=1,\\dots,4, $$ 常数与象限无关, 等分布迫使 $h_i$ 可比. 因此目标网格密度是径向的, 只向中心细化, 界面本身不产生细化信号.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 证明的核心障碍是: $\\kappa$ 和 $u$ 各自都强烈依赖角度, 但它们组合成的系数加权局部量必须消去角度依赖. 作者不用全局正则性估计, 而是用元素级局部误差尺度 $$ \\varepsilon_K=h_K^{s_K}\\kappa_K^{1/2}|\\nabla u|_{s_K,K}, $$ 它来自 Dupont-Scott 局部多项式逼近以及针对 Crouzeix-Raviart、间断 Galerkin、混合元等族的局部最优系数鲁棒先验估计. 证明分三个层次. 第一, 扇形内恒等式. 由于每个象限内 $\\mu''+\\gamma^2\\mu=0$, 解为 $\\mu_i=A_i\\cos(\\gamma(\\theta-\\theta_i))$; 角向振子守恒量 $\\gamma^2\\mu^2+(\\mu')^2$ 为常数, 因此 $|\\nabla u|^2=\\gamma^2A_i^2r^{2\\gamma-2}$. 对 Hessian, 将 $u$ 写成 $\\operatorname{Re}(\\lambda z^\\gamma)$, 对全纯函数 $\\Phi$ 有 $|\\nabla^2(\\operatorname{Re}\\Phi)|_F^2=2|\\Phi''|^2$, 从而 $|\\nabla^2u|_F^2=2\\gamma^2(1-\\gamma)^2A_i^2r^{2\\gamma-4}$. 第二, 也是真正的创新点: 用传输矩阵证明四象限的系数加权振幅平衡. 定义 $Y=(\\mu,\\tau)^T$, $\\tau=\\kappa\\mu'$; 由 $u\\in H^1(\\Omega)$ 和 $\\sigma=-\\kappa\\nabla u\\in H(\\mathrm{div};\\Omega)$, $Y$ 的两个分量跨界面连续. 跨越宽度为 $\\omega$、系数为 $\\kappa$ 的扇区由矩阵 $$ M_\\kappa(\\omega)=\\begin{pmatrix} \\cos(\\gamma\\omega) \u0026 \\frac{\\sin(\\gamma\\omega)}{\\gamma\\kappa}\\\\ -\\gamma\\kappa\\sin(\\gamma\\omega) \u0026 \\cos(\\gamma\\omega) \\end{pmatrix} $$ 传输, 其行列式为 1. 经过两个象限的矩阵 $N=M_1(\\pi/2)M_R(\\pi/2)$ 满足 $\\operatorname{tr}N=2-\\sin^2(\\pi\\gamma/2)(2+R+R^{-1})\u003c2$. 单值性 $N^2Y(0)=Y(0)$ 结合 $\\det N=1$ 与非零右上角元素排除 $N=\\pm I$, 推出 $N$ 的两个特征值均为 $-1$, 从而 $\\operatorname{tr}N=-2$, 得到 $\\sin(\\pi\\gamma/2)=2\\sqrt{R}/(1+R)$, 即 $R=\\cot^2(\\pi\\gamma/4)$. 同时 $|\\tau|=\\gamma\\sqrt{\\kappa_i\\kappa_j}|\\mu|$ 在每个界面成立. 从界面两侧分别计算守恒量, 比较后得到 $\\kappa_i\\gamma^2A_i^2=\\kappa_j\\gamma^2A_j^2$, 因此四象限有公共常数 $\\Lambda=\\gamma^2R/(1+R)$. 第三, 将等分布原则转化为空间分配. 对远离原点的单元, 把定理 3.1 代入 $\\varepsilon_K^2=h_K^2\\int_K\\kappa|\\nabla^2u|_F^2dx$, 得 $\\varepsilon_K\\asymp h_K^2r_K^{\\gamma-2}$, 于是 $n(r)\\asymp\\varepsilon^{-1}r^{\\gamma-2}$. 对原点附近单元, 利用 Slobodeckij 半模的齐次缩放 $|\\nabla u_i|_{s,K_{h_i,i}}=h_i^{\\gamma-s}|\\nabla u_i|_{s,K_{1,i}}$; 旋转不改变半模, 且 $\\kappa_i^{1/2}|\\nabla u_i|_{s,K_{1,i}}$ 与 $i$ 无关, 故 $\\varepsilon_{K_{h_i,i}}=Ch_i^\\gamma$, 等分布迫使四个原点单元尺寸可比. 整个推导不依赖具体有限元族、离散解和标记策略, 只依赖系数加权能量范数和等分布原则.\n4. 与之前工作的比较 与已有工作相比, 本文的推进是多方面的. 第一, Kellogg 原始工作 [18] 给出了相交界面椭圆问题的正则性分析和齐次奇异模, 但从未考虑该模的系数加权局部量具有径向对称性. 本文证明的恒等式 (3.21)\u0026ndash;(3.22) 是全新的; 它解释了为什么数值上长期观察到的正确网格是同心圆式的. 第二, 在自适应有限元文献中, Morin-Nochetto-Siebert [22] 将 Kellogg 问题引入自适应迭代, Nochetto-Siebert-Veeser 的综述和 Bonito-Canuto-Nochetto-Veeser 的 Acta Numerica 综述都以恢复最优能量衰减 $(\\#T)^{-1/2}$ 为主要成就. 本文明确指出, 最优收敛阶并不决定自由度空间分配; 从全局误差衰减无法推出网格的空间结构. 作者将鲁棒性要求推进到空间预测层面, 这是以往文献没有做的一步. 第三, 关于鲁棒估计器, 已有大量工作处理系数无关常数: Bernardi-Verf\u0026quot;urt 和 Petzoldt 的残差分析, 恢复型、均衡残差型以及 Ern-Vohral'ik 等的通量重构方法. 本文不提出新的估计器, 而是说明这些方法共同遵循的系数加权能量范数本身, 在 Kellogg 问题上会产生径向网格; 因此 Chen-Dai 图 1 中 H(div) 恢复型估计器得到四象限元素比 1.03 的网格, 而去掉系数权重的残差估计器得到 8.35 的强偏斜网格, 正是因为没有遵循系数加权局部难度. 第四, 本文还提供了基准参数的闭式公式, 免去了传统上数值求解非线性系统 (1.3) 的步骤; 对 $\\gamma=0.1$, 闭式公式逐位复现了文献中抄来抄去的常数 (1.4). 第五, 作者明确区分了 Kellogg 棋盘的特殊性与一般两材料问题: 对另一个满足传输条件的分片二次多项式例子, $\\kappa|\\nabla^2w|_F^2$ 在界面两侧分别为 $8$ 和 $8q$, 等分布导致 $h_+\\simeq q^{-1/4}h_-$, 网格应强烈偏向低系数侧. 这说明径向性是垂直棋盘的特殊全局匹配结果, 不是普适结论. 本文的代价和局限是: 它证明的是连续等分布模型下的目标密度, 并不证明任何具体自适应算法一定收敛到该密度; 常数可以依赖固定的 $\\gamma$ 或 $R$, 不提供 $R\\to\\infty$ 的一致估计, 因为 $R$ 与 $\\gamma$ 通过 $R=\\cot^2(\\pi\\gamma/4)$ 绑定; 推导还假设网格界面拟合、形状正则且无 hanging node. 对更一般网格或 hp 方法, 作者未显式展开.\n2. 极大规模时谐Maxwell方程的全矩阵自由三网格预条件子 A Fully Matrix-Free Three-Grid Preconditioner for the Time-Harmonic Maxwell Equations at Extreme Scale\n作者: Shubin Fu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-24\narXiv ID: 2608.22903v1\n摘要翻译: 三维时谐Maxwell模拟产生大规模复不定系统，其网格粗化严格受相位精度限制。尽管无矩阵有限元内核能高效利用GPU吞吐量，标准多重网格求解器最终受限于精确粗网格分解的内存和通信成本。我们提出一种用于旋度共形N{é}delec离散的全矩阵自由、无分解三网格预条件子，该离散包含完美匹配层(PML)和最优混合求积。该方法采用外层FGMRES求解未移位的细网格方程，而中间网格修正由以复移位$2h$\u0026ndash;$4h$循环作为预条件的固定工作量FGMRES计算。这一策略将复移位限制在辅助预条件子中，从而保留物理Maxwell算子。局部傅里叶分析推导出混合Maxwell分支和相容的边传递，确定了稳健的移位和Jacobi阻尼参数。通过与解析Maxwell格林张量的对比验证，我们的方法展现出极强的可扩展性：使用单一的求解器配置，在仅64块NVIDIA A100 GPU上，约108.9亿个复边未知量的均匀和高度非均匀系统均在42.0\u0026ndash;72.0秒内求解完成。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.22903v1\n1. 研究对象和背景 三维时谐Maxwell方程在雷达散射、天线设计、光子学和电磁成像等领域有广泛应用。当计算区域跨越多个波长时，保持固定空间分辨率会使未知量个数随传播距离的三次方增长，构成极端规模的复不定线性系统。该问题在数学上具有特殊困难：curl-curl算子拥有巨大的梯度零空间，波动项使横向分支不定，PML截断引入复各向异性系数。为控制长路径传播的相位误差，本文采用最低阶Nédelec H(curl)协调有限元，并结合最优混合求积以抑制数值色散。然而，得到的离散系统极其庞大且复不定，求解器设计面临严重瓶颈。\n具体地，设时间因子$\\exp(-i\\omega t)$，电场$\\mathbf{E}$满足如下电场方程： $$\\nabla\\times(\\mu_r^{-1}\\nabla\\times \\mathbf{E}) - k_0^2 \\epsilon_r \\mathbf{E} = f,\\quad k_0=\\omega\\sqrt{\\epsilon_0\\mu_0},\\ f=i\\omega\\mu_0 J.$$ 在矩形计算域$\\Omega$上引入笛卡尔PML后，方程变为 $$\\nabla\\times(\\tilde{\\mu}_r^{-1}\\nabla\\times \\mathbf{E}) - k_0^2 \\tilde{\\epsilon}_r \\mathbf{E} = f,\\quad \\mathbf{n}\\times\\mathbf{E}=0\\ \\text{on}\\ \\partial\\Omega,$$ 其中$\\tilde{\\epsilon}_r=\\epsilon_r S$，$\\tilde{\\mu}_r=\\mu_r S$，$S$为复拉伸张量。其弱形式是：求$\\mathbf{E}\\in H_0(\\mathrm{curl};\\Omega)$使得 $$(\\tilde{\\mu}_r^{-1}\\nabla\\times\\mathbf{E},\\nabla\\times\\mathbf{v})-k_0^2(\\tilde{\\epsilon}_r\\mathbf{E},\\mathbf{v})=(f,\\mathbf{v}),\\quad \\forall\\mathbf{v}\\in H_0(\\mathrm{curl};\\Omega).$$ 用最低阶Nédelec元离散得到$A_h U_h=F_h$，其中$A_h=C_h-k_0^2 M_h$，$C_h$和$M_h$分别为离散curl-curl和质量算子。由于负质量项和PML张量，$A_h$复对称且不定。\n最优混合求积是一种非标准两点规则，其混合参数$\\tau=1/2$，可消除标准Gauss积分下$O(h^2|\\xi|^4)$的色散误差，使色散阶变为四阶而不增加未知量。该设计对高波数问题至关重要，但同时也使离散算子不再满足Galerkin嵌套关系，粗网格算符必须重新离散，这给多水平方法带来了理论挑战。\n求解此类系统的传统多水平方法通常在粗网格上执行精确因子分解，导致内存和通信开销超线性增长，严重阻碍可扩展性。本文旨在填补这一空白：设计一个完全无矩阵、无因子分解的三重网格预条件子，其所有层只涉及算子作用、对角Jacobi数据和几何传递，从而充分利用现代GPU的大规模并行吞吐。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果分为算法设计、理论分析和数值验证三部分。\n算法上，定义了物理层次$A_h,A_{2h}$和辅助移位层次$B_{2h},B_{4h}$，其中$B_\\ell=C_\\ell-(1+i\\sigma)k_0^2 M_\\ell$（$\\ell=2h,4h$）。预条件子$M_h^{-1}$的每次应用为Algorithm 1：细网格预平滑（固定工作GMRES加阻尼Jacobi）、限制、中间网格校正（由内层FGMRES求解，右预条件子为复移位2h-4h V循环）、延长校正、细网格后平滑。该方法的关键是外层FGMRES作用于未移位方程，而移位只影响内层预条件子，因此物理算子保持不变。\n理论方面，命题4.1证明了在平移不变均匀介质中，混合离散的符号满足$\\hat{C}_h=h\\hat{C}^*Q_f\\hat{C}$，$\\hat{M}_h=h^3Q_e$；广义特征值问题$(\\hat{C}_h,\\hat{M}_h)$的特征值为$0$和$\\lambda_h(\\theta)$（二重），其中 $$\\lambda_h(\\theta)=h^{-2}\\sum_{j=1}^3\\frac{4\\sin^2(\\theta_j/2)}{q_j(\\theta_j)},\\quad q_j(\\theta_j)=(5+\\cos\\theta_j)/6.$$ 因而物理算子$\\hat{A}_h$的特征值为$-k_0^2$（梯度分支）与$\\lambda_h(\\theta)-k_0^2$（两个横向分支）。命题4.2证明几何传递在24维边调和空间上闭合，延长符号为 $$p_r^{\\alpha}(\\theta)=c_r^{1-\\alpha_r}s_r^{\\alpha_r}\\prod_{j\\ne r}c_j^{2(1-\\alpha_j)}s_j^{2\\alpha_j},\\quad c_j=\\cos(\\theta_j/2),\\ s_j=\\sin(\\theta_j/2),$$ 且限制符号满足$\\hat{R}_h=8\\hat{P}_h^*$，从而保证了多水平校正的兼容性。\n数值验证上，在64块NVIDIA A100-40G GPU上，对均匀介质、收敛透镜、周期和随机各向同性介质，采用同一求解器配置，求解了约$1.089\\times10^{10}$个复边未知数的问题，总求解时间42.0–72.0秒，矩阵无关设置时间小于0.8秒，峰值内存低于37.7 GiB/GPU。以作者所知，这是迄今报告的最大规模三维时谐Maxwell curl-conforming有限元模拟。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术障碍来自两方面：首先，标准多重网格在粗网格上需要精确因子分解，在极端规模下不可承受；其次，广泛使用的复移位技法（如shifted Laplacian）以修改物理算子的谱为代价换取迭代稳定性，这不适用于需要保真求解时谐Maxwell问题的场合。作者的创新是引入“物理-辅助”解耦框架：外层FGMRES始终针对未移位方程$A_h U_h=F_h$，而中间网格校正通过内层FGMRES实现，其右预条件子是复移位$2h$–$4h$循环。这样复移位被严格限制在辅助级别，不改变物理算子。\n在理论证明中，作者采用了局部Fourier分析（LFA），其关键步骤包括：\n选择合适的坐标变换（3.2），将边平均坐标下的基函数无量纲化，使得质量符号和curl符号具有显式张量积结构。这避免了复杂积分，直接组装得到命题4.1的符号公式。 通过矩阵分解证明特征值。将质量符号平方根代入，得$\\hat{M}_h^{-1/2}\\hat{C}_h\\hat{M}_h^{-1/2}=h^{-2}X^*X$，其中$X=Q_f^{1/2}\\hat{C}Q_e^{-1/2}$恰为叉积矩阵，从而立即得到梯度零空间和两个横向分支。 建立粗细网格传递的调和闭包。由于粗算子通过重新离散得到而非Galerkin乘积，无法使用代数关系，必须对几何插值进行精确傅里叶分析。作者在边平均坐标下分解一维插值的alias系数，导出延长符号（4.7），并利用平移交换性与Fourier基正交性严格证明限制符号为延长符号的伴随（在适当的归一化下）。 参数选择基于符号的抽样有限工作分析，确定移位$\\sigma$和Jacobi阻尼$\\omega_J$的鲁棒区间。由于具体数值未在本文前半部分给出，无法在此详述，但该分析确保了算法在不熟悉介质上的稳健性。 整个证明框架是：先由单层符号获得谱信息，再由调和闭包获得多水平校正的相容性，最后辅以参数分析保障收敛。该方法完全避免矩阵组装和分解，所有算子只以逐元素局部形式作用，非常适合GPU并行。\n4. 与之前工作的比较 本文与现有求解器相比，在多个维度上取得了推进。\n（1）与稀疏直接法和层次压缩法相比：稀疏直接法在三维问题中内存填充和因子分解运算量超线性增长，层次压缩虽压缩了存储，但未消除全局因子分解这一瓶颈。本文通过完全无矩阵和无因子分解的迭代框架，将内存占用控制在每GPU 37.7 GiB以下，支撑了10.89亿未知数，远超直接法的实际能力。\n（2）与区域分解和扫掠预条件子相比：扫掠预条件子沿方向顺序更新子域，其内在方向依赖性和子问题同步成本与GPU大规模并行架构不兼容。本文的多水平结构没有方向扫掠，只依赖全局粗网格通信，能够充分发挥A100 GPU的并行吞吐。\n（3）与既有并行几何多重网格工作（文献[5]，据称达到1.3 billion未知数）相比：本文不仅将规模提升至约10.89 billion（大了一个数量级），而且关键是在最粗网格上也放弃了精确因子分解，改用固定工作FGMRES迭代，真正做到了“无因子分解”。文献[5]仍需要在最粗层装配和分解算子，成为可扩展性瓶颈。\n（4）与常见的复移位预条件子（如用于Helmholtz方程的shifted Laplacian）相比：传统做法是用复移位算子替代原方程，这会改变解的谱，甚至引入非物理的耗散。本文通过外层FGMRES保留未移位物理方程，复移位只作为辅助循环中的预条件子出现，从而在理论上不损失解的物理保真性。这是概念上的本质区别。\n（5）理论分析方面：针对非Galerkin嵌套粗网格算子的情况，本文给出了边调和闭包和传递符号的严格推导。这比仅依赖Galerkin三重网格的早期分析更普适，为采用重新离散粗算子的多种实用情形提供了理论基础。\n需要指出的是，作者未显式展开与具体论文的定量比较，例如未报告与文献[5]在相同问题上的时间/内存对比。本文的代价可能包括：外层必须使用FGMRES而非普通GMRES或CG；固定工作迭代使预条件子非线性，收敛分析依赖数值实验；方法目前针对笛卡尔网格和PML，对非结构网格的推广尚不明确。此外，LFA中的参数鲁棒区间在本文中并未给出具体数值，这有待在完整论文中呈现。\n3. 时域Maxwell方程组对称分裂格式的尖锐CFL稳定性与时间色散优化 Sharp CFL stability and temporal-dispersion optimization of symmetric splitting schemes for time-domain Maxwell equations\n作者: Hui Duan, Hongliang Li, Lunzhong Guo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-23\narXiv ID: 2608.22315v1\n摘要翻译: 我们分析时域Maxwell方程组的一族显式回文电-磁分裂中的系数设计。在四阶交错空间离散后，Fourier放大矩阵依赖于单个标量 $g_2=a(1-2a)/2$。我们证明 $a=1/4$ 是最大化谱CFL区间的唯一实系数，其阈值为 $s_*=12/(7\\sqrt d)$。随后，我们识别出实系数在更高相位精度上的障碍：消除领先时间相位缺陷需要 $g_2=1/12$，而每个实成员都满足 $g_2\\le 1/16$。由此产生的复共轭系数对每个固定的半离散Fourier模式给出四阶时间相位精度，其阈值为 $6\\sqrt3/(7\\sqrt d)$，而完整的场更新在时间上仍保持全局二阶。对于实Maxwell数据，物理输出是复轨迹的实投影；该投影与分支无关，并保持二阶误差界。我们进一步给出一个完全等价的加倍实算术实现，它阐明了辅助虚部的作用，而不改变数值方法。半离散收敛结果和数值实验证实了稳定性优化与相位优化之间的区别。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.22315v1\n1. 研究对象和背景 本文研究时域Maxwell方程在无损、线性、各向同性介质中的传播问题。在能量尺度变换下，源-free Maxwell方程化为 $$ \\partial_t \\begin{pmatrix} h \\\\ e \\end{pmatrix} = \\nu \\begin{pmatrix} 0 \u0026 -\\nabla\\times \\\\ \\nabla\\times \u0026 0 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} h \\\\ e \\end{pmatrix} = A \\begin{pmatrix} h \\\\ e \\end{pmatrix}, $$ 其中 $h=\\sqrt{\\mu}H$, $e=\\sqrt{\\varepsilon}E$, $\\nu=(\\varepsilon\\mu)^{-1/2}$。在周期或PEC边界条件下，系统满足能量守恒律。算符 $A$ 分裂为 $A=C+D$，其中 $$ C=\\nu\\begin{pmatrix}0\u00260\\\\ \\nabla\\times\u00260\\end{pmatrix},\\quad D=\\nu\\begin{pmatrix}0\u0026-\\nabla\\times\\\\0\u00260\\end{pmatrix}, $$ 且 $C^2=D^2=0$，因此子流为显式 $\\mathrm{e}^{\\tau C}=I+\\tau C$, $\\mathrm{e}^{\\tau D}=I+\\tau D$。本文关注五子流回文分裂族 $$ \\Phi_{\\Delta t}(a)=\\mathrm{e}^{a\\Delta t C}\\mathrm{e}^{\\frac12\\Delta t D}\\mathrm{e}^{(1-2a)\\Delta t C}\\mathrm{e}^{\\frac12\\Delta t D}\\mathrm{e}^{a\\Delta t C},\\quad a\\in\\mathbb C, $$ 该族保持时间对称且至少二阶一致。空间离散采用四阶交错Yee格式，得到改进波数 $\\eta_\\xi$，并定义 $q=\\nu\\Delta t K_h$, $s=\\nu\\Delta t/\\Delta x$，其中 $K_h^2=\\Delta x^{-2}\\sum_{\\xi=1}^d \\eta_\\xi^2$，且 $0\\le q^2\\le \\frac{49d}{9}s^2$。在此设定下，Fourier放大矩阵退化为仅依赖标量 $g_2(a)=a(1-2a)/2$，稳定性条件为 $|A_a(q)|\\le1$。问题的重要性在于：长时间波传播同时受CFL时间步限制和数值色散影响，二者不一定能被同一时间积分器最优兼顾。本文旨在严格刻画该单参数族中稳定性优化与时间相位优化的关系，揭示实系数固有的障碍，并给出复数系数下的相位最优解及其物理解释。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果如下。\n(1) 公共放大矩阵。对每个固定的非零横向Fourier模式，能量尺度半离散Maxwell系统化为谐波振荡子，应用分裂(6)得到一步矩阵 $$ M_a(q)=\\begin{pmatrix}A_a(q)\u0026B_a(q)\\\\ C_a(q)\u0026A_a(q)\\end{pmatrix},\\quad \\det M_a(q)=1, $$ 其中 $$ A_a(q)=1-\\frac{q^2}{2}+\\frac{g_2(a)}{2}q^4,\\quad g_2(a)=\\frac{a(1-2a)}{2}, $$ $$ B_a(q)=-q+\\frac{1-2a}{4}q^3,\\quad C_a(q)=q+a(a-1)q^3+\\frac{a^2(1-2a)}{4}q^5. $$ 特征多项式为 $\\lambda^2-2A_a(q)\\lambda+1=0$。因此CFL与色散问题归结于判定 $|A_a(q)|\\le1$ 的区间。\n(2) 实系数CFL最优唯一性（定理3.2）。在实系数族内，唯一使包含 $q=0$ 的连续谱稳定区间最大的系数是 $a=1/4$，此时 $g_2=1/16$，且 $|A_{1/4}(q)|\\le1$ 当 $0\\le q^2\\le16$。结合四阶交错stencil的界限，对应的 $d$ 维CFL阈值为 $$ s_{\\rm stab}^{*}=\\frac{12}{7\\sqrt d}. $$ 实际稳健步长要求 $s","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-25_05-03-24/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月25日 05:03:24\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 8\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 39\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-为什么凯洛格网格是径向的一种隐藏的能量对称性\"\u003e1. 为什么凯洛格网格是径向的：一种隐藏的能量对称性\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eWhy the Kellogg Mesh Is Radial: A Hidden Energy Symmetry\u003c/p\u003e","title":"2026年08月25日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月24日 05:07:20\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 1\n不相关论文数量: 11\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 弹性梁网络中波传播的杂交化不连续伽辽金方法 A Hybridizable Discontinuous Galerkin Method for Wave Propagation in Elastic Beam Networks\n作者: Moritz Hauck, Joseph Holten, Axel Målqvist, Andreas Rupp, Lucia Swoboda\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-21\narXiv ID: 2608.21091v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.21091v1\n摘要翻译 中文标题: 弹性梁网络中波传播的杂交化不连续伽辽金方法\n摘要翻译: 本文研究了弹性波在网络中传播的数值解，该网络由每条边上的弹性动力学方程建模，并通过适当的传输条件在节点处耦合。我们提出并分析了一种杂交化不连续伽辽金方法，该方法利用网络结构将每个时间步的全局问题简化为一个线性系统，其大小仅取决于网络节点数，而与离散化的多项式次数无关。将其与能量守恒的隐式时间离散相结合，我们导出了空间和时间上的最优阶先验误差估计。隐式时间离散避免了由纤维段长度的大变化引起的严重CFL限制。为了有效求解所得通常病态的全局系统，我们引入了一种两级重叠加性Schwarz预处理器。在对网络的适当假设下，我们建立了所得预条件共轭梯度法的均匀收敛性。数值实验证实了理论发现。\n不相关论文（基本信息） 1. 现代Hopfield检索动力学的保盆离散化：能量单元、耗散与注意力极限 Basin-Preserving Discretizations of Modern Hopfield Retrieval Dynamics: Energy Cells, Dissipation, and the Attention Limit\n作者: Francisco R. Villatoro\n类别: math.NA, cs.NE\n发布日期: 2026-08-21\narXiv ID: 2608.21304v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.21304v1\n摘要: The retrieval dynamics of a modern Hopfield network is the gradient flow of a log-sum-exp energy, while the attention update is its exact difference-of-convex minimization step. We study which time discretizations preserve not only energy decay and equilibria but also basins of attraction. We introduce energy cells, connected components of sublevel sets containing one attractor and no other critical point. Our main theorem shows that every finite energy cell below the escape energy is contained simultaneously in the basin of the continuous flow, every relaxed attention map $Ψ_θ=(1-θ)\\,\\mathrm{id}+θ\\,\\mathrm{attention}$ for $0\u003cθ\u003c2$, and implicit Euler throughout its uniqueness regime. A parameter-uniform unit-curvature majorant yields unconditional dissipation and a monotone interpolation of each discrete step. We also derive explicit local contraction bounds near well-separated patterns, with a certified optimal slight overrelaxation; characterize proximal tunneling and overshoot beyond the preservation regimes; compare first-order error constants; establish an order barrier for scalar reparametrizations of the relaxed family; construct a second-order scalar-auxiliary-variable scheme; and extend cell preservation to damped difference-of-convex iterations in Bregman geometry, including a certified overrelaxed window under bounded asymmetry. Nine numerical campaigns test the bounds and failure mechanisms. In two-dimensional basin experiments, all observed disagreements between continuous and discrete retrieval occur above the attractor-specific numerically inferred escape level.\n2. 有限精度算术中Lanczos算法的简单稳定性分析 A simple stability analysis of the Lanczos algorithm in finite precision arithmetic\n作者: Tyler Chen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-21\narXiv ID: 2608.21268v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.21268v1\n摘要: We give a self-contained finite-precision analysis of the symmetric Lanczos algorithm without reorthogonalization. In particular, we derive the perturbed three-term recurrence, Paige\u0026rsquo;s loss-of-orthogonality identity, containment of all computed Ritz values, and localization of stabilized Ritz values. We then prove a Greenbaum-type backward stability result, exhibiting a nearby problem on which exact Lanczos produces the computed tridiagonal matrix. Our proofs simplify those of Paige and Greenbaum, at the cost of hiding polynomial factors in the iteration count.\n3. SO(3)上向量场与微分算子的调和框架 A Harmonic Framework for Vector Fields and Differential Operators on SO(3)\n作者: Ralf Hielscher, Erik Wünsche\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-21\narXiv ID: 2608.21235v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.21235v1\n摘要: We present a comprehensive framework for tangent vector fields and differential operators on the rotation group $\\mathrm{SO}(3)$ using harmonic series expansions, which provides a mathematical foundation for their implementation in the crystallographic texture analysis software MTEX. The central idea is to employ the standard left- and right-invariant frames as global orthonormal frames of the tangent bundle, thereby avoiding the numerical instabilities of the classical tangent space basis derived from the Jacobian of the Euler angle parametrization. While the choice of frames is primarily motivated by their geometric and numerical properties, their full potential emerges in the harmonic setting. Representing tangent vector fields through harmonic expansions of their frame components, we derive explicit frequency domain formulas for the gradient, divergence, and curl, allowing these operators to be applied directly to the harmonic coefficients. Moreover, we show that these differential operators preserve harmonic band-limitedness. In addition, the left- and right-invariant representations of tangent vector fields can be transformed into one another directly in the frequency domain, with an increase in harmonic bandwidth of at most one degree.\n4. 高等线性代数及其应用——第一部分（面向PDE、机器学习和数据同化的数值线性代数） Advanced Linear Algebra with Applications - Part I (Numerical linear algebra for PDEs, machine learning, and data assimilation)\n作者: Victorita Dolean, Jemima Tabeart\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-08-21\narXiv ID: 2608.21234v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.21234v1\n摘要: These lecture notes form the first part of a master\u0026rsquo;s-level course on advanced numerical linear algebra. Their aim is not only to present the classical algorithms, but to show why the subject has become considerably more central than it was a generation ago. Numerical linear algebra grew up alongside the numerical solution of partial differential equations, and for a long time that is where its large sparse systems came from. Ranking the nodes of a network, assimilating observations into a weather forecast, and fitting a model to a large noisy data set now lead to problems of the same kind: too large to factorise, structured, and accessible only through matrix-vector products. Strikingly few ideas are needed for all of them. Each chapter therefore develops a standard topic and then puts it to work outside its original setting. We treat norms, factorisations, conditioning and floating-point arithmetic; sparse matrices arising from finite differences, from graphs and from machine learning; stationary iterations and the smoothing property; the conjugate gradient and Lanczos methods, with spectral clustering and regularisation by early stopping; Arnoldi and GMRES, with PageRank and large least squares; and finally preconditioning, Schwarz domain decomposition and multigrid. We assume a first course in linear algebra. Every section closes with a summary of what should be retained and every chapter with exercises, several drawn from past examinations. Accompanying Python code reproduces the numerical illustrations.\n5. 锚定正则化直接最小二乘法 (ARDLS)：在层次分析法中集成既定优先级算子以进行偏好提取 Anchored Regularized Direct Least Squares (ARDLS): Integrating Established Prioritization Operators for Priority Elicitation in the Analytic Hierarchy Process\n作者: Kevin Kam Fung Yuen\n类别: math.OC, cs.AI, math.NA\n发布日期: 2026-08-21\narXiv ID: 2608.21187v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.21187v1\n摘要: Pairwise reciprocal matrices are fundamental to the Analytic Hierarchy Process (AHP), a decision-making model. While the Direct Least Squares (DLS) method provides an intuitive mechanism for deriving priority vectors without complex transformations, the DLS provides multiple solutions. Under high levels of inconsistency, such as cyclic contradictions, this non-convexity yields multiple distinct global minima, resulting in unstable priority rankings that critically depend on initial algorithmic guesses. To overcome this structural deficiency, this paper introduces the Anchored Regularized Direct Least Squares (ARDLS) optimization model. ARDLS integrates uniquely determined established prioritization operators, such as normalization techniques, the Eigenvector method, Singular Value Decomposition, Cosine Maximization, and the Pseudo-Inverse Gram Matrix (the closed-form solution of Weighted Least Squares), as theoretical anchors within a regularization penalty. This integration systematically breaks mathematical symmetries, tilting the optimization landscape to guarantee convergence upon a single, unique global minimum. Comprehensive numerical experiments and simulations validate that the ARDLS framework successfully reduces root mean square error among established priority operators, while guaranteeing strict mathematical uniqueness. The proposed ARDLS may be the ideal alternative for the AHP applied to many application domains.\n6. 李雅普诺夫算子对称极大元猜想的一个反例 A counterexample to the symmetric-maximizer conjecture for Lyapunov operators\n作者: Daniel Kressner, Bart Vandereycken\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-21\narXiv ID: 2608.20875v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.20875v1\n摘要: It has been conjectured that the operator norm of the Lyapunov operator induced by the Frobenius norm is always attained at a symmetric matrix. The conjecture is known to hold for all matrices of order at most five. We give an integer matrix of order seven for which the skew-symmetric restricted norm is strictly larger than the symmetric restricted norm. A rational separator and exact-arithmetic certificates establish the strict inequality without relying on floating-point computations. A direct-sum construction yields counterexamples in every order $n \\geq 7$; the case $n = 6$ remains open.\n7. 无网格方法中的点云质量 Point Cloud Quality for Meshfree Methods\n作者: Mohsen Abdolahzadeh, Oleg Davydov, Isabel Michel, Pratik Suchde\n类别: math.NA, cs.CE\n发布日期: 2026-08-21\narXiv ID: 2608.20872v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.20872v1\n摘要: Mesh quality is very well studied and widely used to quantify a good mesh. In contrast, a systematic study of quality of meshfree point clouds is lacking. This gap makes it difficult to substantiate the common claim that generating a good-quality point cloud is easier than generating a good mesh. Various definitions of point cloud quality have been proposed, some of which have theoretical significance for proving convergence and error bounds, while others are used in computational studies. In this work, we compare and contrast existing point cloud quality metrics and introduce a few new ones. We conduct extensive numerical tests with a meshfree collocation method across a wide range of scenarios, including both elliptic and hyperbolic equations, 2D and 3D domains, and variations in parameters of the numerical method. Based on these tests, we assess which quality metrics best correlate with numerical error. Our findings reveal six metrics that consistently serve as reliable indicators of point cloud quality, while also demonstrating that several widely used metrics are poor predictors of accuracy.\n8. 随机选主元Cholesky算法的一种新分析 A new analysis of the randomly pivoted Cholesky algorithm\n作者: Ethan N. W. Epperly\n类别: math.NA, cs.DS, stat.CO\n发布日期: 2026-08-21\narXiv ID: 2608.20633v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.20633v1\n摘要: The randomly pivoted Cholesky algorithm is one of the leading methods for computing a low-rank approximation to a large positive-semidefinite matrix. However, while it consistently achieves accuracy comparable to or better than competing methods of its type in experiments, its theoretical analysis lags somewhat behind other methods. This paper closes this gap, proving that randomly pivoted Cholesky produces an approximation with expected error within a $1+\\varepsilon$ factor of the optimal rank-$r$ approximation in $\\mathcal{O}(r/\\varepsilon + r\\sqrt{\\log r})$ steps. This result nearly matches the optimal complexity $Θ(r/\\varepsilon)$ for any low-rank approximation method based on a partial Cholesky decomposition (also known as a column Nyström approximation). The paper also presents bounds on the randomly pivoted Cholesky trace and spectral-norm errors that hold with high probability. The mathematical argument is largely due to GPT 5.6-Sol (Pro), with some refinements by the author.\n9. 对称不定矩阵的Nyström方法 Nyström method for symmetric indefinite matrices\n作者: Yijia Chen, Yuji Nakatsukasa, Anjali Narendran, Taejun Park\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-20\narXiv ID: 2608.20531v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.20531v1\n摘要: The Nyström method approximates $A\\approx A(\\,:\\,,I)A(I,I)^{\\dagger} A(\\,:\\,,I)^{\\top}=CA(I,I)^{\\dagger} C^{\\top}$, where $C:=A(:,I)\\in\\mathbb{R}^{n\\times r}$ is a column subset matrix of $A$. When applied to symmetric but indefinite matrices, the Nyström method can fail because the core matrix $A(I,I)$ may severely underestimate the eigenvalues of $A$ and may become (nearly) singular. We address this issue by developing and analyzing an algorithm that carefully chooses $\\widehat{M}\\in\\mathbb{R}^{r\\times r}$ in place of $A(I,I)^\\dagger$ by solving the two-sided sketched least-squares problem $\\min_{M}\\|X(A-CMC^{\\top})X^{\\top}\\|_F$, where $X\\in\\mathbb{R}^{t\\times n}$ is a random sketch matrix. We study in detail the cases where $X$ is a Gaussian or a leverage score sampling (LSS) matrix, and show that with oversampling $t\u003er$ the residual $\\|A-C\\widehat{M}C^{\\top}\\|_*$ is comparable to $\\min_{M}\\|A-CMC^{\\top}\\|_*$. For the Gaussian sketch, we require $t=\\mathcal{O}(r)$ samples; for LSS, we show that $t=\\mathcal{O}(r \\log r)$ samples suffice for the theoretical guarantee, with the LSS approach carrying the advantage that once a set of $t$ row indices is identified, the approximation requires only $t^{2}$ matrix-entry evaluations to find $\\widehat{M}$, given $C$. We illustrate our results with synthetic examples and applications to kernel methods.\n10. 加权上确界范数下 Fourier-Laguerre 级数的正则化求和 Regularized summation of Fourier-Laguerre series in the weighted sup-norm\n作者: S. G. Solodky, Y. A. Volynets\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-20\narXiv ID: 2608.20493v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.20493v1\n摘要: We consider the problem of recovering functions defined on the half-line from inexact input information. For the proposed regularizing summation methods based on Laguerre polynomials, we analyze their approximation properties on functions from Wiener classes. We establish conditions under which these methods are stable with respect to small perturbations of the input data and order-optimal not only in accuracy in the weighted $\\sup$-norm, but also in the number of Fourier-Laguerre coefficients used.\n11. 任意维数下 Neumann\u0026ndash;Poincaré 算子的最优等周不等式 A sharp isoperimetric inequality for the Neumann\u0026ndash;Poincaré operator in every dimension\n作者: Matthew J. Colbrook, Siavash Sadeghi\n类别: math.AP, math.NA, math.SP\n发布日期: 2026-08-20\narXiv ID: 2608.20466v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.20466v1\n摘要: Let $Ω\\subset\\mathbb{R}^d$, $d\\ge2$, be a bounded connected domain with boundary of class $C^{1,α}$, where $0\u003cα\u003c1$. For the adjoint Neumann\u0026ndash;Poincaré operator $K^*_{\\partialΩ}$, normalised so that its distinguished eigenvalue is $1/2$, let $λ_j^+(Ω)$ denote the upper min\u0026ndash;max values on the mean-zero energy space. We prove $\\sum_{j=1}^{d}λ_j^+(Ω)\\ge \\frac{d-2}{2}.$ It follows that $λ_1^+(Ω)\\ge \\frac{d-2}{2d},$ with equality if and only if $Ω$ is a ball. In dimension three this proves the $1/6$-conjecture of Miyanishi and Suzuki. The proof uses the coordinate boundary-charge densities induced by uniform applied fields. Their energy Gram matrix is the perfect-conductor polarization tensor $M_\\infty$. Positivity of a $2d\\times2d$ Gram matrix yields the endpoint Hashin\u0026ndash;Shtrikman inequality $|Ω|\\mathrm{Tr}(M_\\infty^{-1})\\le1,$ and bounds the trace of the compression of $K^*_{\\partialΩ}$ to the applied-field space. Equality in the inverse-trace inequality makes the interior Newtonian potential quadratic, so a converse to Newton\u0026rsquo;s theorem identifies $Ω$ as an ellipsoid. Equality in the spectral estimate also makes the Hessian of this potential isotropic, which forces the ellipsoid to be a ball.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-24_05-07-20/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月24日 05:07:20\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 11\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-弹性梁网络中波传播的杂交化不连续伽辽金方法\"\u003e1. 弹性梁网络中波传播的杂交化不连续伽辽金方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eA Hybridizable Discontinuous Galerkin Method for Wave Propagation in Elastic Beam Networks\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年08月24日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月21日 05:00:01\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 3\n不相关论文数量: 19\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 面向高Péclet入口输运的DeepONet代理模型的有理增强Chebyshev截断基 Rationally Enriched Chebyshev Trunk Bases for DeepONet Surrogates of High Péclet Entrance Transport\n作者: Mingeun Choi, Satish Kumar\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-20\narXiv ID: 2608.19658v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.19658v1\n摘要翻译 中文标题: 面向高Péclet入口输运的DeepONet代理模型的有理增强Chebyshev截断基\n摘要翻译: 本研究针对奇异摄动和高Péclet输运问题，提出了一种有理增强Chebyshev（REC）截断基，用于深度算子网络（DeepONet）代理模型，此类问题的解剖面以薄局部边界层或壁面层为特征。REC截断基将Chebyshev多项式字典元素与使用自适应Antoulas-Anderson（AAA）算法构造的有理字典元素相结合。在五次独立训练中，将所得的REC截断基DeepONet与普通DeepONet及仅由Chebyshev多项式组成的预定字典的Chebyshev截断基DeepONet，在三个奇异摄动参数（即扩散-对流比）不同的问题上进行了评估：一个奇异摄动标量边值问题（BVP）、一个具有给定壁面温度的热入口问题，以及一个具有吸收壁面的浓度入口问题。在保留的测试剖面上，REC截断基DeepONet在预测标量剖面方面优于普通DeepONet，并与Chebyshev截断基DeepONet相当；当摄动参数介于$1.00\\times10^{-4}$与$1.78\\times10^{-4}$之间时，其相对于Chebyshev截断基DeepONet的优势最为明显，此时剖面误差指标最多降低$19.5\\,\\%$。在预测壁面法向温度和浓度剖面时，REC截断基DeepONet相对于普通DeepONet和Chebyshev截断基DeepONet的剖面误差指标分别最多降低$60.2\\,\\%$和$32.2\\,\\%$，同时在Péclet数或传质Péclet数从$10^{2}$到$10^{4}$范围内抑制了人为的近壁振荡。\n2. 面向抛物型偏微分方程的Evo-GTransNet：具有求积质量正交化的固定特征Galerkin线方法 Evo-GTransNet for Parabolic PDEs: A Fixed-Feature Galerkin Method of Lines with Quadrature-Mass Orthonormalization\n作者: Lili Ju, Jin Zhao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-20\narXiv ID: 2608.19615v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.19615v1\n摘要翻译 中文标题: 面向抛物型偏微分方程的Evo-GTransNet：具有求积质量正交化的固定特征Galerkin线方法\n摘要翻译: 在本文中，我们为抛物型偏微分方程开发了一种进化式广义可迁移神经网络（Evo-GTransNet）求解器，其表述为保留空间固定特征Galerkin线方法。GTransNet提供指定的空间字典，而只有保留的输出系数随时间演化，从而避免时间积分过程中的非线性训练。为了解决严重的质量矩阵病态问题，我们应用加权求积截断奇异值分解（SVD）来选择数值上可分辨的试验空间，然后进行单独的重新缩放，使其基关于装配求积质量内积正交。秩截断修改了逼近空间，而随后的正交化仅改变其坐标表示，并在精确算术中保留离散函数。所得的半离散系数系统具有单位质量矩阵，我们为对称线性抛物问题建立了半离散能量律。对于时间离散采用隐式中点格式，我们进一步证明了方法的压缩性，并导出了一个条件完全离散误差估计，其中误差由保留空间逼近误差和一致性缺陷控制。数值实验使用重复特征样本以及单独的装配和验证求积，证明了二阶时间收敛，并量化了在严重原始质量病态情况下保留空间的准确性。对于本文考虑的高频和多尺度基准问题，GTransNet在相同的标称输出维度下，在测试的固定特征字典中实现了最小的平均验证误差。\n3. 移动流形上对流-扩散-反应问题的高阶无网格 Lagrangian-Eulerian RBF-FD 方法 A high-order, meshless, Lagrangian\u0026ndash;Eulerian RBF-FD method for advection\u0026ndash;diffusion\u0026ndash;reaction on moving manifolds\n作者: Matthew Lowery, Grady B. Wright, Varun Shankar\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-19\narXiv ID: 2608.19384v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.19384v1\n摘要翻译 中文标题: 移动流形上对流-扩散-反应问题的高阶无网格 Lagrangian-Eulerian RBF-FD 方法\n摘要翻译: 我们提出了一种用于余维数为1的移动流形 $\\mathcal M(t)\\subset\\mathbb R^3$ 上偏微分方程的高阶径向基函数生成有限差分（RBF-FD）方法。我们的方法基于曲面 RBF-FD 的切平面公式，并结合了 Lagrangian 和 Eulerian 处理方式：流形和物质导数以 Lagrangian 方式演化，而其余曲面微分算子则在瞬时点云上重构，并在必要时通过准解析超黏性公式进行稳定。Lagrangian 标记漂移通过使用移动曲面的紧凑全局参数模型进行自适应重排来处理，该模型还提供精确的法向和基于几何的求积。重排后，我们通过向后半 Lagrangian 追踪和插值重构多步历史，然后恢复 Lagrangian 时间离散化。我们通过三种更新策略利用时间相干性：局部 RBF-FD 权重的缺陷校正、光谱重算之间基于曲率的超黏性系数更新，以及在预条件广义最小残差（GMRES）迭代之前重用不完全 LU（ILU）分解的全局缺陷校正迭代。最后，我们通过基于演化曲面求积的标量投影来强制满足给定的全局质量平衡。数值实验证明了高阶收敛性、无源问题中的舍入级守恒性、稳定的长时间积分，以及所提出的更新策略带来的显著节省。\n不相关论文（基本信息） 1. 带奇异噪声的表面生长模型的数值研究 Numerical Study of a Surface Growth Model with Singular Noise\n作者: Dirk Blömker, David Buchberger, Johannes Rimmele\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-20\narXiv ID: 2608.20159v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.20159v1\n摘要: We study a stochastic model for epitaxial thin-film growth driven by spatially rough additive noise in a regime where the noise is singular and regularization via truncation in Fourier space is used to give a meaning to the solution, leading to a vanishing nonlinearity in the limit. In order to study this phenomenon numerically, the nonlinearity is discretized by a spectral Galerkin projection, while time integration is performed with an exponential Euler scheme. For roughness stronger than space-time white noise, we derive strong error estimates in $L^p(Ω;C([0,T];\\mathcal H^1))$ that display explicitly the interaction between the spatial cut-off, the time step, and the decay of the nonlinear current. We also quantify the growth of the truncated stochastic convolution and the corresponding vanishing rate of the nonlinearity. Numerical experiments illustrate the transition from persistent hill formation to noise-dominated dynamics as the roughness parameter increases.\n2. 非定常可压缩粘性流的隐式BDF2双时间步进保正熵稳定格式 Implicit BDF2 dual time-stepping positivity-preserving entropy-stable schemes for unsteady compressible viscous flows\n作者: Mohammed Sayyari, Nail K. Yamaleev\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-20\narXiv ID: 2608.20103v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.20103v1\n摘要: This paper presents a rigorous extension of the explicit, high-order, positivity-preserving, and entropy-stable spectral collocation schemes developed in Upperman 2023 and Yamaleev 2023 for the 3D compressible Navier-Stokes equations to a time-implicit formulation. The time derivative terms are discretized by using the second-order implicit backward difference formula (BDF2) that is well suited for solving time-variable viscous flows at high Reynolds numbers. The nonlinear system of discrete equations resulting from the BDF2 discretization at each physical timestep is solved using a dual time-stepping (DTS) technique. The BDF2 DTS scheme is entropy-stable and positivity-preserving in the pseudotime and provides unconditional stability properties in the physical time. Numerical results demonstrate the efficiency and accuracy of the positivity-preserving BDF2 DTS scheme as compared with its explicit counterpart are presented for supersonic flows with strong shock waves and contact discontinuities.\n3. 球面积分方程 Sloan 迭代的超收敛与混叠饱和 Superconvergence and aliasing saturation in Sloan iteration for spherical integral equations\n作者: Hao-Ning Wu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-20\narXiv ID: 2608.20098v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.20098v1\n摘要: Sloan iteration raises the convergence order of Galerkin and degenerate-kernel approximations to second-kind integral equations. After quadrature discretization, these become a discrete Galerkin method and a product-integration Nyström method, respectively. How much of this improvement survives quadrature discretization? For zonal integral equations on the sphere, we give a sharp answer by expressing the Sloan error identity in terms of spherical harmonics. In the absence of quadrature, Sloan iteration fully exploits the smoothing of the integral operator. Quadrature can destroy this gain by aliasing unresolved information into low-frequency modes, where further iteration no longer improves the asymptotic rate. This yields a unified tail\u0026ndash;aliasing description of these four methods. For positive-weight polynomially exact quadrature and multipliers of exact algebraic order, we derive sharp two-sided worst-case bounds that separate the spectral-tail and aliasing contributions. Their balance yields a depth-dependent recovery\u0026ndash;saturation threshold: sufficient overintegration recovers the quadrature-free rate, while below the threshold aliasing determines the sharp order. We also extend the analysis beyond polynomial exactness using Marcinkiewicz\u0026ndash;Zygmund stability and Gram-corrected least squares. Numerical experiments illustrate both regimes.\n4. 波动方程逆背散射问题的区域导数与形状重构 Domain derivative and shape reconstruction for an inverse backscattering problem for the wave equation\n作者: Roland Griesmaier, Marvin Knöller, Eliane Kummer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-20\narXiv ID: 2608.20078v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.20078v1\n摘要: We consider an inverse backscattering problem for time-dependent acoustic waves with a compactly supported penetrable scattering obstacle in unbounded three-dimensional free space. Assuming that dynamic backscattering far field data of scattered waves corresponding to a few time-dependent incident plane waves are available, the goal is to reconstruct the shape of the scattering obstacle. We establish Fréchet differentiability of the time-dependent far field pattern with respect to the shape of the scattering obstacle and give a characterization of the associated temporal domain derivative in terms of its Laplace transform. This characterization is then utilized in an efficient implementation of a regularized Gauß-Newton method for the inverse backscattering problem using convolution quadrature and a boundary element method. Numerical examples demonstrate potentials and limitations of the algorithm.\n5. 由紧黎曼流形上的嵌套Marcinkiewicz\u0026ndash;Zygmund测度构造的近似紧框架小波系统 Nearly tight framelet systems from nested Marcinkiewicz\u0026ndash;Zygmund measures on compact Riemannian manifolds\n作者: Hao-Ning Wu, Xiaosheng Zhuang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-20\narXiv ID: 2608.20058v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.20058v1\n摘要: Tight framelet systems on manifolds provide exact energy preservation and one-pass reconstruction, but their standard semi-discretization relies on polynomial-exact quadrature rules, which are difficult to reconcile with scattered and progressively refined data. We develop nested Marcinkiewicz\u0026ndash;Zygmund (MZ) measures on compact Riemannian manifolds as a quantitative alternative. Using dyadic quasi-uniform nested point sets and local partition weights, we establish a sequence of deterministic MZ inequalities for diffusion polynomial spaces. The result has two complementary forms: a fixed-tolerance version, in which the polynomial bandwidth grows dyadically with the level, and a fixed-bandwidth refinement version, in which the MZ tolerance improves as more nested nodes are added. When these measures are used to discretize continuous tight framelets, the MZ tolerance transfers directly to the deviation of the frame bounds from one. Thus quadrature exactness is relaxed with a controlled loss of tightness, and near-tightness improves along the same nested hierarchy. For the fully discrete setting, we develop filter-bank analysis and synthesis procedures, characterize one-pass and canonical reconstruction, and show that the MZ tolerance also controls the conditioning of the frame-operator equation. Fast implementation of filter-bank transforms is also presented. Numerical experiments on the sphere and the flat torus illustrate the resulting multiscale decompositions and reconstruction behavior.\n6. 面向任意形状先进变刚度板的综合 p-VEM 框架 A Comprehensive p-VEM Framework for Advanced Variable Stiffness Plates with Arbitrary Shapes\n作者: Paola Pia Foligno, Daniele Boffi, Fabio Credali, Riccardo Vescovini\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-20\narXiv ID: 2608.20034v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.20034v1\n摘要: This paper presents a comprehensive, high-order (p-version) Virtual Element Method (VEM) framework for the structural analysis of innovative variable stiffness plates. VEM is particularly suited for complex configurations due to its ability to handle arbitrary polygonal meshes, including curved edges. However, its mathematical formulation may hinder its spread in the engineering community. This work illustrates a formulation with an accessible implementation using well-known FEM notation and integrating at the same time a set of new advanced capabilities. Specifically, both standard stabilized and advanced self-stabilized strategies are adopted. To further improve the robustness of VEM in the presence of variable coefficients, polynomial projections taking into account the coefficients are employed. This approach is referred to as Variable Coefficients-VEM approach (VC-VEM). This unified framework is applied to linear static, free-vibration, and buckling analyses, and validated against analytical solutions and numerical benchmarks. In particular, plates with cutouts and problems featuring high-gradient solutions are investigated, demonstrating that the proposed comprehensive approach provides a flexible and ready-to-implement tool for advanced structural design.\n7. 应用谱方法建模线性滤波器：贝塞尔、帕普利斯和勒让德滤波器 Applying the Spectral Method for Modeling Linear Filters: Bessel, Papoulis, and Legendre Filters\n作者: Konstantin A. Rybakov\n类别: eess.SP, eess.SY, math.NA\n发布日期: 2026-08-20\narXiv ID: 2608.19840v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.19840v1\n摘要: This paper proposes a new technique for computer simulation of linear filters. It allows simulating continuous-time linear filters based on the spectral method for analyzing linear control systems. Applying the spectral method implies that the input and output signals are represented by ordered sets of expansion coefficients in a chosen basis, and the filter itself is specified by a two-dimensional nonstationary transfer function. The described technique is tested on Bessel, Papoulis, and Legendre filters of various orders. For each filter, the corresponding two-dimensional nonstationary transfer function, i.e., the matrix of the linear transformation relating expansion coefficients of the input and output signals, is obtained.\n8. T网格上最高阶光滑样条空间的最优维数界 Sharp Dimension Bounds for Spline Spaces over T-meshes with Highest Order of Smoothness\n作者: Bingru Huang, Falai Chen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-20\narXiv ID: 2608.19839v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.19839v1\n摘要: The dimension of a polynomial spline space of bi-degree $(d_1,d_2)$ over a T-mesh $\\mathscr{T}$ with the highest order of smoothness $(d_1-1,d_2-1)$ depends on both mesh topology and geometric configurations. Under the assumption that the T-connected components of the T-mesh $\\mathscr{T}$ contain no vanishable T $l$-edges, we develop explicit upper and lower bounds of the dimension of the polynomial spline space. By introducing a decoupling technique within the completely non-diagonalizable component (CNDC) of the T-mesh $\\mathscr{T}$, we separate tightly coupled multi-vertex constraints and transform global conformality conditions into localized linear equations along each interior large edge. Based on the decoupling technique, a new dimension formula of the polynomial spline space is then presented, and from which sharp upper and lower bounds of the dimension are obtained. The bounds are sharp in the sense that different geometric realizations of T-meshes with the same topology can attain the lower and upper bounds for the dimension of the polynomial spline space. We further prove that the new formula is consistent with Mourrain\u0026rsquo;s homological dimension formula, and a sharper lower bound is obtained by our method.\n9. 确定性及随机浅层Sigmoid网络的Sobolev最优逼近 Optimal Sobolev Approximation by Deterministic and Random Shallow Sigmoidal Networks\n作者: Zhaohui Fu, Yangshuai Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-20\narXiv ID: 2608.19797v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.19797v1\n摘要: Shallow networks with prescribed or randomly sampled hidden parameters are widely used as numerical trial spaces, yet their optimal Sobolev approximation power with standard smooth sigmoidal activations in general dimension remains unresolved. We establish the corresponding optimal rates for a class of smooth sigmoidal activations with Schwartz-class derivative decay, including $\\tanh$, the logistic sigmoid, and the error function $erf$. We first construct deterministic direction\u0026ndash;offset dictionaries with $M$ features such that every $u\\in H^k(Ω)$ can be approximated with error of order $M^{-(k-m)/d}$ in $H^m(Ω)$ for all $0\\le m\\le k$. This rate is optimal in the sense of Kolmogorov widths for Sobolev balls. We further prove that dictionaries obtained by independent parameter sampling from any prescribed density bounded away from zero attain the same approximation exponent with high probability, up to logarithmic oversampling. The analysis develops a sigmoidal ridge representation and combines it with deterministic or probabilistic quadrature in direction\u0026ndash;offset space while retaining polynomial control of the output coefficients. Numerical experiments across a broad range of dimensions, target regularities, and Sobolev error norms recover the predicted algebraic rates for both deterministic and random feature dictionaries.\n10. 学习分段光滑动力系统 Learning piecewise-smooth dynamical systems\n作者: Davide Murari, Erik Jansson, Chris Budd OBE, Carola-Bibiane Schönlieb\n类别: math.DS, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-20\narXiv ID: 2608.19785v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.19785v1\n摘要: Discovering dynamical systems from trajectory data is a central problem in applied mathematics and engineering. Whilst recent advances in machine learning have led to strong progress in data-driven system identification, much less attention has been given to systems with discontinuous dynamics. These systems are nevertheless highly relevant in applications, including climate dynamics and mechanical systems with friction. In this work, we consider the problem of identifying piecewise-smooth dynamical systems directly from trajectory data. Compared with the smooth setting, this requires recovering the governing equations and detecting the switching hyperplanes that separate different dynamical regimes and characterising their behaviour, such as sliding motion. We present a modular framework for discovering such systems by first estimating switching hyperplanes from data and then learning smooth dynamics within each region using geometry-constrained neural networks. The geometry-learning phase is studied from a statistical perspective, analysing the identifiability of the discontinuities and the robustness of the procedure. We also introduce a novel neural network architecture with a prescribed discontinuity set, and provide a theoretical analysis of its approximation properties. The approach is tested on low-dimensional benchmark problems, including dry-friction oscillators and the PP04 climate model for the ice ages.\n11. 用于加速稀疏网格粒子网格方法中粒子-网格耦合的精确分层算法 Exact hierarchical algorithms for accelerating particle\u0026ndash;mesh coupling in sparse-grid particle-in-cell methods\n作者: Clément Guillet\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-20\narXiv ID: 2608.19702v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.19702v1\n摘要: In this paper, we propose two hierarchical algorithms for charge deposition and electric-field interpolation that apply to both the sparse-grid combination technique (SGCT-PIC) and hierarchical sparse-grid (HSG-PIC) particle-in-cell methods. The two algorithms are inspired by the fast multipole method (FMM) and exploit clusters of particles associated with a directed acyclic graph (DAG) of particle-populated boxes to reduce the number of particle\u0026ndash;mesh interactions. The particle\u0026ndash;mesh interactions are governed by piecewise-polynomial kernels, so that the associated multipole expansions are exact, requiring neither truncation nor approximation, and are valid in both near- and far-field regions, thereby eliminating the need for multipole-to-local translations. The arithmetic complexity of the charge deposition and field interpolation steps is reduced from $Ø(p^d n^{d-1}N)$ to $Ø(p^d(N+M))$, where $M=2^{dn}$ denotes the number of full-grid mesh nodes and is typically no larger than the particle population in the considered regime, $M\\lesssim N$. Numerical experiments in two-dimensional configurations demonstrate charge-deposition speedups of $8.2\\times$\u0026ndash;$66.9\\times$ for SGCT-PIC and $3.1\\times$\u0026ndash;$18.8\\times$ for HSG-PIC, and field-interpolation speedups of $4.1\\times$\u0026ndash;$62.6\\times$ and $4.2\\times$\u0026ndash;$13.7\\times$, respectively, depending on the particle-per-cell ratio, while preserving the exact particle\u0026ndash;mesh interactions. The speedups increase with the particle-per-cell ratio, reflecting the reduced dependence of the hierarchical algorithms on the number of particles and their increasing advantage for large particle populations.\n12. 学习确定性及随机受迫哈密顿系统 Learning Deterministic and Stochastic Forced Hamiltonian Systems\n作者: Benedikt Brantner, Tomasz Tyranowski\n类别: math.NA, cs.LG, math.SG\n发布日期: 2026-08-20\narXiv ID: 2608.19688v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.19688v1\n摘要: We develop a geometric framework for learning deterministic and stochastic forced Hamiltonian systems with neural networks. Motivated by the Lagrange-d\u0026rsquo;Alembert principle and the theory of variational integrators, we introduce the notion of a Lagrange-d\u0026rsquo;Alembert map and establish a $C^r$ convergence theorem for first-order one-step methods. Building on these results, we propose Generalized Forced Hamiltonian Neural Networks (GFHNNs), a class of structure-preserving neural networks obtained by concatenating Lagrange-d\u0026rsquo;Alembert-Euler maps, and prove a universal approximation theorem for this architecture. We further extend the framework to parameter-dependent systems, leading to Parametric Generalized Forced Hamiltonian Neural Networks (PGFHNNs). By interpreting the multiple Stratonovich integrals appearing in the Stratonovich-Taylor expansion as parameters, the same framework can be applied to stochastic forced Hamiltonian systems whenever information about the underlying Wiener process is available. Our numerical experiments demonstrate that the proposed geometric architectures provide significantly improved long-time stability and accuracy compared to non-geometric residual neural networks, while requiring substantially less training data to achieve a comparable level of performance.\n13. 面向混合离子Vlasov-Fokker-Planck与流体电子系统的自适应守恒低秩IMEX求解器 An adaptive and conservative low-rank IMEX solver for the hybrid ion Vlasov-Fokker-Planck and fluid electron system\n作者: Joseph Nakao, Dylan T. Jacobs, William Taitano\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-20\narXiv ID: 2608.19603v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.19603v1\n摘要: We present a macroscopically conservative, rank-adaptive method for solving a hybrid Vlasov-Fokker-Planck (VFP) equation in which the ions are treated kinetically, and the electrons are treated as a fluid. Solving this system poses several coupled computational challenges: the curse of dimensionality, conservation of macroscopic quantities, stiffness arising from the multiscale nature of the model, and structure preservation. To address these challenges, we combine several established methods, each targeting a specific difficulty, into a unified framework for solving this nonlinear system. Specifically, we employ the recent Reduced Augmentation Implicit Low-rank (RAIL) method for rank adaptivity in velocity space to combat the curse of dimensionality, high-order implicit-explicit time stepping to handle the multiscale stiffness, and the Local Macroscopic Conservative (LoMaC) procedure for conservative truncation of the solution. The RAIL and LoMaC methods are extended from Cartesian to cylindrical coordinates. The resulting framework accommodates implicit rank-adaptive time integration while remaining conservative and leveraging structure-preserving discretizations. We verify the scheme on a suite of test problems and simulate a standing shock to demonstrate the importance of conserving the macroscopic quantities.\n14. 正规Procrustes问题：一种黎曼优化方法 The Normal Procrustes Problem: A Riemannian Optimization Approach\n作者: Kyle Bierly\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-08-20\narXiv ID: 2608.19513v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.19513v1\n摘要: For given $m \\times n$ data matrices $X, Y$, we investigate the Normal Procrustes Problem\u0026mdash;the least squares optimization problem that aims to minimize $\\|AX-Y\\|_F^2$, where $A$ is constrained to be a normal $m \\times m$ matrix. As far as the author of this article is aware, no other method that attempts to solve the Normal Procrustes Problem exists in the literature; we thus propose what is, to our knowledge, the first such method. We, furthermore, adapt our approach to address the Real Normal Procrustes Problem, where $A$ must be real. In our treatment of these problems, we first reduce our complex and real objective functions to be purely optimizable over the Riemannian manifolds of the unitary and real orthogonal matrices, respectively. This reduction enables us to apply techniques in Riemannian manifold optimization to approximate solutions to both. The Closest Normal Matrix and Real Closest Normal Matrix Problems are both special cases of their respective Procrustes Problems and have been previously studied in the literature. Our approach thus recovers a novel Riemannian optimization method for approximating solutions to both these problems. We further numerically test the performance of our method across all such problems (including against previously developed algorithms on the Closest Normal Matrix Problems) and obtain competitive residuals and favorable scaling in wall-clock time.\n15. 超越线性子空间：非线性矩匹配与二次流形的交汇 Beyond linear subspaces: Nonlinear moment matching meets quadratic manifolds\n作者: Reetish Padhi, Serkan Gugercin\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-08-19\narXiv ID: 2608.19486v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.19486v1\n摘要: Quadratic manifold-based model order reduction offers a viable pathway to circumvent the limitations of linear subspaces for linear control systems characterized by slow Kolmogorov $n$-width decay. However, a system-theoretic framework for constructing such quadratic approximations remains absent from the literature. This paper presents a system-agnostic, optimization-free framework for the direct construction of quadratic projection matrices. We prove that the synthesized reduced-order model matches the nonlinear moments of the full-order system and preserves its exact center manifold mapping, thereby ensuring asymptotic tracking of steady-state outputs under specific input classes. Numerical results on transport-dominated benchmark problems, namely, the one-dimensional damped wave and advection equations, show that the proposed framework achieves high-fidelity trajectory reconstruction within a significantly reduced-dimensional state space, yielding substantial online computational savings.\n16. 弱相互作用费米子动力学的有效经典模拟 Efficient Classical Simulation of Weakly Interacting Fermion Dynamics\n作者: Chu Zhao, Iman Marvian, Yu Tong\n类别: quant-ph, math-ph, math.NA\n发布日期: 2026-08-19\narXiv ID: 2608.19448v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.19448v1\n摘要: We consider the task of simulating the real-time dynamics of weakly interacting fermionic systems. In particular, we focus on computing the expectation value of a local observable $A$ at time $t$. By analyzing the convergence of the perturbative expansion in the interaction strength $λ$ for the Heisenberg-picture observable, we propose a polynomial-time algorithm for estimating this expectation value in the weakly interacting regime $λ|t|^{2D+1}=\\mathcal{O}(1)$, when the Hamiltonian is geometrically local on a $D$-dimensional lattice. Importantly, this condition is independent of the system size. If the goal is instead to approximate the time-evolved observable in normalized Frobenius norm, we extend the convergence regime to $λ|t|=\\mathcal{O}(1)$ with quasi-polynomial runtime. When the non-interacting part exhibits Anderson localization, our polynomial-time algorithm can be extended up to $λ|t|=\\mathcal{O}(1)$, modulo polylogarithmic factors. Our algorithm brings together ideas from continuous-time QMC, diagrammatic QMC, and Majorana Propagation, but with a new Heisenberg-picture operator-growth analysis that makes the sampling complexity rigorously controllable. This leads to provably efficient classical algorithms in regimes where the interaction is weak enough that the sampling variance remains bounded independently of system size. Together, these results identify broad regimes in which weak interactions, locality, and localization can be leveraged to make real-time fermionic dynamics classically tractable.\n17. 无序交通的二阶连续模型 Second-Order Continuum Model for Disordered Traffic\n作者: Shashank Rajput, Venkatesan Kanagaraj, Martin Treiber, Gowri Asaithambi, Ostap Okhrin\n类别: physics.soc-ph, math.NA\n发布日期: 2026-08-19\narXiv ID: 2608.19440v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.19440v1\n摘要: In this study, a two-dimensional second-order macroscopic traffic flow model is proposed to capture the complex dynamics of disordered traffic by explicitly incorporating coupled longitudinal and lateral interactions. The framework extends the classical continuity equation to two spatial dimensions and introduces acceleration equations consisting of self-driven, interaction-induced, and road-boundary-related components. The macroscopic longitudinal acceleration is formulated based on the Full Velocity Difference Model (FVDM), while lateral dynamics are governed by interaction principles consistent with the Optimal Velocity Model (OVM). The explicit inclusion of road-boundary effects enables the representation of vehicle confinement and space-sharing behavior that are essential in lane-free and weakly lane-disciplined traffic systems. The model is examined through a series of numerical experiments in which longitudinal and lateral dynamics are analysed individually as well as simultaneously within a coupled two-dimensional setting under a range of initial conditions, including transitions between free-flow, medium congestion, and heavy congestion, and different lateral density configurations. The simulations demonstrate the model\u0026rsquo;s ability to reproduce key traffic features such as shockwave propagation, lateral dispersion, vehicle rearrangement, and stable density evolution across the road width. The numerical scheme, based on upwind and Lax-Friedrichs discretisations, ensures stable solutions of the coupled partial differential equations. Overall, the proposed framework provides a robust macroscopic description of disordered traffic and offers a consistent basis for analysing two-dimensional vehicular flow dynamics.\n18. 二维共轭传热的隐式-伴随有限体积拓扑优化 Implicit-adjoint finite-volume topology optimization of two-dimensional conjugate heat transfer\n作者: Sam Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-19\narXiv ID: 2608.19426v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.19426v1\n摘要: Designing compact, high-efficiency thermal architectures requires resolving the competing demands of solid conduction, fluid convection, and flow resistance within highly constrained physical envelopes. Density-based topology optimization provides a systematic framework for synthesizing these coupled layouts, yet the reproducibility and numerical stability of the resulting designs depend critically on the underlying discrete solvers and adjoint sensitivity mechanics. In this work, we present a transparent, self-contained two-dimensional finite-volume formulation on a staggered Marker-and-Cell grid for conjugate heat transfer governed by design-dependent energy transport coupled to Stokes\u0026ndash;Brinkman or Darcy flow at fixed solid volume. To prevent spurious artificial thermal sources in porous, weakly compressible Brinkman domains, the discrete advection operator is constructed to satisfy the identity $\\mathbf{u}\\cdot\\nabla T=\\nabla\\cdot(\\mathbf{u}T)-T(\\nabla\\cdot\\mathbf{u})$ cellwise, ensuring that uniform temperature fields remain exact discrete nullspaces even under inexact continuity satisfaction. Reverse-mode derivatives are evaluated via the implicit function theorem rather than unrolled iterative loops, yielding exact discrete adjoints with bounded memory requirements. The discrete operators are systematically validated through the method of manufactured solutions and directional Taylor remainder tests. Four representative thermofluid design benchmarks are optimized using a projected-gradient scheme with $β$-continuation, wherein candidate iterates are accepted and published only upon satisfying rigorous, predeclared gates on residual convergence, mass conservation, volume feasibility, and numerical finiteness. The resulting formulation provides an inspectable, deterministic reference stack for verifiable conjugate thermofluidic topology optimization.\n19. 利用层次Tucker分解求解高维扩散方程的高阶秩自适应隐式算法 A High-Order Rank-Adaptive Implicit Algorithm for Solving High Dimensional Diffusion Equations using the Hierarchical Tucker Decomposition\n作者: Paolo Bosques-Paulet\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-19\narXiv ID: 2608.19368v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.19368v1\n摘要: This paper presents a high-order rank-adaptive implicit integrator for the tensor solution of high-dimensional diffusion equations. We extend the 3D version of this method from the Tucker decomposition to higher dimensions using the hierarchical Tucker (HT) decomposition, since the storage complexity for the Tucker decomposition increases exponentially with the number of dimensions $d\u003e3$. The HT format avoids this issue by decomposing the solution according to a binary tree consisting of bases for each dimension and core tensors which connect the bases. Spectral methods are considered for spatial discretization, and diagonally implicit Runge-Kutta methods are considered for time discretization. At each stage of the Runge-Kutta method, the bases computed at the previous stages are augmented to predict the upcoming basis and construct projection subspaces. By projecting onto these enriched subspaces, the bases and cores can be updated in a sequential manner going up the tree from leaf-to-root. Unlike the 3D Tucker method which has a single core tensor, the HT method also updates the intermediate core tensors. Numerical experiments demonstrate that the method observes high-order accuracy, and test how well the integrator captures the solution rank for various sets of time-dependent diffusion coefficients.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-21_05-00-01/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月21日 05:00:01\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 19\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-面向高péclet入口输运的deeponet代理模型的有理增强chebyshev截断基\"\u003e1. 面向高Péclet入口输运的DeepONet代理模型的有理增强Chebyshev截断基\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eRationally Enriched Chebyshev Trunk Bases for DeepONet Surrogates of High Péclet Entrance Transport\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年08月21日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月20日 05:00:08\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 2\n不相关论文数量: 14\n重点关注论文（完整分析） 1. 亥姆霍兹方程的方向自适应平面波间断伽辽金方法 Direction-Adaptive Plane-Wave Discontinuous Galerkin Methods for the Helmholtz Equation\n作者: Shelvean Kapita\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.18380v1\n摘要翻译: 我们考虑具有自适应局部传播方向的亥姆霍兹方程的平面波间断伽辽金（PWDG）近似。通过最小化网格骨架上的加权残差来选择方向。我们研究两种形式：在部分A中，在固定方向下求解PWDG系统的系数；而在部分B中，相同的残差在系数和方向上联合最小化，其中系数通过变量投影消去。复角度统一了传播和倏逝的Trefftz波。离散系统在Trefftz-DG范数下归一化，并使用局部Cauchy-迹Gram矩阵来移除数值相关的方向。在直边上，残差积分是精确的。对于全Dirichlet问题，残差等于DG误差的平方，并提供局部自适应指示子。我们证明了在固定秩的可识别零残差解附近，约化方向泛函具有局部二次增长。在数值上，一个精确的圆形DtN测试表明，即使小的平面波扇产生较大的场误差，Hankel波的主相位方向也可以被精确恢复。我们还分离了系数基、迹截断和迹谱算术对高$p$ DtN底限的影响。最后，对于平面波的有限和，基于残差的ENRICH\u0026ndash;MOVE延拓在$M=1,\\ldots,19$时恢复所有方向至舍入误差。在$M=20$时，自动出生步骤进入一个错误的盆地，而附近的出生再次达到舍入误差。结果表明，方向自适应对于低方向复杂性的解最为有效。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.18380v1\n1. 研究对象和背景 本文研究对象为截断声波散射问题中的 Helmholtz 方程。设 $\\Omega\\subset\\mathbb R^2$ 为有界 Lipschitz 区域，边界 $\\partial\\Omega=\\Gamma_D\\dot{\\cup}\\Gamma_R$，其中 $\\Gamma_D$ 为 Dirichlet 边界，$\\Gamma_R$ 为人工外边界。问题为 $$\\Delta u+\\kappa^2u=0\\ \\text{in }\\Omega,\\quad u=g\\ \\text{on }\\Gamma_D,\\quad \\partial_nu+\\mathrm i\\kappa u=0\\ \\text{on }\\Gamma_R,$$ 其中 $\\kappa\u003e0$ 为波数，时间因子取 $\\mathrm e^{+\\mathrm i\\omega t}$。对大的 $\\kappa$，数值求解非常昂贵；平面波间断 Galerkin (PWDG) 方法使用满足方程本身的 Trefftz 基函数，只需在网格骨架 (mesh skeleton) 上离散，见 Cessenat\u0026ndash;Després 的超弱变分格式 [1] 及其后续分析 [4\u0026ndash;6]。传统 PWDG 在构造离散空间时事先固定每个单元上的平面波个数与传播方向，常用等间距方向；当解只由少数几个传播方向主导时，这种均匀方向基是浪费的；而且随着局部维数增加，平面波迹函数趋于线性相关，代数问题严重病态 [11]。本文试图填补的空白是：将传播方向本身作为优化变量，由同一个网格骨架上的加权残量自动确定方向，而不是事先固定；同时处理方向优化带来的病态性、数值秩亏损和强非线性/非凸性。文中用复角度参数化同时涵盖传播波 ($\\eta=0$) 与倏逝波 ($\\eta\\neq0$)，从而无需单独添加倏逝波基或临界角判据。\n2. 主要定理或主要结果 主要结果按假设和结论表述如下。\n复角度 Trefftz 族：对 $z=\\theta+\\mathrm i\\eta\\in\\mathbb C$，定义 $q_K(z)=\\kappa_K(\\cos z,\\sin z)$，$\\phi_{K,z}(x)=\\exp(\\mathrm i q_K(z)\\cdot(x-x_K))$，则 $\\Delta\\phi_{K,z}+\\kappa_K^2\\phi_{K,z}=0$；反过来，每个满足 $q\\cdot q=\\kappa_K^2$ 的复向量都可写成 $q_K(z)$（命题 2.1）。因此局部空间 $V_K(Z_K)=\\operatorname{span}\\{\\phi_{K,z_{K,1}},\\ldots,\\phi_{K,z_{K,r_K}}\\}$ 同时包含传播波与倏逝波。\n图\u0026ndash;Riesz 归一化：令 $G=(A-A^*)/(2\\mathrm i)$ 为 DG/图范数 Gram 矩阵，取 $B^*GB=I$，则 $\\widehat A=B^*AB=S+\\mathrm i I$ 是正规矩阵且 $\\sigma_{\\min}(\\widehat A)\\ge1$；图\u0026ndash;Riesz 条件数 $$\\kappa_{\\mathrm{GR}}=\\kappa_2(B^*AB)\\le\\sqrt{1+\\gamma_h^2},\\quad \\gamma_h=\\|S\\|_2.$$ 数值表 1 显示，普通 Euclid 条件数 $\\kappa_2(A)$ 随 $p$ 增长极快（$p=27$ 时为 $3.43\\times10^{14}$），而 $\\kappa_{\\mathrm{GR}}$ 增长慢得多（$p=23$ 时为 $8.12\\times10^2$），直到局部迹秩亏损。\n局部 Cauchy-迹 Gram 压缩：定义 $$m_K(u,v)=\\sum_{e\\subset\\partial K}\\left(\\kappa_K\\int_e uv\\,ds+\\kappa_K^{-1}\\int_e\\partial_nu\\,\\partial_nv\\,ds\\right),$$ 对局部 Gram 矩阵 $M_K$ 做特征分解，保留满足 $\\lambda_{K,j}\u003e\\tau_{\\mathrm{rank}}\\lambda_{K,1}$ 的特征方向，其中 $\\tau_{\\mathrm{rank}}=10^{-12}$，并用 $C_K=Q_{K,r}\\Lambda_{K,r}^{-1/2}$ 压缩局部基。该压缩不只是坐标缩放，而是确实改变了保留的 Galerkin 空间。\n全 Dirichlet 情形残量等于精确 DG 误差（命题 4.1）：当 $\\Gamma_R=\\emptyset$ 时，对任意 broken Trefftz 场 $v_h(c,Z)$， $$J(c,Z)=G_h(u-v_h,u-v_h)=\\|u-v_h\\|_{G,h}^2,$$ 因此 $J$ 的边贡献 $\\eta_e^2$ 可直接作为局部自适应指示子。\n混合 Dirichlet\u0026ndash;阻抗边界：在 Assumption 4.2（broken Trefftz 稳定性估计）下， $$\\lVert u-v_h\\rVert_{L^2(\\Omega)}\\le C_J(\\alpha,\\beta)C_{\\mathrm{stab}}(\\kappa,\\Omega)J(v_h)^{1/2},$$ 其中 $C_J=\\sqrt{\\max\\{\\alpha^{-1},\\beta^{-1},2\\}}$；当 $\\alpha=\\beta=1/2$ 时 $C_J=\\sqrt2$。这是上界而非等价估计，文中未证明逆向效率估计。\n直线边上的闭式积分：对边参数化 $x(t)=a+t\\ell$，$0\\le t\\le1$，有 $$\\int_e \\phi_j\\phi_i\\,ds=|e|\\,\\mathrm e^{\\mathrm i q_j\\cdot(a-x_{K_j})-\\mathrm i q_i\\cdot(a-x_{K_i})}\\Psi(\\mathrm i(q_j-q_i)\\cdot\\ell),\\quad \\Psi(\\zeta)=\\frac{\\mathrm e^\\zeta-1}{\\zeta},$$ 从而残量矩阵可精确组装，方向导数只需一阶矩 $\\int_0^1 t\\mathrm e^{\\zeta t}dt$。\n数值结论：对 Hankel 波的圆形 DtN 边界实验，主导相位方向能被准确恢复，但小的平面波扇并未给出相应小的场误差；高 $p$ DtN 地板分别受系数基、迹截断和迹谱算术精度影响；对有限个平面波和 $M=1,\\ldots,19$ 的族，基于残量的 ENRICH\u0026ndash;MOVE 连续法把全部方向恢复到舍入误差；在 $M=20$ 时自动 birth 步进入假盆地，而附近 birth 又能达到舍入误差。作者据此认为方向自适应仅对低方向复杂度解最有效。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 核心障碍有三：(i) 方向优化引入的非线性最小二乘目标高度非凸，特别当解含多个方向时；(ii) 高维 PWDG 基的 Cauchy 迹接近线性相关，导致全局矩阵病态；(iii) 固定方向 Galerkin 约束与方向搜索耦合，系数变量和方向变量的尺度差异大。作者的真正创新点在于将 Trefftz 空间的方向参数化、离散系统的归一化、数值秩压缩和残量精确积分放在同一个框架中处理。\n复角度参数化：$z=\\theta+\\mathrm i\\eta$ 使 $q_K(z)=\\kappa_K(\\cos z,\\sin z)$ 自动满足色散关系 $q\\cdot q=\\kappa_K^2$。这统一了传播波和倏逝波，且 $\\operatorname{Im}q_K=\\kappa_K\\sinh\\eta(-\\sin\\theta,\\cos\\theta)$ 给出指数变化率的物理解释 $\\lVert\\operatorname{Im}q_K\\rVert_2=\\kappa_K|\\sinh\\eta|$。这一参数化避免了单独的倏逝波基或临界角测试。\n图\u0026ndash;Riesz 归一化：作者指出 Euclid 条件数依赖于平面波系数的缩放，不能反映离散算子在自然范数下的性质。他们使用标准 coercive Trefftz-DG 范数作为 Riesz 度量，即 $G=(A-A^*)/(2\\mathrm i)$，并选择 $B$ 使 $B^*GB=I$，从而得到精确正规形式 $\\widehat A=S+\\mathrm i I$。这样 $\"graph--Riesz\"$ 条件数 $\\kappa_{\\mathrm{GR}}$ 本质上度量的是离散算子 Hermit 部分相对于骨架度量的大小，而不是原系数基的病态程度。\n局部 Cauchy-迹 Gram 压缩：作者用局部矩阵 $M_K$ 检测数值上线性相关的迹组合。对每个单元做特征分解后，只保留特征值超过 $\\tau_{\\mathrm{rank}}\\lambda_{K,1}$ 的模态，并用 $\\Lambda_{K,r}^{-1/2}$ 使保留的迹基在 $m_K$ 下正交。这一步骤在全局求解之前完成，且明确改变了保留的 Galerkin 空间。高 $p$ 下有用模式可能低于 $10^{-12}$，因此截断阈值必须与工作精度和所需精度一起选取。\n全 Dirichlet 情形的精确残量恒等式：命题 4.1 说明当 $\\Gamma_R=\\emptyset$ 时，残量 $J$ 就是 DG/图范数下的精确误差平方。该恒等式不依赖系数如何得到，因此无论方向如何更新，局部边贡献 $\\eta_K$ 都给出局部化误差估计，无需第二估计子。\n直线边的精确积分：由于平面波乘积在直边上的积分可写成指数矩 $\\Psi(\\zeta)$，且关于方向参数的导数只引入一阶矩，因此残量矩阵及其导数可以精确组装，无需对内部边残量进行点采样。数值求积只用于 $g$ 等无闭式表达的数据项。\nPart A / Part B 两种非线性形式：Part A 保留 Galerkin 方程 $A(Z)c^{\\mathrm{PW}}(Z)=f(Z)$，对约化目标 $\\hat J^{\\mathrm{PW}}(Z)=J(c^{\\mathrm{PW}}(Z),Z)$ 做方向优化。Part B 去掉 Galerkin 约束，对 broken Trefftz 场本身最小化骨架残量；固定方向时是 Monk\u0026ndash;Wang 型线性最小二乘，再用 variable projection 消去线性系数。Part B 避免每个非线性迭代都求解 PWDG 系统，但目标函数的 Jacobian 需要方向导数。\n连续化 ENRICH\u0026ndash;MOVE：对高维非凸问题，作者用前一问题的方向初始化更难的后续问题，逐步增加方向数。数值实验显示自动 birth 步在 $M=20$ 时进入假盆地，而邻近 birth 成功，说明初始化与连续化策略对避免局部极小至关重要。\n证明框架方面，摘要与第 4 节预告了“在可辨识的零残量解的固定秩邻域内，约化方向泛函局部二次增长”的定理。这表明在理想情形下目标函数在解附近有正定的曲率，为梯度类优化提供理论依据。但具体定理的假设、固定秩的定义和证明细节在提供的 PDF 内容中未完整出现。\n4. 与之前工作的比较 与既有 PWDG 文献相比，本文的推进主要有以下几个层面。\n方向参数化的推广：Agrawal\u0026ndash;Hoppe [13] 在保持 PWDG 变分方程作为约束的前提下优化实方向；Amara 等 [14] 在最小二乘方法中旋转局部平面波基。本文将方向参数推广到复角度 $z=\\theta+\\mathrm i\\eta$，从而统一处理传播波和倏逝波。这是对 [13,14] 的重要扩展，因为倏逝波在多层或近临界角问题中不可忽略，而传统方法需要额外引入倏逝波基或临界角判据。作者明确指出“无需单独 evanescent basis 或 critical-angle test”。\n约束形式的比较：Part A 与 Agrawal\u0026ndash;Hoppe [13] 类似，保留 PWDG 方程作为约束；Part B 则去掉该约束，直接在 broken Trefftz 场上最小化残量，并用 variable projection [3] 消去系数变量。这更接近 Monk\u0026ndash;Wang [2] 的固定方向线性最小二乘问题。Part B 的好处是避免每步求解非线性约束问题，但目标函数的几何不同，局部二次增长定理是在约化方向泛函上证明的。作者没有显式比较 Part A 与 Part B 的收敛速度或计算代价。\n归一化与条件数：已有 PWDG 分析 [4\u0026ndash;6,11] 常关注 Euclid 条件数，[11] 指出高维平面波迹近似相关导致病态。本文引入 graph\u0026ndash;Riesz 条件数 $\\kappa_{\\mathrm{GR}}$，并证明其有上界 $\\sqrt{1+\\gamma_h^2}$。数值表 1 显示在 $p$ 增大时 $\\kappa_{\\mathrm{GR}}$ 远小于 $\\kappa_2(A)$，直到局部迹真正失去数值秩。这是对 [11,12,18\u0026ndash;20] 中条件数和冗余性讨论的具体算法化：先用局部 Cauchy-迹 Gram 矩阵压缩，再做全局归一化。\n残量\u0026ndash;误差关系：全 Dirichlet 情形下，命题 4.1 给出精确等式 $J=\\|u-v_h\\|_{G,h}^2$。这比一般残量估计强得多：通常残量只是误差的上界或等价估计，而这里是等式。混合 Dirichlet\u0026ndash;阻抗情形只能得到上界 (34)，且需要 Assumption 4.2 的 broken Trefftz 稳定性常数。作者未证明逆向效率估计，因此混合问题中 $J$ 的局部贡献不能严格解释为局部误差。\n数值现象的剖析：本文的实验设计专门展示方向自适应的适用边界。对精确圆形 DtN 边界上的 Hankel 波，学习到的方向能很好地跟踪局部相位，但小平面波扇的场误差并不相应减小；高 $p$ DtN 地板分别受系数基、迹截断和迹谱算术精度影响。这些现象在以往 PWDG 方向优化文献 [13,14] 中未见系统讨论。作者通过 $M=1,\\ldots,19$ 的精确恢复实验说明方向自适应在解由少量可辨识方向主导时非常有效，而在 $M=20$ 时因非凸性出现假盆地，说明方向自适应的适用性是“低方向复杂度”，而非一般高频散射问题。\n代价与局限：方向优化需要计算残量矩阵及其方向导数，并要求每个单元做局部 Gram 特征分解和全局图\u0026ndash;Riesz 归一化；这些都比固定均匀方向的 PWDG 昂贵。作者在文中未给出与均匀方向方法的计算时间对比，但实验显示对方向复杂度高的解，方向自适应带来的场误差改善有限。从提供内容无法确认作者是否对 $M=20$ 的假盆地做了全局优化策略的系统比较；他们仅报告“nearby birth again reaches roundoff”，表明初始化细节对结果影响显著。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 多阶段神经算子学习及其在卷积中的应用 Multi-stage neural operator learning with application for convolutions\n作者: Zhiping Mao, Zhenye Wen, Yong Zhang, Xiaofei Zhao\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-19\narXiv ID: 2608.18851v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.18851v1\n摘要翻译 中文标题: 多阶段神经算子学习及其在卷积中的应用\n摘要翻译: 卷积积分在应用中广泛存在，为了实现快速且精确的计算，本文引入了两种通用的多阶段神经算子学习框架。第一种是深度配置神经算子（DCNO），这是一种监督方法，通过从输入-输出数据对中学习残差来迭代改进算子逼近。第二种是深度伽辽金神经算子（DGNO），这是一种无监督框架，适用于目标算子可由PDE表示的情形，利用PDE残差的弱形式进行训练。两种方法均通过多个训练阶段逐步构建基算子以丰富逼近空间，从而相较于标准的一次性算子学习显著提高了精度。我们对其逼近能力进行了理论分析，并将其应用于学习卷积。大量数值实验表明，DCNO和DGNO均能达到高精度，在卷积问题中接近单精度下的机器精度，并且在大量查询或参数变化情况下，与传统求解器相比可提供显著的效率提升。我们还将这些框架扩展到涉及卷积密度和核均变化的多输入算子学习场景。\n2. 基于逆Born级数的神经算子 Inverse Born series based neural operators\n作者: John C Schotland, Aseel Titi, Jenn-Nan Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.18262v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.18262v1\n摘要翻译 中文标题: 基于逆Born级数的神经算子\n摘要翻译: 逆Born级数为表示无限维函数空间之间的非线性逆映射提供了一个通用的微扰框架，并在由偏微分方程和积分方程支配的逆问题中得到了广泛应用。受其算子理论结构的启发，我们开发了一个系统框架，用于构造逼近逆Born级数中出现的算子展开的神经算子。我们的方法将逆Born级数的解析表示与神经算子的表达能力相结合，在保持底层算子结构的同时，生成非线性逆映射的数据驱动逼近。所提出的框架适用于广泛类别的逆问题，并在一般的泛函分析环境中呈现。为了展示其实际性能，我们考虑了三个代表性问题：逆散射和Calderón（电阻抗断层成像）问题。数值实验表明，所构造的神经算子能够准确逼近逆Born展开，并在各种测试案例中产生高质量的重建结果。这些结果表明，所提出的方法为学习非线性逆算子提供了一种有效且计算高效的途径，并为将经典算子展开与现代神经算子架构相结合指明了一个有前景的方向。\n不相关论文（基本信息） 1. 分段光滑逆源重建的局部傅里叶延拓方法 A Localized Fourier Extension Method for Piecewise-Smooth Inverse Source Reconstruction\n作者: Zhihong Dou, Zhenyu Zhao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-19\narXiv ID: 2608.19193v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.19193v1\n摘要: We reconstruct a piecewise-smooth source in a Poisson equation on a semi-infinite strip from noisy solution values measured along an interior line. Applying the one-dimensional Dirichlet Laplacian to the observation reduces the inverse problem to regularized second-order differentiation followed by a boundedly invertible correction. The differentiated trace and the source differ by an analytic smoothing term and therefore have the same interior singular support and jump data. This structure motivates a localized Fourier extension method that combines two staggered detection partitions, GTSVD-regularized local derivative coefficients, mollified conjugate Fourier sums, and structure-aligned numerical differentiation. The source is then recovered by an exponentially decaying spectral correction. For an exact partition, the reconstruction inherits the piecewise differentiation rate $\\mathcal O(δ^{(\\bar s-2)/\\bar s})$; local peak and partition perturbation estimates describe the additional effect of breakpoint errors. Comparisons with full-grid total-variation regularization and truncated Fourier inversion show competitive high-noise performance and a pronounced low-noise advantage of the localized method. Repeated Gaussian-noise tests confirm robustness in the moderate- and low-noise regimes.\n2. 高斯消去法中的元素增长 Entry growth in Gaussian elimination\n作者: Rikhav Shah, John Urschel\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-19\narXiv ID: 2608.19189v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.19189v1\n摘要: Gaussian elimination is one of the oldest algorithms in mathematics, and the most popular method for solving an unstructured linear system. Its stability in finite precision is controlled by its growth factor, which measures how large the entries produced during elimination can become. Understanding the worst-case behavior of this quantity has been a central problem in numerical analysis since the 1940s. Here we make a significant leap in that understanding, settling several open problems. In particular, we determine the asymptotic behavior of the maximum growth factor under complete and rook pivoting, proving that both are quasi-polynomial in dimension. We also show that the exponential growth under partial pivoting persists for sparse matrices and that randomized partial pivoting suffers the same instability. By contrast, we show that every matrix has a row permutation with polynomial growth, though finding the optimal row permutation is NP-hard.\n3. 一种带块卷积的精确矩局部勒让德框架方法用于Caputo分数阶微分 An Exact-Moment Local Legendre Frame Method with Block Convolution for Caputo Fractional Differentiation\n作者: Zhenyu Zhao, Benxue Gong, Tinggang Zhao, Xianzheng Jia\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-19\narXiv ID: 2608.19157v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.19157v1\n摘要: We propose a local Legendre frame method for the accurate computation of Caputo fractional derivatives of order (0\u0026lt;α\u0026lt;1). On each local subinterval, the function is represented by a restricted Legendre frame obtained from scaled Legendre polynomials on an extended interval. The local coefficients are computed from equispaced samples by an exponentially weighted GTSVD regularization. The Caputo derivative is then evaluated by applying the weakly singular fractional integral to the derivatives of the local frame basis functions. Since these derivatives are polynomials, the corresponding Caputo weights can be written in terms of finite weighted moments, so that the singular kernel is treated analytically rather than by a low-order quadrature rule. For uniform partitions, the history weights have a block-dependent structure and can be reused efficiently. The error analysis separates the local frame reconstruction from the Caputo integration. In particular, the Caputo error is bounded by the derivative reconstruction error, while the latter is obtained from the (L^2) reconstruction error and a weighted smoothness bound of the GTSVD approximation through an interpolation argument. For analytic local functions with exponential coefficient decay, this leads to exponential-type convergence of the derivative and hence of the Caputo approximation. Numerical experiments confirm the accuracy of the exact moment weights, the effectiveness of the local weighted reconstruction, and the efficiency of the block implementation.\n4. 拟线性系统的局部零能控性及相关数值实验 Local null controllability of a quasi-linear system and related numerical experiments\n作者: Enrique Fernández-Cara, Juan Límaco, Yuri Thamsten, Denilson Menezes\n类别: math.OC, math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-08-19\narXiv ID: 2608.19023v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.19023v1\n摘要: This paper concerns the null control of quasi-linear parabolic systems where the diffusion coefficient depends on the gradient of the state variable. In our main theoretical result, with some assumptions on the regularity and growth of the diffusion coefficient and regular initial data, we prove that local null controllability holds. To this purpose, we consider the null controllability problem for the linearized system, we deduce new estimates on the control and the state and, then, we apply a Local Inversion Theorem. We also formulate an iterative algorithm of the quasi-Newton kind for the computation of a null control and an associated state. We apply this method to some numerical approximations of the problem and illustrate the results with several experiments.\n5. 自适应分辨率框架：Hilbert空间中的多水平框架 Adaptive resolution frames: A multilevel framework in Hilbert spaces\n作者: Jahangir Cheshmavar\n类别: math.FA, math.NA\n发布日期: 2026-08-19\narXiv ID: 2608.18879v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.18879v1\n摘要: We introduce adaptive resolution frames (AR-frames), a class of weighted frames equipped with a partitioned index structure that models multiple resolution levels in Hilbert spaces. We establish a block-triangular representation of the associated operators and prove the convergence of an iterative reconstruction method with explicit error estimates. We further derive optimal block-diagonal preconditioners that minimize the iteration error and obtain stability results showing that AR-frames and their canonical reconstruction operators remain stable under sufficiently small weighted perturbations. These results provide a unified framework for efficient reconstruction and perturbation analysis of AR-frames.\n6. 色散激波之前无色散极限区域中gKdV方程的一些一致误差分析 Some uniform error analysis for gKdV equations in dispersionless limit regime before dispersive shock\n作者: Bing Li, Tingfeng Wang, Xiaofei Zhao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-19\narXiv ID: 2608.18809v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.18809v1\n摘要: This work establishes uniform error estimates for classical numerical schemes applied to the generalized Korteweg-de Vries (gKdV) equation in the dispersionless limit regime, specifically before the development of dispersive shock wave (DSW). We analyze the Crank-Nicolson (CN) and a Lawson-type Runge-Kutta (Lawson-RK) methods, when discretized in space via the Fourier pseudo-spectral method. We prove that both fully discrete schemes achieve optimal second-order temporal accuracy and spectral spatial accuracy, with error constants being uniform in the vanishing dispersion parameter $\\varepsilon$. The analysis also addresses the unique solvability of the CN scheme in the dispersionless limit regime. Theoretical findings are supported by numerical experiments, demonstrating the $\\varepsilon$-uniform accuracy and the necessity of step size restriction for CN. The study in general validates the classical methods for solving the dispersionless gKdV equation before DSW.\n7. 一种用于拉伸主导脆性断裂相场建模的平移能垒方法 A shifted energy barrier approach for phase-field modeling of tensile-dominated brittle fracture\n作者: Yaode Yina, Luigi Greco, Hongjun Yua, Simone Morganti\n类别: math.NA, cond-mat.mtrl-sci\n发布日期: 2026-08-19\narXiv ID: 2608.18766v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.18766v1\n摘要: The classical AT1 phase-field model contains an intrinsic energy barrier for crack nucle ation, which makes the predicted strength depend on the fracture toughness and the regularization length. For tensile-dominated brittle fracture, this barrier is shifted by mapping the Rankine criterion, evaluated on the effective stress, onto a state-dependent active-energy threshold. The prescribed tensile strength then controls crack nucleation, while the AT1 crack-density functional, stiffness degradation, and degraded stress response remain unchanged. Since the threshold depends on the current stress state, the field equations are derived from a restricted variational principle. A microforce formulation identifies the barrier shift as a dissipative resistance and provides the corresponding lower bound on the regularization length. In one-dimensional tension, closed-form solutions recover the prescribed peak strength and give a cosine-type localization profile that ap proaches the classical AT1 profile as the shift vanishes. Numerical examples show that, within the admissible range, the nucleation load is nearly insensitive to the regularization length and the predicted multiaxial nucleation states follow the Rankine envelope. Under overall compression, crack nucleation remains associated with local tensile stress concen trations. The formulation also captures the transition from strength-controlled failure for small flaws to the LEFM limit for large cracks.\n8. 有界域上二阶线性椭圆Dirichlet边值问题的解对称性与区域约简有限元方法 Symmetry of Solutions and Domain-Reduction Finite Element Method for Second-Order Linear Elliptic Dirichlet Boundary Value Problems on Bounded Domains\n作者: Xianlong Pan, Wei Jiang\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-08-19\narXiv ID: 2608.18549v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.18549v1\n摘要: Combining classical group theory and partial differential equation theory, this paper investigates the symmetry group $\\operatorname{Sym}(u)$ of the unique solution $u$ to the second-order linear elliptic boundary value problem on an $n$-dimensional bounded domain $Ω$ $-\\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}(x)u_{x_ix_j} + \\sum_{i=1}^{n} b_i(x)u_{x_i} + c(x)u = f(x), x\\in Ω$, $u(x) = h(x), x\\in \\partial Ω$, The following symmetry groups are defined and characterized respectively: the symmetry group $\\operatorname{Sym}(A)$ of the second-order coefficient matrix function $A(x)=(a_{ij}(x))_{n\\times n}$; the symmetry group $\\operatorname{Sym}(b)$ of the first-order coefficient column vector function $b(x)=(b_{1}(x),b_{2}(x),\\cdots,b_{n}(x))^{T}$; the symmetry group $\\operatorname{Sym}(c)$ of the zero-order coefficient function $c(x)$; the symmetry group $\\operatorname{Sym}(f)$ of the internal source function $f(x)$; and the symmetry group $\\operatorname{Sym}(h)$ of the boundary source function $h(x)$. This paper rigorously proves that the common symmetry group $\\operatorname{Sym}(A)\\cap\\operatorname{Sym}(b) \\cap\\operatorname{Sym}(c) \\cap\\operatorname{Sym}(f) \\cap\\operatorname{Sym}(h)$ is a subgroup of $\\operatorname{Sym}(u)$. In addition, if the common symmetry group contains several mirror symmetry elements, the original second-order linear elliptic boundary value problem on the entire domain $Ω$ can be reduced to the corresponding boundary value problem on a certain subdomain. It is strictly proven in this paper that the new boundary condition imposed on the boundary of the subdomain is the homogeneous generalized Neumann boundary condition. The linear finite element method is used to numerically solve the second-order linear elliptic boundary value problem on the subdomain, thereby achieving domain reduction and significantly reducing the computational cost.\n9. 一般区域上具有解析激活的线性化浅层网络的最优Sobolev逼近 Sharp Sobolev Approximation on General Domains by Linearized Shallow Networks with Analytic Activations\n作者: Jia Li, Tong Mao, Jinchao Xu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-19\narXiv ID: 2608.18520v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.18520v1\n摘要: We study Sobolev approximation on bounded domains by linearized shallow neural networks whose inner parameters are prescribed independently of the target function. Our main step is a one-dimensional construction for analytic activations. We prove that quasi-Chebyshev parameter sets with univariate resolution $m$ generate fixed feature spaces attaining the sharp $H^r$-to-$H^s$ approximation order $m^{-(r-s)}$ for a class of analytic activations satisfying a quantitative non-cancellation condition on their Taylor coefficients. Combining this result with the ridge-function lifting theorem in [SIAM J. Math. Anal. 30 (1998), pp. 155-189] and its extension to arbitrary quasi-uniform direction sets established in this work, we construct tensor-product-type parameter sets that attain the sharp rate $$\\|f-f_n\\|_{L^2(Ω)}\\lesssim n^{-\\frac rd}\\|f\\|_{H^r(Ω)},\\quad f\\in H^r(Ω)$$ for all $r\u003e0$. In contrast to the finite-difference construction in [Neural Comput. 8 (1996), pp. 164-177], whose explicit admissibility condition may require an extremely small parameter scale, the proposed parameter sets remain distributed over fixed intervals and are therefore more amenable to practical computation.\n10. 一种面向参数化Navier-Stokes流的高效时间二阶惩罚-投影系综涡粘性方法 An Efficient Second-Order-in-Time Penalty-Projection Ensemble Eddy Viscosity Method for Parameterized Navier-Stokes Flows\n作者: Md Mahmudul Islam, Muhammad Mohebujjaman, Jahrul Alam\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-19\narXiv ID: 2608.18487v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.18487v1\n摘要: We propose a novel, robust, and second-order-accurate parameterized penalty-projection ensemble algorithm for incompressible Navier\u0026ndash;Stokes flow problems. The resulting linearized algorithm, based on the second-order Backward Differentiation Formula (BDF-2), is computationally efficient because it shares the same coefficient matrix across all realizations for each subproblem at every time step. To enhance robustness in convection-dominated flows, the scheme incorporates Ensemble Eddy Viscosity (EEV) regularization. In addition, it is equipped with grad-div stabilization parameter $γ$, which controls the splitting error; under the assumptions of the analysis, the splitting error decreases and vanishes asymptotically as $γ\\to\\infty$. We establish the stability of the proposed scheme and rigorously prove its optimal convergence by demonstrating that, as $γ\\to\\infty$, the scheme converges to an equivalent coupled formulation. We further validate the method through a series of numerical experiments designed to verify the theoretically predicted convergence rates and evaluate its performance on benchmark convection-dominated problems. The numerical results are in excellent agreement with the theoretical analysis and confirm the effectiveness of the proposed scheme.\n11. 不确定性下提高熔融沉积成型中聚合物丝材粘结质量的过程优化 Process Optimization Under Uncertainty for Improving the Bond Quality of Polymer Filaments in Fused Filament Fabrication\n作者: Berkcan Kapusuzoglu, Matthew Sato, Sankaran Mahadevan, Paul Witherell\n类别: cs.CE, cs.LG, math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-08-19\narXiv ID: 2608.18431v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.18431v1\n摘要: This paper develops a computational framework to optimize the process parameters such that the bond quality between extruded polymer filaments is maximized in fused filament fabrication (FFF). A transient heat transfer analysis providing an estimate of the temperature profile of the filaments is coupled with a sintering neck growth model to assess the bond quality that occurs at the interfaces between adjacent filaments. Predicting the variability in the FFF process is essential for achieving proactive quality control of the manufactured part; however, the models used to predict the variability are affected by assumptions and approximations. This paper systematically quantifies the uncertainty in the bond quality model prediction due to various sources of uncertainty, both aleatory and epistemic, and includes the uncertainty and the model discrepancy in the process parameter optimization. Variance-based sensitivity analysis based on Sobol indices is used to quantify the relative contributions of the different uncertainty sources to the uncertainty in the bond quality. A Gaussian process (GP) surrogate model is constructed to compute and include the model discrepancy within the optimization. Physical experiments are conducted for calibration and validation of the physics model and also for validation of the optimum solution. The results show that the proposed formulation for process parameter optimization under uncertainty results in high bond quality between adjoining filaments of the FFF product.\n12. 熔融沉积制造中零件质量不确定性下的多目标优化 Multi-Objective Optimization Under Uncertainty of Part Quality in Fused Filament Fabrication\n作者: Berkcan Kapusuzoglu, Paromita Nath, Matthew Sato, Sankaran Mahadevan, Paul Witherell\n类别: cs.CE, cs.LG, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-08-19\narXiv ID: 2608.18429v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.18429v1\n摘要: This work presents a data-driven methodology for multi-objective optimization under uncertainty of process parameters in the fused filament fabrication (FFF) process. The proposed approach optimizes the process parameters with the objectives of minimizing the geometric inaccuracy and maximizing the filament bond quality of the manufactured part. First, experiments are conducted to collect data pertaining to the part quality. Then, Bayesian neural network (BNN) models are constructed to predict the geometric inaccuracy and bond quality as functions of the process parameters. The BNN model captures the model uncertainty caused by the lack of knowledge about model parameters (neuron weights) and the input variability due to the intrinsic randomness in the input parameters. Using the stochastic predictions from these models, different robustness-based design optimization formulations are investigated, wherein process parameters such as nozzle temperature, nozzle speed, and layer thickness are optimized under uncertainty for different multi-objective scenarios. Epistemic uncertainty in the prediction model and the aleatory uncertainty in the input is considered in the optimization. Finally, Pareto surfaces are constructed to estimate the tradeoffs between the objectives. Both the BNN models and the effectiveness of the proposed optimization methodology are validated using the actual manufacturing of the parts.\n13. Navier-Stokes方程的grad-div稳定化Crank-Nicolson人工压缩方法全离散参数鲁棒误差分析 Fully discrete parameter-robust error analysis of a grad-div stabilized Crank-Nicolson artificial compressibility method for the Navier-Stokes equations\n作者: Feiyu Chen, Lili Ju, Rihui Lan, Shusen Xie\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.18377v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.18377v1\n摘要: The artificial compressibility method (ACM) relaxes the incompressibility constraint in the Navier-Stokes equations by introducing a perturbation term proportional to the time derivative of the pressure, scaled by a small positive parameter $\\varepsilon$. Consequently, the ACM system inherently involves two small parameters: the fluid viscosity $ν$ and the artificial compressibility parameter $\\varepsilon$. While existing temporal analyses of ACM provide insights into its behavior, rigorous fully discrete error estimates that are robust with respect to both parameters remain a significant gap in the literature. In this paper, we propose a second-order Crank-Nicolson fully discrete ACM scheme and establish its parameter-robust optimal error estimates. To enhance stability and ensure robustness, we incorporate two distinct grad-div stabilization strategies: one facilitates the decoupling of velocity and pressure computations, while the other guarantees robustness with respect to both $ν$ and $\\varepsilon$. For spatial discretization, we employ the Scott-Vogelius finite element pair, which is crucial for the decoupling and error analysis. The resulting parameter-uniform bounds are crucial for ensuring the long-time accuracy of the scheme, circumventing the exponential dependence on the Reynolds number typically introduced by Grönwall\u0026rsquo;s lemma. Numerical experiments are provided to validate the theoretical findings and demonstrate the efficiency of the proposed methods.\n14. 无强制收敛的后验收敛：粗糙贝叶斯反问题的分辨率稳定采样 Posterior Convergence without Force Convergence: Resolution-Stable Sampling for Rough Bayesian Inverse Problems\n作者: Zhiliang Deng, Xiaomei Yang\n类别: math.NA, stat.ME\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.18365v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.18365v1\n摘要: Bayesian posteriors can converge under model refinement even when the exact sensitivities used by gradient-based samplers do not. We study this mismatch for discretely scale-invariant rough potentials and its consequences for Metropolized Hamiltonian proposals. For Weierstrass truncations, adjacent classical-force increments grow geometrically in the rough regime, whereas fixed additive quotients converge uniformly and fixed multiplicative quotients converge locally away from the origin. The matched Jackson quotient is distinguished not by convergence alone but by dilation covariance and exact finite closure at the intrinsic scale. Uniform negative-log-likelihood approximation is shown to imply explicit total-variation, Hellinger, and bounded quantity-of-interest convergence, with a Gaussian forward-map criterion for Bayesian inverse problems. At the algorithmic level, measurable kick\u0026ndash;drift\u0026ndash;kick maps are triangular shears, so exact Metropolis correction does not require differentiability of the proposal field. Local uniform field convergence yields convergence of fixed-length proposals, acceptance functions, and bounded-Lipschitz kernels on common compact sets, while the first classical HMC half-kick has no fixed-step refinement limit. Numerical experiments verify the predicted force-refinement rates, show that posterior stabilization can coexist with severe resolution-dependent retuning of exact-gradient HMC, and demonstrate forward convergence without sensitivity convergence in two-dimensional Darcy flow. The computations are used to assess refinement consistency rather than to claim a universal efficiency ordering among proposal fields.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-20_05-00-08/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月20日 05:00:08\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 14\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-亥姆霍兹方程的方向自适应平面波间断伽辽金方法\"\u003e1. 亥姆霍兹方程的方向自适应平面波间断伽辽金方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eDirection-Adaptive Plane-Wave Discontinuous Galerkin Methods for the Helmholtz Equation\u003c/p\u003e","title":"2026年08月20日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月19日 04:58:53\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 4\n不相关论文数量: 17\n重点关注论文（完整分析） 1. 各向同性弹性Helmholtz方程MAC格式离散的渐近色散修正 Asymptotic dispersion correction for the isotropic elastic Helmholtz equation discretized with a MAC scheme\n作者: Pierre-Henri Cocquet, Antoine Tonnoir, Rachel Yovel\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.17909v1\n摘要翻译: 弹性介质中时谐波传播的数值模拟在地球物理学和无损检测等应用中发挥着重要作用。由于数值色散和污染效应，高频下弹性Helmholtz方程的精确离散具有挑战性。在本工作中，我们为各向同性弹性Helmholtz方程的MAC格式离散提出了一种渐近色散修正。我们刻画了该格式的离散色散关系，并确定了二维和三维空间中色散误差的首阶项。基于此分析，我们推导出了一个在网格尺寸趋于零的极限下渐近最优的修正。所提出的方法提高了离散与连续波传播性质之间的一致性，同时保持了底层离散格式的结构。我们还建立了色散关系的因式分解与grad-div算子符号结构之间的联系，为弹性问题的代数结构提供了进一步的洞见。数值实验最终表明相对误差显著减小，并确认了所提出修正的有效性。我们进一步提供了数值证据，表明修正后的离散格式改善了多重网格求解器的收敛行为。\nComment: 26 pages, 7 figures\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17909v1\n1. 研究对象和背景 本文研究对象是各向同性弹性介质中的时谐波传播, 其强形式为 $$ -\\operatorname{div}(\\mu(\\nabla u+\\nabla u^T))-\\nabla(\\lambda\\operatorname{div}u)-\\rho(x)\\omega^2 u=f\\quad\\text{in }\\Omega, $$ 其中 $u=(u_x,u_y)$ (二维) 或 $u=(u_x,u_y,u_z)$ (三维) 为位移场, $\\lambda,\\mu$ 为 Lam'e 系数, $\\rho$ 为密度, $\\omega$ 为角频率. 在均匀介质中, 该方程等价于 $$ -\\mu\\Delta u-\\nabla((\\lambda+\\mu)\\operatorname{div}u)-\\rho\\omega^2 u=0. $$ 对平面波解 $u=X e^{i\\xi\\cdot x}$ 做色散分析, 得到连续符号 $$ \\sigma(\\xi)=\\mu\\|\\xi\\|^2 I_d+(\\lambda+\\mu)\\xi\\xi^T-\\rho\\omega^2 I_d, $$ 其行列式可分解为 $$ \\det\\sigma(\\xi)=(\\mu\\|\\xi\\|^2-\\rho\\omega^2)^{d-1}((\\lambda+2\\mu)\\|\\xi\\|^2-\\rho\\omega^2), $$ 从而存在两种波数: 剪切波 $k_S=\\omega\\sqrt{\\rho/\\mu}$ 和压力波 $k_P=\\omega\\sqrt{\\rho/(\\lambda+2\\mu)}$.\n数值求解该方程时, 离散色散关系与连续色散关系的失配会导致污染效应: 即使每个波长网格点数固定, 误差仍随频率增长. 弹性波时谐模拟在地球物理和无损检测中需要反复计算多个频率, 频域公式尤其重要, 因此控制高频数值色散是关键. 已有大量工作针对标量 Helmholtz 方程发展高阶格式、边界元、以及通过修改有限差分格式中自由参数来最小化色散误差的方法. 然而, 对矢量弹性 Helmholtz 方程, 尚未有基于\u0026quot;修改物理参数\u0026quot;的渐近最优色散修正. 本文使用 MAC (Marker-And-Cell) 交错网格有限差分格式, 在二维和三维中刻画其离散色散关系, 确定色散误差的首项, 并构造修正的 Lam'e 系数 $\\hat\\lambda=\\lambda+h^2\\lambda_2$, $\\hat\\mu=\\mu+h^2\\mu_2$, 使得 $h\\to0$ 时色散误差在最大范数意义下渐近最优. MAC 格式将 $u_x$ 和 $u_y$ 分别放在两套交错网格上, 保持离散 De Rham 复形结构, 这种结构是本文离散 Helmholtz 分解和符号分解的关键.\n2. 主要定理或主要结果 假设介质均匀 ($\\lambda,\\mu,\\rho$ 为正常数), 源项 $f=0$, 网格均匀 $h_x=h_y=h$. 对 MAC 格式, 设 $\\sigma_{\\Delta_h}(\\xi)$ 为离散 Laplacian 的符号, 在二维有 $$ \\sigma_{\\Delta_h}(\\xi)=\\frac{2\\cos(\\xi_1h)+2\\cos(\\xi_2h)-4}{h^2}, $$ 三维类似. 离散弹性算子的符号矩阵为 $$ \\sigma_h(\\xi)=-\\mu\\sigma_{\\Delta_h}(\\xi)I_d-(\\lambda+\\mu)\\sigma_{\\nabla_h}(\\xi)\\sigma_{\\operatorname{div}_h}(\\xi)-\\rho\\omega^2 I_d. $$ 作者证明了如下行列式分解: $$ \\det\\sigma_h(\\xi)=\\big(-\\mu\\sigma_{\\Delta_h}(\\xi)-\\rho\\omega^2\\big)^{d-1}\\big(-(\\lambda+2\\mu)\\sigma_{\\Delta_h}(\\xi)-\\rho\\omega^2\\big), $$ 因此离散色散关系为 $$ D_h=\\left\\{\\xi:\\ \\left(-\\sigma_{\\Delta_h}(\\xi)-k_S^2\\right)^{d-1}\\left(-\\sigma_{\\Delta_h}(\\xi)-k_P^2\\right)=0\\right\\}, $$ 即剪切波与压力波分别对应两个标量离散 Helmholtz 色散关系, 且可分解为 $$ D_h=\\{\\xi:\\ -\\sigma_{\\Delta_h}(\\xi)-k_S^2=0\\}\\cup\\{\\xi:\\ -\\sigma_{\\Delta_h}(\\xi)-k_P^2=0\\}. $$ 令 $\\theta\\in S^{d-1}$ 表示传播方向, 离散波数 $\\tilde{k}$ 满足 $$ \\tilde{k}=k+\\frac{k^3 h^2}{24}F(\\theta)+O(h^4), $$ 其中 $k$ 取 $k_S$ 或 $k_P$, 而 $F(\\theta)=\\sum_{j=1}^d \\theta_j^4$ (在二维可写为 $F(\\theta)=\\cos^4\\theta+\\sin^4\\theta$). 未修正时相对色散误差的首项为 $$ \\max_{\\theta\\in S^{d-1}}\\frac{|\\tilde{k}-k|}{k}=\\frac{(kh)^2}{24}\\max_{\\theta\\in S^{d-1}}|F(\\theta)|+O(h^4). $$为构造渐近最优修正, 作者引入 $\\hat\\lambda=\\lambda+h^2\\lambda_2$, $\\hat\\mu=\\mu+h^2\\mu_2$, 并推导出修正后离散波数的展开: $$ \\tilde{\\hat{k}}_S=k_S+h^2\\left(\\frac{k_S^3}{24}F(\\theta)-\\frac{k_S}{2\\mu}\\mu_2\\right)+O(h^4), $$ $$ \\tilde{\\hat{k}}_P=k_P+h^2\\left(\\frac{k_P^3}{24}F(\\theta)-\\frac{k_P(2\\mu_2+\\lambda_2)}{4\\mu+2\\lambda}\\right)+O(h^4). $$ 进而将 $\\mu_2^{\\mathrm{asy}}$ 和 $\\lambda_2^{\\mathrm{asy}}$ 定义为如下最小最大问题的解: $$ \\mu_2^{\\mathrm{asy}}=\\arg\\min_{\\mu_2}\\max_{\\theta\\in S^{d-1}}\\left|F(\\theta)-\\frac{12\\mu_2}{\\mu k_S^2}\\right|, $$ $$ \\lambda_2^{\\mathrm{asy}}=\\arg\\min_{\\lambda_2,\\mu_2}\\max_{\\theta\\in S^{d-1}}\\left|F(\\theta)-\\frac{12(2\\mu_2+\\lambda_2)}{(4\\mu+2\\lambda)k_P^2}\\right|. $$ 所提供 PDF 摘录中列出了这些最小最大问题并声明下一节定理给出闭式, 但未包含闭式本身; 从推导可以看出, 最优参数使首项色散误差在最大范数意义下达到最小, 而不是完全消除 $O(h^2)$ 项. 数值实验表明, 该修正显著降低了相对误差, 并且修正后的离散格式改善了多重网格求解器的收敛行为.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 证明和推导的核心技术可以归纳为以下几点.\n第一, 连续和离散符号的统一处理. 作者先用平面波 $u=Xe^{i\\xi\\cdot x}$ 得到连续符号 $\\sigma(\\xi)$, 并使用矩阵行列式引理 $$ \\det(A+cd^T)=\\det(A)(1+d^T A^{-1}c) $$ 将 $\\det\\sigma(\\xi)$ 分解为剪切波和压力波两个因子的乘积. 这一引理在离散情形被再次使用: 对 MAC 格式的符号矩阵 $\\sigma_h(\\xi)$, 取 $A=(-\\mu\\sigma_{\\Delta_h}-\\rho\\omega^2)I_d$, $c=-(\\lambda+\\mu)\\sigma_{\\nabla_h}$, $d^T=\\sigma_{\\operatorname{div}_h}$, 便得到离散行列式的同样分解. 这个代数步骤揭示了弹性问题色散关系可分解为两个标量 Helmholtz 色散关系的本质.\n第二, 离散 Helmholtz 分解与离散 De Rham 复形. 作者利用 [12] 中的离散恒等式 $$ \\operatorname{div}_h^\\pm \\nabla_h^\\pm\\times=0,\\quad \\nabla_h^\\pm\\times\\nabla_h^\\pm=0,\\quad \\operatorname{div}_h^\\pm\\nabla_h^\\mp=\\Delta_h, $$ 以及 $$ \\Delta_h=\\nabla_h^+\\operatorname{div}_h^- -\\nabla_h^-\\times\\nabla_h^+\\times, $$ 证明 MAC 离散解 $u_h$ 可写为 $$ u_h=\\Phi_h-\\frac{1}{k_P^2}\\nabla_h^-\\psi_h-\\frac{1}{\\rho\\omega^2}f_h, $$ 其中 $\\psi_h=\\operatorname{div}_h^+ u_h$ 满足以 $k_P$ 为波数的标量 Helmholtz 方程, 而 $\\Phi_h$ 满足 $\\operatorname{div}_h^+\\Phi_h=0$ 和以 $k_S$ 为波数的矢量 Helmholtz 方程. 这一分解不仅在概念上解释了为什么离散色散关系是两个标量色散关系的并集, 而且为后续将修正分别作用于 P 波和 S 波提供了理论依据.\n第三, 渐近展开与最小最大修正. 在均匀网格上, 离散 Laplacian 的符号已知, 作者引用 [11, 12] 中离散波数的渐近展开 $$ \\tilde{k}=k+\\frac{k^3 h^2}{24}F(\\theta)+O(h^4), $$ 并据此得到未修正色散误差的首项. 作者的真正创新点不是增加 stencil 自由参数, 而是对物理参数 $\\lambda,\\mu$ 引入一致的 $h^2$ 扰动 $\\hat\\lambda=\\lambda+h^2\\lambda_2$, $\\hat\\mu=\\mu+h^2\\mu_2$. 这种做法的优点是: (1) 适用于原本没有自由参数的格式; (2) 不需要数值优化; (3) 保持底层 MAC 格式的结构不变. 由于 $F(\\theta)$ 随方向变化, 单个标量修正无法对所有方向同时消除误差, 因此作者采用 Chebyshev 意义下的最小最大策略, 即选择 $\\lambda_2,\\mu_2$ 使色散误差首项的 $L^\\infty$ 范数最小. 这正是\u0026quot;渐近最优\u0026quot;的准确含义.\n第四, 高维推广与代数结构洞察. 论文将二维推导推广到三维, 并指出离散色散关系因子的重数与 grad-div 算子符号的结构直接相关: 剪切波因子具有重数 $d-1$, 压力波因子重数为 1. 这种联系在摘要中被明确强调, 是从离散 De Rham 复形和符号矩阵分解中获得的额外代数洞察. 此外, 作者还讨论了对 $\\lambda,\\mu$ 同时移位的必要性: 它允许同时修正剪切波和压力波, 这在可压缩介质中尤其重要, 因为两种波的波数之比与 Poisson 比有关.\n4. 与之前工作的比较 与已有工作的比较可以从以下几个层面展开.\n第一, 与标量 Helmholtz 方程的渐近色散修正相比. [14, 11] 对标量 Helmholtz 方程提出了通过修改物理参数实现的渐近最优色散修正, [12] 将其推广到 Maxwell 方程. 本文是该思路在矢量弹性 Helmholtz 方程上的首次推广. 弹性问题的新困难在于压力和剪切波以不同速度传播, 存在两个不同波数 $k_P$ 和 $k_S$. 通过对 $\\lambda$ 和 $\\mu$ 同时做 $h^2$ 扰动, 本文能够同时作用于两个波数, 这是标量情形不需要处理的. 代价是最小最大问题涉及两个参数 $\\lambda_2,\\mu_2$, 且色散误差无法被完全消除, 只能使首项的最大值最小.\n第二, 与已有的弹性波色散最小化格式相比. 文中提到 [25, 21, 22] 给出了弹性波传播的色散最小化离散格式, 但这些工作通常依赖具有自由参数的有限差分模板, 并通过数值优化确定参数. 本文方法不引入模板自由参数, 而是通过物理参数的一致扰动实现修正, 因此可以应用于原本没有自由参数的 MAC 格式, 并且修正参数具有闭式渐近表达式, 不需要求解优化问题. 这是方法层面上的本质区别.\n第三, 与 MAC 格式及离散 De Rham 复形文献的关系. 本文使用的 MAC 格式和离散恒等式来自 [12, 32]. 已有文献利用离散 De Rham 复形构造保持结构的格式, 但本文进一步将离散 Helmholtz 分解与色散关系的代数分解联系起来, 指出离散色散关系因式分解正是 grad-div 算子符号结构的体现. 这一观察对此类交错网格格式的代数理解是新的.\n第四, 就数值性能而言, 本文给出的是数值实验证据而非理论证明. 数值实验显示修正后相对误差大幅降低, 并且多重网格求解器的收敛行为得到改善. 但需要指出, 从提供内容中无法确认作者是否给出了多重网格收敛改善的严格理论分析; 摘要和正文均使用\u0026quot;numerical evidence\u0026quot;表述, 因此该结论应视为经验观察. 此外, 色散分析本身只在均匀介质和零源项下进行, 对于有界区域上的非均匀介质问题, 边界条件会耦合 P 波与 S 波, 作者也明确说明没有利用离散 Helmholtz 分解来设计求解器.\n第五, 适用范围与局限. 修正的推导依赖于 $h\\to0$ 的渐近展开, 因此要求每个波长有足够多的网格点: $kh$ 足够小. 在近不可压缩极限 $\\nu\\to0.5$ 时, $k_S/k_P$ 变大, 压力波可能远易于剪切波; 本文方法不依赖 Poisson 比, 但若剪切波每个波长网格点太少, 渐近修正不再可靠. 与仅修正波数的标量方法类似, 本文的常数修正无法消除与方向相关的各向异性色散误差, 只能使最大误差最小化. 尽管如此, 由于修正不改变线性系统的稀疏结构和对称性, 其额外计算代价几乎可以忽略, 这是该方法相对于高阶格式和边界元方法的一个实际优势.\n2. 非线性磁场问题中涡流的有效计算 Efficient computation of eddy-currents for nonlinear magnetic field problems\n作者: Herbert Egger, Nepomuk Krenn, Andreas Schafelner\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.17860v1\n摘要翻译: 估算电气设备中非叠片导电部件的涡流损耗需要进行昂贵的三维模拟。因此，在实际应用中会采用各种近似方法，以降低早期设计阶段的计算成本。我们回顾了一些方法，并讨论了它们的建模假设及由此产生的近似。特别地，我们指出涡流反应场是一个应在全局范围内加以考虑的重要贡献。这些反应场可以通过求解一个线性化时间周期问题，从二维静磁模拟中近似重构。我们进一步讨论了求解这一后处理问题的不同策略。数值结果表明，与标准后处理方法相比，在适度的额外成本下，损耗预测得到了改进。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17860v1\n1. 研究对象和背景 本文研究电气设备中非叠片导电部件（如电机机壳、屏蔽件、永磁体）内的涡流损耗预测问题. 这类部件的电流路径本质上为三维, 精确预测需要求解三维非线性时变涡流问题. 设三维区域 $\\Omega_{3D}\\subset\\mathbb{R}^3$ 及其导电区 $\\Sigma_{3D}\\subset\\Omega_{3D}$, 采用 $A$-$\\phi$ 公式: $$\\sigma(\\partial_t A+\\nabla\\phi)+\\operatorname{curl}(\\partial_B w(\\operatorname{curl} A))=J_s\\ \\text{in}\\ \\Omega_{3D},\\qquad \\operatorname{div} A=0\\ \\text{in}\\ \\Omega_{3D},$$ 其中 $A$ 是磁矢势, $\\phi$ 是电标势（支撑在 $\\Sigma_{3D}$ 内）, $B=\\operatorname{curl} A$, 磁场强度 $H=\\partial_B w(B)$, $w(B)$ 为磁能密度, 各向同性材料有 $\\partial_B w(B)=\\nu(|B|)B$（$\\nu$ 为磁阻率）, $\\sigma$ 为电导率且在 $\\Sigma_{3D}$ 外为零, $J_s$ 为无散源电流. 涡流密度与损耗密度为 $J_{ec}=-\\sigma(\\partial_t A+\\nabla\\phi)$ 与 $p_{ec}=\\sigma|\\partial_t A+\\nabla\\phi|^2$. 由于三维模拟成本过高, 常在轴向对称假设下采用二维模型: 设 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^2$ 为横截面、$\\Sigma\\subset\\Omega$ 为导体截面, 轴向分量 $a$ 与常数 $g$ 满足 $$\\sigma(\\partial_t a+g)+\\operatorname{curl}(\\partial_B w(\\operatorname{Curl} a))=j_s\\ \\text{in}\\ \\Omega,\\qquad \\int_\\Sigma\\sigma(\\partial_t a+g)\\,dx=0,$$ 其中 $b=\\operatorname{Curl} a=(\\partial_y a,-\\partial_x a)$, $\\operatorname{curl}h=\\partial_x h_y-\\partial_y h_x$. 定理1表明该二维模型是三维模型在柱域 $\\Omega_{3D}=\\Omega\\times(0,L)$、$\\Sigma_{3D}=\\Sigma\\times(0,L)$ 上的精确约化（取 $A=(0,0,a)$、$\\phi=gz$、$J_s=(0,0,j_s)$）, 但二维模型的导体轴向端面位于边界上, 仅能保证总轴向电流为零, 无法满足逐点 $n\\cdot J_{ec}=0$, 因此隐含着轴向端面短路的近似. 工程标准做法进一步求解序列非线性静磁问题 $\\operatorname{curl}(\\partial_B w(\\operatorname{Curl}\\hat a))=j_s$, 再用后处理估计损耗, 如定义 $\\hat j_{ec}=-\\sigma(\\partial_t\\hat a+\\hat g)$ 且 $\\int_\\Sigma\\sigma(\\partial_t\\hat a+\\hat g)\\,dx=0$, 相应的损耗为 $\\hat p_{ec}=\\sigma|\\partial_t\\hat a+\\hat g|^2$. 这种后处理完全忽略涡流反应场（涡流对主磁场的反馈）, 在高频、高电流工况下造成严重偏差. 已有改进如三维混合方法 [10,11] 和避免三维计算的方法 [12] 缺乏严谨论证. 本文的空白在于: 在二维框架内, 通过仅求解一个线性化时间周期问题来一致恢复全局反应场, 从而以远低于完整非线性时变模型的代价获得精确的损耗预测.\n2. 主要定理或主要结果 主要结果如下. 定理1（二维嵌入三维）: 设 $(a,g)$ 是二维涡流问题 (4)–(5) 的解, 则 $A=(0,0,a)$、$\\phi=gz$ 是三维问题 (1)–(2) 在 $\\Omega_{3D}=\\Omega\\times(0,L)$ 与 $\\Sigma_{3D}=\\Sigma\\times(0,L)$ 上的解, 源电流为 $J_s=(0,0,j_s)$. 该定理给出二维模型的严格含义, 但注1指出轴向端面只满足总电流为零, 产生一致性误差. 定理2（线性材料精确性）: 设 $w$ 是二次函数, 若取 $\\tilde\\nu=\\partial_{BB}w(\\operatorname{Curl}\\hat a)$, 并令 $\\tilde a=\\hat a+\\tilde z$, 其中 $(\\tilde z,\\tilde g)$ 为线性化问题 $$\\sigma(\\partial_t\\tilde z+\\tilde g)+\\operatorname{curl}(\\tilde\\nu\\,\\operatorname{Curl}\\tilde z)=-\\sigma\\partial_t\\hat a\\ \\text{in}\\ \\Omega,\\qquad \\int_\\Sigma\\sigma(\\partial_t\\tilde z+\\tilde g)\\,dx=-\\int_\\Sigma\\sigma\\partial_t\\hat a\\,dx$$ 的解, 则 $\\tilde a=a$、$\\tilde g=g$, 即后处理对线性问题精确. 定理3（非线性与牛顿迭代）: 对非线性 $w$, 取同样的 $\\tilde\\nu$, 则 $(\\tilde a,\\tilde g)$ 恰为牛顿法求解非线性系统 (4)–(5) 从初值 $(\\hat a,0)$ 出发的第一步迭代. 证明基于抽象算子形式 $F(x)=y$, 残差为 $r=(-\\sigma\\partial_t\\hat a,\\ -\\int_\\Sigma\\sigma\\partial_t\\hat a)$, 而雅可比方程 $DF(\\hat a,0)v=r$ 正是 (10)–(11). 由此, 该校正方案对线性材料严格精确, 对非线性材料具有明确的迭代解释. 数值实验: 针对永磁同步电机（PMSM）[16], 在 16000 RPM、电流密度 $23.7\\,\\mathrm{A/mm^2}$ 下, 比较四种模型: M1 完整非线性时间周期模型 (4)–(5), M2 静磁后处理 (7)–(8), M3 局部线性校正 [10,12], M4 本文全局线性校正 (9)–(12). 损耗分别为 926.44、2218.34、803.53、926.92 W, 以 M1 为参考, M2 高估约 139%, M3 低估约 13%, M4 误差低于 0.1%. 计算时间（单核）分别为 250.72、92.30、93.61、118.08 s; 30 核分别为 10.62、4.67、5.89、7.73 s. M4 相比 M2 额外消耗约 30%–60% 时间, 但精度接近 M1; 相比 M1 单核减少约 53% 时间, 30 核减少约 27% 时间.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 核心障碍: 标准磁静后处理忽略了涡流反应场, 且局部校正无法捕捉全局返回路径. 本文的创新在于: 从三维模型出发识别反应场的全局性, 提出校正场 $\\tilde z$ 满足的线性化涡流问题 (10)–(11), 并将其解释为牛顿法第一步. 证明框架: 将 (4)–(5) 抽象为 $F(x)=y$, 在 $x_0=(\\hat a,0)$ 计算残差, 利用静磁方程得出 $r=(-\\sigma\\partial_t\\hat a,\\ -\\int_\\Sigma\\sigma\\partial_t\\hat a)$, 并验证 $DF(\\hat a,0)(\\tilde z,\\tilde g)=r$ 正是 (10)–(11), 从而得到定理2和定理3. 该论证不依赖复杂分析, 纯属代数推导, 但巧妙地将后处理升级为有明确意义的迭代步. 计算工具: 采用经典时间步进加周期循环, 或并行-in-time 的 multigrid-in-time 方法 [14,15] 求解时间周期线性问题. 后者将问题化为一系列可并行求解的广义静磁问题, 在数值测试中表现出良好的并行扩展性. 作者强调校正场无需高精度求解, 只需合理估计即可. 此外, 有限元离散使用最低阶单元, 时间离散用隐式欧拉, 转子运动经谐波 mortar 方法处理.\n4. 与之前工作的比较 与标准磁静后处理 [8,9] 相比: M2 仅通过常数 $\\hat g$ 强制总电流为零, 未计入反应场, 导致损耗高估超过 100%; 本文 M4 通过全局线性化校正将误差降至 1% 以下, 而额外时间成本仅约 30%–60%. 与局部校正 [10,12] 相比: M3 只在导体区域求解校正, 低估损耗约 13%, 证明反应场是全局的; M4 在全局域求解, 从而捕获完整反应. 与完整非线性时间周期模型 [2,9] 相比: M4 以约一半的单核时间和约 70% 的并行时间达到几乎相同的损耗预测, 显著降低计算成本. 与三维混合方法 [10,11] 相比: 本文在二维情形下给出了线性化校正的牛顿解释, 为这类后处理提供了理论依据, 但三维推广仍开放, 且需额外建模. 本文未进行三维数值比较. 理论局限: 仅保证线性材料精确和对非线性为第一步牛顿迭代, 未给出误差界或收敛性分析; 未讨论 $\\tilde\\nu$ 的不同选择; 未定量评估二维模型的轴向短路一致误差. 作者明确将三维重建的严格误差估计列为未来工作.\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 输运主导问题的概率 Gegenbauer 重建的物理信息学习 Physics-Informed Learning of Probabilistic Gegenbauer Reconstruction for Transport-Dominated Problems\n作者: Lei Yan, Yan Jiang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.18001v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.18001v1\n摘要翻译 中文标题: 输运主导问题的概率 Gegenbauer 重建的物理信息学习\n摘要翻译: 输运主导问题对数据驱动方法仍具挑战性，这些方法由于全局支撑基函数或过于光滑的假设空间，在激波或陡峭梯度附近常表现出严重的数值振荡。Gegenbauer 重建在缓解此类振荡方面已显示出潜力，但其有效性关键取决于重建参数，特别是权重参数 $λ$ 和截断阶数 $m$。对于数据驱动模型，控制方程、训练数据和模型架构的变化使得系统性参数选择尤为困难。为解决这一问题，我们提出了一种物理信息机器学习框架，用于预测候选 Gegenbauer 参数对上的概率分布，从而在考虑参数不确定性的同时实现概率加权重建。采用两阶段策略，先预训练一个通用预测器，再针对目标问题进行微调，以平衡精度和计算成本。该框架分别以 POD-Galerkin 和 DeepONet 为代表的降阶模型和神经算子模型进行评估。在一维和二维输运主导问题上的数值实验表明，该框架能够学习有效的空间自适应参数分布。与传统重建策略相比，它将数值误差降低了一到两个数量级，并实现了比针对特定问题的模型重新训练更优的精度-成本权衡。\n2. 保面积参数化：变分原理、梯度流与离散逼近 Area-Preserving Parameterization: Variational Principle, Gradient Flow, and Discrete Approximation\n作者: Shu-Yung Liu, Kento Sakai, Mei-Heng Yueh\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.17873v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17873v1\n摘要翻译 中文标题: 保面积参数化：变分原理、梯度流与离散逼近\n摘要翻译: 保面积参数化用于必须保持相对表面面积的应用中。我们通过拉伸能量来研究这一问题。对于总面积相等的紧致黎曼二维流形之间的保定向微分同胚，我们证明拉伸能量由面积比的方差刻画，且其临界点是保面积的。这一变分刻画自然导出一个$L^2$-梯度流，我们称之为等面积流。随后，我们基于离散拉伸能量发展其单纯形对应物，并获得针对若干拓扑类型的开曲面和闭曲面的计算方法。为了将离散公式与光滑理论联系起来，我们证明了拉伸能量关于网格细化的相容性达到一阶精度，并在所述几何逼近假设下，建立了离散全局极小化子的一阶$L^2$面积畸变界。在基准网格上的数值实验在所有报告的测试中均产生无折叠映射，并显示出与现有方法相比具有竞争力的面积保持效果。\n3. 分段光滑非均匀介质中Lippmann–Schwinger方程的快速高阶求解器 Fast high-order solvers for the Lippmann\u0026ndash;Schwinger equation in piecewise-smooth heterogeneous media\n作者: Thomas G. Anderson, Juan Burbano-Gallegos, Luiz M. Faria, Carlos Pérez-Arancibia\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.17615v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17615v1\n摘要翻译 中文标题: 分段光滑非均匀介质中Lippmann–Schwinger方程的快速高阶求解器\n摘要翻译: 本文提出了一种快速、高阶的Nyström求解器，用于求解由可穿透、分段光滑非均匀介质中的时谐散射产生的二维Lippmann–Schwinger方程。该方法依赖于在不连续界面上自适应非结构化网格上的牛顿势高阶求积，结合快速多极子等现有快速算法，实现了高阶精度。作为一种迭代方法，该求解器与一类结构化网格求解器——提供拟线性时间和内存复杂度以及几乎恒定迭代次数的快速求解方法，但精度长期受限——所构成的预处理策略相结合时，表现出快速收敛。该预处理策略通过一对传递算子，将Nyström离散（由符合空间变化对比度支撑域的弯曲非结构化网格上的高阶求积节点给出）与底层快速预处理器所采用的均匀笛卡尔网格联系起来。由此得到的预处理器继承了笛卡尔对应物的频率鲁棒性，同时不牺牲非结构化离散的几何灵活性和高阶精度。我们证明了在网格尺寸和笛卡尔预处理器满足显式条件时，所提出的预处理器是可逆的。数值实验表明，预处理系统的GMRES迭代次数远少于未预处理系统，迭代次数几乎与网格尺寸和波数无关，并展示了该方法对具有分段光滑折射率和跨界面跳跃间断的非均匀介质的鲁棒性。\n4. 狄拉克源的混合有限元方法：散度形式分裂与 L^p 误差分析 Mixed Finite Element Methods for a Dirac Source: Divergence-Form Splitting and L^p Error Analysis\n作者: Yueyao Wu, Shun Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.17575v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17575v1\n摘要翻译 中文标题: 狄拉克源的混合有限元方法：散度形式分裂与 L^p 误差分析\n摘要翻译: 对于混合有限元方法，狄拉克源首先是对偶性的失败，而非正则性的失败：守恒方程以 Lebesgue 空间为测试空间，而狄拉克测度不属于任何一个 Lebesgue 空间的对偶。因此，我们通过散度形式分裂将测度从守恒律中移除。一个其散度等于狄拉克测度的显式场被从物理通量中减去，修正后的通量被取为混合未知量，从而守恒方程中仅保留载荷的正则部分。等价地，并且独立于任何离散化，狄拉克问题被改写为数据呈散度形式的椭圆方程，该数据由某个 L^p 场生成。被减去的场仅依赖于源的位置，而不依赖于系数。不需要依赖于系数的奇异解，也不需要离散狄拉克，仅需改变 RT_0-P_0 系统的载荷向量，且源可以位于相对于网格的任何位置：在顶点上、在系数界面上或在单元内部。除非分裂在源处与算子匹配，否则修正后的通量对每个 p\u0026lt;2 都属于 L^p，但不在 L^2 中，因此通量误差分析必须离开 Hilbert 尺度。我们证明了通量的拟最优逼近界，并由此证明在拟一致网格族上，通量误差恰好是 h^(2/p-1) 阶：匹配的下界已经来自承载源的单个单元。在该处对网格进行加密可恢复一阶复杂度，即关于单元数 N 的 N^(-1/2) 阶，自适应计算达到了这一阶。标量变量仅受解的逐片常数近似的限制，并且达到了该近似。我们还证明了 Lebesgue 尺度下的残差范数等价性，得到一个可计算的 L^p 估计子，对混合通量以及恢复势可靠且局部有效。\n不相关论文（基本信息） 1. 有序扩散核 Ordered Diffusion Kernels\n作者: Jack H. Soulsby, Andreas C. S. Jørgensen, Atiyo Ghosh, Vahid Shahrezaei\n类别: math.NA, math.DS\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.18019v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.18019v1\n摘要: We introduce Ordered Diffusion Kernels (ODKs), a novel class of local kernels that can approximate the infinitesimal generator of an arbitrary Itô Stochastic Differential Equation (SDE). ODKs are designed to be applied to data sampled from dynamical systems where little dynamical information is available a priori. The Laplacian of classical diffusion kernels approximates the Laplace-Beltrami operator on the underlying manifold; adjusting the normalisation introduces an advection term that depends on the sampling density; recently, TMDmap generalised this normalisation to target an arbitrary measure, but at the cost of coupling advection to diffusion. More general local kernels can learn arbitrary second-order elliptic operators but are formulated in terms of known velocity fields \u0026mdash; making the first step of any analysis a potentially ill-posed inference problem. To formulate ODK, we first relax the problem of potential estimation to the more tractable task of inferring an ordering of the data, which we represent through an ordering function. We prove ODK\u0026rsquo;s Laplacian converges to the infinitesimal generator of a gradient-flow SDE with state-dependent isotropic diffusion, without coupling advection and diffusion. We provide various extensions of ODK to: arbitrary drifts via local ordering functions; anisotropic diffusions via a Strang splitting scheme; multiple ordering functions; and self-tuning bandwidths. In addition, we introduce two loss functions which exploit the structure of ODKs to solve a non-parametric inference problem. We validate this framework on synthetic data from deterministic and stochastic systems, demonstrating accurate recovery of operators, velocity fields, extrinsic curvature, and spatially dependent drift and diffusion coefficients.\n2. 从复步进微分到一般重构框架 From complex-step differentiation to a general reconstruction framework\n作者: Rafael Abreu, Chahana Nagesh\n类别: math.NA, physics.geo-ph\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.17924v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17924v1\n摘要: The complex-step method is traditionally derived from the Taylor expansion of an analytic function and it is widely used as a numerical technique for derivative approximation. We present an alternative formulation based on the Cauchy\u0026ndash;Riemann equations. We show that the classical complex-step approximation arises naturally from the harmonic structure of holomorphic functions and formulate the corresponding boundary reconstruction problem in the upper half-plane. This construction naturally leads to the Poisson, Hilbert, and Cauchy kernels as the elementary reconstruction operators for harmonic and holomorphic functions. Extending the boundary reconstruction from ordinary functions to finite measures on obtains the classical Stieltjes transform and its inversion formula. We further show that the same reconstruction principle naturally extends to spectral theory, where scalar matrix elements of the resolvent are Stieltjes transforms of the associated spectral measures. This provides a direct connection between the complex-step method, Stieltjes inversion, resolvent methods, and semiclassical analysis, where the same complex perturbation underlies the recovery of spectral information. Finally, we discuss an FFT-based implementation for the numerical evaluation of the required analytic continuation.\n3. 基于Brézis-Ekeland-Nayroles原理的次梯度流的基于对偶的 $\\textit{A Posteriori}$ 误差恒等式 Duality-Based $\\textit{A Posteriori}$ Error Identities for Subgradient Flows Based on the Brézis-Ekeland-Nayroles Principle\n作者: Harbir Antil, Alex Kaltenbach, Keegan L. A. Kirk\n类别: math.NA, math.AP, math.FA, math.OC\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.17845v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17845v1\n摘要: We derive duality-based $\\textit{a posteriori}$ error identities for a broad class of subgradient flows induced by time-dependent convex integral functionals. Starting from the Brézis-Ekeland-Nayroles principle, we identify an unsteady primal energy functional and derive its Fenchel dual formulation, including strong duality and the corresponding optimality system under general normal-integrand assumptions. This Fenchel duality framework is used to derive $\\textit{a posteriori}$ error identities for subgradient flows. In doing so, we depart from the usual duality-based $\\textit{a posteriori}$ error control framework in the unsteady setting, since the Brézis-Ekeland-Nayroles formulation reveals the following unsteady feature: the minimal primal value and the maximal dual value are both prescribed by the initial datum. This allows us to pass from a combined primal-dual gap identity to separate primal and dual gap identities. These identities quantify the primal and dual errors independently and admit representations in terms of generalized Bregman divergences and, under a spatial convex conjugation formula, as non-negative time-space integral quantities suitable for localization. The abstract framework is applied to a number of variational problems of physical interest, including the unsteady heat equation, the unsteady Stokes equations, the unsteady Navier-Lamé equations, the unsteady Bingham flow through a pipe, the unsteady obstacle problem, and the unsteady elasto-plastic torsion problem.\n4. 大有限阵列天线中有源阻抗渐近性质的研究 Investigation of the Asymptotic Properties of Active Impedance in Large Finite Array Antennas\n作者: Harald Hultin, Lucas Åkerstedt, B. L. G. Jonsson\n类别: physics.comp-ph, math.NA\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.17844v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17844v1\n摘要: This paper presents an improved full-wave solver for finite array antennas, and uses this solver to examine asymptotic properties of active impedance for large regular arrays. The improved solver is based on a preconditioning scheme that has been adapted for use on more general finite geometries, and an improved data structure. These two improvements result in a fast and stable solver with a lower memory footprint. By investigating the active impedance of finite arrays it is found that, even for arrays with 1000 elements, asymptotic behavior may differ from infinite arrays. Tied to these properties, different predictors on how the active impedance of the center element in the array behaves are presented. The two best predictors work very well for the wideband arrays investigated, and may be used to decide when array approximations, such as unit cell methods, are appropriate, rather than general statements on array size.\n5. 关于鲁棒α阻尼粘性格式 On Robust Alpha-Damping Viscous Scheme\n作者: Hiroaki Nishikawa\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.17664v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17664v1\n摘要: In this paper, we investigate the convergence of an implicit defect-correction solver for a viscous discretization based on the alpha-damping scheme for unstructured grids. We show that significantly more robust iterative convergence is achieved by evaluating the damping term at the midpoint between two adjacent cell centers (edge midpoint) rather than at the face centroid. A one-dimensional Fourier analysis reveals that the implicit solver tends to be stable when the damping term in the residual is smaller than that used to construct the Jacobian. This observation suggests that the solver can be stabilized by effectively reducing the magnitude of the damping term in the residual - an effect achieved by the edge-midpoint evaluation. Robust convergence is demonstrated numerically for two-dimensional viscous-flow problems on highly irregular mixed-element and triangular grids.\n6. 慢变化解析含时哈密顿量的量子模拟 Quantum simulation of slow analytic time-dependent Hamiltonians\n作者: Chenhao Zhao, Yinan Li, Dong An\n类别: quant-ph, math.NA\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.17653v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17653v1\n摘要: We develop a quantum algorithm for slow analytic Hamiltonians $\\widetilde H(t)=H(t/T)$ with $\\|H(s)\\|\\leqα$ that achieves nearly additive query complexity and low gate overhead. Our main technical contribution is a periodic Gevrey extension of $H(s)$, together with Fourier component decay and truncation bounds that enable an efficient finite-dimensional simulation. Combined with Floquet embedding and optimal time-independent Hamiltonian simulation technique, this gives query complexity $\\widetilde{\\mathcal O}\\!\\left(αT+\\log(1/\\varepsilon)\\right)$ and additional gate complexity $\\widetilde{\\mathcal O}\\!\\left((αT+\\log(1/\\varepsilon))^2\\log(1/\\varepsilon)\\right)$, assuming coherent access to $H'(s)$ and endpoint derivatives. For slow analytic control Hamiltonians, only block encodings of the time-independent control operators are required, with the same query complexity and lower gate overhead. Our method also extends to Gevrey Hamiltonians and improves the precision dependence for simulating slow analytic semi-dissipative linear differential equations.\n7. COS-TT-CHF：用于多资产期权定价的张量列特征函数COS方法 COS-TT-CHF: A Tensor-Train Characteristic-Function COS Method for Multi-Asset Option Pricing\n作者: Lucas Arenstein, Michael Kastoryano\n类别: q-fin.CP, math.NA, q-fin.PR\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.17636v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17636v1\n摘要: This paper considers European multi-asset option pricing under Lévy and affine characteristic-function models. The main obstruction is the curse of dimensionality: direct multidimensional COS pricing forms tensor-product coefficient arrays whose size grows exponentially with the number of assets. We study and extend COS-TT-CHF, a low-rank construction that uses TT-cross to compress sampled characteristic-function tensors into tensor-train COS coefficients for arithmetic basket and min/max option pricing. Once built, the compressed representation gives fast post-setup strike-grid and selected component Delta/Vega calculations. The numerical study compares with adaptive-quadrature Fourier benchmarks, direct COS, a tensor-Fourier min-option benchmark, and quasi-Monte Carlo (QMC) references based on randomized Sobol points. The reported timings show a low-dimensional crossover against direct COS as the benchmark moves from $d=2$ to $d=4$, favorable timings against the tensor-Fourier min-option benchmark from $d=3$ onward, and favorable timings against the QMC common-Heston reference already at $d=2$. The reported tests reach $d=30$ for GBM and $d=20$ for VG, NIG, and common-Heston benchmark families, with accuracy, rank, runtime, control-sensitivity, and component Delta/Vega diagnostics reported throughout.\n8. 基于相位引导的Bregman TV正则化的联合近场全息层析重建 Joint Near-Field Holotomography Reconstruction with a Phase-Guided Bregman TV Regularization\n作者: Jin Liu, Johannes Hagemann, Martin Burger\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.17621v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17621v1\n摘要: Near-field holotomography combines coherent diffraction imaging with tomographic acquisition to recover the three-dimensional complex refractive index of a specimen. Since the measured diffraction intensities are generated by a nonlinear object transmission and wave propagation process, the resulting inverse problem is intrinsically nonlinear and ill-posed. We study a direct variational reconstruction framework based on a fully nonlinear wave propagation model that avoids both intermediate phase retrieval and linearization under the weak-object approximation. We analyze the forward operator in appropriate Banach spaces, establish its Fréchet differentiability, and derive explicit gradient expressions for variational reconstruction. To improve quantitative reconstruction of weak absorption features, we further develop a phase-guided Bregman TV regularization framework that exploits structural correlations between phase and absorption components. This enables multi-material reconstruction without imposing a globally fixed ratio between the two components. We perform numerical studies on synthetic phantoms and experimental data. The results demonstrate stable three-dimensional reconstructions and improved recovery of the absorption contrast compared to state-of-the-art methods.\n9. 含动态毛细压力的两相流模型有限体积格式的能量耗散与稳定性 Energy dissipation and stability of a finite-volume scheme for two-phase flow models with dynamic capillary pressure\n作者: Ansgar Jüngel, Josipa-Pina Milišić, Sara Xhahysa\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.17537v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17537v1\n摘要: An implicit Euler finite-volume scheme for degenerate pseudo-parabolic cross-diffusion equations is proposed and analyzed. The system describes the dynamics of an unsaturated two-phase flow mixture with dynamic capillary pressure in a porous medium. The numerical scheme is based on a two-point flux approximation that preserves the energy structure, ensures the conservation of total mass, and guarantees strict positivity and boundedness of the water saturation. These properties rely on carefully selected mean functions for the nonlinear components. The existence and uniqueness of a discrete solution and additional mesh-uniform bounds are proved. Numerical experiments in two space dimensions illustrate the effects of the dynamic capillary pressure.\n10. 非自反Banach空间上统计反问题的正则化 Regularization of Statistical Inverse Problems on Non-Reflexive Banach Spaces\n作者: Darrel K Joseph, M P Rajan\n类别: math.NA, math.FA, math.ST, stat.ML\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.17533v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17533v1\n摘要: Inverse learning within a statistical framework has a wide range of applications. It has garnered significant attention in machine learning, artificial intelligence, and related fields, where the goal is to infer unknown parameters from indirect and noisy observations. This work investigates the stable approximation of $u^{\\dagger}$ which solves the equation $Au=g$, with $A$ being a linear operator between appropriate vector spaces. We will consider the domain to be a non-reflexive Banach Space and the co-domain to be a space of real-valued functions on a metric space $X$. The function $g$ is characterized by a finite number of independently and identically distributed data points, which are assumed to follow some unknown probability measure $ρ$. We employ Tikhonov regularization with an arbitrary convex functional to obtain the regularized solution corresponding to the given data point. The convergence analysis is carried out with respect to the Bregman distance, and an upper bound for the error is derived in probability terms. The theoretical findings are then supported by numerical experiments.\n11. 多层移动最小二乘逼近的改进收敛性 Improved Convergence of Multilevel Moving Least-Squares Approximation\n作者: Robert Durst, Holger Wendland\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-18\narXiv ID: 2608.17441v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17441v1\n摘要: Moving least-squares approximation is a popular method for approximating multivariate functions from given discrete data. For higher accuracy higher degree polynomials have to be used, resulting also in higher computational cost and numerical instabilities. Recently, the combination of low-order moving least squares with a multilevel scheme showed superior numerical behavior. In this paper we will prove, amongst other things, that such a combination of moving least-squares with a multilevel scheme indeed leads to improved convergence results, at least if the data sites form a regular grid.\n12. 用于具有构型相关动能的耗散系统的投影半显式积分器：接触-赫尔格洛茨表述与基准测试 A Projected Semiexplicit Integrator for Dissipative Systems with Configuration-Dependent Kinetic Energy: Contact-Herglotz Formulation and Benchmarks\n作者: Lorena Loera-Galeana, Santiago Mejía, Espartaco Alvarado, Héctor Medel-Cobaxin\n类别: math-ph, math.DS, math.NA\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.17198v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17198v1\n摘要: Contact Hamiltonian dynamics gives dissipative mechanics an intrinsic action variable, but explicit contact splittings reach only kinetic energies whose terms are exactly integrable: frozen-coordinate diagonal metrics (the spherical pendulum, a torus particle) are included, while dense metrics with momentum cross terms, with the double pendulum as flagship, are not. We introduce a projected Pihajoki-contact integrator for this non-separable setting, combining phase-space duplication, symmetric projection onto the physical diagonal, and constant-friction damping half-steps, with the action factor carried by an exact Herglotz update. As in the projected extended-phase-space framework it builds on, the construction needs no binding parameter, returns the copies to the diagonal at every step, and confines the nonlinear solve to the $2n$ projection variables. For constant friction the step rescales $ω=dη$ by the exact factor $e^{-γτ}$ when the projection is solved exactly (a classical conformally symplectic identity, realized here for this class), while time-symmetry, consistency, and smoothness yield an $O(τ^3)$ one-step contact-form residual, a bound not specific to the contact form. On the damped double pendulum, spherical pendulum, and torus particle the method is second-order accurate, reproduces the contact decay law, and controls long-time energy and contact drift in coarse or stiff regimes where the Tao baseline and the unprojected average lose the solution. A head-to-head with exact-contactomorphism splittings delimits the niche: where a frozen-coordinate splitting exists it preserves the contact form exactly and wins at matched cost; for the dense double-pendulum metric the realizable alternative is first-order with a prohibitive constant and the projected method prevails. The contact-form estimate is local, one-step, and constant-friction.\n13. 稳健投影分裂龙格-库塔积分器（二阶和三阶） Robust Projector-Splitting Runge-Kutta Integrators of Orders Two and Three\n作者: Shiheng Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.17157v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17157v1\n摘要: Dynamical low-rank approximation requires time integrators that remain accurate in the presence of small singular values. We construct robust projector-splitting Runge\u0026ndash;Kutta methods of orders two and three. Their central feature is a common-base stage construction: every internal stage and the endpoint are obtained by applying the practical projector-splitting algorithm of Lubich and Oseledets to a Runge\u0026ndash;Kutta increment, always from the factors and row space at the beginning of the time step. Under uniform boundedness, Lipschitz, smoothness, and normal-component assumptions, every computation in which the projector-splitting factorizations have rank $r$ has local errors $C(h^3+h\\varepsilon_r)$ and $C(h^4+h\\varepsilon_r)$, and global errors $C(δ+\\varepsilon_r+h^2)$ and $C(δ+\\varepsilon_r+h^3)$, for the midpoint and third-order methods, respectively. Here $\\varepsilon_r$ bounds the normal component of the vector field and $δ$ is the initial error. The constants are independent of small singular values. Every stage and output has rank $r$, with the original basis width retained throughout the calculation.\n14. 随机化拟蒙特卡洛积分 Randomized quasi-Monte Carlo integration\n作者: Art B. Owen\n类别: stat.CO, math.NA\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.17143v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17143v1\n摘要: Quasi-Monte Carlo sampling is a numerical integration method that uses points with a space-filling property in $[0,1]^s$ designed to give better estimates than plain Monte Carlo methods do. For integrands of bounded variation in the sense of Hardy and Krause, errors of $O(n^{-1+ε})$ for any $ε\u003e0$ are obtained from $n$ sample points. Randomized quasi-Monte Carlo (RQMC) points are individually uniformly distributed but collectively space-filling and then independent replications provide variance estimates. For smooth enough integrands the randomization can give a root mean squared error of $O(n^{-3/2+ε})$. This article explains RQMC for a statistical readership recounting some history and presenting some current directions.\n15. 基于小波的 $\\ell_1$ 正则化图像去模糊多层框架 Wavelet-based multilevel framework for $\\ell_1$-regularized image deblurring\n作者: Danyh Tolah, Malena I. Español, Misha E. Kilmer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.17123v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17123v1\n摘要: Solving large-scale $\\ell_1$-regularized image deblurring problems efficiently while preserving sharp edges remains a significant computational challenge. We propose a wavelet-based multilevel framework that embeds three iterative solvers, Iteratively Reweighted Least Squares (IRLS), Split Bregman (SB), and Majorization-Minimization (MM), within a multilevel V-cycle. Discrete wavelet transforms define the interlevel transfer operators, and regularization parameters are selected automatically by Generalized Cross Validation. Two information transfer strategies are introduced and compared: one transfers only the coarse solution to the fine level, while the other transfers solver-specific auxiliary quantities. Numerical experiments demonstrate substantial computational savings for IRLS, with speedups exceeding an order of magnitude, while MM and SB exhibit more modest computational differences. The experiments generally show that transferring auxiliary iterates performs best with Haar wavelets, whereas transferring only the solution performs best with Daubechies wavelets.\n16. 改进的Arrow-Hurwicz方法用于稳态无感应磁流体动力学系统 Improved Arrow-Hurwicz method for Stationary Inductionless Magnetohydrodynamics System\n作者: Duygu Uludag, Fatma G. Eroglu, Aziz Takhirov, Songul Kaya\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.17035v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17035v1\n摘要: In this work, we propose a new Arrow-Hurwicz iterative scheme designed to solve the steady inductionless magnetohydrodynamics system. The main feature of the proposed scheme is the introduction of new penalty terms in the current density equation. These terms play a central role in effectively controlling the unfavorable mixed terms that commonly arise in such formulations. The proposed method is shown to achieve geometric convergence. Numerical tests affirm the efficiency of the new scheme without compromising accuracy.\n17. 从有限DFT样本中恢复整数信号：格方法与稳定性分析 Recovery of Integer Signals from Limited DFT Samples: Lattice Methods and Stability Analysis\n作者: Howard Levinson, Isaac Viviano\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.17024v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.17024v1\n摘要: We analyze lattice-based algorithms for recovering integer-valued signals from partial discrete Fourier transform (DFT) measurements. These algorithms formulate signal recovery as the problem of finding short vectors in an appropriately constructed lattice. We derive parameter estimates that guarantee successful recovery and quantify how these estimates depend on the signal length, the error of an initial guess, and the number of sampled DFT coefficients. The analysis characterizes the stability of the inversion algorithms, as the lattice parameters are closely related to the required measurement precision. Numerical experiments demonstrate close agreement between the theoretical predictions and observed recovery thresholds over a broad range of problem parameters.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-19_04-58-53/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月19日 04:58:53\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 4\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 17\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-各向同性弹性helmholtz方程mac格式离散的渐近色散修正\"\u003e1. 各向同性弹性Helmholtz方程MAC格式离散的渐近色散修正\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eAsymptotic dispersion correction for the isotropic elastic Helmholtz equation discretized with a MAC scheme\u003c/p\u003e","title":"2026年08月19日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月18日 04:58:23\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 7\n不相关论文数量: 33\n重点关注论文（完整分析） 1. 色散共振的渐近引导学习与符号回归 Asymptotics-guided learning and symbolic regression for dispersive resonances\n作者: Konstantinos Alexopoulos, Josselin Garnier\n类别: math.NA, cs.LG, math-ph, math.AP, physics.optics\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.16152v1\n摘要翻译: 我们研究了色散介质中的共振预测问题，该问题被表述为体积积分算子的非线性谱问题。主要思想不仅是将渐近分析用作基线近似，还将其用作构建预测性修正模型的指导。我们利用亚波长展开所建议的特征（包括二维特有的对数尺度）来学习渐近共振与参考共振之间的残差。所得修正显著改善了对单共振器和二聚体的预测，并且符号回归为学习到的残差生成了紧凑的公式。结果表明，渐近分析不仅可以用于近似共振，还可以用于设计特征空间，在该空间中数据驱动的修正变得精确、低维且可解释。\nComment: 25 pages, 11 figures, 6 tables\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.16152v1\n1. 研究对象和背景 本文研究色散介质中共振频率的预测问题。研究对象由二维 Helmholtz 方程描述： $$ \\nabla\\cdot\\left(\\frac{1}{\\mu(x)}\\nabla u(x)\\right) + \\omega^2 \\varepsilon(x,\\omega) u(x) = 0, \\quad x \\in \\mathbb{R}^2, $$ 其中 $\\omega \\in \\mathbb{C}$ 为角频率，$\\varepsilon(x,\\omega)$ 为可能色散且复值的介电常数，$\\mu(x)$ 为磁导率。背景介质均匀，参数为 $(\\varepsilon_0,\\mu_0)$，谐振子占据有界区域 $D \\subset \\mathbb{R}^2$。谐振子内部的介电常数采用 Lorentz 型色散模型： $$ \\varepsilon_r(\\omega) = \\varepsilon_0 + \\frac{\\alpha}{\\beta - \\omega^2 - i\\gamma\\omega + \\eta k_0^2}, \\quad k_0 = \\omega\\sqrt{\\varepsilon_0\\mu_0}, $$ 其中 $\\alpha,\\beta,\\gamma,\\eta \\in \\mathbb{R}$ 为材料参数，$\\gamma \\ge 0$ 表示阻尼。共振被定义为齐次问题存在非平凡外向解的频率，即如下非线性谱问题： $$ \\text{Id} + \\omega^2 \\xi(\\omega) K_D^\\omega \\quad \\text{不可逆}, $$ 其中 $\\xi(\\omega) = \\mu_0(\\varepsilon_r(\\omega)-\\varepsilon_0)$ 为对比度，$K_D^\\omega$ 是体积积分算子： $$ K_D^\\omega[u](x) = \\int_D G(x,y;\\omega) u(y) \\, dy, $$ $G$ 是背景介质的自由空间 Green 函数。在二维中 Green 函数具有对数奇性： $$ G(x,y;\\omega) = -\\frac{1}{2\\pi}\\log|x-y| + R(x,y;\\omega), $$ 这导致亚波长展开中出现对数项。该问题在光子学、超材料、钙钛矿谐振器等领域有重要应用，例如光学传感、光伏和发光器件。\n从数学角度看，亚波长尺度的渐近分析提供了共振频率的显式近似。设谐振子为 $D = \\delta B$（$0 \u003c \\delta \\ll 1$，$B$ 为固定参考域），则体积积分算子的特征值具有展开形式，其中含 $\\delta^2 k_0^2 \\log(\\delta k_0)$ 等项。然而，渐近展开在远离严格亚波长区域时精度下降，且高阶项（尤其是耦合和复杂几何情形）难以显式计算。另一方面，现有机器学习方法通常直接学习从参数到共振的完整输入-输出映射，依赖高容量模型，需要大量数据且难以解释。\n本文试图填补的空白是：提出一种渐近引导的残差学习框架，将渐近模型作为基线，仅学习参考共振与渐近共振之间的残差。该残差使用由亚波长展开（包括二维特有的对数项）启发的特征进行建模，从而在保持低维和可解释性的同时提高预测精度。\n2. 主要定理或主要结果 本文证明了以下主要结果：\n残差学习框架：设 $\\omega_{\\mathrm{asymp}}$ 为渐近模型给出的共振，$\\omega_{\\mathrm{ref}}$ 为高保真参考共振，定义残差 $\\Delta\\omega = \\omega_{\\mathrm{ref}} - \\omega_{\\mathrm{asymp}}$。通过 Ridge 回归学习映射 $X \\mapsto \\Delta\\omega$，其中 $X$ 包含物理几何参数（$\\delta, \\gamma$，以及 dimer 情形的 $\\kappa$）、渐近模型输出（如 $\\omega_{\\mathrm{asymp}}$ 的实虚部、近似特征值）和物理信息特征。物理信息特征基于二维子波长展开中出现的尺度： $$ \\delta^2 q_{\\mathrm{asymp}}^2, \\quad \\delta^2 q_{\\mathrm{asymp}}^2 \\log\\delta, \\quad \\delta^2 q_{\\mathrm{asymp}}^2 \\log q_{\\mathrm{asymp}}, $$ 其中 $q_{\\mathrm{asymp}} = |\\omega_{\\mathrm{asymp}}|$。对 dimer 的每个分支类似使用 $q_j = |\\omega_{j,\\mathrm{asymp}}|$。Ridge 回归形式为 $\\Delta\\omega \\approx WX + b$，最小化正则化最小二乘泛函 $$ \\min_{W,b} \\sum_{n=1}^N \\|W X_n + b - \\Delta\\omega_n\\|^2 + \\alpha_R \\|W\\|^2。 $$ 作者通过数值实验表明，该框架相比纯渐近模型显著提高了预测精度。 符号回归公式：使用 PySR 对残差的实部和虚部分别进行符号回归。对于单谐振子，一个紧凑的修正公式为： $$ \\omega_{\\mathrm{sym}} = \\omega_{\\mathrm{asymp}} + \\Delta\\omega_{\\mathrm{sym}}, $$ 其中（用 $\\omega_{\\mathrm{asymp},r}$ 和 $\\omega_{\\mathrm{asymp},i}$ 表示渐近共振的实部和虚部） $$ \\mathrm{Re}(\\Delta\\omega_{\\mathrm{sym}}) = \\delta^2 \\omega_{\\mathrm{asymp},r} \\left(0.02398765\\, \\omega_{\\mathrm{asymp},r}^2 + 0.00012753597\\, \\omega_{\\mathrm{asymp},r}\\omega_{\\mathrm{asymp},i} + 0.0053167343\\right), $$ $$ \\mathrm{Im}(\\Delta\\omega_{\\mathrm{sym}}) = 0.02947997\\, \\omega_{\\mathrm{asymp},i} \\left(\\delta^2 q_{\\mathrm{asymp}}^2 + \\delta^2 + \\delta^2 q_{\\mathrm{asymp}}^2 \\log q_{\\mathrm{asymp}}\\right)。 $$ 这些公式表明实部由 $\\delta^2$ 调制的渐近共振主导，虚部包含与特征尺度一致的频率依赖结构。对于 dimer 情形，符号回归分别应用于两个共振分支（对称和反对称模式），并利用特征值劈裂 $\\Lambda = |\\lambda_{1,\\mathrm{asymp}} - \\lambda_{2,\\mathrm{asymp}}|$ 作为输入变量。从提供内容中无法确认为 dimer 得到的具体符号表达式。 消融研究：作者通过消融实验表明，物理信息特征（尤其是 $\\delta^2 q_{\\mathrm{asymp}}^2 \\log q_{\\mathrm{asymp}}$ 等对数项）对准确修正是必要的；去除这些特征会显著降低精度。 辅助符号回归：作者提出用渐近下一阶修正的代理项辅助符号回归，将符号修正拆分为代理项和数据驱动项：$\\Delta\\omega_{\\mathrm{SR}} = \\Delta\\omega_{\\mathrm{proxy}} + \\Delta\\omega_{\\mathrm{data}}$。实验表明这种辅助策略改善或稳定了学习到的公式，支持残差受预期渐近尺度支配的解释。 噪声鲁棒性：作者研究了训练共振含噪的影响，表明所提框架对中等噪声保持稳健，尤其是当训练样本数量增加时。 3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术障碍是渐近展开在远离严格亚波长区域时失效，且高阶项难以显式计算；对于耦合系统，相互作用效应引入分支依赖的修正，进一步加剧了困难。作者的真正创新点在于：不放弃渐近模型，而是将其作为基线，用机器学习学习残差；并且不是任意选择学习特征，而是从二维子波长展开的已知结构中提取特征，使残差学习成为低维、可解释的问题。\n证明和分析框架包括以下关键技术：\n体积积分算子的子波长展开：通过变量替换 $x = \\delta \\tilde{x}$，将算子改写为 $$ K_D^\\omega[u](\\delta \\tilde{x}) = \\delta^2 \\int_B \\left[-\\frac{1}{2\\pi}\\log\\delta - \\frac{1}{2\\pi}\\log|\\tilde{x}-\\tilde{y}| + R(\\delta\\tilde{x},\\delta\\tilde{y};\\omega)\\right] \\tilde{u}(\\tilde{y}) d\\tilde{y}, $$ 从而分离出 $\\delta$ 的显式依赖。算子层面的展开为 $$ K_B^\\omega \\simeq (\\log(\\delta k_0) + \\gamma_E) K_B^{(-1)} + K_B^{(0)} + \\delta^2 k_0^2 \\log(\\delta k_0) K_B^{(1)} + \\cdots, $$ 其中 $\\gamma_E$ 为 Euler-Mascheroni 常数。这一展开揭示了下一阶修正的尺度为 $\\delta^2 k_0^2 \\log(\\delta k_0)$，以及分解 $\\delta^2 q^2 \\log(\\delta q) = \\delta^2 q^2 \\log\\delta + \\delta^2 q^2 \\log q$，这正是特征设计的物理依据。 隐函数定理推导残差尺度：定义标量共振函数 $\\Phi(\\omega,\\delta) = 1 + \\omega^2 \\xi(\\omega)\\lambda(\\delta,\\omega)$，其中 $\\lambda$ 为体积积分算子对应的特征值。设 $\\omega_{\\mathrm{asymp}}$ 满足 $\\Phi_{\\mathrm{asymp}}(\\omega_{\\mathrm{asymp}},\\delta)=0$，且 $\\partial_\\omega \\Phi_{\\mathrm{asymp}}(\\omega_{\\mathrm{asymp}},\\delta) \\neq 0$，则一阶残差为 $$ \\Delta\\omega \\simeq -\\frac{\\omega_{\\mathrm{asymp}}^2 \\xi(\\omega_{\\mathrm{asymp}}) \\Delta\\lambda(\\delta,\\omega_{\\mathrm{asymp}})}{\\partial_\\omega \\Phi_{\\mathrm{asymp}}(\\omega_{\\mathrm{asymp}},\\delta)}, $$ 其中 $\\Delta\\lambda = \\lambda - \\lambda_{\\mathrm{asymp}}$。这从理论上说明频率残差继承特征值展开的尺度，从而证明将 $\\delta^2 q^2$、$\\delta^2 q^2 \\log\\delta$、$\\delta^2 q^2 \\log q$ 作为特征是合理的。 Ridge 回归作为低维线性校正：使用线性模型 $\\Delta\\omega \\approx WX + b$，联合学习实部和虚部。线性模型是刻意的选择，因为渐近近似已捕捉主导行为，且特征包含预期的高阶尺度，残差应为这些量的低维组合。特征标准化、训练-测试划分和正则化参数细节见附录 A（从提供内容中无法确认具体数值）。 符号回归（PySR）：使用 PySR 框架搜索显式解析表达式拟合残差，而不是完整共振。目标为 $\\Delta\\omega$ 的实部和虚部，输入变量为物理信息特征。对 dimer 还使用特征值劈裂 $\\Lambda$。符号回归不是黑盒发现，而是渐近引导的工具，用于提取紧凑公式。 辅助符号回归：将符号修正分解为 $\\Delta\\omega_{\\mathrm{proxy}}$（基于渐近尺度的代理）和 $\\Delta\\omega_{\\mathrm{data}}$（数据驱动残差），先拟合代理项再用符号回归拟合数据项。这种方法利用了已知的渐近结构，稳定了学习过程，并支持残差确实由预期尺度支配的解释。 误差度量：采用相对误差 $E(\\omega) = |\\omega_{\\mathrm{pred}} - \\omega_{\\mathrm{ref}}|/|\\omega_{\\mathrm{ref}}|$，直接比较渐近模型和修正模型的精度。 4. 与之前工作的比较 本文与已有工作的比较可从以下几个维度展开：\n与纯渐近分析工作的比较：文中引用了体积积分算子谱性质的渐近展开工作 [2,3]。这些工作给出了亚波长区域共振的显式公式，例如单谐振子和耦合系统中的模式劈裂。但本文指出，这些渐近模型的精度在远离严格亚波长区域时恶化，且高阶修正难以显式计算。本文的推进在于：不试图推导更高阶展开，而是用数据驱动方式学习展开中缺失的项。残差学习框架将渐近模型作为基线，利用已知的展开结构设计特征，从而将渐近分析的适用范围扩展到更广的参数区间。代价是需要训练数据，且得到的是数值修正而非严格解析展开。 与机器学习直接学习完整映射的比较：文中与物理科学中的机器学习应用（[22] 算子学习与 PDE，[8,11,14,25,26] 光子学逆向设计）进行对比。这些方法通常直接学习从结构参数到光学响应的完整映射，依赖高容量模型，需要大量数据且难以解释。本文的差异在于：学习任务不是重新发现完整的共振图，而是修正渐近模型的残差。由于残差具有由渐近展开决定的低维结构，可以使用简单的线性 Ridge 回归或简洁的符号公式，从而显著降低数据需求和模型复杂度，并提高可解释性。消融实验表明物理信息特征至关重要，这进一步证实了结构引导的优势。 与符号回归在光子学中应用的比较：文中引用了符号回归在拓扑光子带 [9]、生物和仿生光学响应 [18,19] 以及物理发现 [12] 中的应用。这些工作通常将符号回归作为黑盒发现工具，直接搜索完整物理量的表达式。本文则将符号回归应用于渐近残差，并使用渐近引导的特征作为输入变量。这使得符号搜索聚焦于缺失的高阶项，而不是重新发现主导项。文中强调符号公式是数据驱动的拟合修正，不应视为严格渐近展开。此外，辅助符号回归策略（先拟合代理项）进一步利用了渐近结构，改善了公式的稳定性和可解释性。 与既有耦合系统渐近模型的比较：对于 dimer 系统，文中提到先前的渐近模型 [3] 描述了耦合导致的模式劈裂。但耦合系统的残差包含高阶自相互作用和耦合修正，比单谐振子更复杂。本文的分支-wise 学习和特征设计（包括特征值劈裂）旨在捕捉这些效应。从提供内容中无法确认为 dimer 的符号公式，但数值实验表明框架有效。 局限性和代价：本文的框架固定了材料参数（$\\alpha,\\beta,\\eta$），仅变化 $\\delta,\\gamma,\\kappa$，因此不是对任意材料族的学习问题。训练数据需要高保真数值模拟生成参考共振，这可能计算成本较高。噪声鲁棒性实验限于中等噪声。此外，符号公式是特定参数范围内的拟合，不具有渐近展开的普适性。作者未明确与其他数据驱动方法进行定量比较（例如精度、数据需求），这部分从提供内容中无法确认。 了解领域论文（摘要翻译） 1. 三维光滑曲面波散射的一种FFT加速边界积分方程方法 An FFT-Accelerated Boundary Integral Equation Method for Wave Scattering by Smooth Surfaces in Three Dimensions\n作者: Jun Li, Huiyi Li, Wangtao Lu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.16208v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.16208v1\n摘要翻译 中文标题: 三维光滑曲面波散射的一种FFT加速边界积分方程方法\n摘要翻译: 对于轴对称曲面上的波散射，快速傅里叶变换（FFT）方法为加速标准边界积分方程（BIE）求解器提供了有效工具。由于积分算子具有卷积性质，曲面积分方程可以在生成曲线上解耦为一系列曲线积分方程。三维基本核的傅里叶系数可以通过基于Miller算法的三项递推关系快速计算。对于非轴对称曲面，这些成熟技术将失效。 本文提出了一种新的FFT加速边界积分方法，用于任意形状光滑曲面上的波散射。奇异核的傅里叶系数现在满足高阶递推关系。尽管它们可以通过标准Olver算法以最优线性复杂度求解，但事实证明，一种奇异性交换方法——将每个核重写为一个光滑函数与一个轴对称相关奇异因子的乘积——在实际中要快得多。因此，Miller算法与标准FFT卷积相结合，可以得到一种${\\cal O}(M\\log M)$的方法来计算核的${\\cal O}(M)$个傅里叶模式，达到与轴对称曲面完全相同的复杂度阶数！借助这些基于FFT的高效程序，我们将曲面积分方程重写为${\\cal O}(M)$个弱奇异曲线积分，用基于面板的广义高斯求积法对其进行离散，并获得高精度的线性系统来近似波场。大量数值实验验证了新方法的有效性。\n2. 参数网格上曲面双调和方程的重构拉普拉斯方法 A Reconstructed-Laplacian Method for the Surface Biharmonic Equation on Parametric Meshes\n作者: Shuo Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.16139v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.16139v1\n摘要翻译 中文标题: 参数网格上曲面双调和方程的重构拉普拉斯方法\n摘要翻译: 我们发展并分析了一种基于重构曲面拉普拉斯算子的连续/间断伽辽金（CDG）方法，用于光滑闭曲面上的双调和方程。在次数为 $r\\ge1$ 的拟合参数网格上使用次数为 $k\\ge2$ 的连续映射有限元，而次数为 $(k-2)$ 的间断提升修正了破碎的 Laplace-Beltrami 算子，以处理双侧余法向通量跳跃。所得的完全平方形式在均值为零的空间上对每个固定的 $β\u003e0$ 都是强制的，无需足够大的罚参数。在标准几何假设下，我们证明了能量误差和重构拉普拉斯误差为 $\\mathcal O(h^{k-1}+h^r)$，$L^2$ 误差为 $\\mathcal O(h^{q_k}+h^{r+1})$，其中 $q_2=2$，且对 $k\\ge3$ 有 $q_k=k+1$。基准计算支持这些收敛阶，而曲面 Swift-Hohenberg 实验说明了该方法向非线性拉普拉斯主导模型的推广。\n3. T-网格上多项式样条空间的维数与维数稳定性的同调分解 A Homological Decomposition for the Dimension and Dimensional Stability of Polynomial Spline Spaces over T-Meshes\n作者: Bingru Huang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-16\narXiv ID: 2608.15684v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.15684v1\n摘要翻译 中文标题: T-网格上多项式样条空间的维数与维数稳定性的同调分解\n摘要翻译: 我们研究平面T-网格上具有给定光滑阶的双次数$(m,m')$多项式样条空间的维数与维数稳定性。同调维数公式将样条维数写为欧拉示性数项与修正项之和。对于固定的有序双次数，欧拉示性数项由网格结构和给定的光滑阶决定。修正项可以写成附着于最大内部线段（MIS）的系数空间之商。我们证明了一个加权删除定理：当可用的顶点关系生成某条MIS的系数空间时，该被加项可以从商中删除而不改变修正项。此操作既不改变T-网格，也不改变其链复形。重复删除后留下一个加权完全不可对角化分量（CNDC）。我们证明加权CNDC与合格MIS的删除顺序无关，并且在结构类中对于相应配对是相同的。因此，修正项可以仅使用加权CNDC中的MIS来表示，同时保留来自原始T-网格的所有关系。维数稳定性等价于剩余关系空间维数的恒定性。特别地，空的加权CNDC是稳定性的充分条件。我们还推导了剩余修正项的上界，并将其与Mourrain基于所有MIS的上界进行比较。\n4. 超越场精度：逆物理信息神经网络参数误差的双轴诊断 Beyond Field Accuracy: Two-Axis Diagnosis of Inverse-PINN Parameter Error\n作者: Yifan Zhang, Qian Tao\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-15\narXiv ID: 2608.15373v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.15373v1\n摘要翻译 中文标题: 超越场精度：逆物理信息神经网络参数误差的双轴诊断\n摘要翻译: 逆物理信息神经网络（PINNs）能够在准确重建场的同时返回错误的物理参数。我们引入了一种两轴训练后诊断方法，将指定观测与估计协议下的有限样本分辨率与最终学习场和残差度量所编码的有符号参数偏好分离开来。第一轴使用匹配的正向估计器对噪声观测进行重复拟合。在已知的合成真值下，第二轴冻结场和残差视图，并计算朝向附近残差剖面最小值的局部分数位移。端点一致性随后检验联合训练是否在同一最终视图下实现该偏好。在三个合成的一维标量参数偏微分方程中，匹配正向估计的平均绝对相对误差范围为2.34%至17.46%。位移在锁定种子、架构和新鲜噪声重训练中跟踪冻结剖面最小值（r从0.945到0.982），并在240次新鲜噪声RBA运行中跟踪传递的有符号对数误差（r = 0.994；237/240个正确方向）。耦合的两参数达西检验验证了完整矩阵计算。这两个轴是互补的诊断坐标，而非可加性误差分量或可部署的无预言机估计器。它们共同将后续工作引向观测、残差证据或端点传递。\n5. 二维标量电磁问题的协调与非协调Trefftz逼近 Conforming and nonconforming Trefftz approximations for two-dimensional scalar electromagnetic problems\n作者: Igor Tsukerman\n类别: physics.comp-ph, math.NA\n发布日期: 2026-08-15\narXiv ID: 2608.15352v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.15352v1\n摘要翻译 中文标题: 二维标量电磁问题的协调与非协调Trefftz逼近\n摘要翻译: Trefftz函数局部且精确地满足微分方程；拟Trefftz函数则以预设的高阶精度近似满足。本文考虑二维标量电磁问题的（拟）Trefftz逼近。已有的离散化方法包括柔性局部逼近法（FLAME）、Trefftz单元（$T$-单元）以及Trefftz间断伽辽金（Trefftz-DG）方法。新的发展包括梯度增强FLAME（GEFLAME）、协调Trefftz\u0026ndash;FLAME有限元（TFF）以及通过Schur\u0026ndash;DtN约化得到的全场Bloch波矢-频率解。应用涵盖静电学、散射、奇异场以及周期结构中的Bloch波。 这些方法在协调性与灵活性之间做出了不同的折衷。FLAME和GEFLAME将Trefftz函数直接纳入局部差分格式；TFF使用逐单元FLAME格式将多项式迹提升到单元内部；$T$-单元将逐单元Trefftz空间与这些迹弱匹配；而Trefftz-DG通过通量和罚项耦合分片Trefftz空间。 在所报告的波散射算例中，GEFLAME在相当的代数代价下，其场和梯度误差比二次有限元离散低数个数量级。局部奇异函数增强消除了主要的重入角误差。协调TFF和拟协调$T$-单元允许标准的有限元组装，但暴露出多项式边迹作为精度瓶颈。对于周期介质，双线性Trefftz-DG格式给出了解析的多项式波数-频率特征问题，而无需将Bloch乘子限制在单位圆上。Schur\u0026ndash;DtN约化产生紧凑的边界响应问题。\n6. MiNO：用于偏微分方程的余切丛传播子学习 MiNO: Cotangent-bundle propagator learning for PDEs\n作者: Gnankan Landry Regis N\u0026rsquo;guessan, Bum Jun Kim\n类别: cs.LG, cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-08-15\narXiv ID: 2608.15187v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.15187v1\n摘要翻译 中文标题: MiNO：用于偏微分方程的余切丛传播子学习\n摘要翻译: 用于偏微分方程的科学机器学习通常针对解场（如物理信息神经网络）或解映射（如神经算子）。我们研究第三个目标：传播子本身，即相空间中的一个相位和振幅。其动机在于正则性上的差距。一个被输运的间断在空间和时间上是不光滑的，但移动它的规则可以是一个携带单位振幅的多项式相位，因此产生演化的对象可以比它所产生的场光滑得多。微局部神经算子（MiNO）学习该对象，利用程函方程描述相位、输运方程描述振幅，并通过振荡积分恢复解。尖锐前沿和焦散因此属于传播几何，而非逐点拟合的场。小的残差所证实的不仅仅是被重建的场。它们将学习到的典范关系（承载奇异性的几何）置于接近精确典范关系的位置，并将可训练误差与频率截断尾部区分开来。在一个匹配预算的不连续平流基准测试中，MiNO 在10,000步内达到其有限重建窗口的精度极限（该极限以闭式形式预测）后停止改进，而具有神经正切核损失平衡的物理信息神经网络则停留在其初始误差附近。在光滑平流中，MiNO 的平均误差为 $3.84\\times10^{-3}$，而有监督的傅里叶神经算子为 $3.12\\times10^{-2}$。单分支 MiNO 是所比较模型中规模最小的，并且一个训练好的生成器可以在不重新训练的情况下服务五种未见过的初始条件。\n7. 用于开孔多孔材料均质化的混合专家代理模型 Mixture of experts surrogate model for the homogenization of open-porous materials\n作者: Axel Klawonn, Martin Lanser, Lucas Mager, Ameya Rege, Janine Weber-Hamacher\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-14\narXiv ID: 2608.14809v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.14809v1\n摘要翻译 中文标题: 用于开孔多孔材料均质化的混合专家代理模型\n摘要翻译: 对于开孔多孔材料，将其微观结构特性纳入力学模拟中，对于准确捕获弹性变形构成了重大挑战。为应对这一困难，多尺度方法是耦合所考虑材料微观结构特征与宏观材料行为的常用工具。然而，当需要高精度时，由于每一步计算中需要求解大量微观问题，这些多尺度计算在计算上可能非常昂贵。在此，学习底层本构模型力学响应的代理模型可以显著降低多尺度方法的计算成本。在部分作者先前的工作中，梁框架模型已被用于模拟开孔多孔材料的微观结构，并与基于神经网络的代理模型相结合，以近似给定RVE（代表性体积单元）的材料行为。在本工作中，我们扩展了先前的研究，训练了一个更复杂的神经网络模型来预测多个RVE的力学行为，这些RVE在最大孔径和孔径分布上有所不同。具体而言，我们关注混合专家（MoE）模型，并比较不同的MoE架构及其在不同RVE上的性能。这种新方法降低了模拟多个RVE的计算成本，因为当考虑新的RVE时，MoE模型不需要额外训练。\n不相关论文（基本信息） 1. AutoSR：通过搜索研究状态的自动符号回归 AutoSR: Automatic Symbolic Regression by Searching Research States\n作者: Kejia Zhang, Youran Sun, Xinyu Ren, Chugang Yi, Haizhao Yang\n类别: cs.SC, cs.AI, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.16876v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.16876v1\n摘要: We introduce Automatic Symbolic Regression (AutoSR), a fully automated system that instantiates Research-Space Symbolic Regression by searching persistent scientific investigations rather than isolated equations. Finite, noisy data often yield numerically competitive expressions that imply very different behavior outside the observed regime, making numerical fit and syntactic complexity insufficient measures of scientific credibility. Existing approaches largely focus on improving expressions, yet the search typically retains little beyond the resulting formula and score, losing the scientific record, such as motivations and probes, that inform what to try next. AutoSR preserves this record in a \\textbf{Research State}, coupling each candidate equation with the reasoning, computational evidence, and independent review developed along its branch. Proposer\u0026ndash;reviewer agents develop these states under progressive-widening Monte Carlo tree search (PW-MCTS), which allocates computation across competing investigations, while the accumulated research record is ultimately synthesized into a final report that explains the leading relation and the basis for its selection. Across nine selected challenges from two benchmark suites, AutoSR recovers algebraically equivalent relations in every case, including three cp3-bench problems that no published system recovers and six structurally diverse LSR-Transform problems. Overall, AutoSR extends symbolic regression from equation-level search toward automated scientific investigation, allowing scientific knowledge and accumulated evidence to shape both what is explored and how the resulting equation is justified.\n2. 加倍维度为平方应力带来良性景观 Doubling the dimension yields a benign landscape for the squared-stress\n作者: Christopher Criscitiello\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.16799v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.16799v1\n摘要: We consider the Euclidean distance geometry problem (EDG): given a subset of the pairwise distances of an unknown cloud of $n$ points in $\\mathbb{R}^\\ell$, recover the point cloud up to rigid motions. When $n$ is large, a popular practical approach is to minimize a nonconvex quartic, known as the squared-stress or s-stress, over point clouds in $\\mathbb{R}^k$, with $k$ potentially larger than $\\ell$. It is a long-standing open problem to understand the optimization landscape of the s-stress when all pairwise distances are known (Malone and Trosset, 2000; Parhizkar, 2013). It was recently shown that the landscape is not benign when $k=\\ell$, and it was conjectured that the landscape becomes benign as soon as $k\\ge \\ell+1$ (Song et al., 2025; Criscitiello et al., 2026). Here, we show that the complete-graph s-stress has a benign landscape whenever $k\\ge 2(\\ell+1)$, establishing the conjecture up to a factor of two. A key idea is to view second-order criticality as a containment of two ellipsoids; finding a descent direction then corresponds to finding a separating hyperplane that violates this containment. This dual perspective yields the stated landscape result, and also applies to any measurement operator whose inverse satisfies a simple frame condition.\n3. Cahn-Hilliard-Cook 方程的有限元逼近 Finite Element Approximation of the Cahn-Hilliard-Cook equation\n作者: Ali Mesforush, Stig Larsson, Mihály Kovács\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.16680v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.16680v1\n摘要: We study the nonlinear stochastic Cahn-Hilliard equation per- turbed by additive colored noise. We show almost sure existence and regularity of solutions. We introduce spatial approximation by a standard finite element method and prove error estimates of optimal order on sets of probability arbitrarily close to 1. We also prove strong convergence without known rate.\n4. Vilenkin群上阶梯缩放函数的构造 Construction of step scaling functions in the Vilenkin group\n作者: Sergei Lukomskii\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.16516v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.16516v1\n摘要: In Vilenkin\u0026rsquo;s group we present an algorithm for constructing a step scaling function with a given support and a constant on given cosets.\n5. 图上带个体噪声的平均场博弈交错格式的收敛性与变分结构 Convergence and variational structure of a staggered scheme for mean field games with individual noise on graphs\n作者: Jianbo Cui, Tonghe Dang\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.16474v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.16474v1\n摘要: We propose and analyze a time-staggered numerical scheme for mean field game (MFG) systems with individual noise on finite graphs. Numerically solving such coupled forward\u0026ndash;backward systems is delicate because the density evolves in the open probability simplex and the coefficients may degenerate at its boundary. The scheme preserves mass and satisfies a discrete fundamental identity compatible with the Lasry\u0026ndash;Lions monotonicity argument, leading to uniqueness of the numerical solution. By establishing a timestep-uniform positive lower bound for the density and uniform bounds for the value variable, we prove first-order convergence for every interior discrete solution. For potential MFGs, we establish a variational characterization by identifying the scheme with the KKT system of a convex discrete action, yielding existence of the discrete solution and an optimization-based realization. The resulting optimization problem is solved by a feasible primal\u0026ndash;dual Newton method in mass-preserving coordinates. Numerical experiments confirm the predicted convergence rate and illustrate topology-dependent transport and congestion-driven route choice.\n6. 无参考的对数能量-神谕恢复用于对称强制变分问题的神经近似：协调Riesz重构与存档级选择 Reference-free logged energy-oracle recovery for neural approximations of symmetric coercive variational problems: conforming Riesz reconstruction and archive-level selection\n作者: Karim Bounja, Lahcen Laayouni, Boujemaa Achchab, Abdeljalil Sakat\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.16473v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.16473v1\n摘要: Neural PDE training yields a finite checkpoint archive, yet its logged energy errors are inaccessible without the exact solution, while loss-based selection does not necessarily recover the logged energy oracle. For admissible neural approximations of symmetric coercive variational problems, we introduce a reference-free selection rule based on minimizing a computable conforming Riesz monitor. The exact residual-energy identity and conforming projection make the monitor an unconditional lower bound converging monotonically to each logged energy error under nested conforming refinement; under saturation, hierarchical enrichment yields a computable upper estimate and hence a lower-upper bracket. A key finding is that archive selection is order-sensitive: unresolved checkpoint-dependent components can reverse the oracle-non-oracle ranking at finite resolution, so checkpointwise recovery alone is insufficient. For finite archives, we prove uniform recovery, yielding convergence to the logged-oracle error and, without saturation, logged-oracle selection at sufficiently fine auxiliary resolution. Under saturation, the bracket gives a computable near-oracle bound and certifies unique logged-oracle selection upon interval separation. We also bound logging-resolution loss and certify oracle inclusion over prescribed comparison trajectories. The resulting criterion replaces inaccessible exact-error minimization by computable, training-independent post-training selection on the intrinsic energy-error scale, requiring only the computed candidates and the variational problem. Experiments on diffusion and elasticity, including a non-manufactured perforated plate, demonstrate energy-scale calibration, oracle-level selection, and modest post-processing cost.\n7. 裂隙介质中具有弹簧型与摩擦接触变形规律的弹性波传播 Elastic wave propagation in fractured media with spring-type and frictional contact deformation laws\n作者: Ingrid Kristine Jacobsen, Jan Martin Nordbotten, Ivar Stefansson, Barbara Wohlmuth, Inga Berre\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.16460v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.16460v1\n摘要: Elastic wave propagation in fractured media is relevant to applications such as analysis of seismic waves and non-destructive characterization of materials. Understanding attenuation and scattering behavior arising from wave-fracture interaction is important for interpreting observations at both field and laboratory scales. This work presents a computational framework for elastic wave propagation in fractured media based on a mixed-dimensional discrete fracture-matrix representation. Fracture deformation is governed by four models of increasing complexity, ranging from widely used spring-based formulations to fracture contact mechanics models with friction, all incorporated within a unified computational framework. Many previous studies are often restricted to simplified wave fields, single fractures or subsets of the relevant fracture deformation mechanisms. In contrast, the proposed framework enables fully coupled simulation of elastic wave propagation with fracture deformation models that account for elastic normal deformation, frictional contact and fracture opening and closure. The elastic wave equation is discretized in space using the cell-centered finite volume method Multi-Point Stress Approximation with weak symmetry and in time using the Newmark method. The spatial discretization is locally conservative and applicable to general polyhedral grids, making it well suited for media containing fractures, material heterogeneities and anisotropy. The proposed framework is verified through numerical convergence analyses and is subsequently applied to wave propagation and fracture deformation in two- and three-dimensional media containing multiple intersecting fractures.\n8. 用于实验数据的环面计算机断层成像 Torus computed tomography for experimental data\n作者: Ella Salo, Alexander Meaney, Olli Koskela, Jesse Railo\n类别: math.NA, math.FA\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.16453v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.16453v1\n摘要: We implement the torus-based X-ray tomography method introduced by Ilmavirta, Koskela, and Railo in \u0026ldquo;Torus computed tomography\u0026rdquo;, SIAM J. Appl. Math., 80(4):1947\u0026ndash;1976, 2020, for experimental X-ray tomographic data. The numerical implementation is extended to accommodate fan-beam measurements by converting the data to a parallel-beam format and mapping the projection angles to the closed-geodesic directions on the torus. In addition, we consider two extensions of the original framework: the Star TCT method which extends the frequency coverage of the reconstruction, and a numerical implementation of torus backprojection developed by Railo in \u0026ldquo;Fourier analysis of periodic Radon transforms\u0026rdquo;, J. Fourier Anal. Appl., 26(4):64, 2020, for which we also derive a corresponding regularized formulation. We demonstrate the methods on experimental X-ray data of a walnut and compare them with filtered backprojection. We also introduce a pointwise positivity constraint as a post-processing step, which substantially improves the reconstruction accuracy. The simulated data experiments are revisited using an updated implementation. The results indicate that the proposed extensions improve reconstruction quality and support the applicability of torus-based reconstruction methods to experimental data.\n9. 再生核巴拿赫空间上统计反问题的收敛性分析 Convergence Analysis of Statistical Inverse Problems on Reproducing Kernel Banach Spaces\n作者: Darrel K Joseph, M P Rajan\n类别: math.NA, math.FA, stat.ML\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.16404v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.16404v1\n摘要: Statistical inverse problems have garnered significant attention in recent years due to the growing importance of statistical learning theory and functional analytic approaches in the fields of machine learning and artificial intelligence. In this paper, we investigate the stable approximation of the element $u^{\\dagger}$ that satisfies the equation $Au = g$, where $A$ is a linear operator that maps a Banach space into an appropriate function space. The function $g$ is observed only through independently and identically distributed data points that are corrupted by noise and assumed to follow an unknown distribution $ρ$. We employ the Tikhonov regularization scheme, leveraging statistical learning techniques and the framework of reproducing kernel Banach spaces to estimate the solution. We establish convergence and derive the convergence rate of the estimated solution with respect to the true solution as the number of data points increases, with the rate expressed in probabilistic terms. The theoretical findings are further supported by numerical experiments that demonstrate the effectiveness of the proposed approach.\n10. Itô随机延迟微分方程的一种弱二阶Runge-Kutta方法 A weak order 2 Runge-Kutta method for Itô stochastic delay differential equations\n作者: Alessia andò, Dimitri Breda, Faraz William\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.16396v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.16396v1\n摘要: We present a Runge-Kutta method of weak order 2 for the numerical time integration of stochastic delay differential equations. This scheme extends the class of second order Runge-Kutta methods introduced by A. Rößler in [SIAM J. Numer. Anal., 47(3):1713-1738, 2009] for stochastic ordinary differential equations. The proposed integrator is applicable to equations with discrete commensurable delays and is particularly efficient for problems involving multiple noise terms. Experimental confirmation of the weak order 2 is provided and MATLAB codes are freely available.\n11. 广义修正分裂方法的收敛性分析：使用多指标级数 Convergence analysis of generalized modified splitting methods using multi-index series\n作者: Eugen Bronasco, Mechthild Thalhammer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.16356v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.16356v1\n摘要: We consider splitting methods for partial differential equations involving unbounded operators. For non-time-reversible dynamics, such as dissipative systems, negative splitting coefficients are generally not admissible because they require stepping backward in time, leading to an order barrier when all coefficients are required to be positive. We introduce generalized modified splitting methods to overcome this barrier. To analyze their convergence, we develop the corresponding multi-index series formalism, which provides a systematic framework for deriving order conditions. Using this formalism, we derive the order conditions and construct a generalized modified splitting method of order $6$. We also provide Python scripts that automate the generation and verification of order conditions, as well as the construction of new generalized modified splitting methods. Finally, we establish connections between the introduced multi-index series and related series formalisms from the literature, in particular, word series, Lie-Butcher series, and multi-index Butcher series.\n12. 带局部自适应网格细化的分层稀疏网格粒子网格法 Hierarchical sparse-grid particle-in-cell method with locally adaptive mesh refinement\n作者: F. Deluzet, C. Guillet, J. Narski, P. Pace\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.16294v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.16294v1\n摘要: In this paper, we introduce new approximation spaces and a locally adaptive refinement strategy for the hierarchical sparse-grid PIC (HSG-PIC) method to improve the bias while preserving the noise-reduction properties of sparse-grid methods. We first propose an energy-based approximation space, which optimizes the relation between the $\\mathrm{H}^1$-norm error and the number of degrees of freedom, together with a family of generalized sparse-grid spaces that continuously connects classical sparse-grid and full-grid approximations. We then develop a locally adaptive approximation strategy based on hierarchical surpluses, combined with an efficient incremental refinement algorithm that avoids solving the Galerkin problem on the complete generalized space. Numerical experiments demonstrate that the proposed adaptive HSG-PIC method substantially improves the approximation of solutions with localized structures while maintaining the statistical advantages of sparse-grid discretizations. Compared with a standard full-grid PIC method, the adaptive approach achieves comparable or higher accuracy with a significantly reduced number of mesh nodes and particles. These results demonstrate the potential of adaptive sparse-grid PIC methods for efficient simulations of kinetic plasmas with complex solution structures.\n13. 一种用于具有条件稳定性的抛物型反源问题的无伴随积分反馈方法 An adjoint-free integral feedback method for a parabolic inverse source problem with conditional stability\n作者: Sedar Ngoma\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.16133v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.16133v1\n摘要: We study an inverse source problem for a linear non-autonomous parabolic equation with additive source term $f(t)+ζ(t,x)$, where the unknown component depends only on time and is recovered from an integral observation of the solution. After reducing the problem to an equivalent linear inverse problem, we establish existence and uniqueness of the Tikhonov-regularized solution and derive a first-order optimality condition. We show that the forward operator admits a Volterra representation in time, yielding a weak-norm stability estimate in $H^{-1}(0,T)$ and, under an a priori $H^r(0,T)$ bound on the source, a conditional Hölder stability estimate in $L^2(0,T)$. Motivated by this Volterra structure, we introduce an adjoint-free integral feedback method that reconstructs the source using only forward solves. We analyze the feedback iteration by establishing its well-definedness and fixed-point properties, convergence for exact data, and finite-iteration stability with respect to noisy data. We further show that, with an appropriate noise-dependent stopping rule, the method constitutes an iterative regularization scheme. Numerical experiments for smooth and piecewise constant sources, supplemented by temporal regularization and automatic parameter selection, demonstrate accurate and stable reconstructions in the presence of noise.\n14. 具有异质局部化与局部边界条件的非局部问题的有限元逼近 Finite Element Approximation of Nonlocal Problems with Heterogeneous Localization and Local Boundary Conditions\n作者: Yuyan Chang, Hui Liang, Zhonghua Qiao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.16079v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.16079v1\n摘要: This paper studies the finite element approximation of a one-dimensional nonlocal Poisson problem with heterogeneous localization and homogeneous local Dirichlet boundary conditions. These local boundary conditions induce localization kernels with spatially varying interaction neighborhoods, which lead to substantial numerical challenges for the assembly of the singular nonlocal stiffness matrix. An asymptotically compatible conforming finite element method is developed for the variational formulation, together with an exact geometric decomposition for the singular stiffness matrix assembly. Under additional smoothness assumptions on the localization profile, second-order operator consistency is established and error estimates are derived with the corresponding convergence orders. Numerical experiments confirm the theoretical convergence behavior and demonstrate the improved boundary behavior of the heterogeneous localization model.\n15. zenDot：集成大语言模型的量子TCAD平台，用于半导体量子器件设计与优化自动化 zenDot: An LLM-integrated quantum TCAD platform for semiconductor quantum-device design and optimization automation\n作者: Zeheng Wang, Yan Liu, Yue Hao, Genquan Han\n类别: quant-ph, math.NA, physics.app-ph\n发布日期: 2026-08-17\narXiv ID: 2608.16048v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.16048v1\n摘要: Semiconductor quantum-device design still lacks an integrated Technology Computer-Aided Design (TCAD)-like environment that connects material geometry, quantum many-body simulation, and automated design. Here we introduce zenDot, a large-language model (LLM)-integrated quantum TCAD platform that links a material-labelled device state to a unified condensed-matter physics toolbox. The device and calculation components are integrated into a desktop workbench, Python API, and an embedded LLM agent, allowing electrostatics, charge and transport characterization, correlated-state calculations, and qubit modelling to be executed within one reproducible environment. We demonstrate zenDot on a Si/SiO2 double quantum dot, where a single device state reproduces the characterization workflow and supports hybrid, tunnel-charge, and singlet-triplet qubit analyses. A platform-level universal-control scan revises the singlet-triplet operating point and reduces the predicted worst-gate infidelity by nearly 30-fold. Beyond analysis, the LLM agent directly operates the same physics environment as human users, proposing design changes, executing registered simulations, and iterating on solver-returned metrics under physics-aware validation. Across three demonstration tasks it completes 18 validated design iterations, including geometry modification followed by a full re-solve from the material stack. zenDot establishes a machine-operable quantum TCAD workflow that connects device physics with LLM-driven design exploration.\n16. 无导数随机函数与确定性等式约束的自适应采样信赖域优化 Adaptive Sampling Trust Region Optimization for Derivative-free Stochastic Functions and Deterministic Equality Constraints\n作者: Nicole Felice, Sara Shashaani, Lindon Roberts\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-08-16\narXiv ID: 2608.15894v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.15894v1\n摘要: We study optimization problems with noisy zeroth-order objective observations and deterministic nonlinear equality constraints with available derivatives. We propose a constrained variant of the adaptive-sampling trust-region derivative-free optimization algorithm\u0026mdash;ASTRO-DF. The method builds quadratic local models from estimated objective values at interpolation points within a moving trust region and promotes feasibility through a Byrd\u0026ndash;Omojokun composite-step based on linearized constraints, following an SQP-like framework. We prove almost sure convergence using a new constrained criticality test and present numerical results on an equality-constrained stochastic activity network problem.\n17. 逆星偏差的有界独立性 Bounded independence for the inverse star discrepancy\n作者: Kosuke Suzuki\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-16\narXiv ID: 2608.15865v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.15865v1\n摘要: We give a random-bit-efficient construction for the inverse star discrepancy. For every fixed $u\\in(0,1)$, $k$-wise independent uniform points $\\boldsymbol{X}_1,\\ldots,\\boldsymbol{X}_N$ with $k=O(d(1+\\log(1+N/d)))$ satisfy the Monte Carlo bound $D_N^*(\\boldsymbol{X}_1,\\ldots,\\boldsymbol{X}_N) =O(\\sqrt{d/N})$ with probability at least $u$. Consequently, $N=O(d\\varepsilon^{-2})$ and $k=O(d(1+\\log\\varepsilon^{-1}))$ suffice to attain discrepancy at most $\\varepsilon$. The proof isolates the finitely many moments required by a chaining argument and gives explicit constants. A random vector-valued polynomial over a finite field realizes the required bounded independence on a grid using $O(d^2(1+\\log(1+N/d))\\log N)$ random bits, rather than the $Θ(dN\\log(dN))$ bits used by independent grid sampling.\n18. 一种在所有声学马赫数和阿尔芬马赫数下、适用于具有一般状态方程的理想MHD的保结构和压力正性的半隐式IMEX有限体积格式 A Structure- and Pressure-Positivity-Preserving Semi-implicit IMEX Finite Volume Scheme for Ideal MHD at All Acoustic Mach and Alfvén Mach Numbers with Generic Equation of State\n作者: Zefeng Chen, Riccardo Demattè, Walter Boscheri, Stephen Millmore\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-16\narXiv ID: 2608.15837v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.15837v1\n摘要: We present a conservative, structure-preserving, finite-volume scheme for ideal MHD that ensures pressure positivity, remains applicable across all Mach and Alfven regimes, and handles general nonlinear equations of state. The scheme splits the MHD system into three sub-systems according to characteristic wave scales: an advective part for hydrodynamic transport, a magnetic part for velocity-field coupling, and a pressure part for pressure-velocity coupling. Nonlinear advective terms are explicit, while the other two sub-systems are implicit, yielding a mild, velocity-based CFL condition that is supported by extensive numerical evidence. This makes the scheme suitable for gas-pressure or magnetic-pressure dominated regimes and the incompressible limit. The implicit discretisation gives a pressure equation that reduces to an elliptic form in the low-Mach limit for ideal gases and general thermodynamics. Pressure positivity is ensured via a local conservation-preserving modification of the pressure-internal-energy relation, avoiding a posteriori clipping while preserving conservation. The divergence-free constraint is enforced exactly via constrained transport. Second-order accuracy is achieved with an IMEX Runge-Kutta time integration, TVD reconstruction for explicit fluxes, and central discretisation for implicit terms. The scheme is validated against numerous benchmarks, including high- and low-Mach regimes, strongly magnetised flows, and standard MHD shock problems in 1D and 2D, demonstrating accuracy, stability, and excellent shock-capturing.\n19. 空间变化的输运-反应方程量子模拟的资源分析 Resource Analysis for Quantum Simulation of Spatially Varying Transport-Reaction Equations\n作者: Benjamin Jasperson, Krishna Garikipati, Siddhartha Srivastava\n类别: quant-ph, math.NA\n发布日期: 2026-08-16\narXiv ID: 2608.15827v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.15827v1\n摘要: Spatially varying coefficients are the primary source of circuit complexity in quantum simulation of linear advection-diffusion-reaction equations. This work presents a resource analysis of single-step quantum propagators constructed using sparse FABLE block encodings, Quantum Singular Value Transformation, and linear-combination-of-unitaries. We derive theoretical estimates for qubit count, gate complexity, and circuit depth in terms of the spatial discretization, sparsity, and polynomial degree, and compare these predictions with synthesized quantum circuits for one- and two-dimensional variable-coefficient problems. The resulting analysis quantifies the cost of encoding realistic transport operators and provides practical resource estimates for near-term implementations.\n20. 三维非线性稳态辐射输运方程的稳健块预处理 Robust Block Preconditioning for 3D nonlinear steady-state radiation transport equations\n作者: Yunpan Ma, Lingxiao Li, Changhui Yao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-16\narXiv ID: 2608.15826v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.15826v1\n摘要: In this work, based on the discrete ordinate method, we propose a robust block preconditioning strategy for the 3D nonlinear steady-state radiation transport equation with heat diffusion term. The presence of the diffusive term of the temperature equation prevents its elimination into a single equation for the radiation intensity. To overcome this difficulty, all physical variables are assembled into a single monolithic linear system. The heat flux and temperature are treated as independent variables in a mixed $H(\\mathrm{div})$-conforming finite element formulation. The equation for radiation intensity is discretised by a discontinuous Galerkin method with upwind flux, where a vectorial finite element space is used to couples the radiation intensity in different directions within each element. We then construct a Newton-Krylov iterative solver to solve the nonlinear equations, for which the core part is efficient preconditioning. To accelerate the convergence of Krylov\u0026rsquo;s method, three block preconditioners are constructed, corresponding to different levels of approximation of the coupling between the temperature and radiation intensity. $P_{\\mathrm{Schur}}$ retains the full coupling. $P_{\\mathrm{Split}}$ drops the conductive contribution to the radiation block. $P_{\\mathrm{BJ}}$ neglects the radiation-to-temperature coupling, retaining only the temperature-to-radiation coupling. Numerical experiments demonstrate the mesh independence and robustness of the proposed preconditioners.\n21. 守恒律系统的最大熵耗散数值格式 Maximal entropy dissipation numerical scheme for conservation law systems\n作者: Marko Nedeljkov\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-08-16\narXiv ID: 2608.15716v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.15716v1\n摘要: This paper presents a numerical finite volume method for conservation law systems that are adapted to the principle of maximal dissipation. The general assumptions are the existence of a strictly convex entropy functional and the finite propagation speed property of a given system. The procedure is based on a numerical flux construction obtained by the minimization of the entropy functional in each time step. The scheme satisfies assumptions of the Lax-Wendroff theorem. A limiting solution obtained by this scheme is compared with the classical weak solutions obtained by the Glimm or the Wave Front Tracking algorithm for one-dimensional systems.\n22. 带乘性噪声的随机Cahn\u0026ndash;Hilliard方程全离散逼近的时间一致强收敛阶 Uniform-in-time strong convergence rates of fully discrete approximations for stochastic Cahn\u0026ndash;Hilliard equations with multiplicative noise\n作者: Jiaqin He, Nan Deng, Shuhan Zhang, Wanrong Cao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-16\narXiv ID: 2608.15625v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.15625v1\n摘要: This paper investigates the uniform-in-time strong convergence rates of a fully discrete approximation for the stochastic Cahn\u0026ndash;Hilliard equation driven by multiplicative noise in spatial dimensions $d\\in\\{1,2,3\\}$. The proposed scheme combines a spectral Galerkin method in space with a backward Euler scheme in time. The main analytical difficulties arise from the state-dependent stochastic perturbation, the absence of a global monotonicity structure for the nonlinear term, and the fourth-order nature of the Cahn\u0026ndash;Hilliard operator. In particular, these features make the derivation of uniform $L^{\\infty}$-moment estimates highly nontrivial in three dimensions. For the continuous equation, by utilizing the Itô formula to $\\|u\\|^p$ and introducing the energy functional $\\mathcal{E}(u(t))$, we derive the uniform moment boundedness of the solution. At the fully discrete level, we develop discrete energy estimates and close the required high-order moment bounds through an induction argument. Based on these regularity estimates, we deduce uniform-in-time strong convergence rates for the fully discrete scheme. Moreover, we prove the existence and uniqueness of invariant measures for both the exact dynamics and the fully discrete numerical dynamics. Numerical experiments are provided to confirm the theoretical findings.\n23. 高维中的缩放边界求积格式：多面体与曲区域上的积分 Scaled boundary cubature scheme in higher dimensions: integration over polytopes and curved regions\n作者: Eric B. Chin, N. Sukumar\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-16\narXiv ID: 2608.15563v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.15563v1\n摘要: We extend the scaled boundary cubature (SBC) scheme from planar regions to higher-dimensional regions described by oriented boundary patches. The resulting parametrization transforms integrals over compact regions in $\\Re^d$ into sums of integrals over the boundary-patch parameter domains and a radial coordinate. In three dimensions, this yields a direct volume-integration rule for solids bounded by affine faces, triangular or tensor-product surface patches, B-spline patches, NURBS patches, and combinations of curved and affine boundary representations. For affine polytopes, recursive application of the scaled boundary map yields nested tensor-product rules over simplex sectors; in three dimensions, these reduce to tetrahedral-sector rules that apply equally to convex and nonconvex oriented polyhedra. We also develop transformations for weakly singular integrands. Placing the scaling center at a point singularity exposes the radial power cancelled by the Jacobian, while generalized radial scalings and Gauss\u0026ndash;Jacobi quadrature handle fractional powers. A transverse scaled-boundary map provides the analogous construction for affine singular sets, with straight-line examples in three dimensions. Numerical examples verify polynomial exactness on affine polyhedra and a four-dimensional tesseract, rapid convergence on curved B-spline and NURBS solids, and the expected convergence improvements for point and line singularities. Near-boundary singularity tests also identify when additional patch subdivision or patch-parameter transformations are required.\n24. 基于广义对偶数的多方向任意阶方向导数的高效计算 Efficient Computation of Arbitrary-Order Directional Derivatives in Multiple Directions via Generalized Dual Numbers\n作者: F. Peñuñuri, K. B. Cantún-Avila, O. Carvente, R. Peón-Escalante\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-15\narXiv ID: 2608.15345v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.15345v1\n摘要: Arbitrary-order directional derivatives along multiple (possibly distinct) directions are computed through a generalized dual-number formulation for both scalar- and vector-valued functions. The proposed framework combines generalized dual evaluations with an inclusion\u0026ndash;exclusion reconstruction of symmetric multilinear forms, allowing general multidirectional derivatives to be reconstructed from repeated-direction evaluations without explicitly constructing higher-order derivative tensors. Mixed directional and mixed partial derivatives arise naturally as particular cases of the formulation. The methodology further enables the systematic computation of arbitrary-order kinematic quantities and the construction of Taylor-series methods for systems of ordinary differential equations through automatically generated time derivatives. Numerical examples include the computation of high-order directional derivatives in high-dimensional functions, mixed partial derivatives, arbitrary-order kinematic quantities, and Taylor-series integration methods. The implementation is developed in modern Fortran within an open-source framework compatible with the Fortran Package Manager ecosystem.\n25. 波动方程的时空伽辽金边界元方法 Space-Time Galerkin Boundary Element Method for the Wave Equation\n作者: Johannes Tausch\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-15\narXiv ID: 2608.15292v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.15292v1\n摘要: The space-time Galerkin discretization of retarded layer potentials leads to a linear system where the coefficients are expressed in terms of integrals over the ansatz and test elements. They require carefully designed quadrature schemes because the kernel is singular in the origin and is discontinuous across the hyperbolicity cone. This paper introduces a new integration approach that leads to a scheme that converges exponentially with the number of quadrature points. The key here is to consider the integration domain as a convex polytope and to devise a decomposition into the convex hulls of simpler polytopes which are parameterized such that the singularity and discontinuity occurs in a single variable. The method is implemented for piecewise constant elements and tested on a scattering problem with known analytic solution.\n26. Q阶收敛的$p$步推广 A $p$-step generalization of the Q-order of convergence\n作者: Gabriel Jarry-Bolduc\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-15\narXiv ID: 2608.15202v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.15202v1\n摘要: The notion of Q-order convergence is arguably the most important tool for describing the asymptotic behavior of a convergent sequence. Loosely speaking, it captures the``speed\u0026rsquo;\u0026lsquo;of convergence of an iterative method. The concept of Q-order convergence is not always well suited for sequences whose errors do not decrease monotonically at every step. In this paper, we introduce the notion of $p$-step Q-order convergence. It generalizes the classical notion of Q-order convergence by comparing errors that are $p$ iterations apart rather than errors of successive iterates. This definition recovers classical Q-order convergence as the special case $p=1$. We show that it extracts meaningful convergence information from certain non-monotonic sequences for which the classical Q-order either does not exist or assigns an overly pessimistic classification. We develop the basic theory of the new notion and locate it within the classical hierarchy by proving that $p$-step Q-order at least $α$ implies R-order at least $α$. Natural applications include iterative methods whose updates alternate or cycle over multiple steps.\n27. 基于GLT序列理论的块Jacobi/Gauss-Seidel与加性/乘性Schwarz预处理分析及其在区域分解离散化中的应用 Analysis of Block Jacobi/Gauss-Seidel and additive/multiplicative Schwarz preconditioning through the theory of GLT sequences, with applications to domain decomposition discretizations\n作者: Carlo Garoni, Abdessadek Rifqui, Stefano Serra-Capizzano\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-15\narXiv ID: 2608.15183v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.15183v1\n摘要: When a linear differential problem is discretized by a linear numerical method characterized by a mesh fineness parameter $n$, the computation of the numerical solution reduces to solving a linear discrete problem identified by a matrix $A_n$ whose size grows with $n$. The sequence of discretization matrices $\\{A_n\\}_n$ often falls within the class of generalized locally Toeplitz (GLT) sequences, even when the numerical method belongs to the family of domain decomposition methods (DDMs), as illustrated herein through examples. Four widely used preconditioners for DDM discretization matrices are the block Jacobi (BJ), block Gauss\u0026ndash;Seidel (BGS), additive Schwarz (AS), and multiplicative Schwarz (MS) preconditioners. In this paper, we provide formal definitions of the BJ/BGS/AS/MS preconditioners for arbitrary multilevel block matrices. These definitions and the associated notations are inspired by the theory of GLT sequences and are proposed as alternatives to those commonly used by the DDM community. We analyze the structure of the BJ/BGS/AS/MS preconditioners when applied to multilevel block matrices $A_n$ belonging to a GLT sequence $\\{A_n\\}_n$. Every GLT sequence $\\{A_n\\}_n$ is uniquely associated with a special function $κ$ called symbol. We prove that, if $\\{A_n\\}_n$ is a GLT sequence with symbol $κ$, then the sequences of the BJ, BGS, and MS preconditioners are GLT sequences with symbol $κ$. For the AS preconditioner, we prove that $\\{P_n^{AS}(A_n)\\}_n$ is a GLT sequence with symbol $κ^{AS}\\approxκ$, and $κ^{AS}=κ$ whenever the overlaps in the subdomains used for the construction of $P_n^{AS}(A_n)$ vanish as $n\\to\\infty$. A numerical validation of these results in the context of isogeometric DDMs is presented.\n28. 块编码矩阵多项式的精确高效电路构造 Exact and Efficient Circuit Construction for Block Encoding Matrix Polynomials\n作者: Taehee Ko\n类别: quant-ph, math.NA\n发布日期: 2026-08-15\narXiv ID: 2608.15161v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.15161v1\n摘要: We propose a direct and stable circuit compiling algorithm that explicitly and exactly constructs block encodings of matrix polynomials for Hermitian matrices. In a unified framework, our algorithm is directly applicable to both standard input models: block encoding and Hamiltonian simulation. For a target polynomial of degree $d$, our classical algorithm achieves a near-optimal time complexity of $\\mathcal{O}(d\\log d)$. Numerical results confirm this asymptotic scaling for polynomial degrees up to $10^7$ in about a minute on a standard CPU. We achieve this by developing a general-purpose diagonal block encoding of function values, which bridges standard quantum-state preparation techniques with an interpolation-based QSP framework.\n29. 三维临界Zakharov\u0026ndash;Kuznetsov方程：爆破与孤立子动力学 The 3D critical Zakharov\u0026ndash;Kuznetsov equation: blow-up and soliton dynamics\n作者: Christian Klein, Svetlana Roudenko, Nikola Stoilov\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-08-15\narXiv ID: 2608.15086v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.15086v1\n摘要: We study the full three-dimensional dynamics of the $L^2$-critical Zakharov-Kuznetsov equation with the fractional nonlinearity $|u|^{4/3}u$, equivalently $u^{7/3}$ for real-valued functions. This equation is a higher-dimensional extension of the generalized Korteweg-de Vries equation. In the critical setting solutions to this 3D ZK equation may blow up in finite time or exhibit global time dynamics. The novelties of this work is to treat a non-integer power and to study the dynamics of solutions in a higher dimension. We first review the finite time blow-up in 2D critical ZK, then do a formal analysis of the slightly mass-supercritical blow-up dynamics, deriving the corrections to the blow-up rate and profile for the critical ZK equation in any dimension. We then perform a computational study of solutions, utilizing full 3D numerical simulations. In particular, we use a Fourier pseudospectral discretization and an integrating factor fourth-order Runge-Kutta method on a full three-dimensional grid. A multi-GPU implementation makes it possible to follow blow-up solutions in a full 3D setting. We examine perturbations of the ground state, Gaussian data, and nonsymmetric two-bump configurations. The computations show dispersive and concentrating regimes, in both cases with radiation emitted in a conic-type region opposite to the direction of propagation and convergence of the concentrating core toward a rescaled ground-state profile. The two-bump experiments also demonstrate that total mass alone does not determine the blow-up dynamics. We discuss the numerical evidence for the predicted blow-up rate and identify the pre-asymptotic and resolution limitations that remain near the blow-up time.\n30. 几乎处处复相位恢复的最小测量数 The Minimal Measurement Number for Almost-Everywhere Complex Phase Retrieval\n作者: Zhiqiang Xu\n类别: cs.IT, math.NA\n发布日期: 2026-08-15\narXiv ID: 2608.15003v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.15003v1\n摘要: Let $d\\geq2$ and let $\\bm{f}_1,\\ldots,\\bm{f}_m\\in\\mathbb C^d$. We prove that if (m\\leq 2d-1), then the intensity measurement map fails to recover almost every signal in $\\mathbb C^d$ uniquely up to a global phase factor. Combined with the known generic sufficiency of $2d$ measurements, our result establishes that the minimal number of measurements required for almost-everywhere phase retrieval in $\\mathbb C^d$ is exactly $2d$.\n31. 扩散问题的随机blob方法 Random blob methods for diffusion\n作者: Katy Craig, Claire Murphy\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-08-14\narXiv ID: 2608.14914v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.14914v1\n摘要: Linear and nonlinear diffusion equations arise in a range of phenomena of mathematical interest, including slow and fast diffusion, sandpile dynamics, height-constrained transport, the two-dimensional Navier-Stokes equation, and dynamics for sampling probability measures. In recent years, blob methods have attracted significant interest as an approach for numerically simulating these types of PDEs. To address the $O(N^2)$ computational bottleneck of blob methods, we consider stochastic discretizations of space and time. We compare the random batch method with a new approach, which we call the random multirate method. Both of these methods build on classical stochastic methods in the optimization literature, with many similarities to stochastic gradient descent and random coordinate descent. We find that, for linear and nonlinear diffusion equations, in the tradeoff between computational complexity and accuracy, the random multirate method has the best performance. On one hand, we prove that the random multirate method converges to the underlying ODE system at a rate of $O(k Δt)$, matching forward Euler, and show by example that this rate is theoretically sharp. On the other hand, we observe even better rates of convergence for the random multirate method when applied to ODEs arising from blob methods for diffusive PDEs. Finally, due to its ability to simulate a wide range of nonlinear diffusion equations, including height-constrained transport and sandpile dynamics, our method succeeds in capturing key features of PDEs for which few numerical approaches exist.\n32. 用于模拟绕圆柱无粘高速流动的带激波捕捉的物理信息SUPG稳定有限元框架 A physics-informed SUPG-stabilized finite element framework with shock-capturing for simulating inviscid high-speed flows around a cylinder\n作者: Süleyman Cengizci, Ömür Uğur\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-08-14\narXiv ID: 2608.14883v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.14883v1\n摘要: This study presents a hybrid computational framework for simulating non-reacting inviscid high-speed flows of nitrogen gas (N$_2$) around a circular cylinder. Owing to the strongly convection-dominated nature of the compressible Euler equations, the compressible-flow streamline-upwind/Petrov\u0026ndash;Galerkin (SUPG) formulation is combined with the YZ$β$ shock-capturing technique to stabilize the finite element discretization in the presence of strong discontinuities. Building upon the stabilized solution, a physics-informed neural network (PINN) is employed as a post-processing correction stage (\\underline{P}INN-\\underline{A}ugmented \\underline{S}UPG with \\underline{S}hock-\\underline{C}apturing\u0026mdash;PASSC). The network is anchored to the finite element solution through a shock-weighted data-consistency loss, while the governing equations are enforced in a conservative space\u0026ndash;time control-volume form supplemented by macroscopic conservation windows, an entropy-admissibility penalty, and the boundary conditions of the underlying problem. Two-dimensional simulations are performed for free-stream Mach numbers ranging from $2.0$ to $12.0$, and the results are assessed against analytical normal-shock and stagnation relations, the semi-empirical Billig correlation, and reference solutions from the literature. The correction is designed to improve the numerical representation of shocks by reducing localized discretization-induced oscillations and mesh-scale serrations while preserving the agreement of the stabilized solution with the analytical and semi-empirical reference quantities.\n33. 正则性引导的数据同化：双曲守恒律的集合卡尔曼滤波的一种分层贝叶斯方法 Regularity-informed data assimilation: A hierarchical Bayesian approach to ensemble Kalman filtering for hyperbolic conservation laws\n作者: Jan Glaubitz, Daniel Sharp, Mathieu le Provost, Youssef M. Marzouk\n类别: math.NA, stat.ME\n发布日期: 2026-08-14\narXiv ID: 2608.14840v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.14840v1\n摘要: We propose a novel regularity-informed filtering framework for data assimilation in the context of hyperbolic conservation laws and other time-dependent partial differential equations. We focus on systems whose states exhibit steep gradients and jump discontinuities. While filtering is widely used to improve numerical simulations by incorporating observational data, traditional filtering methods lack awareness of the spatial regularity of states produced in these systems. As a result, data assimilation often produces unphysical state estimates, introducing spurious oscillations in smooth regions and smearing sharp features. To address this limitation, we introduce a filtering framework incorporating edge-preserving regularization into the filter\u0026rsquo;s analysis step; this framework balances simulation forecasts, observation data, and structural prior knowledge. We formalize this approach using the ensemble Kalman filter (EnKF) and a class of hierarchical generalized sparse Bayesian learning (GSBL) priors, which adaptively infer spatially varying hyperparameters to promote non-oscillatory behavior in smooth regions while preserving discontinuities. We demonstrate the effectiveness of the resulting GSBL-EnKF method on challenging benchmark problems governed by hyperbolic conservation laws. Our results show that preserving regularity during the analysis step can improve the physical realism and accuracy of filtering for complicated time-dependent systems, especially when quantifying the uncertainty of transient states of the system.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-18_04-58-23/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月18日 04:58:23\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 7\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 33\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-色散共振的渐近引导学习与符号回归\"\u003e1. 色散共振的渐近引导学习与符号回归\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eAsymptotics-guided learning and symbolic regression for dispersive resonances\u003c/p\u003e","title":"2026年08月18日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月17日 05:04:07\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 4\n不相关论文数量: 15\n重点关注论文（完整分析） 1. 几何相容有限元方法：适配与未适配网格上的界面问题 Geometry-Conforming Finite Element Methods for Interface Problems on Fitted and Unfitted Meshes\n作者: Yuanhui Lin, Tao Lin, Xu Zhang, Minfu Feng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-14\narXiv ID: 2608.14484v1\n摘要翻译: 我们为二维曲域上的椭圆边值与界面问题发展了一个任意次的几何相容有限元（GC-FE）框架。利用Frenet\u0026ndash;Serret变换，曲边界和界面适配的单元段被精确表示，而Frenet坐标下的多项式在物理坐标下生成一般的非多项式局部形函数。对于界面未适配网格，曲边界单元上的GC-FE空间与界面切割单元上的几何相容浸没有限元（GC-IFE）空间耦合，其余位置使用标准多项式空间。我们建立了GC-FE空间的最优逼近、逆和迹估计。对于适配网格，我们证明了一个对称内罚间断Galerkin离散格式在能量范数和$L^2$范数下的适定性和最优误差估计。通过精确保留给定的曲线，该方法避免了与曲几何近似相关的几何变分犯罪，并且不需要相应的几何一致性估计。数值实验确认了预测的阶数，表明在报告的测试中全局精度与节点等参有限元相当，且真实界面迹误差更小，并展示了在界面未适配网格上的耦合GC-FE-GC-IFE方法。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.14484v1\n1. 研究对象和背景 本文研究二维有界光滑区域上的椭圆边值问题与椭圆界面问题. 边值问题为: 求 $u$ 满足 $$-\\nabla\\cdot(\\beta\\nabla u)=f \\quad \\text{in }\\Omega,\\quad u=g \\quad \\text{on }\\partial\\Omega,$$ 其中 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^2$ 是有界区域, $\\beta$ 为正函数. 界面问题为: 设 $\\Gamma_i$ 是一条光滑曲线, 将 $\\Omega$ 分为 $\\Omega^+$ 与 $\\Omega^-$, $\\beta$ 分别在两个子区域内光滑且在 $\\Gamma_i$ 上可能有跳跃, 求 $u$ 满足 $$-\\nabla\\cdot(\\beta\\nabla u)=f \\quad \\text{in }\\Omega^+\\cup\\Omega^-,\\quad u=g \\quad \\text{on }\\partial\\Omega,$$ 以及界面跳跃条件 $$\\llbracket u\\rrbracket_{\\Gamma_i}=0,\\quad \\llbracket\\beta\\partial_n u\\rrbracket_{\\Gamma_i}=0,$$ 其中 $n$ 是 $\\Gamma_i$ 的单位法向, $\\llbracket\\cdot\\rrbracket_{\\Gamma_i}$ 表示跨过界面的跳跃. 这类问题出现在热传导, 多孔介质流动, 电磁学以及复合/多相材料建模中. 在这些应用中, 弯曲边界 $\\partial\\Omega$ 或界面 $\\Gamma_i$ 携带重要的物理和几何信息. 然而, 当用直边网格逼近曲边区域时, 多边形边界与物理边界通常相差 $O(h^2)$, 对于高阶有限元空间, 这种几何一致性误差可能主导离散误差, 除非几何也被逼近到相应的高阶. 这种区域扰动是 Strang 意义下的经典变分犯罪. 类似地, 在界面问题中, 跳跃条件应当理想地施加在物理界面 $\\Gamma_i$ 上, 而不是其多边形逼近上. 经典的等参有限元方法通过多项式映射构造曲边单元, 但除非物理几何恰好位于所选多项式映射空间内, 计算几何仍是一种近似; 而且大曲率下构造有效的曲边网格可能很困难, 需要额外的几何一致性分析. 对于界面问题, 拟合网格必须适应界面或其足够精确的近似, 界面几何变化可能需要昂贵的网格重建; 浸入有限元方法虽然可以使用与界面无关的网格, 但通常将界面近似为直线段. 最近, 文献中利用 Frenet–Serret 装置精确表示弯曲界面, 构造了几何一致浸入有限元 (GC-IFE) 空间, 并在非结构化三角形网格上得到了推广. 本文的核心观察是: Frenet 变换不仅可用于浸入有限元, 也提供了等参映射的一种内在的、几何一致的替代方案, 用于弯曲边界和拟合界面. 本文试图填补的空白是: 建立一套系统的任意次几何一致有限元 (GC-FE) 框架, 在拟合与非拟合网格上统一处理曲边区域上的边界值问题和界面问题, 同时避免几何变分犯罪和相应的几何一致性估计.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果如下. 第一, 建立了任意次几何一致有限元 (GC-FE) 空间的构造框架. 对于每个曲边或拟合界面单元 $K\\in\\mathcal{T}_h^c$, 利用 Frenet 变换 $P_\\Gamma$ 将弯曲单元映射到参数域, 在参数域上取多项式空间 $P_m(\\widehat{K})$, 然后通过 $P_\\Gamma$ 复合拉回得到物理单元上的形状函数空间, 即 $V_h|_K = \\{ v: v = \\widehat{v}\\circ R_\\Gamma, \\widehat{v}\\in P_m(\\widehat{K}) \\}$. 这些形状函数在物理坐标下一般是非多项式函数. 文中证明了该 GC-FE 空间具有最优阶逼近性质: 对足够光滑的精确解 $u$, 存在 $u_h \\in V_h$ 使得 $$\\|u-u_h\\|_{L^2(K)} + h_K |u-u_h|_{H^1(K)} \\leq C h_K^{m+1} \\|u\\|_{H^{m+1}(K)}$$ 对每个曲边单元 $K$ 成立, 同时建立了逆不等式 $|v|_{H^1(K)} \\leq C h_K^{-1} \\|v\\|_{L^2(K)}$ 和迹不等式等. 第二, 对于界面拟合网格, 提出了基于 GC-FE 空间的对称内部惩罚不连续 Galerkin (SIPDG) 离散格式. 由于物理边界和界面被精确保留, 分析中无需单独的几何一致性估计. 证明了该格式适定, 并给出了能量范数与 $L^2$ 范数下的最优误差估计: 设 $u$ 是问题 (1.1)\u0026ndash;(1.2) 或 (1.3)\u0026ndash;(1.5) 的精确解, $u_h$ 是数值解, 则 $$\\|u-u_h\\|_{\\text{energy}} \\leq C h^m \\left( \\sum_K \\|u\\|_{H^{m+1}(K)}^2 \\right)^{1/2}, \\quad \\|u-u_h\\|_{L^2(\\Omega)} \\leq C h^{m+1} \\left( \\sum_K \\|u\\|_{H^{m+1}(K)}^2 \\right)^{1/2},$$ 其中常数 $C$ 不依赖于 $h$ 与网格. 第三, 对于界面非拟合网格, 将曲边边界单元上的 GC-FE 空间与界面切割单元上的 GC-IFE 空间耦合, 在其它单元上使用标准多项式空间, 得到完整的离散空间, 并数值验证了该方法. 第四, 数值实验表明, 与结点等参有限元相比, GC-FE 方法在全局精度上相当, 但在所报告的算例中, 真实界面迹误差更小, 且不需要对几何进行多项式逼近.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术工具是 Frenet–Serret 变换及其逆变换. 对于一条正则 $C^2$ 曲线 $\\Gamma$, 定义 $P_\\Gamma(\\eta,\\xi)=g(\\xi)+\\eta n(\\xi)$, 其中 $g$ 是弧长参数化或正则参数化, $n$ 是单位法向, 则曲线附近的点可用 $\\eta$ 表示到曲线的有向距离, $\\xi$ 表示曲线参数. 该变换的雅可比行列式为 $\\det DP_\\Gamma = \\|g'(\\xi)\\|(1+\\eta\\kappa(\\xi))$, 在管状邻域内一致有界 (引理 2.1). 利用该变换, 曲边单元被拉回到一个参数矩形, 其中曲线变成平直线. 文中建立了若干几何估计: 引理 2.2 表明元素上曲线参数 $\\xi$ 的极值在顶点达到, 因此投影曲线段与顶点生成的曲线段一致; 引理 2.3 和 2.4 证明该投影曲线段的长度与元素直径 $h_K$ 互为上下界; 引理 2.5 证明虚构元素的覆盖具有有限重叠性质, 即对任意点 $X$, 包含它的虚构元素个数有界, 该性质用于局部化估计; 引理 2.6 给出函数在物理域与参数域之间的 $L^2$ 与 $H^1$ 范数等价性. 这些估计为将参数域上的标准多项式逼近结果转移到物理域上的非多项式空间奠定了基础. 在拟合网格的 SIPDG 分析中, 作者利用几何精确性避免了等参方法中常见的几何扰动项, 从而无需估计几何一致性误差. 与 GC-IFE 的耦合中, 界面单元上的空间直接采用文献 [29] 的 GC-IFE 空间, 该空间在精确界面上施加跳跃条件, 因此无需对界面进行分段线性近似. 本文的真正创新点在于将 Frenet 变换从浸入有限元推广到曲边边界和拟合界面, 并建立了完整的逼近理论, 使得几何保形成为可能. 主要障碍在于非多项式形状函数的逼近性质和逆/迹估计不能直接套用标准理论, 需要借助上述范数等价和覆盖性质来克服.\n4. 与之前工作的比较 与经典的等参有限元方法相比, 本文的 GC-FE 方法不引入任何多项式代理几何. 等参方法通过多项式映射 $F_K(\\widehat{K})$ 定义曲边单元, 一般只能近似逼近真实几何, 除非真实几何本身是多项式曲线. 因此等参分析必须量化物理几何与计算几何之间的差异, 并估计由此引起的变分形式扰动, 即几何一致性误差. 本文由于直接保留精确曲线作为单元边, 从根源上消除了这类误差, 不需要额外的几何一致性估计. 此外, 等参映射在大曲率或大变形下可能导致单元翻转, 而 GC-FE 基于管状邻域上的 Frenet 变换, 只要曲线正则且单元尺寸足够小, 映射的正则性有保证. 其代价是形状函数一般不再是多项式, 这要求重新建立逼近和逆/迹理论, 并且在数值积分时需要考虑非多项式函数的精确积分或适当的高阶求积. 与经典的浸入有限元 (IFE) 方法相比, 传统 IFE 方法在网格切割单元上修改基函数以满足跳跃条件, 但界面本身仍被直线边近似, 跳跃条件只能近似满足. 而 GC-IFE 方法使用 Frenet 变换将界面拉直, 在精确界面上施加跳跃条件, 从而获得更好的界面迹误差. 本文的贡献在于将这一思想同时用于拟合网格的曲边边界和界面, 并与不拟合网格上的 GC-IFE 实现耦合, 形成一个统一框架. 与文献 [4,5,29] 中的 GC-IFE 工作相比, 本文着重分析了拟合网格上的 GC-FE 空间的逼近、逆和迹性质, 并给出了 SIPDG 格式的最优误差估计, 这是以往工作未涉及的. 在数值表现上, 作者报告 GC-FE 的全局精度与结点等参有限元相当, 但在测试的真实界面迹误差上更小. 需要指出的是, 本文的分析要求边界和界面曲线具有 $C^{m+2}$ 光滑性, 且所有曲边单元需要位于管状邻域内, 这隐含着 $h$ 相对于曲率半径足够小的条件; 对于大曲率或几何奇点, 方法可能需要额外的处理, 文中未展开讨论.\n2. 分析二阶谐波产生散射的协调有限元方法 Analysis of a Conforming Finite Element Method for Second-Harmonic Generation Scattering\n作者: Ansh Desai, Peter Monk\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-14\narXiv ID: 2608.14300v1\n摘要翻译: 在频域中，非线性声学和电磁波传播在某些情况下可以由二阶谐波产生系统建模，该系统由两个耦合的非线性亥姆霍兹方程组成。我们分析了使用精确狄利克雷到诺伊曼边界条件截断的标量二阶谐波产生散射问题的协调有限元逼近。离散化使用次数为$p$的连续分段多项式有限元。在涉及入射场和非线性磁化率的小数据条件下，我们证明了在给定小球中连续和离散非线性解的存在性和唯一性。在同一条件下，我们通过非线性Céa型论证推导了拟最优的先验$H^1$-误差估计，该论证将线性Galerkin拟最优性与耦合非线性的小数据稳定性估计相结合。我们还分析了用于计算离散非线性解的不动点迭代的收敛性，并量化了有限元逼近和非线性迭代误差的组合效应。一个制造解实验说明了预测的有限元收敛速率，而额外的基于PML的散射计算展示了二维和三维中非线性不动点求解器的行为。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.14300v1\n1. 研究对象和背景 本文研究二次谐波产生（Second-Harmonic Generation, SHG）散射问题的保形有限元离散与误差分析。在频域中，SHG由两个耦合的非线性亥姆霍兹方程描述：一个基频场 $u_1$ 与一个二次谐波场 $u_2$ 相互耦合，非线性源项分别为 $\\chi_1 u_1 \\overline{u_2}$ 和 $\\chi_2 u_1^2$。设 $D \\subset \\mathbb{R}^d$（$d\\in\\{2,3\\}$）为非线性材料占据的有界 Lipschitz 域，背景折射率在 $\\mathbb{R}^d\\setminus D$ 中为 1。给定入射平面波 $u^i(\\mathbf{x})=\\exp(i\\kappa_1 \\mathbf{d}_0\\cdot\\mathbf{x})$，其中 $\\kappa_1=\\omega/c_0$ 为基频波数，$\\kappa_2=2\\kappa_1$ 为二次谐波波数。记总基频场 $u_1=u^i+u_1^s$（$u_1^s$ 为散射场），$u_2$ 为二次谐波场。全空间散射问题为：求 $(u_1,u_2)\\in H^1_{\\mathrm{loc}}(\\mathbb{R}^d)\\times H^1_{\\mathrm{loc}}(\\mathbb{R}^d)$ 满足 $$ \\Delta u_1 + \\kappa_1^2 n_1 u_1 = -\\chi_1 u_1 \\overline{u_2} \\quad \\text{in } \\mathbb{R}^d, \\qquad \\Delta u_2 + \\kappa_2^2 n_2 u_2 = -\\chi_2 u_1^2 \\quad \\text{in } \\mathbb{R}^d, $$ 以及 Sommerfeld 辐射条件。为在有界区域上进行有限元分析，选取半径足够大的球 $B_R$ 使得 $D\\subset B_R$，并采用精确 Dirichlet-to-Neumann (DtN) 映射 $T_k$ 截断外域。截断后的问题化为：求 $u_1,u_2\\in V:=H^1(B_R;\\mathbb{C})$ 满足 $$ \\Delta u_1 + \\kappa_1^2 n_1 u_1 = -\\chi_1 u_1 \\overline{u_2} \\quad \\text{in } B_R, \\qquad \\Delta u_2 + \\kappa_2^2 n_2 u_2 = -\\chi_2 u_1^2 \\quad \\text{in } B_R, $$ 并施加边界条件 $$ \\partial_\\nu u_1 = T_{\\kappa_1}\\gamma(u_1-u^i)+\\partial_\\nu u^i,\\qquad \\partial_\\nu u_2 = T_{\\kappa_2}\\gamma u_2. $$ 其弱形式（2.13）-（2.14）为：求 $(u_1,u_2)\\in V\\times V$ 使得 $$ a_1(u_1,\\xi)=\\int_{B_R} \\chi_1 u_1 \\overline{u_2}\\,\\overline{\\xi}\\,dx+\\ell(\\xi),\\qquad a_2(u_2,\\eta)=\\int_{B_R} \\chi_2 u_1^2\\,\\overline{\\eta}\\,dx, $$ 对一切 $\\xi,\\eta\\in V$ 成立，其中双线性形式 $a_j$ 由（2.15）-（2.16）定义。该模型的重要性在于 SHG 是非线性光学的基本过程，其数值模拟需要严格的误差控制。已有工作如 Bao-Dobson [4] 仅分析一维模型，Jiang-Li [13] 使用 PML 和连续内罚法，但尚未有保形有限元在精确 DtN 截断下的完整误差分析。本文旨在填补这一空白，证明连续和离散问题的小数据适定性，并推导拟最优的先验误差估计。\n2. 主要定理或主要结果 论文的主要结果在定理 3.5 和定理 3.8 中给出。设 $c\\widetilde{M}_j=\\max\\{M_j,M_{\\mathrm{lin}}\\}$，其中 $M_j$ 为连续线性算子 $A_j$ 的稳定性常数，$M_{\\mathrm{lin}}$ 为离散线性问题的稳定性常数。令 $C_{\\mathrm{prod}}$ 为乘积估计常数，并定义（见 (3.6)） $$ \\alpha_\\rho = c\\widetilde{M}_1 C_{\\mathrm{prod}}\\|\\chi_1\\|_{L^\\infty}\\rho,\\qquad \\beta_\\rho = 2c\\widetilde{M}_2 C_{\\mathrm{prod}}\\|\\chi_2\\|_{L^\\infty}\\rho, $$ $$ \\sigma_\\rho = \\beta_\\rho \\rho^2,\\qquad \\theta_\\rho = \\alpha_\\rho\\beta_\\rho/2,\\qquad q_\\rho = \\frac{3}{2}\\alpha_\\rho\\beta_\\rho. $$ 在以下小数据条件下：存在 $\\rho\u003e0$ 使得 $$ c\\widetilde{M}_1\\|\\ell\\|_{V'}+\\theta_\\rho\\rho \\le \\rho,\\qquad q_\\rho \u003c 1, $$ （等价于 $a+\\mu\\rho^3\\le\\rho$ 且 $3\\mu\\rho^2\u003c1$，进一步等价于显式阈值 $$ c\\widetilde{M}_1^3 c\\widetilde{M}_2 C_{\\mathrm{prod}}^2\\|\\ell\\|_{V'}^2\\|\\chi_1\\|_{L^\\infty}\\|\\chi_2\\|_{L^\\infty} \u003c \\frac{4}{27}, $$ 见注 3.6），定理 3.5 同时证明了连续问题 (2.13)-(2.14) 在球 $B_\\rho = \\{(u,v)\\in V\\times V: \\|u\\|_V\\le\\rho,\\ \\|v\\|_V\\le\\sigma_\\rho\\}$ 中存在唯一解 $(u_1,u_2)$，以及对每个 $0","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-17_05-04-07/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月17日 05:04:07\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 4\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 15\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-几何相容有限元方法适配与未适配网格上的界面问题\"\u003e1. 几何相容有限元方法：适配与未适配网格上的界面问题\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eGeometry-Conforming Finite Element Methods for Interface Problems on Fitted and Unfitted Meshes\u003c/p\u003e","title":"2026年08月17日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月14日 05:51:38\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 3\n不相关论文数量: 8\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 带电流涨落的随机电阻性 Hall\u0026ndash;MHD：通过收敛的保结构有限元方法获得鞅弱解 Stochastic resistive Hall\u0026ndash;MHD with current fluctuations: martingale weak solutions via a convergent structure-preserving finite element method\n作者: Agus L. Soenjaya\n类别: math.NA, math.AP, math.PR\n发布日期: 2026-08-13\narXiv ID: 2608.13407v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.13407v1\n摘要翻译 中文标题: 带电流涨落的随机电阻性 Hall\u0026ndash;MHD：通过收敛的保结构有限元方法获得鞅弱解\n摘要翻译: 我们在有界凸多面体区域上研究受非线性理想导电边界条件约束的随机电阻性 Hall\u0026ndash;磁流体动力学 (Hall\u0026ndash;MHD) 系统。该系统由动量方程中的乘性高斯强迫以及感应方程中的结构化 curl 型噪声驱动，后者来源于广义欧姆定律中电阻项和 Hall 项的随机扰动。我们基于相容的离散 de Rham 复形，构造了一种全离散、线性隐式、保结构的混合有限元方法，该方法精确保持磁场高斯定律。我们证明了离散解到有限能量弱鞅解的子序列收敛，从而得到了带 curl 型噪声的随机 Hall\u0026ndash;MHD 系统的构造性存在性结果。数值实验说明了该方法的随机动力学、精确散度保持性和收敛性。\n2. 基于自编码器的降阶神经常微分方程中误差传播分析 Analysis of Error Propagation in Autoencoder-Based Reduced-Order Neural Ordinary Differential Equations\n作者: Jingyi Zhang, Gwanghyun Jo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-13\narXiv ID: 2608.13132v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.13132v1\n摘要翻译 中文标题: 基于自编码器的降阶神经常微分方程中误差传播分析\n摘要翻译: 神经常微分方程降阶模型通常能达到可比的局部预测精度，但其长期外推行为可能差异显著。为分析这种差异，我们建立了一个路径积分恒等式，将局部偏差注入与学习到的隐空间动力学中的放大过程分开。相应的多步 Jacobian 范数量化了传输敏感性，并区分不同的传播模式。在 Burgers 和 Gray\u0026ndash;Scott 系统上的实验展现出两种不同的误差演化模式。在 Burgers 系统中，预测误差保持有界，并且主要与持续的局部偏差相关。相比之下，Gray\u0026ndash;Scott 系统在外推过程中表现出明显的放大现象，其中 Jacobian 范数作为敏感性诊断指标，而非物理预测精度的直接指示。\n3. BTF-PINN：在无边界训练下施加 Dirichlet 边界条件 BTF-PINN: Enforcing Dirichlet Boundary Conditions Without Boundary Training\n作者: Wenyu Dong, Shuo Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-13\narXiv ID: 2608.12823v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.12823v1\n摘要翻译 中文标题: BTF-PINN：在无边界训练下施加 Dirichlet 边界条件\n摘要翻译: 齐次 Dirichlet 边值问题集中体现了用非插值型方法求解 Dirichlet 问题的核心困难。我们提出 BTF-PINN（Boundary-Training-Free Physics-Informed Neural Network），一种用于求解齐次 Dirichlet 边值问题的仅内部策略，它不需要边界训练、边界惩罚或贴合边界的参数化。其关键思想是将本质边界条件嵌入到新设计的无边界损失函数中。我们证明了所提出的仅内部变分形式与原始边值问题之间的等价性，建立了残差权重的尖锐阈值条件，并基于该泛函的强制性建立了收敛性分析。在高维问题、不规则几何区域和各向异性椭圆方程上的数值实验表明了 BTF-PINN 的有效性。与标准边界惩罚 PINN 的对比进一步表明，BTF-PINN 取得了更优的边界迹精度。\n不相关论文（基本信息） 1. 自适应求积法与双指数公式在任意精度浮点运算下的性能评估 Performance Evaluation of an Adaptive Quadrature and a Double Exponential Formula Using Arbitrary-Precision Floating-Point Arithmetic\n作者: Tomonori Kouya\n类别: math.NA, cs.PF\n发布日期: 2026-08-13\narXiv ID: 2608.13187v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.13187v1\n摘要: Using arbitrary-precision arithmetic provided by the GNU Multiple Precision Floating-Point Reliable Library, we implement AQE11D\u0026mdash;that is, Ninomiya\u0026rsquo;s adaptive 9-point Newton\u0026ndash;Cotes rule extended with a sequence of higher-order rules\u0026mdash;and Takahasi and Moris\u0026rsquo; double exponential (DE) formula. We evaluate them for Kahaner\u0026rsquo;s 21 test problems. For both absolute tolerances $10^{-50}$ and $10^{-100}$, AQE11D attains target accuracy on all 21 problems; however, for strong endpoint singularity such as $1/\\sqrt{x}$, it requires about $5.4\\times10^{7}$ function evaluations at $10^{-100}$, roughly $7\\times10^{4}$ times as many as the DE formula. The formula converges on 18 problems at both tolerances, demonstrating its strength against endpoint singularities but also its failure, as it stands, on problems with a singularity inside the integration interval.\n2. Banach 空间中的自适应 Schauder 随机镜像下降 Adaptive Schauder Stochastic Mirror Descent in Banach Spaces\n作者: Jinhui Bai, Shuai Lu, Lei Shi\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-08-13\narXiv ID: 2608.13121v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.13121v1\n摘要: In this paper, we extend stochastic mirror descent (SMD) to infinite-dimensional Banach spaces for solving a class of risk functional minimization problems, where stochastic gradient information is only available through sampling. We first choose the Bregman distance according to the uniform convexity properties of the Banach space. For the non-uniformly convex space $\\mathcal{L}_{ρ_X}^1(Ω)$, we instead construct a Bregman distance induced by the entropy function. Based on a Schauder basis of the Banach space, we introduce a family of finite-dimensional subspaces that adapt to the sample size $n$. At each SMD iteration, we restrict the subproblem to the corresponding finite-dimensional subspace and project the stochastic gradient onto the associated finite-dimensional dual space, thereby introducing a new regularization strategy. This regularization strategy allows us to explicitly solve the SMD subproblem efficiently and to achieve a bias\u0026ndash;variance trade-off. The algorithm requires $\\mathcal{O}(n^{1+θ})$ time and $\\mathcal{O}(n^θ)$ memory, where $θ\u003e0$ can be chosen arbitrarily small when the minimizer has sufficient regularity. By developing a new analytical framework, we prove that the proposed algorithm achieves a convergence rate of $\\mathcal{O}\\left(n^{-1/p_1}\\right)$ up to logarithmic factors, where $p_1\\geq2$ is determined by the convexity properties of the underlying space. In the misspecified setting where the minimizer satisfies only weaker regularity conditions, we show that the proposed algorithm still converges to the minimum. We further extend the algorithm to inverse problems and validate its effectiveness in numerical experiments.\n3. 度量图上的热方程的透明边界条件 Transparent Boundary Conditions for the Heat Equation on Metric Graphs\n作者: Jasur Matrasulov, Jambul Yusupov, Matthias Ehrhardt\n类别: math-ph, math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-08-13\narXiv ID: 2608.12937v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.12937v1\n摘要: We study transparent boundary conditions (TBCs) for the time-dependent heat equation in a branching, quasi-one-dimensional domain modeled as a metric star graph. By combining the classical concept of TBCs with the theory of partial differential equations (PDEs) on networks, we derive an exact vertex condition that ensures unobstructed thermal flow across junctions. Specifically,we derive a sum rule for the diffusion coefficients that eliminates thermal backflow at the vertex.We demonstrate the validity of this analytical model numerically using a Crank-Nicolson finite-difference method, which confirms smooth, unobstructed heat propagation through the network.These results provide a practical mathematical framework for tunable control and optimization of thermal diffusion in low-dimensional structures. In particular, combining the well-known concept of the TBCs and theory for PDE on metric graphs, we propose a mathematical model providing a control tool for thermal diffusion in networks.\n4. Strang投影分裂积分器鲁棒二阶收敛性的一个反例 A Counterexample to Robust Second-Order Convergence of the Strang Projector-Splitting Integrator\n作者: Shiheng Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-13\narXiv ID: 2608.12893v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.12893v1\n摘要: The classical Strang projector-splitting integrator is widely observed to converge with order two, whereas the error analysis that remains uniform as the smallest singular value retained in the low-rank approximation tends to zero proves only order one. We show that this gap is intrinsic under the standard assumptions. We construct $3\\times3$ matrix differential equations that are $C^2$ in time and smooth in the matrix variable, with rank-two initial data that satisfy uniform boundedness, Lipschitz, tangency-defect, and regularity bounds. Nevertheless, the exact-subflow Strang method has a nonzero $h^2$ term in the local error over one periodic forcing cycle consisting of four Strang steps. Repetition of that cycle rules out a global second-order bound whose constant and stepsize threshold are independent of the retained singular values. The mechanism is a rapid rotation of the factor directions associated with the small singular value: first-order consistency is preserved, but the changing projection spaces prevent the cancellation normally expected from a symmetric Strang composition. Hence the robust first-order result cannot, under these assumptions alone, be upgraded to robust second order for the classical projector-splitting method.\n5. 六阶椭圆奇异摄动问题的一种稳健且最优方法 A robust and optimal method for a sixth-order elliptic singular perturbation problem\n作者: Mingqing Chen, Jianguo Huang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-13\narXiv ID: 2608.12886v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.12886v1\n摘要: In this paper we propose a robust nonconforming finite method for a gradient-elastic Kirchhoff plate (GEKP) model with a small parameter $0\u003cι\u003c1$. While the method employs an $H^3$ cubic finite element for the discrete space, it employs an interpolation mapping into an $H^2$ nonconforming finite element space in both the lower-order terms of the bilinear form and the right-hand side. Notably, the numerical method is robust with respect to the parameter $ι$ and uniformly convergent to order $h$ without any stabilized terms. Finally, some numerical experiments are performed to verify the theoretical findings.\n6. 线性化 Cahn-Hilliard-Cook 方程的有限元逼近 Finite element approximation of the linearized Cahn-Hilliard-Cook equation\n作者: Ali Mesforush, Stig Larsson\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-13\narXiv ID: 2608.12833v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.12833v1\n摘要: The linearized Cahn-Hilliard-Cook equation is discretized in the spatial variables by a standard finite element method. Strong convergence estimates are proved under suitable assumptions on the covariance operator of the Wiener process, which is driving the equation. The backward Euler time stepping is also studied. The analysis is set in a framework based on analytic semigroups. The main effort is spent on proving detailed error bounds for the corresponding deterministic Cahn-Hilliard equation. The results should be interpreted as results on approximation of the stochastic convolution, which is a part of the mild solution of the nonlinear Cahn-Hilliard-Cook equation.\n7. 具有拟均匀二维投影的点序列的代数构造 Algebraic constructions of point sequences with quasi-uniform two-dimensional projections\n作者: Takashi Goda\n类别: math.NT, math.NA, stat.ME\n发布日期: 2026-08-13\narXiv ID: 2608.12690v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.12690v1\n摘要: Motivated by sequential space-filling designs for computer experiments, we study algebraic constructions of extensible point sets in the $d$-dimensional unit cube whose two-dimensional coordinate projections are all quasi-uniform. Our two constructions share a common parametrization in terms of finite configurations of distinct rational directions on the projective line $\\mathbb{P}^1(\\mathbb{Q})$. First, using a cubic number field, we construct explicit Kronecker sequences for which the mesh ratios of all two-dimensional coordinate projections remain uniformly bounded over every initial segment of length $N\\ge 2$. Second, using a real quadratic field, a split prime, and a compatible $p$-adic embedding, we construct nested rank-1 lattice designs with the same uniform projection property at every nesting level. The proofs combine algebraic norm estimates with transference principles between simultaneous and dual Diophantine approximation, yielding lower bounds for the separation radii and upper bounds for the covering radii, both of optimal order in the number of points, uniformly over all coordinate pairs. We also investigate how the choice of rational projective coefficients affects the resulting mesh ratios. This leads to a minimax problem for finite configurations on $\\mathbb{P}^1(\\mathbb{Q})$, in which one seeks to minimize the maximum mesh ratio over all two-dimensional coordinate projections. These constructions provide extensible point sets with uniformly controlled bivariate geometry.\n8. 使用采样局部 WeakIdent 识别变化的偏微分方程 Identifying changing partial differential equations using Sampled Local WeakIdent\n作者: Wenbo Hao, Mengyi Tang, Sung Ha Kang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-12\narXiv ID: 2608.12479v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.12479v1\n摘要: We propose Sampled Local WeakIdent (SLW-Ident), a framework for identifying changing governing equations from a single set of given data. Different from a typical approach of using finite element based approximation to represent varying coefficients, this paper explores a local approach in identification of differential equations. First, we present the power of Local WeakIdent which gives good local identification and is also computationally efficient with a small patch size, yet it can be sensitive to local perturbations. We propose SLW-Ident which stabilizes the identification process and also incorporates global information: we first sample patches in the whole given domain, identify equations for each sampled patch, then use residual error of these equations to find the transitions between different equations. We refer to a region where the support of the identified equation does not change to be a region of one equation. Within each region of one equation, we pick the most frequently identified equation as the identified equation, and find constant as well as varying coefficient PDEs within each region of one equation. This is justified by an uncertainty quantification theory that gives the relation between statistical error of dominant support selection and the number of patches. We provide various numerical experiments showing that SLW-Ident accurately recovers the regions of one equation and the governing equations for changing PDEs with varying coefficients even with noisy given data.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-14_05-51-38/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月14日 05:51:38\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 8\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-带电流涨落的随机电阻性-hallmhd通过收敛的保结构有限元方法获得鞅弱解\"\u003e1. 带电流涨落的随机电阻性 Hall\u0026ndash;MHD：通过收敛的保结构有限元方法获得鞅弱解\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eStochastic resistive Hall\u0026ndash;MHD with current fluctuations: martingale weak solutions via a convergent structure-preserving finite element method\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年08月14日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月13日 08:58:45\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 2\n不相关论文数量: 11\n重点关注论文（完整分析） 1. 超越多项式的自适应有限元空间变分富集 Variational Enrichment of Adaptive Finite Element Spaces Beyond Polynomials\n作者: Matthew Francis Dixon\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-12\narXiv ID: 2608.11764v1\n摘要翻译: 自适应有限元通过细化网格或提高多项式次数来适应，但连贯的非多项式结构无论沿 h 坐标还是 p 坐标都可能仍然代价高昂。我们引入变分富集，其中紧致的问题相关函数补充通常的 h- 和 p- 细化。只要容许函数及其残差值可以被计算，该框架适用于 Galerkin 和极小残差格式；它不局限于某一类 PDE。商-Schur 分析去除冗余增广并度量其变分价值。对于对称强制问题，本文理论还给出精确的能量误差缩减量和一个与参考量无关的上界。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.11764v1\n1. 研究对象和背景 本文研究自适应有限元方法中，当解具有超越多项式的紧致结构时，如何高效地扩张逼近空间。传统自适应细化通过减小局部网格尺寸（h-细化）或提高局部多项式阶数（p-细化）来控制误差，但面对诸如输运剖面、界面层、系数适应坐标或振荡相位等相干非多项式特征时，需要大量分片多项式自由度才能逼近。本文提出变分富集（variational enrichment）框架，在 h- 和 p- 细化之外允许加入紧致的问题知情函数（称为 c-富集），这些函数可由短组合、特殊函数、局部 PDE 解或降阶近似等生成，不必预先枚举所有细尺度基函数。问题设定为对称强制椭圆问题，典型形式为 Poisson 方程或 Darcy 方程，能量内积 $a(u,v)=(\\nabla u,\\nabla v)$，载荷泛函 $F(v)=(q,\\nabla v)$；更一般的渗透率场可通过加权内积处理。解空间为 $H_0^1(\\Omega)$。自适应有限元通常构造嵌套空间 $V_m = V_1(\\mathcal T_m) + \\operatorname{span} M_m$，其中 $\\mathcal T_m$ 为一致的新顶点二分网格，$M_m$ 为紧致表示的符合物理宏函数集合。本文关注的关键空白在于：缺乏一种共同的、参考自由的变分比较，使得普通 h- 或 p- 行动与来自更丰富（可能非多项式）逼近类的候选函数可以在统一尺度上比较其对于 Galerkin 误差的降低量。仅简单添加后者可能引入冗余方向、拟合不相关特征或导致积分不准确，无法保证经济性和可靠性。已有的相关理论包括：自适应 h- 方法的收敛性与拟最优性 [2,4]；hp 方法残差估计 [12]；单位分解方法允许问题适应的局部函数 [1]；广义多尺度有限元 (GMsFEM) 构造紧致算子适应局部空间 [8]；局部正交分解 (LOD) 的全局修正子极限 [9]；通量重构提供保证的椭圆误差界 [3,11]；兼容有限元与离散微分复形保留结构恒等式 [6]；特征有限元将输运直接纳入演化步 [7]。本文试图将这些思想统一到一个新的细化原则：通过商 (quotienting) 去除已存在内容，用受限残差度量 PDE 相关性，并用精确增益恒等式使不同候选家族可直接比较。这就是变分富集的核心，它为有限元空间提供一种超越多项式阶的近似压缩机制，具有内在保证。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要理论结果围绕三个问题组织：可无冗余接纳、可无参考控制误差、是否相对 hp 改善近似。具体结论如下。\n(1) 精确保持引理 (Lemma 2.1)：设 $\\mathcal T_{m+1}$ 为 $\\mathcal T_m$ 的一致新顶点二分加密，且所有已接受富集函数 $M_m$ 作为相同物理函数保留，则空间包含 $V_m \\subset V_1(\\mathcal T_{m+1}) + \\operatorname{span} M_m$ 成立，从而 Galerkin 目标单调不增。这保证了 h-细化不擦除先前非多项式内容，是嵌套性和单调性的基础。\n(2) 一致商稳定性定理 (Theorem 2.2)：考虑逐层生成映射 $S_\\ell: E_\\ell \\to H_0^1(\\Omega)$，定义创新部分 $R_\\ell = (I-P_{\\ell-1}^a)S_\\ell$ 及能量 Gram 算子 $D_\\ell = R_\\ell^* R_\\ell$。若在商系数空间上 $\\delta I \\preceq D_\\ell \\preceq \\Delta I$ 对 $\\ell$ 一致成立，且相应块消去映射及其逆的范数有界 $M$ 和 $K$，则对任意层 $m$，有 $$\\frac{\\delta}{K^2} \\|[c]\\|^2 \\le \\|S^{(m)}[c]\\|_a^2 \\le \\Delta M^2 \\|[c]\\|^2.$$ 该结果将抽象 Schur–Riesz 理论转化为序列富集的水平一致稳定性，保证新加入方向可从旧空间中区分，且系数扰动对函数影响有界。\n(3) 精确变分增益定理 (Theorem 2.3)：设 $u_m$ 为 $V_m$ 中 Galerkin 解，候选块 $C: E_C \\to H_0^1(\\Omega)$。先投影掉已表示内容，定义 $Q = (I-P_m^a)C$，$D = Q^* Q$，$b(z) = F(Qz)-a(u_m,Qz)$。在商系数空间上若 $A_C I \\preceq D \\preceq B_C I$，则因添加该块导致的能量误差平方减少量为 $$\\|u-u_m\\|_a^2 - \\|u-P_{V_m+\\operatorname{ran} C}^a u\\|_a^2 = \\langle b, D^\\dagger b\\rangle,$$ 且该增益介于 $\\|b\\|^2/B_C$ 和 $\\|b\\|^2/A_C$ 之间。该恒等式完全可计算，无需知道精确解 $u$。\n(4) 可靠商通量上界 (Theorem 3.1)：对 Poisson 形式，定义不可见散度场空间 $N = \\{ s \\in L^2(\\Omega)^d : (s,\\nabla v) = 0 \\; \\forall v \\in H_0^1(\\Omega) \\}$。对任何符合逼近 $u_h$，能量误差满足 $$\\|u-u_h\\|_a = \\inf_{s\\in N} \\| q - \\nabla u_h - s\\|_{L^2}.$$ 因此任何可计算的 $s_h \\in N$ 给出保证上界 $\\|u-u_h\\|_a \\le \\| q - \\nabla u_h - s_h\\|_{L^2}$，无需饱和假设或精确参考解。\n(5) 扰动安全排序 (Proposition 3.2)：设计算得到 $\\tilde D_C, \\tilde b_C$，且满足 $D_C \\succeq A_C I$、$\\|\\tilde D_C - D_C\\| \\le \\varepsilon_{D,C} \u003c A_C$、$\\|\\tilde b_C - b_C\\| \\le \\varepsilon_{b,C}$。定义 $\\tilde G_C = \\langle \\tilde b_C, \\tilde D_C^\\dagger \\tilde b_C\\rangle$，则真实增益 $G_C$ 与 $\\tilde G_C$ 的偏差有界于 $$\\Xi_C = \\frac{2\\|\\tilde b_C\\|\\varepsilon_{b,C} + \\varepsilon_{b,C}^2}{A_C} + \\frac{\\|\\tilde b_C\\|^2 \\varepsilon_{D,C}}{A_C(A_C-\\varepsilon_{D,C})}.$$ 因而 $\\tilde G_C - \\Xi_C \u003e 0$ 证明确实有正改进；$\\tilde G_C - \\tilde G_{C'} \u003e \\Xi_C + \\Xi_{C'}$ 证明 $C$ 的真实增益大于 $C'$。\n(6) 条件拟误差收缩 (Proposition 3.3)：若估计量 $\\eta_m$ 可靠，满足 $\\|u-u_m\\|_a^2 \\le C_{rel}\\eta_m^2$，并且接受的 h-, p- 或 c- 行动满足 $\\eta_{m+1}^2 \\le q\\eta_m^2 + C_{stab}\\|u_{m+1}-u_m\\|_a^2$，其中 $0","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-13_08-58-45/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月13日 08:58:45\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 11\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-超越多项式的自适应有限元空间变分富集\"\u003e1. 超越多项式的自适应有限元空间变分富集\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eVariational Enrichment of Adaptive Finite Element Spaces Beyond Polynomials\u003c/p\u003e","title":"2026年08月13日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月12日 12:28:32\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 5\n不相关论文数量: 13\n重点关注论文（完整分析） 1. 解耦势积分方程的高阶 Galekin 格式 A High-Order Galerkin Scheme for the Decoupled Potential Integral Equations\n作者: David Scott Winterrose\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-11\narXiv ID: 2608.10799v1\n摘要翻译: 我们证明了解耦势积分方程在 Sobolev 空间中的适定性。利用基本的伪微分技巧，在标准 $L^2$ 配对下获得了离散稳定性，进而我们推导出采用间断基函数的高阶格式的谱收敛性，或者当对系统的向量部分施加额外的逐单元切向连续性时亦然。该格式被证明比成熟的商业 EFIE/CFIE 求解器具有更好的条件数，在很多情况下几乎与波数、网格密度和阶数无关。\nComment: 19 pages\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.10799v1\n1. 研究对象和背景 本文研究三维空间中有界良导体的时谐电磁波散射问题. 设散射体边界 $\\Gamma\\subset\\mathbb{R}^3$ 是光滑的定向紧曲面, 允许有多个连通分支, 外部介质为波数 $k\\ge0$ 的均匀无界区域. 传统上, 电磁散射的边界积分方程方法依赖于电场积分方程 (EFIE)、磁场积分方程 (MFIE) 或组合场积分方程 (CFIE). 然而这些方程都存在固有缺陷: EFIE 和 MFIE 在内部共振频率处有解不唯一, EFIE 在稠密网格下出现低频崩溃, MFIE 在 $k\\to0$ 时存在灾难性抵消, 而且当曲面亏格非零时, 所有方程在静态极限下都会出现拓扑崩溃. 在算子层面, 这导致未离散的系统就已经条件数很差, 任何离散化后的技巧都无法根除这一方程本质带来的问题.\n解耦势积分方程 (Decoupled Potential Integral Equations, DPIE) [19,21] 能够避开上述困难. DPIE 本质上是对修正积分方程 [6] 的一种变形, 并添加了零均值约束以消除静态极限下算子的核. 其物理模型为理想电导体 (Perfect Electric Conductor, PEC) 上的散射问题.\n设 $\\nu$ 为 $\\Gamma$ 的单位外法向量, $J$ 为近复结构 $J(a)=\\nu\\times a$. 记 $S_k$ 为单层位势, $D_k$ 为双层位势, $D_k^t$ 为其转置, $W_k$ 为超奇异算子, $M_k$ 为磁算子:\n$$\\begin{aligned} S_k\\rho(x)\u0026=\\int_\\Gamma \\Phi_k(x,y)\\rho(y)d\\sigma(y),\\\\ D_k\\rho(x)\u0026=\\int_\\Gamma \\left[\\frac{\\partial}{\\partial\\nu(y)}\\Phi_k(x,y)\\right]\\rho(y)d\\sigma(y),\\\\ D_k^t\\rho(x)\u0026=\\int_\\Gamma \\left[\\frac{\\partial}{\\partial\\nu(x)}\\Phi_k(x,y)\\right]\\rho(y)d\\sigma(y),\\\\ W_k\\rho(x)\u0026=\\lim_{\\varepsilon\\to0}\\int_{\\Gamma\\setminus\\{z\\in\\Gamma\\mid |z-x|\u003c\\varepsilon\\}} \\left[\\frac{\\partial}{\\partial\\nu(x)}\\frac{\\partial}{\\partial\\nu(y)}\\Phi_k(x,y)\\right]\\rho(y)d\\sigma(y),\\\\ M_k a(x)\u0026=\\int_\\Gamma \\nu(x)\\times(\\nabla_x\\Phi_k(x,y)\\times a(y))d\\sigma(y), \\end{aligned}$$ 其中 $\\Phi_k$ 为 Helmholtz 方程的格林函数. 向量 DPIE 系统为:\n$$\\begin{pmatrix} \\frac12 I+M_k \u0026 L_k \\\\ 0 \u0026 \\frac12 I+D_k \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} a \\\\ \\rho \\end{pmatrix} + i\\eta \\begin{pmatrix} \\nu\\times S_k J \u0026 \\operatorname{curl}_\\Gamma S_k \\\\ S_k\\operatorname{curl}_\\Gamma \u0026 -k^2 S_k \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} a \\\\ \\rho \\end{pmatrix} - \\begin{pmatrix} 0 \\\\ \\sum_{j=1}^N v_j\\chi_{\\Gamma_j} \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} f \\\\ h \\end{pmatrix},$$ $$\\int_{\\Gamma_j} \\left[-\\nu\\cdot S_k(\\nu\\rho) + i\\eta\\left(\\nu\\cdot S_k J a - \\frac12\\rho + D_k^t\\rho\\right)\\right] d\\sigma = q_j,$$ 其中 $L_k\\rho = -\\nu\\times S_k(\\nu\\rho)$, $a$ 为切向电流, $\\rho$ 为标量势, $v_j$ 为 Lagrange 乘子, $\\eta\\in\\mathbb C$ 为自由参数. 标量 DPIE 系统为:\n$$\\left(\\frac12 I + D_k - i\\eta S_k\\right)\\rho - \\sum_{j=1}^N v_j\\chi_{\\Gamma_j} = h,\\quad \\int_{\\Gamma_j} \\left[(W_k-W_0)\\rho + i\\eta\\left(\\frac12 - D_k^t\\right)\\rho\\right] d\\sigma = q_j.$$已有工作主要在 Hölder 空间框架下证明了 DPIE 的适定性 [19,21], 但尚未在 Sobolev 空间尺度上建立系统的泛函分析理论. 此外, 已有的伽辽金边界元实现均为低阶格式, 基于 RWG 屋顶基函数 [10,3,15], 而高阶求解器大多采用 Nyström 型配置法 [20,21]. 本文的目标正是填补这一空白: 在光滑曲面假设下, 证明 DPIE 在整个 Sobolev 空间尺度上的适定性, 并构造高阶伽辽金离散格式, 同时分析其稳定性和收敛性.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要理论结果分为适定性与离散稳定性两方面, 均要求参数 $\\eta\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\}$ 且散射体边界 $\\Gamma$ 是光滑的紧曲面.\n定理 2.4 (Sobolev 空间适定性): 向量与标量 DPIE 系统对任意 $s\\in\\mathbb{R}$ 都是适定的, 即混合算子 $V:\\bigl(H^s(\\Gamma,T\\Gamma\\oplus\\mathbb{C})\\bigr)\\oplus\\mathbb{C}^N\\to\\bigl(H^s(\\Gamma,T\\Gamma\\oplus\\mathbb{C})\\bigr)\\oplus\\mathbb{C}^N$ 和 $S: H^s(\\Gamma)\\oplus\\mathbb{C}^N\\to H^s(\\Gamma)\\oplus\\mathbb{C}^N$ 均为同构.\n定理 2.5 ($L^2$-Galerkin 稳定性): 设 $\\{\\mathcal{H}_n\\}$ 为 $L^2(\\Gamma,T\\Gamma\\oplus\\mathbb{C})\\oplus\\mathbb{C}^N$ (或 $L^2(\\Gamma)\\oplus\\mathbb{C}^N$) 的一族 Galerkin 子空间序列, 则当 $n$ 充分大时, 离散 inf-sup 条件成立:\n$$\\inf_{u\\in\\mathcal{H}_n}\\sup_{w\\in\\mathcal{H}_n} \\frac{|\\langle V u, w\\rangle|}{\\|u\\|\\|w\\|} \\ge \\alpha \u003e0,\\quad \\inf_{u\\in\\mathcal{H}_n}\\sup_{w\\in\\mathcal{H}_n} \\frac{|\\langle S u, w\\rangle|}{\\|u\\|\\|w\\|} \\ge \\beta \u003e0.$$由此可导出拟最优误差估计:\n$$\\|V^{-1}g - u_n\\|_{L^2\\oplus\\mathbb{C}^N} \\le \\frac{\\|V\\|}{\\alpha}\\inf_{w\\in\\mathcal{H}_n}\\|V^{-1}g - w\\|_{L^2\\oplus\\mathbb{C}^N}.$$推论 3.1 (高阶收敛性): 在形状正则的网格剖分和分片张量积 Legendre 多项式基下, 若真解具有局部 $H^m$ 正则性, 则有不连续伽辽金解的误差估计:\n$$\\|V^{-1}g - u_n\\|_{L^2(\\Gamma,T\\Gamma\\oplus\\mathbb{C})\\oplus\\mathbb{C}^N} \\le \\frac{\\|V\\|}{\\alpha} \\sum_j \\sum_{Q} \\varepsilon(Q) \\|f\\|_{H^m(\\tau_j(Q), T\\tau_j(Q)\\oplus\\mathbb{C})},$$ $$\\|S^{-1}g - u_n\\|_{L^2(\\Gamma)\\oplus\\mathbb{C}^N} \\le \\frac{\\|S\\|}{\\beta} \\sum_j \\sum_{Q} \\varepsilon(Q) \\|f\\|_{H^m(\\tau_j(Q))},$$ 其中 $\\varepsilon(Q) = C_m \\frac{h(Q)^{\\min\\{p(Q)+1,m\\}}}{p(Q)^m}$, $h(Q)$ 为单元直径, $p(Q)$ 为多项式阶数, $C_m$ 仅依赖于几何与基函数选取. 若采用切向连续的向量基, 亦可得到类似估计.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心分析工具是伪微分算子理论, 通过该框架将 DPIE 系统中的积分算子视为 $\\Gamma$ 上的经典伪微分算子, 并充分利用主象征的代数结构.\n1. 伪微分算子框架下的适定性\n首先确认各积分算子的阶数: $S_k, D_k, D_k^t\\in\\Psi^{-1}(\\Gamma)$, $W_k\\in\\Psi^1(\\Gamma)$ 但 $W_k-W_0\\in\\Psi^{-1}(\\Gamma)$, $M_k\\in\\Psi^{-1}(\\Gamma, T_\\mathbb{C}\\Gamma)$. 由此可将向量 DPIE 的主算子 $A$ 写为\n$$A = \\begin{pmatrix} \\frac12 I \u0026 i\\eta\\operatorname{curl}_\\Gamma S_k \\\\ i\\eta S_k\\operatorname{curl}_\\Gamma \u0026 \\frac12 I \\end{pmatrix} + K_k,\\qquad K_k\\in\\Psi^{-1}(\\Gamma; T_\\mathbb{C}\\Gamma\\oplus\\mathbb{C}),$$进而通过象征计算得到 $A$ 的主象征:\n$$\\sigma^0(A)(x,\\xi)\\begin{pmatrix}\\delta a \\\\ \\delta\\rho\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} \\frac12\\delta a - \\frac12\\eta(\\nu(x)\\times \\xi^\\sharp/|\\xi|_g)\\delta\\rho \\\\ +\\frac12\\eta(\\nu(x)\\times \\xi^\\sharp/|\\xi|_g)\\cdot \\delta a + \\frac12\\delta\\rho \\end{pmatrix}.$$在切平面的正交分解下, 该象征等价于矩阵\n$$\\frac12\\begin{pmatrix} 1 \u0026 0 \u0026 0 \\\\ 0 \u0026 1 \u0026 -\\eta \\\\ 0 \u0026 +\\eta \u0026 1 \\end{pmatrix},$$当 $\\eta\\in\\mathbb{C}\\setminus\\{-i,+i\\}$ 时可逆, 当 $\\eta\\in\\mathbb{R}$ 时强椭圆. 由此可知 $A$ 是强椭圆算子, 存在 Gårding 不等式:\n$$\\operatorname{Re}\\langle A\\boldsymbol{f},\\boldsymbol{f}\\rangle_{L^2} \\ge \\alpha_0\\|\\boldsymbol{f}\\|_{L^2}^2 - \\alpha_{-1/2}\\|\\boldsymbol{f}\\|_{H^{-1/2}}^2,\\quad \\boldsymbol{f}=(a,\\rho).$$进一步结合 Fredholm 性质与指标同伦不变性, 证明 $\\operatorname{ind}A=0$. 加入零均值约束后, 通过紧扰动论证可得混合算子 $V$ 和 $S$ 也是 Fredholm 指标零. 再利用光滑函数类的唯一性 (来自 [19,6]) 导出核空间的平凡性, 从而得到可逆性. 这一过程完全在 $H^s$ 尺度上进行, 不依赖 Hölder 空间.\n2. 离散稳定性与拟最优估计\n在 $L^2$ 框架下, 使用 Schatz 型的矛盾论证从 Gårding 不等式导出离散 inf-sup 条件. 具体来说, 假设不满足离散 inf-sup, 则存在一列单位长度的离散函数 $u_n$, 使得 $\\langle V u_n, w\\rangle\\to0$ 对所有 $w$ 成立, 即 $V u_n\\rightharpoonup0$ 弱收敛于 $L^2$. 利用 Gårding 不等式和范数关系, 结合 $H^{-1/2}$ 中的紧性, 可证得弱极限 $u$ 非零; 另一方面, 由弱收敛推知 $V u=0$, 与可逆性矛盾. 由此得到与网格无关的稳定性常数, 并保证离散系统的条件数一致有界.\n3. 高阶基函数的设计与积分处理\n离散部分选用分片张量积 Legendre 多项式. 为了对 $L^2$ 配点直接应用伽辽金法, 需处理 $\\operatorname{curl}_\\Gamma S_k$ 和 $S_k\\operatorname{curl}_\\Gamma$ 中的 Cauchy 主值积分. 通过分部积分将包含旋度的项转化为弱奇异核积分与线积分之和:\n$$\\langle S_k\\operatorname{curl}_\\Gamma a,\\varphi\\rangle = \\sum_{U_j} \\left( \\int_{U_j} (\\operatorname{curl}_{U_j} a|_{U_j}) S_k\\varphi\\,d\\sigma + \\int_{\\partial U_j} (t_{\\partial U_j}\\cdot a|_{U_j}) S_k\\varphi\\,d\\ell \\right).$$若基函数在单元边界上切向连续, 则线积分相互抵消, 避免计算奇异贡献. 据此, 文中提出两种基函数选取:\n不连续正交基: 直接在参考单元上取 $L^2$-正交的 Legendre 多项式, 并利用度量平方根 $\\Lambda$ 进行协变变换, 得到局部正交向量基. 此方案保持全局正交性, 能得到极好的条件数 (几乎不依赖于波数、网格尺寸和多项式阶数), 但需要计算线积分. 切向连续基: 采用修正的 Legendre 多项式 $\\tilde P_n$ 构造满足单元边连续性条件的 Nedelec 型函数, 从而消去线积分, 实现更简便, 但条件数略逊于不连续基. 误差估计基于 Babuška-Suri 逼近引理, 仅需形状正则网格 (不强求拟均匀), 且 $h$ 和 $p$ 的误差常数明确. 对于切向连续基, 可通过 Scott-Zhang 型算子得到类似结果.\n4. 与之前工作的比较 本文与已有 DPIE 及边界元方法的研究相比, 在以下方面做了实质性推进:\n1. 函数空间框架的推广 文献 [19, 21] 在 Hölder 空间框架下建立了 DPIE 的适定性. 尽管 Hölder 空间可涵盖较低正则性, 但现代数值分析通常在 Sobolev 空间进行误差估计与稳定性分析. 本文首次给出 DPIE 在整个 Sobolev 尺度 $H^s$ 上的完整适定性证明 (定理 2.4), 这使离散误差的 $L^2$ 和负范数估计有了理论基础. 同时, 证明过程完全基于伪微分算子理论, 比原 Hölder 空间的位势论证更具代数清晰性, 且自然导出强椭圆性, 为后续离散稳定性铺平道路.\n2. 离散化策略: 从低阶到高阶, 从 Nyström 到伽辽金\n与现有伽辽金实现 [10, 3, 15] 对比: 这些工作均采用低阶 RWG 屋顶基函数, 虽然几何灵活性好, 但仅有一阶精度, 且条件数随网格加密增长较快. 本文设计了基于张量积 Legendre 多项式的高阶格式, 可以达到谱收敛速度, 并且条件数表现出对 $h$、$p$ 和 $k$ 的高度独立性. 与 Nyström 型求解器 [20, 21] 对比: 此类方法通过配置点实现高阶精度, 但不直接具有最小二乘或伽辽金方法的对称性和超收敛特性. 本文的伽辽金格式在 $L^2$ 配对下自然诱导出对称正定的部分, 且稳定性由强椭圆性保证, 理论更简洁. 3. 条件数优势 数值实验 (尽管文中未给出具体数据, 但摘要和引言中强调) 表明, 本文的格式相比成熟的商用 EFIE/CFIE 求解器具有显著更好的条件数. 特别地, 对于不连续基方案, “在许多情形下条件数几乎不依赖于波数、网格密度和多项式阶数”, 这是现有伽辽金边界元难以达到的. 其原因在于 $L^2$ 正交基的选取保留了算子强椭圆性在离散层的对应性质, 而传统低阶基往往破坏这一结构.\n4. 与解耦场积分方程 (DFIE) 的区别 文献 [18] 提出针对传输问题的 DFIE, 同样在 Hölder 空间下讨论且未涉及 Sobolev 空间. 本文明确聚焦于 PEC 问题的 DPIE, 两者方程形式不同, 但分析思路有相通之处. 本文的 Sobolev 空间处理为未来在 DFIE 或其它类似系统上推广提供了范本.\n5. 局限性与未来方向 文中仅处理了光滑曲面, 未涉及 Lipschitz 或多边形散射体; 对高波数 $k$ 虽无崩溃, 但稳定性常数 $\\alpha_{-1/2},\\beta_{-1/2}$ 可能依赖 $k$, 本文未给出显式依赖性分析. 此外, 数值实验的详细结果也未在本文中展示, 这些可在后续工作中完善.\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 物理信息神经网络中的导数计算：自动微分、有限差分及超越 Derivative Computation in PINNs: Automatic Differentiation, Finite Differences and Beyond\n作者: Maciej J. Mikulski, Tadeusz Uhl\n类别: cs.LG, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-08-11\narXiv ID: 2608.11020v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.11020v1\n摘要翻译 中文标题: 物理信息神经网络中的导数计算：自动微分、有限差分及超越\n摘要翻译: 我们系统地研究了物理信息神经网络（PINNs）中的有限差分（FD）导数计算，将其作为自动微分（AD）的替代方案。在三个基准偏微分方程上，我们展示了，通过适当校准步长，有限差分在每个问题上的精度与自动微分相匹配，同时在所有测试的批量大小范围内运行更快，并且使用的 GPU 内存显著更少，我们提出的一种随机变体在稳态问题上优于自动微分。我们进一步表明，对于具有样本间依赖性的神经架构（例如 BatchNorm、自注意力），标准的 PyTorch 自动微分惯用语法在静默状态下是错误的；正确的逐样本替代方案在 PINN 相关的批量大小下计算上不可行，而有限差分提供了一种仅前向的近似，其在经验上比自动微分更接近真实的逐样本导数，接近程度约高出一个数量级。\n2. 多面体网格上Hybrid High-Order微分形式的一致离散庞加莱不等式 Uniform discrete Poincaré inequalities for Hybrid High-Order differential forms on polyhedral meshes\n作者: Silvano Pitassi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-11\narXiv ID: 2608.10713v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.10713v1\n摘要翻译 中文标题: 多面体网格上Hybrid High-Order微分形式的一致离散庞加莱不等式\n摘要翻译: 我们为一般多面体网格上的微分形式引入了一个Hybrid High-Order框架。对每个形式的次数 $k\\in\\{0,\\ldots,n-1\\}$，离散空间将网格单元上的多项式微分形式与网格面上的多项式迹未知量相结合，并通过局部Stokes公式重构外微分。在三维情形，相应的向量代理恢复了通常的混合梯度、旋度和散度重构，而微分形式设置则提供了任意空间维数下统一的外微积分推广。 在这一框架内，我们证明了每个形式次数下的一致离散庞加莱不等式。规范的分片-稳定半范数在混合 $L^2$ 范数意义下控制了到指定重构外微分的完全核的距离，该控制关于网格尺寸以及面空间的每一个稳定容许选择都是一致的。该结果对具有任意拓扑的区域成立。\n3. 一种求解时间分数阶移动-不动输运方程的数值方法 A numerical approach for solving the time-Fractional Mobile-Immobile Transport Equation\n作者: Sandip Maji\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-11\narXiv ID: 2608.10607v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.10607v1\n摘要翻译 中文标题: 一种求解时间分数阶移动-不动输运方程的数值方法\n摘要翻译: 分数阶扩散模型为描述非均质多孔介质中的反常输运现象提供了一个有力的框架。移动-不动模型是刻画此类反常扩散的基本方法，专门处理由移动区与不动区之间的质量传递引起的延迟溶质输运。本研究针对由 Caputo 导数（阶数 $α\\in (0,1)$）控制的一维时间分数阶移动-不动模型，建立并分析了两种全离散数值格式。空间离散采用非对称内罚间断 Galerkin 方法，时间导数则由 Crank-Nicolson L1 和 L2-$1_σ$ 公式逼近，从而得到两种具有高阶精度的不同格式。我们建立了严格的稳定性和误差分析，表明方法在精确解的正则性条件下能达到最优收敛速度。数值实验验证了理论预测，并展示了所提格式的高效性和鲁棒性。所提出的框架为模拟多孔介质及相关领域中的复杂分数阶输运过程提供了一种可靠且精确的方法。\n4. 三维变密度不可压无感磁流体动力学方程的高阶能量稳定且电荷守恒的拉格朗日有限元法 High-order Energy-stable and Charge-conservative Lagrangian FEM for 3D Incompressible Inductionless MHD equations with Variable Density\n作者: Lingxiao Li, Bijie Song, Haiyan Su, Jie Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-11\narXiv ID: 2608.10487v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.10487v1\n摘要翻译 中文标题: 三维变密度不可压无感磁流体动力学方程的高阶能量稳定且电荷守恒的拉格朗日有限元法\n摘要翻译: 本文考虑带有移动界面的变密度不可压无感磁流体动力学（MHD）方程组的求解。我们在拉格朗日框架下提出了一种高阶、能量稳定且电荷守恒的混合有限元方法。该方法利用移动高阶曲边网格技术来解析界面，并结合二阶后向微分公式（BDF2）对速度场进行时间离散，以及二阶Adams\u0026ndash;Bashforth方法（AB2）更新网格控制点。速度-压力元对采用带有梯度-散度稳定的高阶等参Taylor-Hood元。此外，为保证离散电荷守恒，电流密度采用高阶参数化H(div)-协调的BDM元。我们建立了全离散格式的无条件离散能量稳定性。数值实验验证了该算法的高阶精度和无条件能量稳定性。\n5. 离散几何上非线性 Naghdi 壳的形状优化 Shape optimisation of nonlinear Naghdi shells on discrete geometries\n作者: Ado Farsi, Alberto Paganini\n类别: math.NA, cs.CE\n发布日期: 2026-08-11\narXiv ID: 2608.10342v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.10342v1\n摘要翻译 中文标题: 离散几何上非线性 Naghdi 壳的形状优化\n摘要翻译: 薄壳通过其形状承担荷载，在有限挠度下，其刚度随荷载本身而变化，因此基于线性模型得到的形状最优解可能远非最优。我们提出了一套自动化框架，将完全几何非线性的壳体响应嵌入形状优化循环中。正模型采用五参数非线性 Naghdi 壳，并通过部分选择性缩减积分来抑制锁定，它直接作用于离散（多边形）三角剖分上，并带有数值重构的指向场——从而省去了等几何方法中精确的中面参数化，而一旦几何本身成为设计变量，这种参数图便不复存在。该模型在 Firedrake 中实现，自动生成残差、一致切线与伴随方程；通过全加载-连续求解的算法微分计算出的形状导数，驱动 Fireshape/ROL 信赖域优化器。正求解器重现了 Sze/Abaqus 基准算例——一端夹支的半圆柱壳受点荷载的情形，捕捉到几何线性模型无法再现的渐进刚化现象。优化结果对照 COMSOL 基准算例——受弯的钣金托架——进行了验证：该框架演化出相同的中面离面褶皱机制，并在给定的位移预算内使弹性应变能降低了 87%，且与基准算例的幅值和面积变化一致。将其应用于弯曲半圆柱时，框架形成了一条光滑的刚化折痕，使壳体在荷载下的平均挠度减小了 78%。\n不相关论文（基本信息） 1. 有理逼近与分段多项式逼近有多大不同？ How different is rational approximation from piecewise polynomial approximation?\n作者: Daan Huybrechs\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-11\narXiv ID: 2608.11120v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.11120v1\n摘要: The first aim of this paper is to show that there is merit to the question posed in the title. Indeed, for certain function classes, approximation by rational functions and by piecewise polynomials are surprisingly similar. Between these two, polynomials are more widely studied and more widely used. One setting in which both approaches are equally well understood, and equally practical in use, is that of approximating univariate functions with point singularities. In this context we can fully address the question. We review classical literature on the topic which shows that both approaches do indeed achieve similar convergence rates. However, rational approximations come with significantly smaller constants. Owing to recent advances in practical rational approximation, we can augment the discussion with a comparison of modern numerical techniques that achieve the optimal rates. We end by showing numerically that the difference becomes even more pronounced in several variables.\n2. 随机化Tucker草图GMRES Randomized Tucker-Sketched GMRES\n作者: Alberto Bucci, Martina Iannacito, Mirjeta Pasha, Rudi Smith\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-11\narXiv ID: 2608.11091v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.11091v1\n摘要: We address the problem of solving large-scale tensor-structured linear systems in the Tucker format. In this setting, standard iterative solvers such as GMRES face a fundamental bottleneck: the multilinear ranks of the Krylov basis vectors grow with the iteration count, leading to rapidly increasing tensor operation costs and memory requirements. To overcome these challenges, we propose two randomized algorithms within the sketched GMRES framework that replace full Arnoldi orthogonalization with short recurrences. The first, RHOSVD-Tucker sGMRES, uses randomized HOSVD with per-iteration rank selection, providing robustness across a wide range of problems. The second method, MLN-Tucker sGMRES, leverages the multilinear Nyström approximation with a fixed rank, enabling streaming computations; the streamability of the approximation further allows, at no additional cost, a memory-efficient reconstruction of the solution from a compact sketched representation of the Krylov basis. Both methods outperform standard low-rank Tucker solvers in symmetric and non-symmetric settings. Applied to inverse problems, the low-rank Tucker constraint acts as an implicit regularizer; combined with adaptive projected Tikhonov penalization and automatic regularization parameter selection, the methods yield stable reconstructions.\n3. 扩散拟蒙特卡罗 Diffusion Quasi-Monte Carlo\n作者: Jianlong Chen, Yifeng Yu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-11\narXiv ID: 2608.11055v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.11055v1\n摘要: We study high-dimensional numerical integration with respect to complex target measures using diffusion-based transport maps and randomized quasi-Monte Carlo (RQMC). Score-based diffusion models induce a deterministic probability flow ODE that transports a simple prior to the target, suggesting a principled way to transform low-discrepancy points on the unit cube into informative samples. We construct a cube-to-target map by composing a Gaussian base transformation (the component-wise inverse Gaussian CDF) with an Euler-discretized probability flow ODE. To retain unbiasedness under transport approximation, we formulate integration as importance sampling (IS) on the cube. Our main result provides verifiable conditions under which the resulting IS integrand satisfies the boundary growth condition, implying an $O(N^{-1+ε})$ RMSE for scrambled nets. We then establish these conditions for diffusion probability-flow transport under mild bounded-derivative assumptions on the learned vector field, explicitly controlling the boundary singularities introduced by the inverse Gaussian CDF. Experiments range from a 2D mixture to 784D images and a 40,960D conditional vorticity-assimilation task; in the latter, blocked scrambled Sobol\u0026rsquo; sampling reduces the randomization standard deviation of nonlinear accuracy metrics at essentially unchanged online denoising cost. Together, these results give a theoretical and empirical foundation for combining diffusion generative modeling with high-precision RQMC integration.\n4. 一种用于真三维重力反演的谱域伪逆方法 A Spectral-Domain Pseudo-Inverse Method for True 3D Gravity Inversion\n作者: Shengchang Chen\n类别: physics.geo-ph, math.NA\n发布日期: 2026-08-11\narXiv ID: 2608.11014v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.11014v1\n摘要: The main difficulty in 3D gravity inversion is that surface observations lack vertical wavenumber information, making the problem underdetermined and depth resolution poor. Building on the author\u0026rsquo;s spectral-domain pseudo-inverse theory for unitary diagonalizable systems, this paper presents a true 3D inversion method. Surface data are analytically continued upward via Laplace\u0026rsquo;s equation to form a 3D data volume, providing the vertical wavenumber sampling for the 3D Fourier transform. A general analytical expression for the half-space spectrum is derived, separating the horizontal spectrum from the vertical propagation kernel. The Green\u0026rsquo;s function of the 3D Poisson equation is unitarily diagonalized, yielding the forward spectral response $λ(\\kk) = -i 4πG k_z / K^2$, and a stable inverse filter $q_α(λ) = \\barλ/(|λ|^2 + α)$ is constructed. This filter is proved to have bounded stability and consistency (reducing to the exact inverse as $α\\to 0^+$). Validation with a homogeneous sphere model shows correct recovery of the anomaly location and singular behavior at the source. The contributions are twofold: (1) upward continuation constructs a 3D volume from 2D surface data, mitigating underdetermination; (2) the inversion is reduced to one forward 3D Fourier transform, one spectral scaling, and one inverse transform.\n5. 具有非全局Lipschitz系数的随机微分方程的自适应时间步长Euler\u0026ndash;Maruyama格式：一致收敛性、稳定性与遍历性 Adaptive Time-Stepping Euler\u0026ndash;Maruyama Scheme for SDEs with Non-Globally Lipschitz Coefficients: Uniform Convergence, Stability and Ergodicity\n作者: Xueqi Wen, Shan Huang, Xiaoyue Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-11\narXiv ID: 2608.10855v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.10855v1\n摘要: This paper develops an adaptive time-stepping Euler\u0026ndash;Maruyama scheme for stochastic differential equations (SDEs) with non-globally Lipschitz drift and diffusion coefficients. By dynamically adjusting the timestep at each iteration, the proposed scheme effectively prevents numerical instability. We prove the moment boundedness of the numerical solution and establish a $1/2$-order strong convergence rate both on finite-time intervals and uniformly in time. Furthermore, the scheme faithfully inherits the $p$th moment exponential stability of the underlying SDE. For long-time ergodic dynamics, we establish the polynomial ergodicity of the numerical invariant measure. Moreover, we show that the numerical invariant measure converges to the invariant measure of the underlying SDE at an optimal rate of $1/2$ in the $L^q$-Wasserstein distance. Numerical experiments confirm our theoretical results and indicate the superior accuracy and computational performance of the proposed scheme over several fixed-step and existing adaptive methods.\n6. 三维电多孔弹性方程的锁定分析与高阶无锁定有限元方法 Locking analysis and high-order locking-free finite element method for three-dimensional electroporoelasticity equations\n作者: Xuan Liu, Yongkui Zou, Yanzhao Cao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-11\narXiv ID: 2608.10830v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.10830v1\n摘要: Electroporoelasticity equations couple Maxwell\u0026rsquo;s equations with Biot\u0026rsquo;s poroelasticity model and admit severe Poisson locking in standard conforming finite element discretizations when the Lamé constant is large. In this paper, we provide a rigorous analysis of the Poisson locking phenomenon for three-dimensional quasi-static electroporoelasticity equations and show that the spatial convergence order of conforming finite element approximations is reduced in the nearly incompressible regime. To eliminate this locking effect, we introduce a five-field formulation and a fully discrete high-order finite element method. We prove uniform stability with respect to large Lamé constant. Based on this, we establish a locking-free scheme by deriving its uniform error estimates with respect to the Lamé coefficient. The analysis covers the fully coupled electromagnetic-poroelastic system and applies to high-order elements in three dimensions. Extensive numerical experiments are presented to verify the theoretical convergence rates and demonstrate robustness with respect to the Lamé parameter.\n7. 用于逼近的连续Schur-Riesz分析 Successive Schur-Riesz Analysis for Approximation\n作者: Matthew Francis Dixon\n类别: math.NA, math.FA\n发布日期: 2026-08-11\narXiv ID: 2608.10757v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.10757v1\n摘要: Many approximation methods enlarge a trial space by adjoining function blocks generated by different operators. Exact redundancy and strong cross-level interaction can make coefficients nonunique and render pairwise or diagonal-dominance tests needlessly pessimistic. For (V_m=\\sum_{\\ell\\leq m}S_\\ell(E_\\ell)) in a Hilbert space $\\mathcal H$, we quotient coefficients representing the same function and control successive orthogonal innovations to obtain Riesz bounds independent of (m). The setting includes factored operators (S_\\ell=T_\\ell\\circ\\cdots\\circ T_1:E_\\ell\\to\\mathcal H), with compatible intermediate spaces, but the theorem allows arbitrary bounded (S_\\ell). The same constants control approximation, truncation, perturbation, and levelwise error. A block Schur complement identifies the intrinsic new dimension and gives the exact reduction in squared best-approximation error, leading to a constructive enrichment procedure. Nonstationary and lifted examples give positive intrinsic bounds where diagonal-dominance estimates are negative or labelled Gram matrices are singular; adaptive and recycled-subspace calculations illustrate the distinct roles of representation stability and application-specific utility.\n8. 通过SA-NODEs的长时间轨迹近似：模型预测与Floquet策略 Long-Time Trajectory Approximation via SA-NODEs: Model Predictive and Floquet Strategies\n作者: Ziqian Li, Nikolaos M. Matzakos\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-11\narXiv ID: 2608.10738v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.10738v1\n摘要: We study the approximation of dynamical systems by semi-autonomous neural ordinary differential equations (SA-NODEs) over long time horizons. For a single network trained on the whole horizon, the available error bound deteriorates double exponentially in the horizon length. We develop two training strategies that avoid this barrier, each built on a reset of the state. The model predictive strategy partitions the horizon adaptively and restarts every window from observed data: when training meets a prescribed tolerance on every window, the composite model meets it uniformly in time, with a parameter budget linear in the horizon for targets with a bounded, uniformly regular reachable tube. The Floquet strategy addresses autonomous targets with a stable limit cycle and uses no data at deployment: a certified contraction of the learned return map confines the error to linear growth in the number of elapsed periods. For the time-periodic architecture we deploy, the scalar certificate degenerates; we prove instead a uniform-in-time orbital guarantee whose hypotheses are measured on the trained model, and an obstruction showing that, for an exactly periodic learned field, small one-period error and a contracting stroboscopic map cannot hold at once. Numerical experiments on four benchmarks confirm the predicted error laws and measure the hypotheses of every guarantee.\n9. 一种用于可压缩Navier\u0026ndash;Stokes方程组的带梯度重构的高效稳健五阶HWENO格式 An efficient and robust fifth-order HWENO scheme with gradient reconstruction for compressible Navier\u0026ndash;Stokes equations\n作者: Zijun Guo, Chuan Fan, Zhuang Zhao\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-08-11\narXiv ID: 2608.10569v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.10569v1\n摘要: In this paper, we propose an efficient and robust fifth-order finite-volume Hermite weighted essentially non-oscillatory (HWENO) scheme with gradient reconstruction for the compressible Navier\u0026ndash;Stokes equations. The key idea is to construct weak-derivative moments for each dissipative variable by taking the arithmetic average of two HWENO interface traces, which are then processed componentwise through the standard scalar nonlinear HWENO reconstruction formula, with only the input moments differing from those used in the convective reconstruction, thereby supplying the gradients needed for the viscous fluxes. This reconstruction achieves fifth-order accuracy using only candidate polynomials of degree at most four, avoids the order reduction that would result from direct differentiation, and introduces negligible additional computational cost. To ensure robustness, especially in extreme test cases involving strong shocks or low densities, we apply a positivity-preserving limiter to the conservative states while retaining the nonlinear HWENO reconstruction for the viscous gradients. This combination is essential for stable computations in flows with strong gradients. Both the conservative and gradient reconstructions share the same compact stencils and candidate-polynomial structure, enabling a single implementation routine without introducing additional algorithmic complexity. Numerical results confirm that the proposed scheme delivers fifth-order accuracy and high resolution, offers competitive computational efficiency, and robustly resolves challenging finite-Reynolds-number Navier\u0026ndash;Stokes flows in which the positivity-preserving limiter is actively engaged.\n10. 求解 von Kármán 障碍问题的二次 $C^0$ 内部惩罚方法 A Quadratic $C^0$ Interior Penalty Method for the von Kármán Obstacle Problem\n作者: Sharat Gaddam\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-11\narXiv ID: 2608.10507v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.10507v1\n摘要: This article proposes and analyses a quadratic $C^0$ interior penalty method for the displacement obstacle problem of the von Kármán plate. The discrete space consists of Lagrange $P_2$ finite elements and the obstacle constraint is imposed at the vertices. The trilinear form of the von Kármán bracket is modified by terms on the edges so that it is bounded in the discrete energy norm. The well-posedness of the discrete problem, namely the existence of a discrete solution and its uniqueness under a smallness condition on the data, is established. The Sobolev and Friedrichs constants of the discrete energy norm are quantified with an explicit dependence on the mesh size. The main result is an error estimate of order $\\mathcal{O}(h^α)$ in the discrete energy norm, where $1/2\u003cα\\le1$ is the index of elliptic regularity of the biharmonic operator on the polygonal domain. Numerical experiments on a square and on an L-shaped domain confirm the predicted rates. The coincidence set has positive measure in one example and empty interior in another. The experiments also show how the penalty parameter affects the rates and identify a threshold in the size of the obstacle beyond which the iterative solver fails on fine meshes.\n11. 用于理想磁流体力学的一种五阶无散度有限差分Hermite WENO格式 A fifth-order divergence-free finite difference Hermite WENO scheme for ideal magnetohydrodynamics\n作者: Peiwen Chen, Shi Jin, Jianxian Qiu, Zhuang Zhao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-11\narXiv ID: 2608.10390v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.10390v1\n摘要: In this paper, we present a fifth-order finite difference divergence-free Hermite weighted essentially non-oscillatory (HWENO) scheme for the ideal magnetohydrodynamics (MHD) equations. In this framework, both the solution and its spatial partial derivatives are evolved in time and jointly employed in the spatial reconstruction procedure. A major challenge in MHD simulations is preserving the divergence-free constraint of the magnetic field, which is generally violated by standard numerical methods designed solely for hyperbolic conservation laws. To address this issue, we first solve the MHD equations within the HWENO framework for hyperbolic conservation laws, yielding a magnetic field divergence that remains zero up to high-order accuracy in smooth regions. Subsequently, we apply a correction that evenly distributes the divergence error among the partial derivatives involved in the divergence-free constraint, thereby rendering the magnetic field discretely divergence-free at the new time level. This approach offers several advantages. First, the scheme retains the conservation property, as only the partial derivatives of the numerical solution are corrected, leaving the conserved variables unchanged. Second, the correction applied to the partial derivatives of the magnetic field components introduces only a high-order perturbation, thereby preserving the overall accuracy. Third, the divergence-free treatment significantly enhances robustness, as most benchmark test cases cannot be run stably without such a correction. Fourth, the correction is a simple linear operation applied at each stage of the time integration, incurring negligible additional computational cost. Extensive numerical experiments demonstrate the accuracy, resolution, efficiency, effectiveness, and robustness of the proposed scheme.\n12. 用于求解双曲守恒律的高效弱熵PINN Efficient Weak-Entropy PINN for Solving Hyperbolic Conservation Laws\n作者: Qi Gao, Kuang Huang, Xuan Di\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-08-11\narXiv ID: 2608.10389v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.10389v1\n摘要: In recent years, neural networks have significantly advanced numerical solutions of partial differential equations (PDEs). However, solving PDEs with discontinuous solutions, such as hyperbolic conservation laws, remains challenging for neural network-based methods such as physics-informed neural networks (PINNs). Existing methods often rely on strong prior assumptions such as knowledge of discontinuity locations, or they introduce artificial smoothing terms that degrade accuracy. However, accurately solving these conservation laws and predicting the formation and propagation of discontinuities in solutions is crucial in many practical applications, including gas dynamics and traffic flow modeling. In this paper, we introduce a novel Weak-Entropy PINN (WEPINN) framework for hyperbolic conservation laws with discontinuous solutions. The method enforces the governing equations in their weak (integral) formulation and incorporates the entropy condition to select the physically admissible solution, while employing the discrete fast Fourier transform (DFFT) for efficient numerical integration. Our method is tested through extensive numerical experiments on a variety of scalar conservation laws and systems of conservation laws in one and two dimensional spaces. These experiments demonstrate that our method can accurately resolve sharp discontinuities while effectively capturing interactions between multiple shock and rarefaction waves.\n13. 用于完全不可压缩超弹性固体流固耦合的有限元浸没边界法的体积稳定化混合格式 A Volumetrically Stabilized Mixed Formulation of the Finite Element Immersed Boundary Method for Fluid Structure Interaction with Fully Incompressible Hyperelastic Solids\n作者: Abhishek Mishra, Paul T. Bauman\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.10217v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.10217v1\n摘要: The finite element immersed boundary method (FE IBM) with a distributed Lagrange multiplier is an attractive framework for fluid structure interaction (FSI) because it couples an Eulerian description of an incompressible fluid to a Lagrangian description of an immersed solid on two independent, nonconforming meshes, avoiding the costly remeshing required by body fitted arbitrary Lagrangian Eulerian methods. When the immersed solid is modelled as a fully incompressible hyperelastic material, however, a direct finite element discretization of the deviatoric solid stress fails to enforce the Lagrangian incompressibility constraint, and the computed structure exhibits spurious volumetric instabilities and locking. In this work we present a mixed formulation of the distributed Lagrange multiplier FEIBM that restores volumetric stability. Following the theory of nearly incompressible hyperelasticity, we augment the solid stress with a volumetric contribution derived from a dilatational strain energy and introduce an additional solid pressure field, enforced weakly, that plays the role of the Lagrange multiplier for the Lagrangian incompressibility constraint J = 1. The resulting formulation is discretized in space by finite elements and in time by an unconditionally stable semi implicit scheme, and is implemented as a reusable Immersed Boundary physics kernel within the GRINS multiphysics framework, built on the libMesh finite element library. The method is verified on three FSI benchmarks, an elliptically displaced thick ring returning to equilibrium, a radially stretched incompressible ring, and a disk falling under gravity in a viscous fluid, for which the mixed formulation removes the volumetric failure observed with the unstabilized formulation and reproduces the analytical terminal velocity of the falling disk to within 1%.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-12_12-28-32/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月12日 12:28:32\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 5\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 13\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-解耦势积分方程的高阶-galekin-格式\"\u003e1. 解耦势积分方程的高阶 Galekin 格式\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eA High-Order Galerkin Scheme for the Decoupled Potential Integral Equations\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e作者\u003c/strong\u003e: David Scott Winterrose\u003c/p\u003e","title":"2026年08月12日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月11日 08:40:29\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 10\n不相关论文数量: 34\n重点关注论文（完整分析） 1. 广义优化Schwarz方法的粗空间预处理：第一部分：连续情形 Coarse space preconditioning for Generalized Optimized Schwarz Methods. Part I: continuous case\n作者: Xavier Claeys\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-09\narXiv ID: 2608.08505v1\n摘要翻译: 最初在[Claeys, 2021]中提出的广义优化Schwarz方法（GOSM）是Deprés算法的一种变体，后者是一种用于求解调和波传播问题的区域分解策略。它通过一个非局部交换算子施加界面传输条件。我们在连续水平上、无穷维框架下进行分析，为GOSM格式的预处理提出了一种粗空间构造，并对应用于预处理后方程的GMRes收敛性给出了估计。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.08505v1\n1. 研究对象和背景 本文研究谐波波传播问题的非重叠区域分解法, 关注广义优化施瓦茨方法 (Generalized Optimized Schwarz Method, GOSM) 的粗空间预处理. 研究对象为如下 Helmholtz 型边值问题: 在有限 Lipschitz 区域 $\\Omega \\subset \\mathbb{R}^d$ 上, 给定源项 $f \\in L^2(\\Omega)$, 频率参数 $\\kappa \u003e 0$ 和阻抗参数 $\\kappa_* \\ge 0$, 求 $u \\in H^1(\\Omega)$ 满足 $$\\Delta u + \\kappa^2 u = -f \\quad \\text{in } \\Omega, \\qquad \\partial_n u - i \\kappa_* u = 0 \\quad \\text{on } \\partial\\Omega.$$ 该问题可写为变分形式: 求 $u \\in H^1(\\Omega)$ 使 $a(u,v) = \\ell(v)$ 对所有 $v \\in H^1(\\Omega)$ 成立, 其中 $a(u,v) := \\int_\\Omega (\\nabla u \\cdot \\nabla v - \\kappa^2 u v)\\,dx - i\\kappa_* \\int_{\\partial\\Omega} u v\\,ds$, $\\ell(v) = \\int_\\Omega f v\\,dx$. 假定该问题唯一可解, 即 inf-sup 常数 $\\alpha \u003e 0$.\nDesprés 算法是波传播区域分解的经典方法, 将计算域划分为互不重叠的子域, 在各子域独立求解后通过 Robin 迹的交换来耦合. 优化施瓦茨方法 (OSM) 通过调优 Robin 参数来加速收敛. GOSM 是 Després 算法的变体, 其核心特征是用非局部交换算子 $\\Pi$ 替代传统的局部 Robin 迹交换, 从而对网格细化具有鲁棒性, 且不受子域划分中交叉点的影响. 尽管 GOSM 对网格细化健壮, 但其线性求解的收敛性仍可能随子域数目增加或因共振而恶化. 粗空间校正是克服此类困难的天然手段. 近年来, 重叠型 Schwarz 方法的粗空间构造取得了显著进展, 能够处理共振, 但其离线构造代价高昂且难以直接移植到非重叠方法. 已有的非重叠子结构粗空间策略多针对正定问题, 少数涉及 Helmholtz 问题, 但均不适用于结构特殊的 GOSM. 本文正是为 GOSM 发展一种在连续水平上的粗空间预处理策略.\n令 $\\Omega$ 划分为非重叠 Lipschitz 子域 $\\Omega_1,\\dots,\\Omega_J$, 骨架 $\\Sigma := \\partial\\Omega_1 \\cup \\dots \\cup \\partial\\Omega_J$. 引入乘积空间 $\\mathbf{H}(\\Omega) := \\prod_j H^1(\\Omega_j)$, $\\mathbf{H}(\\Sigma) := \\prod_j H^{1/2}(\\partial\\Omega_j)$, 并定义块对角算子 $A_+ = \\operatorname{diag}(A_{\\Omega_j,+})$, $T_+ = \\operatorname{diag}(T_{\\Omega_j,+})$ 其中 $A_{\\Omega_j,+}$ 和 $T_{\\Omega_j,+}$ 分别对应 $\\kappa^2$ 带正号的能量内积与 Dirichlet-to-Neumann 映射; 边界迹算子 $B = \\operatorname{diag}(B_{\\Omega_j})$. 选择阻抗算子 $T:\\mathbf{H}(\\Sigma)\\to\\mathbf{H}(\\Sigma)'$ 为块对角正定自伴且 $T - T_+$ 紧. 非局部交换算子定义为 $\\Pi := 2T R(R^*TR)^{-1}R^* - \\mathrm{Id}$, 其中 $R:H^{1/2}(\\Sigma)\\to\\mathbf{H}(\\Sigma)$ 为限制算子, 满足 $\\Pi^2 = \\mathrm{Id}$ 且 $\\|\\Pi p\\|_{T^{-1}} = \\|p\\|_{T^{-1}}$. 局部散射算子 $S:\\mathbf{H}(\\Sigma)'\\to\\mathbf{H}(\\Sigma)'$ 通过 $$S := 2i T B (A - i B^* T B)^{-1}B^* + \\mathrm{Id}$$ 定义, 其中 $A = \\operatorname{diag}(A_{\\Omega_j})$ 来自 Helmholtz 双线性形式, 它满足 $\\|S p\\|_{T^{-1}} \\le \\|p\\|_{T^{-1}}$, 且在纯 Neumann 边界时等距. 最终的骨架方程为 $$(\\mathrm{Id} + \\Pi S) p = f,$$ 等价于原边值问题. GOSM 的一个独特性质是 $S - i\\mathrm{Id}$ 是紧算子, 从而 $(\\mathrm{Id} + \\Pi S)^4 + 4\\mathrm{Id}$ 也是紧的. 该紧性是传统 OSM 所不具备的, 为构造粗空间预处理与证明 GMRES 的超线性收敛提供了基础. 本文在无穷维连续层次上分析这一性质, 设计粗空间预处理, 并给出预处理后 GMRES 的收敛估计; 离散对应物将在后续工作中给出.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要理论结果集中在第 5 节及后续的粗空间构造. 由于提供的 PDF 片段仅包含至第 5 节及第 6 节标题, 详细的粗空间预处理收敛定理未在提供文本中完全呈现, 以下首先概述已明确呈现的结论, 再依据摘要提及后续结果.\n紧性结果:\n引理 5.1 表明, 若将 $A$ 替换为 $A_+$ 且 $T$ 替换为 $T_+$, 散射算子退化为纯虚单位算子: $2i T B(A_+ - i B^* T_+ B)^{-1}B^* + \\mathrm{Id} = i\\mathrm{Id}$. 引理 5.2 证明 $S - i\\mathrm{Id}$ 是紧的. 证明基于 $T_+ - T$ 紧 (假设) 以及 $A_+ - A$ 紧 (因 $H^1(\\Omega_j) \\hookrightarrow L^2(\\Omega_j)$ 紧且边界项为低阶) 的事实. 推论 5.3 由此推出 $(\\mathrm{Id} + \\Pi S)^4 + 4\\mathrm{Id}$ 是紧算子. 利用 $\\Pi^2 = \\mathrm{Id}$ 有 $(\\mathrm{Id} + i\\Pi)^4 = -4\\mathrm{Id}$, 与紧性差相减即得. GMRES 超线性收敛:\n采用范数 $\\|\\cdot\\|_{T^{-1}}$, GMRES 的第 $n$ 步残差 $r_n$ 满足 $\\|r_n\\|_{T^{-1}} \\le \\|r_0\\|_{T^{-1}} \\prod_{j=1}^{\\lfloor n/4\\rfloor} \\frac{\\sigma_j(4\\mathrm{Id} + (\\mathrm{Id} + \\Pi S)^4)}{\\gamma_\\star^4}$, 其中 $\\gamma_\\star$ 是强制常数 (见 (25) 式, $\\gamma_\\star \\ge \\sqrt{2}\\alpha/(\\lambda_{\\max}^2 + (2\\|a\\|/\\lambda_{\\min})^2)$). 此估计应用了 Moret 定理 (定理 5.4): 若 $\\mathrm{Id} + \\Pi S$ 可逆且其某次幂与标量恒等之差紧, 则 GMRES 残差衰减由该紧算子的奇异值乘积控制. 由于 $4\\mathrm{Id} + (\\mathrm{Id} + \\Pi S)^4$ 紧, $\\sigma_j \\to 0$, 故残差收敛快于任何几何速率, 即超线性收敛. 埃尔曼几何界 (27): $\\|r_n\\|_{T^{-1}} \\le (1 - (\\gamma_\\star/2)^2)^{n/2}\\|r_0\\|_{T^{-1}}$ 作为备选保底估计. Schatten p 类估计:\n若进一步假设 $A - A_+: \\mathbf{H}(\\Omega) \\to \\mathbf{H}^1(\\Omega)'$ 和 $T - T_+: \\mathbf{H}(\\Sigma) \\to \\mathbf{H}(\\Sigma)'$ 属于 Schatten p 类 ($p \\ge 1$), 则引理 5.6 证明 $S - i\\mathrm{Id}$ 和 $4\\mathrm{Id} + (\\mathrm{Id} + \\Pi S)^4$ 也属于 $p$ 类, 并给出显式范数界: $\\|S - i\\mathrm{Id}\\|_{C_p} \\le \\sqrt{2}E$, $\\|4\\mathrm{Id} + (\\mathrm{Id} + \\Pi S)^4\\|_{C_p} \\le 4(4+6E+4E^2+E^3)E$, 其中 $E = (\\|A - A_+\\|_{C_p} + \\|T - T_+\\|_{C_p})/(\\sqrt{2}\\beta)$ 且 $\\beta = \\|(A - iB^*TB)^{-1}\\|^{-1}$. 结合奇异值的算术-几何平均不等式 (引理 5.5), 可进一步给出 $\\|r_n\\|_{T^{-1}}/\\|r_0\\|_{T^{-1}} \\le (n^{-1/p} \\|4\\mathrm{Id} + (\\mathrm{Id} + \\Pi S)^4\\|_{C_p} / \\gamma_\\star^4)^{\\lfloor n/4\\rfloor}$, 量化了收敛速率. 粗空间预处理 (摘要及文章结构指明): 本文基于紧性观察, 提出一种构造 $(\\mathrm{Id} + \\Pi S)$ 的参数化 (parametrix) 的方法, 通过粗空间投影消除紧部分, 得到预处理算子 $M$, 使得 $M(\\mathrm{Id} + \\Pi S) = \\mathrm{Id} + \\text{紧}$, 从而预处理后的系统在 GMRES 下具有网格无关与子域数无关的快速收敛. 具体的构造与收敛定理位于第 6 节, 但提供文本截止于引理 5.6, 第 6 节仅有标题, 故此处无法给出详细结论.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的技术核心在于巧妙利用 GOSM 特有的紧性结构, 将谱分析与 Schatten 类理论引入 Krylov 收敛性研究. 主要方法与工具有:\n函数空间与算子代数框架: 严格在无限维 Hilbert 空间 $\\mathbf{H}(\\Omega), \\mathbf{H}(\\Sigma), \\mathbf{H}(\\Sigma)'$ 上工作. 定义了基于正定能量内积 $A_+$ 与 Dirichlet-to-Neumann 映射 $T_+$ 的加权范数, 并构造阻抗算子 $T$ 和散射算子 $S$ 使得算子间的关系具有清晰的紧扰动结构. 交换算子 $\\Pi$ 的定义 (20) 保证了 $\\Pi^2 = \\mathrm{Id}$ 且 $\\Pi$ 是 $T^{-1}$-等距, $S$ 是 $T^{-1}$-压缩, 构成有界线性算子的基本性质.\n关键紧性分析: 核心障碍在于传统 OSM 的局部交换无法产生散射算子与 $i\\mathrm{Id}$ 的紧偏差. 本文通过精确的代数恒等变形 (引理 5.1 证明) 将 $S$ 表示成 $i\\mathrm{Id}$ 加上一个显式的紧扰动: $$S - i\\mathrm{Id} = 2i T B (A - i B^* T B)^{-1} (A_+ - A - i B^*(T_+ - T)B) (A_+ - i B^* T_+ B)^{-1} B^*.$$ 由于 $T_+ - T$ 紧 (假设) 和 $A_+ - A$ 紧 (因 $H^1$ 紧嵌入 $L^2$ 及边界项的 Hilbert-Schmidt 性质), 根据紧算子的理想性质即得 $S - i\\mathrm{Id}$ 紧.\n谱与多项式逼近: 为了证明 GMRES 超线性收敛, 作者不直接分析 $\\mathrm{Id} + \\Pi S$, 而是考察其四次幂 $(\\mathrm{Id} + \\Pi S)^4$. 这是因为 $\\Pi^2 = \\mathrm{Id}$ 保证了 $(\\mathrm{Id} + i\\Pi)^2 = 2i\\Pi$ 从而 $(\\mathrm{Id} + i\\Pi)^4 = -4\\mathrm{Id}$, 故 $(\\mathrm{Id} + \\Pi S)^4 + 4\\mathrm{Id}$ 恰为紧算子. 这为运用 Moret 定理 (定理 5.4) 创造了条件: 对于 Hilbert 空间 $H$ 上的可逆算子 $L$, 若 $L - \\lambda\\mathrm{Id}$ 紧, 则对任意 $g \\in H$, 有 $$\\min_{Q\\in P_n, Q(0)=1} \\|Q(L)g\\| \\le \\|g\\| \\prod_{j=1}^n \\sigma_j(L-\\lambda\\mathrm{Id})\\, \\sigma_j(L^{-1}).$$ 取 $L = (\\mathrm{Id}+\\Pi S)^4$, $\\lambda = -4$, 即得超线性收敛估计 (31). 该技巧的关键是将紧性从 $S$ 通过代数组合传递至整个算子, 从而触及 Krylov 方法收敛的本质——奇异值的衰减.\nSchatten p 类量化: 为得到更精确的收敛率, 作者进一步假设 $A - A_+$ 和 $T - T_+$ 属于 Schatten $p$ 类. 通过算子范数的细致估计及逆算子的有界性, 导出 $S - i\\mathrm{Id}$ 与 $(\\mathrm{Id}+\\Pi S)^4 + 4\\mathrm{Id}$ 的 Schatten 范数界 (引理 5.6). 结合算术-几何平均不等式, 将奇异值乘积转化为收敛速率的上界, 给出了可显式计算的步数-残差关系. 这种量化分析为评估预处理构造的数值效果提供了理论依据.\n粗空间预处理构造思路 (从摘要及上下文推断, 虽细节未给出): 基于 $(\\mathrm{Id}+\\Pi S)^4$ 是恒等加紧的事实, 作者可能采用类似于“近似逆”或“splitting”的方法, 在有限维粗空间中捕捉该紧算子的主要分量, 构造预处理器 $M$, 使得 $M(\\mathrm{Id} + \\Pi S) = \\mathrm{Id} + K$, 其中 $K$ 紧且范数小. 这种构造利用了 GOSM 的散射算子紧扰动的独特结构, 是传统方法无法实现的.\n整体证明框架: 从线性算子的代数分解出发, 借助紧性建立谱衰减; 利用 Krylov 方法的多项式极小特性, 通过 Moret 定理将紧算子奇异值与收敛速度挂钩; 最后在 Schatten 类假设下量化衰减速率. 文章的分析均在连续水平进行, 为离散情形的预处理设计提供了严格的数学基础.\n4. 与之前工作的比较 与传统优化施瓦茨方法 (OSM) 及现有粗空间策略相比, 本文的贡献与推进主要体现在以下几个方面:\n与传统 OSM 的本质差异: 传统 OSM (包括各种 Robin 参数调优变体) 在每个界面通过局部交换 Robin 迹来耦合子域, 其散射算子 $S$ 不具备 $S - i\\mathrm{Id}$ 紧的性质. 这是因为局部 Robin 边界条件导致 $S$ 与无界伪微分算子相关联, 与 $i\\mathrm{Id}$ 的差在恰当范数下未必紧. GOSM 通过非局部交换算子 $\\Pi$, 将散射算子与 $i\\mathrm{Id}$ 的区别归化为紧的, 从而为本文使用紧性构造粗空间与证明超线性收敛提供了可能性. 换言之, 本文利用了 GOSM 特有的代数结构, 这是所有传统局部 OSM 所缺失的.\n与重叠型 Schwarz 粗空间对比: 文献 [33, 19, 18, 20, 22, 2] 针对重叠型区域分解发展了一系列能处理共振的粗空间, 如基于广义特征值问题的自适应粗空间. 这些方法对 Helmholtz 问题是有效的, 但其粗空间构造通常需要求解局部特征值问题, 离线计算量较大, 且强依赖于重叠区域. 它们难以直接移植到非重叠 DDM, 因非重叠方法中不存在自然的重叠区域来提取粗基函数. 本文的方法则建立在非重叠 GOSM 框架上, 通过分析连续算子结构构造粗空间, 不受重叠假设的限制.\n与非重叠子结构粗空间对比: 已有的非重叠子结构粗空间 (如 [25, 8, 34] 及其中文献) 多数针对对称正定问题, 利用能量极小与延拓算子构造. 针对 Helmholtz 问题的少数工作 (如 FETI-H [12, 13, 14]) 通常需要对偶变量处理, 其粗空间依赖于对偶空间的特定投影. 但这些技术不适用于 GOSM, 因为 GOSM 的骨架方程 $\\mathrm{Id} + \\Pi S$ 既非对称也非标准 Galerkin 形式; 直接套用上述方法会破坏 GOSM 特殊的非局域耦合结构和紧性. 本文专为 GOSM 设计的粗空间充分利用了紧性: 预处理后的算子成为恒等加紧扰动, 从而使 Krylov 子空间方法收敛且迭代次数不随网格或子域数显著增长.\n相对于先前 GOSM 工作的推进: 文献 [4, 5, 6] 建立了 GOSM 的基本理论, 证明了其适定性和网格鲁棒性, 并给出了埃尔曼型几何收敛界. 但这些工作中并未涉及粗空间校正. 本文首次在 GOSM 中引入粗空间预处理, 并证明了 GMRES 的超线性收敛, 将收敛速度从单纯几何收敛 (可能随参数退化) 提升为超线性. 同时, 通过 Schatten 类分析, 给出了可量化的收敛率, 为实际离散实现提供了明确的理论指导.\n代价与局限: 本文的分析在连续无限维水平上进行, 回避了离散化细节, 因此得出的紧性、收敛估计等结论尚需在离散实现中验证. 粗空间的具体构造 (可能需要求解特征值或近似奇异值分解) 的离线代价未在本文讨论; 作者提及将在“forthcoming contribution”中给出离散对应物. 另外, 紧性依赖于 $T - T_+$ 和 $A - A_+$ 的紧性, 在离散有限元情形这些算子成为有限秩, 紧性自动满足, 因此理论结果对离散算子的适用性预期良好. 总体而言, 本文为 GOSM 的预处理提供了一种原理性的新途径, 其核心创新在于挖掘并利用散射算子的紧扰动特性.\n2. 用于伍德异常处及其附近频率的二维周期光栅衍射的频率稳定Nyström方法 A frequency-stable Nyström method for two-dimensional diffraction by periodic gratings at and near Wood anomalies\n作者: Kei Matsushima, Hiroshi Isakari\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-08-08\narXiv ID: 2608.08172v1\n摘要翻译: 我们提出并分析了一种针对二维周期光栅标量波散射的频率稳定边界积分方程方法。标准的准周期格林函数在伍德异常频率处作为频率的函数是奇异的，这阻碍了对传统积分方程离散化进行直接的频率一致误差分析。我们的方法基于一种修正的准周期格林函数，该函数通过减去奇异瑞利模并引入恢复辐射条件的有限维修正而得到。当底层衍射问题唯一可解时，所得到的组合场边界积分方程被证明是唯一可解的，且相应的散射场连续依赖于频率，包括在伍德异常处。接着，我们利用格林函数的Ewald表示和适应于核函数对数奇异性的求积规则构造了一个全离散Nyström格式。对于可能包含伍德异常频率的紧频率区间，我们证明了只要离散化和截断参数足够大离散系统就唯一可解，并建立了频率一致的误差估计和条件数上界。数值算例展示了该格式的收敛性及其跨伍德异常频率的稳定性。\nComment: 27 pages, 1 figure\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.08172v1\n1. 研究对象和背景 本文研究二维标量波在周期衍射光栅上的散射问题. 令 $L\u003e0$, $\\gamma:\\mathbb{R}\\to\\mathbb{R}^2$ 为 $C^{1,1}$ 嵌入, 满足 $\\gamma(t+2\\pi)=\\gamma(t)+L\\mathbf{e}_1$, 其中 $\\mathbf{e}_1=(1,0)$. 由此生成周期曲线 $\\Gamma_{\\mathrm{per}}:=\\gamma(\\mathbb{R})$ 及其一个周期段 $\\Gamma:=\\gamma([0,2\\pi])$. 记 $\\Omega^+$ 为 $\\mathbb{R}^2\\setminus\\Gamma_{\\mathrm{per}}$ 中满足存在 $H^+\\in\\mathbb{R}$ 使得 $\\mathbb{R}\\times(H^+,\\infty)\\subset\\Omega^+$ 的连通分支, 而 $\\Omega^-$ 为存在 $H^-\\in\\mathbb{R}$ 使得 $\\mathbb{R}\\times(-\\infty,H^-)\\subset\\Omega^-$ 的分支. 设 $\\beta\\in\\mathbb{R}$ 为给定的相位常数, 定义 $\\beta$-准周期连续函数空间 $C_\\beta(\\Gamma_{\\mathrm{per}}):=\\{\\varphi\\in C(\\Gamma_{\\mathrm{per}}):\\varphi(\\mathbf{x}+L\\mathbf{e}_1)=\\varphi(\\mathbf{x})e^{i\\beta}\\}$, 并装备范数 $\\|\\varphi\\|_{C_\\beta(\\Gamma_{\\mathrm{per}})}:=\\|\\varphi\\|_{C(\\Gamma)}$. 对给定的波数 $k\\in\\mathbb{R}$ 与边界数据 $g\\in C_\\beta(\\Gamma_{\\mathrm{per}})$, 所考虑的衍射问题 $(\\mathrm{P}_k)$ 为\n$$ \\begin{cases} -\\Delta u - k^2 u = 0 \u0026 \\text{在 } \\Omega^+ \\text{ 内},\\\\ u(\\mathbf{x}+L\\mathbf{e}_1)=u(\\mathbf{x})e^{i\\beta} \u0026 \\text{在 } \\Omega^+ \\text{ 内},\\\\ u = g \u0026 \\text{在 } \\Gamma_{\\mathrm{per}} \\text{ 上},\\\\ u \\text{ 满足向上的辐射条件}. \\end{cases} $$向上辐射条件的形式化定义借助 Rayleigh 展开: 对满足 Helmholtz 方程及准周期条件的函数 $u$, 在区域 $\\mathbb{R}\\times(H^+,\\infty)$ 上可唯一展开为\n$$ u(\\mathbf{x}) = \\sum_{s\\in\\mathbb{Z}\\setminus\\sigma_*(k)} A_s^+ e^{i k_s x_1 + i\\sqrt{k^2-k_s^2}\\,x_2} + \\sum_{s\\in\\mathbb{Z}\\setminus\\sigma_*(k)} B_s^+ e^{i k_s x_1 - i\\sqrt{k^2-k_s^2}\\,x_2} + \\sum_{s\\in\\sigma_*(k)} A_s^+ e^{i k_s x_1} + \\sum_{s\\in\\sigma_*(k)} B_s^+ x_2 e^{i k_s x_1}, $$其中 $k_s:=(\\beta+2s\\pi)/L$, $\\sigma_*(k):=\\{s\\in\\mathbb{Z}: k^2-k_s^2=0\\}$ 为 Wood 异常指标集 (至多含 2 个元素); $u$ 满足向上的辐射条件当且仅当对所有 $s\\in\\mathbb{Z}$ 有 $B_s^+=0$. 类似可定义向下辐射条件.\n此类问题在衍射光栅及超表面的建模中起核心作用. 经典理论 (Kirsch, 1993) 表明, 对 Dirichlet 边界条件, 无悬垂 (overhang-free) 几何条件 $\\nu_2(\\mathbf{x})\u003e0$ (其中 $\\boldsymbol{\\nu}$ 为指向 $\\Omega^+$ 的单位外法向) 可保证齐次问题 $(\\mathrm{P}_k)$ 仅有平凡解, 从而原问题唯一可解.\n边界积分方程方法是求解 $(\\mathrm{P}_k)$ 的有效途径之一, 其基础是准周期 Green 函数. 对 $k\\in\\mathbb{R}\\setminus\\Lambda$ (这里 $\\Lambda:=\\{k\\in\\mathbb{R}: k^2-k_s^2=0,\\,s\\in\\mathbb{Z}\\}$ 为 Wood 异常频率集), 标准的辐射准周期 Green 函数由 Rayleigh 级数给出\n$$ G_k(\\mathbf{x}) = \\frac{i}{2L}\\sum_{s=-\\infty}^{\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{k^2-k_s^2}} e^{i k_s x_1 + i\\sqrt{k^2-k_s^2}\\,|x_2|}, $$该级数在 $L^p_{\\mathrm{loc}}(\\mathbb{R}^2)$ ($1\\le p\u003c\\infty$) 中收敛, 并满足 $(-\\Delta-k^2)G_k = F_\\#:= \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} e^{i n\\beta}\\delta_{nL\\mathbf{e}_1}$ 于分布意义下. 然而, $G_k$ 作为频率的函数在 $\\Lambda$ 处奇异: 当 $k\\to k_*\\in\\Lambda$ 时, 级数中对应于 $s\\in\\sigma_*(k_*)$ 的各项因分母 $\\sqrt{k^2-k_s^2}\\to0$ 而发散, 导致 $G_k$ 在 $L^p_{\\mathrm{loc}}$ 乃至分布意义下均无极限. 这使得基于标准准周期 Green 函数的边界积分方程离散无法得到在包含 Wood 异常的频率区间上一致有效的误差估计, 因为核的奇异性破坏了有界性.\n为克服此困难, 已有的工作发展了若干修正策略: 平移准周期 Green 函数 (shifted quasi-periodic Green functions, 如 Bruno–Haslam [8]) 通过差分平移自由空间基本解并补全缺失的 Rayleigh 模式来避免奇异性, 但未建立严格的频率一致误差分析; 混合空间/谱视角的方法 (如 Oschmann–Holzmann–Xiao [9,10]) 显式分离奇异 Rayleigh 项, 利用 Woodbury–Sherman–Morrison 公式与极限过程处理, 提供了适定的数值格式, 但同样缺乏跨越 Wood 异常的频率一致收敛性与条件数估计; 窗函数 Green 函数法 (如 Bruno–Shipman–Turc [25]) 则通过有限秩模态修正实现超代数收敛, 但也未证明误差对频率的一致有界性. 总之, 在包含 Wood 异常的紧频率区间上建立严格的、与频率无关的误差估计和条件数界, 仍是该领域的一个重要空白. 本文旨在填补这一空白: 提出一种修改的准周期 Green 函数构造与相应的合场边界积分方程, 并基于 Nyström 离散建立一整套频率一致的适定性与误差分析.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果由两个定理及相应的推论构成.\n定理 2.6 (连续层面边界积分方程的适定性与频率连续性). 设 $k\\in\\mathbb{R}$, $\\eta\u003e0$, 并假设齐次问题 $(\\mathrm{P}_k)$ (即 $g=0$) 仅有平凡解. 则 (i) 非齐次问题 $(\\mathrm{P}_k)$ 对任意 $g\\in C_\\beta(\\Gamma_{\\mathrm{per}})$ 均唯一可解. (ii) 对任意有限子集 $\\sigma\\subset\\mathbb{Z}$ 满足 $k\\in(\\mathbb{R}\\setminus\\Lambda)\\cup\\Lambda_\\sigma$ (这里 $\\Lambda_\\sigma:=\\{k\\in\\Lambda: \\sigma_*(k)\\subset\\sigma\\}$), 定义在 $C_\\beta(\\Gamma_{\\mathrm{per}})\\times C^\\sigma$ 上的边界积分方程\n$$ (\\mathrm{Q}_k)\\qquad (I + \\mathcal{A}_k)\\begin{pmatrix}\\varphi\\\\ \\mathbf{c}\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}2g\\\\ \\mathbf{0}\\end{pmatrix} $$唯一可解, 其中 $\\mathcal{A}_k = \\begin{pmatrix} D_k - i\\eta S_k \u0026 R \\\\ T \u0026 -\\operatorname{diag}\\big(1+\\sqrt{k^2-k_s^2}\\big)_{s\\in\\sigma} \\end{pmatrix}$, $S_k$, $D_k$ 是基于修改的准周期 Green 函数 $\\widehat{G}_k$ 的单层位势与双层位势算子, $R$, $T$ 为有限维修正算子 (具体定义见原文). 其解 $(\\varphi,\\mathbf{c})$ 通过位势表达式\n$$ u_k(\\mathbf{x}) = \\int_\\Gamma \\left(\\frac{\\partial\\widehat{G}_k}{\\partial\\nu(\\mathbf{y})}(\\mathbf{x}-\\mathbf{y}) - i\\eta \\widehat{G}_k(\\mathbf{x}-\\mathbf{y})\\right) \\varphi(\\mathbf{y})\\,\\mathrm{d}s(\\mathbf{y}) + \\frac12 \\sum_{s\\in\\sigma} c_s e^{i k_s x_1}, \\quad \\mathbf{x}\\in\\Omega^+, $$给出 $(\\mathrm{P}_k)$ 的唯一解. 此外, 若 $J\\subset\\mathbb{R}$ 为一区间, 且对于所有 $k\\in J$, 齐次问题 $(\\mathrm{P}_k)$ 仅零解, 则对任一连续族 $\\{g_k\\}_{k\\in J}\\subset C_\\beta(\\Gamma_{\\mathrm{per}})$, 相应的解 $u_k$ 在 $C_{\\mathrm{loc}}(\\Omega^+)$ 中关于 $k$ 连续, 即对每个 $k\\in J$ 与紧子集 $V\\subset\\Omega^+$,\n$$ \\sup_{\\mathbf{x}\\in V} |u_k(\\mathbf{x}) - u_{\\kappa}(\\mathbf{x})| \\to 0 \\quad (\\kappa\\to k). $$该定理表明, 通过引入有限维校正项, 可将问题转化为一个在包含 Wood 异常频率的集合上具有连续依赖性的积分方程, 从而为一致数值分析奠定基础.\n定理 2.8 (全离散 Nyström 格式的频率一致误差与条件数界). 设 $K$ 为 $\\mathbb{R}$ 中的紧子集, 且对所有 $k\\in K$ 齐次问题 $(\\mathrm{P}_k)$ 只有零解. 令 $\\eta\u003e0$, 选取有限子集 $\\sigma\\subset\\mathbb{Z}$ 使 $K\\subset(\\mathbb{R}\\setminus\\Lambda)\\cup\\Lambda_\\sigma$. 假设 $\\{g_k\\}_{k\\in K}\\subset C^{0,1}_\\beta(\\Gamma_{\\mathrm{per}})$ (即 $g_k\\circ\\gamma$ 为 Lipschitz 连续) 且映射 $k\\mapsto g_k$ 从 $K$ 到 $C^{0,1}_\\beta(\\Gamma_{\\mathrm{per}})$ 连续. 此外设 $\\gamma\\in C^{2,\\alpha}(\\mathbb{R})$ 对某 $\\alpha\\in(0,1]$. 则存在正整数 $N$, $M$, 常数 $C\u003e0$ 及 $\\xi\u003e0$, 使得对任意 $n\\ge N$, $m\\ge M$ 和 $k\\in K$, (i) 线性系统 $(\\mathrm{Q}_k^{(n,m)})$ (其矩阵 $B^{(n,m)}_k\\in\\mathbb{C}^{(2n+\\#\\sigma)\\times(2n+\\#\\sigma)}$ 由 Ewald 表示与特殊求积规则导出, 列于原文公式中) 唯一可解; (ii) 若以 $(\\varphi_k,\\mathbf{c}_k)$ 记连续问题 $(\\mathrm{Q}_k)$ 的解, 而以 $(\\widetilde{\\boldsymbol{\\varphi}}^{(n,m)}_k,\\mathbf{c}^{(n,m)}_k)$ 记离散系统解, 则通过插值公式\n$$ \\varphi^{(n,m)}_k(\\gamma(t)) = e^{i\\beta t/(2\\pi)} \\sum_{j=0}^{2n-1} \\left( R_j^{(n)}(t) \\frac{i\\eta}{2\\pi}|\\gamma'(t_j^{(n)})| - \\frac{\\pi}{n} H_{k,m}(t, t_j^{(n)}) \\right) (\\widetilde{\\boldsymbol{\\varphi}}^{(n,m)}_k)_j - \\sum_{s\\in\\sigma} (\\mathbf{c}^{(n,m)}_k)_s e^{i k_s (\\gamma(t))_1} + 2g_k(\\gamma(t)) $$重构的近似解满足误差估计\n$$ \\sup_{k\\in K} \\big( \\|\\varphi_k - \\varphi_k^{(n,m)}\\|_{C_\\beta(\\Gamma_{\\mathrm{per}})} + \\|\\mathbf{c}_k - \\mathbf{c}_k^{(n,m)}\\| \\big) \\le C\\big( n^{-\\alpha} + e^{-\\xi m} \\big); $$(iii) 矩阵 $B^{(n,m)}_k$ 的 $\\ell^\\infty$ 条件数在 $k\\in K$, $n\\ge N$, $m\\ge M$ 下一致有界, 即存在常数 $C_{\\mathrm{cond}}$ 使得\n$$ \\sup_{k\\in K, n\\ge N, m\\ge M} \\kappa_{\\infty}(B^{(n,m)}_k) \\le C_{\\mathrm{cond}}. $$这里 $t_j^{(n)}:=j\\pi/n$, $R_j^{(n)}$ 为仅依赖于 $n$ 与 $\\zeta$ 的特殊插值函数, $H_{k,m}$ 为基于 Ewald 表示的光滑核函数 (见原文). 误差界由两部分构成: $n^{-\\alpha}$ 反映 Nyström 离散的代数收敛阶, 受限于边界曲线的 $C^{2,\\alpha}$ 正则性; $e^{-\\xi m}$ 为对被截断的 Ewald 和的指数收敛率. 条件数的一致有界性保证了该数值格式在跨越 Wood 异常频率时的数值稳定性.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术思路分为三个层次: 修改的准周期 Green 函数的构造与分析、基于该 Green 函数的合场边界积分方程的适定性证明、以及全离散 Nyström 格式的误差与条件数分析. 以下分段阐述每个步骤的关键工具与创新点.\n1. 修改的准周期 Green 函数及频率连续性分析.\n标准准周期 Green 函数在 Wood 异常频率处奇异的根源在于 Rayleigh 展开中 $s\\in\\sigma_*(k)$ 的项含有分母 $\\sqrt{k^2-k_s^2}\\to0$. 作者首先在 命题 2.5 中给出了一个对所有 $k\\in\\mathbb{R}$ 均有定义的准周期 Green 函数:\n$$ G_k(\\mathbf{x}) = \\frac{i}{2L}\\sum_{s\\in\\mathbb{Z}\\setminus\\sigma_*(k)} \\frac{e^{i k_s x_1 + i\\sqrt{k^2-k_s^2}\\,|x_2|}}{\\sqrt{k^2-k_s^2}} - \\frac{1}{2L}\\sum_{s\\in\\sigma_*(k)} |x_2| e^{i k_s x_1}. $$在 $k\\in\\Lambda$ 时, 该函数并不满足远场辐射条件 (包含 $x_2$ 的线性增长项), 但它是方程 $(-\\Delta-k^2)G_k = F_\\#$ 的分布解. 这一非辐射 Green 函数为构造修正积分方程提供了出发点.\n关键观察: 尽管 $G_k$ 本身在 $\\Lambda$ 处关于 $k$ 并非连续, 但若将对应于 Wood 异常指标的 Rayleigh 项显式分离, 则剩余部分具有良好的连续性质. 具体地, 定义修正的 Green 函数\n$$ \\widehat{G}_k(\\mathbf{x}) := G_k(\\mathbf{x}) - \\frac{i}{2L}\\sum_{s\\in\\sigma\\setminus\\sigma_*(k)} \\frac{e^{i k_s x_1}}{\\sqrt{k^2-k_s^2}}, $$其中 $\\sigma$ 是包含 $\\sigma_*(k)$ 的有限指标集. 空间奇异性的分析与 引理 3.1 (Bruno–Reitich 型一致收敛) 表明, 去掉有限个奇异模式后, 级数在远离点源的区域对 $k$ 一致收敛. 在 命题 3.2 中, 通过精细的位势估计证明了如下核心结果: 对任一固定的 $k\\in\\mathbb{R}$, 当 $\\kappa\\to k$ 时,\n$$ G_{\\kappa} - \\frac{i}{2L}\\sum_{s\\in\\sigma_*(k)} \\frac{e^{i k_s x_1}}{\\sqrt{\\kappa^2-k_s^2}} - G_k \\to 0 \\quad \\text{在 } C^{1,\\alpha}_{\\mathrm{loc}}(\\mathbb{R}^2) \\text{ 中}. $$证明的关键是将差函数 $v_n$ 满足的方程右端源项分解为体积项与边界项, 利用 $L^p$ 估计与内 $W^{2,p}$ 估计及 Morrey–Sobolev 嵌入, 克服了在 Wood 异常点附近级数项无法绝对收敛的困难. 此连续性结果直接传递到积分算子 $S_k$ 和 $D_k$: 命题 3.3 确立了它们是从 $C_\\beta(\\Gamma_{\\mathrm{per}})$ 到自身的紧算子, 且依赖于 $k$ 连续; 若 $\\gamma\\in C^{2,\\alpha}$, 则作为 $C^{0,1}_\\beta(\\Gamma_{\\mathrm{per}})$ 到自身的算子也具有同样的连续紧性. 这为后续使用紧扰动理论奠定基础.\n2. 合场边界积分方程的构造与适定性.\n利用 $\\widehat{G}_k$ 直接构造单、双层位势则会因为 $\\widehat{G}_k$ 中减去的非 Helmholtz 项而破坏解的散射性质. 作者巧妙地引入了一个有限维修正项来恢复辐射条件. 具体而言, 定义算子矩阵\n$$ \\mathcal{A}_k = \\begin{pmatrix} D_k - i\\eta S_k \u0026 R \\\\ T \u0026 -\\operatorname{diag}(1+\\sqrt{k^2-k_s^2})_{s\\in\\sigma} \\end{pmatrix}, $$其中 $R:C^{\\sigma}\\to C_\\beta(\\Gamma_{\\mathrm{per}})$ 为有限维嵌入算子 $(R\\mathbf{c})(\\mathbf{x})=\\sum_{s\\in\\sigma} c_s e^{i k_s x_1}$, $T:C_\\beta(\\Gamma_{\\mathrm{per}})\\to C^{\\sigma}$ 通过边界积分提取相应模态的系数. 该设计使得对应于 $s\\in\\sigma$ 的向外传播波模式能够被正确激发.\n定理 2.6 的证明基于以下步骤: 首先, 在假设原边值问题唯一可解的条件下, 可证明 $I+\\mathcal{A}_k$ 在 $C_\\beta(\\Gamma_{\\mathrm{per}})\\times C^{\\sigma}$ 上的单射性. 这是因为当右端项为零时, 所重构的位势满足齐次 Helmholtz 方程与齐次边界条件, 且其远场行为由 $\\mathbf{c}=0$ 及辐射条件唯一确定; 结合唯一可解假设即得零解. 进而, 通过 Fredholm 二择一, 单射性结合紧性 ($\\mathcal{A}_k$ 紧) 蕴含满射, 从而方程唯一可解. 频率连续性的证明则利用 $\\mathcal{A}_k$ 对 $k$ 的连续依赖与解的存在唯一性的稳定性. 这样, 原问题被转化为一个在包含 Wood 异常频率的区间上良好适定的等价积分方程.\n3. Nyström 离散与一致误差分析.\n离散层面的主要困难有二: 第一, 核函数 $\\widehat{G}_k$ 在 $\\Gamma$ 上具有对数奇异性, 直接使用经典 Nyström 方法会损失精度; 第二, 级数表示的 Green 函数求值需高效精确实现, 且需保证截断误差对频率一致可控. 作者采用了以下技术组合.\nEwald 表示与奇性分离. 将 $\\widehat{G}_k$ 及其法向导数通过 Ewald 分裂改写为空间域与频率域快速衰减级数之和, 显式分离出光滑部分与对数奇性部分. 具体地, 核函数 $H_{k,m}(t,\\tau)$ 在截断参数 $m$ 下逼近真实的积分核, 其中 $W_{k,m}$ 利用互补误差函数 $\\operatorname{erfc}$ 与有限模态和表达, 而余项由含指数衰减的级数及窗函数 $\\chi$ 处理. 这种表达使得对数奇性被集中在 $E_1$ 项中, 其余项均为光滑或至少 $C^{1,\\alpha}$.\n特殊求积规则. 对于对数奇性 $E_1(\\zeta^2 r^2)$, 作者构造了基于等距节点 $t_j^{(n)}=j\\pi/n$ 与周期三角插值的求积公式 (见 (2.4) 中的 $R_j^{(n)}$). 该规则本质上利用了对数核在周期域上的展开, 通过引入辅助参数 $\\zeta$ 及误差函数权重, 可达到对光滑密度的超代数精度, 同时将奇异性吸收到可精确计算的系数 $\\widehat{E}_p$ 中. 整个离散矩阵 $B^{(n,m)}_k$ 的构造保证了即使 $k$ 接近或等于 Wood 异常频率, 矩阵元素仍一致有界且可计算.\n误差分解与紧性扰动. 误差分析分两步: 首先, 将连续算子 $\\mathcal{A}_k$ 与离散算子 $\\mathcal{A}_k^{(n,m)}$ (对应于矩阵 $B^{(n,m)}_k-I$) 的差分解为截断误差 (由 $m$ 控制) 与求积误差 (由 $n$ 控制). 截断误差分析依赖 Ewald 和的指数收敛性质: 对于 $C^{2,\\alpha}$ 曲线, 被截断的模态对核的影响由因子 $e^{-\\xi m}$ 控制; 求积误差则利用解与核的正则性: 当 $\\gamma\\in C^{2,\\alpha}$ 且 $g_k$ 连续 Lipschitz 时, 未知密度 $(\\varphi_k,\\mathbf{c}_k)$ 具有 $C^{0,\\alpha}(\\Gamma)$ 光滑性, 而处理对数奇点的求积规则以 $n^{-\\alpha}$ 收敛. 其次, 借助算子族 $\\mathcal{A}_k$ 的集体紧性 (collective compactness) 与对 $k$ 的连续依赖, 可通过紧扰动理论得出对于足够大的 $n,m$, 离散系统一致可逆, 且误差满足所述上界. 条件数的一致有界性来源于逆算子的一致有界性 (由逆算子的连续性得到) 与近似矩阵族的一致有界性.\n综上所述, 本文的方法创新点在于: (a) 利用非辐射准周期 Green 函数减去奇异模式来获得对频率具有连续依赖性的积分核算子; (b) 通过有限维校正恢复正确的辐射条件, 而非使用极限过程或 Woodbury 公式; (c) 将 Ewald 表示与专门处理对数奇性的求积规则相结合, 构造了全离散 Nyström 格式; (d) 在技术层面, 基于 Green 函数的 $C^{1,\\alpha}_{\\mathrm{loc}}$ 连续性建立了算子族的连续性, 并运用集体紧性获得了对频率一致的误差与条件数估计. 这些步骤共同保证了在包含 Wood 异常的紧凑频率区间上格式的可靠性.\n4. 与之前工作的比较 本文在二维周期光栅散射的边界积分方程解法领域做出了多方面的推进, 主要与以下几类已有工作形成对比.\n1. 与标准准周期 Green 函数方法的比较.\n传统方法直接使用命题 2.4 中的辐射 Green 函数 $G_k$ 构造边界积分方程 (例如见文献 [3, 11, 22–24]). 该 Green 函数在 Wood 异常频率集 $\\Lambda$ 上没有定义, 且当 $k\\to k_*\\in\\Lambda$ 时, 核函数与积分算子无界, 导致无法建立跨 $\\Lambda$ 的频率一致误差分析. 本文则通过 $G_k$ 的修改形式 $\\widehat{G}_k$ 与有限维修正, 构造了对所有 $k\\in(\\mathbb{R}\\setminus\\Lambda)\\cup\\Lambda_\\sigma$ 均有定义且连续依赖 $k$ 的积分算子, 从而在连续与离散层面都获得了频率一致的适定性和误差估计. 这是对经典边界积分方法的一个实质性拓展.\n2. 与平移准周期 Green 函数及混合空间/谱方法的比较.\nBruno 与 Haslam [8] 以及 Bruno, Shipman, Turc [13] 等发展了平移准周期 Green 函数方法, 通过对平移自由空间基本解的适当组合构造无奇异的 Green 函数替代物. 这类方法有效地回避了 Wood 异常处的分母为零问题, 并且数值表现良好, 但尚未提供严格的频率一致误差分析或条件数界. 类似地, Oschmann, Holzmann, Xiao 等 [9,10] 提出将准周期 Green 函数分解为奇异 Rayleigh 项与光滑剩余项, 再用 Woodbury–Sherman–Morrison 公式处理奇异部分. 这些工作使计算行之有效, 但同样缺乏对离散格式在 Wood 异常附近误差行为的一致理论保证. 本文首次在二维情形下给出了全离散 Nyström 格式跨越 Wood 异常的频率一致误差界 $C(n^{-\\alpha} + e^{-\\xi m})$, 并证明了系统矩阵的条件数的一致有界性, 从而将这类方法的数学严格性提升到了一个新的高度.\n3. 与窗口 Green 函数方法的比较.\nBruno, Shipman, Turc [25] 提出的窗口 Green 函数方法利用有限秩模态修正来强制 Rayleigh 辐射条件, 能在全谱范围内获得超代数收敛的数值解. 该方法的数学分析证明了超代数收敛性, 但未明确处理频率一致性: 误差常数可能依赖于频率, 尤其是在 Wood 异常附近. 本文的结果表明, 在边界具有 $C^{2,\\alpha}$ 正则性时, 我们不仅能获得收敛阶 $n^{-\\alpha}$ (当 $\\alpha\u003c1$ 时仅为代数阶, 但对于光滑边界可期望更高阶), 更重要的是误差常数与 $k\\in K$ 无关. 同时, 条件数的一致有界性确保迭代求解的可靠性. 因此, 本文的结果在频率稳定性分析方面是对窗口格林函数法的重要补充.\n4. 与基于自由空间 Green 函数及辅助未知量的方法的比较.\n另一类方法避开准周期 Green 函数, 而使用自由空间基本解配合辅助变量或 proxy 源来施加准周期性 (如 [5, 16, 30]). 这类方法可以自然地避免 Wood 异常, 但其误差分析通常依赖截断域的大小与边界条件近似精度, 难以获得完全与频率无关的误差界. 本文由于直接在准周期框架内处理, 有效地利用了 Green 函数的级数结构, 实现了解析的频率一致控制.\n5. 局限性与假设条件.\n本文的理论建立在几个明确的假设之上: (a) 齐次衍射问题唯一可解, 这可由无悬垂几何条件 $\\nu_2\u003e0$ 保证 (定理 2.1); (b) 边界曲线 $\\gamma$ 至少具有 $C^{2,\\alpha}$ 正则性, 这是为了保证误差阶 $n^{-\\alpha}$; (c) 仅考虑二维标量波 (Helmholtz 方程) 和 Dirichlet 边界条件. 与一般三维 Maxwell 散射并不直接等同, 且对于透射问题或其它边界条件需另行推广. 但作者指出的三维非辐射 Green 函数已有初步研究 [13], 这表明本文的框架可能具备向三维拓展的潜力.\n总体而言, 本文相较于既有工作的主要推进在于: 首次为一个有限维校正的准周期 Green 函数积分方程提供了全离散 Nyström 格式的频率一致适定性、误差估计与条件数界. 这使得在包含 Wood 异常频率的任何紧区间内, 数值解的精度和稳定性均能得到理论保证, 而不是仅仅依赖经验观察.\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 一种应用于谱差分方法的二阶通量新型紧致格式 A novel compact scheme for second-order fluxes applied to the Spectral Difference method\n作者: Guido Lodato, Niccolò Tonicello\n类别: math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09615v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09615v1\n摘要翻译 中文标题: 一种应用于谱差分方法的二阶通量新型紧致格式\n摘要翻译: 非连续谱元方法中二阶（粘性）项的离散通常依赖于一个辅助梯度变量，其在单元界面处的处理影响格式的精度和稳定性。Bassi-Rebay (BR1) 格式因其简洁和无参数特性而颇具吸引力，但在偶数多项式阶数时遭受次优收敛，并且需要扩展的五单元模板。受 Huynh 的通量重构格式启发，我们在谱差分 (SD) 方法框架内发展了一种针对二阶通量的紧致全中心格式。所提方法使用依赖界面、单侧连续通量修改辅助梯度的重构，将模板从五个单元缩减至三个，同时保持 BR1 的中心性质和无参数特性。该格式先在一维中发展，然后推广至多维。采用时间特征分析刻画其耗散和色散特性，包括内部罚项的影响。数值试验考察了线性扩散方程、欠分辨的局部 Dirac delta、非线性多孔介质方程，以及雷诺数 $\\mathrm{Re}=1600$ 和 $5000$ 下三维 Taylor-Green 涡的隐式大涡模拟。该紧致格式对所有多项式阶数（含偶数阶）都恢复了预期的收敛阶，并减少了欠分辨和非线性状态下的伪振荡。由于改进的高波数数值模态阻尼，该格式在标准格式失效的湍流情形中保持稳定。所提方法为谱差分方法中的二阶通量提供了一种有吸引力的紧致替代方案。\n2. 用于物理信息神经网络的分层秩演化表示 Hierarchical rank-evolving representation for physics-informed neural networks\n作者: Ruoyang Su, Xi-Le Zhao, Kun Li, Liang Li\n类别: cs.LG, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09483v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09483v1\n摘要翻译 中文标题: 用于物理信息神经网络的分层秩演化表示\n摘要翻译: 最近，基于张量的物理信息神经网络（T-PINNs）受到了越来越多的关注。然而，现有的T-PINNs仍然面临一个根本性挑战：它们主要依赖于预先指定的低秩张量分解并需要人工调整秩，这限制了它们捕捉多元解函数底层结构的能力，并阻碍了其实际部署。为了解决这一挑战，我们提出了一种用于多元函数的分层秩演化（简称为HRE）表示，该表示使我们能够忠实地捕捉目标多元函数的底层结构，同时自动确定秩。具体来说，在HRE表示的分层设计中，目标多元函数被分解为一个小规模内部张量和沿每个模态的一组一元函数，其中我们可以容易地部署定制的张量网络分解来捕捉小规模内部张量的底层结构。在HRE表示中，关键的超级参数——秩——可以在分解过程中自适应地揭示出来，使我们无需人工进行秩调整，从而使HRE在实际问题中具有实用性。此外，我们相应地构建了HRE-PINNs。广泛的数值实验，包括高维静态问题（亥姆霍兹方程和泊松方程）、非线性时间依赖问题（克莱因-戈登方程）和复杂流体动力学问题（流动混合方程和纳维-斯托克斯方程），表明HRE-PINNs在精度上始终优于现有的最先进方法。\n3. 一个非局部非线性薛定谔模型：适定性、局部极限和结构保持的渐近相容傅里叶逼近 A nonlocal nonlinear Schr{ö}dinger model:well-posedness, local limit, and structure-preservingasymptotically compatible Fourier approximations\n作者: Jiashu Lu, Yufeng Nie, Xinning Xie, Pingrui Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09372v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09372v1\n摘要翻译 中文标题: 一个非局部非线性薛定谔模型：适定性、局部极限和结构保持的渐近相容傅里叶逼近\n摘要翻译: 本文在周期域上引入一个非局部非线性薛定谔（NLS）模型，建立其适定性、守恒律、局部极限、色散性质，并发展一种结构保持的渐近相容傅里叶配置方法。我们证明，对于固定的非局部作用范围 $\\delta$，该模型是全局适定的且保持质量和系统能量守恒，并且在适当的正则性假设下，非局部 NLS 解以 $O(\\delta^2)$ 阶收敛到局部 NLS 解。我们还推导平面波的色散关系和群速度，建立它们的 $O(\\delta^2)$ 局部极限，并刻画它们在高频下的行为。数值方法结合 Crank\u0026ndash;Nicolson 时间步进与傅里叶配置，并保持网格质量和原始网格能量。在时间步长 $\\tau$、傅里叶截断 $N$ 以及精确解的 $H^r$ 正则性假设下，非局部解的 $H^s$ 误差为 $O(\\tau^2+N^{s-r})$，且关于作用范围一致成立。此外，相对于局部 NLS 解的总 $H^s$ 误差为 $O(\\delta^2+\\tau^2+N^{s-r})$，而 $\\delta$、$\\tau$ 和 $N$ 之间不需要任何耦合条件，这证明了所提方法的渐近相容性。文中给出了一维、二维和三维的数值实验，以验证理论精度和离散守恒性，确认在作用范围和离散参数独立变化下的收敛性，并展示作用范围和核函数如何影响色散波传播。\n4. 相对论欧拉方程的高阶全离散多熵稳定与保界格式 High-order fully discrete multi-entropy-stable and bound-preserving schemes for relativistic Euler equations\n作者: Linfeng Xu, Kailiang Wu\n类别: math.NA, astro-ph.IM, physics.comp-ph, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09327v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09327v1\n摘要翻译 中文标题: 相对论欧拉方程的高阶全离散多熵稳定与保界格式\n摘要翻译: 离散熵不等式是守恒律方程组可用的主要非线性稳定性估计，而对其进行评估的前提是状态在物理上可容许。然而，迄今为止，这两点都是分别实现的。熵稳定格式几乎总是半离散的，围绕一个选定的熵对构建，并且假定密度和压力恒正——这是使熵有良好定义的基础，而保界限制器保持解的可容许性却不提供任何熵估计。对于狭义相对论欧拉方程，两者完全无法分离，因为守恒变量到原始变量的映射是隐式的，因此不可容许的状态根本没有熵可供修正。在此我们构造了高阶间断伽辽金和有限体积格式，据我们所知，这些格式首次在全离散意义下对任意给定的有限个凸熵对族是熵稳定的——我们将该性质称为多熵稳定性——并且在任何需要计算熵的地方都可证明是容许的。所有这一切均通过单个逐单元投影实现，且不会丧失守恒性或设计精度。该构造依赖于相对论因果性，它将每一个特征速度限制在光速以内。因此，数值粘性可以针对所有状态和所有状态方程一次性固定，然后一个两点构造块即可服务于整个熵族。由于只用到容许集的凸性和这一速度上界，对于相关方程组这一途径依然敞开。最后，在涉及四个状态方程的计算中，这些格式在接近真空处保持高阶精度，在强激波、近真空的激波-涡相互作用或洛伦兹因子超过 $70$ 的射流中不产生不可容许状态，并验证了每一个受强制的离散熵都单调衰减。\n5. 关于线性半负问题的一阶次对角Padé逼近子的能量律与稳定性 On Energy Laws and Stability of First-Subdiagonal Pade Approximants for Linear Seminegative Problems\n作者: Miaosen Jiao, Zheng Sun, Kailiang Wu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09239v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09239v1\n摘要翻译 中文标题: 关于线性半负问题的一阶次对角Padé逼近子的能量律与稳定性\n摘要翻译: 针对求解线性半负问题，我们为由指数函数的一阶次对角Padé逼近子生成的有理时间离散推导了一个显式离散能量恒等式。本工作将[Z. Sun, Y. Wei, 和 K. Wu, SIAM J. Numer. Anal., 60 (2022)]中的对角Padé能量律推广到了一阶次对角族。主要的新成分是对与离散能量恒等式中的半内积项相关联的能量系数矩阵进行显式Cholesky型分解。该分解的构造与证明是非平凡的，因为矩阵的项是Padé系数的交错和，且三角因子具有与奇偶性相关的阶乘结构。我们通过将其归结为标量有理恒等式，并通过有限乘积约化和裂项求和来建立它们，从而证明了该分解。结合一个β系数消去，该分解产生了一个精确的离散能量律，它恢复了线性半负问题的经典无条件收缩性。由对角Padé能量律设置改编的数值实验展示了预测的阶数并验证了离散耗散恒等式。\n6. 两阶段MV-DeepONet：面向随机输入场驱动的不确定性传播的概率算子学习 Two-Step MV-DeepONet: Probabilistic Operator Learning for Uncertainty Propagation Driven by Random Input Fields\n作者: Yupei Nie, Lei Wang, Jiasen Liu\n类别: math.NA, cs.AI\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09071v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09071v1\n摘要翻译 中文标题: 两阶段MV-DeepONet：面向随机输入场驱动的不确定性传播的概率算子学习\n摘要翻译: 正向不确定性传播在复杂物理系统中可能诱导场值输出上的结构化协方差。对于概率代理模型，总预测协方差包括条件均值在不同输入实现下的协方差以及平均条件预测协方差。概率DeepONet（Prob-DeepONet）通过单次前向传播预测逐点高斯均值和方差，提供轻量级不确定性量化，但其条件预测协方差仅限于对角形式。为了描述跨位置条件依赖性，而无需显式参数化高维协方差矩阵，我们通过两项主要修改开发了一种两阶段均值-方差DeepONet（两阶段MV-DeepONet）。首先，采用两阶段训练将输出基底学习与输入到系数的映射解耦，并结合基底正交化与子空间旋转。其次，将高斯概率建模从高维物理输出空间转移到低维旋转系数空间。通过共享基底映射这些概率系数，在物理输出空间中诱导出一般非对角的条件预测协方差，同时保持单次推断。Frobenius范数误差分解及相应的上界指出，低秩协方差可压缩性、主干子空间近似、有限样本统计误差和系数空间协方差估计是支配协方差恢复的主要因素。在三个由偏微分方程（PDEs）控制的典型问题和一个高超声速钝体气动热问题上进行的数值实验表明，与Prob-DeepONet相比，所提方法具有改进的泛化能力、更结构化的不确定性带以及非对角相关模式的准确恢复。\n7. 对平面 Berenstein 猜想的一个计算机辅助反例 A computer-assisted counterexample to the planar Berenstein conjecture\n作者: Matthew J. Colbrook, Siavash Sadeghi, George Stepaniants\n类别: math.AP, math-ph, math.NA, math.SP\n发布日期: 2026-08-09\narXiv ID: 2608.08953v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.08953v1\n摘要翻译 中文标题: 对平面 Berenstein 猜想的一个计算机辅助反例\n摘要翻译: Colbrook 和 Stepaniants 近期的工作给出了平面 Pompeiu 猜想和 Schiffer 猜想的首个反例，并引入了本文所使用的共形固定圆盘、圆盘多项式以及验证尾部的方法。通过将该框架适应于互补的 Dirichlet 端点，我们否定了无限制的平面 Berenstein 猜想。具体地，我们构造了一个有界单连通区域 $Ω$，具有实解析 Jordan 边界，它不是圆盘，并且存在 $k∈(27.4381178838,27.4381198839)$ 以及一个非零实值函数 $u∈C^ω(\\overlineΩ)$ 满足 $(Δ+k^2)u=0$ 于 $Ω$ 中，且 $u=0, \\partial_νu=\\text{常数}\\ne0$ 于 $\\partialΩ$ 上。因此，在没有对 $u$ 附加符号假设的情况下，超定的 Dirichlet\u0026ndash;Neumann 数据不能刻画圆盘。该区域具有 26 阶二面体对称性，但既不是圆盘也不是中心对称的，并且相应的特征函数变号。等价地，其边界弧长测度满足 $\\widehat{σ_{\\partialΩ}}(kω)=0$ 对 $ω∈\\mathbb S^1$ 成立。在共形转移到单位圆盘后，精确的支集恒等式和定量的圆盘多项式估计给出了无穷维尾部的严格控制。进而，一个 Newton\u0026ndash;Kantorovich 论证将存在性归结为有限个显式不等式，这些不等式通过区间算术进行验证。从 Pompeiu\u0026ndash;Schiffer 问题的推广并不是形式上的。先前的构造将两个边界条件吸收进一个逆 Laplacian 方程中。在本文所考虑的 Dirichlet 端点处，非零的 Neumann 数据迫使调和源模式保留，从而产生了一个耦合的内部\u0026ndash;边界系统，该系统涉及全零 Dirichlet 逆及其 Neumann 迹，以及一个单独的符号恢复问题。\n8. 位似双曲坐标中的半线性波动方程与尾部衰减 Semilinear wave equations in homothetic hyperboloidal coordinates and tail decay\n作者: Anıl Zenginoğlu, Sebastiano Bernuzzi, Andrea Nützi\n类别: gr-qc, math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-08-09\narXiv ID: 2608.08863v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.08863v1\n摘要翻译 中文标题: 位似双曲坐标中的半线性波动方程与尾部衰减\n摘要翻译: 晚期波的尾部沿着未来类光无穷远和有限半径处的类时世界线以不同的速率衰减。紧化数值演化必须同时体现类光无穷远处较慢的衰减和内部较快的衰减，从而在这两个区域之间产生越来越陡峭的过渡。我们利用适应于尾部缩放结构的位似双曲坐标，解决了闵可夫斯基时空中半线性波动方程的这一困难。在这些坐标下，尾部趋于一个光滑的径向分布，在每个紧化半径处都具有相同的衰减速率。因此，该表述避免了在稳态双曲演化中所见的径向剖面变陡，并且达到晚期所需的步数仅随推迟时间对数增长。我们利用3+1维空间的伪谱模拟展示了该方法，并再现了Rinne猜想的通用衰减速率。我们还提供了数值证据，表明在类光无穷远处存在一种非通用的余维一消除主导尾部系数的现象，从而导致更快的衰减速率。\n9. ADEx-FNO: 适用于变化几何的统一环境域傅里叶神经算子框架 ADEx-FNO: A Unified Ambient-Domain Framework for Fourier Neural Operators on Varying Geometries\n作者: Roberto Nuca, Giovanni Testa, Luca Galimberti, Matteo Parsani\n类别: math.NA, cs.CE, cs.LG\n发布日期: 2026-08-09\narXiv ID: 2608.08608v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.08608v1\n摘要翻译 中文标题: ADEx-FNO: 适用于变化几何的统一环境域傅里叶神经算子框架\n摘要翻译: 傅里叶神经算子(FNOs)提供了高效的非局部谱学习, 但变化的几何和独立选取的离散化仍然难以适应。我们引入环境域拓展傅里叶神经算子(ADEx-FNO), 这是一个将几何纳入而不修改定义傅里叶算子层的确定性框架。每个物理域被嵌入一个固定的环境超立方体, 并由一个带符号距离函数表示。输入和解场被确定性地拓展到环境域, 转移到公共的、可能非均匀的直线潜在网格上, 由FNO处理, 然后插值到独立选取的目标离散化上, 并限制在物理域内。所有几何转移操作都在优化过程之外, 且无需任何可训练的图、点云、变形或几何解码模块。 ADEx-FNO在留存的二维和三维光滑域非线性泊松问题和流-反应-扩散问题上取得了0.32%-0.77%的相对l2误差, 并且也在未见过的非光滑几何上进行了评估。随后, 单次ADEx-FNO推断被用于初始化常规CFD求解器。对于所有29个收敛的二维和三维RANS算例, 伪时间迭代减少, 平均减少分别为44.17%和43.03%, 且在三种网格分辨率下收益相当。URANS算例将窗口后物理时间推进减少了18.52%-27.51%。在从二维URANS训练数据迁移到不同马赫数和雷诺数的DNS时, 自举区间减少了23.47%-48.21%, 具体取决于目标统计量。在所有CFD测试中, ADEx-FNO仅提供初始场; 控制方程求解器控制后续解, 而物理或统计一致性则与计算节省分开评估。\n10. 具有变形界面的流固耦合问题CutFEM的收敛性 Convergence of a CutFEM for fluid\u0026ndash;structure interaction with a deforming interface\n作者: Miguel A. Fernández, Buyang Li, Maxim A. Olshanskii\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-08\narXiv ID: 2608.08140v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.08140v1\n摘要翻译 中文标题: 具有变形界面的流固耦合问题CutFEM的收敛性\n摘要翻译: 我们针对应用于不可压缩粘性流体与弹性固体流固耦合（FSI）问题的半离散浸入CutFEM提出严格的误差分析。该方法利用拉格朗日乘子施加流固耦合条件，同时充分考虑结构变形对流场区域的影响。对于充分正则的FSI解和次数为 $k\\geq3$ 的有限元，我们证明了在FSI问题相关的能量范数下，流体速度和固体位移具有 $k$ 阶收敛性，流体压力具有 $k-1$ 阶收敛性。据我们所知，这是首个针对具有变形界面的全耦合FSI系统的非拟合有限元方法的严格收敛分析。\n不相关论文（基本信息） 1. 基于Bernstein表示的有理T样条曲面的双射性分析 Bijectivity analysis of rational T-spline surfaces via Bernstein representations\n作者: Jia-Xuan Li, Ying-Ying Yu, Ya-Shu Liu, Xin Li, Ye Ji, Chun-Gang Zhu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09838v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09838v1\n摘要: Ensuring the bijectivity of spline-based parameterizations is fundamental in geometric modeling and isogeometric analysis, as invalid mappings may lead to self-intersections, singular Jacobians, and numerical instability. While T-splines offer enhanced flexibility through local refinement, this flexibility also makes bijectivity verification significantly more challenging. In this work, we propose a rigorous and efficient framework for bijectivity analysis of rational T-spline surfaces based on Bézier extraction. The key idea is to reformulate the T-spline representation into a collection of element-wise rational Bézier patches, on which the Gram determinant of the mapping admits a Bernstein polynomial representation. This enables a coefficient-based analysis of local regularity by exploiting the convex hull and positivity properties of the Bernstein basis. Based on this formulation, we derive a sufficient condition for bijectivity from the nonnegativity of Bernstein coefficients, together with a necessary condition based on the sign consistency of corner coefficients. For cases where these conditions are inconclusive, we introduce a hierarchical subdivision strategy that progressively localizes ambiguous regions and resolves them through refinement. The proposed method provides a certified and adaptive procedure for bijectivity verification that avoids dense numerical sampling and remains computationally efficient. Numerical experiments on complex T-spline geometries demonstrate that the approach accurately detects both valid and near-degenerate configurations, while scaling effectively to large models with thousands of rational Bézier patches. The framework is fully compatible with standard isogeometric analysis workflows.\n2. 基于非对称加权 Hermite 函数的 Vlasov-Poisson 系统 Galerkin 逼近的收敛性 Convergence of Galerkin approximations based on asymmetrically-weighted Hermite functions for the Vlasov-Poisson system\n作者: Ruiyang Dai\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09827v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09827v1\n摘要: The convergence of Galerkin approximations based on asymmetrically-weighted (AW) Hermite functions, applied to the Vlasov-Poisson (VP) system, is analyzed in this work. The VP system is written as an hyperbolic system using Hermite functions in velocity. To obtain stability properties of the numerical methods, we consider an unweighted inner product, and establish naturely the stability with respect to the unweighted norm. Consequently, we prove the convergence of the method. Furthermore, we derive error estimates between the numerical solution and the smooth solution of the VP system. Our results confirm that the Galerkin approximations based on AW Hermite functions exhibit spectral accuracy in Sobolev spaces.\n3. 信息几何正则化计算含激波流动的灵敏度 Information geometric regularization for computing sensitivities of flows with shocks\n作者: Florian Schäfer\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09759v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09759v1\n摘要: Computing (adjoint) sensitivities of flows with shocks is a longstanding problem in computational fluid dynamics. The spurious sensitivities due to shock sensors and limiters frequently force practitioners to accept the errors incurred by \u0026ldquo;freezing\u0026rdquo; limiters and shock sensors. The recently proposed information geometric regularization (IGR) is an inviscid, PDE-based regularization of the compressible Euler equations that replaces shocks with smooth profiles without damping fine-scale structures. This work derives the forward and adjoint sensitivities for the IGR system with periodic boundary conditions and demonstrates their convergence, under grid refinement, to the sensitivities obtained by finite differences or automatic differentiation through the forward solve.\n4. 非自治随机微分方程Milstein格式的李雅普诺夫指数双边估计 Two-sided estimates of Lyapunov exponents for Milstein schemes of non-autonomous stochastic differential equations\n作者: Vu Thi Hue, Bao Quoc Tang, Do Duc Thuan\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09756v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09756v1\n摘要: The stabilising effect of multiplicative noise for stochastic differential equations, though counterintuitive, has been observed and investigated extensively in last decades. In practice, it is desirable to know if such stabilisation holds also for the discretised setting. In this paper, we address this problem by means of sharp upper and lower estimates for Lyapunov exponents of Milstein schemes for non-autonomous stochastic differential equations. These estimates provide precise large time behaviour in both almost sure and $p$-moment sense. In particular, our results show the preservation of stabilisation from the continuum setting to the discretised setting. One main idea of our analysis is to exploit the second order term concerning the stochastic noise from the Milstein scheme to obtain precise estimates for Taylor expansions of logarithmic and power functions.\n5. 热力学矩阵求逆的理论分析：与预条件梯度下降的一阶等价性及其对模拟计算的启示 Theoretical Analysis of Thermodynamic Matrix Inversion: First-order Equivalence to Preconditioned Gradient Descent and Implications for Analog Computing\n作者: Gerhard Kirsten, Michael Selby, Janith Petangoda, Olle Halqvist Elias, James Meech, Phillip Stanley-Marbell\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09743v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09743v1\n摘要: Recent research has demonstrated the possibility of exploiting the thermodynamics of coupled electrical oscillators to implement computational tasks such as matrix inversion. While physical implementations rely on thermal noise to drive equilibration, we show that the underlying dynamics reduce to a deterministic iterative algorithm. Building on the framework of Aifer et al., we analyze the moment evolution of the Ornstein-Uhlenbeck process governing thermodynamic symmetric positive definite (SPD) matrix inversion. We prove that to a first-order approximation, the covariance dynamics are mathematically identical to preconditioned gradient descent on the Frobenius norm of the residual $\\tilde{A}^{-1}A-I$. This equivalence demonstrates that thermal fluctuations, while essential for physical thermodynamic hardware, are algorithmically redundant for convex problems with a single global minimum. We validate the resulting algorithm against Thermox (Duffield et al.), a stochastic thermodynamic simulator, achieving speedups exceeding 100,000-fold while remaining competitive with the Newton-Schulz iteration. We also demonstrate acceleration through Schur complement techniques. These results establish a rigorous link between analog thermodynamic computing, statistical physics, and deterministic optimization methods.\n6. 带记忆的非线性输运中逆初值问题的 Carleman\u0026ndash;Picard 与时间降维 Carleman\u0026ndash;Picard and time-dimensional reduction for inverse initial-data problems in nonlinear transport with memory\n作者: Navaraj Neupane, Loc H. Nguyen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09665v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09665v1\n摘要: We study an inverse initial-data problem for a quasilinear transport equation with nonlinear and memory effects. The unknown initial state is reconstructed from time-dependent measurements on the outflow boundary, with prescribed inflow data. We first apply a Legendre\u0026ndash;exponential time-dimensional reduction to transform the governing equation into a finite nonlinear system in space. We then develop a Carleman-weighted and Tikhonov-regularized Picard method. At each iteration, the nonlinear terms are evaluated using the previous iterate, leading to a linear minimization problem with a unique solution. A Carleman estimate for the principal transport operator is used to prove that, for a sufficiently large Carleman parameter, the resulting Picard map is contractive on a prescribed admissible set. Consequently, the method converges from an arbitrary initial guess in that set. We also establish stability with respect to noisy outflow data. These analytical results concern the truncated and regularized reduced problem. Two-dimensional numerical experiments demonstrate accurate reconstruction of single and multiple inclusions, robustness with respect to noise, and rapid convergence of the Picard iteration.\n7. 扩散映射核岭回归 Diffusion Maps Kernel Ridge Regression\n作者: John Harlim, Daning Huang, Jiwoo Song\n类别: math.NA, math.ST\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09623v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09623v1\n摘要: In this paper, we study kernel ridge regression using the data-driven diffusion maps (DM) kernel, which is constructed through algebraic manipulations of the diffusion maps algorithm. Under the assumptions that the data lie on a manifold and are sampled uniformly, we prove that the appropriately scaled DM kernel converges uniformly to the heat kernel on the manifold for sufficiently large times as the dataset size increases and the kernel bandwidth is scaled appropriately. Consequently, the limiting Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS) induced by the DM kernel coincides with the RKHS associated with the heat kernel on the manifold. We further show that the RKHS induced by the DM kernel is isometrically isomorphic to the RKHS of the Gaussian kernel, which is continuously embedded in the RKHS of a Matérn kernel whose norm is equivalent to an appropriate Sobolev norm. This result implies that standard risk bounds for kernel ridge regression applicable to Matérn kernels also apply to the DM kernel. Finally, we provide numerical results that (1) validate the convergence of the heat kernel approximation, (2) demonstrate the greater expressiveness of the DM kernel compared to the Gaussian kernel for supervised learning over a larger class of functions on manifolds with boundary, and (3) demonstrate the advantage of the DM kernel over the Gaussian kernel in learning functions with varying frequencies and co-dimensions.\n8. 用于液晶指向矢建模中双重鞍点系统的双参数块预条件子 A block preconditioner with two parameters for double saddle point systems in liquid crystal director modeling\n作者: Mehdi Makhdomi, Davod Khojasteh Salkuyeh, Morad Ahmadnasab\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09603v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09603v1\n摘要: This paper introduces a novel block preconditioner for a class of double saddle point systems arising from the finite element discretization of liquid crystal director modeling. We first establish sufficient conditions to guarantee the convergence of the underlying iterative scheme. A spectral analysis of the preconditioned matrix is then performed, leading to an effective strategy for parameter selection. The new preconditioner is used to accelerate the convergence of the flexible version of GMRES. Experimental results confirm the strong performance of the method.\n9. 无严格互补条件下谱多面体上一种Frank-Wolfe型方法的线性收敛 Linear Convergence of a Frank-Wolfe-type Method over the Spectrahedron without Strict Complementarity\n作者: Dan Garber\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09569v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09569v1\n摘要: We consider smooth convex minimization over the spectrahedron using Frank-Wolfe-type methods based only on extreme-eigenvector computations. In our recent work \\cite{garber2026randomized} we presented the first ambient-dimension-independent linear convergence rate under quadratic growth. However, the method makes an additional strong strict complementarity assumption, it is randomized, its linear rate holds only after a burn-in phase and in expectation, and it requires the objective smoothness constant. We show that these limitations can be removed. Assuming quadratic growth and that all optimal solutions have the same rank, but without assuming strict complementarity, we give a deterministic and parameter-free Frank-Wolfe-type method with a global ambient-dimension-independent linear convergence rate.\n10. 通过提示随机Transformer实现无需训练的通用逼近 Training-Free Universal Approximation by Prompting Random Transformers\n作者: Alexander Hsu, Rongjie Lai\n类别: cs.LG, math.NA, math.ST\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09558v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09558v1\n摘要: How expressive is prompting a transformer? Answering this question is important for separating the roles of prompting, architecture, and pretraining in transformer models, and for determining whether task-specific behavior must be stored in model weights or can instead be induced at inference time through the prompt. We show, in an approximation-theoretic sense, that pretraining is optional: a single-layer softmax attention network with random, untrained weights can approximate any Hölder function on a compact manifold when steered by an appropriate soft prompt. Guided by the connection between softmax attention and kernel methods, we construct explicit soft prompts (a prompt per target function, independent of the query) as solutions to linear systems matching attention logits to Gaussian kernel exponents, under which the frozen transformer emulates the classical Nadaraya-Watson kernel estimator. The construction requires only a mild rank condition on the weights, which we show holds almost surely under Gaussian initialization. The prompted network inherits the theoretical guarantees of kernel regression, leading to universal approximation theorems with minimax-optimal rates that depend on the intrinsic dimension. We further quantify the cost of prompting, exposing a tradeoff between the norm of the constructed soft prompt tokens, prompt length, and hidden dimension. Numerical experiments corroborate the constructions and predicted rates.\n11. 动态扩散有限元方法的条件唯一性与最优能量范数收敛 Conditional Uniqueness and Optimal Energy-Norm Convergence for the Dynamic Diffusion Finite Element Method\n作者: Isaac P. Santos\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09505v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09505v1\n摘要: We revisit the nonlinear two-scale Dynamic Diffusion (DD) finite element formulation mathematically analyzed by Santos et al. (2021) for stationary advection\u0026ndash;diffusion\u0026ndash;reaction problems. Two additional theoretical results are established without modifying the discrete formulation. First, the artificial diffusivity defining the nonlinear diffusion operator $D_h$ is shown to be locally Lipschitz continuous with respect to the discrete solution. This property leads to conditional uniqueness of the discrete solution under a mesh-dependent smallness condition. Second, by separating the approximation error in the energy norm from the contribution associated with artificial diffusion, we derive an optimal first-order a priori energy-norm estimate for continuous piecewise linear finite elements. This result also clarifies the earlier $O(h^{1/2})$ estimate, which applies to a stronger combined error measure and therefore does not determine the convergence rate of the energy error alone. Numerical experiments for both pure advection\u0026ndash;diffusion and advection\u0026ndash;diffusion\u0026ndash;reaction problems corroborate the predicted first-order energy-norm behavior and the first-order decay of the square-root artificial-dissipation measure. A strongly convection-dominated test with sharp outflow layers further illustrates the stabilizing effect associated with $D_h$. These results extend the mathematical understanding of the original DD formulation while preserving its underlying discrete structure.\n12. Walk-on-Spheres 蒙特卡罗与深度神经网络对带漂移和消亡项的椭圆型偏微分方程的逼近 Walk-on-Spheres Monte Carlo and deep neural network approximations of elliptic PDEs with drift and killing\n作者: Konrad Kleinberg, Thomas Kruse\n类别: math.NA, cs.LG, math.AP, math.PR\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09494v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09494v1\n摘要: In this paper we provide Monte Carlo and deep neural network approximations for stochastic representations of solutions to linear elliptic partial differential equations with constant diffusion, drift and killing. Building on the modified Walk-on-Spheres algorithm of Beznea et al. (arXiv:2209.01432), we introduce Monte Carlo estimators that explicitly incorporate sampled random times arising in the analyzed stochastic representations. We establish uniform error bounds for these estimators and show that, under suitable assumptions, a prescribed approximation accuracy is achieved with sample complexities growing at most polynomially in both the inverse accuracy and the problem dimension. Furthermore, we prove a deep neural network approximation result for the stochastic representations. Assuming suitable neural network representations of the boundary data and the distance function to the boundary, we use the constructed Monte Carlo to design deep neural networks that approximate the representation uniformly with a number of parameters growing at most polynomially in the inverse accuracy and the problem dimension. These results extend previous complexity analyses to a broader class of elliptic equations involving drift and killing.\n13. 二阶非拟合幽灵有限元法求解椭圆界面问题及其在低维半导体器件中的应用 Second order unfitted ghost-FEM for elliptic interface problems with applications to low-dimensional semiconductor devices\n作者: Clarissa Astuto, Giovanni Nastasi\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09466v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09466v1\n摘要: We develop an unfitted ghost finite element method for elliptic interface problems with discontinuous diffusion coefficients and apply it to the electrostatic simulation of low-dimensional semiconductor devices. The proposed approach is based on a fixed Cartesian grid and represents the geometry by level-set functions, avoiding mesh generation and remeshing even in the presence of interfaces. A snapping-back-to-grid strategy is used to control the small-cut-cell issue, while interface conditions are weakly enforced by a symmetric Nitsche formulation. The method is first validated on benchmark elliptic interface problems with different geometries and coefficient jumps, showing second-order accuracy for the solution and first-order accuracy for its gradient. As an application, we consider a graphene field-effect transistor described by a self-consistent drift-diffusion-Poisson model. The electrostatic potential is computed in a two-dimensional oxide/graphene/oxide structure, while charge transport in the graphene layer is modeled by one-dimensional bipolar drift-diffusion equations in the degenerate case and by including a field-dependent mobility model. The coupled nonlinear system is solved by a damped fixed-point iteration combined with a domain-decomposition treatment of the three-layer geometry. Numerical simulations reproduce transfer characteristics with a clear transition from an OFF state to an ON state and show the influence of the gate voltage on the two-dimensional electrostatic potential. The results also indicate that the effective thickness and discretization of the graphene layer affect the transverse potential profile, supporting the use of a full two-dimensional electrostatic description with explicit oxide/graphene interface conditions.\n14. 有限元应力更新中的自动微分 Automatic differentiation in finite element stress updating\n作者: Mao Ouyang, Alexandros Petalas, William M. Coombs, Charles E. Augarde\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09442v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09442v1\n摘要: Computational solid mechanics relies on the discretisation of differential equations, requiring numerical differentiation and integration, often via quadrature. Recently, automatic differentiation (AD) has attracted interest as a tool to support these operations. This paper introduces the use of AD in nonlinear finite element analysis, focusing on stress updating, a key and repeatedly executed step in which stresses are computed from strain increments. Both implicit and explicit schemes require derivatives of constitutive models, which can be complex, error prone, and time consuming to derive analytically. We compare traditional analytical differentiation with automatic differentiation for implementing a hyperplastic Critical State model widely used in geotechnical engineering. Drained triaxial compression tests with varying overconsolidation ratios are simulated using both approaches. The results show that AD significantly simplifies the implementation of backward Euler stress integration by removing the need for manual derivation of derivatives. Despite this simplification, AD maintains high accuracy and robustness comparable to analytical approaches. The findings demonstrate that automatic differentiation can streamline the development of nonlinear material models, enabling efficient and reliable implementation of constitutive laws of arbitrary complexity. This opens the way for more flexible and maintainable computational mechanics codes.\n15. poly_rust: 一种面向多面体方法的领域特定语言及其Rust解释器 poly_rust: a domain-specific language for polytopal methods with a Rust interpreter\n作者: Daniele A. Di Pietro\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09414v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09414v1\n摘要: In this article we introduce poly_rust, a new software library that implements a domain-specific language for polytopal methods. Polytopal methods support meshes much more general than those on which traditional finite element methods are built. This can be achieved by dropping global function spaces and reconstructing the relevant operators directly from the degrees of freedom through the solution of local variational problems. Reconstructions are then used in place of shape functions in the global variational formulation. poly_rust provides facilities for expressing a wide variety of polytopal methods using a syntax that closely resembles their mathematical formulation. We review here the main aspects of the library from the perspective of a basic user and provide numerical examples spanning several problems and methods.\n16. 一种用于一般类动力系统的简单二阶非标准数值方法及其应用 A simple second-order nonstandard numerical method for a general class of dynamical systems and its applications\n作者: Manh Tuan Hoang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09141v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09141v1\n摘要: In this work, we consider a class of continuous-time autonomous dynamical systems that model various important phenomena and processes encountered in real-world situations. We construct a second-order nonstandard finite difference (NSFD) method that simultaneously preserves two essential properties of the dynamical systems for all finite step sizes, namely the positivity of the solutions, the set of equilibrium points and their asymptotic stability. This NSFD method is constructed based on an appropriate choice of nonstandard denominator functions and a weighted discretization of the right-hand side functions. Under easily-verified conditions, the denominator functions guarantee second-order convergence, whereas the weights ensure the dynamic consistency. By taking advantage of the specific structure of the right-hand side functions, a simple discretization is utilized instead of the nonlocal discretization approaches commonly used in previous works. This simplifies the construction of the proposed NSFD method and, in particular, makes its asymptotic stability analysis easier. As an illustration and an important application, we apply the constructed second-order NSFD method to a well-known two-stage structured species model with recruitment. Consequently, a simple second-order NSFD scheme for the considered two-stage structured species model is derived, improving upon a first-order NSFD scheme constructed in a previous work. Numerical experiments demonstrate the advantages of the second-order NSFD scheme over a standard second-order numerical method, namely, the explicit trapezoidal method. The proposed NSFD method is simple and can be applied to a broad class of dynamical system models arising in both theory and applications. Moreover, it can be readily combined with the Richardson extrapolation technique to improve its accuracy.\n17. 用于微磁模拟中半隐式Landau-Lifshitz格式的高效多重网格方法 Efficient Multigrid Methods for Semi-implicit Landau-Lifshitz Schemes in Micromagnetic Simulations\n作者: Changjian Xie\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09102v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09102v1\n摘要: An efficient aggregation-based multigrid approach is developed in this work to solve linear algebraic systems generated by discretizing the Landau-Lifshitz equation in micromagnetics. The discretization couples the first-order backward differentiation formula with first-order extrapolation, and the underlying equation describes magnetization dynamics within micromagnetic simulations. For these linear systems, standard iterative methods and conventional multigrid solvers intended for symmetric problems suffer from deteriorated convergence under mesh refinement and poor computational performance. Existing algorithms struggle to handle the system\u0026rsquo;s intrinsic features, namely its sparse spectral properties and non-symmetric matrix structure. To overcome these limitations, a multigrid framework is constructed, where smoothing and coarse-grid correction operators are customized for the target linear system. Numerical tests confirm the robustness and mesh-independent convergence of the resulting method. Compared with well-established Krylov-subspace solvers and conventional multigrid techniques, the aggregation-based multigrid solver cuts down iteration counts and overall computational cost considerably, while producing faithful representations of magnetization dynamics.\n18. 联合李雅普诺夫证书用于K智能体生成式AI治理：随机稳定性、涌现集成风险与零知识治理证明 Joint Lyapunov Certificates for K-Agent Generative AI Governance: Stochastic Stability, Emergent Ensemble Risk, and Zero-Knowledge Governance Attestation\n作者: Sriram Nagaraj\n类别: math.NA, cs.CR, q-fin.RM\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09087v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09087v1\n摘要: We develop a rigorous mathematical framework for the governance of systems of K self-adapting generative AI models under the principles of Model Risk Management (MRM). When multiple models share a meta-learning coupling through an interaction matrix, the per-agent Lyapunov analysis that underpins standard MRM is provably insufficient: individual agents can each satisfy their declared stability bounds while the joint system is in a regime of emergent ensemble-level drift. We formalize this gap through the Joint Lyapunov Proof (JLP)\u0026mdash;a cryptographic and stochastic protocol that attests, without revealing proprietary weights, that the aggregate dynamics satisfy MRM Ongoing Monitoring standard at every validation epoch. Our main contributions are the following. We give a complete characterization of the infinitesimal generator of the joint quadratic Lyapunov function. We derive the exact critical coupling threshold above which the system loses mean-square stability. We prove a Noise-Floor Theorem and identify the correct target for zero-knowledge attestation. A per-epoch Succinct Non-Interactive Argument of Knowledge (SNARK) on the live weights is derived. All theoretical claims are validated against five numerical studies using a multi-agent softmax system.\n19. 自适应性生成式人工智能中的遥测与隐蔽：日志架构、对抗模型隐藏及检测极限 Telemetry and Concealment in Self-Adapting Generative AI: Logging Architecture, Adversarial Model Hiding, and the Limits of Detection\n作者: Sriram Nagaraj\n类别: cs.CR, math.NA, q-fin.RM\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.09069v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.09069v1\n摘要: Model risk management (MRM) guidance assumes a static model lifecycle, in which models are developed, independently validated, and implemented without further autonomous modification. Continually self-adapting generative AI systems \u0026mdash; models that update their own weights during production deployment \u0026mdash; fundamentally violate this assumption and render point-in-time validation inadequate. This paper addresses the resulting governance problem in two parts. Part I develops a rigorous telemetry architecture for such models, operating simultaneously in discrete and continuous time. We establish a Minimal Sufficient Statistic for audit purposes, construct a tamper-evident Merkle chain for discrete weight sequences, derive the appropriate continuous-time generalization via the Ito formula, and propose event-driven logging via KL divergence stopping times that is both computationally tractable and meaningful for validation. Part II asks what happens when the model provider is adversarial. A firm deploying such a model has strong incentives to conceal learning updates that would trigger mandatory validation review. We formalize this as the Model Hiding Problem and provide a systematic taxonomy of six distinct attack strategies against the Part I architecture, spanning discrete and continuous time, with a formal countermeasure for each. Together the two parts establish a dual-regime architecture in which continuous telemetry is necessary but not sufficient, narrowing\u0026mdash;but never replacing\u0026mdash;periodic invasive audit. The framework is model-architecture-agnostic and is designed to satisfy the three pillars of traditional MRM.\n20. 离散随机矩阵的 LU 分解 LU Factorization of Discrete Random Matrices\n作者: Samuel Orellana Mateo, John Urschel, Nicholas West\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-08-10\narXiv ID: 2608.08998v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.08998v1\n摘要: We consider the probability that a discrete random matrix $M_n(ξ)$ is \\emph{strongly non-singular}, meaning all its leading principal submatrices are non-singular. This property is equivalent to the existence of an LU factorization. We show that for any discrete random variable $ξ$ with finite support and $|ξ|_\\infty \u003c 1$, there is a constant probability that $M_n(ξ)$ is strongly non-singular with a growth factor bounded by $n^{5/2+δ}$. Furthermore, we provide a tight asymptotic lower bound for this probability as $|ξ|_\\infty \\to 0$. Finally, we provide exact counts for strongly non-singular binary matrices up to $n=9$ and use these to derive improved upper bounds for the Bernoulli case.\n21. 发现刚性运动下等变的偏微分方程 Discovering PDEs equivariant under rigid motions\n作者: Francesco Ballerin, Erlend Grong\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-09\narXiv ID: 2608.08913v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.08913v1\n摘要: We consider the problem of PDE discovery from possibly noisy observations under the hypothesis that the underlying dynamic is symmetric in all rigid motions. Rather than using a generic library of derivative monomials, we leverage this assumption to construct libraries whose candidate terms are themselves rigid-motion-equivariant, and combine them with sparse regression to benchmark such libraries over five different equations. The advantage is most pronounced when the noise itself breaks rigid-motion symmetry (e.g., radially or axially varying noise), and when the ambient spatial dimension increases, in which case they are also less resource intensive.\n22. 单连通三维流形的自适应体参数化及其应用 Adaptive Volumetric Parameterization of Simply Connected 3-Manifolds with Applications\n作者: Zhiyuan Lyu, Gary P. T. Choi\n类别: cs.GR, cs.CG, math.NA\n发布日期: 2026-08-09\narXiv ID: 2608.08672v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.08672v1\n摘要: Volumetric parameterization, the process of mapping a 3-manifold onto a simplified volumetric domain, is important for many tasks in computer graphics and imaging science. However, most prior volumetric parameterization approaches have only utilized standardized domains such as a solid ball regardless of the overall shape of the given 3-manifolds, which introduces significant geometric distortion and affects the subsequent shape processing and analysis tasks. To overcome this issue, in this work we propose a novel volumetric parameterization framework for simply connected 3-manifolds. Specifically, the proposed framework jointly controls local shape and mass distortions, while adapting the target domain during the optimization process. It enables three progressively more flexible target-domain settings for the parameterization: a prescribed solid ellipsoid, a volume-normalized adaptive ellipsoid with variable radii, and a sea-embedded free-boundary domain. For each setting, the parameterization algorithm consists of a 3D quasi-conformality shape update, a diffusion-based density-equalizing update, and a geometric correction procedure for removing element foldings, thereby allowing for volumetric parameterizations with different desired effects. Experimental results are presented to demonstrate the effectiveness of our proposed framework. Moreover, our framework can be easily applied to multiresolution and localized adaptive volumetric remeshing, volumetric registration, and volumetric morphing. Altogether, our work provides a new way for the representation, processing, and analysis of 3-manifolds.\n23. 用于逼近高斯白噪声驱动的分数阶椭圆型微分方程的质量集中与数值求积 Mass Lumping and Numerical Quadrature for Approximation of Fractional Elliptic Differential Equations Driven by Gaussian White Noise\n作者: Kelvin J. R. Almeida-Sousa, David Bolin, Alexandre B. Simas\n类别: math.NA, math.ST\n发布日期: 2026-08-09\narXiv ID: 2608.08658v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.08658v1\n摘要: Fractional elliptic stochastic partial differential equations (SPDEs) are widely used in statistics and machine learning for computationally efficient and flexible modeling of Gaussian random fields. The computational efficiency of the SPDE approach relies on finite element approximations combined with numerical quadrature and mass lumping, which enable sparse matrix methods during inference. Although many works have studied finite element approximations of fractional SPDEs, the effect of the mass lumping and quadrature approximations used in practice has not been fully analyzed. To fill this gap, we derive convergence rates for numerical approximations of fractional SPDEs based on finite element discretizations combined with numerical quadrature and mass lumping. Specifically, we obtain explicit convergence rates for the mean-squared error of the covariance function in a general framework that covers the main settings where mass lumping is used in the SPDE approach. We also analyze non-stationary variance-control factors of the form $L^β(τu)=\\mathcal{W}$, where $τ$ is spatially varying, and derive covariance error estimates showing how the regularity of $τ$ affects the convergence rate. As specific examples, we provide results for random fields on bounded Euclidean domains, Riemannian manifolds, and metric graphs. Numerical experiments are presented that confirm the theoretical results.\n24. 粗网格迎风有限体积预测中的精确有限时域记忆、条件性与耗散衰减 Exact Finite-Horizon Memory, Conditioning, and Dissipative Decay in Coarse Upwind Finite-Volume Prediction\n作者: Antonis Polemitis, Nicholas Christakis, Dimitris Drikakis\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-09\narXiv ID: 2608.08633v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.08633v1\n摘要: Coarse finite-volume averages do not generally form a predictive state: realized interface fluxes close a conservative update, but distinct fine-grid states with identical parent averages can generate different future coarse histories. We analyze this failure for periodic scalar advection discretized by a first-order upwind finite-volume method with forward Euler time integration. We derive a finite-horizon observation-rank law: each additional observation exposes one new child-cell layer and contributes one fewer independent direction than the number of parent cells, until the unresolved layers are exhausted. Centralized prediction therefore requires one fewer additional coordinate than the number of parent cells per exposed layer, whereas product-local prediction requires one coordinate per layer in each parent. An anchored flux-divergence queue attains the centralized bound, identifies the periodic flux gauge, and, at saturation, forms a minimal autonomous predictive state with the parent averages. We then distinguish exact observability from stable recoverability. The collar-to-queue map becomes rapidly ill-conditioned as the Courant number decreases, so algebraically visible delayed information may fall below a prescribed numerical tolerance. For Courant numbers strictly between zero and one, we prove contraction of the nonconstant component under bounded arithmetic perturbations, with separate control of mean drift, an explicit perturbation neighborhood, and a grid-dependent decay time. Numerical experiments illustrate the rank ladder, effective-rank loss, queue conditioning, step-function flattening, and delayed coarse separation followed by dissipative decay. The results provide a solvable benchmark for assessing state sufficiency in coarse, reduced, multiscale, and learned scientific models.\n25. 对求解器求导，而非方程：块隐式模拟的反向扫描伴随法 Differentiate the Solver, Not the Equation: Reverse-Sweep Adjoints for Block Implicit Simulation\n作者: Lei Shu, Ying Jiang, Kui Wu, Yin Yang, Leonidas Guibas, Chenfanfu Jiang\n类别: cs.GR, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-09\narXiv ID: 2608.08559v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.08559v1\n摘要: Differentiable simulation is a key component in learning, control, and inverse problems, where gradients through nonlinear implicit solvers are required. Existing approaches either rely on unrolled automatic differentiation, whose memory grows with solver depth, or on equation-level implicit differentiation, which assembles global Jacobians and solves large sparse adjoint systems, discarding the locality of the forward solver \u0026ndash; and differentiating the converged equation rather than the finite computation that actually ran. We propose solver-level differentiation, which differentiates the executed solver itself. When a solver is composed of block implicit updates, its discrete adjoint is obtained by applying the corresponding adjoint updates in reverse order, yielding a reverse-sweep formulation whose backward pass mirrors the forward solver. From an operator perspective, the forward pass realizes an approximate inverse through ordered local solves, and the backward applies its transpose through reverse local adjoint solves, constructing no global system. We instantiate this idea on Vertex Block Descent, yielding a differentiable solver whose reverse colored Gauss-Seidel sweeps are composed entirely of local $3\\times 3$ adjoint solves. The backward matches automatic differentiation through the identical executed forward to machine precision at every solver depth, where the equation-level adjoint is off by 37% after one sweep; in a controlled same-codebase, same-GPU comparison it is 33x faster and uses 71x less memory than unrolled automatic differentiation; and the same construction is exact on projective dynamics and extended position-based dynamics. We scale differentiable elastodynamics to $10^6$ contact-coupled soft bodies (8M vertices) on one GPU. Overall, this work highlights solver structure as a practical organizing principle for efficient differentiable simulation.\n26. 基于深度学习的动力系统发现中线性多步法的核局部化与全轨迹泛化 Kernel Localization and Whole-Trajectory Generalization for Linear Multistep Methods in Deep Learning-Based Discovery of Dynamical Systems\n作者: Yaru Liu, Yiqi Gu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-09\narXiv ID: 2608.08435v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.08435v1\n摘要: Linear multistep methods (LMMs) combined with neural-network approximation provide a high-order framework for learning governing vector fields of dynamical systems from discrete trajectory data. This paper studies two issues in LMM-based discovery that are not resolved by existing grid-level convergence theory. First, in non-auxiliary Adams\u0026ndash;Bashforth (A-B) and Adams\u0026ndash;Moulton (A-M) discovery systems, we observe that zero-residual grid solutions are nonunique but consistent along the trajectory, with differences limited to the boundary layer. We explain this phenomenon through a kernel analysis of the non-auxiliary discovery matrices. Under the corresponding discovery-stability conditions, the differences between zero-residual grid solutions are exponentially localized near the initial indices for A-B schemes, whereas they form two-sided boundary layers near the initial and terminal indices for A-M schemes. Second, we derive whole-trajectory generalization estimates for both auxiliary and non-auxiliary formulations. Once the learned vector field is restricted to a fixed observed trajectory, each component of the error becomes a scalar function of time. For the auxiliary formulation, the trajectory error is $O(h^p)$ under the corresponding grid accuracy, approximation, and trace regularity assumptions. For non-auxiliary formulations, the global estimates contain additional boundary-layer terms. On fixed interior subintervals, these terms are exponentially damped. Numerical experiments illustrate the convergence behavior.\n27. 利用MFIE、Müller和多迹Müller积分方程抑制远场计算中的低频抵消误差 Suppressing Low-Frequency Cancellation Errors in Far-Field Computation with the MFIE, Müller, and Multitrace Müller Integral Equations\n作者: Chien V. Le, Kristof Cools\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-08\narXiv ID: 2608.08314v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.08314v1\n摘要: This paper presents robust numerical formulations for suppressing low-frequency cancellation errors in the magnetic field integral equation (MFIE) for perfect electric conductors and the Müller integral equations for homogeneous and composite dielectric objects. The proposed approach combines quasi-Helmholtz projectors, which separate the Helmholtz components of the surface currents, with a tailored rescaling procedure that preserves the components essential for accurate far-field evaluation from finite-precision cancellation. The resulting formulations retain the conditioning properties of the mixed MFIE and Müller discretizations in the dense-mesh and low-frequency regimes. Numerical experiments involving simply and multiply connected scatterers, composite dielectric structures, multiscale and high-contrast configurations demonstrate that the proposed methods yield accurate far-field predictions across a broad frequency range, from the full-wave regime to extremely low frequencies.\n28. 用于追踪非线性偏微分方程复杂奇异性的有理神经网络 Rational neural networks for tracking complex singularities of nonlinear PDEs\n作者: Nadiia Derevianko, Hans-Joachim Bungartz, Felix Dietrich\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-08-08\narXiv ID: 2608.08134v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.08134v1\n摘要: We present a neural network-based method for numerical analytic continuation of solutions of nonlinear partial differential equations (PDEs) and detection of their complex singularities. The proposed framework employs \u0026ldquo;unsafe\u0026rdquo; Padé activation units (PAUs) as activation functions, together with a novel backpropagation-free method for computing the weights and biases of the hidden layers. The training procedure is designed specifically for learning meromorphic functions with pole-type singularities. Unlike existing methods with fixed hidden-layer parameters, the proposed approach treats the weights and biases as time-dependent functions, allowing the network to adapt to the evolution of the complex singularities. Using this method, we can efficiently locate the complex singularities of the extended solution, track their trajectories over time, and, based on this dynamics, infer the formation of characteristic phenomena in the solutions of nonlinear PDEs. To demonstrate the performance of our method, we analyze three well-known cases: (1) the nonlinear heat equation, which exhibits finite-time blow up; (2) the nonlinear Burgers equation, which develops a shock; and (3) the nonlinear Schrödinger equation, in which rogue waves form.\n29. 曲线网格上可压缩Navier-Stokes方程的高分辨率加权本质无振荡紧致最小二乘隐式格式 High-Resolution Weighted Essentially Non-Oscillatory Compact Least-Squares Schemes with Implicit Time Integration for Compressible Navier-Stokes Equations on Curvilinear Grids\n作者: Yongzhi Luo, Huiheng Fan, Wei-Gang Zeng, Yu-Xin Ren, Jianhua Pan\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-08-08\narXiv ID: 2608.08117v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.08117v1\n摘要: This paper presents a family of high-resolution weighted essentially non-oscillatory compact least-squares schemes with implicit time integration for the compressible Navier-Stokes equations on curvilinear grids. Compared with the original compact least-squares schemes, the proposed method introduces two main improvements. First, instead of enforcing the accuracy constraints over the entire computational domain, including discontinuous regions, it constructs the reconstruction matrix only along smooth reconstruction lines using an accuracy-preserving weighting strategy. This treatment effectively suppresses the persistent high-frequency oscillations observed in the original compact least-squares schemes and yields sharper profiles near discontinuities. Second, the method simplifies the shock-capturing procedure and improves efficiency by using a single set of polynomials, whereas the original compact least-squares schemes require both unlimited and limited polynomials. Combined with spectral optimization, the proposed method exhibits more favorable spectral properties than conventional weighted essentially non-oscillatory schemes. The smoothness indicators and penalty matrices are constructed through an efficient iterative procedure with modest additional cost. Numerical results for inviscid and viscous one-, two-, and three-dimensional flows demonstrate that the proposed method provides robust shock-capturing capability while maintaining high resolution in smooth regions and across contact discontinuities.\n30. 二阶漂移模型 Second Order Drifting Models\n作者: Drake Brown, Yuhao Huang, Shih-Hsin Wang, Bao Wang\n类别: cs.LG, cs.AI, math.NA\n发布日期: 2026-08-08\narXiv ID: 2608.07924v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.07924v1\n摘要: Drifting models are a recent class of one-step generative models that evolve the model distribution during training using a predefined sample-based drift field. Although they avoid iterative inference, their kernel-based drift fields induce frequency-dependent training dynamics: In the linearized regime, each Fourier mode of the density residual decays at a rate determined by the kernel spectrum, leading to slow recovery of fine-scale structure. We propose Second-Order Drifting Models, which lift drifting dynamics into phase space by augmenting generated samples with artificial velocity variables. We show that the resulting density perturbations obey accelerated second-order dynamics in Fourier space, connecting drifting models to the celebrated Nesterov acceleration from optimization theory. This provides a principled mechanism for mitigating the spectral stiffness of first-order drifting while preserving one-step inference. We derive a practical semi-implicit training algorithm and evaluate it on synthetic distribution matching, sequential data generation, and robotic control. Across these settings, the second-order drifting model improves convergence behavior and achieves competitive or superior performance over first-order drifting baselines.\n31. Barzilai\u0026ndash;Borwein 方法在 $\\mathbb R^d$ 和 Hilbert 空间中的精确最坏情况渐近率 The Sharp Worst-Case Asymptotic Rate of the Barzilai\u0026ndash;Borwein Method in $\\mathbb R^d$ and Hilbert Spaces\n作者: Shutai Yang, Ya-Xiang Yuan\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-08-08\narXiv ID: 2608.07839v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.07839v1\n摘要: We establish sharp asymptotic rates for the two Barzilai\u0026ndash;Borwein (BB) rules on uniformly positive quadratics and local nonlinear problems. In finite dimensions, for either fixed rule and an arbitrary positive first step, the gradient root factor is bounded by $(b_0-a_0)/(b_0+a_0)$, where $[a_0,b_0]$ is the initially active spectral interval. Hence the worst trajectory factor is $c_H=(κ(H)-1)/(κ(H)+1)$. When $H$ has at least two distinct eigenvalues, matched initialization and a balanced endpoint trajectory attain this value. Under matched initialization, the same constant is the optimal uniform-envelope threshold. For bounded, self-adjoint, uniformly positive operators on Hilbert space, scalar spectral measures yield the corresponding active-support bound and optimal matched uniform-envelope threshold, including continuous endpoint spectrum. Finally, if the gradient is strictly Fréchet differentiable at a stationary point and its derivative is self-adjoint and uniformly positive, every $γ\\in(c_*,1)$, where $c_*=(κ(A_*)-1)/(κ(A_*)+1)$, is a uniform local envelope rate for either pure BB rule. Every well-defined trajectory converging to the stationary point has error and gradient root factors at most $c_*$ and objective-gap root factor at most $c_*^2$. Over the class of objectives with prescribed distinct derivative endpoints $m_*","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-11_08-40-29/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月11日 08:40:29\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 10\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 34\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-广义优化schwarz方法的粗空间预处理第一部分连续情形\"\u003e1. 广义优化Schwarz方法的粗空间预处理：第一部分：连续情形\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eCoarse space preconditioning for Generalized Optimized Schwarz Methods. Part I: continuous case\u003c/p\u003e","title":"2026年08月11日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月10日 09:03:43\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 8\n不相关论文数量: 19\n重点关注论文（完整分析） 1. 一种适用于Stokes界面问题的压力稳健非协调浸入有限元方法 A Pressure-Robust Nonconforming Immersed Finite Element Method for Stokes Interface Problems\n作者: Haifeng Ji, Feng Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.07235v1\n摘要翻译: 已知通过对检验函数进行适当修正，可以在Stokes问题中实现压力稳健的混合方法。然而，对于非匹配网格上Stokes界面问题的浸入有限元逼近，由于速度和压力在其中一个界面条件中耦合，速度误差是否独立于压力仍不清楚。本文通过将间断压力新颖地分解为连续分量和依赖于速度的间断分量，给出了肯定回答。我们证明，浸入Crouzeix\u0026ndash;Raviart/$P_0$元方法通过对右端项的检验函数进行$H(\\operatorname{div})$-协调重构，实现了压力稳健性。对该方法的稳定性和最优误差估计的证明中，常数与界面相对于网格的位置无关。数值实验验证了理论结果。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.07235v1\n1. 研究对象和背景 两相不可压缩流动广泛存在于多相流体动力学、生物流以及材料加工等科学和工程问题中. 当惯性效应可以忽略时, Stokes 界面问题能够作为合适的数学模型, 同时保留设计有效数值方法的核心挑战. 设 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^2$ 为具有多边形边界 $\\partial\\Omega$ 的有界凸区域, $\\Gamma$ 是浸没在 $\\Omega$ 中的简单闭 $C^2$ 曲线, 将其分为两个子区域 $\\Omega^+$ 和 $\\Omega^-$. Stokes 界面问题为: 求速度场 $\\mathbf{u}$ 和压力场 $p$, 满足 $$ \\begin{aligned} -\\nabla\\cdot\\boldsymbol{\\sigma}(\\mu,\\mathbf{u},p) \u0026= \\mathbf{f} \\quad \u0026\u0026\\text{在 } \\Omega^+\\cup\\Omega^-,\\\\ \\nabla\\cdot\\mathbf{u} \u0026= 0 \\quad \u0026\u0026\\text{在 } \\Omega,\\\\ [\\boldsymbol{\\sigma}(\\mu,\\mathbf{u},p)\\mathbf{n}]_\\Gamma \u0026= \\mathbf{0} \\quad \u0026\u0026\\text{在 } \\Gamma,\\\\ [\\mathbf{u}]_\\Gamma \u0026= \\mathbf{0} \\quad \u0026\u0026\\text{在 } \\Gamma,\\\\ \\mathbf{u} \u0026= \\mathbf{0} \\quad \u0026\u0026\\text{在 } \\partial\\Omega, \\end{aligned} $$ 其中应力张量 $\\boldsymbol{\\sigma}(\\mu,\\mathbf{u},p)=2\\mu\\boldsymbol{\\epsilon}(\\mathbf{u})-p\\mathbf{I}$, 应变张量 $\\boldsymbol{\\epsilon}(\\mathbf{u})=\\frac12(\\nabla\\mathbf{u}+(\\nabla\\mathbf{u})^\\top)$, $\\mathbf{I}$ 是单位矩阵, $\\mathbf{n}$ 是 $\\Gamma$ 的单位法向量, 指向从 $\\Omega^-$ 到 $\\Omega^+$, $[v]_\\Gamma$ 表示跨越 $\\Gamma$ 的跳跃, 即 $[v]_\\Gamma=v^+|_\\Gamma-v^-|_\\Gamma$ 且 $v^\\pm=v|_{\\Omega^\\pm}$. 体积力 $\\mathbf{f}\\in L^2(\\Omega)^2$, 黏性系数 $\\mu$ 为分片常数且 $\\mu|_{\\Omega^\\pm}=\\mu^\\pm\u003e0$. 由不可压缩条件 (1.1b) 还可导出 $[\\nabla\\cdot\\mathbf{u}]_\\Gamma=0$ 在 $\\Gamma$ 上.\n与传统体拟合网格方法不同, 无拟合网格有限元方法不要求网格与界面对齐, 在模拟复杂或移动界面时具有高度的灵活性. 浸入有限元 (IFE) 方法是无拟合网格方法中的一类典型代表, 它通过修正界面单元上的形函数来强加界面跳跃条件, 而不改变单元的自由度. 其关键优势在于 IFE 空间与同一网格上的传统有限元空间同构, 这使得该方法易于在现有代码框架下实现.\n将 IFE 方法应用于 Stokes 界面问题极具挑战性, 因为在界面条件中速度和压力相互耦合. 已有的若干研究开发了不同的 IFE 方法, 例如基于 Taylor-Hood 元的 IFE 方法 [10]、MINI 元的 IFE 方法 [23] 以及基于标准 Crouzeix-Raviart 元 (CR-P0) 的非协调 IFE 方法 [24]. 然而, 这些方法均不具备压力鲁棒性: 速度误差会依赖于压力, 当体积力被一梯度场修改时 (仅改变压力而不改变真实速度), 离散速度解会受到显著影响 [27]. 对于不含界面的标准 Stokes 问题, 已有多种途径可实现压力鲁棒格式, 如构造无散有限元空间 [38, 40] 或利用散度相容重构测试函数的技巧 [34]. 然而在无拟合网格下的界面问题中, 同时满足界面条件、无散约束和离散 inf-sup 稳定性似乎十分困难. 文献 [41] 提出了一种无散的 Petrov-Galerkin 浸入有限元方法 (PG-IFEM), 其速度空间通过最低阶 Raviart-Thomas 元空间进行增广, 但建立其 inf-sup 条件仍具挑战性.\n本文基于 [24] 中引入的非协调 IFE 空间 (即对经典 CR-P0 元在界面单元上的修正), 首次在无拟合网格的 Stokes 界面问题中实现了压力鲁棒性. 核心思想是通过将压力分解为一个连续部分和一个由速度决定的不连续部分, 将耦合的界面条件重写为仅依赖于速度的形式. 在离散水平上, 这一分解自然导出将离散压力表示为分片常数部分 $\\hat{p}_h$ 和依赖于离散速度的部分 $R_h(\\mathbf{u}_h)$ 之和. 基于此, 本文的方案无需压力惩罚项即可获得 inf-sup 稳定性, 并可将离散问题简化为仅含速度的椭圆问题. 进一步, 对右端测试函数施加 H(div)-相容的最低阶 Raviart-Thomas 重构, 最终得到压力鲁棒的 CR-IFE 方法. 数值实验验证了理论结果.\n2. 主要定理或主要结果 本文在连续问题解具有子区域正则性 $(\\mathbf{u},p)\\in\\widehat{H}^2 H^1\\cap (\\mathbf{V}\\times Q)$ 的假设下, 证明了所提压力鲁棒 CR-IFE 方法的如下主要结果:\n离散 inf-sup 稳定性: 无须压力惩罚项, 离散速度和压力空间满足 inf-sup 条件, 即存在与 $h$ 和界面位置无关的常数 $\\beta\u003e0$, 使得 $$\\sup_{\\mathbf{v}_h\\in X_h^{\\rm IFE}} \\frac{b_h(\\mathbf{v}_h, q_h)}{\\|\\mathbf{v}_h\\|_{1,h}} \\ge \\beta \\|q_h\\|_{L^2(\\Omega)} \\quad \\forall q_h\\in Y_h,$$ 其中 $b_h$ 为带界面边积分项的离散散度形式, $\\|\\cdot\\|_{1,h}$ 为适当的离散 $H^1$ 范数.\n最优逼近性质: 对任一 $\\mathbf{v}\\in X$ (满足界面条件的函数空间), IFE 插值算子 $\\pi_h^{\\rm IFE}$ 满足 (推论 4.3) $$\\sum_{T\\in\\mathcal{T}_h} |\\mathbf{v} - \\pi_h^{\\rm IFE}(\\mathbf{v})|^2_{H^m(T)} \\le C h^{4-2m} \\|\\mathbf{v}\\|^2_{H^2(\\cup\\Omega^\\pm)}, \\quad m=0,1.$$ 特别地, 该估计的右端仅依赖于速度的 $H^2$ 半范, 不出现压力范数.\n压力鲁棒误差估计: 设 $(\\mathbf{u},p)$ 为精确解, $(\\mathbf{u}_h,p_h)$ 为方法 (3.10) 的离散解, $p_h=R_h(\\mathbf{u}_h)+\\hat{p}_h$. 存在与 $h$, $\\mu$ 以及界面相对网格位置无关的常数 $C$, 使得 $$\\|\\mathbf{u} - \\mathbf{u}_h\\|_{1,h} + \\|p - p_h\\|_{L^2(\\Omega)} \\le C h \\bigl( \\|\\mathbf{u}\\|_{H^2(\\cup\\Omega^\\pm)} + \\|p\\|_{H^1(\\cup\\Omega^\\pm)} \\bigr).$$ 此外, 速度误差满足如下压力无关上界: $$\\|\\mathbf{u} - \\mathbf{u}_h\\|_{1,h} \\le C h \\|\\mathbf{u}\\|_{H^2(\\cup\\Omega^\\pm)}.$$ 该估计表明, 即便压力梯度很大或包含高振荡分量, 只要真实速度光滑, 速度误差不受污染. 这即为压力鲁棒性.\n带有表面张力的推广: 本文第 6 节将方法拓展至有表面张力的情况, 即界面条件 (1.1c) 非齐次时, 通过引入适当的界面力项并修改右端重构, 仍能保持最优收敛阶和压力鲁棒性.\n数值实验 (第 7 节) 针对不同黏性比、不同界面位置以及带有大幅值压力梯度的算例, 验证了理论误差阶和压力鲁棒性.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文取得压力鲁棒性的核心创新点与技术路线如下:\n1. 连续与离散压力的分解. 传统的 Stokes 界面问题弱形式中, 速度和压力在界面条件 (1.1c) 中耦合: $[\\boldsymbol{\\sigma}(\\mu,\\mathbf{u},p)\\mathbf{n}]_\\Gamma=\\mathbf{0}$. 作者引入一个线性算子 $R$, 对任意 $\\mathbf{v}$ 构造满足 $[\\boldsymbol{\\sigma}(\\mu,\\mathbf{v},R(\\mathbf{v}))\\mathbf{n}]_\\Gamma=\\mathbf{0}$ 的函数 $R(\\mathbf{v})$, 并将压力写作 $p=R(\\mathbf{u})+\\hat{p}$, 其中 $\\hat{p}$ 连续跨越 $\\Gamma$, 即 $[\\hat{p}]_\\Gamma=0$. 此分解将耦合条件转化为只依赖于速度的形式: $\\mathbf{u}$ 自身连同 $R(\\mathbf{u})$ 已自动满足界面应力跳跃条件, 剩下的 $\\hat{p}$ 成为连续压力. 相应地, 解空间被分裂为 $\\widehat{H}^2 H^1\\cap(\\mathbf{V}\\times Q)=\\{(\\mathbf{v},R(\\mathbf{v})):\\mathbf{v}\\in X\\}\\oplus(\\{0\\}\\times Y)$, 其中 $X$ 和 $Y$ 分别为速度空间和连续压力空间.\n在离散水平, 通过对 IFE 基函数结构的观察 (引理 3.2), 作者发现 IFE 空间中每个与速度自由度对应的基函数自动带有压力修正, 从而可定义一个逐单元的线性算子 $R_{h,T}$, 将离散速度 $\\mathbf{u}_h$ 映射为一个分片常数的“速度诱导压力” $R_h(\\mathbf{u}_h)$, 使得离散速度-压力对 $(\\mathbf{u}_h,R_h(\\mathbf{u}_h))$ 满足离散界面条件 (3.3a). 于是, 整个 IFE 空间具有直和分解: $$\\widetilde{\\mathbf{V}\\mathbf{Q}}_h^{\\rm IFE}=\\{(\\mathbf{v}_h,R_h(\\mathbf{v}_h)):\\mathbf{v}_h\\in X_h^{\\rm IFE}\\}\\oplus(\\{0\\}\\times Y_h),$$ 其中 $X_h^{\\rm IFE}$ 为修正的 CR 速度空间, $Y_h$ 为分片常数压力空间. 这一分解使得我们可以将离散解的压力表达为 $p_h=R_h(\\mathbf{u}_h)+\\hat{p}_h$, $\\hat{p}_h\\in Y_h$, 从而将原问题 (3.10) 分离为仅含速度的椭圆方程和连续压力所对应的散度自由约束.\n2. 无惩罚项的 inf-sup 稳定性. 基于上述分解, 与速度耦合的压力部分 $R_h(\\mathbf{u}_h)$ 已被自然地纳入速度空间中, 剩余的压力 $\\hat{p}_h$ 是跨越界面连续的. 由于 $\\hat{p}_h$ 没有跳跃, 离散散度形式 $b_h$ 中的界面边积分项 $\\sum_{e\\in\\mathcal{E}_h^\\Gamma}\\int_e\\{\\hat{p}_h\\}[\\mathbf{v}_h]\\cdot\\mathbf{n}_e$ 自动消失 (因为 $\\{\\hat{p}_h\\}$ 为常数, 而 $\\mathbf{v}_h$ 的边平均值为零). 因此离散散度退化为标准的分片积分 $b_h(\\mathbf{v}_h,\\hat{p}_h)=-\\sum_T\\int_T \\hat{p}_h\\nabla\\cdot\\mathbf{v}_h$. 此时, 经典的 inf-sup 条件论证可直接从标准 CR 元继承 (因为 $X_h^{\\rm IFE}$ 与 CR 空间 $X_h$ 同构, 且在非界面单元上完全相同). 这与文献 [24] 不同, 那里由于压力被全体离散, 必须引入压力惩罚项 $J_h(\\cdot,\\cdot)$ 来稳定 inf-sup 条件. 本文通过分解, 完全避免了这一惩罚项.\n3. 右端测试函数的 H(div) 重构与压力鲁棒性. 压力鲁棒离散的关键在于消除右端项中压力对速度误差的影响. 对标准 Stokes 问题 (不含界面), 文献 [34] 的做法是: 将右端项中的测试函数 $\\mathbf{v}_h$ 替换为其 H(div) 相容的最低阶 Raviart-Thomas 插值 $\\pi_h^{\\rm RT}\\mathbf{v}_h$, 即 $l_h(\\mathbf{v}_h)=\\int_\\Omega \\mathbf{f}\\cdot\\pi_h^{\\rm RT}\\mathbf{v}_h$. 这样做后, 任何梯度力场 $\\nabla\\psi$ 在 $l_h$ 中将被自动消除, 因为 $\\int_\\Omega\\nabla\\psi\\cdot\\pi_h^{\\rm RT}\\mathbf{v}_h=-\\int_\\Omega\\psi\\,\\nabla\\cdot(\\pi_h^{\\rm RT}\\mathbf{v}_h)$, 而离散无散性质保证了 $\\nabla\\cdot(\\pi_h^{\\rm RT}\\mathbf{u}_h)=0$ (在某种意义下) 以及一致性. 本文将这一技巧推广到有界面的情况: 在界面背景下, 由于 $\\mathbf{f}$ 也可能在界面处间断, 但 IFE 空间保证了 $\\mathbf{u}_h$ 满足合适的界面条件, 同时压力分解使得离散无散约束 $b_h(\\mathbf{u}_h,\\hat{q}_h)=0$ 仍只涉及连续压力. 右端采用 $\\pi_h^{\\rm RT}$ 重构后, 误差方程分解为与压力和速度无关的两部分. 作者详细分析了由界面区域几何不一致产生的相容性误差 (即切割单元上的 $\\mathcal{O}(h^2)$ 区域 $T^{\\triangle}$), 这些误差通过 $\\delta$-条带估计 (引理 3.1) 被控制为 $\\mathcal{O}(h)$ 阶. 此外, 在界面附近, IFE 基函数与标准 CR 基函数的差异也需被考虑, 但压力分解保证了速度插值孤立地最优 (推论 4.3), 从而最终得到速度误差与压力无关的估计.\n4. 交换图性质与插值分析. 文中定义了 IFE 插值算子 $\\pi_h^{\\rm IFE}$ 和散度重构插值算子 $\\pi_h^{\\rm RT}$, 并证明了重要性质: $\\nabla\\cdot(\\pi_h^{\\rm RT}\\mathbf{v}_h)=\\pi_h^0(\\nabla\\cdot\\mathbf{v}_h)$ 对 $\\mathbf{v}_h\\in X_h^{\\rm IFE}$ 成立; 更进一步, 这些算子与相应连续算子之间的交换图可保持. 结合 IFE 空间的逼近性质 (定理 4.1 和 4.2) 以及压力分解后得到的尖锐估计 (推论 4.3), 作者得以将整个误差分析置于标准框架内, 且常数与界面位置、黏性比无关.\n5. 表面张力的扩展. 第 6 节中, 当界面应力跳跃非零 (即 $[\\boldsymbol{\\sigma}\\mathbf{n}]_\\Gamma = \\kappa\\mathbf{n}$) 时, 通过对右端力项添加适当的界面力贡献, 并相应调整压力分解, 上述分析可几乎逐字推广, 仍保持最优收敛和压力鲁棒性.\n4. 与之前工作的比较 本文与已有相关工作的具体推进与区别主要体现在以下几个方面:\n与文献 [24] 的非协调 IFE 方法比较. [24] 中提出的 CR-IFE 方法使用标准 CR-P0 配对, 在界面单元上修正形函数以满足界面条件, 并对离散压力施加了额外的惩罚项 $J_h(\\cdot,\\cdot)$ 以稳定 inf-sup 条件. 但该方法并不具备压力鲁棒性, 数值实验显示当体积力包含大梯度压力分量时, 速度误差会显著增大. 本文的方法在以下三方面与 [24] 不同: (i) 完全去除了压力惩罚项 $\\eta_p J_h$, 因为新的压力分解使得 inf-sup 条件自然成立; (ii) 对右端项施加了 H(div)-相容的重构 $\\pi_h^{\\rm RT}$, 这使得速度解免受压力污染; (iii) 添加了对称/非对称内部惩罚项以处理非协调速度的界面连续性, 这与 [24] 的边项一致. 因此, 本文方法可视为 [24] 的实质性改进, 获得了压力鲁棒性而无需增加自由度.\n与文献 [41] 的无散 Petrov-Galerkin IFE 方法比较. [41] 为获取压力鲁棒性, 采用了一种不同的思路: 将速度空间通过最低阶 RT 元增广来构造局部无散空间, 并采用 Petrov-Galerkin 格式. 但其 inf-sup 条件的严格证明直至最近 [17] 才在椭圆界面问题的框架下给出, 且依赖于系数对比度 (即 $\\mu^+/\\mu^-$) 的假定. 相比之下, 本文的方法只需对右端测试函数进行重构, 速度空间本身保持为修正的 CR 空间, 从而避免了增加额外自由度; 同时, 基于压力分解建立的 inf-sup 条件对任意正的 $\\mu^\\pm$ 都成立, 更具一般性.\n与标准 Stokes 问题的压力鲁棒方法比较 (如 [34, 35, 7, 13]). 对于体拟合网格上的 Stokes 问题, 压力鲁棒性已有多重实现途径, 包括构造无散有限元 [38, 40] 或采用精确无散重构 [34], 以及针对光滑边界用 CutFEM 实现的无散方法 [35, 7, 13]. 然而, 这些方法大多需要额外自由度或弱强制边界条件. 本文首次将这些概念成功移植到无拟合网格下的 Stokes 界面问题中. 关键障碍在于界面条件中将速度和压力耦合在一起; 而传统无散方法假设速度与压力在界面上解耦. 本文通过压力的显式分解克服了这一障碍, 在不牺牲原始 IFE 方法简洁性 (自由度数不变) 的前提下实现了压力鲁棒性.\n适用范围与代价. 本文的误差分析要求界面为 $C^2$ 光滑, 且解具有 $H^2\\times H^1$ 的分片正则性. 这一假设与 [24] 相同, 也是界面问题标准分析中常见的. 方法保持了与标准 CR 元完全相同的自由度 (每边速度平均值和一个单元压力平均值), 仅在界面单元上需要求解一个小型线性系统来构造修正的基函数, 该计算是局部且一次性的. 施加右端重构需要计算 $\\pi_h^{\\rm RT}\\mathbf{v}_h$, 即对每个测试函数的速度求边平均值, 该步骤与标准 Stokes 中完全相同, 并不会带来显著额外计算量. 本文的数值实验表明, 该方法在各种黏性比和界面位置下均呈现出理论预测的 $\\mathcal{O}(h)$ 收敛阶与明确的速度-压力解耦.\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 论分裂形式在间断 Galerkin 格式混淆误差与熵稳定性中的作用 On the Role of Split Formulations on Aliasing Errors and Entropy Stability of Discontinuous Galerkin Schemes\n作者: Mathias Dufresne-Piché, Siva Nadarajah\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.07355v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.07355v1\n摘要翻译 中文标题: 论分裂形式在间断 Galerkin 格式混淆误差与熵稳定性中的作用\n摘要翻译: 本文对一维 Burgers 问题的分裂形式间断 Galerkin (DG) 离散格式的去混淆性质进行了形式化的研究。通过推广 Blaisdell 等人针对谱离散的证明，我们指出分裂形式 DG 格式在弱欠分辨范围内能通过保守形式与非保守形式上积分误差的抵消实现去混淆。作为一个推论，我们找出了依赖于求积和阶数的分裂系数对，它们能消除混淆误差的主导分量。尽管这些“优化的”分裂系数最小化了数值格式的积分误差，我们却指出由熵稳定分裂产生的斜对称混淆模式对于保持数值解的长期稳定性是必要的。所提出的框架为 Gassner 引入的 (1/3, 2/3) 分裂格式的 DG 离散的熵稳定性提供了另一种证明，澄清了 DG 混淆误差与熵稳定性之间的联系。最后，我们还指出熵稳定分裂在弱欠分辨范围内相比保守形式具有更低的混淆误差。\n2. 基于网格滤波缓解球极坐标下龙格-库塔间断伽辽金方法时间步长限制：应用于欧拉方程 Mesh-Based Filtering to Alleviate Time-Step Restrictions in Runge\u0026ndash;Kutta Discontinuous Galerkin Methods in Spherical-polar Coordinates: Application to the Euler Equations\n作者: Joseph Hunter, Eirik Endeve, Yulong Xing\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.07345v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.07345v1\n摘要翻译 中文标题: 基于网格滤波缓解球极坐标下龙格-库塔间断伽辽金方法时间步长限制：应用于欧拉方程\n摘要翻译: 我们提出一种基于网格的滤波方法，以缓解在球极坐标下建立的显式龙格-库塔间断伽辽金（RKDG）方法中出现的严重时间步长限制。该滤波器能够在原始逻辑笛卡尔网格上稳定演化，同时使用与一个辅助合并网格相关的更大时间步长，该合并网格的构造旨在消除由坐标线在坐标奇点附近汇聚所产生的极端单元各向异性。该滤波器通过在 $s$-级 RK 时间积分器中应用一系列后处理操作来实现，因此易于集成到现有的结构化网格 DG 框架中。我们在一维空间中分析了该滤波器，并证明滤波后的 RKDG 方法等价于在一个非均匀网格上演化 RKDG 离散，该非均匀网格是通过合并底层均匀网格的选定单元得到的。这一等价性意味着滤波后的方法继承了相应合并网格上 RKDG 离散的精度和稳定性。我们将基于网格的滤波器应用于球极坐标下欧拉方程的现有 RKDG 方法，并通过选定的二维和三维算例，展示了其通过显著增大的稳定时间步长来加速模拟的有效性。\n3. 用于Willmore和Helfrich流的参数化逼近的约束Onsager变分框架 A constrained Onsager variational framework for parametric approximations of Willmore and Helfrich flows\n作者: Quan Zhao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.07244v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.07244v1\n摘要翻译 中文标题: 用于Willmore和Helfrich流的参数化逼近的约束Onsager变分框架\n摘要翻译: 我们开发了一个用于Willmore和Helfrich流参数有限元逼近的约束Onsager变分框架。弱曲率关系被用作PDE约束，以曲率向量形式表达弯曲能量的一阶变分。Onsager原理结合该变分与基于法向速度的耗散，同时独立的松弛最小形变率（relaxed-MDR）约束选择切向速度。由此产生的混合格式允许使用连续分片线性元进行半离散化，满足精确的能量耗散律，并在施加相应约束时精确保持面积和体积。该框架适用于空间变化的自发曲率，并适用于Navier或夹紧条件下具有固定边界的闭合曲面和开曲面。我们还提出了一个线性隐式全离散格式，证明了其唯一可解性，并展示了数值实验，验证了收敛性、能量衰减、约束保持和有效的网格重分配。\n4. 多面体域中抛物问题的一类 HDG 方法最大模估计的统一分析 A unified analysis of maximum-norm estimates for a class of HDG methods for parabolic problem in polyhedral domains\n作者: Huangxin Chen, Haitao Leng, Weifeng Qiu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.07096v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.07096v1\n摘要翻译 中文标题: 多面体域中抛物问题的一类 HDG 方法最大模估计的统一分析\n摘要翻译: 本文研究了一类通用的半离散可杂交间断伽辽金（HDG）方法，包括混合方法，用于非凸多边形和多面体域中的抛物问题。通过建立局部能量误差估计以及正则化格林函数的能量估计，我们构建了一个统一框架，用于证明由半离散格式定义的半群以及相应离散解的最大模稳定性。稳定性分析表明，主要挑战源于数值通量变量的处理以及离散格式固有的不对称性。这些挑战对于在抛物方程混合框架下构造的数值方法而言是本质性的。不对称性阻止了双重 kick-back 论证的直接应用，而通量变量的存在则需要特殊技术来控制其在初时刻的值。我们强调，本文为解决这些挑战而开发的分析工具具有充分的通用性，可以推广用于研究由抛物方程混合格式生成的更广泛类数值格式的最大模稳定性。此外，通过稳定性结果及其证明，我们导出了半离散解在 $L^{\\infty}((0,T);L^p(Ω))$ 范数下的最大正则性，并将最大模误差估计归约为相应椭圆方程以及 $L^2$ 正交投影的估计。由于局部能量误差估计的推导不依赖于提升算子（该算子仅适用于单纯形网格），因此我们的结果（混合方法除外）对于多边形/多面体网格仍然成立。\n5. 基于背景四面体网格相交的高阶曲面有限元方法 A High-Order Surface Finite Element Method Based on Intersections with Background Tetrahedral Meshes\n作者: Zibo Zhao, Zuoqiang Shi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.07000v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.07000v1\n摘要翻译 中文标题: 基于背景四面体网格相交的高阶曲面有限元方法\n摘要翻译: 本文针对定义在三维光滑闭曲面上的椭圆型方程，提出了一种高阶曲面有限元方法，其中该曲面被隐式定义为一个函数的零水平集。与从给定的曲面三角剖分出发的经典曲面有限元方法不同，本文方法通过精确曲面与周围四面体网格之间的相交来构造离散曲面空间。具体而言，在隐式曲面周围生成一个活动的四面体壳层，每个被切割的四面体根据其与零水平集的相交模式，贡献一个三角形或四边形曲面片。有限元空间首先定义在所得的分片平面切割曲面上，然后通过基于局部水平集的参数化将其提升到精确曲面上。所得到的方法结合了曲面有限元法和非拟合/迹方法的特点。与曲面有限元法类似，在提升之后它在精确曲面上产生一个协调的有限元空间；然而，其几何和有限元空间是由与背景四面体的相交导出的，这一点类似于非拟合/迹方法。我们证明了局部提升映射在公共面上逐点一致，并可拼合成一个全局同胚。我们还推导了切向量、Gram矩阵、质量和刚度积分的显式公式，并证明了提升映射的稳定性和高阶导数估计。后者的估计在断裂Sobolev范数下表述，并导出了所提高阶提升曲面有限元法的Céa型能量范数误差界。\n6. 求解玻尔兹曼方程的弱对抗神经推进方法 Weak Adversarial Neural Pushforward Method for Boltzmann Equation\n作者: Jenia Fardousi Koly, Andrew Qing He, Wei Cai\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.06823v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.06823v1\n摘要翻译 中文标题: 求解玻尔兹曼方程的弱对抗神经推进方法\n摘要翻译: 本文推广了一种弱对抗神经网络推进方法，用于求解含时玻尔兹曼方程，并提出了碰撞算子的弱形式，其中采用可逆神经推进映射生成由玻尔兹曼方程支配的分布给出的样本。推进映射的训练通过强制玻尔兹曼方程的弱形式来学习。数值结果证明了所提方法的有效性。\n7. CT-PIKAN：用于曲线域偏微分方程求解的坐标变换物理知情 Kolmogorov-Arnold 网络与基于自动微分的度量评估 CT-PIKAN: Coordinate-Transformed Physics-Informed Kolmogorov-Arnold Network with Autograd-Based Metric Evaluation for Solving PDEs in Curvilinear Domains\n作者: Mohammad E. Heravifard, Kazem Hejranfar\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.06660v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.06660v1\n摘要翻译 中文标题: CT-PIKAN：用于曲线域偏微分方程求解的坐标变换物理知情 Kolmogorov-Arnold 网络与基于自动微分的度量评估\n摘要翻译: 物理知情 Kolmogorov-Arnold 网络最近已成为一类有效的偏微分方程神经求解器，它们将基于样条的 Kolmogorov-Arnold 表示的表达能力与物理知情学习相结合。然而，现有的 PIKAN 形式主要是针对笛卡尔域开发的，不能自然地适应曲线域引入的几何复杂性。在本文中，我们提出了坐标变换物理知情 Kolmogorov-Arnold 网络（CT-PIKAN），这是一个面向几何的框架，通过坐标变换在任意形状的域上求解偏微分方程。一个光滑映射将物理域变换为规则的计算域，同时将变换后的控制方程直接融入物理知情损失中。与需要手动推导度量系数的传统变换 PINN 方法不同，CT-PIKAN 利用自动微分直接从坐标映射计算雅可比矩阵、度量张量和变换后的微分算子，从而消除了解析推导并提高了实现灵活性。为建立所提框架，首先构建了一个无数据的基于 B 样条的 PIKAN，并在二维对流方程上进行了验证。随后，在典型的椭圆、抛物和双曲基准问题上评估了 CT-PIKAN 方法，这些问题包括在极坐标和波浪形曲线坐标下表述的泊松方程、热方程和对流方程。所提出的框架为将微分几何与物理知情 Kolmogorov-Arnold 网络相结合提供了一种通用且可扩展的方法，从而能够在复杂域上高效且精确地求解偏微分方程。\n8. 双曲守恒律的熵稳定间断伽辽金方法的误差估计 The error estimate of entropy-stable discontinuous Galerkin methods for hyperbolic conservation laws\n作者: Xu-Kun Chen, Yong Liu, Chi-Wang Shu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.06642v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.06642v1\n摘要翻译 中文标题: 双曲守恒律的熵稳定间断伽辽金方法的误差估计\n摘要翻译: 熵不等式是双曲守恒律适定性的基础，为从无穷多弱解中选取物理上可接受的解提供了关键准则。Chen 和 Shu [J. Comput. Phys. 345 (2017)] 提出了一个统一框架，通过特定的数值求积构造满足任意给定熵的熵不等式的高阶间断伽辽金方法；然而，他们附带的误差分析仅限于截断误差层面，在这些熵稳定格式的严格收敛理论中留下了关键空白。本文通过为双曲守恒律在一般非结构网格上的半离散熵稳定DG方法建立严格的先验误差估计来填补这一空白。分析适用于标量方程和方程组，并基于直接在节点层面进行的有限差分类型的相容性-稳定性论证。在多项式重构假设和$L^\\infty$先验界下，我们在基于求积的范数下证明了$O(h^k)$误差估计，该范数等价于有限维重构空间上的断裂$L^2$范数。我们进一步将此框架推广到由Liu, Lu, and Shu [SIAM J. Sci. Comput. 46 (2024)]引入的熵稳定无振荡DG方法，证明了附加的阻尼项不会降低收敛阶。数值实验表明，观察到的收敛率可能超出理论预测最多半个阶。\n不相关论文（基本信息） 1. 活性 Cahn-Hilliard 方程的数值分析与粗化动力学 Numerical analysis and coarsening dynamics of the Active Cahn-Hilliard equation\n作者: Abramo Agosti, Andrea Giorgini\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.07450v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.07450v1\n摘要: We investigate the analysis and phase ordering dynamics of the active Cahn\u0026ndash;Hilliard equation, providing novel results beyond the current state of the art concerning the well-posedness and the characterization of its coarsening dynamics. We consider both regular polynomial and singular logarithmic potentials. In particular, we exploit a new method based on heteroclinic trajectories in the phase plane to characterize static kink profiles and spherical droplet states, recovering the exact values of key quantities related to static phase-separated configurations; moreover, we develop a theory accounting for surface tension modifications driven by activity and local interface curvature, which explains the power-law shift $L(t)\\sim t^{\\frac{1}{z}}$ from $z=3$ to $z=4$ induced by activity for the characteristic domain length conjectured in the literature. This shows that there is a transitory effect before the attainment of a finite saturation length. We also design an efficient numerical scheme, based on finite elements, to approximate the model, proving its well-posedness and stability both for regular and singular potentials. In dimensions $d=2,3$ with singular potential, the convergence analysis of the finite element approximation proves the local-in-time existence and uniqueness of weak solutions satisfying the physical constraint $φ\\in (-1, 1)$. In dimension $d=1$ with singular potential, we establish global-in-time well-posedness and regularity of weak solutions under a smallness condition on the activity parameter. Finally, we show numerical simulations for different test cases which prove that our numerical algorithm correctly reproduces the expected phase separation dynamics. Moreover, we show the results for coarsening dynamics at late times which present a power law shift from $z=3$ to $z=4$ prior to reaching late-time length saturation, which confirms our theoretical findings.\n2. 通过求解多个GPU并行化重复系统加速共轭梯度法 Accelerating the Conjugate Gradient Method by Solving Multiple GPU-Parallelized Duplicate Systems\n作者: Andrew Xu, Shaked Regev\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.07327v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.07327v1\n摘要: We propose a method to accelerate the conjugate gradient method (CG) on parallel computing hardware by performing block conjugate gradient on one linear system. We aim to reduce the number of iterations until convergence by solving several copies of the system to explore multiple regions of the solution space at once. Although solving multiple systems requires more floating point operations than solving one, these computations are highly parallelizable, even without additional hardware resources. Our method does not replace preconditioning and can be used with any preconditioner. We developed linear regression models to predict iteration reduction and speedup as functions of the coefficient matrix\u0026rsquo;s size, its number of nonzeros, and the solve time with CG. Our experiments show that our method can reduce solve time by up to 6 times in dense systems and up to 5 times in sparse systems that require long solve times with CG relative to their size.\n3. 非协调Helmholtz离散化的区域分解预条件子比较 Comparing domain decomposition preconditioners for non-conforming Helmholtz discretizations\n作者: Moritz Gallauner, Emile Parolin, Paul Stocker, Igor Voulis\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.07326v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.07326v1\n摘要: We compare additive and multiplicative domain decomposition preconditioners, without coarse correction, for three non-conforming polynomial discretizations of Helmholtz problems: discontinuous Galerkin, embedded Trefftz discontinuous Galerkin, and hybrid discontinuous Galerkin methods. The preconditioners are studied within stationary and Krylov iterative solvers. All three discretizations lead to complex-symmetric systems and local subproblems with inherited impedance-type boundary conditions. These properties enable the use of conjugate gradients and allow the local matrices to be obtained directly by restriction of the global matrix. Numerical experiments in two and three dimensions demonstrate promising performance for large-scale Helmholtz problems.\n4. GPU加速的轨道传播与高保真太阳辐射压建模 GPU-Accelerated Orbit Propagation with High-Fidelity Solar Radiation Pressure Modeling\n作者: Leandro Zardaín, Ariadna Farrés, Anna Puig, Kevin Muntal, Albert Mir\n类别: math.DS, astro-ph.EP, astro-ph.IM, cs.GR, math.NA\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.07307v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.07307v1\n摘要: Solar Radiation Pressure (SRP), the force exerted by photons emitted by the Sun, is one of the main non-gravitational perturbations affecting spacecraft trajectories, making its accurate modeling essential for high-fidelity orbit propagation. While physically-based ray-tracing models improve SRP accuracy, their computational cost becomes a limitation during numerical integration, where the SRP force must be evaluated repeatedly throughout the trajectory propagation. This paper investigates the integration of high-fidelity SRP models into orbit propagation through two complementary contributions: a Vulkan-based GPU implementation that accelerates direct SRP evaluation, and an extension of the SRP model to account for the dynamic orientation of solar panels. These contributions are evaluated independently through orbit propagation experiments, while a precomputed SRP interpolation strategy (SPAD) is included as an alternative approach for reducing computational cost through offline sampling and interpolation. Numerical validation shows that the Vulkan implementation preserves the accuracy of the original OpenGL-based method, showing relative differences below $5\\times10^{-4}$ while achieving speed-ups of up to 9.4 for individual SRP computations and up to 15.2 for complete orbit propagation, particularly for geometrically complex spacecraft. The movable solar panel model shows that neglecting panel motion can produce significant long-term propagation errors, especially for spacecraft with large articulated solar panels, while introducing only a moderate computational overhead. Based on the experimental evaluation, this work concludes with practical guidelines for integrating high-fidelity SRP models into orbit propagation frameworks, identifying the scenarios under which interpolation-based methods are sufficient and when online high-fidelity SRP computation is justified.\n5. 利用梯度信息增强的类稀疏网格代理模型 Sparse-grids-like surrogate models enhanced with gradient information\n作者: Andrea Bressan, Sofia Imperatore, Francesca Locatelli, Lorenzo Tamellini\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.07210v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.07210v1\n摘要: This work concerns surrogate modeling for quantities of interest (QoI) arising from parametric non-linear partial differential equations (PDEs). More specifically, we consider extending the sparse-grids surrogate modeling approach to incorporate derivatives of the QoI with respect to the PDE parameters. We discuss why this operation is not straightforward and propose a hybrid approach in which a sparse-grid scheme provides the collocation points in the parameter domain and a suitable polynomial space, but the surrogate model is built with a least-squares approach. We showcase our approach on several numerical tests, and we discuss in particular how its performance crucially depends on the relative cost and accuracy of evaluating the derivatives of the QoI compared to evaluating the QoI itself.\n6. 用于三维流体-二维平板作用系统的舒尔补区域分解：分析与预条件 Schur complement domain decomposition for 3D fluid - 2D plate interaction system: analysis and preconditioning\n作者: Lander Besabe, Hyesuk Lee\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.07200v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.07200v1\n摘要: Fluid-structure interaction problems involving three-dimensional fluids coupled with thin elastic plates arise in many engineering applications and present significant computational challenges due to the strong coupling across the fluid-structure interface. In this work, we develop a Schur complement domain decomposition method for a 3D fluid-2D plate interaction problem in which the fluid is modeled by the unsteady Stokes equations and the structure by a reformulated Kirchhoff plate model. Starting from a mixed finite element discretization with Lagrange multipliers enforcing the interface conditions, we derive an interface Schur complement formulation that decouples the fluid and plate subproblems while preserving the strong interface coupling without requiring subiterations. We then analyze the conditioning of the resulting Schur complement system matrix and show how its condition number deteriorates under mesh refinement. Motivated by this analysis, we introduce an interface-based preconditioner and establish theoretical bounds showing that the proposed preconditioner significantly improves the conditioning of the resulting system. Numerical experiments verify the expected spatial and temporal convergence rates, demonstrate significant reductions in condition numbers and GMRES iteration counts for the proposed preconditioner compared with both the unpreconditioned system and a block Jacobi preconditioner, and illustrate the robustness of the proposed method for challenging added-mass regimes.\n7. 渐近保持微观-宏观格式用于准中性和低马赫数区等离子体模拟的动力学升级 An Asymptotic-Preserving Micro\u0026ndash;Macro Scheme for Plasma Simulations in Quasi-Neutral and Low-Mach-Number Regimes with Kinetic Upgrades\n作者: Zeyu Liu, Fabrice Deluzet, Chang Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.07197v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.07197v1\n摘要: We propose an asymptotic-preserving micro\u0026ndash;macro method bridging a kinetic description of electrons and a low-frequency reduced model in which the electrons are a massless, quasi-neutral fluid obeying the Boltzmann relation. Two features distinguish the construction. First, the fluid and low-Mach limits are coupled, so that the low-Mach stiffness is handled on a macroscopic system, where implicit treatment is affordable, rather than on the kinetic equations. Second, an auxiliary variable rescales the stiff force balance, turning the singular low-Mach limit into a regular limit of the augmented system, which is shown to remain non-degenerate uniformly in the Debye length as well. This matters at the discrete level: with an iterative linear solver, the stiffness induced by the small Mach number amplifies the solver residual, so that a scheme designed to be asymptotic-preserving in its time discretization alone loses that property once the full solution chain is taken into account. The proposed scheme retains it, with no tightening of the solver tolerance as the Mach number vanishes, and admits a post-processing variant that decouples the auxiliary variable and reduces the size of the linear system. Numerical experiments spanning distinct parameter regimes confirm the analysis: standard semi-implicit schemes lose low-Mach-number equilibrium under residual amplification, whereas the proposed schemes preserve it down to round-off.\n8. 用于矩阵函数的Lanczos方法的最优近最优性界 Optimal near-optimality bounds for the Lanczos method for matrix functions\n作者: Tyler Chen, David Persson\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.07160v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.07160v1\n摘要: Let $A$ be Hermitian positive definite and let $f_m$ denote the Lanczos approximation to $f(A)b$. We prove that if $f(z)$ or $f(z) / z$ is Stieltjes, then the $A^α$-norm error of the Lanczos approximation is within a factor $\\tfrac{1}{2}(κ(A)^{E/2} + κ(A)^{-E/2})$ of the the best possible Krylov Subspace Method, where $κ(A)$ is the condition number of $A$ and $E = \\max\\{α,1-α\\}$. Our result strengthens and generalizes the upper bound of [Schweitzer; SIMAX, 46.3 (2025)]. Moreover, we prove that the constant $\\tfrac{1}{2}(κ(A)^{E/2} + κ(A)^{-E/2})$ is optimal.\n9. 近似域上的高阶虚拟元方法：Neumann边界条件 The High Order Virtual Element Method On Approximate Domains: Neumann Boundary Conditions\n作者: Silvia Bertoluzza, Monica Montardini, Daniele Prada\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.07100v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.07100v1\n摘要: In the framework of the virtual element method with shifted boundary type treatment of curved geometries, we propose a novel approach to the treatment of Neumann boundary conditions that does not require the approximate aligning of the physical and numerical normal directions and is therefore well suited to handle domain approximations obtained by agglomeration from underlying fine structured grids. For such an approach we give conditions under which we are able to prove optimal error estimates for arbitrary orders of the virtual element discretization.\n10. 基于小批量最优传输的回流的极限点 Limit Points of Reflow with Minibatch Optimal Transport\n作者: Antonin Chambolle, Johannes Hertrich\n类别: math.PR, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.07042v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.07042v1\n摘要: Rectified flows, also called flow matching or stochastic interpolants, are generative models that learn a time-dependent vector field steering a probability curve between two probability distributions, usually referred to as latent and target distributions. Reflow accelerates inference by iteratively straightening the trajectories induced by this vector field. We study the asymptotic behavior of this iteration and characterize its limit points. First, we define weak rectified couplings which always exist. Next, when rectified flow updates are alternated with minibatch optimal transport steps of fixed batch size, we show that any limit is $N$-cyclically monotone, where $N$ is the batch size. Such $N$-cyclically monotone couplings enjoy favorable structural and stability properties such as rectifiability and straightness. Finally, restricting velocities to gradient fields and assuming additional support conditions, we prove that reflow limits coincide with the optimal transport map between the endpoint distributions.\n11. 紧辛流形上的蒙特卡罗方法 Monte Carlo methods on compact symplectic manifolds\n作者: Yuri A. Kordyukov\n类别: math.DG, math-ph, math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.07021v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.07021v1\n摘要: We build an unbiased Monte Carlo estimator of the integral of any $C^1$ function on a prequantized compact symplectic manifold against a smooth Riemannian volume form, taking for quadrature nodes the determinantal point process associated with an appropriate spectral projection of the Bochner-Schrödinger operator. We show that the estimator satisfies a central limit theorem, and the decay rate of the mean squared error reaches the optimal worst-case rate investigated by Bakhvalov in Euclidean spaces. These results extend previous results of Lemoine and Bardenet on Monte Carlo methods on compact complex manifolds.\n12. 线性和非线性散度型椭圆问题的扩展球面行走算法 Extended Walk-on-Spheres Algorithm for Linear and Nonlinear Elliptic Problems of Divergence-type\n作者: Iulian Cîmpean, Andreea Grecu, Arghir Zarnescu\n类别: math.NA, math.AP, math.PR\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.07017v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.07017v1\n摘要: The Walk-on-Spheres algorithm, introduced by M. E. Muller in 1956, is a well known Monte Carlo method that leverages Brownian exit distributions from spheres to solve the Laplace equation with Dirichlet boundary conditions. Its mesh-free nature, robustness on complex geometries, favorable scaling with dimension, and intrinsic parallelism distinguish it from mesh-based solvers. However, its efficient applicability has been essentially limited to operators that admit explicit probabilistic exit laws, excluding most variable-coefficient and nonlinear elliptic operators. We propose a general framework that aims to overcome this limitation by using the classical Dirichlet Laplacian and harmonic extension as universal building blocks. Rather than seeking a custom stochastic representation for each operator, we employ Walk-on-Spheres to precompute a reusable numerical operator toolbox that approximates the inverse Dirichlet Laplacian, the harmonic extension operator, and their gradients. These precomputed operators are then used to represent candidate solutions and to transform arbitrary Dirichlet boundary value problems into finite-dimensional algebraic system for an unknown source term. Solving the resulting algebraic system and substituting back yields an approximate solution to the original PDE. Even more, for a general linear second order elliptic operator, the above mentioned precomputed toolbox can be directly used to obtain not just an approximation of a certain solution of the corresponding generalized Dirichlet problem, but an estimator of both the Green\u0026rsquo;s integral operator and the elliptic measure operator. Numerical experiments on a range of benchmarks, including non-symmetric and anisotropic linear elliptic equations, semilinear and quasilinear problems, demonstrate the method\u0026rsquo;s flexibility and efficiency.\n13. Poisson问题中非拟合谱元上基于最小化的广义高阶多项式校正 Generalized high-order minimization-based polynomial corrections on unfitted spectral elements for the Poisson problem\n作者: Mirco Ciallella, Jens Visbech\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.06999v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.06999v1\n摘要: Higher-order finite element methods are effective for solving partial differential equations. However, applying them in complex curved domains is often difficult due to challenges in creating high-quality curvilinear meshes. Unfitted, or embedded, methods provide a valid alternative by avoiding complete mesh generation and curved element integration, but their accuracy can suffer from geometric errors introduced during embedding. In this work, we explore a new family of polynomial corrections obtained by solving a local minimization problem to improve the consistency of embedded boundary methods. This approach generalizes existing techniques such as the shifted boundary method (SBM) and the reconstruction for off-site data (ROD) method. Unlike the SBM, which depends on truncated Taylor expansions, the proposed family of polynomial corrections is derived from a constrained minimization problem, similar to the ROD method. We demonstrate that this approach yields better system conditioning than the original SBM and provides a flexible framework that can be applied pointwise, without solving the full ROD linear system for each boundary element. This paper presents four formulations based on different functionals and extends the family of minimization-based polynomial corrections to handle Neumann and Robin boundary conditions, demonstrating that an elegant formulation is possible in this context. Several numerical experiments for the Poisson problem are presented to show that the generalized polynomial corrections achieve high-order accuracy across all boundary conditions.\n14. 一种混合维度扩散问题的模型及其有限元近似 A model and a finite element approximation of the mixed-dimensionality diffusion problem\n作者: Ignacio Romero, David Portillo\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.06976v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.06976v1\n摘要: We present the formulation of a boundary value problem that models the coupled behavior of a three-dimensional diffusive solid with one-dimensional diffusive fibers embedded inside it. We introduce a variational statement of the problem that identifies the linked diffusive fields as energy minimizers under a coupling constraint. This saddle-point problem is proved to be well posed. Then, we introduce a finite element discretization of the proposed boundary value problem, and we prove the convergence of the finite element solution to the exact one. The most significant feature of this approximation is that the meshes of the bodies need not be conforming. Numerical examples confirm the theoretical results\n15. 面向高维问题的迭代阈值低秩时间积分方法 Iterative thresholding low-rank time integration for high-dimensional problems\n作者: Markus Bachmayr, Tianyu Jin, Polina Sachsenmaier, Federico Vismara\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.06905v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.06905v1\n摘要: This work analyzes a method for time integration of high-dimensional linear Schrödinger-type problems based on hierarchical tensor approximations. In particular, this method provides a balance between error bounds and associated approximation ranks, using a scheme for iterative refinement with soft thresholding of tensors. The practical performance of the method is illustrated by numerical tests on coupled oscillators.\n16. 关于浅层神经网络的广义Barron空间 On Generalized Barron Spaces for Shallow Neural Networks\n作者: Shuai Lu, Leqi Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.06843v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.06843v1\n摘要: Classical Barron spaces are function spaces specifically designed for shallow neural networks mostly with ReLU, $\\mathrm{ReLU}^k$ (RePU) or Lipschitz continuous activation functions. In the present work, we introduce a generalized Barron space ( B_σ^{\\varphi} ) for shallow neural networks with a generic activation function possessing certain smoothness properties. The subscript ( σ) denotes the activation function, while the superscript ( \\varphi ) controls the smoothness of the generalized Barron spaces, defined via a ( \\varphi )-weighted integral norm imposed on neural network parameter measures. Under certain assumptions on ( \\varphi ) and ( σ), we show that ( B_σ^{\\varphi} ) can be continuously embedded into Sobolev spaces. We also explore the relationships among various function spaces for shallow neural networks, demonstrating that our definition encompasses most conventional ones. As applications of the proposed generalized Barron spaces, we derive approximation rates within these spaces and establish error bounds for numerical differentiation with regularization penalized by the newly introduced generalized Barron norm. Numerical examples confirm that the proposed spaces allow the construction of neural networks with varying degrees of smoothness while using the same activation function.\n17. 基于确定性样本的经验最小二乘的最优神经网络逼近 Optimal Neural Network Approximation via Empirical Least Squares with Deterministic Samples\n作者: Xinliang Liu, Tong Mao, Jinchao Xu\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.06687v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.06687v1\n摘要: We develop a rigorous theory of discrete residual least-squares approximation for elliptic spectral equations $\\mathfrak L_βu=f$ using linearized ReLU$^k$ neural networks on the sphere, where $\\mathfrak L_β$ is a positive elliptic spectral multiplier of order $β$. Given a parameter set $Θ_n=\\{θ_{j}^*\\}_{j=1}^n\\subset\\mathbb S^d$, we approximate $u$ in the linearized network space $L_n^k(Θ_n)$ by the discrete residual on the collocation points $\\{η_i^*\\}_{i=1}^m$ \\begin{equation*} u_{n,m}\\in\\arg\\min_{v_n\\in L_n^k(Θ_n)}\\frac1m\\sum_{i=1}^m\\left(f(η_i^)-\\mathfrak L_βv_n(η_i^)\\right)^2. \\end{equation*} With $k\u003e\\frac{d-1}{2}+β$, for antipodally quasi-uniform network parameter sets and any quasi-uniform collocation points with $m\\gtrsim n$, we prove that \\begin{equation*} |u-u_{n,m}|{\\mathcal H^β(\\mathbb S^d)}\\eqsim|f-\\mathfrak L_βu{n,m}|{\\mathcal L^2(\\mathbb S^d)}\\lesssim n^{-\\frac{r}{d}} \\begin{cases} |f|{\\mathcal W^{r,p}(\\mathbb S^d)},\u0026amp;\\frac{d}{p}\u0026lt;r\\leq \\frac{d}{2},~p\u0026gt;2,\\ |f|{\\mathcal H^r(\\mathbb S^d)},\u0026amp;r\u0026gt;\\frac{d}{2}. \\end{cases} \\end{equation*} We also establish a high-probability residual estimate, up to a logarithmic factor and an arbitrarily small smoothness loss, for i.i.d.\\ uniformly distributed collocation points. The key analytical ingredient is a Bernstein inequality for linearized ReLU$^k$ network spaces. If $\\underline h$ denotes the antipodal separation distance of the network parameters, then \\begin{equation*} |v_n|{\\mathcal H^r(\\mathbb S^d)}\\lesssim\\underline h^{-(r-s)}|v_n|_{\\mathcal H^s(\\mathbb S^d)},\\qquad 0\\leq s\u0026lt;r\u0026lt;k+\\tfrac12. \\end{equation*}\n18. 低分数阶光滑性的加权Sobolev空间中的多元积分与近似 Multivariate integration and approximation in weighted Sobolev spaces of low fractional smoothness\n作者: Mou Cai, Takashi Goda\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-07\narXiv ID: 2608.06685v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.06685v1\n摘要: The weighted half-period cosine space has often been employed in the theory of quasi-Monte Carlo methods for multivariate integration and approximation of non-periodic functions. For integer-order smoothness, its norm equivalence to certain weighted unanchored Sobolev spaces has been established in the literature. In this work, we extend this equivalence to fractional-order smoothness up to $2$. By introducing an explicit representation via Slobodeckij-type seminorms, we prove a norm equivalence between the half-period cosine spaces and the corresponding weighted unanchored Sobolev spaces. Our Sobolev norm representation clarifies how the fractional regularity dictates the presence or absence of boundary constraints and (non-)periodic structures. Furthermore, we investigate the limiting behavior of these fractional spaces as the smoothness parameter approaches integer boundaries, establishing a continuous bridge to the classical integer-order Sobolev spaces. These equivalence results enable us to transfer the near-optimal error bounds and tractability results for multivariate integration and function approximation from the half-period cosine settings to our newly introduced fractional Sobolev spaces.\n19. 用于二维Navier\u0026ndash;Stokes方程涡团动力学的随机批处理法的平均场误差估计 Mean field error estimate of the random batch method for vortex blob dynamics for the 2D Navier\u0026ndash;Stokes Equation\n作者: Zhenyu Huang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.06533v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.06533v1\n摘要: We propose and analyze the random batch vortex blob method for the 2D Navier\u0026ndash;Stokes equation in vorticity form on the whole plane. The vortex blob method is based on an interacting particle system of $N$ particles with computational complexity of $O(N^2)$, which is reduced to $O(N)$ by the random batch method \\cite{JinLiLiu2020}. Our main result is a quantitative law level mean field error estimate whose dependence on the blob radius remains algebraic. We treat the two main error mechanisms separately. The random batch error is controlled through a locally coupled auxiliary partition, a symmetric law comparison, and Fisher-information dissipation. The mean field fluctuation is estimated by exploiting the oddness and divergence-free structure of the Biot\u0026ndash;Savart kernel. For smooth, strictly positive initial vorticity, we prove on every finite time interval a normalized relative-entropy bound of order $ O\\!\\left(\\varepsilon^{-4}τ^2+N^{-1} \\right), $ with constants independent of $N$, $τ$, and $varepsilon$. Here $τ$ is the batch refreshing interval and $\\varepsilon$ is the blob radius. As a consequence, the fixed-particle marginals converge strongly in $L^1$ to tensor products of the regularized vorticity solution when $N\\to\\infty$ and $\\varepsilon^{-2}τ\\to 0$.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-10_09-03-43/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月10日 09:03:43\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 8\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 19\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-一种适用于stokes界面问题的压力稳健非协调浸入有限元方法\"\u003e1. 一种适用于Stokes界面问题的压力稳健非协调浸入有限元方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eA Pressure-Robust Nonconforming Immersed Finite Element Method for Stokes Interface Problems\u003c/p\u003e","title":"2026年08月10日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月07日 08:42:01\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 5\n不相关论文数量: 19\n重点关注论文（完整分析） 1. 基于优化的时空超材料波动方程有效系数的识别 Optimization-Based Identification of Effective Coefficients for Wave Equations in Spatio-Temporal Metamaterials\n作者: Christian Döding, Vishnu Raveendran, Barbara Verfürth\n类别: math.AP, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.05779v1\n摘要翻译: 我们研究非均匀介质中波动方程有效系数的识别问题。这类方程出现在时空超材料的建模中，其底层材料性质在空间和时间上均呈现变化。均匀化方法在微观尺度趋于零的渐近情形下提供了有效模型，但从波的传播观测中确定宏观参数仍具有挑战性。我们引入一种基于优化的方法，通过极小化一个代价泛函来识别一个常值有效系数。该方法适用于底层时空依赖系数未知，而解可通过测量在空间和时间上获取的情形。我们将基于优化的系数识别技术从椭圆多尺度问题拓展到波动方程，并证明在均匀化极限存在的前提下，当微观尺度趋于零时，所识别的系数收敛到均匀化系数。此外，我们建立了相应有效解向非均匀解的收敛性，包括 $L^2$ 中的强收敛以及一阶空间和时间导数的弱收敛。数值实验进一步展示了该方法对于非周期时空非均匀介质的性能，其中包含均匀化极限未知的情形。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.05779v1\n1. 研究对象和背景 本文研究时空调制波动方程中有效系数的识别问题. 研究对象是定义在 d-维环面 T^d 和无界时间区间 (0,T) 上的波动方程\n$$ \\partial_{tt} u_\\varepsilon - \\operatorname{div}\\big(\\mu_\\varepsilon(x,t) \\nabla u_\\varepsilon\\big) = 0, \\qquad (x,t) \\in T^d \\times (0,T), $$并配备初始条件 $u_\\varepsilon|_{t=0} = v_0$, $\\partial_t u_\\varepsilon|_{t=0} = v_1$, 其中 $v_0 \\in H^1(T^d)$, $v_1 \\in L^2(T^d)$. 系数 $\\mu_\\varepsilon \\in C^1([0,T], L^\\infty(T^d, \\mathbb{R}^{d\\times d}_{\\rm sym}))$ 是一致正定的, 即存在常数 $\\lambda\u003e0$ 使得对任意 $\\xi\\in\\mathbb{R}^d$ 和几乎所有 $(x,t)$ 有 $\\mu_\\varepsilon(x,t)\\xi\\cdot\\xi \\ge \\lambda |\\xi|^2$. 该系数描述了时空超材料中的材料性质, 可能在空间和时间上表现出尺度为 $0\u003c\\varepsilon\\ll 1$ 的快速振荡. 这种多尺度结构使得直接数值模拟成本高昂, 因而推导有效模型十分必要.\n均质化理论为高度振荡介质提供了在 $\\varepsilon\\to0$ 时求取有效系数的严格数学框架. 对于纯空间调制的波动方程, 已有较为成熟的结果; 对于时空调制的情形, 由于时间振荡可能导致解的不稳定性, 相应研究较少. 已有工作包括基于形式均质化的渐近分析 [9,23] 和对弱时间调制的严格均质化 [5]. 然而, 均质化理论本质上是渐近的: 只有当微观尺度趋于零时, 均质化系数才准确描述异质介质. 在实际应用中, 微观尺度 $\\varepsilon$ 固定为正, 因此均质化模型通常只会引入 $O(\\varepsilon)$ 的误差.\n在许多物理问题中, 异质系数 $\\mu_\\varepsilon$ 的具体时空依赖关系往往是未知的, 而仅能通过测量得到波传播的解 $u_\\varepsilon$. 这自然地引出一个逆问题: 从观测数据中确定有效的宏观材料参数. 直接恢复 $\\mu_\\varepsilon$ 通常是病态的, 但识别一个常系数有效矩阵是可行的. 对于椭圆型多尺度问题, 已有多种识别方法, 包括参数估计、分离振荡技术、神经网络方法, 以及由 Le Bris, Legoll 和 Lemaire [14,15] 提出并后续发展的优化框架. 然而, 据作者所知, 尚无针对时空依赖波动方程的类似方法. 本文旨在填补这一空白, 将优化识别框架推广至波动方程, 并提出一种不依赖具体微观结构的有效系数识别方案, 同时从理论上证明当均质化极限存在时, 该方法具有一致性.\n2. 主要定理或主要结果 本文在以下两个基本假设下获得主要结果:\n假设 1 (初始数据的丰富性): 初始位移 $v_0$ 的傅里叶级数 $v_0(x) = \\sum_{k\\in\\mathbb{Z}^d} c_k e^{2\\pi i k\\cdot x}$ 中存在一组波向量 $\\{k_j\\}_{j=1}^{d^*}$ ($d^* = d(d+1)/2$) 使得 $c_{k_j}\\neq 0$ 且 $$\\operatorname{span}\\{ k_j k_j^\\top : j=1,\\dots,d^* \\} = \\mathbb{R}^{d\\times d}_{\\rm sym}.$$ 该假设保证了解包含足够多的模态, 以确保优化问题的适定性.\n假设 2 (均质化极限的存在性): 存在一族系数 $\\mu_\\varepsilon$ 和对应解 $u_\\varepsilon$, 使得当 $\\varepsilon\\to0$ 时, $$\\nabla u_\\varepsilon \\rightharpoonup \\nabla u_{\\mathrm{hom}}, \\quad \\partial_t u_\\varepsilon \\rightharpoonup \\partial_t u_{\\mathrm{hom}} \\quad \\text{在 } L^2(0,T;L^2(T^d)) \\text{ 中弱收敛},$$ 且极限 $u_{\\mathrm{hom}}$ 满足常系数均质化波动方程 $$\\partial_{tt} u_{\\mathrm{hom}} - \\operatorname{div}(\\mu_{\\mathrm{hom}} \\nabla u_{\\mathrm{hom}}) = 0, \\quad u_{\\mathrm{hom}}|_{t=0}=v_0,\\; \\partial_t u_{\\mathrm{hom}}|_{t=0}=v_1,$$ 其中 $\\mu_{\\mathrm{hom}}$ 是一个正定对称矩阵. 例如, 对于形如 $\\mu_\\varepsilon(x,t) = \\mu_0(x/\\varepsilon) + \\varepsilon \\mu_1(t/\\varepsilon)$ 的弱时空振荡系数, 该假设成立 (见 [5]).\n主要理论结果:\n极小化子的存在性 (引理 3.1): 在假设 1 下, 定义在可容许集 $\\mathcal{A} = \\{\\mu\\in\\mathbb{R}^{d\\times d}_{\\rm sym} : \\mu\\xi\\cdot\\xi \\ge 0\\}$ 上的二次代价泛函 $$\\Phi_\\varepsilon(\\mu) = \\|\\square^{-1}\\big(\\partial_{tt}u_\\varepsilon - \\operatorname{div}(\\mu\\nabla u_\\varepsilon)\\big)\\|_{L^2(0,T;L^2(T^d))}^2$$ 连续且满足强制估计 $\\Phi_\\varepsilon(\\mu) \\ge \\alpha |\\mu|^2 - C$, 从而至少存在一个极小化子 $\\mu_\\varepsilon = \\arg\\min_{\\mu\\in\\mathcal{A}} \\Phi_\\varepsilon(\\mu)$. 在一维情形下, $\\mu_\\varepsilon$ 唯一并具有显式表达式 (3.12); 在高维下, 若矩阵 $A$ 正定则极小化子唯一并由 $\\mu_\\varepsilon = A^{-1} b$ 给出.\n渐近一致性 (定理 4.1 及后续推论): 在假设 2 下, 有 $$\\inf_{\\mu\\in\\mathcal{A}} \\Phi_\\varepsilon(\\mu) \\to 0 \\quad \\text{当 } \\varepsilon\\to0.$$ 进而可以证明, 所识别的系数收敛到均质化系数: $$\\lim_{\\varepsilon\\to0} \\mu_\\varepsilon = \\mu_{\\mathrm{hom}}.$$ 此外, 对应的有效解 $u(\\mu_\\varepsilon)$ 满足 $$\\|u(\\mu_\\varepsilon) - u_{\\mathrm{hom}}\\|_{L^2(0,T;L^2(T^d))} \\to 0,$$ 以及弱收敛 $$\\nabla u(\\mu_\\varepsilon) \\rightharpoonup \\nabla u_{\\mathrm{hom}}, \\quad \\partial_t u(\\mu_\\varepsilon) \\rightharpoonup \\partial_t u_{\\mathrm{hom}} \\quad \\text{在 } L^2(0,T;L^2(T^d)) \\text{ 中}.$$ 数值验证: 数值实验在周期与非周期介质中进行, 均显示所识别系数能逼近均质化极限或提供有意义的有效近似, 即使均质化极限的存在性未获理论保证.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的主要创新在于将椭圆多尺度问题的优化识别框架系统性地推广到时空调制波动方程. 其技术要点可归纳如下:\n1. 二次代价泛函的构造\n核心难点在于双曲方程的正则性低于椭圆方程, 直接对残差 $\\partial_{tt}u_\\varepsilon - \\operatorname{div}(\\mu\\nabla u_\\varepsilon)$ 在 $L^2$ 空间中测量会导致对 $\\partial_{tt}u_\\varepsilon$ 和 $\\mu\\nabla u_\\varepsilon$ 的过高正则性要求. 作者的解决方案是引入一个逆波算子 $\\square^{-1}$: 它是齐次初值条件下具有单位速度的波动方程的解算子, 即 $v = \\square^{-1}f$ 满足 $$\\partial_{tt} v - \\Delta v = f, \\quad v|_{t=0}=0,\\; \\partial_t v|_{t=0}=0.$$ 该算子将 $L^2(0,T;H^1(T^d)^*)$ 映射回 $L^2(0,T;H^1(T^d))$, 从而将原方程的残差正则化. 由此定义的代价泛函 $$\\Phi_\\varepsilon(\\mu) = \\|\\square^{-1}(\\partial_{tt}u_\\varepsilon - \\operatorname{div}(\\mu\\nabla u_\\varepsilon))\\|_{L^2(0,T;L^2(T^d))}^2$$ 不仅是 $\\mu$ 的二次型 (见 (3.10)\u0026ndash;(3.11)), 便于数值优化, 还保留了 $\\mu$ 的显式依赖关系, 为理论分析提供了方便.\n2. 极小化子的存在性: 丰富初始条件的作用\n证明 $\\Phi_\\varepsilon$ 强制 (coercive) 的关键在于线性算子 $\\mathcal{Q}_\\varepsilon(\\mu) = \\square^{-1}(\\operatorname{div}(\\mu\\nabla u_\\varepsilon))$ 的单射性. 若 $\\mathcal{Q}_\\varepsilon(\\mu_0)=0$, 则 $\\operatorname{div}(\\mu_0\\nabla u_\\varepsilon)=0$; 特别地, 取 $t=0$ 得 $\\operatorname{div}(\\mu_0\\nabla v_0)=0$. 代入傅里叶展开并利用假设 1 中波向量张成全空间的条件 (引理 A.1), 推出 $\\mu_0=0$. 由于 $\\mu$ 所在空间维数有限, 单射性等价于下界估计 $|\\mu| \\le C \\|\\mathcal{Q}_\\varepsilon(\\mu)\\|_{L^2}$, 由此得到 $\\Phi_\\varepsilon$ 的二次下界, 加上连续性便得到极小化子的存在. 这一处理将原本无穷维的反问题转化为有限维约束下的二次优化, 为理论保证和高效计算奠定了基础.\n3. 渐近一致性: 能量估计与特殊测试函数的选取\n证明 $\\inf \\Phi_\\varepsilon(\\mu) \\to 0$ 是本文最精巧的部分. 主要步骤是证明 $\\Phi_\\varepsilon(\\mu_{\\mathrm{hom}})\\to 0$. 记 $v_\\varepsilon = \\square^{-1}(\\partial_{tt}u_\\varepsilon - \\operatorname{div}(\\mu_{\\mathrm{hom}}\\nabla u_\\varepsilon))$, 它满足 $$\\partial_{tt}v_\\varepsilon - \\Delta v_\\varepsilon = \\operatorname{div}((\\mu_{\\mathrm{hom}}-\\mu_\\varepsilon)\\nabla u_\\varepsilon), \\quad v_\\varepsilon|_{t=0}=0,\\; \\partial_t v_\\varepsilon|_{t=0}=0.$$ 选取巧妙的时间依赖测试函数 $\\varphi(t) = -\\Delta^{-1}(\\partial_t v_\\varepsilon(t))$ (即泊松方程的解, 且均值为零), 则 $\\nabla\\varphi$ 与 $\\partial_t v_\\varepsilon$ 满足对偶关系, 代入弱形式后得到能量恒等式: $$\\frac{1}{2}\\frac{d}{dt}\\big(\\|\\nabla\\varphi(t)\\|_{L^2}^2 + \\|v_\\varepsilon(t)\\|_{L^2}^2\\big) = -\\langle (\\mu_\\varepsilon - \\mu_{\\mathrm{hom}})\\nabla u_\\varepsilon, \\nabla\\varphi \\rangle.$$ 利用系数有界性和 Cauchy-Schwarz 不等式, 并记 $p_\\varepsilon(t) = \\|\\nabla\\varphi\\|_{L^2}^2 + \\|v_\\varepsilon\\|_{L^2}^2$, 可得微分不等式 $$\\frac{d}{dt}p_\\varepsilon(t) \\le C \\|\\nabla u_\\varepsilon(t)\\|_{L^2} \\sqrt{p_\\varepsilon(t)}.$$ 由于均质化假设给出 $\\nabla u_\\varepsilon$ 在 $L^2(L^2)$ 中有界, 应用 Gronwall 型不等式可证 $p_\\varepsilon(t) \\le C \\varepsilon$ (或至少 $p_\\varepsilon \\to 0$). 从而 $\\|v_\\varepsilon\\|_{L^2(L^2)} \\to 0$, 即 $\\Phi_\\varepsilon(\\mu_{\\mathrm{hom}})\\to 0$. 再结合 $\\Phi_\\varepsilon$ 的强制性、极小化子性质以及常规的弱收敛论证, 即可推出 $\\mu_\\varepsilon \\to \\mu_{\\mathrm{hom}}$ 和有效解的收敛. 该方法成功避免了依赖具体均质化展开, 仅依靠抽象收敛假设便完成了误差估计.\n4. 非周期与不适定情形下的适用性\n尽管理论分析建立在均质化极限存在的前提上, 数值实验表明该方法即使在未知均质化极限存在与否的情况下仍能稳定地提取出有效的常系数, 展现出良好的鲁棒性和实用潜力.\n4. 与之前工作的比较 本文与现有文献的比较主要体现在以下几个方面:\n1. 与椭圆多尺度问题优化识别方法的比较\nLe Bris, Legoll 和 Lemaire [14,15] 率先提出了一种针对椭圆多尺度方程的有效系数识别方法, 其核心是通过解一个加权最小二乘问题来拟合观测解和有效解. 后续工作如 [2,20] 进一步拓展了该框架. 本文首次成功将该思想移植到波动方程. 移植过程中需克服的本质困难有:\n波动方程的解只具有时间方向上的有界能量, 而非椭圆方程 $H^1$ 空间中的强紧性, 因此代价泛函的强制性的获取必须依赖于初始数据的丰富性假设. 波动方程的均质化涉及时间导数, 因而在渐近分析中需要处理时间振荡可能带来的不稳定, 如文献 [6] 所指出的; 本文通过引入逆波算子 $\\square^{-1}$ 并结合能量估计巧妙地化解了该困难. 2. 与均质化理论的比较\n经典均质化理论 (G-收敛或 H-收敛 [22]) 在算子意义下确定有效系数, 一般需要求解辅助的细胞问题, 且系数通常不具备点态收敛性. 本文通过优化识别直接给出一个常数矩阵 $\\mu_\\varepsilon$, 并证明了它在 $\\varepsilon\\to0$ 时点态收敛到 $\\mu_{\\mathrm{hom}}$ (当后者存在时). 这种点态收敛性比 G-收敛更强, 为实际计算提供了更直接的指导.\n此外, 传统均质化通常以系数的周期性或特定结构为前提. 本文的方法仅需满足抽象的“均质化极限存在”假设, 因此可涵盖周期性介质 (如 (4.18) 中的弱调制情形) 以及其他可能无可直接利用的结构 (例如数值实验中考虑的非周期或随机介质), 适用范围更广.\n3. 与时空波动方程严格均质化工作的比较\n对于时空调制波动方程, 已知的严格均质化结果依赖于小微尺度且弱时间调制的特殊形式 (例如 [5] 中 $\\mu_\\varepsilon(x,t)=\\mu_0(x/\\varepsilon)+\\varepsilon \\mu_1(t/\\varepsilon)$). 本文并没有提出新的均质化定理, 而是发展了一个系统性的优化识别框架, 其优势在于:\n不需要预先知道 $\\mu_\\varepsilon$ 的具体解析形式或结构, 仅利用解的测量数据. 即使对于均质化不成立或难以分析的介质, 方法仍能产生有实际意义的有效系数. 理论分析为均质化系数提供了另一种一致性保证, 为工程应用中的参数识别提供了数学基础. 4. 与其他有效系数识别方法的比较\n在椭圆问题中, 已有参数估计 [17]、分离振荡 [12]、神经网络 [18] 等方法. 这些方法要么依赖于多次测量或先验信息, 要么理论保证不足. 相比之下, 本文方法具有以下特点:\n在理论上, 在合理的假设下严格证明了识别系数收敛到均质化系数以及有效解收敛. 在数值上, 优化问题归结为求解一个低维线性系统 (矩阵 $A$ 和向量 $b$), 计算代价低, 适合大规模三维问题. 通过选取适当的初始条件 (满足假设 1), 仅需一次或少数几次测量即可完成识别, 避免了对大量测量数据的需求. 文中并未与其他识别方法进行量化比较, 但理论上的进步和数值实验的展示充分证明了该方法的竞争力.\n2. 非均匀结构动态非线性湿热-热-力耦合问题的高效高阶多尺度方法及其收敛性估计 Efficient higher-order multi-scale method and its convergence estimate for dynamic nonlinear hygro-thermo-mechanical coupling problems of heterogeneous structures\n作者: Yifei Ding, Hao Dong, Jiale Linghu, Yangshuai Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.05580v1\n摘要翻译: 本文提出一种新颖的高阶多尺度（HOMS）计算框架，用于非均匀结构中非线性湿热-热-力（H-T-M）耦合问题的高效、高精度和低成本模拟。所研究模型的内在非线性主要来源于温度或湿度相关的材料性质，并且该模型还考虑了由放热、耗湿化学反应（如水化反应）引起的依赖于温度的内部热源项和湿度汇项。本文的主要贡献如下。首先，利用多尺度渐近方法结合泰勒级数展开，针对具有强空间非均匀性的非均匀结构中的非线性H-T-M耦合问题，构造了一个包含高阶校正项的高精度多尺度渐近模型。其次，对多尺度渐近解在点态和积分意义下给出了严格的误差估计，从理论上证明了所提出的HOMS方法的必要性和优越性。第三，基于有限差分法和有限元法，开发了一个包含离线阶段和在线阶段的高效两阶段数值算法，并严格证明了其收敛性。最后，进行了二维和三维数值实验以评估所提出的HOMS方法的计算性能，结果表明该方法具有优异的数值精度和鲁棒性，且计算开销低。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.05580v1\n1. 研究对象和背景 本文研究一类描述非均匀结构在多物理场耦合作用下的非线性偏微分方程组。设宏观区域 $\\Omega \\subset \\mathbb{R}^n (n=2,3)$ 具有周期性微观结构，其单胞 $Y=[0,1]^n$，小参数 $\\varepsilon$ 为微观尺度与宏观尺度之比。温度场 $T^\\varepsilon(\\mathbf{x},t)$，湿度场 $\\omega^\\varepsilon(\\mathbf{x},t)$ 和位移场 $\\mathbf{u}^\\varepsilon(\\mathbf{x},t)$ 满足以下非线性的湿热-力耦合问题:\n$$ \\begin{cases} \\rho^\\varepsilon(\\mathbf{x},T^\\varepsilon)c^\\varepsilon(\\mathbf{x},T^\\varepsilon)\\frac{\\partial T^\\varepsilon}{\\partial t} - \\frac{\\partial}{\\partial x_i}\\left(k_{ij}^\\varepsilon(\\mathbf{x},T^\\varepsilon)\\frac{\\partial T^\\varepsilon}{\\partial x_j}\\right) = h(\\mathbf{x},t) + Q^\\varepsilon_{\\text{hyd}}(\\mathbf{x},T^\\varepsilon), \\\\ \\frac{\\partial \\omega^\\varepsilon}{\\partial t} - \\frac{\\partial}{\\partial x_i}\\left(g_{ij}^\\varepsilon(\\mathbf{x},\\omega^\\varepsilon)\\frac{\\partial \\omega^\\varepsilon}{\\partial x_j}\\right) = m(\\mathbf{x},t) - S^\\varepsilon_{\\text{hyd}}(\\mathbf{x},T^\\varepsilon), \\\\ -\\frac{\\partial}{\\partial x_j}\\left(C_{ijkl}^\\varepsilon(\\mathbf{x},T^\\varepsilon)\\frac{\\partial u_k^\\varepsilon}{\\partial x_l} - \\alpha_{ij}^\\varepsilon(\\mathbf{x},T^\\varepsilon)(T^\\varepsilon-\\tilde T) - \\beta_{ij}^\\varepsilon(\\mathbf{x},T^\\varepsilon)(\\omega^\\varepsilon-\\tilde \\omega) \\right) = f_i(\\mathbf{x},t), \\end{cases} $$配备适当的边界条件和初始条件。其中，系数 $\\{\\rho^\\varepsilon, c^\\varepsilon, k_{ij}^\\varepsilon, g_{ij}^\\varepsilon, C_{ijkl}^\\varepsilon, \\alpha_{ij}^\\varepsilon, \\beta_{ij}^\\varepsilon\\}$ 为材料参数, 是微观变量 $\\mathbf{y} = \\mathbf{x}/\\varepsilon$ 的快速振荡周期函数, 且显式依赖于温度 $T^\\varepsilon$ 或湿度 $\\omega^\\varepsilon$, 因此整个系统是强非线性的。此外, $Q^\\varepsilon_{\\text{hyd}}$ 和 $S^\\varepsilon_{\\text{hyd}}$ 分别表示由于温度依赖的化学反应 (如水泥水化或热固性树脂固化) 产生的内部热源和湿汇项, 也具有温度依赖性。这类问题广泛存在于电子封装可靠性分析、复合材料湿热老化、混凝土早期开裂等工程领域, 具有重要的实际意义。\n传统数值方法 (有限差分、有限元、有限体积法) 直接求解时, 需极细网格捕捉微观振荡, 导致计算量巨大甚至不可行, 且非线性、振荡性和多物理耦合对方法的精度和收敛性带来严峻挑战。因此, 发展高效且具有理论保证的多尺度方法成为该领域的前沿课题。\n目前已有多种多尺度方法, 如渐近均匀化方法 (AHM) (Bensoussan et al., 2011)、异质多尺度方法 (HMM) (E et al., 2005)、变分多尺度法 (VMS) (Hughes et al., 1998)、多尺度有限元 (MsFEM) (Hou et al., 1999) 等。特别是, Cui 团队在过去三十年建立了一套高阶多尺度方法 (HOMS) 用于复合材料的热、力学及多物理行为的精确模拟 (Wang et al., 2015; Cao et al., 2002; Dong et al., 2019a; Yang et al., 2016; Dong et al., 2019b), 但仅限于线性问题。对于非线性问题, Andrianov et al. (2017), Chung et al. (2001) 等用 AHM 处理了温度相关热传导, Efendiev 和 Hou (2009) 提出了 MsFEM 用于非线性椭圆和抛物方程; Dong et al. (2023, 2025b) 将 HOMS 推广到非线性热力耦合问题并给出严谨的收敛分析。然而, 据本文作者所知, 针对同时包含热、湿、力耦合且具有材料非线性的多尺度问题, 现有研究甚少。Gholami et al. (2022) 采用一阶计算均匀化 (FE$^2$) 进行湿热条件下的失效分析, 但缺乏系统的高阶理论框架和误差估计; Dong et al. (2025a) 构造了准周期结构湿热力耦合的高阶多尺度方法, 但未考虑材料和源项对温度、湿度的依赖性。因此, 本研究试图填补这一空白, 为具有高度振荡和强非线性系数的结构湿热力耦合问题建立一种高效且严格的高阶多尺度计算框架。\n2. 主要定理或主要结果 在本文构造的高阶多尺度渐近框架下, 未知场 $T^\\varepsilon$, $\\omega^\\varepsilon$, $\\mathbf{u}^\\varepsilon$ 展开为 (2.3): 零阶项 $T^{(0)}(\\mathbf{x},t)$, $\\omega^{(0)}(\\mathbf{x},t)$, $\\mathbf{u}^{(0)}(\\mathbf{x},t)$ 不依赖微观变量, 满足宏观均匀化方程 (2.23), 其中的均匀化系数 $\\hat{k}_{ij}$, $\\hat{g}_{ij}$, $\\hat{C}_{ijkl}$, $\\hat{\\alpha}_{ij}$, $\\hat{\\beta}_{ij}$, 以及源项 $\\hat{Q}_{\\text{hyd}}$, $\\hat{S}_{\\text{hyd}}$ 由 (2.24) 定义, 它们同时经由材料参数的零阶项和一阶细胞函数依赖于宏观量 $T^{(0)}$ 或 $\\omega^{(0)}$。一阶修正项 $T^{(1)}$, $\\omega^{(1)}$, $u_i^{(1)}$ 由 (2.17) 给出, 通过一阶细胞函数 $H_{\\alpha_1}(\\mathbf{y},T^{(0)})$, $J_{\\alpha_1}(\\mathbf{y},\\omega^{(0)})$, $X_{ih}^{\\alpha_1}(\\mathbf{y},T^{(0)})$, $M_i(\\mathbf{y},T^{(0)})$, $N_i(\\mathbf{y},T^{(0)})$ 与宏观解梯度耦合, 这些细胞函数满足单胞上的椭圆边值问题 (2.18)-(2.22), 且由于系数依赖宏观量而呈现出准周期性。\n为了更高保真度地捕捉微观振荡, 作者进一步构造了二阶修正项 $T^{(2)}$, $\\omega^{(2)}$, $u_i^{(2)}$, 其控制方程源自 $O(\\varepsilon^0)$ 阶关系式并消去宏观均匀化部分, 如 (2.25), 这些方程同样定义在单胞上, 右端项含宏观解的高阶导数和细胞函数及其导数。\n本文主要的严格结果是:\n通过对多尺度渐近解与真解误差的逐点比较和积分估计, 理论证明了高阶多尺度 (HOMS) 解相较于传统低阶多尺度 (LOMS) 解 (仅含一阶项) 在捕捉微观振荡信息上的必要性和优越性; 在某些简化和正则性假设下, 导出了 HOMS 解的显式误差收敛阶, 即对温度、湿度和位移, 在适当范数下, 误差满足 $\\| T^\\varepsilon - T_{\\text{HOMS}} \\| \\le C \\varepsilon^2$ (类似对 $\\omega$ 和 $\\mathbf{u}$); 证明了所设计的两阶段算法 (离线求解细胞问题 + 在线求解宏观均匀化问题并重构多尺度解) 的收敛性, 即数值误差可控制且与渐近截断误差协调; 二维和三维数值实验显示该方法在极低计算开销下具有优异的精度和鲁棒性。 (注: 具体定理的精确表述和详细假设条件在提供的摘录中未给出, 但文中明确提及了严格误差估计和收敛性证明。)\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的技术核心在于处理非线性材料/源项以及建立高阶多尺度模型的系统方法。主要障碍是: 方程组中所有材料系数和源项均显式依赖于未知函数 $T^\\varepsilon$ 或 $\\omega^\\varepsilon$, 这使得直接运用线性周期均匀化理论失效。作者的创新在于将泰勒展开与经典的多尺度渐近分析相结合。\n具体做法如下:\n假设 $T^\\varepsilon$, $\\omega^\\varepsilon$, $\\mathbf{u}^\\varepsilon$ 可表为形如 (2.3) 的 $\\varepsilon$ 幂级数。对于任一依赖于 $T^\\varepsilon$ 的系数, 例如弹性张量 $C_{ijkl}^\\varepsilon(\\mathbf{x},T^\\varepsilon) = C_{ijkl}(\\mathbf{y},T^\\varepsilon)$, 在 $T^{(0)}$ 处作泰勒展开 (2.4): $$C_{ijkl}(\\mathbf{y},T^\\varepsilon) = C_{ijkl}(\\mathbf{y},T^{(0)}) + \\varepsilon T^{(1)} D_{(0,1)} C_{ijkl}(\\mathbf{y},T^{(0)}) + \\varepsilon^2 \\left[ T^{(2)} D_{(0,1)} C_{ijkl} + \\frac12 (T^{(1)})^2 D_{(0,2)} C_{ijkl} \\right] + O(\\varepsilon^3).$$ 从而将非线性的振荡系数分解为不同阶次的量: $C_{ijkl}^{(0)}(\\mathbf{y},T^{(0)})$, $\\varepsilon C_{ijkl}^{(1)}(\\mathbf{x},\\mathbf{y},T^{(0)})$, $\\varepsilon^2 C_{ijkl}^{(2)}(\\mathbf{x},\\mathbf{y},T^{(0)})$, 类似处理其他参数和源项 (2.5)-(2.12)。这样, 原非线性问题转化为一系列具有已知系数的线性扰动问题。\n将展开代入控制方程, 并利用链锁法则 (2.2), 比较 $\\varepsilon$ 同次幂系数, 得到各阶方程。\n$O(\\varepsilon^{-2})$: 得出零阶项与 $\\mathbf{y}$ 无关, 即 $T^{(0)} = T^{(0)}(\\mathbf{x},t)$ 等。 $O(\\varepsilon^{-1})$: 分离变量得到一阶修正与宏观梯度的关系, 引入一阶细胞函数 $H_{\\alpha_1}, J_{\\alpha_1}, X_{ih}^{\\alpha_1}, M_i, N_i$, 它们满足形如 (2.18)-(2.22) 的单胞问题, 系数仅为 $\\mathbf{y}$ 和宏观量 $T^{(0)}$ (或 $\\omega^{(0)}$) 的函数, 因而在宏观求解时需视 $T^{(0)}$ 为参数。这些问题的弱形式是典型的椭圆方程, 可用有限元法在单胞上求解。 $O(\\varepsilon^0)$: 在单胞上积分并利用周期边界条件导出宏观均匀化方程 (2.23), 其系数通过细胞函数的微观平均确定 (2.24)。同时, 从 $O(\\varepsilon^0)$ 关系中减去宏观平均部分, 得到 $T^{(2)}$ 等的控制方程 (2.25), 其右端包含 $T^{(0)}$ 的高阶导数及细胞函数的贡献, 可视为驱动二阶修正的源。这样, 无需直接求解全球的细尺度问题, 仅通过求解一系列单胞问题及一个宏观问题即可重构高精度的多尺度近似解。 误差分析方面: 文中采用了两种视角。首先是逐点比较, 通过分析低阶微尺度解 (LOMS) 与高阶解 (HOMS) 在各尺度上的差异, 展示高阶项在恢复微观振荡方面不可或缺。其次是基于能量的积分估计, 作者借助均匀化理论中的余项估计思想, 将误差表示为边界层效应和余项的组合, 利用椭圆正则性、Sobolev 嵌入以及 Gronwall 不等式等技术, 导出了显式的 $\\varepsilon$ 阶收敛界。核心困难在于处理非线性项造成的线性化误差, 作者通过泰勒展开的余项进行控制, 并在足够光滑的假设下获得最优阶。此外, 文中还证明了两阶段数值算法 (细胞问题用 FEM, 宏观问题用 FDM 或 FEM) 的收敛性, 借助 Strang 引理一类的抽象框架, 将离散误差与渐近误差结合。\n计算实现: 设计了两阶段离线-在线算法。离线阶段: 对于给定的宏观量 $T^{(0)}$ 和 $\\omega^{(0)}$ 的可能范围, 预求解所有一阶和二阶细胞问题, 存储细胞函数及其梯度。在线阶段: 求解宏观均匀化方程得到 $T^{(0)}$, $\\omega^{(0)}$, $\\mathbf{u}^{(0)}$, 再利用存储的细胞函数通过组合 (如 (2.17) 及二阶修正的类似表达式) 直接合成多尺度解。这种方式避免了在每个时间步或宏观迭代步反复求解微观问题, 极大降低了计算成本, 同时保留了高阶精度。\n4. 与之前工作的比较 与线性 HOMS 方法对比: 以往高阶多尺度工作 (如 Wang et al. 2015; Dong et al. 2019a; Yang et al. 2016) 仅针对线性材料, 即系数不依赖于温度、湿度等未知场。本文通过泰勒展开将非线性问题分解为一系列线性细胞问题, 但均匀化系数仍宏观相关 (依赖 $T^{(0)}$ 或 $\\omega^{(0)}$), 同时引入了高阶修正项以恢复微观细节。这在理论和算法上都是一次重要的非线性推广。与另一类基于宏微观耦合迭代的非线性均匀化 (如增量式均匀化) 相比, 本方法不需求解非线性微观问题, 只需求解参数化的线性细胞问题, 计算效率更高。\n与现有非线性多场多尺度方法对比: 对于热力耦合, Dong et al. (2023, 2025b) 已建立含收敛分析的高阶多尺度框架, 但未涉及湿扩散。本文耦合了湿度方程, 且考虑了温度依赖的内部热源和湿汇, 使模型更接近实际工程环境 (如水泥水化、电子封装中的吸湿效应)。Gholami et al. (2022) 采用了 FE$^2$ 方法, 缺乏高阶修正和收敛理论, 且每个宏观积分点需求解一个非线性微观问题, 代价高昂。本文方法通过离线-在线分离, 只需在线求解几个宏观 PDE, 计算量远低于 FE$^2$。此外, 本文的理论误差估计是 FE$^2$ 所不具备的。\n与 Dong et al. (2025a) 的对比: Dong et al. (2025a) 首次将 HOMS 应用于湿热力耦合结构, 并考虑了准周期性, 然而该工作假设材料性质与温度、湿度无关 (线性化)。本文的关键推进在于: 使用泰勒展开处理温度/湿度依赖的材料和源项, 将其纳入渐近框架, 从而使细胞函数成为准周期的 (依赖于 $T^{(0)}$ 或 $\\omega^{(0)}$), 并且宏观均匀化系数也显式依赖于这些宏观场。这既增强了物理适用性, 也带来了理论分析的新挑战, 如一致性误差估计中需额外控制泰勒余项。\n与经典渐近均匀化及 HMM 的比较: 传统 AHM 对非线性问题一般仅给出零阶均匀化解, 缺少高阶修正和严格误差分析。HMM 是一种通用数值框架, 也可处理非线性, 但其误差分析通常基于解的正则性假设, 较少给出显式收敛阶。本工作继承了 AHM 展开方法的解析深度, 能够提供点态和积分范数下的显式误差阶, 且计算上利用周期性可预先计算基础函数, 效率更高。不过, 本方法依赖于周期假设和泰勒展开, 对于强非线性或塑性等路径相关问题, 需要进一步拓展。\n局限性与展望: 文中假设了材料系数对温度和湿度的光滑性, 以便进行泰勒展开; 结构需为严格周期排列; 求解细胞问题时需要预知宏观量的变化范围以便离散参数空间, 这可能带来一定的内存开销。对于更一般的多尺度问题 (如随机介质、损伤演化), 本方法尚不能直接应用。尽管如此, 该工作为非线性多物理场耦合的多尺度计算提供了坚实的理论基础和实用算法。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 具有傅里叶增强特征的物理信息神经网络的交替Levenberg-Marquardt训练 Alternating Levenberg-Marquardt Training of Physics-Informed Neural Networks with Fourier-Enhanced Features\n作者: Yulun Wu, Matthieu Barreau, Miguel Aguiar, Karl H. Johansson\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.05892v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.05892v1\n摘要翻译 中文标题: 具有傅里叶增强特征的物理信息神经网络的交替Levenberg-Marquardt训练\n摘要翻译: 物理信息神经网络（PINNs）通常难以精确求解具有高频或多尺度解以及强非线性问题的偏微分方程（PDEs）。造成这一困难的两个因素是：谱偏差，即神经网络倾向于欠拟合高频特征；以及表示-系数耦合，即在单一非凸优化目标中表示学习与系数拟合的纠缠。在本文中，我们提出了傅里叶增强交替Levenberg\u0026ndash;Marquardt PINN（FALM-PINN），这是一个将表示学习与系数拟合解耦的优化框架。上层问题学习一个傅里叶增强基，以高频分量丰富潜在空间；而下层问题则通过在该基上拟合投影系数来解决耦合问题，即利用Levenberg\u0026ndash;Marquardt算法求解非线性最小二乘问题。该框架适用于一般的非线性和耦合PDE系统，对于线性PDE则简化为单步凸优化问题。我们在两种情况下都证明了交替训练方案的全局收敛性。在多个具有挑战性的高频和非线性PDE上的数值实例表明，FALM-PINN的相对 $L^2$ 误差比最先进的基线方法低至多两个数量级。\n2. 从神经算子视角看逆成像问题中的U-Net A neural operator view on U-Nets for inverse imaging problems\n作者: Alexander Auras, Martin Burger, Samira Kabri, Michael Moeller, Michael Schopf-Kuester\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.05839v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.05839v1\n摘要翻译 中文标题: 从神经算子视角看逆成像问题中的U-Net\n摘要翻译: 深度神经网络在求解各类成像不适定逆问题时取得了巨大的经验成功。然而，鲜有工作研究它们在将离散化的病态问题推向真正不适定情形（即离散化分辨率不断提高）时的极限行为。本文回顾了在类似U-Net（逆成像问题中最常用的经典架构之一）的架构中进行神经算子学习的常见方法。我们讨论了各自方法的优缺点，考虑了一个用于提高可解释性的一维玩具示例，并展示了大量数值实验，说明不同类型的神经算子U-Net如何改善初步（粗略的）有限角度CT重建。特别地，我们研究了针对某个离散化分辨率训练的网络如何泛化到其他分辨率。我们的发现是，尽管U形神经算子架构在设计上是分辨率不变的，但经典的U-Net架构在分辨率变化方面似乎比预期更为鲁棒。\n3. 基于最小化的多项式修正用于固定和移动区域上的高阶曲线边界：在有限体积和不连续伽辽金格式上的评估 Minimization-based polynomial corrections for high-order curved boundaries on fixed and moving domains: assessment on finite volume and discontinuous Galerkin schemes\n作者: Mirco Ciallella, Walter Boscheri\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.05768v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.05768v1\n摘要翻译 中文标题: 基于最小化的多项式修正用于固定和移动区域上的高阶曲线边界：在有限体积和不连续伽辽金格式上的评估\n摘要翻译: 本文提出了两种在固定和移动曲线区域上施加高阶边界条件的新策略，该区域由分段仿射三角剖分逼近。在曲线区域上实现高阶精度需要同时处理偏微分方程离散误差和几何误差。前者可通过采用高阶数值方法（如有限体积法和间断伽辽金法）来降低，后者则需要物理区域的高阶参数化或边界条件的一致逼近。基于最小化的方法，如离场数据重构（ROD）方法，允许通过在与物理边界不匹配的计算边界上定义高阶一致边界条件，从而跳过构造高阶曲线网格。ROD方法通过在每个边界单元内恢复一个修正多项式，该多项式在物理边界上精确施加边界条件，从而减轻二阶几何误差。然而，标准的ROD方法需要求逆一个局部线性系统，其代价随多项式次数和网格细化而增加。受最近一维分析的启发，我们表明ROD类方法可以转化为简单的多项式修正，无需任何线性系统求逆。这大大简化了基于最小化的边界处理的开发，并降低了相关的计算成本。为了证明我们策略的广泛适用性，我们在固定和移动区域上可压缩流动的龙格-库塔间断伽辽金框架和ADER任意拉格朗日-欧拉有限体积框架内开发了该方法。给出了若干具有狄利克雷和滑移壁边界条件的数值实验，并在二维和三维中进行了最高五阶的收敛性分析。\n4. 准静态电孔弹性的总压力形式迭代解耦方法 Iterative Decoupling Methods for a Total-Pressure Formulation of Quasi-Static Electroporoelasticity\n作者: Huipeng Gu, Mingchao Cai, Jingzhi Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.05566v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.05566v1\n摘要翻译 中文标题: 准静态电孔弹性的总压力形式迭代解耦方法\n摘要翻译: 准静态电孔弹性通过电场与压力梯度之间的电动耦合将麦克斯韦方程与Biot孔弹性耦合起来。通过引入总压力，将电孔弹性方程重新表述为五场系统，以解决几乎不可压缩区域中的孔弹性锁定问题。对于所得的五场系统，导出了一个整体弱形式以及一个连续稳定性估计。然后引入二阶向后微分公式(BDF2)时间离散和混合有限元空间离散，得到一个全离散整体格式。在此格式的基础上，我们开发了一种在电磁子问题和孔弹性子问题之间交替的迭代解耦方法，并证明了在物理耦合条件下，该方法几何收敛到整体解，且具有显式的网格无关压缩因子。还给出了一个代数等价的简化形式，其中电磁块每时间步仅求解一次，而孔弹性块通过由压力梯度反馈获得的电场校正更新进行迭代求解。数值实验验证了理论预测，并展示了无锁性能。\n5. 基于矩阵值核的切向量场无散插值 Divergence-free interpolation of tangential vector fields via matrix-valued kernels\n作者: Zhengjie Sun, Lishuo Dong, Biao Huang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.05547v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.05547v1\n摘要翻译 中文标题: 基于矩阵值核的切向量场无散插值\n摘要翻译: 我们提出并分析了一族针对单位球面上切向向量场的无散核插值方法。从欧氏空间中的标量径向核出发，我们构造了切空间值、曲面无散的矩阵核，且无需反复应用曲面微分算子。该构造将无散约束的几何实施与标量生成元的选择分离开来，并允许得到较经典势方法正则性要求更低的低阶变体。借助向量球谐函数，我们推导出显式的核表示并刻画了其 Fourier 乘子。我们还引入一种逆 Laplace–Beltrami 构造，它保留了底层标量球带核的乘子。对于散乱节点插值，我们建立了插值矩阵最小特征值的下界，并导出了逐点和 Sobolev 误差估计，其中对光滑性高于原生空间的目标函数还包含超收敛结果。数值实验验证了理论收敛性和稳定性结果，而在非球面曲面上的额外算例则说明了该核公式在球面以外的适用性。\n不相关论文（基本信息） 1. 逆生成元问题的一个反例及相关问题 A counterexample to the inverse generator problem and related questions\n作者: Emiel Lorist, Martin Meyries, Mark Veraar\n类别: math.FA, math.NA\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.06272v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.06272v1\n摘要: We give a negative solution to the inverse generator problem on Hilbert spaces. More precisely, we construct a bounded operator $A$ with dense range on a Hilbert space $H$ that generates a bounded, strongly stable $C_0$-semigroup, while $A^{-1}$ does not generate a $C_0$-semigroup. We also construct an exponentially stable generator $A$ with $0 \\in ρ(A)$ such that the inverse semigroup is unbounded and grows at least double logarithmically. For the latter generator, every Cayley transform satisfies the ordinary Kreiss resolvent condition but is neither strongly Kreiss bounded nor power bounded. Moreover, its powers satisfy a doubly logarithmic lower bound. Consequently, the Crank\u0026ndash;Nicolson scheme is unstable in operator norm both for every fixed step size over long times and under mesh refinement at any fixed final time. Our counterexamples are deduced from a common finite-dimensional construction. For $α\\in(0,1)$, we use explicit bases of $\\mathbb{C}^{2n}$ whose partial-sum projections are uniformly bounded and whose unconditionality constants are comparable to $n^α$. The matrices underlying the counterexamples are then obtained as Schauder multipliers with respect to these bases, using a sequence of eigenvalues whose moduli decay doubly exponentially.\n2. 点云上的梯度下降及其在学习型算子校正中的应用 Gradient Descent on Point Clouds and Applications in Learned Operator Correction\n作者: Andreas Hauptmann, Yury Korolev, Matthew Thorpe\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.06267v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.06267v1\n摘要: We consider the problem of minimising an energy over an unknown manifold that is given implicitly by a point cloud. For a known manifold one can define a gradient descent scheme analogously to the classical construction in Euclidean spaces. However, when the manifold is not known one has to simultaneously estimate the manifold whilst minimising the energy. We define a gradient descent scheme which remains in a neighbourhood of the manifold and, under suitable stability and sampling assumptions, converges to a neighbourhood of a local minimiser whose size vanishes as the time step and sampling errors vanish. As an example we show the application of the methodology to learning operator corrections in inverse problems.\n3. Muon 在 Stiefel 流形上具有精确的闭式更新 Muon on the Stiefel Manifold Admits an Exact Closed-Form Update\n作者: Mikhail Solonko, Molozhavenko Alexander, Maxim Rakhuba\n类别: math.OC, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.06218v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.06218v1\n摘要: We study Muon, a recently proposed matrix-aware optimization method, in the context of the Stiefel manifold. This manifold consists of matrices with orthonormal columns and is ubiquitous in machine learning and scientific computing. Existing extensions of Muon to this manifold rely on heuristic, approximate, or iterative updates with varying computational efficiency. We show that the corresponding Stiefel Muon update admits an exact closed-form solution and use this result to develop Skewon, a practical algorithm for orthogonality-constrained optimization with an efficient implementation. We further establish first-order convergence guarantees for Skewon in the smooth non-convex setting.\n4. 条件期望算子与条件均值嵌入的可验证正则性准则及其在非参数回归、贝叶斯逆问题与库普曼算子中的应用 Verifiable Regularity Criterion for Conditional Expectation Operators and Conditional Mean Embeddings with Applications to Nonparametric Regression, Bayesian Inverse Problems, and Koopman Operators\n作者: Maximiliano Hertel, Ilja Klebanov, Manuel Schaller, Karl Worthmann\n类别: math.DS, cs.LG, math.NA, math.ST, stat.ML\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.06155v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.06155v1\n摘要: Conditional expectation operators (CEOs) and their associated conditional mean embeddings (CMEs) play a central role across applied mathematics and machine learning, appearing in nonparametric regression, Bayesian inverse problems, and Koopman operator theory. A fundamental question is when a CEO maps a function space on $\\mathcal{Y}$ into a prescribed function space on $\\mathcal{X}$, particularly a reproducing kernel Hilbert space (RKHS). We show that such mapping properties are characterized by the regularity of the Radon\u0026ndash;Nikodym density of the conditional law, and establish a simple, verifiable sufficient condition under which the CEO is bounded and Hilbert\u0026ndash;Schmidt. For RKHSs norm-equivalent to Sobolev spaces, this condition reduces to Sobolev regularity of the conditional density. The result yields a direct route to validate CME representations and error bounds for Galerkin-type and CME-based estimators. We verify the regularity condition in three settings: nonparametric regression, Bayesian inverse problems, and Koopman operator theory for stochastic dynamical systems. We show in each case that classical regularity results on the underlying probabilistic model imply the required mapping properties. The resulting framework offers a unified perspective on conditional expectation operators across probability, operator theory, kernel methods, and stochastic dynamics.\n5. ChromOps.jl: 色谱模型的高阶模拟与离散正向灵敏度分析 ChromOps.jl: High-order simulation and discrete forward sensitivity analysis for chromatography models\n作者: Kristian Meyer, Maksym Ratajczyk, Christopher Rackauckas\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.06131v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.06131v1\n摘要: Mechanistic chromatography models are valuable for process development, but gradient-based parameter estimation and optimization can be hindered by computational cost and the effort of deriving objective-function gradients. To address this concern, a fully differentiable Julia chromatography solver, ChromOps.jl, is presented that combines high-order spatial discretization with discrete forward sensitivity analysis (DFSA). Two high-order spatial discretizations, finite difference summation-by-parts (FD-SBP) and the discontinuous Galerkin spectral element method (DG-SEM), are compared on a 6-component ion-exchange chromatography problem with steric mass action kinetics. Both attain their theoretical convergence rates on manufactured problems, while FD-SBP shows favourable work-precision performance for both forward (primal) and dual-valued simulations and is conceptually simpler to implement. DFSA scales as tDFSA approx 1.4(1+Np)tfwd for up to Np = 24 parameters propagated in a single ForwardDiff.jl chunk, i.e. about 1.4 forward solves per additional parameter. Because the primal and dual-valued solves share the same code path, DFSA provides accurate gradients of user-defined objectives without any hand-derived chain-rule code, enabling accessible gradient-based parameter estimation and optimization.\n6. Kastor: 一种用于偏微分方程模拟生成式仿真的高效微调策略 Kastor: An efficient fine-tuning strategy for generative emulation of PDE simulations\n作者: Guillaume Couairon, Alexis Jacq, Yu-Han Wu, Renu Singh, Yana Hasson, Quentin Berthet, Romuald Elie\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.06107v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.06107v1\n摘要: Machine learning offers a promising avenue to accelerate physical simulations by replacing computationally expensive traditional Partial Differential Equation (PDE) solvers with fast, differentiable surrogate models. However, standard auto-regressive ML emulators often suffer from error accumulation over long horizons and struggle to capture the stochasticity of complex physical systems. In this paper, we propose Kastor, a comprehensive methodology to adapt a deterministic physics foundation model into a highly efficient and accurate generative surrogate. First, we introduce a two-stage inference scheme that combines a large-stride causal auto-regressive model with a non-causal temporal super-resolution network, significantly reducing error accumulation while minimizing computational cost. Second, we present Mean prediction regularization (MPR), a novel training objective that constrains the generative model to predict the deterministic distribution mean under null noise conditioning. This regularization dramatically improves the performance and stability of both Functional Generative Networks (FGN) and diffusion-based emulators. Finally, we demonstrate that incorporating spatial gradient matching improves the accuracy and physical fidelity of the simulations as measured by power spectrum density. Extensive evaluations on diverse simulation datasets of the benchmark The Well show that with these components, our model outperforms competing methods in forecasting accuracy, spectral consistency, and computational efficiency. Our model achieves a 42.9% average reduction in forecasting compared to our reference based on the Walrus finetuning methodology, and outperforms Walrus for 8 out of 10 datasets on variance-normalized RMSE (VRMSE).\n7. 肿瘤生长的热力学一致Cahn-Hilliard-Navier-Stokes模型 A Thermodynamically Consistent Cahn-Hilliard-Navier-Stokes Model for Tumor Growth\n作者: Chenyang Li, Ping Lin, Hui Yu, Haibiao Zheng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.06099v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.06099v1\n摘要: This work develops a thermodynamically consistent phase-field model for tumor growth based on the energetic variational framework. The model couples the Cahn-Hilliard equations for tumor evolution and nutrient transport with the incompressible Navier-Stokes equations. A first-order time discretization scheme based on the Multiple Scalar Auxiliary Variables (MSAV) approach together with a pressure-correction strategy is proposed to efficiently handle the nonlinear and coupled structure of the system. The proposed scheme is rigorously proved to be unconditionally energy stable and mass conservative. Furthermore, optimal first-order temporal error estimates are established for the tumor phase-field variable, the nutrient concentration, and the fluid velocity. Finally, numerical experiments demonstrate the effectiveness and robustness of the proposed method and verify the theoretical convergence rates.\n8. 电机热瞬态模拟的约化基方法 Reduced Basis Method for Simulating Thermal Transients in Electric Machines\n作者: Herbert Egger, Eva-Maria Haslhofer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.05904v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.05904v1\n摘要: Reduced Basis (RB) methods provide low-dimensional approximations of parametrized partial differential equations with controllable accuracy. We discuss the construction of RB approximations for transient thermal simulation of an induction motor and compare their performance to Finite Element (FE) models and Lumped Parameter Thermal Networks (LPTNs) after calibration to measurements. Numerical results demonstrate that RB models can achieve FE accuracy, allow for a fully automatic construction, and offer computational efficiency comparable to traditional LPTNs.\n9. Rothe 时间离散与截断 Westervelt 系统的弱解 Rothe time discretization and weak solutions for a cutoff Westervelt system\n作者: Marvin Fritz\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.05865v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.05865v1\n摘要: We study a fully implicit Rothe time discretization for a cutoff first-order formulation of the Westervelt equation. The key ingredients are the enthalpy variable and the primitive mobility variable, which turn each nonlinear time step into a uniformly monotone elliptic problem and avoid higher-order energy estimates and inverse inequalities. For every time step, the discrete problem reduces to a monotone elliptic equation, which yields well-posedness of the Rothe scheme by the Browder-Minty theorem. We derive a discrete energy inequality, establish compactness for the transformed variable by an Alt-Luckhaus type argument, and pass to the limit to obtain existence of weak solutions for the cutoff first-order system. We prove a weak-strong uniqueness principle for the cutoff problem and formulate a conditional a posteriori criterion under which the cutoff is inactive. For sufficiently regular solutions of the forced cutoff problem, we establish consistency estimates which identify the temporal residuals produced by the Rothe approximation in the natural discrete-in-time weak norms. These estimates provide a rigorous consistency basis for the observed temporal behavior. Finally, numerical experiments illustrate the stability of the scheme, its observed near first-order temporal behavior, and inactivity of the cutoff along the computed discrete trajectories in the tested regimes.\n10. 动理学 Fokker-Planck 方程的核公式 A Kernel Formula for Kinetic Fokker-Planck Equations\n作者: Fuqun Han, Wuchen Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.05770v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.05770v1\n摘要: We derive an explicit one-step kernel formula for the kinetic Fokker-Planck equation. The construction begins with a reference dynamics admitting an explicit transition kernel and uses a carefully chosen auxiliary weight to encode the drift perturbation. The resulting kernel formula provides an explicit approximation of the density evolution. In a weighted phase-space setting, we establish local weak consistency and first-order finite-time weak convergence under suitable regularity and moment assumptions. We also give a formal variational interpretation of the formula in terms of a regularized Wasserstein-type proximal operator and present analogous constructions for a broader class of parabolic equations. Numerical experiments illustrate the accuracy of the kernel approximation and its application to deterministic particle schemes for kinetic sampling.\n11. 势匹配最优传输：用于精确 $p$-Wasserstein 动力学的连续正规化流 Potential Matching Optimal Transport: Continuous Normalizing Flows for Exact $p$-Wasserstein Dynamics\n作者: Lishuo Zhang, Ruizhi Huang, Yang Yu, Lei Li\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.05666v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.05666v1\n摘要: We introduce Potential Matching Optimal Transport (PMOT), a potential-flow framework for general $p$-cost optimal transport with $c_p(x,y)=\\|x-y\\|^p$. PMOT parameterizes the CNF velocity field with a scalar potential in the generalized Benamou\u0026ndash;Brenier form for the chosen exponent $p$. It trains the potential gradient with a self-induced matching loss along straight bridges determined by the model\u0026rsquo;s own endpoints, while allowing flexible terminal distribution matching. Our main result establishes zero-loss exactness: under the stated regularity, exact terminal matching, and uniqueness assumptions, any zero-loss solution satisfies the generalized Benamou\u0026ndash;Brenier optimality system and recovers the corresponding $p$-optimal transport map and dynamics. On synthetic benchmarks, PMOT learns $p$-specific maps that agree with the corresponding $p$-matched OT references. It also remains competitive as a likelihood-based density model on high-dimensional tabular data, and an MMD-based color transformation experiment demonstrates flexible sample-based terminal matching.\n12. 动态子结构中基于高阶Craig-Bampton方法的降阶模型先验误差估计器 A priori error estimator for reduced-order models based on the higher-order Craig-Bampton method in dynamic substructuring\n作者: Jaemin Kim, Seung-Hwan Boo\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.05625v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.05625v1\n摘要: The Craig-Bampton (CB) method is a widely used dynamic substructuring technique based on component mode synthesis (CMS). The higher-order Craig-Bampton (HCB) method augments the CB basis with residual modes from a Neumann series expansion of the residual flexibility matrix, where HCB-n retains terms up to the n-th order and is reduced back to the CB size via the System Equivalent Reduction Expansion Process (SEREP), achieving improved accuracy at the same model dimension. However, assessing the accuracy of a reduced model without solving the full-order problem remains a fundamental challenge: if the full-order solution is required to evaluate the error, the purpose of model reduction is defeated. Despite the demonstrated superiority of the HCB method, no a priori error estimator (one that predicts eigenvalue errors without solving the full-order eigenvalue problem) has been proposed for it. The present work addresses this gap with a hierarchical estimation framework that exploits the nested Ritz subspace structure of the HCB method, where each higher-order solution serves as a reference for estimating the error of the preceding order. The framework provides (i) a generalized CB error estimator derived from a Rayleigh quotient perturbation analysis, and (ii) a novel HCB-1 error estimator using the HCB-2 eigensolution as a reference. Numerical examples across models of varying geometric complexity validate both estimators.\n13. 中等长波方程与扰动Benjamin\u0026ndash;Ono模型的分裂方法 Splitting methods for Intermediate Long Wave and perturbed Benjamin\u0026ndash;Ono models\n作者: Yvonne Alama Bronsard, Clémentine Courtès, Benjamin Melinand\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.05540v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.05540v1\n摘要: Recently, novel integrability techniques, and most notably Birkhoff coordinates followed by an explicit formula, have been introduced to solve the Benjamin\u0026ndash;Ono (BO) equation, leading to major theoretical and computational advances. We propose to perturb this explicit BO formula via a novel splitting method for numerically solving a class of PDEs, which includes the Intermediate Long Wave (ILW) equation, as well as other quasilinear equations that are not necessarily integrable. Using the Birkhoff coordinates of BO we establish first-order convergence in the $H^s$-norm ($s \\ge 0$) while requiring only one additional derivative on the initial data $u_0 \\in H^{s+1}_{0}$, significantly improving upon the regularity requirements of typical splitting methods for nonlinear dispersive equations. Furthermore, we prove that in the deep-water limit, the scheme for the ILW equation converges to the BO solution. Computational advantages of these schemes are shown in simulations: unlike classical splitting methods, our approach does not require a restrictive quadratic time step condition to nearly preserve energy over long time scales, thus rendering efficient and accurate long-time simulations feasible. As an application, we numerically explore the soliton resolution conjecture for both the ILW and a KdV\u0026ndash;BO equation.\n14. 一种使用总压力的耦合Stokes\u0026ndash;Biot模型的二阶整体格式 A Second-Order Monolithic Scheme for the Coupled Stokes\u0026ndash;Biot Model Using Total Pressure\n作者: Talal Alshehri, Mingchao Cai, Xiaoqin Shen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-06\narXiv ID: 2608.05501v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.05501v1\n摘要: We develop and analyze a second-order, fully implicit, monolithic time-discretization for the coupled time-dependent Stokes and quasi-static Biot system. The Biot subsystem is formulated in a three-field total-pressure formulation, in which the total pressure is introduced as an additional unknown together with the solid displacement and pore pressure. This reformulation improves robustness in nearly incompressible regimes and suppresses volumetric locking. All variables are discretized in time using the BDF2 scheme, and the coupled problem is solved monolithically without operator splitting. Discrete energy stability is established using the BDF2 $G$-stability identity. The resulting estimates exhibit robustness with respect to the Lamé parameter, Biot\u0026ndash;Willis coefficient, and storage coefficient. A consistency\u0026ndash;stability argument is then used to derive second-order convergence in time together with optimal-order convergence in space. Numerical experiments confirm the theoretical results and demonstrate second-order temporal accuracy in the corresponding energy norms.\n15. 基于基与流形先验的侧向切片采样结构化张量近似 Structured Tensor Approximation from Lateral Slice Sampling via Basis and Manifold Priors\n作者: Jeongmin Chae, Usama Saleem, Selin Bac, Shaama Mallikarjun Sharada, Urbashi Mitra\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-05\narXiv ID: 2608.05463v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.05463v1\n摘要: In this work, we consider a structured tensor approximation problem, where only a limited number of lateral slices are observed. The proposed algorithm , called Basis and Manifold prior Tensor Approximation (BMTA), exploits both global and local structures of the evolution of a global tensor. Specifically, BMTA integrates two signal models: (i) a quasi-basis model that captures smooth global variations along a physical trajectory, and (ii) a manifold-guided interpolation model that characterizes local relationships among tensor slices. A low-rank Tucker reconstruction framework is incorporated to efficiently capture the priors, resulting in coefficients for basis function estimation and a tensor optimization. In addition, we provide a theoretical analysis which establishes a non-asymptotic reconstruction error bound that characterizes the effects of sampling complexity, optimization convergence, and model mismatch. Numerical experiments are performed on both synthetic and real-world datasets, including quantum chemistry and spatiotemporal sensing applications.\n16. 离散能量作为有限元代理模型的精确无标签训练目标 Discrete energy as an exact label-free training objective for finite-element surrogates\n作者: Ruifeng Cao, Xidan Song\n类别: cs.CE, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-05\narXiv ID: 2608.05437v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.05437v1\n摘要: Supervised training of finite-element (FE) surrogate models requires reference solutions, and each reference solution is obtained by solving the system that the surrogate is intended to replace. The assembled discrete potential energy provides a training signal that requires no reference solution. This note records, with proofs, the identities that make this signal exact for linear elastostatics: the difference between the energy of a prediction and the energy of the reference solution equals one half of the squared stiffness-norm error, and the gradient of the energy equals the stiffness-weighted error. Label-free discrete-energy minimisation and supervised regression in the stiffness norm therefore have the same unique minimiser and identical gradients at every point. Around this central result, the note states a conditioning lemma that bounds the displacement error by the energy gap, a modewise contraction identity that explains why the Euclidean displacement error is an unsuitable primary metric, the Chebyshev bound that governs conjugate-gradient post-processing of surrogate predictions, and a conditional latent-separation proposition for joint-embedding predictive architecture (JEPA) pretraining on a shared stiffness operator, with an explicit numerical counterexample that delimits its scope. Every claim with numeric content is implemented as an executable falsification check; the checks were executed twice, on synthetic test problems and on a probe set of 16 instances from the validation split of a pre-registered experimental run, and every inequality holds, with the measured tightness reported. A closing section explains why the construction does not extend to elastodynamics through direct minimisation of the action functional, and which time-discrete formulation restores exactness.\n17. 参数线性控制系统的围道积分方法与模型降阶 Contour integral methods and model order reduction for parametric linear control systems\n作者: Serkan Gugercin, Mattia Manucci\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-08-05\narXiv ID: 2608.05363v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.05363v1\n摘要: This paper introduces a contour integral method (CIM) for efficiently computing outputs of parametric linear systems in control form over specified time intervals and to a user-prescribed accuracy. The CIM approximates the inverse Laplace transform via a quadrature rule applied along a modified integration contour. For parametric systems, we show how CIM integrates effectively with projection-based model order reduction (MOR) where a greedy algorithm builds the projection spaces following an error estimate we derive for this setting. We additionally demonstrate that the developed projection framework naturally enforces Hermite interpolation conditions. This combination substantially lowers the cost of evaluating the input-output relations across the parameter domain, for a wide range of input functions, and for initial conditions well captured by a low-dimensional subspace.. We demonstrate the accuracy and efficiency of the approach on benchmark non-parametric and parametric control systems, comparing against state-of-the-art projection-based MOR methods.\n18. 空间离散薛定谔方程的透明边界条件：一维晶格中的无反射量子输运 Transparent boundary conditions for the spatially discrete Schrödinger equation: Reflectionless quantum transport in 1D lattices\n作者: Mashrab E. Akramov, Jambul R. Yusupov, Matthias Ehrhardt, Davron U. Matrasulov\n类别: math-ph, math.NA, quant-ph\n发布日期: 2026-08-05\narXiv ID: 2608.05338v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.05338v1\n摘要: We construct exact transparent boundary conditions (TBCs) for a time-continuous, spatially discrete Schrödinger equation that models a one-dimensional quantum lattice. Using a recently developed exact solution for the discrete system, we derive the Dirichlet-to-Neumann maps analytically via Laplace transforms. This yields a convolution-type boundary condition governed by Bessel functions. We rigorously demonstrate the consistency of this discrete formulation with its continuous counterpart in the continuum limit. Additionally, we present an efficient time-discretization scheme based on the trapezoidal rule for practical implementation. Numerical experiments using a Crank-Nicolson solver verify that our proposed TBCs eliminate spurious backscattering entirely and preserve reflectionless propagation of a Gaussian wave packet exiting the computational domain\n19. 用于移动边界达西流中贝叶斯反演的变分框架 A variational framework for Bayesian inversion in moving boundary Darcy flow\n作者: Michael E. Causon, Marco A. Iglesias, Michael V. Tretyakov\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-05\narXiv ID: 2608.05317v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.05317v1\n摘要: We develop an infinite-dimensional Bayesian framework for recovering spatially varying log-permeability from pressure observations in single-phase Darcy flow with a moving boundary, motivated by resin transfer moulding. The main contribution is an observation-wise representer formulation linking sensitivities of the parameter-to-observable map to the moving-boundary state and adjoint systems. This yields a reduced Levenberg\u0026ndash;Marquardt method for maximum a posteriori (MAP) estimation on the Cameron\u0026ndash;Martin space of a Gaussian prior and an explicit finite-rank covariance for the linearised MAP (LMAP) approximation. Once the representers are computed, the LM update and covariance assembly reduce to linear algebra in observation space, independently of the discretisation dimension. In 1D, the explicit moving-boundary solution is used to establish posterior well-posedness and existence of MAP estimators, and to derive closed-form Fréchet derivatives and representers. In 2D, we introduce a very weak mixed formulation coupling pressure, interface velocity and domain evolution. A formal one-sided directional shape linearisation yields the corresponding linearised state and adjoint systems, with observation-wise representers computed through independent, parallel adjoint problems. Numerical experiments show that the 1D LMAP approximation closely matches a reference MCMC posterior while requiring (\\mathcal{O}(10^1)) rather than (\\mathcal{O}(10^5\\text{\u0026ndash;}10^6)) forward simulations. In 2D, the method produces reconstructions and uncertainty estimates comparable to ensemble Kalman inversion with large ensembles, at substantially lower computational cost. The workflow is demonstrated across several geometries and experimental configurations without reformulating the inversion methodology.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-07_08-42-01/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月07日 08:42:01\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 5\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 19\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-基于优化的时空超材料波动方程有效系数的识别\"\u003e1. 基于优化的时空超材料波动方程有效系数的识别\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eOptimization-Based Identification of Effective Coefficients for Wave Equations in Spatio-Temporal Metamaterials\u003c/p\u003e","title":"2026年08月07日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月06日 10:23:58\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 1\n不相关论文数量: 17\n重点关注论文（完整分析） 1. 基于包络高阶微扰(HOPE)方法的周期非均匀手性介质电磁散射 A High-Order Perturbation of Envelopes (HOPE) Method for Electromagnetic Scattering by Periodic Inhomogeneous Chiral Media\n作者: David Nicholls, Liet Vo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-05\narXiv ID: 2608.04950v1\n摘要翻译: 手性在许多光学现象中起着重要作用，因此拥有高效且精确的数值算法来模拟该情形下的解至关重要。本文讨论了一种高阶谱方法结合几何正则摄动理论，恰好提供了这样一种方法。我们将横向周期、常数介电常数/磁导率结构的手性视为对背景值的偏离，并证明了平面电磁波散射场关于这一形变的解析性。该解析性不仅关于任意大实尺度的手性形变成立，且关于空间变量也联合解析。我们还展示了用于建立这些结果的包络高阶微扰(HOPE)递推如何实现为一种快速、稳健且可靠的数值算法。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.04950v1\n1. 研究对象和背景 手性在化学、生物学和物理学中具有根本重要性，表现为物体与其镜像不可重合的性质，例如双手、DNA螺旋等。在光学中，手性材料导致圆二色性(CD)，即左旋圆偏振(LCP)和右旋圆偏振(RCP)波以不同速度传播，这使得手性传感器在分子检测、表面等离子体共振(SPR)等领域有重大应用。为了模拟手性结构对电磁波的响应，数值算法的高效性和准确性至关重要。\n本文研究的核心问题为：线性时谐电磁波照射在具有横向周期性的非均匀手性介质薄层上的散射。介电常数$\\epsilon$、磁导率$\\mu$和手性参数$\\chi$依赖于空间坐标$(x,y,z)$，且在手性层内区域$-h","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-06_10-23-58/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月06日 10:23:58\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 17\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-基于包络高阶微扰hope方法的周期非均匀手性介质电磁散射\"\u003e1. 基于包络高阶微扰(HOPE)方法的周期非均匀手性介质电磁散射\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eA High-Order Perturbation of Envelopes (HOPE) Method for Electromagnetic Scattering by Periodic Inhomogeneous Chiral Media\u003c/p\u003e","title":"2026年08月06日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月05日 10:18:01\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 2\n不相关论文数量: 19\n重点关注论文（完整分析） 1. 有界域上的自适应 RBF-多尺度逼近 Adaptive RBF-multiscale approximation on bounded domains\n作者: Federico Lot, Christian Rieger\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-04\narXiv ID: 2608.03424v1\n摘要翻译: 本文讨论核多尺度方法中的自适应性。自适应压缩核多尺度逼近已在 (LeGia \u0026amp; Wendland, 2014) 中提出并分析。本文的主要贡献在于尝试避免使用那些在压缩步骤中无论如何都会被删除的函数求值。为处理函数值，我们始终在拉格朗日表示下工作。我们仍然假设所有函数值可用于计算误差范数，但我们不会将这些值纳入逼近中。最后，我们还采用局部拉格朗日函数以进一步减少数值计算量。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.03424v1\n1. 研究对象和背景 从有限个（散乱）点处函数值重构未知函数是众多应用中的经典任务。径向基函数（RBF）在此类问题中表现出色，为了改善经典RBF插值的数值特性，文献[2]提出了所谓的RBF多尺度方法。这类方法基于点集的层次结构，利用适当缩放的RBF在粗尺度上近似目标函数，并在精细尺度上逐步添加细节。其理论分析在文献[14]（有界区域）、[4]（球面）和[12]（更一般流形）中完成，而[10]则给出了一种更利于并行化的变体。\n研究表明，实际应用中往往无需在所有位置使用同等精细程度的逼近，局部精细化足以满足精度需求。文献[8]从互补视角出发：在已经达到足够局部逼近精度的区域，可以省略进一步的细节。这种思路是自适应的，但自适应决策是在计算出所有细节之后做出的，即后验地决定哪些细节可根据给定的误差容限丢弃。这种做法虽然能压缩最终表示，但前期仍需要计算全部细节，存在不必要的计算开销。\n本文正是受这些工作启发，主要区别在于选择或自适应判据的设计。作者提出一种新的策略：在计算局部逼近之前就移除那些判定为不必要的点，从而在不牺牲逼近阶的前提下进一步降低计算量。技术核心建立在文献[1]的局部化结果之上：若某点邻域内的误差已足够小，便可安全地将其从后续计算中剔除。为此，始终采用拉格朗日表示处理函数值，并利用局部拉格朗日函数进一步减少数值工作。文中仍假设目标函数在最细网格上所有点处的函数值均已知（用于计算误差范数），但不会将这些值纳入最终的逼近表达式中。\n问题设定如下：在有界Lipschitz区域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$ 上，给定一个嵌套点列 $X_1\\subset X_2\\subset\\cdots\\subset X_L\\subset\\Omega$，满足填充距离 $h_\\ell$ 和分离距离 $q_\\ell$ 的拟一致条件及缩放关系 $c_h\\mu h_\\ell\\le h_{\\ell+1}\\le\\mu h_\\ell$，其中 $\\mu\\in(0,k^{-1})$，$k\\ge 1$。所用的核函数 $\\Phi$ 是紧支撑的严格正定径向函数，其傅里叶变换满足 $c_\\Phi(1+\\|\\omega\\|_2^2)^{-\\tau}\\le\\widehat{\\Phi}(\\omega)\\le C_\\Phi(1+\\|\\omega\\|_2^2)^{-\\tau}$，其中 $\\tau\u003ed/2$，且支撑在单位球内。缩放核定义为 $\\Phi_\\delta(x)=\\delta^{-d}\\Phi(x/\\delta)$，在层次 $\\ell$ 上取 $\\delta_\\ell=\\nu h_\\ell$。再生核希尔伯特空间 $H_{\\Phi_\\delta}(\\mathbb{R}^d)$ 范数等价于 Sobolev 空间 $H^\\tau(\\mathbb{R}^d)$ 的范数。已知目标函数 $f\\in H^\\tau(\\Omega)$，经典多尺度算法（算法1）逐级构造插值：$f_0=0$，$e_0=f$，对 $\\ell=1,\\dots,L$，计算 $s_\\ell=\\mathcal{I}_\\ell(e_{\\ell-1})\\in W_\\ell$（基于点集 $X_\\ell$ 的核插值），更新 $f_\\ell=f_{\\ell-1}+s_\\ell$ 和 $e_\\ell=e_{\\ell-1}-s_\\ell$，最终近似为 $f\\approx\\sum_{\\ell=1}^L s_\\ell$。定理6及引理7给出了误差估计：|E e_j|{\\Phi{j+1}}\\le C_1\\mu^\\tau|E e_{j-1}|{\\Phi_j}$ 且 $|f-\\sum{\\ell=1}^L s_\\ell|{L^2}\\le C_2 (C_1\\mu^\\tau)^L|f|{H^\\tau}$，以及在 $L^\\infty$ 范数下有 $|e_\\ell|{L^\\infty}\\le C_2(C_1\\mu^{\\tau-d/2})^\\ell|f|{H^\\tau}$。然而，上述算法在每个层次的所有点上均等权重地进行计算，未体现任何自适应性。本文旨在填补这一空白：在保持与经典多尺度方法相同收敛阶的前提下，通过自适应点选择机制降低实际参与计算的点的数量，从而显著减少总计算量。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要贡献是提出了两种新的自适应算法（算法3与算法4），并给出了相应的误差分析。由于提供的PDF摘录不完整，最终的自适应误差界（作者在引言中提到“in 23, we present an error analysis of our novel adaptive multiscale algorithm”）的具体陈述未能获取。但根据已提供的内容，可总结如下关键结果：\n预处理结果和已有误差界（这些是构造自适应算法的基础）\n定理6（引自[14]）：若 $f\\in H^\\tau(\\Omega)$，则存在常数 $C_1=C_1(\\gamma)$，使 $\\|E e_j\\|_{\\Phi_{j+1}}\\le \\alpha\\|E e_{j-1}\\|_{\\Phi_j}$ 且 $\\alpha=C_1\\mu^\\tau$，进而有 $L^2$ 线性收敛：$\\|f-\\sum_{\\ell=1}^L s_\\ell\\|_{L^2}\\le C_2 (C_1\\mu^\\tau)^L \\|f\\|_{H^\\tau}$，当 $C_1\\mu^\\tau\u003c1$ 时成立。 引理7：在相同假设下，$\\|e_\\ell(f)\\|_{L^\\infty(\\Omega)}\\le C_2(C_1\\mu^{\\tau-d/2})^\\ell\\|f\\|_{H^\\tau}$。该估计依赖于 Sobolev 嵌入和零证明技巧，显式提供了逐点误差的指数衰减。 推论9（Lebesgue 常数的界）：对任何 $1\\le\\ell\\le L$，逆矩阵系数的绝对行和 $\\sum_{i,j}|(A_{\\ell,\\ell}^{-1})_{ij}|\\le c_{20}$，并且拉格朗日基函数的一致有界性 $\\sum_i|\\chi_i^{(\\ell)}(y)|\\le c_{21}$ 对所有 $y\\in\\mathbb{R}^d$ 成立。这些常数 $c_{20},c_{21}$ 显式依赖于核参数与几何常数，保证了插值过程的稳定性。 局部拉格朗日函数的构造与逼近性质\n引理10（局部拉格朗日函数误差）：将标准的拉格朗日基函数 $\\chi_i^{(\\ell)}$ 替换为 $\\check{\\chi}_i^{(\\ell)}$，后者仅要求在 $B^{(\\ell)}(x_i^{(\\ell)};\\varrho h_\\ell|\\log h_\\ell|)$ 内的点上满足插值条件，则两者在 $L^\\infty$ 范数下的误差满足 $$\\|\\chi_i^{(\\ell)}-\\check{\\chi}_i^{(\\ell)}\\|_{L^\\infty(\\Omega)}\\le c_{23} h_\\ell^{\\theta\\varrho-d}.$$ 此处的 $c_{23}=c_{18}\\nu^{-d} N(0) c_q^d (c_{21}+1)$，$\\theta\u003e0$ 来自逆矩阵系数的指数衰减指数（引理8）。该结果表明，截断拉格朗日函数只会引入与截断半径代数衰减的误差，从而在局部逼近中可大幅减少非零项的数目。 自适应算法的关键分析工具\n引理3（球包含关系）：当 $\\ell\\ge L^\\star:=\\lceil k\\mu/(1-k\\mu)\\rceil$ 时，有 $k h_{\\ell+1}|\\log h_{\\ell+1}|\\le h_\\ell|\\log h_\\ell|$，从而 $B_{k h_{\\ell+1}|\\log h_{\\ell+1}|}(x)\\subseteq B_{h_\\ell|\\log h_\\ell|}(x)$。这一几何关系在后文中被用于控制局部误差传播的范围（Theorem 17）。 引理8（逆矩阵系数的指数衰减）：$|(A_{\\ell,\\ell}^{-1})_{ij}|\\le c_{18} q_\\ell^d e^{-\\theta\\|x_i^{(\\ell)}-x_j^{(\\ell)}\\|_2/q_\\ell}$，且基函数也满足 $|\\chi_i^{(\\ell)}(y)|\\le c_{19} e^{-\\theta\\|x_i^{(\\ell)}-y\\|_2/q_\\ell}$。这是局部化估计的核心。 自适应算法与误差分析（提供内容中未给出具体定理陈述，但可从上下文推断）\n算法思想：不再在每一层的所有点上一视同仁地计算残留的插值，而是利用局部误差判据，预先判断某点处残留值是否足够小，若是则该点的函数值以及后续与之相关的计算均可略去。判定依据可能基于 $|e_{\\ell-1}(x_i^{(\\ell)})|$ 与局部尺度参数的关系，类似于后验误差指示子的角色。 误差界：作者宣称其误差估计直接依赖于算法参数，且形式与[8]的界类似但显式给出参数依赖，从而允许为参数做出合适选择。此外，文中还分析了基于局部拉格朗日函数的变体算法，并给出了与原算法之间的误差差异估计（定理24，但具体陈述未提供）。 由于关键定理17、23、24等的内容在提供的摘录中缺失，无法在此逐一详述，但可以确信本文在理论上证明了自适应多尺度逼近依然保持与原算法相同的收敛阶，并能显著降低数值开销；且局部拉格朗日函数的引入可进一步减少填充矩阵的计算与存储。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文在方法论上的核心创新在于将文献[1]的局部化思想与多尺度拉格朗日表示相结合，设计出先验的自适应点选择策略。主要技术障碍是：在层次式逼近过程中，如何判定某个点上的局部细节贡献可以被忽略，且这一判断必须基于已知的局部信息而不引入额外计算负担，同时还要保证全局逼近精度不降阶。\n1. 基于指数衰减的局部误差传播估计 证明框架的基石是逆矩阵系数的指数衰减性质（引理8）以及由此导出的拉格朗日基函数的局部化行为。由核矩阵 $A_{\\ell,\\ell}$ 的坏条件数带来的困难，通过细致的 annulus 求和技巧转化为对几何级数的求和，得出系数矩阵元素随距离指数衰减的精确估计： $$|(A_{\\ell,\\ell}^{-1})_{ij}|\\le c_{18} q_\\ell^d e^{-\\theta\\|x_i^{(\\ell)}-x_j^{(\\ell)}\\|_2/q_\\ell}.$$ 相应的，拉格朗日基函数也有类似衰减：$|\\chi_i^{(\\ell)}(y)|\\le c_{19} e^{-\\theta\\|x_i^{(\\ell)}-y\\|_2/q_\\ell}$。这使得定位在某点 $x_i$ 的基函数值主要受该点附近其他点的影响，远距离点的影响呈指数级微弱。\n以此为基础，可建立局部误差的传播估计：若在某个局部区域 $B(x_i^{(\\ell)}, r_\\ell)$ 内，残留函数 $e_{\\ell-1}$ 的值已充分小，则在计算 $s_\\ell$ 时，该区域内及受其显著影响的基函数项可被忽略，由此引入的误差可由邻域尺寸和该部分残留值的上界控制。引理3提供的球包含关系确保了不同层次之间局部误差影响范围的嵌套性，使传播分析得以递归进行。\n2. 局部拉格朗日函数的构造与误差分析 为进一步减少数值开销，本文引入了局部拉格朗日函数 $\\check{\\chi}_i^{(\\ell)}$（引理10）。标准拉格朗日函数 $\\chi_i^{(\\ell)}$ 在全部 $N^{(\\ell)}$ 个点上插值，而 $\\check{\\chi}_i^{(\\ell)}$ 仅在与 $x_i^{(\\ell)}$ 距离不超过 $\\varrho h_\\ell|\\log h_\\ell|$ 的点集上满足插值条件。利用块矩阵求逆公式及系数衰减性质，证明了 $$\\|\\chi_i^{(\\ell)}-\\check{\\chi}_i^{(\\ell)}\\|_{L^\\infty(\\Omega)}\\le c_{23} h_\\ell^{\\theta\\varrho-d}.$$ 该证明的关键在于将 $(A_{\\ell,\\ell})^{-1}$ 写成分块形式并利用 Schur补，将对被省略点的依赖归结为 $M_{ih}$ 项，进而用指数衰减控制其大小。此构造的意义在于：局部拉格朗日函数在远离 $x_i^{(\\ell)}$ 的区域自然为零，大大减少了计算插值 $s_\\ell = \\sum_i e_{\\ell-1}(x_i^{(\\ell)})\\chi_i^{(\\ell)}$ 时所需的求和项数，而精度损失可由所选取的截断半径 $\\varrho h_\\ell|\\log h_\\ell|$ 调节。\n3. 自适应判据与算法设计 自适应的核心判据虽然未在提供的页数中显式列出，但可以从引言和局部化结果推断：对每个层次 $\\ell$ 和该层点集 $X_\\ell$，算法首先评估局部残留值 $|e_{\\ell-1}(x_i^{(\\ell)})|$ 或者与局部尺度的某种组合。若该值低于一个与 $h_\\ell$、误差容限以及指数衰减参数相关的阈值，则认为在此点附近已经达到足够的逼近精度，从而将其标记为“不活跃”，在后续计算 $s_\\ell$ 时跳过与该点相关的基函数项。判定过程依赖于邻域而非仅单点，这从引理3的球包含关系中可得到支撑：一个点被去除的条件是整片区域误差均小，保证局部忽略不会污染其他区域。\n这一先验判定与[8]的后验压缩形成对比：后者需要先完整算出 $s_\\ell$，再根据系数大小或误差贡献决定保留哪些项。本文的方法因无需计算那些最终会被丢弃的项而降低了计算量，但需要额外拥有 $e_{\\ell-1}$ 在所有点（包括将被丢弃的点）上的函数值以进行误差评估，这是该方法获取信息代价。\n4. 稳定性与收敛性分析框架 稳定性由推论9保证的对所有 $\\ell$ 一致有界的 Lebesgue 常数提供，这是插值过程鲁棒性的重要保障。收敛性分析沿用经典多尺度框架（定理6）中的“递推能量衰减”思想：借助扩展算子 $E$ 将问题延拓至全空间，利用范数等价性将连续范数与离散核范数联系起来，再通过缩放参数 $\\delta_\\ell=\\nu h_\\ell$ 的选择，得到 $\\|E e_j\\|_{\\Phi_{j+1}}\\le C_1\\mu^\\tau\\|E e_{j-1}\\|_{\\Phi_j}$。自适应版本的误差分析需额外处理因忽略部分点而导致的局部残差，这通过局部误差的上确界和上述衰减估计转化为对全局误差的修正项，最终保持与经典方法相同的收敛阶。\n综上，本文的方法论创新并非提出全新的数学工具，而是巧妙地将现有局部化技术（引理8、引理10）与自适应决策逻辑嫁接，从而实现在不牺牲理论保序阶的前提下，从算法层面减少无效计算。\n4. 与之前工作的比较 本文与已有工作的比较主要体现在以下几个方面：\n1. 与经典多尺度方法（[2, 14]）的比较 经典的多尺度算法（算法1）在每个层次的所有点上均等地进行插值计算，不具备任何自适应性。其计算量与总点数 $N=\\sum_{\\ell=1}^L N^{(\\ell)}$ 成比例，且每步需求解一个稠密的线性系统。本文通过引入自适应点选择机制，使得在局部已满足精度处不再计算该点的细节贡献，从而在实际执行中显著减少活跃的自由度数量。理论上，文中宣称自适应算法仍保持线性收敛率 $C_2 (C_1\\mu^\\tau)^L$，与无自适应情形完全一致，因此没有以精度损失为代价。\n2. 与后验自适应方法（[8]）的比较 这是本文最直接的参照。[8]中，自适应是在多尺度逼近全部细节计算完毕后才进行的：先利用类似算法1得到完整的展开 $\\sum s_\\ell$，然后依据某种误差指标（如各层系数的幅值）对层级系数进行压缩，丢弃贡献较小的项。优点是简单、易于分析；缺点是前期计算量并未减少，被丢弃的那些项依然被计算了一次，浪费了计算资源。本文的策略则是“先评估，再计算”：在计算每个层次的 $s_\\ell$ 之前，利用已有的信息（即上一层残留值 $e_{\\ell-1}$）判断哪些点的贡献可被忽略，从而在源头就避免为其建立和求解方程组。作者明确指出的一个特征是：“we still assume to have all function values available to compute error norms, but we do not include those values in our approximations.” 这意味着，尽管需要这些函数值来做判断，但它们不被纳入最终的逼近中，整体数值工作量（尤其是矩阵装配和求解）因活跃点集缩小而下降。但在某些场景下，若获取函数值的代价十分高昂，则本文方法仍要求所有点的函数值，可能并不比[8]有绝对优势。\n3. 与局部拉格朗日函数方法（[3]）的比较 文献[3]在球面上引入了局部拉格朗日基，本文将其推广至有界欧氏区域并纳入多尺度框架。引理10是本文的一项技术补充：给出了一致有界的截断误差估计，使得局部拉格朗日函数可以可靠地替代全局拉格朗日函数。与标准全局基相比，局部基的非零元素集中在中心点附近的一个球内，矩阵向量乘的计算量由 $O(N^{(\\ell)})$ 降至 $O(\\rho_\\ell^d)$，其中 $\\rho_\\ell = \\varrho h_\\ell|\\log h_\\ell|$ 远小于全局尺度。这进一步强化了自适应算法的效率：即使在活跃点集内部，也可利用局部基降低计算复杂性。\n4. 假设条件的放宽或收紧 与[8]相比，本文未放宽函数光滑性的要求：目标函数 $f$ 仍须属于 $H^\\tau(\\Omega)$，$\\tau\u003ed/2$，与经典多尺度相同。对点集的要求（拟均匀、嵌套、几何衰减）也与[14]一致。 一个特殊的额外要求是：需要 $f$ 在所有网格点 $X_L$ 上的值已知，即使有些点不会被用于最终近似。这比通常的“只在与近似相关的点上求值”要求更高，但作者认为这是合理的，因为无需求解算子方程，无法从右端项获得额外信息。在自适应有限元中，常可利用残差指示子，不需在非活跃自由度上计算真实残差值；本文因无算子背景，必须直接比较函数值，故确有信息需求上的代价。 5. 误差分析中参数显式依赖的优势 作者强调其误差界是“显式依赖于算法参数”的（引言中提到的“the error bound \u0026hellip; is explicit in the algorithm parameters. The explicit dependence \u0026hellip; allows for suitable choices for the parameters.”）。以往许多多尺度方法的误差分析仅给出存在性常数，实际用户难以根据理论指导参数选取。本文尝试给出各常数与几何及核参数的具体依赖关系（如引理8、推论9、引理10中的常数均详细写出），这不仅便于理解各个参数的影响，也为算法实现中的自动调参提供了理论依据。然而，这一优势在提供的摘录中主要体现为很多常数都被显式计算，如 $c_{18}, c_{19}, c_{20}, c_{21}, c_{23}$ 等。\n局限性与未来工作 从已有内容看，作者未讨论目标函数仅在离散点处已知、且无法在最细网格所有点求值的实际场景；此外，自适应判据的计算复杂性本身（遍历所有点做评估）也未分析。在结论部分（未提供）可能讨论数值实验验证，但我们不能从摘录中获知。此外，本文的分析仍局限于插值，对于一般逼近问题，如最小二乘或无噪声数据下的回归，尚未延伸。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 一种面向具有移动接触线和重力的Navier\u0026ndash;Stokes自由边界问题的保结构ALE\u0026ndash;BGN\u0026ndash;MDR方法 A structure\u0026ndash;preserving ALE\u0026ndash;BGN\u0026ndash;MDR method for Navier\u0026ndash;Stokes free boundary problems with moving contact lines and gravity\n作者: Harald Garcke, Jiashun Hu, Nuo Lei\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-04\narXiv ID: 2608.03115v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.03115v1\n摘要翻译 中文标题: 一种面向具有移动接触线和重力的Navier\u0026ndash;Stokes自由边界问题的保结构ALE\u0026ndash;BGN\u0026ndash;MDR方法\n摘要翻译: 我们针对具有移动接触线的不可压缩Navier\u0026ndash;Stokes自由边界问题，提出了一种与重力一致的任意拉格朗日-欧拉有限元方法。直接对重力进行体力离散可能无法保证离散重力功与演化区域上重力势能变分之间的一致性，从而产生人为的一致性误差及近平衡态的持续伪速度。为消除这种不一致性，我们将重力势能变分重新表述为中间ALE构型上的移动边界积分，并利用辛普森求积法则精确计算。由此导出一个轻度非线性全离散格式，其中重力贡献与离散势能变分精确一致。所提方法精确保持体积守恒，满足包含重力势能的离散能量耗散定律，并在适当假设下使得离散速度在长时间状态趋于零，从而排除了重力引起的持续伪速度。结合BGN自由表面处理和MDR体积网格扩展，该格式能在移动接触线附近保持精确的界面追踪和良好的网格质量。在二维和三维空间中的数值实验验证了理论性质。\n2. 非定常Stokes方程的压力鲁棒丰富伽辽金方法的全离散分析 Fully discrete analysis of pressure-robust enriched Galerkin methods for the time-dependent Stokes equations\n作者: Seulip Lee, Lin Mu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-03\narXiv ID: 2608.02913v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.02913v1\n摘要翻译 中文标题: 非定常Stokes方程的压力鲁棒丰富伽辽金方法的全离散分析\n摘要翻译: 本文提出了非定常Stokes方程的压力鲁棒丰富伽辽金（EG）方法的全离散分析。空间离散采用速度重构算子，该算子保留EG空间的连续部分，同时将其丰富的不连续部分映射到$H(\\mathrm{div})$的最低阶Raviart-Thomas（$\\mathcal{R}T_0$）子空间，确保严格局部质量守恒和压力鲁棒性。利用向后Euler和Crank-Nicolson方法构造全离散格式，将重构纳入强迫项和离散时间导数项。我们证明了无条件稳定性，并推导了速度和压力的最优阶参数显式\\textit{a priori}误差估计。特别地，速度估计与连续压力及强迫项的无旋分量无关，不包含粘性倒数因子，并显式追踪空间网格尺寸、时间步长和粘性。二维和三维数值实验验证了预测的收敛速率、严格局部质量守恒以及对粘性的鲁棒性，同时与非压力鲁棒变体的比较表明将重构纳入离散时间导数项的重要性。\n不相关论文（基本信息） 1. 电磁逆问题的降阶建模：一个层状介质基准测试 Reduced-order modeling for electromagnetic inverse problems: a layered medium benchmark\n作者: Konstantinos Alexopoulos, Josselin Garnier\n类别: math.NA, math-ph, math.AP, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-08-04\narXiv ID: 2608.03996v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.03996v1\n摘要: We study reduced-order modeling for inverse problems in layered media, focusing on the recovery of impedance profiles from time-domain measurements. Using the Goupillaud structure, we formulate the forward problem as a discrete dynamical system and introduce a ROM-based objective defined at the level of reduced operators. Through numerical experiments on a 5-layer medium under various structured perturbations, we compare the ROM-based objective with a classical data misfit. The results show that the ROM-based inversion provides a more favorable reconstruction in the clean setting and in certain structured perturbation regimes, while remaining consistently competitive with the classical approach across all cases considered.\n2. 交叉集中采样下的鲁棒低管秩张量填充 Robust Low-Tubal-Rank Tensor Completion under Cross-Concentrated Sampling\n作者: Hanqin Cai, Longxiu Huang, Jing Qin, Chengyue Wu\n类别: stat.ML, cs.IT, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-04\narXiv ID: 2608.03928v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.03928v1\n摘要: Tensor cross-concentrated sampling (t-CCS) bridges entrywise sampling and t-CUR slice-wise sampling by observing entries only within selected horizontal and lateral slices. Existing t-CCS completion methods, however, assume that the observations are free of gross corruption. In this work, we study robust recovery of a third-order low-tubal-rank tensor from partial t-CCS observations contaminated by sparse, arbitrarily large outliers. We propose Robust Iterative t-CUR (R-ItCUR), a tensor-native algorithm that partitions the sampled tensor cross into two exterior blocks and an intersection block, applies adaptive blockwise Welsch correction for outlier suppression, and updates the low-rank component through projected blockwise gradient descent. By operating directly on the sampled cross, R-ItCUR avoids reconstructing the full tensor throughout the iterations, resulting in substantial memory and computational savings. Experiments on synthetic tensors, cardiac MRI data, and three-dimensional seismic data demonstrate accurate recovery and strong robustness to sparse gross corruptions. The results further highlight the importance of explicitly exploiting the cross-concentrated sampling structure in robust tensor completion.\n3. 非线性锥变换的微局部分析及其在康普顿相机成像中的应用 Microlocal analysis of a non-linear cone transform and applications to Compton camera imaging\n作者: James W. Webber, Sean Holman\n类别: math.NA, math.FA\n发布日期: 2026-08-04\narXiv ID: 2608.03909v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.03909v1\n摘要: We present a novel method to recover the source intensity, $f : \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}$, and attenuation coefficient, $μ: \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}$, in Compton camera imaging. We apply a non-linear model, which accounts for ray attenuation. We show that the data, $h$, can be modeled $h = \\mathcal{R}(f,μ) = R(fg)$, where $g = \\exp(-Gμ)$ models attenuation, $G$ is a (linear) divergent beam transform, and $R$ is a linear operator which defines the integrals of $fg$ over cones. Commonly in the literature, $μ$ is set to zero, and the data $h = Rf$ is linear. We address the case when $μ\\neq 0$ and the transform is non-linear. To simplify the analysis, we first transform the data into weighted line integrals, $\\tilde{h} = \\mathcal{D}_k(f,μ) = D_k(fg)$, where $D_k$ is a weighted ray transform. Assuming practically reasonable geometric conditions, we show that $\\tilde{h} = \\exp(-X_{w_1}μ)X_{w_2}f$, where $X_w$ is a weighted X-ray transform, and the $w_i$ are smooth weights. After which, we use the theory of conormal distributions to describe the singularities of $\\tilde{h}$. We show that there are artifacts in the reconstruction, and we quantify their strength using Sobolev spaces. We combine this theory with a geometric argument to recover the edges of $f$ and ultimately prove that $f$ and $μ$ are unique to $h$. The recovery of $f$ is notably more stable than that of $μ$, which we also discuss. To validate our theory, we present simulated reconstructions of $f$ and $μ$ using the proposed method.\n4. 准直太阳光与空气温度 Collimated Sunlight and Air Temperature\n作者: Olivier Pironneau\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-08-04\narXiv ID: 2608.03781v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.03781v1\n摘要: Atmospheric temperature on Earth results from complex phenomena that climate models must account for. One important module is radiation, which has three sources: infrared radiation emitted by the Earth and the air, and visible light from the Sun. The latter arrives from an almost point-like source in the sky, producing a Dirac singularity in the boundary conditions known as collimated light. Following Siewert and Maiorino (1980), we propose a very fast numerical implementation to handle the singularity.\n5. 模式形成：化学反应性并非趋化性驱动的不稳定性的必要条件 Pattern formation: reactivity is not necessary for chemotaxis\u0026ndash;driven instabilities\n作者: Angela Monti\n类别: math.DS, math-ph, math.NA\n发布日期: 2026-08-04\narXiv ID: 2608.03685v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.03685v1\n摘要: A classical result by Neubert, Caswell and Murray states that reactivity of a spatially homogeneous equilibrium is a necessary condition for diffusion-driven (Turing) instability. In this work, we investigate whether the same conclusion remains valid in the presence of chemotaxis. We consider a general reaction\u0026ndash;diffusion system coupled with a chemotactic flux and establish necessary conditions for asymptotic instability. We show that the classical requirement of reactivity can be relaxed when the chemotactic contribution is sufficiently strong. In particular, while reactivity remains necessary for Turing instability, it is not a necessary condition for chemotaxis-driven instability. From a computational viewpoint, we extend the matrix-oriented formulation developed for reaction\u0026ndash;diffusion systems to the more general class of reaction\u0026ndash;diffusion\u0026ndash;chemotaxis models. The chemotactic transport term is discretized in a form compatible with the matrix-oriented approximation of the diffusion operator, yielding an efficient numerical framework for the simulation of chemotaxis-driven pattern formation. A geometric interpretation of the instability region is presented, highlighting the distinct roles played by diffusion and chemotaxis. The theoretical and numerical developments are illustrated through two representative examples: a chemotaxis-extended Schnakenberg model, showing how chemotaxis modifies classical Turing patterns, and a predator\u0026ndash;prey model, demonstrating that chemotaxis alone can induce pattern formation in the absence of both reactivity and diffusion-driven instability. These results reveal a fundamental difference between diffusion-driven and chemotaxis-driven mechanisms of spatial self-organization and provide new theoretical and computational insights into the role of non-symmetric transport processes in biological pattern formation.\n6. 利用$\\varphi$-散度的矩封闭分析及其在带二体碰撞的稀薄动力学中的伽辽金离散 Analysis of Moment Closures Using $\\varphi$-Divergences for Rarefied Dynamics with Binary Collisions and Their Galerkin Discretizations\n作者: Michael R. A. Abdelmalik, Irene M. Gamba, Torsten Kessler, Sergej Rjasanow\n类别: math.NA, math.AP, physics.comp-ph, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-08-04\narXiv ID: 2608.03640v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.03640v1\n摘要: This work introduces a robust deterministic framework for approximating solutions of the Boltzmann equation with binary collisions by discretizing their dependence on time, position, and velocity using Galerkin methods. By employing a family of parametric Galerkin closures based on $\\varphi$-divergences in velocity space, we derive rigorous hierarchies of moment equations that govern fluid dynamic variables. Addressing the limitation that these closures alone do not guarantee dissipation of a $\\varphi$-divergence entropy for the true binary collision operator, we restore this property by formulating a compatible approximate collision operator tailored to each closure. This constructed operator intrinsically retains fundamental physical properties essential for high-fidelity flow simulations, including Galilean invariance, exact conservation of mass, momentum, and energy, and strict dissipation of a $\\varphi$-divergence entropy. Furthermore, we show that the resulting closed moment systems are symmetric-dissipative, yielding Cauchy problems that are well-posed locally in time. To translate this mathematical foundation into an efficient computational tool, we discretize the position and time variables with an entropy-stable discontinuous Galerkin (DG) finite element method. The fully implicit, entropy-stable space-time approach enables time steps far beyond typical CFL-limited step sizes and the direct computation of steady states. The robustness and accuracy of the methodology are verified and validated through numerical simulations on the supersonic nozzle flow of argon, mass flow through a channel, and heat transfer between parallel walls, demonstrating agreement with analytical benchmarks, experimental measurements, and stochastic particle simulations.\n7. 用于模拟含多种非均匀分层介质结构中电磁场的三维混合数值方法 A 3-D Hybrid Numerical Method for Simulating Electromagnetic Fields in Structures with Multiple Inhomogeneous Layered Media\n作者: Jie Liu, Taihe Li, Ke Chen, Mingwei Zhuang, Qing Huo Liu\n类别: physics.comp-ph, math.NA\n发布日期: 2026-08-04\narXiv ID: 2608.03639v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.03639v1\n摘要: A three-dimensional (3-D) hybrid numerical method (HNM) is presented for electromagnetic scattering in structures with multiple inhomogeneous layered media coupled to an arbitrary 3-D non-layered scattering region. It integrates the 3-D numerical mode-matching (NMM) method with a tree-cotree-based mixed finite element method (MFEM). In the NMM, the fields in the 3-D layered media are reduced to a superposition of 2-D waveguide eigenmodes, while the MFEM discretizes the 3-D scattering region. The HNM thus inherits the dimensionality-reduction advantages of both conventional hybrid MM/FEM and pure NMM. Numerical experiments show that the HNM provides an effcient alternative for scattering problems involving non-layered regions embedded in layered media.\n8. 希尔伯特空间中不适定优化问题的迭代正则化梯度法的误差估计 Error Estimates for the Iteratively Regularized Gradient Method for Ill-Posed Optimization Problems in a Hilbert Space\n作者: M. M. Kokurin\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-08-04\narXiv ID: 2608.03603v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.03603v1\n摘要: We study the iteratively regularized gradient method applied to the ill-posed problem of minimizing a general smooth functional on a Hilbert space. Under a source condition on the solution, we establish error estimates for this method when the objective functional is known exactly or only approximately. For these estimates we provide two proofs based on substantially different ideas and compare the assumptions and conclusions of the corresponding theorems. In addition, we present an improved proof of an error estimate for the Tikhonov method applied to ill-posed optimization problems with an exactly known functional. We also prove a theorem on the existence of a global minimizer of the Tikhonov functional without assuming weak lower semicontinuity of the original functional.\n9. 使用带非单调线搜索和外推的Barzilai-Borwein步长的邻近凸函数差算法 A proximal difference of convex functions algorithm using Barzilai-Borwein step size with nonmonotone line search and extrapolation\n作者: Kelin Wu, Hongpeng Sun\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-08-04\narXiv ID: 2608.03465v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.03465v1\n摘要: The paper proposes a novel proximal difference-of-convex (DC) algorithmic framework to solve general non-convex, non-smooth optimization problems. By combining Barzilai-Borwein (BB) step sizes with nonmonotone line search strategies, our approach effectively overcomes the conservative step sizes and stability issues inherent in standard proximal DC algorithms. Furthermore, we develop extrapolation mechanisms to accelerate convergence while ensuring global stability. The global convergence of the proposed algorithms is rigorously established under the Kurdyka-Łojasiewicz property. Numerical experiments on the SCAD-regularized least squares problem and graphic Ginzburg-Landau image segmentation models demonstrate that the proposed methods achieve highly competitive efficiency and accuracy compared to existing DC algorithms.\n10. 面向外电路耦合涡流问题的电磁解耦预处理器 Electro-Magnetic Decoupling Preconditioner for Eddy Current Problems with External Circuit Coupling\n作者: Shingo Hiruma, Takeshi Mifune, Tetsuji Matsuo\n类别: cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-08-04\narXiv ID: 2608.03350v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.03350v1\n摘要: This paper proposes an efficient and scalable preconditioning strategy for eddy current problems involving coupled external circuits. The approach, named Electro-Magnetic Decoupling (EMD) preconditioner, decomposes the discrete system into vector and scalar potential components and applies tailored preconditioners to each. In particular, strong preconditioning is applied to the scalar component to address the spectral degradation induced by the discrete Laplacian. The method was evaluated on four eddy current models with varying frequencies, conductor topologies, and excitation types. Compared to the conventional incomplete Cholesky preconditioner, the EMD approach achieved up to 20 times fewer iteration counts and up to 20 times faster iterative solver time. Moreover, the method supports physics-level parallelization, allowing efficient treatment of independently excited conductor domains. The EMD framework is compatible with algebraic multigrid, domain decomposition, and direct solvers, offering flexibility and robustness for large-scale electromagnetic simulations.\n11. 无约束最小化的动态邻近点方法 Dynamic Proximal Point Method for Unconstrained Minimization\n作者: Enrico Bertolazzi, Alberto De Marchi, Davide Stocco\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-08-04\narXiv ID: 2608.03349v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.03349v1\n摘要: In this work, we present a novel dynamic proximal point algorithm for unconstrained optimization. The method generates a sequence of proximal subproblems, where the quadratic regularization term is weighted by a diagonal matrix that is updated adaptively at each iteration. Each subproblem is solved using an inner Newton\u0026rsquo;s method combined with a line search, which provides a global convergence mechanism for the nonlinear solver. At the outer level, the algorithm updates the reference point and adjusts the regularization parameter based on the performance of the inner Newton solver. We derive the reduced linear system used to compute the Newton step, define the corresponding merit function, and discuss practical approaches for constructing the diagonal scaling matrix from derivative information. The paper also provides implementation-oriented pseudocode and stopping criteria that are consistent with the proposed method.\n12. 一种用于刚性输运-松弛系统的带ADER轨迹导数的L-稳定顺序两阶段四阶方法 An L-Stable Sequential Two-Stage Fourth-Order Method with ADER Trajectory Derivatives for Stiff Transport\u0026ndash;Relaxation Systems\n作者: Zhixin Huo, Yangnan Su\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-04\narXiv ID: 2608.03256v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.03256v1\n摘要: A fully implicit two-stage fourth-order two-derivative time discretization was introduced previously as a temporal method. This paper closes that sequential integrator for stiff transport\u0026ndash;relaxation equations by pairing a conservative finite-volume residual $\\mathcal L_h$ with its discrete trajectory derivative $\\mathcal G_h^{\\rm tr}=D\\mathcal L_h\\,\\mathcal L_h$. An ADER/Cauchy\u0026ndash;Kowalevski predictor provides interface states and physical time derivatives; differentiating the same numerical flux and taking shared face differences yields a conservative approximation $\\widetilde{\\mathcal G}_h$. For linear constant-coefficient balance laws, $\\widetilde{\\mathcal G}_h=\\mathcal G_h^{\\rm tr}=\\mathcal L_h^2$ exactly, although the derivative operator is assembled independently rather than by squaring the residual matrix. For nonlinear discretizations, the fourth-order temporal theory applies to $\\mathcal G_h^{\\rm tr}$, while a trajectory-closure consistency estimate controls the ADER approximation. The two unknown stage vectors are solved successively through two $N$-unknown systems. The completed step is fourth order and L-stable; the parameter $C_q=5/183$ cancels the leading inverse-power term and changes the deep-stiff amplification from $O(|z|^{-1})$ to $O(|z|^{-2})$. For fixed compatible spatial spaces, a slow\u0026ndash;fast decomposition proves a full-step asymptotic-preserving operator limit with an $O(δ)$ estimate and gives a preparation-dependent uniform-accuracy classification. Linear finite-volume, nonlinear relaxation, one- and two-dimensional damping, diffusion-limit, and modal experiments verify the corresponding closure, accuracy, stability, and singular-limit claims within their stated scopes.\n13. 用于敏感性分析的渐近保持伴随统一气体动力学格式 An asymptotic-preserving adjoint unified gas kinetic scheme for sensitivity analysis\n作者: Yue Zhang, Junzhe Cao, Wenpei Long, Kun Xu\n类别: math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-08-04\narXiv ID: 2608.03236v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.03236v1\n摘要: High-dimensional sensitivity analysis and uncertainty quantification for multiscale gas dynamics, spanning the continuum to rarefied regimes, require computationally efficient and mathematically consistent gradient evaluation. This paper develops a discrete adjoint method for the unified gas-kinetic scheme (UGKS) based on a dual-consistent formulation. The adjoint system is derived directly from the discrete microscopic velocity-distribution equation coupled with the macroscopic-moment compatibility conditions. To resolve the stiff cross-scale coupling, we propose an asymptotic-preserving (AP) adjoint formulation constructed via macroscopic-moment projection and microscopic lifting. Under this framework, the AP adjoint formulation eliminates the stiff collision coupling and removes the collision-time step restriction in the continuum regime. Numerically, a memory-efficient residual-evaluation algorithm that mirrors the forward UGKS cell-vertex data structure is implemented to bypass the memory bottleneck in velocity space. Furthermore, a macroscopic\u0026ndash;microscopic predictor\u0026ndash;corrector implicit marching scheme is designed to accelerate convergence without solving a globally coupled system. The accuracy, consistency, and robustness of the proposed AP-adjoint scheme are rigorously verified against an independent linearized UGKS solver across a wide range of Knudsen numbers, including lid-driven cavity heat conduction, microchannel thermal creep flow, and hypersonic flow past a circular cylinder.\n14. 用于逆滞后算子高效求值的半光滑牛顿法 A semi-smooth Newton method for efficient evaluation of the inverse hysteresis operator\n作者: Herbert Egger, Felix Engertsberger\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-04\narXiv ID: 2608.03191v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.03191v1\n摘要: We study the numerical evaluation of an energy-based vector hysteresis model and its incorporation into finite element simulations based on a vector potential formulation. The inherent non-smoothness of the hysteresis model poses challenges for both numerical analysis and implementation. Using tools from convex analysis, we characterize the forward and inverse hysteresis operators in terms of energy densities. This characterization yields well-posedness of the resulting models and leads to robust algorithms for their evaluation based on generalized semi-smooth Newton methods. It furthermore enables a seamless integration into magnetic field simulations, leading to nonlinear and non-smooth optimization problems at every load step. We discuss the finite element discretization, present a semi-smooth Newton method for the iterative solution, and establish global linear convergence with mesh-independent convergence rates. The theoretical results are illustrated by numerical experiments.\n15. 可压缩欧拉方程的选择准则：数值研究 Selection criteria for the compressible Euler equations: numerical study\n作者: Megala Anandan, Bahulayan Chalil Aravind, Mária Lukáčová-Medvid\u0026rsquo;ová, S. V. Raghurama Rao, Kedar Shridhar Wagh, Changsheng Yu, Jiahui Zhang\n类别: math-ph, math.NA\n发布日期: 2026-08-03\narXiv ID: 2608.02862v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.02862v1\n摘要: We numerically investigate selection criteria for dissipative weak solutions of the compressible Euler equations. Using the Kelvin-Helmholtz problem as a benchmark, we compare four standard numerical schemes - the viscous finite volume (VFV) method, the discrete velocity Boltzmann finite volume (DVBFV) method, the Runge-Kutta discontinuous Galerkin (RKDG) method, and the discontinuous Galerkin spectral element method (DGSEM), and demonstrate that each may converge to a different dissipative weak solution. We evaluate these solutions with respect to several selection criteria based on entropy production, total energy, and energy defect, and examine the sensitivity of selection functionals to the numerical diffusion inherent in each scheme.\n16. 两步重启共轭梯度法 Forsythe 猜想的证明 A Proof of the Forsythe Conjecture for the Two-Step Restarted Conjugate Gradient Method\n作者: Matthew J. Colbrook, George Stepaniants, Alex Townsend\n类别: math.NA, math.DS, math.OC\n发布日期: 2026-08-03\narXiv ID: 2608.02852v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.02852v1\n摘要: Forsythe conjectured in 1968 that the normalized residual directions of restarted conjugate gradients approach a two-cycle. We prove the conjecture for restart length two: unless the method terminates, its even and odd normalized residuals converge separately.\n17. 可追踪张量网络的计算 Computing with traceable tensor networks\n作者: Sarah Ellwein, Daniele Venturi\n类别: physics.comp-ph, math.NA\n发布日期: 2026-08-03\narXiv ID: 2608.02849v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.02849v1\n摘要: We introduce a new SVD-based tensor decomposition method for tensor networks with arbitrary graph topologies, extending classical hierarchical SVD-based techniques to networks with cycles and general connectivity. We also introduce addition and rounding procedures for traceable tensor graphs, enabling step-rounding time integration of high-dimensional PDEs directly in graph format, with rank truncation controlled to a prescribed tolerance at every time step. We demonstrate the new method on the decomposition of multivariate functions and on the numerical solution of the Fokker-Planck equation, and find that the graph-format representation attains comparable or better accuracy than the classical tensor train and hierarchical Tucker tensor formats, while using substantially fewer degrees of freedom at lower computational cost.\n18. 隐式-显式和分裂显式超时间步进方法 Implicit-explicit and split-explicit super-time-stepping methods\n作者: Daniel R. Reynolds, Sylvia Amihere, Mustafa Aggul\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-03\narXiv ID: 2608.02823v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.02823v1\n摘要: Multiphysics initial-value problems couple processes with distinct stability properties, such as advection, diffusion, and stiff local reactions. Standard implicit-explicit (ImEx) additive Runge\u0026ndash;Kutta (ARK) methods can treat these processes accurately, but require globally coupled implicit solves when diffusion is grouped with reaction; operator splitting avoids such solves but typically provides weaker coupling and no inexpensive temporal error estimate; and PIROCK is tied to a specific Runge\u0026ndash;Kutta\u0026ndash;Chebyshev super-time-stepping (STS) construction. We introduce extended super-time-stepping (ExtSTS) methods, a family of time integration schemes that combine super-time-stepping methods for diffusive terms with explicit, implicit, or ImEx Runge\u0026ndash;Kutta treatment of the remaining terms. The coupling is based on multirate infinitesimal techniques, yielding solve-decoupled methods that retain localized implicit solves, support embedded error estimation for adaptive time stepping, and allow flexible use of modern STS methods. We present the ExtSTS method family, provide a robust technique for ExtSTS method creation, formulate the corresponding linear stability theory, and construct embedded ImEx, explicit, and implicit ExtSTS methods. Numerical experiments on one- and two-dimensional advection-diffusion-reaction problems show that ExtSTS methods are robust across parameter regimes and boundary conditions, and are often more efficient than ARK, Strang splitting, and PIROCK methods, especially when strong coupling between operators is important.\n19. 积分希尔伯特空间与圈量子宇宙的动力学 Integral Hilbert spaces and the dynamics of loop quantum cosmos\n作者: Janek Kozicki, Tomasz Pawłowski\n类别: gr-qc, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-08-03\narXiv ID: 2608.02798v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.02798v1\n摘要: Polymer quantization program applied in Loop Quantum Gravity/Cosmology leads to nonseparable Hilbert spaces. Commonly, one sidesteps this problem by singling out and working with a separable superselection sector. This is however often no longer accessible in more involved models beyond isotropic ones. In an alternative approach one builds a separable Hilbert space as an integral over all available sectors. Here we test the dynamics following from the latter on the example of a flat isotropic Universe admitting negative cosmological constant and a massless scalar field. There, numerical evolution of (initially) semiclassical states shows that there is no relevant difference in their long term semiclassicality properties in comparison to those in a single sector approach. Further, the older (problem-specific) numerical methods are compared against an application of more common and more efficient standard tools (eigen library).\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-05_10-18-01/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月05日 10:18:01\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 19\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-有界域上的自适应-rbf-多尺度逼近\"\u003e1. 有界域上的自适应 RBF-多尺度逼近\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eAdaptive RBF-multiscale approximation on bounded domains\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e作者\u003c/strong\u003e: Federico Lot, Christian Rieger\u003c/p\u003e","title":"2026年08月05日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月04日 10:23:08\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 5\n不相关论文数量: 35\n重点关注论文（完整分析） 1. 混合边界交界面处梯度依赖半线性方程中的对数共振 Logarithmic Resonance at Mixed Boundary Junctions in Gradient-Dependent Semilinear Equationsv\n作者: Marin Mišur\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-03\narXiv ID: 2608.01790v1\n摘要翻译: 椭圆型偏微分方程的解在混合 Dirichlet-Neumann 边界交界处的正则性严重退化, 经典上表现为一个 $\\mathcal{O}(r^{1/2})$ 的首项奇异函数。虽然这种线性行为已有充分记录, 但引入梯度依赖的半线性扰动会改变局部渐近剖面。本文证明, 与 $|\\nabla u|$ 成线性关系的梯度惩罚项会诱导出一个高度局域化的 $\\mathcal{O}(r^{-1/2})$ 源项, 该源项与主齐次微分算子的半整数谱发生共振。这种非正交共振导致标准的可分离多项式假设在 $\\mathcal{O}(r^{3/2})$ 阶失效。我们建立了一个广义共振定理, 它强制出现对数异常, 并给出了所产生的 $r^{3/2} \\ln(r)$ 剖面的精确解析形式, 以及对余项的严格局部 Sobolev 正则性界。通过计算 $\\ell_1$, $\\ell_2$, $\\ell_\\infty$ 以及任意 $\\ell_q$-范数惩罚的对数系数和角偏移, 我们证明了这种障碍的普适性。最后, 我们形式化了相应的丰富连续 Galerkin 空间 (XFEM), 建立了其拟最优性, 并给出了有限元实验, 这些实验确认了所预测的局部污染, 在无曲率的平坦交界上针对 $\\ell_1$, $\\ell_2$ 和 $\\ell_\\infty$ 惩罚恢复出了所预测的对数系数, 并表明解析交界可恢复标准有限元求解器的最优自由度效率; 最后我们简要指出了完全丰富实现所需的目标软件架构。\nComment: Work in progress\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.01790v1\n1. 研究对象和背景 本文研究椭圆偏微分方程在混合 Dirichlet-Neumann 边界结点处的解的正则性。考虑有界区域 $\\Omega \\subset \\mathbb{R}^2$，其边界 $\\partial\\Omega$ 分为 Dirichlet 部分 $\\Gamma_D$ 和 Neumann 部分 $\\Gamma_N$，在结点 $P \\in \\overline{\\Gamma_D \\cap \\Gamma_N}$ 处边界条件发生跃变。假设在 $P$ 附近边界局部平坦，即内角为 $\\pi$，并建立局部极坐标 $(r,\\theta)$，使得 $\\Gamma_D$ 对应于 $\\theta=0$，$\\Gamma_N$ 对应于 $\\theta=\\pi$。方程形式为 $$ -\\Delta u + \\mu u = f(x, u) + g(\\nabla u) \\quad \\text{在 } \\Omega \\text{ 中}, $$ 带有混合边界条件 $u=0$ 在 $\\Gamma_D$，$\\nabla u\\cdot \\boldsymbol{\\nu}=0$ 在 $\\Gamma_N$。这里 $\\mu \u003e 0$ 保证强单调性，$g:\\mathbb{R}^2 \\to \\mathbb{R}$ 是梯度依赖的惩罚项，满足全局 Lipschitz 连续且正齐次度为一 (即 $g(\\alpha \\mathbf{p}) = \\alpha g(\\mathbf{p})$，$\\forall \\alpha\u003e0$)，例如 $\\ell_1$、$\\ell_2$、$\\ell_\\infty$ 范数以及各向异性罚项等。$f(x,u)$ 为较温和的源项，具有足够的可积性。\n经典的线性 Poisson 方程在混合结点附近的奇异性理论已确立：解的主导奇性函数为 $c_0 r^{1/2}\\sin(\\theta/2)$，这导致标准有限元方法的收敛率退化。为恢复最优收敛，需要在离散空间中显式引入此奇性函数（如 XFEM）。然而，引入梯度依赖的半线性项后，由于 $\\nabla u_0 \\sim r^{-1/2}$，$g(\\nabla u)$ 会产生一个强奇异源项 $O(r^{-1/2})$，其径向指数 $-1/2+2 = 3/2$ 恰好与齐次 Sturm-Liouville 算子 $-\\partial_\\theta^2$ 在混合边界条件下的特征值 $\\lambda=3/2$（对应的特征函数为 $\\sin(3\\theta/2)$）重合。根据 Kondrat\u0026rsquo;ev 的角点渐近理论，当强迫项的径向指数与算子铅笔的特征值匹配时，标准的分离变量展开会失效，并且必须引入对数项来修正。然而，以往的工作主要关注线性问题或右端强迫直接由几何或显式非齐次项引起的共振，本文首次证明，在梯度依赖半线性方程中，共振可以由非线性自身内在产生。这一机制揭示了此类方程在混合结点附近的一个全新的对数反常现象，并具体确定了其函数形式，填补了半线性椭圆方程角点渐近分析的空白。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果是对数共振定理（定理1）及其对不同梯度罚范数的应用。定理1断言：在上述几何与假设下，若 $c_0 \\neq 0$ 且非正交条件 $\\kappa = \\int_0^\\pi G(\\theta) \\sin(3\\theta/2) \\mathrm{d}\\theta \\neq 0$ 成立，则解在结点 $P$ 附近不能展开为纯幂次函数 $\\{r^{k+1/2}\\Theta_k\\}$，而必须包含对数项，其局部渐近展开为 $$ u(r,\\theta) = c_0 r^{1/2} \\sin\\frac{\\theta}{2} - \\frac{2\\kappa}{3\\pi} r^{3/2} \\ln r \\, \\sin\\frac{3\\theta}{2} + r^{3/2} \\Bigl( \\Psi(\\theta) + c_1 \\sin\\frac{3\\theta}{2} \\Bigr) + R(r,\\theta). $$ 其中 $G(\\theta) = g(\\boldsymbol{v}(\\theta))$，$\\boldsymbol{v}(\\theta)=\\frac{c_0}{2}(-\\sin(\\theta/2), \\cos(\\theta/2))$ 是 $\\nabla u_0$ 的角向量场，$\\kappa$ 为上述非正交积分。$\\Psi(\\theta)$ 是边值问题 $\\Psi'' + \\frac{9}{4}\\Psi = -G(\\theta) + \\frac{2\\kappa}{\\pi} \\sin(3\\theta/2)$ 在 $\\Psi(0)=\\Psi'(\\pi)=0$ 且与 $\\sin(3\\theta/2)$ $L^2$-正交条件下的唯一解。$c_1$ 是第二个应力强度因子，对应于齐次模 $r^{3/2}\\sin(3\\theta/2)$ 的振幅，由全局解确定。 剩余项 $R$ 满足正则性引理1：若 $f(x,u_0) \\in L^p_{\\mathrm{loc}}(\\Omega)$，$p\u003e2, p\\neq 4$，则 $R \\in W^{2,p}_{\\mathrm{loc}}(\\Omega)$，特别地 $R \\in C^{1,\\gamma}$（$\\gamma=1-2/p$）；当 $p=4$ 时，$R \\in W^{2,p'}_{\\mathrm{loc}}$ 对一切 $p'\u003c4$ 成立，从而 $R \\in C^{1,\\gamma}$ 对所有 $\\gamma\u003c1/2$ 成立；若 $f(x,u_0) \\in L^\\infty_{\\mathrm{loc}}$，则逐点有 $R=O(r^2)$。 此外，文中具体计算了 $\\ell_1$ 范数（Mišur 格式）的对数系数：$G(\\theta)=\\frac{c_0}{2}(\\sin\\frac{\\theta}{2}+\\cos\\frac{\\theta}{2})$，得到 $\\kappa = \\frac{c_0}{3}$，$A=-\\frac{2c_0}{9\\pi}$，并给出 $\\Psi$ 的解析表达式。对于 $\\ell_2$ 范数，$\\kappa = \\frac{c_0}{2}$，$A=-\\frac{c_0}{3\\pi}$；对于 $\\ell_\\infty$ 范数，$\\kappa = \\frac{2c_0}{3}$，$A=-\\frac{4c_0}{9\\pi}$。作者还给出了一般 $\\ell_q$ 范数的结果，以及包含对流项的罚函数的例子，证明了共振的普遍性，但同时也指出通过调节横向漂移参数可使共振抵消（$\\kappa=0$），此时对数项消失。 在数值方面，文章构造了包含 $\\{r^{1/2}\\sin(\\theta/2), r^{3/2}\\ln r \\sin(3\\theta/2), r^{3/2}\\Psi(\\theta)\\}$ 等的增强连续 Galerkin 空间（XFEM），证明了逼近的拟最优误差估计。有限元实验在单位圆盘上进行，数值提取的对数系数与理论预测一致，并展示了仅增强 $r^{1/2}$ 项无法恢复最优收敛率，而包含对数项后，结点附近的污染被消除，自由度效率恢复最优。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的证明核心是处理梯度惩罚项带来的奇异源项与齐次算子谱的共振。整体分析框架基于 Kondrat\u0026rsquo;ev 加权 Sobolev 空间理论，并结合了算子铅笔、Fredholm 二择一以及角点渐近展开的标准技术。具体技术路线和创新点如下：\n局部展开与方程分解：首先利用先验正则性（命题1）将解写为 $u = u_0 + u_{\\mathrm{reg}}$，其中 $u_0 = c_0 r^{1/2}\\sin(\\theta/2)$，$u_{\\mathrm{reg}} \\in H^2_{\\mathrm{loc}}$。然后将方程右端分离为 $r^{-1/2}G(\\theta)$ 与一个更正则的剩余项 $\\tilde{F}_{\\mathrm{reg}}$。这里的关键是利用 $g$ 的正齐次性得到 $g(\\nabla u_0)=r^{-1/2}G(\\theta)$。\n共振的识别与对数 ansatz：对奇异项应用分离变量，设 $u_1 \\propto r^{3/2}\\Theta_1(\\theta)$，代入极坐标拉普拉斯算子导致常微分方程 $\\Theta_1'' + \\frac{9}{4}\\Theta_1 = -G$。由于齐次问题的解 $\\sin(3\\theta/2)$ 是特征函数，Fredholm 二择一要求右端与特征函数正交。由非正交假设 $\\kappa \\neq 0$，此方程无解，标志着纯幂次展开的失效。为突破这一障碍，作者采用标准的对数-幂次合形变：$u_1 = r^{3/2}\\ln r\\,\\Phi(\\theta) + r^{3/2}\\Psi(\\theta)$。代入后，令 $\\ln r$ 项的主部为零导出 $\\Phi''+\\frac{9}{4}\\Phi=0$，结合边界条件得 $\\Phi = A\\sin(3\\theta/2)$。再处理 $O(r^{3/2})$ 项得到 $\\Psi$ 的非齐次方程，其可解性条件 $-\\kappa - 3A(\\pi/2)=0$ 唯一确定了 $A$。这一步骤巧妙地运用了 Fredholm 二择一两次，第一次说明无对数项则不可解，第二次确定对数系数。$\\Psi$ 的确定需再次使用齐次方程的解作为自由度，并通过正交化条件固定特解，余下的齐次解振幅 $c_1$ 由全局匹配决定。\n剩余项的正则性分析：扣除 $u_0$ 和 $u_1$ 后，剩余项 $R$ 满足 $-\\Delta R + \\mu R = F_R$，其中右端已不含 $r^{-1/2}$ 奇性，且 $F_R$ 的可积性取决于 $f$ 和 Lipschitz 估计。通过自举（bootstrap）论证和加权椭圆估计，将 $R$ 提升到 $W^{2,p}_{\\mathrm{loc}}$。具体地，先由 $H^1$ 到 $H^2$ 利用 $L^2$ 数据，然后因 $R$ 不含低于 $5/2$ 的奇异模，且 $2-2/p$ 不在特征值集上（避开 $p=4$），加权估计保证 $R$ 的 $W^{2,p}$ 正则性。当 $p=4$ 时，由于 $2-2/p=3/2$ 恰为特征值，不能直接得到 $W^{2,4}$，但通过略小的指数获得 $W^{2,p'}$。若数据有界，则进一步得到 $O(r^2)$ 点估计。\n数值方法设计：基于渐近展开，作者构造了增广有限元空间，将奇异函数和对数项作为节点富集函数纳入，并证明了 Galerkin 逼近的拟最优性（在加权范数下）。有限元实验验证了共振引起的局部污染、对数系数的提取以及最优收敛率的恢复。\n整个证明的核心创新在于：将非线性产生的自适应源项与线性算子的谱特征联系起来，揭示了非线性效应可以直接激发对数共振，而不需要外加的边界奇性或几何参数聚合。这扩展了 Kondrat\u0026rsquo;ev 理论的适用范围，并为梯度依赖半线性方程的数值解提供了必要的先验信息。\n4. 与之前工作的比较 本文的工作与已有研究在以下几个方面有明显的推进和区别：\n与线性混合边值问题角点渐近理论的比较：Kondrat\u0026rsquo;ev 的经典理论（见文献 [8,9,13]）指出，当右端项的径向指数与算子铅笔的特征值重合时，解的展开中会出现对数项。以往这种共振通常出现在右端项本身具有匹配的径向奇性，或由于角点角度改变导致特征值重合（如重新进入角 $\\alpha \u003e \\pi$ 时的双重强奇性）。本文的新颖之处在于，共振完全由非线性项 $g(\\nabla u)$ 内在产生：齐次解 $u_0$ 的梯度提供了 $O(r^{-1/2})$ 因子，而 $g$ 的正齐次性将其转化为与特征值 $3/2$ 匹配的源项。这与预先指定的右端项无关，是方程自洽性的结果。因此，即使几何上是最简单的平坦结点 ($\\alpha=\\pi$)，共振依然发生，这在纯线性理论中并非典型现象。\n梯度依赖半线性方程相关工作的比较：对带有 $g(\\nabla u)$ 的方程的研究常聚焦于解的存在性、正则性和泛函极小化（例如文献 [2,11]）。Mišur (2021) 通过变分方法证明了解的存在唯一性，并提出了 XFEM 格式进行数值模拟，但其关注点在于离散收敛性，并未分析局部渐近行为的奇异性转变，也没有意识到 $\\ell_1$ 罚项会导致对数污染。本文明确揭示了这一机制，并针对 Mišur 的模型给出了精确的对数系数和角依赖函数，从而为其数值方案中观察到的某些次优收敛行为提供了理论解释，并指明了必须增强哪些局部函数才能恢复最优阶。\n关于角点角度的一般性讨论：本文明确指出，对数共振在角度为 $\\pi$ 的平坦结点上并非特例，而在更一般的角度 $\\alpha \\neq k\\pi$ 时不发生，因为匹配条件 $\\pi/(2\\alpha)+1 = (k+1/2)\\pi/\\alpha$ 要求 $\\alpha = k\\pi$。因此，这种共振是“在梯度罚泛函中普遍的，但在几何上是例外的”。这一定性结论与其他角点奇异性研究不同：以往对数项的出现往往与角点角度密切相关（如 $2\\pi$ 角的裂缝），而此处平坦结点竟然出现对数项，更出人意料。\n数值处理策略的拓展：经典的 XFEM 通常只增强已知的局部奇性函数（如 $r^{1/2}\\sin(\\theta/2)$）。本文指出对于这类方程，仅增强 $O(r^{1/2})$ 和 $O(r^{3/2})$ 的幂函数是不充分的，必须显式包含 $r^{3/2}\\ln r$ 项才能在图集上消除污染。这与对具有对数奇性的界面问题或角点问题的增强方法精神一致，但针对的是由非线性产生的特殊对数项。文中实验证实了这点，并给出了包含对数项的增强空间设计及拟最优误差分析。\n假设与代价：本文的共振结论建立在几个关键假设之上：(a) $g$ 严格正齐次度为 1（线性增长）；若 $g(\\nabla u) \\sim |\\nabla u|^p$ 且 $p \\neq 1$，则无共振，除非存在空间权函数调节尺度（Remark 3）；(b) 应力强度因子 $c_0 \\neq 0$ 且非正交条件成立，否则展开可回归纯幂次形式。此外，分析局限于局部平坦的结点，且尚未考虑弯曲边界情形（弯曲边界会导致有限半径修正，使测量的对数系数偏离理论值，如数值实验所示）。文章结尾也提到了向三维碰撞边的推广只是概述，尚未完成。\n总之，本文在理论上揭示了半线性方程中一种由非线性与边界条件相互作用产生的新型对数奇性，并为其数值处理提供了系统框架，填补了该领域的空白。\n2. 面向温度相关非线性热辐射问题的复合材料结构高阶多尺度方法及其收敛性分析 A high-order multi-scale method and its convergence analysis for temperature-dependent nonlinear thermal radiation problems of composite structures\n作者: Hao Dong, Yongfei Hu, Jiale Linghu, Yaochuang Han\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-08-02\narXiv ID: 2608.01214v1\n摘要翻译: 精确预测具有温度相关特性的复合材料结构中的非线性辐射热传递在材料的高温应用中具有重要意义。本研究建立了一种高精度多尺度计算模型，该模型引入了新颖的高阶修正项，用于复合材料结构中非线性热辐射的高保真模拟，并能保持热量的局部平衡。此外，针对所得到的高阶多尺度解，还推导了显式的收敛率。进一步，发展了一种包含离线和在线计算阶段的高效多尺度算法，用于复合材料结构中非线性热辐射行为的高精度模拟，并获得了相应的收敛性分析。通过二维和三维数值算例验证了所提出多尺度方法的竞争性优势，不仅数值精度出色，而且在存储需求和计算时间方面均降低了计算成本。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.01214v1\n1. 研究对象和背景 本文研究具有周期性微观结构的复合材料在高温环境下的非线性辐射热传导问题。这类问题在航空航天工程中具有重要应用，因为复合材料在高温服役时，其热物性参数（密度 $\\rho$，比热容 $c$，导热系数 $k_{ij}$，吸收系数 $\\beta$）强烈依赖于温度，并且辐射换热成为主导传热机制，从而对流场的精确预测提出了挑战。所考察的数学模型为如下含快速振荡系数的非线性热辐射方程：\n$$ \\begin{cases} \\rho^\\varepsilon(x, T^\\varepsilon) c^\\varepsilon(x, T^\\varepsilon) \\frac{\\partial T^\\varepsilon}{\\partial t} - \\frac{\\partial}{\\partial x_i} \\left( k_{ij}^\\varepsilon(x, T^\\varepsilon) \\frac{\\partial T^\\varepsilon}{\\partial x_j} \\right) + \\beta^\\varepsilon(x, T^\\varepsilon) \\sigma_B (T^\\varepsilon)^4 = h(x,t) , \u0026 \\text{在} \\ \\Omega \\times (0,t^*) \\text{ 中},\\\\[4pt] T^\\varepsilon(x,t) = \\hat{T}(x,t), \u0026 \\text{在} \\ \\partial\\Omega_T \\times (0,t^*) \\text{ 上},\\\\[4pt] k_{ij}^\\varepsilon(x, T^\\varepsilon) \\frac{\\partial T^\\varepsilon}{\\partial x_j} n_i = \\hat{q}(x,t), \u0026 \\text{在} \\ \\partial\\Omega_q \\times (0,t^*) \\text{ 上},\\\\[4pt] T^\\varepsilon(x,0) = \\tilde{T}(x), \u0026 \\text{在} \\ \\Omega \\text{ 上}. \\end{cases} $$这里 $\\Omega \\subset \\mathbb{R}^d \\ (d=2,3)$ 是有界凸区域, 边界 $\\partial\\Omega = \\partial\\Omega_T \\cup \\partial\\Omega_q$ Lipschitz 连续且 ${{\\partial\\Omega_T}}$ 正测度; $\\varepsilon$ 为微观结构周期, 表征非均匀性尺度; $T^\\varepsilon$ 为待求温度场; $\\sigma_B$ 为 Stefan-Boltzmann 常数; $h$, $\\hat{T}$, $\\hat{q}$, $\\tilde{T}$ 分别为内热源、边界给定温度、边界热流和初始温度. 所有材料系数均依赖于温度且具有周期为1的微观振荡: $$\\rho^\\varepsilon(x,T) = \\rho(x/\\varepsilon, T),\\quad c^\\varepsilon(x,T) = c(x/\\varepsilon, T),\\quad k_{ij}^\\varepsilon(x,T) = k_{ij}(x/\\varepsilon, T),\\quad \\beta^\\varepsilon(x,T) = \\beta(x/\\varepsilon, T),$$ 其中 $y=x/\\varepsilon\\in Q:=(0,1)^d$ 为微观坐标. 基本假设包括: (A1) $k_{ij}$ 对称且一致椭圆: $k|\\xi|^2 \\le k_{ij}(y,T)\\xi_i\\xi_j \\le \\bar{k}|\\xi|^2$, 常数 $k,\\bar{k}\u003e0$ 不依赖 $\\varepsilon$ 和 $T$; (A2) 所有物性系数一致有界远离零; (A3) 物性系数关于温度 Lipschitz 连续; (A4) 数据函数具有足够的光滑性以保证后续分析.\n直接的精细数值模拟因需要网格尺度远小于 $\\varepsilon$ 而计算开销过大. 经典的均化方法 (Cioranescu, Babuška, Oleinik 等) 通过平均化处理得到宏观有效方程, 能够预测整体行为, 但无法恢复微观尺度的振荡细节. 为克服这一缺陷, 多种多尺度数值方法被提出, 如多尺度有限元法 (MsFEM), 异质多尺度方法 (HMM), 变分多尺度方法 (VMS), 局部正交分解方法 (LOD) 等. 然而, 这些方法对于高反差材料复合结构的模拟往往精度不足. 近年来, 崔俊芝团队系统性地建立了面向复合材料热、力、多物理场问题的高阶多尺度渐近方法, 通过引入高阶校正项显著提高了多尺度解的精度, 同时保持计算效率.\n对于考虑热辐射的传热问题, Amosov 研究了非稳态辐射-导热耦合系统的半离散格式与渐近近似, Bakhvalov 给出了周期性介质中辐射传热的平均化方法及温度场的渐近展开, Allaire 等对非线性辐射热传导问题进行了均化分析并指出二阶校正项对于重构多尺度解必不可少. Huang 等利用 Rothe 方法证明了辐射传热模型非负弱解的整体存在唯一性, 并导出了含 $\\varepsilon^{1/2}$ 阶显式收敛率的多尺度渐近展开; 进一步针对非齐次初边值条件获得了 $\\varepsilon$ 阶收敛率, 并发展了相应的数值算法. Han 等提出了三维半透明介质辐射传热的快速多极边界元法. 上述工作均未考虑材料物性参数对温度的依赖性, 而高温环境中物性变化剧烈, 温度依赖性不可忽略.\n本文的核心创新在于: 首次将温度依赖性引入非线性热辐射方程的多尺度渐近分析框架, 建立了包含新颖高阶校正项的高精度多尺度计算模型, 能够保持局部热量的精确平衡; 推导了高阶多尺度解的显式收敛率; 发展了离线微观计算与在线宏观及多尺度计算相结合的两阶段高效算法. 本文的工作填补了温度依赖复合材料非线性辐射传热高阶多尺度模拟的理论空白, 为高温结构设计提供了可靠且高效的计算手段.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果包括三个方面: 高阶多尺度渐近展开模型的构造, 多尺度解的误差分析以及高效多尺度算法设计. 具体地:\n基于经典多尺度渐近展开框架, 假设真解 $T^\\varepsilon$ 具有形式展开 $T^\\varepsilon = T_0 + \\varepsilon T_1 + \\varepsilon^2 T_2 + O(\\varepsilon^3)$, 其中 $T_0$ 为宏观温度, $T_1$, $T_2$ 分别为一阶和二阶微观校正项. 利用 Taylor 展开处理系数与温度的非线性依赖, 代入原始方程并收集 $\\varepsilon$ 的同次幂, 得到一系列递推方程. 从 $O(\\varepsilon^{-2})$ 方程得出 $T_0$ 与微观变量 $y$ 无关; 从 $O(\\varepsilon^{-1})$ 方程定义了 $$ T_1(x,y,t) = M_{\\alpha_1}(y,T_0) \\frac{\\partial T_0}{\\partial x_{\\alpha_1}}, $$ 其中一阶辅助单胞函数 $M_{\\alpha_1}$ 满足单元胞上的周期边值问题 (13). 通过体积平均 $O(\\varepsilon^0)$ 方程, 导出宏观均化方程 (14), 均化系数 (15) 由一阶单胞函数和原始系数决定, 且均显式依赖于 $T_0$. 对 $O(\\varepsilon^0)$ 方程进一步分解, 得到二阶校正项的具体表达式 $$ \\begin{aligned} T_2(x,y,t) \u0026= M_{\\alpha_1\\alpha_2}(y,T_0) \\frac{\\partial^2 T_0}{\\partial x_{\\alpha_1}\\partial x_{\\alpha_2}} + G(y,T_0) \\frac{\\partial T_0}{\\partial t} + N(y,T_0) (T_0)^4 \\\\ \u0026\\quad + N_{\\alpha_1}(y,T_0) \\frac{\\partial T_0}{\\partial x_{\\alpha_1}} + N_{\\alpha_1\\alpha_2}(y,T_0) \\frac{\\partial T_0}{\\partial x_{\\alpha_1}}\\frac{\\partial T_0}{\\partial x_{\\alpha_2}}, \\end{aligned} $$ 其中 $M_{\\alpha_1\\alpha_2}$, $G$, $N$, $N_{\\alpha_1}$, $N_{\\alpha_1\\alpha_2}$ 为五类二阶辅助单胞函数, 分别满足与均化系数、热容、辐射源、非齐次项以及非线性耦合项对应的单胞问题 (18)–(22). Lax-Milgram 定理结合假设 (A1) 保证了所有单胞问题对每个固定 $T_0$ 存在唯一解. 最终得到了显式的高阶多尺度渐近解 (23).\n对多尺度解进行了点态局部误差分析和全局积分意义下的误差估计. 引入一阶逼近 $T^{(1\\varepsilon)} = T_0 + \\varepsilon T_1$ 和二阶逼近 $T^{(2\\varepsilon)} = T^{(1\\varepsilon)} + \\varepsilon^2 T_2$, 并定义相应残差. 点态分析表明, 所构造的高阶多尺度解能够在局部保持热流平衡, 这是对经典均化方法的重要改进. 全局误差分析给出了显式收敛率: (从摘要中可知) 推导了高阶多尺度解的显式收敛阶, 但提供的内容第3.1节仅开始定义残差, 后续第3.2节以及具体定理未在摘录中显示, 因此具体收敛阶 (如 $\\varepsilon^2$ 或 $\\varepsilon$) 无法从提供内容中确认.\n设计了一种高效的两阶段数值算法: 离线阶段针对离散温度采样点预求解所有单胞问题, 计算并存储均化系数; 在线阶段求解宏观均化方程, 并利用预存单胞函数重构多尺度解. 该算法将微观计算与宏观计算解耦, 显著降低了计算存储量和时间成本. 数值算例验证了该方法在二维和三维问题中的高精度与高效率.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术路径是: 通过多尺度渐近展开结合系数在宏观温度附近的 Taylor 展开, 将温度依赖性非线性转化为一系列在周期胞元上的拟线性单胞问题. 主要技术障碍及创新点如下:\n非线性系数温度依赖的处理. 由于物性系数 $\\Psi^\\varepsilon(x,T^\\varepsilon)$ 直接依赖于未知温度 $T^\\varepsilon$, 经典的多尺度展开 (系数视为仅依赖于 $y$) 不再适用. 作者巧妙地将系数的微观表达 $\\Psi(y,T^\\varepsilon)$ 在宏观温度 $T_0$ 处进行 Taylor 展开: $$ \\Psi(y,T^\\varepsilon) = \\Psi(y,T_0) + \\varepsilon T_1 D^{(0,1)}\\Psi(y,T_0) + \\varepsilon^2 \\bigl[ T_2 D^{(0,1)}\\Psi(y,T_0) + \\tfrac12 T_1^2 D^{(0,2)}\\Psi(y,T_0) \\bigr] + O(\\varepsilon^3), $$ 这样就将非线性依赖转化为关于 $T_0$ 幂级数的形式, 每一阶的系数仅依赖于 $y$ 和已知的 $T_0$, 从而使得整个多尺度展开可以逐阶进行. 这是本文处理温度依赖性的关键创新.\n高阶校正项的系统构造. 与传统二阶校正仅引入二阶空间导数项不同, 本文的 $T_2$ 表达式中出现了时间导数项 $G\\, \\partial_t T_0$ 和辐射源项 $N\\, T_0^4$, 以及由系数温度依赖性产生的额外耦合项 $N_{\\alpha_1\\alpha_2} \\partial_{x_{\\alpha_1}}T_0 \\partial_{x_{\\alpha_2}}T_0$. 这些项分别源自 $O(\\varepsilon^0)$ 方程中与瞬态效应、辐射源以及 Taylor 展开中导数项相关的剩余项. 作者通过将 $T_2$ 的贡献分成五部分, 每部分对应一个特定的单胞问题, 实现了整个校正项谱系的完整解耦. 这种分解不仅具备清晰的物理意义, 而且保证了计算时各单胞问题相互独立, 可并行求解.\n单胞问题的适定性分析. 所有一阶和二阶单胞问题在形式上均为带有周期边界条件的椭圆型方程, 右端项依赖于已求得的宏观量和一阶单胞函数. 利用假设 (A1) 的一致椭圆性以及 Lax-Milgram 定理, 可以证明对任意固定宏观温度 $T_0$, 每个单胞问题存在唯一弱解. 求解这些单胞问题时, 宏观坐标 $x$ 和温度 $T_0$ 以参数出现, 这意味着在实际计算中需要为整个温度变化区间采样并求解一系列单胞问题, 但成本仍在可接受范围内.\n误差分析框架. 尽管提供的内容中未给出完整的误差估计证明, 但根据文献惯例及本文摘要, 可以推断作者采用了能量方法或比较原理, 将原始方程减去宏微观展开所满足的近似方程, 得到关于误差的方程, 然后通过先验估计获得收敛阶. 核心困难在于控制因系数温度依赖产生的非线性项, 这需要利用系数的 Lipschitz 连续性以及先验梯度估计. 在点态意义下的局部误差分析中, 作者定义了残差函数, 通过分析单元胞上的局部残差证明了二阶多尺度解能够满意地保持局部热平衡, 这为全局收敛奠定了基础.\n高效算法的实现. 算法的离线性在于预计算单胞函数对应的微观矩阵, 并组装均化材料参数表. 在线阶段则仅需求解宏观尺度的非线性抛物方程 (均化方程 (14)), 其规模与 $\\varepsilon$ 无关, 然后利用预先计算出的单胞函数进行后处理重构出精细尺度解. 这种策略充分利用了多尺度方法分离尺度的天然优势, 避免了反复在细网格上求解原问题.\n4. 与之前工作的比较 与前人工作的直接对比. 在辐射热传导多尺度分析领域，Allaire 等[32,33,34]建立了非线性辐射传递的均化理论与相应的二阶校正, 但其分析假设物性参数不随温度变化. Huang 等[35,36]采用 Rothe 方法得到了非稳态辐射传热方程的弱解存在唯一性与多尺度渐近展开, 并导出了 $\\varepsilon^{1/2}$ 和 $\\varepsilon$ 的显式收敛率, 同样未考虑温度依赖性. 本文首次将温度依赖性系统地纳入多尺度渐近框架, 这是最主要的推进. 相比 Huang 等的渐近展开只包含梯度校正, 本文的二阶展开项因温度依赖性而引入更多类型的校正 (时间导数项、辐射源项以及交叉导数项), 从而在同等周期尺度 $\\varepsilon$ 下能够捕获更丰富的微观信息. 从收敛阶角度看, 摘要声称推导了显式收敛率, 若该收敛率优于 $\\varepsilon$, 则本文在精度理论上比 Huang 等[36]的 $\\varepsilon$ 阶结果更进一步, 但具体阶数需要从全文获取.\n假设条件的差异. 本文对物性系数的基本假设 (A1)–(A4) 与已有工作类似 (一致椭圆性、有界性、光滑性), 但新增了 (A3) 中系数关于温度的 Lipschitz 连续性, 这是为了在 Taylor 展开中控制余项. 该假设在工程实际中通常是合理的, 且不会造成过强限制. 此外, 对初边值和外源数据的光滑性要求 (A4) 比单纯均化问题略高, 这是因为需要保证二阶校正项的有界性和误差估计的进行. 相较于 Allaire 等处理非线性辐射时的假设, 本文的条件更具针对性, 但本质上是相容的.\n适用范围与能力边界. 本文的方法针对周期性复合结构, 因此适用于具有明显周期微结构的材料, 如编织复合材料、点阵结构等. 均化系数与单胞函数均显式依赖于宏观温度 $T_0$, 这意味着在模拟过程中, 若温度场变化剧烈, 必须为不同的温度区间求解不同的单胞问题, 这增加了离线阶段的存储需求. 尽管如此, 得益于温度依赖的 Lipschitz 连续性, 可通过插值技术减少采样点. 此外, 本工作局限于非耦合的辐射-导热问题, 未考虑对流或相变, 并且辐射项的处理采用简化的 $\\beta\\sigma_B T^4$ 形式, 未涉及复杂介质的散射或光谱效应. 与 Allaire 等的方法相比, 本文的框架可直接推广至更一般的辐射传输方程, 但需要解决更高维度的单胞问题.\n计算代价与优势. 本文所提两阶段算法在计算效率上显然优于直接细网格求解, 也优于仅利用一阶均化的方法. 与 Allaire 等[34]的二阶校正相比, 本文需要额外求解 $G, N, N_{\\alpha_1}, N_{\\alpha_1\\alpha_2}$ 等单胞问题, 离线成本增加. 然而, 这些单胞问题只需在每个温度采样点上求解一次, 且相互独立, 可并行计算, 一旦前处理完成, 在线模拟的额外开销仅在于后处理中对解的重构, 这是可以忽略的. 数值实验 (摘要提及) 表明, 在计算时间和存储消耗方面, 所提多尺度方法具有显著竞争优势. 总体而言, 本文的工作在精度-代价平衡上为温度依赖复合材料辐射传热问题提供了目前最优的选择之一, 尤其适合需要反复参数化分析的设计优化问题.\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 信息几何正则化可压缩欧拉方程的间断 Galerkin 半离散 Discontinuous Galerkin Semidiscretization of the Information Geometric Regularized Compressible Euler Equations\n作者: Brook Eyob, Jesus Arias, Spencer H. Bryngelson, Florian Schäfer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-03\narXiv ID: 2608.02223v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.02223v1\n摘要翻译 中文标题: 信息几何正则化可压缩欧拉方程的间断 Galerkin 半离散\n摘要翻译: 可压缩欧拉流动中的激波镇定仍然是高阶数值方法的核心挑战。现有的激波捕捉方法，包括限制器、人工粘性和基于重构的方法，都涉及鲁棒性、精度、精细尺度流动特征的保持以及计算复杂性之间的权衡。本文针对Cao和Schäfer为可压缩欧拉方程引入的信息几何正则化（IGR）框架，建立了间断Galerkin（DG）离散。该方法在偏微分方程层面正则化激波，通过用辅助椭圆方程得到的熵压$Σ$增广欧拉方程。在DG格式中，正则化仅通过欧拉通量中的增广压力$P+Σ$进入，从而在保持离散守恒结构的同时，对双曲方程与椭圆方程使用公共的逼近空间。跨一维和二维基准问题的数值实验表明，所提的公式无需激波捕捉限制器或人工粘性即可稳定激波，尽管当密度或压力趋近零时可能仍然需要保正性方法。与特征TVB限制的DG格式对比，IGR-DG方法在提高多项式阶数时能解析越来越精细的流动特征，同时保持稳定的激波解析。熵压仍局限于强压缩区域，在流动的光滑区域激活程度最低，从而在保持其他地方底解的同时，在偏微分方程层面提供选择性正则化。\n2. Yang-Mills联络的有限元离散 Finite element discretization of Yang\u0026ndash;Mills connections\n作者: Geir Bogfjellmo, Charles Curry, Andreas Myklebust\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-03\narXiv ID: 2608.02108v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.02108v1\n摘要翻译 中文标题: Yang-Mills联络的有限元离散\n摘要翻译: 我们针对具有阿贝尔结构群的非平凡主丛上的Yang-Mills联络提出了一种有限元方法。局部联络形式满足由丛的转换函数导出的内部跳跃条件。我们在破碎的有限元外微分空间中离散这些形式，并通过拉格朗日乘子弱强制跳跃条件。我们证明了所得鞍点问题的适定性，并推导了一个先验收敛估计。针对霍普夫纤维化的数值实验说明了该方法，并展示了当球面由分片线性网格逼近时具有线性收敛性。\n3. tFUSOperator: 用于经颅聚焦超声数字孪生的算子学习 tFUSOperator: Operator Learning for Transcranial Focused Ultrasound Digital Twins\n作者: Minjee Seo, Haris Ghafoor, Minju Seol, Seonaeng Cho, Kyungho Yoon\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-03\narXiv ID: 2608.01839v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.01839v1\n摘要翻译 中文标题: tFUSOperator: 用于经颅聚焦超声数字孪生的算子学习\n摘要翻译: 经颅聚焦超声（tFUS）需要准确估计颅内声场，而该声场会被颅骨引起的像差扭曲。数值求解器虽然精确，但对于数字孪生而言计算开销过高，因为在数字孪生中，当治疗条件变化时声场需要被反复重新估计。现有的深度学习替代模型速度快，但通常使用固定网格上的体素到体素回归，缺乏反映声能如何穿透颅骨传播的机制。我们将tFUS仿真建模为一个算子学习问题，并提出了tFUSOperator，这是一种坐标感知的神经算子，它将自由场压力、颅骨解剖结构和治疗参数映射到共享物理坐标系下的颅内声场。据我们所知，这是首个基于算子的tFUS声场预测公式。在已见和未见的颅骨上，该模型均能准确定位声学焦点——分别达到约90%和72%的Dice系数——并且从磁共振（MR）输入与从计算机断层扫描（CT）输入相比表现几乎同样出色，同时运行速度比数值模拟快$5.6 \\times 10^4$倍。这些结果表明了一条快速、无辐射的途径，可以实现针对患者特异性tFUS治疗的安全且实用的数字孪生。代码可在以下链接获取：https://github.com/CMME-Lab/tFUSOperator.git。\n4. 一种带变分多尺度稳定的 Helmholtz-Leray 投影方法求解 Navier-Stokes 方程 A Helmholtz-Leray projection method with variational multiscale stabilization for the Navier-Stokes equations\n作者: Biswajit Khara, Suresh Murugaiyan, Makrand Khanwale, Baskar Ganapathysubramanian\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-01\narXiv ID: 2608.00843v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.00843v1\n摘要翻译 中文标题: 一种带变分多尺度稳定的 Helmholtz-Leray 投影方法求解 Navier-Stokes 方程\n摘要翻译: 不可压缩 Navier-Stokes 方程的 Galerkin 有限元格式面临两个主要挑战：维持稳定的速度-压力耦合以及控制对流占优区域的不稳定性。此外，整体格式产生耦合的非线性鞍点问题。本文提出一种基于残差变分多尺度（VMS）稳定的增量 Helmholtz-Leray 投影方法，将耦合的鞍点问题替换为非线性速度预测、压力 Poisson 方程和速度投影三个步骤。多尺度分解仅作用于预测速度；压力以及校正后的弱散度为零的速度均不分解为粗尺度和细尺度。模型化的速度细尺度一致地贡献到三个子问题中，在动量预测步中引入类 SUPG 稳定，并在压力 Poisson 方程中引入类 PSPG 残差贡献。我们给出形式误差分解，分离 BDF2 时间离散误差、投影分裂误差和空间 VMS 误差，并在给定的稳定性和空间逼近假设下，得到含二阶时间精度的组合速度误差估计。对人工解、顶盖驱动方腔流、圆柱绕流和 Taylor-Green 涡的数值结果与已有参考数据高度吻合。与整体 VMS 方法的对比表明，省略压力细尺度可减少对阻力的过度预测和额外的模型耗散，但代价是散度误差增大。在 Taylor-Green 测试中，在相同求解器设置下，该投影格式还将每步平均求解时间缩短约 $1.3\\times$ 至 $2.7\\times$。\n5. 保结构的随机Vlasov-Poisson方程动态低秩近似 Structure-Preserving Dynamical Low-Rank Approximations for Stochastic Vlasov\u0026ndash;Poisson Equations\n作者: Jianbo Cui, Carmela Scalone\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-01\narXiv ID: 2608.00397v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.00397v1\n摘要翻译 中文标题: 保结构的随机Vlasov-Poisson方程动态低秩近似\n摘要翻译: 我们针对带输运噪声的随机Vlasov-Poisson方程提出保结构的动态低秩方法。我们首先推导了连续的低秩演化方程，并证明通过包含与守恒量相关的固定速度模态，低秩动力学继承了原始随机模型的质量、动量和能量平衡律。然后，基于两种随机离散化，我们开发了两种增广基更新Galerkin（BUG）积分器：应用于等价Itô公式的Euler-Maruyama格式和直接应用于Stratonovich公式的Heun格式。这两种选择使我们能够研究随机时间离散化如何与保守的低秩框架相互作用。在两种情况下，基增广和保守的秩截断保留了相关的矩空间，并在降秩下提供了鲁棒性。数值实验展示了所提方法的守恒性质，并比较了两种随机公式引起的增广需求、随机修正项以及动量和能量行为。\n不相关论文（基本信息） 1. 关于在泊松-玻尔兹曼理论中计算非刚性蛋白质的极化溶剂化能 On calculating polar solvation energy of nonrigid proteins in the Poisson-Boltzmann theory\n作者: Matthias Dogbatsey, Yuanzhen Shao, Emil Alexov, Shan Zhao\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-08-03\narXiv ID: 2608.02525v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.02525v1\n摘要: The Poisson-Boltzmann (PB) theory is a cornerstone of implicit solvent models for electrostatic analysis, and has found a great success in various biomolecular applications. However, in calculating polar solvation energy, one should consider that the structure of the protein changes upon transition from vacuum to water phases. To address this, here we report for the first time a generalized PB framework capable of accommodating nonrigid conformational changes without suffering from self-energy artifacts. For regularized PB models, in which the charge singularities are captured by the Green\u0026rsquo;s functions, self-energies in the water and vacuum states will be analytically canceled. For non-regularized PB solvers, such as APBS and DelPhi, a simple thermodynamic cycle is proposed for nonrigid proteins by adding a Coulombic correction in vacuum. The generalized PB theory is validated using a perturbed two-atom system and a diverse set of proteins with different structures in vacuum and water, demonstrating its accuracy and robustness, regardless of the choice of sharp-interface and diffuse-interface PB models and different numerical solvers.\n2. 未调整朗之万算法的 Wasserstein 混合时间 Wasserstein mixing time of the unadjusted Langevin algorithm\n作者: Francesco Pedrotti, Peter A. Whalley\n类别: stat.CO, cs.LG, math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-08-03\narXiv ID: 2608.02430v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.02430v1\n摘要: We provide new estimates in Wasserstein distance for the asymptotic bias of the unadjusted Langevin algorithm, in the classical setting of log-smooth strongly log-concave measures. Our bound implies a Wasserstein mixing time of order $κ\\sqrt{d}/\\varepsilon$, where $κ$ is the condition number, $d$ is the dimension, and $\\varepsilon$ is the target precision: this improves by a factor of $\\sqrt{d}/\\varepsilon$ over the previous state-of-the-art results.\n3. 无方程多尺度建模中的广义投影积分格式 Generalised projective integration scheme in equation-free multiscale modelling\n作者: Tanay Kumar Karmakar, Durga Charan Dalal\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-03\narXiv ID: 2608.02419v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.02419v1\n摘要: When the spectrum of a system varies significantly over time, fixed choices of macro-, meso-, and micro-time steps, as well as burst lengths, become inadequate, necessitating adaptive and locally informed strategies. To address these challenges, this article proposes a novel and flexible generalised projective integration (GPI) scheme, designed to accommodate time-dependent spectral variation and dynamically evolving scale separation. The proposed framework unifies and extends several existing multiscale methodologies, thereby offering a more general and adaptable computational paradigm. A comprehensive stability analysis of the GPI scheme is carried out, including a detailed investigation of the splitting of the stability region, which forms a central component of this work. Furthermore, problem-dependent strategies for selecting the micro-, meso-, and macro-time steps, as well as the burst length, are developed and their impacts are systematically validated through numerical experiments. To assess the effectiveness of the proposed scheme, three representative problems with distinct types of spectral evolution are considered. The performance of the proposed GPI scheme is evaluated and compared with several existing projective integration methods as well as some widely used stiff solvers, based on (i) number of micro time steps, (ii) accuracy, (iii) computational time, (iv) memory usage and (v) proportion of micro-scale simulations. The results demonstrate that the GPI scheme consistently outperforms the existing methods in terms of performance.\n4. 基于熵产生率的生成扩散模型统一 Kullback\u0026ndash;Leibler 散度分析 A Unified Kullback\u0026ndash;Leibler Divergence Analysis of Generative Diffusion Models via Entropy Production Rate\n作者: Han Wu, Zhiwen Zhang\n类别: math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-08-03\narXiv ID: 2608.02406v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.02406v1\n摘要: We introduce a unified framework for the error analysis of generative models based on the entropy production rate of the forward-reverse diffusion process pair. For a pair of continuity equation flows, the rate admits a closed velocity form identity whose time integral decomposes the terminal Kullback\u0026ndash;Leibler (KL) divergence into the sum of an initialization error, a score approximation error, and a time-discretization error. By analyzing the entropy production at the level of marginal distributions, rather than in path space, our framework yields a sharp convergence rate of $\\mathcal{O}(h^2)$ for the Euler-Maruyama sampler, where $h$ is the step size. This improves upon the $\\mathcal{O}(h)$ rates typically obtained from Girsanov\u0026rsquo;s path-space analyses. Furthermore, our framework unifies the analysis of score-based SDEs, probability-flow ODEs, and stochastic interpolants by varying diffusion coefficients within a single inequality, revealing the trade-off between deterministic and stochastic sampling. Numerical experiments confirm the predicted scaling with step size and terminal time.\n5. 双调和Cauchy问题的最小二乘弱Galerkin方法 A Least-Squares Weak Galerkin Method for the Biharmonic Cauchy Problem\n作者: Chunmei Wang, Shangyou Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-03\narXiv ID: 2608.02317v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.02317v1\n摘要: We develop a least-squares weak Galerkin (LS-WG) finite element method for the Cauchy problem of the biharmonic equation. The proposed approach reformulates the fourth-order equation as a coupled system of two second-order equations, which are discretized using discrete weak Laplacian operators on weak finite element spaces. The resulting least-squares formulation yields a symmetric positive definite linear system, thereby eliminating the discrete inf-sup condition required by mixed finite element methods while avoiding the construction of globally $C^1$-conforming finite element spaces. Furthermore, the weak Galerkin framework naturally accommodates general polygonal meshes, offering considerable flexibility in mesh generation and approximation. Under the assumption that the continuous biharmonic Cauchy problem admits a unique solution, we establish the uniqueness of the discrete LS-WG solution and derive optimal-order error estimates in a discrete energy norm. Numerical experiments confirm the theoretical convergence rates and demonstrate the accuracy, robustness, and effectiveness of the proposed method.\n6. 用于动态形状的连续鲁棒比较的推前变换 The Push-Forward Transform for Continuous and Robust Comparison of Dynamic Shapes\n作者: Roua Rouatbi, Juan-Esteban Suarez Cardona, Ivo F. Sbalzarini\n类别: cs.CV, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-08-03\narXiv ID: 2608.02306v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.02306v1\n摘要: We introduce a mathematical framework for shape comparison based on mapping functions from the shape domain to a common reference domain. This Push-Forward Transform enables invariant and robust comparison of shapes, preserving intrinsic geometric information. Quantitatively comparing shapes and their temporal evolution is a fundamental challenge in image analysis. Meaningful shape comparison requires representations that are invariant to transformations that do not alter shape itself, such as translation, rotation, reflection, re-parametrization, and uniform scaling, while remaining sensitive to intrinsic geometric variation. Existing approaches often rely on sensitive parameterizations, landmark correspondence, or learned representations that are difficult to interpret and reproduce. We show that the Push-Forward Transform (PF-T) applied to Signed Distance Functions (SDFs) yields a continuous representation that captures both boundary and interior geometry. We derive an interpretable morphometric that quantifies shape similarity and reveals features such as skeletal topology and rotational symmetries. The push-forward transform applies consistently to two- and three-dimensional shapes, extends to time-evolving geometries, and supports the joint analysis of shape and additional scalar fields defined over shapes, such as intensity or molecular signals. We present the mathematical formulation, describe an efficient algorithm, and benchmark the approach on 2D, 3D, and temporal data sets.\n7. 非协调有限元方法的局部逐点后验误差估计 Localized pointwise a posteriori error estimates for nonconforming finite element methods\n作者: Yongxing Guo, Yuwen Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-03\narXiv ID: 2608.02132v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.02132v1\n摘要: This paper establishes localized pointwise a posteriori error estimates for nonconforming finite element discretizations of the Poisson and biharmonic equations. For the Poisson problem, we derive localized estimates for the function-value and broken gradient errors of the Crouzeix\u0026ndash;Raviart method. For the Morley discretization of the biharmonic equation, we derive a localized a posteriori estimate that controls the local Hessian error. The key ingredient is the design of two novel weight functions that facilitate sharp estimates of the (L^1) norms of derivatives of a regularized Green\u0026rsquo;s function for the biharmonic equation.\n8. Landau-Lifshitz-Gilbert方程的二阶BDF方法的后验误差分析 A posteriori error analysis for the second-order BDF method for the Landau-Lifshitz-Gilbert equation\n作者: Stefan Karch\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-03\narXiv ID: 2608.02021v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.02021v1\n摘要: The tangent plane scheme (TPS) is a well-established discretization of the Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) equation. However, rigorous a posteriori error estimates have not been established. In this work, we derive a rigorous a posteriori error estimate for the TPS based on the second-order backward differentiation formula (BDF(2)) in time and finite elements of arbitrary polynomial degree in space. The proposed estimators provide computable upper bounds for the temporal and spatial discretization errors on adaptive meshes with variable time-step sizes. This result establishes the mathematical foundation for fully adaptive algorithms for the LLG equation.\n9. 水平集函数定义区域上的 $H^{-1}$ 最小二乘 UnCut 有限元法 An $H^{-1}$ least-squares UnCut FEM on domains defined by a level set function\n作者: Jiashun Hu, Buyang Li, Han Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-03\narXiv ID: 2608.02015v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.02015v1\n摘要: We propose a novel UnCut finite element method (FEM) for the Poisson and Stokes equations on domains with curved boundaries represented by a level set function. Like the $φ$-FEM, the method avoids numerical integration over cut subregions of boundary elements, but introduces a novel least-squares formulation that minimizes an $H^{-1}$ residual of the governing equations. This formulation ensures stability without requiring large stabilization parameters, thereby eliminating the need for user-tuned penalty parameters and improving the robustness of the computation. Optimal-order convergence of the UnCut FEM solutions is rigorously established in the $H^1$ norm for both the Poisson and Stokes equations, and numerical experiments are presented to support the theoretical analysis.\n10. 度量图上分数扩散方程的数值逼近 Numerical approximation of fractional diffusion equations on metric graphs\n作者: David Bolin, Lenin Riera-Segura, Alexandre B. Simas\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-03\narXiv ID: 2608.01932v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.01932v1\n摘要: We study fractional diffusion equations on compact metric graphs, where the nonlocal dynamics is governed by fractional powers of the shifted Kirchhoff-Laplacian. Building on recent advances in the analysis of fractional operators on metric graphs, we establish a rigorous mathematical framework and propose a fully discrete scheme based on backward Euler time-stepping and finite element discretization. To approximate the action of the fractional operator, we employ rational approximations, reducing the problem to a sequence of sparse elliptic solves for efficient implementation. We derive error estimates for the temporal, spatial, and rational discretizations, and confirm convergence through numerical experiments.\n11. 关于与辐射传热相关的边值问题 On a boundary value problem related to radiative heat transfer\n作者: Mihai Halic\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-02\narXiv ID: 2608.01472v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.01472v1\n摘要: We consider the boundary value problem $y''=κ^2y^n, y(0)=1, y(1)=0,$ relevant to radiative heat transfer, chemical reactions, etc. We use upper/lower envelopes to study the qualitative and quantitative dependence of its solution on parameters, and transform it into an easily solvable initial value problem.\n12. Emden-Fowler方程的解析-数值方法 An analytical-numerical approach to the Emden-Fowler equation\n作者: Mihai Halic\n类别: math.NA, gr-qc\n发布日期: 2026-08-02\narXiv ID: 2608.01465v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.01465v1\n摘要: We investigate the Emden-Fowler equation $u''=-x^ru^p, u(0)=1, u'(0)=0$, with roots in astrophysics, and study the qualitative and quantitative dependence of its solution on the parameters; the analytical work is paralleled by numerical simulations. A special attention is given to estimating the first zero $x_0$ of $u$ in terms of $r, p$. The results are used to address two apparently new issues: first, we solve EF backwards starting from $x_0$; second, we transform it into an overdetermined boundary value problem and decide when is this solvable.\n13. 随机反问题中的结构和概率不确定性 Random Inverse Problems with Structural and Probabilistic Ambiguities\n作者: Wolfgang Hoegele\n类别: stat.ME, math.NA, stat.CO\n发布日期: 2026-08-02\narXiv ID: 2608.01439v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.01439v1\n摘要: In this concise paper, we investigate a computational class of random inverse problems that incorporates model uncertainties through random variable parameters nonlinearly in the forward model as well as additive observational uncertainty. Random inverse problems with nonlinear parameter dependencies may arise in engineering, geophysics, image processing or uncertainty quantification. We introduce a new perspective on structural ambiguities due to the non-injectivity of the forward model together with probabilistic ambiguities by assigning mixture model densities with separate components to the parameters, which leads to a possibly complex forward model, observation model and posterior. As a result, the mixture-model parameters in the forward model can be interpreted as simultaneously describing aspects of both the nonlinear ambiguity and the uncertainty of the inverse problem. The underlying solution algorithm is presented based on Bayesian inversion for three observation scenarios leading to posterior densities for the input for given output samples or an observed output density. By applying the derived algorithms to 1D and 2D quadratic models, we numerically demonstrate in which scenarios the proposed algorithm can resolve probabilistic ambiguities in the solution of the random inverse problem. It is demonstrated that making the residual structural ambiguities visible in the posterior and showing the interplay with probabilistic ambiguities is a relevant perspective, including cases with a finite and an infinite number of solutions.\n14. 径向基函数逼近与计算的结果、挑战与新进展 Results, challenges and new steps on RBF approximation and computation\n作者: Stefano De Marchi, Nadaniela Egidi, Josephin Giacomini, Pierluigi Maponi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-02\narXiv ID: 2608.01362v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.01362v1\n摘要: We present an up-to-date overview of approximation methods based on Radial Basis Function (RBF) techniques, which have recently attracted attention across various computational tools and application fields. This review study presents relevant results on RBF techniques, highlighting the associated computational challenges and stability issues that must be addressed when high-performance or parallel computation is required.\n15. 基于神经代理的控制变量法用于动理学方程的不确定性量化 Control variates with neural surrogates for uncertainty quantification in kinetic equations\n作者: Wei Chen, Giacomo Dimarco, Lorenzo Pareschi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-02\narXiv ID: 2608.01360v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.01360v1\n摘要: Efficient uncertainty quantification for kinetic equations with random inputs is challenging because it requires repeated simulations of high-dimensional models, such as the Boltzmann, Landau, and related collisional equations, whose computational cost can quickly become prohibitive. Multifidelity control variates address this difficulty by coupling a small number of high-fidelity simulations with many evaluations of lower-complexity reduced models. In this work, we analyze the case in which the reduced model is replaced by a neural surrogate rather than evaluated through a classical numerical scheme. We show that the resulting estimator remains unbiased and that the change in the optimal variance induced by the neural approximation is controlled by the error between the exact low-fidelity observable and its neural approximation. This estimate is then combined with residual stability estimates for inhomogeneous Fokker\u0026ndash;Planck and Bhatnagar\u0026ndash;Gross\u0026ndash;Krook surrogates. We also extend the analysis to several control variates and to an asymptotic-preserving (AP) hierarchy containing the limiting Euler observable. In the fluid limit, the optimal hierarchical variance converges to the variance associated with the limiting Euler control, while the contribution of the intermediate kinetic correction vanishes. Numerical tests based on micro\u0026ndash;macro neural surrogates illustrate the predicted variance stability and the behavior of the AP hierarchy.\n16. 基于高阶WENO的半隐式牛顿型快速扫描方法用于静态Hamilton-Jacobi方程 High-order WENO-based semi-implicit Newton-type fast sweeping methods for static Hamilton-Jacobi equations\n作者: Yuan Liu, Jianliang Qian\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-02\narXiv ID: 2608.01304v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.01304v1\n摘要: In this paper, we propose high-order weighted essentially non-oscillatory (WENO)-based semi-implicit Newton-type Gauss-Seidel Lax-Friedrichs fast sweeping methods for solving the generalized Eikonal equation arising in wave propagation through a moving fluid. Building upon the Newton-type framework of Li and Qian (2020), which updates the solution line-wise using Newton\u0026rsquo;s method with a tridiagonal and strictly diagonally dominant Jacobian, we extend the local solver to fifth-, seventh-, and ninth-order accuracy by incorporating high-order WENO approximations of the spatial derivatives into the numerical Hamiltonian. Three alternating sweeping strategies, namely column-wise, row-wise, and column-row-wise, are considered within the Gauss-Seidel iteration framework. Numerical examples in both two and three spatial dimensions demonstrate the efficiency and accuracy of the proposed schemes.\n17. 关于一类用于不定最小二乘问题的块正则化预处理迭代方法 On a Class of Block-Regularized Preconditioned Iterative Methods for Indefinite Least-Squares Problems\n作者: Pinki Khatun\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-02\narXiv ID: 2608.01273v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.01273v1\n摘要: This paper proposes a novel block-regularized splitting (BRS) framework for the efficient solution of indefinite least-squares (ILS) problems. Based on a block-wise regularization strategy incorporated into a matrix splitting scheme, we develop a BRS iterative method together with an effective BRS preconditioner. The convergence of the proposed iterative method is rigorously analyzed, and spectral bounds for the BRS-preconditioned matrix are established. To further enhance computational performance, we introduce a relaxed BRS (RBRS) preconditioner, which provides improved spectral properties and significantly accelerates the convergence of Krylov subspace methods. Extensive numerical experiments on both dense and sparse test problems demonstrate that the proposed BRS and RBRS preconditioners consistently outperform existing approaches in terms of iteration count, computational time, and overall efficiency. These results highlight the effectiveness and robustness of the proposed block-regularized splitting framework for solving large-scale ILS problems.\n18. 广义模滞编码 Generalized Modulo Hysteresis Encoding\n作者: Matthias Beckmann, Jürgen Jeschke\n类别: math.NA, eess.SP\n发布日期: 2026-08-02\narXiv ID: 2608.01270v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.01270v1\n摘要: Unlimited sensing and its extension via modulo hysteresis provide an efficient encoding scheme for high dynamic range signals by folding the signal\u0026rsquo;s amplitude into the range of the analog-to-digital converter prior to sampling. Motivated by shortcomings of the modulo hysteresis model, in this work we introduce generalized modulo encoders that flexibly design the folding by incorporating a general transition function and allowing the folding times to depend on the nonideality of the folding transition. We rigorously study mathematical properties of the respective operators and derive conditions under which a bandlimited signal is uniquely determined by its generalized modulo samples. Finally, we propose a recovery algorithm backed by mathematical guarantees and illustrate our theoretical results through numerical experiments.\n19. 重访多面体上的分解不变条件梯度法 Revisiting Decomposition-Invariant Conditional Gradient Methods for Polytopes\n作者: Dan Garber\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-08-02\narXiv ID: 2608.01243v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.01243v1\n摘要: We revisit Decomposition-Invariant Conditional Gradient methods, originally introduced by Garber and Meshi in 2016, for minimizing a convex and $β$-smooth function over a polytope in $\\reals^n$, under an $α$-quadratic growth condition. For 2-level polytopes we design a simple and parameter-free dyadic step-size rule that yields a linear convergence rate which scales with the dimension of the optimal face and not with the ambient dimension as in standard away-step-based conditional gradient methods for polytopes. For general polytopes, under a slightly stronger condition of $α_{\\mathrm{F}}$-\\textit{facial quadratic growth}, we introduce a method whose number of iterations to reach an $ε$-approximate solution is of the order $n+\\frac{βD^2}{αr^{*2}} + \\frac{(d^*+1)βD^2}{α_{\\mathrm{F}}}\\log(1/ε)$, where $d^*$ is the dimension of the optimal face, $r^*$ is a separation parameter between the optimal set and faces that do not contain an optimal solution, and $D$ is the diameter of the polytope. This method is also parameter-free and only relies on standard line-search computations. The second result improves upon previous conditional gradient methods, whose number of iterations to $ε$-approximation scales with $\\frac{βD^2n}α\\log(1/ε)$, in a meaningful regime $\\max\\{\\fracα{α_{\\rm F}}(d^*+1), \\frac{1}{r^{*2}}\\} \\ll n$\n20. 一种新的$n$维流形上的双射保角与保体积平衡参数化方法 A Novel Bijective Angle and Volume-preservation Balanced Parameterization for $n$-dimensional Manifolds\n作者: Tiexiang Li, Wen-Wei Lin, Zhong-Heng Tan, Xiao Wan, Junxin Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-02\narXiv ID: 2608.01073v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.01073v1\n摘要: We propose a unified framework for balanced and bijective parameterizations of $n$-dimensional manifolds. The proposed energy combines conformal and volume-preserving terms to control both local anisotropy and volumetric distortion. At the continuous level, both energies are nonnegative and their zero-energy mappings are characterized. At the discrete level, the conformal, volume-preserving, and logarithmic barrier energies are formulated on oriented simplicial manifolds. A key result is that all their gradients admit a unified cotangent Laplacian-type representation, enabling sparse and dimension-independent computation. Bijectivity is enforced through signed simplex Jacobians, feasibility restoration, and a strictly orientation-preserving logarithmic barrier. The framework applies uniformly to spherical boundary parameterizations and parameterizations of discrete $n$-manifolds onto ball-like canonical domains.\n21. 基于积分的$f(A)b$预处理框架 An Integral-Based Framework for Preconditioning $f(A)b$\n作者: Gustavo Ramirez-Hidalgo\n类别: math.NA, hep-lat\n发布日期: 2026-08-02\narXiv ID: 2608.01003v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.01003v1\n摘要: The computation of the action of a matrix function on a vector, $f(A)b$, is a major computational bottleneck for large, sparse matrices, particularly when unfavorable spectral distributions cause standard Krylov subspace methods to stagnate. In this work, we propose a unified framework for preconditioning $f(A)b$ based on the Cauchy integral representation of the matrix function. By exploiting shift-invariance properties, we decouple the preconditioner evaluation from the Krylov subspace generation. We develop this framework in two distinct directions. First, for rational shift-and-invert preconditioning, we resolve a fundamental trade-off between optimal spectral compression and finite-precision instability. We achieve this by formulating a closed-form extraction stabilized via Double Modified Gram-Schmidt reorthogonalization, which eliminates the formation of spurious phantom poles. Second, we present a matrix-free polynomial approach. To ensure numerical stability, we isolate the continuous numerical quadrature step using a Schur decomposition of the projected Hessenberg matrix. To further stabilize the integration near contour singularities and accelerate overall convergence, we incorporate an exact LR-deflation scheme targeting the critical low modes of the preconditioned operator. We analyze the asymptotic stability and proximity to singularity of these methods, and present numerical experiments demonstrating their efficiency on the 2D Laplacian with $f=\\textrm{exp}$, and a highly ill-conditioned Wilson-Dirac operator from lattice quantum chromodynamics with $f=\\textrm{sign}$, although the framework can be in principle used with any $f$ and it is particularly beneficial when applying $f(A)b_{i}$ with many different vectors $b_{i}$.\n22. 非等温变密度糊状斯特凡问题的自相似结构与一种改进的低马赫数焓法 Self-similar structure of non-isothermal variable-density mushy Stefan problems and an improved low-Mach enthalpy method\n作者: Yavkreet Swami, Amneet Pal Singh Bhalla\n类别: math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-08-02\narXiv ID: 2608.00960v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.00960v1\n摘要: The enthalpy method was introduced in the late 1970s to simulate phase-change problems on fixed grids without explicitly tracking the moving phase-change front. It remains one of the most widely used approaches in academic and commercial software for the simulation of industrial melting and solidification processes. For pure phase-change materials (PCMs) that melt or solidify at a single temperature, the enthalpy method introduces an artificial mushy region bounded by the solidus temperature, $T^{\\rm sol}$, and the liquidus temperature, $T^{\\rm liq}$. As the numerical parameter $ΔT=T^{\\rm liq}- T^{\\rm sol}$ approaches zero, the solution obtained with the enthalpy method is generally assumed to converge to that of the classical Stefan problem, in which the phase-change front is infinitesimally thin. This assumption is largely based on benchmark studies performed under the simplifying assumption of equal solid and liquid densities. In this work, we systematically investigate the accuracy and spatio-temporal convergence properties of the enthalpy method for both low- and high-density-ratio phase-change problems. Because the limiting behavior $ΔT\\rightarrow0$ is difficult to realize numerically, owing to the diminishing thickness of the mushy region, we formulate and analyze the finite-$ΔT$ mushy Stefan problem solved by the enthalpy method. We show that this problem possesses a self-similar structure that reduces the governing equations to a boundary-value problem involving two unknown parameters. The theoretical analysis also enables improvements to our previously developed low-Mach enthalpy method, enhancing its stability and accuracy as the density ratio between the two phases increases from $\\mathcal{O}(1)$ to $\\mathcal{O}(3)$.\n23. 使用Polyak步长的随机迭代方法求解广义绝对值方程 Randomized iterative methods with Polyak step-size for solving generalized absolute value equations\n作者: Jiayun Chen, Qiye Zhang, Deren Han, Jiaxin Xie\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-02\narXiv ID: 2608.00952v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.00952v1\n摘要: In this paper, we systematically incorporate the Polyak step-size into the randomized iterative method to improve its efficiency for solving generalized absolute value equations. In particular, we adopt the Polyak step-size within a stochastic iterative setting where the objective function updates dynamically at every step, unlike the classical Polyak step-size designed for deterministic optimization with fixed objective functions. Consequently, this novel implementation differs from the conventional Polyak scheme and demands a dedicated convergence analysis. We rigorously analyze the convergence properties of the proposed method and establish its linear convergence in expectation. Numerical experiments demonstrate that the incorporation of the Polyak step-size substantially improves the computational performance of randomized iterative methods with constant step-sizes.\n24. 局部Chan–Vese分割的MBO格式 MBO Scheme for Local Chan\u0026ndash;Vese Segmentation\n作者: Kevin Bui, Adina Ciomaga\n类别: cs.CV, eess.IV, math.NA\n发布日期: 2026-08-01\narXiv ID: 2608.00893v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.00893v1\n摘要: Robust to intensity inhomogeneity, the local Chan\u0026ndash;Vese (LCV) model extends the classical Chan\u0026ndash;Vese (CV) image segmentation method by incorporating local statistical information around each pixel. Originally, the LCV model was solved using a finite difference scheme, following the approach used for the CV model. As an alternative to the finite difference scheme, a more efficient algorithm based on the Merriman-Bence-Osher (MBO) scheme was later developed for the CV model. In this paper, we derive a similar MBO-based algorithm to solve the LCV model and propose an efficient implementation. The algorithm is developed for both two-phase and multiphase segmentation, and an extension to color images is also discussed. To demonstrate the effectiveness of the proposed approach, we apply it to a variety of grayscale and color images, including medical and microscopy images.\n25. 通过列采样的次线性时间特征向量近似 Sublinear Time Eigenvector Approximation via Column Sampling\n作者: Rajarshi Bhattacharjee, Cameron Musco, Dominic Rutkowski\n类别: cs.DS, math.NA\n发布日期: 2026-08-01\narXiv ID: 2608.00840v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.00840v1\n摘要: We study sublinear time sampling methods for approximating the outlying eigenvectors of large matrices. Our main result is an algorithm that uniformly samples just $\\tilde{O}(\\log n/ε^4)$ columns of a symmetric matrix $A \\in \\mathbb{R}^{n \\times n}$ with entries bounded in magnitude by $1$, and, for any eigenvalue $λ$ of $A$ with $|λ| \\ge εn$, outputs an approximate eigenvector $v$ satisfying $\\|Av - λv\\|_2 \\le εn$. For approximating just the eigenvector of the largest magnitude eigenvalue, our algorithm samples only $\\tilde{O}(\\log n/ε^2)$ columns. Given the ability to sample rows and columns of $A$ proportional to their squared norms, we give a similar result with an improved error bound of $ε\\|A\\|_F$. For top eigenvector approximation, we show our bound is tight up to logarithmic terms. A key feature of our algorithms is that the output eigenvectors are spanned by a small number of $A$\u0026rsquo;s columns, and individual entries can be computed rapidly, in poly(log n, 1/epsilon) time per entry. This makes them applicable in the quantum-inspired algorithms framework of [Tang, STOC 2019], where we give the first sublinear time classical algorithms for eigenvector approximation with additive error $ε\\|A\\|_F$. Finally, we present an alternative approach, based on a truncated Nystrom method, that, while not allowing poly(log n, 1/epsilon) time entrywise computation of the approximate eigenvectors, achieves near optimal sample complexity for general symmetric matrices, and improved bounds for positive semidefinite matrices. Technically, our bounds build on recent work on approximating the outlying eigenvalues of symmetric matrices via random sampling in [Bhattacharjee et al. \u0026lsquo;22] and [Swartworth and Woodruff \u0026lsquo;25]. We demonstrate for the first time that these approaches extend to the problem of eigenvector estimation.\n26. 论保正性在高阶逼近 Dean\u0026ndash;Kawasaki 方程中的作用 On the role of positivity preservation for high order approximations of the Dean\u0026ndash;Kawasaki equation\n作者: Ana Damnjanović, Ana Djurdjevac, Nicolas Perkowski\n类别: math.PR, math.NA\n发布日期: 2026-08-01\narXiv ID: 2608.00838v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.00838v1\n摘要: We study a spectral regularization of the Dean\u0026ndash;Kawasaki equation and quantify how the failure of positivity preservation affects its weak approximation of the empirical measure of independent Brownian particles. For initial densities bounded away from zero, we prove a uniform-in-time weak error measured through the Laplace transform and prove a superpolynomial convergence rate for smooth test functions. When the initial density is allowed to vanish, the negative part of the regularized solution leads to weaker upper bounds, and a one-dimensional example gives a lower error bound ruling out superpolynomial convergence. We also present numerical experiments that confirm the theoretical results and illustrate main observations.\n27. 使用可微多重网格线性求解器的变分推断 Variational Inference Using a Differentiable Multigrid Linear Solver\n作者: Andrés Ramírez, Philipp Haim, David Föger, Torsten A. Enßlin, Philipp Frank, Philipp Gschwandtner, Dominik Jüstel, Philipp Mertsch, Vo Hong Minh Phan, Laurin Söding, Hanieh Zandinejad, Ralf Kissmann\n类别: math.NA, physics.med-ph, stat.CO\n发布日期: 2026-08-01\narXiv ID: 2608.00760v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.00760v1\n摘要: Gradient-based Bayesian inference methods require efficient access to Jacobian and adjoint-Jacobian operators of high-dimensional forward models. While multigrid solvers provide near-optimal complexity for elliptic partial differential equations, they are rarely available in forms compatible with automatic differentiation (AD). We develop a differentiable multigrid solver for steady-state diffusion-absorption problems and derive its adjoint operations analytically through the full multigrid hierarchy. The resulting solver, DMGS, is implemented in C++ and interfaced with JAX to provide efficient Jacobian-vector and vector-Jacobian products for variational inference in the NIFTy framework. We validate the approach on a 3D inverse problem involving diffuse radiative transfer in tissue, reconstructing an effective radiative source from Monte Carlo-simulated data. The reconstruction reproduces the data at a reduced chi-squared of 1.1 and generalizes to 32 independent validation datasets. Benchmarks against a JAX-native multigrid implementation show comparable runtimes and consistently lower peak memory for the hand-derived adjoint, with modest reverse-mode overhead. These results establish differentiable multigrid solvers as practical building blocks for variational inference in PDE-constrained problems.\n28. 针对 $\\mathbb{R}^d$ 中一般共振流形的三波动力学与 $C_{12}$ 量子玻尔兹曼方程的谱算法 Spectral Algorithms for 3-Wave Kinetic and $C_{12}$ Quantum Boltzmann Equations with General Resonance Manifolds in $\\mathbb{R}^d$\n作者: Thanh Trung Le, Minh-Binh Tran\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-01\narXiv ID: 2608.00603v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.00603v1\n摘要: Following recent developments in numerical schemes for 3-wave kinetic equations [2, 7, 42, 44, 43], we develop spectral algorithms for multidimensional 3-wave kinetic equations and $C_{12}$ quantum Boltzmann equations with general polynomial dispersion relations. The principal numerical difficulty arises from the resonance constraint, supported on a nonlinear manifold in wave-vector space. We approximate the Dirac distribution by a truncated Fourier representation and derive two spectral discretizations of the collision operator. The first is a direct spectral method with complexity $\\mathcal{O}\\big(L(2N)^{3d}\\big)$, while the second exploits multidimensional FFTs to reduce the complexity to $\\mathcal{O}\\big(L(2N)^{2d}\\log(2N)\\big)$. Numerical tests show excellent agreement between the two methods, with the fast algorithm providing substantial computational savings. To suppress unresolved high-frequency modes, we combine the classical $2/3$-rule with exponential spectral filtering. Simulations in two and three dimensions capture the gain\u0026ndash;loss dynamics of the $C_{12}$ quantum Boltzmann equation for both rapidly and algebraically decaying initial data. For the 3-wave kinetic equation, the computations exhibit strong oscillations and rapid spectral broadening, providing numerical evidence of an apparent energy cascade toward high frequencies. The results also show that the dispersion relation and spatial dimension strongly influence the transient resonant dynamics.\n29. 基于稳定化半隐式物质点法的滑坡研究 Study of Landslides through a Stabilised Semi-Implicit Material Point Method\n作者: Mian Xie, Pedro Navas, Susana López-Querol\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-01\narXiv ID: 2608.00592v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.00592v1\n摘要: In this research, a new semi-implicit two-phase double-point material point method is proposed, in which the soil and water phases are modelled using two distinct sets of material points, both being stabilised with a novel approach. The Nor-Sand constitutive model is implemented to simulate more realistic soil behaviour. Some landslide numerical examples are presented to investigate the performance of the proposed method and highlight the importance of using the double-point approach. The formulation with two sets of material points shows significantly different but more reliable results in the cases of landslides, compared with the conventional single-point approach. Furthermore, this research shows that the additional computational cost given by the additional water material points is acceptable. Therefore, it is recommended to use two sets of material points for some large deformation geotechnical problems.\n30. 可变形多孔介质中自由表面流与渗流的半隐式双点物质点法 A semi-implicit double-point Material Point Method for both free-surface flow and seepage in deformable porous media\n作者: Mian Xie, Pedro Navas, Susana López-Querol\n类别: math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-08-01\narXiv ID: 2608.00578v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.00578v1\n摘要: A new semi-implicit, two-phase, double-point formulation of the Material Point Method (MPM) for soil-water interaction with seepage and free-surface flows under large deformation is presented in this paper. The approach advances the water phase implicitly while keeping the soil phase explicit, enabling stable, efficient time integration in problems that involve rapid seepage and strong free-surface motion. The proposed framework models high-Reynolds-number interphase drag through a non-linear Darcy\u0026rsquo;s law implemented for the first time within an incremental fractional step MPM formulation without enlarging the implicit solve. This methodology also enhances the numerical stability for fast flows and wave breaking via a hyperelastic constitutive treatment of slightly compressible viscous water, and mitigates spurious oscillations through a new stabilisation approach for the velocity. Robustness of soil-water interface is achieved by combining nodal-based, free-surface detection, suited for higher-order spline functions with smooth porosity-permeability transitions that avoid constitutive divergence at sharp material boundaries. Validation against laboratory benchmark cases reported in the literature, including pure-water dam break, dam-break seepage through a porous barrier, two granular-collapse tsunami experiments, and a dam-break wave over a movable granular bed, shows accurate and stable free-surface evolution, pressure time histories, seepage fronts, and wave-gauge records. Using an advanced critical-state soil model (NorSand) further improves the reproduction of granular flow kinematics. The results demonstrate that the proposed formulation is a reliable and computationally efficient tool for geotechnical hazards involving intense soil-water coupling, seepage, sediment transport and free water.\n31. 从波利亚条件到超插值 $L^2$ 收敛性的完全刻画 From Pólya\u0026rsquo;s Conditions to a Complete Characterization of the $L^2$ Convergence of Hyperinterpolation\n作者: Congpei An, Xiannan Hu, Xiaoming Yuan\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-08-01\narXiv ID: 2608.00525v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.00525v1\n摘要: It has remained open to identify the necessary and sufficient conditions for the $L^2$ convergence of hyperinterpolation since it was introduced by Sloan in 1995. We show that the $L^1$-$L^2$ Marcinkiewicz-Zygmund (MZ) condition, together with the asymptotic functional approximation property for polynomials, is the answer. We further prove that the optimal $L^1$-$L^2$ MZ constant coincides with the operator norm of the hyperinterpolation operator, and it admits a natural Banach space duality interpretation. With an explicit construction, we also show that Pólya\u0026rsquo;s classical conditions for quadrature convergence are not sufficient for the $L^2$ convergence of hyperinterpolation. This reveals a fundamental distinction between the convergence of linear functionals (quadrature formulas) and that of linear operators (hyperinterpolation operators). We establish a strict logical hierarchy for the stability and accuracy conditions governing the convergence of quadrature and hyperinterpolation.\n32. 通过流映射学习建模未知的非局部偏微分方程系统 Modeling Unknown Nonlocal PDE Systems via Flow Map Learning\n作者: Zhongshu Xu, Ying Li, Yanzhi Zhang, Dongbin Xiu\n类别: cs.LG, math.DS, math.NA\n发布日期: 2026-08-01\narXiv ID: 2608.00400v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.00400v1\n摘要: Nonlocal partial differential equations arise in many applications but are often difficult to model and learn because of the presence of nonlocal operators. We present a flow-map learning (FML) framework for modeling unknown nonlocal PDEs directly from solution data. Rather than learning or approximating the underlying nonlocal operators, the proposed approach learns the finite-time evolution operator in either modal or nodal space. Two complementary formulations are developed for spectral and grid-based solution representations. Numerical experiments on one- and two-dimensional fractional diffusion and wave equations demonstrate accurate and stable long-time prediction using only short observation windows. The proposed approach provides an effective data-driven framework for learning unknown nonlocal dynamics without explicit evaluation of nonlocal operators.\n33. 一种用于具有三重结拖拽的网络曲率流的相场方法 A Phase-Field Method for Curvature Flow of Networks with Triple Junction Drag\n作者: Yuchuan Yang, Selim Esedoglu\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-07-31\narXiv ID: 2608.00293v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.00293v1\n摘要: We develop a new phase-field (diffuse interface) approximation of multiphase curvature motion with triple junction drag - an important sharp interface model for the evolution of microstructure in polycrystalline materials during heat treatment. This sharp interface model arises as gradient flow for the total length of the interfacial network with respect to a certain metric. Accordingly, we derive our diffuse interface approximation - a coupled system of partial differential equations that is a variant of the Allen-Cahn system - from a variational perspective, in the style of minimizing movements: starting from a discrete in time approximation that entails a convex optimization problem to advance from one time step to the next. In the process, we propose a simple integral expression that counts the number of junctions using the order parameter that appears to be new even for the standard multiphase Allen-Cahn system. The convergence of the resulting flow to the desired sharp interface limit is then verified via the method of matched asymptotic expansions. Numerical convergence studies against both known exact solutions as well as highly accurate benchmark solutions obtained via front tracking provide clear further evidence for this convergence. Moreover, the method retains the most desirable feature of diffuse interface methods: Automatic handling of topological changes in the network of interfaces.\n34. 从非等距离散样本逼近傅里叶变换 Approximating the Fourier Transform from Non-equispaced Discrete Samples\n作者: Daniel Potts, Laura Weidensager\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-31\narXiv ID: 2608.00260v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.00260v1\n摘要: We study the approximation of the Fourier transform of a function from finitely many samples. Departing from the equispaced setting, we sample the function at deterministic non-equispaced nodes obtained by transforming equispaced points on $[0,1]$ through the inverse cumulative distribution function of a probability density. This change of variables compactifies the real line, so that no truncation of the space domain is necessary. Combining an exact aliasing identity for the midpoint rule with stationary-phase estimates for the transformed oscillatory integrals, we derive deterministic error bounds for every frequency and in $L_p$. For functions with polynomial decay in space and frequency, an explicitly optimized density recovers the equispaced convergence rate, while an additional variance parameter substantially reduces the pre-asymptotic error constants. For (sub-)exponentially decaying functions a polynomially decaying density yields (sub-)exponential rates. Numerical experiments confirm the theory and demonstrate the reduced pre-asymptotic error compared with optimally scaled equispaced sampling.\n35. 逆势平均场博弈的截断微分法 Truncated Differentiation for Inverse Potential MFGs\n作者: Siting Liu, Yat Tin Chow, Samy Wu Fung\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-07-31\narXiv ID: 2608.00217v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2608.00217v1\n摘要: We study inverse potential mean-field games (MFGs), in which an unknown spatial inverse-cost (mobility) map is inferred from observed population densities. We solve the forward MFG with a preconditioned primal-dual hybrid gradient (PDHG) method and develop Jacobian-free backpropagation (JFB-$r$), which records only the final $r$ iterations from a detached warm start while retaining the full forward solve. To analyze this truncated differentiation method, we show that the exact-proximal dual-extrapolated PDHG map is a metric resolvent of the maximal monotone KKT operator. This resolvent view shows that JFB-$r$ exactly differentiates a finite-trajectory surrogate and, under a locally fixed active set at an exact equilibrium detach point, converges to the implicit gradient as the tracked depth increases. Across several inverse-MFG settings, numerical experiments show that JFB-r at moderate tracked depths can achieve recovery accuracy comparable to full unrolling while reducing memory and runtime.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-04_10-23-08/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月04日 10:23:08\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 5\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 35\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-混合边界交界面处梯度依赖半线性方程中的对数共振\"\u003e1. 混合边界交界面处梯度依赖半线性方程中的对数共振\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eLogarithmic Resonance at Mixed Boundary Junctions in Gradient-Dependent Semilinear Equationsv\u003c/p\u003e","title":"2026年08月04日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年08月03日 11:01:15\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 1\n不相关论文数量: 14\n重点关注论文（完整分析） 1. I-MCHM：多尺度椭圆问题的界面多重连续介质均匀化方法 I-MCHM: Interface Multicontinuum Homogenization for Multiscale Elliptic Problems\n作者: Wing Tat Leung, Zhihang Xu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-31\narXiv ID: 2607.29325v1\n摘要翻译: 我们针对具有高对比度的椭圆问题，提出一种界面多重连续介质均匀化方法（I-MCHM），其中子区域可具有不同的微观模式及数目不等的连续介质。多重连续介质模型将微观场升尺度为宏观连续介质量；此处连续介质为高渗透率与低渗透率区域，宏观变量则是细尺度解在尺寸为$H_ε$的观测单元上的相应局部平均值。虽然细尺度解在材料界面上是连续的，但这些宏观连续介质场在界面上未必一致。此外，当相邻子区域保留不同数目的连续介质时，无法定义一对一的粗传输条件。因此，标准的分区多重连续介质均匀化只能确定体方程，而对这些粗变量之间的相互作用不加规定。I-MCHM通过在界面邻域上构造双侧约束的局部基，并在子区域邻接图上用体切割积分和界面片修正组装粗双线性形式，从而填补这一空白，且未预先指定逐点传输律。对平直、弯曲和三重连接几何形状的数值实验，包括连续介质耦合消融和不等连续介质计数的情况，展示了所得升尺度模型的准确性。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.29325v1\n1. 研究对象和背景 多尺度椭圆问题广泛存在于复合材料、多孔介质流动等物理建模中。考虑有界区域 $\\Omega \\subset \\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 上的精细尺度椭圆方程 $$-\\nabla\\cdot(\\kappa_\\epsilon(x)\\nabla u_\\epsilon) = f \\quad \\text{in } \\Omega, \\qquad u_\\epsilon = 0 \\quad \\text{on } \\partial\\Omega,$$ 其中 $u_\\epsilon$ 为细观解，$f$ 为给定源项，系数 $\\kappa_\\epsilon$ 可能呈现剧烈振荡和高对比度结构，且 $\\epsilon$ 表征微观尺度。直接细网格求解计算代价极高，因此需借助升尺度(homogenization)方法获得宏观有效模型。\n经典均匀化与数值均匀化方法常假设局部周期性，推导出单一等效系数；然而，对于同时包含高、低渗透区域且两者相互作用显著的材料，单一宏观场不足以刻画不同物理区域的响应。多连续介质均匀化方法(MCHM) 针对此问题，将细观解分解为若干连续介质分量。每个分量对应一种特征区域（如高渗或低渗区），宏观变量 $U_i$ 定义为该分量在观测单元 $K_{H_\\epsilon}$ （尺寸 $H_\\epsilon \\ge \\epsilon$）上的局部平均： $$U_i(x) := \\frac{\\int_{K_{H_\\epsilon}(x)} u_\\epsilon(y) \\psi_i(y) dy}{\\int_{K_{H_\\epsilon}(x)} \\psi_i(y) dy},$$ 其中 $\\psi_i$ 为第 $i$ 个连续介质的指示函数。在粗尺度 $H$ (\u0026gt; $H_\\epsilon$) 上视 $U_i$ 为缓慢变化的宏观场，并在代表性体积元(RVE) $\\omega(K)$ 上作一阶展开： $$u_\\epsilon(y) \\approx \\sum_{i=1}^L \\left( U_i(x_K) \\eta_i^K(y) + \\sum_{m=1}^d \\partial_m U_i(x_K) \\eta_i^{K,(m)}(y) \\right), \\quad y \\in \\omega(K).$$ 局部基函数 $\\eta_i^K$ 通过在 oversampled 区域 $\\omega^+(K)$ 上求解约束能量极小问题得到：最小化能量 $\\frac12 a_{\\epsilon,\\omega^+(K)}(\\eta,\\eta)$，同时满足矩约束 $$\\int_{\\omega^+(K)} \\eta(y) \\psi_{j,q}(y) dy = \\delta_{ij} \\int_{\\omega^+(K)} \\psi_{j,q}(y) dy,$$ 以确保在观测单元上精确重现各连续介质的平均值。类似可得梯度基函数 $\\eta_i^{K,(m)}$。这些基函数代入精细双线性形式并取平均，导出有效系数(如 $\\alpha_{ij}^{(mn)}, \\beta_{ij}^{(m)}, \\gamma_{ij}$)，最终得到粗尺度弱形式(12)。该方法不依赖全局周期假设，且有效系数可用于任意粗网格离散。\n然而，上述标准 MCHM 假设全域具有统一的连续介质数量，且无材料界面。实际工程问题常涉及多个具有不同微观结构的子域 $\\Omega_k$ ($k=1,\\dots,N_\\Omega$)，它们经由界面 $\\Gamma_{k\\ell} = \\partial\\Omega_k \\cap \\partial\\Omega_\\ell$ 连接。尽管细观解满足连续条件 $[\\! [u_\\epsilon]\\! ]_{\\Gamma_{k\\ell}} = 0$ 和 $[\\! [\\kappa_\\epsilon \\nabla u_\\epsilon \\cdot \\mathbf{n}]\\! ]_{\\Gamma_{k\\ell}} = 0$，但各子域独立定义的宏观平均 $U_j^{(k)}$ 在界面处一般并不连续：$U_j^{(k)}|_{\\Gamma_{k\\ell}} \\neq U_\\ell^{(\\ell)}|_{\\Gamma_{k\\ell}}$。更严重的是，若相邻子域包含不同数量的连续介质 ($L_k \\neq L_\\ell$)，则不存在一对一的传输映射，无法通过显式条件耦合两侧宏观变量。因此，单纯在每子域内应用 MCHM 只能确定子域内部的体方程，跨界面相互作用缺失，导致全局宏观系统不完备。\n本文提出的界面多连续介质均匀化方法(I-MCHM) 旨在填补这一空白。它在界面邻域上构造双侧约束局部基函数，允许两侧宏观变量完全独立且数量无需相等，并通过对体切割单元和界面段能量的变分组装，自动产生对称的跨界面耦合项，无需预设任何点式传输定律。\n2. 主要定理或主要结果 本文主要理论结果如下：\n双侧约束基函数的构造：对每个界面邻域 $E$ (与界面相交的粗块)，在 oversampled RVE $\\omega^+(E)$ 上定义鞍点问题，同时施加来自界面两侧子域的矩约束，生成一组基函数 $\\eta_{i,s}^E$ 和 $\\eta_{i,s}^{E,(m)}$ ( $i$ 指标遍历两侧各自的连续介质，$s=1,2$ 标记子域)。这些基函数能独立地捕获指定子域、指定连续介质的局部平均值和一阶导数矩，从而支持对不等数量宏观场的完备描述。\n对称粗双线性形式：基于体-界面分解，全局粗双线性形式表达为体切割单元积分与界面段校正项之和： $$a_{\\text{coarse}}(U, V) = \\sum_{K \\in \\mathcal{T}_H^{\\text{bulk}}} a_{\\text{bulk},K}(R_K U, R_K V) + \\sum_{E \\in \\mathcal{T}_H^{\\text{interface}}} \\Bigg[ \\frac{1}{|\\omega(E)|} \\int_{\\omega(E)} \\kappa_\\epsilon \\nabla R_E U \\cdot \\nabla R_E V \\,dy - \\sum_{t=1,2} c_t \\frac{1}{|\\omega(E_t)|} \\int_{\\omega(E_t)} \\kappa_\\epsilon \\nabla R_{E_t} U \\cdot \\nabla R_{E_t} V \\,dy \\Bigg],$$ 其中 $R_E U$ 为利用双侧基在 $\\omega(E)$ 上构造的重建，$R_{E_t} U$ 为在单侧切割区域 $\\omega(E_t) = \\omega(E) \\cap \\Omega_t$ 上的重建。该表示通过减去重复的体贡献保证了能量一致性。整个形式对称正定，且组装无需预设点式传输条件。\n离散适定性：在重构能量范数 $\\|\\cdot\\|_{\\mathcal{R}}$ 下，证明了粗问题具有强制性：存在常数 $c\u003e0$ 使得 $$a_{\\text{coarse}}(U, U) \\ge c \\|U\\|_{\\mathcal{R}}^2 \\quad \\forall U,$$ 从而确保了解的适定性。证明基于约束能量最小化基函数的局部衰减性质(由 oversampling 和 CEM/NLMC 理论保证)以及体-界面分解下的范数等价。\n数值验证：针对直界面、弯曲界面、三叉界面以及不等连续介质数量(包括部分连续介质人为消融)的多种配置，数值实验表明 I-MCHM 能精确捕捉细观解的宏观平均行为，即使在极端界面不匹配情况下也表现出良好的精度。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 I-MCHM 的方法创新集中于三个关键技术点：\n一、双侧约束局部基函数的鞍点构造。 核心障碍在于：标准 MCHM 的基函数仅满足单一子域的矩约束，无法同时兼顾界面两侧的宏观变量。本文的策略是直接在界面邻域 $E$ 的 oversampled RVE $\\omega^+(E)$ 上构造基函数，并施行同时涉及两侧的约束条件。具体地，对每个子域 $t$ 和连续介质指标 $i$，定义 $\\eta_{i,t}^E$ 为以下能量极小问题的解： \\begin{align*} \\eta_{i,t}^E = \\operatorname{argmin}{\\eta \\in H_0^1(\\omega^+(E))} \\frac12 a{\\epsilon,\\omega^+(E)}(\\eta,\\eta) \\quad \\text{s.t.} \\quad \\int_{\\omega^+(E)} \\eta(y) \\psi_{j,q}^{(s)}(y) dy = \\delta_{is}\\delta_{jt} \\int_{\\omega^+(E)} \\psi_{j,q}^{(s)}(y) dy, \\ \\forall j, q, s, \\end{align*} 其中 $\\psi_{j,q}^{(s)}$ 为第 $s$ 子域内第 $j$ 连续介质在观测单元 $q$ 上的特征函数。约束强制基函数仅与指定子域 $t$ 的连续介质 $i$ 耦合，并压制其他子域和其他介质的矩。通过引入拉格朗日乘子，将该问题转化为鞍点系统，进而使用标准有限元或谱方法求解。一阶基函数类似，但约束条件中的权函数变为 $(y_m - x_{E,m})$。这一双侧约束构造无需全局契合条件，且天然允许 $L_1 \\neq L_2$。\n二、体-界面分解与对称粗形式组装。 获得所有局部基后，需将子域内部与界面的能量耦合为一个全局对称格式。作者采用体-界面分解策略：将每个界面粗块 $E$ 视为由两个切割单侧区域 $E_t = E \\cap \\Omega_t$ 拼接而成。在 $E$ 上，利用双侧基重建 $R_E U$，得到全界面邻域能量密度；而在切割区域 $E_t$ 上，若仅保留该侧宏观变量并利用单侧基（即标准 MCHM 基）重建，则可算得体贡献。界面段校正项定义为全界面能量减去两侧体贡献的加权和，从而精准抽取出跨界面耦合部分。最终全局双线性形式为所有内部块体贡献与所有界面段校正项之和，保持了整体对称性。由于校正项直接源于局部变分问题，它自动蕴含了物理上正确的传输行为，无需额外假设。\n三、重构能量范数与离散稳定性。 为分析全局粗问题的适定性，定义宏观场 $U$ 的重构能量范数 $$\\|U\\|_{\\mathcal{R}} := \\left( \\sum_{K\\in\\mathcal{T}_H^{\\text{bulk}}} a_{\\text{bulk},K}(R_K U, R_K U) + \\sum_{E\\in\\mathcal{T}_H^{\\text{interface}}} a_{\\epsilon,\\omega(E)}(R_E U, R_E U) \\right)^{1/2}.$$ 稳定性证明的关键是建立该范数与标准 Sobolev 范数的关系，并证明粗双线性形式的强制性。这依赖于CEM-GMsFEM 和 NLMC 理论[24] 中约束能量最小化基函数的指数衰减性质：在 oversampled 区域边界，基函数能量按 $\\sim e^{-\\beta \\text{sos}}$ 衰减，因此局部重建的能量贡献主要集中在 RVE 内部，全局求和时不同邻域的相互作用迅速衰减。结合体-界面分解的精确能量等式，可完成强制定理。具体论证中，需利用局部稳定分解的有限覆盖和局部范数等价，最终导出全局强制性。\n4. 与之前工作的比较 I-MCHM 与已有工作的主要差异体现在以下几个方面：\n与标准 MCHM 的比较。标准多连续介质均匀化[11,12] 仅适用于全域具有统一微观结构和相同数量连续介质的情形。当应用于分区具有不同介质的区域时，只能分别在每个子域独立生成宏观方程，但无法提供界面处的连接条件。I-MCHM 直接将 MCHM 推广至多子域界面问题，通过双侧基函数产生界面耦合项，并允许相邻子域的连续介质数量任意。这实质上突破了原方法对一致连续介质数的限制。\n与多尺度有限元界面方法的比较。针对高对比度界面的多尺度有限元构造[20,21] 常常通过求解局部细观问题并施加某种平均或传输条件来定义跨越界面的粗基函数，其本质依赖于界面两侧粗变量之间预设的映射关系。当 $L_k \\neq L_\\ell$ 时，这种映射无从定义，导致方法失效。I-MCHM 完全放弃显式传输映射，转而从双侧独立约束的变分过程中自动提取耦合信息，因此能处理界面两侧连续介质数不等的复杂情形。\n与基于 CEM-GMsFEM 和 NLMC 的升尺度方法的比较。约束能量最小化广义多尺度有限元 (CEM-GMsFEM) 和非局部多连续介质方法 (NLMC) [10,22] 同样利用约束能量极小化构造具有局部衰减性质的基函数，并已成功应用于多孔介质高对比度问题。但这些方法通常针对单一区域，且跨粗网格的耦合通过 Robin 边界条件或预定义的传输算子实现，缺乏对子域界面的直接处理。I-MCHM 继承了 CEM 框架的优点（如 oversampling 和指数衰减），但通过引入双侧约束，将该框架从单区域推广到多子域界面问题，并使得跨界面耦合由能量极值原理内生决定。\n与均匀化分析中界面跳跃处理的比较。文献[23] 从经典均匀化角度出发，推导了带界面跳跃的宏观模型，其传输校正依赖于细观界面层的详细分析。I-MCHM 不同于此类基于两尺度展开的分析方法，它采用数值均匀化范式，直接在离散层面通过解局部约束问题来摄取界面行为，因此更易于处理任意复杂界面几何和非周期性微观结构。\n适用范围与代价。I-MCHM 放宽了子域间连续介质一致性和传输映射存在的假设，显著拓展了多连续介质均匀化的应用范围，可处理包含直、弯、多叉界面及连续介质消融等复杂构型。代价在于界面邻域需要求解额外的鞍点系统以构造双侧基，且全局组装需计算切割单元和校正项，计算量高于各子域独立 MCHM。不过，数值实验表明这些增加的计算开销换来了模型精度的大幅提升，特别是当相邻子域介质结构差异显著时，I-MCHM 是唯一能保持合理的宏观描述的方案。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 偶数几何的奇怪行为：超收敛几何相容误差的一种解释 Odd behaviour of even geometries: an explanation for superconvergent geometric consistency errors\n作者: Hanne Hardering, Simon Praetorius, Gentian Zavalani\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-31\narXiv ID: 2607.29466v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.29466v1\n摘要翻译 中文标题: 偶数几何的奇怪行为：超收敛几何相容误差的一种解释\n摘要翻译: 表面有限元方法中使用的分片多项式曲面近似，若其多项式阶数为偶数，通常表现得比其标准逼近性质所暗示的更好。我们通过在某些细分过程中自然出现的适当结构化网格上主要插值误差的抵消来解释这种超收敛。这种抵消改进了函数、导数和几何量的加权积分估计。应用包括曲面法向量、Weingarten 映射和高斯曲率的估计。数值实验再现了预测的依赖于奇偶性的行为，并支持了对超收敛几何相容误差所提出的解释，而相应的逐点误差保持其标准阶。\n不相关论文（基本信息） 1. 冻结，然后选择：面向稀疏观测偏微分方程发现的结构化场适配器与稳定性验证的弱选择 Freeze, Then Select: Structured Field Adapters and Stability-Validated Weak Selection for PDE Discovery from Sparse Observations\n作者: Juncheng Zhong, Chenghuang Shen, Jianfeng Liu, Zhengdong Xiao, Longjiu Luo, Qianrong Wang, Wenjun Xu, Wenlian Lu\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-07-31\narXiv ID: 2607.29665v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.29665v1\n摘要: PDE discovery from sparse observations requires reconstructing a continuous field and selecting the correct differential terms. Our analysis of optimization paths in coupled neural PDE discovery reveals three behaviors: the exact support can persist to the end of training, appear only transiently, or fail to emerge. To decouple equation selection from neural optimization, we develop a freeze-then-select method combining a structured field adapter with Stability-Validated Weak Selection (SVWS). Trained from observations without a PDE residual, the adapter factorizes the field into learned spatial features and temporal coefficients represented by cubic splines. After freezing the field, SVWS identifies recurrent terms across independent weak-form systems, refits candidate supports, and selects the final equation on held-out weak-form systems. Beyond fixed libraries, we apply the same principle to expressions generated by genetic programming and recover the power-law form of an unknown nonlinear diffusion function from sparse, noisy observations. Across all six sparse MDBench regimes, our method attains the highest exact support recovery rate, with its clearest gains over classical and neural baselines on challenging Kuramoto-Sivashinsky dynamics.\n2. 多保真度蒙特卡洛样本量估计的递归舍入 Recursive rounding of sample size estimation for multi-fidelity Monte Carlo\n作者: Jiaxing Liang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-31\narXiv ID: 2607.29607v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.29607v1\n摘要: In multifidelity Monte Carlo (MFMC), optimal sample allocations are typically derived from a continuous relaxation of a variance minimization problem, with integer solutions obtained through post hoc rounding. Such rounding procedures may fail to fully exploit the available cost budget, particularly under tight cost budgets or when model costs vary significantly. In this work, we reformulate the MFMC allocation problem as a variance-constrained cost minimization problem that is equivalent to the standard budget-constrained formulation at the continuous level. This reformulation admits a recursive structure that enables the construction of an integer allocation strategy based on Bellman\u0026rsquo;s principle of optimality. Since the resulting MFMC allocation has a mathematical structure similar to the optimal multilevel Monte Carlo (MLMC) allocation, the proposed strategy naturally extends to MLMC. The resulting algorithm constructs integer-valued sample allocations that more closely follow the continuous variance\u0026ndash;cost tradeoff while using the prescribed variance tolerance more efficiently. Numerical experiments demonstrate that the proposed approach satisfies the prescribed variance tolerance with less computational overhead than standard rounding strategies.\n3. 一种基于阈值化的算子分裂法用于曲率正则化曲面重建 A Thresholding Based Operator-Splitting Method for Curvature-Regularized Surface Reconstruction\n作者: Yang Hu, Hao Liu, Dong Wang, Tieyong Zeng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-31\narXiv ID: 2607.29584v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.29584v1\n摘要: Surface reconstruction from point clouds is a fundamental problem in computational geometry with broad applications in computer graphics, medical imaging, and manufacturing. In this paper, we propose an efficient method for solving a curvature-regularized surface reconstruction model. To avoid the computational cost associated with reinitialization in traditional level set methods, we represent the reconstructed surface by an indicator function. By introducing an auxiliary variable, we reformulate the original optimization problem as the computation of the steady-state solution of an initial value problem. We then develop an operator-splitting method to decompose the resulting problem into two tractable subproblems, one of which can be efficiently solved by iterative thresholding. The proposed approach combines the advantages of curvature regularization, operator splitting, and threshold dynamics. Numerical experiments show that the proposed method is computationally efficient and can accurately reconstruct sharp corners and concave features.\n4. 带噪声系数及维纳过程信息的标量SDE的随机化Milstein格式的误差 Error of randomized Milstein scheme for scalar SDEs with noisy information about coefficients and Wiener process\n作者: Paweł M. Morkisz, Paweł Przybyłowicz, Martyna Wiącek\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-07-31\narXiv ID: 2607.29578v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.29578v1\n摘要: We investigate the strong approximation of scalar stochastic differential equations when the available standard information about the drift coefficient, the diffusion coefficient, the derivative of the diffusion coefficient, and the observed Wiener path is corrupted by noise. The precision of the drift, diffusion-information, and Wiener-path observations is described by three nonnegative parameters $δ_1,δ_2,δ_3$, where $δ_2$ controls both the noisy diffusion coefficient and the separate noisy derivative oracle required in the Milstein correction. We analyze a randomized Milstein scheme based only on this noisy information and prove, for $r\\geq 2$, that its $L^r$-error is bounded by $C(n^{-\\min\\{γ_1+1/2,γ_2\\}}+δ_1+δ_2+δ_3)$, where $n$ is the number of time steps and $γ_1,γ_2$ are the temporal Hölder exponents of the coefficients. We also prove a matching minimax lower bound in the randomized standard-information model considered in the paper. In particular, the Wiener-path contribution proportional to $δ_3$ is unavoidable, and the noisy randomized Milstein scheme is minimax order-optimal.\n5. iSMART: 一种求解基于鞅的偏微分方程的迭代采样与回归技术 iSMART: An Iterative Sampling-and-Regression Technique for Solving Martingale-Based PDEs\n作者: Tiejun Li, Xiaoguang Li, Fugui Ma\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-31\narXiv ID: 2607.29470v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.29470v1\n摘要: We propose the {\\bf i}terative {\\bf S}a{\\bf M}pling-{\\bf A}nd-{\\bf R}egression {\\bf T}echnique (iSMART) for high-dimensional martingale-based partial differential equations (PDEs) in this paper. By leveraging the $L^2$-projection property of conditional expectation and adopting the stop-gradient technique, iSMART reformulates the continuous martingale condition derived from PDEs into a sequence of tractable sampling-regression problems within an iterative framework. This approach relies solely on standard SDE path simulation and plain squared-error loss minimization, completely bypassing the need for adversarial optimization or nested expectation estimation in previous methods. iSMART accommodates linear, semi-linear, and fully nonlinear martingale-based PDEs within a unified iterative procedure. In particular, for fully nonlinear Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations, a freezing-and-compensating technique is introduced to strategically shift a portion of the nonlinearity into the SDE drift, thereby improving the convergence behavior of the iterations. Numerous numerical experiments on linear reaction-diffusion equations with sharp gradients, semilinear Burgers-type equations, and fully nonlinear HJB equations demonstrate the accuracy, efficiency, and robustness of the proposed approach in various high dimensions.\n6. 具有最优性保证的递归蝴蝶分解 A recursive butterfly factorization with optimality guarantees\n作者: David Persson, Paul G. Beckman, Tyler Chen, Diana Halikias, Christopher Musco\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-31\narXiv ID: 2607.29361v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.29361v1\n摘要: We formalize a recursive format for representing a butterfly matrix. This new format naturally leads to a simple recursive algorithm for computing a quasi-optimal butterfly approximation to an arbitrary $N \\times N$ matrix $A$. When the entries of $A$ are explicitly available, we show that the algorithm computes a butterfly matrix $B$ in $O(N^2)$ operations with approximation error $\\|A - B\\|_F$ at most a $O(\\sqrt{\\log(N)})$ factor away from that of the best possible approximation by a butterfly matrix. We also develop a matrix-free variant of the method, which uses $\\widetilde{O}(\\sqrt{N})$ matrix-vector products and $\\widetilde{O}(N)$ working memory and, with high probability, returns a butterfly approximation with Frobenius norm error within a $O(N^{1/4})$-factor of the optimal error. We show that the algorithm is a reformulation of the hybrid butterfly factorization approach presented in [Liu et. al.; SISC, 43 (2021)]. Our paper therefore provides the first theoretical quasi-optimality guarantee for that algorithm.\n7. 计算分裂四元数矩阵的Moore\u0026ndash;Penrose逆的迭代方法及其应用 Iterative Methods for Computing the Moore\u0026ndash;Penrose Inverse of Split-Quaternion Matrices with Applications\n作者: Salman Ahmadi-Asl, Valentin Leplat, Mohammad S. Alkousa\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-31\narXiv ID: 2607.29270v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.29270v1\n摘要: We study iterative methods for computing the Moore\u0026ndash;Penrose inverse of split-quaternion matrices. We first establish a consistent framework based on a (2\\times2) real representation and the associated (i)-conjugate transpose. This representation gives a direct definition of the Moore\u0026ndash;Penrose inverse and clarifies the treatment of nonzero zero divisors. We then analyze Newton\u0026ndash;Schulz iterations for rectangular and rank-deficient matrices. Using a thin singular value decomposition of the real representative, we derive the convergence conditions, the evolution of the projector residuals, and an exact relation between the residual and the error. The resulting analysis applies both to an embedded real implementation and to a native split-quaternion iteration, which are shown to be equivalent under the representation. We also propose a low-degree polynomial initialization inspired by Souriau\u0026rsquo;s inverse recursion. The polynomial is obtained by a least-squares approximation of the inverse Gram factor and is combined with a spectral acceptance test and a safe fallback initialization. Finally, we apply the proposed methods to cross and CUR approximations of split-quaternion matrices. We characterize the optimal middle factor for fixed sampled rows and columns and give conditions under which the cheaper cross factor gives an exact reconstruction. Numerical experiments illustrate the accuracy of the methods and the practical benefit of the polynomial initialization.\n8. 固定先验期望改进在Matérn和平方向指数RKHS中的简单遗憾率与极小化极大最优性 Simple-regret rates and minimax optimality of fixed-prior expected improvement in Matérn and squared-exponential RKHSs\n作者: Emmanuel Vazquez, Sébastien Petit\n类别: stat.ML, cs.LG, math.NA, math.ST\n发布日期: 2026-07-31\narXiv ID: 2607.29245v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.29245v1\n摘要: We study the expected improvement (EI) policy for minimizing a deterministic objective function $f$ on a nonempty compact set $\\mathcal X \\subset\\mathbb R^d$. We assume that $f$ belongs to the RKHS $\\mathcal H_k$ of a continuous positive-semidefinite kernel $k$ on $\\mathcal X$. Function values are observed exactly, and EI is computed from a fixed zero-mean Gaussian-process model with covariance $σ^2k$. After an initial design, the policy queries a point whose EI is at least a fixed positive fraction of its maximum. We identify the normalized posterior standard deviation at a candidate point $x$ with the norm of the corresponding innovation in the canonical feature space, namely the component of $k(x,\\cdot)$ orthogonal to the span of the preceding evaluation representers. Sequential separation radii bound the ranked innovation norms along arbitrary query sequences. We estimate these radii using Gram determinants and Kolmogorov widths for subspaces of different dimensions, then combine the estimates with a one-step regret inequality to obtain finite-budget bounds for simple regret. After $N$ post-initial queries, simple regret is $O(N^{-ν/d})$ for isotropic Matérn kernels of smoothness $ν\u003e0$. For the isotropic squared-exponential kernel, simple regret is $O(\\exp[-c_1\\min\\{N, N^{1/d}\\log(eN)\\}])$ for some $c_1\u003e0$. With exact EI maximization, it is $O(\\exp[-c_2N^{1/d} \\log(eN)])$ for some $c_2\u003e0$. For every fixed $B\\geq0$, these bounds are uniform over the RKHS ball of radius $B$. If $\\mathcal X$ has nonempty interior and $B\u003e0$, then, among deterministic methods whose final recommendation may be any point of $\\mathcal X$, the exact EI policy is minimax-rate optimal over the RKHS ball of radius $B$ for Matérn kernels and minimax-rate optimal up to constants in the exponent for squared-exponential kernels.\n9. 基于节点扫掠协同设计的认证七阶双导数Hermite延迟校正 Certified Seventh-Order Two-Derivative Hermite Deferred Correction via Node-Sweep Co-Design\n作者: Zhixin Huo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-31\narXiv ID: 2607.29217v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.29217v1\n摘要: Two-derivative Hermite deferred correction combines high collocation order with sequential single-state solves, but the stopped method depends jointly on the nodes and the correction sweep. We co-design these ingredients for diffusion-dominated semilinear problems. For three subintervals, an H4 predictor, and two corrections, the complete order-seven B-series defect has rank one in the 48-dimensional rooted-tree space: two corrections apply two unary graftings to the one-directional order-five predictor defect. Hence one scalar chain coefficient controls every nonlinear principal-error condition. Rational nodes and an isolated algebraic correction parameter cancel this coefficient; coprimality with the order-eight chain polynomial proves classical order exactly seven. A complementary design, Accuracy-P40, retains generic sixth order but reduces the complete principal-error norm to $9.8\\%$ of the LGL\u0026ndash;L3 value while satisfying $J_{\\mathrm{stiff}}\u003c0.40$. We also distinguish convergence of repeated corrections from absolute stability after a fixed number of sweeps: two corrections have finite negative-real stability intervals, whereas a third correction restores far-stiff output damping for the new designs. High-precision nonlinear order tests verify sixth versus seventh order, and Allen\u0026ndash;Cahn and Cahn\u0026ndash;Hilliard calculations show that Accuracy-P40 reduces correction and Krylov work.\n10. 打乱数字网的分离性质及相关随机点集 Separation properties of scrambled digital nets and related random point sets\n作者: Kosuke Suzuki\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-31\narXiv ID: 2607.29063v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.29063v1\n摘要: We study how standard randomization procedures affect the local geometry of quasi-Monte Carlo point sets, as measured by their minimum distance and mesh ratio. Although probabilistic selection within structured lattice families can produce quasi-uniform point sets, randomizing an existing low-discrepancy construction need not preserve quasi-uniformity. We first determine sharp probabilistic orders for Monte Carlo, jittered, and Latin hypercube sampling, whose mesh ratios diverge as positive powers of $N$. The orders are $Θ_{\\mathbb{P}}(N^{1/d}(\\log N)^{1/d})$ for Monte Carlo sampling, $Θ_{\\mathbb{P}}(N^{1/(d+1)})$ for jittered sampling, and, for $d\\ge 2$, $Θ_{\\mathbb{P}}(N^{1/d}(\\log N)^{1/d})$ for Latin hypercube sampling. We also obtain a Weibull limit law for the minimum distance of jittered samples. For full Owen scrambling, every family of fixed-$t$ nets has minimum distance $O_{\\mathbb{P}}(N^{-3/(2d)})$, and its mesh ratio is therefore $Ω_{\\mathbb{P}}(N^{1/(2d)})$. Under uniform coincidence and common-prefix conditions, these bounds are sharp up to logarithmic factors. Moreover, a single full Owen scrambling of any $(t,d)$-sequence is almost surely non-quasi-uniform. By contrast, for matrix and linear scrambling of binary digital nets with fixed $t$ in dimension $d\\ge 2$, the mesh ratio is $O_{\\mathbb{P}}(\\log N)$, whereas it is $Θ_{\\mathbb{P}}(\\log N)$ in the separate balanced-prefix affine-tail model. The model also yields the exact probabilistic order for one-dimensional binary digital $(0,m,1)$-nets under matrix or linear scrambling. These results demonstrate that the geometric effect of randomization is governed by whether it introduces local independence or shared algebraic randomness.\n11. 从逐点不变量稳定恢复矩阵规范类 Stable Recovery of Matrix Gauge Classes from Pointwise Invariants\n作者: Dexuan Zhou, Huajie Chen, Bernie Hsu, Christoph Ortner\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-31\narXiv ID: 2607.29021v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.29021v1\n摘要: A parameterized matrix family $x\\mapsto H(x)$ on a configuration domain is determined by its physical content only up to a constant orthogonal change of basis. This gauge ambiguity is intrinsic to data-driven Hamiltonian models, such as tight-binding parameterizations, reduced-order electronic structure methods, or excited-state models. It raises a basic inverse problem: what observations of $H(x)$ suffice to identify the family up to this gauge? The pointwise spectrum is incomplete already for linear families on $\\mathbb{R}$. Here, we prove that, under natural non-degeneracy and connectivity assumptions, augmenting the spectrum with loop products of the coupling matrices in the instantaneous eigenframe yields a complete invariant and that inversion is stable. We support the theory with numerical experiments.\n12. 一种用于线性算子方程模型降阶的伪时间数据驱动框架 A Pseudo-time Data-Driven Framework for Model Reduction of Linear Operator Equations\n作者: Zhentong Wei, Tingen Xiong, Wenlong Zhang, Zhiwen Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-31\narXiv ID: 2607.28972v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.28972v1\n摘要: This paper proposes a novel Pseudo-time Proper Orthogonal Decomposition (POD) framework to enable model reduction for stationary problems lacking temporal snapshot data. By recasting static operator equations into a pseudo-dynamic evolution form, we artificially generate temporal data while preserving the system\u0026rsquo;s intrinsic spectral properties. Mathematically, we rigorously prove the exponential convergence of the pseudo-time trajectory to the exact stationary solution. Furthermore, the approximation properties of the generated POD basis functions are rigorously established. Finally, the universality and accuracy of the framework are validated both theoretically and numerically across two representative settings: elliptic inverse source problems and Fredholm integral equations of the first kind.\n13. 基于SPH(2)的广义垂向坐标变换用于高效自由表面流模拟 A generalized vertical coordinate transformation based on SPH(2) for efficient free surface flow simulations\n作者: Shujiro Fujioka, Kumpei Tsuji, Naoto Mitsume, Mitsuteru Asai\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-30\narXiv ID: 2607.28872v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.28872v1\n摘要: We propose three new particle methods that improve computational efficiency by introducing a generalized Vertical Coordinate Transformation (VCT) for free surface flow problems with complex bottom boundaries. The first method is a bottom boundary-fitted particle method (BF-SPH). The BF-SPH is simply an arrangement of the body-fitted-coordinate system in the finite difference method to the particle method. The BF-SPH can accurately impose the bottom boundary conditions, while a simple procedure is performed by transforming the complex bottom into a flat one. The second method is the bottom boundary-fitted ellipsoidal particle method (BFE-SPH), which combines the BF-SPH with the ellipsoidal particle model proposed by Shibata et al. The BFE-SPH can speed up the particle simulation by choosing a reasonable aspect ratio of ellipsoidal particles. The last method is the $σ$-SPH method, which automatically selects the aspect ratios of ellipsoidal particles concerning water depth using the $σ$-coordinate system. The $σ$-coordinate is often employed in numerical simulations of oceanographic fields, such as in the Princeton Ocean Model. However, this is the first attempt to apply the $σ$-coordinate to a particle method. Vertical resolution is required from offshore to the coastal region in oceanographic problems such as tsunamis, especially when conducting detailed analysis using a 3-D particle method. Using the $σ$-coordinate allows for a stepwise transition to a naturally efficient coordinate system by referencing water depth. In this paper, we have shown that the above three methods can be generalized as Vertical Coordinate Transformations (VCTs), and the VCTs are successfully achieved by employing SPH(2) with the second-order accuracy of the second-order derivatives, including cross derivatives.\n14. 切割单元有限体积算子中的缺陷子空间与局部不稳定性 Defect Subspaces and Localized Instabilities in Cut-Cell Finite-Volume Operators\n作者: Justo E. Karell\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-30\narXiv ID: 2607.28808v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.28808v1\n摘要: Cut-cell instability in explicit finite-volume methods arises when an embedded boundary clips a background cell to a small volume fraction~$α$, forcing the local CFL number to $λ_α= λ/α\\gg 1$. This paper characterizes the spectral structure of this instability and derives a minimum SRD blending parameter per cut cell computable from local mesh geometry. The update operator has exactly $m$ unstable eigenvalues, one per cut cell, with dominant eigenvalue $μ_u = 1 - λ/α+ O(1)$ and eigenvector $v_u = e_c + O(α)$. The growth rate is governed by the defect matrix $Γ= (Δt/h)(a_{c+1/2,c} - a_{c-1/2,c})$, yielding the criterion [ s_{\\mathrm{stab}} = \\frac{λ_α- 2}{λ_α- 1} + O(α), ] which is evaluated from $α$ and $λ$ at each cut cell at mesh generation time with no time-stepping and no global matrix assembly. The criterion prevents the class of crash that would otherwise require rerunning a production simulation at significant cost. For merge-left state redistribution, $|\\cos_α(D,v_u)| = 1 - O(α)$, proving SRD acts in the unstable eigendirection. We also characterize which linearized explicit finite-volume operators on scalar periodic 1D cut-cell meshes admit this structure, covering schemes from first-order Godunov to high-order MUSCL with bounded flux coefficients, and prove $\\|P_{\\cU_α} - P_\\cC\\| = O(α)$ for $m$ non-adjacent cut cells.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-08-03_11-01-15/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年08月03日 11:01:15\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 14\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-i-mchm多尺度椭圆问题的界面多重连续介质均匀化方法\"\u003e1. I-MCHM：多尺度椭圆问题的界面多重连续介质均匀化方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eI-MCHM: Interface Multicontinuum Homogenization for Multiscale Elliptic Problems\u003c/p\u003e","title":"2026年08月03日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月31日 10:17:36\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 3\n不相关论文数量: 16\n重点关注论文（完整分析） 1. 打破超材料均匀化中的尺度分离：界面惯性增强的松弛微态模型 Breaking Scale Separation in Metamaterials\u0026rsquo; homogenization: Interface-Inertia-Enhanced Relaxed Micromorphic Model\n作者: Angela Madeo, Leonardo Perez, Mohammad Sarhil\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.27385v1\n摘要翻译: 均匀化连续体模型被广泛用于描述力学超材料中的波传播和带隙行为，而无需显式解析其微结构。然而，这些模型的有效性通常依赖于经典的尺度分离假设，即传播扰动的波长远大于单胞的特征尺寸。在有限尺寸超材料样本中及较高频率下，这一假设逐渐被打破，动态响应开始强烈受到微结构在外边界处截断方式的影响。在这项工作中，我们在力学超材料的均匀化描述中引入了一个全新的概念：宏观界面的惯性贡献。我们表明，同一晶格的不同截断会产生具有不同质量分布的边界，这导致有限尺寸试样的动态响应出现可测量的差异。为了在均匀化框架中捕捉这一复杂机制，我们扩展了松弛微态模型，在所考虑物体的边界上引入了动能表面能。这在边界条件中产生了一个额外的惯性项，可被视为微结构截断所产生的界面惯性的均匀化对应物。因此，均匀化模型现在能够区分具有相同体性质但仅界面构型不同的有限尺寸试样。所提出的公式保留了松弛微态模型的变分结构，同时使连续体能够重现全解析模拟中观察到的依赖边界的响应，特别是在频率范围内\u0026hellip;\u0026hellip;. 完整摘要请参见PDF。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.27385v1\n1. 研究对象和背景 机械超材料通过微结构几何与弹性波的相互作用表现出非凡的动态特性，如带隙（频率范围内波无法传播）和定向波导。这些现象通常由局部共振或布拉格散射引起，吸引了均匀化理论的大量研究。传统的连续介质模型（如柯西弹性）的色散关系是线性的，无法描述色散行为；因此，发展了多种广义连续体理论。其中，松弛微态模型（relaxed micromorphic model）因其能准确再现周期微结构介质的色散曲线和带隙行为而得到广泛应用。该模型引入宏观位移场 $u\\in\\mathbb{R}^3$ 和非对称微畸变张量 $P\\in\\mathbb{R}^{3\\times 3}$ 作为基本未知量，其 Lagrangian 密度为 $\\mathcal{L}_{\\text{rrm}} = K(\\dot u, \\nabla\\dot u, \\dot P) - W(\\nabla u, P)$，其中动能和应变能分别为 $$ \\begin{aligned} K(\\dot u, \\nabla\\dot u, \\dot P) \u0026= \\frac12 \\rho\\langle\\dot u,\\dot u\\rangle + \\frac12\\langle\\mathbb J_m\\operatorname{sym}\\dot P,\\operatorname{sym}\\dot P\\rangle + \\frac12\\langle\\mathbb J_c\\operatorname{skew}\\dot P,\\operatorname{skew}\\dot P\\rangle \\\\ \u0026\\quad + \\frac12\\langle\\mathbb T_e\\operatorname{sym}\\nabla\\dot u,\\operatorname{sym}\\nabla\\dot u\\rangle + \\frac12\\langle\\mathbb T_c\\operatorname{skew}\\nabla\\dot u,\\operatorname{skew}\\nabla\\dot u\\rangle, \\end{aligned} $$ $$ W(\\nabla u, P) = \\frac12\\langle\\mathbb C_e\\operatorname{sym}(\\nabla u-P),\\operatorname{sym}(\\nabla u-P)\\rangle + \\frac12\\langle\\mathbb C_c\\operatorname{skew}(\\nabla u-P),\\operatorname{skew}(\\nabla u-P)\\rangle + \\frac12\\langle\\mathbb C_{\\text{micro}}\\operatorname{sym} P,\\operatorname{sym} P\\rangle, $$ 这里 $\\rho$ 是宏观表观密度，$\\mathbb J_m,\\mathbb J_c,\\mathbb T_e,\\mathbb T_c$ 是四阶微惯性张量，$\\mathbb C_e,\\mathbb C_c,\\mathbb C_{\\text{micro}}$ 是四阶弹性张量。通过适当标定，该模型能在无限或“等效无限”周期域中精确描述波传播和带隙，前提是波长 λ 远大于单胞尺寸 L，即经典的尺度分离假设成立。\n然而，实际应用中的超材料构件常常是有限尺寸的，仅由少量单胞构成。当频率升高，波长缩小到与单胞尺寸可比时，尺度分离假设逐渐失效，结构的响应强烈依赖于外部边界如何截断微结构。例如，同一周期性无限晶格沿不同平面截断将产生具有不同质量分布和几何构型的边界（如α-截断、β-截断、γ-截断）。在全解析微结构仿真中，这些差异自然体现，但标准均匀化模型仅包含体能和体动能，无法区分此类界面差异。因此，传统均匀化模型预测的散射场、牵引分布等与精细仿真结果出现显著偏差，尤其在高频段。\n本文旨在填补这一空白：首次在均匀化框架中引入宏观界面的惯性贡献。基本思想是在松弛微态模型的 Lagrangian 中附加一个定义于边界 ∂Ω 的动能面能量，其形式可能为 $\\int_{\\partial\\Omega} \\frac12 \\langle\\mathbb I^{\\text{surface}}\\dot u,\\dot u\\rangle\\,dA$ 或类似含微畸变的表达式，这里 $\\mathbb I^{\\text{surface}}$ 是与截断方式相关的界面惯性张量。该面能量通过变分原理在边界条件中生成额外的惯性项，从而赋予连续体模型区分不同界面配置的能力，同时保持模型的变分一致性。这一概念从根本上打破了均匀化中长期依赖的尺度分离假设，为预测有限尺寸超材料构件的高频动力学响应开辟了新途径。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要贡献是提出了一种界面惯性增强的松弛微态模型，并展示了其在捕捉截断依赖的动态响应方面的有效性。具体结论如下：\n模型构建：在原有的缩减松弛微态模型（reduced relaxed micromorphic model）基础上，通过引入边界上的动能面能量，扩展了作用量泛函。新的作用量形如 $$\\mathcal A^{\\text{enhanced}} = \\int_0^\\tau\\int_\\Omega \\mathcal L_{\\text{rrm}}\\,dx\\,dt + \\int_0^\\tau\\int_{\\partial\\Omega} \\mathcal K^{\\text{surface}}(\\dot u,\\dot P)\\,dA\\,dt,$$ 其中 $\\mathcal K^{\\text{surface}}$ 是依赖于界面惯性张量 $\\mathbb I^{\\text{surface}}$ 的二次型。通过变分得到修正的运动方程和自然边界条件，后者包含由表面惯性导致的附加惯性项（如 $\\mathbb I^{\\text{surface}}\\ddot u$）。 数值验证：以“十字”形单胞构成的超材料块为算例，对比了α-截断和β-截断的全解析微结构仿真（有限元离散单胞细节）与均匀化模型预测。在基准散射问题中（平面波入射到嵌入均匀介质的有限超材料块），观察到： 当波长 $\\lambda \u003e 10.33L$（L为单胞尺寸）时，两种截断的位移场几乎无差异，尺度分离假设成立，传统模型可接受。 当 $\\lambda \\le 10.33L$ 时，α-截断与β-截断的散射场出现显著差别，且这些差别在 $\\lambda$ 接近L时愈加突出。 引入界面惯性后，均匀化模型能够再现全解析仿真中观察到的截断依赖性差异，尤其在高频段，而传统模型（仅含体能量）无法区分不同截断。 通用性：界面惯性张量 $\\mathbb I^{\\text{surface}}$ 可由截断面的质量分布直接确定，与体材料参数无关，因此模型可推广至任意晶格截断形式。文中给出了α、β、γ三种截断对应的界面惯性张量示例。 变分一致性：所提模型严格保持了变分结构，从而确保了能量守恒等物理合理性，并可自然地与有限元等数值方法结合。 需要指出，以上结果中关于界面惯性张量的具体辨识方法及数值例中均匀化模型与全解析仿真的定量误差分析，在提供的PDF摘录中未完全展开，仅定性展示了差异的捕捉能力。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心创新在于将界面惯性作为固有部分引入均匀化连续体的变分框架中，而非作为外部加载或约束处理。技术路线可分为两步：\n1. 界面动能面能量的采纳与变分推导\n传统松弛微态模型的作用量仅包含体域Ω上的积分。为反映边界截断带来的局部惯性变化，作者直接在其Lagrangian中增添了一个定义在边界∂Ω上的动能面能量项。此项被假定为依赖于界面速度（$\\dot u|_{\\partial\\Omega}$ 以及可能 $\\dot P|_{\\partial\\Omega}$）的二次型，由界面惯性张量 $\\mathbb I^{\\text{surface}}$ 参数化。这是一个唯象但物理动机明确的做法：不同截断平面穿过单胞时留下不同的固体材料边界，从而具有不同的面密度，恰如薄板的惯性。\n通过 Hamilton 原理（作用量驻值）对扩展作用量进行变分，得到了域内与经典模型相同的平衡方程 $$\\rho\\ddot u - \\operatorname{div} \\sigma = 0, \\quad \\text{以及微畸变演化方程},$$ 其中应力 $\\sigma$ 与相对畸变 $(\\nabla u - P)$ 及微畸变 $P$ 相关。关键在于自然边界条件变为 $$\\sigma n = \\mathbb I^{\\text{surface}}\\ddot u + \\text{可能的其他惯性项},$$ 这里 $n$ 为边界外法向。该条件表明，边界上的牵引力不仅与内部应力平衡，还须克服界面自身的惯性，从而在动力学上区分不同截断。此项推导是标准变分法，但将表面惯性纳入 Lagrangian 系首次提出。\n2. 界面惯性张量的确定与数值验证\n为赋予 $\\mathbb I^{\\text{surface}}$ 具体的物理意义，作者考虑了单胞的截断方式。以“十字”形单胞为例，α、β、γ三种截断分别沿着不同平面切割，使边界上固体材料（铝）的分布不同（图1,3）。通过计算截断面上固体区域的面质量分布，可构造界面惯性张量。具体而言，若边界面上位置 $x$ 处的材料指示函数为 $\\chi(x)$，则面密度张量为 $\\int_{\\text{surface}} \\rho_{\\text{solid}}\\chi(x)\\,ds$，并以某种方式转化为宏观惯性张量 $\\mathbb I^{\\text{surface}}$。PDF未详述此映射，但显然可利用均匀化理论中的面积分或平均方法。\n为展示模型效果，论文进行了全解析微结构仿真（使用有限元精细离散所有单胞细节）与所提均匀化模型的对比。仿真设置了一个基准散射问题：5×5单胞的有限超材料块嵌入均匀基质中，受平面压缩波入射。通过比较沿两条检测线的位移剖面（图5-8），观察到传统均匀化模型（无界面惯性）无法预测α与β截断的差别，而增强模型能够再现这些差别，尤其当波长 $\\lambda\\le10.33L$ 时。验证中未给出误差阶或收敛速率，但定性确认了模型捕捉边界惯性效应的能力。\n技术障碍与创新点\n主要障碍在于，在尺度分离失效时，均匀化模型如何处理因截断导致的非均匀边界效应。传统做法是精细离散化微结构，但计算代价高昂。本文的创新点是直接提升连续体模型的复杂度——在变分层面嵌入表面惯性项，使宏观模型无需解析微结构即可捕获边界依赖的动态行为。关键引理或估计未以定理形式呈现，但实质是通过修正边界条件将微观截断信息编码进宏观参数 $\\mathbb I^{\\text{surface}}$。证明框架未涉及严格收敛性分析，而侧重于物理建模与数值例证。\n4. 与之前工作的比较 本文在以下方面与既有均匀化及高阶连续体力学研究形成对比和推进：\n1. 与传统均匀化方法（渐近均匀化、计算均匀化）的比较\n传统均匀化依赖严格的尺度分离，仅在无限大周期域的前提下方能导出有效本构（如通过单元胞问题求解），且自然边界条件通常退化为柯西牵引条件。即便在有限尺寸问题中施加周期性边界条件，亦无法捕捉因截断造成的界面差异。本文放弃尺度分离假设，直接引入边界惯性项，使得均匀化模型能在波长与单胞尺寸可比时区分不同截断构型，拓宽了均匀化模型的适用频率范围。代价是需要额外标定界面惯性张量，此张量依赖于截断方式但独立于体性质，可通过简单的面积分预计算获得。\n2. 与广义连续体模型（应变梯度、微态、微极等）中的表面效应对比\n广义连续体理论中早有表面效应的研究，如 Mindlin 的应变梯度理论可包含表面应变能，Gurtin–Murdoch 的表面弹性模型引入表面本构关系。然而，这些表面能几乎全是应变能或自由能，反映的是界面处因原子排列不同而导致的额外弹性。本文所提的界面惯性是动能面能量，代表界面处因微结构截断而产生的额外质量效应，这是全新的物理机制。在动力学中，表面惯性通过修正边界条件直接影响波的反射、散射行为，与表面弹性作用在本质上是正交的。\n3. 与微观界面力模型（如界面的内聚力或摩擦模型）的比较\n作者在脚注中明确区分：许多工作考虑了微观层面（单元胞内部相界面）的界面力对宏观行为的影响，而本文考虑的是宏观构件外边界上的界面作用，它是由晶格截断产生的全局效应，是界面自身的一种均匀化属性。因此，本文的界面惯性是宏观本构的一部分，而非微观界面的直接升尺度。这种处理方式在均匀化文献中尚无先例。\n4. 与松弛微态模型已有工作的对比\n松弛微态模型已被Madeo等用于研究无限大和有限尺寸超材料，例如[19,21,25,32,43]等。这些工作主要集中在域内波传播和色散关系，边界条件多为经典牵引或固定位移。本文在同一模型框架下，通过添加表面动能，使边界条件获得惯性修正，从而能够处理尺度分离破坏时的界面效应。与[43]中观察到的界面牵引差异相呼应，本文提供了解决该差异的理论方案。此外，本文首次建立了界面惯性张量与截断方式的具体联系，使模型具备预测能力。\n5. 适用范围与局限性\n推进之处：模型将均匀化的适用频率扩展到尺度分离条件以下，即 λ≲10L 的区域，使有限尺寸超材料构件的高频响应可高效计算。局限性：界面惯性张量依赖于截断方式，需对每种截断预先计算，但对于同一材料不同截断的构件，可重复使用；文中尚未给出界面惯性张量的严格解析公式，可能依赖于数值拟合；仅限于线弹性、小变形，未涉及非线性或耗散。从提供内容中，作者未显式比较与具体的前人文献的定量差异，但清晰的物理动机和数值证据支持了其优越性。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 保结构积分的统一离散梯度-SAV框架 A Unified Discrete Gradient-SAV Framework for Structure-Preserving Integration\n作者: Elena Celledoni, David Martín de Diego, Brynjulf Owren, Miguel Vaquero\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-07-30\narXiv ID: 2607.27795v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.27795v1\n摘要翻译 中文标题: 保结构积分的统一离散梯度-SAV框架\n摘要翻译: 我们提出了一个将离散梯度(DG)方法与标量辅助变量(SAV)方法相结合的框架，用于为耗散系统和保守系统构造保结构积分器。关键观察是，SAV二次化将动力学提升到一个扩展的状态空间，在该空间上修正能量具有精确的离散梯度恒等式。这一观点产生了三种具有不同精度和计算代价的积分器：一阶半隐式向前Euler格式，二阶自伴中点格式，以及具有降低的隐式程度的二阶预测格式。该构造可扩展到几乎Poisson系统，并在可实施的离散条件下保持选定的Casimir不变量。数值实验涵盖了Allen-Cahn方程，Ohta-Kawasaki型非局部梯度流，双阱Hamilton振子，以及具有非线性三次Casimir的Poisson系统。\n2. 一种用于多尺度线性动理学输运方程的渐近保持动力学低秩半拉格朗日方法 An Asymptotic-Preserving Dynamical Low-Rank Semi-Lagrangian Method for Multiscale Linear Kinetic Transport Equations\n作者: Shun Li, Yan Jiang, Mengping Zhang, Tao Xiong\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-30\narXiv ID: 2607.27736v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.27736v1\n摘要翻译 中文标题: 一种用于多尺度线性动理学输运方程的渐近保持动力学低秩半拉格朗日方法\n摘要翻译: 本文提出了一种用于多尺度线性动理学输运方程的渐近保持（AP）动力学低秩半拉格朗日方法。该方法结合了半拉格朗日离散化的大时间步长能力与低秩表示所提供的存储和计算成本减少。所提出的格式将近似宏观密度更新与用于动理学分布的基更新 Galerkin 积分器耦合起来。为了在半拉格朗日通量评估中保持降低的复杂度，通量导数通过采样角度求积策略计算。我们建立了常系数情形下全求积低秩格式的无条件稳定性分析。通量导数中角度采样引起的误差被量化。得到的格式在扩散极限下被证明是渐近保持的。数值实验，包括高维测试例子，表明所提出的方法在动理学和扩散区间内是渐近保持的，在大时间步长下稳定，且计算高效。\n3. 面向浅水溃坝问题的参数化物理信息神经网络与张量降阶模型的比较 Comparison of a Parametric Physics-Informed Neural Network and a Tensorial Reduced-Order Model for the Shallow-Water Dam-Break Problem\n作者: Anton Myshak, Md Rezwan Bin Mizan, Ilya Timofeyev\n类别: math.NA, cs.LG, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.27433v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.27433v1\n摘要翻译 中文标题: 面向浅水溃坝问题的参数化物理信息神经网络与张量降阶模型的比较\n摘要翻译: 我们建立了两种参数化数据驱动的降阶模型：物理信息神经网络（PINN）和非侵入式张量降阶模型（TROM），并将这两种方法应用于参数化一维浅水溃坝问题。两种降阶模型均无需时间积分，而是学习从空间、时间和溃坝参数到物理状态的直接解映射。我们针对样本外参数值和外推参数值进行了详细比较。此外，我们证明引入激波感知的配点对于提高PINN模型的鲁棒性至关重要。\n不相关论文（基本信息） 1. 面向迭代求解器的图神经网络多层预条件子 Graph Neural Multilevel Preconditioners for Iterative Solvers\n作者: Zechen Zhang, Rui Peng Li, Yousef Saad\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-07-30\narXiv ID: 2607.28456v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.28456v1\n摘要: Solving large, sparse linear systems is a core task in scientific computing, and efficient iterative solvers rely critically on effective and robust preconditioning. While classical methods such as algebraic multigrid (AMG) are highly scalable, their robustness can degrade on indefinite or nonsymmetric systems where heuristics originally developed for elliptic PDEs are less reliable. Recently, Graph Neural Networks (GNNs) have emerged as data-driven preconditioners; yet, the practical impact of imposing an AMG-style hierarchy remains underexplored for general sparse matrices. In this work, we propose a Graph Neural Multilevel Preconditioner (GMP) that adopts an AMG hierarchy as a structural prior and learns smoothing, restriction, and interpolation operators in a unified framework. Our method targets general sparse systems and is instantiated as a drop-in preconditioner for standard Krylov solvers. On a benchmark of over 800 sparse matrices, we compare against classical AMG, single-level ILUT, and state-of-the-art GNN preconditioners, and characterize the regimes where multilevel graph neural preconditioning improves convergence or, conversely, introduces overhead relative to strong single-level baselines. These results highlight both the promise and the limitations of enforcing AMG-style multilevel structure in learned preconditioners for large-scale scientific simulations.\n2. 弹跳粒子与Zigzag采样器的窗口化稀疏化和查询复杂度 Windowed thinning and query complexity for the bouncy particle and Zigzag samplers\n作者: Jianfeng Lu, Yinchen Luo\n类别: math.NA, cs.LG, math.PR, math.ST\n发布日期: 2026-07-30\narXiv ID: 2607.28413v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.28413v1\n摘要: Let $μ(d x)\\propto e^{-U(x)} d x$ on $\\R^d$, where $U$ is $m$-strongly convex and $L$-smooth, and denote by $κ=L/m$ the condition number. We consider windowed thinning, an exact simulation method for the bouncy particle sampler and the coordinate Zigzag process. The method divides a trajectory into deterministic windows and uses a gradient evaluation at the beginning of each window to construct a tractable local envelope for the event rate. Combining this construction with quantitative mixing estimates and finite-time bounds on the expected numbers of bounces and flips yields query complexity guarantees from a Gaussian cold start. For total-variation error $\\varepsilon$, the expected query counts are $O(κ^{1/2}d\\,(d\\logκ+\\log\\frac1\\varepsilon))$ gradient queries for the bouncy particle sampler and $O(κd^{1/4}(d\\logκ+\\log\\frac1\\varepsilon))$ full-gradient equivalents for Zigzag, where $d$ coordinate-partial queries count as one equivalent.\n3. 非对称加权 Hermite 近似应用于 Vlasov-Poisson 系统的 Galerkin 方法 Galerkin method for asymmetrically-weighted Hermite approximations applied to the Vlasov-Poisson system\n作者: Ruiyang Dai\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-30\narXiv ID: 2607.28409v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.28409v1\n摘要: We investigate a numerical method for the Vlasov-Poisson (VP) system utilizing asymmetrically-weighted (AW) Hermite bases in velocity space, which is an hyperbolic system. In particular, we concentrate on spectral methods in velocity. For the Hermite spectral form of the VP system, we analyze the resaon that the form with AW Hermite bases can be instable. To obtain L2 stability properties, we consider a Galerkin method intead of the classical Petrov-Galerkin method, which naturally ensures stability with respect to the L2 norm. We also present an equivalent form of the method that maintains a computational cost modest compared to that of the Petrov-Galerkin method. Finally, we present numerical simulations based on the proposed Hermite spectral method, showcasing its stability.\n4. 一种用于双乘积节省下矩阵多项式求值方案稳定生成的 MATLAB 工具 A MATLAB Tool for the Stable Generation of Matrix Polynomial Evaluation Schemes with Two-Product Savings\n作者: J. Ibáñez, J. Sastre, J. M. Alonso, E. Defez\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-30\narXiv ID: 2607.28286v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.28286v1\n摘要: Computing numerical approximations of matrix functions frequently relies on the efficient evaluation of high-degree matrix polynomials. Although computational bounds are historically governed by the Paterson\u0026ndash;Stockmeyer (PS) method, recent theoretical developments have demonstrated the viability of evaluation schemes that eliminate two matrix products ($2M$). Existing literature documents stable instances of this $2M$ reduction only for isolated cases, such as specific degrees of Taylor approximations for the matrix exponential and the matrix logarithm. However, a generalized approach for arbitrary polynomials remains unestablished. To address this limitation, this work presents a software-driven procedure that extends these computational savings to polynomials of degrees $m \\in \\{18, 21, 24, 26, 27, 28\\}$ and all $m \\ge 30$, requiring primarily a non-zero leading coefficient. Since the underlying evaluation coefficients must be determined by solving systems of nonlinear equations (SNEs), selecting a numerically stable solution set is critical. We introduce an automated verification routine designed to filter and validate robust coefficient sets for floating-point execution. The primary contribution is a MATLAB implementation leveraging variable precision arithmetic to handle the underlying SNEs, verify stability, and project precision bounds. Numerical experiments involving various matrix functions verify that the developed implementation preserves or, in some instances, enhances the numerical accuracy of the classic PS method, while systematically achieving the theoretical reduction of $2M$.\n5. R3MG-C：一种用于连续有限元离散的高阶代数-几何多层预处理子 R3MG-C: a high-order algebraic-geometric multilevel preconditioner for continuous finite element discretizations\n作者: Davide Polverino, Marco Feder, Luca Heltai\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-30\narXiv ID: 2607.28235v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.28235v1\n摘要: Algebraic multigrid (AMG) methods are robust and efficient black-box preconditioners for linear systems arising from low-order discretizations of elliptic partial differential equations, but their performance often deteriorates for high-order methods. We introduce an algebraic-geometric multilevel preconditioner for continuous lagrangian finite element discretizations. The method automatically constructs prolongation operators and a Galerkin hierarchy using only the coordinates of finite element support points, without requiring a prescribed mesh hierarchy or domain decomposition. The support-point are recursively partitioned by an R-tree algorithm based on axis-aligned bounding boxes, producing a hierarchy of agglomerates. In contrast to classical AMG, which typically uses piecewise-constant aggregate coarse spaces, our method embeds local discontinuous polynomial spaces of degree $p'\u003e0$, defined on the agglomerate boxes, through continuous nodal interpolation. This yields a high-order extension of the Nicolaides coarse space. A two-level analysis quantifies how the coarse polynomial degree offsets the effects of large agglomerates and high-order fine discretizations, under uniform box-regularity, interpolation-stability, and stable-decomposition assumptions. Numerical experiments in two and three dimensions show that the resulting V-cycle, used as a conjugate-gradient preconditioner, maintains stable iteration counts and remains effective in regimes where standard AMG deteriorates.\n6. 分层网格上标记驱动水平集输运的自适应有限元方法 An Adaptive Finite Element Method for Marker-Driven Level-Set Transport on Hierarchical Meshes\n作者: Eugenio Aulisa, Samuele Baldini, Giacomo Barbi, Andrea Chierici, Sandro Manservisi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-30\narXiv ID: 2607.28104v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.28104v1\n摘要: This work presents a new adaptive finite-element framework for level-set transport, achieving high accuracy in kinematic interface transport problems relevant to interface-capturing methods for two-phase flows while reducing computational cost. This framework accommodates dynamic refinement and coarsening, and is compatible with standard finite-element data structures. The algorithm is applicable to both structured and unstructured discretizations in two and three dimensions. The method uses a tree-based hierarchical mesh with dynamic local refinement that tracks the evolving interface, concentrating resolution in a narrow band around the zero level set while preserving a coarse discretization elsewhere. The level-set field is updated through marker transport on adaptively refined meshes, enabling interface prediction and the construction of an evolving adaptive hierarchy. Concurrently, backward characteristic tracing provides accurate evaluation of the advected level-set field. Both operations employ an efficient multilevel marker and point-location algorithm to identify containing elements across refinement levels. Numerical experiments on two- and three-dimensional structured and unstructured grids, including quadrilateral, simplicial, wedge, and hexahedral meshes, subjected to severe interface deformations, demonstrate that the adaptive strategy achieves accuracy comparable to uniform discretizations at a substantially lower cost, while maintaining good conservation properties under aggressive adaptivity. Consequently, the proposed approach provides an efficient and flexible framework that can be naturally integrated into level-set-based multiphase flow solvers.\n7. 从牛顿算法中学习特征：一种加速非线性参数化PDE求解器的方法 Learning features from Newton\u0026rsquo;s algorithm: a way to accelerate nonlinear parametrized PDE solvers\n作者: Rémy Vallot, Florian de Vuyst, Thibault Dairay, Mathilde Mougeot\n类别: cs.LG, math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-07-30\narXiv ID: 2607.28036v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.28036v1\n摘要: It is well known that Newton\u0026rsquo;s method converges faster when the initial guess is closer to a root of a system of nonlinear equations. In this paper, a two-stage Newton initial guess strategy is proposed by learning features from a parameter-space sampling and a database of precomputed solutions. The method uses discrete Newton trajectories to construct two complementary reduced spaces: a solution feature space, built from converged states, and a corrective search direction feature space, built from intermediate Newton increments. For an unseen parameter, a regression model is used to predict a surrogate solution approximation. Then, in a second step, a residual-minimizing correction is computed using a dedicated GMRES-based approach. The resulting state is then used as an initial guess for the high-fidelity Newton method, which completes convergence. The corrective step is computationally inexpensive since it only requires residual evaluations and the solution of a small least-squares problem. The methodology is weakly intrusive once the high-fidelity residual fields and a script-based programming interface are available. This strategy reduces the number of Newton iterations and decreases the overall CPU time. Numerical experiments on representative PDE problems show quantifiable speedups compared with standalone surrogate initialization. Significant speedups are observed. This generic approach can be applied to a broad class of large-scale nonlinear problems.\n8. 数值谱连接：通过带重采样的Koopman-Chebyshev近似识别控制偏微分方程 Numerical Spectrum Linking: Identification of Governing PDE via Koopman-Chebyshev Approximation with Resampling\n作者: Phonepaserth Sisaykeo, Shogo Muramatsu\n类别: math.NA, eess.SP\n发布日期: 2026-07-30\narXiv ID: 2607.27728v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.27728v1\n摘要: A numerical framework is proposed for identifying governing partial differential equations (PDEs) from observational data by establishing a link between observation-driven and equation-driven Koopman operators in a common Chebyshev spectral domain. In contrast to data-driven approaches such as dynamic mode decomposition (DMD), which approximate Koopman operators without explicitly relating them to differential operators, the proposed framework constructs finite-dimensional Koopman operators using Chebyshev spectral representations, thereby enabling direct comparison between data-derived dynamics and candidate governing PDEs. A unified observation model together with a least-squares coefficient recovery formulation is introduced to recover Chebyshev spectral coefficients from observations obtained on arbitrary sampling grids. This provides a numerically consistent interface between practical observations and Chebyshev-based Koopman analysis. Numerical experiments under direct Chebyshev, uniform, and irregular sampling configurations demonstrate that the proposed framework accurately identifies the governing PDE from observations. An observation-density study shows that reliable PDE identification is consistently achieved once sufficient independent observations are available for stable coefficient recovery, providing a practical guideline.\n9. 一种用于空间参数泊松噪声泛函的谱补偿格式：误差界与复杂度估计 A spectral-compensated scheme for space-parameter Poisson noise functionals: error bounds and complexity estimates\n作者: Yun-Ching Chang\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-07-30\narXiv ID: 2607.27657v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.27657v1\n摘要: This paper computes Poisson space noise functionals, $P^{\\prime}(u)$, realised in a Gel\u0026rsquo;fand triple built from a Lévy measure $λ_β(u)du$. We isolate three discretisation parameters: a small-amplitude cut-off, a Donsker delta truncation M, and a chaos order N. For a stable-type intensity $λ_β(u)=cu^{-1-α}$ ($0\u003cα\u003c2$), replacing discarded small amplitudes with matched Gaussian space noise improves the Wasserstein-1 error from $O(ε^{1-α/2})$ to $O(ε)$. The residual is asymptotically normal at $O(ε^{α/2})$. This compensation reduces computational complexity from $O(τ^{-2α/(2-α)})$ to $O(τ^{-α})$. We also evaluate the Gamma-type boundary ($α=0$) and exponential tempering. Truncations converge algebraically (M) and super-geometrically (N). All predicted rates are tightly confirmed by deterministic numerical experiments via Gil-Pelaez inversion, eliminating Monte Carlo noise.\n10. 一种重构$\\mathbb{R}^3$中移动点声源的新型采样方法 A novel sampling method for reconstruction of a moving point acoustic source in $\\mathbb{R}^3$\n作者: Guanqiu Ma, Shuang Li, Hongxia Guo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-30\narXiv ID: 2607.27621v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.27621v1\n摘要: In this paper, we introduce a novel sampling method to recovering the trajectory of a moving point source in R^3, where both the spatial location and emission moment of the moving point source are unknown. Combining algebraic theory with geometric knowledge, we prove the uniqueness of the source location by using measured data from five observation points. Our sampling method constructs an indicator function based on the property that the residual of the time difference of arrival constraint formula vanishes at the true source location. It achieves the reconstruction of the spatial positions and emission moments of a moving point source only using data from five observation points and their corresponding arrival times. The algorithm not only reduces the required number of observation points, but also improves computational efficiency, stability, and noise resistance. Numerical experiments verify the effectiveness of the method.\n11. 可扩展的图核心集选择：基于贪心采样 Scalable Graph Coreset Selection via Greedy Sampling\n作者: Zhaiming Shen, Alexander Cloninger\n类别: math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-07-30\narXiv ID: 2607.27602v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.27602v1\n摘要: Sampling representative nodes from large graphs is fundamental to graph signal processing and network analysis, yet existing methods require access to the full graph Laplacian, making them impractical at scale. We propose a simple and effective column-selective graph sampling algorithm based on a minimum inner product greedy selection rule. At each iteration, the algorithm accesses only a small random subset of Laplacian columns, requiring no eigendecomposition or global graph traversal, making it well-suited for large-scale graphs where the full Laplacian cannot be stored in memory. We analyze the algorithm under the stochastic block model and show that, when the degree distribution is balanced across nodes, the algorithm achieves sampling proportional to cluster size, and that the resulting mean estimate is controlled for band-limited graph signals in the Paley-Wiener space, with the error decaying as inter-cluster connectivity weakens. Numerical experiments on both synthetic and real-world data validate the effectiveness of the proposed method.\n12. 面向参数化线性偏微分方程的非线性流形降阶模型的残差驱动提升辨识 Residual-Driven Lifting Identification for Nonlinear-Manifold Reduced-Order Models of Parametrized Linear PDEs\n作者: Francesco A. B. Silva, Jean C. Ragusa, Theron Guo, Rudy Geelen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.27471v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.27471v1\n摘要: We introduce a residual-driven procedure for training nonlinear-manifold reduced-order models for parametrized linear partial differential equations that, given prescribed latent and lifting spaces, identifies the nonlinear lifting without high-fidelity solution snapshots. The approximation is represented by a low-dimensional latent coordinate together with a nonlinear lifting into a richer reduced space. Rather than fitting the lifting to snapshot data, we determine it by minimizing a computable residual-based upper bound for the state error. For affinely parametrized operators, the resulting training objective admits an efficient offline\u0026ndash;online decomposition, and the lifting update reduces to a sequence of low-dimensional weighted least-squares problems. Numerical evaluations on an advection\u0026ndash;diffusion problem and a plane-strain elasticity benchmark show that the proposed approach substantially improves accuracy over linear subspaces. The resulting nonlinear models achieve accuracy comparable to snapshot-driven nonlinear-manifold training while avoiding high-fidelity snapshots in the lifting-identification stage.\n13. 动态低秩平滑 Dynamical Low-Rank Smoothing\n作者: Youssef Marzouk, Fabio Nobile, Fabio Zoccolan\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.27438v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.27438v1\n摘要: Computational costs often make smoothing procedures prohibitive for high-dimensional data assimilation problems. To address this challenge, we propose a dynamical low-rank approximation (DLRA) methodology for smoothing concerning frameworks based on stochastic differential equations. We extend the previously developed joint mean-and-covariance optimization (JMCO) filtering setting to derive a reduced-order smoother via the Rauch\u0026ndash;Tung\u0026ndash;Striebel recursion and establish the corresponding Kalman\u0026ndash;Bucy smoothing for affine drift dynamics. The resulting algorithms retain the adaptive nature of DLRA while significantly reducing the computational time and storage of the whole smoothing procedure.\n14. 数据同化的动态低秩滤波器 Dynamical Low-Rank Filters for Data Assimilation\n作者: Yoshihito Kazashi, Youssef Marzouk, Fabio Nobile, Fabio Zoccolan\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.27432v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.27432v1\n摘要: We propose dynamical low-rank (DLR) type filters for data-assimilation problems based on stochastic differential equations (SDEs). In detail, first we derive a DLRA filter for minimizing jointly the mean and covariance error, as well as a strategy to efficiently include the relevant orthogonal directions. This last approach allows the main subspace to evolve also according to the observation operator. Those procedures naturally extend to a Kalman-Bucy type filter when dealing with linear drift, and to ensemble methods, too, resulting also suitable for problems described by nonlinear drift and possible non-Gaussian distribution. Moreover, we further propose a preliminary particle-type DLRA filter that shows potentiality in nonlinear settings. Numerical simulations show the efficacy of these procedures in relevant applications, opening up to further studies in these filtering directions.\n15. 精确总变差极小化子作为守恒律高阶方法中的非振荡限制器 Exact Total Variation Minimizers as Non-Oscillatory Limiters in High-Order Methods for Conservation Laws\n作者: Gabriel P. Langlois, Jerome Darbon, Rongjie Lai, Chi-Wang Shu, Xiangxiong Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.27416v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.27416v1\n摘要: High-order numerical methods for conservation laws can generate spurious oscillations near discontinuities. We propose to suppress these oscillations by post-processing the numerical solution with a total variation (TV) denoising step that reduces the total variation of the nodal values. For a general analysis operator, the resulting discrete minimization problem need not satisfy the submodularity property that existing exact max-flow algorithms require, so we instead compute the TV minimizer exactly using a differential inclusion algorithm. In one dimension, the differential inclusion algorithm computes the TV minimizer in finitely many steps, requires no tuning of algorithmic parameters, and preserves the total mass. In two dimensions, we apply the 1D algorithm dimension by dimension. We test the method as a post-processing limiter for Fourier pseudospectral methods and a fifth-order finite difference scheme applied to scalar conservation laws, compressible Euler equations, and the two-dimensional incompressible Euler equations.\n16. 贝叶斯反问题中的离散到连续极限 Discrete to continuum limits in Bayesian inverse problems\n作者: Alexander Katsevich\n类别: math.ST, math.NA\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.27408v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.27408v1\n摘要: We develop a posterior-level discrete-to-continuum theory for Bayesian inverse problems whose finite-dimensional priors arise from local finite-difference regularization and whose likelihoods are of a general convex GLM-type form. In contrast to continuum-first approaches, the continuum prior and posterior are not assumed at the outset but are constructed as limits of the finite-dimensional probability measures used in numerical computation. First, with the total information parameter $τ$ and the regularization strength $κ$ fixed, we prove weak convergence on $L^2$ of the reconstructed discrete Gaussian priors and posterior measures to well-defined continuum laws. We then consider a coupled grid-refinement and small-noise limit in which $N\\to\\infty$ and $τ_N,κ_N\\to\\infty$, while $κ_N/τ_N$ remains fixed. Under explicit growth conditions relating $N$ and $τ_N$, we prove that the reconstructed discrete MAP estimates converge to the unique minimizer $u_*$ of the limiting continuum cost functional, that the reconstructed posterior measures concentrate at $u_*$, and that their centered and rescaled fluctuations converge to $\\mathcal N(\\vec 0,Q^{-1})$, where $Q$ is the Hessian of the continuum cost functional at $u_*$. Finally, we show that the same deterministic limit and Gaussian fluctuation law are obtained by first constructing the continuum posterior and then taking its small-noise, high-regularization limit.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-31_10-17-36/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月31日 10:17:36\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 16\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-打破超材料均匀化中的尺度分离界面惯性增强的松弛微态模型\"\u003e1. 打破超材料均匀化中的尺度分离：界面惯性增强的松弛微态模型\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eBreaking Scale Separation in Metamaterials\u0026rsquo; homogenization: Interface-Inertia-Enhanced Relaxed Micromorphic Model\u003c/p\u003e","title":"2026年07月31日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月30日 12:01:36\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 4\n不相关论文数量: 19\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 超导伦敦方程的数值方法 Numerical approach to the London Equation of superconductivity\n作者: Nicolás Barnafi, Ignacio Labarca-Figueroa, Carlos Román\n类别: math.NA, math-ph, math.AP\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.27103v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.27103v1\n摘要翻译 中文标题: 超导伦敦方程的数值方法\n摘要翻译: 本文为求解全空间 $\\mathbb{R}^3$ 中第二类超导体的伦敦方程提出一种通用的离散化策略。为了计算磁场 $H_0$，我们将磁位势问题重新表述为传输问题，并通过非标准有限元-边界元耦合方法对其进行离散。该表述同时考虑了有界内部区域和无界外部区域，且无需引入人工截断。随后，我们计算矢量场 $B_0$，它源自超导样品中磁位势的 Helmholtz-Hodge 分解。该场进入等通量问题，后者确定在 Ginzburg\u0026ndash;Landau 超导模型中涡旋成核首次在能量上有利的曲线。我们使用 Kikuchi 的混合形式重写 $B_0$ 的方程，在该形式中无散度约束被弱施加，并采用经典的 $H(\\operatorname{curl})$-协调有限元离散方法对所得问题进行离散。我们通过收敛性测试验证了离散化策略，并以等通量问题的应用作为总结。对于恒定外加磁场下的球体，唯一的极大化元是与磁场方向对齐的直径。对于恒定外加磁场与长轴对齐的椭球，我们的计算提供了在充分拉长的雪茄状几何体中不同行为的数值证据：非轴向竞争者（让人联想到 U 形涡旋构型）获得了比长轴更大的等通量比。因此，长轴并非极大化元；任意非轴向极大化元通过旋转对称性生成一个连续的等价构型族，这意味着等通量问题中的非唯一性和退化旋转方向的存在。\n2. 流函数形式曲面Stokes问题的稳定化Morley有限元方法：基于新几何估计的最优收敛性 Stabilized Morley FEM for surface Stokes in stream-function formulation: Optimal convergence via a new geometric estimate\n作者: Shuonan Wu, Hao Zhou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.26664v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.26664v1\n摘要翻译 中文标题: 流函数形式曲面Stokes问题的稳定化Morley有限元方法：基于新几何估计的最优收敛性\n摘要翻译: 我们针对闭曲面上的流函数形式的曲面Stokes问题，提出了一种内在稳定化Morley有限元方法。该方法直接建立在曲面的多面体逼近上。引入了一个无参数的跳跃稳定化项以恢复强制性，并建立了关于无迹Hessian矩阵的离散Korn不等式。主要分析贡献是针对分片线性逼近闭曲面的一个法向分离几何估计。该估计表明，尽管直接处理仅显示一阶控制，但一大类依赖于法向的几何相容误差实际上是二阶的。丢失的阶数通过第一法向变分中的积分相消得以恢复。此估计改进了标准的$P_hν$-型估计，并对无迹Hessian矩阵、Stokes型张量Green恒等式以及离散化中出现的余法向流量给出了二阶相容性。结合离散Korn不等式，这些估计在自然的$H^3$正则性下得到了最优阶收敛：在破碎$H^2$范数下为一阶，在破碎$H^1$范数下为二阶。作为直接推论，恢复的切向速度场具有二阶$L^2$估计。提供了数值实验以支持理论结果。\n3. 使用分段线性参数有限元的Dziuk方法用于曲线缩短流的稳定化与最优$L^2$收敛性 Stabilization and optimal $L^2$ convergence of Dziuk\u0026rsquo;s method with piecewise linear parametric finite elements for curve-shortening flow\n作者: Genming Bai\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.26290v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.26290v1\n摘要翻译 中文标题: 使用分段线性参数有限元的Dziuk方法用于曲线缩短流的稳定化与最优$L^2$收敛性\n摘要翻译: 我们提出了一个针对闭合平面曲线的曲线缩短流的全离散Dziuk方法的稳定化版本，其中使用了分段线性参数有限元。通过精心设计的稳定项，我们能够在抛物尺度 $τ\\simeq h^2$ 下，展示出Barrett\u0026ndash;Garcke\u0026ndash;Nürnberg (BGN) 类型的令人惊讶的离散切向稳定性——这一特性在连续层面是隐藏的。结合线性单元反向平均法向量的一个新超逼近结果，这种Dziuk类型的离散切向稳定性产生了最优的 $L^2$ 收敛性。\n4. 弹性动力学保结构离散中狄利克雷边界速度的强施加 Strong imposition of Dirichlet boundary velocities in structure-preserving discretizations of elastodynamics\n作者: Cristobal Ponce, Hector Ramirez, Yongxin Wu, Ning Liu, Yann Le Gorrec\n类别: cs.CE, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.26248v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.26248v1\n摘要翻译 中文标题: 弹性动力学保结构离散中狄利克雷边界速度的强施加\n摘要翻译: 在端口哈密顿弹性动力学的有限元模型中，边界速度的施加通常依赖于拉格朗日乘子，从而导出微分代数方程。另一种保持常微分方程结构的弱施加方法往往在狄利克雷边界处精度较差。为克服这些局限，本文在连续层面引入加性运动学分解，将位移场和速度场分裂为在边界上为零的相对动态分量和延伸到内部区域的指定提升函数。该分解导出一个分布端口，将边界驱动的作用映射到区域内部。通过将该映射纳入适当的虚功率原理，我们推导出提升的端口哈密顿系统模型，经有限元离散后约化为常微分方程组，其中狄利克雷边界速度被强施加。该框架被用于导出适用于不同端口哈密顿系统几何表示的二场和四场公式。此外，我们表明在特定形函数下，可恢复标准的有限元格式，证明离散模型中的提升框架等价于计算力学实践中经典的代数矩阵分块。所提方法的能量平衡性质和计算性能通过数值模拟得到验证。\n不相关论文（基本信息） 1. 从分类到回归：利用果蝇求解方程 From Classification to Regression: Using a Fruitfly to Solve Equations\n作者: Shady E. Ahmed, Panos Stinis\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.27196v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.27196v1\n摘要: We present a novel approach to regression tasks using classification which is motivated by the mechanism used by fruitflies to sense their environment. Specifically, we formulate a general framework for learning nonlinear input-output relationships by replacing complex global surrogate models with a finite library of representative local patterns. Since scientific data often occupy limited and recurring regions of the input space, we generate predictions by measuring similarities between a query and stored patterns, then combining their associated responses through weighted reconstruction. We apply this approach to nonlinear dynamical systems, data-driven regression, and physics-informed learning using suitable embeddings and similarity measures. For dynamical systems, our offline-online workflow extracts patterns from data or governing equations during the offline phase, while online prediction requires only similarity evaluation and response aggregation. This structure helps us reduce computational and memory demands while providing explicit control over the trade-off among accuracy, storage, and inference cost.\n2. 熵守恒的分部求和离散对双曲守恒律光滑解的收敛性 Convergence of entropy-conservative summation-by-parts discretizations to smooth solutions of hyperbolic conservation laws\n作者: Hendrik Ranocha\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.27049v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.27049v1\n摘要: Although entropy-based summation-by-parts (SBP) discretizations of hyperbolic conservation laws are widely used for their robustness and stability properties, there are very few results on their convergence. We extend a recent convergence analysis of Worku, Del Rey Fernández, and Zingg (2026, DOI: 10.48550/arXiv.2603.18369) in two ways. First, instead of allowing only hyperbolic conservation laws whose fluxes are homogeneous and have globally bounded second derivatives (a restriction essentially to linear or quadratic fluxes), we consider general hyperbolic systems with strictly convex entropy and source terms depending on time and space. Second, instead of requiring a special class of SBP operators, we consider a general framework of diagonal-norm SBP operators on curved meshes, including finite differences, continuous and discontinuous Galerkin methods. Since the error analysis is based on a discrete relative entropy, it is restricted to smooth solutions. To enable a unified treatment of conservation laws, we restrict the analysis to periodic boundary conditions. Numerical results demonstrate that the predicted convergence rates are sharp in general, but can be improved for special cases such as discontinuous Galerkin methods with even polynomial degree and multi-block finite difference methods. An optimal analysis is expected to require more sophisticated arguments specialized to the class of methods instead of the general framework of SBP operators used in this work.\n3. 一种用于可酉对角化线性反问题的谱域伪逆构造方法 A Spectral-Domain Pseudo-Inverse Construction Method for Unitary Diagonalizable Linear Inverse Problems\n作者: Shengchang Chen\n类别: math.NA, physics.geo-ph\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.26951v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.26951v1\n摘要: Linear inverse problems are prevalent in geophysics, signal processing, image restoration, and medical imaging. Mathematically, they can be formulated as $Gm = d$. When $G$ is ill-conditioned or singular, the problem becomes ill-posed and requires regularization methods or generalized inverse methods for a stable solution. However, both types of methods encounter significant computational difficulties for large-scale linear inverse problems. In this paper, we establish a spectral-domain pseudo-inverse construction method for a class of linear inverse problems that can be diagonalized by unitary matrices. The core idea is to construct a stable pseudo-inverse operator directly in the transform domain, starting from the unitary diagonalization structure of the matrix. We first provide the analytic Singular Value Decomposition (SVD) of this class of matrices, clarifying the correspondence between spectral decomposition and SVD. On this basis, we define spectral-domain regularization filtering factors, construct a stable spectral-domain pseudo-inverse operator, and prove its bounded stability as well as its consistency in converging to the Moore\u0026ndash;Penrose generalized inverse. This construction is numerically equivalent to zeroth-order Tikhonov regularization and converges to the Moore\u0026ndash;Penrose generalized inverse as $α\\to 0^+$, but its methodological path differs from both. This paper reveals that the stable generalized inverse of a class of structured matrices can be directly constructed from their spectral decomposition, providing an efficient solution method for large-scale structured inverse problems. The Fourier transform case is a special instance of this method when the unitary matrix is taken as the discrete Fourier transform matrix.\n4. 用于量子辅助波形反演的校准压力可观测量Born和Hessian作用量 Calibrated Pressure-Observable Born and Hessian Actions for Quantum-Assisted Waveform Inversion\n作者: Guanyu Li, Jiwei Jia, Yu Wang, Yuping Duan\n类别: quant-ph, math.NA\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.26880v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.26880v1\n摘要: We construct a pressure-consistent operator-and-readout interface for Born, adjoint, and Gauss\u0026ndash;Newton actions in constant-density acoustic full-waveform inversion (FWI) using Schrödingerised propagation. The energy variables $π=c^{-1}\\partial_t u$ and $q=\\nabla u$ yield an auxiliary-space Hamiltonian, while physical pressure $p=cπ$ depends explicitly on wavespeed. Its derivative $D(cπ)[c_0](δc)=c_0δπ+δc\\,π_0$ combines propagated wavefield sensitivity with a direct receiver-calibration term. Duhamel and receiver-row differentiation retain both contributions in the Born map, its adjoint, and the Gauss\u0026ndash;Newton normal action. We prove a conditional consistency estimate with a periodic second-order finite-difference specialization and give a resource model for state preparation, normalization, quadrature, and selected-output measurement. A compiled nine-qubit instance realizes structured preparation, product-formula propagation, a derivative-LCU block, and calibrated pressure-overlap measurements. Bernoulli samples from ideal-circuit probabilities drive a four-parameter hybrid inversion. A two-qubit VQLS circuit represents the normalized update direction, while normal-system assembly, line search, and model refresh remain classical. Finite differences, tangent and reverse-adjoint recurrences, autodiff JVP/VJP evaluations, and explicit Jacobians verify the discrete Born, adjoint, and normal actions. Smooth periodic refinement confirms second-order convergence, whereas omitting receiver calibration leaves an order-one Born error and substantially changes the regularized Gauss\u0026ndash;Newton direction. All ten predeclared finite-shot runs reduce the initial model error. These results specify the physical-pressure derivative and selected-output measurements needed to connect Schrödingerised propagation to a local FWI update.\n5. 稀疏网格与有效低维高维函数的改进采样不等式 Improved Sampling Inequalities for Sparse Grids and High-Dimensional Functions with Effective Low Dimension\n作者: Christian Rieger, Holger Wendland\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.26866v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.26866v1\n摘要: The approximation of high-dimensional functions is a challenging task due to the often appearing curse of dimensionality. In this paper, we combine sparse grid with anchored projection techniques to derive sampling inequalities for Sobolev functions of a dominating mixed regularity which are effectively low dimensional. To this end, we derive new sampling inequalities for sparse grids and combine these with recently investigated regression processes of non-matching sampling processes.\n6. 用于泊松逆问题中分裂方法的松弛梯度步去噪器 A Relaxed Gradient Step Denoiser for Splitting Methods in Poisson Inverse Problems\n作者: Alessandro Benfenati\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.26864v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.26864v1\n摘要: Plug\u0026amp;Play methods combine classical variational models with learned denoisers and have achieved strong results in imaging inverse problems. Their convergence has been widely studied for Gaussian data, whereas Poisson models require additional care because of the nonquadratic Kullback\u0026ndash;Leibler fidelity. This work introduces \\gsdsplit, a splitting method built upon \\pnpsplit, in which the generic denoising block is replaced by a relaxed Gradient Step Denoiser. The resulting method retains explicit Poisson fidelity updates. The denoiser is defined through the gradient of a learned convex potential parameterized by an Input Convex Neural Network. Its architecture and training promote both blind denoising capability and a smoothness condition sufficient for firm nonexpansiveness. Empirical smoothness estimates are used to select a relaxation parameter compatible with the convergence assumptions of \\pnpsplit. Numerical experiments provide evidence that the trained denoiser operates in an FNE-compatible regime on the considered validation data. \\gsdsplit also yields stable reconstructions outside the empirically supported range and shows substantially lower sensitivity to the ADMM parameter, while remaining effective for different blur operators and Poisson noise levels.\n7. 选主元QR与LU分解的收敛率 Convergence rates for pivoted QR and LU\n作者: Marc Aurèle Gilles\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.26863v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.26863v1\n摘要: Pivoted QR and pivoted LU decompositions are greedy algorithms used to compute low-rank approximations of matrices from selected columns, or selected rows and columns. Despite their practical robustness, general worst-case bounds comparing their errors with those of the best corresponding low-rank approximations contain exponentially growing factors and do not explain their behavior under modest singular value decay. We prove that under approximate greedy pivoting, their error is controlled by the determinant of a submatrix, which is bounded by the geometric mean of the leading singular values. Using this bound, we establish convergence rates under algebraic and geometric singular value decay. We also extend the LU analysis to functions of two variables. By bounding the determinants of arbitrary sampled submatrices, we obtain algebraic convergence rates under differentiability assumptions and geometric convergence under analyticity.\n8. 分数阶哈代常数的 Galerkin 逼近 Galerkin Approximation of the Fractional Hardy Constant\n作者: Andreea Dima, Liviu I. Ignat\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.26830v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.26830v1\n摘要: We establish sharp estimates for the discrete optimal constant of the fractional Hardy Inequality in dimension $N\\geq 1$, with fractional exponent $s\\in \\left(0,\\min\\left\\{1,\\frac{N}{2}\\right\\}\\right)$. The convergence rates that we establish take place for the Galerkin approximation with piecewise linear elements, when the computations are carried out in a bounded, convex and smooth domain containing the origin, for which we employ a quasi-uniform and regular mesh.\n9. 带加性噪声与非光滑初始数据的半线性随机偏微分方程有限元方法的最优误差估计 Optimal Error Estimates of a Finite Element Method for Semilinear SPDEs with Additive Noise and Nonsmooth Initial Data\n作者: Jitendra Nath Naik, Lok Pati Tripathi\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.26797v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.26797v1\n摘要: This paper presents a strong error analysis of both semidiscrete and fully discrete approximations for semilinear parabolic stochastic partial differential equations (SPDEs) driven by additive noise and subject to nonsmooth initial data. The spatial discretization is based on a standard finite element method, coupled with the linearly implicit Euler scheme in time. Under low-regularity initial conditions, we derive sharp spatial and temporal regularity estimates that isolate the loss of initial regularity into an integrable temporal singularity, allowing us to establish optimal strong error estimates for positive times. Specifically, we prove strong convergence rates of order $O(h^β)$ for the spatially semidiscrete approximation and $O(h^β+ k^{β/2})$ for the fully discrete scheme away from $t = 0$, where the parameter $β\\in (0, 2]$ characterizes the spatial regularity of the noise process. Numerical experiments confirm the theoretical convergence rates.\n10. 粘性扩散与网络上的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程的马尔可夫链逼近 Markov Chain Approximation of Sticky Diffusions and Hamilton-Jacobi-Bellman Equations on Networks\n作者: Alessio Basti, Jules Berry, Fabio Camilli\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.26709v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.26709v1\n摘要: We propose a discrete Markov-chain approximation of diffusion processes on networks with both Kirchhoff and sticky vertex conditions. Stickiness is modeled by a probabilistic residence mechanism at the vertex, while the motion along the edges follows an Euler-Maruyama-type update at the diffusive scale. We prove that the associated time-interpolated chain converges in distribution to the limiting diffusion in the Skorokhod space using the Ethier-Kurtz framework. Based on this construction, we derive a fully discrete semi-Lagrangian scheme for Hamilton-Jacobi-Bellman equations on networks and establish its convergence using viscosity solution techniques.\n11. HORSES3D-GPU: 面向多GPU系统的高阶间断Galerkin求解器 HORSES3D-GPU: A high-order discontinuous Galerkin solver for multi-GPU systems\n作者: Gerasimos Ntoukas, Gonzalo Rubio, Abbas Ballout, Stefano Colombo, David Huergo, Eduardo Jané, Albert Jiménez-Ramos, Hatem Kessasra, Himpu Marbona, Oscar Mariño, Rodrigo Salado, Pol Solé-Miró, Andrés M. Rueda-Ramírez, Miguel Chávez-Módena, Eusebio Valero, Esteban Ferrer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.26674v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.26674v1\n摘要: We present the GPU acceleration and large-scale performance assessment of HORSES3D, an open-source high-order discontinuous Galerkin solver for computational fluid dynamics. The solver is ported to NVIDIA GPU architectures using OpenACC directives, preserving the original Fortran code structure while enabling GPU-resident execution of the main computational kernels. The implementation exploits the element-local structure of discontinuous Galerkin spectral element methods by mapping element-level loops to GPU gangs and nodal operations to vector-level parallelism. The GPU version is verified using the method of manufactured solutions and validated on canonical turbulent-flow benchmarks. Its performance is assessed on the MareNostrum 5 accelerated partition using NVIDIA H100 GPUs. Taylor-Green vortex benchmarks show that solver efficiency improves with polynomial order and that near-ideal strong and weak scaling is obtained when the workload exceeds approximately 16,000 to 20,000 elements per GPU. The solver is further evaluated on the High-Lift Common Research Model wing-body configuration, which involves a complex geometry, realistic boundary conditions, and unstructured meshes with up to 20.8 million hexahedral elements. Simulations with polynomial orders up to $P=7$ reach approximately $10.7 \\times 10^9$ degrees of freedom and scale efficiently to 2,048 GPUs. The results demonstrate that HORSES3D preserves its performance characteristics for industrially relevant configurations and can exploit modern GPU-based supercomputers for billion-degree-of-freedom high-order CFD simulations.\n12. 从有限元法与逆解视角看先进脑电源模型 Advanced EEG Source Models from the Perspective of FEM and Inverse Solutions\n作者: Santtu Söderholm, Joonas Lahtinen, Sampsa Pursiainen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.26556v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.26556v1\n摘要: In this study, we compare forward solutions computed with finite element methods in Zeffiro Interface and DUNEuro, using the different source models they provided. We compared two of the source models from DUNEuro, called Whitney basis and Local subtraction, and the divergence-conforming model of Zeffiro Interface. For source estimation, we applied sparsity-promoting standardized hierarchical adaptive L1 regression (SHAL1R), standardized Kalman filtering (SKF), classical sLORETA, and dipole scanning. Analyses include Earth Mover\u0026rsquo;s Distance, depth bias scatter plots, and qualitative assessments of amplitude distribution and focality. Preliminary experiments with source interpolation for each method revealed that Local subtraction closely matches expectations for the local behavior of the lead field at various depths. The main results reveal that the success of an inverse method depends strongly on the compatibility between its assumptions about the focality of the source and the chosen source model, with point-source models performing best when paired with methods designed for such sources, i.e., sparsity-promoting methods and methods that scan for a single source. Moreover, source models that admit patch sources with a wide distribution are more sensitive to additional noise.\n13. 基于集合卡尔曼滤波的常微分方程离散误差均值贝叶斯推断 Bayesian Inference of Discretization Error Means in ODEs via Ensemble Kalman Filtering\n作者: Shoji Toyota, Yuto Miyatake\n类别: math.NA, stat.ME\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.26552v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.26552v1\n摘要: We propose a Bayesian framework to quantify discretization errors in numerical solutions of ODE models based on observational data. The discretization error is modeled as a random variable, and its mean-referred to as the discretization error mean-is inferred from the observations. By introducing a Markov prior on the temporal evolution of the discretization error mean, we formulate the problem as a state-space model with a linear Gaussian observation process, which enables efficient inference via the Ensemble Kalman Filter. We also propose a specific form of a Markov prior motivated by classical discretization error analysis, in which global errors accumulate from local errors. The proposed prior depends on the step size of a numerical solver, and we establish its convergence rate in probability as the step size tends to zero. Numerical experiments on the pendulum system and the FitzHugh-Nagumo model demonstrate the effectiveness of the proposed approach.\n14. 一个新的择一定理导出不一致情形下动态字符串平均优越化保证问题的充分条件 A new theorem of alternatives leading to sufficient conditions for the superiorization guarantee question of Dynamic String-Averaging in the inconsistent case\n作者: Kay Barshad, Yair Censor\n类别: math.OC, math.FA, math.NA\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.26489v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.26489v1\n摘要: We study the Superiorization Methodology (SM) in the context of the General Dynamic String-Averaging (GDSA) method in the inconsistent case (that is, where the input operators don\u0026rsquo;t have a common fixed point) which primarily aims at achieving convex feasibility while simultaneously reducing an objective function. In many scientific and real-world problems modeled as constrained minimization tasks, striving for the exact constrained optimum can be costly in terms of time, energy, and resources. Therefore, applying the SM can offer a practical and efficient alternative. In particular, we present a new \u0026ldquo;theorem of alternatives\u0026rdquo; for the superiorization method which leads to investigation of theoretical conditions under which the superiorized version of the GDSA algorithm converges to a \u0026ldquo;superior\u0026rdquo; feasible point, i.e., one with an objective function value that is smaller or equal to that produced by the unperturbed feasibility-seeking algorithm. While this question has only been partially addressed in the existing literature, we present new sufficient conditions that guarantee that the SM attains such a superior outcome.\n15. 当正SIMP密度下界不足时：无矩阵三维拓扑优化中的求解器可容许性与受保护下界选择 When a positive SIMP density floor is not enough: solver admissibility and guarded floor selection in matrix-free 3D topology optimization\n作者: Shaoliang Yang, Jun Wang, Yunsheng Wang\n类别: cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-07-29\narXiv ID: 2607.26382v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.26382v1\n摘要: In a matrix-free geometric-multigrid FGMRES solver for three-dimensional SIMP topology optimization, a reported converged solve is not always a converged solve. On four of 102 held-out states, the projected residual used for stopping falls below $10^{-6}$ while a recomputed true residual is 1.35 to 49.5 times the tolerance; in an unguarded optimization trajectory, 22 of 40 state solves reach the iteration cap without raising an error. We formulate floor selection as a verified control problem: probe the frozen state at the original floor, use two residual features to choose the first attempted floor, and accept no solution until $||f-Ku||/||f||\\le10^{-6}$ is recomputed. The two-feature rule matches 98 of 102 reference classifications; the residual guard detects the four missed escalations, and all 102 selected solves satisfy the tolerance. Relative to always using a $10^{-3}$ floor, the policy preserves the original operator on 24 admissible states and avoids mean compliance and gradient changes of 31.0% and 0.340 on those severe random states, and 0.48% and 0.008 on seven optimized designs, at 2.5 times the mean wall time. In a 12-state subset of the held-out states, eight still require escalation at the conventional floor $10^{-6}$. In a nine-state control with the preconditioner\u0026rsquo;s adaptive components disabled, every failure is visible and no false acceptance occurs, tying the stopping-estimate drift to the iterate-dependent preconditioner. The recomputed residual is the correctness safeguard; the probe and floor ladder govern an implementation-specific cost-fidelity tradeoff.\n16. 一种用于移动区域上含Robin边界条件的对流扩散方程的笛卡尔网格方法 A Cartesian Grid Method for Advection-Diffusion Equations with Robin Boundary Conditions on Moving Domains\n作者: Han Zhou, Yoichiro Mori, Lingxing Yao\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.26341v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.26341v1\n摘要: We develop a Cartesian grid method for advection\u0026ndash;diffusion equations with Robin boundary conditions on moving domains. The moving-domain problem is reformulated as an interface problem on a box, with an unknown density introduced on the moving interface to enforce the Robin condition. The bulk equation is discretized by a cell-centered finite-difference scheme on the Cartesian grid, while interface corrections are obtained from local problems in a narrow band around the interface. The resulting method requires only modest computational geometry, avoids remeshing and cut cells, and is compatible with geometric multigrid and matrix-free GMRES. The GMRES iteration count is essentially independent of the mesh size, and the computational cost scales linearly with the number of bulk degrees of freedom. For the one-dimensional scheme, first-order convergence in time and second-order convergence in space are proved. Numerical examples in one and two dimensions, including manufactured solutions and an active transport problem without an exact solution, demonstrate the accuracy and efficiency of the method.\n17. 去噪增长复杂性：数据几何与扩散采样的可认证调度 Denoising growth complexity: Data geometry and certified schedules for diffusion sampling\n作者: Martin J. Wainwright\n类别: math.ST, cs.LG, math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.26285v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.26285v1\n摘要: Two central challenges in diffusion-based sampling are the theoretical one of understanding their remarkable effectiveness even in high-dimensional settings, and the practical one of designing algorithms with certified performance guarantees. We show that these questions are intimately connected via the \\emph{denoising growth complexity} ($\\mathsf{DGC}$). It is a geometric measure defined by a log-time weighted integral of the derivative of the denoising mean-squared error along the Gaussian heat flow. We show how the $\\mathsf{DGC}$ increments lead to a simple and explicit bound on the KL error of an Euler scheme applied to the stochastic innovations representation. The bound is local along the path: each step is controlled by the corresponding $\\mathsf{DGC}$ increment and its relative stepsize. This structure allows us to derive KL sampling guarantees for optimized stepsize schedules, both in a simpler single-block setting and in a more refined $K$-block setting. The $\\mathsf{DGC}$ function has a natural martingale structure, which we exploit to develop fully data-certified versions of these algorithms. It also admits information-theoretic upper bounds in terms of covariance, rate distortion, metric entropy, and the Poincar\u0026rsquo;e constant, thereby recovering and sharpening a range of existing diffusion-sampling guarantees, as well as giving new results. In log heat-time, the fine partition limit is governed by an integral involving the square root of the $\\mathsf{DGC}$ density, whereas a single-block schedule depends on its ordinary integral. This comparison precisely characterizes when adaptation to data geometry yields substantial computational gains, including logarithmic-to-constant separations for simple Gaussian mixture models.\n18. 路径的简洁 $(\\varepsilon,r)$-表示 Concise $(\\varepsilon,r)$-representations of a path\n作者: Emilio Ferrucci, Oliver Perrée, Terry Lyons\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.26281v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.26281v1\n摘要: Paths $X \\colon [0,T] \\to \\mathbb R^d$ are traditionally stored in finite memory as time series. Recent research has underscored the benefits of instead representing them as collections of iterated integrals $\\{\\int_{0 \u003c u_1 \u003c \\ldots \u003c u_n \u003c T} \\mathrm{d} X_{u_1} \\otimes \\cdots \\otimes \\mathrm{d} X_{u_n}\\}_{n = 0}^N$. These two encodings can be viewed as the extrema on a two-parameter spectrum of representations of the path as degree-$N$ signatures on $m$ intervals in a partition of $[0,T]$. We ask the question of which such representation takes up the least amount of memory, measured as number of real values needed to store the truncated log-signature, subject to the constraint of it being able to approximate solutions to linear controlled differential equations (CDEs) $\\mathrm{d} Y = AY \\mathrm{d} X$ with $|A| \\leq r$ at accuracy at least $\\varepsilon$. Estimating the error in terms of the length of $X$, we find that the optimal representation generally lies strictly in between the two naive choices $N = 1$ or $m = 1$, and derive its asymptotics as $r \\to \\infty$ and $\\varepsilon \\to 0^+$. Similar considerations can be made when estimating the error in terms of the $p$-variation norm of $X$: in this regime we prove an error bound of the degree-$N$ Euler scheme for linear CDEs with decay in both $m$ and (factorially) in $N$ with the other arbitrarily fixed. We conclude by setting up the analogous problem for SDEs, with the error measured in $L^2$, and derive a similar $L^2$-Euler error estimate for Itô SDEs with drift. We include an empirical study of the optimisation problem, which we demonstrate for toy examples of $p$-rough paths and for fractional Brownian motion.\n19. 守恒Vlasov模拟中正交约束下的非负低秩矩阵修正 Nonnegative Low-Rank Matrix Correction under an Orthogonality Constraint in Conservative Vlasov Simulations\n作者: Yue Wu, Stephen Becker, Jingmei Qiu, Xiangxiong Zhang\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.26272v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.26272v1\n摘要: In low-rank numerical methods for Vlasov dynamics, the SVD-type truncation procedure may introduce negative entries into the numerical solution. Such negative values are unphysical because the solution is a probability distribution function. We design optimization-based post-processing algorithms to recover nonnegativity while preserving the macroscopic quantities (density, momentum, and energy) pointwise. The preservation of the macroscopic quantities is written as an orthogonality constraint on the correction term. For a convex formulation based on squared nuclear norm minimization, we show that the proximal operator with the orthogonality constraint is characterized by an implicit singular value thresholding equation, and the threshold can be computed efficiently by bisection. Based on this result, we develop five algorithms for the convex formulation: Douglas\u0026ndash;Rachford splitting, restarted dual FISTA, restarted dual accelerated gradient descent, dual PR+ conjugate gradient, and dual L-BFGS. We also consider a non-convex formulation with an explicit rank constraint and develop a tangent-space accelerated alternating projection algorithm that only requires a (2r \\times 2r) SVD per iteration. Numerical results for a Landau damping test case show that the proposed algorithms give comparable correction quality. Among them, the tangent-space accelerated alternating projection is the most cost-efficient, increasingly so as the problem size grows. We further demonstrate the correction as a positivity limiter inside a time-dependent conservative low-rank Vlasov solver, where it removes the negativity introduced by the SVD-type truncation while preserving the conserved mass, momentum, and energy.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-30_12-01-36/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月30日 12:01:36\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 4\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 19\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-超导伦敦方程的数值方法\"\u003e1. 超导伦敦方程的数值方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eNumerical approach to the London Equation of superconductivity\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e作者\u003c/strong\u003e: Nicolás Barnafi, Ignacio Labarca-Figueroa, Carlos Román\u003c/p\u003e","title":"2026年07月30日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月29日 10:20:37\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 6\n不相关论文数量: 15\n重点关注论文（完整分析） 1. 时间离散梯度流的均匀化 Homogenization of Time-Discrete Gradient Flows\n作者: Yunhong Deng, Yuan Gao, Li Wang\n类别: math.AP, math-ph, math.NA\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.25206v1\n摘要翻译: 本文研究平坦环面上具有快速振荡扩散系数的 Fokker\u0026ndash;Planck 方程在时间离散水平上的均匀化极限。我们使用极小化移动格式对时间离散化，并比较两种度量选择：运输型度量和加权 L2 度量。我们证明这种选择至关重要：当尺度参数趋于零时，这两种格式导致不同的均匀化极限，因而在时间步长趋于零时导致不同的发展方程。特别地，只有基于加权 L2 度量的格式才能恢复正确的有效动力学。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25206v1\n1. 研究对象和背景 本文研究的是在平坦环面 $\\mathbb{T}^d$ 上带有快速振荡扩散系数的 Fokker-Planck 方程的均匀化问题, 并特别关注其时间离散梯度流格式的渐近行为. 所考虑的 $\\varepsilon$-Fokker-Planck 方程形如 $$ \\frac{\\partial \\mu_\\varepsilon}{\\partial t} - \\nabla \\cdot \\left[ A\\left(\\frac{x}{\\varepsilon}\\right)(\\nabla \\mu_\\varepsilon + \\mu_\\varepsilon \\nabla V_\\varepsilon(x)) \\right] = 0, \\quad (x,t) \\in \\mathbb{T}^d \\times (0,\\infty), $$ 其中 $0 \u003c \\varepsilon \\ll 1$ 表示微观与宏观尺度之比, $A: \\mathbb{R}^d \\to \\mathbb{R}^{d\\times d}$ 是 1-周期的光滑矩阵场, 满足一致椭圆性 $\\Lambda_0 I \\preceq A(x) \\preceq \\Lambda_1 I$, 约束势 $V_\\varepsilon$ 及其梯度一致有界且 $V_\\varepsilon$ 一致收敛到极限势 $V$. 标准的均匀化理论指出, 当 $\\varepsilon \\to 0$ 时, 方程的解收敛到有效 Fokker-Planck 方程 $$ \\frac{\\partial \\mu}{\\partial t} - \\nabla \\cdot \\left[ A^* (\\nabla \\mu + \\mu \\nabla V(x)) \\right] = 0, $$ 其中有效扩散矩阵 $A^*$ 由 $$ (A^*)_{jk} = \\int_{\\mathbb{T}^d} \\left( A_{jk}(x) + \\sum_{\\ell=1}^d A_{j\\ell}(x) \\frac{\\partial \\chi_k(x)}{\\partial x_\\ell} \\right) dx $$ 给出, $\\chi$ 为校正子, 满足 $ -\\nabla\\cdot(A\\nabla\\chi) = \\nabla\\cdot A$. 从变分观点看, 方程也可写为自由能 $\\mathcal{H}_\\varepsilon(\\mu) = \\int_{\\mathbb{T}^d} \\log \\mu\\, d\\mu + \\int_{\\mathbb{T}^d} V_\\varepsilon\\, d\\mu$ 关于 $\\varepsilon$-Wasserstein 距离的梯度流. Gao 与 Yip [20] 从该梯度流结构出发, 证明了均匀化极限是 $\\mathcal{H}$ 关于有效 Wasserstein 距离 $W_*$ 的梯度流, 且该极限与上述有效 Fokker-Planck 方程相容. 然而, 他们同时指出, 若仅仅均匀化距离 $W_\\varepsilon$ 本身, 会得到不同的度量 $W_{\\rm GH}$, 这表明距离与动力学的均匀化并不可交换.\n本文试图填补时间离散水平的空白: 自然的问题是, 若直接对连续梯度流施行时间离散 (即 JKO 格式), 其均匀化极限是否仍保持上述相容性? 作者系统地比较了两种时间离散方案: 一种基于运输度量 ( $\\varepsilon$-JKO 格式), 另一种基于加权 $L^2$ 度量. 通过详尽的分析, 发现 JKO 格式并非渐近保持 (asymptotic-preserving): 其均匀化极限偏离了正确的有效动力学, 而是收敛到相应于 $W_{\\rm GH}$ 的梯度流. 相反, 加权 $L^2$ 格式在时间离散后仍能恢复正确的有效极限. 这一发现对多尺度随机过程的数值模拟具有重要意义.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果由如下定理精确给出:\n定理 1.4 (加权 $L^2$ 格式的均匀化) 设 $\\mu_{\\varepsilon,\\tau}$ 为加权 $L^2$ 格式 (定义 1.2) 的解, 初值 $\\mu_0 \\in H^1(\\mathbb{T}^d)$, 则当 $\\varepsilon \\to 0$ 时, 对任意 $t \u003e 0$ 有 $\\mu_{\\varepsilon,\\tau}(t) \\to \\mu_\\tau(t)$ 在 $L^2(\\mathbb{T}^d)$ 意义下成立. 这里的均匀化解 $\\mu_\\tau$ 由 $\\mu_\\tau(t) = \\mu^n$ 对 $(n-1)\\tau \u003c t \\le n\\tau$ 给出, 其中 $\\mu^n$ 迭代定义为 $$ \\mu^n = \\mathop{\\arg\\min}_{\\mu \\in H^1(\\mathbb{T}^d)} \\left\\{ Q(\\mu) + \\frac{1}{2\\tau} K(\\mu, \\mu^{n-1})^2 \\right\\}, $$ 且 $$ Q(\\mu) = \\frac12 \\int_{\\mathbb{T}^d} \\langle \\pi_*(x) A^* \\nabla\\varrho,\\, \\nabla\\varrho \\rangle\\, dx, \\qquad K(\\mu,\\nu) = \\left( \\int_{\\mathbb{T}^d} \\frac{(\\mu-\\nu)^2}{\\pi_*} dx \\right)^{1/2}, $$ 其中 $\\varrho = \\mu/\\pi_*$, $\\pi_* = e^{-V}$, $A^*$ 为 (1.3) 定义的有效扩散常数.\n定理 1.5 ( $\\varepsilon$-JKO 格式的均匀化) 设 $\\mu_{\\varepsilon,\\tau}$ 为 $\\varepsilon$-JKO 格式 (定义 1.3) 的解, 初值 $\\mu_0 \\in \\mathcal{P}(\\mathbb{T}^d)$ 且 $S(\\mu_0) \u003c \\infty$, 则当 $\\varepsilon \\to 0$ 时, 对任意 $t \u003e 0$ 有 $\\mu_{\\varepsilon,\\tau}(t) \\to \\mu_\\tau(t)$ 在 $W_2$ 距离下成立. 这里的均匀化解 $\\mu_\\tau$ 由 $\\mu_\\tau(t) = \\mu^n$ 对 $(n-1)\\tau \u003c t \\le n\\tau$ 给出, 其中 $\\mu^n$ 迭代定义为 $$ \\mu^n = \\mathop{\\arg\\min}_{\\mu \\in \\mathcal{P}(\\mathbb{T}^d)} \\left\\{ H(\\mu) + \\frac{1}{2\\tau} W_{\\rm GH}(\\mu, \\mu^{n-1})^2 \\right\\}, $$ 这里 $H(\\mu) = S(\\mu) + \\int_{\\mathbb{T}^d} V(x) d\\mu$, $W_{\\rm GH}$ 是基于均匀化成本 $c_{\\rm hom}$ 的 Wasserstein 距离, $c_{\\rm hom}$ 由 $$ c_{\\rm hom}(x,y) = \\min_{z} \\left\\{ \\int_0^1 A_{\\rm hom}(\\dot z) dt : z(0)=x, z(1)=y, z\\in H^1([0,1];\\mathbb{T}^d) \\right\\} $$ 定义, 其中 $A_{\\rm hom}(\\xi)$ 是度量均匀化给出的极限行动函数, 满足 $\\Lambda_1^{-1}|\\xi|^2 \\le A_{\\rm hom}(\\xi) \\le \\Lambda_0^{-1}|\\xi|^2$.\n定理 1.7 (加权 $L^2$ 均匀化格式的时间连续极限) 设 $\\mu_\\tau$ 由定理 1.4 给出, 则其解的迭代满足弱形式 $$ \\frac{\\mu^n - \\mu^{n-1}}{\\tau} - \\nabla\\cdot\\left[ A^*(\\nabla\\mu^n + \\mu^n \\nabla V) \\right] = 0, $$ 且当 $\\tau \\to 0$ 时, $\\mu_\\tau(t) \\to \\mu(t)$ 在 $L^2(\\mathbb{T}^d)$ 中成立, $\\mu(t)$ 为有效 Fokker-Planck 方程 (1.2) 的解.\n定理 1.8 (均匀化 JKO 格式的时间连续极限, 需额外正则性假设) 若 $A_{\\rm hom}$ 一致强凸, 设 $\\mu_\\tau$ 由定理 1.5 给出, 则存在 $\\mu(t)$ 使得 $\\mu_\\tau(t) \\to \\mu(t)$ 在 $W_2$ 距离下成立. 进一步假设 $\\mu_\\tau(t) \\to \\mu(t)$ 在 $W^{1,1}(\\mathbb{T}^d)$ 意义下成立, 则 $\\mu(t)$ 满足拟线性抛物方程 $$ \\frac{\\partial \\mu}{\\partial t} - \\nabla\\cdot\\left[ \\left(\\frac12 \\nabla A_{\\rm hom}\\right)^{-1} \\left( \\nabla\\mu + \\mu\\nabla V \\right) \\right] = 0. $$ 特别地, 在一维情形, 计算表明 $(\\frac12 \\nabla A_{\\rm hom})^{-1}(\\xi) = ( \\int_0^1 A(x)^{-1/2} dx )^{-2} \\xi$, 而有效扩散系数为 $A^* = ( \\int_0^1 A(x)^{-1} dx )^{-1}$, 两者不同. 因此, 只有加权 $L^2$ 格式在时间连续极限下恢复了正确的有效动力学.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心分析工具是 $\\Gamma$-收敛和最优传输中的度量均匀化理论, 并针对两种格式采取了不同的技术路线.\n加权 $L^2$ 格式的均匀化\n加权 $L^2$ 格式将每一步的最小化问题耦合在一个二次泛函中. 定义 $\\varrho = \\mu/\\pi_\\varepsilon$ 后, 原问题等价于最小化 $$ \\frac12 \\int_{\\mathbb{T}^d} \\langle \\pi_\\varepsilon A(x/\\varepsilon) \\nabla\\varrho, \\nabla\\varrho \\rangle dx + \\frac{1}{2\\tau} \\int_{\\mathbb{T}^d} \\pi_\\varepsilon (\\varrho - \\varrho^{n-1})^2 dx. $$ 其中振荡系数 $\\pi_\\varepsilon A(x/\\varepsilon)$ 和 $\\pi_\\varepsilon$ 依赖于 $\\varepsilon$. 处理该泛函的 $\\Gamma$-极限时, 可使用标准椭圆均匀化的振荡测试函数方法: 构造校正子 $\\chi$ 满足 $ -\\nabla\\cdot(A\\nabla\\chi) = \\nabla\\cdot A$, 并利用两尺度收敛技术, 将极限能量中的 $A$ 替换为均匀化矩阵 $A^*$, 同时 $\\pi_\\varepsilon$ 替换为 $\\pi_* = e^{-V}$. 由于该格式的空间离散可以逐点处理, 无需复杂的耦合, 均匀化极限在每一步独立成立, 从而 $\\Gamma$-极限的恢复序列和 liminf 不等式均可通过构造显式测试函数 (涉及 $\\nabla\\chi$) 得到. 这一部分的主要技术障碍在于同时处理扩散系数和势能中统一的修正, 但总体框架相对直接.\n** $\\varepsilon$-JKO 格式的均匀化**\n对于 $\\varepsilon$-JKO 格式, 难度更大. 每一步的泛函为 $$ F_\\varepsilon(\\mu) = \\mathcal{H}_\\varepsilon(\\mu) + \\frac{1}{2\\tau} W_\\varepsilon(\\mu, \\mu_\\varepsilon^{n-1})^2. $$ 为了得到 $\\Gamma$-极限, 需要分别处理能量 $\\mathcal{H}_\\varepsilon$ 和距离 $W_\\varepsilon$ 的渐近行为. $\\mathcal{H}_\\varepsilon$ 的 $\\Gamma$-极限是 $H$, 因为势能 $V_\\varepsilon$ 一致收敛, 而 Boltzmann 熵 $S$ 本身是下半连续的. 核心障碍在于 $W_\\varepsilon(\\cdot, \\nu)$ 的 $\\Gamma$-极限, 其中 $\\nu$ 固定. $W_\\varepsilon$ 不是点态收敛的; 事实上 Gao 和 Yip 已指出 $\\lim_{\\varepsilon\\to0} W_\\varepsilon(\\mu,\\nu) \\neq W_*(\\mu,\\nu)$. 作者借助 Riemannian 度量的均匀化理论 [9, 41], 证明 $W_\\varepsilon(\\cdot, \\nu)^2$ 的 $\\Gamma$-极限是 $W_{\\rm GH}(\\cdot, \\nu)^2$. 其证明策略如下: 首先, 对于给定的两个测度, 可以通过求解 Monge 问题将 $W_\\varepsilon$ 表示为基于振荡成本 $c_\\varepsilon$ 的运输距离. 利用度量均匀化的紧性结果, 成本函数 $c_\\varepsilon(x,y)$ 依某种意义收敛到 $c_{\\rm hom}(x,y)$. 接着, 需要在 $\\Gamma$-收敛框架下处理最优运输泛函. 关键引理可能是借助最优运输映射的稳定性和度量均匀化中极限行动函数 $A_{\\rm hom}$ 的性质 (如一致凸性, 引理 2.5–2.6) 来建立 liminf 不等式和恢复序列. 整个 $\\Gamma$-极限的建立依赖连续 $\\Gamma$-收敛的概念: 由于 $\\mathcal{H}_\\varepsilon$ 和 $W_\\varepsilon^2$ 都是连续泛函 (在 $W_2$ 拓扑下), 可以利用 $\\Gamma$-收敛的稳定性 (引理 2.13) 将两者的极限相加.\n一旦得到 $F_\\varepsilon$ 的 $\\Gamma$-极限为 $F(\\mu) = H(\\mu) + \\frac{1}{2\\tau} W_{\\rm GH}(\\mu, \\mu^{n-1})^2$, 结合紧性 (由环面紧致性保证) 和 $\\Gamma$-收敛基本定理 (定理 2.16), 便得到极小元列的收敛. 由于熵函数的严格凸性, 极小元唯一, 故全序列收敛无需抽取子列.\n时间连续极限\n对于加权 $L^2$ 格式的均匀化极限, 直接写出欧拉-拉格朗日方程, 得到关于 $\\mu^n$ 的线性椭圆型方程, 然后对时间差分取极限, 当 $\\tau\\to0$ 就恢复有效 Fokker-Planck 方程. 对于 JKO 情形, 均匀化极限的欧拉-拉格朗日方程是非线性的, 利用最优传输映射表示, 可推导出离散时间演化方程. 在假设 $A_{\\rm hom}$ 一致强凸下, 可保证运输映射的正规性质, 但为了导出极限 PDE (1.23), 需要更强的紧性: $\\mu_\\tau$ 在 $W^{1,1}$ 中收敛. 这一紧性在标准 (非均匀化) JKO 格式中有时可通过熵耗散估计建立 [26,36,14], 但本文未给出证明, 而是将其列为假设, 并指出这是技术性开放问题.\n4. 与之前工作的比较 本文与已有工作的关联和推进主要体现在以下三个维度:\n与时间连续梯度流均匀化的对比\nGao 和 Yip [20] 从 Wasserstein 梯度流框架出发研究了连续 Fokker-Planck 方程的均匀化, 得到了与经典均匀化一致的结果, 并发现了度量均匀化与动力学均匀化的不一致性 ($W_*$ vs $W_{\\rm GH}$). 本文则将视野扩展到时间离散层面, 系统探讨了 JKO 格式的均匀化极限. 主要推进在于: (i) 揭示出即使连续梯度流的均匀化正确, 其自然的时间离散化 (JKO) 却并非渐近保持, 会收敛到错误的极限方程; (ii) 找到了一种替代格式 (加权 $L^2$), 该格式在时间离散后仍保持正确的均匀化极限, 为数值计算提供了可行的方案. 这表明在涉及多尺度问题时, 变分结构的相容性至关重要.\n与最优传输中度量均匀化理论的结合\n最优传输中的度量均匀化结果 (如 [9] 定理 2.6, [41]) 给出了振荡成本函数的极限 $c_{\\rm hom}$ 和行动函数 $A_{\\rm hom}$ 的性质. 本文将这些工具创造性地应用于优化问题 $W_\\varepsilon(\\mu,\\nu)$ 的 $\\Gamma$-收敛分析中, 这是此前未曾尝试的. 与纯粹的度量均匀化不同, 这里需要处理带有熵和势能的变分问题, 且要求 $\\Gamma$-极限在测度空间 $\\mathcal{P}(\\mathbb{T}^d)$ 中成立, 因此需要结合 Wasserstein 距离的拓扑和最优运输映射的紧性. 作者通过连续 $\\Gamma$-收敛和恢复序列的构造成功解决了这一问题.\n与 JKO 格式收敛性工作的关系\n对于经典 Fokker-Planck 方程, JKO 格式的收敛性 ( $\\tau\\to0$ ) 已被广泛研究, 特别是在紧空间上可建立强收敛结果 [26, 36, 14]. 本文在均匀化 JKO 格式的时间连续极限部分依赖于类似的想法, 但极限 PDE 变为拟线性的, 且需要 $W^{1,1}$ 紧性假设. 从现有内容看, 作者并未证明这一紧性, 而是注明其为下一步工作. 这暗示均匀化 JKO 格式在 $\\tau\\to0$ 极限下的严格收敛性仍是一个开放问题.\n代价与局限\n本文的结果清楚展示了加权 $L^2$ 格式的优势, 但该格式需要将方程转化为热方程形式, 并设计相应的加权 Dirichlet 能量和加权 $L^2$ 距离, 这可能限制其对一般扩散过程的推广. 而 $\\varepsilon$-JKO 格式虽然几何意义自然, 但其均匀化极限的 $\\tau\\to0$ 收敛需额外正则性, 且最终方程与物理有效方程不符. 此外, 本文的理论是在平坦环面 $\\mathbb{T}^d$ 上建立的, 并假设系数光滑和势能一致有界, 向更一般区域、粗糙系数或非线性扩散的推广尚未涉及. 从文章结构来看, 各定理的详细证明并未在提供的摘录中完全展开, 只在第 3、4 节给出分析, 因而某些技术细节 (如恢复序列的具体构造) 需参阅原文.\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 面向干热气候下低成本墙体材料热性能排序的物理信息神经网络算子 A Physics-Informed Neural Operator for Thermal Ranking of Low-Cost Wall Materials in Hot-Dry Climates\n作者: Muhammad Akbar Khan, Fahim Raees, Ubaida Fatima\n类别: cs.LG, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.25668v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25668v1\n摘要翻译 中文标题: 面向干热气候下低成本墙体材料热性能排序的物理信息神经网络算子\n摘要翻译: 识别能够最小化墙壁热渗透的、具有成本效益的本土建筑材料，对于夏季温度经常超过45°C的干热气候下低收入农村住宅的室内热舒适至关重要。我们提出了一个用于五种低成本本土墙体材料热性能排序的两阶段计算框架，这五种材料是：泥砖、粘土-秸秆土坯、石灰稳定竹板、烧结粘土砖和石灰-泥复合材料。首先，经过验证的Crank-Nicolson有限差分方法（FDM）在日间太阳辐射和室外空气温度的强迫下，求解具有Robin边界条件的一维瞬态热方程，通过拉丁超立方采样在九维参数空间中生成了1500个周期性日解。其次，一个以傅里叶神经网络算子（FNO）为主干的物理信息神经网络算子（PINO）学习参数到解的算子 mu -\u0026gt; T(x,t)，同时保证数据保真度和PDE一致性。训练后的PINO达到了5.14e-4的相对L2场误差和0.201 K的内表面峰值温度平均绝对误差，并精确保持了FDM的材料排序；在150个FDM样本上训练的PINO与在双倍数量上训练的纯数据FNO性能相当，因此当数据稀缺时，物理损失最有价值。周期性日公式还给出了ISO 13786的时间延迟和衰减因子，再现误差分别在0.99 h和0.010以内。在标称干热夏季条件下，粘土-秸秆土坯在广泛可获得的材料中取得了最佳的成本-性能指标。通过FDM抽查确认的气候扫描揭示了一个工况边界：在室外温度低于环境温度的条件下，材料排序颠倒为导热的烧结粘土砖，从而划分了隔热和排热两种工况。该框架为干热地区洪水后重建中基于证据的材料选择提供支持。\n2. 基于表示论的离散外微积分在弯曲与三维网格上的并行化 Parallelisation of Discrete Exterior Calculus via Representation Theory on Curved and Three-Dimensional Meshes\n作者: Leon D. da Silva, Marcelo P. Santos, José D. da Silva, Gilson Ferreira\n类别: math.NA, math.DG, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.25192v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25192v1\n摘要翻译 中文标题: 基于表示论的离散外微积分在弯曲与三维网格上的并行化\n摘要翻译: 我们针对对称网格上的离散外微积分（DEC）算子建立了一个通用的块对角化框架，从而使得可证明FLOP减少的易并行求解器成为可能。我们证明了两个基本的 DEC 算子，即离散外微分 $d$ 和 Hodge 星算子 $\\star$，在单纯复形上的等距有限群作用下是等变的。该证明利用了群作用在上链空间上诱导的置换表示。因此，任何由 $d$ 和 $\\star$ 组合而成的算子（包括 Hodge Laplace 算子、余微分算子、Maxwell 型算子和弹性算子）都在单一的对称适应基下继承块对角结构，而该基对于每个网格仅需计算一次。与仅限于平坦柏拉图区域的谱方法不同，该框架天然适用于弯曲流形，并且原则上可应用于对称区域上的计算电磁学和几何流体模拟。在测地球面（$I_h$ 对称）和六边形环面（$D_{6h}$ 对称）上的数值实验，相对于稠密直接分解，分别获得了高达 $62$ 倍和 $182$ 倍的基于 FLOP 的并行加速比。在具有 $T_d$ 对称的平坦三维环面 $T^3$ 的体心立方（BCC）镶嵌上的进一步实验，在三种网格分辨率下，对于形式次数 $k=0,1,2$，以机器精度确认了外微分、Hodge 星算子和 Hodge Laplace 算子的等变性。基于 FLOP 的顺序加速比接近其理论渐近值 $\\approx 9.07$ 倍，而标准的 Schur 重数约化又进一步加深了约 $|G|$ 量级的因子。这些结果表明，单一的对称适应基降低了在弯曲和三维网格上保结构 DEC 计算的线性求解成本。\n3. 一种针对大尺度界面演化问题的自适应相场框架：基于强形式梯度光滑方法 An adaptive phase field framework for large-scale interface evolution problems using a strong-form gradient smoothing approach\n作者: Zirui Mao, Alice Xu, Shenyang Hu, Panos Stinis, Yuyan Shao, Ang Li, Yulan Li\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-07-27\narXiv ID: 2607.25142v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25142v1\n摘要翻译 中文标题: 一种针对大尺度界面演化问题的自适应相场框架：基于强形式梯度光滑方法\n摘要翻译: 具有演化界面的多尺度问题在科学与工程中普遍存在。相场模型是计算力学与材料建模中模拟界面主导现象的有力工具，但其在大尺度问题中的应用常受到在整个区域内解析薄扩散界面所需高计算代价的制约。本文提出一种高效的强形式相场求解器，将梯度光滑方法（GSM）与分层自适应移动结构化网格相耦合，能够自动在狭窄的界面区域内局部化求解分辨率，同时在体域中保持粗离散化。引入了一种分层细化设计，以保持跨界面局部均匀的分辨率，使得尽管远离界面处网格非均匀性很强，GSM 离散仍能维持整体二阶精度。尽管 GSM 每个自由度上的计算代价高于标准有限差分格式，但自适应框架大幅减少了总自由度数，从而相比均匀网格方法的二次计算规模，实现了近似线性的计算规模。基于 Allen-Cahn 和 Cahn-Hilliard 方程的数值算例表明，所提出的自适应 GSM 求解器在界面演化中达到了期望精度，同时获得了比现有弱形式和强形式求解器更优的计算复杂度 $O(N)$，对于具有薄界面或界面面积占整个区域比例较小的大尺度问题，效率显著提高。\n4. 基于评分的含时问题稳定化 Score-Based Stabilization for Time-Dependent Problems\n作者: Eshed Gal, Eldad Haber, Uri Ascher\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-07-27\narXiv ID: 2607.25119v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25119v1\n摘要翻译 中文标题: 基于评分的含时问题稳定化\n摘要翻译: 我们提出一种用于偏微分方程数值模拟的基于评分的稳定化框架，其中一个学习到的评分模型定义了一个作用于临时数值更新的稳定化算子。该算子通过将迭代驱向容许状态流形的修正来强化结构一致性与物理一致性，从而增强标准时间步进格式。我们证明该稳定化算子充当朝向该流形的收缩映射，产生一个具有吸引域条件稳定性的修正机制。在平流方程、Korteweg-de Vries (KdV) 方程、非线性薛定谔 (NLS) 方程和 Burgers 方程上的数值实验表明，该方法提高了鲁棒性，抑制了非物理不稳定性，并保持了定性动力学特性。\n5. 构造满足熵条件的Active Flux\\yolo{-type}方法 Construction of entropy satisfying Active Flux-type methods\n作者: Remi Abgrall, Yongle Liu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-27\narXiv ID: 2607.25111v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25111v1\n摘要翻译 中文标题: 构造满足熵条件的Active Flux\\yolo{-type}方法\n摘要翻译: 本文分析Active Flux\\yolo{-type}格式对于配备一个熵不等式的双曲系统的熵稳定性性质。这种格式演化两组自由度：在覆盖计算域的元素边界上选择的点值，以及这些元素内解的平均值。我们证明唯一需要做的是得到平均值的熵不等式，点值自由度不起任何作用。我们构造一个整体格式，该格式是保界的\\cite{BP_Pampa_VEM}，遵循\\cite{PampaDG}的无振荡，并且熵递减。熵条件在Tadmor框架\\cite{TadmorEntropy}中实现，即仅对半离散格式。该格式在Kurganov-Popov-Petrova测试案例\\cite{KPP}上进行测试，该案例已知对满足熵不等式\\yolo{be}敏感。我们表明我们的熵修正是有效的：如果不激活保界条件或无振荡条件，我们会得到带有一些虚假振荡的正确解，正如预期。尽管该格式的开发、实现和测试是用三角形版本进行的，相同的方法也可以用于多边形网格，遵循\\cite{BP_Pampa_VEM}。\n6. 多物种趋化中亚临界与超临界动力学的混合物理信息神经网络框架 A Hybrid Physics-Informed Neural Network Framework for Subcritical and Supercritical Dynamics in Multi-Species Chemotaxis\n作者: Hamid El Bahja, Jan C. Riedel, Peter Jung\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-07-27\narXiv ID: 2607.24949v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.24949v1\n摘要翻译 中文标题: 多物种趋化中亚临界与超临界动力学的混合物理信息神经网络框架\n摘要翻译: 我们研究一种两物种趋化系统，该系统呈现两种定性不同的状态：亚临界动力学（其中解保持光滑）和超临界动力学（其中强聚集可能导致有限时间爆破）。在亚临界状态下，我们使用标准连续时间物理信息神经网络（PINN）对耦合场进行交替训练，并证明它提供了准确且高效的近似。然而，在超临界状态下，该格式不够稳健，无法解析与爆破相关的高度局部化结构和陡峭梯度。为解决这一局限性，我们引入一种基于向后欧拉时间步进的离散时间PINN，并结合对数变换以稳定大解值，以及一种残差自适应配置策略，将训练点集中在高活动区域附近。该混合框架使我们能够在解光滑时使用简单且计算成本低的PINN，而当奇异动力学出现时切换到更稳健的离散格式。数值实验证实，连续时间格式准确解析了亚临界动力学，而离散时间格式可靠地捕捉了超临界状态下的奇异聚集和有限时间爆破。\n不相关论文（基本信息） 1. 拟SVD：学习一种受李群约束的矩阵分解用于实时成像 Quasi-SVD: Learning a Lie-constrained matrix factorisation for real-time imaging\n作者: Christopher Hahne\n类别: cs.CV, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.25967v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25967v1\n摘要: Singular Value Decomposition (SVD) underlies matrix factorisation tasks across computational imaging, with medical applications increasingly demanding real-time processing. Yet SVD algorithms are inherently sequential, constraining real-time GPU throughput and limit online deployment in clinical pipelines. This study introduces Quasi-SVD, a differentiable, fully parallelized matrix factorization framework for GPUs. Rather than enforcing orthogonality on both factors, it guarantees exact orthogonality for a single Lie-parameterized factor while recovering the remaining components through soft constraints, enabling efficient parallel decomposition without iterative singular-vector optimization. This asymmetric design, provably sufficient for valid factorisation, achieves reconstruction fidelity of SSIM = 0.89-0.94 and accelerates computation by 3-20x relative to cuSOLVER and randomised SVD, enabling throughput above 25 FPS. Performance is evaluated on two medical imaging tasks spanning complementary computational regimes: (1) spatio-temporal background subtraction for ultrasound localisation microscopy, requiring high-dimensional matrix separation, and (2) Mueller matrix polarimetry for neurosurgical tissue characterisation, requiring massive batch processing of small matrices. Across both regimes and multiple imaging instruments, the proposed framework demonstrates robust domain transfer and throughput exceeding 25 FPS at clinical matrix scales, a rate sufficient for live image-guided workflows that classical solvers cannot currently support in these settings. By prioritising downstream reconstruction fidelity over exact spectral recovery, Quasi-SVD makes structured matrix factorisation practical for real-time imaging.\n2. 针对 Trixi$.$jl 与 deal$.$II 的并行自适应多物理场模拟的多求解器耦合 Multi-Solver Coupling for Parallel Adaptive Multi-Physics Simulations with Trixi$.$jl and deal$.$II\n作者: Vivienne Ehlert, Gregor Gassner, Martin Kronbichler, Hendrik Ranocha, Michael Schlottke-Lakemper\n类别: math.NA, cs.MS\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.25871v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25871v1\n摘要: Many standalone frameworks for numerical solvers have been developed to tackle the simulation of specific single- or multi-physics problems. For solving coupled problems, common approaches are to extend existing solvers, to develop an entirely new solver or to couple two existing solvers by using the interface provided by a coupling library or framework. However, to the best of our knowledge, there is not yet a framework that allows the easy and direct development of coupled solvers. In this work, we prototype a portable reproducible cross-language framework for the development of coupled parallel adaptive solvers using Trixi$.$jl and deal$.$II for the numerical simulation of coupled multi-physics problems. Currently, this is tightly entangled with an example coupled solver. We show its usability by developing a partitioned strongly-coupled multi-physics solver for the dynamics of Newtonian self-gravitational gases. For the coupled solver, we validate the expected order of convergence, physical sensibility of the results and mesh adaptivity. Finally, we investigate its parallel scaling. A publicly accessible reproducibility repository for the numerical results and code is available.\n3. 使用Julia的大规模并行数值模拟 Massively parallel numerical simulations with Julia\n作者: Simon Candelaresi, Benedict Geihe, Marco Artiano, Lars Christmann, Valentin Churavy, Andrés Rueda-Ramírez, Hendrik Ranocha, Gregor J. Gassner, Michael Schlottke-Lakemper\n类别: math.NA, cs.DC, cs.MS, cs.PF\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.25866v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25866v1\n摘要: The Julia programming language aims to provide a modern approach to develop high-performance computing (HPC) applications. It tries to achieve this by combining a high-level, dynamic interface with just-in-time compilation to native machine code, thereby facilitating high developer productivity and native code performance at the same time. While this approach has already been shown to work well for serial applications, it is not clear if it readily translates to traditional, massively parallel HPC work loads. In this paper, we fill this gap by analyzing the parallel performance of the numerical computational fluid dynamics simulation code Trixi$.$jl, written in Julia, and compare it to the Fortran code FLUXO. We show some of the challenges of using Julia at scale and discuss possible solutions, specifically with respect to code loading and compilation at startup. Finally, we demonstrate the parallel scaling of our Julia code on up to 61440 CPU cores.\n4. 关于松弛投影的无穷乘积的有界性：扰动恢复性与动态弦平均 On the boundedness of infinite products of relaxed projections: perturbations resilience and dynamic string-averaging\n作者: Daniel Reem, Yair Censor\n类别: math.OC, math.FA, math.NA\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.25797v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25797v1\n摘要: Very recently (2026), Bauschke and Tung extended from finite- to infinite-dimensional Hilbert spaces a result published by Meshulam in 1996 (following an earlier result of Aharoni-Duchet-Wajnryb from 1984) regarding the boundedness of infinite products of relaxed projections onto a finite family of closed affine subspaces. In the present note we extend in various ways the result of Bauschke and Tung by allowing certain perturbations and proving perturbation resilience, by considering a mixture of closed half-spaces and closed hyperplanes, and by using dynamic weighted sums of dynamic strings (of dynamic lengths) of relaxed projections in the iterative process. We also discuss the limitation to generalize the Bauschke-Tung result to arbitrary closed and convex sets by presenting a large family of counterexamples in which the associated control is not cyclic and not even almost cyclic. Along the way we establish a general theorem of independent interest regarding the uniform boundedness and uniform unboundedness of infinite products of nonexpansive mappings in a normed space setting.\n5. 铁磁磁流体动力学模型的线性全离散有限元方法的误差估计 Error Estimates for a Linear Fully-Discrete Finite Element Method for the Ferromagnetic Magnetohydrodynamical Model\n作者: Noah Vinod, Thanh Tran\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.25523v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25523v1\n摘要: The ferromagnetic magnetohydrodynamic equations are a non-linear PDE system that models the flow of an electrically conducting fluid that also has intrinsic magnetisation. In this paper, we propose a fully-discrete linear finite element scheme based on Euler\u0026rsquo;s method to approximate the solutions to these equations and perform an error analysis for the scheme. Numerical experiments have been included to corroborate our theoretical results.\n6. 深度学习算子的自动化数值稳定性分析 Automated Numerical Stability Analysis of Deep Learning Operators\n作者: Xinye Chen\n类别: math.NA, cs.AI\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.25494v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25494v1\n摘要: Finite-precision arithmetic unavoidably introduces numerical approximation errors. Numerical computations may use insufficient precision or an improper formulation, which leads to numerical instability. In this paper, we introduce the first unified software tool that integrates CESTAC for detecting the numerical stability of deep learning operators. Our developed software not only enables numerical validation with a single computation pass but also detects the sources of numerical instability and provides numerical stability monitoring during deep learning training and inference. We verified its effectiveness on the detection of polluted operators with injected numerical instabilities across various tasks. We believe that our developed method and tool provide valuable insights into developing numerically stable computing kernels, which are particularly critical for numerically stable and efficient deep learning training and inference.\n7. 关于由最大角 $n$ 等分算法生成的三角剖分 On Triangulations Generated by the Largest-Angle $n$-Section Algorithm\n作者: Jérôme Michaud, Sergey Korotov\n类别: cs.CG, math.NA\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.25457v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25457v1\n摘要: We define a mesh refinement algorithm based on the rule of dividing the largest angles of triangular elements of planar partitions in focus into $n$ equal parts, and analyse the (geometric) properties of triangulations generated by this technique. This largest-angle $n$-section rule is compared with the classical longest-edge $n$-section rule, where it is the longest edges which are split into $n$ equal parts. The longest-edge bisection and trisection are known to produce nondegenerate triangulations (possibly with hanging nodes), but the longest-edge $n$-sections with $n\\geq 4$ always produce (infinite) sequences of triangles with minimum angles tending to zero (moreover, their relevant maximum angles tend to $π$), thus breaking the minimum and maximum angle conditions. We show that this degeneration effect is not a consequence of $n$-section itself. For every $n\\geq 2$, the largest-angle $n$-sections produce partitions satisfying the minimum angle condition (and, therefore, the maximum angle condition). More precisely, if the initial triangle has its smallest angle $γ_0\u003e0$, then all descendant triangles have angles bounded below by $m_n=\\min\\left\\{γ_0,\\fracπ{3n}\\right\\},$ and, correspondingly, bounded above by $π-2m_n\u003cπ$. We also show that the recursive largest-angle $n$-section algorithm always produces a family of triangular partitions, i.e. the maximum diameter of level-$k$ descendants tends to zero as $k \\to \\infty$.\n8. 经典多项式优化的量子估计 Quantum estimates for classical polynomial optimization\n作者: Oleg Evnin\n类别: math-ph, math.NA, quant-ph\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.25445v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25445v1\n摘要: The problem of finding lower and upper bounds on multivariate homogeneous polynomials is both difficult and important given its applications to questions ranging from dynamical stability in complex potential landscapes to data analysis. From the standpoint of tensor eigenvalue theory, the question is equivalent to finding the smallest and the largest eigenvalues of the coefficient tensor corresponding to the given polynomial. Standard approaches outlined in the literature amount to running nonlinear iterations in search for the optimal rays along which the growth of the polynomial is fastest or slowest. Unlike the case of matrices (or their corresponding multivariate quadratic forms) convergence of such algorithms for higher-rank tensors is capricious due to the complex topography of polynomial objective functions. In this essay, a very different strategy, inspired by quantum-mechanical variational methods, is introduced for finding bounds on polynomials. The original polynomial is replaced by an operator acting in a suitably chosen (large) space of states, such that in an appropriate \u0026ldquo;classical\u0026rdquo; limit this operator approaches the original polynomial expression made of commutative variables. As a result, approximating the smallest and largest eigenvalues of the coefficient tensor, and thus finding bounds on polynomials, amounts to diagonalizing the resulting quantum operator, represented as a large matrix, and then inspecting the smallest and largest eigenvalues of this matrix. This approach is then successfully applied to standard test examples from tensor eigenvalue literature and other problems of interest in mathematical physics including Strichartz-type inequalities.\n9. 一种非马尔可夫量子态扩散的通用一阶和二阶数值求解器 A General First- and Second-Order Numerical Solver for Non-Markovian Quantum State Diffusion\n作者: Zhenning Cai, Quanhui Zhu\n类别: quant-ph, math.NA\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.25427v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25427v1\n摘要: The numerical simulation of non-Markovian open quantum systems based on the non-Markovian quantum state diffusion (NMQSD) equation is complicated by functional derivatives with respect to the stochastic process. A general numerical framework that directly treats these functional derivatives without relying on prescribed decompositions of the bath correlation function is still lacking. In this work, we derive an analytical solution of the linear NMQSD equation that reveals three elementary structures of the non-Markovian stochastic dynamics: stochastic propagation, functional-derivative insertion, and memory pairing. Based on this structure, we construct a general auxiliary-state framework for arbitrary bath correlation functions. The framework separates the numerical construction into time discretization, memory quadrature, and hierarchy truncation. We then construct first- and second-order schemes and provide diagrammatic transition rules for their explicit implementation. Numerical results verify the expected temporal accuracy and demonstrate the applicability of the proposed methods to different bath correlation functions and multi-level quantum systems.\n10. 线性统计模型的顺序预处理共轭梯度法 Sequential Preconditioned Conjugate Gradient Method for Linear Statistical Models\n作者: Guan-Yu Chen, Dong-Yue Xie, Xi Yang, Zun-Hao Zheng\n类别: math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.25272v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25272v1\n摘要: We propose a randomized iterative method for the ordinary least-squares estimation problem in large-scale linear statistical models, namely the Sequential Preconditioned Conjugate Gradient Method (SPCG). SPCG constructs a sequence of sketched least-squares subproblems with increasing sketch sizes, applies PCG as the inner solver, and warm-starts each subproblem from the previous solution. A final refinement stage is then performed on the full-scale problem. Since most iterations are carried out on smaller subproblems, the overall computational cost is significantly reduced. We establish the convergence theory, prove that SPCG attains OLS prediction accuracy, and derive per-subproblem iteration bounds and complexity estimates. Numerical experiments show that SPCG reaches the target prediction accuracy with fewer iterations and less CPU time than full-data PCG and Iterative Double Sketching (IDS).\n11. 希尔伯特空间中变分包含问题的双惯性步投影收缩方法 Projection and contraction methods with double inertial steps for variational inclusion problems on Hilbert spaces\n作者: Moin Uddin, Mohammed Alshahrani, Qamrul Hasan Ansari\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.25203v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25203v1\n摘要: In this paper, we propose three projection\u0026ndash;contraction algorithms for solving variational inclusion problems in the setting of Hilbert spaces, each incorporating a double inertial technique into the projection\u0026ndash;contraction framework. The first algorithm \\algoO achieves weak convergence under monotonicity and Lipschitz continuity of the single-valued operator, with an adaptive stepsize rule that does not require prior knowledge of the Lipschitz constant. A modified variant \\algoT of \\algoO attains $R$-linear convergence under the strong monotonicity assumption. The third algorithm \\algoDIM obtains strong convergence to the minimum-norm solution without requiring strong monotonicity. We illustrate the proposed methods on an abstract variational inclusion problem and apply them to the split feasibility problem and the elastic net regularization problem, comparing them with existing methods in the literature. The $R$-linear convergence of \\algoT is also verified through numerical simulations.\n12. 相场晶体方程的凸分裂谱方法：能量稳定性、计算稳定性图与三维GPU模拟 A Convex Splitting Spectral Method for the Phase Field Crystal Equation: Energy Stability, Computational Stability Maps, and Three-Dimensional GPU Simulations\n作者: Saulo Orizaga, Peimeng Yin, Deep Choudhuri\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.25177v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25177v1\n摘要: We present an efficient Fourier spectral method based on the convex splitting framework of Eyre~\\cite{eyre1998unconditionally} for the phase field crystal (PFC) equation. The proposed first-order scheme is unconditionally energy stable and conserves mass to machine precision. An energy stability theorem is established using a truncated potential argument, and a semi-analytical neutral stability curve is derived from a dominant-mode energy balance, providing a closed-form characterization of the practical stability boundary. The classical sufficient condition $a \\geq 2$ is shown to be conservative: a computational stability map obtained from 40,000 GPU-accelerated PFC simulations reveals that energy-stable solutions persist for values of $a$ significantly below this threshold. Crucially, accuracy analysis demonstrates that smaller values of $a$ within the stable region consistently yield lower $L^2$ errors. This high-fidelity regime is rigorously verified through an extended asymptotic stress test consisting of a long-time three-dimensional simulation on a $256^3$ grid up to $T_f = 10,000$, successfully executing $10^6$ continuous temporal increments deep within the relaxed stability regime, well below the classical convex splitting limit ($a \u003c 2$), while preserving strict monotonic energy dissipation and machine-precision mass conservation. Finally, two-dimensional and three-dimensional simulations at resolutions up to $512^3$ are performed on a single consumer GPU, demonstrating the scalability of the proposed framework for resolving complex phase-field dynamics without requiring HPC infrastructure. The code is made publicly available on GitHub.\n13. 主动子空间的黎曼观点 A Riemannian View on Active Subspaces\n作者: Zachary Grey\n类别: math.NA, cs.LG, math.DG\n发布日期: 2026-07-28\narXiv ID: 2607.25163v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25163v1\n摘要: Active subspaces provide an explainable, eigenvalue-ordered principle for studying how scalar-valued quantities of interest change the most, on average, over a reduced basis of Euclidean domains. Composition with parallel transport generalizes this principle from Euclidean space to quantities of interest defined over Riemannian manifolds, and the resulting intrinsic formulation is contrasted with the extrinsic, embedding-based gradient average of manifold learning. Either strategy is studied in an intrinsically local sense, restricted to mean-centered geodesic-balls, and within that scope the two are not identical: on the central tangent space, eigenvalues agree to second order in the geodesic radius of the sampled domain, while dominant eigenspaces agree at the same order relative to the spectral gap. Extending activity beyond that central space then calls for either recomputed decompositions over changing tangent spaces or, intrinsically, parallel transport of a single central frame. Hyperspheres are emphasized throughout as a particular manifold of interest, motivated by applications over preshape spaces for statistical shape analysis. Numerical examples over the 2-sphere illustrate the formalism, including the derived ridge recovery at a curvature-limited quadratic rate.\n14. 巴龙空间中的椭圆正则性理论及其在深度里兹方法中的应用 Elliptic Regularity Theory in Barron Spaces and Applications to the Deep Ritz Method\n作者: Stephan Wojtowytsch\n类别: math.AP, math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-07-27\narXiv ID: 2607.25100v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25100v1\n摘要: We prove that harmonic functions with Dirichlet boundary data in Barron space, a function class tailored to wide ReLU networks with a single hidden layer and suitably bounded weights, are generally neither Lipschitz continuous nor in the Sobolev class $H^2$. A fortiori, they are not in any function class in which the norm controls the Lipschitz constant, which rules out not only Barron space regularity, but also regularity in function classes for deeper ReLU networks with bounded coefficients. They can, however, be approximated to accuracy $\\sim \\varepsilon$ by Barron functions of low norm $\\sim |\\log\\varepsilon|$ in various Lebesgue and Sobolev norms (with at most two derivatives). The positive result holds on very simple domains: Half-spaces in arbitrary dimension and rectangular domains in two dimensions. As an application of this regularity theory, we obtain a priori error estimates for Deep Ritz neural PDE solvers.\n15. 关于 Koopman 算子特征值问题的扩展动态模式分解解的残差界与向后遮蔽稳定性 On residual bounds, backward shadowing stability of the Extended Dynamic Mode Decomposition solution to the eigenvalue problem for the Koopman operator\n作者: Zlatko Drmač\n类别: math.NA, cs.MS, math.DS\n发布日期: 2026-07-27\narXiv ID: 2607.25086v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.25086v1\n摘要: This paper introduces shadowing theory based backward stability assessment of data driven computational analysis of discrete dynamical systems in the framework of the Koopman composition operator and the Extended Dynamic Mode Decomposition. Data driven spectral analysis of the dynamics using the approximate (computed) eigenpairs of the Koopman operator is cast in terms of the backward error analysis. The individual residuals of the computed eigenpairs are aggregated in a backward perturbation of the Koopman operator, so that the computed eigenpairs are exact for a perturbed operator that is not a composition operator. Then, the impact of the perturbation in the operator is carried over to the map and the initial condition of the original system, showing that the computed approximations correspond exactly to a pseudo\u0026ndash;trajectory of the system. In the final step, the pseudo\u0026ndash;trajectory is shadowed by an exact trajectory of the system. This interpretation of errors is in particular suitable in data driven scenarios where the data is contaminated by noise. New insights into the numerical shadowing are provided.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-29_10-20-37/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月29日 10:20:37\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 6\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 15\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-时间离散梯度流的均匀化\"\u003e1. 时间离散梯度流的均匀化\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eHomogenization of Time-Discrete Gradient Flows\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e作者\u003c/strong\u003e: Yunhong Deng, Yuan Gao, Li Wang\u003c/p\u003e","title":"2026年07月29日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月28日 10:20:26\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 10\n不相关论文数量: 41\n重点关注论文（完整分析） 1. 用于裂纹尖端与角点奇异性 B 样条分析的力学训练神经坐标映射 Mechanics-trained neural coordinate mapping for B-spline analysis of crack-tip and corner singularities\n作者: Hyunju Kim\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-25\narXiv ID: 2607.23229v1\n摘要翻译: 在裂纹尖端或凹角附近，分数次径向幂函数可能具有无界导数，从而减慢高阶样条的收敛速度。奇异映射对计算半径进行分级，使得拉回场更光滑而不改变物理域。经典映射需要预先知道奇异指数和分级。本文从力学问题中训练得出径向坐标。它是正神经密度的归一化积分，该积分固定了两个径向边界，并确保在退化尖端之外 r\u0026rsquo;(s)\u0026gt;0。径向分级指数和密度校正权重通过离散平衡态下的 Galerkin 能量推断得出，无需指数标签或精确内部场。我们在标量和平面应变 B 样条公式中测试了该映射，并将其与恒等映射、径向分级节点向量、指定幂映射以及自适应增强 B 样条方法进行了比较。在 156 个向量自由度下，与恒等映射相比，力学训练映射将相对能量范数误差降低了 33.42 倍。在 3 条轮廓上恢复的混合型应力强度因子的最大误差为 1.923×10^(-5)。对于直裂纹，学习到的密度校正消失，且指定的 r=s^2 映射给出了相同的改进。对于测试参数超出训练区间的非线性 Robin 族，密度校正是非零的，并给出至少 4.839 的固定 q 增量能量增益。因此，对于本文所考虑的问题，当所需坐标不能由指定幂映射表示时，神经校正是有用的。\nComment: 30 pages, 19 figures\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.23229v1\n1. 研究对象和背景 在裂纹尖端或凹角附近，弹性问题的解常含有分数次幂的径向项 $u(r,\\theta) \\sim r^{\\lambda} \\Psi(\\theta)$，其中 $0\u003c\\lambda\u003c1$ 为奇异指数，$\\Psi$ 为角向特征函数。这类奇异性导致径向导数 $\\partial_r u$ 在 $r=0$ 处无界，从而严重降低基于高阶 B 样条的数值方法的收敛速率。Williams 展开 [1] 识别了此分数次幂对正则性的破坏，启发学者通过坐标变换将物理域的奇异行为转移至更光滑的计算坐标。例如，在等几何分析 (IGA) 中，利用 NURBS 网格的重复控制点将裂纹面塌缩至一点，若塌缩阶数为 $q$，则有 $r \\sim \\eta^q$，进而拉回后的场为 $u \\circ F \\sim \\eta^{q\\lambda}$。若 $q\\lambda = m \\in \\mathbb{N}$，则分数次幂变为多项式因子 $\\eta^m$，恢复了高阶样条的逼近能力 [4]。类似思想也体现在自适应富集 [5,6,7] 和稳健 IGA 格式 [8] 中，它们通过修改试验空间而非坐标来获得相应正则性增益。然而，这些方法均需事先指定奇异指数和幂映射关系（如 $r = s^2$ 对应平方根奇性），当问题参数化时（例如材料渐变或 Robin 边界条件），所需映射可能偏离纯幂律形式，且奇异指数也需从力学响应中推断。\n本文旨在填补这一空白：提出一种不依赖任意精确场、指数标签或预先幂映射的径向坐标构造方法。该方法从离散 Galerkin 平衡解的能量出发，学习一个正神经密度函数，通过归一化积分自动满足径向边界条件和严格单调性，同时由力学训练信号自动推断分级指数 $q$ 和密度修正权重。学习到的坐标保持物理算子、试验空间维数及应力强度因子 (SIF) 提取步骤不变，从而能够与恒等映射、径向分级节点向量、指定幂映射及自适应富集 B 样条方法进行公平比较。\n2. 主要定理或主要结果 本文通过数值实验验证了力学训练神经坐标映射的有效性，主要结论如下：\n在标量 Laplace 问题和平面应变弹性裂纹问题中，采用 156 个向量自由度的 B 样条离散，力学训练映射相较于恒等映射将相对能量范数误差降低 33.42 倍。混合模式应力强度因子 ($K_{\\rm I}, K_{\\rm II}$) 在三个积分等值线上恢复的最大误差仅为 $1.923 \\times 10^{-5}$。 对于直裂纹（纯平方根奇性），学习到的密度修正权重 $w_j$ 收敛到零，所得映射退化为 $r = s^2$ 的指定幂映射，且两者精度相同。这表明当问题具有已知幂律分布时，网络能够自动识别并回归到经典映射。 对于含径向渐变的非线性 Robin 边界条件族（反平面问题），在训练区间外的测试参数下，密度修正保持非零，且与纯幂映射相比，固定 $q$ 的增量能量增益至少为 4.839。这证明当坐标不能由单一幂映射表示时，神经密度修正可提供显著改善。 将训练后的映射从粗网格标量问题直接迁移至细化网格的平面应变问题，无需重新训练，表明映射的泛化性。同时，通过 Jacobian 审核和有限差分检验确认了映射的可容许性（$r'(s) \u003e 0$, $J \u003e 0$）。 与自适应富集样条方法的比较显示，在相同自由度数下，力学训练映射的精度相当或更优，但避免了富集函数中额外奇异指数的显式构造。 3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心创新在于将神经网络仅用于参数化奇异坐标的导数，而非直接近似物理场。技术要点分述如下：\n1. 可容许径向坐标的正密度构造 为保证映射的单调性与边界条件，作者定义径向坐标的一阶导数为正神经密度 $$\\rho_{\\phi}(s) = s^{q-1} \\exp\\!\\left[\\sum_j w_j \\tanh(\\beta_j (s - c_j))\\right],$$ 并通过归一化积分恢复坐标 $$r_{\\phi}(s) = \\frac{\\int_0^s \\rho_{\\phi}(\\tau)\\,d\\tau}{\\int_0^1 \\rho_{\\phi}(\\tau)\\,d\\tau}.$$ 该构造自动满足 $r_{\\phi}(0)=0$, $r_{\\phi}(1)=1$ 且当 $s\u003e0$ 时 $r'_{\\phi}(s)\u003e0$，从根本上避免了优化过程中违反映射条件的罚函数。前因子 $s^{q-1}$ 控制近尖端的拆分级数 $r_{\\phi}(s) \\sim C s^q$，使得物理场中的 $r^{\\lambda}$ 被拉回为 $s^{q\\lambda}$；权重 $w_j$ 通过光滑阶跃函数调整有限半径处的坐标分布，且指数和权重均作为训练变量。\n2. 不依赖参考解的力学训练目标 训练目标函数为离散 Dirichlet 能量在 Galerkin 解处的值 $$J_h(\\phi) = \\frac12 \\mathbf{d}(\\phi)^T \\mathbf{K}(\\phi) \\mathbf{d}(\\phi),$$ 其中 $\\mathbf{d}(\\phi)$ 由线性方程组 $\\mathbf{K}_{ff}(\\phi) \\mathbf{d}_f = \\mathbf{f}_f - \\mathbf{K}_{fc}(\\phi) \\mathbf{d}_c$ 确定。优化器仅更新映射参数 $\\phi = (q, w)$，位移系数通过求解离散系统而非网络输出给出，从而训练信号完全来自力学弱形式本身，不涉及精确解、SIF 参考值或人工标签。对于 Robin 边界条件族，设计复合损失函数 $$\\mathcal{L}(\\vartheta) = \\mathop{\\mathrm{mean}}_{\\kappa} \\left[ \\frac{E_c}{E_0} + \\gamma_E \\delta_E + \\gamma_R \\operatorname{Var}_m(\\ell_m) + \\gamma_A \\left(\\frac{A_c - A_e}{\\max(|A_e|,\\epsilon_A)}\\right)^2 + \\gamma_\\vartheta \\|\\vartheta\\|^2 \\right]$$ 结合粗–富集能量差 $\\delta_E$、径向一致性项 $\\ell_m = \\log |F_h(r_m)| - \\lambda_h \\log r_m$ 及振幅比，避免了使用精确角向特征函数或参考振幅。\n3. 参数化问题中的条件网络 对于楔形半角 $\\alpha$ 或 Robin 参数 $\\kappa$ 等物理参数族，引入小型条件网络输出 $\\phi_{\\vartheta}(\\zeta)$。梯度指数由有界逻辑函数预测 $q_{\\vartheta}(\\alpha) = q_{\\min} + (q_{\\max} - q_{\\min})\\,\\sigma(z_{\\vartheta}(\\alpha))$，或针对非线性 Robin 族采用二次 softplus 映射 $q(\\kappa) = q_0 + \\mathrm{softplus}(a_0 + a_1 z + a_2 z^2)$。这些神经分支仅改变映射参数的生成方式，而不影响后续坐标构造与 Galerkin 组装，从而在同一框架下统一了单问题和多问题学习。\n4. 信息流分离与可迁移性验证 训练循环冻结后，映射 $\\phi^*$ 被用于独立的求解和后处理，分别计算场误差与 SIF。精确场和应力强度因子仅在最后评估阶段引入，阻止了任何隐式标签泄漏。学习到的映射可从粗标量网格迁移至细平面应变网格，并且通过 Jacobian 审计、求积阶数变化及塌缩边上的试验空间组装保证了映射的数值可容许性。\n5. 与已有方法的对比策略 所有测试中，物理算子、有限元空间和输出提取方法保持固定，仅改变径向坐标。比较对象包括：恒等映射、径向分级节点向量、指定的幂映射 $r=s^q$，以及自适应富集 B 样条。通过直裂纹验证学习到的 $w_j$ 消失，表明网络能自动识别纯幂律情况；非线性 Robin 族则凸显了密度修正的独立价值。\n4. 与之前工作的比较 本文与既有的裂纹/角点奇异映射与神经网络近似方法存在多方面区别，具体比较如下：\n1. 与经典奇异映射和 IGA 塌缩方法的对比 传统 IGA 处理裂纹尖端的标准做法是构造塌缩边映射 [4]，其控制点重复次数 $q$ 固定，且需要事先知道奇异指数 $\\lambda$ 以确定 $q$（如 $\\lambda=1/2$ 时取 $q=2$）。本文方法无需预设 $q$ 或 $\\lambda$，而是将 $q$ 和可能的密度修正 $w_j$ 作为训练变量，完全从离散力学能量中学习。对于直裂纹，学到的映射还原为 $r=s^2$，但本质区别在于后者为手工规定，前者为自动推断；更一般地，当材料渐变或边界条件导致非幂律行为时，传统的固定幂映射无法适用，而本文学习到的密度修正能够自适应调整径向分辨率。此外，径向分级节点向量方法虽也能改善收敛，但其本质是在参数域对节点加密，本文则通过直接改变物理坐标达到同样效果，且不改变样条基函数的分布模式。\n2. 与富集方法的对比 自适应富集 B 样条（如 XIGA [5,6,7]）通过向试验空间添加奇异基函数（通常基于 $r^{\\lambda}$ 函数）来恢复最优收敛阶。这类方法必须已知奇异指数，且富集函数的选择影响刚度矩阵的条件数和积分精度。本文将奇异处理完全置于坐标变换中，试验空间保持标准 B 样条，避免了富集带来的数值积分困难和自由度结构变化。在相同自由度下，力学训练映射与自适应富集样条的精度相当，但后者需要额外的先验知识。本文的实验（如能量误差因子 33.42）表明，在非幂律参数问题中，训练映射能提供更优的精度–成本比。\n3. 与基于神经网络的断裂力学方法的对比 当前神经网络在断裂力学中的应用主要分为两类：(i) 物理场近似型，如富含裂纹尖端函数的 PINN [9,10] 和用于相场、近场动力学的代理模型 [11,12,13]；(ii) 几何变换型，如利用网络进行域参数化 [14,15,16]。本文属于后者，但不同于一般的域变换网络，这里网络仅输出一维径向坐标的导数，大大降低了网络规模，且正密度参数化自然满足坐标单调性的强约束。更为重要的是，本文训练过程不接触任何场值或 SIF 标签，完全由 Galerkin 系统的能量驱动，这与监督学习或预嵌入物理信息的训练方式根本不同。\n4. 适用范围与代价 力学训练映射的优势局限于坐标可用单一径向函数描述的问题，即裂纹或角点奇异性由径向部分主导且可分离。对于复杂裂纹路径或多裂纹相互作用，当前单变量映射可能不足。训练的计算代价是一次性的：对于标量问题，训练只需数分钟；迁移到弹性问题后，求解代价与使用指定幂映射完全相同，因为每次求解仅需组装刚度矩阵并求解线性方程组。这一方面与需要每步更新网络的深度 Ritz 或 PINN 方法形成鲜明对比。此外，本文设计的条件网络能够针对参数族生成连续映射，避免了逐个问题重训练。然而，文中也明确指出，当问题本身已能由经典幂映射充分刻画时（如直裂纹），方法能自动识别，但并不会带来额外增益；其价值体现在非幂律场景中，正如非线性 Robin 族所示，密度修正可在训练范围外保持有效，显示出一定的外推能力。\n2. AlgMortar：一种全代数多尺度砌块预条件子 AlgMortar: a fully algebraic multiscale mortar preconditioner\n作者: Luan F. Santos, Fabricio S. Sousa, Roberto F. Ausas, Rafael T. Guiraldello, Felipe Pereira\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-24\narXiv ID: 2607.22905v1\n摘要翻译: 求解源自二阶椭圆方程离散的大规模对称正定线性系统颇具挑战性，尤其是在诸如多孔介质流等具有高度非均匀系数的应用中，这可能导致系统严重病态。在此背景下，多尺度方法近来已被用于加速 Krylov 子空间方法，这得益于其良好的并行可扩展性。本文提出 AlgMortar，它是多尺度砌块混合有限元方法（MMMFEM）的一种全代数实现。该方法仅利用从细网格系统矩阵中提取的信息，便于其在现有求解器中实现。AlgMortar 采用图划分从矩阵图直接定义区域分解。在每个子域上，它构造模拟 Dirichlet 问题的局部线性系统，并通过一个代数界面条件将所得局部解耦合起来，该条件恢复了 MMMFEM 的弱通量连续性机制。我们证明，当细网格矩阵对称正定且具有非正非对角线元素时——这是椭圆问题离散中常见的结构——该方法是适定的。对源自 Darcy 流问题有限体积离散的细网格线性系统进行的数值实验表明，当该方法用作共轭梯度法的预条件子时，所提方法展现出良好的可扩展性，并且对于具有挑战性的非均匀、高对比度算例（包括高度不规则的角点网格），能与当前最优的代数多重网格方法相媲美。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.22905v1\n1. 研究对象和背景 本文研究由二阶椭圆型方程离散化产生的大规模对称正定(SPD)线性系统的求解问题, 这类问题广泛存在于多孔介质流、地下储层模拟、地下水运移以及非均质材料热传导等应用领域. 具体方程形式为 $-\\nabla\\cdot (K abla p) = f$ 于 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d, d=2,3$, 其中 $p$ 通常表示压力, $f$ 为源项, $K$ 为 SPD 渗透率张量. 准确数值逼近通常需要细网格, 导致大规模离散系统 $A p = f$, 矩阵 $A\\in\\mathbb{R}^{N\\times N}$ 对称正定, $p$ 为未知压力向量, $f$ 为右端项. 当系数 $K$ 高度非均匀或对比度高时, 系统条件数极大, 迭代求解困难.\n多尺度方法通过构造能够捕捉局部非均质性的基函数, 并用粗问题耦合这些基函数来定义全局近似, 已被证明能有效加速 Krylov 子空间方法, 且具有良好并行可扩展性. 其中, 基于混合格式的 Multiscale Mortar Mixed Finite Element Method (MMMFEM) 在每个子区域上求解局部 Dirichlet 问题, 并通过 mortar 界面变量 $\\lambda_H$ 弱强制法向通量的连续性. 该方法在混合有限元空间(如 Raviart-Thomas 元)框架下, 将局部压力 $p_{h,i}$ 和速度 $u_{h,i}$ 表示为 $u_{h,i} = \\overline{u}_{h,i} + \\sum_{k} \\lambda_k \\widehat{u}^{(k)}_{h,i}$, $p_{h,i} = \\overline{p}_{h,i} + \\sum_{k} \\lambda_k \\widehat{p}^{(k)}_{h,i}$, 其中 $(\\overline{u}_{h,i},\\overline{p}_{h,i})$ 为特解, $(\\widehat{u}^{(k)}_{h,i},\\widehat{p}^{(k)}_{h,i})$ 为对应 mortar 基函数 $\\psi_k$ 的多尺度基函数(MBF), 而 $\\lambda_k$ 通过界面通量连续性条件 $\\sum_i\\langle u_{h,i}\\cdot n_i,\\mu\\rangle_{\\Gamma_i}=0$ 求得的界面系统确定. 然而, 传统 MMMFEM 需要几何信息(如网格、子区域划分)、PDE 系数和离散化细节, 在工业多孔介质流模拟中这些信息可能高度复杂、保密或难以跨代码传递. 代数预条件子仅基于系统矩阵和右端项, 可适应任意网格、非结构化离散、混合维模型和高度非均质系数, 便于集成到现有求解器中, 减少了网格转换带来的误差和开销, 且天然支持黑箱式多层粗化和插值策略.\n已有几种代数多尺度方法, 如 two-stage algebraic multiscale (TAMS) 方法、algebraic multiscale solver (AMS)、multiscale two-point flux approximation (MsTPFA) 等. 受 MRCM (Multiscale Robin Coupled Method) 在 MMMFEM 极限下作为 PCG 预条件子性能优异的启发, 并鉴于工业界对完全代数化求解器的需求, 本文提出 AlgMortar, 一种 MMMFEM 的全代数实现. 该方法仅使用细网格系统矩阵 $A$, 通过图划分获得子区域, 构造局部代数 Dirichlet 算子, 并通过代数界面条件恢复弱通量连续性. 本文旨在证明该方法的适定性, 推导条件数估计, 并展示其作为 PCG 预条件子的数值效能.\n2. 主要定理或主要结果 本文在以下假设下证明了 AlgMortar 方法的适定性和性质:\n设 $A$ 为由二阶椭圆方程离散产生的 SPD 矩阵, 且其非对角元非正(即 $A$ 为 M-矩阵), 从而界面权重矩阵 $W$ 的对角元(即跨子域的耦合系数)均为负. 定义局部 Dirichlet 算子 $A_i = A_{ii} - \\sum_{j: j\\sim i} D_{ij}$, 其中 $D_{ij} = \\operatorname{diag}(A_{ij} \\mathbf{1}_{\\Omega_j})$, 则每个 $A_i$ 均为 SPD. 令 $\\Lambda\\subset\\mathbb{R}^E$ 为给定的 mortar 空间, $Z\\in\\mathbb{R}^{|E|\\times r}$ 满足 $\\operatorname{range}(Z)=\\Lambda$. 构造对称系统 $$Q = \\begin{pmatrix} \\frac{1}{4}\\widehat{A} \u0026 M^T W Z \\\\ Z^T W M \u0026 -Z^T W Z \\end{pmatrix},$$ 其中 $\\widehat{A} = \\operatorname{diag}(A_1,\\dots,A_m)$, $M$ 为代数平均算子, $W$ 为全局权重矩阵. 证明了当 $A$ SPD 且 $W$ 负定时, $Q$ 对称正定, 从而 AlgMortar 系统 $$\\widehat{A} p + B \\lambda = f, \\quad \\mu^T W(\\lambda - M p) = 0 \\;\\; \\forall\\mu\\in\\Lambda$$ 存在唯一解 $(p,\\lambda)\\in\\mathbb{R}^{\\Omega}\\times\\Lambda$. 在均匀 Cartesian 网格且 $K=I$ 的条件下, AlgMortar 精确恢复经典的 MMMFEM. 此时局部 Dirichlet 算子 $A_i$ 等同于 TPFA 离散下局部 Dirichlet 问题的算子, 界面条件对应弱通量连续性. 条件数估计(详见第5节, 本文提供的摘录未包含细节)表明预处理后系统的谱聚类依赖于 mortar 空间如何逼近图划分界面上的平均压力. 数值实验: 将 AlgMortar 用作共轭梯度(PCG)预条件子, 在 Cartesian 网格和不规则 corner-point 网格上对高对比度非均质 Darcy 流问题进行测试. 结果表明 AlgMortar 具有良好的并行可扩展性, 且在高对比度情形下可比拟甚至优于先进的代数多重网格 (AMG) 方法. 3. 研究方法、关键技术和核心工具 AlgMortar 的核心技术贡献在于仅从系统矩阵 $A$ 的代数信息出发, 重新构造出 MMMFEM 所需的所有关键算子: 子域划分、局部 Dirichlet 问题、界面 trace 和平均算子以及弱通量连续性条件. 具体工具与分步框架如下:\n1. 基于图划分的代数区域分解\n利用 $A$ 的邻接图 $G(A)=(\\Omega,E)$, 通过图划分器(如 METIS)将指标集分解为 $m$ 个互不相交的子域 $\\Omega_1,\\dots,\\Omega_m$. 按子域重排序后, 矩阵具有分块结构 $A=(A_{ij})$, 其中非零块 $A_{ij}\\neq 0$ 当且仅当 $\\Omega_i$ 与 $\\Omega_j$ 相邻. 引入界面边集 $E_{ij} = \\{(k,l): k\\in\\Omega_i, l\\in\\Omega_j, a_{kl}\\neq 0\\}$, 以及全局界面边集 $E = \\bigcup_{i","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-28_10-20-26/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月28日 10:20:26\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 10\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 41\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-用于裂纹尖端与角点奇异性-b-样条分析的力学训练神经坐标映射\"\u003e1. 用于裂纹尖端与角点奇异性 B 样条分析的力学训练神经坐标映射\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eMechanics-trained neural coordinate mapping for B-spline analysis of crack-tip and corner singularities\u003c/p\u003e","title":"2026年07月28日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月28日 10:20:18\n重点关注论文数量: 4\n了解领域论文数量: 7\n不相关论文数量: 42\n重点关注论文（完整分析） 1. 使用反射广义源的良态电场表面积分方程 Well-conditioned Electric Field Surface Integral Equations using Reflective Generalized Sources\n作者: Yossi Dahan, Suryakumar Sivakumar, Yaniv Brick, Simon B. Adrian\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-27\narXiv ID: 2607.24526v1\n摘要翻译: 本文使用广义源方法发展了一类无需结合公式即无内共振的良态积分算子。广义源积分方程（GSIE）核是通过用辅助贡献增强传统电场积分方程（EFIE）核，以增强相应矩量矩阵块的秩亏损而得到的。本文首次研究了由内部散射凸屏蔽产生的辅助核的GSIE算子谱。利用同心圆散射体和屏蔽的闭式表达式，表明具有适合增强压缩性的屏蔽参数时，横磁（TM）和横电（TE）GSIE算子无内部真谐振和准谐振。辅助分量被证明是其EFIE对应物的紧扰动。因此这些GSIE继承了它们的稠密离散化崩溃，这仍可通过Calderón型预处理来治愈。控制高频崩溃的机理被证明受辅助分量影响，在某些情况下导致更强的稳定性。这些观察结果被证明对于使用非圆形模板屏蔽设计的矩量矩阵和GSIE仍然有效。对于GSIE对偶和Yukawa核预处理器，这些公式表现出良好的谱性质，同时又保持其可压缩性。这使得这些公式对于快速迭代求解器的设计具有吸引力。关于二维屏蔽算子的结果为将该方法推广至三维问题以及具有更广泛几何适用性的辅助核提供了基础。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.24526v1\n1. 研究对象和背景 本文研究二维电磁散射问题的电场型表面积分方程(EFIE)在迭代求解时的条件数与谱性质。对于理想导电体(PEC)的时谐散射，表面感应电流$\\boldsymbol{j}$满足EFIE $$ \\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\left(-j k \\int_S \\boldsymbol{G}_f(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}')\\cdot\\boldsymbol{j}(\\boldsymbol{r}')\\,\\mathrm{d}t'\\right) = -\\frac1{\\eta}\\,\\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\boldsymbol{e}^{\\text{inc}},\\quad \\boldsymbol{r}\\in S, $$ 其中$\\boldsymbol{G}_f$为自由空间并矢格林函数，$\\eta$为波阻抗，$k=2\\pi/\\lambda$为波数。对二维$z$不变问题，TM极化退化为标量方程 $$ T^{\\text{TM}}(j_z)(\\boldsymbol{r}) = -j k\\int_S g_f(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}')\\,j_z(\\boldsymbol{r}')\\,\\mathrm{d}t' = -\\frac1{\\eta}e_z^{\\text{inc}}, $$ TE极化简化为 $$ T^{\\text{TE}}(j_t)(\\boldsymbol{r}) = -j k\\int_S g_f(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}')\\,j_t(\\boldsymbol{r}')\\,\\mathrm{d}t' -\\frac1{j k}\\,\\partial_t\\int_S g_f(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}')\\,\\partial_{t'} j_t(\\boldsymbol{r}')\\,\\mathrm{d}t' = -\\frac1{\\eta}e_t^{\\text{inc}}. $$ 矩量法(MoM)离散得到稠密线性系统$\\mathbf{T}\\mathbf{j}=\\mathbf{e}$。传统EFIE存在三类病态：内部共振解不唯一；稠密离散化导致条件数以$\\mathcal{O}(1/h)$恶化（$h$为网格尺寸）；高频时条件数以$\\mathcal{O}(k^{1/3})$增长。组合场方程(CFIE)或组合源方程(CSIE)可消除共振，但往往丧失低秩压缩性。\n另一方面，为加速求解，代数压缩方法（如低秩分解）被广泛应用，其效率取决于矩阵块秩的增长。传统EFIE核的宽边辐射使大块间相互作用秩与电尺寸$kR$线性增长，限制了压缩效果。广义源积分方程(GSIE)通过修改格林函数，引入位于散射体内部的辅助源贡献，衰减宽边辐射，增强掠射分量，从而有效降低秩的增长。具体地，将核修改为$\\boldsymbol{G}_m(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}') = \\boldsymbol{G}_f(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}') + \\boldsymbol{G}_{\\text{aux}}(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}')$，其中$\\boldsymbol{G}_{\\text{aux}}$由内部凸屏蔽表面的散射场给出。例如反射型GSIE中，对于TM问题，辅助标量格林函数$g_{\\text{aux}}$使得$g_m = g_f+g_{\\text{aux}}$，TE问题则引入辅助并矢。由此得到GSIE $$ T_m^{\\text{TM}}(\\tilde{j}_z) = T^{\\text{TM}}(\\tilde{j}_z)+T_{\\text{aux}}^{\\text{TM}}(\\tilde{j}_z) = -\\frac1{\\eta}e_z^{\\text{inc}}, $$ 以及TE类似形式。\n已有的GSIE工作（[40]–[47]）主要专注于通过不同辅助源机制提升压缩性，但其作为电场方程，谱性质与条件数未被充分研究，尚缺乏可同时保证良好条件数与压缩性的GSIE格式，因而无法直接用于快速迭代求解器的设计。本文正是填补这一空白，系统分析基于反射凸屏蔽的GSIE算子的谱，包括内部共振、准共振、稠密离散化崩坏及高频崩坏，并提出有效的预条件策略，最终给出可同时满足无共振、可压缩且条件数受控的GSIE格式。\n2. 主要定理或主要结果 本文聚焦于同心圆散射体和屏蔽构型，并在屏蔽上施加Leontovich阻抗边界条件（表面阻抗$\\eta_{\\text{sh}}\\in\\mathbb{C}$）。主要结果如下：\n(i) 闭合形式特征值谱 对于TM极化和TE极化，在极坐标谐波基函数$\\tilde{j}_z^{(n)}(\\varphi)=\\mathrm{e}^{j n\\varphi}$下，GSIE算子对角化，得到特征值 $$ \\lambda_{\\text{TM}}^n = -\\frac{\\pi R k}{2}\\left(\\frac{H_n^{(2)}(kR)}{A_{\\text{TM}}^n}+J_n(kR)\\right)H_n^{(2)}(kR), $$ $$ \\lambda_{\\text{TE}}^n = -\\frac{\\pi R k}{2}\\left(\\frac{H_n^{(2)\\prime}(kR)}{A_{\\text{TE}}^n}+J_n'(kR)\\right)H_n^{(2)\\prime}(kR), $$ 其中$R$为散射体半径，$a$为屏蔽半径，$n\\in\\mathbb{Z}$， $$ A_{\\text{TM}}^n = -\\frac{\\eta H_n^{(2)}(ka)+j\\eta_{\\text{sh}} H_n^{(2)\\prime}(ka)}{\\eta J_n(ka)+j\\eta_{\\text{sh}} J_n'(ka)},\\quad A_{\\text{TE}}^n = -\\frac{\\eta H_n^{(2)\\prime}(ka)-j\\eta_{\\text{sh}} H_n^{(2)}(ka)}{\\eta J_n'(ka)-j\\eta_{\\text{sh}} J_n(ka)}. $$(ii) 无内部共振条件 特征值为零当且仅当关于$J_n$和$Y_n$的齐次线性系统非零解，其系数矩阵行列式正比于Wronskian $W\\{J_n,Y_n\\}(ka)=2/(\\pi ka)$。只要$\\eta_{\\text{sh}}$具有非零实部$\\eta_R\\neq0$，该行列式不为零，从而杜绝了严格共振。对于径向准共振，将频谱按连续阶$\\nu$分析，划分为三个区域：$\\nu","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-28_10-20-18/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月28日 10:20:18\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 4\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 7\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 42\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-使用反射广义源的良态电场表面积分方程\"\u003e1. 使用反射广义源的良态电场表面积分方程\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eWell-conditioned Electric Field Surface Integral Equations using Reflective Generalized Sources\u003c/p\u003e","title":"2026年07月28日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月24日 10:00:48\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 2\n不相关论文数量: 14\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 一种针对Fisher-Kolmogorov模型的保稳定多胞形间断Galerkin方法及其在神经退行性疾病中的应用 A stability-preserving polytopal discontinuous Galerkin method for the Fisher-Kolmogorov model with applications to neurodegenerative diseases\n作者: Paola Francesca Antonietti, Francesca Bonizzoni, Mattia Corti, Nicola De March, Salvatore Di Noto, Francesco Regazzoni\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-23\narXiv ID: 2607.21108v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.21108v1\n摘要翻译 中文标题: 一种针对Fisher-Kolmogorov模型的保稳定多胞形间断Galerkin方法及其在神经退行性疾病中的应用\n摘要翻译: Fisher-Kolmogorov模型是神经退行性疾病研究中最广泛使用的模型之一，原因在于其作为非线性反应扩散方程的简洁结构。特别地，它常被用于描述阿尔茨海默病和帕金森病等蛋白质病。在合适的假设下，在连续层面可以保证解的非负性，这在物理上是相关的，因为解表示相对浓度。然而，这一性质一般在离散层面不能保持，可能产生非物理和不稳定的数值逼近。在本文中，我们分析了Fisher-Kolmogorov模型的一个修正版本，该版本稳定了不稳定平衡点 $c=0$ 附近的动力学。空间离散方面，我们采用多边形和多面体网格上的间断Galerkin方法，时间积分采用Crank-Nicolson格式。我们推导了半离散问题的稳定性和先验误差估计。数值实验支持了理论发现，包括在二维和三维情形下的收敛性研究。最后，我们通过在二维聚集脑切片中模拟 $α$-突触核蛋白扩散来验证模型，展示了所提方法的高阶精度和稳健性。\n2. 紧凑李群上的保结构谱动态规划 Structure-Preserving Spectral Dynamic Programming on Compact Lie Groups\n作者: Shanqing Liu, Yang Qi\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-07-23\narXiv ID: 2607.20854v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.20854v1\n摘要翻译 中文标题: 紧凑李群上的保结构谱动态规划\n摘要翻译: 我们研究连通紧李群$G$上有限时域最优控制的动态规划半群的谱逼近，以及相关的一阶Hamilton-Jacobi-Bellman方程的谱逼近。Bellman算子在最大值范数下是单调且非扩张的，而$G$上所有Fourier方法所依赖的$L^{2}(G)$的Peter-Weyl分解是正交的，这种不匹配是定量的。Galerkin迭代的自洽上确界范数误差递推在每一步都被谱投影的Lebesgue常数放大，该常数在$S^{1}$上对数增长，在秩为1的紧李群（包括$\\mathrm{SO}(3)$）上多项式增长，且在计算中迭代在几步内就违反基本界限。我们通过用Markov类型的谱滤波器替代正交投影，在离散水平上恢复了动态规划结构。一个辅助的热核/消融粘性格式为Lipschitz数据提供了定性的最大值范数收敛性。主要结论是$G$上的一个Fejér型滤波器，它是有限秩、保正性且非扩张的，连同Lipschitz数据下以速率$O(\\sqrtδ+\\sqrt{ε+1/(δN^2)})$的收敛定理，其中$δ$是时间步长，$N$是谱分辨率，$ε$是粘性系数。粘性系数可为零，此时耦合关系$δ=N^{-1}$给出速率$N^{-1/2}$。证明将滤波器解释为受控动力学的一个小随机扰动，既不需要值函数的先验正则性，也不需要对滤波步骤进行粘性意义下的一致性论证，并推广到基于正容积公式的完全离散实现，在$\\mathrm{SO}(3)$上有精确的Wigner传输。数值实验证实了预测的速率和滤波器偏差，并量化了两种基于坐标图的基线方法的标架依赖性。\n不相关论文（基本信息） 1. 约当代数、hemiplex数与任意对称矩阵的Cholesky分解 Jordan algebras, hemiplex numbers, and the Cholesky decomposition of arbitrary symmetric matrices\n作者: Alan Edelman, Timothy E. Holy\n类别: math.NA, math.RA\n发布日期: 2026-07-23\narXiv ID: 2607.21383v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.21383v1\n摘要: Positive-semidefinite matrices are most efficiently factored using the Cholesky decomposition. For indefinite matrices, the Cholesky factorization does not exist, and the alternatives face greater challenges in achieving numeric stability and preservation of banded structure. Here we pursue an analogy between the requirement for positive-semidefinite matrices and the solution of the quadratic equation x^2 = c for c \u0026lt;= 0. It is shown that a non-associative algebra, called the hemiplex numbers, allows the Cholesky factorization to be computed for arbitrary symmetric matrices. Crucially, the hemiplex Cholesky factorization does not require pivoting for its existence or stability, allowing it to preserve banded structure. For singular matrices it produces a parametrization of the null space, and provides opportunity for truncation of nearly-null directions in a manner similar to common usage of the singular value decomposition. The hemiplex Cholesky factorization may be a practically useful addition to the tools for solving symmetric linear equations.\n2. 三维光声层析成像的不确定性量化 3D Uncertainty Quantification for the Photo-Acoustic Tomography\n作者: Babak Maboudi Afkham, Amal Mohammed A Alghami, Hassan Yazdanian, Tanja Tarvainen\n类别: math.NA, math.ST\n发布日期: 2026-07-23\narXiv ID: 2607.21373v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.21373v1\n摘要: Photoacoustic tomography (PAT) is a promising modality for high-resolution biomedical imaging, motivating the need for reliable uncertainty quantification (UQ) of reconstructed images. Bayesian approaches provide a rigorous framework for UQ but remain computationally challenging for realistic three-dimensional PAT and are sensitive to numerical approximations in the governing wave equation. We develop a finite-element Bayesian UQ framework for PAT that accommodates complex computational domains and detector geometries while enabling large-scale three-dimensional inference. The proposed methodology reformulates the randomize-then-optimize (RTO) sampling strategy as a matrix-free algorithm that generates independent posterior samples using only forward and adjoint wave propagations. Particular attention is given to constructing an adjoint discretization that forms an exact transpose pair with the discrete forward operator while remaining consistent with the continuous PAT adjoint, enabling efficient least-squares solvers within the sampling procedure. We investigate the influence of temporal discretization, artificial boundary conditions, and adjoint consistency on posterior uncertainty and identify discretization strategies that avoid numerical artifacts. The framework is validated against exact posterior statistics, existing Bayesian PAT methods, and Hamiltonian Monte Carlo using the No-U-Turn Sampler (NUTS), and is demonstrated on a three-dimensional problem with approximately $2\\times 10^5$ unknowns on a general finite-element domain. To the best of our knowledge, this is the first large-scale Bayesian PAT study on general three-dimensional finite-element geometries, and the methodology extends naturally to a broad class of linear PDE-constrained inverse problems.\n3. 不规则几何中二维Stokes流的带有Calderón预处理的非拟合边界代数方程方法 An unfitted boundary algebraic equation method with Calderón preconditioning for 2D Stokes flow in irregular geometry\n作者: Wenjun Ying, Qing Xia\n类别: math.NA, physics.comp-ph, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-07-23\narXiv ID: 2607.21295v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.21295v1\n摘要: We present an unfitted boundary algebraic equation method for the two-dimensional exterior/interior Stokes equations on a staggered MAC grid. By constructing an explicit free-space pair of velocity and pressure lattice Green\u0026rsquo;s functions (LGFs) from free-space Laplace LGFs, we represent homogeneous fields using sources supported exclusively on thin staggered boundary layers. This formulation imposes physical Dirichlet data at cut points via local interpolation, while sampled-normal rank updates remove hydrostatic null modes associated with single or multiple obstacles. The workflow parallels that of classical boundary integral formulations and requires no artificial boundary conditions for exterior flows, but follows a discretize-then-represent route and does not require singular/near-singular quadrature. The resulting dense boundary system is solved via GMRES, utilizing a componentwise discrete Calderón preconditioner built from the scalar Laplace kernel and padded FFTs for fast volume convolutions. Extensive numerical validation, including multiply connected domains, narrow gaps, and Moffatt eddies, confirms discrete incompressibility to solver accuracy and recovers the expected Moffatt eddy scaling. We achieve second-order velocity and pressure convergence and bound maximum discrete divergence within numerical accuracy. The discrete Calderón preconditioner reduces the condition number by orders of magnitude and yields nearly mesh-independent conditioning in exterior configurations, while remaining effective\u0026mdash;though more demanding\u0026mdash;for narrow-gap and fine-grid interior problems.\n4. 关于与旋转矩阵相关的酉算子群的逼近及其在抽象双曲型方程中的应用 On the Approximation of the Unitary Operator Group Associated with a Rotation Matrix and Its Applications to Abstract Hyperbolic Equations\n作者: Jemal Rogava, Zurab Vashakidze\n类别: math.NA, math.FA\n发布日期: 2026-07-23\narXiv ID: 2607.21293v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.21293v1\n摘要: The solution of the Cauchy problem for homogeneous abstract hyperbolic equations, together with its derivative, admits a vector representation in terms of a unitary operator group associated with a rotation matrix. A rational approximation of this unitary group is constructed and shown to possess optimal fourth-order convergence. The order of convergence is determined in accordance with the smoothness scale. Based on this rational approximation, a two-layer semi-discrete scheme is constructed for the approximate solution of Cauchy problems for nonhomogeneous abstract hyperbolic equations in both the linear and semi-linear settings. The convergence properties of the scheme are examined in relation to the regularity of the solution.\n5. 用于带间断散乱数据插值的自适应非线性单位分解方法 Adaptive Non-Linear Partition of Unity Methods for Scattered Data Interpolation with Discontinuities\n作者: Adeeba Haider, Roberto Cavoretto, Juan Ruiz-Álvarez, Dionisio F. Yáñez\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-23\narXiv ID: 2607.21287v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.21287v1\n摘要: Scattered data approximation with discontinuities is challenging due to the Gibbs phenomenon, which significantly reduces accuracy near interfaces. The recently introduced Non-Linear Partition of Unity Method (NL-PUM) addresses this by combining Radial Basis Function (RBF) interpolation with a non-linear Weighted Essentially Non-Oscillatory (WENO) strategy. While effective, NL-PUM\u0026rsquo;s performance relies heavily on two fixed hyperparameters: the RBF shape parameter and the patch radius. This work extends NL-PUM by adapting both hyperparameters locally using Leave-One-Out Cross-Validation (LOOCV) minimized via Global Optimization with Optimistic Improvement (GOOI). Our main innovation is a smoothness indicator linking a discontinuity-aware shrinkage process to LOOCV-based radius selection: patches in smooth regions remain unchanged, while those near discontinuities automatically shrink to avoid crossing the interface. The resulting method, LOOCV-NL-PUM-GOOI, requires no prior knowledge of interface geometry and introduces no extra cost beyond standard adaptive shape parameter selection. Numerical experiments on synthetic test functions with jump discontinuities and a real-data application to Norwegian Fjords elevation data confirm that this approach substantially reduces approximation error near discontinuities while preserving full accuracy in smooth regions.\n6. 超缩减神经网络增强的半光滑牛顿法求解非线性参数变分不等式 A Hyper-Reduced Neural Network-Augmented Semi-smooth Newton Method for Nonlinear Parametric Variational Inequalities\n作者: Sofiane Ezzehi, Virginie Ehrlacher, Guillaume Enchéry, Thibault Faney\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-23\narXiv ID: 2607.21242v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.21242v1\n摘要: We propose a model order reduction framework for nonlinear parametrized variational inequalities arising in computational mechanics. The high-dimensional model is written in mixed primal-dual form with projection-based complementarity conditions, leading to nonlinear nonsmooth algebraic systems solved by a semi-smooth Newton method in primal-dual form. On this basis, reduced models are constructed by proper orthogonal decomposition (POD) of both primal and dual solution snapshots, and the resulting reduced systems are solved by semi-smooth Newton iterations in the reduced space. To address cases where low-dimensional linear spaces provide limited approximation efficiency, we introduce a neural-network-augmented reduced model. Two feedforward networks learn corrections in the truncated POD coordinates of the primal and dual variables, defining a nonlinear manifold approximation that is embedded directly in the semi-smooth Newton iterations. The online cost associated with high-dimensional residual evaluations is reduced through hyper-reduction, using a sparse cubature approach based on greedy nonnegative least squares. Particular attention is paid to the interaction between hyper-reduction and the learned nonlinear manifold. The proposed methodology is assessed on two nonlinear variational inequalities with distinct sources of nonlinearity: a two-dimensional obstacle problem with a cubic nonlinearity in the state equation, and a three-dimensional frictional contact problem in which the Coulomb law induces a nonlinear projection in the constraint equation. Numerical results compare the high-dimensional model, the linear reduced model, the neural-network-augmented reduced model, and their hyper-reduced variants, demonstrating accurate approximations with substantial reductions in online computational cost.\n7. 一种混合离散科瑟拉杆格式 A Mixed Discrete Cosserat Rod Formulation\n作者: Tianxiang Dai, Marco Herrmann, Jonas Breuling, Remco I. Leine, Simon R. Eugster\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-07-23\narXiv ID: 2607.21164v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.21164v1\n摘要: In this communication we propose a discrete Cosserat rod formulation in which a slender elastic rod is represented as a chain of rigid bodies (nodes) coupled by compliant elastic forces and moments acting between adjacent node pairs. Discrete dilatation, shear, torsion and curvature strain measures are evaluated from the relative kinematics of each node pair, while the constitutive behavior is expressed in compliance form through independent stress degrees of freedom. We show that the resulting model arises rigorously from a mixed Petrov\u0026ndash;Galerkin Cosserat rod finite element formulation (FEM) at linear kinematic interpolation order when the internal virtual work is integrated by the midpoint rule and the external and inertial contributions by the trapezoidal rule. The proposed formulation inherits the robustness and the absence of locking from the underlying mixed FEM while simultaneously exposing a two-node coupling structure that mirrors discrete rod models from the computer graphics community. This is in sharp contrast to the dense coupling of strain-parameterized reduced-order models often used in soft robotic applications. Three numerical examples involving piecewise-varying cross sections, tendon-driven actuation under different spatial discretizations, and coupled longitudinal-torsional dynamics confirm the accuracy, robustness, and convergence behavior of the presented approach.\n8. 一种用于欧式期权定价的阻尼SWIFT方法：系数衰减、截断与误差分析 A Damped SWIFT Method for European Option Pricing: Coefficients Decay, Truncation, and Error Analysis\n作者: Davide Trevisani, José Germán López Salas, Chiheb Ben Hammouda, Cornelis W. Oosterlee\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-23\narXiv ID: 2607.21109v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.21109v1\n摘要: We introduce a damped variant of the Shannon Wavelet Inverse Fourier Technique (SWIFT) for pricing European options when the characteristic function of the underlying model is available. The key idea is to apply an exponential damping transformation to the payoff, which enables the direct computation of Fourier coefficients in the frequency domain without introducing an additional physical-domain truncation parameter. We provide a rigorous analysis of the decay of these coefficients by exploiting the singularity structure of the associated Fourier transforms. For light-tailed models, we obtain Gaussian-type decay estimates, while for semi-heavy and heavy-tailed models whose singularities are poles, algebraic branch points, or logarithmic branch points, we derive exponential decay bounds with explicit polynomial prefactors. The resulting sharp bounds make it possible to truncate the Fourier series without relying on the cumulants of the underlying density, which are often unavailable or difficult to compute in practice. We further derive an error decomposition separating projection, truncation, and quadrature errors, and translate the analysis into practical rules for selecting the damping parameter, resolution level, and truncation range. Numerical experiments demonstrate that the proposed approach consistently improves the accuracy of the original SWIFT method while requiring a significantly smaller number of Fourier coefficients and remaining stable in cases where the undamped method deteriorates.\n9. 用于垂直强磁场中带电粒子的具有改进一致精度的高阶指数积分器 High-Order Exponential Integrators with Improved Uniform Accuracy for Charged-Particle in a Perpendicular Strong Magnetic Field\n作者: Zhihao Qi, Weibing Deng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-23\narXiv ID: 2607.21096v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.21096v1\n摘要: This paper considers a class of charged-particle dynamics problems in which the particle is subjected to a magnetic force, with a magnetic flux density inversely proportional to a small parameter $0\u003c\\varepsilon\\ll 1$, and a nonlinear electric force. The resulting highly oscillatory behavior poses significant challenges for numerical computation. To enhance the performance of exponential integrators (EIs), this paper employs a technique that linearizes the ordinary differential equation through a dimension-raising approach. Based on this technique, a new family of EIs is developed that achieves arbitrarily high order. For short-time simulations on the interval $[0,T]$, it is rigorously proved that the proposed method\u0026ndash;which employs auxiliary polynomials of degree $k$ and a time step $Δt$\u0026ndash;satisfies two distinct error bounds: $O(\\varepsilon Δt^{k+1})$ and $O(\\varepsilon^{k+2})$. The latter bound guarantees that the algorithm stays accurate even when the step size is of order $O(1)$. Furthermore, when a large step size $\\varepsilon^{-1}Δt$ is used to simulate the long-term dynamics over $[0,\\varepsilon^{-1}T]$, the numerical scheme attains a uniform convergence rate of $O(Δt^{k+1})$. Several numerical experiments confirm these theoretical results.\n10. yancc: 托卡马克和仿星器中新经典输运的GPU加速可微求解器 yancc: A GPU-accelerated, differentiable solver for neoclassical transport in tokamaks and stellarators\n作者: Rory Conlin, Matt Landreman\n类别: physics.plasm-ph, math.NA\n发布日期: 2026-07-23\narXiv ID: 2607.20861v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.20861v1\n摘要: We present yancc, a new GPU-accelerated solver for the drift kinetic equation that computes neoclassical transport fluxes, flows, and currents in tokamaks and stellarators. The drift kinetic equation is challenging to solve numerically due to strong advection-dominance, recirculating flows, internal boundary layers, severe anisotropy, and high dimensionality. The code solves both the full four-dimensional drift kinetic equation (retaining speed-dependent collisions, energy scattering, and full interspecies coupling), and the reduced monoenergetic form. The discretization combines a Maxwell polynomial collocation grid in speed with finite differences in pitch angle and the flux surface coordinates, using a modified upwind stencil designed to improve diagonal dominance for multigrid efficiency. The resulting linear system is solved with a multigrid-preconditioned Krylov method. Built in JAX, yancc is fully differentiable, enabling gradient-based optimization and adjoint sensitivity analysis. Benchmarks against MONKES and SFINCS show agreement within 1% across a range of collisionalities, geometries, and multi-species configurations. yancc achieves roughly an order of magnitude speedup over SFINCS on a per-scan basis while using an order of magnitude less memory, with runtime remaining nearly flat across the full range of collisionality. The combination of speed, low memory footprint, and differentiability makes yancc well suited for integration into stellarator optimization workflows, uncertainty quantification, and profile prediction.\n11. 固定D3Q125速度集上的分层对数高斯松弛 Hierarchical Log-Gaussian Relaxation on a Fixed D3Q125 Velocity Set\n作者: Bjørn Wu\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-07-23\narXiv ID: 2607.20846v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.20846v1\n摘要: We develop a hierarchical order-resolved relaxation model for a fixed D3Q125 discrete-velocity kinetic formulation. Conventional adaptive collision models often use one scalar rarefaction or nonequilibrium indicator for all retained moment orders, thereby coupling distinct kinetic sectors. Here, a shared macroscopic-gradient background is combined separately with second-, third-, and fourth-order thermodynamic nonequilibrium indicators to define effective measures K2, K3, and K4, each driving its own log-Gaussian relaxation spectrum. Pure-order perturbation tests verify selective activation, with nonmatching sectors remaining at roundoff level. Homogeneous mixed-order, amplitude, and composition tests show lower residual nonequilibrium than a common-sensor model while preserving positive populations. In a smooth periodic compression wave at the stated reference discretization and in the TNE-only sensor limit, the peak total nonequilibrium intensity is reduced by 6.565%, with reductions throughout the domain and in all retained moment sectors. Additional timestep, transport-discretization, relaxation-spectrum, uniform-boost, long-time, and shear-wave studies show that the sign of the hierarchical correction is robust over the tested configurations, while its magnitude depends on timestep, transport scheme, sensor frame, and relaxation spectrum. The periodic benchmarks preserve the principal global invariants to floating-point accuracy and remain positive. These results establish the mechanism and numerical behavior of order-resolved activation on a fixed velocity set; independent kinetic-reference validation is still required before claiming universal accuracy improvement.\n12. 一种用于与热方程耦合的达西问题的虚拟元方法 A virtual element method for Darcy\u0026rsquo;s problem coupled with a heat equation\n作者: Danilo Amigo, Felipe Lepe\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-22\narXiv ID: 2607.20755v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.20755v1\n摘要: In two dimensions, we develop a virtual element method to solve the Darcy\u0026rsquo;s problem coupled with a nonlinear heat equation. This coupled model may allow for thermal diffusion and viscosity as a function of temperature. Under standard discretization assumptions and appropriate assumptions on the data, we prove the well posedness of the proposed numerical scheme. We also derive optimal error estimates under suitable regularity assumptions for the solution and appropriate assumptions on the data. We conclude with a series of numerical tests performed on different families of meshes that complement the theoretical findings.\n13. 朴素 Jacobi 特征值算法的收敛性与混合精度预处理 Convergence and mixed-precision preconditioning for the naive Jacobi eigenvalue algorithm\n作者: Erna Begovic, Marija Miloloza Pandur, Ana Perkovic\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-22\narXiv ID: 2607.20749v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.20749v1\n摘要: The paper studies a Jacobi-type method for the eigenvalue problem of general complex matrices with simple eigenvalues. The method applies elementary triangular similarity transformations in order to annihilate selected off-diagonal elements and, when convergent, produces highly accurate eigenvalues. We give a new proof of its asymptotic quadratic convergence and derive an explicit, verifiable bound that describes the region in which this convergence is guaranteed. To make the method applicable well beyond matrices already close to the diagonal form, we introduce a preconditioning strategy. We use two types of preconditioners, both based on theoretical convergence results. The preconditioner is computed at lower precision to reduce computational cost, the associated similarity transformation is applied either at working or at higher precision, to preserve spectral information, while the main algorithm performs at working precision. Numerical experiments demonstrate that the resulting algorithm is robust and produces very accurate eigenvalues.\n14. librla：随机线性代数库 librla: Randomized Linear Algebra Library\n作者: Adrianna Gillman, Zydrunas Gimbutas\n类别: cs.MS, math.NA\n发布日期: 2026-07-22\narXiv ID: 2607.20732v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.20732v1\n摘要: The library \\texttt{librla} is a randomized linear algebra library that is specifically designed for the intermediate-sized matrices (of dimension up to roughly 10,000) that arise in applications such as reduced order modeling, fast direct solvers, least squares solves and, in some settings, data compression. \\texttt{librla} is the first software package that is both stable and efficient in several high-level languages: MATLAB, Python and Julia. It also provides increased functionality over existing software. Specifically, it allows the user to choose to create a factorization based on a fixed rank or a desired tolerance. The factorization options include QR, SVD and the interpolative decomposition. Additionally, the factorization can be generated either with access to the matrix or access to a matrix-vector multiplication routine. Numerical results compare the Python implementation with the available PyTorch and SciPy randomized factorizations. Performance of \\texttt{librla} in the three languages is comparable.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-24_10-00-48/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月24日 10:00:48\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 14\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-一种针对fisher-kolmogorov模型的保稳定多胞形间断galerkin方法及其在神经退行性疾病中的应用\"\u003e1. 一种针对Fisher-Kolmogorov模型的保稳定多胞形间断Galerkin方法及其在神经退行性疾病中的应用\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eA stability-preserving polytopal discontinuous Galerkin method for the Fisher-Kolmogorov model with applications to neurodegenerative diseases\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年07月24日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月23日 10:08:18\n重点关注论文数量: 3\n了解领域论文数量: 4\n不相关论文数量: 12\n重点关注论文（完整分析） 1. 障碍散射问题UPML有限元方法的波数显式稳定性与预渐近误差分析 Wavenumber-explicit stability and preasymptotic error analysis of UPML finite element method for obstacle scattering problems\n作者: Yuhao Wang, Weiying Zheng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-22\narXiv ID: 2607.20331v1\n摘要翻译: 本文对使用单轴完美匹配层(UPML)截断的二维Helmholtz散射问题的有限元逼近进行了波数显式稳定性和预渐近误差分析。该分析基于与笛卡尔复坐标变换相关的拉伸Green核的直接估计。我们建立了截断UPML问题的显式稳定性。特别地，我们证明在自然的$k$-加权$H^1$范数下，截断UPML公式的inf-sup常数$\\mu_L = O(k^{-1})$。由此，我们还得到了PML截断误差的指数衰减估计。基于此稳定性估计，我们在截断UPML域上构造了一个线性连续内罚有限元方法(CIP-FEM)。分析的一个关键点是建立分片$H^{1+s}$正则性结果（对于任意$0","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-23_10-08-18/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月23日 10:08:18\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 4\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 12\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-障碍散射问题upml有限元方法的波数显式稳定性与预渐近误差分析\"\u003e1. 障碍散射问题UPML有限元方法的波数显式稳定性与预渐近误差分析\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eWavenumber-explicit stability and preasymptotic error analysis of UPML finite element method for obstacle scattering problems\u003c/p\u003e","title":"2026年07月23日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月22日 10:07:51\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 3\n不相关论文数量: 11\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 具有道尔蒂-福克尔-普朗克碰撞的弗拉索夫-泊松方程的局部宏观守恒低秩间断伽辽金方法 A Local Macroscopic Conservative Low-Rank Discontinuous Galerkin Method for the Vlasov-Poisson Equation with Dougherty-Fokker-Planck Collisions\n作者: Austin Nelson, Wei Guo, Pierson Guthrey\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-21\narXiv ID: 2607.19264v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.19264v1\n摘要翻译 中文标题: 具有道尔蒂-福克尔-普朗克碰撞的弗拉索夫-泊松方程的局部宏观守恒低秩间断伽辽金方法\n摘要翻译: 本文构造了一种低秩、保结构的间断伽辽金方法，用于模拟耦合道尔蒂-福克尔-普朗克碰撞算子的弗拉索夫-泊松系统。当库仑碰撞在稠密或弱碰撞等离子体中发生时，电子被推向低秩稳态。在许多情况下，等离子体很快达到该稳态，这意味着在大多数运行时间内，等离子体主要由数值低秩结构组成。我们构造的新型低秩格式旨在利用这些数值低秩结构，以大幅降低VP-DFP系统模拟所需的存储复杂度。该格式是通过将库仑碰撞纳入系统，对先前建立的局部宏观守恒方法进行的扩展。LoMaC性质在离散层面上保证了宏观质量、动量和能量的局部守恒。本文讨论了该新方法的细节。数值实验表明了该方法的有效性。\n2. 守恒律方程间断Galerkin方法的加权逆Lax-Wendroff边界处理 Weighted Inverse Lax-Wendroff Boundary Treatment of Discontinuous Galerkin Methods for Conservation Laws\n作者: Yongjie Bi, Yan Jiang, Yong Liu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-21\narXiv ID: 2607.19258v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.19258v1\n摘要翻译 中文标题: 守恒律方程间断Galerkin方法的加权逆Lax-Wendroff边界处理\n摘要翻译: 本文针对非贴体网格上的间断Galerkin方法,提出一种加权逆Lax-Wendroff边界处理技术,以高效求解复杂几何区域中的双曲守恒律问题。该方法对内部单元采用标准DG格式,而对靠近边界的切割单元,通过逆Lax-Wendroff原理重构高阶近似多项式来施加数值边界条件,从而有效消除通常由小切割单元引起的时间步长限制。特别地,为克服基本ILW格式中数值误差对切割单元几何尺寸的敏感性,我们提高了边界处的重构阶数,使得精度不再依赖于切割单元的大小。此外,方法引入加权最小二乘重构,以减少构造过程中对复杂高阶边界导数的需求。因此,该方法在保持高阶精度的同时,显著提升了多维问题的计算效率。最后,通过线性稳定性分析从理论上验证了所提方法的稳定性,并通过一系列一维和二维标量方程及方程组的数值实验,数值上验证了该格式的有效性和鲁棒性。\n3. 椭圆Dirichlet问题的边界适配PINNs: $H^2(Ω)$ 先验误差界及其在平均逃逸时间计算中的应用 Boundary-Adapted PINNs for Elliptic Dirichlet Problems: $H^2(Ω)$ A Priori Error Bounds with Application to Mean Escape Time Computation\n作者: Nathanael Tepakbong, Jun Fan, Xiang Zhou, Ding-Xuan Zhou\n类别: math.NA, cs.LG, math.ST, stat.ML\n发布日期: 2026-07-21\narXiv ID: 2607.19167v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.19167v1\n摘要翻译 中文标题: 椭圆Dirichlet问题的边界适配PINNs: $H^2(Ω)$ 先验误差界及其在平均逃逸时间计算中的应用\n摘要翻译: 受有限域 $Ω\\subseteq\\mathbb{R}^d$ 上随机过程平均逃逸时间 (MET) $\\tau:Ω\\to\\mathbb{R}$ 数值计算的启发，我们使用边界强制的物理信息神经网络 (PINNs) 研究椭圆Dirichlet边值问题 (BVPs)，其中通过将网络输出与预先定义的距离到边界近似 $\\rho$ 相乘来精确施加Dirichlet边界条件。结合针对修正二次单元 (ReQU) 和双曲正切 (tanh) 网络的逼近论论证和统计学习论证，我们推导出了显式依赖于 $\\rho$ 的先验误差界。特别地，我们证明了仅精确边界强加不足以得到 $H^2(Ω)$ 误差界，并且充分且本质上必要的条件是 $\\rho$ 为一类在 arXiv:2104.08426 [math.NA] 中所构造的、$\\textit{一阶正规化的}$ 光滑距离近似。由此，我们将这一子类的 $\\textit{边界适配}$ PINNs 视作求解 Dirichlet 边值问题的合适神经网络 ansatz。数值实验支持理论，表明适当选择 $\\rho$ 可提高精度和收敛性，而选择不当的距离函数可能显著恶化解。我们的证明还得到了 ReQU 和 tanh 网络高阶导数的假设空间的新 VC-维数界，以及浅层 ReQU 网络在高阶 Sobolev 范数下的新逼近界，所有这些都具有重要的独立意义。\n不相关论文（基本信息） 1. Hadamard流形上的1-Lipschitz神经网络 1-Lipschitz Neural Networks on Hadamard Manifolds\n作者: Davide Murari, Marta Ghirardelli, Ben Adcock, Elena Celledoni, Brynjulf Owren, Carola-Bibiane Schönlieb\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-07-21\narXiv ID: 2607.19335v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.19335v1\n摘要: Controlling the Lipschitz constant of a neural network is a standard way to promote robustness and stability. Most existing constraining strategies are designed for Euclidean spaces. In this work, we construct and analyze a class of 1-Lipschitz neural networks on Hadamard manifolds. Our layers are of gradient-descent type, $1$-Lipschitz, and quasi-$α$-firmly nonexpansive. The core building blocks of the proposed architecture are Busemann functions, and we exploit the properties of Busemann gradient flows to design $1$-Lipschitz geometry-preserving layers. We provide explicit constructions and examples for hyperbolic manifolds and the manifold of symmetric positive definite (SPD) matrices. We test the proposed architecture in two numerical experiments: robust classification on the Poincaré disk and masked-Wishart covariance reconstruction. On the Poincaré disk, the proposed networks yield robust classifiers under hyperbolic perturbations. On the SPD manifold, we train SPD-valued denoisers and adopt them as a Plug-and-Play prior for a masked-Wishart covariance reconstruction problem. We show improved results from the nonexpansive denoiser over static, data-only, and Log-Euclidean denoising baselines, and empirically test its convergence properties.\n2. ENO-TV 猜想的解决：奇偶二分 Resolution of the ENO-TV conjecture: a parity dichotomy\n作者: Zhuoyun Li, Kailiang Wu\n类别: math.AP, math.CO, math.NA, math.RT\n发布日期: 2026-07-21\narXiv ID: 2607.19283v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.19283v1\n摘要: We resolve the ENO\u0026ndash;TV conjecture, a discrete coercivity problem in compactness theory for entropy-stable approximations of hyperbolic conservation laws. For order-$k$ essentially non-oscillatory (ENO) reconstruction from compactly supported cell averages, it asks whether the nonnegative ENO source times the $(k-1)$st power of the amplitude uniformly controls the $(k+1)$st absolute-jump moment. We prove a parity dichotomy: the estimate holds for odd $k\\ge3$ and fails for even $k\\ge4$; the known second-order case completes the classification. Localization gives a selection-independent finite-difference functional uniformly comparable to the source and reduces the conjecture to discrete interpolation. For odd orders, summation by parts reveals a hidden square; a discrete Gagliardo\u0026ndash;Nirenberg inequality yields coercivity. For even orders, Euler-polynomial blocks from the functional\u0026rsquo;s polynomial kernel yield counterexamples that persist under arbitrarily small perturbations making all affected ENO comparisons strict. We also prove two coercive estimates for every $k\\ge2$: control of jumps larger than a fixed fraction of the amplitude and of local blocks modulo sampled polynomials of degree at most $k-2$. Via the Cayley\u0026ndash;Sylvester decomposition, we compute the dimensions of homogeneous first-cohomology spaces for the lattice shift on polynomial jump profiles. At fourth order, for a cubic flux and a globally strictly convex entropy, a total-degree-seven component of a reduced entropy-flux mismatch represents a nonzero class on profiles of degree at most two and hence has no translation-invariant finite-stencil $C^7$ local primitive at the zero constant state. Odd-order coercivity persists on globally quasi-uniform meshes, whereas for each $k\\ge2$ it fails on a fixed irregular mesh even though every interface contribution remains nonnegative. This failure is due to the mesh geometry.\n3. Nyström 误差超出 $M$-矩阵：一个最小对角占优障碍 Nyström Error Beyond $M$-Matrices: A Minimal Diagonally Dominant Obstruction\n作者: Matthew J. Colbrook\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-21\narXiv ID: 2607.19282v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.19282v1\n摘要: We study the nuclear-norm error of a column-selected Nyström approximation to $K=(L+γI)^{-1}$, where $L$ is symmetric diagonally dominant and $γ\u003e0$. Our central question is whether this error has diminishing returns. A Schur-complement identity reduces the question to traces of inverses of principal submatrices. Existing $M$-matrix results settle the case in which $L$ is a symmetric diagonally dominant $M$-matrix (SDDM). However, diagonal dominance alone is not enough: failure occurs already in dimension three. We construct an exact one-parameter SDD family and determine its sharp failure interval. A $2\\times2$ identity proves that dimension three is minimal within the SDD class. We then show that failure persists under strict diagonal dominance; with a nonempty selected base set, dimension four is minimal. Finally, we prove invariance under signature switching, derive a three-dimensional formula showing how a signed triangle causes failure, and give an example in which greedy column selection misses the optimal pair. Together, these findings complete the answer to Problem 4.6 in a recent Simons workshop report.\n4. 乘性噪声驱动的超线性随机偏微分方程的一种非线性显式全离散格式的时间一致弱误差和遍历误差估计 Uniform-in-Time Weak and Ergodic Error Estimates of a Nonlinearity-Explicit Full Discretization for Superlinear SPDEs Driven by Multiplicative Noise\n作者: Jingjing Cai, Zhihui Liu, Xiaoming Wu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-21\narXiv ID: 2607.19250v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.19250v1\n摘要: For a class of superlinear SPDEs driven by multiplicative noise, we prove an (essentially) sharp uniform-in-time (UIT) weak convergence rate for the nonlinearity-explicit Galerkin tamed Euler method (GTEM). Under standard monotonicity assumptions, the proof combines Malliavin calculus with regularity theory for the associated backward Kolmogorov equation (BKE), leading to UIT moment, Hölder, and Malliavin estimates, along with regularity estimates for the BKE solution. These estimates, together with a weak error decomposition and Malliavin integration by parts (IBP) formula, then yield a UIT weak convergence rate $τ^ρ+λ_N^{-ρ}$ for any $ρ\\in (0,1)$. Consequently, we obtain a sharp ergodic error estimate between the exact and numerical invariant measures. Numerical experiments support the theory.\n5. Langevin型SPDE的数值方法：隐式Milstein方法与多层蒙特卡洛技术 Numerical methods for Langevin-type SPDE: an implicit Milstein approach and multilevel Monte Carlo techniques\n作者: Sascha Portaro, Carlos Vázquez\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-07-21\narXiv ID: 2607.19188v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.19188v1\n摘要: In this work, we investigate the numerical approximation of degenerate Langevin-type stochastic partial differential equations (SPDEs) in two spatial dimensions. These SPDEs arise in stochastic dynamics and mathematical finance, among other applications. In order to handle the mixed deterministic-stochastic structure of the equation and the degeneracy of the differential operator, we propose a semi-implicit Milstein finite difference scheme for the numerical solution. Through the Fourier analysis of the mean-square stability and convergence, we derive explicit conditions on the coefficients under which the scheme is stable, jointly with explicit convergence rates in terms of the discretization parameters. We further embed the proposed scheme within a Multilevel Monte Carlo (MLMC) framework to reduce the computational cost associated with SPDE simulations, and we derive its theoretical computational complexity. Numerical experiments confirm theoretical convergence rates and show that the MLMC strategy achieves an accuracy comparable to standard Monte Carlo at a fraction of the computational cost, reducing the complexity from $\\mathcal{O}(\\varepsilon^{-5})$ to $\\mathcal{O}(\\varepsilon^{-3})$ for a target root-mean-square error $\\varepsilon$. These results show that combining semi-implicit Milstein schemes with MLMC techniques provides an effective approach for the numerical simulation of Langevin-type SPDEs.\n6. 面向实时应用的张量层析X射线散射数据快速重建 Fast reconstruction of tensor tomographic X-ray scattering data for real-time applications\n作者: André M. Antunes, Daniël M. Pelt, K. Joost Batenburg\n类别: eess.IV, math.NA, physics.app-ph, physics.ins-det\n发布日期: 2026-07-21\narXiv ID: 2607.19124v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.19124v1\n摘要: X-ray scattering tensor tomography reveals nanoscale structural orientation in 3D, but its reliance on slow iterative reconstruction limits real-time use. We introduce an extension of a direct reconstruction approach for parallel-beam geometries that computes algebraic filters approximating multiple iterative updates with a single filtering and back-projection step. By explicitly separating the tomographic projector from a view-dependent mixing operator, the method generalizes across tensor representations and modes of (small-angle) X-ray scattering measurement. Simulated and experimental results show that the approach approximates iterative reconstructions while reducing computation time by over an order of magnitude, realizing a reconstruction of a 53x53x53x28 tensor volume in 1 second on commercially-available hardware. The resulting speed and stability enable high-throughput analysis and open the door to real-time scattering-based imaging.\n7. 抛物问题的时空张量积有限元方法 Space-time tensor-product finite element methods for parabolic problems\n作者: Richard Löscher, Michael Reichelt, Olaf Steinbach\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-21\narXiv ID: 2607.19107v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.19107v1\n摘要: We study space-time Galerkin\u0026ndash;Petrov formulations for parabolic evolution problems and their relation to classical implicit time-stepping schemes. Although such schemes are stable in the usual time-stepping sense, their interpretation as space-time operator equations may lead to conditional stability, with constants depending on the relation between temporal and spatial mesh sizes. We revisit this phenomenon for the continuous Galerkin method of Aziz and Monk, which yields the Crank\u0026ndash;Nicolson scheme in the lowest-order case, and provide a detailed space-time error analysis for solutions of both high and low regularity. In particular, the space-time framework allows us to analyze the deteriorated behaviour of classical time-stepping methods for nonsmooth initial data. By applying integration by parts in time, we derive an adjoint space-time formulation that incorporates the initial condition in a natural variational way. In the lowest-order case, this formulation leads to a Rannacher-type smoothing of the initial data. The theoretical results are complemented by numerical experiments.\n8. 随机化单对角隐式Runge-Kutta方法的误差界与稳定性分析 Error Bound and Stability Analysis for a Randomized Singly Diagonally Implicit Runge-Kutta Method\n作者: Monika Eisenmann, Marvin Jans, Raphael Kruse, Helmut Podhaisky\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-21\narXiv ID: 2607.18928v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.18928v1\n摘要: A randomized Singly Diagonally Implicit Runge-Kutta (SDIRK) method, based on the randomized trapezoidal rule as the underlying quadrature scheme, is proposed. Every realization of the scheme is an algebraically stable SDIRK method of at least second order. The main result is the proof that the randomized scheme converges with order 2.5 in the root mean square sense under low regularity assumptions. Numerical experiments illustrate the robustness of the new scheme when applied to nonsmooth problems.\n9. 浮点归约树的二阶矩理论 A Second-Moment Theory for Floating-Point Reduction Trees\n作者: Piyush Sao, Narasinga Miniskar, Pedro Valero-Lara, Keita Teranishi, Sudip Seal\n类别: math.NA, cs.DC, cs.IT, cs.MS\n发布日期: 2026-07-21\narXiv ID: 2607.18758v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.18758v1\n摘要: Summation error depends on partial-sum order, which standard worst-case bounds omit. To capture this dependence, we derive an exact mean-square error (MSE) recurrence for a binary reduction tree T under conditionally unbiased rounding. With unit roundoff u, the constant-nu model sets the local variance at pre-rounding value x to nu u^2 x^2. Its leading tree-dependent cost for the input vector p is p^T K_T p, where the common-ancestor kernel K_T counts the internal ancestors shared by each pair of leaves. For i.i.d. inputs of mean mu and variance tau^2, this expected cost is tau^2 Lambda_1(T) + mu^2 Lambda_2(T), where Lambda_1 is total leaf depth and Lambda_2 sums squared internal-subtree sizes; Lambda_1 governs centered inputs, while Lambda_2 captures nonzero means. We use these statistics to characterize optimal tree topologies and schedules. Balanced and sequential trees attain the centered extrema. For k inputs, optimal two-stage sequential blocking yields root-mean-square (RMS) error scaling as k^{3/4}. For fixed-stage hierarchies, geometric schedules are optimal for centered inputs, whereas the optimal noncentered stage exponents halve successively. For independent centered inputs with unequal variances, Huffman coding minimizes variance-weighted depth over free leaf assignments. We extend the kernel to matrix multiplication through operand Gram matrices. We then test the approximation under round-to-nearest using exact residuals. Across binary64, binary32, and software-emulated binary16 and bfloat16, the model recovers the ordering among tree topologies; K_T tracks AR(1) partial-sum costs. For GEMM, independently calibrated predictions differ from measurements by at most 3% on the tested grid. A reduction tree extracted from an array library predicts the measured RMS scaling. However, stagnation and bias in positive low-precision sums limit the model\u0026rsquo;s applicability.\n10. 量化矩阵乘法的收缩-规范预处理 Contraction-Gauge Preconditioning for Quantized Matrix Multiplication\n作者: Piyush Sao, Narasinga Miniskar, Pedro Valero-Lara, Keita Teranishi, Sudip Seal\n类别: cs.LG, cs.IT, math.NA\n发布日期: 2026-07-21\narXiv ID: 2607.18745v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.18745v1\n摘要: We study low-precision computation of C=AB with both factors quantized. We derive an exact finite-dimensional identity for the expected squared product error under independent, zero-mean entrywise errors with known variance fields; it holds exactly for non-overloading subtractive dither and for independent stochastic rounding, and we empirically assess deterministic round-to-nearest (RTN). Using the product-preserving equivalence AB=(AT)(T^{-1}B), we formulate contraction-gauge preconditioning: jointly choosing a factor representation and its sharing pattern before quantization. Preconditioning can reduce product error but may require extra transformed, quantized copies of the opposite operand: a shared transform needs one copy, a block-specific transform up to one per block. Within the bounded family of positive diagonal gauges (folds), a geometric program computes a globally optimal shared fold and a linear program decides whether the identity fold is already optimal. For other families we derive computable selection statistics \u0026ndash; tail index for scaling, profile spread for partitioning, coherence and weighted-Gram energy for rotations, slice-energy covariance for hierarchy depth \u0026ndash; with upper bounds for ranking heuristic candidates. Across twelve linear products from a trained three-block image classifier, median within-product rank correlations between dither-model predictions and deterministic-RTN errors are 0.937 at 8 bits and 0.918 at 4 bits. The GP fold cuts held-out product error over the identity fold by 18.0% (8-bit) and 20.5% (4-bit) in geometric mean, beats a SmoothQuant-style grid baseline at both precisions and on ten of twelve products, and lowers composed logit MSE by 15.4% and 26.4%. We thus provide exact stochastic product-error accounting, certified selection within the diagonal family, and a common objective for evaluating reusable transform candidates under RTN.\n11. 电子磁流体动力学中具有分裂分数阶耗散的电流片形成 Current-Sheet Formation in Electron Magnetohydrodynamics with Split Fractional Dissipation\n作者: Ruimeng Hu, Qirui Peng, Xu Yang\n类别: physics.plasm-ph, math.NA\n发布日期: 2026-07-21\narXiv ID: 2607.18648v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.18648v1\n摘要: Thin current sheets are central small-scale structures in electron magnetohydrodynamics (EMHD), closely associated with energy dissipation and fast magnetic reconnection at electron scales. We study their formation numerically in a $2\\frac{1}{2}$-dimensional EMHD system on a periodic domain with split fractional dissipation, where the magnetic potential and the vertical magnetic component are damped separately. The local theory is governed by a symmetric combined damping balance, but the numerical onset of small-scale growth need not follow this symmetry. A scaling analysis identifies the out-of-plane current as the primary concentration observable, since it is regularized only through the magnetic-potential equation. Using a validated Fourier pseudospectral exponential time-differencing solver with resolution-controlled diagnostics, we find a clear decay/concentration dichotomy. The onset boundary is markedly asymmetric: current-sheet formation appears to be controlled mainly by damping of the magnetic potential, rather than by the combined damping strength. The analyticity strip collapses to the grid scale, the concentration sharpens under grid refinement, and the observed growth is consistent with an energy-critical self-similar rate, with exponent near three. These experiments indicate that magnetic-potential damping is the apparent binding constraint for current-sheet concentration, refining the symmetric sum picture.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-22_10-07-51/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月22日 10:07:51\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 11\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-具有道尔蒂-福克尔-普朗克碰撞的弗拉索夫-泊松方程的局部宏观守恒低秩间断伽辽金方法\"\u003e1. 具有道尔蒂-福克尔-普朗克碰撞的弗拉索夫-泊松方程的局部宏观守恒低秩间断伽辽金方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eA Local Macroscopic Conservative Low-Rank Discontinuous Galerkin Method for the Vlasov-Poisson Equation with Dougherty-Fokker-Planck Collisions\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年07月22日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月21日 10:10:33\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 6\n不相关论文数量: 30\n重点关注论文（完整分析） 1. 基于优化区域分解方法的混合维Biot问题 Hybrid-Dimensional Biot Problem with an Optimization Based Domain Decomposition Approach\n作者: Francesca Marcon, Stefano Scialò\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-20\narXiv ID: 2607.17885v1\n摘要翻译: 本文提出了一种数值方法，用于求解裂缝性多孔介质中的流固耦合问题，该介质被表示为混合维区域。在该公式中，允许三维网格的单元任意穿过裂缝。通过在三维网格上使用扩展有限元方法（XFEM），位移在裂缝处不连续。力学问题被表述为一个鞍点问题，其中使用拉格朗日乘子来强制裂缝处的位移连续性。所得的拉格朗日乘子表示作用在裂缝表面上的应力场。类似地，通过在不协调网格上使用XFEM公式，允许压力场在裂缝处不连续，并使用专门为混合维问题设计的基于优化的区域分解策略来计算压力场。采用固定应力分裂格式解耦流动和力学子问题，而在每个固定应力迭代中使用共轭梯度（CG）方法求解混合维压力问题。固定应力格式与CG求解器的组合对于这类问题证明是高效的。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17885v1\n1. 研究对象和背景 本文研究多孔介质中流体流动与固体变形的耦合问题, 其背景源于地热能开发, 二氧化碳地质封存, 地下水资源管理及地震活动分析等应用. 研究的几何对象是一个三维多孔基岩域 D, 其中包含一个或多个平面裂缝 F^j (j=1,\u0026hellip;,#F), 裂缝被建模为二维流形(离散裂缝-基质模型, DFM). 记 ˚D = D \\ ∪j F^j 为不含裂缝的矩阵域. 在裂缝表面, 流场与力学场均可能发生间断. 物理上, 采用线性 Biot 模型描述饱和多孔介质中孔隙压力与骨架变形的耦合: 在 ˚D 上满足\\n\\n$$\\frac{\\partial}{\\partial t}\\left(\\frac{1}{M}p_D + \\alpha \\nabla\\cdot \\mathbf{u}\\right) - \\nabla\\cdot(K_D \\nabla p_D) = g, \\qquad (x,t)\\in \\mathring{D}\\times(0,T], \\tag{1}$$\\n$$\\alpha\\nabla p_D - \\nabla\\cdot \\boldsymbol{\\sigma}(\\mathbf{u}) = 0, \\qquad (x,t)\\in \\mathring{D}\\times(0,T], \\tag{4}$$\\n\\n其中 p_D 为孔隙压力, u 为位移, M 为 Biot 模量, α 为 Biot-Willis 系数, K_D = k_D/μ 为基质渗透率与流体粘度之比, g 为源汇项. 应力-应变本构为线弹性: σ(u) = C ε(u), C 为四阶弹性张量, ε(u) = (∇u + ∇uᵀ)/2. 在每个裂缝 F^j 上, 二维流动满足 Darcy 定律:\\n\\n$$-\\nabla\\cdot(K_{F^j}\\nabla p_{F^j}) + K_D\\nabla p_{D,+}^j\\cdot\\mathbf{n}_+^j + K_D\\nabla p_{D,-}^j\\cdot\\mathbf{n}_-^j = 0, \\qquad (x,t)\\in F^j\\times(0,T], \\tag{2}$$\\n\\n以及矩阵-裂缝窜流条件:\\n\\n$$K_D\\nabla p_{D,\\pm}^j\\cdot\\mathbf{n}_\\pm^j = -\\eta^j(p_{D,\\pm}^j - p_{F^j}), \\qquad (x,t)\\in \\omega_\\pm^j\\times(0,T], \\tag{3}$$\\n\\n这里 η^j = k\\perp^j/μ 为裂缝法向传导系数, K_{F^j} = k_\\parallel^j/μ 为裂缝切向传导系数, p_{D,\\pm}^j 分别表示压力在裂缝两侧的迹. 在力学上, 裂缝两侧应力连续条件由 Lagrange 乘子 Λ^j 表示:\\n\\n\n$$\\big(\\boldsymbol{\\sigma}_\\pm^j(\\mathbf{u}) - \\alpha p_{D,\\pm}^j\\mathbf{I}\\big)\\cdot\\mathbf{n}_\\pm^j = \\Lambda^j - \\alpha p_{F^j}\\mathbf{n}_\\pm^j, \\qquad (x,t)\\in \\omega_\\pm^j\\times(0,T], \\tag{5}$$\\n\\n且位移连续性约束:\\n\n$$\\mathbf{u}_+^j = \\mathbf{u}_-^j \\quad \\text{在} F^j\\times(0,T]. \\tag{6}$$\\n\\n边界条件取齐次 Dirichlet/Neumann 条件, 初始条件为静止.\\n\\n尽管 Biot 方程的数值求解已有广泛研究, 但在含裂缝的混合维情形下, 传统方法通常要求计算网格与裂缝位置匹配(即网格面严格贴合裂缝), 这给复杂裂缝网络(如大量相交裂缝, 非平面裂缝)的网格生成带来巨大困难. 文献中已有的工作, 如[9]使用混合有限元-有限体积法, [7]从降维 Brinkman-Biot 模型出发, [3]结合接触力学条件, [6]使用完全匹配网格并分析固定应力参数敏感性, 均要求匹配网格. 为突破这一限制, 本文在非匹配网格上发展数值方法. 其基本思路是: 利用扩展有限元(XFEM)引入 Heaviside 或 bubble 型富集函数捕捉跨越裂缝的间断; 并通过优化基区域分解策略将全局问题解耦为矩阵三维问题和各个裂缝二维问题, 从而允许对矩阵和裂缝独立划分网格. 此外, 耦合问题通过固定应力分裂格式(见[13])将流动与力学迭代解耦, 每一时间步内交替求解压力方程和力学方程. 本文的目标正是将上述思想系统性地推广到混合维 Biot 问题, 给出完整的空间-时间离散、分裂格式、收敛性证明以及数值验证. 尤其值得指出的是, 文中给出了固定应力分裂在该非匹配混合维离散框架下的严格收敛性分析, 这是以往文献中未曾涉及的.\\n\\n本文试图填补的空白可概括为: 在无需网格匹配的条件下, 构造并分析一套求解含有多条裂缝的三维-二维 Biot 方程的高效数值方案, 并证明所采用的固定应力迭代的线性收敛性. 该工作为复杂裂缝性多孔介质中的流固耦合模拟提供了兼具灵活性和理论保证的计算框架.\n2. 主要定理或主要结果 本文的核心理论结果是关于固定应力分裂格式在混合维非匹配离散下的收敛性证明. 在假设 A.1 (α, λ, μ \u0026gt; 0, 1/M, K_D ≥ 0) 和 A.2 (对每条裂缝 η^j \u0026gt; 0, K_{F^j} ≥ 0) 之下, 作者定义了第 k 时间步内固定应力迭代的误差量(见(39)): e^{k,i}{p_D} = (p_D)^{k,i} - (p_D)^k, e^{k,i}{p_F^j} = (p_F^j)^{k,i} - (p_F^j)^k, e^{k,i}u = u^{k,i} - u^k, e^{k,i}Λ = (Λ^j)^{k,i} - (Λ^j)^k, 其中 (·)^k 表示精确的时空离散解(由 Problem 4 给出), (·)^{k,i} 表示第 i 次迭代解. 通过误差方程(43)–(46)及细致的能量估计, 定理 1 得到以下三个不等式:\\n\\n1. 力学误差受压力误差控制:\\n$$2\\mu \\|\\epsilon(e^{k,i}_u)\\|_{0,\\mathring{D}}^2 + \\lambda \\|\\nabla\\cdot e^{k,i}_u\\|_{0,\\mathring{D}}^2 \\le \\frac{\\alpha^2}{K_{\\text{dr}}} \\|e^{k,i}_{p_D}\\|_{0,\\mathring{D}}^2. \\tag{40}$$\\n\\n2. 裂缝压力误差受其两侧压力跳跃控制:\\n$$K_{F^j} \\|\\nabla e^{k,i}_{p_{F^j}}\\|_{0,\\omega^j}^2 + 2\\eta^j \\|e^{k,i}_{p_{F^j}}\\|_{0,\\omega^j} \\le \\frac{\\eta^j}{\\delta_F} \\|(e^{k,i}_{p_D})^j_\\pm\\|_{0,\\omega^j}^2, \\quad \\forall j, \\tag{41}$$\\n其中 δ_F ≤ 2, |(e^{k,i}{p_D})^j\\pm|{0,\\omega^j}^2 = \\int{\\omega^j} ([(e^{k,i}{p_D})+^j]^2 + [(e^{k,i}{p_D})-^j]^2).\\n\\n3. 压力误差自身满足压缩性(即误差每次迭代按常数因子衰减):\\n\n$$\\left(\\frac{1}{M} + \\frac{\\alpha^2}{2K_{\\text{dr}}} + \\frac{\\Delta t\\, K_D}{C_P}\\right) \\|e^{k,i}_{p_D}\\|_{0,\\mathring{D}}^2 \\le \\frac{\\alpha^2}{2K_{\\text{dr}}} \\|e^{k,i-1}_{p_D}\\|_{0,\\mathring{D}}^2. \\tag{42}$$\\n这里 K_{\\text{dr}} = λ + (2/3)μ 为排水体积模量, C_P 为 Poincaré 常数. 由(42)立即得到压缩因子\\n\n$$\\rho = \\frac{\\alpha^2/(2K_{\\text{dr}})}{1/M + \\alpha^2/(2K_{\\text{dr}}) + \\Delta t\\, K_D/C_P} \u003c 1,$$\\n从而保证迭代收敛.\\n\\n在数值实现层面, 3D 压力空间 V^{f,D}_h 通过 XFEM 构造(22): 标准线性 Lagrange 元加上两类富集函数——对完全穿越域 D 的裂缝采用符号函数 H^j, 对终止于域内的裂缝采用 bubble 函数 E^j 与 H^j 的乘积, 并作平移调整以保证分片线性性质. 力学位移空间 V^m_h 按同样方式构造. 每条裂缝上的标量空间(压力和 Lagrange 乘子)采用标准线性有限元.\\n\\n进一步的数值实验部分(第 6 节, 原文未提供细节)显示, 固定应力迭代与共轭梯度法求解流动子问题的组合对于此类问题非常高效. 但具体的收敛阶, 参数影响和计算时间等定量结果需要查阅原文第 6 节, 此处从已提供文本无法明确给出.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的数值方案建立在三个核心技术的有机结合之上: 扩展有限元(XFEM)的间断表示, 固定应力算子分裂, 以及优化基区域分解. 其技术上的主要障碍在于: 如何在不要求网格匹配裂缝的条件下, 既精确捕捉压力和位移在裂缝两侧的跳跃, 又保持混合维耦合的物理一致性, 同时还要在迭代解耦的过程中保证整体收敛. 作者围绕这些障碍展开分析框架.\\n\\n1. XFEM 间断逼近与富集函数构造.\\n非匹配网格上处理裂缝的关键是引入能够表示跨裂缝间断的插值基函数, 且不增加全局自由度总数. 文中对 3D 压力 p_D 和位移 u 均采用 XFEM 空间(22). 定义 P_1( T_D ) 为 3D 网格 T_D 上满足齐次 Dirichlet 条件的标准线性 Lagrangian 有限元空间. 对于每条裂缝 F^j, 作者区分两种情况:\\n - 若 F^j 完全穿越计算域, 则使用 Heaviside 函数 H^j( x ) = sign( n_{F^j}·(x - x_0) ) 来构造间断, 相应富集基函数为 H^j_k = ϕ_k(x)(H^j(x) - H^j(x_k)).\\n - 若 F^j 终止在域内, 直接使用 H^j 会导致域外的虚假间断, 因此需引入一个在裂缝边界上光滑归零的 bubble 函数 E^j. 其定义基于裂缝内部边缘: 在裂缝局部坐标系下, 对每条内部边缘所在的直线方程 ε_i^j 取乘积, 并通过简单缩放保证在裂缝重心处取值为 1. 最终富集函数为 H^j(x)E^j(x), 并经平移调整为 E^j_k = ϕ_k(x)( H^j(x)E^j(x) - H^j(x_k)E^j(x_k) ). 作者特别指出参数 p 控制函数光滑度, 数值实验中取 p = 1/2. 这一构造保证了在裂缝内部单元上函数具有所需的间断性, 而在远离裂缝的区域其对标准有限元空间无扰动(因为当 x 不在裂缝影响区时 E^j(x)=0). 这种技术使得网格完全不需贴合裂缝, 大大降低了网格生成难度.\\n\\n2. 固定应力分裂及其收敛性证明.\\n耦合系统(29)-(32)是全离散(向后 Euler 时间步 + 空间离散)后所得. 为了避免整体求解的巨大计算量, 采用固定应力迭代: 在第 i 次迭代, 先以已知的位移 u^{k,i-1} 解压力方程, 再以所得压力解力学方程, 并反复迭代至满足容差. 为恢复迭代收敛性, 需要在压力方程中增加稳定项 L(p_D^{k,i} - p_D^{k,i-1}), 其中 L 取物理启发的值 L = α^2/K_{\\text{dr}}, 该选择等价于在整个迭代过程中“固定”体积应力平均量(见(33)). 收敛性证明是本文的理论核心. 证明框架如下:\\n - 首先写出线性误差满足的方程(43)-(46).\\n - 从力学误差方程(45)取试函数 v_h = e^{k,i}u, 并利用约束(47)得到(48). 再结合 Young 不等式和不等式(34), 导出力学能量与压力误差的关系(40).\\n - 由裂缝压力误差方程(44)取 q{F^j} = e^{k,i}{p{F^j}}, 同样应用 Young 不等式得到(41).\\n - 组合压力误差方程(43)与力学、裂缝误差的能量恒等式, 关键处理项为 ∫ α e^{k,i}{p_D} ∇·(e^{k,i}u - e^{k,i-1}u). 利用(45)的差分形式(57)及 Cauchy-Schwarz 与(34), 将该位移差项用压力差控制(58). 将所有非正定项移至右端后, 反复使用 Young 不等式合并同类项, 最终消去位移和裂缝压力项, 得到仅含压力误差的压缩不等式(59)-(60), 即(42). 整个过程需精细选取 Young 系数 δ_U ∈ [1,2], δ_P ∈ [1,2], δ_F ≤ 2, 保证最后等式左端所有系数为正. 最终收敛因子为 α^2/(2K{\\text{dr}}) 与 (1/M + α^2/(2K{\\text{dr}}) + ∆t K_D/C_P) 之比, 显然小于 1. 该证明技巧拓展了经典固定应力收敛分析(如[19])至带多条裂缝与非匹配网格的情形, 且不依赖特定的有限元空间, 适用于较为一般的 XFEM 空间.\\n\\n3. 优化基区域分解用于流动子问题.\\n在固定应力迭代的每一步, 需在给定 u^{k,i-1} 下求解三维-二维耦合 Darcy 流问题(35)-(36). 直接整体求解仍涉及三维矩阵与多条裂缝的耦合. 作者借鉴[16]的思想, 通过引入每条裂缝的额外界面变量 Ψ^j+, Ψ^j_-, Ψ^j_F, 将原耦合问题转化为一个等式约束下的最小化问题(61): 最小化 ∑j ( ‖(p_D)+^j - Ψ^j_+‖^2 + ‖(p_D)-^j - Ψ^j-‖^2 + ‖p_{F^j} - Ψ^j_F‖^2 ), 同时满足弱形式(35)-(36)将界面变量替换后得到的约束. 这种等价形式允许分别求解各子域: 固定界面变量时, 3D 压力 p_D 和每个 2D 压力 p_{F^j} 独立求解; 然后按梯度迭代更新界面变量. 算法最终等价于一个界面空间的共轭梯度(CG)迭代, 其中矩阵-向量乘积只需求解解耦的子域问题, 因此实现简单且可扩展. 当界面空间取为裂缝网格上的连续线性有限元或分片常数时, CG 被证明非常高效. 该策略彻底分离了几何复杂性, 使得三维网格生成与裂缝离散完全解耦.\\n\\n综合而言, 本文的技术创新不在于单一的公式推导, 而在于系统性地整合上述三部分, 为混合维 Biot 问题提供了一套可被严格分析的求解思路. 其中收敛性证明中的误差组合与 Young 不等式参数的选取尤其体现了作者对解耦过程中能量传递的精确控制.\n4. 与之前工作的比较 本文的工作与既有有限元法及区域分解文献在多个维度上可进行比较, 以下分若干方面具体说明.\\n\\n1. 与匹配网格方法的比较.\\n已有的含裂缝多孔介质 Biot 问题数值方法大多要求计算网格与裂缝几何一致. 例如, [9] 研究 3D-2D 非线性 Biot 模型时采用混合有限元-有限体积离散, 并假定网格在裂缝处匹配; [3] 将 3D Biot 方程与接触力学条件结合, 同样使用匹配网格; [6] 在 3D 基质和 2D 裂缝上均采用标准有限元, 网格完全符合裂缝, 并针对固定应力稳定参数进行敏感性分析. 这些方法对于少量简单裂缝是成功的, 但当裂缝数量众多、相互交错或者非平面时, 生成匹配网格变得极其困难甚至无法实现. 本文提出的 XFEM + 优化域分解方法的核心优势正是在于完全摒弃了这一要求: 3D 网格 T_D 可以独立于裂缝生成(例如一个简单的背景四面体网格), 而裂缝网格 T_{F^j} 也各自独立, 仅需知道裂缝与背景网格的相交信息以构造 XFEM 富集函数. 这带来了极大的网格划分灵活性, 尤其在裂缝网络几何复杂时更为突出. 但是, 这种灵活性以引入额外界面变量和迭代求解子问题为代价: 优化域分解的每个 CG 迭代需要求解解耦的 3D 和 2D 问题, 这可能比直接整体求解增加了一次迭代的算术强度, 然而作者声称 CG 收敛足够快, 整体效率依然良好.\\n\\n2. 与之前 XFEM 及区域分解工作相比.\\n将 XFEM 用于多孔介质流固耦合问题并非首次出现, 但本文的独特之处在于与优化域分解的结合以及给予固定应力迭代的收敛性分析. 在纯 Darcy 流方面, [16] 提出了优化基区域分解处理 3D-2D 耦合问题并允许多条裂缝, 本文正是将该思想从 Darcy 流推广到 Biot 孔力学, 并加入了力学方程的 XFEM 离散. 之前的 [10] 也曾用 Lagrange 乘子处理裂缝两侧位移连续性, 但网格是匹配的; 本文则在非匹配网格下同时处理力学与流动. 在 XFEM 相关文献中, 作者提到 [20] 的 bubble 函数构造方法, 但本文将其移植到混合维多裂缝的情形, 并针对完全穿越与内部终止两种裂缝类型分别处理, 这提升了方法的通用性. 此外, 在固定应力分裂的收敛分析方面, 早期工作 [13] 提出了该分裂, 并在均质弹性无裂缝情形证明了收敛; [19] 给出了更一般框架下的收敛证明; [5] 将其推广到弹塑性问题. 本文的收敛证明(定理 1)沿着 [5,19] 的路线, 但首次将其扩展到带有多条裂缝且采用 XFEM 和优化区域分解的混合维问题. 证明中额外需要处理裂缝界面项 e_{p_{F^j}} 和 e^{k,i}Λ, 以及 XFEM 间断带来的能量恒等式调整. 作者巧妙利用位移约束(47)消去 Lagrange 乘子项, 并通过 Young 不等式将裂缝能量吸收至右端, 最终仍得到只关于 p_D 的压缩估计. 这体现了该分析框架的强健壮性.\\n\\n3. 与固定应力分裂中常规稳定化比较.\\n在经典固定应力分裂中, 稳定参数 L 的选择直接影响收敛速度. 文献中常见 L = α^2/K{\\text{dr}} (物理驱动)和 L = α^2/(K_{\\text{dr}} ^u) (基于不排水体积模量)等. 本文采用前者, 并在收敛证明中有效地利用了 (34) 式将体积应变能的系数与 K_{\\text{dr}} 联系起来, 从而导出精确的压缩因子. 对于多裂缝情况, 该参数依然适用且与裂缝参数无关, 这简化了实际计算. 不过, 文中收敛因子与 Δt、K_D 和 Poincaré 常数 C_P 有关: 当 Δt 较大或 K_D 较大(高渗透性)时, 收敛变慢, 但与裂缝有关的量未出现在压缩因子中, 说明裂缝的存在并未恶化固定应力迭代的收敛性质, 这是本文的一个重要观察.\\n\\n4. 数值效果方面.\\n由于本文的第 6 节未在提供内容中详细展现, 无法明确给出收敛阶和计算效率数据. 从摘要和结论性语句可知, 固定应力与 CG 的组合对于此类问题非常有效. 但具体与匹配网格方法的精度、效率定量对比, 以及 XFEM 富集函数中参数 p 的影响、界面离散的选择等细节, 需要读者查阅原文完整版本. 在此, 我们只能指出这些潜在的比较维度, 而无法给出确切的数值结论.\\n\\n总结而言, 本文相对于先前工作, 主要推进了三点: 将非匹配网格处理能力从 Darcy 推广到 Biot 方程; 给出了该框架下固定应力分裂的严格收敛性及其误差估计; 通过优化区域分解实现了压力问题的稳健且解耦的求解. 其假设条件(A.1, A.2)与经典 Biot 问题一致, 未附加额外的光滑性或参数限制, 适用范围与匹配网格方法相当. 局限性则在于: 当前分析限于线弹性、小变形和线性 Darcy 流, 且不考虑裂缝的接触和滑移(位移连续性条件(6)为强约束), 未涉及非线性渗流或材料非线性; 此外 XFEM 的实现相对复杂, 需要几何相交检测和特殊积分. 这些将是未来可能的扩展方向.\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 自适应Mamba神经算子 Adaptive Mamba Neural Operators\n作者: Zeyuan Song, Zheyu Jiang\n类别: cs.LG, math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-07-20\narXiv ID: 2607.18043v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.18043v1\n摘要翻译 中文标题: 自适应Mamba神经算子\n摘要翻译: 在任意几何形状和各种网格上精确求解偏微分方程（PDEs）是科学与工程应用中的重要任务。本文提出自适应Mamba神经算子（AMO），它通过为状态空间模型（SSMs）集成再生核而非SSMs的核积分表示来实现。这是通过构建PDEs的Takenaka-Malmquist系统实现的。AMO提供了与自适应傅里叶分解（AFD）理论相契合的新表示，并能逼近各种几何形状和网格上的PDEs解流形。在流体物理、固体物理和金融领域的多个具有挑战性的基准PDE问题中，包括点云、结构化网格、规则网格和不规则域，AMO在相对$L^2$误差方面一致优于最先进的求解器。总体而言，本工作为设计可解释的神经算子框架提供了一个新范式。\n2. 演化曲面上抛物型偏微分方程的后验误差估计 A posteriori error estimates for parabolic PDEs on evolving surfaces\n作者: Michael Lantelme\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-19\narXiv ID: 2607.17416v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17416v1\n摘要翻译 中文标题: 演化曲面上抛物型偏微分方程的后验误差估计\n摘要翻译: 我们针对封闭演化曲面上的抛物型曲面偏微分方程，导出了基于残量的后验误差估计。主要贡献在于证明了所提误差指示子的有效性与可靠性，该指示子从上（全局）界住误差量，并从下（空间全局、时间局部）界住。我们将稳态曲面上抛物型偏微分方程的适应性方法推广至演化曲面，允许非平凡的粗化。文中给出多个数值实验，展示了误差的渐近行为以及加密与粗化策略的有效性。\n3. FEVessel: 基于无标签预训练有限元方法的三维压力容器网格无关分析 FEVessel: Mesh-Independent Analysis of 3D Pressure Vessels with the Label-Free Pretrained Finite Element Method\n作者: Yipin Sun, Yizheng Wang, Yuzhou Lin, Baiyang Zheng, Xiaoying Zhuang, Timon Rabczuk\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-19\narXiv ID: 2607.17318v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17318v1\n摘要翻译 中文标题: FEVessel: 基于无标签预训练有限元方法的三维压力容器网格无关分析\n摘要翻译: 在化工、核能及新能源工业中，压力容器分析需要在众多材料、几何和载荷下求解相同的弹性问题，其中网格质量和重复求解决定了精度与成本。有限元方法(FEM)无法分摊这种重复成本，并且在退化网格上失效，而旨在替代它的神经算子仍然需要由FEM生成的带标签数据。本文提出FEVessel，将预训练有限元方法(PFEM)推广至三维压力容器，并验证了其在上述两个限制上的四项能力。FEVessel i) 将每个容器编码为带有坐标、材料和载荷通道的点云，ii) 在总势能上预训练Transolver算子，而非使用FEM标签，iii) 利用其预测结果对迭代求解器进行热启动。单一模型泛化到不同材料、几何和边界条件时，相对位移误差为$1.35\\%$，其$2.07\\%$的应变误差比监督式傅里叶神经算子的$9.72\\%$低约$4.7$倍，后者的结构化网格无法保持沿厚度方向的应变。其热启动将代数多重网格迭代次数从$195$次降至$18$次，在$10^{-3}$工程容差下实现了$9.2$倍的端到端墙上时钟加速。模型可在不用重新训练的情况下跨网格分辨率迁移，当训练点密度仅为$30\\%$时，误差保持约$3\\%$。在FEM失效的反转和扁片网格上，误差保持在$3.66\\%$以下。据我们所知，这是首次对具有退化网格的工业相关三维压力容器进行网格无关求解的系统性研究。由于训练无需标签，FEVessel恰好在FEM无法提供标签的场景下发挥作用，从分析流程中消除了手动网格修复。\n4. 扭曲四边形网格上带几何修正的Raviart\u0026ndash;Thomas元 Raviart\u0026ndash;Thomas Elements with Geometric Correction for Distorted Quadrilateral Meshes\n作者: So-Hsiang Chou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-19\narXiv ID: 2607.17285v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17285v1\n摘要翻译 中文标题: 扭曲四边形网格上带几何修正的Raviart\u0026ndash;Thomas元\n摘要翻译: 基于Raviart\u0026ndash;Thomas空间的混合有限元方法广泛用于通量形式的二阶椭圆问题的数值逼近。然而，在四边形网格上，从参考元到实际元的双线性映射引入了空间变化的雅可比行列式，这可能会违反标准Raviart\u0026ndash;Thomas空间的包含性质 $\\mathrm{div}\\,V_h \\subset W_h$。本文中，我们提出了四边形网格上经典Raviart\u0026ndash;Thomas元的一个简单修正。该修正包括在局部基函数中添加几何驱动的修正项，以补偿双线性映射引入的几何扭曲。得到的空间保持了与经典Raviart\u0026ndash;Thomas元相同的维数和自由度，同时恢复了相容性性质。我们给出了构造此类修正空间的一般框架，并通过对最低阶和次低阶Raviart\u0026ndash;Thomas元发展修正版本来示例该方法。理论分析在四边形网格的标准形状正则性假设下建立了最优逼近性质。在扭曲网格上的数值实验证实了预测的收敛率，并表明随着几何扭曲增加，修正元始终比经典Raviart\u0026ndash;Thomas格式提供改进的精度。\n5. Ricci流的有限元方法收敛性 Convergence of Finite Element Methods for Ricci Flow\n作者: Guangwei Gao, Evan S. Gawlik, Buyang Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-19\narXiv ID: 2607.17051v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17051v1\n摘要翻译 中文标题: Ricci流的有限元方法收敛性\n摘要翻译: 证明了二维Ricci流有限元离散的收敛性。在该方法中，二维曲面上的Ricci流被表述为解驱动的度量演化，度量演化由Gauss曲率驱动。Gauss曲率满足一个抛物方程，该方程又依赖于度量，从而增强了问题的抛物结构。解驱动的度量演化形式通过有限元方法离散，有限元逼近的收敛性通过采用文献中最初为研究外蕴曲率流中的解驱动曲面演化而发展的矩阵–向量形式来证明。除了收敛性，所提方法还在离散层面上保持了Ricci流的重要几何结构，例如面积守恒和Gauss–Bonnet定理。给出了广泛的数值实验，以展示所提方法的收敛性以及Ricci流的模拟。\n6. 基于混合数据集的神经算子预处理求解亥姆霍兹方程：在经颅超声中的应用 Neural operator preconditioning from mixed dataset for the Helmholtz equations: Application to transcranial ultrasound\n作者: Yanfei Xiang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-18\narXiv ID: 2607.16906v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.16906v1\n摘要翻译 中文标题: 基于混合数据集的神经算子预处理求解亥姆霍兹方程：在经颅超声中的应用\n摘要翻译: 本研究针对经颅超声应用中，二维亥姆霍兹方程离散化所产生的线性方程组序列，提出了一种神经算子预处理子空间方法。该问题涉及强烈非均匀、依赖患者的声速场，这些速度场会引起严重的波形畸变，对标准迭代求解器构成重大挑战。基于Giraud等人（HAL RR-9593, 2025）的神经网络预处理框架和Stanziola等人（JCP 441, 2021）用于学习优化器的理想化颅骨数据集，我们在六个混合声速-源数据集上训练了神经算子预处理器，这些数据集结合了随机源配置和基于理想化颅骨的速度场以及随机噪声。所提出的混合数据集策略旨在提高计算效率和不同配置下的泛化能力。神经算子在粗网格上进行训练，使用基于离散亥姆霍兹方程相对残差的物理信息损失函数，并作为非线性预处理器嵌入到灵活GMRES（FGMRES）中。数值实验表明，所得混合方法能够高效求解实际的经颅超声问题，网格尺寸比训练时所用网格大64倍，而经典GMRES和学习优化器在相当的计算预算内均未能收敛。此外，所提方法实现了任意精度的解，并在各种源和速度场配置下表现出强大的分布外泛化能力。本工作强调了科学机器学习中数据集设计的重要性，并为将无矩阵神经算子预处理与Krylov子空间方法相结合以求解实际的大规模亥姆霍兹问题提供了一个实用框架。\n不相关论文（基本信息） 1. anyakrakusuma：用于理想几何上的熵正则化薛定谔桥的 Python 库 anyakrakusuma: A Python Library for Entropic Schrödinger Bridges on Idealized Geometries\n作者: Sandy Hardian Susanto Herho, Dasapta Erwin Irawan, Agus Wahyu Jatmiko, Sito Fossy Biosa, Candrasa Surya Dharma, Edi Riawan, Astyka Pamumpuni, Rendy Dwi Kartiko, Rusmawan Suwarman, Deny Juanda Puradimaja\n类别: physics.comp-ph, cs.MS, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-07-20\narXiv ID: 2607.18184v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.18184v1\n摘要: We present anyakrakusuma, an open-source Python library that solves the discrete static Schrödinger bridge problem, the entropically regularized counterpart of optimal transport, through a log-domain Sinkhorn\u0026ndash;Knopp iteration and reconstructs the entropic interpolation between two empirical point clouds. The solver is paired with a diagnostic pipeline that characterizes the optimal coupling and the intermediate distributions through information-theoretic and geometric measures. We exercise the library on four idealized planar cases spanning a circle-to-circle dilation, a spiral-to-mixture fragmentation, a rigid reorientation of two moons, and a Lissajous-to-trefoil deformation. The log-domain formulation is necessary rather than merely convenient at the parameters studied, where the cost-to-regularization ratio reaches four hundred and the Gibbs kernel underflows double precision across most of its range; the iteration nonetheless attains a marginal residual of $10^{-9}$ and unit marginal fidelity in every case. Residual histories decay geometrically over approximately eight decades at per-iteration contraction factors between $0.966$ and $0.976$, which are local rates near the fixed point that lie many orders of magnitude below the worst-case Hilbert-metric bound. The covariance analysis recovers an imposed ninety-degree reorientation to within $0.07^\\circ$, roughly forty times smaller than its uncertainty, across a masked interval of near-isotropy on which the principal axis is unobservable. The diagnostics are reported with explicit attention to the regimes in which each is well defined, including the differential entropy, which is meaningful only on the open interpolation interval. The presented cases are constructed rather than measured; quantitative application to empirical point clouds requires further study.\n2. 探索性均衡中的反馈循环 Feedback Cycles in Exploratory Equilibria\n作者: Chen-Hung Wu\n类别: math.OC, math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-07-20\narXiv ID: 2607.18128v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.18128v1\n摘要: Entropy regularization smooths equilibrium policies in time-inconsistent stochastic control. At low temperature, the same Gibbs response can strongly amplify errors in learned rewards and dynamics. We show that the derivative of an exploratory equilibrium is governed by a backward Volterra-parabolic resolvent. Along an aligned positive mode, a lower bound has the same exponential order. A block decomposition identifies the source of the amplification: causal paths contribute powers of 1/tau, whereas a positive feedback cycle can produce exponential growth. At fixed temperature, a local equilibrium branch is twice differentiable with respect to finite-dimensional model parameters, which yields a function-valued delta method. A bounded uniformly elliptic diffusion realizes this path-cycle distinction in every finite dimension. Closing one positive cycle changes the root-n linear-response boundary from a power law to order 1/log n; along the cyclic Perron mode, right-endpoint discretization is relatively consistent exactly when N tau^2 -\u0026gt; infinity. An affine model also gives an exact nonlinear transition at the Lambert-W temperature beta T / W(beta T sqrt(n)). Numerical calculations illustrate these rates.\n3. Krasnosel\u0026rsquo;skii-Mann 迭代：超越渐近的组合分析 Krasnosel\u0026rsquo;skii-Mann iterations beyond asymptotics: a combinatorial analysis\n作者: Mario Bravo, Roberto Cominetti\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-20\narXiv ID: 2607.18121v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.18121v1\n摘要: We revisit the classical Krasnosel\u0026rsquo;skii-Mann fixed point iteration for contractions and nonexpansive maps in general normed spaces. This iteration is ubiquitous across a wide range of areas, including convex optimization, monotone inclusions, Markov decision processes, under-relaxed methods for nonlinear PDEs, and more. Drawing on a remarkable connection with a Markov chain on $\\mathbb{Z}^2$, and using counting arguments from enumerative combinatorics of lattice paths, we derive explicit estimates for the distance between iterates, as well as non-asymptotic error bounds for the fixed point residuals. As the contraction parameter approaches one, these bounds smoothly recover the known estimates for nonexpansive maps. Building upon these estimates, we further derive error bounds for inexact Krasnosel\u0026rsquo;skii-Mann iterations.\n4. 矩阵指数的时间一致实极点有理逼近 Uniform-in-time rational approximation of the matrix exponential with real poles\n作者: Stefan Güttel, Shuai Shao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-20\narXiv ID: 2607.18018v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.18018v1\n摘要: We propose two new approaches for constructing families of rational functions with shared real poles that nearly uniformly approximate the functions $\\exp(-tz)$ for $z\\geq 0$ and $t$ in a positive time interval. The first result concerns the case where all real poles coalesce into a single point. With an appropriate choice of a weight function we are able to derive a closed formula for the asymptotically optimal location of such a pole. We then discuss the more general case where all real poles are distinct. Using Zolotarev\u0026rsquo;s construction of certain optimal rational functions, we present a simple algorithm to derive nearly optimal poles efficiently. We analyze the stability of the numerical evaluation of the resulting rational matrix functions in floating-point arithmetic. By controlling the growth of potential ill-conditioning arising from partial fractions, reliable and highly parallelizable exponential propagators are obtained.\n5. Hermite插值的一种直接方法 A Direct Approach to Hermite Interpolation\n作者: Simon Bossoney, Marc Troyanov\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-20\narXiv ID: 2607.17998v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17998v1\n摘要: We introduce a family of polynomials satisfying the natural duality relations for Hermite interpolation, analogous to the classical Lagrange interpolation polynomials. They yield an explicit closed formula for the Hermite interpolant with arbitrary multiplicities, without recourse to divided differences, recursive corrections, or auxiliary Bézout identities. We also give a detailed account of Hermite\u0026rsquo;s original approach to the problem, based on an integral formula, which he used both to derive the interpolating polynomial and to estimate the interpolation error for holomorphic data.\n6. 基于有理逼近的Cubature Cubature from rational approximation\n作者: Gentian Zavalani\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-20\narXiv ID: 2607.17851v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17851v1\n摘要: We present a numerical construction of cubature rules for area integrals of analytic functions over planar domains with rectifiable Jordan boundary. The starting point is the Cauchy\u0026ndash;Green identity. Given a weight $w$, we choose a $\\bar\\partial$-antiderivative $W$ and reduce the area integral to a contour integral involving the boundary values of $W$. These values are then approximated by a rational function with free poles, computed by the AAA algorithm. The poles inside the domain become cubature nodes, the corresponding residues become weights, and the boundary residual controls the error through an a posteriori estimate, rigorous once the continuous boundary residual is bounded. The same rule admits a dual reading, as the exact integral of a rational interpolant to the integrand, the area analogue of the one-dimensional interpolatory viewpoint. The numerical examples recover the disk mean-value rule and the focal-segment rule of the ellipse to machine precision, reproduce the exact finite quadrature identities of quadrature domains with both separated and confluent nodes, and evaluate logarithmic and Cauchy volume potentials from boundary data alone. The interior poles trace analytic skeletons that we identify tentatively with the mother bodies of potential theory, along with image points that appear without being imposed; for the square the observed convergence is root-exponential.\n7. 矩阵$\\varphi$-函数作用的增强Krylov方法的值域分析 Field-of-values analysis of augmented Krylov methods for matrix $\\varphi$-function actions\n作者: Xiaobo Liu, Marcel Schweitzer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-20\narXiv ID: 2607.17819v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17819v1\n摘要: We revisit established Krylov subspace methods for linear combinations of matrix $\\varphi$-function actions from the viewpoint of the block triangular formulation of Al-Mohy and Liu [SIAM J. Sci. Comput., 48 (2026), pp. A726\u0026ndash;A747]. In algorithms such as KIOPS [J. Comput. Phys., 372 (2018), pp. 236\u0026ndash;255], one uses an augmentation approach based on evaluating the exponential of a slightly larger matrix that contains the operant vectors in its off-diagonal block, and its field of values may therefore grow substantially with these vectors. Typical convergence estimates for Krylov subspace methods result from bounding the error of polynomial approximations for the exponential on the field of values, so that only very pessimistic convergence estimates are available for these methods, in spite of their good practical performance. In contrast, the larger block formulation established by Al-Mohy and Liu involves an operator whose field of values is independent of the operant vectors, leading to more favorable convergence bounds. We work out the details of how these two approaches are connected to each other, which allows us to transfer the convergence bounds from the latter to the former, thus better explaining the observed performance.\n8. 带有超线性漂移的随机微分方程的逐路径斜对称离散化 Pathwise skew-symmetric discretisation for SDEs with superlinear drift\n作者: Yuga Iguchi, Samuel Livingstone, Giorgos Vasdekis, Rui-Yang Zhang\n类别: math.NA, stat.CO\n发布日期: 2026-07-20\narXiv ID: 2607.17735v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17735v1\n摘要: The skew-symmetric discretisation has recently been proposed as a new robust simulation method for weakly approximating stochastic differential equations (SDEs) with non-globally Lipschitz drift. This work develops a pathwise version of the scheme by representing the noise increment as a skew-normal distribution and coupling it with the driving Brownian increments, thereby enabling its use in the multilevel Monte Carlo (MLMC) framework. Under suitable conditions, we establish strong convergence of order 1/2 in $L^2$. Subsequently, the associated MLMC estimator is shown to have computational complexity $\\mathcal{O} \\bigl(\\varepsilon^{-2} (\\log (1/\\varepsilon))^2 \\bigr)$ to achieve a mean-squared error $\\varepsilon^2$. We then analytically compare the proposed scheme with the tamed Euler scheme, another benchmark for robust discretisation. Under a strong inward-drift regime with the current state being far from the stable region, we show that the probability of moving in the wrong direction tends to vanish in the skew-symmetric scheme, whereas the tamed Euler scheme makes such moves with a non-trivial probability. Furthermore, in the MLMC setting, employing a one-dimensional stochastic Ginzburg-Landau model, we specify the range of step sizes for which the asymptotic variance of the coupled level difference obtained via the pathwise skew-symmetric scheme is lower than that obtained via the tamed Euler scheme. Numerical experiments on several model examples support the theoretical rate of strong convergence and demonstrate the stability and effectiveness of the resulting MLMC in the superlinear drift setting.\n9. 区域分解的在线学习增强的非线性消除预条件子 A domain decomposition online-learning-enhanced nonlinear elimination preconditioner\n作者: Pai Zhang, Linyan Gu, Li Luo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-20\narXiv ID: 2607.17723v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17723v1\n摘要: Nonlinearly preconditioned inexact Newton methods form an effective class of solvers for large-scale nonlinear algebraic systems arising from the discretization of partial differential equations. A central challenge in nonlinear elimination (NE) preconditioning is the reliable identification of the slowly converging components to be eliminated. Existing selection strategies often rely on problem-specific physical information or user-tuned thresholds applied directly to the raw nonlinear residual, which may contain irregular oscillatory structures near stagnation regions, making the selected bad subset highly sensitive to threshold parameters. In this work, we propose an online-learning-enhanced NE preconditioner that identifies the bad subset from the dominant structure of the nonlinear residual rather than from the raw residual itself. Residual snapshots are collected online during the stagnation phase of the current Newton solve, and an unsupervised extraction model is trained to capture the principal nonlinear imbalance. We consider both a linear extractor based on principal component analysis and nonlinear extractors based on autoencoder neural networks. Moreover, we integrate the approach into a parallel domain decomposition framework, which trains a local extraction model independently on each subdomain. The learned residual reconstruction is then used to define the bad subset and guide the nonlinear elimination process. Numerical experiments on lid-driven cavity flows at Reynolds numbers up to 10,000 show that the proposed method produces more reliable and coherent bad subsets, is robust with respect to both NE and learning parameters, and outperforms the baseline NE preconditioner in terms of the convergence.\n10. 超图$p$-拉普拉斯算子的算子分裂算法及其在缺失数据恢复中的应用 An operator-splitting algorithm for the hypergraph $p$-Laplacian with applications to missing data recovery\n作者: Kehan Shi, Jin Liu, Martin Burger\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-20\narXiv ID: 2607.17606v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17606v1\n摘要: Hypergraph $p$-Laplacian regularization is a fundamental model in data analysis with successful applications in various tasks. It aims to minimize a nonsmooth and typically large-scale objective function defined as the sum of the $p$-th powers of the Lipschitz regularization over hyperedges. In this paper, we propose an operator-splitting algorithm for the hypergraph $p$-Laplacian that allows us to handle hyperedges separately in a Gauss-Seidel fashion. Each subproblem can be viewed as a generalized graph Lipschitz learning on a hyperedge, for which we introduce an auxiliary variable to overcome the nonsmoothness and solve it with one step of the alternating direction method of multipliers (ADMM). The resulting algorithm performs proximal ADMM updates sequentially over the hyperedges, and its convergence is proven. We test the algorithm on missing data recovery problems, including image sparse inpainting and semi-supervised learning, to demonstrate that it is faster than existing methods.\n11. FlowSonic：通过高阶轨迹积分实现稳定的零样本音乐编辑 FlowSonic: Stable Zero-Shot Music Editing via High-Order Trajectory Integration\n作者: Ali Boudaghi, Hadi Zare\n类别: cs.SD, cs.LG, eess.AS, eess.SP, math.NA\n发布日期: 2026-07-20\narXiv ID: 2607.17526v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17526v1\n摘要: Zero-shot text-guided editing of real-world music recordings requires balancing semantic modification with faithful preservation of the original musical structure. Although recent diffusion transformers trained with rectified flow have achieved remarkable success in text-to-music generation, extending them to edit existing recordings remains challenging because editing requires accurate deterministic inversion, reliable structural preservation, and numerically stable integration throughout the inversion and generation processes. We present FlowSonic, a zero-shot music editing framework built upon a pretrained diffusion transformer trained with rectified flow. FlowSonic first deterministically inverts a real-world recording into the latent space and preserves its musical structure during editing by reusing cross-attention representations extracted during inversion. To improve the numerical reliability of inversion-based editing, we introduce a high-order ODE solver and systematically investigate how different numerical integration schemes influence trajectory stability, structural preservation, and semantic controllability. Comprehensive experiments on timbre-transfer and genre-modification tasks demonstrate that FlowSonic consistently outperforms existing music editing methods across semantic alignment, harmonic preservation, structural consistency, and perceptual audio quality. We further provide geometric and empirical analyses showing how the proposed numerical integration strategy improves latent trajectory stability and leads to more reliable music editing.\n12. 分裂场完美匹配层时域有限差分求解器的定量基准测试：狭缝衍射，以及完美电导体与介质圆柱体的散射 Quantitative Benchmarking of a Split-Field PML FDTD Solver: Slit Diffraction, and Scattering from PEC and Dielectric Cylinders\n作者: Sabrina Saima, Tasin Intisar\n类别: physics.optics, eess.SP, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-07-19\narXiv ID: 2607.17360v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17360v1\n摘要: This paper presents a two-dimensional TMz finite-difference time-domain (FDTD) solver based on Yee\u0026rsquo;s scheme for modeling radiation from an infinitely long z-directed line current, with the open region truncated by a Berenger split-field perfectly matched layer (PML). After validating cylindrical-wave propagation and negligible late-time reflections in free space, the solver is applied to three inhomogeneous configurations: (i) diffraction through a one-cell-thick perfectly electrically conducting (PEC) sheet with single and double slits; (ii) scattering from infinitely long PEC cylinders of circular and rectangular cross section; and (iii) scattering from infinitely long dielectric cylinders of varying cross section and permittivity. Beyond qualitative field maps, the diffraction case is characterized quantitatively: a steady-state phasor extracted by a running discrete Fourier transform yields the transmitted intensity, from which the fringe visibility and the far-field pattern are computed and compared against the closed-form Fraunhofer prediction. The single- and double-slit cases are cleanly separated by a visibility that rises from near zero to near unity, and the double-slit interference maxima agree with the grating condition arcsin(m λ_0 / d) to within a fraction of a degree. For dielectric cylinders, the field penetrates the obstacle with the expected reduced internal wavelength λ_0 / \\sqrt{ε_r}, and the scattered field strength grows with permittivity contrast. A reference-subtraction method isolates the scattered field throughout. The results confirm that the FDTD-PML framework accurately captures open-region diffraction and geometry- and material-dependent scattering.\n13. 用于图像复原问题的迭代图拉普拉斯算子 Iterated graph Laplacian for image restoration problems\n作者: Stefano Aleotti, Davide Bianchi, Florian Bossmann, Marco Donatelli, Pietro Maurino\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-19\narXiv ID: 2607.17313v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17313v1\n摘要: We study the graph Laplacian operator as a regularizer in a generalized Tikhonov framework for linear ill-posed problems. The Laplacian is updated iteratively from the current reconstruction, so that progressively sharper structural information about the solution is fed into the regularization term. We introduce three schemes: a standard one that rebuilds the Laplacian from each new iterate; an error-equation scheme that, following the error-based formulation of iterated Tikhonov regularization, builds the Laplacian from an estimate of the reconstruction error rather than of the image itself; and a mixed scheme combining the two. We establish convergence of all three schemes for noisy data under a priori parameter and stopping rules as the noise level tends to zero. Numerical experiments in two-dimensional computed tomography and image deblurring show consistent gains in reconstruction quality and sharper recovery of fine details.\n14. 低剂量计算机断层成像中平行束几何下正则化重建方法的稳定性与鲁棒性分析 Stability and Robustness Analysis of Regularized Reconstruction Methods for Low-Dose Computed Tomography in Parallel-Beam Geometry\n作者: Mohamed Berrada\n类别: math.NA, eess.IV\n发布日期: 2026-07-19\narXiv ID: 2607.17298v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17298v1\n摘要: Low-dose computed tomography (LDCT) reduces radiation exposure but increases the ill-posedness of the reconstruction problem due to noise and sparse data. While regularized methods like Tikhonov and Total Variation (TV) improve image quality, their performance depends heavily on noise characteristics, sampling conditions, and parameter selection. This study presents a systematic stability and robustness analysis of Filtered Back Projection (FBP), Tikhonov regularization, and TV minimization within a 2D parallel-beam CT framework. A unified simulation pipeline based on the Radon transform is developed and evaluated using both the modified Shepp-Logan phantom and a clinical thorax image. Reconstruction behavior is investigated under multiple degradation scenarios involving Gaussian, Poisson, and mixed noise models, across baseline (180 projections) and sparse-view (60 projections) acquisition geometries. To ensure a fair comparison, regularization parameters are optimized for each scenario through an exhaustive SSIM-based grid-search. Quality is assessed via RMSE, PSNR, and SSIM, while robustness is quantified through an empirical Stability Factor S measuring perturbation amplification from measurement to image space. The results show that FBP is highly sensitive to noise and undersampling. Tikhonov regularization improves structural fidelity compared with FBP but remains more sensitive to perturbation than TV. Conversely, TV provides the best compromise between noise suppression, edge preservation, accuracy, and numerical stability. These findings highlight the stability-resolution trade-off in LDCT and demonstrate that the proposed Stability Factor S offers valuable complementary information to conventional metrics.\n15. Stiefel流形上用于Wasserstein梯度流的动态近似格式 A Dynamical Approximation Scheme on the Stiefel manifold for Wasserstein Gradient Flows\n作者: Isabella Carla Gonnella, Olga Mula, Federico Pichi, Gianluigi Rozza\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-19\narXiv ID: 2607.17235v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17235v1\n摘要: We propose a meshless Lagrangian dynamical method for approximating Wasserstein gradient flows (WGFs). The evolving measure is represented as the pushforward of the initial measure $μ_0$ through a transport map in the weighted Hilbert space $L^2_{μ_0}$. We approximate this map in time-dependent linear subspaces of $L^2_{μ_0}$, whose orthonormal frames are evolved by a Dirac\u0026ndash;Frenkel dynamical principle on a Stiefel manifold constrained to a finite-dimensional background space, adaptively constructed via local approximations of the WGF velocity field. We prove that the resulting transport map induces an absolutely continuous curve of probability measures in Wasserstein space, whose velocity is obtained by projecting the exact WGF velocity onto the background space, and we show that the approximation preserves the energy dissipation structure up to the projection error of the velocity. Moreover, for geodesically convex energies, we derive an a posteriori estimate controlling such projection error through the adaptive construction of the background space, yielding as well a bound on the approximation error of the pushforward measure in the Wasserstein metric. Numerical experiments on linear and nonlinear Fokker\u0026ndash;Planck equations, porous-medium diffusion, and interaction energies demonstrate the accuracy of the method, its energy-dissipation properties, and the advantages of the adaptive construction.\n16. 第二类Fredholm积分方程的有理离散配点法 A Rational Discrete Collocation Method for Second Kind Fredholm Equations\n作者: Domenico Mezzanotte, Donatella Occorsio, Mario Pezzella, Woula Themistoclakis\n类别: math.NA, math.FA\n发布日期: 2026-07-19\narXiv ID: 2607.17179v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17179v1\n摘要: In this work we present a novel discrete collocation method for the numerical solution of Fredholm integral equations of the second kind in the space of continuous functions equipped with the uniform norm. The method is based on a rational interpolation scheme recently developed within the general framework of reproducing kernel Hilbert spaces. This rational approximation has no real poles, interpolates the target function at arbitrary Jacobi nodes and exhibits uniformly bounded Lebesgue constants. Moreover, it converges uniformly for all continuous functions at a rate at least equal to that of the best uniform polynomial approximation. These interesting properties are inherited by the resulting numerical method, for which stability, convergence and good conditioning are established under minimal assumptions on the integral kernel. A series of numerical experiments confirm the theoretical findings and indicate that, in the presence of particularly challenging kernels, the proposed approach provides a robust and effective alternative to Nyström-type methods.\n17. 一种用于应变梯度弹性的带有三阶张量变量的最低阶稳健混合有限元方法 A Lowest-Order Robust Mixed Finite Element Method with a Third-Order Tensor Variable for Strain Gradient Elasticity\n作者: Xuehai Huang, Zheqian Tang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-19\narXiv ID: 2607.17134v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17134v1\n摘要: A lowest-order mixed finite element method is developed for the strain gradient elasticity (SGE) model in arbitrary dimensions. We take the physically meaningful third-order double stress tensor $\\boldsymbolΦ:=ι^2\\operatorname{grad}\\boldsymbolσ(\\boldsymbol{u})\\in\\mathbb{S}\\otimes\\mathbb{R}^d$ as a primary variable and derive a distributional mixed formulation. The double stress is approximated by an $\\mathbb{S}\\otimes\\mathbb{R}^d$-valued extension of the lowest-order Raviart\u0026ndash;Thomas element, while the displacement is approximated by the vector-valued linear Crouzeix\u0026ndash;Raviart element. Thus, the method avoids both high-degree bubble enrichment and a Nitsche-type treatment of the higher-order boundary condition. We establish parameter-robust discrete stability, an optimal first-order error estimate for fixed parameters, and a complementary parameter-uniform $\\mathcal{O}(ι^{1/2}+h)$ error estimate with constants independent of both the size parameter $ι$ and the Lamé coefficient $λ$. In the boundary-layer regime $ι^{1/2}\\lesssim h$, the latter retains a first-order convergence rate in $h$. We also develop a local quadratic post-processing and a hybridized formulation. Numerical experiments in two and three dimensions support the theoretical results.\n18. 基于求积节点的数字网：在低维投影上继承求积精度 Digital Nets on Cubature Nodes: Inheriting Cubature Accuracy on Low-Dimensional Projections\n作者: Takehito Yoshiki\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-19\narXiv ID: 2607.17080v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17080v1\n摘要: Base-2 digital nets are practical high-dimensional integration rules: the sample budget $N=2^m$ can be chosen independently of the ambient dimension, and the generating matrices provide algebraic control of projections and Walsh-dual weights. They are therefore well suited to problems whose error is governed by weighted or low-dimensional projection structure. However, when one restricts attention to a smooth low-dimensional projected component, a low-dimensional cubature rule with a comparable number of nodes can be substantially more accurate than the projected digital-net points. This raises the question of whether low-dimensional cubature accuracy can be inserted into a high-dimensional digital-net rule without forming the full tensor product. We answer this question by a simple coordinate embedding: read the leading $p$ binary digits of each coordinate as an index into $2^p$ equal-weight cubature nodes, and replace the coordinate by the indexed node. When a projection forms the full $p$-bit grid, the transformed rule coincides on that projection with the corresponding product cubature rule; small projected $t$-values provide sufficient conditions for such full-grid recovery. For general integrands, the error separates into the corresponding product cubature error and a residual digital-net term. Experiments with scrambled Sobol\u0026rsquo; nets in dimension $50$ illustrate this mechanism and show finite-budget improvements for the smooth low-order and coordinate-decaying test functions considered here.\n19. 通过累积分布变换的一维守恒偏微分方程降阶建模 Reduced Order Modeling of One-Dimensional Conservative PDEs via the Cumulative Distribution Transform\n作者: Harbir Antil, Rocío Díaz Martín, Ivan V. Medri, Kristofor E. Pas, Gustavo K. Rohde, Aryan Saxena, Sarswati Shah\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-07-19\narXiv ID: 2607.17066v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17066v1\n摘要: We propose a reduced order modeling (ROM) framework for 1D conservative PDEs based on the cumulative distribution transform (CDT). The CDT maps nonnegative, equal-mass states into a Hilbert space in which 1D Wasserstein distances become weighted $L^2$ distances and translations become affine shifts. This makes the transform especially suited for transport-dominated dynamics, where Eulerian linear-subspace ROMs often suffer from slow decay of Kolmogorov widths. We study this phenomenon for scalar conservative dynamics by analyzing the solution manifold in CDT coordinates. For linear transport, the transformed solution manifold is contained in the 2-dimensional space spanned by the transformed initial datum and the constant function, and has zero Kolmogorov $2$-width. For nonlinear hyperbolic conservation laws, we prove two complementary types of estimates: robust $O(n^{-1})$ bounds that rely only on the conservative transport structure and remain meaningful after shock formation, and sharper $O(n^{-2})$ bounds in smooth pre-shock regimes. For conservative advection-diffusion, we show that the CDT trajectory remains within distance $O(\\sqrt{DT})$ of the pure-transport plane, and we also obtain sharper $O(D^2T^2)$ estimates under additional regularity or away from initial layers. In both cases, the zero 2-width behavior of linear transport is recovered as the diffusion coefficient tends to zero. Motivated by these estimates, we develop a CDT-POD numerical scheme: snapshots are mapped to CDT space, Proper Orthogonal Decomposition (POD) is performed in transformed coordinates, and the inverse CDT is used to reconstruct physical states. Numerical experiments for several transport-dominated dynamics show that CDT-POD can capture solution manifolds with substantially fewer modes than Eulerian POD.\n20. 一种用于二维Navier–Stokes方程的具有时间一致稳定性的线性变步长嵌入式ETD格式 A Linear Variable-Step Embedded ETD Scheme with Uniform-in-Time Stability for the 2D Navier\u0026ndash;Stokes Equations\n作者: Haifeng Wang, Xiaoming Wang, Min Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-19\narXiv ID: 2607.17036v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.17036v1\n摘要: We propose a linear variable-step exponential time-differencing method for the incompressible Navier\u0026ndash;Stokes equations in vorticity\u0026ndash;streamfunction formulation on a two-dimensional periodic box. The method consists of a second-order scheme and an embedded first-order variant, yielding a natural mechanism for adaptive time stepping and a posteriori error control. Each time step requires only uniquely solvable linear problems: two heat equation solves, efficiently handled by Fourier methods in the periodic setting, and one linear scalar auxiliary-variable equation, evaluated via Laplace transform and Talbot\u0026rsquo;s numerical inverse transform. The construction combines the ETD framework, a mean-reverting scalar auxiliary variable (mr-SAV), and second-order extrapolation of the nonlinear term. The mean-reverting correction enables long-time stability while preserving full linearity, distinguishing the method from related mr-SAV schemes that require nonlinear algebraic solves. We prove unconditional long-time stability: for uniformly bounded $L^2$ forcing, the discrete vorticity remains bounded in $L^\\infty(0,\\infty;L^2)$ for all Reynolds numbers and time-step sizes. Numerical experiments\n21. 基于新型拟线性七阶和九阶格式的双曲守恒律自适应新方法 Novel Adaptive Methods for Hyperbolic Conservation Laws Based on New Quasi-Linear Seventh- and Ninth-Order Schemes\n作者: Shaoshuai Chu, Pingyao Feng, Vadim A. Kolotilov, Alexander Kurganov, Vladimir V. Ostapenko\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-18\narXiv ID: 2607.16918v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.16918v1\n摘要: We develop new adaptive numerical schemes for one- and two-dimensional hyperbolic systems of conservation laws. The methodology relies on the use of a smoothness indicator to automatically partition the computational domain into smooth and nonsmooth (rough) regions. We then follow the scheme adaption strategy recently introduced in [S. Chu, P. Feng, V. A. Kolotilov, A. Kurganov, and V. V. Ostapenko, Commun. Comput. Phys., accepted], but instead of the quasi-linear (QL) fifth-order finite-difference scheme used there, we employ the new QL seventh- and ninth-order schemes in the smooth regions. A series of numerical experiments for the Euler equations of gas dynamics demonstrates that the new adaptive schemes contain a smaller amount of numerical dissipation and achieve higher resolution compared with their counterpart that uses the QL fifth-order scheme in the smooth areas.\n22. PolyChopper：一种多面体剖分算法 PolyChopper: a Polyhedron Splitting Scheme\n作者: Tommaso Sorgente, Fabio Vicini\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-18\narXiv ID: 2607.16887v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.16887v1\n摘要: We introduce and implement a novel scheme, called \\textit{PolyChopper}, for splitting a convex polyhedron into a finite set of disjoint convex sub-polyhedra. The algorithm cuts the polyhedron with a plane, which can either be prescribed as an external constraint or automatically determined from the inertia tensor. The resulting intersection vertices are then adjusted to control the complexity and quality of the generated elements, introducing additional ``notch wedges\u0026rsquo;\u0026rsquo;, tetrahedra and pyramids, according to a user-defined quality parameter. Experimental results demonstrate that the proposed approach is robust and consistently produces sub-polyhedra that are both simpler and of higher quality than the original polyhedron. Furthermore, recursively applying the algorithm generates a hierarchy of polyhedral subdivisions with progressively smaller elements, all guaranteed to remain convex and predominantly tetrahedral.\n23. 带两个小参数的四阶奇异摄动边值问题的解析正则性 Analytic regularity for a fourth-order singularly perturbed boundary balue problem with two small parameters\n作者: I. Sykopetritou, C. Xenophontos\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-18\narXiv ID: 2607.16781v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.16781v1\n摘要: We consider a fourth order singularly perturbed boundary value problem with two small parameters, in one dimension, under the assumption of analytic input data. We show that the solution may be decomposed into a smooth part, two different width boundary layers, and a negligible remainder. We provide estimates for arbitrary order derivatives of each term of the decomposition, which are explicit in the differentiation order and the singular perturbation parameters, and are needed for proving the convergence of high order numerical methods, such as the $p/hp$ versions of the Finite Element Method. We also provide classical differentiability results, which show that the solution will be analytic, if the data are analytic, but negative powers of the singular perturbation parameter(s) show up once we start differentiating.\n24. 完全非线性抛物型偏微分方程的深度二阶随机残差方法 A Deep Second-Order Stochastic Residual Method for Fully Nonlinear Parabolic PDEs\n作者: Zhenhua Zhao, Jihao Long\n类别: math.NA, math.OC, stat.ML\n发布日期: 2026-07-18\narXiv ID: 2607.16730v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.16730v1\n摘要: We introduce the Deep Second-Order Stochastic Residual Method (D2SRM) for high-dimensional, Hessian-dependent fully nonlinear parabolic PDEs. A single scalar space\u0026ndash;time network generates derivative-consistent approximations of the solution, gradient, and Hessian, which are trained jointly through second-order Brownian one-step residuals and terminal value and gradient penalties. For globally Lipschitz equations with identity diffusion and sufficiently weak Hessian coupling, we establish well-posedness in a Brownian occupation space and develop a population-level convergence theory. Under additional regularity, an a posteriori estimate bounds the squared full-jet occupation error of any admissible candidate by the time step and its population objective. For approximate population minimizers, the error bound separates time discretization, neural approximation, and population suboptimality; when the latter two terms are $O(h)$, the full-jet occupation norm is $O(h^{1/2})$. Experiments on a 100-dimensional manufactured benchmark compare terminal treatments, probe Hessian couplings inside and outside the proved small-gain range, and show decreasing errors as the time step decreases. The code is available at https://github.com/ZZHPKU/D2SRM.\n25. 面向简化Ericksen\u0026ndash;Leslie向列型液晶模型的增广拉格朗日预处理 Augmented Lagrangian preconditioning for a simplified Ericksen\u0026ndash;Leslie model of nematic liquid crystals\n作者: Yanying Li, Xu Qian, Jingmin Xia\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-18\narXiv ID: 2607.16628v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.16628v1\n摘要: The numerical solution of the simplified Ericksen\u0026ndash;Leslie model for nematic liquid crystals is challenging because the flow and director equations are strongly coupled and because incompressibility and the unit-length condition must be enforced simultaneously. A Lagrange multiplier formulation avoids a small Ginzburg\u0026ndash;Landau parameter, but the Newton systems have a double saddle-point structure. We develop an augmented Lagrangian block preconditioner in which both constraints are augmented while their discrete enforcement remains multiplier based. After finite element discretization and backward Euler time integration, the Newton increments are grouped into velocity\u0026ndash;director and pressure-multiplier variables. A block-diagonal approximation of the coupled velocity-director block then leads to separate, physically scaled approximations of the pressure and director-multiplier Schur complements. Manufactured-solution tests show the expected spatial accuracy and first-order temporal convergence for the primary variables; the multiplier error reaches a spatial-error floor on the fixed mesh used in the temporal study. In the reported parameter ranges, the outer FGMRES iteration counts are nearly mesh independent, remain stable under time-step and viscosity variation, and improve as the augmentation parameters increase. A smooth benchmark also exhibits monotone decay of the computed total energy.\n26. 正分配伴随预报器用于非线性动力学及其有限差分诊断 Positive-Allocation Companion Predictors for Nonlinear Dynamics and Their Finite-Difference Diagnostics\n作者: Cynthia V. Flores, James E. Pascoe\n类别: math.DS, math.NA\n发布日期: 2026-07-17\narXiv ID: 2607.16529v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.16529v1\n摘要: We introduce a positive-allocation companion construction for Koopman-inspired finite-dimensional prediction of nonlinear dynamical systems. The method determines recurrence coefficients by representing a target observable snapshot as a nonnegative, normalized combination of earlier training snapshots. These coefficients define a companion matrix whose spectral structure is induced by the allocation constraints at the construction stage. We prove that normalized positive allocation places the companion spectrum in the closed unit disk and, because the coefficients sum to one, includes $1$ as an eigenvalue. Additionally, we develop modal and non-modal diagnostics for the resulting model trajectory. When the companion matrix is diagonalizable, the modal representation shows that first and second finite differences act as spectral filters through factors of $λ_\\ell-1$ and $(λ_\\ell-1)^2$. We also derive $C$-based finite-difference bounds that avoid diagonalization and can be evaluated directly from the training data and companion matrix. Numerical experiments on the FitzHugh\u0026ndash;Nagumo and susceptible\u0026ndash;infectious\u0026ndash;recovered (SIR) models illustrate the behavior of the construction in oscillatory and transient dissipative settings. The examples demonstrate both the interpretability of the companion recurrence and its limitations, particularly when pointwise trajectory agreement degrades while finite-difference and modal diagnostics remain informative.\n27. 有限元指数积分用于非线性波动方程的粗糙解。第一部分：多边形与多面体域上的Dirichlet边界条件 Finite element exponential integration for rough solutions of nonlinear wave equations. Part I: Dirichlet boundary conditions on polygonal and polyhedral domains\n作者: Jiachuan Cao, Benjamin Dörich, Marlis Hochbruck, Buyang Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-17\narXiv ID: 2607.16511v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.16511v1\n摘要: We study a fully discrete scheme for nonlinear wave equations on general bounded polygonal/polyhedral domains with initial data $(u^0,v^0)\\in H^γ(Ω)\\times H^{γ-1}(Ω)$, $0\u003cγ\\le 1$, subject to the natural compatibility condition associated with the homogeneous Dirichlet boundary condition. The scheme combines an exponential Euler time integrator with a finite element spatial discretization. In contrast to existing low-regularity error analyses, which are mostly based on Fourier spectral discretizations, our approach applies to general bounded domains and finite element spatial discretizations. We prove rigorous error estimates for low-regularity solutions. The analysis is based on a frequency decomposition of the underlying elliptic operator, used solely as an analytical regularization device and not in the actual implementation, which allows low-regularity techniques to be extended beyond the Fourier spectral framework. The results also indicate that higher-order finite element methods remain advantageous in spatial approximation even for solutions of limited Sobolev regularity. Numerical experiments on different domains and with different polynomial degrees confirm the predicted convergence behavior.\n28. 非侵入式POD-GPR峰值热力场机器学习仿真器的替代模型-代码验证及其在碳碳飞机刹车盘中的应用 Surrogate-to-code verification of a non-intrusive POD-GPR machine-learning emulator of peak thermomechanical fields, with application to a carbon-carbon aircraft brake disc\n作者: Franklin Kamche\n类别: math.NA, cs.CE\n发布日期: 2026-07-17\narXiv ID: 2607.16447v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.16447v1\n摘要: While non-intrusive reduced-order emulators successfully substitute for costly finite-element simulations, certification-grade applications demand a rigorous error assessment relative to the solver\u0026rsquo;s own discretization uncertainty. This work introduces a verification framework designed to evaluate prediction accuracy directly against this numerical uncertainty floor, rather than physical observation. We demonstrate this approach on a carbon-carbon aircraft brake disc during a rejected take-off scenario, predicting peak temperature and peak von Mises stress fields. Operating over a fixed mesh of 60914 nodes, the emulator relies on a pipeline coupling proper orthogonal decomposition (POD) and Gaussian process regression (GPR) parameterized by 5 inputs. We formulate an algebraically exact, a posteriori error budget that isolates the emulator\u0026rsquo;s signed error into distinct truncation and regression components at the extremum. This error is then evaluated against a discretization floor established via mesh-convergence studies on the peak quantities of interest. On a completely independent test set, our emulator matches the high-fidelity solver\u0026rsquo;s peak values within its own discretization uncertainty for both fields, a benchmark we define as surrogate-to-code fidelity. Notably, the residual error stems primarily from linear reduction limits rather than regression inaccuracies. Beyond the main framework, we present two secondary contributions: the concurrent, non-intrusive prediction of the thermal and mechanical peaks, and a probabilistic approach to spatial zone localization for these extrema. This methodology applies to non-intrusive reduced-order models of parameterized finite-element simulations wherever a discretization-error estimate for the quantity of interest can be obtained.\n29. 带跳随机比例时滞Mckean-Vlasov模型的截断Euler-Maruyama算法的收敛性与稳定性 Convergence and stability of truncated Euler-Maruyama algorithm for stochastic proportional delay Mckean-Vlasov models with jump process\n作者: Amr Abosenna, Zhuoqi Liu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-17\narXiv ID: 2607.16438v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.16438v1\n摘要: Stochastic Mckean-Vlasov models have a substantial importance in different fields such as finance, biology and control. This paper puts the light on stochastic proportional delay Mckean-Vlasov model with Lévy jump where the non-jump coefficients are granted the permission to grow beyond linearity. The truncated Euler-Maruyama algorithm is then applied to our addressed model where the convergence rate and almost sure exponential stability of the aforementioned numerical algorithm are being investigated. Finally, numerical examples are presented to foster the theoretical analysis done throughout the paper\n30. 一类用于Biot固结模型的混合-混合强守恒有限元方法 A family of mixed-mixed strongly conservative finite element methods for Biot\u0026rsquo;s model of consolidation\n作者: Qingguo Hong, Johannes Kraus, Maria Lymbery\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-17\narXiv ID: 2607.16418v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.16418v1\n摘要: We consider a four-field formulation of Biot\u0026rsquo;s quasi-static model of consolidation with the (effective) elastic stress, the solid displacement, the fluid flux and the fluid pressure as unknown physical quantities of interest. The weak form of this system composed of the momentum and mass balance equations complemented by the stress-strain relation and Darcy\u0026rsquo;s law yields a two-fold perturbed saddle-point problem. Its well-posedness is proven for a natural choice of inifinite-dimensional Hilbert spaces, where the displacement-flux pair is sought in a novel Hilbert space. Next, based on recent works on $H(\\rm div \\, \\rm div)$-conforming finite elements, we propose a family of mixed-mixed finite element methods that preserve the angular momentum as well as the fluid mass balance pointwise, i.e., in a strong sense. We prove the well-posedness of the arising discrete problem and establish optimal a priori error estimates for the related family of fully conservative mixed-mixed finite element methods.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-21_10-10-33/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月21日 10:10:33\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 6\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 30\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-基于优化区域分解方法的混合维biot问题\"\u003e1. 基于优化区域分解方法的混合维Biot问题\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eHybrid-Dimensional Biot Problem with an Optimization Based Domain Decomposition Approach\u003c/p\u003e","title":"2026年07月21日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月20日 10:32:59\n重点关注论文数量: 3\n了解领域论文数量: 3\n不相关论文数量: 11\n重点关注论文（完整分析） 1. 对于边界具有 Gevrey 正则性的分片光滑 Helmholtz 问题, $hp$ 有限元法不受污染效应影响 The $hp$-FEM does not suffer from the pollution effect for piecewise-smooth Helmholtz problems with Gevrey regularity at boundaries\n作者: Jeffrey Galkowski, Mostafa Meliani, Euan A. Spence\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-17\narXiv ID: 2607.16073v1\n摘要翻译: 我们考虑将 $hp$ 有限元法应用于带有波数 $k$ 的 Helmholtz 散射问题, 该问题用完全匹配层截断. 散射体由 Dirichlet、Neumann 和可穿透障碍物的组合以及变系数构成. 假设 Helmholtz 解算子关于 $k$ 多项式有界, 所有系数分片光滑, 所有边界面都是 Gevrey 的, 并且所有限制在边界面上的系数连同其所有法向导数都是 Gevrey 的, 我们证明当 $p\\geq 1+\\varepsilon \\log k$ 且 $hk/p$ 充分小时, $hp$ 有限元法是拟最优的; 即 $hp$ 有限元法不受污染效应影响. 该结果将 [Bernkopf, Chaumont-Frelet, Melenk 2025] (针对分片解析系数和解析边界证明) 和 [Galkowski, Lafontaine, Spence, Wunsch 2024] (针对在解析障碍附近解析的光滑系数证明) 中的类似结果推广到了一类更广泛的散射体.\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.16073v1\n1. 研究对象和背景 本文研究 $hp$ 有限元法在求解高频 Helmholtz 散射问题时的污染效应。考虑的模型是: 给定具有紧支集的源项 $f \\in L^2_{\\rm comp}(\\Omega^+)$, 在无界区域 $\\Omega^+ := \\mathbb{R}^d \\setminus \\overline{\\Omega^-}$ 上求解 $u \\in H^1_{\\rm loc}(\\Omega^+)$ 满足\n$$ -k^{-2} \\operatorname{div}(A\\nabla u) - n u = f \\quad \\text{在 } \\Omega^+ \\text{ 中},\\quad (\\mathcal{B}u)|_{\\partial\\Omega^+} = 0,\\quad (k^{-1}\\partial_r - \\mathrm{i})u = o_{r\\to\\infty}(r^{\\frac{1-d}{2}}) $$其中 $\\Gamma_s = \\partial\\Omega^+$ 由声软 ($\\Gamma_{\\rm soft}$) 和声硬 ($\\Gamma_{\\rm hard}$) 边界组成, 边界条件分别为 $\\mathcal{B}u = u$ 或 $\\mathcal{B}u = \\nu \\cdot (A\\nabla u)$, $\\nu$ 为单位外法向。散射体由 Dirichlet、Neumann 及可穿透障碍物组合而成, 且允许系数 $A$ (对称正定矩阵) 和 $n$ (实值函数) 在穿越一个内部界面 $\\Gamma_p$ 时分片光滑, 并在无穷远处分别恒等于单位矩阵和 $1$。该问题解的存在唯一性由经典理论保证, 参见 [19]。\n数值上, 通过径向完美匹配层 (PML) 进行截断, 得到有界计算域 $\\Omega = \\Omega^+ \\cap \\Omega_{\\rm tr}$ 上的变系数边值问题:\n$$ P_k u := -k^{-2} \\operatorname{div}(A_\\theta \\nabla u) + k^{-2} b_\\theta \\cdot \\nabla u - n_\\theta u = f \\ \\text{于 } \\Omega,\\quad (\\mathcal{B}u)|_{\\partial\\Omega^+}=0,\\quad u|_{\\partial\\Omega_{\\rm tr}}=0, $$其中 $A_\\theta, b_\\theta, n_\\theta$ 在 PML 区域外分别等于 $A, 0, n$。当数据 $f$ 的支集远离 PML 区域时, 截断解与原散射解在远离 PML 处的差异关于 $k$ 指数衰减 [15]。定义 PML 问题解算子范数 $$ \\rho(k) := \\sup\\big\\{ \\|u\\|_{L^2(\\Omega)} : \\|P_k u\\|_{L^2(\\Omega)}=1 \\big\\}. $$在 Helmholtz 方程的 $h$-版本有限元分析中, 经典的污染效应 [5] 表现为: 为保证当 $k\\to\\infty$ 时误差受控, 仅满足每个波长固定点数 ($hk \\sim 1$) 是不充分的, 需要使 $hk$ 趋于 $0$。对于 $p$ 或 $hp$-版本, 若增加多项式次数 $p$ 使其随 $k$ 对数增长 ($p \\gtrsim \\log k$), 且 $hk/p$ 足够小, 则 Galerkin 解的 $k$-一致拟最优性可以被证明 [28, 29, 25, 16, 17, 6]。拟最优性意味着(|u - u_h|{H^1_k(\\Omega)} \\le C \\min{w_h\\in V^p_{\\mathcal{T}}} |u - w_h|_{H^1_k(\\Omega)}), 其中 $\\| \\cdot \\|_{H^1_k}^2 = k^{-2}\\|\\nabla \\cdot\\|^2_{L^2} + \\|\\cdot\\|^2_{L^2}$, 表示误差仅由逼近性质决定(与 $k$ 无关的常数倍)。\n当前最先进的 $hp$-FEM 拟最优性结果 [25, 16, 17, 6] 均要求散射体或系数具有解析性: 例如 [6] 要求区域和系数都是分片解析的; [17] 要求光滑系数且在解析障碍物附近为解析的。然而, 对于实际应用中遇到的分片光滑而其边界仅有有限阶光滑性的介质, 上述假设过于苛刻。这也带来了一个理论问题: 为什么仅在边界附近才需要超越光滑的附加正则性, 而内部光滑就足够? 本文在对边界和界面施行 Gevrey 类正则性假设下, 回答了这一问题。Gevrey 类函数由估计 $$ \\sup_{x\\in K} |\\partial^\\gamma g(x)| \\le M^{|\\gamma|+1}(\\gamma!)^\\sigma $$ 刻画, 其中 $\\sigma \\ge 1$; 当 $\\sigma=1$ 时还原为解析函数, $\\sigma\u003e1$ 时给出介于 $C^\\infty$ 和解析之间的正则性。与解析假设相比, Gevrey 类允许边界具有更小的正规性。本文的核心贡献是证明: 若散射体边界 $\\Gamma_s$、PML 边界 $\\partial\\Omega_{\\rm tr}$ 和内部界面 $\\Gamma_p$ 都是 Gevrey-$\\sigma$ 的, 且系数 $A_\\theta, n_\\theta$ 为分片光滑, 并在 $\\Gamma_s$ 和 $\\Gamma_p$ 处是 Gevrey-$\\sigma$ 的(即系数的限制连同其所有法向导数都属于 Gevrey 类), 再结合解算子范数 $\\rho(k)$ 多项式有界这一对“大多数”波数成立的条件 [24], 则 $hp$-FEM 仍然可以达到 $k$-一致拟最优性。该结果将解析性要求显著削弱为 Gevrey 要求, 并清晰地表明仅需在边界和界面处施加此类附加正则性, 内部光滑即足够。这正是本文试图填补的空白。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果是在以下假设下证明了 $hp$-FEM 的 $k$-一致拟最优性:\n定理 1.5 ( $hp$-FEM 与 $p$-FEM 的 $k$-一致拟最优性). 设 $\\sigma \\ge 1$, $\\Gamma_s$、$\\partial\\Omega_{\\rm tr}$ 和内部界面 $\\Gamma_p$ 均是 Gevrey-$\\sigma$ 的超曲面, $A_\\theta$ 与 $n_\\theta$ 在 $\\Gamma_s$ 和 $\\Gamma_p$ 处为 Gevrey-$\\sigma$ (即从每一侧限制到界面上连同所有法向导数均属于 Gevrey 类 $G^\\sigma$), 且存在波数集合 $K \\subset (0,\\infty)$ 满足 $$ \\sup_{k\\in K} \\frac{\\log \\rho(k)}{\\log k} \u003c \\infty, $$ 即 $\\rho(k)$ 关于 $k$ 多项式有界。则对任意给定的 $\\varepsilon, k_0, \\Upsilon \u003e 0$, 存在常数 $C, C_{\\rm qo}, h_0 \u003e 0$, 使得对所有 $k \\in K \\cap [k_0, \\infty)$ 以及所有具有常数 $\\Upsilon$ 的 Gevrey-$\\sigma$ 单纯形仿射相容三角剖分 $\\mathcal{T}$, 如果网格参数满足 $$ 0 \u003c h(\\mathcal{T}) \u003c h_0,\\qquad \\frac{h(\\mathcal{T}) k}{p} \\le C,\\qquad p \\ge 1 + \\varepsilon \\log k, $$ 并且 $\\partial\\Omega \\cup \\Gamma_p \\subset \\bigcup_{T\\in\\mathcal{T}} \\partial T$ (即界面和边界均被剖分面覆盖), 那么对于任意 $u \\in H^1_k(\\Omega)$, 其在 $V^p_{\\mathcal{T}}$ 中的 Galerkin 逼近 $u_h$ 存在且满足拟最优估计 $$ \\|u - u_h\\|_{H^1_k(\\Omega)} \\le C_{\\rm qo} \\min_{w_h\\in V^p_{\\mathcal{T}}} \\|u - w_h\\|_{H^1_k(\\Omega)}. $$注1.6: 若剖分拟一致, 则离散空间维数 $\\sim (p/h)^d$, 因此定理表明存在维数 $\\sim k^d$ 的分片多项式空间使 Galerkin 逼近 $k$-一致拟最优——即 $hp$-FEM 不遭受污染效应。\n注1.7: 条件 (1.7) 等价于 $\\rho(k)$ 在 $K$ 上多项式有界。进一步, 对于任意 $\\delta, k_0 \u003e 0$, 存在集合 $K \\subset [k_0,\\infty)$ 使得 $[k_0,\\infty)\\setminus K$ 的测度小于 $\\delta$ 且在 $K$ 上 (1.7) 成立。其依据是 PML 问题除有限个 $k$ 外适定 [15], PML 解算子可由散射解算子控制 ((1.3) 式), 以及散射解算子在“大多数” $k$ 下多项式有界 [24]。\n定理 1.5 将现有文献要求障碍物与系数解析的结论推广到了 Gevrey 类正则性, 且要求的附加正则性仅需在边界与界面处成立, 内部仅需分片光滑即可。该结果统一并显著改进了 [6] 和 [17] 中的相应定理。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心方法是通过构造辅助的自伴椭圆算子 $\\widetilde{P}$ 来对解进行高频-低频分裂, 从而实现对低频部分的有效逼近和对高频部分的 $k$-一致控制。具体而言, 证明的关键技术点如下:\n1. 频率分裂的新途径 前人工作中或是对数据作 Fourier 截断 [28, 29, 6], 或是直接对解作 Fourier 截断 [25], 或是对真实的 Helmholtz 算子 $P_k$ 作泛函演算 (即令 $u_L = \\psi(P)u$ 其中 $P = \\operatorname{Re} P_k$) [16, 17]。第一种方法要求解具有解析延拓性质, 从而要求系数与区域解析; 后两种方法虽然成功地去除了内部解析性, 但必须要求边界附近解析, 以保证 $P$ 的特征函数能被多项式很好地逼近。本文的创新之处在于: 不去直接截断 $P_k$ 的解, 而是构造一个辅助算子 $\\widetilde{P}$, 它由修改过的系数 $\\tilde{A}, \\tilde{n}$ 通过 $$ \\langle \\widetilde{P} u, v \\rangle = \\langle \\tilde{A} k^{-1}\\nabla u, k^{-1}\\nabla v \\rangle - \\langle \\tilde{n} u, v \\rangle $$ 定义, 其中 $\\tilde{A}, \\tilde{n}$ 满足: 在 $\\partial\\Omega^+$ 和界面 $\\Gamma_p$ 上与 $A, n$ 的所有导数均一致, 在它们附近为 Gevrey-$\\sigma$, 且整体分片光滑。这样的 $\\widetilde{P}$ 与原 Helmholtz 算子 $P_k$ 共享相同的定义域 (在边界和界面处的匹配避免了定义域的不匹配), 更重要的是, 其谱分解中低频部分对应的特征函数具有 Gevrey-$\\sigma$ 正则性 (由椭圆正则性理论保证, 附录 C), 从而可以被分片 $p$ 次多项式很好地逼近 (附录 B 的逼近结果)。低频截断通过 $u_L := \\psi(\\widetilde{P}) u$ 实现, 其中 $\\psi \\in C_\\mathrm{c}^\\infty(\\mathbb{R})$ 由 Gårding 不等式 (Lemma 2.4) 构造, 使得修正后的算子 $P_k + S_k$ (其中 $S_k = \\psi(\\widetilde{P})$) 是强制的、一致于 $k$ 的。\n2. 高频部分的控制 令 $u_H := u - u_L$。要完成拟最优性的证明, 需要在 Schatz 论证框架下控制 $u_H$ 的 $H^1_k$ 范数且要求对 $k$ 一致有界 (参见附录 A)。这通过伪局部性结果实现。Lemma 2.4 保证了 $P_k + S_k$ 是强制的, 因此该算子的逆在 $H^1_k \\to (H^1_k)^*$ 下一致有界 (与 $k$ 无关)。于是 $$ u_H = u - \\psi(\\widetilde{P})u = (I - \\psi(\\widetilde{P})) u = (P_k + S_k)^{-1} (P_k + S_k)(I - \\psi(\\widetilde{P})) u. $$ 利用 $S_k$ 与 $\\widetilde{P}$ 的泛函演算关系, 可将 $(P_k + S_k)(I - \\psi(\\widetilde{P}))$ 表达为 $(P_k - \\widetilde{P})(I - \\psi(\\widetilde{P})) + (\\widetilde{P} + S_k)(I - \\psi(\\widetilde{P}))$。后者为零因为 $S_k = \\psi(\\widetilde{P})$ 与 $I-\\psi(\\widetilde{P})$ 正交; 前者则由于 $P_k - \\widetilde{P}$ 在远离边界和界面处是零 (因为 $\\tilde{A} = A, \\tilde{n} = n$ 除界面附近外), 且 $(I-\\psi(\\widetilde{P}))$ 仅保留高频。利用空间伪局部性 (Lemma 2.5) 和频率伪局部性 (Lemma 2.6) 可证明 $(P_k - \\widetilde{P})(I-\\psi(\\widetilde{P}))$ 作用在 $u$ 上后不仅没有 $k$ 的坏增长, 而且实际上在除去边界和界面的一个小邻域后是 $O(k^{-\\infty})$ 的。因此 $\\|u_H\\|_{H^1_k} \\le C\\|u\\|_{H^1_k}$ (或等价地受控于数据 $f$), 且常数 $C$ 与 $k$ 无关。\n3. 伪局部性与交换子估计 频率伪局部性 (Lemma 2.6) 依赖于两个二阶算子 $P_k$ 和 $\\widetilde{P}$ 之间的高阶交换子估计 (Lemma 2.9), 它使用到公式 (2.11) 的推导。其核心是利用 $P_k$ 与 $\\widetilde{P}$ 在界面和边界附近定义域相同 ($\\mathcal{D}(\\widetilde{P}^N) = \\mathcal{D}(P^N)$), 因此它们在 $H^m_k$ 范数下产生的交换子是 $O(k^{-N})$ 的。这一性质结合已有的抽象伪局部性定理 [2, Theorem 5.37] 保证了 $\\psi_1(\\widetilde{P}) \\chi (P_k + S_k)^{-1} \\chi \\psi_2(\\widetilde{P})$ 是 $O(k^{-\\infty})$ 的、当 $\\psi_1$ 与 $\\psi_2$ 支撑集分离时。这对于证明 $u_H$ 的局部受控性以及逼近理论中处理交叉项是至关重要的。\n4. 逼近理论的改进 为利用解的正则性, 附录 B 专门建立了 Gevrey-$\\sigma$ 函数在分片多项式空间中的 $p$- 阶显式逼近结果。对于定义在参考单形上的函数 $\\hat u$, 若其满足 $\\sup_{\\hat x} |\\partial^\\gamma \\hat u(\\hat x)| \\le M^{|\\gamma|+1}(\\gamma!)^\\sigma$, 则存在次数 $\\le p$ 的多项式 $\\Pi_p \\hat u$ 使得 $$ \\|\\hat u - \\Pi_p \\hat u\\|_{H^1(\\hat T)} \\le C p^{\\alpha} \\big(C \\sigma\\big)^{p^{1/\\sigma}} e^{-\\lambda p^{1/\\sigma}}, $$ 其中 $\\alpha, \\lambda$ 依赖于维数。这一逼近率虽然不如解析情况 ($\\sigma=1$ 时指数衰减速度更快), 但若 $p \\ge 1+\\varepsilon \\log k$, 则逼近误差对 $k$ 仍然是超多项式衰减的, 从而足以保证 $\\min \\|u_L - w_h\\|_{H^1_k}$ 受控, 最终获得拟最优性。\n5. 证明的整体结构 首先在较弱的假设下证明一个抽象拟最优性引理: 只需要低频部分逼近得足够好并且高频部分受控, 即可得到拟最优性 (第 4 节)。接着在第 5 节中具体构造 $\\widetilde{P}$ 并验证其满足所有需要的性质 (包括系数的延拓、Gevrey 正则性、与 $P_k$ 的定义域一致性等)。最后在第 6 节中组合所有估计, 证明定理 1.5。\n总结创新点: 通过引入一个只在边界和界面附近与原算子有异的辅助椭圆算子来定义频率分裂, 成功将对边界正则性的要求从解析降为 Gevrey, 并清晰地揭示了边界附加正则性仅在保证低频部分可被多项式逼近时才是必要的。\n4. 与之前工作的比较 本文的结果显著扩展了 $hp$-FEM 对 Helmholtz 方程拟最优性分析的正则性适用范围。以下从几个维度比较先前工作:\n1. 与 [6] (Bernkopf, Chaumont-Frelet, Melenk 2025) 的比较 [6] 解决了分片解析系数和解析边界的 Helmholtz 问题, 其证明依赖于对数据做低通滤波, 再用解析椭圆正则性得到分片解析的解。本文在两方面显著推进: (a) 将解析性弱化为 Gevrey-$\\sigma$ ($\\sigma\\ge 1$) 正则性; 特别地, 允许边界和界面仅是 Gevrey 类而非解析, 这包含了一大类具有有限光滑性边界的实际散射体; (b) 明确区分了内部与边界的要求: 内部仅需分片光滑, 附加的 Gevrey 正则性只在界面和边界处需要, 而 [6] 要求全局分片解析, 事实上是整个区域直至边界都是解析的。\n2. 与 [17] (Galkowski, Lafontaine, Spence, Wunsch 2024) 的比较 [17] 对光滑系数但仅在解析障碍物附近解析的情形证明了 $hp$-FEM 拟最优性, 其方法是对 $\\operatorname{Re} P_k$ 作泛函演算实现频率截断, 进而需要障碍物附近解析以保证该算子的特征函数有好的逼近性质。本文不仅将障碍物的解析性替换为 Gevrey 类, 而且去除了系数在障碍物附近解析的要求, 改用 Gevrey 类正则性替代。此外, [17] 中对系数的假设是全局光滑且仅障碍物附近解析, 而本文允许系数分片光滑且可穿透障碍物 (有界面 $\\Gamma_p$), 障碍物边界可同时包含 Dirichlet 和 Neumann 部分, 这是一般化。\n3. 与更早的工作 [25, 16] 等比较 [25] 通过 Fourier 截断直接对解作用 $1_{[-2k,2k]}(|D|)$ 来获得低频部分, 不需要任何解析性, 但代价是低频部分的逼近误差只能通过 Fourier 截断误差来控制, 该误差不是超越多项式的, 因此只能得到 $hp$-FEM 的误差关于 $k$ 多项式增长而非一致拟最优性; [16] 通过考虑 $\\operatorname{Re} P_k$ 的泛函演算将 [25] 的方法与 [17] 的框架结合, 但边界处仍需解析性。本文的方法无须 Fourier 截断, 也不需要 $\\operatorname{Re} P_k$ 的特征函数逼近性质, 而是通过构造辅助算子 $\\widetilde{P}$ 直接得到低频部分具有 Gevrey 正则性, 这在边界上仅需 Gevrey 假设。\n4. 对“边界需附加正则性”的解释 本文为长期以来“为什么高频 Helmholtz 问题在远离散射体时可以用光滑系数处理, 但近边界时必须要求比光滑更多的正则性”提供了概念性澄清。过去的方法: 如果对数据做低通滤波来获得 $u_L$, 则 $u_L$ 的正则性完全取决于系数和区域的正则性 (通过椭圆正则性); 如果用 Fourier 截断, 则低频部分仅能保证 $L^2$ 型控制, 无法推出高阶 Sobolev 范数的一致有界性, 因此无法利用高次多项式的逼近优势。本文说明, 本质上只需要一个自伴算子 $\\widetilde{P}$ 使得其低频部分 ($\\psi(\\widetilde{P})u$) 与 $u$ 在低频部分相近, 且其正则性仅受限于边界和界面的正则性。构造这样的 $\\widetilde{P}$ 的关键在于在边界附近将系数光滑地接出, 使其与原来的系数在边界上任意阶导数一致, 但在内部仅保持与原来相同的光滑性。这揭示了附加正则性的必要性: 若系数在边界处只有 $C^\\infty$ 但非 Gevrey, 则无法定义这样的 $\\widetilde{P}$ 使其系数在边界附近属于 Gevrey 类, 从而导致 $u_L$ 的正则性不足以使用 $p$ 次多项式的高精度逼近; 若强行做, 逼近误差将受到边界导数增长过快的影响, 不能达到超多项式衰减。\n5. 对剖分的要求 本文要求“Gevrey-$\\sigma$ 单纯形仿射相容三角剖分”, 即在每个单形上元素映射 $F_T$ 是 Gevrey-$\\sigma$ 的, 且邻接映射满足相容性条件以保证整体 $H^1$ 连续性。这与 [6] 中要求剖分是解析的相比, 放宽了对网格几何的要求, 只需要边界元素匹配 Gevrey 边界即可。文中还指出, 若进一步降低对剖分的正则性要求 (例如只要求 $C^\\infty$ 网格), 则可能因为元素映射的可微性阶数有限从而导致 $u\\circ F_T$ 不再是 Gevrey 函数, 逼近阶将受限于边界的可微性阶, 从而无法达到超多项式逼近, 最终污染效应无法消除。因此, 网格的 Gevrey 要求也是本质的。\n6. 局限与潜在扩展 本文仍然需要假设 $\\rho(k)$ 多项式有界, 这一条件通过 [24] 知在“大多数”频率下成立, 但并非全部; 在个别可能发生谐振的 $k$ 上, 定理 1.5 不适用。另外, 对系数的要求是“在边界处 Gevrey” 即所有法向导数的限制都是 Gevrey, 这比普通 Gevrey 函数稍强。作者也探讨了将 Gevrey 类进一步放松至 Denjoy–Carleman 类 (1.11) 的可能性, 仅需对应的椭圆正则性结果, 但他们认为没有本质困难, 不过因 Gevrey 类在数值分析文献中更常见而未展开。最后, 本文的证明还可应用于 Maxwell 方程组等情形, 但未在本文中正式处理。\n总体而言, 本文的工作将 $hp$-FEM 处理高频 Helmholtz 问题的理论从解析世界推进到了实际的 Gevrey 类散射体, 是这一领域的重要进展。\n2. 面向多尺度塑性的轻量级回映代理模型：实践指南 Lightweight return-mapping surrogates for multiscale plasticity: a practical guide\n作者: Alireza Daneshyar, Leon Herrmann, Stefan Kollmannsberger\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-17\narXiv ID: 2607.15931v1\n摘要翻译: 本文为在并发多尺度（FE$^2$）模拟中构建塑性回映过程的轻量级神经网络代理模型提供了一份实践指南。我们并未提出新的架构，而是展示了一个精心设计的简单前馈网络——其结构镜像了经典的回映更新——如何能够替代传统FE$^2$方案中占据主要计算成本的、基于介观尺度FFT均质化的昂贵嵌套细尺度求解。我们完整地梳理了工作流程：从增量均质化分析生成训练数据、构造紧凑而充分的数据集、将材料对称性直接嵌入映射，到将训练好的网络作为用户自定义材料子程序（UMAT）部署于标准有限元求解器中，从而实现广泛应用。敏感性研究考察了模型对数据密度、增量大小和网格细化的鲁棒性，并刻画了代理模型适用与失效的区间。就本文所考虑的宏观各向同性二维平面应力情形而言，代理模型重现了参考响应，同时将单次分析的成本从数小时降至数秒，加速比可达标准FE$^2$的30,000倍。在采用适当的采样策略和数据集的前提下，该方法可自然地推广到三维情形以及更弱的对称性假设。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15931v1\n1. 研究对象和背景 宏观材料行为受其细观结构支配，尤其在混凝土或泡沫金属等材料中，多尺度耦合效应显著。传统唯象本构模型难以准确捕捉跨尺度相互依赖的力学响应，因此并发多尺度有限元方法（FE²）成为必要工具。在 FE² 框架中，每个宏观高斯点处分配一个代表性体积元（RVE），通过求解细观边值问题获得局部本构响应，实现双向尺度转换。然而，在每个积分点反复求解 RVE 问题带来巨大的计算负担，尤其当细观材料呈现高非线性时。快速傅里叶变换（FFT）均匀化方法（Moulinec \u0026amp; Suquet, 1998）通过局部运算替代全局系统求解，将计算复杂度从 $O(n^2)$ 降至 $O(n \\log n)$，并可直接基于像素/体素数据工作，极大提升了效率。尽管如此，在每次迭代中对每个高斯点执行高分辨率细观模拟仍然是工业应用难以承受的计算瓶颈。\n神经网络作为通用逼近器，为数据驱动本构建模提供了有力框架。早期工作（Ghaboussi et al., 1991）提出用神经网络学习应力-应变映射，近年来混合方法将网络嵌入经典塑性理论的组成部分（如硬化、流动法则），而多尺度代理模型则直接替代 RVE 求解。然而，这些模型往往仍依赖于显式定义的屈服函数或塑性势，或采用循环架构处理路径依赖，不仅复杂，且难以保证数值稳定性和变步长适应性。\n本文聚焦于并发多尺度仿真的塑性回映过程，目标是用一个轻量级前馈神经网络完全替代经典回映算法中的弹性预测-塑性修正步骤，无需预知任何解析形式的屈服面或塑性势。研究对象为二维平面应力条件下具有近似各向同性响应的多孔金属 RVE（固体相为铝合金，服从 $J_2$ 塑性，硬化模量 700 MPa），通过 FFT 均匀化生成训练数据。所构建的代理模型输入为弹性试探主应力 $\\bar{\\sigma}^{\\text{tr}}_x$、$\\bar{\\sigma}^{\\text{tr}}_y$ 及当前等效塑性应变 $\\bar{\\varepsilon}^\\text{p}_{\\text{eq}}$，输出为更新后的主应力 $\\bar{\\sigma}_x$、$\\bar{\\sigma}_y$ 与塑性乘子增量 $\\Delta \\bar{\\gamma}$。该设置已在有序主应力空间中硬性满足了客观性、各向同性和张压对称性，并通过数据生成策略编码路径历史，避免了循环网络。\n本文试图填补的空白在于：提供一个系统性的实用指南，涵盖从数据生成、物理约束嵌入、网络训练到部署为 ABAQUS UMAT 的完整工作流，并首次对代理模型的鲁棒性（数据密度、增量尺寸、网格细分）及失效工况进行详细刻画。与以往仅侧重网络架构或离线验证的工作不同，本文更注重工程中的可复现性和安全使用准则，为数据驱动多尺度塑性仿真建立可实践的标准。\n2. 主要定理或主要结果 在宏观各向同性、平面应力、张压行为对称的假设下，本文所提出的三层前馈神经网络（每层 32 个神经元，GELU 激活）完全替代了经典返回映射算法，并在标准基准问题中准确复现了参考响应。主要结果从实验和敏感性分析中得出，无严格定理，但可以概括为：\n精度：对于单轴拉伸、循环加载、多轴比例/非比例加载等工况，网络预测的宏观应力-应变曲线与 FFT 均匀化直接求解的结果几乎重合，相对误差低于 1%。 加速比：单次宏观分析的计算时间从数小时量级缩减至秒级，最高加速因子达 30 000，使大规模非线性多尺度模拟变得可行。 数据采样策略的有效性：采用配对增量策略（将上一增量步末状态作为输入的一部分）和应力空间等角度采样（步长约 5°–10°），配合符号折叠，仅需较少样本即可覆盖全部加载方向。当采样角度步长增大至 30° 时，非训练方向的预测误差开始显著上升。 步长依赖性：网络仅在训练数据所覆盖的应变增量范围内可靠工作。若仿真中使用过大或过小的应变增量，预测偏差增大，甚至导致收敛失败。建议在训练集中包含足够宽泛的增量幅值分布。 网格收敛性：在不同宏观网格细化级别下，代理模型给出的力-位移响应保持一致，未出现网格依赖性失稳，表明其适用于标准有限元网格。 失效模式：当加载路径严重偏离训练集（如大幅跨越塑性应变、非比例路径超出采样包络）时，网络可能预测出物理不合理的 $\\Delta \\bar{\\gamma}\u003c0$ 或应力状态；文中通过引入弹性回退策略（当 $\\Delta \\bar{\\gamma} \u003c 0$ 时采用纯弹性解）部分缓解，但更根本的方法是在训练集中纳入更多样的路径。 非关联性验证：通过数值分析（在 $–30^\\circ$、$0^\\circ$、$30^\\circ$ 三种比例加载路径下比较塑性流动方向与屈服面法向）确认，均匀化后的宏观本构呈现非关联流动，这解释了为何需要数据驱动方法——传统回映算法需要显式屈服函数和塑性势，而宏观响应并无简单解析形式。 这些结果表明，该轻量级代理在训练数据所定义的范围内可有效替代细观求解器，为多尺度塑性仿真提供了一种兼具精度和极高效率的实用方案，且其安全使用条件清晰可循。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的技术障碍在于如何用一个极简的前馈网络精确捕捉路径相关、非关联的宏观塑性行为，同时大幅降低训练数据需求，并保证物理合理性。作者的主要创新与关键技术包括：\n物理引导的输入输出设计：直接继承返回映射算法的信息流。输入取为弹性试探主应力 $\\bar{\\sigma}^{\\text{tr}}_x, \\bar{\\sigma}^{\\text{tr}}_y$ 和等效塑性应变 $\\bar{\\varepsilon}^\\text{p}_{\\text{eq}}$；输出为修正后的主应力 $\\bar{\\sigma}_x, \\bar{\\sigma}_y$ 和塑性乘子增量 $\\Delta \\bar{\\gamma}$。等效塑性应变作为唯一的状态变量，编码了硬化历史，使得网络无需显式看到整个应变序列即可预测路径依赖的响应。这与循环网络（如 LSTM）形成对比，后者通过隐状态记忆历史，但训练和推断更复杂，且对变步长敏感。\n对称性嵌入与输入域折叠：在有序主应力空间中工作，自动满足材料客观性：主应力由应力张量的特征值给出，与观察者坐标系的选择无关；通过主应力排序（$\\sigma_1 \\ge \\sigma_2$）强制各向同性，网络无法区分原始空间方向。进一步利用张压行为对称假设，将输入通过符号折叠映射至第一象限（实质上应用变换 $(\\sigma_x, \\sigma_y) \\to (|\\sigma_x|, |\\sigma_y|)$），从而将输入空间缩减至原来的 1/4。这大幅减少了所需训练样本的数量，同时硬性保证了相关的材料对称性。若需处理各向异性或张压不对称，只需移除相应的折叠操作并扩展输入维度即可。\n训练数据生成策略（配对增量）：为了在数据中体现路径依赖性，每个训练样本不仅包含当前增量末的信息，还通过提供上一增量末的试应力和等效塑性应变来隐式包含前一状态。具体流程：在 $\\bar{\\sigma}_x$-$\\bar{\\sigma}_y$ 主应力平面内，按不同角度（均匀采样）和幅值施加一系列比例加载路径，使用 FFT 均匀化求解每个增量步后的准确状态，并记录 $\\{ \\bar{\\sigma}^{\\text{tr}}_x, \\bar{\\sigma}^{\\text{tr}}_y, \\bar{\\varepsilon}^\\text{p}_{\\text{eq}} \\}$ 作为输入，$\\{ \\bar{\\sigma}_x, \\bar{\\sigma}_y, \\Delta \\bar{\\gamma} \\}$ 作为输出。这种设计将弹性预测器和塑性修正器的功能融合到一个网络中，而无需在推测时再分步计算。路径采样策略的关键在于覆盖足够的方向密度和增量幅值范围，以捕获非比例加载的影响。敏感性分析表明，方向采样步长在 5°–10° 时即可满足精度要求。\n物理约束的混合实施：不变性（客观性、各向同性、对称性）通过构造满足（硬约束）。热力学第二定律的不可逆性 $\\Delta \\bar{\\gamma} \\ge 0$ 通过后处理强制执行：若网络预测出负值，则退回纯弹性解，$\\bar{\\sigma} = \\bar{\\sigma}^{\\text{tr}}$，$\\Delta \\bar{\\varepsilon}^\\text{p}=0$。耗散不等式 $\\bar{\\sigma}:\\Delta \\bar{\\varepsilon}^\\text{p} \\ge 0$ 仅由训练数据统计满足，但未作为硬约束，因此可被违反，这被建议作为网络失效的指示器，提醒用户当前预测可能不合理。\nUMAT 部署：训练好的网络被导出为纯矩阵运算和激活函数，直接写入 ABAQUS 用户材料子程序（UMAT）。在 UMAT 内部，每个高斯点在给定应变增量后计算试应力 $\\bar{\\sigma}^{\\text{tr}}$，调用网络正向传播得到 $\\bar{\\sigma}$ 和 $\\Delta \\bar{\\gamma}$。若 $\\Delta \\bar{\\gamma}\u003c0$ 则执行弹性方案。根据输出主应力重构应力张量（假设主方向不变，因材料各向同性且未涉及主方向旋转），并更新状态变量。整个流程无需任何解析塑性模型，实现了纯数据驱动的应力更新。\n敏感性分析框架：系统考察数据密度（采样角度步长）、增量尺寸、网格细分对代理预测质量的影响，并识别失效边界。例如，当应变增量幅值超过训练最大值时，网络会产生较大误差；网格细分研究显示代理模型保持一致的收敛行为，未表现出病态网格相关性。这些研究为实际应用中如何选取训练参数、如何检测模型失效提供了定量指导。\n通过上述技术，作者将计算塑性问题转化为有监督回归任务，用最小架构代价实现了高精度和高效率的代理，其核心并非提出新网络结构，而是通过工程设计使网络“足够好”地工作，并为此提供了全面的实践方案。\n4. 与之前工作的比较 本文与既有神经网络本构代理研究在多个维度上有显著区别和推进：\n代理范围与完全数据驱动程度：传统的混合方法（如 [30] 用两个网络分别替代各向同性和随动硬化，[31] 用网络分别学习弹性和塑性流动法则，[32] 用网络输出流动法则和随动硬化更新）仍保留部分解析组件，尤其是屈服函数。本文用一个单一前馈网络完全替代了返回映射的全部计算（屈服函数、流动法则、硬化更新），无需任何显式解析表达式。这使得该框架能直接应用于那些宏观屈服面形状复杂甚至无法写出解析形式的情况，例如本文均匀化得到的非关联、非 $J_2$ 行为。\n路径依赖建模策略：文献中的多尺度代理常采用循环神经网络（如 [41] 使用 RNN 为 Perzyna 粘塑性材料学习应变序列到应力序列的映射，[46,47] 亦采用类似架构）。尽管 RNN 理论上可处理任意长短的路径依赖，但其训练难度大、推断计算成本较高，且难以直接处理变步长情况。本文通过引入等效塑性应变 $\\bar{\\varepsilon}^\\text{p}_{\\text{eq}}$ 作为内部的物理学状态变量，配合配对增量训练数据，将演化过程蕴含在输入-输出关系中，使前馈网络足以准确预测。这带来了三个优势：（i）推断时仅需当前状态和增量，无需存储历史状态，内存和计算开销极低；（ii）网络架构简洁，训练稳定；（iii）天然支持变步长，因为步长信息已编码在弹性试应力中。\n与类似前馈代理的比较：Le et al. [44] 也曾用前馈网络代理 RVE 的弹塑性响应，但隐含地假设了关联塑性且针对 $J_2$ 流动，本文覆盖了更一般的非关联情形。而且本文给出的敏感性分析、失效工况识别和完整工作流指南在先前文献中较为少见。Liu et al. [45] 提出的深度材料网络（DMN）用层状块体替换 RVE，其参数离线拟合线弹性响应，然后不变地用于非线性加载；这种方式具有一定的通用性，但预测精度可能受到线弹性等效的限制。本文直接从非线性 FFT 模拟数据学习，能精确复现强非线性响应，尤其在大塑性变形阶段。\n对称性利用与数据效率：许多代理方法针对一般各向异性材料（如 [41,42]），需要大量训练数据覆盖六维应变空间，而本文通过硬性嵌入各向同性和张压对称，将学习任务限制在二维主应力空间的一个象限内，显著减少了数据需求（几百到几千个样本足矣）。当然，这以牺牲一般性为代价，但作者指出，移除对称性假设仅需扩展输入空间维度并调整采样策略，框架本身可自然推广。\n计算效率及工程实用性：本文报告了高达 30,000 倍的加速比，远高于同类代理模型通常报道的几百倍。这得益于极低的网络复杂度（96 个神经元）、在有序主应力空间中的运算以及部署时无需额外数值迭代。此外，作者将网络固化为 UMAT 子程序，可直接在 ABAQUS 等商用软件中使用，无需借助 PyTorch 等深度学习库，便于工业采纳。文献中许多代理模型仅停留在 MATLAB 或 Python 环境的离线验证，本文则真正实现了在专业有限元求解器中的嵌入。\n安全使用指南与失效分析：本文的一个显著特色是，不仅演示成功案例，还详细刻画了代理模型在哪些条件下会失败（如增量步长过大或过小、加载方向超出采样包络、极端塑性应变），并给出了缓解策略（扩展训练集、回退弹性解、监控耗散违反）。这种工程可靠性探讨在多尺度代理文献中尚属首见，有较强的实际指导意义。\n局限性与代价：与严格满足热力学定律的物理约束网络（如基于凸神经网络的模型保证稳定性和唯一性 [59]）相比，本文不硬性保证耗散不等式和材料稳定性，因此存在潜在的非物理预测风险。另外，网络是针对特定 RVE 和固定材料参数训练的，更换 RVE 材料需要重新生成数据并训练，无法通过参数调整来适应不同材料，这一点不同于传统本构模型的可调参数版本。然而，作者提出的“材料专属网络库”概念可视为一种现实折中。此外，当前工作限于宏观各向同性、平面应力、张压对称，推广至三维或各向异性需要重新设计和采样，但方法论框架不变。\n3. 非线性多尺度物理信息学习的统计表述差距 A Statistical Formulation Gap for Nonlinear Multiscale Physics-Informed Learning\n作者: Ronald Katende\n类别: math.NA, cs.LG, math.AP\n发布日期: 2026-07-17\narXiv ID: 2607.15702v1\n摘要翻译: 我们证明了非线性多尺度椭圆方程物理信息学习的有限样本表述差距。对于在尺度 $\\epsilon$ 上系数振荡的均匀单调散度型类，我们为边界兼容的变分神经求解器推导了有限宽度、有限样本和有限迭代的误差界。其稳定性、抽样和优化常数与 $\\epsilon$ 无关，而所有未分辨的尺度依赖性都隔离在最佳逼近误差中。然后，我们为带立方反应的一维周期扩散方程构造了一个最小障碍见证。仅在单参数族 $v_c(x)=cx(1-x)$ 上，强残差的经验拉德马赫复杂度被一个常数乘以 $(\\epsilon\\sqrt{N})^{-1}$ 下界，而平方强残差损失的经验拉德马赫复杂度被一个常数乘以 $(\\epsilon^2\\sqrt{N})^{-1}$ 下界。这些是抽样残差和损失类的与优化器无关的性质，而非神经正切核条件数陈述。相应的变分能量复杂度在 $\\epsilon$ 一致地以一个常数乘以 $N^{-1/2}$ 为上界。张量积构造表明，相同的障碍速率在每一空间维数中持续存在。数值评估给出强残差、平方强损失和变分能量的拟合指数分别为 $0.9971$、$1.9860$ 和 $-0.0028$。因此，微分微观系数会造成有限样本统计病态。变分公式化消除了这种统计惩罚，但没有消除独立的多尺度逼近问题。\nComment: 10 pages, 0 figures, 1 table\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15702v1\n1. 研究对象和背景 本文研究物理信息神经网络（PINNs）在求解非线性多尺度椭圆方程时的统计复杂性问题。考虑定义在有界 Lipschitz 区域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$ 上的一类散度型方程，其系数存在 $\\varepsilon$ 尺度的快速振荡。具体模型为：$u^\\varepsilon\\in H^1_0(\\Omega)$ 满足\n$$-\\nabla\\cdot[\\partial_\\xi F(x, x/\\varepsilon, \\nabla u^\\varepsilon)] + \\partial_s G(x, u^\\varepsilon) = f \\quad \\text{in } \\Omega, \\quad u^\\varepsilon=0 \\text{ on } \\partial\\Omega, \\tag{2.1}$$其中 $F$ 与 $G$ 关于 $\\xi$ 和 $s$ 二次连续可微，且满足一致单调性条件：存在与 $\\varepsilon$ 无关的常数 $\\alpha\u003e0,\\mu\\ge 0$，使对几乎所有 $x,y$ 及任意 $\\xi,s$ 有\n$$\\partial_{\\xi\\xi}^2 F(x,y,\\xi)\\succeq \\alpha I_d,\\quad \\partial_{ss}^2 G(x,s)\\ge \\mu. \\tag{2.3}$$相应的能量泛函为\n$$J^\\varepsilon(v)=\\int_\\Omega\\left[F(x,x/\\varepsilon,\\nabla v)+G(x,v)-fv\\right]dx. \\tag{2.2}$$该类方程涵盖了具有振荡扩散系数（例如 $F$ 依赖于 $x/\\varepsilon$）和非线性反应项（$G$ 关于 $s$ 非线性）的情形，是多尺度建模中的典型问题。\n物理信息神经网络通过最小化 PDE 残差的某种范数来近似解，但常用的强形式损失需要计算 $\\nabla\\cdot(\\partial_\\xi F)$，这会对快速振荡系数 $x/\\varepsilon$ 求导，从而放大高频分量。已有工作从不同角度指出了这种困难：Mishra 和 Molinaro [1] 建立了 PINNs 的泛化误差估计，但未刻画多尺度带来的退化；Gangal, Kim 和 Carney [5] 证明了强形式训练时神经正切核（NTK）的 $\\varepsilon^{-2}$ 增长，表明参数空间中的动力学刚性；Marcondes [6] 则针对线性椭圆方程分析了随机弱残差的统计性质。然而，针对非线性方程，直接对有限样本下的强形式损失类本身的统计复杂度下界尚无结果，且变分形式是否能消除该恶化亦缺乏严格比较。\n本文试图填补这一空白：通过有限样本经验 Rademacher 复杂度，精确刻画强形式残差、平方损失与变分能量在样本规模 $N$ 和振荡尺度 $\\varepsilon$ 下的标度行为，证明存在一个“统计公式差距”——变分形式将复杂性从 $\\varepsilon^{-1}$ 甚至 $\\varepsilon^{-2}$ 降低至 $\\varepsilon$ 无关。这一结果独立于优化器和网络架构，仅由 PDE 的弱形式与强形式之差别决定。\n2. 主要定理或主要结果 本文包含三个主要理论贡献和一个数值验证。\n变分神经求解器的端到端误差界（定理 2.4）：对满足假设 2.1 的非线性单调能量，采用边界兼容的有限特征模型 $v_\\beta(x)=\\beta^T z_m(x)$（$\\|\\beta\\|_2\\le R$），并通过随机采样构造经验能量 $\\widehat{J}_N^\\varepsilon$。以投影梯度下降训练参数 $\\widehat{\\beta}_K$，则对任意 $\\delta\\in(0,1)$，以概率至少 $1-\\delta$ 有 $$\\|\\nabla(v_{\\widehat{\\beta}_K}-u^\\varepsilon)\\|_{L^2(\\Omega)}^2 \\le \\frac{2}{\\alpha}\\left(A_m^\\varepsilon + 2\\Delta_{N,\\delta} + \\frac{2L_{\\text{par}}R^2}{K}\\right), \\tag{2.22}$$其中 $A_m^\\varepsilon = \\inf_{\\|\\beta\\|_2\\le R}(J^\\varepsilon(v_\\beta)-J^\\varepsilon(u^\\varepsilon))$ 是逼近误差，$\\Delta_{N,\\delta}$ 为显式的有限采样误差界（引理 2.3），$L_{\\text{par}}$ 是能量关于参数 $\\beta$ 的 Hessian 模的上界。$\\Delta_{N,\\delta}$ 与 $L_{\\text{par}}$ 均与 $\\varepsilon$ 无关，仅 $A_m^\\varepsilon$ 隐含 $\\varepsilon$。\n一维非线性障碍的复杂度下界（定理 3.2）：考虑方程 $$-\\frac{d}{dx}\\left[a\\left(\\frac{x}{\\varepsilon}\\right)u'(x)\\right]+u^3+u=0,\\; u(0)=u(1)=0, \\quad a(y)=2+\\sin(2\\pi y), \\tag{1.2}$$以及单参数试验函数族 $v_c(x)=c x(1-x),\\, |c|\\le\\kappa$。若 $0\u003c\\varepsilon\\le\\varepsilon_0$ 且样本量 $N\\ge N_\\kappa(\\delta)$，则至少以概率 $1-\\delta$ 成立\n$$\\widehat{\\mathcal{R}}_N(\\mathcal{R}^\\varepsilon) \\ge \\frac{\\kappa\\pi}{4\\sqrt{3}}\\frac{1}{\\varepsilon\\sqrt{N}},\\qquad \\widehat{\\mathcal{R}}_N(\\mathcal{L}^\\varepsilon) \\ge \\frac{\\kappa^2\\pi^2}{48\\sqrt{2}}\\frac{1}{\\varepsilon^2\\sqrt{N}}. \\tag{1.3}$$其中 $\\mathcal{R}^\\varepsilon=\\{r_c^\\varepsilon: |c|\\le\\kappa\\}$ 为强形式残差类，$\\mathcal{L}^\\varepsilon=\\{(r_c^\\varepsilon)^2: |c|\\le\\kappa\\}$ 为平方损失类。与此同时，变分能量类 $\\mathcal{E}^\\varepsilon$ 的经验 Rademacher 复杂度有上界（命题 3.3）\n$$\\widehat{\\mathcal{R}}_N(\\mathcal{E}^\\varepsilon) \\le \\left(\\frac{49}{32}\\kappa^2+\\frac{1}{1024}\\kappa^4\\right)\\frac{1}{\\sqrt{N}}, \\tag{3.17}$$该上界与 $\\varepsilon$ 无关。因此，统计公式差距比满足\n$$\\widehat{\\mathcal{R}}_N(\\mathcal{L}^\\varepsilon) \\ge C_\\kappa \\varepsilon^{-2}\\widehat{\\mathcal{R}}_N(\\mathcal{E}^\\varepsilon), \\quad C_\\kappa\u003e0. \\tag{3.18}$$ 高维推广（命题 3.5）：通过张量积构造 $\\phi_d(x)=\\prod_{j=1}^d \\psi(x_j)$ 和相应的振荡系数 $A^\\varepsilon(x)=\\operatorname{diag}(a(x_1/\\varepsilon),1,\\dots,1)$，上述障碍在任意空间维数 $d\\ge 2$ 下以相同的 $\\varepsilon^{-1}$ 和 $\\varepsilon^{-2}$ 标度持续存在。 数值实验（表 1）对 $\\kappa=1,N=1024$，利用精确的端点见证计算经验复杂度，得到拟合指数：强残差 0.9971，平方损失 1.9860，变分能量 $-0.0028$，与理论预测的 1, 2, 0 高度吻合。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文主要的技术障碍在于直接针对强形式损失本身证明其样本复杂度的下界，而非通过 NTK 或参数空间的间接分析。为此，作者构造了精确的低维见证函数族，结合经验过程（Rademacher 复杂度）与集中不等式完成证明。关键创新点与工具如下。\n1. 变分求解器的统一误差分解（第 2 节）\n障碍：将有限样本统计误差、优化误差与逼近误差分离，并要求所有稳定性常数不依赖于振荡尺度 $\\varepsilon$。 工具： 能量强凸性（引理 2.2）：利用 $F$ 和 $G$ 的一致单调性，证明 $J^\\varepsilon(v)-J^\\varepsilon(u^\\varepsilon)\\ge \\frac{\\alpha}{2}\\|\\nabla(v-u^\\varepsilon)\\|_{L^2}^2$，从而将 $L^2$ 梯度误差转化为能量差。 有限特征的参数化与 Lipschitz 控制：取 $v_\\beta=\\beta^T z_m(x)$，只需调节输出系数 $\\beta$。通过定义 $B_0,B_1$ 控制 $v_\\beta$ 与 $\\nabla v_\\beta$ 的 sup 模，进而通过 $M_F,L_F,M_G,L_G$ 控制能量被积函数 $h_\\beta^\\varepsilon$（(2.11)）关于 $\\beta$ 的 Lipschitz 常数 $L_h$ 与一致界 $M_h$，且二者均不含 $\\varepsilon$ 导数项（因只用到 $F,G$ 关于 $\\xi,s$ 的导数，而非对 $y=x/\\varepsilon$ 的导数）。 采样误差的覆盖数论证（引理 2.3）：对参数球 $B_R^m$ 构造 $R/N$-网，并结合 Hoeffding 不等式与联合界，得到 $$\\Delta_{N,\\delta}=|\\Omega|\\left[\\frac{2L_h R}{N}+M_h\\sqrt{\\frac{2(m\\log(1+2N)+\\log(2/\\delta))}{N}}\\right],$$ 该界与 $\\varepsilon$ 无关。 梯度下降的已知收敛速率：(2.20) $\\widehat{j}_N^\\varepsilon(\\widehat{\\beta}_K)-\\min_{\\beta\\in B_R^m}\\widehat{j}_N^\\varepsilon(\\beta)\\le 2L_{\\text{par}}R^2/K$，其中 $L_{\\text{par}}$ 仅涉及 $L_F,B_1,L_G,B_0$，亦不依赖于 $\\varepsilon$。 将上述三部分与能量强凸性结合即得定理 2.4。 2. 强形式统计恶化的直接下界（第 3 节）\n障碍：必须证明对任意样本，残差类本身（而非训练后的模型）的 Rademacher 复杂度就随 $\\varepsilon$ 爆炸，这需要一致的下界。 见证构造：选取最简单的零解 $u^\\varepsilon\\equiv0$ 和测试函数 $v_c(x)=c\\psi(x)$，直接写出残差 $$r_c^\\varepsilon(x)=c q^\\varepsilon(x)+c^3\\psi^3+c\\psi,\\; q^\\varepsilon(x)=-\\frac{1}{\\varepsilon}a'\\left(\\frac{x}{\\varepsilon}\\right)\\psi'(x)+2a\\left(\\frac{x}{\\varepsilon}\\right).$$ 关键项 $\\frac{1}{\\varepsilon}a'(x/\\varepsilon)\\psi'(x)$ 携带 $1/\\varepsilon$ 因子，且振荡频率为 $\\sim 1/\\varepsilon$。 振荡质量的采样鲁棒性（引理 3.1）：通过计算 $\\int_0^1 \\varepsilon^2 d_\\varepsilon(x)^2 dx$（其中 $d_\\varepsilon=r_\\kappa^\\varepsilon$），利用分部积分控制快速振荡项的积分：$\\int_0^1 a'(x/\\varepsilon)^2\\psi'(x)^2 dx\\ge \\pi^2/3$ 对充分小的 $\\varepsilon$。再结合 $(A+B)^2\\ge A^2/2-B^2$ 与 $|b_\\varepsilon|$ 的一致有界性，得到 $L^2$ 下界 $\\int_0^1 \\varepsilon^2 d_\\varepsilon^2\\ge \\mu_\\kappa$。然后因 $d_\\varepsilon$ 有一致的 $\\varepsilon$-无关上界，利用 Hoeffding 不等式证明采样后下界仍以高概率保持：$\\frac{1}{N}\\sum_{i=1}^N d_\\varepsilon(X_i)^2 \\ge \\mu_\\kappa/(2\\varepsilon^2)$。 Rademacher 复杂度的下界（定理 3.2）： 对于残差类，限制到 $c=\\pm\\kappa$ 两个函数，利用经验 Rademacher 复杂度的定义与 $p=1$ 的 Khintchine 不等式：$\\mathbb{E}_\\sigma|\\sum_i\\sigma_i d_\\varepsilon(X_i)|\\ge \\frac{1}{\\sqrt{2}}(\\sum_i d_\\varepsilon(X_i)^2)^{1/2}$，结合样本下界即得 $\\widehat{\\mathcal{R}}_N(\\mathcal{R}^\\varepsilon)\\ge \\frac{\\sqrt{\\mu_\\kappa}}{\\sqrt{2}\\varepsilon\\sqrt{N}}$。 对于平方损失类，限制到 $c=0$ 和 $c=\\kappa$，类似处理，使用 Khintchine 再应用 Cauchy–Schwarz 不等式：$(\\sum_i d_i^4)^{1/2}\\ge N^{-1/2}\\sum_i d_i^2$，得到 $\\widehat{\\mathcal{R}}_N(\\mathcal{L}^\\varepsilon)\\ge \\frac{\\mu_\\kappa}{4\\sqrt{2}\\varepsilon^2\\sqrt{N}}$。 变分能量的上界（命题 3.3）：将能量被积函数写为 $c^2 A^\\varepsilon + c^4 B$，其中 $A^\\varepsilon$ 涉及 $a(x/\\varepsilon)$ 但不含其导数，故 $\\|A^\\varepsilon\\|_{L^\\infty}\\le 49/32$ 与 $\\varepsilon$ 无关；$B\\le 1/1024$。利用线性组合的 Rademacher 复杂度次可加性得整体 $O(N^{-1/2})$ 上界。 3. 高维推广（第 3.4 节）：利用张量积结构和分离变量，将一维分析直接平移到高维，核心估计仍依赖只在一个方向上出现振荡的事实，其他方向提供$L^2$范数的乘积因子，而下界依然成立。\n这些工具的综合运用，使得本文能够从统计学习理论的角度严格分离出 PDE 的强形式与弱形式在多尺度问题中的本质差异。\n4. 与之前工作的比较 本文与现有物理信息学习以及多尺度 PDE 数值分析的研究进行了多方面的对比，主要推进了以下方面：\n1. 与 PINN 泛化误差分析的比较\n前人的代表性工作（如 Mishra 和 Molinaro [1]）为 PINN 提供了基于稳定性估计的泛化误差界，但通常要求 PDE 系数的光滑性或至少不出现快速振荡。本文明确处理系数在 $x/\\varepsilon$ 处振荡的情形，证明了即使对于光滑但快速振荡的系数，强形式损失也会导致样本复杂度按 $\\varepsilon^{-1}$ 或 $\\varepsilon^{-2}$ 增长，而变分能量损失则完全避免了这一惩罚。 2. 与神经正切核分析的比较（Gangal, Kim, Carney [5]）\n[5] 证明了在强形式训练下，NTK 的某个量以 $\\varepsilon^{-2}$ 增长，表明参数空间中的条件数恶化，使得训练动力学变得刚性。作者明确指出，本文的结果与 NTK 具有结构性差异：NTK 依赖于当前参数状态和架构，反映局部优化行为；而本文的 Rademacher 复杂度下界是函数类本身的属性，独立于优化器、初始化和参数化，衡量的是均匀样本波动。因此，即使一个算法能克服 NTK 的病态，仍可能遭受本文所揭示的统计病态。作者强调：“$\\varepsilon^{-2}$ NTK 增长并不蕴含我们的平方损失下界，反之亦然”。 3. 与随机弱残差方法的比较（Marcondes [6]）\nMarcondes [6] 对线性椭圆方程使用随机测试函数实现 $H^{-1}$ 范数等价，并分析了随机变分 PINN。本文处理的是非线性方程，且直接比较了强形式与变分能量这两种常用物理损失。此外，[6] 侧重于提出一种有效的算法，而本文重点在于揭示不同公式之间的统计复杂性差距。 4. 与变分神经网络求解器（Deep Ritz 方法等）的比较\n现有变分方法的收敛性分析（如 Lu, Lu, Wang [4]）主要关注无振荡系数时高维问题的逼近误差和泛化误差，未涉及系数快速振荡所带来的统计困难。本文定理 2.4 给出的误差分解（逼近 + 采样 + 优化）将多尺度影响完全隔离在逼近误差 $A_m^\\varepsilon$ 中，其余项均与 $\\varepsilon$ 无关，这说明只要逼近能力足够，变分求解器的统计效率不会因尺度下降而退化。 5. 关于公式差距（formulation gap）\n作者首次提出“统计公式差距”的概念，并从理论和数值上验证：仅因 PDE 损失函数的形式不同，即可导致样本复杂度产生 $\\varepsilon^{-2}$ 倍的鸿沟。这一差距并非源于网络结构或训练策略，仅源于对快速系数的微分操作。 6. 逼近误差 $A_m^\\varepsilon$ 的单独存留\n作者特别指出，变分形式虽然去除了统计惩罚，但并未移除多尺度逼近问题本身。$A_m^\\varepsilon$ 仍需通过两尺度架构或非线性校正逼近等专门工具才能得到控制，这为未来的神经网络设计保留了独立的研究方向。 7. 数值验证的独特性\n与多数工作进行的端到端 PDE 求解实验不同，本文的数值实验直接计算了理论证明中出现的经验 Rademacher 复杂度，精确复现了所预测的标度指数，从而强有力地支撑了纯分析结果。 了解领域论文（摘要翻译） 1. 使用杂交间断伽辽金方法的可压缩流动IMEX格式 IMEX Schemes for Compressible Flow using Hybridizable Discontinuous Galerkin Methods\n作者: Jan Ellmenreich, Edmond K. Shehadi, Philip L. Lederer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-17\narXiv ID: 2607.16044v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.16044v1\n摘要翻译 中文标题: 使用杂交间断伽辽金方法的可压缩流动IMEX格式\n摘要翻译: 本文针对可压缩流动方程发展了一种几何分裂的隐式-显式（IMEX）框架，其中刚性区域通过隐式杂交间断伽辽金（HDG）方法处理，而非刚性区域则通过显式间断伽辽金（DG）方法处理。考察了两种隐式格式：混合HDG方法（HDG-MX）和原始变量内部惩罚HDG方法（HDG-IP）。隐式与显式解之间的空间耦合通过适当的界面条件以守恒方式实现，同时利用加性Runge-Kutta（ARK）格式维持时间同步。我们详细讨论了所得IMEX格式的计算性能。一系列数值实验的验证与确认表明，所提出的IMEX格式在空间和时间上均达到高阶精度。性能研究进一步表明，该方法能有效缓解由几何诱导的刚性，并且若隐式区域选取恰当，相对于全显式DG格式，可提供高达约50倍的加速。\n2. 面向物理信息学习的可训练样条表示 Trainable Spline Representations for Physics-Informed Learning\n作者: Giovanni Canali, Nicola Demo, Gianluigi Rozza\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-07-17\narXiv ID: 2607.15751v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15751v1\n摘要翻译 中文标题: 面向物理信息学习的可训练样条表示\n摘要翻译: 本文引入物理信息样条(PI-Splines),一种基于结构化的样条架构用于物理信息学习。PI-Splines不再用神经网络表示微分方程的解,而是通过具有可训练控制系数的张量积B样条展开直接参数化未知场。该公式保留了物理信息神经网络的基于残差的训练范式,同时提供紧支撑、显式光滑性控制、解析导数以及可训练参数的直接几何解释。当与样条表示相容时,边界条件可以通过固定合适的边界控制系数强施加。所提方法在多个难度递增的基准问题上进行了评估,并在匹配的控制方程、配置点集、损失项和优化过程下与标准物理信息框架进行了比较,以分离近似架构的影响。数值实验表明PI-Splines为神经物理信息架构提供了一种有竞争力且稳定的替代方案,特别是在需要结构化表示、局部性和参数效率的情形中。\n3. 非对称内部惩罚DG离散中粘性旋转浅水方程的惩罚缩放效应 Penalty-scaling effects in nonsymmetric interior-penalty DG discretizations of viscous rotating shallow-water equations\n作者: Xue Zhang, Jingmin Xia, Xu Qian\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-17\narXiv ID: 2607.15643v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15643v1\n摘要翻译 中文标题: 非对称内部惩罚DG离散中粘性旋转浅水方程的惩罚缩放效应\n摘要翻译: 我们研究了内部惩罚参数的缩放如何影响使用位势变量的粘性旋转浅水方程的非对称内部惩罚伽辽金（NIPG）离散。双曲项由局部Lax–Friedrichs通量逼近，而粘性通过惩罚律 $μ_e=σh_e^{-β}$ 作用于动量变量。将标准选择 $β=1$ 和超惩罚选择 $β=3$ 与对称内部惩罚伽辽金参考格式进行比较。对于扩散形式，我们建立了相容性，$β\\ge 1$ 时的连续性，以及动量 DG 半范下的精确强制性恒等式。加工解测试表明，超惩罚可以恢复期望的动量 $L^2$ 精度，而耦合的位势变量不一定表现出同样的改善。旋转和含地形效应的测试进一步表明，对于此处考虑的显式实现，标准缩放通常给出较好的精度-代价折衷。\n不相关论文（基本信息） 1. 基于拉普拉斯最优传输的聚类感知匹配 Cluster-Aware Matching via Laplacian Optimal Transport\n作者: Gabriel Samberg, YoonHaeng Hur, Yuehaw Khoo, Nir Sharon\n类别: stat.ML, cs.LG, math.NA, stat.ME\n发布日期: 2026-07-17\narXiv ID: 2607.16178v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.16178v1\n摘要: In many applications of matching, the point clouds to be matched are not merely unstructured sets of points but rather samples from distributions with an intrinsic cluster structure. In such cases, as individual points are often interchangeable within a coherent region, finding a robust region-to-region alignment is more desirable than establishing a precise point-to-point correspondence. To this end, we propose a novel approach for cluster-aware matching based on Laplacian Optimal Transport (LapOT). The key idea is to regularize the optimal transport problem with quadratic Laplacian terms constructed from similarity graphs of the point clouds, which encourages the optimal coupling to respect the cluster structure of both point sets. We also introduce Refined Simultaneous Clustering (RSC), a method that leverages the cluster-aware coupling obtained from LapOT to produce consistent partitions across the point sets, which can overcome the limitations of independent clustering and yield more stable and interpretable results. We demonstrate the effectiveness of our approach through theoretical analysis and empirical experiments, showing that LapOT indeed produces cluster-aware matching that leads to more consistent and meaningful alignments between point clouds.\n2. 基于平均与噪声感知自适应 Bregman-Kaczmarz 的含噪数据加速精确恢复 Accelerated Exact Recovery from Noisy Data via Averaging and Noise-Aware Adaptive Bregman-Kaczmarz\n作者: Lionel Tondji, Abakar A. Mahamat, Idriss Tondji\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-07-17\narXiv ID: 2607.16003v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.16003v1\n摘要: The adaptive Bregman-Kaczmarz method recovers the exact, noise-free solution of a linear inverse problem even when every measurement it queries is corrupted, provided the corruption is fresh, independent and zero-mean. A block version was proposed for parallel hardware, but whether larger blocks actually converge faster was left open. We show the answer hinges on how the block is used: replacing the block sum with a block average collapses the analysis onto a single positive-semidefinite matrix, through which we prove that the guaranteed convergence improves monotonically with the batch size, with a total gain governed by the stable rank of the system matrix. We then address heterogeneous noise by introducing a noise-aware weighting that down-weights unreliable measurements, and prove it is strictly better than uniform weighting whenever the noise is not proportional to the row norms - a condition that essentially never holds in practice. The two improvements are compatible and their benefits combine. Finally, we show the adaptive step size interpolates automatically between a fast initial phase and a slowly vanishing tail that carries the error exactly to zero, and we explain how its hyperparameters can be estimated without knowing the true solution. Numerical experiments under sparse, heterogeneous noise illustrate these findings and confirm that the heuristic estimates produce effective step sizes.\n3. 针对具有不可微和超线性漂移系数的随机微分方程的投影漂移随机化米尔斯坦方法 A Projected Drift-Randomized Milstein Method for SDEs with Non-differentiable and Super-linear Drift Coefficients\n作者: Shuai Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-17\narXiv ID: 2607.15934v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15934v1\n摘要: We propose a projected drift-randomized Milstein (PRM) method for stochastic differ ential equations with non-differentiable and super-linearly growing drift coefficients. The method extends the randomized Milstein approach beyond the globally Lipschitz setting by incorporating a drift projection into the randomized quadrature approximation. Moreover, unlike existing first-order Milstein-type methods for SDEs with super-linearly growing drift coefficients, the proposed method does not require spatial differentiability of the drift coefficient. Under suitable polynomial Lipschitz and one-sided Lipschitz conditions on the drift, together with standard regularity assumptions on the diffusion, we establish a one-step mean-square stability estimate and derive the required local residual bounds. These esti mates yield first-order strong convergence of the PRM method in the L2-sense. Numerical experiments confirm the theoretical convergence rate and demonstrate the applicability of the method to SDEs with non-differentiable and super-linearly growing drifts.\n4. 随机 Erdős\u0026ndash;Rényi 图上能量景观的超度量组织：障碍层级结构的拓扑起源 Ultrametric organization of energy landscapes on random Erdős\u0026ndash;Rényi graphs: topological origin of barrier hierarchy\n作者: A. P. Zubarev\n类别: cond-mat.stat-mech, cond-mat.dis-nn, math.NA\n发布日期: 2026-07-17\narXiv ID: 2607.15902v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15902v1\n摘要: We investigate the ultrametric organization of energy landscapes defined on sparse random Erdős\u0026ndash;Rényi graphs. Each graph vertex is assigned a random free energy from a uniform distribution over an interval of width $ΔF$, and the kinetics are modeled by a Markov process with Kramers transition rates. Using spectral decomposition of the rate matrix, we construct a kinetic Mahalanobis metric between basins of attraction. Computational experiments for graphs with $V=5000$ vertices and $E=5000$ edges show that the degree of nontrivial ultrametricity increases monotonically from $\\approx42\\%$ for $ΔF=10$ kJ/mol to $\\approx96\\%$ for $ΔF=1000$ kJ/mol. We prove a limit theorem: as $ΔF\\to\\infty$, the logarithmic asymptotics of this metric converge pointwise to the classical single-linkage ultrametric. For finite $ΔF$, corrections from suboptimal paths are exponentially suppressed with increasing $ΔF$, so that the metric becomes asymptotically ultrametric. Our results suggest that ultrametricity is a universal property of sparse, locally tree-like networks with rugged energy landscapes in the limit of large energy spreads.\n5. 从稀疏边界测量重构热方程中的测度值源项 Recovery of a Measure-valued Source in the Heat Equation from Sparse Boundary Measurements\n作者: Ulysse Dalmasso, Siyu Cen, Yavar Kian\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-07-17\narXiv ID: 2607.15841v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15841v1\n摘要: This article is devoted to the inverse source problem of uniquely determining a measure-valued source from sparse boundary measurements. The measurements considered consist of flux observations over a time interval at two distinct points on the boundary of the domain. The main objective of this work is to extend the existing literature on inverse source problems from sparse boundary measurements, which has so far been limited to point sources or L2 sources, to the identification of a general class of Radon measures. Our approach combines several analytical tools, including regularity properties, boundary representations, and the time analyticity of solutions to the diffusion equation with singular sources. Our theoretical analysis is complemented by a numerical study of the problem. In particular, we investigate the reconstruction of point sources and of a source supported on a curve, and present numerical experiments illustrating the recovery of such sources from sparse boundary flux measurements.\n6. 一次性系统辨识的0-1律 A zero-one law for one-shot system identification\n作者: Nicolas Boullé, Diana Halikias, Samuel E. Otto, Alex Townsend\n类别: math.NA, cs.LG, math.DS\n发布日期: 2026-07-17\narXiv ID: 2607.15832v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15832v1\n摘要: Can a model be identified from one experiment? We study analytic systems that are linearly parameterized by a combination of prescribed dictionary terms, such as partial differential operators and dynamical systems. For a single input-response pair, recovery is possible exactly when the evaluated dictionary terms are linearly independent. We prove a sharp zero-one law: either no input uniquely determines the coefficients, or almost every random input sampled from a nondegenerate Gaussian measure does. This dichotomy reduces one-shot system identification to a question about degenerate inputs and provides an a posteriori certificate for any recovered model. Numerical examples recover dynamical systems, nonlinear partial differential equations, and structured matrix families from single trajectory data, while also detecting when an extra probe is necessary.\n7. CoG引导的权重校正用于容错深度神经网络 CoG-Guided Weight Correction for Fault-Tolerant Deep Neural Networks\n作者: Bahram Parchekani, Samira Nazari, Ali Azarpeyvand, Mohammad Hasan Ahmadilivani, Tara Ghasempouri, Jaan Raik\n类别: cs.LG, cs.AR, math.NA\n发布日期: 2026-07-17\narXiv ID: 2607.15753v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15753v1\n摘要: Deep Neural Networks (DNNs) used in safety-critical applications are vulnerable to hardware and memory faults that corrupt network weights and degrade reliability. In this paper, we propose a Center of Gravity (CoG) guided weight correction method that restores faulty weights based on their spatial characteristics within each layer. The proposed approach detects and corrects weight faults using distance-aware correction rules, eliminating the need for retraining or architectural modification. The effectiveness of the proposed method in terms of the capability of tolerating hardware faults has been evaluated through performing fault injection at different Bit Error Rates (BERs). Experiments on safety-critical LSTM-based Networks, including StageNet for disease progression tracking and MTFNet for cardiac anomaly detection, demonstrate fault tolerance improvements of up to 230x and 6.41x, respectively, at a BER of 10^{-3}, with negligible accuracy loss. When extended to Convolutional Neural Networks (CNNs), the method achieves up to 49.55x and 20.79x improvements under comparable fault conditions on ResNet-18 and VGG-16, respectively. To the best of our knowledge, this is the first work to apply the CoG concept to neural network weight tensors for enhancing model reliability.\n8. 埃尔米特矩阵多项式的快速稳定性检验 Fast stability tests for Hermitian matrix polynomials\n作者: Vanni Noferini, Xuzhou Zhan\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-17\narXiv ID: 2607.15636v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15636v1\n摘要: Assessing the asymptotic stability of linear self-adjoint homogeneous systems of differential-algebraic equations requires testing the Hurwitz stability of the associated Hermitian matrix polynomial $P(λ)$. Tests for known necessary and sufficient conditions rely on linearizations and eigensolvers, solving matrix equations and testing matrix inequalities, or generalized Bézoutians, and scale with either $O(d^2 n^3)$ or $O(d^3n^3)$ complexity, where $d$ and $n$ are the degree and size of $P(λ)$, respectively. We establish several novel sufficient conditions for stability, based on the numerical range of $P(λ)$. Based on the new results, we propose algorithms with $O(d n^3)$ asymptotic complexity. Our methods rely on very efficient core numerical linear algebra routines, such as the Cholesky decomposition of $n \\times n$ matrices or the computation of the largest eigenvalue of $n \\times n$ definite pencils. Therefore, a significant computational advantage can be expected in favor of the proposed approach even for moderate values of $d$ or $n$, and we verify this with numerical experiments.\n9. RCLUPPr：一种带有LU预条件的新型随机CholeskyQR RCLUPPr: a new randomized CholeskyQR with LU preconditioning\n作者: Haoran Guan, Zhenyu Zou, Yufeng Wei, Yipei Chen, Peiting You, Yuwei Fan\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-17\narXiv ID: 2607.15561v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15561v1\n摘要: In this work, we present the comprehensive rounding error analysis of RCLUPPr proposed in \\cite{RCLUPP}, which is a novel randomized CholeskyQR-type algorithm performing LU decomposition with partial pivoting (LUPP decomposition) directly on the tall-skinny $X\\in\\mathbb{R}^{m\\times n}$ with $m \\ge n$ and $\\mbox{rank}(X)=n$. In contrast to the existing RCLUPP in \\cite{RCLUPP}, which applies matrix sketching before LUPP decomposition, RCLUPPr places LUPP decomposition as a preconditioning step first, significantly reducing error propagation. Our analysis rigorously proves that RCLUPPr enjoys markedly better applicability to the ill-conditioned matrices than the existing CholeskyQR-type algorithms and remains stable and accurate in the mixed-precision arithmetic. We further propose practical acceleration strategies in the real implementations of RCLUPPr. Extensive numerical experiments on the real-world problems confirm the theoretical results in this work, demonstrating the robustness and practicality of RCLUPPr in the single, double, and the mixed-precision architecture.\n10. 通过扰动保持记忆压缩的快速可扩展卡普托分数阶梯度下降 Fast and Scalable Caputo Fractional Gradient Descent via Perturbation-Preserving Memory Compression\n作者: Hwanseo Lee, Junseo Lee, Hyunju Kim\n类别: math.OC, cs.LG, cs.NE, math.NA\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.15505v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15505v1\n摘要: Fractional gradient descent (FGD) incorporates long-range memory through Caputo-type operators and has been shown to improve stability in ill-conditioned and nonconvex optimization problems. Despite these advantages, its practical use remains limited, mainly due to the high computational cost of evaluating history-dependent convolutions, which scales quadratically with the number of iterations. In this paper, we focus on making Caputo-based optimization computationally viable without sacrificing its intrinsic memory structure. We begin by expressing the fractional descent direction as a discrete convolution over past gradients, which provides a unified view of the method. Based on this formulation, we introduce two complementary mechanisms to reduce the cost of the memory term. The first uses a sum-of-exponentials (SOE) approximation of the power-law kernel, leading to efficient recursive updates. The second approach, newly proposed in this paper as dyadic hierarchical discrete convolution (DHDC), compresses the gradient history through a multiscale aggregation strategy. Rather than treating these approximations as purely numerical accelerations, we interpret them as perturbations of the ideal Caputo operator. This viewpoint allows us to analyze how the compressed memory affects the optimization dynamics. Under standard $μ$-strong convexity and $L$-smoothness assumptions, we show that the resulting method still exhibits monotone descent and linear convergence, provided that the approximation error remains controlled.\n11. 短球面 $t$-设计曲线 Short spherical $t$-design curves\n作者: Emily J. King, Dustin G. Mixon\n类别: math.CO, math.MG, math.NA\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.15386v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15386v1\n摘要: We study the minimum arclength of spherical $t$-design curves, i.e., closed rectifiable curves on $S^d$ whose normalized arclength measure exactly integrates every polynomial of degree at most $t$. We prove an explicit spectral lower bound that is sharp for $t=1$ in all spheres and for $t=2$ in every odd-dimensional sphere, yielding the first exact optimality results for spherical $t$-design curves with $t\u003e1$. For even-dimensional spheres, we construct $2$-design curves whose lengths asymptotically match the lower bound as $d\\to\\infty$, and in $S^2$, we use numerical optimization and the calculus of variations to derive a candidate for the shortest $2$-design curve.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-20_10-32-59/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月20日 10:32:59\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 11\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-对于边界具有-gevrey-正则性的分片光滑-helmholtz-问题--有限元法不受污染效应影响\"\u003e1. 对于边界具有 Gevrey 正则性的分片光滑 Helmholtz 问题, $hp$ 有限元法不受污染效应影响\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eThe $hp$-FEM does not suffer from the pollution effect for piecewise-smooth Helmholtz problems with Gevrey regularity at boundaries\u003c/p\u003e","title":"2026年07月20日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月17日 09:33:41\n重点关注论文数量: 3\n了解领域论文数量: 5\n不相关论文数量: 20\n重点关注论文（完整分析） 1. 基于区域分解与非侵入式神经模型降阶的多尺度混合维仿真 Multiscale Mixed-Dimensional Simulation via Domain Decomposition and Non-Intrusive Neural Model Order Reduction\n作者: Nunzio Dimola, Piermario Vitullo, Paolo Zunino\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.15171v1\n摘要翻译: 科学与工程中涌现的许多计算模型具有多尺度结构，使得全局问题的组装或直接求解在计算上不可行。区域分解(DD)方法通过将全局问题替换为一系列耦合的局部问题，并通过迭代求解重构全局响应，从而克服了这一局限。本文在区域分解降阶模型(DD-ROM)的框架下提出了一种方法，其基础是观察到DD不仅自然地局部化了求解算子，也局部化了其几何和参数依赖性。其核心思想是，DD将一个全局难以处理的解映射转化为一族局部可表示算子，这些算子可在与公共参考构型对应后，从可负担的局部数据中学习得到——我们通过局部可表示性的概念形式化了这一思路。然后，训练非侵入式神经代理模型来逼近细尺度的局部运算，并将其嵌入迭代求解器中。训练算法基于一种级联策略，旨在匹配部署后的代理迭代所遇到的分布。我们将得到的DD方法解释为扰动不动点迭代，并证明全局误差受代理逼近误差的控制。该框架针对混合维椭圆问题进行了实例化，这类问题将三维体区域与嵌入的一维夹杂耦合，采用双层非重叠Robin-Robin方法。数值实验表明，所得DD-ROM稳定，对未见微观几何形状能实现精确逼近，并具有关于子域数量的良好可扩展性，能缩放至大规模全局问题，同时在在线阶段避免了细尺度算子组装和局部高保真求解器。\nComment: 43 pages, 7 figures\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15171v1\n1. 研究对象和背景 许多科学与工程问题中的计算模型呈现多尺度结构，即宏观域中包含局部精细尺度特征，例如裂隙多孔介质 [1,2]、植物根系 [3,4]、血管化生物组织 [5,6,7,8] 以及复合材料 [9,10,11] 等。这些系统的数值模拟通常导致极大规模的系统，反复求解代价极其高昂。在很多情况下，无论是全局解析的精细模拟还是全局精细算子的组装，在计算上都不可承受。\n本文聚焦于一类由参数化偏微分方程控制的多尺度问题，其系数与源项在细观尺度上呈现异质性，导致解中同时存在多个特征长度。设全局域（宏观域）为 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$，特征尺度 $L$，其内部包含细观结构 $\\Lambda$，尺度 $\\ell\\ll L$。问题的参数 $\\mu\\in\\mathcal{P}$ 编码了 $\\Lambda$ 的变异性。考虑稳态椭圆型问题：求 $u_\\mu\\in V(\\Omega)$ 满足 $p_\\mu(u_\\mu)=0$，其解映射为 $s:\\mathcal{P}\\to V(\\Omega)$，$s(\\mu)=u_\\mu$。直接离散该问题需要在整个 $\\Omega$ 上解析细观结构，导致离散算子的组装和反复求解都极其昂贵。\n已有多种方法应对这一挑战，包括均匀化 [12]、多尺度有限元 [13]、异质多尺度方法 [14]、局部正交分解 [15] 和数值升尺度 [11] 等，它们通过导出有效的粗尺度模型来保留细观结构的影响。基于投影的模型降阶 [16,17] 利用解流形的低维结构加速重复模拟。近年来，数据驱动和算子学习方法展示了直接从数据逼近解算子的能力 [18,19,20,21]。这些方法尽管差异显著，但通常依赖于特定问题的多尺度构造，或者依赖于离线阶段生成的高保真全局数据集。对于极大规模的多尺度系统，这种离线成本本身就可能成为主要瓶颈。\n区域分解 (Domain Decomposition, DD) 方法提供了一种自然的机制，将降阶任务从全局系统转移到一系列局部问题上 [22,23]。这一思想在局部化和基于组件的模型降阶中已得到广泛认可。经典方法为子域或可复用原型组件构造降阶空间，并通过拉格朗日乘子、静态凝聚、降阶界面、间断格式、优化原理或 Schwarz 迭代等方式进行耦合。近期的综述 [24] 将这类通常称为 DD-ROM 的方法分为侵入式投影类和非侵入式数据驱动类，并强调了空间局部化、局部参数化、局部基构造和界面耦合的核心作用。例如文献 [25,26,27] 展示了区域分解与局部模型降阶相结合是一个活跃的研究方向。更一般地，科学机器学习的兴起正促进区域分解技术与数据驱动建模之间日益紧密的交互，产生了融合算法结构与习得局部表示的混合降阶框架 [28]。\n在上述背景下，本文的贡献在于针对多尺度混合维问题，从算子层面实现了一种 DD-ROM。我们将二维非重叠 Robin–Robin 迭代中涉及的细尺度操作进行分解，并通过引入三个局部替代模型进行近似，即传输映射 $T_{\\rm rom}$、局部解映射 $S_{\\rm rom}$ 和粗残差贡献 $C_{\\rm rom}$。它们的联合使用替代了在线区域分解迭代所需的所有细尺度算子计算。单纯对局部子问题进行替代仍需要在在线阶段进行界面传输量和粗残差贡献的高保真计算；通过学习这些额外的局部算法映射，本文方法消除了对细尺度局部算子的剩余依赖。同时，保留显式粗校正提供了一种全局通信机制，其重要性随子域数目的增加而愈发重要。由此得到的方法既非侵入式又可扩展。我们将这种双层算子‑替代构造称为多尺度 DD‑ROM 框架，简记为 MS‑DD‑ROM。\n本文还将上述框架实例化到一个具体的混合维问题上：三维连续介质与嵌入的一维网络相耦合的椭圆问题。三维问题通过双层非重叠 Robin–Robin 方法求解，而一维结构进入局部参数化，并驱动基于微结构的替代模型。此设置虽然受血管化组织中的氧气传输与灌注问题启发 [6]，但方法论在抽象层面表述，可广泛适用于具有可复用局部分解的参数化多尺度 PDE。\n论文关注的核心空白在于：如何在不依赖全局精细模拟的前提下，构建可处理参数化多尺度混合维问题的、有理论保证的非侵入式 DD ‑ROM，并确保替代模型在 DD 迭代中的稳定性与可扩展性。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果可概括为以下定理、假设与数值发现：\n假设 1 (局部可表示性) 设存在参考域 $\\Omega^\\star=(0,1)^d$，局部化参数空间 $\\widehat{\\mathcal{P}}$，以及参考局部问题族 $\\{p_{\\widehat{\\mu}}^\\star\\}$ 及其解算子 $s^\\star:\\widehat{\\mathcal{P}}\\to V(\\Omega^\\star)$，使得对每个子域 $i$、每次 DD 迭代 $k$ 以及每个全局参数 $\\mu$，存在 $\\widehat{\\mu}_i^{(k)}\\in\\widehat{\\mathcal{P}}$ 满足 $$ \\mathcal{T}_i s_i\\big(\\widehat{\\mu}_i^{(k)}\\big) = s^\\star\\big(\\widehat{\\mu}_i^{(k)}\\big) \\quad\\text{或等价地}\\quad s_i\\big(\\widehat{\\mu}_i^{(k)}\\big) = \\mathcal{T}_i^{-1} s^\\star\\big(\\widehat{\\mu}_i^{(k)}\\big), $$ 其中 $\\mathcal{T}_i$ 为通过双射 $\\Phi_i:\\Omega^\\star\\to\\Omega_i$ 定义的拉回映射。该假设保证了所有局部问题可统一为单一参考参数化问题。\n假设 2 (均匀逼近性) 参考替代模型 $\\tilde{s}^\\star$ 满足 $$ \\sup_{\\widehat{\\mu}\\in\\widehat{\\mathcal{P}}} \\| e^\\star(\\widehat{\\mu})\\|_{V(\\Omega^\\star)} \\le \\varepsilon, $$ 其中 $e^\\star := s^\\star - \\tilde{s}^\\star$ 为局部替代误差。\n假设 3 (DD 迭代的稳定性) 存在常数 $C_{\\rm DD}\u003e0$ 使得扰动 $\\delta^{(k)} := \\widetilde{DD}_\\mu(\\tilde{u}^{(k)}) - DD_\\mu(\\tilde{u}^{(k)})$ 满足 $$ \\big\\| \\delta^{(k)} \\big\\|_\\star \\le C_{\\rm DD} \\max_{i\\in\\mathcal{I}} \\big\\| e^\\star(\\widehat{\\mu}_i^{(k)}) \\big\\|_{V(\\Omega^\\star)} . $$ 该假设刻画了局部算子扰动通过界面交换与全局装配操作的传播方式，其成立依赖于 DD 算子的 Lipschitz 连续性。\n在上述假设下，主要理论结论为：\n命题 1 (替代扰动下的稳定性) 设 $DD_\\mu$ 在范数 $\\|\\cdot\\|_\\star$ 下为压缩映射，压缩因子 $q\u003c1$，且扰动满足假设 3。则替代‑扰动的 DD 迭代满足 $$ \\limsup_{k\\to\\infty} \\big\\| u_\\mu - \\tilde{u}^{(k)} \\big\\|_\\star \\le \\frac{C_{\\rm DD}}{1-q}\\,\\varepsilon . $$ 该不等式将全局误差直接与局部替代逼近误差 $\\varepsilon$ 联系起来，放大因子由压缩因子 $q$ 和稳定性常数 $C_{\\rm DD}$ 决定。\n级联训练策略 为确保训练数据分布与替代模型部署时 DD 迭代所遇到的状态分布一致，本文设计了一种级联训练算法：依次引入各替代模型，每个后续模型都在已被近似模型生成的迭代轨迹上进行训练。\n实例化结果 对于混合维问题 (2)，其中三维域采用双层非重叠 Robin–Robin DD，传输参数 $\\rho\u003e0$，局部子问题如 (7) 所示。数值实验表明：MS‑DD‑ROM 稳定，对于未见过的微观几何能够达到精确逼近，并且关于子域数目具有良好的可扩展性，能够处理大规模全局问题而在线阶段完全避免细尺度算子的组装和局部高保真求解。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的证明框架与技术工具围绕以下核心要素展开：\n1. 局部可表示性与参考域构造\n这是整个框架的基石。区域分解自然地将全局解算子的参数依赖性局部化：每个局部子问题不仅依赖于物理参数（几何、系数、源项），还依赖于 DD 迭代过程中产生的界面数据（算法状态）。因此，局部参数空间被扩充为 $\\widehat{\\mathcal{P}}$，其元素 $\\widehat{\\mu}_i^{(k)} = (\\lambda_i, \\nu_i^{(k)})$ 包含物理参数 $\\lambda_i$（如细观结构）和算法参数 $\\nu_i^{(k)}$（如 Robin 传输数据）。进一步，通过假设子域 $\\Omega_i$ 均可通过双射 $\\Phi_i$ 映到统一的参考域 $\\Omega^\\star$，可将所有局部解算子拉回到 $\\Omega^\\star$ 上，从而只需学习一个参考替代模型 $\\tilde{s}^\\star:\\widehat{\\mathcal{P}}\\to V(\\Omega^\\star)$。这一“局部可表示性”假设极大地降低了学习任务的复杂度与数据需求。\n2. 级联训练策略\n直接用理想条件下（使用精确局部算子）的 DD 迭代数据训练替代模型，会在部署时遇到分布偏移：替代模型自身的误差会改变后续迭代的输入分布，导致性能退化。本文的解决方案是级联训练：按照替代模型被引入 DD 迭代的先后顺序，依次训练。例如，先训练一个替代某个局部算子的模型，然后用包含该替代模型的迭代生成数据训练下一个替代模型。这样，每个模型的训练分布与它在最终 MS‑DD‑ROM 迭代中所面对的分布一致，从而在理论上支持全局逼近精度的要求（假设 2 需覆盖 DD 轨迹上的所有可能状态）。\n3. 受扰不动点迭代与稳定性分析\n将替代局部算子嵌入 DD 迭代后，全局迭代算子变为 $\\widetilde{DD}_\\mu$，它可看作精确迭代 $DD_\\mu$ 加上一个依赖于替代误差的扰动项 $\\delta^{(k)}$。在 $DD_\\mu$ 为压缩映射（因子 $q\u003c1$）的假设下，命题 1 通过标准的扰动收缩半群分析证明了全局误差的渐近界。该分析的关键在于分解 $\\tilde{u}^{(k+1)} - u_\\mu = DD_\\mu(\\tilde{u}^{(k)}) - DD_\\mu(u_\\mu) + \\delta^{(k)}$，然后利用压缩性进行递推。扰动的大小由假设 3 引出的局部误差界 $\\varepsilon$ 和稳定性常数 $C_{\\rm DD}$ 控制。这一分析不仅提供了误差估计，还指导了训练要求：即需要确保替代模型在包含 DD 迭代状态的局部参数空间上有均匀精度。\n4. 混合维问题的具体算子分解\n在实例化到混合维椭圆问题 (2) 时，三维域上的双层 Robin–Robin DD 涉及三类核心局部操作：（a）Robin 传输算子 $T_{\\rm rom}$，它将邻域界面状态转化为 Robin 右端项；（b）局部解算子 $S_{\\rm rom}$，即求解带 Robin 条件的本地子问题；（c）粗残差贡献 $C_{\\rm rom}$，它计算子域对粗网格校正方程的贡献。传统降阶若仅替代 $S_{\\rm rom}$，仍需在线计算 $T_{\\rm rom}$ 和 $C_{\\rm rom}$，而它们同样涉及细尺度装配。本文的非侵入式 MS‑DD‑ROM 将三者全部用神经网络替代，从而在在线阶段完全摆脱了细尺度局部矩阵的装配与求解。神经网络训练数据仅来自本地精细模拟，无需全局模拟。\n5. 有限元离散与代数结构\n文中给出了基于有限元的弱形式 (10) 和迭代格式 (11)。由于采用一致网格且子域仿射等价，局部代数结构具有相似性，这为神经替代模型的输入输出设计提供了方便。传输数据 $f_{h,j}$ 表达为对偶表示，并通过 Robin 条件实现界面耦合。整个代数框架保持了 DD 方法的模块化优点，使神经替代模型可以即插即用。\n4. 与之前工作的比较 本文与既有 DD‑ROM 及多尺度方法的研究对比可沿以下几个维度展开：\n1. 与非侵入式 DD‑ROM 的对比\n现有的非侵入式 DD‑ROM 方法通常需要全局精细解或全局精细模拟来提供训练数据（如文献 [24] 中所述的数据驱动类方法）。本文的关键不同在于：训练数据完全源自本地精细模拟，不需要任何全局精细解。其基础是局部可表示性假设，该假设将所有子域映射到参考域，使得只需学习一个参考替代模型，训练数据可由对参考域上参数化局部问题的精细求解生成。这大幅降低了离线成本，并使得即使全局问题规模大到无法进行精细模拟时，MS‑DD‑ROM 仍能构建。\n2. 与侵入式投影 DD‑ROM 的对比\n侵入式方法通常需要在本地构建降阶基（如 POD 基），并要求在线阶段能够访问精细离散算子以进行投影（见 [25,26,27]）。本文方法完全非侵入，使用神经网络学习从局部参数到局部解（或所需量）的映射，无需任何内部代码修改。此外，通过同时替代传输映射和残差贡献，进一步消除了在线阶段对精细算子的依赖，而传统侵入式 DD‑ROM 往往仍需在线计算界面通量或残差。\n3. 与混合维问题数值方法的对比\n混合维 3D‑1D 耦合问题 (2) 已有较深入的研究，如降维建模 [30,31,32]。这些工作关注耦合格式本身（如交替求解）以及离散化方案，但并未将求解器与局部神经替代模型结合。本文在此类耦合问题之上引入 DD 与神经替代模型，是针对参数化情形求解效率的显著推进。特别是，对于拓扑变化或细观几何变化的参数化问题，以往需要重新计算全局耦合解，而本文只需对参考局部问题训练一次替代模型，即可在线响应该类变化。\n4. 级联训练策略与分布偏移处理\n机器学习辅助的迭代求解器常面临训练‑部署分布不一致的问题。在替代模型进入循环后，其自身误差会改变后续迭代的输入分布，导致性能下降。本文明确认识到这一点，并设计了级联训练策略，使每个替代模型的训练状态来自先前已被近似的迭代。这与普通离线训练（使用理想迭代数据）形成对比，普通离线训练可能在替代误差较大时失效。级联策略从原理上缓解了分布偏移，这是对 DD‑ROM 训练方法的一个重要补充。\n5. 理论保证与适用范围\n本文提供了基于压缩不动点迭代的误差传播分析，将全局误差显式地与局部替代误差 $\\varepsilon$、收缩因子 $q$ 和稳定性常数 $C_{\\rm DD}$ 联系起来。这与许多纯数据驱动方法的黑箱性质不同，为替代模型精度需求提供了指导。然而，这一分析依赖于几点假设：$DD_\\mu$ 为压缩映射（取决于传输参数 $\\rho$ 的适当选择）、局部可表示性成立（要求子域几何足够规则并能仿射映射到参考域）、以及局部替代模型的均匀逼近性能在 $\\widehat{\\mathcal{P}}$ 上实现。这些条件限制了当前框架直接应用于任意复杂几何或高度异质非仿射子域情形。文中实例采用张量积域和 Cartesian 分区，正是为了满足这些假设。与重叠型 Schwarz 方法相比，本文选择了非重叠 Robin 方法，其优点是统一的界面处理，适合复用替代模型，但代价是收敛性对 $\\rho$ 敏感。\n6. 与纯机器学习算子方法的对比\n近年来，如 DeepONet、Fourier Neural Operator 等全局算子学习方法可以直接学习解算子，但它们通常需要大量全局解作为训练数据，且难以保证对未知参数的外推稳定性。本文的 MS‑DD‑ROM 通过保留 DD 的迭代结构和粗校正机制，将机器学习任务限制在具有物理意义的局部算子范围内，显著降低了对数据量的需求，并提升了长程相干性和可扩展性。局部算子的输入维数远低于全局算子，这也使得训练更易实现。\n7. 局限与未来工作\n作者明确指出，当前工作中仅对三维域进行了 DD 降阶，一维问题仍用全局求解；重叠型 Schwarz 变体未探索；$\\rho$ 参数的优化未系统研究；理论分析依赖的 Lipschitz 稳定性假设 3 未给出严格证明，仅基于算子复合论证。此外，数值实验限于二维图示（图 1 为示意图），对于真正三维大规模并行计算的实际效益尚待全面评估。这些均为后续研究留出了方向。\n2. 高反差非均质多孔介质中两相流模拟的自适应物理保持多尺度方法 An Adaptive and Physics-Preserving Multiscale Method for Two-Phase Flow Simulations in High-Contrast Heterogeneous Porous Media\n作者: Junhao Huang, Eric Chung, Wing Tat Leung\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.15063v1\n摘要翻译: 在本文中，我们针对高反差多孔介质中的不可压缩且不混溶两相流，提出了一种自适应物理保持多尺度方法。该方法将物理保持的隐式压力显式饱和度格式（P-IMPES）与混合约束能量极小化的广义多尺度有限元方法相结合。核心算法组件是针对饱和度依赖系数的自适应更新策略。由于有效渗透率 (κ_n=λ_t(S_w^n)K) 通过总流度依赖于变化的饱和度，我们引入了一个自适应更新算法，该算法监测流度加权系数的变化，并仅在超过预设容差时才重新生成多尺度空间。进一步采用局部后处理步骤来恢复细网格质量守恒。理论分析是本文的核心部分。我们证明了两个相位的局部守恒性、相位表达式的无偏性，以及在适当CFL条件下的有界保持性。对于对流主导的情形，我们建立了速度和饱和度的误差估计，这些估计清晰地识别出由自适应容差、粗网格尺寸、谱逼近和前沿层误差所带来的贡献。在不同高反差渗透率场上的数值实验证实了方法的物理特性，并表明较小的自适应容差能改善饱和度逼近，同时避免不必要的多尺度空间更新。\nComment: 33 pages, 9 figures, and 2 tables\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15063v1\n1. 研究对象和背景 本文研究不可压缩非混相两相流在多孔介质中的数值模拟，控制方程由质量守恒、达西定律、饱和度约束和毛管压力关系组成：\n$$ \\phi \\frac{\\partial S_\\alpha}{\\partial t} + \\nabla\\cdot\\boldsymbol{u}_\\alpha = F_\\alpha, \\quad \\alpha = w,n, \\qquad \\boldsymbol{u}_\\alpha = -\\frac{k_{r\\alpha}}{\\mu_\\alpha}\\boldsymbol{K}\\nabla p_\\alpha, $$ $$ S_n + S_w = 1, \\qquad p_c(S_w) = p_n - p_w, $$ 其中 $\\phi$ 为孔隙度，$S_\\alpha$ 为相饱和度，$\\boldsymbol{u}_\\alpha$ 为相达西速度，$p_\\alpha$ 为相压力，$\\boldsymbol{K}$ 为绝对渗透率张量，$k_{r\\alpha}$、$\\mu_\\alpha$、$F_\\alpha$ 分别为相对渗透率、粘度和源汇项。总速度 $\\boldsymbol{u}_t = \\boldsymbol{u}_w + \\boldsymbol{u}_n$，总流度 $\\lambda_t = \\lambda_w + \\lambda_n$，分流函数 $f_\\alpha = \\lambda_\\alpha / \\lambda_t$。在实际地质介质中，$\\boldsymbol{K}$ 常具有多尺度、高对比度特征（如高渗透通道与包裹体），导致压力和速度场强烈非均质，饱和度演化的前缘可能形成尖锐间断，直接精细网格模拟虽能分辨这些效应，但在长时间两相流模拟中反复求解压力-速度系统计算代价极高。\n时间离散上，全隐式方法鲁棒但需每步求解大型非线性系统；隐式压力显式饱和度（IMPES）方法因分离压力求解与饱和度更新而效率更高，但标准 IMPES 方案可能面临稳定性条件苛刻、一个相质量不守恒、相位偏差及饱和度越界等问题，且毛管压力引起的介质界面处饱和度间断增加了难度。Chen 与 Sun 提出了物理保持的 IMPES（P-IMPES）方案，其核心思想是将相达西速度用总速度和与毛管势梯度相关的辅助速度表示，所得格式满足局部质量守恒、正确处理总速度的法向连续性、对润湿相和非润湿相无偏、且在适当 CFL 条件下保持饱和度在物理界限内。该方案的这些性质对饱和度输运方程的求解至关重要。\n空间离散方面，经典粗化方法通过等效粗尺度系数减小精细尺度非均质性，但难以处理强非局部特征；多尺度有限元和多尺度有限体积方法通过局部精细尺度问题构造粗尺度基函数，提供了一种降阶策略。对于紊流模拟，局部质量守恒至关重要，这推动了混合多尺度有限元、多尺度 mortar 方法及保守通量后处理技术的发展。广义多尺度有限元方法（GMsFEM）通过局部谱分解构造多个基函数，增强了灵活性，但在高对比度介质中，高渗透通道等非局部特征难以被标准局部基函数捕捉。约束能量最小化广义多尺度有限元方法（CEM-GMsFEM）通过引入辅助空间和超样本区域的能量最小化基函数，能捕获通道特征并在粗网格尺寸下获得不依赖于对比度的收敛性，其混合形式利用辅助压力基函数构造局部速度基函数，首次获得细网格质量守恒的速度逼近和一阶收敛性。\n然而，将 P-IMPES 与混合 CEM-GMsFEM 直接结合用于两相流仍面临时变系数的挑战。在时间层 $t^n$，压力-速度系统的系数 $\\kappa^n = \\lambda_t(S_w^n)\\boldsymbol{K}$ 依赖当前润湿相饱和度，因而随饱和度演化而改变。若多尺度空间仅由初始系数构造并保持不变，基函数可能不再适应当前系数场，从而恶化速度逼近和饱和度前缘模拟。针对此问题，本文提出一种自适应混合 CEM-GMsFEM 方法，其核心是监测流度加权系数的变化，当变化超过预设容差时重新生成多尺度空间，否则复用已有空间，从而在不显著增加计算量的前提下保持逼近精度。此外，通过仅对有非零细网格质量残差的粗单元进行局部后处理，恢复总速度的细网格质量守恒。本文试图填补的空白是：在保持 P-IMPES 物理性质的前提下，构建能有效应对流度变化的多尺度逼近，并给出包含自适应容差、粗网格尺寸、谱截断和前缘误差等贡献的严格误差分析。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要理论结果分为两部分：物理性质分析和误差估计。\n局部质量守恒与无偏性（第 4.1 节）\n在任意时刻 $t^{n+1}$，对于选定的湿相饱和度更新公式 (4.1) 和 $S_n^{H,n+1}=1-S_w^{H,n+1}$，通过添加两相离散方程并利用总速度的离散守恒性，可以推导出非湿相也满足守恒方程 (4.3)。因此方案对两个相均保持局部质量守恒。此外，基于总速度和辅助毛管速度的无偏定义，可证得两相得到相同的离散解，即方案对湿相和非湿相无偏。\n饱和度的界保持性质（第 4.2 节）\n在适当的 CFL 条件（文中给出具体形式）下，离散饱和度 $S_w^{H,n}$ 和 $S_n^{H,n}$ 对所有时间层 $n$ 保持在物理区间 $[0,1]$ 内。该结论推广了 P-IMPES 在一致精细网格上的界保持性质，证明依赖于两个辅助引理（引理 4.1 和 4.2），局部守恒性和迎风型离散的极大值原理。\n速度与饱和度误差估计（第 4.3 节）\n针对对流主导情形，作者建立了速度误差和饱和度误差的先验估计。以总速度误差 $\\|\\boldsymbol{u}_t - \\boldsymbol{u}_t^H\\|_{L^2}$ 和湿相饱和度误差 $\\|S_w - S_w^H\\|_{L^2}$ 为例，最终估计可概括为\n$$ \\|\\boldsymbol{u}_t - \\boldsymbol{u}_t^H\\|_{L^2} \\leq C\\big(\\, \\varepsilon_\\text{update} + H^{\\alpha} + \\Lambda^{-1}_{\\min} + \\mathcal{E}_{\\text{front}}\\big), $$ $$ \\|S_w - S_w^H\\|_{L^2} \\leq C'\\big(\\, \\varepsilon_\\text{update} + H^{\\alpha} + \\Lambda^{-1}_{\\min} + \\mathcal{E}_{\\text{front}}\\big), $$ 其中 $\\varepsilon_\\text{update}$ 为自适应容差控制的部分（与 $\\eta^n$ 相关），$H$ 为粗网格尺寸，$\\alpha$ 为与离散阶数有关的正数，$\\Lambda_{\\min}$ 为谱截断对应的最小保留特征值（其倒数反映谱近似误差），$\\mathcal{E}_{\\text{front}}$ 表示饱和度前缘误差。这些估计清晰地分离了自适应更新策略、空间离散尺度、谱近似精度和物理界面演化带来的误差贡献，为方法的参数选择提供了理论依据。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的主要技术障碍在于：有效渗透率 $\\kappa^n$ 随饱和度演化而变，导致初始构造的多尺度基函数在后续时间步精度下降，而频繁更新多尺度空间又会显著增加计算成本。作者的创新点在于设计了一个自适应更新准则和配套的局部后处理，并建立了相应的误差分析框架。\n1. 基于系数变异的自适应更新策略\n定义误差指示器 $$ \\eta^n = \\left\\| \\left(\\kappa_i^H\\right)^{-1/2} - \\left(\\kappa_n^H\\right)^{-1/2} \\right\\|_{L^2(\\Omega)}, $$ 其中 $i$ 为最近一次更新多尺度空间的时间层。当 $\\eta^n$ 超过预设容差 $\\varepsilon$ 时，利用当前系数 $\\kappa_n^H$ 重新构造压力多尺度空间 $Q_{ms}$ 和速度多尺度空间 $V_{ms}$（通过求解局部谱问题和约束能量最小化问题）；否则复用旧空间。该指示器直接度量了系数场的相对变化，其分析基础在于 $\\kappa^{-1/2}$ 范数等价于能量范数，与混合变分形式的构造自然相容。这样，在饱和度变化剧烈时自动触发更新，而在平稳阶段避免不必要的重构，权衡了精度与效率。\n2. 基于细网格残差标记的局部后处理\n原始混合 CEM-GMsFEM 所得总速度仅对多尺度压力空间满足守恒，不一定满足细尺度质量守恒。本文提出仅在含有非零细网格质量残差 $R_{K_h}^{n+1} = (F_t, 1_{K_h}) - \\sum_\\alpha \\beta_\\alpha(\\widehat{\\boldsymbol{u}}_t^{H,n+1}, 1_{K_h}; S_w^{H,n})$ 的粗单元上进行局部后处理。在每个标记单元 $K$ 上，以原多尺度速度的法向通量为边界条件，求解局部 RT0-有限体积问题 (3.6)–(3.7)，得到细网格守恒速度 $\\boldsymbol{u}_{t,p}^{H,n+1}$。粗单元常量属于 $Q_{ms}$ 的事实保证了相容性条件 $\\sum_{K_h\\subset K} R_{K_h}^{n+1}=0$，从而局部问题适定。该方案避免了对所有粗单元进行后处理，大幅降低了附加计算量。\n3. 物理性质证明\n局部质量守恒与无偏性的证明采用直接代数推导：从湿相更新公式出发，利用饱和度约束和总速度的离散守恒性，得到非湿相的等价方程，并验证两相速度表达的一致性。有界性证明沿袭 P-IMPES 的框架，需要两个引理：引理 4.1 表明每个单元上饱和度更新可表示为前一层饱和度的凸组合；引理 4.2 给出确保该性质成立的具体 CFL 条件。\n4. 误差估计的分解技术\n误差分析的核心在于将总误差分解为若干可控部分：\n自适应容差贡献：通过 $\\eta^n$ 控制系数“过时”引起的能量误差。 多尺度逼近误差：利用 CEM-GMsFEM 的对比度无关收敛性质，将空间离散误差与 $H$ 和 $\\Lambda_{\\min}$ 相联系。 前缘层误差：源于饱和度间断附近数值扩散效应。作者通过广义混合方法的标准技巧（引入投影算子、局部对偶问题等）将速度误差与饱和度误差分别估计，并最终得出上述分离形式的界。估计过程中，系数随时间变化导致的额外项由自适应更新条件吸收。 4. 与之前工作的比较 本文与已有工作的比较体现在多个层面：\n1. 与 P-IMPES 方案本身的比较\n标准 P-IMPES（Chen \u0026amp; Sun）在一致精细网格上已具备局部守恒、无偏和界保持性质。本文在多尺度离散框架下完整保留了这些性质（第 4.1 和 4.2 节给出的证明与精细情形平行，但需处理多尺度速度场的额外误差），并通过自适应 CEM 基函数和局部后处理确保了在降低自由度的同时不失物理保真性。与文献[12]相比，本文的 P-IMPES 多尺度实现并未引入新的物理偏差。\n2. 与现有 P-IMPES-多尺度方法[37]的区别\n文献[37]将 P-IMPES 与 MsFEM 结合，采用残差驱动的基函数富集和基于源项的标记，且后处理针对整个粗网格层。本文的不同之处在于：\n基空间构建：使用混合 CEM-GMsFEM，其超样本能量最小化基函数天然具有对比度鲁棒性，并且基函数个数可通过谱截断控制；[37]中 MsFEM 对高对比度适应性有限。 空间更新触发机制：本文基于系数变异指示器 $\\eta^n$ 进行全局重建，而非局部富集；这更适合流度场全局变化的特性。 后处理标记：本文采用细单元残差 $R_{K_h}$ 是否为零进行标记，仅后处理有局部不守恒的粗单元，比[37]的源项标记更节约。 误差分析：本文首次给出了分离自适应容差、粗网格尺寸、谱误差和前缘误差的估计，为参数选择提供了定量指导；[37]中仅建立了速度与饱和度误差关系，未考虑系数更新误差。 3. 与标准混合 CEM-GMsFEM 的比较\n标准混合 CEM-GMsFEM [36] 面向稳态或定常系数问题，不涉及系数随时间变化。本文通过引入自适应更新，将 CEM-GMsFEM 推广到两相流这类非定常系数情形，代价是在某些时间步需要重新求解局部谱问题和构造基函数，但自适应策略保证了总重构次数远小于总时间步数。此外，后处理仅标记有残差的单元，进一步控制了额外开销。\n4. 适用范围与局限\n本文方法适用于不可压缩非混相两相流，且假设毛管压力已知。与全隐式方案相比，P-IMPES 仍受 CFL 条件限制，但界保持性质确保了稳定性。误差估计针对对流主导情况，扩散主导情况下可能需另行分析。从提供内容中无法确认该方法对三维问题或非结构网格的推广性，有待后续工作验证。\n3. 一种用于可压缩阻力霍尔磁流体动力学系统的保结构数值方法 A structure-preserving Numerical Method for the Compressible Resistive-Hall-MHD System\n作者: Murtazo Nazarov, Rafael Rodriguez-Velasco, Ignacio Tomas\n类别: math.NA, physics.comp-ph, physics.plasm-ph\n发布日期: 2026-07-15\narXiv ID: 2607.14286v1\n摘要翻译: 本文针对可压缩阻力霍尔磁流体动力学（MHD）模型提出了一种保结构方法。微分算子被分裂为两部分：由可压缩欧拉方程构成的流体动力学部分，以及由耦合洛伦兹力与感应方程的系统构成的磁场部分。该方法对欧拉部分采用连续拉格朗日元，对磁场部分采用curl协调有限元空间。流体动力学部分保持了密度和内能的正性、总能量守恒以及比熵的极小原理。由于有限元的选取，磁场部分保持了散度无源约束。流体部分使用显式强稳定性保持龙格库塔（SSP-RK）方法求解，磁场部分则采用克兰克-尼科尔森方法求解，后者需要使用牛顿法。给出了相应牛顿迭代的雅可比矩阵的强制性估计。我们引入了高阶人工电阻率来改善非线性残差的条件数及雅可比矩阵的可逆性。通过求解包括光滑惠斯勒波、用于比较阻力MHD与阻力霍尔MHD的奥萨格-唐涡旋，以及磁重联问题在内的多个具有挑战性的基准测试，验证了该方法的鲁棒性与精度。\nComment: 37 pages, 7 figures\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.14286v1\n1. 研究对象和背景 本文研究可压缩电阻霍尔磁流体动力学（Resistive-Hall-MHD）系统的数值方法。该系统的控制方程为： $$ \\begin{aligned} \u0026\\partial_t \\rho + \\operatorname{div} \\mathbf{m} = 0, \\\\ \u0026\\partial_t \\mathbf{m} + \\operatorname{div}(\\rho^{-1}\\mathbf{m}\\mathbf{m}^\\top + I p) = \\mu \\operatorname{curl} \\mathbf{H} \\times \\mathbf{H}, \\\\ \u0026\\partial_t E + \\operatorname{div}\\left( \\frac{\\mathbf{m}}{\\rho} (E + p) \\right) = \\mu (\\operatorname{curl} \\mathbf{H} \\times \\mathbf{H}) \\cdot \\frac{\\mathbf{m}}{\\rho} + r |\\operatorname{curl} \\mathbf{H}|^2, \\\\ \u0026\\partial_t \\mathbf{H} - \\operatorname{curl} \\left( \\frac{\\mathbf{m}}{\\rho} \\times \\mathbf{H} \\right) = -\\operatorname{curl} \\left( \\frac{r}{\\mu} \\operatorname{curl} \\mathbf{H} + \\frac{d_i}{\\rho} \\operatorname{curl} \\mathbf{H} \\times \\mathbf{H} \\right), \\end{aligned} $$ 其中 $\\rho$ 为密度，$\\mathbf{m}=\\rho\\mathbf{v}$ 为动量，$E$ 为总机械能，$\\mathbf{H}$ 为磁场，$p$ 为压强，$\\mu$ 为磁导率，$r$ 为电阻率，$d_i$ 为离子惯性长度（$d_i=m_i/q_i$）。右侧 $\\operatorname{curl}(r \\operatorname{curl} \\mathbf{H})$ 为电阻项，$\\operatorname{curl}(\\frac{d_i}{\\rho} \\operatorname{curl} \\mathbf{H} \\times \\mathbf{H})$ 为霍尔项。\nMHD 系统在天体物理和磁约束核聚变等领域有广泛应用。霍尔项由 Lighthill 首次指出其重要性；进入本世纪以来，越来越多的文献表明电阻项和霍尔项对重现实际观测到的磁重联速率至关重要。数值求解 MHD 系统时，必须保持解的若干本质结构：正性（密度和内能非负）、总能量守恒、熵耗散以及磁场的散度无源约束（$\\operatorname{div}\\mathbf{H}=0$）。对于理想可压缩 MHD 系统，保结构的数值方法已有较大发展；然而，关于可压缩电阻霍尔 MHD 系统的数学文献非常少，尤其是缺乏关注结构保持的数值格式。本文试图填补这一空白：在前序工作 [22] 的基础上，将算子分裂与保结构离散相结合，发展一个能在离散水平保持密度正性、内能正性、总能量守恒、比熵最小值原理以及散度无源约束的数值格式，并特别处理因霍尔项引入导致的非线性求解器鲁棒性问题。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果包含两部分：算子分裂后各子系统的解析性质，以及全离散格式的保结构性质与数值验证。\n算子性质：将系统 (1) 分裂为流体部分（算子1，即 Euler 方程）和磁部分（算子2，包含 Lorentz 力、电阻和霍尔项）。在适当边界条件或紧支初值及短时间内，算子1 保持质量、动量、总能量守恒，且 $\\rho\\ge 0$，比熵 $s$ 满足最小值原理，数学熵 $\\eta=-\\rho s$ 满足耗散不等式 $$ \\partial_t \\eta + \\operatorname{div}(\\eta \\mathbf{v}) \\le 0. $$ 算子2 在 $\\rho\u003e0$，内能 $e\u003e0$ 且温度 $\\theta\u003e0$ 的初值下，具有以下点性质： $$ \\begin{aligned} \u0026\\frac{\\partial}{\\partial t} \\int_\\Omega \\left( \\frac12 \\rho |\\mathbf{v}|^2 + \\frac{\\mu}{2}|\\mathbf{H}|^2 \\right) dx + \\int_{\\partial\\Omega} \\left( r\\operatorname{curl}\\mathbf{H} - \\mu(\\mathbf{v}\\times\\mathbf{H}) + \\mu\\frac{d_i}{\\rho}\\operatorname{curl}\\mathbf{H}\\times\\mathbf{H} \\right) \\cdot (\\mathbf{H}\\times\\mathbf{n}) ds = -\\int_\\Omega r|\\operatorname{curl}\\mathbf{H}|^2 dx,\\\\ \u0026\\frac{\\partial e}{\\partial t} = \\frac{r}{\\rho}|\\operatorname{curl}\\mathbf{H}|^2 \\ge 0,\\quad \\frac{\\partial \\theta}{\\partial t} \\ge 0,\\quad \\frac{\\partial s}{\\partial t} \\ge 0,\\quad \\frac{\\partial \\eta}{\\partial t} \\le 0, \\end{aligned} $$ 从而内能单调不减，温度与比熵单调非降，数学熵单调非增。\n离散格式：流体变量用连续 $\\mathbb{P}_1$ Lagrange 元，磁场用旋度协调的旋转 BDM$_1$ 元（$\\mathbf{H}_h \\subset H(\\operatorname{curl})$），使得离散散度无源自动保持（$\\operatorname{div}\\mathbf{H}_h = 0$ 弱成立）。算子1 用显式强稳定 Runge–Kutta (SSP-RK) 推进，严格保正性、守恒和熵不等式（假设所选 Euler 求解器具有这些性质）。算子2 用 Crank–Nicolson 隐式格式离散，得到非线性残差并用 Newton 法求解。针对 Newton 迭代可能出现的 Jacobian 病态问题，作者给出了 Jacobian 强制性估计：当电子速度过大时，Jacobian 可能失去可逆性。为此引入一项与高阶导数相关的人工电阻率以改善 Newton 迭代的鲁棒性。全算法流程保证分裂顺序下组合格式的保结构性质。\n数值验证：对光滑哨声波、Orszag–Tang 涡流和 GEM 磁重联问题等进行测试，最大分辨率达 $1024\\times1024$ 单元。验证了格式的收敛性、能量行为以及网格（包括非结构网格）适应性。在 Orszag–Tang 涡流算例中直接对比了电阻 MHD 与电阻霍尔 MHD 的结果。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术路线基于算子分裂和相容有限元离散，并针对霍尔项的处理进行了关键创新。\n算子分裂与半隐式时间推进：将原 PDE 系统分为可显式处理的 Euler 部分（算子1）和需隐式处理的磁部分（算子2）。分裂的设计使得各子算子能单独保持关键结构：Euler 部分可选用已有的保正性、保熵离散格式（本文采用 SSP-RK 加图粘性等方法，具体见 [22] 附录 B）；磁部分因包含可能十分刚性的霍尔项，采用 Crank–Nicolson 格式进行时间离散。这种半隐式方法避免了整体隐式的高计算成本，同时保证了整体格式的稳定性。\n磁部分的有限元离散与静磁约束：磁场 $\\mathbf{H}$ 选用最低阶旋度协调空间（旋转 BDM$_1$），该空间包含所有线性向量值多项式，从而可预期 $L^2$ 二阶精度。更为重要的是，空间满足复合关系 $\\nabla W_h \\subset \\mathbf{H}_h$，其中 $W_h$ 为连续的 $\\mathbb{P}_2$ 空间。这一包含关系使得弱散度为零的条件等价于 $\\mathbf{H}_h$ 与 $\\nabla W_h$ 正交，从而在所给离散格式中自动保持 $\\operatorname{div} \\mathbf{H}_h = 0$ 的强制约束，无需额外散度清洗步骤。\nNewton 迭代与人工电阻率：对于 Crank–Nicolson 离散得到的非线性方程，作者使用 Newton–Raphson 方法求解。在没有霍尔项时，Newton 迭代收敛极快（通常不超过 4 次每时间步）；引入霍尔项后，在非结构网格上收敛行为变得不稳定，经常出现过多迭代或 Jacobian 奇异。作者对 Jacobian 进行了强制性分析（见附录 B），发现当 $\\mathbf{J} = \\operatorname{curl}\\mathbf{H}$ 过大或电子速度 $\\mathbf{u}_e$ 较大时，Jacobian 的强制性丧失。为克服此问题，提出在感应方程中添加人工电阻项 $\\epsilon_h \\operatorname{curl}(\\dots)$，其中人工电阻系数 $\\epsilon_h$ 与局部网格尺寸和电子速度的高阶导数相关，并设计为只在欠解析区域显著。该人工电阻改善了 Jacobian 的谱条件数，恢复了 Newton 迭代的二阶收敛性。\n关键技术细节：质量矩阵使用集总格式（lumping）以保持正性并使步进局部化；磁场方程的弱形式利用分部积分将旋度转移至测试函数，自然耦合了速度场；Newton 迭代中 Jacobian 矩阵的推导需仔细处理旋度算子与有限元基的相互作用。整体算法在 3.6 节以伪代码形式给出。\n4. 与之前工作的比较 本文在以下几个方面明确区别于已有研究：\n与作者前序工作 [22] 的对比：[22] 仅针对理想可压缩 MHD（无电阻和霍尔项），而本文将其推广至电阻霍尔 MHD。更重要的技术区别在于非线性求解器行为：理想 MHD 中 Newton 迭代极佳；加入电阻项后变化不大，但霍尔项导致 Jacobian 在非结构网格上容易病态。本文由此提出人工电阻策略以稳定 Newton 迭代，这是对 [22] 方案的根本性改进。此外，本文在理论分析部分给出了更完整的算子2 保持温度、比熵、数学熵单调性的证明，以及 Jacobian 强制性估计，这些在 [22] 中均未涉及。\n与其他电阻霍尔 MHD 数值格式的对比：现有文献（如 [63,20,54,24,59,4,14]）中几乎没有以结构保持为首要目标的格式。多数方法建立在有限体积/差分框架下，常依赖散度清洗、约束传输等技术处理 $\\operatorname{div}\\mathbf{H}=0$，且鲜有对密度/内能正性的严格保持。本文的格式基于有限元，通过旋度协调空间天然满足散度约束，且流体部分继承保正性求解器，从离散层面保证了这些性质。\n网格适应性与高分辨率：几乎所有已发表的电阻霍尔 MHD 计算均使用结构笛卡尔网格，且分辨率极低（如 GEM 问题通常仅 $128\\times128$）。本文展示了格式在结构各向同性、各向异性、非结构拟一致网格、交叉网格等多种网格上的一致性结果，表明方案对网格印记不敏感。同时将 GEM 问题分辨率提升至 $1024\\times1024$ 单元，为文献中最高水平，并计划将数据作为基准公开。\n定量验证：由于可压缩电阻 MHD 缺乏精确行波解，以往工作仅限于定性图形比较。本文提出线性电阻区的光滑哨声波作为定量测试，用以验证格式的精度和收敛率，这在同类文献中尚属首次。\n理论贡献：本文利用热力学稳定状态方程（凸内部能函数）将算子2 的性质从理想 MHD 的熵守恒/耗散推广到一般电阻霍尔情况，给出了内能增、温度升、比熵增的完整路径，为构造保结构格式提供了坚实的连续模型依据。这一分析在分析文献中也较为少见。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 基于结构保持神经网络和熵变量的Burgers方程亚网格尺度参数化 Subgrid-Scale Parameterization in Burgers\u0026rsquo; Equation Using Structure-Preserving Neural Networks and Entropy Variables\n作者: Aijaz Nazir, Ilya Timofeyev\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.14855v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.14855v1\n摘要翻译 中文标题: 基于结构保持神经网络和熵变量的Burgers方程亚网格尺度参数化\n摘要翻译: 我们提出一种机器学习方法，用于在偏微分方程的粗模拟中建立亚网格尺度（SGS）参数化。我们利用结构保持神经网络和熵变量，在Burgers方程的粗模拟中学习亚网格通量。特别地，我们采用解耦神经网络架构，显式地将亚网格修正分离为两个不同的组成部分：一个守恒通量势网络和一个涡粘性网络。我们证明，这种降阶框架保持了高物理保真度，准确地再现了全尺度系统的能量谱、时空相关函数和动力学特征。此外，我们表明该方法具有鲁棒性，并且适用于训练范围之外的参数。\n2. 保持结构的拉格朗日乘子方法用于平均曲率流及其误差界 Structure-preserving Lagrange-multiplier methods for mean curvature flow and their error bounds\n作者: Balázs Kovács, Buyang Li, Christian Lubich\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.14787v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.14787v1\n摘要翻译 中文标题: 保持结构的拉格朗日乘子方法用于平均曲率流及其误差界\n摘要翻译: 我们提出并分析了一类用于闭曲面平均曲率流的演化曲面有限元方法，该方法使用拉格朗日乘子以保持能量递减结构。算法基于解驱动形式，采用Huisken关于法向量和平均曲率的演化方程。时间离散对抛物几何变量使用线性隐式向后差分公式(BDF)，对节点位置使用隐式Adams更新。该方法也可包含最小变形率类型的人工切向速度。所得的全离散算法在每一时间步上面积递减，其衰减率由计算得到的平均曲率预先确定。我们证明了在弱正则性假设下离散拉格朗日乘子的局部存在唯一性，以及用于其计算的简化牛顿迭代的收敛性。在较强的正则性假设下（与底层的演化曲面有限元法的收敛理论中所用的一致），对于多项式次数$k\\ge 2$的有限元以及$q$步BDF和$q$步隐式Adams方法（$2\\le q\\le 5$），无论是否带有最小变形率切向运动，我们都推导出了$H^1$范数下$h^k+\\tau^q$阶的最优误差界。球面平均曲率流的数值实验验证了预期的收敛阶，并表明拉格朗日乘子修正仅带来很小的计算开销，且该开销本质上与网格尺寸和时间步长无关。\n3. 针对内部与边界数据不等的椭圆型偏微分方程的算子分裂贝叶斯学习 Operator-Split Bayesian Learning for Elliptic PDEs with Unequal Interior and Boundary Data\n作者: Emmanuel E. Oguadimma\n类别: math.NA, math.ST\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.14680v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.14680v1\n摘要翻译 中文标题: 针对内部与边界数据不等的椭圆型偏微分方程的算子分裂贝叶斯学习\n摘要翻译: 我们针对内部和边界观测数量不等的二阶一致椭圆Dirichlet问题，提出了一种算子分裂贝叶斯学习框架。数据由域内源项的含噪测量和边界值的含噪测量组成。对这两个量赋予独立的贝叶斯神经网络（BNN）先验，并将得到的乘积后验通过椭圆解算子进行前推。我们证明了这种构造所诱导的后验在真实解附近收缩。收缩半径将受二阶椭圆算子控制的域贡献与受边界固有维数控制的边界贡献分开。与\\cite{ZhaoLu2026}中的极小极大下界相结合，这给出了一个在对数因子范围内接近极小极大的上界。我们的数值实验展示了源项和边界不确定性的传播，以及不等的采样预算对后验重建的影响。\n4. 基于层次化配点细化的物理信息神经网络新策略 A new strategy for physics-informed neural networks based on hierarchical collocation point refinement\n作者: Minjae Choi, Dukhwan Shin, Youngsoo Yang, Eunjung Lee\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.14665v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.14665v1\n摘要翻译 中文标题: 基于层次化配点细化的物理信息神经网络新策略\n摘要翻译: 物理信息神经网络（PINNs）为求解偏微分方程提供了灵活的框架，但当需要大量配置点以精确施加控制方程时，训练会变得计算代价高昂。为缓解这一成本，我们引入了基于多重网格的参数更新PINN（MPU-PINNs），这是一种从粗到细的训练策略，在学习过程中逐步增加训练点的数量。该方法首先在粗配置点集上训练神经网络，然后将学习到的参数传递到逐步细化的层级。这种初始化策略使网络能够以较低的计算成本捕捉解的全局特征，然后再通过额外的训练点细化局部细节。为进一步提升高频问题的性能，我们加入了一种缩放技术，以缓解训练过程中的频谱偏差影响。我们在若干基准偏微分方程上评估了MPU-PINNs，包括二维和三维泊松方程、对流-扩散-反应方程以及亥姆霍兹方程。数值实验表明，MPU-PINNs显著减少了训练时间，同时达到了与传统PINNs以及其他代表性变体（如SA-PINNs和XPINNs）相当的精度。结果进一步表明，所提出的从粗到细的学习策略大幅减少了在细层级所需的优化工作量。总体而言，MPU-PINNs提供了一种高效的单网络训练框架，增强了PINNs在广泛偏微分方程问题上的计算效率和可扩展性。\n5. 神经非常弱形式实现面向硬件的深度偏微分方程求解器 Neural Very Weak Formulations enabling Hardware-Oriented deep PDE solvers\n作者: Gabriel Acosta, Francisco Bersetche\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.14498v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.14498v1\n摘要翻译 中文标题: 神经非常弱形式实现面向硬件的深度偏微分方程求解器\n摘要翻译: 作为概念验证，我们证明：只要从适当光滑空间中选取检验函数，椭圆问题的最小二乘非常弱形式即可由具有低正则性的神经网络有效离散化。除了避免自动微分所带来的直接计算收益外，该方法在多种神经网络空间中均表现良好，甚至在奇异解和高维设定等挑战性情境中亦如此。特别关注基于阶跃激活函数和一位量化线性函数的试探函数，因其适于高效的面向硬件实现。\n不相关论文（基本信息） 1. 三维欧拉奇异性计算机辅助证明中奇异加权估计的解析有限秩修正 Analytic finite-rank corrections for singularly weighted estimates in a computer-assisted proof of 3D Euler singularity\n作者: Jiajie Chen, Thomas Y. Hou\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.15256v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15256v1\n摘要: Computer-assisted proofs of self-similar singularity formation for fluid equations often rely on numerically constructed approximate profiles. One effective approach to establishing stability of perturbations around a numerically constructed profile is to perform weighted energy estimates with singular weights near the singularity. However, the weighted norms require exact local vanishing conditions that are not automatically preserved by the equations nor the numerical construction. In this paper, we review an analytic low-rank correction method first developed in [ChenHou2023a,ChenHou2023b] to overcome this difficulty. The numerical step determines coefficients, rigorous bounds, and low-order defect modes in explicit global basis representations, while the required vanishing conditions are enforced analytically through low-rank corrections derived from Taylor expansions of the relevant quantities represented in a smooth basis. For completeness, we briefly review the singularly weighted estimates and a quantitative finite-rank perturbation method in the 2D Boussinesq / 3D Euler stability argument, where singular weights and the required vanishing order arise. Against this background, we formulate the local correction principle in a simplified setting, explain the correction of the residual error in numerical constructions of approximate space-time solutions and the stream function, and discuss its broader applicability to computer-assisted stability analysis for nonlocal PDEs.\n2. 面向投资组合优化的SciPhy强化学习 SciPhy Reinforcement Learning for Portfolio Optimization\n作者: Igor Halperin, Andrey Itkin\n类别: q-fin.PM, math.AP, math.NA, q-fin.CP, q-fin.MF\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.15195v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15195v1\n摘要: This paper introduces a dynamic portfolio optimization framework for large institutional investors using Scientific Physics-Informed Reinforcement Learning (SciPhyRL). Formulated in continuous time over an extended state space that includes explicit cumulative costs, the approach leverages offline historical data to learn optimal, distribution-aware strategies. A core innovation reduces the optimization challenge to solving an HJB equation by projecting it onto observed trajectories as a pathwise Hamilton-Jacobi equation. This is solved directly from data using PINN in a single offline sweep, eliminating the need for traditional value or policy iteration. To make the method effective at practical short horizons, the control variable is recast from a continuous trading rate to a discrete target holding. This ensures signal-implied positions are reached immediately, while execution costs are evaluated against a microstructure-grounded quadratic price impact model. Evaluated on a $14$-asset ETF universe using an engineered oracle signal, the learned Gibbs policy yields substantial out-of-sample Sharpe ratio improvements over static and myopic baselines. The results demonstrate that the proposed framework successfully translates known signal quality into a robust, multi-period, and cost-aware allocation mechanism with strictly controlled volatility and turnover.\n3. Friedrichs系统的高效高阶局部时间积分 Efficient higher-order local time integration for Friedrichs\u0026rsquo; systems\n作者: Marlis Hochbruck, Jonas Köhler, Malik Scheifinger\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.15192v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15192v1\n摘要: In this paper, we construct an efficient higher-order local time integration scheme for spatially discretized linear Friedrichs\u0026rsquo; systems. In particular, our interest is in problems where only a few of the mesh elements are small while the majority of the elements is much larger. The special combination of two methods like the leapfrog method on the coarse part of the mesh and the Crank-Nicolson method on the fine part as was done in Hochbruck, Sturm 2016 and Hochbruck, Köhler 2022 is not suitable for higher-order time integration. Therefore, we suggest to approximate the solution of the linear systems arising in each time step by a preconditioned Krylov subspace method, e.g., the quasi-minimal residual method by Freund and Nachtigal 1991. The techniques developed here for linear problems also carry over to nonlinear problems, where linear systems of the same type arise within a Newton-type iteration. Motivated by the analysis of locally implicit methods by Hochbruck and Sturm 2016, we show how to construct a preconditioner in such a way that the number of iterations required by the Krylov subspace method to achieve a certain accuracy is bounded independently of the diameter of the small mesh elements. We prove this behavior by using Faber polynomials and complex approximation theory. The cost to apply the preconditioner consists of the solution of a small linear system, whose dimension corresponds to the degrees of freedom within the fine part of the mesh (and its next coarse neighbors). If this dimension is small compared to the size of the full mesh, the preconditioner is very efficient. We conclude by verifying our theoretical results with numerical experiments for the fourth-order Gauss-Legendre Runge\u0026ndash;Kutta method.\n4. 由Artin-Schreier多项式生成的完全均匀分布的准蒙特卡罗序列 Perfectly equidistributed Quasi-Monte Carlo sequences from Artin-Schreier polynomials\n作者: Nicolas Bonneel, David Coeurjolly, Victor Ostromoukhov\n类别: cs.DM, math.NA\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.15141v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15141v1\n摘要: To numerically integrate a function, one may resort to Quasi-Monte Carlo estimators, that average integrand values at pseudo-random well-distributed uniform sampling locations. Better uniformity improves the worst-case integration-error bound. A standard measure of uniformity is given by an integer $t$ value, where $t=0$ yields the best uniformity. Producing sequences of samples with bounded $t$ values can be achieved with Sobol\u0026rsquo; recursive construction, that uses coefficients of irreducible polynomials. While $b$-dimensional sequences with $t=0$ can be obtained by taking $b$ polynomials of degree $1$ over the Galois Field $\\mathrm{GF}(b)$, we show conditions that guarantee $t=0$ for specific higher degree polynomials. In particular, we relate the Sobol\u0026rsquo; construction to tensorized powers of Pascal matrices when the chosen polynomials only differ by a constant and exhibit simple conditions to guarantee $t=0$ in this case. We then focus on Artin-Schreier irreducible polynomials, in the form $p_i(x) = x^b - x + c_i$, where $i \\in \\{1, \\dots, b-1\\}$ and $b$ is prime, and we make explicit conditions that always guarantees $t=0$ in $b-1$ dimensions. Combining $b$-dimensional Sobol\u0026rsquo; of degree $1$ and our $(b-1)$-dimensional Artin-Schreier sequence of degree $b$, we provide a fast greedy procedure that optimizes the $(2b-1)$-dimensional combined $t$ value, while guaranteeing $t=0$ projection in subspaces.\n5. 非线性逼近流形上基于残差的时间离散化：分析与高斯应用 Residual-Based Time Discretization on Nonlinear Approximation Manifolds: Analysis and Gaussian Applications\n作者: Eddy de Leon, Caroline Lasser\n类别: math.NA, quant-ph\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.15086v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15086v1\n摘要: We study time-discrete parametric approximations of evolution equations in Hilbert spaces based on residual minimization. The solution is represented by a parametrized ansatz belonging to a low-dimensional nonlinear manifold, and time stepping is performed by minimizing suitably defined residuals at each step. Two natural residual formulations are considered: discretization followed by parametrization of the evolution equation, and discretization of the Dirac\u0026ndash;Frenkel variational principle governing the parameter dynamics. A unified error analysis is developed for both approaches within the family of $ζ$-methods. The resulting bounds separate the effects of time discretization from those of residual minimization and yield first- and second-order convergence under Lipschitz, one-sided Lipschitz, and dissipativity assumptions. For the variational formulation, additional stability conditions involving the conditioning of the parametrization map arise naturally. The framework is applied to Gaussian approximation manifolds, for which residual norms and gradients admit explicit closed-form expressions when polynomial operators are involved. This enables efficient implementation without spatial discretization. Numerical experiments for time-dependent Schrödinger equations illustrate the theoretical convergence rates and the influence of residual accuracy on conservation properties.\n6. Monge-Ampère方程的全离散最小二乘分裂格式：有限元分析与收敛性 Fully discrete least-squares splitting scheme for the Monge-Ampère equation: finite element analysis and convergence\n作者: Anna Peruso\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.15024v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.15024v1\n摘要: The least-squares splitting algorithm for the Monge-Ampère equation has been used successfully in computations for several years, but a convergence theory for fully discrete splitting schemes of this type has remained unavailable. In this work, we introduce and analyze a finite element framework for smooth solutions of the Dirichlet Monge-Ampère equation in two dimensions. The proposed schemes combine a discrete Hessian reconstruction with a local projection onto the determinant constraint. Under a discrete Miranda-Talenti estimate and standard approximation properties of the Hessian reconstruction, we prove local convergence of the iterative scheme and optimal-order convergence of its limit to the exact solution in an $H^2$-type norm. We verify the estimates for conforming $C^1$ schemes, including the Argyris element, and for $C^0$-interior penalty and DG schemes of degree at least three; quadratic $C^0$-interior penalty and DG schemes are also covered when $|u|_{H^3(Ω)}$ is sufficiently small. To the best of our knowledge, these discretizations have not previously been proposed or analyzed for least-squares splitting methods. Numerical experiments confirm the theoretical convergence rates.\n7. 非自治随机抛物方程的有限维反馈镇定 Finite-Dimensional Feedback Stabilization of Nonautonomous Stochastic Parabolic Equations\n作者: Behzad Azmi, Jonas von der Heydt, Sergio Rodrigues\n类别: math.OC, math.AP, math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.14911v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.14911v1\n摘要: We investigate finite-dimensional feedback stabilization for nonlinear nonautonomous stochastic parabolic equations driven by $Q$-Wiener, covering both additive and multiplicative perturbations. The control is given by a finite linear combination of localized indicator-type actuators whose supports are selected as part of the construction and may have arbitrarily small total measure. The feedback law is constructed by means of oblique projections onto suitable finite-dimensional subspaces. Within the variational Gelfand triple framework, we prove well-posedness of the closed-loop system under standard coercivity, growth, and global Lipschitz assumptions. By appropriately choosing the actuator configuration and feedback strength, we establish exponential mean-square stabilization of the stochastic dynamics and, for pure multiplicative noise, almost-sure stabilization. A fully discrete three-layer implementation complements the theoretical results. Numerical experiments illustrate the influence of number of actuators, noise intensity, and nonlinear effects on the closed-loop stabilization behavior.\n8. 驯化随机梯度哈密顿蒙特卡洛 Tamed Stochastic Gradient Hamiltonian Monte Carlo\n作者: Zhuoran Wang, Ying Zhang\n类别: math.OC, math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.14862v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.14862v1\n摘要: In this paper, we propose a novel tamed stochastic gradient Hamiltonian Monte Carlo (tSGHMC) algorithm for sampling and stochastic optimization problems with superlinearly growing stochastic gradients. Under a certain continuity in average condition and a strong convexity condition, we establish a non-asymptotic error bound in Wasserstein-2 distance for tSGHMC with the rate of convergence equal to $1/4$. Then, we derive an upper estimate for the associated expected excess risk, which provides a theoretical guarantee for the performance of tSGHMC. To illustrate the effectiveness of the proposed algorithm, we apply tSGHMC to practical examples, including a newsvendor problem and a Conditional Value-at-Risk minimization problem, using synthetic and real-world datasets. Numerical results support our theoretical findings. Furthermore, we compare tSGHMC with its first-order counterpart, namely, the tamed unadjusted stochastic Langevin algorithm. Simulation results demonstrate that tSGHMC achieves lower root mean square error and expected excess risk across a range of tasks.\n9. 基于非残差估计子的二阶线性椭圆型偏微分方程自适应有限元方法的最优复杂度, 第一部分: 对称偏微分方程 Optimal complexity of adaptive FEM for second-order linear elliptic PDEs driven by non-residual estimators, Part I: Symmetric PDEs\n作者: Philipp Bringmann, Aleksandar Dadic, Dario Ferloni, Gregor Gantner, Dirk Praetorius, Julian Streitberger\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.14820v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.14820v1\n摘要: We consider adaptive finite element methods for symmetric second-order linear elliptic PDEs, where the adaptive algorithm steers the local mesh refinement as well as an iterative algebraic solver. Under abstract assumptions on the underlying a-posteriori error estimator and the solver, we prove that the usual adaptive algorithm leads to unconditional full R-linear convergence, independently of the user-chosen adaptivity parameters. For sufficiently small parameters, this guarantees optimal complexity in the sense that the decay rate of an appropriate quasi-error is optimal with respect to the overall computation cost (and hence time) measured in terms of the usual nonlinear approximation classes. Unlike available results in the literature, the main focus is on the analytical understanding of non-residual estimators like averaging-based estimators as proposed by Zienkiewicz and Zhu or estimators based on equilibrated fluxes.\n10. 带小加性噪声的随机Korteweg-de Vries方程时间逼近的强误差分析 Strong error analysis of a temporal approximation for stochastic Korteweg-de Vries equation with small additive noise\n作者: Jianbo Cui, Raffaele D\u0026rsquo;Ambrosio, Stefano Di Giovacchino, Liying Sun\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.14813v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.14813v1\n摘要: We study strong temporal approximation of periodic stochastic Korteweg\u0026ndash;de Vries equation driven by small additive (Q)-Wiener noise of amplitude (\\mathcal O(\\varepsilon)), (0\u0026lt;\\varepsilon\\ll1). Strong error analysis for temporal approximations of stochastic KdV is a challenging problem, due to the additional derivative term in the nonlinearity and thanks to the lack of suitable exponential moment bounds for the exact solutions. Exploiting the small-noise regime, we first decompose the solution into a deterministic KdV flow and a stochastic component; then we linearize the obtained stochastic equation and approximate the resulting equation by means of Fourier analytic techniques. Combining the small-noise linearization error, the discretization error of the linearized equation, and the deterministic temporal approximation error, we prove strong convergence rates of order (\\mathcal O(\\max(\\varepsilon^2,τ,\\varepsilonτ^{1/2}))) under (H^1)-regularity and (\\mathcal O(\\max(\\varepsilon^2,τ))) under (H^2)-regularity, for the obtained approximation of the original stochastic KdV. To the best of our knowledge, these are the first explicit strong convergence rates shown for numerical time approximations of the stochastic KdV.\n11. 演化隐式几何的静态-动态缩减非拟合边界代数方程方法 An unfitted boundary algebraic equation method with static-dynamic reduction for evolving implicit geometries\n作者: Yizhen Huang, Qing Xia\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.14808v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.14808v1\n摘要: Repeated elliptic solves on domains with evolving boundaries arise in moving-interface simulation, design, and reactive navigation. Even when a fixed Cartesian grid avoids remeshing, rebuilding all boundary interactions for every configuration can limit the efficiency of repeated solves. We develop a static\u0026ndash;dynamic boundary reduction for an unfitted lattice Green\u0026rsquo;s function method on prescribed moving planar domains. Like boundary integral and boundary element methods, the formulation reduces the problem to boundary-supported unknowns through a Green representation. Its construction, however, reverses the usual order: the Cartesian operator is discretized before the Green representation is formed, rather than representing the continuous problem first and then discretizing the boundary. This discretize-then-represent viewpoint avoids boundary meshes and singular quadrature. The method also separates interactions associated with stationary geometry from those affected by motion, reuses the invariant part throughout a simulation, and updates only couplings involving the changing boundary. Boundary conditions are imposed at true interface intersections, lattice-kernel data are reused, and the interior field is reconstructed by a fast sine-transform solver. The principal contribution is an implemented and validated update strategy for translating, deforming, appearing, and topology-changing obstacles.\n12. 关于浅水线性化矩方程的双曲随机Galerkin投影 On Hyperbolic Stochastic Galerkin Projections of Shallow Water Linearised Moment Equations\n作者: Safiere Kuijpers, Julian Koellermeier\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.14750v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.14750v1\n摘要: In this work, we present an intrusive stochastic Galerkin formulation of the one-dimensional shallow water linearised moment equations expressed in conservative variables, using the pseudospectral product for generalised polynomial chaos expansions. The shallow water linearised moment equations constitute a hyperbolic system of partial differential equations with an arbitrary number of equations that enhance the accuracy of the standard shallow water equations. Without loss of generality, we assume for both the theoretical analysis and the simulations that the uncertain parameter is the friction coefficient. For the new stochastic Galerkin shallow water linearised moment equations, we derive an energy equation, analyse the hyperbolicity - since this property is not preserved by the stochastic Galerkin projection - and introduce a regularisation to ensure hyperbolicity for the linear case of the shallow water linearised moment equations. Through numerical tests, we demonstrate the accuracy of the new stochastic Galerkin formulation in comparison with a non-intrusive Monte Carlo method, showing that the stochastic Galerkin approach achieves comparable accuracy with significantly faster run times.\n13. 基于牛顿法的大规模稀疏连续时间代数Riccati方程的混合精度迭代精化 Newton-Based Mixed Precision Iterative Refinement for Large-Scale Sparse Continuous-Time Algebraic Riccati Equations\n作者: Juan Zhang, Yang Zhou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.14742v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.14742v1\n摘要: We propose a Newton-based mixed precision iterative refinement framework for solving large-scale sparse continuous-time algebraic Riccati equations (CAREs). The framework computes the initial approximation and the inner Lyapunov correction equations in lower precision, while evaluating residuals and updating the solution in higher precision. To handle indefinite residuals and Newton correction terms in low-rank form, we introduce factor decomposition procedures with truncation strategies that preserve positive semidefiniteness and control rank growth. A first-order rounding error analysis derives a residual recurrence for the refinement process and relates stable mixed precision refinement to a Lyapunov operator conditioning threshold governed by the unit roundoff of the lower precision inner solves. We then present a concrete ADI-based realization, using NLR-ADI for the initial CARE approximation and LR-ADI for the inner Lyapunov correction equations. Compared with dense Lyapunov correction implementations, this realization reduces the main computations to shifted linear solves and low-rank factor operations, and we provide a solver-dependent complexity analysis. Numerical experiments on dense CARE over a range of condition numbers illustrate the conditioning effect described by the error analysis, and experiments on large-scale sparse CAREs show that the mixed precision framework is faster than the full double precision implementation while maintaining the same level of accuracy.\n14. 具有收敛性分析的非马尔可夫随机薛定谔方程的低秩层次框架 A low-rank hierarchical framework for the non-Markovian stochastic Schrödinger equation with convergence analysis\n作者: Zhuohan Zhang, Zhenning Cai\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.14689v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.14689v1\n摘要: We propose and analyze a novel numerical framework for the non-Markovian stochastic Schrödinger equation (NMSSE) based on a low-rank approximation of the bath correlation functions. By decomposing the memory kernel into a finite-dimensional representation, we derive a truncated system of hierarchical equations that effectively balances computational tractability with physical fidelity. A rigorous convergence analysis is established for the hierarchical framework under mild assumptions. We demonstrate that our formulation serves as a mathematical generalization of the Hierarchy of Pure States (HOPS), encompassing it as a special case while offering a more flexible representation of non-Markovian effects. Numerical experiments across several benchmark models are presented to illustrate the validity and efficacy of the proposed method.\n15. 用于拓扑优化的轨迹感知流匹配 Trajectory-Aware Flow Matching for Topology Optimisation\n作者: Shusheng Xiao, Jinshuai Bai, Hyogu Jeong, Yunfei Xi, Yilin Gui, YuanTong Gu\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.14652v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.14652v1\n摘要: Topology optimisation (TO) often requires repeated finite element analysis and sensitivity-based material updates, which can be costly when multiple candidate designs are needed under varying physical and design conditions. Generative TO offers a route to rapid design exploration, but existing models may rely on adversarial training, long reverse-diffusion sampling, or external guidance to maintain structural feasibility and physical consistency. This study develops a flow matching-based topology optimisation (FMTO) framework for conditional topology generation. Linear FMTO is first formulated as an endpoint-based baseline by interpolating between a Gaussian source field and the BESO reference topology. To introduce mechanically meaningful intermediate states, a trajectory-aware FMTO formulation is proposed, where volume-fraction-indexed BESO states are used to construct the probability path and target velocity field. This incorporates physics-guided optimisation history into generative flow learning without adding inference-time optimisation. A path\u0026ndash;velocity mismatch analysis explains why moderate trajectory weighting can improve generation stability, whereas excessive guidance may over-constrain the learned transport. Numerical examples show that FMTO generates diverse topology candidates with improved compliance-related performance, volume-fraction satisfaction, topology fidelity, and substantially fewer sampling steps than a diffusion-based baseline. Under limited training data, trajectory-aware FMTO achieves the best overall performance with a moderate trajectory weight. Studies on trajectory-anchor density and three-dimensional topology generation further demonstrate the influence of path design and the applicability of the proposed framework beyond two-dimensional problems.\n16. 梯度增强的样条维度分解用于有限训练样本下的不确定性量化 Gradient-enhanced spline dimensional decomposition for uncertainty quantification with limited training samples\n作者: Eunho Heo, Dongjin Lee\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.14615v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.14615v1\n摘要: A spline dimensional decomposition (SDD) surrogate effectively represents high-dimensional engineering responses with localized features and complex nonlinearities in uncertainty quantification (UQ). However, limited training data can make coefficient estimation from function values severely ill-conditioned. We propose gradient-enhanced SDD (GE-SDD), which trains the surrogate using function values and partial derivatives. A diagonal row-weight matrix balances the function and derivative blocks by their Frobenius norms. We solve the balanced system through ridge regression in probability-weighted Sobolev coordinates and select the regularization parameter using grouped K-fold cross-validation to prevent information leakage. Mapping the solution back to the L2-orthonormal SDD basis preserves closed-form mean and variance estimates. We evaluate the proposed GE-SDD on a two-dimensional continuous exponential function, a linear dynamical system with three uncertain parameters, and a 30-dimensional 25-bar truss. GE-SDD is more accurate than standard SDD and uses gradients more robustly than gradient-enhanced Kriging. GE-SDD achieves a median NRMSE of 1.022% on the nonsmooth benchmark, compared with 8.731% for Kriging. For the truss, GE-SDD yields lower NRMSE and more accurate standard-deviation estimates than Kriging at moderate training sizes and above. Overall, the benefits of gradient augmentation depend on input dimension, basis resolution, training size, and the target UQ quantity.\n17. 通过控制理论引导动态网络中心性 Steering dynamic network centrality via control theory\n作者: Fabio Durastante, Beatrice Meini, Luca Saluzzi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-16\narXiv ID: 2607.14610v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.14610v1\n摘要: Time-evolving networks, or temporal networks, play a crucial role in modeling dynamic interactions across various domains, including biology, social sciences, and information technology. Unlike static networks, these systems undergo continuous changes in topology and edge weights, influencing processes such as information flow, transportation efficiency, and neural activity. Understanding and controlling these networks are essential for predicting future behavior and optimizing dynamic processes. This work focuses on the problem of dynamic centrality, a measure of node importance in time-dependent networks. Specifically, we address how to steer network centrality to a desired state by making minimal modifications to the network structure. This problem is formulated as an optimal control problem for an ordinary differential equation, either matrix- or vector-based, where the control acts on network edges. The proposed framework generalizes centrality control problems studied in static networks and leverages the Pontryagin Maximum Principle for efficient solutions. For large-scale problems, the required matrix-function actions are approximated by Krylov-type techniques, avoiding the explicit formation of dense matrix functions. Numerical experiments on synthetic and real temporal networks show that the proposed framework can effectively steer receive centrality under prescribed control constraints.\n18. 迎风嵌入边界SBP算子：面向笛卡尔网格下任意形状区域的新型高阶数值格式 Upwind embedded boundary SBP operators: New high order numerical schemes for arbitrarily shaped domains with Cartesian grids\n作者: Conner Dailey\n类别: gr-qc, math-ph, math.NA\n发布日期: 2026-07-15\narXiv ID: 2607.14403v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.14403v1\n摘要: Embedded boundary summation by parts (SBP) methods define finite differencing based derivative operators with the added feature that the boundary need not coincide with a grid cell, allowing a boundary to be embedded on a regular Cartesian grid. This is achieved by the introduction of interpolation/extrapolation operators that match the accuracy of the boundary closure. These methods have been used to perform black hole excision simulations on a domain with a spherical boundary embedded in a regular Cartesian grid, demonstrating their usefulness for nonlinear problems. In this work, new operators are derived using this embedded boundary framework to increase the order of accuracy of the interior and boundary closure while minimizing the boundary error. Additionally, these novel operators improve the spectral properties on the grid by generalizing to an upwind scheme that has better dispersion relation preserving properties compared to traditional SBP schemes for wave equations. These operators are tested with the curvilinear scalar wave equation on a 3D multiblock grid with an excision sphere embedded in the center block to demonstrate the robustness and accuracy of these novel embedded operators.\n19. 使用循环神经网络在铁磁叠片铁心有限元仿真中计入磁滞与涡流 Accounting for Hysteresis and Eddy Currents in Finite Element Simulations of Ferromagnetic Laminated Cores using a Recurrent Neural Network\n作者: Florent Purnode, Louis Denis, François Henrotte, Gilles Louppe, Christophe Geuzaine\n类别: cs.CE, cs.AI, math.NA\n发布日期: 2026-07-15\narXiv ID: 2607.14321v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.14321v1\n摘要: Incorporating hysteresis and eddy currents into finite element simulations of laminated-core electrical machines is computationally challenging. Resolving the fields inside the laminations at each integration point and at every nonlinear iteration leads to computational costs several orders of magnitude higher than anhysteretic simulations, making such approaches impractical for design applications. Conversely, simplified models accounting only for magnetic saturation are becoming increasingly inadequate as electrical machine topologies and operating conditions grow in complexity. In this context, machine learning surrogate modeling has emerged as a promising alternative, offering efficient and accurate approximations of complex electromagnetic behaviors. In this paper, a recurrent neural network is trained as a surrogate of a laminated-core material model for an isotropic laminated core, and is integrated into realistic two-dimensional magnetodynamic finite element simulations based on a magnetic vector potential formulation. The proposed approach achieves excellent agreement with the reference laminated-core model while limiting the computational cost to about twice that of an anhysteretic simulation. By training the recurrent neural network on a sufficiently diverse set of artificially generated magnetic field sequences designed to mimic those encountered in electrical machine simulations, the proposed approach can be readily applied across a wide range of finite element simulations. Furthermore, the trained surrogate model is provided as a standalone component that can be easily incorporated into existing computational frameworks. It is publicly available at https://gitlab.onelab.info/getdp/lamnet.\n20. NGMRES 收敛性分析及对收缩和非收缩迭代的加速证明 NGMRES convergence analysis and proof of acceleration for contractive and noncontractive iterations\n作者: Y. He, L. Rebholz, M. Xiao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-15\narXiv ID: 2607.14268v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.14268v1\n摘要: This paper gives the first convergence analysis and proof of acceleration for nonlinear GMRES (NGMRES) applied to contractive and noncontractive fixed point iterations (FPIs) for solving general nonlinear systems. Our main results are that in both the contractive and noncontractive cases, the ratio gain of the optimization problem is the mechanism responsible for accelerating (or enabling) convergence. Our analysis also reveals a second important quantity related to the optimization problem, which directly predicts the linear convergence rate at each iteration and proves it is at most 1; hence only higher order terms are responsible for NGMRES non-convergence. Numerical results for several challenging nonlinear test problems are given that illustrate the theory, show how the acceleration improves convergence, show that the quantity predicting the linear convergence rate is remarkably accurate and moreover can be useful for adaptively choosing NGMRES depth, show how restarts can improve convergence in noncontractive iterations, show how NGMRES is naturally suited for finding distinct solutions of a multi-solution PDE, and that NGMRES can perform better than Anderson acceleration when applied to superlinear FPIs.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-17_09-33-41/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月17日 09:33:41\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 5\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 20\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-基于区域分解与非侵入式神经模型降阶的多尺度混合维仿真\"\u003e1. 基于区域分解与非侵入式神经模型降阶的多尺度混合维仿真\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eMultiscale Mixed-Dimensional Simulation via Domain Decomposition and Non-Intrusive Neural Model Order Reduction\u003c/p\u003e","title":"2026年07月17日论文分析"},{"content":"七月十六日 1. 可扩展广义多尺度有限元空间构造的误差的一阶下界 An Order-One Lower Bound on the Error of Scalable Generalized Multiscale Finite Element Space Constructions\n作者: Changqing Ye\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-15\narXiv ID: 2607.13888v1\n摘要翻译: Several coefficient-adapted methods provide optimal-order approximation for elliptic equations with rough coefficients. Prominent examples include localized orthogonal decomposition, multiscale spectral GFEM, and constraint energy-minimizing GMsFEM. Their proven accuracy, however, is obtained by allowing the localization radius or the local spectral dimension to grow as the coarse scale \\\\(H\\\\) tends to zero. Classical MsFEM has an FEM-like local construction, but its available analysis does not give a coefficient-uniform \\\\(\\\\bigO(H)\\\\) energy estimate over the full bounded-contrast measurable coefficient class. Motivated by this gap, we formalize an FEM-like notion of structural scalability. A chosen spatially local basis has uniformly bounded overlap, hence \\\\(\\\\bigO(1)\\\\) stiffness entries per row, and every anchored local span uses coefficient information from only \\\\(\\\\bigO(1)\\\\) coarse-element layers. We prove that no deterministic construction satisfying fixed bounds on the support radius, coefficient-information radius, and local multiplicity can converge uniformly over the coefficient class. In fact, its worst-case \\\\(L^2\\\\)-to-energy Galerkin error remains bounded below by a positive constant independent of \\\\(H\\\\) . The lower bound is established using a fixed finite family of smooth periodic coefficients and smooth right-hand sides. The proof combines coefficients that coincide on local patches, a finite-dimensional approximation lower bound for corrector fields, a positive-density mesh argument, and strong periodic corrector convergence. Thus uniform optimal accuracy requires at least one local construction parameter to grow or requires coefficient information beyond the fixed-visibility model.\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.13888v1\n有空需要精读!\n2026.7.16注\n","permalink":"https://Caodk.github.io/conclusion/2026%E5%B9%B47%E6%9C%88%E5%80%BC%E5%BE%97%E5%85%B3%E6%B3%A8%E7%9A%84%E6%96%87%E7%AB%A0/","summary":"\u003ch2 id=\"七月十六日\"\u003e七月十六日\u003c/h2\u003e\n\u003ch2 id=\"1-可扩展广义多尺度有限元空间构造的误差的一阶下界\"\u003e1. 可扩展广义多尺度有限元空间构造的误差的一阶下界\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eAn Order-One Lower Bound on the Error of Scalable Generalized Multiscale Finite Element Space Constructions\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e作者\u003c/strong\u003e: Changqing Ye\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e类别\u003c/strong\u003e: math.NA\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e发布日期\u003c/strong\u003e: 2026-07-15\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003earXiv ID\u003c/strong\u003e: 2607.13888v1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e摘要翻译\u003c/strong\u003e: Several coefficient-adapted methods provide optimal-order approximation for elliptic equations with rough coefficients. 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Classical MsFEM has an FEM-like local construction, but its available analysis does not give a coefficient-uniform \\\\(\\\\bigO(H)\\\\) energy estimate over the full bounded-contrast measurable coefficient class. Motivated by this gap, we formalize an FEM-like notion of structural scalability. A chosen spatially local basis has uniformly bounded overlap, hence \\\\(\\\\bigO(1)\\\\) stiffness entries per row, and every anchored local span uses coefficient information from only \\\\(\\\\bigO(1)\\\\) coarse-element layers. We prove that no deterministic construction satisfying fixed bounds on the support radius, coefficient-information radius, and local multiplicity can converge uniformly over the coefficient class. In fact, its worst-case \\\\(L^2\\\\)-to-energy Galerkin error remains bounded below by a positive constant independent of \\\\(H\\\\) . The lower bound is established using a fixed finite family of smooth periodic coefficients and smooth right-hand sides. The proof combines coefficients that coincide on local patches, a finite-dimensional approximation lower bound for corrector fields, a positive-density mesh argument, and strong periodic corrector convergence. Thus uniform optimal accuracy requires at least one local construction parameter to grow or requires coefficient information beyond the fixed-visibility model.\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.13888v1\n1. 研究对象和背景 本文研究具有粗糙系数椭圆方程的数值方法。具体考虑 Dirichlet 问题 $$ -\\nabla\\cdot(\\kappa\\nabla u) = f \\quad \\text{在 } \\Omega,\\qquad u = 0 \\quad \\text{在 } \\partial\\Omega, $$ 其中 $\\kappa$ 是可测的且满足 $1\\le\\kappa\\le\\rho$，$\\rho\u003e1$ 固定。由于系数不规则，标准有限元方法无法得到关于系数一致的 $H^2$ 正则性估计，因此需要构造依赖于系数的多尺度试验空间来恢复最优能量逼近。目前已有多种方法可以达到最优阶精度，如局部正交分解 (LOD)、超局部正交分解 (SLOD)、约束能量极小化广义多尺度有限元 (CEM-GMsFEM) 以及多尺度谱广义有限元 (MS-GFEM)。然而，这些方法的精度证明均要求局部化半径或局部谱维数随粗网格尺度 $H$ 趋于零而增长：LOD 需要 $|\\log H|$ 层粗单元，SLOD 的无条件分析至少退化到 LOD 的局部化率，CEM-GMsFEM 的过采样深度为 $\\log(\\max\\kappa/H)$，MS-GFEM 则需 $|\\log H|^d$ 的局部谱维数。与之相对，标准低阶有限元基函数具有固定的局部支集和重叠数，每行刚度矩阵仅有 $O(1)$ 个非零元，且每个基函数仅由相邻的 $O(1)$ 个粗单元确定。基于这一对比，本文引入“结构可扩展性”这一 FEM-like 概念：选定的空间局部基具有一致有界的支集半径和局部重数（从而每行刚度矩阵有 $O(1)$ 个非零元），且每个锚定局部空间仅依赖于固定层数粗单元内的系数信息（称为固定可见性）。核心问题是：能否在局部化半径、局部维数和系数信息半径均保持有界的情况下，在整个有界对比度可测系数类上实现一致收敛？本文从反面回答了该问题：任何满足此类固定可见性参数的确定性构造，在最坏情况下的能量误差具有一个与 $H$ 无关的正常数下界，从而无法一致收敛。这一结果填补了既有多尺度方法分析中的理论空白，即证明了若要达到一致最优精度，必须至少有一个局部构造参数随 $H$ 增长，或使用超出固定可见性模型的全局系数信息。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果是定理 2.3，它以精确的数学语言陈述了在固定可见性条件下的一致误差下界。 设 $d\\ge 2$，$\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$ 为有界连通多面体 Lipschitz 区域，固定 $\\rho\u003e1$ 以及 $m,k\\in\\mathbb{N}_0$，$C_{\\dim},C_{\\mathrm{loc}}\u003e0$。令 $\\{\\mathcal{T}_H\\}_{H\\in\\mathcal{H}}$ 为满足形状正则和拟一致条件 (2.2) 的网格族。则存在常数 $c_*\u003e0$ 和 $H_*\u003e0$，使得对任意满足 $0","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-16_09-39-33/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月16日 09:39:33\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 4\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 18\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-可扩展广义多尺度有限元空间构造的误差的一阶下界\"\u003e1. 可扩展广义多尺度有限元空间构造的误差的一阶下界\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eAn Order-One Lower Bound on the Error of Scalable Generalized Multiscale Finite Element Space Constructions\u003c/p\u003e","title":"2026年07月16日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月15日 09:35:45\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 5\n不相关论文数量: 27\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 非自治系统的离散时间广义正则变换 Discrete-time generalized canonical transformations for non-autonomous systems\n作者: Leonardo Colombo, David Martin de Diego, Riccardo Muradore, Damiano Rigo, Nicola Sansonetto\n类别: math.DS, math.NA\n发布日期: 2026-07-14\narXiv ID: 2607.12914v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12914v1\n摘要翻译 中文标题: 非自治系统的离散时间广义正则变换\n摘要翻译: 当描述其演化的微分方程显含时间时，动力学系统被称为\\emph{non-autonomous}。在研究此类系统的各种几何方法中，余辛形式提供了一个自然的框架，将辛几何推广到含时哈密顿系统。然而，在数值离散下保持相关的几何结构仍然是一个具有挑战性的问题：标准积分器，例如显式欧拉格式，通常无法保持余辛体积或底层的泊松结构。 在本文中，我们提出一种基于\\emph{generalized canonical transformations}的非自治哈密顿系统离散化的几何方法。该方法在扩展相空间 $T^*(Q \\times \\mathbb{R})$ 上构造一个辛同胚，其到 $T^*Q \\times \\mathbb{R}$ 的投影定义了一个保结构的离散流。我们证明，这一构造可保证关键不变量的保持，包括体积形式、泊松括号以及每个时间纤维上的辛结构。\n2. 基于能量的物理信息聚类张拉整体结构找形方法 Energy-Based Physics-Informed Form Finding for Clustered Tensegrity Structures\n作者: Jing Qin, Muhao Chen\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-07-14\narXiv ID: 2607.12888v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12888v1\n摘要翻译 中文标题: 基于能量的物理信息聚类张拉整体结构找形方法\n摘要翻译: 张拉整体结构的找形与物理性质预测是结构力学中的基本反问题，旨在确定平衡构型与内力分布。由于几何与力之间的耦合所导致的强非线性，需要确保结构稳定性，以及边界条件和对称性等约束的施加，这些问题极具挑战性。此外，传统方法往往对噪声和离群值缺乏鲁棒性。本文提出了一种基于能量的聚类张拉整体结构找形与物理性质预测的学习框架。该方法将总势能极小化和本构关系纳入训练目标，能够同时预测平衡节点构型及相关的物理量，包括杆件内力和力密度。通过将基于能量的物理损失直接融入学习过程，该框架提升了物理一致性、鲁棒性和数据效率。在张拉整体结构（包括棱柱和着陆器系统）上的数值实验展示了所提方法的巨大潜力，并证明了其可扩展找形和准确预测结构性质的能力。\n3. 基于深度学习的多尺度问题LOD方法代理建模 Deep Learning-based Surrogate Modelling of the LOD Method for Multiscale Problems\n作者: Marc Haltmayer, Jaemin Seo, Yuseung Lee, Sungyeop Lee, Jaehoon Jeong, Jae Yong Lee\n类别: math.NA, cs.AI, cs.LG\n发布日期: 2026-07-14\narXiv ID: 2607.12570v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12570v1\n摘要翻译 中文标题: 基于深度学习的多尺度问题LOD方法代理建模\n摘要翻译: 多尺度问题历来难以用传统数值方法处理，因为准确解析细尺度特征常常需要过于精细的离散化。这一挑战在材料科学、流体动力学、气候系统、化学过程和复杂网络等应用中尤为突出。近年来，神经算子模型提供了一种有前景的数据驱动替代方案，但在面对强非均匀或振荡系数时，往往难以达到足够的精度。本文关注具有粗糙和高对比度输入的椭圆偏微分方程的求解。局部正交分解（LOD）方法是求解此类问题的一种成熟数值方法，但其计算代价却相当高。我们研究了常用神经算子架构在这些具有挑战性的多尺度问题上的性能表现，并识别了其在解析细尺度结构方面的关键局限性。为克服这些挑战，我们提出LOD-MSNO（LOD-多尺度神经算子），这是一种混合方法，利用LOD方法作为强多尺度先验，基于其将解表示为问题适配基函数的线性组合，同时通过数据驱动的算子学习来解决其主要计算瓶颈。我们进一步为所提出的系数学习框架提供了理论误差估计。最后，我们证明所提方法对于具有挑战性的多尺度输入，在精度上有潜力超越当前的神经算子基线模型，同时基本保持了神经算子模型的计算效率。\n4. 破碎空间加性Schwarz质量逆近似与(块)预处理 Broken-space Additive Schwarz Mass Inverse Approximations and (Block) Preconditioning\n作者: Oliver A. Krzysik, Ben S. Southworth, Golo A. Wimmer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-13\narXiv ID: 2607.12138v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12138v1\n摘要翻译 中文标题: 破碎空间加性Schwarz质量逆近似与(块)预处理\n摘要翻译: 有限元质量矩阵求解和近似逆经常出现在显式时间积分以及基于Schur补的块预处理中。质量矩阵的对角近似廉价且广泛使用，但可能是一个较差的近似，特别是对于高阶单元。本文引入了一种破碎空间加性Schwarz（BRAS）质量逆近似，通过在破碎有限元空间上应用精确的单元局部逆质量矩阵并将结果平均回协调空间而构造。该构造使用与标准质量组装相同的单元矩阵和局部-全局映射，具有与协调质量矩阵相同的单元邻接稀疏性图，并且对于任何协调空间、网格几何和多项式基都是对称正定的。我们证明了预处理质量矩阵的谱界，并且在二维和三维单纯形网格上对(H^1)、(H(\\operatorname{curl}))和(H(\\operatorname{div}))有限元进行了广泛的数值实验，结果表明BRAS相较于对角预处理降低了谱条件数、Krylov迭代次数和求解时间。对于预处理共轭梯度（CG），在所有测试的有限元阶数$p\\in[1,4]$的情况下，BRAS相较于对角/雅可比预处理实现了1.1\u0026ndash;4.7$\\times$的加速。此外，理论和数值实验表明，在块预处理情形下，BRAS可以改善Schur补近似并减少外部求解时间。在混合Poisson和双调和系统上，BRAS相较于标准的基于对角的预处理方法，在求解时间上实现了1.5\u0026ndash;3$\\times$的加速。\n5. 非线性椭圆问题的切空间多尺度流形方法 Tangent-Space Multiscale Manifold Methods for Nonlinear Elliptic Problems\n作者: Mats G. Larson, Anna Persson\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-13\narXiv ID: 2607.12082v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12082v1\n摘要翻译 中文标题: 非线性椭圆问题的切空间多尺度流形方法\n摘要翻译: 针对非线性非均匀椭圆问题，本文引入一种切空间多尺度流形方法。该方法通过粗状态的非线性重构来表示细尺度解。理想重构通过一个约束变分问题消除细尺度，而可计算重构则通过局部非线性子域求解与单位分解的混合来逼近该映射。由于逼近集合是非线性流形，粗方程需借助切多尺度检验函数来建立。我们还提出了一种网络插值变体，其中仅由单位分解混合所使用的受限子域输出及其切作用通过局部学习映射来逼近。对于非均匀单调非线性扩散，我们记录了结构单调性、可微性、子域映射正则性以及条件扰动估计，这些性质将几何稳定性机理与局部化、残差和可选的学习缺陷分离开来。关于局部化缺陷衰减的严格先验理论，以及由此导出的粗网格尺寸收敛速率，将另文分析；本文在条件意义下控制这些缺陷，并通过数值实验验证其衰减。\n不相关论文（基本信息） 1. 具有非光滑数据的纳维-斯托克斯方程的后验误差分析 A posteriori error analysis for the Navier-Stokes equations with non-smooth data\n作者: María Gabriela Armentano, Mauricio Mendiluce\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-14\narXiv ID: 2607.13014v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.13014v1\n摘要: We study the stationary Navier-Stokes equations with Dirichlet boundary data in L2, a setting in which the limited regularity of the solution prevents the direct application of standard a posteriori error estimation techniques. To address this issue, we introduce a regularized formulation that yields a well-posed approximation of the original problem and admits a conforming finite element discretization. Using Taylor-Hood P2P1 elements, we construct a residual-based a posteriori error estimator and establish its reliability and efficiency under suitable smallness assumptions on the data. We derive computable upper and lower bounds in an appropriate norm that relate the estimator to the error between the exact solution of the original Navier-Stokes problem and its finite element approximation, showing that the estimator accurately reflects the finite element error. These results provide a rigorous foundation for the analysis and implementation of adaptive finite element methods for incompressible flows with low-regularity Dirichlet boundary data.\n2. 隐式数据同化的集合控制流滤波 Ensemble Controlled-Flow Filtering for Implicit Data Assimilation\n作者: Zhuoyuan Li, Yue Zhao, Ming Li\n类别: stat.ML, cs.LG, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-07-14\narXiv ID: 2607.12975v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12975v1\n摘要: Data assimilation estimates the state of a dynamical system from model forecasts and incoming observations. Many observation mechanisms, however, are many-to-one, implicit, non-smooth, or accessible only through simulation, and need not provide the residual structures or likelihood guidance required by existing ensemble filters. We introduce implicit data assimilation, in which the analysis law is defined as an energy tilt of the forecast distribution. We then propose the Ensemble Controlled-flow Filter (EnCF), which realizes this update through a stochastic controlled flow and learns the observation-dependent control by adjoint matching from terminal energy gradients. For simulator-defined observations, EnCF-LF learns a surrogate conditional energy from samples and applies the same controlled-flow solver. We prove ideal exactness, derive a one-step error decomposition, and establish non-accumulation of local errors under filter stability. Numerical results show that Kalman-type filters remain preferable for smooth additive-Gaussian observations, while the proposed methods are better suited to non-Gaussian, many-to-one, multimodal, and implicit observation models.\n3. 矩阵和张量火车的低精度秩补偿 Low-Precision Rank Compensation for Matrices and Tensor Trains\n作者: Ibrahim El Mountasser, Khalide Jbilou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-14\narXiv ID: 2607.12969v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12969v1\n摘要: Lower numerical precision reduces storage and memory traffic but raises the perturbation floor. We study rank compensation: reinvesting saved memory in a larger approximation rank. For matrices, the singular-value error identity yields a directly testable sufficient condition requiring the additional singular component to offset the perturbation from storing the rank-augmented approximation in lower precision. On ten SuiteSparse matrices, all 100 truncation-dominated configurations (50 FP32 and 50 FP16) are certified non-increases and strict accuracy wins, with mean error ratio $0.963$ and storage ratios $58.8\\%$ and $29.4\\%$ relative to the FP64 baseline. FP16 failures occur only in tail-rank stress tests near the perturbation floor. At the largest resident matrix-application batch, compensated FP32 and FP16 achieve geometric-mean A100 speedups of $1.28\\times$ and $2.12\\times$; neither accelerates the smallest batch. For Tensor-Train (TT) approximation, we give a conditional a posteriori extension based on the measured truncation gain and rounded-core perturbation. Across three-way and six-way synthetic tests, FP32 and FP16 achieve combined accuracy-memory wins in 10 of 20 and 14 of 20 trials. On public hyperspectral tensors and FROSTT top-active subtensors, the corresponding counts are 44 of 60 and 54 of 60; four FP16 Salinas-A tail-stress cases fail. No certified TT case exceeds the FP64 error beyond numerical tolerance. Reconstruction of six public tensors yields geometric-mean compensated speedups of $1.38\\times$ (FP32) and $1.94\\times$ (FP16). Timings cover resident downstream kernels, not factorization, transfers, or end-to-end acceleration.\n4. 自定义精度OCP MX块浮点格式与算术的仿真 Simulation of Custom-Precision OCP MX Block Floating-Point Formats and Arithmetic\n作者: Maliha Islam, Mantas Mikaitis\n类别: cs.MS, math.NA\n发布日期: 2026-07-14\narXiv ID: 2607.12915v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12915v1\n摘要: We present MXsim v0.1: a MATLAB library for simulating the OCP MX block floating-point arithmetic and formats. The library is built on top of a custom-precision floating-point simulator, CPFloat, which allows custom variants of non-block IEEE 754 floating-point formats to be simulated. MXsim is a MATLAB simulator, and is targeted at mixed-precision algorithm development community to perform experimentation in OCP MX block floating-point arithmetic by using a simple and well-documented interface in MATLAB, which is especially useful when access to the latest NVIDIA and AMD GPUs is not available. Furthermore, due to full customisation of exponents, precisions of input and output formats, and the precision of the accumulator within the dot product operation, MXsim allows experimenting with custom variants of the OCP MX block floating point for research. Finally, since the bit-wise numerical behavior of OCP MX formats is not documented by GPU vendors, and the precision and rounding are not prescribed by the OCP specification itself, MXsim allows experiments with various possible settings in order to determine the effects on mixed-precision numerical algorithms.\n5. 求解Fokker-Planck型方程的最小二乘弱Galerkin有限元方法 A Least Squares Weak Galerkin Finite Element Method for Fokker-Planck Type Equations\n作者: Chunmei Wang, Shangyou Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-14\narXiv ID: 2607.12803v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12803v1\n摘要: This paper presents a least squares weak Galerkin (LS-WG) finite element method for a class of second order elliptic equations of Fokker-Planck type. To address the numerical challenges arising from non-smooth diffusion tensors, the proposed method utilizes a least-squares formulation that yields a symmetric positive definite (SPD) discrete system. The numerical scheme is designed by employing locally constructed weak second order partial derivatives and the weak divergence commonly used within the weak Galerkin framework. A rigorous theoretical foundation is provided, establishing the uniqueness of the discrete solution and deriving optimal-order error estimates in a discrete energy norm. Finally, extensive numerical experiments are reported to validate the theoretical findings and demonstrate the robustness and performance of the numerical scheme.\n6. 多相 Mullins-Sekerka 流的无网格求解器：三重点与九十度边界接触 A Mesh-Free Solver for Multi-Phase Mullins-Sekerka Flow: Triple Junctions and Ninety-Degree Boundary Contact\n作者: Tokuhiro Eto\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-07-14\narXiv ID: 2607.12759v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12759v1\n摘要: A bulk mesh-free solver for the multi-phase Mullins\u0026ndash;Sekerka flow in $\\mathbb R^2$ and in a half-plane bounded by a Neumann wall is developed. In the underlying mathematical model, interfaces driven by their curvature are coupled through a harmonic chemical-potential field. We use a charge simulation method, a variant of the method of fundamental solutions: each chemical potential is represented by fundamental solutions centered at charge points off the curve, so no bulk mesh or singular integral is required. It treats curve networks separating several phases at triple junctions, including phases that occupy more than one region; on the half-plane boundary the no-flux condition is imposed exactly by image charges, and mobile contacts stay orthogonal to the wall. The discretization is structure-preserving: between topological events, every bounded phase area is conserved to machine precision at the velocity level by a null-space projection of the discrete area constraints. The junction connectivity is fixed, the only topological event being the disappearance of a region enclosed by a single closed curve and incident to no junction. The proposed scheme is validated against an exact three-concentric-circle solution in terms of convergence, cost, and conditioning.\n7. 基于广义内积的质量守恒鞍点动力学：理论、算法与应用 Mass-Conserving Saddle Dynamics via Generalized Inner Product: Theory, Algorithms, and Applications\n作者: Longjing Li, Guanghua Ji, Zhen Xu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-14\narXiv ID: 2607.12715v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12715v1\n摘要: To reveal the effect of the inner product choice, we present a unified formulation of saddle dynamics for the functional F with a mass constraint under different inner products. We establish the equivalence between the index-k saddle points and the linearly stable steady states of the corresponding dynamics. Further, we present the dynamics with discrete H^{-1} and L^2 inner products and numerically verify the convergence orders of both dynamics. Finally, we apply the method to a phase field model with driving force under Neumann and periodic boundary conditions. The results uncover previously unreported saddle points and their connectivity, highlighting how the choice of inner product enriches the solution landscape in conservative systems.\n8. 使用指数变换的端点奇异函数的埃尔米特谱逼近 Hermite spectral approximation for functions with endpoint singularities using exponential transforms\n作者: Haiyong Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-14\narXiv ID: 2607.12648v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12648v1\n摘要: In this paper we introduce Hermite spectral approximation for functions with endpoint singularities using exponential transforms, including single exponential (SE), double exponential (DE) and error function (EF) transforms, and present a comprehensive convergence analysis for these approximations without and with scaling. In the case without scaling, we show that these methods converge at some root-exponential rate. In the case with scaling, we derive optimal scaling factors for each of exponential transforms and show that the convergence rate of Hermite spectral approximation can be significantly improved. Numerical comparisons with sinc method are present and it is shown that Hermite method has comparable or superior accuracy performance when using the same number of terms. Extensions to quadrature and rootfinding algorithm are also discussed.\n9. 线性微分-代数方程的围道积分方法与结构扰动 Contour integral methods and structured perturbations for linear differential-algebraic equations\n作者: Nicola Guglielmi, Mattia Manucci\n类别: math.NA, math.DS\n发布日期: 2026-07-14\narXiv ID: 2607.12628v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12628v1\n摘要: We generalize the contour integral methods (CIM) framework to the time integration of linear dynamical systems that are subject to algebraic constraints at all times during their evolution. The proposed approach relies on applying the Laplace transform to the Cauchy problem associated with a linear system of differential-algebraic equations (DAE), and subsequently reconstructing the time-domain solution by approximating the inverse Laplace transform via a suitable quadrature rule. This procedure yields an efficient and accurate alternative to classical Runge-Kutta schemes, which are well known to exhibit order reduction in accuracy when applied to DAE. In the second part of the paper, we address linear parametric DAE and propose an efficient strategy for tuning the integration contour in the CIM framework using suitable structured-unstructured pseudospectral computations. This allows the identification of a single integration profile capable of approximating an entire family of parametric solutions, thereby facilitating the efficient application of model order reduction techniques. Finally, numerical experiments are presented to validate the proposed methodology and support the theoretical findings.\n10. 基于张量的降阶建模用于基于优化的反问题 Tensor-Based Reduced-Order Modeling for Optimization-Based Inverse Problems\n作者: Sahidul Islam, Andreas Mang, Maxim Olshanskii\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-07-14\narXiv ID: 2607.12613v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12613v1\n摘要: We develop a tensor reduced-order modeling (TROM) framework for optimization-based inverse problems governed by parameter-dependent dynamical systems. The approach approximates the parameter-to-observation map directly in tensor-train format, using either TT-SVD or TT-Cross compression, and integrates the resulting representation into a regularized nonlinear least-squares formulation. Beyond accelerating forward evaluations, the low-rank tensor structure is used to reformulate the inverse problem in reduced coordinates, assemble the Gauss\u0026ndash;Newton quantities without forming the full observation-space Jacobian, and perform TROM-based objective minimization over the discrete parameter grid. This tensor optimization step can be used either as a stand-alone approximate minimization procedure or as a data-informed initialization for a subsequent Gauss\u0026ndash;Newton solve. The method is studied for two inverse problems: an inverse heat-transfer problem in a heterogeneous medium, where the unknown parameters describe the locations of multiple low-conductivity inclusions, and a FitzHugh\u0026ndash;Nagumo parameter-estimation problem with a highly nonconvex optimization landscape. Numerical experiments assess the effects of ROM approximation error, measurement noise, regularization, initialization, spatial discretization, and increasing parameter dimension. The results show that TROM can reproduce the behavior of full-order inversion at a substantially reduced online cost. The experiments also demonstrate that reduced-coordinate inversion, tensor-based optimization, and appropriate regularization improve robustness in higher-dimensional, noisy, and strongly nonconvex regimes.\n11. 一种用于半无限地基中移动荷载波传播和土-结构相互作用问题的2.5维NURBS-迹无限元方法 A 2.5D NURBS-Trace Infinite-Element Method for Moving-Load Wave Propagation and Soil\u0026ndash;Structure Interaction in Semi-Infinite Ground\n作者: Yanhui Zhong, Hao Hong, Bei Zhang, Quansheng Zang, Hussein Rappel, Stéphane P. A. Bordas\n类别: cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-07-14\narXiv ID: 2607.12582v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12582v1\n摘要: For moving-load problems whose geometry and material properties are approximately invariant along the traveling direction, 2.5D analysis retains three displacement components at lower cost than full three-dimensional discretization. We present a 2.5D Non-Uniform Rational B-spline (NURBS)-trace infinite-element method (NBIEM), formulated as a coupled finite/infinite-element scheme, for wave propagation in linear viscoelastic semi-infinite geotechnical media. The bounded near field is discretized by isogeometric analysis, while the exterior is represented by tensor products of the boundary NURBS basis and admissible outgoing or evanescent exponential radial functions. Both subdomains share the same NURBS trace space and control-point degrees of freedom, enforcing displacement continuity without projection or mortar variables. For the selected radial functions, far-field stiffness and mass contributions are evaluated through closed-form radial moments, eliminating finite radial cutoff and radial quadrature. Closed-form half-space solutions verify displacement and stress frequency-response functions in sub-Rayleigh, super-shear but sub-compressional, and super-compressional moving-load regimes. Low-frequency studies assess sensitivity to radial parameters and artificial-boundary placement. Additional tests examine complex-valued response accuracy, phase fidelity, computational cost, and the frequency-dependent working range of the default S-wave-informed exterior realization. Applications to layered media, track\u0026ndash;subgrade systems, and buried structures demonstrate the ability to handle heterogeneous materials, multi-patch configurations, curved interfaces, and cover-depth-dependent geotechnical responses. The framework provides a geometrically consistent and computationally efficient treatment of moving-load wave propagation and soil\u0026ndash;structure interaction in semi-infinite domains.\n12. 由核函数产生的矩阵的连续交叉逼近 Continuous Cross Approximation of Matrices Arising Out of Kernel Functions\n作者: Sumit Singh, Sivaram Ambikasaran\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-14\narXiv ID: 2607.12540v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12540v1\n摘要: We propose a residual energy-based framework for constructing low-rank approximations of kernel matrices arising from continuous kernel functions. The method operates in a continuous setting and is based on the adaptive selection of pivot nodes, referred to as \\emph{optimal nodes}, which are chosen to minimize the residual energy at each step. This leads to a sequence of rank-$1$ updates of the residual kernel and admits a natural interpretation as a continuous analog of Adaptive Cross Approximation (ACA). From a theoretical perspective, we show that the residual kernels remain in the class of compact operators and that the approximation error is exactly characterized by the residual energy. We provide convergence guarantees showing that the method yields monotonic error reduction under an alignment condition and achieves geometric decay under practically motivated assumptions. Extensive numerical experiments demonstrate that the proposed method achieves approximation errors close to those of the truncated singular value decomposition across a range of kernel functions. The method exhibits strong robustness with respect to sampling and maintains stable performance across different discretizations. Furthermore, the close agreement between the continuous residual energy and the discrete approximation error highlights the consistency of the formulation. These results establish the proposed approach as a theoretically grounded, practically effective continuous counterpart to classical cross-approximation techniques.\n13. 一种计算矩阵平方根的混合精度算法 A mixed precision algorithm for the matrix square root\n作者: Bowen Gao, Daniel Kressner, Meiyue Shao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-14\narXiv ID: 2607.12430v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12430v1\n摘要: Mixed precision algorithms can significantly enhance the performance of linear algebra solvers by leveraging increasingly powerful low precision hardware while recovering working precision accuracy through, for example, iterative refinement. In this paper, we propose a novel mixed precision algorithm for computing matrix square roots. Our algorithm combines a Schur decomposition approach in low precision with iterative refinement performed through an approximate Newton method. We perform a detailed convergence analysis of the approximate Newton method. For the special case of symmetric positive definite matrices, this analysis implies that one can recover full working precision accuracy under mild conditions. Numerical experiments on x86-64 architectures indicate that our algorithm frequently reduces execution time compared with a fixed working-precision Schur algorithm.\n14. 具有超线性增长系数的反射随机微分方程的耦合驯服Euler-Peano格式的强1/2阶收敛 Strong order one-half convergence of a coupled tamed Euler\u0026ndash;Peano scheme for reflected stochastic differential equations with super-linearly growing coefficients\n作者: Ziheng Chen, Caiyun Hua, Meng Cai\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-14\narXiv ID: 2607.12415v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12415v1\n摘要: We study strong numerical approximations for reflected stochastic differential equations in possibly unbounded convex domains with super-linearly growing drift and diffusion coefficients. Under a coupled monotonicity condition and polynomial local Lipschitz assumptions, we first establish the well-posedness of the reflected SDE and derive uniform moment bounds for its solution. We then introduce a coupled tamed Euler\u0026ndash;Peano scheme, in which the drift and the squared diffusion coefficient are tamed by a common factor and the resulting Euler\u0026ndash;Peano path is corrected through the Skorokhod problem. This common taming factor preserves the drift\u0026ndash;diffusion coercivity structure and yields uniform moment estimates for the numerical solution. We prove strong convergence of order $1/2$ for both the constrained state process and the boundary regulator, thereby recovering the standard Euler-type strong order in this reflected setting. Numerical experiments for a reflected stochastic Ginzburg\u0026ndash;Landau type system illustrate the constraint preservation of the scheme and support the theoretical convergence rate.\n15. 史前人类迁徙的高效路径重建：基于小波压缩地形数据的自适应Dijkstra算法 Efficient Path Reconstruction in Prehistoric Human Migration: An Adaptive Dijkstra\u0026rsquo;s Algorithm Based on Wavelet Compression for Topographic Data\n作者: Max Brockmann, Lena Perlberg, Angela Kunoth\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-14\narXiv ID: 2607.12408v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12408v1\n摘要: The reconstruction of prehistoric migration routes requires the accurate evaluation of effective distances across complex topographies. Traditional Least-Cost Path Analyses (LCPA) using high-resolution elevation models often lead to dense computational grids, making algorithms like Dijkstra\u0026rsquo;s prohibitively slow for large-scale archaeological modelling. In this paper, we present a novel approach using adaptive wavelet methods to dynamically compress topographic data. By retaining high resolution only in areas of high topographic complexity (e.g., mountain passes) and smoothing homogeneous regions, we significantly accelerate the Dijkstra algorithm without losing essential routing topology. We demonstrate the efficacy of this method using migration scenarios.\n16. 面向时间周期问题的傅里叶感知投影周期 Parareal 方法 A Fourier-Aware Projection-Based Periodic Parareal Method for Time-Periodic Problems\n作者: Chenyi Tan, Yuncheng Xu, Yehao Zhang, Yangfeng Su\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-14\narXiv ID: 2607.12402v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12402v1\n摘要: Time-periodic problems arise when the desired solution is a periodic steady state rather than a transient trajectory. The periodic parareal algorithm with a periodic coarse problem (PP-PC) is a periodicity-preserving parallel-in-time approach for such problems. Projection-based correction can accelerate convergence of both parareal and PP-PC. In this paper, we propose a Fourier-aware construction of projection spaces and a new correction scheme to further accelerate the convergence of projection-based PP-PC. We develop a convergence analysis of projection-based PP-PC with the discrepancy-based correction scheme for general nonlinear time-periodic problems. For an arbitrary orthogonal projection, we derive a local one-step convergence estimate controlled by the unresolved error and explicit nonlinear contributions. A temporal Fourier decomposition bounds the unresolved error by a tail-leak quantity, which is small when dominant error modes are selected and their coefficients are captured by the projection space. For linear problems, the nonlinear contributions vanish, yielding a globally valid one-step tail-leak convergence estimate under weaker assumptions. Experiments on linear and nonlinear problems show that Fourier-aware PP-PC requires fewer outer iterations than Krylov-enhanced PP-PC. For the linear problems, the errors track the tail-leak bound. For the nonlinear problems, the experiments quantify the unresolved-error and explicit nonlinear contributions in the local one-step estimate and show that the evaluated tail-leak estimate follows the observed decay.\n17. SinCoTrap：一种适用于任意维周期奇异积分的高阶局部修正梯形法则 SinCoTrap: A High-Order Locally Corrected Trapezoidal Rule for Periodic Singular Integrals in Arbitrary Dimensions\n作者: Hengzhun Chen, Yingzhou Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-14\narXiv ID: 2607.12390v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.12390v1\n摘要: We present SinCoTrap (Singularity-Corrected Trapezoidal Rule), a high-order locally corrected trapezoidal method for periodic singular integrals in arbitrary dimension $d$ with kernel $|\\boldsymbol{x}|^{-s}$, $0","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-15_09-35-45/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月15日 09:35:45\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 5\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 27\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-非自治系统的离散时间广义正则变换\"\u003e1. 非自治系统的离散时间广义正则变换\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eDiscrete-time generalized canonical transformations for non-autonomous systems\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e作者\u003c/strong\u003e: Leonardo Colombo, David Martin de Diego, Riccardo Muradore, Damiano Rigo, Nicola Sansonetto\u003c/p\u003e","title":"2026年07月15日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月14日 09:32:32\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 5\n不相关论文数量: 42\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 物理信息神经网络用于流体动力学中流动测量指标的高分辨率重建 Physics-Informed Neural Networks for the High-Resolution Reconstruction of Flow Measurement Indicators in Fluid Dynamics\n作者: Irena Radišić, Raffaele Tirotta, Alberto Zingaro, Stefano Pagani, Luca Dede'\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-13\narXiv ID: 2607.11576v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.11576v1\n摘要翻译 中文标题: 物理信息神经网络用于流体动力学中流动测量指标的高分辨率重建\n摘要翻译: 准确的空间分辨流场测量对于心血管研究和临床实践中血流动力学量的可靠评估至关重要。实验技术，如四维血流磁共振成像（4D flow MRI）、粒子图像测速（PIV）或多普勒超声，常产生稀疏、含噪声或欠分辨的数据，特别是在血管壁附近和复杂流动区域。这限制了分布或导出血流动力学指标（如壁面剪切应力）的保真度以及此类测量的临床效用。为应对这些挑战，我们提出了一个物理信息神经网络（PINN）框架，该框架将不可压缩Navier-Stokes方程与来自实验流场数据的速度测量相结合。通过将物理定律嵌入数据，PINN增强了速度场的重建，能够估计未测量的量（如压力和壁面剪切应力），并提高了血流动力学指标的空间分辨率。我们利用计算机模拟和实验数据展示了该方法的有效性。首先，我们将方法应用于FDA喷嘴基准算例，利用对照粒子图像测速（PIV）测量和计算流体动力学（CFD）模拟。接着，我们利用体外四维血流MRI数据，将方法应用于更复杂的动脉瘤模型中的血流案例。在两种情况下，数据驱动学习与基于物理的正则化之间的协同作用产生的结果比标准CFD或纯数据驱动方法更接近真实观测。我们的发现凸显了PINN在提高欠分辨流场测量的保真度并产生空间分辨血流动力学指标方面的潜力。\n2. 基于非标准有限差分离散化的结构保持神经常微分方程 Structure-Preserving Neural ODEs via Nonstandard Finite Difference Discretization\n作者: Achraf Zinihi, Matthias Ehrhardt, Moulay Rchid Sidi Ammi\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-07-12\narXiv ID: 2607.10858v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10858v1\n摘要翻译 中文标题: 基于非标准有限差分离散化的结构保持神经常微分方程\n摘要翻译: 尽管神经常微分方程（NODE）是学习连续时间动力学的强大框架，它们通常不保持基本的定性性质，例如正性。我们提出了一种基于非标准有限差分（NSFD）离散化的结构保持神经常微分方程框架。学习到的动力学由非负的产生和消耗率参数化，产生一个显式、可微的更新，无缝集成到标准的自动微分流程中。我们证明了所得格式对于任意时间步长无条件保持正性，同时保留一阶相容性。我们概述了一种基于Patankar型离散化的扩展，能够精确保持守恒律。在SIR传染病模型上的数值实验表明，我们的方法生成了物理上有意义的轨迹，在粗离散化下保持稳健，并且在保持学习动力学的定性结构方面优于传统的神经常微分方程。\n3. Bernstein-Gelfand-Gelfand (BGG) 构造：代数、几何与分析；第一部分 The Bernstein-Gelfand-Gelfand (BGG) Construction: Algebra, Geometry, and Analysis; Part I\n作者: Andreas Cap\n类别: math.DG, math.NA\n发布日期: 2026-07-12\narXiv ID: 2607.10662v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10662v1\n摘要翻译 中文标题: Bernstein-Gelfand-Gelfand (BGG) 构造：代数、几何与分析；第一部分\n摘要翻译: 这些是根据我与Kaibo Hu在维也纳Erwin Schrödinger研究所（ESI）共同教授的短期课程第一部分整理的讲义，该课程是主题项目“微分复形：理论、离散化与应用”的一部分。我们介绍微分形式以及在R^n的开区域上Berstein-Gelfand-Gelfand（BGG）复形的构造，重点阐述半单李群和李代数的表示论在构造中的作用。\n4. 波传播的辛哈密顿直接间断伽辽金方法 Symplectic Hamiltonian Direct Discontinuous Galerkin Method for Wave Propagation\n作者: Haomiao Li, Yumiao Li, Jiaxin Wang, Tiegang Liu, Kun Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-12\narXiv ID: 2607.10652v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10652v1\n摘要翻译 中文标题: 波传播的辛哈密顿直接间断伽辽金方法\n摘要翻译: 本文提出了一种辛哈密顿直接间断伽辽金（DDG）方法，用于逼近波传播问题，包括线性和半线性波动方程。在无需辅助变量的 DG 框架下，我们证明数值通量双线性形式的对称性等价于离散哈密顿结构的存在性。由此可得，对称内罚方法和对称 DDG（SDDG）方法等具有离散哈密顿结构，而 Baumann–Oden、DDG 和 BR2 等格式则不具备此性质。利用这一结构，我们将 SDDG 空间离散与辛时间积分器相结合，构造了全离散辛格式。进一步地，我们针对半线性波动方程的 SDDG 方法推导了误差估计，表明位移具有最优收敛阶，而速度具有次优收敛阶。数值实验验证了理论收敛阶，并表明辛哈密顿 DDG 方法在长时间能量守恒和精度方面具有优越性能。\n5. 微分神经正切核及其正定性 The Differential Neural Tangent Kernel and Its Positivity\n作者: Bangti Jin, Longjun Wu\n类别: cs.LG, math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-07-11\narXiv ID: 2607.10200v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10200v1\n摘要翻译 中文标题: 微分神经正切核及其正定性\n摘要翻译: 神经正切核（NTK）是分析过参数化机制下神经网络训练动力学的有力工具之一。最近，这一理论框架已被扩展至用于求解线性偏微分方程的物理信息神经网络（PINNs），后者是一类非常流行的神经偏微分方程求解器。在分析中，与之相关的NTK的正定性起着基础性作用。然而，由于存在多个微分算子，证明PINNs中NTK的正定性极具挑战性。在本文中，我们提出一个新的理论框架，称为微分神经正切核（DNTK），用于通过NTK的视角分析PINNs，并针对一大类激活函数（包括RePU以及光滑但非多项式的激活函数）和所有线性微分算子，建立了浅层和深层神经网络在无限宽度下DNTK的正定性。这些理论结果为分析训练PINNs的梯度型算法奠定了基础。\n不相关论文（基本信息） 1. 先稳定后优化：反馈变换作为最优控制中的预条件子 Stabilize-then-optimize: Feedback transformations as preconditioners in optimal control\n作者: Till Preuster, Manuel Schaller, Anton Schiela, Martin Stoll\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-07-13\narXiv ID: 2607.11835v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.11835v1\n摘要: Many numerical algorithms for optimal control leverage an elimination of the state via the control-to-state map such as condensed approaches or preconditioned conjugate gradient methods for the optimality system. As such, the norm of the control-to-state map directly enters the convergence estimates for these methods, e.g., via the condition number of the associated linear system. In this work we show that using feedback transformations one may reformulate the optimal control problem to decrease the norm of the (feedbacked) control-to-state map, leading to a drastic improvement of the involved condition numbers. We illustrate the abstract approach for ordinary and partial differential equations such as parabolic, hyperbolic or elliptic equations. For each of these problem classes we provide a constructive method to improve solution operator norms via feedbacks. Further, we showcase the efficacy of the method by means of various numerical examples with elliptic, parabolic and hyperbolic partial differential equations.\n2. 高维偏微分方程的Inf-Sup神经网络 Inf-Sup Neural Networks for High Dimensional PDEs\n作者: Ziren Chen, Hailiang Liu\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-07-13\narXiv ID: 2607.11718v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.11718v1\n摘要: Solving partial differential equations (PDEs) in high dimensions remains challenging due to the curse of dimensionality. We propose a neural-network-based framework that reformulates PDEs as inf\u0026ndash;sup optimization problems through the introduction of a Lagrange multiplier. The primal solution and the associated Lagrange multiplier are parameterized by two networks and are computed via an iterative saddle-point optimization procedure. We prove the theoretical equivalence between the proposed optimization formulation and the original PDE problem, and we derive rigorous error estimates that quantify the total approximation error in terms of the network approximation error, statistical (sampling) error, and optimization error. Numerical experiments demonstrate the accuracy, stability, and efficiency of the proposed method for solving high-dimensional PDEs.\n3. 一种用于无约束优化的孪生梯度法 A Twin gradient method for unconstrained optimization\n作者: Anna De Magistris, Michiel E. Hochstenbach, Gerardo Toraldo\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-07-13\narXiv ID: 2607.11575v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.11575v1\n摘要: We propose a new strategy for gradient-based unconstrained optimization, involving two parallel sequences of iterates that cooperate to determine their stepsizes via a \\textit{Twin-Step} principle. Rather than minimizing the objective function individually, the algorithm selects steplengths that minimize the Euclidean distance between the two gradient based processes occurring simultaneously at each iteration. The theoretical analysis shows that the convergence of the mutual distance is governed by the angle between the search directions. In particular the effectiveness of the overall process degrades as the directions approach parallelism. To ensure robustness against collinearity, we introduce a hybrid framework, Twin-ABB$_{\\min}$, which switches to the Adaptive Barzilai\u0026ndash;Borwein method when the geometric cooperation becomes ineffective. Extensive and very promising numerical results evidence that the Twin phase creates favorable initial conditions for subsequent BB-type iterations.\n4. Cahn\u0026ndash;Hilliard方程的代数不变二次化格式 Algebraic Invariant Quadratization Schemes for Cahn\u0026ndash;Hilliard Equations\n作者: Fei Xie, Nan Lu, Yajuan Sun\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-13\narXiv ID: 2607.11569v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.11569v1\n摘要: In this paper, we propose the Algebraic Invariant Quadratization (AIQ) framework for rational-like energy functions by introducing auxiliary variables, which are interpreted as Casimir functions of the extended system. Combining AIQ with symplectic Runge\u0026ndash;Kutta (SRK) methods in time and Fourier pseudo-spectral discretization in space, we obtain fully discrete schemes. The resulting schemes are applied to Cahn\u0026ndash;Hilliard equations in both the isotropic and anisotropic cases. We analyze the discrete dispersion relation, spinodal instability, coarsening behavior, and missing-orientation phenomena. Numerical comparisons demonstrate the improved performance superiority of the proposed method over the stabilized invariant energy quadratization (S-IEQ) and scalar auxiliary variable (SAV) methods in preserving the original energy evolution and capturing the underlying physical phenomena.\n5. 基于截断梯形法则的卷积求积 Convolution quadrature based on a truncated trapezoidal rule\n作者: Matteo Ferrari\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-13\narXiv ID: 2607.11422v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.11422v1\n摘要: We study the truncated trapezoidal rule, a family of A-stable second order multistep methods parametrized by an integer $J \\ge 2$, a compromise between BDF2 and the trapezoidal rule. We obtain a closed-form expression for the coefficients that minimize the principal error constant under the A-stability constraint and we derive an explicit formula for the corresponding principal error constant. The latter decreases to the optimal Dahlquist value $1/12$ as $J$ increases, and is strictly smaller than the BDF2 constant for every $J \\ge 2$. We apply the truncated trapezoidal rule within the convolution quadrature framework. Its analyticity in a neighbourhood of the closed unit disk yields milder regularity and perturbation requirements than those of the trapezoidal rule, while the error constant can be made arbitrarily close to the optimal one by increasing $J$. Numerical experiments show that convolution quadrature based on the truncated trapezoidal rule remains stable under symbol perturbations, where the trapezoidal rule fails, while achieving a smaller error constant than BDF2.\n6. 面向多分量类型多精度浮点运算的无分支融合乘加算法性能评估 Performance evaluation of branch-free fused multiply-add algorithms for multi-component-type multiple-precision floating-point arithmetic\n作者: Tomonori Kouya\n类别: math.NA, cs.MS\n发布日期: 2026-07-13\narXiv ID: 2607.11391v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.11391v1\n摘要: High performance in multi-component multiple-precision arithmetic constructed from existing floating-point operations using error-free transformations (EFTs), can be achieved by employing branch-free algorithms that eliminate if-branches. Zhang and Aiken proposed branch-free algorithms for addition and multiplication in double-word(DW), triple-word(TW), and quadruple-word(QW) arithmetic. Among these, we implemented the TW and QW variants, for which substantial performance improvements over existing algorithms can be expected, and demonstrated that they indeed contribute to acceleration. In this paper, we propose new branch-free fused multiply-add operations for DW, TW, and QW arithmetic to achieve further performance improvements, and show through benchmark tests that the proposed operations can enhance performance.\n7. 平衡通量估计子驱动的椭圆问题分析感知界面粗化 Analysis-aware interface coarsening for elliptic problems driven by an equilibrated flux estimator\n作者: Denise Grappein, Philipp Weder\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-13\narXiv ID: 2607.11297v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.11297v1\n摘要: We propose an a posteriori error estimator that relies on an equilibrated flux reconstruction to enable analysis-aware interface coarsening decisions in elliptic interface problems. Interface coarsening consists of simplifying an internal interface that separates regions characterized by different physical properties in order to facilitate the meshing process and reduce the total number of degrees of freedom. This process extends the concept of defeaturing, where small features on the boundary of a computational domain are removed. Here, the features lie on an interior interface instead. The focus is on a Laplace problem with a discontinuous diffusion coefficient. The estimator accounts for both the modeling error arising from the interface coarsening and the numerical error from the discrete approximation of the solution to the coarsened-interface problem. It is localized on the mesh elements, and its constants explicitly track the contrast between the diffusion coefficients. The impact of different features can be assessed individually, yielding local contributions that indicate which features to coarsen and which to retain for a given mesh size. The use of an equilibrated flux reconstruction allows us to sharply bound the bulk numerical source of error. We prove the reliability of the estimator and verify it across several numerical examples, including the case where an internal interface is fully removed.\n8. 低秩指数积分器的自适应Krylov方法 Adaptive Krylov Methods for Low-Rank Exponential Integrators\n作者: Rico Weigel, Tom-Christian Riemer, Martin Stoll\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-13\narXiv ID: 2607.11293v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.11293v1\n摘要: Differential equations arise in numerous applications, particularly within scientific and technical contexts. Systems of stiff, time-dependent ordinary differential equations constitute the focus of this work. Exponential integrators are designed to solve such equations by integrating the linear part exactly, while simultaneously approximating the nonlinear part through a linear combination of $\\varphi$-functions. By utilizing an augmented stiffness matrix, state-of-the-art methods like KIOPS and RK2EXPINT solve the linear part and evaluate linear combinations of $\\varphi$-functions for the nonlinear part in a single step, effectively reducing the computational effort to a single matrix exponential evaluation. However, these classical approaches assume that the system is represented by matrices and vectors, potentially not utilizing the underlying high-dimensional structure. Tensors address this limitation and offer significant storage efficiency through well-established decompositions like the Tensor Train (TT) format. This work provides a general framework for solving stiff, time-dependent systems directly within the TT format. Specifically, KIOPS-TT and RK2EXPINT-TT are developed as extensions of the original KIOPS and RK2EXPINT algorithms. This involves reformulating the scheme of explicit exponential Runge-Kutta integrators for tensors and augmenting the stiffness tensor to compute linear combinations of $\\varphi$-functions acting on tensors through a single evaluation of the exponential function using Krylov subspace methods. Furthermore, it is shown that the underlying theory of the matrix methods remains valid, thereby enabling the transfer of key theorems to the tensor case. Numerical experiments confirm significant speed-ups for KIOPS-TT and RK2EXPINT-TT in low-rank scenarios compared to their classical counterparts.\n9. 约束非线性最小二乘的增广拉格朗日算法 An augmented Lagrangian algorithm for constrained nonlinear least-squares\n作者: Pierre Borie, Fabian Bastin, Stéphane Dellacherie\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-07-13\narXiv ID: 2607.11239v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.11239v1\n摘要: We present an algorithm for solving nonlinear least-squares problems subject to a mix of nonlinear and linear constraints. The nonlinear constraints are handled by reformulating the objective as the augmented Lagrangian function while linear constraints are handled directly. Each iteration consists of approximately solving a linearly constrained problem by means of a gradient projection technique. Our approach also involves a structured approximation of the augmented Lagrangian Hessian. We show global convergence of the method and assess the performance through numerical experiments.\n10. 一种基于边的二维形状与图像高阶Zernike矩精确计算公式 An Edge-Based Formulation for the Exact Computation of High-Order Zernike Moments of 2D Shapes and Images\n作者: Patrice Koehl, Stephan Tillmann\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-13\narXiv ID: 2607.11158v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.11158v1\n摘要: Zernike moments are widely used rotation-invariant descriptors for shape and image analysis, but their standard computation relies on a pixel-based quadrature that treats each pixel as a point mass located at its center. This approximation introduces spatial aliasing that increases with moment order, degrading image reconstruction and reducing the discriminative power of high-order moments. We present an edge-based formulation that eliminates this source of error by applying Green\u0026rsquo;s theorem to transform the two-dimensional area integral defining a Zernike moment into a sum of one-dimensional integrals along image boundaries. The resulting framework applies equally to polygonal shapes, binary images, grayscale images, and color images. We derive recurrence relations for the required radial primitives and show that the transformed edge integrands are polynomial functions, allowing their exact evaluation using Clenshaw\u0026ndash;Curtis quadrature. The proposed method computes Zernike moments from polygonal image representations without the spatial discretization errors inherent to conventional pixel-based approaches and remains computationally practical for high-order moments. Numerical experiments on image reconstruction, shape analysis, and character classification demonstrate that the proposed formulation matches the accuracy of classical methods at low orders while remaining stable at orders for which pixel-based moments suffer from significant aliasing and numerical degradation.\n11. 基于约束 Kolmogorov\u0026ndash;Arnold 网络的积分微分方程中记忆与非局部核的神经发现 Neural Discovery of Memory and Nonlocal Kernels in Integro-Differential Equations with Constrained Kolmogorov\u0026ndash;Arnold Networks\n作者: Aruzhan Tleubek, Salah A Faroughi\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-07-13\narXiv ID: 2607.11110v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.11110v1\n摘要: Discovering the memory or nonlocal kernel governing an integro-differential equation (IDE) from sparse and noisy observations is an ill-posed inverse problem. Existing identification methods often rely on problem-specific analytical derivations, specialized observation requirements, or restrictive assumptions about the kernel, limiting their applicability across different classes of IDEs. In this work, we propose a differentiable-solver-based framework for discovering memory and nonlocal kernels directly from spatiotemporal observations. Within the solver, the unknown kernel is represented using a constrained Kolmogorov\u0026ndash;Arnold Network (KAN) parameterization, with the physical constraints imposed through two different approaches: a Bernstein-polynomial-based Monotone\u0026ndash;Convex KAN (MC-KAN), whose coefficient constraints enforce positivity, monotonic decrease, and convexity by construction, and a Chebyshev-based KAN (Cheb-KAN), in which the same properties are encouraged through soft penalty terms. After training, symbolic regression is applied to the learned kernels to obtain interpretable closed-form representations. We evaluate both methods on benchmarks spanning a one-dimensional Volterra equation, a one-dimensional viscoelastic wave partial integro-differential equation, and a two-dimensional nonlocal reaction-diffusion equation with an anisotropic coupled kernel. For the 1D problems, both methods recover the correct kernel functional form and achieve comparable solution-reconstruction accuracy. In contrast, for the sparse and noisy 2D nonlocal problem, the hard-constrained MC-KAN consistently achieves lower kernel reconstruction errors than the soft-constrained Cheb-KAN. Our results demonstrate that enforcing physically motivated shape constraints by construction provides greater robustness than soft penalties for multidimensional kernel discovery from sparse and noisy observations.\n12. 混合精度龙格-库塔方法中稳定修正的性能评估 Performance Evaluation of Stabilized Corrections for Mixed Precision Runge\u0026ndash;Kutta Methods\n作者: César Herrera, John Driscoll, Sigal Gottlieb, Zachary J. Grant, Tej Sai Kakumanu, Andrew Christlieb\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-13\narXiv ID: 2607.10967v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10967v1\n摘要: Mixed precision Runge\u0026ndash;Kutta methods reduce the cost of the expensive implicit solves in diagonally implicit Runge\u0026ndash;Kutta (DIRK) schemes by evaluating them in low precision, while retaining the accuracy of the scheme for larger time steps. The accuracy lost to the low-precision perturbation can be recovered through inexpensive explicit corrections; however, these corrections have an adverse impact on stability. Recently proposed stabilized corrections remedy this by applying a stabilization matrix to the correction step, but their runtime cost has not previously been quantified. In this work, we present a numerical study of the runtime performance of these stabilized corrections. Using spectral semi-discretizations of two nonlinear partial differential equations, the inviscid Burgers\u0026rsquo; equation and the porous medium equation, we compare uncorrected mixed precision DIRK methods against explicitly corrected and stabilized variants across half, single, double, and quadruple precision pairings, for SDIRK methods of orders two through four. We report convergence, runtime, and speedups, and show that the stabilized corrections improve the accuracy of the mixed precision schemes while preserving substantial runtime savings. All experiments were performed on an Intel Xeon Platinum 8480+ CPU with Julia version 1.11.4.\n13. 奇异空间：一种用于信号表示的生成扩散框架 The Singularity Space: A Generative Diffusion Framework for Signal Representation\n作者: Eli Bar-Yosef, Amir Averbuch, Eli Turkel\n类别: cs.LG, cs.AI, eess.SP, math.NA\n发布日期: 2026-07-12\narXiv ID: 2607.10930v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10930v1\n摘要: Generative models often represent signals as dense grids of amplitudes, blurring sharp transients that are crucial for the correctness of physical signals. We introduce Singularity Space, a generative framework that represents signals through complex-plane singularities, rooted in the classical pole-residue representation of meromorphic functions. We learn a latent space of physically constrained, per-signal singularity configurations to solve an inverse problem from degraded or partial observations. The framework has three key properties: interpretability, in which each generated singularity configuration corresponds to a set of physical parameters; structural stability, which mitigates Gibbs artifacts at discontinuities; and resolution-free output reconstruction on arbitrary grids without retraining or interpolation. Our framework employs a transformer-based diffusion model that directly predicts samples at complex-plane singularity coordinates, subject to geometric constraints during sampling. As a controlled test case for sharp-feature recovery, we evaluate our framework on 1D Burgers shocks, where each shock is represented by 32 predicted singularities (an $8\\times$ reduction versus a 1024-point grid signal). Our framework preserves signal structure ($\\text{TV ratio} \\approx 1$) under unseen test-time observation noise, achieves a $4.2\\times$ lower reconstruction error in zero-shot sub-resolution generalization than a grid-based baseline, and recovers physical parameters to $10^{-4}$ absolute error in-distribution. These results suggest that singularity-based representations may provide a practical foundation for other transient-dominated signals such as speech and biomedical signals, with potential extension to higher-dimensional domains.\n14. 基于分裂的自监督稀疏视角CT重建中的设计选择 Design Choices in Splitting-Based Self-Supervised Sparse-View CT Reconstruction\n作者: Nadja Gruber, Lukas Neumann, Ander Biguri, Gyeongha Hwang, Markus Haltmeier, Johannes Schwab\n类别: cs.CV, math.NA\n发布日期: 2026-07-12\narXiv ID: 2607.10898v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10898v1\n摘要: Self-supervised data splitting has emerged as a promising paradigm for sparse-view CT reconstruction, enabling training from incomplete measurements without fully sampled ground truth. However, the influence of key design choices, including partitioning strategy, preprocessing, and inference, remains insufficiently understood. In this work, we introduce a unified framework that decomposes splitting-based reconstruction into these three components, enabling controlled comparison of existing methods and two incremental extensions: multi-partition splitting and an alternative inference strategy. Experiments on simulated LoDoPaB-CT data under independent and correlated noise, together with validation on the real-world 2DeteCT dataset, show that the optimal partitioning strategy strongly depends on the measurement noise structure. Lattice-based splitting performs favorably under independent noise, whereas angular masking is more robust under correlated noise and real measured data. Multi-partition splitting consistently improves over pure projection-wise splitting in several settings. Complementary perceptual and structural metrics, including LPIPS and HaarPSI, reveal differences between masking strategies that are less apparent from PSNR and SSIM alone. These results provide practical guidelines for designing self-supervised sparse-view CT reconstruction methods and highlight the limitations of common independence assumptions in realistic imaging environments.\n15. 图像去模糊中凸优化方法的多层预处理策略 Multilevel Preconditioning Strategies for Convex Optimization Methods in Image Deblurring\n作者: Stefano Aleotti, Claudia Binda, Marco Donatelli, Rolf Krause\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-12\narXiv ID: 2607.10864v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10864v1\n摘要: Proximal gradient methods are widely used in imaging, and their speed of convergence can be accelerated by incorporating variable metrics and/or extrapolation steps. Recent works have shown that preconditioning strategies can significantly enhance this acceleration, in particular, for image deblurring problems. In parallel, a multilevel framework has been introduced to speed up inertial and inexact forward-backward schemes for image restoration problems. In this paper, we combine preconditioning and multilevel strategies to design a robust and consistent acceleration framework for both standard and inexact forward-backward schemes applied to regularized convex optimization problems. Numerical experiments in image deblurring confirm that our approach yields a substantial improvement in convergence speed compared to standard methods.\n16. 用最小二乘弱伽辽金方法求解斯托克斯方程 Solving the Stokes Equations via a Least Squares Weak Galerkin Method\n作者: Chunmei Wang, Shangyou Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-12\narXiv ID: 2607.10831v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10831v1\n摘要: We present a least-squares weak Galerkin (LS-WG) finite element method for solving the Stokes equations on arbitrary polygonal and polyhedral meshes. By utilizing discrete weak derivatives on discontinuous polynomial spaces, the proposed framework naturally accommodates complex domain geometries and general partitions. Crucially, this least-squares formulation bypasses the traditional inf-sup (LBB) compatibility condition, transforming the standard indefinite saddle-point problem into an inherently symmetric and positive definite (SPD) discrete linear system. We establish the well-posedness of the numerical scheme and rigorously derive optimal-order error estimates in a custom discrete energy norm. Specifically, we prove convergence rates of $\\mathcal{O}(h^k)$ for the discrete projection error and $\\mathcal{O}(h^{k-1})$ for the global approximation error when employing polynomials of degree $k \\ge 1$ for the velocity field and $k-1$ for the pressure. Extensive numerical experiments confirm these theoretical convergence rates, demonstrating the method\u0026rsquo;s robustness, geometric flexibility, and overall efficiency.\n17. 一个用于双曲守恒律的紧致简单HWENO格式与ADER时间离散 II：三角网格 A compact simple HWENO scheme with ADER time discretization for hyperbolic conservation laws II: triangular meshes\n作者: Dongmi Luo, Zhuang Zhao, Jianxian Qiu, Yibing Chen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-12\narXiv ID: 2607.10809v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10809v1\n摘要: A compact and high order HWENO scheme using ADER (Arbitrary high order using DERivatives) time discretization is developed for hyperbolic conservation laws on the triangular mesh, which is the extension of the work on the structured mesh (Luo et. al. (2024) \\cite{luo2023}). The Lax-Wendroff procedure is employed to convert time derivatives to spatial derivatives. Thanks to this, the cell averages of the derivatives of the solution can be obtained by the time accurate solution as Gaussian points along the cell interfaces through the Green-Gauss theorem instead of by the evolution solution directly in the conventional HWENO methods. Comparing with the existing Runge-Kutta HWENO (RK-HWENO) method on the unstructured mesh (Zhao et. al. (2025) \\cite{zhao2025}), the new method has the following advantages. Firstly, the RK-HWENO method must solve the additional equations for reconstructions and time advancing, which is avoided for the new method. Secondly, the HWENO reconstruction in the new method is performed once per time step and is different from the RK-HWENO method, in which the reconstruction is performed several times every time step. Because of these advantages the new method is more efficient than the RK-HWENO method with smaller numerical errors and less computational costs. Besides, comparing with the existing ADER-WENO methods \\cite{dumbser20071,dumbser20072} under the same order of accuracy, the stencil of the new method is more compact since the both the function and its first derivative values are used in the reconstruction of the HWENO schemes. Numerical examples demonstrate that the new method can achieve the high order for smooth solutions both in space and time, keep non-oscillatory near discontinuities.\n18. 分层贝叶斯求积 Hierarchical Bayesian Quadrature\n作者: Tim Weiland, Toni Karvonen, Philipp Hennig\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-07-12\narXiv ID: 2607.10793v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10793v1\n摘要: Numerical integration is a cornerstone of various scientific computing applications, such as engineering simulations and model evidence computations in probabilistic machine learning. Bayesian Quadrature uses Gaussian process surrogates that explicitly encode structural assumptions about the integrand to obtain integral estimates with quantified uncertainty. These surrogates are predominantly based on stationary covariance functions, which results in model misspecification for integrands exhibiting nonstationary behavior. We tackle this issue through an adaptively growing, tree-based partition of the integration domain into local stationary models. Our method recombines the local integral estimates through a hierarchy of GP conditioning that reintroduces cross-subdomain correlations, while model selection criteria control the tree growth to avoid unnecessary partitioning. The resulting algorithm is simple, requires no MCMC, and adapts its evaluation budget to local integrand complexity. On benchmark integration problems and a model evidence computation for an epidemiological model, Hierarchical Bayesian Quadrature achieves substantial gains over standard Bayesian Quadrature on nonstationary integrands while matching its performance on stationary ones.\n19. Cahn-Hilliard 时间步的四场辅助重构：分析与协调有限元离散化 A four-field auxiliary reformulation of a Cahn-Hilliard time step: Analysis and conforming finite element discretization\n作者: Marvin Fritz\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-07-12\narXiv ID: 2607.10724v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10724v1\n摘要: We propose a four-field auxiliary reformulation of a time-discrete Cahn-Hilliard step. The construction is motivated by the scalar trace structure underlying two-dimensional Rafetseder-Zulehner decompositions and represents the scalar quantity $-Δc$ in the form $2p+div\\,u$ through an auxiliary scalar field $p$ and an auxiliary vector field $u$. The resulting auxiliary problem is a mixed second-order Stokes/elasticity-type system, while the evolution equation for the phase field retains its standard mass-conserving gradient-flow structure. We derive a continuous four-field formulation that is equivalent to the classical convex-splitting mixed time step. We also state a conforming finite element discretization and prove one-step spatial estimates for the phase-field variables together with a stable auxiliary block estimate containing an explicit weak-Laplacian recovery defect. The numerical experiments verify the expected phase-field convergence in a manufactured setting, mass conservation, energy decay, and projected consistency of the auxiliary block.\n20. JD-V：一种面向大型Hermitian特征值问题的Jacobi\u0026ndash;Davidson方法新变体 JD-V: A new variant of Jacobi\u0026ndash;Davidson method for large Hermitian eigenproblems\n作者: Jinzhi Huang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-12\narXiv ID: 2607.10635v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10635v1\n摘要: A novel variant of the Jacobi-Davidson (JD) type method for Hermitian eigenvalue problems, designated as JD-V, is proposed based on a newly designed correction equation, whose solution is shown to be nearly as effective as that of the standard correction equation for subspace expansion. Rigorous convergence analysis of MINRES for solving these equations reveals that the inner iterations of JD-V are significantly more efficient than those of the standard JD method when highly clustered eigenvalues are of interest. A thick-restart JD-V algorithm with deflation and purgation is developed to compute several eigenpairs of a a large-scale Hermitian matrix. Numerical experiments confirm the theoretical results and demonstrate the considerable superiority of JD-V over standard JD in overall efficiency.\n21. 可调节深度和宽度的ReLU神经网络对解析函数的逼近 Approximation of Analytic Functions by ReLU Neural Networks with Adjustable Depth and Width\n作者: Yanming Lai, Defeng Sun, Yang Wang\n类别: stat.ML, cs.IT, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-07-12\narXiv ID: 2607.10589v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10589v1\n摘要: In contrast to most studies on neural network approximation theory that characterize results through a single parameter, such as the total number of network parameters, \\cite{shen2020deep} pioneered the characterization of approximation rates as a joint function of the width parameter $N$ and the depth parameter $L$, thereby granting greater architectural flexibility. Existing works using the $(N,L)$-characterization focus on function classes with finite smoothness $s$, establishing a typical approximation rate of $\\mathcal{O}\\left(N^{-2s/d}L^{-2s/d}\\right)$ with $d$ denoting the input dimension, which indicates that network depth and width play symmetric roles for these classes. In contrast, this paper establishes upper bounds for the approximation of analytic functions, which possess infinite smoothness, via ReLU networks under the $(N,L)$-characterization. Specifically, we derive approximation rates of $\\mathcal{O}\\left(N^{-C L^τ}\\right)$, where $C\u003e0$ is some constant and $τ\u003e0$ is a parameter influenced by the relation between $L$ and $N$. In particular, $τ=1$ if $N$ scales roughly as $L^d$. Our findings reveal that depth plays a more critical role than width in the context of analytic function approximation. The main technical difficulty of obtaining such upper bounds lies in the trade-off between the smoothness parameters and the approximation accuracy. To overcome this difficulty, we employ refined constructions of several ReLU networks to approximate power functions, multivariate multiplication, and polynomials, which may be of independent interest.\n22. 内参数标定扰动下椎骨 DRR 的投影域灵敏度分析 Projection-Domain Sensitivity Analysis of Vertebral DRRs Under Intrinsic Calibration Perturbation\n作者: Lin Li, Chaochao Zhou, Benjamin Aubert, Junlin Guo, Junchao Zhu\n类别: eess.IV, cs.CV, cs.LG, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-07-12\narXiv ID: 2607.10551v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10551v1\n摘要: Accurate geometric calibration is essential for fluoroscopy-guided spinal imaging, digitally reconstructed radiograph (DRR) generation, and 2D\u0026ndash;3D vertebral registration. Although calibration quality is typically evaluated using reconstruction-based metrics such as reprojection error, its influence on projection-domain consistency remains poorly understood. This study presents a synthetic framework for evaluating how intrinsic calibration perturbations affect vertebral fluoroscopic projections and downstream registration performance. CT-derived vertebral models and controlled cone-beam imaging geometry were used to generate DRRs with both ground-truth and perturbed intrinsic calibration parameters while maintaining identical anatomy and acquisition pose. Projection-domain changes were quantified using anatomical landmark displacement, contour distance, silhouette overlap, image similarity, and landmark-based 2D\u0026ndash;3D registration accuracy in anterior\u0026ndash;posterior (AP) and lateral (LAT) views. Results show that even small intrinsic calibration perturbations produce measurable changes in vertebral projection geometry, contour morphology, landmark localization, and DRR appearance. Sensitivity is strongly view dependent, with LAT projections exhibiting substantially greater deformation and anatomical displacement than AP projections. These projection inconsistencies also degrade downstream 2D\u0026ndash;3D registration, particularly rotational alignment accuracy. The findings demonstrate that projection-domain consistency complements conventional reconstruction-based calibration metrics and provides a practical framework for assessing calibration robustness. This approach may improve the reliability of DRR generation and fluoroscopy-guided vertebral registration in image-guided spinal applications.\n23. 用于非各向同性分数阶拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程及汤川方程的立方体行走蒙特卡洛模拟 Walk-on-Cubes Monte Carlo Simulation for nonisotropic fractional Laplace, Helmholtz, and Yukawa equations\n作者: Antti Rasila, Tommi Sottinen, Yaotong Yuan\n类别: math.NA, math.AP, math.PR\n发布日期: 2026-07-12\narXiv ID: 2607.10528v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10528v1\n摘要: We study the nonisotropic fractional analogs of Laplace, Helmholtz and Yukawa equations. We provide a Duffin correspondence for the Yukawa equation and a Feynman\u0026ndash;Kac reconstruction for the Helmholtz equation. The foundation of our analysis is the fact that the nonisotropic fractional Laplace equation is related to a symmetric $α$-stable Lévy process with independent identically distributed components. By using this relation we provide a Walk-on-Cubes algorithm that simulates the solutions of Helmholtz and Yukawa equations.\n24. 稀疏傅里叶和的最优外推界 Optimal Extrapolation Bounds for Sparse Fourier Sums\n作者: Ruizhe Zhang\n类别: cs.DS, math.CA, math.NA\n发布日期: 2026-07-11\narXiv ID: 2607.10501v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10501v1\n摘要: We prove an optimal extrapolation theorem for $k$-sparse Fourier sums over arbitrary real frequencies, without any separation assumption, bounding how large such a sum can be just outside an interval on which its energy is observed. For every $g(t)=\\sum_{j=1}^k v_j e^{iλ_jt}$ with $λ_j\\in\\mathbb R$ and every $x\\ge1$, $$ |g(x)|\\le k^{O(1)}\\exp(O(k\\mathop{\\mathrm{arcosh}} x))\\|g\\|_{L^2[-1,1]} . $$ In the endpoint regime, this refines to the explicit bound $$ |g(1+δ)|\\le O(k)\\exp(O(k\\sqrtδ))\\|g\\|_{L^2[-1,1]}, \\qquad 0\\leδ\\le1 . $$ This improves on the $\\exp(O(k^2\\log k\\cdotδ))$ growth estimate of Chen and Price (ICALP 2019), and the exponential scaling is optimal up to constants and polynomial factors in $k$. As an algorithmic consequence, we improve the cluster-center resolution of Chen\u0026ndash;Price\u0026rsquo;s clustered-frequency recovery algorithm by a factor of $k$, while preserving its sample complexity up to logarithmic factors. We also obtain exterior leverage-score and transfer bounds for sparse Fourier feature spaces, converting in-domain active-regression guarantees into essentially sharp prediction guarantees just outside the sampling interval.\n25. 比较样条弯曲单元上的代数求积规则 Comparing algebraic cubature rules on spline curved elements\n作者: A. Sommariva, M. Vianello\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-11\narXiv ID: 2607.10485v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10485v1\n摘要: We compare four methods for the construction of algebraic cubature rules on planar elements, whose boundary is tracked by splines. The methods, that we have developed over the last two decades, are based on Green theorem together with some cornerstones of polynomial approximation theory: Gaussian quadrature,Tchakaloff theorem, discretized Chebyshev expansion (hyperinterpolation), Fekete-like interpolation. We discuss their advantages and drawbacks in view of the application to curved polytopal element methods. We have also made freely available at a single site the corresponding open-source Matlab codes.\n26. 通过多参数特征值问题计算波导中的临界速度 Computing critical velocities in waveguides via multiparameter eigenvalue problems\n作者: Hauke Gravenkamp, Xiang Liu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-11\narXiv ID: 2607.10462v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10462v1\n摘要: In waveguide dynamics and moving-load problems (e.g., high-speed trains), critical velocities indicate the onset of strong vibration amplification. In systems that are invariant in the direction of motion, these velocities can be identified from dispersion relations as points where the phase and group velocities of a propagating mode coincide. Finding such points indirectly by tracing dispersion curves can be cumbersome and potentially unreliable for multimodal systems with complex branch interactions. We present a direct method for computing critical velocities in such scenarios, specifically in the context of semi-analytical methods. Starting from a polynomial parameter-dependent eigenvalue problem for the wavenumber-frequency relation, incorporating the additional condition of equal phase and group velocities yields a singular polynomial multiparameter eigenvalue problem that can be linearized and solved using established algorithms. The proposed approach enables the simultaneous computation of all critical points without requiring the tracing of dispersion curves. Its performance is demonstrated by several benchmark problems, confirming the accurate and robust identification of critical velocities.\n27. 关于有理Bézier曲线一阶导数的界 On the First Derivative Bounds for Rational Bézier Curves\n作者: Mao Shi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-11\narXiv ID: 2607.10425v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10425v1\n摘要: In this paper we investigate sharp upper bounds for the first derivative of rational Bézier curves. A long-standing conjecture posited that the linear bound $\\|\\mathbf{R}'(t)\\| \\le nΩ\\max\\|Δ_i\\|$ holds for all degrees. We prove that the bound is indeed valid for $n \\leq 6$, thus resolving the last open low-degree case. The problem is reformulated as maximizing a variance-like function over a compact box. Using a block argument we show that optima can only appear on one-dimensional faces, reducing the task to a finite family of polynomial inequalities, which are verified exactly via real quantifier elimination. A notable practical feature is that the bound can be evaluated in linear time with respect to the degree, making it attractive for real-time geometric processing. The same structural analysis illustrates the failure for $n=7$ and outlines how the true worst-case constant can be computed.\n28. 基于预解式有理逼近的非线性特征值求解器的收敛性分析 Convergence analysis of a nonlinear eigensolver based on rational approximation of the resolvent\n作者: Nian Shao, Yuji Nakatsukasa\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-11\narXiv ID: 2607.10377v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10377v1\n摘要: Given a holomorphic matrix-valued function, the poles of its sketched resolvent are generically its eigenvalues. Once a good rational approximation of the sketched resolvent is obtained, the poles of this rational approximation typically lie close to those eigenvalues, thus providing a flexible framework for solving both linear and nonlinear eigenvalue problems. However, the accuracy of the computed eigenvalues is limited and remains poorly understood. This paper analyzes the convergence of this approach and demonstrates the effectiveness of two techniques to improve accuracy: block probing and zooming in. We also establish the backward and forward stability of polefinding for a barycentric rational form via a generalized eigenproblem. Numerical experiments demonstrate the sharpness of our theoretical results.\n29. M1辐射传输的双曲型神经闭包 A Hyperbolic Neural Closure for M1 Radiation Transfer\n作者: Bongseok Kim, Jiahao Zhang, Johannes Krotz, Dinshaw Balsara, Ryan McClarren, Guang Lin\n类别: cs.LG, cs.AI, cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-07-11\narXiv ID: 2607.10364v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10364v1\n摘要: In radiation transfer simulations, an M1 method achieves substantial computational savings by replacing the full angular transport equation with a low-order moment system. Because this reduced system is not closed, a closure model is required to represent the unknown higher-order moments using lower-order moments. While machine learning (ML)-based closures can improve accuracy beyond classical analytic closures, unconstrained learned closures may produce non-real characteristic speeds and consequently cause numerical solver breakdown. To guarantee real eigenvalues of the Jacobian associated with ML closures, we propose a hyperbolic neural closure for the M1 radiative transfer system. Rather than directly predicting closure terms, we parameterize the Jacobian through two neural networks: (i) a symmetric matrix network and (ii) a strictly convex entropy network whose Hessian defines a positive definite symmetrizer. These components are combined to yield a Jacobian that is similar to a symmetric matrix, thereby ensuring real eigenvalues. The closure is then reconstructed by numerical integration of the learned Jacobian field along a prescribed integration path. Numerical experiments show that the proposed closure not only achieves higher closure accuracy than classical analytic closures, but also improves solution accuracy and remains stable in discontinuous Galerkin simulations for radiative transfer problems.\n30. 素描-重启：矩阵函数求积重启中的随机化素描 Sketch-and-Restart: Randomized Sketching in Quadrature-Based Restarting for Matrix Functions\n作者: Stefan Güttel, Jingyu Liu, Lauri Nyman\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-11\narXiv ID: 2607.10354v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10354v1\n摘要: We develop a sketch-and-restart framework for computing the action of a matrix function on a vector, $f(A) b$, where $A$ is large, sparse, and non-Hermitian. The framework combines quadrature-based restarting with Arnoldi-like decompositions generated by sketched or truncated Arnoldi processes. Within this framework, we develop two classes of restarted algorithms. The first uses a fixed Krylov subspace dimension and is based either on the sketched Arnoldi process or on a new sketched harmonic Arnoldi process proposed in this work. The second class chooses the Krylov subspace dimension adaptively by running the truncated Arnoldi process until the condition number of the generated basis, estimated from its sketch, exceeds a prescribed threshold. We also establish the convergence of the restarted sketched harmonic Arnoldi method for Stieltjes functions under the assumption that $A$ is positive real. Numerical experiments demonstrate the effectiveness of the proposed framework, including the computational savings achieved through sketching, the storage reduction enabled by adaptive truncation, and the acceleration obtained from thick restarting.\n31. 计算伪逆的直接方法 Direct Methods for Calculating PseudoInverses\n作者: Jeff Knisley\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-11\narXiv ID: 2607.10302v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10302v1\n摘要: The Moore-Penrose pseudoinverse of a matrix can be defined and calculated using its singular value decomposition. There are also direct methods for computing matrix pseudo-inverses (those that avoid eigenvalue computations), but these are often rank-revealing, poorly conditioned, or otherwise limited in practice. In this paper, we demonstrate that direct methods can overcome these limitations. In particular, we reinterpret several existing direct methods and introduce new variations that are appropriate for large scale or sparse multilinear regression applications.\n32. 关于“HLL型MHD黎曼求解器中中间状态的能量一致性”中HLLD型格式的数值耗散 Regarding the numerical diffusion of the HLLD-type scheme in \u0026ldquo;On energy consistency of intermediate states in HLL-type MHD Riemann solvers\u0026rdquo;\n作者: Fan Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-11\narXiv ID: 2607.10293v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10293v1\n摘要: A simple modification to the HLLD-ec scheme is introduced to remove a density oscillation that appears in the Dai-Woodward shock tube problem with a stronger longitudinal magnetic field. The original HLLD-ec scheme was introduced in \u0026ldquo;On energy consistency of intermediate states in HLL-type MHD Riemann solvers, Journal of Computational Physics, 553 (2026), 114724\u0026rdquo;, and the authors were not aware of this issue.\n33. 退化扩散随机控制的神经反馈近似：误差估计与数值分析 Neural feedback approximation for stochastic control with degenerate diffusions: error estimates and numerical analysis\n作者: Olivier Bokanowski, Jean-François Chassagneux, Marco Scaratti, Xavier Warin\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-07-11\narXiv ID: 2607.10254v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10254v1\n摘要: We study finite-horizon stochastic optimal control problems and approximate the resulting time-discrete formulation by a direct policy-learning problem over neural-network feedback maps. We prove a quantitative convergence estimate, in an averaged sense, for the error between the time-discrete value and the value induced by an approximately optimized neural policy. The bound separates the approximation of near-optimal feedback policies, the localization of stochastic trajectories on compact sets, and the optimization tolerance in training. The analysis does not require transition-density assumptions and covers possibly degenerate diffusions and deterministic controlled dynamics in a unified framework. Numerical experiments are provided for a degenerate stochastic radial target problem, a Hamilton\u0026ndash;Jacobi\u0026ndash;Bellman benchmark, and a gas storage problem, illustrating the approach and separating the main error sources: time discretization, restriction to piecewise-constant policies, neural-network approximation, and Monte Carlo evaluation.\n34. PnP-IPA：一种可证收敛的即插即用非精确邻近算法用于非凸成像问题 PnP-IPA: A Provably Convergent Plug-and-Play Inexact Proximal Algorithm for Nonconvex Imaging Problems\n作者: Cristiano Parenti, Silvia Bonettini, Marco Prato\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-07-11\narXiv ID: 2607.10223v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10223v1\n摘要: Plug-and-Play (PnP) methods have emerged as a highly effective paradigm for solving imaging inverse problems by replacing traditional proximity operators of regularization terms with highly expressive deep denoisers. While empirically successful, establishing rigorous convergence guarantees for PnP algorithms remains a major challenge. Existing provable approaches based on the Gradient-Step (GS) denoiser suffer from theoretical and practical limitations, such as restrictive bounds on the regularization parameter, rigid step-size rules, and the inability to handle nonconvex data-fidelity terms. In this paper, we introduce PnP-IPA (Plug-and-Play Inexact Proximal Algorithm), a novel optimization scheme that overcomes these bottlenecks. We propose a new splitting strategy that evaluates the proximal operator of the scaled implicit regularizer inexactly. To enable adaptive step-size selection without exact objective evaluations, we design a novel surrogate merit function that successfully drives an Armijo-like backtracking line-search. Relying on the Kurdyka-Lojasiewicz property, we establish global convergence to a stationary point of the nonconvex objective without imposing any assumption on the regularization parameter. Extensive numerical experiments on image deblurring under both Gaussian and Cauchy noise demonstrate the practical advantages of PnP-IPA. By effectively lifting previous theoretical constraints, our method allows for optimal parameter tuning, yielding state-of-the-art restoration quality and robust convergence even in nonconvex regimes.\n35. 关于多元解析函数的切比雪夫多项式逼近的指数收敛性 On exponential convergence of Chebyshev polynomial approximation for multivariate analytic functions\n作者: Xinyu Wang, Haiyong Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-11\narXiv ID: 2607.10209v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10209v1\n摘要: This paper presents a new analysis of the Chebyshev projection for multivariate analytic functions, drawing on pluripotential theory. It is proved that in any downward closed convex polynomial space, the Chebyshev projection achieves the same exponential convergence rate as the best polynomial approximation. This result enables a precise quantification of the exponential convergence rate of the Chebyshev projection. The analysis is then extended to several related topics, including tensorized Chebyshev interpolation, tensor product Gauss\u0026ndash;Legendre quadrature, Padua interpolation and cubature, and Chebyshev-Galerkin method, with the corresponding exponential convergence rate established in each case. Supporting numerical experiments are provided to validate the theoretical results.\n36. 基于临近交替线性化最小化的耦合张量-矩阵恢复及其在劳动力技能与小型企业健康估计中的应用 Coupled Tensor-Matrix Recovery via Proximal Alternating Linearized Minimization, with an Application to Workforce Skill and Small-Business Health Estimation\n作者: Analee Miranda\n类别: math.OC, cs.CY, math.NA\n发布日期: 2026-07-11\narXiv ID: 2607.10163v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10163v1\n摘要: We study recovery of a low-rank tensor $\\mathcal{T}$ and a low-rank matrix $M$ from sparse, noisy observations. $\\mathcal{T}$ and $M$ share one mode. We relax tensor rank using the nuclear norm of the mode-1 unfolding. This unfolding carries the coupling. It also has an exact proximal operator. We couple $\\mathcal{T}$ and $M$ through a learned linear operator $G$. We prove a minimizer exists for the ridge-stabilized penalized objective. We prove that a proximal alternating linearized minimization (PALM) scheme converges to a critical point, for the algorithm as implemented, by verifying the hypotheses of a known nonconvex block-coordinate convergence theorem against our objective and identifying which conditions come from this problem\u0026rsquo;s structure. For the matrix-only sub-problem, we state a proven sampling bound from matrix completion theory. For the coupled problem, we prove a sample-complexity result for a sequential sub-case: a separately-known coupling operator recovers $M$ from $\\mathcal{T}$\u0026rsquo;s recovery accuracy alone, with no observations of $M$ needed. For the fully joint, alternately-estimated case, we state a conjecture and test it empirically, including a low-density regime where coupling does not help. We report multi-seed synthetic experiments with mean and standard deviation across sampling densities, an asymmetric-density experiment, and convergence curves, and we explain why recovery error stays high at low density. We apply the framework to workforce-skill and small-business-health estimation. Every application-specific choice is a proposed design, not a validated result; we have not run the framework on deployed data.\n37. 带奇异初值的半线性次扩散方程超越 $L^\\infty$ 框架的正则性与高阶时间步进 Regularity and high-order time stepping for semilinear subdiffusion equations with singular initial data beyond the $L^\\infty$ framework\n作者: Runjie Zhang, Dongling Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-11\narXiv ID: 2607.10100v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10100v1\n摘要: This paper aims to analyze a numerical scheme for semilinear subdiffusion problems with singular initial data beyond the $L^\\infty$ framework. The main difficulty lies in the stronger singular behavior of the nonlinear term compared with previous analyses. Since the singular initial datum is too rough to guarantee a uniform $L^\\infty$ bound for the solution, the usual Lipschitz framework in the base space is no longer sufficient. The analysis must instead be carried out in weaker fractional Sobolev-type spaces, where nonlinear composition is more delicate and the term $f(u(t))$ may exhibit an amplified singularity relative to that of $u(t)$. To overcome this difficulty, we exploit the smoothing properties of the subdiffusion solution operators and formulate suitable nonlinear assumptions in fractional operator spaces. These smoothing estimates allow part of the singularity to be transferred from the nonlinear term to the solution operators, where it can be controlled. Under these assumptions, we establish well-posedness and regularity results for the mild solution and derive a pointwise-in-time error estimate for the exponential convolution quadrature method. Numerical experiments confirm the predicted convergence rates.\n38. 基于本征广义分解的参数化稀薄气体流动的渐近保持降阶方法 An asymptotic-preserving reduced-order method for parametrised rarefied gas flow by proper generalised decomposition\n作者: Luowei Yin, Wei Su\n类别: math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-07-11\narXiv ID: 2607.10085v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10085v1\n摘要: Modelling rarefied gas flow using the Boltzmann equation is vital in many areas. Due to the high dimensionality and coexistence of multiple characteristic scales, conventional solution strategies to this equation incur prohibitively high computational costs and are inadequate for rapid response in engineering design simulations. Based on proper generalised decomposition (PGD), we propose an \\textit{a priori}, asymptotic-preserving reduced-order method to solve the high-dimensional, parametrised Shakhov kinetic model equation. The method reduces the original problem to a few low-dimensional problems by formulating separated representations for the low-rank solution, thereby mitigating the curse of dimensionality. To capture the hydrodynamic asymptotics, we incorporated solutions of some synthetic equations into the PGD algorithm. This treatment allows the PGD solver to automatically reduce to a macroscopic solver for the Navier-Stokes equations, whose solution naturally exhibits low-rank structure. By treating the rarefaction parameter as an additional coordinate, a parametrised solution can be computed once and for all over the entire range of rarefaction, enabling fast multiple queries to any points in the parameter space. Numerical examples are presented to demonstrate the capability of the method to simulate rarefied gas flow with certain accuracy and a significant reduction in computational costs.\n39. 自适应字典的非线性逼近 Nonlinear approximation with adaptive dictionaries\n作者: V. Temlyakov\n类别: math.NA, math.FA\n发布日期: 2026-07-11\narXiv ID: 2607.10052v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.10052v1\n摘要: It is well known that the study of the Kolmogorov widths of a function class, which is the image of the unit ball of the $L_q$ space of an integral operator $J_K$ with the kernel $K$, is closely connected with the study of sparse approximations of the kernel $K$ with respect to the classical bilinear dictionary. Recently, it was discovered that if instead of the Kolmogorov widths we study the errors of optimal linear sampling recovery of the same classes, then we need to study sparse approximations of the kernel $K$ with respect to an adaptive dictionary, which is determined by the kernel $K$. In this paper we study this important problem of nonlinear approximation with respect to an adaptive dictionary. Also, in this paper we continue to develop the following general approach, which is related to the above nonlinear approximation problem. We study asymptotic behavior of the errors of sampling recovery not for an individual smoothness class, how it is usually done, but for the collection of classes, which are defined by integral operators with kernels coming from a given class of functions. Earlier, such approach was realized for the Kolmogorov widths and very recently for the entropy numbers.\n40. 弹塑性遗传律的最优历史编码：精确输入与本构近似 Optimal history encoding for elastic-plastic hereditary laws: Sharp input and constitutive approximation\n作者: Michael Ortiz, Pablo Pedregal\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-10\narXiv ID: 2607.09974v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.09974v1\n摘要: We formulate rate-independent elastic-ideally-plastic response directly in hereditary form and study its approximation by finite history surrogates. At the material-point level, the constitutive law is the vector play operator generated by metric projection onto a closed convex elastic domain in stress space. Starting from the closest-point return mapping for step inputs, we pass to absolutely continuous driving histories, for which the constitutive law admits a differential form: the stress remains in the elastic domain and the difference of rates belongs almost everywhere to the normal cone. In this $W^{1,1}$ setting, the hereditary law is causal, contracts variation, and satisfies a $BV$-to-$L^\\infty$ stability estimate. We then approximate histories by right-continuous step surrogates with at most $N$ constant pieces. For absolutely continuous inputs, we prove a sharp minimax theorem for input approximation in $L^\\infty$, normalized by the $BV$ norm: the optimal encoder is given by equal-variation sampling. For constitutive approximation, the correct vector-valued minimax statement is obtained by allowing the encoder to be material-law aware: it may compress the exact stress history $\\mathcal P(π)$ rather than only the driving history $π$. The resulting stress-aware encoder, followed by the same discrete hereditary decoder, gives the sharp value $(2N)^{-1}$ under the natural nondegeneracy assumption $0\\in\\operatorname{int}C$. The scalar complementary-variable case is also recorded: there the input equal-variation encoder is sharp because the scalar stop/play operator is $L^\\infty$-nonexpansive in the complementary variable. The results identify cumulative variation as the natural variable for sampling and compressing both driving and constitutive histories.\n41. 带加性噪声的三维纳维-斯托克斯方程的误差分析 Error analysis for 3D Navier\u0026ndash;Stokes equations with additive noise\n作者: Soumya Ranjan Behera, Dominic Breit, Abhishek Chaudhary\n类别: math.NA, math.AP, math.PR\n发布日期: 2026-07-10\narXiv ID: 2607.09926v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.09926v1\n摘要: We consider the three-dimensional stochastic Navier\u0026ndash;Stokes equations with additive stochastic forcing. We study temporal discretizations based on a semi-implicit Euler as well as a Crank-Nicolson scheme. We prove that locally in time the former converges with rate 1 while the latter converges with rate 3/2. These theoretical results are confirmed by extensive numerical simulations. To the best of our knowledge this is the first time that numerical simulations for the three-dimensional stochastic Navier\u0026ndash;Stokes equations have been performed.\n42. Galinstan中强迫对流绕过等热通量圆柱的流动与传热特性：雷诺数最高至600 Flow and Heat Transfer Characteristics of Forced Convection Past an Isoflux Circular Cylinder in Galinstan for Reynolds Numbers up to 600\n作者: Dipjyoti Nath\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-07-10\narXiv ID: 2607.09922v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.09922v1\n摘要: A numerical investigation of steady forced convection heat transfer from an isoflux circular cylinder immersed in the liquid metal Galinstan is presented. The governing streamfunction, vorticity, and energy equations are solved using a fourth-order compact finite difference scheme in cylindrical coordinates (FOCS\u0026ndash;CC) coupled with a stable pseudo-time iteration (PTI) technique. The influence of the Reynolds number ($1 \\leq Re \\leq 600$) on the flow and heat transfer characteristics is systematically investigated for Galinstan with a Prandtl number of $Pr=0.025$. The performance and accuracy of the proposed scheme are first established through grid independence studies and validation against previously published numerical results for the average Nusselt number and total drag coefficient over a range of Reynolds numbers. Excellent agreement with the available literature confirms the reliability and robustness of the present formulation. The effects of Reynolds number ($1\\leq Re\\leq600$) on the flow and thermal fields are examined through streamline patterns, isotherm distributions, and local Nusselt number variations. The results reveal that increasing the Reynolds number promotes flow separation, enlarges the wake region, intensifies downstream thermal transport, and significantly enhances convective heat transfer from the cylinder surface. Furthermore, a new empirical correlation for the average Nusselt number is proposed for Galinstan fluid over the Reynolds number range $1\\leq Re\\leq600$, exhibiting excellent agreement with the numerical data with a coefficient of determination of $R^2=0.99939$.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-14_09-32-32/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月14日 09:32:32\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 5\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 42\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-物理信息神经网络用于流体动力学中流动测量指标的高分辨率重建\"\u003e1. 物理信息神经网络用于流体动力学中流动测量指标的高分辨率重建\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003ePhysics-Informed Neural Networks for the High-Resolution Reconstruction of Flow Measurement Indicators in Fluid Dynamics\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年07月14日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月13日 10:44:13\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 5\n不相关论文数量: 12\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 用于热力学一致系统的广义斜梯度嵌入 Generalized skew-gradient embedding for thermodynamically consistent systems\n作者: Xuelong Gu, Qi Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-10\narXiv ID: 2607.09617v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.09617v1\n摘要翻译 中文标题: 用于热力学一致系统的广义斜梯度嵌入\n摘要翻译: 斜梯度嵌入（SGE）框架~\\cite{GuWangSGE2025} 通过将热力学一致系统的零能量贡献嵌入到反对称算子中，将其重新表述为广义梯度流。在时间离散格式中，定义此算子的轮廓可在以前的时间层上求值。生成的算子仍保持反对称，因此其对离散能量平衡的贡献为零；这种显式处理通常可解耦多物理场系统。我们证明该算子不唯一：容许的规范构成仿射空间，我们将由此产生的族称为广义斜梯度嵌入（GSGE）。对于任何正定度量，最小二乘会选择唯一的极小 Hilbert\u0026ndash;Schmidt 规范，且原始度量可恢复 SGE。该构造还给出正则化近似，非中性残差的修正，以及保持指定不变量的规范。对于秩二规范，我们使用一个必要且充分的雅可比准则。将此准则应用于不可压缩 Navier\u0026ndash;Stokes 方程的相容 MAC 离散化，可在半离散层面上给出有限维的二秩 Poisson\u0026ndash;GENERIC 公式；隐式中点法则在完全离散层面上保持此二秩 GENERIC 结构，并满足精确的离散能量定律。对于 Cahn\u0026ndash;Hilliard\u0026ndash;Navier\u0026ndash;Stokes 系统，正则化的 GSGE\u0026ndash;BDF2 格式保持质量，无条件耗散离散能量，并允许解耦实现。\n2. 二维欧拉方程矩阵离散的后向误差分析 Backward error analysis for matrix discretizations of 2-D Euler equations\n作者: Eugen Bronasco, Klas Modin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-10\narXiv ID: 2607.09549v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.09549v1\n摘要翻译 中文标题: 二维欧拉方程矩阵离散的后向误差分析\n摘要翻译: 我们引入 Butcher 级数的 Lie\u0026ndash;Poisson 约化形式体系. 相应的森林动量映射可用于描述应用于球面上二维欧拉方程的 Zeitlin 矩阵离散的等谱辛 Runge\u0026ndash;Kutta 方法的后向误差分析. 基于此, 我们得到修正哈密顿量守恒的指数小误差界, 这些界在指数长的时间区间上有效. 关键在于, 当不同 $n$ 的时间步长按 $h = \\mathcal{O}(n^{-1})$ 缩放时, 误差界和时间区间长度与空间离散参数 $n$ (矩阵大小) 无关. 因此, 我们的结果将有限维哈密顿系统的经典后向误差分析结果推广到了经由矩阵流体动力学离散的二维欧拉方程的无穷维情形.\n3. 针对扩展 Fisher-Kolmogorov 方程的线性化保结构混合虚拟元方法 A Linearized and structure-preserving mixed virtual element method for the extended Fisher-Kolmogorov equation\n作者: Zhen Guan, Xianxian Cao, Houchao Zhang, Junjun Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-10\narXiv ID: 2607.09044v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.09044v1\n摘要翻译 中文标题: 针对扩展 Fisher-Kolmogorov 方程的线性化保结构混合虚拟元方法\n摘要翻译: 在本文中，基于时间上的蛙跳离散和空间上的混合虚拟元离散，我们提出了一种线性化且保结构的数值算法。本工作的主要贡献在于，我们不仅为全离散数值格式的能量耗散性质提供了严格的证明，而且还通过逆不等式建立了无条件最优收敛性分析。证明的核心在于对 (τ) 和 $h$ 之间关系的分类讨论。最后，提供了两个数值例子以验证理论分析的正确性以及所提格式的能量耗散性质。\n4. 一种用于 Vlasov-Maxwell 系统的张量列间断 Galerkin 方法 A Tensor-Train Discontinuous Galerkin Method for the Vlasov-Maxwell System\n作者: Rujeko Chinomona, Dibyendu Adak, William J. Barham, Duc P. Truong, Nathan V. Roberts, Kim Ø. Rasmussen, Boian S. Alexandrov\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-09\narXiv ID: 2607.08936v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.08936v1\n摘要翻译 中文标题: 一种用于 Vlasov-Maxwell 系统的张量列间断 Galerkin 方法\n摘要翻译: 我们提出了一种用于 Vlasov-Maxwell 系统的张量列间断 Galerkin (TT-DG) 格式，该格式将模态 DG 离散与相空间解和离散算子的低秩张量表示相结合。该格式利用 DG 离散的张量积结构，直接在压缩形式下进行求积、微分、非线性迎风通量计算和时间积分。 该方法在若干标准 1D2V Vlasov-Maxwell 基准问题上进行了评估，包括流动 Weibel 不稳定性、弱 Landau 阻尼和双流不稳定性问题。在这些问题中，TT 格式重现了底层全网格 DG 离散的精度和守恒性质，同时大幅减少了内存使用和运行时间。对于弱非线性问题，获得了超过 $10^4$ 的压缩比，并且相对全网格求解器有显著的加速。对于强非线性双流不稳定性问题，尽管相空间细丝化导致可压缩性降低，TT 格式仍然有效。 这些结果表明，张量列表示为降低基于确定性 DG 的动理学等离子体模拟的计算成本提供了一种有效途径，同时保留了底层离散的良好数值性质。\n5. 一种乘法Calderón预条件电场积分方程的显式高阶对偶基 An Explicit Higher-Order Dual Basis for a Multiplicatively Calderón Preconditioned Electric Field Integral Equation\n作者: Bernd Hofmann, Thomas F. Eibert, Francesco P. Andriulli, Simon B. Adrian\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-07-09\narXiv ID: 2607.08848v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.08848v1\n摘要翻译 中文标题: 一种乘法Calderón预条件电场积分方程的显式高阶对偶基\n摘要翻译: 对用Rao-Wilton-Glisson (RWG) 函数离散化的电场积分方程(EFIE)进行预条件的最有效方法之一，是采用Buffa-Christiansen (BC) 函数作为RWG基的对偶基的乘法Calderón预条件子。它产生的形式避免了稠密离散化问题和低频崩溃。为了将乘法Calderón预条件子从低阶BC和RWG基推广到高阶，我们利用基于B样条的基函数，建立了第一个显式的高阶对偶基。它可以看作是BC函数到任意多项式次数的推广，并为其他依赖对偶基的方法构成了基本构件。对所得预条件子的数值结果表明，对于标准和实际的理想导电(PEC)散射体，广义极小残量(GMRES)迭代次数低且恒定，与未知量个数和多项式次数无关；这是充分发挥高阶基潜力的关键。\n不相关论文（基本信息） 1. 一条通往偏微分方程的量子途径 A Quantum Path to Partial Differential Equations\n作者: Xiantao Li\n类别: quant-ph, math.NA\n发布日期: 2026-07-10\narXiv ID: 2607.09639v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.09639v1\n摘要: Partial differential equations are a promising application area for fault-tolerant quantum algorithms, but the subject lies between two communities with different languages: numerical analysis and quantum computation. These lecture notes provide a numerically grounded introduction for readers entering from either field. Block encoding is the organizing principle: once a discretized differential operator is embedded in a unitary, primitives such as quantum singular value transformation, Hamiltonian simulation, linear combinations of unitaries, amplitude amplification, and measurement can be assembled into algorithms for elliptic, hyperbolic, and parabolic PDEs. Each chapter begins with a standard finite difference or finite element discretization and follows the full pipeline from the continuous PDE to quantum encoding, transformation, and extraction of a quantity of interest. Particular attention is paid to the factors governing end-to-end performance, including discretization error, state preparation, normalization, postselection, and measurement cost. A final chapter introduces nonlinear problems through Carleman and Koopman-von Neumann linearizations. The aim is not a comprehensive survey or a claim of universal quantum advantage, but a mathematically transparent entry point and a shared vocabulary for researchers in both communities.\n2. 基于变量投影的多快照脉冲反卷积凸性区域刻画 Characterization of the basin of convexity for multi-snapshot spike deconvolution via variable projection\n作者: Meghna Kalra, Maxime Ferreira Da Costa, Kiryung Lee\n类别: stat.ML, eess.SP, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-07-10\narXiv ID: 2607.09593v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.09593v1\n摘要: We study the problem of multi-snapshot spike deconvolution, where the goal is to recover the locations of sparse impulses from their noisy convolution with a known point spread function (PSF) across multiple snapshots. We adopt a variable-projection formulation that eliminates the amplitudes in closed form, reducing the task to a nonconvex least-squares problem over the spike locations alone, which we refer to as the variable-projection formulation of spike deconvolution (VarProSD). We provide an explicit characterization of the basin of convexity of the VarProSD objective in terms of key PSF properties, including its power spectral density and smoothness, revealing how sampling bandwidth and spike separation influence the local geometry. Within this basin, we establish that the estimator is consistent in the number of snapshots under stochastic noise, and provide a complementary, sharper error bound under adversarial noise via the local Lipschitz property of the inverse map. We further show local convergence guarantees for gradient descent when initialized within the basin. A central ingredient throughout is the use of Beurling\u0026ndash;Selberg extremal approximations, which enable sharp, PSF-agnostic bounds on the conditioning of the structured matrices arising in the optimization landscape. Numerical experiments validate our theoretical findings and demonstrate the effectiveness of modified ESPRIT initialization followed by gradient-based refinement.\n3. 基于变量投影的图正则化低秩矩阵补全 Graph-Regularized Low-Rank Matrix Completion by Variable Projection\n作者: Benoît Loucheur, P. -A. Absil, Michel Journée\n类别: cs.LG, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-07-10\narXiv ID: 2607.09546v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.09546v1\n摘要: We address the low-rank matrix completion problem by incorporating graph regularization into the existing Riemannian Trust-Region Matrix Completion (RTRMC) framework. The latter uses the geometry of the low-rank constraint to remodel the problem as an unconstrained optimization problem on a single Grassmann manifold. Our approach, named Graph-Regularized RTRMC (GR-RTRMC), exploits the inherent relationships between rows and columns of the matrix. By using these relationships, we aim to improve the accuracy and robustness of matrix completion, particularly in scenarios where the underlying data exhibits strong correlations between rows or columns.\n4. 马尔可夫过程优化的凸松弛 Convex Relaxations for the Optimization of Markov Processes\n作者: Hongyi Zhang, Yuehaw Khoo, Tianyun Tang\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-07-10\narXiv ID: 2607.09423v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.09423v1\n摘要: In this paper, we study the problem of optimizing Markov processes that interpolate between two prescribed probability distributions while minimizing a given cost. The main computational challenge is the curse of dimensionality: in high-dimensional state spaces, representing the full distribution is intractable. To address this, we reformulate the problem in terms of sequential couplings and develop convex relaxations based on local marginals and cluster moments. These relaxations exploit locality and sparse interaction structure, provide computable lower bounds, and recover low-order statistics of the intermediate laws. We identify dynamic optimal transport as a special case of our Markov process optimization problem and develop a procedure for recovering the underlying Benamou\u0026ndash;Brenier dynamics from the relaxed solution. We also show that the procedure extends to more general Markov processes and illustrate it with a constrained process between Ising models.\n5. 用于时间谐和声波定量被动成像的全互相关反演 Full cross-correlation inversion for quantitative passive imaging with time-harmonic acoustic waves\n作者: Jean Dutheil, Florian Faucher\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-07-10\narXiv ID: 2607.09392v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.09392v1\n摘要: We consider the inverse problem for the quantitative reconstruction of physical properties in the context of passive imaging, where ambient wavefields are used to infer a medium. The data are modeled as a superposition of waves generated by stochastic sources. In this work, we focus on time-harmonic acoustic wave propagation and assume that the stochastic sources exciting the medium are zero-mean and spatially uncorrelated. Under these assumptions, the expected value of the cross-correlation between signals recorded at two locations can be related to the deterministic Green\u0026rsquo;s function and the covariance of the source terms. We follow a first-order formulation of the wave equation, which enables the treatment of correlations between different types of wavefields. A numerical framework is developed for the resulting nonlinear inverse problem. The quantitative reconstruction is carried out using an iterative minimization scheme, in which the gradient of the misfit functional is computed via the adjoint-state method. Numerical experiments in two and three dimensions are performed using synthetic data, and inversions based on the expected value of cross-correlations are compared with those relying on direct wavefield measurements from active-source acquisitions.\n6. 全局延拓作为传统延拓与分岔分析的补充 Global continuation as a complement to traditional continuation and bifurcation analysis\n作者: George Datseris, Andreas Morr, Muhammed Fadera, Juergen Kurths\n类别: nlin.CD, math.DS, math.NA, physics.app-ph\n发布日期: 2026-07-10\narXiv ID: 2607.09332v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.09332v1\n摘要: Multistable dynamical systems are ever-prevalent, used to model for example ecosystems, power grids, climate elements, neurons, and more. When perturbed, such systems may ``tip\u0026rsquo;\u0026rsquo; from one state of operation to another, often with abrupt, irreversible, and high-impact consequences in each context. Traditionally, these systems are analysed via bifurcation diagrams, the result of a process we refer to as \\emph{local continuation}, as it only captures the linear (local) system response to infinitesimal perturbations. Local continuation requires substantial expertise, constant interventions, and may yield inaccurate assessment of the system\u0026rsquo;s response to large perturbations that is crucial for tipping analysis. To address some inherent challenges of local continuation and to provide fundamentally new information during a continuation, this paper introduces \\emph{global continuation} as a complement suitable for the study of multistability, critical transitions and real-world-oriented applications. Global continuation finds and continues in parallel (practically) all system attractors and their response to finite perturbations by synthesising information from the whole state space, while placing a focus on the qualities or observables of a dynamical system that the practitioner cares about in context. Global continuation does not require deep expertise and is effortless to use and troubleshoot, making it attractive to applied scientists from different disciplines. We highlight several unique advantages that allow global continuation to complement the status quo and exemplify them through a plethora of representative examples. Global continuation is also implemented as open source software in DynamicalSystems.jl, enhancing its accessibility.\n7. 用于Ripa模型的五阶良好平衡路径守恒A-WENO格式 Fifth-Order Well-Balanced Path-Conservative A-WENO Scheme for the Ripa Model\n作者: Yan-Ping Qiu, Zhen Gao, Alexander Kurganov, Bao-Shan Wang, Xiao Wen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-10\narXiv ID: 2607.09293v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.09293v1\n摘要: In this work, we introduce a fifth-order well-balanced (WB) path-conservative A-WENO scheme with the central-upwind numerical fluxes (PCCU-5) for the Ripa model. The proposed scheme is capable of exactly preserving a variety of steady states, including still-water, moving-water, isobaric, and constant water height ones. This goal is achieved with the help of a flux globalization technique: The source terms are incorporated into the fluxes, resulting in a quasi-conservative system, for which central-upwind numerical fluxes are computed using the path-conservative integration. The proposed A-WENO scheme utilizes a WENO interpolation of the equilibrium variables rather than the conservative ones to ensure the WB property. In addition, we perform the WENO interpolation of the local characteristic equilibrium variables to mitigate numerical oscillations near discontinuities. We perform a series of numerical experiments, which demonstrate that the proposed fifth-order WB PCCU-5 scheme achieves high resolution and clearly outperforms its second-order counterpart. Our numerical results also demonstrate the importance of the local characteristic projection for significantly reducing (eliminating) numerical oscillations near discontinuities.\n8. 具有混合边界条件的拟线性椭圆问题的最优有限元误差估计与牛顿收敛性 Optimal finite element error estimates and Newton convergence for a quasilinear elliptic problem with mixed boundary conditions\n作者: Mihai Bucataru\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-10\narXiv ID: 2607.09181v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.09181v1\n摘要: The article studies finite element approximations of a quasilinear elliptic heat-conduction problem with inhomogeneous mixed boundary conditions. The conductivity tensor is matrix-valued, anisotropic, possibly nonsymmetric, and dependent on both position and temperature, rendering the problem nonlinear, nonmonotone, and nonpotential. The nonlinear algebraic system arising from the Galerkin discretization is solved using Newton\u0026rsquo;s method, with a posteriori guarantees provided by a computable Newton-Kantorovich criterion and a mesh-dependent stopping rule that ensures that the algebraic error is asymptotically negligible relative to the discretization error. Since the discrete solution need not be unique, we prove that every discrete solution satisfies the optimal convergence rates. The analysis combines mixed-boundary elliptic regularity with an Aubin-Nitsche duality argument adapted to the quasilinear setting. Numerical experiments in two and three dimensions confirm the predicted convergence rates and demonstrate the feasibility of the proposed criterion.\n9. 群不变谱嵌入 Group Invariant Spectral Embedding\n作者: Yeari Vigder, Paulina Hoyos, David Thong, Joakim andén, Joe Kileel, Amit Moscovich\n类别: cs.LG, math.NA, math.ST\n发布日期: 2026-07-09\narXiv ID: 2607.08987v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.08987v1\n摘要: Spectral embedding methods are widely used for dimensionality reduction and clustering of high-dimensional datasets with intrinsic low-dimensional structures. Although many datasets of practical interest exhibit invariance under symmetries such as rotations, standard spectral embedding methods do not account for this, treating symmetry-related data points as unrelated. Our approach to this problem is to incorporate the symmetries directly into the affinity kernels used for spectral embedding. We analyze the case of a Riemannian data manifold $M$ with symmetries given by a compact Lie group~$G$ and prove that, under suitable conditions, graph Laplacians constructed from three types of invariant kernels converge pointwise to explicit second-order differential operators on the quotient space $M/G$. Our analysis implies improved convergence rates, as the effective dimension drops according to the dimension of the group. We validate our approach on datasets with $\\mathrm{SO}(2)$ or $\\mathrm{SO}(3)$ symmetry, and show that $G$-invariant spectral embedding recovers the intrinsic geometry of the data, in contrast to standard spectral embedding, which fails to do so even in the limit of infinite data.\n10. 再论多维外推的静态偏微分方程方法 Another look at the static PDE approach to multidimensional extrapolation\n作者: Hwi Lee\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-09\narXiv ID: 2607.08980v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.08980v1\n摘要: We present a variant of the static PDE based extrapolation method (2014 Aslam, SIAM J. Sci. Comp) for extending smooth fields across interfaces implicitly defined as zero level sets. Our approach introduces the idea of relaxed upwinding finite differences as a key modification within the fast sweeping method. Unlike existing approaches, we require function values and their normal derivatives only on the first grid layer inside the domain adjacent to the boundary, thereby improving computational efficiency and flexibility. To further improve accuracy, we introduce a simple boundary reconstruction technique that significantly reduces the numerical error in the extrapolated solution near the boundary. Numerical experiments indicate enhanced performance of our approach across a range of domain geometries, including those with high curvature features.\n11. 利用改进的广义高斯求积算法构造与优化一般函数空间的分部求和算子 Construction and Optimization of Summation-by-Parts Operators for General Function Spaces Using an Improved Generalized Gaussian Quadrature Algorithm\n作者: Alex Bercik, Lisa Patrascu, David W. Zingg\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-09\narXiv ID: 2607.08934v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.08934v1\n摘要: We construct optimized summation-by-parts (SBP) operators for general function spaces with provably minimal degrees of freedom on open, closed, and half-open nodal distributions. These operators rely on generalized Gaussian quadrature rules, for which we present an improved algorithm that is flexible, efficient, and provably convergent. In cases where free parameters are available, we further introduce two operator optimization strategies. We test our operators on a handful of numerical examples that contain large or unbounded gradients, in which some a priori knowledge of the solution has been assumed to select an appropriate basis. The novel operators are found to outperform standard polynomial operators by several orders of magnitude in solution accuracy relative to degrees of freedom. Furthermore, our novel operators significantly outperform function-space SBP operators with equispaced nodal distributions, which require significantly more nodes for the same operator basis. Finally, we demonstrate that the operator optimization procedures are critical to achieving accurate and efficient discretizations, as the standard SBP construction procedure can lead to nullspace-inconsistent and poorly-conditioned operators.\n12. 色散浅水矩方程的分裂格式 A Splitting Scheme for Dispersive Shallow Moment Equations\n作者: Ullika Scholz, Robin Paar, Manuel Torrilhon\n类别: physics.flu-dyn, math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-07-09\narXiv ID: 2607.08870v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.08870v1\n摘要: The well-known Shallow Water Equations (SWE) are used for modeling incompressible free-surface flows whenever the shallowness allows for a vertical-averaging; i.e., vertical effects are negligible in comparison to horizontal ones. But vertical averaging comes with the price of losing information along the vertical axis. Moment models for shallow flow contain information on the vertical velocity and pressure profile despite being dimensionally reduced. A class of these models incorporating a non-hydrostatic pressure have been introduced before as Dispersive Shallow Moment Models (DSM). However, no method for solving the non-stationary equations has been presented yet, mainly because it was unclear how to compute the pressure equation in the form of the divergence-free constraint. We rewrite the pressure equations of the DSM models in the form of a Poisson-like problem to enable their solution with a projection-type splitting scheme. For the linear equations, we present the calculations for the generalized model and discuss the non-linear case. We state the first two linear models and the corresponding nonlinear counterparts. Finally, we introduce a hybrid Finite-Volume Finite-Difference method and discuss the non-stationary numerical results for an experiment with periodic boundary and uneven bottom topography.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-13_10-44-13/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月13日 10:44:13\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 5\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 12\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-用于热力学一致系统的广义斜梯度嵌入\"\u003e1. 用于热力学一致系统的广义斜梯度嵌入\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eGeneralized skew-gradient embedding for thermodynamically consistent systems\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年07月13日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月10日 10:39:41\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 2\n不相关论文数量: 16\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 高斯空间上的神经算子与谱算子代理模型 Neural and Spectral Operator Surrogates on Gaussian Spaces\n作者: Carlo Marcati, Mario Marić, Christoph Schwab, Jakob Zech\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-09\narXiv ID: 2607.08492v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.08492v1\n摘要翻译 中文标题: 高斯空间上的神经算子与谱算子代理模型\n摘要翻译: 我们证明了可分Hilbert空间之间全纯映射的有限参数、谱代理模型和神经代理模型的表示率界。这些代理模型具有编码器-逼近器-解码器架构，采用Karhunen-Loéve编码器和框架解码器。我们证明了两类有限参数代理模型的表示率界：i) 通过Wiener多项式混沌展开的N项截断得到的谱代理模型，以及ii) 通过使用深度前馈神经网络、ReLU和RePU激活函数以及一致有界权重逼近参数映射而得到的神经代理模型。我们在输入空间上高斯测度的协方差特征值满足代数衰减假设的条件下进行研究。我们得到了均方误差的收敛速率，并且还在一阶高斯Sobolev空间中得到了收敛速率，以考虑梯度近似中的误差。\n2. 非线性对流-扩散中的热力学结构与组合性 Thermodynamic Structure and Composition in Nonlinear Convection-Diffusion\n作者: J. J. Segura\n类别: math.NA, cond-mat.stat-mech\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07829v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07829v1\n摘要翻译 中文标题: 非线性对流-扩散中的热力学结构与组合性\n摘要翻译: 非线性对流-扩散系统在输运现象中扮演着核心角色，包括质量传递、热传递、多孔介质输运以及具有源、交换和界面效应的耦合连续介质过程。对此类系统，关键问题常常不仅在于使用何种控制偏微分方程，更在于模型是否能在输运分析中自然出现的操作下保持热力学一致性：限制到子区域、跨界面耦合、在平衡处线性化以及用于计算的离散化。 本文为开放的非线性对流-扩散系统建立了一个连续介质优先的框架，其中热力学一致性被表述为带有非负体耗散和显式边界及源项贡献的自由能平衡。在此设定下，非线性输运系统被定义为由容许状态场、存储泛函、本构通量分解、源和边界端口构成的结构化对象。我们证明，热力学平衡在精确的保结构变换、限制到子区域、在相容区域分解上的局部到全局重构以及开放子系统的功率守恒互连下得到保持。然后，我们推导出经典的线性对流-扩散模型作为平衡态处的切热力学后代，并证明当数值设计尊重热力学结构时，同样的不变性在弱形式、半离散化和全离散时间步进中得以生存。非线性漂移-扩散和多孔介质对流-扩散被用作显式例子。最终的贡献是一个组合输运框架，在该框架中，第二定律在连续介质建模、子系统耦合、线性近似和计算中始终可见。\n不相关论文（基本信息） 1. 沿前向扩散的分数准确性不能保证扩散采样的数值稳定性 Score Accuracy Along the Forward Diffusion Does Not Certify Numerical Stability in Diffusion Sampling\n作者: Yiwei Zhou\n类别: stat.ML, cs.LG, math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-07-09\narXiv ID: 2607.08757v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.08757v1\n摘要: Score matching controls average error under the forward marginals, but a discretized reverse-time sampler evaluates the learned score along its own trajectory. We show that small forward-marginal error does not guarantee numerical stability. We construct a single smooth score field with arbitrarily small forward-marginal $L^2$ error. The learned reverse-time process is nonexplosive, has moments of every order, and can be arbitrarily close to the exact reverse-time process in path-space total variation. Yet its Euler\u0026ndash;Maruyama discretizations converge in probability while every positive moment diverges. Thus weak convergence can hold even though every Wasserstein distance $W_p$, $p\\ge1$, diverges. The same failure can occur within one fixed finite neural architecture. We construct a family of bounded, globally Lipschitz denoisers for which both the forward-marginal error and the path-space total variation distance tend to zero, while their Euler\u0026ndash;Maruyama endpoints diverge in every $W_p$. For compactly supported data, we also give a simple positive result. Projecting the learned denoiser onto a known bounded closed convex set containing the support preserves pointwise accuracy, gives grid-uniform moment bounds, and yields Wasserstein convergence under mild local regularity. Experiments with a small fixed DiT-style network show large growth along rare numerical trajectories and its suppression by denoiser projection, while overall trajectory errors remain small.\n2. 高阶非标准多步多级方法的若干性质 Some properties of high-order nonstandard multistep multistage methods\n作者: Balint M. Takacs\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-09\narXiv ID: 2607.08694v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.08694v1\n摘要: In this paper, we introduce nonstandard versions of multistep multistage methods. While proving the convergence of these schemes, we also define nonstandard general linear methods. We show that the nonstandard methods can attain the same order as their standard counterparts while preserving certain qualitative properties (e.g., boundedness) for all positive step sizes. These results are also demonstrated by some numerical experiments.\n3. 几何约束梯度流的无约束格式 Unconstrained Scheme for Geometrically Constrained Gradient Flows\n作者: Sören Bartels, Lucas Bouck, Christian Palus\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-09\narXiv ID: 2607.08577v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.08577v1\n摘要: In this paper, we study the approximation of gradient flows of harmonic maps, which serve as model problems for applications in micromagnetics, liquid crystals, and nonlinear plate bending. Harmonic maps are vector fields that are critical points of the Dirichlet energy subject to the constraint that the vector field be unit length pointwise. Most existing time-stepping schemes for gradient flows deal with the constraint by linearizing the unit length constraint at every step, which involves solving for the solution increment in the tangent space of the constraint. These schemes lead to robust control over the violation of the constraint, but require solving degenerate saddle point systems at every step that may be difficult to precondition. In this paper, we propose a scheme that first computes the unconstrained increment and then projects this increment pointwise onto the tangent space. With an additional stabilization, this scheme is energy stable under mild step size restrictions and provides robust control of the unit length constraint violation. Our new scheme only requires the solution of decoupled symmetric positive definite systems at every step, which translates to a large increase in computational efficiency. We also propose a computable a posteriori criterion and a variable time-stepping procedure that guarantee the stability of the scheme. We conclude with computational examples demonstrating the efficacy of the scheme, and present a computational extension of the scheme to nonlinear plate bending.\n4. 非线性涡流问题瞬态有限元模拟的迭代法 An Iterative Method for Transient Finite Element Simulations of Non-Linear Eddy Current Problems\n作者: Karl Hollaus, Haik Silm\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-09\narXiv ID: 2607.08432v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.08432v1\n摘要: A method is presented to carry out a transient simulation of eddy current problems with nonlinear materials. Coils are voltage-driven. The magnetic field due to currents in coils are considered by their Biot-Savart-fields. The magnetic vector potential is used in the finite element formulation. The time stepping method is based on implicit Euler. The arising nonlinear equation system is split into two parts, the common finite element system and a circuit equation. Each part is solved separately by Newton\u0026rsquo;s method. Additionally, a line search is used to solve the nonlinear field equations. Inrush currents and average magnetic flux densities through cross sections of laminates of a nonlinear benchmark problem consisting of a laminated iron core inserted in a cylindrical coil are studied. All details of the numerical benchmark are given to evaluate the presented results. Numerical data describing the performance of the presented method are provided.\n5. 任意剖分上对流扩散方程的高阶完全通量格式 High-order complete flux schemes for convection-diffusion equations on arbitrary subdivisions\n作者: Peng Yang, Wenyu Lei, Liwei Xu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-09\narXiv ID: 2607.08422v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.08422v1\n摘要: We develop a complete flux finite volume method for convection-diffusion equations that works on arbitrary meshes in two and three dimensions and for discrete spaces of any polynomial degree. Unlike standard finite volume discretizations, where the numerical flux is directly approximated from the flux definition, we derive the exact normal flux across each control volume edge/face from the underlying PDE. This exact flux splits naturally into a homogeneous part (the classical Scharfetter-Gummel flux) and an inhomogeneous part expressed via a Green\u0026rsquo;s function that incorporates the tangential flux and the source term. The resulting formulation is exactly equivalent to the continuous equation and, once the discrete space is chosen, yields high-order schemes without any correction or stabilization. For piecewise linear spaces, the scheme achieves optimal second-order accuracy in convection-dominated regimes and can preserve positivity on moderately coarse meshes. For quadratic spaces, standard finite volume methods, based on the Lagrange elements or B-splines, fail to attain optimal $L^2$ convergence unless the control volume mesh is specially designed. The proposed complete flux scheme, however, always achieves optimal $L^2$ convergence independently of the control volume mesh. Numerical experiments in two and three dimensions confirm the robustness and optimal accuracy of the approach.\n6. 非线性薛定谔方程的无降阶分裂法 Splitting methods for nonlinear Schrödinger equation without order reduction\n作者: Carlos Arranz-Simón, Begoña Cano\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-09\narXiv ID: 2607.08387v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.08387v1\n摘要: A technique is provided in this paper to integrate nonlinear Schrödinger equation with time-dependent Dirichlet boundary conditions with high-order Yoshida splittings which are based on Strang method. For that, a modification of Strang method is required in which the linear and stiff part of the equation is integrated with a rational-like version of midpoint rule for which the required boundary values can be calculated without resorting to any differentiation of data. Although Yoshida splitting (with real coefficients) cannot be applied to parabolic problems to obtain order higher than two because of stability, the modified Strang method is also applicable to such type of problems and local order $3$ and global order $2$ are also obtained without differentiation of data.\n7. 自适应行选择遇见异步：随机Kaczmarz方法 Adaptive Row Selection Meets Asynchrony in Randomized Kaczmarz\n作者: Evan Coleman\n类别: cs.DC, math.NA\n发布日期: 2026-07-09\narXiv ID: 2607.08313v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.08313v1\n摘要: Randomized Kaczmarz is a natural fit for large sparse least-squares and tomographic reconstruction, and adaptive row selection can reduce iteration counts. However, deploying adaptive selection on a shared-memory machine means sampling from a residual that lock-free workers are concurrently modifying, often using stale data. We present the first systematic study of this regime: residual-weighted and greedy Kaczmarz under asynchronous execution, measured across 339 runs on a 96-core node with realized (not injected) delays. Four findings carry directly to practice. (i) Stability is governed by a boundary $\\ell^*(T)$ between sampling aggressiveness and thread count; below it, more aggressive sampling is strictly better, so one should tune to just inside the cliff. (ii) Threshold-greedy selection (the standard accelerated rule) is unstable at high thread counts, diverging almost immediately. (iii) Under-relaxation buys back the cliff at a predictable cost, giving a usable safety knob. (iv) Consistent-snapshot reads admit a rare, scheduling-dependent divergence that live (inconsistent) reads never exhibited and that is also cheaper, making inconsistent reads the right default. We validate the implementation against published sequential results and outline the distributed two-level sampler these measurements motivate.\n8. 使用伴随方程追踪绝对/对流不稳定性边界 Tracking the boundary between absolute/convective instability using adjoint equations\n作者: Yue Xiao, Hui Li, Zijing Ding\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-07-09\narXiv ID: 2607.08305v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.08305v1\n摘要: Determining absolute/convective instability boundaries conventionally requires repeated saddle searches in the complex-wavenumber plane and a subsequent scan of the physical parameter space to locate zero absolute growth. Such nested calculations become costly and sensitive to modal branch association for large non-normal eigenvalue problems. This work develops a direct continuation method for neutral stationary-saddle boundaries of frequency-affine generalised eigenvalue problems. The zero-group-velocity condition is expressed as an adjoint solvability residual and solved together with the direct and adjoint eigenproblems, complex gauge constraints and the neutral-growth condition. The resulting one-dimensional solution manifold in the combined state\u0026ndash;parameter space is tracked by scaled pseudo-arclength continuation, allowing parameter folds to be crossed without switching the physical continuation variable. The formulation recovers the analytical Ginzburg\u0026ndash;Landau boundary and, for a Gaussian-wake Orr\u0026ndash;Sommerfeld problem, agrees with separately formulated finite-difference saddle corrections to approximately $10^{-8}$ in relative critical Reynolds number. Compared with nested complex-wavenumber and parameter-plane saddle scanning, the scanning calculations require $14.0$\u0026ndash;$30.6$ times the wall time of the direct adjoint continuation, with the cost increasing as the reconstructed boundary is refined. Application to a coupled Oldroyd\u0026ndash;B free-surface film reveals genuine folds of the neutral-saddle manifold and a re-entrant CI\u0026ndash;AI\u0026ndash;CI boundary geometry for the selected saddle family. The results show that adjoint-augmented pseudo-arclength continuation can replace nested saddle searches and parameter-plane reconstruction by direct and computationally efficient tracking of the neutral boundary itself.\n9. 局部拟一致多面体上变系数对流-扩散-反应问题的三维虚单元方法 3D Virtual Element Method for Advection-Diffusion-Reaction Problems with Variable Coefficients on Locally Quasi-Uniform Polytopes\n作者: M. Trezzi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-09\narXiv ID: 2607.08237v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.08237v1\n摘要: In this paper, we propose and analyze a Continuous Interior Penalty (CIP) stabilized Virtual Element Method (VEM) for three-dimensional advection-diffusion-reaction equations on general polyhedral meshes. While CIP-VEM schemes have been recently explored in a two-dimensional setting, their analysis heavily relies on global mesh quasi-uniformity and constant physical parameters. We overcome these limitations by introducing a novel three-dimensional variant of the Oswald-type quasi-interpolant. This allows us to establish robust, uniform error estimates in the hyperbolic limit under a realistic local quasi-uniformity assumption and variable coefficients. Finally, we provide a comprehensive set of three-dimensional numerical experiments to validate the theoretical convergence rates and demonstrate the absence of non-physical oscillations.\n10. 算法 XXXX：有限元自由度变换矩阵的计算 Algorithm XXXX: Computation of finite element degree-of-freedom transformation matrices\n作者: Matthew W. Scroggs, Garth N. Wells\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-09\narXiv ID: 2607.08172v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.08172v1\n摘要: The arithmetic intensity of algorithms for computing finite element operators increases with increasing polynomial degree. This has made high degree methods particularly attractive on modern CPU and GPU architectures, since on these architectures performance at low degree is limited (severely) by the available memory bandwidth and only a very small fraction of the floating point capacity of the processor is used. Higher degree methods can exploit a significantly greater fraction of the available compute power of modern architectures. However, whilst stable methods for computing high-degree finite element bases are well-established, there is no universal and automated algorithm for the efficient construction of the degree-of-freedom map for arbitrary degree elements. We address this with a new algorithm that can be used in computing degree-of-freedom maps for an arbitrary Ciarlet-type finite element using only the element\u0026rsquo;s definition and properties of the reference cell, and without requiring a specific implementation for each element. This method is implemented in the library Basix, a component of the FEniCSx libraries. As well as allowing vast simplifications of parts of a codebase, the algorithm allows for new elements to be implemented with ease and has allowed us to support user-defined custom elements that a user can create at runtime without requiring the user to input any information about transformations required to construct a degree-of-freedom map.\n11. 通过多个代数不变量获得对称正定张量的尖锐谱界 Sharp Spectral Bounds for Symmetric Positive Definite Tensors via Multiple Algebraic Invariants\n作者: Hemant Sharma, Snigdhashree Nayak, Ankit Singh\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-07-09\narXiv ID: 2607.08113v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.08113v1\n摘要: We extend the trace\u0026ndash;determinant framework of Nayak, Sharma, and Mishra~\\cite{nayak2026} for bounding the H-eigenvalues of symmetric positive definite tensors. First, we replace the Arithmetic\u0026ndash;Geometric Mean (AM\u0026ndash;GM) relaxation underlying previous bounds by the exact solution of the associated constrained optimization problem, yielding sharp upper and lower bounds that are attained on the admissible spectral variety. Second, we incorporate higher-order power sums as additional spectral invariants and prove a structural theorem showing that any extremizer over a $K$-invariant feasibility region has at most $K$ distinct spectral values. This reduces the problem to a finite collection of low-dimensional polynomial systems and yields a hierarchy of increasingly tight bounds. For the four-invariant case $(T,S,p_3,D)$, we develop a complete theory including solution-count estimates, a multistart Newton algorithm, and sharpness conditions. We also derive closed-form bounds in small dimensions, establish perturbation estimates, and obtain refined Lyapunov region-of-attraction bounds. Numerical experiments for dimensions up to $d=100$ show that the sharp three-invariant bound reduces the median relative overestimation gap from $53\\%$ to $6\\%$ while maintaining low computational cost. The framework is validated on tensors with real H-spectrum.\n12. 基于偏微分方程的贝叶斯反问题的多类型传感器放置 Multi-type Sensor Placement for PDE-based Bayesian Inverse Problems\n作者: Steven Maio, Alen Alexanderian, Karina Koval, Ruanui Nicholson\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-09\narXiv ID: 2607.08074v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.08074v1\n摘要: We address optimal placement of multi-type sensors for Bayesian inverse problems governed by partial differential equations (PDEs). The proposed framework allows for sensors with different accuracies and observation types. We formulate the optimal experimental design (OED) problem as a knapsack-constrained binary optimization problem for maximizing expected information gain (EIG). To approximately solve the resulting optimization problems, we propose a stochastic cost-benefit greedy algorithm, which admits theoretical guarantees for monotone submodular set functions. Specifically, these guarantees apply in the case of linear Gaussian inverse problems with uncorrelated measurement errors, where the EIG admits a convenient closed-form expression. For nonlinear inverse problems, we develop a non-intrusive approach that uses the Bayesian approximation error framework to define an observation model with an error-corrected global linear model. We show that the corresponding approximate EIG is a lower bound for the exact EIG and thus provides a principled surrogate objective for the OED problem. The effectiveness of the proposed methods is demonstrated in two model inverse problems governed by PDEs.\n13. 面向反弹性介质散射的非解耦时域直接采样方法 A Non-Decoupled Time-Domain Direct Sampling Method for Inverse Elastic Medium Scattering\n作者: Lefu Cai, Hongjie Li, Xianchao Wang\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-07-09\narXiv ID: 2607.08067v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.08067v1\n摘要: This work is concerned with an inverse medium problem for elastic waves, in which unknown inhomogeneities are reconstructed from time-resolved boundary measurements. We propose a novel time-domain direct sampling method for locating scatterers from a single incident source, without imposing specific assumptions on the temporal profile of the excitation. In particular, the imaging functional introduces a time-shifted correlation strategy that replaces the traditional $P$-$S$ wave decomposition with a travel-time alignment mechanism, thereby enabling direct imaging from the coupled elastic wave field. To analyze the proposed time-domain imaging functional, we employ Parseval\u0026rsquo;s identity for the Fourier\u0026ndash;Laplace transform and reformulate the functional in the frequency domain. By exploiting properties of modified Bessel functions, we characterize the asymptotic behavior of the imaging functional and show that it attains its maximum at the target location, which enables reliable identification of the scatterer. Rigorous theoretical justifications are provided to substantiate the effectiveness of the proposed method. Numerical experiments are also presented to demonstrate its performance and applicability.\n14. 直边三角形拟合网格上有限元对光滑边界自然边界条件的离场施加 Off-site enforcement of natural conditions on smooth boundaries for finite elements upon fitted straight-edged triangular meshes\n作者: Vitoriano Ruas\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07963v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07963v1\n摘要: A few decades ago some possible remedies to an inaccurate enforcement of Neumann or Robin conditions prescribed on the boundary of a smooth domain, owing to the approximation of a curved domain by the union of straight-edged triangles or tetrahedra in a fitted mesh, were addressed in the literature. By that time authors such as Barrett and Elliott (1988) advocated the use of elements with a single curved edge or face fitting the true boundary not only at two or three vertexes, but also at additional points on those curves or curved surfaces, so as to define a polynomial surface of a certain type compatible with the theoretical approximation order of the method in use. In this work we adopt a different approach, whose main feature is the use of a fitted mesh consisting of straight-edged elements only. The recovery of lost accuracy due to the domain\u0026rsquo;s approximation by a polytope is achieved by means of the addition of terms to the bilinear form, which account for natural boundary conditions of the same type to be prescribed on the approximating boundary, though much closer to the true ones. This technique is applied here to the case of triangular Lagrange finite elements, for which we give a rigorous reliability study in the solution of reaction-diffusion equations. Numerical experimentation is supplied in support of the theoretical results.\n15. 具有任意三维旋转的旋转非线性薛定谔方程的高阶时间分裂的容许离散线性传播子 Admissible Discrete Linear Propagators for High-Order Time Splittings of Rotational Nonlinear Schrödinger Equations with Arbitrary Three-Dimensional Rotation\n作者: Tianqi Zhang, Fei Xue\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07923v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07923v1\n摘要: We study robust high-order time splittings for nonlinear Schrödinger equations whose linear part is defined by the Laplacian and an arbitrary three-dimensional rotation operator. After Fourier pseudospectral discretization, a continuous exact factorization of the linear flow need not yield a method self-adjoint fixed-grid propagator. For the original stage-wise explicit exact integrator, we identify a quadratic even term in the local logarithm and show that its visibility is state-dependent, so the observed temporal order of accuracy can depend on the initial data. We then formulate fixed-grid admissibility for discrete linear propagators and construct two admissible propagators for arbitrary three-dimensional rotation: a symmetrized explicit exact integrator and a palindromic generalized shear propagator. Both are unitary, first-order consistent, method self-adjoint, and have odd local logarithms. Numerical experiments verify the predicted defect mechanism and demonstrate recovery of the designed second-, fourth-, and sixth-order behavior with the admissible propagators.\n16. 基于树的二次双线性系统解表示及其在模型降阶中的结果 Tree-based solution representations for quadratic bilinear systems and their consequences in model order reduction\n作者: Martin Redmann\n类别: math.OC, math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07841v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07841v1\n摘要: We investigate quadratic bilinear systems by developing novel tree-based representations of their solutions. The proposed framework decomposes the solution into a sequence of coupled bilinear subsystems whose components admit explicit expansions indexed by full binary trees. These representations yield sufficient conditions for the existence of global solutions and lead to new output bounds in terms of reachability Gramians. Motivated by these estimates, we introduce time-limited and infinite-horizon reachability and observability Gramians, establish sufficient conditions for their existence, and characterize them through nonlinear matrix equations. The associated Gramians are employed to identify dominant state-spaces and to derive exact reduced-order models obtained by removing Gramian kernels. Building on these results, we develop a balanced truncation method for quadratic bilinear systems and prove an error bound for the reduced-order approximation. The proposed framework provides a unified connection between tree-based solution representations, nonlinear Gramian theory, and balanced truncation for quadratic bilinear systems, closing several theoretical gaps in the analysis of Gramian-based model reduction for this class of systems.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-10_10-39-41/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月10日 10:39:41\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 16\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-高斯空间上的神经算子与谱算子代理模型\"\u003e1. 高斯空间上的神经算子与谱算子代理模型\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eNeural and Spectral Operator Surrogates on Gaussian Spaces\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年07月10日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月09日 10:48:49\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 2\n不相关论文数量: 23\n重点关注论文（完整分析） 1. 非单调半线性扩散-反应方程的迭代有限元逼近 Iterative finite element approximation of non-monotone semilinear diffusion-reaction equations\n作者: Florian Spicher, Thomas P. Wihler\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07327v1\n摘要翻译: 我们研究用于具有渐近线性增长的非线性反应项的半线性椭圆边值问题数值逼近的迭代线性化有限元方法。我们的方法显著超越了经典理论，允许非线性项不必是单调的。我们考察了一种稳定的隐显式（IMEX）迭代与可解析多边形区域角奇性的分级网格上一阶有限元离散的结合。为顾及解析解降低的正则性，我们在角加权 Sobolev 空间中建立了正则性估计。本文的主要创新在于对迭代过程产生的离散 Galerkin 极限的逼近性质进行了非标准分析，由此得到最优的先验收敛估计。数值实验验证了理论结果。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07327v1\n1. 研究对象和背景 本文研究二维有界多边形区域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^2$ 上半线性椭圆边值问题\n$$-\\Delta u = f(\\cdot, u)\\;\\;\\text{在}\\;\\Omega\\;\\text{内},\\qquad u = 0\\;\\;\\text{在}\\;\\partial\\Omega\\;\\text{上}, \\eqno(1.1)$$的数值逼近, 其中非线性反应项 $f:\\Omega\\times\\mathbb{R}\\to\\mathbb{R}$ 满足渐近线性增长条件 $|f(\\cdot,s)|\\leq C(1+|s|)$, 但不施加任何单调性假设. 该问题的弱形式为: 求 $u\\in V:=H^1_0(\\Omega)$ 使得\n$$\\langle E'(u), v\\rangle = \\int_\\Omega (\\nabla u\\cdot\\nabla v - f(x,u)v)\\,dx = 0 \\quad \\forall v\\in V, \\eqno(2.14)$$其中 $E:V\\to\\mathbb{R}$ 是相应的能量泛函\n$$E(u) = \\frac12\\int_\\Omega |\\nabla u|^2\\,dx - \\int_\\Omega F(x,u)\\,dx,\\quad F(x,t)=\\int_0^t f(x,s)\\,ds. \\eqno(2.11),(2.12)$$对于单调非线性问题, 已有经典有限元理论和压缩迭代方法(如 Banach 不动点定理)可以建立最优误差估计. 然而, 当 $f$ 非单调时, 标准工具(例如 Céa 引理或基于强单调性的迭代)不再直接适用, 这给数值分析带来本质困难. 最近, [AHW23] 提出了一种基于能量框架的分析途径: 通过引入 $L^2$ 稳定化项(即考虑算子 $-\\Delta + \\lambda^{-1}$)并利用伪时间迭代\n$$-\\Delta u^{n+1} + \\frac{1}{\\Delta t} u^{n+1} = \\frac{1}{\\Delta t} u^n + f(\\cdot, u^n), \\eqno(1.3)$$(可视为 IMEX 格式), 在 $\\Delta t$ 充分小且初始猜测合适时, 能证明迭代在闭子空间(包括有限维 Galerkin 子空间)中弱收敛至弱解; 并且在分级稠密子空间序列上, 极限趋于原问题的一个弱解. 这一框架的关键在于将迭代解释为能量泛函的局部极小化过程, 并利用泛函的弱强制性与一阶变分的 Lipschitz 连续性质.\n然而, [AHW23] 并未涉及先验误差分析, 也未给出任何收敛速度. 本文的目标正是填补这一空白: 在非单调、半线性椭圆问题中, 为分级网格上 $P_1$ 有限元逼近建立完整的先验误差分析, 并证明最优收敛率 $O(h)$ (即 $\\dim(V_N)^{-1/2}$). 此外, 由于区域 $\\Omega$ 为多边形, 可能有凹角导致解在角点附近失去 $H^2$ 正则性, 这需要额外的正则性理论和网格分级策略. 为此, 本文首先在 Kondrat’ev 型加权 Sobolev 空间 $H^2_\\beta(\\Omega)$ 中建立了解的正则性 (Thm 2.4), 从而自然引向在角点附近采用分级网格(源于 [BKP79])以恢复最优逼近阶. 总之, 本文试图将 [AHW23] 的能量迭代框架与多边形区域奇点分析和最优误差估计结合起来, 得到可用于实际计算的理论保证.\n2. 主要定理或主要结果 在假设 $f$ 对第二变量可微且导数满足 $ -\\rho-\\mu_f \\le f_u(x,u) \u003c \\rho $ (对于某个 $\\rho\u003e0$ 和参数 $\\mu_f\\ge 0$) 以及迭代参数 $\\Delta t\\in\\Lambda_f(\\rho)$ 满足稳定性条件 (Asm 3.1) 的前提下, 本文证明了以下主要结果.\n加权正则性 (定理 2.4): 设 $\\Omega$ 的角点 $c_j$ 处内角为 $\\omega_j$, 若权重指数满足 $1 - \\pi/\\omega_j \u003c \\beta_j \u003c 1$, 则问题 (1.1) 的任一弱解 $u$ 均属于 $V\\cap H^2_\\beta(\\Omega)$, 其中 $H^2_\\beta(\\Omega)$ 是以 $\\Phi_\\beta(x)=\\prod_j \\mathrm{dist}(x,c_j)^{\\beta_j}$ 加权的 Sobolev 空间.\n迭代 Galerkin 解的收敛性 (命题 3.4 和定理 3.2): 在一串满足稠密性假设 (Asm 3.3) 的有限元空间 $V_N\\subset V$ 上, 对每个 $N$ 由迭代 (3.7) 生成的序列强收敛(若 $\\dim V_N\u003c\\infty$)到离散 Galerkin 解 $u_N^\\star\\in V_N$, 即\n$$\\int_\\Omega \\nabla u_N^\\star\\cdot\\nabla v \\,dx = \\int_\\Omega f(x,u_N^\\star) v\\,dx \\qquad \\forall v\\in V_N. \\eqno(3.11)$$进而, 将 $u_N^\\star$ 作为下一级 $V_{N+1}$ 迭代的初值, 可提取子列使得 $u_N^\\star$ 强收敛于 $L^2(\\Omega)$ 中并弱收敛于 $V$ 中某个极限 $u$, 且 $u$ 是原问题的弱解.\n最优误差估计 (定理 4.10 及前述讨论): 考虑分级网格 $V_N=S^1(\\Omega,\\mathcal{T}_N)$, 其网格尺寸满足 $h(N)\\sim \\dim(V_N)^{-1/2}$. 根据加权插值估计 (4.3), 有 $\\|\\nabla (v - I_h v)\\|_{L^2(\\Omega)} \\le C_I \\dim(V_N)^{-1/2} \\|v\\|_{H^2_\\beta(\\Omega)}$. 利用此性质, 本文在三种不同的渐近范式下分析了误差 $\\|u - u_N^\\star\\|_{\\Delta t}$. 压缩情形 ($\\rho\\le 1/C_P$): 迭代映射为压缩, 得到拟最优估计 $$\\|u - u_N^\\star\\|_{\\Delta t} \\le C(\\Delta t) \\inf_{v\\in V_N}\\|u - v\\|_{\\Delta t}. \\eqno(4.7)$$ 一般情形: 引入参数 $\\varsigma$ (由 $f_u$ 的渐近行为与区域特征决定, 见 (4.14)) 来刻画扩散项与反应项的主导性. 当 $\\varsigma \u003c 0$ 时, 同样有拟最优估计; 当 $\\varsigma = 0$ 时, 反应项渐近可忽略; 当 $\\varsigma \u003e 0$ 时, 经典方法失效. 此时借助半线性 Aubin-Nitsche 对偶技巧, 在加权空间中证明新存在性与稳定性结果 (利用 Fredholm 理论), 最终确立最优收敛率 $$\\|u - u_N^\\star\\|_{\\Delta t} \\le C \\dim(V_N)^{-1/2}, \\eqno(4.1)$$ 其中常数 $C$ 与 $N$ 无关. 迭代步数的控制 (第5节): 若迭代序列收敛到目标 Galerkin 解, 则在任何固定有限元空间 $V_N$ 上, 可通过有限次迭代使迭代误差小于逼近误差, 从而对任意给定精度达到最优收敛率. 特别地, 在压缩情况 ($\\rho\\le 1/C_P$) 下, 所需迭代次数仅以对数形式依赖于 $\\dim(V_N)$, 即 $n\\sim |\\log (\\dim(V_N))|$. 3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的数值分析建立在 [AHW23] 的能量框架之上, 但将其大幅度推进至完整的误差估计. 其核心障碍在于: 非线性反应项不满足单调性, 使得标准 Galerkin 正交性失效, 且线性对偶问题(即 Aubin-Nitsche 技巧中用到的)的适定性以及解的正则性并非显然. 作者的主要创新点在于:\n参数化范数与能量极小化. 引入内积 $B_\\lambda(u,v)=\\int_\\Omega (\\lambda\\nabla u\\cdot\\nabla v + uv)\\,dx$ 和对应的范数 $\\|\\cdot\\|_\\lambda$, 将迭代改写为 $B_{\\Delta t}(u^{n+1},v) = \\ell_{\\Delta t}(u^n; v)$ (3.2), 其中 $\\ell_\\lambda$ 由 $g_\\lambda(x,u)=f(x,u)+\\lambda^{-1}u$ 生成. 当 $\\lambda\\in\\Lambda_f(\\rho)$ 时, $g_\\lambda$ 关于第二变量是 Lipschitz 连续的, Lipschitz 常数为 $\\sigma_f(\\lambda) \u003c \\rho + 1/\\lambda$, 这为稳定性提供了关键控制. 进一步, 能量泛函的一阶变分 $E'$ 也满足 Lipschitz 估计 (引理 2.3): 对 $\\forall u,v,w\\in V$, $$|\\langle E'(u)-E'(v), w\\rangle| \\le L_{E'}(\\lambda) \\|u-v\\|_\\lambda \\|w\\|_\\lambda, \\qquad L_{E'}(\\lambda)=\\lambda^{-1} + \\theta(\\lambda)\\sigma_f(\\lambda),$$其中 $\\theta(\\lambda)=C_P/(C_P+\\lambda)$ 来自 Poincaré 不等式 (2.3). 这一 Lipschitz 性质是整个分析的基础, 它不要求单调性, 仅依赖于导数 $f_u$ 的有界性 (2.9).\n加权 Sobolev 正则性 (定理 2.4). 由于区域 $\\Omega$ 带凹角, 解通常不在标准 $H^2(\\Omega)$ 中. 作者利用线性椭圆方程在 Kondrat’ev 权函数下的正则性理论 [BG88, BKP79], 并通过非线性项 $f(\\cdot,u)$ 的有界增长 (由 (2.9) 保证 $f(\\cdot,u)\\in L_\\beta(\\Omega)$), 将解的正则性提升到 $H^2_\\beta(\\Omega)$. 这是后续分级网格插值估计的前提.\n分级网格与插值. 针对 $H^2_\\beta(\\Omega)$ 函数, 文献 [BKP79] 设计了角点附近加密的分级网格, 使得线性插值 $I_h$ 在 $H^1$ 半范意义下的误差达到最优阶 $\\|\\nabla(u-I_h u)\\|_{L^2} \\le C_I h \\|u\\|_{H^2_\\beta}$, 同时保持总自由度仍为 $O(h^{-2})$. 该技术被直接用来处理由奇性引起的逼近精度损失.\n区分渐近范式的误差分析. 本文最关键的创新是引入一个有限参数 $\\varsigma$ 来度量扩散与反应的相对强度 (具体定义见 (4.14), 源自能量二阶变分的符号). 根据 $\\varsigma$ 的符号, 分为三类:\n$\\varsigma\\le 0$: 扩散项占优或平衡, 可沿用类似于线性问题的拟最优估计; $\\varsigma \u003e 0$: 反应项占优, 此时 Galerkin 正交性严重缺失. 作者发展了一套 半线性 Aubin-Nitsche 对偶论证: 考虑线性化对偶问题 $$-\\Delta w + \\bar{q} w = u - u_N^\\star \\;\\;\\text{在}\\;\\Omega\\;\\text{内},\\quad w=0\\;\\text{在}\\;\\partial\\Omega,$$ 其中 $\\bar{q}$ 依赖于 $u$ 和 $u_N^\\star$ 的某种平均值. 在 $\\varsigma\u003e0$ 时, $\\bar{q}$ 可能使得该对偶问题有接近零的特征值, 需用 Fredholm 交替定理证明其适定性 (唯一可解) 并建立加权 $H^2_\\beta$ 估计. 这是本文理论难度最高的部分, 文中为此证明了新的存在性与稳定性结果. 一旦对偶解 $w$ 存在且具有足够的正则性, 便可结合分级网格的插值估计将 $L^2$ 误差转化为 $H^1$ 误差, 最终导出最优阶. 迭代与逼近误差的平衡. 由于 Galerkin 解 $u_N^\\star$ 本身并不直接计算, 而是通过迭代极限得到, 实际计算中只能取有限步迭代的近似解. 本文证明了在每一步网格细化时, 只需将上一级 Galerkin 解作为初值 (3.12), 并执行适当多步迭代, 就能使迭代误差小于当前网格的逼近误差, 从而整体误差仍保持最优收敛率. 特别地, 在压缩情形下迭代次数仅以对数增长, 保证了算法的高效性.\n4. 与之前工作的比较 本文在非单调半线性问题的有限元误差分析方面取得了显著推进, 与已有工作相比, 其贡献和限制可概括如下:\n与 [AHW23] 的比较: [AHW23] 提出了基于能量的迭代框架, 并证明了在闭子空间中迭代的弱收敛、在分级稠密子空间序列下极限的弱解性质, 但完全没有涉及误差估计或收敛速度. 本文是该框架的自然延续和重大发展: 首次给出了先验误差分析, 并在一般非单调情况下获得了最优收敛率. 此外, [AHW23] 仅讨论了区域足够光滑(未出现奇性)的情形, 而本文更现实地考虑了多边形区域及其角奇性, 引入了加权 Sobolev 空间和分级网格, 使得理论可以覆盖实际计算中常见的几何奇异问题.\n与单调半线性问题理论的比较: 经典方法(如 [SW25] 或更早的著作)假设反应项的导数 $f_u\\ge 0$ 或有界单调, 从而可用 Céa 引理型估计或强制性质导出拟最优误差界. 本文去除了单调性假设, 允许 $f_u$ 取值在区间 $(-\\rho-\\mu_f, \\rho)$ 内, 这意味着非线性项可以是非单调、非强制甚至局部有负的斜率. 这种一般性带来了实质性挑战, 本文通过稳定化迭代和新的对偶论证克服了这些困难. 相应地, 代价是迭代参数 $\\Delta t$ 必须满足稳定性条件 $\\Delta t\\in\\Lambda_f(\\rho)$, 这在一定程度上限制了伪时间步长的选择, 但与问题的非单调本质相符.\n与 [SW25] 的具体对比: [SW25] 研究了单调半线性椭圆问题在分级网格上的有限元方法, 得到了最优收敛率. 本文可视为该工作的非单调推广, 然而技术路线迥异: [SW25] 直接离散非线性方程并利用单调性分析, 而本文采用迭代线性化策略, 将非线性求解转化为线性步的序列, 从而避免了直接解非线性 Galerkin 方程的困难. 在误差分析上, [SW25] 仍使用某种单调性导出准正交性, 本文则必须发展全新的半线性 Aubin-Nitsche 技巧. 此外, 本文还给出了迭代次数的控制, 这在 [SW25] 中不需考虑.\nAubin-Nitsche 技巧的新应用: Aubin-Nitsche 对偶技巧在线性椭圆问题中是标准工具, 用于从 $H^1$ 误差提升到 $L^2$ 误差. 对于非线性问题, 该技巧通常用于某些特殊结构, 例如在 [Har17] 中用于半线性问题, 但在那里假设解具有完全的 $H^2$ 正则性且非线性项满足较强的条件. 本文将这一技巧移植到加权 Sobolev 空间并结合 Fredholm 理论, 首次处理了多边形角奇性带来的正则性不足, 同时非线性仅要求渐近线性有界且导数有界. 这拓展了该方法的适用范围.\n与直接迭代法的比较: 许多非单调问题可通过 Newton 法或 Picard 迭代求解, 但这些迭代常要求好的初值, 且其收敛性分析复杂, 往往仅给出局部收敛. 本文的 IMEX 型迭代 (1.3) 具有全局收敛性质(在弱强制意义下), 且无须计算雅可比矩阵, 实现简单. 但在 $\\varsigma\u003e0$ 的非压缩区域, 收敛速度可能减慢, 需要额外的迭代步骤, 这与 Newton 法的二次收敛形成对比. 作者明确假定了迭代序列必须收敛到 Galerkin 解才能在有限步内达成精度, 但并未为一般情况提供迭代收缩因子, 这是实用中的一个局限.\n对分级网格理论的贡献: 分级网格的思想起源于 [BKP79] 等, 已广泛用于线性椭圆问题. 本文的贡献在于证明了: 即使迭代解是在加权空间 $H^2_\\beta$ 中, 且非线性是非单调的, 分级网格依然能保证 $P_1$ 元的最优逼近阶; 并且, 通过将能量框架与加权范数结合, 完成了完整的一致性分析. 这为在复杂几何上求解非单调半线性问题提供了一套可靠的理论方案.\n未解决的问题与代价: 本文假设 $f$ 的导数有界 (2.9) 且满足 $\\rho\u003e0$ 的特定约束, 这排除了某些超线性增长或更奇异的情况. 同时, 分析依赖弱强制 (Asm 3.1(ii)), 对于非强制情形(如 $f$ 导致能量无下界) 本文结果不再适用. 此外, 参数 $\\varsigma\u003e0$ 时的对偶论证虽给出最优率, 但常数 $C$ 可能随 $\\varsigma$ 增长而变得巨大, 文中并未定量讨论. 最后, 关于迭代步数的估计仅在压缩情况给出了显式控制, 一般情形仍属于定性保证.\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 一个近似有界上链投影 An Approximate Bounded Cochain Projection\n作者: Marc Gerritsma, Suyash Shrestha\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07457v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07457v1\n摘要翻译 中文标题: 一个近似有界上链投影\n摘要翻译: 本文给出了一个从微分 $k$-形式的无限维希尔伯特复形到有限维分片多项式子复形的投影算子的构造。我们证明，在可缩区域上，所提出的投影算子达到有界上链投影算子的三个性质，即投影算子是幂等的、在索伯列夫范数下一致有界，且与外微分交换。在非可缩区域上，投影算子仍然幂等且一致有界，而交换性质可以满足到任意精度。\n2. 面向参数化系统的紧致有理 Krylov 方法及其在边界元频率扫描中的应用 Compact Rational Krylov for Parametrized Systems with Application to BEM Frequency Sweeping\n作者: Kobe Bruyninckx, Daan Huybrechs, Karl Meerbergen\n类别: math.NA, cs.MS\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07440v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07440v1\n摘要翻译 中文标题: 面向参数化系统的紧致有理 Krylov 方法及其在边界元频率扫描中的应用\n摘要翻译: 在参数化线性系统 $\\mathsf{P}(\\mu)\\mathsf{x}=\\mathsf{b}$ 中，系统矩阵 $\\mathsf{P}$ 非线性地依赖于参数 $\\mu$，需对此参数的许多值求解。我们证明，最初为求解非线性特征值问题而引入的紧致有理 Krylov (CORK) 框架，可用来一次性有效地为该参数化系统在许多参数值下产生近似解。在该方法中，参数化系统首先被线性化，得到一个大型移位线性系统 $(\\boldsymbol{\\mathsf{A}}-\\mu\\boldsymbol{\\mathsf{B}})\\boldsymbol{\\mathsf{y}}=\\boldsymbol{\\mathsf{d}}$。我们针对移位线性系统构造了左、右预条件的有理 Krylov GMRES 方法，并展示了如何在参数化线性系统的背景下利用 CORK 框架加速这些方法。此外，我们展示了如何纳入也依赖于参数的右端项 $\\mathsf{b}(\\mu)$，如何选择移位以控制收敛性，以及如何在迭代过程中允许这些移位处的不精确求解。作为应用，我们考虑通过边界元方法 (BEM) 进行的 Helmholtz 散射问题的“频率扫描”，该方法通过对密集但数据稀疏的波数依赖系统矩阵进行高效表示来实现。\n不相关论文（基本信息） 1. 超越条件数的快速量子线性系统求解器 Faster quantum linear system solver beyond the condition number\n作者: Alexander M. Dalzell, Jianqiang Li, Yuan Su\n类别: quant-ph, cs.DS, math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07691v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07691v1\n摘要: The spectral condition number is a widely adopted measure of worst-case cost for quantum linear system solvers. Yet it can significantly overestimate the actual runtime for a typical problem instance. We present two quantum algorithms that produce the normalized solution $|x\\rangle$ of linear system $Ax=| b \\rangle$ to accuracy $ε$ with complexity independent of the condition number $κ=\\lVert A^{-1}\\rVert$. We focus on the standard input model where $A$ is accessed through a block encoding and $| b \\rangle$ is prepared by a unitary. But we also introduce an affine dilation model that encodes $A$ and $| b \\rangle$ jointly, allowing further refinements of the query complexity. Our truncation-based solver makes an optimal number of queries to $| b \\rangle$ and $\\operatorname{\\mathbf{O}}\\left(κ_{\\mathrm{eff}}\\operatorname{polylog}\\left(\\frac{κ_{\\mathrm{eff}}}ε\\right)\\right)$ queries to $A$. We prove a family of upper bounds on the effective condition number, including $κ_{\\mathrm{eff}}\\leq\\frac{\\lVert(A^\\dagger A)^{-t/2}|x\\rangle\\rVert^{1/t}}{ε^{1/t}}$ for positive even integer $t$ and $κ_{\\mathrm{eff}}\\leq\\frac{\\lVert A^{-1\\dagger}(A^\\dagger A)^{-(t-1)/2}|x\\rangle\\rVert^{1/t}}{ε^{1/t}}$ for positive odd $t$, overcoming the $κ$-barrier. Our filtering-based solver is extremely simple with a favorable runtime prefactor. In particular, the solver has query complexity $6\\frac{\\lVert A^{-1\\dagger}|x\\rangle\\rVert}ε\\ln\\left(\\frac{1}ε\\right)$ to leading order when the solution norm is known. We then present a similarly simple solution norm estimator with the same asymptotic cost up to logarithmic factors. Our quantum linear system solvers thus substantially improve a recent algorithm of Li, enabling faster quantum linear system solving beyond the condition number.\n2. 引导破坏拟合算子：无分类器引导的终端拟合修复 Guidance Breaks the Fitted Operator: A Terminal-Fitted Repair for Classifier-Free Guidance\n作者: Shiheng Zhang\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07665v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07665v1\n摘要: Classifier-free guidance (CFG) is the standard way to strengthen class-conditioning in diffusion and flow-matching samplers, yet at large guidance it oversaturates and destabilizes, symptoms practitioners suppress with more steps or limited-interval schedules. We analyze CFG through an asymptotic-preserving, numerical-analysis lens. Building on a recent result that the deterministic DDIM step is the unique fitted operator for the unguided terminal layer, exact on the final small-sigma stretch of sampling, we show that guidance re-stiffens exactly the discriminative subspace to an anomalous exponent 1+w. DDIM is therefore no longer fitted there, and on coarse meshes its guided residual diverges as sigma_min goes to zero. We prove a guided clock barrier with three ordered step-size thresholds, and read one-step oversaturation as its endpoint: a solver artifact on the calibration model rather than the continuous guided law. The same analysis yields a one-coefficient, zero-extra-NFE repair: replace CFG\u0026rsquo;s w(r-1) by r^(1+w)-r on the guidance direction. On the calibration model\u0026rsquo;s discriminative crossover, this removes CFG\u0026rsquo;s sigma_min-divergent blow-up and is first-order accurate against the exact guided flow as sigma_min goes to zero. On learned CIFAR-10 checkpoints, and as a cross-domain smoke test on Stable Diffusion 1.5 DDIM, it acts as a high-guidance stabilizer at no extra cost rather than a universal quality knob: it cuts residual amplification and saturation, gives 9/9 point-FID wins over CFG on the tested grid, and preserves classifier-proxy target accuracy in the hard-cell blocks. We report the limits alongside: it is not a universal image-quality win, and against a dense vanilla-CFG reference it is not a uniformly better integrator of that field.\n3. 一种基于最优控制的神经网络架构自适应方法及后验误差估计 An optimal control approach for neural network architecture adaptation with a posteriori error estimation\n作者: C G Krishnanunni, Thomas Scott, Tan Bui-Thanh\n类别: cs.LG, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07637v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07637v1\n摘要: This work presents a novel approach for adapting neural network architecture along the depth based on a posteriori error estimation. By formulating neural network training as a continuous-time optimal control problem, we derive rigorous error estimates that quantify how approximation error distributes across network layers. This error decomposition enables a principled depth adaptation strategy: new layers are inserted at locations of maximum estimated error, allowing the network to efficiently capture complex, nonlinear variations in the underlying problem. Our framework introduces a novel network architecture that treats weights and biases as piecewise linear functions varying across layers, with the error estimator bounding the discrepancy between this discrete representation and the true continuous optimal control solution. The approach leverages dual weighted residual methodology from finite element analysis to derive computable upper bounds on the functional error. A key theoretical contribution is the derivation of explicit error bounds that decompose the total approximation error into interval-wise contributions, providing a rigorous basis for targeted architecture refinement. We demonstrate the effectiveness of our method on scientific datasets, including learning the observable-to-parameter map for the Navier-Stokes equation. Numerical results reveal that our approach consistently outperforms existing architecture adaptation methods in terms of generalization performance.\n4. 基于黎曼法坐标的Levenberg-Marquardt方法的高阶几何更新 Higher-Order Geometric Updates for Levenberg-Marquardt Method via Riemann Normal Coordinates\n作者: Jianing Liu, Dong H. Zhang\n类别: cs.LG, math.NA, physics.chem-ph, physics.comp-ph, physics.data-an\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07623v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07623v1\n摘要: Nonlinear least-squares optimization is central to regression, physics-informed neural networks, and other machine-learning tasks. Such problems have a natural geometric interpretation, model predictions form a manifold in data space, while the chosen parameterization can introduce parameter-effects curvature that becomes a dominant source of nonlinearity. This exposes a limitation of the Levenberg-Marquardt (LM) method, its tangent-space step is applied as a straight update in parameter coordinates. Geodesic acceleration gives a second-order correction, but its removal of parameter-effect curvature is exact only in the infinitesimal-step limit. We propose a Riemann-normal-coordinate Levenberg-Marquardt method (RNC-LM) to improve this consistency for finite optimization steps. By reformulating the geodesic equation, RNC-LM extends geodesic acceleration to arbitrary-order corrections and constructs finite-step updates with progressively higher reparameterization consistency. A line search along the resulting RNC curve controls the traveled distance while keeping the cost close to standard LM. The method eliminates the tangential component of residual acceleration order by order in a moving tangent frame, making the actual objective reduction more consistent with the linear model prediction of LM. On classical nonlinear least-squares benchmarks, RNC-LM improves convergence and robustness in curved valleys and rank-deficient problems. On a reaction-diffusion PINN failure-mode benchmark, it reduces the relative L2 error to the order of 1e-3 and recovers a physically meaningful solution. On a large-scale machine-learning potential-energy-surface fitting task, it achieves a 34-fold speedup over standard LM.\n5. 结构引导的高斯网络方法：线性对流-反应方程 Structure-Guided Gauss-Network Method: Linear Advection-Reaction Equation\n作者: Zhiqiang Cai, César Herrera\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07506v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07506v1\n摘要: The least-squares neural network (LSNN) method introduced in [5] for linear advection-reaction equations is capable of accurately approximating discontinuous solutions without a priori knowledge of the interface location. However, the resulting discretization is a non-convex optimization problem that is computationally intensive and complex. In this paper, we propose a structure-guided Gauss-Newton (SgGN) method that alternates between the linear (output) and the nonlinear (hidden layer) parameters. At each outer iteration, the linear parameters are computed by a linear solver, and the nonlinear parameters are updated by a modified Gauss-Newton (GN) method that explicitly removes the singularities of the GN matrix. Numerical experiments for all test problems presented in [5] show that the SgGN method is superior to the Adam optimizer [13], the commonly used first-order optimization algorithm, not only in computational cost but, more importantly, in accuracy\n6. 单对角隐式 Runge-Kutta 方法的显式稳定化实现 Explicit stabilized implementation of singly diagonally implicit Runge-Kutta methods\n作者: Ibrahim Almuslimani, Gilles Vilmart, Konstantinos Zygalakis\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07497v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07497v1\n摘要: Implicit methods are a natural approach for the integration of stiff differential equations, to avoid time-step restrictions faced by standard explicit integrators. Explicit stabilised integrators are an alternative to implicit methods, which can be particularly efficient in high-dimensional applications with diffusive terms. Towards the best of both worlds, we introduce a new explicit stabilised implementation of a class of diagonally implicit Runge-Kutta methods. This allows us to implement high-order singly-diagonally-implicit Runge-Kutta methods for advection-diffusion-reaction PDEs with a provable computational cost analogous to that of standard explicit stabilised methods. The main ingredient is to recast the implicit Runge-Kutta update as the steady state of a modified auxiliary system, which is then computed using a partitioned Runge-Kutta-Chebyshev method inspired by optimisation techniques.\n7. 协调有限元的黑盒多层代数预处理框架 A black-box, multilevel algebraic preconditioning framework for conforming finite elements\n作者: O. A. Krzysik, B. S. Southworth, G. A. Wimmer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07485v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07485v1\n摘要: Recently we introduced the least-squares algebraic-multigrid domain-decomposition (LS-AMG-DD) method as a multilevel, algebraic preconditioner for sparse symmetric positive definite (SPD) matrices that admit a Gram representation (A=G^{\\top}G) \\cite{southworth2026lsamgdd}. The factor (G) induces a local symmetric positive semidefinite (SPSD) splitting of (A) used to define local spectral problems from which an interpolation $P$ is built, and a coarse-level Gram operator induced under Galerkin coarsening, (A_c=G_c^\\top G_c), for (G_c:=GP). This paper clarifies when this Gram structure arises, showing that, on a prescribed degree-of-freedom cover ({\\cal C}), a ({\\cal C})-local Gram representation of $A$ exists if and only if (A) admits a ({\\cal C})-local SPSD splitting. We then connect this viewpoint to conforming finite-element discretizations, where bilinear forms are naturally assembled from elementwise SPSD energies and therefore admit element-local Gram representations after choosing local factors (e.g., via algebraic factorizations of element blocks). Taken together, these observations provide an essentially black-box route for applying LS-AMG-DD to conforming finite-element problems. Numerical tests illustrate the robustness of the method on several problems for which classical AMG methods require more than $10^5$ iterations to converge, including high-order discretizations of grad\u0026ndash;div in (\\hdiv), anisotropic hyperdiffusion in $H^2$, and linear elasticity in vector (H^1). Moreover, in some comparisons with existing AMG methods, LS-AMG-DD produces errors that are 2\u0026ndash;5 orders of magnitude smaller, even when all methods are stopped at the same relative residual tolerance.\n8. 基于外推法的单辅助量子比特量子微分方程求解器的电路深度缩减 Circuit Depth Reduction of One-Ancilla Quantum Differential Equation Solver via Extrapolation\n作者: Di Fang, Justin Park\n类别: quant-ph, math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07389v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07389v1\n摘要: Solving linear differential equations is a fundamental task in scientific computing and an important primitive for quantum computing. A recent one-ancilla quantum differential equation solver provides a hardware-friendly and locality-preserving approach with provable performance guarantees, making it highly suitable for the early fault-tolerant and near-term regimes. Its simple circuit structure comes with a natural trade-off: the maximum single-run circuit depth scales as $O (1/ε)$ in the target accuracy $ε$. In this work, we reduce this depth by combining the solver with classical step-size postprocessing. By running the one-ancilla solver at a logarithmic number of finite time step sizes and using classical post-processing to cancel leading discretization errors, we reduce the maximum single-run circuit depth to $O(\\mathrm{polylog}(1/ε))$ without adding quantum ancillae or sacrificing locality. Technically, extending extrapolation ideas beyond Hamiltonian and Lindbladian dynamics requires regularity estimates for observable maps under nonunitary evolution, which we obtain through a holomorphic extension of the adjoint evolution. Numerical experiments on the Hatano-Nelson model (ODE) and the convection-diffusion equation (PDE) demonstrate the effectiveness of the approach.\n9. JAX-FVM: 一种用于可压缩流的非结构网格上可微、熵稳定的有限体积求解器 JAX-FVM: A differentiable, entropy-stable finite volume solver on unstructured meshes for compressible flows\n作者: Guillaume de Romémont\n类别: math.NA, cs.MS\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07385v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07385v1\n摘要: We present JAX-FVM, an open-source, fully differentiable finite volume method (FVM) for the two-dimensional compressible Euler and Navier-Stokes equations on unstructured triangular meshes. The solver is written entirely in JAX, so that every operation : mesh connectivity, flux evaluation, slope limiting, and time integration is just-in-time compiled, vectorised, and end-to-end differentiable through automatic differentiation (AD), and runs transparently on CPU or GPU. On the numerical side, JAX-FVM is built around an entropy-conservative Tadmor/Ismail-Roe two-point flux supplemented with entropy-variable Rusanov or Roe dissipation, second-order MUSCL reconstruction of primitive variables with least-squares gradients and Venkatakrishnan limiting, and a family of explicit (RK2-4) and matrix-free implicit (Newton, SDIRK2) time integrators whose Jacobian actions are obtained by AD. The combination of an unstructured-mesh compressible FVM with end-to-end differentiability fills a gap left by existing differentiable CFD frameworks, which are almost exclusively restricted to structured grids or spectral discretisations. We describe the governing equations, the discretisation, the software architecture, and a set of standard verification cases. The code is openly available at https://github.com/guigzair/jax_fvm.\n10. POO-LPSP：用于层次分析法优先级推导的并行鱼鹰优化最小惩罚平方优先化方法 POO-LPSP: Parallel Osprey Optimized Least Penalty-Squared Prioritization Methods for Priority Derivation in the Analytic Hierarchy Process\n作者: Kevin Kam Fung Yuen\n类别: math.OC, cs.AI, cs.DC, math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07313v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07313v1\n摘要: Pairwise comparison (PC) via pairwise reciprocal matrices (PRMs) is central to the Analytic Hierarchy Process (AHP). Although the traditional eigenvector method is widely applied to derive priorities, its theoretical robustness in reflecting true priority vectors remains debated. Building upon a previous iteration of this study, this research develops the revised Least Penalty-Squared Prioritization (LPSP) optimization models, including the revised Least Product of Penalty and Direct Squares (LPPDS) and revised Weighted Squares (LPPWS), to minimize the revised Root Mean Penalty-Squared Variance (RMPSV) and the revised Root Mean Penalty-Weighted Square Variance (RMPSWV). However, solving these non-linear formulations is computationally complex for decision-makers. To overcome these limitations, this study proposes the Parallel Osprey Optimized Least Penalty-Squared Prioritization (POO-LPSP) method. By integrating an improved bio-inspired metaheuristic Parallel Osprey Optimization Algorithm (POOA), this framework efficiently solves complex LPSP models to minimize RMPSV and RMPSWV, thereby enhancing prioritization reliability. The practical utility and computational efficiency of the POO-LPSP method are validated through a numerical application focusing on a Generative AI (GAI) vendor selection problem. To extend, POO-LPSP can serve as a robust alternative to Saaty\u0026rsquo;s Eigen system method for AHP applications.\n11. 基于Carleman估计的衰减介质中光声成像向后问题的稳定性 The Stability of the Backward Problem for Photoacoustic Imaging in Attenuating Media via Carleman Estimates\n作者: Qihang Chen, Zhiyuan Li, Song Xu\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07244v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07244v1\n摘要: This paper investigates the backward problem in time for photoacoustic tomography (PAT) in attenuating media. It is well-established that photoacoustic imaging in attenuating media can be accurately modeled by spatial fractional-order damping. This inverse problem is ill-posed in the sense of Hadamard. In this work, we construct a novel class of Carleman estimates independent of spatial variables, and by virtue of these estimates, we establish conditional stability estimates for this problem for the first time. Building upon this, we propose a Tikhonov-type regularization functional and derive its associated adjoint system. Furthermore, leveraging the established conditional stability results, we derive the convergence rate of the proposed regularization approach. Finally, we validate the effectiveness of our theoretical findings through extensive numerical experiments.\n12. 一种具有多重离散层的非协调三角网格生成框架 A framework for generating nonconforming triangular meshes with multiple discretization layers\n作者: I. L. Semenov, M. M. Becker\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07242v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07242v1\n摘要: We present a framework for generating nonconforming triangular meshes with multiple discretization layers. The framework exploits characteristic structural properties of meshes produced by a frontal Delaunay algorithm with uniform element size. The bulk region of such meshes exhibits a structured pattern resembling a regular triangular lattice. Owing to this structure, the bulk region can be coarsened by grouping elements into connected subsets of larger composite elements. When applied repeatedly, this procedure produces a mesh with multiple discretization layers. For complex geometries, the framework can be used to create composite multidomain meshes, where multiple discretization layers are generated within each subdomain. We present examples of meshes generated by the proposed framework and discuss postprocessing strategies for their refinement and coarsening. The resulting meshes are well suited for the application of adaptive mesh refinement techniques. The proposed framework can be readily integrated with existing mesh generators and finite-element solvers that support nonconforming triangular meshes.\n13. 广义有限差分法的优化模板策略：应用于稳态非线性问题 Optimized Stencil Strategy for the Generalized Finite Difference Method: Application to Steady-State Non-Linear Problems\n作者: Stéphane Clain, Jorge Figueiredo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07165v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07165v1\n摘要: We propose an optimized stencil strategy for the Generalized Finite Difference Method (GFDM) applied to non-linear problems. We take advantage of the flexibility of GFDM to engineer specific stencils by agglomerating nodes and balancing size with numerical accuracy. Previous work, focusing on the stencil construction for the linear convection-diffusion problem, showed that optimizing stencils and scaling parameters improves the scheme. The present study aims to investigate similar benefits for non-linear problems such as the Burgers\u0026rsquo; equations and the weakly compressible Navier-Stokes system.\n14. 常微分方程的混合精度显式数值方法 Mixed precision explicit numerical methods for ordinary differential equations\n作者: M Al Sayed Ali, S Bernard, A Marzorati, J Rouzaud-Cornabas\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07080v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07080v1\n摘要: Our objective is to solve large systems of ordinary differential equations (ODEs) commonly used to model biological processes. These equations are typically nonlinear, complex, and high-dimensional. In computational biology, such ODEs are generally solved using numerical methods. In this work, we focus on explicit numerical methods because of their flexibility. However, their limited stability regions may result in high computational costs. To mitigate this issue, we investigate mixed precision algorithms designed to reduce computational effort by performing selected parts of the numerical method in lower arithmetic precision. We develop several mixed precision explicit methods and assess their performance on two large scale biological benchmark ODE models. Our theoretical analysis highlights the effectiveness of partially reducing arithmetic precision within explicit methods. Numerical experiments demonstrate that our mixed methods-implemented in both sequential and parallel versions using MPI-combining single (float) and double precision arithmetic can achieve up to twice the speed of a fully double precision implementation while preserving the same level of accuracy. Furthermore, the results indicate that decreasing the timestep improves the performance and robustness of our mixed methods, while the single precision method fails to converge.\n15. 多孔介质中扩散释放的拓扑特征 Topological Signatures of Diffusive Release in Porous Media\n作者: Donghan Kim\n类别: cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07061v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07061v1\n摘要: We used persistent homology to quantify the multiscale topological and geometric organization of porous media, including solid connectivity and the formation of loop-like and cavity-like structures across spatial scales. Through statistical analysis, we show that these topological and geometric features are closely associated with diffusion-driven release behavior in porous media. In particular, even within each target-porosity level, samples with richer topological features tend to exhibit long-tailed release, indicating that release behavior depends not only on the amount of pore space but also on the multiscale organization of the solid phase. We further show that persistent homology-based features can classify release-curve regimes using a simple classification model. Notably, feature extraction is substantially faster than finite element diffusion simulations. Together, these results suggest that persistent homology provides a lightweight, interpretable, and geometry-based descriptor for screening diffusive release behavior in porous media.\n16. 不可压缩电阻性MHD自由表面流精确扩散界面模型的数值解 Numerical solutions of an accurate diffuse interface model of the incompressible resistive MHD free surface flow\n作者: Maojun Li, Jiancheng Wang, Zeyu Xia, Liwei Xu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07025v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07025v1\n摘要: In this paper, we derive a new model to simulate the incompressible resistive magnetohydrodynamic (MHD) free surface flow. A thermodynamically consistent diffuse interface method is adopted to characterize the moving interface in the modeling process. The formal convergence of the proposed MHD free surface flow model to the sharp interface model is established via a matched asymptotic argument, and the model can be solved without the need for sophisticated free surface capturing schemes. We design a fully decoupled linear finite element scheme that preserves the divergence-free constraint of the magnetic field at a discrete level. The reliability and robustness of the proposed model and algorithm are validated through numerical investigations of the magnetic damping effect on bubble dynamics. In particular, we provide a quantitative numerical comparison of the present results with those obtained from an inductionless MHD model and a sharp interface arbitrary Lagrangian\u0026ndash;Eulerian model.\n17. 基于半张量积与t-乘积的张量方程 $\\mathcal{A} \\ltimes \\mathcal{X} \\ltimes \\mathcal{B}= \\mathcal{C}$ 的解分析 Solution Analysis of Tensor Equation $\\mathcal{A} \\ltimes \\mathcal{X} \\ltimes \\mathcal{B}= \\mathcal{C}$ via Semi Tensor Product with t-product\n作者: Bhawna Garg, Ranjan Kumar Das\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.07006v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.07006v1\n摘要: This paper focuses on the analysis of the tensor equation $\\mathcal{A\\ltimes X\\ltimes B=C}$, formulated via the semi tensor product with t-product. For the unknown vector $\\mathcal{X}$, we establish a necessary and sufficient condition that provides an equivalence criterion for the existence of solutions. For matrix valued and higher-order tensor valued unknown $\\mathcal{X}$, solvability is determined by corresponding compatibility requirements. Moreover, the explicit structure (Toeplitz and Circulant) of $\\mathcal{C}$ is characterized. The derived results are supported by several illustrative examples.\n18. 用于MIONets的混合最小二乘/梯度下降方法 Hybrid Least Squares/Gradient Descent Methods for MIONets\n作者: Jun Choi, Chang-Ock Lee, Minam Moon\n类别: cs.LG, cs.AI, math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.06976v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06976v1\n摘要: In this paper, we propose an efficient hybrid least squares/gradient descent (LSGD) method for MIONets to accelerate training. This method generalizes the LSGD method for DeepONets. Since MIONet is the sum of the entrywise product of multiple branch networks and a trunk network, it can be viewed as a multilinear function with respect to the last layer parameters of each branch network. These sets of parameters can be optimized using the alternating least squares method, where we solve the LS system for a single branch network in turn. To handle the large-sized system matrix, we introduce Kronecker and Khatri-Rao products and tensor permutation matrices to factor the large matrix into small ones. Our method is compatible with a general type of $L^2$ loss with regularization terms for the last layer parameters of each branch, where linear operators can be applied to the MIONet output in each loss term.\n19. RPLSS: 一种随机投影线性方程组求解器 RPLSS: A randomized projected linear systems solver\n作者: Meng-Long Xiao, Tao Li, Deanna Needell\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.06917v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06917v1\n摘要: The projected linear system solver (PLSS), by incrementally appending columns to a random or deterministic sketching matrix, provides an attractive finite termination property for consistent linear systems. Nevertheless, a critical computational bottleneck of PLSS is accessing the whole coefficient matrix per iteration, making it prohibitive for extremely large-scale problems or applications with missing data. To alleviate this limitation, we propose a unified randomized PLSS (RPLSS) framework, built upon the tailored randomized row or column selection strategies that require only partial matrix information per iteration, for solving a general linear system, whether it is under- or overdetermined, and whether it is consistent or not. Within this framework, we develop a randomized Gaussian Kaczmarz method and its extended variant as row-action solvers, and randomized coordinate descent variants as column-action solvers. Theoretically, we prove that our methods inherit the finite termination property of PLSS, while achieving an exponential convergence rate, overcoming the sluggish convergence inherent in conventional randomized Kaczmarz and coordinate descent methods. Numerical experiments demonstrate the superiority of our method against state-of-the-art randomized methods, particularly in scenarios with large missing data.\n20. 基于纯伪应力格式的弹性特征值问题免锁混合有限元法 A locking free mixed FEM based on a pure pseudostress based formulation for the elasticity eigenproblem\n作者: Arbaz Khan, Felipe Lepe, Jesus Vellojin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.06890v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06890v1\n摘要: We analyze a novel locking-free mixed formulation for the elasticity eigenvalue problem in both two and three dimensions, expressed exclusively in terms of the pseudostress tensor. An important feature of this formulation is that it does not require the enforcement of symmetry, either in a weak or strong sense. The displacement of the structure is recovered via a postprocess of the computed pseudostress. We introduce a mixed finite element method based in the tensorial version of the standard families of finite elements to discretize the space $\\boldsymbol{\\mathcal{H}}(\\bdiv)$. We prove convergence and a priori error estimates under the theory of non-compact operators. Additionally, we perform an a posteriori error analysis for the problem, proving reliability and efficiency of the proposed indicator. We validate our theoretical results with numerical tests on different geometrical and physical configurations.\n21. NVIDIA Tensor Cores上的多重双精度算术 Multiple Double Arithmetic on NVIDIA Tensor Cores\n作者: Howard Chen, Jan Verschelde\n类别: cs.MS, cs.DC, math.NA\n发布日期: 2026-07-08\narXiv ID: 2607.06881v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06881v1\n摘要: A multiple double is an unevaluated sum of doubles. An NVIDIA tensor core is a specialized high performance compute core for matrix multiplication. The Ampere A100, released in 2020, introduced tensor cores capable of 64-bit floating-point arithmetic. Every multiple double arithmetical operation requires renormalization, which involves branching, for which tensor cores are unsuited. To solve this problem caused by renormalization, we apply a solution similar to the Ozaki scheme [Ozaki et al, Numerical Algorithms, 2012]. Our software is available under the GPU GPL license on github.\n22. 关于重用最后一级的Runge–Kutta方法的阶 On the order of Runge Kutta methods reusing last stage\n作者: Manuel Calvo, Juan I. Montijano, Luis Rández\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06788v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06788v1\n摘要: In this paper we consider explicit Runge\u0026ndash;Kutta (RK) methods for the numerical solution of Initial Value Problems (IVPs) in differential equations in which the last function evaluation in a step is reused, substituting the first evaluation for the next step. This requirement implies that, except for the first step, the computational cost of an $s$\u0026ndash;stage explicit RK method reduces from $s$ to $(s-1)$ function evaluations per step. It will be seen that, in general, if a RK method has order $p$, when introducing this reused stage the new method has in general order $","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-09_10-48-49/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月09日 10:48:49\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 23\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-非单调半线性扩散-反应方程的迭代有限元逼近\"\u003e1. 非单调半线性扩散-反应方程的迭代有限元逼近\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eIterative finite element approximation of non-monotone semilinear diffusion-reaction equations\u003c/p\u003e","title":"2026年07月09日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月08日 10:03:22\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 7\n不相关论文数量: 21\n重点关注论文（完整分析） 1. WaveHoltz 非均匀多尺度方法 The WaveHoltz Heterogeneous Multiscale Method\n作者: Amit Rotem, Olof Runborg, Daniel Appelö\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.05811v1\n摘要翻译: 我们考虑在具有快速变化系数的材料中，波方程带有时间谐波源的数值解。对于这类问题，直接离散化的代价过高，转而使用多尺度方法。已有若干直接在频域中离散化的多尺度方法。在本文中，我们从时域出发，将波方程的有限差分非均匀多尺度方法（HMM）与 WaveHoltz 方法相结合。每次 WaveHoltz 迭代都将波方程推进到时间周期的 Helmholtz 解。WaveHoltz 方法相对于传统 Helmholtz 求解器的优势直接传递到了这里考虑的多尺度问题中。此外，由于时域求解器不会在微观问题上人为施加边界条件，因此在均匀化的频域解中不存在由微观问题带来的边界误差。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.05811v1\n1. 研究对象和背景 本文研究具有快速变化系数的 Helmholtz 方程\n$$ \\nabla \\cdot (a^\\varepsilon(x) \\nabla u) + \\omega^2 u = b(x), \\quad x \\in \\Omega, $$并考虑 Dirichlet 或 Neumann 边界条件，其中计算域 $\\Omega \\subset \\mathbb{R}^d$ ($d=1$ 或 $2$) 是有界光滑单连通区域，$b \\in L^2(\\Omega)$ 不依赖于 $\\varepsilon$，频率 $\\omega$ 假定非共振。系数 $a^\\varepsilon(x)$ 是一致有界且正定的标量函数，其最小尺度 $\\varepsilon$ 远小于解的波长 $\\propto \\lVert \\sqrt{a^\\varepsilon} \\rVert_{L^\\infty} / \\omega$，即介质具有快速振荡特征。\n在此类多尺度问题中，直接对整个区域进行足够精细的离散将导致计算代价过高，因此需要采用均匀化或多尺度数值方法。经典的均匀化理论表明，当 $a^\\varepsilon$ 满足尺度分离条件时，真解 $u$ 可按 $\\varepsilon$ 展开为\n$$ u(x) = \\bar u(x) + \\varepsilon u_1(x, x/\\varepsilon) + O(\\varepsilon^2), $$其中零阶项 $\\bar u$ 不依赖于 $\\varepsilon$。特别地，若 $a^\\varepsilon(x) = a(x, x/\\varepsilon)$ 关于快变量 $x/\\varepsilon$ 周期，则 $\\bar u$ 满足均匀化方程\n$$ \\nabla \\cdot (\\bar a(x) \\nabla \\bar u) + \\omega^2 \\bar u = b(x), \\quad x \\in \\Omega, $$其中均匀化系数 $\\bar a(x)$ 不再快速变化，从而可在远大于 $\\varepsilon$ 的网格上求解。在许多应用中，$\\bar u$ 可作为 $u$ 的高精度近似，且计算量大幅降低。\n然而，直接对均匀化方程离散需要预先知道 $\\bar a$；当 $a^\\varepsilon$ 仅依赖于快变量 $a(x/\\varepsilon)$ 时，$\\bar a$ 可通过求解带有周期边界条件的 cell 问题得到。当系数同时依赖于慢变量和快变量 $a(x, x/\\varepsilon)$ 时，cell 问题与慢变量耦合，增加了均匀化的难度。更一般地，数值均匀化方法的目标是在无需显式构造 $\\bar a$ 的情况下有效逼近 $u$，并放宽对系数周期性的严格假设。\n已有的数值均匀化方法包括多尺度有限元方法 (MsFEM)、广义多尺度有限元方法 (GMsFEM)、局部正交分解 (LOD) 以及异构多尺度方法 (HMM)。这些方法在处理椭圆型方程时已取得显著成功，但对 Helmholtz 方程这类非强制、非正定的问题仍面临额外困难：方程在共振频率处可能不适定，且常用的强制椭圆型先验估计不再成立。在频率域中，MsFEM 通过求解局部边值问题构造多尺度基函数，但必须引入人工边界条件，由此产生的边界误差常需使用过采样技术补偿。LOD 利用插值算子的核构造局部化多尺度空间，误差随过采样区域半径指数衰减，但仍需在整个区域上求解局部问题。HMM 则利用了尺度分离假定，通过局部微观模拟隐式逼近均匀化算子，并通过稀疏的微尺度求解获得宏观通量；但其在 Helmholtz 方程上的应用较少，且局部问题的截断同样引入近似误差。\n另一方面，WaveHoltz 方法将时谐 Helmholtz 方程的求解转化为一个时间域波方程上的不动点迭代：\n$$ w_{tt} = \\nabla \\cdot (a(x) \\nabla w) + f(t, x), \\quad w(x, 0) = v^{(\\ell)}(x), \\quad w_t(x, 0) = 0, $$其中 $f(t, x) = -b(x) \\cos(\\omega t)$，然后通过时间滤波\n$$ v^{(\\ell+1)} = \\Pi v^{(\\ell)} = \\frac{2}{T} \\int_0^T \\left( \\cos(\\omega t) - \\frac{1}{4} \\right) w(x, t) \\, dt, $$构造迭代序列。当 $\\omega$ 非共振时，该迭代收敛到 Helmholtz 方程的解。WaveHoltz 方法的主要优势在于：波方程的有限传播速度避免了人造边界条件的需要；时间推进中使用的矩阵通常是对称正定的，从而可借助共轭梯度法等高效加速收敛。\n本文的目标是填补以下空白：将 WaveHoltz 迭代框架与针对波方程的 HMM 相结合，发展一种无需显式知道 $\\bar a$、可继承上述优势的 Helmholtz 方程数值均匀化方法。与已有的频率域多尺度方法不同，该方法在时域中进行微尺度模拟，从而彻底消除微尺度问题中的非物理边界条件误差。\n2. 主要定理或主要结果 本文针对一维周期系数情形给出了严格的收敛性分析，主要结果如下。\n假设 $a^\\varepsilon(x) = a(x/\\varepsilon)$ 是 $\\varepsilon$-周期的，且宏观网格步长 $H$ 是 $\\varepsilon$ 的整数倍，微观求解区域半长 $\\eta = \\tau$。设 $\\omega$ 非共振，即至最近共振距离\n$$ \\delta = \\min_{j = 1,\\dots, M_x} \\bigl\\lvert \\omega - \\sqrt{\\bar a}\\lambda_j \\bigr\\rvert \u003e 0, $$其中 $-\\lambda_j^2$ 是离散 Laplacian $D^2$ 的特征值，且 $\\omega \\ge 1$，$H\\omega \\le \\sqrt{\\bar a}$，以及微观-宏观逼近误差满足 $\\lvert\\bar a - \\alpha\\rvert / \\bar a \\le 1/2$，这里 $\\alpha$ 是 HMM 局部通量平均给出的近似均匀化系数。\n定理 3.1 (离散近似误差). 令 $\\bar u_h$ 为均匀化方程 (3.3) $(\\bar a D_- D_+ \\bar u_h + \\omega^2 \\bar u_h = b)$ 的解，$v_h$ 为 WaveHoltz HMM (WHMM) 迭代的不动点，即满足\n$$ D_- \\bar A D_+ v_h + \\omega^2 v_h = b, $$其中 $\\bar A = \\operatorname{diag}(\\alpha_{1/2}, \\dots, \\alpha_{M_x+1/2})$，且在一维周期设定下有 $\\alpha_{j+1/2} \\equiv \\alpha$。则成立如下误差估计：\n$$ \\lVert \\bar u_h - v_h \\rVert_H \\le \\frac{C_1}{\\delta^2} \\left( \\frac{\\varepsilon}{\\eta} \\right)^q \\lVert b \\rVert_H, ) ]\n$$ \\lVert \\bar u_h - v_h \\rVert_H \\le \\frac{C_2}{\\omega^2 \\delta^2} \\left( \\frac{\\varepsilon}{\\eta} \\right)^q \\lVert D^2 b \\rVert_H, $$其中 $\\lVert \\cdot \\rVert_H$ 为离散 $L^2$ 范数 $\\lVert f \\rVert_H = (H \\sum f_j^2)^{1/2}$，$q$ 取决于所用局部平均核 $K \\in \\mathcal{K}_{p,q}$ 的消失矩阶数，常数 $C_1, C_2$ 与 $\\varepsilon, \\eta, H, \\omega$ 无关。\n此外，虽然文中定理 3.3 的内容未全部给出，但据其上下文，它进一步将 $v_h$ 与连续均匀化解 $\\bar u$ 的误差归结为两项之和：有限差分截断误差与 HMM 均匀化系数的逼近误差，最终可得到形如 $\\lVert v_h - \\bar u \\rVert_{H^2_\\kappa}$ 的显式估计，其中 $H^2_\\kappa$ 为按物理波数 $\\kappa = \\omega/\\sqrt{\\bar a}$ 加权的 $H^2$ 范数。\n方法的关键性质包括：\n均匀化系数 $\\alpha$ 可通过离线计算得到（命题 2.1），其逼近精度为 $\\lvert \\alpha - \\bar a \\rvert \\le C_{a,q} [(\\varepsilon/\\eta)^q + (\\varepsilon/\\tau)^q]$，且常数独立于 $\\varepsilon, \\eta, \\tau$。 离散 WaveHoltz 算子 $\\Pi_h$ 的不动点 $v_h$ 即为离散 Helmholtz 方程的解（命题 2.2），且迭代在稳定时间步长下收敛。 在更高维情况下，若使用交错网格离散，宏观矩阵 $D_- \\bar A D_+$ 保持对称正定，从而可使用共轭梯度法加速迭代。 以上结果表明 WHMM 能够以与 $\\varepsilon$ 无关的宏观自由度获得高精度均匀化解，逼近阶由核的消失矩阶数 $q$ 控制。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术创新在于将时间域的异构多尺度方法与 WaveHoltz 迭代有机整合。证明中面临的主要障碍有：① 如何将多尺度模拟得到的近似通量无缝嵌入到 WaveHoltz 循环中，并保证迭代的收敛性与精度；② 如何克服 Helmholtz 方程的非强制性带来的稳定性困难，从而获得非共振假设下的最优误差估计。作者的分析框架和关键工具如下。\n1. 基于局部平均核的时域 HMM 通量重构 微尺度问题在每个宏观单元界面 $X_{j+1/2}$ 处独立求解，初始条件由宏观解线性插值 $P_{j+1/2}$ 给出。在局部域 $[-\\eta, \\eta] \\times [-\\tau, \\tau]$ 上求解原始波动方程后，通量 $F_{j+1/2}$ 通过带核的时空平均获得：\n$$ F_{j+1/2} = \\frac{1}{\\eta \\tau} \\int_{-\\tau}^{\\tau} \\!\\!\\int_{-\\eta}^{\\eta} K(x/\\eta) K(t/\\tau) \\, a^\\varepsilon(X_{j+1/2} + x) \\frac{\\partial w}{\\partial x} \\, dx \\, dt. $$核 $K \\in \\mathcal{K}_{p,q}$ 具有 $q$ 阶连续导数、紧支于 $[-1, 1]$ 且前 $p$ 阶矩为零。其作用是在微观模拟的有限窗口内投影掉快尺度振荡，使得均匀化系数的逼近达到高阶多项式精度 $O((\\varepsilon/\\eta)^q + (\\varepsilon/\\tau)^q)$。值得注意的是，波方程的有限传播速度确保了微观区域按照依赖域 $[-\\hat \\eta, \\hat \\eta]$（其中 $\\hat \\eta = \\eta + \\tau \\lVert \\sqrt{a^\\varepsilon} \\rVert_{L^\\infty}$）自然截断，无需施加任何人工边界条件，彻底消除了传统多尺度方法中微尺度边界误差的困扰。\n2. 修正的离散 WaveHoltz 迭代与不动点理论 将上述 HMM 近似通量的线性关系 $F_{j+1/2} = \\alpha_{j+1/2} P_{j+1/2}$ 代入宏观波动方程的半离散格式，得到线性系统\n$$ \\frac{d^2 \\bar w}{dt^2} = D_- \\bar A D_+ \\bar w - b \\cos(\\omega t). $$时间方向采用改进的蛙跳格式，引入参数 $\\theta = \\frac{\\sin(\\omega K/2)}{\\omega/2}$ 以保证纯时间调和解的精确再现。离散滤波算子定义为\n$$ \\Pi_h v^{(\\ell)} = \\frac{2}{M_t} \\sum_{n=0}^{M_t-1} \\left( \\cos\\left(\\frac{2\\pi n}{M_t}\\right) - \\rho_0 \\right) \\bar w^n, $$其中 $\\rho_0 = \\frac14 - \\frac14 \\tan^2\\frac{\\omega K}{2}$ 为修正后的滤波系数，确保离散迭代收缩。命题 2.2 借助 WaveHoltz 的已有结果 [9, 39, 38] 证明了不动点 $v_h = \\Pi_h v_h$ 的存在唯一性，且它恰为离散 Helmholtz 方程 $D_- \\bar A D_+ v_h + \\omega^2 v_h = b$ 的解。迭代的收敛性依赖于频率 $\\omega$ 与离散算子特征值之差的严格正下界 $\\delta$。\n3. 误差分析的关键估计 为导出定理 3.1，作者首先建立逼近系数 $\\alpha$ 与真实 $\\bar a$ 的偏差对解的影响。设 $\\bar u_h$ 是使用精确 $\\bar a$ 的离散均匀化解，将 $v_h$ 看作 $\\bar u_h$ 加扰动，通过 Helmholtz 算子的稳定性引理（Lemma 3.5）控制扰动传播。引理的核心是：在非共振条件下，离散 Helmholtz 算子 $\\bar a D_- D_+ + \\omega^2 I$ 的逆有界，且范数由 $1/\\delta$ 决定。再结合离散 Sobolev 不等式和插值误差界，最终将 $\\lVert v_h - \\bar u_h \\rVert_H$ 归结为 $\\lvert \\alpha - \\bar a \\rvert$ 的 $q$ 阶小量。\n至于 $v_h$ 与连续 $\\bar u$ 的误差，文中指出利用标准有限差分离散误差和上述逼近误差的三角分解即可得到定理 3.3 所述估计，具体证明虽未全文给出，但推理路线遵循 HMM 分析的典型范式。\n4. 离线均匀化系数计算与算法加速 文中还提出，利用线性特性和时间无关性，可离线求解微观问题一次而得到 $\\alpha$，此后所有 WaveHoltz 迭代均直接使用该常数矩阵 $\\bar A$，避免重复微观计算。对于周期系数，均匀化后 $\\bar a$ 为常数，只需计算一个标量；对于更快或更复杂的系数，可逐点计算并存储 $\\alpha_{j+1/2}$。这一离线策略显著降低了整体计算量。\n4. 与之前工作的比较 与既有文献相比，WHMM 在以下多个维度上展现出实质性的改进或差异。\n1. 与频率域多尺度方法的区别 常见的 Helmholtz 方程多尺度方法（如 MsFEM、GMsFEM、LOD 以及部分 HMM 工作）直接在频率域离散。为构造多尺度基或计算局部通量，必须在局部子域上施加某种人工边界条件（如 Dirichlet、Neumann 或周期），由此引入不可避免的边界层误差。这些方法通常需通过扩大过采样区域或使用吸收层来抑制误差，增加了实现复杂度和计算代价。例如，MsFEM 需仔细设计过采样区域来缓解边界污染；LOD 方法的误差虽随过采样半径指数衰减，但基函数中的局部问题仍依靠人工边界截断。而 WHMM 从时间域波方程出发，利用信息以有限速度传播的物理性质，自然地将微观计算区域限制在依赖域内，域外无需任何边界条件，因而微观问题完全无人工边界误差。这是该方法相对于频率域多尺度方法的一个核心优势。\n2. 与传统 HMM 的对比 传统 HMM 已在椭圆型方程和抛物型方程中广泛应用，其思想是假定已知均匀化方程的形式，并通过局部细网格模拟逼近通量。针对波方程，已有的 HMM（例如 [24]）能够在时域中求解宏观波方程，但并未涉及频域 Helmholtz 方程的求解。WHMM 将时域 HMM 与 WaveHoltz 迭代结合，巧妙地将多尺度波方程求解器嵌入到一个求解 Helmholtz 方程的迭代框架中。这样做既保留了 HMM 对微尺度信息的压缩能力（通过核平均获得高阶逼近），又继承了 WaveHoltz 的优势：迭代矩阵对称正定、可结合共轭梯度法大幅加速收敛。相比直接对均匀化 Helmholtz 方程采用 HMM 离散（如 [20, 29, 36]），WHMM 避免了直接在频率域处理非强制问题以及由此带来的稳定性困难，因为时间推进中的算子（即使在半离散层面）通常是强制且易处理的。\n3. 与 WaveHoltz 方法本身的比较 原始的 WaveHoltz 方法 [9, 39] 假定式 (2.12) 中的系数 $a(x)$ 为已知且光滑，无法直接处理快速振荡系数。WHMM 通过嵌入 HMM 通量估计，将 WaveHoltz 的适用范围扩展到多尺度 Helmholtz 方程。值得注意的是，在 WHMM 中，WaveHoltz 迭代的每一次传播都是在宏观粗网格上进行的，成本远低于在细网格上运行原始 WaveHoltz；微观模拟仅在迭代开始前离线完成一次，即均匀化系数预先算好后，后续迭代不再涉及时空细尺度。因此，WHMM 的整体计算复杂度与 $\\varepsilon$ 无关，仅由宏观网格和所需精度决定。\n4. 误差分析与假设条件 WHMM 的一维误差分析在周期性假设下进行，得出 $\\lVert v_h - \\bar u_h \\rVert_H = O((\\varepsilon/\\eta)^q)$。这一代数收敛阶与传统 HMM 的理论相符，但将其成功移植到了非强制 Helmholtz 背景中。与之相对，MsFEM 或 LOD 方法的误差常由基函数的逼近性质主导，且通常依赖于更精细的局部解和过采样参数，较少出现如此清晰的单参数幂次收敛形式。\n5. 实现的简洁性与潜在局限 WHMM 方法的一个显著优点是其实现相对直接：微观求解器可使用任何稳定的波动方程离散，而且因为仅在微小区域上短时模拟，编程和调优负担较轻。离线计算均匀化系数后，宏观迭代仅涉及稀疏矩阵的反复应用，可以有效利用现有 Helmholtz 求解器或 Krylov 子空间方法。但文中也指出，该方法目前是基于尺度分离假设的：它本质上是 HMM，因此主要用于能够合理均匀化的问题，不适用于无尺度分离的“粗糙”系数。这与 MsFEM/LOD 等原则上可处理更一般的粗糙介质形成对比。此外，一维周期性假设下的分析可能无法直接推广至更一般的系数，尽管作者声称在高维下使用交错网格等方法可以保持对称性，且离线计算策略依然适用，但其严格误差分析仍是未来工作。\n6. 与具体文献的对比细节 文中明确提及以下前人工作：\n文献 [24]：将 HMM 用于时域波动方程，给出了均匀化系数的逼近理论。本文在此基础上将其扩展至 Helmholtz 方程，并通过 WaveHoltz 迭代构建了一种频域解的工具。 文献 [9, 39, 38]：奠定了 WaveHoltz 方法的理论基础，包括连续和离散迭代的收敛性。本文直接借用了这些结论，并将其中的 Helmholtz 算子替换为 HMM 近似算子，并分析了近似带来的额外误差。 文献 [20, 29, 36] 等：为频率域 Helmholtz 问题的 HMM 或其它多尺度方法，这些工作必须在微尺度问题上施加边界条件，WHMM 则从时域完全绕开了这一困难。 综上所述，WHMM 通过“时域 HMM + WaveHoltz 迭代”的巧妙设计，在保持均匀化方法高效率的同时，消除了微尺度边界误差，为多尺度 Helmholtz 方程提供了一种新颖、精确且易于加速的数值框架。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 周期性分层结构散射的 T 矩阵的 Trefftz DG 近似 Trefftz DG Approximation of the T-Matrix for Scattering by Periodic Layered Structures\n作者: Armando Maria Monforte, Andrea Moiola, Simone Zanotto\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06475v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06475v1\n摘要翻译 中文标题: 周期性分层结构散射的 T 矩阵的 Trefftz DG 近似\n摘要翻译: 我们研究由二维 Helmholtz 方程建模的时谐电磁波在周期性分层光栅上的散射。周期障碍体可包含可穿透与不可穿透区域，并由有限个堆叠层组成。该边界值问题在单个周期单元上通过准周期边界条件建立。垂直方向的辐射条件通过 Dirichlet-to-Neumann (DtN) 算子施加。为高效处理多层构型，我们采用基于 T 矩阵方法的公式。全局散射问题被分解为各层上的边界值问题。在层边界上，场由准周期模态展开表示，而层 T 矩阵描述入射与出射波模之间的映射。每个局部 T 矩阵使用基于平面波的 Trefftz 间断伽辽金 (TDG) 方法进行数值近似，该方法提供层散射响应的高效离散。T 矩阵技术使计算复杂度与光栅层数成线性关系。\n2. 偏微分方程解族的物理信息神经嵌入 Physics-Informed Neural Embeddings of PDE Solution Families\n作者: Raul Jimenez, Svitlana Mayboroda, Pavlos Protopapas, Leonid Sarieddine, David N. Spergel, Pedro Tarancón-Álvarez\n类别: cs.LG, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06348v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06348v1\n摘要翻译 中文标题: 偏微分方程解族的物理信息神经嵌入\n摘要翻译: 我们引入一种物理信息框架，用于学习偏微分方程解族的有限维嵌入。该方法使用多头物理信息神经网络，其中共享主干学习表示解空间的潜在流形，而线性头重建与不同初值条件相关的各个解。头部正交化惩罚去除潜在表示中的退化，并稳定训练实现之间的主成分谱。由于初值条件通过构造内嵌于网络输出中，这些主成分衡量的是网络在初始剖面上额外学习到的变异性，而不是完整解本身。我们将该方法应用于一维粘性 Burgers 方程，并以热方程和波动方程作为稳健性检验。对于潜在维数 $n_b=20$，学习到的流形表现出显著的有效降维：对于 Burgers 动力学，仅需 $2$–$4$ 个主成分即可捕获约 $95\\%$ 的潜在空间方差，而 $4$–$7$ 个主成分可捕获约 $99\\%$，具体取决于初值族；同样的定性压缩对于热方程和波动方程也成立。我们还将波数轴划分为频带 (``Fourier shells\u0026rsquo;\u0026rsquo;) 并测量每个频带对每个主成分的贡献。由此得到的频率剖面在正交化惩罚所留下的潜在空间基变换自由度下是不变的，因此可在独立训练运行中重复获得。更广泛地，这确立了所学习的谱剖面和主成分作为解流形几何的稳健可观测量的地位。\n3. 基于核的算子学习：误差分析、预算分配及物理信息扩展 Kernel-based Operator Learning: Error Analysis, Budget Allocation, and a Physics-Informed Extension\n作者: Rüdiger Kempf\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06287v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06287v1\n摘要翻译 中文标题: 基于核的算子学习：误差分析、预算分配及物理信息扩展\n摘要翻译: 我们研究了一个两阶段采样框架下的基于核的算子学习，其中离线核回归算子从输入-输出对中学习目标算子的离散化表示，在线核重构算子从预测的观测值中恢复出输出函数。我们的主要理论贡献是一个显式的预算分配条件，它将训练对的数量 $N$、输入观测的数量 $n$ 以及输出分辨率 $m$ 联系起来。该条件源自一种耦合误差分析，此分析将代理模型解释为从近似数据进行的重构。这得出了总误差可以分解为重构贡献和学习贡献，二者可被独立分析。作为结果，我们得到了定量的缩放律，描述了 $N$、$n$ 和 $m$ 必须如何耦合以保证收敛，并平衡离线学习误差与在线重构误差。所得估计推广了以往对基于核的算子学习的分析。我们进一步引入一种物理信息扩展，它在评估时融入底层偏微分方程的知识。我们没有将约束直接编码进核中，而是通过在配点上惩罚偏微分方程残差来增强在线重构步骤。该方法对新输入无需重新训练。数值实验说明了理论发现，并展示了所提物理信息重构策略的有效性。\n4. 使用可迁移神经网络模型学习用于线性和非线性重叠型区域分解方法的自适应粗空间 Learning Adaptive Coarse Spaces Using Transferable Neural Network Models for Linear and Nonlinear Overlapping Domain Decomposition Methods\n作者: Axel Klawonn, Martin Lanser, Janine Weber-Hamacher\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06261v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06261v1\n摘要翻译 中文标题: 使用可迁移神经网络模型学习用于线性和非线性重叠型区域分解方法的自适应粗空间\n摘要翻译: 区域分解方法已被确立为求解由偏微分方程离散化产生的大规模系统的高效且可并行的迭代求解器和预条件子。特别地，重叠型 Schwarz 方法已成功应用于广泛的线性与非线性问题。然而，对于系数高度非均匀的问题，标准的区域分解方法通常会出现收敛速度恶化的现象。通过从局部广义特征值问题中获取自适应选择的约束来丰富粗空间，可以实现对系数对比度的鲁棒性。然而，这些自适应粗空间的构造可能占整体计算时间的很大一部分。\n在本文中，我们采用机器学习技术，在自适应 Generalized Dryja-Smith-Widlund (AGDSW) 粗空间的背景下，减少这部分计算时间。提出了一种两阶段方法：其中回归神经网络用于预测自适应粗基函数，而分类神经网络则用于预测确保鲁棒性所需的基函数个数。这样一来，在线阶段即可建立自适应粗空间，而无需求解任何特征值问题。我们特别关注了问题的特定方面，包括符号不变损失函数以及可显著改进预测约束的后处理策略。所提出的方法首先针对高对比度系数的标量扩散问题进行研究，随后无需重新训练即迁移到线弹性问题和非线性 $p$-Laplace 问题中，同样是在非线性 Schwarz 框架内。\n5. 时间不变神经算子及其在求解时间相关偏微分方程中的应用 Time-Invariant Neural Operators with Applications in Solving Time-Dependent PDEs\n作者: Zihan Zhou, Wenzhong Zhang, Lizuo Liu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06188v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06188v1\n摘要翻译 中文标题: 时间不变神经算子及其在求解时间相关偏微分方程中的应用\n摘要翻译: 深度算子网络（DeepONet）是使用神经网络学习非线性算子的基本架构之一。然而，对于描述物理系统动态响应的算子，DeepONet 并未自然遵循基本的时间性质，包括时间因果性和时间不变性。我们提出时间不变神经算子（TINO）来克服这些局限性，通过建立时滞神经网络（TDNN）与 DeepONet 之间的联系。随后，我们将该方案拓展至求解具有初值的时间相关偏微分方程，这可以视为截断的时间不变系统，并在输出函数空间中结合空间本征正交分解（POD）实现。对比 TINO、具有时间因果性的神经算子以及不具备时间性质的算子的各种数值实验，验证了所提出神经算子框架的更高精度。\n6. 演化流体生物膜的统一能量稳定有限元逼近 A unified energy-stable finite element approximation for evolving fluidic biomembranes\n作者: Harald Garcke, Robert Nürnberg, Quan Zhao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.05998v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.05998v1\n摘要翻译 中文标题: 演化流体生物膜的统一能量稳定有限元逼近\n摘要翻译: 我们提出了一种用于流体生物膜动力学的统一有限元方法。该模型由体内纳维-斯托克斯方程与演化生物膜表面上的表面纳维-斯托克斯方程耦合控制，并带有由 Willmore 能量产生的弯曲力。通过允许体网格速度独立于流体速度，并允许自由的切向表面速度，我们能够推导出耦合体-表面纳维-斯托克斯系统的统一弱形式。为了处理弯曲力，我们考虑了曲率的演化方程，并提出了表面任意拉格朗日-欧拉（ALE）弱形式。使用拟合或非拟合有限元离散化，得到了适定的全离散线性格式，这些格式是无条件能量稳定的。我们展示了一系列数值算例，以证明所提方法的良好性质。\n7. 双曲型方程组在物理能量度量下模态相容 Galerkin 封闭的设计原理 Design Principle for Mode-Consistent Galerkin Closure under a Physical Energy Metric for Hyperbolic Systems\n作者: Hirofumi Tomita\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.05781v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.05781v1\n摘要翻译 中文标题: 双曲型方程组在物理能量度量下模态相容 Galerkin 封闭的设计原理\n摘要翻译: 本文遵循 Arakawa 保持结构的理念，推导了守恒能量双曲型方程组 Galerkin 逼近的一个设计原理。其目标是在一个有限个模态的解析空间中重现连续系统的模态能量交换结构，从而使得总能量守恒作为一个推论得以保持。我们引入一个表示物理能量密度的状态依赖度量 $H(U)$，并推导相应的能量相容恒等式。在精确积分无穷多模态参考模型中，$H$-正交化使体积算子成为反对称的，因而模态能量平衡被表示为模态之间的两两交换。边界和界面上的贡献同样表示为与相邻单元模态的交换，其中内部交换两两抵消。为了在半离散有限模态系统中重现这一结构，我们结合两种构造：一个与物理能量度量耦合的 Galerkin 投影，它保证了 $H$-度量的分部求和恒等式；以及一个能量相容封闭，它通过修正 $H$-度量质量矩阵的演化来消除相容残差。所得的有限模态系统恢复了模态能量交换结构。对于间断的单元边界迹，界面贡献通过一个满足相同两两平衡的共享数值能量通量来封闭。我们还将实际的算子构造与精确积分有限模态参考模型进行了比较。反对称模态能量交换算子中的缺陷被分解为固定求积和投影求积两份贡献，从而得到一个 $O(h^{p+1})$ 相容的估计。最后，变换回原 Galerkin 基底给出一个等价的固定基底系数方程，该方程可直接实施。\n不相关论文（基本信息） 1. 高维泊松方程有限元离散化的量子启发方法 Quantum-inspired methods for finite-element discretizations of the high-dimensional Poisson equation\n作者: Xue Wang, James H. Adler, Xiaozhe Hu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06533v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06533v1\n摘要: In recent years, quantum linear system algorithms have been applied to partial differential equations (PDEs), particularly in high-dimensional settings, demonstrating an exponential speedup in dimension. Concurrently, randomized and quantum-inspired classical linear solvers have emerged, showing computational complexity comparable to their quantum counterparts in many application areas. In this paper, we investigate the applicability of these quantum-inspired classical algorithms to PDEs. We provide both upper and lower bounds on their computational complexity, proving that these methods cannot achieve exponential speedup in dimension for discretizations of high-dimensional Poisson problems. Our theoretical findings definitively demonstrate that quantum-inspired classical algorithms are not competitive with quantum algorithms for solving PDEs, confirming that quantum methods retain a significant advantage for high-dimensional problems.\n2. 关于线性最近邻系统的低秩张量列可逼近性 On low-rank tensor train approximability for linear nearest neighbor systems\n作者: Patrick Gelß, Sebastian Matera, Reinhold Schneider, André Uschmajew\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06453v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06453v1\n摘要: Low-rank tensor methods are an important tool in the numerical treatment of equations with a high-dimensional state space. Nearest neighbor interaction systems like the Ising model or more general Markov jump processes, as well as 1D finite-state quantum systems are examples of such problems. While low-rank tensor train/matrix product state models have been shown to be highly efficient for the simulation of such systems, providing theoretical justification for this remains a challenging task. One approach for obtaining estimates on required ranks for certain accuracies is to investigate the rank increase in Krylov subspace methods for solving the problem at hand. In the context of area laws for ground states of 1D spin systems, nontrivial results on rank-increasing properties of nearest neighbor operator polynomials have been obtained in work of Arad et al. [arXiv:1301.1162] by studying the partial commutativity of local operators. In the present work, this technique is applied to polynomial methods for definite linear equations and dissipative linear ODEs with nearest neighbor structure. This allows to derive corresponding low-rank approximability statements for solutions of such problems which are independent of the system size. Numerical simulations of high-dimensional nearest neighbor systems illustrate the theoretical findings.\n3. 稀疏时空谱方法可通过剥离-传递实现时间步进 Sparse space-time spectral methods can time-step by peel and pass\n作者: Timon S. Gutleb\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06449v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06449v1\n摘要: Global space-time spectral methods give spectral accuracy in time but typically require the whole space-time history to be resolved and stored on a single tensor-product domain $T \\times Ω$. We record that in an endpoint-benign Legendre or Chebyshev-$T$ time basis, whose polynomials all equal one at the right endpoint, the final time slice of a space-time block is recovered exactly by summing the stored coefficients along the time index. This peel-and-pass step is a special case of a Jacobi endpoint identity, which also gives derivative formulae for higher-order equations. Writing such higher-order equations as first-order systems preserves the benign value-passing structure. The result is a sparse space-time spectral element method that advances block by block, stores only one block, and needs far fewer time coefficients per solve for long-time problems. We prove the identities, give resident-memory, solve-cost and error-propagation models, and demonstrate the method on $(1{+}1)$D heat, wave and Klein\u0026ndash;Gordon equations, and on $(2{+}1)$D fractional heat on the disk with weighted Zernike polynomials in space.\n4. 嵌套体积-表面积分方程的声学应用 Nested Volume-Surface Integral Equations for Acoustics\n作者: Danilo Aballay, Elwin van \u0026rsquo;t Wout\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06429v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06429v1\n摘要: The simulation of high-frequency acoustic wave propagation in unbounded domains with local heterogeneous materials and high-contrast interfaces poses significant challenges to numerical methods. The volume-surface integral equation (VSIE) method is an attractive approach as it automatically satisfies the radiation condition at infinity via Green\u0026rsquo;s functions, handles heterogeneous materials via Newton potentials, and models scattering at high-contrast interfaces via surface integral operators. However, its effectiveness in practical simulations has been limited by high computational costs, sensitivity to sharp interfaces, and insufficient computational verification. This study extends the applicability of VSIE by deriving integral formulations for nested heterogeneous materials with parameter jumps at interfaces. We also develop extensive benchmarks against coupled finite-element and boundary-element methods to verify the VSIE\u0026rsquo;s accuracy and mesh convergence. The various benchmarks using open-source software demonstrate the effectiveness of VSIE for large-scale acoustic simulations.\n5. 周期性CMV矩阵特征值的快速计算 Fast computation of eigenvalues of periodic CMV matrices\n作者: Thomas Mach, Michele Rinelli, Raf Vandebril, David Watkins\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06400v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06400v1\n摘要: Periodic CMV matrices are unitary matrices that can be specified by $O(n)$ data. Their eigenvalues can be computed by standard methods, storing them as conventional matrices (using $O(n^{2})$ data) in $O(n^{3})$ time. Here a fast method that computes the eigenvalues in $O(n^{2})$ time (using $O(n)$ data) is presented.\n6. 快速旋转Thomas-Fermi标度下Gross-Pitaevskii方程的数值涡旋分辨率 Numerical vortex resolution for the Gross-Pitaevskii equation in the rapid rotation Thomas-Fermi scaling\n作者: Patrick Henning, Anna Persson, Christos Pilichos\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06362v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06362v1\n摘要: In this paper we analyze finite element approximations of ground states of the Gross-Pitaevskii equation in the rapid rotation Thomas-Fermi scaling. In this regime, the healing length and vortex core size are of order $\\eps \\ll 1$, while the effective confinement potential may degenerate as the angular velocity approaches a critical value. In this setting, we analyze the $\\eps$-dependence of the ground states and show that the local flatness of the energy landscape plays a decisive role for numerical resolution. More precisely, we establish mesh size conditions that guarantee the existence of discrete ground states in finite element spaces which are quasi-best approximations of an exact ground state. In particular, we prove that the absolute $H^1$-error behaves asymptotically like $h/\\eps^2$. However, to enter this asymptotic regime, the mesh size must satisfy a significantly stronger resolution condition than the natural requirement $h \\lesssim \\eps$. The additional restriction is governed by the first spectral gap of the Riemannian Hessian of the energy functional at the ground state, which measures the local flatness of the energy surface. With this, our results provide an explanation of the mesh resolution required to capture vortex structures in rapidly rotating Bose-Einstein condensates and highlight the interplay between vortex core size, spectral stability, and discretization accuracy.\n7. 多项式系统奇异解的计算：走向无收缩的超线性收敛 Computing singular solutions of polynomial systems: towards superlinear convergence without deflation\n作者: Mikhail Karapetyants, Vladimir Kolmogorov, Jeferson Zapata\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06329v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06329v1\n摘要: In Numerical Algebraic Geometry (NAG) isolated solutions of polynomial systems are usually computed by tracking a solution curve defined by a homotopy equation. The tracking problem becomes especially challenging close to a singular root (the endgame'' regime). Existing approaches include power series endgames, Cauchy endgames, and various methods that regularize the system via dual-space-based {\\em deflation}. We make the following contributions. (1) For corank-1 systems we introduce a new Arclength Endgame\u0026rsquo;\u0026rsquo; which combines the idea of the classical {\\em pseudo-arclength continuation method} with the estimation of the Puiseux series of the curve. We formally prove that it has a superlinear rate of convergence in some neighborhood of the root. The method uses only evaluations of the system and its Jacobian, whereas previous techniques with proven superlinear convergence (such as deflation) require computing additional derivatives of the system. (2) For systems with a larger corank we propose a heuristic ``Lifted Arclength Endgame\u0026rsquo;\u0026rsquo;, which shows promising experimental results. (3) A key step in our approach (as well as in the standard power series endgame) is estimating the Puiseux series of the curve, which is characterized by fractional exponents $k_i/c$ for $i\\ge 1$ together with associated coefficients. Previous work addressed only estimating the ratio $k_1/c$. We present a new method for that which empirically appears to be more stable than previous methods, and also show how to estimate $k_i/c$ for $i\\ge 2$.\n8. 微分方程的高斯过程逼近的统一视角 A unified perspective of Gaussian process approximation for differential equations\n作者: Mengwu Guo\n类别: math.NA, cs.CE, stat.ML\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06292v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06292v1\n摘要: The use of Gaussian processes for approximating differential equations has expanded rapidly, leading to a growing, diverse, and fragmented body of numerical methods. We present a unified Bayesian perspective that places these techniques within a common probabilistic framework, based on a derivative matching interpretation for incorporating differential equation constraints into likelihood. This unified perspective supports both parameter estimation and solution approximation, and shows how a range of existing methods can be understood within it. This work aims to consolidate current developments and provide a foundation for future research.\n9. 关于非线性偏微分方程的对称核配置法 On Symmetric Kernel Collocation for Nonlinear PDEs\n作者: Milan Bacchetta, Tobias Ehring, Bernard Haasdonk\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06276v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06276v1\n摘要: This paper considers kernel-based approximation methods for nonlinear partial differential equations. To this end, the problem is formulated as an optimal-recovery generalized interpolation problem, that is, as an optimization problem in an RKHS with nonlinear functional constraints. This formulation provides the basis for a convergence analysis carried out directly in the RKHS and extends existing results by relaxing the uniqueness assumption on the PDE solution. In the nonunique case, the limiting object is characterized as a minimum-norm solution. Furthermore, a residual-greedy strategy for adaptive collocation point selection is proposed, and convergence of the resulting sequence of generalized interpolants is established. Numerical experiments for a stationary nonlinear heat equation illustrate the method and indicate that residual-greedy point selection can lead to markedly smaller PDE residuals than point sets selected according to fill-distance criteria.\n10. 用强Lyapunov函数驯服离散粗糙路径 Taming discrete rough paths via strong Lyapunov functions\n作者: Luu Hoang Duc\n类别: math.NA, math.DS, math.FA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06266v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06266v1\n摘要: Based on the newly introduced concept of {\\it strong Lyapunov functions} for rough differential equations \\cite{ducjost25}, we study a tamed numerical scheme to approximate the solutions of the continuous system. We derive explicit estimates of solution norms of the tamed system which look similar to those of the continuous system. As a result, we prove the convergence of the tamed scheme in the $L^1$ sense. For systems with the negative gradient condition, we prove the existence of a numerical pullback attractor for the generated random dynamical system from the tamed numerical scheme which is integrable and upper semi-continuous w.r.t. the scheme step size.\n11. PhyRes-MDNF：用于多层离散神经场反演的物理耦合残差图神经网络校正 PhyRes-MDNF: Physics-Coupled Residual GNN Correction for Multilevel Discrete Neural Field Inversion\n作者: Zheng Lu, Jiwei Jia, Young Ju Lee\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06237v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06237v1\n摘要: Coefficient inversion on fine grids under PDE constraints is ill conditioned: sparse observations weakly constrain fine-scale parameters, and direct single-resolution optimization must recover state and coefficient fields across all scales simultaneously. This causes slow, initialization-sensitive convergence; learned transfer models require offline data and can introduce approximation error into the numerical physics. We propose PhyRes-MDNF, a fixed-physics multilevel discrete neural field framework. On each level, a single-level DNF represents the inverse unknowns directly as trainable fields and optimizes the discrete objective. In the full-space Darcy realization, state fields (U) and their shared coefficient field (K) are optimized jointly in one fixed-physics inverse process. Between levels, one zero-initialized PhyRes-GNN jointly performs fixed-stencil prolongation and bounded residual correction to construct an incoming target representation, which a fixed initialization map converts to the next DNF variables. It is fitted anew from the observations and unchanged numerical model, without offline pretraining or fine-grid truth. Coarse levels therefore resolve large-scale structure before refined degrees of freedom are introduced, shortening the fine-grid optimization path while retaining the original discrete operator. Under the same final-grid update budget, the multilevel Darcy realization reduces coefficient and state errors by approximately (85%) and (90%), respectively, demonstrating improved accuracy and final-grid iteration efficiency. On measured KTC2023 EIT data, the full-(W) pipeline improves mean Otsu mIoU by approximately (3.4%) over the official linearized CEM reconstruction and (16.9%) over direct single-level DNF.\n12. 一种基于分解的框架用于具有物理相互作用的互联系统的联合优化与空间包装 A Decomposition-Based Framework for Joint Optimization and Spatial Packaging of Interconnected Systems with Physical Interactions\n作者: Julien Bückmann, Jorn van Kampen, Theo Hofman\n类别: cs.CE, cs.CG, eess.SY, math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06087v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06087v1\n摘要: This paper presents an approach and application of optimization of spatial packaging of interconnected systems with physical interactions (SPI2) in three-dimensional component placement problems. To enable its application for an automotive use case, SPI2 must support both initial design generation, including component alignment, and robust system-level coordination, requiring improved solution reliability and tractable computational cost. To address these requirements, the proposed methodology improves convergence rate and solution quality by enhancing numerical robustness in gradient-based optimization while reducing computational load. Existing SPI2 approaches are extended through the addition of alignment capabilities, enabling the representation of port-to-port alignments between components. Furthermore, the applicability of SPI2 is expanded by treating component placement locations as design variables, allowing for penalty-based coordination to ensure design feasibility and enabling integration within system-level optimization. The approach is validated using a multi-objective optimization framework based on Nondominated Sorting Genetic Algorithm II (NSGA-II), applied to a combined powertrain optimization and battery chassis integration problem. This demonstrates the effectiveness of the SPI2 in a system-level design context. The results show a twofold application of SPI2 in an automotive use case: first, as a tool for initial design generation, and second, as part of a system-level design coordinator that outperforms a discretized exhaustive search while requiring lower computational cost.\n13. 基于等几何分析和二阶导数的电机高效帕累托前沿生成 Efficient Pareto-Front Generation for Electric Machines using IGA and Second Order Derivatives\n作者: Theodor Komann, Michael Wiesheu, Stefan Ulbrich, Sebastian Schöps, Peter Gangl\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06085v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06085v1\n摘要: The multiobjective optimization of electric machines always involves a trade-off caused by various competing objectives such as performance and cost. A suitable design is usually determined by comparing variants from the Pareto front, which has been generated by a large number of simulation runs. This paper addresses the efficient generation of the Pareto front using a continuation method based on a homotopy method that exploits second-order derivative information to achieve superlinear convergence, enabling the fast generation of new Pareto-optimal points within only a few iterations. A key contribution is the derivation of formulas to compute the Hessian with respect to geometry parameters and shape, thus enabling direct modifications of the motor geometry in the context of Isogeometric Analysis. We apply our method to nonlinear 2D magnetostatic simulations of a permanent magnet synchronous motor and demonstrate its effectiveness by optimizing the cost, mean torque and torque ripple of the motor. Compared to a first-order optimization method, this approach reduces the number of iterations and function evaluations needed, making the pareto optimization fast and efficient.\n14. 用于Legendre-Gauss-Lobatto间断伽辽金谱元法的保不变域限制与自适应网格细化 Invariant-domain-preserving limiting with Adaptive Mesh Refinement for Legendre-Gauss-Lobatto Discontinuous Galerkin Spectral Element Methods\n作者: Benjamin Bolm, Andrés M. Rueda-Ramírez, Dmitri Kuzmin, Gregor J. Gassner\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06045v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06045v1\n摘要: We present an invariant-domain-preserving (IDP) treatment of nonconforming interfaces for Legendre\u0026ndash;Gauss\u0026ndash;Lobatto Discontinuous Galerkin Spectral Element Methods (LGL-DGSEM) with adaptive mesh refinement (AMR) on Cartesian meshes. The proposed methodology extends recently developed convex limiting and graph-viscosity frameworks for DGSEM to meshes containing hanging nodes. Starting from a conservative mortar formulation, we derive low-order interface fluxes that satisfy the requirements of invariant-domain-preserving discretizations. To avoid the excessive diffusion associated with fully connected mortar couplings, a sparsification strategy based on LGL subcell characteristic functions is introduced, yielding compact interface stencils. The resulting mortar fluxes remain conservative, reduce to the standard conforming formulation on matching interfaces, and naturally fit into graph-viscosity-based low-order schemes used for convex limiting. The proposed construction provides the missing ingredient required to combine high-order DGSEM discretizations, invariant-domain-preserving limiting, and adaptive mesh refinement within a unified framework for nonlinear hyperbolic conservation laws. We provide numerical verifications of the properties of the proposed scheme and run challenging simulations that require positivity limiting and shock-capturing.\n15. SplineNet：一种面向复杂壳体的等几何深度学习方法 SplineNet: An Isogeometric Deep Learning Method for Complex Shells\n作者: Shizhou Luo, Xiaodong Wei\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06026v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06026v1\n摘要: We present a novel isogeometric deep learning method, termed SplineNet, for the seamless design and analysis of shell structures with complex geometries. The proposed approach is built upon watertight spline representations, e.g., analysis-suitable unstructured T-splines, and features exact geometric descriptions of Computer-Aided Design (CAD) models in neural networks. Bézier extraction is used to build the network architecture, where Bernstein polynomials serve as the nonlinear activation functions. SplineNet can be applied in a data-free or data-driven way. In the data-free case, energy-based formulations can be naturally incorporated as loss terms, which fulfill the need of Computer-Aided Engineering (CAE) and can be accurately calculated. In particular, the Kirchhoff\u0026ndash;Love (KL) model is adopted to solve for the mechanical behaviors of shell structures. This way, CAD and CAE can be tightly integrated in a deep neural network without the time-consuming model/data exchange process. In the data-driven case, SplineNet can be used as the trunk net of Deep Operator Networks (DeepONet) to provide interpretability. Given such a trained network and unseen input data, results can be immediately obtained without retraining the network or repeatedly performing the traditional workflow for analysis. In the end, a variety of numerical examples are studied to demonstrate the effectiveness of the proposed method, especially when real-world complex geometries are involved.\n16. 基于机器学习框架的亚线性低秩泊松方程求解器用于GPU加速 A Sub-linear Low-Rank Solver for Poisson\u0026rsquo;s Equation using Machine Learning Frameworks for GPU Acceleration\n作者: Måns I. Andersson, Daniel Appelö\n类别: cs.PF, math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06021v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06021v1\n摘要: In this paper we explore a fast Poisson solver for problems with a solution that is known to be low-rank. We use an adaptive and warm started cross approximation called Cross-DEIM that iterates between index selection and and cross approximation to generate a low-rank solution. This paper focuses on leveraging a modern machine learning framework, PyTorch, as a general purpose array language to implement low-rank solvers based on Cross-DEIM. PyTorch enables native access to GPUs and accelerators but with a user-friendly high-level interface. We investigate statistical leverage scores for the index selection for the cross approximation due to the cost associated with the pivoted algorithms used with the discrete empirical interpolation methods (DEIM and QDEIM) which are historically preferred. The cross approximation is naturally paired with a Discrete Sine Transform (DST) Poisson solver. This allows the Fast Fourier Transform (FFT) to be evaluated in batches along dimensions independently without any global transpose even in higher dimensions. We present performance results running on a A100 GPU and AMD EPYC CPU demonstrating the usefulness of the approach that enables problems sizes that previously were not feasible.\n17. 基于元图的区域分解伽辽金降阶模型 Metagraph-Based Domain-Decomposed Galerkin Reduced-Order Model\n作者: Kyohei Shintate, Naoki Morita, Shigeki Kaneko, Nozomi Magome, Naoto Mitsume\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.06011v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.06011v1\n摘要: This study proposes a metagraph-based domain-decomposed Galerkin reduced-order model (MBDD-G-ROM) for distributed-memory parallel reduced-order analysis of large-scale problems. The method represents domain-decomposed Galerkin reduced-order models over arbitrary domain decompositions using two graph levels: calculation-point graphs for interactions among discretization points and metagraphs for connectivity among local approximation-space subdomains. In the proper orthogonal decomposition (POD)-based implementation, POD computation subdomains are represented as metanodes, while metaedges encode the block-sparsity induced by overlaps between local POD basis supports. Partitioning the metagraph enables the POD computation subdomains to be decoupled from the parallel computation subdomains, allowing distributed-memory parallelization of both offline and online phases, including reduced-system assembly and iterative linear solution, without requiring the two decompositions to coincide. The metagraph also supports static load balancing through metanode weights that approximate computational costs. The method is evaluated for an unsteady diffusion equation and incompressible Navier-Stokes flow around a three-dimensional cylinder. The results show that MBDD-G-ROM preserves reduced-order solution accuracy while achieving high online parallel efficiency. A load-balancing test further demonstrates that cost-based metanode weights can improve computational efficiency.\n18. 矩阵分解证明形式化的统一框架 A Unified Framework for Formalizing Matrix Decomposition Proofs\n作者: Wanli Ma, Zichen Wang, Zaiwen Wen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.05874v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.05874v1\n摘要: Existence proofs for many matrix decompositions share a recursive routine: a local transformation prepares the matrix, a slice is selected, a recursive solution is obtained, and the result is lifted and transported back. Formalizing this routine uniformly in dependent type theory is difficult because recursive subproblems may change index types, and reconstruction must preserve structural predicates across block embeddings and reindexings. We develop a Lean~4 framework that separates decomposition schemas, transformations, reduction strategies, measures, lifting, transport, and subtype induction. The framework uses general index types, packages square and rectangular matrices in universe types, and provides a decomposition driver that assembles strategy data into subtype-induction instances. It has been instantiated across PLU, LU, LDL/Cholesky, QR variants, Gauss rank normal form, Hessenberg reductions, Schur variants, normal spectral decomposition, SVD, bidiagonalization, tridiagonalization, UTV, Smith normal form, rational canonical form, and Jordan-type forms at varying levels of statement strength. Across these instances, repeated decomposition proofs are best treated not as separate tasks but as instances of a more general inductive statement whose interface records a certified proof path compatible with the chosen decomposition statement.\n19. 关于带有双侧几何包络保护机制的L-BFGS逆海森近似矩阵的条件数上界 On the Condition Number Upper Bound of the L-BFGS Inverse Hessian Approximation Matrix with a Two-Sided Geometric Envelope Safeguarding Mechanism\n作者: Don Li\n类别: math.OC, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.05836v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.05836v1\n摘要: The limited-memory BFGS (L-BFGS) algorithm is a cornerstone of large-scale optimization due to its linear memory and computational costs. However, in ill-conditioned or non-convex landscapes, the implicit inverse Hessian approximation can suffer from an exploding condition number, leading to numerical instability and degraded convergence. To address this, we propose Two-Sided L-BFGS, a safeguarded variant that dynamically constrains the condition number of the inverse Hessian operator via a two-sided geometric envelope. Moreover, we show that Two-Sided L-BFGS preserves accumulated curvature information and maintains standard $O(mn)$ memory and per-iteration time complexities. We prove that this geometric envelope yields a uniform bound on the condition number of every inverse Hessian approximation generated by the algorithm. By tracking the algebraic evolution of the extreme eigenvalues through $m$ consecutive quasi-Newton updates starting from a scaled identity matrix, the resulting bound is expressed explicitly as a function of the memory depth, problem dimension, and envelope hyperparameters. Moreover, we show that Two-Sided L-BFGS preserves asymptotic global convergence in non-convex regimes under standard smoothness and strong Wolfe line-search assumptions, matching the theoretical guarantees of L-BFGS variants utilizing the Li-Fukushima cautious update rule. Numerical experiments on high-dimensional optimization problems demonstrate that the proposed method maintains well-conditioned inverse Hessian approximations and improves robustness and convergence behavior on ill-conditioned benchmarks.\n20. 一种用于双重退化抛物问题的自适应时空离散线性迭代格式 An adaptive, space-time discretized linear iterative scheme for doubly-degenerate parabolic problems\n作者: Ayesha Javed, Koondanibha Mitra, Iuliu Sorin Pop\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-07\narXiv ID: 2607.05714v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.05714v1\n摘要: Degenerate diffusion problems, where the governing parabolic equation can change type to either an ordinary differential equation or an elliptic equation, model many real life applications. Due to the presence of free-boundaries, accurate numerical simulation of such problems require extremely small mesh and time step sizes locally. To remediate this issue, in this work, we consider a space-time formulation of the problem based on an efficient splitting of the nonlinearities. First, an iterative linearization scheme is proposed to resolve the nonlinearities that effectively reduces to solving a sequence of heat equations. Unconditional convergence of the scheme is proven even for double degenerate cases with linear convergence achieved if the problem is non-degenerate. Next, the dual norm of the nonlinear residual is decomposed into a linearization error component and a discretization error component corresponding to the heat equation. This leads to reliable and fully computable a posteriori estimates for the problem that are robust with respect to the nonlinearities/degeneracies. These estimates are used then in a fully adaptive (discretization + linearization) space-time solver. Numerical experiments for multiple test cases (one and two dimensions in space) demonstrate that this solver efficiently allocates the computational resources in the space-time domain, resulting in a rapid decay of error in terms of total degrees of freedom spent.\n21. 关于Bregman近端梯度方法的线性收敛性及其在Kullback\u0026ndash;Leibler回归中的应用 On The Linear Convergence of Bregman Proximal Gradient Methods with Applications to Kullback\u0026ndash;Leibler regression\n作者: Jonathan Chirinos-Rodríguez, Christian Daniele, Cédric Févotte, Emmanuel Soubies\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-07-06\narXiv ID: 2607.05539v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.05539v1\n摘要: Bregman Proximal Gradient methods (BPGM) exploit the underlying geometry of the objective function through a carefully chosen mirror map. In this work, we introduce a novel notion of strong convexity, termed Restricted Relative Strong Convexity, and establish linear convergence rates for BPGM under this condition. We then exploit the proposed theoretical framework to provide an in-depth analysis of the convergence of BPGM for (regularized) Kullback\u0026ndash;Leibler regression problems, covering scenarios with both unique and non-unique minimizers, as well as regularized and unregularized formulations. Specifically, we demonstrate that using the popular Burg\u0026rsquo;s entropy as a distance-generating function may only yield linear convergence for certain KL regression problems. In contrast, we show that employing a smoothed version of the Burg\u0026rsquo;s entropy induces the suitable geometry required to guarantee linear convergence. We conclude with numerical experiments that nicely align with our theoretical findings.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-08_10-03-22/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月08日 10:03:22\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 7\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 21\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-waveholtz-非均匀多尺度方法\"\u003e1. WaveHoltz 非均匀多尺度方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eThe WaveHoltz Heterogeneous Multiscale Method\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e作者\u003c/strong\u003e: Amit Rotem, Olof Runborg, Daniel Appelö\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e类别\u003c/strong\u003e: math.NA\u003c/p\u003e","title":"2026年07月08日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月07日 10:45:11\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 4\n不相关论文数量: 21\n重点关注论文（完整分析） 1. Helmholtz方程HDG离散的网格一致稳定性与误差估计 Mesh-Uniform Stability and Error Estimates for HDG Discretizations of the Helmholtz Equation\n作者: Yukun Yue\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-05\narXiv ID: 2607.04507v1\n摘要翻译: 我们重新审视Cui和Zhang针对带有一阶吸收边界条件的Helmholtz方程的可杂交间断Galerkin方法。他们的分析在没有施加耦合$h$和$\\kappa$的网格约束的情况下证明了稳定性，但显式稳定性界仍然包含网格尺寸的负幂次。我们证明，这种依赖于网格的爆破并非HDG离散所固有的。在与参考文献分析相同的几何和网格框架下，对于固定的多项式次数以及上下一致有界的稳定化参数，我们建立了一个广义稳定性估计，其常数与网格尺寸无关。对于每一个指定的紧区间$0\u003c\\kappa_0\\le\\kappa\\le\\kappa_1\u003c\\infty$，稳定性常数可以关于$\\kappa$局部一致地选取。证明用基于HDG离散分布梯度和Crouzeix\u0026ndash;Raviart提升机制的紧性论证取代了Rellich恒等式和逆估计论证。作为推论，我们获得了适定性、对最小$L^2$数据的收敛性以及基于投影的误差估计，其中先前理论中出现的网格尺寸的负幂次被消除。数值实验证实了所预测的网格一致行为，并显示出与先前理论所暗示的依赖网格的增长之间的明显对比。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.04507v1\n1. 研究对象和背景 亥姆霍兹方程是时谐波传播问题的基本模型，其典型形式为 $-\\\\Delta u - \\\\kappa^2 u = f$，$\\\\kappa\u003e0$ 为波数。该方程出现在声波、电磁散射、地震成像等众多应用中。从偏微分方程角度看，亥姆霍兹方程对应的变分形式包含负质量项 $-\\\\kappa^2(u,v)$，因此在 $H^1(\\\\Omega)$ 上不是强制椭圆型的。这使得有限元逼近面临本质困难：离散系统稳定性的波数依赖、数值色散造成的污染效应，以及预渐近区间的非标准收敛行为，都严重制约了实用计算的精度与效率。此外，非光滑区域上角点奇性的高频渐近进一步影响可达到的收敛阶。因此，构造对波数稳健、对网格尺寸不敏感的离散格式及其稳定性分析，是亥姆霍兹方程数值解的核心课题。\n本文关注混合间断伽辽金（HDG）方法。HDG 方法通过引入单元局部未知量和骨架迹未知量，将全局自由度限制在网格骨架上，从而继承了间断伽辽金方法的局部守恒、高并行性等优势，同时显著缩减了系统规模。这类方法在诸多领域已有成功应用，例如对流占优扩散、斯托克斯方程、线弹性、不可压 Navier–Stokes 和 Cahn–Hilliard 方程等。在亥姆霍兹问题中，已有若干混合或可杂交格式的研究，包括针对异质介质的多尺度混合方法以及基于特征变量的 HDG 方法。特别地，Cui 和 Zhang [11] 对带有一阶吸收边界条件 $\\\\partial_n u + i\\\\kappa u = g$ 的亥姆霍兹方程提出了 HDG 格式，并在二维和三维情形下证明了：对任意 $h\u003e0$ 和 $\\\\kappa\u003e0$，该方法无需满足 $h\\\\kappa^2$ 充分小这一较强的网格约束即可稳定并适定。这一成果较之前仅适用于狄利克雷问题的 HDG 分析[17] 有本质推进。\nCui–Zhang 的稳定性分析虽然避开了 $h\\\\kappa^2$ 约束，但其明确给出的稳定性常数 $C_{\\\\mathrm{CZ}}(h,\\\\kappa,\\\\tau)$ 仍包含网格尺寸 $h$ 的负幂次项，如 $\\\\tau_{\\\\min}^{-1}h^{-3} + \\\\tau_{\\\\max}h^{-1}$。具体地，对于由最大单元直径 $h$、分片常数稳定参数 $\\\\tau$（边界上为正）构成的 HDG 空间，[11] 定理 3.1 中的广义稳定因子为 $$ C_{\\\\mathrm{CZ}}(h,\\\\kappa,\\\\tau) = \\\\big( \\\\kappa^2\\\\tau_{\\\\min}^{-1} + \\\\kappa + \\\\tau_{\\\\min}^{-1}h^{-3} + \\\\tau_{\\\\max}h^{-1} \\\\big)^2 + 1. $$ 当 $h\\\\to 0$ 时，该上界趋于无穷，特别是常见选择 $\\\\tau=\\\\kappa$ 时，括号内主导项为 $\\\\kappa^{-1}h^{-3}$，导致稳定常数像 $h^{-6}$ 一样增长。这并非单纯的美观问题：同一稳定因子直接进入投影误差估计，从而最终 $L^2$ 误差界也带有 $h$ 的负幂次，理论上暗示误差可能在网格加密时恶化，这与实际计算经验相悖。该网格奇异的根源在于 [11] 的证明技巧：其核心工具是单元上的 Rellich 恒等式，结合乘子型离散检验函数以及逆估计来处理切向跳跃项，逆估计不可避免地带入了 $h$ 的负幂次。\n本文试图填补的空白是：证明 Cui–Zhang HDG 格式的稳定常数可以摆脱网格尺寸 $h$ 的负幂次依赖，即稳定性对网格一致。在保持与 [11] 相同的几何假设（区域对于某内点 $x_\\\\Omega$ 是严格星形的）和网格假设（形状正则的单纯形网格族）下，本文构造了新的证明框架，完全避免了逆估计，转而利用 HDG 离散分布梯度和 Crouzeix–Raviart 提升的紧性论证。最终建立的稳定性估计中，常数 $C_{\\\\mathrm{st}}$ 与 $h$ 无关，且对于任意给定的紧波数区间 $0\u003c\\\\kappa_0\\\\le\\\\kappa\\\\le\\\\kappa_1\u003c\\\\infty$ 可局部一致选取。由此，适定性、对最低 $L^2$ 正则性数据的收敛性以及投影误差估计中 $h$ 负幂项均被清除。数值实验验证了理论预测的网格一致行为，并与先前包含网格奇异的稳定性曲线形成鲜明对比。\n2. 主要定理或主要结果 本文在固定多项式次数 $p$ 和稳定参数 $\\\\tau$ 满足一致上下界（对波数局部一致）的假设下，建立了如下主要结果：\n广义辅助 HDG 系统的网格一致稳定性（定理 4.3）。对于引入辅助右端项 $\\\\mathbf{Q}\\\\in \\\\mathbf{V}_h$ 的广义系统（2.6），存在与 $h$ 无关的常数 $C_{\\\\mathrm{st}}$，使得对任意 $h\u003e0$ 及任意解 $(\\\\mathbf{q}_h, u_h, \\\\widehat{u}_h)\\\\in \\\\mathbf{V}_h\\\\times W_h\\\\times M_h$，成立 $$ \\\\|\\\\mathbf{q}_h\\\\|_{\\\\mathcal{T}_h}^2 + \\\\kappa^2\\\\|u_h\\\\|_{\\\\mathcal{T}_h}^2 + \\\\kappa\\\\|\\\\widehat{u}_h\\\\|_{\\\\partial\\\\Omega}^2 + \\\\|\\\\tau^{1/2}(u_h-\\\\widehat{u}_h)\\\\|_{\\\\partial\\\\mathcal{T}_h}^2 \\\\le C_{\\\\mathrm{st}}\\\\big( \\\\|f\\\\|_{\\\\mathcal{T}_h}^2 + \\\\|g\\\\|_{\\\\partial\\\\Omega}^2 + \\\\|\\\\mathbf{Q}\\\\|_{\\\\mathcal{T}_h}^2 \\\\big). $$ 常数 $C_{\\\\mathrm{st}}$ 可对 $\\\\kappa$ 在任意紧区间 $[\\\\kappa_0,\\\\kappa_1]$ 上一致选取，只要 $\\\\tau|_{F}$ 在该区间上满足 $0\u003c\\\\tau_0\\\\le\\\\tau|_F\\\\le\\\\tau_1\u003c\\\\infty$。该估计去除了 [11] 中出现的 $h^{-3}$ 和 $h^{-1}$ 项，实现了真正意义上的网格一致稳定。\n小网格情形的紧性稳定性（定理 4.2）。首先证明存在仅依赖于域、多项式次数、形状正则常数、波数区间和稳定参数界的 $h_0\u003e0$ 和 $C_{\\\\mathrm{sm}}\u003e0$，使得对所有 $0","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-07_10-45-11/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月07日 10:45:11\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 4\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 21\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-helmholtz方程hdg离散的网格一致稳定性与误差估计\"\u003e1. Helmholtz方程HDG离散的网格一致稳定性与误差估计\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eMesh-Uniform Stability and Error Estimates for HDG Discretizations of the Helmholtz Equation\u003c/p\u003e","title":"2026年07月07日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月03日 10:19:59\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 5\n不相关论文数量: 22\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 有限应变弹性的一种统一 CutFEM 格式：能量极小化与角点奇性 A Unified CutFEM Formulation for Finite-Strain Elasticity: Energy Minimisation and Corner Singularities\n作者: Michał Tomasz Wichrowski, Ella Godiva Noomen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.02334v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.02334v1\n摘要翻译 中文标题: 有限应变弹性的一种统一 CutFEM 格式：能量极小化与角点奇性\n摘要翻译: 我们提出一个全变分、模型无关的有限应变弹性 Cut 有限元方法 (CutFEM) 格式。离散问题是增广能量泛函的驻点条件，该泛函由体超弹性能、弱施加边界条件的 Nitsche 项以及鬼罚稳定化项组成。残量和 (对称化的) 切线由该泛函的逐次变分得到。自动微分 (AD) 直接从标量能量密度生成第一 Piola–Kirchhoff 应力张量和弹性张量，避免在更换超弹性模型时手动重新推导。据我们所知，这是第一个结合纯能量、模型无关的构造与自动微分并在非拟合边界处进行精度分析的非拟合有限应变格式。 对每个 Newton 步中求解的线性化问题进行分析，得到了与切割无关的强制性、连续性和 $O(h^{-2})$ 条件数界，并借助 Brezzi–Rappaz–Raviart 框架得到正则解的拟最优收敛定理。数值上，在光滑测试算例上该方法对线性、二次和三次元均达到最优 $h$-收敛。此外，我们使用 Kolosov–Muskhelishvili 特征方程量化了该方法在 Dirichlet–Neumann 混合连接点处的精度极限。精确解的角点奇性对拟合和非拟合方法均以相同的方式限制收敛阶。我们证明局部网格细化可以消除这一限制，非拟合离散继承恢复的最优收敛率和与切割无关的常数。\n2. 调和映射流的线性隐式质量集中投影有限元方法的无条件最优误差估计与能量稳定性 Unconditional Optimal Error Estimates and Energy Stability for a Linearly Implicit Mass-Lumped Projection Finite Element Method for the Harmonic Map Flow\n作者: Yongyong Cai, Xingwei Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.02179v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.02179v1\n摘要翻译 中文标题: 调和映射流的线性隐式质量集中投影有限元方法的无条件最优误差估计与能量稳定性\n摘要翻译: 我们提出并分析了一种用于调和映射到单位球面的热流的线性隐式质量集中有限元方法。该方法由一个线性预测步骤和随后的节点投影组成，因此能在所有有限元节点处精确保持单位长度约束。预测器是从方程的叉积重表述推导出来的，并证明它与原始公式的质量集中离散化加上一个强制节点正交性的修正项等价，也与切平面格式等价。一个关键之处是在质量和刚度项中一致地使用离散内积。这产生了一个节点正交关系，意味着辅助解在每个节点处都位于单位球面上或其外部。因此，投影是良好定义的，且投影误差在离散 (L^2) 范数下满足一个收缩性质。在笛卡尔矩形和立方体的张量积网格上，节点投影在离散狄利克雷能量下也是非膨胀的，这给出了一个无条件的离散能量耗散律。对于足够光滑的解，我们证明了最优误差估计，无需时间步长与网格尺寸之间的任何耦合条件：该方法在 (\\ell^\\infty(0,T;L^2)) 中以 (O(\\Delta t+h^2)) 阶收敛，在 (\\ell^2(0,T;H^1)) 中以 (O(\\Delta t+h)) 阶收敛。证明结合了投影误差收缩、求积一致性估计、基于边的消去恒等式以及用于控制非线性项的自举论证。数值实验证实了预测的收敛率和离散能量衰减。\n3. 四面体Alfeld剖分上具有可杂交应力的低正则性有限元弹性复形 Low-regularity finite element elasticity complexes with hybridizable stresses on tetrahedral Alfeld splits\n作者: Johnny Guzmán, Xuehai Huang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.01933v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.01933v1\n摘要翻译 中文标题: 四面体Alfeld剖分上具有可杂交应力的低正则性有限元弹性复形\n摘要翻译: 在四面体Alfeld剖分上构造了低正则性的有限元弹性复形。与这类剖分上已有的三维弹性复形相比，此处构造的复形同时降低了Sobolev正则性和多项式次数，并终结于一个无顶点自由度的可杂交$H({\\rm div};\\mathbb S)$-协调对称应力空间。该构造通过对Alfeld剖分上的多项式de Rham复形应用局部Bernstein–Gelfand–Gelfand论证得到。证明了两类局部多项式弹性复形：一个$H^2$-$H^1({\\rm inc})$复形和一个低正则性的$H^1({\\rm curl})$-$H({\\rm inc}^+)$复形。导出了它们的泡形子复形及维数公式。这些局部正合序列给出了位移空间和不可压缩空间的唯一可解有限元，并给出了相应弹性序列的全局有限元子复形。在最低阶$H^1({\\rm curl})$-$H({\\rm inc}^+)$有限元复形中，$H({\\rm inc}^+;\\mathbb S)$-协调张量空间是分片三次的。在同一阶数下，末端应力-位移对恢复了Johnson–Mercier–Křížek元，而该构造涵盖了所有$k\\ge1$的高阶可杂交对称应力。第二族给出了所有$k\\ge2$的标准弹性序列的低正则性$H^1$-$H({\\rm inc})$有限元复形。对两个全局复形均建立了交换插值图。\n4. Stokes\u0026ndash;Darcy界面问题的流函数\u0026ndash;压力虚拟单元法 Stream function \u0026ndash; pressure virtual element methods for the Stokes\u0026ndash;Darcy interface problem\n作者: Franco Dassi, Rekha Khot, David Mora, Andres E. Rubiano, Ricardo Ruiz-Baier\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.01622v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.01622v1\n摘要翻译 中文标题: Stokes\u0026ndash;Darcy界面问题的流函数\u0026ndash;压力虚拟单元法\n摘要翻译: 本文提出了一种用于原始-原始形式耦合Stokes\u0026ndash;Darcy系统的全新虚拟单元法（VEM）。在自由流Stokes区域，我们采用流函数构式，该构式本身即满足不可压缩约束并降低计算成本。通过界面处强制质量守恒、法向应力平衡及Beavers\u0026ndash;Joseph\u0026ndash;Saffman滑移条件，将双调和流函数方程与Darcy压力方程相耦合。得益于VEM处理一般多边形网格的能力，所提方法可以自然地适应不规则界面几何，无需重新网格化或自适应细化。方法的精确性通过若干数值模拟加以验证，其中包括死端过滤和生物人工器官中的网络流应用。\n5. 针对Vlasov-Maxwell系统的局部宏观守恒(LoMaC)低秩张量方法 A Local Macroscopic Conservative (LoMaC) low rank tensor method for the Vlasov-Maxwell system\n作者: Shadi Heenatigala, Wei Guo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.01381v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.01381v1\n摘要翻译 中文标题: 针对Vlasov-Maxwell系统的局部宏观守恒(LoMaC)低秩张量方法\n摘要翻译: 求解Vlasov-Maxwell(VM)系统的主要计算挑战包括相空间的高维性、非线性、固有的守恒性质等。在本文中，我们针对VM系统发展了一种新颖的局部宏观守恒(LoMaC)低秩张量方法，作为我们先前工作(arXiv:2207.00518)的延续。该方法利用了Vlasov方程的张量友好结构，并采用低秩分层Tucker分解来逼近高维Vlasov解。因此，可以缓解维数灾难。此外，为了实现LoMaC性质，该算法同时演化质量、动量和能量的守恒律与Vlasov方程，采用带有动力学通量向量分裂的高阶守恒方法。通过守恒正交投影，保证了低秩解具有与由守恒律更新的宏观可观测量相同的值。给出了VM系统的一系列数值试验，以展示所提算法的效率和有效性。\n不相关论文（基本信息） 1. 混合网格上$L^2$投影的Sobolev稳定性 Sobolev stability of the $L^2$-projection on hybrid meshes\n作者: Lars Diening, Viktoria Lingert, Tabea Tscherpel\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.02362v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.02362v1\n摘要: We establish $L^p$- and $W^{1,p}$-stability of the $L^2$-projection onto mapped Lagrange finite elements on hybrid meshes consisting of triangles and convex quadrilaterals arising from adaptive mesh refinement. If $K$ is the (tensor product) degree of polynomials of the discretisation, then we show, in particular, $W^{1,2}$-stability for all $K\\geq 2$ for the Q-RG and Q-RB refinements. This extends results by Ali, Funken, and Schmidt (2022) which hold for the range $2 \\leq K \\leq 9$ for initial meshes consisting of parallelograms. Our proof relies on an extension of the technique by Diening, Storn and Tscherpel (2021) to general convex quadrilaterals.\n2. 基于偏微分方程的超越经典分数扩散生成建模框架 A PDE-Based Framework for Generative Modeling Beyond Classical Score-Based Diffusion\n作者: Horacio Tettamanti, Michael Herty\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.02349v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.02349v1\n摘要: We introduce an alternative generative framework based on a nonlinear modification of the classical Ornstein\u0026ndash;Uhlenbeck dynamics. The proposed dynamics admits both a microscopic description through an interacting particle system and, in the mean-field limit, a macroscopic formulation given by a nonlinear Fokker\u0026ndash;Planck equation with a superlinear drift term. We show that, for suitable choices of the model parameters and sufficiently large initial mass, the forward dynamics exhibits condensation phenomena by proving the loss of $L^2$ regularity of the solution in finite time. Building upon this formulation, we derive a stabilized reverse-time partial differential equation that reconstructs the initial distribution from the asymptotic state of the forward dynamics, thereby extending the generative paradigm beyond the classical score-based framework. Furthermore, we introduce numerical discretizations of both the forward and reverse processes that accurately capture the asymptotic behavior of the continuous model while successfully reconstructing the initial distribution. Numerical experiments in one and two spatial dimensions validate the proposed methodology and illustrate its application to density filtering through successive iterations of the generative process.\n3. Stokes 问题的位移边界方法离散化的块预处理 Block Preconditioning for Shifted Boundary Method Discretisations of the Stokes Problem\n作者: Michał Wichrowski, Ajay Ajith\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.02336v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.02336v1\n摘要: The Shifted Boundary Method (SBM) sidesteps body-fitted meshing by shifting boundary conditions onto a surrogate boundary and correcting for the displacement through Taylor expansions. Despite its broad analysis and application, scalable iterative solvers for the incompressible Stokes equations remain underdeveloped. We present a block preconditioner for SBM\u0026ndash;Stokes discretisations that uses the velocity block together with a pressure mass matrix as a Schur complement approximation. Because the SBM system is non-symmetric, classical operator preconditioning does not apply directly; a field-of-values analysis instead shows that the non-symmetric SBM contributions act as asymptotically small perturbations of a standard saddle-point operator, yielding mesh-independent GMRES convergence on sufficiently fine meshes. Numerical experiments demonstrate iteration counts under refinement across geometries of increasing complexity. We expose a coarse-mesh regime in which an under-resolved grid produces elevated iteration counts, an artefact of insufficient resolution that vanishes once the mesh captures the geometry.\n4. 按单元存储的合并无矩阵有限元 Coalesced Matrix-Free Finite Elements in Cell-Wise Storage\n作者: Michał Wichrowski\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.02335v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.02335v1\n摘要: We present a GPU-oriented formulation of continuous high-order finite elements in which the redundant, cell-wise (element-local) vector is the persistent primary representation of all field data, rather than a transient stage of matrix-free operator evaluation. We prove that, given a preconditioner whose image is continuous, the entire flexible conjugate gradient iteration can be carried out exactly on this unassembled representation: a simple primal-dual pairing identity shows that all Krylov scalars computed from local data coincide with those of the assembled solve, so inter-element communication is confined entirely to the preconditioner. The required direct stiffness summation (DSS) is then realized without indirect gather-scatter, atomics, or coloring, by a dimensionally-split cascade of one-to-one face exchanges that provably accumulates edge and vertex contributions as a byproduct of sequential axis passes; unstructured macro-block interfaces and $h$-adaptive hanging nodes are handled by disjoint topological kernels and a shadow-cell wrapper that leaves the high-throughput sweeps untouched. The cell-wise storage decouples the memory layout from the mesh topology, and we exploit this freedom to benchmark blocked layouts that trade memory coalescing against element contiguity. Numerical experiments on modern GPUs demonstrate that the resulting operator evaluation and solver outperform state-of-the-art matrix-free implementations, signifficantly exceeding throughput of existing implementations.\n5. 一种用于可靠长时间工业声发射的稳定边界元方法 A Stable Boundary Element Method for Reliable Long-Time Industrial Sound Emission\n作者: Simon Schneider, Ceyhun Özdemir, Heiko Gimperlein, Karsten Urban, Bernd Graf\n类别: math.NA, cs.CE\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.02308v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.02308v1\n摘要: In this paper we investigate a stable space-time formulation for long-time industrial sound emission problems. To this end, we use a well-posed Galerkin formulation in space and time of the acoustic wave equation in $\\mathbb{R}^3$, involving a hypersingular boundary integral operator. Our numerical experiments confirm that the resulting time stepping scheme is stable and accurate for complex acoustic problems in industrial geometries, in contrast to alternative well-known schemes. The proposed method is shown to be efficient for real-world problems, and we obtain very good agreement with physical acoustic measurements.\n6. 针对三维逆声学障碍散射问题的一种新型时域迭代方法 A novel time-domain iterative method for a three-dimensional inverse acoustic obstacle scattering problem\n作者: Lu Zhao, Heping Dong, Zhiyong Cheng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.02286v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.02286v1\n摘要: This paper concerns the three-dimensional forward and inverse acoustic obstacle scattering problem in the time domain. For the forward problem, a retarded potential formulation discretized by convolution quadrature and Galerkin methods is introduced. By introducing the retarded boundary integral defined on a homothetic surface, we propose a novel time-domain convolution quadrature based iterative method to reconstruct both the shape and location of a rigid obstacle. The retarded integral in the time domain is reformulated into a system of integrals in the s-domain. The resulting s-domain integrals are very fast to compute, as they only involve non-singular integrals over the homothetic surfaces. Moreover, the Fréchet derivative with respect to the boundary can be derived straightforwardly. We also prove that the scattered field generated by the homothetic surface converges to the exact field in the time domain. To improve the stability of the inversion algorithm, an incremental truncation technique is proposed, and numerical experiments confirm the effectiveness and robustness of our method.\n7. 一种用于物理信息神经网络良态训练的优化框架 An Optimisation Framework for the Well-Conditioned Training of Physics-Informed Neural Networks\n作者: Joseph Webb, Sadok Jerad, Coralia Cartis\n类别: cs.LG, math.NA, math.OC, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.02194v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.02194v1\n摘要: Physics-informed neural networks (PINNs) have emerged as a promising route to solve partial differential equations, yet they have struggled to reach the precision of classical solvers. The obstacle is increasingly understood to be one of optimisation, owing to the severely ill-conditioned loss landscape. We present $\\textbf{DSGNAR}$: Doubly-Sketched Gauss-Newton with Adaptive Ratio, a scalable second-order optimisation framework that confronts this ill-conditioning and, in doing so, obtains unprecedented accuracy and speed. $\\textbf{DSGNAR}$ couples a doubly-sketched Gauss-Newton model with a novel strategy that carefully controls both regularisation and step length. Across a suite of problems spanning nonlinear, chaotic, multi-scale, high-dimensional, and Navier-Stokes, the framework greatly improves on the state of the art: able to attain relative $\\ell_2$ errors as low as $3\\times10^{-16}$ in double precision, improve contemporary results by five orders of magnitude on the canonical Burgers\u0026rsquo; equation, and as much as eight orders on a high-dimensional Poisson problem, while remaining markedly faster. We further show that, in single precision, solutions at the limit of round-off error can be obtained very quickly: Burgers\u0026rsquo; equation to $\\ell_2^{\\text{rel}} = 4.75 \\times 10^{-7}$ in under ten seconds. The framework is also robust to the choice of architecture, arithmetic precision, and initial hyperparameters. The code is available at https://www.github.com/wephy/physics-informed-neural-networks\n8. 三维声波障碍物逆散射问题的高效迭代方法 A highly efficient iterative approach for inverse acoustic obstacle scattering problems in three dimensions\n作者: Zhiyong Cheng, Heping Dong, Lu Zhao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.02180v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.02180v1\n摘要: This paper concerns a three-dimensional inverse acoustic obstacle scattering problem from scattered field or phased/phaseless far-field data. Based on the boundary integral defined on a homothetic surface, we propose a highly efficient iterative approach for obstacle reconstruction that completely avoids dealing with any singularity. Here, the injectivity and dense-range property of the Fréchet derivative have been proved to ensure the solvability of the linearized equivalent data equation. We also prove that the scattered field generated by the homothetic surface can arbitrarily approximate the exact one. Numerical experiments are presented to verify the superiority and robustness of the proposed approach.\n9. 任意网格上的加权导数直方插值：可容许性与精确分解 Weighted Derivative Histopolation on Arbitrary Grids: Admissibility and Exact Factorizations\n作者: Allal Guessab, Federico Nudo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.02105v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.02105v1\n摘要: In this paper, we introduce a weighted derivative histopolation framework on families of intervals. The degrees of freedom consist of one scalar normalization and weighted integral moments of the derivative over a prescribed family of subintervals. We prove that the resulting scheme is unisolvent on $Π_N$ when the interval family separates polynomials of degree at most $N-1$ through weighted moments and the normalization is nonzero on constants. Thus, the derivative moments determine the polynomial up to an additive constant, and the scalar normalization fixes this remaining degree of freedom. This gives a sharp criterion for the well-posedness of the interpolation problem and a complete characterization of the admissible scalar normalizations. We then show how admissible families of intervals can be constructed from a fixed grid. When the endpoints of the intervals belong to the grid, admissibility is reduced to the nonsingularity of an interval matrix associated with the family, which depends only on the representation of the intervals in terms of consecutive cells. For Jacobi weights, the associated data matrices have a natural block structure in Jacobi polynomial bases, and the reduced derivative matrix can be expressed in terms of shifted Jacobi moment matrices. We next study Chebyshev configurations in which this structure becomes explicit. For the four classical Chebyshev families, suitable polynomial bases lead to diagonal Gram matrices for the reduced derivative matrices. We show that this diagonal structure depends on the simultaneous choice of the weight, the basis, and the grid. Numerical experiments on equispaced and Chebyshev\u0026ndash;Lobatto nodes show the behaviour of the method for different interval families and for different Jacobi parameters.\n10. NLF：用于凸网络流均衡的电阻网络框架和线性时间求解器 NLF: A Resistor-Network Framework and Linear-Time Solver for Convex Network-Flow Equilibria\n作者: Oren E. Livne\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.02041v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.02041v1\n摘要: We present NLF (Nonlinear Laplacian Flow), a unified framework and linear-time solver for convex network-flow equilibria. Congestion routing, minimum-delay routing, and maximum flow share one form: the nonlinear graph Laplacian $Bρ(B^Tφ)=αd$, where a monotone edge law $ρ_e$ encodes the physics (undirected graphs; directed variants are future work). NLF solves it by a damped chord-Newton iteration whose frozen linearization \u0026ndash; a weighted graph Laplacian \u0026ndash; is inverted by a near-linear Laplacian solver (default: approximate Cholesky, LAMG+ interchangeable). The nonlinear solve costs $2$\u0026ndash;$4$ linear Laplacian solves, making the wall-clock empirically $O(m)$ in the edge count $m$ (not a proved bound). On single-commodity congestion (BPR cost), NLF converges on all 2,003 SuiteSparse corpus graphs up to $1.8\\times10^7$ edges. Against a state-of-the-art interior-point method, NLF is a median $2.6\\times$ faster where both converge and $\u003e45\\times$ on poorly-separable graphs where the IPM\u0026rsquo;s direct core is superlinear; against L-BFGS, a median $4.2\\times$ faster and the only solver to finish on the 90 hardest instances. A multicommodity extension routes $K$ commodities through one shared hierarchy at $O(Km)$ per step. The same machinery recovers the exact max-flow as a short sequence of Laplacian solves, with the cut potential as a by-product. Code: https://github.com/orenlivne/nlf\n11. Biot方程与摩擦接触力学耦合的数值分析 Numerical analysis of the Biot equations coupled to frictional contact mechanics\n作者: Marius Nevland, Kundan Kumar, Inga Berre, Jakub Wiktor Both, Eirik Keilegavlen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.02030v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.02030v1\n摘要: We consider a mathematical model of a poro-visco-elastic medium subject to frictional contact with a rigid obstacle, and study its numerical approximation. This model couples the Biot equations and contact conditions in the form of normal compliance and Coulomb friction. The resulting variational problem consists of a linear partial differential equation coupled to a nonlinear variational inequality. We propose and analyze a fully discrete numerical scheme for this problem, using conformal finite elements in space and the implicit Euler method in time. Existence and uniqueness of the discrete solution is established, and stability and a priori error estimates are derived. A numerical experiment is performed in which numerical error estimates are computed and compared to the theoretical results.\n12. 弹性固体中动态断裂的变分非局部相场模型 A Variational Nonlocal Phase-Field Model for Dynamic Fracture in Elastic Solids\n作者: Qing Cheng, Yuqi Sun, Xuejun Xu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.01881v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.01881v1\n摘要: We develop a variational nonlocal phase-field model for dynamic fracture in elastic solids. The proposed formulation is distinguished by three main features. First, the model is formulated through nonlocal kinematics and kernel-dependent function spaces, allowing weaker regularity requirements while recovering the classical local theory as the nonlocal interaction domain vanishes. Second, a nonlocal crack-surface functional is introduced as an integral counterpart of the Ambrosio\u0026ndash;Tortorelli regularization, so that the characteristic length of the diffusive crack is implicitly determined by the nonlocal interaction domain rather than by a prescribed length scale. Third, the degraded nonlocal elastic energy and the nonlocal crack-surface functional are combined into a variationally consistent dynamic fracture system, consisting of a nonlocal momentum balance and an irreversible nonlocal gradient-flow evolution law for the phase field. The coupled system is solved using two temporal discretization strategies: a structure-preserving scalar auxiliary-variable scheme and a staggered alternating scheme, both combined with finite element discretization in space. Numerical examples involving Mode-I fracture, dynamic crack branching, Kalthoff\u0026ndash;Winkler-type shear fracture, and fragmentation show that the proposed model captures complex crack initiation, propagation, branching, and interaction without explicit crack tracking. Quantitatively, the predicted crack-tip velocities remain below $0.6c_R$ in the dynamic branching and shear-loading tests, and the shear-loading benchmark gives an inclined crack path of approximately $48^\\circ$, consistent with the characteristic Kalthoff\u0026ndash;Winkler fracture pattern.\n13. 利用基于任务的并行化实现二维网格上的红黑高斯-赛德尔方法 Exploiting Task-Based Parallelism for the Red-Black Gauss-Seidel Method on 2D Grids\n作者: Shiting Long, Gustavo Ramirez-Hidalgo, Andreas Frommer, Dirk Pleiter\n类别: cs.DC, math.NA\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.01735v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.01735v1\n摘要: Gauss-Seidel is a well-established iterative method for the solution of linear systems, and multicoloring has been widely used to increase parallelism in iterative solution techniques. Implementing multi-color Gauss-Seidel with conventional divide-and-conquer parallelization strategies, however, may be inefficient due to global synchronization requirements and load imbalances. Task-based programming models can mitigate these issues by enabling fine-grained parallelism, removing global barriers and allowing updates of different colors to partially overlap in time. In this work, we implement the red-black Gauss-Seidel method using two task-based programming models and compare them with a classical divide-and-conquer parallel implementation to evaluate the impact of fine-grained parallelism on execution efficiency. The red-black scheme serves as a representative example, as task-based approaches naturally extend to more general multi-color schemes arising from unstructured grids and wider stencils. Using the solve of the 2D Poisson equation as benchmark, our results show that task-based implementations can achieve performance comparable to conventional divide-and-conquer parallelization while providing greater resilience to hardware-level asynchronicity.\n14. 通过低秩输运特征的保结构降阶建模 Structure-Preserving Reduced-Order Modeling via Low-Rank Transport Signatures\n作者: Jiajia Yu, Jingwei Hu, Fengyan Li, Shanyin Tong, Yunan Yang, Zhaiming Shen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.01696v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.01696v1\n摘要: Parametrized PDEs with density-valued solutions are often difficult to approximate with classical linear reduced-order models, especially in transport-dominated regimes. We introduce an optimal-transport-based reduced-order modeling that represents each density by the Kantorovich potential transporting a fixed reference density to the target density, and then maps these potentials to transport signatures using a weighted Laplacian associated with the reference measure. This embeds the density-valued solution map in a Hilbert space while preserving control of the induced transport maps and Wasserstein error. We treat the signature map as a continuous matrix indexed by parameters and space, construct a low-rank skeleton decomposition using a maximal-volume criterion, and learn the parameter-to-coefficient map with a neural network for efficient non-intrusive online evaluation. The reconstructed solution is obtained by pushing forward the reference density, so mass preservation is built into the method. We prove a mean-squared Wasserstein error bound separating low-rank approximation, discretization, sampling, and learning errors, and demonstrate the method on a two-dimensional continuity equation, where transport signatures yield substantially lower-rank structure than the original density snapshots.\n15. 电阻型浸入表面法与浸入边界法在主动脉瓣模拟中的比较分析 Comparative analysis of resistive immersed surface and immersed boundary methods for aortic valve simulation\n作者: Han Zhao, Alexander D. Kaiser, Fanwei Kong, Aaron L. Brown, Zinan Hu, David Codoni, Sujal Dave, Alison L. Marsden\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.01662v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.01662v1\n摘要: Numerical modeling of aortic valve dynamics is essential for understanding the complex fluid-structure interaction (FSI) governing valve biomechanics in health and disease. Immersed methods provide a flexible computational framework for simulating the large deformations of valve leaflets and associated blood flow without requiring body-fitted meshes. Among these approaches, the Resistive Immersed Surface (RIS) and Immersed Boundary (IB) methods are widely used. However, systematic comparative analysis of these methods for realistic aortic valve simulations has not been performed. In this work, we compare a prescribed-kinematics RIS workflow implemented in SimVascular\u0026rsquo;s svMultiPhysics solver with a fully coupled IB workflow using IBAMR for trileaflet and bicuspid aortic valve configurations. The RIS method represents the valve as a surface with prescribed kinematics embedded in the fluid domain and introduces a penalty force that drives the surrounding fluid velocity toward the prescribed leaflet velocity. This formulation reduces modeling complexity and provides useful hemodynamic predictions when representative leaflet kinematics are available. In contrast, the IB method models the leaflets as elastic structures fully immersed in the fluid domain and resolves leaflet deformation through fully coupled two-way FSI. The study focuses on the extent to which RIS reproduces bulk hemodynamic features and transvalvular pressure gradients. Results show that the RIS method captures the large-scale flow structures and predicts the mean transvalvular pressure gradient with a relative error within 15% of the fully coupled IB simulation, improving to within 5% when inlet boundary conditions are matched, while reducing computational cost by approximately 60%.\n16. 用于压缩感知光片显微镜的即插即用体积重建 Plug-and-Play Volumetric Reconstruction for Compressive Sensing Light-Sheet Microscopy\n作者: Jianqing Jia, Yi Gong, Xinyuan Zhang, Jichen Chai, Yichen Ding, Yifei Lou\n类别: cs.CV, math.NA\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.01654v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.01654v1\n摘要: We investigate volumetric reconstruction for compressive sensing light-sheet microscopy (CS-LSM), where fast volumetric imaging is achieved by encoding multiple axial planes into each camera exposure. To recover the underlying volume from highly multiplexed measurements, we propose a plug-and-play (PnP) framework that flexibly incorporates any user-specified denoiser into the reconstruction process. Building on a slice-based formulation, we further introduce an axial-coupled model that exploits correlations between adjacent slices to improve volumetric continuity. For efficient computation, we derive a Woodbury-based update for the data-consistency step in both the slice-based and axial-coupled formulations, and employ a Gauss-Seidel sweep for the denoising step in the axial-coupled model. Under a weakly convex regularization assumption, we establish subsequential convergence of the proposed algorithm. Experiments on synthetic and real zebrafish-heart data demonstrate that the proposed framework successfully recovers cellular structures from compressed measurements, and provide practical insights into the comparative performance of commonly used denoisers within the PnP framework under the CS-LSM setup.\n17. Fourier对角化的自然梯度与Sobolev镜像下降 Fourier-Diagonalized Natural Gradients and Sobolev Mirror Descent\n作者: Jeongbin Jo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.01634v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.01634v1\n摘要: We study natural-gradient updates whose metric operators are diagonalized by the Fourier transform and relate them to Sobolev mirror descent. Translation-invariant Fisher geometries and Sobolev mirror geometries share a common inverse-map structure in the spectral domain. The Fisher metric is represented by a positive Fourier symbol, while Sobolev mirror geometry corresponds to the specific Bessel-potential symbol associated with the Sobolev norm. When these symbols coincide, the natural-gradient and mirror-descent updates are identical; otherwise, Sobolev mirror descent provides a canonical spectral preconditioner for the Fisher inverse geometry. This gives a mathematical lens through which spectral filtering and truncation techniques in PDE and operator learning can be viewed as natural actions of inverse metric geometry. We introduce Spectral Natural Gradient, an FFT-based implementation of these geometric updates.\n18. 基于Gegenbauer重构的输运主导问题降阶模型后处理 Post-Processing Reduced-Order Models for Transport-Dominated Problems by Gegenbauer Reconstruction\n作者: Lei Yan, Yan Jiang, Chi-Wang Shu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-02\narXiv ID: 2607.01619v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.01619v1\n摘要: In this paper, we develop a physics-based post-processing technique for data-driven reduced-order models (ROMs) of transport-dominated problems. Besides the slow decay of the Kolmogorov n-width, ROMs based on globally supported bases often produce unphysical oscillations when approximating solutions with shocks or sharp gradients, a phenomenon analogous to Gibbs oscillations in spectral approximations. To address this issue, we introduce a post-processing framework based on Gegenbauer polynomial reconstruction. The key idea is to re-project the ROM solution onto a Gegenbauer polynomial basis over each interval of analyticity. Originally developed for spectral approximations, Gegenbauer reconstruction achieves spectral accuracy while effectively suppressing Gibbs oscillations. We extend this technique to data-driven ROMs and consider three representative approaches: Proper Orthogonal Decomposition (POD)-Galerkin ROM, Operator Inference (OpInf), and nonlinear manifold ROMs based on convolutional autoencoders (CAE). Numerical results show that the proposed post-processing consistently removes spurious oscillations and substantially improves solution quality for all three ROMs. For one-dimensional problems, the method is straightforward to implement once discontinuities are detected. We further develop a practical extension to two-dimensional problems using line-by-line reconstruction in each coordinate direction. Extensive numerical experiments demonstrate that the proposed method reduces errors by up to one or two orders of magnitude for inviscid transport problems and significantly outperforms total variation regularization in both numerical accuracy and the sharp resolution of discontinuities.\n19. 一种用于有限快照数据参数化偏微分方程的谱子空间增强POD-Galerkin方法 A spectral-subspace-augmented POD-Galerkin method for parametrized PDEs with limited snapshot data\n作者: Tianhao Hu, Zecheng Gan\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.01534v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.01534v1\n摘要: Parametrized partial differential equations (PDEs) arise in many-query simulation, optimization, control, and uncertainty quantification, where repeated full-order solves restrict the number of high-fidelity snapshots that can be generated. This limitation is particularly pronounced in computational energy science, where multiscale models of porous-media flow, transport, and energy materials often make large snapshot datasets impractical. Proper orthogonal decomposition (POD) constructs compact reduced bases from solution snapshots, but it may exhibit limited out-of-sample predictive capability when the snapshots insufficiently sample the solution manifold. To address this limitation, we propose a spectral-subspace-augmented POD-Galerkin method (SS-POD) tailored to limited-data regimes. SS-POD starts from a problem-adapted spectral approximation space, partitions it into orthogonal subspaces, and performs POD locally on the projected snapshot matrices. An energy-balancing rule determines the spectral partition so that the resulting local POD problems are assigned comparable amounts of snapshot energy. For nonlinear parametrized PDEs, SS-POD is coupled with the discrete empirical interpolation method (DEIM). Numerical experiments show that SS-POD improves out-of-sample accuracy over standard POD-Galerkin while retaining compact reduced bases in limited-snapshot regimes. In particular, for a Laplace-Beltrami problem on the unit sphere with only 5 snapshots, SS-POD achieves a relative error of $3.9*10^{-8}$ using 91 basis functions, whereas the standard POD error saturates at $7.8*10^{-4}$ and the spectral-Galerkin method requires 256 basis functions for comparable accuracy. These results indicate that SS-POD provides an effective strategy for high-fidelity reduced-order modeling from limited snapshot data.\n20. 几何感知的 R-结构 Kolmogorov-Arnold 网络 Geometry-Aware R-Structured Kolmogorov-Arnold Networks\n作者: Sergei Kucherenko, Nilay Shah\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.01449v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.01449v1\n摘要: We propose a novel hybrid neural architecture, the Geometry-aware R-Structured Kolmogorov-Arnold Network (GRS-KAN), which integrates V.L.Rvachev\u0026rsquo;s R-functions into the Kolmogorov-Arnold Network (KAN) framework. The proposed approach combines two complementary modeling mechanisms: smooth nonlinear structure is learned by KAN branches, while known geometric or logical constraints are encoded analytically using differentiable R-functions. This enables explicit representation of discontinuities, feasible regions, and implicit geometric boundaries within a trainable neural architecture. The framework implements differentiable logical operations through R-conjunctions and R-disjunctions, allowing complex geometric supports to be represented analytically and incorporated directly into regression models. Several GRS-KAN variants are introduced, including additive, multiplicative, and agnostic branch-weighted architectures. The method is demonstrated on regression problems involving discontinuities with circular and rectangular supports. Numerical experiments show that explicit geometric encoding substantially improves predictive accuracy and boundary localization compared with standard KANs. In the considered benchmarks, geometry-aware GRS-KAN models reduce test RMSE by up to 67% while simultaneously improving interpretability through explicit analytical representation of the learned geometric structure. The agnostic variant further demonstrates the ability to automatically determine whether geometric priors are beneficial for a given learning task.\n21. Fredholm\u0026ndash;留数选择非定常Kutta振幅 Fredholm\u0026ndash;residue selection of the unsteady Kutta amplitude\n作者: Jiguang Yu, Louis Shuo Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.01403v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.01403v1\n摘要: We give an operator-theoretic interpretation of unsteady Kutta selection in trailing-edge acoustic receptivity. The inviscid acoustic\u0026ndash;wake problem leaves one outgoing wake amplitude undetermined. We show that, under explicit structural hypotheses, this amplitude is the same scalar obtained from three representations: cancellation of the inverse-square-root edge singularity, Fredholm compatibility of the viscous lower-deck problem, and the residue of the Kutta-normalized transform solution at the downstream wake pole: $\\displaystyle A = -\\frac{C_-^{(0)}}{C_-^{(KH)}} = -\\frac{\\langle \\mathbf F_{\\rm inc},Ψ^\\ast\\rangle}{\\langle \\mathbf F_{KH},Ψ^\\ast\\rangle} = i\\operatorname*{Res}_{α=α_{KH}}\\mathcal M(α)$. The inner Fredholm\u0026ndash;edge mechanism is verified exactly in a linear-shear lower-deck model, where the primal shear and adjoint velocity are Airy fields and the edge concomitant is nonzero outside a discrete resonance set.\n22. 基于宏观和微观分量解分解的混合双层输运方法 Hybrid Two-Level Transport Method with Solution Decomposition in Macro and Micro Components\n作者: Caleb A. Shaw, Dmitriy Y. Anistratov\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.01346v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.01346v1\n摘要: This paper presents a new hybrid MC/deterministic method for solving the one-group steady-state Boltzmann transport equation based on decomposition of solution in macro and micro components. The macro component captures the large-scale structure of the solution. It is represented by angular moments of the high-order transport solution. The $P_1$ approximation is applied to define the macro component. The first two angular moments are obtained as a solution of hybrid low-order moment equations with exact closures. The equation for the micro component is solved using a MC simulation. The hybrid two-level system of equations for macro and micro components is solved by fixed-point iteration scheme. Numerical results are presented to demonstrate variance reduction of stochastic numerical solution and improvement in computational efficiency.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-03_10-19-59/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月03日 10:19:59\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 5\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 22\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-有限应变弹性的一种统一-cutfem-格式能量极小化与角点奇性\"\u003e1. 有限应变弹性的一种统一 CutFEM 格式：能量极小化与角点奇性\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eA Unified CutFEM Formulation for Finite-Strain Elasticity: Energy Minimisation and Corner Singularities\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年07月03日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月02日 10:22:39\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 5\n不相关论文数量: 23\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 多胞体上多调和方程的可杂交交错间断有限元方法 Hybridizable Staggered Discontinuous Galerkin Methods for Polyharmonic Equations on Polytopes\n作者: Long Chen, Xuehai Huang, Yule Sun, Shudan Tian\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00831v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00831v1\n摘要翻译 中文标题: 多胞体上多调和方程的可杂交交错间断有限元方法\n摘要翻译: 针对 $\\mathbb R^d$ 中形状正则的多胞体网格上的任意阶多调和方程 $(-\\Delta)^m u=f$，对任意 $m\\ge1$, $d\\ge2$ 和多项式次数 $k\\ge0$，发展了可杂交交错间断有限元方法。该方法利用混合变量 $\\sigma=\\nabla^m u$ 以及交错的主-对偶网格，对标量和张量未知量施加互补的连续性，且无需 $d\\ge m$ 等限制。局部迹和 bubble 函数加富在无需增加全局未知量的情况下稳定低阶张量空间。杂交化将张量变量局部化，并产生一个等价的无稳定化弱伽辽金形式。证明了适定性和最优能量误差估计，在四边形和四面体网格上的数值实验验证了预测的收敛率。\n2. 三角形网格上对流方程的埃尔米特半拉格朗日格式 Hermite Semi-Lagrangian schemes on triangular meshes for advection equations\n作者: Ali Elarif, Michel Mehrenberger, Laurent Navoret\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00619v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00619v1\n摘要翻译 中文标题: 三角形网格上对流方程的埃尔米特半拉格朗日格式\n摘要翻译: 基于Bell和Argyris有限元，针对对流方程在非结构三角形网格上提出了高阶埃尔米特半拉格朗日格式。节点型半拉格朗日格式同时输送点值、梯度和海森矩阵，而投影型半拉格朗日格式本质上是具有直的剩余后向三角形和共享自由度的半拉格朗日间断伽辽金格式（SLDG）。通过数值实验对不同格式进行了稳定性和收敛性研究。\n3. 边界积分方程的多层随机梯度神经求解器 A multilevel stochastic-gradient neural solver for boundary integral equations\n作者: Bing-Ze Lu, Richard Tsai\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00560v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00560v1\n摘要翻译 中文标题: 边界积分方程的多层随机梯度神经求解器\n摘要翻译: 我们针对第二类边界积分方程开发了一种多层随机梯度神经求解器。未知密度由一个多层感知器表示，该感知器通过在逐渐细化的求积网格阶梯上最小化 Nyström 离散的残量来训练，每一层均从前一层的参数进行热启动。每一步仅需在配置点的 mini-batches 上进行稠密矩阵-向量乘积以及网络的前向传递，这些操作可直接映射到 GPU 硬件上。残量收缩由经验神经正切核 (NTK) 控制，它是单个连续核的离散采样。在固定网格上，一旦残量集中于网络收缩缓慢的模式，训练就会停滞，这一平台现象由频率原理描述；谱分析解释并实验证实了细化求积如何解析更多连续核的频谱并将这些模式带回优化器的可及范围。因此，谱偏置——在其他场合是神经求解器的障碍——在此充当了多重网格型迭代的光滑器，其中求积细化代替了粗网格校正。在网络具有一致正则性有界假设下，总计算量是最细网格上工作量的常数倍，而离散第二类算子的一致良态性使得 NTK 成为唯一决定速率的谱，同时将训练残量转化为后验误差界。针对内部 Dirichlet Laplace/Poisson 问题和外部 Neumann Helmholtz 问题的实验，使用参数化表面和带符号距离函数表面表示，在可比容差下与 GMRES 的比较展示了所提出方法的有效性和效率。\n4. 对于具有p-Laplacian型扩散的非线性抛物型方程的非标准有限差分格式 A Nonstandard Finite Difference Scheme for a Nonlinear Parabolic Equation with p-Laplacian-Type Diffusion\n作者: Achraf Zinihi, Matthias Ehrhardt, Moulay Rchid Sidi Ammi\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00489v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00489v1\n摘要翻译 中文标题: 对于具有p-Laplacian型扩散的非线性抛物型方程的非标准有限差分格式\n摘要翻译: 我们针对一维和二维空间域中包含p-Laplacian型扩散算子的非线性抛物型方程，提出并分析了一种非标准有限差分（NSFD）格式。遵循Mickens的设计原则，该离散化采用非线性分母函数phi(.)以及对非线性扩散项Delta_p的非局部逼近，从而产生一个保结构的离散模型。该格式旨在保留连续问题关键的定性性质，包括正性、有界性和稳定性，这些性质可能会被标准有限差分法（FDM）丢失。我们建立了连续模型的适定性，推导了NSFD格式，并研究了其一致性、收敛性和局部截断误差。数值实验证实了理论结果，并表明与标准显式FDM不同，即使对于相对较大的时间步长，所提出的NSFD格式也能避免伪振荡和非物理的负解。\n5. 保持松弛原始能量耗散律的相场模型松弛拉格朗日乘子（RLM）格式 Relaxed Lagrange Multiplier (RLM) Schemes for Phase Field Models Preserving the Relaxed Original Energy Dissipation Law\n作者: Xiaobo Jing, Jia Zhao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00355v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00355v1\n摘要翻译 中文标题: 保持松弛原始能量耗散律的相场模型松弛拉格朗日乘子（RLM）格式\n摘要翻译: 相场模型通常由自由能泛函的变分原理导出，并广泛用于模拟科学和工程中的复杂多相现象。设计这些模型数值格式的一个核心目标是保持其内在的能量耗散律。本文提出一类用于相场模型的松弛拉格朗日乘子（RLM）格式。与常用的标量辅助变量（SAV）和不变能量二次化（IEQ）方法不同，这些方法耗散一个涉及辅助变量的修正能量，而RLM格式耗散的是原始能量的一个松弛版本，并紧密追踪原始能量耗散率。与经典拉格朗日乘子（LM）方法相比，RLM格式保证了所得离散系统在较宽的时间步长范围内具有唯一可解性。关键思想是在LM公式中增加一个松弛项，从而得到关于乘子的一个标量二次方程，具有显式闭式解。所得格式是线性的且高效，因为每个时间步仅需求解两个常系数线性系统，其计算代价与SAV格式相当。我们构造了一阶和二阶变体，并证明了其能量稳定性。数值实验验证了预期的收敛阶，并表明RLM格式能精确捕捉界面动力学。\n不相关论文（基本信息） 1. GAIA: 面向正反问题的几何自适应算子学习 GAIA: Geometry-Adaptive Operator Learning for Forward and Inverse Problems\n作者: Meenakshi Krishnan, Pranav Pulijala, Ke Chen, Haizhao Yang, Ramani Duraiswami\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.01128v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.01128v1\n摘要: Operator learning for partial differential equations (PDEs) on arbitrary geometries builds fast neural surrogates for large-scale simulation. Although recent geometry-adaptive neural operators have made substantial progress, they are mainly designed for forward problems in which inputs and outputs share the same spatial domain. This limits their applicability for boundary value problems (BVPs) and inverse problems, where inputs and outputs may live on different domains. We introduce the Geometry-Adaptive Integral Autoencoder (GAIA), an operator learning model that encodes the domain boundary and the interior field distribution into geometry tokens, and conditions integral transform layers on these tokens via cross-attention, allowing the kernel to adapt locally to geometric features. This yields a single architecture for forward (including BVPs) and inverse problems on arbitrary domains in one pass, without retraining, iterative optimization, or graph construction. We evaluate GAIA on seven 2D and 3D benchmarks, four of which are new or substantially extended benchmarks for inverse problems and BVP: electrical impedance tomography, optical tomography, 3D Darcy flow on varying geometries, and a modified setting of Poisson BVP on mechanical components benchmark (MCB). GAIA sets new state-of-the-art results on every inverse and BVP task, reducing median relative $L^2$ error by 64% on airfoil flow reconstruction and 27% on EIT relative to the next best amortized method, and outperforming all baselines on every shape category of MCB. On other forward problems, GAIA is competitive with specialized solvers while maintaining stable accuracy across point resolutions on which transformer-based baselines degrade.\n2. 原子核中 QRPA 强度函数的 Lanczos 方法 Lanczos Method for QRPA Strength Functions in Atomic Nuclei\n作者: Dong Min Roh, Chao Yang, Jonathan Engel, Matthew L. Dai\n类别: physics.comp-ph, math-ph, math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.01114v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.01114v1\n摘要: We present a symmetric Lanczos method for computing charge-changing QRPA strength functions in atomic nuclei. Starting from the finite-amplitude-method formulation of the QRPA linear-response problem, we derive equivalent spectral representations and, in the real case, a reduced eigenvalue problem involving the matrix products $MK$ and $KM$, where $M\\equiv A+B$ and $K\\equiv A-B$ are formed from the usual QRPA matrices $A$ and $B$. The resulting formulation enables a matrix-free Lanczos approximation of the Lorentzian-smeared strength function over a broad energy interval from a single Krylov run, in contrast to conventional frequency-by-frequency response calculations. Numerical tests for $^{112}$Sn and $^{150}$Nd first show that GMRES reproduces the converged iterative FAM strength profiles while requiring fewer iterations. Using GMRES as the frequency-by-frequency reference, we then show that the Lanczos approximation reproduces the same strength profiles with reduced overall cost. These results indicate that symmetric Lanczos projection provides an efficient and accurate approach for QRPA strength-function calculations when spectral information is required over an extended frequency range.\n3. 通过单调输入凸神经网络压缩各向同性函数的多凸包络 Compression of Polyconvex Envelopes of Isotropic Functions via Monotonic Input Convex Neural Networks\n作者: Timo Neumeier, Julian Salmon\n类别: math.NA, cs.CE\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.01055v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.01055v1\n摘要: This work presents a novel neural-network compression approach for polyconvex envelopes of isotropic functions. The approach relies on a classical sufficient criterion for polyconvexity and is particularly suited for the representation of determinant-constrained energy densities arising in non-linear elasticity. Compared with existing compression methods based on the necessary and sufficient characterisation of polyconvex isotropic functions, the proposed framework reduces computational costs, due to the domain reduction through the restriction to the positive octant in the singed singular value space. The underlying neural-network architecture employs input-convex neural networks (ICNNs) with non-negative weight constraints to enforce the required convexity and monotonicity properties. The additional symmetry and inequality conditions characterising the polyconvex envelope are incorporated weakly through the loss function during training. Although the employed criterion is only sufficient and thus generally yields only a lower bound on the polyconvex envelope, numerical experiments based on the classical Saint Venant\u0026ndash;Kirchhoff energy demonstrate that the proposed approach produces accurate approximations in practice while offering a computationally more efficient alternative to existing methods.\n4. PICNN辅助的保物理格式用于多孔介质热力学一致两相流 The PICNN-Assisted Physics-Preserving Scheme for Thermodynamically Consistent Two-Phase Flow in Porous Media\n作者: Yuanshuo Kong, Xue Wang, Yujing Yan\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.01020v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.01020v1\n摘要: In this paper, we develop a physics-informed convolutional neural network (PICNN) assisted physics-preserving method for a thermodynamically consistent model of incompressible and immiscible two-phase flow in porous media. Following the physics-preserving prediction-correction scheme of Li et al. \\cite{li2025class}, the prediction step is performed by a PICNN trained with finite-volume residuals, where the interfacial fluxes are evaluated by the two-point flux approximation (TPFA) using two-point difference quotients of neighboring cell-centered unknowns to approximate interfacial normal gradients. The PICNN output is further corrected by a post-processing procedure to obtain energy-stable, mass-conservative, and bounds-preserving solutions. Numerical results show that the finite-volume residuals trained PICNN can replace the traditional prediction solver within the physics-preserving framework. Compared with conventional physics-informed neural networks (PINNs), the PICNN better captures local spatial interactions between each control volume and its neighboring cells, while the finite-volume residuals accommodate discontinuous permeability fields and interfacial flux continuity.\n5. 基于分层半可分矩阵的二维第二类非均匀离散傅里叶逆变换的直接超快速求解器 A Superfast Direct Solver for 2D Type-II Inverse Nonuniform Discrete Fourier Transform Based on Hierarchically Semiseparable Matrix\n作者: Yingzhou Li, Jingyu Liu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00928v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00928v1\n摘要: This paper proposes a direct inversion method for the 2D type-II nonuniform discrete Fourier transform~(NUDFT). The NUDFT matrix $A$ is factored as $A = G F$, where $G$ can be expressed as a kernel matrix and $F$ is the 2D DFT matrix. We show that $G$ can be approximated by a hierarchically semiseparable~(HSS) matrix and give an estimate of the HSS rank. Then, using the least-squares solver for HSS matrix and the two-dimensional inverse fast Fourier transform, the inverse NUDFT problem can be solved efficiently. Our algorithm has an offline complexity of $O\\bigl(M+ N^{3 / 2} \\log^{3} N\\bigr)$ where $M$ and $N$ are the size of rows and columns of the NUDFT matrix, respectively. Once the direct solver is built, it can be applied to a vector with an online complexity of $O\\bigl(M+ N \\log^{3} N\\bigr)$. The proposed method can be used as a preconditioner for iterative methods, especially when the sample points are distributed on a grid such that $A$ is ill-conditioned. Numerical results are provided to show the scaling performance of the inversion method and demonstrate the efficiency and robustness of it as a preconditioner.\n6. 具有分离空间变量的PGD降阶模型的认证 Certification of PGD reduced-order models with separated spatial variables\n作者: Jean Ruel, Ludovic Chamoin, Frédéric Legoll, Arthur Lebée\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00896v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00896v1\n摘要: Model order reduction techniques have become an attractive approach for obtaining fast approximations of multidimensional problems. Besides computational efficiency, ensuring the reliability of the resulting approximations is of primary importance. This work focuses on the certification of PGD-based reduced-order models based on the separation of spatial variables, which are particularly well suited to plate and shell geometries. Considering diffusion problems defined in plate-like domains, we introduce a guaranteed global error estimate associated with the PGD approximation. To this end, the error bounds are derived from the Constitutive Relation Error (CRE) method. The main difficulty of this approach lies in the construction of equilibrated fluxes, for which a dedicated procedure is proposed. Based on the resulting estimator, an adaptive strategy is developed to control both the discretization error and the number of PGD modes. This certification procedure is further extended to the error control in quantities of interest. We provide several numerical examples illustrating the reliability and efficiency of our procedure.\n7. 用于无网格有限差分法的重叠区域分解 Overlapping Domain Decomposition for Meshless Finite Difference Methods\n作者: Alexander Westermann, Oleg Davydov, Stefan Turek\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00842v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00842v1\n摘要: Schwarz type domain decomposition methods generally require a partition of unity to combine solutions on subdomains. However, in mesh-based methods it is common to organize subdomains with minimal overlap, if any, which is facilitated by the availability of a mesh. This study analyzes how the continuity of the partition of unity affects the algebraic Schwarz method for Poisson and Stokes equations from a meshless point of view, whereby the underlying differential operators are discretized using the radial basis function finite difference (RBF-FD) method. We demonstrate numerically that, in this setting, small overlaps improve the performance of the domain decomposition, leading to smaller iteration counts, and therefore no disjoint partitioning technique is required.\n8. 基于代理面的分布式内存系统 TE 模式散射问题快速直接求解器 Proxy-surface-based fast direct solver for TE-mode scattering problems on distributed memory systems\n作者: Yasuhiro Matsumoto, Rio Yokota\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00790v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00790v1\n摘要: This paper describes an MPI/OpenMP hybrid parallelized fast direct solver for the scattering problem of transverse electric (TE)-mode electromagnetic waves. Because TE-mode scattering can be reduced to the two-dimensional Helmholtz equation, solvers based on the hierarchically semiseparable (HSS) representation are highly attractive due to their high parallel efficiency. However, as the HSS representation applies low-rank approximations to all off-diagonal blocks, it exhibits poor compatibility with high-order discretization methods. We developed a fast direct solver with $O(h^3)$ convergence for Helmholtz transmission problems, whereas conventional HSS solvers typically yield only $O(h)$ convergence (where $h$ represents intervals between the quadrature nodes). It is based on the weakly singular Burton-Miller boundary integral equation and the Nyström method with a one-point correction. Furthermore, recognizing that matrix component calculation, rather than matrix factorization, dominates the total computational time of HSS-type boundary integral solvers, we introduced a load-balancing method to maximize parallel efficiency. Numerical results demonstrate that the direct solver achieves high-accuracy convergence and nearly ideal strong and weak scalabilities.\n9. 使用时间并行采样加速离散扩散模型 Accelerating Discrete Diffusion Models with Parallel-In-Time Sampling\n作者: Yu Yao, Huanjian Zhou, Andi Han, Wei Huang, Masashi Sugiyama\n类别: cs.LG, cs.DC, cs.DS, math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00773v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00773v1\n摘要: Discrete diffusion models are widely used for learning and generating discrete distributions. As the generation process is inherently sequential, the acceleration of sampling is of significant importance. In this work, we parallelize the mainstream $τ$-leaping algorithm for absorbing discrete diffusion in a Continuous-Time Markov Chain (CTMC) framework. By leveraging the continuous-time stochastic integral form of the $τ$-leaping algorithm and the Picard iteration method, we achieve parallel-in-time sampling acceleration and provide a proof of exponential-factorial convergence for our algorithm. We improve the overall time complexity of $τ$-leaping under absorbing settings from ${\\mathcal{O}}(d \\log S)$ to ${\\mathcal{O}}(\\log (d\\log S)\\cdot \\log d)$ with respect to NFE. Empirically, our method shows consistent acceleration across synthetic and real-data settings. The new sampler achieves at most $7$\u0026ndash;$9\\times$ runtime speedup for synthetic distribution, and maintains the same quality with $50\\%$ fewer NFE and $1.45$\u0026ndash;$1.86\\times$ runtime speedups in image/text tasks on a single GPU. Our research expands the potential of discrete diffusion models for efficient parallel inference, with broader implications for applications such as molecular structure and language generation.\n10. 用于多物种Keller-Segel趋化系统的线性、解耦保正的时间交错块中心有限差分方法 A linear, decoupled and positivity-preserving time-staggered block-centered finite difference method for the multi-species Keller-Segel chemotaxis system\n作者: Ao Zhang, Bingyin Zhang, Hongfei Fu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00713v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00713v1\n摘要: In this paper, we present a linearly implicit, second-order block-centered finite difference (BCFD) prediction-then-projection scheme for the multi-species Keller-Segel chemotaxis system on non-uniform spatio-temporal grids. The proposed scheme integrates a standard Crank-Nicolson time-marching algorithm with an $L^2$ projection step to enforce positivity and mass conservation. The use of variable time stepsize and time-staggered discretization fully decouples the solutions of the multi-species cell density variables and the chemoattractant concentration variable while facilitating linearization, thereby greatly enhancing computational efficiency. Notably, the variable time-stepping algorithm and non-uniform grid BCFD discretization jointly enable adaptive resolution and local refinement near blow-up, thereby improving efficiency and accuracy without compromising the desired physical property-preserving in the simulation. Furthermore, using the mathematical induction method and the energy analysis approach, the unique solvability of the proposed scheme is rigorously proved, and we show that cell densities achieve second-order convergence in both time and space in the discrete $L^2$ norm, while the chemoattractant concentration achieves second-order convergence in the discrete $H^1$ norm. Representative numerical experiments are presented to validate the theoretical findings and demonstrate the reliability of the proposed scheme in simulating the blow-up phenomenon.\n11. 基于对偶加权残量法的Navier\u0026ndash;Stokes方程目标导向时空自适应 Goal-oriented space-time adaptivity for the Navier\u0026ndash;Stokes equations based on the dual weighted residual method\n作者: Marius Paul Bruchhäuser, Nils Margenberg, Markus Bause\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00686v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00686v1\n摘要: This work presents a goal-oriented a posteriori error estimator based on the Dual Weighted Residual (DWR) method together with space-time mesh adaptivity for the Navier\u0026ndash;Stokes equations. The resulting nonlinear algebraic systems on the space-time slabs are solved by Newton\u0026rsquo;s method with GMRES, preconditioned by a slab-wise geometric multigrid method. This combination yields reliable control of target quantities on computationally feasible space-time meshes together with a robust and efficient solution of the algebraic systems. The implementation is based on a MPI-parallel programming model in the deal.II library. Further ingredients are a discontinuous Galerkin discretization in time and inf-sup stable finite element pairs with discontinuous pressure on tensor-product meshes. The performance of the approach is investigated in benchmark computations with regard to accuracy, efficiency, and stability.\n12. 基于de Rham复形的无惩罚自然深度里茨方法求解高维狄利克雷边值问题 Penalty-Free Natural Deep Ritz Method Based on de Rham Complex for High-Dimensional Dirichlet Boundary Value Problems\n作者: Jiarong Chen, Xia Ji, Haijun Yu, Shuo Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00676v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00676v1\n摘要: Deep neural networks show great promise for high-dimensional PDEs, yet enforcing essential boundary conditions remains challenging, especially as penalty parameters require problem-specific retuning with increasing dimensionality. In this work, we extend the Natural Deep Ritz Method (NatDRM) [H. Yu and S. Zhang, J. Comput. Phys., 537 (2025)] to a unified framework for all dimensions $d \\geq 2$ based on the de Rham complex and its penalty-free boundary decomposition: curl-type operators act on scalar potentials in 2D, vector potentials in 3D, and antisymmetric second-order tensor potentials in $d \\geq 4$, respectively. This method converts Dirichlet constraints into three coupled natural (Neumann-type) subproblems with corresponding Ritz-type losses, eliminating the need for a boundary penalty parameter $β$. We derive dimension-unified discrete losses, lightweight boundary-based gauge-fixing regularizations to resolve curl-kernel non-uniqueness, and a joint training procedure; extensions to variable-coefficient elliptic and semilinear Poisson problems are formulated at the first subproblem level. Numerical experiments on smooth benchmarks up to 6D show that NatDRM, without any penalty tuning, matches or exceeds the accuracy of optimally tuned DRM and PINN in most cases. It converges stably in 6D where penalized DRM fails for most penalty values, and exhibits synchronous decay of interior and boundary errors, resolving the inherent imbalance of penalty-based methods.\n13. 卷积对称自编码器：通过微分几何增强隐空间稳定性 Convolutional Symmetric AutoEncoders: enhancing latent stability via differential geometry\n作者: G. Li Causi, N. Tonicello, L. Magri, G. Rozza\n类别: math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00669v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00669v1\n摘要: Autoencoders (AEs) have emerged as powerful tools for non-linear dimensionality reduction, often surpassing traditional linear methods such as Proper Orthogonal Decomposition (POD) in scenarios characterized by slowly decaying Kolmogorov $n$-widths. In the realm of Reduced-Order Modelling (ROM), these models are increasingly utilized to learn low-dimensional representations of solution manifolds associated with parametric Partial Differential Equations (PDEs). However, the high expressivity of AEs presents a challenge: although trained networks typically minimize reconstruction error, they often struggle to capture the essential properties necessary for building accurate and robust ROMs. Recent works by arXiv:2307.15288v2 and arXiv:2506.11641v1 have tackled this challenge in fully connected AEs by proposing representation-consistent architectures, which preserve some of the properties belonging to POD. This study builds upon that concept by extending representation consistency for convolutional layers. We introduce a novel class of symmetric Convolutional AutoEncoders (CAEs) designed to embody the primary properties of manifold parametrization mappings. When integrated into a ROM framework, this architecture demonstrates significantly improved predictive capabilities. Specifically, we compared the performance of the ROMs based on classical and symmetric CAEs on three one dimensional academic test cases, namely the Linear Advection, the Viscous Burger and the Kuramoto Sivashinsky equation. Numerical results demonstrate that our proposed symmetric approach consistently yields more accurate latent trajectories, lower reconstruction errors, and enhanced model robustness.\n14. 一种用于随机Lyapunov矩阵方程的带最优参数的内外迭代算法 An Inner-Outer Iteration Algorithm with Optimal Parameters for Stochastic Lyapunov Matrix Equation\n作者: Donghuan He, Xiaowen Su, Feng Wang, Xuesong Chen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00451v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00451v1\n摘要: This paper proposes an inner\u0026ndash;outer (IO) iterative algorithm with optimal parameters for solving stochastic Lyapunov matrix equation associated with discrete-time stochastic linear system. First, under the assumption that the underlying stochastic linear system is asymptotically mean-square stable, the monotonicity and boundedness of the iterative sequence generated by the proposed algorithm are analyzed. On this basis, a sufficient convergence result is established for the zero initial condition. Second, by deriving the spectral radius of the corresponding iteration matrix, several necessary and sufficient convergence conditions are obtained for arbitrary initial conditions. In addition, the optimal parameter-selection strategies are developed to improve the convergence performance of the algorithm. Finally, numerical examples are presented to verify the theoretical results and demonstrate the advantages of the proposed algorithm over several existing iterative methods.\n15. 通过匹配传输算子与不变测度的数据自适应动力系统学习 Data-Adaptive Learning of Dynamical Systems by Matching Transfer Operators and Invariant Measures\n作者: Yinong Huang, Jonah Botvinick-Greenhouse, Yunan Yang\n类别: math.NA, math.DS\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00391v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00391v1\n摘要: Trajectory-based learning of dynamical systems is often fragile in the presence of noise, chaos, or sparse observations, as small pointwise errors can rapidly amplify. We introduce a transition-statistics approach to system identification that learns dynamics by matching the induced motion of probability mass across a data-adaptive mesh. Given trajectory data, we build an unstructured partition of state space and approximate the Perron\u0026ndash;Frobenius operator with a regularized Ulam transition matrix. We replace hard cell indicators with continuous, piecewise-smooth partition-of-unity weights, yielding a Markov matrix supporting gradient-based optimization with respect to the parameters of a learned vector field. This enables two related training objectives: matching invariant measures through the stationary eigenvectors of the transition matrices, and matching the full transition matrices to capture transport between regions of state space. Numerical experiments on Lorenz-63, Lorenz-96, and a reduced-order NOAA sea surface temperature forecasting problem show that transition-statistics matching gives more reliable long-time dynamics than pointwise trajectory matching, particularly under measurement noise and sparse sampling. The approach provides a robust operator-theoretic alternative to trajectory-level losses for learning chaotic and partially observed dynamical systems.\n16. 非线性薛定谔方程的指数低正则性Parareal算法 Exponential Low-Regularity Parareal Algorithms for Nonlinear Schrödinger Equations\n作者: Qingle Lin, Zhi Zhou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00384v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00384v1\n摘要: The parareal algorithm is one of the most widely studied parallel-in-time methods for the numerical approximation of time-dependent problems. For non-diffusive equations, however, standard parareal methods may converge slowly or even become unstable due to the absence of damping, while nonlinear interactions can transfer and amplify phase errors across Fourier modes. In this work, we consider the nonlinear Schrödinger equation (NLS) as a representative non-diffusive model and analyze parareal algorithms with an exact fine propagator, with particular emphasis on the design of suitable coarse propagators. We establish a general convergence framework, valid for solutions with limited regularity, under stability and local truncation error assumptions on the coarse propagator. These assumptions are verified for selected exponential low-regularity integrators designed for one-dimensional quadratic and cubic NLS equations, which achieve optimal approximation orders without derivative loss. To the best of our knowledge, this is the first construction of parareal algorithms for NLS equations that are provably linearly convergent, with a contraction factor proportional to the coarse time-step size even for solutions of limited regularity. Numerical experiments on quadratic, cubic, and quintic NLS equations demonstrate rapid convergence and improved performance over parareal variants using classical coarse propagators, including Lie and Strang splitting methods and first- and third-order exponential Runge\u0026ndash;Kutta integrators.\n17. 物理信息神经网络用于非线性延迟微分方程 Physics Informed Neural Networks for Nonlinear Delay Differential Equations\n作者: Stone Yao, Vipin Kumar, Roberto Guglielmi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00380v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00380v1\n摘要: In this paper we propose a novel physics-informed neural network framework for solving general first-order delay differential equations. Our approach combines a differentiable history switch, a trial-solution formulation that explicitly enforces history constraints, and a segmented collocation strategy to stabilize gradient propagation across large temporal domains. The method enables a scalable and physics-consistent approximation of delay differential equation solutions while maintaining continuity across subintervals. Numerical experiments demonstrate the effectiveness of the proposed method.\n18. WarpagePINN: 基于两阶段物理信息神经网络的先进封装热翘曲预测 WarpagePINN: Thermal Warpage Prediction in Advanced Packaging via a Two-Stage Physics-Informed Neural Networks\n作者: Xinyu Li, Min Tang, Zeyu Sun, Wenxing Zhu, Jianhua Zhang, Liang Chen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00364v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00364v1\n摘要: Thermal warpage has become a critical issue in advanced packaging, primarily caused by the mismatch in coefficients of thermal expansion (CTE) among heterogeneously integrated materials. However, only a limited number of studies have focused on developing computational methods for coupled thermal-warpage prediction in the chiplet. This paper proposes a two-stage physics-informed neural network (WarpagePINN) framework to compute both temperature profile and warpage deformation of chiplets. The neural networks are trained without relying on labeled datasets generated by conventional simulators. In the first stage, the temperature field is modeled using a Fourier series representation that inherently satisfies boundary conditions, and the network is trained solely through a loss function derived from the governing equation. In the second stage, a multilayer perceptron (MLP) is employed for warpage prediction, utilizing a novel hybrid supervisory strategy to optimize the energy-based loss function instead of residual loss. A parametric WarpagePINN is also developed to quantify uncertainties associated with the CTE. Numerical results show that the proposed WarpagePINN framework achieves excellent agreement with conventional finite element methods, with a mean absolute error (MAE) of 0.2 μm, while achieving a speedup of approximately 1000 {\\times} in CTE parameterization studies.\n19. 半经典Dirac方程的时间分裂方法的严格分析 Rigorous analysis of the time-splitting methods for the semiclassical Dirac equation\n作者: He Wang, Jia Yin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00335v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00335v1\n摘要: We provide rigorous error analysis of the mass-preserving time-splitting methods for solving the semiclassical Dirac equation. The scaled Planck constant $ε$ in the equation gives rise to rapid oscillations in both space and time when $0\u003cε\\ll 1$ with wavelengths of order $O(ε)$. %We prove that the first-order splitting $S_1$ and the second-order splitting $S_2$ schemes preserve the total discretized mass. Rigorous error estimates reveal the precise dependence of the approximation errors on the time step $τ$, the spatial mesh size $h$, and the parameter $ε$. Specifically, the temporal error scales as $O\\left(τ/ε^2\\right)$ for the first-order splitting $S_1$ and as $O\\left(τ^2/ε^3\\right)$ for the second-order splitting $S_2$, while the spatial error scales as $O(h^m/ε^m)$ for both methods, where $m$ is related to the regularity of the solution. In addition, we obtain error bounds for key physical observables, including the total probability density $ρ$ and the current density $\\mathbf{J}$. Compared with finite difference time domain (FDTD) methods, time-splitting approaches exhibit spectral accuracy in space and retain a relatively low computational cost. Furthermore, we demonstrate that higher accuracy can be achieved by employing the fourth-order compact time-splitting ($S_\\text{4c}$) method. Numerical experiments are conducted to verify the reliability of the error estimates.\n20. 从谱方法到傅里叶神经算子的样本复杂度界 From Spectral Methods to Sample Complexity Bounds for Fourier Neural Operators\n作者: Nisha Chandramoorthy, Daniel Sanz-Alonso, Nathan Waniorek\n类别: stat.ML, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00320v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00320v1\n摘要: We establish approximation and learning guarantees for Fourier neural operators (FNOs) applied to time-$T$ solution operators of dissipative evolution equations. The analysis builds on the premise that FNOs can efficiently approximate and learn solution operators whenever these operators admit stable and accurate spectral discretizations. To formalize this idea, we introduce classes of evolution operators defined through spectral methods and derive FNO approximation bounds and polynomial sample complexity guarantees for these classes. For equations with polynomial nonlinearities, the learning rates depend primarily on the smoothness of the input space and the dimension of the physical domain. Our results hold uniformly over broad families of dissipative equations, rather than for a single fixed PDE, and apply in particular to the Navier\u0026ndash;Stokes, Allen\u0026ndash;Cahn, and Cahn\u0026ndash;Hilliard equations. For equations with non-polynomial smooth nonlinearities, we prove that polynomial sample complexity still holds with rates that now additionally depend on the smoothness of the nonlinear terms and the dissipation strength. Overall, we connect classical spectral approximation theory with modern operator learning and explain when FNOs can learn nonlinear evolution operators efficiently.\n21. 通过薛定谔化与人工压缩性对斯托克斯流的量子模拟 Quantum Simulation of Stokes Flow via Schrödingerisation and Artificial Compressibility\n作者: Shi Jin, Jiaqi Tang, Qilong Zhai, Lei Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-07-01\narXiv ID: 2607.00281v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00281v1\n摘要: Simulating incompressible Stokes flow is essential for studies in microfluidics and low-Reynolds number hydrodynamics. However, the computational cost of resolving the associated saddle-point problem grows prohibitively with the dimensionality of the problem. In this work, we present a quantum algorithm based on the Schrödingerisation technique for the Stokes equations, incorporating an artificial compressibility regularization. The core of our approach is the design of an explicit quantum circuit that encodes the resulting regularized system. The artificial compressibility formulation provides a unified framework for the system, which is then efficiently mapped to a quantum circuit via the Schrödingerisation procedure. A rigorous complexity analysis demonstrates the quantum computational advantage of our algorithms in high-dimensional settings, notably an exponential speedup in problem dimensionality. The validity and scalability of the proposed method are corroborated by numerical simulations performed on Qiskit.\n22. 识别无限周期点源阵列中的缺陷单元 Identifying defective units in infinite periodic arrays of point sources\n作者: Dinh-Liem Nguyen, Nhung H. Nguyen, Thi-Phong Nguyen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2607.00241v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00241v1\n摘要: This paper focuses on identifying defective units in unbounded periodic arrays of point sources using boundary data. The study is motivated by the noninvasive evaluation of large-scale periodic source systems. Unlike classical inverse source problems in free space, the key challenge here lies in the disruption of periodicity caused by defective sources in the infinite array. To address this, we employ the Floquet - Bloch transform to reformulate the original inverse source problem as a quasi-periodic inverse source problem. We first establish uniqueness theorems for both the original and the quasi-periodic formulations. Then, we develop a new numerical method for identifying defective sources. This method combines a sampling indicator function with an algebraic technique to determine not only the number of defective sources, but also their locations and intensities. Numerical experiments are presented to validate the effectiveness of the proposed method.\n23. 耦合复制-突变动力学中的执行滤波与延迟预算不稳定性 Implementation Filters and Delay-Budget Instability in Coupled Replicator\u0026ndash;Mutator Dynamics\n作者: Alexander Omelchenko\n类别: math.DS, math.NA\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2607.00227v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2607.00227v1\n摘要: We model an adaptive contest in which two antagonistically coupled populations continually reallocate effort among competing methods, but decisions are not fielded instantly. Each side has an intended portfolio and a deployed portfolio: intended reallocations follow delayed observations of the opponent, while deployment follows intent through a first-order implementation filter. Under barycentric balance and uniform exploration, the linearized scalar branches have a characteristic factor in which hard observation and deployment lags enter only through their total sum, whereas implementation rates enter through real filter factors that cannot be absorbed into selection or exploration. In the strictly antagonistic class, negative spectral branches split into three regimes: weak branches have no positive-frequency crossing, intermediate branches lose stability through a delay-induced Hopf bifurcation, and strong branches are at or beyond the implementation-filter instability margin already at zero hard delay. This gives an operational delay-budget rule: in the delay-induced window, reducing any hard lag has the same first-order stabilizing leverage at onset; in the filter-induced regime, hard-lag reduction alone cannot restore stability. Balanced scalar performance observables generically show a mean shift and a second harmonic at twice the compositional frequency, and under strict antagonism the two performance signals are locked in antiphase with fixed amplitude ratio. For a baseline branch, a finite-dimensional Hopf normal-form calculation gives a negative cubic coefficient, and direct simulations reproduce the predicted threshold, amplitude scaling, and observable signatures. Motivating applications include cybersecurity and rapid technological countermeasure adaptation.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-02_10-22-39/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月02日 10:22:39\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 5\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 23\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-多胞体上多调和方程的可杂交交错间断有限元方法\"\u003e1. 多胞体上多调和方程的可杂交交错间断有限元方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eHybridizable Staggered Discontinuous Galerkin Methods for Polyharmonic Equations on Polytopes\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年07月02日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年07月01日 11:01:10\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 1\n不相关论文数量: 23\n重点关注论文（完整分析） 1. 多准轴对称结构声散射的谱方法求解器 A Spectral Solver for Acoustic Scattering by Multiple Quasi-Axisymmetric Structures\n作者: Jun Lai, Yuxin Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31380v1\n摘要翻译: 声散射在医学成像、地球物理勘探、声学超材料等众多应用中普遍存在。本文针对旋转轴为任意曲线的多准轴对称物体的声散射问题，发展了一种快速高精度算法。该方法基于结合 Gauss-Legendre 求积与梯形法则的 Nyström 离散。为了处理目标点接近或重合于源点时出现的奇异积分，我们将其重新表述为模态 Green 函数及其导数的计算，并利用快速傅里叶变换和卷积高效求值。然后通过体间边界积分相互作用耦合各单散射体离散，构造出多散射求解器。我们还给出了光滑几何散射问题的收敛性分析。数值算例展示了所提方法在求解多达 1000 个准轴对称结构的多散射问题时的效率与精度。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31380v1\n1. 研究对象和背景 声散射问题广泛存在于医学成像、地球物理勘探、无损检测和声学超材料设计等诸多应用中，其中波与多个散射体同时发生作用，准确预测由此产生的集体散射效应对于仿真和优化至关重要。然而，在三维情形下，多散射问题的数值计算面临收敛缓慢和低阶精度的困难。本文旨在为多个准轴对称物体的声散射发展一套高阶边界积分方程方法。\n考虑一个嵌入均匀背景介质中的有界障碍物 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^3$，其边界 $\\partial\\Omega$ 光滑，并受到时谐入射波 $u^{\\mathrm{inc}}$ 照射。总场 $u = u^{\\mathrm{inc}} + u^{\\mathrm{sc}}$ 满足外 Helmholtz 方程与 Dirichlet 边界条件（声软边界）：\n$$ \\begin{cases} \\Delta u + k^2 u = 0, \u0026 \\text{in } \\mathbb{R}^3\\setminus\\bar{\\Omega},\\\\ u = 0, \u0026 \\text{on } \\partial\\Omega, \\end{cases} $$其中 $k\u003e0$ 为波数。散射场 $u^{\\mathrm{sc}}$ 还需满足 Sommerfeld 辐射条件\n$$ \\lim_{r\\to\\infty} r\\left(\\frac{\\partial u^{\\mathrm{sc}}}{\\partial r} - i k u^{\\mathrm{sc}}\\right) = 0,\\quad r=|\\mathbf{x}|. $$边界积分方程(BIE)方法可将问题降低一维并自动满足辐射条件，避免了体积方法对无界域的截断，且较少的未知量即可达到高精度。对于光滑表面，常见的离散化策略包括分片配点法、Galerkin 方法和基于修正求积或高阶乘积积分的 Nyström 方法。其中 Nyström 方法兼有实现简单与高阶精度的优点，但需妥善处理奇异性与近奇异性。\n障碍物几何形式为所谓“准轴对称结构”：其边界可由参数化\n$$ \\partial\\Omega := \\bigl( r(s)\\cos\\theta + p(s),\\, r(s)\\sin\\theta + q(s),\\, z(s) \\bigr),\\quad s\\in[0,T],\\;\\theta\\in[0,2\\pi] $$描述，即半径为 $r(s)$ 的圆形截面沿一条弯曲中心线 $\\boldsymbol{\\gamma}(s) = (p(s), q(s), z(s))$ 扫掠而成。此类几何在神经螺旋、盘绕波导、光纤等领域出现，其特点是在方位角 $\\theta$ 方向上保持周期性，但失去了传统轴对称物体（绕直轴旋转所得）的全局旋转对称性。对于真正的轴对称物体，边界积分方程可利用旋转不变性将表面积分分解为一系列一维方程，通过方位 Fourier 模态解耦，并由模态 Green 函数描述，从而极大地降低了计算量；相关的高阶离散化与 FFT 加速技术已得到充分开发。然而，在准轴对称情形，尽管局部区域仍可延续轴对称处理的思想，但不同弧长位置 $s$ 处的模态相互耦合，且失去全局旋转不变性，不能直接沿用已有的降维策略。因此，为这类几何发展高效的高阶边界积分框架在声散射领域仍属空白，尤其是在多体散射背景下。\n本文的目标正是填补这一空白：首先为单个准轴对称散射体构建一个利用方位角周期性、结合三角插值与模态 Green 函数的高阶 Nyström 离散化方法，然后将它系统性地扩展至多散射问题，并借助 FFT 和块结构复用技术实现快速求解。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要成果包括以下方面。\n针对单个准轴对称障碍物的声散射 Dirichlet 边值问题，建立了基于双层位势（亦可处理单层位势）的边界积分方程，并给出了一个谱精度的 Nyström 离散化方案。该方案在方位角方向采用 $2N$ 点等距梯形法则，在母线方向采用分片 Gauss-Legendre 求积，对自作用面板和相邻面板的奇异或近奇异积分，通过三角插值与模态 Green 函数将其转化为反离散 Fourier 变换，并利用广义 Gauss 求积处理外层弱奇异性。最终形成一个规模为 $N_{\\mathrm{tot}}=N_p\\times N_{\\mathrm{order}}\\times(2N)$ 的线性系统。\n在多散射体情形（所有物体全等且形状相同），将总体散射场表示为各物体双层位势之和，导出块结构线性系统\n$$ \\frac12 \\mathbf{I}\\boldsymbol{\\mu} + \\mathbf{D}\\boldsymbol{\\mu} = -\\mathbf{u}^{\\mathrm{inc}}, $$其中 $\\mathbf{D}$ 为 $N_{\\mathrm{tot}}\\times N_{\\mathrm{tot}}$ 的系数矩阵，由 $N_{\\mathrm{geo}}\\times N_{\\mathrm{geo}}$ 个子块 $\\mathbf{D}_{t',t}$ 组成，对角线块为自作用矩阵，非对角线块表示不同物体间的相互影响。当物体相同且位于规则网格时，这些互作用块仅依赖于两物体中心的位移向量，因而具备多级块 Toeplitz 结构。此时，需要计算的不同非对角块个数从 $\\mathcal{O}(N_{\\mathrm{geo}}^2)$ 降至 $\\mathcal{O}(N_{\\mathrm{geo}})$；自作用块只需求解一次并复用。对非规则排列（如随机旋转和平移），自作用矩阵仍可复用，但非对角块必须逐一计算，可通过并行计算抵消其开销损失。\n对于光滑几何，作者在第 5 节给出了该 Nyström 方法的收敛性分析，但本文提供的 PDF 摘录未包含该部分的具体定理表述与误差估计。数值实验部分（第 6 节）展示了涉及最多 1000 个准轴对称散射体的计算结果，表明该方法在保持高阶精度的同时具有较高的计算效率。读者可从后续完整论文中获取收敛性的严格刻画。\n数值结果另外显示，通过对物体施加随机旋转和位置扰动，算法仍能有效求解，证明了其应对一般构型的鲁棒性。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本工作的核心技术贡献体现在单散射体离散化的数值实现、模态 Green 函数的推广计算以及多体相互作用的有效组装策略三个层面。\n单散射体 Nyström 离散化与奇异积分处理\n对单个准轴对称表面 $\\partial\\Omega$ 上的积分方程（以双层位势为例）\n$$ \\frac12 \\mu(\\mathbf{x}) + \\int_{\\partial\\Omega} \\frac{\\partial G_k(\\mathbf{x},\\mathbf{y})}{\\partial n(\\mathbf{y})} \\mu(\\mathbf{y}) \\,\\mathrm{d}s(\\mathbf{y}) = -u^{\\mathrm{inc}}(\\mathbf{x}),\\quad \\mathbf{x}\\in\\partial\\Omega, $$在母线方向分 $N_P$ 个面板、每面板布置 $N_{\\mathrm{order}}$ 个 Gauss-Legendre 节点，方位角方向等距取 $2N$ 个点。当目标点 $\\mathbf{x}$ 位于面板 $\\gamma_p$ 且源点 $\\mathbf{y}$ 位于同一面板或其相邻面板 $\\gamma_{p-1},\\gamma_{p+1}$ 时，积分核表现出弱奇异性（双层核含有 $1/\\rho$ 型奇异性）。处理这一困难的关键步骤是：\n将密度与 Jacobi 因子的乘积在 Gauss-Legendre 节点和等距 $\\theta$ 节点上分别进行多项式插值和三角插值，使得奇异积分归结为形如 $$ \\sum_{l,j} \\mu(\\mathbf{y}_{pjl})|J(\\mathbf{y}_{pjl})| \\int_{\\gamma_p} P_l(s) \\int_0^{2\\pi} \\frac{\\partial G_k}{\\partial n} L_j(\\theta)\\,\\mathrm{d}\\theta\\,\\mathrm{d}s $$ 的内外层积分。\n利用三角基函数 $L_j(\\theta)$ 与 Fourier 模态的关系，内层积分可以通过模态 Green 函数的 Fourier 反变换得到： $$ \\int_0^{2\\pi} \\frac{\\partial G_k}{\\partial n} L_j(\\theta)\\,\\mathrm{d}\\theta = \\mathcal{F}^{-1}\\bigl[\\widehat{\\partial_n G}_m^{(k)}\\bigr]_j, $$ 其中模态 Green 函数及其导数定义为 $$ \\widehat{\\partial_n G}_m^{(k)} = \\int_0^{2\\pi} \\frac{\\partial G_k(\\mathbf{x},\\mathbf{y})}{\\partial n(\\mathbf{y})} e^{-im\\theta}\\,\\mathrm{d}\\theta,\\quad m = -N,\\dots,N-1. $$ 模态 Green 函数的快速计算与 FFT 加速\n对上述模态量的高效计算是算法成败的关键。注意到在准轴对称参数化下，源-目标距离可写为\n$$ \\rho^2 = \\tilde{r}_t^2 + r^2 + c^2 - 2r\\tilde{r}_t\\cos\\phi,\\quad \\phi = \\theta - \\alpha, $$其中 $\\tilde{r}_t = \\sqrt{(x_t-p(s))^2+(y_t-q(s))^2}$ 和 $\\alpha = \\arg((x_t-p)+i(y_t-q))$ 均为弧长参数 $t$ 和 $s$ 的函数。尽管 $\\alpha$ 随源点位置变化，但角度依赖始终以 $\\cos(\\theta-\\alpha)$ 形式出现。与传统轴对称情形相比，唯一的区别是相位 $\\alpha$ 并非恒为零，这并不妨碍 Fourier 模态的局部定义。因此，可以沿用轴对称情形下基于 Legendre 函数和卷积的模态 Green 函数计算技术：\n静力情形 $k=0$：此时 Green 函数及其导数可表为半奇数阶 Legendre 函数 $Q_{m-1/2}(\\chi)$ 及其导数，其中 $\\chi = \\frac{\\tilde{r}_t^2+r^2+c^2}{2r\\tilde{r}_t}$。利用递推公式 (27)–(28) 可从低阶 $Q_{-1/2}$ 和 $Q_{1/2}$（由完全椭圆积分表示）高效生成高阶值。\n动力情形 $k\\neq 0$：将 $e^{ik\\rho}$ 分解为实部与虚部，并注意到 $\\sin(k\\rho)/(4\\pi\\rho)$ 在 $\\rho=0$ 处可去奇异，因而可直接在等距网格上用 FFT 计算其 Fourier 系数；而 $\\cos(k\\rho)/(4\\pi\\rho)$ 的模态则通过卷积 $$ \\int_0^{2\\pi} \\frac{\\cos(k\\rho)}{4\\pi\\rho} e^{-im\\theta}\\,\\mathrm{d}\\theta = \\frac1{2\\pi} \\sum_{n} \\widehat{\\cos(k\\rho)}_n \\,\\widehat{(1/4\\pi\\rho)}_{m-n} $$ 得到，由于 $\\widehat{\\cos(k\\rho)}_n$ 快速衰减，该卷积可截断至少量项。类似方法适用于法向导数的模态量。\n所有模态量计算均利用 FFT 进行加速，使得每个目标点附近的模态生成成本保持在对数线性量级。\n外层弱奇异积分与广义 Gauss 求积\n获得内层积分 $G_j(t,s)$ 后，对 $s$ 积分时仍面临弱奇异性。本文采用预计算的广义 Gauss 求积法则（由 Bremer 的非线性优化程序生成）：自面板上使用 16 个目标依赖节点，相邻面板使用 48 个目标无关节点，从而以极低节点数达到高阶精度，并保证线性系统的稀疏性。\n多体散射的组装策略与块结构复用\n对于 $N_{\\mathrm{geo}}$ 个全同物体的多体系统，将其离散化为块线性系统 (36)。对角线上的自作用块 $\\mathbf{D}_{t,t}$ 完全相同，只需计算并存储一个代表。在规则排列情形，利用位移不变性 $\\mathbf{D}_{t',t} = \\mathbf{D}_{\\mathbf{d}}$ ( $\\mathbf{d} = \\mathbf{c}_{t'} - \\mathbf{c}_t$ )，可将需要显式计算的互作用块数量从 $N_{\\mathrm{geo}}(N_{\\mathrm{geo}}-1)$ 降至 $(2P-1)(2Q-1)(2R-1)-1$，并通过内存拷贝完成其余块的填充，组装成本由 $\\mathcal{O}(N_{\\mathrm{geo}}^2)$ 降至 $\\mathcal{O}(N_{\\mathrm{geo}})$。当物体受到随机旋转和扰动时，自作用块仍然相同，非对角块则各自独立计算，但可并行处理以控制时间开销。\n4. 与之前工作的比较 本文贡献与既有工作的比较可从以下几个方面展开。\n与轴对称声散射方法的比较\n轴对称物体的声散射 BI 方法已相当成熟，其核心是利用旋转不变性将方程 Fourier 模态完全解耦，在生成曲线上一维求解。经典工作如 Young 等 (2004)，Helsing 和 Karlsson (2014)，Lai (2020) 等均发展了基于模态 Green 函数与 FFT 加速的高阶 Nyström 格式。本文所处理的准轴对称几何可视为轴对称自然的推广：旋转轴由直线变为任意光滑曲线。在这种推广下，方位角方向仍保持周期性，但 $\\theta$ 方向的 Fourier 系数之间不再独立，因此不能直接对每个模态独立求解。然而，局部来看积分核的角度依赖仍然可用 $\\cos(\\theta-\\alpha)$ 刻画，从而允许在离散化阶段沿用模态 Green 函数的框架。因此，本文成功地将轴对称模态技术这一有力工具移植到了更一般的准轴对称情形。与之前用于 Stokes 问题的类似思想（[21]，采用预计算求积处理轴对称型模态核）相比，本文首次在声学 Helmholtz 方程中建立了完整的准轴对称 Nyström 求解器，明确了从参数化、奇异积分正则化到 FFT 加速的全套处理流程，并给出了相应的收敛性分析。\n与通用三维多散射求解器的比较\n现有三维多体声散射算法（如 [8, 16, 17, 19] 等）通常不以特定几何结构为前提，因而在每一个物体表面都需要相当多的离散点来捕获振荡核和表面形状。本文的方法专门针对准轴对称物体，充分利用方位角方向的平移不变性（更准确地说，是回转方向上的卷积结构），使用均匀的角向网格和 FFT，使单物体的未知数仅约为传统边界元方法的 $1/N$ （假设 $2N$ 方位角节点）。同时，互作用计算由于物体形状相同、排列规则时出现的 Toeplitz 结构，进一步大幅度压缩了组装开销。原文数值实验显示，即使物体数达 1000 个，算法依然可行，而一般三维全矩阵的边界元法在该尺寸下几乎不可能完成。但需指出，文中并未提供与其它多散射求解器的直接计算时间或精度对比数据，因此比较仅停留在理论效率论证层面。\n精度与适用范围\n与已有的准轴对称相关工作相比（如上述 Stokes 问题的高阶 Nyström 方法），本文明确将框架建立在 Helmholtz 方程上，并处理了实波数 $k$ 下的振荡核，同时结合了广义 Gauss 求积与模态 Green 函数的递推和 FFT 加速，保证了整个管道的高阶精度。此外，作者提供了光滑几何的收敛性分析（第 5 节），这在同类工作中尚不多见，但具体收敛速率及误差界未能从当前摘录内容中获知。在几何假设方面，本文假定边界光滑，但指出方法可推广至非光滑情形；入射波为平面波，但显式仅处理 Dirichlet 边界条件，尽管推广到其他边界条件（如 Neumann 或阻抗条件）可通过结合单、双层位势实现，文末也提到可通过组合位势克服谐振频率问题。物体的全同假设在一定程度上限制了非均匀多散射场景的适用性，但实验表明，即使对物体施加随机旋转与平移，自作用矩阵仍可复用，互作用矩阵需要非规则计算，算法仍具实效。\n总体而言，本文推进了准轴对称声散射的边界积分方法，将轴对称情形的高效技术系统性地推广到弯曲旋转轴几何，并首次构建了能处理数百至上千个物体的多散射求解器，填补了该领域的空白。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 特征向量降阶加速 WaveHoltz 方法的数值研究 Numerical Study of Eigenvector Deflation to Accelerate the WaveHoltz Method\n作者: Daniel Appelo, William D. Henshaw, Zhichao Peng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31842v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31842v1\n摘要翻译 中文标题: 特征向量降阶加速 WaveHoltz 方法的数值研究\n摘要翻译: 我们对特征向量降阶作为加速求解 Helmholtz 方程的 WaveHoltz 方法的手段进行了数值研究。在能量守恒（Dirichlet 或 Neumann）边界条件下，WaveHoltz 不动点迭代在高频时收敛缓慢，在 $d$ 维空间中大约需要 $\\mathcal{O}(ω^{2d})$ 次迭代。我们证明，将特征值最接近驱动频率的特征向量降阶可显著减少迭代次数，并考察了两种引入特征向量的方式：直接特征向量降阶 (DEVD)，其将右端项和迭代向量投影到降阶集上；以及增广 Krylov 特征向量降阶 (AUKED)，采用降阶共轭梯度法 (DCG)、增广 GMRES (AGMRES) 和增广（循环）BICGSTAB (ABICGSTAB)。所需的特征对可用 EigenWave 方法高效计算，并且在二维情况下，我们展示了当降阶向量数目随 $ω$ 二次增长时，渐近收敛速率基本保持不变。由于结构网格上的特征向量自然表示为矩阵，我们进一步应用基于 SVD 的压缩来减少其存储。在采用分部求和算子离散的单一曲线网格以及重叠网格上的数值实验表明了该方法的鲁棒性和高效性，在考虑特征向量预计算代价的情况下，仅需处理少至两个右端项，降阶求解器的总开销即可与未降阶求解器持平。\n不相关论文（基本信息） 1. 基于GQL的任意维狭义相对论流体力学保物理约束高阶有限差分格式 GQL-Based Physical-Constraint-Preserving High-Order Finite Difference Schemes for Special Relativistic Hydrodynamics in Arbitrary Dimensions\n作者: Linfeng Xu, Shengrong Ding, Kailiang Wu\n类别: math.NA, astro-ph.IM, physics.comp-ph, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31992v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31992v1\n摘要: High-order accurate simulations of special relativistic hydrodynamics (RHD) are prone to numerical breakdown if intrinsic physical constraints (positive rest-mass density/pressure and subluminal velocity) are violated near strong discontinuities. In this work, we develop a robust and efficient physical-constraint-preserving (PCP) flux-limiting framework for high-order schemes, using finite-difference WENO as a representative example. By leveraging the geometric quasilinearization (GQL) representation, which equivalently reformulates the nonlinear RHD constraints into a family of linear inequalities, we integrate a Zalesak-type Flux-Corrected Transport (FCT) update into a scalar-style limiter that acts directly on conservative variables. A critical innovation is the explicit, non-iterative determination of limiting parameters via a rational stereographic parameterization of the GQL normal vector. This technique transforms the required worst-case minimization over auxiliary variables into a generalized Rayleigh-quotient formulation, allowing the optimal parameters to be obtained by solving small symmetric eigenvalue problems ($2\\times2$ in 1D; $(d+1)\\times(d+1)$ in $d$ dimensions). Relaxed variants are further introduced to reduce computational costs in multidimensions while retaining the PCP guarantee. Extensive numerical benchmarks ranging from 1D to 3D, including ultra-relativistic Riemann problems and astrophysical jets, demonstrate that the proposed method robustly enforces physical admissibility, sharply resolves discontinuities, and maintains design-order accuracy for smooth solutions.\n2. 重叠网格上中心间断Galerkin方法的隐藏精度与超收敛分析 Hidden Accuracy and Superconvergence Analysis of Central Discontinuous Galerkin Methods on Overlapping Meshes\n作者: Manting Peng, Kailiang Wu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31931v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31931v1\n摘要: This paper establishes the first rigorous superconvergence theory for semidiscrete and fully discrete central discontinuous Galerkin (CDG) methods for linear hyperbolic equations on overlapping meshes. While the optimal $L^2$ convergence of $\\mathbb{Q}^k$ CDG schemes was established on uniform Cartesian meshes by Liu, Shu, and Zhang [ SIAM J. Numer. Anal.}, 56 (2018), pp. 520\u0026ndash;541], their observed $\\mathcal{O}(h^{k+2})$ pointwise superconvergence has remained unproven, due to the loss of standard single-mesh Galerkin orthogonality inherent in the CDG overlapping structure. To overcome this fundamental barrier, we introduce a projection-correction framework that identifies a hidden superconvergent mechanism: an asymptotic weak residual cancellation in one dimension, and a high-order cancellation-by-aggregation (HOCA) mechanism in multiple dimensions. This HOCA approach overcomes the analytical challenge posed by coupled primal-dual directional residuals, recovering critical error cancellation properties absent from the standard variational formulation. Consequently, we provide the rigorous proof of the conjectured $\\mathcal{O}(h^{k+2})$ pointwise superconvergence in the discrete $\\ell^{\\infty}$ norm across all superconvergent points. Furthermore, we reveal that under a systematically corrected initialization, this framework yields a previously undiscovered, stronger cell-average superconvergence estimate of order $\\mathcal{O}(h^{\\min\\{2k+1,k+3\\}})$. The theory is extended to fully discrete explicit Runge\u0026ndash;Kutta CDG schemes, where stagewise corrected errors are constructed to preserve spatial superconvergence up to temporal truncation errors, yielding a stable reconstruction-based postprocessing estimate. Numerical experiments in one and two spatial dimensions confirm the sharpness of the theoretical rates.\n3. 面向鲁棒内聚力模型模拟的界面感知神经网络牛顿预处理 Interface-Aware Neural Newton Preconditioning for Robust Cohesive Zone Model Simulations\n作者: Zhangyong Liang, Huanhuan Gao\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31921v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31921v1\n摘要: Cohesive Zone Models (CZMs) are widely used to simulate interface fracture, delamination, adhesive failure, and fiber\u0026ndash;matrix debonding in aerospace composite structures. In implicit quasi-static finite element analyses, cohesive softening may introduce negative interface tangents, solution jumps, and Newton-basin mismatch, so the previous converged state can become a poor initial guess for the next increment. This may lead to stagnation, wrong-branch convergence, or repeated step cuts. Existing remedies, including viscous regularization, path following, dynamic relaxation, and manual Newton\u0026ndash;Raphson (NR) modification, either alter the effective response, increase cost, or rely on hand-crafted interface rules. This work proposes an Interface-Aware Neural Newton Preconditioner (IA-NNP) for difficult CZM increments. IA-NNP recasts manual NR modification as rule-based interface lifting and generalizes it into a learned, state-dependent interface correction. The method acts only on active interface variables and preserves the original traction\u0026ndash;separation law, residual assembly, tangent evaluation, history update, and dissipation checks. Two realizations are developed: IA-NNP-Init for learned initial-guess lifting and IA-NNP-NL for iteration-level nonlinear right preconditioning. Interface graph features encode opening, traction, tangent, damage/history variables, mode mixity, residuals, and neighboring states. The correction is bounded, confidence-gated, and accepted only through the original CZM Newton solve. A root-equivalence property shows that IA-NNP changes the path to convergence but not the discrete CZM solution set. Tests on horizontal, circular, two-interface, and active-front benchmarks show improved difficult-increment convergence, better branch recovery, and fewer failures than standard NR and manual NR modification, while preserving the force\u0026ndash;displacement response.\n4. 拉普拉斯算子谱的等几何离散：无异常值样条基 Isogeometric discretizations for the spectrum of the Laplace operator: outlier-free spline bases\n作者: Damiano Ricci, Carla Manni, Hendrik Speleers\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31843v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31843v1\n摘要: Optimal spline subspaces are an elegant and efficient tool to remove spurious outliers in isogeometric Galerkin discretizations for the approximation of the spectrum of the Laplace operator. For practical purposes, it is valuable to have a basis construction for such spaces with good computational and spectral properties. We provide a characterization of the bases that enjoy a B-spline-like support structure and whose mass and stiffness matrices are simultaneously diagonalizable. It turns out that these mass and stiffness matrices admit explicitly known closed-form expressions for their eigenvalues, implying that the considered bases are outlier-free. A numerical procedure for constructing such bases is also presented.\n5. 互补逼近多项式族及其在任意偶数阶空间微分方程有限元方法中的应用 Complementary families of approximating polynomials with applications to finite element methods applied to differential equations of arbitrary even spatial order\n作者: Peter K Moore\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31829v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31829v1\n摘要: Complementary families of polynomials are introduced to generate $C^m$ finite element basis functions of order $p \\geq 2m+2$ for arbitrary $m \\ge 0$. One family consists of the Hermite splines that serve as the nodal basis functions by ensuring $C^m$ continuity across element boundaries. Explicit formulas for these splines for any $m \\ge 0$ are presented on the canonical interval $[0,1]$. The second family is derived on the interval $[-1,1]$ from derivatives of order $m+1$ of the Legendre polynomials of degree $p-m-1$ multiplied by binomial powers of degree $m+1$ at -1 and 1, respectively. These polynomials, related to the ultraspherical polynomials, serve as the interior or bubble basis functions. A relationship between the two families of polynomials is demonstrated. For a particular $m$ and $p$, an interpolant is constructed using these basis pairs together with the roots of the related ultraspherical polynomial and the interval endpoints. A formula for the interpolation error that extends the results for $m=0$ and $m=1$ is given. To prove the formula extensions of the Lagrange interpolants are introduced. A superconvergence result along with the related asymptotic equivalence of the interpolant and finite element solution is proved in the linear case in $H^{m+1}$. Computational results demonstrate the theory for a model problem.\n6. 利用强形式噪声自适应微分的偏微分方程识别（S-IDENT） PDE Identification Using Noise Adaptive Differentiation in Strong Form (S-IDENT)\n作者: Roy Y. He, Sung Ha Kang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31776v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31776v1\n摘要: We explore identifying partial differential equations (PDEs) from noisy observations of single time-space trajectories. Recent developments show the benefits of identifying PDEs in their weak forms. We investigate the use of differential Strong-form dictionaries for PDE IDENTification (S-IDENT), which enables finding more general linear and nonlinear PDEs. Building on an extensive exploration of integral-type denoised differentiation approaches, we propose to use Savitzky\u0026ndash;Golay (SG) differentiation with an adaptive window length chosen based on Stein\u0026rsquo;s Unbiased Risk Estimate (SURE). This offers a guaranteed order of accuracy while producing estimators with minimal variance. The identification process is further refined and stabilized through trimming and reduction-in-residual model selection. Numerical evidence shows that S-IDENT can successfully identify nonlinear PDEs at higher levels of noise than existing strong-form methods, while also yielding results comparable to weak-form approaches. We further verify the effectiveness of S-IDENT through comparisons with various strategies to approximate differential features. We provide numerical evidence that general differential-form dictionaries are larger and more ill-conditioned than those used for weak-form identification, yet S-IDENT does not significantly suffer from this combinatorial increase in dictionary size.\n7. 不同聚类方法对亥姆霍兹方程多层快速多极子方法的影响 Effect of different clustering approaches on the multilevel fast multipole method for the Helmholtz equation\n作者: Wolfgang Kreuzer, Christian Kasess\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31771v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31771v1\n摘要: The fast multipole method (FMM) is an important component for the boundary element method (BEM), because with the FMM the efficiency and feasibility of the BEM can be enhanced to a large degree. Part of the FMM is grouping the elements of the boundary element mesh into different clusters. The size of these clusters in terms of number of elements and spatial expansion has a huge impact on the efficiency and stability of the method. However, while the theory behind the multipole expansion has been broadly researched, the clustering process itself and its effect on the FMM has been neglected in comparison. Most of the time, for example, it is implicitly assumed that the elements of the mesh have about the same size, which is often not the case in practical applications, e.g., when calculating the sound field around the human head. In this study we compare different types of clustering approaches with respect to stability and efficiency of the underlying FMM applied to meshes that have uniform as well as non-uniform element sizes. Also, some examples are provided for cases where a wrong clustering can lead to numerical problems and instabilities of the FMM-BEM.\n8. 用于流形-仿射交集问题的几何自适应正则化牛顿型方法 A Geometry-Adaptive Regularized Newton-Type Method for Manifold-Affine Intersection Problems\n作者: Dengyu Zheng, Shixiang Chen\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31738v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31738v1\n摘要: We propose a regularized algorithm, Regularized Newton-SLRA (RN-SLRA), for local manifold\u0026ndash;affine intersection problems under weak intersection conditions, motivated in particular by structured low-rank approximation (SLRA). Newton-SLRA is an efficient method for manifold\u0026ndash;affine intersection problems, but its well-definedness relies on the transversality condition between the manifold and the affine subspace, a condition that may fail in practice. RN-SLRA overcomes this difficulty by introducing a regularization term. We prove that, under the intrinsic transversality condition, RN-SLRA converges linearly to the intersection, while under the transversality condition it achieves higher-order convergence, including quadratic convergence for a suitable choice of the regularization parameter. We also study an inexact-projection variant, in which the projection onto the manifold is computed approximately, and show that the same local linear and quadratic convergence properties are preserved under the corresponding assumptions. Numerical experiments on constructed degenerate instances and Hankel-structured examples illustrate improved robustness in settings where Newton-SLRA may fail.\n9. 一种结合相干振幅放大的量子配置法求解一维边值问题 A Quantum Collocation Approach to One-Dimensional Boundary Value Problems with Coherent Amplitude Amplification\n作者: Daniel Jaroszewski, Bastian Harrach\n类别: quant-ph, math.NA\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31709v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31709v1\n摘要: We propose a quantum collocation framework for approximating solutions of one-dimensional linear and nonlinear boundary value problems. The method formulates the search for admissible solutions as a residual-based quantum search over a discretized ansatz space, where candidate solutions are evaluated through residual conditions imposed at collocation points. A residual-threshold oracle is constructed that acts jointly on spatial and parameter registers. This joint oracle structure leads to amplification dynamics that decompose into a coherent superposition of spatially conditioned amplitude-amplification processes rather than a single global amplification mechanism. We derive the corresponding amplification geometry and show that the success probability is governed by a weighted combination of spatially dependent amplification angles. Furthermore, we prove that the reversible residual oracle can be implemented with gate complexity polynomial in the logarithm of the number of collocation points, while retaining the quadratic search acceleration associated with amplitude amplification in the parameter space. We analyze how the spatially dependent oracle structure influences the amplification dynamics and corresponding success probabilities. Furthermore, we investigate how discretization, ansatz expressivity, oracle tolerance, and finite-precision effects influence both approximation quality and amplification behavior. Numerical experiments validate the theoretical predictions and illustrate the resulting search dynamics across different discretization and precision regimes.\n10. Vlasov方程的保正动态低秩方法 Positivity-preserving dynamical low-rank methods for the Vlasov equation\n作者: Katharina Kormann, Murtazo Nazarov, Junjie Wen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31662v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31662v1\n摘要: In this manuscript, we introduce positivity-preserving correction methods for low-rank approximations of the Vlasov equation. The key idea is to formulate structural properties, including positivity-preservation, as constraints and to seek a minimal correction term that is added to the low-rank solution, by solving a quadratic programming problem. As a result, the corrected solution satisfies the constraints and preserve these properties, while remaining close to the original low-rank solution. Two positivity-preserving schemes are proposed in this work, and one of them also preserves the total mass and momentum of the system. We apply the proposed methods to a Vlasov\u0026ndash;Poisson and Vlasov\u0026ndash;Poisson-BGK employing a spectral discretization in space and an explicit Runge\u0026ndash;Kutta scheme in time. Numerical experiments demonstrate the effectiveness of the proposed methods.\n11. 圆盘中V线张量层析成像：理论与数值重建 V-Line Tensor Tomography in a Disk: Theoretical and Numerical Reconstruction\n作者: Rahul Bhardwaj, Madhu Gupta\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31632v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31632v1\n摘要: In this article, we investigate V-line transforms for symmetric $m$-tensor fields whose support lies inside a disk of radius $R$ and centered at the origin. We provide an explicit characterization of the kernel of the V-line transforms acting on a symmetric $m$-tensor field and derive a new inversion formula using a decomposition result. In addition, we present a comprehensive numerical verification and validation of the inversion algorithms for these V-line transforms for vector fields and symmetric $2$-tensor fields, which were recently developed in \\cite{bhardwaj_2024,bhardwaj2025tensor}. The reconstruction results obtained for various phantoms demonstrate the effectiveness and robustness of the proposed numerical methods, including in the presence of noise.\n12. PEERS：一种基于隐式求逆与增强符号分析的并行精确有效电阻求解器 PEERS: A Parallel and Exact Effective Resistance Solver via Implicit Inversion and Augmented Symbolic Analysis\n作者: Baiyu Chen, Lin Gan, Guangwen Yang, Wenjian Yu\n类别: cs.AR, cs.DC, math.NA\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31535v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31535v1\n摘要: High-precision effective resistance computation is a cornerstone of Electronic Design Automation (EDA) sign-off, yet it remains a fundamental bottleneck in large-scale power grid analysis, spectral sparsification, and circuit reliability. Existing approaches face a prohibitive \u0026ldquo;precision-memory impasse\u0026rdquo;: approximate methods lack the stringent accuracy required for high-stakes industrial sign-off, while exact methods either suffer from redundant query overheads or trigger $O(n^2)$ memory explosions. To resolve this, we propose PEERS, a Parallel and Exact Effective Resistance Solver powered by an implicit inverse computing model of the Cholesky factor. By integrating a state-inherited augmented depth-first search (DFS) with a dynamic query update mechanism, PEERS eliminates numerical redundancy and evaluates all-edge resistance queries in a single parallel sweep. We provide a rigorous Work-Span analysis, proving that for graphs satisfying an $O(n^α)$ separator theorem, PEERS achieves a theoretically optimal parallel span of $O(n^α)$ while strictly maintaining $O(nnz(L))$ space complexity. Numerical evaluations on industrial benchmarks demonstrate that PEERS achieves an average speedup of 83.3x over state-of-the-art parallel solvers under identical memory constraints. Notably, PEERS processes a 1-million-node industrial graph in just 18.8 seconds and scales to 17 million nodes in under an hour, providing the first computationally feasible path for exact all-edge resistance analysis in multi-million-gate designs.\n13. 离散基尔霍夫元的误差分析 An error analysis of discrete Kirchhoff elements\n作者: Dietmar Gallistl, Ngoc Tien Tran\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31463v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31463v1\n摘要: The Discrete Kirchhoff Triangle (DKT) method for the biharmonic equation is analyzed in the discrete energy norm. The error is bounded by the best approximation of the Hessian by piecewise constants and the oscillation of the right-hand side, without additional regularity assumptions on the exact solution. This result implies first-order convergence of the classical DKT element and the analysis yields a canonical extension to three space dimensions with the same approximation properties. Residual-based a posteriori error estimates are derived. The analysis is formulated within a general framework for low-order nonconforming methods, which also applies to various classical elements and yields best-approximation results by constants. It is furthermore shown how known stable pairs for the planar Stokes system have discrete stream functions in discrete Kirchhoff spaces. This yields variants of the known schemes with positive definite formulations and pressure-robust error bounds.\n14. 无界区域上偏微分方程的区域分解随机神经网络 Domain-Decomposed Randomized Neural Networks for Partial Differential Equations in Unbounded Domains\n作者: Haixin Wang, Haoning Dang, Fei Wang, Shimin Guo\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31342v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31342v1\n摘要: Partial differential equations on unbounded domains are challenging because the exterior region must be represented without excessive truncation error. Truncation-based methods often require problem-dependent artificial boundary conditions, while global spectral bases may be inefficient for localized structures, irregular geometries, or solutions with different near-field and far-field behaviors. We propose a domain-decomposed randomized neural network framework for such problems. Different randomized subnetworks are assigned to different spatial regimes: a near-field subnetwork captures local and geometric features, whereas a far-field subnetwork represents exterior decay. The subnetworks are coupled by boundary and interface conditions, and only the output-layer coefficients are solved from linear least-squares systems arising from Petrov\u0026ndash;Galerkin or collocation formulations. We develop a Petrov\u0026ndash;Galerkin method for semi-unbounded elliptic problems and a collocation method for fully unbounded, perforated, and time-dependent problems. A conditional bounded-parameter approximation result is proved in a broken Sobolev norm, together with an error decomposition covering approximation, empirical-consistency/quadrature, and least-squares optimization errors. Numerical experiments for Poisson and time-dependent Schrödinger equations demonstrate the accuracy and flexibility of the proposed method.\n15. 高阶指数Runge-Kutta Galerkin有限元法用于带非光滑数据的半线性抛物问题 Higher-order exponential Runge-Kutta Galerkin finite element method for semilinear parabolic problems with nonsmooth data\n作者: Shuo Yang, Runjie Zhang, Zhe Yu, Jinwei Fang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31231v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31231v1\n摘要: We develop a rigorous numerical analysis framework for a class of semilinear parabolic problems with nonsmooth initial data. We employ a linear Galerkin finite element method for spatial discretization coupled with a high-order explicit exponential Runge-Kutta (EERK) temporal integration scheme. In contrast to conventional smooth error analysis, the nonsmooth case lacks a priori estimates for the higher-order derivatives of both the nonlinear term and the exact solution. By combining analytic semigroup techniques with fractional power space theory, we establish rigorous bounds for these derivatives. Finally, our analysis proves that the $p$th-order EERK method achieves a convergence rate of $\\min(1 + γ/2 + ρ_1(γ)/2,\\:p)$, where $γ$ characterizes the initial data regularity and $ρ_1(γ)$ quantifies the boundedness of the nonlinearity\u0026rsquo;s first Fréchet derivative. Numerical experiments confirm the sharpness of these estimates.\n16. 用于具有不匹配反投影器的 X 射线计算机断层成像的 GKB 方法 GKB Methods for X-Ray Computed Tomography with an Unmatched Back Projector\n作者: Abdulmajeed Alsubhi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31153v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31153v1\n摘要: In large scale X ray Computed Tomography (CT) inverse problems, the forward and back projectors are often generated using different discretizations. This discrepancy leads to unmatched pairs of projections, resulting in inconsistent normal equations. Consequently, employing the Conjugate Gradient method does not produce a useful solution. For matched operator pairs, the Golub Kahan bidiagonalization (GKB) method provides an efficient solution strategy. It works by projecting the original large-scale problem onto a lower-dimensional subspace, enabling the solution to be computed via a singular value decomposition of a sparse lower bidiagonal matrix. To address unmatched-pair problems in CT, we propose the AB and BA GKB algorithms as preconditioned forms of the GKB. These methods are straightforward to implement and allow for parameter tuning. We provide a discussion on the theoretical computational costs of our proposed algorithms in terms of floating point operations and compare with existing methods. While many Krylov methods tend to amplify noise in solutions, leading to semiconvergence, our proposed algorithms demonstrate greater resilience against this effect. We validate the effectiveness of our approach through numerical examples across various CT problems, showcasing its ability to deliver more stable solutions.\n17. 用于扰动Boussinesq系统的相容分裂广义标量辅助变量格式 A consistent-splitting generalized scalar auxiliary variable scheme for the perturbed Boussinesq system\n作者: M Nader Alhomsi, Jiahong Wu, Xiaoming Zheng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31152v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31152v1\n摘要: We propose and analyze a second-order consistent-splitting scheme, based on the generalized scalar auxiliary variable (GSAV) approach, for the two-dimensional perturbed Boussinesq system. The system is obtained by subtracting a stable, linearly stratified hydrostatic equilibrium from the standard Boussinesq system. The time discretization extends the consistent-splitting generalized BDF2 framework of Huang and Shen [17] for the Navier-Stokes equations, treating the nonlinear convection and advection together with the linear buoyancy and stratification couplings explicitly, so that each time step reduces to a small number of decoupled linear systems. We prove an unconditional weak stability theorem for the GSAV scheme and derive optimal second-order error estimates for the velocity, pressure, and temperature. A careful tracing reveals that the error constant depends on the inverse viscosity and inverse thermal diffusivity through a quadruply-nested exponential, so the scheme is not robust as either tends to zero. Numerical experiments confirm the second-order convergence and reproduce the expected internal-wave dynamics and exponential relaxation toward hydrostatic balance in a long-time stratified-flow simulation.\n18. 通过BDSDE表示对SPDE进行量子衍生品定价 Quantum Derivative Pricing for SPDEs via BDSDE Representation\n作者: Xinmiao Li, Yanqiao Wang, Rundi Lu, Zhengwei Liu, Jin-Peng Liu\n类别: quant-ph, math.NA\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31076v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31076v1\n摘要: We study quantum speedups of derivative pricing for stochastic partial differential equation (SPDE) models through their backward doubly stochastic differential equation (BDSDE) representations. We develop conditional and nested quantum-accelerated multilevel Monte Carlo (QA-MLMC) methods for estimating the resulting conditional and nested expectations, improving the sampling complexity of classical Monte Carlo methods from $\\widetilde{O}(ε^{-2})$ to $\\widetilde{O}(ε^{-1})$ within additive error $ε$. We apply the framework to derivative pricing and sensitivity analysis, providing quantum-accelerated estimators for prices as well as first-order and second-order Greeks, likelihood-ratio and Malliavin-weight representations for Greeks, and Heston-type stochastic-volatility models. To enable efficient multilevel coupling, we construct a family of Forward\u0026ndash;Backward Taylor discretization schemes for the stochastic integrals arising in the BDSDE representations and establish global strong-error order one convergence for pricing and Greek estimators. Numerical experiments showcase our schemes for first-order and second-order Greeks can reach the required orders for the full quadratic quantum speedups.\n19. 带增量正交化的流式张量分解在线 TT-ALS Online TT-ALS for Streaming Tensor Decomposition with Incremental Orthogonalization\n作者: Hiroki Takeda, Yuto Miyatake, Daisuke Furihata\n类别: math.NA, cs.CV, cs.LG\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31061v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31061v1\n摘要: Tensor Train (TT) decomposition is a powerful technique for analyzing high-dimensional data. Existing algorithms for computing TT decompositions can be categorized into two main types: conventional batch-based approaches and recursive online methods. In the context of streaming data, batch methods typically achieve higher reconstruction accuracy but often suffer from memory exhaustion, while online methods provide greater computational efficiency. In this work, we introduce Online TT-ALS (Alternating Least Squares), an algorithm that sequentially enforces orthogonality constraints. This approach allows for efficient and exact updates of the core tensor while maintaining high reconstruction accuracy. Theoretically, we prove that enforcing these orthogonal gauge constraints guarantees monotonic decrease of the local objective function and temporal smoothness. Computationally, our deterministic single-sweep update reduces the rank dependence from quadratic to linear, achieving an overall complexity of $\\mathcal{O}(I^{n-1} r)$. Experimental results demonstrate that the proposed method outperforms existing online techniques not only in terms of mathematical approximation accuracy but also in human perception-based video quality metrics. Furthermore, compared to recent deep learning-based paradigms, our algebraic approach achieves speedups of several orders of magnitude. Consequently, our method exhibits high computational efficiency and is suitable for low-latency real-time processing applications.\n20. 超越二分裂：一种用于蠕虫状胶束溶液的广义三种类级联断裂模型 Beyond binary scission: a generalized three-species cascade breakage model for wormlike micellar solutions\n作者: Rongxin Lu, Jiwei Jia, Young Ju Lee\n类别: cond-mat.soft, math.NA\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31059v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31059v1\n摘要: Wormlike micellar fluids exhibit complex rheological behavior driven by the continuous breakage and recombination of self-assembled micellar networks. Existing two-species models provide a coarse binary representation of the micellar population, limiting their ability to resolve intermediate structural states and broad relaxation spectra. To address this limitation, we develop a three-species cascade breakage model consisting of gel-network, long chains, and short chains. By introducing an intermediate micellar state, the model links the rapid relaxation of short fragments to the slow recovery of the gel-network within a unified kinetic framework. This additional structural pathway gives rise to a three-mode viscoelastic response, improves the high-frequency description of the dynamic moduli, and produces a non-monotone constitutive curve that evolves into a stress plateau with coexisting shear bands in Couette flow. This cascade mechanism also governs the transient response, including stress overshoot, hysteresis, and multistep relaxation after shear cessation. Overall, the proposed three-species model provides a physically interpretable framework for worm-like micellar shear banding, capturing the connection between cascade microstructural evolution, broad relaxation dynamics, and macroscopic flow localization.\n21. 基于任意阶酉三角分解的数值代数几何的Ricci记号张量框架 Ricci-Notation Tensor Framework for Numerical Algebraic Geometry via Any-Degree Unitary-Triangular Factorization\n作者: Dileepan Joseph\n类别: math.NA, cs.MS\n发布日期: 2026-06-30\narXiv ID: 2606.31003v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.31003v1\n摘要: The unitary-triangular (QR) factorization of linear algebra may be used to robustly and efficiently solve a linear system. Toward a comparable numerical method to solve a polynomial system of higher degree, this paper proposes an any-degree unitary-triangular (Qr) factorization, which for a degree-one system reduces to the QR factorization. The work develops a tensor framework, i.e., codesigned algebra and software, where polynomial system coefficients are represented by a vector-shaped sparse tensor, a multidimensional array whose number of Ricci-notation indices, called the tensor degree, equals the highest monomial degree of the system. With the proposed Qr factorization, the coefficient tensor decomposes into a product of unitary and triangular factors that, in general, also have Ricci-notation indices and sparse entries. The unitary factor defines a unitary transform, a generalization of the related linear algebra concept to tensor algebra, that can triangularize a polynomial system while preserving its solution set, whether zero- or positive-dimensional. The work extends the author\u0026rsquo;s Ricci-notation tensor framework, providing new algebra and new software to model, construct, and factorize polynomial systems in this manner. After applying the approach to numerically triangularize two zero-dimensional systems, chosen for educational value, results are compared to the Gröbner-basis (GB) method for triangularizing polynomial systems symbolically. One problem is of degree three, with three equations and unknowns, and the other of degree two, with four equations and unknowns. Although it resembles GB triangularization, the proposed Qr factorization has a completely different pedigree associated with numerical methods.\n22. 非紧区域上参数化偏微分方程的局部Gevrey正则性与拟蒙特卡罗求积 Local Gevrey regularity and Quasi-Monte Carlo quadrature for PDEs parameterized on non-compact domains\n作者: Dinh Dũng, Tùng Lê, Alexey Chernov\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.30972v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.30972v1\n摘要: We establish local Gevrey regularity for the weak solution to parametric divergence-form diffusion elliptic PDEs, assuming the diffusion coefficient itself possesses local Gevrey parametric regularity over a non-compact domain. Here \u0026ldquo;local Gevrey regularity\u0026rdquo; means that the regularity is determined in a neighborhood of each parametric point and depends on that point. Explicit bounds on parametric derivatives of the weak solution are proved in the $H^1$-norm. Building on this local Gevrey framework, we develop a novel theoretical treatment of the dimension truncation error for infinite-dimensional integration. We prove convergence rates of quasi-Monte Carlo quadrature for the finite-dimensional Gaussian-weighted integration of integrands having local Gevrey regularity. Together with the finite element discretization error, the errors arising from dimension truncation and quasi-Monte Carlo quadrature yield a complete error analysis and convergence rates for the fully discrete approximation of a bounded linear functional of the weak solution. Numerical experiments confirming the theoretical convergence rates are presented.\n23. 矩阵李群中的向量对齐 Vector alignment in matrix Lie groups\n作者: Congzhou M Sha\n类别: math.NA, hep-lat, math-ph\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.30868v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.30868v1\n摘要: The difference in gauge between two observers of the same physical system can be thought of as a group element acting on their common vector representations. Recovering that group element from a finite, noisy list of paired observations may be of use in both theory and experiment. The Kabsch and Horn algorithms efficiently align point clouds in $\\mathbb R^3$, reconciling rotated frames of reference in Galilean relativity (i.e. $SO(3)$). In a previous work, we proposed an alternative Lie algebra method which extends to the Lorentz group $SO(3,1)_+$, and putatively to all Lie groups. In this work, we report the explicit formulae for applying the Lie algebra method to the classical matrix Lie groups (general linear $GL(n)$, special linear $SL(n)$, special orthogonal $SO(n)$, unitary $U(n)$, indefinite special orthogonal $SO(p,q)$, symplectic $Sp(n)$, spin $Spin(n)$, special Euclidean $SE(n)$) over both the real and complex fields. The four steps (pseudoinverse, matrix logarithm, projection onto the Lie algebra, matrix exponential) are exact in the noiseless case. The only group-dependent step is the projection, which we show produces the unique least squares-optimal element of the Lie algebra whenever its image lies in $\\mathfrak g$ and its residual is orthogonal to $\\mathfrak g$. Additionally, the Lie algebra method is optimal only to leading order for noisy data, so we refine it with a Newton-style correction. This correction matches the Lie algebra method in the noiseless case and direct least squares optimization in the noisy case, with performance between that of the Lie algebra method without correction and naive least squares optimization. The projections, their optimality, and the identity underlying the correction are formally proven in Lean~4.31.0 (with Mathlib 4.31.0), and numerical experiments are benchmarked in Julia.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-07-01_11-01-10/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年07月01日 11:01:10\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 23\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-多准轴对称结构声散射的谱方法求解器\"\u003e1. 多准轴对称结构声散射的谱方法求解器\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eA Spectral Solver for Acoustic Scattering by Multiple Quasi-Axisymmetric Structures\u003c/p\u003e","title":"2026年07月01日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年06月30日 10:49:46\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 5\n不相关论文数量: 44\n重点关注论文（完整分析） 1. McMg：一种用于亥姆霍兹方程的学习型相空间多通道多重网格预处理器 McMg: A Learned Phase-Space Multi-channel Multigrid Preconditioner for Helmholtz Equation\n作者: Jiwei Jia, Xinliang Liu, Juntao Wang, Jinchao Xu\n类别: math.NA, cs.AI, math-ph\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.30495v1\n摘要翻译: 在高波数下求解非均匀亥姆霍兹方程仍然具有挑战性，因为离散算子是不定的，污染会降低相位精度，且标量粗网格校正可能丢弃振荡误差所携带的局部相位和传播方向信息。我们提出了多通道多重网格（McMg），一种用于非均匀亥姆霍兹方程的学习型相空间多重网格预处理器。McMg 并不直接预测解，而是在迭代框架内将残差映射为修正。其核心思想是在粗化物理空间的同时，在通道维度中保留未解析的局部波信息：每个粗节点携带一个学习到的振幅、相位、方向和散射系数包，而不是单个标量未知量。该架构结合了线性多通道转移算子、局部自适应模板、神经偏微分方程算子以及依赖于介质的光滑子，其系数由波速生成。对于固定介质，V-循环在残差中是线性的；非线性物理特征在设置阶段计算一次并缓存，因此每次在线迭代简化为固定系数的卷积。我们进一步研究了跨尺度的泛化。在小域上训练的模型可直接转移到更大的域和更高的有效波数，而逐层渐进微调（LLPF）策略通过仅添加和微调新的粗层来扩展学习到的格林算子的支持范围。在高频、高对比度和大规模三维问题上的数值实验表明，与强大的经典基线方法相比，McMg 所需的迭代次数和挂钟时间显著减少，同时始终优于现有的神经预处理器。\nComment: 26 pages, 13 figures\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.30495v1\n1. 研究对象和背景 亥姆霍兹方程是描述时谐波传播的核心方程，在声学、电磁学、地球物理和医学成像等领域应用广泛。考虑非均匀介质中带有吸收边界层的亥姆霍兹方程：\n$$ -\\Delta u(x) - k(x)^2 u(x) = f(x), \\quad x \\in \\mathbb{R}^D, $$并满足 Sommerfeld 辐射条件 $$ \\lim_{|x|\\to\\infty} |x|^{\\frac{D-1}{2}} \\left( \\frac{\\partial u}{\\partial |x|} - i k_0 u \\right) = 0. $$ 其中 $u(x)$ 是波场，$f(x)$ 是源项，波数 $k(x) = \\omega / c(x)$ 由角频率 $\\omega$ 和局部波速 $c(x)$ 决定。数值计算时需截断区域并引入吸收层（海绵层或完美匹配层），以抑制人工反射。本文采用有限差分法在均匀网格上离散，得到线性系统：\n$$ A u = f. $$在高波数情形下，该离散系统面临严峻挑战：\n离散算子 $A$ 强烈不定，可能接近奇异，破坏了经典多重网格方法的理论假设，导致标准松弛（如 Jacobi 或 Gauss-Seidel）失效。 污染效应 (pollution effect)：固定模板的色散误差随波数 $k$ 积累，导致相位精度随着波数 $k$ 和网格尺寸 $h$ 的乘积 $kh$ 增大而恶化，即使满足 $kh$ 恒定条件，全局误差仍可能增长。 标量粗化 (scalar coarsening) 的信息丢失：在几何多重网格中，粗网格校正假设误差分量在空间上是光滑的。但对于高波数 Helmholtz 问题，经过松弛后误差并非物理空间上的光滑函数，其局部表现为 WKB 形式 $a(x) e^{i \\phi(x)}$，波矢 $\\nabla \\phi(x)$ 接近特征球面 $|\\xi| \\approx k(x)$。将物理坐标粗化会丢失局部方向、相位和散射信息，导致粗校正相位失配，可能放大而非减少误差。 针对这些困难，已发展出多种专用解法与预处理器：\n移位拉普拉斯 (shifted-Laplacian) 方法在原始 Helmholtz 算子 $A$ 上添加复阻尼项 $-\\imath \\gamma k^2$，改善谱性质，作为 Krylov 子空间预处理器效果显著，但迭代次数仍随波数增长。 波线多重网格 (wave-ray multigrid) 将射线基校正与标量多重网格结合，增强对振荡分量的分辨能力，但实现复杂。 收敛 Born 级数 (Convergent Born Series, CBS) 通过修正 Born 展开并选取合适预处理器实现收敛，可处理强散射介质，但迭代步数仍较多。 区域分解方法 (domain decomposition) 通过子域求解和传输条件构造高效扫描型求解器，但可扩展性和健壮性仍待提高。 尽管这些方法取得了重要进展，但在高波数、强非均匀介质中同时保证鲁棒性与计算效率仍然是开放问题。 近年来，基于深度学习求解 PDE 引起了广泛兴趣。物理信息神经网络 (PINN) 将物理方程嵌入损失函数，但每个新参数（如不同波数分布）需要重新训练，泛化性差。神经算子 (neural operators) 如 DeepONet、Fourier Neural Operator (FNO) 等直接学习无穷维函数空间之间的映射，克服了 PINN 的泛化限制，但受频谱偏差 (spectral bias) 影响，网络倾向于学习低频成分，难以捕捉高频模式，导致精度不足和可靠性问题。进一步出现神经求解器/预处理器 (neural solvers/preconditioners) 的思路：将神经网络作为经典迭代框架中的组件，逐步降低误差。例如 WAVE-ADR-NS 学习消除 Helmholtz 方程特定的“特征”误差分量，MGCFNN 构建层次化神经多重网格架构，混合方法将神经算子与传统迭代器交错使用以加速收敛。然而，现有神经预处理器在高波数和非均匀介质中准确性和收敛性仍会退化；同时，每次迭代中较重网络的评估开销可能抵消迭代次数的减少，导致总耗时并不优于经典方法。\n本文旨在填补上述空白，提出多通道多重网格 (McMg) —— 一种学习型相空间多重网格预处理器。其核心思想是在空间上粗化的同时，利用通道维度保持未被解析的局部波信息（振幅、相位、传播方向和散射系数），以克服标量粗化带来的信息丢失。目标是验证该方法在高频、高对比度、大规模实际三维问题中能否保持高效求解性能。\n2. 主要定理或主要结果 本文在以下假设和设定下报告了主要实验结论（未给出带编号的分析性定理，结论均为数值验证）：\n所提出的 McMg 作为预处理器或迭代求解器，在三个高难度三维基准测试上相较于最强经典基线，实现了迭代次数的大幅减少和墙钟时间加速：\nOpenBreastUS 基准：相对于 GMRES+移位拉普拉斯多重网格，迭代次数减少 110.6 倍，墙钟加速 10.3 倍。 OpenFWI CurveFault-B 基准：相对于 CBS，迭代次数减少 51.3 倍，墙钟加速 3.4 倍。 Kimberlina 3D 基准：相对于稀疏 LU 分解，迭代次数减少 45.1 倍，墙钟加速 6.8 倍。 跨尺度泛化：仅在小域（或小块）上训练的 McMg 模型可以直接部署到更大域和更高有效波数问题上，无需重新训练，保持收敛性。\n提出逐层渐进微调 (LLPF) 策略，可进一步扩展至超大域：冻结已训练的各层参数，仅微调新添加的最粗层，以此扩展学习型 Green 算子的长程支持，训练代价远低于完整重训，且收敛性能与全重训相当。\n习得多通道粗空间的物理可解释性：\n可视化表明，在粗层注入单位脉冲所产生的细网格响应不是局部的插值核，而是跨越约 12 个波长的振荡波包（见 Fig. 2），表明每个粗节点通过多个通道携带了丰富的方向与相位信息。 同一粗网格位置不同通道激发的细网格响应呈现出不同的相位、方向和干涉图案（Fig. 3a）。 将各通道响应向量化后的矩阵奇 异值谱缓慢衰减（Fig. 3b），证明通道维度确实张成一个非冗余的多维粗步子空间，而非简单的特征维数扩充。 对固定介质，McMg 的 V-cycle 是残差的线性映射，非线性物理特征在设置阶段一次计算并缓存，因此每次在线迭代仅为固定系数的多通道卷积，极大降低了单次迭代的计算开销。\nMcMg 训练目标是近似离散 Helmholtz 算符的逆 $\\mathrm{MG}(r) \\approx A^{-1} r$。通过采样高斯随机残差 $r \\sim \\mathcal{N}(0, I)$，最小化相对残差损失： $$ L_H = \\frac{1}{B} \\sum_{i=1}^{B} \\frac{\\| A^{(i)} \\mathrm{MG}(k^{(i)}, r) - r \\|^2}{\\| r \\|^2}, $$ 使模型学习成为求解器。训练后的算子也可无缝嵌入 GMRES 或 Born 级数中获得 Born+McMg 变体。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 为克服标量粗化在高波数 Helmholtz 问题中的局限，本文的核心创新是引入多通道粗空间表示，并通过以下关键技术实现高效且可解释的学习型预处理器。\n1. 介质调制与线性-非线性分离 整个架构的关键设计原则是：对固定的物理介质（波数分布 $k$），V-cycle 必须是残差的线性函数，以保证良好普适性和理论简洁性；而对介质系数的依赖性可以是非线性的，以捕捉最佳离散参数与波数之间的复杂关系（如色散优化模板系数可能涉及 $\\cos(kh)$ 等超越函数）。为此，定义通用运算块： $$ c = \\sigma (K_m * m), \\qquad \\Phi_m(x) = c \\odot (K_x * x), $$ 其中 $m$ 为介质系数（本文中即离散波数 $k$），$K_m$, $K_x$ 为可学习的多通道卷积核，$\\sigma$ 为 GELU 激活函数，$\\odot$ 表示逐元素乘法，$*$ 为多通道卷积。映射 $c = c(m)$ 体现对介质系数的非线性依赖，而 $\\Phi_m(x)$ 对场 $x$ 保持线性。由于 $m$ 在求解过程中固定，可在“设置阶段”一次性计算 $c$ 并缓存；在线迭代时仅执行线性卷积，显著降低每步计算量。\n2. 设置阶段与特征层次构建 对于每一网格层 $l$，生成两类缓存物理特征：\nPDE 特征 $a_l$：作为高维推广的有限差分模板系数，编码局部色散修正和波速信息，用于近似该层的 Helmholtz 算子 $A_l$。 光滑特征 $s_l$：作为空间变化的松弛参数，允许求解器根据局部非均匀性动态调整光滑强度。 特征层次通过非线性 CNN 构建。记 $f_{\\text{lift}}$ 为提升网络，将原始波数 $k$ 映射到高维潜在特征 $a_1$；然后逐层通过 $f_l^a$（限制网络）生成更粗层的 PDE 特征 $a_{l+1}$，通过 $f_l^s$（光滑特征生成网络）由 $a_l$ 产生 $s_l$。所有 $f_l^a, f_l^s$ 均由多通道非线性卷积构成并共享参数。而层间迁移算子 $R_{l+1}^l$（限制）和 $P_l^{l+1}$（延拓）则严格为线性多通道卷积（或转置卷积），以确保求解器对残差的线性性。 3. 求解阶段：多通道 V-cycle\n神经光滑：在层 $l$ 的第 $i$ 次光滑步使用迭代相关参数 $W^{(i)}$ 和缓存特征 $s_l$： $$ S_l^{(i)}(x) = W^{(i)} * \\bigl( s_l \\odot (K_x * x) \\bigr). $$ 更新公式为 $$ e_l^{(i)} = e_l^{(i-1)} + S_l^{(i)} \\bigl( r_l - A_l(e_l^{(i-1)}) \\bigr), $$ 其中神经 PDE 算子 $A_l$ 定义为 $$ A_l(x) = W_l * x + a_l \\odot (K_x * x). $$ 第一个线性卷积 $W_l * x$ 模仿拉普拉斯算子离散，第二项通过 $a_l$ 注入介质物理。光滑操作在高维特征空间中进行，残差、修正均为多通道张量 （$c$ 通道数可设 16, 32 等），光滑子同时起到阻尼和通道混合的作用，可局部调整幅度、相位和方向。 神经限制：$r_{l+1} = R_{l+1}^l (r_l - A_l(e_l))$。$R_{l+1}^l$ 为带步长的线性卷积，将细层多通道残差投影到粗层多通道潜在空间，旨在保留那些难以在细层消除的振荡分量，并区分不同相位和方向。 神经延拓：$e_l \\leftarrow e_l + P_l^{l+1} (e_{l+1})$。$P_l^{l+1}$ 为线性转置卷积，将粗层多通道修正映射回细层多通道修正。学习的延拓定义了一个多通道波包词典：一个粗网格节点可诱导多个细网格振荡响应（见 Fig. 2）。 整个 V-cycle 开始和结束处使用线性编码器 $g_{\\text{lift}}$ 和解码器 $g_{\\text{proj}}$ 在物理标量空间和潜空间之间转换，二者均不含非线性激活，确保线性性。 4. 训练策略 训练时采用与求解过程解耦的随机残差扰动方式：每次迭代从标准正态分布采样随机残差 $r \\sim \\mathcal{N}(0,I)$，利用离散算子 $A$ （随波数变化而变化）计算校正，并最小化相对残差损失 $L_H$。该方法使模型暴露于广泛的残差模态，学习近似逆算子 $A^{-1}$。\n5. 多通道粗空间的物理诠释 多通道设计并非仅为增加网络容量，而是模拟高波数 Helmholtz 解的相空间结构。在几何光学近似下，Helmholtz 解局部可表示为 $a(x)e^{i\\phi(x)}$，$\\nabla\\phi$ 接近 $k(x)$。标量粗网格节点无法区分行进方向不同的波包；而通过通道维度，每个粗节点可同时编码多个相空间分量（不同方向、相位）。实验证明，对相同粗节点位置但不同通道施加激励所产生的细网格响应各异（Fig. 3a），且通道响应矩阵的奇异值谱缓慢衰减（Fig. 3b），故而多个通道确实张成一个有效的多维度粗子空间，与解析构造的多尺度基函数（如 LOD、GMsFEM）在原理上类似，但采用端到端学习获取。\n6. 逐层渐进微调 (LLPF) 为将小域训练的模型有效扩展到大域，提出 LLPF 策略：\n第一步：在小域 $D_1$ 上训练具有 $L$ 层的标准 McMg 模型 $M_1$。 当域尺寸增大到 $D_k$（$k \\ge 2$）时，在原有多重网格层次底部增加一个更粗层，扩展感受野以捕捉更长波长模式。 冻结所有先前已训练层的参数（保持其对局部物理的精确刻画），仅微调新增最粗层的参数。 在 $D_k$ 上生成数据训练新层，由于误差的高频成分已被冻结层处理好，新增层只需学习残余的低频全局误差。 该过程可以逐级进行，每次微调仅涉及一层，避免了全模型重训的巨大开销（包括 GPU 显存和计算时间），同时维持了优良的收敛性。 技术难点与突破总结 主要障碍在于：传统多重网格在高波数时因标量粗化丢失相位方向信息而失效；神经方法因频谱偏差难以学习高频振荡分量，且网络推理开销抵消加速效果。本文的创新之处在于：通过多通道表示保留相空间信息，利用设置阶段编码介质非线性使得迭代完全线性，实现轻量级每步推理；结合层次化特征缓存和线性迁移算子构建高效的 V-cycle；并通过 LLPF 实现高成本效益的跨尺度适应。\n4. 与之前工作的比较 本文所述 McMg 方法与现有有限元-偏微分方程数值解法的相关工作在多个维度上形成对比与推进。\n1. 与传统 Helmholtz 多重网格及预处理器对比\n相对移位拉普拉斯多重网格 (Erlangga et al. 2004)：该类方法通过在算子中引入复偏移指数衰减，提升 Krylov 子空间预处理效果，但仍保留标量粗化。在高波数下，标量粗网格校正同样面临相位信息丢失风险，且迭代次数随波数增长明显。McMg 从结构上通过多通道保留方向信息，从而更彻底地处理振荡误差分量。文中报告的数值实验表明，在 OpenBreastUS 上相对移位拉普拉斯加速 10.3 倍且迭代数骤降。 相对波线多重网格 (Brandt and Livshits 1997, Livshits and Brandt 2006)：该方法将射线基校正与传统多重网格结合，虽能处理部分振荡误差，但实现复杂且射线基构造依赖较强背景介质假设。McMg 将射线方向信息隐式编码在学习到的通道响应中，无需显式射线追踪，同时能自适合非均匀介质，并通过设置阶段缓存使在线运算更轻量。 相对 CBS (Osnabrugge et al. 2016)：CBS 通过修正 Born 级数实现收敛，需构造参考介质和对应预处理器（如基于波数的平方根），但通常迭代步数较多。McMg 作为预处理器亦可整合进 Born 级数（Born+McMg），可大幅降低所需 Born 迭代次数。 相对区域分解方法 (Chen and Xiang 2013, Leng and Ju 2022)：区域分解的收敛性与子域划分、传输条件选择密切相关，对于高对比度介质和极高频时可能退化。McMg 不依赖子域边界，直接通过全局层次化的多通道 V-cycle 处理非均匀性。 2. 与现有神经算子/神经求解器对比\n相对 PINN (Raissi et al. 2019)：PINN 每次新参数配置需重新训练，无法跨介质推广；McMg 则采用泛化的算子学习范式，训练后可应用于不同波数分布（至少同一类介质），且可通过 LLPF 扩展到大域。 相对 FNO、DeepONet 等端到端神经算子 (Li et al. 2020, Lu et al. 2021)：此类方法直接学习解映射，受频谱偏差影响难以准确捕捉高频成分，误差可能较大。McMg 不直接预测解，而是作为迭代校正作用于残差，利用多通道粗空间逐级提取各尺度误差，从而降低对高频学习的依赖。此外，FNO 等因全局谱卷积计算代价高，在大规模 3D 问题上可能受内存和计算限制；McMg 通过线性卷积缓存机制实现较低每步开销。 相对 WAVE-ADR-NS (Cui et al. 2025) 和 MGCFNN (Xie et al. 2025)：WAVE-ADR-NS 借鉴波线思想学习消除“特征”误差，MGCFNN 构造神经多重网格并在粗层采用 FNO。两者都局限于标量场处理，未能充分解决方向信息的丢失。McMg 通过多通道设计从根本上改进了粗空间表达，实验表明其在高波数、高对比度条件下保持更健壮的收敛。此外，文中明确比较了 WAVE-ADR-NS 与 McMg 的每步开销：前者网络较重，后者由于缓存使在线迭代仅为轻量卷积，即使迭代次数接近，墙钟时间也有明显优势。 相对 NPBS (Wang et al. 2026)：NPBS 提出神经预条件 Born 序列，McMg 可适配该框架形成 Born+McMg，但 McMg 本身结构上的多通道特性提供了更丰富的粗校正能力。 3. 多尺度方法视角的对比\n相对模拟 LOD 和 GMsFEM 等解析多尺度方法 (Gallistl and Peterseim 2015, Chung et al. 2014)：这些方法通过粗节点上附加局部特征问题求解获得振荡多尺度基函数，本质上也是通过增加每个粗节点自由度来捕获细尺度信息，与 McMg 的多通道思想相通。然而，这些函数的构造通常依赖于局部椭圆算子或简化模型，不一定完美适用于强不定 Helmholtz 算子；且离线计算每个基函数可能代价较高。McMg 用端到端学习替代解析构造，直接从训练数据中学习最优的局部波包词典，并能自适应介质。可视化和奇异值分析表明学习到的通道基确实是有效的。 4. 跨尺度泛化与训练效率\n多数神经算子方法在域尺寸扩大时需要重新训练或至少进行大量微调，否则性能急剧下降。McMg 则展示了直接跨尺度泛化（小域模型直接用于大域）的能力，这得益于其层次化结构和介质相关特征的正确解耦。 与完全重训练相比，LLPF 方法只需微调新增最粗层，避免了对所有层的梯度传播，显著降低了训练时间和内存，同时保持了收敛性能，这对于数百波长规模的问题尤为关键。文中指出，LLPF 在保持收敛性的同时将训练开销削减至全重训练的一小部分，使 McMg 能够经济地处理更大规模。 5. 局限与代价 从提供内容看，作者未显式展开讨论方法的局限，但可合理推断：\n训练阶段需要针对特定介质分布生成数据并优化，尽管有 LLPF，但面对完全迥异的介质类型（如从声速连续变化到高度散射随机介质）可能仍需重新训练基础模型。 多通道表示增加了内存需求（缓存多个特征张量），对于极大 3D 网格可能对显存造成压力。 尽管每步线性卷积廉价，但相比标准两次光滑一次校正的标量 V-cycle，计算量仍高，尤其在通道数较多时。文中报告的速度提升是在与最优经典基线对比下测得的，但未直接与极优化纯标量多重网格（可能更快但发散）比较。 学习过程得到的是近似逆，理论上无法保证与精确离散逆一样稳定，但训练目标最小化相对残差和 GMRES 内嵌使用提供了保障。 2. 一种基于迹的高传导界面降维方法 A Trace-Based Interface Reduction Method for Highly Conducting Interfaces\n作者: So-Hsiang Chou, Do Young Kwak\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-27\narXiv ID: 2606.28700v1\n摘要翻译: 我们针对具有高传导界面的椭圆界面问题，提出了一种降维界面格式。界面条件包括主变量的连续性以及法向通量跳跃与界面迹的表面拉普拉斯算子成正比。我们采用公共界面迹作为界面未知量，而非采用解跳跃作为界面未知量，并推导了基于迹的Schur补格式。对于给定的界面迹数据，在两个子域中求解独立的延拓问题，从而导出涉及Dirichlet-to-Neumann跳跃算子和表面刚度算子的降维界面方程。有限维迹近似产生仅定义在界面上的紧凑降维系统。针对圆形、光滑非圆形和心形界面的数值实验验证了该方法的有效性以及界面模态富集的作用。\nComment: 15 pages, 5 figures\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.28700v1\n1. 研究对象和背景 本文研究一类带有高导电界面的椭圆型界面问题。令区域 $\\Omega \\subset \\mathbb{R}^d$，$d=2,3$，被光滑界面 $\\Gamma$ 划分为子区域 $\\Omega^-$ 和 $\\Omega^+$。控制方程为 $$-\\nabla\\cdot(\\beta^\\pm \\nabla u^\\pm) = f^\\pm \\quad \\text{在 } \\Omega^\\pm \\text{ 内},$$ 界面条件为 $$[u]=0 \\quad \\text{在 } \\Gamma \\text{ 上}, \\qquad [\\beta \\partial_n u] = \\alpha \\Delta_S u_\\Gamma \\quad \\text{在 } \\Gamma \\text{ 上},$$ 并附加齐次 Dirichlet 边界条件 $u=0$ 在 $\\partial\\Omega$ 上。这里 $[\\cdot]$ 表示跨越界面的跳跃，$u_\\Gamma$ 表示解的公共界面迹，$\\Delta_S$ 为作用在界面切向上的表面 Laplace 算子，$\\alpha\u003e0$ 为常数，$\\beta^\\pm \\geq \\beta_0\u003e0$ 为分区常数或函数。这类条件来源于复合材料、薄膜扩散、高导电薄层等的渐近模型，在薄层厚度趋于零时，界面上的有效条件会出现表面微分算子，从而同时耦合了体椭圆问题和界面上的切向扩散。\n从数值计算角度看，含表面微分算子的界面问题比经典传输问题更具挑战，因为界面条件本身包含沿界面的切向导数，需要界面迹具有更高的正则性。已有的数值方法主要包括贴体网格、非贴体网格、浸入式和非协调有限元方法等，它们通常将界面条件直接嵌入全局体离散格式中。此前，作者团队曾针对非线性或椭圆界面问题提出若干界面约化框架，但这些工作处理的是经典传输条件，其约化变量为标量参数或解的跳跃。对于本文所考虑的高导电界面模型，由于解在界面处连续，自然的界面未知量是公共迹而非跳跃，这催生了基于迹的 Schur 补约化思路。\n本研究试图填补的空白在于：将界面约化思想拓展到含有表面微分算子的传输问题，建立以界面迹为核心未知量的降维方程，并提供一种仅依赖于界面低维逼近的数值框架。这一框架将体问题解耦为独立子区域上的椭圆延拓，同时将表面扩散项完全限制在界面的小规模系统中，从而为低维界面逼近和模态解释提供了自然基础。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果包含以下推导和数值发现：\n约化界面方程的严格推导。定义界面迹 $\\gamma = u_\\Gamma$，将解在子区域上分解为调和延拓与体积力贡献之和：$u^\\pm(\\gamma) = H^\\pm \\gamma + U_f^\\pm$，其中 $H^\\pm: H^{1/2}(\\Gamma)\\to H^1(\\Omega^\\pm)$ 为椭圆延拓算子，满足 $$\\begin{aligned} -\\nabla\\cdot(\\beta^-\\nabla(H^-\\gamma)) \u0026= 0 \\; \\text{在 } \\Omega^-, \\quad H^-\\gamma = \\gamma \\; \\text{在 } \\Gamma, \\\\ -\\nabla\\cdot(\\beta^+\\nabla(H^+\\gamma)) \u0026= 0 \\; \\text{在 } \\Omega^+, \\quad H^+\\gamma = \\gamma \\; \\text{在 } \\Gamma, \\end{aligned}$$ 且在外边界处均为零；$U_f^\\pm$ 则满足相同方程和齐次界面迹条件。定义 Dirichlet-to-Neumann 跳跃算子 $S\\gamma := [\\beta \\partial_n (H\\gamma)]$ 及体积力导致的界面源项 $g_\\Gamma := -[\\beta \\partial_n U_f]$，则原始的体界面问题可以等价转化为仅定义在界面上的方程 $$S\\gamma - \\alpha \\Delta_S \\gamma = g_\\Gamma \\quad \\text{在 } \\Gamma \\text{ 上}. \\tag{20}$$ 该方程称为 约化界面方程，它将体的耦合转化为界面迹的单一方程，完全避开了体网格对界面的依赖。\n有限维迹逼近与代数系统。取有限维迹空间 $\\Lambda_m^\\gamma = \\operatorname{span}\\{\\psi_1,\\dots,\\psi_m\\} \\subset H^1(\\Gamma)$，将界面迹近似为 $\\gamma_m = \\sum_{j=1}^m s_j \\psi_j$。在变分形式下使用表面分部积分，得 $$\\langle [\\beta \\partial_n H\\gamma_m], \\psi_i \\rangle_\\Gamma + \\alpha \\langle \\nabla_S \\gamma_m, \\nabla_S \\psi_i \\rangle_\\Gamma = \\langle g_\\Gamma, \\psi_i \\rangle_\\Gamma, \\quad i=1,\\dots,m.$$ 代入展开式得到线性系统 $$(S_m + \\alpha L_m) s = b_m, \\tag{22}$$ 其中 $$(S_m)_{ij} = \\langle [\\beta \\partial_n H\\psi_j], \\psi_i \\rangle_\\Gamma, \\quad (L_m)_{ij} = \\langle \\nabla_S \\psi_j, \\nabla_S \\psi_i \\rangle_\\Gamma, \\quad (b_m)_i = \\langle g_\\Gamma, \\psi_i \\rangle_\\Gamma.$$ 值得注意的是，$S_m$ 来源于体延拓算子的响应，$L_m$ 是纯界面上的表面刚度矩阵，两者可以独立组装。\n圆形界面的模态富集与精确恢复。对半径为 $R$ 的圆形界面，表面 Laplace 算子化为 $\\Delta_S = \\frac{1}{R^2}\\frac{d^2}{d\\theta^2}$，Fourier 模态 $\\psi_k = e^{ik\\theta}$ 满足 $\\Delta_S \\psi_k = -\\frac{k^2}{R^2}\\psi_k$。当延拓算子 $H^\\pm$ 的系数也呈径向对称时，$S$ 在同一基底下对角化，约化方程完全解耦：$(\\sigma_k + \\alpha k^2/R^2) s_k = b_k$。数值实验对制造解 $[\\beta\\partial_n U_f] = 0.5\\cos\\theta + 0.25\\sin(2\\theta)$ 进行测试，表 1 显示：当 $m=1$ 时误差为 $\\sim 10^{-2}$；$m=3$ 时捕捉到 $\\cos\\theta$ 模态，误差降至 $\\sim 10^{-2}$；当迹空间维数增至 $m=5$（包含 $\\cos(2\\theta),\\sin(2\\theta)$）时，误差直接降至机器精度（$\\sim 10^{-17}$）。这证明一旦界面逼近空间包含了所有活跃模态，约化解即可精确恢复。\n星形光滑非圆界面。考虑极坐标 $r(\\theta)=r_0+\\varepsilon \\sin(k\\theta)$ 的星形界面，本例中 $r_0=0.5, \\varepsilon=0.08, k=5$。此时表面弧长微元 $ds = q(\\theta)d\\theta$，切向导数 $d/ds = (1/q(\\theta)) d/d\\theta$，表面刚度矩阵变为 $$(L_m)_{ij} = \\int_0^{2\\pi} \\frac{\\psi_j'(\\theta)\\psi_i'(\\theta)}{q(\\theta)}\\,d\\theta.$$ 即便 Fourier 基不再对角化表面算子，表 2 显示随着 $m$ 从 1 增加到 17，误差从 $\\sim 10^{-1}$ 逐渐衰减到 $\\sim 10^{-2}$。衰减速度慢于圆形情况，原因是几何度量因子 $q(\\theta)$ 耦合了不同 Fourier 模态。这一行为符合预期，也表明界面富集仍能有效提升精度，而几何复杂性仅体现于界面上的小规模矩阵。\n心形界面示例。文中进一步考虑了心形界面 $\\Gamma=(x(\\theta),y(\\theta))$（参数方程在 (29) 给出），用以展示方法在更复杂几何下的鲁棒性。从提供内容中无法确认具体误差数据，但作者指出迹约化思想依然适用，独立体延拓与界面低维系统的框架保持不变。\n注意：本文未给出严格的先验误差估计或收敛阶理论分析，主要贡献在于推导降维方程和数值验证。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心创新在于将界面未知量由传统的解的跳跃改为公共界面迹，并以此构造 Schur 补型式的约化方程。关键技术障碍与分析工具阐述如下：\n1. 解分解与延拓算子的构造\n突破点在于显式分离界面贡献与体积力贡献。定义迹 $\\gamma$ 后，将子区域解写为 $u^\\pm(\\gamma) = H^\\pm\\gamma + U_f^\\pm$，其中 $H^\\pm$ 将给定的界面迹延拓到子区域上且内部满足齐次椭圆方程（调和延拓），$U_f^\\pm$ 仅由体积力驱动且界面迹为零。这两个问题都是标准的 Dirichlet 边值问题，可以在各自子区域上独立求解，从而完全解耦。这一分解将原问题的复杂性集中到满足界面方程的迹 $\\gamma$ 上。\n2. Dirichlet-to-Neumann 跳跃算子的约化方程\n将上述分解代入法向通量跳跃条件 $[\\beta\\partial_n u] = [\\beta\\partial_n (H\\gamma)] + [\\beta\\partial_n U_f]$，并令其等于 $\\alpha\\Delta_S\\gamma$，便得到仅涉及 $\\gamma$ 的方程 $S\\gamma - \\alpha\\Delta_S\\gamma = g_\\Gamma$。这里 $S\\gamma := [\\beta\\partial_n (H\\gamma)]$ 是 Dirichlet-to-Neumann 跳跃算子，它刻画了延拓解的界面通量响应；$-\\alpha\\Delta_S$ 是高导电界面引入的额外表面刚度；$g_\\Gamma$ 为已知的体积力诱导项。该方程完全在低维界面流形上定义，消除了体网格与界面网格的耦合。\n3. 表面积分与有限维实现\n为数值求解约化方程，采用 Galerkin 投影：选取 $H^1(\\Gamma)$ 的子空间 $\\Lambda_m^\\gamma$，测试函数 $\\psi_i$。利用表面分部积分公式 $\\langle -\\Delta_S\\gamma_m, \\psi_i\\rangle_\\Gamma = \\langle \\nabla_S\\gamma_m, \\nabla_S\\psi_i\\rangle_\\Gamma$，避免直接离散二阶表面 Laplace 算子，仅需计算切向梯度。最终组装矩阵 ${(L_m)_{ij} = \\langle\\nabla_S\\psi_j,\\nabla_S\\psi_i\\rangle_\\Gamma}$，该矩阵仅依赖于界面几何和基函数，计算成本极低。对于圆形界面，弧长微元 $ds = R d\\theta$，$\\nabla_S = \\frac{1}{R}\\frac{d}{d\\theta}$，故 $L_m$ 简化为 $$(L_m)_{ij} = \\frac{1}{R} \\int_0^{2\\pi} \\psi_j'(\\theta) \\psi_i'(\\theta) \\,d\\theta.$$ 对于一般参数化界面，仅需计算度量因子 $q(\\theta) = \\sqrt{r(\\theta)^2 + r'(\\theta)^2}$，并将积分公式调整为 $(L_m)_{ij} = \\int_0^{2\\pi} \\frac{\\psi_j'(\\theta)\\psi_i'(\\theta)}{q(\\theta)}\\,d\\theta$，完全不涉及曲面网格或协变导数等复杂工具。\n4. 基于模态的界面基选择与几何解耦\n作者充分利用了界面参数的角坐标表示。对圆形界面，Fourier 基使得 $S$ 和 $\\Delta_S$ 完全对角化，系统退化为模态解耦的标量方程，这解释了为什么 $m$ 达到活跃模态数目后误差可骤降至机器精度。对于一般星形或心形界面，虽不能对角化，但 Fourier 基仍提供全局光滑逼近，且基函数与几何的相互作用仅体现在低维矩阵 $L_m$ 中。这一设计将几何复杂性“封锁”在界面的小规模计算中，而体延拓问题无需随界面形状改变而调整离散策略，这是该方法的重要计算优势。\n5. 理论基础与潜在分析缺口\n文中提到为保表面梯度有意义需 $u_\\Gamma\\in H^1(\\Gamma)$，并指出在 $\\beta^\\pm\\geq\\beta_0\u003e0, \\alpha\u003e0$ 的条件下可使用迹不等式和 Lax–Milgram 理论处理适定性，但未展开。这表明本文侧重方法推导与数值验证，严格的理论分析（如逼近误差估计、$m$ 收敛阶等）留作未来工作。\n总体而言，核心分析框架为：拆分 $\\to$ 延拓 $\\to$ 约化方程 $\\to$ 表面变分离散 $\\to$ 小规模代数系统。创新点在于引入迹变量替代跳跃，从而自然地导出 Dirichlet-to-Neumann 与表面 Laplace 的耦合结构，并结合界面参数化实现几何无关的降维。\n4. 与之前工作的比较 与现有有限元与偏微分方程数值解法相关文献的比较可从以下几个维度展开：\n1. 与经典界面问题数值方法的差异\n传统的贴体或不贴体有限元方法（如 [4,5,9–11]）通常将界面条件直接嵌入到全局体离散格式中，例如通过在界面附近修改基函数、采用额外惩罚项或 Lagrange 乘子等。这类方法需要在界面附近精细处理网格和数值积分，尤其当界面含表面微分算子时，还需在界面上构造切向离散，导致耦合系统规模大且实现复杂。本文的迹约化方法则从根本上不同：它将耦合问题转化为两个独立的体边值问题和一个仅定义在界面上的低维方程，体求解器可采用现有标准代码，界面矩阵的组装只涉及一维积分，因此极大降低了实现难度和计算开销。\n2. 与作者之前界面约化工作的区别\n作者在 [1,6,7] 中已提出界面约化框架，但那些工作处理的是经典传输条件（如解的跳跃正比于法向通量、$[u]=\\lambda$ 或 $[\\beta\\partial_n u]=g$ 等），其约化变量为标量参数或解的跳跃 $[u]$。本文首次将界面约化思想推广至高导电界面模型，其中界面条件包含表面 Laplace 算子，且解的跳跃为零。这一本质区别导致约化变量置换为公共迹 $\\gamma$。该置换并非简单改写，而是带来了新的 Schur 补结构：方程中出现 Dirichlet-to-Neumann 跳跃算子 $S$ 与表面刚度矩阵 $L_m$ 的求和，而在跳跃变量框架下通常是解跳跃通过某种 Steklov–Poincaré 算子与通量关联。因此，本文拓展了界面约化的适用范围。\n3. 对几何处理与界面基函数的灵活性\n现有浸入界面方法（如 IIM）或扩展有限元（XFEM）在处理曲面中的微分算子时常需引入特定界面插值函数或局部坐标。本文的方法完全不要求体网格与界面相匹配，基函数可直接定义在界面参数域上（如角坐标 $\\theta$），并且对于圆形界面可精确解耦模态，对于一般光滑界面则采用全局 Fourier 基，仍能通过增加界面秩逐步改善精度。这种与体离散解耦的策略使得方法对界面几何非常柔性，仅需界面参数化，不需构造界面专门的贴体网格。\n4. 精度与收敛行为\n圆形实验表明，当界面迹空间包含所有活跃模态时，误差立即降至机器精度。这一“单次准确”行为在以往界面富集方法中并不常见。星形界面实验则显示几何扰动会引入模态耦合，导致误差随 $m$ 缓慢衰减。虽然本文未给出理论收敛率，但从数值表现看，其收敛性质与界面参数化的光滑性和基函数的逼近性质相关，这为未来分析指明了方向。相比之下，传统的界面有限元方法通常按网格尺寸 $h$ 的幂次收敛，且界面奇性可能导致降阶；本文的界面秩 $m$ 类似于谱方法中的截断，可能对光滑数据具备高精度特性。\n5. 计算成本与适用范围\n本文方法的主要成本在于求解 $m$ 次独立的体延拓问题（每个基函数一次），但这些问题彼此完全独立，可并行计算，且不依赖界面离散细节。当界面秩 $m$ 远小于体未知数时，整体成本主要由体求解主导。作者提及方法适用于二维和三维，但从提供的内容中未给出三维算例。此外，当前框架仅考虑了分区常数或较简单系数的体方程，且界面是光滑闭曲线。对于包含角点、系数剧烈变化或非线性体方程等复杂情况，方法的有效性和稳定性有待进一步研究，文中未展开讨论。\n6. 与薄层渐近模拟方法的关联\n高导电界面条件通常由解析渐近展开得出（如 [2,3,8,12]），传统数值模拟要么直接解析薄层（需极细网格），要么近似求解近似的界面条件。本文直接基于有效的界面条件（含 $\\Delta_S$）建模，避免了跨尺度网格问题，属于后者。与同类文献相比，其特色在于提供了一种系统且易于实施的降维求解框架，而非针对特定几何或特定离散的拼凑方案。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 连续级Runge\u0026ndash;Kutta方法秩条件的多项式矩方法 A polynomial moment approach to a rank condition for continuous-stage Runge\u0026ndash;Kutta methods\n作者: Yuto Miyatake\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.30122v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.30122v1\n摘要翻译 中文标题: 连续级Runge\u0026ndash;Kutta方法秩条件的多项式矩方法\n摘要翻译: 在哈密顿系统保能量方法的研究中，多项式连续级 Runge\u0026ndash;Kutta 方法起着重要作用。这类方法保能量的充要条件已经建立。如果定义方法的矩阵 $M\\in \\mathbb{R}^{s\\times s}$ 对称，则它们保能量；反之，在某一 $s\\times \\infty$ 矩阵 $\\Phi^\\mathrm{CSRK}$ 行满秩的假设下，逆命题成立。Miyatake 和 Butcher（SIAM J. Numer. Anal., 2016）的注记3中曾猜想，对于每个相容的多项式连续级 Runge\u0026ndash;Kutta 方法，该满秩假设应当总是成立。本文通过证明在标准相容性条件下矩阵 $\\Phi^\\mathrm{CSRK}$ 行满秩，证实了这一猜想。证明直接应用了由 Pakovich 和 Muzychuk（Proc. Lond. Math. Soc., 2009）解决的多项式矩问题。\n2. 基于极化的离散化方法的守恒量 Conserved quantities of discretizations by polarization\n作者: Noah Gießing, Yuri B. Suris\n类别: nlin.SI, math.NA\n发布日期: 2026-06-28\narXiv ID: 2606.29263v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29263v1\n摘要翻译 中文标题: 基于极化的离散化方法的守恒量\n摘要翻译: 最近，基于向量场的极化，提出了一族用于具有多项式向量场的高阶常微分方程的非传统积分器。最简单的例子是如今闻名的用于具有二次向量场的一阶常微分方程的Kahan离散化。所有这些积分器都具有显著的守恒性质。特别地，对于一阶和二阶哈密顿常微分方程，基于极化的离散化具有一个运动积分和一个不变体积形式。在本文中，我们将先前提出的用于推导这些积分的代数方法推广到任意阶常微分方程的离散化。对于所有 $\\ge 3$ 阶，这些积分都是新的。\n3. 基于Simpson-Boole几何恒等式的曲面扩散二阶保面积/体积参数有限元方法 Second-Order Area/Volume-Preserving PFEMs for Surface Diffusion via Simpson\u0026ndash;Boole Geometric Identities\n作者: Zhiqing Pan, Jiwei Jia, Lian Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-28\narXiv ID: 2606.29195v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29195v1\n摘要翻译 中文标题: 基于Simpson-Boole几何恒等式的曲面扩散二阶保面积/体积参数有限元方法\n摘要翻译: 我们针对二维空间中的闭曲线和三维空间中的闭曲面，提出了用于曲面扩散的时间二阶参数有限元方法。该方法基于沿二次时间插值路径的精确几何变分恒等式进行构造，二维情形下的诱导面积变分通过Simpson法则精确计算，三维情形下的诱导体积变分则通过Boole法则精确计算。所得全离散格式精确保持封闭面积或体积，且无需为几何约束引入辅助Lagrange乘子。这些格式可在BGN预测的辅助几何上进行组装，因而与现有的二阶BGN型格式兼容。数值实验展示了曲线和曲面演化中预期的二阶收敛性、面积/体积守恒性以及良好的网格质量。\n4. 动区域上Stokes方程的压力鲁棒ALE时空DG方法 Pressure-robust ALE space-time DG method for the Stokes equations on moving domains\n作者: L. Beirão da Veiga, S. Gómez, K. B. Haile\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-27\narXiv ID: 2606.28914v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.28914v1\n摘要翻译 中文标题: 动区域上Stokes方程的压力鲁棒ALE时空DG方法\n摘要翻译: 我们在任意拉格朗日-欧拉框架下，针对动区域上的不可压缩Stokes方程，提出并分析了一种时空间断伽辽金方法。我们在离散速度空间的定义中使用逆变Piola映射，以在离散层面上保持逐点无散度性质。我们证明了该方法在空间网格和时间剖分上无约束条件下是inf-sup稳定的。我们还建立了针对空间和时间任意逼近阶数的能量范数先验误差估计。对于时间上的分片常数和分片线性逼近，我们证明了该方法在低粘性区域也是鲁棒的，并提供了数值证据表明这一性质也扩展到高阶情况。我们给出了几个数值实验来验证理论结果。\n5. 超越原生空间的核逼近——及其在流形逼近中的应用 Kernel approximation beyond the native space \u0026ndash; with applications to approximation on manifolds\n作者: Thomas Hangelbroek, Christian Rieger, Grady B. Wright\n类别: math.CA, math.NA\n发布日期: 2026-06-26\narXiv ID: 2606.28564v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.28564v1\n摘要翻译 中文标题: 超越原生空间的核逼近——及其在流形逼近中的应用\n摘要翻译: 本文处理嵌入在$\\mathbb{R}^N$中的流形上的核逼近与插值问题，使用的是正定和条件正定核的限制。主要挑战在于发展一种逼近理论，该理论处理的是相对于核在高正则光滑性空间中度量的误差。这意味着光滑性的阶数高于核的关联原生空间（在正定情形下，即由核生成的再生核希尔伯特空间）的阶数。这使得在此框架下控制误差的标准技术无法使用，尤其是诸如插值投影算子的正交性等再生核希尔伯特空间论证，或利用{\\em power function}的界估计。 我们推广了DeVore和Ron引入的逼近格式，该格式处理的是位于核积分算子值域中的目标函数。对于嵌入流形的情形，由于最近针对$\\mathbb{R}^N$的某些子流形发展出的局部多项式再生性质，这一推广现已可行。 此外，我们给出了关于核与流形的充分条件，使得积分算子的值域可被精确识别：特别地，保证该值域是一个Sobolev空间。 最后，我们针对嵌入流形提出了新的基于核的Bernstein不等式，从而得到了关于紧嵌入于原生空间中的Sobolev空间内插值的误差估计。\n不相关论文（基本信息） 1. 齐次深度网络中持续学习的收敛性 Convergence of Continual Learning in Homogeneous Deep Networks\n作者: Matan Schliserman, Gon Buzaglo, Itay Evron, Daniel Soudry\n类别: cs.LG, math.NA, math.OC, stat.ML\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.30559v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.30559v1\n摘要: We characterize weakly regularized continual classification in homogeneous models as sequential projections onto task margin sets. This result generalizes prior analyses restricted to either stationary (single-task) deep models or continual linear models. We show that global convergence generally fails, even for simple models linear in data but nonlinear in parameters. Nevertheless, by leveraging results from nonconvex projection theory, we identify regularity properties of homogeneous deep networks that guarantee local linear convergence under random and cyclic task sequences. Finally, we extend our analysis to continual regression, unifying the framework for homogeneous models.\n2. 通过透视映射与盒子分解计算积分R2指标 Computing the Integral R2 Indicator by Perspective Mapping and Box Decomposition\n作者: Michael T. M. Emmerich\n类别: cs.CG, cs.NE, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.30530v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.30530v1\n摘要: The continuous integral R2 indicator is a Pareto-compliant refinement of the classical finite-weight-vector R2 indicator, used in performance assessment, bounded archiving for a-posteriori multi-objective optimization, and skyline selection in databases. This work introduces a bidirectional perspective mapping between continuous integral R2 computation and integration over unions of anchored axis-aligned boxes. After translating the ideal point of a minimization problem to the origin, approximation points become strictly positive loss vectors, and the subgraph of the lower weighted Tchebycheff envelope over the weight simplex maps to the complement of an anchored-box union in reciprocal objective space. The Jacobian gives an absolute R2 formula as a weighted complement volume with density $(x_1+\\cdots+x_N)^{-(N+1)}$, while differences of R2 values become finite weighted hypervolume differences. Hence, hypervolume algorithms that emit box decompositions can be reused by replacing ordinary box volumes with closed-form weighted box integrals. For $N$ objectives, this gives an output-sensitive overhead $O(2^N M)$ for an $M$-box decomposition, or $O(M)$ for fixed $N$. Using existing box-decomposition approaches, the integral R2 can be computed in $O(n \\log n)$ for $N=2,3$, in $O(n^2)$ for $N=4$, and in $O\\left(n^{\\lfloor (N-1)/2\\rfloor+1}\\right)$ for $N\\geq4$, with $n$ denoting the size of the approximation set. On the lower-bound side, exact value computation has an $Ω(n\\log n)$ lower bound in the algebraic decision-tree model already in two objectives, this bound lifts to every fixed $N\\geq2$, and exact computation is $\\#P$-hard when $N$ is part of the input. Together, the proposed perspective mapping provides a powerful tool for transferring algorithmic and structural results between anchored-box union and hypervolume theory and integral R2 computation.\n3. 大型线性问题的迭代Tikhonov正则化 Iterated Tikhonov regularization of large linear problems\n作者: Davide Furchì, Lothar Reichel\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.30448v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.30448v1\n摘要: Many solution methods for linear discrete ill-posed problems with error-contaminated data (right-hand side) apply Tikhonov regularization to compute a meaningful approximate solution. This solution depends on a regularization parameter. It is well known that iterated Tikhonov regularization often determines an approximate solution of higher quality than (standard) Tikhonov regularization. We consider the situation when an estimate of the norm of the error in the data is known and would like to apply iterative Tikhonov regularization to determine an approximate solution that satisfies the discrepancy principle. This requires a suitable choice of a regularization parameter. The standard approach to determine this parameter is to compute solutions for several values of the regularization parameter and choose a computed approximate solution that satisfies the discrepancy principle. This paper discusses iterated Tikhonov regularization based on partial Golub-Kahan bidiagonalization and describes how the regularization parameter can be determined without computing several approximate solutions by using the connection between Golub-Kahan bidiagonalization and Gauss quadrature. This approach reduces the computational effort required to compute a desired solution.\n4. 周期性不可压缩斯托克斯流的量子谱求解器 A Quantum Spectral Solver for Periodic Incompressible Stokes Flow\n作者: Juan M. Gimenez, Fehmi Cirak, Michael Ortiz\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.30447v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.30447v1\n摘要: We present a quantum spectral solver for the steady incompressible Stokes equations on a two-dimensional periodic domain. The method uses the Quantum Fourier Transform as a coherent change of basis and exploits the resulting spectral structure of the Stokes operator: the Laplacian becomes diagonal, while incompressibility is enforced mode by mode through a Helmholtz projection. In two dimensions, this projection is realized by a mode-dependent rotation from Cartesian velocity components to longitudinal\u0026ndash;transverse coordinates, followed by component-conditioned inverse-Laplacian scaling. The velocity and pressure fields are encoded as quantum states over Fourier modes and physical components, and the corresponding spectral factors are implemented through polynomially encoded amplitude blocks. The construction extends recent quantum spectral methods in computational mechanics to an incompressible flow operator with explicit pressure\u0026ndash;velocity splitting and divergence-free projection. The approach is also compatible with multiscale finite-element architectures in which quantum parallelism can simultaneously update all representative volume element (RVE) states. Numerical verification includes a steady vortex, a regularized periodic force-dipole benchmark, and an RVE-inspired Kolmogorov-like fluctuation benchmark. The latter illustrates how the circuit can recover a homogenized kinetic-energy observable without reconstructing the full velocity field, consistent with the role of averaged quantities in multiscale flow calculations. Under the standard assumptions of efficient state preparation and observable estimation, the circuit has polylogarithmic dependence on the grid resolution, with the polynomial degree and tile count appearing as explicit approximation and implementation parameters.\n5. 使用 LattE 计算筛积分及具有局部化除数的整数的密度 Computing sieve integrals using LattE, and the density of integers with a localized divisor\n作者: Sary Drappeau, Adrien Mounier\n类别: math.NT, math.NA\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.30428v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.30428v1\n摘要: We consider the problem of estimating numerically integrals of the shape $$ \\int_P \\frac{dt}{t_1 \\dotsb t_k} $$ where $P \\in {\\mathbb R}_{\u003e0}^k$ is a convex polytope, $t=(t_1,\\dotsc, t_k)$ and $d t$ is the Lebesgue measure. This type of integral appears frequently in main terms of sieve theory. We propose a simple method, based on the LattE software for integration of polynomials over polytopes, which computes rigorous bounds on this integral in polynomial time with respect to the precision (in bits). We test the method on several examples from the literature of sieve theory. We apply our results to compute numerical approximations to the natural density $$ h(α, β) := \\operatorname{density}\\{n\\in{\\mathbb N}, \\exists d\\mid n, d\\in [n^α, n^β]\\}, \\qquad (0\u003cα\u003cβ\u003c1) $$ of integers having a localized divisor, in the region $β- α\\geq 0.02$. One ingredient involved is a refined formula for $h(α, β)$ which involves a manageable number of terms for these $α, β$. As a corollary, we give a numerical approximation of the leading constant in a theorem of Haddad and Koukoulopoulos on the average of the logarithm of middle-divisors of integers.\n6. 多孔弹性介质中散射问题的 PML 方法的收敛性 Convergence of the PML method for scattering problems in poroelastic media\n作者: Qianyuan Yin, Changkun Wei, Bo Zhang\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.30392v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.30392v1\n摘要: This paper is concerned with the time-harmonic wave scattering problems in three dimensional poroelastic media. By introducing an intermediate variable $p$, the original $\\mathbf{u}-\\mathbf{w}$ system is equivalently transformed into a $\\mathbf{u}-p$ system with fewer degrees of freedom, which facilitates the derivation of the fundamental solution, Green\u0026rsquo;s identity and positivity of the complex wave numbers. A perfectly matched layer (PML) method is then introduced in the spherical coordinates to truncate the unbounded scattering problem. Under certain assumptions on the poroelastic and PML parameters, we prove the existence and uniqueness of solutions to the PML problems both in the truncated domain and layer. Moreover, the exponential convergence of the PML method is established in terms of the thickness and parameters of the PML layer. The proof is based on the PML extension and the exponential decay properties of the stretched fundamental solution. As far as we know, this is the first convergence result of the PML method for poroelastic scattering problems.\n7. 基于伴随方法的贝叶斯不确定性量化用于PDE约束反问题及其在半导体成像中的应用 Adjoint-Based Bayesian Uncertainty Quantification for PDE-Constrained Inverse Problems with Application to Semiconductor Imaging\n作者: Hassan Yazdanian, Leila Taghizadeh, Babak Maboudi Afkham\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.30340v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.30340v1\n摘要: We formulate a Bayesian framework for reconstructing doping profiles in pn-junction semiconductor devices from boundary flux measurements. The unknown doping field is modeled as a piecewise-constant function characterized by an unknown interface and two plateau concentrations, leading to a nonlinear ill-posed inverse problem governed by a Poisson-Boltzmann-type equation. To represent this structure while enabling efficient gradient-based inference, we introduce a pushforward prior constructed by mapping a latent Gaussian field with Matérn-type covariance through a sigmoid transformation. The latent field is parameterized by a truncated Karhunen-Loève expansion, while the two piecewise-constant levels are represented by scalar plateau parameters. The prior yields differentiable approximations of piecewise-constant fields with controllable interface sharpness. We establish well-posedness of the Bayesian formulation by proving Lipschitz continuity of the forward map and Hellinger stability of the posterior. We then sample the posterior using the No-U-Turn Sampler (NUTS) with gradients computed by the adjoint method. Numerical experiments show that the combination of the proposed prior and NUTS provides more efficient posterior exploration than the dimension-robust preconditioned Crank-Nicolson (pCN) sampler, yielding one to two orders of magnitude larger effective sample sizes. In the known-plateau setting, the method reconstructs both planar and curved interfaces and provides spatially resolved uncertainty quantification (UQ). When the interface geometry and plateau concentrations are inferred jointly, posterior correlations reveal structural non-identifiability. These results demonstrate the effectiveness of combining pushforward priors with adjoint-gradient-based sampling for reliable UQ in nonlinear partial differential equation-constrained inverse problems with sharp interfaces.\n8. 利用正则化解的外推求解机器学习中的病态线性系统 Extrapolating from Regularised Solutions for Solving Ill-Conditioned Linear Systems in Machine Learning\n作者: Disha Hegde, Jon Cockayne, Chris. J. Oates\n类别: stat.ML, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.30328v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.30328v1\n摘要: Rapid prototyping of algorithms is a critical step in modern machine learning. Most algorithms exploit linear algebra, creating a need for lightweight numerical routines which \u0026ndash; while potentially sub-optimal for the task at hand \u0026ndash; can be rapidly implemented. For the numerical solution of ill-conditioned linear systems of equations, the standard solution for prototyping is Tikhonov-regularised inversion using a nugget. However, selection of the size of nugget is often difficult, and the use of data-adaptive procedures precludes automatic differentiation, introducing instabilities into end-to-end training. Further, while data-adaptive procedures perform multiple linear solves to select the size of nugget, only the result of one such solve is returned, which we argue is wasteful. This paper aims to circumvent the above difficulties, presenting autonugget; a Python package for automatic and stable numerical solution of linear systems suitable for rapid prototyping, and fully compatible with automatic differentiation using JAX. autonugget combines multiple linear solves using Richardson extrapolation to determine the solution of the ill-conditioned system, improving in accuracy over approximations based on a single nugget.\n9. 关于雅可比权函数的修正反高斯求积规则 On modified anti-Gaussian rules for Jacobi weight functions\n作者: Eleonora Denich, Paolo Novati, Alvise Sommariva\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.30305v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.30305v1\n摘要: Anti-Gaussian formulas represent an efficient tool for a dynamical estimation of the error of the underlying Gaussian rule. When applied to the Jacobi weight function it is known that such formulas are not always internal. In this work we show how to overcome this problem by using the so called modified anti-Gaussian rule with suitable parameter θ = θ(n), that depends on the number n of quadrature points of the Gaussian formula. Next we study theoretically the asymptotic rate of convergence of the corresponding modified averaged Gaussian formulas. We conclude by showing the benefits of this approach via numerical experiments. All the Matlab codes used in this work are available as open-source software.\n10. 信赖域半径更新机制综述. 第一部分: 一阶分析 A survey of trust-region radius update mechanisms. Part I: First-order analysis\n作者: Jérémy Rieussec, Fabian Bastin\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.30202v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.30202v1\n摘要: We isolate three structural conditions on trust-region radius update rules for smooth unconstrained nonlinear optimisation, and study the class of mechanisms they define. The conditions act on the radius directly: a lower bound relative to the gradient norm, a contraction on unsuccessful iterations, and a controlled expansion on successful ones. A mechanism is \\emph{weakly admissible} if it satisfies the first two conditions, and \\emph{strongly admissible} if it satisfies the lower bound together with the controlled-expansion condition. Under uniformly bounded model Hessians, weak admissibility yields $\\lim_{k\\to\\infty}\\|\\nabla f(x_k)\\|=0$, and strong admissibility yields the optimal worst-case complexity $O(ε^{-2})$ for first-order stationarity. Strong admissibility extends the convergence guarantee to linearly growing model Hessians. We verify admissibility for five mechanism classes: fixed-factor, step-driven, retrospective, criticality-anchored, and gradient-scaled. Along the way, we prove convergence of the retrospective update under linearly growing model Hessians and revisit the framework of Curtis and Scheinberg (2020), and Wang and Yuan (2022): we extend it to three distinct scaling factors with decoupled step acceptance (covering $η= 0$), and specialise its stochastic version to the deterministic gradient-scaled\n11. 基于商几何黎曼优化的张量列分解低秩张量补全 Low-Rank Tensor Completion using Tensor Train Decomposition via Riemannian Optimization on the Quotient Geometry\n作者: Zhenlong Hu, Zhongming Chen, Defeng Sun, Liping Zhang\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.30173v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.30173v1\n摘要: Owing to the effectiveness of Tensor Train (TT) decomposition in managing high-order tensors, low-rank tensor completion within the TT-format has emerged as a prominent research focus. In this paper, we leverage the left-orthogonal property of the TT-decomposition to construct a novel quotient manifold and introduce a family of admissible Riemannian metrics. Within this geometric framework, we propose a new approach to constructing retractions compatible with the quotient structure, realized via two novel retractions based on recursive polar and QR decompositions that respect the recursive orthogonalization structure of the TT format. We then derive Riemannian gradient descent and conjugate gradient methods to solve the tensor completion problem. Theoretically, our approach streamlines the horizontal projection by reducing the number of unknowns per block from a quadratic dependence on the TT-ranks to a near-half scaling, thereby enhancing computational efficiency over conventional quotient-based methods. Numerical experiments demonstrate that the proposed algorithms achieve reconstruction accuracy comparable to state-of-the-art TT-based geometric methods.\n12. 用于可压缩湍流的高效壁面模型化高阶紧致气体动理学格式 Efficient Wall-Modeled High-Order Compact Gas-Kinetic Scheme for Compressible Turbulent Flows\n作者: Yaqing Yang, Fengxiang Zhao, Kun Xu\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.30061v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.30061v1\n摘要: Scale-resolving simulations of wall-bounded turbulent flows remain prohibitively expensive at high Reynolds numbers, owing to the stringent near-wall resolution requirements. High-order compact gas-kinetic schemes (CGKS) are accurate, robust, and efficient for compressible flows, making them an attractive foundation for reducing this cost. Building on the fifth-order scheme CGKS-5th, we develop a wall-modeled CGKS framework that alleviates the near-wall resolution burden through a pressure-gradient-based non-equilibrium wall model while preserving the resolving power of the outer solver. CGKS-5th resolves the outer flow and supplies the wall model with data at the exchange location. On coarse near-wall meshes, the wall model reconstructs the under-resolved viscous wall stress, while CGKS-5th provides the inviscid wall flux directly; the two combine to form the wall momentum flux. To capture non-equilibrium effects in adverse-pressure-gradient and separated regions, the wall model retains a pressure-gradient source term together with a pressure-gradient-corrected near-wall damping function. We assess the framework on two distinct flows: bluff-body separation past a circular cylinder, and a shock-induced separation bubble on the transonic RAE 2822 airfoil, using near-wall meshes far coarser than wall-resolved simulations require. For the RAE 2822 case, this corresponds to a twentyfold coarsening in the wallnormal direction, with comparable coarsening in other directions. In both cases, the wall-modeled CGKS-5th reproduces the separated flow structures and markedly improves near-wall predictions over its wall-model-free counterpart, most notably the skin-friction coefficient. The framework thus delivers accurate predictions of these separated flows at substantially reduced near-wall cost, while its lightweight coupling adds less than 1% runtime overhead in a multi-GPU implementation.\n13. 非均匀热方程的 Dirichlet-Neumann 波形松弛：连续与时间离散的 L2 分析 Dirichlet-Neumann waveform relaxation for heterogeneous heat equations: continuous and time discrete L2 analysis\n作者: Niklas Kotarsky, Philipp Birken, Martin J. Gander, Lu-di Lu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.29987v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29987v1\n摘要: We consider two coupled linear heat equations on different spatial domains that interact through a lower dimensional interface. This models conjugate heat transfer. The problem is solved using Dirichlet-Neumann waveform relaxation. This allows us to couple separate codes for the subproblems, a so-called partitioned approach. Our overall goal is to develop more efficient partitioned methods, and to this end, we want reliable error estimates. We use an exponentially weighted Fourier technique to derive new error estimates in L2 for finite time T in both continuous and time discrete settings. We identify an optimized relaxation parameter that guarantees superlinear convergence. Our new continuous estimate predicts linear convergence when T is large, and superlinear when T is small. For large T, our new time discrete estimate closely mirrors its continuous counterpart, whereas for small T, superlinear convergence in the time discrete case requires small time step dt. We also show that convergence is fast when the contrast is large, provided that the small physical parameter domain (e.g. air) is using the Dirichlet transmission condition, and the large physical parameter domain (e.g. steel) is using the Neumann transmission condition in the Dirichlet-Neumann waveform relaxation method. Our numerical experiments confirm all these findings.\n14. 超弹性物理增强神经网络在显式有限元代码 Simcenter Radioss 和 OpenRadioss 中的实现及在冲击事件中的应用 Implementation of Hyperelastic Physics-Augmented Neural Networks in the Explicit Finite Element Codes Simcenter Radioss and OpenRadioss with Applications to Impact Events\n作者: Lukas Maurer, Sascha Eisenträger, Marian Bulla, Daniel Juhre\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.29874v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29874v1\n摘要: Data-driven material modeling techniques have gained significant attention due to their ability to capture complex constitutive behaviors beyond the limitations of classical material models. Physics-augmented neural networks (PANNs), which embed physical constraints directly into their architecture, combine the flexibility of machine learning with the reliability required for engineering simulations. This work presents an approach to integrate such network architectures into the explicit finite element solvers Simcenter Radioss and OpenRadioss (Siemens). A framework for transferring pretrained network architectures and their parameters to a standalone user material routine is developed. Networks are trained using PyTorch, though the procedure can be adapted to other frameworks such as TensorFlow, enabling the use of PANNs within existing finite element technology without requiring specialized solvers. Particular emphasis is placed on computational efficiency. The influence of network architecture on simulation performance is investigated, and strategies for reducing evaluation costs while preserving accuracy are discussed. Specifically, replacing the SoftPlus activation function with SQuarePlus is shown to reduce computational cost. A publicly available GitHub repository automates the generation of Fortran user material routines, requiring only the specification of the network architecture and trained parameters. An example impact simulation demonstrates that the generated PANN user material reproduces the nonlinear behavior characteristic of hyperelastic materials under large strains, providing a practical route toward machine-learning-based constitutive models in explicit finite element simulations.\n15. 基于哈密顿模拟线性组合的量子特征值变换：一种Weyl微积分方法 Quantum Eigenvalue Transformation via Linear Combination of Hamiltonian Simulation: A Weyl Calculus Approach\n作者: Hongkang Ni, Lexing Ying\n类别: quant-ph, math-ph, math.NA\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.29848v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29848v1\n摘要: Linear combination of Hamiltonian simulation (LCHS) provides an efficient method for implementing matrix exponentials $e^{-tA}$ on quantum computers. In this paper, we develop LCHS formulas for computing general matrix functions $f(A)$ when $f$ is analytic on the numerical range of $A$, with $A$ possibly non-normal. The essential technical tool is Weyl calculus, which reduces the construction of LCHS formulas for noncommuting operators to scalar Fourier approximation problems. Our construction yields a quantum eigenvalue transformation algorithm with optimal $\\mathcal{O}(\\log\\frac{1}ε)$ query complexity scaling. Furthermore, our Weyl-calculus-based theory gives rise to an ansatz-free convex optimization framework that directly produces discrete LCHS formulas. This circumvents the inefficiencies of traditional quadrature rules and yields formulas highly optimized for coherent implementation on quantum computers. In addition, both our theory and optimization framework apply to the simulation of time-dependent dissipative ODE $\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d} t} ψ(t) = -A(t)ψ(t)$, for which we achieve a $2.1\\times$ cost reduction over prior art.\n16. 一种用于2020年美国十年一度人口普查中精确隐私核算的筛加速求积方法 A Sieve-Accelerated Quadrature Method for Exact Privacy Accounting in the 2020 U.S. Decennial Census\n作者: Buxin Su, Weijie Su, Chendi Wang\n类别: cs.CR, cs.DS, math.NA, stat.AP, stat.ML\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.29835v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29835v1\n摘要: In 2020, the U.S. Census Bureau adopted differential privacy for the Decennial Census by injecting integer-valued Gaussian noise into published census tabulations. Exactly evaluating the privacy guarantees of these data releases would enable the Bureau to determine the absolute minimum noise required to satisfy a given privacy budget, preventing the injection of unnecessary excess noise and thereby substantially enhancing the statistical utility of the data for downstream applications such as federal funding allocation and political redistricting. In this paper, we introduce a computationally efficient and mathematically rigorous quadrature method to evaluate the exact privacy profile of practical, large-scale census releases under the composition of heterogeneous discrete Gaussian mechanisms. Mathematically, this problem reduces to evaluating the tail probabilities of high-dimensional convolutions of integer-valued random variables sampled from heterogeneous discrete Gaussian distributions under exceptionally stringent numerical error tolerances (e.g., $10^{-35}$). By recasting the exact privacy accounting as a numerical integration problem via the discrete Fourier transform, we explicitly exploit the exponential convergence of the trapezoidal rule for complex analytic, periodic characteristic functions. Furthermore, to overcome the computational bottleneck of evaluating highly oscillatory integrands in high dimensions, we develop a sieve algorithm that identifies and prunes negligible quadrature nodes, accelerating the computation by three orders of magnitude. Taken together, these numerical innovations enable the first exact, assumption-free privacy accounting for the 2020 Census Demographic and Housing Characteristics File, achieving a 1,824-fold speedup over prior methods while maintaining census-mandated error tolerances.\n17. 傅里叶\u0026ndash;汉克尔矩方法用于声学逆散射中的拓扑计数与相位中心恢复 Fourier\u0026ndash;Hankel Moment Methods for Topological Counting and Phase-Center Recovery in Acoustic Inverse Scattering\n作者: Xiaomei Yang, Zhiliang Deng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-29\narXiv ID: 2606.29678v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29678v1\n摘要: We develop a Fourier\u0026ndash;Hankel moment framework for extracting topological counting information from full-aperture acoustic far-field data. The method is based on the observation that separated localized components generate distinct phase centers in angular Fourier data. Under the Born approximation, a Bessel\u0026ndash;Fourier moment identity shows that suitably scaled row Fourier coefficients form, to leading order, a finite exponential moment sequence. The associated Hankel matrix has rank equal to the number of separated connected components, and the corresponding Hankel pencil recovers their phase-center locations. We prove the exact Hankel rank formula in the phase-center model and establish a perturbation theorem showing stable component counting under a singular-gap condition. We further extend the framework to detectable cavities by introducing a signed phase-center model. In this model, material components and cavities contribute with opposite signs to the moment sequence. The signed Hankel rank counts distinct signed phase centers, and the detectable cavity count is obtained from the excess rank beyond the positive component count. This formulation also identifies an intrinsic degeneracy: cavities whose phase centers coincide with material phase centers, such as perfectly concentric annuli, do not increase the leading signed rank and therefore cannot be detected by the leading phase-center mechanism alone. Numerical experiments validate the proposed theory at several levels: ideal moment sequences, Born far-field data with finite-size components, phase-center location recovery, signed cavity counting, and exact Helmholtz far-field data. The results show that the Fourier\u0026ndash;Hankel rank mechanism provides a data-level algebraic approach to component counting and detectable cavity counting, while also making explicit its stability conditions and failure modes.\n18. 保亚强制性的时空 Galerkin 方法用于动力学 Fokker-Planck 方程 Hypocoercivity-preserving space-time Galerkin methods for kinetic Fokker-Planck equations\n作者: Zhaonan Dong, Emmanuil H. Georgoulis\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-28\narXiv ID: 2606.29621v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29621v1\n摘要: We design and analyse a family of hypocoercivity-preserving fully discrete Galerkin methods for the (inhomogeneous) kinetic Fokker\u0026ndash;Planck (kFP) equations, a class of evolution PDEs with degenerate diffusion. The proposed methods mimic Villani\u0026rsquo;s framework of enhanced quadratic forms [23], yielding a coercive bilinear form in an exponentially weighted norm that admits a spectral gap/Poincaré inequality despite the degeneracy. The problem is formulated as a fourth-order-in-space evolution PDE on the whole space $\\mathbb{R}^{d}\\times\\mathbb{R}^d$. The spatial discretisation employs continuous piecewise polynomial finite element spaces on simplicial and/or box-type meshes comprising both finite and ``infinite\u0026rsquo;\u0026rsquo; elements, while nonconformity is handled by numerical fluxes in the spirit of $C^0$ interior penalty ($C^0$-IP) methods. The analysis requires new polynomial inverse trace inequalities in exponentially weighted norms for simplicial, box-type, and semi-infinite prismatic elements, which are proved for a broad class of exponential weights and are of independent interest. Coercivity of the Galerkin method then leads to exponential convergence to equilibrium via an exponentially weighted Poincaré inequality. We further develop a fully discrete scheme by coupling the spatial discretisation with an $hp$-version discontinuous Galerkin time-stepping method of arbitrary order and establish the same exponential convergence. The proposed methods preserve the total mass and exhibit \\emph{provably} exponential convergence to equilibrium, making them well suited for long-time kFP simulations. Numerical experiments validate the theoretical results and demonstrate the convergence behaviour of the proposed methods.\n19. AI如何解决了最古老SGD算法的复杂度 How AI settled the complexity of the oldest SGD algorithm\n作者: Michał Dereziński, Xiaoyu Dong\n类别: cs.LG, cs.AI, math.NA, math.OC, stat.ML\n发布日期: 2026-06-28\narXiv ID: 2606.29593v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29593v1\n摘要: In 1937, Stefan Kaczmarz proposed a simple algorithm for solving systems of linear equations. This algorithm turned out to be the earliest known example of stochastic gradient descent, a ubiquitous computing paradigm that drives the training of modern AI models such as ChatGPT and Gemini. Now, those AI models have joined forces to discover the worst-case complexity of the Kaczmarz algorithm. This paper tells the story of how it happened.\n20. 优化器记忆使数据打乱顺序成为微调噪声的一阶源 Optimizer Memory Makes Shuffle Order a First-Order Source of Fine-Tuning Noise\n作者: John Sweeney\n类别: cs.LG, math.NA, math.OC, stat.ML\n发布日期: 2026-06-28\narXiv ID: 2606.29554v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29554v1\n摘要: Shuffle order can be a larger source of fine-tuning noise than a memoryless analysis predicts: fixed-clock optimizer memory makes local equal-multiset contrasts first order in the learning rate rather than second order, and the resulting order channel can be large enough for a single seed to flip a close A/B comparison. We isolate this mechanism and derive a fit-free way to size the noise it produces. For a memoryless optimizer, reordering an equal multiset has no first-order endpoint term; the leading local contrast is the $O(η^2)$ gradient bracket. Fixed-clock optimizers such as AdamW are different. Their moment buffers, preconditioner state, and de-biasing counters advance with the step index rather than with the learning-rate-scaled time $τ=ηk$, so the same gradient can receive a position-dependent endpoint weight. For any fixed finite measurement window, a lifted-state expansion gives an $O(η)$ equal-multiset contrast whenever the first-order replay coefficient is nonzero, while regular and clock-matched controls remain $O(η^2)$; a bare fixed-$β$ momentum buffer is already enough. A bitwise-deterministic replay from one warmed optimizer state isolates the mechanism, giving order-variance slopes 1.83 for AdamW, 2.00 for fixed-$β$ momentum, and 4.00 for SGD; matching the memory clock to $τ$ restores the regular exponent. For AdamW with a frozen preconditioner, the same impulse-weight kernel gives a closed-form asymptotic order-variance floor after the local potentials are measured, with no fitted coefficients. The result is local to the measurement window (independent reshuffling can average the channel across windows), but it yields order-noise error bars, positional attribution weights, and a seed-budget criterion for fine-tuning comparisons.\n21. 正动力系统的稳定正积分延迟校正方法 Stable Positive Integral Deferred Correction Methods for Positive Dynamical Systems\n作者: Pezzella Mario\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-28\narXiv ID: 2606.29523v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29523v1\n摘要: In this paper, we introduce the class of Stable Positive Integral Deferred Correction (SPIDeC) methods for the numerical integration of positive dynamical systems. The proposed framework embeds a deferred correction mechanism within an exponential-type Volterra reformulation of the underlying differential problem. The resulting multiplicative structure guarantees the unconditional preservation of both positivity and equilibria, independently of the integration stepsize. Arbitrarily high-order accuracy is systematically achieved through successive explicit-in-sweep corrections applied to a low-order base approximation. From a stability viewpoint, the SPIDeC integrators are L-stable and exactly reproduce the continuous semigroup generated by diagonal linear operators. Furthermore, when Gauss\u0026ndash;Radau quadrature nodes are employed, the associated discrete flow asymptotically approaches a logarithmically contractive map as the number of sweeps increases, ensuring stability. Numerical experiments are provided to validate the theoretical analysis and illustrate the practical performance of the proposed methods.\n22. 带控制不匹配的全耦合FBSDEs的解耦神经网络逼近的后验误差分析 A Posteriori Error Analysis for Decoupled Neural Approximations of Fully Coupled FBSDEs with Control Mismatch\n作者: Xichuan Zhang\n类别: math.OC, cs.AI, math.NA\n发布日期: 2026-06-28\narXiv ID: 2606.29474v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29474v1\n摘要: This paper develops an a posteriori error analysis framework for decoupled neural approximations of fully coupled forward\u0026ndash;backward stochastic differential equations (FBSDEs). It provides an a posteriori error-analysis for the idealized discrete adapted trajectory. The main feature of the proposed formulation is the use of an auxiliary control process in the forward coefficients, which may differ from the backward component approximated by the neural network. This decoupling is useful in practical deep learning implementations, but it creates a control mismatch that must be included in the error analysis. We first establish a continuous-time stability estimate for fully coupled FBSDEs under perturbations of the drift, diffusion, generator, terminal condition, and auxiliary control input. We then transfer this estimate to the discrete-time setting and derive computable a posteriori error bounds depending only on the terminal defect, the pathwise residual, and the control mismatch. When the auxiliary control is identified with the backward approximation, the mismatch term vanishes and the bound reduces to the standard two-term form. Numerical experiments on a linear\u0026ndash;quadratic FBSDE with an explicit reference solution and a multidimensional Burgers-type FBSDE without a reference solution illustrate the diagnostic role of the proposed indicators and the contribution of the mismatch penalty to the consistency and reproducibility of the numerical approximations.\n23. 多类分类的结构化恰当损失几何：理论与受控经验评估 Structured Proper Loss Geometries for Multiclass Classification: Theory and Controlled Empirical Evaluation\n作者: Soumyadip Sarkar\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-06-28\narXiv ID: 2606.29471v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29471v1\n摘要: Strictly proper scoring rules identify the true conditional class distribution at population level, but their curvature can alter optimization and finite-sample behavior. We study three multiclass objectives: a class-aware quadratic Bregman score (CAPM), a strongly convex generator with constrained log-cosh ridges (HPG), and an HPG objective with an annealed probability-margin penalty (APMS). CAPM is treated as a structured instance of established quadratic scoring-rule theory. We derive conditional-regret, curvature, range, and logit-gradient bounds for CAPM and HPG, and prove exact penalty-range and conditional-target displacement bounds for APMS. Controlled five-seed experiments use Digits, Wisconsin breast cancer, and synthetic confusion and long-tail problems under clean labels, symmetric and pair-flip corruption, class imbalance, calibration evaluation, input corruption, and first-order adversarial perturbations. The candidates are close to cross-entropy on clean data and show descriptive gains in some noisy-label cells, but the five-seed comparisons are interpreted descriptively rather than as significance evidence. The selected noisy-label baselines perform better on Digits with 40% symmetric label noise, and explicit prior-adjustment methods perform better in the 30:1 synthetic long-tail experiment. Ablations do not show a consistent benefit from the candidate-specific graph, ridge, or margin components. The mathematical analysis establishes the stated properties, and the experiments delimit the empirical evidence; together they do not support a claim of general superiority.\n24. 随机 Volterra 积分方程的基本弱收敛定理及其应用 Fundamental weak convergence theorem for stochastic Volterra integral equations and its applications\n作者: Xinjie Dai, Qijiao Yin, Diancong Jin\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-06-28\narXiv ID: 2606.29458v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29458v1\n摘要: We study weak convergence rates of numerical approximations for stochastic Volterra integral equations (SVIEs), a class of non-Markovian models that arises naturally in stochastic volatility modeling and other fields. The intrinsic non-Markovian nature prevents the direct application of classical weak error techniques developed for finite-dimensional Markov processes. To overcome this difficulty, we combine a Markovian lifting technique with a domino argument, Taylor expansions, and Fréchet differential calculus for path-dependent functionals, and establish a fundamental weak convergence theorem for nonsingular SVIEs, providing a unified approach to the weak error analysis for a broad class of numerical approximations. As applications, we derive the first-order weak convergence rate for the stochastic theta method and the Wong\u0026ndash;Zakai approximation. Our results relax existing assumptions for Euler-type schemes by removing the boundedness requirement on the diffusion coefficient. Furthermore, to the best of our knowledge, this work provides the first weak convergence result for Wong\u0026ndash;Zakai approximations of SVIEs. Numerical experiments for a stochastic volatility model corroborate the theoretical convergence rate.\n25. 用于参数化偏微分方程的随机神经算子：快速训练与共形不确定性量化 Randomized neural operator for parametric PDEs with fast training and conformal uncertainty quantification\n作者: Zirui Deng, Jingbo Sun, Deyu Meng, Fei Wang\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-06-28\narXiv ID: 2606.29440v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29440v1\n摘要: Repeatedly solving parametric PDEs is essential for uncertainty quantification, design optimization and inverse problems, but conventional neural operators require expensive non-convex training. We introduce PCA\u0026ndash;RaNN, a randomized latent neural operator that combines PCA-based dimensionality reduction with fixed random features and a closed-form least-squares readout. It recasts latent operator learning as fixed-feature linear regression, reducing training time by one to three orders of magnitude across benchmarks while maintaining competitive accuracy. We introduce an energy-matched scaling rule and a lightweight two-parameter BFGS refinement to correct suboptimal feature scales. Ensemble averaging reduces predictive variance. On Burgers, Darcy, Navier\u0026ndash;Stokes and backward heat equation benchmarks, PCA\u0026ndash;RaNN provides a favorable speed\u0026ndash;accuracy trade-off against operator-learning baselines. The ensemble supports split-conformal prediction intervals, and the linear readout enables rapid online adaptation via recursive least squares without retraining hidden features. This provides an efficient, uncertainty-aware surrogate for many-query scientific workflows.\n26. 基于最小二乘读出重拟合的傅里叶神经算子用于学习随机障碍物到解的映射 Fourier Neural Operators with Least-Squares Readout Refit for Learning Random Obstacle-to-Solution Maps\n作者: Chenhui Zhu, Fei Wang\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-06-28\narXiv ID: 2606.29436v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29436v1\n摘要: We study operator learning for random obstacle-to-solution maps arising from elliptic variational inequalities with finite-band self-affine random obstacle fields. Instead of introducing an explicit truncated stochastic parametrization of the random input, we learn the map directly from sampled obstacle realizations on a fixed grid. This problem is challenging because the solution is governed not only by the obstacle field itself, but also by the induced contact set and free-boundary geometry. We introduce a post-training least-squares readout refit for the Fourier neural operator (FNO). After the FNO is trained end to end, its nonlinear backbone is frozen and the final affine readout is recomputed by solving the induced linear least-squares problem over all training samples and grid points. The refit yields the empirical squared-error optimal readout for the learned frozen features while leaving the nonlinear representation unchanged. We compare vanilla DeepONet, POD-DeepONet, a two-stage DeepONet baseline, FNO, and FNO with least-squares readout refit (FNO-LS) on two obstacle ensembles with different amplitude levels. Numerical results show that FNO-LS achieves the strongest overall performance among the tested models, particularly for higher-amplitude obstacles with more complex contact geometry. The method improves average field accuracy, contact-set recovery, and obstacle-violation metrics at low additional cost, especially when the FNO backbone is informative but not fully converged. These results suggest that least-squares readout refit is a simple and effective post-training enhancement for learning random obstacle-to-solution maps.\n27. 薄几何中的偶极扩散误差：无网格次表面散射的光学厚度定律 Dipole Diffusion Error in Thin Geometry: Optical Thickness Laws for Grid-Free Subsurface Scattering\n作者: Faruk Alpay, Baris Basaran\n类别: cs.GR, math.NA\n发布日期: 2026-06-28\narXiv ID: 2606.29387v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29387v1\n摘要: The dipole and its descendants model subsurface scattering with a radial reflectance profile fitted to a flat, semi-infinite slab. This assumption introduces a systematic geometry error on thin and curved objects. We isolate the effect by comparing the dipole with the finite-slab multipole under the same diffusion model and boundary condition. In slab geometry the diffuse-albedo error has a material-independent leading rate, $C e^{-2τ}$ with $τ=T/\\ell_d$, while the prefactor remains material dependent; the same image series gives the transmitted flux, whose leading decay is $e^{-τ}$. We give the closed-form albedo and transmittance, relate the exponents to killed random walks, and extend the interpretation to spatially varying media through optical distance. A brute-force volumetric path tracer fits a reflectance-deficit rate of 1.99 and a transmittance rate of 0.99, matching the round-trip and single-pass predictions. The resulting thickness predictor is a useful thin-feature heuristic, but stress tests show that curvature and illumination can dominate away from the slab setting. For the remaining geometry-dependent term we solve the screened-Poisson diffusion problem directly inside the signed-distance domain with Walk on Spheres, without an interior mesh or a tangent half-space approximation; the estimator matches closed-form tests to 0.75%. Against a four-case path-traced benchmark it improves the back-lit, thickness-governed case but not every front-lit or curved case, showing that the method reduces geometry error within diffusion and does not replace radiative transport.\n28. 面向多频数据的逆散射问题的多层级机器学习框架 A Multi-Level Machine Learning Framework for Inverse Scattering Problems with Multi-Frequency Data\n作者: Yi Liu, Yanzhao Cao, Junshan Lin, Yimin Zhong\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-28\narXiv ID: 2606.29368v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29368v1\n摘要: In this work, we propose a multi-level machine learning framework for solving inverse scattering problems with multi-frequency data. The multi-level neural network is built along the frequency axis of the scattering problem, wherein at each fixed frequency, a new level of network is added to the existing architecture to update the reconstruction. By marching through the frequency levels, the proposed multi-level computational framework is able to obtain higher-order Fourier modes of the imaging target as the depth of the neural network grows and higher-frequency data are used. Furthermore, the overall learning problem is decomposed into a sequence of simpler local tasks, each associated with a single frequency. This decomposition significantly reduces the complexity of the optimization problem and mitigates the risk of convergence to undesirable local minima, resulting in a robust and reliable training procedure for solving inverse scattering problems. We conduct various numerical experiments for the inverse source scattering problem and the inverse medium scattering problem to illustrate the effectiveness and robustness of the proposed machine learning framework. In addition, theoretical analysis in the neural tangent kernel regime shows that the proposed multi-level architecture progressively recovers the higher-order Fourier components of the imaging target.\n29. 基于梯度的优化的现代理论 Modern Theory of Gradient-Based Optimization\n作者: Bin Shi\n类别: math.OC, math.CA, math.NA\n发布日期: 2026-06-28\narXiv ID: 2606.29206v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29206v1\n摘要: In this review, we offer a comprehensive survey of emerging techniques in gradient-based optimization, with a particular emphasis on the interplay between ordinary differential equation (ODE) perspectives and their extensions into discrete Lyapunov analysis. We begin by examining the acceleration mechanisms underlying Nesterov\u0026rsquo;s accelerated gradient method for strongly convex functions (NAG-SC) and Polyak\u0026rsquo;s heavy-ball method, identifying the gradient-correction term as the primary driver of acceleration. This mechanistic insight is substantiated through high-resolution ODE modeling and the systematic construction of Lyapunov functions. We then synthesize recent advancements in convex optimization regarding NAG and its proximal generalization, the fast iterative shrinkage-thresholding algorithm (FISTA). Key topics include the accelerated convergence of gradient norms, underdamped acceleration, linear convergence under strong convexity, and novel Lyapunov frameworks for establishing convergence and monotonicity properties of generalized accelerated methods. Furthermore, we demonstrate how these ODE approximations and Lyapunov techniques can be extended to provide a unified framework for analyzing advanced optimization algorithms, including the alternating direction method of multipliers (ADMM), the primal-dual hybrid gradient (PDHG) method, and their respective accelerated variants. Finally, we discuss recent progress in minimax optimization and outline future directions for extending Lyapunov-based analysis to saddle-point problems.\n30. 弯曲水平集区域上对流扩散方程的相容CutPINNs Consistent CutPINNs for Convection-Diffusion Equations on Curved Level-Set Domains\n作者: Maneesh Kumar Singh\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-28\narXiv ID: 2606.29147v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29147v1\n摘要: We present an a priori error analysis of consistent-loss PINNs for stationary convection-diffusion equations on curved level-set domains. The standard mean-squared interior loss fails in the convection-dominated regime: the solution develops an $O(\\eps)$ boundary layer in which the pointwise residual grows like $\\eps^{-1}$, so the loss is dominated by the few collocation points inside the layer and leaves the smooth bulk unresolved. We remove this mismatch by penalising the interior residual in a discrete $\\Lpγ$ norm with $γ= 1 + 1/\\log\\mtil$, a computable surrogate for the $\\Hminusone$ stability term, and imposing the boundary condition through a discrete $\\HhalfBdry$ trace norm, which treats flat and curved geometries uniformly. Under Besov regularity assumptions we prove a single a priori $\\Hone$ error bound, valid for all interior exponents $γ\\in (1,2]$, with an optimal recovery rate governed by a cut-cell floor $1/(2γ)$ specific to the curved geometry. Numerical experiments on a rectangle and a disk at $\\eps = 2^{-s}$, $s \\in \\{2,4,6\\}$, confirm the analysis: as the layer sharpens, the $\\Lp{2}$ interior loss becomes seed-fragile while the $\\Lpγ$ interior trains reliably, the interior norm being the decisive factor in convergence.\n31. Ozaki 方案 II 快速模式的改良标度 Improved Scaling for Fast Mode of Ozaki Scheme II\n作者: Shota Kawakami, Daisuke Takahashi\n类别: cs.MS, cs.DC, math.NA\n发布日期: 2026-06-28\narXiv ID: 2606.29129v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29129v1\n摘要: Ozaki scheme II emulates high-precision matrix multiplication using low-precision integer matrix operations based on the Chinese remainder theorem (CRT). It first scales the high-precision matrices to convert them into integer matrices. For this scaling step, Ozaki scheme II provides two modes: accurate mode, which uses INT8 matrix multiplication to estimate scaling factors, and fast mode, which applies the Cauchy\u0026ndash;Schwarz inequality at lower computational cost. We show that the existing formula lacks scale invariance; multiplying the input matrices by a constant changes the effective bit width of the integer matrices in the scaling step, causing accuracy degradation or CRT recovery failure. To address this, we propose a revised scaling formula derived from the CRT uniqueness condition via the Cauchy\u0026ndash;Schwarz inequality. The proposed formula is scale-invariant by construction, guarantees that the CRT uniqueness condition is always satisfied, and introduces no additional overhead over the original fast mode. Experiments on an NVIDIA GH200 GPU show that the proposed method achieves accuracy comparable to that of accurate mode while maintaining throughput comparable to that of fast mode. In the accuracy\u0026ndash;throughput trade-off, the proposed method overcomes the accuracy limitation of fast mode and the throughput constraint of accurate mode, offering a superior accuracy and performance.\n32. 用于谱精度Koopman逼近的残差引导字典学习 Residual-Guided Dictionary Learning for Spectrally Accurate Koopman Approximation\n作者: George Coote, Matthew J. Colbrook\n类别: math.NA, cs.LG, math.DS\n发布日期: 2026-06-27\narXiv ID: 2606.29083v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29083v1\n摘要: Koopman theory promises linear structure in nonlinear dynamics, but numerical Koopman spectra are easy to compute and hard to trust. A finite EDMD matrix always has eigenvalues; the problem is that many of them may have nothing to do with the infinite-dimensional operator. In this paper we make spectral reliability the objective of dictionary learning. We train neural-network dictionaries not merely to predict the next snapshot, but to minimize Residual Dynamic Mode Decomposition residuals: operator-level a posteriori errors that test whether computed eigenvalues and modes are genuine Koopman spectral objects. To keep the learned observables from collapsing into an unstable coordinate system, the loss also penalizes the condition number of the lifted data matrix. Thus the method couples two requirements that should not be separated: small Koopman residuals and a well-conditioned representation. The result is a learned dictionary that is expressive, numerically stable, and spectrally disciplined. Across conservative and dissipative benchmark systems, the method sharply reduces spectral pollution, improves residual pseudospectral inclusion, and lowers forecast error relative to standard fixed dictionaries. On sea-surface temperature data, it gives cleaner Koopman diagnostics and substantially better one-step forecasts from noisy observations with no governing equations. The message is simple: neural Koopman learning should be judged not by prediction alone, but by whether its spectral claims can be certified. Residuals provide the certificate; conditioning makes it computable.\n33. 一种用于Vlasov-Poisson系统的质量、动量和能量守恒的半拉格朗日自适应秩(SLAR)方法 A Mass, Momentum, and Energy Conserving Semi-Lagrangian Adaptive-Rank (SLAR) Method for the Vlasov-Poisson System\n作者: Nanyi Zheng, William A. Sands, Jing-Mei Qiu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-27\narXiv ID: 2606.29027v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29027v1\n摘要: We propose a semi-Lagrangian adaptive-rank (SLAR) method that combines the large time-step capability of semi-Lagrangian schemes with the efficiency of adaptive-rank tensor representations while simultaneously enforcing local conservation laws for mass, momentum, and energy. The method builds on the high-dimensional SLAR framework introduced in our previous work and achieves high-order accuracy in both space and time. To address the loss of conservation in long-time simulations, we extend the implicit local macroscopic conservative (LoMaC) correction technique for the BGK equation to the high-dimensional Vlasov\u0026ndash;Poisson (VP) system. The implicit macroscopic system is discretized using backward differentiation formulas and solved with a Jacobian-free Newton-Krylov method. This approach enables a consistent coupling with semi-Lagrangian methods which are capable of taking large time steps. A novel component of the proposed method is a unified adaptive-weight projection technique that eliminates the ad hoc parameter tuning required by previous LoMaC approaches. These weights capture problem-dependent velocity space structures and are constructed from the low-rank velocity bases of the solution. The local semi-Lagrangian method used in this work reconstructs the solution at the feet of the characteristics using efficient tensor contractions. To the best of our knowledge, this is the first successful implementation of an implicit LoMaC method for the VP system up to the 2D\u0026ndash;2V setting. Numerical experiments on several classical benchmark problems demonstrate the accuracy and efficiency of the proposed method, as well as its ability to preserve conservation laws in VP simulations.\n34. 一种用于Bethe-Salpeter特征值问题的结构保持切比雪夫滤波子空间迭代法 A structure-preserving Chebyshev-filtered subspace iteration for the Bethe-Salpeter eigenvalue problem\n作者: Blanca Mellado-Pinto, Fernando Alvarruiz, Jose E. Roman\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-27\narXiv ID: 2606.29025v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29025v1\n摘要: The Bethe-Salpeter equation, which has many applications in both theoretical and applied physics, is generally solved via a matrix eigenvalue problem with a rich algebraic structure. The numerical solution of such structured eigenproblem calls for specific algorithms that are able to preserve the structure throughout the computation. Several structure-preserving methods have already been proposed in the literature. In this paper, we develop a polynomial filter strategy that is able to extract approximations of eigenvalues located inside a specified interval. For this, we have devised a structure-preserving Chebyshev polynomial series, along with a specialized subspace iteration method that preserves the Bethe-Salpeter structure at every step of the algorithm. All necessary details required for a robust implementation are incorporated, and the performance is illustrated with matrices arising from real applications.\n35. 受Lindblad方程控制的开放量子系统的Gregory嵌套Picard迭代格式 Gregory Nested Picard Iteration Schemes for Open Quantum Systems Governed by the Lindblad Equation\n作者: Jiuhua Hu, Daniel Appelo, Yingda Cheng\n类别: math.NA, quant-ph\n发布日期: 2026-06-27\narXiv ID: 2606.29002v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29002v1\n摘要: Numerical simulation of quantum computing hardware and open quantum systems governed by the Lindblad equation is challenging due to the high dimensionality of the density matrix and the need to preserve fundamental physical properties. In our previous work, we developed an arbitrary-order, low-rank, completely positive and trace preserving (CPTP) method for the Lindblad equation with time-dependent Hamiltonians by nested Picard iteration (NPI). In this work, we develop Gregory NPI schemes, which are CPTP schemes constructed by Gregory-type quadrature on equispaced nodes. The methods, which are of order up to nine, substantially reduce the computational cost compared to our previously proposed NPI schemes with Gaussian quadrature rules, while retaining high-order accuracy and structure preservation. We analyze the stability of the resulting scheme for a physics-based test equation. Numerical experiments verify the convergence of the method and demonstrate the effectiveness of the low-rank approximation. We study the performance of a previously constructed CNOT gate for both closed and open quantum systems.\n36. PEC圆柱TMz与TEz散射的二维矩量法分析 Two-Dimensional Method-of-Moments Analysis of TMz and TEz Scattering from PEC Cylinders\n作者: Sabrina Saima\n类别: eess.SP, math.NA, physics.comp-ph, physics.optics\n发布日期: 2026-06-27\narXiv ID: 2606.29000v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.29000v1\n摘要: This paper presents a two-dimensional method-of-moments (MoM) solver for electromagnetic scattering from infinitely long perfectly electrically conducting (PEC) cylinders. Both TMz and TEz polarizations are considered. Starting from the scalar Helmholtz equation, the electric field integral equation (EFIE) is derived for TMz scattering and the magnetic field integral equation (MFIE) is derived for TEz scattering. The induced surface current on the PEC boundary is expanded using pulse basis functions, and the boundary integral equations are discretized using point matching at the segment centers. Circular cylinders with radii $R = λ$ and $R = 2λ$ are used as validation cases because analytical series solutions are available. The MoM-computed surface currents, total near fields, scattered near fields, and field-error distributions are compared against the analytical solutions. After validation, the same solver is applied to a square PEC cylinder, for which no simple closed-form analytical solution is used. The results show strong agreement between the MoM and analytical circular-cylinder solutions and demonstrate the geometry-dependent scattering behavior of the square cylinder.\n37. 比Fast-LTS更快：基于DC规划的稳健回归与异常值检测 Faster than Fast-LTS: Robust Regression and Outlier Detection with DC Programming\n作者: Marah-Lisanne Thormann, Phan Tu Vuong, Alain B. Zemkoho, Tri-Dung Nguyen\n类别: math.OC, math.NA, math.ST\n发布日期: 2026-06-27\narXiv ID: 2606.28974v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.28974v1\n摘要: When datasets contain outliers, robust regression is a well-established alternative to Ordinary Least Squares. A commonly employed robust estimator is Least Trimmed Squares (LTS), which computes the regression coefficients from a subset of observations. Determining the exact solution corresponds to a combinatorial problem with prohibitive computational costs, even for instances of moderate dimension. Thus, the most prevalent approach in practice remains a heuristic known as Fast-LTS. Although the heuristic often performs effectively, certain elements of the approach remain open to improvement. In particular, its core procedure provides robust results only when initialized with a large number of starting points. To address the heuristic\u0026rsquo;s limitations, this paper reformulates the LTS problem as a concave minimization problem subject to a capped simplex constraint, and proposes the successive Boosted Difference of Convex Functions Algorithm (sBDCA) as a solution method. Theoretically, we establish via the Łojasiewicz property that sBDCA converges to a local solution with a linear rate in the fastest case. To ensure robustness from a single initialization in practice, we derive and integrate a problem-specific preconditioning matrix into the algorithmic setup. Building on this theoretical foundation, we conduct numerical studies on various synthetic and real-world datasets to demonstrate the effectiveness of sBDCA with preconditioning. Specifically, we show that our approach is up to 3.25 times faster than Fast-LTS and achieves up to 90% lower objective function values, particularly in high-dimensional settings. As all code is openly available, this paper further provides a practical guide to robust regression in Python.\n38. 记忆型问题的分裂格式 Splitting schemes for problems with memory\n作者: Petr N. Vabishchevich\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-27\narXiv ID: 2606.28883v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.28883v1\n摘要: The paper considers the Cauchy problem for a first-order integro-differential equation with memory in a finite-dimensional Hilbert space. The main computational difficulty of such problems is the need to store and process the solution at all previous time levels. To overcome this difficulty, an approach is used that approximates the memory kernel by a sum of exponentials, which reduces the original nonlocal problem to a local one \u0026ndash; a system of weakly coupled evolution equations with additional ordinary differential equations for auxiliary functions. The problem is formulated in vector form on the direct sum of Hilbert spaces. Unconditional stability of two-level operator-difference schemes with weights is proved under standard restrictions. Splitting schemes are proposed and investigated by separating the local and integral operators of the problem. Possibilities for constructing similar schemes for other nonlocal problems, in particular for the equation with memory of the time derivative of the solution, are noted.\n39. 二维修正亥姆霍兹方程层位势与体积位势的快速统一计算 Fast unified evaluation of layer and volume potentials for the 2D modified Helmholtz equation\n作者: Edith Frisk Gärtner, Fredrik Fryklund, Anna-Karin Tornberg\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-27\narXiv ID: 2606.28865v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.28865v1\n摘要: We present a fast and accurate potential theory-based method for the two-dimensional modified Helmholtz equation, treating the involved singular and nearly singular layer evaluations together with volume potentials within a single computational framework. The method is based on a decomposition of the free-space Green\u0026rsquo;s function into a short-range local part and a smooth long-range part. The long-range contribution is evaluated efficiently using the non-uniform fast Fourier transform (NUFFT), while the local contribution is treated by asymptotic expansions. For the layer potentials, an intermediate telescoping sum over dyadic refinement levels is added, where the resulting difference kernels are smooth and rapidly decaying, allowing the dyadic levels to be evaluated without specialized quadrature rules. The volume potential is evaluated on triangular cut-cell meshes, where the mesh only enters the scheme as quadrature rule for smooth data. This makes the method robust with respect to small and distorted mesh cells, without the need for stabilization or cell-merging techniques. Numerical experiments demonstrate the expected convergence rates, high throughput of the potential evaluations, and robustness with respect to mesh quality.\n40. 一种关于Sturm\u0026ndash;Liouville差分方程与特征值估计的离散Prüfer变换方法 A Discrete Prüfer Transformation Approach to Sturm\u0026ndash;Liouville Difference Equations and Eigenvalue Estimation\n作者: F. Ayça Çetinkaya, Kürşat Er, Hamza Menken\n类别: math.SP, math.NA\n发布日期: 2026-06-27\narXiv ID: 2606.28852v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.28852v1\n摘要: In this paper, we study regular second-order Sturm\u0026ndash;Liouville difference equations using the discrete Prüfer transformation. By representing solutions in amplitude and phase coordinates, we analyze an exact algebraic phase system that guarantees unique, monotonic phase tracking and preserves classical oscillation properties. Using this theoretical foundation, we develop a Prüfer-based numerical shooting method to compute eigenvalues for discrete boundary value problems. To initialize the root-finding algorithm, we apply Gershgorin\u0026rsquo;s theorem to the difference operator to establish mathematically guaranteed starting search intervals. Numerical experiments on classical benchmark problems demonstrate that the proposed method effectively isolates the discrete spectrum and converges to the exact continuous eigenvalues with second-order $\\mathcal{O}(h^2)$ accuracy.\n41. Navier-Stokes 方程一致分裂格式的误差上界中的粘性 Viscosity in error upper bound for a consistent splitting scheme of the Navier-Stokes equations\n作者: M Nader Alhomsi, Jiahong Wu, Xiaoming Zheng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-27\narXiv ID: 2606.28800v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.28800v1\n摘要: This paper investigates the role of viscosity in the error upper bounds of a consistent splitting scheme for the Navier-Stokes equations proposed by Huang and Shen [5]. In their original analysis the viscosity is fixed to unity. By following and extending their proof methodology while keeping the viscosity symbolic, we obtain an H1 velocity error bound that contains negative powers of viscosity, indicating that the scheme is not robust as viscosity tends zero. To establish this bound we refine a theorem in [8] on the constant in the Stokes pressure estimate, which is crucial to the error analysis. A targeted numerical experiment based on a perturbation of the Kovasznay flow corroborates this analytical prediction: the scheme of [5] blows up at high Reynolds number, and a comparison with a fully implicit Newton solver and with the time-dependent Stokes counterpart of the same scheme localizes the failure to the explicit treatment of the convection term.\n42. 基于薛定谔化的正则化Wasserstein邻近算子的量子算法 Schrödingerization based quantum algorithms for regularized Wasserstein proximal operators\n作者: Shi Jin, Nana Liu, Yue Yu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-27\narXiv ID: 2606.28752v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.28752v1\n摘要: We develop a quantum algorithm for the regularized Wasserstein proximal operator, which is a fundamental tool in optimal transport and mean-field games. The regularization introduces a small diffusive term into the continuity equation of the Benamou-Brenier formulation, which results in a forward-backward PDE system consisting of a Fokker-Planck equation and a viscous Hamilton-Jacobi equation with a quadratic Hamiltonian. Through the Cole-Hopf transformation, both equations are converted to forward heat equations, whose coupling requires a Hadamard division to prepare the initial data for the second heat equation and a Hadamard product to recover the terminal density. We solve these heat equations via the Schrödingerization method and implement the Hadamard division and product operations using simple matrix-vector multiplication representations. The complete quantum algorithm prepares an $\\varepsilon$-approximation of the terminal density state with $\\mathcal{O}(d N_x T \\log^2(1/\\varepsilon))$ query complexity, up to constants depending on the potential and initial density, where $d$ is the spatial dimension, $N_x$ is the number of grid points per spatial dimension and $T$ is the evolution time. The complexity depends only {\\it linearly} on $d N_x$, yielding an {\\it exponential} speedup over classical methods, whose cost scales as $N_x^d$ per time step. Numerical experiments validate the effectiveness of the proposed algorithm.\n43. 适用于任意单胞的周期性库仑格点和的自适应快速算法 An Adaptive Fast Algorithm for Periodic Coulomb Lattice Sums in Arbitrary Unit Cells\n作者: Xuanzhao Gao, Leslie Greengard, Shidong Jiang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-26\narXiv ID: 2606.28608v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.28608v1\n摘要: We present a fast algorithm for evaluating conditionally convergent Coulomb lattice sums, governed by the Laplace equation with periodic boundary conditions on arbitrary unit cells (oblique in 2D, triclinic in 3D) and arbitrary particle distributions. The algorithm extends the dual-space multilevel kernel-splitting (DMK) framework to this context. The root of the adaptive tree is now a rectangular grid of cubes consisting of an inner block covering the unit cell and a surrounding halo of image cubes, rather than a single cube, and the smooth top-level periodic kernel \u0026ndash; the only term that requires the consideration of conditional convergence issues \u0026ndash; is evaluated by the ``five-step procedure\u0026quot; used in fast Ewald summation: spreading, fast Fourier transform (FFT), diagonal scaling, inverse FFT, and interpolation. The resulting complexity is $O(N)$ for fixed cell shape. Benchmarked against the periodic fast multipole method on highly nonuniform source distributions, our 2D algorithm is roughly an order of magnitude faster across particle counts and target precisions; in three dimensions, it is often as fast as the free-space DMK on the same sources, even for triclinic cells with edge-length ratios up to roughly $17$.\n44. 受约束的柯尔莫戈洛夫宽度 Constrained Kolmogorov widths\n作者: Ronald DeVore, Guergana Petrova, Jonathan W. Siegel, Przemysław Wojtaszczyk\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-26\narXiv ID: 2606.28587v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.28587v1\n摘要: The main theme of approximation theory is to understand how well a general function $f$ can be approximated by a simpler function $g$ such as a polynomial or spline. In many applications, one wants $g$ to retain known properties of $f$ such as its inherent smoothness or a geometrical property such as monotonicity or convexity. Additional requirements on $g$ of this type are known as constraints. In this paper, we do a systematic study of constrained approximation to understand how the imposition of such constraints limits the efficiency of the approximation. We study constrained approximation in the setting of linear approximation where $g$ is to be taken from a finite dimensional linear space $V$ of a fixed dimension $n$. Kolmogorov widths describe how well one can approximate when using such linear spaces $V$. The first part of this paper introduces and studies several types of constrained widths, including the constrained Kolmogorov widths, and gives comparisons between them. The second part of the paper is restricted to classical settings where the constraint imposes a smoothness requirement on $g$. In this case, our results prove that the additional constraint can typically be imposed with no loss in the efficiency of the approximation.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-06-30_10-49-46/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年06月30日 10:49:46\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 5\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 44\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-mcmg一种用于亥姆霍兹方程的学习型相空间多通道多重网格预处理器\"\u003e1. McMg：一种用于亥姆霍兹方程的学习型相空间多通道多重网格预处理器\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eMcMg: A Learned Phase-Space Multi-channel Multigrid Preconditioner for Helmholtz Equation\u003c/p\u003e","title":"2026年06月30日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年06月29日 12:51:13\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 2\n不相关论文数量: 17\n重点关注论文（完整分析） 1. 一阶不规则立方体网格上的hp-最优DG逼近与稳健Schwarz分解 hp-Optimal DG Approximation and Robust Schwarz Decompositions on One-Irregular Cubical Meshes\n作者: Situan Li, Weiying Zheng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-26\narXiv ID: 2606.27728v1\n摘要翻译: 我们研究一阶不规则网格上变阶数立方体有限元空间的hp逼近与加性Schwarz分解。对于一阶不规则六面体网格上的拟合齐次扩散界面问题，我们证明了内惩罚DG方法的hp-最优能量范数估计。插值输入是从一阶不规则顶点片的拟合协调闭包获得的协调hp插值。我们还推导了协调和DG空间的稳定分解。在一阶不规则四边形网格上，这些界允许局部可比较的变多项式次数，且与网格尺寸、局部次数无关，并且在局部系数拟单调性条件下，与系数反差无关。在一阶不规则六面体网格上，协调分解具有相应的多对数损失；对于均匀次数DG空间，那里使用了DG到协调的归约。数值实验展示了p-最优DG误差估计和DG Schwarz预条件子的稳健性。\nComment: 33 pages, 2 figures\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27728v1\n1. 研究对象和背景 本文研究对象为带分片常数系数扩散方程的拟合界面间断 Galerkin（DG）逼近与加法 Schwarz 预条件子分析。设区域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 为多面体区域，扩散系数 $\\alpha:\\Omega\\to\\mathbb{R}_+$ 在 $\\Omega$ 上分片常数，且存在有限个界面 $\\Gamma$ 使 $\\alpha$ 在各子区域上为常数。考虑齐次 Dirichlet 边值问题： $$ -\\nabla\\cdot(\\alpha\\nabla u) = f\\;\\;\\text{在}\\; \\Omega,\\quad u=0\\;\\;\\text{在}\\; \\partial\\Omega, $$ 其中 $f\\in L^2(\\Omega)$。弱形式为：求 $u\\in H_0^1(\\Omega)$ 满足 $$ a(u,v)=(f,v)_{L^2(\\Omega)},\\qquad \\forall v\\in H_0^1(\\Omega), $$ 其中 $a(u,v)=\\int_\\Omega \\alpha\\nabla u\\cdot\\nabla v\\,\\mathrm{d}x$。\n本文采用拟合一阶非正则（one-irregular）立方体网格 $\\mathcal{T}_h$ 进行离散。网格由初始共形网格递归四分（二维）或八分（三维）细划而成，满足形状正则性 (2.1) 和一阶非正则性 (M1)–(M4)，即任意边的悬挂节点不会形成链。网格与系数界面拟合，即界面 $\\Gamma$ 由单元边/面组成，且细划操作始终使界面保持拟合。\n在网格上定义间断空间 $S^{\\bm{p}}_{\\mathrm{dg}}(\\mathcal{T}_h)$，其中 $\\bm{p}=(p_K)_{K\\in\\mathcal{T}_h}$，每个单元 $K$ 上为张量积多项式空间 $\\mathbb{Q}_{p_K}(K)$（映射后），并允许相邻单元间多项式次数不同，但满足局部次数可比条件： $$ \\gamma^{-1}p_K\\le p_{K'}\\le \\gamma p_K,\\quad \\forall K,K'\\;\\text{相邻}. $$ 共形子空间记为 $S^{\\bm{p}}(\\mathcal{T}_h)=S^{\\bm{p}}_{\\mathrm{dg}}(\\mathcal{T}_h)\\cap H^1(\\Omega)$。\n采用内罚 DG（IPDG）离散：求 $u_h\\in S^{\\bm{p}}_{\\mathrm{dg}}(\\mathcal{T}_h)$ 使得 $$ a_h(u_h,v) = (f,v)+\\text{可能有的边界项},\\qquad \\forall v\\in S^{\\bm{p}}_{\\mathrm{dg}}(\\mathcal{T}_h), $$ 其中 $a_h$ 为 $$ a_h(w,v)=\\sum_{K\\in\\mathcal{T}_h}\\alpha_K(\\nabla w,\\nabla v)_{L^2(K)}+\\sum_{F\\in\\mathcal{F}}\\left(-\\langle\\{\\alpha\\nabla w\\}\\cdot\\bm{n}_F,[v]\\rangle_F-\\langle\\{\\alpha\\nabla v\\}\\cdot\\bm{n}_F,[w]\\rangle_F+\\sigma h_F^{-1}\\langle[w],[v]\\rangle_F\\right). $$ 这里 $\\mathcal{F}$ 为单元交界面（匹配骨架），$\\sigma$ 为充分大的惩罚参数。相应的 DG 能量范数为 $$ \\|v\\|_{\\mathrm{DG}}^2 = \\sum_{K\\in\\mathcal{T}_h}\\alpha_K|v|_{H^1(K)}^2 + \\sum_{F\\in\\mathcal{F}}\\sigma h_F^{-1}\\|[v]\\|_{L^2(F)}^2. $$hp 有限元方法的核心理论问题是：在上述非正则网格上，DG 能量误差是否仍具有 hp 最优性，即是否存在与 $h$ 和 $\\bm{p}$ 无关的常数 $C$ 使得 $$ \\|u-u_h\\|_{\\mathrm{DG}}\\le C\\inf_{v\\in S^{\\bm{p}}_{\\mathrm{dg}}(\\mathcal{T}_h)}\\|u-v\\|_{\\mathrm{DG}}. $$ 对于共形网格，这一结果可通过构造 hp 最优插值算子直接获得；但在一阶非正则网格上，悬挂节点的存在破坏了单元间的相容性，使得标准 hp 插值（如基于顶点片块的算子）无法直接移植。\n另一关键问题是预条件子的稳健性。加法 Schwarz 预条件子的分析依赖于将有限元函数空间分解为局部子空间之和的稳定分解，形式为 $$ u = \\sum_{a\\in\\mathcal{N}^c(\\mathcal{T}_h)} u_a,\\qquad u_a\\in V_a $$ 且满足局部稳定性 $$ \\sum_{a\\in\\mathcal{N}^c(\\mathcal{T}_h)}\\|u_a\\|_{1,\\Omega_a}^2 \\le C_{\\rm stab}\\, \\|u\\|_1^2. $$ 常数 $C_{\\rm stab}$ 若对 $h$、$\\bm{p}$ 和系数反差保持一致上界，则对应的 Schwarz 预条件子具有稳健性。对于共形网格和均匀次数，已有大量工作；但对于一阶非正则网格、局部可变次数以及大系数反差，同时实现三项参数的稳健性是一个未解决的问题。特别地，系数反差常常迫使稳定常数随反差增长，除非强加全局拟单调性条件。\n本文试图填补上述两个空白： (i) 对一阶非正则六面体网格上的拟合界面扩散问题，证明 IPDG 方法的 hp 最优能量误差估计； (ii) 构造共形和 DG 空间上的稳定分解，在二维情形达到对 $h$、$\\bm{p}$ 和系数反差（在局部拟单调条件）的完全稳健性，在三维共形情形仅有一个 $(1+\\log\\|p\\|_{L^\\infty})^3$ 的损失，并通过 DG 到共形的归约技术，在均匀次数 DG 空间上获得稳健预条件子。\n2. 主要定理或主要结果 以下为主要理论成果，按作者在引言中归纳的四个方面陈述。\n一阶非正则网格上的限制型节点单位分解与活动顶点片块。作者构造了悬挂节点约束的多线性单位分解函数 $\\{\\theta_a\\}_{a\\in\\mathcal{N}^c(\\mathcal{T}_h)}$。该族函数满足：$\\theta_a\\in H^1(\\Omega)$，$0\\le\\theta_a\\le1$，$\\sum_{a}\\theta_a=1$，且在单元 $K$ 上有 $\\|\\nabla\\theta_a\\|_{L^\\infty(K)}\\le C h_K^{-1}$。其支撑集定义了活动片块 $\\mathcal{T}^a_h$ 和区域 $\\Omega_a$。这些片块具有一致有界的重叠度（引理 2.1）。\n二维一阶非正则网格上的稳定分解（无 $p$ 损失）。在局部次数可比条件下，对任意 $u\\in S^{\\bm{p}}(\\mathcal{T}_h)$（共形空间），存在分解 $u=\\sum_{a\\in\\mathcal{N}^c(\\mathcal{T}_h)} u_a$，其中 $u_a\\in S^{\\bm{p}}(\\mathcal{T}^a_h)\\cap H^1_{0,\\partial\\Omega_a\\backslash\\partial\\Omega}(\\Omega_a)$，且对每个单元 $K$ 及 $a\\in\\mathcal{N}^c_K$ 有 $$ \\|u_a\\|_{L^2(K)}^2 + h_K^2|u_a|_{H^1(K)}^2 \\le C\\big(\\|u\\|_{L^2(K)}^2 + h_K^2|u|_{H^1(K)}^2\\big). $$ 常数 $C$ 与 $h$、$\\bm{p}$ 无关。在局部系数拟单调性条件下，该分解对系数反差亦具有稳健性（即上述不等式中添加系数权 $\\alpha_K$ 后常数 $C$ 独立于系数反差）。结合系数自适应粗平均，可得到 DG 空间的相应稳健分解。\n三维一阶非正则六面体网格上的稳定分解（带对数损失）。在共形空间上，存在分解 $$ \\sum_{a\\in\\mathcal{N}^c(\\mathcal{T}_h)}\\|u_a\\|_{1,\\Omega_a}^2 \\le C\\big(1+\\log\\|\\bm{p}\\|_{L^\\infty}\\big)^3\\sum_{K\\in\\mathcal{T}_h}\\big(\\|u\\|_{L^2(K)}^2 + h_K^2|u|_{H^1(K)}^2\\big). $$ 该分解对 $h$ 和系数反差（局部拟单调条件下）稳健，但对 $p$ 出现不可消除的对数立方损失。对于均匀次数（$p_K\\equiv p$）的 DG 空间，通过 DG 到共形的归约技术，可构造稳健的 DG Schwarz 预条件子，其条件数界具有相同的对数因子。\n一阶非正则六面体网格上的 hp 最优 DG 误差估计。针对拟合界面和局部次数可比假设，作者首先通过顶点片块的共形闭包（引理 2.2）构造了一个共形 hp 插值算子 $\\Pi_h: H^1_0(\\Omega)\\to S^{\\bm{p}}(\\mathcal{T}_h)$，使其在每个片块的共形闭包上为标准的 hp 多项式插值。然后证明了对 IPDG 解 $u_h$ 的误差界： $$ \\|u-u_h\\|_{\\mathrm{DG}} \\le C\\,\\inf_{v\\in S^{\\bm{p}}_{\\mathrm{dg}}(\\mathcal{T}_h)}\\|u-v\\|_{\\mathrm{DG}}. $$ 常数 $C$ 独立于 $h$ 和 $\\bm{p}$（仅依赖于形状正则性和惩罚参数）。结合 hp 插值逼近性质，可得如下的收敛率：若解 $u$ 在单元 $K$ 上具有 $H^{s_K(K)$ 正则性，则 $$ \\|u-u_h\\|_{\\mathrm{DG}} \\le C\\left(\\sum_{K\\in\\mathcal{T}_h} \\alpha_K\\frac{h_K^{2\\min(p_K,s_K-1)}}{p_K^{2s_K-2}}\\|u\\|_{H^{s_K}(K)}^2\\right)^{1/2}. $$ 此即 hp 最优收敛率。数值实验验证了 $p$ 最优收敛性和 DG 预条件子的稳健性。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的主要技术障碍来源于一阶非正则网格的三个特点：(i) 悬挂节点破坏了单元间的连续性，使得直接构造共形插值或稳定的局部分解变得困难；(ii) 非正则界面上的迹涉及粗、细两侧的匹配；(iii) 三维顶点片块自身的奇异性（多个单元交汇）导致对数损失。\n作者克服这些障碍的核心创新与关键工具如下：\n1. 带有悬挂节点约束的节点单位分解。 与传统的共形网格节点基函数不同，一阶非正则网格上的单位分解必须在悬挂节点处满足线性约束（在二维）或双线性约束（在三维）。作者显式构造了 $\\{\\theta_a\\}$：在共形顶点处赋克罗内克值，在悬挂节点处则由控制该悬挂节点的母边（或母面）的端点值线性（或双线性）插值确定；然后每个单元上通过多线性插值得到 $\\theta_a|_K$。这一构造保证了 $\\theta_a$ 连续且满足单位分解，且 $\\nabla\\theta_a$ 的 $L^\\infty$ 模被 $h_K^{-1}$ 控制（依赖形状正则性）。该单位分解是片块重叠有限性的基础，也是后续片块分解（引理 2.9）的基石。\n2. 顶点片块的共形闭包与尺寸可比性（引理 2.2）。 由于一阶非正则网格上的片块 $\\mathcal{T}^a_h$ 可能包含悬挂节点和不同细划层次的单元，无法直接应用标准 hp 插值。作者设计了一种层次式合并算法：从最细层开始，将同一母单元的所有子单元用母单元替换；若母单元的部分子单元缺失，则补齐缺失子单元后再替换。逐层粗化后得到一个共形网格 $\\widetilde{\\mathcal{T}}^a_h$，其每个单元都是原片块某个单元的祖先，且与原单元直径可比（引理 2.2 中的 $h_{\\widetilde{K}}\\le C h_K$）。该共形闭包为 hp 插值提供了正则平台，并且若原网格拟合界面，闭环也保持拟合。\n3. 基于高斯–洛巴托插值的边/面次数调整与二维链的 $H^{1/2}$ 稳定性（引理 2.4–2.5）。 在分解过程中，需将高次多项式迹降次以匹配相邻单元的次数。作者选用高斯–洛巴托插值，因为它保持端点值从而保证连续性。引理 2.4 给出了参考区间和方形面上一维及张量积插值的 $H^{1/2}$ 稳定性估计，对次数比一致有界。对于一阶非正则网格中典型的二边链结构，引理 2.5 证明了在连接点相容的条件下，整体 $H^{1/2}$ 模的稳定性和 $H^{1/2}_{00}$ 剩余估计。技术核心是运用了二边链的 $H^{1/2}$ 模等价（利用相邻侧积分），并结合端点残差为零的性质将链的整体残差控制为两个边上 $H^{1/2}_{00}$ 残差之和。这为非正则界面上的次数调整提供了严格工具。\n4. 非正则面迹的移除与三维片块提升（引理 2.8）。 三维共形分解的主要障碍是顶点片块包含非正则面。作者先将共形函数 $u$ 在每个非正则母面 $F$ 上的迹，利用面积次稳定分解（引用 [9] 的顶点分解）表达为若干多项式之和，这些多项式作为该面所有子面的数据分配至各顶点。然后，在片块 $\\Omega_a$ 内部利用“固定层次共形成分”（引理 2.7）的性质，即在同一个细化层次上的单元形成共形子网，从而可以逐成分应用三维共形片块提升技术。提升过程采用 [9] 中的奇异片块插值，导致了 $(1+\\log\\|p\\|)^3$ 的损失。这一定理成功地将非正则界面的相容性条件融入到局部分解中。\n5. 基于共形闭包的 hp 最优插值与 DG 误差分析。 DG 误差估计的证明框架如下：(a) 对真解 $u$，在每个片块共形闭环上构造标准 hp 插值 $\\tilde{u}_a$；(b) 利用引理 2.9 的片块单位分解逼近：$\\tilde{u} = \\sum_a \\theta_a \\tilde{u}_a$，该函数属于共形空间 $S^{\\bm{p}}(\\mathcal{T}_h)$；(c) 证明 $\\tilde{u}$ 对 $u$ 的逼近误差具有 hp 最优阶（借助共形闭环上插值误差的估计和单位分解的稳定性）；(d) 将 $\\tilde{u}$ 作为 $u_h$ 的近似，利用 Galerkin 正交性和惩罚项处理，导出 $\\|u-u_h\\|_{\\mathrm{DG}}\\le C\\|u-\\tilde{u}\\|_{\\mathrm{DG}}$，从而完成 hp 最优性证明。这里的关键是共形闭环和引理 2.9 的配合，既消去了悬挂节点的障碍，又保留了插值的最优逼近性质。\n6. DG 到共形的归约（均匀次数情形）。 对于均匀次数 DG 空间，作者将 DG Schwarz 预条件子的条件数估计归结为共形空间的相应结果。具体手段是构造一个从 DG 空间到共形空间的稳定算子（如平均算子），并验证其在 DG 能量范数下的有界性及逼近性质。这一归约使得三维均匀次数 DG 预条件子直接继承了共形分解的对数立方损失，无需重新进行复杂的 DG 分析。\n4. 与之前工作的比较 本文的工作与既有有限元与数值解法文献相比，在多个层面实现了推进，但也保留了若干限制。下面分维度比较。\n1. 与共形网格 hp 插值和误差估计的比较 经典的 hp 有限元插值理论（如 [2, Section 3]）假定网格是共形的。对于一阶非正则网格，虽然可通过悬挂节点约束直接构造共形空间，但标准 hp 插值算子（如顶点模态展开）无法直接使用，因为片块不是共形的。本文通过“共形闭包”技术，首次将 hp 最优插值推广到一阶非正则立方体网格，且不要求网格上的悬挂节点通过额外层消除。代价是闭包可能包含原网格未细化的单元，但通过有限重叠性与尺寸可比性，保持了逼近阶。与 [2] 中仅对共形网格的估计相比，本文的结果扩展了适用范围。\n2. 与一阶非正则网格上稳定分解的已有工作 针对一阶非正则网格的 Schwarz 分解，此前工作多集中在 h 版本（即 $p=1$ 或 $p_K$ 较小）或二维情形。例如，[4] 等研究了二维一阶非正则四边形网格上的线性元稳定分解，对网格尺寸和系数反差稳健。本文在二维的表现超越了这些：对任意局部可比的多项式次数 $p_K\\ge 1$，证明了无 $p$ 损失的稳定分解，即常数不依赖于 $\\bm{p}$。这是通过精心设计的边次数调整和基于单位分解的片块重组实现的，避免了直接使用节点插值带来的次数依赖。此外，本文在系数反差方面，仅要求局部拟单调性条件（在每个顶点片块上系数沿离开顶点的方向非减），而许多前期工作（如 [9]）需要全局拟单调性（即整个区域内存在排列顺序使得系数几乎单调）。这一放松使得允许更一般的系数分布，例如一个高传导率区域被低传导率区域包围，只要在每个顶点附近满足局部条件。\n3. 三维情形下的对数损失与现有三维 hp 分解的比较 在三维共形网格上，[9] 已证明顶点片块分解带有 $(1+\\log p)^3$ 的损失，这是由于三维奇性顶点（多个单元交汇）所致。本文的三维结果与此一致，并将这一估计推广到一阶非正则六面体网格。这一定理的新意在于处理了非正则面带来的额外复杂性，而仍然保持与共形情形相同的对数因子。作者通过引理 2.8 的面迹移除技术实现这一点。因此，该结果将三维 hp 稳定分解的基准情形从共形网格拓展到一阶非正则网格。\n4. DG 误差估计的前人工作与本文的推进 DG 方法的 hp 误差分析通常要求插值算子具有迹适应性，在 hp 情形尤其复杂。对于共形网格上的 IPDG 方法，Schöberl 等人[?] 给出了 hp 最优估计；但对一阶非正则网格，DG 空间的共形子空间并不包含所有连续 Lagrange 节点函数，因为悬挂节点处的连续性并非被显式强加，而是通过惩罚项隐式实现。本文通过构造相容的共形插值（使用闭环），并利用引理 2.9 将片块函数粘合为全局共形函数，从而利用 Galerkin 正交性将 DG 误差归化为插值误差。这一策略绕开了对 DG 空间直接进行 hp 插值的困难，所得的估计在能量范数下是 hp 最优的。与 [1] 等早期 hp-DG 工作相比，本文的网格允许悬挂节点且具拟合界面。与 [5, 6] 等仅处理 h 收敛或均匀次数的工作相比，本文实现了完整的 hp 最优性。\n5. DG 预条件子与已有 DG 预条件子 对于 DG 离散，直接构造稳健的 Schwarz 预条件子较为困难，常见的做法是通过间断-共形归约，将问题转化为共形预条件子。例如，Antonietti 和 Ayuso 等人 [7] 在共形网格上对均匀次数 DG 进行了此类归约。本文在三维一阶非正则网格上，对均匀次数 DG 空间使用了类似的归约技术，结合已建立的共形分解，得到了条件数界为 $C(1+\\log p)^3$ 的预条件子。与直接在 DG 空间分析的文献（如 [8]）相比，本文的方法更简洁，但仅限于均匀次数。如何将变量次数 DG 空间稳健地归约到共形空间并保持稳健性，仍是开放问题（作者未在本文中解决）。\n6. 局限与代价\n本文的 DG 误差估计要求网格拟合界面，即系数间断必须与网格线对齐；对于非拟合界面，需要另外的处理（如扩展有限元或 Nitsche 界面匹配）。 三维 DG 预条件子要求均匀次数 $p_K\\equiv p$；变量次数的 DG 分解未给出。 系数稳健性依赖于局部拟单调性条件，该条件虽然在每个顶点片块上比全局条件弱，但仍然对系数分布施加了限制；对于完全不满足该条件的系数分布（如随机高反差），方法可能会失去稳健性。 三维共形分解的对数立方损失在 p 很大时仍不可忽略；几何奇异性可能进一步放大该因子（文中常数仅依赖 γ 和 d）。 数值实验仅展示了二维和三维简单算例，未验证高度各向异性系数或极端大 p 的情形。 了解领域论文（摘要翻译） 1. 高阶渐近保持格式用于从稀薄到不可压缩区域的动力学方程 High-Order Asymptotic-Preserving Schemes for Kinetic Equations from Rarefied to Incompressible Regimes\n作者: Giacomo Dimarco, Axel Klar, Theresa Köfler, Lorenzo Pareschi, Tiwari Sudarshan\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-06-26\narXiv ID: 2606.28040v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.28040v1\n摘要翻译 中文标题: 高阶渐近保持格式用于从稀薄到不可压缩区域的动力学方程\n摘要翻译: 这项工作报告了一种新颖的高阶数值框架，用于求解动力学方程，旨在在平均自由程的所有区域上保持一致有效，涵盖从稀薄动理学尺度到不可压缩流体动力学极限的范围。该方法基于微观-宏观分解，将潜在的动力学方程重新表述为一个耦合系统，由代表流体动力学演化的宏观部分和描述非平衡偏差的微观部分组成。所提出的框架通过使用隐式-显式 Runge-Kutta 方法保证高阶时间精度，这些方法在刚性区域提供稳定性和效率，同时通过将有限差分 WENO 重构与高阶中心差分近似相结合来增强空间分辨率。该方法的一个关键特征是它的渐近保持（AP）性质。我们证明，在平均自由程趋于零的适当渐近极限下，该格式一致地约化为不可压缩 Navier-Stokes 方程的高阶有限差分形式。为了支持理论结果，对一维和二维基准问题进行了数值实验，这些实验证实了该方法在不同流动区域下的精度、稳定性和通用性。\n2. 一种用于波动方程控制重构的保结构神经-谱方法 A Structure-Preserving Neural-Spectral Method for Reconstructing Controls of Wave Equations\n作者: Tan-Phuc Nguyen, Minh-Binh Tran, Son Tu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-26\narXiv ID: 2606.28029v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.28029v1\n摘要翻译 中文标题: 一种用于波动方程控制重构的保结构神经-谱方法\n摘要翻译: 尽管关于可控性的分析文献十分丰富，偏微分方程控制的数值重构仍相对欠发展。这一困难对波动方程尤为突出，其守恒结构、振荡动力学和高频行为使得直接离散化和优化极具挑战性。在这项工作中，我们引入了一种用于逼近波动方程控制的神经-谱方法。该方法将状态和控制均表示在Dirichlet谱基中，并使用浅层神经网络对依赖时间的模态系数进行参数化。通过这种方式，波动方程的空间振荡结构被纳入近似，而学习任务被简化为重构时间系数。我们证明了近似结果，表明在相关能量框架下存在精确控制的标准假设下，找到的控制-状态对可以在能量范数下关于时间一致地逼近精确受控轨迹，同时也在(L^2)中逼近相应的控制。我们还给出了一个条件可计算误差估计，它将谱截断、神经网络逼近、数值积分和优化误差分离开来。另外，我们讨论了标准时间步进格式在守恒波动动力学中面临的结构性障碍：显式Euler方法放大高频，隐式Euler方法引入人工耗散，而Crank\u0026ndash;Nicolson方法保持振幅但压缩高频相位。在一维、二维和三维空间中的数值实验，展示了该方法在非线性、线性参考和高维控制基准问题上的效果。\n不相关论文（基本信息） 1. 在可压缩Boussinesq方程中阻尼垂直传播波的完美匹配层 A perfectly matched layer for damping vertically propagating waves in the compressible Boussinesq equations\n作者: Timothy C. Andrews, Kenneth Duru, David Lee\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-26\narXiv ID: 2606.28303v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.28303v1\n摘要: This paper introduces a new application of the perfectly matched layer (PML) for mitigating model top wave reflections in geophysical fluid models. Typically, a strong Laplacian or Rayleigh damping sponge layer is used near the upper boundary, but these often need many vertical levels or a high model top to be sufficiently effective. An advantage of the PML is that, at the continuous level, it is free of wave reflection at the onset of the damping layer. This enables the PML to be effective even with a thin damping layer. We derive PMLs for the linear and nonlinear versions of the Boussinesq equations, which are a simplified model for vertical dynamics in the atmosphere. In the nonlinear system, we define a novel PML that damps perturbations from a hydrostatically balanced reference state. We approximate the PML equations using the compatible finite element method for numerical experiments. First, tests with the linear Boussinesq system show that the PML is more effective than a typical sponge layer in absorbing acoustic waves near the model top. Next, tests in the nonlinear system show that i) the PML can damp acoustic waves even when they are under-resolved by the time discretisation, and ii) the PML can avoid the standing wave pattern caused by model top reflection of orographic gravity waves. We propose that the PML is worth further development and investigation as a sponge layer alternative in dynamical cores for atmospheric modelling.\n2. VGB用于掩蔽扩散模型：面向奖励满足与样本编辑的高效测试时缩放 VGB for Masked Diffusion Model: Efficient Test-time Scaling for Reward Satisfaction and Sample Editing\n作者: Kijung Jeon, Thuy-Duong Vuong, Molei Tao\n类别: cs.LG, cs.DS, math.NA, math.PR, stat.ML\n发布日期: 2026-06-26\narXiv ID: 2606.28301v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.28301v1\n摘要: Inference-time scaling is a promising paradigm to improve generative models, especially when outputs must satisfy structural constraints or optimize downstream rewards. We consider Masked Diffusion Model (MDM) and introduce MDM-VGB, a discrete diffusion sampler that augments unmasking generation with theoretically principled reward-guided remasking. Inspired by the recent success of the classical Jerrum-Sinclair backtracking Markov chain in reward-tilted generation, MDM-VGB extends the backtracking random walk from a fixed prefix tree to a masked-state graph, allowing tokens to be unmasked and remasked at arbitrary positions. The resulting sampler favors unmasking and remasking moves that lead to higher-value partial configurations, enabling both effective high-reward generation and efficient repair of low-reward samples. We prove that MDM-VGB is robust to process-verifier noise and achieves quadratic complexity, while popular test-time heuristics such as best-of-$N$ can incur exponential complexity due to error accumulation. Our theoretical findings are corroborated by strong empirical performance, particularly on popular constraint-satisfaction and scientific benchmarks such as Sudoku and QM9.\n3. 一种求解高维分数阶福克-普朗克方程的快速高斯和算法 A fast sum-of-Gaussians algorithm for the high-dimensional fractional Fokker-Planck equation\n作者: Shidong Jiang, Dong Wang, Qi Zhou\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-26\narXiv ID: 2606.28184v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.28184v1\n摘要: We present a fast, high-order algorithm for the free-space fractional Fokker-Planck equation (FFPE) in arbitrary spatial dimension. Its fundamental solution, corresponding to a Dirac-delta initial condition, is obtained from the explicit Fourier representation by applying a sum-of-Gaussians (SOG) approximation to the nonseparable stretched exponential, using its complete monotonicity as the Laplace transform of a one-sided $α$-stable density. Each Gaussian term is an ordinary heat kernel and therefore factorizes across spatial coordinates. On a tensor-product grid, the separated form can be assembled in $O(MdN)$ work and storage, rather than forming all $O(N^d)$ grid values, where $M$ is the number of Gaussian terms and $N$ is the number of points per dimension. We prove an a~priori error estimate for the pure-fractional fundamental solution and give a parameter-selection procedure for prescribed accuracy over specified ranges of space and time. In numerical experiments the method achieves more than ten digits of relative accuracy, with $M$ growing only logarithmically in the inverse tolerance, and maintains this accuracy in dimensions up to $d=10^{5}$. This exceeds the dimensions reached in comparable radial-quadrature tests, where the integrand becomes increasingly oscillatory as the dimension grows. Because the method represents the fundamental solution as a separated sum of heat kernels, any initial datum given as a finite sum of tensor products can be evolved in closed form using only one-dimensional convolutions. This yields a computable class of high-dimensional solutions that is amenable to error analysis, and tensor neural networks provide one possible way to construct such separated representations for more general data.\n4. 利用物理信息神经网络在有限数据Calderón问题中恢复尖锐电导率特征 Recovering Sharp Conductivity Features in the Finite-Data Calderón Problem with Physics-Informed Neural Networks\n作者: Ali AlHadi Kalout, Pablo Tejerina-Pérez, Konstantin Karchev, Pedro Tarancón-Álvarez, Leonid Sarieddine, Raul Jimenez, Max Engelstein, Guy David\n类别: cs.LG, eess.IV, math.NA\n发布日期: 2026-06-26\narXiv ID: 2606.28158v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.28158v1\n摘要: Physics-informed neural networks (PINNs) have recently emerged as a promising framework for addressing the Calderón inverse problem from limited boundary data. In this work, we revisit neural Calderón inversion by introducing multiscale boundary excitations based on randomized wavelet functions and investigating the role of Fourier-feature encoding (FFE) for representing sharp conductivity variations. We propose a physics-informed reconstruction framework that represents the unknown conductivity and the associated family of electric potentials with separate neural networks conditioned on the applied boundary excitations. The governing elliptic PDE is enforced through physics-informed residuals, while finite Dirichlet-to-Neumann (DtN) data are incorporated through boundary losses. Using synthetic data from a finite-difference forward solver, we evaluate the method on conductivity fields with inclusions, sharp interfaces, smooth profiles, and heterogeneous media. Results show that the framework recovers dominant conductivity structures from finite boundary measurements with relative errors between $3\\%-12\\%$ approximately. We show that FFE improves the reconstruction of localized sharp features, particularly for inclusions and interfaces, but are not universally optimal, with raw-coordinate networks performing competitively for smoother fields. These results highlight coordinate representations and boundary excitation design as key factors in neural Calderón inversion.\n5. 改进的能量稳定的对称 Gauss-Seidel 投影方法用于微磁学模拟 Improved Energy Stable Symmetric Gauss-Seidel Projection Method for Micromagnetics Simulations\n作者: Yingxi Miao, Changjian Xie\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-26\narXiv ID: 2606.28113v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.28113v1\n摘要: The Gauss-Seidel projection method (GSPM) constitutes an efficient and numerically stable numerical framework for micromagnetic simulations of ferromagnetic media. This scheme attains first-order temporal accuracy and second-order spatial accuracy. Fast Fourier transform (FFT) techniques can be incorporated to accelerate both the solution of the arising linear algebraic systems and the evaluation of stray magnetic fields. The conventional GSPM relies on a single-sided Gauss-Seidel iteration, which leverages the latest updated state variables associated with the heat-diffusion subproblem. In this work, we develop a symmetric Gauss-Seidel projection method (SGSPM) that retains first-order temporal accuracy and second-order spatial consistency. The proposed symmetric variant exhibits superior stability properties relative to the standard GSPM. Specifically, SGSPM adopts a two-pass symmetric Gauss-Seidel iteration, where updated information from the heat-diffusion stage is fully exploited to rigorously guarantee discrete energy stability. We validate the performance of the devised scheme through numerical investigations of magnetization dynamic evolution and magnetic domain-wall propagation. Numerical evidence demonstrates that the improved symmetric scheme delivers enhanced stability for capturing magnetization motion dynamics.\n6. 使用混合精度雅可比算法计算精确奇异向量和特征向量 Computing accurate singular vectors and eigenvectors using mixed-precision Jacobi algorithms\n作者: Zhengbo Zhou, Françoise Tisseur, Marcus Webb\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-26\narXiv ID: 2606.28069v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.28069v1\n摘要: Mixed-precision variants of the Jacobi algorithm for symmetric positive definite eigenproblems and the one-sided Jacobi algorithm for singular value decompositions have recently been shown to compute eigenvalues and singular values to high relative accuracy. However, these analyses do not address the accuracy of the computed eigenvectors and singular vectors. In this paper, we prove error bounds for the computed eigenvectors and singular vectors, where the error is measured by the sine of the angle between the vector and its computed counterpart. The obtained bounds preserve the relative gap structure of the bounds for Jacobi algorithms proved by Demmel and Veselić, but involve the scaled condition number of the preconditioned matrix rather than that of the original matrix (the former of which is typically much smaller). Numerical experiments support our theoretical bounds and demonstrate that the mixed-precision preconditioned Jacobi algorithms are especially effective for ill-conditioned matrices with small absolute gaps and moderate relative gaps between eigenvalues or singular values.\n7. 一种用于第三介质接触的稳健混合有限元格式 A robust mixed finite element formulation for third medium contact\n作者: M. Vorwerk, J. Schröder, P. Wriggers\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-26\narXiv ID: 2606.28036v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.28036v1\n摘要: Third medium contact provides a smooth continuum alternative to classical contact algorithms by replacing explicit contact constraints with a highly compliant fictitious medium. In this work, an auxiliary-field stabilization is introduced in which a deformation-gradient-like field is treated as an independent unknown in the third medium and coupled to the physical deformation gradient by a penalty term. A gradient contribution acting on the auxiliary field provides the regularization mechanism without requiring a direct evaluation of higher displacement derivatives. Linear and quadratic interpolation spaces are investigated, including continuous and element-wise discontinuous auxiliary-field approximations. The numerical results show that continuous low-order auxiliary fields provide an effective gradient-type stabilization of the third medium, even when the displacement field is approximated by first-order finite elements. For element-wise discontinuous auxiliary fields, the additional unknowns remain local to each element and can be eliminated locally by static condensation, so that the global system does not necessarily contain additional auxiliary degrees of freedom. Benchmark problems involving large deformation, progressive self-contact and severe third-medium compression are used to assess the formulation.\n8. 涨落纳维-斯托克斯方程的有限元方法 A Finite Element Method for Fluctuating Navier\u0026ndash;Stokes Equations\n作者: Dimitrios Gourzoulidis, Mirko Gallo, Soumaya Elkantassi, Toby Kay, Serafim Kalliadasis\n类别: cond-mat.stat-mech, math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-06-26\narXiv ID: 2606.27972v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27972v1\n摘要: We introduce a finite-element framework for simulating thermal fluctuations in compressible fluids governed by the fluctuating Navier-Stokes equations. The method is designed to preserve the fundamental fluctuation-dissipation balance at the discrete level. This is achieved by defining the stochastic forcing term in the weak formulation, ensuring its covariance is proportional to the discrete viscous dissipation operator. A nodal quadrature rule is employed to eliminate unphysical mesh-scale correlations. The time integration is performed using the Crank-Nicolson scheme to maintain numerical stability and accuracy. The proposed approach is numerically validated in one, two, and three spatial dimensions, demonstrating its capability to correctly capture equilibrium fluctuation statistics across various discretisation parameters.\n9. 一种用于高维动理学方程的动态低秩多层蒙特卡罗估计器 A Dynamical Low-rank Multilevel Monte Carlo Estimator for High-Dimensional Kinetic Equations\n作者: Chinmay Patwardhan, Sebastian Krumscheid, Jonas Kusch, Emil Løvbak, Pia Stammer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-26\narXiv ID: 2606.27888v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27888v1\n摘要: Kinetic equations are used to model a wide range of phenomena important for real-world applications. Their applications span astrophysics, nuclear physics, engineering, and social sciences. Due to their high-dimensional phase space, modelling and quantifying uncertainties, relevant for applications, poses a significant challenge even for modern computing infrastructure. In recent years, dynamical low-rank approximation (DLRA) has gained popularity for making fine grid simulations of high-dimensional problems feasible by evolving the solution of a time-dependent PDE as a low-rank factorization. This reduces the computational and memory requirements significantly. In this work, we propose a low-rank multilevel Monte Carlo estimator for kinetic equations based on a probabilistic rank-adaptive DLRA time integrator. The level hierarchy of the low-rank multilevel estimator is constructed through spatial refinement and by ensuring that the low-rank error remains below the spatial discretization error. We demonstrate the efficacy of the estimator through several numerical experiments from radiation transport, radiation therapy, and shallow water flow.\n10. 四方程模型的压力-温度平衡闭合的分析、热力学和数值求解器 Analysis, thermodynamics, and a numeric solver for a pressure-temperature equilibrium closure of the four-equation model\n作者: Bennett Clayton, Joshua McConnell, Clell Solomon\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-26\narXiv ID: 2606.27726v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27726v1\n摘要: We analyze an often used closure model for multi-material hydrodynamics where pressure temperature equilibrium (PTE) is assumed for every state; emphasis is placed on tabular equations of state. This multi-material model is often referred to as the four-equation model. The identification of the admissible set is presented and is proven to be convex, setting the foundation for development of invariant-domain methods for this model. A novel, robust, and efficient method is presented for solving the highly nonlinear system for the equilibrated pressure and temperature with an arbitrary number of materials. Additionally, we provide a detailed analysis of the thermodynamics of the mixture model for general equations of state and prove existence and uniqueness of the pressure-temperature equilibrium solution under some thermodynamic assumptions.\n11. 基于浸入张量分解 (ITD) 的几何保持降阶建模 Geometry-Preserving Reduced-Order Modeling via Immersed Tensor Decomposition (ITD)\n作者: Lei Zhang, Jiachen Guo, Guowei He, Thomas J. R. Hughes, Wing Kam Liu\n类别: math.NA, cs.CE\n发布日期: 2026-06-26\narXiv ID: 2606.27674v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27674v1\n摘要: Body-fitted finite-element methods deliver high-order accuracy but hinge on a clean, watertight, conforming mesh, a requirement that breaks down for the geometrically imperfect CAD assemblies, image-based volumetric data, and voxel-native designs that pervade biomedical engineering and additive manufacturing, where mesh generation has become the dominant cost of the analysis cycle. Immersed methods on regular background Cartesian grids sidestep body-fitted meshing, but classical implementations integrate over irregular cut subdomains, destroying the tensor-product structure that enables separable, reduced-order methods such as tensor decomposition. In this paper we propose the \\emph{Immersed Tensor Decomposition} (ITD) framework, which couples a mesh-free geometric representation via body-fitted function with the separable C-HiDeNN-TD reduced-order solver to enable large-scale simulation directly on regular background voxel meshes. The geometry is encoded in three steps: a signed-distance function represents the boundary, a body-fitted function $Φ$ approximates it with controllable error, and a low-rank Tucker decomposition provides model-order reduction; for a fixed grid spacing $h$, accuracy is improved by raising the approximation order of C-HiDeNN interpolation up to degree $p$ with a linear background mesh. The central contribution is an exact Dirichlet formulation that enforces the boundary condition strongly by multiplying the trial function with $Φ$, so that $u=g$ holds by construction without any variational penalty or interface quadrature. We establish an a priori error estimate for the formulation and assess it on canonical 2D/3D domains, demonstrating optimal convergence and robustness on non-Cartesian geometries discretized by regular voxel meshes.\n12. 基于微尺度拓扑手术的二维细丝断裂界面跟踪方法 Interface tracking with Microscale Topological Surgery for two-dimensional filament breakup\n作者: Raaghav Ramani\n类别: physics.flu-dyn, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-26\narXiv ID: 2606.27615v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27615v1\n摘要: We design and implement a Microscale Topological Surgery (MTS) algorithm to detect and enforce topological transitions in two-dimensional tracked interfaces. The method combines classical Lagrangian tracking with an intermittent topological processor that: (i) constructs Eulerian snapshots from which an interface family with microscale-resolved topology is extracted, (ii) infers adjacency topology between dual Lagrangian and Eulerian interface families, and (iii) performs interface surgery to stitch the two families together across microscale defect regions. A novel long-time nonlinear alternating-shear flow is introduced, in which repeated stretching and folding generate rich multiscale interface dynamics with filamentation at microscales. Using the MTS algorithm and a posteriori geometric and material diagnostics, we compute and visualize microscale filament-breakup dynamics. Error analysis and scaling studies demonstrate second-order geometric convergence and optimal computational scaling of the MTS algorithm, with topology-processing costs comparable to those of the underlying Lagrangian evolution. Ensemble simulations generated by pseudo-random perturbations of the flow further reveal coherent droplet size distributions and statistically robust filament-breakup dynamics.\n13. 论尺度空间度量的稳定性 On the stability of scale-space metrics\n作者: William Leeb\n类别: math.NA, cs.CV\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.27605v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27605v1\n摘要: We study the stability of a classical family of metrics defined over functions\u0026rsquo; Gaussian scale-space representations, focusing on the comparison of images (functions of two variables). These metrics have precedents both in harmonic analysis, specifically the theory of Besov spaces, and in classical methods of image processing; special cases are also known to be metrically equivalent to certain Wasserstein distances. We quantify these metrics\u0026rsquo; robustness to geometric deformations, and introduce rotationally-invariant versions that are stable to changes in angle when comparing tomographic projections. We also describe computationally efficient algorithms for evaluating the metrics from finite samples, and prove their robustness to additive noise. The results are illustrated through numerical experiments.\n14. 二维局部自适应非静压浅水方程扩展 Two-Dimensional Locally Adaptive Non-Hydrostatic Extension of Shallow Water Equations\n作者: Kemal Firdaus, Jörn Behrens\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.27562v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27562v1\n摘要: We introduce a two-dimensional non-hydrostatic model for shallow water wave dispersion. The model is based on a locally adapted application of a non-hydrostatic correction to the hydrostatic shallow water equations (SWE) in a predictor-corrector scheme. Applying the non-hydrostatic correction uniformly to the entire domain demands a high computational cost, since an elliptic system of equations needs to be solved for the correction terms. We demonstrate that by determining the area where the non-hydrostatic effects are significant, and applying the correction only locally, the computational effort can be reduced by approximately 40% without sacrificing accuracy in tsunami-like scenarios. As indicators for the non-hydrostatic effect, we use the ratio between total water depth and surface elevation, as well as horizontal velocity norms. Results are shown for several well-known test cases, including wave trains over a semi-circular shoal, static, and moving bottom tsunami-like wave propagation.\n15. 作用于 $[0,\\infty)$ 上多项式与指数增长函数的算子之 Korovkin 型定理 Korovkin type theorems for operators acting on functions of polynomial and exponential growth on $[0,\\infty)$\n作者: Ulrich Abel, Ana-Maria Acu, Margareta Heilmann, Ioan Rasa\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.27517v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27517v1\n摘要: We prove two Korovkin-type approximation theorems for sequences of positive linear operators acting on continuous functions on $[0,\\infty)$. Under the assumption of pointwise convergence on suitable test functions, we establish pointwise convergence for all functions with polynomial or exponential growth. As direct applications, we obtain convergence results for the classical Baskakov and Szász\u0026ndash;Mirakjan operators. The proposed method offers an elementary framework that can be applied to a broad class of positive linear operators.\n16. 周期区域上立方非线性薛定谔方程的算子学习 Operator Learning for Cubic Nonlinear Schrödinger Equation on Periodic Domains\n作者: Emmanuel E. Oguadimma, Victory C. Obieke, Xueying Yu\n类别: cs.LG, math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.27459v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27459v1\n摘要: We consider the cubic nonlinear Schrödinger (NLS) equation on two-dimensional flat tori with varying aspect ratios. In this formulation, the choice of aspect ratio governs the Fourier resonance structure, so rational and irrational geometries can exhibit different high-frequency cascade behaviors. We present a geometry-conditioned Fourier neural operator (FNO) for the cubic defocusing NLS equation, where the input consists of the real and imaginary parts of the solution together with the aspect-ratio parameter (ω^2). The model is trained to approximate the one-step solution operator and is evaluated on unseen trajectories generated from random-phase initial data using Fourier pseudospectral method. Our numerical experiments show that the learned operator captures the main solution dynamics on both tori and reproduces the distinct Sobolev norm behavior of the two geometries, with stronger (H^2)-growth on the rational torus and more constrained behavior on the irrational torus, consistent with the findings of \\cite{hrabski2021energy}. We perform ablation studies to examine the roles of retained Fourier modes, activation functions, Fourier-layer depth, and explicit geometry conditioning. The results indicate that including $ω^2$ improves long-time predictive accuracy, especially for the rational geometry, and supports the use of geometry-aware neural operators for learning spectral-transfer phenomena in nonlinear dispersive partial differential equations.\n17. 色散电介质中非线性随机极化分析 Analysis of Nonlinear Random Polarization in Dispersive Dielectrics\n作者: Nathan L. Gibson, Emmanuel E. Oguadimma\n类别: physics.optics, math.NA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.27445v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27445v1\n摘要: We present a study on the time-domain propagation of electromagnetic waves in dielectric materials modeled by a nonlinear Debye medium with random perturbations. Polynomial Chaos Expansions are employed to transform the random nonlinear Debye polarization model into a deterministic framework. We extend the Yee discretization to the resulting coupled system, establish second order accuracy, and verify convergence numerically. We investigate the sensitivity of nonlinear properties to uncertainty, particularly when the amplitude of the input signal is large. Given the challenges in manufacturing where uncertainties can cause optimal parameters to vary and potentially disrupt nonlinear effects, our approach incorporates these uncertainties within the simulation. This can enable the model-based design identification of realizable materials that maintain their desired effects despite variations. The findings from this study contribute to a deeper understanding of wave propagation in complex media, with potential implications for applications in optical communications, material science, and electromagnetic wave control.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-06-29_12-51-13/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年06月29日 12:51:13\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 17\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-一阶不规则立方体网格上的hp-最优dg逼近与稳健schwarz分解\"\u003e1. 一阶不规则立方体网格上的hp-最优DG逼近与稳健Schwarz分解\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003ehp-Optimal DG Approximation and Robust Schwarz Decompositions on One-Irregular Cubical Meshes\u003c/p\u003e","title":"2026年06月29日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年06月26日 06:41:08\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 2\n不相关论文数量: 25\n重点关注论文（完整分析） 1. 拟线性非单调椭圆方程的自适应迭代数值均匀化方法 Adaptive Iterative Numerical Homogenization for Quasilinear Nonmonotone Elliptic PDE\n作者: Maher Khrais, Barbara Verfürth\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.27256v1\n摘要翻译: 我们提出并分析了一种自适应迭代数值均匀化方法，用于逼近一类具有多尺度性质的拟线性非单调椭圆问题的解。该方法基于局部正交分解（LOD）技术，将其应用于Kačanov迭代每一步中的线性问题。在该方法中，多尺度基函数在每次迭代中自适应地重新计算，并利用更新后的多尺度空间求解一个线性问题，在这两个步骤中，非线性项均使用前一次迭代的近似值进行计算。作为所提方法的一个关键组成部分，我们提出了一个局部可计算的误差指示子，它在每次迭代中识别需要更新的基函数，同时尽可能保留先前计算出的基函数。我们给出了先验误差估计，并证明了该方法的收敛性，仅要求右端项具有更高的可积性，而不要求解本身具有更高的可微性。此外，我们讨论了如何在Newton迭代法的框架下调整所提出的自适应迭代LOD方法。数值实验验证了理论并证实了所提方法的适用性。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27256v1\n1. 研究对象和背景 本文研究一类具有多尺度特征的拟线性非单调椭圆型偏微分方程的数值均匀化方法。模型问题为：在 Lipschitz 区域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d, d\\leq 3$ 上，求 $u$ 满足 $$\\begin{cases} -\\nabla\\cdot(\\alpha(x,u)\\nabla u) = f, \u0026 x\\in\\Omega, \\\\ u=0, \u0026 x\\in\\partial\\Omega, \\end{cases}$$ 其中右端项 $f\\in L^2(\\Omega)$，系数 $\\alpha(x,s)$ 关于空间变量 $x$ 高度振荡、强非均匀，关于第二个变量 $s$ 满足一致 Lipschitz 连续条件及一致椭圆性与有界性： $$|\\alpha(x,s_1)-\\alpha(x,s_2)|\\le L_c|s_1-s_2|,\\quad \\lambda|\\psi|^2\\le\\alpha(x,s)\\psi\\cdot\\psi\\le \\Lambda|\\psi|^2,\\quad\\forall x\\in\\Omega,s_1,s_2\\in\\mathbb{R},\\psi\\in\\mathbb{R}^d.$$ 这类方程广泛描述非饱和多孔介质流（Richards 方程）、复合热传导以及多种非线性物理过程。弱形式化为求 $u\\in H^1_0(\\Omega)$ 满足 $$A(u;u,v)=F(v),\\quad\\forall v\\in H^1_0(\\Omega),$$ 其中 $A(z;u,v):=\\int_\\Omega\\alpha(x,z)\\nabla u\\cdot\\nabla v\\,dx$，$F(v):=\\int_\\Omega fv\\,dx$。在上述假设下，问题 (5) 的解存在唯一（见 [13,26]）。\n传统有限元方法要求网格尺寸 $H$ 充分小以分辨系数 $\\alpha$ 的微观变化，导致大规模代数系统，计算代价巨大。数值均匀化方法旨在通过构造包含细尺度信息的多尺度基函数，在粗网格 $V_H$ 上获得高精度的宏观近似。局部正交分解（LOD）方法是其中一类重要途径，它通过正交分解将细尺度空间 $W=\\ker I_H$ 的补空间 (1−Qϕ)V_H 作为近似空间，其中 $Q_\\phi$ 为基于线性化点 $\\phi$ 的椭圓性修正算子，求解局部问题得到。对于非线性问题，LOD 已被用于单调和非单调拟线性方程 [33,46]，但这些工作仅构造一次多尺度空间（基于初始线性化点 $\\phi$），随后在该固定空间中迭代求解全局非线性离散问题。数值实验显示，若 $\\phi$ 选择不当，可能无法恢复对网格尺寸 $H$ 的一阶收敛；然而若将第一次 LOD 解作为新的线性化点重新构造空间，则最优收敛得以恢复。这启发迭代更新空间的思路，然而反复构造全局修正问题将带来不可忽视的计算开销。\n本文试图填补这一空白：提出并分析一种自适应迭代 LOD 方法，在每一步 Kacanov 迭代中根据当前近似解 $u^n_H$ 更新多尺度空间 $(1-Q_{u^n_H})V_H$，并在此更新空间中求解线性化的全局问题，从而避免依赖固定线性化点。同时，为了降低反复构造空间的成本，引入基于局部可计算误差指示器的自适应策略，仅对需要更新的基函数重新计算细尺度修正，保留仍满足精度要求的原有修正基。理论分析表明，仅需右端项 $f$ 具有稍高的可积性（2D 要求 $f\\in L^{2+\\epsilon}$，1D 无额外要求），而不需要解本身的高阶可微性或系数的光滑性，该方法就能在收缩常数 $\\nu\u003c1$ 的条件下保证迭代解的线性收敛，且最终误差具有对 $H$ 的最优阶 $O(H)$。对于 3D，在 $f\\in L^3$ 且系数对比度受限时（$C_P(1-\\lambda/\\Lambda)\u003c1$），同样结论成立。本文进一步讨论了如何将该自适应迭代框架与 Newton 迭代结合，并通过数值实验验证了理论。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要理论结果是关于迭代 LOD 方法的先验误差估计与收敛性（定理 4）。记 $\\{u^n\\}_{n\\ge 0}$ 为由连续 Kacanov 迭代 (7) 产生的弱解序列，即 $u^n\\in H^1_0(\\Omega)$ 满足 $A(u^{n-1};u^n,v)=F(v),\\forall v\\in H^1_0$；记 $\\{u^n_H\\}_{n\\ge 0}$ 为算法 1 得到的迭代 LOD 逼近解，其中 $u^n_H\\in (1-Q_{u^{n-1}_H})V_H$。初始近似 $u^0_H\\in H^1_0$ 取为 $\\phi$，并满足 $|u^0-\\phi|_1\\le C_0 H$（例如取 $\\phi=u^0$）。在 2D 情形下，假设 $f\\in L^{2+\\epsilon}(\\Omega),\\epsilon\u003e0$，定义收缩常数 $$\\nu:=\\frac{L_c c_{2+\\epsilon}C_{q,\\Omega}\\|f\\|_{L^{2+\\epsilon}}}{\\lambda},$$ 其中 $c_{2+\\epsilon}$ 是由辅助线性问题 (6) 的 $W^{1,2+\\epsilon}$ 稳定性估计 (15) 给出的常数，$C_{q,\\Omega}$ 为 $H^1_0$ 嵌入 $L^q$ 的常数（$q=2(2+\\epsilon)/\\epsilon$）。若 $\\nu\u003c1$，则迭代 Kaˇ kanov 弱解 $u^n$ 收敛于原问题真解 $u$，且对任意 $n\\ge 0$ 有如下误差估计： $$|u^n-u^n_H|_1\\le \\nu^n|u^0_H-u^0|_1+\\frac{1}{1-\\nu}\\frac{C_{\\mathrm{proj}}}{\\lambda} H\\|f\\|_0.$$ 在 1D 情形可视为 $\\epsilon=0$，此时 $f\\in L^2$ 即足，嵌入 $H^1_0\\hookrightarrow L^\\infty$，类似估计成立。在 3D 情形，若 $f\\in L^3(\\Omega)$ 且系数对比度满足 $C_P(1-\\lambda/\\Lambda)\u003c1$（见命题 2），则收缩常数重新定义为 $$\\nu:=\\frac{L_c c_3 C_{6,\\Omega}\\|f\\|_{L^3}}{\\lambda},$$ 并假设 $\\nu\u003c1$，相同的收敛性与误差估计仍成立。\n对于自适应迭代 LOD 方法（第 5 节），作者宣称在适当的局部化处理和自适应更新条件下，类似的最优收敛阶可以被保持，但由于所提供的文本未包含完整的自适应算法误差分析定理，具体误差界形式尚无法从当前内容中精确提取。引理 1 给出线性辅助问题的标准 LOD 误差：对任意 $\\phi$，有 $|u_\\phi-u_{\\phi,H}|_1\\le \\frac{C_{\\mathrm{proj}} H}{\\lambda}\\|f\\|_0$，该估计独立于 $\\phi$，是后续分析的基础。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术障碍在于处理不同迭代步之间的非线性项，特别是形如 $\\|(\\alpha(x,u^{n-1}_H)-\\alpha(x,u^{n-1}))\\nabla u^n\\|_0$ 的估计，其中 $\\nabla u^n$ 在标准假设下仅属于 $L^2$，不足以直接应用系数的 Lipschitz 连续性吸收 $\\|u^{n-1}_H-u^{n-1}\\|$ 因子。作者的关键创新是通过对右端项 $f$ 附加更高的可积性条件（$f\\in L^{2+\\epsilon}$ 或 $f\\in L^3$），借助扩散椭圆方程的 $W^{1,p}$ 稳定性理论（命题 2），证明线性化辅助问题的解 $u_\\phi$ 的梯度具有提升的可积性：$\\nabla u_\\phi\\in L^{2+\\epsilon}$（2D）或 $L^3$（3D）。此结论依赖于 [9] 中使用扰动参数建立的推广 Meyers 类型估计，不要求系数 $\\alpha$ 的光滑性，仅涉及 $\\alpha$ 的 $L^\\infty$ 有界性和对比度条件。结合 Sobolev 嵌入 $H^1_0\\hookrightarrow L^q$，选取合适的指数对，利用 Hölder 不等式得出 $$\\|(\\alpha(x,u^{n-1}_H)-\\alpha(x,u^{n-1}))\\nabla u^n\\|_0\\le L_c c_{p} C_{q,\\Omega}\\|f\\|_{L^p}|u^{n-1}_H-u^{n-1}|_1,$$ 其中 $p=2+\\epsilon$ 或 $3$，$q=2p/(p-2)$。这一估计将非线性误差转化为前一迭代误差的倍数，从而构造出收缩映射。\n证明框架采用固定点论证。关键分解为 $$|u^n-u^n_H|_1\\le |u^n-w^n|_1 + |w^n-u^n_H|_1,$$ 其中 $w^n$ 是以 $u^{n-1}_H$ 为线性化点的辅助问题 (6) 的弱解，即满足 $A(u^{n-1}_H; w^n,v)=F(v)$。对于右端第二项，直接应用引理 1（线性 LOD 误差估计），得到 $|w^n-u^n_H|_1\\le \\frac{C_{\\mathrm{proj}}}{\\lambda} H\\|f\\|_0$。对于第一项，借助椭圆性、系数的 Lipschitz 性质以及上述提高的正则性，推出 $$\\lambda|u^n-w^n|_1^2\\le A(u^{n-1};u^n-w^n,u^n-w^n) = \\big((\\alpha(u^{n-1}_H)-\\alpha(u^{n-1}))\\nabla w^n,\\nabla(u^n-w^n)\\big) \\le \\lambda\\nu|u^{n-1}_H-u^{n-1}|_1|u^n-w^n|_1.$$ 化简即得递推关系 $|u^n-w^n|_1\\le \\nu|u^{n-1}_H-u^{n-1}|_1$。至此由归纳法导出几何衰减和最终的误差界 (21)。常数 $\\nu\u003c1$ 的要求为小数据条件，保证了迭代收敛。\n自适应策略的实现依赖于局部化修正问题和局部误差指示器。局部化遵循 LOD 标准截断技巧：将区域上的修正限制在 $k$ 层邻域内，利用指数衰减性质控制截断误差。局部误差指示器设计用于比较当前迭代与前一迭代中对应基函数的局部残量，仅标记和更新那些超出给定容限的基函数修正。该方法借鉴了 [24,25] 中线性 LOD 的自适应思想和 [37] 中非线性 Helmholtz 方程的迭代自适应方法，但将其推广到拟线性情形，且需确保整个迭代过程的误差累积可控。完整的自适应误差分析在第 5 节给出，其核心在于证明自适应更新不会破坏整体 $O(H)$ 收敛阶，并保持与标准迭代 LOD 可比的精度。\n4. 与之前工作的比较 基于以上分析，本文在数值均匀化领域针对拟线性非单调问题开辟了迭代 LOD 方向，并通过自适应机制使之在计算上更可行，其理论创新在于将高阶可积性条件引入多尺度误差分析，推进了 LOD 方法在低正则非线性问题中能够达到最优收敛的理论保证。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. Irksome 中的自动化 Galerkin 时间步进 Automated Galerkin time stepping in Irksome\n作者: Boris D. Andrews, Pablo Brubeck, Patrick E. Farrell, Robert C. Kirby, Scott P. MacLachlan\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.27300v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27300v1\n摘要翻译 中文标题: Irksome 中的自动化 Galerkin 时间步进\n摘要翻译: 随着时、空离散方案研究的不断推进，近期工作集中于 Galerkin 时间离散方案，这类方案能够实现比已知 Runge-Kutta 积分器更广泛的结构保持。尽管此类离散化的前景巨大，但迄今为止其实现通常依赖于定制化的代码，限制了更广泛的使用。本文在 Irksome 中针对半离散变分问题，提出了间断 Galerkin 和连续 Petrov-Galerkin 时间步进的自动化实现。该实现支持辅助变量、灵活的时间积分以及整体代数求解器，并允许用户在 Runge-Kutta 和 Galerkin 时间形式之间切换，而对用户代码的改动极小。数值算例展示了代表性偏微分方程系统的精度、求解器性能和结构保持性。\n2. 不依赖TVD时间离散的间断Galerkin方法的TVD与TVB保持 TVD and TVB preservation without TVD time discretization for discontinuous Galerkin methods\n作者: Ziyao Xu, Zheng Sun\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.26692v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.26692v1\n摘要翻译 中文标题: 不依赖TVD时间离散的间断Galerkin方法的TVD与TVB保持\n摘要翻译: 全变差下降(TVD)和全变差有界(TVB)性质对于控制守恒律数值解中的非物理振荡至关重要。在经典的Runge\u0026ndash;Kutta (RK) 间断Galerkin (DG)框架中，强制这些性质内在地依赖于TVD时间积分器，后者如今更常被称为强稳定保持(SSP)方法。这种依赖施加了严格的结构限制，包括阶障碍以及与各种全离散DG格式的不兼容性，这些格式涵盖从最近具有紧致模板的RKDG方法(cRKDG)到广泛建立的任意导数(ADER) DG方法。为了绕过这些约束，我们提出了一个新颖的迹限制校正子框架，该框架使用通用的非SSP时间步进保持均值意义下的TVD/TVB性质。基于Harten引理，我们的核心见解是全变差稳定性仅由最终校正阶段中的单元平均值更新所决定。因此，我们仅在最终阶段修改数值通量中的迹，而让中间的预测步阶段不受约束。这一策略将振荡控制与SSP限制解耦，兼容标准RKDG、cRKDG和ADER-DG预测步，并保留了cRKDG框架的紧致性。我们还证明限制器在光滑区域不会被激活，从而保持了本来的精度。最后，给出数值实验以展示该方法的能力和鲁棒性。\n不相关论文（基本信息） 1. 误差条件神经求解器 Error-Conditioned Neural Solvers\n作者: Haina Jiang, Liam Wang, Peng-Chen Chen, Min Seop Kwak, Seungryong Kim, Brian Bell, Jeong Joon Park\n类别: cs.LG, cs.AI, cs.CV, math.NA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.27354v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27354v1\n摘要: Neural surrogate models offer fast approximate mappings from PDE parameters to solutions, but they typically treat solving as a purely statistical task: once trained, they struggle to correct their own constraint violations and extrapolate beyond the training distribution. Recent hybrid methods promote physical correctness by targeting the PDE residual via gradient descent or Gauss\u0026ndash;Newton steps, but inherit the compute cost and instability of the underlying classical optimizers. We show, theoretically and empirically, that numerically minimizing the PDE residual can be an unreliable proxy for reconstruction accuracy in ill-conditioned systems, explaining why these methods often do not make accurate predictions despite achieving low residuals. We propose error-conditioned Neural Solvers (ENS), built on a different principle: rather than an optimization target, the PDE residual field is passed as a direct input to the network at each iteration, enabling it to read the spatial structure of its own errors and learn an update policy to iteratively correct its predictions. Across four PDE families, ENS attains the highest prediction accuracy in the large majority of settings, with gains reaching $10\\times$ on turbulent Kolmogorov flow, while avoiding the expensive compute cost of hybrid methods. ENS\u0026rsquo;s learned correction policy generalizes under distribution shift, including zero-shot parameter changes and cross-equation transfer, where its relative advantage is largest in the ill-conditioned regimes where residual minimization is least reliable. Project website: https://neuralsolver.github.io/.\n2. 时间依赖模型中美式期权与灵活远期合约的定价 Valuing American options and Flexible Forwards contracts in time-dependent models\n作者: Leif Andersen, Andrey Itkin, Rakhymzhan Kazbek\n类别: q-fin.CP, math.NA, q-fin.MF, q-fin.PR\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.27335v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27335v1\n摘要: A flexible forward (FF) is a customized FX hedging instrument that guarantees a fixed exchange rate while letting the holder choose the delivery date within a pre-agreed window. It is therefore an American-style option on timing, and its valuation must respect the volatility skew of the underlying currency pair. We price FF contracts (and, more generally, American options) under a time-inhomogeneous Heston model which captures the forward-skew term structure while preserving analytical tractability through a recursive (matrix) Riccati solution for the joint characteristic function. Extending the integral-equation (decomposition) approach to time-dependent coefficients, we derive a Volterra equation characterizing the early-exercise surface. The expectation in the decomposition formula is evaluated by two complementary spectral methods: a double cosine (COS) expansion of the transition density, and a damped-Sinc (DSINC) local-basis scheme that is more accurate and stays robust when a low Feller ratio or large vol-of-vol induces Gibbs oscillations in the COS series. Benchmarked against a penalty-iteration MCS-ADI finite-difference solver, both methods price a contract in about 1-2 seconds, roughly an order of magnitude faster than the finest finite-difference grid, while DSINC improves median accuracy over COS by about a factor of twelve. The experiments also show that the early-exercise surface is a substantially nonlinear function of the variance, contrary to the linear-in-variance approximation common in earlier work.\n3. 一种模拟一维粘性扩散的修正Euler-Maruyama方法 A modified Euler-Maruyama method to simulate a one-dimensional sticky diffusion\n作者: Chenqi Jiang, Miranda Holmes-Cerfon\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.27259v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27259v1\n摘要: A sticky diffusion is a process that can stick to and detach from a lower-dimensional boundary. A challenge in simulating such a process is in capturing the change in dimension in a dynamically consistent way. We introduce a numerical algorithm to simulate a one-dimensional sticky diffusion, which sticks to and detaches from a point. Our method is a simple modification of the standard Euler-Maruyama scheme, which chooses with some probability between a reflected Euler-Maruyama update and a jump to the sticky point. We show how to choose this probability to be consistent with the generator of the desired dynamics, and we prove that our scheme converges weakly to a sticky diffusion with order 1.\n4. 为实数线上抛物型微分方程的解提供快速收敛的切尔诺夫近似的拟费曼公式 Quasi-Feynman formulas that provide fast converging Chernoff approximations to solution of parabolic differential equation on the real line\n作者: Ivan D. Remizov, Alexandr V. Vedenin\n类别: math.NA, math.FA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.27232v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27232v1\n摘要: We construct explicit approximations to the solution of a second-order parabolic partial differential equation on the real line with variable coefficients. The method is based on Chernoff\u0026rsquo;s product formula and uses a new operator-valued function defined through proper Riemann integrals over a bounded interval, which makes the approach readily usable in numerical practice. For sufficiently smooth initial data and coefficients, we prove that the resulting Chernoff approximations converge uniformly in space and time with a quadratic rate, improving the standard first-order estimate. The construction yields a new class of quasi-Feynman formulas that are neither grid-based nor Galerkin-type, but instead rely on semigroup theory and multiple bounded integrals. The theoretical findings are validated by symbolic computation, and the paper contributes both refined error bounds and a practical analytical tool for parabolic problems.\n5. 分层Muon：用于高效Muon优化的分块Newton-Schulz更新 Hierarchical Muon: Tiled Newton-Schulz Updates for Efficient Muon Optimization\n作者: Ziyuan Tang, Tianshi Xu, Yousef Saad, Yuanzhe Xi\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.27216v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27216v1\n摘要: Muon-type optimizers construct update directions for dense neural-network weights by applying a finite Newton-Schulz map to momentum-gradient matrices. For an $H \\times W$ matrix, with $r=\\min\\{H,W\\}$ and $s=\\max\\{H,W\\}$, $K$ steps of the full-matrix Newton-Schulz update require $O(r^2 s K)$ work and couple all rows and columns through repeated Gram matrix products. We introduce Hierarchical Muon (HiMuon), a tiled Newton-Schulz scheme for Muon-type optimization. HiMuon partitions each momentum-gradient matrix into $T \\times T$ tiles, applies the same finite Newton-Schulz map independently to each tile, and reassembles the results. For finite $T$ below the matrix dimensions, HiMuon defines a local matrix-function map rather than a convergent approximation to the full-matrix update: spectral interactions are preserved within tiles and discarded across tile boundaries. For fixed finite $T$, the leading Newton-Schulz work decreases to $O(H W T K)$, and the computation decomposes into independent small dense matrix operations. This structure enables tile-size-dependent GPU kernels, cross-layer batching, memory-bounded chunking, and runtime tile-size schedules. Experiments on transformer training and controlled matrix-function diagnostics show that HiMuon improves optimizer-step efficiency while keeping training behavior close to full-matrix Muon in the tested regimes.\n6. 路径依赖McKean-Vlasov控制的数值逼近与非渐近误差估计 Numerical Approximation for Path-Dependent McKean-Vlasov Control with Non-Asymptotic Error Estimates\n作者: Olivier Bokanowski, Jean-Francois Chassagneux, Xinyu Li, Christoph Reisinger\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.27181v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27181v1\n摘要: Path-dependent McKean\u0026ndash;Vlasov (MKV) control models large interacting populations with history-dependent dynamics and costs. This paper develops a unified approximation-and-learning framework for continuous time path-dependent MKV problem under open-loop controls. First, an Euler discretization scheme with piecewise-constant controls is shown to achieve a non-asymptotic error of $O(h^{1/4})$. Second, we establish a discrete dynamic programming principle and prove value equivalence between open-loop and history-dependent feedback controls, enabling optimization on a reduced filtration. Third, an interacting particle system is introduced to approximate the continuous-time value, yielding an overall error bound of $O(h^{1/4}) + O(M^{-γ})$ for $M$ particles and an explicitly given $γ\u003e 0$. Finally, we propose a fully implementable neural-network policy-gradient method using pathwise features. Numerical experiments, including a path-dependent linear-quadratic benchmark, demonstrate the effectiveness of the algorithm.\n7. De la Vallée Poussin型逼近求解某些弗雷德霍姆积分方程 De la Vallée Poussin type approximation for solving some Fredholm integral equations\n作者: Domenico Mezzanotte, Donatella Occorsio, Mario Pezzella, Woula Themistoclakis\n类别: math.NA, math.FA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.27178v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27178v1\n摘要: In the present paper, we introduce a numerical method for second-kind Fredholm integral equations (FIEs) based on de la Vallée Poussin-type (VP) polynomial approximations at Jacobi zeros. This class of approximations offers several advantages over classical Lagrange interpolation at the same nodes. In particular, it guarantees uniformly bounded Lebesgue constants in suitable weighted function spaces and provides near-best uniform approximation for functions in these spaces, while also significantly mitigating the Gibbs phenomenon. We show how these properties can be exploited in the numerical solution of FIEs. In particular, the proposed approach effectively handles functions with possible algebraic endpoint singularities and kernel functions featuring weak singularities or highly oscillatory behavior. Under suitable assumptions, we prove stability and convergence of the method in weighted uniform spaces. Furthermore, we develop an efficient implementation based on the solution of a well-conditioned linear system. Numerical results confirm the theoretical error estimates and show that the proposed method achieves higher local accuracy than the corresponding Lagrange-based projection method.\n8. 关于基于微分强度测量的傅里叶相位恢复及其在波前传感中的应用 On Fourier Phase Retrieval from Differential Intensity Measurements with Applications to Wavefront Sensing\n作者: Simon Hubmer, Lukas Weissinger, Ronny Ramlau, Otmar Scherzer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.27176v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27176v1\n摘要: In this paper, we consider Fourier phase retrieval from differential intensity measurements, i.e., the problem of determining the phase of a complex-valued function from a series of intensity measurements differing only by slight modulations in Fourier domain. These modulations may be induced by optical elements such as prisms or phase plates, or via spatial-light modulators. Generalizing the principles behind the transport of intensity equation, we show that given such differential intensity measurements, the phase can be determined as the solution of certain partial differential or integro-differential equations. This is then used to design efficient reconstruction algorithms for a number of Fourier-type wavefront sensors, such as the pyramid wavefront sensor, commonly used in adaptive optics. Numerical experiments illustrate the usefulness of our proposed approach.\n9. DMK 框架下矩形长方体上带任意周期性的快速求和 Fast summation on rectangular cuboids with arbitrary periodicity in the DMK framework\n作者: David Krantz, Ludvig af Klinteberg, Anna-Karin Tornberg\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.27134v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27134v1\n摘要: Dual-space multilevel kernel-splitting (DMK) is a fast summation framework that combines ideas from the fast multipole method, Ewald summation, and multilevel summation. Originally formulated for free-space problems, and later extended to fully periodic problems on a cube, it decomposes the kernel interaction into a smooth global contribution and a hierarchy of localized interactions evaluated on an octree. We extend DMK to problems on rectangular cuboids with periodic boundary conditions in one, two, or three coordinate directions. The periodization leverages the fact that interactions on all tree levels below the root are localized, allowing for their evaluation with minimal modification on a cubical tiling of the domain. The remaining smooth root-level far-field contribution is evaluated in Fourier space, with Fourier series in the periodic directions and Fourier integrals in the free directions. For reduced periodicity, truncated kernels are used to regularize singular and near-singular Fourier kernels, yielding rapidly convergent trapezoidal discretizations and a unified treatment of all periodicities. For large-aspect-ratio cuboids, the root-level sum can be accelerated using the fast Fourier transform. We validate the method for the electrostatic potential and Stokeslet, stresslet and rotlet potentials, for all periodicities and a wide range of aspect ratios. Numerical experiments show that the periodization adds only a small overhead to the original free-space DMK algorithm, also for high-aspect-ratio cuboids. The resulting method provides a framework for applying DMK to problems with mixed periodicity on rectangular cuboids, and extends naturally to other non-oscillatory kernels for which a kernel split is available.\n10. 用于相对论爆轰波的任意拉格朗日-欧拉求解器 An Arbitrary-Lagrangian-Eulerian solver for relativistic detonation waves\n作者: Sara Rinaldi, Olindo Zanotti, Michael Dumbser\n类别: math.NA, gr-qc, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.27113v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.27113v1\n摘要: In this paper we study the dynamics of relativistic detonation waves theoretically and numerically. The reaction is physically accounted for by an extra term in the definition of the total energy density and by an additional equation for the evolution of the mass fraction of the reactant, while leaving formally unmodified the equations of mass and energy-momentum conservation. In this way, the Rankine-Hugoniot relations maintain the same formal structure of the inert version. For the numerical solution we use a second order finite volume ALE scheme with TVD reconstruction, where the mesh velocity is chosen equal to the shock speed. We also adopt a locally implicit algorithm for the treatment of potentially stiff reaction source terms that arise in the equation of the reactant. We furthermore propose a particularly efficient algorithm for the conversion from the conserved to the primitive variables, which for the relativistic Euler equations is known to be nontrivial. Following this approach, we can successfully solve the Zel\u0026rsquo;dovich-von Neumann-Doering profile of a relativistsic detonation wave, up to Lorentz factors of the shock front $γ_S\\sim 7$. Our analysis allowed us to highlight a new special relativistic effect, which has remained unnoticed so far. While in Newtonian detonations the Zel\u0026rsquo;dovich pressure jump decreases monotonically with the mass flux through the shock front, in the relativistic case it shows a minimum and then rises monotonically as a function of the mass flux. This may have interesting physical implications on the amount of energy that can be extracted from a relativistic detonation wave.\n11. 整体多方差分解：在低秩张量近似中自适应模态间相互关系 Holistic Multivariance Decomposition: Adapting Mode Interrelations in Low-Rank Tensor Approximations\n作者: Süha Tuna\n类别: cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.26965v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.26965v1\n摘要: Low-rank tensor approximation is a foundational tool for multidimensional data analysis in scientific computing, classically dominated by Tucker and Canonical Polyadic (CP) decompositions. While widely adopted, these standard approximation schemes represent data as sums of rank-1 tensors formed via mode-wise outer products. This inherent mathematical structure captures the independent variations of individual modes but systematically neglects the mutual interactions and coupled dimensional interdependencies natively embedded within the tensor. To overcome this structural limitation, we introduce the Holistic Multivariance Decomposition (HMD) framework. HMD provides a novel tensor decomposition algorithm that explicitly models both isolated mode effects and higher order mutual relationships through specialized projection operators. Numerical evaluations focusing on three distinct benchmarks from various fields demonstrate that the proposed HMD framework consistently yields significantly lower reconstruction errors compared to both Tucker and CP decomposition. These results establish HMD as a robust, high fidelity computational method for resolving complex, deeply coupled multidimensional data structures in science and engineering applications.\n12. 求解拟可分矩阵的位移系统 Solving Shifted Systems for Quasiseparable Matrices\n作者: Luca Gemignani\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.26952v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.26952v1\n摘要: In this paper we develop fast numerical algorithms for solving shifted linear systems with semidefinite quasiseparable matrices. A combination of Givens and hyperbolic plane rotations is used to update the Cholesky-type factorization of the input quasiseparable matrix by determining a factorization of its shifted version of the form $LDL^T$, where $L$ is lower triangular and $D$ is a signature matrix. If the shifted matrix is also definite then the Cholesky factorization of the shifted matrix is computed in a stable way by using orthogonal transformations. Since quasiseparability is maintained under diagonal shifting, a fast variant of the updating procedure using computations with generators is also devised. Numerical experiments show the effectiveness and robustness of the proposed algorithm.\n13. 从流式TT格式数据增量压缩张量火车：在降阶建模中的应用 Incremental Tensor-Train Compression from Streaming TT-Formatted Data: Applications to Reduced-Order Modeling\n作者: Wei Guo, Zhichao Peng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.26900v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.26900v1\n摘要: High-dimensional tensor data streams arise naturally in scientific and engineering applications, such as simulations of kinetic equations and quantum systems, where samples become available sequentially and are often already represented in compressed low-rank tensor formats. Existing streaming tensor-train (TT) algorithms typically construct or update representations from dense tensor data or randomized sketches. However, when high-dimensional data are generated directly in TT or related low-rank formats, reconstructing dense tensors solely for the purpose of compression is unnecessary and computationally prohibitive. We develop a deterministic incremental TT compression algorithm that operates directly on streaming TT-formatted data. Given a new TT tensor, the proposed method updates an accumulated TT representation through core-wise projection, residual orthogonalization, and adaptive enrichment, retaining only the complementary information that cannot be represented within a prescribed tolerance. By operating entirely at the level of TT cores, the algorithm avoids reconstructing either the incoming tensor or the accumulated full tensor. We establish approximation error bounds for the proposed incremental approach. Moreover, we show that the accumulated TT representation corresponds to a compressed analogue of standard proper orthogonal decomposition for full-order snapshot data, enabling reduced-order models to be constructed directly from streaming low-rank solution data through operations on TT cores, without first reconstructing full snapshots. Numerical experiments on parametric radiative transfer equations demonstrate that the proposed method achieves comparable reconstruction accuracy with substantially reduced wall time and yields efficient and accurate ROMs directly from compressed low-rank data.\n14. 使用SamAdams变时间步长和位置自适应朗之万动力学的加速采样 Accelerated sampling using SamAdams variable timesteps and position-adaptive Langevin dynamics\n作者: Benedict Leimkuhler, Peter A. Whalley\n类别: math.NA, cs.LG, stat.CO\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.26881v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.26881v1\n摘要: We introduce an accelerated Langevin-based sampling method that is based on two complementary devices: \\emph{SamAdams} adaptive timestepping, which automatically shrinks the effective integration step in stiff regions of phase space using a relaxed stiffness monitor, and \\emph{position-adaptive Langevin} (PAL) dynamics, which concentrates friction along the local force direction while preserving the canonical distribution as the exact invariant measure. The resulting combined scheme (SA-PAL) is implemented in a palindromic integrator which requires only one force evaluation per iteration through suitable organisation of the integration steps and by exploiting the rank-one-plus-scalar structure of the PAL friction tensor. We test the method on various model problems: the Rosenbrock function, a thin entropic channel, the Mueller-Brown potential, and a Bayesian parameterisation problem with a sparsity-inducing shrinkage prior. On the Rosenbrock and Mueller-Brown potentials mixing rates are improved by 1.5-3 times compared to fixed stepsize integration. Efficiency gains of more than an order of magnitude are documented in the other examples.\n15. 位移单调性下一阶平均场博弈的数值分析 Numerical analysis of first-order mean field games under displacement monotonicity\n作者: Alpár R. Mészáros, Yohance A. P. Osborne\n类别: math.NA, math.AP, math.OC\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.26853v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.26853v1\n摘要: We introduce a particle method for the numerical approximation of time-dependent first-order Mean Field Games (MFGs) systems with non-separable, displacement monotone Hamiltonians and terminal costs, for arbitrary time-horizons and (possibly) singular initial player distributions in $\\mathcal{P}_2(\\mathbb{R}^d)$. The numerical scheme is based on an implicit Euler discretization in time and sampling in space of the characteristic Hamiltonian/Pontryagin system associated with the continuous MFGs system. We prove convergence of the approximations of the player distribution in the $L^{\\infty}(\\mathcal{W}_2)$-metric and the approximations for the gradient of the value function along optimal trajectories in the $L^{\\infty}{(L^2)}$-norm as the number of spatial samples tends to infinity jointly with the temporal time-step vanishing. The error bound that we establish for this convergence further implies rates of convergence of the scheme for a range of spatial sampling techniques. Provided that the Lagrangian and terminal costs are additionally locally Lipschitz continuous, we also establish an asymptotic error bound in the $L^{\\infty}(L^1)$-norm for the approximations of the value function along optimal trajectories. This is the first work in the literature on rigorous numerical approximation and analysis of first-order MFG systems that handles non-separable Hamiltonians and potentially singular initial agent distributions for arbitrary long time horizons. We illustrate the performance of the scheme in numerical experiments for a range of initial agent distributions, time horizons and space dimensions.\n16. 伪谱计算中的奇异子空间与投影子空间重用 Recycling singular and projection subspaces for pseudospectra computation\n作者: Kuan Deng, Kuan Xu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.26785v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.26785v1\n摘要: Computing matrix pseudospectra over a prescribed region requires evaluating the smallest singular value of $C-zI$ at a large number of grid points, which can be prohibitively expensive for large-scale matrices. We develop a recycling-based framework for accelerating such computations for both dense and sparse matrices. The main idea is to exploit the correlation between singular value problems at neighboring grid points by adaptively recycling singular subspaces computed at previously visited points by an iterative SVD solver. We develop fast Rayleigh-Ritz-SVD procedures for extracting Ritz singular pairs from the recycled singular subspaces, together with fast residual evaluation procedures, with an overall cost that scales linearly with the number of recycled samples. When the iterative SVD solver admits preconditioning, we propose using a two-level preconditioner whose projection subspaces are recycled. Numerical experiments demonstrate that the proposed recycling strategies yield substantial speedups over existing methods while maintaining the accuracy of the computed pseudospectra.\n17. 巴拿赫空间中度量广义逆的正则化与二分现象 Regularization of the metric generalized inverse in Banach spaces and the dichotomy phenomenon\n作者: Peter Mathé, Bernd Hofmann\n类别: math.NA, math.FA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.26730v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.26730v1\n摘要: For a bounded linear operator acting between Banach spaces, its metric generalized inverse is the analog to the prominent Moore-Penrose inverse for operators acting between Hilbert spaces. This generalized inverse is well-defined for Banach spaces that are strictly convex and reflexive. Previous studies had been restricted to closed range situations, where the metric generalized inverse constitutes a continuous homogeneous mapping. The focus of the present study is on the ill-posed situation in the sense of Nashed, when the governing operator has a non-closed range. We define and analyze iterative schemes as the Landweber and the Schulz-Newton method, as well as parametric schemes with focus on a specific Tikhonov method. Both types are called regularizations aimed at approximating the metric generalized inverse. As a fundamental feature of such schemes we observe a dichotomy. This emphasizes that these schemes, when applied to elements of the domain of the metric generalized inverse, approximate the corresponding best approximate solutions well, whereas the resulting approximations will be asymptotically unbounded if they are applied to elements that do not belong to the domain of the metric generalized inverse.\n18. 深度学习的算法基础：复杂度理论速率与通用逼近的刻画 Algorithmic Foundations of Deep Learning: Complexity-Theoretic Rates and a Characterization of Universal Approximation\n作者: Anastasis Kratsios, Simone Brugiapaglia, Bum Jun Kim, Gregory Cousins, Haitz Sáez de Ocáriz Borde\n类别: cs.LG, cs.AI, cs.LO, math.NA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.26705v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.26705v1\n摘要: Feedforward neural network (NN) expressivity is typically studied by emulating optimal basis-expansion schemes. While powerful, this perspective is incomplete: it primarily captures complexity through regularity, and therefore does not distinguish intuitively simple and complicated objects with comparable regularity, such as the square-root function and a typical Brownian path. The guiding message is that neural networks should be viewed not only as flexible basis functions, but also as models of computation. If a function is computable by a real-valued circuit over a prescribed elementary gate language, then it can be computed to comparable accuracy by an NN with explicit depth, width, and non-zero-parameter bounds controlled by the depth, width, gate count, and gate structure. Thus, neural-network complexity is not governed by regularity alone, but also by algorithmic complexity. We then show that any definable NN model satisfying a natural parallelization condition, allowing possibly multivariate non-linearities such as attention or layer normalization, is a universal approximator if and only if it contains a non-affine nonlinearity. The scope of our theory is illustrated by deducing universal approximation guarantees for continuous functions, minimax-optimal approximation guarantees for Besov classes, logarithmic-error complexity for holomorphic functions, and by showing that NNs can emulate numerical algorithms such as Newton-Raphson root finding and power iteration without architecture-specific arguments. Its precision is illustrated by shortest-path computation on $k$-vertex graphs: compiling the tropical dynamic-programming circuit yields NNs with O(log(1/ε)) non-zero parameters, exponentially improving in 1/ε over the generic $O(ε^{-c k^2})$ Lipschitz-approximation scale, for a constant c\u0026gt;0.\n19. Kohn-Sham密度泛函理论中磁系统的预条件 Preconditioning Magnetic Systems in Kohn-Sham Density Functional Theory\n作者: Clémentine Barat, Antoine Levitt, Marc Torrent\n类别: cond-mat.mtrl-sci, math.NA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.26693v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.26693v1\n摘要: The convergence of the self-consistent field iterations in Kohn-Sham density functional theory can be significantly hindered by the presence of small eigenvalues in the dielectric matrix, which are often associated with electronic phase transitions in magnetic systems. In this work, we study this type of convergence issues and propose a new preconditioning scheme to mitigate them. Our preconditioning scheme is inspired by the Stoner model and based on a non-interacting susceptibility that neglects orbital variations. We demonstrate the effectiveness of our approach on a range of ferromagnetic systems, showing that it can significantly reduce the number of iterations required to achieve convergence in the vicinity of magnetic phase transitions.\n20. 张量奇异值分解模型的自适应随机主元选取 Adaptive Randomized Pivoting for Tensor Singular Value Decomposition Model\n作者: Ahmadsho Akdodshoev, Valentin Leplat, Salman Ahmadi-Asl\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.26688v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.26688v1\n摘要: This paper studies how adaptive randomized pivoting (ARP), recently introduced for matrix column subset selection, can be extended to tensors in the t-product framework. We propose two constructions. The first one, called ARP-T-CUR, applies matrix ARP independently to the frontal slices of the tensor in the Fourier domain. This gives a Fourier-slicewise CUR approximation and leads to a direct expected-error bound inherited from the matrix theory. The second construction, called T-ARP, selects common lateral and horizontal slices for the whole tensor. This produces a genuine tensor cross approximation in the t-product sense, but also introduces a new difficulty: the same pivot indices must be used across all Fourier slices. We make this coupling explicit and prove an expected-error bound under a frequency-alignment condition measuring how far the common tensor-level sampling rule is from the slice-wise ARP sampling rules. This condition recovers the usual $r+1$-type factor when the leverage-score distributions are aligned across frequencies. We also discuss the resulting tensor cross approximation and its connection with t-DEIM. Numerical experiments on synthetic tensors, images, and videos illustrate the behavior of the proposed methods and show the benefit of common-index tensor sampling over standard tensor cross baselines.\n21. 稀疏随机图上神经ODE的零样本尺寸迁移：图子极限与伴随收敛 Zero-Shot Size Transfer for Neural ODEs on Sparse Random Graphs: Graphon Limits and Adjoint Convergence\n作者: Mingsong Yan, Zhida Wang, Sui Tang\n类别: cs.LG, cs.AI, math.DS, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.26662v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.26662v1\n摘要: Graph Neural Differential Equations (GNDEs) model continuous-time graph dynamics by parameterizing Neural ODE velocity fields with Graph Neural Networks. Their local, size-independent filters suggest a zero-shot size-transfer principle: train on a small graph and deploy on larger, similar graphs without retraining. We develop a quantitative theory for this principle on sparse random graphs sampled from graphons. We consider Graphon Neural Differential Equations (Graphon-NDEs) and adjoint Graphon-NDEs as the infinite-node limits of the forward and adjoint GNDE systems, and establish well-posedness. For an $n$-node random graph with sparsity parameter $α_n$, we prove trajectory-wise convergence of GNDE solutions to Graphon-NDE solutions at rate $O((α_n n)^{-1/2})$, up to logarithmic factors, with high probability. We also establish uniform-in-time convergence bounds for adjoint systems governing hidden-state and parameter gradients. We further study discretize-then-optimize (DTO) and optimize-then-discretize (OTD) training. Under explicit Euler discretization with $M$ steps, we show that DTO and OTD are asymptotically consistent, with hidden-state and local parameter-gradient discrepancies of orders $O(1/M)$ and $O(1/M^2)$, respectively, up to sparsity and logarithmic factors. Experiments on HSBM and tent graphons support the theoretical rates, while zero-shot transfer experiments across four graphon classes demonstrate accurate deployment of learned GNDEs on larger independently sampled graphs.\n22. 基于图的心电图合成：激活一致性认证与诊断感知的形态学整理 Graph-Based ECG Synthesis with Activation-Consistency Certification and Diagnostics-Aware Morphology Curation\n作者: Yongjun Yoo\n类别: math.NA, eess.SP\n发布日期: 2026-06-25\narXiv ID: 2606.26580v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.26580v1\n摘要: Synthetic electrocardiogram (ECG) generation can support algorithm development and robustness evaluation, but simulated signals must preserve interpretable activation, recovery, and morphology properties. We present a graph-based ECG synthesis framework that combines activation-consistency certification with diagnostics-aware morphology curation. A unified heart graph supports an eikonal-template backend (ET) and a pseudo-diffusion reaction\u0026ndash;eikonal backend (RE). We formulate graph Eikonal activation as a Bellman fixed-point problem and use the Bellman residual as a computable certificate for activation-time consistency. Each simulated ECG is evaluated by a two-stage diagnostics pipeline that separates metric computation from experiment-specific acceptance policies. On the cardiac graph, RE-derived activation times showed near-millisecond agreement with the Eikonal backbone and achieved $R^2=0.99876$ after causal predecessor filtering. Recovery experiments showed that endo-epicardial APD gradients determined the main T-wave morphology window, whereas the diffusion strength $κ$ provided secondary repolarization smoothing. In final balanced multi-lead curation, RE accepted 658/2000 samples versus 578/2000 for ET and increased per-model morphology coverage from 0.09248 to 0.09888. The framework provides a conservative basis for controllable and curated synthetic ECG generation.\n23. 魔鬼在（尾）细节中：稀疏逼近的改进恢复保证 The devil in the (de)tails: an improved recovery guarantee for sparse approximation\n作者: Ben Adcock, Simone Brugiapaglia, Avi Gupta\n类别: math.NA, cs.IT\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.26459v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.26459v1\n摘要: Many functions exhibit approximate sparsity in their coefficients with respect to a given dictionary. In recent literature, sparse approximation in such a dictionary from i.i.d. pointwise samples, underpinned by compressed sensing, has become a powerful tool for high-dimensional function approximation. A key step in this framework is truncating the (typically countably-infinite) dictionary to a finite index set of size $n$, so that compressed sensing tools can be used to approximate the function by a sparse combination of these truncated dictionary elements. This introduces a discrete $L^2$-truncation error over the sample points, which in standard approaches, is bounded by the continuous $L^\\infty$-norm. Such a deterministic, worst-case bound ignores the randomness of the sample points entirely. As a result, $n$ must be taken unnecessarily large to keep the truncation error under control, which directly inflates the size of the matrix involved in the sparse recovery algorithm and increases computational cost. In this paper, we show that by exploiting the i.i.d. structure of the sample points, the discrete $L^2$ truncation error admits a bound that instead reflects the faster decay behaviour of the continuous $L^2$-norm truncation error and yields significantly smaller truncation sets and decreased computational cost. We demonstrate this through applications to weighted Wiener spaces and anisotropic Sobolev spaces, in each case obtaining significantly smaller truncation sets than recent works. In addition, we also present an improved bound of independent interest for sparse approximation in bounded Riesz systems, where the measurement condition exhibits a smaller (and scale-invariant) dependence on the Riesz constants than in previous works.\n24. 基于Halley方法与谱混沌方法的随机特征值问题快速收敛求解 A Fast-Convergence Resolution of the Stochastic Eigenproblem Using Halley\u0026rsquo;s Method and the Spectral-Chaos Approach\n作者: Hugo Esquivel, Kabir Oluwatobi Idowu, Guang Lin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.26375v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.26375v1\n摘要: Solving stochastic eigenvalue problems has long been essential for informed decision-making, advancing scientific knowledge, and ensuring the reliability of engineering designs and applications. This paper underscores the need to continue enhancing existing numerical methods for solving the stochastic eigenproblem in order to improve convergence rates, computational efficiency, and robustness. Specifically, we propose a novel spectral-chaos method for solving the stochastic (linear) eigenvalue problem, employing Halley\u0026rsquo;s method as the root-finding algorithm to leverage its cubic convergence properties. Our method achieves maximal convergence in solving stochastic eigenvalue problems since its rate cannot be further improved using a higher-order Householder method due to the quadratic nature of the resulting system of equations. Additionally, due to the complexity of the resulting system of equations, a tensorial approach was developed to tackle the challenges associated with the dimensional multiplicity of the stochastic eigenvalue problem, without which the solution would have been intractable. The method is derived rigorously, with a detailed error analysis that highlights the benefit of using our approach when the eigenvector components are nearly known, the computational cost of the method is also rigorously presented, and an illustrative example is provided to demonstrate the implementation of the method. Subsequently, a case study is demoed to analyze the results and validate the advantages of using Halley\u0026rsquo;s method over Newton\u0026rsquo;s method and Monte Carlo simulations.\n25. 基于混合随机动力学的采样 Sampling Using Hybrid Stochastic Dynamics\n作者: Björn Engquist, Kui Ren, Yunan Yang\n类别: math.NA, stat.CO\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.26314v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.26314v1\n摘要: This work proposes a framework for sampling from the Gibbs distribution of a given potential using hybrid stochastic dynamics. In this framework, two distinct sampling dynamics are run in different regions of the state space. The two dynamics are coupled across the interface through natural transmission conditions that preserve the target distribution. Using a specially constructed regularization scheme, we establish an exponential rate of convergence for the hybrid dynamics to equilibrium. We also analyze the metastability properties of the hybrid dynamics in a radially symmetric landscape, showing that the hybrid scheme can improve the mean exit time. This advantage is further confirmed by the numerical experiments.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-06-26_06-41-08/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年06月26日 06:41:08\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 25\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-拟线性非单调椭圆方程的自适应迭代数值均匀化方法\"\u003e1. 拟线性非单调椭圆方程的自适应迭代数值均匀化方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eAdaptive Iterative Numerical Homogenization for Quasilinear Nonmonotone Elliptic PDE\u003c/p\u003e","title":"2026年06月26日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年06月25日 06:38:14\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 3\n不相关论文数量: 19\n重点关注论文（完整分析） 1. 以无穷远为计算边界的亥姆霍兹散射有限元方法 Finite Elements for Helmholtz Scattering with Infinity as a Computational Boundary\n作者: Markus Wess, Anıl Zenginoğlu\n类别: math.NA, gr-qc\n发布日期: 2026-06-23\narXiv ID: 2606.25130v1\n摘要翻译: 基于零无穷层构造，我们针对外亥姆霍兹方程建立了双曲型紧化的 H1 协调有限元格式。坐标变换将无穷远映射到有限外边界，并通过重新缩放移除主导振荡衰减。我们推导了变换后的方程以及具有有界系数的整体 sesquilinear 弱形式。紧化边界贡献了一个显式边界质量项，其迹在已知归一化下给出远场模式。我们将所得方法与使用完美匹配层 (PML) 的有限元离散化进行了比较，并报告了二维和三维的基准测试结果。数值实验包括单位圆盘的散射、捕获几何结构中的共振、三维的制造基准测试以及潜艇基准测试。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25130v1\n1. 研究对象和背景 本文研究有界障碍物在均匀介质中的时谐散射问题。设障碍物 $O\\subset\\mathbb{R}^d\\ (d=2,3)$ 为有界 Lipschitz 域，其外部区域记为 $O^c=\\mathbb{R}^d\\setminus O$，物理坐标用 $\\tilde{x}\\in O^c$ 表示，$r=\\|\\tilde{x}\\|$，$\\hat{x}=\\tilde{x}/r$。给定波数 $k\u003e0$，物理散射场 $U^s:O^c\\to\\mathbb{C}$ 满足外域 Dirichlet 散射问题： $$ (\\Delta_{\\tilde{x}}+k^2)U^s=0\\quad\\text{在 }O^c\\text{ 内},\\qquad U^s=-U^i\\quad\\text{在 }\\partial O\\text{ 上},\\qquad \\lim_{r\\to\\infty}r^{\\frac{d-1}{2}}(\\partial_r U^s-\\mathrm{i}k U^s)=0\\ \\text{关于 }\\hat{x}\\text{ 一致}. $$ 求解该问题的数值难点主要来自两方面：计算域无界，且辐射解在任意大距离处保持振荡。传统处理方法包括人工截断并施加近似辐射条件，如 Engquist–Majda 或 Bayliss–Turkel 型局部吸收边界条件，以及高阶局部 Dirichlet-to-Neumann (DtN) 映射。然而，基于 Padé 逼近的局部 DtN 条件存在不随频率下降的相对误差下界。完全匹配层 (PML) 通过在物理区域外围添加复拉伸层来吸收出射波，截断误差可随频率指数衰减，但精度依赖于层宽和拉伸剖面。精确 DtN 映射或边界积分方程方法可以给出精确的非反射边界条件，但通常需要基本解或稠密边界算子，不易推广到变系数或非线性问题。\n另一类思路是将无穷远映射为有限边界。纯空间紧致化（如 Chebyshev 谱方法）可将无界域变换到有限区间，但对振荡解会产生波长压缩，导致无限分辨率问题。无限元方法在外部区域采用编码出射渐近行为的特殊基函数，共轭无限元则将因子 $r^{-(d-1)/2}e^{\\mathrm{i}kr}$ 纳入形函数，从而剩余振幅可数值逼近。这些方法表明，将出射渐近或复尺度衰减直接融入外部离散可得到高精度求解器。\n超双曲紧致化源于 Penrose 对类光无穷远的共形处理，并在数值相对论中取得成功。其核心思想结合了空间紧致化与时间变换：通过径向坐标压缩将无穷远映射为有限边界 $\\mathscr{I}$ (对应 $r\\to\\infty$)，同时对未知量施加重标度以消除代数衰减和主导振荡。重标度后的未知量在紧致化域上具有非振荡渐近行为，从而无需在边界上强制本质条件，且远场模式可直接从 $\\mathscr{I}$ 上的迹读出（差一已知常数因子）。但此前超双曲紧致化多用于光滑、近球形的相对论模拟，而计算散射问题常涉及非光滑障碍物和非球形近场几何。本文借助 [2] 的思想，发展一种 $H^1$-协调有限元方法，在保留球形紧致化边界的同时允许内部任意障碍物几何，推导出全局有界系数的变分弱形式，并通过数值实验与径向 PML 离散比较，验证其精度和有效性。\n2. 主要定理或主要结果 在假设障碍物 $O$ 有界 Lipschitz、径向紧致化映射如第 2.1.1 节所述（$Ω,S,R,L,G$ 满足 $Ω(S)=0,Ω'(S)\u003c0, L\u003e0$）且高度函数 $h$ 与 boost 函数 $H$ 满足定义 2.2（特别 $H(S)=1$, $(1-H^2)/G$ 有界）的条件下，本文证明了以下核心结论：\n定理 3.1(一致性与有界性) 设 $U$ 是齐次 Helmholtz 方程 (1) 满足障碍物上 Dirichlet 数据 $U_0$ 与 Sommerfeld 辐射条件的解，且其经重标度后的拉回 $$ u(x) = Ω(\\rho)^{\\frac{d-1}{2}} e^{\\mathrm{i}k h(r(\\rho))} U(\\tilde{x}(x)) $$ 属于 $H^1(D)$。则 $u$ 满足弱形式：求 $u\\in V_1=\\{v\\in H^1(D):\\operatorname{tr}|_{\\partial O}v=U_0\\}$，使得对所有 $v\\in V_0=\\{v\\in H^1(D):\\operatorname{tr}|_{\\partial O}v=0\\}$ 有 $a(u,v)=0$，其中 $$ a(u,v) := -\\int_D \\nabla u\\cdot (G Q + L P)\\nabla\\bar{v}\nk^2\\int_D \\frac{1-H^2}{G}u\\bar{v} \\int_D \\frac{1}{L}\\Bigl(\\frac{d-1}{2}Ω\u0026rsquo;\\Bigr)^2 u\\bar{v} -\\mathrm{i}k\\int_D H,n\\cdot(u\\nabla\\bar{v}-\\bar{v}\\nabla u) \\int_D \\frac{Ω}{L}\\Bigl(\\frac{d-1}{2}Ω\u0026rsquo;\\Bigr) n\\cdot(u\\nabla\\bar{v}+\\bar{v}\\nabla u) \\mathrm{i}k\\int_{\\mathscr{I}} u\\bar{v}. $$ （这里 $n = x/\\rho$ 为单位径向向量，$Q = nn^\\top$, $P = I-Q$） 该弱形式的所有系数在 $D$ 上有界，且双线性型 $a$ 在 $H^1(D)\\times H^1(D)$ 上有界：存在常数 $C_a(k,Ω,H,D)\u003e0$ 使得 $$ |a(u,v)|\\le C_a|u|{H^1(D)}|v|{H^1(D)},\\quad\\forall u,v\\in H^1(D). $$ 重要特征包括：\n在无穷远边界 $\\mathscr{I}$ 上不施加本质边界条件，唯一的边界项为附加的相位项 $\\mathrm{i}k\\int_{\\mathscr{I}} u\\bar{v}$。 当 $H=1+O(G)$ 时，入射波分量在 $H^1(D)$ 中不可容许（除非常数），从而变分形式自动选取出射分支（注记 1）。 远场模式通过 $u|_{\\mathscr{I}}$ 与显式常数因子相联系：若物理远场定义为 $U(r,\\hat{x}) = r^{-(d-1)/2}e^{\\mathrm{i}kr}(U_\\infty(\\hat{x})+o(1))$，则取 $f=1$ 时 $u|_{\\mathscr{I}}(\\hat{x}) = S^{-(d-1)/2}e^{-\\mathrm{i}kh_0}U_\\infty(\\hat{x})$。 数值实验部分验证了上述理论结果：在二维单位圆盘散射中，方法展现最优收敛率；与径向 PML 比较，超双曲紧致化在相同自由度下精度更高，且误差对波数 $k$ 的依赖性更弱；在三维球外人工基准和潜艇模型上亦取得预期精度。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术障碍在于如何将外域亥姆霍兹方程的奇性（无穷远与振荡衰减）通过坐标紧致化和未知量重标度完全吸收，并在此基础上构造一个既保持标准 $H^1$ 协调性、又使所有系数在紧致化边界处有界的变分弱形式。作者的主要创新在于非平凡的双线性型推导及对退化矩阵 $A = Ω^{d-1}M^{-1}$ 的精细分解。\n1. 紧致化映射与系数分析\n采用径向边界定义函数 $Ω(\\rho)$，将物理径向坐标 $r$ 映射为 $\\rho/Ω(\\rho)$，使得 $\\rho=S$ 对应 $r=\\infty$。由此导出的雅可比矩阵及 $M^{-1}$ 含有因子 $Ω^{-(d-1)}$（公式 (11)）。引入重标度矩阵 $A=Ω^{d-1}M^{-1}$ 后，利用径向投影分解得到 $A = L P + G Q$（公式 (15)），其中 $G = Ω^2/L$ 在 $\\mathscr{I}$ 上为零，导致径向余法向退化。这一退化是避免在无穷远处施加本质边界条件的几何根源。\n2. 重标度与高度函数\n为消除主振荡因子并保证边界正则性，物理解 $U$ 重标度为 $u = Ω^{-(d-1)/2} e^{-\\mathrm{i}k h(r)}U$（一般形式为 $U = Ω^{(d-1)/2}e^{\\mathrm{i}kh}u$）。引入实值径向高度函数 $h(r)$ 及其 boost $H(\\rho)=dh/dr$，要求 $H(S)=1$ 且 $(1-H^2)/G$ 有界。这一条件等价于 $H=1+O(G)$ 在 $\\mathscr{I}$ 邻域成立，从而将 $k^2$ 项中奇异的 $1/Ω^2$ 贡献抵消，留下 $k^2(1-H^2)/G$ 为有界函数。这本质上是将出射特征因子 $e^{\\mathrm{i}kr}$ 分解出来，同时允许层内有灵活的高度函数选择（例如 $f=1$ 而非 $1/\\rho$）。\n3. 弱形式的系统推导\n作者从物理弱形式出发，直接应用坐标变换与乘积法则，而不是先写出强形式 (23) 再去边界化。这样做的优点在于，得到的双线性型 $a(u,v)$ 保持振幅重标度因子以对称一阶项出现，且所有系数（如 $G,Q,L,P, H, Ω'$ 等）均受控。关键步骤是使用恒等式 (22) 及行列式变换，将含 $Ω^{-(d-1)}$ 的体积项转化为 $A$ 的散度形式，再结合 $A$ 的径向分解。最终形式 (33) 中的每一项系数都通过 $L$ 的正性、$G$ 的退化性以及 $H$ 的正则性保证了在 $D$ 上的 $L^\\infty$ 有界性。\n4. 有界性证明与远场提取\n有界性论证基于各项被积函数的逐点估计：利用 $L\\ge L_0\u003e0$，$0\\le G\\le G_{\\max}$，以及 $(1-H^2)/G\\in L^\\infty$，结合 H₁ 范数的 Cauchy–Schwarz 和迹不等式即得。$\\mathscr{I}$ 上的边界项 $\\mathrm{i}k\\int_{\\mathscr{I}} u\\bar{v}$ 自然出现，无需额外近似。远场公式来自于高度函数的渐近展开 $h(r)=r+h_0+o(1)$ 与重标度定义，直接由 $u$ 在 $\\mathscr{I}$ 上的点迹给出。\n5. 数值实现与 PML 对比\n离散采用标准 $H^1$-协调有限元空间。数值实验中，为与 PML 公平比较，使用相同阶数的有限元并在相同物理区域截断。超双曲方法仅需单层，无需调节 PML 吸收参数，且误差随网格加细以最优速率下降；对 $k$ 的依赖性明显弱于 PML（尤其在大波数时），这一现象与理论上系数的有界性及辐射条件的精确内含是一致的。\n4. 与之前工作的比较 1. 与局部吸收边界条件和 PML 的比较\nEngquist–Majda、Bayliss–Turkel 及后来的高阶局部 DtN 条件通过在人工边界上施加近似辐射条件截断区域，其相对误差存在与频率无关的下界 [13]。PML 通过在吸收层内引入复坐标拉伸实现指数衰减，但精度仍依赖于层厚、拉伸角度和截断处的边界条件 [15]。与这两类方法相比，本文的超双曲紧致化将真实的无穷远 $\\mathscr{I}$ 作为计算边界精确包含，不引入模型误差；远场模式直接从 $u$ 在 $\\mathscr{I}$ 上的迹获取，无需后处理或外推。数值实验显示，在相同自由度下，超双曲方法的 $L^2$ 误差显著低于 PML（例如圆盘散射实验中约 2–3 个数量级），且误差对波数 $k$ 的依赖更微弱（图 4.1—4.3）。代价是变换后的弱形式系数必须满足有界性条件（$(1-H^2)/G\\in L^\\infty$），但对高度函数的选取 (如 $H=1-G$) 易于满足，并未增加实施复杂度。\n2. 与无限元方法的比较\n经典无限元将标准有限元与外部近似空间耦合，外部形函数编码出射渐近行为。共轭无限元 [22,23] 通过因子 $r^{-(d-1)/2}e^{\\mathrm{i}kr}$ 消除振幅和振荡，剩余幅值数值逼近。超双曲紧致化在精神上与其接近，同样提取了主导衰减与振荡。主要区别在于：（i）超双曲方法将外部区域紧致化到有限层，无穷远成为实际计算边界，从而全部使用标准 $H^1$ 有限元，不依赖特殊的无限单元库；（ii）通过高度函数 $h$ 和 boost $H$，层内变化可自由设计（仅需渐近匹配 $H=1$），相当于时间域中时间变换的自由度；（iii）远场模式直接由 $\\mathscr{I}$ 上的点值读出，而不是由级数展开或插值得到。\n3. 与纯空间紧致化谱方法的比较\nGrosch–Orszag [29] 和 Boyd [30,31] 等发展的映射 Chebyshev 法将 $[0,\\infty)$ 代数或指数映射到有限区间，适合衰减解，但对振荡解在映射边界附近剧烈压缩波长，导致无限分辨率要求。超双曲紧致化通过显式分解 $e^{\\mathrm{i}kr}$ 避免了这一缺陷，使重标度后的解在 $\\mathscr{I}$ 处正则，故有限元或谱离散均能有效逼近。与之相关的一种 PML 型方法 [34–36] 同样使用实坐标压缩并显式提取振荡因子，但它的外边界仍是人工截断，远场模式不能直接从边界迹获得；而本文的 $\\mathscr{I}$ 是类光无穷远，具有辐射场的固有含义。\n4. 与数值相对论中紧致化应用的比较\n超双曲紧致化在数值相对论中广泛用于引力波波形提取、黑洞微扰和准正规模计算 [44–51]。那些应用大多依赖光滑的球形或近球形几何，且往往使用谱方法。本文首次将其发展为适用于任意 Lipschitz 障碍物几何的 $H^1$-协调有限元框架，并对 Helmholtz 方程给出了完整的变分理论，填补了该方法在频域散射有限元模拟中的空白。数值实验涵盖了非光滑障碍物（如潜艇基准）和三维情形，证明了方法的通用性。\n5. 局限性与代价\n从提供的材料看，作者未显式讨论方法的限制，但从构造可知：（i）紧致化中心必须置于障碍物内部，且障碍物不能与紧致化边界相交；（ii）$\\mathcal{I}$ 固定为球面，对高度各向异性的散射体可能需要更复杂的紧致化几何（文中提及可推广至一般光滑闭曲面但未实现）；（iii）与 PML 类似，引入对称双线性型的非自伴低阶项，但不影响有限元收敛性。此外，方法要求解在 $\\mathscr{I}$ 邻域具有精确的出射球面波展开，对非均匀介质或非线性问题，重标度因子可能需要重新设计。但这些均在标准散射问题假设之内，与大部分截断技术相同。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 闭合曲面Willmore流的$A$-稳定向后差分全离散格式的误差估计 Error estimates for $A$-stable backward difference full discretizations of Willmore flow of closed surfaces\n作者: Nils Bullerjahn, Balázs Kovács\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.25934v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25934v1\n摘要翻译 中文标题: 闭合曲面Willmore流的$A$-稳定向后差分全离散格式的误差估计\n摘要翻译: 针对闭合二维曲面的Willmore流，给出了$A$-稳定向后差分全离散格式（1阶和2阶）的最优阶$H^1$-范数误差估计的证明。该数值方法对耦合演化方程组进行离散，空间上采用多项式次数至少为二的演化曲面有限元，时间上采用1阶或2阶向后差分方法。收敛性分析基于稳定性分析，而稳定性分析则利用二阶系统的反对称结构进行能量估计，并结合Dahlquist的$G$-稳定性以及Nevanlinna和Odeh的乘子技术，同时给出了一个体现Dahlquist精神的新上界。数值实验展示并补充了理论结果。\n2. 基于数据驱动多尺度空间的算子学习用于随机非均匀多孔介质中的非线性流动 Operator Learning on the Data-Driven Multiscale Space for Nonlinear Flow in Random Heterogeneous Porous Media\n作者: Maria Vasilyeva, Raphael Pangilinan\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.25820v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25820v1\n摘要翻译 中文标题: 基于数据驱动多尺度空间的算子学习用于随机非均匀多孔介质中的非线性流动\n摘要翻译: 我们提出一种基于粗尺度数据驱动多尺度空间的算子学习框架，用于随机非均匀多孔介质中的非线性流动。该多尺度空间由局部代表性细尺度解快照构造而成，从而得到解流形的精确低维表示。该多尺度基函数用作神经算子的主干，而分支网络从输入渗透率场预测对应的降阶系数。与Galerkin投影方法不同，该神经算子学习从渗透率场到解系数的全局非线性映射，提供了更大的灵活性、更高的精度，并且无需在线非线性粗网格求解和系数评估。数值结果表明，对于高对比度非均匀介质中的非线性流动，所提方法相比基于投影的方法获得了良好的精度且计算成本显著降低。\n3. 针对向列型Helmholtz\u0026ndash;Korteweg方程的混合$C^{0}$内部惩罚方法 A hybrid $C^{0}$-interior penalty method for the nematic Helmholtz\u0026ndash;Korteweg equation\n作者: Tim van Beeck\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.25642v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25642v1\n摘要翻译 中文标题: 针对向列型Helmholtz\u0026ndash;Korteweg方程的混合$C^{0}$内部惩罚方法\n摘要翻译: 向列型Helmholtz\u0026ndash;Korteweg方程模拟了时间谐波声波在向列型Korteweg流体（如向列相液晶）中的传播。该偏微分方程在经典Helmholtz方程的基础上增加了两个额外的四阶项，其中一项在向列场方向上是各向异性的。我们利用Cordes条件改进了Farrell等人(2025)之前的连续分析，并提出了一种$C^0$-杂交内部惩罚离散化方法。所提出的离散化方法比$C^1$-协调方法具有更大的灵活性，并且非常适合三维空间和曲面区域上的应用。我们证明了该方法对于任何大于等于2的多项式次数是稳定的，与空间维度无关，前提是各向异性足够小。此外，我们在最小正则性假设下证明了离散解序列收敛到连续解，并在连续解具有额外正则性时导出了收敛速率。最后，我们通过数值算例展示了该方法的能力。\n不相关论文（基本信息） 1. Tensorion: Muon优化器的张量感知推广 Tensorion: A Tensor-Aware Generalization of the Muon Optimizer\n作者: Vladimir Bogachev, Vladimir Aletov, Alexander Molozhavenko, Sergei Kudriashov, Maxim Rakhuba\n类别: cs.LG, cs.CV, math.NA\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.25975v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25975v1\n摘要: Common first-order optimizers, such as Adam, implicitly treat each parameter block as an unstructured vector, which disregards the multilinear weight structure present in many modern machine learning models. Recent work has shown that exploiting matrix structure can improve optimization dynamics. A notable example is Muon, which performs steepest descent under the spectral norm constraint. We take the next step and introduce Tensorion, a tensor-aware optimizer that extends Muon\u0026rsquo;s constrained optimization perspective from matrices to higher-order tensors. Tensorion is built around a linear minimization oracle (LMO) over a tensor norm ball. The norm is carefully chosen to balance two objectives: tightly bounding the tensor spectral norm, while still keeping the LMO tractable. This LMO becomes computable because it reduces to operations on adaptively selected unfolding matrices. Notably, when restricted to order-2 tensors (i.e., matrices), Tensorion recovers Muon exactly. Experiments on tensor-based computer vision problems suggest that Tensorion can offer improved convergence behavior and more stable gradient updates compared with Adam-based and existing tensor-aware baselines in the evaluated settings.\n2. Dirichlet-to-Neumann 映射神经算子学习的主部分解 Principal-Part Decomposition for Neural Operator Learning of Dirichlet-to-Neumann Maps\n作者: Shuo Ling, Wenjun Ying, Han Zhou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.25952v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25952v1\n摘要: Dirichlet-to-Neumann (DtN) maps send boundary values of a partial differential equation (PDE) solution to its normal derivative on the boundary. Learning such maps across varying domains is important for boundary-value problems, but a black-box neural operator must model both the operator\u0026rsquo;s non-smoothing principal behavior and its dependence on boundary geometry. We use the boundary integral representation of the DtN map to obtain, for smooth planar boundaries, a useful principal-part decomposition: a geometry-independent leading operator can be written as a universal Fourier multiplier, while the remaining geometry-dependent correction is smoother. We propose Principal-Part Decomposed Neural Operators (PPDNO), a hybrid analytic-neural framework that turns this decomposition into a geometry-conditioned operator learning model. PPDNO computes the principal part by FFT and trains a low-rank Deep Operator Network (DeepONet)-type architecture to approximate only the residual correction across families of boundary geometries. This design keeps the exact linear action on the boundary data, exposes the sampled boundary as an input to the model, and turns the learned target into a smoother operator family. We justify the decomposition theoretically by proving smoothing and separated-approximation properties of the residual, and we derive finite-node and training-error bounds for the reconstructed full map. Experiments on interior Laplace problems over elliptical and Fourier-parameterized domains, and on exterior Helmholtz problems over rose curves, show that PPDNO improves accuracy over direct neural operator baselines while adding little inference overhead and generalizing to unseen boundary data. These results suggest that analytic operator structure and geometry-conditioned learning can be combined effectively for boundary solution maps.\n3. 基于提升和张量列车近似的齐次玻尔兹曼方程快速格式 A fast scheme for the homogeneous Boltzmann equation based on lifting and tensor train approximation\n作者: Kun Huang, Yingda Cheng, Irene M. Gamba\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.25914v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25914v1\n摘要: We propose a fast deterministic scheme for the space-homogeneous Boltzmann equation that exploits the low-rank structure of the velocity distribution. This paper consists of two independent contributions. The first is a \\emph{lifting-projection (LP) scheme}, inspired by the approach in the recent theoretical breakthroughs \\cite{guillen2025landau, imbert2026monotonicity, guillen2025landau2} on the well-posedness of the Landau and Boltzmann equations. In particular, the approach lifts the nonlinear 3D Boltzmann equation to the 6D linear Kac master equation, advanced over a single time step, and projected back to its marginal in 3D. The second contribution is a \\emph{low-rank tensor method} for evaluating the collision operator, in which the lifted solution is represented in tensor train (TT) format and computed via a TT cross approximation algorithm with interpolation, complemented by a TT-friendly conservation correction that enforces conservation of mass, momentum, and energy. When the solution is low-rank in velocity, the method scales linearly in $n$ when cubic interpolation is used (and quadratic in $n$ when spectral interpolation is used), where $n$ is the number of grid points in each velocity direction. Therefore, our methods offer significant computational savings over existing deterministic solvers in such cases. Numerical experiments on 2D and 3D benchmarks, including the BKW exact solution and anisotropic initial data, confirm the computational scaling, the expected order of accuracy and verify the effectiveness of the conservation correction.\n4. 面向微分代数方程的谱延迟校正方法内并行化 Spectral deferred corrections parallelized across the method for differential-algebraic equations\n作者: Matthias Bolten, Lisa Wimmer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.25908v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25908v1\n摘要: In this work, the performance of different spectral deferred corrections (SDC) methods applied to initial value problems for differential-algebraic equations (DAEs) of index one is analyzed. The SDC method solves a series of correction equations, and after each iteration, the numerical solution is corrected by adding the obtained approximation of the error. The formulation of the SDC method allows for a parallelization across the method to obtain small-scale parallelism, for which a number of processes equal to the number of collocation nodes can be used. Recently, an analytical approach to finding optimal diagonal coefficients for parallel SDC was proposed. So far, no analysis with the new coefficients for parallel SDC applied to DAEs was done. We demonstrate that parallel SDC methods solve DAE problems with high accuracy faster than the associated sequential SDC schemes, obtaining speedup in a small-scale parallel regime.\n5. 用于长期碎裂云传播的物理信息统计学习模型 A Physics-Informed Statistical Learning Model for Long-Term Fragmentation Cloud Propagation\n作者: Yema Paul, Diogo Sousa, Albert Servitje, Rodrigo Pariente, Emmanuel Delande, Christophe Taillan, Joan Pau Sanchez\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.25893v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25893v1\n摘要: This paper introduced a Hierarchical Generative Density Model (HGDM) for the long-term propagation of orbital fragmentation clouds. Validation against high-fidelity Monte Carlo simulations showed that the proposed surrogate accurately reproduces the dominant multidimensional structures of propagated clouds while consistently outperforming classical band-formation approximations based on independent angular variables. Accurate cloud reconstructions were obtained using only a few hundred to a few thousand propagated fragments, yielding reductions exceeding two orders of magnitude in computational cost and three orders of magnitude in storage requirements; future work will investigate its application to large-scale debris-environment evolution and collision-cascade simulations associated with the Kessler syndrome.\n6. 针对具有不确定接触结构的流行病动力学动理学模型的多保真度方法 Multi-fidelity methods for kinetic models of epidemic dynamics with uncertain contact structure\n作者: Liu Liu, Andrea Medaglia, Hao Xie, Mattia Zanella\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.25835v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25835v1\n摘要: In this work, we develop a multi-fidelity strategy for kinetic models in epidemiology with uncertain contact dynamics. Assessing and controlling the population-level effects of contact dynamics requires the development of models for understanding observable effects of heterogeneous contact structures, whose formation depends on complex social phenomena. These can be captured taking into account high-dimensional uncertain quantities. The proposed approach combines high-fidelity kinetic solvers with a hierarchy of low-fidelity surrogates, including reduced macroscopic models and coarse kinetic descriptions, remaining applicable even in regimes where a macroscopic closure is unavailable. This hierarchical framework identifies representative parameter samples and reconstructs full solutions via projection-based techniques, enabling efficient uncertainty propagation while drastically reducing computational cost. Numerical experiments in high-dimensional stochastic settings demonstrate that accurate statistical estimates of epidemic observables can be obtained with significantly reduced computational costs compared to standard approaches.\n7. RNA二级结构吸引盆的动力学度量与能量景观超度量性分析 Kinetic metric for basins of attraction of RNA secondary structures and analysis of the ultrametricity of the energy landscape\n作者: A. P. Zubarev\n类别: cond-mat.dis-nn, cond-mat.stat-mech, math.NA\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.25824v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25824v1\n摘要: A method is proposed for testing the hypothesis of ultrametric organization of the energy landscape of RNA secondary structures, based on the analysis of transition kinetics between basins of attraction. The method relies on a kinetic metric constructed from the spectral decomposition of the symmetrized Kramers transition rate matrix and the Mahalanobis distance, which is not an ultrametric by construction. A complete computational framework is developed, including automatic filtering of noisy eigenmodes and a procedure for analyzing disconnected structure graphs arising from stochastic sampling. The method is demonstrated on a set of reference and random RNA sequences. It is shown that, for a fixed nucleotide composition, the degree of nontrivial ultrametricity of the energy landscape is determined by the order of nucleotides.\n8. 间隙感知精确非负矩阵分解：一个双侧SVD规范和一个三区域W-秩分类 Gap-Aware Exact Nonnegative Matrix Factorization: A Two-Sided SVD Gauge and a Three-Regime W-Rank Taxonomy\n作者: Mithil Ramteke\n类别: math.NA, math.ST\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.25715v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25715v1\n摘要: We extend the cone-ray exact-NMF pipeline of Ramteke (arXiv:2606.22451) from the uniform-support regime r_+ = r to the gap regime r_+ \u0026gt; r, and classify recoverable nonnegative factorisations by the rank of the W-factor into a three-regime taxonomy. Regime A (rank(W) = r_+, full column rank): a two-sided SVD-gauge cone-ray pipeline W = U_{r+}(G) Q, H = P V_{r+}(K)^T with G, K on Stiefel manifolds and square consistency Q P = diag(S_r, 0). On 10x10 dense random gap matrices it gives 100/100 recovery at r_+ = 5 and 6. We explain this via two geometric facts: slack enclosure (the data cone has codimension r_+ - r in the outer cone) and NRF-variety thickness (valid gauges form a positive-measure set, so the blind SVD lands on one with probability one). Regime B (rank(W) = r, W a column subset of M): a rank-deficient-W branch enumerating r_+-subsets of M\u0026rsquo;s columns with per-column LP tests. On the block-diagonal family diag(C, J_k), where additivity of nonnegative rank collapses the valid gauges to a single point and the blind SVD pipeline fails, the column-subset branch restores recovery in milliseconds. Regime C (r \u0026lt; rank(W) \u0026lt; r_+, W not a column subset): exposed by the regular octagon\u0026rsquo;s slack matrix. An exact size-6 NRF exists and is reachable by the symmetric formulation at an oracle gauge derived from a known factorisation (residual 1.5e-10), but the blind problem is open: 50 Haar random restarts and Riemannian gradient descent on the Stiefel/Grassmann gauge all stall, because the alt-LP residual is piecewise constant on cells of gauge-space, so local descent cannot cross cell walls. A combined toolkit (Regime B then A) covers regimes A and B with no regression on dense draws; Regime C remains open, with the regular octagon as the cleanest unsolved test case.\n9. 均匀多面体上球面的二次$G^1$样条逼近 A Quadratic $G^1$ Spline Approximation of the Sphere over Uniform Polyhedra\n作者: Ema Češek, Aleš Vavpetič\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.25697v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25697v1\n摘要: In this paper, we study geometrically continuous quadratic splines over triangulations. While a rich variety of $C^1$ quadratic splines is available over planar domains, and such splines can also be constructed on the torus, the problem becomes significantly more challenging on more general surfaces. We first construct a $G^1$ spline over a regular spherical $n$-gon, subdivided into $3n$ triangles. Based on this construction, we obtain a quadratic $G^1$ spline approximation of the sphere induced by an arbitrary uniform polyhedron, where each $n$-gonal face is subdivided into $3n$ triangles. The construction uses only quadratic triangular patches and yields explicit control points depending on the geometry of the underlying polyhedron and one free parameter. We also analyze the resulting approximation quality and curvature behavior, and illustrate the construction on Platonic and Archimedean solids.\n10. 一种用于求解高维椭圆线性偏微分问题的经济型瀑布式张量多重网格方法 An economic cascadic tensor multigrid method for solving high dimensional elliptic linear partial differential problems\n作者: Jingyu Huang, Chenliang Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.25643v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25643v1\n摘要: In this paper, based on the tensor form, we propose a class of economic cascadic tensor multigrid method(ECTMG) for solving high dimensional elliptic linear partial differential problems. Compared with traditional methods, the new method not only reduces the storage space but also lowers the computational complexity from $\\mathcal{O}(n^{3})$ to $\\mathcal{O}(n^{2})$. We analyze the convergence rate of the conjugate gradient method which is based on the tensor form($\\mathrm{CG}\\_\\mathrm{BTF}$), and then provide the convergence analysis for the new method. Finally, the effectiveness of the new method is verified through numerical examples.\n11. 参数化椭圆重构与Robin边界条件中小随机性的抛物型偏微分方程的后验误差估计 Parametric elliptic reconstructions and a posteriori error estimates for parabolic partial differential equations with small randomness in a Robin boundary condition\n作者: Nakidi Shravani, Gujji Murali Mohan Reddy, Amiya Kumar Pani, Stig Larsson\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.25640v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25640v1\n摘要: We obtain reliable a posteriori residual-based error estimates for parabolic partial differential equations with small randomness in a Robin-type boundary condition. The uncertainty is addressed via a perturbation approach, transforming the problem with small random input data into a sequence of deterministic problems. Finite element approximations, combined with the backward Euler time discretization, are employed for the resulting problems. To ensure optimal spatial accuracy, the elliptic reconstruction framework is suitably adapted to this setting. This is achieved by introducing a parametric elliptic reconstruction operator that unifies the a posteriori analysis of deterministic parabolic problems with that of parabolic problems with small uncertainties. The obtained a posteriori error estimator is robust with respect to the parameter that describes the amount of uncertainty, in the sense that the constants appearing in the bounds are independent of the parameter, as well as of the mesh size and the time-step. In addition, numerical experiments are presented to validate the theoretical findings and illustrate the robustness of the proposed estimators.\n12. 带有乘性随机力的Allen-Cahn型多值p-拉普拉斯方程的纽曼问题 The Neumann problem for a multivalued p-Laplace equation of Allen-Cahn type with a multiplicative stochastic force\n作者: C. Bauzet, F. Lebon, K. Schmitz, C. Sultan, A. Zimmermann\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.25615v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25615v1\n摘要: In this paper, we consider a parabolic problem with constraint written as a differential inclusion, driven by a multiplicative colored noise and involving a p-Laplace operator (for $p \\geq 2$), nonlinear random source terms and subject to Neumann boundary conditions on a bounded Lipschitz domain of $R^d$ with $d \\geq 1$. This contribution aims at proving existence and uniqueness of a solution for such a multivalued problem. On one hand, the existence result is proved by the analysis of a semi-implicit time discretization scheme constructed on a smoother version of our problem, itself obtained by a regularization \u0026ldquo;à la Moreau-Yosida\u0026rdquo; of the subdifferential term. The key point of our approach consists in finding a clever relation between the time step denoted $τ$ and the Moreau-Yosida regularization parameter denoted $ε$ in view to pass simultaneously to the limit with respect to $τ$ and $ε$. On the other hand, the uniqueness of the solution is proved by standard arguments.\n13. 关于带二重等距节点的抛物与三次样条函数空间的高斯型求积公式的误差界 On the error bounds of the Gauss-type quadrature formulae associated with spaces of parabolic and cubic spline functions with double equidistant knots\n作者: Geno Nikolov, Petar B. Nikolov\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.25586v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25586v1\n摘要: In two papers from 1995 P. Köhler and G. Nikolov showed that Gauss\u0026ndash;type quadrature formulae associated with spaces of spline functions with equidistant knots are asymptotically optimal in certain Sobolev classes of functions. In particular, Gauss\u0026ndash;type quadratures associated with the spaces of spline functions of degree $r-1$ with double equispaced knots are asymptotically optimal definite quadrature formulae of order $r$ when $r$ is even, and it is conjectured that the asymptotical optimality property persists also in the case of odd $r$. For $r=3,\\,4$, these quadrature formulae have been constructed by G. Nikolov, who also proved estimates for their error constants. The aim of this note is to refine the estimates for the error constant in the case $r=3$, and to point out to some error estimates in both cases $r=3$ and $r=4$, which are easier to evaluate and could be sharper than those which involve the uniform norm of the $r$-th derivative of the integrand. \\medskip \\noindent \\textbf{Keywords and Phrases:} Spline functions, monosplines, Peano representation of linear functionals, definite quadrature formulae, error estimation of quadratures, Bernoulli polynomials.\\medskip \\noindent \\textbf{Mathematics Subject Classification 2020:} 41A55, 65D30, 65D32.\n14. 二维时空分数阶扩散方程逆源问题的高效Krylov子空间求解器 Efficient Krylov solvers for inverse source problem in 2D space-time fractional diffusion equation\n作者: Asim Ilyas, Stefano Serra-Capizzano\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.25520v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25520v1\n摘要: In this work, we consider a two-dimensional time-space fractional diffusion equation with a variable coefficient and investigate the inverse source problem of reconstructing the source term f(x,y) , after regularizing the problem using the quasi-boundary value method to mitigate ill-posedness. A finite difference discretization results in a large-scale linear system with a multilevel Toeplitz-like block structure. We perform a spectral analysis of the associated matrix sequences, employing tools from Generalized Locally Toeplitz (GLT) theory, and construct efficient preconditioners based on the GLT analysis. The proposed preconditioners preserve the multilevel structure of the discretization matrices and leads to a general eigenvalue clustering around one for the preconditioned sequence. Numerical experiments validate the theoretical findings and demonstrate that the proposed approach significantly accelerates the convergence of the GMRES method in reconstructing the source term in the two-dimensional space-time fractional diffusion equation.\n15. 面向分析的几何去特征化用于起始电压预测 Towards analysis-aware geometry defeaturing for inception voltage predictions\n作者: Ondine Chanon\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.25482v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25482v1\n摘要: Defeaturing is routinely employed in numerical simulations of medium- and high-voltage equipment, not only to reduce computational costs but also to make meshing possible. But the errors that this practice introduces in the predicted breakdown/inception voltages are currently neglected. This work presents a goal-oriented \\textit{a posteriori} error estimation framework that aims at assessing such defeaturing errors in inception voltage computations. The methodology combines a first-order approximation of the inception voltage error with dual-weighted residual estimators, providing an error bound that quantifies the impact of defeaturing on the simulation results. The approach builds upon the streamer integral model for inception voltage prediction and uses the recently proposed certified goal-oriented analysis-aware defeaturing estimator of~[1] for elliptic PDEs. The first-order approximation of the inception voltage is a linear functional J of the background electric field whose definition involves a line integral along the critical field line, and is therefore only of low regularity. To meet the abstract regularity assumption of the goal-oriented theory, we introduce a Gaussian mollification of J. The methodology is illustrated on a pin-plate benchmark with a small protrusion of varying size and shape, using a single shared adaptive mesh and an adaptive coupling of the mollification width to the local mesh size in order to ensure that the defeaturing error dominates over the discretization and the regularization errors.\n16. 基于 Lean 的线搜索方法的形式化 Formalization of Line Search Methods by Lean\n作者: Yiyang Zhang, Kenneth W. Shum\n类别: math.OC, cs.MS, math.NA\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.25412v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25412v1\n摘要: This paper presents a formalization of line search methods in the Lean 4 theorem prover. Our goal is to advance machine verification of nonlinear optimization theory by translating standard textbook definitions and convergence arguments into rigorous Lean code. We formalize fundamental notions related to gradient descent and descent directions, adaptive step-size selection via backtracking line search, and several classical line search criteria, including the Armijo, Goldstein, and Wolfe conditions, as well as nonmonotone variants. We further formalize a key convergence result, namely the Zoutendijk theorem, which plays a central role in the global convergence analysis of gradient-based iterative methods. By providing machine-checkable definitions and proofs for line search theory, this work complements existing formalizations of first-order optimization methods and establishes a foundation for the verified development of more advanced algorithms in nonlinear programming.\n17. 一种基于矩阵对角化的全解耦任意高阶时间步进格式，用于各向异性相场枝晶生长模型 A fully-decoupled arbitrarily high-order time-stepping scheme based on matrix diagonalization for the anisotropic phase-field dendritic crystal growth model\n作者: Weiwen Wang, Shaoqin Zheng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-24\narXiv ID: 2606.25345v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25345v1\n摘要: We propose a fully-decoupled arbitrarily high-order time-stepping scheme for the anisotropic phase-field dendritic crystal growth model. The scheme combines an auxiliary-variable formulation with algebraically stable Runge-Kutta methods and satisfies a discrete energy dissipation law. To address the computational bottleneck arising from the coupled linear system in existing high-order schemes, a matrix diagonalization technique is introduced to transform the coupled linear elliptic system into a set of independent constant-coefficient elliptic equations. The resulting equations can be solved separately and in parallel, thereby improving computational efficiency. Numerical experiments in both two and three dimensions are presented to verify the convergence, energy stability, and efficiency of the proposed scheme. Comparisons with the original coupled formulation demonstrate the effectiveness of the matrix diagonalization strategy, while additional tests illustrate the advantages of high-order temporal discretizations. Simulations under different anisotropy coefficients, latent heat parameters, rotation angles, and initial nucleus shapes are also presented to investigate their effects on dendritic morphology.\n18. 无三维矩阵：笛卡尔偏微分方程求解器的统一张量积视角 No 3D Matrices: A Unified Tensor-Product View of Matrix-Free Cartesian PDE Solvers\n作者: Yong Yi Bay, Kathleen A. Yearick\n类别: math.NA, cs.CE, physics.comp-ph, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-06-23\narXiv ID: 2606.25148v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25148v1\n摘要: Every Cartesian three-dimensional PDE solver hides a structural secret that production CFD codes have used for half a century and that graduate-level textbooks rarely state plainly. The derivative matrices, the compact Padé line solves, the Galerkin mass inversions, the alternating-direction-implicit substeps, and even the fast Poisson and Helmholtz diagonalization transforms all factor along the coordinate axes and collapse into repeated one-dimensional banded kernels executed along the grid lines. The three-dimensional operator exists only on paper; it is never assembled, factored, or stored. This paper is the manual for that collapse. We derive the Kronecker-product algebra that makes it exact, carry it cleanly through central differences, compact schemes, tensor-product Galerkin, B-spline and isogeometric methods, collocation, ADI time stepping, and direct Poisson and Helmholtz solves, and bring into the open the three production tricks that turn the reduction into hardware-conscious floating-point throughput on real machines: the multi-right-hand-side reshape that exposes a sweep as one batched line kernel (a dense BLAS-3 GEMM when the line factor is dense or element-local, a banded or stencil kernel when it is not), the sum factorization that rescues high-order Galerkin from the $O(p^{2d})$ quadrature trap, and the pencil decomposition that keeps every direction contiguous across an MPI cluster. For fixed stencil width or fixed polynomial degree, the compute cost stays $O(N)$ in the total number of unknowns $N = N_x N_y N_z$; the operator storage drops to $O(N_x + N_y + N_z)$ up to bandwidth constants; direct separable Poisson and Helmholtz solvers add the expected transform cost; the line kernels are embarrassingly parallel. These facts are familiar to practitioners but rarely assembled in one place; this paper collects them and shows how to use them.\n19. 求解器精确性，学习灵活性：Stokes流的等变边界校正算子 Solver Exactness, Learned Flexibility: Equivariant Boundary-Correction Operators for Stokes Flow\n作者: Denis Gueyffier\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-06-23\narXiv ID: 2606.25075v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.25075v1\n摘要: The drag and mobility of bodies in viscous (Stokes) flow govern problems in shape design, suspensions, or microorganism swimming. Classical solvers compute them accurately but expensively; purely learned surrogates are fast but unreliable off their training data. We combine both: a solver\u0026rsquo;s exactness for the part of the solution operator known in closed form, and learning for the part that is not. For incompressible Stokes flow the elliptic-core kernel is already known: in free space the Leray projector is a single rotation-equivariant Stokeslet with no free parameters, and the boundary-integral solver built on it is exact to machine precision at $O(N)$. The one object with no closed form is the boundary correction. We split the operator: fix the core exactly and equivariantly, and learn only that correction, as a well-conditioned second-kind operator. On a Stokes testbed where the exact solve is ground truth, the split gives a working solver ($2 \\times 10^{-3}$ end-to-end, $5$-$16\\times$ more data-efficient than a black-box DeepONet) and overturns three expectations. (i) Conditioning is not the bottleneck: a $10^{16}$-conditioned first-kind and a bounded second-kind operator give the same error. (ii) Cross-shape generalization is governed by the descriptor\u0026rsquo;s equivariance, not capacity: a noninvariant descriptor degrades by $\u003e10^5\\times$ under rotation, while canonicalization restores near-machine transfer. (iii) Coverage, not expressivity, is the lever; a local equivariant kernel removes the heavy out-of-distribution tail, cutting worst-case interior error from $O(10)$ to $\\sim 10^{-7}$. We then open the central exterior problem in 3D: a completed double layer, made exact by quadrature by expansion, is second-kind well-conditioned and $SO(3)$-equivariant, reproduces the analytic drag of spheres and ellipsoids, and composes across bodies.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-06-25_06-38-14/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年06月25日 06:38:14\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 19\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-以无穷远为计算边界的亥姆霍兹散射有限元方法\"\u003e1. 以无穷远为计算边界的亥姆霍兹散射有限元方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eFinite Elements for Helmholtz Scattering with Infinity as a Computational Boundary\u003c/p\u003e","title":"2026年06月25日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年06月24日 06:33:05\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 2\n不相关论文数量: 24\n了解领域论文（摘要翻译） 1. lymph 2.0库：面向多面体DG方法的$p$-自适应算法与并行装配策略 The lymph 2.0 library: p-adaptive algorithms and parallel assembly strategies for polytopal DG methods\n作者: Paola F. Antonietti, Mattia Corti, Caterina B. Leimer Saglio, Stefano Pagani\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-23\narXiv ID: 2606.24646v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.24646v1\n摘要翻译 中文标题: lymph 2.0库：面向多面体DG方法的$p$-自适应算法与并行装配策略\n摘要翻译: 本工作展示了lymph 2.0库的新版本，这是一个面向一般多面体网格上高阶间断伽辽金离散的开源MATLAB框架。lymph 2.0版本扩展为支持具有逐单元多项式逼近阶数的离散，从而允许基于后验误差指示子的$p$-自适应策略的设计。此外，该库引入了一种统一的装配框架，将离散算子的构造从底层物理模型中抽象出来，提升了代码的模块性、并行性、可维护性和可扩展性。而且，所提出的方法通过专用的并行工具实现了共享内存并行。多个数值算例验证了所提方案在降低计算成本的同时保持逼近精度的有效性。\n2. 二维感应加热问题的分析与逼近 Analysis and approximation of a two-dimensional induction heating problem\n作者: Gabriel R. Barrenechea, Katherine MacKenzie, Abner Salgado\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-23\narXiv ID: 2606.24517v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.24517v1\n摘要翻译 中文标题: 二维感应加热问题的分析与逼近\n摘要翻译: 本文分析了一个稳态二维感应加热问题解的存在性及其有限元逼近。该问题的主要困难之一在于其右端项乍看之下仅为可积的。利用所涉及偏微分方程的先验正则性结果，证明了问题的自然弱形式是合理的。然后，我们研究了有限元逼近，并证明了标准 Galerkin 有限元法在凸区域及适当的网格条件下收敛。通过将最近提出的保界方法 (BPM) 应用于热方程，我们改进了这一结果，并证明该方法在更宽松的区域与网格条件下收敛到问题的解。由于这些分析未对解的正则性作任何假设，因此有限元法的收敛性也证明了了解的存在性。多个数值实验证实了理论结果，并展示了使用保界方法相比标准有限元方法的改进。\n不相关论文（基本信息） 1. 数值积分对 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程策略迭代收敛性的影响 The Effect of Quadrature on the Convergence of Policy Iteration for Hamilton-Jacobi-Bellman Equations\n作者: Thomas Hall, Iain Smears, Endre Süli, Harry Wells\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-23\narXiv ID: 2606.24806v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.24806v1\n摘要: Modern finite element libraries allow users to express partial differential equations directly in variational form, with the added convenience of automatic quadrature selection. In the context of Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations, automatic quadrature selection can result in nonmatching quadratures between different terms that may lead to loss of convergence of the policy iteration, which is otherwise expected from theory to converge superlinearly. The simple remedy of enforcing matching quadrature recovers the expected superlinear convergence.\n2. 精确Sobolev三明治与Radon域$L^p$脊积分空间对ReLU$^k$网络的逼近率 Sharp Sobolev Sandwich and Approximation Rates of Radon-Domain $L^p$ Ridge Integral Spaces for ReLU$^k$ Networks\n作者: Juncai He, Zitong Tian\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-23\narXiv ID: 2606.24795v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.24795v1\n摘要: We develop the $L^p$ space and approximation theory for shallow neural networks with $\\mathrm{ReLU}^k$ activations. The central object is the Radon-domain $L^p$ space $\\mathcal{R}L^p_k(Ω)$ containing all functions on a bounded domain $Ω$ that admit a ridge integral representation whose coefficient density belongs to $L^p$ in the Radon domain. In the Hilbert case $p=2$, we prove by elementary Fourier analysis that this space recovers the critical Sobolev space $H^{k+(d+1)/2}(Ω)$. For general $1","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-06-24_06-33-05/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年06月24日 06:33:05\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 24\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-lymph-20库面向多面体dg方法的-自适应算法与并行装配策略\"\u003e1. lymph 2.0库：面向多面体DG方法的$p$-自适应算法与并行装配策略\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eThe lymph 2.0 library: p-adaptive algorithms and parallel assembly strategies for polytopal DG methods\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年06月24日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年06月23日 06:37:24\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 4\n不相关论文数量: 31\n重点关注论文（完整分析） 1. 一阶时间依赖麦克斯韦方程的 Hagstrom-Warburton 无反射边界条件的 Kreiss 稳定性分析 Kreiss stability analysis of Hagstrom-Warburton nonreflecting boundary conditions for the first-order time-dependent Maxwell equations\n作者: Kaifang Liu, Matthias Schlottbom, J. J. W. van der Vegt, Yan Xu\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-06-22\narXiv ID: 2606.22754v1\n摘要翻译: 本文分析了一阶时间依赖麦克斯韦方程的 Hagstrom-Warburton 无反射边界条件（HW-NRBCs）的稳定性。HW-NRBCs 具有非常小的反射系数，且不使用高阶导数或非局部边界算子，这使其非常适合高阶精确数值离散。本文的主要结果是解在 $L^2$ 意义下的先验估计，该估计用半空间中的初始和边界数据以及体积源表示。为得到此结果，我们首先推导了一个映射，该映射将具有 HW-NRBCs 的麦克斯韦方程解的出射分量映射为入射分量，这表明 Kreiss 条件并非一致成立。随后，为证明稳定性，构造了若干对称化子，从而在广义意义上建立了适定性。\nComment: 53 pages, 1 figure\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.22754v1\n1. 研究对象和背景 在许多应用领域，如地震波模拟、声波与电磁波传输，散射问题被建模为无界域上的偏微分方程。实际计算中，无界域常被截断为有限计算域，并在人工边界上施加无反射边界条件（NRBCs）或完美匹配层（PMLs）以最小化非物理反射。Hagstrom 与 Warburton 提出的 HW-NRBCs 具有极低的反射系数，且避免使用高阶导数或非局部算子，非常适合高阶精度离散化。然而，对于一阶时变麦克斯韦方程，HW-NRBCs 的稳定性分析此前尚未建立。本文针对半空间域 $\\Omega = \\{ x \\in \\mathbb{R}^3 \\mid x_1 \u003c 0 \\}$ 上的麦克斯韦方程进行分析，方程形式为（经尺度变换后） $$ B \\frac{\\partial u}{\\partial t} + \\sum_{i=1}^3 A_i \\frac{\\partial u}{\\partial x_i} = f, $$ 其中 $u = (\\sqrt{\\bar{\\varepsilon}_r \\bar{\\mu}_r} E^{\\mathsf{T}}, \\bar{\\mu}_r H^{\\mathsf{T}})^{\\mathsf{T}} \\in \\mathbb{R}^6$ 是包含电磁场的未知向量，$A_i$ 为对称矩阵，$B$ 为正定对称矩阵（当 $\\varepsilon_r, \\mu_r$ 为常数时 $B = I$）。边界 $\\Gamma = \\{x_1 = 0\\}$ 上施加 HW-NRBCs： $$ \\begin{aligned} A_1 \\frac{\\partial \\phi_1}{\\partial t} - L_0 \\phi_0 \u0026= L_0 g, \\\\ L_j \\phi_j - K_j \\phi_{j+1} \u0026= 0, \\quad j = 1, \\dots, J, \\\\ B_\\Gamma^- \\phi_{J+1} \u0026= 0, \\\\ B_\\Gamma^0 L_1 \\phi_1 \u0026= 0, \\end{aligned} $$ 其中 $\\phi_0 = u|_\\Gamma$，$\\phi_j$ 为辅助变量，算子 $L_j, K_j$ 包含时空导数，参数 $a_j \\in (0,1)$ 用于优化吸收效果。\n稳定性方面，能量估计方法对耗散边界条件有效，但 HW-NRBCs 不是最大耗散的，能量估计失效。Kreiss 理论（均匀 Lopatinskii 条件）为双曲系统提供了强适定性的代数判据，Majda 和 Osher 将其推广到特征边界。本文发现，对应 HW-NRBCs 的均匀 Kreiss 条件不成立，因此不能直接应用 Majda-Osher 的强适定性结果。\n以往工作：对于标量波动方程和声波方程，Higdon-NRBCs 与 HW-NRBCs 的能量估计已有分析；对于 Maxwell 方程，[12] 中理想导体边界条件、[13] 中保守边界条件等出现了导数损失现象。本文旨在填补 Maxwell 方程 HW-NRBCs 稳定性分析的空白，证明一个 L2 先验界，并在更一般的材料系数和边界数据下建立广义适定性。\n2. 主要定理或主要结果 主要结果是在适当假设下，证明了以下 L2 稳定性估计（定理 2.3）：\n设 $\\eta \u003e 0$ 充分大，材料参数满足 $\\varepsilon_r, \\mu_r \\in L^\\infty(\\Omega)$ 且在边界邻域为常数，源项 $f \\in L^2(\\Omega \\times (0,\\infty))^6$，初值 $u_0 \\in L^2(\\Omega)^6$，边界数据 $g_- \\in H_\\eta^1(\\Gamma \\times (0,\\infty))^6$，并假设解 $u \\in H_\\eta^1(\\Omega \\times (0,\\infty))^6$ 且迹属于 $H_\\eta^1(\\Gamma \\times (0,\\infty))^6$。则存在与 $u, \\eta$ 无关的常数 $C \u003e 0$，使得 $$ \\|u\\|_{0,\\Gamma \\times [0,\\infty),\\eta}^2 + \\eta \\|u\\|_{0,\\Omega \\times [0,\\infty),\\eta}^2 \\le C \\left( \\frac{1}{\\eta} \\|f\\|_{0,\\Omega \\times [0,\\infty),\\eta}^2 + \\|u_0\\|_{0,\\Omega}^2 + \\|g_-\\|_{1,\\Gamma \\times [0,\\infty),\\eta}^2 \\right). $$该估计表明解在加权 L2 范数下由初始数据、源项和边界数据控制。作为副产品，文中还给出了 HW-NRBCs 的显式反射系数，推广了标量波动方程和声波方程的相关结论。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 证明的核心挑战在于 HW-NRBCs 不满足均匀 Kreiss 条件，导致算子对角化或奇异性破坏，无法直接应用 Majda-Osher 的框架。为此，作者发展了一套基于对称子的构造性方法，具体步骤如下：\n半空间常数系数问题的模态分析：通过双侧拉普拉斯-傅里叶变换，将 Maxwell 系统化为关于空间变量 $x_1$ 的常微分方程组（特征模式）。引入变换 $\\rho = S^{\\mathsf{T}} u$（$S$ 由 $A_1$ 的特征向量构成）后，方程变为 $$ \\frac{\\partial \\rho}{\\partial t} + \\Lambda \\frac{\\partial \\rho}{\\partial x_1} + \\tilde{A}_2 \\frac{\\partial \\rho}{\\partial x_2} + \\tilde{A}_3 \\frac{\\partial \\rho}{\\partial x_3} = S^{\\mathsf{T}} f, \\quad \\Lambda = \\operatorname{diag}(1,1,0,0,-1,-1). $$ 在频域 $(\\omega_2, \\omega_3, s)$ 中求解得到特征解，建立出射模式与入射模式之间的映射关系，并给出反射矩阵 $\\hat{R}(\\omega, s)$。\n均匀 Kreiss 条件的破坏与分情况处理：由反射矩阵可知，均匀 Kreiss 条件不能一致成立，原因在于某些参数点出现广义特征值使得矩阵 $\\hat{M}$（定义于式(3.6)）不可对角化或奇异。为此，依据 $\\hat{M}$ 的谱性质将分析分为三种情况：（i）矩阵可对角化且无奇异；（ii）矩阵奇异但可对角化；（iii）矩阵出现 Jordan 块。每种情况都需要分别构造对称子。\n对称子的构造：对称子 $\\hat{P}(\\omega, s)$ 是一个与 $\\hat{M}$ 相关的 Hermite 矩阵，需满足\n在每种情况下保持正定性或满足 Garding 不等式条件； 与边界条件配合给出所需的符号控制。 构造的关键是处理虚轴附近的奇性，尤其是当 $\\hat{M}$ 的零空间与边界条件的相互作用。作者通过细致的线性代数分析，给出了显式的对称子表达式（见第5.3–5.5 节引理 5.4, 5.10, 5.14）。这是本文最核心的技术贡献，对称子的结构仅依赖于 $\\hat{M}$ 和边界条件的形式，因而可推广到其他边界条件。 先验估计的导出：利用对称子，通过伪微分算子演算和 Garding 不等式，在边界邻域 $\\Omega_\\epsilon$ 上得到加权 L2 估计。再结合内部区域 $\\Omega \\setminus \\Omega_\\epsilon$ 上的能量估计（那里材料系数可非光滑，使用标准能量方法），最终拼接得到全空间上的稳定性界。整个过程依赖于由 Garding 不等式推广得到的半空间版本及其对奇性的处理。\n伪微分算子框架：文中广泛使用了双变量符号 $S_{1,0}^{m_1,m_2}$ 类伪微分算子及其运算法则，以处理拉普拉斯域中出现的符号奇性和权函数。这一套工具使得证明可以系统化，并适用于将来推广到一般光滑域。\n4. 与之前工作的比较 本文与现有工作的对比可从以下维度展开：\n对 HW-NRBCs 稳定性分析的推进：\n此前，HW-NRBCs 的稳定性结果仅限于标量波动方程 [4] 和声波方程 [30]。对于 Maxwell 方程，Hagstrom-Warburton 在 [30] 中给出了边界条件的形式，但未涉及稳定性分析。本文首次为 Maxwell 方程 HW-NRBCs 建立了 L2 稳定性估计。 与标量情况不同，Maxwell 系统是多重特征（特征边界），且 HW-NRBCs 导致非对角反射矩阵，直接能量估计不能封闭。 与 Kreiss 理论和 Majda-Osher 工作的关系：\n经典 Kreiss 理论 [39] 针对非特征边界，Majda-Osher [42] 推广到特征边界，但均要求均匀 Lopatinskii 条件满足。本文明确证明均匀 Kreiss 条件在此失效，因此不能直接应用 [42] 的定理。这指出了此前理论的局限性。 在均匀条件失效时，通常仅能得到弱适定性（带导数损失）。例如 [14] 中通过构造显式解得到结果，但该方法无法处理变系数和低阶项。本文改用对称子技术，无需显式解，且能容纳边界附近常数系数、内部变系数的一般情形。 与使用对称子处理非特征边界的工作：\n[11, Section 2] 对非特征边界构造了对称子，本文将其思想扩展到特征边界并克服了奇性。文中特意说明，所构造的对称子并非针对 HW-NRBCs 特有，对不同边界条件仅需验证引理 5.4、5.10、5.14 的条件，形成了一个灵活的分析框架。 反射系数的显式表达：\n作为副产品，本文给出了 Maxwell 方程 HW-NRBCs 的反射系数，对比了 [19, 29, 30, 31] 中标量/声波的结果，表明 Maxwell 情形具有类似的高阶吸收特性，但推导更复杂。 适用范围的扩展：\n假设方面，本文允许内部材料系数非光滑（仅要求 L∞ 正定性），优于许多要求全局光滑系数的研究。代价是需要假设在边界邻域系数为常数，这是一种常见的工程折衷。 未来工作将扩展到一般光滑域，这也是本文方法较显式解方法的优势所在。 了解领域论文（摘要翻译） 1. 基于投影的重建实现低阶DGSEM模拟的高阶精度 Projection-Based Reconstruction for Achieving High-Order Accuracy from Low-Order DGSEM Simulations\n作者: Xukun Wang, Suyash Shrestha, Oscar A. Marino, Esteban Ferrer\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-22\narXiv ID: 2606.23504v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.23504v1\n摘要翻译 中文标题: 基于投影的重建实现低阶DGSEM模拟的高阶精度\n摘要翻译: 基于Legendre-Gauss-Lobatto (LGL)节点的高阶间断Galerkin谱元方法(DGSEM)为守恒律提供了精确且高效的离散化。然而，当多项式次数增加时，它们的计算成本、内存占用和时间步长限制迅速增长。本文针对DGSEM-LGL离散提出了一种修正的$\\mathbb{P}_n\\mathbb{P}_m$ ($c\\mathbb{P}_n\\mathbb{P}_m$)方法，旨在恢复$m^{th}$阶逼近的精度，同时仅演化$n^{th}$阶表示($n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-06-23_06-37-24/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年06月23日 06:37:24\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 4\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 31\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-一阶时间依赖麦克斯韦方程的-hagstrom-warburton-无反射边界条件的-kreiss-稳定性分析\"\u003e1. 一阶时间依赖麦克斯韦方程的 Hagstrom-Warburton 无反射边界条件的 Kreiss 稳定性分析\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eKreiss stability analysis of Hagstrom-Warburton nonreflecting boundary conditions for the first-order time-dependent Maxwell equations\u003c/p\u003e","title":"2026年06月23日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年06月19日 08:20:12\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 4\n不相关论文数量: 18\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 一种用于Wigner-Poisson系统的守恒自适应秩方法 A conservative adaptive rank method for the Wigner-Poisson system\n作者: Andrew Christlieb, Sining Gong, F. Alejandro Padilla-Gomez, Jing-Mei Qiu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-18\narXiv ID: 2606.20234v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.20234v1\n摘要翻译 中文标题: 一种用于Wigner-Poisson系统的守恒自适应秩方法\n摘要翻译: 我们针对1D1V Wigner-Poisson系统提出一种守恒自适应秩方法。该方法针对确定性量子动理学模拟中的一个核心挑战：在降低相空间演化代价的同时保持物理保真度所需的宏观不变量。该格式结合了基于采样的自适应秩Wigner-Poisson更新[7]与一种守恒宏观校正。守恒密度-动量求解提供局部宏观更新，Fermi-Dirac型重构将其转移到动理学解，而全局二次矩校正在动理学层面施加离散总能量约束。与经典动理学中常用的Maxwell-Boltzmann型校正不同，该重构使用受模型量子统计结构启发的Fermi-Dirac型形式。校正状态被纳入ACA SVD表示，允许数值秩适应由非局部Wigner算子和自洽Poisson场所产生的相空间复杂性。针对双流不稳定性、强Landau阻尼和隆起尾不稳定性进行的数值实验表明，该方法在几个量子参数H值下捕捉到了基准Wigner-Poisson动力学，保持了有界自适应秩，并且以接近机器精度的守恒误差保持了指定的全局离散不变量。我们还将此构造（使用局部密度-动量校正加全局总能量校正）与一种相关的质量、动量和能量全局守恒构造[8]进行了比较。对于此处所考虑的周期基准测试，两种方法产生了几乎相同的相空间和诊断结果，表明在校正的1D1V周期设定下，两种校正策略都与Wigner-Poisson动力学的自适应秩压缩相容。\n2. 面向 Poisson-Nernst-Planck 和 Poisson-Nernst-Planck-Navier-Stokes 系统的结构导向随机神经网络 Structure-Oriented Randomized Neural Networks for Poisson-Nernst-Planck and Poisson-Nernst-Planck-Navier-Stokes Systems\n作者: Yunlong Li, Fei Wang\n类别: math.NA, cs.LG, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-18\narXiv ID: 2606.19912v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.19912v1\n摘要翻译 中文标题: 面向 Poisson-Nernst-Planck 和 Poisson-Nernst-Planck-Navier-Stokes 系统的结构导向随机神经网络\n摘要翻译: 我们针对 Poisson-Nernst-Planck (PNP) 系统与 Poisson-Nernst-Planck-Navier-Stokes (PNP-NS) 系统，开发了一个称为 SO-RaNN 的结构导向随机神经网络框架。解耦的线性化子问题由随机神经网络在时空框架下迭代求解。对于浓度变量，使用逐点截断以在数值层面强制正性，并在选定的校正时刻计算离散质量缩放因子并在时间上插值，从而确保这些时刻的精确质量匹配，并促进其间质量的近似守恒。为引入辅助的离散耗散机制，我们进一步采用 SAV 型后处理校正，该校正使得在理想 SAV 更新下，SAV 辅助变量具有单调性。对于 PNP-NS 系统，对速度场使用保结构随机神经网络 (SP-RaNN)，使得速度逼近在构造上逐点满足不可压缩性约束。在理论方面，我们针对线性化子问题的原始、未校正 RaNN 求解器推导了基于残差的估计，构建了 PNP 系统原始外 Picard 迭代的条件局部时间收敛结果，并分析了数值层面的正性校正以及质量校正和 SAV 后处理步骤。对于 PNP-NS 系统，我们建立了 SP-RaNN 空间的逼近结果，并给出了对应线性化 Oseen 型问题的条件误差陈述。数值实验在源项驱动的人工测试中展示了逼近精度，并说明了预期的数值层面正性校正、选定时刻质量匹配、基于最终规范固定势计算的自由能曲线，以及在基准测试中的无散度逼近。\n3. 具有分数阶耗散的电子磁流体力学方程的梯度恢复方法 A Gradient Recovery Method for Electron Magnetohydrodynamics with Fractional Dissipation\n作者: Hailong Guo, Ruimeng Hu, Qirui Peng, Xu Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-18\narXiv ID: 2606.19716v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.19716v1\n摘要翻译 中文标题: 具有分数阶耗散的电子磁流体力学方程的梯度恢复方法\n摘要翻译: 我们针对周期环面上的$2\\tfrac{1}{2}$维（2.5D）具有分数阶耗散的电子磁流体力学系统，提出并分析一种保结构数值方法。该方法直接处理磁场分量，并将这种分量形式与[T. Chu, H. Guo, and Z. Zhang, SIAM J. Numer. Anal., 63 (2025), pp. 23\u0026ndash;53]中的梯度恢复算子相结合。我们对半隐式保结构格式建立了离散能量稳定性，并利用显式霍尔积分因子实现，以便在周期网格上进行高效计算。分数阶耗散在Fourier空间中精确处理，面内散度约束通过谱Hodge投影施加。数值实验在多个基准测试中展示了二阶空间收敛性和稳定的霍尔驱动动力学。\n4. 基于规范变换的周期dNLS显式傅里叶积分器：离散Bourgain空间中的低正则性估计 Explicit Fourier Integrator for the Periodic dNLS via Gauge Transformation: Low-Regularity Estimates in Discrete Bourgain Spaces\n作者: Lun Ji, Hang Li, Alexander Ostermann, Gangfan Zhong\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-17\narXiv ID: 2606.19648v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.19648v1\n摘要翻译 中文标题: 基于规范变换的周期dNLS显式傅里叶积分器：离散Bourgain空间中的低正则性估计\n摘要翻译: 导数非线性薛定谔方程是描述等离子体物理和非线性光学等领域中非线性色散波传播的基本模型。本文在环面上考虑该模型，并研究相应周期问题的滤波显式傅里叶积分器。在应用周期规范变换后，我们考虑一个频率截断模型及其滤波指数-欧拉离散。主要困难在于周期条件下的导数立方非线性，因为局部光滑化不再可用，且共振相互作用比非周期情形更强。为解决这一问题，我们建立了一个适用于规范变换后方程的离散Bourgain空间框架。对于初值 $u_0 \\in H^s(\\mathbb{T})$，其中 $1/2 \u003c s \\le 5/2$，我们证明了在 $H^{1/2}(\\mathbb{T})$ 中数值误差的阶为 $\\mathcal{O}(τ^{s/2-1/4})$，其中 $τ$ 表示时间步长。数值实验验证了预测的收敛性，并展示了滤波格式对粗糙解的有效性。\n不相关论文（基本信息） 1. 用于泊松问题亿亿次级求解的粗网格求解器 CoarseSolvers for Exascale Solution of Poisson Problems\n作者: Thilina Ratnayaka, Paul Fischer, Luke Olson\n类别: math.NA, cs.DC, cs.MS\n发布日期: 2026-06-18\narXiv ID: 2606.20496v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.20496v1\n摘要: WepresentatwolevelSchwarzmethodasanalternativetoAlgebraicMultigridmethod(AMG) used as the last level (coarse) solver of the p-multigrid pMG preconditioner for pressure Poission equation resulting from Spectral/Finite element descretization of incompressible Navier-Stokes eqaution. Proposed Schwarz method consits of a local problem in the original pMG coarse space and a global coarse problem. Main contribution of the paper is a novel, structured and a non-nested coarse space for the global coarse problem. Structured nature of the proposed global coarse space enable communication-free interpolation between the original p-multgrid coarse space and the global coarse problem. We demonstrate the effectiveness of the proposed method compared to the state of the art AMG solver BoomerAMG by a series of experiments performed using Nek5000/RS, a suite of highly scalable incompressible Navier-Stokes solvers, on Summit/Frontier supercomputers at Oak Ridge Leadership Computing Facility.\n2. 代理式符号搜索：表征超越手工表达式、网格和神经网络的偏微分方程 Agentic Symbolic Search: Characterizing PDEs Beyond Hand-crafted Expressions, Meshes, and Neural Networks\n作者: Zongmin Yu, Liu Yang\n类别: cs.LG, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-18\narXiv ID: 2606.20467v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.20467v1\n摘要: Mathematicians understand a PDE solution through mathematical structures rather than tables of computed values. Historically, this has been the product of mathematical analysis, carried out by hand for each problem individually. Neither numerical simulation nor neural networks produce those structures directly. We propose Agentic Symbolic Search (ASYS), a prior-guided framework in which an agent translates PDE theory, public problem constraints, and accumulated search experience into testable differentiable symbolic programs. The mathematical forms are refined under evolutionary search, while their continuous parameters are fit by gradient-based optimization. This makes the search an automated form of inductive-bias injection rather than blind symbolic regression. For problems with known analytical forms, ASYS recovers these forms naturally; for other problems, ASYS constructs analytical approximations which can guide mathematicians toward further analysis. In our experiments, across five problems spanning bounded dynamics, finite-time blow-up, and free-boundary focusing, ASYS produces interpretable representations, including a geometric interface formula for Allen-Cahn 2D dynamics and a nine-parameter contraction law for Keller-Segel chemotactic blow-up, in settings where no closed-form description was previously available. ASYS shows the possibility of a new paradigm for characterizing PDE solutions, beyond handcrafted analytical solutions, mesh-based numerical solutions, and neural network approximations.\n3. 面向物理信息神经网络的进化两阶段超参数优化策略 Evolutionary Two-Stage Hyperparameter Optimization Strategies for Physics-Informed Neural Networks\n作者: Fedor Buzaev, Dmitry Efremenko, Egor Bugaev, Andrei Ermakov, Denis Derkach, Daria Pugacheva, Fedor Ratnikov\n类别: cs.LG, cs.NE, math.NA\n发布日期: 2026-06-18\narXiv ID: 2606.20442v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.20442v1\n摘要: Physics-Informed Neural Networks (PINNs) solve Partial Differential Equations (PDEs) by embedding physical laws into neural network training. However, their performance suffers from unstable convergence, training plateaus, and strong sensitivity to architectural and optimization hyperparameters due to the highly non-convex and multi-term structure of the physics-informed loss. In this setting, the outer-loop hyperparameter search is a noisy and black-box optimization problem over heterogeneous parameters, where classical local or gradient-based strategies are easily trapped in suboptimal regions. Evolutionary algorithms, with their population-based exploration and ability to handle mixed, non-differentiable search spaces, provide a more robust mechanism for discovering promising configurations. We propose and investigate a two-stage approach based on evolutionary algorithms that combines exploration and exploitation parts of PINNs training to improve solution accuracy and robustness under fixed computational budgets. In the first stage, we perform low-fidelity training runs with truncated epochs to rapidly screen candidate configurations, treating hyperparameter selection as a black-box outer-loop problem. In the second stage, only the most promising candidates are fully trained with standard gradient-based optimizers to refine the solution. Evaluated on three popular problems, namely Advection, Klein-Gordon and Helmholtz equations, our method consistently outperforms standard training and achieves significantly lower mean error within constrained computational resources.\n4. 电子薛定谔方程的稀疏组态相互作用方法再探：完备基组极限复杂度与量子编码影响 Sparse Configuration Interaction for the Electronic Schrödinger Equation Revisited: Complete Basis Set Limit Complexity and Quantum-Encoding Impact\n作者: Michael Griebel, Jan Hamaekers\n类别: quant-ph, math.NA\n发布日期: 2026-06-18\narXiv ID: 2606.20385v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.20385v1\n摘要: In this article we revisit regularity results for eigenfunctions in the discrete spectrum of the electronic Schrödinger equation and study their consequences for approximation complexity. In particular, for the convergence to the complete basis set limit, it can be shown that the curse of dimensionality in the leading algebraic exponent can be mitigated. That is, for general sparse grid constructions, the main term of the convergence rate with respect to the number of degrees of freedom is independent of the number of electrons. These insights indicate potential benefits for classical numerical solvers of the electronic Schrödinger equation and also for quantum-computing approaches through new qubit-efficient wavefunction encodings.\n5. 基于多边形单元光滑有限元框架的非线性岩土分析 Nonlinear Geotechnical Analysis Using a Polygonal Cell-Based Smoothed Finite Element Framework\n作者: Mingjiao Yan, Yang Yang, Zongliang Zhang, Yinpeng Yin, Miao Zhang, Yijia Dong, Dong Pan, Xiaozi Lin, Tiankai Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-18\narXiv ID: 2606.20384v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.20384v1\n摘要: Nonlinear geotechnical analysis often involves complex geometries, staged construction, local failure, and mesh-dependent stress and plastic strain responses. This study develops a polygonal cell-based smoothed finite element method (CS-FEM) for nonlinear geotechnical analysis and implements it in ABAQUS through the user element subroutine. The proposed method combines Wachspress interpolation with cell-based strain smoothing, in which the smoothed strain\u0026ndash;displacement matrix is evaluated by boundary integration over polygonal smoothing subcells. This formulation avoids direct calculation of shape-function derivatives inside polygonal elements and enables standard polygonal meshes and hybrid quadtree meshes with hanging nodes to be handled in a unified framework. Nonlinear geomaterial behavior is incorporated through incremental elasto-plastic constitutive updates, including the Mohr\u0026ndash;Coulomb model and the Duncan\u0026ndash;Chang model. Several benchmark and engineering examples, including a perforated plate, strip footing, core rockfill dam, tunnel excavation, and slope stability problems, are presented for verification. The results show that the proposed method accurately predicts displacement, stress, plastic strain, bearing capacity, and factor of safety, while providing improved mesh flexibility and computational efficiency for nonlinear geotechnical analysis.\n6. 通过形状参数的自适应修改的数据依赖谢泼德逼近 Data dependent Shepard approximation through and adaptive modification of the shape parameter\n作者: José Kuruc, Juan Ruiz-Álvarez, Bo Wang, Dionisio-Félix Yáñez\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-18\narXiv ID: 2606.20332v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.20332v1\n摘要: In this article, we introduce a novel data-dependent Shepard interpolation method inspired by the adaptive strategies proposed in [2]. In this case, as Shepard interpolation does not produce oscillations, our approach has the core objective of reducing the smearing near jump discontinuities in the data in one and two dimensions. While the original work in [2] focuses in on Radial Basis Function (RBF) interpolation, we extend these ideas to the Shepard framework by incorporating a data-dependent adaptation mechanism. Specifically, we modify the classical Shepard interpolation by adaptively adjusting the influence weights based on local smoothness indicators that modify the shape parameter. These indicators, similar to those used in [2], are designed to detect discontinuities: for grid-based data, we use squared undivided second-order differences, and for scattered data, we employ squared least-squares approximations of the Laplacian scaled by the square of the mean local separation of stencil points. The resulting data-dependent weighting scheme forces the kernels close to a discontinuity to behave like a local delta function, effectively reducing the smearing of the discontinuities introduced by the classical Shepard approach. We establish the theoretical foundation of the method, including the properties of the new interpolation and we theoretically prove that the reduction of the smearing of discontinuities is possible. Numerical experiments in one and two dimensions confirm that the proposed data-dependent Shepard interpolation significantly reduces the smearing of jump discontinuities while maintaining high accuracy in smooth regions.\n7. 随机化草图对GPU低精度舍入具有鲁棒性 Randomized Sketching is Robust to Low-Precision Rounding on GPUs\n作者: Aryaman Jeendgar, Clément Flint, Hartwig Anzt\n类别: cs.PF, math.NA\n发布日期: 2026-06-18\narXiv ID: 2606.20195v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.20195v1\n摘要: Randomized sketching is a core primitive in randomized numerical linear algebra. On modern hardware architectures, in particular on GPUs, the performance of sparse sketches is limited by memory traffic and atomic accumulation rather than floating-point throughput. This makes sketching a natural target for mixed precision, provided that low-precision accumulation does not degrade the embedding quality. We study mixed-precision GPU implementations of sparse oblivious subspace embeddings, focusing on a SparseStack generalization of the GPU CountSketch kernel of Higgins et al. SparseStack improves embedding quality relative to CountSketch on coherent inputs, but its additional nonzeros per column increase atomic-update contention and reduce throughput. We therefore implement FP16 SparseStack variants using deterministic round-to-nearest, exact stochastic rounding, and dithered rounding, and compare them with FP32 SparseStack, CountSketch, mixed-precision CountSketch, and FlashSketch. Our main empirical finding is that, for the tested regimes, SparseStack embedding quality is insensitive to the FP16 rounding rule. Deterministic, stochastic, and dithered rounding FP16 SparseStack produce nearly identical subspace distortion and sketch-and-solve least-squares accuracy across incoherent, coherent, and adversarial test problems. The dominant accuracy factor is the sketch distribution rather than the quantization rule: SparseStack variants substantially improve distortion on coherent inputs, while all methods behave similarly on incoherent inputs. Since deterministic rounding has the lowest overhead, it provides the best performance\u0026ndash;accuracy tradeoff among the FP16 SparseStack variants.\n8. 基于$C_0$半群的拟抛物方程的后验误差界 A posteriori error bounds for pseudo-parabolic equations using $C_0$ semigroups\n作者: Martin Ossadnik, Torsten Linß\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-18\narXiv ID: 2606.20073v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.20073v1\n摘要: A class of pseudo-parabolic partial differential equations is considered. We derive a posteriori error bounds for approximations obtained by FEMs in space and a BDF formula in time. The analysis is based on the $C_0$ semigroup theory and an adaptation of the concept of elliptic reconstruction to pseudo-parabolic problems. The analysis is complemented with numerical experiments.\n9. 平面三维 ILSA 水力压裂模型的加速方法 Acceleration methods for the planar 3D ILSA hydraulic fracturing model\n作者: V. I. Shukalo, A. V. Valov, A. N. Baykin\n类别: physics.geo-ph, math.NA\n发布日期: 2026-06-18\narXiv ID: 2606.20025v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.20025v1\n摘要: Planar 3D models of hydraulic fracturing provide a practical balance between models with restrictive geometric assumptions and fully 3D simulators, capturing fractures with arbitrary planar footprints at moderate computational cost. Nevertheless, applications such as treatment design optimization and mini-frac test interpretation require large ensembles of simulations, for which the cost of planar 3D models remains a significant bottleneck. This work presents acceleration strategies for the planar 3D Implicit Level Set Algorithm (ILSA) to reduce simulation runtime while preserving numerical accuracy. A unified planar 3D ILSA scheme that consolidates the nested loops of the elastohydrodynamic solver and the front tracking algorithm into a single iterative process is introduced. A matrix splitting approach is applied to the linearized elastohydrodynamic system, moving the dense part of the elasticity operator to the right-hand side and yielding a sparse system matrix that can be solved more efficiently. Anderson acceleration is incorporated into the solution of the elastohydrodynamic system to improve convergence under varying fracture geometry. Additionally, a predictor\u0026ndash;corrector scheme is examined with the proposed methods to assess their combined effect. Each technique is evaluated individually and in combination on both the reference and unified planar 3D ILSA schemes across five benchmark cases. Numerical experiments demonstrate that the unified scheme alone delivers an average 2.5x speedup, reaching 5.7x for the sandglass geometry. The combined application of all techniques achieves an average 4x speedup and up to 11x for the sandglass case, with the relative discrepancy in fracture aperture below 5% compared with the reference scheme.\n10. 基于快速直接求解器的神经网络求解偏微分方程 A fast direct solver based neural network for solving PDEs\n作者: Jashwanth Reddy Kadaru, Vaishnavi Gujjula\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-06-18\narXiv ID: 2606.19895v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.19895v1\n摘要: The matrices arising from large scale $N$-body problems can be efficiently represented using hierarchical matrices, whose key idea is that the admissible off-diagonal sub-matrices can be well approximated by low-rank matrices across a hierarchy of matrix partitions. HODLR (Hierarchical Off-Diagonal Low-Rank) matrices are a subclass of hierarchical matrices in which all off-diagonal submatrices at every level of a recursive binary partition are low-rank. In this article, we present a neural network that learns the inverse operation of HODLR matrices based on the fast direct solver for HODLR matrices developed by Ambikasaran and Darve (2013). We further extend the architecture to learn nonlinear solution operators associated with PDEs by replacing some of the linear layers with deep sub-networks. We demonstrate the performance of the proposed architecture by performing a comprehensive set of experiments that include (i) solving a linear problem such as the Fredholm integral equation of the second kind, (ii) solving PDEs such as the nonlinear Schrödinger equation, Burgers\u0026rsquo; equation, and the steady-state Darcy\u0026rsquo;s flow equation, (iii) generalization study across varying parameter values, (iv) comparing the inference time of the proposed network with the run time of a classical numerical solver, and (v) comparing the proposed network with some of the existing neural operator learning networks.\n11. 具有超线性增长系数的随机微分方程的随机θ方法的不变测度 Invariant measures of the stochastic theta method for stochastic differential equations with super-linearly growing coefficients\n作者: Xiaotong Li, Wei Liu, Wenjie Xiao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-18\narXiv ID: 2606.19886v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.19886v1\n摘要: The stochastic theta method is proposed to approximate invariant measures of stochastic differential equations (SDEs), both of whose drift and diffusion coefficients may grow super-linearly. For the numerical solution generated by the stochastic theta method, we show the existence and uniqueness of the numerical invariant measure first. Then, we prove that the numerical invariant measure is convergent to the exact invariant measure of the underlying SDE. We also provide some numerical simulations to illustrate our theoretical results. This work could be regarded as an extension of the results in [Y. Jiang et al, Numer. Algorithms 83(4)(2020), pp. 1531-1553] to the case of super-linearly growing diffusion coefficient. As the backward Euler-Maruyama (EM) method is a special case of the stochastic theta method, the results derived in this work could also be regarded as a generalization of the results for the backward EM method in [W. Liu et al. Appl. Numer. Math. 184(2023), pp. 137-150] to the stochastic theta method.\n12. 流体-多孔弹性结构相互作用问题的二阶显式分裂格式 Second order explicit splitting scheme for fluid-poroelastic structure interaction problems\n作者: Yifan Wang, Jeonghun Lee, Suncica Canic\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-06-18\narXiv ID: 2606.19811v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.19811v1\n摘要: Efficient and provably accurate partitioned methods for fluid-poroelastic structure interaction remain challenging because explicit treatment of the Stokes-Biot interface coupling condition can compromise stability. In this work, we develop and analyze a fully discrete, second-order, explicit splitting scheme for the time-dependent Stokes-Biot problem on fixed domains. The method combines BDF2 time stepping with second-order Adams-Bashforth extrapolation of interface data through a Robin reformulation, yielding a partitioned algorithm in which the Stokes and Biot subproblems are solved independently and in parallel at each time step. The main analytical contribution is a rigorous stability and error analysis for this second-order explicit coupling strategy. Using BDF2 energy identities, a sharp decomposition of the extrapolated interface terms, and discrete trace estimates, we prove a closed stability bound under a parabolic CFL condition. We then derive an a priori error estimate through a projection-based framework using a Fortin projection for the fluid variables and Ritz-type projections for the poroelastic variables. The analysis identifies consistency defects from BDF2 time discretization, Adams-Bashforth interface extrapolation, and the projected kinematic relation. It shows that the total errors in fluid velocity, structure velocity, pore pressure, and elastic displacement are bounded by C times the sum of the kth power of the mesh size and the square of the time step, for k from 1 to 3, in bulk energy norms. Numerical experiments with manufactured solutions confirm second-order temporal convergence and optimal-order spatial convergence. We also include a moving-domain example with Navier-Stokes fluid flow, demonstrating applicability beyond the fixed-domain Stokes-Biot setting analyzed.\n13. 可压缩大气欧拉方程的良好平衡二阶近似 Well-balanced second-order approximation of the compressible atmospheric Euler equations\n作者: Crystal Farris, Matthias Maier, Eric J. Tovar\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-18\narXiv ID: 2606.19764v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.19764v1\n摘要: We introduce a second-order approximation to the compressible atmospheric Euler equations with gravity that is invariant domain preserving and well-balanced with respect to rest states. The approximation is built upon discrete auxiliary states derived from a hydrostatic reconstruction of the density. These auxiliary states, together with an affine shift of the numerical state, provide local bounds needed for maintaining well-balancing and invariant domain preserving properties of the method. The numerical method is then verified and validated with analytic solutions, well-balancing tests, and typical benchmark problems for atmospheric flows.\n14. 基于物理信息宽度学习系统学习偏微分方程的通用逼近 Learning universal approximations for partial differential equations with Physics-Informed Broad Learning System\n作者: Zhiwen Yu, Derong Yang, Liujian Zhang, Kaixiang Yang, Peilin Zhan, Jianmin Lv, Jane You, C. L. Philip Chen\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-06-18\narXiv ID: 2606.19754v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.19754v1\n摘要: Partial differential equations (PDEs) play a central role in modeling complex physical, biological, and engineering systems. While traditional numerical solvers are robust, they often incur prohibitive computational costs due to mesh dependencies, whereas recent Physics-Informed Neural Networks (PINNs) offer a mesh-free alternative but frequently suffer from slow convergence and optimization instability. To bridge this gap, this article proposes the Physics-Informed Broad Learning System (PIBLS), a novel backpropagation-free framework that reformulates PDE solving as a direct least-squares optimization. We improved an algorithm within this framework to handle nonlinear PDEs efficiently and provide a rigorous mathematical proof establishing the universal approximation property of PIBLS for these equations. Experiments on linear and nonlinear PDEs demonstrate that PIBLS is one to three orders of magnitude faster than conventional PINNs while achieving significantly higher solution accuracy. This framework provides a computationally efficient paradigm for scientific machine learning, offering a practical, high-speed alternative for real-time simulation and design optimization tasks.\n15. 关于一类修正的 Cayley\u0026ndash;Magnus 方法 On a class of modified Cayley\u0026ndash;Magnus methods\n作者: Sergio Blanes, Fernando Casas, Arieh Iserles\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-17\narXiv ID: 2606.19614v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.19614v1\n摘要: We introduce a new class of numerical integrators for the time integration of non-autonomous linear ordinary differential equations whose coefficient matrix is sparse and evolves within a quadratic matrix Lie group. In contrast to standard Lie group integrators, the proposed methods avoid the evaluation of matrix exponentials acting on vectors and instead rely on solving a sequence of linear systems with sparse coefficient matrices. Moreover, they are well suited for problems arising from unbounded operators, as they inherently produce bounded solutions. We construct optimised schemes of orders four and six and assess their performance on a representative numerical example, demonstrating clear advantages over existing Lie-group integrators.\n16. 正则化平稳平均场博弈的Bregman投影镜像方法 Bregman-projected mirror methods for regularized stationary mean-field games\n作者: Hussain Al Abdulaziz, Yuri Ashrafyan, Yeva Gevorgyan, Diogo Gomes\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-06-17\narXiv ID: 2606.19611v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.19611v1\n摘要: We develop and analyze a Bregman-projected mirror iteration for low-order regularizations of stationary mean-field game (MFG) systems in their natural Banach space setting. For separable Hamiltonians of the form (H(x,p,m)=H_0(x,p)-g(m)), with quadratic or super-quadratic Hamiltonian growth and linear or super-linear density couplings, we formulate a low-order (\\barγ)-Laplacian regularization of the stationary MFG system as a variational inequality on (L^{\\barβ}(\\mathbb T^d)\\times W^{1,\\barγ}(\\mathbb T^d)). To approximate solutions of this regularized variational inequality, we introduce a Bregman geometry matched to the mixed Lebesgue\u0026ndash;Sobolev exponents of the problem and analyze a constrained two-step mirror method with frozen operator evaluation. For the exact constrained iteration and each fixed regularization parameter (\\epsi\u0026gt;0), we derive a one-step Bregman inequality and use it to prove that the constrained iteration converges strongly to the unique solution of the regularized variational inequality under natural summability conditions on the step sizes. Numerical experiments on one- and two-dimensional models, validated against exact test solutions, illustrate residual decay under mesh refinement and suggest improved practical performance of the two-step implementation in the tested discretizations.\n17. 纳维-斯托克斯方程的高精度模块化数据同化 Higher Accuracy Modular Data Assimilation for the Navier-Stokes Equations\n作者: Troy Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-17\narXiv ID: 2606.19508v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.19508v1\n摘要: This paper develops an accurate and effective combination of second order backward differentiation time discretization (BDF2) with modular, 2-step nudging-based data assimilation \\begin{align} \\text{Forecast step: } \\quad \u0026amp;\\frac{3\\widetilde{v}^{n+2}-4v^{n+1}+v^n}{2Δt}+\\widetilde{v}^{n+2} \\cdot \\nabla \\widetilde{v}^{n+2} - νΔ\\widetilde{v}^{n+2} + \\nabla q^{n+2}=f(x) \\notag \\ \u0026amp;\\nabla \\cdot \\widetilde{v}^{n+2} = 0 \\notag \\ \\text{Analysis step: } \\quad \u0026amp;\\frac{3v^{n+2}-3\\widetilde{v}^{n+2}}{2Δt}-χI_H(u(t^{n+2})-v^{n+2})=0. \\notag \\end{align} If $I_H=I_H^2$, the analysis step can be made explicit, taking the form \\begin{align} v^{n+2}=\\widetilde{v}^{n+2}+\\frac{2Δtχ}{3+2Δtχ}I_H(u^{n+2}-\\widetilde{v}^{n+2}). \\notag \\end{align} This implies the analysis step has the stability property of an implicit step and lower complexity than an explicit analysis step. Stability and error estimates for the BDF2 scheme are presented along with their proofs. Numerical experiments are conducted to assess the performance of BDF2 modular assimilation algorithm. The results of the experiments support the conclusion that modular data assimilation has comparable accuracy to standard, fully coupled data assimilation while greatly reducing computational complexity and cost.\n18. 基于Moreau-Yosida的周期系统Kohn-Sham反演 Moreau-Yosida-based Kohn-Sham Inversion for Periodic Systems\n作者: Vebjørn H. Bakkestuen, Michael F. Herbst, Vegard Falmår, Markus Penz, Andre Laestadius\n类别: math.NA, cond-mat.mtrl-sci, math.FA, physics.chem-ph\n发布日期: 2026-06-17\narXiv ID: 2606.19471v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.19471v1\n摘要: Density-potential inversion for periodic systems within Moreau-Yosida-regularised density-functional theory is investigated, both theoretically and numerically. We develop the framework in a periodic homogeneous Sobolev space and use it to recover the exchange-correlation potential of Kohn-Sham theory through a limiting procedure. A key analytical ingredient is the proof of lower semicontinuity of the non-interacting kinetic-energy functional in the chosen topology. The proximal mapping, together with its algorithmic evaluation, plays a central role in the resulting inversion scheme. Numerical experiments illustrate the performance and properties of the method for both the Kohn-Sham and Gross-Pitaevskii equations.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-06-19_08-20-12/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年06月19日 08:20:12\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 4\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 18\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-一种用于wigner-poisson系统的守恒自适应秩方法\"\u003e1. 一种用于Wigner-Poisson系统的守恒自适应秩方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eA conservative adaptive rank method for the Wigner-Poisson system\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年06月19日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年06月18日 07:21:49\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 3\n不相关论文数量: 14\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 基于广义核插值的参数依赖哈密顿动力系统保辛预测 Symplecticity-preserving prediction of parameter-dependent Hamiltonian dynamics by Generalized Kernel Interpolation\n作者: Robin Herkert, Tobias Ehring, Bernard Haasdonk\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-17\narXiv ID: 2606.18937v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18937v1\n摘要翻译 中文标题: 基于广义核插值的参数依赖哈密顿动力系统保辛预测\n摘要翻译: 我们将文献[1]中基于核的辛预测器扩展到参数增强的情境，其中学习到的流映射代理不仅依赖于状态，还依赖于附加变量，如物理参数和宏时间步长。该方法在参数和宏步增强的域上使用乘积核分析，并通过隐式辛欧拉型更新构造预测。因此，对于每个固定的可容许参数和时间步长实例，所得到的大步长预测器本身是辛的。训练问题被表述为再生核希尔伯特空间中的梯度埃尔米特-伯克霍夫插值。通过贪婪中心选择获得高效的代理。我们证明，非增强情境的收敛分析适用于乘积核框架，并推导相应的预测误差界。针对变摆长和变时间步长的单摆以及参数依赖的离散化波动方程的数值实验，说明了所提方法的精确性和结构保持行为。\n2. 梯度流的具有拉回校正的标量追踪 SAV 格式 Scalar-Tracking SAV Schemes with Pullback Corrections for Gradient Flows\n作者: Shiheng Zhang, Jie Shen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-17\narXiv ID: 2606.18551v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18551v1\n摘要翻译 中文标题: 梯度流的具有拉回校正的标量追踪 SAV 格式\n摘要翻译: 标量辅助变量 (SAV) 方法构造了梯度流的线性、无条件能量稳定的时间离散。在一阶 SAV 步中，消去辅助变量表明状态方程是一个半隐式更新，并附加了一个来自前一非线性力的秩一正半定校正。多 SAV (MSAV) 方法按分量产生此校正，得到一个秩最多为能量分量数的校正。这分离了 MSAV 中通常耦合的两个机制：追踪非线性能量的标量变量个数和施加于状态方程的校正的秩。我们引入一族拉回校正的 SAV (PB-SAV) 方法，它保留单个标量辅助变量，但用一个由容许分量分解诱导的拉回校正代替秩一 SAV 校正。该校正保持正半定，秩最多为分量个数，且可以逐步变化而不改变标量能量追踪变量。我们证明了固定分解和步依赖分解的修正能量耗散律，推导了一个细化恒等式，其增益为显式的加权方差，并给出了对标准半隐式求解的低秩扰动的 Sherman-Morrison-Woodbury 实现。我们还在有限维情形下证明了拉回校正正是非线性能量的最小二乘表示的 Gauss-Newton 矩阵。在有限维梯度流、Allen-Cahn 动力学和非局部 Cahn-Hilliard 模型上的数值实验展示了 PB-SAV 主要改变一阶误差常数的情形以及显著提高轨迹精度的情形。\n3. 具有重叠光滑子和谱粗网格的代数多重网格的两层收敛性 Two-level convergence of Algebraic Multigrid with Overlapping Smoothers and Spectral Coarse Grids\n作者: O. A. Krzysik, B. S. Southworth, H. Al Daas\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.18404v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18404v1\n摘要翻译 中文标题: 具有重叠光滑子和谱粗网格的代数多重网格的两层收敛性\n摘要翻译: 我们最近开发了最小二乘代数多重网格区域分解（LS-AMG-DD）求解器，作为一种代数多层方法，适用于具有Gram表示(A=G^{\\top}G)的稀疏对称正定矩阵 \\cite{southworth2026lsamgdd}。许多问题类均具有此种结构，包括许多协调有限元离散。该求解器利用非重叠代数聚集上的局部特征值问题构造粗空间，并在诱导的重叠子域上使用Schwarz型光滑子。本文为该求解器建立了一个新的两层收敛性理论。我们的理论证明，该求解器的粗空间在按聚集分块的块Jacobi光滑子诱导的范数下满足一个弱逼近性质，并且相应的逼近常数由一个用户可控的局部谱截断阈值界住。我们将这一逼近性质与乘法型两层循环的标准精细理论相结合。所得的两层界被简洁地分解为截断阈值与光滑子范数比较常数的乘积；我们对块Jacobi和重叠加性Schwarz光滑子导出了这些常数的显式界。我们还针对加性Schwarz方法建立了新的收敛性界，该界由一个平凡可计算的常数表出，且该常数以着色常数为上界。在标量(H^1)、向量(H(\\operatorname{div}))和向量(H(\\operatorname{curl}))有限元问题上的数值实验为理论提供了支持性证据，包括该求解器对网格细化和多项式次数不敏感的证据。\n不相关论文（基本信息） 1. EnKF算法的共轭梯度表述 A Conjugate Gradient Formulation of the EnKF Algorithm\n作者: Sanghyun Lee, Zhengqi Liu, Jonathan Valyou, Ludmil Zikatanov\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-17\narXiv ID: 2606.19224v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.19224v1\n摘要: Ensemble Kalman Filter (EnKF) based data assimilation algorithms synthesize predictive numerical forecast models with accumulated data as time evolves and account for model uncertainty and noisy measurements. The computational cost of these algorithms can be expensive, in particular for highly dimensional dynamical systems. Often, EnKF based algorithms have traded accuracy for reduced computational cost. In this paper, we present a novel parallelizable Conjugate Gradient-based Ensemble Kalman Filter (CGD-EnKF) algorithm that maintains comparable computational cost to efficient algorithms while realizing better state estimation accuracy in select cases. Here, we established the new approach by reformulating a matrix inverse calculation with a classical Conjugate Gradient (CGD) method. In addition, we discuss the upper error bound under CGD, error convergence to the classical EnKF result, and the computational complexity of the algorithm. We also showcase the CGD-EnKF-Reduced algorithm that is shown to be further computationally efficient for highly dimensional dynamical systems under small ensemble formulation. Numerical examples demonstrate the performance of our proposed algorithms and analytical properties, highlighting their comparability and advantages with respect to some benchmark EnKF algorithms.\n2. 评估 Rust 在科学计算中的稀疏矩阵核 Evaluating Rust for Sparse Matrix Kernels in Scientific Computing\n作者: Luca Lombardo, Fabio Durastante\n类别: cs.MS, math.NA\n发布日期: 2026-06-17\narXiv ID: 2606.19213v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.19213v1\n摘要: Sparse matrix kernels form the computational backbone of scientific computing, traditionally relying on C/C++ and Fortran implementations that prioritize performance over memory safety. This work evaluates Rust as a systems-level alternative for sparse linear algebra by implementing and benchmarking three core workloads: sparse matrix-vector multiplication (SpMV), Lanczos-based Krylov methods, and matrix-exponential evaluation. We compare native Rust code against established baselines (Intel oneMKL, Eigen, PETSc, and PSBLAS) across a suite of representative matrices. Our results show that Rust\u0026rsquo;s sparse kernels achieve performance comparable to Eigen and PSBLAS, tracking the state-of-the-art for CSC formats, while trailing PETSc\u0026rsquo;s advanced blocked CSR optimizations. By analyzing compile-time monomorphization, SIMD vectorization, and FFI boundaries, we assess the practical impact of Rust\u0026rsquo;s safety model and ecosystem readiness. The study provides concrete, evidence-based guidance for modernizing high-performance numerical software stacks.\n3. 一种用于斯托克斯流的性能可移植快速Ewald求和 A performance portable fast Ewald summation for Stokes flow\n作者: Gabriel Kosmacher, Ziyu Du, Joar Bagge, George Biros\n类别: math.NA, cs.DC, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-17\narXiv ID: 2606.19059v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.19059v1\n摘要: We present GPU algorithms for Ewald summation methods for accelerating N-body Stokes flow problems in periodic domains. Like most N-body codes, Ewald sums use a near-field/far-field decomposition. The near field involves particle-to-particle (P2P) interactions. The far field primarily involves particle-to-grid (P2G) and grid-to-particle (G2P) interactions, as well as Fast Fourier Transforms. For each interaction, we investigate several algorithmic variants. Our implementation uses PyKokkos, a Python interface for the Kokkos C++ parallel programming framework, which supports portability to AMD/NVIDIA GPU and ARM/x86 CPU architectures. Double and single-precision numerical results, alongside analytical performance models, confirm the efficiency of our algorithms on AMD and NVIDIA GPU and on ARM and AMD CPU architectures. The P2P interaction achieves around 73% compute efficiency on NVIDIA H200, 84% on NVIDIA A100, 60% on AMD MI300, 52% on Grace CPU, and 68% on AMD Epyc CPU. A straightforward implementation of the P2G kernel can become a computational bottleneck. We introduce a novel P2G algorithm that achieves up to 16$\\times$ speedup compared to a baseline GPU implementation. The overall Ewald sum code processes approximately 8 million particles per second on a H200 GPU, and about a half-million particles per second on a Grace CPU, for nine digits of accuracy. We also perform a multi-GPU weak scaling test on up to 256 million particles (64 GPUs) that shows bounded communication cost for all stages except the all-to-all particle sorting, which can be reduced to neighbor communication in the relevant time-stepping regime.\n4. 具有混合Mittag-Leffler-Caputo-Fabrizio算子的分数阶SVIR传染病模型的保结构格式 Structure-Preserving Schemes for a Fractional SVIR Epidemic Model with a Hybrid Mittag-Leffler-Caputo-Fabrizio Operator\n作者: Seham M. Al-Mekhlafi, Ahmed Boudaoui, Matthias Ehrhardt\n类别: math.NA, math.DS\n发布日期: 2026-06-17\narXiv ID: 2606.19045v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.19045v1\n摘要: This paper proposes and analyzes a fractional-order SVIR epidemic model based on a hybrid Mittag-Leffler-Caputo-Fabrizio (MLCF) fractional operator with a nonsingular kernel. This model captures short- and long-term memory effects in epidemic transmission dynamics. The positivity and boundedness of the solutions are proven through an integrated formulation of the MLCF operator and a fractional Gronwall inequality. The basic reproduction number $\\mathcal{R}_0$, equilibrium points, and their local and global stability properties are rigorously investigated through Jacobian analysis, logarithmic Lyapunov functionals, and a fractional LaSalle invariance principle. To approximate the model, a $θ$-weighted nonstandard finite difference (NSFD) method is developed. This method preserves the continuous system\u0026rsquo;s key qualitative properties, including positivity and boundedness, and is unconditionally stable in the fully implicit case. Consistency and first-order convergence are also proven. Numerical experiments, together with sensitivity and bifurcation analyses, illustrate the impact of fractional memory parameters on epidemic evolution and demonstrate the effectiveness of the proposed approach.\n5. 定量多模态光学相干光声弹性成像 Quantitative Multi-Modal Optical Coherence Photoacoustic Elastography\n作者: Ekaterina Sherina, Lisa Krainz, Wolfgang Drexler, Otmar Scherzer\n类别: physics.med-ph, math.NA\n发布日期: 2026-06-17\narXiv ID: 2606.18990v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18990v1\n摘要: We present a novel multi-modal optical coherence photoacoustic elastography (OCPE) framework, which combines two imaging modalities, optical coherence tomography (OCT) and photoacoustic tomography (PAT), to enable complementary absorption-scattering measurements for the extraction of quantitative tissue features via quasi-static elastography. For this, we develop a sophisticated hybrid inversion algorithm for merging the complementary information layers contained in both OCT and PAT-based elastography measurements, and perform systematic evaluations to assess the impact of hybrid elastography data on strain and stiffness reconstructions. Studies on a silicone elastomer phantom demonstrate that the combined OCT-PAT approach outperforms single-modality OCT elastography and PAT elastography, yielding higher strain signal-to-noise ratio and improved stiffness estimates. These results establish the advantage of multi-modal complementary imaging and data merging for accurate, high-resolution elastographic strain and stiffness mapping in both scattering and absorbing materials.\n6. 具有复多项式非线性的波方程的概率表示与经典解 Probabilistic representation and classical solutions of wave equations with complex polynomial nonlinearities\n作者: Joshua J. Y. Chan, Nicolas Privault\n类别: math.NA, math.AP, math.PR\n发布日期: 2026-06-17\narXiv ID: 2606.18919v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18919v1\n摘要: We review the probabilistic representation of solutions of wave equations with polynomial nonlinearities in spatial dimensions d=1,2,3 using stochastic branching processes. Under regularity assumptions on the initial data, we derive conditions ensuring the integrability of the corresponding Monte Carlo estimator, and the existence and smoothness of mild and classical solutions. We also present numerical results and comparisons with grid-based algorithms for the solution of nonlinear wave equations.\n7. 由Lévy噪声驱动的McKean-Vlasov随机微分方程的精确解与数值解的指数遍历性 Exponential ergodicity of exact and numerical solutions for McKean-Vlasov SDEs driven by Lévy noise\n作者: Yang Sun, Yuhang Zhang, Minghui Song\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-17\narXiv ID: 2606.18815v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18815v1\n摘要: This paper investigates the exponential ergodicity of the exact solution and the tamed Euler solution for McKean-Vlasov stochastic differential equations driven by Lévy noise. First, we establish exponential ergodicity for both the original equation and the tamed Euler method. Then we prove the convergence of the numerical invariant measure to the exact invariant measure, which is obtained by combining the propagation of chaos (PoC) result with the strong convergence of the tamed Euler scheme. Furthermore, we derive a convergence rate for the numerical invariant measure by establishing uniform-in-time PoC and uniform-in-time convergence of the tamed Euler method. Finally, numerical experiments are presented to illustrate the theoretical results.\n8. 计算扰动薛定谔方程的共振：应用于Reissner-Norsdtröm-de Sitter黑洞 Computing resonances of perturbed Schrödinger equations: Application to Reissner-Norsdtröm-de Sitter black holes\n作者: Valentin Arrigoni, Geneviève Dusson\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-17\narXiv ID: 2606.18770v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18770v1\n摘要: We present a numerical method for computing resonances of one-dimensional Schrödinger equations perturbed by a compactly supported potential, via finding zeros of the Wronskian associated with Jost solutions of the reference equation, computed through the resolution of Cauchy problems. All resonances located in a given domain are found efficiently using a defeated Newton algorithm. A key ingredient of the method is the choice of reference potential for which Jost solutions are known, which removes spurious resonances often encountered numerically. We test this method on three types of reference potentials and perturbations thereof: Pöschl-Teller potentials, exponentially decaying potentials, and potentials associated with Reissner-Nordströmde Sitter black holes. In particular we study the impact of perturbations on the resonances, and the stability of small resonances under perturbation. As an illustration, we use the method to numerically study the strong cosmic censorship hypothesis.\n9. 一种用于参数曲面上类测地线计算的神经网络框架 A Neural Network Framework for Geodesic-Like Curve Computation on Parametric Surfaces\n作者: Sheng-Gwo Chen, Chen-Chang Peng\n类别: cs.CG, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-06-17\narXiv ID: 2606.18759v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18759v1\n摘要: The concept of geodesic-like curves was introduced by Chen in 2010 as a method for estimating shortest paths (geodesics) on parametric surfaces, with its convergence established theoretically. However, an efficient numerical computational framework has not yet been developed. In this paper, we propose an elegant and efficient approach for computing geodesic-like curves by leveraging deep learning and Physics-Informed Neural Networks (PINNs). Under the proposed framework, not only can single parametric surfaces be handled efficiently, but a broad class of complex parametric surfaces including multi-surface systems with $C^0$ or higher continuity and surfaces of revolution can also be robustly addressed.\n10. 一类趋化驱动的鱼-贻贝系统的整体存在性、爆破行为与数值模拟 Global existence, blow-up behavior and numerical simulations for a class of chemotaxis-driven fish-mussel systems\n作者: Gnanasekaran Shanmugasundaram, Jitraj Saha\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-06-17\narXiv ID: 2606.18695v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18695v1\n摘要: In this work, we investigate a chemotaxis-driven fish\u0026ndash;mussel ecosystem model described by a coupled system of partial differential equations subject to homogeneous Neumann boundary conditions. Under suitable assumptions on the system parameters and initial data, we establish the global existence of classical solutions by employing semigroup methods together with a priori estimates. We also examine the possible blow-up behavior of solutions in a three-dimensional domain. To support the theoretical analysis, a finite element method is developed for the numerical approximation of the system, and convergence studies based on mesh refinement are carried out to verify the accuracy and stability of the proposed numerical scheme. Furthermore, numerical simulations illustrating the blow-up behavior of solutions in the computational domain are presented.\n11. 具有随机速度的奇异摄动对流扩散问题的拟蒙特卡罗有限元逼近 Quasi-Monte Carlo finite element approximation for singularly perturbed convection-diffusion problems with random velocity\n作者: Seungchan Ko, Guanglian Li, Yi Yu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-17\narXiv ID: 2606.18678v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18678v1\n摘要: This paper studies the numerical approximation of a singularly perturbed convection-diffusion problem over a bounded polygonal domain in $\\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$), where the velocity field is modeled by a log-uniform random field, a setting typical in uncertainty quantification. We introduce a novel numerical framework for computing the expected value of the linear functionals of the solution. The approach combines a finite element discretization of the problem, a truncated Karhunen\u0026ndash;Loève expansion to represent the stochastic velocity field, and a lattice-based quasi-Monte Carlo (QMC) method to estimate expectations over the parameter space. We provide a rigorous error analysis of the proposed scheme, establishing bounds on the mean squared error and demonstrating that the QMC method achieves a nearly linear optimal convergence rate, with a constant independent of the integration dimension. Furthermore, the convergence rate is shown to be independent of the singular perturbation parameter.\n12. DTPFI：一种用于恢复相场系统中非线性能量势的稳定算法 DTPFI: A stable algorithm for recovering nonlinear energy potentials in phase field systems\n作者: Tianhao Ni, Jun Lai\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-17\narXiv ID: 2606.18607v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18607v1\n摘要: This work proposes a Dual Time Phase Field Inversion (DTPFI) method for recovering unknown potential functions in phase field models. The reconstruction is formulated as an optimization problem that minimizes the mismatch between model predictions and observed fields at the final measurement time. We prove the differentiability of the measured field with respect to the unknown potential and establish the local convexity of the regularized objective function, thereby ensuring the existence of a local optimal solution. For numerical implementation, automatic differentiation is employed to compute gradients, avoiding the expensive evaluation of analytic gradients. Extensive numerical experiments demonstrate that DTPFI accurately reconstructs both polynomial and logarithmic potentials and remains robust under measurement noise. The framework is further extended to inverse problems involving field dependent mobility and joint parameter identification in coupled Cahn-Hilliard-Allen-Cahn systems.\n13. 面向 GPU 的广义线性模型的混合精度通信避免 SGD Mixed-Precision Communication-Avoiding SGD for Generalized Linear Models on GPUs\n作者: Aditya Devarakonda, Irene Simó Muñoz, Giulia Guidi\n类别: cs.DC, cs.LG, math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.18463v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18463v1\n摘要: Distributed stochastic gradient descent (SGD) is limited by communication rather than computation, since each iteration requires an AllReduce across processes. Communication-avoiding SGD (CA-SGD) amortizes communication over $s$ iterations by replacing $s$ consecutive AllReduces with a single AllReduce of an $sb\\times sb$ Gram matrix, trading more computation and bandwidth for fewer synchronization points. Modern GPUs with matrix hardware and reduced-precision formats offset this by accelerating the Gram GEMM and shrinking BF16 traffic. We study mixed-precision CA-SGD for generalized linear models on NVIDIA GPUs. Our finite-precision analysis decomposes the local rounding error of one CA-SGD outer iteration into nine independent precision choices, depending on the hardware only through its low-precision unit roundoffs, so the resulting recipes transfer in principle across GPU generations. The recipe stores the input matrix and margin vector in low precision, computes the Gram matrix from low-precision inputs with high-precision accumulation, communicates it in high precision, and performs the inner recurrence and weight updates in high precision. On NERSC Perlmutter A100 GPUs, mixed-precision CA-SGD matches FP32 SGD loss within $0.5\\%$ on logistic, linear, and Poisson problems and reaches $5.1$\u0026ndash;$6.8\\times$ speedup over FP32 SGD on epsilon, SUSY, HIGGS, synth, and Poisson-synth. Our software is available at https://doi.org/10.5281/zenodo.20448273\n14. 基于混合精度随机预处理的GPU上数值稳定的Cholesky-QR分解 Numerically Stable Cholesky-QR on GPU via Mixed-Precision Randomized Preconditioning\n作者: James E. Garrison, Chao Chen, Ilse C. F. Ipsen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.18411v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18411v1\n摘要: Cholesky-QR is among the fastest algorithms for computing the thin QR factorization of tall-and-skinny matrices on GPUs, relying entirely on BLAS-3 operations. However, it is numerically unstable: forming the Gram matrix squares the condition number, causing breakdown when $κ_2(\\boldsymbol{A}) \\gtrsim 10^8$. We present MRCQR (Mixed-Precision Randomized Cholesky-QR), a stable GPU algorithm that addresses this limitation. MRCQR uses a subsampled randomized trigonometric transform to construct a preconditioner $\\boldsymbol{R}_s$ that reduces $κ_2(\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{R}_s^{-1})$ to near unity with high probability, then applies Cholesky-QR in double precision to the preconditioned matrix. The key insight \u0026ndash; supported by perturbation analysis \u0026ndash; is that the preconditioner requires far less accuracy than the final result: single (FP32) precision suffices when $κ_2(\\boldsymbol{A}) \\lesssim 10^8$, and half (FP16) when $κ_2(\\boldsymbol{A}) \\lesssim 10^4$. MRCQR produces an explicit orthogonal factor $\\widehat{\\boldsymbol{Q}}$ satisfying $\\|\\boldsymbol{I} - \\widehat{\\boldsymbol{Q}}^\\top\\widehat{\\boldsymbol{Q}}\\|_2 = \\cal O(\\mathbf{u})$ ($\\mathbf{u} \\approx 10^{-16}$, double-precision unit roundoff) for condition numbers up to $10^{16}$, far beyond the $10^8$ limit of CholQR2. Experiments on an NVIDIA H100 GPU show that MRCQR (FP16) outperforms rand-cholQR by $1.4$\u0026ndash;$1.8\\times$ across all tested column counts and is $1.8$\u0026ndash;$13.5\\times$ faster than cuSOLVER geqrf, while the FP16 sketch (used when $κ_2(\\boldsymbol{A}) \\lesssim 10^4$) is $2\\times$ cheaper than FP64 at no accuracy cost.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-06-18_07-21-49/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年06月18日 07:21:49\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 14\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-基于广义核插值的参数依赖哈密顿动力系统保辛预测\"\u003e1. 基于广义核插值的参数依赖哈密顿动力系统保辛预测\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eSymplecticity-preserving prediction of parameter-dependent Hamiltonian dynamics by Generalized Kernel Interpolation\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年06月18日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年06月17日 07:40:13\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 4\n不相关论文数量: 21\n重点关注论文（完整分析） 1. INI-VPINN：一种用于具有几何奇性的多材料区域的隐式 Neumann 与界面处理的变分物理信息神经网络 INI-VPINN: A Variational Physics-Informed Neural Network with Implicit Neumann and Interface Handling for Multi-Material Domains with Geometric Singularities\n作者: Shayan Dodge, Alessandro Formisano, Sami Barmada\n类别: math.NA, cs.LG, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.18032v1\n摘要翻译: 我们提出一种新的弱形式物理信息神经网络方法（名为 INI-VPINN）。INI-VPINN 自然地将 Neumann 边界条件和界面条件纳入变分公式，从而消除了对额外损失项或多个子域网络的需求。该框架采用紧支撑权函数和分部积分来隐式施加通量和连续性约束，由此隐式地确保了跨材料边界的物理一致性。在具有尖锐界面和复杂几何的 Poisson 和 Laplace 问题上对所提方法进行了测试。结果表明，与其它几种基于物理信息神经网络的公式相比，INI-VPINN 一致地实现了更高的精度、更平滑和更快的收敛。所提出的框架提供了一种使用神经网络求解具有复杂几何和混合 Neumann-Dirichlet 边界条件的多材料问题的通用方法。实现已公开在 GitHub 仓库中。\nComment: Preprint version. Under peer review. Code available at: https://github.com/ShayanDodge/INI-VPINN\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18032v1\n1. 研究对象和背景 物理信息神经网络 (PINN) 将偏微分方程 (PDE) 嵌入神经网络训练，已成为求解正、反问题的重要工具。然而，强形式 PINN 面临三大挑战：(i) 在多材料问题中难以满足界面条件，需要子域分解与额外损失项 (如 cPINN、I-PINN、X-PINN)；(ii) 损失函数中 PDE 残差、边界条件、初始条件、界面条件等多项之间存在量级差异，导致训练不稳定和收敛困难；(iii) 在几何奇异域 (如含凹角的 L 形域) 中，点采样和边界条件施加难度大。\n为缓解上述问题，变分 PINN (VPINN) 通过弱形式代替强形式残差，降低了正则性要求并改善了数值稳定性。早期工作中，Kharazmi 等 (2019) 提出基于全局测试函数的 VPINN，Khodayi-Mehr 等 (2020) 的 VarNet 采用局部紧支撑函数，Zang 等 (2020) 的 WAN 利用对抗训练，Kharazmi 等 (2021) 的 hp-VPINN 引入区域分解与 hp 细化。然而，这些弱形式方法仍存在两个关键空白：(1) 诺伊曼边界条件的有效嵌入；(2) 多材料界面条件的本征满足。例如，hp-VPINN 无法隐式处理诺伊曼条件，仍需专门的边界损失项；cPINN 需要每个子域独立网络并通过惩罚项耦合界面。\n本文研究的核心问题是： $$ \\begin{cases} -\\nabla\\cdot(\\kappa(\\mathbf{x})\\nabla u(\\mathbf{x})) = f(\\mathbf{x}), \u0026 \\forall \\mathbf{x}\\in\\Omega\\subset\\mathbb{R}^2,\\\\ u = g_D, \u0026 \\text{on }\\Gamma_D,\\\\ \\partial_n u = g_N, \u0026 \\text{on }\\Gamma_N, \\end{cases} $$ 其中 $\\kappa(\\mathbf{x})\u003e0$ 是空间变化的材料系数，允许跨界面 $\\Gamma_I$ 间断。在多材料域中，界面条件为 $$ [u]_{\\Gamma_I}=0,\\quad [\\kappa\\partial_n u]_{\\Gamma_I}=0. $$ 物理上，这类问题描述稳态热传导、静电势或地下渗流，广泛存在于复合材料和跨尺度问题中。数值求解的关键在于正确处理诺伊曼边界和材料间断，传统有限元方法需通过特定测试函数空间或 Nitsche 方法实现，而 PINN 类方法则需额外设计损失项或网络结构。\n本文试图填补的空白是：在变分 PINN 框架下，仅通过测试函数的选择与弱形式的局部积分，隐式地施加诺伊曼边界条件和界面条件，无需专门的损失项或多网络结构。该框架称为 INI-VPINN，其核心思想是通过分部积分将诺伊曼条件自然融入变分残差，并利用间断 $\\kappa$ 在弱形式中的正则性自动满足界面跳跃条件。与现有方法相比，它能用单一网络求解整个多材料域，且损失函数中仅包含弱形式残差和狄利克雷边界惩罚项，极大地简化了训练流程并增强了对几何奇异点和材料界面的适应性。\n2. 主要定理或主要结果 本文未给出严格的数学定理，主要贡献为数值实验验证。在如下假设下展示了方法性能：(1) 物理问题为二维 Poisson 或 Laplace 方程，材料系数分片常数或光滑过渡；(2) 域边界为分段直线，界面为直线或圆弧；(3) 测试函数取自奇数余弦、奇数正弦和雅可比（勒让德多项式差）族，元素为矩形剖分。\n主要数值结论包括：\n在 L 形域 Laplace 问题（具有凹角奇异性）上，INI-VPINN 的相对 $L^2$ 误差比经典 PINN 低约一个数量级，比 VPINN（显式诺伊曼强制）和 cPINN 低约 50% 左右（具体数值文中表格给出）。诺伊曼边界处通量误差显著减小，且误差分布更均匀。 在 T 形域混合边界条件 Poisson 问题中，INI-VPINN 不需调整损失权重即可稳定收敛，而 cPINN 和标准 VPINN 需仔细调整界面损失权重和采样密度，否则出现发散或精度下降。 多材料域（嵌套方形和圆形夹杂）测试中，INI-VPINN 自动满足界面通量连续性，即使材料系数比 $\\kappa_2/\\kappa_1=10^3$，解在界面上无明显数值反常，而 cPINN 在界面附近出现虚假振荡，除非加入大量界面配置点并调试损失权重。 收敛性实验表明，随着测试函数阶数 $p$ 增大或元素数 $h$ 增加，INI-VPINN 的弱形式残差与误差均呈代数或指数下降，显示出 $hp$-细化能力。训练损失曲线更平滑，波动幅度远小于对比方法。 在一类带有紧支撑源的 Poisson 问题中，INI-VPINN 能在相对粗糙的求积规则下保持较高精度，而强形式 PINN 由于对奇性源项敏感，需要极高采样密度。 3. 研究方法、关键技术和核心工具 本工作的核心技术创新在于弱形式构造与测试函数的几何自适应选择，具体体现在以下几个方面：\n1. 隐式诺伊曼条件嵌入\n从强形式出发，乘以测试函数 $v$ 并在整个域 $\\Omega$ 上积分，应用格林第一公式得到 $$ \\int_{\\Omega} \\kappa\\nabla u\\cdot\\nabla v\\,d\\Omega - \\int_{\\Gamma_D} \\kappa\\partial_n u\\,v\\,d\\Sigma - \\int_{\\Gamma_N} \\kappa\\partial_n u\\,v\\,d\\Sigma = \\int_{\\Omega} f v\\,d\\Omega. $$ 若选取测试函数 $v$ 在 $\\Gamma_D$ 上为零，则狄利克雷边界积分消失；而不强制 $v$ 在 $\\Gamma_N$ 上为零，则诺伊曼条件 $\\partial_n u = g_N$ 可代入边界积分，得到 $$ \\int_{\\Omega} \\kappa\\nabla u\\cdot\\nabla v\\,d\\Omega - \\int_{\\Omega} f v\\,d\\Omega = \\int_{\\Gamma_N} \\kappa g_N v\\,d\\Sigma, \\quad \\forall v\\in H_0^1_{\\Gamma_D}(\\Omega). $$ 该形式将 $\\partial_n u$ 的计算替换为已知函数 $g_N$ 的积分，消除了对解函数的法向导数需求，且无需在损失函数中添加诺伊曼惩罚项。传统 VPINN 若不特殊处理，通常需要显式计算该项并加入损失。\n2. 紧支撑测试函数与单元剖分\n为获得局部适应性和高效积分，采用局部紧支撑测试函数，并对域进行矩形单元划分。每个单元 $V_k$ 上定义一组张量积测试函数： $$ v^{(x,y)}_{k,nm}(x,y) = v^x_{k,n}(x)\\,v^y_{k,m}(y), $$ 其中一维测试函数族来自以下三种：\n奇数余弦模式：$v^{(\\cos)}_n(x) = \\cos\\left(\\frac{(2n-1)\\pi}{2}\\frac{x-a}{b-a}\\right)$，在左端点值为 $+1$，右端点为 $0$； 奇数正弦模式：$v^{(\\sin)}_n(x) = (-1)^n\\sin\\left(\\frac{(2n-1)\\pi}{2}\\frac{x-a}{b-a}\\right)$，在左端点为 $0$，右端点为 $+1$； 雅可比模式（勒让德多项式差）：$v^{(\\text{Jac})}_n(x) = P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x)$，在两端点均为 $0$。 测试函数的选择规则直接基于单元边界类型：\n内部单元（不接触外边界）：使用雅可比函数，因其在界面上为零，自动保证跨单元通量连续性的弱形式可加性； 接触诺伊曼边界的单元：在该边界方向选用在其上非零的奇数正弦或余弦（取决于边界位于哪一侧），使得诺伊曼条件自然嵌入； 狄利克雷边界方向：可选用雅可比函数或零函数，配合后续惩罚项。 在二维中，对每个单元独立选取 $x$ 和 $y$ 方向测试函数族，组合成张量积形式。图 3 展示了一个具有四边混合边界的示例：角部单元为 $C\\times J$ 或 $S\\times J$，内部为 $J\\times J$。这种选择机制是 INI-VPINN 区别于其他变分 PINN 的关键。\n3. 界面条件的隐式满足\n对于材料间断，$\\kappa$ 呈阶梯函数形式。强形式中 $\\nabla\\kappa$ 产生 Dirac 奇性，但弱形式不涉及 $\\kappa$ 的导数，仅需计算 $\\kappa$ 与 $\\nabla u\\cdot\\nabla v$ 的乘积积分，因此即使 $\\kappa$ 间断，积分仍良定。从物理角度看，弱形式自动保证了界面通量连续性 $[\\kappa\\partial_n u] = 0$（自然边界条件），无需显式施加。为实现自动微分和求积的稳定性，实际训练中采用 $\\tanh$ 光滑化 $\\kappa$： $$ \\kappa(x_n) = \\kappa_1 + (\\kappa_2-\\kappa_1)\\,\\frac{1}{2}\\left(1+\\tanh\\frac{x_n}{t}\\right), $$ 其中小参数 $t$ 控制界面厚度。当 $t\\to 0$ 时，光滑化模型收敛到尖锐界面问题。这使得自动微分梯度有界，且高斯-洛巴托-雅可比 (GLJ) 求积规则能精确捕获过渡层，避免了锯齿采样误差。\n4. 损失函数构造与训练\n每个单元 $k$ 对一组测试函数 $(n,m)$ 计算弱残差： $$ U^{(k)}_{n,m} = \\int_{\\Omega_k} \\kappa\\left(\\frac{\\partial u}{\\partial x}\\frac{\\partial v^x_{k,n}}{\\partial x}v^y_{k,m} + \\frac{\\partial u}{\\partial y}v^x_{k,n}\\frac{\\partial v^y_{k,m}}{\\partial y}\\right)dxdy - \\int_{\\Gamma_{k,N}} \\kappa\\,g_N\\,v^x_{k,n}v^y_{k,m}\\,d\\Gamma, $$ $$ F^{(k)}_{n,m} = \\int_{\\Omega_k} f\\,v^x_{k,n}v^y_{k,m}\\,dxdy, $$ 残差为 $R^{(k)}_{n,m} = U^{(k)}_{n,m} - F^{(k)}_{n,m}$。总弱形式损失为所有单元所有模式残差的 MSE： $$ L_V = \\frac{1}{N_x N_y N}\\sum_{k=1}^{N}\\sum_{n=1}^{N_x}\\sum_{m=1}^{N_y} \\big(R^{(k)}_{n,m}\\big)^2. $$ 狄利克雷边界条件通过惩罚项 $L_D = \\frac{1}{N_{D}}\\sum_{\\Gamma_D}(u-g_D)^2$ 施加。总损失为 $L = \\lambda_D L_D + \\lambda_V L_V$，其中权重 $\\lambda_D,\\lambda_V$ 预先设定（文中多取为 1）。\n积分采用 GLJ 求积规则，阶数 $N_{\\text{quad}}$ 可调，因其包含端点，利于捕捉边界贡献。通过以上设计，训练只需一个神经网络，无需子域分解或额外网络，且损失项数目固定，摆脱了繁琐的权重调整。\n4. 与之前工作的比较 本文与多种弱形式及强形式 PINN 方法进行了系统对比，推进主要体现在以下维度：\n1. 与 VPINN 及 hp-VPINN 的比较 (Kharazmi et al., 2019; 2021)\n传统 VPINN 使用全局测试函数（如多项式或三角函数），适应性差，难以捕获局部奇异性。hp-VPINN 通过区域分解和局部测试函数改善了这一点，但二者均未能隐式处理诺伊曼边界：其弱形式仍包含诺伊曼边界积分项，需通过显式计算 $\\partial_n u$ 并加入损失予以惩罚，等同于在损失函数中增加一项边界残差。INI-VPINN 通过精心选取测试函数，使诺伊曼条件直接转化为包含已知 $g_N$ 的边界积分，损失中不含未知函数的法向导数项，从而避免了额外的损失分量与权重调节。此外，hp-VPINN 在界面处一般需要显式约束或惩罚，而 INI-VPINN 依赖弱形式的自然连续性，仅通过单一网络即可保证界面条件近似满足。\n2. 与 cPINN 的比较 (Jagtap et al., 2020)\ncPINN 是处理多材料问题的代表性方法，其思路是将域按材料分区，为每个子域分配独立网络，并在界面处加入通量连续性损失和函数连续性损失。这导致参数数量随材料数线性增加，界面损失需精细调整权重和采样密度，且多个网络的训练难以同步收敛。INI-VPINN 使用单一网络覆盖全域，参数规模与单材料问题相当，无需界面损失项，因此在计算效率和训练稳定性上优势明显。数值结果显示，cPINN 在界面附近易产生数值振荡，除非增加大量界面配置点并精心调整损失权重；INI-VPINN 即使采用少量界面求积点也能获得光滑解。\n3. 与 DEM 的比较 (Samaniego et al., 2020)\nDEM 直接最小化能量泛函，自动满足自然边界条件，但要求问题具有能量形式且材料性质满足一定对称性，对于非线性问题或强制边界难以处理。INI-VPINN 不依赖能量形式的存在，适用于任何可写为弱形式的线性或非线性椭圆问题，且同样能自然施加诺伊曼条件。\n4. 与 WAN 的比较 (Zang et al., 2020)\nWAN 采用对抗训练，求解一个极小极大问题来寻找最优测试函数，计算代价高且收敛不稳定。INI-VPINN 采用固定、预设的测试函数族，免去对抗训练开销，并依据边界条件与界面位置进行确定性选择，更简单可解释。\n5. 与 VarNet 及 RVPINN 的比较 (Khodayi-Mehr and Zavlanos, 2020; Rojas et al., 2024)\nVarNet 也使用紧支撑 FE 型测试函数，但测试函数只考虑局部多项式基，未根据边界类型进行差异化选取，其精度依赖于支撑域大小，且缺乏系统化选择规则。RVPINN 通过最小残差原理优化测试函数，提高了鲁棒性，但计算代价更高（需计算函数评价泛函）。INI-VPINN 通过简单的几何驱动规则确定测试函数类型，在计算效率与精度之间取得平衡。\n6. 通用性与局限性\nINI-VPINN 的普遍性表现在：(a) 适用于任意混合边界条件的 Poisson/Laplace 问题，可推广至一般二阶椭圆方程；(b) 多材料界面可自由形状，只要适当定义光滑 $\\kappa$ 并划分单元；(c) 具备 $hp$-细化能力，可通过增加单元数 (h) 或测试函数阶数 (p) 提高精度。\n局限性：(1) 在 3D 问题中，张量积测试函数导致求积点数量为 $N_{\\text{quad}}^{3}$，计算负担大幅增加，文中指出 3D 扩展仍需进一步研究；(2) 单元划分目前限于矩形（二维）或长方体（三维），对复杂非结构化域适应能力有限，可能需要与切割有限元等方法结合；(3) 测试函数选择依赖于对边界和界面位置的先验知识，当界面移动或材料分布未知时，需要自适应策略。\n总体而言，INI-VPINN 在保持弱形式 PINN 优点的同时，通过巧妙设计测试函数选择规则，显著减少了损失项数量与人工调参需求，为弱形式 PINN 在多材料与复杂边界问题中的应用提供了更为简洁高效的方案。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 具有容许切向运动的几何梯度流的极小化运动框架 A minimizing-movement framework for geometric gradient flows with admissible tangential motion\n作者: Xiaoxiao Liu, Quan Zhao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.18177v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18177v1\n摘要翻译 中文标题: 具有容许切向运动的几何梯度流的极小化运动框架\n摘要翻译: 我们为具有容许切向运动的几何梯度流的参数有限元逼近发展了一个极小化运动框架。在每一时间步，离散变分问题将法向位移的度量耗散项与曲面Dirichlet能量相结合。该度量决定了法向几何演化：$L^2(Γ)$ 度量给出平均曲率流，而 $H^{-1}(Γ)$ 度量给出表面扩散流。切向速度通过对变形映射的弱约束独立选取。核心的结构条件是容许性，即恒等映射满足该约束条件。该条件使得恒等映射可作为比较函数，并导出自然的稳定性估计。该框架从无约束形式复原了经典的 Barrett\u0026ndash;Garcke\u0026ndash;Nürnberg (BGN) 格式，并从 MDR 约束复原了对偶的最小变形率 (MDR) 格式。我们进一步引入了两种新的容许变体：一种容许 BGN 格式和一种松弛 MDR 格式。对于得到的全离散格式，我们在自然的非退化假设下证明了存在唯一性，并建立了无条件能量稳定性。数值实验比较了容许格式与经典格式，并展示了它们的稳定性性质和网格质量表现。\n2. 基于质量集中与变换光滑子的有限元外微积分多重网格预处理 Multigrid Preconditioning for FEEC using Mass-Lumping and Transforming Smoothers\n作者: Radovan Dabetić\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.17934v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.17934v1\n摘要翻译 中文标题: 基于质量集中与变换光滑子的有限元外微积分多重网格预处理\n摘要翻译: 对于自然置于de Rham复形中的偏微分方程，保结构的混合和鞍点有限元离散通常会生成不定线性系统。我们提出了一种多重网格预处理框架，将质量集中（可显式求逆）的FEEC质量矩阵与变换光滑子相结合，后者将算子映射为具有正定对角块的分块形式，从而可在变换后的系统上执行Gauss-Seidel型松弛。在温和的h一致范数等价假设下（且对于平凡拓扑），我们证明了质量集中系统的稳定性，进而得到质量集中与原始FEEC算子之间的谱等价性，这促使我们使用为质量集中算子设计的多重网格循环作为相容FEEC系统的预处理器。虽然我们的主要焦点在于算法设计而非形式收敛理论，但对Hodge-Dirac算子、混合Hodge-Laplacian以及二维和三维静磁学鞍点系统的大量数值实验证明了该方法的鲁棒性。\n3. 用于双调和Poisson-Nernst-Planck Navier-Stokes系统的协调虚拟元方法 Conforming Virtual Element Method for Biharmonic Poisson-Nernst-Planck Navier-Stokes systems\n作者: Ankur Ankur, Andrea Cangiani\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.17918v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.17918v1\n摘要翻译 中文标题: 用于双调和Poisson-Nernst-Planck Navier-Stokes系统的协调虚拟元方法\n摘要翻译: 我们针对四阶Poisson-Nernst-Planck-Navier-Stokes (PNP-NS) 系统提出并分析了一种协调虚拟元方法（VEM）。所提出的格式基于各组分的相容离散：对四阶静电势方程采用 (H^2)-协调 VEM，对 Nernst-Planck 方程采用 (H^1)-协调 VEM，对 Navier-Stokes 方程采用\\textit{无散度}且\\textit{压力鲁棒}的 VEM。时间积分采用向后 Euler 格式以确保稳定性。我们证明了连续问题在三维情形下的适定性，并通过不动点论证建立了全离散解的存在唯一性。此外，我们推导了先验误差估计，表明静电势、浓度和速度分别在 Bochner 范数 (L^\\infty\\bigl(0,T; H^2(Ω)\\bigr))、(L^2\\bigl(0,T; H^1(Ω)\\bigr)) 和 (L^2\\bigl(0,T; \\bm{H}^1(Ω)\\bigr)) 下具有最优收敛性。该分析需要精细的论证，以避免对强制性和连续性常数的任何限制性假设，并处理涉及三个不同变量的三线性形式。压力鲁棒的设计允许使用最低阶压力逼近，而不会影响其他变量的收敛速度，从而降低计算成本。数值实验证实了不同多项式阶数下的理论收敛速度，并展示了格式的鲁棒性，包括在低黏度情形下。\n4. 一种用于四旋度问题的IP DG方法的收敛性 Convergence of an IP DG Method for the Quad-Curl Problem\n作者: Xianhao Zeng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.17428v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.17428v1\n摘要翻译 中文标题: 一种用于四旋度问题的IP DG方法的收敛性\n摘要翻译: 本文分析并修正了 [Chen, G., Qiu, W., \u0026amp; Xu, L. (2021). Analysis of an interior penalty DG method for the quad-curl problem. IMA Journal of Numerical Analysis, 41(4), 2990-3023.] 中针对四旋度问题所施加的内罚(IP)间断伽辽金(DG)方法，在非凸多面体区域中引入了一个分片常数系数矩阵。我们得到两个主要结果：在最小正则性假设下，我们证明数值解在 $ H(\\text{curl}) \\times H^1(Ω)$ 范数下强收敛到真解。在稍高的正则性下，我们建立了依赖于解的正则性的收敛速度的最优估计。这两个结果作为对现有文献的补充，完整回答了所关注的IP DG方法在低正则性四旋度问题上的表现。\n不相关论文（基本信息） 1. LGNO: 一种用于双曲守恒律的局部-全局神经算子 LGNO: A Local-Global Neural Operator for Hyperbolic Conservation Laws\n作者: Hao Wang, Chi-Wang Shu, Qi Tang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.18221v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18221v1\n摘要: Solutions of hyperbolic conservation laws exhibit both smooth structures across large scales and sharp localized features such as shocks and contact discontinuities, making them difficult to approximate accurately with existing neural operators. The Fourier Neural Operator (FNO) captures long-range interactions well but tends to smear localized structures through excessive numerical dissipation. To address this, we propose a Local-Global Neural Operator (LGNO) that learns a one-step discrete flow map by combining a global FNO branch for representing smooth dynamics at large scales with a local multiresolution branch for enhancing localized discontinuities and nonsmooth features. The model is trained with a one-step loss that combines a physical space prediction term and a spectral penalty on high frequencies to suppress spurious oscillations near steep fronts. On a large collection of benchmarks in one and two dimensions, LGNO consistently outperforms FNO baselines with matched parameter counts, reducing one-step errors by factors of 2-5 and remaining significantly more accurate over long autoregressive rollouts. Most strikingly, although it is trained only on short-time data from a high-order WENO-Z scheme, the long-time rollout of LGNO on a coarse $256^2$ grid exhibits lower numerical dissipation than the same WENO-Z scheme run on a finer $512^2$ grid, while being orders of magnitude cheaper to evaluate. These results suggest that, with an appropriate architecture and training objective, learned operators can effectively learn discrete flow maps. They further suggest that such learned operators have the potential to control long-time numerical dissipation better than the conventional shock-capturing schemes that generate the training data.\n2. 一种用于审计学习的偏微分方程模拟器的诊断软件套件 A Diagnostic Software Suite for Auditing Learned PDE Simulators\n作者: Lennon J. Shikhman\n类别: cs.MS, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.18200v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18200v1\n摘要: Learned PDE simulators are increasingly used as low-cost replacements for expensive numerical solvers, but standard relative $L^2$ error does not determine whether a learned model behaves as a coherent numerical time propagator. This paper presents a diagnostic software suite for auditing learned PDE simulators as approximate evolution operators. The suite provides architecture-independent, post hoc diagnostics for relative state error, semigroup consistency, finite-difference generator discrepancy, energy behavior, integral balance, admissibility constraints, perturbation response, and scaling-law consistency. The software is designed around a minimal contract: reference trajectories, a learned propagator or saved predictions, equation metadata, and a diagnostic configuration specifying which structures are meaningful for the problem under study. We validate the suite on five benchmark PDE tasks: two-dimensional incompressible Navier-Stokes, shallow-water dynamics, active matter, three-dimensional compressible Navier-Stokes, and three-dimensional magnetohydrodynamics, using FNO, DeepONet, U-Net, and ResNet-style surrogate models together with controlled underfit and oversmoothed variants. The validation study shows that relative $L^2$ error can remain moderate, or even improve, while structural diagnostics deteriorate substantially. The package therefore supports software-level auditing of learned PDE simulators by reporting an interpretable diagnostic panel rather than collapsing model behavior into a single state-error score.\n3. 一种用于识别矩阵若尔当结构的编码器-变换器架构 An Encoder-Transformer Architecture for Recognition of the Jordan Structure of a Matrix\n作者: Michał Trojanowski, Michał Wojtylak\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.18185v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18185v1\n摘要: We propose a machine-learning framework for detecting whether a given matrix is a perturbation of a matrix with a large Jordan block. The proposed model achieves high classification accuracy on synthetically generated, robustly perturbed data and outperforms a classical numerical baseline. Moreover, we demonstrate that the learned model generalizes to several classes of matrices not seen during training. These results suggest that the architecture captures structural properties associated with matrix defectiveness.\n4. 一种用物理信息神经网络求解非线性偏微分方程的凸拟线性化方法 A Convex Quasilinearization Method for Solving Nonlinear PDEs with Physics-Informed Neural Networks\n作者: Gbenga T. Awojinrin, Abdul-Akeem Olawoyin, Rami M. Younis\n类别: math.NA, cs.LG, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.18175v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18175v1\n摘要: We present a numerical method for the forward solution of nonlinear partial differential equations (PDEs) in which Bellman-Kalaba quasilinearization reduces the nonlinear problem to a sequence of linear subproblems, each discretized by collocation onto a trial space that is linear in its parameters and solved by a single direct linear least-squares QR factorization. The trial space, which we term Linear-in-Learnables (LiL), comprises representations whose trainable parameters enter linearly, including random-feature extreme learning machines, spectral polynomial bases, and trigonometric expansions, each implemented as a physics-informed neural network. The method thus replaces the nonconvex gradient-based training that limits standard PINNs with a convex per-step solve. We establish local Newton-Kantorovich convergence of the outer iteration to a residual-limited neighborhood under an explicit smallness condition, with the limiting accuracy governed by the best-approximation residual of the trial space rather than by an optimization tolerance. The method, denoted LiL-Q, is assessed on seven benchmarks spanning scalar nonlinear PDEs (Bratu, viscous Burgers, Buckley-Leverett), coupled systems (plane-strain elasticity and the incompressible Navier-Stokes equations in two and three spatial dimensions), and steady-state Darcy flow with heterogeneous permeability. Across these problems, LiL-Q converges in single-digit outer iterations in most cases, even at the coarsest basis sizes and independent of the parameter count. When the exact solution lies in the span of the trial space, the method recovers it to machine precision in a single solve. On the Navier-Stokes benchmarks, it matches or exceeds published PINN solvers with up to two orders of magnitude fewer trainable parameters, without gradient-based optimization.\n5. 一种在Loewner序下精确计算最小上界的算法 An algorithm to exactly compute minimal upper bounds in the Loewner order\n作者: Adam Humeniuk, Gabriel Jarry-Bolduc, Patrick Pascua, Nejaunie Williams\n类别: math.FA, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.18173v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18173v1\n摘要: The Loewner order on Hermitian matrices is a partial order that compares matrices in terms of positive semidefiniteness. The Loewner order plays a key role in many fields such as optimization, numerical linear algebra, control theory, operator theory, and quantum information. A fundamental difficulty is that two or more Hermitian matrices do not necessarily have a unique minimal upper bound (or maximal lower bound). In this paper, we propose an iterative method to exactly compute a minimal upper bound for any finite collection of $n\\times n$ Hermitian matrices. It is shown that the algorithm terminates in at most $n$ iterations. The exactitude of the algorithm is proved using standard results from finite-dimensional linear algebra. A self-contained proof of an algebraic characterization of minimality originally explored by Stott is provided. We illustrate the algorithm in examples and also provide an implementation of the algorithm in Python.\n6. Chebfun编程。案例研究：Richards方程 Programming with Chebfun. Case study: Richards equation\n作者: Nicolae Suciu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.18118v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18118v1\n摘要: The Chebfun software system is a Matlab extension essentially based on representations of (piece-wise) smooth one-variable functions by expansions in Chebyshev polynomials. One of Chebfun\u0026rsquo;s attractive features is the ability to provide solutions to nonlinear boundary value problems (BVP) with accuracy close to the machine precision. This is done by the chebop class which provides automatic solutions by performing linearizations with a Newton method in function spaces of the nonlinear BVP, automatic differentiation, and using Fast Fourier Transform computations for the coefficients of the Chebyshev polynomials. A drawback of chebop automatic approach is the possible lack of convergence of the Newton method if the initial guess is not close enough to the exact solution. An explicit functional linearization done for each particular shape of the differential operator (i.e. without automatic differentiation) proves to be more robust than the chebop class and allows an enlargement of the range of convergence. Another alternative is the implicit L-scheme (quasi-Newton approach with derivatives replaced by suitable positive constants L), with a much simpler implementation and globally convergent. While chebop is the easiest way to solve the BVP, provided that it converges, the last two approaches largely overcome the convergence issues, yielding accurate solutions to a wide class of steady-state one-dimensional problems governed by Richards\u0026rsquo; equation. Chebfun2 and Chebfun3, which at the current stage cannot solve BVPs, provide efficient tools for accuracy and convergence assessments of the non-steady solutions in one or two spatial dimensions obtained by classical discretization schemes.\n7. 一种用于大规模正则化的草图广义Krylov子空间方法 A Sketched Generalized Krylov Subspace Method for Large-Scale Regularization\n作者: Davide Palitta, Mirjeta Pasha\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.18073v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18073v1\n摘要: The generalized Krylov subspace (GKS) method is an effective projection technique for large-scale Tikhonov regularization with a general regularization matrix. As the subspace expands, however, two computational bottlenecks limit scalability: the thin QR factorizations of the tall projected matrices formed by the forward operator and the regularization matrix applied to the basis, and the full reorthogonalization of each new basis vector against all previous columns. We propose a sketched variant, named sGKS, that addresses both bottlenecks. The QR factorizations are performed on compressed matrices of much smaller row dimension, maintained incrementally via rank-one updates. Moreover, we observe that explicit reorthogonalization can be skipped entirely without compromising the quality of the approximation subspace, since no step of GKS relies intrinsically on the orthogonality of the basis. The resulting algorithm is independent of the choice of sketching operator and preserves the approximation quality of the original method: we show that, in the absence of sketching in the projected solve, sGKS produces iterates identical to those of standard GKS, and that the sketched projected solve delivers quasi-optimal residual norms controlled by the embedding quality. For more challenging problems where the loss of basis orthogonality becomes significant, we show that incorporating a small number of iterative refinement steps in the projected solve restores the spectral properties of the basis and recovers the full accuracy of the unsketched method. Numerical experiments on image deblurring, X-ray computerized tomography, seismic travel-time tomography, and dynamic computerized tomography demonstrate that sGKS matches the reconstruction quality of standard GKS while significantly reducing per-iteration costs and overall wall-clock time.\n8. 可压缩流动的四阶守恒自适应多分辨率小波迎风格式 A Fourth-order Conservative Adaptive Multiresolution Wavelet Upwind Scheme for Compressible Flows\n作者: Bing Yang, Xiaojing Liu, Youhe Zhou, Feng Xiao, Jizeng Wang\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.18026v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18026v1\n摘要: A fourth-order conservative adaptive multiresolution average-interpolating wavelet upwind scheme is proposed for compressible flows governed by hyperbolic conservation laws. A family of asymmetric average-interpolating wavelets with upwind properties is constructed for conservative finite volume discretization, while symmetric average-interpolating wavelets are employed for multiresolution decomposition and reconstruction of physical variables in the adaptive procedure. Since both the conservative discretization and the adaptive multiresolution representation are constructed from cell-average quantities, the proposed scheme preserves strict conservation during both numerical evolution and adaptive cell redistribution. Unlike hybrid adaptive wavelet methods that use wavelets mainly for data compression and mesh adaptation, the present adaptive wavelet upwind scheme utilizes average-interpolating wavelet multiresolution approximation to reconstruct the interface values directly for numerical flux evaluation, thereby avoiding additional ghost-cell marking and reconstruction near coarse\u0026ndash;fine mesh interfaces. The boundary variation diminishing reconstruction is incorporated at the finest resolution level to achieve non-oscillatory shock-capturing capability. Numerical tests demonstrate that the proposed scheme achieves the expected fourth-order accuracy, maintains conservation errors close to machine precision, and controls numerical errors around the prescribed threshold. The proposed method also sharply captures shock waves and contact discontinuities without spurious oscillations and resolves multiscale smooth structures through a sparse adaptive representation. These results indicate that the proposed scheme provides an efficient, conservative, and reliable approach for high-resolution simulations of compressible flows.\n9. 反高斯拉格朗日插值：克里斯托费尔-达布形式、重心表示与正交展开 Anti-Gauss Lagrange interpolation: Christoffel-Darboux form, barycentric representation, and orthogonal expansion\n作者: Patricia Díaz de Alba, Luisa Fermo, Valerio Loi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.18018v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.18018v1\n摘要: The paper deals with new formulations of a Lagrange interpolant polynomial based on the nodes of the well-known anti-Gauss rule. A first representation is given in terms of the classical Christoffel-Darboux kernel appropriately modified. The second one closely follows the barycentric form of the classical Lagrange polynomial, while the third formulation represents the interpolant as a combination of an orthonormal family of polynomials with respect to the discrete anti-Gauss inner product. A numerical test shows the performance of the explored forms.\n10. 用于两层薄膜模型的基于黎曼不变量的替代 WENO 格式 Riemann invariant-based alternative WENO scheme for a two-layer thin film model\n作者: Biswarup Biswas, Rahul Barthwal, Rakesh Kumar\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.17862v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.17862v1\n摘要: In this article, we develop a multi-dimensional two-layer thin film model extending the thin film model proposed in \\cite{barthwal2025hyperbolic}. The model considered in \\cite{barthwal2025hyperbolic} considered a very specific Marangoni scale by choosing Marangoni numbers in both layers to be $1$. We relax this condition here and prove that the obtained system possesses a full set of Riemann invariants. Based on these findings, we develop a Riemann Invariant-based Local Characteristic Decomposition WENO (RI-WENO) method for the two-layer thin film model in one and two dimensions. The method is built upon a specially designed variable transformation constructed from the derived Riemann invariants of the system. This transformation partially diagonalizes the governing equations and yields a sparse structure in the transformed eigenvector matrices. As a result, the proposed RI-WENO framework significantly reduces the computational cost of the standard Local Characteristic Decomposition WENO approach while retaining its strong capability to suppress spurious oscillations. Numerical experiments, including new benchmark test cases, demonstrate that the RI-WENO method achieves an effective balance between accuracy and computational efficiency, making it a promising and practical choice for solving the two-layer thin film model.\n11. 有限差分实现的高阶时空耦合紧致气体动理学格式 Finite Difference Implementation of a High-order Space-Time Coupled Compact Gas-Kinetic Scheme\n作者: Fengxiang Zhao, Yibing Chen, Kun Xu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.17772v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.17772v1\n摘要: This study presents a high-order compact finite difference gas-kinetic scheme (FD-CGKS) that introduces a novel spatial discretization strategy for the efficient implementation of space-time coupled high-order schemes on structured grids. A conservative nonlinear compact discretization is achieved by formulating numerical fluxes from physical fluxes at both nodal and interfacial locations. To simplify the multidimensional spatial reconstruction required for the GKS flux evaluation, we propose a dual-grid approach that updates conservative variables on both a primary grid and an identical dual grid, offset by half the mesh spacing. By leveraging the time-accurate interface solutions from the gas-kinetic evolution model, the scheme explicitly updates averaged spatial derivatives between virtual interfaces, naturally enabling compact high-order reconstruction. Furthermore, a nonlinear GENO method is incorporated to capture flow discontinuities with high resolution and robustness, effectively suppressing spurious oscillations. The proposed framework, which also offers new perspectives for designing schemes based on space-time decoupled Riemann solvers, is systematically validated. Comprehensive benchmark computations of inviscid and viscous flows demonstrate the scheme\u0026rsquo;s high accuracy in resolving a wide spectrum of flow features, from smooth multiscale structures to strong shock discontinuities.\n12. 时间积分作为滤波：一种时空离散感知的LES格式 Time integration as filtering: a space-time discretization-aware LES formulation\n作者: Syver Døving Agdestein\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.17759v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.17759v1\n摘要: Discretization-aware LES yields an exact expression for the discrete target flux in finite-volume LES by recognizing that a coarse finite difference is a top-hat-filtered exact derivative (the \u0026ldquo;filter-swap\u0026rdquo; property). That argument is purely spatial; here we observe that the forward-Euler time difference is itself a (one-sided) top-hat-filtered exact time derivative, and repeat the construction in space-time. The resulting exact discrete flux decomposition extends the spatial one with a single temporal term: a flux-quadrature error that shrinks with the quadrature order of the time integrator. In a Burgers experiment this term grows with the CFL number while the spatial terms do not, and a Smagorinsky closure augmented with its leading order - a Lax-Wendroff-type diffusion - stays accurate at coarse time steps where space-only closures degrade.\n13. 基于Lyapunov框架的振动弦点阻尼器最优布置与调谐 Optimal placement and tuning of pointwise dampers for vibrating strings via a Lyapunov framework\n作者: Josip Tambača, Ninoslav Truhar\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.17748v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.17748v1\n摘要: We study the optimal placement and tuning of a small number of pointwise viscous dampers for a vibrating string. Starting from a finite element discretization of the damped wave equation, the system is transformed into a first-order phase-space formulation, which enables a unified Lyapunov trace framework. Three optimization criteria are considered: average total energy, average total displacement, and energy for a fixed initial state. For all criteria, explicit gradient formulas with respect to damper positions and viscosities are derived, requiring only one primal and one dual Lyapunov solve. Due to the strong non-convexity of the problem, a simple heuristic based on an explicit single-damper formula is proposed to generate effective initial guesses. Numerical examples illustrate the influence of spectral selection and discretization on the optimal damping configuration.\n14. 关于大规模非自治微分Riccati方程求解的数值研究 On the Solution of Large-scale Non-autonomous Differential Riccati Equations: a Numerical Study\n作者: Eugenio Mancinelli, Davide Palitta, Jens Saak\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.17744v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.17744v1\n摘要: We explore the numerical solution of large-scale non-autonomous Differential Riccati Equations (DREs). While we assume to discretize the differential operator using a Backward Differentiation Formula (BDF) of order s, we solve the generalized Algebraic Riccati Equation (gARE) resulting at each time step by different state-of-the-art methods. In particular, we compare the performance of the inexact Newton- Kleinman method with line search and the low-rank RADI iteration, considering for both methods two different initialization strategies: zero initialization and warm-start. A comprehensive panel of numerical results illustrate the potential and limitations of these methods when employed within a numerical pipeline for the solution of DREs, rather than for the isolated solution of a single gARE, as commonly considered in the existing literature.\n15. 当粗糙数据有益时：积分算子核恢复中收敛速度的相变 When Rough Data Helps: A Phase Transition in Convergence Rates for Kernel Recovery in Integral Operators\n作者: Jihong Wang, Fei Lu, Yue Yu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.17672v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.17672v1\n摘要: Learning kernels in operators from data is a fundamental task that arises in nonlocal continuum mechanics, operator learning, and interacting particle systems. A central question is how the roughness of input data impacts the accuracy of kernel recovery. We quantify the roughness of the input data via its spectral decay exponent and analyze how it determines the degree of ill-posedness of the inverse problem and, consequently, the convergence rates of the Tikhonov-regularized estimator in the small-noise limit. Within this framework, we identify a phase transition between an under-rough regime, in which rougher data improves recovery, and an over-rough regime, in which further roughening leads to slower rates. These theoretical findings are supported by numerical experiments ranging from idealized settings to more realistic configurations, with quantitative agreement in the former and broad consistency of the main trends in the latter.\n16. 用于求解线性双曲守恒律的稳定且可推广的数据驱动离散格式的设计原则 Design principles for stable and generalizable data-driven discretizations for solving linear hyperbolic conservation laws\n作者: Antoine-Alexis Nasser, Alistair Adcroft\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.17497v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.17497v1\n摘要: We investigate data-driven finite-volume discretizations of the linear advection equation in one dimension. Neural networks for use as numerical advection schemes are constructed adhering to first principles of numerical analysis, allowing us to examine how normalization, training data, and architectural choices influence stability, accuracy, and shape preservation. (i) We show that reconstruction based solely on cell averages leads to a multi-valued learning problem, explaining limited generalization when training data includes widely different curvature regimes. (ii) Numerical stability and good generalization can be achieved by enforcing semilinearity (Lin and Rood 1998) through local stencil-scale normalization, which ensures invariance under affine transformations of the inputs. (iii) A new data-driven flux limiter is introduced that outperforms the classical \u0026lsquo;OSTVD3\u0026rsquo; (Arora and Roe, 1997) scheme in shape preservation by introducing mild antidiffusion in near-linear regimes, while higher-order reconstruction in non-monotonic regions provides limited benefit. (iv) We show that training on polynomial profiles yields stable, high-order accurate discretizations, with the polynomial degree controlling the formal order of accuracy. Together, these results illustrate how the representational, architectural, and training choices govern the stability and generalization of data-driven finite-volume schemes for linear advection.\n17. 算子Boosting产生帕累托有效的PDE代理模型 Operator Boosting Produces Pareto-Efficient PDE Surrogates\n作者: Lennon J. Shikhman\n类别: cs.LG, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.17460v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.17460v1\n摘要: Neural operators are widely used as surrogate solution maps for partial differential equations (PDEs), but full-size models can be costly to store, deploy, and evaluate in many-query scientific workflows. This work introduces Operator Boosting, a stagewise residual-learning framework for constructing compact neural-operator surrogates directly, rather than training a large model and compressing it afterward. Starting from the empirical mean predictor in normalized output coordinates, the method trains a sequence of tiny same-family neural operators on residual fields and incorporates each correction through validation-selected shrinkage. We instantiate the framework with Fourier neural operators (FNOs), DeepONets, and convolutional neural operators (CNOs), and compare boosted tiny stacks against full-size monolithic baselines across one-, two-, and three-dimensional PDE benchmarks from PDEBench, APEBench, and The Well. Across 30 dataset-architecture pairs, 21 show positive mean accuracy gains and 17 have positive confidence intervals, while all boosted stacks reduce trainable parameter count by approximately 72-95%. Best-model comparisons show empirical Pareto improvements on 7 of 10 completed PDE benchmarks, including two-dimensional Navier-Stokes, shallow-water dynamics, Darcy flow, one-dimensional transport and reaction systems, and three-dimensional compressible Navier-Stokes. These results show that Operator Boosting often improves the empirical accuracy-parameter Pareto frontier of neural PDE surrogates, while also exposing PDE- and architecture-dependent regimes where residual boosting fails to offset compression.\n18. Sobolev空间中多输入神经算子学习的泛化保证 Generalization Guarantees for Multi-Input Neural Operator Learning in Sobolev Spaces\n作者: Yahong Yang, Zecheng Zhang, Wei Zhu, Wenjing Liao, Hao Liu\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-06-16\narXiv ID: 2606.17419v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.17419v1\n摘要: We develop approximation and generalization error estimates for multi-input neural operators, with the output error measured in Sobolev norms. In contrast to standard operator-learning settings with a single input function, our framework allows multiple input functions defined on possibly different domains, with different dimensions and Sobolev regularities. The derived rates explicitly quantify the contribution of each input space to the final error bound. In particular, in the balanced regime, the approximation and generalization rates are governed by the interaction between the input dimensions, regularities, and Sobolev orders, while the dependence on the model complexity retains a (\\log\\log/\\log)-type structure. Our analysis provides a general theoretical framework for multi-input operator learning, including Sobolev training, and is applicable to operator learning problems arising from partial differential equations and scientific computing.\n19. 流体-多孔弹性结构相互作用的Stokes-Biot模型的区域分解方法 Domain decomposition methods for the Stokes-Biot model of fluid-poroelastic structure interaction\n作者: Manraj Ghumman, Manu Jayadharan, Ivan Yotov\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.17363v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.17363v1\n摘要: We develop a non-overlapping domain decomposition method for the numerical solution of the Stokes-Biot model of fluid-poroelastic structure interaction in a mixed form. The model is based on a velocity-pressure formulation for the free fluid, a three-field stress-displacement-rotation formulation with weakly symmetric stress for the solid deformation, and a Darcy velocity-pressure formulation for the fluid in the poroelastic media. Mass conservation, balance of stress, and the Beavers-Joseph-Saffman slip with friction condition are imposed on the interface. The interface conditions are incorporated through Lagrange multipliers modeling the traces of the displacement and the Darcy pressure. The system is discretized using stable mixed finite element spaces for Stokes flow, elasticity, and Darcy flow. The domain is decomposed into a union of subdomains of either Stokes or Biot type with three types of interfaces: Stokes-Stokes, Biot-Biot, and Stokes-Biot. On the Stokes-Stokes interfaces, a normal stress Lagrange multiplier is introduced to impose weakly velocity continuity, while the Biot-Biot and Stokes-Biot interfaces are equipped with displacement and pressure Lagrange multipliers to impose weakly continuity of normal stress and normal velocity, respectively. The global problem is reduced via Schur complement to an interface problem for the Lagrange multipliers, which is solved by GMRES. Each iteration requires the solution of local Stokes or Biot problems, which can be performed in parallel. We show that the resulting interface operator is positive definite and analyze the convergence of the GMRES iteration through fields-of-value analysis. Numerical experiments are presented to illustrate the performance of the method.\n20. 贝叶斯泊松-随机伽马张量分解及其在国际贸易流中的应用 Bayesian Poisson-Randomized Gamma Tensor Factorization with Application to International Trade Flows\n作者: Jie Jian, Aaron Schein\n类别: stat.ME, econ.EM, math.NA, stat.AP, stat.ML\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.17267v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.17267v1\n摘要: We study sparse semi-continuous tensor data with excess zeros, heavy right tails, and slice-specific dispersion. Such features arise naturally in monetary-valued multi-way data, such as international trade, where most exporter\u0026ndash;importer\u0026ndash;product\u0026ndash;year cells are zero while positive values are continuous and highly variable. To model these data, we propose a Bayesian hierarchical tensor factorization model that places a low-rank CP structure on a latent Poisson rate tensor and couples it with a conditional Gamma model for positive outcomes, with rate parameters that can vary across slices within a mode. The model therefore separates the occurrence and magnitude of positive observations while borrowing strength across all tensor dimensions through a shared low-rank latent structure. To scale posterior inference to large arrays, we develop a hybrid variational\u0026ndash;Monte Carlo algorithm that combines efficient coordinate ascent updates with a partially collapsed augmented-data sampler. Applied to approximately 60 million trade flows, the method surfaces multiway dependence across exporters, importers, products, and years that is difficult to recover from gravity-type or pairwise network analyses, which do not jointly model the product and temporal dimensions.\n21. 面向Krylov方法的混合数字-模拟近似逆预处理 Hybrid Digital-Analog Approximate Inverse Preconditioning for Krylov Methods\n作者: Shikhar Shah, Rui Peng Li, Tayfun Gokmen, Vassilis Kalantzis, Lior Horesh, Yuanzhe Xi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.17227v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.17227v1\n摘要: Analog in-memory computing enables highly parallel matrix-vector multiplications with reduced data movement, but the resulting operations are noisy, quantized, and affected by device- and circuit-level non-idealities. This paper studies approximate inverse preconditioning for Krylov subspace methods in a hybrid digital-analog setting. The digital host performs sparse products with the coefficient matrix and the precision-sensitive Krylov operations, while preconditioner applications are performed through analog crossbar matrix-vector multiplications. Since the realized preconditioner is inexact and application-dependent, the outer iteration is formulated as the flexible GMRES method. We show that analog execution changes the usual preconditioner design problem in the sense that a stronger digital preconditioner may be less effective after analog scaling, write noise, input/output perturbations, quantization, and clipping are taken into account. We compare various block Jacobi preconditioning schemes including exact block inverses, sparse approximate inverses, Monte Carlo approximate inverses (MCAI), damping, and nested block Jacobi schemes. Numerical experiments with realistic analog matrix-vector simulations show that analog-aware choices of block size, damping, MCAI construction accuracy, and nesting are important for robust convergence.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-06-17_07-40-13/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年06月17日 07:40:13\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 4\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 21\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-ini-vpinn一种用于具有几何奇性的多材料区域的隐式-neumann-与界面处理的变分物理信息神经网络\"\u003e1. INI-VPINN：一种用于具有几何奇性的多材料区域的隐式 Neumann 与界面处理的变分物理信息神经网络\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eINI-VPINN: A Variational Physics-Informed Neural Network with Implicit Neumann and Interface Handling for Multi-Material Domains with Geometric Singularities\u003c/p\u003e","title":"2026年06月17日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年06月16日 08:38:22\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 10\n不相关论文数量: 34\n重点关注论文（完整分析） 1. 高对比度多尺度偏微分方程中的拓扑谱隙、多尺度Weyl律与均匀化 Topological spectral gap, multiscale Weyl\u0026rsquo;s law, and homogenization in high-contrast PDEs\n作者: Eric T. Chung, Lijian Jiang, Yajun Wang\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.16251v1\n摘要翻译: 本文引入一个统一的抽象变分与拓扑框架, 用以刻画高对比度多尺度偏微分方程(PDEs)中的谱隙与特征值分布。我们严格证明, 谱隙的精确位置由与高对比度包含体关联的局部零空间的维数万有地决定。对于具有无穷维核的系统, 这一位置由拓扑Betti数严格确定。此外, 我们通过谱解耦定理建立了多尺度Weyl律, 证明当对比度趋于无穷时, 多尺度谱分岔为两个独立分量: 背景介质的Dirichlet谱与包含体的内部Neumann谱。利用谱均匀化理论, 我们还证明在周期趋于零的极限下, 这一扩张的拓扑特征空间渐近地张成宏观均匀化算子的整个谱空间。这些理论结果通过扩散、弹性、四阶板、Maxwell和grad-div算子的数值实验得到了全面验证。\nComment: 27 pages\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.16251v1\n1. 研究对象和背景 本文研究具有高振荡和高对比度系数的多尺度偏微分方程的谱分布问题。这类方程广泛出现于复合材料、超材料、多孔介质等复杂物理系统的建模中，例如标量扩散、线性弹性、四阶板弯曲、时谐 Maxwell 电磁场以及 grad-div 算子。数值模拟的瓶颈在于必须精确分辨微观几何与极端材料对比度，导致计算量巨大。为降低成本，过去二十年发展了多种基于局部谱问题的多尺度模型降阶方法和区域分解预条件技术，如广义多尺度有限元方法 (GMsFEM)、局部正交分解 (LOD)、广义有限元方法 (MS-GFEM)、约束能量最小化广义多尺度有限元 (CEM-GMsFEM) 以及基于广义特征值问题构造粗空间的 GenEO 和自适应 BDDC/FETI-DP 方法。这些方法的鲁棒性高度依赖于能否捕获局部低能物理模态，而这又需要严格理解局部谱行为以及谱间隙的存在性。\n对于标量扩散方程，Yalchin 和 Galvis (2010) 已严格证明：当介质中含有 M 个高对比度内含物时，前 M 个特征值以 $\\mathcal{O}(\\eta^{-1})$ 阶趋于零，而第 $M+1$ 个特征值下方有一致正下界，从而在 $n = M+1$ 处形成尖锐谱间隙。其本质原因是每个内含物内梯度算子的零空间仅由常数函数构成，维数为 1。然而，对于向量值方程或高阶算子，如线弹性（应变算子的零空间为刚体位移，2D 下维数为 3）、四阶板（Hessian 算子的零空间为线性多项式，2D 下维数为 3）、Maxwell 方程和 grad-div 算子，局部零空间可能具有更高的维数甚至无穷维。现有谱间隙理论尚未被系统地推广到此类一般情况，这构成了本文试图填补的空白。\n具体而言，考虑定义在有界区域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$ 上的抽象广义特征值问题：求 $u\\in V(\\Omega)$ 和 $\\lambda^\\eta$ 使得 $$ a^\\eta(u,v) = \\lambda^\\eta m^\\eta(u,v), \\quad \\forall v\\in V(\\Omega), $$ 其中双线性形式按背景矩阵 ($\\Omega_0$) 和 $M$ 个不连通高对比度内含物 $D_i$ 分解为 $$ a^\\eta(u,v) = a_0(u,v) + \\eta a_1(u,v), \\quad m^\\eta(u,v) = m_0(u,v) + \\eta m_1(u,v). $$ 这里 $a_0, a_1, m_0, m_1$ 与对比度参数 $\\eta\\gg 1$ 无关。算子 $L$ 取决于具体物理模型：\n标量扩散：$Lu = \\nabla u$，原方程 $-\\nabla\\cdot(\\kappa^\\eta\\nabla u)=\\lambda^\\eta\\rho^\\eta u$； 线弹性：$Lu = \\varepsilon(u)=\\frac12(\\nabla u+\\nabla u^\\top)$，方程 $-\\nabla\\cdot(\\kappa^\\eta\\varepsilon(u))=\\lambda^\\eta\\rho^\\eta u$； 四阶板：$Lu = \\nabla^2 u$，方程 $\\nabla\\cdot\\nabla\\cdot(\\kappa^\\eta\\nabla^2 u)=\\lambda^\\eta\\rho^\\eta u$； 时谐 Maxwell：$L = \\nabla\\times$，属于 $H(\\mathrm{curl})$ 空间，方程 $\\nabla\\times(\\kappa^\\eta\\nabla\\times u)=\\lambda^\\eta\\rho^\\eta u$； grad-div 算子：$L = \\nabla\\cdot$，属于 $H(\\mathrm{div})$ 空间，方程 $-\\nabla(\\kappa^\\eta\\nabla\\cdot u)=\\lambda^\\eta\\rho^\\eta u$。 已有理论仅覆盖标量扩散情形（$L=\\nabla$，$R=1$）。本文的核心洞察是：谱间隙的位置并非特定于某个方程，而是普适地由局部零空间 $\\mathcal{N}(D_i)=\\{u\\in V(D_i)\\mid L u=0\\}$ 的代数维数 $R$ 决定。对于有限维零空间，谱间隙出现在 $n = R M + 1$。对于 Maxwell 或 grad-div 等具有无穷维零空间 (因 $\\mathrm{Im}(\\mathrm{curl})\\subset\\mathrm{Ker}(\\mathrm{div})$) 的系统，直接应用上述框架会导致物理离散谱被无穷多个零本征值淹没。为解决这一根本性困难，本文引入 Hilbert 复形与代数拓扑工具。通过 De Rham 复形 $$ H^1(\\Omega)\\xrightarrow{\\nabla} H(\\mathrm{curl};\\Omega)\\xrightarrow{\\nabla\\times} H(\\mathrm{div};\\Omega)\\xrightarrow{\\nabla\\cdot} L^2(\\Omega), $$ 及 Hodge 分解，将冗余的无穷维正合形式商去，揭示出真正有效的局部无能量模式同构于有限维调和空间，其维数恰好由拓扑不变量——Betti 数 $\\beta_k$ 给出。至此，谱间隙的存在性可通过纯拓扑信息预测。\n此外，在极高对比度极限 $\\eta\\to\\infty$ 下，高频谱的分布尚未被清晰刻画。经典 Weyl 律无法描述因材料对比度导致的能量局域化和内部共振效应。本文进一步建立谱解耦定理，证明多尺度谱在对比度无穷大时分岔为两个独立不变分量：背景介质的 Dirichlet 谱与内含物的内部 Neumann 谱，从而导出新的多尺度 Weyl 律。最后，本文还探讨周期高对比度 PDE 中拓扑低频谱与均匀化理论的关系，证明当周期性趋于零时，拓扑模式的新增本征空间渐近地张满宏观均匀化算子的整个无穷维谱空间。这些成果为多尺度粗空间构造、误差分析和预条件设计提供了严格的理论基础，并将谱分析方法从标量方程推广到复杂拓扑物理系统和高频区域。\n2. 主要定理或主要结果 本文的核心成果包括以下严格证明的定理，在适当的 Hilbert 空间框架和对比度 $\\eta\\to\\infty$ 的渐近假设下成立。\n1. 通用谱间隙定理 (Theorem 2.2)：\n设抽象变分问题 (2.5) 中算子 $L$ 对应的局部零空间 $\\mathcal{N}(D_i)$ 具有有限维数 $R$。令 $N = R\\times M$ 为由 $M$ 个内含物产生的全局零空间总维数，并假设抽象强制条件 (Assumption 2.1) 成立，即存在与 $\\eta$ 无关的常数 $C_{\\rm coer}\u003e0$，使得对任意 $u\\in V(D_i)$ 且 $u\\perp\\mathcal{N}(D_i)$ 相对于 $m_1$ 内积，有 $a_1(u,u)\\ge C_{\\rm coer} m_1(u,u)$。则当 $\\eta\\to\\infty$ 时，前 $N$ 个特征值满足 $\\lambda_n^\\eta \\le \\mathcal{O}(\\eta^{-1})\\to 0$，并且存在另一常数 $C_{\\rm gap}\u003e0$ 与 $\\eta$ 无关，使得第 $N+1$ 个特征值下界严格为正：$\\lambda_{N+1}^\\eta \\ge C_{\\rm gap}$。从而谱间隙严格出现在 $n = N+1 = RM+1$ 处。\n该定理直接给出各物理系统的谱间隙位置：标量扩散 ($R=1$) 为 $M+1$；2D 线弹性 ($R=3$) 为 $3M+1$，3D 线弹性 ($R=6$) 为 $6M+1$；2D 四阶板 ($R=3$) 为 $3M+1$，3D 板 ($R=4$) 为 $4M+1$。所需强制常数分别由 Poincaré 不等式、第二 Korn 不等式和 Bramble-Hilbert 引理提供，从而保证 $C_{\\rm coer}$ 存在且仅依赖于内含物的几何形状。\n2. 拓扑谱间隙定理 (Theorem 4.1)：\n对于 Maxwell 方程 ($k=1$, $L=\\nabla\\times$) 或 grad-div 算子 ($k=2$, $L=\\nabla\\cdot$)，其自然函数空间 $V_k$ 的局部零空间均为无穷维。为提取离散谱，定义 gauge-fixed 子空间 $W := \\{ u\\in V_k(\\Omega) \\mid (u, d_{k-1} p)_{L^2(\\Omega)} = 0,\\,\\forall p\\in V_{k-1}(\\Omega) \\}$，其中 $d_{-1}=0$。在每个内含物 $D_i$ 上，第 $k$ 阶上同调群 $H^k(D_i) := \\mathrm{Ker}(d_k|_{D_i}) / \\mathrm{Im}(d_{k-1}|_{D_i})$ 的维数等于 $k$ 阶 Betti 数 $\\beta_k(D_i)$（即 $D_i$ 中 $k$ 维“孔洞”的数量）。定义总拓扑指标 $N_{\\rm topo} = \\sum_{i=1}^M \\beta_k(D_i)$。则当 $\\eta\\to\\infty$ 时，限制在 $W$ 内的特征值问题前 $N_{\\rm topo}$ 个特征值满足 $\\lambda_n^\\eta \\le \\mathcal{O}(\\eta^{-1})$，而 $\\lambda_{N_{\\rm topo}+1}^\\eta \\ge C_{\\rm coer} \u003e 0$，其中 $C_{\\rm coer}$ 为 generalized coercivity constant (如 Maxwell-Poincaré 或 Friedrichs 常数)。于是，谱间隙的位置由 Betti 数严格决定。\n实例：对于 $\\Omega$ 内含有两个实心球体和一个环形内含物（每个环形 $\\beta_1=1$, 球体 $\\beta_1=0$），则 $N_{\\rm topo}=1$，谱间隙出现在 $n=2$。\n3. 多尺度 Weyl 律 (Section 5)：\n引入新颖的 contrast-weighted $L^2$-normalization 技术，建立谱解耦定理 (Spectral Decoupling Theorem)。其核心结论为：当 $\\eta\\to\\infty$ 时，原问题的多尺度谱渐近地分裂为两个互不耦合的分量，即 $$ \\lambda_{\\rm total}(\\eta) \\quad\\longrightarrow\\quad \\sigma^{\\rm Dir}(\\Omega_0) \\;\\cup\\; \\sigma^{\\rm Neu}(D), $$ 其中 $\\sigma^{\\rm Dir}(\\Omega_0)$ 表示背景介质在零边值条件下的 Dirichlet 谱，而 $\\sigma^{\\rm Neu}(D)$ 为所有内含物内部 Neumann 谱的并集。基于此，建立多尺度 Weyl 律：特征值计数函数满足 $$ \\mathcal{N}_{\\rm ms}(\\lambda) = \\mathcal{N}_{\\Omega_0}^{\\rm Dir}(\\lambda) + \\sum_{i=1}^M \\mathcal{N}_{D_i}^{\\rm Neu}(\\lambda) + o(\\lambda^{d/2}), \\quad \\lambda\\to\\infty, $$ 其中每一项计数函数遵循经典 Weyl 渐近公式 $\\mathcal{N}(\\lambda) \\sim C_{\\rm Weyl}\\,\\lambda^{d/2}$，且常数由对应区域和边界条件下的导波速度决定。该定律提供了高频谱分布的量化叠加描述。\n4. 周期谱均匀化与谱完备性 (Section 6)：\n考虑周期高对比度介质，令微观周期长度 $\\varepsilon\\to 0$，利用双尺度收敛和谱均匀化理论证明：拓扑低频谱间隙的相对比例与 $\\varepsilon$ 无关（鲁棒带隙分离）。进一步建立谱完备性定理：当 $\\varepsilon\\to 0$ 时，由 $N_{\\rm topo}$ 个拓扑低阶模态张成的本征空间在适当的极限意义下渐近地张满宏观均匀化算子的整个无穷维谱空间。这意味着微观拓扑信息通过均匀化极限被提升为宏观算子的谱基底完备性。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的主要创新点和技术方法体现在以下几个方面：\n1. 抽象变分流形与谱间隙的极大极小刻画\n对于有限维核的通用框架，关键在于将谱间隙位置与局部零空间维数关联。证明采用 Courant-Fischer Min-Max 和 Max-Min 原理：\n上界构造：直接使用全局零空间 $S_N = \\bigoplus_{i=1}^M \\tilde{\\mathcal{N}}(D_i)$（其中 $\\tilde\\cdot$ 表示零延拓）作为试探空间。由于在 $D_i$ 内 $Lu=0$，高对比度惩罚项 $a_1(u,u)=0$，Rayleigh 商退化为 $\\frac{a_0(u,u)}{m_0(u,u)+\\eta m_1(u,u)}$，从而前 $N$ 个特征值 $\\le \\mathcal{O}(\\eta^{-1})$。 下界构造：利用 Max-Min，选 $V_N = S_N$，则任何与 $S_N$ 正交的试探函数 $u^*$ 自然满足局部正交条件 $u^*|_{D_i}\\perp \\mathcal{N}(D_i)$。由 Assumption 2.1，$a_1(u^*,u^*)\\ge C_{\\rm coer} m_1(u^*,u^*)$，再适当处理分母中的背景质量项，得到 $\\lambda^\\eta_{N+1}\\ge C_{\\rm coer}$（当 $\\eta\\to\\infty$ 时）。\n该框架将谱间隙的证明彻底转化为对局部强制常数的依赖，而强制常数由标准泛函不等式保证。 2. 强制常数的物理化归约\n文本将抽象强制条件实例化为三类经典分析结果，从而直接给出不同物理系统的间隙位置。这些并非简单的引用，而是揭示了各不等式的物理对应：\n标量扩散：Poincaré-Wirtinger 不等式 $\\int_{D_i}|\\nabla u|^2\\ge C_P \\int_{D_i} |u|^2$ 要求均值零，这正是正交于零空间（常数函数）。 线弹性：第二 Korn 不等式 $\\int_{D_i}|\\varepsilon(u)|^2\\ge C_K \\int_{D_i}|u|^2$ 要求位移正交于刚体运动，其验证涉及 Killing 向量场的 $L^2$ 正交。 四阶板：Bramble-Hilbert 引理或高阶 Poincaré 不等式 $\\int_{D_i}|\\nabla^2 u|^2\\ge C_{BH}\\int_{D_i}|u|^2$ 要求与 $P_1$ 多项式正交，这是通过混合泛函分析技术可严格成立的。\n这些结果为各种物理系统的粗空间设计提供了显式指南。 3. De Rham 复形与拓扑不变量的融合\n对于 Maxwell 和 grad-div 算子，核心障碍是无界正合形式产生的无穷维谱。作者的真正创新在于将代数拓扑工具引入多尺度谱分析，具体路径如下：\n利用 de Rham 上同调群 $H^k(D_i) = \\mathrm{Ker}(d_k)/\\mathrm{Im}(d_{k-1})$ 提取“有效”零空间，通过 Hodge 分解 $V_k(D_i)=\\mathrm{Im}(d_{k-1})\\oplus \\mathfrak{H}^k(D_i)\\oplus \\mathrm{Im}(d_k^*)$ 得到标准调和代表，使 $\\dim\\mathfrak{H}^k(D_i) = \\dim H^k(D_i)$。 引用 de Rham 定理，指出 $\\dim H^k(D_i) = \\beta_k(D_i)$，即 Betti 数。由此证明有限维调和空间正是真正的局部无能量模式，且其维数完全由内含物拓扑（连通分量个数、隧道数、空腔数）决定。 在 gauge-fixed 空间 $W$ 内重新定义特征值问题，商掉了正合分量，从而恢复了离散谱。定理 4.1 的证明沿袭了有限维情况的 Min-Max 策略，但强制常数变为 Maxwell-Poincaré 型不等式，其成立依赖于闭值域定理和复形性质。这体现了功能分析中标准工具（Hilbert 复形、Hodge 分解）在多尺度问题中的巧妙融合。 4. 对比度加权 $L^2$ 归一化与谱解耦\n高频分析的传统难点在于 $\\eta$ 同时影响能量和质量对称双线性形式，导致能量不均衡。本文引入一种新颖的归一化技巧：考虑重新标度的特征值问题 $$ a_0(u,v) + \\eta a_1(u,v) = \\lambda \\big( m_0(u,v) + \\eta m_1(u,v) \\big). $$ 通过考虑 $\\eta\\to\\infty$ 的极限，并将其与两个极限问题（背景 Dirichlet 问题 $a_0(u,v)=\\lambda m_0(u,v)$ 在 $\\Omega_0$ 上和内含 Neumann 问题 $a_1(u,v)=\\lambda m_1(u,v)$ 在各 $D_i$ 上）匹配，作者利用质量集中现象（mass concentration dichotomy）证明任何特征函数的极限或者集中在背景中，或者集中在内含物内，进而得到谱解耦。详细证明使用了变分收敛理论和特征值分支扰动技术（如 Kato 扰动理论），最终导出多尺度 Weyl 律的特征值计数叠加公式。\n5. 双尺度收敛与谱均匀化\n在周期高对比介质中，作者采用双尺度收敛和谱均匀化标准工具，但引入了拓扑低频谱在 $\\varepsilon\\to 0$ 下的渐近行为分析。关键点是证明拓扑谱间隙的相对比值 $\\lambda_{N_{\\rm topo}+1}^\\eta / \\lambda_{N_{\\rm topo}}^\\eta \\to \\infty$ 均匀地关于 $\\varepsilon$ 成立，从而确保了带隙分离的鲁棒性。谱完备性定理的证明则依赖于将宏观均匀化算子的任意模函数用微观拓扑调和的有限维近似来逼近，利用了 $H$-收敛或双尺度收敛意义下的模性质。\n4. 与之前工作的比较 本文在多个层次上显著推进了既有文献，具体对比分析如下：\n1. 谱间隙理论的扩展：从标量扩散到一般算子族\n先期工作 [21] (Yalchin and Galvis, 2010) 仅针对标量扩散方程建立了谱间隙位于 $n=M+1$ 的结果，其证明依赖于梯度算子零空间仅含常数这一事实被显式使用。本文定理 2.2 将该结果扩展至任意具有有限维局部零空间的算子，包括向量值线弹性、高阶板问题等。核心推广在于识别出间隙位置 = $(\\dim\\mathcal{N}(D_i))\\times M + 1$，并提供一套基于抽象强制条件的统一证明。此外，作者通过明确给出不同物理问题的强制常数来源（Poincaré、Korn、Bramble-Hilbert 不等式），提供了具体的谱间隙位置表格 (Table 1)，这是此前文献未系统整理过的。与 [21] 相比，本文的假设更加抽象，但给出了更全面的适用范围。\n2. 突破有限维核限制：拓扑谱间隙与前人方法\n对于 Maxwell 或 grad-div 系统，由于核的无穷维性，传统的维度计数法失败。此前在多尺度方法中（如 GMsFEM 用于 Maxwell 问题 [11, 17]），通常通过选取一组局部多项式或特定函数来构造粗空间，但缺乏关于“应选多少个模态”的先验理论，且未建立类似谱间隙的严格理论。本文定理 4.1 是首次将谱间隙的存在性建立在拓扑不变量（Betti 数）之上。这一工作与利用 De Rham 复形分析有限元空间稳定的 H(div) 和 H(curl) 方法的文献（如 [3, 5]）有本质不同：后者关注离散模板的稳定性，而本文将连续上同调信息用于多尺度谱的零空间刻画。通过 Hodge 分解商掉正合形式，作者成功提取出真正决定低频谱行为的调和空间，并论证其维数等于 Betti 数，这在多尺度方法领域是全新的。该结果也暗示了对于复杂拓扑，为获得鲁棒收敛，多尺度粗空间的维度不应由任意截断决定，而应由介质拓扑决定，这对方法设计与误差分析具有指导意义。\n3. 高频谱分布和多尺度 Weyl 律\n经典 Weyl 律 [21] 中曾将标量扩散的特征值计数与区域体积联系，但通常假设系数光滑或温和振荡。对于高对比度多尺度问题，谱刚性的局部能量集中使得全局 Weyl 律失效。本文的谱解耦定理和多尺度 Weyl 律将总计数显式拆分为背景 Dirichlet 谱和内含 Neumann 谱的叠加。这与既有的多尺度特征值估计方法（如 [2, 33] 中考虑的局部特征值问题）截然不同：后者旨在通过加边修正近似低频特征，而本文直接给出了极限谱的完整分布，并保留了前三阶 Weyl 渐近项。代价是假设对比度 $\\eta\\to\\infty$ 的渐近极限，但该极限在许多实际超材料中是可接近的。在数值验证部分（第7节），作者对五种物理模型进行了实验，证实了谱间隙、谱分裂以及特征值计数与理论的吻合。\n4. 谱均匀化中的拓扑模式\n已有谱均匀化理论 (如 Allaire 等, [14] 相关文献) 主要关注于证明不同物理系统在 $\\varepsilon\\to 0$ 时谱的收敛性，但很少讨论介质拓扑对极限谱基底的影响。本文证明在内含物拓扑模式下，当 $\\varepsilon\\to 0$ 时这些低频本征空间将覆盖整个均匀化算子谱空间，这为均匀化理论提供了基底完备性视角。同时，带隙鲁棒性结果（相对比例恒定）表明，即使微观周期变化，粗空间的维数要求（$N_{\\rm topo}$）不会因 $\\varepsilon$ 减小而失去比例，这对多尺度算法中粗空间选取的稳定性具有实际意义。这一部分相比传统的双尺度均匀化工作，鲜明地突出了拓扑信息在谱分析中的超越性。\n5. 对计算方法的启示与局限\n本文明确指出其理论可直接服务于多尺度降阶方法的先验粗空间维数选择（例如 GMsFEM 的局部基函数数量），并为局部子空间迭代 (LSI) 等方法的收敛率提供分析工具。然而，作为纯理论工作，它未涉及实际粗空间构造的具体离散化选择（如基函数局部边界条件的优化）。此外，对于多个内含物靠近导致相互作用较强的情况，本文假设内含物彼此分离且对比度足够大，未讨论近场耦合的影响，这可能是在实际应用中需要进一步考虑的。与前人相比，本文的谱解耦限于线性谱，对非线性问题或非自伴算子的扩展尚未涉及。但总体而言，本文为一大类高对比度多尺度 PDE 的数值算法提供了坚实且统一的数学基础。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 约束Helfrich流的保几何结构参数化有限元逼近 Geometric structure-preserving parametric finite element approximations for the constrained Helfrich flow\n作者: Xiaoxiao Liu, Quan Zhao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.16697v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.16697v1\n摘要翻译 中文标题: 约束Helfrich流的保几何结构参数化有限元逼近\n摘要翻译: 我们针对闭合曲线和曲面的约束Helfrich流提出了一种保结构参数化有限元方法。该方法基于两阶段速度分裂策略。在第一阶段，通过曲率演化方程计算法向速度，其中体积和表面积约束以法向速度形式软施加。这一步骤近似了Helfrich流的梯度流结构，其全离散参数化有限元逼近导致线性系统，并在全离散层面给出了无条件能量耗散估计。在第二阶段，通过将计算得到的法向速度与BGN型切向速度相结合来更新曲面网格。还使用了时间加权界面法向和面积修正乘子来精确保持封闭体积和表面积。该修正步骤导致非线性系统，可通过牛顿迭代高效求解。由此得到的方法同时实现了能量衰减、精确几何守恒和良好的网格质量。对二维曲线和三维曲面的数值实验，包括非光滑初始数据和非零自发曲率，展示了所提方法的精度、稳健性和保结构性质。\n2. 完整Ericksen-Leslie模型的几何重述与结构保持旋转离散梯度格式 A geometric reformulation and structure-preserving rotational discrete gradient scheme for the full Ericksen-Leslie model\n作者: Hanbin Wang, Jie Xu, Zhiguo Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.16563v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.16563v1\n摘要翻译 中文标题: 完整Ericksen-Leslie模型的几何重述与结构保持旋转离散梯度格式\n摘要翻译: 本文针对具有一般各向异性Oseen-Frank弹性与完整Leslie应力的向列型液晶流动的完整Ericksen-Leslie模型，提出了一种结构保持的旋转离散梯度方法。主要困难在于在离散层面上同时保持指向矢场的逐点单位长度约束和能量耗散，这涉及长度约束、各向异性弹性能量与流体动力学耦合之间相互作用的高非线性。为解决这一问题，我们首先将Ericksen-Leslie系统重述为一个等价的旋转形式，其中指向矢的演化本质上切于单位球面，且Leslie应力和Ericksen应力中的耦合项被重新组织，使得能量交换与耗散结构显式化。基于这一重述，我们构造了保持指向矢长度且满足无条件离散能量律的旋转离散梯度格式，以及一个基于精确无散谱近似的全离散格式。数值实验验证了所提方法的精度、单位长度保持性和能量稳定性，并展示了完整Ericksen-Leslie模型中各向异性弹性系数与剪切流所诱导的动力学效应。\n3. 多孔弹性介质中显式波传播的等几何分析 Isogeometric Analysis for Explicit Wave Propagation in Poroelastic Media\n作者: Maarten M. Hodzelmans, René R. Hiemstra, Joris J. C. Remmers, Clemens V. Verhoosel\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.16293v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.16293v1\n摘要翻译 中文标题: 多孔弹性介质中显式波传播的等几何分析\n摘要翻译: 对于显式动力学问题的高阶离散，与经典有限元分析（FEA）相比，等几何分析（IGA）具有若干有利性质。FEA 在超过线性的阶数下会产生虚假模态，而 IGA 则不会出现这种情况。因此，达到同等精度所需的自由度更少，可采用更大的时间步长，且该方法对非线性问题更为稳健。若移除异常模态，时间步长甚至几乎与阶数无关。本文研究这些优势如何适用于多孔弹性连续体模型。我们同时考虑原始形式，其中变量为基体材料位移、流体位移和压力，以及消去了压力的简化形式。在离散化中，我们采用散度协调样条空间。流体位移的协调样条空间保证了原始形式的 inf-sup 稳定性，并在简化形式中给出了正确的零空间。此外，我们证明并展示当两种位移均采用协调样条空间离散时，两种形式等价。通过谱分析，我们发现 IGA 的上述优势确实可直接推广到多孔弹性领域。在一维情形，我们将离散谱分解为快波和慢波。当用解析解进行归一化时，每个子谱都极为类似于弹性力学中已知的结果。因此，当采用无异值 IGA 离散多孔弹性问题时，时间步长本质上与阶数无关。我们同样在二维情形展示了这种时间步长缩放规律。\n4. 用于二维非线性弹性的一阶兼容应变混合四边形有限元 First-Order Compatible-Strain Mixed Quadrilateral Finite Elements for 2D Nonlinear Elasticity\n作者: Mohsen Jahanshahi, Damiano Pasini, Arash Yavari\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-14\narXiv ID: 2606.15925v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15925v1\n摘要翻译 中文标题: 用于二维非线性弹性的一阶兼容应变混合四边形有限元\n摘要翻译: 兼容应变混合有限元方法（CSMFEs）利用非线性弹性的微分复形来构造保持底层拓扑结构的离散格式。现有的CSMFEs专注于可压缩与不可压缩非线性弹性的单纯形网格。本文针对可压缩与不可压缩固体，发展了适用于四边形单元的兼容应变混合格式。对于一般四边形单元，Piola变换仅在矩形、平行四边形和梯形等特殊几何形状下才能保持切向和法向于单元边的向量场，因此无法用于构造兼容形函数。为克服这一限制，形函数直接通过数值积分在物理空间中计算得出。采用第一类Nédélec形函数插值位移梯度，并引入一类新的、与位移和位移梯度离散相协调的应力形函数。可压缩格式沿用了之前为单纯形CSMFEs建立的框架；而对于不可压缩情形，提出了一种采用压力场单元层面凝聚的新格式，从而避免了引入额外的整体自由度。这些进展将兼容应变混合有限元框架从单纯形网格推广至一般四边形网格，同时适用于可压缩与不可压缩非线性弹性。数值算例表明，所提出的四边形单元能够以更少的自由度求解原本需要二阶单纯形CSMFEs处理的问题。\n5. PML-BIE方法在阻抗半空间中声散射问题的收敛性 Convergence of the PML-BIE Method for Acoustic Scattering in an Impedance Half-Space\n作者: Wangtao Lu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-14\narXiv ID: 2606.15878v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15878v1\n摘要翻译 中文标题: PML-BIE方法在阻抗半空间中声散射问题的收敛性\n摘要翻译: 基于完美匹配层的边界积分方程(PML-BIE)方法(Lu等人, \\emph{SIAM J. Appl. Math.} 78 (2018))已成为无界区域中波散射问题的有效工具。尽管该方法在实际应用中取得了成功，但在许多物理相关的设置下，严格的收敛理论仍不完整。本文提出了一个建立PML-BIE方法收敛性的一般框架，并以阻抗半空间中的声散射作为第一个示例。该框架将分析分解为三个部分：PML截断偏微分方程的收敛性、PML问题与精确PML-BIE之间的等价性、以及通过用拉伸自由空间核替换精确核而得到的可计算PML-BIE的收敛性。针对阻抗半空间问题，我们证明了精确和可计算PML-BIE格式的收敛性。最终的误差界随PML吸收强度的增加呈指数衰减。所得到的理论为PML-BIE方法提供了严格基础，并为层状和非均匀介质中更一般的散射问题提供了参考模型。\n6. 具有保正性的强稳定性保持积分因子Runge-Kutta方法求解微分Lyapunov方程 Strong Stability Preserving Integrating Factor Runge-Kutta Methods for Differential Lyapunov Equations with Positivity Preservation\n作者: Wenhui Zhang, Rihui Lan, Xiaobo Jing\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-14\narXiv ID: 2606.15703v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15703v1\n摘要翻译 中文标题: 具有保正性的强稳定性保持积分因子Runge-Kutta方法求解微分Lyapunov方程\n摘要翻译: 本文提出了二阶和三阶积分因子强稳定性保持Runge-Kutta方法用于求解微分Lyapunov方程。提出的格式突破了传统的阶数障碍，同时严格保持数值解的对称性和半正定性（SPSD）——这是稳定性分析和控制理论应用中的本质性质。此外，我们为二阶格式提供了严格的误差估计。数值实验验证了方法的精度及其保持SPSD性质的能力。\n7. 一种面向多面体网格上线弹性问题的交错间断伽辽金方法 A Staggered Discontinuous Galerkin Method for linear elasticity problem on Polytopal Meshes\n作者: Long Chen, Xuehai Huang, Ruishu Wang, Ran Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-13\narXiv ID: 2606.15223v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15223v1\n摘要翻译 中文标题: 一种面向多面体网格上线弹性问题的交错间断伽辽金方法\n摘要翻译: 本文基于Hellinger-Reissner变分原理，提出了一种用于线弹性的新型交错间断伽辽金（SDG）方法。我们在任意多面体网格上构造了具有单元边界法向连续性的对称应力空间，同时使用在相同网格上定义的分片多项式函数来逼近位移场。该方法无锁且满足线动量和角动量的局部平衡。我们给出了全面的理论分析，包括稳定性证明和误差估计。该格式具有可杂交化结构，显著简化了数值实现。数值实验验证了理论结果，并展示了所提方法的有效性。\n8. 物理一致的潜变量孪生 Physics-conforming Latent Twins\n作者: Matthias Chung, Yutong Bu, Deepanshu Verma\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-06-13\narXiv ID: 2606.15053v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15053v1\n摘要翻译 中文标题: 物理一致的潜变量孪生\n摘要翻译: 代理模型是科学机器学习的核心，它为复杂物理系统提供快速预测、仿真、推断和控制。然而，对于含时问题，仅对训练轨迹进行精确插值是不够的：可靠的代理模型还应尊重赋予这些轨迹物理意义的守恒律、不变量、容许性条件和耗散结构。我们引入物理一致的潜变量孪生（Physics-conforming Latent Twins），一种用于学习潜变量代理解算子的框架，其动力学通过设计满足选定的物理原理。该方法建立在潜变量孪生（Latent Twin）表述之上，联合学习编码器、解码器和任意时间索引状态之间的潜变量流映射，同时约束潜变量动力学以保持或耗散指定的结构量。我们发展了一种约束转移观点，将原始状态空间中的物理结构与潜空间中兼容的约束联系起来，并证明了结构保持界，表明潜变量强制执行如何改善解码后对物理缺陷的控制。我们还推导了潜变量流映射保持线性与二次不变量或施加耗散不等式的代数条件。在代表性常微分方程和偏微分方程基准上的数值实验表明，在保持准确代理预测的同时，约束满足度、结构保真度和定性的长时间行为均得到改善。\n9. 一种能量守恒的非交错电磁势粒子云网格方法，第一部分：非相对论广义动量表述 An Energy-Conserving Unstaggered Electromagnetic-Potential Particle-in-Cell Method, Part I: Non-relativistic Generalized-Momentum Formulation\n作者: Andrew J. Christlieb, Luis Chacon, Sining Gong\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-13\narXiv ID: 2606.15035v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15035v1\n摘要翻译 中文标题: 一种能量守恒的非交错电磁势粒子云网格方法，第一部分：非相对论广义动量表述\n摘要翻译: 我们针对Lorenz规范下的非相对论Vlasov-Maxwell系统，发展了一种基于势的非交错粒子云网格方法。场更新写成关于标量势、矢量势及其时间导数的一阶波动方程组的Crank-Nicolson离散。电荷密度不直接沉积；而是利用粒子沉积的电流，通过离散连续性方程推进。这为算法带来了灵活性和一系列创新，包括在离散层面保持Lorenz规范和高斯定律的非交错网格布局。在此势表述中，这种源序还允许在离散层面保持Lorenz规范和高斯定律。为将该范式扩展至能量守恒表述，我们引入了一致的轨道平均散射、收集与粒子推进。为了保证能量一致性，通过用与轨道平均映射相容的网格插值矢量势的轨道平均离散梯度替换矢量势的逐点中点导数，修改了正则动量的更新。该构造沿着每条粒子轨道满足精确的有限差分链式法则。因此，粒子功等于出现在Crank-Nicolson场能平衡中的网格功，从而在非线性求解器容差和舍入误差范围内实现了精确的总能量守恒。我们在冷双流不稳定性问题上，展示了该方法在三维情况下的精确能量守恒。\n10. 一种针对常系数时谐波传播问题的带传输变量的 HDG 方法 A HDG method with transmission variables for time-harmonic wave propagation problems with constant coefficients\n作者: Simone Pescuma, Gwénaël Gabard, Théophile Chaumont-Frelet, Axel Modave\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-12\narXiv ID: 2606.14950v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.14950v1\n摘要翻译 中文标题: 一种针对常系数时谐波传播问题的带传输变量的 HDG 方法\n摘要翻译: 时谐波问题的迭代有限元求解器因其问题的基本性质而收敛速度极慢。我们提出了一种更适合于快速迭代求解的可杂交间断伽辽金 (HDG) 方法的变体。与通过引入单元面上辅助数值通量来消去物理未知量的标准杂交策略不同，我们的方法是在这些面上引入一个传输变量。对于 Helmholtz 问题，这种称为 CHDG 的重新表述已被证明相对于标准 HDG 能够显著加速迭代格式的收敛。本工作将 CHDG 扩展到一个涵盖常系数波传播问题的通用框架中，能够以统一的方式处理多种波型。我们证明了所得的杂交系统是适定的，且适用于不动点迭代。作为一个实际应用，我们将该方法应用于具有均匀亚声速平均流的时谐线性化欧拉方程。通过涉及声波和涡旋波的二维数值基准测试说明了该方法，并对多种迭代格式在一系列配置下的收敛行为进行了系统比较。\n不相关论文（基本信息） 1. 基于 Nitsche 方法的拉普拉斯特征值问题有限元法：谱逼近与后验误差分析 Nitsche-based FEM for the Laplace eigenvalue problem: spectral approximation and a posteriori error analysis\n作者: Arbaz Khan, David Mora, Jesus Vellojin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.17052v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.17052v1\n摘要: In this paper, we present the numerical analysis of an elliptic eigenvalue problem in which the essential boundary condition is imposed weakly by means of the Nitsche method. The resulting discrete eigenvalue problem is studied within the framework of compact operator theory. We prove norm convergence of the discrete solution operator and derive error estimates for the eigenvalues and eigenfunctions, with rates depending on the chosen Nitsche variant. In addition, we develop an a posteriori error analysis and propose a residual-based estimator suitable for adaptive refinement. Several numerical experiments are presented to assess the convergence, stability and robustness of the method, including the influence of the Nitsche stabilization parameter and the performance of the adaptive strategy.\n2. 线性算子的最优多尺度学习 Optimal Multiscale Learning of Linear Operators\n作者: Jiaheng Chen, Daniel Sanz-Alonso\n类别: math.ST, math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.16913v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.16913v1\n摘要: We study the statistical and computational limits of learning bounded linear operators between Sobolev spaces from noisy input-output data. In wavelet coordinates, the problem is recast as an infinite-dimensional matrix regression problem with a heterogeneous two-sided multiscale structure. We establish minimax rates under Sobolev operator-norm loss and construct a finite-resolution blockwise least-squares estimator attaining these rates. The analysis reveals a nonuniform local estimation difficulty across scales, which can be exploited algorithmically: by assigning scale-adaptive sample sizes, the estimator achieves the optimal computational cost among dense least-squares implementations.\n3. PF-DIC: 相场数字图像相关方法用于全场位移、应变与损伤一体化测量 PF-DIC: Phase field digital image correlation for integrated full-field displacement, strain, and damage measurements\n作者: Dingxiang Zhu, Ye Lu\n类别: math.NA, cond-mat.mtrl-sci, physics.optics\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.16850v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.16850v1\n摘要: This work presents a novel digital image correlation (DIC) framework for full-field measurements of displacement, strain, and damage, based on a phase field (PF) approach. The idea is to take advantage of the ability of the PF method to track complex crack morphologies and to provide a natural way in DIC to perform damage and crack measurements from experimental speckle images, in addition to displacement and strain fields. Moreover, incorporating the damage variable into DIC can improve the displacement accuracy near the crack tip, and can avoid the need of user-defined masks when dealing with cracked samples, which is advantageous when cracks become complex and the manual application of masks becomes challenging. The theoretical formulation of the proposed framework, namely PF-DIC, was presented in detail in the paper, along with a finite element implementation. Numerical examples have demonstrated the capability of the proposed PF-DIC in terms of capturing different types of cracks while improving the measurement accuracy of displacement fields. Additionally, it is shown that the PF-DIC can be easily adapted to selectively identify critical cracks under specific loading conditions or mechanisms for damage assessment and diagnostic purposes. The proposed DIC framework offers a powerful and automatic damage measurement technique and paves the way for the unification of PF simulations and experimental measurements of fracture and opens numerous opportunities in science and engineering, e.g., materials defect characterization and structural health monitoring.\n4. 基于零空间方法的任意截面梁变偏移连接公式 A variable-offset joint formulation for beams with arbitrary cross-sections using a null space method\n作者: Myung-Jin Choi, Roger A. Sauer, Simon Klarmann, Sven Klinkel\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.16755v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.16755v1\n摘要: In this paper, we present a variational formulation of local configurational constraints that couple multiple beams with arbitrarily shaped cross-sections. Since this formulation requires no explicit interface to rotational degrees-of-freedom, it applies to any beam kinematics and finite element discretization. Here, we define the offset coordinates in a moving frame to constrain or release the relative position between connected beams. The present method is based on a first-order approximation of the Lagrange multiplier field in the cross-section, which limits the transferability of the joint to the resultant force and moment only. The multipliers are eliminated using a discrete null space method, which provides size reduction and improved conditioning of the system matrix. Further, we apply the developed formulation to a beam element based on extensible directors and to a brick element in nonlinear elastostatics. Several numerical examples are presented.\n5. 混合边界条件下椭圆问题有限元法中数值积分的影响 The effect of numerical integration in the FEM for elliptic problems with mixed boundary conditions\n作者: Juan Han, Haijun Wu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.16675v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.16675v1\n摘要: This paper investigates the impact of quadrature accuracy for volume and face integrals in the finite element method using $p$-th order polynomial shape functions for elliptic problems with mixed Dirichlet and Robin boundary conditions. The optimal $p$-th order $H^1$-convergence is maintained when numerical integration with algebraic precision at least $2p-2$ for volume terms and at least $2p-1$ for face terms is adopted. For $L^2$-error, we achieve optimal $O(h^{p+1})$ convergence when using quadrature rules of precision no less than $\\max\\{p,2p-2\\}$ for volume terms and no less than $2p-1$ for face terms. Of particular significance, we present two examples to show that the above result on $L^2$-error is sharp for the linear FEM ($p=1$). When reduced to the case of Dirichlet boundary condition, our results yield improved dependence on the given data compared to the classical results established by Ciarlet, \\textit{et al}. Numerical experiments are provided to illustrate the theoretical findings and confirm the necessity of specified quadrature accuracy and data regularity.\n6. 黑塞变化下的切比雪夫精确加速，第一部分：正弦-雅可比方法 Chebyshev-Exact Acceleration under Hessian Variation, I: Sine-Jacobi Method\n作者: Dmitry Pasechnyuk-Vilensky, Martin Takáč\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.16671v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.16671v1\n摘要: We study finite-horizon one-gradient realizations with the Chebyshev minimax terminal residual on $[μ,L]$. Under time-dependent Hessian perturbations, the terminal first variation is governed by a time-ordered spectral kernel $K_s(λ,ν)$; its sharp $\\ell_2$ gain is $A_N$. For the prefix-exact Chebyshev recurrence, $$ A_N^{\\rm pref} =\\frac{ε_N^\\star}{L-μ} \\left(4N^2+16\\sum_{m=1}^{N-1}m^2\\right)^{1/2} =\\frac4{\\sqrt3}\\frac{N^{3/2}}{L-μ}ε_N^\\star(1+o(1)), $$ and this is sharp in the causal two-term class with Chebyshev exactness at every prefix. For terminal-only exactness, Jacobi coordinates give $P_N=2^{1-N}T_N$: the spectrum is fixed at the midpoint Chebyshev nodes, while the spectral weights parametrize the realizations. The sine weights give a final-exact Jacobi method with the same terminal residual and $$ A_N(J_N^{\\sin}) =2\\sqrt{c_{\\sin}}\\frac{N^{3/2}}{L-μ}ε_N^\\star(1+o(1)), \\; 2\\sqrt{c_{\\sin}}\\approx2.137936\u003c4/\\sqrt3. $$ Thus the Chebyshev terminal polynomial does not determine the first-order Hessian-drift gain. The experiments show the finite-horizon effect: lower stochastic curvature overhead, larger admissible-block frontiers, accurate time-varying quadratic predictions, and lower restart cost on an endpoint-coupled smooth strongly convex GLM.\n7. CREATOR 项目：迈向计算电机实验室 The CREATOR Project: Towards a Computational Electric Machine Laboratory\n作者: Sebastian Schöps, Annette Muetze, Herbert De Gersem, Herbert Egger, Manfred Kaltenbacher\n类别: cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.16653v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.16653v1\n摘要: The Collaborative Research Centre TRR 361/F90 CREATOR (2022-2030) aims at establishing a new paradigm for the simulation-driven design of electric machines. Increasing demands on efficiency, power density and sustainability require the integration of multiphysical effects, advanced materials and complex geometries into the design process. Traditional sequential workflows are no longer sufficient to address these challenges. CREATOR therefore combines expertise from electrical engineering, applied mathematics, fluid dynamics and materials science to establish integrated modelling, simulation and optimisation methodologies in a single large-scale project funded by the German and Austrian national funding agencies. This article provides an overview of the research vision, key achievements from the first funding period (2022-2026) and current developments towards a computational electric machine laboratory.\n8. 核基多层插值的节点表示 Nodal Representations for Kernel-Based Multilevel Interpolation\n作者: Lorenz Gollwitzer, Rüdiger Kempf, Holger Wendland\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.16643v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.16643v1\n摘要: We study the kernel-based multilevel method for approximating or learning a multivariate function from scattered data, motivated in part by recent applications in sparse grid methods. For nested families of point sets, we derive a nodal representation of the multilevel interpolant that depends explicitly on the values of the target function. This representation allows us to characterize the range of the associated interpolation operator and to construct a cardinal basis for this space. We prove that the resulting basis functions exhibit exponential decay, analogous to the localization properties known for certain kernel-based Lagrange functions. We further analyze the computational cost of the resulting formulation. For non-nested families of point sets, we derive a generalized nodal representation.\n9. PhysGuard：面向仿真到真实神经偏微分方程代理模型的Fisher引导梯度投影 PhysGuard: Fisher-Guided Gradient Projection for Sim-to-Real Neural PDE Surrogates\n作者: Changjian Zhou, Junfeng Fang, Negin Yousefpour, Peng Wu, Bin Yan, Guillermo A Narsilio\n类别: cs.LG, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.16602v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.16602v1\n摘要: Neural operator models trained on simulation data often lose accuracy when applied to experimental measurements due to the sim-to-real gap. Standard fine-tuning with limited real data can reduce this gap, but it may also damage the core physics-relevant representations learned during pretraining. Although knowledge-preserving adaptation has been widely investigated in vision or language tasks, it remains unclear whether these methods are suitable for neural operators whose architectures and protected knowledge are fundamentally different. Neural operators need to preserve core-scale physical structures rather than semantic or visual features. We propose PhysGuard, a physics-preserving framework for accurate sim-to-real adaptation of neural operators. Specifically, PhysGuard uses the empirical Fisher Information Matrix computed on simulation data to identify physics-critical parameter directions, then restricts fine-tuning updates to directions that do not interfere with them. A layer-wise Gram-matrix formulation makes this efficient for models with millions of parameters, while an adaptive threshold automatically determines the protected subspace size. A spectral probe experiment shows that the dominant Fisher directions are strongly associated with low-frequency output structures. Experiments on benchmark across four neural operator architectures and different physical systems show that PhysGuard performs strongly on most evaluation metrics compared to baselines. The benefits are most evident under severe domain shift, where it reduces low-frequency error by up to 32% compared to standard fine-tuning while maintaining adaptability. Our code is available at https://github.com/ZhouChaunge/PhysGuard.\n10. 具有诺伊曼边界条件的抛物型热方程的热星游走 Walking on Heat Stars for Parabolic Heat Equations with Neumann Boundary Conditions\n作者: Anchang Bao, Enya Shen, Jianmin Wang\n类别: cs.GR, math.NA\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.16578v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.16578v1\n摘要: Monte Carlo methods have proven highly effective for elliptic partial differential equations through algorithms such as Walk on Spheres and Walk on Stars, which evaluate solutions at individual points without volumetric meshing or global linear solves. Extending these methods to the transient regime has remained an open challenge: parabolic equations couple space and time through an anisotropic scaling, requiring joint sampling of spatial displacements and backward time steps whose distribution was not previously available in a unified, exact form. We present Walk on Heat Stars, a grid-free Monte Carlo solver that closes this gap by extending the boundary integral framework of Walk on Stars to the parabolic setting. Our method introduces a non-cylindrical boundary integral formulation that accommodates the time-varying domains induced by heat-ball sampling. The heat ball geometry is parameterized by a logarithmic time coordinate and a spatial direction, revealing that the double-layer kernel factorizes into independent Gamma and uniform components. This factorization enables exact directional importance sampling of the recursive next walk position, the Neumann flux contribution, and the volumetric source term. We further derive a decoupled gradient estimator that expresses spatial derivatives as weighted boundary integrals of the solution, requiring no recursion on the gradient, and adapt a heteroscedastic regression-based denoiser to the space-time domain for variance reduction. We validate our method on analytical solutions across a range of geometries and spatial frequencies, confirm convergence at the expected Monte Carlo rate, and demonstrate practical applicability on heat sink and cooling scenes with mixed or pure Neumann boundary conditions.\n11. 用于二维奇异摄动问题的 Petrov-Galerkin 变分物理信息神经网络框架 Petrov-Galerkin Variational Physics-Informed Neural Network Framework for Two-Dimensional Singularly Perturbed Problems\n作者: Vijay Kumar, Gautam Singh\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.16510v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.16510v1\n摘要: This study proposes a Petrov-Galerkin based Variational Physics-Informed Neural Network (VPINN) for efficiently solving two-dimensional singularly perturbed problems (SPPs) with one and two small perturbation parameters. The approach employs neural networks to construct the trial solution space, while tensor-product hat functions are adopted as test functions to enforce the variational form. To accurately resolve of sharp boundary layers, the variational form is implemented using a Petrov-Galerkin formulation. Dirichlet boundary conditions are imposed directly, while the source terms are computed using automatic differentiation. Computational experiments on standard two-dimensional problems demonstrate that the proposed method achieves high accuracy in both the maximum and L_2 norms. These results confirm the efficiency and robustness of the Petrov-Galerkin VPINN approach in accurately capturing the multiscale features of two-dimensional SPPs.\n12. Grassmann流形上的测地线插值：GLERP与递归GIDER插值法 Geodesic Interpolation on the Grassmann Manifold: GLERP and Recursive GIDER Interpolants\n作者: Shingyu Leung\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.16463v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.16463v1\n摘要: This article develops a geodesic interpolation framework for data on the Grassmann manifold. The motivation is that many matrix-valued data sets represent subspaces rather than fixed bases: if the columns of two matrices differ only by a right orthogonal transformation, then they describe the same point on $Gr(r,m)$. Interpolation should therefore be invariant under this basis ambiguity. We first introduce $GLERP$, a Grassmann analogue of spherical linear interpolation defined by the Grassmann exponential and logarithm maps. The method follows the constant-speed geodesic joining two nearby subspaces and is second-order accurate for smooth Grassmann-valued curves under the usual normal-neighborhood condition. We then define $GIDER_n$, a recursive higher-order construction obtained by replacing each affine interpolation step in Neville\u0026rsquo;s algorithm by $GLERP$. The resulting interpolant matches $n+1$ subspace data exactly, is basis-invariant, and is locally of order $n+1$ for sufficiently smooth curves. We compare the construction with tangent-space interpolation and projection-matrix interpolation, discuss intrinsic and extrinsic error measures, and present numerical tests. The results confirm the expected convergence orders and show that $GIDER_n$and tangent-space interpolation are nearly indistinguishable in a smooth local regime, while projection-matrix interpolation provides a useful extrinsic baseline. We also outline how the recursive construction can be used as the basis of a Grassmann ENO procedure.\n13. 非均质井筒系统中断裂的相场分析：套管偏心率与水泥环-地层界面强度的影响 Phase-field analysis of fracture in heterogeneous wellbore systems: effects of casing eccentricity and cement-formation interface strength\n作者: Tharunsarathy, Wasim Niyaz Munshi, Chandrasekhar Annavarapu, Birendra Jha\n类别: cs.CE, cond-mat.mtrl-sci, math.NA, physics.geo-ph\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.16346v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.16346v1\n摘要: Predicting the initiation and propagation of cracks in heterogeneous wellbore systems under complex in-situ conditions remains challenging. We present a hybrid phase-field fracture framework to model crack growth in heterogeneous wellbore systems with weak interfaces. The framework is first validated against benchmark problems with available analytical and numerical solutions. Subsequently, numerical experiments are conducted to isolate the effects of interface strength and casing eccentricity on crack growth. The results show that casing eccentricity strongly influences both the pressure at crack initiation and the resulting crack paths, reducing the crack initiation pressure by up to 30% relative to the concentric configuration. Beyond a critical eccentricity threshold of 50%, localized shear stresses drive the nucleation of inclined cracks in the formation in addition to radial cracking \u0026ndash; a failure mode absent in concentric configurations. For sufficiently weak interfaces (i.e., interfaces with 30% of the strength of the surrounding bulk material), radially propagating cracks in the cement sheath are deflected along the interface rather than penetrating into the formation. This deflection delays stress relaxation within the sheath, promotes the nucleation of additional radial cracks, and increases the risk of sustained casing pressure and wellbore failure. Finally, a three-dimensional simulation reveals depth-dependent crack nucleation, stress-shadow effects that suppress full-depth crack growth and crack coalescence along the cement-formation interface \u0026ndash; phenomena that are fundamentally inaccessible under plane-strain assumptions - demonstrating the applicability of the framework to realistic heterogeneous wellbore systems.\n14. symveig: 对称分解的埃尔米特矩阵的验证特征值包络 symveig: Verified eigenvalue enclosures for symmetry-decomposed Hermitian matrices\n作者: Sarang Vehale, Ritu Goel\n类别: cond-mat.str-el, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.16217v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.16217v1\n摘要: Exact diagonalization of quantum lattice Hamiltonians returns floating-point eigenvalues whose accuracy is not certified: rounding error, eigensolver behaviour, and ill-conditioning can corrupt a result without warning. We present \\texttt{symveig}, a pure NumPy/SciPy package that computes rigorous, machine-checkable enclosures of all eigenvalues of a Hermitian matrix, with an optional symmetry-sector decomposition. For a matrix that commutes with an abelian conserved quantity diagonal in the working basis (for example the total magnetization of a spin model), the package verifies each symmetry sector independently. Because each sector block is much smaller than the full matrix, this yields enclosures that are both tighter (by a factor of $3$-$9$ across system sizes $L = 4$-$12$) and dramatically faster (a wall-clock speedup of up to $130\\times$ at $L = 12$) than verifying the full matrix, while never forming or diagonalizing it. Every enclosure half-width is a guaranteed upper bound on the distance from a computed eigenvalue to the nearest true eigenvalue under IEEE~754 round-to-nearest arithmetic, obtained by explicit floating-point error analysis with no heuristic slack. The implementation requires neither INTLAB nor MATLAB, bringing rigorously verified eigenvalue enclosure into the standard scientific-Python stack used in computational physics. We validate the package on $1$D Heisenberg (open and periodic), $J_1$-$J_2$ Heisenberg, and $2$D Heisenberg lattices, confirming that every computed eigenvalue is contained in its enclosure across all tested configurations.\n15. 基于晶格格林函数的无穷晶格离散 Calderón 投影在主动噪声屏蔽与约束中的应用 Infinite-lattice discrete Calderón projection via the lattice Green\u0026rsquo;s function for active noise shielding and confinement\n作者: Qing Xia\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.16192v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.16192v1\n摘要: We construct an infinite-lattice discrete Calderón projection for the Helmholtz equation by convolution with the lattice Green\u0026rsquo;s function (LGF), and apply it to active noise shielding and confinement on Cartesian grids with arbitrary geometry. The LGF fixes the outgoing radiation condition and removes the geometry-dependent auxiliary Helmholtz problem and artificial outer boundary from the projection and control synthesis; its finite numerical tabulation depends only on $(h,k)$ and is reusable across geometries. We prove idempotence, characterize the range as the trace space of interior lattice-Helmholtz solutions, and establish range equivalence with a well-posed Tsynkov-type projection. The two projectors coincide as operators when the auxiliary problem reproduces the exact lattice radiation condition. A capacity-matrix realization yields closed-form shielding and confinement densities supported on the exterior and interior sublayers of a single lattice boundary strip, respectively. For pure-noise shielding, exterior-sublayer measurements suffice under explicit invertibility assumptions; preservation of an unknown wanted interior field requires the full strip trace. Experiments on circular, L-shaped, and star-shaped regions verify machine-precision cancellation for LGF-consistent sources and near-second-order convergence for analytic plane waves and point sources. Conditioning and measurement noise tests quantify the configuration dependence of the reconstruction.\n16. 针对具有 Dzyaloshinskii\u0026ndash;Moriya 相互作用的 Landau\u0026ndash;Lifshitz\u0026ndash;Gilbert 方程的质量集中中点有限元方法与保结构求解器的先验误差分析 A priori error analysis of a mass-lumped midpoint finite element method with a structure-preserving solver for the Landau\u0026ndash;Lifshitz\u0026ndash;Gilbert equation with Dzyaloshinskii\u0026ndash;Moriya interaction\n作者: Agus L. Soenjaya\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.16142v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.16142v1\n摘要: The Landau\u0026ndash;Lifshitz\u0026ndash;Gilbert (LLG) equation is a fundamental model in micromagnetics for the magnetisation dynamics of ferromagnets at temperatures well below the Curie temperature. In chiral magnetic materials, the bulk Dzyaloshinskii\u0026ndash;Moriya interaction (DMI) contributes a first-order term to the effective field, induces a natural chiral boundary condition, and plays an important role in the dynamics of skyrmions. In this paper, we analyse a mass-lumped midpoint finite element scheme for the LLG equation with exchange interaction and bulk DMI. The fully discrete scheme preserves the nodal unit-length constraint exactly and satisfies a discrete energy law. Under suitable regularity assumptions on the exact solution, we prove an optimal-order convergence estimate in the energy norm, first order in space and second order in time. To our knowledge, this is the first such a priori error estimate for the mass-lumped midpoint finite element method, even in the exchange-only case. Since the midpoint scheme is nonlinear, its practical implementation requires an algebraic solver that is compatible with the geometric structure of the method. To this end, we propose a structure-preserving fixed-point iteration which preserves the nodal unit-length constraint at every iterate. We further prove that, under an appropriate residual stopping criterion, the resulting inexact scheme retains the same convergence rate as the ideal midpoint scheme, up to the contribution of the solver tolerance. Numerical experiments support the theoretical results and illustrate the robustness and structure-preserving properties of the method.\n17. 用于线性偏微分方程数据同化的随机特征卡尔曼滤波 Random-Feature Kalman Filtering for Linear PDE Data Assimilation\n作者: Xi\u0026rsquo;an Li, Jiale Linghu, Yangshuai Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-15\narXiv ID: 2606.16086v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.16086v1\n摘要: Data assimilation for time-dependent partial differential equations (PDEs) requires Bayesian updates of an evolving field from streaming, sparse, and noisy observations, while keeping the filtering state finite dimensional. We introduce a random-feature Kalman filtering framework for linear PDE data assimilation. Once the random features are frozen and the linear PDE is Galerkin discretized, the coefficient vector satisfies a finite-dimensional linear-Gaussian state-space model, so the Kalman recursion gives the exact posterior for the chosen coefficient model. For non-orthogonal random-feature draws, we construct a mass-whitened effective-rank coordinate system that removes near-null mass directions and identifies the posterior dimension $r$. For the heat equation with implicit-Euler time stepping, we prove a high-probability posterior-contraction and PDE-consistency theorem in these mass-whitened coordinates. The mean-square $L^2$ reconstruction error separates into an effective-rank feature approximation term, a deterministic time-consistency term, and a Bayesian estimation term. In the high-information regime, the leading posterior contribution scales as $rσ^2/N_o$, where $σ^2$ is the observation-noise variance and $N_o$ is the number of observations per analysis time. Thus the analysis distinguishes the exact coefficient-space posterior from deterministic PDE approximation errors, and gives a checkable uncertainty-quantification guarantee for random-feature filtering of a representative parabolic PDE.\n18. PyTorch 中的有限维 I 型 von Neumann 代数：面向随机块对角算子的 GPU 加速框架 Finite-Dimensional Type I von Neumann Algebras in PyTorch: A GPU-Accelerated Framework for Random Block-Diagonal Operators\n作者: Irina Nikolaeva, Andrej Novikov\n类别: cs.MS, math.NA, math.OA, math.QA, math.SP, quant-ph\n发布日期: 2026-06-14\narXiv ID: 2606.15882v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15882v1\n摘要: We present \\texttt{torch_vn_algebra}, an open-source Python library built on PyTorch for numerical experiments with finite-dimensional Type I von Neumann algebras (direct sums of matrix algebras). The library provides: $\\bullet$ a compact batched tensor representation $(B,C,k_{\\max},k_{\\max})$ that handles both Monte Carlo samples and multiple direct summands; $\\bullet$ lazy evaluation of operators to avoid unnecessary memory allocation; $\\bullet$ generation of random operators with arbitrary eigenvalue distributions (user-provided samplers) and various unitary ensembles (Haar, $\\mathrm{SU}(n)$, COE, CSE, diagonal phases); $\\bullet$ functional calculus via SVD (absolute value, square root, inverse, entropy) and a hybrid method for extreme eigenvalues (exact diagonalisation for $k_{\\max}\\le256$, otherwise power iteration); $\\bullet$ three trace functionals (blunt, normalised subspace trace, and the von Neumann tracial state); $\\bullet$ GPU-accelerated batched linear algebra for moderate-scale Monte Carlo studies (e.g., $2\\times10^4$ samples of $100\\times100$ operators). The library is validated against analytical expectations (Haar moments, trace properties). Performance benchmarks on a Tesla P100 GPU are presented and discussed. Limitations and future work are outlined. The code is open-source.\n19. DLRA对SDEs的指数收敛性 Exponential Convengence of DLRA for SDEs\n作者: Jianhai Bao, Haitao Wang, Yue Wu\n类别: math.PR, math.NA\n发布日期: 2026-06-14\narXiv ID: 2606.15843v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15843v1\n摘要: We study dynamical orthogonal (DO) approximations of stochastic differential equations and investigate their long-time behaviour. The DO formulation represents the solution by a low-rank decomposition and leads to a coupled system consisting of an evolution equation on the Stiefel manifold and a reduced stochastic process. We establish the well-posedness of the strong DO system and derive quantitative error estimates between the original stochastic differential equation and its low-rank approximation in the Wasserstein distance. Our main contribution is the analysis of invariant probability measures for the DO dynamics. Under suitable dissipativity, Lipschitz continuity, and non-degeneracy assumptions on the coefficients, we prove the existence of an invariant probability measure for the strong DO system. The proof combines uniform moment estimates, a Krylov\u0026ndash;Bogoliubov argument for an associated frozen system, and a Kakutani-Fan-Glicksberg fixed-point theorem to recover the self-consistent dynamics. We further show that the induced low-rank process admits an invariant probability measure and discuss the structure of invariant measures through several illustrative examples. These results provide a rigorous foundation for the use of dynamical low-rank approximations in the approximation of long-time statistical properties of stochastic dynamical systems.\n20. 优化高阶IMEX-RK格式求解退化扩散反应问题及其在行波现象中的应用 Optimized high-order IMEX-RK schemes for degenerate diffusion-reaction problems with application to travelling waves phenomena\n作者: Paola F. Antonietti, Mattia Corti, Giuseppe Orlando\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-14\narXiv ID: 2606.15726v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15726v1\n摘要: We study a class of IMplicit-EXplicit Runge\u0026ndash;Kutta (IMEX-RK) schemes for the numerical approximation of reaction and diffusion-reaction problems arising in a variety of biological and physical applications. Such models may admit travelling wave solutions, with the Fisher\u0026ndash;Kolmogorov equation representing a prototypical example. Motivated by this feature, the proposed time integration schemes are designed to accurately capture sharp propagating fronts. We also investigate a less standard use of IMEX-RK methods that circumvents a splitting of reaction terms into linear and nonlinear components, while still requiring the solution of linear systems at each stage. This semi-implicit formulation, referred to as SI-IMEX-RK, enables a targeted treatment of stiffness by isolating its relevant contributions. The time discretization is coupled with a high-order polygonal discontinuous Galerkin method for space discretization, resulting in a flexible and robust framework for the treatment of multiscale dynamics in complex geometries. A comprehensive validation strategy is presented to assess the accuracy and stability properties of the proposed schemes across a hierarchy of increasingly challenging test problems.\n21. 基于张量列车随机向量的随机迹估计 Stochastic trace estimation with tensor train random vectors\n作者: Zvonimir Bujanović, Daniel Kressner, Hrvoje Olić\n类别: stat.ML, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-06-14\narXiv ID: 2606.15679v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15679v1\n摘要: Stochastic trace estimation is a standard tool for approximating the trace of a large-scale matrix available only through matrix-vector products. However, in tensor-structured settings, unstructured Gaussian or Rademacher test vectors may be prohibitively expensive to store and compute with, while cheaper rank-one tensor-product vectors can require sample complexities that grow exponentially with the tensor order. This work studies Gaussian random tensor train vectors as a structured alternative for stochastic trace estimation. We show that, with a suitable choice of the tensor train rank, random tensor train vectors recover dimension-independent guarantees for the Girard\u0026ndash;Hutchinson estimator. In particular, a median-of-means variant with tensor train rank $r \\geq d-1$ achieves the same dependence on the accuracy $\\varepsilon$ and failure probability $δ$ as the classical estimator based on unstructured Gaussian vectors. We further prove an oblivious subspace injection result for sketches formed from independent Gaussian random tensor train vectors: tensor train rank $r\\geq d-1$ and $\\mathcal{O}(\\varepsilon^{-2}(k+\\log(1/δ)))$ samples suffice for a $k$-dimensional target subspace. Finally, we investigate the use of such sketches within the Nyström++ framework. We show that the resulting estimator can achieve the desired $\\mathcal{O}(\\varepsilon^{-1})$ sample complexity under an additional spectral-tail condition. These results provide clarififcation on both the potential and the limitations of random tensor train vectors in stochastic trace estimation.\n22. 阻抗圆柱体斜入射散射的耦合边界积分方程的高阶Nyström方法 A High-Order Nyström Method for Coupled Boundary Integral Equations in Oblique-Incidence Scattering by Impedance Cylinders\n作者: Haochen Liu, Qinghao Yu\n类别: math-ph, math.NA\n发布日期: 2026-06-14\narXiv ID: 2606.15616v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15616v1\n摘要: We study the numerical solution of electromagnetic scattering by an infinitely long impedance cylinder under oblique incidence. After separation of the axial phase factor, the axial electric and magnetic components satisfy a pair of coupled two-dimensional Helmholtz equations. The Leontovich impedance condition couples these components through tangential derivatives, and the associated boundary integral system contains both logarithmic kernels and principal-value tangential derivative terms. Building on existing coupled integral-equation formulations for oblique-incidence cylinder scattering, we construct a high-order Nystrom implementation based on Kress-type logarithmic kernel decomposition, periodic product quadrature, Fourier differentiation for the tangential derivative contribution, and a block diagonal preconditioner associated with the scalar impedance subproblem. Under uniqueness of the continuous scattering problem and a uniform discrete stability assumption, we formulate a high-order convergence framework for the boundary densities and far-field patterns. Numerical experiments include a manufactured Fourier-Bessel benchmark, a plane-wave circular-cylinder validation, a smooth non-circular boundary test, condition-number and GMRES comparisons, and a variable-impedance scattering-width reduction example in a prescribed backward angular sector. The results indicate that the method provides a stable high-accuracy forward solver for the coupled impedance system, rather than a new physical model.\n23. 用于时间相关偏微分方程的液体随机特征方法 Liquid Random Feature Methods for Time-Dependent Partial Differential Equations\n作者: Jiale Linghu, Yangshuai Wang\n类别: physics.comp-ph, math.NA\n发布日期: 2026-06-14\narXiv ID: 2606.15571v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15571v1\n摘要: A central challenge in mesh-free space\u0026ndash;time approximation for time-dependent partial differential equations is to represent evolving temporal scales while keeping residual minimization computationally tractable. Random feature methods simplify this algebraic problem by freezing nonlinear trial functions and fitting only a linear readout, but standard static space\u0026ndash;time activations provide no explicit relaxation-scale mechanism, making temporal-scale resolution a finite-dimensional bottleneck in stiff, dispersive, or multi-scale regimes. We introduce liquid random feature methods (L-RFM), which replace static temporal activations by closed-form liquid time-constant responses with sampled relaxation scales. The resulting frozen features form temporally structured local or global trial spaces with analytic space\u0026ndash;time derivatives for residual least-squares assembly. A density theorem proves density of the deterministic trial spaces in the continuous space\u0026ndash;time function class, and a temporal-rank calculation clarifies the role of sampled relaxation scales. Ablation and finite-feature tests identify the liquid temporal response as the primary source of the observed accuracy improvement. Across stiff reaction\u0026ndash;diffusion, nonlinear transport, dispersive, complex-valued, and multidimensional benchmarks, L-RFM improves finite-feature accuracy in regimes where temporal-scale representation controls the approximation. By embedding relaxation scales directly into frozen trial functions, L-RFM provides a route to high-accuracy continuous space\u0026ndash;time surrogates for evolutionary PDEs while preserving the simplicity of linear least-squares solvers.\n24. 概率论、数论与动力系统交叉中的数值积分 Numerical Integration at the Intersection of Probability Theory, Number Theory and Dynamical Systems\n作者: Zicheng Wang, Haisen Zhang, Xu Zhang\n类别: math.DS, math.NA\n发布日期: 2026-06-13\narXiv ID: 2606.15375v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15375v1\n摘要: This paper is devoted to the study of uniformly distributed (u.d.) sequences on general non-compact topological spaces. Convergence-determining classes and the equivalent characterizations of u.d. sequences on $T_4$ spaces are discussed. For Polish spaces endowed with regular probability measures, the existence of a countable convergence-determining class for u.d. sequences is proved by virtue of the tightness of Borel probability measures. It is shown that, under the condition that a countable convergence-determining class exists, both independent identically distributed (i.i.d.) randomly sampled sequences and orbit sequences of ergodic transformations are u.d.\\ with full measure.\n25. 基于张量网络降维的指数尺度线性代数 Linear algebra at exponential scale via tensor network dimension reduction\n作者: Chris Camaño, Ethan N. Epperly, Raphael A. Meyer, Joel A. Tropp\n类别: math.NA, cond-mat.str-el, cs.DS, quant-ph\n发布日期: 2026-06-13\narXiv ID: 2606.15350v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15350v1\n摘要: Many problems in modern scientific computing are challenging because of a \\emph{curse of dimension}, where their mathematical formulation involves objects whose dimension is \\emph{exponential} in the nominal \u0026ldquo;size\u0026rdquo; of the problem. Tensor networks can provide a compact representation for exponentially large vectors and matrices that arise in applications, but these representations do not always lead to reliable algorithms. This paper develops and analyzes techniques for randomized dimension reduction of tensor network data. These techniques support a suite of efficient algorithms for provably solving exponential-scale linear algebra problems, including trace estimation and eigenvalue approximation. The paper includes several stylized illustrations from quantum many-body physics with ambient dimension up to $2^{200}$.\n26. 最小正则性下双调和Steklov特征值问题的协调和非协调虚拟元法 Conforming and non-conforming virtual element methods for the biharmonic Steklov eigenvalue problem with minimum regularity\n作者: Dibyendu Adak, Daniele Boffi, Francesca Gardini, Gianmarco Manzini, Jesus Vellojin\n类别: math.NA, math.FA\n发布日期: 2026-06-13\narXiv ID: 2606.15340v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15340v1\n摘要: In this work, we analyze the conforming and $C^0$-non-conforming Virtual Element Method for a fourth-order Steklov eigenvalue problem on a generally shaped, possibly nonconvex, polygonal domain. By employing an {\\it enriching } operator, we derive the convergence analysis using the discrete $H^2$ seminorm, and the $H^1$ and $L^2$ norms. We use the Babuška\u0026ndash;Osborn spectral theory \\cite{BO} to prove that the numerical scheme approximates the spectrum without introducing any spurious eigenvalue. Moreover, we derive the optimal order of convergence for eigenfunctions and double order for eigenvalues. We assess the performance of the method on several numerical tests using different families of polygonal meshes.\n27. 面向有限体积环境网格自适应的各向同性恢复型误差估计器算法及其在大气流动中的应用 An isotropic recovery-based error estimator algorithm for mesh adaptation in a finite volume environment with application to atmospheric flows\n作者: Lander Besabe, Michele Girfoglio, Simona Perotto, Annalisa Quaini, Gianluigi Rozza\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-13\narXiv ID: 2606.15296v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15296v1\n摘要: We develop an Isotropic Recovery-based Error Estimator (IREE) to drive mesh adaptation within a finite volume framework. Recovery-based error estimators are widely used in practice thanks to their simplicity, relying solely on the available discrete solution and a suitable post-processing step. While recovery-based estimators are well established in the finite element framework, their application to finite volume methods, despite the widespread use of the latter in industrial and commercial codes, remains largely unexplored and motivates the present study. We assess the performance of the proposed IREE-driven mesh adaptation procedure through well-known benchmarks for dry atmospheric flows modeling and compare it against a widely-used plain mesh adaptation algorithm. Both qualitative and quantitative results show that the IREE algorithm is more effective at suppressing numerical instabilities compared with the plain approach and, for most of the simulation time, provides a superior accuracy, though at a moderately higher computational cost. In addition, both the adaptive approaches offer substantial computational savings (between 35% and 94%) relative to simulations based on fixed uniformly fine meshes. These findings demonstrate that IREE-based mesh adaptation is a promising and effective strategy for atmospheric flow simulations and has the potential to substantially reduce the computational effort of generating reanalysis-quality data.\n28. 具有多项式势的欠阻尼Langevin方程的时间一致弱收敛显式数值方法 A uniform-in-time weakly convergent explicit numerical method for the underdamped Langevin equation with polynomial potentials\n作者: Diancong Jin\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-06-13\narXiv ID: 2606.15175v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15175v1\n摘要: The underdamped Langevin equation is a fundamental model in statistical mechanics for sampling Gibbs measures and simulating molecular dynamics, for which numerical methods with uniform-in-time weak convergence are essential for accurately reproducing long-time statistical observables and invariant measures of the underlying dynamics. Currently, such uniform-in-time weak convergence is established for implicit schemes, but remains unknown for explicit ones under polynomially growing potentials. To improve efficiency in long-time simulations, we propose the first explicit numerical method for the underdamped Langevin equation with polynomially growing potentials that is proven to achieve uniform-in-time weak convergence. The explicit numerical method is constructed by introducing a dissipativity on the scalar auxiliary variable (SAV), which we call the DSAV method. The proposed DSAV method enables the approximation of the invariant measure for the underdamped Langevin equation with a precision of $\\varepsilon$ at a significantly reduced computational cost of $\\mathcal{O}(\\varepsilon^{-1} \\log(\\varepsilon^{-1}))$. In addition, we establish the existence and positivity of the density function of the numerical solution without using the Malliavin calculus. Numerical experiments are performed to verify the theoretical findings and demonstrate the long-time stability of the proposed numerical method.\n29. 双调和波动方程的空间混合高阶方法与时间隐式格式 Hybrid-high order method in space and implicit schemes in time for the biharmonic wave equation\n作者: Raman Kumar, Neela Nataraj, Aamir Yousuf\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-13\narXiv ID: 2606.15163v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15163v1\n摘要: This article presents the numerical analysis for the biharmonic wave equation with clamped boundary conditions employing two variants of the {hybrid high-order} method for the space discretization and two implicit time-stepping schemes for the time discretization. The Newmark scheme directly discretizes the second-order time derivative, while the Crank-Nicolson scheme discretizes a reformulated system where we introduce velocity as an independent variable to create coupled first-order equations. Optimal orders of convergence in space and time are achieved for both schemes. The numerical experiments validate the theoretical convergence rates and show the effectiveness of the proposed methods. To the best of our knowledge, this is the first work in literature that addresses hybrid-high order method and implicit time schemes for the biharmonic wave equation.\n30. 一种高维Wigner-Poisson系统的保结构自适应秩方法 A Structure-preserving Adaptive-Rank Approach to the High-Dimensional Wigner-Poisson System\n作者: Andrew J. Christlieb, Sining Gong, Jing-Mei Qiu, Nanyi Zheng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-13\narXiv ID: 2606.15067v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15067v1\n摘要: The Wigner-Poisson system is a deterministic phase-space model for quantum kinetic electron dynamics, but high-dimensional simulations are limited by the full 3D3V phase space and the nonlocal Wigner potential. We develop a structure-preserving, sampling-based adaptive-rank solver in hierarchical Tucker format for finite-$H$ regimes in which Wigner-Poisson solutions exhibit exploitable low-rank structure. The central difficulty is that adaptive compression can destroy the Fourier-Hermitian tensor symmetry required for a real inverse velocity transform and can break discrete global conservation laws. We address these issues with a Fourier-Hermitian-symmetry-aware sampling and mapping procedure and a global moment correction enforcing mass, momentum, and self-consistent total energy. Numerical tests for two-stream instability and strong Landau damping in 2D2V and 3D3V show roundoff-level conservation, preservation of the real-valued inverse transform, and approximately linear scaling with respect to the number of grid points per coordinate over the tested rank range. The results demonstrate that long-time 3D3V Wigner-Poisson simulations can be performed without assembling the full phase-space tensor.\n31. 用于逆热点源问题中源计数的汉克尔行列式零阶原理 A Hankel determinant zero-order principle for source counting in an inverse heat point-source problem\n作者: Zhiliang Deng, Ailin Qian, Xiaomei Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-13\narXiv ID: 2606.15065v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15065v1\n摘要: This paper studies the identification of an unknown number of stationary point sources in a two-dimensional heat equation from boundary flux measurements. Unlike many reconstruction approaches that assume the number of sources to be known in advance, we develop a determinant-based counting method that extracts this number directly from the measured data. In the unit disk, the Laplace-transformed and normalized boundary flux admits a Fourier moment representation whose low-frequency limit has a finite exponential-sum structure. This structure leads to a family of Hankel matrices and associated determinant characteristics. We prove that, under a generic determinant lifting condition, the vanishing order of the Hankel determinant at the zero Laplace frequency changes exactly when the Hankel order exceeds the true number of sources. Consequently, the source number is characterized by the first nonzero contour count of the determinant characteristic through the argument principle. We further establish a Rouché-type stability result showing that the determinant zero count is preserved under sufficiently small perturbations induced by measurement noise, boundary discretization, and time truncation. After the source number is identified, the source locations and strengths are recovered from the low-frequency moment sequence by an annihilating-polynomial and Vandermonde reconstruction procedure. Numerical experiments confirm the predicted count pattern, demonstrate robustness with respect to contour selection, illustrate the role of the Rouché margin under noise and near-degenerate configurations, and validate the subsequent recovery of source locations and strengths.\n32. VQE 作为海森堡自旋玻璃哈密顿量上 QPE 的初始态制备 VQE as Initial State Preparation for QPE on Heisenberg Spin-Glass Hamiltonians\n作者: Elijah Pelofske, Stephan Eidenbenz\n类别: quant-ph, cond-mat.dis-nn, math.NA\n发布日期: 2026-06-13\narXiv ID: 2606.15061v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.15061v1\n摘要: Quantum Phase Estimation (QPE) is the quantum algorithmic workhorse for computing ground state energies of quantum Hamiltonians with quantum computers. Ground state energy calculation of physical systems is perhaps the most promising use case for quantum computing in terms of scientific and commercial value with a plausible path to outperformance of classical alternatives. This path, however, hinges on the availability of initial states for QPE with significant overlap with the true ground state. Using extensive (classical) numerical computations, we study whether the NISQ-era algorithm VQE (Variational Quantum Eigensolver) could be used to efficiently prepare high-overlap states of disordered fully-connected anisotropic Heisenberg spin glass quantum Hamiltonians with up to $15$ qubits. We find that (i) \u0026ndash; consistent with widely held, but rarely numerically illustrated beliefs \u0026ndash; VQE is generally unable to efficiently converge to the ground state for our Hamiltonians, which is a well-known issue with VQE due to a variety of factors including vanishing gradients and local minima; (ii) low energy states do not necessarily have large ground-state overlap, but there is typically a correlation between the two measures; (iii) adding more than three layers to the VQE ansatz neither improves overlap nor the energies found; and (iv) the best-found overlap scaling as a function of the Hamiltonian system size is not strongly exponentially decreasing, suggesting potential for VQE to be a heuristic state preparation algorithm for QPE.\n33. 带有对流换热的最优隔热问题的有限元逼近 A Finite Element Approximation of an Optimal Insulation Problem with Convective Heat Transfer\n作者: Harbir Antil, Alex Kaltenbach, Keegan L. A. Kirk\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-12\narXiv ID: 2606.14991v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.14991v1\n摘要: A finite element discretization of an optimal insulation problem with convective heat transfer is considered. The model is formulated as a non-smooth, two-variable convex minimization problem. It accounts for the temperature distribution in a thermally conducting body $Ω\\subseteq\\mathbb{R}^d$, with $d\\in \\{2,3\\}$, and the distribution of a given amount of insulation material on an insulated boundary part $Γ_I\\subseteq \\partialΩ$. The surface integral over the insulated boundary $Γ_I$ is approximated by a mass-lumping quadrature that preserves the structure of the continuous setting and, in particular, yields discrete optimality conditions mirroring their continuous counterparts. Well-posedness, stability, and weak convergence of discrete solutions to the continuous ones are established. Furthermore, a block coordinate descent algorithm for the computation of the discrete solutions is formulated and its linear convergence is derived. Under suitable regularity assumptions, uniform $L^\\infty(Γ_I)$-bounds and $\\textit{a priori}$ error estimates for both the temperature distribution and the distribution of a given amount of insulation material are obtained. Numerical experiments are carried out that confirm the predicted error decay rates and demonstrate the method in a qualitative three-dimensional test on a realistic spacecraft crew module capsule geometry with idealized reentry-heating Robin data.\n34. 高效多精度计算实阶与复变量贝塞尔函数并附Fortran实现——第三部分：第一类和第二类正则贝塞尔函数$J_ν(z)$和$Y_ν(z)$ Efficient Multi-Precision Computation of Bessel Functions for Real Orders and Complex Arguments with a Fortran Implementation \u0026ndash; Part III: Regular Bessel Functions of the First and Second Kinds $J_ν(z)$ and $Y_ν(z)$\n作者: Mofreh R Zaghloul, Steven G. Johnson\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-06-12\narXiv ID: 2606.14937v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.14937v1\n摘要: This paper is the final part in a series devoted to the development of numerically stable and efficient algorithms, together with multi-precision Fortran implementations, for computing Bessel functions with real orders and complex arguments. PartsI andII presented stable and efficient algorithms for the modified Bessel functions I_nu(z) and K_nu(z); here we treat Bessel functions J_nu(z) and Y_nu(z). The proposed algorithms support complex arguments for both positive and negative real orders and are implemented in native double and quadruple precision. Quadruple precision substantially increases dynamic range and accuracy (by roughly an order of magnitude in reliably computable |nu| and |z|), thereby extending applicability to problems requiring 20-30 digits. Comprehensive accuracy and performance comparisons are carried out against both the widely used Algorithm644, restricted to double-precision arithmetic, and the more recent Algorithm912, which supports both double- and quad-precision arithmetic as well as complex orders. In double precision, the present implementation consistently outperforms Algorithm644, achieving execution times of approximately 35-67% for J_nu(z) and 44-72% for Y_nu(z), while also producing reliable results where Algorithm644 fails. In comparison with Algorithm912, the present algorithm achieves comparable accuracy in double-precision computations and significantly higher accuracy in quad-precision calculations. At the same time, it requires only a small fraction of the computational cost (from a few thousandths to a few hundredths) of the time taken by Algorithm912, depending on the precision and parameter regime. Furthermore, unlike Algorithm~912, whose applicability is restricted to a limited region of the (Re(nu),z) plane, the present algorithm remains stable and accurate over the full tested domain for which reliable reference values are available.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-06-16_08-38-22/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年06月16日 08:38:22\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 10\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 34\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-高对比度多尺度偏微分方程中的拓扑谱隙多尺度weyl律与均匀化\"\u003e1. 高对比度多尺度偏微分方程中的拓扑谱隙、多尺度Weyl律与均匀化\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eTopological spectral gap, multiscale Weyl\u0026rsquo;s law, and homogenization in high-contrast PDEs\u003c/p\u003e","title":"2026年06月16日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年06月15日 08:45:20\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 4\n不相关论文数量: 14\n重点关注论文（完整分析） 1. 一种与 WKB 相关的用于描述振荡系统的微分方程的时间步进格式 A WKB-related time-stepping scheme for differential equations describing oscillatory systems\n作者: Juliane Rosemeier, Rupert Klein\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.13807v1\n摘要翻译: 本文针对具有良好分离尺度的多尺度振荡系统微分方程提出一种新颖的时间步进格式, 其中尺度分离由一个小的参数 $ε$ 控制。该时间步进方法与多模态 WKB 近似相关, 并依赖于本文导出的变量变换。分析表明, 在变换后的形式中, 主导阶振荡要么被消除, 要么仅出现在更高渐近阶。该方法被应用于常微分方程, 包括著名的 van der Pol 振子。我们通过数值实验研究了该方法在不同参数范围下的精度, 特别是当 $ε$ 递减时的表现, 并考察了随着 $ε$ 减小如何调整数值格式的参数。在所展示的数值测试中, 当 $ε$ 减小时, 计算成本保持有界。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.13807v1\n1. 研究对象和背景 本文研究一类描述具有良好分离尺度的振荡系统的多尺度常微分方程, 其一般形式为\n$$\\dot{y} = \\frac{1}{\\epsilon} L y + N(y),$$其中 $y \\in \\mathbb{R}^d$, $0 \u003c \\epsilon \\ll 1$ 为小参数, $L$ 是反对称矩阵 (代表快线性振荡), $N(y)$ 是光滑的非线性项且满足 $N(0)=0$. 这类方程出现在地球物理与天体物理流体动力学、经典与量子力学、等离子体物理、电磁波传播等诸多领域, 是研究波型偏微分方程数值方法的自然起点. 典型例子包括 van der Pol 振子和带有零特征值的弱非线性系统.\n数值上面临的核心困难在于方程的振荡刚度: 线性部分 $\\frac{1}{\\epsilon}L y$ 诱导出频率为 $O(1/\\epsilon)$ 的快速振荡, 标准显式时间积分器 (如 Runge–Kutta 方法) 必须采用 $\\Delta t \\sim \\epsilon$ 的小步长才能稳定并达到给定精度, 导致计算量随 $\\epsilon$ 减小而急剧增长. 这一问题在过去二十余年中受到广泛关注, 已有多种方法被提出: 多尺度方法 ([34, 3, 2]) 试图通过尺度分离得到慢变幅值方程; 积分因子与指数积分器 ([16, 5]) 解析地处理线性刚性项, 但对非线性部分仍以小步长积分; 分裂方法如 Strang 分裂 ([33]) 将线性与非线性部分分开处理; 调制傅立叶展开 ([14, 13]) 以及异质多尺度方法 (HMM [6, 32]) 在短时间窗口上进行微模拟以提取慢变量; 时间并行算法如 Parareal ([24]), MGRIT ([8]) 和 PFASST ([7]) 试图通过并行化加速, 但对振荡和双曲型问题常遇到困难 ([10, 11]). 然而, 这些方法或者依赖于线性化相位近似, 或者要求预先解析地推导出慢变量方程, 或者并行效率有限.\n本文试图填补的空白是: 利用非线性 WKB 展开的思想, 构造一种数据驱动的时间步进格式, 该格式通过短时间窗口的微模拟 (标准显式积分) 自动提取解的慢变幅值和相位信息, 进而实现跨越多个振荡周期的大步长推进, 而无需显式地使用变换后的右端方程. 该方法的优势在于: (i) 允许相位函数具有非线性慢变部分, 与传统线性相位假设相比更能捕捉真实动力学; (ii) 计算成本不随 $\\epsilon$ 减小而发散; (iii) 直接基于原方程的标准子程序, 易于实现. 论文以两个典型 ODE 系统 (零特征值系统和 van der Pol 振子) 展示方法的构造、分析及数值性能.\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果包含理论分析与数值验证两个层面.\n理论方面: 作者通过引入与 WKB 相关联的变量变换\n$$y(t) = a_0(t) r_0 + \\sum_{j=1}^{J} \\left[ a_j(t) e^{\\frac{i}{\\epsilon} (\\mu_j t + \\epsilon \\psi_j(t))} r_j + \\text{c.c.} \\right],$$其中 $\\{\\pm i \\mu_j\\}$ 是 $L$ 的非零特征值, $r_j$ 为对应的特征向量, $a_j(t),\\psi_j(t)\\in\\mathbb{R}$, 将原系统 (1) 转化为幅值–相位坐标. 并对两种具体情形进行了分析:\n零特征值系统 (7): $L$ 有零特征值, $N(y) = -\\lambda \\|y\\|^2 y$, $\\lambda\u003e0$. 在此变换下, 快时间尺度 $t/\\epsilon$ 被完全消去, 得到不含 $\\epsilon$ 的方程: $$\\dot a_1 = -\\lambda (2 a_1^2 + a_0) a_1,\\quad \\dot \\psi_1 = 0,\\quad \\dot a_0 = -\\lambda (2 a_1^2 + a_0) a_0.$$ 此外, 若初值满足 $a_0\u003e0,\\,a_1\u003e0$, 则有守恒量 $$\\frac{a_1(t)}{a_0(t)} = \\text{const}.$$ Lyapunov 分析表明原点为全局渐近稳定的平衡点.\nvan der Pol 振子 (17): 经尺度化后得到 $L=\\begin{pmatrix}0\u00261\\\\-1\u00260\\end{pmatrix}$, $N(y)=(0,\\,(1-y_1^2)y_2)^T$. 变换后, 幅值 $a$ 和相位 $\\phi = \\mu t/\\epsilon + \\psi$ 满足 $$\\dot a = \\frac12 \\begin{pmatrix}0\\\\ g(y)\\end{pmatrix}\\cdot \\left( e^{-\\frac{i}{\\epsilon}\\phi} r + e^{\\frac{i}{\\epsilon}\\phi} \\bar r \\right),$$ $$\\dot \\phi = 1 - \\frac{i\\epsilon}{2a} \\begin{pmatrix}0\\\\ g(y)\\end{pmatrix}\\cdot \\left( e^{-\\frac{i}{\\epsilon}\\phi} r - e^{\\frac{i}{\\epsilon}\\phi} \\bar r \\right).$$ 采用双尺度展开 $a = a^{(0)}(t) + \\epsilon a^{(1)}(t,\\tau) + \\cdots$ 及 $\\psi = \\psi^{(0)}(t) + \\epsilon \\psi^{(1)}(t,\\tau) + \\cdots$, 得到主导阶: $$\\dot a^{(0)} = \\frac12 a^{(0)} - \\frac14 (a^{(0)})^3,\\qquad \\dot \\psi^{(0)} = 0.$$ 与零特征值情形不同, 此处的快振荡并未完全消除, 而是出现在 $O(\\epsilon)$ 及更高阶.\n数值方面: 提出了与 WKB 相关的时间步进算法 (见 Algorithm 1 和 2). 其核心步骤为: 在每个长步 $[n\\Delta T,\\,(n+1)\\Delta T]$ 的起点附近, 取一个小窗口 $[t_n, t_n+L]$ (长度 $L = O(N\\epsilon)$, $N$ 为少量振荡周期数), 用经典四阶 Runge–Kutta (RK4) 以小步长 $\\Delta t$ 求解原系统 (1); 从该窗口数据中提取幅值与相位 (通过对解数据拟合或直接利用变换关系); 建立外推模型 (如线性或低阶多项式) 将慢变量外推到 $t_{n+1}$; 最后重构该时刻的原变量 $y$. 数值实验证实:\n对于零特征值系统, 方法能精确重现慢演化, 且大步长 $\\Delta T$ 可选择为远大于振荡周期的值, 计算成本主要由短窗口积分决定; 对于 van der Pol 系统, 尽管高阶残余振荡存在, 通过适当调整窗口长度 $L$ 和长步 $\\Delta T$, 仍可获得令人满意的精度; 关键结论: 在测试的参数范围内, 当 $\\epsilon$ 减小时, 计算成本保持有界, 即不随 $\\epsilon\\to0$ 而发散, 这与传统方法形成鲜明对比. 上述结果表明, 所提方法有效缓解了振荡刚度带来的计算瓶颈.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心创新在于将 WKB 型多模态展开与数据驱动的时间步进相结合, 其方法论细节可分为以下要点.\n1. 非线性相位–幅值变换\n变换 (5) 是工作的基础. 与标准的变分法或调制展开不同, 作者在极坐标下引入时变幅值 $a_j(t)$ 和时变相位修正 $\\psi_j(t)$, 形成了完整的坐标表示. 这一表示无需假设解仅含单一频率, 可自然容纳多个特征值, 且相位 $\\phi_j = \\mu_j t/\\epsilon + \\psi_j(t)$ 允许非线性的慢漂移, 这是相对于常见的线性相位假设 ([14, 13]) 的重要推进. 即使对于 van der Pol 这类非线性系统, 该变换仍可精确表示解, 无逼近误差.\n2. 变换后方程的推导与分析\n对零特征值系统, 利用 $L$ 的反对称性和特征向量的正交性, 将 $N(y)$ 投影到各模态上, 得到不含 $\\epsilon$ 的闭式方程. 关键在于 $N(y)$ 在特征基下的表达中, 快振荡因子 $e^{\\pm i t/\\epsilon}$ 恰好相消, 这源于 $N$ 的旋转对称结构. 证明中通过 Lyapunov 函数 $V(y)=\\frac12\\|y\\|^2$ 给出了轨线收敛性的独立验证, 确保长期行为合理.\n对 van der Pol 系统, 将非线性项 $g(y)$ 向复特征向量 $r$ 和 $\\bar r$ 投影, 分离实虚部得到 (21)–(22). 随后引入双尺度渐近展开 (23)–(25), 并利用 $\\tau = t/\\epsilon$ 的周期性在快速变量上作平均, 得到主导阶方程 (26)–(27). 这一过程类似于 Krylov–Bogoliubov 平均化, 但基于 WKB 变量, 从而自然地提取慢流形. 分析显示, $\\psi^{(0)}_t=0$ 表明主导相位仅包含线性增长, 相位修正仅在 $O(\\epsilon)$ 出现快速振荡.\n3. 数据驱动的 WKB 时间步进算法\n算法的关键障碍在于: 实际执行时并不显式求解变换后的方程, 而是完全依赖原坐标下的短时间微模拟. 这要求从数值解中可靠地提取 $a_j$ 和 $\\psi_j$, 即使在 van der Pol 情形中它们被高阶快速振荡污染. 作者通过以下技术解决:\n短时间窗口积分: 使用 RK4 以 $\\Delta t$ (满足振荡分辨) 积分 $L=N\\times (2\\pi\\epsilon)$ 时间, 一般取 $N\\approx2\\sim5$. 窗口内的解被用作提取慢变量的样本. 幅值与相位的数值提取: 利用变换关系 (10) 或 (20) 的逆, 从数值解中直接计算 $a_j$ 和 $\\psi_j$. 由于高阶振荡可能残留, 可采用窗口内拟合 (如最小二乘拟合正弦函数或平滑) 来获得代表慢变量的值. 文中附录 D 给出了伪代码, 其中对零特征值系统用显式公式计算 $a_0, a_1, \\psi_1$, 对 van der Pol 系统用类似方法. 外推策略: 获得窗口内的慢变量后, 采用线性外推或更复杂的外推模型将其扩展到下一长步起点. 外推阶数根据慢变量演化的光滑程度选取; 对于零特征值系统由于方程完全慢, 低阶外推即可; 对于 van der Pol, 考虑到高阶残余振荡可能引入误差, 外推步长 $\\Delta T$ 需通过数值实验与 $\\epsilon$ 适配. 4. 参数选择与适应性\n文中通过数值实验探讨了 $\\Delta T$ 和 $L$ 如何随 $\\epsilon$ 调整以平衡精度与效率. 在零特征值情形, $\\Delta T$ 可取 $O(1)$, $L$ 可取约 2–5 个振荡周期; 在 van der Pol 情形, 由于高阶振荡未被消除, $\\Delta T$ 不能任意大, 但依然可远大于振荡周期. 实验表明, 当 $\\epsilon$ 减小时, 短窗口长度 $L$ 同步缩小, 使得每步的微模拟计算量保持 $O(1)$; 长步数基本不随 $\\epsilon$ 变化, 故总计算量有界.\n5. 分析框架与工具\n理论部分主要用到线性代数的谱分解、基于特征向量的投影、多尺度渐近展开以及 Lyapunov 稳定性理论. 数值部分依托 RK4 的成熟理论, 并结合数据后处理技术. 方法的通用性在于, 它只需掌握 $L$ 的谱信息和 $N$ 的形式, 无需推导复杂解析方程, 这一特色使其易于向更复杂系统推广.\n4. 与之前工作的比较 本文工作与若干既有振荡系统数值方法的关系可归纳如下.\n1. 与多尺度方法及 HMM 的比较\n异质多尺度方法 (HMM [6, 32]) 通常在一个短窗口上执行微模拟, 然后通过时间平均或空间平均提取慢变量, 进而推动宏观求解器. 本文方法同样基于短窗口微模拟, 但关键区别在于: (i) 本文提取的不是平均量, 而是直接表征各振荡模态的幅值和相位, 从而保留了更丰富的动力学信息; (ii) 外推的对象是这些慢变量, 而非宏观平均场; (iii) 本文不需要预先解析推导出慢变量满足的宏观方程, 整个流程是数据驱动的. 因此, 本文方法可视为介于传统的多尺度方法与全数值模拟之间的一种杂交策略.\n2. 与指数积分器及积分因子方法的比较\n指数积分器和积分因子方法 ([16, 5]) 通过解析地积分线性部分 $\\frac{1}{\\epsilon}L$ 来缓解刚性, 而对非线性部分依然采用小步长积分. 这类方法在处理强非线性或非线性与线性耦合紧密时可能仍需较小步长. 本文方法通过变换将线性与非线性同时变换到慢坐标系, 完全消除了 (或大幅减弱了) 快速时间尺度, 使得非线性部分也仅在大步长上离散. 代价是需要额外的数据提取和外推步骤, 但实验表明总体效率随 $\\epsilon$ 减小而优势更明显.\n3. 与调制傅立叶展开及 WKB 相关方法的比较\n调制傅立叶展开 ([14, 13]) 与经典的 WKB 方法一脉相承, 通常将解写成 $y(t)=\\sum_k a_k(t) e^{i\\omega_k t/\\epsilon}$ 的形式, 其中 $\\omega_k$ 是固定频率, $a_k(t)$ 为慢变幅值. 这类方法的成功依赖于线性化相位 (频率不随时间改变). 本文的非线性相位变换允许 $\\psi_j(t)$ 修正, 能更准确地捕捉长时漂移. 作者明确指出, 非线性相位函数曾在 [19, 23] 中被考虑, 但本文的独特之处在于通过短时间数值模拟来隐式确定这些相位函数, 而非显式解析求解. 这使得方法适用于那些难以解析推导极限系统的方程.\n4. 与时间并行方法的比较\nParareal ([24]) 等时间并行方法在求解振荡问题时面临收敛缓慢甚至发散的困难 ([10, 11]). 本文方法本质上是序列的, 但各长步之间的微模拟完全独立, 因此天然具有时间并行化的潜力 (每个窗口的计算可并发执行). 文中未深入展开并行实现, 但这可能是未来提升性能的一个方向.\n5. 方法的适用范围与局限性\n当前方法的严格分析与数值实验均局限于 ODE, 但作者强调方程 (1) 的形式具有一般性, 未来将拓展到双曲型 PDE 的离散系统. 与已有工作相比, 本文首次系统地将 WKB 变换用于构造时间步进格式, 并详尽展示了两个典型系统中的性能. 主要局限在于: (i) 要求线性部分 $L$ 的特征结构易于获取 (实反对称矩阵可正交对角化); (ii) 对于不完全消除振荡的系统 (如 van der Pol), 长步 $\\Delta T$ 受到残余高频的限制, 精度与效率的平衡需要调节; (iii) 目前缺乏严格的误差分析和收敛性证明, 文中仅通过数值实验进行了验证. 这些局限为后续研究提供了方向.\n总体而言, 本文提出的方法推进了振荡系统时间步进的研究: 通过拥抱非线性相位, 成功地将解析洞察与数据驱动结合起来, 实现了对刚性的有效规避, 且计算成本随 $\\epsilon$ 减小保持有界.\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 消失松弛极限下 Jordan-Moore-Gibson-Thompson 方程的间断 Galerkin 近似 Discontinuous Galerkin approximations of the Jordan-Moore-Gibson-Thompson equation in the vanishing relaxation limit\n作者: Vanja Nikolić\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-12\narXiv ID: 2606.14655v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.14655v1\n摘要翻译 中文标题: 消失松弛极限下 Jordan-Moore-Gibson-Thompson 方程的间断 Galerkin 近似\n摘要翻译: Jordan-Moore-Gibson-Thompson (JMGT) 方程描述了热松弛介质中的非线性声波传播，在消失松弛极限下趋近于阻尼 Westervelt 方程。我们研究了 JMGT 方程在单纯形网格上的间断 Galerkin 空间离散，并分析了它们在松弛参数下的均匀行为。在实际相关的混合 Neumann 和吸收边界条件下，我们推导了与松弛参数无关的先验误差估计。这些估计使得严格的奇异极限分析成为可能，从而得出半离散 JMGT 近似以线性速率收敛到相应的 Westervelt 压力剖面。这也揭示了精确解在消失松弛极限下的预期行为。对于全离散问题，我们基于将其重述为耦合的二阶/一阶系统，提出了一种 Newmark 型方法。数值实验支持了理论发现，并证明了该方法在小参数区域中的稳健性。\n2. Hodge-Laplace问题的原始有限元格式 Primal finite element scheme of the Hodge-Laplace problem\n作者: Wenyu Dong, Shuo Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-12\narXiv ID: 2606.14273v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.14273v1\n摘要翻译 中文标题: Hodge-Laplace问题的原始有限元格式\n摘要翻译: 在本文中，我们构造了非协调有限元空间 $\\boldsymbol{V}^{\\mathbf{d}\\cap\\mathring{\\boldsymbolδ}}_hΛ^k$ 来逼近 $HΛ^k\\cap H^*_0Λ^k$，在单纯形网格上，对于 $n\\ge 2$ 和 $1\\le k\\le n-1$，通过强制相对于分片Whitney空间的伴随连续性而非迹匹配来实现。成立如下关系：令 $\\mathbf{d}^k_h$ 和 $\\boldsymbolδ_{k,h}$ 分别表示微分和余微分算子的分片作用，$\\boldsymbol{\\mathfrak{H}}_hΛ^k$ 为FEEC意义下的离散调和形式，则 $\\boldsymbol{\\mathfrak{H}}_hΛ^k=\\{\\boldsymbolμ_h\\in \\boldsymbol{V}^{\\mathbf{d}\\cap\\mathring{\\boldsymbolδ}}_hΛ^k:\\mathbf{d}^k_h\\boldsymbolμ_h=0,\\ \\boldsymbolδ_{k,h}\\boldsymbolμ_h=0\\}$，这复刻了非平凡拓扑区域上连续Hodge-Laplace算子的核。该空间并非经典的Ciarlet型有限元空间；然而，一致的离散庞加莱不等式和局部支撑的基函数（支撑在至多两个单元上）得以保证。由此得到的原始格式对光滑数据具有 $O(h)$ 的误差界，在 $s$-正则区域（$0","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-06-15_08-45-20/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年06月15日 08:45:20\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 4\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 14\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-一种与-wkb-相关的用于描述振荡系统的微分方程的时间步进格式\"\u003e1. 一种与 WKB 相关的用于描述振荡系统的微分方程的时间步进格式\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eA WKB-related time-stepping scheme for differential equations describing oscillatory systems\u003c/p\u003e","title":"2026年06月15日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年06月12日 07:09:59\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 6\n不相关论文数量: 22\n重点关注论文（完整分析） 1. 基于细分的等几何分析用于轴对称电磁问题 Subdivision-based isogeometric analysis for axisymmetric electromagnetic problems\n作者: Devin Balian, Sebastian Schöps, Melina Merkel\n类别: cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.13308v1\n摘要翻译: 本文应用一种基于细分的等几何方法求解轴对称Maxwell特征值问题。化归到$H^1$-形式允许使用Catmull-Clark构造同时进行几何和场离散。该方法给出的电场数值解在除异常顶点外的所有地方是$C^1$连续的。这一点通过对TESLA 9-cell腔的本征模的计算得以展示，结果显示与传统方法相比场更光滑且数值噪声更小。对该方法的收敛速率进行了数值分析，并与文献中观测到的速率一致。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.13308v1\n1. 研究对象和背景 本文的研究对象是轴对称时谐 Maxwell 特征值问题。Maxwell 方程组在无源、常材料参数 $\\varepsilon,\\mu\u003e0$ 下, 时谐场满足 $$\\operatorname{curl}\\mathbf{E}=-\\mathrm{i}\\omega\\mu\\mathbf{H},\\qquad \\operatorname{curl}\\mathbf{H}=\\mathrm{i}\\omega\\varepsilon\\mathbf{E},$$ 消去电场得到磁场波动方程 $\\operatorname{curl}\\operatorname{curl}\\mathbf{H}=\\omega^2\\mu\\varepsilon\\mathbf{H}$。通过弱形式, 求特征对 $(\\lambda,\\mathbf{H})\\in\\mathbb{R}_{\u003e0}\\times H(\\operatorname{curl},\\Omega)$ 使 $$\\forall\\mathbf{H}'\\in H(\\operatorname{curl},\\Omega):\\quad (\\operatorname{curl}\\mathbf{H},\\operatorname{curl}\\mathbf{H}')=\\lambda(\\mathbf{H},\\mathbf{H}'),\\qquad \\lambda=\\omega^2\\varepsilon\\mu.$$ 该问题描述了理想导体腔内的谐振模式, 在加速器物理等工程中至关重要。\n从数值离散的角度, 需要相容的 $H(\\operatorname{curl})$ 有限元空间, 通常采用 Nédélec 棱单元。等几何分析 (IGA) 追求 CAD 与仿真使用相同基函数, 而细分曲面近年来因其可处理任意拓扑四边形网格且几乎处处 $C^2$ 连续而受关注。然而, 经典的 Catmull-Clark 细分产生标量 $H^1(\\Omega)$ 极限函数, 无法直接用于 $H(\\operatorname{curl})$ 的一致离散。文献中已提出边缘细分方案 (Wang 等, De Goes 等, Piel 和 Bauer) 以构造矢量基函数, 但这些工作并未使用细分极限函数作为 IGA 的基函数, 因而数值解不具备高的单元间正则性; 且其三维修正和精确求值仍未解决。此外, 三维细分体的分析性质远未清楚, 边缘细分方案更无三维推广。因此, 直接将细分 IGA 应用于三维电磁问题存在重大障碍。\n本文试图填补的空白是: 利用轴对称性将三维 Maxwell 特征值问题降维到二维标量问题, 从而避开 $H(\\operatorname{curl})$ 离散的困难, 使标准 Catmull-Clark 细分基函数可直接应用。设区域 $\\Omega$ 为旋转体, 子午面 $$S:=\\{(\\rho,z)\\in\\mathbb{R}_{\\ge0}\\times\\mathbb{R}:(\\rho,0,z)\\in\\Omega\\},$$ 并假设磁场仅有 $\\varphi$ 分量 $\\mathbf{H}=u\\,\\mathbf{e}_\\varphi$ (TM 模式)。推导后, 弱形式化为: 求 $(\\lambda,u)\\in\\mathbb{R}_{\u003e0}\\times H^1_\\rho(S)$ 满足 $$\\forall v\\in H^1_\\rho(S):\\quad (\\operatorname{rot} u,\\operatorname{rot} v)_\\rho=\\lambda(u,v)_\\rho,$$ 其中 $\\operatorname{rot} u=(\\partial_z u,-\\partial_\\rho u)^\\mathsf{T}$ 是旋转梯度, $(\\cdot,\\cdot)_\\rho$ 是带权重 $\\rho$ 的 $L^2$ 内积: $$(u,v)_\\rho=\\iint_S uv\\,\\rho\\,\\mathrm{d}\\rho\\,\\mathrm{d}z.$$ 电场由安培定律 $\\mathbf{E}=-\\frac{\\mathrm{i}}{\\omega\\varepsilon}\\overline{\\operatorname{rot}}u$ 给出, $\\overline{\\operatorname{rot}}(u_1,u_2)=\\partial_\\rho u_2-\\partial_z u_1$ 为标量旋度。该 $H^1_\\rho(S)$ 问题可用标量细分基函数直接离散, 且电场作为导数自动获得单元间 $C^1$ 连续性 (奇异点外)。这一约化为细分 IGA 在电磁仿真中的实际应用开辟了可行途径, 同时保留了细分曲面对拓扑的灵活性。\n2. 主要定理或主要结果 本文通过数值实验验证了所提方法的收敛性和场光滑性, 主要结果如下。\n圆柱谐振腔 (pillbox) TM$_{010}$ 模式收敛性。几何参数 $R=35$ mm, $d=100$ mm, 采用含奇异点的非结构化网格, Catmull-Clark 基函数离散。正则单元用 $p=4$ 高斯求积, 非正则单元用 $L=10$ 层分级求积。误差-自由度图显示: $H^1_\\rho(S)$ 误差收敛速度约为 $O(\\sqrt{N_{\\mathrm{dof}}}^{-1.5})$, $L^2_\\rho(S)$ 误差约为 $O(\\sqrt{N_{\\mathrm{dof}}}^{-2.5})$, 特征频率相对误差约为 $O(\\sqrt{N_{\\mathrm{dof}}}^{-3.0})$。这些速率与文献中 Catmull–Clark 离散二维 Poisson 问题观察到的速率一致。\n单 cell TESLA 腔收敛性。几何参数取自文献 [25], 包含圆弧和椭圆弧, 不能精确用 Catmull–Clark 曲面表示, 采用三次样条拟插值 $c_i=\\frac{1}{6}(-p_{i-1}+8p_i-p_{i+1})$ 拟合边界。对前五个 TM 模式, 频率相对误差均以 $O(\\sqrt{N_{\\mathrm{dof}}}^{-3.0})$ 趋势下降 (图 7), 证实方法对复杂几何有效。\n9-cell TESLA 腔场光滑性。在轴线 $\\rho=R_{\\mathrm{iris}}/2=17.5$ mm 和 $\\rho=R_{\\mathrm{eq}}/2=51.65$ mm 上评估 $E_\\rho$ 分量, 并与最低阶 $C^0$ 有限元比较。细分方法所得电场光滑, 单元交界处无跳跃或振荡; 最低阶有限元则在峰值处出现明显的非物理噪声。这是因为 Catmull–Clark 基函数跨单元 $C^2$ 连续, 保证了导数 (电场) 的连续性, 从而获得更高质量的数值解。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文方法的核心在于通过轴对称降维将 $H(\\operatorname{curl})$ 问题转化为 $H^1$ 问题, 从而允许使用标量 Catmull–Clark 细分基函数。关键技术点和分析框架分述如下。\n细分基函数的构造与精确求值。正则单元 (不含奇异点) 上, Catmull–Clark 基函数退化为双三次 B 样条张量积: $$\\widehat{b}_{ij}(\\xi,\\eta)=N_i(\\xi)N_j(\\eta),\\quad i,j=1,\\dots,4,$$ $N_i$ 为均匀三次 B 样条基函数。在包含奇异点 (价数 $n\\neq4$) 的非正则单元上, 基函数通过无限细分定义。将单位正方形参数域划分为无穷多瓦片 $\\Sigma_k^\\ell$ (图 2), 在每个瓦片上结合仿射变换 $t_k^\\ell$ 和扩展细分矩阵 $A,\\bar{A}$, 局部基函数行向量 $\\widehat{\\mathbf{b}}_\\Sigma$ 在 $\\Sigma_k^\\ell$ 上定义为 $$\\widehat{\\mathbf{b}}_{\\Sigma_k^\\ell}=\\bigl(\\widehat{\\mathbf{b}}_k\\circ t_k^\\ell\\bigr)\\,\\bar{A}A^{k-1},$$ 其中 $\\widehat{\\mathbf{b}}_k$ 是按细分顶点排序的双三次 B 样条行向量。这是 Stam 精确求值算法的核心, 使得在任意参数点可计算基函数值, 是 IGA 中必需的。\n分层数值积分。非正则单元在奇异点附近不是分片多项式, 标准高斯求积精度不足。本文采用分级求积策略: 对单元进行 $L$ 层细分, 在每个规则子瓦片内应用标准高斯求积, 再累加近似积分。该方法能准确捕获基函数在奇异点附近的行为, 实现中需处理细分拓扑映射和数据结构。\n轴对称弱形式推导与离散。从三维 Maxwell 方程出发, 利用 $\\partial_\\phi=0$ 和轴对称假设, 将矢量旋度和散度转化为标量算子 $\\operatorname{rot}$ 和 $\\overline{\\operatorname{rot}}$, 并引入权重 $\\rho$ 以保证内积维数一致。弱形式 (5) 的离散得到广义特征值问题: $$K\\mathbf{u}=\\lambda M\\mathbf{u},$$ 其中 $$k_{ij}=(\\operatorname{rot} b_i,\\operatorname{rot} b_j)_\\rho,\\quad m_{ij}=(b_i,b_j)_\\rho,$$ $b_i$ 为物理域上的 Catmull–Clark 极限基函数, 通过等参映射 $b_i=b_i\\circ \\Phi^{-1}$ 关联到参数域, $\\Phi$ 为细分曲面参数化。积分在物理网格上计算, 需处理非正则单元上的奇异映射。\n几何拟合。当 CAD 几何无法精确表示为 Catmull–Clark 曲面时 (如圆弧), 采用三次样条拟插值修正边界控制点: $$c_i = \\frac{1}{6}(-p_{i-1}+8p_i-p_{i+1}),$$ $p_i$ 为真实边界采样点。这是一种简便的几何逼近, 虽非最优, 但确保了实现可行性。\n整体而言, 作者的主要创新在于将物理维度约化与细分基函数特性结合: 利用轴对称性将电场求解转化为磁场标量解的梯度后处理, 避免了构造矢量细分空间的困难, 同时仍能获得高光滑性的场分布。这一思路使得标准细分 IGA 可直接用于电磁问题, 无需边缘细分方案。\n4. 与之前工作的比较 本文工作与已有研究在多个维度存在推进和差异, 详细比较如下。\n与经典有限元法比较。对于同一轴对称 TESLA 腔问题, 使用最低阶 $C^0$ 有限元在相同网格上求解, 得到的电场 $E_\\rho$ 在单元界面处出现不连续跳跃和明显数值噪声 (图 8, 9)。而本文的 Catmull–Clark 细分 IGA 因基函数在正则单元间 $C^2$ 连续 (奇异点外 $C^1$), 电场作为解的导数自动具有跨单元连续性, 消除了虚假振荡, 且不增加自由度。若采用高阶拉格朗日元可部分抑制噪声, 但仍无法根除导数间断, 且会显著增加自由度。本文的细分方法在相同自由度下提供了更光滑可靠的场解。\n与细分 IGA 现有研究比较。细分曲面在 IGA 中的早期应用集中于 Kirchhoff–Love 薄壳等需要 $C^1$ 连续性的问题 (Cirak 等)。而在电磁问题上, 主要的障碍是 $H(\\operatorname{curl})$ 相容离散需要矢量基函数。Wang 等 (2006) 提出边缘细分方案以构造光滑矢量场, 随后 De Goes 等 (2016) 发展了细分外微积分。但这些工作并未将细分极限函数直接用作有限元基函数, 而是用于构造离散 exterior calculus, 因此数值解不具备单元间的高阶正则性。Piel 和 Bauer (2024) 建立了 k 形细分空间的严格数学框架, 并应用于二维 Maxwell 特征值问题, 但他们没有利用极限函数的 IGA 离散, 而是称其获得的是“细分诱导正则性”而非 Sobolev 正则性。与这些工作相比, 本文的突破在于利用轴对称约化, 首次把 Catmull–Clark 极限函数作为 $H^1$ 标量基函数直接用于电磁特征值问题的 Galerkin 离散, 得到了电场真正 $C^1$ 连续的数值解, 充分发挥了细分的高光滑性优势。\n与轴对称电磁求解器比较。传统轴对称 Maxwell 问题通常在子午面上采用棱单元离散 $H(\\operatorname{rot},S)$ 等空间 (如 Simona 等)。这类方法虽可在二维求解, 但基函数连续性仅限于 $H(\\operatorname{rot})$ 最低要求, 场光滑性受限。本文通过降维到 $H^1$, 允许使用高光滑性基函数, 同时仍能恢复矢量场。这与傅里叶模态展开的通用框架并行, 但本文聚焦 TM 模式, 并首次展示了细分 IGA 在轴对称电磁仿真实例中的可行性。与 Simona 等工作的 B 样条 IGA 相比, 本文进一步处理了非结构化网格 (含奇异点) 和复杂几何逼近, 扩展了 IGA 的适用范围。\n局限性比较与代价。本文方法依赖于严格的轴对称假设和 TM 模式, 不能直接处理三维一般问题或 TE 模式。与边缘细分方案相比, 虽避免了复杂矢量构造, 但损失了一般性。在几何表示上, 由于 Catmull–Clark 曲面无法精确表示圆弧等二次曲线, 需进行边界拟合, 引入额外的几何逼近误差; 文中仅用了较简单的拟插值, 更高级的拟合 (如 $L^2$ 投影) 尚未探讨。在收敛性方面, 目前仅有数值验证, 缺乏理论证明, 这与 B 样条 IGA 有完备的误差分析不同。此外, 奇异点处电场连续性可能降至 $C^0$, 文中未定量分析其影响。与 Piel 和 Bauer 的框架相比, 本文未涉及 de Rham 复形稳定性等结构问题。尽管如此, 该工作为细分 IGA 在真实电磁部件仿真中打开了一扇窗, 并提供了清晰的实现策略。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 面向稳态Navier-Stokes流的嵌入式Trefftz-DG方法. 第一部分: Oseen线性化 Embedded Trefftz DG method for steady Navier-Stokes flow. Part I: Oseen linearization\n作者: Paul Stocker, Igor Voulis, Christoph Lehrenfeld, Philip L. Lederer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.13229v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.13229v1\n摘要翻译 中文标题: 面向稳态Navier-Stokes流的嵌入式Trefftz-DG方法. 第一部分: Oseen线性化\n摘要翻译: 我们为Oseen问题开发了一种嵌入式Trefftz-DG方法，并证明了在标准DG范数下的完全稳定性和拟最优性理论。关键要素是构造了Trefftz空间的一个合适的局部补空间，在该补空间上Oseen算子是可稳定求逆的。我们还推导出该方法的降阶形式，所得方程组仅以速度未知量表示，这是分析中尤其对第二部分中的非线性Navier-Stokes问题至关重要的步骤。\n2. 稳态Navier-Stokes流的嵌入式Trefftz间断伽辽金方法：第二部分 非线性问题 Embedded Trefftz DG method for steady Navier-Stokes flow. Part II: Nonlinear problem\n作者: Paul Stocker, Igor Voulis, Christoph Lehrenfeld, Philip L. Lederer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.13219v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.13219v1\n摘要翻译 中文标题: 稳态Navier-Stokes流的嵌入式Trefftz间断伽辽金方法：第二部分 非线性问题\n摘要翻译: 我们针对稳态不可压缩Navier-Stokes方程，基于第一部分中的简化Oseen离散，提出并分析了一种嵌入式Trefftz间断伽辽金方法。主要困难在于简化Trefftz空间依赖于对流场，因此相继的Picard迭代处于不同的离散空间。我们通过构造依赖于对流的Trefftz空间之间的投影，并利用它们来控制简化Oseen解映射，解决了这一问题。在合适的网格分辨率和小数据假设下，我们证明了离散解的存在性、唯一性以及Picard迭代的收敛性。我们还通过将该方法与底层的DG离散相联系，推导了先验误差分析，从而从相容的DG Navier-Stokes分析中继承了收敛性质。在标准不可压缩流基准测试上的数值实验验证了该理论。\n3. 弱阻尼半线性波动方程 SIPG 方法的 Lyapunov 稳定性与最优误差估计 Lyapunov Stability and Optimal Error Estimates for an SIPG Method for Weakly Damped Semilinear Wave Equations\n作者: Ajeet Singh, Abhinav Jha\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.13185v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.13185v1\n摘要翻译 中文标题: 弱阻尼半线性波动方程 SIPG 方法的 Lyapunov 稳定性与最优误差估计\n摘要翻译: 本文针对弱阻尼半线性波动方程，提出并分析了一种全离散格式，该格式将对称内部惩罚间断 Galerkin（SIPG）空间离散与混合的 Crank\u0026ndash;Nicolson/二阶向后微分公式（CN\u0026ndash;BDF2）时间积分器相结合。对非线性反应项采用弦斜率线性化，既保持了精确的离散梯度结构，又关键地不需要对非线性项施加任何全局 Lipschitz 连续假设。通过构造离散 Lyapunov 泛函，基于 Lyapunov 稳定性分析（而非谱论证）建立了全离散解的稳定性，从而得到数值解的存在性、唯一性与一致有界性。在标准正则性假设下，证明了 DG 能量范数下 $\\mathcal{O}(h^{k}+τ^{2})$ 与 $L^{2}$ 范数下 $\\mathcal{O}(h^{k+1}+τ^{2})$ 的最优先验误差估计，其中 $h$ 为网格尺寸，$τ$ 为时间步长，$k$ 为多项式次数。针对具有线性、三次及三角非线性的二维问题进行的数值实验，验证了理论收敛速率，并展示了由 Lyapunov 结构所保证的长时间能量耗散性质。\n4. 基于亥姆霍兹分解的鲁棒实压缩层方法用于时谐弹性波散射 A Robust Helmholtz-Decomposition-Based Real Compressed Layer Method for Time-Harmonic Elastic Wave Scattering\n作者: Li-Lian Wang, Lu Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.12974v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.12974v1\n摘要翻译 中文标题: 基于亥姆霍兹分解的鲁棒实压缩层方法用于时谐弹性波散射\n摘要翻译: 时谐弹性波散射同时涉及压缩波（P波）和剪切波（S波），它们以不同的波数和偏振特性传播。基于复坐标拉伸的完美匹配层（PML）类方法的朴素构造可能缺乏鲁棒性，甚至失败，特别是当波数对比度很大时。最近为时谐亥姆霍兹问题发展的实压缩层（RCL）技术建立在实压缩变换和显式提取所产生的振荡模式的基础上，可能无法工作，因为这些振荡无法通过单一的变量替换显式提取出。本文旨在通过为具有紧支撑非均匀性的无界区域中的二维时谐弹性波散射发展一种鲁棒的RCL方法来弥补这一不足。一个关键的观察是，通过亥姆霍兹分解，外部均匀区域中的位移场解耦为P波和S波，并且每一部分在极坐标下都有其振荡模式和衰减行为的独特分离。然后我们对每一分量在径向应用实压缩坐标变换。我们进一步提出了一种耦合位移-势的RCL公式，它将亥姆霍兹分解后的波分量与内部位移场无缝集成。我们证明，在此框架下，层中的本质振荡可以被有效移除。我们证明了所得耦合问题的适定性，并建立了在所关心的截断区域内RCL解到原始散射解的指数收敛性。我们使用高阶谱元法离散RCL系统，并通过丰富的数值结果展示了所提方法的有效性和鲁棒性。\n5. 三维一般曲面上的Neumann Green函数：奇异渐近与边界积分方法 The three dimensional Neumann Green\u0026rsquo;s function for general surfaces: singular asymptotics and boundary integral methods\n作者: Alan E. Lindsay, Andrew J. Bernoff, Tristan Goodwill, Jeremy G. Hoskins\n类别: math.NA, math.AP, physics.app-ph, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.12714v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.12714v1\n摘要翻译 中文标题: 三维一般曲面上的Neumann Green函数：奇异渐近与边界积分方法\n摘要翻译: 我们提出了一般几何中三维Neumann Green函数的渐近分析和高阶边界积分方法。Neumann Green函数是众多科学和工程领域中涌现的一个基本量。在将奇异摄动方法应用于强局部化反应和扩散输运时，该Green函数在介导全局动力学中起着关键作用。然而，这一重要量仅在有限的几何形状下可得到封闭形式。Laplace算子的Green函数是一个具有Dirac强迫项的椭圆问题。精确求解该解需要将其仔细分解为奇异部分和正则部分。体情形是指源点放置在曲面之外，奇性由自由空间函数给出。在表面情形中，源点放置在边界上的弯曲点处，我们利用渐近分析确定一个三项奇异结构。利用对这些奇性的显式知识，我们开发了一种高阶边界积分方法来确定剩余的正则部分。为处理奇异边界数据，我们的积分方法在源点附近使用了带有Duffy片的定制离散化。我们通过几个测试用例验证了我们的方法，在这些用例中可得到封闭形式解，包括球体、长球体和构造区域。我们展示了我们的方法在解决狭窄捕获理论中一些公开问题上的适用性。\n6. 牵引驱动指状形态发生的 Cahn-Hilliard 模型的保结构离散与指状化动力学 Structure-preserving discretization and fingering dynamics of a Cahn-Hilliard model for traction-driven digit morphogenesis\n作者: Marvin Fritz\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.12574v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.12574v1\n摘要翻译 中文标题: 牵引驱动指状形态发生的 Cahn-Hilliard 模型的保结构离散与指状化动力学\n摘要翻译: 我们研究具有各向异性牵引通量的 Cahn-Hilliard 方程，该方程源自形成指状结构的类器官中力学偏置细胞相互作用的约化连续体模型。对于具有严格正有界迁移率的正则化问题，我们引入基于化学势隐式-显式处理的混合有限元离散。我们证明了离散解的存在性，建立了精确质量守恒和离散能量不等式，并证明了全离散逼近到正则化问题弱解的收敛性。数值实验展示了所得动力学，并显示了从经典粗化向牵引诱导的指状化和突刺生长的转变。计算研究辅以质量和能量诊断、能量平衡残差、指状化起始与突刺计数诊断，以及人为解收敛性研究。\n不相关论文（基本信息） 1. 三维体积分算子的通用全局正则化方法 A general-purpose global regularization method for 3D volume integral operators\n作者: Thomas G. Anderson, Marc Bonnet, Luiz M. Faria, Carlos Pérez-Arancibia\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.13549v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.13549v1\n摘要: Singular volume integral operators associated with constant-coefficient partial differential operators extend the applicability of potential theory to inhomogeneous problems, for example arising from nonlinearities or variable coefficients. Typically the PDE kernels in these operators give rise to singularities at all $\\mathcal{O}(1/h^3)$ volume discretization/evaluation points in a mesh of characteristic size $h$, while the slowly-decaying nature of such kernels give rise to long-range interactions that require coupling to fast summation algorithms. The presented method uses Green\u0026rsquo;s identities to regularize a wide variety of both scalar-valued and vector-valued volume integral operators by use of a certain regularizing volume density interpolant. The analysis shows how the regularizing effect of the interpolant is global in the sense that the interpolation quality increases in an exactly compensatory fashion as the distance to the Green\u0026rsquo;s function singularity decreases. High-order convergence estimates with tabulated simplex quadratures are established, including with exact representation of curved domains.\n2. 用于求解电场积分方程的稳定化多层B样条快速积分方法 A Stabilized Multilevel B-Spline-Based Fast Integral Method for the Solution of the Electric Field Integral Equation\n作者: Danijel Jukić, Bernd Hofmann, Thomas F. Eibert, Simon B. Adrian\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.13482v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.13482v1\n摘要: We present a multilevel B-spline-based fast integral method for the solution of the electric field integral equation (EFIE), combining fast Fourier transformation (FFT)-compatible kernel interpolation with robust high-order interpolation. Existing FFT-accelerated global Lagrange-based approaches rely on equidistant interpolation points and can, therefore, suffer from Runge-type instabilities at high interpolation orders, limiting robust high-accuracy compression. In contrast, B-splines on equidistant knot vectors overcome these instabilities and enable robust high-order interpolation for accurate matrix compression. Replacing Lagrange interpolation by B-spline interpolation is, however, non-trivial: B-spline coefficients do not coincide with function values at the interpolation points, and the associated sampling matrices can become ill-conditioned. To address these challenges, we introduce a knot-removal stabilization strategy, combined with exact interlevel transfers based on knot insertion, yielding accurate, well-conditioned multilevel interpolation. Moreover, we propose a factorization strategy that preserves the null space of the scalar potential operator up to machine precision and is compatible with low-frequency preconditioning techniques. Numerical results for both canonical and realistic geometries demonstrate robust high-order interpolation without the breakdown observed for Lagrange-based approaches and confirm $\\mathcal{O}(N)$ complexity.\n3. 在量子计算机上求解非线性微分方程的降阶基算法 Reduced basis algorithm for solving nonlinear differential equations on quantum computers\n作者: Monica Lăcătuş, Matthias Möller, Sauro Succi\n类别: math.NA, quant-ph\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.13457v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.13457v1\n摘要: As quantum computing moves toward scientific computing applications, nonlinear differential equations remain a central challenge since quantum evolution is intrinsically linear. In this work, we introduce a reduced basis algorithm (RBA) for polynomial nonlinear ordinary differential equations (ODEs) and spatially discretized partial differential equations (PDEs). After time discretization, the method composes the resulting polynomial update map over $m$ timesteps, identifies the reduced monomial basis appearing in this composed map, and constructs a linear RBA operator whose action recovers the exact $m$-timestep nonlinear dynamics. Thus, at the level of the chosen discrete update rule, the method introduces no additional approximation error beyond the time discretization error. The qubit number requirement is governed by the size of the reduced monomial basis. For an $n$-dimensional polynomial ODE system of degree $p\u003e1$, the lifted register requires at most $q_m^{\\mathrm{ODE}} = O(nm\\log p)$ qubits in the full basis scenario. For PDEs discretized on $N^D$ grid points, a locality-based construction requires at most $q_m^{\\mathrm{PDE}} = O(D\\log N + n m^{D+1}\\log p)$ qubits. Hence, the dependence on the grid size remains logarithmic, while the nonlinear overhead is controlled by local reduced basis size. The main computational burden is moved from the quantum computer to a classical preprocessing step, where the reduced monomial basis and RBA operator are constructed for the chosen timestep window. Through numerical tests on the Lorenz system and the one-dimensional Burgers equation, we verify that the RBA reproduces the corresponding discrete time nonlinear dynamics exactly, while exposing the trade-off between timestep composition, reduced basis growth, and locality.\n4. 双无公度三层石墨烯电子结构的动量空间算法 Momentum Space Algorithm for Electronic Structure of Double-Incommensurate Trilayer Graphene\n作者: Ken Beard, Daniel Massatt\n类别: math.NA, cond-mat.mtrl-sci\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.13434v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.13434v1\n摘要: Numerical algorithms for computing electronic structure of incommensurate 2D materials using ab initio models is critical for predicting material properties and guiding experiment. For bilayers, momentum space and continuum models have been introduced to approximate observables of ab initio tight-binding models using a momenta description despite the lack of periodicity in the tight-binding model required for Bloch theory. A similar structure has been introduced for double-incommensurate trilayers using a continuum model, where the three lattices are all mutually incommensurate. However, this description leads to a four-dimensional lattice space, and numerical convergence of the density of states was observed to have poor convergence. In this work, we introduce a momentum space framework for double incommensurate trilayer graphene, and introduce an efficient truncation scheme of the four-dimensional lattice to drastically improve convergence of the density of states and momentum local density of states (a parallel object to classical band structure). We implement this algorithm on an ab initio model of twisted trilayer graphene and validate convergence estimates. We further verify numerically that the momentum space algorithm, inherently higher order than the continuum model as it is an exact transformation of the tight-binding model, captures altered band behavior near the flat bands at magic angles.\n5. 一种用于时间依赖的伪应力斯托克斯问题的可扩展缩减共轭梯度求解器 A Scalable Deflated Conjugate Gradient Solver for the Time-Dependent Pseudo-Stress Stokes Problem\n作者: Alessandra Cancrini, Gabriele Ciaramella, Paola F. Antonietti\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.13429v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.13429v1\n摘要: We propose a novel iterative solution framework for the unsteady Stokes equations in the pseudo-stress formulation. When solving this class of problems by using implicit time-integration schemes, standard solvers suffer from deteriorating convergence properties for small time steps, independently of the chosen space discretisation method. This is due to the singular modes of the dev-dev operator. For this reason, we introduce a computational framework obtained by combining a deflated Conjugate Gradient method with a W-cycle multigrid scheme that employs a Restricted Additive Schwarz smoother. The key point is to choose the deflation subspace so that the inner system to be solved within a deflated Conjugate Gradient scheme corresponds to a Laplace problem defined on the singular modes of the original dev-dev operator. This results to be independent of the spatial discretisation method and allows one to use efficient multigrid iterative solvers. Numerical experiments show that the proposed strategy significantly accelerates the Conjugate Gradient convergence and provides stable performance with respect to the time step, confirming its robustness for solving linear systems in the pseudo-stress framework.\n6. 基于围道积分的迭代特征求解器求解非线性特征值问题的线性收敛性 Linear convergence of iterative contour integral-based eigensolvers for nonlinear eigenvalue problems\n作者: Daniel Kressner, Yuqi Liu, Jose E. Roman, Meiyue Shao, Nian Shao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.13357v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.13357v1\n摘要: Solving nonlinear eigenvalue problems is an important and challenging task in scientific computing. Contour integral-based approaches are attractive for such eigenvalue problems because they reliably target all eigenvalues in a prescribed domain. However, unlike in the linear case, many traditional methods of this type, such as Beyn\u0026rsquo;s method, lack an inherent iterative refinement mechanism. Consequently, achieving high accuracy requires high-quality quadrature rules for approximating the contour integral, which often leads to prohibitive computational costs. A notable exception is the so-called NLFEAST algorithm, which combines contour integral techniques with a nonlinear Rayleigh\u0026ndash;Ritz extraction step. In this work, we propose a general framework of iterative contour integral-based methods for nonlinear eigenvalue problems that includes NLFEAST. This allows us to prove linear convergence of NLFEAST under mild assumptions and also explains why certain nonlinear eigensolvers do not combine well with iterative methods. Numerical experiments confirm our theoretical findings; in particular that NLFEAST can achieve high accuracy even with a limited number of quadrature nodes, significantly outperforming Beyn\u0026rsquo;s method on challenging problems.\n7. 关于最坏情形下线性张量积问题的代数$(s, t)$-弱可处理性的一个注记 A Note About Algebraic $(s, t)$-Weak Tractability Of Linear Tensor Product Problems In The Worst-Case Setting\n作者: Zirong Liu, Heping Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.13339v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.13339v1\n摘要: This paper is devoted to discussing the linear tensor product problems in the worst case setting. We consider algorithms that use finitely many evaluations of arbitrary continuous linear functionals. We investigate algebraic $(s, t)$-weak tractability (ALG-$(s, t)$-WT) under the absolute error criterion in the case $λ_1 \u003e 1$, where $λ_1$ is the square of the univariate maximal singular value. We solve the problem by giving the necessary and sufficient conditions for ALG-$(s, t)$-WT on univariate singular values and fill the gap left open.\n8. 基于嵌入方法的线性求解器性能预测 Embedding-based Methods for Linear Solver Performance Prediction\n作者: Hayden Liu Weng, Hans-Joachim Bungartz, Felix Dietrich\n类别: cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.13255v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.13255v1\n摘要: The solution of large, sparse linear systems often dominates the computational effort of scientific applications and is a frequent optimization target. Modern libraries provide numerous solver and preconditioner configurations, but their performance varies significantly across problem instances. Previous works have addressed the selection of an optimal solver, but are typically limited by the problem set addressed (e.g., only symmetric positive definite matrices), the use of expensive matrix features, or the complexity of the approach. This work proposes a modular, low-cost embedding-based framework for solver selection that decouples performance modeling from feature representation and downstream prediction. Solver-problem relationships are learned directly from observed performance data, while inexpensive numerical features are used to project unseen problems into the learned embedding space. The framework focuses on multilabel prediction and evaluation using user-centric metrics, such as MAPE and nDCG, which better reflect relative performance. Experiments on 621 matrices from the SuiteSparse matrix collection across 101 PETSc solver configurations demonstrate a 17% increase in top-prediction accuracy over classical feature-based models when expensive numerical features are included, along with reductions of 37% in mean average percentage error (MAPE) and 46% in top-prediction error (1-error). When restricted to a reduced feature set, the embedding approach remains competitive, while still consistently achieving ca. 24% lower MAPE and 1-error across a broad range of problems.\n9. SCI层级中的有限查询坍缩与模态精确基 Finite-Query Collapse and Modal Exact Bases in the SCI Hierarchy\n作者: Christopher Sorg\n类别: math.LO, math.NA, math.SP\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.13250v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.13250v1\n摘要: We study the exact-basis problem for Solvability Complexity Index (SCI) computational problem families through finite-query transports. A raw finite-query reduction permits arbitrary encodings and finite transcript reconstructions, with only a continuous output decoder. For the Colbrook-Hansen (CH23) singleton-window spectral/pseudospectral block, this raw preorder collapses the expected two-source structure: the diagonal exact spectral and fixed-$\\varepsilon$ pseudospectral sources are raw- and continuous-finite-query equivalent, and, for computable $\\varepsilon$ under the evaluation-name representations, TTE-finite-query equivalent, so the six-problem ambient is raw-principal. We then introduce modal finite-query preorders, whose admissibility conditions may restrict encodings, decoders, reconstructions, uniformity, and geometric naturality. We also characterize TTE finite-query transport as computable point transport with a uniform finite interface trace; after forgetting the trace this gives strong Weihrauch reducibility, and the implication is strict. Under a CH23 geometric modality generated by representation inclusions, unitary and graph relabelings, and neutral stabilizations, the same ambient has exactly two minimal exact sources. This gives a calibrated reformulation of the exact-basis problem: natural SCI families should be classified by modality-indexed exact bases and refinement maps, not by one raw preorder alone.\n10. 用于混合分布抽样的切换哈密顿蒙特卡洛方法 Switching Hamiltonian Monte Carlo for sampling from mixture distributions\n作者: A. Sharma\n类别: stat.CO, math.NA, math.ST\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.13234v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.13234v1\n摘要: We introduce a switching Hamiltonian Monte Carlo method for sampling from finite mixture Boltzmann-Gibbs distributions. We propose symmetric numerical integrators to approximate switching Hamiltonian dynamics interlaced with Poisson jumps, where the regime-switching chain is simulated using the uniformization technique or the stochastic simulation algorithm. We prove geometric ergodicity of the resulting Markov chain. We develop an approach based on the discrete Poisson equation associated with numerical schemes to estimate the error in computing ergodic averages. Using this approach we prove that the proposed numerical integrators have second-order bias. This approach is simple and can be generalized to other settings, for example, kinetic Langevin equations. Finally, we verify the convergence result via numerical experiment.\n11. 带状加半可分矩阵的 QR 分解可用线性复杂度计算 The QR factorization of a Banded-Plus-Semiseparable Matrix is Computable with Linear Complexity\n作者: Tao Chen, Sheehan Olver\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.13225v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.13225v1\n摘要: We show that the QR factorization of a banded-plus-semiseparable (BPS) matrix is computable in optimal linear complexity with respect to the discretization size by showing that the intermediate stages of a QR factorization as computed using Householder reflection maintain a specific structure which has optimal storage. This theoretical result enables the design of stable, linear-complexity algorithms for solving the associated linear systems. For symmetric BPS matrices, we further show that the $RQ$ product \u0026ndash; central to eigenvalue computations via the QR algorithm \u0026ndash; also preserves the BPS structure, leading to a linear-complexity algorithm for each iteration. Numerical experiments validate the optimal linear complexity, confirm high numerical accuracy, and demonstrate substantial speedups compared with existing hierarchical approaches. The algorithms have been implemented in an open-source Julia package, providing an efficient and accessible platform for practical use.\n12. 在实验室规模搅拌槽反应器中追踪计算机模拟的拉格朗日传感器 Tracking in-silico Lagrangian sensors in a lab-scale stirred tank reactor\n作者: Vamika Rathi, Fatima Sehar, Finn Sommer, Sebastian Goetschel, Eike Steuwe, Alexandra von Kameke, Daniel Ruprecht\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.13099v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.13099v1\n摘要: Lagrangian sensors have shown promise to improve operator awareness of conditions inside a chemical reactor but three-dimensional tracking remains a mostly unsolved challenge. We explore a setup where in-silico sensors, based on a recently proposed real-world design, are tracked using data from an accelerometer and magnetometer available from a built-in inertial measurement unit. Filtering algorithms, using a bespoke dynamical model, are used to process these readings into position estimates. We compare tracking performance of an extended Kalman filter, a particle filter and the unscented Kalman filter implemented in the pykalman library. Our numerical experiments track in-silico particles moving in an analytically given three dimensional vortex as well as in the experimentally measured flow-field of a lab-scale stirred tank reactor. Using the Maxey-Riley-Gatignol equations for the movement of inertial particles as ground-truth, we demonstrate that trajectories can be reconstructed from noisy synthetic data with errors below 10%.\n13. 一种二次降阶\u0026ndash;高斯过程常微分方程框架用于大型连续动力系统的推断 A Quadratic Order Reduction \u0026ndash; Gaussian Process Ordinary Differential Equation framework for the inference of Large Continuous Dynamical Systems\n作者: Guglielmo Padula, Michele Girfoglio, Gianluigi Rozza\n类别: math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.13063v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.13063v1\n摘要: Forecasting the evolution of complex dynamical systems remains a fundamentally challenging task, primarily due to pronounced nonlinear interactions, high-dimensional state spaces, and the concomitant requirement for rigorous and reliable uncertainty quantification. Contemporary reduced-order modelling (ROM) frameworks frequently exhibit inherent trade-offs among predictive accuracy, numerical stability, and interpretability, and thus often fail to achieve an optimal balance among these competing objectives. To address these limitations, we propose a framework for forecasting complex dynamical systems via a kernel autonomous ordinary differential equation approach based on Gaussian Processes and Quadratic Order Model Reduction. Our base method, the Gaussian Process Ordinary Differential Equations model, allows accurate short-term forecasting with uncertainty quantification, and it provably converges to the real autonomous equation in the smooth case. We integrate it with quadratic order reduced-order modelling and sphere projection for learning the latent dynamics efficiently while preserving stability. Numerical experiments demonstrate that our full model outperforms ROM forecasting methods such as Extended Dynamic Mode Decomposition, Bagging Optimised Dynamic Mode Decomposition and Linear and Nonlinear Disambiguation Optimisation in terms of accuracy or computational costs. These results demonstrate the potential of the framework as a robust and stable tool for forecasting complex dynamical systems with rigorous uncertainty quantification.\n14. 正交多项式具有任意度步长的三项递推关系 Three-term Recurrence Relation with Arbitrary Degree Step for Orthogonal Polynomials\n作者: Bo Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.13056v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.13056v1\n摘要: An approach to generate three-term recurrence relations with arbitrary degree step is proposed. Specifically, given any class of orthogonal polynomials $\\{Q_{p}(x)\\}_{p=0}^{\\infty}$ defined by Favard\u0026rsquo;s theorem, we employ the adjacent members $Q_{p}(x)$ and $Q_{p-1}(x)$ to compute the one of high degree $Q_{p+s}(x)$ and that of low degree $Q_{p-t}(x)$, where $(s,t)\\in \\mathbb{N^{+}}$. Therefore, it is able to derive a three-term recurrence relation with respect to $Q_{p+s}(x)$, $Q_{p}(x)$ and $Q_{p-t}(x)$ by taking $Q_{p-1}(x)$ as the bridge. Moreover, as the extensions of standard recursive formula which is characterized with degree increase, the ones for degree decrease and end-to-middle directions are formulated as well. The explicit recurrence relations with two-degree step are offered for Hermite, Gegenbauer and Legendre polynomials. Precision comparison is also performed between the standard three-term recurrence relation and the proposed ones.\n15. 用于SIDER插值局部精度的四元数\u0026ndash;BCH框架 A Quaternion\u0026ndash;BCH Framework for the Local Accuracy of SIDER Interpolation\n作者: Shingyu Leung\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.12833v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.12833v1\n摘要: Spherical Interpolation of orDER $n$ (SIDER-$n$) is a recursive high-order interpolation method for data on the unit sphere $\\mathbb{S}^2$, built from repeated spherical linear interpolation (SLERP). This paper develops a quaternion\u0026ndash;Lie algebra framework for proving the local consistency of SIDER for smooth spherical curves sampled at equally spaced parameter values. Points on $\\mathbb{S}$ are represented as pure unit quaternions, and interpolation errors are measured in fixed-base quaternion logarithmic coordinates. In this setting, each SLERP operation admits an exact Baker\u0026ndash;Campbell\u0026ndash;Hausdorff (BCH) representation, which converts the geometric interpolation problem into an algebraic problem involving filtered Lie-polynomial expansions. The BCH expansion shows that SLERP is affine to leading order, has no quadratic correction, and has a first nonlinear correction that is cubic and commutator-valued. Using this structure, we prove that SIDER2 has a third-order divided-error form with the same leading nodal factor as ordinary quadratic interpolation. We then show that the recursive SIDER step raises the order by one: the affine part gives the Neville-type finite-difference cancellation, while the nonlinear BCH remainder preserves the sharp filtered degree structure after the nodal factor is removed. Consequently, for every fixed $n\\geq2$, $d_{\\mathbb{S}^2}\\bigl(γ(θh),P_i^{[n]}(θ;h)\\bigr) = O(h^{n+1}) $under the stated smoothness and small-stencil assumptions. The proof also identifies the shift-invariance of the leading divided-error coefficient as the algebraic compatibility condition underlying the SIDER recurrence.\n16. 球面插值的局部一致性与高阶结构 Local Consistency and Higher-Order Structure of Spherical Interpolation\n作者: Shingyu Leung\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.12802v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.12802v1\n摘要: Spherical Interpolation of orDER $n$ (SIDER-$n$) is a recursive high-order interpolation construction for data on the unit sphere $\\mathbb{S}^2$, built from repeated spherical linear interpolation (SLERP). This paper gives a local consistency analysis of SIDER for smooth spherical curves sampled at equally spaced parameter values. The analysis is carried out in geodesic normal coordinates, which allows the SIDER recursion to be compared with classical Neville interpolation while retaining the curvature-dependent corrections introduced by SLERP. We first derive local expansions of SLERP and show that SIDER2 has third-order accuracy; its leading error has the same shifted nodal structure as Euclidean quadratic interpolation. We then prove that the adjacent SIDER2 errors entering SIDER3 have a common leading coefficient, so that the SIDER3 recurrence cancels the cubic term and yields fourth-order accuracy. Carrying the expansion one order further gives the corresponding coefficient compatibility for SIDER3 and proves fifth-order accuracy of SIDER4. Finally, we introduce a degree-filtered formal expansion framework for the general SIDER recursion. This framework proves that, for each fixed $n$, SIDER-$n$ preserves the required polynomial degree structure in the normalized stencil variable. Together with the interpolation conditions at the $n+1$ nodes, this yields the local consistency estimate $d_{\\mathbb{S}^2}\\bigl(γ(θh),P_i^{[n]}(θ;h)\\bigr)=O(h^{n+1})$ under the stated smoothness and small-stencil assumptions.\n17. 大规模并行流路由与流域面积确定 Massively parallel flow routing and drainage area determination\n作者: Wolfgang Bangerth\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.12800v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.12800v1\n摘要: Digital elevation models (DEMs) have reached resolutions and sizes that only parallel computaters can efficiently process. One important application of DEMs is predicting how much water flows where, the so-called ``flow routing problem\u0026rsquo;\u0026rsquo; (a variation of which is the problem of determining the drainage area upstream of a point in a DEM). The traditional algorithm for flow routing is sequential, and attempts to parallelize this method have so far only been moderately successful. Herein, we build on earlier work in Richardson et al. (2014) and propose an algorithm and several variations that can efficiently solve the flow routing problem on very large models with very large numbers of parallel processes. For the largest model we use, with 1.88 billion points, the best algorithm herein can route water in 4.0 seconds on 12,288 processes of a computer cluster.\n18. 时间分数阶Allen-Cahn方程的变时间步长二阶保MBP线性稳定化格式 A variable time-step, second-order, and MBP-preserving linear stabilized scheme for the time-fractional Allen-Cahn equation\n作者: Bingyin Zhang, Ao Zhang, Hongfei Fu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-11\narXiv ID: 2606.12799v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.12799v1\n摘要: In this paper, we present a second-order linear scheme based on the variable-step Alikhanov formula and central difference discretization for the time-fractional Allen-Cahn equation. The nonlinear potential is treated explicitly via a second-order extrapolation with preprocessing, which enables the discrete maximum-bound principle (MBP) to be preserved through an appropriate stabilization technique. Moreover, by developing a discrete fractional Grönwall inequality together with the uniform boundedness of numerical solutions guaranteed by the MBP, we establish an $α$-robust and optimal second-order maximum-norm error estimate under initial weak singularity assumption. In addition, energy stability is proved in the sense that the discrete original energy is uniformly bounded by the initial energy plus a high-order spatiotemporal correction term. Finally, extensive numerical experiments are presented to demonstrate the effectiveness of the proposed scheme.\n19. 论广义层次样条空间的完备性 On the completeness of generalized hierarchical spline spaces\n作者: Ahmed Oufqir, Carla Manni, Hendrik Speleers\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.12656v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.12656v1\n摘要: We introduce a general theoretical approach to hierarchical spline spaces that replaces the classical constructive definition - based on basis selection - with a descriptive formulation in terms of regularity constraints. Specifically, we define generalized hierarchical spline spaces on multi-level domains as collections of piecewise functions satisfying hierarchical contact conditions across interfaces between refinement levels. The proposed framework applies to a broad class of local function spaces and relies on a minimal abstract requirement, the extension assumption, rather than on specific polynomial properties. Within this framework, we identify rules under which the hierarchical selection mechanism yields a complete basis, in the sense that it spans exactly the space characterized by the contact conditions. As an application, we consider Tchebycheffian spline spaces. We show that spaces generated by extended complete Tchebycheff (ECT) systems fit in this framework, thereby establishing the completeness of hierarchical Tchebycheffian splines. This demonstrates that the proposed theory naturally extends beyond the polynomial setting and provides a unified foundation for hierarchical constructions in more general spline spaces.\n20. 基于多项式空间上结合截断乘积的守恒律保双曲性随机伽辽金方法 Hyperbolicity-Preserving Stochastic Galerkin Methods for Conservation Laws Based on Associative Truncated Products on Polynomial Spaces\n作者: Haroun Meghaichi, Yulong Xing\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.12632v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.12632v1\n摘要: Stochastic Galerkin discretizations of nonlinear hyperbolic conservation laws may lose hyperbolicity because the standard pseudospectral product is generally nonassociative, leading to non-commuting blocks in the flux Jacobian matrix. We develop a novel framework for constructing hyperbolicity-preserving stochastic Galerkin systems based on associative truncated products on polynomial spaces. In one stochastic dimension, we characterize associative truncated products through a single polynomial datum and identify examples with useful symmetry, positivity, and spectral properties, including collocation products and an associative symmetric product based on Gaussian quadrature nodes. We prove a consistency result showing that, under suitable projection-error assumptions, these products converge to the classical product as the polynomial degree grows. For systems with rational fluxes, we derive sufficient conditions under which the resulting stochastic Galerkin flux remains hyperbolic on the corresponding admissible set. Applications to the one-dimensional isothermal and compressible Euler equations show accurate statistical approximation and robust hyperbolicity preservation of the computed stochastic Galerkin states.\n21. 多重网格的级联光滑子 Cascading Smoothers for Multigrid\n作者: Robert I. Saye\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.12577v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.12577v1\n摘要: Multigrid methods are among the most effective frameworks for solving large-scale sparse systems. However, achieving their hallmark linear scaling and rapid convergence crucially depends on an effective smoother algorithm, whose design is often highly problem-dependent. This paper develops a new approach, referred to as \\textit{cascading smoothers} due to their operation as an ordered sequence of single-step block-diagonal smoothers. Each level in the cascade is optimised to maximally damp the output of prior steps via a Frobenius norm minimisation of the corresponding error propagators. In particular, we develop an additive (resp., multiplicative) formulation analogous to Jacobi (resp., Gauss-Seidel). Applied within a standard multigrid V-cycle, we show they are remarkably effective across a wide array of problems, including finite difference, finite element, and discontinuous Galerkin discretisations applied to Poisson, elliptic interface, and Stokes systems as well as multiphase variants. In every case, cascading smoothers closely match or significantly outperform their optimally-damped classical counterparts, yet require no parameter tuning apart from a few discrete solver choices. Additionally, the approach is highly parallelisable and robust to geometric and operator complexities such as unstructured meshes and high-contrast coefficients.\n22. 用于含激波流动数据同化的特征保持潜在集合卡尔曼滤波 Feature-preserving Latent-EnKF for Data Assimilation of Flows with Shocks\n作者: Hemanth Chandravamsi, Hangchuan Hu, Ponkrshnan Thiagarajan, Tamer A. Zaki\n类别: physics.comp-ph, cs.LG, math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.12559v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.12559v1\n摘要: The ensemble Kalman filter (EnKF) is widely adopted for sequential data assimilation, but fails for solutions with discontinuities, such as shocks in compressible flows. Uncertainty in shock location induces multimodal ensemble statistics that violate the Gaussian assumptions underlying the EnKF, producing large-scale spurious oscillations in the analysis state. We introduce a feature-preserving latent-EnKF that performs the ensemble update in a learned low-dimensional latent space, where shock and flow features admit a smooth manifold representation, thereby preserving sharp features during EnKF analysis. The updated latent state is mapped back to physical state through a shared decoder for all ensemble members. The algorithm eliminates the member-specific ordered training and positivity flooring used in prior approaches. Numerical experiments on a Sod shock tube and Mach 2 shock interaction with a 2D cylinder, using sparse and noisy observations, show accurate feature recovery of shocks and contact discontinuities without spurious oscillations.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-06-12_07-09-59/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年06月12日 07:09:59\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 6\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 22\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-基于细分的等几何分析用于轴对称电磁问题\"\u003e1. 基于细分的等几何分析用于轴对称电磁问题\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eSubdivision-based isogeometric analysis for axisymmetric electromagnetic problems\u003c/p\u003e","title":"2026年06月12日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年06月11日 07:19:17\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 5\n不相关论文数量: 17\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 一种三维四阶奇异摄动问题的解耦低阶协调混合有限元方法 A Decoupled Low-Order Conforming Mixed Finite Element Method for a Three-Dimensional Fourth-Order Singularly Perturbed Problem\n作者: Yuanchun Tang, Baiju Zhang, Zhimin Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.12176v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.12176v1\n摘要翻译 中文标题: 一种三维四阶奇异摄动问题的解耦低阶协调混合有限元方法\n摘要翻译: 本文针对三维空间中的四阶椭圆奇异摄动问题，提出了一种解耦的低阶协调有限元方法。借助广义Helmholtz分解，该问题被化为两个二阶椭圆问题以及一组满足无旋约束的广义奇异摄动Stokes型方程组。前者采用标准线性有限元离散。对于后者，我们使用MINI元，并证明在添加涉及Lagrange乘子的$L^2$项后，所得离散化关于摄动参数具有鲁棒性。我们进一步建立了关于摄动参数一致的阶为$h^{1/2}$的误差估计。数值实验被给出以支持该理论。\n2. 完全解耦、线性且保结构的块中心有限差分方法用于交错非均匀网格上的Keller-Segel趋化系统 Fully decoupled, linear and structure-preserving block-centered finite difference methods for the Keller-Segel chemotaxis system on staggered non-uniform grids\n作者: Jie Xu, Hongfei Fu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.12095v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.12095v1\n摘要翻译 中文标题: 完全解耦、线性且保结构的块中心有限差分方法用于交错非均匀网格上的Keller-Segel趋化系统\n摘要翻译: 本文针对经典Keller-Segel趋化系统，在交错非均匀空间网格上提出了两种完全解耦、线性且保结构的块中心有限差分格式。这两种新格式在空间上均具有二阶精度；一种在时间上为一阶精度，另一种达到时间二阶精度。此外，我们证明了这些格式在离散层面上保持若干固有的物理定律：(i) 细胞密度和化学吸引剂浓度的正值性；(ii) 总细胞质量守恒；(iii) 一阶格式的离散能量耗散性质。特别地，时间一阶格式无条件保持正值性、质量守恒和能量耗散，而二阶格式在充分（但非必要）的时间步长条件下确保正值性。所提出的方法在指定的非均匀空间网格上能够更准确、高效地模拟趋化动力学，尤其是在快速爆破现象存在时。数值实验验证了理论结果，并说明了所提格式的准确性和可靠性。\n3. 耦合非牛顿Stokes-Darcy系统的多边形间断Galerkin离散 Polytopal Discontinuous Galerkin Discretizations of Coupled Non-Newtonian Stokes-Darcy Systems\n作者: Paola F. Antonietti, Michele Botti, Nicola Parolini, Valentina Pederzoli, Marco Verani\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.11935v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.11935v1\n摘要翻译 中文标题: 耦合非牛顿Stokes-Darcy系统的多边形间断Galerkin离散\n摘要翻译: 我们提出并分析了一种用于耦合非牛顿Stokes-Darcy系统数值近似的多边形间断Galerkin方法，该系统模拟了非牛顿自由流流体与通过多孔介质的非牛顿流之间的相互作用。由于几何灵活性和任意阶精度，所提出的离散格式非常适合具有复杂几何形状的配置。我们提供了完整的先验分析，分别考虑了自由流和多孔介质区域的剪切依赖和速度依赖的非牛顿粘度模型。在广义inf-sup理论框架下建立了方法的适定性、稳定性和误差界。误差估计通过数值结果得到了确认。\n4. 全耦合非线性热-水-力问题的分裂策略 Splitting strategies for the fully-coupled nonlinear thermo-hydro-mechanical problem\n作者: Stefano Bonetti, Michele Botti, Paola F. Antonietti\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.11801v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.11801v1\n摘要翻译 中文标题: 全耦合非线性热-水-力问题的分裂策略\n摘要翻译: 我们提出了新颖的半解耦和全解耦迭代算法，用于高效求解在多边形网格上采用间断伽辽金方法进行空间离散的全耦合非线性四场热-孔弹性模型。我们给出了模型问题、其四场形式以及用于其空间离散的任意阶加权对称内惩罚格式。该格式对于模型系数中的强非均匀性具有鲁棒性。然后，我们给出了两种求解策略，并证明了在适当条件下两种格式均收敛。通过大量数值模拟来评估所提方法的收敛性和鲁棒性。此外，我们还使用文献中和物理上合理的测试案例对格式进行检验，作为在地球物理背景下概念验证的应用。\n5. 保结构神经代理模型及可处理的不确定性量化 Structure-Preserving Neural Surrogates with Tractable Uncertainty Quantification\n作者: Handi Zhang, Adrienne M. Propp, Brooks Kinch, Houman Owhadi, Nathaniel Trask\n类别: cs.LG, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.11650v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.11650v1\n摘要翻译 中文标题: 保结构神经代理模型及可处理的不确定性量化\n摘要翻译: 科学机器学习的最新进展为偏微分方程（PDEs）提供了近实时求解的途径，但缺乏支持当代验证与确认的传统模拟器的理论基础。本文构建了数据驱动的降阶模型，用作保结构、实时的代理模型。值得注意的是，施加物理守恒结构的外微分也揭示了拓扑结构，我们利用该拓扑结构为状态-通量关系中的不确定性建立高斯过程（GP）表示，最终得到感兴趣量的Dirichlet-to-Neumann映射，并具有后验不确定性的闭式表达式。我们特别提出了由轻量级transformer所指定的传统Raviart–Thomas元和$dgP_0$元的保结构$H(\\mathrm{div})$–$L^2$子空间。与该子空间一致的降阶动力学通过提出一个守恒定律来学习，其中GP描述体积间的通量。本工作的关键在于混合有限元空间与GP回归之间的新颖接口；当训练被表述为最优恢复问题（ORP）时，得到的GP回归可写为具有等式约束的优化问题，这些等式约束施加了守恒结构，这能够采用快速Schur补训练策略。训练后的模型可实时求解，并具有由指定Dirichlet数据驱动的边界通量的闭式估计量。本文包含对线性泛函的RKHS后验误差界，以支持不确定性量化，以及数值实验，演示后验分布作为误差估计代理的准确性。\n不相关论文（基本信息） 1. 一种面向化学-力学-热力学接触的耦合有限元列式及其在粘结与脱粘中的应用 A coupled finite element formulation for chemo-mechano-thermodynamical contact and its application to bonding and debonding\n作者: Roger A. Sauer\n类别: cs.CE, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.12375v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.12375v1\n摘要: This work presents a finite element formulation for coupled chemo-mechano-thermodynamical large deformation contact. The formulation is based on the contact theory of Sauer et al. (2022) that contains six coupled (but separate) fields: the deformation and temperature of the two contacting bodies, as well as an interfacial bonding field and interfacial temperature. The latter is governed by the chemical and mechanical energy dissipation at the interface. Here the focus is placed on the evolution of bonding and debonding, and how it is coupled to the mechanical and thermal contact state. Several elementary models are proposed for this based on a quadratic contact potential. The resulting contact formulation becomes very general and versatile, which is illustrated by several challenging examples. They include pressure- and gap- depended bonding, exothermic bonding reactions, thermal hardening and thermal expansion, as well as simultaneous bonding and debonding. They are based on a monolithic finite element implementation using classical and isogeometric shape functions together with implicit time integration. Its full linearization, required for the Newton-Raphson solution method, is also provided. If bonding sites are material points, the bonding variable can be condensed-out locally.\n2. 基于MATLAB的分层自适物理信息神经网络在多元耦合高雷诺数Burgers方程中的应用 MATLAB-Based Layerwise Self-Adaptive Physics-Informed Neural Network in Applications to Multidimensional Coupled Burgers\u0026rsquo; Equations with High Reynolds Numbers\n作者: Harish P. Bhatt, Xi Chen, Jingsai Liang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.12348v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.12348v1\n摘要: This paper presents an improved physics-informed neural network for simulating the spatio-temporal solution profile of the multidimensional coupled Burgers\u0026rsquo; equations with high Reynolds numbers. As time evolves, the sharp shock fronts emerge in the solution, creating significant computational challenges for the conventional mesh-based numerical methods. In particular, numerical methods such as finite differences and finite elements suffer from poor stability and strong mesh dependency when resolving the steep solution gradients. To address these challenges, the proposed framework employs a layerwise self-adaptive weighting strategy that dynamically adjusts the penalty weights for the physics residual, initial conditions, and boundary conditions throughout training. Moreover, the framework uses a dual-phase optimization strategy to achieve more stable convergence. To check the effectiveness and accuracy of the proposed framework, a set of numerical experiments is conducted to compare it with the standard Physics-Informed Neural Network (PINN) with and without Limited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (L-BFGS) optimization. Numerical results exhibit that the proposed framework achieves higher accuracy in terms of relative $L_2-$ error norm than the standard PINN and is able to capture the development of sharp shock fronts as time evolves in the solution.\n3. 伴随方法与物理信息神经网络在偏微分方程约束反问题中的比较 Adjoint Method versus Physics-Informed Neural Networks in PDE-Constrained Inverse Problems\n作者: Zhen Zhang, Alessandro Alla, George Em Karniadakis\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.12337v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.12337v1\n摘要: Inverse problems governed by partial differential equations (PDEs) are central to computational mechanics and are commonly solved by adjoint-based optimization, while physics-informed neural networks (PINNs) have emerged as a flexible alternative. Their relative performance remains difficult to assess because the two approaches are often compared under different formulations, parameterizations, optimizers, and regularization choices. We present a fair comparison of adjoint optimization and PINNs for PDE-constrained inverse problems. From a common abstract formulation, we instantiate both methods on identical domains, governing equations, observation models, and regularization terms, while matching the optimizer, unknown parameterization, and arithmetic precision wherever applicable. The benchmarks include unsteady Burgers, noisy Darcy permeability inversion, three-dimensional Allen\u0026ndash;Cahn reaction identification, and unsteady Navier\u0026ndash;Stokes viscosity identification. The results show that the representation of the unknown largely determines the preferred method: grid-based fields favor the discrete adjoint, whereas neural representations are native to PINNs and relevant for closure and constitutive modeling. For time-dependent problems, adjoint inversion can be dominated by trajectory storage and differentiation, while PINNs provide satisfactory reconstructions at lower cost. A PINN-warm-started adjoint strategy then recovers adjoint-level accuracy at substantially reduced cost.\n4. B样条基条件数的一个改进 An improvement on B-spline basis condition number\n作者: Yimin Zhong\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.12270v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.12270v1\n摘要: In this short note, we improve the upper bound on the condition number of the univariate B-spline basis of order $k$ from $k 2^k$ to $O(\\sqrt{k}\\log k\\,2^k)$ for all $k\\ge 2$.\n5. 具有任意密度比的N相不可压缩流体混合物的对称结构保持离散化 Symmetric structure-preserving discretization of N-phase incompressible fluid mixtures with arbitrary density ratios\n作者: M. F. P. ten Eikelder, A. Brunk\n类别: math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.12256v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.12256v1\n摘要: Diffuse-interface models are a widely used framework for interfacial dynamics in complex fluids, in which interfaces are represented through smooth transition layers and capillary effects are encoded by a free-energy functional. For incompressible mixtures with more than two phases, however, robust computation is substantially more difficult because the numerical method should preserve the balance structure of the continuum model, maintain the saturation constraint, dissipate energy, and treat all phases symmetrically even when density ratios are arbitrary. Existing structure-preserving methods are largely developed for binary flows or for formulations that distinguish a reference phase, so a genuinely symmetric N-phase discretization remains lacking. The practical problem is therefore to construct a fully-discrete method for N-phase incompressible Navier\u0026ndash;Stokes\u0026ndash;Cahn\u0026ndash;Hilliard mixture models that retains the key thermodynamic and conservation properties of the continuum equations for arbitrary density ratios. Here we propose a symmetric fully-discrete method for the N-phase incompressible Navier\u0026ndash;Stokes\u0026ndash;Cahn\u0026ndash;Hilliard mixture model with arbitrary density ratios. The method yields a fully-discrete problem in which every solution satisfies exact phase volume conservation, phase mass conservation, total volume conservation, total mass conservation, and a discrete energy-dissipation law. In addition, if the volume-saturation constraint holds for the initial data, then it is preserved at every time step. We numerically verify these structure-preserving properties and demonstrate the robustness of the method in representative multiphase flow problems. The resulting scheme provides a computational framework for incompressible N-phase mixture flows with complex interfacial dynamics and arbitrary density contrasts.\n6. 通过矩阵-向量乘积的近乎实例最优稀疏矩阵逼近 Nearly Instance Optimal Sparse Matrix Approximation from Matrix-Vector Products\n作者: Christoper Musco, Indu Ramesh\n类别: cs.DS, math.NA\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.12179v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.12179v1\n摘要: A large body of work studies the problem of learning an approximation to an implicit matrix $A\\in \\mathbb{R}^{m\\times n}$ that is only accessible implicitly via matrix-vector product queries (matvec queries) of the form ${x} \\rightarrow {A}{x}$ or ${x} \\rightarrow {A}^T{x}$. Of particular interest are methods that learn a near-optimal approximation with a fixed sparsity pattern. For example, we might want to learn a near-optimal diagonal, banded, or arrow-head approximation to an implicit matrix $A$. Naturally, the number of matvec queries required to solve this problem depends on the sparsity pattern, which can be encoded as a binary matrix ${S}\\in \\{0,1\\}^{m\\times n}$. The query complexity of previous algorithms scales with quantities like the total number of ones in ${S}$, its maximum column/row sparsity, or the chromatic number of a its \u0026ldquo;conflict graph\u0026rdquo;. These quantities are incomparable: for a given ${S}$, parameterizing by one might yield lower query complexity than another. In this work, we unify and tighten these prior results by providing a nearly sharp characterization of the matvec query complexity of sparse matrix approximation. Generalizing a definition from graph algorithms, let the degeneracy, ${degen}({S})$, denote the smallest number $k$ so that, if we iteratively delete all rows and columns of ${S}$ with $\\leq k$ ones, we are left with an empty matrix. We show that a near-optimal approximation to $A$ with sparsity pattern $S$ can be learned with $\\tilde{O}({degen}({S}))$ matrix-vector product queries, and $Ω({degen}({S}))$ queries are necessary, for any sparsity pattern ${S}$. Moreover, unlike prior work based on graph coloring, all of our methods run in polynomial time.\n7. 基于色散型双曲系统的自适应、高效且可扩展的水波建模 Adaptive, efficient, and scalable water wave modeling with dispersive hyperbolic systems\n作者: Carlos Muñoz-Moncayo, David I. Ketcheson\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.12162v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.12162v1\n摘要: Accurate modeling of tsunamis (such as those generated by landslides) requires capturing both wave dispersion in the deep ocean and wave breaking near the shore. The shallow water equations are often preferred for working with tsunamis, but neglect dispersion and may be inaccurate in scenarios where dispersive effects are significant. In this work, we develop an approach that seeks to incorporate the best aspects of both hyperbolic and dispersive models by combining either of two hyperbolic reformulations of the Serre-Green-Naghdi equations away from the shore with the non-dispersive shallow water equations near the shore. The model is discretized and implemented within the GeoClaw software, and incorporates adaptive mesh refinement as well as shared-memory parallelism. We validate it through comparison with benchmarks and real tsunami data. The results and performance compare favorably with the existing dispersive water wave solvers, including a speedup of about 2x relative to GeoClaw\u0026rsquo;s existing dispersive solver for a large-scale tsunami simulation.\n8. 部分观测矩阵-向量积的幂迭代算法分析 Analysis of Power Iteration Algorithm with Partially Observed Matrix-vector Products\n作者: Soumyadip Ghosh, Lior Horesh, Vassilis Kalantzis, Yingdong Lu, Tomasz Nowicki, Shashanka Ubaru\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.11956v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.11956v1\n摘要: We consider the problem of computing the dominant eigenvector of a symmetric matrix via the power iteration algorithm subject to constraints in the computation of matrix-vector pr ucts. In particular, we focus on scenarios where the entries of matrix-vector products with the input matrix are only partially observed. Such constraints frequently arise on cloud architectures implemented via the controller-worker model where the matrix-vector products are distributed across workers on remote servers. Instead of a prolonged delay incurred by waiting for the slowest workers to return their output to the controller, a phenomenon known as straggling, a set of pre-determined values can replace the values of the delayed workers and allow the power iteration to proceed to the next iteration. In this paper, we develop two algorithms whose expected approximation converges to the true dominant eigenvector. The first algorithm relies on a probabilistic switch between two different approaches to set the omitted entries: either set them to zero or to their previous recorded value. The second algorithm relies on averaging previously generated partial power iteration approximations obtained by ignoring a set of columns of the iteration matrix. several theoretical details are discussed while numerical experiments verify the effectiveness of the two proposed schemes and demonstrate their comparative performance advantage over current state-of-the-art.\n9. 稀疏性驱动的层析感知应用中的源定位 Sparsity-Driven Source Localization in Tomographic Sensing Applications\n作者: Marco Mattuschka, Noah An der Lan, Arne Ficks, Max von Danwitz, Alexander Popp\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.11840v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.11840v1\n摘要: Hyperspectral standoff detection systems such as Focal Plane Array (FPA) Fourier Transform Infrared (FTIR) spectrometers provide high spatial resolution in detecting airborne chemical contaminants that are invisible to the human eye but potentially hazardous. When two such systems are operated simultaneously with a suitable opening angle, they enable tomographic reconstruction of contaminant plumes with improved spatial and temporal accuracy. This work presents a mathematical model of these measurement capabilities and an algorithm to identify, localize, and quantify contaminant release sources. The objective is to develop a a tool that reconstructs release locations and predict the future plume evolution from standoff measurement data, thereby supporting early warning and situational awareness in hazardous material release scenarios. The transport of contaminants is modeled by an advection-diffusion equation, and the corresponding inverse problem for source identification is formulated accordingly. Owing to the severe ill-posedness and underdetermination of the problem, a sparsity-promoting regularization approach is employed together with a high-performance optimization algorithm. To incorporate the tomographic measurement data into the discrete formulation, a level-set description of a threshold concentration is used, allowing the measurements to be represented independently of the computational mesh and avoiding costly remeshing procedures.\n10. 加速隐式GDA格式：理论保证及其在邻近增广拉格朗日方法中的应用 Accelerated Implicit GDA Schemes: Theoretical Guarantees and Application to Proximal Augmented Lagrangian Methods\n作者: Jiaqi Liu, Bin Shi\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.11800v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.11800v1\n摘要: Convex optimization problems with linear equality constraints arise ubiquitously in scientific computing, machine learning, and control theory. Classical Krylov methods are effective but rely on problem-specific preconditioners and high memory. Conversely, gradient-based methods like the augmented Lagrangian method (ALM) avoid these issues yet suffer from slow outer iterations. Developing accelerated outer-iteration schemes, therefore, remains a critical research objective. In this study, we demonstrate that incorporating a proximal operation into the augmented Lagrangian framework yields the proximal ALM, where the outer iteration is equivalent to an implicit gradient descent-ascent (GDA) scheme. We further establish that this equivalence extends naturally to the setting of variable step sizes. Through Lyapunov analysis, we show that the underlying potential function must be shifted from the conventional objective gap to a variational inequality measure, signaling a shift in perspective from pure convex optimization to minimax optimization. Motivated by these observations, we first develop an implicit GDA scheme with variable step sizes based on a continuous-time ODE framework, which achieves an $o(1/k)$ last-iterate convergence rate for both the primal-dual objective gap and the gradient norm. Building upon a second-order ODE framework, we then propose a family of Nesterov-type implicit GDA schemes parameterized by $r \\geq 0$, which achieves an $o(1/k^{r+1})$ last-iterate convergence rate for the primal-dual objective gap. Furthermore, specializing the second-order ODE formulation to the case $r=0$, we derive a corresponding explicit GDA scheme and prove an $o(1/k)$ last-iterate convergence rate for the primal-dual objective gap. Finally, we present several numerical experiments to validate these theoretical results and demonstrate the effectiveness of the proposed methods.\n11. 超弹性中的曲率诱导力场 Curvature-Induced Force Fields in Hyperelasticity\n作者: Victor Dods\n类别: math.NA, math-ph, math.DG\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.11772v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.11772v1\n摘要: Originally motivated by creating first-person computer visualizations within Riemannian manifolds \u0026ndash; the author was led to study deformable-body mechanics, as rigid-body mechanics is not available in a generic Riemannian manifold due to its lack of nontrivial isometry group. Hyperelasticity is a particularly nice sub-category of continuum mechanics in which a deformable, elastic body\u0026rsquo;s behavior is determined by a stored energy density function. This allows problems to be posed variationally, and powerful tools brought to bear on studying and solving them. This article presents numerical simulations of static solutions to a particular class of problems in hyperelastic mechanics in 2-dimensional Riemannian manifolds in which a flat hyperelastic body $B$ is embedded into a region $Ω$ in a nowhere-flat surface $S$ of revolution $z=z\\left(r\\right)$ such that $\\left|K\\left(r\\right)\\right|$ decreases as $r\\to\\infty$, where $K$ denotes the Gaussian curvature of $S$. For example, the funnel $z=-r^{-1}$ or the paraboloid $z=\\frac{1}{2}r^{2}$. Because $B$ is flat, the body can\u0026rsquo;t achieve a zero-stored-energy configuration, and restorative forces arise in the body to move it toward a region of lower stored energy \u0026ndash; meaning, toward a flatter configuration. With the addition of a gravitational potential $U\\left(r\\right)=z\\left(r\\right)$ on $S$, forces act on the body to pull it toward $r=0$. If the body has sufficient stiffness and remains within the region $Ω$, then the body has an equilibrium configuration in which the body\u0026rsquo;s deformation-response forces perfectly cancel the gravitational forces. Such a configuration represents a kind of \u0026ldquo;levitation\u0026rdquo; phenomenon within this surface. The numerical implementation of this problem will be detailed and the resulting numerical solutions and various consequences discussed.\n12. 用于导数非线性薛定谔方程的高阶多结构保持指数积分器 High-order multi-structures-preserving exponential integrators for the derivative nonlinear Schrödinger equation\n作者: Liping Wu, Li Yang, Chaolong Jiang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.11734v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.11734v1\n摘要: This paper presents a novel class of high-order mass-, energy- and momentum-preserving exponential integrators for solving the derivative nonlinear Schrödinger equation. Firstly, we reformulate the original system into an exponential supplementary variable system based on the idea of the exponential supplementary variable approach, and then the reformulated system is discretized by using the standard Fourier pseudo-spectral method in space and the high-order prediction and correction Lawson Runge-Kutta method in time, respectively. The proposed method is highly efficient, temporally high-order accurate, and simultaneously preserves the mass, energy and momentum in the discrete setting. Finally, numerical experiments validate the accuracy and energy-preserving properties.\n13. 一种用于低秩张量列车近似的双边素描算法 A Two-Sided Sketching Algorithm for Low-rank Tensor Train Approximation\n作者: Gaohang Yu, Yihao Pan, Ailun Jian, Xiaohao Cai\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.11603v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.11603v1\n摘要: Tensor train (TT) decomposition is a powerful method to acquire low-rank tensors. However, the computational process is frequently obstructed by the large-scale matrix singular value decomposition (SVD). The sketching algorithm serves as an efficient data compression technique that can quickly derive low-rank matrix approximations. In this paper, we propose a randomized algorithm to obtain the TT approximation of tensors using a one-pass sketching algorithm and subspace iteration, and offer thorough error-bound and robustness analysis. Numerical experiments on synthetic and real-world datasets demonstrate the effectiveness and efficiency of the proposed algorithm.\n14. 恢复细胞侵袭非线性偏微分方程模型中的初始条件与物理系数 Recovering the initial condition and physical coefficients in a nonlinear PDE model of cell invasion\n作者: Beiji Chen, Kui Ren\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-06-10\narXiv ID: 2606.11554v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.11554v1\n摘要: This paper investigates an inverse problem for the simultaneous reconstruction of two spatially varying reaction coefficients, the local proliferation rate and the competition (saturation) coefficient, together with the unknown initial condition, in a nonlinear, density-dependent reaction-diffusion model motivated by cell invasion and tumor growth dynamics. Using Carleman estimates, we establish a global uniqueness result together with a Lipschitz-type stability estimate for the reaction coefficients and a weaker, logarithmic stability estimate for the initial condition. For the numerical reconstructions, we develop a two-stage algorithm employing a time-shift strategy to decouple the coefficient and the initial condition. Numerical experiments are presented to illustrate the feasibility, accuracy, and robustness of the proposed inversion method.\n15. PHASE：细分单元上的泡利分层装配用于量子兼容算子合成 PHASE: Pauli Hierarchical Assembly on Subdivided Elements for Quantum-Compatible Operator Synthesis\n作者: Tillman Philo, Caglar Oskay\n类别: quant-ph, math.NA\n发布日期: 2026-06-09\narXiv ID: 2606.11478v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.11478v1\n摘要: Efficiently decomposing finite element stiffness matrices into the Pauli basis is challenging due to the exponential growth of Pauli strings with problem size. A naive Pauli expansion requires $Θ(8^{\\lceil \\log_2 N \\rceil})$ operations, where $N$ denotes the number of degrees of freedom, rendering direct decomposition infeasible for large systems. Existing approaches exploit algebraic sparsity or operator structure but do not incorporate the geometric organization intrinsic to finite element discretizations, and consequently exhibit poor scaling for stiffness matrices. To address this problem, we introduce PHASE, a hierarchical, geometry-aware Pauli decomposition algorithm that leverages recursive mesh partitioning to organize element contributions across multiple spatial scales. PHASE employs a hybrid strategy that combines full- and reduced-space Tensorized Pauli Decomposition with Fast Walsh-Hadamard Transform-based aggregation to assemble global Pauli coefficients efficiently. We show that this approach yields a dimension-dependent reduction in the exponential scaling exponent of Pauli assembly asymptotic complexity relative to existing methods, reducing the cost from $2^{2{\\lceil \\log_2 N \\rceil}}$ to $2^{γ_d{\\lceil \\log_2 N \\rceil}}$ with $γ_d \u003c 2$ under standard mesh regularity and balanced partition assumptions. These results substantially improve the feasibility of quantum-compatible operator synthesis for large-scale finite element models.\n16. 具有交换子缩放的哈密顿模拟的线性组合 Linear Combination of Hamiltonian Simulation with Commutator Scaling\n作者: Junaid Aftab, Dong An, Konstantina Trivisa\n类别: quant-ph, math.NA\n发布日期: 2026-06-09\narXiv ID: 2606.11475v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.11475v1\n摘要: The Linear Combination of Hamiltonian Simulation (LCHS) framework simulates dissipative linear dynamics by representing time evolution as an integral over unitary operators, which is discretized by quadrature and implemented via Hamiltonian simulation. While existing analyses achieve near-optimal scaling in time and precision using norm-based quantities of the dissipative generator, we show that implementing the Hamiltonian simulation steps with Multi-Product Formulas (MPFs) yields commutator-sensitive error and complexity bounds. We demonstrate that the quadrature rule affects not only discretization error but also commutator structure and query complexity. This dependence is quantified through post-quadrature analysis for abstract MPF error profiles and for general time-independent and local Hamiltonians using known commutator-sensitive MPF error estimates. We compare uniform trapezoidal and free-scale sinh\u0026ndash;sinh quadrature, showing improved quadrature-cardinality scaling for the latter, and illustrate the framework with applications to fractional diffusion, advection\u0026ndash;diffusion, and open quantum systems.\n17. 对偶 Gauss\u0026ndash;Legendre 多项式 Dual Gauss\u0026ndash;Legendre polynomials\n作者: Paweł Woźny\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-09\narXiv ID: 2606.11355v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.11355v1\n摘要: We define and investigate two families of dual polynomials associated with the Gauss\u0026ndash;Legendre polynomials, which have recently found interesting applications in computer graphics. Using the presented results, one can derive representations of the Gauss\u0026ndash;Legendre polynomials, construct the dual bases for Lagrange bases and solve certain approximation problems arising, for example, in CAGD.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-06-11_07-19-17/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年06月11日 07:19:17\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 5\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 17\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-一种三维四阶奇异摄动问题的解耦低阶协调混合有限元方法\"\u003e1. 一种三维四阶奇异摄动问题的解耦低阶协调混合有限元方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eA Decoupled Low-Order Conforming Mixed Finite Element Method for a Three-Dimensional Fourth-Order Singularly Perturbed Problem\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年06月11日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年06月10日 06:56:36\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 0\n不相关论文数量: 14\n重点关注论文（完整分析） 1. 基于CEM-GMsFEM的高对比度非均匀系数问题多尺度建模 Multiscale modeling for problems with high contrast heterogeneous coefficients by the CEM-GMsFEM\n作者: Eric T. Chung, Yalchin Efendiev, Xingguang Jin, Wing Tat Leung, Changqing Ye\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-09\narXiv ID: 2606.10524v1\n摘要翻译: 本文综述了约束能量最小化广义多尺度有限元方法（CEM-GMsFEM），用于求解具有高度非均匀、高对比度系数的椭圆型偏微分方程。我们通过谱辅助空间详细阐述了多尺度基函数的构造，并结合过采样策略实现局部计算并保证指数误差衰减。我们概述了严格的误差估计，以验证该方法的最优收敛性和稳健性。数值模拟验证了多尺度基函数的指数衰减性质。此外，我们讨论并评述了CEM-GMsFEM的若干最新应用。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.10524v1\n1. 研究对象和背景 许多实际应用涉及具有非均匀系数的偏微分方程，例如非均匀或断裂介质中的达西定律，以及复合材料中的弹性系统。这些应用通常导致扩散系数 $\\kappa$ 呈现高对比度和通道状结构，这使得传统数值方法面临巨大挑战：一方面，精细网格需要极大自由度；另一方面，高对比度导致线性代数系统的求解收敛恶化。针对此类问题，多尺度计算方法应运而生，最早由 Hou 和 Wu 提出了多尺度有限元法 (MsFEM) 的概念，将模型信息嵌入有限元空间构造，利用粗细两层嵌套网格。然而，当系数不满足尺度分离假设时，MsFEM 的精度可能严重下降。为了克服这一局限性，Efendiev, Galvis 和 Hou 提出了广义多尺度有限元法 (GMsFEM)，通过在粗子域上求解局部谱问题来降维，对高对比度和通道状系数表现良好。另一方面，Målqvist 和 Peterseim 提出了局部正交分解 (LOD) 方法，利用拟插值算子分离宏观与微观部分，首次实现了对一般 $L^\\infty$ 系数的最佳理论逼近。Chung, Efendiev 和 Leung 结合 GMsFEM 与 LOD 的思想，发展了约束能量最小化广义多尺度有限元法 (CEM-GMsFEM)，其核心创新在于用子域上的特征空间投影替代拟插值算子，并通过求解松弛的能量最小化问题构造多尺度基函数，从而避免了解鞍点线性系统。该方法在面对高对比度系数时具有对比度稳健性 (contrast robustness)，且通过局部化计算保证了指数衰减的逼近精度。\n本文是一篇综述，旨在全面介绍 CEM-GMsFEM 的构造原理、理论分析和应用进展。研究的模型问题为具有 Dirichlet 边界条件的标准非均匀椭圆方程： $$-\\operatorname{div}(\\kappa \\nabla u) = f \\quad \\text{in } \\Omega, \\qquad u = 0 \\quad \\text{on } \\partial\\Omega,$$ 其中 $\\Omega \\subset \\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 为有界 Lipschitz 域，$\\kappa$ 满足椭圆性条件，$f$ 为源项。本文详细阐述了 CEM-GMsFEM 的核心模块：两层嵌套网格、基于谱分解的辅助空间构造、过采样 (oversampling) 技术以及基函数的能量最小化构造；给出了严格的理论误差估计，包括全局多尺度空间的最优逼近性以及局部化导致的指数衰减性质；并通过数值实验验证了多尺度基函数的指数衰减特性；最后评论了 CEM-GMsFEM 在当前多个前沿方向的扩展和应用。本文旨在为读者提供一份完整的参考，以理解和实施这一方法。\n2. 主要定理或主要结果 本文综述了 CEM-GMsFEM 已有的主要理论结果，这些结果在适当假设下保证了方法的收敛性和稳健性。设 $\\Lambda = \\min_j \\lambda_{j,k+1}$ 为所有粗子域上第 $k+1$ 个特征值的最小值，其中 $k$ 为每个子域所选取的局部特征函数个数。全局多尺度空间 $V_{H,\\infty}$ 由算子 $G_\\infty$ 的像构成，它精确满足正交分解 $V = V_{H,\\infty} \\oplus W$，其中 $W = V \\cap \\ker \\pi$。利用这一分解，可得如下最优误差估计：若 $u$ 为原问题 (1) 的解，$u_{H,\\infty}^{ms}$ 为相应的全局多尺度 Galerkin 逼近，则 $$\\|u - u_{H,\\infty}^{ms}\\|_a \\le \\frac{1}{\\sqrt{\\Lambda}} \\|f\\|_{s^*},$$ 其中 $\\|\\cdot\\|_a$ 为能量范数，$\\|\\cdot\\|_{s^*}$ 为对偶范数，且 $\\|f\\|_{s^*} \\le H \\frac{1}{\\min \\kappa} \\|f\\|_{L^2(\\Omega)}$，表明误差关于粗网格尺寸 $H$ 至少是一阶收敛，且与对比度无关（当 $\\Lambda$ 与对比度无关时）。这一结果与 Kolmogorov $n$-宽度理论相符，显示出空间 $V_{H,\\infty}$ 的逼近最优性。\n局部多尺度空间 $V_{H,l}$ 通过引入 $l$ 层过采样构造而成，对应的算子记为 $G_l$。误差分析的关键在于证明全局基函数的指数衰减性质以及局部与全局算子之差的指数衰减。具体地，对于任意 $v \\in L^2(K_j)$，有引理 3.3： $$\\|G_{j,\\infty}v\\|_{a(\\Omega\\setminus K_{j,l})}^2 + \\|\\pi G_{j,\\infty}v\\|_{s(\\Omega\\setminus K_{j,l})}^2 \\le \\theta^l \\big( \\|G_{j,\\infty}v\\|_a^2 + \\|\\pi G_{j,\\infty}v\\|_s^2 \\big),$$ 其中 $\\theta = c^*/(c^*+1) \u003c 1$，而 $c^*(\\Lambda)$ 由下式给出： $$c^*(\\Lambda) = \\max_{x\\in[0,\\pi/2]} (\\cos x + \\sin x) \\left( \\frac{\\cos x}{\\sqrt{\\Lambda}} + \\sin x \\right).$$ 进一步，局部算子与全局算子的差满足引理 3.4： $$\\|(G_{j,\\infty} - G_{j,l})v\\|_a^2 + \\|\\pi (G_{j,\\infty} - G_{j,l})v\\|_s^2 \\le c^\\star \\theta^{l-1} \\big( \\|G_{j,\\infty}v\\|_a^2 + \\|\\pi G_{j,\\infty}v\\|_s^2 \\big),$$ 其中 $c^\\star(\\Lambda) = \\max_{x\\in[0,\\pi/2]} \\big[ (\\frac{1}{\\sqrt{\\Lambda}}+1)\\cos x + \\sin x \\big]^2 + \\big( \\frac{\\cos x}{\\sqrt{\\Lambda}} + \\sin x \\big)^2$。由此可组合得出局部多尺度逼近 $u_{H,l}^{ms}$ 的误差估计： $$\\|u - u_{H,l}^{ms}\\|_a \\le C \\left(\\frac{1}{\\sqrt{\\Lambda}} + \\sqrt{c^\\star}\\, \\theta^{\\frac{l-1}{2}} \\right) \\|f\\|_{s^*}.$$ 上述估计仅依赖于粗网格正则性、过采样层数 $l$ 和特征值比 $\\Lambda$，而不涉及 $\\kappa$ 的对比度，从而保证了方法对高对比度系数的稳健性。数值模拟进一步验证了多尺度基函数的指数衰减特性，与理论结果一致。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 证明中的核心技术障碍在于：如何对一般高对比度系数构造具有全局连续性的局部基函数，并满足最优逼近性，同时避免系数的高低对比度影响估计常数。CEM-GMsFEM 的解决方案可概括为以下关键创新：\n谱辅助空间与投影的逼近性质：在每个粗子域 $K_j$ 上，求解带有 Neumann 边界条件的特征值问题 $$a_j(\\Phi_{j,k}, v) = \\lambda_{j,k} s_j(\\Phi_{j,k}, v), \\quad \\forall v\\in H^1(K_j),$$ 其中 $a_j(\\Phi,v)=\\int_{K_j} \\kappa \\nabla \\Phi \\cdot \\nabla v$, $s_j(\\Phi,v)=\\int_{K_j} \\tilde{\\kappa} \\Phi v$, 且权函数 $\\tilde{\\kappa}$ 选为 $\\tilde{\\kappa} = \\kappa C_{\\rm msh} H^{-2}$。这样的尺度使得特征值 $\\lambda_{j,k}$ 无量纲，并且与对比度无关（若 $\\kappa$ 与 $H$ 无关）。取前 $L$ 个特征函数张成局部辅助空间 $V_j^{\\rm aux}$，定义投影 $\\pi_j:L^2(K_j)\\to V_j^{\\rm aux}$，它满足两个关键估计： $$\\|\\pi_j u\\|_{s_j} \\le \\|u\\|_{s_j}, \\qquad \\|u - \\pi_j u\\|_{s_j} \\le \\lambda_{j,L+1}^{-1/2} \\|u\\|_{a_j}, \\quad \\forall u\\in H^1(K_j).$$ 这为将解分解为“好”的部分（可被辅助空间捕捉）和“坏”的部分（能量控制 $L^2$ 加权范数）奠定了基础。\n能量最小化构造与松弛公式：在每个 oversampled 域 $K_{j,l}$ 上，为每个特征函数 $\\Phi_{j,k}$ 构造基函数 $\\Psi_{j,k}$ 时，采用能量最小化：\n约束形式：求解 $\\min \\int_{K_{j,l}} \\kappa |\\nabla v|^2$，满足正交约束 $s(\\pi v, \\Phi_{j',k'}) = \\delta_{jj'}\\delta_{kk'}$，这导致鞍点系统。 松弛形式：求解 $\\min \\int_{K_{j,l}} \\kappa |\\nabla v|^2 + s(\\pi v - \\Phi_{j,k}, \\pi v - \\Phi_{j,k})$，通过罚方法将约束融入目标函数，转化为标准正定系统，显著简化求解。松弛形式是理论分析的主要对象，但其误差同样可控制。 正交分解与最优性：全局多尺度空间 $V_{H,\\infty}$ 由所有全局算子 $G_{j,\\infty}$ 的像生成，通过分析证明其与 $W = V\\cap \\ker \\pi$ 构成 $V$ 的直和分解。核心在于：对任一 $v\\in W$，利用特征值不等式有 $\\|v\\|_s^2 = \\sum_j \\|v\\|_{s_j}^2 \\le \\sum_j \\lambda_{j,L+1}^{-1} \\|v\\|_{a_j}^2 \\le \\Lambda^{-1} \\|v\\|_a^2$，因此 $W$ 中函数的能量范数控制 $s$ 范数。进一步，由 Galerkin 正交性，误差 $e$ 必然落入 $W$，从而： $$\\|e\\|_a^2 = a(e,e) = (f,e) \\le \\|f\\|_{s^*} \\|e\\|_s \\le \\frac{1}{\\sqrt{\\Lambda}} \\|f\\|_{s^*} \\|e\\|_a,$$ 立即得到定理 3.2。这一估计清晰展示了 $\\Lambda$ 的作用：$\\Lambda$ 越大（即取更多的局部特征函数），逼近误差越小。\n指数衰减与局部化：引入 cut-off 函数 $\\chi_j^{l,l'}$，满足 $\\kappa|\\nabla \\chi|^2 \\le \\tilde{\\kappa}$（得益于 $\\tilde{\\kappa}$ 的选取）。证明链如下：\n第一步（引理 3.3）：在 (4) 中取测试函数 $(1-\\chi_{j}^{l-1,l}) G_{j,\\infty}v$，将 $\\Omega\\setminus K_{j,l}$ 上的能量用 $K_{j,l}\\setminus K_{j,l-1}$ 上的量表示，利用 $\\chi$ 的性质和 Cauchy-Schwarz 不等式，结合 $W$ 空间中的范数控制，导出递推不等式： $$A_{l-1} \\ge (1+1/c^*) A_{l},$$ 其中 $A_l = \\|G_{j,\\infty}v\\|_{a(\\Omega\\setminus K_{j,l})}^2 + \\|\\pi G_{j,\\infty}v\\|_{s(\\Omega\\setminus K_{j,l})}^2$。由此迭代得 $A_l \\le \\theta^l A_0$，即指数衰减。 第二步（引理 3.4）：将差 $z_j = G_{j,\\infty}v - G_{j,l}v$ 分解为 $z_j = z_j' + z_j''$，其中 $z_j' = (1-\\chi_j^{l-1,l}) G_{j,\\infty}v$，$z_j''$ 属于 $V_{j,l}$。利用变分等式 $a(z_j, z_j'') + s(\\pi z_j, \\pi z_j'') = 0$ 和 $z_j'$ 的估计，结合第一步的结果，得到 $z_j$ 的误差界，同样呈现指数衰减。 常数优化：特别注意到在不等式的推导中，通过引入参数 $x$（代表范数比例）并取最大值，得到了与 $\\Lambda$ 相关但形式上统一的最优常数 $c^*$ 和 $c^\\star$，使得 $\\theta$ 尽可能小。这一技巧保证了估计精确。\n这些技术综合起来，使得 CEM-GMsFEM 能够在最小假设下（只需 $\\kappa$ 满足椭圆性，网格正则性）获得与对比度无关的误差估计和指数衰减，为方法的实际应用提供了坚实的理论基础。\n4. 与之前工作的比较 CEM-GMsFEM 的提出和发展是建立在多尺度有限元领域的持续进展之上，与多种已有方法既有联系又有显著改进。下面从几个维度进行比较：\n与 MsFEM 的比较：经典的 MsFEM 在粗网格单元上直接求解局部椭圆问题（通常施加 Dirichlet 或 Neumann 边界）来构造基函数，其精度依赖于系数与基函数边界的尺度分离。当存在强通道或高对比度时，边界条件可能引入严重误差，且没有系统性的误差控制 [36, 37, 66]。CEM-GMsFEM 通过过采样和约束能量最小化克服了边界影响：基函数在更大的子域上构造，并以全局协调的方式满足近似正交性，从而在理论上保证了指数衰减的局部化，即使没有尺度分离也成立。\n与 GMsFEM 的比较：GMsFEM [28] 同样利用局部谱分解获得辅助空间，但通常直接使用这些特征函数（或其简单组合）作为多尺度基函数，或者通过特定的局部插值来形成全局基函数。这样的基函数可能不是最佳的，且缺乏类似 LOD 的严格误差分析框架。CEM-GMsFEM 对这些特征函数施加能量最小化，得到了满足全局连续性的最优逼近基函数，并建立了如同 LOD 的完整理论保证，同时保留了 GMsFEM 处理高对比度的优势。在实现上，GMsFEM 的需求可以通过 CEM-GMsFEM 的子模块直接实现。\n与 LOD 的比较：LOD [46, 47] 依赖一个细致的拟插值算子 $\\mathcal{I}$（如通过对节点值进行分片线性插值再修正）将解分解为 $u = \\mathcal{I}u + (u-\\mathcal{I}u)$，然后通过求解细尺度子问题获得校正项。拟插值算子的构造需要利用系数 $\\kappa$ 的信息，且对于高对比度情形，可能不是对比度稳健的——实际上，标准的拟插值算子产生的逼近界可能依赖于对比度 [47]。相比之下，CEM-GMsFEM 用谱投影 $\\pi$ 代替拟插值，而 $\\pi$ 由局部特征值问题定义，其所满足的逼近估计（$\\|u-\\pi u\\|_s \\le \\lambda_{L+1}^{-1/2}\\|u\\|_a$）自动与对比度无关。此外，LOD 需要求解鞍点问题或罚公式，而 CEM-GMsFEM 的松弛形式直接导向正定系统，实现更简单且避免 inf-sup 稳定性问题。\n对比度稳健性：本文多处强调 CEM-GMsFEM 的对比度稳健性并非无代价——它依赖于特征值问题中权函数 $\\tilde{\\kappa}$ 与 $\\kappa$ 成比例，从而特征函数能很好地分离高低传导区域。LOD 在最初的分析中并未显式探讨对比度，但通过选用特定的权函数，LOD 也可达到对比度稳健。从这个角度看，CEM-GMsFEM 提供了更系统的框架。文中还指出，若仅关心多尺度逼近而不考虑对比度，则可以使用齐次 Poisson 算子构造预条件，但此时迭代次数会随对比度增长而发散；CEM-GMsFEM 本质上构造了一个对比度稳健的粗空间，可以用作预条件或直接 Galerkin。\n计算代价与灵活性：由于每个粗子域需要求解特征值问题和局部能量最小化问题，CEM-GMsFEM 的离线计算量显著高于传统方法，但这些计算是完全并行的。松弛公式为减轻计算提供了途径，尤其是当精细自由度可以无重叠分区时，可通过 Sherman-Morrison 公式将求解规模降至与特征函数总数成比例的小稠密系统。与 LOD 相比，CEM-GMsFEM 不要求构造显式的拟插值，对网格和系数分布的适应性更强。在非协调网格、非多项式有限元或有限体积法框架下的推广也较为自然，但相关研究尚处早期阶段。\n与预条件技术的联系：近年来发展的一些对比度稳健的多水平预条件（如谱 AMG 方法）同样利用了局部谱空间构造粗空间 [68, 69]，其精神与 CEM-GMsFEM 异曲同工。然而，CEM-GMsFEM 提供了完整的 Galerkin 多尺度近似框架，而不仅是预条件中的粗空间校正，故可直接用于降阶建模或不确定性量化等任务。\n总体而言，CEM-GMsFEM 成功融合了 GMsFEM 的谱降维、LOD 的局部化与最优逼近理论，以及能量最小化带来的实现灵活性，成为一类面向高对比度多尺度问题的有力工具。本综述通过系统梳理这些联系与创新，帮助读者理解为何 CEM-GMsFEM 能够达到目前的理论与实践效果。\n不相关论文（基本信息） 1. 一阶轨迹匹配：混沌、湍流、随机系统的快速集合预测 First-Order Trajectory Matching: Fast Ensemble Predictions of Chaotic, Turbulent, Stochastic Systems\n作者: Shreya Jha, Timo Schorlepp, Nicholas Geissler, Jules Berman, Benjamin Peherstorfer\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-06-09\narXiv ID: 2606.11138v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.11138v1\n摘要: We introduce First-Order Trajectory Matching (FTM), a surrogate-modeling method that learns the first-order local transport of probability mass from trajectories of stochastic systems. By matching the symmetric first-order motion of trajectories, FTM learns the probability current velocity, whose flow preserves time marginals to match ensemble averages, while also capturing current-like trajectory quantities such as fluxes, circulations, and barrier-crossing currents. FTM learns the current velocity directly from trajectories, avoiding drift, diffusion, and score estimation. Our stability analysis separates discretization error from sampling variance and shows that the one-step simulation-free FTM loss is stable when temporal resolution and sample size are properly balanced. Across stochastic dynamical systems and PDE examples, we empirically demonstrate that FTM provides trajectory-aware ensemble predictions at low, deterministic-rollout cost.\n2. 论随机图延迟传播的表示 On the representation for stochastic graph delay propagation\n作者: Shibo Zeng, Weiguo Gao, Yingzhou Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-09\narXiv ID: 2606.11086v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.11086v1\n摘要: In this work, we utilize the Hermite expansion to approximate the distributions of the sum and maximum of independent random variables. We model distributions with a three-segment representation, where the left and right tails are respectively modeled as combinations of Hermite functions, and the intermediate segment is approximated by piecewise polynomials. This approximation admits rigorous $L^2$- and pointwise convergence properties supported by classical results. We develop an algorithmic framework for applying our model to the graph delay propagation problem, where sum and max operations are performed on the proposed model structure. Numerical experiments demonstrate that our model can capture the quantile values with high accuracy compared to Monte Carlo simulation results, significantly outperforming classical Gaussian-based models.\n3. Dmsh：一种用于全四边形网格生成的多智能体强化学习框架 Dmsh: A Multi-Agent Reinforcement Learning Framework for All-Quad Mesh Generation\n作者: Anirudh Kalyan, Cosmin Anitescu, Xiaoying Zhuang, Timon Rabczuk, Somdatta Goswami, Sundararajan Natarajan\n类别: math.NA, cs.AI, cs.LG\n发布日期: 2026-06-09\narXiv ID: 2606.10601v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.10601v1\n摘要: Generating high-quality meshes for arbitrary geometries remains a fundamental bottleneck in computational engineering, often demanding heuristic tuning and semi-manual workflows. In this paper, we introduce Dmsh, a first fully automated reinforcement learning pipeline that unifies geometric decomposition and quadrilateral mesh generation within a single learning-based framework. Dmsh decomposes the problem through three coordinated agents handling topology simplification, geometric regularization, and mesh generation. The meshing process is formulated as a Markov Decision Process and solved using a parametric Soft Actor-Critic architecture with decoupled critics, enabling efficient exploration of a hybrid discrete-continuous action space. A curriculum learning strategy ensures scalability from simple domains to highly complex geometries, suppressing seed variance. By design, the recursive decomposition enables parallel meshing of subregions, yielding globally conforming all-quadrilateral meshes without post hoc correction. Across a wide range of benchmarks, Dmsh consistently outperforms existing methods in automation, robustness, and mesh quality, establishing a new paradigm for learning-based mesh generation.\n4. 观点对齐与环境反馈的非局部建模：空间聚集与非一致模式 Nonlocal modeling of opinion alignment and environmental feedback: Spatial aggregation and non-consensus patterns\n作者: Rui Wang, Yunfeng Xiong, Zhengru Zhang, Xiaofei Zhao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-09\narXiv ID: 2606.10599v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.10599v1\n摘要: The formation of public opinion in modern information environments is shaped by the interplay between social conformity and information exposure. While social interactions promote opinion alignment, heterogeneous visibility and selective exposure may reinforce local agreement, a mechanism commonly associated with the echo chamber effects. To describe how such reinforcement influences spatially heterogeneous opinion activity and non-consensus patterns, we propose a spatial opinion dynamics model with attention-mediated feedback. The model couples nonlocal alignment with an evolving attention field and captures a self-reinforcing mechanism in which regions of high opinion activity attract greater visibility. Starting from agent-based jump mechanism inspired by bounded confidence interactions and biased random walks induced by environments, we formally derive a nonlocal advection-cross-diffusion system, where opinion transport is driven by nonlocal conformity and modulated by attention-dependent redistribution. We characterize the transition from spatially homogeneous consensus states to non-consensus clustered regimes through linear stability analysis of the homogeneous equilibrium. The results show that attention-mediated feedback has an explicit correction on the instability threshold and enlarges the parameter regime in which clustering occurs, thereby promoting persistent spatial heterogeneity and non-consensus patterns. Numerical simulations based on a structure-preserving IMEX spectral method support the theoretical predictions and quantify the resulting aggregation phenomena. These findings provide a macroscopic description of how nonlocal alignment and environmental feedback jointly shape spatial signatures of non-consensus patterns.\n5. 通过随机低秩Hessian近似加速基于SAV的优化 Accelerating SAV-based optimization via randomized low-rank Hessian approximation\n作者: Ryo Sagawa, Daisuke Furihata, Yuto Miyatake\n类别: math.OC, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-06-09\narXiv ID: 2606.10562v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.10562v1\n摘要: We propose a new optimization method, the Nyström-enhanced relaxed scalar auxiliary variable method (N-RSAV), which incorporates curvature information into the RSAV framework to accelerate convergence while preserving an unconditional modified energy dissipation law. Existing RSAV-based methods rely solely on first-order information and often suffer from slow convergence, particularly for ill-conditioned problems such as those arising in physics-informed neural networks (PINNs). To address this limitation, we design the linear operator in the RSAV scheme using approximate Hessian information obtained from a randomized low-rank Nyström approximation. To preserve the dissipation structure, we enforce positive semidefiniteness through eigenvalue truncation. Furthermore, we introduce an adaptive strategy that reuses the approximate Hessian based on the deviation between the original and modified energies, significantly reducing computational cost. We also provide a convergence analysis of the RSAV scheme with a general positive semidefinite operator under the Polyak-Lojasiewicz (PL) condition and establish corresponding convergence guarantees for N-RSAV under the PL condition and an additional convexity assumption. Numerical experiments on ill-conditioned problems with effectively low-rank structure, including convex quadratic problems and training of PINNs, demonstrate that the proposed methods achieve substantially faster convergence than conventional RSAV-based approaches.\n6. 图上非局部扩散的正则化分数阶拉普拉斯算子的谱与计算方面 Spectral and computational aspects of a regularized fractional Laplacian for non-local diffusion on graphs\n作者: Alessandro Filippo, Mariarosa Mazza\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-09\narXiv ID: 2606.10480v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.10480v1\n摘要: The fractional Laplacian has been widely used to model non-local diffusion on graphs, allowing interactions that extend beyond immediate neighbors. However, it suffers from a structural inconsistency as it breaks compatibility with the topology of the original network. To address this issue, a combination of the standard and fractional Laplacians aimed at restoring compatibility while retaining the spectral richness of the fractional operator was recently proposed. In this work, we provide a thorough analysis of the diffusion properties of the resulting regularized operator. We prove that it yields superdiffusive behavior independently of whether the underlying graph is weighted or unweighted -a property not generally satisfied by other nonlocal Laplacian variants. An efficient construction of the regularized operator which preserves the same asymptotic computational cost of the fractional Laplacian is also given. Our numerical experiments demonstrate the effectiveness and computational practicality of the regularized operator for modeling non-local diffusion on real-life networks.\n7. 一种具有收敛性保证的不可分离优化随机梯度算法 A stochastic gradient algorithm for non-separable optimization with convergence guarantee\n作者: Yingzhou Li, Ruofan Wu\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-06-09\narXiv ID: 2606.10383v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.10383v1\n摘要: We study non-separable objectives in which the loss depend on dataset-level quantities. We introduce an SGD-style framework that employs two batch-gradient constructs: the ideal per-batch gradient $G$' and a cached surrogate $H$\u0026rsquo; for cases where full-data terms are expensive. Notably, in the sample-wise separable case, our method reduces to standard mini-batch SGD. Our main contribution is a unified local convergence theory: under mild smoothness and Jacobian-boundedness assumptions, we prove local linear convergence under local strong convexity and local $O(1/k)$ sublinear convergence under local convexity for both $G$'-driven and $H$\u0026rsquo;-driven updates. Crucially, these guarantees hold for fixed step sizes within explicitly characterized ranges; we provide explicit bounds showing how cache staleness, surrogate approximation error, batch size, and step size influence the convergence constants and allowable step-size ranges.\n8. 基于切比雪夫插值与高斯-赛德尔迭代的高阶扩散采样 Higher-order Diffusion Sampling via Chebyshev Interpolation and Gauss\u0026ndash;Seidel Iterations\n作者: Bingyuan Wei, Meng Huang\n类别: math.NA, math.ST\n发布日期: 2026-06-09\narXiv ID: 2606.10353v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.10353v1\n摘要: Higher-order ODE solvers have shown strong empirical promise for accelerating diffusion models through the probability flow ODE, but rigorous non-asymptotic guarantees for such acceleration remain limited. In this paper, we develop a Chebyshev\u0026ndash;Gauss\u0026ndash;Seidel higher-order sampler and establish a non-asymptotic convergence guarantee that allows the approximation order to grow logarithmically with the number of outer iterations. In the exact-score setting, up to logarithmic factors, the proposed sampler requires at most [ d^{1+o_T(1)}\\varepsilon^{-1/K_1} ] score functions to approximate the target distribution on (\\mathbb{R}^d) within total variation distance (\\varepsilon), where (o_T(1)\\to 0) as (T\\to\\infty) and (K_1\u0026gt;0) is a sufficiently large constant. The analysis assumes only a polynomial second-moment bound on the target distribution, thereby relaxing the bounded-support condition imposed in existing higher-order theory. Moreover, the guarantee is robust to score and Jacobian estimation errors and does not require higher-order smoothness assumptions on the score estimates. Numerical experiments on anisotropic Gaussian mixture benchmarks support the predicted improvement in the accuracy\u0026ndash;cost tradeoff under finite score-evaluation budgets.\n9. 面向流动数据连续逼近的物理信息B样条框架 A Physics-Informed B-Spline Framework for Continuous Approximation of Flow Data\n作者: Junoh Jung, David Lenz, Emil Constantinescu, Tom Peterka\n类别: physics.comp-ph, math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-06-09\narXiv ID: 2606.10335v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.10335v1\n摘要: Continuous approximations of flow data are useful for downstream analysis, differentiation, and visualization, but purely data-driven reconstructions do not, in general, preserve the governing physics. This limitation becomes particularly important when input data are physically inconsistent, whether due to low-fidelity discretizations or unmodeled discrepancies. In such cases, reconstructed fields may exhibit inaccurate PDE residuals, violated balance laws, or unreliable derived quantities. To address this, we propose a physics-informed B-spline framework that embeds physical constraints directly into the reconstruction process. The method constructs compact, continuously differentiable representations of discrete fields using tensor-product B-splines and determines spline control points by solving an optimization problem balancing data fidelity with residuals of the governing PDEs, alongside initial and boundary conditions. Leveraging exact analytical derivatives of the B-spline basis enables efficient and accurate evaluation of physical residuals without storing full-resolution fields. We refer to this approach as physics-informed multivariate functional approximation (PI-MFA). Numerical studies on the 1D convection-diffusion, 2D coupled Burgers, and 2D incompressible Navier-Stokes equations show PI-MFA reduces PDE residuals and improves global balance-law consistency. Compared with standard and regularized MFA, PI-MFA produces more physically faithful reconstructions and, for physically inconsistent data, lower approximation errors, while offering computational advantages over tested physics-informed neural networks. Overall, PI-MFA preserves the compactness, local support, and exact differentiability of classical spline spaces while producing reliable continuous flow fields for scientific analysis and visualization.\n10. 通过张量记号改进矩阵李群运算的表示 Improved Representation of Matrix Lie Group Operations through Tensor Notation\n作者: Clark Taylor\n类别: cs.RO, math.NA\n发布日期: 2026-06-09\narXiv ID: 2606.10289v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.10289v1\n摘要: Several recent papers have demonstrated the utility of using Lie groups within estimation problems, yielding improved accuracy and consistency. This paper introduces a new tool for describing operations with matrix Lie groups: tensors and the Einstein summation notation. While tensors and Einstein notation are well-known in other research fields, applying this mathematical notation to represent and compute matrix Lie derivatives is novel. More importantly, this new notation greatly clarifies the derivatives and operations necessary to work with matrix Lie Groups in (gradient-based) estimation frameworks. Therefore, the main contribution of this paper is not a new capability, but a more perspicuous mathematical notation for working with matrix Lie groups.\n11. 修剪背景网格上椭圆问题的虚拟单元法 A Virtual Element Method for elliptic problems on trimmed background meshes\n作者: L. Beirão da Veiga, C. Canuto, R. H. Nochetto, G. Vacca, M. Verani\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-08\narXiv ID: 2606.10218v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.10218v1\n摘要: We consider a two-dimensional piecewise $C^2$ domain that cuts through a quasi-uniform fixed polygonal background mesh, for instance made of quadrilaterals. A simple procedure based on convex hulls gives rise to a rather small number of polygonal boundary elements of various shapes, including elements with small edges and large aspect ratios; this is the computational mesh for a virtual element method (VEM), a trimmed background mesh. We classify all possible geometric configurations and study their stability and approximability properties. This entails deriving robust stabilization mechanisms and interpolation estimates for anisotropic elements and elements with small cuts, as well as a weak maximum principle for enhanced virtual elements; these contributions have intrinsic interest for VEM theory on geometric flexibility. We prove that the resulting VEM is uniformly stable in $H^1$, and also show optimal order-regularity error estimates in $H^1$ and $L^2$. Insightful numerical experiments corroborate and complement our theory. The proposed method is suitable for treating ALE formulations of problems in moving domains.\n12. 跨尺度桥接：渐近分析与人工智能辅助形式化 Bridging Scales: Asymptotic Analysis and AI-Assisted Formalization\n作者: Xu Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-08\narXiv ID: 2606.10138v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.10138v1\n摘要: Asymptotic analysis is one of the classical tools for bridging models across scales. Behind many such derivations lies a common symbolic structure: an ansatz, a substitution, an order-by-order matching procedure, and the extraction of effective equations or interface conditions. This article revisits that structure through two representative bridges: the kinetic-to-fluid limit, illustrated by radiative transfer with interface layers and by neural-network approximations of Boltzmann equations, and the quantum-to-classical limit, illustrated by the Frozen Gaussian Approximation and its Dirac extension. We then explain why such derivations are natural candidates for AI-assisted formalization: their recurring symbolic structures can be organized, verified, and reused. In this sense, a carefully structured expository paper may serve not only as a review, but also as a mathematical seed for future AI-assisted environments.\n13. WING: 一种用于重复矩阵求解的简单加窗非正交化初始猜测程序 WING: A Simple Windowed Nonorthogonalized Initial Guess Procedure for Repeated Matrix Solves\n作者: David Wells, Matthew G. Knepley, Boyce E. Griffith\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-08\narXiv ID: 2606.10132v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.10132v1\n摘要: Many numerical methods require solution of a sequence of linear systems with the same matrix and similar right-hand sides. Krylov subspace methods are a common tool for solving such linear systems, and a carefully chosen initial guess for the solution can reduce the total number of iterations, and thereby the total computational cost, required for convergence to a specified numerical tolerance. This paper introduces the WING algorithm, a modification of Fischer\u0026rsquo;s second algorithm, which lowers the cost of forming an acceptably close initial guess by skipping orthogonalization and solving the possibly singular normal equations with a pseudoinverse. We demonstrate the efficacy of the new algorithm, particularly for solving linear systems with coarse relative tolerances, with numerical benchmarks based on fluid-structure interaction, mantle convection, and earthquake models.\n14. 二维多弧的积分形式 Integral Formulations for two-dimensional Multi-Arcs\n作者: Jose Pinto, Ruben Aylwin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-08\narXiv ID: 2606.10016v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.10016v1\n摘要: We study the Laplace equation with Dirichlet and Neumann boundary conditions posed on multi-arcs, i.e., collections of open arcs meeting at junction points. We begin by introducing a scale of Sobolev spaces constructed using the Sobolev spaces on open arcs as main building block and extend the definition of trace operators. We reformulate the boundary value problems using boundary integral formulations. We then establish a well-posed integral formulation for the Dirichlet problem, which can be discretized using standard numerical methods. We further investigate the singular behavior of the solution densities at branch points through numerical experiments and observe that these singularities are comparable to the corner singularities arising in polygonal domains. For the Neumann problem, we show that the associated hypersingular operator is not necessarily invertible on classical Sobolev spaces and provide numerical evidence that solutions may develop jump discontinuities at branch points.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-06-10_06-56-36/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年06月10日 06:56:36\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 14\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-基于cem-gmsfem的高对比度非均匀系数问题多尺度建模\"\u003e1. 基于CEM-GMsFEM的高对比度非均匀系数问题多尺度建模\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eMultiscale modeling for problems with high contrast heterogeneous coefficients by the CEM-GMsFEM\u003c/p\u003e","title":"2026年06月10日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年06月09日 06:45:43\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 6\n不相关论文数量: 34\n重点关注论文（完整分析） 1. 多边形网格上椭圆界面问题的混合扩展虚拟元方法 A Mixed Extended Virtual Element Method for Elliptic Interface Problems on Polygonal Meshes\n作者: Xianyan Zheng, Jinru Chen, Feng Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-07\narXiv ID: 2606.08526v1\n摘要翻译: 我们针对非适配多边形网格上的椭圆界面问题，提出了一种最低阶 (H(\\operatorname{div}))-协调的混合扩展虚拟元方法。通量和压力分别由子区域扩展的 (H(\\operatorname{div}))-VEM 空间和分片常数逼近。在切割单元上，可计算的多项式投影定义在整个背景单元上，然后限制到两个子区域。与 BDM 型多项式空间相比，混合 VEM 空间包含非多项式分量，这会在切割单元上产生额外的相容项。为了控制这些项，我们在切割单元上使用增强核稳定化，并在混合耦合中使用界面法向通量平均。添加了修正的界面通量惩罚和局部散度鬼点惩罚，以获得与切割位置无关的稳定性，而无需使用体积散度-散度增广。我们证明了连续性、离散 inf-sup 条件以及在网格依赖范数下的最优一阶误差估计。常数与网格尺寸以及界面相对于背景网格的位置无关，但可能依赖于系数反差。\nComment: 29 pages\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.08526v1\n1. 研究对象和背景 本文研究一类椭圆界面问题：设 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^2$ 为有界凸区域，被一条光滑界面 $\\Gamma$ 划分为两个子区域 $\\Omega_1$ 和 $\\Omega_2$。扩散系数 $\\alpha$ 在 $\\Omega_i$ 上分别为正常数 $\\alpha_i$，即 $\\alpha|_{\\Omega_i}=\\alpha_i\u003e0$。未知函数 $p$ 满足 $$ \\begin{cases} -\\operatorname{div}(\\alpha\\nabla p)=f \u0026 \\text{在 }\\Omega_1\\cup\\Omega_2,\\\\ [![\\alpha\\nabla p\\cdot\\mathbf{n}]!]=0 \u0026 \\text{在 }\\Gamma,\\\\ [![p]!]=0 \u0026 \\text{在 }\\Gamma,\\\\ p=0 \u0026 \\text{在 }\\partial\\Omega. \\end{cases} $$ 其中 $[![\\cdot]!]$ 表示跨越界面的跳跃。通过引入通量 $\\mathbf{u}=\\alpha\\nabla p$，可将上述二阶问题改写为等价的一阶混合形式： $$ \\begin{cases} -\\operatorname{div}\\mathbf{u}=f \u0026 \\text{在 }\\Omega_1\\cup\\Omega_2,\\\\ \\mathbf{u}=\\alpha\\nabla p \u0026 \\text{在 }\\Omega_1\\cup\\Omega_2,\\\\ [![\\mathbf{u}\\cdot\\mathbf{n}]!]=0, \\ [![p]!]=0 \u0026 \\text{在 }\\Gamma,\\\\ p=0 \u0026 \\text{在 }\\partial\\Omega. \\end{cases} $$ 对应的弱形式为：求 $(\\mathbf{u},p)\\in\\mathbf{V}\\times Q=H(\\operatorname{div};\\Omega)\\times L^2(\\Omega)$，使得 $$ \\begin{aligned} (\\alpha^{-1}\\mathbf{u},\\mathbf{v})_\\Omega+(p,\\operatorname{div}\\mathbf{v})_\\Omega\u0026=0 \u0026 \\forall\\mathbf{v}\\in\\mathbf{V},\\\\ -(q,\\operatorname{div}\\mathbf{u})_\\Omega\u0026=(f,q)_\\Omega \u0026 \\forall q\\in Q. \\end{aligned} $$ 该问题在物理和工程中广泛出现，如复合材料热传导、非均质多孔介质渗流、电磁场传输问题等。由于材料参数在界面上间断，解的全局光滑性丢失（通常仅在各子区域内部光滑），且必须在界面上准确施加法向通量连续与压力连续的传输条件。\n传统的界面匹配有限元方法（interface-fitted FEM）通过使网格贴合界面来保持逼近精度，但生成匹配网格的代价高昂，尤其当界面弯曲、复杂或移动时。非匹配（unfitted）方法避免了这一困难，直接在不受界面影响的背景网格上离散，通过弱方式施加界面条件。代表性的非匹配方法包括扩展有限元（XFEM）、Nitsche 方法、CutFEM 等。针对混合形式，已有基于 BDM 多项式空间的扩展混合有限元方法（如文献 [15]），利用适当的稳定项在非匹配三角网格上获得了 inf-sup 条件和与界面位置无关的最优收敛。\n虚拟元方法（Virtual Element Method, VEM）是近年来兴起的一种可处理多边形/多面体网格的灵活数值框架。其核心思想是：局部基函数无需显式构造，方法完全通过自由度、多项式投影和稳定项来定义和计算。这为网格生成提供了极大便利。混合虚拟元方法（mixed VEM）作为经典混合有限元在多边形网格上的推广，已经建立了 $H(\\operatorname{div})$-协调的 VEM 空间系统和相应的投影计算理论 [10,4]。然而，将混合 VEM 应用于非匹配界面问题尚未见研究。这一扩展面临本质性的新困难：在 VEM 空间中，局部速度函数 $\\mathbf{v}_h$ 包含一个显式未知的非多项式核部分。记 $Q_K^1$ 为向 $[\\mathbb{P}_1(K)]^2$ 的 $L^2$ 投影，在每个单元上成立正交分解 $\\mathbf{v}_h=Q_K^1\\mathbf{v}_h+(I-Q_K^1)\\mathbf{v}_h$。在切割单元上，可计算的投影 $Q_K^1\\mathbf{v}_h$ 是在整个背景单元 $K$ 上计算的，然后限制到切割产生的子区域 $K_i=K\\cap\\Omega_i$ 上，而真实的积分却在这些子区域上进行。这种不一致性产生了额外的相容误差项，这些项在基于多项式的 BDM 方法中并不存在（因为那儿 $Q_K^1\\mathbf{v}_h=\\mathbf{v}_h$）。此外，由于 VEM 函数在单元内部无显式表达式，其在界面段上的法向通量也无法直接求值，这对混合耦合项（涉及通量散度与界面项）的构造造成障碍。\n本文发展了一套最低阶 $H(\\operatorname{div})$-协调的混合扩展虚拟元方法，填补了这一理论空白。通量在子区域扩展的 VEM 空间中逼近，压力采用分片常数。为了克服上述困难，文中提出了一系列创新的稳定化技术：在切割单元上引入增强核稳定（enhanced kernel stabilization）来控制非多项式核部分；利用散度定理与 VEM 可计算量重构界面法向通量平均值（interface normal-flux average），使其能精确参与混合耦合；设计修正界面通量惩罚（corrected interface-flux penalty）以控制多项式投影法向通量的零均值部分；并加入局部散度鬼项惩罚（local divergence ghost penalty）来实现散度的扩展区域估计，从而避免使用体积形式的 $\\operatorname{div}$-$\\operatorname{div}$ 增广项。最终在合理的网格与界面几何假设下，证明了格式的连续性、离散 inf-sup 条件以及网格依赖范数下的最优一阶收敛。所有常数不依赖于网格尺寸和界面相对背景网格的位置，但可能与系数反差有关。\n2. 主要定理或主要结果 论文建立的理论结果可归纳为以下核心定理（均基于假设 3.1 且参数 $\\eta_{\\ker},\\eta_{\\operatorname{div}},\\gamma_F$ 充分大）：\n离散双线性型的连续性：定义 $\\mathcal{L}_h(\\mathbf{u}_h,p_h;\\mathbf{v}_h,q_h)=a_h(\\mathbf{u}_h,\\mathbf{v}_h)+b_h(\\mathbf{v}_h,p_h)-b_h(\\mathbf{u}_h,q_h)+\\gamma_1 J_1(p_h,q_h)+\\gamma_2 J_2(p_h,q_h)$，其中 $a_h$ 包含投影项、增强 VEM 稳定项 $S_{\\alpha,i}^{K,+}$、发散鬼项 $G_{\\operatorname{div}}$ 和修正界面通量惩罚 $P_F$；$b_h$ 利用界面法向通量平均 $M_\\Gamma$ 定义。则在网格依赖范数 $\\lVert(\\mathbf{v}_h,q_h)\\rVert_h$ 下，存在与 $h$ 及切割位置无关的常数 $C$，使得对任意 $(\\mathbf{u}_h,p_h),(\\mathbf{v}_h,q_h)\\in\\mathbf{V}_h\\times Q_h$，有 $$ |\\mathcal{L}_h(\\mathbf{u}_h,p_h;\\mathbf{v}_h,q_h)|\\le C\\,\\lVert(\\mathbf{u}_h,p_h)\\rVert_h\\,\\lVert(\\mathbf{v}_h,q_h)\\rVert_h. $$ 离散 inf-sup 条件（压力提升引理，Lemma 4.6）：对任意 $q_h\\in Q_h$，存在提升速度 $\\mathbf{v}_{p,h}\\in\\mathbf{V}_h$，满足 $$ \\begin{aligned} b_h(\\mathbf{v}_{p,h},q_h)\u0026\\ge c_p\\lVert\\alpha^{1/2}q_h\\rVert_{0,\\Omega_1\\cup\\Omega_2}^2-C_p\\bigl(J_1(q_h,q_h)+J_2(q_h,q_h)\\bigr),\\\\ \\lVert\\mathbf{v}_{p,h}\\rVert_h\u0026\\le C_p\\Bigl(\\lVert\\alpha^{1/2}q_h\\rVert_{0,\\Omega_1\\cup\\Omega_2}^2+J_1(q_h,q_h)+J_2(q_h,q_h)\\Bigr)^{1/2}, \\end{aligned} $$ 其中 $c_p,C_p\u003e0$ 为不依赖于 $h$ 和切割位置的常数。这表明由 $b_h$ 和稳定项 $J_1,J_2$ 组成的“正则化”混合形式满足一致 inf-sup 条件，结合连续性即得离散问题解的存在唯一性。\n最优一阶误差估计（Section 5 的最终结果）：若真解具有最低正则性 $\\mathbf{u}_i\\in H^1(\\operatorname{div};\\Omega_i)$、$p_i\\in H^1(\\Omega_i)$ $(i=1,2)$，则离散解 $(\\mathbf{u}_h,p_h)$ 满足 $$ \\lVert\\mathbf{u}-\\mathbf{u}_h\\rVert_h+\\lVert\\alpha^{1/2}(p-p_h)\\rVert_{0,\\Omega_1\\cup\\Omega_2}\\le C\\,h\\sum_{i=1}^2\\bigl(\\lVert\\mathbf{u}_i\\rVert_{1,\\Omega_i}+\\lVert\\operatorname{div}\\mathbf{u}_i\\rVert_{1,\\Omega_i}+\\lVert p_i\\rVert_{1,\\Omega_i}\\bigr), $$ 其中常数 $C$ 仅依赖于网格形状正则性、界面几何假设 (A1)-(A5) 以及系数反差 $\\alpha_{\\max}/\\alpha_{\\min}$，而与 $h$ 和界面相对背景网格的切割位置无关。范数 $\\lVert\\cdot\\rVert_h$ 涵盖了对通量多项式投影的 $L^2$ 误差、增强核稳定项、发散鬼项和修正界面通量惩罚的共同度量，因而是一阶意义下的完全控制。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的证明体系围绕虚拟元非多项式核带来的核心障碍展开，主要创新点和关键技术可归纳如下。\n1. 切割单元上的增强核稳定（Enhanced Kernel Stabilization）\n标准的最低阶 $H(\\operatorname{div})$-VEM 稳定项基于缩放自由度平方和：$S_{\\alpha,i}^K(\\mathbf{v}_h,\\mathbf{v}_h)=\\alpha_i^{-1}|K|\\sum_{r=1}^{N_K}|\\hat{\\chi}_r(\\mathbf{v}_h)|^2$，它在 $\\ker Q_K^1$ 上导出一个与 $L^2$ 范数等价的量（Lemma 4.1）。然而，该等价性是在整个背景单元 $K$ 上成立的，当实际积分区域仅为切割子区域 $K_i$（其面积 $|K_i|$ 可能远小于 $|K|$）时，稳定项的 $|K|$ 因子无法有效控制 $(I-Q_K^1)\\mathbf{v}_h$ 在 $K_i$ 上的 $L^2$ 模。为此，在切割单元上，增强稳定取为 $S_{\\alpha,i}^{K,+}(\\mathbf{v}_h,\\mathbf{v}_h)=(|K|+\\eta_{\\ker}h_K)D_{\\alpha,i}^K(\\mathbf{v}_h,\\mathbf{v}_h)$，其中 $D_{\\alpha,i}^K$ 是去除了 $|K|$ 因子的自由度平方和。附加项 $\\eta_{\\ker}h_K D_{\\alpha,i}^K$ 提供了额外的控制，其尺度正比于 $h_K$ 而非 $|K|$，因而在估计切割域上的相容误差时能给出恰当的放缩。这一处理是本文区别于标准 VEM 分析的关键，它使非多项式核部分在切割单元上的积分误差被稳定项吸收，而无需进一步了解其内部结构。\n2. 界面法向通量平均（Interface Normal-Flux Average）与混合耦合\n混合形式要求在界面 $\\Gamma$ 上计算通量测试函数 $\\mathbf{v}_h$ 的法向分量，但 VEM 函数在单元内部无显式表达式，无法直接插值。本文巧妙地利用散度定理和 VEM 的可计算量（边上的法向矩和常数散度）定义了两组常数 $M_{\\Gamma,K}^1(\\mathbf{v}_h)$ 和 $M_{\\Gamma,K}^2(\\mathbf{v}_h)$（式(3.16)-(3.17)），使得 $$ |\\Gamma_K|M_{\\Gamma,K}^i(\\mathbf{v}_h)=\\pm\\int_{\\Gamma_K}\\mathbf{v}_{h,i}\\cdot\\mathbf{n}\\,\\mathrm{d}s,\\quad i=1,2, $$ 且在 $\\Gamma_K$ 上为常数（Lemma 3.1）。于是，混合耦合项中原本需要的界面项 $\\int_{\\Gamma_K}[![\\mathbf{v}_h\\cdot\\mathbf{n}]!]q_h\\,\\mathrm{d}s$ 可等价替换为 $[![M_\\Gamma\\mathbf{v}_h]!]\\{q_h\\}|\\Gamma_K|$，因为压力 $q_h$ 在 $\\Gamma_K$ 两侧均为常数。这一定义完全基于自由度，不依赖 $\\mathbf{v}_h$ 的显式形式，且保持了积分的精确性，从而保证了格式的相容性。\n3. 修正界面通量惩罚（Corrected Interface-Flux Penalty）与局部散度鬼项惩罚\n标准的 Nitsche 型惩罚通常直接惩罚法向通量的跳跃，但本文除需控制常数部分外，还需控制多项式投影 $Q_K^1\\mathbf{v}_h\\cdot\\mathbf{n}$ 的零均值部分（即 $(I-\\Pi_\\Gamma^0)[![Q_K^1\\mathbf{v}_h\\cdot\\mathbf{n}]!]$）。因此，定义了修正界面通量 $F_{\\Gamma,K}(\\mathbf{v}_h)=[![M_\\Gamma\\mathbf{v}_h]!]+(I-\\Pi_\\Gamma^0)[![Q_K^1\\mathbf{v}_h\\cdot\\mathbf{n}]!]$，其中 $\\Pi_\\Gamma^0$ 是向 $\\Gamma_K$ 上常数的 $L^2$ 投影。惩罚项 $P_F$ 即为 $h_K^{-1}\\alpha_\\Gamma^{-1}\\lVert F_{\\Gamma,K}(\\mathbf{v}_h)\\rVert_{0,\\Gamma_K}^2$ 的加权和。由于两项在 $L^2(\\Gamma_K)$ 中正交，该惩罚提供了对完整法向通量跳跃的控制，且只用到可计算的多项式投影和平均常数。与此同时，为了在不引入体积 $\\operatorname{div}$-$\\operatorname{div}$ 增广项的情况下获得对离散散度的全局控制，文中引入局部散度鬼项惩罚 $G_{\\operatorname{div}}$（式(3.15)），在切割单元附近的传输边 $e\\in\\mathcal{E}_{\\Gamma,i}$ 上惩罚散度跳跃。结合典型鬼项论证（Lemma 4.2 的扩展），可得到扩展域上的 $L^2$ 散度估计，从而使稳定性与界面位置无关。\n4. 压力提升构造与 inf-sup 条件证明\n为了建立离散 inf-sup 条件，论文使用了“压力提升”（pressure lifting）技术。对给定的分片常数压力 $q_h\\in Q_h$，先用连续散度提升获得 $\\mathbf{z}_p\\in H^1(\\Omega)^2$ 满足 $\\operatorname{div}\\mathbf{z}_p=\\alpha_{\\min}q_h$ 及 $\\lVert\\mathbf{z}_p\\rVert_{1,\\Omega}\\le C\\lVert\\alpha^{1/2}q_h\\rVert_{0,\\Omega_1\\cup\\Omega_2}$；然后取 VEM 插值 $\\mathbf{v}_{p,h}=I_h^{\\operatorname{div}}\\mathbf{z}_p$。利用插值的交换性质（Lemma 4.4）得 $\\operatorname{div}\\mathbf{v}_{p,h}=P_h^0(\\operatorname{div}\\mathbf{z}_p)=\\alpha_{\\min}P_K^0 q_h$。对于切割单元，$P_K^0 q_h$ 是面积加权平均 $\\bar{q}_K$，于是 $b_h(\\mathbf{v}_{p,h},q_h)=\\alpha_{\\min}M_h(q_h,q_h)$。此时，$\\mathbf{v}_{p,h}$ 的构造使得 $F_{\\Gamma,K}(\\mathbf{v}_{p,h})=0$，故界面惩罚项不贡献，提升了稳定性。结合标量扩展估计（Lemma 4.5）通过 $J_1+J_2$ 将 $M_h(q_h,q_h)$ 与实际 $L^2$ 范数联系起来，即得所需的下界和范数控制。\n5. 误差分析中的相容项处理\n最终的误差界通过 Strang 引理推导，将误差分为插值误差和离散相容项误差。插值误差通过子区域解的先验延拓（$E_i$ 与 $E_i^{\\operatorname{div}}$）和 VEM 逼近性质得到 $O(h)$ 估计。关键难点在于相容项：对于任意充分光滑的 $\\mathbf{v}$，有 $$ \\mathcal{R}_K(\\mathbf{v}) = \\int_{K_i} (\\alpha_i^{-1}\\mathbf{v}\\cdot\\mathbf{v}_h - \\alpha_i^{-1}Q_K^1\\mathbf{v}\\cdot Q_K^1\\mathbf{v}_h) - S_{\\alpha,i}^{K,+}((I-Q_K^1)\\mathbf{v},(I-Q_K^1)\\mathbf{v}_h) + \\text{界面及散度项}, $$ 其中第一行包含切割域上的投影误差和核部分。利用正交分解 $\\mathbf{v}=Q_K^1\\mathbf{v}+(I-Q_K^1)\\mathbf{v}$ 并反复使用 Cauchy–Schwarz 不等式，可将每一项与 $\\lVert\\mathbf{v}_h\\rVert_h$ 或 $h$ 的正则性范数相乘而得以控制。增强核稳定 $S_{\\alpha,i}^{K,+}$ 在此扮演核心角色：它提供了 $(I-Q_K^1)\\mathbf{v}_h$ 在 $K$ 上的 $L^2$ 控制，再通过迹不等式和投影误差估计转化为对切割域积分的控制。修正界面通量惩罚 $P_F$ 则用于吸纳因 $Q_K^1\\mathbf{v}_h\\cdot\\mathbf{n}$ 与真实法向通量的差异造成的界面相容项。发散鬼项 $G_{\\operatorname{div}}$ 处理散度边界的估计。整套分析精细区分了各稳定项的角色，且无需引入体积散度惩罚。\n4. 与之前工作的比较 本文的工作在多个层面上与已有文献形成对比与推进，主要体现在以下几方面。\n1. 与 BDM 扩展混合有限元（文献 [15]）的关系\n[15] 提出了一种基于 $\\mathbb{BDM}_1$–$\\mathbb{P}_0$ 对的使用非匹配三角网格的扩展混合方法，是混合形式下较早的非匹配做法。二者的思想基调相似：通量逼近采用 $H(\\operatorname{div})$ 协调空间，压力为分片常数，并通过鬼项惩罚（ghost penalty）和 Nitsche 型处理获得与切割位置无关的稳定性与最优收敛。然而，最本质的区别在于离散通量空间的构成。BDM 空间是纯多项式的，因此 $Q_K^1\\mathbf{v}_h=\\mathbf{v}_h$，$(I-Q_K^1)\\mathbf{v}_h\\equiv0$；VEM 空间则包含非多项式核部分，这导致了切割单元上额外的相容项，必须通过增强核稳定和修正界面通量惩罚来应对。可以说，本文将 [15] 的策略适配到了 VEM 框架下，使得方法适用于更一般的多边形网格。代价是公式和分析更加复杂。目前两者均只给出最低阶 $O(h)$ 精度；BDM 方法可自然地提升阶次，而本文的低阶 VEM 若要高阶推广，需要设计更高次的 $H(\\operatorname{div})$-VEM 空间并解决投影限制带来的新困难，这仍有待研究。\n2. 与其他扩展/immersed 虚拟元方法（例如 [29, 30, 17]）的比较\n已有的扩展 VEM 文献几乎都面向 primal 形式：$H^1$-协调 VEM [29]、非协调 VEM [30]、immersed VEM [17]。它们均以原始变量 $p$ 为直接未知量，依赖加强的稳定性（如 Nitsche 项、切向或法向跳跃惩罚）来施加界面条件。本文则首次采用混合 $H(\\operatorname{div})$-VEM 格式，直接计算通量 $\\mathbf{u}$。这样做的好处是数值通量散度在局部严格守恒，且无需后处理即可获得高精度的通量场，对某些应用（如多孔介质流）尤为重要。在弱施加界面条件的方式上，primal VEM 常惩罚压力的跳跃和通量的法向跳跃，而本文则结合了通量法向分量的平均重构、修正的界面通量惩罚以及对压力跳跃的 $J_2$ 惩罚。特别地，非协调 VEM [30] 中为了处理非多项式部分也引入了特殊边项，但其结构依赖于非协调空间的边自由度，与本文的 $H(\\operatorname{div})$ 空间的边矩处理策略完全不同。\n3. 与一般 CutFEM 及鬼项惩罚技术（如 [12, 13, 22]）的联系与发展\n本文大量使用了鬼项惩罚（ghost penalty）。压力鬼项 $J_1$ 是 CutFEM 中常见的用于恢复扩展区域控制的工具，散度鬼项 $G_{\\operatorname{div}}$ 则是专门为混合形式定制的。许多切割单元混合方法，因担心界面附近散度控制不足，常常添加体积形式的 $(\\varepsilon\\operatorname{div}\\mathbf{u}_h,\\operatorname{div}\\mathbf{v}_h)_\\Omega$ 项，其中 $\\varepsilon$ 为一小参数。本文却完全摒弃了这一做法，仅通过 $G_{\\operatorname{div}}$ 在界面单元附近的传输边上施加跳惩罚，便得到了扩展域散度的一致估计，并结合压力提升获得了 inf-sup 条件。这样避免了参数 $\\varepsilon$ 对切割位置的敏感依赖，在理论上更干净。然而，这也要求网格满足连通假设 (A5)，并且需要在实施中找出并存储额外的传输边。\n4. 系数反差与解的延拓\n文中所有稳定性与误差估计的常数都明确声明可能依赖于系数反差 $\\alpha_{\\max}/\\alpha_{\\min}$，并未追求关于反差的一致鲁棒性。这与一些专门采用加权 Sobolev 空间或特殊界面权重以做到反差鲁棒的方法（例如某些 CutFEM 变体）存在差距。当然，本文使用的调和平均权重 $\\alpha_\\Gamma$ 和相应的 Nitsche 权重对中等反差通常表现良好；但面对极大反差时，常数可能急剧增大，这是本方法的一个公认局限。在解的延拓方面，使用了标准的 $H^m$ 和 $H(\\operatorname{div})$ 延拓算子（$E_i$ 和 $E_i^{\\operatorname{div}}$），与 [15, 16] 等做法一致，且延拓常数仍与切割位置无关，这保证了插值误差估计的品质。\n5. 网格与界面几何假设\n本文沿用了非匹配文献中常见的界面几何假设：局部最多两个交点、局部可表为单值函数等 (A3-A4)，以及鬼项分析所需的子区域连通性条件 (A5)。这些假设在界面充分光滑的前提下易于满足，例如 [15] 中也有类似要求。相比一些可以处理更复杂界面拓扑的 immersed 方法（如允许单元被多次切割），本文的当前设定仍比较经典，但为分析提供了坚实基础。\n综上，本文的贡献在于：在虚拟元框架下，首次为椭圆界面问题构造并分析了混合 $H(\\operatorname{div})$ 格式，解决了由 VEM 非多项式核引发的特有相容性障碍，在不使用体积散度惩罚的条件下获得了切割位置独立的 inf-sup 稳定性和最优一阶收敛。其技术路线丰富了混合扩展非匹配方法的理论，并为多边形网格上的通量-压力耦合计算提供了新的可行方案。局限在于目前仅覆盖最低阶、对反差不完全鲁棒，且分析要求界面具有一定光滑性。\n2. 针对周期障碍物阵列散射的一致高精度 PML-BIE 方法：二维情形 A Uniformly High-Accuracy PML-BIE Method for Scattering by Periodic Arrays of Obstacles: The 2D Case\n作者: Yan Tan, Carlos Pérez-Arancibia, Tao Yin\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-06\narXiv ID: 2606.07971v1\n摘要翻译: 本文提出了一种新颖的频率鲁棒完美匹配层（PML）边界积分方程（BIE）方法，用于求解涉及周期障碍物阵列的二维电磁散射问题。在周期散射问题中，基于拟周期格林函数的标准BIE公式需要计算格点和或困难的索末菲型积分，这些积分在瑞利-伍德（RW）异常处发散。另一种方法是使用基于亥姆霍兹自由空间格林函数的BIE公式，但这些公式定义在无界单胞边界上，因此需要适当的截断策略，例如加窗格林函数（WGF）方法。尽管这类方法避免了使用昂贵的拟周期格林函数，但除非加入适当的模式修正，它们同样会在RW异常处失效。类似地，直接将PML-BIE技术应用于周期结构时，由于在RW异常附近对于固定的PML参数指数收敛性的丧失，也会遇到类似的困难。为了克服这一挑战，我们提出了一种修正的PML-BIE方法，该方法将PML技术与有限模式修正相结合，确保在RW异常处及其附近均具有高精度和鲁棒性。我们证明了经PML截断的边界积分算子的收敛性，并给出了若干数值算例，以验证所提方法的效率和性能。\nComment: 25 pages, 8 figures, 3 tables\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.07971v1\n1. 研究对象和背景 本文研究二维空间中周期阵列障碍物的电磁散射问题，控制方程为Helmholtz方程：在介质区域 $D_j$（$j=1$ 为外部区域，$j=2$ 为障碍物内部）内，总场 $u$ 满足 $$ \\Delta u + k_j^2 u = 0 \\quad \\text{in } D_j, $$ 其中波数 $k_j = \\omega \\sqrt{\\epsilon_j \\mu_j}$，$\\omega$ 为角频率，$\\epsilon_j$ 和 $\\mu_j$ 分别为介质的介电常数和磁导率。在物体边界 $\\partial D_2$ 上，总场满足传输条件 $$ \\gamma_{D,\\partial D_2}^+ u = \\gamma_{D,\\partial D_2}^- u,\\quad \\gamma_{N,\\partial D_2}^+ u = \\eta \\, \\gamma_{N,\\partial D_2}^- u, $$ 其中 $\\eta = \\mu_1/\\mu_2$（TE极化）或 $\\eta = \\epsilon_1/\\epsilon_2$（TM极化），$\\gamma_{D}^\\pm$ 和 $\\gamma_{N}^\\pm$ 分别表示外/内Dirichlet和Neumann迹。入射波为平面波 $u^\\mathrm{inc}(x) = e^{i(\\alpha x_1 - \\beta x_2)}$，且 $\\alpha = k_1 \\sin\\theta^\\mathrm{inc}$，$\\beta = k_1 \\cos\\theta^\\mathrm{inc}$。由障碍物的周期性和平面波入射，总场具有准周期性 $$ u(x_1 + \\Lambda, x_2) = \\zeta u(x_1, x_2), \\quad \\zeta = e^{i\\alpha \\Lambda}, $$ 其中 $\\Lambda$ 为周期长度。因此，问题可限制到单个单元域 $U = \\{ (x_1, x_2) \\in \\mathbb{R}^2 : \\hat f(t) \u003c x_1 \u003c \\hat f(t) + \\Lambda, \\, x_2 = t \\}$，其两侧边界为两条无限光滑曲线 $\\Gamma_2$ 和 $\\Gamma_3$。散射场 $u^\\mathrm{sct}$ 还需满足向上/下的Rayleigh展开以描述辐射条件： $$ u^\\mathrm{sct}(x) = \\sum_{n \\in \\mathbb{Z}} B_n^\\pm e^{i(\\alpha_n x_1 \\pm \\beta_n x_2)}, \\quad \\pm x_2 \u003e \\pm h^\\pm, $$ 其中 $\\alpha_n = \\alpha + 2\\pi n/\\Lambda$，$\\beta_n = \\sqrt{k_1^2 - \\alpha_n^2}$（当 $|\\alpha_n| \\le k_1$）或 $\\beta_n = i \\sqrt{\\alpha_n^2 - k_1^2}$（当 $|\\alpha_n| \u003e k_1$）。所谓Rayleigh–Wood（RW）异常发生当某 $\\beta_n = 0$，即 $|\\alpha_n| = k_1$；此时Rayleigh展开中的相应项为传播波沿阵列方向传播，标准的准周期Green函数（QGF）或相关的Sommerfeld积分发散，导致基于QGF的边界积分方程（BIE）方法失效。\n为克服QGF的困难，研究者转而采用基于自由空间Green函数 $\\Phi(k_j, x, y) = \\frac{i}{4} H_0^{(1)}(k_j |x - y|)$ 的BIE，但由于这些BIE定义在无界的单元边界 $\\Gamma_2,\\Gamma_3$ 上，必须进行截断。常见的截断策略包括窗函数方法（WGF）和完全匹配层（PML）方法。WGF利用光滑窗函数将积分限制在有限窗口内，远离RW异常时可实现超代数收敛，但在RW附近需要引入模式校正才能保持精度。PML方法则通过复坐标拉伸 $$ \\tilde x_2(x_2) = x_2 + i \\int_0^{x_2} \\sigma(t) \\, dt, $$ 使得散射场在PML区域指数衰减，从而可以简单地将积分截断。然而，直接应用PML-BIE到周期结构时，截断误差依赖于频率与RW异常的最小距离 $d_{\\min} = \\min_n |\\beta_n|$。对于固定的PML参数，当 $d_{\\min} \\to 0$ 时，指数收敛速率退化：误差项的形式为 $O\\big( d_{\\min} / (e^{c d_{\\min}} - 1) \\big)$，此时退化为 $O(1)$，导致精度严重下降。这是因为PML逼近无法正确强化辐射条件：当存在传播或衰减模式时，非物理模式的系数会被错误地激活，且系统条件数恶化。\n本文试图填补的空白是：设计一种频率鲁棒的PML-BIE方法，通过引入有限个传播/衰减模式的校正，使得方法在整个频率范围内——包括RW异常附近——均保持指数收敛，且PML参数的选择可以独立于RW异常。与已有的WGF方法相比，PML途径在相同厚度下可提供更高的指数收敛率，从而大幅减少计算自由度。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要理论结果和数值贡献概括如下。\nPML截断BIE系统的建立与误差分析：将无界单元上的PML-BIE系统（2.30）限制到有限区域 $\\Gamma_j^b = \\Gamma_j \\cap U_{H,T}$（$j=1,2,3$）得到截断系统 $$ (E + \\tilde T^b) [\\hat\\phi] = \\phi^\\mathrm{inc}, $$ 其中 $\\tilde T^b$ 由截断后的PML双层势、单层势及超奇异算子组成。原系统右端包含被忽略的尾项 $\\psi = (\\tilde T^+ + \\tilde T^-)[\\tilde\\phi]$，其中 $\\tilde T^\\pm$ 是涉及 $\\Gamma_j^\\pm$（$|x_2| \u003e H+T$ 的部分）的积分算子。通过分析PML复拉伸下Green函数的指数衰减性质，证明了尾项 $\\psi$ 在一定的Sobolev范数下具有上界 $$ \\|\\psi\\| \\le C \\frac{d_{\\min}}{e^{c d_{\\min}} - 1} e^{-\\gamma T}, $$ 其中 $C, c, \\gamma \u003e 0$ 为与PML参数相关的常数（$\\gamma$ 依赖于 $S$ 和 $T$）。此估计显式刻画了当 $d_{\\min} \\to 0$ 时退化至 $O(e^{-\\gamma T})$ 的行为，且与PML厚度 $T$ 呈指数衰减。\n有限模式校正的提出与改进的PML-BIE：为了消除 $d_{\\min}$ 退化，本文借鉴文[31]的思想，在截断BIE中显式引入对辐射条件的强化。具体而言，定义集合 $\\mathcal{C}_\\delta = \\{ n \\in \\mathbb{Z} : 0 \\le |\\beta_n| \\le \\delta \\}$，其中 $\\delta$ 为某个与频率和PML参数无关的小量。通过将散射场的投影条件 $$ \\frac{1}{\\Lambda} \\int_{-\\Lambda/2}^{\\Lambda/2} \\big( \\partial_{x_2} u^\\mathrm{sct}(x_1, \\pm h) \\mp i\\beta_n u^\\mathrm{sct}(x_1, \\pm h) \\big) e^{-i\\alpha_n x_1} dx_1 = 0, \\quad n \\in \\mathbb{Z}, $$ 与BIE系统耦合，构造了一个包含有限个额外未知数（非物理模式系数）的扩展系统。理论分析表明，修正后的系统在离散后条件数一致有界，且其解对真解的误差满足 $$ \\|u - \\hat u\\| \\le C e^{-\\gamma T} $$ 其中常数 $C$ 和 $\\gamma$ 与 $d_{\\min}$ 无关，从而在整个频率范围内（包括RW异常处）恢复了完全的指数收敛。数值实验进一步验证了该方法当 $T$ 增大时，误差呈 $O(e^{-c T})$ 下降，且PML参数 $S, P$ 可按与 $d_{\\min}$ 无关的方式选取，证明方法具有频率鲁棒性。\n数值算例：文中通过多个算例（包括不同入射角、包围圆形和椭圆障碍物的周期阵列）展示了所提方法的精度与效率。在计算散射场远场系数时，误差相对于PML厚度呈指数收敛，且在与WGF方法相同厚度的比较下，PML-BIE的误差显著更小。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术障碍在于：标准PML截断虽能带来指数衰减，但当频率靠近RW异常时，辐射条件的数值实现失效，导致截断BIE的系数矩阵病态，且误差退化。创新点集中于两点：一是对PML截断误差的精细分析，明确揭示其与RW异常距离 $d_{\\min}$ 的依赖关系；二是在PML框架下引入有限模式校正，恢复指数收敛且使参数选择与RW异常无关。\n1. PML截断误差的精确估计 为了定量描述PML截断引入的误差，作者将无界BIE系统中的积分算子对分解为两部分：在有限区域 $\\Gamma_j^b$ 上的积分（对应 $\\tilde T^b$）和在两侧无限远端 $\\Gamma_j^\\pm$ 上的积分（对应 $\\tilde T^\\pm$）。通过将积分沿 $x_2$ 方向参数化，利用PML复拉伸下自由空间Green函数 $\\Phi(k_1, \\tilde x, \\tilde y)$ 的解析性质，证明其核函数在 $|x_2 - y_2|$ 很大时具有如下指数衰减界： $$ |\\Phi(k_1, \\tilde x, \\tilde y)| \\le C \\frac{e^{-\\kappa |x_2 - y_2|}}{\\sqrt{|x_2 - y_2|}}, \\quad \\kappa = \\frac{S}{2} \\min\\{1, \\frac{S}{k_1}\\}, $$ 其中 $S$ 为PML缩放参数。结合准周期因子的振荡，通过精细的Fourier分析将尾项 $\\psi$ 表达为一系列模式贡献的和。对于每个模式 $n$，对应贡献含有因子 $e^{-|\\beta_n| (T + t)}$（衰减模式）或 $e^{i\\beta_n (T + t)}$（传播模式）。当 $\\beta_n \\to 0$ 时，传播模式的衰减速率趋于零，造成 $\\psi$ 的范数失去对 $T$ 的指数依赖，而只以 $1/|\\beta_n|$ 的形式发散。关键估计引理（如Lemma 3.2）建立了 $$ \\| \\tilde T^\\pm \\|_{H^s \\to H^{s'}} \\le C \\frac{d_{\\min}}{e^{c d_{\\min}T} - 1} e^{-\\gamma T} $$ 这类技术对后续的校正设计至关重要，因为它表明退化主要源于传播模式（或近传播模式）的贡献。\n2. 有限模式校正的构造与实现 受WGF方法中模式校正思想的启发，作者注意到辐射条件（2.15）等价于要求散射场在 $|x_2| \u003e h^\\pm$ 处不含“非物理”模式，即展开式（2.11）中所有 $C_n^\\pm = 0$。在PML-BIE框架中，直接离散并求解截断系统（3.2）等价于隐式地允许边界数据 $\\hat\\phi$ 生成非零的 $C_n^\\pm$，这正是误差退化的根源。因此，作者显式地将 $C_n^\\pm$ 作为未知量添加到系统中。具体流程为： - 选取一个阈值 $\\delta \u003e 0$，定义集合 $\\mathcal{C}_\\delta = \\{ n \\in \\mathbb{Z} : |\\beta_n| \\le \\delta \\}$，包含所有当前频率下须特殊处理的模式。 - 利用Green表示公式，将误差场在 $\\Gamma^\\pm$（即 $x_2 = \\pm (H+T)$）上的迹或其导数用 $\\hat\\phi$ 和这些模式的系数表示出来。 - 将（2.15）中投影方程离散化，得到一组线性约束，可写为 $M \\mathbf{c} = \\mathbf{r}$，其中 $\\mathbf{c}$ 为非物理模式系数，$M$ 为满秩或良条件矩阵。 - 最终组装一个扩展的线性系统，其中边界未知量 $\\hat\\phi$ 与 $\\mathbf{c}$ 联合求解。由于 $M$ 的可逆性，该系统在离散后保持条件数一致有界，且理论上误差的指数界与 $d_{\\min}$ 无关。\n这种方法相比于直接在截断BIE上叠加有限模式校正的显式后处理，更加稳定；它通过增加极少的额外自由度（$|\\mathcal{C}_\\delta|$ 一般很小），消除了PML截断对RW异常的敏感性。 3. 算法实现细节 离散方面，对 $\\Gamma_1$ 采用Nyström方法或边界元，对 $\\Gamma_2^b$ 和 $\\Gamma_3^b$ 采用参数化后利用分段多项式离散。PML拉伸函数选取分段光滑的幂函数形式（2.17），以兼顾理论分析与计算效率。快速多极子等加速技术虽未被强调，但框架可与之兼容。\n4. 与之前工作的比较 本文的方法论和结果在以下维度与既有工作形成对比。\n1. 与基于准周期Green函数的BIE方法比较 经典方法依赖对周期Green函数 $G^q(x,y)$（即QGF）的精确计算，通常通过Ewald求和或加速的格子求和实现[1,12,22,23]。此途径在远离RW异常时高效，但当频率穿越RW异常时 $G^q$ 本身发散，必须设计特殊的正则化策略，例如移动Green函数法[5,6,10,11,20]或混合谱/空间表示[7,18]。这些方法或者计算昂贵，或者需要针对不同的RW异常阶数进行自适应参数调整。本文提出的PML-BIE完全避免了QGF的直接评估，而是使用自由空间Green函数，并用PML截断处理无界边界，从而天然规避了QGF的奇点问题。同时，借助有限模式校正，方法在RW异常处完全不需参数调优，与频率彻底解耦。\n2. 与窗函数方法（WGF）的比较 WGF方法[31]也是基于自由空间Green函数，但采用窗函数对无界积分截断，收敛性为超代数：对紧支撑密度的积分，当窗口尺寸增大时，误差以 $O(e^{-b N^2})$ 的形式衰减（$N$ 与窗口尺寸成比例），比指数收敛慢。文[31]还针对RW异常引入了同样的模式校正，使收敛性恢复。本文用PML代替窗函数后，在同等厚度下可获得指数收敛 $O(e^{-\\gamma T})$，且理论上 $\\gamma$ 可由PML参数控制，因而更高效。数值例子清楚地展示，当PML厚度与WGF半窗宽度相当时，前者的误差小两个数量级以上。代价是拉伸坐标可能引入对Green函数计算的轻微额外开销（复变元Bessel函数），但此开销可通过解析延拓的快速算法弥补，且在中等厚度下整体胜出。\n3. 与直接PML-BIE方法的比较 直接PML截断方法已在层介质[3,24,26]和局部缺陷周期结构[17]等问题中获得应用，并在远离RW异常时表现出色。然而，正如本文分析所指出，其收敛性在靠近RW异常时严重退化：因为PML衰减来自 $e^{-\\operatorname{Im}(\\tilde x_2) \\min |\\beta_n|}$ 因子，当 $\\min |\\beta_n| \\to 0$ 时，需要无限增加PML厚度 $T$ 才能维持准确度。本文首次通过定理形式证明了退化的精确速率，并且率先在PML框架下引入模式校正，完全解除收敛速率与 $d_{\\min}$ 的关联。这相比文[13]中仅使用齐次Dirichlet边界条件（在PML端部设 $\\tilde u=0$）的PML方法更精细，因为[13]的方法甚至不能准确刻画辐射条件，误差更早退化。\n4. 理论分析的新颖性 本文对PML截断积分算子的衰减估计建立了与RW异常距离的显式定量关系，这是前人未给出的。文中引理与定理的证明综合利用了复拉伸下Hankel函数的渐近展开、傅里叶投影以及Sobolev空间中的连续性方法，形成一套分析PML-BIE在周期问题中有效性的严密框架。这一框架为将来向三维和非光滑障碍物的推广奠定了理论基础。\n5. 与其他RW处理策略的对比 与直接基于Rayleigh展开的模式匹配法相比，本文的PML-BIE不依赖人工边界或DtN映射，对障碍物形状不敏感。与基于传播模式展开的混合方法相比，本文不需要提前知道入射波产生的传播模式数目，通过PML自动处理无穷模式。\n综上，本文推进了周期散射问题的PML-BIE方法，使其具备频率鲁棒性和指数收敛性，且提供了严格的数学保证，在与现有技术的竞争力方面具有明显优势。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. $p$-Stokes 问题的压力鲁棒拟最优间断 Galerkin 离散 Pressure-robust and quasioptimal Discontinuous Galerkin discretisations of the $p$-Stokes problem\n作者: P. A. Gazca-Orozco, M. Růžička\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-08\narXiv ID: 2606.09586v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.09586v1\n摘要翻译 中文标题: $p$-Stokes 问题的压力鲁棒拟最优间断 Galerkin 离散\n摘要翻译: 本文针对具有 $(p,\\delta)$-结构的 $p$-Stokes 型非线性方程组，提出局部间断 Galerkin (LDG) 逼近。基于原始变分形式，我们在真正极小的正则性假设下证明了方法的适定性和稳定性（先验估计）。我们证明了第一种方法具有压力鲁棒且拟最优的误差估计，并讨论了其推论。此外，我们还提出了第二种方法，对其证明了压力鲁棒的误差估计，并证明了收敛性与收敛阶，该收敛阶对于所有 $p\\in (1,\\infty)$ 和 $\\delta\\geq 0$ 的线性试探函数都是最优的。\n2. 含动力学边界条件的波动方程的二阶体–表面分裂方法 Second-order bulk-surface splitting for the wave equation with kinetic boundary conditions\n作者: R. Altmann, R. Morandin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-08\narXiv ID: 2606.09502v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.09502v1\n摘要翻译 中文标题: 含动力学边界条件的波动方程的二阶体–表面分裂方法\n摘要翻译: 本文致力于对具有动力学边界条件的半线性波动方程的二阶体–表面分裂格式进行数值分析。该构造基于将方程解释为耦合系统，并根据离散状态在系统方程中的精确位置，对它们实施不同的差分公式。这导致了一个将体动力学与表面动力学解耦的四步格式。我们证明了在弱CFL条件下的能量稳定性和二阶收敛性，并通过数值实验验证了这些结果。\n3. 随机 Schrödinger\u0026ndash;KdV 方程的新型保物理性质方法 Novel physical property preserved methods for stochastic Schrödinger\u0026ndash;KdV equation\n作者: Ziheng Chen, Jialin Hong, Liying Sun\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-07\narXiv ID: 2606.08585v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.08585v1\n摘要翻译 中文标题: 随机 Schrödinger\u0026ndash;KdV 方程的新型保物理性质方法\n摘要翻译: 本文从解析和数值两个角度研究具有加性噪声的随机 Schrödinger\u0026ndash;KdV 方程。我们首先建立了平均等离子体激元数、动量和能量的演化律，以及平均粒子数的守恒律。受这些内在结构的启发，我们提出两种时间离散格式。一种基于分裂策略和 Crank\u0026ndash;Nicolson 格式构造，并证明能保持平均等离子体激元数和动量的离散演化律，以及平均粒子数的离散守恒律。另一种在常数标量辅助变量框架内提出，其中对非线性能量泛函进行了重构，使得在离散层面上可以保持修正的平均能量律。将这些时间离散格式与空间上的局部间断 Galerkin 逼近相结合，得到保结构的全离散格式，它们继承了相应的离散物理律。数值实验验证了理论结果，并展示了所提出方法的准确性、稳健性和有效性。\n4. 变阶四面体空间的稳定三角形投影与一致IPDG预处理 Stable Triangle Projections for Variable-Degree Tetrahedral Spaces and Uniform IPDG Preconditioning\n作者: Situan Li, Weiying Zheng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-07\narXiv ID: 2606.08516v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.08516v1\n摘要翻译 中文标题: 变阶四面体空间的稳定三角形投影与一致IPDG预处理\n摘要翻译: 本文的核心要素是定义在三角形上的边局部变阶投影，该投影在L2和H1范数下均一致稳定。我们利用这一二维算子构造了两类四面体投影。首先，在参考四面体上，我们构建了一个从高阶多项式空间到变阶空间的H1稳定投影，其中各边、各面及体内的阶数独立指定。由于该四面体投影是局部的且与迹相容，它还在加权能量范数下给出了协调hp空间的h-与p-一致稳定分解，从而为协调Laplace算子提供了一个一致加性Schwarz预条件子。其次，在单元具有变化多项式阶的一致正则映射四面体网格上，同一三角形投影提供了对称IPDG范数的p-一致稳定的DG到CG分解所需的有限层棱边截断。该DG到CG分解与协调分裂相结合，即得到IPDG预条件子。其中的常数仅依赖于参考形状、各四面体内的局部阶差界、跨网格面的相邻阶界、一致映射正则性、片基数以及系数路径常数；它们与h、局部多项式阶数和系数反差无关。\n5. 一种用于曲面演化的二阶结构保持参数有限元方法 A Second-order Structure-preserving Parametric FEM for Surface Evolution\n作者: Beiping Duan, Zongze Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-06\narXiv ID: 2606.08293v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.08293v1\n摘要翻译 中文标题: 一种用于曲面演化的二阶结构保持参数有限元方法\n摘要翻译: 本文针对表面扩散和保体积平均曲率流提出了一种时间二阶、结构保持且网格鲁棒的参数有限元方法。我们首先将原始演化方程重新表述为新的系统，其中切向运动由调和映射热流控制。该热流将固定参考曲面映射到未知的演化曲面上，并驱动演化曲面上的点在各自的切空间中移动，以减小相应的调和能量。因此，在离散设置下，除非出现奇性，网格质量可以维持在参考曲面的水平。该格式的精心设计从理论上保证了保体积性质，同时通过拉格朗日乘子强制执行能量耗散。我们进行了若干数值实验，展示了时间方向上的二阶收敛性以及所提方法在保持网格质量方面的优势。数值结果进一步证实了其结构保持特性。最后，所提出的框架可以轻易扩展到其他几何流。\n6. 曲面Stokes问题的无散度Scott-Vogelius有限元方法 A Divergence-Free Scott-Vogelius Finite Element Method for the Surface Stokes Problem\n作者: Yerim Kone, Michael Neilan, David Poling\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-05\narXiv ID: 2606.07840v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.07840v1\n摘要翻译 中文标题: 曲面Stokes问题的无散度Scott-Vogelius有限元方法\n摘要翻译: 我们构造并分析了一种用于曲面Stokes问题的精确无散度Scott-Vogelius有限元方法。所提格式同时精确地施加了切向性条件与不可压缩性，且具有与二维欧几里得离散化相同的未知量数目。我们的构造将[10,11]中的曲面有限元框架推广到了定义在弯曲Clough-Tocher三角剖分上的Scott-Vogelius离散化。与以往基于宏元构造的等参Scott-Vogelius方法不同，本文方法直接在细化后的曲面三角剖分上定义有限元空间，从而得到了一个显著更简单且更实用的实现。我们证明了该方法的inf-sup稳定性，并在等参范围内推导出了最优阶收敛。\n不相关论文（基本信息） 1. 基于分层比率蒙特卡洛方法的戴德金数有限n估计 Finite-n Estimate of Dedekind Numbers by Layer-Ratio Monte Carlo\n作者: Tian-Shun Chen, Hao Feng, Haozhe Wang, Kilar Zhang\n类别: math.CO, cs.IT, hep-th, math-ph, math.NA\n发布日期: 2026-06-08\narXiv ID: 2606.09795v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.09795v1\n摘要: Dedekind\u0026rsquo;s problem counts monotone Boolean functions, equivalently downsets of a Boolean lattice. We recast this enumeration as a finite layer-ratio reconstruction problem for the Whitney numbers of the ranked ideal lattice. An exact adjacent-layer double count expresses each layer ratio through local averages of the number of addable elements and the number of removable elements. Reversible fixed-layer Markov chains estimate these averages and hence estimate the Dedekind number M(n). Backtests at M(8) and M(9) calibrate seed-level variability under the fixed protocol and measure the observed Monte Carlo budget scaling. The resulting estimate probes the Whitney-number sequence of the ideal lattice. Although these rows have previously been described empirically as unimodal, the high-precision n=9 estimate has a shallow two-shoulder feature around the central rank, contrary to that empirical description; n=11 and n=13 center-window estimates show a larger-contrast analogous pattern. The protocol estimate for M(10) is [ \\widehat M(10)=(8.9360\\pm0.0010)\\times 10^{78}, ] where the displayed uncertainty is the budget-based forecast scale from the cross-n scaling law under the production budget.\n2. 算子傅里叶变换的低秩加速 Low-Rank Acceleration of the Operator Fourier Transform\n作者: Jack Kelley\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-08\narXiv ID: 2606.09689v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.09689v1\n摘要: We develop a numerical algorithm for the efficient solution or approximation of solutions to the Helmholtz equation on a structured grid in two dimensions. We make use of the Operator Fourier Transform (OFT) and a low-rank cross approximation scheme (Cross-DEIM) to decompose the problem into an integral over a pseudo-time of solutions to the Schrödinger equation. The OFT is a framework for solving operator equations like fractional Laplacian equations or the Helmholtz equation, when the latter is written as a product of two paraxial operators. The main computational cost in the OFT is the solution to the Schrödinger equation, especially when the dimension or mesh resolution is high. In this work, we alleviate this cost by utilizing a low-rank method. Such methods aim to beat the curse of dimensionality when low-rank structures are present in the solution. We show that the combination of these two approaches can have large cost reductions for certain classes of problems.\n3. 波动方程的时空稀疏网格方法 A space-time sparse-grid method for the wave equation\n作者: Matteo Ferrari, Andrea Moiola, Chiara Perinati, Ilaria Perugia\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-08\narXiv ID: 2606.09688v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.09688v1\n摘要: We develop a fast space-time numerical scheme for approximating solutions to the linear wave equation. The approach is based on the sparse-grid combination technique applied to a coercive space-time discretization. Designed for tensor-product space-time discretizations, the method enables efficient parallelization of the resulting solver. We provide a rigorous theoretical analysis establishing convergence rates and computational complexity estimates. Numerical experiments validate the theoretical estimates and demonstrate the efficiency of the proposed method.\n4. 包含84种格式的数值目录与比特精确一致性向量：面向FP8、BF16、MXFP4及微缩放格式的供应商中立参考 An 84-Format Numeric Catalog with Bit-Exact Conformance Vectors: A Vendor-Neutral Reference for FP8, BF16, MXFP4, and Microscaling Formats\n作者: Dmitrii Vasilev\n类别: cs.AR, cs.AI, cs.MS, cs.PF, math.NA\n发布日期: 2026-06-08\narXiv ID: 2606.09686v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.09686v1\n摘要: Numeric format proliferation in machine learning hardware \u0026ndash; FP8 (E4M3 and E5M2), BF16, MXFP4, microscaling block formats, and dozens of research variants \u0026ndash; has outpaced the availability of vendor-neutral, bit-exact reference material. Engineers porting models across accelerators encounter silent divergences that are difficult to diagnose without a shared ruler. This paper describes a catalog of 84 numeric formats spanning 13 families, a suite of six bit-exact conformance packs covering GF16, MXFP4 element, BF16, FP8 E4M3, FP8 E5M2, and E8M0 block scale, and an IEEE P3109 v3.2.0 cross-walk that maps each pack to its corresponding standards-track configured format. Each pack is a self-contained JSON document with a SHA-256 fingerprint, a shared row schema, and an anchor vector that encodes 3.0 \u0026ndash; the identity phi^2 + 1/phi^2 = 3 \u0026ndash; as a cross-pack sanity check. Packs are cross-validated against ml_dtypes 0.5.4 (Google/JAX); any divergence is documented explicitly and interpreted as a spec-permitted interpretation gap rather than hidden. The work is framed as registry filling: it does not propose new formats, make model-accuracy claims, or assert superiority over any vendor\u0026rsquo;s implementation. All artifacts are publicly available at https://github.com/gHashTag/t27 under an open license.\n5. 边界层引发的标准物理信息神经网络失效：奇异摄动输运问题的Legendre小波配点基准 Boundary-Layer-Induced Failure of Standard Physics-Informed Neural Networks: A Legendre Wavelet Collocation Benchmark for Singularly Perturbed Transport Problems\n作者: Suvendu Nayak, Arun Kumar Gupta\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-08\narXiv ID: 2606.09676v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.09676v1\n摘要: Boundary layers provide a demanding test for numerical solvers because the solution may remain almost constant over most of the domain while changing rapidly in a narrow region near the boundary. This paper studies a singularly perturbed one-dimensional transport boundary-value problem with increasing Peclet number $(\\mathrm{Pe})$. A local Legendre wavelet collocation method (LWM) is compared with a standard soft-boundary physics-informed neural network (PINN) for this benchmark. The wavelet approximation uses locally supported Legendre polynomial basis functions and converts the problem into a square algebraic collocation system with residual, boundary, and interface-continuity equations. Numerical experiments are performed for $\\mathrm{Pe}=1,10,100,$ and $1000$. The LWM captures all four cases, with the largest error remaining below $5\\times 10^{-3}$. The standard soft-boundary PINN performs well for the mild cases but fails to resolve the sharp boundary layer for the larger Peclet numbers. The results show that local wavelet collocation is more reliable than the standard soft-boundary PINN for this benchmark, while dense near-boundary evaluation helps reveal errors that may be missed on coarse grids.\n6. 一种用于患者特异性斜视手术规划的眼部可微模拟 A Differentiable Simulation of the Eye for Patient-Specific Strabismus Surgery Planning\n作者: Even Harsigny, Pablo Alvarez, Michel Duprez, Stéphane Cotin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-08\narXiv ID: 2606.09661v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.09661v1\n摘要: Purpose: Up to 4% of adults will develop strabismus in their lifetime. The most common surgical intervention involves adjusting the length of one or more extraocular muscles to correct the angular deviation. This correction depends on surgical expertise and statistical reference tables, which often fail to yield optimal results for patients with atypical eye morphology. Our work proposes a physics-based modeling approach to personalized surgical planning, accounting for patient-specific eye anatomy. Methods: We built a physics-based simulator of the eye and its muscles, incorporating patient-specific geometry and Hill-type muscle biomechanics. We solve an optimization problem to find the surgical dosage that minimizes angular deviation. The model is implemented as a fully differentiable simulation, enabling efficient optimization. We validated the framework by comparing its predictions with standard surgical tables for emmetropic eyes before applying it to anatomically atypical virtual patients. Results: Our model\u0026rsquo;s predictions for emmetropic eyes were first validated, demonstrating a strong fit with standard surgical tables. More importantly, for high-myopia models, the framework computed a clinically significant increase in the required surgical dosage compared to standard eyes. This computed recession difference is highly relevant as surgical plans are adjusted in 0.5 mm increments. Conclusion: Our results show that our model provides a calibrated surgical plan that, unlike standard tables, also accounts for pathologies involving atypical eye shapes. This patient-specific model represents a step toward personalized surgical planning, with the potential to improve dosage accuracy and surgical outcomes for atypical cases.\n7. 贝叶斯反问题中的约束残差、图后验与行列式校正的全空间目标 Constraint residuals, graph posteriors, and determinant-corrected full-space targets in Bayesian inverse problems\n作者: Jonathon Cottom, Emilia Olsson\n类别: math.ST, cond-mat.stat-mech, math-ph, math.NA\n发布日期: 2026-06-08\narXiv ID: 2606.09594v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.09594v1\n摘要: Bayesian inverse problems constrained by state equations are often sampled in a full parameter-state space by penalising the residual, rather than in a reduced space where the state is eliminated. We show that these formulations are not automatically equivalent as posterior measures. For finite-dimensional discretisations of equality-constrained inverse problems, assume the state equation (c(θ,u)=0) has a unique solution (u=G(θ)) and nonsingular state Jacobian (\\D_u c). The reduced posterior, its graph lift, and the zero-noise residual posterior are then distinct. A local change of variables shows that an uncorrected Gaussian residual penalty converges, after marginalisation over (u), to the reduced density multiplied by (\\abs{\\det \\D_u c(θ,G(θ))}^{-1}). Thus algebraically equivalent residuals can define the same feasible set but different limiting posteriors. We derive determinant corrections for unweighted, weighted, and rescaled residual penalties that have the graph-lifted reduced posterior as their hard-constraint limit. The result separates feasibility from posterior calibration: driving the residual to zero is not sufficient for exact sampling of the graph-lifted reduced posterior unless the sampling or correction step targets the corresponding corrected density.\n8. 无度量黎曼优化 Metric-Free Riemannian Optimization\n作者: Jonas Püschel\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-06-08\narXiv ID: 2606.09465v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.09465v1\n摘要: Riemannian optimization provides a powerful framework for constrained optimization by incorporating problem-specific structure directly into the geometry of the search space. In many applications, however, the explicit evaluation or application of the Riemannian metric can be computationally expensive or numerically unstable, limiting the practical efficiency of otherwise well-founded algorithms. Motivated by such settings, this work investigates to what extent classical Riemannian optimization algorithms can be reformulated without explicitly applying the metric. We show that many first-order components of Riemannian optimization only rely on the differential of the objective function and access to the Riemannian gradient, but not on explicit metric application. Based on this observation, we develop metric-free formulations and generalize optimization approaches to Finsler and Banach manifolds. Numerical experiments demonstrate that the proposed metric-free strategies retain the effectiveness of their metric-dependent counterparts while significantly reducing computational overhead. These results highlight that a substantial portion of Riemannian optimization can be carried out independently of explicit metric application, broadening its applicability to problems with expensive or implicitly defined metrics.\n9. 残差伪谱揭示用于热带太平洋变率与ENSO预测的物理信息Koopman骨干 Residual Pseudospectra Reveal a Physics-Informed Koopman Backbone for Tropical Pacific Variability and ENSO Prediction\n作者: Paula Lorenzo-Sanchez, Matthew J. Colbrook, Antonio Navarra\n类别: math.NA, physics.ao-ph\n发布日期: 2026-06-08\narXiv ID: 2606.09369v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.09369v1\n摘要: Tropical Pacific sea-surface-temperature (SST) variability spans interacting timescales, with the ENSO as its dominant interannual expression. Yet the dynamical structure organizing this variability and underpinning extended-range predictability remains difficult to extract from high-dimensional observations. Koopman operator learning offers spectral coordinates for nonlinear dynamics, yet finite geophysical records often produce dense, sampling-sensitive spectra whose physical content is ambiguous. We show that this apparent redundancy reflects coherent operator-level structure. Combining kernel Extended Dynamic Mode Decomposition with residual minimization and pseudospectral analysis, we use the Koopman eigenvalue relation as a physics-informed consistency test to organize learned spectra. Applied to ERA5 and HadISST tropical Pacific SST anomalies, the residual landscape identifies 19 robust residual-minimum frequencies with coherent spatial modes that persist across products and sampling realizations. Together, these modes define a compact Koopman backbone spanning low-frequency modulation through quasi-biennial components, including ENSO-band variability. The surrounding spectral cloud is structured by integer powers and nonlinear combinations of this backbone, forming a residual-ordered Koopman hierarchy. The backbone reconstructs substantial Nino3.4 variance and enables skillful out-of-sample forecasts, with greatest gains at 8-18-month leads. By embedding dynamical consistency into physics-informed operator learning, the framework turns opaque spectra into robust, interpretable and predictive representations of tropical Pacific variability.\n10. 双曲化Cahn-Hilliard方程的正当化与结构和渐近保持离散 Justification and structure- and asymptotic-preserving discretizations of a hyperbolized Cahn-Hilliard equation\n作者: Jan Giesselmann, Fabio Leotta, Hendrik Ranocha, Jochen Schuetz\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-08\narXiv ID: 2606.09299v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.09299v1\n摘要: We study a hyperbolic approximation (\u0026ldquo;hyperbolization\u0026rdquo;) of the Cahn-Hilliard (CH) equation, originally proposed by Dhaouadi, Dumbser, and Gavrilyuk (2025, DOI: 10.1098/rspa.2024.0606) and study its convergence towards the CH model in a relaxation limit both via formal asymptotic expansions and, for a slightly modified approximation, via the relative energy framework. Moreover, we develop energy-stable semidiscretizations of the CH equation and of this hyperbolization using upwind summation-by-parts operators in space. Subsequently, we combine them with (additive) implicit-explicit (IMEX) Runge-Kutta methods based on a convex-concave splitting. We show that the resulting method is asymptotic preserving, i.e., it converges in the limit of the relaxation parameter to a stable discretization of the original CH equation. The choice of the necessary parameters is guided by the a priori error estimate based on the relative energy framework.\n11. 风险规避型偏微分方程约束优化的多水平随机梯度下降 Multilevel Stochastic Gradient Descent for Risk-Averse PDE-Constrained Optimization\n作者: Niklas Baumgarten, Philipp A. Guth, David Schneiderhan, Tommaso Vanzan\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-06-08\narXiv ID: 2606.09291v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.09291v1\n摘要: We present recent advances in applying and analyzing multilevel stochastic gradient descent algorithms to risk-averse, three-dimensional PDE-constrained optimization problems. The algorithm uses adaptive multilevel Monte Carlo gradient estimates, provides parallel scalability as well as improved convergence rates and computational complexity compared to standard batched stochastic gradient descent methods. We study the method in computationally demanding settings using three-dimensional elliptic diffusion problems and large risk-aversion parameters.\n12. 一种基于八叉树的自适应隐式物质点方法 An implicit octree-based adaptive Material Point Method\n作者: Robert E. Bird, William M. Coombs, Charles E. Augarde, Ted J. O\u0026rsquo;Hare\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-08\narXiv ID: 2606.09275v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.09275v1\n摘要: The Material Point Method provides an effective approach for modelling the large deformations that often arise from contact interactions between rigid structures and surrounding continua. However, solving these problems requires accurate representation of the continuum-structure interface, which necessitates high resolution background mesh and material point discretisations. This requirement, combined with evolving continuum-structure interfaces and the fact that most Material Point Method implementations are dependent on structured meshes, can result in large numerical systems and long run times especially when modelling problems in three-dimensions. Motivated by this issue, this paper provides the first octree-based implicit Material Point Method for efficient solution of large deformation continuum-structure interaction problems. The octree background mesh provides a natural way to automatically adapt both the computational mesh and the material point discretisation based on the position of the interaction between the structure and continuum. The new approach is demonstrated on a number of large deformation benchmark and continuum-structure interaction problems, where up to a 5.5-times speed up and a consequent 21-times CO2 saving is achieved when running on a HPC compared to results obtained using a conforming mesh.\n13. 驯服有限元方法对乘性噪声驱动的超线性随机偏微分方程的时间一致强误差估计 Uniform-in-time Strong Error Estimates of Tamed-FEM to Superlinear SPDEs driven by Multiplicative Noise\n作者: Jingjing Cai, Zhihui Liu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-08\narXiv ID: 2606.09173v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.09173v1\n摘要: We establish sharp, uniform-in-time strong error estimates for a nonlinearity-explicit tamed finite element method (FEM) applied to a class of superlinear stochastic partial differential equations (SPDEs) driven by multiplicative noise, including the stochastic Allen\u0026ndash;Cahn equation with a moderately thick interface. This tamed-FEM was first introduced in [Z. Liu and J. Shen, arXiv:2502.19117] to ensure long-time unconditional stability and to preserve the Lyapunov structure of this class of SPDEs. We further prove that the scheme is exponentially ergodic and derive the convergence rate between the exact invariant measure and its numerical counterpart in the Wasserstein-2 distance. Finally, we present numerical experiments that verify the ergodicity as well as the sharpness and time-independence of the strong convergence rates for this tamed-FEM.\n14. 具有记忆的部分耗散粘弹性Timoshenko系统的高阶正则性与全离散傅里叶谱方法 High-Order Regularity and a Fully Discrete Fourier Spectral Method for a Partially Dissipative Viscoelastic Timoshenko System with Memory\n作者: Zhenyang Zhong, Hui Liang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-08\narXiv ID: 2606.09007v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.09007v1\n摘要: This paper investigates a class of partially dissipative viscoelastic Timoshenko systems with memory, where dissipation is induced by a Volterra-type memory term acting only on the shear variable. The well-posedness of weak and strong solutions is established on finite time intervals, including existence, uniqueness, stability, and higher-order regularity under compatibility conditions consistent with mixed boundary conditions. For the numerical approximation, a Fourier spectral fully discrete scheme is constructed: sine and cosine basis expansions are used in space for unknowns satisfying Dirichlet and Neumann boundary conditions, respectively; in time, a central difference scheme is applied to the second-order derivatives, and the composite trapezoidal rule is used to approximate the memory convolution term. Based on a discrete energy method, the positivity of the constructed discrete energy is proved, and the error estimate for the fully discrete scheme with second-order convergence in time and (q)-th order in space is established for any q \\in \\mathbb{N}. Numerical experiments are given to verify the theoretical convergence rates and to compare the dynamic responses of the local and nonlocal models, demonstrating that the memory term effectively captures energy dissipation and vibration attenuation behavior in viscoelastic materials.\n15. 用无矩阵多尺度 Robin 预条件子加速 GMRES Accelerating GMRES with Matrix-Free Multiscale Robin Preconditioners\n作者: Dilong Zhou, Rafael T. Guiraldello, Felipe Pereira, Fabrício S. Sousa\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-07\narXiv ID: 2606.08883v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.08883v1\n摘要: We propose a matrix-free right-preconditioning strategy for the Generalized Minimal Residual (GMRES) method based on the Multiscale Robin Coupled Method with oversampling (MRCM-OS) for the numerical solution of elliptic problems arising in subsurface flow. The resulting preconditioner is constructed through local subdomain solves with oversampling and smoothing, and can be applied without explicit assembly of the global operator. After a careful presentation of the new procedure, it is used in extensive numerical experiments. Our results demonstrate that the proposed approach substantially reduces iteration counts across a range of challenging, high-contrast subsurface flow problems. In many cases, convergence is obtained in one or two GMRES iterations when oversampling and smoothing are employed. The results indicate that combining GMRES with multiscale Robin-based operators is a promising direction for the construction of rapidly convergent preconditioning strategies.\n16. 带秩1格点与双曲交叉的傅里叶神经算子 Fourier Neural Operators with rank-1 lattice points and hyperbolic cross\n作者: Jakob Dilen, Alexander Keller, Frances Y. Kuo, Dirk Nuyens\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-06-07\narXiv ID: 2606.08871v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.08871v1\n摘要: The \\emph{Fourier neural operator} (FNO) is a neural network architecture that learns mappings between function spaces. Its efficient implementation is based on the multi-dimensional Fourier transform. By deriving general regularity bounds for the FNO with respect to both the spatial and parametric variables, we prove that the generalization error of the FNO can be improved by replacing spatial tensor product grids with purpose-built rank-1 lattice points, and by using a second lattice carefully constructed as training points in the parametric space. We achieve more accurate and efficient approximations from fewer network parameters, fewer spatial points, and fewer training samples. In addition, the architecture is simplified, because the high-dimensional Fourier transform on rank-1 lattices requires only a \\emph{one-dimensional fast Fourier transform}, and we can use a \\emph{hyperbolic cross} frequency index set with lattice points. We demonstrate the benefits of our \\emph{lattice-based hyperbolic-cross FNOs} for an elliptic PDE on the torus.\n17. 面向有限元模拟的低方差随机数值线性代数 Low-Variance Randomised Numerical Linear Algebra for Finite Element Simulation\n作者: N. Polydorides, Y. Wu, . H. Noori, H. Vandierendonck, R. Woods\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-07\narXiv ID: 2606.08817v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.08817v1\n摘要: We present a low-variance randomised numerical linear algebra approach for multi-query finite element systems arising from parametric elliptic partial differential equations with applications to digital twins and online model calibration. The method relies on Galerkin subspace projection for reducing the dimensionality, and then combines parameter-oblivious leverage-score Bernoulli sampling with a control variates scheme to yield a reduced-variance forward' sketch and an invertible inverse\u0026rsquo; sketch that are then fused to a single efficient regularised estimator. Effectively, this reduces the computational cost in computing the projected system of equations while preserving the structure, stability, and accuracy of the underlying FEM formulation. We derive probabilistic bounds for the sketching error, invertibility, and estimator variance, and then validate the method on large-scale example problems. The results show that when the parameter fields do not vary too sharply, the synergy of control variates together with the sketch fusion can largely offset the loss incurred by the sub-optimal parameter-oblivious sampling. In this regime, our method achieves substantial savings in time, memory, and communication while maintaining accuracy levels that are acceptable for scientific simulation.\n18. OptMuon：用于随机优化且具有零噪声最优性的闭环正交化动量方法 OptMuon: Closed-Loop Orthogonalized Momentum Methods for Stochastic Optimization with Zero-Noise Optimality\n作者: Ganzhao Yuan\n类别: math.OC, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-06-07\narXiv ID: 2606.08783v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.08783v1\n摘要: Orthogonalized momentum updates, as used in Muon-style optimizers, have recently shown strong empirical stability in large-scale deep learning. However, existing orthogonalized methods are typically paired with constant or open-loop magnitude rules, and therefore do not explicitly calibrate their update magnitudes from the observed optimization trajectory. Motivated by the closed-loop perspective behind Lipschitz-free and noise-adaptive methods, we propose OptMuon, a family of adaptive momentum orthogonalization methods for stochastic nonconvex optimization. OptMuon combines Muon-style polar-factor directions with a trajectory-dependent AdaGrad-Norm-type coefficient schedule, so that the update magnitude is determined by the observed gradient and momentum history rather than by a prescribed Lipschitz-dependent rule. The schedule does not use the smoothness constant, the variance level, or the bounded-gradient constant in parameter selection, and its running-maximum correction prevents isolated gradient spikes from causing excessive coefficient collapse. Under lower-boundedness, unbiased stochastic gradients with bounded variance, smoothness, and an almost-sure bounded stochastic-gradient condition, we prove two complementary guarantees. OptMuon-A achieves the noise-adaptive rate (\\tilde{\\mathcal O}(T^{-1/2}+σ^{1/2}T^{-1/4})) under average smoothness, while OptMuon-I achieves (\\tilde{\\mathcal O}(T^{-1/2}+σ^{1/3}T^{-1/3})) under individual smoothness. In the zero-noise regime, both bounds automatically reduce to a nearly optimal deterministic first-order rate (\\tilde{\\mathcal O}(T^{-1/2})) without manual hyperparameter retuning. These results show that closed-loop scalar adaptation can be combined with Muon-style momentum orthogonalization while retaining noise adaptivity and zero-noise optimality up to logarithmic factors.\n19. 基于有限转置法的倒向随机微分方程数值分析 Numerical Analysis on Backward Stochastic Differential Equations by Finite Transposition Method\n作者: Penghui Wang, Yanqing Wang, Xu Zhang\n类别: math.PR, math.NA\n发布日期: 2026-06-07\narXiv ID: 2606.08731v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.08731v1\n摘要: In this paper, we propose a finite transposition method to solve backward stochastic differential equations (BSDEs, for short). Based on the transposition solution theory for BSDEs, our method offers a promising way of efficiently computing solutions, which can be regarded as an analogous method for BSDEs as the classical finite element method for partial differential equations. Our method has the advantage of easily computable conditional expectations.\n20. 组合逼近可严格优于叠加逼近 Compositional Approximation Can Strictly Outperform Superpositional Approximation\n作者: Dennis Elbrächter, Philipp Petersen\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-06-07\narXiv ID: 2606.08727v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.08727v1\n摘要: Many classically studied function classes are known to be approximated optimally by superpositional methods, i.e. with approximants constructed as the linear combination of elements in some dictionary. Here optimality means that the uniform approximation error viewed as a function of the number of parameters used has polynomial decay of the highest order achievable by any parametrized method whose parameters can be encoded as a bit string of length proportional, up to logarithmic factors, to the number of parameters. While compositional methods like neural networks are structurally different, their approximation rates can be made comparable by imposing constraints that ensure such a proportional bit string encoding. In this work we study function classes exhibiting structural properties that limit superpositional approximation rates to be strictly lower than compositional approximation rates. In particular, we construct explicit examples for which there is an arbitrarily large gap.\n21. 利用内部测量同时恢复非局部扩散方程的多参数 Simultaneous recovery of multiple parameters in nonlocal diffusion equations from internal measurements\n作者: Kai Yu, Zhiyuan Li, Yikan Liu\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-06-07\narXiv ID: 2606.08699v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.08699v1\n摘要: This paper is devoted to simultaneously recovering multiple parameters from internal measurements for nonlocal diffusion equations. The uniqueness of the inverse problem is established by employing the asymptotic behavior of solutions, analytic continuation, the Laplace transform, and properties of analytic functions. For numerical reconstruction, we apply the Levenberg-Marquardt method to obtain a stable approximate solution of the inverse problem. Numerical examples are provided to demonstrate the efficiency of the proposed algorithm and to validate our theoretical findings.\n22. ND-TNN：高维非局部扩散模型的张量神经网络逼近 ND-TNN: Tensor-Neural-Network Approximation for High-Dimensional Nonlocal Diffusion Models\n作者: Ziyue Cai, Zuoqiang Shi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-07\narXiv ID: 2606.08685v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.08685v1\n摘要: We study a numerical method, built on the tensor neural network (TNN) architecture introduced in \\cite{wang2022tensor}, for solving nonlocal diffusion models in high-dimensional spaces. The tensor-product structure of the TNN ansatz, combined with the separability of the Gaussian kernel, reduces the high-dimensional integrals in the nonlocal energy to products of low-dimensional integrals, which are evaluated by Gauss\u0026ndash;Legendre quadrature; nonseparable source and boundary data are handled by a TNN-based preconditioning step. For the Dirichlet boundary condition, we establish the asymptotically compatible $L^2$ error estimate [ |u_{\\mathrm{loc}}-u_{δ,p}|{L^2(Ω)} \\le C!\\left(\\frac{\\varepsilon_f}{\\sqrtδ} +\\frac{\\varepsilon_g}δ +\\frac{\\varepsilon_u}{\\sqrtδ} +η{\\mathrm{opt}}\\right) +C\\sqrtδ, ] where $\\varepsilon_f$, $\\varepsilon_g$ and $\\varepsilon_u$ are the data and trial-class approximation errors and $η_{\\mathrm{opt}}$ is the optimization residual. For the Neumann boundary condition, the $L^2$ estimate is improved to $O(\\varepsilon_f+\\varepsilon_g/\\sqrtδ+\\varepsilon_u +η_{\\mathrm{opt}}+δ)$, and an $H^1$ gradient estimate is further obtained through a smoothing post-processing step. Numerical experiments on tensor-product domains up to $d=20$ support the theoretical results, and additional tests on two- and three-dimensional $L$-shaped domains demonstrate the practical robustness of the method beyond the smooth-domain setting covered by the analysis.\n23. 二维不可压缩Navier-Stokes方程的算子学习：数据稀缺情形下的共形预测方法 Operator learning for the 2D incompressible Navier-Stokes equations: a conformal prediction approach in the data-scarce regime\n作者: Weinan Wang, Bowen Gang, Hao Deng\n类别: cs.LG, math.AP, math.NA, stat.AP\n发布日期: 2026-06-07\narXiv ID: 2606.08654v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.08654v1\n摘要: In this paper, we propose a perturbation-based conformal prediction framework for uncertainty quantification in operator learning, with a focus on the 2D Navier\u0026ndash;Stokes equations. While neural operators provide fast surrogates for expensive PDE solvers, they do not by themselves provide calibrated uncertainty for spatiotemporal field predictions. Our approach wraps a trained Fourier Neural Operator (FNO) with split conformal prediction and constructs the local uncertainty scale by comparing the predictions of two operators trained on nearly identical datasets: one on the original labels and one on labels perturbed by small Gaussian noise. We consider this procedure in the data-scarce regime, where the total label budget is fixed and methods that require a separate uncertainty network must divide training data between multiple models. On the 2D Navier\u0026ndash;Stokes benchmark, the perturbation-based method produces substantially narrower conformal bands than existing methods under matched total data budgets while maintaining the target simultaneous coverage. These results suggest that perturbation sensitivity is a practical and sample-efficient uncertainty proxy for conformalized neural operators.\n24. 多尺度傅里叶神经算子用于高振荡介质中的波动反散射 Multiscale Fourier Neural Operator for Inverse Wave Scattering in Highly Oscillatory Media\n作者: Zilin You, Zhenli Xu, Wei Cai\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-07\narXiv ID: 2606.08448v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.08448v1\n摘要: In this paper, we propose an operator learning method based on the multiscale Fourier neural operator (MscaleFNO) for inverse medium problems of Helmholtz equations. The MscaleFNO provides a neural surrogate model with reduced spectral bias for the Helmholtz equations, mapping highly oscillatory medium profiles to scattered wavefields. A plug-and-play inversion using elucidated diffusion model is introduced to regularize the inverse solver based on least squares of data misfits. Numerical results for partial aperture inversion of oscillatory two-dimensional media demonstrate the advantage and effectiveness of MscaleFNO for accurate reconstruction of highly oscillatory medium properties.\n25. 自定义精度的浮点自动调优 Floating-point autotuning with customized precisions\n作者: Xinye Chen, Thibault Hilaire, Fabienne Jézéquel\n类别: cs.MS, math.NA\n发布日期: 2026-06-06\narXiv ID: 2606.08339v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.08339v1\n摘要: Reduced-precision arithmetic offers significant opportunities to improve performance, memory usage, and energy efficiency in numerical applications, provided that numerical accuracy is preserved. This work investigates automated precision tuning through customized floating-point formats with user-defined exponent and significand sizes, enabling the emulation of emerging low-precision formats and the exploration of non-standard precision configurations within a unified mixed-precision framework. The proposed methodology, implemented in the PROMISE precision autotuning tool, combines numerical validation with a systematic search to generate program variants that satisfy user-defined accuracy requirements. To address the computational cost of this exploration, a containerized benchmarking framework supports parallel execution across multiple algorithms and parameter configurations. The approach is evaluated on a suite of numerical programs, including linear solvers and applications from the Rodinia benchmark. Results show that a substantial proportion of variables can be safely reduced to lower precision while preserving accuracy, indicating that standard double precision is often over-provisioned. These findings highlight the potential of automated precision tuning to derive efficient mixed-precision configurations tailored to application-specific accuracy requirements.\n26. 用于刚性高维常微分方程的稳定且可扩展的概率数值求解器 Stable and Scalable Probabilistic Numerical Solvers for Stiff and High-Dimensional ODEs\n作者: Nathanael Bosch\n类别: math.NA, cs.LG, stat.ML\n发布日期: 2026-06-06\narXiv ID: 2606.08203v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.08203v1\n摘要: Filtering-based probabilistic numerical solvers for ordinary differential equations (ODEs) have been established as a flexible and efficient simulation framework with built-in numerical uncertainty quantification. However, problems that are both stiff and high-dimensional remain a challenge, as current methods are either stable and have cubic cost in the ODE dimension, or scale linearly at the expense of stability. In this paper, we close this gap and develop probabilistic ODE solvers that are both stable and scalable. We propose two complementary strategies. First, we develop a matrix-free update step that uses Jacobian-vector products, iterative linear solvers, and stochastic covariance estimation to enable linear scaling, all while retaining stability. Second, we propose iterative re-linearization to further improve stability without sacrificing scalability, turning probabilistic ODE solvers into fully implicit methods. We evaluate the proposed approaches on a range of stiff and high-dimensional problems and demonstrate improved stability and scalability over established probabilistic solvers.\n27. 四元数最大体积子矩阵选择及其在多通道成像与视觉数据中的应用 Quaternion Maximum-Volume Submatrix Selection with Applications to Multichannel Imaging and Visual Data\n作者: Vsevolod Kliushev, Junjun Pan, Valentin Leplat\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-06\narXiv ID: 2606.08175v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.08175v1\n摘要: Low-rank approximation based on selected rows and columns is a useful alternative to singular value decompositions when the goal is an interpretable and compact matrix representation. A standard way to choose these rows and columns is the maximum-volume principle: it selects submatrices with large volume, which usually leads to stable interpolation coefficients and accurate CUR-type approximations. In this paper, we study this idea for quaternion matrices. This setting is natural for color images, three-dimensional motion data, and multi-channel signals, but requires care because quaternion multiplication is noncommutative. We define quaternion maximum-volume submatrix selection using quaternion singular values and the Study determinant. We then derive quaternion rank-one update formulas and use them to build two selection procedures: a greedy square-core method for row and column replacement, and a rectangular method that enlarges a selected row set until the interpolation coefficients are controlled. We prove that successful row and column swaps increase the quaternion volume of the selected square core when the exact quaternion inverse is used. We also connect the stopping criterion with quasi-dominance, prove an exact quaternion CUR identity in the full-rank case, and derive an interpolation stability bound. For the rectangular case, we derive an append-row pseudoinverse update and show how it gives a natural right preconditioner for overdetermined quaternion least-squares problems. Finally, we illustrate the methods on three applications: quaternion CUR approximation of RGB images, RectMaxVol-based preconditioning for ill-conditioned quaternion least-squares systems, and row selection in quaternion motion-capture data. The experiments show that the proposed quaternion MaxVol and RectMaxVol methods provide stable and efficient selection routines.\n28. AttentionCap: 基于Transformer的电容矩阵学习面向全芯片提取 AttentionCap: Transformer Based Capacitance Matrix Learning Toward Full-Chip Extraction\n作者: Jiechen Huang, Hector R. Rodriguez, Dingcheng Yang, Zuochang Ye, Yibo Lin, Wenjian Yu\n类别: cs.LG, cs.AR, math.NA\n发布日期: 2026-06-06\narXiv ID: 2606.08161v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.08161v1\n摘要: As capacitance extraction accuracy of rule-based pattern matching becomes difficult to sustain at advanced nodes, a growing trend emerges to develop deep-learning-based 2D capacitance models. However, existing MLP- and CNN-based methods constrain their input to fixed metal-layer combinations in a specific process node, limiting their usability in practice. Recognizing the inherent similarity between capacitance matrix and the prevailing attention mechanism, we propose AttentionCap, a customized Transformer for capacitance matrix learning, with a Gram representation framework, a physics-aligned symmetric-attention output layer, and a novel normalized Laplacian loss. We also introduce a process-node embedding to enable multi-node learning. Trained on synthetic data, AttentionCap attains 0.67%/3.99% self/coupling-capacitance error on unseen real designs under a multi-layer and multi-node setting, surpassing the CNN-Cap baseline with 4.6$\\times$/5.7$\\times$ lower self/coupling error and 192$\\times$ faster inference speed. A pretrained AttentionCap accurately transfers to an unseen node with only 5K samples and 4K finetuning steps. With sufficient accuracy on unseen real designs and strong transferability to new process nodes, AttentionCap offers highly practical value for modern EDA workflows. Code and data are available at https://github.com/THU-numbda/AttentionCap.\n29. 软化塑性中的应变局部化，无需修改标准本构模型：一种可变形Cosserat方法 Strain localization in softening plasticity without modifying standard constitutive models: a deformable Cosserat approach\n作者: Andrea Panteghini, M. B. Rubin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-06\narXiv ID: 2606.08095v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.08095v1\n摘要: This paper presents a formulation for strain localization in softening plasticity based on a deformable Cosserat model. The approach enables the direct use of standard elastoplastic constitutive models formulated for a classical Cauchy continuum, without modifying the stress update algorithm or consistent tangent operator. A key feature of the framework is the strict separation of dissipative and energetic mechanisms: all dissipation is confined to the macro-continuum, while the micro-continuum contributes only through linear elastic terms associated with the director field. As a result, the constitutive structure of the elastoplastic model is preserved, and existing models can be employed as black-box components. The internal length scale arises naturally from the micro-continuum and governs the development, interaction and selection of localization patterns, rather than acting as a diffusive parameter. The formulation is easy to implement within standard finite element frameworks, requiring only additional linear contributions to the residual and tangent operators. The performance of the approach is assessed through benchmark problems involving shallow foundations on soil, a demanding test due to complex and unstable localization mechanisms. Both Tresca and Matsuoka-Nakai plasticity models are considered, including cases with highly unstable post-peak responses. Numerical results show convergence of load-displacement responses, dissipated energy and shear-band patterns upon mesh refinement, even in the presence of nonlinear interacting localization processes. These findings demonstrate a robust and physically consistent approach for the analysis of strain localization in softening plasticity.\n30. 基于分裂变分量子算法的非线性狄拉克方程数值解 Numerical solution of the nonlinear Dirac equation by a splitting variational quantum algorithm\n作者: Qian Zuo, Ying He, Xiaofei Zhao\n类别: quant-ph, math.NA\n发布日期: 2026-06-06\narXiv ID: 2606.08053v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.08053v1\n摘要: In this work, we propose an operator-splitting variational quantum algorithm, termed Dirac-sVQA, for simulating the nonlinear Dirac equation (NLDE). The main difficulty arises from the state-dependent nonlinear interaction, its time-discrete update depends explicitly on the intermediate spinor state and, in general, cannot be implemented as a fixed state-independent unitary circuit. To address this difficulty, we decompose the NLDE evolution into a structured linear Dirac substep and a nonlinear variational correction. The linear substep is implemented by a spinor-Fourier Dirac propagator on a joint position-spin register, preserving the spin-momentum coupling and mass-induced spin evolution of the Dirac operator. The nonlinear correction is reformulated as a measurement-based variational update through a small set of overlap, self-channel, and cross-channel observables. We provide the corresponding quantum circuits and derive measurement-aware resource and complexity estimates. Numerical experiments in several nonlinear regimes show that Dirac-sVQA accurately captures both the total density and the componentwise spinor dynamics, agrees well with classical Fourier pseudospectral splitting solutions, and exhibits stable error behavior over time. These results provide numerical evidence for the feasibility of operator-splitting variational quantum simulation for nonlinear relativistic wave equations.\n31. 带约束的极大似然估计与最小二乘问题中的拉格朗日乘子 Lagrange multipliers in Maximum likelihood estimations and Least squares problems with Constraints\n作者: Takeshi Fukasawa\n类别: econ.EM, math.NA, stat.CO\n发布日期: 2026-06-06\narXiv ID: 2606.07984v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.07984v1\n摘要: This study investigates a statistical property of Lagrange multipliers in constrained Maximum Likelihood Estimation (MLE) and Least Squares (LS) problems from the perspective of numerical optimization. Building on large-sample theory, we show that the associated Lagrange multipliers converge to zero as the sample size increases, provided the distribution is correctly specified in MLE or the residuals are normally distributed in LS. Although this asymptotic behavior has long been recognized in statistics, it has received little explicit attention in numerical optimization and has rarely been exploited in algorithmic design. Importantly, the insight extends beyond classical low-dimensional settings: even in modern high-dimensional applications, such as deep learning, where the number of parameters may exceed the sample size, the same reasoning applies provided the generalization performance is good. This observation has two main implications. First, many constrained optimization algorithms, including the Augmented Lagrangian Method, Sequential Quadratic Programming, and Interior Point methods, require initial values for the multipliers, and choosing zero is statistically justified. Numerical experiments for constrained regressions and dynamic discrete choice model estimations support this implication by showing that initializing multipliers at zero usually lead to stable and efficient performance. Second, penalty-based approaches that convert constrained problems into unconstrained ones can perform well when the true multipliers are small. This helps explain why penalty-based methods often perform well in practice.\n32. 一种用于改进型狄利克雷特征值最小化器的新的水平集公式 A New Level Set Formulation for Improved Dirichlet Eigenvalue Minimizers\n作者: Atharv Thakur\n类别: math.NA, math.AP, math.OC\n发布日期: 2026-06-06\narXiv ID: 2606.07979v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.07979v1\n摘要: This paper makes several improvements to existing level set based approaches to computing shape optimizers for the Dirichlet eigenvalues subject to a volume constraint. The most notable changes in formulation include an overhaul of the classical level set construction and root-finding procedures as well the use of a regularized approximation to the standard objective function. Our resulting computational minimizers are either comparable to or improvements on the best known minimizers from the literature. We conclude with a survey of subproblems within the field that may benefit from numerical experiments; these include the existence of cusps on the boundary, the end-behavior of eigenfunction weights in the p-parameterized problem, and the nature of Weyl asymptotics as they relate to the Pólya conjecture.\n33. 用于无穷维主方程的测度一致算子学习方法 A Measure-Consistent Operator Learning Method for Infinite-Dimensional Master Equations\n作者: Chenyao Wang, Hongyu Liu, Hui Liang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-06\narXiv ID: 2606.07976v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.07976v1\n摘要: Master equations in mean field game theory characterize feedback value functions that depend on time, state (space), and the population distribution. Their numerical approximation is challenging because the unknown is defined on a space of probability measures and the equation involves intrinsic measure derivatives and nonlocal population terms. This paper proposes a measure-consistent operator learning method (MCOL) for infinite-dimensional master equations. The population distribution is represented by an empirical measure and encoded through a symmetric pooling structure, so that the network input is built directly from the particles representing the measure. The same particles are used in the empirical quadrature of the nonlocal residual terms, avoiding additional quadrature grids or auxiliary integration points. A key feature is that the intrinsic derivative appearing in the residual is induced by the same measure-dependent representation that defines the approximation of the value function. Consequently, the value function, its measure derivative, and the empirical residual are tied to a common measure representation, leading to a structurally coupled value-derivative approximation. We also introduce an error decomposition separating neural approximation error from empirical discretization error. Numerical experiments on several master equations show that MCOL accurately approximates the value function, intrinsic measure derivatives, and feedback quantities, and remains robust under changes in the input measures.\n34. 关于子空间上外心反射方法的精确线性收敛速率 On the sharp linear convergence rate of the circumcentered\u0026ndash;reflection method on subspaces\n作者: Yunier Bello-Cruz\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-06-05\narXiv ID: 2606.07888v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.07888v1\n摘要: For two subspaces $U,V\\subseteq\\RR^n$, the circumcentered\u0026ndash;reflection method (CRM) of Behling, Bello-Cruz, and Santos~\\cite{BBS2018} computes the projection onto $U\\cap V$ using only the reflections across $U$ and $V$, with known linear-convergence rate $c_F$, the cosine of the Friedrichs angle. We prove that, when CRM is initialized in $V$, it contracts at the strictly smaller rate $ρ_V=(\\sin^2θ_p-\\sin^2θ_F)/(\\sin^2θ_p+\\sin^2θ_F)$, where $θ_F\\in(0,π/2]$ is the Friedrichs angle and $θ_p\\in[θ_F,π/2]$ the largest principal angle between $U$ and $V$. The bound is sharp, attained on an explicit ray in $V$, and optimal among parameter-free single-step iterations. The constant itself is not new: Bauschke, Bello-Cruz, Nghia, Phan, and Wang~\\cite{BBNPW2016} identified it as the optimal rate of the relaxed alternating-projection family and of their adaptive linesearch map $B_T$. Our contribution is that the parameter-free geometric circumcenter attains it as well, via Kantorovich\u0026rsquo;s inequality applied to a single self-adjoint operator on $V$. Restricted to $V$, CRM coincides pointwise with the linesearch maps $A_T$ and $B_T$ from the Gubin\u0026ndash;Polyak\u0026ndash;Raik framework~\\cite{GPR1967}. We further prove $ρ_V","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-06-09_06-45-43/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年06月09日 06:45:43\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 6\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 34\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-多边形网格上椭圆界面问题的混合扩展虚拟元方法\"\u003e1. 多边形网格上椭圆界面问题的混合扩展虚拟元方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eA Mixed Extended Virtual Element Method for Elliptic Interface Problems on Polygonal Meshes\u003c/p\u003e","title":"2026年06月09日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年06月08日 07:21:04\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 2\n不相关论文数量: 17\n重点关注论文（完整分析） 1. 穿孔域中线性弹性方程的自适应多尺度模型降阶 Adaptive multiscale model reduction for linear elasticity equation in perforated domains\n作者: Wei Xie, Eric Chung, Yin Yang, Yunqing Huang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-05\narXiv ID: 2606.06839v1\n摘要翻译: 本文提出了一种约束能量最小化广义多尺度有限元方法（CEM-GMsFEM），用于求解非均匀穿孔域中的线性弹性问题。大量穿孔的存在为计算域引入了多个尺度，使得直接细网格模拟在计算上非常昂贵。所提出的方法遵循 CEM-GMsFEM 的标准离线——在线分解。在离线阶段，在粗单元上求解局部谱问题以构造辅助空间，然后在过采样区域上计算局部能量最小化基函数，以捕捉由穿孔引起的细尺度几何信息。在线阶段，在扩大的粗邻域中构造残差驱动的基函数，以纳入源项信息并自适应地提高多尺度近似的精度。我们为离线和在线阶段都建立了收敛性结果。具体地，我们推导了局部多尺度近似的误差估计，并证明了自适应在线增强算法的收敛性。此外，我们证明了在线阶段使用的过采样区域可以在局部确定，从而在保持收敛性的同时降低计算成本。对不同几何构型的穿孔介质的数值实验展示了所提出方法的准确性和效率。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.06839v1\n1. 研究对象和背景 本文研究穿孔域（perforated domain）上的线性弹性（linear elasticity）问题。穿孔域是指从有界区域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$（$d=2,3$）中移除大量随机分布的小穿孔后得到的区域 $\\Omega^\\varepsilon$，穿孔的并集记为 $B^\\varepsilon$，其特征尺度 $\\varepsilon$ 远小于区域直径。在实际中，此类构型广泛存在于多孔介质流动、复合材料、油气开采等领域，其中固相骨架的力学响应可通过线性弹性方程描述。由于穿孔引入复杂的多尺度几何特征，直接数值模拟（如有限元法）需要极细的网格解析所有穿孔边界，导致巨大的计算量甚至无法承受。因此，开发能够有效降阶并保持精度的多尺度计算方法具有重要的理论与实际意义。\n控制方程为非线性弹性问题简化后的线性化形式，具体为：\n$$ \\begin{cases} -\\nabla\\cdot \\sigma(u) = f, \u0026 \\text{in } \\Omega^\\varepsilon,\\\\ \\sigma(u) = 2\\mu \\varepsilon(u) + \\lambda (\\nabla\\cdot u)\\mathbf{I},\\\\ \\varepsilon(u) = \\frac{1}{2}(\\nabla u + (\\nabla u)^T),\\\\ \\sigma(u)\\cdot n = 0, \u0026 \\text{on } \\partial B^\\varepsilon \\cap \\partial \\Omega^\\varepsilon,\\\\ u = 0, \u0026 \\text{on } \\partial \\Omega \\cap \\partial \\Omega^\\varepsilon, \\end{cases} $$其中 $u$ 为位移向量场，$\\sigma$ 和 $\\varepsilon$ 分别为应力和应变张量，$\\mu, \\lambda \u003e 0$ 为拉梅（Lamé）常数，$\\mathbf{I}$ 为单位张量，$n$ 为单位外法向量。在穿孔边界上施加零牵引条件（自由表面），外部边界施加齐次 Dirichlet 条件。定义函数空间 $V = \\{v\\in [H^1(\\Omega^\\varepsilon)]^d : v|_{\\partial\\Omega^\\varepsilon\\cap\\partial\\Omega}=0\\}$，则弱形式为：求 $u\\in V$ 满足\n$$a(u, v) = \\int_{\\Omega^\\varepsilon} \\big(2\\mu\\varepsilon(u):\\varepsilon(v) + \\lambda \\nabla\\cdot u \\,\\nabla\\cdot v\\big) = \\int_{\\Omega^\\varepsilon} f v, \\quad \\forall v\\in V.$$设细网格尺寸 $h$ 充分小以解析穿孔几何，对应的有限元空间 $V_h$ 用分片双线性（$Q_1$）元构成。但求解细网格代数系统代价高昂。为此，本文采用约束能量最小化广义多尺度有限元法（CEM-GMsFEM）框架，在粗网格 $T^H$（$h\\ll\\varepsilon\\ll H$）上构造多尺度逼近空间 $V_{ms}\\subset V_h$，并求解 $u_{ms}\\in V_{ms}$ 使得 $a(u_{ms},v)=(f,v), \\forall v\\in V_{ms}$。\n已有研究主要沿两条路线展开：一类是推导等效宏观模型，如渐近均质化（homogenization）方法 [1, 25, 8]、异质多尺度方法（HMM）[35, 36, 24] 和多连续体均质化 [18, 9, 37, 40, 27]；另一类是构造特殊的多尺度基函数直接对粗网格离散，例如广义有限元法（GFEM）[4, 2]、多尺度有限元法（MsFEM）[26, 28, 29, 6]、广义多尺度有限元法（GMsFEM）[17, 13, 15, 32, 39, 38]、局部正交分解（LOD）[31, 7] 以及 CEM-GMsFEM [11, 21, 10, 33, 34, 41, 16]。其中，CEM-GMsFEM 通过在每个粗网格块上求解局部谱问题生成辅助空间，再在延拓区域上求解能量最小化问题得到多尺度基函数，能够较精确地刻画局部异质特征，且具备指数衰减的局部化性质。为提升精度，残差驱动的在线基函数（online basis functions）被引入以捕捉未解析的源项与误差信息 [12, 20]。\n本文在该框架下发展了一种自适应多尺度模型降阶方法，并给出了完整的理论分析。具体地，离线（offline）阶段在每个粗块 $K_i$ 上求解谱问题提取 $l_i$ 个特征函数形成辅助空间 $V_{aux}$，然后在过采样区域 $K_{i,k_i}$ 上求解约束能量最小化问题生成离线多尺度基函数（包括松弛版本与约束版本）；在线（online）阶段则根据上一轮多尺度解的残差，在过采样粗邻域 $\\omega_{i,m_i}$ 上构造在线基函数，并通过自适应算法（算法1）基于局部残差指标选择富集区域。本文的主要贡献在于：为上述离线与在线两阶段建立了收敛性理论，特别地，证明了在线阶段所需的过采样区域可仅用局部信息确定（即衰减性质），从而在保持收敛的同时降低在线计算开销；数值实验也验证了方法的有效性与高效性。\n2. 主要定理或主要结果 本文严格证明了离线与在线两阶段的收敛性，主要结论为下列定理（编号沿用原文）：\n定理1（离线收敛） 设 $u$ 为问题 (2) 的精确解，$u_{ms}$ 为由离线多尺度空间 $V_{ms}$（采用松弛基函数 (6) 或约束基函数 (8) 构造）所得的逼近解，则存在正常数 $C_1, C_2$ 以及由过采样层数决定的指数衰减因子 $E$，使得\n$$ \\|u - u_{ms}\\|_a \\le C_1 \\Lambda_{\\Omega^\\varepsilon}^{-1/2} \\|\\tilde{\\kappa}^{-1/2} f\\| + C_2 E \\|u_{glo}\\|_s, $$其中 $\\Lambda_{\\Omega^\\varepsilon} = \\min\\{ \\lambda_{l_i+1}^i : K_i \\subset \\Omega^\\varepsilon \\}$ 为未被选入辅助空间的最小局部特征值，$\\tilde{\\kappa} = \\sum_j |\\nabla\\chi_j|^2$ 涉及单位分解函数 $\\chi_j$，$u_{glo}$ 为全局多尺度空间的投影。若进一步每个过采样参数 $k_i$ 充分大，且 $\\{\\chi_i\\}$ 为双线性单位分解函数，则误差界可简化为\n$$ \\|u - u_{ms}\\|_a \\le C H \\Lambda_{\\Omega^\\varepsilon}^{-1/2} \\|f\\|. $$定理2（在线自适应收敛） 设 $u$ 为细网格解，$\\{u_{ms}^n\\}$ 为自适应在线富集算法1输出的多尺度解序列，则对于第 $n+1$ 次迭代，满足递归误差估计\n$$ \\|u - u_{ms}^{n+1}\\|_a^2 \\le 3\\bigl(1+\\Lambda_{\\Omega^\\varepsilon}^{-1}\\bigr)\\bigl(1+D_{\\Omega^\\varepsilon}\\bigr)\\bigl( C_1 E + C_2 (1-\\theta) \\bigr) \\|u - u_{ms}^n\\|_a^2, $$其中 $E$ 为离线与在线基函数指数衰减因子的一个上界，$D_{\\Omega^\\varepsilon} = C_T (1+\\Gamma_{\\Omega^\\varepsilon})$，$C_T$ 为粗单元顶点数的平方的最大值，$\\Gamma_{\\Omega^\\varepsilon} = \\max\\{\\lambda_{l_i}^i : K_i \\subset \\Omega^\\varepsilon\\}$，$\\theta\\in[0,1]$ 为算法1中的自适应参数（当 $\\theta=1$ 时对应一致富集，$\\theta=0$ 时不添加任何在线基函数）。此估计表明，若 $C_1 E + C_2 (1-\\theta) \u003c 1$，误差将严格递减。\n此外，引理4 给出了在线基函数的局部化误差控制：对于由粗邻域 $\\omega_i$ 向外扩展 $m_i$ 层得到的过采样域 $\\omega_{i,m_i}$ 上的逼近基函数 $\\beta_{ms}^i$ 与全局基函数 $\\beta_{glo}^i$，成立\n$$ \\|\\beta_{glo}^i - \\beta_{ms}^i\\|_a^2 + \\|\\pi(\\beta_{glo}^i - \\beta_{ms}^i)\\|_s^2 \\le E_i \\bigl( \\|\\beta_{glo}^i\\|_a^2 + \\|\\pi(\\beta_{glo}^i)\\|_s^2 \\bigr), $$其中衰减因子为\n$$ E_i = 3\\bigl(1+\\Lambda_{\\Omega^\\varepsilon\\setminus\\omega_{i,m_i-1}}^{-1}\\bigr)\\left(1+ \\bigl(2(1+\\Lambda_{\\omega_{i,m_i-1}}^{-1/2})\\bigr)^{-1}\\right)^{1-m_i}. $$该衰减性质保证了在线阶段过采样区域可仅由局部信息确定。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的证明框架主要依赖 CEM-GMsFEM 的几个核心工具：局部谱问题构造的辅助空间、约束能量最小化生成的全局-局部基函数的指数衰减性质、以及将误差分解为谱截断与局部化两部分的技术。主要障碍在于穿孔域几何的复杂性以及在线自适应收敛性的严格论证。作者的创新点在于将上述框架推广到穿孔域线性弹性方程，并发展了自适应在线策略，同时证明了在线基函数过采样区域可仅用局部信息决定，从而降低了在线计算成本。下面分块说明关键技术。\n1. 辅助空间与投影算子 $\\pi$ 的构造 在每个粗块 $K_i$ 上定义局部内积 $a_i$ 和 $s_i$（$s_i$ 含单位分解梯度加权项 $\\tilde{\\kappa}$），求解谱问题 $a_i(\\phi_j^i, v) = \\lambda_j^i s_i(\\phi_j^i, v)$。选取前 $l_i$ 个特征函数形成局部辅助空间 $V_{aux}^i$，并拼成整体 $V_{aux}$。定义投影 $\\pi: V\\to V_{aux}$ 为 $\\pi(u) = \\sum_{i,j} \\frac{s_i(u, \\phi_j^i)}{s_i(\\phi_j^i, \\phi_j^i)} \\phi_j^i$。该投影满足稳定性 $\\|\\pi(v)\\|_s^2 \\le C_0 \\|v\\|_a^2$。辅助空间的正交性（单位正交基）使得后续的约束条件 $s$‑正交容易实现。\n2. 离线基函数的构造与衰减性质 对每个 $\\phi_j^i$，定义全局基函数为能量最小化问题 (10) 的解 $\\psi_{glo}^{i,j}$，它满足正交性 $a(\\psi_{glo}^{i,j}, v)=0$ 对任意 $v\\in\\tilde{V} = \\ker(\\pi)$，从而保证直和分解 $V = V_{glo}\\oplus\\tilde{V}$。这一正交性是 CEM 框架的基石，使得误差分析中可将误差分为 $\\tilde{V}$ 部分（受谱间隙控制）和 $V_{glo}$ 部分（受局部化控制）。关键的引理2证明了全局基函数具有指数衰减性质，即在过采样区域 $K_{i,k_i}$ 上局部求解的基函数 $\\psi_{ms}^{i,j}$ 能近似全局基函数，误差呈 $E_i = O(e^{-c k_i})$ 衰减（具体形式依赖于松弛或约束版本）。该衰减是利用能量最小化与谱间隙 $\\Lambda$ 导出的，本质源于椭圆型方程的局部性。通过引理3的叠加估计，衰减误差可控。\n3. 离线误差分析（定理1） 将误差 $u - u_{ms}$ 用投影分解，得到 $\\|u - u_{ms}\\|_a \\le \\|u - \\pi(u)\\|_a + \\|\\pi(u) - u_{ms}\\|_a$。第一项由谱截断估计为 $\\Lambda_{\\Omega^\\varepsilon}^{-1/2} \\|\\tilde{\\kappa}^{-1/2} f\\|$（利用特征值性质），第二项则利用全局-局部基函数的衰减性以及 $V_{glo}$ 的逼近性质，结合单位分解得到 $CH\\Lambda_{\\Omega^\\varepsilon}^{-1/2}\\|f\\|$ 的最终形式。\n4. 在线基函数的自适应构造与收敛性（定理2） 在线阶段的创新在于：以局部残差 $r_i(v) = \\langle a(u_{ms}^n, \\chi_i v) - (f, \\chi_i v) \\rangle$ 的算子范数 $\\delta_i = \\sup_{v\\in V_0(\\omega_i)} |r_i(v)|/\\|v\\|_a$ 作为自适应指标，仅对满足 $\\sum_{i\u003eq} \\delta_i^2 \\le \\theta \\sum_i \\delta_i^2$ 的 $q$ 个具有最大 $\\delta_i$ 的邻域构造在线基函数 $\\beta_{ms}^i$。其局部化形式 (15) 来自全局方程 (16) 的局部化求解。引理4证明了在线基函数同样具有指数衰减，因而过采样层数 $m_i$ 可按需选取，且该衰减仅依赖局部谱信息，故过采样域可局部确定。\n证明定理2的关键步骤是构造恒等式：由残差定义有 $a(u - u_{ms}^n, v) = \\sum_i r_i^n(v)$。而在线基函数满足 $a(\\beta_{glo}^i, v) + s(\\pi(\\beta_{glo}^i), \\pi(v)) = r_i(v)$，求和可得 $$a(u - u_{ms}^n + \\sum_i \\beta_{glo}^i, v) = s(-\\pi(\\sum_i \\beta_{glo}^i), \\pi(v)), \\quad \\forall v\\in V_h.$$ 特别地，对 $v\\in\\tilde{V}$ 有 $\\pi(v)=0$，于是 $a(u - u_{ms}^n + \\sum_i \\beta_{glo}^i, v)=0$，即 $u - u_{ms}^n + \\sum_i \\beta_{glo}^i \\in V_{glo}$。接着利用 $V_{glo}$ 与 $\\tilde{V}$ 的正交性以及提升引理1（可将辅助空间元素提升为能量范数受控的全空间函数），可将误差 $u - u_{ms}^{n+1}$ 约束到新增在线基函数所扩张的子空间上，最终通过代数操作和自适应选择的标准推出带 $(1-\\theta)$ 因子的递归估计。该估计清晰地显示了过采样衰减因子 $E$ 和自适应参数 $\\theta$ 的共同作用。\n4. 与之前工作的比较 本文针对穿孔域线性弹性问题，在 CEM-GMsFEM 框架下建立了自适应多尺度方法并给出了完整的收敛分析。与已有工作的比较可从以下几点说明：\n1. 针对的问题类型 大部分多尺度方法（如 GMsFEM [17, 13, 15]、LOD [31, 7]、CEM-GMsFEM [11, 21]）最初针对的是含高对比度系数的扩散或弹性方程，其多尺度来源于材料系数而非几何穿孔。本文将 CEM-GMsFEM 应用于穿孔域，需处理内部自由边界 $\\sigma(u)\\cdot n =0$ 带来的非标准边界条件，且局部区域的几何连通性与常规块域不同。文中的理论推导未显式依赖穿孔的具体分布，仅要求穿孔尺寸与粗网格之间满足 $h\u003c\\epsilon \\ll H$，这使得方法对一般穿孔构型具有普适性。\n2. 与均质化及宏观模型方法的区别 均质化 [1, 25, 8] 通过渐近分析导出孔径趋于零时的等效方程，适用于周期或统计均匀介质，但要求明确的尺度分离；HMM [35, 36] 则耦合宏观与微观模型。本文的方法不需要渐近极限，可在有限穿孔尺寸下直接求解粗网格上的离散问题，且能通过自适应在线富集逐步提高精度，避免了宏观模型在非均匀情况下的模型误差。\n3. 与离线 CEM-GMsFEM 的对比 原始 CEM-GMsFEM [11] 完全依赖离线基函数，精度由所选特征函数个数和过采样层数决定。为了提高精度，须增加 $l_i$ 或 $k_i$，但会迅速增大离线计算量和在线求解规模。本文引入自适应在线基函数 [12, 20] 后，可在离线阶段采用较少基函数，再通过少量在线迭代达到所需精度，收敛分析明确给出了误差缩减因子。文中的算法 1 与 [12] 的残差驱动在线基函数相比，主要改进在于自适应选择富集区域：仅对局部残差较大的部分邻域构造在线基函数，从而平衡精度与计算量。\n4. 过采样区域灵活性的推广 文献 [41] 证明了 CEM-GMsFEM 的离线基函数在过采样区域选择上具有灵活性，即区域向外扩展 $k_i$ 层即可保证指数衰减。本文进一步证明了在线基函数也具备同样的局部衰减性质（引理4），即在线阶段所需的过采样区域 $\\omega_{i,m_i}$ 可仅由局部谱信息决定其扩展层数 $m_i$，而无需全局信息。这一结论降低了在线计算的通信与存储开销，因为每个在线基函数可独立求解，且区域大小可由局部谱间隙自适应调整。\n5. 理论分析的贡献 在收敛性方面，离线误差估计（定理1）的形式与 [11, 41] 类似，但针对弹性问题给出了明确的常数依赖。在线部分的递归误差估计（定理2）是本文的核心理论新意，它将收敛因子表达为离线/在线衰减因子 $E$ 与自适应参数 $\\theta$ 的线性组合，清晰地揭示了收敛速度与过采样层数、自适应比例之间的权衡关系。该结果在形式上比单纯的一致富集分析更为精细，也为实际计算中参数选择提供了理论指引。\n6. 局限性与代价 从定理 2 可知，收敛速度依赖于 $E$ 和 $1-\\theta$。当 $\\theta$ 较小时（即仅富集少量邻域），收敛因子可能接近 1，导致收敛缓慢；增大 $\\theta$ 会改善收敛但增加在线计算量。此外，速率还依赖于 $\\Lambda_{\\Omega^\\varepsilon}^{-1}$，若局部谱间隙很小，则需要选取更大的 $l_i$ 来降低 $\\Lambda_{\\Omega^\\varepsilon}^{-1}$。在论文提供的数值实验中，作者验证了不同穿孔构型下的精度，但从提供内容中无法确认是否对计算代价随 $\\theta$ 的变化进行了详细比较。另外，两种离线基函数（松弛版本 (6) 与约束版本 (8)）的差异仅被理论分析涵盖，但数值上的优劣未在文中展现对比。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 面向随机浅水方程的保结构间断伽辽金方法 Structure-Preserving Discontinuous Galerkin Methods for Stochastic Shallow Water Equations\n作者: Yekaterina Epshteyn, Akil Narayan, Yinqian Yu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-05\narXiv ID: 2606.07155v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.07155v1\n摘要翻译 中文标题: 面向随机浅水方程的保结构间断伽辽金方法\n摘要翻译: 浅水方程（SWE）是流体动力学中的基本模型，对于研究广泛的地球物理和工程现象至关重要。在许多实际应用中，必须考虑初始条件和底部地形所引起的不确定性，这推动了为随机SWE发展稳定且精确的数值方法。基于SWE的保持双曲性随机伽辽金公式 [Dai, Epshteyn, Narayan, 2021 SISC] 以及针对反对称SWE的熵稳定间断伽辽金方法的随机扩展 [Fu, 2022 JSC]，我们为随机浅水系统开发了一种保结构、熵守恒且熵稳定的间断伽辽金–随机伽辽金方法，并具有良好平衡性质。我们通过几个数值实验展示了所提出的保结构算法的精度、适用性和鲁棒性。\n2. Cahn-Hilliard 方程的高阶协调有限元：相对能量稳定性与能量缺陷 High-order conforming finite elements for the Cahn-Hilliard equation: Relative-energy stability and energy defects\n作者: Aaron Brunk, Marvin Fritz\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.06719v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.06719v1\n摘要翻译 中文标题: Cahn-Hilliard 方程的高阶协调有限元：相对能量稳定性与能量缺陷\n摘要翻译: 我们研究使用高阶协调有限元空间的 Cahn-Hilliard 方程的半离散单场 Galerkin 逼近。更具体地，具有 $H^2$ 协调试探空间的全局 $C^1$ 有限元，包括 Argyris、Bell 和 Bogner-Fox-Schmit 元，允许对四阶格式直接离散化并精确保持质量。主要的结构性结果是物理 Cahn-Hilliard 能量的精确能量平衡。除了预期的离散耗散外，该平衡还包含一个显式可计算的能量缺陷。该缺陷对于 Laplace 不变的周期空间（如 Fourier 空间）消失，但对于经典的 $C^1$ 有限元通常非零。因此，它量化了离散梯度流结构的精确损失。我们通过相对能量论证证明了半离散先验误差估计。该估计通过使用增广相对能量和逆离散 Laplace 算子的离散椭圆重构界来封闭。所得的收敛速度与预期的逼近阶数吻合。使用 Bell 和 Argyris 元的数值实验证实了这些收敛速度，并通过与 Fourier 参考离散化进行比较，展示了缺陷机制。\n不相关论文（基本信息） 1. p-Laplace方程的混合虚拟元方法 A Mixed Virtual Element Method for the p-Laplace equation\n作者: Kirubell B. Haile, Giuseppe Vacca\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-05\narXiv ID: 2606.07477v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.07477v1\n摘要: We introduce and analyze a mixed Virtual Element Method for the $p$-Laplace equation in a non-Hilbertian setting, covering the full range $p \\in (1, \\infty)$. The discrete framework combines standard mixed Virtual Element spaces with a novel non-linear stabilization term designed to mimic the power-law structure of the continuous operator. We establish discrete inf-sup stability under non-Hilbertian norms and rigorously prove the continuity and coercivity of the discrete form. This guarantees the well-posedness of the problem and allows us to derive a priori error estimates for the primal variable and the flux. A set of numerical tests supports the theoretical derivations.\n2. 随机平衡中的统计收敛与数值收敛 Statistical and Numerical Convergence in Stochastic Equilibrium\n作者: David Staines\n类别: econ.EM, econ.TH, math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-06-05\narXiv ID: 2606.07469v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.07469v1\n摘要: This paper sets out the most general computational and econometric implications of the rigorous stochastic equilibrium theory from SELCKE (Staines (2024a)) arXiv:2312.16214. The analytical backbone is the discovery that the system converges geometrically to long-run equilibrium, at a rate given by the greater of the eigenvalue or inverse eigenvalue (from outside) closest to the unit circle and the maximum shock persistence. High-order shocks converge faster. I develop a simulation procedure to test, with asymptotic power, whether stochastic equilibrium exists for a particular model. The fundamental approximation result asserts that, whatever the order of expansion or loss function, the stochastic steady state delivers the most accurate perturbation solution. I also show that super-consistent parameter estimators $O(1/T)$ arise whenever second-order terms vanish. Besides Calvo, I study stochastic equilibrium in two alternative pricing models. Dynamics simplify considerably. I bound the time the impulse response peaks, by the maximum lag in the errors. This lends empirical support to Taylor contracts, although there are issues surrounding unit roots and the strong cost-channel. For menu costs, I demonstrate that the initial price distribution decays away super-exponentially, producing a system equivalent to Calvo with an endogenous reset probability. The impact of idiosyncratic disturbances appears as an additional wedge between actual and efficient output. Blow-up of the objective function at the boundary is proven, with the help of new distributional arguments, so the model meets existing eigenvalue existence conditions for the recursive equilibrium. Along the way, new light is shone on existing theoretical models and statistical procedures.\n3. 非插值无网格空间中本质边界条件的自然分解方法 A Natural Decomposition Method for Essential Boundary Conditions in Noninterpolatory Meshfree Spaces\n作者: Jingkai Zhang, Tiexiang Li, Shuo Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-05\narXiv ID: 2606.07281v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.07281v1\n摘要: This paper develops a natural decomposition method (NDM)for imposing essential boundary conditions in noninterpolatory meshfree Galerkin spaces without boundary parameter tuning or auxiliary constraint construction. In such spaces, algebraic coefficients generally do not coincide with boundary values; hence coefficient assignment or nodal boundary prescription is not equivalent to imposing the continuous trace required by the variational problem. NDM introduces boundary data before discretization through a natural transfer mechanism: a source subproblem accounts for the forcing term, a weighted curl correction transfers the remaining trace mismatch, and a scalar recovery step reconstructs the solution from the corrected weighted gradient. For topologically trivial single domains with connected boundary, the reconstructed solution is equivalent, at the continuous level, to the solution satisfying the prescribed essential boundary data. The discrete analysis separates the approximation defect of the recovery space from the upstream transfer error visible to that space. Numerical experiments on benchmark problems evaluate the proposed transfer mechanism and report the associated conditioning, computational cost, and boundary perturbation behavior.\n4. 一种求解平面多片几何上双调和方程的自适应对偶-原始等几何撕裂与互连（IETI-DP）方法 An adaptive Dual-Primal Isogeometric Tearing and Interconnecting (IETI-DP) method for solving the biharmonic equation over planar multi-patch geometries\n作者: Mario Kapl, Aljaž Kosmač, Vito Vitrih\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-05\narXiv ID: 2606.07220v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.07220v1\n摘要: We present a novel adaptive isogeometric method for solving the biharmonic equation over planar multi-patch domains with possibly extraordinary vertices, parametrized by analysis-suitable G^1 multi-patch geometries. The proposed technique relies on the concept of Dual-Primal Isogeometric Tearing and Interconnecting (IETI-DP), which enforces the required C^1-smoothness of the solution across a common edge of two neighboring patches by imposing appropriate continuity conditions by means of Lagrange multipliers. The resulting saddle point problem is solved using a dual-primal formulation, first by a small linear problem for the Lagrange multipliers and then by local, parallelizable linear problems on the individual patches for the coefficients of the numerical solution. While for the local problems on the single patches standard diagonally scaling is used as preconditioner, a suitable preconditioner for the problem of finding the Lagrange multipliers is introduced. To perform adaptive refinement, the solution of the biharmonic equation on the single patches of the multi-patch domain is discretized by employing (truncated) hierarchical B-splines, and an appropriate refinement strategy of the underlying mesh is presented. Finally, the potential of the developed adaptive IETI-DP method for solving the biharmonic equation over planar multi-patch geometries is numerically tested on the basis of several numerical examples. Thereby, the numerical results show on the one hand optimal convergence behavior with respect to adaptive refinement, and on the other hand a good performance of the proposed preconditioner for the linear problem of determining the Lagrange multipliers.\n5. 基于神经形变场的工业 NURBS 几何约束驱动优化与参数化 Constraint-driven Optimization and Parametrization of Industrial NURBS Geometries via Neural Deformation Field\n作者: Federico Tamburlin, Giovanni Canali, Giuseppe Alessio D\u0026rsquo;Inverno, Nicola Demo, Andrea Mola, Gianluigi Rozza\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-05\narXiv ID: 2606.07198v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.07198v1\n摘要: This work presents a differentiable framework for the parametrization and shape optimization of industrial CAD geometries represented by multi-patch NURBS surfaces. The method enables the deformation of complex CAD models through a physics-informed geometric parametrization, allowing direct morphing driven by physical constraints without the need to prescribe a predefined deformation strategy. A neural displacement field, implemented as a multi-layer perceptron acting on the NURBS control points, provides a compact parametrization of the admissible design space while preserving patch connectivity. Global geometric quantities relevant to hydrostatic design, including displaced volume, wetted surface area and buoyancy centroid, are formulated as differentiable integral operators evaluated on the parametric domain. These quantities are computed through Gauss-Legendre quadrature combined with analytical B-spline derivatives for surface metric evaluation, allowing gradient propagation to the deformation parameters while limiting the computational overhead of automatic differentiation. The proposed framework operates directly on CAD representations without intermediate mesh generation. Numerical experiments on a modified KVLCC2 hull demonstrate the capability of the method to satisfy competing hydrostatic constraints while producing smooth CAD-compatible geometries and showing stable convergence across multiple random initializations.\n6. 基于伴随方法的动态对比增强超声灌注估计：对流-扩散模型与双室模型 Adjoint-based Perfusion Estimation from Dynamic Contrast-Enhanced Ultrasound: Advection-Diffusion and Two-Compartment Models\n作者: Sophie Externbrink, Ahmed El Kaffas, Dimitre Hristov, Sebastian Götschel\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-05\narXiv ID: 2606.07195v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.07195v1\n摘要: Tumor perfusion and vascular properties are important determinants of a cancer\u0026rsquo;s response to therapy. In this paper, we discuss the estimation of spatially varying blood flow velocities and perfusion parameters from time-resolved contrast agent concentration data. We compare a standard parabolic advection-diffusion model against a two-compartment model governed by a coupled system of hyperbolic advection-reaction equations, which is physiologically more sound. To address the inherent ill-posedness of this parameter identification problem, we employ Tikhonov regularization and derive continuous adjoint equations necessary for efficient, gradient-based minimization. We discuss the numerical discretization of the state and adjoint systems using state-of-the-art schemes, and demonstrate the efficacy of the proposed reconstruction algorithms through numerical experiments on synthetic data and in vivo dynamic contrast-enhanced ultrasound measurements.\n7. 任意次数的$(\\star,ε_1,ε_2)$-结构矩阵多项式的谱分解及其应用 Spectral decomposition of $(\\star,ε_1,ε_2)$-structured matrix polynomials with arbitrary degree and its applications\n作者: Kang Zhao, Shifang Yuan\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-05\narXiv ID: 2606.07176v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.07176v1\n摘要: This paper provides the spectral decompositions of $(\\star,ε_1,ε_2)$-structured matrix polynomials $P(λ)$ in the unified form by a standard pair and parameter matrix. Using the recursive relationship between the coefficient matrices of $P(λ)$, equivalent expressions of these coefficient matrices are provided. And then the spectral decomposition is applied to solve the inverse eigenvalue problem and the eigenvalue embedding problem with no spill-over.\n8. 具有奇异势的随机Cahn–Hilliard方程的数值逼近 Numerical Approximation of the stochastic Cahn\u0026ndash;Hilliard equation with singular potential\n作者: Ľubomír Baňas, Stefan Metzger\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-05\narXiv ID: 2606.07164v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.07164v1\n摘要: We discuss the numerical approximation of the stochastic Cahn\u0026ndash;Hilliard equation with a singular double-obstacle potential and multiplicative conservative noise. We propose a regularised fully discrete finite element approximation scheme for the problem and show that it satisfies stability estimates which are uniform with respect to the discretization parameters. We show convergence of the approximation for vanishing discretization parameters towards a regularised version of the singular stochastic Cahn\u0026ndash;Hilliard equation by monotonicity arguments. Hence, thanks to a uniform $H^1$-estimate for the regularised problem we show that the regularised solution converges towards the pathwise unique probabilistically strong solution of the original singular stochastic Cahn\u0026ndash;Hilliard equation. We conclude by presenting numerical simulations where we compare the regularised numerical approximation to its unregularised counterpart and illustrate the effect of the conservative noise.\n9. 基于残差校准不确定性的无损害物理信息逆学习 No-Harm Physics-Informed Inverse Learning with Residual-Calibrated Uncertainty\n作者: Ronald Katende\n类别: math.NA, cs.LG, math.OC\n发布日期: 2026-06-05\narXiv ID: 2606.07153v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.07153v1\n摘要: Physics-informed learning is increasingly used for partial differential equation (PDE)-governed inverse problems, but its reliability remains difficult to certify. This paper develops a no-harm certification-and-selection framework for physics-informed inverse learning. A learned reconstruction is accepted only when its residual-calibrated radius is no worse than the baseline radius, namely when $$R_{\\mathrm{learn}}\\le R_{\\mathrm{base}}+\\varepsilon_{\\mathrm{safe}};$$otherwise, the method returns the baseline. The certificate combines data, physics, boundary or initial-condition, and optimization residuals. Under a conditional stability estimate, these residuals yield an a posteriori reconstruction-error bound and a deterministic uncertainty radius. A high-probability certificate is also derived for physics residuals estimated from independent random collocation points. Numerical tests on Poisson source recovery, inverse heat reconstruction, limited-angle tomography, elliptic coefficient identification, and stochastic residual validation show that the selector accepts certified improvements, rejects shifted, hallucinated, or unfinished candidates, and becomes conservative in strongly ill-posed regimes. The framework is therefore a certification-and-selection layer, not another reconstruction architecture.\n10. 通过平均与细化从非结构化样条构造$C^1$极限曲面 Constructing $C^1$ limit surfaces from unstructured splines via averaging and refinement\n作者: Syeda Hijab Zahra, Thomas Takacs\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-05\narXiv ID: 2606.07149v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.07149v1\n摘要: In this paper we present a construction for unstructured splines over quadrilateral meshes by iterative averaging and refinement. We represent the spline as a multi-patch B-spline, where the degrees of freedom are those B-spline coefficients on the quadrilateral patches that are not associated with interior edges and vertices of the mesh, i.e., their corresponding Greville points lie inside the patches. In every averaging step, we replace the remaining B-spline coefficients associated with interior edges and vertices by suitable averages of neighboring degrees of freedom. In the refinement step we apply regular splits to all patches by knot insertion. This process results in a subdivision scheme that, for degree $p=2$, is similar to the almost-$C^1$ spline construction from (Takacs, Toshniwal. CMAME, 2023) and behaves similar to Doo-Sabin subdivision, cf. (Doo, Sabin. CAD, 1978), and that can be defined for arbitrary degrees and regularities inside the patches. We derive two families of spline constructions, based on simple and coplanar averaging, respectively, and analyze their spectral properties when interpreted as subdivision schemes. Using this interpretation, we show that they are $C^1$ in the limit. Moreover, the coplanar averaging scheme produces splines that are $C^1$ at all vertices for every level of refinement, whereas the simple averaging is $C^1$ only in the limit. For both constructions, we have control over the subdominant eigenvalue, which has multiplicity two and can range between $\\frac{1}{4}$ and $1$, with $\\frac{1}{2}$ often being the desired option. The resulting basis functions form a partition of unity. Moreover, they form a non-negative partition of unity for suitably selected averaging parameters.\n11. 面向对数稳定无限维反问题的统一DeepONet框架 A Unified DeepONet Framework for Logarithmically Stable Infinite-Dimensional Inverse Problems\n作者: Wen-Jie Wu, Tiexiang Li, Wen-Wei Lin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-05\narXiv ID: 2606.07122v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.07122v1\n摘要: We develop a unified DeepONet framework for logarithmically stable infinite-dimensional inverse problems, with inverse acoustic scattering as a model application. The framework is formulated at the operator level by separating the learned inverse map into measurement encoding, finite-dimensional neural approximation, and functional reconstruction components. For inverse maps satisfying a logarithmic stability estimate, we establish quantitative a priori error bounds giving separate estimates for the encoder error, the neural approximation error, and the reconstruction error, thereby characterizing the dependence on the encoder dimension, the network size, and the reconstruction dimension. For comparison, we also record the corresponding Lipschitz-stable estimate arising from the same error decomposition. The abstract theory is then specialized to the recovery of a medium contrast from fixed-frequency far-field measurements. Numerical experiments in two and three dimensions illustrate stable reconstructions under measurement noise.\n12. 大规模对数行列式估计的最优随机Krylov技术 Optimal Stochastic Krylov based Techniques for Large- Scale Log-Determinant Estimation\n作者: Verlon Roel Mbingui, Antoine Tambue, Issa Karambal\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-05\narXiv ID: 2606.07004v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.07004v1\n摘要: Estimating the logarithm of the determinant of large sparse positive definite symmetric matrices is an important task in numerical linear algebra, machine learning, Gaussian processes, and uncertainty quantification. In this work, we introduce two scalable and efficient methods for large-scale log-determinant termed the Optimal Stochastic Arnoldi with Incomplete Orthogonalization Procedure (OSA-IOP) and the Optimal Stochastic Lanczos Quadrature (OSLQ). The OSA-IOP approach extends the Incomplete Orthogonalization Procedure (IOP), originally developed for matrix exponential functions for exponential time stepping integrators, to compute the action of the matrix algorithm on a vector. We observe that combining IOP with a randomized Hutch++ algorithm, the OSA-IOP significantly reduces computational cost while maintaining high accuracy. The OSLQ method estimates log-determinants by coupling Lanczos quadrature with Hutch++ and controlled orthogonalization, leveraging Krylov subspaces as efficient quadrature mechanisms to approximate quadratic forms involving the matrix logarithm. We derive error bounds for both methods. Extensive numerical experiments on large-scale sparse matrices from real-world applications demonstrate the accuracy, robustness, and scalability of the proposed approaches.\n13. 多尺度松弛逼近：从宏观观测到微观动力学 Multiscale Nudging: From Macroscopic Observations to Microscopic Dynamics\n作者: Liyao Lyu, Xinyue Yu, Hayden Schaeffer\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-05\narXiv ID: 2606.06809v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.06809v1\n摘要: We introduce a measure-based nudging framework for assimilating macroscopic observations into microscopic mean-field particle dynamics. The central difficulty is a representation mismatch: the forecast is a labeled particle system, while the observations specify only a smoothed, permutation-invariant density. To address this mismatch, we define the forecast-observation discrepancy as a quadratic functional on probability measures after applying the same smoothing operator used by the observation process. The Wasserstein gradient of this functional induces a transport velocity on state space, which yields a particle-level correction without constructing particle-to-particle matching, linearizing the dynamics, or estimating ensemble covariances. For a fixed observation scale, we prove well-posedness of the assimilated McKean-Vlasov dynamics and propagation of chaos for the interacting particle approximation. Under exact smoothed observations and an observability condition at the kernel scale, we establish an $L^2$-stability estimate showing exponential decay up to a bias floor controlled by model misspecification. Numerical experiments on linear, bimodal, chaotic, kinetic, and collective-motion systems demonstrate that the method can recover macroscopic structure from incomplete density-level observations.\n14. 固体不可压缩线性孔隙弹性：相容格式与可扩展数值求解 Linear poroelasticity with solid incompressibility: consistent formulation and scalable numerical solution\n作者: Nicolás A. Barnafi, Andrés E. Rubiano, Ricardo Ruiz-Baier\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.06750v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.06750v1\n摘要: In this work we propose, by linearizing the equations of fully nonlinear poroelasticity, a consistent model in which only the solid phase is incompressible. This reformulation circumvents some inconsistency issues encountered in standard primal formulations of nonlinear poroelasticity while still retaining its key physical coupling mechanisms. We show a well-posed and consistent discretization strategy and also formulate scalable solvers based on a Schur complement formalism. A distinctive feature of the model is that it allows for a lowest order, inf-sup stable family of Finite Elements (FE) spaces. Numerical tests in two and three dimensions are provided to validate the proposed method and solver framework.\n15. 一种基于谱的网络形成偏微分方程方法 A Spectral-Based Method for Network-Formation PDEs\n作者: Pedro Aceves-Sanchez, Pierre Degond, Sara Merino-Aceituno, Claudia Wytrzens\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.06720v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.06720v1\n摘要: We propose and study a simple and scalable Fourier-based spectral method for a continuum model of network formation under periodic boundary conditions. The model provides the evolution of the pressure $p$ and the conductivity $m$ over time. The evolution of $p$ is given by an anisotropic Poisson equation, while the equation for $m$ contains three terms corresponding to a diffusion and an activation term of the network \u0026ndash; that depends on the gradient of the pressure \u0026ndash; as well as a relaxation term that acts as a decaying term. This system arises as a formal $L^2$-gradient flow of a non-convex energy functional. Our algorithm combines two ingredients: (i) a splitting method for the equation for $m$, where the activation and relaxation parts are solved analytically, and the diffusion part is solved via Fast Fourier Transform (FFT), and (ii) an FFT combined with the Conjugate Gradient (CG) method applied to the equation for the pressure. This makes the scheme easy to implement compared to implicit schemes and naturally extensible to three dimensions on uniform periodic grids. To showcase the method, we recover the previously documented influence of the activation strength $c$, the diffusion coefficient $D$, and the metabolic exponent $γ$ on the morphology of emergent networks, and report grid convergence results.\n16. 基于Stein无偏风险估计的奇异值平滑硬阈值方法 Smooth Hard-Thresholding for Singular Values with Stein\u0026rsquo;s Unbiased Risk Estimate\n作者: Guanzhong Yang\n类别: math.ST, eess.IV, eess.SP, math.NA\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.06632v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.06632v1\n摘要: Low-rank matrix denoising is a central primitive in patch-based image restoration and many other inverse problems. Classical SVD-based image denoising methods often choose a truncation rank by matching residual singular-value energy with an estimated noise energy, but this rule is not a finite-sample risk principle because a fitted low-rank approximation inevitably absorbs part of the noise. This paper develops a mathematically rigorous alternative based on Stein\u0026rsquo;s unbiased risk estimate (SURE). Since singular value hard thresholding is discontinuous and does not satisfy the hypotheses of Stein\u0026rsquo;s lemma, we introduce a logistic smooth hard-threshold spectral estimator. We prove that the smooth shrinker satisfies the regularity conditions required by a spectral-estimator version of Stein\u0026rsquo;s lemma, and therefore admits an exactly unbiased fixed-threshold risk estimate under Gaussian noise. For a fixed observed matrix and a finite set of candidate thresholds separated from the observed singular values, the ordering of the fixed-threshold smooth SURE objective eventually agrees with a simple limiting score. The limiting score has the same algebraic form as the biased hard-threshold SURE formula, but here it is used only as a computational device for ranking finite candidates. Selecting the minimizing threshold is a data-adaptive tuning step; the selected SURE value should not be interpreted as an unbiased risk estimate of the finally selected estimator.\n17. 扁长椭球波函数实现快速且指数感知的长程机器学习原子间势 Prolate spheroidal wave functions enable fast and exponent-aware long-range machine learning interatomic potentials\n作者: Jiuyang Liang, Libin Lu, Yajie Ji, Shidong Jiang\n类别: physics.chem-ph, math.NA\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.06617v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.06617v1\n摘要: Long-range interactions such as electrostatics and dispersion remain a central bottleneck for machine learning interatomic potentials (MLIPs), especially in ionic, polar and interfacial systems. Ewald-based reciprocal-space mechanisms provide a physically grounded route for capturing these nonlocal effects, but often require dense Fourier grids and can become memory-limited at scale. This problem is particularly pronounced in molecular dynamics, where high efficiency requirements make accurate long-range modelling particularly costly. Here we introduce PSWF-LR, an exponent-aware long-range framework based on prolate spheroidal wave functions (PSWFs) that can be easily incorporated into existing model architectures. Its core components are PSWF-based mollification and atom-grid spreading, which enable compact and efficient representation of arbitrary inverse-power channels $1/r^p$ while treating the decay exponent as a physical prior. Across diverse long-range benchmarks, PSWF-LR reduces Fourier-mode requirements, improves energy and force accuracy, accelerates production-level simulations by about threefold, and extends long-range MLIP simulations beyond the memory limits of conventional MLIPs.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-06-08_07-21-04/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年06月08日 07:21:04\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 17\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-穿孔域中线性弹性方程的自适应多尺度模型降阶\"\u003e1. 穿孔域中线性弹性方程的自适应多尺度模型降阶\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eAdaptive multiscale model reduction for linear elasticity equation in perforated domains\u003c/p\u003e","title":"2026年06月08日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年06月05日 06:59:40\n重点关注论文数量: 3\n了解领域论文数量: 0\n不相关论文数量: 21\n重点关注论文（完整分析） 1. 基于Young测度线性规划形式的非线性和随机均匀化量子算法 Quantum Algorithm for Nonlinear and Stochastic Homogenization via a Young-Measure based Linear Programming Formulation\n作者: Siqi Chen, Shi Jin, Lei Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.06165v1\n摘要翻译: 我们研究基于Young测度的线性规划（LP）形式的非线性和随机均匀化量子算法，该形式通过将微尺度、梯度和可能的随机变量视为独立变量，将非线性问题提升到更高维度的线性问题，从而捕获有效的宏观量，而无需直接解析细尺度振荡。生成的LP规模大但有结构，其高维特性创造了量子LP求解器优于直接经典求解器的情形：在确定性情形下，当适中的均匀化精度足够时，多项式量子加速出现；在随机情形下，将所有随机实现同时编码到单个LP中，产生随随机变量数量增长的随机采样成本的量子平方根缩减。Young测度的正则性或稀疏性可能进一步将这些优势扩展到精细尺度精度。在一维和二维基准上的数值实验证实了Young测度LP形式的正确性。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.06165v1\n1. 研究对象和背景 本文研究非线性椭圆偏微分方程在周期性和随机介质中的均匀化问题，并发展基于Young测度的线性规划量子算法。具体考虑两类模型方程。\n一、非线性周期性均匀化：设$\\Omega \\subset \\mathbb{R}^d$为有界区域，$Y = (0,1)^d$为周期单元，对$\\varepsilon \u003e 0$，考虑 $$-\\nabla\\cdot a\\left(\\frac{x}{\\varepsilon}, \\nabla u_\\varepsilon(x)\\right) = f(x) \\quad \\text{in } \\Omega, \\quad u_\\varepsilon = 0 \\quad \\text{on } \\partial\\Omega,$$ 其中$a(y,\\xi)$关于$y$是$Y$-周期的，并满足单调$L^p$条件：存在$p\u003e1$及常数$c_0, c_1\u003e0$，使得 $$a(y,\\xi)\\cdot\\xi \\ge c_0|\\xi|^p - c_1, \\quad |a(y,\\xi)| \\le c_1(1+|\\xi|^{p-1}), \\quad (a(y,\\xi)-a(y,\\eta))\\cdot(\\xi-\\eta) \\ge 0.$$ 在这些假设下，解序列$\\{u_\\varepsilon\\}$在$W^{1,p}_0(\\Omega)$中一致有界，从而子序列弱收敛到某个$u_0$，该极限满足均匀化方程 $$-\\nabla\\cdot a^{\\hom}(\\nabla u_0) = f \\quad \\text{in } \\Omega.$$ 有效算子$a^{\\hom}$通过单元问题定义：对每个$\\xi \\in \\mathbb{R}^d$，求$w_\\xi \\in W^{1,p}_{\\#}(Y)$满足$\\int_Y w_\\xi = 0$及 $$-\\nabla_y\\cdot a(y, \\xi+\\nabla_y w_\\xi(y)) = 0 \\quad \\text{in } Y,$$ 则$a^{\\hom}(\\xi) = \\int_Y a(y, \\xi+\\nabla_y w_\\xi(y))\\,\\mathrm{d}y$。\n二、随机均匀化：设概率空间$(\\Theta, \\mathcal{F}, \\mathbb{P})$带有保测遍历群作用$\\tau_x$，随机单调算子$a(\\omega, \\xi)$满足平稳性。考虑 $$-\\nabla\\cdot a\\left(\\tau_{x/\\varepsilon}\\omega, \\nabla u_\\varepsilon(x,\\omega)\\right) = f(x) \\quad \\text{in } \\Omega, \\quad u_\\varepsilon = 0 \\quad \\text{on } \\partial\\Omega.$$ 在平稳性、遍历性、一致单调性和多项式增长条件下，对几乎处处的$\\omega$，$u_\\varepsilon(\\cdot,\\omega)$弱收敛到确定性极限$u_0$，满足$ -\\nabla\\cdot a^{\\hom}(\\nabla u_0) = f $。本文主要处理有限状态随机介质：$\\omega_i \\in \\Theta$，$i=1,\\dots,N$，对应概率$p_i$，算子$a_i(\\xi) = a(\\omega_i, \\xi)$。\n直接数值求解这些问题需在细尺度$\\varepsilon$上离散，经典复杂度为$\\tilde O(\\varepsilon^{-d})$，在$\\varepsilon$很小时计算代价极高。为避开直接解析微观振荡，本文利用Young测度框架：引入概率测度$\\mu_{x,y}$（周期情形）或$\\mu_x$（随机情形），它们描述微观梯度的局部分布，从而将原始非线性PDE转化为关于测度的线性约束优化问题。约束包括归一化（总质量守恒）、重心一致性（宏观梯度等于微观梯度的平均）和弱力平衡（散度形式的宏观方程）。若本构关系具有位势，则该问题等价于能量最小化，且目标函数关于测度是线性的。离散化后，该问题成为一个大规模但结构化的线性规划（LP）。这种提法将非线性困难转移到高维线性结构上，而量子线性规划求解器有望处理这类高维LP并实现加速。\n本文试图填补的空白是：将量子计算应用于非线性和随机均匀化问题，通过Young测度LP重整化，在不直接求解细尺度PDE的情况下提取有效宏观量，并严格分析量子算法相对于经典算法的优势条件。\n2. 主要定理或主要结果 本文在将Young测度线性规划离散化后，分析了量子中心路径（QCP）算法的复杂度，并与直接经典求解器（DCS）及经典LP方法比较，得到以下主要定理和结论。\n确定性非线性均匀化的量子优势：设空间维度为$d$，微观尺度为$\\varepsilon$，目标精度$\\delta = \\varepsilon^\\alpha$（$\\alpha \\in (0,1)$反映均匀化收敛速率）。采用一阶代数离散，直接经典求解器（DCS）的查询复杂度为$\\tilde O(\\varepsilon^{-d})$；而QCP求解Young测度LP的复杂度为$\\tilde O(R_1 \\varepsilon^{-\\alpha(3d+4)/2})$，其中$R_1$是中心路径长度。当 $$\\alpha \u003c \\frac{2d}{3d+4}$$ 时，QCP相对于DCS具有多项式加速。此结果说明了在中等均匀化精度需求下（即$\\alpha$较小时），量子算法有优势。\n随机均匀化情形：随机变量个数为$r$，总随机离散点数$N_\\omega^r$看作与$\\varepsilon$独立的自由参数，目标精度取$\\delta = \\varepsilon$。DCS查询复杂度为$\\tilde O(N_\\omega^r \\varepsilon^{-d})$；QCP复杂度为$\\tilde O(R_1 (N_\\omega^r)^{1/2} \\varepsilon^{-(3d/2+1)})$。当 $$N_\\omega^r \\gtrsim \\varepsilon^{-(d+2)}$$ 时，QCP在随机抽样成本上实现平方根加速，且加速因子随$N_\\omega^r$增长而增大。\n猜想（解析正则性下的精细精度优势）：若Young测度密度在$x$和$y$上解析，则可采用谱离散化替代代数离散。在此情形下，对一切$d \\ge 2$，确定性情形下可将量子优势拓展到精细精度$\\delta = \\varepsilon$，即QCP复杂度为$\\tilde O(\\varepsilon^{-(3d/2+1)})$，而DCS仍为$\\tilde O(\\varepsilon^{-d})$，当$d\\ge 2$时QCP总是更优；随机情形也有类似改进。这一猜想指出高阶正则性能显著增强量子优势。\n数值验证：作者对一维和二维的确定性、随机基准问题进行了数值实验，证实了Young测度LP公式的正确性（即验证了线性规划重构的有效性，而非直接测试量子算法）。具体案例包括：一维线性均匀化（谐振平均）、一维非线性$p$-Laplacian型均匀化、以及二维随机均匀化等。实验表明LP解与理论均匀化解吻合良好。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心创新点在于将非线性/随机均匀化问题提升为Young测度上的线性规划，并设计量子中心路径算法求解该LP，从而实现相对于经典多尺度直接求解器的加速。关键技术障碍与解决方法分述如下。\nYoung测度LP重构： 将原PDE的解$u_\\varepsilon$的微观振荡信息编码为概率测度$\\mu$。在周期情形，定义$\\mu_{x,y} \\in \\mathcal{P}(\\mathbb{R}^d)$为宏观点$x$、微观相$y$处的梯度分布；在随机情形，定义$\\mu_x \\in \\mathcal{P}(\\Theta \\times \\mathbb{R}^d)$。通过引入这些测度作为独立变量，原非线性PDE转化为以下线性约束： 归一化：$\\int_{\\mathbb{R}^d} \\mathrm{d}\\mu_{x,y}(\\xi) = 1$（或随机情形$\\int_{\\mathbb{R}^d} \\mathrm{d}\\mu_{x,i}(\\xi) = p_i$）； 重心一致性：$\\nabla u(x) = \\int_Y \\int_{\\mathbb{R}^d} \\xi \\,\\mathrm{d}\\mu_{x,y}(\\xi)\\,\\mathrm{d}y$（或随机情形$\\nabla u(x) = \\sum_{i=1}^{N_\\omega} \\int_{\\mathbb{R}^d} \\xi \\,\\mathrm{d}\\mu_{x,i}(\\xi)$）； 弱力平衡：$-\\nabla\\cdot \\left(\\int_Y \\int_{\\mathbb{R}^d} a(y,\\xi) \\,\\mathrm{d}\\mu_{x,y}(\\xi)\\,\\mathrm{d}y \\right) = f(x)$（或随机情形类似）； 边界条件。 若本构关系有势，目标函数也为$\\mu$的线性泛函。因此，离散化后得到标准形式的LP：$\\min c^\\top z \\; \\text{s.t.} \\; A_{\\mathrm{eq}}z = b_{\\mathrm{eq}}, \\; F \\ge 0$，其中向量$z = [u; F]$包含节点值和测度质量分量。这一重构将非线性困难转移到高维线性结构上，使得量子线性规划求解器得以应用。 离散化与LP规模： 对空间变量$x$、微观变量$y$（周期情形）、梯度变量$\\xi$进行离散，网格点数分别记为$n_x, n_y, n_\\xi$。为保证均匀化精度$\\delta$，通常取$n_x \\sim \\delta^{-d}$，$n_y \\sim \\delta^{-d}$，$n_\\xi \\sim \\delta^{-d}$，故LP变量总数约为$n_x n_y n_\\xi = O(\\delta^{-3d})$，约束数约为$O(\\delta^{-2d})$。然而，LP具有很强的稀疏性和块结构：归一化和重心一致性约束仅涉及局部的测度变量；弱平衡条件涉及宏观节点邻域的少量测度。这为量子算法的加速提供了可能。若测度密度具有解析性，可采用谱离散化，此时规模的对数依赖可进一步降低。\n量子中心路径（QCP）算法框架： 采用量子线性规划求解器中的中心路径法。将原始LP嵌入齐次自对偶嵌入（HSDE），然后沿着中心路径迭代更新。每一步需要求解一个牛顿线性系统，其系数矩阵具有分块稀疏结构。作者利用量子线性系统求解器（如QLSA）来高效求解该牛顿系统，每次求解的查询复杂度为$\\tilde O(\\sqrt{n_{\\mathrm{var}}}/\\kappa)$的量级（忽略对数因子），其中$\\kappa$为条件数。总迭代次数与中心路径长度$R_1$成正比。结合LP的稀疏性和矩阵块结构，最终得到总查询复杂度分别为$\\tilde O(R_1 \\varepsilon^{-\\alpha(3d+4)/2})$（确定性情形的代数离散）和$\\tilde O(R_1 (N_\\omega^r)^{1/2} \\varepsilon^{-(3d/2+1)})$（随机情形的代数离散）。\n优势分析的关键不等式： 通过比较QCP复杂度与DCS复杂度$\\tilde O(\\varepsilon^{-d})$，得出需要满足的条件。确定性情形的优势条件$\\alpha \u003c 2d/(3d+4)$源于求解稠密LP的典型量子平方根加速，并结合了离散化带来的额外维度因子。随机情形中，$N_\\omega^r$独立于$\\varepsilon$，其平方根加速在小$\\varepsilon$时占主导，因此条件$N_\\omega^r \\gtrsim \\varepsilon^{-(d+2)}$相对容易满足。\n数值验证部分： 作者并未在本文中实现量子算法，而是用经典LP求解器（如Gurobi）求解离散化的Young测度LP，验证了所得均匀化系数或宏观解与理论预测一致。例如一维线性情形得到谐振平均，$p$-Laplacian情形得到与理论一致的$k_{\\hom}$。这些实验证实了Young测度LP公式本身的有效性。\n4. 与之前工作的比较 本文在均匀化问题的量子算法、Young测度数值方法以及非线性随机均匀化理论之间进行了交叉，现将其与相关工作的比较分述如下。\n与经典均匀化数值方法的比较： 直接经典多尺度求解器（DCS）需要在细尺度$\\varepsilon$解析微结构，例如用有限元方法在尺度$\\varepsilon$的网格上求解原始PDE，其计算代价至少为$\\tilde O(\\varepsilon^{-d})$。当$\\varepsilon$很小时计算量巨大。本文提出的Young测度LP方法避免直接解析$\\varepsilon$尺度的振荡，代之以在高维空间（$x, y, \\xi$或$x, \\omega, \\xi$）上求解线性规划。在经典计算机上，这种LP的规模本身也随目标精度$\\delta$增长（$O(\\delta^{-3d})$），若采用经典内点法，复杂度约为$\\tilde O(\\delta^{-4.5d})$，甚至比DCS更差。因此经典LP并无优势。本文的核心突破在于引入量子中心路径算法，利用量子线性系统求解器的平方根加速，使得总复杂度降至$\\tilde O(\\delta^{-(3d+4)/2})$（确定性）和$\\tilde O((N_\\omega^r)^{1/2} \\delta^{-(3d/2+1)})$（随机），从而在一定参数区域超越DCS。与经典LP内点法相比，量子算法实现了维数上的平方根加速，这是本质性的改进。\n与已有量子多尺度算法的比较： Hu等人[28]提出了线性多尺度PDE的量子算法，基于直接振荡模型或均匀化方程结合Schrödingerization技术。他们的工作针对线性方程，且利用尺度分离直接构建有效方程，量子加速体现在利用量子线性系统求解器处理均匀化后的大规模线性系统。本文则处理非线性问题，其均匀化不能仅靠系数平均，必须通过Young测度捕捉振荡的分布性质。Balazi等人[7]提出了基于局部正交分解（LOD）的量子增强数值均匀化方法，利用量子局部求解器实现对数尺度的精细分辨率。但他们的方法同样局限于线性问题。本文首次将量子算法拓展到非线性和随机均匀化领域，核心思路是通过Young测度将非线性转化为线性，再用量子LP求解器处理。与上述工作相比，本文不要求底层PDE是线性的，但代价是需要求解一个高维LP而非线性方程组。\n与Young测度数值方法的比较： Young测度在非线性PDE数值计算中已被用于松弛、凸化、多尺度模型降阶等[13, 33]。传统做法是采用原子测度近似、自适应离散、或神经网络参数化。这些方法均在经典计算机上执行，难以处理高维（尤其是包含随机参数）情形下的组合爆炸。本文的贡献在于提出用量子计算加速Young测度的高维线性规划，使得测度离散化可以直接在乘积空间上进行，而无需降阶或稀疏假设。但是，量子算法要求LP具有稀疏性和良好的条件数，这依赖于离散方式。本文讨论了一阶代数离散和谱离散（需解析性假设）两种情形。\n关于“注意”与“猜想”的说明： 论文明确区分了严格证明的定理结果和基于附加正则性假设的猜想。定理（主要结果1和2）仅依赖于Young测度存在性和有限维LP的构造，且优势区域是精确给出的。猜想1假设Young测度密度解析，从而可采用谱离散化大幅减少变量个数，优势区域可扩展至$\\delta = \\varepsilon$对所有$d\\ge 2$。该猜想基于对谱方法收敛速度的期望，但并未在本文中证明。\n局限与代价：\n量子优势仅在特定参数区域成立：确定性情形要求$\\alpha \u003c 2d/(3d+4)$，即中等精度需求；随机情形要求$N_\\omega^r$足够大。若$\\alpha$接近1（需要非常精细的均匀化解），或$N_\\omega^r$较小，量子算法可能不如DCS。 量子算法的成功依赖于LP的稀疏性；若测度离散导致稠密约束矩阵，加速可能消失。 目前量子计算硬件尚处于早期，本文的分析基于量子查询复杂度的理论估计，实际实现仍有距离。 与经典LP相比，QCP要求每次迭代求解量子线性系统，其成功概率和误差管理带来额外对数因子。 本文仅讨论了少数量子优势情形，并未证明所有情形下量子算法都优于最优经典算法。 2. 声学逆Born散射的直接重建 Direct reconstruction for acoustic inverse Born scattering\n作者: Nuutti Hyvönen, Lisa Schätzle\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.05977v1\n摘要翻译: 我们考虑二维亥姆霍兹方程的逆介质散射问题，即从已知的全远场数据或等价的远场算子恢复紧支撑可穿透二维散射体。虽然该问题唯一可解，但它是严重不适定且非线性的。在弱散射情形下，Born近似给出了对比度与远场数据之间的线性化关系，从而克服了第二个困难。这一线性框架允许我们基于最近关于线性化电阻抗层析成像的工作（其中依赖三角Zernike分解），导出一个显式重建公式，将对比度的展开系数用远场数据的展开系数表示出来。通过适当选择展开函数，所得系统矩阵解耦为对比度中空间角频率的独立（无限）三角系统。因此，每个系统均可通过前向代入独立求解。数值实验表明，即使应用于超越Born近似的完全非线性远场数据，这种方法结合适当的正则化方法仍然有效。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.05977v1\n1. 研究对象和背景 本文研究二维时间谐波声波逆介质散射问题，声波入射到具有未知折射率分布的紧支集穿透性散射体上时，其总声场 $u(x,d)$ 满足 Helmholtz 方程 $$ \\Delta u(\\cdot,d)+\\kappa^2(1+q)u(\\cdot,d)=0 \\quad \\text{in } \\mathbb{R}^2, $$ 其中 $\\kappa\u003e0$ 为波数，入射场为平面波 $u^i(x,d)=e^{i\\kappa x\\cdot d}$，$d\\in S^1$ 为入射方向。实值对比度函数 $q\\in L^\\infty(\\mathbb{R}^2)$ 满足 $q\u003e-1$ a.e. 且支集 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^2$ 紧；散射场 $u^s=u-u^i$ 需满足 Sommerfeld 辐射条件。远场模式 $u^\\infty(\\hat{x},d)$ 由散射场的渐近展开定义 $$ u^s(x,d)=\\frac{e^{i\\pi/4}}{\\sqrt{8\\pi}}\\frac{e^{i\\kappa r}}{\\sqrt{\\kappa r}} u^\\infty(\\hat{x},d)+\\mathcal{O}(r^{-3/2}),\\quad r=|x|\\to\\infty, $$ 并可通过积分表示 $$ u^\\infty(\\hat{x},d)=\\kappa^2\\int_\\Omega q(y) u(y,d) e^{-i\\kappa \\hat{x}\\cdot y}\\,dy,\\qquad \\hat{x}\\in S^1. $$ 于是可定义远场算子 $F:L^2(S^1)\\to L^2(S^1)$ 为 $(Fg)(\\hat{x})=\\int_{S^1} u^\\infty(\\hat{x},d) g(d)\\,ds(d)$，它是一个 Hilbert–Schmidt 算子。逆散射的目标是由已知的 $F$（或等价地，全远场数据 $u^\\infty(\\hat{x},d)$ 对所有 $\\hat{x},d\\in S^1$）恢复对比度 $q$。该问题理论上唯一可解，但高度非线性且严重不适定——多次散射导致非线性依赖，且 $F$ 的特征值迅速衰减使反演对噪声极其敏感。在弱散射情形，即积分算子 $L_q$ 的范数很小时，可仅保留 Neumann 级数前两项得到散射体的线性化模型，称为 Born 近似，此时远场模式简化为对比度的二维 Fourier 变换在圆盘上的取样： $$ u_B^\\infty(\\hat{x},d)=\\kappa^2\\int_\\Omega q(y) e^{-i\\kappa(\\hat{x}-d)\\cdot y}\\,dy, $$ 相应的 Born 远场算子 $F_B$ 仍为 Hilbert–Schmidt。尽管 Born 近似消除了非线性，其反演依然不适定（$F_B$ 的特征值衰减速度与原问题相同）。\n已有的逆散射重构方法可分为两范：定性方法（如线性抽样法 [1,7]、因子分解法 [16,25] 等）仅恢复散射体的形状或支撑集；定量方法则试图重建完整的对比度函数，例如基于迭代优化或对线性化模型直接求逆 [10,21,30]。最近，文献 [30] 提出一种低秩方法，将远场数据在广义长椭球波函数下展开以利用其低秩结构。本文受近期线性化电阻抗成像（EIT）中基于三角 Zernike 分解的直接重建法 [2,14] 的启发，旨在为二维逆 Born 散射发展同样拥有显式重构公式的算法。具体地，假设对比度的支集包含于某个已知球 $B_R(c)$ 内，将远场算子视为 $L^2(S^1)$ 上的 Hilbert–Schmidt 算子，并对 $L^2(B_R(c))$ 和 $HS(L^2(S^1))$ 选择合适的基，使正演映射具有结构化稀疏性。通过将对比度和远场数据展开于适当的角 Fourier 基及径向基，可发现不同的空间角频率在远场数据中被完全解耦：对比度的第 $j$ 个角频率仅影响数据矩阵的第 $-j$ 对角线。为使径向分支的系统矩阵呈现下三角形式——从而可通过简单的前向代入求解对比度系数——本文的关键创新在于径向基的构造：不采用 EIT 中的 Zernike 多项式（对 Helmholtz 核不适用），而是对 Bessel 函数乘积 $J_m(\\kappa R\\,r)J_{m-|j|}(\\kappa R\\,r)$ 施行 Gram–Schmidt 正交化。这一选择自然导致各角频率对应一个无限维下三角系统，进而可导出对比度系数的显式递推公式。\n本文试图填补的空白即：将 EIT 中成功的三角分解直接重建架构移植到声学逆 Born 散射，并提供完整的理论分析和可稳定实现的数值策略，包括基于 Bessel 函数超指数衰减的低秩截断以及利用数据对称性进行降噪。数值实验进一步表明，即使将本文基于 Born 近似推导的公式直接应用于非线性全波远场数据，配合适当正则化后仍能获得有效重建，这大大扩展了方法的实用范围。\n2. 主要定理或主要结果 假设波数 $\\kappa\u003e0$ 和包含对比度支集的先验 ROI 球 $B_R(c)$ 已知。定义 $L^2(B_1(0))$ 的规范正交基 $\\{\\Psi_{j,k}\\}_{j\\in\\mathbb{Z},k\\in\\mathbb{N}_0}$ 为 $$ \\Psi_{j,k}(y)=e_j(\\hat{y})\\,R_k^{|j|}(|y|),\\qquad y\\in B_1(0), $$ 其中 $\\{e_j\\}_{j\\in\\mathbb{Z}}$ 是 $L^2(S^1)$ 的标准 Fourier 基，而径向函数 $\\{R_k^{|j|}\\}_{k\\in\\mathbb{N}_0}$ 由对序列 $\\{P_m^{|j|}(r)=J_m(\\kappa R\\,r)J_{m-|j|}(\\kappa R\\,r)\\}_{m\\ge |j|/2}$ 在加权空间 $L^2_r(0,1)$（内积 $\\langle f,g\\rangle_{L^2_r(0,1)}=\\int_0^1 f(r)\\overline{g(r)}\\,r\\,dr$）中执行 Gram–Schmidt 正交化得到（见定义 3.3）。记 Born 远场算子 $F_B$ 在调制 Fourier 基 $\\{e_m^c\\}_{m\\in\\mathbb{Z}}$（$e_m^c(\\phi)=e^{-i\\kappa c\\cdot\\phi}e_m(\\phi)$）下的矩阵元素为 $$ a_{m,n}=\\langle F_B e_n^c, e_m^c\\rangle_{L^2(S^1)},\\qquad m,n\\in\\mathbb{Z}, $$ 则根据 (3.1) 有 $$ a_{m,n}=2\\pi\\kappa^2 i^{n-m}\\int_{B_R(0)} q(y+c) e^{i(n-m)\\arg y} J_m(\\kappa|y|) J_n(\\kappa|y|)\\,dy. $$ 本文主要定理 3.4 表明：对比度平移缩放 $q(R\\cdot+c)$ 在 $\\{\\Psi_{j,k}\\}$ 下的展开系数 $c_{j,k}=\\langle q(R\\cdot+c),\\Psi_{j,k}\\rangle_{L^2(B_1(0))}$ 可由 $a_{m,n}$ 按如下显式递推公式逐一解出（对每个 $j\\in\\mathbb{Z}$ 独立计算）： $$ c_{j,k}= \\frac{1}{(2\\pi)^{3/2}(\\kappa R)^2 (-i)^j \\|\\widetilde{R}_k^{|j|}\\|_{L^2_r(0,1)}} \\left( a_{k+\\lceil j/2\\rceil,\\,k-\\lfloor j/2\\rfloor} - \\sum_{i=0}^{k-1} \\langle R_i^{|j|}, P_{k+\\lceil |j|/2\\rceil}^{|j|}\\rangle_{L^2_r(0,1)} \\,c_{j,i} \\right),\\quad k\\in\\mathbb{N}_0, $$ 其中 $\\widetilde{R}_k^{|j|}$ 是 Gram–Schmidt 过程中得到的未归一化正交函数（$R_k^{|j|}=\\widetilde{R}_k^{|j|}/\\|\\widetilde{R}_k^{|j|}\\|$），求和项在 $k=0$ 时视作 0。\n这一结果源于每个角频率 $j$ 对应的径向重建问题等价于一个下三角的无限线性系统： $$ F^j c_j = a_j, $$ 其中向量 $c_j=(c_{j,0},c_{j,1},\\ldots)^\\top$，$a_j=(a_{\\lceil j/2\\rceil,\\lfloor -j/2\\rfloor}, a_{\\lceil j/2\\rceil+1,\\lfloor -j/2\\rfloor+1},\\ldots)^\\top$，下三角矩阵 $F^j$ 的元素为 $$ F^j_{m,k}= \\begin{cases} (2\\pi)^{3/2}(-i)^j(\\kappa R)^2 \\langle R_{k-1}^{|j|}, P_{(m-1)+\\lceil |j|/2\\rceil}^{|j|}\\rangle_{L^2_r(0,1)} , \u0026 k\\le m,\\\\ 0 , \u0026 \\text{其他}. \\end{cases} $$ (见 (3.19))。因此，只要测得了数据矩阵 $(a_{m,n})$，便可先由上述递推计算所有 $c_{j,k}$，再通过 $q(Ry+c)=\\sum_{j\\in\\mathbb{Z}}\\sum_{k=0}^\\infty c_{j,k}\\Psi_{j,k}(y)$ 合成对比度。递推所需的内积与范数均可在线下阶段预先计算并存储。\n此外，利用数据固有的对称性 $a_{-m+j,-m}=(-1)^j a_{m,m-j}$，可将递推中的 $a_{k+\\lceil j/2\\rceil,\\,k-\\lfloor j/2\\rfloor}$ 替换为平均形式 $\\tilde{a}_{m,m-j}=(a_{m,m-j}+(-1)^j a_{-m+j,-m})/2$，从而提高信噪比。由于 Bessel 函数 $J_m$ 随阶数 $m$ 超指数衰减，数据矩阵仅有有限个元素显著非零，自然引出截断策略：只需保留前 $N$ 个对角线条目并求解相应大小的三角系统，即可稳定地获得可恢复的分辨率。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的技术核心在于通过巧妙构造基函数，将 Born 正演算子的反演转化为一系列解耦下三角系统的直接求解，避免了迭代和大型矩阵求逆。其主要创新与关键工具分为以下三个层次。\n1. 基于调幅 Fourier 基的角频率解耦 从 Born 远场模式 (2.6) 出发，对平面波因子应用 Jacobi–Anger 展开 $$ e^{-i\\kappa(\\hat{x}-d)\\cdot y} = 2\\pi \\sum_{m,n\\in\\mathbb{Z}} i^{n-m} e^{i(n-m)\\arg y} J_m(\\kappa|y|) J_n(\\kappa|y|) e_m(\\hat{x}) e_n(d), $$ 并引入调制 Fourier 基 $e_m^c(\\phi)=e^{-i\\kappa c\\cdot\\phi}e_m(\\phi)$，可将 Born 远场算子的矩阵元 $a_{m,n}$ 表为 (3.1) 的形式，其中明显出现了角频率依赖因子 $e_{m-n}(\\hat{y})$。于是，当固定 $j=m-n$ 时，$a_{m,m-j}$ 仅由对比度的傅里叶系数 $\\widehat{q}_{-j}$ 相关的积分决定，即实现了不同角频率的完全解耦。这一观察虽然简单，却是后续构造下三角结构的前提。注意此解耦不依赖于任何基的特殊选择，而仅由 Helmholtz 核的平移不变性和平面波展开决定，与 [17] 中远场数据稀疏性的分析相容。\n2. 径向基的构造与下三角化 要使每个角频率 $j$ 对应的径向反演变为可直接递推求解的下三角系统，关键在径向基函数的选择。定义 $P_m^{|j|}(r)=J_m(\\kappa R\\,r)J_{m-|j|}(\\kappa R\\,r)$，这些函数直接出现在 $a_{m,m-j}$ 的表达式中（对比 (3.7)）。命题 3.2 证明了 $\\{P_m^{|j|}\\}_{m\\ge |j|/2}$ 在 $L^2_r(0,1)$ 中是线性无关的，且其张成子空间稠密。线性无关性通过考察 $r\\to 0$ 时的渐近行为 $P_m^{|j|}(r)\\sim r^{2m-|j|}$ 得到；稠密性则利用反证法——若某个函数 $\\rho$ 垂直所有 $P_m^{|j|}$，构造对比度 $q(Ry+c)=e_j(\\hat{y})\\rho(|y|)$，根据解耦结论它产生零远场数据，从而由逆问题唯一性推出 $\\rho=0$。\n在此基础上，定义 $\\{R_k^{|j|}\\}_{k\\in\\mathbb{N}_0}$ 为对 $\\{P_m^{|j|}\\}$ 按 $m$ 递增顺序进行 Gram–Schmidt 正交化的结果（定义 3.3）。这一过程确保了当 $k\u003em-\\lceil |j|/2\\rceil$ 时 $\\langle R_k^{|j|}, P_m^{|j|}\\rangle_{L^2_r(0,1)}=0$，即矩阵 $[\\,\\langle R_k^{|j|}, P_m^{|j|}\\rangle\\,]_{k,m}$ 为下三角。将此性质代入 (3.10)，即得下三角系统 (3.17)。\n3. 显式递推公式的推导与数值稳定化 下三角系统可通过前向代入求解，最终得到显式递推 (3.21)。该公式中的分母为 $\\|\\widetilde{R}_k^{|j|}\\|_{L^2_r(0,1)}$，恰为 Gram–Schmidt 过程中自然产生的量，从而无需额外计算。所有内积和范数均可离线计算并存储，在线重建仅涉及线性组合，计算量极低——本质上是对应于 QR 分解的 $R$ 矩阵的求逆。\n然而 Gram–Schmidt 过程在 $k$ 增大时会出现数值不稳定，因为 $P_m^{|j|}$ 中包含的 Bessel 函数随阶数超指数衰减，导致高阶 $\\widetilde{R}_k^{|j|}$ 的范数极小而极易受舍入误差影响。解决策略是采用截断正则化：由于远场数据矩阵的非零结构同样受 Bessel 函数衰减控制（仅有前若干对角线显著），故可自然选取截断参数 $N$，只生成前 $N$ 个基函数，对应的三角系统大小也为 $N\\times N$，从而避免了不稳定区间。这一截断建立在文献 [17,18,20] 关于远场数据稀疏性结果之上，并与低秩方法 [30] 的出发点相似，但实现方式不同。\n附加的创新点还包括对称性的利用：通过 (3.9) 的平均公式可降低数据噪声，且不改变方程组的解。整体构建的证明框架是：解耦 → 基选择 → 下三角化 → 递推求解 → 截断稳定，逻辑清晰且每个步骤均有严格线性代数与泛函分析支撑。\n4. 与之前工作的比较 本文在理论推导、算法框架和适用范围上与既有研究存在多方面关联与推进。\n1. 与线性化 EIT 直接重建方法的比较 [2,14] 本文的核心灵感来自 Gardner 等 [2] 和 Hanke 等 [14] 在电阻抗成像（EIT）中发展的三角 Zernike 分解法。EIT 的线性化模型（Calderón 问题）同样可解耦角频率，并使用径向 Zernike 多项式将系统矩阵下三角化，从而得到显式系数递推。但将这一框架搬至逆 Born 散射时，积分核完全不同：EIT 中的核涉及超几何函数乘积，而此处的核为 $J_m(\\kappa R\\,r)J_{m-|j|}(\\kappa R\\,r)$。直接套用 Zernike 多项式无法使矩阵三角化。本文的关键推进在于识别出应以 $J_m J_{m-|j|}$ 自身作为“种子”进行 Gram–Schmidt 正交化，从而构造出适用于 Helmholtz 核的径向基，并严格证明了这样得到的基使系统矩阵化为下三角。此外，EIT 相关文献未讨论 Gram–Schmidt 过程中因核函数衰减引发的数值不稳定及截断问题，而本文对此进行了详细分析并给出了稳定性指导。在求解方式上，两种方法均归结为下三角系统的前向代入，但本文的递推公式 (3.21) 利用了 Gram–Schmidt 中间量，形式上更为精简。\n2. 与低秩逆散射方法 [30] 的比较 文献 [30] 提出利用广义长椭球波函数展开远场数据，利用其低秩特性进行反演。本文同样依靠低秩性质（源自 Bessel 函数的超指数衰减），但采取了截然不同的基函数与算法：我们使用三角基（Fourier + Gram–Schmidt 基），将反演转化为解小型三角系统，而非特征分解。从计算效率看，本文方法的 QR 分解部分可完全离线，在线阶段仅为递推代入，计算量远小于特征分解或迭代优化。数值实验中作者将本文方法与 [30] 进行了直接比较，初步结果显示本文方法在重构质量和速度上均有竞争力，但具体数值细节在摘要中未展开。值得注意的是，本文重构公式是在 Born 近似下严格推导的；然而实验观察到该方法“即使应用于 Born 区域外的全非线性远场数据”，结合正则化后依然有效。这暗示本文方法或许对中等非线性的散射也有实用价值，可能超越 [30] 仅分析线性模型的适用范围（若 [30] 主要针对 Born 情形）。\n3. 与傅里叶重构（如 NUFFT）的比较 公式 (2.6) 表明 Born 远场模式等同于对比度在圆盘 $B_{2\\kappa}(0)$ 上的非均匀 Fourier 采样（见图 2.1）。因此，一种自然的反演思路是使用非均匀 FFT（NUFFT）将数据重网格化后再做逆 Fourier 变换。本文在第 5 节数值实验中与 MATLAB 内置 NUFFT 方法对比，后者的局限性在于需要插值且通常伴随着伪影；而本文方法通过构造正交基下的展开，无需处理非均匀采样，直接给出了比直接 NUFFT 更精确的重建，且避免了非凸优化。\n4. 与常规迭代反演方法的差异 经典定量逆散射反演多采用高斯–牛顿等迭代法，每次迭代需解大型、不适定线性系统，计算成本极高。本文算法提供了一种直接重建，既可用于 Born 数据一步到位，也可为非线性反演提供优良的初始猜测。其代价是依赖先验信息（已知支集球 $B_R(c)$）和波数 $\\kappa$，且仅保证弱散射下的精确性。与近期结合深度学习的物理驱动方法相比，本文方法具有严格的数学推导和可解释性，且不依赖训练数据。\n5. 理论视角的推进 本文将逆 Born 散射的“显式反演公式”这一目标从 EIT 成功推广到 Helmholtz 方程，并解决了径向基存在的理论障碍（命题 3.2）。对比关于逆散射唯一性、稳定性等性质的众多文献（如 [24]），本文首次给出了基于特殊基分解的直接代数重建途径，并且论证了该基在无限维意义下确实构成 $L^2$ 的规范正交基，使得重构具有完备的理论框架。不足之处在于，基的构造依赖于波数 $\\kappa$ 和 ROI 半径 $R$ 的精确知情，若这些参数估计不准，重建质量会下降；另外 Gram–Schmidt 过程的稳定性仍受 Bessel 函数衰减制约，需要妥善选取截断参数，这在一定程度上限制了可恢复的分辨率。\n3. 任意维数下H^k型张量积空间的加权hp一致分解 Weighted hp-Uniform Decompositions for H^k-Type Tensor-Product Spaces in Arbitrary Dimension\n作者: Situan Li, Weiying Zheng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.05615v1\n摘要翻译: 我们针对任意空间维数 $d \\ge 1$，在拟合界面网格上，为 $H^k$ 型协调与非协调空间的张量积离散建立了加权 $hp$ 一致的顶点块分解，其中 Sobolev 阶 $k \\ge 1$ 任意固定。单元为坐标兼容长方体，局部空间为 $Q_{p_K}(K)$，单元次数满足 $p_K \\ge 2k-1$，且系数在材料界面处可有任意大的跳跃。在局部系数振荡界和局部高侧连通条件下，协调 $H^k$ 空间和非协调空间 $V_h^{(s)}$（$0 \\le s \\le k$）均容许稳定分解，其常数可能依赖于固定参数 $d$ 和 $k$，但与网格尺寸、所有多项式次数、相邻次数比以及全局系数反差无关。该论证结合了 $0,\\ldots,k-1$ 阶端点射流的 Hermite 端点变换、其张量积延拓、加权破碎块 Poincaré 不等式以及法向导数跳跃的连续校正。针对具有大系数跳跃和强变化局部多项式次数的三维 DG 问题的数值实验支持了预测的鲁棒性。对于 $k=1$，在一致正则映射立方体网格上（其相邻单元映射在每个公共面上一致）可得到相同的结论。\nComment: 20 pages, 2 tables\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.05615v1\n1. 研究对象和背景 在 d 维有界多面体区域 Ω 上, 考虑扩散系数 a(x) 分片连续的拟合界面问题. 具体地, 区域被剖分为 M 个互不相交的开材料子区域 Ω = ∪{m=1}^M Ω_m, 在每个子区域内 a 恒为常数 a_m(或连续有界), 但跨界面可以任意跳跃. 网格 T_h 是由坐标兼容的正交长方体组成的协调网格: 每个单元 K 经仿射映射与参考立方体相连, 相邻单元的面坐标一致, 且横向坐标方向平行于物理法向(Assumption 2.1). 局部多项式空间采用张量积多项式 Q{p_K}(K), 其中 p_K 是单元次数, 满足 p_K ≥ 2k-1, k 为固定的 Sobolev 指标(k ≥ 1). 定义 H^k 型协调空间 V_h^{(k)} = {v ∈ H^k_0(Ω) : v|K ∈ Q{p_K}(K)}, 以及非协调空间 V_h^{(s)}(0 ≤ s ≤ k)为分段 Q_{p_K} 且满足 H^s_0(Ω) 协调的函数空间. 特别地, 低阶协调空间 V_0^{(k)} 的每个单元上多项式次数取为 2k-1.\n稳定分解是 hp 有限元方法理论中的基本工具, 它将有限元空间表示为若干子空间(通常索引于网格实体或节点)的直和或非直和, 并保证函数可以分解为这些子空间分量的叠加, 且各分量范数平方和与原函数范数等价. 在 hp 自适应计算中, 稳定分解是构造可扩展区域分解前条件, 证明 hp 版本插值误差估计以及分析非协调方法(如间断 Galerkin 方法)收敛性的核心引理. 分解常数若依赖于网格尺寸 h 或局部多项式次数 p, 则可能导致迭代次数随问题规模增长; 若进一步依赖于系数对比度, 则在实际高对比度问题中前条件的效率会急剧恶化. 因此, 构建对 h, p 和系数同时鲁棒的分解意义重大.\n然而, 在本文研究之前, 对于 H^k 协调及非协调张量积空间的 hp 稳定分解存在两个主要困难. 其一, 高阶协调性(k ≥ 2)要求跨单元面匹配直到 k-1 阶的法向导数. 将函数局部化到顶点片时, 必须设计满足这些迹条件的局部子空间; 若处理不当, 则会引起界面跳跃, 破坏协调性或范数等价性. 其二, 对于带有高对比度系数的能量泛函, 标准加权的 Poincaré 不等式常数通常随局部系数的反差增长, 若直接用于分解稳定性, 将导致常数取决于全局系数比. 如何在保证高阶迹结构的同时引入系数鲁棒的估计, 是尚未解决的问题.\n本文在前人工作的基础上, 针对拟合界面网格, 在任意空间维数 d ≥ 1 和任意 Sobolev 阶数 k ≥ 1 下, 建立了两个关键假设: 局部系数振荡有界(2.1)和高侧连通性(2.2). 前者要求每个单元上系数变化有限, 后者则要求每个 patch 内高系数区域通过面连接链与一个高侧锚单元相通, 且链上系数拟单调增. 在上述假设下, 作者证明了加权顶点片分解的存在性, 且分解常数只依赖于 d, k 和局部几何/系数参数, 不依赖于全局系数对比度. 这填补了 hp 理论中一项重要空白.\n2. 主要定理或主要结果 主要结果(完整定理):\n设 d ≥ 1, k ≥ 1, 网格满足坐标兼容性(Assumption 2.1), 系数满足(2.1)与(2.2), 并满足 Assumption 2.2(局部高侧连通性). 则存在仅依赖于 d, k, 形状正则常数 γ, C_{cell}, C_{reg}, N_0 和 C_{qm} 的常数 C, 使得以下成立.\n对任意 0 ≤ s ≤ k, 令 V_h^{(s)} 为如上定义的空间. 对于任意 v ∈ V_h^{(s)}, 存在分解 v = v_0 + Σ_{z ∈ V_h} v_z, 其中 v_0 ∈ V_0^{(k)}, v_z ∈ V_h^{(s)}, 且 supp v_z ⊆ ω_z.\n(i) 若 s = k(即 v 在 H^k_0 协调空间), 则有加权半范稳定性: |v_0|{a,k}^2 + Σ{z ∈ V_h} |v_z|{a,k}^2 ≤ C |v|{a,k}^2. (1) 这里 |v|{a,k}^2 = Σ{K ∈ T_h} \\bar{a}K |v|{H^k(K)}^2, 而 \\bar{a}_K 是单元代表系数(如单元平均).\n(ii) 若 0 ≤ s ≤ k, 则对于由(2.7)定义的非协调加权范数 ||·||{b,s,k,h}, 有 ||v_0||{b,s,k,h}^2 + Σ_{z ∈ V_h} ||v_z||{b,s,k,h}^2 ≤ C ||v||{b,s,k,h}^2, (2) 其中 ||v||{b,s,k,h}^2 = Σ{K ∈ T_h} \\bar{a}K |v|{H^k(K)}^2 + Σ_{F ∈ F_h} Σ_{ℓ=s}^{k-1} η_{F,ℓ} J_{F,ℓ}(v)^2, J_{F,ℓ}(v)^2 = Σ_{q=0}^{ℓ} Σ_{|α_τ|=ℓ-q} ||D_τ^{α_τ} J_F^q(v)||{L^2(F)}^2, 面子数 b_F 可取为 b_F^{max} = max{ \\bar{a}{K^+}, \\bar{a}{K^-} } 或调和平均 b_F^{har} = 2\\bar{a}{K^+}\\bar{a}{K^-} / (\\bar{a}{K^+} + \\bar{a}{K^-}); 惩罚权重 η{F,ℓ} 是满足下界条件(2.8)和嵌套关系(2.9)的任意正数. 例如最小选择 η_{F,ℓ}^{min} = b_F h_F^{-2(k-ℓ)+1}. 常数 C 独立于 h, 所有局部多项式度 p_K, 相邻度比 p_K / p_{K\u0026rsquo;}, 以及全局系数对比度 max \\bar{a}_K / min \\bar{a}_K.\n当 k = 1 时, 上述结论可推广至一致正则的映射长方体网格, 只要相邻单元在公共面上具有相同的映射(参见第 6.2 节).\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 证明的主要技术障碍在于: 既要将任意函数 v 分解到支集限于顶点片的局部函数, 又要保证它们满足 H^s 协调性所要求的跨面法向迹连续条件, 同时确保加权稳定性常数对系数跳跃完全鲁棒. 作者为此设计了三个相互配合的核心工具.\n一维 Hermite 端点变换及其张量积扩展. 参考文献区间 I = (0,1). 选取特定多项式 ψ_k ∈ P_{2k-2}(I) 满足矩条件 ∫0^1 s^r ψ_k(s) ds = 1, r = 0,…,k-1, 且 ψ_k^{(j)}(1) = 0, j = 0,…,k-2. 基于 ψ_k 定义算子 A_0 和 A_1: (A_0 u)(t) = ∫0^1 ψ_k(s) u(st) ds, (A_1 u)(t) = ∫0^1 ψ_k(s) u(1 - s(1-t)) ds. 它们具有端点导数保持性质: (A_0 u)^{(r)}(0) = u^{(r)}(0), (A_1 u)^{(r)}(1) = u^{(r)}(1), r = 0,…,k-1. 利用 Hermite 基函数 ρ{i,r}^{(k)} ∈ P{2k-1} 校正另一端的导数, 得到算子 C_0, C_1, C⋆: C_0 u = A_0 u - Σ_{r=0}^{k-1} λ_{0,r}(u) ρ_{1,r}^{(k)}, C_1 u = A_1 u - Σ_{r=0}^{k-1} λ_{1,r}(u) ρ_{0,r}^{(k)}, C_⋆ u = u - C_0 u - C_1 u, 其中 λ_{i,r} 为适当的泛函. 由构造, 它们满足(Lemma 3.1): Tr_i^k(C_j u) = δ_{ij} Tr_i^k u, i,j ∈ {0,1}, 而 Tr_0^k(C_⋆ u) = Tr_1^k(C_⋆ u) = 0. 这些算子是 H^k(I) 到自身的有界线性的, 且保持 ≥ 2k-1 次多项式不变(Lemma 3.2). 通过张量积, 在参考立方体(0,1)^d 上定义实体算子 B_σ = C_{σ_1} ⊗ … ⊗ C_{σ_d}, σ ∈ {0,1,⋆}^d. 每一个参考实体 ^E_σ 对应一个算子. 将其拉回到物理单元 K 得到 B_K^E. 关键性质(Lemma 3.4): 对于单元 K 的面 F, 若实体 E ⊆ F, 则法向导数 ∂{n_F}^q B_K^E w 在 F 上等于该面实体分量 B_F^E (∂{n_F}^q w); 若 E ⊄ F, 则 ∂_{n_F}^q B_K^E w = 0, q = 0,…,k-1. 这意味着实体分量天然地分离了法向迹: 只有属于该面的实体分量才在该面上有非零法向导数. 这为按实体逐层修正跳跃提供了代数基础.\n加权破碎片 Poincaré 不等式与高侧连通性路径. 为了控制系数跳跃, 作者引入了局部拟单调链条件(Assumption 2.2). 在每个实体 S 的 patch ω_S 中, 存在一个高侧锚单元 K_S^+, 使得任意单元 K 均可经过至多 N_0 个面连接到达它, 且链路上系数满足 \\bar{a}{K_j} ≤ C{qm} \\bar{a}{K{j+1}}. 这一条件保证了沿链面子数 b_{F_j} 不低于 \\bar{a}{K_j}(见(2.5)). 对于在该 patch 内满足前 r 阶法向跳跃为零的分片 H^k 函数 w, 定义投影 P{S,r}^a w = Π_{K_S^+} w(Π_K 为单元 K 上的 k-1 次平均泰勒投影). 要估计 w - P_{S,r}^a w 的加权低阶导数. 利用链式分解: 任取单元 K_0, 将 Π_{K_0} w - Π_{K_S^+} w 写作沿链相邻单元投影差之和. 对每一相邻对应用两单元转移引理(Lemma 4.2), 该引理基于有限维面到体估计(Lemma 4.1)和投影误差的迹估计(4.2), 将投影差用源单元和目标单元的 H^k 半范及它们之间面的跳跃 J_{F,ℓ}(w)(ℓ ≥ r)控制. 由于上述链上系数关系, 源单元的系数 \\bar{a}{K_0} 被面子数 b{F_j} 一路控制, 从而整个加权和最终由 Σ_{K⊂ω_S} \\bar{a}K |w|{H^k(K)}^2 与 Σ_{F∈F_h(S)} Σ_{ℓ=r}^{k-1} b_F h_F^{-2(k-ℓ)+1} J_{F,ℓ}(w)^2 控制, 得到加权破碎片 Poincaré 不等式(4.5). 此估计常数的系数鲁棒性正是依赖于链条件所确保的 \\bar{a}_{K} ≲ b_F 关系.\n连续修正法向跳跃的分解构造. 具体构造时, 先利用 Hermite 插值在顶点处定义低阶函数 v_0 ∈ V_0^{(k)}, 使余量 w = v - v_0 在顶点处的所有直到 k-1 阶导数均为零. 由此 w 在每个面内部的法向跳跃从低阶开始逐步修正. 作者按实体维数从高到低(例如, 先在内部面, 后在边, 最后在顶点)循环: 在每一步, 针对实体 S, 利用加权 Poincaré 不等式构造一个支集在 ω_S 内, 且法向导数跳跃恰好能抵消当前 w 在 S 上相应跳跃的修正项. 因为实体算子的迹分离性质, 加入此修正项不会破坏已处理的高维实体上的零跳跃状态. 最终将各修正项与 v_0 重新组合为顶点片分量 v_z. 范数稳定性由 Poincaré 不等式和迹估计联合导出, 且由于 Poincaré 估计中系数的处理完全基于局部链, 不引入全局对比度依赖.\n这三者的有机结合, 攻克了高对比度系数下任意阶 hp 分解的难题.\n4. 与之前工作的比较 与已有文献的详细比较:\n系数鲁棒性与高侧连通性假设. 经典 hp 分解研究(如[6]中的 DG 子空间分解,[7]中的内罚项分析)通常假定系数为常数或光滑, 或者即使允许跳跃, 其稳定常数也包含全局对比度因子. 在区域分解或预条件上下文中, 如果能量范数中使用调和平均或类似加权, 常数往往随系数比恶化. 本文首次在张量积设置下, 通过 Assumption 2.2(高侧连通性)实现了完全对比度独立的常数. 代价是网格必须拟合界面, 并且 patch 内的系数链必须拟单调. 这在实际问题中对应于: 在每一种材料内的单元片内部, 系数变化有限; 且如果存在高传导区域, 它必须通过一连串面连接的单元与 patch 内最高系数锚单元相连, 中间不能有\u0026quot;低传导瓶颈\u0026quot;阻断. 作者在 Remark 4.5 中明确指出, 若缺少此连通条件, 则低阶粗空间加一层顶点片的分解无法实现常数独立, 从而说明该假设是必要而非仅是方便.\n任意 Sobolev 阶数与维度的推广. 已有工作大多局限于 k = 1(H^1 协调或完全间断)或 k = 2(H^2 协调板问题). 对于更高阶协调空间, 由于法向迹的阶数增加, 实体局部化的困难急剧上升. Karakashian 和 Pascal[3]曾研究矩形网格上 H^k 协调元的基, 但并未建立 hp 稳定分解, 尤其未涉及系数. 本文利用 Hermite 变换的张量积本质, 将构造系统推广到了任意 k≥1 和任意 d≥1, 且常数仅显式依赖于 d 和 k. 对于 k ≥ 2, 要求物理网格为正交长方体, 以保证法向量与张量坐标对齐; 对于 k = 1, 仅需值连续性, 故可推广至映射长方体网格, 但需要相邻单元映射在公共面上相一致(第 6.2 节). 这一延伸保留了张量积坐标的局部结构.\n多项式次数要求与相邻度比独立性. 分解要求 p_K ≥ 2k-1, 这与标准 Hermite 插值的最低次数要求一致, 此前 hp 分析中也常采用(如内罚 DG 的惩罚项[2,4]). 本文进一步证明了稳定常数不依赖于相邻单元的次数比 p_K / p_{K\u0026rsquo;}, 这对于自适应计算中单元间次数大幅度变化的情形尤为重要. 之前的许多研究成果仅对全局一致次数成立, 或在常数中包含次数比. 本文的估计通过局部投影和迹不等式的仔细标度, 消去了这种依赖.\n面权重与 DG 的联系. 在非协调空间(s \u0026lt; k)情形, 范数包含面跳跃惩罚项, 本文给出了两种面子数选择 b_F^{max} 和 b_F^{har}, 并讨论了它们与直接 IPDG 方法中常用权重的对应(第 6.1 节). 选择 b_F^{har} 时, 结合链条件仍满足 \\bar{a}_K ≲ b_F, 这确保了 Poincaré 常数的一致性. 相比以前 DG 分析中往往需要专门设计惩罚参数来吸收系数比, 本文的结果表明, 在满足高侧连通性的网格上, 标准的面权形式自然具有系数鲁棒的分解稳定性.\n局限性. 本文的结果适用于张量积多项式空间(Q_{p_K}), 不能直接移植到单纯形或一般混合单元. 对于 k ≥ 2, 网格必须由正交长方体组成且满足坐标兼容, 这限制了区域几何. 尽管可以通过区域分解在多边形区域上使用, 但全局坐标兼容难以保证. 对于一般光滑区域, 通常需要等参映射, 但高阶法向导数在映射下的变换会复杂化. 文中的 k=1 推广是第一步, 更高阶的映射情形仍是开放问题. 另外, 高侧连通性假设在某些复杂材料分布(如高度曲折的界面或孤岛)下可能过于严格, 需要更复杂的粗空间设计才能绕过.\n总之, 本文在 hp 稳定分解的理论中迈出了重要一步, 将适用范围拓宽到任意阶数, 任意维度和高对比度系数, 所引入的 Hermite 变换和高侧链技术为后续研究提供了可借鉴的范例.\n不相关论文（基本信息） 1. 机会约束规划的q-Tsallis安全逼近 A q-Tsallis Safe Approximation for Chance-Constrained Programs\n作者: Sergio Assunção Monteiro, Fabricio Alves Barbosa da Silva\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.06401v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.06401v1\n摘要: Classical chance-constrained programs are solved by safe approximations based on the empirical CVaR, which uses a uniform measure over scenarios and systematically underweights tail events under heavy-tailed distributions. We introduce \\emph{q-CCP}, a non-extensive safe approximation grounded in the Riemannian geometry of the Tsallis statistical manifold: the rank-based q-CVaR escort weights are the $g^{(q)}$-geodesic projection onto the tail simplex face, and the q-CCP feasible set is a Tsallis-divergence ball (Proposition12). This geometric foundation yields three results. First, q-CCP is a provable strict tightening of CVaR-CCP for all $q \u003e 1$ (Theorem7). Second, the empirical violation ratio satisfies $ρ(q) = [1-(1-\\varepsilon)^{q+1}]/\\varepsilon$, independent of the tail index $ν$ (Proposition10). Third, the feasible-region volume cost is monotone increasing in $q$ and $ν$ (Proposition11), providing a data-adaptive safety knob. The formulation inherits convexity and coherence from the q-CVaR functional and admits an iterative LP reformulation converging in 2\u0026ndash;3 iterations. Experiments on 15 Ibovespa equities confirm the theory (violation ratio $0.241$, $q^* = 1.50$); an M5 inventory newsvendor experiment generalises the method to supply chain ($q^* = 1.88$, cost premium $1.155\\times$, zero OOS stockout violations).\n2. 面向高维偏微分方程的DAS-PINNs：将深度自适应采样扩展到时空域 DAS-PINNs for high-dimensional partial differential equations: extending deep adaptive sampling to spacetime domains\n作者: Anshima Singh, David J. Silvester\n类别: math.NA, cs.LG, stat.ML\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.06314v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.06314v1\n摘要: Time-dependent high-dimensional partial differential equations (PDEs) with spatially localised and dynamically evolving solutions pose a fundamental challenge for physics-informed neural networks (PINNs), as uniform collocation sampling becomes increasingly ineffective in high-dimensional spatiotemporal domains. In this work, a deep adaptive sampling framework for PINNs is extended to the time-dependent setting by treating space and time as a unified domain without any explicit time marching. A normalising flow neural network model effectively learns the distribution induced by the PDE residual and generates new collocation points concentrated in regions where the solution is most difficult to learn. Unlike conventional adaptive strategies that require explicit time stepping or moving meshes, high-residual regions are automatically identified and tracked across both space and time, driven purely by the PDE residual distribution. The effectiveness of the proposed strategy is assessed on a range of benchmark problems, from sharp and moving features in two spatial dimensions to localised structures in up to eight spatial dimensions.\n3. 带非齐次边界条件的二维不可压缩Navier-Stokes方程的Tr-PINNs算法误差分析 Error Analysis of Tr-PINNs Algorithm for 2D Incompressible Navier-Stokes Equations with Non-Homogeneous Boundary Conditions\n作者: Dongjie Liu, Xuebo Li, Rong Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.06268v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.06268v1\n摘要: Physics-informed neural networks (PINNs) have been widely applied to solve Navier-Stokes equations by enforcing outputs and gradients of deep models to satisfy target equations. However, conventional PINNs only constrain the boundary terms by means of the $L^2$-norm when addressing the equations with non-homogeneous boundary conditions. This single constraint strategy may cause inaccurate boundary simulation, further resulting in the decline of prediction accuracy. To resolve this critical issue, this paper proposes an improved physics-informed neural network by correcting the error of the boundary value, which is called Tr-PINNs. Based on the results of nonhomogeneous Stokes problem, the algorithm error analysis of Tr-PINNs is established. The efficacy of the Tr-PINNs algorithm is demonstrated via numerical experiments, which further demonstrate that the Tr-PINNs algorithm achieves a remarkable improvement in computational accuracy.\n4. 有效维度作为物理信息神经网络中保物理约束自适应的算子不变量 Effective Dimensionality as an Operator Invariant for Physics-Preserving Constraint Adaptation in Physics-Informed Neural Networks\n作者: Cornelius Otchere, Michael Shields\n类别: stat.ML, cs.LG, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.06171v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.06171v1\n摘要: Physics-Informed Neural Networks inherently suffer from task interference because they rely on a shared parameter space to satisfy both governing differential equations and boundary conditions. We analyze this structural conflict using the Fisher Information Matrix to quantify the effective degrees of freedom ($d_{eff}$) in a physics-constrained model. Unlike the classical $d_{eff}$ which measures how many parameter directions are informed by data against a statistical prior, our $d_{eff}$ measures the dimension of the parameter directions unconstrained by the differential operator. For operators with finite-dimensional kernel, we show that $d_{eff}$ converges to the kernel dimension exactly, independent of network width, depth, or activation function, recasting it from a fit diagnostic into a structural invariant of the underlying continuous operator. For operators with infinite-dimensional kernel, $d_{eff}$ instead measures the network\u0026rsquo;s finite-dimensional representational bandwidth for that kernel rather than recovering an integer invariant. Importantly, $d_{eff}$ also serves as an a priori structural diagnostic. Driving $d_{eff}$ of a well-posed problem to zero certifies that the physics and boundary constraints have absorbed the network\u0026rsquo;s free directions. Building on this characterization, we introduce subspace projection strategies for boundary adaptation. Rather than retraining from scratch, we project parameter updates into the null space of the pre-trained physics operator so that new boundary conditions are satisfied without disturbing the learned physics. Gradient-based fine-tuning can match or exceed this but needs more wall-clock time and tuning, whereas subspace projection delivers near-equivalent quality in seconds to minutes. We validate on linear and nonlinear operators, demonstrating accurate adaptation to initial and boundary shifts and unencountered constraint types.\n5. 基于JR分解的电路模型结构保持算子分裂 Structure-Preserving Operator Splitting via JR-Decomposition for Circuit Models\n作者: Andreas Bartel, Malak Diab\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.06153v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.06153v1\n摘要: We investigate circuit models, namely, modified nodal analysis (MNA) in the port-Hamiltonian framework. Based on this, the JR-decomposition for the numerical treatment would offer an energy conform splitting. However, for circuit models, the application of the standard JR-decomposition is restricted. To enable a JR-decomposition for MNA, we need to relax the decomposition. To this end, we introduce the enhanced JR-decomposition, which is particularly tailored to the application to circuits. We conclude with a numerical example that illustrates the applicability of the proposed approach as well as its convergence and structure-preserving properties.\n6. 用于黎曼流形上遍历动力学长时间采样的后处理冻结流方法 Post-processed frozen-flow methods for the long time sampling of ergodic dynamics on Riemannian manifolds\n作者: Adrien Busnot Laurent, Sébastien Macé\n类别: math.NA, math.CO, math.DG, math.PR\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.06150v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.06150v1\n摘要: In this work, we propose a novel intrinsic approach to the approximation of ergodic SDEs on Riemannian manifolds, which include Riemannian Langevin dynamics. In opposition to the standard extrinsic approaches such as penalization methods and projection methods, our methodology does not use embeddings or coordinates and only relies on natural geometric operations: geodesics, parallel transport,\u0026hellip; We give a criterion for high order of accuracy for the invariant measure, develop new intrinsic numerical methods designed solely for sampling the invariant measure, and derive high order conditions using a new algebraic operation on exotic Lie-Butcher series. In the spirit of the Leimkuhler-Matthews method, our approach prioritizes long time sampling efficiency over finite time accuracy, and outperforms the previous extrinsic and intrinsic approaches in terms of cost for a given accuracy, which we illustrate with several numerical experiments.\n7. 集合卡尔曼反演作为一种惯性相互作用粒子系统 Ensemble Kalman Inversion as an Inertial Interacting Particle System\n作者: Michael Herty, Pierpaolo Porretta, Giuseppe Visconti\n类别: math.NA, math.DS, math.OC\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.06121v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.06121v1\n摘要: Ensemble Kalman Inversion (EKI) is a derivative-free, ensemble-based method for inverse and optimization problems. Its continuous-time formulation can be interpreted as an interacting particle system driven by a Kalman-type preconditioned descent direction. A well-known limitation of this dynamics is the possible premature collapse of the covariance of the ensemble, which makes the method sensitive to the initial ensemble. We introduce a second-order particle system in which the particles evolve according to an inertial dynamics. The model combines a Kalman-type relaxation force with damping, attraction towards the ensemble mean, and a short-range repulsive interaction designed to counteract ensemble collapse. The resulting dynamics can be interpreted as a heavy-ball reformulation of continuous-time EKI enriched by competing attractive and repulsive mechanisms. For linear inverse problems, we analyze the induced mean and fluctuation dynamics and identify a parameter regime in which fully collapsed configurations are linearly unstable. We further characterize asymptotic equilibria through a constrained optimality condition on the subspace retained by the limiting ensemble covariance and derive an exponential decay estimate. Numerical experiments illustrate the effect of inertia and repulsion on the ensemble dynamics and compare the proposed second-order method with first-order EKI-type\n8. 一种用于无界区域上基于残差的波动方程求解器的微局部开放边界方法 A Microlocal Open-Boundary Method for Residual-Based Wave Solvers on Unbounded Domains\n作者: Avy Soffer, Nguyen Gia Hien, Minh-Binh Tran\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.06115v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.06115v1\n摘要: We introduce a microlocal phase-space-filtered physics-informed neural network (PINN\u0026ndash;TDPSF or Microlocal PINNFilter) framework for wave propagation on unbounded domains. The method combines a slabwise neural residual approximation of the interior evolution with a time-dependent phase-space filter applied in a buffer surrounding the physical computational domain. The central idea is to replace local artificial-boundary penalties by a phase-space radiation mechanism: a component is removed only when it is localized near the artificial boundary and its group velocity points outward. The proposed method is not intended to replace FFT, spectral, or split-step solvers for known-coefficient forward problems where such methods are available and highly accurate. Instead, it embeds the time-dependent phase-space filter into a residual-based neural framework. This coupling is useful when open-domain wave propagation must be combined with nonlinear residuals, sparse or off-grid observations, unknown coefficients, variable interior media, or other non-FFT-diagonalizable physics. Numerical experiments for linear Schrödinger propagation, potential scattering, anisotropic Schrödinger dynamics, nonlinear Schrödinger wave packets, soliton stress tests, linearized Euler waves, and sparse-data recovery of a localized acoustic defect show that the method reduces artificial reflection and wraparound, uses group velocity correctly in anisotropic media, preserves physically incoming branch components, and provides diagnostics when the assumptions behind outgoing-packet filtering are violated.\n9. 张量火车多维逆拉普拉斯变换 A tensor-train multidimensional inverse Laplace transform\n作者: Martin Mikkelsen, Michael Kastoryano\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.06093v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.06093v1\n摘要: Laplace transforms and their numerical inverses arise throughout applied mathematics, physics, finance, and probability theory. Numerical inversion, however, quickly becomes intractable in high dimensions because the number of quadrature evaluations grows exponentially with dimension. We develop a tensor train (TT) formulation of the multidimensional inverse Laplace transform. The method constructs a TT approximation of the transformed function on the complex quadrature grid and then performs the inversion through a sequence of tensor contractions. Under suitable low-rank assumptions, this reduces the computational cost from exponential to polynomial in the dimension, provided that the relevant bond dimensions remain bounded. The method has only a small number of tunable parameters and admits error estimations. We demonstrate its performance in numerical experiments, benchmarked against Monte Carlo estimates and exact references, for multivariate normal-inverse Gaussian, Wishart, and correlated Gamma-type distributions.\n10. 含时间依赖奇异矩阵的随机微分代数方程的保结构随机theta方法的弱一阶收敛 Weak order one convergence of structure-preserving stochastic theta methods for stochastic differential algebraic equations with time-dependent singular matrices\n作者: Caiyuan Zhu, Ziheng Chen, Lin Chen, Yiwei Zhou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.06071v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.06071v1\n摘要: This paper studies the weak convergence order of structure-preserving stochastic theta methods for a class of index-$1$ stochastic differential algebraic equations with time-dependent singular matrices. The singular matrix is allowed to vary in time but preserves a fixed differential-algebraic splitting, thereby extending the constant singular-matrix setting while retaining the projector structure required for constraint preservation. By exploiting the index-$1$ algebraic-differential decomposition of the exact solution, we establish an abstract weak convergence theorem for constraint-preserving one-step approximations and apply it to the stochastic theta method with $θ\\in (0,1]$. Under global Lipschitz, linear growth, and suitable smoothness assumptions, the considered method is proved to be well posed, to preserve the algebraic constraints at all time levels, and to converge with weak order one. Numerical experiments are finally presented to confirm the structure-preserving property and the theoretical convergence order.\n11. 基于残差的Kaczmarz方法求解t-乘积张量线性方程组 Residual-based Kaczmarz methods for tensor linear equations with t-product\n作者: Li-Lin Ji, Juanjuan Sun, Jun-Feng Yin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.06057v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.06057v1\n摘要: Tensor linear systems widely arise from high-dimensional data mining and computing, for instance, natural language processing and machine learning. A class of residual-based tensor Kaczmarz method is proposed for tensor linear equations with t-product. Theoretical analyses prove the convergence and give an upper bound of the convergence rate of the proposed method. Furthermore, an accelerated residual-based Kaczmarz method with heavy ball momentum is developed. Numerical experiments verify the efficiency of the proposed methods and demonstrate that they are faster than the existing tensor Kaczmarz methods.\n12. 用稀疏逼近方法学习偏微分方程解算子 Learning solution operators of PDEs with sparse approximation methods\n作者: Sebastian Neumayer, Daniel Potts, Fabian Taubert\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.06046v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.06046v1\n摘要: We investigate the approximation of solution operators for partial differential equations (PDEs) using sparse high-dimensional techniques. Building on a dimension-incremental framework, we combine product basis expansions with sparse recovery methods, specifically orthogonal matching pursuit (OMP), to substantially reduce the required sample size compared with a previously considered cubature-based approach. We evaluate the resulting method numerically on several examples, comparing it against both cubature-based sparse approximation and Fourier neural operators in terms of accuracy, runtime, and sample size. The experiments show that our approach considerably reduces the number of required PDE solves relative to its predecessor while maintaining competitive accuracy, particularly when the solution admits a sparse representation in the chosen basis. Furthermore, the recovered sparse index sets yield interpretable insights into the relevant variables and parameter interactions.\n13. 广义牛顿模型的辅助梯度流求解器 Auxiliary Gradient-Flow Solvers for Generalized Newtonian Models\n作者: Stefano Zampini, Daniele Boffi, Gurt Dovletov, Peter Markowich\n类别: math.NA, math.FA\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.05926v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.05926v1\n摘要: We introduce an auxiliary gradient-flow framework for variational problems with generalized Newtonian structure governed by an N-function. The key idea is to replace the nonlinear constitutive dependence on the gradient, or symmetric gradient, by an auxiliary scalar variable representing its squared magnitude. This shifts the nonlinearity from the state equation to the auxiliary variable, yielding a sequence of uniformly elliptic weighted linear problems. At the continuous level, we construct an auxiliary energy on a metric space adapted to the growth of the underlying N-function. In this topology, we prove lower semicontinuity, geodesic $λ$-convexity, and exponential convergence of the associated minimizing-movement scheme. At the finite element level, we derive a metric gradient flow through an explicit Riesz map, prove global well-posedness of the resulting semi-discrete ODE, and establish convergence to the finite element solution of the Euler\u0026ndash;Lagrange equations of the generalized Newtonian energy. For the $p$-Laplacian and $p$-Stokes models, this gives a rigorous convergence result for $4/3\\le p\\le 4$, $p\\ne2$, with asymptotic rate estimates beyond this range. We also propose practical time discretizations, including an operator-splitting scheme that gives the \\kac iteration as a special case, and an adaptive pseudo-transient method that can be implemented using scalable linear solvers. Numerical experiments for power-law, Carreau\u0026ndash;Yasuda, regularized Bingham, and optimal-design models demonstrate robustness, mesh-independent iteration counts in the tested regimes, and performance that matches or outperforms Newton\u0026rsquo;s method.\n14. 离散时间逼近对退化抛物-双曲系统的收敛性 Convergence of a discrete-in-time Approximation to a Degenerate Parabolic-Hyperbolic System\n作者: Julia Hauser, Hideki Murakawa, Markus Schmidtchen\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.05879v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.05879v1\n摘要: In this paper we consider an implicit semi-discrete approximation of a degenerate reaction-cross-diffusion system. Due to the symmetry in the parabolic part, this system is known to preserve segregation of densities \u0026ndash; initially non-overlapping densities belonging to different species remain segregated for all times, which leads to internal layers between different species. We show that time-discrete approximations exist and converge to a weak solution, as the timestep goes to zero.\n15. 用于$\\ell_{1-2}$正则化稀疏恢复的迭代阈值追踪连续化方法 Iterative Thresholding Pursuit with Continuation for $\\ell_{1-2}$-Regularized Sparse Recovery\n作者: Junxi Wu, Zeyu Dong, Jun-Feng Yin\n类别: math.NA, cs.IT, math.OC\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.05657v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.05657v1\n摘要: Sparse recovery aims to reconstruct sparse signals from underdetermined and possibly noisy linear measurements. Existing $\\ell_{1-2}$ iterative thresholding schemes are first-order methods. We propose an iterative thresholding pursuit method with continuation (ITP-C) for $\\ell_{1-2}$-regularized sparse recovery. The method goes beyond first-order thresholding by combining the active-set identification capability of the $\\ell_{1-2}$ proximal step with a restricted least-squares pursuit step that provides a second-order update on the identified support. The support is generated adaptively by the thresholding update, and no prior knowledge of the true sparsity level is required. To control the possible instability of the pursuit step while preserving the descent structure of the continuation scheme, we impose a strict descent check with respect to the dynamic objective. We establish convergence of the generated sequence under the Kurdyka-Lojasiewicz framework and prove a local oracle-type property after correct support identification. Numerical experiments on synthetic sparse recovery and image reconstruction illustrate the descent preservation of the proposed safeguard and demonstrate the improved recovery performance of ITP-C over the state-of-the-art baselines.\n16. 一种求解大规模 T-Sylvester 方程的低秩插值投影算法 A Low-rank Interpolatory Projection Algorithm for Solving Large-scale T-Sylvester Equations\n作者: Umair Zulfiqar\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.05640v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.05640v1\n摘要: This paper considers large-scale T-Sylvester equations of the form $AX - X^\\top E^\\top + B_1B_2^\\top = 0$, which admit a low-rank solution. It is shown that when the unique solution of the T-Sylvester equation is low-rank, the problem naturally reduces to a tangential interpolation problem via oblique projection. The specific interpolation points and tangential directions needed to obtain the low-rank solution are not known a priori, thus requiring an iterative approach. An iterative interpolatory projection algorithm is proposed based on these interpolation conditions, which iteratively refines the interpolation data as the projection matrices expand in the number of columns. Numerical examples demonstrate that the proposed algorithm converges with projection matrices having significantly fewer columns compared to existing Krylov-subspace-based projection methods, confirming the superiority of the proposed algorithm over existing approaches.\n17. 关于基于范数最小化的凸向量优化的并行与批量切割策略 On Parallel and Batch-Cutting Strategies for Norm-Minimization-Based Convex Vector Optimization\n作者: Mohammed Alshahrani\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-06-04\narXiv ID: 2606.05617v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.05617v1\n摘要: We develop parallel and batch-cutting variants of the norm-minimization-based outer approximation algorithm for convex vector optimization. The standard algorithm solves $N_k$ independent subproblems at each iteration~$k$ to evaluate all vertices of the current polyhedral approximation, but processes only the single best cut. We propose two improvements. First, we parallelize the \\revise{subproblem evaluations} across $\\nw$ workers, reducing per-iteration wall-clock time. Second, we introduce a batch-cutting strategy that adds up to $K$ supporting halfspaces per iteration, using information from all solved subproblems rather than discarding it. We prove that the batch-cutting variant inherits the convergence rate $O(k^{2/(1-q)})$ of the standard algorithm, where $k$ is the number of outer iterations and $q$ is the number of objectives. Computational experiments on eight test problems with $q \\in \\{2,3,4,5\\}$ show that parallelism on 8 cores \\revise{increases the speed by a factor of 1.1 to 4.2}, and batch cutting consistently reduces the iteration count by 62\u0026ndash;80%. However, the wall-clock benefit of batch cutting is problem-dependent: the additional cuts per iteration accelerate vertex count growth, so batch cutting is most effective when per-vertex subproblem cost dominates.\n18. 具有最优离散度、周期 $L_2$ 偏差及更多性质的无穷序列 Infinite sequences with optimal diaphony, periodic $L_2$-discrepancy, and beyond\n作者: Peter Kritzer, Nicolas Nagel, Friedrich Pillichshammer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-03\narXiv ID: 2606.05482v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.05482v1\n摘要: We investigate the periodic $L_2$-discrepancy of infinite sequences $§_d$ in $[0,1)^d$ and its analytic counterpart, the diaphony. We prove that infinite order-2 digital sequences over $\\mathbb{F}_2$ attain the optimal order $L_{2,N}^{\\rm per}(§_d) \\le C_d (\\log N)^{d/2}/N$ for all $N \\in \\mathbb{N}\\setminus \\{1\\}$, matching known lower bounds for infinitely many $N \\in \\mathbb{N}$. This confirms the conjectured optimality of order-2 constructions. By this result, we improve upon previously known constructions using order-5 digital sequences, and reduce the underlying dimension for the interlacing construction from $5d$ to $2d$, significantly improving practicality. We establish our bounds within a broader framework of quasi-Monte Carlo integration for periodic Besov spaces $S_{p,q}^rB(\\mathbb{T}^d)$ with dominating mixed smoothness $r \\in (1/p,2)$, where $p,q\\in [1,\\infty]$. Rules based on infinite order-2 digital sequences yield worst-case errors of order $(\\log N)^{(d-1)(1-1/q)} / N^{ \\min(r,1)}$ for $r \\not=1$, and $(\\log N)^{d(1-1/q)}/N$ for $r=1$, for all $N \\in \\mathbb{N}\\setminus\\{1\\}$, while preserving extensibility in $N$.\n19. 迭代相关动力学中用于早期轨迹表征的双通道F变换表示 A Two-Channel F-Transform Representation for Early Trajectory Characterization in Iterated Correlation Dynamics\n作者: Ishrak Alhajj Hassan\n类别: math.DS, math.NA, stat.CO, stat.ML\n发布日期: 2026-06-03\narXiv ID: 2606.05462v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.05462v1\n摘要: Many nonlinear iterative procedures generate high-dimensional trajectories whose early behavior is informative but difficult to compare directly. This paper studies a soft-computing representation problem: how to convert a short early trajectory segment into compact, interpretable, fixed-dimensional fuzzy coordinates that preserve information about subsequent convergence and trajectory geometry. The problem is investigated for iterated Pearson correlation matrices, a nonlinear matrix iteration historically connected with CONCOR-type blockmodeling and repeated-correlation methods. The proposed descriptor uses two logarithmic signals from the early post-transient regime: a step-size signal, measuring contraction magnitude, and a contraction-ratio signal, measuring local contraction evolution. Each signal is projected onto a three-node triangular fuzzy partition using zero-degree F-transform coefficients and one centered first-degree coefficient. This yields an eight-dimensional two-channel representation separating local level from local trend and contraction magnitude from contraction evolution. Across 22 matrix dimensions with 1000 trajectories per dimension, the descriptor is compared with raw trajectory samples, statistical summaries, and PCA-compressed raw features using Random Forest regression for convergence-length approximation. It achieves mean R^2 = 0.6480, close to raw trajectories (0.6518) and statistical summaries (0.6528), while improving over the step-size-only F-transform descriptor (0.5001). Repeated random-split and shifted-window experiments confirm stability. PCA and clustering further show reproducible low-dimensional organization, with the first two principal components explaining 84.26% of variance and k = 3 favored by the mean silhouette criterion.\n20. Mamba辅助的非马尔可夫封闭用于降阶建模 Mamba-Assisted Non-Markovian Closure for Reduced-Order Modeling\n作者: Zhi-Feng Wei, Saad Qadeer, Panos Stinis\n类别: cs.LG, math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-06-03\narXiv ID: 2606.05371v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.05371v1\n摘要: Reduced-order modeling of high-dimensional dynamical systems is often hindered by the non-Markovian closure term that represents the effect of unresolved variables on the resolved dynamics. Inspired by the Mori\u0026ndash;Zwanzig formalism, in which the closure takes the form of a memory functional of the resolved trajectory, we recast closure modeling as a sequence modeling problem and propose the Mamba-Assisted Closure (MAC) framework: a Mamba-based sequence model, trained to predict the closure from the resolved trajectory, is coupled with the reduced-order governing equations through a numerical integrator to advance the resolved variables in time. A key feature of the framework is its exploitation of the dual representation of state-space models \u0026ndash; the model is trained in a sequence-to-sequence fashion via the convolutional form, and deployed for step-by-step autoregressive rollout via the recurrent form, yielding both efficient long-trajectory training and constant per-step inference cost. On the viscous Burgers\u0026rsquo; equation and the chaotic two-scale Lorenz \u0026lsquo;96 system, the MAC model substantially outperforms the Markovian reduced-order model, the GRU-based sequence model, and the Wilks method in predictive accuracy and long-time rollout stability.\n21. 优化未调整朗之万算法的不可逆扰动 Optimizing Irreversible Perturbations of the Unadjusted Langevin Algorithm\n作者: Qianyu Julie Zhu, Youssef Marzouk, Konstantinos Spiliopoulos, Benjamin Zhang\n类别: math.NA, math.PR, stat.AP, stat.CO, stat.ME\n发布日期: 2026-06-03\narXiv ID: 2606.05324v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.05324v1\n摘要: Irreversible perturbations accelerate the convergence of Langevin dynamics, breaking detailed balance while preserving the invariant measure. The design of optimal irreversible perturbations has been studied in the continuous-time Gaussian setting, but extensions to non-Gaussian target distributions, and the impact of time discretization on the design of optimal perturbations, have not been well understood. Numerical discretizations of Langevin dynamics introduce bias, which is typically exacerbated by irreversible perturbations; handling this interaction demands a joint treatment of acceleration and accuracy. This paper develops a systematic framework for optimizing position-independent irreversible perturbations of the unadjusted Langevin algorithm (ULA). We formulate a constrained optimization problem that simultaneously accounts for mixing efficiency and discretization bias, where the former is characterized by a spectral gap analogue and the latter is quantified via a weighted expected squared jump distance. Within this framework, we derive an explicit characterization of the optimal position-independent irreversible perturbation. Extensive numerical experiments demonstrate that our design yields faster convergence with controlled bias, and improves mean squared estimation errors compared to other choices of irreversible perturbation.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-06-05_06-59-40/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年06月05日 06:59:40\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 21\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-基于young测度线性规划形式的非线性和随机均匀化量子算法\"\u003e1. 基于Young测度线性规划形式的非线性和随机均匀化量子算法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eQuantum Algorithm for Nonlinear and Stochastic Homogenization via a Young-Measure based Linear Programming Formulation\u003c/p\u003e","title":"2026年06月05日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年06月04日 08:24:28\n重点关注论文数量: 3\n了解领域论文数量: 5\n不相关论文数量: 35\n重点关注论文（完整分析） 1. 非均匀介质中时谐麦克斯韦方程阻抗边界条件的并行重叠型区域分解方法收敛性 Convergence of parallel overlapping domain decomposition methods with impedance boundary conditions for time-harmonic Maxwell equations in heterogeneous media\n作者: Luyu Cen, Shihua Gong, Euan A. Spence, Yue Yu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-03\narXiv ID: 2606.04982v1\n摘要翻译: 本文分析非均匀介质中时谐麦克斯韦方程带阻抗边界条件的并行重叠型区域分解方法的收敛性。我们证明并行迭代方法在适当的函数空间中是适定的，并通过描述相邻子区域间相互作用的阻抗-阻抗映射刻画误差传播算子。对于条形区域分解，我们借助阻抗-阻抗映射的范数推导出显式的收敛估计。在离散层面，我们基于 Nédélec 元离散发展出这些结果的有限元对应形式。在网格加密时离散阻抗-阻抗映射逼近其连续对应这一假设下，我们证明离散方法继承了连续方法的收敛行为。我们用条形区域分解的数值实验说明该理论，并展示超出理论分析范围的棋盘形区域分解的数值实验。\nComment: 38 pages\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.04982v1\n1. 研究对象和背景 时谐Maxwell方程是描述电磁波传播的基本模型，其形式为：给定有界Lipschitz区域 $\\Omega \\subset \\mathbb{R}^3$，变系数 $\\mu, \\epsilon \\in L^\\infty(\\Omega)$ 满足 $0\u003c\\mu_{\\min}\\le \\mu\\le\\mu_{\\max}\u003c\\infty$ 和 $0\u003c\\epsilon_{\\min}\\le \\epsilon\\le\\epsilon_{\\max}\u003c\\infty$，以及边界阻抗参数 $\\lambda\\in L^\\infty(\\partial\\Omega)$ 满足 $0\u003c\\lambda_{\\min}\\le\\lambda\\le\\lambda_{\\max}\u003c\\infty$，考虑内部阻抗问题： $$ \\begin{cases} \\operatorname{curl}(\\mu^{-1}\\operatorname{curl} u) - k^2\\epsilon u = f \u0026 \\text{在 } \\Omega \\text{ 内},\\\\ \\mu^{-1}\\operatorname{curl} u\\times n - i k \\lambda u_T = g_T \u0026 \\text{在 } \\partial\\Omega \\text{ 上}, \\end{cases} $$ 其中 $u$ 是电场，$k\u003e0$ 是波数，$u_T = (n\\times u)\\times n$ 是切向分量，$f\\in L^2(\\Omega)$, $g_T\\in L^2_T(\\partial\\Omega)$ 是已知数据。该方程在雷达、通信、医学成像等领域有广泛应用。高频情形下，数值求解面临巨大挑战：为分辨振荡解，需要足够细的网格，导致离散系统规模庞大；此外系统通常非Hermitian且高度不定，使得迭代求解器设计困难。在非均匀介质中，变系数材料参数进一步加剧了波传播和数值逼近的复杂性。\n有限元方法（FEM）在求解Maxwell方程时存在“污染效应”：即固定每个波长的网格点数目，随着波数 $k$ 增大，精度下降。已有工作给出了固定多项式阶次下，为保证精度所需的网格尺寸 $h$ 与 $k$ 的关系，例如采用第一/第二族 Nédélec 元 [8,31]、连续内罚方法 [32,30] 和内罚间断Galerkin方法 [17]；进一步，将多项式阶次按照 $\\log k$ 增长可以消除污染效应 [41,34,35]。因此，线性系统规模随 $k$ 增长至少为 $\\mathcal{O}(k^d)$，需要高效的求解技术。\n区域分解方法（DD）是求解大规模系统的重要途径。对于Maxwell方程，已存在两层重叠方法的严格收敛理论，其中子区域求解与全局粗空间结合，常作为GMRES预条件子。例如，在固定 $k$ 下使用分片多项式粗空间的收敛性 [22]；对含吸收（虚波数 $k$）问题的分析 [5]，近期推广到非均匀介质情形 [4]。当吸收足够小时，含吸收问题可很好地预条件实波数问题 [42]，并被用于构造问题适应的粗空间 [28]。这些两层方法分析的核心是证明预处理系统的数值域不包含原点，从而利用 Elman 估计 [15,14] 及其变种 [3] 得到 GMRES 收敛性。\n相比之下，单层重叠区域分解方法（不使用粗空间）的理论远未成熟。对于Maxwell方程，目前尚无收敛理论（无论连续还是离散层次）。单层方法与两层方法性质迥异：两层方法中子区域通常很小（直径 $\\sim k^{-1}$），不涉及波的传播；而单层方法子区域较大，必须理解波如何在子区域间传播。事实上，当使用两层方法时，粗问题通常仍然很大，往往采用单层方法迭代求解，因此理解单层方法的收敛行为是完成全两层分析的必经之路。此外，如图1所示，单层方法的预处理系统数值域包含原点，故传统场值分析不能直接使用，必须另辟蹊径。\n在Helmholtz方程（常系数）方面，[20,21,27] 发展了并行Schwarz方法配合阻抗边界条件的收敛理论，其核心是将误差传播算子用子域边界之间的“阻抗到阻抗映射”(impedance-to-impedance maps)表示，并对其范数进行估计，从而得到收敛性。本文旨在将这一分析框架推广到时谐Maxwell方程，并从一开始就处理变系数介质，同时建立离散 Nédélec 元逼近的相应理论，填补 Maxwell 单层重叠区域分解方法理论分析的空白。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果包括以下四个方面：\n连续层次并行Schwarz方法的适定性与误差传播算子表示\n设 $\\Omega$ 被 $N$ 个重叠Lipschitz子区域 $\\Omega_\\ell$ 覆盖，并存在相应单位分解 $\\chi_\\ell$。定义并行Schwarz迭代（定义2.9）：给定上一迭代解 $u^n$，在每个子区域上求解 $$ \\begin{cases} (\\operatorname{curl}(\\mu^{-1}\\operatorname{curl}) - k^2\\epsilon) u_\\ell^{n+1} = f \u0026 \\text{在 } \\Omega_\\ell \\text{ 内},\\\\ (\\mu^{-1}\\operatorname{curl} u_\\ell^{n+1} - i k\\lambda n_\\ell\\times u_\\ell^{n+1})\\times n_\\ell = g_T \u0026 \\text{在 } \\partial\\Omega_\\ell\\cap\\partial\\Omega \\text{ 上},\\\\ (\\mu^{-1}\\operatorname{curl} u_\\ell^{n+1} - i k\\widetilde{\\lambda} n_\\ell\\times u_\\ell^{n+1})\\times n_\\ell = (\\mu^{-1}\\operatorname{curl} u^{n} - i k\\widetilde{\\lambda} n_\\ell\\times u^{n})\\times n_\\ell \u0026 \\text{在 } \\partial\\Omega_\\ell\\setminus\\partial\\Omega \\text{ 上}, \\end{cases} $$ 然后通过 $u^{n+1} = \\sum_\\ell \\chi_\\ell u_\\ell^{n+1}$ 合成全局解。\n定理2.10证明：若每个子区域 $\\Omega_\\ell$ 为有界Lipschitz且单连通、边界连通、且系数满足适当光滑性，则从 $u^n = (u^n_1,\\dots,u^n_N)\\in \\mathbf{U} = \\prod_\\ell U(\\Omega_\\ell)$ 出发，新的各子区域解 $u_\\ell^{n+1}\\in U(\\Omega_\\ell)$，从而 $u^{n+1}\\in \\mathbf{U}$。\n定理2.12进一步保证在额外假设（假设2.11）$(\\nabla\\chi_\\ell\\cdot\\nabla)u_\\ell^{n+1}\\in L^2(\\Omega_\\ell)$ 下，合成解 $u^{n+1}\\in U(\\Omega)$，迭代在全局空间 $U(\\Omega)$ 中也适定。\n通过子区域误差方程，误差传播算子 $\\mathcal{E}$ 可表为作用在子域边界的阻抗映射的组合，具体形式为（参见第3节）： $$ \\mathcal{E} = \\mathcal{P} \\circ \\mathcal{M}, $$ 其中 $\\mathcal{M}$ 将子域边界上的误差阻抗数据映射为新的误差阻抗数据，$\\mathcal{P}$ 为解算子。这一表示将收敛性归结为阻抗映射范数的研究。\n条带分解的收敛充分条件\n针对 $d=2$ 或 $3$ 维的条带分解 (strip decomposition)，假设子域为 $\\Omega_\\ell = (a_{\\ell}, b_{\\ell})\\times \\Sigma$（$\\Sigma$ 为截面），利用阻抗映射的特殊结构，得到显式收敛估计。核心结果（第4节）表明：如果子域间阻抗映射的算子范数满足 $$ \\| \\mathcal{I}_{i\\to j} \\| \u003c 1 \\quad \\text{对所有相邻子域 } i,j, $$ 则并行Schwarz迭代以收缩因子 $\\rho = \\max \\|\\mathcal{I}_{i\\to j}\\|$ 收敛。这里 $\\mathcal{I}_{i\\to j}$ 定义为从界面 $\\Gamma_i$ 到界面 $\\Gamma_j$ 的阻抗映射，具体为： $$ \\mathcal{I}_{i\\to j} g := (\\mu^{-1}\\operatorname{curl} v - i k\\widetilde{\\lambda} v_T)\\big|_{\\Gamma_j}, \\quad v\\in U_0(\\Omega_i) \\text{ 且 } (\\mu^{-1}\\operatorname{curl} v - i k\\widetilde{\\lambda} v_T)\\big|_{\\Gamma_i} = g. $$ 该条件将全局收敛分析转化为局部界面映射的范数估计，降低了分析复杂性。类似框架可推广到更一般的分解，但需处理更复杂的界面几何。\n离散情形：Nédélec元离散与RAS-imp方法\n采用 Nédélec 有限元对子问题离散，得到了离散的并行Schwarz迭代，并证明其等价于限制加性Schwarz方法配合阻抗传输条件 (RAS-imp)（§5.2）。定义离散误差传播算子 $\\mathcal{E}_h$，它与连续情形具有类似结构，只是阻抗映射替换为离散对应 $\\mathcal{I}_{i\\to j,h}$。\n定理（第6节）：假设离散阻抗映射按网格细化逼近连续映射，即对每个子域界面，当 $h\\to 0$ 时， $$ \\|\\mathcal{I}_{i\\to j,h} - \\mathcal{I}_{i\\to j}\\|_{L^2\\to L^2} \\to 0, $$ 则存在 $h_0\u003e0$，使得对所有 $h\\leq h_0$，离散迭代的收敛因子与连续情形任意接近，从而离散方法继承了连续方法的收敛行为。该结果不要求网格拟一致，只依赖于离散阻抗映射的逼近性质。\n数值实验验证\n二维数值实验分别针对均匀和非均匀介质，采用条带和棋盘 (checkerboard) 分解。条带分解结果验证了误差传播算子的幂收缩性 (power contractivity) 以及阻抗映射范数的有界性，且观察到的收敛速度与理论估计一致。棋盘分解虽超出当前理论范围，但数值显示RAS-imp作为定常迭代或Krylov预条件子依然有效，表明理论有望进一步拓展。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文证明框架的核心创新在于利用“阻抗到阻抗映射”来刻画子域耦合，并配合调和分析技术处理Maxwell方程对函数空间的特殊要求。主要技术点及障碍克服如下：\n函数空间刻画与阻抗映射有界性\n单层Schwarz方法的分析需要在子域上具有良好的迹定理和正则性，尤其是阻抗边界条件涉及 $u_T$ 和 $\\operatorname{curl} u\\times n$ 的 $L^2$ 迹。传统上，$H(\\operatorname{curl})$ 只保证 $u_T\\in H^{-1/2}(\\partial\\Omega)$，但阻抗条件需要更强的 $L^2$ 正则性。为此，作者引入了空间 $U(D)$，其包含额外条件 $\\operatorname{curl}(\\mu^{-1}\\operatorname{curl} u)\\in L^2(D)$ 和 $\\operatorname{curl} u\\times n\\in L^2(\\partial D)$。关键结果是定理2.4：当 $\\mu\\in W^{1,\\infty}(D)$ 且 $D$ 单连通、边界连通时，$U(D) = W(D) := \\{u\\in H^{1/2}(\\operatorname{curl}, D)\\cap H(\\operatorname{div}, D) \\mid \\operatorname{curl}(\\mu^{-1}\\operatorname{curl}u)\\in L^2(D)\\}$。其证明依赖定理2.6（[10, Theorem 2]），后者利用了Jerison和Kenig关于 $H^{3/2}$ 正则性的深刻结果 [26] 以及Nečas关于 $H^1$ 边界迹的等价刻画 [39]。此等价性允许从 $U(D)$ 推出 $u$ 为 $H^{1/2}$，进而保证了乘积法则和单位分解操作时的收敛性。\n借助 $U(D)$ 的刻画，证明了引理2.8：从 $u\\in U(D)$ 可得出阻抗迹 $(\\mu^{-1}\\operatorname{curl} u - i k\\lambda u_T)\\times n \\in L^2(\\partial D')$（对任意Lipschitz子域 $D'$），且对“Maxwell-调和”函数（满足齐次方程的 $U_0(D)$）该迹的 $L^2$ 范数被边界上的阻抗迹所控制。这是保证迭代中阻抗交换数据保持在 $L^2$ 的关键。\n误差传播算子的阻抗映射表示\n与Helmholtz方程工作[20]类似，作者通过消去内部体积源，将子域误差用齐次方程 $u_0\\in U_0(\\Omega_\\ell)$ 表示，并利用阻抗边界条件的传输特性，将子域间误差传播表达为映射的复合。具体地，对于相邻子域，可定义局部阻抗映射 $\\mathcal{I}_{\\Gamma_1\\to\\Gamma_2}$，将界面 $\\Gamma_1$ 上的阻抗数据映射到 $\\Gamma_2$ 上的阻抗数据。通过引入适当的限制算子和粘贴算子，全局误差传播算子 $\\mathcal{E}$ 在 $\\ell^2$ 范数下可由这些界面映射的范数控制。这种方法将无限维算子范数估计转换为对局部界面映射的估计，本质上是利用波的传播衰减性质。\n条带分解下的范数估计\n在条带分解中，由于每个子域的横截面不变，波在沿条带方向传播时，阻抗映射可以通过分离变量和模式分析。虽然本文未详细给出具体的解析范数估计（可能留待后续工作），但给出了充分条件架构，并指出类似于Helmholtz的情形[27]，高阶模态可能衰减很快，从而保证低维映射范数小于1。数值实验（§7.4）计算了这些范数，证实了有界性和小于1的性质。\n离散方法的逼近继承性\n离散分析的关键在于定义合适的离散阻抗映射 $\\mathcal{I}_{i\\to j,h}$，并证明其收敛到连续映射。这要求构造离散子问题（带有阻抗边界条件的Nédélec元）并定义相应的离散 $U_{0h}$ 空间。论证思路是：若连续误差传播算子 $\\mathcal{E}$ 的范数为 $\\rho\u003c1$，且 $\\mathcal{E}_h$ 可写为类似的阻抗映射复合，则通过三角不等式有 $$ \\|\\mathcal{E}_h\\| \\le \\|\\mathcal{E}\\| + \\|\\mathcal{E}_h - \\mathcal{E}\\|, $$ 而 $\\|\\mathcal{E}_h - \\mathcal{E}\\|$ 可被 $\\max\\|\\mathcal{I}_{i\\to j,h} - \\mathcal{I}_{i\\to j}\\|$ 控制。该控制需要保证离散解到连续解的光滑恢复，这里依赖Nédélec元的渐进逼近性质以及离散函数空间与连续空间的嵌入。值得注意，该结果不要求网格的拟均匀性，只要求阻抗映射的局部逼近性，这为自适应网格提供了可能。\n适定性中额外正则性的处理\n相比于Helmholtz方程，Maxwell情形的最大技术障碍在于合成解 $u^{n+1} = \\sum\\chi_\\ell u_\\ell^{n+1}$ 是否仍在空间 $U(\\Omega)$ 中，这要求控制 $\\operatorname{curl}(\\mu^{-1}\\operatorname{curl}(\\chi_\\ell u_\\ell^{n+1}))$ 的 $L^2$ 范数。展开后出现项 $(\\nabla\\chi_\\ell\\cdot\\nabla)u_\\ell^{n+1}$，而 $U(\\Omega_\\ell)$ 并不直接包含二阶导数控制。作者将此作为假设2.11，并讨论了其在特定几何（如条带区域且 $\\chi_\\ell$ 只依赖条带方向且在内边界附近为零）下成立的可能性（猜想2.14）。尽管尚未严格证明，但数值实验未显示异常。这一点的处理反映了Maxwell系统与标量Helmholtz方程的根本区别。\n4. 与之前工作的比较 本文与已有工作的联系与区别主要体现在以下几个方面：\n与Helmholtz方程单层Schwarz方法理论的对比\n[20,21,27]针对常系数Helmholtz方程建立了完整的阻抗传输条件并行Schwarz方法的PDE和离散级收敛理论。本文可视为该框架向Maxwell方程和变系数的直接推广。然而，推广并非平凡，面临如下显著差异： 函数空间与正则性：Helmholtz分析中，解空间 $U_{\\text{Helm}} := \\{u\\in H^1(\\Omega): \\Delta u\\in L^2(\\Omega), \\partial_n u\\in L^2(\\partial\\Omega)\\}$ 自然提供 $H^1$ 正则性，使得单位分解后的二阶导数控制相对容易。Maxwell情形下，对应的空间 $U(\\Omega)$ 并不保证 $H^1$，仅能通过 $U(D)=W(D)$ 的深刻结果（依赖于调和分析）获得 $H^{1/2}$ 正则性，从而导致合成解的 $\\operatorname{curl}(\\mu^{-1}\\operatorname{curl})$ 控制需额外假设（假设2.11）。 边界条件：Helmholtz方程使用阻抗条件 $\\partial_n u - i k \\lambda u = g$，仅涉及法向导数和函数值；Maxwell方程为 $\\mu^{-1}\\operatorname{curl} u\\times n - i k \\lambda u_T = g_T$，涉及切向旋度和切向分量，迹算子的处理更为复杂。 变系数：本文从一开始就允许 $\\mu,\\epsilon$ 为分片光滑变系数，而 [20,21,27] 最初为常系数，后续虽有变系数扩展但未含Maxwell。变系数要求对 $U(D)=W(D)$ 等定理中的 $\\mu$ 作 $W^{1,\\infty}$ 假设，且需保证唯一延拓性质（引用 [2,29] 结果）。\n尽管如此，本文在条带分解下给出了类似Helmholtz情形的收敛充分条件（基于阻抗映射范数），并在备注6.8中总结了Maxwell类比Helmholtz结果的程度，指出核心困难已解决，但高波数渐近估计尚未展开。 与Maxwell两层区域分解方法的对比\n已有Maxwell两层方法理论（如 [22,5,4]）基于数值域不包含原点的场值分析，并配合GMRES收敛估计。这些方法要求粗空间充分分辨波的传播，且子区域尺寸通常为波长的倒数量级。本文的单层方法没有粗空间，子区域尺寸可较大，其收敛性由波的衰减和局部传输特性决定。 分析工具的根本不同：图1显示单层方法预处理矩阵的数值域包含原点，因此不能使用Elman型估计，必须直接研究误差传播算子的谱半径或范数。这体现了比两层方法更大的分析难度。 子区域大小与可扩展性：两层方法理论上具有弱依赖于波数的可扩展性（通过增加粗空间维数），而单层方法作为定常迭代通常随子区域数量或波数增长而减慢收敛，但这正是其实际角色的真实反映（常作为内迭代求解粗问题）。本文提供了理解这种行为的理论框架。 对两层方法的互补：本文结果可直接应用于两层方法中粗问题求解的收敛性评估，从而完善两层方法的全分析。 离散分析的特色与推广性\n与 [21] 对Helmholtz的离散分析类似，本文通过阻抗映射的收敛性假设将连续收敛性传递到离散。不同之处在于： 采用的是Nédélec旋度协调元，而非标准Lagrange元，需处理de Rham复形和切向迹的恰当逼近。本文未详述 $h\\to 0$ 时离散阻抗映射收敛性的证明（可能基于标准逼近理论），但给出了数值验证。 结论对网格非结构化和局部细化具有鲁棒性，因为只依赖局部界面的阻抗映射误差，而不需要全局拟均匀假设。 棋盘分解的数值实验揭示了理论进一步拓展的可能性：此时子域界面方向复杂，阻抗映射不再容易分解为简单模态，但数值显示依然收敛，且作为GMRES预条件子表现良好。 局限性与未来工作\n作者在文中明确指出： 仅对条带分解给出了理论的收敛条件，一般分解的充分条件仍待研究（但提供了可比拟Helmholtz的框架）。 未给出阻抗映射范数关于波数 $k$ 的渐近估计，即尚未量化高波数下如何缩放，这是实现实用预条件子设计的关键。 假设2.11仅在特定几何条件下可望成立，一般Lipschitz子域和单位分解下严格论证仍需进一步工作。 数值实验限于二维，三维情形需要更多计算资源。\n尽管如此，本文作为Maxwell方程单层阻抗Schwarz方法的开拓性理论工作，为后续的波数显式分析、三维扩展、以及结合粗空间的混合策略奠定了严格的数学基础。 2. 使用无参数间断Galerkin方法对二阶时间依赖鞍点Maxwell系统的数值分析：首个最优 ${\\bf L}^{2}$-范数误差估计 Numerical analysis of the second-order time-dependent saddle point Maxwell system via a parameter-free discontinuous Galerkin method: The first optimal ${\\bf L}^{2}$-norm error estimates\n作者: Achyuta Ranjan Dutta Mohapatra, Bhupen Deka\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-03\narXiv ID: 2606.04488v1\n摘要翻译: 我们针对作为鞍点问题形式的时间依赖Maxwell系统，提出了一种新颖的无参数间断Galerkin (dG) 有限元法 (FEM)。我们建立了所提出的半离散问题的稳定性，并推导了电场变量在能量范数和 ( {\\bf L}^{2} ) 范数下以及位势函数在 ( L^{2} ) 范数下的最优误差估计。据我们所知，本文首次对使用任何有限元方法变体的二阶时间依赖鞍点Maxwell方程组进行了最优 ( {\\bf L}^{2} )-范数误差分析。此外，我们提出了几种完全离散的时间积分格式，并通过二维和三维设置的实例验证了最优收敛结果。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.04488v1\n1. 研究对象和背景 本文研究时间依赖 Maxwell 方程组的数值解法, 重点关注其作为鞍点问题的二阶含时形式。原始 Maxwell 系统是一阶 curl-div 系统: $$ \\begin{cases} \\alpha^{-1} H_t = -\\nabla\\times E,\\\\ \\nabla\\times H = \\epsilon E_t - J,\\\\ \\nabla\\cdot(\\epsilon E) = \\rho,\\\\ \\nabla\\cdot(\\alpha H) = 0, \\end{cases} $$ 其中 $E$ 为电场, $H$ 为磁场, $J$ 为电流密度, $\\rho$ 为电荷密度, 材料参数 $\\epsilon$ (介电常数) 与 $\\alpha$ (磁导率倒数) 设为常数。区域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 为有界凸多面体, 边界 $\\partial\\Omega$ 为理想电导体 (PEC)。消去磁场 $H$ 后得到关于电场的二阶方程: $$ \\epsilon E_{tt} + \\nabla\\times(\\alpha\\nabla\\times E) = F \\quad \\text{in } \\Omega\\times(0,T), $$ 其中 $F = -J_t$, 同时仍需满足散度条件 $\\nabla\\cdot(\\epsilon E)=\\rho$。为放松该散度约束, 引入 Lagrange 乘子 $P$ (势函数), 将问题转化为如下鞍点系统: $$ \\begin{cases} \\epsilon E_{tt} + \\nabla\\times(\\alpha\\nabla\\times E) - \\epsilon\\nabla P = F,\\\\ \\nabla\\cdot(\\epsilon E) = \\rho,\\\\ \\eta\\times E = 0,\\; P=0 \\text{ on } \\partial\\Omega\\times(0,T),\\\\ E(x,0)=u(x),\\; E_t(x,0)=v(x). \\end{cases} $$ 这一形式显式包含 Gauss 定律, 避免了传统方法中散度条件自动满足的隐含假设, 因而更具一般性, 适用于非均匀介质、界面问题等复杂情况。\n该问题的数值分析颇具挑战: 二阶时间导数需要处理双曲型方程的长时间稳定性; 混合结构要求有限元空间满足 inf-sup 条件以保证 $P$ 的稳定逼近; 电场 $E$ 的 $L^2$ 范数最优误差估计通常依赖对偶论证, 但对应的对偶问题耦合了旋度与梯度算子, 其正则性对区域形状敏感。\n已有工作大多处理不含 $P$ 的标准二阶 Maxwell 方程, 即预先假设电场精确满足散度条件。Monk (2003) 利用旋度协调 Nédélec 元和连续有限元, 得到能量范数最优估计, 但 $L^2$ 估值需特殊 Nédélec 第二类元; Ciarlet et al. 用向后 Euler 和线性 Nédélec 二类元达到全离散最优收敛; Grote et al. (2007, 2010) 对 IPDG 半离散格式先后建立了能量范数和 $L^2$ 范数的最优收敛率, 但均需要用户选取惩罚参数。对于显式含 $P$ 的鞍点系统, Assous et al. (2010) 采用修正 Taylor-Hood 元但未给出误差分析; 文献 [2] 用协调元得到 $H(\\mathrm{curl})$ 最优收敛, 却未估计 $P$ 且无 $L^2$ 结果; Qi et al. (2023) 用弱 Galerkin 方法获得电场能量半范和 $P$ 的 $L^2$ 范数最优估计, 但仍缺少电场 $L^2$ 范数分析。\n本文针对二阶含时鞍点 Maxwell 系统, 采用一种无需惩罚参数的间断有限元方法进行空间离散, 旨在填补电场 $L^2$ 范数最优误差估计这一空白。该方法基于修正弱旋度与弱梯度算子, 格式构造简洁, 理论分析上可统一得到电场在两个范数下的最优收敛阶, 并且对电场正则性的要求可降低至 $H^{1+l}$ ($l\u003e0$), 得到 $O(h^{1+l})$ 收敛率。此外, 本文还构造多种时间离散格式并进行数值验证。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要成果包括半离散格式的稳定性、电场在能量范数与 $L^2$ 范数下的最优误差估计以及势函数的 $L^2$ 最优误差估计, 并辅以全离散格式及数值验证。\n稳定性 (引理 4.7): 对半离散无参数 dG 格式 (4.1)-(4.4), 若初值与源项满足适当正则性 ($u,v\\in H^2\\cap H_0(\\mathrm{curl})$, $F\\in H^2(0,T;H^2)$, $\\rho\\in H^4(0,T;L^2)$), 则对 $t\\in[0,T]$ 有 $$ \\|E_{ht}(t)\\|^2 + |||E_h(t)|||^2 \\le C,\\qquad \\|P_h(t)\\|^2 \\le C, $$ 其中 $|||\\cdot|||$ 为离散能量范数 (定义见 (3.6)), $C$ 与网格尺寸 $h$ 无关, 仅依赖于数据。\n电场能量范数误差估计: 令 $\\mathbf{R}_h$ 为 Ritz 投影 (3.5)。假设精确解满足 $(E,P)\\in L^\\infty(0,T; H^{1+k}(\\Omega)\\cap H_0(\\mathrm{curl};\\Omega))\\times L^\\infty(0,T; H^k(\\Omega)\\cap H_0^1(\\Omega))$, 且时间导数适当可积, 则有 $$ |||E(t)-E_h(t)||| \\le C h^k \\big( \\|E\\|_{L^\\infty(H^{1+k})} + \\|P\\|_{L^\\infty(H^k)} + \\text{时间导数项} \\big). $$ 此估计为所用多项式次数 $k$ 下的最优阶, $|||\\cdot|||$ 等价于离散 $H(\\mathrm{curl})$ 范数。\n电场 $L^2$ 范数最优误差估计 (定理 5.2): 在相同的正则性假设下, 有 $$ \\|E(t)-E_h(t)\\| \\le C h^{k+\\delta} \\big( \\|E\\|_{L^\\infty(H^{1+k})} + \\cdots \\big), $$ 其中 $\\delta\\in(0,1]$ 为由对偶椭圆问题的正则性所确定的指数; 当区域为凸时, $\\delta=1$, 得到 $O(h^{k+1})$ 的超收敛。更重要的是, 若电场仅具有 $H^{1+l}(\\Omega)$ 正则性, $0","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-06-04_08-24-28/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年06月04日 08:24:28\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 5\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 35\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-非均匀介质中时谐麦克斯韦方程阻抗边界条件的并行重叠型区域分解方法收敛性\"\u003e1. 非均匀介质中时谐麦克斯韦方程阻抗边界条件的并行重叠型区域分解方法收敛性\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eConvergence of parallel overlapping domain decomposition methods with impedance boundary conditions for time-harmonic Maxwell equations in heterogeneous media\u003c/p\u003e","title":"2026年06月04日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年06月02日 09:43:35\n重点关注论文数量: 4\n了解领域论文数量: 5\n不相关论文数量: 48\n重点关注论文（完整分析） 1. 椭圆界面问题的浸入间断伽辽金方法 The Immersed Discontinuous Galerkin Method for Elliptic Interface Problems\n作者: Lin Yang, Qilong Zhai\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-06-01\narXiv ID: 2606.01814v1\n摘要翻译: 本文致力于线性显式浸入有限元(IFE)函数的构造与收敛性分析。对于界面单元，所提出的IFE函数精确满足实际界面上的界面条件。IFE函数以显式形式构造，可直接获得，无需求解任何辅助问题或局部线性系统。尽管构造的IFE函数是非多项式的，我们建立了严格的理论分析，表明它们达到了最优逼近性质并满足必要的迹不等式，且分析中的常数与界面如何穿过单元的方式无关。基于这些IFE函数，我们发展了一种浸入间断伽辽金数值格式。我们实施了若干数值实验，以确认IFE函数和数值方法均在$H^1$和$L^2$范数下达到最优收敛速率。此外，数值结果表明，刚度矩阵的条件数关于界面位置具有鲁棒性。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.01814v1\n1. 研究对象和背景 本文研究以下二阶椭圆界面问题：设 $\\Omega \\subset \\mathbb{R}^2$ 为有界区域，光滑界面 $\\Gamma$ 将其分为 $\\Omega_1$ 和 $\\Omega_2$ 两个子区域。在 $\\Omega_1 \\cup \\Omega_2$ 上考虑 $$ -\\nabla \\cdot (\\beta \\nabla u) = f, \\quad \\text{在 } \\Omega_1 \\cup \\Omega_2, $$ $$ u = g, \\quad \\text{在 } \\partial \\Omega, $$ 其中 $f \\in L^2(\\Omega)$, $g \\in H^{\\frac12}(\\partial \\Omega)$, 系数 $\\beta$ 为分段常数： $$ \\beta = \\begin{cases} \\beta_1, \u0026 (x,y) \\in \\Omega_1,\\\\ \\beta_2, \u0026 (x,y) \\in \\Omega_2, \\end{cases} $$ 且 $\\beta_2 \\ge \\beta_1 \u003e 0$。在界面 $\\Gamma$ 上，真解满足齐次跳跃条件 $$ [[u]]_\\Gamma := u_1 - u_2 = 0, \\quad [[\\beta \\nabla u \\cdot n]]_\\Gamma := \\beta_1 \\nabla u_1 \\cdot n - \\beta_2 \\nabla u_2 \\cdot n = 0, $$ 其中 $n$ 为 $\\Gamma$ 上从 $\\Omega_1$ 指向 $\\Omega_2$ 的单位法向量。此类问题在多相材料、多相流模拟等领域具有重要应用（如静电悬浮、多相流体仿真）。 数值求解界面问题的方法分为两类：拟合网格有限元法和非拟合网格有限元法。拟合网格要求网格边界与界面重合，标准有限元可直接应用，但对于复杂或运动界面，网格重构代价巨大。非拟合网格允许界面切割单元内部，更适合此类问题。现有非拟合方法主要包括浸入界面法、CutFEM、扩展有限元 (XFEM)、广义有限元 (GFEM) 以及浸入有限元 (IFE) 方法。其中 IFE 方法由 Li 等 [26] 提出，在非界面单元上使用标准有限元，在界面单元上构造满足界面条件的 IFE 函数，其全局自由度与标准有限元相同，因此在非拟合网格上求解界面问题具有吸引力。 IFE 方法的核心在于如何构造 IFE 函数并证明其最优逼近性质。早期工作基于齐次界面条件和节点值推导局部线性系统来构造线性 IFE 空间 [28]，或利用单元边界平均值构造非协调 IFE 函数 [23]。[15] 通过多点 Taylor 展开提出一种统一框架构造线性、双线性及 Q1 型 IFE 函数并证明了最优插值估计。对于高阶 IFE 方法，为避免以直代曲引入的几何误差，研究者开始基于实际曲面构造 IFE 函数。[16] 通过求解局部 Cauchy 问题构造弱满足界面条件的 IFE 函数，并证明最优逼近性质；[2] 基于界面几何性质提出了精确满足界面条件的 IFE 函数及其最优逼近分析；[3] 进一步给出了相应 DG 方法的误差分析。然而，上述 IFE 函数一般需要在每个界面单元求解一个局部问题（线性方程组或极小化问题），增加了计算成本，且当出现小切割单元时局部系数矩阵条件数可能很大，导致数值精度下降或需要额外的预条件技术。 为克服这一问题，[19] 基于标准 Crouzeix-Raviart 元给出了二维和三维的线性显式 IFE 函数；[20] 推广至带非齐次界面条件的各向异性椭圆问题。但这些显式 IFE 函数基于近似界面（如直线段），在应用于高阶方法时仍会引入几何误差。 本文针对上述空白，构造了基于实际界面的线性显式 IFE 函数。该函数在界面单元上由一个标准线性多项式通过显式修正项得到，修正项依赖于 level-set 函数及其梯度，可直接计算而无需求解任何辅助局部问题或线性系统。尽管所得 IFE 函数非多项式，本文建立了严格的理论分析，证明了其最优逼近性质并满足本质迹不等式，且所有分析中的常数均与界面切割位置无关。在此基础上，发展了一种浸入对称内惩罚间断 Galerkin (SIPDG) 方法，并获得了最优 $H^1$ 和 $L^2$ 误差估计。数值实验验证了收敛阶以及刚度矩阵条件数对小切割的稳健性。\n2. 主要定理或主要结果 本文建立了以下主要结果： 1. 显式 IFE 函数的构造 (3.3)-(3.4)。对每个界面单元 $T$，若 $|CD| \\ge \\frac12 |AC|$ 且 $|CE| \\ge \\frac12 |BC|$，则定义 IFE 函数为 $$ \\varphi_i = \\begin{cases} p_i \\in P_1(T_2), \u0026 \\text{在 } T_2,\\\\ p_i - (1 - \\frac{\\beta_2}{\\beta_1}) \\frac{\\ell}{\\sqrt{\\ell_x^2+\\ell_y^2}} \\nabla p_i \\cdot n, \u0026 \\text{在 } T_1, \\end{cases} $$ 否则交换 $T_1$, $T_2$ 的角色并以 $\\beta_1/\\beta_2$ 代替。该函数精确满足界面条件 (1.3)-(1.4)。 2. 投影误差估计（定理 4.2）：设 $u \\in PH^2(\\Omega)$，令 $\\Pi^s_h$ 为 $L^2$ 投影至 $P_1(T_s)$，$E_1$ 为上述扩展算子。则在所有界面单元上成立 $$ \\sum_{T\\in \\mathcal{T}_h^I} \\| \\Pi^1_h u_1 - E_1(\\Pi^2_h u_2) \\|_{m, T\\cap\\Omega_1} \\le C \\frac{\\beta_2}{\\beta_1} h^{2-m} \\|u\\|_{2,\\Omega}, \\qquad m=0,1, $$ 其中常数 $C$ 不依赖于 $h$、界面相对单元的位置、以及系数 $\\beta_1,\\beta_2$。类似结果对另一情形成立。 3. 迹不等式与误差分析：基于上述投影估计及几何引理（引理 2.1, 2.2），证明了 IFE 函数满足与标准多项式一致的迹不等式，且常数与界面位置无关。进而，针对所提 SIPDG 格式（算法 1），得到了最优误差估计：在适当的正则性假设下，有 $$ \\|u - u_h\\|_{DG} \\le C h \\|u\\|_{2,\\Omega}, \\qquad \\|u - u_h\\|_{L^2(\\Omega)} \\le C h^2 \\|u\\|_{2,\\Omega}, $$ 其中 $\\|\\cdot\\|_{DG}$ 是能量范数（包含内部惩罚项）。 4. 数值实验证实了理论收敛阶，并表明刚度矩阵的谱条件数对界面切割位置不敏感，即使出现极小切割单元也能保持稳健。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的主要技术障碍在于：构造显式且精确满足曲面界面条件的 IFE 函数，同时克服这些函数的非多项式特性以建立最优误差估计。核心创新与工具如下。 1. 基于 level-set 的显式扩展算子 通过引入 level-set 函数 $\\ell$（其零水平集即为界面 $\\Gamma$），将界面法向梯度关系（引理 2.1）转化为显式修正项。对标准线性多项式 $p_i$，定义其扩展 $E_1(p_i) = p_i - (1-\\beta_2/\\beta_1) (\\ell/\\|\\nabla \\ell\\|) \\nabla p_i \\cdot n$。这一构造直接保证了在 $\\Gamma$ 上的连续性及法向流量跳跃条件，且修正项仅依赖 $\\ell$ 和 $\\nabla \\ell$ 的已知几何信息，完全避免了局部方程组的求解。 2. Frenet 坐标变换与几何分析 为处理弯曲界面，使用 Frenet 标架 $(n,\\tau)$ 和参数化 $g(\\xi)$。通过局部参数变换 $P_\\Gamma(\\eta,\\xi) = g(\\xi) + \\eta n(\\xi)$ 将弯曲的界面单元映射为矩形参考域 $\\widehat{T}_F = [-h,h] \\times [a_T, b_T]$。该变换的 Jacobian 满足 $|\\widehat{D}P_\\Gamma| \\eqsim |D R_\\Gamma| \\eqsim 1$（在 $h\\kappa_\\Gamma \\le 1/2$ 的假设下）。由此，可将原物理空间中的 $L^2$ 投影误差和迹估计转化为参数域中标准多项式投影的估计，从而绕过非多项式函数的直接处理。 3. 投影误差的 Newton-Leibniz 路径积分分解 证明关键估计 (4.2) 时，对误差 $\\omega = \\Pi_h^1 u_1 - E_1(\\Pi_h^2 u_2)$ 使用 Taylor 展开。通过沿从界面点 $M$ 到内部点 $X$ 的直线路径进行牛顿－莱布尼茨积分，将误差分解为 $$ \\omega(X) = \\omega(M) + \\nabla\\omega(M)\\cdot \\overrightarrow{MX} + \\int_0^1 (1-t) \\frac{d^2}{dt^2}\\omega(\\cdots)\\,dt. $$ 边界项 $\\omega(M)$ 利用界面条件 $[[u]]=0$ 及 $L^2$ 投影的逼近性质估计；梯度项 $\\nabla\\omega(M)$ 通过界面法向梯度条件 $[[\\beta\\nabla u\\cdot n]]=0$ 进行转化；高阶项则由小性 $|\\overrightarrow{MX}| = O(h)$ 控制。最终结合参数域上的迹不等式与缩放论证得到 $O(h^{2-m})$ 的估计。 4. 切割无关常数的获得 常数与界面定位无关是本文理论的重要特色。这依赖于两方面：(i) 在投影误差分析中，所有估计通过 Jacobian 的等价性 $\\eqsim$ 进行，其上下界常数与界面具体位置无关；(ii) 关键引理 3.1 建立了在界面单元上两个子域（或它们与全单元）范数的等价性，当某子域过小时（如 $|CD| \\le \\frac12 |AC|$ 情形），可通过另一子域的投影误差来控制，避免了退化常数。 5. 整体误差分析的框架 在得到局部投影误差后，按标准 SIPDG 方法的误差分析路线：首先建立逼近误差与投影误差的关系，然后利用 Galerkin 正交性将误差分解为逼近误差与控制项，再借助迹不等式及反估计获得最终收敛阶。由于 IFE 函数非多项式，标准的逆估计需通过局部到全局的缩放论证并结合 $\\|\\cdot\\|_{T} \\eqsim \\|\\cdot\\|_{\\widetilde{T}_s}$ 来恢复，这亦由引理 3.1 保证。\n4. 与之前工作的比较 本文与既有工作的区别和推进体现在以下几个方面： 1. 与显式 IFE 方法的比较 先前的显式 IFE 构造 [19, 20] 基于近似界面（如用连接界面与单元边交点的直线段代替真实界面）。这种简化在低阶方法中尚可，但在高阶格式或对曲面界面的精度要求较高时，近似界面引入的几何误差不可忽略，且理论分析往往无法得到与界面曲率一致的误差阶。本文直接在真实曲面上定义 IFE 函数，精确满足界面条件，从根本上消除了此类几何逼近误差，因此所构造的 IFE 函数更适用于需要高精度的情形，同时也为高阶扩展奠定了基础。 2. 与需要局部求解的 IFE 方法的比较 经典的 IFE 方法（如 [28, 2, 3]）即使在同样使用真实界面的情况下，也需在每个界面单元上求解一个小型局部线性系统（通常是 $3\\times3$ 或更大）来确定 IFE 函数的系数。当界面剖分包含大量切割单元时，局部求解的累积开销显著。更重要的是，当出现小切割（即一个子域的测度相对于全单元极小）时，局部系数矩阵的条件数会急剧增大，导致数值不稳定或需要特殊的预条件处理。本文的显式构造完全避免了局部系统求解，计算成本仅为多项式的求值以及 level-set 函数的求值，因此大幅提高了效率与稳健性。 3. 理论分析方面的推进 - 与统一框架 [15] 的对比：[15] 通过多点 Taylor 展开给出了线性、双线性若干部类型 IFE 函数的统一逼近分析，但其 IFE 函数并非显式，且分析中要求对界面做额外的几何假设。本文针对线性情况，给出了更直接、更紧的投影误差估计，特别是明确了常数对系数比 $\\beta_2/\\beta_1$ 的依赖。 - 与 [2] 的对比：[2] 同样采用实际界面并证明了 IFE 空间的最优逼近性质，但该文中的 IFE 函数仍需求解线性系统。本文的分析方法借鉴了 [2] 中的几何设置（Frenet 变换、参数域），但成功将其扩展至显式构造，并解决了非多项式函数带来的逼近分析困难。 - 切割无关常数的证明：许多早期 IFE 误差分析中的常数仅被称为“与界面位置有关”，一些方法需引入额外假设（如界面不能过近于单元顶点）来保证一致界。本文通过引理 3.1 的等价范数结论及参数变换中所有常数的下确界独立性，严格证明了在 $h\\kappa_\\Gamma\\le 1/2$ 的常规小性假设下，所有估计常数对界面任意切割位置一致有界，这是理论上的加强。 4. 适用范围与代价 本文方法适用于分段常数扩散系数、具有光滑界面的二相椭圆问题。要求网格尺寸 $h$ 足够小以保证界面单元落入细管状邻域内，这一点在常规 IFE 方法中同样需要。与现有方法相比，本文的 IFE 函数是非多项式的，这可能导致数值积分时需要更精确的积分规则（如增加高斯点），但总体而言积分代价与局部求解相比极小。此外，显式构造依赖于 level-set 函数的梯度计算，这对界面表示提出了稍高的光滑性要求（$\\ell\\in C^3$）。对于更复杂的界面拓扑或三维问题，本文的二维分析框架提供了基础，但三维推广中 Frenet 变换将变为更复杂的曲面参数化，相应的迹和嵌入常数需重新推导，目前尚未展开。\n2. 多连续介质广义多尺度有限元方法（MC-GMsFEM）：理论及其在两相流升尺度中的应用 Multicontinuum Generalized Multiscale Finite Element Method (MC-GMsFEM). Theory and applications to upscaling of two-phase flow\n作者: Mohammed Al Kobaisi, Dmitry Ammosov, Yalchin Efendiev, Wing Tat Leung\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-31\narXiv ID: 2606.01303v1\n摘要翻译: 我们提出了一种多连续介质广义多尺度有限元方法（MC-GMsFEM），用于构建非均匀介质中的粗尺度模型，该方法同时提供精确的数值近似和物理一致的宏观方程。经典多尺度方法利用局部化的基函数在粗网格上有效地逼近细尺度解，但它们并未提供推导宏观控制方程的系统化途径。为克服这一局限性，我们引入了一个统一的框架，该框架将多尺度有限元构造与多连续介质表示相结合。所提方法建立在 GMsFEM 的结构之上，并利用了分离粗变量及其梯度的多尺度基函数表示。我们使用通过带积分约束的局部问题定义的辅助场，构造了依赖于连续介质的基函数，确保每个基函数与特定的连续介质相关联。这导致粗尺度解被分解为连续介质变量及其梯度，从而在多尺度离散与多连续介质均匀化之间建立了直接联系。与现有的多连续介质方法相比，所提框架在处理具有空间变化连续介质数的非均匀介质时提供了更大的灵活性，并且自然嵌入标准的有限元框架中。这使得宏观方程的系统推导和直接的数值实现成为可能。我们将所提方法应用于非均匀多孔介质中两相不混溶流的升尺度问题，其中会出现多个相互作用的连续介质，包括可动相和圈闭相。利用所提方法，我们推导出了新的宏观模型，并表明如果使用经典模型，误差可能会很大。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.01303v1\n1. 研究对象和背景 本文研究异质介质中椭圆型偏微分方程及两相非混相流问题的宏观模型构建与数值逼近。考虑椭圆方程 $$ -\\nabla\\cdot(\\kappa(\\mathbf{x})\\nabla u)=f, $$ 其中 $\\kappa(\\mathbf{x})$ 为高度异质系数，以及两相流动系统，由达西尺度动量方程 $$ \\mathbf{v}_i = k_r(S_i)\\kappa(\\mathbf{x})\\nabla p,\\quad i=1,2, $$ 与质量守恒方程 $$ \\partial_t S_i+\\nabla\\cdot\\mathbf{v}_i=0,\\quad \\sum_i S_i=1 $$ 描述。该类问题广泛存在于石油工程、地下水污染运移等应用中。直接细尺度数值模拟因计算代价极高而难以实施，多尺度有限元方法通过预构造含细尺度信息的基函数实现粗网格上的高效求解，其中广义多尺度有限元方法(GMsFEM)利用局部谱问题构造形如 $\\phi_i^j = \\zeta_i^j \\xi_j$ 的基函数，这里 $\\xi_j$ 为含细尺度校正的单位分解函数。已知 $\\xi_j$ 可表示为 $\\phi_0^j + \\mathbf{Z}_i^j\\cdot\\nabla\\phi_0^j$，当特征向量 $\\zeta_i^j$ 缓变且修正项 $\\mathbf{Z}_i^j$ 局部光滑时，基函数具有形式 $$ \\phi_i^j = N_i(\\mathbf{x}) \\phi_0^j + \\mathbf{M}_i(\\mathbf{x})\\cdot\\nabla\\phi_0^j, $$ 从而粗尺度解可写为 $$ u_H = \\sum_{i,j} u_i^j \\phi_i^j = \\sum_i( N_i U_i + \\mathbf{M}_i\\cdot\\nabla U_i), $$ 其中 $U_i = \\sum_j u_i^j \\phi_0^j$ 可解释为第 $i$ 个连续体变量。这一表示揭示了多尺度离散与多连续体均匀化的内在联系，但经典多尺度方法并未利用它导出宏观控制方程。另一方面，多连续体均匀化方法虽然能给出宏观方程，但在连续体数目随空间动态变化的复杂介质中应用困难，且需要求解非标准的单元问题。两相流系统中，因界面动力学和滞留效应会在粗尺度产生移动相与被捕集相等多个相互作用连续体，经典升尺度模型(如仅使用达西定律)往往无法准确描述被捕集相的行为，导致显著宏观误差。本文试图填补上述空白，提出多连续体广义多尺度有限元方法(MC-GMsFEM)，在同一变分框架下同时获得高精度数值解和物理一致的宏观控制方程，并能灵活处理空间变化的连续体数目。\n2. 主要定理或主要结果 本文主要推导并数值验证了以下结果：\n对于椭圆方程 $-\\nabla\\cdot(\\kappa\\nabla u)=f$，取 MC-GMsFEM 基函数形式 $\\phi_i^j = N_i\\phi_0^j + \\mathbf{M}_i\\cdot\\nabla\\phi_0^j$ 并将全局解表达为 $u_H = \\sum_i (N_i U_i + \\mathbf{M}_i\\cdot\\nabla U_i)$，代入连续 Galerkin 变分形式并忽略宏观变量高阶导数项后，得到宏观方程 $$ \\alpha_{ij} U_i - \\nabla\\cdot(\\boldsymbol{\\theta}_{ji}\\nabla U_i) - \\nabla\\cdot(\\boldsymbol{\\beta}_{ij} U_i) + \\boldsymbol{\\gamma}_{ij}\\cdot\\nabla U_i = F_j - \\nabla\\cdot\\mathbf{G}_j, $$ 其中系数张量定义在粗网格块 $K$ 上： $$ \\alpha_{ij} = \\frac{1}{|K|}\\int_K \\kappa\\,\\nabla N_i\\cdot\\nabla N_j,\\quad \\boldsymbol{\\beta}_{ij} = \\frac{1}{|K|}\\int_K \\kappa\\,\\nabla N_i\\cdot\\mathbf{B}_j,\\quad \\boldsymbol{\\gamma}_{ij} = \\frac{1}{|K|}\\int_K \\kappa\\,\\mathbf{B}_i^T\\nabla N_j,\\quad \\boldsymbol{\\theta}_{ij} = \\frac{1}{|K|}\\int_K \\kappa\\,\\mathbf{B}_i^T\\mathbf{B}_j, $$ 且 $\\mathbf{B}_i := N_i \\mathbf{I} + \\nabla\\mathbf{M}_i$，右端项 $F_j = \\frac{1}{|K|}\\int_K f N_j$, $\\mathbf{G}_j = \\frac{1}{|K|}\\int_K f \\mathbf{M}_j$。辅助函数 $N_i$ 通过局部约束椭圆问题 $$ \\int_{\\omega_l^*} \\kappa\\,\\nabla N_i^l\\cdot\\nabla v - \\sum_{K_d\\subset\\omega_l^*} \\sum_j \\Lambda_{ij}^{ld} \\int_{K_d} \\psi_j v = 0,\\quad \\int_{K_d} N_i^l \\psi_j = \\delta_{ij}\\int_{K_d} \\psi_j \\;\\;\\forall K_d\\subset\\omega_l^* $$ 确定，修正项 $\\mathbf{M}_i$ 的梯度作用通过求解零边界零平均约束的局部问题获得。 数值实验验证：在二维异质和穿孔介质中，取两连续体，使用 $10\\times10$ 粗网格，对第一连续体的升尺度相对误差 $e_2^{(1)}$ 及基于 MC-GMsFEM 解重建细尺度解的相对 $L^2$ 误差和能量误差均保持在很小量级，表明方法能高精度逼近参考解(具体数值参见正文表1)。 两相流升尺度应用：以移动相和被捕获相作为两个连续体，由 MC-GMsFEM 导出的宏观模型能准确刻画相互作用；数值对比显示，若直接采用经典达西模型，被捕集相部分会产生大误差，而 MC-GMsFEM 显著提高了精度。 3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术障碍有二：一是传统多尺度方法无法系统导出宏观方程，二是已有均匀化多连续体方法对连续体数目空间变化的情形缺乏灵活性。作者的关键创新在于利用 GMsFEM 基函数可分解为 $\\phi_i^j = N_i\\phi_0^j + \\mathbf{M}_i\\cdot\\nabla\\phi_0^j$ 的结构，引入连续体指示函数 $\\psi_j$ 并通过积分约束构造连续体依赖的辅助函数，从而在一个标准有限元框架内同时实现数值基函数的构建和宏观方程的提取。\n具体技术路线如下： (1) 辅助函数 $N_i$ 的构造：在每个粗邻域 $\\omega_l$ (或过采样区域) 上，求解带拉格朗日乘子的椭圆问题，同时施加平均约束 $\\int_{K_d} N_i\\psi_j = \\delta_{ij}\\int_{K_d}\\psi_j$。这些约束确保 $N_i$ 仅在指定的第 $i$ 连续体上平均非零，即 $N_i$ 起到分离连续体的作用，其构造无需额外单元问题的求解。 (2) 修正项 $\\mathbf{M}_i$ 的计入：直接求解 $\\mathbf{M}_i$ 不便，替代地定义 $z_i^l = \\mathbf{M}_i^l\\cdot\\nabla\\phi_0^l$，它满足齐次 Dirichlet 边界条件和零平均约束 $\\int_{K_d} z_i^l \\psi_j = 0$。通过求解式(12)的约束问题得到 $z_i^l$，从而隐式定义了 $\\mathbf{M}_i$。这保证了基函数 $\\phi_i^l = N_i^l\\phi_0^l + z_i^l$ 在粗尺度上兼容，并能近似细尺度行为。 (3) 宏观方程推导框架：将基函数表达式代入椭圆算子弱形式 $a(u_H, v_H) = f(v_H)$ 中，利用宏观变量 $U_i, V_j$ 在粗块内近似为常数，将积分量化为以 $\\alpha_{ij}, \\boldsymbol{\\beta}_{ij}, \\boldsymbol{\\gamma}_{ij}, \\boldsymbol{\\theta}_{ij}$ 为系数的泛函，并通过分部积分得到宏观偏微分方程。此过程关键假设是忽略 $U_i$ 的高阶导数项，对三角形网格严格，四边形网格需额外高阶校正。该方法自然地将细尺度信息凝聚到预计算的系数张量中，无需每次重求局部问题，且宏观方程形式与标准有限元代码兼容。 (4) 扩展性讨论：若修正项 $z_i$ 非局部(如过采样)，所得宏观模型将变为非局部方程，这为更精确的亚网格表示提供了可能。作者还指出，对四边形单元，可将 $z_i$ 展开为 $z_i = \\mathbf{M}_i\\cdot\\nabla\\phi_0 + \\widetilde{\\mathbf{M}}_i:\\nabla^2_{kl}\\phi_0$，从而在宏观方程中引入混合导数项，这为未来工作方向。\n整个框架的证明推进清晰：从基函数的可分解表示出发，构造满足所要求约束的 $N_i$ 和 $z_i$，再代入变分形式导出宏观方程。数值验证部分通过多个异质和穿孔算例展示了方法在升尺度精度及降尺度重建方面的良好表现。\n4. 与之前工作的比较 与传统多尺度方法(如 GMsFEM)的对比：经典多尺度方法仅旨在求解细尺度问题的高效数值逼近，其粗尺度自由度通常缺乏明显的物理对应，无法直接导出类似于传统均匀化理论的宏观控制方程。本文的 MC-GMsFEM 通过约束构建使基函数与连续体一一对应，粗解表示为 $\\sum_i(N_iU_i+\\mathbf{M}_i\\cdot\\nabla U_i)$，其中 $U_i$ 即为第 $i$ 连续体变量，宏观方程的形式与多连续体均匀化结果一致。这赋予了方法双重功能：既可像常规 GMsFEM 那样高效求解数值解，又能提供物理可解释的宏观模型。代价是增加了 $N_i$, $\\mathbf{M}_i$ 的计算开销，但这些仍仅依赖于局部问题，且可离线完成。 与传统多连续体均匀化方法的对比：早期多连续体方法(如文献[20])通常针对特定微观结构推导方程，并需要求解特设的单元问题来确定有效参数，难以推广至连续体数目随位置变化的复杂介质。MC-GMsFEM 将一切环节嵌入有限元框架：指示函数 $\\psi_j$ 可根据细尺度解(如局部化特征函数)或物理标志定义，连续体依赖的 $N_i$ 通过局部约束问题自动生成，整个方法可处理任意分布的连续体，且不要求介质周期性。此外，标准有限元代码稍加修改即可实现，数值实现难度显著降低。然而，本文假设 $\\psi_j$ 为先验已知，在实际应用中识别连续体(尤其是局部滞留区域)可能仍需要经验或预处理手段，文中未给出自动识别算法。 在两相流升尺度中的应用亮点：经典工程升尺度方法常基于达西定律及相对渗透率概念，忽略或不准确描述滞留相，导致被捕集流体区域贡献失真。本文的 MC-GMsFEM 通过引入额外的“被捕获”连续体变量，在粗尺度方程中显式包含了与移动相的交互项，能够捕捉经典模型遗漏的物理效应。数值结果表明，若使用经典模型，被捕集相部分误差会显著增大，而 MC-GMsFEM 则能给出准确预测。目前论文仅提供了二维示意性算例，对真实两相流前端不稳定、粘性指进等复杂情形下的验证尚未涉及，但所提出的框架为此类问题的建模提供了统一平台。 局限性与展望：主要限制在于连续体指示函数的确定和排序，文中仅指出在两相流应用中可通过区域识别完成，一般情况仍是一个开放问题。另外，宏观方程推导中忽略了 $U_i$ 的高阶梯度项，在波前急剧变化的区域可能引起额外误差，作者计划在未来加入混合导数校正。同时，过采样情形会导致非局部宏观模型，其数值性质有待进一步分析。 3. 具有尖锐界面的非局部 $p$-Laplacian 界面模型 A Nonlocal $p$-Laplacian Interface Model with Sharp Interface\n作者: Kehan Shi, Zuoqiang Shi, Tangjun Wang\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-05-30\narXiv ID: 2606.00594v1\n摘要翻译: 我们提出一个基于能量的非局部 $p$-Laplacian 界面问题。Neumann 界面条件通过能量自然地公式化，而 Dirichlet 条件则通过惩罚项施加。模型的一个关键特征是保留了尖锐界面，这便于推广到其他界面问题；我们通过为带有膜条件的 $p$-Laplacian 界面问题构造非局部逼近来说明这一点。通过建立 $\\Gamma$-收敛和紧性，我们证明随着非局部视界趋于零，非局部泛函的极小元收敛于其局部对应物的极小元。采用高效有限元方法的数值实验验证了该收敛性。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2606.00594v1\n1. 研究对象和背景 本文研究定义在有界区域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$ 上的界面问题, $\\Omega$ 被一个尖锐界面 $\\Gamma$ 分割成两个互不相交的子区域 $\\Omega_1$ 和 $\\Omega_2$, 且 $\\bar\\Omega=\\bar\\Omega_1\\cup\\bar\\Omega_2$, $\\Gamma = \\partial\\Omega_1\\cap\\partial\\Omega_2$. 经典的二阶线性界面问题为\n$$-\\operatorname{div}(\\lambda(x)\\nabla u) = f \\quad\\text{in }\\Omega,$$配备齐次 Neumann 边界条件 $\\nabla u\\cdot\\vec{n}=0$ on $\\partial\\Omega$, 其中扩散系数 $\\lambda(x)$ 分片常值: $\\lambda(x)=\\lambda_1\\chi_{\\Omega_1}(x)+\\lambda_2\\chi_{\\Omega_2}(x)$, $\\lambda_1,\\lambda_2\u003e0$. 界面条件为解 $u$ 的连续性 $[u]_\\Gamma=0$ 和法向通量跳跃 $[\\lambda\\nabla u\\cdot\\vec{n}_\\Gamma]_\\Gamma = g$, 其中 $g\\in L^2(\\Gamma)$ 给定. 该问题在流体力学、材料科学、生物化学等领域具有广泛应用. 对应的能量泛函为\n$$E(u) = \\frac12\\int_\\Omega\\lambda(x)|\\nabla u|^2\\,dx - \\int_\\Omega f u\\,dx - \\int_\\Gamma g u\\,dS,\\quad u\\in H^1(\\Omega),$$且 Neumann 边界条件自然蕴含于能量中.\n非局部方程因其能描述长程相互作用与记忆效应而备受关注, 在近场动力学、图像处理、生物建模等方面有大量应用. 将上述界面问题推广至非局部框架面临本质困难: 局部界面条件 (2) 无法在非局部模型中直接施加. 已有的少数工作 (如 [3,9,10]) 通常将界面条件转化为体积约束, 将尖锐界面 $\\Gamma$ 替换为一个厚度为 $\\delta$ 的扩展界面 $\\Gamma_\\delta = \\{x\\in\\Omega:\\operatorname{dist}(x,\\Gamma)\u003c\\delta\\}$, 从而将界面上的信息弥散到区域内部. 这类方法需要将界面函数 $g$ 从 $L^2(\\Gamma)$ 延拓到 $H^1(\\Omega)$, 且模型的推广受到限制.\n本文另辟蹊径, 提出一种基于能量变分的非局部界面模型, 其关键特征是保持尖锐界面. 针对线性情况, 定义如下非局部泛函\n$$E_\\delta(u) = \\frac{1}{2\\delta^2}\\int_\\Omega\\int_\\Omega \\Lambda(x,y)R_\\delta(x-y)|u(y)-u(x)|^2\\,dy\\,dx - \\int_\\Omega f u\\,dx - \\int_\\Gamma g\\, K_{\\delta,1}*u\\,dS + \\frac1\\delta\\int_\\Gamma |K_{\\delta,1}*u - K_{\\delta,2}*u|^2\\,dS,$$其中 $\\Lambda(x,y)=\\lambda_1\\chi_{\\Omega_1}(x)\\chi_{\\Omega_1}(y)+\\lambda_2\\chi_{\\Omega_2}(x)\\chi_{\\Omega_2}(y)$, $R_\\delta(s)=\\frac1{\\delta^d}R(|s|^2/\\delta^2)$ 和 $K_\\delta(s)=\\frac1{\\delta^d}K(|s|^2/\\delta^2)$ 为标准的非局部核 ($R,K$ 为非增 $C^1$ 函数且有紧支集), 且归一化 $\\int_{\\mathbb{R}^d} R(|z|^2)|z_1|^2\\,dz=1$. 非局部平均算子定义为\n$$(K_{\\delta,i}*u)(x) = \\frac{1}{\\int_{\\Omega_i}K_\\delta(x-y)\\,dy}\\int_{\\Omega_i}K_\\delta(x-y)u(y)\\,dy,\\quad i=1,2.$$该泛函的第一项 (非局部 Dirichlet 能量) 仅在各自子区域内部进行积分, 自动实现子区域间扩散过程的解耦; 第三项用非局部平均值近似界面上的积分; 最后一项是惩罚项, 用于逼近解的界面连续性 $[u]_\\Gamma=0$. 注意, 局部能量 $E$ 中解空间 $H^1(\\Omega)$ 已隐含连续性, 而非局部空间中 $L^2(\\Omega)$ 不具备此性质, 故以惩罚形式体现. 此模型完全在尖锐界面上工作, 无需将界面延拓为带状区域.\n本文进一步将这一构造思路推广到非线性 $p$-Laplacian 界面问题, 并带有膜条件:\n$$\\begin{cases} -\\operatorname{div}(\\lambda(x)|\\nabla u|^{p-2}\\nabla u) = f \u0026\\text{in }\\Omega,\\\\ |\\nabla u|^{p-2}\\nabla u\\cdot\\vec{n}=0 \u0026\\text{on }\\partial\\Omega,\\\\ \\lambda_1|\\nabla u_1|^{p-2}\\nabla u_1\\cdot\\vec{n}_\\Gamma = \\gamma|u_2-u_1|^{p-2}(u_2-u_1) + g \u0026\\text{on }\\Gamma,\\\\ \\lambda_2|\\nabla u_2|^{p-2}\\nabla u_2\\cdot\\vec{n}_\\Gamma = \\gamma|u_2-u_1|^{p-2}(u_2-u_1) \u0026\\text{on }\\Gamma, \\end{cases}$$其中 $1","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-06-02_09-43-35/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年06月02日 09:43:35\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 4\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 5\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 48\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-椭圆界面问题的浸入间断伽辽金方法\"\u003e1. 椭圆界面问题的浸入间断伽辽金方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eThe Immersed Discontinuous Galerkin Method for Elliptic Interface Problems\u003c/p\u003e","title":"2026年06月02日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年05月29日 07:29:21\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 2\n不相关论文数量: 18\n重点关注论文（完整分析） 1. 富集高阶多尺度方法及其在波动传播中的应用 Enriched higher-order multiscale approaches with applications to wave propagation\n作者: Balaje Kalyanaraman, Felix Krumbiegel, Roland Maier, Siyang Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-28\narXiv ID: 2605.30118v1\n摘要翻译: 我们考虑空间系数高度异质的偏微分方程的数值求解。我们概述椭圆情形下的高阶局部正交分解（LOD）方法及其最新进展，然后将该策略推广至线性双曲多尺度问题。我们针对先前波动方程构造的局限性，该方法在空间上仅能达到二阶收敛，且与所选多项式次数无关。基于近期针对抛物多尺度问题发展的富集校正方法，我们引出并提出波动方程的富集高阶LOD方法。富集校正呈现指数衰减，且可在局部子域上计算。在对系数的最小假设及对数据的标准良态性条件下，我们推导出可实现最优高阶收敛速率的先验误差估计，从而克服了此前观察到的收敛率饱和现象。借助五阶Rosenbrock-Wanner（ROW）时间积分器，我们进行一系列数值算例以验证理论结果。我们给出算例展示方法的最优空间收敛性，包括不同多项式次数下的局部化误差。我们也给出算例展示时间离散的最优收敛率。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.30118v1\n1. 研究对象和背景 本文关注具有空间强非均匀系数的声波方程的数值解法. 考虑定义在 Lipschitz 区域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$ 上的线性双曲问题: 求 $u:[0,T]\\to H^1_0(\\Omega)$ 使得对几乎所有 $t\\in[0,T]$, $$(\\ddot u(t), v)_{H^{-1}(\\Omega)\\times H^1_0(\\Omega)} + a(u(t), v) = (f(t), v)_{L^2(\\Omega)}\\quad\\forall v\\in H^1_0(\\Omega),$$ 其中 $a(u,v) = (A\\nabla u,\\nabla v)_{L^2(\\Omega)}$, 系数 $A\\in L^\\infty(\\Omega)$ 满足 $0\u003c\\alpha\\le A(x)\\le\\beta\u003c\\infty$ 几乎处处, 且可能呈现多尺度剧烈变化. 初始条件为 $u(0)=u_0\\in H^1_0(\\Omega)$ 和 $\\dot u(0)=v_0\\in L^2(\\Omega)$. 当介质内部存在细微非均匀性时, 传统的有限元方法需要网格尺寸足够精细以解析所有细尺度特征, 导致计算代价难以承受. 多尺度方法通过构造问题自适应的粗空间来降低计算量, 其中局部正交分解 (LOD) 方法对粗糙 $L^\\infty$-系数的椭圆问题已取得巨大成功.\n在椭圆情形, 高阶 LOD 方法基于粗网格 $\\mathcal{T}_H$ 上的间断高阶多项式空间 $V_H$ (局部次数 $p$), 利用 $L^2$ 投影 $\\Pi_H$ 和约束能量最小化构造多尺度空间 $\\mathcal{R} V_H$. 关键性质是 $\\mathcal{R} V_H$ 为 $H^1_0$ 协调的, 且 $\\mathcal{R}$ 是 $a$-正交投影, 从而误差仅依赖于右端项 $f$ 的正则性: 若 $f\\in H^k(\\mathcal{T}_H)$ ($k\\le p+1$), 则能量误差满足 $\\|\\nabla(u-\\mathcal{R}u)\\|_{L^2}\\lesssim H^{k+1}\\|f\\|_{H^k(\\mathcal{T}_H)}$. 这一构造不要求系数 $A$ 或解 $u$ 的高正则性, 特别适合多尺度问题. 通过利用基函数的指数衰减性质, 可将全局最小化问题局部化到尺度为 $\\ell$ 的补丁上, 仅引入指数小的局部化误差, 从而保持计算效率.\n然而, 直接将上述椭圆型构造移植到波方程 (2.21) 时, 数值实验和理论分析均表明空间收敛阶不超过 $2$, 与多项式次数 $p$ 无关. 其原因在于: 标准能量论证将误差转化为 $\\|\\nabla(u-\\mathcal{R}u)\\|_{L^2}$, 而正交性给出 $$\\|\\nabla(u-\\mathcal{R}u)\\|_{L^2}^2 \\lesssim (f,u-\\mathcal{R}u) - (\\partial_t^2 u, u-\\mathcal{R}u).$$ 第一项可利用 $f$ 的正则性得到 $H^{k+1}$ 阶, 但第二项仅能利用 $\\partial_t^2 u\\in H^1_0$ 和 $u-\\mathcal{R}u\\in\\ker\\Pi_H$ 得到 $H^2$ 阶, 无法提取更高阶, 因为粗糙系数下解的空间正则性不会超过 $H^1$. 这便是收敛率饱和的根源. 最近, 针对抛物问题发展的富集高阶 LOD 方法通过引入额外的、利用时间正则性的校正, 成功恢复了空间高阶收敛. 本文旨在将这一富集策略推广到双曲型波方程, 以突破空间收敛率的饱和, 在系数仅为 $L^\\infty$ 的极低正则性假设下获得最优高阶收敛率.\n2. 主要定理或主要结果 本文在 Assumption 2.2 给出的兼容性及良好准备条件下 (即 $f\\in C^m([0,T]; H^k(\\mathcal{T}_H))$, 初始值 $u_0,v_0$ 满足一定的相容关系, 且时间导数初值一致有界), 对无局部化的理想情形, 证明了富集高阶 LOD 方法的空间半离散误差估计. 具体地, 令 $\\tilde u_H$ 为半离散解 (2.23) 在富集多尺度空间 $\\mathcal{R}V_H^j$ 中的 Galerkin 逼近, 则有 $$\\|\\partial_t(u(t)-\\tilde u_H(t))\\|_{L^2} + \\|\\nabla(u(t)-\\tilde u_H(t))\\|_{L^2} \\lesssim_T H^{k+1},$$ 其中 $k$ 为右端项 $f$ 的空间 Sobolev 正则性指标, $1\\le k\\le p+1$. 当 $k=p+1$ 时, 收敛阶达到最优 $H^{p+2}$. 该结果完全消除了原 LOD 构造中收敛阶饱和于 $H^2$ 的限制, 且仅需系数 $A\\in L^\\infty(\\Omega)$, 无需任何额外光滑性.\n富集空间由基函数 $\\mathcal{R}\\Lambda_{K,i}$ 及其经校正算子 $D^{[\\ell]}_K$ 多次作用得到的函数 $\\mathcal{R}\\Lambda^\\nu_{K,i}$ ($\\nu=1,\\dots,j$) 张成. 校正算子 $D^{[\\ell]}_K$ 在补丁 $N_\\ell(K)$ 上求解局部边值问题: $$a(D^{[\\ell]}_K v, w) = -(v,w)_{L^2(N_\\ell(K))}\\quad\\forall w\\in H^1_0(N_\\ell(K))\\cap\\ker\\Pi_H,$$ 且满足指数衰减性质: 存在常数 $C\u003e0$ 使得 $$\\|\\nabla D^{[\\ell]}_K v\\|_{L^2(\\Omega\\setminus N_\\ell(K))}\\lesssim \\exp(-C\\ell)\\|\\nabla D^{[\\ell]}_K v\\|_{L^2(\\Omega)}.$$ 因此, 校正计算可在相同补丁上进行, 不增加额外通信开销. 理论分析表明, 适当地选取局部化参数 $\\ell\\sim C_p|\\log H|$, 局部化后的逼近误差仍保持高阶收敛.\n在时间离散方面, 作者采用 $5$ 阶 Rosenbrock-Wanner (Rodas5P) 格式, 数值实验验证了空间误差对于不同多项式次数 $p$ 均达到理论预测的最优阶, 并展现了时间离散的高阶精度.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心障碍在于: 椭圆型高阶 LOD 空间应用到波方程时, 误差表达式中出现了 $\\partial_t^2 u$ 项, 而粗糙系数下解 $u$ 在空间上至多仅有 $H^1$ 正则性, 导致无法利用投影近似性质提取高阶收敛. 作者真正的创新在于引入基于时间正则性的富集校正策略, 通过扩大多尺度空间来吸收 $\\partial_t^2 u$ 的低正则性影响, 从而恢复高阶率.\n证明框架推进如下:\n修正 Galerkin 正交性误差. 令 $\\mathcal{R}^{[\\ell]}$ 为原局部化 LOD 算子, 其像空间 $\\mathcal{R}V_H$ 满足 $a$-正交性 $\\mathcal{R}V_H\\perp_a \\ker\\Pi_H$. 但直接用于波方程半离散时, 误差 $e_H = u - \\tilde u_H$ 满足能量等式 $$\\frac12\\frac{d}{dt}\\big(\\|\\dot e_H\\|_{L^2}^2 + a(e_H,e_H)\\big) = a(\\mathcal{R}u - \\tilde u_H, \\dot e_H) + (\\ddot u - \\partial_t^2 \\mathcal{R}u, \\dot e_H).$$ 第二项是降低收敛阶的根源. 引入富集空间 $\\mathcal{R}V_H^j$ 后, 误差被分裂为投影到 $\\mathcal{R}V_H^j$ 和其正交补的部分. 通过定义校正算子 $D^{[\\ell]}_K$, 构造额外的基函数, 使得新空间包含 $D^{[\\ell]}_K\\mathcal{R}\\Lambda_{K,i}$ 等. 这些函数与 $\\ker\\Pi_H$ 的适当正交性使得 $(\\ddot u - \\partial_t^2 \\mathcal{R}u)$ 能被新空间捕获, 从而在能量估计中该不良项转化为高阶量.\n关键估计. 在定理 3.1 的证明中, 将 $u - \\tilde u_H$ 写成 $u - \\mathcal{R}^j u$ (投影误差) 和 $\\mathcal{R}^j u - \\tilde u_H$ (Galerkin 误差) 之和. 对于投影误差, 利用 $\\mathcal{R}^j$ 的构造和假设 $f$ 具有空间正则性 $H^k$, 以及时间导数到初始时刻的延拓, 递归地使用校正方程将 $\\partial_t^\\nu u$ 逐步转换为仅依赖左右端项的高阶项, 得到 $$\\|\\nabla(u - \\mathcal{R}^j u)\\|_{L^2} \\lesssim H^{k+1} \\sum_{\\nu=0}^{j} \\|\\partial_t^{2\\nu} f\\|_{H^k}.$$ 对 Galerkin 误差则应用标准能量估计和上面投影误差的界限. 整个分析不依赖解 $u$ 的高空间正则性, 只使用了时间正则性 (通过兼容性条件保证).\n局部化与指数衰减. 校正问题 (3.1) 被限制在补丁上求解, 其解具有指数衰减性质 (见 Theorem 2.1 的推广). 证明基于 Caccioppoli 型不等式和迭代论证, 与经典 LOD 分析类似. 因此富集基函数的计算仍然是局部的, 保持了原有 LOD 方法的并行性和计算规模.\n与稳定化局部化的结合. 为避免直接使用 (2.15) 局部化时出现的 $H^{-1}$-污染因子, 本文采用 [HLM26] 中的稳定化局部化策略 $\\mathcal{R}^{[\\ell]} = I_H - \\mathcal{K}^{[\\ell]}$, 其中 $I_H$ 为局部拟插值算子, $\\mathcal{K}^{[\\ell]}$ 通过局部鞍点问题定义. 这样得到的基函数可直接输入富集流程, 且在 $\\ell$ 足够大时仍保持指数小的局部化误差. 证明中未显式展开此结合, 但指出该方法框架是统一的.\n4. 与之前工作的比较 与高阶椭圆 LOD 方法的比较. 椭圆型高阶 LOD (如 [Mai21], [DHM23], [HLM26]) 的收敛率分析完全依赖右端项 $f$ 的正则性, 因为 $a$-正交性直接给出 $\\|\\nabla(u-\\mathcal{R}u)\\|_{L^2}\\lesssim H^{k+1}\\|f\\|_{H^k}$. 在波方程中, 等效的“右端项”变为 $f - \\partial_t^2 u$, 而 $\\partial_t^2 u$ 的正则性受限于系数粗糙性, 至多 $H^1$, 导致收敛阶饱和在 $2$. 本文引入的富集校正本质上是在渐近展开中逐项补偿 $\\partial_t^2 u$ 的低正则部分, 使截断后的残差获得高阶, 从而将收敛率恢复为 $H^{k+1}$. 相比椭圆 LOD, 本文的富集空间维数增加, 但增幅可控, 且构造的局部化性质不变.\n与抛物富集 LOD [KKMW25] 的比较. 抛物问题中, 类似饱和现象源自 $\\partial_t u$ 的低正则性. [KKMW25] 提出用校正算子处理 $\\partial_t u$, 得到空间高阶收敛. 本文将其思想迁移到双曲方程, 需要处理二阶时间导数, 因此富集层数 $j$ 与时间导数阶数的关系有所不同: 抛物情形每消除一阶时间导数需要一层富集, 而波方程需两层富集才能抵消一个 $\\partial_t^2$ 带来的低正则效应? 从构造看, 校正算子 $D^{[\\ell]}_K$ 每次作用对应提升匹配阶数, 理论上 $j=1$ 即可恢复 $H^{k+1}$, 但文中未详细讨论 $j$ 与所需收敛阶的关系. 此外, 能量估计与抛物情形不同, 本文需处理电感\u0026ndash;电容能量范数, 论证更为精细.\n与已有波方程多尺度方法的比较. 文献中处理波方程多尺度问题的方法包括 [JEG10] 的 FE-HMM, [AG11] 的变量分离多尺度有限元, [EHR11] 的局部多尺度基, [OZ17] 的广义多尺度有限元, [AH17] 的 LOD 波方程方法等. 其中, 基于 LOD 的 [AH17] 在空间上仅能达到二阶收敛 (若使用标准一阶 LOD, 收敛阶为 $H$; 采用高阶多项式也无法超越 $H^2$). 本文显著推进了 LOD 框架下波方程的空间收敛率上限, 实现了任意高阶. 相比其他方法, 本工作的优势在于: (i) 仅需要系数 $A\\in L^\\infty$, 无需分离尺度或周期假设; (ii) 误差分析严格, 常数显式依赖于正则性参数; (iii) 方法完全基于局部子问题, 适合大规模并行. 代价是基函数的计算量增加 (多层校正), 但仍在可接受范围内, 且数值实验表明, 对于给定的收敛阶, 所需局部化参数 $\\ell$ 随 $p$ 增长, 但实际标度比理论预测的更温和.\n局限与未来方向. 从提供的内容中无法确认本文是否分析了长期时间稳定性以及 $j$ 的最优选择. 作者也未显式展开与其他高阶时间离散方案的比较, 仅采用了 ROW 方法. 此外, 对 $t$ 依赖的边界条件和非零初值波源的处理也未提及. 文中提示未来可将富集思想扩展至更多类型的时间依赖问题.\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 一种用于含旋转大气动力学的非协调网格细化隐式-显式间断伽辽金求解器 An IMEX-DG solver with non-conforming mesh refinement for atmospheric dynamics with rotation\n作者: Letizia Bottani, Tommaso Benacchio, Giuseppe Orlando, Luca Bonaventura, Allan Peter Engsig-Karup\n类别: math.NA, physics.ao-ph\n发布日期: 2026-05-28\narXiv ID: 2605.29598v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.29598v1\n摘要翻译 中文标题: 一种用于含旋转大气动力学的非协调网格细化隐式-显式间断伽辽金求解器\n摘要翻译: 我们提出了一种用于可压缩欧拉方程的高阶隐式-显式间断伽辽金（IMEX-DG）求解器，旨在完全可压缩大气框架下计入旋转效应。时间积分采用二阶加性龙格-库塔格式，对刚性声学模态隐式处理，对平流项显式处理。该求解器基于 deal.II 有限元库构建，结合了无矩阵算子计算、自适应非协调网格能力和分布式内存并行。在求解策略中，我们引入并比较了两种基于非线性不动点迭代的旋转和重力源项处理方案，从精度、鲁棒性和计算效率方面进行了对比。还对旋转算子进行了离散分析，以推导出适合高效无矩阵实现的公式，并避免不一致的朴素离散化。通过旋转惯性重力波基准算例的收敛性研究验证了所提格式，并在均匀和自适应网格上进行了完全三维分层流越过地形的模拟，进一步评估。数值结果表明，旋转 IMEX-DG 框架具有预期的精度和稳定性性质，同时正确捕捉了旋转在大尺度大气流中引起的非对称性和波动结构。\n2. 非线性Gross-Pitaevskii方程的高阶时间分裂方法 High-order time splitting methods for the nonlinear Gross-Pitaevskii equation\n作者: Roberto Ben, Agustín Besteiro, Diego Rial\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-05-28\narXiv ID: 2605.29362v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.29362v1\n摘要翻译 中文标题: 非线性Gross-Pitaevskii方程的高阶时间分裂方法\n摘要翻译: 我们提出一种高阶数值方法，用于计算具有谐振子势阱的二维Gross-Pitaevskii方程的基态和时间演化。基态通过将归一化梯度流与具有严格正系数的时间分裂格式相结合而获得，这使它们既适用于耗散区域也适用于哈密顿区域，并避免了经典辛方法所需的负时间步长。这些方法的计算代价随阶数呈二次增长，而辛方法的计算代价呈指数增长。数值基准测试评估了在不同初始化下基态的收敛性、不同质量约束下质量和哈密顿能量的长时间保持，以及对于阶数 q = 2, 4, …, 14 的代价-精度权衡。\n不相关论文（基本信息） 1. IGA-ODIL：利用等几何分析优化离散鲁棒损失以借助机器学习工具更快求解正反问题 IGA-ODIL: Optimizing DIscretre robust Loss with Isogeometric Analysis to solve forward and inverse problems faster using machine learning tools\n作者: Maciej Paszyński, Tomasz Służalec\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-28\narXiv ID: 2605.30272v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.30272v1\n摘要: Physics-informed neural networks (PINNs) formulate the solution of partial differential equations as residual minimization problems over neural network parameterizations. Although highly flexible, optimization of PINNs using modern variants of Stochastic Gradient Descent algorithms is expensive. On the other hand, iterative computation of PINN parameterization using the Gauss-Newton method suffers from convergence difficulties, dense Jacobian structures, and poor conditioning that limit the effectiveness of second-order optimization methods. In this work, we introduce IGA-ODIL, a spline-based residual minimization framework combining ideas from Optimizing DIscrete Loss (ODIL), robust variational residual minimization, and Isogeometric Analysis (IGA). Instead of neural-network parameterizations of PINNs, the unknown solution is represented by smooth B-spline basis functions, leading to sparse structured Jacobians and efficient Gauss\u0026ndash;Newton optimization. We also derive robust residual formulations based on weighted Gram operators, making the loss function related with the true error. The resulting systems inherit locality, sparsity, and approximation-theoretic properties of classical finite element and isogeometric methods while preserving the residual-learning philosophy of scientific machine learning. The proposed methodology is evaluated on several benchmark problems, including Poisson equations, convection-dominated advection\u0026ndash;diffusion equations, Helmholtz problems with highly oscillatory solutions, nonlinear Allen\u0026ndash;Cahn equations, and inverse Helmholtz parameter identification. Numerical experiments demonstrate orders-of-magnitude speedups compared with PINNs and CRVPINNs while maintaining high accuracy and robustness.\n2. 广义矩阵邻近问题 II Generalized matrix nearness problems II\n作者: Rongbiao Thomas Wang, Chi-Kwong Li, Lek-Heng Lim\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-28\narXiv ID: 2605.30181v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.30181v1\n摘要: Given a matrix $A$, a matrix nearness problem seeks an $X$ that most closely approximates $A$ in the sense of minimizing $\\lVert A - X\\rVert$ under a variety of constraints on $X$. A generalized matrix nearness problem seeks the same but with three given matrices $A,B,C$ and $\\lVert A - BXC\\rVert$ in place of $\\lVert A - X\\rVert$. We extend previous studies of the latter problem in three directions: incorporating an affine term, replacing matrix product by Kronecker product in various manners, and generalizing Frobenius norm to any orthogonally invariant norm. We will solve several of these in closed form. For the rest, we develop an iterative algorithm that works for any Schatten norm, proving that it converges to a global minimizer regardless of the initial point. In addition, the algorithm relies purely on numerical linear algebra, and notably does not compute any explicit gradients or subgradients. Along the way, we will also show that there is no Mirsky-type theorem for rank constrained generalized matrix nearness problems.\n3. 部分相干下的全息X射线相衬成像：唯一性及基于强度关联的重建 Holographic X-ray Phase Contrast Imaging with Partial Coherence: Uniqueness and Reconstructions from Intensity Correlations\n作者: Thorsten Hohage, Milad Karimi, Björn Müller\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-05-28\narXiv ID: 2605.30146v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.30146v1\n摘要: Holographic coherent X-ray imaging enables nanoscale imaging of biological cells and tissues, rendering both phase and absorption contrast, i.e. real and imaginary parts of the refractive index. Unlike the standard model, which assumes a perfectly coherent incident beam, we consider partial coherence characterized by a known covariance operator. In addition, we assume time-resolved intensity measurements, granting access not only to expected intensities but also to their correlations. We investigate the information content of these correlations and analytically demonstrate that, under a symmetry-breaking condition on the sample and the illumination area, both phase and absorption contrast can be uniquely recovered in both the full and the linearized models. A key challenge in numerical reconstruction is the substantial increase in data dimensionality caused by computing intensity correlations during preprocessing. We propose a novel approach that leverages a low-rank assumption on the incident beam covariance operator, bypassing explicit correlation computation while still exploiting its full information. Numerical experiments demonstrate its feasibility, yielding accurate simultaneous reconstructions of phase and absorption contrast.\n4. 一种新颖的基于球多项式的混合谱方法求解单位球上的双调和方程 A novel mixed spectral method with ball polynomials for the Biharmonic equation on a unit ball\n作者: Mengxue Gao, Bing Su, Jianwei Zhou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-28\narXiv ID: 2605.30037v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.30037v1\n摘要: A novel mixed spectral-Galerkin method based on generalized ball polynomials is proposed for solving the biharmonic equation on a unit ball. By introducing an auxiliary variable to decouple the biharmonic equation into a system of second-order equations, the corresponding discrete scheme yields a strictly diagonal stiffness matrix, which significantly enhances the computational efficiency. Rigorous a-priori error estimates are established to demonstrate the exponential convergence rates in both the $L^2$- and $H^1$-norms. Extensive numerical experiments are conducted to verify the theoretical analysis and confirm the high efficiency and accuracy of the proposed scheme.\n5. 多孔介质中两相流的全解耦、保界且能量耗散格式的统一框架 A unified framework of fully decoupled, bound-preserving and energy-dissipative schemes for two-phase flow in porous media\n作者: Xiaoli Li, Cheng Wang, Yujing Yan, Nan Zheng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-28\narXiv ID: 2605.30004v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.30004v1\n摘要: Developing high-order numerical schemes for two-phase flow in porous media that preserve key physical properties remains a significant challenge in numerical analysis. In this article, we propose a general framework to construct fully discrete first- and second-order numerical schemes for thermodynamically consistent model of incompressible and immiscible two-phase flow in porous media. The proposed schemes are rigorously proved to ensure five fundamental properties: (i) unique solvability; (ii) full decoupling; (iii) bound preservation for both phases; (iv) original energy dissipation; (v) local mass conservation for both phases. The key to ensure the unique solvability lies in guaranteeing the strict convexity of the discrete energy functionals associated with the constructed schemes. Departing from the coupled solution approach for the pressure and saturation variables, the proposed approach breaks traditional paradigm by subtracting the two-phase mass conservation equations to derive a fully decoupled system. In addition, the bound-preserving property for both phases is established by leveraging the singular nature of the logarithmic term around the limit values of $0$ and $1$. A rigorous error estimate for the first-order scheme, in the $\\ell^{\\infty}(0,T; H_h^{-1} (Ω)) \\cap \\ell^{2}(0,T; \\ell^2(Ω))$ norm for the saturations of two phases, is established. Finally, various numerical examples are presented to verify the theoretical results and demonstrate the efficiency of the proposed schemes.\n6. 含泥沙卷吸和沉积的一阶矩浅水Exner矩模型的静水平衡稳定性分析：扩展技术报告 Water-at-Rest Equilibrium Stability Analysis of a first-moment Shallow Water Exner Moment Model with Sediment Entrainment and Deposition: Extended Technical Report\n作者: Afroja Parvin, Giovanni Samaey, Julian Koellermeier\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-05-28\narXiv ID: 2605.29554v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.29554v1\n摘要: We derive the first-moment Shallow Water Exner Moment model with sediment entrainment and deposition (SWEMED1) and show that the full source term has a fully-settled water-at-rest equilibrium manifold. We prove that the model is only weakly hyperbolic at this equilibrium, which prevents the use of Yong\u0026rsquo;s structural stability framework. However, a linear spectral analysis and numerical results do not indicate instability. Based on numerical results, we introduce a fast-slow scaling of the source term, and for the fast limit, we derive a new suspended water-at-rest equilibrium manifold, which has a different structure but is still only weakly hyperbolic. Our results show that the remaining obstruction is linked to the transport closure of the SWEMED1, and we give a constructive direction for the derivation of new closures leading to models with more desirable analytical properties.\n7. 基于薛定谔化的多尺度常微分与偏微分方程量子隐式-显式格式 Quantum Implicit-Explicit Schemes for Multiscale Ordinary and Partial Differential Equations via Schrödingerization\n作者: Qitong Hu, Xiaoyang He, Shi Jin, Xiao-Dong Zhang\n类别: math.NA, math-ph, quant-ph\n发布日期: 2026-05-28\narXiv ID: 2605.29423v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.29423v1\n摘要: In this paper, we present a quantum implicit-explicit (IMEX) scheme for multiscale ordinary and partial differential equations whose discretization parameters are independent of the scaling parameter $\\varepsilon$. A key ingredient of our approach is a continuous-time formulation of classical IMEX schemes, which decouples the evolution time of the quantum algorithm from the physical time of the differential equation and is therefore particularly useful in multiscale settings. Building on this idea, we employ the Schrödingerization framework [Phys. Rev. Lett. 133 (2024), 230602] to implement IMEX schemes on quantum computers. Compared to previous HHL type quantum AP scheme [J. Comput. Phys. 471 (2022), 111641], this new method requires narrower \u0026ndash; an extra logarithmic factor \u0026ndash; auxiliary register numerical examples on linear heat and multiscale telegraph equations demonstrate the independence in $\\varepsilon$ of the method.\n8. 反问题中贝叶斯推断的深度自适应降维 Deep Adaptive Dimension Reduction for Bayesian Inference in Inverse Problems\n作者: Yueyang Wang, Xili Wang, Kejun Tang, Xiaoliang Wan, Tao Zhou, Chao Yang\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-28\narXiv ID: 2605.29373v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.29373v1\n摘要: Solving high-dimensional PDE-governed inverse problems is often challenging due to complex non-Gaussian posterior distributions, expensive forward model evaluations, and misspecified prior information. To address these issues, we propose a deep adaptive dimension-reduction Bayesian inference framework based on the Variational Flow (VF) model. Since standard normalizing flows are restricted by bijective mappings and cannot directly reduce dimensions, VF overcomes this limitation by integrating VAE-based nonlinear dimension reduction with dual normalizing flows for the latent prior and encoder. This design provides a strictly higher evidence lower bound than VAE and allows more flexible approximation of complex posterior distributions. We further introduce an iterative prior updating strategy that gradually moves the prior mean toward high-probability posterior regions, avoiding manual prior tuning. These components form a closed adaptive loop together with an adaptively fine-tuned Fourier Neural Operator (FNO) surrogate: VF generates posterior-concentrated samples to refine the surrogate, while the updated surrogate further improves posterior inference. Numerical experiments on a 100-dimensional Rosenbrock problem and three standard PDE-governed inverse problems show that our method delivers competitive or superior accuracy compared with MCMC, UKI, and SVGD baselines across all tested configurations, with the most pronounced advantages emerging in challenging scenarios such as high-noise observations and high-dimensional parameter spaces.\n9. 基于核的势能平均场博弈与无偏随机傅里叶 $U$-统计量 Kernel-based potential mean-field games with unbiased random Fourier $U$-statistics\n作者: Yumiharu Nakano\n类别: math.OC, cs.LG, math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-05-28\narXiv ID: 2605.29371v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.29371v1\n摘要: We study the subclass of potential mean-field games in which the running interaction cost and the terminal target cost are both expressed through reproducing-kernel maximum mean discrepancy (MMD) penalties, and develop a computational framework that exploits this kernel structure. Both costs are estimated from finite-sample empirical distributions using a random Fourier U-statistic representation that is unbiased and has linear cost in the batch size. The drift of the controlled diffusion is parametrized by a neural network and trained via stochastic gradient descent. For this subclass we prove a sample-level almost-sure convergence theorem and an explicit almost-sure rate of convergence, under coupled rate conditions on the penalty parameter, the random-feature count, the sample size, and the optimization tolerance. The framework includes the kernel-MMD-penalty Schrödinger bridge problem as the special case of a vanishing interaction cost. Numerical experiments illustrate the method on the Schrödinger bridge problem in dimensions up to one hundred, and on an electric vehicle charging coordination problem with per-vehicle physical heterogeneity, where an aggregate-demand congestion cost represents price-feedback competition at the population level and the terminal MMD penalty shapes the state-of-charge distribution at the deadline.\n10. 非结构样条上的加权求积 Weighted Quadrature on Unstructured Splines\n作者: Ji Sheng, Xiaodong Wei, Falai Chen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-28\narXiv ID: 2605.29334v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.29334v1\n摘要: This work presents a weighted quadrature (WQ) method to fast assemble Galerkin matrices based on unstructured spline surfaces. The method is developed upon a particular variant of unstructured splines, namely the bicubic analysis-suitable unstructured T-splines (ASUTS). While existing WQ approaches have significant speedup for structured splines (e.g., B-splines), their extension to unstructured splines faces several challenges: (1) lack of a global parametric domain for defining quadrature points, (2) a varying number of basis functions across elements that complicates the determination of the optimal number of quadrature points, and (3) ill-conditioned underdetermined linear systems that must be solved to find the quadrature weights. To solve these issues, we first define the WQ rule directly in the physical domain. Second, we specify the number of quadrature points function-wise (rather than element-wise), which naturally satisfies the well-posedness condition, namely the number of unknown weights no less than that of exactness constraints. Third, we employ the truncated Singular Value Decomposition to improve the conditioning of the underdetermined systems by discarding extremely small singular values, which are caused by the splines around extraordinary points. Several different model problems are studied, such as Poisson\u0026rsquo;s problem, the biharmonic problem, and the nonlinear heat transfer problem. In the end, a variety of numerical tests are performed to demonstrate the accuracy and efficiency of the proposed method.\n11. 关于随机迭代方法的子空间约束预处理 On subspace-constrained preconditioning for randomized iterative methods\n作者: Yonghan Sun, Hou-Duo Qi, Deren Han, Jiaxin Xie\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-28\narXiv ID: 2605.29304v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.29304v1\n摘要: In this paper, we further investigate and refine the subspace-constrained preconditioning technique to enhance the theoretical and numerical convergence properties of randomized iterative methods for solving linear systems. In particular, we design a QR-like factorization that transforms the original linear system into an equivalent block-orthogonal form, thus avoiding the full-rank assumptions adopted in existing work. Moreover, this reformulation reduces the problem to solving a smaller linear system with a favorable singular value distribution, provided an appropriate initial point is employed. The proposed framework can be implemented implicitly within the iteration and does not require explicitly constructing either a preconditioner matrix or a preconditioned linear system, which eliminates the prohibitive cost of forming a fully preconditioned system. Furthermore, we construct orthogonalized search directions from stochastic gradients and develop accelerated variants of the framework. We prove that the proposed algorithmic framework converges linearly in expectation. Numerical experiments demonstrate the benefits of the proposed preconditioning strategy.\n12. 一类 Gross-Pitaevskii 型特征值问题的弱 Galerkin 方法 The weak Galerkin method for a class of Gross-Pitaevskii type eigenvalue problems\n作者: Wei Lu, Qilong Zhai\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-28\narXiv ID: 2605.29264v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.29264v1\n摘要: This paper aims to employ the weak Galerkin method to solve a class of nonlinear eigenvalue problems. We proved the weak Galerkin scheme produces lower bound for the energy. Moreover, by the post-processing technique, we obtain lower bound for the ground state eigenvalue. Finally, numerical experiments are provided to validate the theoretical analysis.\n13. 多保真度本征正交分解 Multifidelity Proper Orthogonal Decomposition\n作者: Nicole Aretz, Karen Willcox\n类别: math.NA, cs.CE, math-ph\n发布日期: 2026-05-28\narXiv ID: 2605.29213v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.29213v1\n摘要: This paper introduces a multifidelity formulation that reduces the computational cost of the proper orthogonal decomposition (POD) of a high-fidelity model by leveraging data from cheaper, lower-fidelity models. POD is a prevalent technique for extracting a low-dimensional basis from training data to achieve subsequent dimension reduction or reduced-order modeling. In scientific and engineering applications, the training data are typically numerical snapshot solutions of a high-fidelity model, and computation of a sufficiently rich snapshot set can be prohibitively expensive, especially when sampling over a high-dimensional parameter space. Insufficient snapshot training data risks overfitting and poor generalizability of the POD basis to outside the training regime. Our multifidelity POD (MFPOD) formulation reallocates computational budget to cheaper, low-fidelity models that can be sampled more extensively. MFPOD then weights high- and low-fidelity snapshot data via a control-variate formulation to guarantee an unbiased estimate of the expected high-fidelity least-squares projection error. The MFPOD subspace is chosen to minimize the estimate of this projection error, and converges in probability to the same subspace as single-fidelity POD in the limit of an arbitrarily large budget. For restrictive computational budgets, the MFPOD cost function has (under some assumptions) lower variance than the POD cost function, which makes the MFPOD subspace more robust against variations in the training data and thus less prone to overfitting. For a numerical example modeling the velocity of the Pine Island glacier, MFPOD achieves the same accuracy as single-fidelity POD with an order of magnitude reduction in the offline computational cost of snapshot generation.\n14. 用于生成随机物理系统轨迹的随机提升方法 Stochastic Lifting for Generating Trajectories of Stochastic Physical Systems\n作者: Jules Berman, Tobias Blickhan, Benjamin Peherstorfer\n类别: cs.LG, cs.AI, math.NA\n发布日期: 2026-05-28\narXiv ID: 2605.29194v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.29194v1\n摘要: Many stochastic physical systems evolve smoothly over time in the sense that the distribution of states changes regularly across time steps. The transition from current state to the next state can often be modeled as the combination of a smooth map and an explicit source of randomness. Stochastic Lifting exploits this structure by attaching an independent, high-dimensional random label to each state transition in the training data and fitting a transition map from the current state and label to the next state using a standard regression loss. The labels act as auxiliary coordinates that let the model represent multiple plausible next states from similar current states, avoiding collapse to a mean prediction in the finite-sample size regime. At inference, fresh labels are sampled at each time step and the learned map is rolled forward autoregressively, generating diverse trajectories with a single network evaluation per time step.\n15. 基于模态矫正的定向边扩散方法用于笛卡尔对流-扩散问题 Modal-Rectification-Based Directional Edge Diffusion for Cartesian Convection\u0026ndash;Diffusion Problems\n作者: Gossrin Jean-Marc Bomisso, Ali Ouattara Kouma\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-27\narXiv ID: 2605.29186v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.29186v1\n摘要: Centered finite-difference discretizations of convection\u0026ndash;diffusion equations may oscillate when convection dominates at the mesh scale. For homogeneous Dirichlet problems with constant coefficients on uniform Cartesian grids, we derive ADSC (Adaptive Directional Sparse Correction), a local directional edge-diffusion correction guided by modal rectification of the centered-stencil Fourier symbol. The ideal modal reference damps modes independently, but its exact nodal action is nonlocal; ADSC replaces it by a nearest-neighbor positive semidefinite correction. For a regularized operator with activation fixed by an auxiliary sequence, we prove consistency, fixed-epsilon energy stability, and conditional discrete H^1-seminorm convergence. The implemented iteration instead uses activation generated by the computed solution. For that fully coupled nonlinear problem we prove existence and qualitative L^2 compactness/convergence only; uniqueness, convergence of activation updates, and energy-norm rates remain open. Numerical tests show selective extrema control, reduced modal-dominance indicators, and a low-cost few-shot variant. Comparisons with upwinding, SUPG, and AFC-inspired strategies are diagnostic rather than claims of uniform superiority.\n16. 一种用于超弹性材料非线性有限元分析的变分量子算法 A Variational Quantum Algorithm for Nonlinear Finite Element Analysis of Hyperelastic Materials\n作者: Uditnarayan Kouskiya, Caglar Oskay\n类别: quant-ph, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-05-27\narXiv ID: 2605.29181v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.29181v1\n摘要: This manuscript explores a variational quantum formulation for nonlinear elasticity problems arising from hyperelastic material models, targeting near term noisy intermediate scale quantum (NISQ) devices. The approach leverages the potential energy structure of hyperelasticity and employs a hybrid quantum classical framework in which the energy functional is evaluated using parameterized quantum circuits and optimized through classical routines. To enable implementation on current quantum hardware, polynomial approximations of the nonlinear strain energy density are introduced, yielding a representation compatible with variational quantum algorithms. The methodology is demonstrated on a one dimensional NeoHookean material model using finite element discretizations with first and second order shape functions and nonhomogeneous boundary conditions. Numerical experiments investigate the influence of the polynomial approximation order on the accuracy and efficiency of the proposed approach, illustrating its feasibility for near term quantum devices.\n17. 用于真实数据能源消耗预测校正的集成得分滤波 Ensemble Score Filtering for Real-Data Energy Consumption Forecast Correction\n作者: Ruoyu Hu, Dahai Yu, Feng Bao, Guang Wang, Guannan Zhang\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-27\narXiv ID: 2605.29072v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.29072v1\n摘要: Accurate estimation and forecasting of energy consumption are important for power-system operation, planning, and demand-side management. In practice, however, complete and timely measurements may not always be available, and the observed data can be partial, noisy, or delayed. This motivates the use of learned forecasting models for predicting the evolving consumption state, together with data assimilation methods for sequential forecast correction. In this work, we study a high-dimensional data assimilation problem for real energy-consumption data. \\modeltext{The forward prediction is supplied by a pretrained black-box spatio-temporal forecasting model, which is treated as the state propagator in the filtering procedure.} We employ the Ensemble Score Filter (EnSF) to assimilate partial and noisy observations and to correct the forecast trajectory over time. The EnSF uses score-based diffusion models to approximate filtering distributions and avoids retraining neural-network score models during assimilation by using a closed-form score representation and Monte Carlo approximation. Numerical experiments demonstrate that open-loop propagation of the learned forecasting model can become unreliable over long horizons, while EnSF-based correction substantially improves state estimation. Comparisons with the Ensemble Kalman Filter (EnKF) further show that EnSF provides stronger correction under the nonlinear observation setting considered in this work.\n18. 基于流形的阿达玛分解算法 Manifold-based Algorithms for the Hadamard Decomposition\n作者: Nicolas Gillis, Subhayan Saha, Stefano Sicilia, Arnaud Vandaele\n类别: math.OC, cs.LG, eess.SP, math.NA\n发布日期: 2026-05-27\narXiv ID: 2605.28980v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.28980v1\n摘要: Given a matrix $X$, and two ranks $r_1$ and $r_2$, the Hadamard decomposition (HD) looks for two low-rank matrices, $X_1$ of rank $r_1$ and $X_2$ of rank $r_2$, both of the same size as $X$, such that $X\\approx X_1\\circ X_2$, where $\\circ$ is the Hadamard (element-wise) product. In most cases, HD is more expressive than standard low-rank approximations such as the truncated singular value decomposition (TSVD), as it can represent higher-rank matrices with the same number of parameters; this is because the rank of $X_1 \\circ X_2$ is generically equal to $r_1 r_2$. In this paper, we first present some theoretical insights for HD, in particular a useful reformulation $X\\approx WH^\\top$ where $W$ and $H$ have $r_1 r_2$ columns and belong to certain manifolds. These allow us to develop three new algorithms for computing HD. The first one uses the representation $X\\approx X_1\\circ X_2$ and relies on the Manopt toolbox. The other two rely on the reformulation $X\\approx WH^\\top$: one is a block projected gradient method, and the other is a manifold-based gradient descent algorithm that does not require projection onto the feasible set. The last two algorithms are particularly effective for handling large sparse data. We also propose new initializations that allow us to improve the accuracy of the HD. We compare our algorithms and initialization strategies with the TSVD and with the state of the art. Numerical results show that the new methods are efficient and competitive on both synthetic and real data.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-05-29_07-29-21/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年05月29日 07:29:21\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 18\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-富集高阶多尺度方法及其在波动传播中的应用\"\u003e1. 富集高阶多尺度方法及其在波动传播中的应用\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eEnriched higher-order multiscale approaches with applications to wave propagation\u003c/p\u003e","title":"2026年05月29日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年05月28日 06:42:56\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 2\n不相关论文数量: 15\n重点关注论文（完整分析） 1. 非拟合网格上基于重构间断逼近的椭圆界面问题的预处理间断Galerkin方法 Preconditioned Discontinuous Galerkin Method for Elliptic Interface Problem on Unfitted Mesh with Reconstructed Discontinuous Approximation\n作者: Ruo Li, Qicheng Liu, Fanyi Yang, Shuhai Zhao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-27\narXiv ID: 2605.28380v1\n摘要翻译: 本文基于重构间断逼近，提出了一种高效的预处理非拟合有限元方法求解椭圆界面问题。该界面问题的逼近方法最初由[Li et al. SIAM J. Sci. Comput. 42(2), 2020]提出，其中通过求解局部最小二乘拟合问题，构造了一个每个单元一个自由度的任意高阶逼近空间。该空间可应用于切割间断Galerkin框架，在该框架中，界面上的跳跃条件通过Nitsche罚方法弱施加。在本工作中，通过引入适当的约束修改了局部最小二乘问题，这使得我们能够利用重构空间自然地保证界面附近的稳定性，并进一步使得我们能够建立高阶空间与最低阶空间之间的范数等价性。这一等价性质促使我们从分片常数空间构造预条件子，并且证明了该预处理方法是最优的，即预处理系统的条件数上界与网格尺寸、系数以及界面相对于非拟合网格的位置无关。我们还给出了作为最低阶系统矩阵之逆的多重网格算法。二维和三维的数值实验在误差度量下证实了最优收敛率，并展示了该预处理方法的有效性和鲁棒性。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.28380v1\n1. 研究对象和背景 本文研究椭圆界面问题（elliptic interface problem）的高效数值方法。问题设定为：令 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 为具有边界 $\\partial\\Omega$ 的凸多边形（或多面体）区域，$\\Omega_0\\Subset\\Omega$ 为具有 $C^2$ 光滑边界 $\\Gamma=\\partial\\Omega_0$ 的开子域，并记 $\\Omega_1=\\Omega\\setminus\\bar\\Omega_0$。所求未知函数 $u$ 满足如下方程和跳跃条件： $$ -\\nabla\\cdot(\\alpha\\nabla u) = f \\quad \\text{在 } \\Omega_0\\cup\\Omega_1,\\quad u = g \\quad \\text{在 } \\partial\\Omega,\\quad [u]=a n_\\Gamma,\\; [\\alpha\\nabla u]=b \\quad \\text{在 } \\Gamma, $$ 其中扩散系数 $\\alpha$ 在 $\\Omega_i$ 上为正常数 $\\alpha_i$ 但跨界面 $\\Gamma$ 可能发生跳跃，$f\\in L^2(\\Omega)$, $g\\in H^{3/2}(\\partial\\Omega)$, $a\\in H^{3/2}(\\Gamma)$, $b\\in H^{1/2}(\\Gamma)$。\n此类问题广泛出现于材料科学、多孔介质流、多相流等对含不同介质或材料的物理现象建模中。数值求解的主要挑战在于需要精确捕捉解跨界面的不连续性以及可能的大系数比带来的刚度。有限元方法大致分为贴体网格（body‑fitted）与非贴合网格（unfitted）两类。贴体方法要求网格线对齐界面，这对复杂几何生成网格十分困难；因此非贴合方法因网格生成与几何描述完全解耦而受到重视。典型的非贴合方法包括浸入有限元（IFEM）和切割有限元（CutFEM，又称Nitsche‑XFEM）。后者对每个子域采用独立的有限元空间，并通过Nitsche罚方法弱施加跳跃条件。然而，由于界面可能任意切割单元，会出现很小的切割片，若不加特殊处理将导致条件数无界甚至收敛性恶化。为此常需引入ghost penalty、单元聚合或局部扩展等稳定化技术。\n即便经过稳定化，所得离散线性系统的条件数通常仍为 $O(h^{-2})$，当网格加密时仍呈现病态。对于非贴合方法，尤其高阶格式，关于（多重网格类型的）预处理研究非常有限。文献中，[32] 在二维对原始Nitsche有限元方法提出了基于稳定空间分裂的预处理器；[44] 针对稳定化Nitsche有限元设计了专门处理非嵌套层次网格的多重网格预处理器，但缺乏严格谱分析；另有少数工作涉及IFEM的多重网格或区域分解 [16,1,19,4]。\n本文基于重构间断近似（reconstructed discontinuous approximation）发展一种高效预处理的非贴合间断Galerkin（DG）方法。该方法源于 [39]，通过在每个单元片（patch）上求解局部最小二乘拟合问题，从分片常数空间重构出每个单元仅需一个自由度的高阶近似空间 $U^m_h$。然而，[39] 仅处理了界面问题，并未涉及预条件。本文的根本推进在于修改局部最小二乘问题：对内部元素和切割元素分别引入适当的约束，使得重构算子自动保证界面附近的稳定性而无需额外稳定化，进而能够建立高阶空间 $U^m_{h,i}$ 与最低阶分片常数空间 $V_{h,i}$ 之间的范数等价性。这一等价性使我们可以从分片常数空间出发构造预条件子，并证明预处理系统的条件数上界与网格尺寸、扩散系数以及界面与网格的相对位置均无关，从而实现最优预处理。同时，在最低阶空间上采用光滑聚合多重网格思想构造了两类多重网格求解器，以高效求得低阶系统矩阵的逆。数值实验在二维和三维均验证了逼近误差的最优收敛率以及预处理方法的效率和鲁棒性。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要理论结果分两部分：数值格式的误差估计和预处理方法的性质。\n数值格式的误差估计 对于系数分片常数且可能大跳跃的椭圆界面问题(1)，采用修改约束的局部最小二乘重构空间 $U^m_h$ 与对称内罚DG框架结合，定义离散双线性形式 $a_h(\\cdot,\\cdot)$（式(14)）和相应的能量范数 $\\|\\cdot\\|_{DG}$ 与 $\\||\\cdot\\||_{DG}$。在网格满足几何假设（Assumption 1,2,3）且惩罚参数 $\\mu$ 充分大时，有如下结果： 正交性：$a_h(u-u_h, v_h)=0$, $\\forall v_h\\in U^m_h$。 强制性（Lemma 5）：$a_h(v_h,v_h) \\ge C\\Lambda_m^{-2} \\||v_h\\||_{DG}^2$, $\\forall v_h\\in U^m_h$，其中常数 $\\Lambda_m$ 仅依赖于多项式次数 $m$ 和网格的 quasi‑uniform 常数，与 $h$、系数 $\\alpha$ 和界面位置无关。 逼近性质（Theorem 1）：对任意 $v\\in H^s(\\Omega)$ ($s\\ge 2$)，重构算子满足 $$ \\|v_i - R^{m,i}_K v_i\\|_{H^t(K)} \\le C\\Lambda_m h^{s-t}_K \\|v\\|_{H^s(D^i_K)},\\quad 0\\le t\\le s-1,\\; 2\\le s\\le m+1. $$ 收敛阶（Theorem 2）：设精确解 $u\\in H^t(\\Omega_0\\cup\\Omega_1)$ ($t\\ge 2$)，数值解 $u_h\\in U^m_h$ 满足 $$ \\|u-u_h\\|_{DG} \\le C\\Lambda_m^3 h^s \\|\\alpha^{1/2} u\\|_{H^t(\\Omega_0\\cup\\Omega_1)}, $$ $$ \\|u-u_h\\|_{L^2(\\Omega)} \\le C\\Lambda_m^4 \\alpha_{\\min}^{-1/2} h^{s+1} \\|\\alpha^{1/2} u\\|_{H^t(\\Omega_0\\cup\\Omega_1)}, $$ 其中 $s=\\min(m, t-1)$。这表明在能量范数和 $L^2$ 范数下均获得最优收敛率。 预处理方法 约束条件保证了重构算子 $R^{m,i}$ 是非退化的，且 $\\dim(U^m_{h,i}) = \\dim(V_{h,i})$（Lemma 2）。 通过约束可建立高阶空间与最低阶分片常数空间的谱等价性：存在正常数 $c,C$ 使得对任意 $v_h\\in V_{h,i}$ 有 $$ c\\|v_h\\|_{\\ell^2}^2 \\le \\|R^{m,i} v_h\\|_{L^2}^2 \\le C\\|v_h\\|_{\\ell^2}^2, $$ 或者更一般地，在加权范数下的等价性。基于此，若记 $A_h$ 为高阶格式对应的刚度矩阵，$A_0$ 为最低阶（分片常数）格式的刚度矩阵，则 $A_0$ 和 $A_h$ 是谱等价的，即 $\\kappa(A_0^{-1}A_h)$ 关于 $h$、$\\alpha$ 和界面位置一致有界。 因此，以 $A_0^{-1}$ 作为 $A_h$ 的预处理器可得到最优的预处理效果。 对于最低阶系统 $A_0$ 的求逆，文中基于非贴合网格的逐次加密序列，设计了光滑聚合多重网格（smoothed aggregation multigrid）算法，并证明了其在分片常数空间上的收敛性。 数值实验验证了 $L^2$ 误差和能量误差的 $h^{m}$ 和 $h^{m+1}$ 收敛阶，且预处理后共轭梯度法的迭代次数几乎不随 $h$、系数比和界面位置变化。 3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术贡献在于通过对局部最小二乘问题引入适当的约束，同时实现了界面附近的自然稳定性、高低阶空间的范数等价以及最优预处理的构造。关键技术点分述如下。\n带约束的局部最小二乘重构 对每个子区域 $\\Omega_{h,i}$ 和每个单元 $K\\in\\mathcal{T}_{h,i}$，收集一个规模为 $N_m$ 的单元片 $\\mathcal{S}^i_K$。约束设计为：若 $K$ 是由切割单元经某种映射关联的内部元素（即 $K\\in\\mathcal{T}_{h,i}^{\\Gamma,\\circ}$），则要求重构多项式 $p$ 同时在 $K$ 及其对应的切割单元 $K^{\\varsigma_i}$ 的重心处等于给定的分片常数值 $v_{h,i}$；否则只要求 $p$ 在 $K$ 的重心处匹配。这种“点匹配”约束是构造的核心。 适定性：通过要求 $N_m \u003e \\dim(P_m)$ 且重心不落在 $m$ 次代数曲线上（Assumption 3），保证最小二乘问题有唯一解（Lemma 1）。 稳定性：对重构局部多项式 $p = R^{m,i}_K v_{h,i}$，通过正交关系 $$ \\sum_{K'\\in\\mathcal{S}^i_K} q(x_{K'})(p(x_{K'})-v_{h,i}(x_{K'})) = 0 $$ （对任意满足约束的测试多项式 $q$）可导出 $L^2$ 稳定性估计（Lemma 3） $$ \\|R^{m,i}_K v_{h,i}\\|_{L^2(K)} \\le C\\Lambda_m h^{d/2}_K \\max_{K'\\in\\mathcal{S}^i_K} |v_{h,i}(x_{K'})|, $$ 其中 $\\Lambda_m$ 涉及局部矩阵的最小奇异值，当 patch 足够大时与 $h$ 无关。由此可得逼近性质（Theorem 1）。 范数等价性：证明 $\\||v_h\\||_{DG} \\le C\\Lambda_m \\|v_h\\|_{DG}$ 是保证无额外稳定化下格式稳定的关键（Lemma 4）。其主要障碍在于控制切割单元上的梯度，而这些梯度的平方和 $\\sum_{K\\in\\mathcal{T}^\\Gamma_h} \\alpha_i\\|\\nabla v_h^{\\pi_i}\\|_{L^2(K)}^2$ 必须被 $\\|v_h\\|_{DG}$ 中的界面罚项所控制。 借助约束中内部元素与切割元素的配对以及 patch 内分片常数函数的分解（式(16)‑(18)），可以将邻近内部元素的梯度差与界面跳量联系起来，最终得到该梯度项被 $\\Lambda_m^2\\|v_h\\|_{DG}^2$ 所界。这里的关键细节是：将待估梯度用局部极小值中心化，并利用内部元素逐链到邻近面的跳跃建立 $|w_{\\max}-w_{\\min}|$ 与 $\\|\\nabla v_h^{\\pi_i}\\|$ 及 $\\|[v_h^{\\pi_i}]\\|$ 的关系。 误差分析 基于由上述范数等价性导出的强制性（Lemma 5），通过标准DG框架的Céa引理型的论证，结合重构算子的逼近性质即可得到能量范数误差；进一步采用对偶论证得到 $L^2$ 范数的最优阶估计。\n预处理构建\n由于对任意 $v_{h,i}\\in V_{h,i}$，重构函数满足 $R^{m,i} v_{h,i}(x_K) = v_{h,i}(x_K)$，且算子满秩，因此 $V_{h,i}$ 与 $U^m_{h,i}$ 之间存在自然同构。进一步分析表明，两个空间在 $L^2$ 范数（以及带权能量范数）下是谱等价的：即存在不依赖 $h$ 和 $\\alpha$ 的常数使得 $$ c\\sum_{K\\in\\mathcal{T}_{h,i}} h^d_K v_{h,i}(x_K)^2 \\le \\|R^{m,i} v_{h,i}\\|_{L^2(\\Omega_{h,i})}^2 \\le C \\sum_{K\\in\\mathcal{T}_{h,i}} h^d_K v_{h,i}(x_K)^2. $$ 这一等价性源于重构的稳定性及约束条件；其直接推论是刚度矩阵 $A_h$ 与 $A_0$ 谱等价。因此可用 $A_0^{-1}$ 作为 $A_h$ 的预处理器，且条件数 $\\kappa(A_0^{-1}A_h)$ 与 $h$、系数跳和界面位置均无关。 为高效求 $A_0^{-1}$，文中针对分片常数空间 $V_{h,i}$ 设计了基于非贴合网格多重光滑聚合的多重网格方法。由于背景网格是结构化（或半结构化）加密的，可构造出一族嵌套（或非嵌套）的网格层次；光滑聚合技术通过构造合适的 prolongator 和 smoother，将原本用于 $P_1$ 连续有限元的算法移植到分片常数非贴合空间上。文中给出了算法的细节及其收敛性证明，表明该多重网格求解器具有最优或近乎最优的复杂度。 4. 与之前工作的比较 本文在重构间断近似框架下，为无贴合网格椭圆界面问题发展了一种具有最优预处理的高阶DG方法。与已有工作的区别和推进可归纳为以下几个方面。\n与作者前序工作 [39] 的比较 文献 [39] 首次将重构间断近似应用于椭圆界面问题，通过局部最小二乘重构从分片常数空间得到每个单元一个自由度的高阶空间。然而，[39] 中并未引入本文的约束条件，因此在证明界面附近的稳定性时可能仍需借助类似 ghost penalty 的附加稳定化，或者其分析未明确建立高阶与低阶空间的范数等价。本文通过修改最小二乘问题，加入与内部‑切割元素配对相关的重心点约束，使得重构空间天然具有“自稳定”性质，从而无需额外稳定化即可确保 $\\||\\cdot\\||_{DG}$ 与 $\\|\\cdot\\|_{DG}$ 的等价性（Lemma 4）。这一改变是根本性的，不仅简化了方法，更是后续构造最优预处理的基石。此外，[39] 未涉及代数系统的预处理。\n与其他无贴合有限元方法的预处理研究比较 目前针对无贴合方法的预处理研究尚处于起步阶段。\n[32] 对二维原始 Nitsche‑XFEM（无稳定化）提出了一种预处理器，但其构造依赖于将有限元空间显式分裂为稳定的子空间，分析较为复杂，且只限于二维。 [44] 为稳定化 Nitsche‑XFEM 设计了基于非嵌套网格的多重网格预处理器，虽然数值有效，但关于谱质量的严格理论分析缺失；且其 prolongator 需特别设计以处理非嵌套网格。 IFEM 的多重网格 [16,1] 针对的是浸入有限元空间，其基函数在切割单元上被修改以满足界面条件，而本文的重构空间是在每个单元片上通过最小二乘全局性构造，自由度极少（每个单元一个），基函数具有紧支撑且更易于进行范数等价性分析。 域分解方法 [19,4] 也为无贴合方法提供了并行求解途径，但通常不追求条件数对 $h$ 的一致有界性。 相较之下，本文的预处理方法具备完整的理论保证：在简单而明确的约束条件下证明了高阶与低阶空间的谱等价性，从而得到预处理器的最优性，且该性质对 $h$、系数跳和界面位置均鲁棒。此外，由于高低阶矩阵都建立在同一网格上，避免了传统低阶预处理策略（如 [14,47,46]）中为匹配自由度而必须借助网格细化的高阶到低阶映射，大大简化了实现。 在稳定性和收敛性方面的推进 已有稳定化无贴合方法通常需要引入 ghost penalty、单元聚合或局部扩展来达到条件数的一致有界性和最优收敛。这类稳定化往往增加实施复杂度，并且在预处理分析中引入了额外耦合。本文的约束最小二乘重构在保持高精度的同时，自然保证了逼近空间在界面附近的稳定，从而直接推导出 $\\||\\cdot\\||_{DG}$ 范数下的强制性以及最优误差估计，且证明中不依赖任何附加的稳定项。从定理2可见，误差界中的常数 $\\Lambda_m$ 只取决于 patch 的大小和多项式次数，与界面如何切割网格无关。\n适用范围与局限 本文方法目前假定界面 $\\Gamma$ 为 $C^2$ 光滑，且网格是满足一定 quasi‑uniform 条件的单纯形剖分；这些假设与多数无贴合方法相当。然而，约束的引入虽然带来了理想的理论性质，但在实现上需要识别内部元素和切割元素的配对关系（Assumption 1），在界面拓扑复杂时可能会限制适用性。此外，局部最小二乘问题的求解在每个单元片上都会产生一个小规模线性系统，这增加了装配计算量，不过这部分开销是离线完成的，且由于自由度大幅减少，总体求解效率依然优于标准高阶DG。文中进行了二维和三维数值实验，包括系数大跳跃情形，数值观察确认了误差的最优收敛和预处理迭代次数的稳健性，但在三维极复杂几何下的规模可扩展性未作深入探讨。\n2. 基于投影方法的二维准周期亥姆霍兹特征值问题的新计算与分析框架 A Novel Computational and Analytical Framework for 2D Quasiperiodic Helmholtz Eigenvalue Problems via the Projection Method\n作者: Teng-Chao Sun, Tiexiang Li, Wen-Wei Lin, Xing-Long Lyu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-27\narXiv ID: 2605.27842v1\n摘要翻译: 本文提出一种谱框架，通过投影方法\\cite{jiang2014numerical, jiang2024numerical}将一维和二维准周期亥姆霍兹特征值问题嵌入高维（二维和四维）周期空间。为将提升后的高维状态有效映射回原始物理空间，我们基于逐点Rayleigh商的加权期望建立了一种新的验证框架。在全面的误差和谱分析支持下，我们证明了由该期望导出的特征值与原始准周期模型更真实地一致，最终得到更合适且可靠的特征对解。连续介质的数值实验表明，我们的方法为求解准周期亥姆霍兹特征值问题提供了一种精确、稳健且可扩展的工具。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.27842v1\n1. 研究对象和背景 拟周期结构因缺乏平移周期性，在物理和数学中诱发临界局域态、康托尔集能谱及霍夫施塔特蝴蝶图案等奇特波动现象。在电磁学与光子学中，光子准晶可调控光传播与自发辐射，通过拟周期介质调制呈现完全光子带隙、慢光效应和鲁棒拓扑边界态，在高 Q 腔、完美吸收体和光学传感器设计中有巨大潜力。精确理解这些现象依赖于高效求解带拟周期系数的偏微分方程特征值问题。\n考虑二维横向磁场(TM)模式，设磁导率 $\\mu_\\perp \\equiv 1$，标量场 $u(\\mathbf{r}) = E_z(\\mathbf{r})$ 满足亥姆霍兹方程 $$ -\\Delta u(\\mathbf{r}) = \\lambda \\varepsilon(\\mathbf{r}) u(\\mathbf{r}), \\quad \\mathbf{r} \\in \\mathbb{R}^2, $$ 其中 $\\varepsilon(\\mathbf{r})$ 为拟周期函数，$\\lambda$ 为特征值。此问题可退化到一维 $\\mathbb{R}^1$。直接使用有限差分(FD)离散得到无限维广义特征值问题 $\\mathbf{A}\\mathbf{u} = \\lambda \\mathbf{B}\\mathbf{u}$，其中 $\\mathbf{A}$ 为离散拉普拉斯算子，$\\mathbf{B}$ 为对角系数矩阵。传统晶体近似法(CAM)通过截断区域并施以人工周期边界，利用同时丢番图逼近(SDA)将不可公度频率近似为可公度频率；然而，为达到高保真度需要指数级大的超胞，导致严重的有限尺寸效应和极高计算成本，尤其对多维或高间断问题。\ncut-and-project 方法揭示，任何 $d$ 维拟周期结构均可通过将高维 ($n\u003ed$) 周期格点沿无理取向窗口投影得到，从而将非周期结构转化为高维周期结构。投影方法(PM) [10,12] 据此将低维拟周期函数嵌入高维周期空间，彻底绕过丢番图近似误差，恢复快速傅里叶变换和谱方法的适用性。具体地，通过投影矩阵 $\\mathbf{P} \\in \\mathbb{R}^{n \\times d}$ 将物理坐标 $\\mathbf{r}$ 映射为高维周期坐标 $\\mathbf{x} = \\mathbf{P} \\mathbf{r}$，拟周期系数 $\\varepsilon(\\mathbf{r})$ 提升为周期函数 $E(\\mathbf{x}) = \\varepsilon(\\mathbf{P}^T\\mathbf{r})$，解提升为 $U(\\mathbf{x}) = u(\\mathbf{P}\\mathbf{r})$。原算子经链式法则变为沿投影方向的方向导数 $\\nabla_{\\mathbf{P}}$，得到高维周期特征值问题 $$ -\\nabla_{\\mathbf{P}}^2 U(\\mathbf{x}) = \\lambda E(\\mathbf{x}) U(\\mathbf{x}), \\quad \\mathbf{x} \\in \\mathbb{T}^n. $$ 当 $d=1$ 时嵌入至2维环面 $\\mathbb{T}^2$，$d=2$ 时嵌入至4维环面 $\\mathbb{T}^4$。高维周期问题可用傅里叶伪谱法高效离散：将 $U$ 和 $E$ 展为截断傅里叶级数，利用无理方向导数在傅里叶空间可解析计算的优势，避免有限差分在无理斜率上的阶梯误差。离散后得到高维广义特征值问题 $\\mathbf{K}\\mathbf{U} = \\tilde{\\lambda} \\mathbf{M}\\mathbf{U}$，其中刚度矩阵 $\\mathbf{K}$ 为对角阵，质量矩阵 $\\mathbf{M}$ 为块托普利兹矩阵。\n然而，从截断高维空间映射回原始低维系统的误差分析尚不完整[15]。高维计算得到的特征值和特征向量投影回物理空间后，其能否真实代表原拟周期系统的特征值，缺乏严格的数值一致性验证。本文试图填补这一空白：基于投影方法，建立了从高维周期空间到低维物理空间的点态瑞利商加权期望验证框架，并提供系统的误差与谱分析，确保所得特征对的可靠性与准确性。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要理论结果包括：\n加权平均关系 (定理4.1) ：对于无限维离散向量 $\\mathbf{u}$，若 $0 \u003c \\varepsilon_{\\min} \\le \\varepsilon_i \\le \\varepsilon_{\\max}$ 且 $\\mathbf{u}^T\\mathbf{B}\\mathbf{u} \u003c \\infty$，$\\varepsilon_i u_i \\neq 0$，则整体瑞利商 $$ \\rho(\\mathbf{u}) = \\frac{\\mathbf{u}^T\\mathbf{A}\\mathbf{u}}{\\mathbf{u}^T\\mathbf{B}\\mathbf{u}} $$ 可表示为点态瑞利商 $r_i = \\frac{(\\mathbf{A}\\mathbf{u})_i}{(\\mathbf{B}\\mathbf{u})_i}$ 的加权平均： $$ \\rho(\\mathbf{u}) = \\sum_{i=-\\infty}^{\\infty} p_i r_i = \\mathbb{E}_p[\\{r_i\\}], \\quad p_i = \\frac{\\varepsilon_i u_i^2}{\\mathbf{u}^T\\mathbf{B}\\mathbf{u}}. $$ 误差稳定性 (定理4.2) ：设近似特征对 $(\\lambda, \\mathbf{u})$ 满足扰动方程 $\\mathbf{A}\\mathbf{u} = \\lambda \\mathbf{B}\\mathbf{u} + \\mathbf{e}$，其中残差 $\\mathbf{e} = \\{e_i\\}$ 满足 $\\max_i |e_i| = e_{\\max} \u003c \\infty$。若存在常数 $C_0 \u003e 0$、$\\alpha \u003e 1$ 和 $N_0 \\in \\mathbb{N}$，使得 $|u_i| \\le C_0 |i|^{-\\alpha}$ 对 $|i| \\ge N_0$ 成立，则存在常数 $C \u003e 0$ 使得 $$ \\mathbb{E}_p\\left[ \\left| \\frac{e_i}{\\varepsilon_i u_i} \\right| \\right] \\le C e_{\\max}. $$ 进而，加权期望特征值估计满足 $$ |\\mathbb{E}_p[r_i] - \\lambda| \\le C e_{\\max}. $$ 该定理表明，尽管局部点态商在 $|u_i|$ 较小时可能对残差敏感，但权重 $\\propto \\varepsilon_i u_i^2$ 自动抑制这些点的贡献，从而加权期望提供稳定的特征值估计。\n此外，数值实验验证了所提框架对一维和二维连续介质拟周期亥姆霍兹特征值问题的有效性、精度和可扩展性，计算特征值与参考解吻合良好，且点态瑞利商估计的计算开销微小。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的方法围绕两个核心创新：将拟周期特征值问题通过投影方法升维为周期问题，并利用傅里叶伪谱法高效离散；提出基于点态瑞利商加权期望的后验验证框架，实现对映射误差的控制。\n1. 高维嵌入与傅里叶伪谱离散\n投影方法的关键在于利用链式法则将低维微分算子转化为高维周期区域上的方向导数。对于一维情况，投影方向由矩阵 $\\mathbf{P} = (p_1, p_2)^T$ 给出，其中 $p_1, p_2$ 有理无关。原算子 $-d^2/dr^2$ 变为 $\\nabla_{\\mathbf{P}}^2 = (p_1 \\partial_{x_1} + p_2 \\partial_{x_2})^2$。二维情况推广至 $\\mathbf{P} \\in \\mathbb{R}^{4 \\times 2}$，算子变为 $\\nabla_{\\mathbf{P}}^2 = (\\nabla_{\\mathbf{x}}^T \\mathbf{P}) (\\mathbf{P}^T \\nabla_{\\mathbf{x}})$。传统有限差分法在处理无理斜率方向导数时会产生严重的阶梯误差，而傅里叶伪谱法在频率空间精确处理方向导数，因为 $\\nabla_{\\mathbf{P}}$ 作用于傅里叶模 $e^{\\mathrm{i} (\\mathbf{k}+\\boldsymbol{\\xi})\\cdot\\mathbf{x}}$ 仅产生因子 $\\mathrm{i} \\mathbf{P}^T (\\mathbf{k}+\\boldsymbol{\\xi})$ 或 $\\mathbf{P}^T(\\mathbf{k}+\\boldsymbol{\\xi})$ 的平方项。因此，离散后得到的广义特征值问题为 $\\mathbf{K}\\mathbf{U} = \\tilde{\\lambda} \\mathbf{M}\\mathbf{U}$，其中 $\\mathbf{K}$ 是对角矩阵，元素为 $(\\mathbf{P}^T(\\mathbf{k}+\\boldsymbol{\\xi}))^2$ (1D) 或 $(\\mathbf{k}+\\boldsymbol{\\xi})^T\\mathbf{P}\\mathbf{P}^T(\\mathbf{k}+\\boldsymbol{\\xi})$ (2D)；$\\mathbf{M}$ 为块托普利兹卷积矩阵，可通过快速傅里叶变换 (FFT) 实现 $\\mathcal{O}(N_{\\text{F}} \\log N_{\\text{F}})$ 的矩阵-向量乘法。求解该特征值问题采用逆形式 $\\mathbf{M}\\mathbf{U} = \\mu \\mathbf{K}\\mathbf{U}$，用迭代特征求解器提取最大特征值 $\\mu = \\tilde{\\lambda}^{-1}$，充分利用了矩阵结构和稀疏性。\n2. 点态瑞利商验证框架\n投影回物理空间的解 $\\hat{\\mathbf{u}}$ 作为原问题近似特征向量的质量需要量化。本文创新地引入原始无限维有限差分离散算子 $\\mathbf{A}, \\mathbf{B}$ 在采样网格上的点态瑞利商 $$ r_i = \\frac{(\\mathbf{A}\\hat{\\mathbf{u}})_i}{(\\mathbf{B}\\hat{\\mathbf{u}})_i} = \\frac{(\\mathbf{A}\\hat{\\mathbf{u}})_i}{\\varepsilon_i \\hat{u}_i}. $$ 定理 4.1 证明，当将 $\\hat{\\mathbf{u}}$ 视为无限维向量时，其整体瑞利商恰为这些点态商的加权平均，权重 $p_i = \\varepsilon_i \\hat{u}_i^2 / \\hat{\\mathbf{u}}^T\\mathbf{B}\\hat{\\mathbf{u}}$。这一关系为局部信息提供了全局解释。进一步，定理 4.2 在假设特征向量具有多项式衰减 $|\\hat{u}_i| \\le C_0 |i|^{-\\alpha}$ ($\\alpha \u003e 1$) 的条件下，证明了加权平均误差被残差上界 $e_{\\max}$ 控制，从而保证了估计量的鲁棒性。该衰减条件在实际拟周期系统的局域或扩展态中通常成立。证明的关键是利用 $\\sum |\\hat{u}_i| \u003c \\infty$ 来压制 $1/|\\hat{u}_i|$ 的奇异性，同时权重中的 $\\hat{u}_i^2$ 因子自动抑制小幅值区域的不良影响。\n3. 局部稳定性分析与辛对\n为进一步考察点态商的数值稳定性，作者推导了局部比值 $y_i = \\hat{u}_{i+1}/\\hat{u}_i$ 满足的递推关系 $$ y_i = (2 - h^2 \\rho \\varepsilon_i) - \\frac{1}{y_{i-1}}, $$ 并将其改写为转移矩阵形式 $y_i = L_{i}^{-1} M_i y_{i-1}$，其中 $M_i, L_i$ 构成一个辛对。通过引理 4.3 的辛对交换与合并技术，可分析递推的长期行为，揭示特征向量局部振荡特性对点态商波动的贡献。该分析为理解数值误差在空间上的传播提供了代数工具。\n4. 算法实现\n算法 1 总结了整体流程：生成投影关系、构建傅里叶指标集、组装并求解高维广义特征值问题、反投影得到物理空间解、在低维有限差分网格上计算点态瑞利商并加权平均。点态瑞利商计算仅涉及低维算子作用及分量积商，成本远低于高维特征求解，因此是一种轻量的后验改进方案。\n4. 与之前工作的比较 本文与已有工作的比较主要体现在以下几个方面：\n1. 与晶体近似法 (CAM) 的对比\nCAM 通过截断并施加人工周期边界，依赖同时丢番图逼近将拟周期系数近似为周期函数。为逼近无理频率，需要极长的超胞和极高的计算资源，且有限尺寸效应造成特征值偏移，尤其对高阶能带或奇异介质更为严重。投影方法 [10,12] 从根本上避免 SDA 误差，将拟周期问题精确映射为高维周期问题。本文在此框架上进一步引入点态瑞利商验证，弥补了从高维解到低维特征值的数值映射空白，比 CAM 更准确且避免了 SDA 导致的近似误差。\n2. 与先前投影方法工作的对比\n前期投影方法工作 [10,12] 主要针对边值问题建立数值框架；[11] 发展了谱方法；[14] 针对薛定谔特征值问题，在高维投影谱方法中嵌入无理窗口滤波器作为预处理；[15] 在连续层面分析了投影特征值问题的谱收敛性，但未给出从截断高维离散空间到低维物理空间的映射误差的定量分析。本文明确指出“a practical numerical analysis detailing the exact mapping error from the truncated high-dimensional space back down to the original low-dimensional system is still not complete”，并填补了这一理论空缺：通过建立点态瑞利商加权期望框架，证明了在一定条件下 (定理 4.2) 从高维解提取的特征值估计具有与残差同阶的精度，从而提供了完整的映射误差控制。这一分析是投影方法在特征值问题中的关键进展。\n3. 验证策略与计算成本\n与 [14] 的高维预处理不同，本文的验证步骤置于后处理阶段，利用低维有限差分算子计算点态瑞利商，避免了在高维求解过程中引入额外复杂性。计算点态瑞利商的开销仅涉及少量向量操作，相较于高维特征求解可忽略不计，因此是一种高效且易于实现的验证策略。数值实验表明，该方法能校正高维计算中因截断造成的微小偏差，得到更贴近原拟周期系统的特征值。\n4. 适用性与局限性\n本文处理的系数为连续拟周期函数，且假设特征向量具有多项式衰减 $|u_i| \\le C_0 |i|^{-\\alpha}$，$\\alpha\u003e1$，这一条件在多数物理问题中自然成立。与 CAM 相比，本文方法可处理高维嵌入的普适性更强，但对于更高维的原始问题 (如三维嵌入到六维)，高维离散的维数灾难依然存在，但在 $d \\le 2$ 时可行。文中未与有限元方法进行直接比较，亦未讨论系数有间断或奇性的情况，这些可能作为未来工作。\n5. 与 [15] 的理论联系\n[15] 建立了投影特征值问题的连续谱收敛性，本文则从离散角度补充了映射回物理空间时的数值误差分析，并将连续投影理论与离散验证相结合，形成了完整的求解与认证框架。定理 4.1 和 4.2 可视为对 [15] 中收敛性结果的离散实现与实用化延伸。\n综上所述，本文在投影方法的基础上，通过提出点态瑞利商加权期望和相应的误差分析，显著增强了对拟周期亥姆霍兹特征值问题数值解的可靠性，与既有工作形成互补和推进。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 求解$p$-Laplace问题的对偶变分神经网络 Dual Variational Neural Network for the $p$-Laplace Problem\n作者: Tianhao Hu, Guanglian Li, Fengru Wang, Yifeng Xu, Zhi Zhou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-27\narXiv ID: 2605.28291v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.28291v1\n摘要翻译 中文标题: 求解$p$-Laplace问题的对偶变分神经网络\n摘要翻译: 在极端情形$p \\to 1^{+}$和$p \\gg 1$下，$p$-Laplacian 的可靠且精确的数值逼近尤其具有挑战性；此时算子变得高度奇异或强退化，常常导致标准数值方法的严重不稳定。为克服这些困难，我们针对$p$-Laplace问题提出了一种新颖的基于深度学习的框架，称为对偶变分神经网络。该方法基于混合公式和基于$L^q$的亥姆霍兹分解，将原问题解耦为两个凸子问题：一个关于无旋分量的线性 Poisson 问题，以及一个关于无散场的无约束极小化问题。进行分解后，我们使用两个神经网络，借助梯度–旋度表示来近似通量，并进一步建立了神经逼近的误差分析。分析依赖于基本的向量不等式以及统计学习理论的工具。数值实验表明，所提方法在具有挑战性的情形下具有稳健收敛性，包括极端情形$p \\to 1^{+}$、$p \\gg 1$以及$p(x)$-Laplace方程。\n2. 用于移动物体声波散射的结构保持PML–域嵌入方法 A Structure-Preserving PML-Domain-Embedding Method for Acoustic Wave Scattering by Moving Objects\n作者: Xuelong Gu, Qi Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-26\narXiv ID: 2605.27680v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.27680v1\n摘要翻译 中文标题: 用于移动物体声波散射的结构保持PML–域嵌入方法\n摘要翻译: 我们建立了一个用于移动物体声波散射的结构保持计算框架，该框架包含一个新的PML–域嵌入模型和一个相容的数值近似。该模型将用于截断声波方程的完美匹配层（PML）与在固定计算域上表示移动物体的域嵌入公式耦合起来。由此得到的PML–域嵌入（PML-DE）系统使得移动边界散射问题无需重新划分网格即可求解。通过匹配渐近展开，我们证明当界面厚度趋于零时，扩散界面公式收敛到相应的尖锐界面系统。随后，我们为PML-DE系统构造了一个保能量耗散率的有限差分格式。为提高计算效率，该格式与依据移动物体位置、固定PML区域以及演化中的波动力学信息的层次化局部细化相结合，一切均在固定计算域内完成。数值实验展示了所求散射解的精度、吸收层与物体嵌入策略的有效性以及自适应算法的高效率。所提出的框架为涉及复杂声波散射问题的工程应用提供了一种实用且稳健的计算方法。\n不相关论文（基本信息） 1. 基于增量奇异值分解的历史感知自适应降阶模型 History-aware adaptive reduced-order models via incremental singular value decomposition\n作者: Amirpasha Hedayat, Ali Mohaghegh, Laura Balzano, Cheng Huang, Karthik Duraisamy\n类别: cs.LG, cs.CE, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-05-27\narXiv ID: 2605.28684v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.28684v1\n摘要: Reduced-order models (ROMs) can accelerate high-dimensional dynamical simulations, but their accuracy often deteriorates when online dynamics leave the regime represented by offline training data. We develop a projection-based adaptive ROM framework based on incremental singular value decomposition (iSVD), in which occasional full-order operator evaluations provide correction snapshots for online basis updates. The intrusive ROMs considered here are fully parameterized by the basis, so each update naturally propagates to reduced operators and hyper-reduction machinery. Through its evolving singular structure, iSVD retains an encoded history of the observed dynamics and is history-aware in this sense. We study the method on three nonlinear problems of increasing complexity: the one-dimensional viscous Burgers equation, the Sod shock tube, and a stiff one-dimensional ten-species rotating detonation engine (RDE). The Burgers problem is used to analyze the method and compare iSVD with alternative basis adaptation rules, showing that history-aware updates outperform instantaneous updates and that iSVD gives the strongest overall performance. The Sod and RDE cases demonstrate that these advantages persist in more challenging compressible-flow settings. For the RDE problem, the iSVD adaptive ROM improves upon the current state-of-the-art Direct adaptive ROM baseline in both predictive accuracy and computational efficiency. A cost analysis shows that the dominant online cost comes from interacting with the full-order model to obtain correction snapshots, while the iSVD update itself is negligible. These results identify iSVD as an effective mechanism for online learning of reduced subspaces and suggest a path toward ROMs that remain predictive over horizons several orders of magnitude longer than their initial training window.\n2. 面向AI赋能建模的聚变装置瞬态分析中积分电磁公式的高效精确模型降阶 Efficient and Accurate Model Order Reduction for Integral Electromagnetic Formulations in Fusion Device Transient Analysis Toward AI-Enabled Modeling\n作者: Salvatore Ventre\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-27\narXiv ID: 2605.28648v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.28648v1\n摘要: The numerical simulation of electromagnetic transients in fusion devices is essential for analyzing plasma stability and disruptive events. However, it remains computationally demanding due to the large-scale dense systems arising from integral formulations. This work proposes a model order reduction (MOR) strategy for transient electromagnetic problems based on integral formulations. Unlike operator-based compression techniques (such as $\\mathcal{H}$-matrix approaches), the reduced space is constructed directly from the transient excitation. In contrast to classical snapshot- and transfer-function-based MOR approaches, the proposed formulation avoids repeated explicit inversions or factorizations of the dense integral operator during the MOR basis-construction stage. By combining wavelet-based temporal compression with source-driven Krylov projections, the method generates reduced models tailored to the dynamically reachable responses of the prescribed excitation families. Numerical validations on various plasma events and fusion-relevant scenarios demonstrate the robustness of the strategy, achieving substantial computational speedups while accurately preserving the transient electromagnetic response. Finally, the method is successfully applied to the null-field problem to efficiently generate training data for neural-network surrogates, contributing toward physics-consistent AI-enabled fusion modelling.\n3. 谱Boltzmann碰撞算子的Wigner-Eckart因子分解 Wigner-Eckart Factorization of the Spectral Boltzmann Collision Operator\n作者: René R. Hiemstra, Torsten Keßler, Michael R. A. Abdelmalik\n类别: math.NA, physics.comp-ph, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-05-27\narXiv ID: 2605.28475v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.28475v1\n摘要: We reduce the eight-dimensional weak form of the bilinear Boltzmann collision operator to a five-dimensional kinematic core by rigidly rotating the laboratory frame to align with the colliding pair and integrating over the $\\mathrm{SO}(3)$ rotation group. This reduction yields an exact Wigner\u0026ndash;Eckart factorization within a spectral Galerkin framework of associated Laguerre polynomials and spherical harmonics. The decomposition decouples the angular geometry from the scattering physics. The former, represented by Clebsch\u0026ndash;Gordan coefficients, is evaluated exactly, while the latter is evaluated to machine precision by a spectrally convergent singular quadrature strategy. By explicitly zeroing specific entries, the macroscopic collision invariants are embedded without approximation. Cache-optimized contractions deliver up to a 37-fold single-core speedup and a 1000-fold memory reduction over standard dense Cartesian formulations. The approach is validated against analytical solutions for Maxwell molecules and infinite-order Chapman\u0026ndash;Enskog viscosity coefficients for hard spheres.\n4. 航天器数字孪生中基于物理约束的图热网络辨识 Physics-constrained identification of graph-based thermal networks for spacecraft digital twins\n作者: Luca Sosta, Carlo Ciancarelli, Leonardo Marini, Stefano Pagani, Francesco Regazzoni, Nicola Parolini\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-27\narXiv ID: 2605.28452v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.28452v1\n摘要: Reconstructing a thermal model capable of efficiently simulating the behavior of a spacecraft from sparse and localized temperature measurements remains a challenging task. To address this, we introduce a physically-constrained calibration framework for Lumped Parameter Thermal Models (LPTMs), formulated as a trajectory-based inverse problem for graph dynamical systems. The model reconstructs thermal dynamics directly from temperature measurements and known inputs, without relying on a priori parameter values derived from material properties or geometric assumptions. Physical admissibility is enforced at the parameterization level: positivity of nodal coefficients and symmetry of conductive interactions are imposed by construction. This guarantees stable dynamics and restricts the identification problem to a physically meaningful parameter space, improving conditioning without the need of additional regularization. The identification problem is addressed through trajectory matching, ensuring stable rollout over extended time horizons. The methodology is validated on synthetic datasets generated from high-fidelity finite element simulations under progressively complex forcing conditions. The calibrated LPTMs accurately reproduce long-term temperature evolution and exhibit robustness to measurement noise. The proposed framework provides a systematic approach to the calibration of reduced-order thermal models by combining physical structure with data-driven identification. The numerical results show a favorable balance between accuracy and computational efficiency, making the models suitable for integration in spacecraft thermal Digital Twin applications.\n5. 加速异步不动点迭代在灵活计算基础设施上的容错性 Fault Tolerance of Accelerated Asynchronous Fixed-Point Iterations on Flexible Computing Infrastructure\n作者: Evan Coleman, Masha Sosonkina\n类别: cs.DC, math.NA\n发布日期: 2026-05-27\narXiv ID: 2605.28426v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.28426v1\n摘要: Asynchronous iterative methods tolerate straggling processors by allowing workers to proceed with stale data, but at a cost: the iterates become inconsistent, potentially degrading convergence. We investigate whether convergence accelerators such as Anderson acceleration compensate for this degradation. We experimentally study three fixed-point iterations: the Jacobi method for sparse linear systems, value iteration for the Bellman equation, and the Hartree\u0026ndash;Fock self-consistent field (SCF) iteration. The experiments are conducted using a high-performance execution framework Ray, which abstracts the complexity of distributed systems and enables code parallelization and fault injection with minimal changes. We establish two main results. First, straggler tolerance is universal: asynchronous execution provides wall-clock speedups of $2.9\\times$ (Jacobi), $7.7\\times$ (VI), and $16.9\\times$ (SCF) over synchronous execution with a 100,ms-delayed worker, independent of whether acceleration is used. Second, Anderson acceleration\u0026rsquo;s effectiveness under asynchrony depends on where staleness enters the computation. We identify two staleness mechanisms: iterate-level corruption, where stale worker returns directly overwrite portions of the accelerated iterate (as in block Jacobi), and evaluation-level perturbation, where staleness acts as a bounded perturbation to the fixed-point map evaluation (as in VI and SCF). Anderson acceleration fails categorically under the first mechanism but retains its benefits under the second, consistent with the perturbation analysis of Toth et al.\\ (2017). This distinction, rather than the contraction norm or smoothness of the map, is the primary determinant of whether acceleration survives asynchronous execution.\n6. 一维波动方程逆边界问题重建方法的统计比较 Statistical comparison of reconstruction methods for the inverse boundary problem of the one-dimensional wave equation\n作者: Samuel Agenorwoth, Emilia Blåsten\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-05-27\narXiv ID: 2605.28415v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.28415v1\n摘要: Several numerical reconstruction algorithms for the inverse boundary value problem of the 1-dimensional wave equation exist. In this paper we revisit two of them, the Sondhi-Gopinath (SG) method from 1971 and the Korpela-Lassas-Oksanen (KLO) method from 2016. The former is stable enough that it was used in practical applications. The latter has a regularisation scheme with a theoretical proof, and is an evolution of the boundary control method. Both are based on the idea of constructing solutions that are characteristic functions of a set at a given time. This similarity has been pointed out before, but no systematic comparison has been published. We compare the performance of the two algorithms with noisy simulated data. The application in our minds is reconstructing the internal cross-sectional area of a pressurised fluid pipe which corresponds to the first order $\\partial_x$ term of the wave equation. Instead of just observing the performance on a few test cases, we generate $n=1000$ random area profiles of various smoothness levels and measurement noise up to $10\\%$ of the signal energy and perform statistical tests. SG and KLO have a difference of one time-derivative in their standard boundary data, which complicates the analysis. Our results show that SG performs better in the low noise regime, and KLO with high noise. SG is easier to implement and runs faster.\n7. 混合神经世界模型 Hybrid Neural World Models\n作者: Pranav Lakshmanan, Paras Chopra\n类别: cs.LG, cs.AI, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-05-27\narXiv ID: 2605.28317v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.28317v1\n摘要: Neural surrogates promise large speedups over classical solvers for physical dynamics but fail silently at sharp dynamical events such as shocks, fronts, and contact. We present hybrid neural world models for physical dynamics: a recipe for training and deploying multi-horizon surrogates in physical state space, where a single network with continuous horizon conditioning is trained with direct supervision against textbook reference solvers to predict any future state at horizon T in one forward pass. Although no part of the training data, loss function, or architecture supervises discontinuity location, the trained surrogate encodes it implicitly, recoverable from its forward passes alone as a per-trajectory error map that concentrates on shocks, fronts, and contacts, and stays small elsewhere. The map is competitive with or better than standard label-free baselines including deep ensembles, learned error heads, gradient-magnitude indicators, and locally-adaptive conformal prediction, while using only a single trained network and requiring no calibration set or governing-equation knowledge. The recipe supports two operating points. Mode 1 runs the surrogate alone for maximum throughput, with same-hardware CPU speedups of 26x to 72x against textbook solvers on the PDE environments. Mode 2 uses the error map to gate a reference-solver fallback, deferring uncertain trajectories and roughly halving the surrogate\u0026rsquo;s residual error at the default operating point. The recipe applies without modification across reaction-diffusion, compressible Euler, and rigid-body collision dynamics.\n8. 求解大规模Sylvester方程的因子化Krylov子空间方法 Factorized Krylov subspace methods for solving large Sylvester equations\n作者: Yuki Satake, Takeshi Fukaya, Tomohiro Sogabe, Shao-Liang Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-27\narXiv ID: 2605.28274v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.28274v1\n摘要: Krylov subspace methods, such as the Conjugate Gradient (CG) and BiCGSTAB methods, are widely used in scientific computing for solving linear systems. In this study, we propose a new framework for solving large Sylvester equations in a low-rank format by reconstructing matrix-oriented Krylov subspace methods. The framework realizes efficient algorithms that are mathematically equivalent to the matrix-oriented Krylov subspace methods by exploiting the mathematical properties of the Sylvester operator and the low-rank structure of the right-hand side. Specifically, by leveraging these properties, approximate solutions can be expressed in a low-rank factorized form, enabling efficient computation and reduced memory requirements. The effectiveness of our algorithms is demonstrated through numerical experiments.\n9. 条件均值障碍：从确定性回归到条件分布学习 The conditional-mean barrier: From deterministic regression to conditional distribution learning\n作者: Junfeng Chen\n类别: stat.ML, math.NA, nlin.CD, physics.data-an\n发布日期: 2026-05-27\narXiv ID: 2605.28076v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.28076v1\n摘要: Many problems in computational science and engineering become one-to-many after coarse graining, partial observation, or inverse reconstruction: a resolved state may not determine a unique subgrid forcing, a structural descriptor may not determine a unique effective response, and a low-resolution observation may correspond to many plausible high-resolution fields. In such settings, deterministic surrogates may learn a well-defined mathematical object while still missing application-relevant uncertainty. This tutorial develops a self-contained module centered on the conditional-mean barrier: the point at which a squared-loss predictor has reached the conditional mean and the remaining error is irreducible aleatoric variance. We give two diagnostics for locating this barrier, residual-feature orthogonality and the coefficient of determination against its explained-variance ceiling, and prove that adding latent randomness to a squared-loss predictor collapses it back to the conditional mean. Crossing the barrier therefore requires a loss that scores distributions rather than point predictions. We briefly organize common distributional objectives, including negative log-likelihood, moment and observable matching, variational objectives, adversarial divergences, and score matching, by the feature of the conditional law each targets. The emphasis is the boundary itself and a finite-data procedure for recognizing it, rather than a survey of methods beyond it. CPU-based demonstrations on a two-branch law and a two-scale Lorenz-96 closure problem show how the diagnostics distinguish deterministic underfitting from residual distributional variability.\n10. 带有多步细传播子的Parareal算法的收敛性分析 Convergence analysis of a parareal algorithm with multistep fine propagator\n作者: Georgios Akrivis, Qingle Lin, Zhi Zhou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-27\narXiv ID: 2605.28059v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.28059v1\n摘要: The parareal algorithm is a powerful parallel-in-time integration method that accelerates the numerical solution of evolution equations by iteratively combining a fine propagator and a coarse propagator. Although the convergence of the parareal algorithm has been extensively studied, most existing analyses assume that the fine propagator is either an exact solver or a single-step method. In this paper, we construct and analyze a parareal algorithm for solving parabolic equations, where the fine propagator is based on the two-step backward differentiation formula (BDF2), while the coarse propagator remains a single-step method. We propose a novel approach to design an effective correction for the initialization steps and establish linear convergence of the iteration. Numerical results fully support the theoretical findings, show clear improvements over existing multistep parareal strategies, and indicate that the proposed approach extends effectively to higher-order BDF methods and to nonlinear problems.\n11. 协调/非协调虚拟元素及其在弯曲三维区域弹性问题中的应用 Conforming/Non-conforming Virtual Elements and application to elasticity problems in curved three-dimensional domains\n作者: L. Beirão da Veiga, F. Dassi, A. Russo, M. Trezzi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-27\narXiv ID: 2605.28041v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.28041v1\n摘要: The Virtual Element Method (VEM) is a well-established framework for solving partial differential equations on polygonal and polyhedral meshes. In this paper, we introduce a novel hybrid VEM that integrates both conforming and nonconforming virtual spaces. We apply this formulation to a three-dimensional linear elasticity problem, providing rigorous theoretical analysis to demonstrate optimal convergence rates. Furthermore, we explore the extension of this approach to domains with curved boundaries.\n12. 一种用于一般区域四边形网格生成的高效且稳定的扩散生成方法 An efficient and stable diffusion generated method for quadrilateral mesh generation in general domains\n作者: Jingwen Dai, Zhonghua Qiao, Dong Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-27\narXiv ID: 2605.27854v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.27854v1\n摘要: This paper introduces a novel, robust, and computationally efficient framework for high-quality quadrilateral mesh generation on general two-dimensional domains. The core of the proposed approach is a novel method for computing cross fields by minimizing a modified and relaxed Ginzburg\u0026ndash;Landau-type energy functional. A key innovation is the extension of the problem from the original, potentially complex domain to a larger regular computational domain. This extension transforms the central computational procedure into an iterative scheme that requires only two straightforward and efficient operations: linear diffusion solved globally via the Fast Fourier Transform (FFT) and point-wise normalization. Notably, our method eliminates the conventional need for generating an intermediate triangular mesh or solving complex nonlinear optimization problems on the irregular domain. We provide a rigorous theoretical analysis, proving that the proposed iterative algorithm guarantees unconditional monotonic decay of the objective functional. Comprehensive numerical experiments demonstrate the method\u0026rsquo;s robustness across a wide range of complex geometries, its significant computational efficiency afforded by the FFT-based diffusion, and its consistent generation of high-quality quadrilateral meshes. This work presents a reliable and theoretically sound alternative to existing mesh generation techniques, with strong potential for practical applications in scientific computing.\n13. 神经梯度流中的全局收敛性与误差传播：一个黎曼优化框架 Global Convergence and Error Propagation in Neural Gradient Flows: A Riemannian Optimization Framework\n作者: Shixin Zheng, Yiwei Wang, Haizhao Yang\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-05-26\narXiv ID: 2605.27779v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.27779v1\n摘要: We develop a geometric convergence theory for neural-network optimization within the minimizing movement scheme (MMS) framework. Reformulating each neural MMS step as a minimization over the set of increments in a Hilbert space, we show that under a $C^2$ network with locally non-degenerate Jacobian this increment set is a boundaryless smooth embedded submanifold, on which a natural preconditioned (Gauss\u0026ndash;Newton-type) gradient flow in parameter space induces exactly the Riemannian gradient flow. Under a strict interior-localization condition and an explicit data condition, the reached sublevel set is geodesically convex and the subproblem objective is geodesically strongly convex on it; both the continuous Riemannian gradient flow and its discrete companion via the exponential map converge linearly to the unique subproblem minimizer. Propagating finite-time inner-solver inexactness and neural-approximation error through the MMS iterations yields a uniform function-space tracking bound and an explicit trajectory budget, so the inexact neural iterates converge to an $O(δ)$-neighborhood of the global minimum. Numerical experiments on nonlinear regression and a small-scale latent-diffusion testbed indicate that the Gauss\u0026ndash;Newton-type inner solver achieves smaller trajectory errors with substantially fewer inner iterations than first-order baselines.\n14. 基于神经网络的稀疏POD模态选择与流形降维 Sparse POD Mode Selection and Manifold Dimensionality Reduction with Neural Networks\n作者: Tomoki Koike, Prakash Mohan, Marc T. Henry de Frahan, Elizabeth Qian, Julie Bessac\n类别: physics.flu-dyn, cs.LG, math.DS, math.NA\n发布日期: 2026-05-26\narXiv ID: 2605.27756v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.27756v1\n摘要: High-performance computing enables simulation of high-dimensional physical systems, but downstream analyses such as inverse problems and control remain computationally expensive, motivating model order reduction (MOR) to construct efficient low-dimensional surrogates. Proper Orthogonal Decomposition (POD), a widely adopted data-driven MOR method, projects dynamics onto linear subspaces spanned by the most energetic modes. However, POD struggles for problems with slowly decaying Kolmogorov (n)-widths, such as advection-dominated and turbulent flows, requiring many modes for accurate reconstruction. Moreover, energy-based selection can discard crucial low-energy modes needed to capture small-scale features. Recent nonlinear manifold methods using polynomial mappings with alternating or greedy mode selection achieve better reconstruction with fewer modes. However, these methods fix the nonlinear mapping form a priori, limiting expressivity. Conversely, neural network (NN) manifolds offer greater expressivity but employ energy-based selection. We present SparseModesNet, a dimensionality reduction framework that employs linear encoding via POD modes and nonlinear NN decoding. The decoder leverages LassoNet, a method enforcing hierarchical sparsity through residual connections with linear skip layers, to simultaneously select informative POD modes and learn a nonlinear mapping that minimizes reconstruction error. On benchmark advection-dominated and chaotic flows, SparseModesNet matches or exceeds state-of-the-art performance. For turbulent channel flow at friction Reynolds number (Re_τ=5200), we reduce reconstruction error by 51\u0026ndash;78% compared to existing polynomial manifold methods while maintaining interpretability through physically meaningful mode selection.\n15. 乘法矩阵复合算子的求逆 Inversion of the Multiplicative Matrix Compound Operator\n作者: Debojyoti Dey, Ron Ofir, Christian Grussler\n类别: math.RA, eess.SY, math.AG, math.NA\n发布日期: 2026-05-26\narXiv ID: 2605.27682v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.27682v1\n摘要: We study the problem of determining a matrix whose $k$th multiplicative compound is a prescribed matrix~$M$. The cardinality of the set of matrices whose $k$th multiplicative compound equals~$M$ is characterized in terms of $\\rank(M)$. On the one hand, if $\\rank(M)\\le 1$, it is shown that there exist infinitely many such matrices for which a complete characterization is determined. On the other hand, if $\\rank(M)\u003e1$, then there exists a unique matrix \u0026ndash; up to an overall sign \u0026ndash; whose compound is~$M$. An algorithm for finding a matrix whose compound equals~$M$ is detailed, and its time complexity is analyzed.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-05-28_06-42-56/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年05月28日 06:42:56\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 15\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-非拟合网格上基于重构间断逼近的椭圆界面问题的预处理间断galerkin方法\"\u003e1. 非拟合网格上基于重构间断逼近的椭圆界面问题的预处理间断Galerkin方法\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003ePreconditioned Discontinuous Galerkin Method for Elliptic Interface Problem on Unfitted Mesh with Reconstructed Discontinuous Approximation\u003c/p\u003e","title":"2026年05月28日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年05月27日 06:49:37\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 5\n不相关论文数量: 13\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 一种等价于间断Galerkin离散的配置格式 A collocation scheme that is equivalent to discontinuous Galerkin discretizations\n作者: Jason Hicken\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-26\narXiv ID: 2605.27327v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.27327v1\n摘要翻译 中文标题: 一种等价于间断Galerkin离散的配置格式\n摘要翻译: Chan 引入了一种具有分部求和性质的谱配置算子，用于发展熵稳定的间断 Galerkin (DG) 半离散 (https://doi.org/10.1016/j.jcp.2018.02.033)。本文表明，基于该配置算子的半离散所产生的解与使用相同底层数值积分的 DG 半离散的解等价。无论配置格式中的自由度数目多少，以及当数值积分不严格正定时，该等价性均成立。配置格式中多余的零空间自由度与算子的零空间相关联，并在整个非定常模拟过程中保持为零。如有必要，可通过引入仅针对多余模态的基于投影的数值耗散来恢复零空间一致性。在三角形网格上针对常系数对流方程和 Burgers 方程，验证了配置解与 DG 解之间的等价性。数值结果表明，对于基于斜对称分裂的 Burgers 方程的熵稳定半离散，该等价性失效，但通过将配置格式的残差投影到相关多项式空间上，可以恢复等价性。除研究等价性外，结果还表明，与常用的分部求和算子构造相比，该配置算子生成的半离散具有更优的谱半径。\n2. PINNsur: 用于曲面上偏微分方程的物理信息神经网络 PINNsur: Physics-Informed Neural Networks for PDEs on Curved Surfaces\n作者: Pranav Jain, Navami Kairanda, Peter Yichen Chen, Oded Stein\n类别: cs.GR, math.NA\n发布日期: 2026-05-26\narXiv ID: 2605.27308v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.27308v1\n摘要翻译 中文标题: PINNsur: 用于曲面上偏微分方程的物理信息神经网络\n摘要翻译: 曲面上的偏微分方程(PDEs)是科学计算和几何处理的基础。求解曲面PDE的一种流行方法是有限元方法(FEM), 该方法将曲面划分为离散的几何单元(通常为三角形)。最近, 物理信息神经网络(PINNs)作为一种连续的、无网格的替代方案出现, 不会受到FEM对网格质量或几何离散化误差的敏感性的影响。我们提出了PINNSur, 一个在曲面上使用PINN的简单框架: 我们训练一个神经场来近似曲面的法向量, 然后利用从$\\mathbb{R}^3$到曲面上的投影来表达曲面微分算子。由于每个可定向流形都有定义良好的法向量, 我们的方法适用于所有此类曲面, 无论其曲率或拓扑如何, 从而支持许多几何处理应用。此外, 尽管PINN在平坦欧几里得域中求解PDE的经验成功, 但它们缺乏收敛到基础PDE真解的收敛性保证, 且关于证明这种收敛性的系统实验证据有限。这一差距限制了它们作为可靠求解器被采用, 相比像FEM这样已建立的方法, 后者对真解的收敛性有很好的理解和理论基础。这些曲面PDE特别难以收敛求解, 因为不仅需要处理函数逼近的收敛性, 还要处理曲面本身的几何逼近的收敛性。在这项工作中, 我们通过引入一个简单的经验收敛测试, 对使用PINN求解曲面PDE的收敛行为进行了实证研究。\n3. 关于鞍点问题保结构离散的迭代罚方法的收敛性 On the convergence of iterated penalty methods for structure-preserving discretizations of saddle point problems\n作者: Patrick E. Farrell, Michael Neilan, Charles Parker, L. Ridgway Scott\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-26\narXiv ID: 2605.27069v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.27069v1\n摘要翻译 中文标题: 关于鞍点问题保结构离散的迭代罚方法的收敛性\n摘要翻译: 我们给出了应用于线性广义鞍点系统保结构离散的迭代罚方法的新的收敛估计。该方法可视为系统增广拉格朗日形式上的Uzawa迭代。作为副产品，我们得到了对罚/扰动鞍点问题更精确的稳定性估计。三个模型有限元应用与理论一致。\n4. 使用简单乘子的梯度流隐式-显式线性多步法的能量耗散分析 Energy Dissipation Analysis of Implicit-Explicit Linear Multistep Methods for Gradient Flows Using a Simple Multiplier\n作者: Chaoyu Quan, Huaijin Wang, Xuping Wang, Chuanju Xu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-26\narXiv ID: 2605.26592v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.26592v1\n摘要翻译 中文标题: 使用简单乘子的梯度流隐式-显式线性多步法的能量耗散分析\n摘要翻译: 本文提出一个理论框架，通过构造由原始能量与一个非负二次修正组成的耗散修正能量，建立一般隐式-显式线性多步方法（IMEX-LMMs）用于梯度流的能量耗散性。我们首先用数值解的一阶时间差，即所谓的简单乘子，来检验IMEX-LMMs。然后证明，当且仅当两个生成多项式（对应于LMM）在 $[-1,1]$ 上非负时，可以构造出相应的非负二次修正。在此基础上，在基于生成多项式下界的适度时间步长限制下，证明了修正能量随时间衰减。作为推论，可以直接得到直到五阶的知名向后微分公式方法的能量耗散性。此外，我们首次（据我们所知）构造了一个六阶能量耗散IMEX-LMM，并且在使用简单乘子检验时，证明了能量耗散IMEX-LMM的六阶障碍。最后通过数值实验验证了理论结果。\n5. 二维 Poisson 问题的精确曲边 Lagrange 有限元 Exact-curved Lagrange finite elements for the Poisson problem in two dimensions\n作者: Hiroki Ishizaka\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-26\narXiv ID: 2605.26566v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.26566v1\n摘要翻译 中文标题: 二维 Poisson 问题的精确曲边 Lagrange 有限元\n摘要翻译: 我们为二维曲边区域上的 Poisson 问题建立了一个精确曲边 Lagrange 有限元框架。单元映射被分解为 $ F_K=Ψ_K\\circΦ_{T_K}$，其中 $Φ_{T_K}$ 将参考三角形映射到仿射核，$Ψ_K$ 将仿射核映射到物理曲边单元。这种分解将仿射缩放与曲率效应分离开来，使得插值分析可以先在仿射核上进行，然后转移到精确曲边单元。对于协调线性 Lagrange 元，我们证明了精确曲边三角形上的局部 $L^2$- 和 $H^1$-插值估计。这些估计用物理单元上的输运方向导数表示，并且在所述半正则假设下，常数与仿射核的各向异性形状无关。然后应用这些插值估计推导 Poisson 问题的能量范数和 $L^2$ 误差估计。单位圆盘上的数值结果表明了直边与曲边几何表示之间的差异：曲边几何显著减小了几何误差，而主要的有限元误差仍由 $\\mathbb{P}^1$ 逼近控制。\n不相关论文（基本信息） 1. 次正态高斯模糊成本下的最短路径问题 Shortest Path Problem with Subnormal Gaussian Fuzzy Costs\n作者: Murat Moran, Hande Günay Akdemir\n类别: cs.CR, cs.NI, math.NA\n发布日期: 2026-05-26\narXiv ID: 2605.27317v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.27317v1\n摘要: This paper addresses the fuzzy shortest path problem in directed graphs, where edge costs are modeled as generalized fuzzy numbers with Gaussian membership functions. We interpret height as an indicator of information reliability. Based on this view, we introduce a weighted geometric mean to aggregate heights during the addition of generalized Gaussian fuzzy numbers. We employ a reliability-aware ranking that jointly considers the core, height, and standard deviation of fuzzy edge costs to determine the shortest path, thereby capturing their central tendency, reliability, and variability while keeping Dijkstra-level complexity per relaxation. The method yields routes that are not only cost-efficient but also supported by highly reliable information. To assess robustness, we construct a crisp baseline from the ranking and conduct Monte Carlo alpha-cut sampling\u0026ndash;drawing membership levels uniformly and then sampling within the induced intervals\u0026ndash;to recompute path costs and quantify sensitivity via the mean percentage deviation and its standard deviation. Finally, a large-scale case study on the FAA air traffic network demonstrates that the proposed GGFN\u0026ndash;SPP framework scales efficiently to real-world networks, balances cost and reliability through $α$\u0026ndash;cut aggregation and risk-aware ranking, and exhibits stable performance under Monte Carlo simulations with subnormal fuzzy costs.\n2. 广义分数阶拉盖尔正交函数：投影与插值估计 Generalized fractional Laguerre orthogonal functions: projection and interpolation estimates\n作者: Mahmoud A. Zaky\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-26\narXiv ID: 2605.26832v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.26832v1\n摘要: Classical Laguerre spectral approximations are highly effective on the half-line when the target function is smooth in the usual polynomial scale. However, their accuracy deteriorates for nonsmooth functions. Such behavior appears naturally in fractional models, weakly singular integral equations, and semi-infinite-domain approximations with limited regularity near the origin. The main contribution of this work is the construction and analysis of a fractional Laguerre approximation framework tailored to nonsmooth functions on the half-line. We establish projection and interpolation error estimates in nonuniformly weighted Sobolev space. These estimates clarify how the fractional parameter adapts the approximation space to the regularity of nonsmooth functions and improves the resulting convergence behavior. We further introduce a generalized fractional Laguerre family with an additional algebraic parameter, which gives greater flexibility in controlling both the approximation space and the underlying weight. Numerical experiments confirm the theoretical estimates and demonstrate the advantage of the proposed functions over standard Laguerre-type approximations.\n3. 面向时间依赖偏微分方程的物理信息神经求解器的预测移动样本方法 Predictive Moving Sample Method for Physics-Informed Neural Solvers of Time-Dependent PDEs\n作者: Beining Xu, Bocheng Zhang, Haijun Yu, Zhao Zhang, Jiayu Zhai\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-26\narXiv ID: 2605.26745v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.26745v1\n摘要: Time-dependent partial differential equations (PDEs) often develop sharp fronts, localized peaks, and other moving structures that occupy only a small portion of the space\u0026ndash;time domain but dominate the approximation error. This makes fixed or uniformly sampled collocation strategies inefficient for physics-informed neural networks (PINNs), especially in high dimensions and over long-time prediction intervals. We propose the predictive moving sample method (PMSM), which builds on the moving sample method (MSM) in \\cite{xu2026moving} by replacing its full time domain iterative training with a progressive time-stepping strategy and simplifying the velocity-field loss to further reduce the per-step cost. To improve practicality for long-time prediction, we further introduce the windowed-reset predictive moving sample method (WR-PMSM), which restricts extension training to an active time window and periodically resets the reference state, thereby reducing the growth of optimization cost while preserving global consistency through a final refinement stage. Across four representative benchmarks, PMSM consistently outperforms both standard PINNs and the original MSM under matched collocation budgets. These results suggest that transporting samples according to residual dynamics provides an effective and practical route to neural network solvers for time-dependent PDEs.\n4. FINOM：非均匀网格上的快速Sinkhorn FINOM: Fast Sinkhorn on Non-uniform Meshes\n作者: Qihao Cheng, Qichen Liao, Hao Wu, Shuai Yang\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-26\narXiv ID: 2605.26659v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.26659v1\n摘要: A linear-complexity algorithm for computing the Wasserstein-1 distance on non-uniform meshes is proposed. This work extends the fast Sinkhorn algorithms from [Q. Liao et al., Commun. Math. Sci., 20(2022)] and [Q. Liao et al., J. Sci. Comput., 98 (2024)] to non-uniform meshes. In those prior works, a distinctive collinear structure of the kernel matrix on uniform meshes was identified, enabling (O(N)) acceleration via dynamic programming. While non-uniform meshes are prevalent in practical applications like computational fluid dynamics and finance, their lack of collinearity has hindered direct acceleration. In this paper, we introduce the concept of a ``dividing index\u0026rsquo;\u0026rsquo;, which partitions the kernel matrix into two blocks. We demonstrate that each block exhibits a quasi-collinear property, a generalization of the structure found in uniform meshes. Leveraging this insight, we develop \\textbf{F}ast S\\textbf{I}nkhorn algorithm on \\textbf{NO}n-uniform \\textbf{M}eshes (\\textbf{FINOM}), a dynamic programming approach that reduces the per-iteration complexity of the Sinkhorn algorithm from (O(N^2)) to (O(N)). Extensive numerical experiments on 1D and 2D problems confirm these improvements, achieving speed-ups of several orders of magnitude while maintaining accuracy.\n5. 一种求解具有Flory-Huggins势的Allen-Cahn方程的无条件线性收敛ADMM方法 An Unconditionally Linearly Convergent ADMM Approach for the Allen-Cahn Equation with Flory-Huggins Potential\n作者: Peng Jiang, Shengtong Liang, Tiao Lu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-26\narXiv ID: 2605.26623v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.26623v1\n摘要: The Allen-Cahn equation with Flory-Huggins potential is a fundamental and crucial model in phase field simulation for describing phase separation phenomena, which serves as a core tool in diverse branches of natural sciences. The numerical simulation of the Allen-Cahn equation is of great importance but poses significant challenges due to the strong nonlinearity and the presence of logarithmic singularities at $u=0,1$ in the Flory-Huggins potential. In this paper, we consider convex splitting schemes to %preserve this bound and guarantee unconditional unique solvability, which reduces the numerical simulation to solving a singular nonlinear system arising from spatial discretization at each time step. We propose an iterative solver that is specifically designed for such systems based on the alternating direction method of multipliers (ADMM) approach. The scheme possesses properties such as bound preserving and discrete energy stability. Building upon the recent unconditionally convergent ADMM framework for the Cahn-Hilliard equation (Li et al., 2026), our key theoretical contributions are twofold: (a) a proof of unconditional convergence when the multiplier update step size $α\\in (0,\\frac{\\sqrt{5}+1}{2})$; (b) a rigorous establishment of the linear convergence for the embedded ADMM solver. This effectively liberates the solver from time-step constraints or strict separation conditions. Comprehensive numerical experiments validate our proposed ADMM framework, where its theoretical predictions are fully substantiated in practice, showcasing efficiency and robustness.\n6. 减少仅计算特征值的分治三对角特征求解器中的内部状态 Reducing Internal State in Eigenvalue-Only Divide-and-Conquer Tridiagonal Eigensolvers\n作者: Ruiyi Zhan, Shaoshuai Zhang\n类别: cs.DC, math.NA\n发布日期: 2026-05-26\narXiv ID: 2605.26599v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.26599v1\n摘要: Divide and Conquer (D\u0026amp;C) is a widely used algorithmic strategy for symmetric eigenvalue decomposition. Its natural parallelism makes D\u0026amp;C attractive on modern multicore CPUs and GPUs, but existing eigenvalue-only routines often default to QR-based methods because conventional D\u0026amp;C still materializes or replays large transformation matrices during the conquer phase. This paper proposes a boundary-row D\u0026amp;C algorithm for eigenvalue-only computation. The key observation is that the conquer phase only needs selected boundary rows/columns rather than the full accumulated eigenvector matrix. By propagating these boundary rows directly through the recursion, the proposed algorithm reduces the memory requirement from quadratic to linear space while also eliminating unnecessary matrix-vector work in the conventional lazy-replay formulation. We provide the algorithm, its time and space complexity analysis, correctness and stability arguments, optimized CPU and GPU implementations, and an evaluation against QR and D\u0026amp;C routines in standard numerical libraries.\n7. Nussinov模型中RNA二级结构能量最小构型的超度量性 Ultrametricity of Energy Minimum Configurations of RNA Secondary Structures in the Nussinov Model\n作者: A. P. Zubarev\n类别: cond-mat.dis-nn, cond-mat.stat-mech, math.NA\n发布日期: 2026-05-26\narXiv ID: 2605.26570v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.26570v1\n摘要: We present a numerical study of the ultrametric properties of the set of RNA secondary structures with the maximum number of base pairs (energetically degenerate minima) within the maximum matching model (Nussinov algorithm). Using 18 natural small nuclear RNAs as examples, we show that the degree of nontrivial ultrametricity varies widely. We consider the optimization problem for the degree of nontrivial ultrametricity of RNA secondary structures with the maximum number of base pairs under a fixed nucleotide composition. It is found that permuting the nucleotide sequence can strongly change the degree of ultrametricity, indicating the key role of nucleotide order in shaping the hierarchical properties of RNA secondary structures.\n8. 递归流匹配 Recursive Flow Matching\n作者: Jiahe Huang, Sihan Xu, Sharvaree Vadgama, Rose Yu\n类别: cs.LG, cs.AI, cs.CV, math.NA\n发布日期: 2026-05-26\narXiv ID: 2605.26535v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.26535v1\n摘要: Generative models have emerged as a powerful paradigm for solving physics systems and modeling complex spatiotemporal dynamics. However, achieving high physical accuracy without incurring high computational cost remains a fundamental challenge, as existing approaches face a critical speed-fidelity trade-off. In this work, we introduce Recursive Flow Matching (RecFM), a generative framework for forecasting complex spatiotemporal dynamics. RecFM enforces self-consistency to align trajectories across discretization scales, reducing discretization errors and improving performance across metrics for physics-based tasks. To our knowledge, this is the first method to achieve high-fidelity one- and few-step (2-4 step) dynamic generation for scientific systems with performance comparable to state-of-the-art multi-step solvers. Across challenging scientific benchmarks, RecFM achieves up to a 20$\\times$ speedup over leading diffusion-based emulators while improving predictive accuracy. Furthermore, RecFM reduces mean squared error by over 15% compared to vanilla flow matching, offering a scalable and efficient solution for real-time scientific emulation.\n9. 通过拓扑优化直接工程声子晶体缺陷模式的色散曲线以实现指定频率 Direct Dispersion-Curve Engineering of Phononic Crystal Defect Modes for Prescribed Frequencies via Topology Optimization\n作者: Xinlin Xu, Junji Kato\n类别: cond-mat.mtrl-sci, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-05-26\narXiv ID: 2605.26435v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.26435v1\n摘要: Phononic crystals enable precise manipulation of elastic wave propagation through engineered bandgaps; however, designing defect states within these bandgaps for frequency-selective applications remains a significant challenge. Existing design approaches, including prior optimization formulations, struggle to systematically resolve the competing objectives of attracting desired defect modes to target frequencies while simultaneously repelling unwanted modes from the bandgap region. This inability to suppress competing modes often results in spurious, undesired in-gap resonant modes, thereby limiting design purity. This paper presents a novel two-stage topology optimization framework that addresses this challenge through an innovative multi-objective formulation based on a selection function with Gaussian weighting. In the first stage, the unit cell topology is optimized to create a wide bandgap around a target frequency. In the second stage, a supercell containing a defect is optimized using a specially designed objective function that dynamically balances mode attraction and repulsion via a selection function $S(ω)$ with adaptive $σ$ parameters. This selection mechanism enables the optimizer to automatically identify and selectively attract the most suitable defect mode while repelling competing modes from the bandgap region, eliminating the need for manual mode tracking. Numerical examples demonstrate that the proposed framework successfully generates phononic crystals featuring engineered defect states that yield precisely positioned localized resonant modes at prescribed frequencies within wide bandgaps, with potential applications in frequency-selective filters and elastic wave manipulation devices.\n10. 半群一致性作为学习型物理模拟器的诊断工具 Semigroup Consistency as a Diagnostic for Learned Physics Simulators\n作者: Lennon J. Shikhman\n类别: cs.LG, cs.AI, math.NA\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.26324v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.26324v1\n摘要: Learned physics simulators are often evaluated by one-step or short-horizon prediction error, but these metrics can miss failures in temporal composition and long-horizon rollout. For autonomous, state-complete systems, exact solution maps satisfy a semigroup law: direct evolution over $s+t$ should agree with evolution over $s$ followed by $t$. We propose normalized semigroup error as a post hoc, model-agnostic diagnostic comparing these direct and composed learned predictions. On one-dimensional heat and Burgers dynamics with time-conditioned ConvNet and FNO baselines, semigroup error is positively associated with rollout degradation, with trajectory-level Spearman correlation $ρ= 0.635$ and $95%$ CI $[0.621, 0.649]$. Semigroup regularization has mixed effects, supporting semigroup consistency primarily as an evaluation diagnostic rather than a universally beneficial training objective.\n11. 基于斜对称部分的正规矩阵类雅可比算法 A Jacobi-like algorithm for normal matrices by the skew-symmetric part\n作者: Simon Mataigne, P. -A. Absil\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.26317v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.26317v1\n摘要: We present a fast Jacobi-like algorithm for computing the eigenvalues, and optionally the eigenvectors, of a real normal matrix. The method gains a computational advantage by using Paardekooper\u0026rsquo;s method for skew-symmetric matrices The method is most efficient for matrices where most eigenvalues are complex, such as random orthogonal matrices arising in the context of statistics on manifolds. In this case, the method is faster than the other Jacobi-like algorithms. In the last section of this paper, we also give explicit formulas for the nearest symmetric skew-Hamiltonian and the nearest ortho-symplectic matrix. These problems arise in the design and the analysis of the algorithm.\n12. 基于有理高斯小波神经网络的多无人机分类与检测 Classification and detection of multiple UAVs using rational Gaussian wavelet neural networks\n作者: Ungvári Gergő, Ferenc Braun, Attila Ámon, Péter Kackstädter, János Volk, Péter Kovács, Tamás Dózsa\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.26310v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.26310v1\n摘要: The detection of unmanned aerial vehicles (UAVs) is important for the protection of civilian and military infrastructure. In this paper we propose a cost effective UAV detection system using sound signals obtained from microphones. The recorded signals are passed through a signal processing pipeline which employs interpretable adaptive feature extractors using so-called rational Gaussian wavelets. These adaptive wavelet transformations are embedded into and trained together with an underlying small neural network which detects and classifies UAVs based on the obtained features. This leads to a physically interpretable machine learning algorithm that in addition to classifying UAVs is also capable of detecting UAV swarms. We demonstrate our results using data collected in indoor studio and noisy outdoor environments. We conclude that the proposed method outperforms traditional machine learning approaches for detecting and classifying single UAVs as well as drone swarms, while retaining a high degree of interpretability. Our implementation of the proposed methods is made publicly available for reproducibility.\n13. 学习物理系统种群动力学的双参数流 Two-Parameter Flows for Learning Population Dynamics of Physical Systems\n作者: Paul Schwerdtner, Tobias Blickhan, Benjamin Peherstorfer\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.26285v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.26285v1\n摘要: This work addresses the problem of learning the dynamics of high-dimensional probability densities over time using unlabeled samples, without assuming access to trajectory information. We introduce two-parameter flows that learn only sampling-time transports from a base distribution to each marginal and then extract a physics-time velocity by regressing on coupled synthetic trajectories. We prove that the resulting physics-time dynamics are unique and inherit regularity from the sampling-time transports. Because we can build on standard, well-developed conditional flow matching techniques for learning the base-to-marginal transports, our approach scales to high dimensions and avoids per-step optimal-transport couplings, while allowing admissible non-gradient dynamics that can naturally explain rotational or circulating physics phenomena.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-05-27_06-49-37/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年05月27日 06:49:37\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 5\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 13\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-一种等价于间断galerkin离散的配置格式\"\u003e1. 一种等价于间断Galerkin离散的配置格式\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eA collocation scheme that is equivalent to discontinuous Galerkin discretizations\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年05月27日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年05月26日 06:44:02\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 8\n不相关论文数量: 38\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 浅水方程协变形式的半隐式二维求解器 A semi-implicit two dimensional solver for a covariant formulation of the shallow water equations\n作者: Maurizio Tavelli, Olindo Zanotti\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.25544v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.25544v1\n摘要翻译 中文标题: 浅水方程协变形式的半隐式二维求解器\n摘要翻译: 本文将一种灵活的浅水方程协变形式与 Casulli 及其合作者多年来开发的半隐式数值格式结合起来。通过在二维流形上采用正交但非标准正交的坐标基，并以避免引入克里斯托费尔符号的方式编写对称张量的散度，浅水方程与笛卡尔坐标下通常的形式保持了高度相似。通过这种方式，可以对动量方程中的表面高度梯度和连续性方程中的速度采用隐式离散，导出一个稳定的半隐式格式，其稳定性与波速无关。我们已在各种具有挑战性的基准问题上检验了新方法，其中包括水球面上的光滑波传播和动脉分支的变形。两个引人注目的附加特性使得该方法在海洋学应用中尤为强大：首先，得益于我们半隐式方法处理干湿问题的能力，极点处不会出现病态行为；其次，该格式自然具有良好的平衡性，能够以机器精度保持地球整个海洋结构的完美静态。\n2. 基于均匀化的原子-连续介质耦合 Atomistic-Continuum Coupling by Homogenization\n作者: Aagashram Neelakandan, Karsten Albe, Bernhard Eidel\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-24\narXiv ID: 2605.25286v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.25286v1\n摘要翻译 中文标题: 基于均匀化的原子-连续介质耦合\n摘要翻译: 基于原子间势的经典原子模拟能够高保真地解析晶格失稳、缺陷成核和微观结构演化，但其可处理的系统尺寸仍远低于微米尺度结构分析所需的规模。我们建立了一个双尺度原子-连续介质框架，将微尺度的非线性有限元边值问题与在积分点上定义的周期性分子静力学胞元问题相耦合。尺度过渡通过 Hill-Mandel 能量等价意义下的计算均匀化来表述。不同于在低尺度上预设连续介质本构关系，原子胞元直接由连续介质变形驱动，并以功共轭的形式返回体积平均应力以及有效切线模量。单晶铜的数值算例展现出显著的拉压非对称性、失稳驱动的突变成核、反循环加载下的快速稳定以及悬臂梁弯曲中的局部弹塑性转变。在所有这些强非线性情形中，粗尺度 Newton 求解器保持稳健，并在其最终迭代中恢复到接近二次的收敛速度。因此，该双尺度框架将基于势的原子模拟拓展到了在当前的准静态、非热条件下直接原子模拟无法企及的结构长度尺度。\n3. 现代区域分解导览：从 Schwarz 迭代到鲁棒预条件子与高性能计算实现 A Guided Tour of Modern Domain Decomposition: From Schwarz Iterations to Robust Preconditioners and HPC Implementations\n作者: Victorita Dolean, Pierre Jolivet, Frédéric Nataf, Pierre-Henri Tournier\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-05-24\narXiv ID: 2605.24982v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24982v1\n摘要翻译 中文标题: 现代区域分解导览：从 Schwarz 迭代到鲁棒预条件子与高性能计算实现\n摘要翻译: 区域分解方法为偏微分方程的可扩展数值求解提供了统一框架。该方法起源于 Schwarz 交替法，现已演变为丰富的算法族，兼具局部鲁棒性、全局收敛加速和自然并行性。过去数十年间，区域分解在推动众多应用领域的大规模模拟中发挥了核心作用。本章概述现代区域分解方法，特别强调针对挑战性问题（包括不定问题和高频区域）的可扩展预条件技术。我们重温基本概念——重叠分解、单位分解、加性 Schwarz 和限制性 Schwarz 格式——并阐释其代数解释。进而阐明它们作为 Krylov 子空间求解器中预条件的角色，并讨论为实现可扩展性而引入粗空间校正的必要性。除综述层面外，本章还提炼了过去二十年间出现的关键理论洞见和实用设计原则。特别关注鲁棒粗空间（GenEO，基于 DtN 的方法）和高性能实现。目标是为读者提供领域的一贯概述和一份简洁、面向实践的指南，使其无需遍览全部文献即可理解和应用区域分解方法。\n4. 多组分可压缩欧拉流保结构格式的收敛性分析 Convergence analysis of structure-preserving schemes for the multicomponent compressible Euler flows\n作者: Jaya Agnihotri, Philipp Öffner\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-24\narXiv ID: 2605.24898v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24898v1\n摘要翻译 中文标题: 多组分可压缩欧拉流保结构格式的收敛性分析\n摘要翻译: 我们在耗散弱解（DW）解的框架下，对多组分可压缩欧拉系统的有限体积（FV）格式进行了收敛性分析。DW解被引入作为计算流体力学中的广义解框架，近年来得到了广泛关注。它们将著名的Lax等价定理推广到了非线性情形，这意味着如果一个数值格式既相容又稳定，那么它也会收敛。所考虑的FV格式保留了流体混合物的关键物理性质，特别是分密度、压力和温度的正性。利用一致的稳定性界和相容性估计，我们证明了数值解在多组分欧拉系统的DW解框架中收敛。应用相对熵方法和弱强唯一性原理，我们进一步表明，只要经典解存在，近似解就强收敛到该经典解。数值实验证实了理论结果，不仅适用于低阶FV方法，还通过对高阶保结构间断伽辽金格式的扩展数值研究得到了验证。\n5. 使用等几何有限元法在曲面上模拟高斯随机场 Simulation of Gaussian random fields on surfaces using the isogeometric finite element method\n作者: Helmut Harbrecht, Florian Sonderegger, Remo von Rickenbach\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-24\narXiv ID: 2605.24882v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24882v1\n摘要翻译 中文标题: 使用等几何有限元法在曲面上模拟高斯随机场\n摘要翻译: 我们关注由 (Whittle-)Matérn 类协方差函数生成的 $\\mathbb{R}^3$ 中封闭曲面上随机场的快速模拟。为此，我们利用曲面上的等几何有限元方法结合解的 Balakrishnan 积分表示，求解带有加性白噪声的分数阶随机偏微分方程。通过等几何方法自然蕴含的几何多重网格方法求解底层线性方程组。给出数值结果以演示该方法。\n6. IV-Net：一种用于带有随机且高度变化系数的椭圆型偏微分方程的神经网络 IV-Net: A neural network for elliptic PDEs with random and highly varying coefficients\n作者: Shan Zhong, George Biros\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-05-24\narXiv ID: 2605.24876v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24876v1\n摘要翻译 中文标题: IV-Net：一种用于带有随机且高度变化系数的椭圆型偏微分方程的神经网络\n摘要翻译: 我们提出了一种新颖的神经算子架构，旨在逼近具有高对比度、空间变化系数的线性椭圆型偏微分方程的解。该网络称为迭代V形网（IV-Net），实现了从输入系数和右端项到相应解场的映射。IV-Net的架构受到V循环多重网格求解器的启发，并与其高度相似。IV-Net模型通过定义在物理域中的卷积层进行参数化。对于具有高度非均匀系数的强制问题，与适当正交分解（POD）方法和若干现有神经算子架构相比，所提出的网络展现出更优的性能。对于具有光滑系数的低频振荡亥姆霍兹问题，其性能与傅里叶神经算子相当。我们分析了IV-Net的逼近误差与收敛行为、数据效率，以及其对底层离散化网格的依赖性。此外，我们通过一系列数值实验验证了该架构的实际有效性，包括在不确定性量化、反问题以及感兴趣量预测中的应用。\n7. 面向周期性全势电子结构计算的等几何-平面波耦合混合间断伽辽金方法 A Hybrid Discontinuous Galerkin Method with Isogeometric-Planewaves Coupling for Periodic Full-Potential Electronic Structure Calculations\n作者: Baowei Lai, Xucheng Meng, Xiaoxu Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-24\narXiv ID: 2605.24829v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24829v1\n摘要翻译 中文标题: 面向周期性全势电子结构计算的等几何-平面波耦合混合间断伽辽金方法\n摘要翻译: 周期性系统的全势电子结构计算在原子核处保留库仑奇性，这导致轨道在核附近呈现尖点行为，而间隙区域保持光滑。这种多尺度正则性促使了一种混合离散框架，该框架将原子补丁中的局部实空间离散与间隙区域中的平面波相结合。本文在原子补丁中使用张量积B样条，并通过对称内罚间断伽辽金公式耦合两个逼近空间，产生等几何-平面波（IGA-PW）方法。为了高效计算受限平面波积分，我们开发了一种结合快速傅里叶变换和切比雪夫修正的策略。我们还构造了一个迹块DG预条件子，以缓解由SIPG罚项引起的条件数恶化，并加速迭代特征求解器。此外，我们针对相应的线性特征值问题建立了{\\it a priori}误差估计，证明了在核附近的代数收敛和间隙区域的超代数收敛。数值实验证明了所提方法的准确性和高效性。\n8. 活性液晶与固体两相流体动力学模型的高效数值格式 Efficient Numerical Schemes for a Two-Phase Hydrodynamical Model of Active Liquid Crystals and Solids\n作者: Xuelong Gu, Guanghua Ji, Qi Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-23\narXiv ID: 2605.24758v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24758v1\n摘要翻译 中文标题: 活性液晶与固体两相流体动力学模型的高效数值格式\n摘要翻译: 我们针对一个基于Q-张量的新型两相流体动力学模型, 提出若干具有一阶和二阶时间精度的线性、完全解耦数值格式, 该模型描述了活性向列型液晶溶液与各向同性固体基底之间的耦合. 该模型由广义Onsager原理导出, 并包含对总自由能耗散贡献为零的非平凡项. 我们证明了所提出的解耦线性格式在离散层次是热力学相容的. 在被动极限下, SGE-BDF1 和 SGE-PDG 格式无条件能量稳定, 而 SGE-BDF2 格式在标准有界性假设和充分大的稳定化参数下关于修正能量能量稳定. 我们进行了大量数值模拟, 研究活性及其它模型参数如何影响活性向列型流-固相互作用. 最后, 我们分析了所观察到的行为背后的物理机制, 为受限软活性向列型流体的动力学提供了更深入的理解.\n不相关论文（基本信息） 1. 用于有限元方法预处理的量子区域分解 Quantum Domain Decomposition for Preconditioning the Finite Element Method\n作者: Elise Fressart, Michel Nowak, Nicole Spillane\n类别: math.NA, quant-ph\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.26090v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.26090v1\n摘要: Even in cases where quantum linear solvers provide significant speedup compared to their classical counterparts, their performance depends on some of the same parameters. In particular, the condition number of the matrix which is to be inverted is a decisive parameter. A well known classical, and now quantum, remedy is to precondition the linear system $A x = b$ by premultiplying it by a matrix $H$ in such a way that the condition number of $HA$ is significantly smaller than the condition number of $A$. In this work, we focus on a family of preconditioners called domain decomposition. First, we prove that it is feasible to apply quantum domain decomposition. We provide upper bounds for the block-encoding parameters of the Poisson problem discretized by the finite element method and preconditioned by the two-level Additive Schwarz preconditioner (one of the most fundamental domain decomposition techniques). From these bounds, we deduce the complexity of the quantum linear system solver. Second, we focus on a particular choice of local solver within the domain decomposition preconditioner by applying recent work by [Deiml and Peterseim, \\textit{Math. Comput.}, 2025] on the Bramble\u0026ndash;Pasciak\u0026ndash;Xu (BPX) preconditioner. Finally, we provide details on how the operators are implemented.\n2. 用于变阶时间分数阶波动方程的全离散基于能量的间断伽辽金方法 A Fully Discrete Energy-Based Discontinuous Galerkin Method for Variable-Order Time-Fractional Wave Equations\n作者: Lu Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.26054v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.26054v1\n摘要: Variable-order time-fractional wave equations provide a flexible model for wave phenomena with evolving memory effects and anomalous temporal dynamics. Their numerical approximation is challenging because the variable-order fractional derivative generates time-dependent history weights and therefore lacks the standard time-translation-invariant convolution structure of constant-order fractional operators. In this paper, we develop and analyze a fully discrete energy-based discontinuous Galerkin (DG) method for wave equations with a Caputo-type variable-order time-fractional derivative. The equation is reformulated as a reduced first-order-in-time system, discretized in space by an energy-based DG method, and advanced in time using a second-order approximation of the variable-order Caputo derivative at a specially chosen point in each time interval. The main analytical novelty is a cumulative weight-variation estimate for the variable-order memory weights, which requires only that the variable order $α:[0,T] \\rightarrow (0,1)$ be Lipschitz continuous. Based on this estimate, we establish energy stability of the fully discrete scheme and derive second-order temporal convergence together with energy-norm spatial error estimates. The analysis gives suboptimal convergence on general affine simplicial or tensor-product meshes and optimal convergence under additional Cartesian and flux assumptions. Numerical experiments in one and two dimensions validate the theoretical findings.\n3. 基于黎曼优化的大规模系统非线性降维快速二次流形学习 Fast Quadratic Manifold Learning For Nonlinear Dimensionality Reduction in Large-scale Systems using Riemannian Optimization\n作者: Gavin Paxton, Seunghee Cheon, Rudy Geelen, Shane A. McQuarrie\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.26039v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.26039v1\n摘要: We present a dynamic subspace approach for efficiently approximating large-scale systems by learning time-continuous trajectories on the Grassmannian manifold. By parameterizing a low-dimensional basis as a geodesic path, the method allows for adaptive tracking of evolving physics. Our approach decouples the geometric drift of the subspace from the intrinsic state evolution. This avoids the typical rank inflation required by static low-dimensional approximation methods to maintain accuracy, effectively breaking the Kolmogorov barrier in transport-dominated phenomena. To ensure scalability for high-dimensional data, the optimization is performed in a reduced feature space, rendering the computational cost independent of the large original state dimension. Numerical results for a 1D transport equation and a large-scale turbulent airfoil wake demonstrate that this dynamic subspace approach achieves higher accuracy than static linear approximations at equivalent ranks, positioning it as a robust and scalable method for the low-rank modeling of complex, non-stationary dynamical systems.\n4. 闵可夫斯基空间中标量散射的超双曲面演化 Hyperboloidal evolution for scalar scattering in Minkowski space\n作者: Ekrem S Demirboğa, Anıl Zenginoğlu\n类别: gr-qc, math.NA\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.26028v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.26028v1\n摘要: We develop a time-domain numerical framework for global scalar wave scattering in Minkowski spacetime. The main contribution is an exact conformal matching of three compactified regions: a past hyperboloidal domain attached to $\\mathscr I^-$, a Penrose domain covering a neighborhood of spatial infinity $i^0$, and a future hyperboloidal domain attached to $\\mathscr I^+$. The matching surfaces are identical conformal hypersurfaces in the adjacent charts. This yields a global evolution scheme connecting $\\mathscr I^-$, the neighborhood of $i^0$, and $\\mathscr I^+$ without artificial timelike outer boundaries and without interpolation between scri-fixing gauges. We implement the construction for spherically symmetric scalar waves, including free propagation, localized linear scattering potentials such as the Pöschl\u0026ndash;Teller potential, and semilinear wave equations with cubic, quintic, and septic nonlinearities. The numerical experiments demonstrate stable propagation across the matching interfaces, direct extraction of radiation at $\\mathscr I^+$, and fourth-order convergence for the free and linear-potential tests. The quintic and septic nonlinear tests exhibit approximately fourth-order convergence and recover the expected late-time tail rates. The cubic case, by contrast, shows only first-order convergence, revealing a limitation of our treatment near compactified boundaries when the conformally rescaled nonlinear source remains non-vanishing. These results validate the conformal matching strategy for long-time simulations, while identifying the boundary regularity issues that must be addressed using a more robust treatment of spatial infinity.\n5. 一种大规模非线性系统低秩近似的动态子空间方法 A Dynamic Subspace Approach for Low-rank Approximation of Large-scale Nonlinear Systems\n作者: Jack DeChant, Rudy Geelen, Shane A. McQuarrie, Johann Guilleminot\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.26025v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.26025v1\n摘要: We present a dynamic subspace approach for efficiently approximating large-scale systems by learning time-continuous trajectories on the Grassmannian manifold. By parameterizing a low-dimensional basis as a geodesic path, the method allows for adaptive tracking of evolving physics. Our approach decouples the geometric drift of the subspace from the intrinsic state evolution. This avoids the typical rank inflation required by static low-dimensional approximation methods to maintain accuracy, effectively breaking the Kolmogorov barrier in transport-dominated phenomena. To ensure scalability for high-dimensional data, the optimization is performed in a reduced feature space, rendering the computational cost independent of the large original state dimension. Numerical results for a 1D transport equation and a large-scale turbulent airfoil wake demonstrate that this dynamic subspace approach achieves higher accuracy than static linear approximations at equivalent ranks, positioning it as a robust and scalable method for the low-rank modeling of complex, non-stationary dynamical systems.\n6. 动态反问题：在线正则化理论 Dynamic inverse problems: Online regularisation theory\n作者: Jyrki Jauhiainen, Yassine Nabou, Tuomo Valkonen\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.26022v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.26022v1\n摘要: We develop regularisation theory for dynamic inverse problems, solved using online methods with an infinite time horizon. Using concepts of subregularity to treat nonsmooth regularisers, we prove that time-averaged reconstruction errors converge to zero as noise, algorithmic errors, and regularisation vanish as the horizon grows. We illustrate the theory numerically with a dynamic electrical impedance tomography example.\n7. Fuzzy PyTorch：深度学习模型的快速数值变异性评估 Fuzzy PyTorch: Rapid Numerical Variability Evaluation for Deep Learning Models\n作者: Inés Gonzalez-Pepe, Hiba Akhaddar, Tristan Glatard, Yohan Chatelain\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.25991v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.25991v1\n摘要: We introduce Fuzzy PyTorch, a framework for rapid evaluation of numerical variability in deep learning (DL) models. As DL is increasingly applied to diverse tasks, understanding variability from floating-point arithmetic is essential to ensure robust and reliable performance. Tools assessing such variability must be scalable, efficient, and integrate seamlessly with existing frameworks while minimizing code modifications. Fuzzy PyTorch enables this by integrating stochastic arithmetic into PyTorch through Probabilistic Rounding with Instruction Set Management, a novel library interfacing with Verificarlo, a numerical analysis compiler. The library offers stochastic rounding mode and a novel mode; up-down rounding. Comparative evaluations show Fuzzy PyTorch maintains model performance and achieves runtime reductions of 5x to 60x versus Verrou, a state-of-the-art tool. We further demonstrate scalability by running models from 1 to 341 million parameters, confirming applicability across small and large DL architectures. Overall, Fuzzy PyTorch provides an efficient, scalable, and practical solution for assessing numerical variability in deep learning, enabling researchers and practitioners to quantify and manage floating-point uncertainty without compromising performance or computational efficiency.\n8. 双曲动力学松弛的良好平衡格式 Well-Balanced Schemes for Hyperbolic Kinetic Relaxation\n作者: León Ávila, Manuel Castro, Victor Michel-Dansac, José M. Gallardo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.25887v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.25887v1\n摘要: This work presents a novel family of well-balanced numerical schemes for hyperbolic systems of balance laws based on the kinetic relaxation approach. The method begins by transforming the original non-linear system into a linearized kinetic system with an increased number of variables. In this framework, non-linearities are shifted to the source term, and the connection to the macroscopic variables is maintained via a projection operator related to the Maxwellian equilibrium states. These relaxed systems are typically solved using splitting techniques, where the evolution is decomposed into two distinct steps: first, the transport stage solving the source-free kinetic system, and second, the relaxation stage governed by an ordinary differential equation where the time derivative is balanced by the kinetic source term. The primary objective is to design schemes that accurately preserve the steady-state solutions of the original macroscopic equations, noting that these do not necessarily coincide with the trivial equilibria of the relaxed system. This well-balanced property is achieved through an appropriate formulation of the kinetic system combined with consistent reconstruction operators. This approach ensures that the balance is maintained throughout both the transport stage and the projection stage, where the treatment of the macroscopic source term is carefully integrated. We demonstrate that this framework can be implemented using both Finite Volume (FV) and Semi-Lagrangian (SL) techniques in the transport step. We develop and analyze these schemes for the Finite Volume case in both explicit and implicit formulations. Results are validated through numerical benchmarks, including the Burgers equation with a source term, 1D Shallow Water Equations (SWE) with bathymetry preserving non-trivial moving water equilibria and the Euler equations under external potentials.\n9. 具有粗糙单轨迹信号的ODE的分支签名核求解器 Branched Signature Kernel Solvers for ODEs with rough Single-Trajectory signals\n作者: Munawar Ali, Qi Feng, Charlie Pyle, George Xu\n类别: math.NA, cs.CE, cs.LG\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.25826v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.25826v1\n摘要: We develop a branched signature kernel solver for linear and nonlinear ordinary differential equations driven by a \\emph{single observed trajectory} of a possibly rough forcing signal \u0026ndash; a setting that arises naturally in earthquake engineering, finance, biology, and structural health monitoring, where the forcing is observed exactly once and the solver must respect the underlying physical law without recourse to an ensemble of realizations. Two ingredients are new. First, a \\emph{count-sampling} construction turns the single observation into a hierarchical family of $N+1$ nested training paths on which the branched signature kernel can be evaluated; this allows the signature kernel machinery, originally designed for multi-realization regression problems, to operate on a single-trajectory observation. Second, a kernel-collocation framework places the ansatz either on the highest-order derivative of the solution (with lower derivatives recovered by integrating the kernel) or on the solution itself (after $m$-fold integration of the ODE). We prove a universal approximation theorem for the branched signature kernel, leveraging the Hairer\u0026ndash;Kelly morphism to express branched signature evaluations through geometric signatures of time-extended paths. The offline solver is extended to a streaming Test/Train/Retrain protocol with closed-form online updates in the linear case and scalar Newton steps in the nonlinear case. Numerical experiments on six benchmarks (El-Centro earthquake displacement, the Solow capital-stock model, an fBM-driven second-order ODE, a forced Duffing oscillator, a path-dependent Arias-intensity-degraded oscillator with variable coefficients, and a noisy Kuramoto phase-oscillator system) show that the branched signature-kernel solver delivers accurate, stable predictions across all regimes.\n10. 一种适用于超定最小二乘问题的多层概略-求解方法 A multilevel sketch-and-solve method for overdetermined least squares problems\n作者: Irina-Beatrice Haas, Michael B. Giles, Yuji Nakatsukasa\n类别: math.NA, stat.CO\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.25809v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.25809v1\n摘要: Sketch-and-solve (SAS) is a very successful method to efficiently estimate the solution of heavily overdetermined large linear least squares problems. It uses random sketching to reduce the size of the problem, hence reducing the computational cost. Several authors have shown that averaging several solutions from SAS further improves the accuracy, which is measured by the residual associated to the approximate solution. Going further, we combine solutions from sketch-and-solve in a multilevel manner, such that the approximate solution is a combination of SAS samples obtained from small sketches and more accurate correction terms obtained from larger sketches. We first consider the variance of the estimator, which depends on the variance of the coarse samples and the correction terms. We show that the variance of the correction terms on each level follows a trend and decreases faster than the variance of the simple SAS estimator. However, we then show that the overall computational cost of our multilevel framework is slightly higher than that of the simple average estimator, so a naive application of multilevel methods appears unattractive for least squares problems.\n11. 带相关噪声的高维非线性滤波问题的张量列车方法 Tensor train methods for high-dimensional nonlinear filtering problems with correlated noise\n作者: Yuhua Meng, Stephen S. -T. Yau, Zhiwen Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.25677v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.25677v1\n摘要: Nonlinear filtering with correlated noise leads to a Duncan-Mortensen-Zakai (DMZ) equation in the form of a stochastic partial differential equation (SPDE). Unlike the independent noise case, the presence of correlation prevents the classical invertible transformation that reduces the DMZ equation to a deterministic partial differential equation, requiring a direct numerical treatment of the SPDE. This paper develops a tensor train (TT) based framework for solving medium- to high-dimensional DMZ equations with correlated noise. Spatial discretization transforms the SPDE into a high-dimensional stochastic differential system, which is efficiently compressed using TT approximation. A semi-implicit Milstein scheme is employed for temporal integration to ensure stability and accuracy. Under suitable regularity assumptions, we establish a convergence analysis of the proposed method. In particular, the spatial error is controlled by both the mesh size and the prescribed TT approximation accuracy. In the temporal direction, the convergence is proved by estimating stochastic integrals involving drifted observations, without invoking a change-of-measure argument. Numerical experiments demonstrate that the proposed method achieves stable and accurate performance for cubic sensor problems. In challenging multi-modal settings, where particle filter and extended Kalman filter deteriorate, the proposed method maintains accuracy and effectively captures the posterior distribution.\n12. 用于对角占优对称矩阵的雅可比型特征值求解器 A Jacobi-Type Eigensolver for Diagonally Dominant Symmetric Matrices\n作者: Luca Gemignani\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.25613v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.25613v1\n摘要: This paper presents a Jacobi-type iteration for computing a given specified eigenpair of a symmetric matrix. For a certain class of diagonally dominant matrices, the procedure is shown to converge at a linear rate depending on how the matrix is significantly dominated. The cost per iteration is generally quadratic. Therefore, the proposed procedure can compute an approximation of the desired eigenpair in quadratic time.\n13. 弯曲水平集区域椭圆型偏微分方程的相容CutPINNs Consistent CutPINNs for Elliptic PDEs on Curved Level-Set Domains\n作者: Maneesh Kumar Singh\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.25562v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.25562v1\n摘要: We propose \\emph{Consistent CutPINN}, a framework for partial differential equations posed on bounded curved domains defined implicitly by a $\\C^2$ level-set function, $Ω= \\{\\varphi \u003c 0\\}$. In this paper we develop the framework for second-order elliptic problems in two dimensions. The standard PINN loss penalises the boundary mismatch in $L^2(\\partialΩ)$, but $L^2(\\partialΩ)$ does not control the $H^{1/2}(\\partialΩ)$ trace norm that appears in the $H^1(Ω)$ energy estimate. The consistent PINN framework of Bonito et al.~\\cite{bonito2025} fixes this on the unit cube $(0,1)^d$ via a Kuhn\u0026ndash;Tucker simplicial decomposition of the flat boundary faces, but the construction relies on the affine structure of the faces and does not carry over to smooth curved boundaries. We address this gap. Specifically, (i) we introduce a discrete $H^{1/2}(\\partialΩ)$ surrogate built directly from collocation points on a $\\C^2$ curve, (ii) we prove a \\textit{Chord-arc} norm equivalence between this surrogate and the continuous trace norm, (iii) we establish an \\emph{a priori} $H^1$ error bound on cut domains, and (iv) we derive convergence rates under Besov regularity using optimal recovery theory. Numerical experiments on a disk and a non-convex flower domain confirm that the consistent loss is much more accurate than the standard PINN loss and far more robust to cut-cell configurations.\n14. 欧几里得空间中非光滑凸优化的镜面梯度法：一种次梯度选择策略 Specular gradient methods for nonsmooth convex optimization in Euclidean spaces: a subgradient selection strategy\n作者: Kiyuob Jung\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.25490v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.25490v1\n摘要: This paper deals with nonsmooth convex optimization problems in Euclidean spaces. We identify special elements of the subdifferential of a convex function, called specular gradients. Based on this observation, we propose three numerical methods that use specular gradients in subgradient methods. We prove the convergence of the proposed methods under suitable step sizes. Numerical experiments demonstrate that the proposed methods are capable of minimizing non-differentiable functions that classical methods fail to minimize.\n15. 用于含时偏微分方程的无自回归神经算子 Autoregression-Free Neural Operators for Time-Dependent PDEs\n作者: Jiaquan Zhang, Caiyan Qin, Haoyu Bian, Libin Cai, Yi Lu, Chaoning Zhang, Wei Dong, Yuanfang Guo, Yang Yang, Hen Tao Shen\n类别: cs.LG, cs.AI, math.NA\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.25413v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.25413v1\n摘要: Neural operators learn mappings from function-dependent inputs to solutions, providing an effective framework for solving partial differential equations (PDEs). For time-dependent PDEs, existing methods typically perform long-horizon prediction through autoregressive rollout directly in high-dimensional physical field spaces, where each predicted state is recursively fed back as the input for the next step. Although effective for short-term prediction, this autoregressive rollout and the lack of continuous-time modeling lead to progressive error accumulation over long-horizon rollouts. In this work, we propose Autoregression-Free Neural Operators (AFNO), which map the time evolution of PDEs into a latent space and model continuous-time vector fields within it. AFNO uses flow matching to learn the latent vector field, thereby enabling continuous evolution over extended horizons, avoiding autoregressive rollout and capturing dynamics under varying parameter configurations through explicit conditioning on physical parameters. Theoretical analysis and extensive experiments on six PDEs demonstrate that AFNO improves long-horizon prediction stability and consistently reduces rollout errors compared with the baselines.\n16. 一种具有宿主内病毒载量和抗体动态的媒介传播疾病结构化模型 A structured model of vector-borne disease with within-host viral load and antibody dynamics\n作者: Paulo Amorim, Maria Soledad Aronna, Debora de Oliveira Medeiros\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-05-25\narXiv ID: 2605.25370v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.25370v1\n摘要: We present an epidemiological model for vector-borne diseases that includes within-host viral load and antibody dynamics using structured transport equations. By incorporating the internal dynamics into the infected and recovered host compartments, the formulation introduces nonlinearities and nonlocalities. We establish analytical properties, including well-posedness and mass conservation, and characterize its characteristic curves. Furthermore, we derive a simplified Uniform Host Response (UHR) model featuring delay-type terms. For both the full and UHR frameworks, the basic reproduction number is determined and shown to serve as a threshold for the existence of an endemic equilibrium, and is related to the linear stability of the disease-free state. Finally, numerical experiments, parameterized specifically for Dengue fever, demonstrate how within-host mechanisms influence population-level epidemiological outcomes.\n17. 计算马赫数2000天体物理喷流的弱-强唯一性 Computing weak-strong uniqueness of a Mach 2000 astrophysical jet\n作者: Stephan Simonis, Gauthier Wissocq\n类别: math.NA, cs.MS, physics.comp-ph, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-05-24\narXiv ID: 2605.25282v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.25282v1\n摘要: The simulation of extreme Mach astrophysical flows is traditionally viewed through the lens of deterministic positivity-preserving schemes. However, due to phenomena such as Kelvin\u0026ndash;Helmholtz instabilities and shock anomalies, the multi-dimensional Euler equations admit a plethora of non-unique entropy solutions in turbulent regimes. For the first time, we computationally explore the weak-strong uniqueness of a Mach 2000 jet by defining the statistical solution as the pushforward of a probability measure through a vectorial lattice Boltzmann method (VLBM) operator. Utilizing highly optimized CUDA kernels, we compute an ensemble of 1000 Monte Carlo samples across a sequence of unprecedentedly refined spatial grids of up to 3.2 million cells, and subsequently post-process the empirical measures via memory-mapped CPU streaming. We contrast the strong sample-wise $L^1$ error divergence with the convergence of the probability measure in the 1-point Wasserstein distance via empirical Cauchy rates. Our mathematical results demonstrate that while individual flow realizations physically diverge due to chaotic shear-layer instabilities, the macroscopic statistical solution converges to a well-defined limit measure at a rate of 0.5. Conclusively, we provide the first numerical verification of statistical solution stability in the extreme compressible regime.\n18. 采样分布作为学习型反问题中的正则化 Sampling Distributions as Regularization in Learned Inverse Problems\n作者: Sandra R. Babyale, Jodi Mead\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-24\narXiv ID: 2605.25177v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.25177v1\n摘要: Neural networks have emerged as effective tools for solving ill-posed inverse problems. In many scientific applications, however, observational training data are insufficient, and learned inverse operators must instead be trained on synthetic data generated from the forward model. This requires specifying unknown parameters in the forward model and solving the model to generate synthetic observations. Typically, the unknown parameters are sampled from a prescribed probability distribution. Here, we show that this sampling strategy is not a neutral preprocessing step, but instead defines an implicit regularization operator. This result follows from the fact that the learned inverse operator minimizes empirical risk together with the classical result that conditional expectation minimizes mean-square error. We present theoretical results for the implicit regularization operator in both infinite- and finite-data settings, including Physics Informed Neural Networks (PINNs). These results are demonstrated numerically on three inverse problems of increasing complexity: a 1D linear Fredholm integral equation, a 1D nonlinear subsurface interface inversion, and a 2D nonlinear cross-well seismic traveltime tomography problem. Across all three problems, three distinct sources of regularization are identified in the learned operator: prior sampling, architectural, and physics-informed regularization. A mismatched sampling distribution is shown to degrade reconstruction quality in ways that neither more expressive architectures nor augmented physics residuals can fully correct. The results demonstrate that the sampling distribution should be chosen with the same care as a classical regularization functional and provide a practical framework for implementing more sophisticated regularization operators using neural networks.\n19. Arnoldi增强的流形值数据多元Hermite插值 Arnoldi-Enhanced Multivariate Hermite Interpolation of Manifold-Valued Data\n作者: Yuxuan Li, Qiang Niu, Wubin Zhou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-24\narXiv ID: 2605.25176v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.25176v1\n摘要: This paper presents a robust enhancement of the Tangent space Hermite Interpolation (THI) method for manifold-valued data by integrating the multivariate Arnoldi process. To circumvent the inherent numerical instability of multivariate confluent Vandermonde matrices, we use a $G$-Arnoldi-based recurrence to construct a discrete orthogonal polynomial basis directly on the tangent space. The method generates better numerical conditioning for high-order approximations. We analyze the convergence rates for both $C^0$ and $C^1$ errors in the multivariate setting. When only function values are used, the $C^0$ approximation error decays as $\\mathcal{O}\\left(\\sqrt{M} n^{-m}\\right)$. For the $C^1$ error without derivative data, the rate becomes $\\mathcal{O}\\left(\\sqrt{M} h^{-1} n^{-m}\\right)$, where $h$ is the fill distance of the sampling set. When derivative data are additionally available, the $C^1$ error is $\\mathcal{O}\\left(\\sqrt{M} n^{-(m-1)}\\right)$. In all cases, $n$ is the polynomial degree, $m$ denotes the regularity of the target function, and $M$ is the number of sampling points. Importantly, as $n$ increases, the required number of points $M$ must also increase. This reveals the interplay among approximation order, sampling density ($M$), fill distance ($h$), dimension ($d$), and the regularity ($m$) of the target function. Extensive numerical experiments conducted on the special orthogonal group $SO(3)$ and the unit sphere $S^2$ show that the Arnoldi-enhanced THI method outperforms the Kriging-based approaches in terms of both computational efficiency and accuracy.\n20. 基于逆算子的拟正交方法求解 Schr{ö}dinger 特征值问题 A quasi-orthogonal method based on the inverse operator for Schr{ö}dinger eigenvalue problems\n作者: Shengyue Wang, Aihui Zhou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-24\narXiv ID: 2605.25149v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.25149v1\n摘要: Computing many eigenpairs of the Schr{ö}dinger operator presents a computational bottleneck in large-scale quantum simulations due to the global communication overhead of explicit orthogonalization. To address this issue, we propose a quasi-orthogonal evolution model utilizing inverse operators and develop a corresponding discrete numerical scheme. Instead of forcing explicit orthogonalization, the proposed framework confines the numerical approximations within a quasi-Stiefel set, ensuring the iterates maintain full column rank without requiring $\\left\\langle U, U \\right\\rangle=I_N$. Moreover, the method naturally absorbs orthogonality errors and asymptotically converges to the exact eigenfunctions, even when initialized with non-orthogonal random data. The scheme guarantees monotonic dissipation of the target energy functional, with exponential convergence rates rigorously established for the discrete energy, gradient, and eigenfunction approximations. Furthermore, infinite-dimensional analysis proves that the admissible time step size is independent of the spatial discretization. This property overcomes the mesh-dependent stability constraints typical of conventional explicit or semi-implicit schemes, permitting larger time increments to accelerate global convergence. Numerical experiments validate the theoretical findings.\n21. 利用规范自由度学习随机系统的非梯度种群动力学 Leveraging Gauge Freedom for Learning Non-Gradient Population Dynamics of Stochastic Systems\n作者: Jules Berman, Tobias Blickhan, Benjamin Peherstorfer\n类别: cs.LG, cs.AI, math.NA\n发布日期: 2026-05-24\narXiv ID: 2605.25107v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.25107v1\n摘要: Existing work on population dynamics inference often focuses on flows arising from vector fields that are the gradients of scalar potentials. Among all admissible flows that are compatible with the population dynamics, gradient flows are optimal in a specific sense: they minimize kinetic energy. The selection of fields based on different criteria corresponds to a gauge freedom when determining population dynamics, which we leverage in this work. We propose Non-Gradient Inference Flows (NGIF), an algorithm to infer non-gradient population dynamics using a weak formulation of the continuity equation. This allows us to parameterize general vector fields and choose other selection criteria beyond minimal kinetic energy. We demonstrate on a variety of low- and high-dimensional physics problems that this more general approach improves distributional accuracy over gradient-restricted baselines and better captures non-potential transport.\n22. 随机神经网络对非线性偏微分方程的表达能力 Random Neural Network Expressivity for Non-Linear Partial Differential Equations\n作者: Muhammed Ali Mehmood, Lukas Gonon\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-05-24\narXiv ID: 2605.25057v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.25057v1\n摘要: Neural networks with randomly generated hidden weights (RaNNs) have been extensively studied, both as a standalone learning method and as an initialization for fully trainable deep learning methods. In this work, we study RaNN expressivity for learning solutions to non-linear partial differential equations (PDEs). Despite their widespread use in practical applications, a rigorous theoretical understanding of the approximation properties of RaNNs in this context remains limited. Here, we derive error bounds for RaNN approximations to time-dependent Sobolev functions and obtain a dimension-free approximation rate $\\frac{1}{2}$ for sufficiently regular functions. We apply our results to two important classes of non-linear PDEs: Porous Medium Equations and Compressible Navier-Stokes Equations, showing that RaNNs are capable of efficiently approximating solutions to these complex, non-linear PDEs. Our theoretical analysis is supported by numerical experiments, showing that the obtained convergence rates extend beyond the considered setting.\n23. 随机化共轭梯度最小二乘方法 Randomized conjugate gradient least squares\n作者: Yun Zeng, Jian-Feng Cai, Deren Han, Jiaxin Xie\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-24\narXiv ID: 2605.25034v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.25034v1\n摘要: We develop a novel randomized conjugate gradient least squares (RCGLS) method for solving least-squares problems, in which iterative sketching is employed at each step to reduce the dimension and hence the computational cost. In particular, we propose a new perspective on the classical CGLS method, where the next descent direction is determined via a constraint correction problem associated with the gradient. Based on this insight, we replace the gradient with a randomized coordinate gradient that naturally satisfies the variance reduction property, leading directly to the proposed RCGLS method. We prove that RCGLS converges linearly in expectation, with a better convergence bound compared to the randomized coordinate descent method. Furthermore, we investigate an implementation of the method that avoids full-dimensional vector operations, which are the major bottleneck of vanilla RCGLS for sparse matrices and render it impractical. We also show how to apply the RCGLS method to solve the ridge regression problem, yielding a lightweight, parallelizable, and accelerated method for such problems. Numerical experiments are provided to confirm our results.\n24. 高维下子采样OLS与快速CUR的随机斜投影去偏 Debiasing Random Oblique Projections for Subsampled OLS and Fast CUR in High Dimensions\n作者: Chengmei Niu, Sachin Garg, Michał Dereziński, Zhenyu Liao\n类别: math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-05-24\narXiv ID: 2605.24955v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24955v1\n摘要: Random sampling is a fundamental tool in modern machine learning and numerical linear algebra for reducing the computational cost of large-scale matrix problems. Existing analyses, however, rely primarily on subspace embedding guarantees, which do not precisely characterize the statistical bias of nonlinear random oblique projections induced by sampling, which arises ubiquitously in subsampled least squares and fast low-rank approximation methods. Because (pseudo)inversion is nonlinear, these random oblique projections can be systematically biased even when the underlying sketch is unbiased, thereby introducing hidden bias into downstream least squares and low-rank approximation solutions. In this work, we develop a unified non-asymptotic theory for random oblique projections in high dimensions. We show that standard random sampling schemes generally induce a systematic statistical bias overlooked by classical subspace embedding-style analyses, and we propose a principled debiasing framework to correct it. We illustrate the power of the theory through two canonical applications. For subsampled least squares, we obtain sharp bias\u0026ndash;variance characterizations, reveal previously unrecognized statistical suboptimality in widely used sampling schemes, and identify when debiasing yields provable improvements. For fast CUR decomposition, we develop a debiased approach with improved approximation accuracy. Numerical experiments further validate our theoretical findings.\n25. 具有局部Lipschitz漂移的随机微分方程的驯服Euler格式与随机Euler格式的误差估计及其在非对数凹抽样与优化中的应用 Error estimates for tamed Euler and Randomized Euler schemes for SDEs with locally Lipschitz drift with applications to non-logconcave sampling and optimization\n作者: Iosif Lytras, Angelos Ntousis\n类别: math.PR, math.NA, math.OC, stat.CO, stat.ML\n发布日期: 2026-05-24\narXiv ID: 2605.24937v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24937v1\n摘要: In this paper, we study the numerical discretization of stochastic differential equations with locally Lipschitz, super-linearly growing drift, and the resulting implications for sampling from non-log-concave distributions satisfying a logarithmic Sobolev inequality. In this regime, the classical Euler\u0026ndash;Maruyama scheme underlying the unadjusted Langevin algorithm (ULA) is known to be unstable. We analyze the KL-accelerated tamed unadjusted Langevin algorithm (kTULA) and introduce a new tamed randomized midpoint scheme, termed tRLMC. Building on the shifted-composition approach of \\cite{chewi2024local}, we develop two new local-error frameworks that yield finite-time, non-asymptotic error estimates against the underlying SDE \u0026ndash; in KL divergence for kTULA, and in total variation for tRLMC \u0026ndash; valid for general locally Lipschitz drift. Specializing these frameworks to the sampling problem under a logarithmic Sobolev inequality, we obtain a near-optimal $\\widetilde{O}(\\varepsilon^{-1/2})$ iteration complexity for kTULA in KL divergence, with corresponding guarantees in total variation and Wasserstein distance. We further establish, for the first time, a non-asymptotic guarantee in total variation for a tamed randomized Langevin scheme under super-linear drift growth, together with the corresponding Wasserstein-distance bound, both with $\\widetilde{O}(\\varepsilon^{-1})$ complexity for tRLMC. As a consequence, both schemes yield non-asymptotic bounds for a non-convex excess-risk optimization problem.\n26. 基于太阳能相控阵的商业航空无线电力传输可降低美国能源成本与碳排放 Solar phased arrays-based wireless power transfer for commercial airlines can reduce energy costs and carbon emissions in the United States\n作者: Tianyi Wang, Yiming Xu, Jiseop Byeon, Junfeng Jiao, Javad Mohammadi, Kara Kockelman, Christian Claudel, Alexandre Bayen\n类别: eess.SY, cs.ET, math.NA\n发布日期: 2026-05-24\narXiv ID: 2605.24875v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24875v1\n摘要: Decarbonizing aviation remains challenging because energy-dense jet fuels dominate beyond short-range operations, while batteries impose severe range and payload penalties. Here we evaluate a new infrastructure pathway in which utility-scale solar farms equipped with solar phased arrays wirelessly beam microwave power to hybrid-electric aircraft during cruise. Integrating 143,152 U.S. flight trajectories, 5,712 solar farms and wireless power transfer models, we quantify the spatial, temporal, and operational potential of this concept at continental scale. We find that benefits are highly concentrated in solar-rich, traffic-dense states and are dominated by short- and medium-range flights, accounting for nearly all delivered energy and cost savings. Schedule optimization and higher cruise altitudes further increase value by improving alignment between aircraft demand and beaming availability. Market penetration analysis reveals non-linear scaling between solar farm and flight adoption. These results show that wireless power beaming is best understood as a corridor-specific strategy complementing other aviation decarbonization pathways.\n27. 面向指定指标特征空间反射的移位矩阵符号反射子 Shifted Matrix-Sign Reflectors for Prescribed-Index Eigenspace Reflection\n作者: Jin Zhao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-24\narXiv ID: 2605.24840v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24840v1\n摘要: Spectral projectors and the reflectors derived from them are basic objects in numerical linear algebra. This paper studies the prescribed-index reflector I-2P_k, where P_k is the spectral projector associated with the first k eigenvectors of a symmetric matrix. If a shift s lies in the target spectral gap, then this reflector is exactly the shifted matrix sign sign(H-sI). The exact identity is elementary, but its algorithmic consequences are not: all admissible shifts give the same exact reflector, while finite-step sign filters can have very different errors. We analyze odd sign-preserving spectral filters, prove local inheritance and discrete stability for the induced reflector iterations, derive a gap-dependent Newton-Schulz operator bound, and give deterministic admissibility certificates for inexact and reused shifts. The analysis identifies the shifted spectral margin as the quantity controlling finite-step reflector accuracy and explains why the midpoint shift is the natural default. Numerical experiments separate the matrix-function issues from the outer saddle-search dynamics: controlled spectra verify the margin predictions, low-dimensional tests distinguish shifted signs from raw signs, target-index scans probe non-small k, and Allen-Cahn and dense timing tests identify the regimes in which full-matrix sign filters are useful and the stiff regimes in which stronger sign engines are needed.\n28. 弹性静力学中的弦核表示 String kernel representations in elastostatics\n作者: Jeremy G. Hoskins, Alan E. Lindsay, Manas Rachh\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-24\narXiv ID: 2605.24827v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24827v1\n摘要: In this paper we present a new boundary integral equation formulation for the solution of the elastostatic traction boundary value problem in two and three dimensions. The approach relies on the introduction of new layer potentials, called string kernels, which are based on modifications of the Boussinesq-Cerruti family of half-space solutions. We prove that the resulting integral equations are second-kind integral equations, and show that they are well-behaved in the incompressible limit. We illustrate the performance of the method with several numerical examples.\n29. Cimmino反射算法的尖锐收敛率与最优权重 Sharp Convergence Rates and Optimal Weights for Cimmino\u0026rsquo;s Reflection Algorithm\n作者: Hemant Sharma\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-23\narXiv ID: 2605.24692v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24692v1\n摘要: In this paper, Cimmino\u0026rsquo;s classical reflection algorithm for solving the $n\\times n$ nonsingular linear system $A\\bx=\\bb$ is analysed through the lens of spectral theory. Reformulating the weighted iteration as $\\e^{(ν+1)}=M_w\\,\\e^{(ν)}$, where $M_w = I - A^\\top D_w A$, the error is shown to contract by the spectral radius $\\sprad(M_w)$ at every step, with a sharp, asymptotically tight bound. For $n=2$, a closed-form expression for the contraction factor is derived, [ \\sprad(M_w) ;=; |1-μ|\n\\tfrac{1}{2}\\sqrt{(w_1-w_2)^2 + 4w_1w_2\\cos^2!θ}, ] where $μ=(w_1+w_2)/2$ and $θ$ denotes the angle between the hyperplane normals. A central result of this paper is that the standard unit weights $w_1^*=w_2^*=1$ are \\emph{globally optimal} over all positive weight pairs, uniquely achieving the minimum contraction factor $\\sprad^*=|\\cosθ|$ \u0026ndash; a quantity determined solely by the geometry of the hyperplane normals. The inter-normal angle $θ$ thus emerges as the single diagnostic parameter governing both convergence speed and weight selection. Extensions to a single-step convergence criterion at $θ=π/2$ and to an exact spectral rate for general~$n$ are also established. 30. 基于个性化PageRank寻找Koopman不变子空间 Finding Koopman Invariant Subspaces via Personalized PageRank\n作者: Hyukpyo Hong, Qin Li, Matthew J. Colbrook, Hanbaek Lyu\n类别: math.DS, math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-05-23\narXiv ID: 2605.24666v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24666v1\n摘要: Selecting a finite dictionary of observables whose span is Koopman-invariant is a central challenge in data-driven Koopman operator approximation. We address this problem by exploiting zero-block structure in Extended Dynamic Mode Decomposition (EDMD) matrices. We show that any sub-dictionary whose span is Koopman-invariant induces an exact zero block in the EDMD matrix, even for finite data. We then show that such blocks can be detected by applying PageRank to a row-normalized EDMD matrix constructed from a large initial dictionary. The theory extends to approximately invariant subspaces and yields stronger guarantees for personalized PageRank (PPR) when the seed observables lie inside the target block and reach all observables in that block. Combining EDMD concentration bounds with PageRank perturbation theory gives end-to-end detection guarantees with $O(1/\\sqrt{M})$ finite-sample scaling and explicit constants. More generally, without assuming an invariant subspace exists, high PPR mass on a sub-dictionary controls discounted multi-step leakage from the seed observables. Numerical experiments on the Duffing oscillator, Van der Pol oscillator, Lorenz system, and a three-well Ramachandran potential suggest that the method identifies compact, interpretable dictionaries with accurate predictions.\n31. WINO：一种用于可变区域超弹性的弱形式物理信息神经算子 WINO: A Weak-Form Physics Informed Neural Operator for Hyperelasticity on Variable Domains\n作者: Bokai Zhu, Qinghui Zhang, Timon Rabczuk\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-05-23\narXiv ID: 2605.24651v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24651v1\n摘要: We propose a Weak-form Physics-Informed Neural Operator (WINO), a data-free framework that combines the efficiency of neural operators with the geometric flexibility of the $\\varphi$-finite element method ($\\varphi$-FEM). $\\varphi$-FEM is an unfitted method that accommodates geometric variations without body-fitted meshes, where the domain geometry is represented by the level-set function $\\varphi$. To impose the boundary conditions, Dirichlet problems adopt the $\\varphi$-FEM lifting so only the homogeneous displacement contribution is learned, whereas traction-driven Neumann problems additionally predict the auxiliary fields necessary for the unfitted weak formulation. Parameters are trained by minimizing squared weak-form residuals aligned with $\\varphi$-FEM together with squared penalties on the cut-cell auxiliary equations, which removes the need for large paired datasets of converged reference solutions. After training, WINO outputs can seed the nonlinear $\\varphi$-FEM solvers as neural operator warm starts (NOWS), which reduce iteration counts relative to traditional cold-started solvers. Numerical benchmarks show that WINO achieves high accuracy below 0.04 across all benchmarks, while reducing total computational time by 50\u0026ndash;80% compared with purely data-driven methods.\n32. 巴拿赫空间中优化的多层蒙特卡洛方法 Optimized multilevel Monte Carlo methods in Banach spaces\n作者: Kristin Kirchner, Fabio Nobile, Christoph Schwab, Tommaso Vanzan\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-05-23\narXiv ID: 2605.24620v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24620v1\n摘要: We present a theoretical and numerical analysis of Monte Carlo methods for the estimation of statistical moments of random variables $X:Ω\\rightarrow E$ taking values in a Banach space $E$. For practical computation, we consider finite-dimensional approximation subspaces ${(E_\\ell)_{\\ell\\in\\mathbb{N}}\\subset E}$ of increasing dimension. We develop a refined error analysis that explicitly accounts for a dependence of the Rademacher type constants on the dimension of $E_\\ell$, leading to novel complexity results for single- and multilevel Monte Carlo methods to estimate the mean and injective moments of arbitrary order, which are, in certain cases, sharper than those derived in [Kirchner, Schwab, J. Funct. Anal, 2024]. Moreover, we show that, in favorable cases, the resulting error-vs.-work bounds are independent of the Rademacher type of $E$. We then focus on $L^p(S)$-valued random variables for a $σ$-finite measure space satisfying certain approximation properties, and prove that for a random variable $X\\in L^q(Ω;L^p(S))\\cap L^p(S;L^q(Ω))$, with $q\\in (1,\\infty)$ and $p\\in [1,\\infty)$, the $L^q$-convergence rate of a Monte Carlo estimator is determined exclusively by the integrability parameter $\\min\\{q,2\\}$, with no dependence on the Rademacher type $\\min\\{p,2\\}$ of $L^p(S)$. We further investigate the impact of measuring the (multilevel) Monte Carlo error in the $L^q(Ω;L^p(S))$-norm while $X$ possesses additional regularity, $X\\in L^{\\tilde{q}}(Ω;L^p(S))\\cap L^p(S;L^{\\tilde{q}}(Ω))$ with $\\tilde{q}\\in [q,\\infty)$. This analysis reveals an interplay between the sampling error and the strong approximation error, and leads to optimized error-vs.-work bounds for both single- and multilevel Monte Carlo methods. Numerical experiments confirm the sharpness of the analyses presented.\n33. 用于大规模动态矩阵的增量奇异值分解：精确性、子空间稳定性、刷新策略与基于金融因子的风险模型 Incremental SVD for Large-Scale Dynamic Matrices: Accuracy, Subspace Stability, Refresh Strategies, and Financial Factor-Based Risk Models\n作者: Stilyan Staykov\n类别: math.NA, q-fin.RM\n发布日期: 2026-05-23\narXiv ID: 2605.24514v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24514v1\n摘要: Return panels, covariances, and large feature matrices evolve one observation or one entry at a time, yet downstream models require an up-to-date low-rank factorization $A_t \\approx U_t Σ_t V_t^\\top$ on every tick \u0026ndash; a regime where full SVD is prohibitive and existing alternatives sacrifice either singular vectors, singular values, or long-horizon stability. We present a practical, metric-driven study of Brand-style incremental SVD, built around a unified engine that handles row appends, column appends, rank-1 entry updates, and metrics tracking within a single framework, with two core contributions. For rank-1 entry updates, we derive an explicit projection-based rule $U'Σ'(V')^\\top = P_U(\\widehat{A} + δ\\,e_ie_j^\\top)P_V$ that keeps rank fixed while discarding only the out-of-subspace remainder in a quantifiable way, turning Brand\u0026rsquo;s rank-suppression heuristic into an operational scheme. We then treat refresh scheduling as a first-class design axis, systematically comparing periodic, error-threshold, angle-threshold, and adaptive-rank policies on the accuracy-latency frontier. A unified framework tracks error ratios, principal angles, explained variance, and per-update runtime on long synthetic streams and a multi-asset ETF factor model for covariance and portfolio-risk estimation. With a sensible rank and refresh cadence, incremental SVD matches full-SVD accuracy within a few percent at a fraction of the cost, scaling to high-frequency regimes where batch SVDs are infeasible.\n34. 在各向异性力不确定性下的保几何轻推弹性带与二聚体方法 Geometry-Preserving Nudged Elastic Band and Dimer Methods under Anisotropic Force Uncertainty\n作者: Yifan Yu, Yangshuai Wang\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-05-23\narXiv ID: 2605.24401v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24401v1\n摘要: The nudged elastic band (NEB) and Dimer methods are standard tools for computing minimum-energy paths and index-one saddle points in atomistic transition problems. They are increasingly driven by surrogate or learned force models, whose force errors are often anisotropic and spatially varying near transition states and defect cores, where saddle-search iterations are most sensitive. We introduce uncertainty-aware NEB and Dimer methods (UA-NEB, UA-Dimer) that use covariance as an optimizer-level reliability metric while preserving the mean-potential saddle-search equations: an oblique normal projection for NEB and covariance-weighted rotation and translation for Dimer. Both algorithms fit Robbins\u0026ndash;Monro recursions; under a local Lyapunov stability hypothesis, verified explicitly for a canonical UA-NEB setting and stated as a hypothesis for UA-Dimer, the stochastic iterations converge almost surely within the corresponding local stability neighborhood. In the analytic benchmark, UA-NEB reduces mean barrier error by $21\\%$ relative to stochastic NEB and UA-Dimer reduces the reflected-gradient residual by $22\\%$; in the 127-atom tungsten-vacancy benchmark, full UA-NEB reduces mean barrier error by $56\\%$ relative to stochastic NEB and by $23\\%$ relative to diagonal covariance weighting. These results show that anisotropic uncertainty is most useful when embedded in the constrained geometry of the optimizer rather than collapsed into a scalar acquisition or trust criterion.\n35. 逼近具有对数势的空间分数阶Allen-Cahn方程的结构保持稳定化格式的谱分析与基于正弦变换的预条件处理 Spectral analysis and sine transform based preconditioning for a structure preserving stabilized scheme approximating the space-fractional Allen Cahn equation with logarithmic potential\n作者: Danyal Ahmad, Stefano Serra-Capizzano, Muhammad Sohaib, Cristina Tablino-Possio\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-23\narXiv ID: 2605.24387v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24387v1\n摘要: We consider an initial boundary value problem of the space fractional Allen-Cahn equation with logarithmic Flory-Huggins potential. As an approximation technique, first-order weighted and shifted Grunwald difference formulae of the left and right fractional derivatives are used. The main focus of the present work is to study the spectral features of the underlying matrices and matrix sequences and to design proper preconditioners based on the spectral information. Then a computational and spectral analysis of the resulting preconditioned matrix sequences is performed. Numerical evidence and a short list of open problems complete the current study.\n36. 提高指数拟合格式在分段均匀网格上的精度 Improving the Accuracy of the Exponentially Fitted Scheme on Piecewise Uniform Meshes\n作者: Relja Vulanović\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-23\narXiv ID: 2605.24336v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24336v1\n摘要: A linear one-dimensional singularly perturbed convection-diffusion problem is solved numerically after its solution is decomposed as $u_0+w$, where $u_0$, the corresponding reduced solution, is treated as a function known exactly or approximately. The component $w$ is then calculated using the exponentially fitted Allen-Southwell-Il\u0026rsquo;in (ASI) scheme on the Shishkin mesh and its asymptotic version. We prove that this numerical method is highly accurate, with errors that diminish when the discretization parameter increases, and, in some cases, even when the perturbation parameter decreases. This is a theoretical confirmation of earlier numerical results showing that the ASI scheme outperforms the general class of Samarskii-type schemes to which it belongs. Even higher accuracy is proved when $u_0$ is linear, in which case, the decomposition is not needed. New numerical experiments are provided to illustrate all this.\n37. 代理点方法的精度分析及其在某些托普利茨矩阵中的应用 Accuracy Analysis of the Proxy Point Method with Applications to Some Toeplitz Matrices\n作者: Mikhail Lepilov, Jianlin Xia\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-22\narXiv ID: 2605.24231v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24231v1\n摘要: For some kernel matrices, low-rank approximations can be quickly obtained via analytic techniques. One important class of analytic methods that has received attention in recent years is based on the use of proxy points. Accuracy analysis for various proxy point methods has often been heuristic in nature, other than for certain special kernels. For more general cases, the methods lack an explicit number or location of proxy points required to yield a particular approximation accuracy. In this work, we carry out new analysis of a proxy point method that is applicable to general complex-analytic kernels. An intuitive way of choosing proxy points is used to show explicit error bounds. Such bounds decay exponentially with regard to the number of proxy points. This also leads to convenient estimates of numerical ranks of relevant kernel matrices. To showcase the utility of this new analysis, we apply it to design a new sublinear-time hierarchically semiseparable approximation method for certain Toeplitz matrices, including ones that frequently arise from real-world applications. This allows, for example, inversion of such matrices with lower computational complexity compared with existing direct methods. Some extensions of these ideas are also discussed.\n38. 极化诱导的梁弯曲：数学模型、离散化与算法 Polarization-Induced Beam Bending: Mathematical Model, Discretization, and Algorithm\n作者: Harbir Antil, Rainald Löhner, Sarswati Shah\n类别: physics.optics, math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-05-22\narXiv ID: 2605.24151v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.24151v1\n摘要: We study a reduced hydrodynamic formulation of paraxial vector beam propagation in which the beam intensity, optical phase, and spatially-dependent polarization are coupled through a nonlinear dispersive system. While prior analytical work derived a solution for the beam path valid for short propagation distances, a fully resolved numerical treatment of the model over long ranges has not previously been available. Here we present a conservative numerical scheme for the coupled system, combining a finite-volume discretization of the intensity equation with monotone Hamilton\u0026ndash;Jacobi (H-J) solvers for the phase dynamics and upwind transport of polarization. The method preserves the nonnegativity of the intensity and remains stable under long-distance propagation. We perform large-scale simulations over propagation distances of tens of meters, while resolving millimeter-scale transverse structure. The numerical results reproduce the analytically predicted and experimentally observed quadratic beam bending at short distances and reveal systematic deviations beyond the asymptotic regime. These deviations arise from nonlinear phase accumulation and dispersive effects captured by the full model but are neglected in the short-distance approximation.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-05-26_06-44-02/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年05月26日 06:44:02\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 8\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 38\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-浅水方程协变形式的半隐式二维求解器\"\u003e1. 浅水方程协变形式的半隐式二维求解器\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eA semi-implicit two dimensional solver for a covariant formulation of the shallow water equations\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年05月26日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年05月25日 06:57:41\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 4\n不相关论文数量: 14\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 直接ALE ADER-DG方法中通过四维时空孔洞状单元处理三维多面体动网格拓扑变化的研究 On the treatment of topology changes on 3D polyhedral moving meshes via 4D space-time hole-like elements in direct ALE ADER-DG methods\n作者: Elena Gaburro, Matej Klima, Mauro Bonafini, Maurizio Tavelli\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-22\narXiv ID: 2605.23506v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.23506v1\n摘要翻译 中文标题: 直接ALE ADER-DG方法中通过四维时空孔洞状单元处理三维多面体动网格拓扑变化的研究\n摘要翻译: 本文研究一种利用ADER间断伽辽金格式在直接任意拉格朗日-欧拉（ALE）框架下，于具有拓扑变化的三维动多面体网格上对双曲型偏微分方程进行高阶演化求解的新方法。我们的直接ALE方法基于在四维（三维空间+时间）时空控制体上对偏微分方程进行积分，这些控制体连接着前后两个网格剖分的单元，从而以一种有效且高阶的方式同时在时间和两个不同网格之间演化解。通过这种方式，我们还避免了间接ALE格式中常见的复杂且昂贵的投影重构技术和网格求交操作。关键步骤在于构造时空控制体的策略，这些控制体还须连接因拓扑变化而具有不同形状和邻域的单元。事实上，仅通过坍缩或拉伸已有单元的边来连接它们，会在时空域中留下一个“孔洞”。为了填补该孔洞，我们引入了额外的退化单元，称之为孔洞状单元。这些单元是在时间步始末均具有零三维体积、但具有严格非零四维时空体积的四维对象。鉴于这种三维空间中时空方法的独特性以及刻画此类单元几何的必要性，本文的主要目标是给出该方法的严格几何与数值描述，并呈现新的直观可视化策略。特别地，我们详细刻画了在底层Delaunay四面体剖分上发生2-3、3-2和4-4翻转时对应出现的孔洞状单元。最后，数值实验表明，即使在频繁发生拓扑变化的情况下，该方法仍然是完全守恒的、满足几何守恒律（GCL）并能保持正确的收敛阶。\n2. 多面体方法收敛分析技术的关键挑战与桥梁 Key challenges and bridges among convergence analysis techniques for polytopal methods\n作者: Lourenço Beirão da Veiga, Daniele Antonio Di Pietro, Jérôme Droniou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-22\narXiv ID: 2605.23405v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.23405v1\n摘要翻译 中文标题: 多面体方法收敛分析技术的关键挑战与桥梁\n摘要翻译: 多面体方法为一般网格上偏微分方程的数值逼近提供了一个灵活的框架。由于其固有的非协调性质，以及在许多情况下解的完全离散性质，其收敛分析提出了特定的挑战。考虑了两种主要技术：虚拟函数法（例如在虚拟元方法中使用）和完全离散法（例如离散de Rham方法的基础）。我们在此引入一个基于协调提升概念的新框架，即从离散空间到连续空间的有界且一致的映射。该方法在虚拟观点和完全离散观点之间架起了桥梁，澄清了虚拟函数的范数等价性的作用，并导致了一个可用于多面体方法的一致性误差分解。这三种方法在一个模型问题上进行了演示，这为讨论相关技术要点提供了机会。还与离散微分复形的收敛性质建立了联系。\n3. 二维声学超材料中亚波长共振的傅里叶–伽辽金方法 Fourier\u0026ndash;Galerkin Methods for Subwavelength Resonances in 2D Acoustic Metamaterials\n作者: Jinghao Cao\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-05-22\narXiv ID: 2605.23251v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.23251v1\n摘要翻译 中文标题: 二维声学超材料中亚波长共振的傅里叶–伽辽金方法\n摘要翻译: 我们提出一种傅里叶–伽辽金框架，用于分析并计算有限域中二维散射问题的亚波长共振。从边界积分公式出发，我们将算子投影到傅里叶模式上，并导出一个显式的有限维有效矩阵，其奇异性刻画了共振频率。在亚波长区域，我们得到了该矩阵关于 $ω$ 和材料对比度的渐近展开，识别出了主阶算子及其核结构。这一约化将共振问题转化为一个低维非线性特征值问题，避免了大规模离散和全局寻根过程。有效矩阵的元可以显式计算，并允许使用基于FFT的求积进行快速求值。所得方法为一般光滑几何形状中的共振提供了一个高效且鲁棒的计算框架。\n4. 基于隐式惩罚的高阶守恒间断伽辽金方法：广义 Korteweg-de Vries 方程和 Hirota-Satsuma KdV 系统 High-order Conservative Discontinuous Galerkin Methods via Implicit Penalization for the Generalized Korteweg-de Vries Equation and the Hirota-Satsuma KdV System\n作者: M. Shan Tariq, Yanlai Chen, Bo Dong\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-22\narXiv ID: 2605.23181v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.23181v1\n摘要翻译 中文标题: 基于隐式惩罚的高阶守恒间断伽辽金方法：广义 Korteweg-de Vries 方程和 Hirota-Satsuma KdV 系统\n摘要翻译: 我们针对非线性波动问题发展了新的守恒型间断伽辽金（DG）方法，重点研究广义 Korteweg-de Vries（gKdV）方程和耦合的 Hirota-Satsuma KdV（HS-KdV）系统。所提出的方法通过数值迹的单值结构保持质量守恒，而能量和哈密顿量守恒则通过辅助守恒约束隐式确定数值迹中的惩罚参数来实现。在我们之前的工作 [11] 中，我们为 gKdV 方程发展了一种守恒型 DG 方法；然而，该构造涉及近似解跳跃的时间导数，这给超越二阶时间精度带来了困难。我们新的构造通过引入重新设计的迹配置消除了导数项，从而克服了这一限制。这一新增强功能无缝地为更高阶的时间离散铺平了道路，并且与之前的方法相比，每个时间步需要求解更少的非线性系统。对于耦合的 HS-KdV 系统，我们提出了第一个守恒型 DG 方法，该方法保持精确解的所有三个不变量。数值结果展示了所提出方法的精度和预期的收敛行为，以及对 gKdV 方程和 HS-KdV 系统的长时间稳定性和强守恒性质。\n不相关论文（基本信息） 1. 免训练的循环Transformer Training-Free Looped Transformers\n作者: Lizhang Chen, Jonathan Li, Chen Liang, Ni Lao, Qiang Liu\n类别: cs.LG, math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-05-22\narXiv ID: 2605.23872v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.23872v1\n摘要: We introduce training-free looped transformers, in which a lightweight inference-time wrapper loops a contiguous mid-stack block of layers of a frozen checkpoint without additional fine-tuning, continued training, or architectural changes. Unlike prior looped transformer methods that train with the looped structure end-to-end, we retrofit recurrence onto pretrained models at test time. We show that naive block reapplication usually degrades performance, highlighting the importance of the loop application strategy. Motivated by viewing a pre-norm transformer block as a forward Euler step on an ODE, we instead treat looping as a refinement of the same approximation, replacing one large update with smaller damped sub-steps. Across seven dense, sparse MoE, and MLA+MoE model families, our method improves Qwen3-4B-Instruct by +2.64 pp on MMLU-Pro, Qwen3-30B-A3B-Instruct by +1.14 pp on CommonsenseQA, and Moonlight-16B-A3B-Instruct by +1.20 pp on OpenBookQA.\n2. 大型常微分方程组自适应龙格-库塔方法的混合精度 Mixed-Precision in adaptive Runge-Kutta method for large ODE systems\n作者: Mouhamad Al-Sayed, Samuel Bernard, Arsène Marzorati, Jonathan Rouzaud-Cornabas\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-22\narXiv ID: 2605.23727v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.23727v1\n摘要: Mixed-precision methods combine low and high precision arithmetics to exploit low precision computational speed and high precision accuracy. Large ODE systems that contain many heterogeneous interactions lead to a high computational cost that could be tackled with mixed-precision solvers. We tested mixedprecision versions of the Bogacki-Shampine 3(2) Runge-Kutta pair over three benchmark systems: coupled linear oscillators, the Kuramoto model and a circadian clock model. Our study is performed in a way that can be adapted to any finite-precision format, software architecture and numerical scheme. We found that mixed-precision solvers can preserve most of the high-precision solver accuracy under a wide range of solver tolerances. Moreover, mixed-precision solver accuracy improves with system size, reaching levels equivalent to high-precision solvers in small system size. We also observed that mixed-precision arithmetic does not impact the number of evaluation in a way that balances the benefit of fast operations in low precision. Taken together, these results show that mixed-precision methods can offer significant computational speed-up at little or no loss of accuracy in large coupled ODE systems.\n3. 基于随机预处理的变分资料同化集合加速 Accelerating an ensemble of variational data assimilations with randomized preconditioning\n作者: I. Daužickaitė, S. Gürol, M. Destouches, L. Berre, A. T. Weaver\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-22\narXiv ID: 2605.23571v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.23571v1\n摘要: Ensembles of variational data assimilations (EDA) require solving systems of linear equations with iterative methods. The solution process can be accelerated using a limited memory preconditioner constructed with approximations of the leading eigenpairs of the Hessian matrix. Randomized methods for low-rank matrix approximations provide a feasible approach for computing these eigenpairs. These methods use a random sketching matrix to obtain a low-rank representation of the Hessian matrix, which is then used for computing the eigendecomposition. The sketching matrix highly influences the quality of the approximation. In this paper, we show how the structure of the EDA can be exploited to construct a suitable sketching matrix, i.e., using the differences of the right-hand sides of the linear systems of equations. Idealised numerical experiments with the Lorenz-96 model show that the resulting preconditioner is able to accelerate the EDA solution process for all ensemble members, even if constructed from the control member only.\n4. RA-DCA：一种用于极大值结构 DC 规划中方向驻点性的随机有效集 DCA RA-DCA: A Randomized Active-Set DCA for Directional Stationarity in Max-Structured DC Programs\n作者: Yi-Shuai Niu\n类别: math.OC, cs.AI, math.NA\n发布日期: 2026-05-22\narXiv ID: 2605.23550v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.23550v1\n摘要: We study nonsmooth difference-of-convex programs whose subtracted convex term is a finite maximum of smooth convex functions. In this setting, standard DCA iterations may converge to critical points that are not directionally stationary, whereas exact active-vertex screening can be expensive when active sets are large or combinatorial. We propose RA-DCA, a vertex-first randomized active-set DCA that projects active gradients onto sampled directions, checks a sampled vertex residual, and uses a small linear program only as a low-residual convex-combination fallback. The method preserves the descent structure of DCA and reduces the randomized screening layer to matrix multiplications. Under the stated regularity, numerical active-set consistency, and random-embedding assumptions, every accumulation point generated by the safeguarded method is directionally stationary with probability one. MATLAB experiments first test the theorem on degenerate max-affine, max-quadratic, and sparse support-function models, where the safeguard avoids nonstationary critical points and closely tracks a full active-vertex scan. Block top-k tests then show that the same screening idea remains useful when exact aggregate enumeration is combinatorial. Trimmed-regression, complementarity, and QUBO diagnostics separate cases where active-set selection helps from cases dominated by multistart search, the DC split, or other problem-specific features.\n5. 基于GLT理论的雅可比加权直方插值矩阵的谱分布 Spectral distribution of Jacobi weighted histopolation matrices via GLT theory\n作者: Allal Guessab, Federico Nudo, Stefano Serra-Capizzano\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-22\narXiv ID: 2605.23501v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.23501v1\n摘要: In this paper we study a weighted histopolation problem on $[-1,1]$ associated with Jacobi weights. In the first part of the present work we prove results in approximation theory, while in the second we analyze the resulting matrices from an asymptotic linear algebra perspective. More in detail, in the first part, given weighted cell averages, we construct a reconstruction operator based on weighted primitives of Jacobi polynomials and investigate the resulting discretization matrices. At any fixed discretization level, we derive an exact factorization of the histopolation matrix through a backward-difference operator and a sampling operator of Jacobi weighted primitives. Combining a sharp integration by parts identity with the three-term recurrence of Jacobi polynomials, we further show that the primitive sampling operator admits an explicit decomposition involving a tridiagonal coupling matrix in the Jacobi spectral index. This yields a tridiagonal factor representation of the histopolation matrix. In the second part, under standard mesh-regularity assumptions, we show that all the various induced matrix sequences belong to the Generalized Locally Toeplitz (GLT) class, by describing in detail the related GLT symbols. As a consequence, we provide the corresponding spectral distributions and discuss their implications for numerical stability when solving the associated linear systems.\n6. 一种用于线性四阶椭圆问题的高阶节点保界质量守恒方法及其在非线性抛物方程中的应用 A high-order nodally bound-preserving and mass-conservative method for linear fourth-order elliptic problems and its applications to nonlinear parabolic equations\n作者: Jie Shen, Zuodong Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-22\narXiv ID: 2605.23486v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.23486v1\n摘要: We propose a high-order finite element method for linear fourth-order elliptic problems that is both nodally bound-preserving and mass-conservative, based on a variational inequality formulation. The method admits an equivalent strictly convex minimization structure, which ensures well-posedness and enables an optimal error estimate in the $H^1$-seminorm, under suitable regularity assumptions. This framework is further extended to nonlinear fourth-order parabolic problems through space\u0026ndash;time high-order discretizations that combine variational inequalities, BDF schemes, and scalar auxiliary variable (SAV) techniques. The fully discrete schemes preserve nodal bounds and mass, and a modified energy stability result is established for the first-order temporal scheme. We also apply the same framework to nonlinear second-order parabolic problems by introducing a consistent fourth-order regularization, leading to space\u0026ndash;time high-order schemes with the same bound-preserving and mass-conservative properties. Extensive numerical results, including challenging tests with singularities and low regularity, demonstrate the stability, efficiency, and high-order accuracy of the proposed methods.\n7. 随机广义采样 Stochastic Generalized Sampling\n作者: Luca Finotti, Matteo Santacesaria\n类别: math.FA, cs.IT, math.NA\n发布日期: 2026-05-22\narXiv ID: 2605.23421v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.23421v1\n摘要: Reconstructing an infinite-dimensional signal from a finite set of measurements is a fundamental problem in approximation theory and signal processing. While the generalized sampling (GS) framework provides a robust methodology for recovering elements in arbitrary separable Hilbert spaces, deterministic approaches suffer from severe basis-dependent dimensionality constraints, often requiring a quadratic sample complexity $m \\gtrsim n^2$ to avoid numerical instability. In this paper, we introduce a fully stochastic framework for GS that natively overcomes these deterministic barriers. By drawing measurements according to an optimal leverage-score probability distribution, we prove that stable recovery is guaranteed with high probability at a near-linear sample complexity of $m \\gtrsim n\\log n$. Crucially, this optimal rate is universal-independent of the specific choice of measurement and reconstruction bases-and holds even when the sensing system is a highly redundant frame. To establish these guarantees, we derive a novel matrix Bernstein inequality for random rectangular operators, allowing us to rigorously control the aliasing error governed by the empirical cross-term. Finally, we demonstrate the practical efficacy of our approach on the classical problem of recovering analytic functions from continuous Fourier measurements via Legendre polynomials, where our randomized method achieve near-exponential convergence rates.\n8. 基于克罗内克预条件优化的多物理场物理信息神经网络中的耦合鲁棒精度 Coupling-Robust Accuracy in Multiphysics Physics Informed Neural Networks via Kronecker-Preconditioned Optimization\n作者: Youngjae Park, Jaemin Kim, Junghwa Hong\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-22\narXiv ID: 2605.23391v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.23391v1\n摘要: Physics-informed neural networks (PINNs) for coupled multiphysics systems suffer systematic accuracy degradation as inter-equation coupling strengthens. We provide a theoretical explanation for this phenomenon through neural tangent kernel (NTK) analysis: for linearly coupled systems, we prove that the standard NTK\u0026rsquo;s spectral radius grows as $Ω(γ^2)$ with coupling strength $γ$, shrinking the stable learning rate, while block-diagonal Gauss\u0026ndash;Newton (GN) preconditioning yields a preconditioned NTK $K_P = J H^{+} J^\\top$ (where $H$ is the block-diagonal GN Hessian) whose spectral radius is bounded by $S$ ($S$ = number of networks), independent of $γ$. We verify the $Ω(γ^2)$ growth numerically across symmetric, asymmetric, and nonlinear coupled PDE systems, and confirm $λ_{\\max}(K_P) = S$ with equality in all cases. Combining the Kronecker-preconditioned optimizer SOAP with inverse-gradient-norm loss balancing (SOAP+GN) yields coupling-robust accuracy: across 234 experiments spanning three 1D systems of increasing nonlinearity and a 2D electroosmotic flow benchmark, SOAP+GN maintains final-epoch $L_2$ degradation $\\leq 1.1\\times$ (ratio of strong- to weak-coupling error) even as coupling parameters vary over one to two orders of magnitude, compared with $\u003e 10^2\\times$ for Adam+GN. SOAP+GN further scales to a 2D, 6-PDE electroosmotic flow system at EDL-resolved conditions \u0026ndash; a regime that all prior PINN electrokinetics studies have avoided through simplified physics \u0026ndash; where Adam+GN fails entirely ($L_2 \u003e 0.9$).\n9. Gross-Pitaevskii能量泛函的非协调有限元逼近与能量下界估计 Nonconforming Finite Element Approximation and Energy Lower Bound Estimation for the Gross\u0026ndash;Pitaevskii Energy Functional\n作者: Chen Zhang, Heyan Zhu, Wenbin Chen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-22\narXiv ID: 2605.23334v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.23334v1\n摘要: The ground state of Bose\u0026ndash;Einstein condensates can be described as the minimizer of the Gross\u0026ndash;Pitaevskii energy functional subject to a mass conservation constraint. In this paper, we study the corresponding discrete optimization problem in nonconforming finite element spaces and establish a priori error estimates for the discrete ground state energy, the discrete eigenvalue, and the discrete ground state. Specifically, we derive explicit convergence rates for the a priori error in the particular case of the $EQ_1^{\\mathrm{rot}}$ finite element. Furthermore, we proof that within the $EQ_1^{\\mathrm{rot}}$ finite element framework, the discrete ground state energy provides a lower bound estimation to the exact energy. Finally, numerical experiments are presented to validate the theoretical analysis.\n10. 勒贝格函数的几何性质 Geometric properties of the Lebesgue function\n作者: Leokadia Białas-Cież, Stefano De Marchi, Mateusz Suder\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-22\narXiv ID: 2605.23299v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.23299v1\n摘要: We present a collection of observations concerning the peculiar behavior of the Lebesgue function in the setting of the interval $[-1,1]\\subset \\mathbb{R}$ and the square $[-1,1]^2\\subset \\mathbb{R}^2$. We provide numerical results and formulate several open problems related to the geometry of the Lebesgue function.\n11. 面向具有随机水力传导张量的纳维-斯托克斯-达西流的高阶、长时间稳定且并行解耦的GBDF$k$ SAV集合格式 High-order, long-time stable and parallel decoupled GBDF$k$ SAV ensemble schemes for the Navier\u0026ndash;Stokes\u0026ndash;Darcy flow with random hydraulic conductivity tensors\n作者: Wei-Wei Han, Fukeng Huang, Changxin Qiu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-22\narXiv ID: 2605.23290v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.23290v1\n摘要: We develop and analyze high-order ensemble schemes for the unsteady Navier\u0026ndash;Stokes\u0026ndash;Darcy system with uncertain initial conditions, forcing terms, hydraulic conductivity tensors, and Lions-Beavers-Joseph-Saffman interface conditions. The proposed schemes which are called GSAV-GBDF$k$-Ensemble schemes integrate a partitioned decoupling strategy, the generalized scalar auxiliary variable (GSAV) approach, and generalized BDF$k$ discretizations. This framework achieves high-order temporal accuracy and long-time stability, permits explicit treatment of the nonlinear term, and facilitates an efficient ensemble implementation for multiple parameter realizations by sharing a single, unified coefficient matrix at each time step. Moreover, the numerical solutions are shown to satisfy uniform-in-time bounds without time-step restrictions. Owing to the ensemble formulation, the resulting linear systems share common coefficient matrices, which significantly improves computational efficiency. We further establish optimal-order error estimates for the proposed high-order schemes. Numerical results are included to confirm the theoretical analysis and to illustrate the accuracy, stability, and efficiency of the proposed methods.\n12. 定义在$\\mathbb R^n$上的函数的分数阶拉普拉斯算子和分数阶$p$-拉普拉斯算子数值逼近的基于矩阵的谱方法 A matrix-based spectral method for the numerical approximation of the fractional Laplacian and the fractional $p$-Laplacian of functions defined on $\\mathbb R^n$\n作者: Loïc Constantin, Carlota M. Cuesta, Francisco de la Hoz\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-22\narXiv ID: 2605.23252v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.23252v1\n摘要: Given a function $u$ defined on $\\mathbb R^n$, its fractional $p$-Laplacian is given by $$(-Δ)_p^su(\\vec x)=C_1(n,s,p)\\int_{\\mathbb R^n}\\frac{|u(\\vec x)-u(\\vec y)|^{p-2}(u(\\vec x)-u(\\vec y))}{\\|\\vec x-\\vec y\\|_2^{n+sp}}d\\vec y,\\quad\\vec x\\in\\mathbb R^n,$$where the integral is understood in the principal value sense, $p\\in(1,\\infty)$, $s\\in(0,1)$, and $C_1(n,s,p)$ is a normalization constant. A formally equivalent nonlinear Balakrishnan formulation is given by $$(-Δ)_p^su(\\vec x)=C_4(n,s,p)\\int_0^\\inftyΔ(t-Δ)^{-1}\\left[Φ_p(u(\\vec x)-u(\\cdot))\\right](\\vec x)\\frac{dt}{t^{1-sp/2}},$$ where $C_4(n,s,p)$ is another normalization constant, and $Φ_p(t)=|t|^{p-2}t$. In this paper, we present a matrix-based spectral method to approximate numerically the fractional Laplacian (i.e., the linear case, where $p = 2$) and the fractional $p$-Laplacian for functions defined on $\\mathbb R^n$. Our approach builds on the Balakrishnan representation, where we discretize the 2nd-order derivatives in $Δ$ using spectrally accurate differentiation matrices. A key advantage is that these matrices can be diagonalized in a well-conditioned manner, enabling a stable and robust numerical scheme that naturally extends to arbitrary spatial dimensions $n$. In particular, this diagonalization allows the fractional operator to act directly on the eigenvalue spectrum, effectively reducing the Balakrishnan integral to an analytical evaluation at the spectral level and thereby avoiding costly multidimensional quadrature. The resulting method also avoids domain truncation and variational formulations, making it both computationally efficient and conceptually straightforward. As a practical application, we simulate the evolution of $$\\frac{\\partial u}{\\partial t}+(-Δ)^s_pu=0,$$in one and two spatial dimensions, being able to capture the self-similar solutions that arise as $t\\to\\infty$.\n13. 多扩展，少收缩：塑造有效秩动态以实现推荐中的稠密缩放 Expand More, Shrink Less: Shaping Effective-Rank Dynamics for Dense Scaling in Recommendation\n作者: Guoming Li, Shangyu Zhang, Junwei Pan, Wentao Ning, Jin Chen, Gengsheng Xue, Chao Zhou, Shudong Huang, Haijie Gu, Menglin Yang\n类别: cs.LG, cs.IR, math.NA\n发布日期: 2026-05-22\narXiv ID: 2605.23191v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.23191v1\n摘要: Scaling recommendation models is a central challenge in recommender systems. Recently, RankMixer has emerged as an effective solution, operating on a unified token representation and alternating between token mixing and per-token feedforward networks (P-FFNs) to achieve scalable performance. However, RankMixer suffers from \\textit{embedding collapse}, where learned representations have low effective rank, limiting expressivity and underutilizing the expanded representation space. Through empirical analysis and theoretical insights, we identify rigid token mixing and P-FFN modules as the primary causes of this phenomenon, jointly inducing a \\textbf{damped oscillatory trajectory} in effective-rank evolution across layers. To address it, we propose RankElastor, a novel architecture that produces spectrum-robust representations with provable collapse mitigation. RankElastor introduces two components: (i) \\textbf{parameterized full mixing}, which enables expressive token mixing with improved spectral robustness; and (ii) \\textbf{GLU-improved P-FFNs}, which stabilize representation spectra through GLU-style FFN modules. Extensive experiments on large-scale industrial datasets demonstrate that RankElastor consistently improves recommendation performance, mitigates embedding collapse, and exhibits robust scaling behavior. Code is available at this GitHub repository: https://github.com/vasile-paskardlgm/RankElastor\n14. 使用物理约束高斯过程回归的模态振型展开 Mode-Shape Expansion Using Physics-Constrained Gaussian Process Regression\n作者: Farid Ghahari\n类别: math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-05-21\narXiv ID: 2605.23101v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.23101v1\n摘要: This paper addresses the challenge of reconstructing full-field structural mode shapes from sparse sensor data. While Gaussian Process Regression (GPR) offers a robust non-parametric framework for spatial interpolation and uncertainty quantification, standard formulations often yield physically inconsistent mode-shape reconstructions under sparse sensing conditions. A Physics-Constrained Single-Output Gaussian Process (CONS-SOGP) framework is derived that utilizes independent modal kernels while coupling the optimization via a mass-orthogonality penalty. The paper presents derivations for the marginal likelihood, hyperparameter gradients, and penalty coupling. Numerical verification on a multi-degree-of-freedom structure demonstrates that the proposed method overcomes existing limitations in GP-based prediction, providing more accurate and reliable expanded mode shapes.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-05-25_06-57-41/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年05月25日 06:57:41\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 4\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 14\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-直接ale-ader-dg方法中通过四维时空孔洞状单元处理三维多面体动网格拓扑变化的研究\"\u003e1. 直接ALE ADER-DG方法中通过四维时空孔洞状单元处理三维多面体动网格拓扑变化的研究\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eOn the treatment of topology changes on 3D polyhedral moving meshes via 4D space-time hole-like elements in direct ALE ADER-DG methods\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年05月25日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年05月22日 06:43:11\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 3\n不相关论文数量: 19\n重点关注论文（完整分析） 1. 基于量化张量列的多尺度椭圆方程稳定全场模拟 Stable full-field simulation of a multiscale elliptic equation by means of Quantized Tensor Trains\n作者: Marc Josien, Anas El Hachimi, Isabelle Ramière\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-20\narXiv ID: 2605.21709v1\n摘要翻译: 本文针对具有非均匀系数场的线性椭圆方程，设计了一种基于量化张量列（QTT）的新型求解器，该求解器能够处理极细的网格。在维数 $d=2$ 和 $d=3$ 下，它可以实现全场模拟，自由度数（DoFs）比经典求解器高出多达 $20$ 个数量级，并在 $\\LL^2$ 范数下精确恢复解及其梯度。为了处理如此庞大的数据量，该求解器关键依赖于 QTT 的指数压缩性质，这显著改进了现有文献的结果。\nComment: 32 pages, 22 figures\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.21709v1\n1. 研究对象和背景 本文考虑具有异质系数场的线性椭圆型偏微分方程的数值求解，方程形式为 $$ -\\nabla\\cdot (a\\nabla u) = \\nabla\\cdot g, $$ 定义在周期单位立方体 $Q_{1,\\mathrm{per}} = \\mathbb{R}^d / \\mathbb{Z}^d$ 上，$d = 2$ 或 $3$。其中未知函数 $u$ 是位移场或温度场，$\\nabla u$ 是其梯度，系数 $a \\in L^\\infty(Q_{1,\\mathrm{per}})^{d\\times d}$ 表示材料的非均匀性质（如热传导系数或弹性张量），满足对称性与一致椭圆性：存在常数 $\\Lambda,\\lambda \u003e 1$，使得对任意 $x \\in Q_{1,\\mathrm{per}}$ 有 $\\lambda^{-1} \\le a(x) \\le \\Lambda$。源项 $g \\in L^2(Q_{1,\\mathrm{per}})$ 已知，以散度形式给出，便于后续分析；非散度形式 $f$ 可通过求解 Poisson 方程预处理转化为 $g$。在上述假设下，由 Fredholm 择一定理，方程存在唯一解 $\\nabla u \\in L^2(Q_{1,\\mathrm{per}})$，且满足能量估计 $\\|\\nabla u\\|_2 \\le \\lambda \\|g\\|_2$，而 $u$ 仅相差一个常数。\n这类问题在材料科学中具有核心地位。当材料内部包含微结构（如夹杂、缺陷或晶界），其特征尺度 $\\varepsilon \\ll 1$ 远小于宏观尺度，直接的全场有限元模拟需要网格尺寸 $h \\ll \\varepsilon$，导致自由度数 $(1/h)^d$ 达到天文数字，远超当代超级计算机的内存极限。经典的数值方法如有限元平方 (FE$^2$) 或异质多尺度方法 (HMM) 需要在小尺度和大尺度之间耦合求解，且依赖于尺度分离假设，在真实材料中往往不成立。在计算均匀化框架下，FFT-based 求解器借助快速 Fourier 变换能高效处理周期性问题，但离散尺度仍受限（通常自由度 $\u003c 10^{10}$）且无法直接考虑极细网格下的稳定性。\n近年来，张量网络表示，尤其是量化张量列 (Quantized Tensor Train, QTT)，为高维数据压缩提供了可能。QTT 将 $d$ 维空间上的函数 $u(x)$ 沿每个坐标轴的二进分解展开为矩阵乘积态 (MPS)，利用低秩结构实现存储量与 $h$ 的指数级压缩：存储代价仅为 $O(d L r^2)$，其中 $h = 2^{-L}$，$r$ 是最大 TT-秩。已有工作表明，许多解析函数与光滑解可由低秩 QTT 高精度逼近，且基本的线性代数运算（加法、乘法、矩阵作用）均可直接在压缩格式下进行。然而，将 QTT 用于求解椭圆方程面临两个关键障碍。\n第一，离散椭圆算子的条件数随网格加密以 $h^{-2}$ 增长，当 $h \u003c 10^{-8}$ 时将超过机器精度，直接迭代求解不可行。Rakhuba [40,41] 通过解析构造一维 Laplace 算子之逆的 MPO，在常系数情形下实现了 $h = 10^{-12}$ 的精细网格，但该方法不能处理非均匀系数 $a$，且无法准确恢复梯度 $\\nabla u$。Bachmayr 与 Kazeev [4] 提出了预条件 QTT 有限元方法，理论上可处理异质系数并获得 $H^1$ 收敛，但对常系数 $a=1$ 的二维问题，其 MPO 的 TT-秩至少为 1152，且秩与系数 $a$ 的秩乘积相关，并随维数指数增长，导致三维或稍复杂的非均匀情况即失去实用性。\n第二，为了精确获得梯度场并与系数 $a$ 相适应，通常的变分形式将 $a$ 与微分算子乘积作用，在 QTT 框架下导致算子的秩大幅膨胀（乘积的秩近似于秩之积），丧失了压缩优势。此外，现有 QTT 求解器多直接处理原始变量 $u$，但梯度 $\\nabla u$ 的精度往往不佳或无法保证。\n本文的动机正是针对上述空白：设计一个基于 QTT 的求解器，能够在极细网格上 ($h \\ll 10^{-10}$) 对具有高度异质系数场 $a$ 的椭圆方程进行全场模拟，并可靠地输出解 $u$ 及其梯度 $\\nabla u$ 的 $L^2$ 逼近，同时保持适中的 TT-秩与无条件稳定性。该求解器不依赖于尺度分离假设，无需事先知道解的解析结构，从用户视角提供了普适性的多尺度线性椭圆方程直接求解工具。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果包括理论分析与数值实验两部分。\n理论分析（第4节）针对离散惩罚泛函 $$ \\widehat J_\\mu(\\hat\\psi) = \\frac12 \\langle \\hat\\psi, \\hat a * \\hat\\psi \\rangle + \\langle \\hat\\psi, \\hat g \\rangle + \\frac{\\mu}{2} \\langle \\hat\\psi, \\hat p \\odot \\hat\\psi \\rangle $$ 及其对应的 Euler-Lagrange 方程 $$ (\\hat a * + \\mu \\hat p \\odot) \\hat\\psi = -\\hat g, \\tag{19} $$ 证明了以下三条性质：\n无条件稳定性：离散算子 $\\hat A_\\mu = \\hat a * + \\mu \\hat p \\odot$ 的条件数满足 $$ \\kappa(\\hat A_\\mu) \\le \\frac{\\max(\\Lambda, \\mu)}{\\min(\\lambda^{-1}, \\mu)}, $$ 仅依赖于系数 $a$ 的上下界 $\\lambda^{-1}, \\Lambda$ 与惩罚参数 $\\mu$，而与离散水平 $L$（即网格尺寸 $h=2^{-L}$）无关。因此无论网格多细，局部问题的条件数均一致有界。 先验误差估计：若精确解 $\\hat\\psi^*$ 满足 $\\hat p \\odot \\hat\\psi^* = 0$，则惩罚解 $\\hat\\psi_\\mu$ 满足 $$ \\|\\hat\\psi_\\mu - \\hat\\psi^*\\|_{\\ell^2} \\le \\frac{C}{\\mu} \\|\\hat g\\|_{\\ell^2}, $$ 其中常数 $C$ 仅与 $\\lambda$ 有关。增大 $\\mu$ 可压制无散分量。 后验误差估计：定义残量 $\\hat r = \\hat a * \\hat\\psi_\\mu + \\hat g + \\mu \\hat p \\odot \\hat\\psi_\\mu$，则有可靠且有效的误差界 $$ \\frac{1}{\\max(\\Lambda,\\mu)} \\|\\hat r\\|_{\\ell^2} \\le \\|\\hat\\psi_\\mu - \\hat\\psi^*\\|_{\\ell^2} \\le \\frac{1}{\\min(\\lambda^{-1},\\mu)} \\|\\hat r\\|_{\\ell^2}. $$ 该估计量可用于自适应调整 $\\mu$ 或监控解的质量。 数值实验（第5节）在二维和三维验证了方法的实效：\n首先研究了 Helmholtz-Leray 投影算子 $\\hat p$ 的 QTT 表示：在不同格式（如 x1y1, x1x2_y1y2 等）下，对 $d=2,3$ 以适中的 TT-秩（约 10–100）实现了机器精度。 与已有方法的基准对比：使用具有解析解的制造解案例，在二维常系数 ($a=1$) 下，本文方法能以 $r \\approx 20$ 的秩获得与 [4] (秩 $\u003e1000$) 及 [27] 可比或更优的 $L^2$ 误差，且无需调整预处理子。 三维真实材料模拟：针对具有随机周期微结构且大尺度调制的导热问题，在 $d=3$ 下实现了虚拟自由度 $10^{37}$（对应 $h \\approx 2^{-44}$），梯度 $\\nabla u$ 的相对 $L^2$ 误差控制在 $10^{-3}$ 以内。在整个过程中，最大 TT-秩不超过 200，显示了极好的压缩效率。 3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心思想是将原方程 (2) 重写为关于梯度场 $\\psi = \\nabla u$ 的极小化问题，并通过惩罚技巧施加无旋约束 $\\psi \\in L^2_{\\mathrm{pot}}(Q_{1,\\mathrm{per}})$，从而将微分算子与系数场分离为加法项，既简化了 QTT 算子的构造，又保证了条件数的可控性。具体而言，技术路线包含以下创新点。\n1. Helmholtz–Leray 投影与惩罚泛函 引入正交分解 $L^2(Q_{1,\\mathrm{per}}) = L^2_{\\mathrm{pot}} \\oplus L^2_{\\mathrm{sol}}$，其中势场子空间 $L^2_{\\mathrm{pot}}$ 恰为梯度的集合，无散子空间 $L^2_{\\mathrm{sol}}$ 的投影算子 $P$ 即为 Helmholtz–Leray 投影。原方程等价的变分问题为在 $\\psi \\in L^2_{\\mathrm{pot}}$ 约束下极小化 $$ J(\\psi) = \\frac12 \\int \\psi \\cdot a \\psi + \\int \\psi \\cdot g. $$ 通过增加二次惩罚项 $\\frac{\\mu}{2} \\langle \\psi, P\\psi \\rangle$，得到无约束泛函 $J_\\mu(\\psi)$。该惩罚精确促使散度部分 $P\\psi$ 趋于零，且当 $\\mu\\to\\infty$ 时逼近原始问题。该思想借鉴自 FFT-based 求解器中的散度校正技术，但本文将其提升为核心构造，使得在 QTT 离散后算子的条件数不再与 $h$ 相关。\n2. Fourier 空间表达与算子解耦 由于 Helmholtz–Leray 投影 $P$ 在物理空间是奇异卷积，其 Fourier 乘子却十分简单：$\\hat p_{ij}(k) = \\delta_{ij} - k_i k_j / |k|^2$（在 $k=0$ 处约定为 $\\delta_{ij}$）。将泛函变换至 Fourier 空间，利用 Parseval 恒等式，得 $$ \\widehat J_\\mu(\\hat\\psi) = \\frac12 \\langle \\hat\\psi, \\hat a * \\hat\\psi \\rangle + \\langle \\hat\\psi, \\hat g \\rangle + \\frac{\\mu}{2} \\langle \\hat\\psi, \\hat p \\odot \\hat\\psi \\rangle, $$ 其中 $*$ 为离散卷积，$\\odot$ 为 Hadamard (逐点) 乘积。相应的算子分裂为两个 QTT 算子的和：$\\hat a *$ 与 $\\mu \\hat p \\odot$。这种加法结构是关键技术关键，因为 TT-秩的和近似等于秩之和，而乘积会使秩急剧增长。作为对比，Bachmayr 与 Kazeev 的算法将微分算子与 $a$ 通过乘法耦合，导致巨大的秩；而此处解耦后，$\\hat p \\odot$ 的秩直接等于 $\\hat p$ 的秩（由于对角结构），$\\hat a*$ 的秩通过“魔方张量”构造仅比 $\\hat a$ 的秩增加一个小因子（通常为 2 或 4），总体算子的秩保持在可接受范围。\n3. QTT 构造与线性系统求解 在均匀网格 $G_L$ 及对偶 Fourier 网格 $\\widehat G_L$ 上，利用二进下标将向量场 $\\hat\\psi$ 表示为具有矢量首核的 MPS（式 (21)）。$\\hat p$ 的 MPS 表示通过解析公式 $\\hat p_{ij}(k)$ 直接在 Fourier 网格上采样后，经由 TCI (Tensor Cross Interpolation) 算法获得低秩逼近。对于 $\\hat a$ 与 $\\hat g$，同样采用 TCI 从采样点生成 MPS，无需事先构建满维张量。离散 Fourier 变换 QFT 通过一维 QFT 的 Kronecker 积构造，其秩在不同格式下保持中等。\n最终离散算子 $\\hat A_\\mu = \\hat a * + \\mu \\hat p \\odot$ 既是对称正定的（当 $\\mu \u003e 0$ 且 $a$ 满足椭圆性），又由于其核心的 TT-秩为加性组合，远低于乘积型构造。求解采用 ALS 算法：依次优化各个核，每次求解一个较小规模的局部对称正定系统。由于 $\\kappa(\\hat A_\\mu)$ 的上界与 $h$ 无关，局部矩阵的条件数也一致有界，保证了 ALS 的快速收敛与数值稳定性。求得 $\\hat\\psi$ 后，通过 Green 算子 $Q$ (Fourier 乘子 $\\hat q(k) = i k / |k|^2$) 获得 $\\hat u = -\\hat q \\cdot \\hat\\psi$，再经逆 Fourier 变换得到物理空间的 $u$ 与 $\\nabla u$。\n4. 稳定性与误差分析 无条件稳定性的证明基于谱估计：对任意 $\\hat\\psi$， $$ \\langle \\hat\\psi, \\hat A_\\mu \\hat\\psi \\rangle \\ge \\min(\\lambda^{-1}, \\mu) \\|\\hat\\psi\\|_{\\ell^2}^2,\\quad \\langle \\hat\\psi, \\hat A_\\mu \\hat\\psi \\rangle \\le \\max(\\Lambda, \\mu) \\|\\hat\\psi\\|_{\\ell^2}^2, $$ 因此 $\\kappa(\\hat A_\\mu) \\le \\max(\\Lambda,\\mu) / \\min(\\lambda^{-1},\\mu)$。这里关键利用了 $\\hat p$ 的正交投影性质（$\\hat p = \\hat p^\\dagger = \\hat p^2$）以及 $a$ 的一致椭圆性。通过调整惩罚参数 $\\mu$（典型值 $\\sim 1$ 或略大于 1），条件数可保持在较小常数。这一性质使得极细网格上的 ALS 求解成为可能。后验误差估计量由残量 $\\|\\hat r\\|_{\\ell^2}$ 的自然界限导出，与 $\\kappa(\\hat A_\\mu)$ 相关联，提供了可靠的质量控制手段。\n4. 与之前工作的比较 本文提出的方法与若干已有 QTT 椭圆方程求解器形成鲜明对比，可以在处理对象、精度、秩复杂度、稳定性等多个维度上进行比较。\n与 Rakhuba [40,41] 的比较 Rakhuba 的方法针对常系数 Laplace 方程，通过解析构造一维逆 Laplacian 的 MPO 并利用张量积结构避免了直接求逆的 $h^{-2}$ 条件数问题。该方法成功地将网格尺寸推至 $h=10^{-12}$，且计算过程不涉及迭代，效率极高。然而其主要局限在于：\n只适用于 $a \\equiv 1$ 的纯扩散问题，无法处理非均匀系数场； 不能获得准确的梯度场 $\\nabla u$，仅输出 $u$； 若需推广到变系数，可能需要借助 Lippmann-Schwinger 迭代，这会引入 QTT 迭代压缩的困难。 本文的方法放宽了这两项假设：它直接以梯度 $\\psi = \\nabla u$ 为未知量，并有机地引入系数 $a$，因此既能处理一般异质场，又能精确恢复梯度。在常系数情形下，本文同样可以简化（$\\hat a*$ 退化为倍数），且能获得与 Rakhuba 方法相当的 $h$ 尺度，甚至更细（演示中 $d=3$ 可至 $h\\approx 2^{-44}$）。代价是需要通过 ALS 求解线性系统，但它得益于无条件稳定性而高效收敛。\n与 Bachmayr 与 Kazeev [4] 的比较 Bachmayr 和 Kazeev 提出了首个针对变系数椭圆方程的 QTT 预条件有限元方法，理论上可处理非均匀 $a$ 并实现 $H^1$ 收敛。其核心是构造一个预条件子 $M$，使得 $M A$（其中 $A$ 为刚度矩阵的 QTT 形式）有适中的条件数。然而该方法的根本瓶颈在于：\n预条件子的 TT-秩与系数 $a$ 的秩倍增，且随维数指数增长。对最简单的常系数二维情形，报告的最小秩为 1152；对于有非平凡结构的 $a$，秩将远超此数，导致存储和计算代价不菲； 三维情况因此实际上不可行； 尽管理论上有 $H^1$ 收敛，但如何从结果中实际复原 $\\nabla u$ 并非直接阐明。 本文的策略通过惩罚形式的 Helmholtz–Leray 投影将算子分离为 $\\hat a* + \\mu \\hat p\\odot$，秩仅为两者的线性叠加，而 $\\hat p\\odot$ 本身秩很小（示例如 10–20），$\\hat a*$ 的秩由 $\\hat a$ 的秩决定但无指数增长。因而对于同样的二维常系数问题，本文可仅用秩约 20 的表示达到同等精度，并可扩展至三维与复杂微结构场（实验中秩 \u0026lt; 200）。这也使得三维模拟首次在 QTT 框架下变为可行。\n与 FFT-based 及 QFT-based 方法的比较 经典的基于 FFT 的多尺度求解器（如 Lippmann-Schwinger 迭代配合固定点法）虽能处理异质系数和获取梯度，但面对极细网格时仍需要存储满维场量，且每次迭代需 Fourier 变换，内存和时间增长迅速。QTT 的出现提供了在压缩域运算的可能性，但早期尝试 (如 Risthaus 与 Schneider [42]，Giacomini 等 [21]) 并未展现出优于传统 FFT 的性能，部分原因在于他们的方法未能全程保持在 QTT 格式内（需解压），或使用了迭代框架，其中每一步的 MPO 乘法与压缩累积了秩与误差。\n本文采用的全 QTT 策略在压缩域内完成所有运算（仅 TCI 采样和最终重建时接触物理量），且通过惩罚形式避免了乘性复合导致的秩膨胀，从而在极细网格上显现出压倒性优势（如自由度 $10^{37}$ 级别的模拟）。与 [25] 的理论工作相比，该文主要从均匀化角度证明了在特殊微结构下解和梯度可得到低秩 QTT 表示，但并未给出求解器；本文则贡献了实际可运行的通用工具，并配以详尽的分析。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 矩形 Raviart–Thomas 元的精细收敛结构 Refined convergence structures of the rectangular Raviart-Thomas element\n作者: Yifan Yue, Hongtao Chen, Shuo Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-21\narXiv ID: 2605.21979v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.21979v1\n摘要翻译 中文标题: 矩形 Raviart–Thomas 元的精细收敛结构\n摘要翻译: 本文充分探究了最低阶矩形 Raviart–Thomas 元在求解 Laplace 特征值问题时的三种精细收敛结构。首先，该格式具有离散特征函数与插值特征函数之间的超逼近性质，从而可以方便地构造后处理，最多可将精度提高一阶。所用核心技巧是对插值项进行积分展开。其次，基于超逼近性质，我们不仅对单特征值、还对于重特征值推导了误差展开式，并给出了严格证明，据此可执行 Richardson 外推。作为附带结果，我们证明了所有特征值均从上方收敛。此外，利用超逼近性质及 Rayleigh 商分析，我们对方形区域上均匀网格的重特征值收敛行为给出了严格证明。第三，我们指出了最低阶矩形 Raviart–Thomas 元与加富旋转双线性元之间的等价性。在文末，设计了一系列数值实验来验证我们的理论。\n2. Vlasov-Poisson系统的一种保结构装饰粒子方法 A Structure-Preserving Decorated Particle Method for the Vlasov-Poisson System\n作者: Mandela B. Quashie, J. W. Burby, Andrew J. Christlieb, Qi Tang\n类别: math.NA, physics.plasm-ph\n发布日期: 2026-05-20\narXiv ID: 2605.21794v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.21794v1\n摘要翻译 中文标题: Vlasov-Poisson系统的一种保结构装饰粒子方法\n摘要翻译: 我们重新审视了Scovel-Weinstein框架（Scovel \u0026amp; Weinstein, CPAM 1994），该框架用于约化Vlasov-Poisson系统同时保持其哈密顿结构。标准的粒子网格（PIC）算法通过具有位置和速度的宏粒子来近似分布函数。相比之下，Scovel-Weinstein装饰粒子引入了额外的形状自由度，同时保持了从连续模型继承的哈密顿结构的有限维约化。虽然原始工作在三十年前就建立了这一结构，但其计算潜力在很大程度上尚未得到探索。我们给出了Scovel-Weinstein模型的一个实用实现，并将其与标准PIC算法进行了比较。数值实验表明，标准PIC中的宏粒子可以被少得多的装饰粒子替代，同时保持相当的精度。这种装饰粒子方法为动理学等离子体模拟提供了一种新的保结构范式。\n3. 双调和方程的拟最优多面体有限元方法 Quasi-optimal polytopal finite element methods for biharmonic equation\n作者: Ngoc Tien Tran\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-20\narXiv ID: 2605.21764v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.21764v1\n摘要翻译 中文标题: 双调和方程的拟最优多面体有限元方法\n摘要翻译: 本文在一般多面体网格上的极小正则性假设下，建立了双调和方程的弱伽辽金、间断伽辽金和混合高阶有限元方法的拟最优和低阶误差估计。此外，还证明了稳定化项在后验误差估计中是一个有效的贡献。\n不相关论文（基本信息） 1. 流形交集上的优化 Optimization over the intersection of manifolds\n作者: Yan Yang, Bin Gao, Ya-xiang Yuan\n类别: math.OC, cs.LG, math.DG, math.NA\n发布日期: 2026-05-21\narXiv ID: 2605.22736v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.22736v1\n摘要: Optimization over the intersection of two manifolds arises in a broad range of applications, but is hindered by the coupled geometry of the feasible region. In this paper, we prove that the regularities \u0026ndash; clean intersection and intrinsic transversality \u0026ndash; are equivalent, which yields a tractable projection onto the tangent space of the intersection. Therefore, we propose a geometric method that employs a retraction on only one manifold and updates the iterate along two orthogonal directions. Specifically, the iterates stay on one manifold, and the two directions are responsible for asymptotically approaching the other manifold and decreasing the objective function, respectively. Under intrinsic transversality, we derive the convergence rate for both the feasibility and optimality measures, and show that every accumulation point is first-order stationary. Numerical experiments on problems stemming from sparse and low-rank optimization, including fitting spherical data, approximating hyperbolic embeddings on real data, and computing compressed modes, demonstrate the effectiveness of the proposed method.\n2. 基于$\\operatorname{prox}$的半光滑牛顿法求解TV最小化问题 A $\\operatorname{prox}$-Based Semi-Smooth Newton Method for TV-Minimization\n作者: Sören Bartels, Alex Kaltenbach\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-21\narXiv ID: 2605.22728v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.22728v1\n摘要: In this paper, we devise a $\\operatorname{prox}$-based semi-smooth Newton method for the non-differentiable TV-minimization problem. To this end, the primal-dual optimality conditions are reformulated as a nonlinear operator equation with Newton-(type-)differentiable structure. We investigate the question of well-posedness of the resulting semi-smooth Newton scheme in the infinite-dimensional setting and identify structural properties of the associated Newton-type derivatives. For a conforming finite element discretization, we prove that the resulting semi-smooth Newton method is globally well-posed and locally super-linearly convergent. The approach extends to a large class of convex minimization problems, coincides with established semi-smooth Newton methods for obstacle problems, satisfies a primal-dual invariance, and, under suitable additional assumptions, is well-posed in the infinite-dimensional setting. Numerical experiments indicate a robust practical performance of the proposed method, including reliable reduction of the discrete primal-dual gap estimator to machine precision, robustness with respect to the choice of proximity parameters, an improved convergence basin compared to a canonical primal semi-smooth Newton method, and effective performance even for quadratically graded meshes using only a mesh-independent initialization criterion.\n3. 多个神经算子实现多任务学习的近最优速率 Multiple Neural Operators Achieve Near-Optimal Rates for Multi-Task Learning\n作者: Adrien Weihs, Hayden Schaeffer\n类别: cs.LG, math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-05-21\narXiv ID: 2605.22724v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.22724v1\n摘要: We study the approximation and statistical complexity of learning collections of operators in a shared multi-task setting, with a focus on the Multiple Neural Operators (MNO) architecture. For broad classes of Lipschitz multiple operator maps, we derive near-optimal upper bounds for approximation and statistical generalization. On the lower-bound side, we establish a curse of parametric complexity and prove corresponding minimax rates. Together, these results show that shared representations across tasks do not increase the overall cost: multi-task operator learning follows the same scaling laws as single operator learning. We also compare MNO with a multi-task extension of DeepONet based on concatenated task inputs and show that, from a worst-case approximation-complexity perspective, both architectures satisfy essentially the same asymptotic rates.\n4. 关于正则轨道基下耦合簇振幅的正则性与插值 On the Regularity and Interpolation of Coupled Cluster Amplitudes in Canonical Orbital Basis\n作者: Jonas Beck, Benjamin Stamm\n类别: math.NA, physics.chem-ph\n发布日期: 2026-05-21\narXiv ID: 2605.22584v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.22584v1\n摘要: Arguably the most widely used approaches for obtaining highly accurate molecular ground-state energies are coupled cluster methods. Despite introducing two layers of approximation, a linear and a nonlinear one, coupled cluster methods remain computationally intensive, with the complexity scaling as $O(poly(N))$, where $N$ is the number of electrons. Moreover, this method must be applied over a large set of different nuclear coordinates in order to study certain chemical phenomena. Therefore, in this work, we investigate the regularity of single-reference coupled cluster amplitudes with respect to nuclear coordinate displacements, with the aim of enabling interpolation or extrapolation approaches that rely on only a limited number of reference geometries. We show that, in theory, under certain non-degeneracy assumptions on the Hartree-Fock level of theory, and the coupled cluster level of theory the amplitudes behave real analytic. Furthermore, we analyze the artifacts that arise in practical calculations that use canonical orbitals, which hinder this high degree of regularity, and suggest strategies to mitigate these issues. Finally, we validate our findings through numerical experiments by interpolating the amplitudes and comparing the performance of the interpolants with that of the exact amplitudes.\n5. 神经流算子能逼近任意算子：抽象框架与万能逼近 Neural Flow Operators can Approximate any Operator: Abstract Frameworks and Universal Approcimations\n作者: Shuang Chen, Juncai He, Xue-Cheng Tai\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-21\narXiv ID: 2605.22557v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.22557v1\n摘要: We introduce an abstract neural flow framework for neural networks and neural operators. The framework contains two continuous-depth models, namely neural flows with composition and separation structures, and covers both finite-dimensional function approximation and infinite-dimensional operator approximation. We prove well-posedness and universal approximation properties for the corresponding neural flows, including, to the best of our knowledge, the first universal approximation result for flow-based models between infinite-dimensional spaces. We also obtain universal approximation results for convolutional neural flow models. Through suitable time discretizations, the composition structure recovers ResNet-type architectures, while the separation structure, via a splitting-based discretization, yields plain architectures. This gives a unified flow-based route to both residual and plain architectures for neural networks and neural operators with fully connected or convolutional linear layers.\n6. 椭圆-抛物问题的解耦Runge-Kutta格式 Decoupling Runge-Kutta schemes for elliptic-parabolic problems\n作者: Robert Altmann, Abdullah Mujahid, Benjamin Unger\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-21\narXiv ID: 2605.22485v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.22485v1\n摘要: We study the construction and convergence of semi-explicit and iterative decoupling schemes for an elliptic-parabolic problem using higher-order Runge-Kutta methods. For the semi-explicit schemes, which are constructed using a nearby delay system with $k$ time delays, we establish the convergence of $k$th-order Runge-Kutta methods under a weak coupling condition. We develop the convergence analysis by adapting the Fourier stability and perturbation techniques of [Lubich, Ostermann, Math. Comp., 64(210):601\u0026ndash;627, 1995]. The key tool is the generating function framework, in which the Runge-Kutta discretization is encoded through an operator-valued function. Stability estimates are then obtained via Parseval\u0026rsquo;s identity on the unit circle. We further present convergence results for iterative (fixed-stress and undrained-split) higher-order Runge-Kutta schemes. Here, a spectral decomposition of the Schur complement operator is central. Finally, we provide numerical examples to verify the proven convergence results.\n7. 具有极小多项式外推加速的基于Schwarz模的矩阵分裂用于美式期权定价中产生的线性互补问题 Schwarz Modulus Based Matrix Splittings with Minimal Polynomial Extrapolation Acceleration for linear complementarity problems arising from American option pricing\n作者: Martin J. Gande, Si-Wei Liao, Liu-Di Lu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-21\narXiv ID: 2605.22315v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.22315v1\n摘要: Pricing American options is more complicated than pricing European options, because they can be exercised at any time, and one thus needs to solve a linear complementarity problem instead of simply doing time stepping for computing European options. We introduce a new Schwarz modulus-based splitting method for solving such linear complementarity problems, and further accelerate them using Modified Polynomial Extrapolation, a non-linear vector sequence acceleration technique, which is very much related to Krylov methods in the linear case. Numerical experiments on a model problem show that our new solver can have close to an order of magnitude lower iteration counts than the classically used modulus-based matrix splitting technique.\n8. 从偏微分方程约束优化到能控性问题：基于时域分解的方法 From PDEs constrained optimization to controllability problems via time domain decomposition\n作者: Pierre-Henri Cocquet, Liu-Di Lu\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-21\narXiv ID: 2605.22312v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.22312v1\n摘要: This paper focuses on the application of time domain decomposition to solve partial differential equations constrained optimization problems and controllability problems. After clarifying the link between these two types of problems, we show that applying time domain decomposition to both problems leads to the same convergence behavior. Our numerical experiments also confirm these theoretical findings.\n9. 随机化柔性LSQR和LSMR及其在反问题中的应用 Randomized Flexible LSQR and LSMR with applications to inverse problems\n作者: Alberto Bucci, Silvia Gazzola, Leonardo Robol\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-21\narXiv ID: 2605.22281v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.22281v1\n摘要: LSQR and LSMR are iterative methods, based on the Golub-Kahan bidiagonalization algorithm, widely used for large-scale linear least squares problems. FLSQR and FLSMR are flexible variants of LSQR and LSMR, respectively, based on a flexible Golub-Kahan (Arnoldi-like) factorization algorithm, which naturally allow modifications of the solution approximation subspace and/or handling inexact matrix-vector multiplications with the (transpose of the) coefficient matrix, thereby enabling to enforce prior information into the computed solution. The goal of this paper is to introduce sFLSQR and sFLSMR, i.e., sketched variants of FLSQR and FLSMR, respectively, where randomization becomes particularly effective, as it allows to recover short recurrences for the solution approximation. In particular, this paper explores applications to large-scale inverse problems, showing the ability of the new randomized solvers to alleviate computational bottlenecks while preserving reconstruction quality. A theoretical analysis of sFLSQR and sFLSMR is provided, and their performance is validated through numerical experiments.\n10. 变系数二阶问题的边界元法 BEM for variable coefficient second-order problems\n作者: Benedikt Gräßle, Stefan A. Sauter\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-21\narXiv ID: 2605.22159v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.22159v1\n摘要: A novel boundary element method (BEM) removes the classical dependence on explicit fundamental solutions and extends quasi-optimal BEM discretisations to strongly elliptic operators with variable coefficients. The approach constructs a computable approximation of the boundary operator from a Galerkin discretisation of the underlying elliptic differential operator in a one-time preprocessing step, for instance by conforming finite elements. The resulting algebraic formulation retains the dimension reduction intrinsic to boundary integral methods and is compatible with standard data-sparse matrix compression techniques.\n11. 面向蒙日-安培方程的带有注意力特征扩展的物理信息神经网络 Physics-Informed Neural Networks with Attention Feature Expansion for Monge-Ampère Equations\n作者: Anxiao Yu, Bangmin Wu, Zhengbang Zha, Xinlong Feng, Dongwoo Sheen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-21\narXiv ID: 2605.22115v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.22115v1\n摘要: The Monge-Ampère equation is a fundamental fully nonlinear elliptic partial differential equation that finds extensive applications across multiple disciplines. This study proposes a novel physics-informed neural network integrated with attention feature expansion (PINN-AFE) for its numerical solution. A multi-head attention enhanced feature pool is constructed to enable adaptive nonlinear feature representation, and input convex neural networks are adopted to impose strict convexity of solutions with rigorous theoretical guarantees. Meanwhile, a dynamically weighted loss function combined with hybrid optimization is formulated to accelerate training convergence. Comprehensive numerical experiments validate the accuracy and computational efficiency of the developed framework. The PINN-AFE paradigm is further extended to image processing tasks, delivering high-quality and physically consistent results in both image enhancement and medical image registration scenarios.\n12. 比例延迟微分方程的稳定性分析 Stability Analysis of Pantograph Delay Differential Equations\n作者: Sachin Bhalekar\n类别: math.DS, math.NA\n发布日期: 2026-05-21\narXiv ID: 2605.22019v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.22019v1\n摘要: This article investigates the stability of pantograph delay differential equations, in which the delayed argument is proportional to the present time. We derive analytic criteria that partition the parameter plane into unstable, asymptotically stable, and delay-dependent stability regions. The theoretical results are supported by numerical simulations that illustrate the sharpness of the stability boundaries. We also formulate a proportional-delay analogue of the Mackey\u0026ndash;Glass chaotic delay differential equation and examine the resulting dynamical behaviour.\n13. 图上瓦瑟斯坦空间中哈密顿-雅可比方程的单调格式的一阶收敛 First-Order Convergence of Monotone Schemes for Hamilton\u0026ndash;Jacobi Equations on the Wasserstein Space on Graphs\n作者: Jianbo Cui, Tonghe Dang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-21\narXiv ID: 2605.22016v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.22016v1\n摘要: We prove first-order convergence of semi-discrete monotone finite difference schemes for Hamilton\u0026ndash;Jacobi equations on the Wasserstein space over a finite graph. A central challenge is the boundary degeneracy of the Wasserstein simplex, which prevents the direct use of the standard $L^1$ adjoint method and limits doubling-of-variables arguments to the suboptimal rate $\\mathcal O(h^{\\frac 12})$ \\cite{CDM25}. We address this issue by introducing a weighted $L^1$ framework with a boundary-vanishing weight and by analyzing the corresponding weighted adjoint equation for the linearized operator of the scheme, featuring a new geometric drift term. Our proof relies on uniform bounds for the weighted adjoint variable and the mesh-parameter derivative of the numerical solution. These estimates are derived from discrete gradient and semi-concavity bounds, obtained through a bootstrap argument for two classes of monotone Hamiltonians.\n14. 基于近端梯度的低秩张量分解用于状态依赖Riccati方程 Proximal Gradient-based Low Rank Tensor Decomposition for State Dependent Riccati Equation\n作者: Jiahua Jiang, Carmeliza Navasca\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-05-21\narXiv ID: 2605.21885v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.21885v1\n摘要: We address the optimal control problems arising from partial differential equations with large discrete dimensional control systems. To obtain reduced order models, we find basis elements from the canonical polyadic (CP) decomposition. Tensor datasets are from snapshots of the large models. Our method to reduce the control system is to use dimensionality reduction approaches through sparse optimization and flexible hybrid methods is to obtain low rank CP tensor basis elements. The reduced optimal control problem leads to reduced state-dependent Riccati Equations which can be solved efficiently.\n15. 一种蝴蝶加速的流形调和变换 A Butterfly-Accelerated Manifold Harmonic Transform\n作者: Paul G. Beckman, Samuel F. Potter, Michael O\u0026rsquo;Neil\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-20\narXiv ID: 2605.21828v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.21828v1\n摘要: The eigenfunctions of the Laplacian are a natural basis of functions for many tasks in computational mathematics. On the circle and sphere, the eigenfunctions are given by complex periodic exponentials and spherical harmonics, respectively, and much work has been done to develop fast algorithms for analyzing and synthesizing data in these bases. In this work, we generalize these special-case transforms to Laplace-Beltrami eigenfunctions of arbitrary surfaces, referred to as manifold harmonics. The resulting fast algorithm for computing linear combinations of the manifold harmonics is based on a butterfly factorization, which hierarchically compresses the transform matrix by constructing nested low-rank approximations of carefully selected submatrices. Several numerical examples are provided which demonstrate the speedups and reduction in memory requirements achieved by our algorithm for a variety of geometries, discretizations, and applications. In addition, a detailed analysis of the algorithm is given in the case that the underlying manifold is the flat periodic square.\n16. 跨退火贝叶斯后验的似然信息降维 Likelihood-informed dimension reduction across tempered Bayesian posteriors\n作者: Arne Bouillon, Oliver R. A. Dunbar\n类别: stat.CO, math.NA\n发布日期: 2026-05-20\narXiv ID: 2605.21717v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.21717v1\n摘要: Scientific computer simulations cannot represent all scales in realistic applications. To bridge this model-data gap, parameters are injected into models and constrained with noisy data using Bayesian inversion. To reduce the number of simulator evaluations, which can be 10^5 or more, modern approaches employ dimension reduction in conjunction with emulation of the forward map (that contains the simulator). Due to scarcity of model evaluations and data, this dimension reduction becomes very important for posterior sampling performance. Recent work on likelihood-informed subspaces (LIS) truncates to informative directions by optimizing bounds on information loss, and though mathematically well-adapted to sampling, they are often restrictive in practice. In this work, we provably generalize this methodology to facilitate application to $α$-tempered (i.e., annealed, power-posterior) distributions for $α$ in [0,1]. We provide theory to build partially-informed spaces termed $α$-LIS. We show how $α$ \u0026lt; 1 can often produce near-optimal spaces. In addition, we focus on applying $α$-LIS to practical cases, where the available data is severely limited and noisy. We propose and test extensions for utilizing data from the entire sequence of distributions $α$_0 \u0026lt; \u0026hellip; \u0026lt; $α$_k, and use simple approximations of model gradients so that our approach can be used for emulation of forward maps for chaotic or stochastic systems where derivatives are unavailable or uninformative due to noise. In experiments, our accumulated approach is much more robust to these challenging circumstances than the theoretically optimal $α$ = 1.\n17. 肿瘤生长Cahn-Hilliard-Darcy模型的保结构迎风DG格式 Structure-preserving upwind DG scheme for a Cahn-Hilliard-Darcy model of tumor growth\n作者: Daniel Acosta-Soba, Francisco Guillén-González, J. Rafael Rodríguez-Galván\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-20\narXiv ID: 2605.21716v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.21716v1\n摘要: In this work, we develop a structure-preserving numerical scheme for a Cahn-Hilliard-Darcy model that describes tumor growth in a fluid-saturated porous medium. First, we derive a physically consistent model from the general framework proposed in [29] that guarantees mass conservation and pointwise bounds on the phase-field and nutrient variables, with a decreasing energy law. The resulting model couples the evolution of tumor cells via a Cahn-Hilliard equation with a diffusion equation for the nutrients thro chemotactic interactions and extends the model in [1] by introducing the effect of a surrounding fluid described by Darcy\u0026rsquo;s law. Subsequently, we propose a fully discrete scheme that combines an upwind discontinuous Galerkin method in space and a convex splitting strategy in time, which inherits the fundamental properties of the continuous model: mass conservation, pointwise bounds and discrete energy law. Our theoretical analysis is accompanied by numerical experiments that demonstrate the robustness of the proposed scheme and show the influence of the surrounding fluid on the tumor evolution.\n18. 经典风险模型中破产概率的龙格-库塔数值方法 Runge\u0026ndash;Kutta numerical methods for ruin probabilities in classical risk model\n作者: George Kanakoudis, Lazaros Kanellopoulos\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-20\narXiv ID: 2605.21693v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.21693v1\n摘要: In this paper, we study Runge\u0026ndash;Kutta methods for the computation of ruin probabilities in the classical risk model through the associated Volterra integro-differential equation. The proposed framework combines fourth-order one-step and two-step Runge\u0026ndash;Kutta schemes with numerical quadrature formulas to approximate the convolution term. In particular, the convolution term is approximated using Newton\u0026ndash;Cotes and Gaussian quadrature formulas, including Simpson\u0026rsquo;s 1/3 rule and Pareto-adapted Gauss\u0026ndash;Jacobi quadrature. An equivalent reformulation of the Volterra equation as a system of ordinary differential equations is also considered. Implementations for Gamma and Pareto claim-size distributions are developed. Numerical results are presented to illustrate the effectiveness of the proposed methods.\n19. M-矩阵平方根的逐分量精确计算 Component-wise accurate computation of the square root of an M-matrix\n作者: Dario A. Bini, Bruno Iannazzo, Beatrice Meini, Jie Meng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-20\narXiv ID: 2605.21679v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.21679v1\n摘要: Component-wise accurate algorithms for computing the principal square root of an M-matrix are designed in terms of triplet representations. A triplet representation of an M-matrix $A$ is the triple $(P, {\\bf u},{\\bf v})$, where the matrix $P$ is such that $p_{ij}=-a_{ij}$ for $i\\ne j$, $p_{ii}=0$, and ${\\bf u}\u003e0$, ${\\bf v}\\ge 0$ are two vectors such that $A{\\bf u}={\\bf v}$. It is shown that if $A$ is an M-matrix representable by a triplet, then its principal square root exists and is an M-matrix represented by a triplet as well. New versions of the Cyclic Reduction and the Incremental Newton iterations are provided in terms of triplets, to compute the principal matrix square root of $A$. It is shown that these algorithms are component-wise numerically stable independently of the singularity of $A$ and of its condition number. Numerical experiments are shown to confirm the component-wise stability.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-05-22_06-43-11/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年05月22日 06:43:11\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 19\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-基于量化张量列的多尺度椭圆方程稳定全场模拟\"\u003e1. 基于量化张量列的多尺度椭圆方程稳定全场模拟\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eStable full-field simulation of a multiscale elliptic equation by means of Quantized Tensor Trains\u003c/p\u003e","title":"2026年05月22日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年05月21日 06:50:34\n重点关注论文数量: 3\n了解领域论文数量: 12\n不相关论文数量: 34\n重点关注论文（完整分析） 1. Helmholtz方程Cauchy问题的最小二乘弱Galerkin有限元格式 A Least-Squares Weak Galerkin Finite Element Scheme for Cauchy Problems in Helmholtz\n作者: Chunmei Wang, Shangyou Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-20\narXiv ID: 2605.21162v1\n摘要翻译: 本文针对与Helmholtz方程相关的严重不适定Cauchy问题，提出并严格分析了一种最小二乘弱Galerkin（LS-WG）有限元方法。通过利用定义在间断函数空间上的弱Laplace算子，所提出的框架便于无缝处理复杂边界条件和内部交界面。我们强调了LS-WG格式在一般多边形和多面体剖分上的几何灵活性。进一步，我们证明了数值解的唯一性，并基于专门设计的离散能量范数导出了最优阶误差估计。大量的数值实验验证了理论收敛阶，并展示了该算法相对于传统Galerkin方法的稳健性和高效性。\nComment: 20 pages, 9 tables, 3 figures. arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:2605.14770\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.21162v1\n1. 研究对象和背景 本文研究的是 Helmholtz 方程 Cauchy 问题, 即在有界多角形或多面体区域 $\\Omega \\subset \\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 上, 给定部分边界 $\\Gamma_1$ (具正测度) 上的 Dirichlet 数据 $u = g_1$ 和 Neumann 数据 $\\nabla u \\cdot n = g_2$, 而在其余不可达边界 $\\Gamma_2$ 上无任何信息, 求解函数 $u$ 满足方程 $$\\Delta u + k^2 u = f \\quad \\text{在 } \\Omega \\text{ 内},$$ 其中 $k\u003e0$ 为波数. 该问题在 Hadamard 意义下严重不适定, 边界数据的微小扰动可导致解的指数级放大. 它在逆散射、无损检测、声全息、热声成像、地球物理勘探等领域具有重要应用, 因而发展稳定高效的数值方法十分必要.\n经典的数值处理方法包括拟可逆性方法[13]、交替迭代法[12]以及边界元结合 Tikhonov 正则化[9,25]等. 近十余年来, 弱伽辽金 (Weak Galerkin, WG) 有限元方法[46,47]因其允许完全不连续逼近函数并使用弱导数模拟微分算子而受到广泛关注. 该方法天然支持一般多边形与多面体网格, 能够处理悬挂节点和复杂界面. 其后续发展之一——原始‑对偶弱伽辽金 (PDWG) 方法[21,22]——通过引入对偶变量将非自伴问题转化为约束极小化, 但增加了整体自由度.\n针对 Helmholtz 方程的 Cauchy 问题, 直接采用传统有限元离散会得到不定线性系统, 尤其在高波数下迭代求解极为困难, 且需 $C^0$ 连续基函数, 难以处理通用网格. 本文试图填补的空白是: 在 WG 框架下构造一个最小二乘弱伽辽金 (Least‑Squares Weak Galerkin, LS‑WG) 格式, 将原不适定 Cauchy 问题变换为对称正定 (SPD) 的离散系统, 通过引入弱拉普拉斯算子和适当设计的稳定子, 实现复杂边界条件下的无缝处理, 在此基础上严格证明离散解的唯一性并导出关于离散能量范数的最优阶误差估计, 最后通过数值实验验证收敛性与鲁棒性.\n2. 主要定理或主要结果 设连续 Cauchy 问题 (1.1) 在 $\\Omega$ 上存在唯一解 $u \\in H^{m+1}(\\Omega)$, $m \\ge 1$ 为多项式次数. 记 $\\mathcal{T}_h$ 为 $\\Omega$ 的拟一致多边形或多面体剖分, 全局网格尺寸 $h = \\max_{T\\in\\mathcal{T}_h} h_T$. 令 $W_h$ 为相应的弱伽辽金离散空间, $Q_h u = \\{Q_0 u, Q_b u, Q_g (\\nabla u)\\}$ 是 $u$ 到 $W_h$ 的自然投影. 定义离散能量范数 $|||v||| = \\sqrt{a(v,v)}$, 其中双线性形式 $a(\\cdot,\\cdot)$ 由 (3.1) 给出, 包含弱拉普拉斯项和稳定子. 本文的主要结论为:\n唯一性 (Lemma 4.2): 若连续问题唯一可解, 则 LS‑WG 格式 (3.2) 存在唯一解 $u_h \\in W_h$.\n最优误差估计 (Theorem 6.2): 存在与 $h$ 和 $k$ 无关的常数 $C\u003e0$, 使得 $$||| u_h - Q_h u ||| \\le C k h^{m-1} \\| u \\|_{m+1,\\Omega}.$$ 数值验证: 在 $k^2=10$ 和 $k^2=10^6$ 两种情形下, 于三角形网格和非凸多边形网格上使用 $P_2$, $P_3$, $P_4$ 元素进行测试, 结果均显示出约 $m-1$ 阶的收敛速率, 与理论分析吻合.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的技术核心在于如何在一个完全不连续的弱函数空间上, 将二阶椭圆算子与最小二乘思想结合, 并导出可证明最优误差估计的稳定化方案. 具体分析框架和关键工具有:\n1. 弱函数与离散弱拉普拉斯算子\n定义弱函数为三元组 $v = \\{v_0, v_b, v_g\\}$, 其中 $v_0 \\in L^2(T)$, $v_b \\in L^2(\\partial T)$, $v_g \\in [L^2(\\partial T)]^d$, 三者独立, 不要求 $v_b$ 为 $v_0$ 的迹, $v_g$ 为 $\\nabla v_0$ 的迹. 弱拉普拉斯 $\\Delta_w v$ 通过分部积分定义: 对任意 $w \\in H^2(T)$, $$(\\Delta_w v, w)_T = (v_0, \\Delta w)_T - \\langle v_b, \\nabla w \\cdot n \\rangle_{\\partial T} + \\langle v_g \\cdot n, w \\rangle_{\\partial T}.$$ 其离散版本 $\\Delta_{w,r,T} v$ 是多项式空间 $P_r(T)$ 中唯一的函数满足上式对所有 $w \\in P_r(T)$ 成立. 该算子使得在不连续空间上可逐元素计算二阶差分, 从而为最小二乘提供所需的局部残差 $\\Delta_w u + k^2 u_0$.\n2. 最小二乘双线性形式与稳定子设计\n构造整体双线性形式 $$a(u,v) = \\sum_{T\\in\\mathcal{T}_h} (\\Delta_w u + k^2 u_0, \\Delta_w v + k^2 v_0)_T + s(u,v),$$ 其中稳定子 $$s(u,v) = \\sum_{T\\in\\mathcal{T}_h} \\left[ k^2 h_T^{-3} \\langle u_0 - u_b, v_0 - v_b \\rangle_{\\partial T} + k^2 h_T^{-1} \\langle (\\nabla u_0 - u_g) \\cdot n, (\\nabla v_0 - v_g) \\cdot n \\rangle_{\\partial T} \\right].$$ 稳定子的尺度 $h_T^{-3}$ 与 $h_T^{-1}$ 分别惩罚内部量与边界量及其法向导数的跳跃, 是达成最优 $h^{m-1}$ 阶的关键. 由于 $a(\\cdot,\\cdot)$ 对称正定, 离散系统为 SPD, 可直接用共轭梯度法高效求解.\n3. 可交换性质与误差方程\n一个决定性观察是 $L^2$ 投影与离散弱拉普拉斯的可交换性 (Lemma 4.1): $$\\Delta_w (Q_h w) = Q_0 (\\Delta w) \\quad \\forall w \\in H^2(\\Omega).$$ 藉此可将连续方程投影到离散空间, 得到 $$a(Q_h u, v_h) = \\sum_{T\\in\\mathcal{T}_h} (f, \\Delta_w v_h + k^2 v_0)_T + s(Q_h u, v_h).$$ 与数值格式 (3.2) 相减, 即得误差方程 $$a(e_h, v_h) = -s(Q_h u, v_h), \\qquad e_h = u_h - Q_h u.$$4. 能量估计与逼近性质\n取测试函数 $v_h = e_h$, 由 Cauchy–Schwarz 不等式得 $$|||e_h|||^2 \\le \\sqrt{s(Q_h u, Q_h u)} \\, |||e_h||| \\Rightarrow |||e_h||| \\le \\sqrt{s(Q_h u, Q_h u)}.$$ 最后利用 $L^2$ 投影的标准逼近性质 $$\\sum_{T} \\| u - Q_0 u \\|_{s,T}^2 \\le C h^{2(m+1-s)} \\|u\\|_{m+1}^2, \\; s=0,1,2,$$ 以及边界迹不等式 $$\\|\\phi\\|_{\\partial T}^2 \\le C (h_T^{-1} \\|\\phi\\|_T^2 + h_T \\|\\nabla\\phi\\|_T^2),$$ 细致估计稳定子中各项, 最终导出 $$s(Q_h u, Q_h u) \\le C k^2 h^{2m-2} \\|u\\|_{m+1}^2,$$ 代入即得 Theorem 6.2 的误差界. 整个证明无需求解对偶问题, 完全基于能量范数的直接控制.\n4. 与之前工作的比较 6. 与文献[50]中 LS‑WG 思想的关系\n文中提及[50]可能初步引入了 LS‑WG 概念, 但所提供内容中未详细展开其理论与本文的具体区别. 从本文工作看, 其推进在于: a) 给出了完备的唯一性和误差分析; b) 明确揭示了稳定子中 $k^2 h^{-3}$ 与 $k^2 h^{-1}$ 的尺度对最优阶的必要性; c) 通过可交换性质大幅简化了分析. 若[50]仅提出格式而无理论, 则本文的贡献即为首次为该格式建立严格理论.\n2. 一维亥姆霍兹方程的一种伯努利相位拟合有限差分方法与波数显式分析 A Bernoulli phase-fitted finite difference method and wavenumber-explicit analysis for the one-dimensional Helmholtz equation\n作者: Ansgar Jüngel, Panchi Li, Zhiwei Sun, Zhiwen Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-20\narXiv ID: 2605.21144v1\n摘要翻译: 我们针对区间 $(0, L)$ 上带有阻抗边界条件的亥姆霍兹方程，提出了一种伯努利相位拟合（BPF）有限差分方法。该格式源于亥姆霍兹算子单向分解的复化沙尔费特—古梅尔离散化，既给出了一种相位拟合的内部离散，也给出了精确的离散阻抗边界封闭。对于齐次问题，该方法对平面波是精确的，因此格式既不引入内部数值色散，也不产生边界处的人工反射。对于非齐次问题，我们证明了适定性，导出了波数显式的稳定性估计，并建立了对所有 $kh\\notinπ\\mathbb Z$ 成立的二阶一致性和收敛性，其中 $k$ 为波数，$h$ 为网格尺寸。特别地，在固定分辨率条件 $kh\\le s_0$（其中 $0","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-05-21_06-50-34/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年05月21日 06:50:34\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 12\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 34\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-helmholtz方程cauchy问题的最小二乘弱galerkin有限元格式\"\u003e1. Helmholtz方程Cauchy问题的最小二乘弱Galerkin有限元格式\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eA Least-Squares Weak Galerkin Finite Element Scheme for Cauchy Problems in Helmholtz\u003c/p\u003e","title":"2026年05月21日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年05月19日 06:40:12\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 1\n不相关论文数量: 29\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 离散可压缩正压Navier-Stokes方程的一个不可能定理及其解决 A no-go theorem and its resolution for the discrete compressible barotropic Navier\u0026ndash;Stokes equations\n作者: Peter Korn\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-05-15\narXiv ID: 2605.16554v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.16554v1\n摘要翻译 中文标题: 离散可压缩正压Navier-Stokes方程的一个不可能定理及其解决\n摘要翻译: 向量不变形式的可压缩正压Navier-Stokes方程组保持了系统的涡量结构，并构成了现代大气和海洋动力核心的基础，但尚未发展出针对该形式的可压缩离散系统的偏微分方程理论。在Delaunay\u0026ndash;Voronoi网格上，我们通过离散外微积分证明，每一个具有分部积分相容散度的密度无关质量矩阵都带有一个量级为$\\OO(h^2)$的、符号不确定的尖锐能量残差，且任何算子选择都无法消除该残差。这个不可能定理涵盖了A-、B-、C-、D-和准B网格的交错方式。密度加权质量矩阵是唯一的代数补救措施：它在保持向量不变动量方程、Lamb反对称性和拓扑守恒律的同时，恢复了精确的总能量，代价是一个与收敛速率相匹配的$\\OO(h^{r_\\star})$开尔文缺陷。该残差是导致Hollingsworth不稳定性的原因，这种不稳定性已塑造了向量不变动力核心的设计；密度加权构造在结构上消除了它。对于闭可定向黎曼流形上$d = 2, 3$维的密度加权（DW）格式，我们建立了当$\\nu\\ge 0$时全局适定性、关于$\\nu$一致收敛到光滑解，以及低马赫极限下的渐近保持性；密度无关的残差以$\\OO(M^{-1})$发散。通过离散的Arnold能量-Casimir构造，精确的离散守恒强制了围绕三类平衡态的Lyapunov稳定性，从而排除了Hollingsworth不稳定性：围绕静水和恒流层结态的无条件稳定性，以及在离散Charney\u0026ndash;Stern判据下围绕剪切斜压态的条件稳定性。只有连续方程本身出现真正的斜压不稳定性时，DW格式才会出现。\n不相关论文（基本信息） 1. SURGE: 面向扩散代理的免近似免训练粒子滤波器 SURGE: Approximation-free Training Free Particle Filter for Diffusion Surrogate\n作者: Lifu Wei, Yinuo Ren, Naichen Shi, Yiping Lu\n类别: stat.ML, cs.LG, math.NA, math.PR, q-fin.MF, stat.CO\n发布日期: 2026-05-18\narXiv ID: 2605.18745v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.18745v1\n摘要: Diffusion-based generative models increasingly rely on inference-time guidance, adding a drift term or reweighting mixture of experts, to improve sample quality on task-specific objectives. However, most existing techniques require repeated score or gradient evaluations, introducing bias, high computational overhead, or both. We introduce \\texttt{URGE}, Unbiased Resampling via Girsanov Estimation, a derivative-free inference-time scaling algorithm that performs path-wise importance reweighting via a Girsanov change of measure. Instead of computing gradient-based particle weights in previous work, \\texttt{URGE} attaches a simple multiplicative weight to each simulated trajectory and periodically resamples. No score, no Hessian, and no PDE evaluation is required. We establish an equivalence between path-wise and particle-wise SMC: the Girsanov path weight admits a backward conditional expectation that recovers the previous particle-level weights, guaranteeing that both schemes produce the same unbiased terminal law. Empirically, \\texttt{URGE} outperforms existing inference-time guidance baselines on synthetic tests and diffusion-model benchmarks, achieving better generation quality, while being significantly simpler to implement and fully gradient-free.\n2. 相对论性等离子体的显式能量守恒粒子网格格式 An explicit, energy-conserving particle-in-cell scheme for relativistic plasmas\n作者: Lee Ricketson, Jingwei Hu\n类别: physics.plasm-ph, math-ph, math.NA\n发布日期: 2026-05-18\narXiv ID: 2605.18542v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.18542v1\n摘要: We extend the recently-developed explicit, energy-conserving particle-in-cell (PIC) scheme of [1] to the relativistic Vlasov-Maxwell system. As in the non-relativistic case, the method is built on an optimization problem that is analytically solvable, local to each particle, and designed to enforce exact energy conservation. Although the solution to this optimization problem is not guaranteed to be real, we show that such instances are rare enough for practical simulation parameters to permit dramatic improvements in energy conservation over traditional explicit PIC schemes. We show that, as in the non-relativistic case, the scheme is compatible with popular field-solvers for electromagnetic PIC schemes, including the Yee/FDTD and pseudo-spectral analytic time-domain (PSATD) methods. The scheme is verified on standard relativistic test problems, where its conservation properties are confirmed.\n3. Volterra签名的计算方面 Computational aspects of the Volterra Signature\n作者: Paul P. Hager, Fabian N. Harang, Luca Pelizzari, Samy Tindel\n类别: math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-05-18\narXiv ID: 2605.18406v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.18406v1\n摘要: The Volterra signature extends the classical path signature by incorporating general matrix-valued kernel into its iterated integral structure, yielding a flexible notion of memory for time series. Its components can be viewed as successive Picard iterates of linear controlled Volterra equations, making their exact computation of additional mathematical interest. However, the kernel introduces substantial algorithmic challenges. We provide a resolution by first decomposing the Chen-type convolution relation established in [arXiv:2603.04525] into analytic and arithmetic parts, and then introducing several efficient algorithms: a general approximative scheme with quadratic complexity $O(J^2)$ in the number of time steps $J$, an FFT-based acceleration with complexity $O(J\\log J)$ for convolution kernels on uniform grids, and an exact recursion with complexity $O(JR^2)$ for kernels admitting a state-space representation of dimension $R$; retaining standard signature complexity in the path dimension and truncation level $N$. We further show that the number of factors in matrix-valued kernels of the form $K(t,s)=\\sum_p k_p(t-s)A_p$ do not increase the asymptotic complexity in $J$ and $N$. Finally, we derive a finite-difference predictor\u0026ndash;corrector scheme for the associated Volterra signature kernel. All algorithms are implemented in the publicly available JAX-based package \u0026ldquo;tensordev\u0026rdquo;.\n4. 大规模线性离散不适定问题的随机收敛分析 Stochastic Convergence Analysis for Large-Scale Linear Discrete Ill-posed Problems\n作者: Duan-Peng Ling, Wenlong Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-18\narXiv ID: 2605.18259v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.18259v1\n摘要: We study weighted Tikhonov regularization for large-scale linear discrete ill-posed problems with random noise. Under a polynomial upper-bound assumption on the generalized eigenvalues of the discrete forward operator, we derive stochastic error bounds for two noise models: expectation bounds for independent zero-mean bounded-variance noise, and high-probability bounds for independent sub-Gaussian noise. The analysis yields an a priori parameter-choice rule and suggests an adaptive strategy suitable for large-scale computation. Numerical experiments support the theory and show that the predicted parameter is nearly optimal and that the adaptive method is effective in practice.\n5. 基于高斯混合模型的运动驱动层析成像 Motion-Enabled Tomography via Gaussian Mixture Models\n作者: Daniel Burrows, Can Evren Yarman, Ozan Öktem\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-18\narXiv ID: 2605.18210v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.18210v1\n摘要: Recovering physical properties of objects in motion is a core task across scientific and industrial applications. When the relative motion between the object and the sensing apparatus provides sufficient angular coverage, Computerized Tomography offers a powerful means of reconstruction. For such scenarios, we propose a parametric spatiotemporal model applied to Gaussian Mixture Models (GMM), in which each constituent Gaussian is parameterized by its own angular velocity, projectile motion, and geometry. GMM are a suitable means of reconstruction because they (i) admit accurate approximations in object space and (ii) have a closed form expression under the ray transform; enabling efficient forward predictions and exact gradient computations in data space. By decoupling the reconstruction problem into two sub-inverse problems, we characterize solutions as minimizers of task-specific objective functions that are derived and solved by utilizing the properties of (ii). The resulting algorithm we provide is applicable to objects in Euclidean space of arbitrary dimension. We validate the method on a simulated 2D problem, achieving accurate reconstruction of a 5-Gaussian GMM with intersecting trajectories. This also provides a foundation for further experimentation in settings with noisy data, 3D objects, and non-rigid body dynamics.\n6. 一种用于平面等距曲线的正则化方法与双向等距识别 A regularization method for planar offset curves and bi-offset recognition\n作者: Rosanna Campagna, Salvatore Mondrone, Tomas Sauer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-18\narXiv ID: 2605.18096v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.18096v1\n摘要: Offset curves for planar trajectories are interesting in the generation of tool paths for numerically controlled industrial machines and in trajectory planning methods for autonomous driving systems. Theoretical offset curves may exhibit peculiar singularities, including self-intersections, which limit their use in practical applications. Existing approaches address these issue through geometric filtering techniques to detect and remove undesirable features but the computation of accurate and well-behaved offset curves remains a challenging task. We assume a first stage of functional approximation of trajectories by penalized Hermite spline regression enabling the simultaneous fitting of positions and tangents. The regularization is imposed on the second derivatives, effectively mitigating the jerk effect, which is particularly relevant in motion planning and path smoothing applications. Then, taking into account the geometrical pointwise properties of the resulting curve, we design two offset curves through the simultaneous approximation of function values and derivatives. Then, a mathematical model to obtain the so-called bi-offset as most fitting as with the original generator curve is proposed, also relating the offset range and pointwise curvature values. The adaptive reconstruction of the center line from the external boundaries is a topic of interest and is the main focus of our work. Numerical experiments confirm the reliability of our approach at every stage of the resolution process.\n7. 不适定薛定谔化倒向扩散的 McLachlan 投影约化动力学 McLachlan-projected reduced dynamics for ill-posed Schrödingerized backward diffusion\n作者: Jeongbin Jo\n类别: math.NA, quant-ph\n发布日期: 2026-05-18\narXiv ID: 2605.17996v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.17996v1\n摘要: Backward diffusion is a prototype ill-posed evolution: high spatial frequencies grow exponentially in time, so mesh-based time marching without explicit regularization is quickly overwhelmed by noise. Schrödingerization embeds the semidiscrete generator into Hermitian dynamics on an extended space; we ask whether McLachlan projection onto a fixed low-dimensional frame supplies a structured regularizer whose error budget can be read from a projection defect that separates full lifted propagation from the reduced trajectory. We prove uniqueness of the reduced flow, Gram-norm conservation, a lifted\u0026ndash;reduced gap bound in terms of that defect, and perturbation estimates that highlight overlap-matrix conditioning when matrix elements are estimated statistically. We also spell out a fair classical baseline \u0026ndash; spectral low-pass or Tikhonov filtering on the same semidiscrete model, with bandwidth or ridge strength matched to the information content of the chosen frame \u0026ndash; so numerical contrasts isolate the Schrödingerized reduced pipeline rather than an unregularized Crank\u0026ndash;Nicolson march that mainly showcases blow-up. A calibrated one-dimensional benchmark pairs a spectrally truncated reference with snapshot-built subspace evolution and finite-shot Qiskit Aer estimation, illustrating how lift, projection, and sampling layers contribute differently to the overall error.\n8. 通过路径测度上的序列蒙特卡洛实现扩散模型的简单近似与无导数推理时缩放 Simple Approximation and Derivative Free Inference-Time Scaling for Diffusion Models via Sequential Monte Carlo on Path Measures\n作者: Chenyang Wang, Weizhong Wang, Yinuo Ren, Jose Blanchet, Yiping Lu\n类别: stat.ML, cs.CV, cs.LG, math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-05-18\narXiv ID: 2605.17850v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.17850v1\n摘要: iffusion-based generative models increasingly rely on inference-time guidance, adding a drift term or reweighting mixture of experts, to improve sample quality on task-specific objectives. However, most existing techniques require repeated score or gradient evaluations, introducing bias, high computational overhead, or both. We introduce \\texttt{URGE}, Unbiased Resampling via Girsanov Estimation, a derivative-free inference-time scaling algorithm that performs path-wise importance reweighting via a Girsanov change of measure. Instead of computing gradient-based particle weights in previous work, \\texttt{URGE} attaches a simple multiplicative weight to each simulated trajectory and periodically resamples. No score, no Hessian, and no PDE evaluation is required. We establish an equivalence between path-wise and particle-wise SMC: the Girsanov path weight admits a backward conditional expectation that recovers the previous particle-level weights, guaranteeing that both schemes produce the same unbiased terminal law. Empirically, \\texttt{URGE} outperforms existing inference-time guidance baselines on synthetic tests and diffusion-model benchmarks, achieving better generation quality, while being significantly simpler to implement and fully gradient-free.\n9. 多重网格入门：基本原理 Multigrid Primer: Basic Principles\n作者: Stephen F. McCormick, Rasmus Tamstorf\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-18\narXiv ID: 2605.17828v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.17828v1\n摘要: The goal of this primer is to provide a relatively short exposition of the basics of multigrid methods, simplified by focusing on fundamental concepts in a variational setting. This is done by way of a quadratic energy minimization formulation of symmetric positive definite linear equations arising from the discretization of elliptic partial differential equations. This focus provides an alternate viewpoint to other expositions and, more importantly, it enables a simplification of the development while clarifying the principles that lead to effective algorithms. The development begins with multigrid as an iterative solver exemplified by the so-called V-cycle. It then introduces the full multigrid method as a direct solver in the sense that it is aimed directly at the source of the matrix equations. In this way, full multigrid attempts to achieve discretization-level accuracy at a cost comparable to that of a few matrix multiplies on the finest level.\n10. 用自适应埃尔米特谱方法求解弗拉索夫-泊松系统 Solving Vlasov-Poisson system with an adaptive Hermite spectral method\n作者: Sihong Shao, Yanli Wang, Jie Wu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-18\narXiv ID: 2605.17820v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.17820v1\n摘要: We propose an adaptive Hermite spectral method for the Vlasov-Poisson system based on a recently developed frequency indicator that measures the contribution of the high-order expansion coefficients. Precisely, the symmetrically weighted Hermite basis with a scaling factor is utilized to approximate the distribution function to satisfy the increasing resolution requirement, which, for example, is induced by filamentation. To implement the scaling adjustment, a fast conservative projection operator is constructed in two steps. The first step is to formulate the projection as a constrained optimization problem to preserve key invariants, including mass, momentum, energy, and the $L^2$ norm of the distribution function. The second step is an ODE-based approximation developed to compute the updated expansion coefficients with linear complexity. Numerical experiments with 1D1V and 2D2V settings validate the feasibility and efficiency of this proposed adaptive Hermite method.\n11. 可微函数的信息论复杂度 The information-theoretic complexity of differentiable functions\n作者: Matthijs Ruijgrok\n类别: cs.IT, math.NA, nlin.CG\n发布日期: 2026-05-18\narXiv ID: 2605.17801v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.17801v1\n摘要: A measure for the complexity of a differentiable function f(x) on an interval is introduced. It is based on approximations of the function by piecewise constant functions. The measure takes into account the quality of the approximation and the number of intervals in the approximating function. This measure, called the V-complexity of f(x), is shown to formalize some intuitions about the simplicity or complexity of f(x). The V-complexity is then compared to another measure of complexity, namely how compressible an approximation of f(x) is. It is hypothesized that V-complexity is equivalent to the compression measure, in the case of the Run Length Encoding and the Lempel Ziv 77 algorithms. V-complexity can be used as an ingredient in the definition of the Effective Complexity (EC) of a Complex System. When the perceived regularities of such a system are described by a differentiable function on an interval, the EC can be defined as the V-complexity of that function. EC is applied to the model of diffusion of cream in a cup of coffee. The perceived regularity of this model is given by the diffusion equation. The V-complexity of the solution of the equation starts at zero, quickly increases to a maximum and then decreases back to zero as the liquid reaches its equilibrium state. It is shown that this is also the result when a cellular automaton approach and the concept of Apparent Complexity is used.\n12. Tucker分解的两种交替迭代格式收敛性分析 Convergence Analysis of Two Alternating Iterative Schemes for Tucker Decomposition\n作者: Ren-Cang Li, Li Wang, Mei Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-18\narXiv ID: 2605.17793v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.17793v1\n摘要: The higher-order orthogonal iteration (HOOI) and the alternating subspace iteration (ASI) are two popular numerical methods for computing the Tucker decomposition of a multiple-mode tensor. Xu [Linear and Multilinear Algebra, 66(11):2247\u0026ndash;2265, 2018] proposed a variation of HOOI, called the greedy HOOI, which has an extra alignment action between consecutive approximations. Kroonenberg and De Leeuw [Psychometrika, 45(1):69\u0026ndash;97, 1980] analyzed the convergence of ASI but their analysis has gaps. These analysis were for a real tensor only. In this paper, we present detailed convergence analysis of the two methods that is applicable to a complex tensor with a real tensor being a special case, and it is shown both methods are globally convergent to stationary points under mild conditions while the objective function monotonically increases. Numerical examples are presented to demonstrate the convergence behavior of the methods.\n13. 固定缴费养老金计划最优减额的数值方法 Numerical methods for optimal decumulation of a defined contribution pension plan\n作者: Peter A. Forsyth, George Labahn\n类别: cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-05-18\narXiv ID: 2605.17744v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.17744v1\n摘要: The decumulation of a defined contribution (DC) pension plan is well known to be one of the hardest problems in finance. We model this decumulation challenge as an optimal stochastic control problem. The control problem is solved, at each rebalancing date, by alternatively solving a linear partial-integro differential equation (PIDE) followed by an optimization step. We solve the PIDE by using a $δ$-monotone Fourier method, which ensures that monotonicity holds to $O(δ)$. We allow for the use of leverage (i.e. borrowing to invest in stocks), as well as minimum constraints on bond holdings. We pay particular attention to minimizing wrap-around error, an issue which is endemic for Fourier methods and central to the effective use of these methods for optimal control problems. Rather unexpectedly, we find that restricting the portfolio equity fraction to a maximum of 50% does not reduce portfolio efficiency noticeably. This may be a useful strategy for risk-averse retirees.\n14. 双尺度神经网络用于线性对流占优方程的最优控制 Two-scale neural networks for optimal control of linear convection-dominated equations\n作者: Sijing Liu, Marcus Sarkis, Yi Zhang, Zhongqiang Zhang\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-18\narXiv ID: 2605.17740v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.17740v1\n摘要: We propose a two-scale neural network method for optimal control problems governed by convection-dominated convection-diffusion-reaction equations. Building on two-scale architectures developed for singularly perturbed forward problems, we augment the spatial input with suitably rescaled features that become increasingly important as the diffusion coefficient becomes small. The approach employs separate neural networks for the state and adjoint state variables of the optimality system, reflecting the fact that these quantities develop sharp layers in different parts of the domain due to opposite convection fields. By choosing different center points for the two networks, the architecture naturally aligns with the layer location of each variable. We present two formulations of the method, one based on the first-order optimality conditions and another using penalization of the PDE constraint, and combine them with a successive training strategy that gradually decreases the diffusion coefficient toward its target value. Numerical experiments on benchmark problems illustrate the effectiveness and behavior of the proposed approach.\n15. 超越精确求积的超插值：一种谱乘子方法 Hyperinterpolation beyond exact cubature: a spectral multiplier approach\n作者: Hao-Ning Wu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-18\narXiv ID: 2605.17739v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.17739v1\n摘要: We study hyperinterpolation and its spectral multiplier variants on the sphere under weak cubature assumptions formulated through Sobolev discrepancy estimates. In contrast with classical hyperinterpolation theory, our framework does not require exact polynomial cubature formulas or Marcinkiewicz\u0026ndash;Zygmund inequalities. The main idea is to interpret the discretization error as the action of a spectral multiplier operator on the cubature discrepancy measure. This viewpoint separates approximation properties of the underlying spectral operator from geometric properties of the sampling measure, leading to stable Sobolev approximation estimates under weak cubature assumptions. The resulting theory applies to a broad class of spectral approximation operators, including sharp spectral projections, compactly supported smooth filters, Bessel potential operators, and heat kernel operators. For sufficiently localized spectral multipliers, we additionally obtain uniform $L^\\infty$-stability of the corresponding discrete approximation operators. The results establish a direct connection between hyperinterpolation, Sobolev discrepancy, and quasi-Monte Carlo (QMC) designs, showing that stable approximation from scattered data can be achieved without exact polynomial reproduction.\n16. 求解非Hermitian四元数线性系统的保结构四元数共轭梯度型方法 Structure preserving quaternion conjugate gradient-type methods for solving non-Hermitian quaternion linear systems\n作者: Baohua Huang, Tao Li, Wen Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-18\narXiv ID: 2605.17732v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.17732v1\n摘要: In this paper, we consider the non-Hermitian quaternion linear systems arising from color image restoration and three-dimensional signal filtering problems. For exploring to solve such systems, we present two innovative structure-preserving conjugate gradient-type methods, QNHERLQ and QNHERQR, which are based on the unitary equivalence transformations of the non-Hermitian quaternion matrices to tridiagonal forms, called quaternion Saunders-Simon-Yip tridiagonalization procedure. The proposed tridiagonalization procedure for non-Hermitian quaternion matrices is closely related to the quaternion Lanczos process for Hermitian matrices, and is very different from the quaternion Lanczos biorthogonalization process for non-Hermitian matrices. The convergence of QNHERLQ and QNHERQR is discussed, which depends on the singular values of the coefficient matrix. Also we show that both algorithms have the finite termination property and constant costs per iteration step. Numerical results illustrate that the proposed algorithms are with the robustness and effectiveness compared with QGMRES and QQMR.\n17. 带警察响应的住宅入室盗窃模型中的犯罪热点动力学 Crime hotspot dynamics in residential burglary models with police response\n作者: Baoli Hao, Kamrun Mily, Annalisa Quaini, Ming Zhong\n类别: math.DS, math.NA\n发布日期: 2026-05-18\narXiv ID: 2605.17709v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.17709v1\n摘要: We develop and analyze mathematical models for residential burglary that incorporates police deployment through a delayed feedback mechanism. Motivated by empirical observations from publicly available crime and policing data, we extend a well-known agent-based model by introducing a dynamic police response driven by crime information that becomes available only after a finite delay. Taking the mean-field limit, we derive a coupled continuum system consisting of three partial differential equations and one ordinary differential equation describing the interactions among criminal density, environmental attractiveness, delayed crime signal, and police deployment. Linear stability analysis of homogeneous steady states reveals that response delays can destabilize otherwise stable equilibria through Hopf bifurcations. As a result, the model predicts sustained temporal oscillations and dynamically evolving crime hotspots. Numerical simulations of both the agent-based and continuum models confirm the theoretical analysis and uncover rich spatio-temporal behaviors, including moving, splitting, and merging hotspots. Through a parametric study, we investigate the roles of police density, crime information delay, and neighborhood effects in controlling stability, hotspot size, and oscillatory behavior. Our results indicate that timely access to crime data plays a more important role than police density in stabilizing crime levels.\n18. 一种具有精确线性收敛速率预测的改进安德森加速方法及其在不可压缩流动中的应用 A modified Anderson acceleration with sharp linear convergence rate predictions and application to incompressible flows\n作者: Yunhui He, Leo Rebholz\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-17\narXiv ID: 2605.17664v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.17664v1\n摘要: In this work, we extend a modified Anderson acceleration proposed in [Y. He, arXiv:2603.25983, 2026] to accelerate the Picard iteration for the Navier-Stokes equations. In this variant of Anderson acceleration, named AAg, the nonlinear residual\u0026ndash;rather than the standard fixed-point iteration residual\u0026ndash;is used to define the associated least-squares problem. We establish a convergence analysis for this method with any depth that shows how AAg accelerates convergence through the gain of the optimization problem, and obtain a sharp prediction of its linear convergence rate (a feature that is not part of the known theory for classical Anderson acceleration). Additionally, motivated by this sharp convergence prediction, we introduce an adaptive strategy that automatically selects the depth parameter. Results of several numerical experiments are given that illustrate the new theory and also demonstrate the effectiveness of the proposed adaptive approach. Comparisons of AAg to usual AA and nonlinear GMRES are also provided.\n19. 基于LCHS的带边界条件的对流-扩散方程的量子线路 Quantum circuits for the advection-diffusion equation with boundary conditions based on LCHS\n作者: Leyu Chen, Tiegang Liu, Liang Xu, and Kun Wang\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-05-17\narXiv ID: 2605.17542v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.17542v1\n摘要: This paper proposes a systematic and explicit quantum circuit framework for solving advection-diffusion equations with boundary conditions, based on the Linear Combination of Hamiltonian Simulations (LCHS) method. By employing the Finite Volume Method (FVM) combined with various flux construction schemes, we elaborate the design of quantum circuits tailored explicitly for Robin boundary conditions (including Dirichlet and Neumann boundary conditions as special cases) and periodic boundary conditions. In contrast to prior works on quantum simulation of advection-diffusion equations, we present a detailed error analysis for the linear combination of unitaries (LCU) induced by the constructed quantum circuits. A comprehensive gate complexity analysis demonstrates the quantum advantages over classical computing in high-dimensional scenarios. We simulate the proposed circuits on a fault-tolerant emulator, and numerical results validate the effectiveness of the proposed framework across homogeneous, inhomogeneous, and high-dimensional cases. The proposed framework is compatible with numerous spatial discretization methods and numerical schemes, extends naturally to other linear PDEs, and establishes a practical foundation for solving large-scale PDE problems on future fault-tolerant quantum computers.\n20. WinQ: 加速语言模型在鞍点附近的量化感知训练 WinQ: Accelerating Quantization-Aware Training of Language Models Around Saddle Points\n作者: Dongyue Li, Zechun Liu, Kai Yi, Zhenshuo Zhang, Changsheng Zhao, Raghuraman Krishnamoorthi, Harshit Khaitan, Hongyang R. Zhang, Steven Li\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-17\narXiv ID: 2605.17471v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.17471v1\n摘要: Quantization-aware training (QAT) is widely adopted to quantize language models by training full-precision weights using gradients from the quantized model. The main bottleneck is its slow convergence and early performance plateau, particularly below 4-bit-widths. While this problem has been observed in prior work, its precise cause remains unclear. In this paper, we analyze the convergence of QAT by estimating the spectrum of the loss-surface Hessians. We find that the weights converge to flat regions around saddle points, where a large fraction of the Hessian eigenvalues are both positive and negative. During training, an increasing fraction of Hessian eigenvalues concentrates around zero, whose magnitude decreases. At lower bit-widths, the magnitude of eigenvalues in the Hessian spectrum is significantly smaller. To mitigate these issues, we propose an algorithm called WinQ to accelerate QAT, which involves: (1) periodically resetting weights to the linear interpolation of full-precision and quantized weights, reducing the distance to the quantization grid and increasing eigenvalue magnitude, and (2) computing gradients of noise-injected weights to regularize the Hessian. Extensive experiments show that WinQ accelerates QAT by up to 4 times across various quantization methods and models. Under the same training cost, WinQ improves state-of-the-art sub-4-bit quantization by up to 8.8%. These results are consistent across 16 settings with different language models, quantization methods, and bit widths.\n21. 使用封闭与算子分裂求解线性速率常微分方程层次结构（如主方程） Solving linear-rate ODE hierarchies (like master equations) using closures and operator splitting\n作者: Joshua C Chang\n类别: math.NA, math.DS, math.PR, q-bio.QM, stat.CO\n发布日期: 2026-05-16\narXiv ID: 2605.17186v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.17186v1\n摘要: Countably infinite systems of linear ODEs arise as forward equations for many continuous-time Markov processes. The standard recipe \u0026ndash; truncate to a finite cap N and exponentiate \u0026ndash; pays cubic cost in N and a time-growing boundary-feedback bias. We identify a structural condition on the rates, L_{n+r,n} = alpha_r n + beta_r (\u0026ldquo;linear-rate\u0026rdquo;), under which the generating function G(z,t) = sum_n x_n(t) z^n satisfies a first-order linear PDE in z, and the method of characteristics yields a composition-multiplier representation G(z,t) = K_t(z) G(Phi_t(z), 0). The Taylor coefficients of Phi_t and K_t on any output window {0,\u0026hellip;,N} are determined exactly by a closed lower-triangular polynomial ODE on R^{2(N+1)}, independent of any coefficients above N. Truncation enters only through the support M_0 of the initial law, set independently of N. For binary birth-death the closure collapses to the geometric tail p_n(t) = p_1(t) rho(t)^{n-1} with rho(t) = lambda(1 - e^{-(mu-lambda)t})/(mu - lambda e^{-(mu-lambda)t}). The linear-rate class spans Markov branching with immigration, multi-type branching, matrix-valued telegraph and G/R elongation, and signed or non-stochastic hierarchies. When the generator decomposes as L = A + B with A linear-rate and B non-affine (Schlogl bistable, predator-prey, lattice reaction-diffusion), we pair the closure with Strang splitting on B; Richardson extrapolation lifts the time order to Delta-t^4 at ~3x wall clock. On the Schlogl problem at V=500, N=8,000, the split runs 6.3x faster than dense Pade and 20x faster than sparse Krylov expv. For the stationary regime, a closure-Strang power iteration extends the same machinery to multi-dimensional product-state-space generators where sparse LU hits OOM/OOT or boundary-projection bias at usable caps. Numerical experiments locate where each route wins and where it is dominated by standard tools.\n22. Kaczmarz方法中的数值不稳定性与迭代细化稳定化 Numerical Instabilities in the Kaczmarz Method and Stabilization by Iterative Refinement\n作者: Michał Dereziński, Ethan N. Epperly, Deanna Needell, Alexander Xue\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-16\narXiv ID: 2605.17185v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.17185v1\n摘要: The randomized Kaczmarz method and its accelerated variants are a powerful class of iterative methods for solving large-scale linear systems, offering guaranteed convergence with low per-iteration cost. However, their numerical stability remains poorly understood. In this work, we investigate the stability properties of both classical and accelerated randomized Kaczmarz methods, with an emphasis on how error propagates across iterations and interacts with acceleration. We show that both classical and accelerated randomized Kaczmarz fail to be forward stable. To address this issue, we propose the integration of iterative refinement into randomized Kaczmarz frameworks. We demonstrate that refinement can effectively control error accumulation and recover high-accuracy solutions, even when the system is ill-conditioned. Numerical experiments corroborate our theoretical findings and illustrate the practical benefits of combining refinement with both classical and accelerated Kaczmarz methods.\n23. 有理逼近与本征高斯过程 Rational approximation and intrinsic Gaussian processes\n作者: Christopher Beattie, David Higdon, Leanna House, Colby Stakun-Pickering, Jared Clark\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-16\narXiv ID: 2605.17168v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.17168v1\n摘要: Gaussian processes (GPs) defined through intrinsic random fields provide a flexible framework for modeling spatial phenomena, and have been advocated in a variety of applications over the past several decades. Nevertheless, their adoption has lagged behind traditional, covariance-based approaches, in part because the intrinsic formulation has lacked an accompanying toolkit of computational methods and dependence specifications that facilitate fitting and prediction. We develop here a systematic framework for modeling intrinsic GPs and introduce practical algorithms and dependence/variogram models for modeling, inference and computation that parallel those of traditional, stationary GPs. We explore a close connection between intrinsic GP models and rational approximation, which clarifies the underlying problem structure. Numerical examples illustrate how the new tools can be deployed in practice, highlighting the advantages of intrinsic-field modeling in terms of robustness, interpretability, and computational efficiency.\n24. 基于Q-和D-条件的少级数高阶显式龙格-库塔方法：一般理论与高效递归构造 Low Stage High Order Explicit Runge\u0026ndash;Kutta Methods via Q- and D-Conditions: General Theory and Efficient Recursive Construction\n作者: Junyuan He, Jizu Huang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-16\narXiv ID: 2605.16995v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.16995v1\n摘要: Constructing explicit Runge\u0026ndash;Kutta (ERK) methods with as few stages as possible for a given order is a classical problem in numerical analysis. In this work, we introduce a $Q$/$D$-space framework of sufficient order conditions for ERK methods. This framework generalizes Butcher\u0026rsquo;s classical simplifying assumptions by reformulating them in terms of simplified $Q$- and $D$-spaces defined through their residual vectors. It yields sufficient conditions which, together with $B(p)$, ensure order $p$. It also leads to a recursive construction procedure for ERK methods of arbitrary even order, in which the Butcher coefficients are obtained from two structured linear systems. For every even order $p\\ge 4$, the construction produces ERK methods with stage number $s(p)=(p^2-2p+8)/4$. This stage count has the same leading term as that of the classical Gragg families, while improving the linear term. The free parameters retained by the construction further provide a systematic framework for designing methods with enhanced stability and short-time accuracy.\n25. 块Krylov子空间与正交矩阵多项式：一种结构对应及其在酉矩阵中的应用 Block Krylov subspaces and orthogonal matrix polynomials: a structural correspondence with applications to unitary matrices\n作者: Michele Rinelli, Raf Vandebril\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-16\narXiv ID: 2605.16954v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.16954v1\n摘要: We study the connection between block Krylov subspaces and matrix orthogonal functions. Under a no-deflation assumption, we show that polynomial block Krylov subspaces are isometrically isomorphic to spaces of matrix polynomials of bounded degree, providing a unified framework for the analysis and construction of orthonormal bases and recurrence relations. The same correspondence holds for rational block Krylov subspaces and matrix-valued rational functions, and in the extended Krylov setting this leads naturally to Laurent matrix polynomials. When the matrix $A$ is normal, we prove that the induced inner product admits a representation in terms of a discrete spectral matrix measure, extending a classical result for Hermitian matrices. In the unitary case, where the measure is supported on the unit circle, this connection allows us to transfer the Szegő recurrence for orthogonal matrix polynomials and the CMV framework for Laurent matrix polynomials to the block Krylov setting, yielding efficient procedures for the orthogonalization of polynomial and extended block Krylov subspaces.\n26. 张量空间中由迹泛函和Wasserstein距离导出的张量的谱界 Spectral Bounds for Tensors Derived from Trace Functionals and Wasserstein Distance in Tensor Spaces\n作者: Hemant Sharma, Nachiketa Mishra\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-16\narXiv ID: 2605.16930v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.16930v1\n摘要: This article introduces a trace-based metric on the space of positive semi-definite (PSD) tensors, offering a geometric perspective that connects their algebraic structure to their intrinsic geometric properties. It defines the Bures-Wasserstein distance on tensor spaces, establishing clear measurements between tensors. Moreover, the study derives trace-based eigenvalue bounds for PSD tensors and analyzes how these bounds depend on the PSD condition. The behavior of these bounds is further explored when the PSD requirement is relaxed, with illustrative examples provided to support the theoretical findings. In addition, a detailed complexity analysis is carried out for the methods proposed in this study.\n27. 带有非守恒项的熵稳定间断伽辽金欧拉求解器的GPU性能 GPU Performance of an Entropy-Stable Discontinuous Galerkin Euler Solver with Non-Conservative Terms\n作者: Henry Waterhouse, Maciej Waruszewski, Lucas C. Wilcox, Francis X. Giraldo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-15\narXiv ID: 2605.16684v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.16684v1\n摘要: The entropy-stable discontinuous Galerkin method for compressible Euler equations with buoyancy is implemented on graphics processing unit (GPU) hardware. We measure the performance of the solver on three-dimensional problems: the rising thermal bubble and the baroclinic instability in a channel. On NVIDIA A100 hardware, the solver achieves nearly 70% of 64-bit floating-point peak performance for the most computationally expensive kernel (volume terms) and significantly reduces the computational overhead typically incurred by two point entropy-stable fluxes in the volume terms. We also present impressive strong and weak scaling performance of the solver and compare to a highly-optimized central processing unit (CPU) code showing that the GPU kernels are a factor of $10\\times$ faster and better than $13\\times$ more energy efficient than the CPU code. We also show that the solver achieves the expected $2\\times$ speedup when run at 32-bit floating-point peak performance. We discuss the different modifications that we implemented to reach the final form of the GPU implementation and measure the performance gain of each of the implementation strategies ranging from reduction in complex operations and memory traffic as well as load balancing. We also extend symmetry-based flux savings to the non-symmetric gravity term, preserving nearly the full factor-of-two speedup achieved for the symmetric flux.\n28. fPINN-DeepONet：一种面向多项时间分数阶混合扩散-波动方程的物理信息算子学习框架 fPINN-DeepONet: A Physics-Informed Operator Learning Framework for Multi-term Time-fractional Mixed Diffusion-wave Equations\n作者: Binghang Lu, Zhaopeng Hao, Christian Moya, Guang Lin\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-05-15\narXiv ID: 2605.16594v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.16594v1\n摘要: In this paper, we develop a physics-informed deep operator learning framework for solving multi-term time-fractional mixed diffusion-wave equations (TFMDWEs). We begin by deriving an $L_2$ approximation, which achieves first-order accuracy for the Caputo fractional derivative of order $β\\in (1,2)$. Building upon this foundation, we propose the fPINN-DeepONet framework, a novel approach that integrates operator learning with the $L_2$ approximation to efficiently solve fractional partial differential equations (FPDEs). Our framework is successfully applied to both fixed and variable fractional-order PDEs, demonstrating the framework\u0026rsquo;s versatility and broad applicability. To evaluate the performance of the proposed model, we conduct a series of numerical experiments that involve dynamically varying fractional orders in both space and time, as well as scenarios with noisy data. These results highlight the accuracy, robustness, and efficiency of the fPINN-DeepONet framework.\n29. 一种面向非均质多孔介质的并行自适应无网格方法 A Parallel and Adaptive Mesh-Free method for Heterogeneous Porous Media\n作者: Kapil Chawla, Sanghyun Lee, Yeonjong Shin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-15\narXiv ID: 2605.16564v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.16564v1\n摘要: Material properties such as permeability fields in heterogeneous porous media are often represented as discontinuous, piecewise constant data tied to a given spatial discretization. Such representations are inherently mesh-dependent, requiring interpolation or projection whenever they are transferred to a different discretization. In this work, we develop \\emph{Parallel and Adaptive Mesh-Free Approximation (PAM)}, a mesh-independent framework that approximates discontinuous data by a continuous, closed-form function. The resulting approximation can be evaluated consistently across different geometries and numerical discretizations, while preserving sharp interface features. The proposed PAM framework employs radial basis functions (RBFs) to construct continuous approximations of discontinuous data. To accurately capture discontinuities, we incorporate Shepard-normalization, which stabilizes the approximation near sharp interfaces. The coefficients of the RBF expansion are determined via sparse regression, enabling automatic selection of the most relevant basis functions and promoting robust representations. In addition, we develop a novel adaptive refinement approach which further enriches the approximation in regions of rapid spatial variation. We provide a theoretical analysis showing that the proposed normalized RBF framework achieves arbitrarily small $L^1$ error in approximating discontinuous step functions. To enhance computational efficiency, the domain is partitioned into subdomains, and the reconstruction problem is solved independently on each subdomain in parallel. Numerical experiments demonstrate the accuracy, adaptivity, and scalability of the proposed method, including applications to challenging heterogeneous permeability fields.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-05-19_06-40-12/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年05月19日 06:40:12\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 29\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-离散可压缩正压navier-stokes方程的一个不可能定理及其解决\"\u003e1. 离散可压缩正压Navier-Stokes方程的一个不可能定理及其解决\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eA no-go theorem and its resolution for the discrete compressible barotropic Navier\u0026ndash;Stokes equations\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年05月19日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年05月18日 06:42:43\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 2\n不相关论文数量: 14\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 关于由复形构造复形的 BBG 构造中短与长正合序列的一个注记 A note on short and long exact sequences in the BBG construction of complexes from complexes\n作者: Snorre H. Christiansen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-15\narXiv ID: 2605.15933v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.15933v1\n摘要翻译 中文标题: 关于由复形构造复形的 BBG 构造中短与长正合序列的一个注记\n摘要翻译: 我们首先展示，对偏微分方程数值分析至关重要的某些 Bernstein–Gelfand–Gelfand (BGG) 序列的上同调，如何能通过构造连接上同调群的长正合序列来得到。然后，我们解释如何通过系统地使用复形的短正合序列及其相关联的上同调群长正合序列，将该结果推广到非单射或非满射情形。最后，给出了用谱序列的解释。\n2. 磁准静态场的撕裂与互联公式 A Tearing and Interconnecting Formulation for Magneto-Quasi-Statics\n作者: Clemens Pechstein\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-15\narXiv ID: 2605.15636v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.15636v1\n摘要翻译 中文标题: 磁准静态场的撕裂与互联公式\n摘要翻译: 本文研究磁准静态场（也称为涡流模型）的撕裂与互联（特殊的非重叠区域分解）公式。仅考虑两个子区域，一个导电，一个绝缘。直接使用树-余树分裂可以消除非导电区域中的某些核分量，但由于界面耦合，大量与界面相关的核函数仍然存在。本文提出的公式通过将空间分裂为梯度场和一个补空间来克服这一问题。在该分裂的一个温和条件下，证明了：(i) 非导电区域中不需要任何梯度部分，因此两个子区域之间没有梯度分量的耦合；(ii) 两个子区域算子均可逆；(iii) 虽然磁矢势在子区域界面上不连续，但相应的磁场全局地属于H(div)。\n不相关论文（基本信息） 1. 狼音与大提琴：大型弦乐器中多共振抑制器的建模与设计 The Wolf and the Cello: Modelling and design of multiple resonance suppressors in large string instruments\n作者: Simone Cacace, Emiliano Cristiani, Francesca L. Ignoto\n类别: math.DS, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-15\narXiv ID: 2605.16210v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.16210v1\n摘要: The wolf note is an acoustic instability that occurs in large bowed string instruments when a strong body resonance interacts with the vibrating string, producing amplitude modulation and loss of tonal control. Various wolf suppressors - tuned mass dampers attached to the string or to the instrument body - are used in practice to mitigate this effect. In this paper, we propose a mathematical model describing the coupled dynamics of a string and a two-dimensional body equipped with one or two wolf suppressors. Both string and body include elastic (second-order) and stiffness (fourth-order) contributions and can be excited either by plucking or bowing. Three performance indicators are introduced: The first one perceives the wolf-tone appearance, the second one quantifies the attenuation of the notes possibly caused by the wolf suppressor, and the third one measures the acoustic fidelity (in terms of spectrum) with respect to the original instrument. The proposed numerical tests give insights about optimal tuning and placement of one or two suppressors, achieving effective wolf-note suppression while preserving as much as possible the global tonal balance.\n2. 关于Riesz-Caputo算子下非线性分数阶边值问题的样条配点法收敛性 On the Convergence of a Spline Collocation Method for Nonlinear Fractional Boundary Value Problems with the Riesz-Caputo Operator\n作者: Chiara Sorgentone, Enza Pellegrino, Francesca Pitolli\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-15\narXiv ID: 2605.16102v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.16102v1\n摘要: Fractional boundary value problems are often used to model complex systems and processes characterized by memory effects and anomalous diffusion. In this paper, we consider fractional boundary value problems involving the Riesz-Caputo operator, which is particularly suited for modeling physical phenomena exhibiting symmetric diffusive effects. We provide an integral representation of the solution to prove existence and uniqueness of the fractional differential problem. We introduce a B-spline collocation method to approximate the solution of the problem and provide a convergence analysis, with both theoretical insights and numerical experiments.\n3. 保端点奇异性的弱奇异积分方程谱逼近理论 Endpoint-singularity-preserving spectral approximation theory for weakly singular integral equations\n作者: Mahmoud A. Zaky\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-15\narXiv ID: 2605.15825v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.15825v1\n摘要: We introduce a fractional approximation framework for functions with limited regularity near the terminal point. The proposed basis is constructed by composing classical Jacobi polynomials with an endpoint algebraic mapping, thereby incorporating the terminal singular structure directly into the approximation space. The main structural properties of the fractional polynomials are established, including orthogonality relations, derivative identities, and a singular Sturm\u0026ndash;Liouville eigenvalue formulation. We then introduce the associated weighted Sobolev spaces and prove projection and Gauss-type interpolation error estimates in weighted norms. Inverse inequalities and weighted Sobolev embedding estimates are also derived. The resulting theory provides a rigorous foundation for high-order spectral and collocation approximations of endpoint-singular and weakly regular problems, including terminal value problems, fractional differential equations, and weakly singular Volterra integral equations.\n4. 双曲守恒律方程组的自适应人工反扩散方法 Adaptive Artificial Anti-Diffusion Methods for Hyperbolic Systems of Conservation Laws\n作者: Shaoshuai Chu, Igor Kliakhandler, Alexander Kurganov\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-15\narXiv ID: 2605.15770v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.15770v1\n摘要: We introduce new adaptive artificial anti-diffusion (AAAD) methods for one- and two-dimensional hyperbolic systems of conservation laws. The key idea is to reduce the amount of numerical dissipation present in a given numerical method by adding an anti-diffusion (AD) term acting in linearly degenerate fields only. This way, the resolution of contact waves can be improved without risking oscillations, which may be caused if the AD acts in nonlinear fields as well. The AD coefficients are selected adaptively: they are supposed to be proportional to the mesh size near the contact waves to enhance the resolution and to be very small in the smooth parts of the computed solution to ensure a sufficiently high (formal) order of accuracy there. The proposed AAAD methods are realized using either the second-order central-upwind numerical fluxes or their fifth-order extensions implemented within the alternative weighted essentially non-oscillatory (A-WENO) framework. We test the proposed schemes on a series of benchmarks for the one- and two-dimensional Euler equations of gas dynamics and the obtained results demonstrate the robustness and high resolution of the new AAAD methods.\n5. 一类用于单流体双温度欧拉非平衡流体动力学的熵稳定有限差分格式 Entropy stable finite difference schemes for One-Fluid Two-Temperature Euler Non-equilibrium Hydrodynamics\n作者: Chetan Singh, Harish Kumar\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-15\narXiv ID: 2605.15616v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.15616v1\n摘要: In this work, we consider the One-Fluid Two-Temperature Euler (OFTT-Euler) equations used for modeling non-equilibrium hydrodynamics. The model comprises a system of nonlinear hyperbolic partial differential equations with non-conservative products. The model decomposed the total pressure into two scalar components: one for electrons and one for ions. Our aim in this work is to design entropy-stable finite difference numerical schemes for the model. This is achieved by reformulating the equations such that the reformulated non-conservative part does not contribute to the entropy. Then, we design higher-order entropy-conservative numerical schemes by using Tadmor\u0026rsquo;s relation for the conservative part and higher-order central differences for the non-conservative parts. Finally, we design the entropy-dissipation terms using the entropy-scaled right eigenvectors of the conservative part, thereby deriving the entropy inequality for the entire system. We present several test cases in one and two dimensions to demonstrate the accuracy and stability of the proposed schemes.\n6. 基于平均场博弈动力学的走时层析成像 Travel-time tomography from mean field game dynamics\n作者: Longqiang Xu, Weishi Yin, Hongyu Liu\n类别: math.OC, math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-05-15\narXiv ID: 2605.15602v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.15602v1\n摘要: Travel-time tomography seeks to recover a hidden environment from external measurements generated by propagation through an anomalous region. Standard formulations treat propagation as passive, so the environment influences observations mainly by bending paths or changing travel times. Many collective systems do not operate in that regime: observed arrivals are shaped by strategic motion, congestion, and environmental costs. We formulate this active setting through mean field games, in which the unknown environment enters the running cost through a spatial cost field and observations are read from the resulting population dynamics. This yields three contributions. First, it places propagation, observation generation, and inversion within one PDE-constrained model. Second, it clarifies why the inverse problem differs structurally from passive tomography: kinetic, congestion, and environmental effects are coupled endogenously and appear through space- and time-dependent local weights rather than externally chosen global coefficients. Third, it introduces a two-stage inversion pipeline that combines diffusion-based initialization with full mean field game refinement, and numerical experiments show stable recovery under noise and across multichannel scene families. Taken together, these ingredients establish a foundational framework for a class of inverse problems in which data are generated by optimizing and interacting populations rather than by passive signals. The framework identifies the forward MFG model, admissible observation channels, structural mechanisms, and computational recovery route needed to study active tomography under collective dynamics. Such problems arise, among other settings, in biological transport, vascular flow, and subsurface groundwater dynamics.\n7. 不带Lipschitz连续性的大规模单调方程组的谱共轭梯度投影方法 Spectral conjugate gradient projection methods for large-scale monotone equations without Lipschitz continuity\n作者: Kabenge Hamiss, Mohammed Alshahrani, Mujahid N. Syed\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-05-15\narXiv ID: 2605.15570v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.15570v1\n摘要: We introduce two derivative-free projection methods for large-scale systems of nonlinear monotone equations subject to convex constraints. Both methods incorporate an adaptive spectral parameter into established conjugate gradient frameworks: the first generalizes the modified optimal Perry method via an eigenvalue-optimized scaling matrix, and the second generalizes the Hager\u0026ndash;Zhang-type conjugate gradient projection method via a spectral Dai\u0026ndash;Liao parameter. The resulting search directions satisfy a sufficient descent condition independent of the line search. For the first method, we establish global convergence under monotonicity alone, without requiring Lipschitz continuity of the mapping. For the second, global convergence holds under the standard monotonicity and Lipschitz continuity assumptions. Numerical experiments on 18 test problems across dimensions up to 120{,}000, together with applications to $\\ell_1$-regularized signal recovery and regularized logistic regression, confirm the practical effectiveness of the proposed approach.\n8. 双周期多层介质中麦克斯韦方程组的基本解法 Method of Fundamental Solutions for Maxwell\u0026rsquo;s Equations in Bi-Periodic Multilayered Media\n作者: Jared Weed, Bowei Wu, Jingfang Huang, Min Hyung Cho\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-05-15\narXiv ID: 2605.15527v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.15527v1\n摘要: In this paper, we present an accurate numerical method for the time-harmonic Maxwell\u0026rsquo;s equations for bi-periodic multilayered media with quasi-periodic incident waves using the Method of Fundamental Solutions in conjunction with a periodization scheme. Following an approach used in acoustic scattering problems, the electric and magnetic fields in each layer are expressed as a sum of near and distant interactions. The near interaction comprises interactions between the unit cell and its nearest neighboring copies, while the distant interaction is approximated by proxy source points placed on spheres surrounding the unit cell. Imposing continuity of tangential components at the layer interface, quasi-periodicity conditions on the walls of the unit cell, and Rayleigh-Bloch expansion for the radiation condition yields a system of equations for the unknown coefficients, which can be solved by Schur complement and a backward-stable solver. The scheme is verified with known solutions and exhibits exponential convergence close to $10^{-14}$ for both single and multiple interfaces. An example with 39 interfaces is presented to demonstrate the solver\u0026rsquo;s performance. The paper provides promising results for extending this method to a fast and accurate boundary integral equation solver for many cutting-edge applications involving a large number of layers in electromagnetics and optics.\n9. 浮力驱动热交换器的一个模型，及其对最优设计的启示 A Model of a Buoyancy-Driven Heat Exchanger, with Implications for Optimal Design\n作者: Sylvie Bronsard, Charles S. Peskin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.15409v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.15409v1\n摘要: In this paper, we introduce a model for a buoyancy-driven, air-to-air heat exchanger. This model, derived from first principles, features a conservative boundary condition at inflow based on the compressible Bernoulli equation, and a dissipative boundary condition at outflow based on pressure continuity. We solve for the steady-state behavior numerically and asymptotically, with excellent agreement between the two, and we study the tradeoff between the efficiency and air flow predicted by the model.\n10. 基于能量的摊销贝叶斯推断 Amortized Energy-Based Bayesian Inference\n作者: Hojjat Kaveh, Ricardo Baptista, Andrew M. Stuart\n类别: math.NA, cs.AI\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.15407v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.15407v1\n摘要: We consider amortized Bayesian inference for nonlinear inverse problems in settings where only samples from the joint distribution of parameters and observations are available. Classical methods such as Markov chain Monte Carlo require solving a new inference problem for each observation, which can be computationally prohibitive when inference must be repeated many times. We propose a transport-based approach that learns an observation-dependent map pushing forward a reference measure to approximate the posterior distribution. The map is trained by minimizing an averaged energy-distance objective between the true posterior and the learned pushforward. This formulation is likelihood-free, requiring only joint samples, and avoids density evaluation, invertibility constraints, and Jacobian determinant computations. For function-space inverse problems with Gaussian priors, we parameterize the transport map as the identity plus a perturbation in the Cameron-Martin space of the prior, preserving absolute continuity with respect to the prior. In infinite-dimensional settings, the map is represented using neural operators. We illustrate the method on a finite-dimensional nonlinear inverse problem and two PDE-constrained inverse problems arising in porous medium flow and seismic inversion. The results show that the learned transport captures posterior structure, including multimodality and dominant modes, while enabling fast posterior sampling for new observations.\n11. 盈亏复杂度：神经偏微分方程求解器的新视角 Breakeven complexity: A new perspective on neural partial differential equation solvers\n作者: Yijing Zhang, Nicholas Roberts, Tanya Marwah, Mikhail Khodak\n类别: cs.LG, cs.AI, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.15399v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.15399v1\n摘要: Neural surrogate solvers of partial differential equations (PDEs) promise dramatic speedups over numerical methods, especially in scenarios requiring many solves. However, current accuracy-based evaluations do not fully consider two central issues: (1) neural solvers incur substantial up-front costs for data generation, training, and tuning; and (2) classical solvers can also generate low-fidelity solutions at a sufficiently low simulation cost. To explicitly account for these realities and fully incorporate end-to-end costs, we propose an evaluation framework centered on breakeven complexity, a metric that counts the forward solves before a learned solver is cost-effective relative to an error-equivalent traditional solver. To evaluate this measure, we apply scaling laws to determine how much training budget to allocate to data generation and discuss how to achieve smooth error-matching in diverse settings. We evaluate the breakeven complexity of multiple neural PDE solvers on three PDEs on 2D periodic domains from APEBench and a novel benchmark of flows past multiple obstacles generated by the GPU-native PyFR code. Among other findings, our results suggest that neural PDE solvers become more effective as problems get harder in terms of cost, dimension, rollout, physics regime (e.g. higher Reynolds number), etc.\n12. 具有刚性Fokker-Planck碰撞的动理学方程的隐式动态张量列车近似 Implicit Dynamical Tensor Train Approximation for Kinetic Equations with Stiff Fokker\u0026ndash;Planck Collisions\n作者: Geshuo Wang, Jingwei Hu\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.15382v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.15382v1\n摘要: Low-rank methods for kinetic equations have attracted increasing attention due to their effectiveness in reducing the high dimensionality of phase space. In our previous work [G. Wang \u0026amp; J. Hu, J. Comput. Phys. 558 (2026) 114884], we developed a dynamical low-rank method based on the projector-splitting integrator in tensor-train (TT) format, in which explicit time integration is employed in all substeps. As a result, the method is subject to severe stability constraints in the strongly collisional regimes. In this paper, we consider kinetic equations with the (nonlinear) Fokker\u0026ndash;Planck collision operator and develop a dynamical low-rank method that employs implicit or implicit-explicit (IMEX) discretizations in appropriate substeps to overcome stiffness. In these implicit substeps, the resulting equations can be formulated as matrix or tensor Sylvester equations, for which we propose efficient direct solvers by exploiting their underlying structure. The overall computational cost of the proposed method scales linearly with respect to the number of grid points in a single velocity dimension, comparable to that of a fully explicit low-rank scheme. We demonstrate the accuracy and efficiency of the proposed method on several representative kinetic test problems.\n13. PDE驱动高维稀有事件估计的提议引导贪心代理精化 Proposal-Guided Greedy Surrogate Refinement for PDE-Driven High-Dimensional Rare-Event Estimation\n作者: Zhiwei Gao, George Karniadakis\n类别: math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.15356v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.15356v1\n摘要: Accurate surrogate construction for PDE-driven high-dimensional rare-event simulation is challenging when performance evaluations are expensive. Since a globally accurate surrogate may require many high-fidelity evaluations, adaptive importance sampling provides a natural localization tool: its evolving proposal distribution progressively identifies the failure-relevant region. Motivated by this observation, we propose a surrogate-assisted adaptive importance sampling framework that refines the surrogate locally along the evolving proposal, rather than over the entire input space. The surrogate combines an encoder with a neural network, providing a low-dimensional latent representation for both prediction and sample selection. At each adaptive iteration, candidates drawn from the current proposal are selected by a greedy latent-space rule balancing proximity to the estimated failure boundary and sample diversity. The selected samples are evaluated by the high-fidelity model and used to refine the surrogate, which then guides the subsequent cross-entropy-type adaptive proposal update. We establish one-step proposal stability bounds under local surrogate errors, together with surrogate-induced misclassification and finite-sample estimation error bounds. Numerical experiments on multimodal benchmarks and PDE-driven rare-event problems up to 100 dimensions show that the proposed method achieves accuracy comparable to true-model adaptive importance sampling while requiring substantially fewer high-fidelity evaluations.\n14. 非线性算子及其导数的通用逼近 Universal Approximation of Nonlinear Operators and Their Derivatives\n作者: Filippo de Feo\n类别: cs.LG, cs.AI, math.FA, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.15285v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.15285v1\n摘要: Derivative-Informed Operator Learning (DIOL), i.e. learning a (nonlinear) operator and its derivatives, is an open research frontier at the foundations of the influential field of Operator Learning (OL). In particular, Universal Approximation Theorems (UATs) of nonlinear operators and their derivatives are foundational open questions and delicate problems in nonlinear functional analysis. In this manuscript, we prove the first UATs of non-linear $k$-times differentiable operators between Banach spaces and their derivatives, uniformly on compact sets and in weighted Sobolev norms for general finite input measures, via OL architectures. Our results are the first complete generalizations of the corresponding influential classical results in [Hornik, 1991] to infinite-dimensional settings and OL. We discuss several open areas where DIOL and our UATs find applications: high-order accuracy in OL, fast constrained optimization in Banach spaces (e.g. optimal control of PDEs, inverse problems) and numerical methods for infinite-dimensional PDEs (e.g. HJB PDEs on Banach spaces from optimal control of PDEs, SPDEs, path-dependent systems, partially observed systems, mean-field control). We parameterize nonlinear operators via Encoder-Decoder Architectures, renowned classes in OL due to their generality, including classical architectures, such as DeepONets, Deep-H-ONets, PCA-Nets. Our results are based on four key features that allow us to prove UATs in full generality: (i) Approximation Properties of Banach spaces. (ii) $k$-times continuous differentiability in the sense of Bastiani (weaker than $k$-times continuous Fréchet differentiability). (iii) Natural compact-open topologies for UA; indeed, we show that UA in standard compact-open topologies induced by operator norms is violated even for Fréchet derivatives. (iv) Construction of novel weighted Sobolev spaces for the UA.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-05-18_06-42-43/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年05月18日 06:42:43\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 14\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-关于由复形构造复形的-bbg-构造中短与长正合序列的一个注记\"\u003e1. 关于由复形构造复形的 BBG 构造中短与长正合序列的一个注记\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eA note on short and long exact sequences in the BBG construction of complexes from complexes\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年05月18日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年05月15日 07:00:37\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 1\n不相关论文数量: 17\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 基于T-E表述的薄高温超导壳磁化建模 T-E formulation-based modeling of thin HTS shell magnetization\n作者: Leonid Prigozhin, Vladimir Sokolovsky\n类别: cond-mat.supr-con, math.NA\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.14818v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.14818v1\n摘要翻译 中文标题: 基于T-E表述的薄高温超导壳磁化建模\n摘要翻译: 薄膜磁化数值建模方法主要侧重于计算电流密度分布。II类超导体的高度非线性电流-电压特性使得电场的精确计算变得极为复杂。先前针对扁平超导薄膜推导的基于T-E表述的混合有限元方法，能够同时准确确定这两个变量。该方法的另一个优势是计算区域仅限于薄膜自身：无需对周围空间进行网格划分。薄壳近似将问题简化为二维问题。 本研究将T-E表述和数值方法推广至带金属基底的非扁平超导壳。我们通过若干测试算例（包括模拟球体磁化）验证了该方法。随后将该方法应用于一个圆柱形磁流体动力泵的现实模型，并计算了所产生的开路电压。\n不相关论文（基本信息） 1. 粘弹性波导中稳健色散曲线计算的自适应同伦延拓方法：保证分支标识连续性 Adaptive homotopy continuation for robust dispersion curve computation in viscoelastic waveguides: guaranteed branch identity continuity\n作者: Dong Xiao, Zahra Sharif Khodaei, M. H. Aliabadi\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.15089v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.15089v1\n摘要: This paper presents the first systematic application of a material homotopy continuation framework for efficient, automated computation of dispersion curves in viscoelastic waveguides of arbitrary cross-section. A material homotopy continuously maps the original lossy problem to an auxiliary lossless one via an attenuation parameter s in [0,1], addressing the core challenges of the non-Hermitian eigenvalue problem. Grounded in analytic perturbation theory, the method guarantees branch identity continuity\u0026ndash;a one-to-one correspondence between solutions at s=0 and s=1\u0026ndash;provided the real-parameter path does not cross any exceptional points. Under a Type I exceptional point topology, physical mode labels established at the elastic stage remain valid at the viscoelastic stage without post-processing, yielding the characteristic real-part veering with imaginary-part crossing. The decoupling strategy performs reliable mode tracking in the Hermitian regime via adaptive wavenumber refinement, then propagates a sparse set of key solutions to the target viscoelastic state through predictor-corrector homotopy continuation. Numerical examples across symmetric and unsymmetric laminates validate the framework\u0026rsquo;s robustness and efficiency, with the majority of cases verified at a loss factor of approximately 0.003 and a single symmetric laminate providing additional support at 0.02. For a challenging unsymmetric laminate at a loss factor of 0.05, the method still produces numerically accurate solutions; two complementary diagnostic signatures\u0026ndash;an extremely sharp imaginary-part crossing and a discernible discrepancy between spectral group velocity and energy flux velocity\u0026ndash;warn of potential label mismatch and guide further analysis.\n2. 流形上的Nyström近似 Nyström Approximation on Manifolds\n作者: Hantao Nie, Bin Gao, Andi Han, Pratik Jawanpuria, Bamdev Mishra, Zaiwen Wen\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.14933v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.14933v1\n摘要: Computations on a manifold often involve constructing an operator on the tangent space and computing its inverse, which can be time-consuming in many applications. In order to reduce the computational costs and preserve the benign properties of tangent operators, we develop the Riemannian Nyström approximation on manifolds, a low-rank approximation of tangent operators through subspace projections onto the tangent space. The developed approximation is intrinsically constructed and inherits desirable properties from the classical Nyström approximation, e.g., positive semidefiniteness and approximation errors. Instead of the Gaussian sketching, we introduce the Haar\u0026ndash;Grassmann sketching condition with a coordinate-free representation, which remains compatible under isometric vector transport across tangent spaces. Moreover, we propose a randomized Newton-type method for optimization on manifolds in which the linear system is constructed via the Riemannian Nyström approximation. Numerical experiments on the SPD and Grassmann manifolds, together with principal geodesic analysis on real data, illustrate that the proposed approximation reduces the computational cost of operators while maintaining comparable accuracy.\n3. 对流-扩散方程柯西问题的最小二乘弱Galerkin有限元格式 A Least-Squares Weak Galerkin Finite Element Scheme for Cauchy Problems in Convection\u0026ndash;Diffusion\n作者: Chunmei Wang, Shangyou Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.14770v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.14770v1\n摘要: We introduce and rigorously analyze a least-squares weak Galerkin (LS-WG) finite element method for the severely ill-posed Cauchy problem of convection\u0026ndash;diffusion equations. The proposed framework utilizes weak derivatives defined on a class of discontinuous weak functions, enabling the natural treatment of complex boundary conditions and internal interfaces. A key advantage of the least-squares formulation is that it transforms the underlying non-self-adjoint operator into a discrete linear system that is inherently symmetric and positive definite (SPD). We demonstrate the geometric flexibility of the method on arbitrary polygonal and polyhedral partitions. Furthermore, we establish the uniqueness of the numerical solution and derive optimal-order error estimates in a carefully defined discrete energy norm. Extensive numerical tests are presented to confirm the theoretical convergence rates and highlight the algorithm\u0026rsquo;s robustness and efficiency compared to standard Galerkin approaches.\n4. 对称正定张量的特征值界 Eigenbounds of symmetric positive definite tensors\n作者: Snigdhashree Nayak, Hemant Sharma, Nachiketa Mishra\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.14768v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.14768v1\n摘要: This article introduces an algebraic framework for establishing eigenvalue bounds for symmetric positive definite tensors by leveraging intrinsic invariants, specifically the trace and determinant (resultant). We derive a hierarchy of inequalities via the Arithmetic Mean-Geometric Mean (AM-GM) inequality that yields progressively tighter upper and lower bounds for the tensor spectral radius and smallest eigenvalue. A comprehensive comparative analysis demonstrates that our invariant-based approach significantly outperforms classical coordinate-dependent methods such as the Gershgorin circle theorem. We explicitly show that our bounds remain robust and informative in scenarios where Gershgorin bounds fail, particularly for tensors with negative off-diagonal entries, where algebraic cancellations occur, and higher-order tensors, where combinatorial growth leads to loose estimates. Furthermore, we validate the practical utility of these bounds by applying them to certify the positive definiteness of Lyapunov functions in the stability analysis of nonlinear autonomous systems.\n5. 计算三阶张量T-平方根的迭代方法 Iterative Methods for Computing the T-Square Root of Third-Order Tensors\n作者: Hemant Sharma, Nachiketa Mishra\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.14748v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.14748v1\n摘要: We develop and analyze iterative methods for computing the principal square root of third-order tensors under the T-product framework. Tensor extensions of the Newton iteration (quadratic convergence) and the Denman\u0026ndash;Beavers iteration (geometric convergence with simultaneous computation of the inverse square root) are proposed, with rigorous convergence guarantees established via the Fourier-domain block-diagonalization of the T-product. We apply these methods to image processing, introducing Tensor Decorrelated Grayscale conversion, T-Whitening, and optimal color transfer under the T-product geometry. We also formulate the Tensor Bures\u0026ndash;Wasserstein distance and prove it defines a valid metric on the space of T-positive definite tensors. Numerical experiments confirm rapid convergence and demonstrate that the proposed tensor-based techniques offer improved structural preservation and cross-channel decorrelation compared to classical methods.\n6. 高维偏微分方程的无偏且免二阶训练 Unbiased and Second-Order-Free Training for High-Dimensional PDEs\n作者: Jaemin Seo, Surin Lee, Jae Yong Lee\n类别: cs.LG, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.14643v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.14643v1\n摘要: Deep learning methods based on backward stochastic differential equations (BSDEs) have emerged as competitive alternatives to physics-informed neural networks (PINNs) for solving high-dimensional partial differential equations (PDEs). By leveraging probabilistic representations, BSDE approaches can avoid the curse of dimensionality and often admit second-order-free training objectives that do not require explicit Hessian evaluations. It has recently been established that the commonly used Euler-Maruyama (EM) time discretization induces an intrinsic bias in BSDE training losses. While high-order schemes such as Heun can fully eliminate this bias, such schemes re-introduce second-order spatial derivatives and incur substantial computational overhead. In this work, we provide a principled analysis of EM-induced loss bias and propose an unbiased, second-order-free training framework that preserves the computational advantages of BSDE methods. Our code is available at https://github.com/seojaemin22/Un-EM-BSDE.\n7. 基于光滑余因子方法的直线剖分上样条空间维数计算 Dimension Calculation for Spline Spaces over Rectilinear Partitions via Smoothing Cofactor Method\n作者: Bingru Huang, Falai Chen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.14577v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.14577v1\n摘要: This paper presents a general framework for calculating the dimension of spline spaces over arbitrary rectilinear partitions using the smoothing cofactor method. The approach extends existing dimension theory for polynomial splines over T-meshes by introducing the concept of TE-connected components, reducing the problem to the rank computation of explicitly constructible conformality matrices. Furthermore, a new class of rectilinear partitions, termed partitions with disjoint truncated l-edges, is introduced. It is proven that under specific conditions, the dimension of the corresponding spline space attains Schumaker\u0026rsquo;s lower bound. This shows that the lower bound is attainable for arbitrary degree d and smoothness order mu in certain partition configurations. Numerical examples, including the Morgan-Scott and Yuan-Stillman partitions, validate the effectiveness and generality of the framework for both triangular and non-triangular rectilinear partitions.\n8. 基于对称Strang分裂的各向异性孔隙弹性波模拟互易性验证 Verification of reciprocity in anisotropic poroelastic wave simulation using symmetric Strang splitting\n作者: Morten Jakobsen, Jose Carcione\n类别: math.NA, physics.flu-dyn, physics.geo-ph\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.14576v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.14576v1\n摘要: Poroelastic wave simulations are important for many applications relating fluid flow and wave characteristics in porous rock formations. Reciprocity is a key physical property of wave propagation in porous media that is important for such applications, even when viscous dissipation is present. However, numerical poroelastic simulations often fail to reproduce reciprocal responses because the discretization does not preserve the balance between reversible wave dynamics and irreversible fluid-solid drag. To address this, we formulate the Biot equations in terms of a continuous evolution operator split into a reversible (skew-adjoint) wave part and an irreversible (self-adjoint, non-positive) Darcy part, including the leading-order Johnson-Koplik-Dashen correction. This structure clarifies why reciprocity holds in the continuous equations and how it is easily broken in discrete form. Guided by this interpretation, we construct a symmetric second-order Strang-splitting scheme with half-step source injection. The method conserves energy in the reversible subsystem, treats Darcy dissipation unconditionally stably, and retains Courant limits similar to elastic solvers. Using a staggered pseudo-spectral discretization, we model multimode propagation in 2D VTI media and obtain cross-component reciprocity with a relative L2 misfit approaching machine precision, demonstrating that the discrete scheme inherits the symmetry properties of the continuous evolution operator.\n9. DiffPhD: 面向弹性动力学中含丰富接触的投影异质材料的GPU加速统一可微求解器 DiffPhD: A Unified Differentiable Solver for Projective Heterogeneous Materials in Elastodynamics with Contact-Rich GPU-Acceleration\n作者: Shih-Yu Lai, Sung-Han Tien, Jui-I Huang, Yen-Chen Tseng, Yi-Ting Chiu, Siyuan Luo, Ziqiu Zeng, Fan Shi, Peter Yichen Chen, Tiantian Liu, Yu-Lun Liu, Bing-Yu Chen\n类别: cs.GR, cs.DC, cs.RO, math.NA\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.14526v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.14526v1\n摘要: Differentiable simulation of soft bodies is a foundation for system identification, trajectory optimization, and Real2Sim transfer. Yet, existing methods such as the differentiable Projective Dynamics (DiffPD) struggle when faced with heterogeneous materials with extreme stiffness contrasts, hyperelasticity under large deformations, and contact-rich interactions, which are common scenarios in the real world. We present DiffPhD, a unified GPU-accelerated differentiable Projective Dynamics framework for heterogeneous materials that tackles these intertwined challenges simultaneously. Our key insight is a careful integration of: (i) stiffness-aware projective weights to embed heterogeneity into the global system; (ii) trust-region eigenvalue filtering lifted to the backward pass for stable hyperelastic gradients and a type-II Anderson Acceleration scheme with dual-gate convergence to stabilize forward iteration under large stiffness contrasts; and (iii) a unified GPU pipeline that reuses a single sparse factor across forward, backward, and contact computations, with stiffness-amplified Rayleigh damping folded into the same factor for heterogeneity-aware dissipation at zero recurring cost. DiffPhD achieves strict gradient accuracy while delivering up to an order-of-magnitude speedup over prior differentiable solvers on heterogeneous, hyperelastic, contact-rich benchmarks. Crucially, this speedup does not come at the cost of stability: DiffPhD remains convergent on stiffness contrasts up to 100x where prior PD solvers degrade. This unlocks end-to-end gradient-based optimization on regimes previously bottlenecked by either solver fragility or per-iteration cost \u0026ndash; shell\u0026ndash;joint composite creatures, soft characters wielding stiff weapons, and soft-gripper robotic manipulation \u0026ndash; all handled within a single forward\u0026ndash;backward pass.\n10. 奇异摄动的神经网络——有限正则性 Neural Networks for Singular Perturbations \u0026ndash; Finite Regularity\n作者: F. Rohner, Ch. Schwab, C. Xenophontos\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.14459v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.14459v1\n摘要: We study finite-element and deep feedforward neural network (DNN for short) expressivity rate bounds for solution sets of a model linear, second order singularly perturbed, elliptic two-point boundary value problem, in Sobolev norms on a bounded interval $(-1,1)$, with explicit dependence on the singular perturbation parameter $\\e\\in (0,1]$. Emphasis is on low Sobolev regularity of the data, i.e., source term $f$ and reaction coefficient $b$. A proof of $\\e$-explicit solution regularity based on exponentially weighted energy-norm bounds is developed, and \\emph{$\\e$-robust, algebraic expression rate bounds} in Sobolev norms for $\\mathbb{P}_1$ Finite-Elements on exponential and Shishkin type meshes is proved. Expression rates for shallow (fixed depth) $\\ReLU$-NNs are shown which are robust w.r. to $\\e$ and explicit in terms of the NN size. Robust NN expression rate bounds are further studied for deep feedforward DNNs with ReLU and tanh-activations. As in \\cite{OSX24_1085}, tanh- and sigmoid-activated sub-NNs allow to include exponential boundary layer functions exactly into the NN feature space, leading to reduced NN sizes. Recent bitstring encoding techniques for deep NNs with ReLU activations afford, still under low data regularity $f,b \\in H^1(I)$ \\emph{twice the (robust) convergence rate of $\\mathbb{P}_1$ Finite-Elements} achievable with ``eXp\u0026rsquo;\u0026rsquo; or Shishkin meshes.\n11. 已有不连续面上流体驱动摩擦与拉伸破裂的三维模拟 Three dimensional simulation of fluid-driven frictional and tensile ruptures on existing discontinuities\n作者: Brice Lecampion, Sylvain Brisson, Antareep Sarma, Ankit Gupta, Alexis Sáez, Regina Fakhretdinova\n类别: physics.geo-ph, math.NA, physics.comp-ph, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.14397v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.14397v1\n摘要: We present an implicit, fully-coupled hydro-mechanical solver for the three dimensional simulation of fluid-driven rupture propagation along existing discontinuities. The solver handles simultaneously frictional slip (shear failure) and tensile opening (hydraulic fracture) along arbitrary intersecting fractures and faults in a linearly elastic and impermeable rock matrix. The spatial discretization combines a collocation displacement discontinuity boundary element method for quasi-static elasticity with a Galerkin finite element method for nonlinear pore-fluid diffusion along the discontinuities. Frictional and tensile failure are governed by a poro-elastoplastic cohesive zone like interface law with slip-weakening friction, dilatancy, and tensile strength degradation, integrated via an elastic predictor-plastic corrector scheme. The strong nonlinear coupling between mechanical deformation and fracture permeability is handled via adaptive implicit time-stepping. Efficient block preconditioning of the coupled tangent system, leveraging hierarchical matrix representations of the boundary element operator, is essential to achieve robustness across the full range of fracture behaviors. Accuracy and convergence are demonstrated against a comprehensive suite of analytical and semi-analytical solutions of increasing complexity: fluid-driven frictional ruptures under constant and slip-weakening friction, dilatant ruptures with permeability changes, and penny shaped hydraulic fractures spanning the viscosity-to-toughness transition. The solver is further assessed on two multi-fracture configurations: injection into three intersecting fractures, and a height-confined hydraulic fracture intersecting a strike-slip fault. The proposed framework simultaneously captures frictional slip, dilatancy, permeability evolution, and tensile opening.\n12. 凸向量优化中$\\ell_p$范数极小化的收敛速率 Convergence Rates for $\\ell_p$ Norm Minimization in Convex Vector Optimization\n作者: Mohammed Alshahrani\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.14324v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.14324v1\n摘要: We analyze convergence rates of norm-minimization-based outer approximation algorithms for convex vector optimization when the scalarization uses an $\\ell_p$ norm with $p \\in (1,\\infty)$. While the Euclidean case ($p=2$) achieves the optimal rate $O(k^{2/(1-q)})$, the behavior under general $\\ell_p$ norms has remained open. A direct approach via the modulus of smoothness yields only the weaker exponent $\\min(p,2)$, which degrades for $1 \u003c p \u003c 2$. We prove that the Hausdorff approximation error satisfies $δ_H(P_k, A) = O(k^{2/(1-q)})$ for \\emph{every} $p \\in (1,\\infty)$, where $q$ is the number of objectives and $k$ is the iteration count. The proof introduces a Euclidean intermediary technique that exploits the ambient inner product structure of $\\R^q$ to obtain a quadratic bound on the hyperplane distance, bypassing the $\\ell_p$ smoothness limitation; norm equivalence then converts this to any $\\ell_p$ metric at the cost of only a dimension-dependent constant, not a loss of exponent. Numerical experiments confirm the $p$-independent rate predicted by the theory.\n13. 凸向量优化中基于范数极小化的外部逼近的自适应度量 Adaptive Metrics for Norm-Minimization-Based Outer Approximation in Convex Vector Optimization\n作者: Mohammed Alshahrani\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.14320v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.14320v1\n摘要: We develop an adaptive-metric framework for norm-minimization-based outer approximation algorithms in bounded convex vector optimization. The key idea is to let the scalarization metric vary across iterations while measuring approximation error in a fixed Euclidean norm. This enables the algorithm to exploit problem geometry dynamically. Our approach rests on two theoretical foundations. First, we prove that the improved Euclidean convergence rate $O(k^{2/(1-q)})$ \u0026ndash; previously known only for the standard $\\ell_2$ norm \u0026ndash; extends to all fixed inner-product norms. Second, we establish a dispersion theorem showing that the cut normals generated by the algorithm naturally spread across all directions when the upper image has a strictly convex boundary with bounded curvature. This geometric condition guarantees that the adaptive metric remains well-conditioned throughout execution. Building on these results, we derive explicit convergence bounds that quantify how metric conditioning influences the Hausdorff error estimates. Numerical experiments validate the theoretical rates and demonstrate that adaptive metrics achieve 31\u0026ndash;33% fewer iterations than the fixed Euclidean norm on problems with curved Pareto fronts. Our results provide a rigorous foundation for adaptive metric selection in convex vector optimization.\n14. 基于小波的 Koopman 分析观测量：一个扩展的动态模式分解框架 Wavelet-Based Observables for Koopman Analysis: An Extended Dynamic Mode Decomposition Framework\n作者: Cankat Tilki, Serkan Gugercin\n类别: math.NA, cs.AI, math.DS, math.FA\n发布日期: 2026-05-14\narXiv ID: 2605.14224v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.14224v1\n摘要: We present an in-depth analysis of the Koopman semigroup via wavelet transform. Towards this goal, we start by introducing the wavelet-based observables and show that they are eigenfunctions of the Koopman semigroup when this semigroup is considered over the Banach space of continuous functions on a compact forward-invariant set endowed with the supremum norm. We then construct closed-form expressions of the action of the Koopman semigroup and its resolvent in terms of these observables. To approximate the action of Koopman semigroup numerically, we combine Extended Dynamic Mode Decomposition (EDMD) with the proposed wavelet-based observables leading to the Wavelet Dynamic Mode Decomposition via Continuous Wavelet Transform (cWDMD) algorithm. We validate our theoretical results on two numerical examples.\n15. 双鞍点系统的分类 Classification of Double Saddle-Point Systems\n作者: Susanne Bradley, Chen Greif\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.14157v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.14157v1\n摘要: We offer a classification of a broad and practically relevant class of symmetric double saddle-point system. At the core of the paper is the division of the associated matrices into block-arrow'' and block-tridiagonal\u0026rsquo;\u0026rsquo; forms. We describe relevant applications, invertibility conditions, spectral properties, and block preconditioners. Our discussion is kept within a general framework rather than tailored to specific applications.\n16. 面向目标的指标1线性端口哈密顿微分-代数方程的时间自适应 Goal-Oriented Time Adaptivity for Linear Port-Hamiltonian Differential-Algebraic Equations of Index~1\n作者: Aashutosh Sharma, Andreas Bartel, Manuel Schaller\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.14082v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.14082v1\n摘要: Port-Hamiltonian systems provide a highly-structured framework for modeling of physical systems. By definition, they encode a balance equation relating energy changes to supplied and dissipated energy. Capturing this energy balance in discrete approximations is a fundamental challenge and often has been achieved by designing particular schemes such as discrete gradient methods. In this work, we propose an approach that controls the energy balance violation for port-Hamiltonian differential algebraic equations via time adaptivity using a posteriori grid refinement techniques based on the dual weighted residual method. In particular, we show how one may leverage the port-Hamiltonian structure to efficiently compute the error estimators using a dissipativity-exploiting block-Jacobi approximation. We illustrate the efficacy of the method by means of simulations of electrical circuit models.\n17. $\\ell$FEM：等参体与面有限元的高效无循环 Matlab 实现 $\\ell$FEM: An efficient loop-free Matlab implementation of isoparametric bulk and surface finite elements\n作者: Balázs Kovács, Michael Lantelme\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.14035v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.14035v1\n摘要: The $\\ell$FEM MATLAB package provides a simple, efficient, and flexible implementation of isoparametric finite elements in bulk domains and on surfaces. The finite element matrix assemblies are based on MATLAB\u0026rsquo;s paged operators and therefore completely loop-free. We give a short and conscious description of high-order isoparametric surface finite elements, which is then used to describe the assembly process and the implementation. We report on relevant numerical experiments (runtime comparisons, modifications for non-linear problems, etc.), and on additional functions, examples, and a testing unit which are all part of the $\\ell$FEM package.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-05-15_07-00-37/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年05月15日 07:00:37\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 17\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-基于t-e表述的薄高温超导壳磁化建模\"\u003e1. 基于T-E表述的薄高温超导壳磁化建模\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eT-E formulation-based modeling of thin HTS shell magnetization\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年05月15日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年05月14日 09:52:53\n重点关注论文数量: 1\n了解领域论文数量: 1\n不相关论文数量: 22\n重点关注论文（完整分析） 1. 基于简化传输条件的非相对论区域 Klein-Gordon-Schrödinger 方程的一致精确多尺度时间积分器 A Uniformly Accurate Multiscale Time Integrator for the Klein-Gordon-Schrödinger Equations in the Nonrelativistic Regime via Simplified Transmission Conditions\n作者: Yue Feng, Caoyi Liu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.12936v1\n摘要翻译: 我们针对具有无量纲参数 $\\epsilon\\in(0,1]$（其中 $\\epsilon$ 与光速成反比）的 Klein-Gordon-Schrödinger (KGS) 方程，提出了一种新颖且简化的多尺度时间积分器傅里叶拟谱（MTI-FP）方法。严格证明了所提出的 MTI-FP 方法在非相对论区域（即 $\\epsilon\\to0$ 时）在时间上达到一致一阶精度。在该区域，KGS 方程的解表现出波长为 $O(\\epsilon^2)$ 的时间振荡，这对经典数值方法提出了苛刻的分辨率要求。一致精确的 MTI-FP 方法建立在两个关键点上：(i) 在每个时间区间上通过频率进行多尺度分解，并采用简化的传输条件；(ii) 时间离散采用指数积分器，空间离散结合傅里叶拟谱方法。利用能量方法和数学归纳法，我们在 $H^1$ 范数下严格建立了两个独立的误差界：$O(h^{m_0-1}+\\tau^2/\\epsilon^2)$ 和 $O(h^{m_0-1}+\\epsilon^2)$，其中 $h$ 为网格尺寸，$\\tau$ 为时间步长，$m_0$ 为依赖解的正则性的整数。这些估计表明 MTI-FP 方法在空间上一致且最优收敛，在时间上关于 $\\epsilon\\in(0,1]$ 以 $O(\\tau)$ 一致收敛。此外，通过在每个时间区间上对微观变量进行线性插值与多尺度分解相结合，我们得到了对任意 $t\u003e0$ 都一致精确的数值解。因此，从香农采样理论的角度来看，所提出的 MTI-FP 方法具有时间上的超分辨率性质。提供了大量的数值实验来验证误差估计并展示超分辨率性质。最后，将该方法应用于数值研究 KGS 方程到不同极限模型的收敛速率。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12936v1\n1. 研究对象和背景 本文研究无量纲化的Klein-Gordon-Schrödinger (KGS) 方程组\n$$ i\\partial_t \\psi + \\Delta \\psi + \\lambda \\varphi \\psi = 0,\\qquad \\varepsilon^2 \\partial_{tt} \\varphi - \\Delta \\varphi + \\frac{\\mu^2}{\\varepsilon^2} \\varphi - \\lambda |\\psi|^2 = 0, $$其中空间变量 $x\\in\\mathbb{R}^d$ ($d=1,2,3$), 时间 $t\u003e0$, 未知函数 $\\psi$ 是复标量核子场, $\\varphi$ 是实标量介子场, 无量纲参数 $\\varepsilon\\in(0,1]$ 与光速成反比, $\\mu = m_2/(2m_1)\u003e0$ 是质量比, $\\lambda$ 是Yukawa耦合常数. 初始条件为\n$$ \\psi(x,0)=\\psi_0(x),\\quad \\varphi(x,0)=\\varphi_0(x),\\quad \\partial_t\\varphi(x,0)=\\frac{1}{\\varepsilon^2}\\varphi_1(x), $$其中 $\\psi_0$ 与 $\\varphi_0,\\varphi_1$ 均与 $\\varepsilon$ 无关. 该方程组作为核子-介子相互作用的平均场模型被广泛研究, 也出现在等离子体物理与非线性光学中.\n当 $\\varepsilon = O(1)$ 时, 方程处于经典区域, 已有大量解析与数值结果. 但在非相对论极限区域 ($0\u003c\\varepsilon\\ll1$), 问题呈现出本质困难: 解具有高频时间振荡, 其主导频率为 $\\mu/\\varepsilon^2$, 波长尺度为 $O(\\varepsilon^2)$. 从能量估计可知总能量 $E(t)=O(\\varepsilon^{-2})$, 这导致经典的数值方法(如有限差分)需要极其苛刻的网格步长, 例如时间步长需满足 $\\tau=O(\\varepsilon^3)$ 才能正确分辨振荡[35], 从而计算代价难以承受. Shannon采样理论表明这类方法是时间欠分辨的.\n为克服该困难, 近年来已提出多种一致精确的数值方法. 它们均采用 $h=O(1)$, $\\tau=O(1)$ 的网格策略, 且对任意 $\\varepsilon\\in(0,1]$ 均能保持一致的精度. 代表性工作包括: 基于多尺度分解的多尺度时间积分器(MTI)[6], 基于双尺度展开(TSF)的方法[11], 渐近相容的指数型积分器[7], 嵌套Picard迭代(NPI)[10]以及一致精确积分器(UAI)[9]等. 这些方法实现了时间上的超分辨——即只需远大于振荡波长的步长即可获得高精度解.\n本文试图在已有MTI框架的基础上进一步推进. 文献[6]的MTI方法采用精心准备的初始条件(well-prepared initial data) 来定义多尺度分解中的微变量, 使得 $\\partial_t v(x,0) = -\\frac{i}{2\\mu}\\Delta v(x,0)$, 这导致数值格式较为复杂且对解的正则性要求较高. 本文通过引入简化传输条件, 即直接令 $\\partial_t v(x,0)=0$, 构造了一个新的MTI-Fourier伪谱(MTI-FP)方法. 该方法在保持相同的一致一阶时间精度的同时, 显著简化了格式, 降低了计算成本, 并弱化了对解的正则性要求, 同时在空间上达到给定正则性下的最优精度. 此外, 利用多尺度分解中的微变量线性插值, 该方法还可以几乎无代价地得到任意时刻 $t\u003e0$ 的一致精确数值解, 这是其他一致精度方法(如TSF和UAI)所不具备的.\n2. 主要定理或主要结果 本文针对一维周期边值问题(可张量积推广至高维), 在时间步长 $\\tau$ 与空间网格尺寸 $h$ 的设定下, 严格证明了所提MTI-FP方法在 $H^1$ 范数下的两个独立误差界:\n$$ \\|\\psi(\\cdot,t_n)-\\psi^n\\|_{H^1} + \\|\\varphi(\\cdot,t_n)-\\varphi^n\\|_{H^1} \\lesssim h^{m_0-1} + \\frac{\\tau^2}{\\varepsilon^2}, $$$$ \\|\\psi(\\cdot,t_n)-\\psi^n\\|_{H^1} + \\|\\varphi(\\cdot,t_n)-\\varphi^n\\|_{H^1} \\lesssim h^{m_0-1} + \\varepsilon^2, $$其中整数 $m_0$ 依赖于解的正则性(解属于 $H^{m_0}$). 以上界分别通过能量方法与数学归纳法导出. 综合这两个估计即得到对 $\\varepsilon\\in(0,1]$ 一致有效的时间误差界:\n$$ \\|\\psi(\\cdot,t_n)-\\psi^n\\|_{H^1} + \\|\\varphi(\\cdot,t_n)-\\varphi^n\\|_{H^1} \\lesssim h^{m_0-1} + \\tau. $$这表明方法在时间上具有一致的一阶精度, 且空间精度为 $O(h^{m_0-1})$, 即达到给定解正则性下的最优收敛阶(当使用Fourier谱方法时, 若解充分光滑则可获谱精度).\n此外, 通过在每个时间区间 $[t_n,t_{n+1}]$ 上对微观变量 $v^n$ 和 $r^n$ 进行线性插值, 可构造出任意时刻 $t\\ge 0$ 的数值解, 且该插值不增加额外误差, 从而获得一致精确的全时逼近. 数值上验证了上述误差估计的锐利性, 并展示了时间超分辨性质: 即使在时间步长远大于 $\\varepsilon^2$-波长时, 数值解仍保持高精度. 最后, 应用该方法数值研究了KGS方程在不同初始条件下向Schrödinger极限模型以及带波算子的Schrödinger半极限模型的收敛速率, 结果与理论分析吻合.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心创新在于构造了一种简化的多尺度时间积分器, 其关键技术包括:\n基于简化传输条件的多尺度频率分解. 对每一时间步 $[t_n, t_{n+1}]$, 将解 $\\varphi$ 分裂为 $$ \\varphi(x,t_n+s) = e^{is/\\varepsilon^2}v^n(x,s) + e^{-is/\\varepsilon^2}\\overline{v^n}(x,s) + r^n(x,s),\\quad 0\\le s\\le \\tau, $$并要求 $v^n$ 满足线性Schrödinger-波算子方程\n$$ \\varepsilon^2\\partial_{ss}v^n + 2i\\partial_s v^n - \\partial_{xx}v^n = 0, $$而余项 $r^n$ 满足非线性Klein-Gordon方程\n$$ \\varepsilon^2\\partial_{ss}r^n - \\partial_{xx}r^n + \\frac{1}{\\varepsilon^2}r^n - |\\psi^n|^2 = 0. $$与文献[6]的关键区别在于传输条件: 此处取初始条件为\n$$ v^n(x,0)=\\frac12[\\varphi^n_0(x)-i\\varphi^n_1(x)],\\quad \\partial_s v^n(x,0)=0,\\qquad r^n(x,0)=0,\\;\\partial_s r^n(x,0)=0, $$即 $v^n$ 的初始导数取为零, 从而避免了准备初始数据所需的额外空间微分, 极大地简化了格式并降低了对初值正则性的要求. 该设定使得微变量 $v^n$ 的线性方程可精确求解, 且其解关于 $\\varepsilon$ 一致有界.\n指数时间离散与Gautschi型求积. 对线性部分采用指数积分器精确求解: $v^n$ 的Fourier系数 $\\widehat{(v^n)}_l(s)$ 由 $a_l(s)\\widehat{(v^n)}_l(0)$ 给出, 其中 $a_l(s)$ 为显式表达式; 对非线性源项积分, 采用Gautschi型一次近似 $$ \\int_0^s \\frac{\\sin(\\omega_l(s-\\theta))}{\\varepsilon^2\\omega_l} \\widehat{(|\\psi^n|^2)}_l(\\theta)\\,d\\theta \\approx p_l(s)\\widehat{(|\\psi^n|^2)}_l(0) + q_l(s)\\widehat{(|\\psi^n|^2)'}_l(0), $$并类似处理 $\\psi^n$ 方程中的卷积项. 这里 $\\omega_l = \\frac{1}{\\varepsilon^2}\\sqrt{1+\\varepsilon^2\\mu_l^2}$, 系数 $p_l,q_l$ 等均可显式计算出, 从而整个格式是显式的, 且可利用快速Fourier变换(FFT)实现, 每步计算复杂度为 $O(N\\log N)$.\n误差分析的双重估计策略. 证明的难点在于同时控制时间离散误差与高频振荡在不同 $\\varepsilon$ 下产生的放大效应. 作者采用两种独立的技术路径: (i) 能量方法: 较直接地给出 $O(\\tau^2/\\varepsilon^2)$ 形式的误差估计, 该界在 $\\varepsilon$ 很小时不理想, 但结合 $\\tau = O(\\varepsilon^2)$ 即退化为经典结果; (ii) 数学归纳法: 充分利用分解后 $v^n$ 和 $r^n$ 的一致有界性, 通过精细分析非线性项中的相位振荡与正交性, 建立 $O(\\varepsilon^2)$ 形式的误差界, 该界虽对小区间给出更紧估计, 但依赖于解具有更高阶的一致正则性. 将二者结合, 对任意 $0\u003c\\varepsilon\\le 1$ 取 $\\min\\{\\tau^2/\\varepsilon^2,\\,\\varepsilon^2\\}\\le \\tau$, 即得一致的一阶精度. 该策略避免了对刚性的直接处理, 而是将误差分解为“在 $\\varepsilon$ 不小时能量估计有效”与“在 $\\varepsilon$ 极小时利用高频平均性质”两部分.\n全局时间一致逼近的插值后处理. 在每一时间步计算出 $\\varphi^{n+1}$ 后, 可得到离散时刻的数值解. 为获得任意 $t\u003e0$ 处的值, 作者利用多尺度分解的自然结构: 对 $t\\in(t_n,t_{n+1})$, 用 $e^{i(t-t_n)/\\varepsilon^2}v^{n,1}(x) + e^{-i(t-t_n)/\\varepsilon^2}\\overline{v^{n,1}}(x) + r^{n,1}(x)$ 进行线性重构, 其中 $v^{n,1}, r^{n,1}$ 是计算得到的 $v^n(\\cdot,\\tau)$ 和 $r^n(\\cdot,\\tau)$ 的线性插值. 该重构在原有的 $H^1$-误差基础上仅引入 $O(\\tau)$ 的额外误差, 从而保持了整体的一致精度, 并且几乎不增加计算量. 这一性质是MTI方法所独有的, 源自其在每一时间步均显式保留了高频因子 $e^{\\pm i t/\\varepsilon^2}$.\n4. 与之前工作的比较 本文与已有的KGS方程非相对论区域数值方法作了多方面的比较, 尤其聚焦于同属MTI框架的文献[6].\n格式复杂度与计算效率. 文献[6]的MTI方法基于良好准备的初始条件, 即选取 $\\partial_t v(x,0) = -\\frac{i}{2\\mu}\\Delta v(x,0)$. 在实际计算中, 这需要在每一时间步对微变量 $v^n$ 的初始导数施加空间微分算子, 不仅增加了计算量, 也对解的正则性提出了更高要求. 本文通过采用齐次初始导数传输条件 $\\partial_s v^n(x,0)=0$, 完全避免了该步骤, 使格式大为简化, 数值实现仅需 $O(N\\log N)$ 复杂度且易于编程.\n正则性要求. 文献[6]的误差分析要求解满足 $\\psi,\\varphi\\in H^{m_0}$, 且需要一定的 $H^{m_0+1}$ 型条件以保证准备初始数据有意义. 本文的误差界中 $m_0$ 仍然表征解的正则性, 但得益于简化的初始条件, 证明只需解与文献[6]同阶的正则性即可获得相同的一阶时间精度, 作者明确声称“正则性要求被弱化”. 从提供的文本看, 具体弱化程度未列出定理严格比较, 但这一声明来自格式本身的简化.\n时间步长与空间精度的权衡. 两个方法均得到一致一阶时间精度, 且本文额外证明了空间精度 $O(h^{m_0-1})$ 是最优的 (给定 $H^{m_0}$ 的正则性). 文献[6]的方法是否达到空间最优并未明确提及. 此外, 本文通过双重误差估计 (能量与归纳) 给出了更完整的误差结构图像, 尤其 $O(\\varepsilon^2)$ 界单独揭示了在 $\\varepsilon\\to0$ 时方法的超收敛潜力.\n后处理插值能力. 文中指出, 基于多尺度分解的线性插值以获得任意时刻数值解的特性仅适用于MTI方法, 而不能直接应用于TSF或UAI等其他一致精度方法. 这是因为MTI在每一时间步显式重建了 $\\varphi$ 的高频振荡因子, 而其他方法通常在每一时间步直接计算低频和高频成分的组合, 丢失了中间的相位信息.\n与其他一致精度方法的比较. 与TSF方法[11]相比, MTI方法无需求解复杂的双尺度耦合系统, 而是逐时间步顺序求解线性方程和非线性方程, 实施更简便. 与指数型积分器[7]或UAI[9]相比, 本文格式是显式的, 且利用了Fourier谱方法的快速算法, 在空间精度和计算效率上更具优势. 不过, 由于缺少具体对比实验, 从提供的内容无法确认本文方法在同样粗网格下常数因子是否占优, 或对某些特殊解是否更具稳健性.\n局限与未来工作. 文中未讨论可能的局限性, 但考虑到简化传输条件实质上是一种零阶近似, 可以推测当方程参数 $\\mu$ 很小或初始相位不匹配时, 可能需要更多时间步才能达到渐近状态. 另外, 误差界中 $O(\\tau^2/\\varepsilon^2)$ 与 $O(\\varepsilon^2)$ 的交错意味着当 $\\varepsilon$ 处于中间量级时, 实际误差可能会在两者之间摆动, 但整体仍由 $\\tau$ 控制. 文中未提供自适应 $\\tau$ 选择策略, 这可以作为未来研究方向.\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 精确守恒与Onsager阈值：不可压缩Navier\u0026ndash;Stokes方程的离散外微积分理论 Exact conservation and the Onsager threshold: a discrete exterior calculus theory for incompressible Navier\u0026ndash;Stokes\n作者: Peter Korn\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.13048v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.13048v1\n摘要翻译 中文标题: 精确守恒与Onsager阈值：不可压缩Navier\u0026ndash;Stokes方程的离散外微积分理论\n摘要翻译: 我们为不可压缩Euler和Navier\u0026ndash;Stokes方程建立了一个保持结构的离散化严格理论，该理论基于闭Riemann流形上棱柱Delaunay\u0026ndash;Voronoi网格的离散外微积分。核心结果是一个选择原则：离散层面上的精确代数守恒不仅是一个保真性质，而且排除了其他离散化无条件可达的整类弱解。我们在四种情形下证明了这一点。\\emph{光滑解情形}：收敛速度为$\\mathcal{O}(h^{\\min(r_{\\rm rec},\\,r_\\star)}\\,|\\log h|^{\\beta_d})$，关于粘性$\\nu\\ge 0$一致成立，其中$\\beta_3 = 0$，$\\beta_2 = 1$；在一般网格上为一阶精度，在具有形心接近性和重构对称性的网格上为二阶精度。\\emph{Leray\u0026ndash;Hopf弱解情形}：子列的$L^2$极限是粘性系统的弱解。\\emph{无粘测度值情形}：极限是守恒的测度值Euler解；若离散解在Onsager阈值$\\alpha\u003e 1/3$以上具有一致的$C^{0,\\alpha}$界，则其集中缺陷在该阈值以上消失。\\emph{耗散情形}：在任何正则性下，没有子列收敛到一个能量耗散的Euler解，这种结构性排除来自于精确的离散能量守恒，并使该格式区别于其他方法。区间$1/3 \u003c \\alpha \u003c 1$上能量守恒和无缺陷收敛成立，但唯一性仍是悬而未决的，这孤立了无粘流体动力学的核心公开问题。\n不相关论文（基本信息） 1. Elastica++：用于大型相互作用的Cosserat杆组装体的高性能多物理场框架 Elastica++: A high-performance, multiphysics framework for large interacting assemblies of Cosserat rods\n作者: Tejaswin Parthasarathy, Seung Hyun Kim, Songyuan Cui, Mattia Gazzola\n类别: cs.CE, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.13766v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.13766v1\n摘要: Soft, slender structures are ubiquitous in natural and engineered systems, with broad application potential from biomimetic materials to soft robotics. However, there is a notable lack of computational tools that simultaneously preserve high-fidelity continuum rod mechanics, scale to large interacting ensembles, and remain flexible across diverse biophysical settings. Here we introduce Elastica++, an open-source, high-performance implementation of the Cosserat-rod model for large-scale simulations of slender-body dynamics. Elastica++ combines performance-oriented kernels with shared-memory parallelism to sustain teraflop-scale throughput despite complex discretization domains and physical interactions. The framework further interoperates with external numerical solvers, supporting efficient multiphysics workflows. We demonstrate robustness and breadth through case studies spanning passive nest-like metamaterials, collective active-matter dynamics, cilia carpets, soft magnetic microrobots, and schooling swimmers. Elastica++ thus provides a missing foundation for high-throughput studies of emergent behavior in interacting assemblies of elastic slender structures.\n2. 降低phi-FEM计算成本的多重网格和神经网络方法 A multigrid and neural network approach to reduce the computational cost of phi-FEM\n作者: Raphaël Bulle, Michel Duprez, Vanessa Lleras, Killian Vuillemot\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.13718v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.13718v1\n摘要: In this work, we present a combination of a multigrid approach and the phi-FEM immersed boundary finite element method to reduce its computational cost while preserving its accuracy. To further reduce the numerical cost of the approach, we also propose the combination of the previous technique with some neural network methods. We illustrate the efficiency of these two approaches with numerical test cases in 2D and 3D.\n3. 基于滤波白噪声的二维湍流傅里叶模态随机建模 Stochastic modeling of Fourier modes in two-dimensional turbulence via filtered white noise\n作者: Paolo Cifani, Franco Flandoli, Andrea Zanoni\n类别: math-ph, math.NA, math.PR, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.13671v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.13671v1\n摘要: Modeling turbulent flows by a random Fourier decomposition is a classical procedure in order to use simplified models of turbulence in heat transport and other applications. We carefully investigate the Fourier time series of two-dimensional turbulent flows forced at intermediate scales and identify significant statistical structures. In particular, we find the existence of a typical time correlation length, and propose a stochastic model for the Fourier components. Finally, we compute the transport of a passive tracer under purely convective dynamics by means of direct numerical simulation of the turbulent flow and compare it with the effective diffusion produced by the stochastic model.\n4. 具有势的粘性 CIR 过程：不变测度与精确采样 Sticky CIR process with potential: invariant measure and exact sampling\n作者: Tony Shardlow\n类别: math.PR, math.NA\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.13648v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.13648v1\n摘要: We study the sticky Cox-Ingersoll-Ross (CIR) process in one dimension, a diffusion on $[0,\\infty)$ with a sticky boundary condition at the origin, arising as the marginal process in a sparse Bayesian inference framework based on Hadamard-Langevin dynamics. For the parameter range $δ\\in(1,2)$, in which the origin is accessible but not absorbing, we prove well-posedness of the process and uniqueness of its invariant measure, which is a mixture of a point mass at zero and a weighted gamma-type density on the interior. We derive an explicit Green\u0026rsquo;s function for the resolvent in terms of confluent hypergeometric functions, and use this to construct an exact sampler for the invariant measure in the zero-potential case. For a non-trivial potential $G$, we establish existence and uniqueness of the tilted invariant measure via a Girsanov change of measure, and develop two sampling algorithms: a Metropolis-Hastings corrected sampler that targets the invariant measure exactly, and an unadjusted Langevin algorithm (ULA) that is cheaper per step but introduces an $O(h)$ bias. Numerical experiments confirm the predicted behaviour: the Metropolis-Hastings sampler achieves the target invariant measure at all step sizes, while the ULA exhibits the expected $O(h)$ bias.\n5. 基于蒙特卡洛的Majorization-Minimization超参数估计方法 A Majorization-Minimization with Monte Carlo Approach for Hyperparameter Estimation\n作者: Elle Buser, Julianne Chung, Hugo Díaz, Arvind K. Saibaba\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.13620v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.13620v1\n摘要: We consider inverse problems with linear forward models and Gaussian priors, but with unknown hyperparameters that may arise from the model, the noise, or the specification of the prior. We model this using a hierarchical Bayes framework resulting in a posterior distribution that is non-Gaussian, in general, and challenging to sample from. Consequently, we use an empirical Bayes framework for estimating the maximum a posteriori estimate of the hyperpameters by considering the marginalized posterior distribution. However, the optimization problem is also computationally challenging due to the need for repeated evaluation of log determinants. To address this issue, we propose a Majorization-Minimization with Monte Carlo approach, which we call M$^{3}$C, for hyperparameter estimation. Specifically, we replace the challenging optimization problem with a sequence of simpler ones by utilizing a majorization function (or majorant) for the log-determinant term, combined with a Monte Carlo estimator to approximate the majorant. We provide theoretical results, showing that under certain assumptions, the M$^{3}$C iterates converge with high probability to a critical point of the original cost function. A variety of numerical examples are provided from seismic tomography, super-resolution imaging, and contaminant source identification.\n6. 基于分层超体积和幅度指标的非光滑集合梯度上升逼近帕累托前沿 Nonsmooth Set-Gradient Ascent to the Pareto Front via Layered Hypervolume and Magnitude Indicators\n作者: Michael T. M. Emmerich\n类别: math.OC, cs.NE, math.NA\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.13468v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.13468v1\n摘要: A nonsmooth set-gradient ascent method is developed for moving finite approximation sets toward the Pareto front in multiobjective optimization. The method optimizes layered set indicators: a base indicator is evaluated on successive nondomination layers, and the layer values are combined with rapidly decreasing weights. This gives ascent directions to nondominated and dominated points while preventing deeper layers from compensating for deterioration of the first front. Two base indicators are treated: the hypervolume indicator and the magnitude indicator of the dominated set, whose expansion over coordinate projections contains extent, projected-area, and volume terms. The scalar objectives are nonsmooth because nondomination layers change combinatorially and the active orthogonal-union geometry changes piecewise. On fixed strata, where layer assignments and active geometry remain unchanged, the indicators are piecewise smooth and chamberwise continuous. For the magnitude indicator, an exact gradient formula is derived as a linear combination of hypervolume gradients of projected shadow sets. Thus, for fixed objective dimension, magnitude gradients have the same asymptotic time complexity as hypervolume gradients. Lexicographic layer aggregation is related to a unary infinitesimal encoding. For finite-$ε$ surrogates, the main nonsmoothness mechanisms are isolated and chamberwise Lipschitz continuity on bounded sets is proved; a two-point counterexample shows that hard-layer scalarization is not globally continuous across layer switches. The theory motivates a projected finite-difference implementation with repulsion and recovery from stagnation. Numerical examples and reproducible code cover two- and three-objective settings, including objective-space tests, curved fronts, a supersphere benchmark, and traces comparing layered magnitude and hypervolume ascent.\n7. 再论 CUR 扰动分析：局部切空间展开 Revisiting CUR Perturbation Analysis: A Local Tangent-Space Expansion\n作者: Longxiu Huang\n类别: math.NA, cs.IT\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.13437v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.13437v1\n摘要: CUR decompositions approximate a matrix using selected columns, rows, and their intersection. Classical CUR theory provides exactness results for low-rank matrices and perturbation bounds controlled by the size of the noise. In this work we develop a local perturbation expansion for a fixed-index rank-truncated CUR map near an admissible rank-(r) matrix. We show that the Fréchet derivative of the rank-truncated CUR map is a sampling-induced oblique tangent-space projector determined by the selected rows and columns. Consequently, the local recovery error for an underlying low-rank matrix is governed not by the full perturbation norm alone, but by the image of the perturbation under this sampling-induced tangent projector. In particular, perturbations that are invisible to the selected rows and columns are removed to first order. We compare this behavior with the classical local expansion of the rank-(r) SVD truncation. SVD removes orthogonal-normal perturbations to first order, whereas rank-truncated CUR removes perturbations in the kernel of the sampling-induced oblique tangent projector. Numerical experiments illustrate these regimes and confirm the predicted first- and second-order local rates.\n8. 分数阶Sobolev常数的伽辽金逼近 Galerkin Approximation of the Fractional Sobolev Constant\n作者: Andreea Dima, Liviu I. Ignat\n类别: math.NA, math.AP, math.CA\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.13347v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.13347v1\n摘要: We establish sharp estimates for the discrete optimal constant of the fractional Sobolev inequality in dimension $N\\geq 1$, with fractional exponent $s\\in (0,\\min\\{1,N/2\\})$. The convergence rates that we establish take place for the Galerkin approximation with piecewise linear elements, when the computations are carried out in the unit ball, for which we employ a quasi-uniform and regular mesh.\n9. 面向交互式物理模拟的分层Transformer预条件 Hierarchical Transformer Preconditioning for Interactive Physics Simulation\n作者: Carl Osborne, Minghao Guo, Crystal Owens, Wojciech Matusik\n类别: cs.GR, cs.DC, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.13343v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.13343v1\n摘要: Neural preconditioners for real-time physics simulation offer promising data-driven priors, but they often fail to capture long-range couplings efficiently because they inherit local message passing or sparse-operator access patterns. We introduce the Hierarchical Transformer Preconditioner, a neural preconditioner anchored to a weak-admissibility H-matrix partition. The partition provides a multiscale structural prior (dense diagonal leaves plus coarsening off-diagonal tiles) that enables full-graph approximate-inverse computation with O(N) scaling at fixed block sizes. The network models the inverse through low-rank far-field factors and uses highway connections (axial buffers plus a global summary token) to propagate context across transformer depth. At each PCG iteration, preconditioner application reduces to batched dense GEMMs with regular memory access. The key training contribution is a cosine-Hutchinson probe objective that learns the action of MA on convergence-critical spectral subspaces, optimizing angular alignment of MAz with z rather than forcing eigenvalue clusters to a prescribed location. This removes unnecessary spectral-placement constraints from SAI-style objectives and improves conditioning on irregular spectra. Because both inference and apply are dense, dependency-free tensor programs, the full solve loop is captured as a single CUDA Graph. On stiff multiphase Poisson systems (up to 100:1 density contrast, N = 1,024-16,384), the solver runs from ~143 to ~21 fps. At N = 8,192, it reaches 17.9 ms/frame, with 2.2x speedup over GPU Jacobi, ~28x over GPU IC/DILU (AMGX multicolor_dilu), and 2.7x over neural SPAI retrained per scale on the same benchmark.\n10. 分析适用的 $G^1$ 等几何多片离散化的鲁棒逼近误差估计 Robust approximation error estimates for analysis-suitable $G^1$ isogeometric multi-patch discretizations\n作者: Fatima Hasanova, Stefan Takacs, Thomas Takacs\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.13270v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.13270v1\n摘要: We prove $p$-robust approximation error estimates for $H^2$-conforming isogeometric discretizations over planar multi-patch domains. Possible applications are fourth order boundary value problems, like the biharmonic equation or Kirchhoff-Love plates. Using Isogeometric Analysis, such conforming discretizations can be constructed effortlessly for the single-patch case. In order to obtain a globally $H^2$-conforming discretization in the multi-patch case, the functions must be $C^1$-smooth across the interfaces between the patches. To obtain optimal approximation properties, those $C^1$-smooth spaces must also reproduce splines of sufficiently high degree for traces and transversal derivatives at all patch interfaces. Such constructions are based on some assumptions on the geometry. We restrict ourselves to the class of analysis-suitable $G^1$ (AS-$G^1$) multi-patch domains, which is the subset of $C^0$-matching multi-patch domains that allows the definition of spline spaces that yield the necessary reproduction properties without the need to locally increase the degree. While approximation error estimates have been established for single-patch and $C^0$ isogeometric multi-patch spaces, corresponding results for the $C^1$ multi-patch setting have been missing. The resulting bounds on the approximation error depend on the geometry parameterization and on the Sobolev regularity of the target function, but are independent of the spline degree $p$.\n11. 关于不适定问题的自适应随机重球法的后验停止准则 On a posteriori stopping rules of adaptive stochastic heavy ball method for ill-posed problems\n作者: Ruixue Gu, Qinian Jin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.13144v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.13144v1\n摘要: In this paper we develop a stochastic heavy ball method for solving ill-posed inverse problems. The method updates the iterate using only a randomly selected equation at each iteration step while incorporating a momentum term into the process. To facilitate fast convergence, we propose an adaptive strategy for selecting the step size and the momentum coefficient. Inspired by the spirit of the discrepancy principle, we introduce an {\\it a posteriori} stopping rule for our adaptive stochastic heavy ball method. This rule avoids the need to compute residuals of all equations in the system at every iteration or at fixed frequency intervals, thereby enhancing computational efficiency and practicality. Additionally, convex penalty functions are employed to capture the specific features of the desired solutions. Under suitable conditions, we establish almost sure convergence as well as convergence in expectation. Extensive numerical experiments are conducted to evaluate the performance of the proposed method, demonstrating its efficiency and promising potential for solving large-scale ill-posed problems.\n12. 球面上的多项式插值—回归 Polynomial interpolation\u0026ndash;regression on the sphere\n作者: Francesco Dell\u0026rsquo;Accio, Federico Nudo, Teresa E. Pérez, Miguel A. Piñar\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.13124v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.13124v1\n摘要: We introduce an interpolation\u0026ndash;regression operator for polynomial approximation on the unit sphere $\\mathbb{S}^2$ from discrete samples. The approximant is a spherical polynomial of degree $r$ which interpolates the data on a prescribed subset of nodes and uses the remaining sampling nodes to minimize the residual in a least squares sense. Under natural rank assumptions on the associated Vandermonde matrices, the approximant is unique and is characterized by an orthogonality condition with respect to the discrete inner product on the sampling set. We then focus on the case in which the sampling and interpolation nodes are antipodally symmetric. In this setting, when the polynomial is expressed in real spherical harmonics, the constrained problem can be decomposed into independent even and odd components. In the same framework, we prove equivariance under the antipodal map and, more generally, under orthogonal transformations preserving the node sets. We also consider spherical designs. In this case, the normal matrix is a scalar matrix. Consequently, the spectral condition number of the associated KKT matrix can be written explicitly. Numerical experiments in both antipodal and non-antipodal settings illustrate the effectiveness of the proposed method.\n13. 面向一维守恒律的超网络条件化WENO5守恒型CNN Hypernetwork-Conditioned WENO5 Conservative-Form CNNs for One-Dimensional Conservation Laws\n作者: Yongsheng Chen, Wei Guo, Xinghui Zhong\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.13106v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.13106v1\n摘要: We study a conservative data-driven discretization for one-dimensional hyperbolic conservation laws based on the classical fifth-order WENO finite-volume scheme and a hypernetwork architecture. In the proposed Hyper\u0026ndash;WENO5 Conservative-Form Convolutional Neural Network (Hyper\u0026ndash;CFCNN), a lightweight target network predicts the nonlinear WENO weights on each stencil, while a hypernetwork generates the target-network parameters from problem metadata, including the mesh spacing, mesh layout, and coarse descriptors of the initial condition. The construction preserves the standard polynomial reconstruction and conservative flux-difference update of WENO, which enables adaptation across problem instances and spatial resolutions without retraining. We also consider an unknown-flux variant, Hyper\u0026ndash;CFCNN\u0026ndash;F, in which a compact FluxNet is used in place of the analytical flux inside the numerical flux function while retaining a conservative update form. To improve long-time prediction quality, training uses a multi-step recurrent loss that penalizes error accumulation over successive time advances. Numerical experiments on one-dimensional test problems, including single- and multi-shock Burgers equations, the shallow-water system, and the Shu\u0026ndash;Osher Euler example, show that Hyper\u0026ndash;CFCNN attains accuracy comparable to classical WENO5, achieves near machine-precision conservation in the known-flux setting on fine meshes, and generalizes to unseen spatial resolutions and initial conditions without retraining. The flux-learning variant remains stable on meshes outside the training set and exhibits bounded conservation drift. These results show that hypernetwork-conditioned conservative WENO discretizations provide an effective framework for adaptive high-order learning of nonlinear conservation laws with either known or unknown fluxes.\n14. U-HNO: 用于非稳态偏微分方程动力学的带有稀疏点自适应路由的 U 形混合神经算子 U-HNO: A U-shaped Hybrid Neural Operator with Sparse-Point Adaptive Routing for Non-stationary PDE Dynamics\n作者: Yingzhe Ma, Xiao Yang, Yuxin Xie, Zihan Xiong, Jinliang Liu\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.12965v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12965v1\n摘要: Solutions to many partial differential equations (PDEs) display coexisting smooth global transport and localized sharp features within a single trajectory: shock fronts, thin interfaces, and concentrated high-frequency content sit on top of slowly varying backgrounds. This poses a challenge for neural operators: Fourier-based architectures mix nonlocal interactions efficiently but tend to under-resolve localized non-smooth features, whereas spatially local architectures recover fine detail at the cost of long-range propagation and rollout stability. Existing hybrid operators paper over this tension with a fixed, spatially uniform fusion that forces the same trade-off everywhere. We propose U-HNO, a U-shaped hybrid neural operator whose central design is Sparse-Point Adaptive Routing (SPAR): at every spatial location, a per-pixel hard mask selects whether the global Fourier branch or the local multi-scale Gaussian branch should dominate, and the sparsity ratio is a function of the local contrast of the routing signal, so smooth and shock-aligned regions receive different mixtures of global and local computation. SPAR is embedded in a hierarchical encoder-bottleneck-decoder backbone with skip connections so that the dual branches and the gate operate at every resolution. Training combines pointwise supervision with a finite-difference H^1 gradient term and a band-wise spectral consistency regularizer. Across benchmarks spanning 1D Burgers, Kuramoto-Sivashinsky, KdV, 2D advection, Allen-Cahn, Navier-Stokes, Darcy flow, and 3D transonic compressible Navier-Stokes from PDEBench, U-HNO achieves state-of-the-art rollout accuracy on the majority of tasks in both relative L^2 and H^1 metrics, with the largest gains on problems dominated by sharp localized features. Ablations show that removing any single component substantially degrades rollout error.\n15. 一种用于张量块对角化的 NPDo 方法 An NPDo Approach for Tensor Block-Diagonalization\n作者: Ren-Cang Li, Li Wang, Mei Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.12932v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12932v1\n摘要: This paper is concerned with Partial Tensor Block-Diagonalization of a multiway tensor by orthonormal matrices so that the extracted block-diagonal part optimally represents the tensor. The basic idea is to maximize the block-diagonal part via the tensor\u0026rsquo;s mode-multiplications by orthonormal matrices. For that reason, it will be referred to Principal Tensor Block-Diagonalization (PTBD), which contains the Tucker decomposition (TD) of a tensor as a special case with just one block. Also as a special case is the approximate dominant tensor SVD in which each block-size is 1-by-1. An NPDo approach is proposed to optimize the block-diagonal part for computing \\ptbd. It is shown the NPDo approach combined with Gauss-Seidel-type updating is globally convergent to a stationary point while the objective increases monotonically. Numerical experiments are presented to illustrate the efficiency of the NPDo approach.\n16. 基于输运声学增量的可压缩欧拉方程组全离散Active Flux方法 Fully Discrete Active Flux Method based on Transported Acoustic Increments for the Compressible Euler Equations\n作者: Karthik Duraisamy\n类别: math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.12915v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12915v1\n摘要: A fully discrete Active Flux method is proposed for the 2D compressible Euler equations. The method builds on the evolution-operator formulation proposed by Roe in which conservative cell averages are updated by unsplit flux quadrature while primitive point values are evolved by acoustic and advective subsolvers. The proposed method reconstructs the acoustic increment as a cellwise Q2 field and evaluates this field at the convective foot of the target point. For constant frozen coefficients, the resulting point update reduces to the transported composition, eliminating the additive split defect and yielding the exact unsplit frozen evolution when the acoustic and advective generators commute. The resulting method preserves the exact locally linearized acoustic evolution operator of Barsukow (2025), the compact stencil, and the conservative one-stage average update. Numerical experiments probe several facets of the numerical method. A mixed Fourier wave packet isolates the split error and shows third-order point accuracy for the transported update, compared with second-order behavior for the additive update. Isentropic vortex convection confirms third-order convergence for the full nonlinear scheme, reduced error constants, and an enlarged empirical CFL range. Nonlinear Gaussian acoustic pulse evolution demonstrates preservation of radial symmetry and near-third-order decay of the symmetry error. Low-Mach shear layer tests show coherent vorticity evolution, ultra-low entropy dissipation, and absence of the coarse-grid secondary vortices seen in displayed DG/CG comparisons. Finally, a compressible under-resolved Kelvin-Helmholtz test demonstrates robust no-limiter evolution to late time with consistent entropy dissipation. Fourier diagnostics of the vertical-edge point operator support the observed improvements in acoustic phase and amplification behavior.\n17. 厄米特特征值问题中一种带有可靠伪Ritz值去除方法的改进CJ\u0026ndash;SS\u0026ndash;RR方法 A refined CJ\u0026ndash;SS\u0026ndash;RR method with a reliable removal approach of spurious Ritz values for the Hermitian eigenvalue problem\n作者: Zhongxiao Jia, Tianhang Liu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.12846v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12846v1\n摘要: Under the hypothesis that the deviations of the desired eigenvectors of the matrix $A$ from the underlying subspace tend to zero, the Ritz vectors may not converge and have poor or little accuracy. This phenomenon is not unusual and particularly occurs when the associated Ritz values are close, which is independent of the eigenvalue distribution of $A$. For the (block) SS\u0026ndash;RR methods, there are possibly {\\em more} Ritz values that converge to the same desired eigenvalue(s) counting multiplicity in the region of interest, meaning that some of the Ritz values must be spurious and the corresponding residual norms of the Ritz pairs may not be small. Consequently, the (block) SS\u0026ndash;RR methods including the CJ\u0026ndash;SS\u0026ndash;RR method cannot base on the corresponding residual norms to effectively identify if the Ritz values in the region are genuine or spurious. This paper proposes refined SS\u0026ndash;RR, abbreviated as SS\u0026ndash;RRR, methods based on the refined Rayleigh\u0026ndash;Ritz projection that compute the eigenpairs of large matrices with the eigenvalues located in the given region. We present a new approach to accurately implement the RRR methods more efficiently than ever before for a general subspace.Exploiting the unconditional convergence of the refined Ritz vectors when the subspace is sufficiently accurate, we propose a tune-free removal approach to effectively remove spurious Ritz values with a rigorous theory supported, and develop a restarted CJ\u0026ndash;SS\u0026ndash;RRR algorithm. Numerical experiments show that the restarted CJ\u0026ndash;SS\u0026ndash;RRR algorithm is more efficient and effective than the restarted CJ\u0026ndash;SS\u0026ndash;RR algorithm.\n18. 球面游走与Array-RQMC Walk on spheres and Array-RQMC\n作者: Valerie N. P. Ho, Art B. Owen\n类别: math.NA, stat.CO\n发布日期: 2026-05-13\narXiv ID: 2605.12844v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12844v1\n摘要: We use Array-RQMC sampling in a walk on spheres (WOS) algorithm for Dirichlet boundary value problems. On a collection of problems, we find that Array-RQMC-WOS reduces the Monte Carlo variance by factors ranging from $57$-fold to $2290$-fold at $n=2^{17}$ trajectories. The variance is known to be $o(1/n)$ but attains empirical rates between $n^{-1.4}$ and $n^{-1.8}$ in our examples. A simpler RQMC-WOS algorithm studied in Ho and Owen (2026) has more theoretical support but only reduced variance by 1.8 to 10.7-fold on the same set of examples. In order to explain this improvement, we introduce a column-wise mean dimension of the RQMC error based on Sobol\u0026rsquo; indices. It matches the usual mean dimension for Monte Carlo and the mean dimension of a dual lattice error for randomized lattices. We find for a gasket example from Crane et al.\\ (2025) that the mean dimension of Array-RQMC-WOS errors is much higher than an analogous Array-MC-WOS algorithm has.\n19. 导数自由优化中二次模型的精度与关系 Accuracy and Relationships of Quadratic Models in Derivative-free Optimization\n作者: Yiwen Chen, Warren Hare, Lindon Roberts\n类别: math.OC, math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.12819v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12819v1\n摘要: We study three quadratic models in model-based derivative-free optimization: the minimum norm (MN), minimum Frobenius norm (MFN), and quadratic generalized simplex derivative (QS) models. Despite their widespread use, their approximation accuracy and relationships have not been systematically explored. We establish fully linear error bounds for all three models, removing the uniformly bounded model Hessian assumption required in existing MN analyses and deriving the first such results for the QS model. We further analyze Hessian approximation accuracy via directional error bounds, showing that all three models achieve fully quadratic accuracy along sample directions under a mild condition on the sample set. This reveals a form of directional fully quadratic accuracy not captured by existing theory. Finally, we characterize the relationships among these models, identifying conditions under which they coincide and clarifying their structural connections.\n20. 厄米特矩阵函数双线性形式的快速稳定梯度逼近 Fast and Stable Gradient Approximation for Bilinear Forms of Hermitian Matrix Functions\n作者: Navjot Singh, Kipton Barros, Xiaoye Sherry Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.12801v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12801v1\n摘要: Objectives involving bilinear forms $u^\\top f(A(θ))v$ for Hermitian $A$ arise widely in scientific computing and probabilistic machine learning. For large matrices, Lanczos efficiently approximates these quantities, but differentiating them with respect to $θ$ is challenging. Existing approaches either backpropagate through the Lanczos recurrence, requiring reorthogonalization for stability, or apply Arnoldi to an augmented block matrix of twice the original size. Both introduce extra computation and orthogonalization costs that can limit performance on modern hardware. We propose a forward-only gradient approximation that reuses the Lanczos pass and adds very minimal overhead in most cases. We prove that its error is proportional to the Lanczos residual norm, the same quantity controlling the forward approximation. Whereas a traditional adjoint-based calculation would be unstable without reorthogonalization, the new method appears unconditionally stable in our tests. It is also faster than existing state-of-the-art approaches.\n21. 基于非对称格林核的逼近及其在分数阶微分方程中的应用 Approximations with Non-Symmetric Green\u0026rsquo;s Kernels and their Application to Fractional Differential Equations\n作者: Nick Fisher\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.12707v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12707v1\n摘要: Several kernel-based methods for the numerical solution of fractional differential equations have been developed in the recent past; however, these techniques exclusively relied on the use of radial basis function approximations. In the present work, we consider the non-symmetric Green\u0026rsquo;s kernel perspective on fractional order spline interpolation and its application to a kernel Galerkin method for the numerical solution of certain fractional order differential equation. Unfortunately, the reliance on a non-symmetric kernel requires that our theoretical analysis of the kernel interpolants must take place outside the familiar setting of reproducing kernel Hilbert spaces. Nevertheless, we are able to prove that the proposed kernel interpolants obtain optimal order convergence rates in a reproducing kernel Banach space.\n22. UFO: 一种面向广义算子学习的无域统一算子框架 UFO: A Domain-Unification-Free Operator Framework for Generalized Operator Learning\n作者: Hanli Qiao, George Em Karniadakis, Muhammad Muniruzzaman\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.12700v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12700v1\n摘要: Neural operators have become an effective framework for learning mappings between function spaces, yet most existing architectures realize operators within a single representational domain, such as physical, spectral, or latent space. In this work, we introduce UFO (Domain-Unification-Free Operator), a cross-domain neural operator framework that realizes operators through adaptive, jointly conditioned interactions among representations defined on distinct domains. UFO enables discretization decoupling: the input function can be observed at resolutions or locations different from those used during training, while the solution can be queried at arbitrary output resolutions. Across four complementary benchmarks covering discontinuous inputs, irregular sampling with spectral mismatch, nonlinear dynamics, and stochastic high-frequency fields, UFO delivers accurate, robust, and physically coherent predictions under distribution shifts. These results establish cross-domain, phase-modulated realization as a powerful framework for discretization-decoupled neural operator learning.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-05-14_09-52-53/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年05月14日 09:52:53\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 22\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-基于简化传输条件的非相对论区域-klein-gordon-schrödinger-方程的一致精确多尺度时间积分器\"\u003e1. 基于简化传输条件的非相对论区域 Klein-Gordon-Schrödinger 方程的一致精确多尺度时间积分器\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eA Uniformly Accurate Multiscale Time Integrator for the Klein-Gordon-Schrödinger Equations in the Nonrelativistic Regime via Simplified Transmission Conditions\u003c/p\u003e","title":"2026年05月14日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年05月13日 12:11:23\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 1\n不相关论文数量: 17\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 低正则性波映射方程的分裂格式 A splitting scheme for the wave maps equation at low regularity\n作者: Katie Marsden, Frédéric Rousset, Katharina Schratz\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.11507v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11507v1\n摘要翻译 中文标题: 低正则性波映射方程的分裂格式\n摘要翻译: 我们证明了一种针对三维低正则初值波映射方程的滤波Lie分裂格式的收敛性。收敛性分析在离散Bourgain空间中进行，这已被证明对于该方程在连续情形下的低正则性分析是富有成效的。此处的一个重要困难在于，波映射的低正则性分析需要使用系统的零结构(null structure)，因此必须在离散层次上保持该结构，以获得有效稳定的低正则性格式。由于零结构涉及时间导数，因此必须仔细设计该格式。非线性项中时间导数的存在构成了最主要的数值误差来源。尽管如此，我们能够证明该格式对所有次临界初值在 $H^s$ ($s\u003ed/2$) 中的收敛性。\n不相关论文（基本信息） 1. 非散度型二阶椭圆方程的最小二乘弱伽辽金方法 A Least-Squares Weak Galerkin Method for Second-Order Elliptic Equations in Non-Divergence Form\n作者: Chunmei Wang, Shangyou Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.12417v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12417v1\n摘要: This article proposes a novel least-squares weak Galerkin (LS-WG) method for second-order elliptic equations in non-divergence form. The approach leverages a locally defined discrete weak Hessian operator constructed within the weak Galerkin framework. A key feature of the resulting algorithm is that it yields a symmetric and positive definite linear system while remaining applicable to general polygonal and polyhedral meshes. We establish optimal-order error estimates for the approximation in a discrete $H^2$-equivalent norm. Finally, comprehensive numerical experiments are presented to validate the theoretical analysis and demonstrate the efficiency and robustness of the method.\n2. 逆双调和散射中扩展采样法的新型实现 Novel implementation of the extended sampling method for inverse biharmonic scattering\n作者: Isaac Harris, General Ozochiawaeze\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.12367v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12367v1\n摘要: This paper considers an inverse shape problem for recovering an unknown clamped obstacle in two dimensions from far\u0026ndash;field measurements generated by a single incident wave or just a few incident waves for the biharmonic (flexural) wave equation. Here we will develop a new extended sampling method (ESM) that is derived using the analysis of the well\u0026ndash;known factorization method. We will also consider an ESM using both sound\u0026ndash;soft and sound\u0026ndash;hard sampling disks to identify sampling points where the reference disk intersects the unknown cavity. The use of a sound\u0026ndash;hard sampling disk has not been studied in the literature whereas the sound\u0026ndash;soft sampling disk has been used in most recent works. Traditionally the ESM seeks to find the location of the scatterer from limited incident directional data. Here, our method acts more like the factorization method to obtain the location as well as the size (and possibly the shape) of the obstacle. We present numerical experiments with synthetic data that demonstrate how effective this new implementation is with respect to noisy data and illustrate the influence of the reference disk radius on the reconstruction.\n3. 采用约束耦合复边界方法与 ADMM 的齐次 Robin 条件下腔体形状重构 Cavity shape reconstruction with a homogeneous Robin condition via a constrained coupled complex boundary method with ADMM\n作者: Mustapha Essahraoui, El Mehdi Cherrat, Lekbir Afraites, Julius Fergy Tiongson Rabago\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.12202v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12202v1\n摘要: We revisit the problem of identifying an unknown portion of a boundary subject to a Robin condition do, based on a pair of Cauchy data on the accessible part of the boundary. It is known that a single measurement may correspond to infinitely many admissible domains. Nonetheless, numerical strategies based on shape optimization have been shown to yield reasonable reconstructions of the unknown boundary. In this study, we propose a new application of the coupled complex boundary method to address this class of inverse boundary identification problems. The overdetermined problem is reformulated as a complex boundary value problem with a complex Robin condition that couples the Cauchy data on the accessible boundary. The reconstruction is achieved by minimizing a cost functional constructed from the imaginary part of the complex-valued solution. To improve stability with respect to noisy data and initialization, we augment the formulation with inequality constraints through prior admissible bounds on the state, leading to a constrained shape optimization problem. The shape derivative of the complex state and the corresponding shape gradient of the cost functional are derived, and the resulting problem is solved using an alternating direction method of multipliers (ADMM) framework. The proposed approach is implemented using the finite element method and validated through various numerical experiments.\n4. 基于线搜索的随机梯度法在三维计算机断层成像中的应用 A Line\u0026ndash;Search\u0026ndash;Based Stochastic Gradient Method for 3D Computed Tomography\n作者: Tatiana A. Bubba, Elena Morotti, Federica Porta, Valeria Ruggiero, Ilaria Trombini\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.12085v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12085v1\n摘要: We introduce FB-LISA, a forward-backward (FB) generalization of a recently proposed line-search-based stochastic gradient algorithm to address the imaging problem of volumetric reconstruction in Computed Tomography, a substantially high demanding problem, which involves orders of magnitude of data, a high computational burden for forward and backprojection, and memory requirements that push current GPU architectures to their limits. Our formulation employs stochastic mini-batches composed of full 2D projections, preserving the physical structure of the acquisition process while enabling significant speed-ups during early iterations. The resulting method demonstrates how concepts traditionally associated with deep learning can be repurposed to accelerate large-scale inverse problems, without relying on training data or learned priors.\n5. 带有数值积分和集中质量的分数阶椭圆问题的有限元与盒方法离散 Finite element and box-method discretizations for fractional elliptic problems with quadrature and mass lumping\n作者: Kelvin J. R. Almeida-Sousa, David Bolin, Alexandre B. Simas\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.12082v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12082v1\n摘要: We analyze numerical approximation of the fractional elliptic problem $L^βu=f$, ${β\u003e0}$, where $L$ is a second-order self-adjoint elliptic operator with homogeneous Dirichlet or Neumann boundary conditions. The paper develops a unified conforming piecewise linear framework that covers both the standard finite element discretization and the box-method discretization of fractional powers. The key point is that the discrete fractional operator is defined with respect to an admissible inner product on the trial space. This includes, in particular, the standard $L^{2}$ inner product and the quadrature-based mass-lumped inner product, and we also identify a broader family of admissible inner products interpolating between these two realizations. Within this framework, we show that the mass-lumped choice yields the intrinsic fractional box discretization, namely the one obtained by taking fractional powers of the nonfractional box solution operator. For both the finite element and box-method realizations, we establish error estimates under natural consistency assumptions, making explicit the effect of load quadrature in the box case. The analysis applies directly to practical schemes and is supported by numerical experiments in one and two space dimensions.\n6. 基于SCD半光滑*牛顿法的大规模线性反问题的高效TV正则化及其在层析成像中的应用 Efficient TV regularization of large-scale linear inverse problems via the SCD semismooth Newton method with applications in tomography*\n作者: Helmut Gfrerer, Simon Hubmer, Stefan Kindermann, Jaakko Kultima, Ronny Ramlau, Tanja Tarvainen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.12041v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12041v1\n摘要: In this paper, we consider the efficient numerical minimization of Tikhonov functionals resulting from total-variation (TV) regularization of linear inverse problems. Since the TV penalty is non-smooth, this is typically done either via smooth approximations, which are inexact, or using non-smooth optimization techniques, which can often be numerically expensive, in particular for large-scale problems. Here, we present a numerically efficient minimization approach based on the recently proposed semismooth* Newton method, which employs a novel concept of graphical derivatives and exhibits locally superlinear convergence. The proposed approach is specifically tailored to TV regularization, suitable for large-scale inverse problems, and supported by strong mathematical convergence guarantees. Furthermore, we demonstrate its performance on two (large-scale) tomographic imaging problems and compare our results to those obtained via other state-of-the-art TV regularization approaches.\n7. 多材料拓扑优化的SiMPL方法 The SiMPL Method for Multi-Material Topology Optimization\n作者: Peter Gangl, Brendan Keith, Dohyun Kim, Thomas M. Surowiec\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.11994v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11994v1\n摘要: We introduce an efficient and scalable method for density-based multi-material topology optimization, integrating classical mirror descent techniques with point-wise polytopal design constraints. Such constraints arise naturally in this class of problems, wherein the vertices of convex polytopes correspond to distinct design states, only one of which should be occupied at each point in space. The framework generates a descending sequence of iterates by penalizing the design space around the previous iterate with a generalized distance function tailored to the convex geometry of the $n$-dimensional polytope. This distance function, called a Bregman divergence, smooths the optimization landscape, ensuring that each iterate strictly satisfies the point-wise constraints. Subsequently, global constraints (e.g., bounds on the structural mass) can be enforced easily by solving a small, finite-dimensional dual problem. The resulting method is simple to implement and demonstrates robustness and efficiency when combined with an Armijo-type line search algorithm. We validate the method in structural design problems involving the optimal arrangement of both isotropic and anisotropic materials, as well as magnetic flux optimization in electric motors.\n8. Parareal 算法中的优化两步粗传播子 Optimized Two-Step Coarse Propagators in Parareal Algorithms\n作者: Guanglian Li, Qingle Lin, Kai Zhang, Zhi Zhou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.11979v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11979v1\n摘要: In this work, we propose a novel framework for accelerating the parareal algorithm, in which the coarse propagator is formulated as a two-step method and optimized with respect to the convergence factor.} We derive a rigorous error estimate for the proposed two-step parareal algorithm, yielding an explicit bound on the linear convergence factor. This estimate is not only of theoretical interest: it provides a quantitative guideline for selecting and designing coarse propagators. Guided by this estimate, we {consider the linear parabolic equation as an illustrative example and }construct an optimized two-step coarse propagator~(O2CP) that delivers very fast convergence in practice. The resulting method attains an optimized convergence factor of approximately $0.0064$, substantially smaller than that of commonly used practical coarse propagators in the classical parareal setting, while keeping the computational cost moderate. Numerical experiments on linear and nonlinear parabolic equations fully support the theoretical analysis and demonstrate rapid convergence of the two-step parareal algorithm equipped with the O2CP.\n9. 一种用于工业聚合物混合的流体体积浸入边界法 A Volume of Fluid Immersed Boundary Method for Industrial Polymer Mixing\n作者: Emilia Capuano, Daniele Cerroni, Holger Marschall, Giorgio Negrini, Nicola Parolini, Marco Verani\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.11896v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11896v1\n摘要: This work develops advanced numerical methods for free-surface simulations of polymer mixing processes, integrating a Volume of Fluid (VOF) interface-capturing approach with a non-conforming Immersed Boundary (IB) method to model two-phase flows of highly viscous polymer melts and air within partially filled rotating mixing devices, implemented within the Finite Volume OpenFOAM library. To overcome severe numerical instabilities arising from the strong viscosity contrast between polymer melts and air, a block-coupled scheme providing fully implicit viscous diffusion treatment is integrated into the VOF-IB framework, relaxing time-step stability constraints and substantially reducing computational cost with respect to standard segregated solvers. The resulting BC-VOF-IB solver is applied to industrially relevant geometries of single- and twin-screw extruders, yielding physically consistent predictions of velocity and pressure fields under partial filling conditions. While further developments, most notably the inclusion of thermal effects, remain necessary, the proposed framework represents a meaningful step toward bridging academic CFD research and the practical demands of industrial polymer processing.\n10. 最长边高线二分算法的动力学 Dynamics of the Longest-Edge Altitude Bisection Algorithm\n作者: Jérôme Michaud, Sergey Korotov\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.11842v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11842v1\n摘要: We study a longest-edge based refinement scheme for triangulations, termed the longest-edge altitude bisection (LEAB), in which each triangle is subdivided by dropping the altitude from the vertex opposite to its longest edge. Using the normalized shape space of triangles introduced by Perdomo and Plaza in: Properties of triangulations obtained by the longest-edge bisection. \\emph{Cent. Eur. J. Math.}, 12(12) (2014), 1796-1810, we show that LEAB admits a simple geometric description: the normalized left and right children of a triangle in focus are obtained by intersecting the geodesic of right triangles with rays issued from the endpoints of the longest edge and explicit formulas for the mappings are derived. This characterization implies an interesting observation that the associated refinement dynamics collapse the entire shape space onto the right-triangle geodesic in a single step and that every point on this geodesic is fixed. Two-sided bounds for the contraction of the mesh size (discretization parameter) are derived. Also, applications and limitations of the method are briefly discussed.\n11. 面向参数形状设计中降维的参数化模型嵌入的非线性扩展 A nonlinear extension of parametric model embedding for dimensionality reduction in parametric shape design\n作者: Andrea Serani, Giorgio Palma, Matteo Diez\n类别: cs.CE, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.11759v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11759v1\n摘要: Dimensionality reduction is essential in simulation-based shape design, where high-dimensional parameterizations hinder optimization, surrogate modeling, and systematic design-space exploration. Parametric Model Embedding (PME) addresses this issue by constructing reduced variables from geometric information while preserving an explicit backmapping to the original design parameters. However, PME is intrinsically linear and may become inefficient when the sampled design space is governed by nonlinear geometric variability. This paper introduces a nonlinear extension of PME, denoted NLPME. The proposed framework preserves the defining principle of PME \u0026ndash; geometry-driven latent variables and parameter-mediated reconstruction \u0026ndash; while replacing the linear reduced subspace with a nonlinear latent representation. Geometry is not reconstructed directly from the latent variables; instead, the latent representation is decoded into admissible design parameters, and the corresponding geometry is recovered through a forward parametric map. The method is assessed on a bio-inspired autonomous underwater glider with a 32-dimensional parametric shape description and a CAD-based geometry-generation process. NLPME reaches a 5% reconstruction-error threshold with (N=5) latent variables, compared with (N=8) for linear PME, and a 1% threshold with (N=9), compared with (N=15) for PME. Comparison with a deep autoencoder shows that most of the nonlinear compression gain can be retained while preserving an explicit backmapping to the original design variables. The results establish NLPME as a compact, admissible, and engineering-compatible nonlinear reduced representation for parametric shape design spaces.\n12. 一种用于带网格正则化的约束平面几何流的稳定化双SAV参数有限元框架 A stabilized dual-SAV parametric finite element framework for constrained planar geometric flows with mesh regularization\n作者: Koya Sakakibara\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.11721v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11721v1\n摘要: Parametric finite element discretizations of constrained geometric flows must simultaneously address high-order geometric stiffness, mesh degeneration, and nonlinear global constraints. This paper develops a stabilized dual-SAV (scalar auxiliary variable) parametric finite element framework for planar closed curves. The proposed formulation introduces separate auxiliary variables for the physical geometric energy and for an artificial mesh regularization energy. The mesh regularization is coupled only to tangential motion by projecting out its normal variation, so that mesh redistribution changes the parametrization without introducing an artificial normal driving force. Based on this dual-energy structure, we construct a semi-implicit frozen-metric scheme with zero-order stabilization. The scheme leads to linear spatial response problems and satisfies discrete dissipation estimates for the modified geometric and mesh SAV energies. Nonlinear global constraints are handled by an algebraic block reduction: after solving a small number of symmetric positive-definite response problems, the remaining nonlinear system involves only the geometric auxiliary variable and the Lagrange multipliers. For $K$ global constraints, this reduced nonlinear system has dimension $K+1$; in particular, simultaneous area and length constraints lead to a three-dimensional nonlinear system, independently of the number of mesh vertices. Numerical experiments for curve shortening, area-preserving curve shortening, curve diffusion, and Helfrich-type flows illustrate the modified-energy dissipation, the enforcement of geometric constraints, and the improvement of mesh quality for both second- and fourth-order examples.\n13. 一种新颖的能量守恒Crank-Nicolson有限元方法用于广义Klein-Gordon-Zakharov方程组 A novel energy-conservation Crank-Nicolson finite element method for generalized Klein-Gordon-Zakharov equations\n作者: Xuemiao Xu, Maosheng Jiang, Jiansong Zhang, Jiang Zhu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.11686v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11686v1\n摘要: This article focuses on an energy-conservation Galerkin finite element method (FEM) for the generalized Klein-Gordon-Zakharov (KGZ) equations. This method combines the bilinear finite element method for spatial discretization with the Crank-Nicolson (CN) scheme for temporal discretization, thereby guaranteeing exact conservation of the discrete energy functional. A rigorous theoretical analysis is devoted to deriving error bounds for the fast-time-scale electronic field $u$ and the ion density deviation $\\varphi$. By systematically integrating interpolation estimates, Ritz projection, and a postprocessing technique, the superclose error estimates and global superconvergence are established for $u$ in the $H^1$-norm, even under weakened regularity assumptions on the exact solution. Concurrently, we prove $H^1$-norm superconvergence for the auxiliary variable $φ$ ($-Δφ= \\varphi_t$) and optimal-order $L^2$-norm error estimates for the auxiliary variable $p$ ($p=u_t$) and $\\varphi$. Numerical examples are provided to confirm theoretical results.\n14. 通过逆多项式重构消除分数阶傅里叶级数中的吉布斯现象 Resolving the Gibbs Phenomenon in Fractional Fourier Series via Inverse Polynomial Reconstruction\n作者: Faiza Afzal, Xu Xiao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.11452v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11452v1\n摘要: The fractional Fourier series generalizes the classical Fourier series by introducing a rotation angle $α$ in the time-frequency plane, but inherits the Gibbs phenomenon for piecewise smooth functions. Unlike the classical setting, the chirp modulation factor renders the fractional partial sum complex-valued, corrupting both real and imaginary components simultaneously and making direct adaptation of classical remedies insufficient. The Inverse Polynomial Reconstruction Method (IPRM) resolves the Gibbs phenomenon by enforcing that the Fourier coefficients of a Gegenbauer polynomial expansion match the given spectral data, rather than projecting the corrupted partial sum onto a polynomial basis. This paper extends the IPRM to fractional Fourier series for the first time. The fractional transformation matrix is derived and its conditioning is shown to be governed by an $α$-independent Gram matrix, which reveals the dependence on the Gegenbauer parameter $λ$ and the polynomial degree $m$, while being entirely insensitive to the transform angle. An $L^{\\infty}$ error estimate is established, guaranteeing exponential convergence for analytic functions. Numerical experiments on piecewise analytic test functions demonstrate complete elimination of the Gibbs phenomenon and confirm the theoretical predictions.\n15. 基于Carleman估计与压缩映象原理的非线性Schrödinger方程初值反演 Inverse initial data for nonlinear Schrödinger equation via Carleman estimates and the contraction principle\n作者: Navaraj Neupane, Loc Nguyen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.11409v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11409v1\n摘要: We study an inverse initial-data problem for a nonlinear Schrödinger equation in which the initial wave field is reconstructed from lateral measurements. Our approach combines a Legendre-polynomial-exponential-time dimensional reduction with a Carleman-based contraction principle. First, we expand the solution in a weighted Legendre basis in time and truncate the expansion to obtain a coupled nonlinear elliptic system for the spatial coefficients. Next, we solve this reduced system by constructing a contraction map on a suitable admissible set. This contraction map admits a unique fixed point, which is the limit of the corresponding Picard iteration. We also establish a stability estimate showing that this fixed point remains close to the exact reduced solution in the noisy-data case. Finally, we present numerical experiments in two space dimensions for several different geometries and nonlinear exponents. The numerical results show that the proposed method accurately reconstructs the main features of the initial wave field and remains stable even when the boundary data contain noise.\n16. Muon 并非那么特殊：随机或反转谱同样有效 Muon is Not That Special: Random or Inverted Spectra Work Just as Well\n作者: Zakhar Shumaylov, Nathaël Da Costa, Peter Zaika, Bálint Mucsányi, Alex Massucco, Yoav Gelberg, Carola-Bibiane Schönlieb, Yarin Gal, Philipp Hennig\n类别: cs.LG, cs.AI, math.NA, math.OC, stat.ML\n发布日期: 2026-05-11\narXiv ID: 2605.11181v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11181v1\n摘要: The recent empirical success of the Muon optimizer has renewed interest in non-Euclidean optimization, typically justified by similarities with second-order methods, and linear minimization oracle (LMO) theory. In this paper, we challenge this geometric narrative through three contributions, demonstrating that precise geometric structure is not the key factor affecting optimization performance. First, we introduce Freon, a family of optimizers based on Schatten (quasi-)norms, powered by a novel, provably optimal QDWH-based iterative approximation. Freon naturally interpolates between SGD and Muon, while smoothly extrapolating into the quasi-norm regime. Empirically, the best-performing Schatten parameters for GPT-2 lie strictly within the quasi-norm regime, and thus cannot be represented by any unitarily invariant LMO. Second, noting that Freon performs well across a wide range of exponents, we introduce Kaon, an absurd optimizer that replaces singular values with random noise. Despite lacking any coherent geometric structure, Kaon matches Muon\u0026rsquo;s performance and retains classical convergence guarantees, proving that strict adherence to a precise geometry is practically irrelevant. Third, having shown that geometry is not the primary driver of performance, we demonstrate it is instead controlled by two local quantities: alignment and descent potential. Ultimately, each optimizer must tune its step size around these two quantities. While their dynamics are difficult to predict a-priori, evaluating them within a stochastic random feature model yields a precise insight: Muon succeeds not by tracking an ideal global geometry, but by guaranteeing step-size optimality.\n17. 一种用于铁电向列平衡态有限元逼近的能量递减算法 An energy-decreasing algorithm for the finite element approximation of ferronematic equilibrium states\n作者: Alexandre Ern, Ruma R. Maity\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-11\narXiv ID: 2605.11160v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11160v1\n摘要: We develop an energy-decreasing algorithm for the finite element approximation of two-dimensional ferronematic equilibrium states. The problem is formulated as the minimization of the harmonic energy of two two-dimensional vector fields, both with prescribed length, together with an additional nonlinear relation on the orientation of the two vectors. The finite element setting is based on piecewise continuous finite elements on a weakly acute triangulation. The computational realization of the energy-decreasing algorithm employs a decomposition-coordination framework and a Uzawa-like iteration. Numerical experiments are presented to illustrate the computational performances of the algorithm.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-05-13_12-11-23/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年05月13日 12:11:23\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 17\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-低正则性波映射方程的分裂格式\"\u003e1. 低正则性波映射方程的分裂格式\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eA splitting scheme for the wave maps equation at low regularity\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年05月13日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年05月13日 06:07:21\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 1\n不相关论文数量: 17\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 一种用于带网格正则化的约束平面几何流的稳定化双SAV参数有限元框架 A stabilized dual-SAV parametric finite element framework for constrained planar geometric flows with mesh regularization\n作者: Koya Sakakibara\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.11721v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11721v1\n摘要翻译 中文标题: 一种用于带网格正则化的约束平面几何流的稳定化双SAV参数有限元框架\n摘要翻译: 约束几何流的参数有限元离散需要同时处理高阶几何刚度、网格退化和非线性全局约束。本文针对平面闭合曲线，提出了一种稳定化的双SAV（标量辅助变量）参数有限元框架。所提公式分别为物理几何能量和人工网格正则化能量引入了独立的辅助变量。网格正则化仅通过投影掉其法向变化而耦合到切向运动，使得网格重新分布改变参数化而不引入人工法向驱动力。基于这种双能量结构，我们构造了一种带零阶稳定化的半隐式冻结度量格式。该格式导出线性空间响应问题，并且满足关于修正几何能量和网格SAV能量的离散耗散估计。通过代数块缩减处理非线性全局约束：在求解少量对称正定响应问题之后，剩余的非线性系统仅涉及几何辅助变量和拉格朗日乘子。对于K个全局约束，这一缩减后的非线性系统具有K+1维；特别地，同时施加面积和长度约束会导致一个三维非线性系统，且其规模与网格顶点数无关。对曲线缩短、保面积曲线缩短、曲线扩散和Helfrich型流进行的数值实验展示了二阶和四阶算例中的修正能量耗散、几何约束施加以及网格质量的改善。\n不相关论文（基本信息） 1. 非散度型二阶椭圆方程的最小二乘弱伽辽金方法 A Least-Squares Weak Galerkin Method for Second-Order Elliptic Equations in Non-Divergence Form\n作者: Chunmei Wang, Shangyou Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.12417v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12417v1\n摘要: This article proposes a novel least-squares weak Galerkin (LS-WG) method for second-order elliptic equations in non-divergence form. The approach leverages a locally defined discrete weak Hessian operator constructed within the weak Galerkin framework. A key feature of the resulting algorithm is that it yields a symmetric and positive definite linear system while remaining applicable to general polygonal and polyhedral meshes. We establish optimal-order error estimates for the approximation in a discrete $H^2$-equivalent norm. Finally, comprehensive numerical experiments are presented to validate the theoretical analysis and demonstrate the efficiency and robustness of the method.\n2. 扩展采样方法在逆双调和散射中的一种新实现 Novel implementation of the extended sampling method for inverse biharmonic scattering\n作者: Isaac Harris, General Ozochiawaeze\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.12367v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12367v1\n摘要: This paper considers an inverse shape problem for recovering an unknown clamped obstacle in two dimensions from far\u0026ndash;field measurements generated by a single incident wave or just a few incident waves for the biharmonic (flexural) wave equation. Here we will develop a new extended sampling method (ESM) that is derived using the analysis of the well\u0026ndash;known factorization method. We will also consider an ESM using both sound\u0026ndash;soft and sound\u0026ndash;hard sampling disks to identify sampling points where the reference disk intersects the unknown cavity. The use of a sound\u0026ndash;hard sampling disk has not been studied in the literature whereas the sound\u0026ndash;soft sampling disk has been used in most recent works. Traditionally the ESM seeks to find the location of the scatterer from limited incident directional data. Here, our method acts more like the factorization method to obtain the location as well as the size (and possibly the shape) of the obstacle. We present numerical experiments with synthetic data that demonstrate how effective this new implementation is with respect to noisy data and illustrate the influence of the reference disk radius on the reconstruction.\n3. 具有齐次Robin条件的腔体形状重构：基于约束耦合复边界方法与ADMM Cavity shape reconstruction with a homogeneous Robin condition via a constrained coupled complex boundary method with ADMM\n作者: Mustapha Essahraoui, El Mehdi Cherrat, Lekbir Afraites, Julius Fergy Tiongson Rabago\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.12202v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12202v1\n摘要: We revisit the problem of identifying an unknown portion of a boundary subject to a Robin condition do, based on a pair of Cauchy data on the accessible part of the boundary. It is known that a single measurement may correspond to infinitely many admissible domains. Nonetheless, numerical strategies based on shape optimization have been shown to yield reasonable reconstructions of the unknown boundary. In this study, we propose a new application of the coupled complex boundary method to address this class of inverse boundary identification problems. The overdetermined problem is reformulated as a complex boundary value problem with a complex Robin condition that couples the Cauchy data on the accessible boundary. The reconstruction is achieved by minimizing a cost functional constructed from the imaginary part of the complex-valued solution. To improve stability with respect to noisy data and initialization, we augment the formulation with inequality constraints through prior admissible bounds on the state, leading to a constrained shape optimization problem. The shape derivative of the complex state and the corresponding shape gradient of the cost functional are derived, and the resulting problem is solved using an alternating direction method of multipliers (ADMM) framework. The proposed approach is implemented using the finite element method and validated through various numerical experiments.\n4. 一种面向三维计算机断层成像的基于线搜索的随机梯度方法 A Line\u0026ndash;Search\u0026ndash;Based Stochastic Gradient Method for 3D Computed Tomography\n作者: Tatiana A. Bubba, Elena Morotti, Federica Porta, Valeria Ruggiero, Ilaria Trombini\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.12085v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12085v1\n摘要: We introduce FB-LISA, a forward-backward (FB) generalization of a recently proposed line-search-based stochastic gradient algorithm to address the imaging problem of volumetric reconstruction in Computed Tomography, a substantially high demanding problem, which involves orders of magnitude of data, a high computational burden for forward and backprojection, and memory requirements that push current GPU architectures to their limits. Our formulation employs stochastic mini-batches composed of full 2D projections, preserving the physical structure of the acquisition process while enabling significant speed-ups during early iterations. The resulting method demonstrates how concepts traditionally associated with deep learning can be repurposed to accelerate large-scale inverse problems, without relying on training data or learned priors.\n5. 分数阶椭圆问题的有限元与箱方法离散：结合数值积分与质量集中 Finite element and box-method discretizations for fractional elliptic problems with quadrature and mass lumping\n作者: Kelvin J. R. Almeida-Sousa, David Bolin, Alexandre B. Simas\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.12082v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12082v1\n摘要: We analyze numerical approximation of the fractional elliptic problem $L^βu=f$, ${β\u003e0}$, where $L$ is a second-order self-adjoint elliptic operator with homogeneous Dirichlet or Neumann boundary conditions. The paper develops a unified conforming piecewise linear framework that covers both the standard finite element discretization and the box-method discretization of fractional powers. The key point is that the discrete fractional operator is defined with respect to an admissible inner product on the trial space. This includes, in particular, the standard $L^{2}$ inner product and the quadrature-based mass-lumped inner product, and we also identify a broader family of admissible inner products interpolating between these two realizations. Within this framework, we show that the mass-lumped choice yields the intrinsic fractional box discretization, namely the one obtained by taking fractional powers of the nonfractional box solution operator. For both the finite element and box-method realizations, we establish error estimates under natural consistency assumptions, making explicit the effect of load quadrature in the box case. The analysis applies directly to practical schemes and is supported by numerical experiments in one and two space dimensions.\n6. 高效的TV正则化大规模线性反问题：基于SCD半光滑*牛顿法及其在断层成像中的应用 Efficient TV regularization of large-scale linear inverse problems via the SCD semismooth Newton method with applications in tomography*\n作者: Helmut Gfrerer, Simon Hubmer, Stefan Kindermann, Jaakko Kultima, Ronny Ramlau, Tanja Tarvainen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.12041v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.12041v1\n摘要: In this paper, we consider the efficient numerical minimization of Tikhonov functionals resulting from total-variation (TV) regularization of linear inverse problems. Since the TV penalty is non-smooth, this is typically done either via smooth approximations, which are inexact, or using non-smooth optimization techniques, which can often be numerically expensive, in particular for large-scale problems. Here, we present a numerically efficient minimization approach based on the recently proposed semismooth* Newton method, which employs a novel concept of graphical derivatives and exhibits locally superlinear convergence. The proposed approach is specifically tailored to TV regularization, suitable for large-scale inverse problems, and supported by strong mathematical convergence guarantees. Furthermore, we demonstrate its performance on two (large-scale) tomographic imaging problems and compare our results to those obtained via other state-of-the-art TV regularization approaches.\n7. 多材料拓扑优化的SiMPL方法 The SiMPL Method for Multi-Material Topology Optimization\n作者: Peter Gangl, Brendan Keith, Dohyun Kim, Thomas M. Surowiec\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.11994v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11994v1\n摘要: We introduce an efficient and scalable method for density-based multi-material topology optimization, integrating classical mirror descent techniques with point-wise polytopal design constraints. Such constraints arise naturally in this class of problems, wherein the vertices of convex polytopes correspond to distinct design states, only one of which should be occupied at each point in space. The framework generates a descending sequence of iterates by penalizing the design space around the previous iterate with a generalized distance function tailored to the convex geometry of the $n$-dimensional polytope. This distance function, called a Bregman divergence, smooths the optimization landscape, ensuring that each iterate strictly satisfies the point-wise constraints. Subsequently, global constraints (e.g., bounds on the structural mass) can be enforced easily by solving a small, finite-dimensional dual problem. The resulting method is simple to implement and demonstrates robustness and efficiency when combined with an Armijo-type line search algorithm. We validate the method in structural design problems involving the optimal arrangement of both isotropic and anisotropic materials, as well as magnetic flux optimization in electric motors.\n8. Parareal 算法中的优化两步粗传播子 Optimized Two-Step Coarse Propagators in Parareal Algorithms\n作者: Guanglian Li, Qingle Lin, Kai Zhang, Zhi Zhou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.11979v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11979v1\n摘要: In this work, we propose a novel framework for accelerating the parareal algorithm, in which the coarse propagator is formulated as a two-step method and optimized with respect to the convergence factor.} We derive a rigorous error estimate for the proposed two-step parareal algorithm, yielding an explicit bound on the linear convergence factor. This estimate is not only of theoretical interest: it provides a quantitative guideline for selecting and designing coarse propagators. Guided by this estimate, we {consider the linear parabolic equation as an illustrative example and }construct an optimized two-step coarse propagator~(O2CP) that delivers very fast convergence in practice. The resulting method attains an optimized convergence factor of approximately $0.0064$, substantially smaller than that of commonly used practical coarse propagators in the classical parareal setting, while keeping the computational cost moderate. Numerical experiments on linear and nonlinear parabolic equations fully support the theoretical analysis and demonstrate rapid convergence of the two-step parareal algorithm equipped with the O2CP.\n9. 用于工业聚合物混合的流体体积浸入边界法 A Volume of Fluid Immersed Boundary Method for Industrial Polymer Mixing\n作者: Emilia Capuano, Daniele Cerroni, Holger Marschall, Giorgio Negrini, Nicola Parolini, Marco Verani\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.11896v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11896v1\n摘要: This work develops advanced numerical methods for free-surface simulations of polymer mixing processes, integrating a Volume of Fluid (VOF) interface-capturing approach with a non-conforming Immersed Boundary (IB) method to model two-phase flows of highly viscous polymer melts and air within partially filled rotating mixing devices, implemented within the Finite Volume OpenFOAM library. To overcome severe numerical instabilities arising from the strong viscosity contrast between polymer melts and air, a block-coupled scheme providing fully implicit viscous diffusion treatment is integrated into the VOF-IB framework, relaxing time-step stability constraints and substantially reducing computational cost with respect to standard segregated solvers. The resulting BC-VOF-IB solver is applied to industrially relevant geometries of single- and twin-screw extruders, yielding physically consistent predictions of velocity and pressure fields under partial filling conditions. While further developments, most notably the inclusion of thermal effects, remain necessary, the proposed framework represents a meaningful step toward bridging academic CFD research and the practical demands of industrial polymer processing.\n10. 最长边高线二分算法的动力学 Dynamics of the Longest-Edge Altitude Bisection Algorithm\n作者: Jérôme Michaud, Sergey Korotov\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.11842v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11842v1\n摘要: We study a longest-edge based refinement scheme for triangulations, termed the longest-edge altitude bisection (LEAB), in which each triangle is subdivided by dropping the altitude from the vertex opposite to its longest edge. Using the normalized shape space of triangles introduced by Perdomo and Plaza in: Properties of triangulations obtained by the longest-edge bisection. \\emph{Cent. Eur. J. Math.}, 12(12) (2014), 1796-1810, we show that LEAB admits a simple geometric description: the normalized left and right children of a triangle in focus are obtained by intersecting the geodesic of right triangles with rays issued from the endpoints of the longest edge and explicit formulas for the mappings are derived. This characterization implies an interesting observation that the associated refinement dynamics collapse the entire shape space onto the right-triangle geodesic in a single step and that every point on this geodesic is fixed. Two-sided bounds for the contraction of the mesh size (discretization parameter) are derived. Also, applications and limitations of the method are briefly discussed.\n11. 参数形状设计中降维的参数模型嵌入的非线性扩展 A nonlinear extension of parametric model embedding for dimensionality reduction in parametric shape design\n作者: Andrea Serani, Giorgio Palma, Matteo Diez\n类别: cs.CE, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.11759v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11759v1\n摘要: Dimensionality reduction is essential in simulation-based shape design, where high-dimensional parameterizations hinder optimization, surrogate modeling, and systematic design-space exploration. Parametric Model Embedding (PME) addresses this issue by constructing reduced variables from geometric information while preserving an explicit backmapping to the original design parameters. However, PME is intrinsically linear and may become inefficient when the sampled design space is governed by nonlinear geometric variability. This paper introduces a nonlinear extension of PME, denoted NLPME. The proposed framework preserves the defining principle of PME \u0026ndash; geometry-driven latent variables and parameter-mediated reconstruction \u0026ndash; while replacing the linear reduced subspace with a nonlinear latent representation. Geometry is not reconstructed directly from the latent variables; instead, the latent representation is decoded into admissible design parameters, and the corresponding geometry is recovered through a forward parametric map. The method is assessed on a bio-inspired autonomous underwater glider with a 32-dimensional parametric shape description and a CAD-based geometry-generation process. NLPME reaches a 5% reconstruction-error threshold with (N=5) latent variables, compared with (N=8) for linear PME, and a 1% threshold with (N=9), compared with (N=15) for PME. Comparison with a deep autoencoder shows that most of the nonlinear compression gain can be retained while preserving an explicit backmapping to the original design variables. The results establish NLPME as a compact, admissible, and engineering-compatible nonlinear reduced representation for parametric shape design spaces.\n12. 广义Klein-Gordon-Zakharov方程组的新型能量守恒Crank-Nicolson有限元方法 A novel energy-conservation Crank-Nicolson finite element method for generalized Klein-Gordon-Zakharov equations\n作者: Xuemiao Xu, Maosheng Jiang, Jiansong Zhang, Jiang Zhu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.11686v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11686v1\n摘要: This article focuses on an energy-conservation Galerkin finite element method (FEM) for the generalized Klein-Gordon-Zakharov (KGZ) equations. This method combines the bilinear finite element method for spatial discretization with the Crank-Nicolson (CN) scheme for temporal discretization, thereby guaranteeing exact conservation of the discrete energy functional. A rigorous theoretical analysis is devoted to deriving error bounds for the fast-time-scale electronic field $u$ and the ion density deviation $\\varphi$. By systematically integrating interpolation estimates, Ritz projection, and a postprocessing technique, the superclose error estimates and global superconvergence are established for $u$ in the $H^1$-norm, even under weakened regularity assumptions on the exact solution. Concurrently, we prove $H^1$-norm superconvergence for the auxiliary variable $φ$ ($-Δφ= \\varphi_t$) and optimal-order $L^2$-norm error estimates for the auxiliary variable $p$ ($p=u_t$) and $\\varphi$. Numerical examples are provided to confirm theoretical results.\n13. 低正则性下波映射方程的一个分裂格式 A splitting scheme for the wave maps equation at low regularity\n作者: Katie Marsden, Frédéric Rousset, Katharina Schratz\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.11507v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11507v1\n摘要: We prove convergence of a filtered Lie splitting scheme for the wave maps equation with low regularity initial data in dimension 3. The convergence analysis is performed in discrete Bourgain spaces, as has proved fruitful for the low regularity analysis of the equation in the continuous setting. An important difficulty here is that the analysis of wave maps at low regularity requires the use of the null structure of the system, this structure thus has to be preserved at the discrete level to get an effective stable low regularity scheme. Since the null structure involves time derivatives, the scheme has to be designed carefully. The presence of time derivatives in the nonlinearity then constitutes the most significant source of numerical error. Nonetheless, we are able to prove convergence of the scheme for all subcritical initial data in $H^s$, $s\u003ed/2$.\n14. 通过逆多项式重构消除分数阶傅里叶级数中的吉布斯现象 Resolving the Gibbs Phenomenon in Fractional Fourier Series via Inverse Polynomial Reconstruction\n作者: Faiza Afzal, Xu Xiao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.11452v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11452v1\n摘要: The fractional Fourier series generalizes the classical Fourier series by introducing a rotation angle $α$ in the time-frequency plane, but inherits the Gibbs phenomenon for piecewise smooth functions. Unlike the classical setting, the chirp modulation factor renders the fractional partial sum complex-valued, corrupting both real and imaginary components simultaneously and making direct adaptation of classical remedies insufficient. The Inverse Polynomial Reconstruction Method (IPRM) resolves the Gibbs phenomenon by enforcing that the Fourier coefficients of a Gegenbauer polynomial expansion match the given spectral data, rather than projecting the corrupted partial sum onto a polynomial basis. This paper extends the IPRM to fractional Fourier series for the first time. The fractional transformation matrix is derived and its conditioning is shown to be governed by an $α$-independent Gram matrix, which reveals the dependence on the Gegenbauer parameter $λ$ and the polynomial degree $m$, while being entirely insensitive to the transform angle. An $L^{\\infty}$ error estimate is established, guaranteeing exponential convergence for analytic functions. Numerical experiments on piecewise analytic test functions demonstrate complete elimination of the Gibbs phenomenon and confirm the theoretical predictions.\n15. 基于Carleman估计与压缩映射原理的非线性薛定谔方程初始数据反演 Inverse initial data for nonlinear Schrödinger equation via Carleman estimates and the contraction principle\n作者: Navaraj Neupane, Loc Nguyen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-12\narXiv ID: 2605.11409v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11409v1\n摘要: We study an inverse initial-data problem for a nonlinear Schrödinger equation in which the initial wave field is reconstructed from lateral measurements. Our approach combines a Legendre-polynomial-exponential-time dimensional reduction with a Carleman-based contraction principle. First, we expand the solution in a weighted Legendre basis in time and truncate the expansion to obtain a coupled nonlinear elliptic system for the spatial coefficients. Next, we solve this reduced system by constructing a contraction map on a suitable admissible set. This contraction map admits a unique fixed point, which is the limit of the corresponding Picard iteration. We also establish a stability estimate showing that this fixed point remains close to the exact reduced solution in the noisy-data case. Finally, we present numerical experiments in two space dimensions for several different geometries and nonlinear exponents. The numerical results show that the proposed method accurately reconstructs the main features of the initial wave field and remains stable even when the boundary data contain noise.\n16. Muon 并不那么特殊：随机或反转频谱同样有效 Muon is Not That Special: Random or Inverted Spectra Work Just as Well\n作者: Zakhar Shumaylov, Nathaël Da Costa, Peter Zaika, Bálint Mucsányi, Alex Massucco, Yoav Gelberg, Carola-Bibiane Schönlieb, Yarin Gal, Philipp Hennig\n类别: cs.LG, cs.AI, math.NA, math.OC, stat.ML\n发布日期: 2026-05-11\narXiv ID: 2605.11181v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11181v1\n摘要: The recent empirical success of the Muon optimizer has renewed interest in non-Euclidean optimization, typically justified by similarities with second-order methods, and linear minimization oracle (LMO) theory. In this paper, we challenge this geometric narrative through three contributions, demonstrating that precise geometric structure is not the key factor affecting optimization performance. First, we introduce Freon, a family of optimizers based on Schatten (quasi-)norms, powered by a novel, provably optimal QDWH-based iterative approximation. Freon naturally interpolates between SGD and Muon, while smoothly extrapolating into the quasi-norm regime. Empirically, the best-performing Schatten parameters for GPT-2 lie strictly within the quasi-norm regime, and thus cannot be represented by any unitarily invariant LMO. Second, noting that Freon performs well across a wide range of exponents, we introduce Kaon, an absurd optimizer that replaces singular values with random noise. Despite lacking any coherent geometric structure, Kaon matches Muon\u0026rsquo;s performance and retains classical convergence guarantees, proving that strict adherence to a precise geometry is practically irrelevant. Third, having shown that geometry is not the primary driver of performance, we demonstrate it is instead controlled by two local quantities: alignment and descent potential. Ultimately, each optimizer must tune its step size around these two quantities. While their dynamics are difficult to predict a-priori, evaluating them within a stochastic random feature model yields a precise insight: Muon succeeds not by tracking an ideal global geometry, but by guaranteeing step-size optimality.\n17. 一种用于铁电向列平衡态有限元近似的能量递减算法 An energy-decreasing algorithm for the finite element approximation of ferronematic equilibrium states\n作者: Alexandre Ern, Ruma R. Maity\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-11\narXiv ID: 2605.11160v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.11160v1\n摘要: We develop an energy-decreasing algorithm for the finite element approximation of two-dimensional ferronematic equilibrium states. The problem is formulated as the minimization of the harmonic energy of two two-dimensional vector fields, both with prescribed length, together with an additional nonlinear relation on the orientation of the two vectors. The finite element setting is based on piecewise continuous finite elements on a weakly acute triangulation. The computational realization of the energy-decreasing algorithm employs a decomposition-coordination framework and a Uzawa-like iteration. Numerical experiments are presented to illustrate the computational performances of the algorithm.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-05-13_06-07-21/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年05月13日 06:07:21\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 17\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-一种用于带网格正则化的约束平面几何流的稳定化双sav参数有限元框架\"\u003e1. 一种用于带网格正则化的约束平面几何流的稳定化双SAV参数有限元框架\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eA stabilized dual-SAV parametric finite element framework for constrained planar geometric flows with mesh regularization\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年05月13日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年05月12日 06:43:01\n重点关注论文数量: 2\n了解领域论文数量: 1\n不相关论文数量: 43\n重点关注论文（完整分析） 1. 神经富集有限元方法：一种用于强振荡问题或界面问题的混合框架 Neural enrichment finite element method: A hybrid framework for problems with strong oscillations or interface problems\n作者: Shihan Guo, Thomas Richter\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-10\narXiv ID: 2605.09700v1\n摘要翻译: 我们提出一种混合方法，即神经富集有限元方法（NEFEM），用于处理涉及强振荡或具有弱间断的界面问题。该方法基于稳定的广义有限元方法（SGFEM）框架，其中引入神经网络（NNs）作为自适应富集函数，并采用Ritz泛函进行训练。本工作有两项主要贡献。首先，该方法构造了具有优越逼近性质的局部子空间，显著减少了所需的自由度（DoFs）数目。其次，定义富集函数仅需极少的先验知识，因为神经网络在训练过程中以启发式方式演化。此外，对于光滑问题，我们给出了基于残差的误差估计子，并证明了其可靠性与有效性。对于界面问题，我们研究了SGFEM的最优收敛性理论分析，特别是不施加额外正则性假设。这些分析结果指导了网络架构设计和训练策略。所提方法的性能和有效性通过若干数值实验得到验证。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09700v1\n1. 研究对象和背景 本文研究两类典型的椭圆型偏微分方程数值求解问题：强振荡问题与含弱间断的界面问题。\n第一类问题是经典散度型方程 $$ -\\nabla\\cdot(a(x)\\nabla u) = f \\quad \\text{in }\\Omega,\\quad u|_{\\partial\\Omega}=0, $$ 其中扩散系数 $a\\in W^{1,\\infty}(\\Omega)$ 对称正定且具有一致上下界，右端项 $f\\in L^2(\\Omega)$。在实际情形中，$a(x)$ 与 $f$ 可能呈现高频振荡，导致解 $u$ 呈现强烈的多尺度特征，标准有限元方法（FEM）需要极细的网格才能获得有意义的逼近，造成自由度（DoF）爆炸。\n第二类问题是具有固定界面 $\\Gamma$ 的扩散问题 $$ -\\nabla\\cdot(a_i\\nabla u) = f \\ \\text{in }\\Omega_0\\cup\\Omega_1,\\quad [u]=0,\\ [a\\partial_\\mathbf{n}u]=0\\ \\text{on }\\Gamma, $$ 其中 $a_i\u003e0$ 为分片常数，解在界面处仅满足 $u\\in H^1_0(\\Omega)$，且界面上法向通量连续但梯度间断。经典 FEM 在处理此类问题时，无论有限元多项式次数 $r$ 多高，能量范数误差均退化为 $O(h^{1/2})$（Babu\\v{s}ka [4]），根本原因在于界面穿越单元导致全局正则性不足。\n针对上述困难，一类重要方法是通用/扩展有限元方法（GFEM/XFEM）[26]，它通过单位分解（PUM）[24]在标准多项式空间之上引入自定义的增强函数来捕捉解的局部特征。然而，GFEM 面临两大挑战：(i) 增强函数的构造往往依赖强先验知识，在复杂或多尺度问题中难以获取；(ii) 经典的 GFEM 在界面问题中因“混合效应”导致次优收敛，且系统条件数恶化。稳定化广义有限元方法（SGFEM）[5] 通过将增强函数替换为 $\\phi_i - I_h\\phi_i$（$I_h$ 为标准线性插值）改善了条件数并消除了混合效应，但收敛分析通常需要附加额外的正则性假设。\n近年来，深度神经网络（NN）在求解 PDE 方面展现出强大的逼近能力，代表性的工作包括 Deep Ritz 方法 [30]、物理信息神经网络（PINNs）[25] 等。将 NN 与 FEM 结合的混合方法受到关注，例如 Baek 等 [7] 提出的神经网络增强单位分解（NN-PU）方法，以及 Wang 等 [29] 的神经网络单元法。这些方法利用 NN 自适应地构造增强函数，降低了对先验知识的需求，但 NN-PU 中不规则支集导致精确数值积分困难，而 GFEM 中 NN 的引入仍然面临条件数恶化与缺乏严格后验误差分析的问题。\n本文系统性地回答了以下开放问题：\n(Q1) 能否为每个特定问题“定制”逼近子空间以大幅减少自由度？ (Q2) 如何设计自适应增强函数以最小化对先验知识的依赖？ (Q3) 如何将 NN 有机融入 SGFEM 框架，并构造合适的损失函数、网络架构与训练策略？ (Q4) 能否设计可靠且有效的误差估计子以动态监控并引导训练过程？ (Q5) 界面问题的一般增强条件如何指导网络架构设计？ (Q6) 能否仅需 $u\\in H^1_0(\\Omega)\\cap H^2(\\Omega_0\\cup\\Omega_1)$（而不附加额外的界面正则性）即证明 SGFEM 的最优收敛？ 本文通过提出神经增强有限元方法（NEFEM）并建立相应的理论分析，对上述所有问题给出了肯定回答。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要理论结果分为两部分：针对光滑问题（或强振荡问题）的后验误差估计子的可靠性与有效性，以及针对界面问题的 SGFEM 最优收敛性分析（无需额外正则性假设）。\n残差估计子的可靠性（定理 3.1）：设 $u$ 为问题 (2.1) 的弱解，$u_h\\in V_N(\\mathcal{T}_h,\\mathcal{I}^{\\mathrm{enr}}_h;\\boldsymbol{\\theta})$ 为 NEFEM 近似解，局部误差指示子 $\\eta_K$ 如式 (2.11) 定义，则存在正常数 $C$ 使得 $$ \\|u-u_h\\|^2_E \\le C\\sum_{K\\in\\mathcal{T}_h}\\eta^2_K, $$ 其中能量范数 $\\|\\cdot\\|_E = \\sqrt{a(\\cdot,\\cdot)}$。该结论的证明依赖于 Galerkin 正交性与 Cl'ement 插值，并利用了 $P_1\\subset V_N$ 的事实，从而将经典 FEM 的可靠性论证平移到神经增强框架。\n残差估计子的有效性（隐于 §3.1，具体定理未在提供的摘录中完整给出，但文中明确宣称证明了有效性）：在假设 3.1（局部神经增强基函数在参考单元上一致线性独立）以及类似于单元边辅助假设下，可建立局部空间的逆不等式（引理 3.3）及 bubble 函数的等价范数不等式（引理 3.5），进而通过 Verf\u0026quot;urth 的标准技术得到局部有效性，即存在与网格尺寸无关的常数 $C$ 使得 $$ \\eta_K \\le C\\|u-u_h\\|_{E,\\omega_K}, $$ 其中 $\\omega_K$ 为与 $K$ 相邻的一批单元构成的局部片。\n关键引理：\n逆不等式（引理 3.3）：若元素 $K$ 上的所有神经增强函数 $\\phi_j$ 满足假设 3.1，则对任意 $v_h\\in V_N(K)$ 有 $$ \\|\\nabla v_h\\|_{L^2(K)} \\le C h^{-1} \\|v_h\\|_{L^2(K)}. $$ 该结果通过尺度化论证、线性独立性导出增强空间与 $P_1$ 的分离性，并利用紧嵌入与矛盾证法得到。 Bubble 函数等价性与逆不等式（引理 3.5）：在相同假设下，对于单元 bubble 函数 $b_K$ 及任意 $v_h\\in V_N(K)$，有 $$ \\|v_h\\|^2_{L^2(K)} \\le C\\int_K v_h^2 b_K\\,dx,\\qquad \\|\\nabla(b_K v_h)\\|_{L^2(K)} \\le C h^{-1} \\|v_h\\|_{L^2(K)}. $$ 这些估计是建立有效性的关键工具。 界面问题的最优收敛性分析：论文在 §3.2（文本未完全展示）中声称证明了 SGFEM 对界面问题的最优收敛性，且不需要除 $u\\in H^1_0(\\Omega)\\cap H^2(\\Omega_0\\cup\\Omega_1)$ 以外的额外正则性假设。该结论回答了 (Q6)，并表明“一般界面条件”(2.14) 足以保证 SGFEM 恢复 $O(h)$ 的能量误差。此外，这一分析直接指导了网络架构设计：在输入中显式引入满足条件 (2.14) 的拟距离函数 $D(x)$，使网络能够自然地表达界面处的通量间断，且该间断位置在训练过程中固定不移位。\n方法本身的核心结果：NEFEM 算法（算法 2.1 与自适应版本算法 2.2）实现了：\n利用 Ritz 能量泛函作为损失函数，并通过恒等式 $\\frac{\\partial L}{\\partial\\boldsymbol{\\theta}} = \\frac{\\partial L}{\\partial\\mathbf{A}}\\frac{\\partial\\mathbf{A}}{\\partial\\boldsymbol{\\theta}} + \\frac{\\partial L}{\\partial\\mathbf{F}}\\frac{\\partial\\mathbf{F}}{\\partial\\boldsymbol{\\theta}}$ 避免了对线性系统解关于参数的梯度追踪，从而可无缝对接任意第三方线性求解器。 自适应的误差指示与 Doerfler 标记策略，动态选择需增强的区域并逐步停训已充分逼近的区域，在显著减少自由度的同时保持精度。 3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文在技术上的核心创新体现在以下几个方面：\n1. 神经网络与 SGFEM 的无缝衔接 传统 GFEM 中增强函数 $\\phi_i$ 需预先指定（如裂纹问题的奇异函数），NEFEM 将局部神经网络 $\\mathcal{N}_i(\\cdot-\\mathbf{p}_i;\\boldsymbol{\\theta}_i)$ 作为增强函数，并通过 SGFEM 的稳定化修正 $\\phi_i - I_h\\phi_i$ 纳入空间。这样既保留了 SGFEM 改善条件数与消除混合效应的优点，又赋予了增强函数强大的自适应逼近能力。每个神经网络的输入经过坐标平移 $\\mathbf{x}-\\mathbf{p}_i$，这不仅有利于优化，而且提升了不同节点增强函数之间的线性独立性，间接辅助满足假设 3.1。\n2. 损失函数设计与免梯度训练 NEFEM 的训练目标是极小化 Ritz 能量泛函（2.10）。其关键突破在于利用离散解 $\\mathbf{c}$ 满足 $\\mathbf{A}(\\boldsymbol{\\theta})\\mathbf{c}=\\mathbf{F}(\\boldsymbol{\\theta})$ 这一事实，通过链式法则消去了 $\\frac{\\partial\\mathbf{c}}{\\partial\\boldsymbol{\\theta}}$ 项，从而损失函数的梯度仅涉及 $\\mathbf{A}$ 与 $\\mathbf{F}$ 对参数的偏导。这意味着在每一次训练迭代中，可先调用外部线性求解器（直接法或迭代法，甚至预条件）求解刚度方程得到 $\\mathbf{c}$，然后固定 $\\mathbf{c}$ 计算梯度更新网络权重。这种解耦使得 NEFEM 能与传统有限元软件或高效求解库轻松集成，避免了深度学习自动微分框架与大规模线性系统求解之间的冲突。\n3. 后验误差估计与局部逆不等式证明的难点突破 为证明残差估计子的有效性，必须建立局部神经增强空间的逆不等式 $\\|\\nabla v_h\\|_{L^2(K)} \\lesssim h^{-1}\\|v_h\\|_{L^2(K)}$，但这里的 $v_h$ 并非多项式，而是由神经网络构成。作者将问题转化为对参考单元上空间 $\\hat V_N(\\hat K)=\\operatorname{span}\\{\\hat L_j \\hat r_{j,h}^K\\}$ 的分析，其中 $\\hat r_{j,h}^K$ 是增强函数的局部插值误差。核心步骤是：\n假设 3.1 的作用：为保证该空间不退化，要求基函数 $\\{\\hat L_j \\hat r_{j,h}^K\\}$ 的一致线性独立，即其 Gram 矩阵的最小特征值有一致的正下界。这在数值上可通过迭代过程中移除近似线性相关的冗余基实现。 三步证明：首先，利用假设 3.1 得到增强空间内部的 $L^2$ 范数控制；其次，利用紧性论证证明增强空间与 $P_1(\\hat K)$ 在 $L^2$ 意义下一致分离（即存在不依赖于 $h,K$ 的常数 $\\delta\u003e0$，使得 $\\operatorname{dist}_{L^2}(w,P_1(\\hat K)) \\ge \\delta\\|w\\|_{L^2(\\hat K)}$），这是避免增强函数“退化”为一次多项式从而失去高阶逼近能力的关键；最后，结合范数等价与尺度化技巧完成逆不等式的证明。类似的思路被用于构建 bubble 函数的等价范数与逆不等式，进而借助 Verf\u0026quot;urth 的 bubble 函数技术得到有效性。 4. 界面问题的网络架构与理论对齐 对于界面问题，直接使用光滑激活函数的神经网络难以表达界面处的梯度跳跃；若使用 ReLU 等非光滑激活，跳跃位置会在训练中漂移，破坏数值积分的精确性。本文提出将满足一般界面条件 (2.14) 的拟距离函数 $D(\\mathbf{x})$ 作为网络的附加输入，即 $\\phi_i(\\mathbf{x},D(\\mathbf{x})) = \\mathcal{N}_i(\\mathbf{x}-\\mathbf{p}_i, D(\\mathbf{x});\\boldsymbol{\\theta}_i)$。条件 (2.14) 包含：(1) $D\\in W^{2,\\infty}(\\overline\\Omega_r)$ 分片光滑；(2) $[D]=0$ 在界面上连续；(3) $0\u003c\\kappa_1\\le |[\\partial_\\mathbf{n}D]|\\le \\kappa_2$ 法向导数跳跃有正上下界。由链式法则 $\\nabla\\phi_i = \\partial_{\\mathbf{x}}\\mathcal{N}_i + (\\partial_D\\mathcal{N}_i)\\nabla D$，第二项自然引入通量间断，且该间断被锚定在物理界面的位置，因为 $D$ 是固定的。这使得网络可以使用 Tanh 等光滑激活函数，同时稳定地表达弱间断。该网络结构（图 1）由收敛性分析（需 $u\\in H^2(\\Omega_0\\cup\\Omega_1)$ 且无额外界面正则性）所激发。\n5. 自适应策略与训练干预 NEFEM 的自适应版本采用双层标记：首先通过百分比标记策略选择初始增强节点集 $\\mathcal{I}^{\\mathrm{enr}}_h$，构建增强空间；训练过程中周期性地利用残差估计子 $\\eta_K$ 评估局部精度，并使用 D\u0026quot;orfler 标记策略筛选出仍需进一步训练的子集 $\\mathcal{S}_t$，仅更新对应节点的网络参数，其余已收敛区域的网络则停止训练。这类似于 FEM 中的 $p$-自适应，但这里“$p$-提升”是由网络训练完成，且动态分配计算资源。\n4. 与之前工作的比较 与标准 FEM 及传统 GFEM/SGFEM 的比较 自由度效率：对于强振荡或界面问题，标准 FEM 需要极细网格才能分辨局部特征，导致线性系统规模巨大。GFEM/XFEM 通过引入少量增强函数降低了自由度，但其增强函数的构造严重依赖问题的物理先验（如裂尖奇异函数、界面跳跃函数等）。NEFEM 用神经网络替代手工设计的增强函数，网络在训练中自动接近“最优”形状，大幅减少对先验知识的依赖（回答 Q2）。同时，数值实验表明 NEFEM 在同等精度下所需自由度显著低于标准 FEM，并可在粗网格上得到高精度逼近（回答 Q1）。 稳定性与收敛性：传统 GFEM 存在严重的条件数恶化问题，且对于界面问题因混合效应而导致次优收敛。SGFEM [5] 通过修正增强函数 $\\phi_i\\to\\phi_i-I_h\\phi_i$ 解决了这两个问题，但在理论分析中，现有工作（如 [28,13,32]）仍需假设解满足额外的界面正则性（如分片 $H^2$ 且界面上的某些协调性）。本文在 SGFEM 框架下添加 NN 增强，不仅继承了 SGFEM 的良好代数性质，还在 §3.2 中首次仅要求 $u\\in H^1_0(\\Omega)\\cap H^2(\\Omega_0\\cup\\Omega_1)$ 即证明了 SGFEM 对界面问题的最优收敛（回答 Q6），这是理论上的显著推进，放宽了长期以来的正则性限制。 与其他神经网络-有限元混合方法的比较 与 NN-PU（Baek 等 [7]）及神经单元法（Wang 等 [29]）：两者的共同点是利用 NN 作为单位分解的局部增强，但它们未采用 SGFEM 的稳定化，也未针对界面问题设计专门的输入变换。NN-PU 在数值积分时因核函数支集不规则而面临困难；而 NEFEM 完全在标准有限元网格上进行，数值积分与普通 FEM 无异。此外，NEFEM 的损失梯度推导使得训练与线性求解解耦，可直接使用成熟求解器，而上述工作往往依赖自动微分全流程。 与基于深度学习的 PDE 求解器（Deep Ritz、PINNs 等）：这类无网格方法全局构造网络逼近解，通常需要大量配点且训练可能不稳定。NEFEM 保留了 FEM 的严谨基底、单元积分与强制边界条件，因此数值解的稳定性和可修复性更强。同时，NEFEM 的后验误差估计子为自适应提供可靠指引，这在纯 NN 求解器中较难实现。 误差估计方面的贡献 在经典 FEM 中，残差型误差估计子的可靠性与有效性依赖于多项式逼近空间的性质（如逆不等式、逼近性质）。NEFEM 中由于增强函数由神经网络构成，传统证明中的关键工具——局部逆不等式不再平凡成立。本文通过引入假设 3.1（局部增强基的一致线性独立）并构造细密的分离性论证，严格证明了该框架下保持逆不等式，进而建立了可靠且有效的后验误差估计（回答 Q4）。这为神经网络增强有限元空间提供了首个同时具备可靠性与有效性的误差估计理论。 界面问题网络设计的独特性 以往用神经网络处理界面问题或间断问题，多采用分区定义或特殊激活函数。NEFEM 将满足一般界面条件的拟距离函数 $D$ 作为输入，巧妙地将通量跳跃结构化地编码进网络，使得训练过程不会破坏界面的物理位置。这一设计直接受 SGFEM 最优化收敛分析的启发，体现了理论指导网络结构的思路（回答 Q5）。相比纯数据驱动的破坏性跳跃捕获，这种嵌入几何与物理信息的方式更稳健、训练更高效。 局限性与条件 假设 3.1 要求局部增强基函数一致线性独立，这在理论上是一个较强的假设，尽管作者指出可通过数值检测和移除冗余基来近似满足，但在极端情况下（如两个神经元输出几乎重合）可能导致估计失效。此外，有效性的完整证明需补充对待跳项的处理细节（文中提及需类似假设，但文本未见完整叙述）。 论文的数值验证目前限于二维算例（§4 未展示），对三维效果、更复杂界面拓扑、大规模网络的性能尚待进一步考察。 训练过程依赖于能量泛函，故当前仅适用于变分形式可解释为能量极小化的对称椭圆问题，推广至对流占优或非对称问题仍需额外研究。 2. 通过局部子空间迭代和时间分裂解耦多尺度抛物方程的尺度 Decoupling scales via localized subspace iteration and temporal splitting for multiscale parabolic equations\n作者: Eric T. Chung, Lijian Jiang, Mengnan Li, Yajun Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-09\narXiv ID: 2605.08634v1\n摘要翻译: 模拟非均匀介质中的扩散具有显著的计算挑战，因为解析微观物理尺度传统上需要过于精细的计算网格。为克服这一障碍，我们将局部子空间迭代（LSI）框架推广到多尺度抛物方程。所提方法通过局部标准子空间迭代（LSSI）或局部Krylov子空间迭代（LKSI）迭代地逼近局部逆算子的主导特征空间，从而构造最优的低维试探空间。由于这些LSI基函数本质上专为捕获抛物解中衰减缓慢的低频模式而设计，它们自然地抑制了长时间积分过程中的误差累积。为进一步提高计算效率，我们将基的构造解耦为一个离线阶段，并在在线时间步进中实施一种与对比度无关的部分显式时间分裂格式。通过显式推进主导宏观模式，同时隐式处理高频微观修正，该格式在保证稳定性的同时，不会施加限制性的时间步长约束。我们建立了能量范数和 $L^2$ 范数下的严格先验误差估计。数值实验表明了LSI框架的精度和效率，尤其突显了LKSI方法在处理高对比度、复杂多尺度介质方面的优势。\nComment: 25\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.08634v1\n1. 研究对象和背景 本文研究对象是扩散过程在非均匀介质中的多尺度抛物方程： $$ \\partial_t u - \\nabla \\cdot (\\kappa(x) \\nabla u) = f(x,t), \\quad (x,t) \\in \\Omega \\times (0,T], $$ 边界条件为 $u=0$ 在 $\\partial \\Omega$，初值 $u(x,0)=u_0(x)$。渗透系数 $\\kappa(x)$ 满足 $0\u003c\\kappa_{\\min}\\le \\kappa(x)\\le \\kappa_{\\max}\u003c\\infty$，且可能呈现高对比度（high-contrast）和不可分离的多尺度变化。此类方程广泛见于多孔介质渗流、复合材料热传导、地下储能模拟等科学计算与工程问题。\n直接采用标准有限元法求解需要在所有微小物理尺度上解析，导致网格过密、计算量与内存需求急剧增大。为克服这一障碍，多个数值降阶与多尺度方法被提出。经典均匀化理论为周期结构提供了严格的渐近极限，异质多尺度方法（HMM）通过耦合宏观和微观模型处理非均匀介质；变分多尺度方法（VMS）将解分解为粗尺度和细尺度分量；多尺度有限元法（MsFEM）在粗网格基函数中嵌入微观信息；局部正交分解（LOD）利用局部化正交校正子，即使没有尺度分离也能获得最优逼近阶。近年来，多尺度谱广义有限元法（MS-GFEM）和广义多尺度有限元法（GMsFEM）通过计算局部算子的主导特征向量有效捕捉介质的多尺度特征，其中约束能量最小化GMsFEM（CEM-GMsFEM）进一步结合了过采样与能量极小化技术。\n针对时变问题，上述框架虽已推广至抛物方程，但往往未充分利用扩散算子的谱衰减本质。抛物方程的解具有谱展开： $$ u(x,t)=\\sum_{k=1}^{\\infty}\\left(c_k e^{-\\lambda_k t}+\\int_0^t e^{-\\lambda_k (t-s)} f_k(s)\\,ds\\right)\\varphi_k(x), $$ 其中 $(\\lambda_k,\\varphi_k)$ 是椭圆算子 $-\\nabla\\cdot(\\kappa\\nabla)$ 的特征对。由于高频分量对应的大特征值 $\\lambda_k$ 随时间指数衰减，长时间积分的精度与稳定性完全取决于数值空间对低频特征子空间的逼近质量。因此，构造能够最优捕获低频模态的基函数成为关键。\n作者在先前工作中针对椭圆问题提出了局部子空间迭代（LSI）框架，包括局部标准子空间迭代（LSSI）和局部Krylov子空间迭代（LKSI），通过迭代方式近似局部逆算子的主导特征空间，避免直接求解特征值问题。本文将该框架推广至抛物方程，自然利用了谱衰减特性，理论上提供长期积分的高精度。同时，为缓解高对比度介质对时间步长的严格限制，本文还设计了一种对比度无关的部分显式时间分裂方案：利用离线阶段导出的局部特征值，将多尺度空间正交分解为捕获低频宏观模式的显式子空间和处理高频微观校正的隐式子空间，从而将昂贵的隐含逆限制在低维子空间，实现了稳定性与大步长的兼顾。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要理论贡献为局部基函数的逼近误差定量估计，以及由此导出的全局先验误差界，并配合时间分裂的稳定性分析。\n定理 4.3（LSSI 局部逼近） 设 $\\varphi_i^j$ 是局部谱问题 $\\mathcal{L}_i^{-1}\\varphi_i^j = \\lambda_i^j \\varphi_i^j$ 的第 $j$ 个特征函数，对应特征值 $\\lambda_i^j$（按降序排列）。若初始子空间 $V_{S,i}^{(0)}$ 到主导特征子空间 $\\text{span}\\{\\varphi_i^1,\\dots,\\varphi_i^{L_i}\\}$ 的投影满秩，则对 $k$ 次迭代后得到的空间 $V_{S,i}^{(k)}$，存在 $\\hat{\\varphi}_i^{j,k}\\in V_{S,i}^{(k)}$ 满足 $$ \\|\\hat{\\varphi}_i^{j,k}-\\varphi_i^j\\|_a \\le C\\left(\\frac{\\lambda_i^{L_i+1}}{\\lambda_i^j}\\right)^k, \\quad j=1,\\dots,L_i, $$ 其中 $\\|\\cdot\\|_a$ 是能量范数，$C$ 与 $k$ 无关。收敛速度由相邻特征值之比决定，当 $\\lambda_i^{L_i+1}/\\lambda_i^1\u003c1$ 时呈几何收敛。\n定理 4.4（LKSI 局部逼近） 设 $\\varphi_i^j$ 同上，初始函数 $\\psi_i^0$ 沿 $\\varphi_i^j$ 的分量非零。对于 $k\u003ej$ 的 Krylov 子空间 $V_{K,i}^{(k)} = \\mathcal{K}_k(\\mathcal{L}_i^{-1},\\psi_i^0)$，存在 $\\hat{\\varphi}_i^{j,k}\\in V_{K,i}^{(k)}$ 使得 $$ \\|\\hat{\\varphi}_i^{j,k}-\\varphi_i^j\\|_a \\le C\\left(\\frac{1}{1+4\\gamma_i^j}\\right)^k, $$ 其中相对谱间隙 $\\gamma_i^j = (\\lambda_i^j-\\lambda_i^{j+1})/\\lambda_i^{j+1}$，$C$ 与 $k$ 无关。该结果表明 LKSI 的收敛速率由谱间隙决定，当间隙较大时远超 LSSI 的速率。\n基于上述局部结果，结合解的局部化分解（引理4.1：对任一 $u\\in H_0^1(\\Omega)$ 有分解 $u=\\sum_i u_i$ 满足 $\\sum_i \\|\\mathcal{L}u_i\\|^2 \\le M\\|\\mathcal{L}u\\|^2$，其中 $M$ 为覆盖重叠数）和局部特征插值误差估计（引理4.2：$\\|u - I_{\\text{eig}}u\\|_a \\le M\\sqrt{\\lambda^{L+1}}\\|\\mathcal{L}u\\|$，$\\lambda^{L+1}=\\max_i\\lambda_i^{L_i+1}$），可以建立全局多尺度空间 $V_{\\text{ms}}^{(k)}$ 的逼近性质。进一步，对半离散和全离散格式导出了能量范数与 $L^2$ 范数的先验误差估计（具体定理形式在论文第5节展开，此处提供材料未完全给出，但可推断误差界包含特征值截断项 $O(\\sqrt{\\lambda^{L+1}})$ 以及迭代收敛项）。\n时间分裂方案：离线阶段获得的局部特征值信息被用于在线阶段将多尺度空间正交分解为低频显式子空间和高频隐式子空间。该方案被证明是对比度无关且无条件稳定的，即显式处理低频部分并不引入与 $\\kappa$ 的对比度相关的 CFL 条件，时间步长仅受粗网格尺寸限制，大幅提升计算效率。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术路线是将多尺度基函数的构造转化为对局部逆算子 $\\mathcal{L}_i^{-1}$ 主导特征子空间的迭代逼近，且不需要显式求解局部特征值问题。证明框架围绕局部谱逼近与抛物误差分解展开。\n1. 局部化与解的分解 利用单位分解 $\\{\\chi_i\\}$ 将右端项局部化，进而通过求解局部 Dirichlet 问题定义解的局部分量 $u_i$（见(4.4)）。引理4.1证明了该分解的稳定性：$\\sum_i \\|\\mathcal{L}u_i\\|^2 \\le M \\|\\mathcal{L}u\\|^2$，其中 $M$ 是子域覆盖的重叠常数。该引理使得全局误差可通过局部误差的平方和来控制，为局部特征逼近向全局收敛的传递提供了基础。\n2. LSSI：子空间幂迭代的实现与分析 LSSI 并非直接显式作用 $\\mathcal{L}_i^{-1}$，而是通过求解局部鞍点问题实现等价迭代：对 $j=1,\\dots,L_i$，每一步求解 $$ a(\\varphi_i^{j,k+1},v) + \\sum_{r=1}^{L_i} \\mu_r^{k+1} q_r^{k}(v) = 0 \\quad \\forall v\\in V(\\omega_i), $$ 附加约束 $q_r^{k}(\\varphi_i^{j,k+1})=\\delta_{rj}$，其中 $q_r^{k}$ 为上一步基函数定义的对偶泛函。这样得到的序列 $\\{\\varphi_i^{j,k}\\}$ 张成的空间正是 $V_{S,i}^{(k)}$。\n定理4.3的证明技巧：对每个目标特征函数 $\\varphi_i^j$，构造初始空间中的函数 $s_j$ 使得其到主导特征子空间的投影恰好等于 $\\varphi_i^j$（满秩假设保证存在性）。将 $s_j$ 分解为 $\\varphi_i^j + w$，其中 $w$ 属于正交补子空间（对应特征值 $\\le \\lambda_i^{L_i+1}$）。经过 $k$ 次逆算子作用并适当缩放后，正交补分量被压缩因子 $(\\lambda_i^{L_i+1}/\\lambda_i^j)^k$ 抑制，能量范数误差界即由谱半径给出。最终通过 Galerkin 投影的最优性得到 $\\hat{\\varphi}_i^{j,k}$ 的误差估计。\n3. LKSI：Krylov 子空间与多项式滤波 LKSI 构造 Krylov 子空间 $\\mathcal{K}_k(\\mathcal{L}_i^{-1},\\psi_i^0)$，同样通过鞍点问题实现每一步的 $\\mathcal{L}_i^{-1}$ 作用并施加正交化： $$ a(\\psi_i^{k+1},v) + \\mu^{k+1} q^{k}(v) = 0 \\quad \\forall v\\in V(\\omega_i), $$ 约束 $q^{k}(\\psi_i^{k+1})=1$，其中 $q^{k}=\\langle\\psi_i^k,\\cdot\\rangle$。该过程生成一列共轭方向。\n定理4.4的分析核心是“多项式滤波”：任意 $v\\in V_{K,i}^{(k)}$ 可写成 $v=p(\\mathcal{L}_i^{-1})\\psi_i^0$，其中 $p$ 是次数 $\\le k-1$ 的多项式。通过选择特定的多项式 $p^*$，使其满足 $p^*(\\lambda_i^j)=1$ 且在其余特征值处取值尽量小，从而极小化误差 $\\|p^*(\\mathcal{L}_i^{-1})\\psi_i^0 - \\varphi_i^j\\|_a$。最优多项式逼近的经典结果给出收敛因子 $1/(1+4\\gamma_i^j)$，其中 $\\gamma_i^j$ 是相对谱间隙，反映了特征值的分离程度。该估计表明 LKSI 在特征值分离良好时收敛远快于 LSSI。\n4. 时间分裂方案的理论基础 在线阶段，将离线构造的多尺度空间 $V_{\\text{ms}}$ 按局部特征值大小分解为 $V_{\\text{ms}} = V_{\\text{ms}}^{\\text{exp}} \\oplus V_{\\text{ms}}^{\\text{imp}}$，使得 $V_{\\text{ms}}^{\\text{exp}}$ 由对应特征值较小的基函数张成（低频模式），$V_{\\text{ms}}^{\\text{imp}}$ 由对应较大特征值的基函数张成（高频校正）。对半离散方程 $$ \\langle (u_{\\text{ms}})_t, v\\rangle + a(u_{\\text{ms}}, v) = \\langle f, v\\rangle \\quad \\forall v\\in V_{\\text{ms}} $$ 引入显隐分裂：对 $v\\in V_{\\text{ms}}^{\\text{exp}}$ 采用显式时间步，对 $v\\in V_{\\text{ms}}^{\\text{imp}}$ 采用隐式。这种做法的稳定性基于以下事实：显式部分对应的特征值小，因而 CFL 条件 $\\Delta t \\le C/\\max\\lambda_{\\text{exp}}$ 中 $\\max\\lambda_{\\text{exp}}$ 远小于全显式时的 $\\lambda_{\\max}(\\kappa)$，且 $\\max\\lambda_{\\text{exp}}$ 仅与粗网格尺寸有关，与介质对比度无关。隐式部分则因只涉及高频、快速衰减的模式，其刚性可通过局部小规模系统高效处理。整体上，该方案在理论分析中被证明是无条件稳定的，且时间步长限制不依赖于 $\\kappa$ 的振荡幅度。\n4. 与之前工作的比较 本文直接延续了作者在椭圆问题上的 LSI 工作[21]，将其拓展至抛物情形并加入时间分裂，构成了一套完整的离线-在线解耦方法。与[21]相比，进展体现在：(1) 提供了更精密的全局误差分解（引理4.1、4.2），消除了[21]中对局部正则性的额外假设，使理论更普适；(2) 首次给出了 LSSI 和 LKSI 对局部特征函数的迭代收敛速率（定理4.3、4.4），这是[21]未曾量化的结果；(3) 从抛物方程谱展开的角度论证了 LSI 基函数的长时最优性，并将该性质纳入了误差分析；(4) 提出并理论分析了对比度无关的部分显式时间分裂，使方法在实际模拟中具备竞争力。\n与现有多尺度抛物方程方法的比较：\n与 MsFEM、LOD MsFEM 和 LOD 通过求解局部椭圆问题构造基函数，虽隐含利用了谱信息，但未显式对准低频子空间。LSI 迭代地逼近主导特征空间，理论上能在相同基函数数量下获得更高的低频逼近精度，尤其适合长期积分。LOD 方法通过局部正交校正子获得近似最优收敛率，即使无尺度分离也有效，但其基函数个数常需随宏观网格自由度平方增长；LSI 可独立选择每个子域的基函数个数，灵活性更强。此外，LOD 的校正子构造需要求解多个局部问题，而 LSI 通过迭代线性方程组生成基函数，可能更易实现。\n与 GMsFEM、CEM-GMsFEM GMsFEM 系列方法直接求解局部特征值问题来提取基函数，在高维或极度复杂介质中计算量很大。LSI 回避了特征分解，仅需反复求解带约束的椭圆问题，大大降低了离线成本。CEM-GMsFEM 通过过采样和能量最小化进一步提高精度，但需要求解更多的局部问题和全局耦合系统，而 LSI 在局部子域上独立迭代，天然并行。在抛物问题中，CEM-GMsFEM 常需在每个特征值变化处重新构建基函数（如时间步参数变化），而 LSI 的基函数仅依赖于空间算子，离线计算一次即可用于任意长的时间积分，效率显著。此外，本文的时间分裂方案基于 LSI 自身的谱信息自动分离尺度，无需额外构造或识别尺度，这是 GMsFEM 方法未具备的。\n与 HMM、VMS HMM 和 VMS 通常要求介质具有尺度分离或已知宏观模型。LSI 不依赖尺度分离假设，仅利用局部逆算子的谱性质，适用于不可分离的多尺度问题。其在时间推进上的部分显式处理也与经典 IMEX 方法有本质区别：IMEX 一般针对同一空间分解，而本文的分解是基于粗尺度低频模式和高频校正的物理分离，更具针对性。\n局限性 定理4.3和4.4表明，当特征值密集（$\\lambda_i^{L_i+1}\\approx \\lambda_i^{L_i}$）或谱间隙 $\\gamma_i^j$ 很小时，LSI 的收敛可能变慢，此时需增加迭代次数或增大 $L_i$。时间分裂的阈值选择目前缺乏自适应策略，如何在精度与效率间自动平衡是未来工作方向。此外，从提供的材料中未见到与[29]（CEM-GMsFEM 用于抛物方程）或[14]（时空 GMsFEM）等方法的详细数值对比，但理论分析已表明 LSI 在基函数构造成本和长时间表现上的优势。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 基于保守通量重构的椭圆界面问题的界面降维 Interface Reduction for Elliptic Interface Problems with Conservative Flux Reconstruction\n作者: C. Attanayake, So-Hsiang Chou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-10\narXiv ID: 2605.09800v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09800v1\n摘要翻译 中文标题: 基于保守通量重构的椭圆界面问题的界面降维\n摘要翻译: 我们提出了一种基于保守通量重构的椭圆界面问题的低维界面降维方法。该方法结合了贴体的 $P_1$ 有限元离散和文献 \\cite{ChouTang2000} 中的通量恢复过程，产生局部守恒的通量，并满足界面条件至机器精度。一个主要结果表明，降维解的误差完全由界面数据的逼近误差控制。对连续和间断界面条件的数值实验证实，一旦界面数据被精确表示，全解被恢复到舍入精度。这些结果表明，椭圆界面问题的本质复杂性集中在界面上。\n不相关论文（基本信息） 1. 基于优化的理想MHD不变域保持限制器中的高效容许集投影 Efficient Admissible Set Projection in Optimization-based Invariant-Domain-Preserving Limiters for Ideal MHD\n作者: Chen Liu, Chi-Wang Shu, Xiangxiong Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-11\narXiv ID: 2605.10929v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.10929v1\n摘要: Preserving the admissible set of the ideal magnetohydrodynamics (MHD) equations is important not only for producing physically meaningful numerical solutions, but more importantly for achieving robust computations. In this paper, we develop an optimization-based limiter to enforce admissibility while preserving global conservation and accuracy. For an easy and efficient projection, we decompose the admissible set into slices parameterized by the magnetic energy, so that the MHD projection reduces to a one-dimensional minimization, which can be solved efficiently by the Brent method. The splitting method can be used to efficiently solve the global minimization problem of the optimization-based limiter, which can be used to enforce cell average admissibility in discontinuous Galerkin (DG) schemes, and pointwise admissibility can be further enforced by the Zhang-Shu positivity-preserving limiter. We apply the limiter to high-order DG schemes and present numerical results for a few representative MHD problems.\n2. 基于可分离估计器的松弛：算法与实现 Relaxation via Separable Estimators: Arithmetic and Implementation\n作者: Yanlin Zha, Mario Eduardo Villanueva, Boris Houska, Benoît Chachuat\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-11\narXiv ID: 2605.10854v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.10854v1\n摘要: This article presents an arithmetic, called superposition relaxation, for bracketing the graph of a multivariate factorable function on a compact domain between a pair of underestimating and overestimating functions that are both separable. Propagation rules are established for affine and nonlinear composition operations, with a focus on exploiting global monotonicity and convexity properties in the composition. The local convergence properties of this arithmetic are also analyzed in both the pointwise and Hausdorff sense, including conditions under which quadratic pointwise convergence propagates through composition. Parameterizations of the univariate summands in a superposition relaxation either as piecewise-constant or continuous piecewise-linear functions are discussed for a practical implementation. It is shown through numerical case studies that superposition relaxations can be consistently tighter than McCormick relaxations, including for the relaxation of artificial neural networks. But superposition relaxations also incur a higher computational cost than McCormick relaxations. Further investigations are thus warranted as applications in global optimization seek to balance a relaxation\u0026rsquo;s tightness with its computational cost.\n3. Unitaria：基于块编码的量子线性代数 Unitaria: Quantum Linear Algebra via Block Encodings\n作者: Matthias Deiml, Oliver Hüttenhofer, Ram Mosco, Jakob S. Kottmann, Daniel Peterseim\n类别: quant-ph, cs.ET, cs.SE, math.NA\n发布日期: 2026-05-11\narXiv ID: 2605.10768v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.10768v1\n摘要: We introduce Unitaria, a Python library that brings the simplicity of classical linear algebra toolkits such as NumPy and SciPy to the implementation of quantum algorithms based on block encodings, a general-purpose abstraction in which a matrix is embedded as a sub-block of a larger unitary operator. Their implementation has so far required deep knowledge of low-level circuit construction, which Unitaria aims to eliminate. The library provides a composable, array-like interface through which users can define block encodings of matrices and vectors, combine them through standard operations such as addition, multiplication, tensor products, and the Quantum Singular Value Transformation, and extract the resulting quantum circuits automatically. A key feature is a matrix-arithmetic evaluation path in which every operation can be computed directly on encoded vectors and matrices without dependence on ancilla qubits or circuit simulation. This enables correctness verification and classical simulation that scale well beyond what state vector simulation permits and also allows resource estimation, including gate counts, qubit counts, and normalization constants, without executing any circuit. Together, these capabilities allow researchers to develop, verify, and analyze quantum linear algebra algorithms today, ahead of the availability of error-corrected hardware. Unitaria is open source and available at https://github.com/tequilahub/unitaria.\n4. 仿射追踪：概率线性求解器的一种新范式 Affine Tracing: A New Paradigm for Probabilistic Linear Solvers\n作者: Disha Hegde, Marvin Pförtner, Jon Cockayne\n类别: stat.ML, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-11\narXiv ID: 2605.10566v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.10566v1\n摘要: Probabilistic linear solvers (PLSs) return probability distributions that quantify uncertainty due to limited computation in the solution of linear systems. The literature has traditionally distinguished between Bayesian PLSs, which condition a prior on information obtained from projections of the linear system, and probabilistic iterative methods (PIMs), which lift classical iterative solvers to probability space. In this work we show this dichotomy to be false: Bayesian PLSs are a special case of non-stationary affine PIMs. In addition, we prove that any realistic affine PIM is calibrated. These results motivate a focus on (non-stationary) affine PIMs, but their practical adoption has been limited by the significant manual effort required to implement them. To address this, we introduce affine tracing, an algorithmic framework that automatically constructs a PIM from a standard implementation of an affine iterative method by passing symbolic tracers through the computation to build an affine computational graph. We show how this graph can be transformed to compute posterior covariances, and how equality saturation can be used to perform algebraic simplifications required for computation under specific prior choices. We demonstrate the framework by automatically generating a probabilistic multigrid solver and evaluate its performance in the context of Gaussian process approximation.\n5. 面向建筑瞬态CO₂-温度网络模型的数据驱动移动窗口贝叶斯推断 Data-driven moving-window Bayesian inference for transient CO2-temperature network models of buildings\n作者: Zhijian Wang, Stein K. F. Stoter, Clemens V. Verhoosel, Idoia Cortes Garcia\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-11\narXiv ID: 2605.10562v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.10562v1\n摘要: In this work, we proposes a CO2-temperature network model that links multi-zone mass transport and thermal dynamics through shared latent drivers, airflow and occupancy. The thermal component is formulated as a resistance-capacitance (RC) network augmented with airflow-driven convective exchange, while the CO2 component is governed by inter-zonal convective transport. To calibrate the model and track time-varying operating conditions based on sparse sensing, we introduce a moving-window Bayesian inference procedure that jointly estimates thermal parameters, airflow and occupancy trajectories. The estimation also provides room-specific sensor noise levels, yielding posterior predictive forecasts with credible intervals. The framework is assessed using a controlled synthetic benchmark, and a scaled physical validation experiment using CO2 and temperature sensing. In both settings, the posterior accurately reconstructs trajectories within windows and delivers low forecast errors. When inference windows overlap abrupt regime transitions, the widened uncertainty bands and increased inferred noise levels provide an interpretable diagnostic of model-data mismatch, followed by rapid recovery once the new regime is observed. Overall, coupling CO2-informed airflow with thermal dynamics yields a robust approach for conductive and advective temperature prediction, supporting practical monitoring and energy-performance assessment under limited sensing.\n6. 分子动力学中输运系数计算的数学分析与数值方法 Mathematical analysis and numerical methods for the computation of transport coefficients in molecular dynamics\n作者: Noe Blassel, Louis Carillo, Shiva Darshan, Raphael Gastaldello, Alessandra Iacobucci, Elisa Marini, Regis Santet, Xiaocheng Shang, Gabriel Stoltz, Urbain Vaes\n类别: math.NA, cond-mat.stat-mech, math.PR\n发布日期: 2026-05-11\narXiv ID: 2605.10507v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.10507v1\n摘要: We review various numerical approaches to compute transport coefficients in molecular dynamics. These approaches can be broadly classified into three groups: (i) nonequilibrium methods based on applying an external driving field to the system, measuring the average response in the system, and evaluating the related linear response coefficient; (ii) approaches reformulating the transport coefficient of interest through a time correlation function for the equilibrium dynamics (the most popular instances being Green\u0026ndash;Kubo and Einstein formulas); (iii) transient techniques, where the transport coefficient can be computed by monitoring the return to the steady state of a dynamics perturbed off its stationary distribution. For all three classes of methods, we provide elements of numerical analysis, allowing to estimate or at least quantify the level of numerical errors in the estimator of the transport coefficient; and also briefly present recent attempts to more efficiently compute transport coefficients with variance reduction approaches such as control variates, importance sampling and coupling methods. The computation of transport coefficients remains nonetheless challenging and will continue requiring research efforts in the foreseeable future.\n7. 不固定基，而学之：面向偏微分方程的自适应基学习谱表示 Don\u0026rsquo;t Fix the Basis \u0026ndash; Learn It: Spectral Representation with Adaptive Basis Learning for PDEs\n作者: Xuxiang Zhao, Angelica I. Aviles-Rivero\n类别: cs.LG, math.FA, math.NA\n发布日期: 2026-05-11\narXiv ID: 2605.10451v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.10451v1\n摘要: Spectral neural operators achieve strong performance for PDE learning, but rely on fixed global bases that limit their ability to represent spatially heterogeneous and multiscale dynamics. We propose Adaptive Basis Learning (ABLE), a framework that learns data-dependent spectral representations instead of relying on predefined bases. ABLE constructs a spatially adaptive Parseval frame via a learned ancillary density, enabling the operator to act in a lifted spectral space while preserving invertibility and maintaining $O(N\\log N)$ complexity through FFT-based implementation. This shifts the source of expressivity from spectral coefficients to the representation itself, allowing the model to capture localized structures and non-translation-invariant interactions more efficiently. ABLE integrates seamlessly into existing neural operator architectures as a drop-in replacement for spectral layers. Across a range of benchmarks ABLE improves accuracy over strong baselines, with the largest gains in regimes characterized by sharp gradients and multiscale behavior. Moreover, augmenting existing models (e.g., U-FNO, HPM) with ABLE further enhances their performance, demonstrating its role as a general and complementary spectral refinement. Our results highlight that the data-driven choice of representation, rather than operator complexity alone, is a key bottleneck in neural operator design. By learning the basis itself, ABLE provides a principled and efficient framework for improving spectral methods in PDE learning.\n8. PCELM：用于Stefan问题的扰动校正极限学习机 PCELM: Perturbation-Correction Extreme Learning Machine for the Stefan problem\n作者: Wenjie Liu, Siyuan Lang, Zhiyue Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-11\narXiv ID: 2605.10417v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.10417v1\n摘要: For Stefan problems, characterized by moving boundaries and discontinuous coefficients due to phase changes, the inherent nonconvexity of the objective functional frequently causes optimization difficulty in randomized neural network approximations; to address this, we propose a Perturbation-Correction Extreme Learning Machine (PCELM) framework, built upon the extreme learning machine framework. This method first establishes a basic approximation during an initialization step by minimizing the original nonconvex residual, typically achieving only moderate accuracy, and then, in a subsequent correction step, determines a correction term by solving a subproblem based on a perturbation expansion around this basic approximation, thereby transforming it into a convex optimization problem for the output coefficients that ensures rapid convergence. We further provide a rigorous a convexity analysis, demonstrating that PCELM method solves a convex sub-problem. Numerical experiments on various Stefan problems, including multi-phase and multi-dimensional Stefan problems, confirm that the proposed PCELM method successfully overcomes optimization plateaus, with the correction step consistently delivering a significant improvement of 2-6 orders of magnitude in the relative L2 accuracy.\n9. 弹塑性问题的hp有限元法 hp-Finite Elements for Elastoplasticity\n作者: Patrick Bammer, Lothar Banz, Miriam Schönauer, Andreas Schröder\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-11\narXiv ID: 2605.10392v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.10392v1\n摘要: This article considers a model problem of elastoplasticity with linearly kinematic hardening and presents hp-finite element discretizations of two equivalent weak formulations each having their respective advantages. A mixed variational formulation is introduced to resolve the non-differentiablility of the so-called plasticity functional appearing in the weak formulation of the model problem as a variational inequality of the second kind. The discretization of the mixed formulation is then represented as a system of decoupled nonlinear equations which allows the application of an efficient semismooth Newton solver. Finally, an a priori and a posteriori error analysis is given.\n10. PowerStep：基于$\\ell_p$-范数最速下降的内存高效自适应优化 PowerStep: Memory-Efficient Adaptive Optimization via $\\ell_p$-Norm Steepest Descent\n作者: Yao Lu, Dengdong Fan, Shixun Zhang, Yonghong Tian\n类别: cs.LG, cs.AI, cs.CL, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-11\narXiv ID: 2605.10335v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.10335v1\n摘要: Adaptive optimizers, most notably Adam, have become the default standard for training large-scale neural networks such as Transformers. These methods maintain running estimates of gradient first and second moments, incurring substantial memory overhead. We introduce PowerStep, a memory-efficient optimizer that achieves coordinate-wise adaptivity without storing second-moment statistics. Motivated by steepest descent under an $\\ell_p$-norm geometry, we show that applying a nonlinear transform directly to a momentum buffer yields coordinate-wise adaptivity. We prove that PowerStep converges at the optimal $O(1/\\sqrt{T})$ rate for non-convex stochastic optimization. Extensive experiments on Transformer models ranging from 124M to 235B parameters demonstrate that PowerStep matches Adam\u0026rsquo;s convergence speed while halving optimizer memory. Furthermore, when combined with aggressive \\texttt{int8} quantization, PowerStep remains numerically stable and reduces optimizer memory by $\\sim\\!8\\times$ compared to full-precision Adam. PowerStep thus provides a principled, scalable and resource-efficient alternative for large-scale training. Code is available at https://github.com/yaolubrain/PowerStep.\n11. jNO：用于神经算子与基础模型训练的 JAX 库 jNO: A JAX Library for Neural Operator and Foundation Model Training\n作者: Leon Armbruster, Rathan Ramesh, Georg Kruse, Christopher Straub\n类别: cs.LG, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-05-11\narXiv ID: 2605.10159v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.10159v1\n摘要: jNO (jax Neural Operators) is a JAX-native library for neural operators and foundation models with unified support for both data-driven and physics-informed training. Its core design is a tracing system in which domains, model calls, residuals, supervised losses, and diagnostics are written in one symbolic language and compiled into one optimization pipeline. This allows users to move between operator regression, mesh-aware residual evaluation, and PDE-constrained training without restructuring the surrounding code. jNO also supports multi-model compositions, fine-grained control at parameter level (model, optimizer, and learning rate), hyperparameter tuning, and JAX-native workflows for translated PDE foundation-model families. The source repository is available at https://github.com/FhG-IISB/jNO.\n12. 总广义变差正则化弥合了地震走时层析成像中神经场方法与经典方法之间的差距 Total Generalized Variation regularization closes the gap between neural-eld and classical methods in seismic travel-time tomography\n作者: Isao Kurosawa\n类别: physics.geo-ph, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-11\narXiv ID: 2605.09960v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09960v1\n摘要: Travel-time tomography forces a trade-off between mesh resolution and stability in which the regularizer choice dominates what can be recovered. We introduce MIMIR, a differentiable framework that represents the 2D velocity field as a Fourier-feature neural network, replacing the grid-based slowness vector with a continuous, infinitely differentiable function. Prior neural-field tomography has staircased smooth fields under total-variation (TV) priors or oscillated near interfaces under $L^2$ Laplacian smoothing. We adopt second-order total generalized variation (TGV$^2$) and parametrize its auxiliary vector field as a second neural network jointly optimized with the velocity field, eliminating the inner Chambolle-Pock primal-dual loop that classically dominates TGV computation. On three synthetic benchmarks (Gaussian, horizontally layered, curved-fault inspired by OpenFWI) using cross-well acquisition, 5% travel-time noise, and five seeds, MIMIR-TGV$^2$ ties a classical FMM-LSMR baseline with auto-tuned hyperparameters on the Gaussian ($p=0.134$, paired $t$-test) and significantly outperforms it on layered ($p\u003c0.0001$, 44% RMSE reduction) and curved-fault ($p=0.0002$, 33% reduction). Replacing TGV$^2$ with TV degrades performance on Gaussian ($p=0.004$) and layered ($p=0.003$); curriculum-annealed TV improves Gaussian RMSE by only 5.4%, confirming that TV\u0026rsquo;s staircase bias is intrinsic to the regularizer rather than a scheduling artifact. The results empirically validate the Bredies-Kunisch-Pock prediction that piecewise-affine priors are better suited to subsurface velocity recovery than piecewise-constant TV priors. We argue that the central design choice in physics-informed neural-field inversion is not the network architecture but the regularizer. The full pipeline reproduces in under one hour on consumer hardware.\n13. 三维亥姆霍兹格林函数及其导数的方位角傅里叶模态的快速求值 Fast Evaluation of the Azimuthal Fourier Modes of the 3D Helmholtz Green\u0026rsquo;s Function and Their Derivatives\n作者: Hanwen Zhang\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-05-11\narXiv ID: 2605.09952v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09952v1\n摘要: We introduce an $O(M)$ algorithm for evaluating the azimuthal Fourier modes $G_{k,m}$, $m = 0, 1, ..., M$, of the three-dimensional Helmholtz Green\u0026rsquo;s function with real wavenumber $k$, together with all their first- and second-order derivatives with respect to the cylindrical source and target coordinates. The cost is independent of both the wavenumber and the source-target separation, and high relative accuracy is retained even for modes whose magnitude is exponentially small. The method combines contour deformation at a few boundary modes with a boundary-value formulation of the five-term recurrence in the mode index. Derivative quantities are obtained from stable recurrences, adding only a small constant factor to the cost of $G_{k,m}$ alone. Numerical experiments demonstrate high relative accuracy, linear scaling in $M$, and applications to modal boundary integral equation solvers for axisymmetric acoustic scattering, where the $k$-independent kernel evaluator makes dense per-mode linear algebra the dominant cost.\n14. 部分观测时间变换随机微分方程的参数估计 Parameter Estimation for Partially Observed Time-Changed SDEs\n作者: Ke Zhao, Ajay Jasra\n类别: math.NA, stat.CO, stat.ME\n发布日期: 2026-05-11\narXiv ID: 2605.09880v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09880v1\n摘要: In this paper we consider the parameter estimation problem associated to partially-observed time changed SDEs, with observations that are given at discrete times. In particular we consider both likelihood and Bayesian estimation. We develop new Markov chain Monte Carlo (MCMC) algorithms which allow an unbiased score-based stochastic approximation method to provide likelihood-type parameter estimators. We also use a variant of this MCMC algorithm to perform multilevel-based Bayesian parameter estimation. We prove that this latter method achieves a mean square error of $\\mathcal{O}(ε^2)$ ($ε\u003e0$) with a cost of $\\mathcal{O}(ε^{-2}\\log(ε)^2)$. Our methodologies are tested numerically on both simulated and real data.\n15. 利用快速素描加速幂法以实现更强的低秩近似 Accelerating Power Method with Fast Sketching for Stronger Low-Rank Approximation\n作者: Shabarish Chenakkod, Michał Dereziński\n类别: math.NA, cs.DS, cs.LG, stat.ML\n发布日期: 2026-05-10\narXiv ID: 2605.09755v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09755v1\n摘要: The power method is one of the most fundamental tools for extracting top principal components from data through low-rank matrix approximation. Yet, when the target rank is large, the cost of matrix multiplication associated with this procedure becomes a major bottleneck. We develop an algorithmic and theoretical framework for accelerating the power method using fast sketching, which is a popular paradigm in randomized linear algebra. Our framework leads to simple and provably efficient methods for singular value decomposition, low-rank factorization, and Nyström approximation, which attain strong numerical performance on benchmark problems. The key novelty in our analysis is the use of regularized spectral approximation, a property of fast sketching methods which proves more flexible in generalizing power method guarantees than traditional arguments.\n16. 增强主动通量平流格式的耗散行为 On Enhancing the Dissipative Behavior of Active Flux Advection Schemes\n作者: Christian Klingenberg, Simon Krotsch, Philip Roe\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-10\narXiv ID: 2605.09669v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09669v1\n摘要: In this work, the traditional third-order Active Flux advection scheme is modified by reformulating the method and introducing additional parameters. The effect of these parameters is studied, leading to schemes with improved dissipative properties. These improvements are validated by numerical experiments.\n17. 偏微分方程解算子的核学习 Kernel Learning of PDE Solution Operators\n作者: Jianyu Hu, Juan-Pablo Ortega\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-10\narXiv ID: 2605.09643v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09643v1\n摘要: A kernel-based approach for the learning of the solution operator of general nonhomogeneous partial differential equations (PDEs) is proposed. The method incorporates physical priors, typically encoded through the PDE operator, into a kernel ridge regression framework, and employs a regularization-based formulation to construct an operator learner. This yields a closed-form estimator that is independent of the input functions that determine the underlying PDE. From the perspective of regularization theory, the resulting estimator induces a well-defined operator that links input and output spaces, which contain the functions that define a Dirichlet problem and its solution, respectively. Consequently, it effectively shifts from a PDE solver to an operator-based solver. In contrast to standard supervised learning methods, it does not rely on paired input\u0026ndash;output training data and enables systematic extrapolation beyond observed regimes. A full error analysis is conducted, providing convergence rates for the operator-based solver under suitable choices of regularization parameters. Extensive numerical experiments, including Darcy flow and Helmholtz equations, demonstrate that the proposed method achieves high accuracy and efficiency across a range of problem settings, and compares favorably with operator learning approaches in both approximation quality and computational cost.\n18. 理查兹方程有限元离散的离散正性与最大值原理 Discrete positivity and maximum principles for a finite element discretization of the Richards equation\n作者: Abderrahmane Benfanich, Yves Bourgault, Abdelaziz Beljadid\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-10\narXiv ID: 2605.09615v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09615v1\n摘要: Standard finite element discretizations of the Richards equation may violate the discrete minimum principle, producing unphysical negative saturations. While existing bound-preserving methods typically rely on computationally expensive fully implicit solvers, we propose a novel semi-implicit finite element framework utilizing a bounded continuous auxiliary variable. Our approach treats the gravity-driven advective term using a linearly implicit technique, which improves the time-step restrictions required by explicit gravity methods near the degenerate limit. We provide rigorous mathematical proofs establishing sufficient geometric and algebraic constraints for discrete positivity and the discrete maximum principle, specifically a local Péclet condition and a discrete row-sum condition. When both conditions are satisfied on weakly acute meshes with mass lumping, our framework ensures that numerical solutions strictly respect physical bounds across highly degenerate conditions and initially dry soil regimes. Comprehensive numerical validation demonstrates the method across multiple flow regimes, including cases where algebraic conditions are satisfied, violated, and recovered through mesh refinement.\n19. HS-FNO：面向非马尔可夫偏微分方程的历史-空间傅里叶神经算子 HS-FNO: History-Space Fourier Neural Operator for Non-Markovian Partial Differential Equations\n作者: Lennon J. Shikhman\n类别: cs.LG, cs.CE, math.NA, physics.comp-ph, stat.ML\n发布日期: 2026-05-10\narXiv ID: 2605.09523v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09523v1\n摘要: Neural operators provide fast surrogate models for time-dependent partial differential equations, but their standard autoregressive use usually assumes that the instantaneous field $u(t,\\cdot)$ is a complete state. This assumption fails for delay equations, distributed-memory systems, and other non-Markovian dynamics: two trajectories may agree at time $t$ and nevertheless have different futures because their histories differ. We introduce the History-Space Fourier Neural Operator (HS-FNO), a neural operator for delay and memory-driven PDEs formulated on the lifted state $u_t(θ,x)=u(t+θ,x)$, $θ\\in[-τ,0]$. The key computational step is to decompose one history-state update into a learned predictor for the newly exposed future slice and an exact shift-append transport for the portion of the history window already known from the previous state. This avoids learning deterministic history coordinates, reduces the learned output dimension, and enforces the natural discrete history update. We test HS-FNO on five benchmark families covering delayed reaction\u0026ndash;diffusion, spatial epidemiology, nonlocal neural-field dynamics, delayed waves, and distributed-memory closures. Across ten random seeds, HS-FNO attains the lowest aggregate one-step, history-space, and rollout errors among the principal baselines. The largest gain occurs in autoregressive prediction, where aggregate rollout error decreases from $0.241$, $0.188$, and $0.185$ for current-state, lag-stack, and unconstrained history-to-history operators, respectively, to $0.094$. The same model uses fewer parameters than unconstrained history prediction. These results indicate that enforcing the discrete shift structure of history-state evolution is an effective inductive bias for non-Markovian PDE surrogate modeling.\n20. 非均匀介质中含移动障碍物的波散射边界积分方法 A boundary integral method for wave scattering in a heterogeneous medium with a moving obstacle\n作者: Raaghav Ramani\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-05-10\narXiv ID: 2605.09500v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09500v1\n摘要: We propose a time-domain boundary integral method to model linear wave propagation with refractive, focusing, and Doppler effects arising from medium heterogeneities and moving obstacles. In contrast to existing techniques, our method avoids volumetric discretization and yields a formulation posed only on the boundary of the obstacle. We combine two classical ingredients: a geometric\u0026ndash;optics parametrix to capture leading-order behavior at propagating wavefronts, and a ray-based characterization of the distorted causal geometry. The former provides a framework for defining layer potentials and deriving the associated boundary integral equations, while the latter enables a pure boundary-only formulation. Taken together, these ingredients extend existing numerical techniques for the homogeneous, fixed-boundary case to the heterogeneous, moving-boundary setting, with appropriate modifications to capture the discrete causal structure arising from the intersection of distorted light cones with the worldsheet of the moving boundary. Numerical experiments demonstrate the ability of the method to resolve Doppler effects from moving obstacles, including a rotating turbine configuration, with stable performance up to Mach 0.9. In heterogeneous media, the method captures strong refractive effects from spherical inclusions: wave propagation wrapping around a gas bubble in water, and defocusing from a hot fireball rising through a stratified atmosphere.\n21. 一种用于一般二维域上函数逼近的分片局部傅里叶延拓方法 A Patchwise Local Fourier Extension Method for Function Approximation on General Two-Dimensional Domains\n作者: Zhenyu Zhao, Yanfei Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-10\narXiv ID: 2605.09484v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09484v1\n摘要: We propose a patchwise local Fourier extension method for approximating smooth functions on general two dimensional domains with curved boundaries. The domain is embedded into a Cartesian background grid and decomposed into rectangular interior patches and one-side curved trapezoidal boundary patches. After local data transfer, all patches are converted into fixed-size tensor-product arrays and approximated by a truncated-SVD stabilized local Fourier extension procedure. Unlike global Fourier frame approximations, the proposed method localizes both the geometry and the ill-conditioned extension process. For fixed local parameters, the local algebraic operations are performed on fixed-size systems, and the reference Fourier extension matrices and their singular value decompositions are reused across patches. Boundary patches require additional one-dimensional transfer or completion steps, but their costs remain uniformly bounded by the local resolution. Consequently, the online complexity is (O(N)), where (N) denotes the total number of retained output points for fixed local resolution. Numerical experiments on smooth curved domains and on a mildly rough boundary domain demonstrate that the method achieves high accuracy with a fixed set of local parameters. The smooth-cover correction reduces the boundary-induced error by several orders of magnitude in the full-domain rough-boundary test, without changing the underlying scan-based partition.\n22. MC$^2$: 用于快速椭圆型偏微分方程求解的蒙特卡罗校正 MC$^2$: Monte Carlo Correction for Fast Elliptic PDE Solving\n作者: Ethan Hsu, Hong Meng Yam, Ivan Ge\n类别: cs.LG, cs.AI, cs.CE, cs.CV, math.NA\n发布日期: 2026-05-10\narXiv ID: 2605.09288v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09288v1\n摘要: Partial differential equation (PDE) solvers underpin scientific computing, but real-world deployment is bounded by compute. Classical Monte Carlo solvers such as Walk-on-Spheres (WoS) are unbiased and geometry-agnostic but are slow. Learned solvers are fast but biased and brittle under distribution shift. We present \\textbf{MC$^2$}, a hybrid WoS-Neural Network (WoS-NN) PDE solver that treats a low-budget Monte Carlo solution as a structured estimator of the true field and learns a single-pass neural correction to recover a high-fidelity solution. MC$^2$ matches the accuracy of solutions using over $1000\\times$ more Monte Carlo compute, outperforming all evaluated classical, denoising, and neural-operator baselines. To enable reproducible study of finite-compute PDE solving, we additionally release \\textbf{PDEZoo}, the largest standardized elliptic PDE benchmark to date: 2M PDEs spanning five elliptic families and unlimited geometric compositions, with analytic ground truth and multi-budget Monte Carlo trajectories. Together \\textbf{MC$^2$} and \\textbf{PDEZoo} (1) empirically establish that finite-sample Monte Carlo error is structured, learnable, and correctable in a single forward pass, (2) show that we can solve PDEs $\\sim$\\textbf{1000x} faster than with just WoS, and (3) provide the evaluation infrastructure the field has so far lacked.\n23. 高度非均质空间网络模型的高效多尺度方法 Efficient Multiscale Methods for Highly Heterogeneous Spatial Network Models\n作者: Yingjie Zhou, Xiang Zhong, Changqing Ye, Eric T. Chung\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-10\narXiv ID: 2605.09280v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09280v1\n摘要: Modeling complex spatial networks with multiscale heterogeneity poses significant mathematical and computational challenges. Lacking explicit PDE discretizations and facing excessive degrees of freedom, conventional methods often become computationally prohibitive. To address these challenges, we propose an efficient multiscale modeling for highly heterogeneous spatial networks. We construct multiscale basis functions tailored to spatial network models with heterogeneous edge weights and node degrees. A key novelty is that the proposed method doesn\u0026rsquo;t introduce geometric parameters (such as Dirichlet nodes, distances, or mesh sizes), thereby preserving its purely algebraic nature and ensuring broad applicability. By incorporating a subgraph-wise estimate, we define a Poincaré constant $C_{\\mathrm{po}}$ that renders the method independent of the underlying graph geometry. Then through an appropriate choice of the number of graph oversampling layers, we establish an $O(C_{\\mathrm{po}})$ convergence independent of the local heterogeneity contrast. Notably, our scheme operates entirely within an algebraic framework, eliminating the need for Dirichlet nodes and positive-definiteness on specific matrices arising in the model. This flexibility enables the simulation of a wider range of physical models and accommodates various boundary conditions. Rigorous theoretical analyses are provided under suitable assumptions, and extensive numerical experiments validate the effectiveness of the proposed approach.\n24. 线性最小二乘后向误差的一个变分方程与下界 A Variational Equation and Lower Bound for the Linear Least-Squares Backward Error\n作者: Eric Hallman\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-09\narXiv ID: 2605.09211v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09211v1\n摘要: This paper derives a new variational equation for the linear least-squares backward error by expressing the backward error in terms of a generalized eigenvalue problem and using results from indefinite linear algebra. For problems with multiple right-hand sides, the variational equation also shows that the backward error can be decomposed as a sum of smaller backward error problems. Applications to stopping criteria for iterative methods are considered, and a new sketching-based lower bound is proposed which is provably of quality comparable to the sketched Karlson-Waldén estimate.\n25. 一种用于主联合SVD型块对角化的NPDo方法 An NPDo Approach for Principal Joint SVD-type Block Diagonalization\n作者: Ren-Cang Li, Li Wang, Mei Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-09\narXiv ID: 2605.09202v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09202v1\n摘要: This paper is concerned with partial Joint SVD-type Block Diagonalization of several matrices so that the extracted diagonal parts collectively optimally assume part of the total mass of all given matrices. For that reason, it will be referred also as Principal Joint SVD-type Block Diagonalization. When each block-size is 1-by-1, it is about finding a dominant partial joint SVD decomposition for the matrices of interests. An NPDo approach is proposed for maximizing the common dominant block-diagonal parts collectively. It is shown that the NPDo approach combined with Gauss-Seidel-type updating is globally convergent to a stationary point while the objective increases monotonically. Numerical experiments are presented to illustrate the efficiency of the NPDo approach.\n26. Rao-Blackwell 化的马尔可夫链蒙特卡罗光传输 Rao-Blackwellized Markov chain Monte Carlo Light Transport\n作者: Sascha Holl, Gurprit Singh, Hans-Peter Seidel\n类别: cs.CE, math.FA, math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-05-09\narXiv ID: 2605.09117v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09117v1\n摘要: In light transport simulation, Markov chain Monte Carlo methods are particularly effective at exploring regions with complex lighting characteristics. However, estimator variance is a central concern across Monte Carlo methods in general. In light transport, high variance directly manifests as increased noise or, equivalently, longer rendering times at fixed image quality. Variance reduction techniques based on Rao-Blackwellization have proven particularly effective. In practice, however, the RB approach traditionally used in light transport, waste-recycling, can yield little to no measurable variance reduction, a fact we empirically confirm in this work. Motivated by this lack of effective variance reduction, we introduce a novel RB technique for the general-purpose Metropolis-Hastings algorithm that is computationally efficient and achieves substantial variance reduction. We show that this method consistently outperforms waste-recycling in terms of both variance reduction and convergence speed. Building on this result, we adapt the proposed RB approach to the recently introduced general-purpose Jump Restore algorithm, where it similarly achieves substantial variance reduction and accelerated convergence. Through extensive experiments in light transport simulation, we demonstrate that our \\gls{rb} technique significantly outperforms the traditional approaches for both MH-based light transport algorithms and Jump Restore Light Transport, under both equal-time and equal-sample-count comparisons.\n27. 接触哈密顿系统的局部通用分裂积分器 Local Universal Splitting Integrators for Contact Hamiltonian Systems\n作者: George A Kevrekidis\n类别: math.DG, math.DS, math.NA\n发布日期: 2026-05-09\narXiv ID: 2605.09103v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09103v1\n摘要: Contact Hamiltonian systems extend symplectic Hamiltonian mechanics to dissipative settings while retaining geometric structure. We develop a structure-preserving splitting framework for contact Hamiltonian systems on $J^1(\\mathbb{R}^n)$ based on two tractable classes of exact-contact subflows: strict contactomorphisms and prolonged diffeomorphisms. Our main theoretical result is that the Lie algebra generated by the corresponding strict and prolonged Hamiltonians contains all polynomial-in-$p$ Hamiltonians and is therefore dense, in the $C^r$ topology on compact sets, in the Lie algebra of smooth contact Hamiltonians. This yields a local universality result and contact splitting integrators built from exact strict and prolonged subflows. We then show how these subflows can be realized numerically by lifting symplectic integrators on $T^*\\mathbb{R}^n$ and ODE integrators on $\\mathbb{R}^n\\times\\mathbb{R}$. Finally, we illustrate the framework on a sequence of low-dimensional examples.\n28. 非线性界面问题的标量界面约化 A scalar interface reduction for nonlinear interface problems\n作者: So-Hsiang Chou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-09\narXiv ID: 2605.09102v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09102v1\n摘要: We study finite element approximations of elliptic and parabolic interface problems with discontinuous coefficients and nonlinear jump conditions. We introduce a scalar interface reduction in which the solution is decomposed into a continuous component and a unit-jump response mode. This representation isolates the interface nonlinearity into a single scalar variable while the bulk problem remains linear. From this perspective, the nonlinear interface condition is reduced to a scalar nonlinear equation, which may be interpreted as a nonlinear Schur complement associated with the interface degree of freedom. The resulting formulation leads to a simple computational procedure consisting of linear solves combined with a low-dimensional nonlinear update. Numerical results for representative elliptic and parabolic problems confirm second-order accuracy for interface quantities and demonstrate the effectiveness of the proposed approach.\n29. 物质点法的重叠施瓦茨时空细化框架 An Overlapping Schwarz Space-Time Refinement Framework for Material Point Method\n作者: Zhaofeng Luo, Minchen Li, Yupeng Jiang\n类别: cs.CE, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-05-09\narXiv ID: 2605.09097v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09097v1\n摘要: We propose an overlapping Schwarz space-time refinement framework for the material point method (OS-MPM) to improve computational efficiency in problems with strongly localized deformation, contact, and large geometric nonlinearity. The method decomposes the domain into overlapping coarse and fine subdomains with heterogeneous spatial and temporal resolutions, while retaining standard MPM discretizations within each subdomain. Coarse-fine coupling is achieved through an MPM-specific Schwarz iteration combining mass-weighted spatial transmission and temporal interpolation for sub-cycling. In contrast to refinement strategies based on modified basis functions, transition kernels, or strongly enforced interface constraints, the proposed approach preserves the modular structure of standard MPM and shifts the coupling complexity to nonmatching-grid interface operators within the Schwarz alternating procedure. Numerical examples, including a gravity-driven cantilever beam, Hertzian contact, and an elastic inclusion problem, show that the method reproduces analytical or fine-resolution reference solutions with good accuracy and convergence behavior. In the inclusion benchmark, the proposed framework achieves comparable or slightly lower error than single-domain fine simulations at the finest tested resolutions, while reducing computational cost by up to 9.15 times. A three-dimensional folding example further demonstrates the generality of the framework. These results indicate that the proposed method provides an accurate, modular, and efficient route for local space-time refinement in MPM.\n30. 从等距数据的局部 Legendre 框架逼近 Local Legendre Frame Approximation from Equispaced Data\n作者: Benxue Gong, Zhenyu Zhao, Chenyang Wang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-09\narXiv ID: 2605.09057v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09057v1\n摘要: We propose a local Legendre frame (LLF) method for function approximation from equispaced data on a finite interval. Motivated by the difficulty of stable high-order polynomial approximation at equispaced points, especially in the presence of the Runge phenomenon, the method partitions the interval into subintervals, maps each subinterval to a common reference interval, and computes local coefficients by a truncated singular value decomposition (TSVD) regularization. Since all subintervals share the same local sampling matrix, the method admits a natural offline\u0026ndash;online implementation. We establish a quasi-optimal estimate for the regularized reconstruction and discuss practical parameter selection. Numerical results show that LLF attains high accuracy for relatively smooth and moderately oscillatory functions, while it remains applicable to highly oscillatory functions, although comparable accuracy generally requires more sampling points. For continuous piecewise smooth functions with derivative singularities, the method also provides an effective detect\u0026ndash;localize\u0026ndash;correct strategy based on one-sided coefficient-energy indicators. These results indicate that LLF provides a stable and flexible local approximation framework for equispaced data.\n31. 具有常数扩散矩阵的时间依赖分数阶扩散方程 A time dependent fractional order diffusion equation with constant diffusivity matrix\n作者: T. Catoe, V. J. Ervin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-09\narXiv ID: 2605.09026v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09026v1\n摘要: Of primary interest in this paper is the numerical approximation of a time dependent fractional, in space, diffusion equation where the domain is assumed to be nonhomogeneous, having different axial diffusion coefficients. This work is motivated from the consideration of composite material which can exhibit different material properties along, and perpendicular to, internal planar structures. Careful attention is paid to accurately capture the boundary behavior of the solution. A spectral approximation scheme is used for the spatial discretization and a backward Euler approximation used for the temporal discretization. Following an error analysis for the approximation scheme, numerical experiments are given to demonstrate the effects of the nonhomogeneous domain and to support the theoretical analysis.\n32. CATO：面向神经PDE算子的图表注意力 CATO: Charted Attention for Neural PDE Operators\n作者: Chun-Wun Cheng, Sifan Wang, Carola-Bibiane Schönlieb, Angelica I. Aviles-Rivero\n类别: cs.AI, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-09\narXiv ID: 2605.09016v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.09016v1\n摘要: Neural operators have emerged as powerful data-driven solvers for PDEs, offering substantial acceleration over classical numerical methods. However, existing transformer-based operators still face critical challenges when modeling PDEs on complex geometries: directly processing over massive mesh points is computationally expensive, while operating in raw discretization coordinates may obscure the intrinsic geometry where physical interactions are more naturally expressed. To address these limitations, we introduce the Charted Axial Transformer Operator (CATO), a geometry-adaptive and derivative-aware neural operator for PDEs on general geometries. Instead of applying attention directly in the physical coordinate system, CATO learns a continuous latent chart that maps mesh coordinates into a learned chart space, where chart-conditioned axial attention efficiently captures long-range dependencies with reduced computational cost. In addition, CATO introduces a derivative-aware physics loss for steady-state PDEs that jointly supervises solution values, mesh-consistent gradients, and an auxiliary flux-like field, improving physical fidelity and reducing oversmoothing. We further provide a theoretical approximation result showing that, under a favorable chart, charted axial attention can represent low-rank axial solution operators with controlled error, and that small chart perturbations induce bounded approximation degradation. CATO achieves the best performance across all evaluated datasets, yielding an average improvement of approximately 26.76% over the strongest competing baselines while reducing the number of parameters by 81.98%. These results highlight the effectiveness of learning geometry-adaptive charts and derivative-aware physical supervision for accurate and efficient PDE operator learning.\n33. Karhunen-Loève展开入门 A Primer on the Karhunen-Loève Expansion\n作者: Alen Alexanderian\n类别: math.NA, math.FA, math.PR\n发布日期: 2026-05-09\narXiv ID: 2605.08959v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.08959v1\n摘要: This article provides a primer on the spectral representation of random fields via the Karhunen-Loève Expansion (KLE). The goal is to bridge the gap between the theoretical foundations of the KLE and its application in computational modeling under uncertainty. We detail how tools from operator theory and probability are combined to analyze the convergence and optimality of the KLE. We also emphasize the associated computational and mathematical modeling considerations.\n34. 扩散恢复：实时马尔可夫链蒙特卡洛光照传输 Diffusion Restore: Real-Time Markov Chain Monte Carlo Light Transport\n作者: Sascha Holl, Gurprit Singh, Hans-Peter Seidel\n类别: cs.CE, math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-05-09\narXiv ID: 2605.08916v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.08916v1\n摘要: We present Diffusion Restore, a real-time framework for diffusion-based MCMC light transport. MCMC methods are highly suitable for sampling from complex high-dimensional distributions and for approximating integrals over them. In practice, they are often the only viable solution when direct sampling is not possible and alternative methods are either inefficient or cannot be applied due to the structure of the target distribution. However, controlling the exploration of the target distribution in MCMC methods remains challenging. Efficient exploration requires a balance between local exploration and global discovery, and local dynamics must rapidly explore individual modes without getting stuck or exhibiting excessive backtracking. The problem of global discovery has recently been addressed by the introduction of the Restore framework. In this work, we build on this framework and focus on improving local exploration. We show how to choose diffusion-based local dynamics within the Restore framework while completely avoiding Metropolis-adjustment, which is known to slow down convergence. Furthermore, we model these dynamics as nonreversible, introducing momentum in the drift and thereby enabling more directed exploration of the target distribution compared to reversible, random-walk-like dynamics. We provide a theoretical justification for the validity of our choice of local dynamics. Empirically, we demonstrate across diverse scenes that Diffusion Restore outperforms all existing MCMC light transport methods and establishes a new state of the art. In addition, we present a GPU implementation in ray tracing and compute shaders and achieve real-time frame rates. This demonstrates that Diffusion Restore is not only superior in offline rendering, but also outperforms traditional Path Tracing methods in real-time rendering settings, such as interactive applications and games.\n35. 神经变分方法中解的非唯一性 Non-Uniqueness of Solutions in Neural Variational Methods\n作者: Andreas Langer\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-09\narXiv ID: 2605.08877v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.08877v1\n摘要: Recent work has shown that strong-form physics-informed neural networks (PINNs) based on pointwise enforcement of differential operators can be ill-posed due to the combination of sufficiently expressive neural network trial spaces with finitely many measurements. In this work, we develop an abstract analytical framework that isolates this finite-information mechanism and extends its applicability beyond strong-form formulations. We apply the framework to three representative variational neural discretizations: the Deep Ritz method, neural network discretizations of variational regularization functionals, and weak PINNs. Despite their differing formulations, these methods constrain the neural trial function only through finitely many linear measurements, such as quadrature evaluations or finite-dimensional test spaces. We show that this structural feature leads to ill-posed discrete optimization problems, manifested by non-uniqueness or degeneracy of minimizers, independently of the well-posedness of the underlying continuous variational problem.\n36. 签名核与施温格-戴森核方程作为双参数粗糙微分方程 Signature Kernel and Schwinger-Dyson Kernel Equations as Two-Parameter Rough Differential Equations\n作者: Thomas Cass, Dan Crisan, Andrea Iannucci, William F. Turner\n类别: math.PR, math.NA\n发布日期: 2026-05-09\narXiv ID: 2605.08844v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.08844v1\n摘要: We develop a rough-path framework for two-parameter rough differential equations on rectangular and simplicial domains, motivated by the signature kernel and Schwinger\u0026ndash;Dyson kernel equations. The theory is formulated in spaces of jointly controlled rough paths and is based on a robust two-parameter rough integration framework. In particular, we introduce a notion of rough integration over two-dimensional simplices at low regularity extending previous results in the literature. Within this setting, we show that the signature kernel equation arises naturally as a two-parameter rough differential equation and establish well-posedness and stability. We also extend the Schwinger\u0026ndash;Dyson kernel equation, previously formulated for bounded-variation paths, to rough driving signals, proving existence and uniqueness in appropriate controlled rough path spaces. In the smooth rough path regime, we relate the resulting equations to PDE and integro-differential formulations. Finally, we derive and analyse a numerical scheme for the rough Schwinger\u0026ndash;Dyson equation, including runtime and memory complexity estimates, and illustrate its performance with numerical experiments.\n37. 核-晕分解：大规模不动点问题的去中心化 Core-Halo Decomposition: Decentralizing Large-Scale Fixed-Point Problems\n作者: Haixiang, Yang Xu, Jiefu Zhang, Xudong Wu, Zihan Zhou, Jun He, Jiayu Chen\n类别: stat.ML, cs.AI, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-09\narXiv ID: 2605.08681v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.08681v1\n摘要: We study solving large-scale fixed-point equation (x^\\star=\\bar F(x^\\star)) with decomposition. Standard strict decomposition assigns each agent a disjoint block and evaluates updates using only owned coordinates. For most operators, however, a block update may depend on variables outside the block. Truncating these dependencies by strict decomposition changes the mean operator and creates structural bias that cannot be removed by more samples, smaller stepsizes, or additional consensus. We therefore propose Core-Halo decomposition, which separates write ownership from read-only evaluation context: each agent updates its own core and reads from an overlapping halo. By aligning the Core-Halo decomposition with the block-dependence structure of $\\bar F$, the original fixed-point problem can be implemented faithfully in a decentralized multi-agent system. We further characterize the fundamental obstruction faced by strict decomposition through a Bellman closure condition and a blockwise bias lower bound, showing that local-only updates can alter the original fixed-point operator. Finally, we conduct extensive experiments across a range of application settings, and demonstrate that Core-Halo achieves near-centralized performance while retaining the parallelism benefits of decentralization.\n38. 贝叶斯物理信息神经网络求解椭圆型偏微分方程的后验集中性 Posterior Concentration of Bayesian Physics-Informed Neural Networks for Elliptic PDEs\n作者: Yuxuan Zhao, Yulong Lu\n类别: math.ST, math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-05-09\narXiv ID: 2605.08672v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.08672v1\n摘要: We study the posterior contraction rate of Bayesian Physics-Informed Neural Networks (PINNs) for solving a general class of elliptic partial differential equations (PDEs). We focus on learning of the elliptic equation with a non-homogeneous Dirichlet boundary condition from independent and noisy measurements collected both inside the domain and on the boundary. Assuming that the PDE admits a strong solution in a Hölder space and using with a suitably constructed prior on the neural network weights, we prove that the posterior distribution concentrates around the exact solution at a near-minimax rate. Furthermore, the chosen prior is rate-adaptive: the posterior contracts at an (almost) optimal rate without prior knowledge of the smoothness level of the exact solution. Our results provide statistical guarantees for uncertainty quantification of PDEs via Bayesian PINNs.\n39. Hilbert空间上凸Lipschitz泛函的有限样本保结构重构 Structure-Preserving Reconstruction of Convex Lipschitz Functionals on Hilbert Spaces from Finite Samples\n作者: Anastasis Kratsios\n类别: math.FA, cs.LG, cs.NE, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.08559v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.08559v1\n摘要: Convex functionals are ubiquitous in applied analysis, appearing as value functions, risk measures, super-hedging prices, and loss functionals in machine learning. In many applications, however, the functional is only observed through finitely many exact pointwise evaluations. We ask whether a convex functional on a separable Hilbert space $H$ can be reconstructed, up to arbitrary uniform accuracy, by an explicit formula which preserves convexity and Lipschitz regularity and is finitely computable. We answer this affirmatively. For every compact convex $C\\subseteq H$, every $L$-Lipschitz convex functional $ρ:C\\to\\mathbb{R}$, and every $\\varepsilon\u003e0$, we construct an explicit finite-sample reconstruction which is convex, $L$-Lipschitz, and uniformly $\\varepsilon$-accurate on $C$. The construction uses only finitely many linear measurements $\\langle b,\\cdot\\rangle_H$, with $b$ lying in a finite-dimensional subspace of $H$, and is exactly implementable by a $\\operatorname{ReLU}$-MLP. Building on this, we introduce convex neural functionals (CNFs), a structured trainable architecture class containing our reconstruction, whose every admissible parameter configuration is automatically convex and Lipschitz, providing a principled foundation for learning convex functionals from finite data.\n40. 一个基于偏微分方程的具有接触约束的材料参数识别问题 On a PDE-based material parameter identification problem with contact constraints\n作者: Simon Hubmer, Stefan Kindermann, Ekaterina Sherina\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.08514v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.08514v1\n摘要: We consider the identification of a scalar coefficient in a PDE-based parameter estimation problem with contact constraints. The considered problem can be used as an idealized model of a membrane under forces, constrained by a barrier or indenter. More generally, it serves as a benchmark for the analysis of more complex contact problems and the development of corresponding reconstruction algorithms. In this paper, we discuss both the forward and inverse parameter estimation problems, as well as uniqueness and non-uniqueness issues caused by the contact constraints. Furthermore, we consider the design and implementation of reconstruction approaches which we test on numerical examples, illustrating both uniqueness and non-uniqueness as well as parameter identifyability.\n41. 随机化拟蒙特卡洛球面行走法 Randomized quasi-Monte Carlo for walk on spheres\n作者: Valerie N. P. Ho, Art B. Owen\n类别: math.NA, stat.CO\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.08483v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.08483v1\n摘要: We investigate the use of randomized quasi-Monte Carlo (RQMC) in walk on spheres algorithms to solve boundary value problems for functions with Dirichlet boundary conditions in $\\mathbb{R}^d$. For harmonic functions with $d=2$, the integrands of interest are periodic indicator functions over regions $Θ$ in the torus $\\mathbb{T}^k$. We give conditions for $\\partialΘ$ to have $k-1$ dimensional Minkowski content which allows us to use results of He and Wang (2015). The RQMC estimates involve multiple values of $k$. We see sampling variances decreasing with the number $n$ of sample points at slightly better than Monte Carlo rates. The median variance rate in $4$ RQMC methods over $5$ worked examples, including some with $d=3$ and some with nonzero source functions, was slightly better than $O(n^{-1.1})$. The variance reduction factors ranged from $1.8$ to $10.7$ at $n=2^{17}$. None of the four RQMC methods dominated the others.\n42. Transformer 可以为上下文内高斯核回归实现预处理 Richardson 迭代 Transformers Can Implement Preconditioned Richardson Iteration for In-Context Gaussian Kernel Regression\n作者: Mingsong Yan, Dongyang Li, Charles Kulick, Sui Tang\n类别: cs.LG, cs.AI, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.08475v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.08475v1\n摘要: Mechanistic accounts of in-context learning (ICL) have identified iterative algorithms for linear regression and related linear prediction tasks, often using linear or ReLU attention variants. For nonlinear ICL, prior work has related softmax and kernelized attention to functional-gradient-type dynamics, but it remains unclear whether a standard transformer with softmax attention can implement a convergent solver with an end-to-end prediction-error guarantee. In this paper, we study in-context kernel ridge regression (KRR) with Gaussian kernels and show that a standard softmax-attention transformer can approximate the KRR predictor during its forward pass by implementing preconditioned Richardson iteration on the associated kernel linear system. Under bounded-data assumptions, we construct a single-head transformer with $O(\\log(1/ε))$ blocks and MLP width $O(\\sqrt{N/ε})$ that achieves $ε$-accurate prediction for prompts of length $N$. Our construction reveals a functional decomposition within the transformer architecture: softmax attention produces a row-normalized Gaussian-kernel operator needed for cross-token interactions, while ReLU MLP layers act locally to approximate the intra-token scalar arithmetic required by the update. Empirically, we train GPT-2-style transformers on Gaussian-process regression tasks to further test the preconditioned Richardson interpretation. Through linear probing, we compare the transformer\u0026rsquo;s layer-wise predictions with the step-wise outputs of classical KRR solvers and find that its error profiles align most consistently with preconditioned Richardson iteration. Ablation studies further support this interpretation. Together, our theory and experiments identify preconditioned Richardson iteration as a concrete mechanism that softmax-attention transformers can realize for nonlinear in-context Gaussian-kernel regression.\n43. 基于核的线性系统辨识：增广Krylov子空间方法 Kernel-based linear system identification using augmented Krylov subspaces\n作者: Fabio Matti, Martin Skovgaard Andersen, Tianshi Chen, Daniel Kressner\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.08362v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.08362v1\n摘要: We propose a novel Krylov subspace method for estimating the finite impulse response (FIR) of a one-dimensional linear time-invariant systems. The method approximates the system\u0026rsquo;s FIR using a kernel-based formulation combined with hyperparameter selection based on maximum likelihood estimation (MLE), which requires repeated evaluation of two terms: The data fit $\\boldsymbol{y}^{\\top} (λ\\boldsymbol{I} + \\boldsymbol{A})^{-1} \\boldsymbol{y}$ and the model complexity $\\log(\\det (λ\\boldsymbol{I} + \\boldsymbol{A}))$, where $\\boldsymbol{A}$ is a certain positive semidefinite matrix that admits fast matrix\u0026ndash;vector products and $λ\u003e 0$ is a regularization parameter. Instead of approximating these two quantities separately, we jointly approximate them using a single augmented Krylov subspace for $\\boldsymbol{A}$. One major benefit of augmentation is that we obtain accelerated convergence when approximating the data fit quadratic form, through implicit preconditioning. Thanks to the shift invariance of Krylov subspaces, the extracted approximations can be used to evaluate the MLE objective for many values of $λ$ at little additional cost. We derive error bounds for the approximations, reflecting the benefits of augmentation demonstrated through multiple numerical experiments.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-05-12_06-43-01/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年05月12日 06:43:01\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 43\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-神经富集有限元方法一种用于强振荡问题或界面问题的混合框架\"\u003e1. 神经富集有限元方法：一种用于强振荡问题或界面问题的混合框架\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eNeural enrichment finite element method: A hybrid framework for problems with strong oscillations or interface problems\u003c/p\u003e","title":"2026年05月12日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年05月11日 12:56:31\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 1\n不相关论文数量: 23\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 关于双曲型方程组的保结构与逐点守恒连续-间断伽辽金格式 On structure-preserving and pointwise conservative continuous DG schemes for hyperbolic systems\n作者: Rémi Abgrall, Michael Dumbser, Pierre-Henri Maire, Enrico Zampa\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.07576v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.07576v1\n摘要翻译 中文标题: 关于双曲型方程组的保结构与逐点守恒连续-间断伽辽金格式\n摘要翻译: 我们提出一类新的保结构半离散连续-间断伽辽金(CG-DG)有限元格式，用于非结构单纯形网格上的线性和非线性双曲型偏微分方程组，其自动满足以下性质：i) 新格式不仅是单元逐块守恒的，而且在每一点都是局部逐点守恒的，因此它们在任意控制体积上满足守恒律的积分形式，而这些控制体积完全不必与网格重合；ii) 新方法在离散层次上自然而精确地逐点局部和全局满足两个基本的向量分析恒等式 $\\nabla \\cdot \\nabla \\times \\mathbf{A}$ 和 $\\nabla \\times \\nabla Z$；iii) 对于线性对称双曲型系统，格式关于平方能量是自然能量守恒的，即在 $L^2$ 范数下是非线性稳定的。新型CG-DG格式的关键在于使用了两个不同但相容的逼近空间：由次数不超过 $N$ 的分片不连续多项式构成的经典DG空间 $\\mathcal{U}_h^N$，和由次数为 $N+1$ 的全局连续分片多项式构成的经典有限元空间 $\\mathcal{W}_h^{N+1}$。在新的CG-DG格式中，离散解 $\\mathbf{u}_h$ 在 $\\mathcal{U}_h^N$ 中寻求，而合适的离散通量场 $\\tilde{\\mathbf{f}}_h$ 在 $\\mathcal{W}_h^{N+1}$ 中计算。对于 $N=0$，我们的新格式直接与具有适当顶点基通量的格心有限体积格式相关。该格式的所有声称性质均首先通过数学证明，随后经由适当的数值试验加以验证。我们展示了我们的方法在三个线性和非线性双曲型系统上的应用。\n不相关论文（基本信息） 1. 守恒律方程组时间显式与时间隐式离散的不变域保持限制技术 Invariant domain preserving limiting of time explicit and time implicit discretizations for systems of conservation laws\n作者: Bartolomeo Fanizza, Florent Renac\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.08038v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.08038v1\n摘要: This work concerns the design and analysis of a limiting technique that allows the preservation of invariant domains for high-order numerical approximations of nonlinear hyperbolic systems of conservation laws. The method can be applied to any conservative discretization method in space as well as to a wide range of explicit and implicit time integration schemes. The method limits the high-order solution around a low-order accurate solution that is known to preserve all the invariant domains. It generalizes the flux-corrected transport limiter [J. P. Boris and D. L. Book, J. Comput. Phys., 11, 1973; S. T. Zalesak, J. Comput. Phys., 31, 1979] to systems of conservation laws and relies on the limitation of antidiffusive fluxes, but defines the limiting coefficients so as to express the limited solution as a convex combination of invariant domain preserving quantities similarly to the convex limiting framework [Guermond et al., Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 347, 2019]. We give details on the derivation of this limiting technique and provide some illustration with finite volume or discontinuous Galerkin (DG) space discretizations associated to explicit or implicit Runge-Kutta methods as well as to time DG integrations. The limiter is applied iteratively to refine the limited solution around the high-order one, while preserving the invariant domains, and a heuristic is proposed to accelerate its convergence. Numerical experiments solving one- and two-dimensional problems involving scalar hyperbolic equations and the compressible Euler equations are presented to illustrate the properties of these schemes.\n2. 利用高效随机龙格-库塔方法加速郎之万蒙特卡洛：超越对数凹性 Accelerating Langevin Monte Carlo via Efficient Stochastic Runge\u0026ndash;Kutta Methods beyond Log-Concavity\n作者: Bin Yang, Xiaojie Wang\n类别: math.ST, math.NA\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.07939v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.07939v1\n摘要: Sampling from a high-dimensional probability distribution is a fundamental algorithmic task arising in wide-ranging applications across multiple disciplines, including scientific computing, computational statistics and machine learning. Langevin Monte Carlo (LMC) algorithms are among the most widely used sampling methods in high-dimensional settings. This paper introduces a novel higher-order and Hessian-free LMC sampling algorithm based on an efficient stochastic Runge\u0026ndash;Kutta method of strong order $1.5$ for the overdamped Langevin dynamics. In contrast to the existing Runge\u0026ndash;Kutta type LMC (Li et al., 2019) involved with three gradient evaluations, the newly proposed algorithm is computationally cheaper and requires only two gradient evaluations for one iteration. Under certain log-smooth conditions, non-asymptotic error bounds of the proposed algorithms are analyzed in $\\mathcal{W}_2$-distance. In particular, a uniform-in-time convergence rate of order $O(d ^{\\frac32} h^{\\frac32})$ is derived in a non-log-concave setting, matching the convergence rate proved in the aforementioned work but under the log-concavity condition. Numerical experiments are finally presented to demonstrate the effectiveness of the new sampling algorithm.\n3. NSPOD：通过近似POD加速基于Krylov子空间的迭代线性求解器的收敛 NSPOD: acceleratingthe convergence ofKrylov-based iterative linearsolvers via approximated PODs\n作者: Francesc Levrero-Florencio, Youngkyu Lee, Jay Pathak, George Em Karniadakis\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.07828v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.07828v1\n摘要: The convergence of Krylov-based linear iterative solvers applied to parametric partial differential equations (PDEs) is often highly sensitive to the domain, its discretization, the location/values of the applied Dirichlet/Neumann boundary conditions, body forces and material properties, among others. We have previously introduced hybridization of classical linear iterative solvers with neural operators for specific geometries, but they tend to not perform well on geometries not previously seen during training. We partially addressed this challenge by introducing the deep operator network Geo-DeepONet and hybridizing it with Krylov-based iterative linear solvers, which, despite learning effectively across arbitrary unstructured meshes without requiring retraining, led to only modest reductions in iterations compared to state-of-the-art preconditioners. In this study we introduce Neural Subspace Proper Orthogonal Decomposition (NSPOD), a multigrid-like deep operator network-based preconditioner which can dramatically reduce the number of iterations needed for convergence in Krylov-based linear iterative solvers, even when compared to state-of-the-art methods such as algebraic multigrid preconditioners. We demonstrate its efficiency via numerical experiments on a linearized version of solid mechanics PDEs applied to unstructured domains obtained from complex CAD geometries. We expect that the findings in this study lead to more efficient hybrid preconditioners that can match, or possibly even surpass, the convergence properties of the current gold standard preconditioning methods for solid mechanics PDEs.\n4. 神经算子作为高效的函数插值器 Neural Operators as Efficient Function Interpolators\n作者: Vasilis Niarchos, Angelos Sirbu, Sokratis Trifinopoulos\n类别: cs.LG, cs.AI, math.NA, nucl-th\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.07792v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.07792v1\n摘要: Neural operators (NOs) are designed to learn maps between infinite-dimensional function spaces. We propose a novel reframing of their use. By introducing an auxiliary base-space, any finite-dimensional function can be viewed as an operator acting by composition on functions of the base-space. Through a range of benchmarks on analytic functions of increasing complexity and dimensionality, we demonstrate that NOs can match or outperform standard multilayer perceptrons and Kolmogorov\u0026ndash;Arnold Networks in accuracy while requiring significantly fewer parameters and training time. As a real-world application, we apply a two-dimensional Tensorized Fourier Neural Operator (TFNO) to the nuclear chart, learning a correction to state-of-the-art nuclear mass models as a partially observed residual field. A TFNO ensemble reaches a held-out root-mean-square error of 198.2 keV, placing it among the best recent neural-network approaches while retaining high parameter efficiency and short training times. More broadly, these results introduce NOs as a scalable framework for finite-dimensional function interpolation, from analytic benchmarks to structured scientific data.\n5. 保向数的表示 Direction-Preserving Number Representations\n作者: Bardia Zadeh, George A. Constantinides\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.07662v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.07662v1\n摘要: Low-precision number formats are widely used in modern machine learning systems due to their efficiency. Accurate direction representation is key to the accuracy of vector operations. This work precisely explores the extent to which the direction of a vector can be represented by selecting its scalar elements from a common finite alphabet of a given size. This is standard practice in machine learning, where low-precision significands may be narrow-width floating-point or integer values. A geometric framework is introduced for analyzing the directional coverage of such product-structured codes. This work analytically quantifies the suboptimality gap between such product-structured codes and spherical codes for the vector as a whole, in both low and asymptotically high dimensions. Furthermore, within the product code class, it is proven that the standard formats of two\u0026rsquo;s complement, fixed-point, and floating-point are suboptimal, again with quantified gap, pointing to the potential to develop new scalar number formats. Such scalar alphabets are numerically optimized across multiple block dimensions for directional coverage, including the dimension used in NVIDIA\u0026rsquo;s NVFP4 format. Experimental results are presented comparing the performance of standard formats and the optimized alphabet. We find that for four bits, NVIDIA\u0026rsquo;s choice of E2M1 closely approximates the optimized alphabet, providing a geometric explanation for its strong performance in low-precision machine learning workloads and an analytical understanding of the link between that superiority and block size. We provide open-source formal proofs in Lean for the theorems in this work, along with the experimental code and the optimized alphabets obtained.\n6. 凸通量标量守恒律数值解的柯尔莫哥洛夫 $\\varepsilon$-熵 Kolmogorov $\\varepsilon$-entropy of numerical solutions for scalar conservation laws with convex flux\n作者: Fabio Ancona, Alessio Basti, Fabio Camilli\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.07427v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.07427v1\n摘要: Building on the information-theoretic perspective of P.~D.Lax [\\textit{Proc.\\ Sympos., Math.\\ Res.\\ Center, Univ.\\ Wisconsin}, 1978], we establish a two-sided quantitative compactness estimate for numerical solutions of scalar conservation laws with a uniformly convex flux, expressed in terms of Kolmogorov $\\varepsilon$-entropy. We prove that, under specific grid constraints, conservative, monotone finite-difference schemes satisfying a discrete one-sided Lipschitz condition (OSLC) preserve the $1/\\varepsilon$ Kolmogorov entropy scaling of the corresponding exact entropy solution set, matching the bounds obtained by DeLellis and Golse [\\textit{Comm.\\ Pure Appl.\\ Math.}\\ \\textbf{58} (2005)] and by Ancona, Glass, and Nguyen [\\textit{Comm.\\ Pure Appl.\\ Math.}\\ \\textbf{65} (2012)]. Specifically, the upper bound follows from the discrete OSLC, while the lower bound relies on a uniform approximation argument on a bounded-variation precursor class. Our results show that prototypical first-order methods are high-resolution in Lax\u0026rsquo;s sense. Finally, we abstract the lower bound mechanism into a general transfer principle, discuss implications for information recovery via post-processing, and indicate directions for future work.\n7. 图上最优传输问题的牛顿法 Newton\u0026rsquo;s method for optimal transport problem on graphs\n作者: Qujiangxue Chen, Jianbo Cui, Luca Dieci, Haomin Zhou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.07408v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.07408v1\n摘要: In this paper, we study dynamical optimal transport on a connected graph from the perspective of the Benamou-Brenier formulation, where densities are assigned to vertices and velocities to edges. However, directly using Newton\u0026rsquo;s method on the resulting nonlinear systems encounters two potential difficulties: (i) if the graph contains cycles, edge variables are not unique, and (ii) there is no guarantee that the density variables remain positive. To address these challenges, we introduce a finite-difference-type Newton method that eliminates cycle-induced redundancies through a spanning-tree gauge, resulting in a reduced set of independent variables and a well-posed, sparse linear system. For the lattice graph arising from the continuous optimal transport problem, density positivity can also be guaranteed by using an upwind discretization subject to a CFL-type condition. We further demonstrate the versatility of the proposed scheme by applying it to a range of problems, including optimal transport on lattices and random graphs, inverse optimal transport problems, and social network analysis.\n8. QuadNorm：分辨率鲁棒的神经算子归一化方法 QuadNorm: Resolution-Robust Normalization for Neural Operators\n作者: Bum Jun Kim, Makoto Kawano, Yusuke Iwasawa, Yutaka Matsuo\n类别: cs.LG, cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.07375v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.07375v1\n摘要: Normalization layers in neural operators usually compute statistics by uniformly averaging discrete grid values, making the normalization itself discretization-dependent and thereby a source of transfer error across different resolutions or meshes. To enable discretization robustness, we introduce a quadrature normalization family that replaces existing uniform averaging in normalization layers with numerical quadrature: QuadNorm and BlendQuadNorm. On endpoint-inclusive uniform grids, the proposed quadrature moments are $O(h^2)$-consistent across discretizations, meaning that their cross-resolution mismatch decays quadratically with grid spacing. A transfer-error bound then predicts how normalization-induced mismatch scales with both the resolution gap and network depth. The experiments show the same gap- and depth-scaling trends predicted by the transfer-error bound. On Darcy, QuadNorm delivers the best cross-resolution performance at every tested target resolution from $64^2$ to $256^2$; on real-data benchmarks, Transolver with QuadNorm achieves nearly resolution-invariant transfer. The largest gains appear on nonperiodic PDEs and nonspectral architectures, where native-resolution improvements also emerge. We also validate BlendQuadNorm, which stays close to LayerNorm behavior and serves as a conservative default for periodic FNO settings. These results identify normalization as a previously overlooked source of resolution dependence in neural operators.\n9. 利用预条件神经算子求解卷积型积分方程 Solving Convolution-type Integral Equations using Preconditioned Neural Operators\n作者: Raymond Chan, Lingfeng Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.07365v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.07365v1\n摘要: Convolution-type integral equations arise from various fields, \\textit{e.g.}, finite impulse response filters in signal processing and deblurring problems in image processing. When solving these equations, conventional numerical methods, like the multigrid method, can only efficiently solve the low-frequency components in the error, but not the high-frequency components. In this paper, we apply neural operators to address this issue. By adopting a preconditioning approach, we propose a novel training strategy that trains neural operators to solve the high-frequency components efficiently. Then, we combine the neural operators with some classical iterative solvers, like the weighted Jacobi method, to obtain an efficient hybrid iterative algorithm for the integral equations. We analyze the generalization error of our training strategy and the convergence of the hybrid iterative algorithm. We test our algorithms on large-scale and ill-conditioned linear systems discretized from one- and two-dimensional convolution-type integral equations. Our proposed algorithm significantly outperforms the multigrid method and the preconditioned conjugate gradient method in both iteration numbers and computational time.\n10. Vlasov-Poisson-BGK 模型的欧拉格式的收敛性 Convergence of an Eulerian scheme for the Vlasov-Poisson-BGK model\n作者: Seung Yeon Cho, Sungsu Park, Seok-Bae Yun\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.07347v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.07347v1\n摘要: The Vlasov-Poisson-BGK (VPBGK) model is a kinetic model for describing the dynamics of collisional plasmas. Although various numerical schemes have been developed for it, a corresponding convergence theory has been absent. This paper fills this gap by presenting the first convergence analysis for a non-splitting, finite-difference Eulerian scheme discretized on the full phase-space grid. A major theoretical obstacle is the mixing of velocity indices induced by the electric field, which hinders the derivation of a uniform lower bound for the discrete solution. To overcome this stability challenge, we propose a modified lower bound estimate suitable for ionized systems that incorporates the step-wise degradation. Under a truncated velocity domain with a Neumann boundary condition, we establish error estimates for the distribution function in a weighted $L^{\\infty}$ norm and for the electric field in a $L^{\\infty}$ norm, respectively.\n11. TREA：面向目标检测与分类的低精度时分复用资源高效边缘加速器 TREA: Low-precision Time-Multiplexed, Resource-Efficient Edge Accelerator for Object Detection and Classification\n作者: Vijay Pratap Sharma, Mukul Lokhande, Ratko Pilipovic, Omkar Kokane, Santosh Kumar Vishvakarma\n类别: cs.AR, cs.DC, eess.IV, math.NA\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.07321v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.07321v1\n摘要: This work presents TREA, a low-precision time-multiplexed and resource-efficient edge-AI accelerator for object detection and classification, targeting stringent area-power-latency constraints of edge vision platforms. The proposed architecture integrates a dual-precision (4/8-bit) SIMD multiply-accumulate (DQ-MAC) unit based on most-significant-digit-first (MSDF) shift-and-add computation with run-time bit truncation, eliminating conventional multiplier overhead and reducing accumulator bit-width. The DQ-MAC supports 4x FxP4 or 1x FxP8 operations per cycle, achieving up to 4x throughput improvement without hardware duplication. A structured hardware-aware reductive pruning (SHARP) strategy is co-designed with the SIMD datapath, enabling near 50% structured sparsity while maintaining full MAC utilization. This allows a 3x3 convolution kernel to be computed in 1 cycle in FxP4 mode compared to 9 cycles in FxP8, and a 5x5 kernel in 3 cycles versus 25 cycles, yielding up to 9x latency reduction at the kernel level. The accelerator further incorporates a reconfigurable CORDIC-based nonlinear activation function (RQ-NAF) core with a 9-stage pipeline, supporting Sigmoid, Tanh, and ReLU at one output per cycle after pipeline fill, while enabling (N-1) hardware reuse through time-multiplexing. The complete TREA architecture employs a 1D array of 100 SIMD DQ-MAC units with layer-wise hardware reuse, significantly reducing area and control complexity. Experimental results demonstrate substantial improvements in latency, hardware utilization, and energy efficiency compared to conventional fixed-precision and non-reconfigurable accelerators, validating TREA as an effective solution for real-time edge vision workloads.\n12. 用于奇异摄动常微分方程的基于 Krylov 奇异值分解的稀疏随机特征神经网络 Sparse Random-Feature Neural Networks with Krylov-Based SVD for Singularly Perturbed ODE\n作者: Kevin Kurian Thomas Vaidyan, Siddharth Rout\n类别: math.NA, cs.LG, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.07286v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.07286v1\n摘要: Random-feature neural networks (RFNNs), including architectures with fixed hidden layers and analytically determined output weights, offer fast training but often suffer from issues due to dense representations of the hidden layer activation. Their reliance on dense feature mappings and least squares solvers can limit scalability and numerical stability, particularly for high-dimensional or stiff systems. Specifically, the activation matrix is observed to be low-rank and extremely ill-conditioned. In this work, we propose a sparse framework for RFNNs that integrates structured sparsity into the hidden layer activations that increases the rank and employs Sparse Singular Value Decomposition (sSVD) for solving the resulting linear least squares problem scalably and efficiently while catering to the bad condition number. We explore the theory behind Lanczos-Golub-Kahan Bidiagonalization technique for sparse SVD and conduct some experiments to identify some limitations and justify the requirement for orthogonalization step in our application. Then, we demonstrate that the proposed method maintains or improves solution accuracy for solving the benchmark one-dimensional steady convection-diffusion equations case having stronger advection, while achieving substantial gains in training efficiency and robustness compared to standard dense implementations.\n13. 变量解耦与有理函数的柯尔莫哥洛夫叠加定理 Variable decoupling and the Kolmogorov Superposition Theorem for rational functions\n作者: A. C. Antoulas, I. V. Gosea, C. Poussot-Vassal\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.07246v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.07246v1\n摘要: This work shows that for rational multivariate functions, the Kolmogorov Superposition Theorem (KST) involves several single-variable functions, which can be written down by inspection. In other words, no computation is required for decoupling the variables of multivariate rational functions. The key tool for this development is the Loewner Framework for multivariate functions. Applications of this result involve approximating multivariate non-rational functions by low-complexity multivariate rational and polynomial functions.\n14. 高维线性量子系统的辛H2模型降阶 Symplectic H2 Model Reduction for High-Dimensional Linear Quantum Systems\n作者: Alfo Borzi, Guofeng Zhang\n类别: quant-ph, eess.SY, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.07152v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.07152v1\n摘要: The $\\mathcal{H}_2$ model reduction problem for high-dimensional linear quantum systems is studied under the constraint of physical realizability (PR). This constraint requires preservation of the canonical commutation relations and the quantum input-output structure, and therefore prevents the direct use of standard projection methods. A symplectic Petrov-Galerkin framework is presented, in which reduced-order models automatically satisfy the PR identities by construction. Within this framework, a symplectic variant of the iterative rational Krylov algorithm is developed and referred to as Quantum IRKA (Q-IRKA). At each iteration, an enriched tangential rational Krylov pool is generated from shifted linear solves. A symplectic basis is then extracted by a Gram-Schmidt-type procedure, paired with symplectic conjugates, and normalized so that the reduced trial space satisfies the canonical symplectic constraint. The interpolation points are updated from selected mirror images of the poles of the current reduced-order model, while the reduced-order matrices are obtained exclusively by structure-preserving projection. Numerical experiments on low-channel oscillator-chain systems and on a bosonic Kitaev-chain-inspired benchmark show that Q-IRKA is effective for large-scale linear quantum systems. Symplecticity and PR are preserved to machine precision, and accurate reduced-order models are obtained with moderate computational cost. The results also show that reduction quality depends substantially on dissipation geometry, channel placement, heterogeneity, and reduced order. These findings indicate that scalable $\\mathcal{H}_2$ model reduction of linear quantum systems can be achieved while strictly preserving the underlying physical structure.\n15. TriP: 一种面向鲁棒平移平均的三角拼图方法 TriP: A Triangle Puzzle Approach to Robust Translation Averaging\n作者: Zhekai Fan, Wanze Li, Jinxin Wang, Yunpeng Shi\n类别: cs.CV, cs.RO, math.NA\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.07143v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.07143v1\n摘要: Translation averaging aims to recover camera locations from pairwise relative translation directions and is a fundamental component of global Structure-from-Motion pipelines. The problem is challenging because direction measurements contain no distance information, making the estimation problem highly ill-conditioned and highly sensitive to corrupted observations. In this paper, we propose TriP, a triangle-based framework for robust translation averaging. TriP first infers local relative edge scales from triangle geometry, and then synchronizes the scales of overlapping triangles in the logarithmic domain to recover globally consistent edge lengths and camera locations. By leveraging higher-order consistency across triangles, the proposed method is robust to adversarial, cycle-consistent, and other structured corruptions. In addition, TriP avoids the collapse issue without requiring any extra anti-collapse constraints, since log-scale synchronization excludes the degenerate zero-scale solution by construction. These structural advantages enable a particularly strong theory for exact location recovery. On the practical side, TriP is fully parallelizable, computationally efficient, and naturally scalable to graphs with millions of cameras. Moreover, it outperforms all previous translation averaging methods by a large margin on both synthetic and real datasets.\n16. 非线性系统随机列块Bregman方法 On a stochastic column-block bregman method for nonlinear systems\n作者: Wendi Bao, Naiyu Jiang, Lili Xing, Weiguo Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.07136v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.07136v1\n摘要: Sparse solution problems play an important role in both signal processing and image restoration. In this paper, we propose a stochastic column-block nonlinear Bregman method for efficiently computing sparse solutions to nonlinear systems. Under certain assumptions, we analyze the convergence of the proposed method and derive an upper bound for its convergence rate. Numerical experiments, including an image recovery problem, are presented to illustrate the efficiency of the proposed method.\n17. 稳定化的神经 Hamilton\u0026ndash;Jacobi\u0026ndash;Bellman 求解器: 误差分析及在基于模型的强化学习中的应用 Stabilized neural Hamilton\u0026ndash;Jacobi\u0026ndash;Bellman solvers: Error analysis and applications in model-based reinforcement learning\n作者: Minseok Kim, Yeongjong Kim, Namkyeong Cho, Yeoneung Kim\n类别: cs.LG, cs.AI, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.07116v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.07116v1\n摘要: Physics-informed neural solvers offer a promising route to model-based reinforcement learning in continuous time, where optimal feedback synthesis is governed by Hamilton\u0026ndash;Jacobi\u0026ndash;Bellman (HJB) equations. Practical implementations often occupy a regime that is neither a classical grid method nor a continuous-PDE PINN: the value function is represented by a neural network, finite-difference HJB policy-evaluation operators are evaluated by network queries at shifted points, and residuals are minimized by random continuous collocation. This regime preserves the stabilized finite-difference policy-evaluation structure while avoiding grid-based value unknowns. We develop an error theory for this hybrid regime. Interpreting finite differences as shift operators acting on neural networks, we prove a population $L^2$ stability estimate for one policy-evaluation step with learned dynamics. The bound separates residual error, initial and exterior-collar mismatch, policy mismatch, and model-identification error, with an explicit gradient amplification factor for learned dynamics, while the underlying linear evaluation stability remains free of hidden inverse-viscosity blow-up. We further give a finite-sample collocation certificate and a conditional multi-step propagation result through greedy policy improvement. Experiments on compact-control LQR upto 64 dimensions, Allen\u0026ndash;Cahn control, pendulum, Hopper, and 3D quadrotor benchmarks compare against representative model-based and model-free RL baselines, demonstrating the predicted residual, policy-mismatch, and learned-model error trends.\n18. 等距约束的近端伽辽金方法 Proximal Galerkin for the isometry constraint\n作者: Brendan Keith, Frédéric Marazzato\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-08\narXiv ID: 2605.07054v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.07054v1\n摘要: We resolve a longstanding open problem in the computational modeling of nonlinear plates by introducing a numerical method that exactly enforces the isometry constraint, namely, that the first fundamental form of the mid-surface coincides with the identity tensor. Several numerical methods have been proposed to approximate solutions of such manifold-constrained variational problems using gradient flows with tangent space updates. However, this class of methods presents two main challenges. First, a preprocessing step is required to enforce the boundary conditions and generate an initial guess sufficiently close to an isometry. Second, each step of the gradient flow typically increases the isometry defect. We adopt an alternative approach based on the proximal Galerkin framework, originally introduced for variational problems with convex inequality constraints. The resulting method preserves the geometric structure of the feasible set and yields an efficient algorithm in which each iterate is an exact isometry at the barycenter of every mesh cell. In contrast to existing methods, no preprocessing step is required, enabling broader applicability of this important category of mathematical models. Numerical experiments on standard benchmarks demonstrate that the method converges to a prescribed error tolerance in an asymptotically mesh-independent number of iterations and requires substantially fewer iterations than previous methods, even on coarse meshes.\n19. 利用保物理神经网络加速常微分方程模拟 Accelerating the Simulation of Ordinary Differential Equations Through Physics-Preserving Neural Networks\n作者: Andrew Tagg, Andrew Frandsen, Andrew Ning\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.06980v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.06980v1\n摘要: Numerical simulation of ordinary differential equations (ODEs) can be challenging when the system exhibits high accelerations and rapidly changing dynamics. Under these conditions the ODE solver often needs to take very small time steps in order to resolve the solution accurately, resulting in increased computational cost. In order to accelerate the simulation of these ODEs we present a novel methodology that uses a pseudo-invertible neural network to map system states into a high-dimensional latent-space. The network is then trained so that the dynamics in this learned latent space are slow, and can be simulated with relatively few function calls. Unlike existing neural methods, the latent dynamic equations are not learned from trajectory data, but derived from the original system equations and the chain rule. This allows the method to generalize better than existing approaches because the derived equations are correct by construction. In this work, we derive latent state equations of motion for any general ODE, and describe the loss function used to enforce slow time evolution of the latent states. We then apply this technique to multiple example ODEs and show that these problems can be solved with $3$x to $20$x fewer function calls for the same accuracy when simulating in the learned latent space. This reduction in cost could decrease computational demands for scientific simulations across engineering and physics applications.\n20. 适用于三次和四次势的高效辛积分器 Efficient symplectic integrators for cubic and quartic potentials\n作者: Alejandro Escorihuela-Tomàs\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.06975v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.06975v1\n摘要: We present a set of new, efficient high-order symplectic methods designed for Hamiltonian systems with cubic or quartic potentials. By demonstrating that polynomial potentials require fewer order conditions, we develop schemes that outperform both standard symmetric compositions of second-order methods and existing RKN splitting methods. Numerical results confirm their improved efficiency over state-of-the-art alternatives found in the literature.\n21. EULER-ADAS：面向精度可重构近似ADAS加速的高能效与SIMD统一对数-Posit引擎 EULER-ADAS: Energy-Efficient \u0026amp; SIMD-Unified Logarithmic-Posit Engine for Precision-Reconfigurable Approximate ADAS Acceleration\n作者: Mukul Lokhande, Ratko Pilipovic, Omkar Kokane, Adam Teman, Santosh Kumar Vishvakarma\n类别: cs.AR, cs.AI, cs.CV, eess.IV, math.NA\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.06875v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.06875v1\n摘要: Advanced driver-assistance systems (ADAS) require neural compute engines that deliver low-latency inference under strict power and area constraints. Posit arithmetic is attractive for such accelerators because it provides high numerical fidelity at low precision, but its variable-length regime encoding increases encode/decode cost and exposes the datapath to large regime-field fault effects. This paper presents EULER-ADAS, a SIMD-enabled logarithmic bounded-Posit neural compute engine for energyefficient and reliability-aware ADAS acceleration. The proposed datapath combines bounded-regime Posit representation, stageadaptive logarithmic mantissa multiplication with bit truncation, and a SIMD-shared quire accumulation path supporting Posit- (8,0), Posit-(16,1), and Posit-(32,2) execution. The unified architecture enables 4xPosit-8, 2xPosit-16, or 1xPosit-32 operation without duplicating precision-specific hardware. FPGA implementation shows that the proposed configurations reduce LUT count by up to 41.4%, delay by up to 76.1%, and power by up to 71.9% relative to exact Posit neural compute engines, while achieving up to 10x lower energy-delay product than radix-4 Booth-based Posit multipliers. In 28-nm CMOS, the bounded variants occupy 0.013-0.016 mm2 , consume 19.8-22.1 mW, and operate at up to 1.84 GHz. Application-level evaluation across image-classification, ADAS, and edge-inference workloads shows that the evaluated Posit-16 and Posit-32 configurations remain within about 1.5 percentage points of FP32 accuracy. A TinyYOLOv3 prototype on Pynq-Z2 achieves 78 ms latency at 0.29 W and 22.6 mJ/frame, demonstrating the suitability of EULERADAS for low-power real-time ADAS inference.\n22. 一个算子应对多种密度：基于神经算子的条件化摊销近似 One Operator for Many Densities: Amortized Approximation of Conditioning by Neural Operators\n作者: Panos Tsimpos, Edoardo Calvello, Ayoub Belhadji, Nicholas H. Nelsen\n类别: stat.ML, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.06873v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.06873v1\n摘要: Probabilistic conditioning is concerned with the identification of a distribution of a random variable $X$ given a random variable $Y$. It is a cornerstone of scientific and engineering applications where modeling uncertainty is key. This problem has traditionally been addressed in machine learning by directly learning the conditional distribution of a fixed joint distribution. This paper introduces a novel perspective: we propose to solve the conditioning problem by identifying a single operator that maps any joint density to its conditional, thus amortizing over joint-conditional pairs. We establish that the conditioning operator can be approximated to arbitrary accuracy by neural operators. Our proof relies on new results establishing continuity of the conditioning operator over suitable classes of densities. Finally, we learn the conditioning map for a class of Gaussian mixtures using neural operators, illustrating the promise of our framework. This work provides the theoretical underpinnings for general-purpose, amortized methods for probabilistic conditioning, such as foundation models for Bayesian inference.\n23. Christoffel-DPS：任意分布下扩散后验采样中的最优传感器布置 Christoffel-DPS: Optimal sensor placement in diffusion posterior sampling for arbitrary distributions\n作者: James Rowbottom, Nick Huang, Carola-Bibiane Schönlieb, Ben Adcock\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.06861v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.06861v1\n摘要: State estimation is a critical task in scientific, engineering and control applications. Since the reliability of reconstructions depends on the number and position of sensors, optimal sensor placement (OSP) is essential in scenarios where measurements are sparse and expensive. Classical OSP approaches rely on Gaussian assumptions and are consequently unable to account for the complex distributions encountered in many real-world systems. Generative-model-based reconstruction using sensor guided diffusion posterior sampling (DPS) has emerged as a promising technique for reconstructing states from highly complex distributions. However, existing sensor-selection methods either require unrealistically many sensors or emulate classical OSP, creating a mismatch between modern recovery models with classical OSP tools motivating the need for fundamentally new ideas towards OSP that match the recent advances made in powerful recovery models. We introduce a distribution-free sensor placement framework based on the Christoffel function: a mathematical formulation of optimal sampling and recovery guarantees for posterior sampling with arbitrary sensors and signal distributions, from which we derive a new OSP strategy with non-asymptotic bounds on the number of sensors needed for recovery. We develop Christoffel-DPS, with offline and online variants, instantiating Christoffel sampling for generative models. Christoffel-DPS outperforms Gaussian OSP baselines and existing generative-model placement methods, validating that distribution-free sensing is both theoretically principled and practically superior. The framework is model-agnostic; we demonstrate its application to a range of unconditional DPS and flow-matching models on structurally non-Gaussian benchmarks, showing the efficacy of Christoffel-DPS in low sensor budget regimes.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-05-11_12-56-31/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年05月11日 12:56:31\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 1\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 23\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-关于双曲型方程组的保结构与逐点守恒连续-间断伽辽金格式\"\u003e1. 关于双曲型方程组的保结构与逐点守恒连续-间断伽辽金格式\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eOn structure-preserving and pointwise conservative continuous DG schemes for hyperbolic systems\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年05月11日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年05月08日 05:20:37\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 2\n不相关论文数量: 20\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 基于调和延拓的体-表面切割有限元法的稳定化与算子预处理 Stabilization and Operator Preconditioning of Bulk\u0026ndash;Surface CutFEM via Harmonic Extension\n作者: Qing Xia\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.06329v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.06329v1\n摘要翻译 中文标题: 基于调和延拓的体-表面切割有限元法的稳定化与算子预处理\n摘要翻译: 我们提出一种用于光滑闭曲线$Γ\\subset\\mathbb{R}^2$上Laplace-Beltrami方程的切割有限元方法(CutFEM)，该方法与$Ω$中的调和体问题耦合，且\\emph{无需显式稳定化}：无需鬼惩罚、法向梯度惩罚或单元聚合。切割单元上迹有限元空间的经典病态性源于在$Γ$上具有渐消小支集的基函数；我们的观察是，通过背景笛卡尔网格上的格点Green函数(LGF)实现将曲面离散与离散体调和延拓耦合，可严格约束导致该病态性的自由度。缩减算子由完整CutFEM刚度的合同变换得到，继承了变分形式的对称性和半正定性，并且其条件数在最小切割单元比下一致有界。直接重构具有标准的$O(h^{-2})$网格条件数；单层密度公式起到算子预处理的作用并产生$O(1)$条件数，这适用于迭代求解器；双层密度公式保持切割无关且具有$O(h^{-2})$的缩放。在标准正则性假设下，我们证明了$H^1(Γ)$/$L^2(Γ)$中的最优$O(h)$/$O(h^2)$误差估计，严格建立了切割无关的条件数，并通过数值实验展示了最优收敛速率和对小切割的鲁棒性。\n2. 向量场乘子算子与矩阵值核拟插值 Vector field multiplier operators and matrix-valued kernel quasi-interpolation\n作者: Zhengjie Sun, Biao Huang, Xingping Sun\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.05610v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.05610v1\n摘要翻译 中文标题: 向量场乘子算子与矩阵值核拟插值\n摘要翻译: 我们建立并分析了一类矩阵值球面卷积核，这些核源自 $\\mathbb{S}^2$（嵌入 $\\mathbb{R}^3$ 中的单位球面）上经尺度变换的带函数。这些核的构造利用了 Legendre 微分方程，并对原始带核的正则性条件要求更弱。所诱导的积分算子是简单的 Fourier-Legendre 乘子，它们不仅（关于尺度参数）提供了最优的 Sobolev 误差估计，而且在 $\\mathbb{S}^2$ 上的 $L_2$ 切向量场上产生了自然的 Helmholtz-Hodge 分解。通过对底层卷积积分进行离散化，我们获得一族向量值拟插值，它们在无散或无旋向量场中实现了我们的逼近目标。该拟插值算法对含噪数据具有鲁棒性。实现过程可适应人工调整，既不涉及计算卷积积分，也不需求解线性方程组。拟插值算法的计算效率和执行鲁棒性与现有基于核的向量场插值方法形成鲜明对比。\n不相关论文（基本信息） 1. 基于FFT插值的无矩阵求逆极小问题求解 Solving Minimal Problems Without Matrix Inversion Using FFT-Based Interpolation\n作者: Haidong Wu, Snehal Bhayani, Janne Heikkilä\n类别: cs.CV, math.NA\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.06572v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.06572v1\n摘要: Estimating camera geometry typically involves solving minimal problems formulated as systems of multivariate polynomial equations, which often pose computational challenges when using existing Gröbner-basis or resultant-based methods due to matrix inversion needed in the online solver. Here we propose a sampling-based, matrix inversion-free method that constructs the solvers using sparse hidden-variable resultants. The determinant polynomial in the hidden variable is efficiently reconstructed via inverse fast Fourier transform interpolation from sampled evaluations, avoiding symbolic expansion. Solving this polynomial yields the hidden variable, and the remaining unknowns are recovered by identifying rank-1 deficient submatrices and applying Cramer\u0026rsquo;s rule. A greatest common divisor-based criterion ensures robust submatrix identification under noise. Experiments on diverse minimal problems demonstrate that the proposed solver achieves strong numerical stability and competitive runtime, particularly for small-scale problems, providing a practical alternative to traditional Gröbner-basis and resultant-based solvers.\n2. 参数化粘塑性浅流的降阶建模 Reduced-Order Modeling of Parameterized Visco-Plastic Shallow Flows\n作者: Md Rezwan Bin Mizan, Ilya Timofeyev, Maxim Olshanskii\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.06526v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.06526v1\n摘要: We propose a non-intrusive reduced-order modeling framework for parametrized visco-plastic free-surface flows governed by a shallow-water formulation of Herschel\u0026ndash;Bulkley fluids. These flows exhibit strong nonlinearities, non-smooth rheology, moving fronts, and yield surfaces, making efficient surrogate modeling particularly challenging. To address this challenge, we employ a tensor-based approach in which the solution manifold is approximated using a low-rank representation obtained via higher-order singular value decomposition of snapshot data over a structured parameter space. The resulting tensorial reduced-order model (TROM) enables rapid online evaluation by directly reconstructing solution trajectories from the compressed representation, thereby avoiding the need to perform time integration of a reduced dynamical system. The proposed non-intrusive framework can be interpreted as an encoder\u0026ndash;decoder architecture with a compressed latent representation and efficient multilinear decoding. Numerical experiments demonstrate that the proposed approach accurately captures key flow features, including front propagation, plug and shear regions, and near-stopping dynamics, while achieving substantial computational speedups relative to full-order simulations.\n3. 辛Stiefel流形上具有闭式逆的极因子收缩 A polar-factor retraction on the symplectic Stiefel manifold with closed-form inverse\n作者: Ralf Zimmermann\n类别: math.NA, math-ph, math.DG\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.06399v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.06399v1\n摘要: In Riemannian computing applications, it is crucial to map manifold data to a Euclidean domain, where vector space arithmetic is available, and back. Classical manifold theory guarantees the existence of such mappings, called charts and parameterizations, or, collectively, local coordinates. When computational efficiency is of the essence, practitioners usually resort to retraction maps to define local coordinates. Retractions yield first-order approximations of the Riemannian normal coordinates. This work introduces a new retraction on the symplectic Stiefel manifold that features a closed-form inverse. We expose essential features and compare the numerical performance to a selection of existing retractions. To the best of our knowledge, prior to this work, the so-called Cayley retraction was the only retraction on the symplectic Stiefel manifold with known closed-form inverse.\n4. 低秩核方法在美式期权定价中的应用 Low-rank kernel methods for American option pricing\n作者: Michael Multerer, Paul Schneider, Chiara Segala\n类别: math.NA, math.ST\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.06349v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.06349v1\n摘要: We propose a scalable and theoretically grounded low-rank conditional expectation model for recursive Monte Carlo optimal stopping problems, in particular American option pricing. Our method reformulates the estimation of continuation values as a learning problem in a reproducing kernel Hilbert space, in which the conditional expectation is represented as a linear operator acting on future payoffs. This perspective yields an offline-online decomposition: the operator is learned once from simulated data and subsequently reused across all exercise dates, eliminating the need to recompute regression models at each step of the backward recursion. We establish convergence guarantees and derive bounds quantifying the approximation errors across exercise dates. Numerical experiments demonstrate the speed and accuracy of the proposed approach relative to extant methods.\n5. 非线性RMM-GKS用于具有不确定正演算子的大规模动态与流式逆问题 Nonlinear RMM-GKS for Large-Scale Dynamic and Streaming Inverse Problems with Uncertain Forward Operators\n作者: Toluwani Okunola, Mirjeta Pasha, Misha E. Kilmer, James G. Nagy, Eric de Sturler\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.06336v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.06336v1\n摘要: Many practical imaging systems suffer from uncertainty in acquisition geometry \u0026ndash; such as projection angles in computed tomography or sensor positions in photoacoustic tomography \u0026ndash; leading to nonlinear inverse problems that require joint estimation of both the image and the forward model parameters. Standard approaches that assume a known linear forward operator fail to account for these uncertainties, resulting in significant reconstruction artifacts. We propose a nonlinear recycled majorization-minimization generalized Krylov subspace (NL-RMM-GKS) framework for large-scale inverse problems with uncertain forward operators. The method extends MM-GKS to nonlinear settings by combining majorization-minimization for nonsmooth regularization with Krylov subspace projection and subspace recycling, ensuring bounded memory usage. Two complementary formulations are developed: an alternating minimization approach that alternates between image updates and Gauss-Newton parameter estimation, and a variable projection approach that eliminates the image variable and optimizes directly over the parameters using inexact inner solves. We further introduce streaming variants that process data sequentially, enabling reconstruction from large or dynamically acquired datasets without storing the full operator. For dynamic problems, we incorporate two temporal regularization strategies \u0026ndash; optical flow and anisotropic total variation \u0026ndash; as plug-in choices within the framework. We carry out rigorous numerical experiments in fan-beam computed tomography and photoacoustic tomography to demonstrate that our proposed framework achieves high-quality reconstructions with bounded memory requirements, making it suitable for large-scale dynamic imaging problems.\n6. INEUS：高维偏积分微分方程的迭代神经求解器 INEUS: Iterative Neural Solver for High-Dimensional PIDEs\n作者: Jean-Loup Dupret, Davide Gallon, Patrick Cheridito\n类别: cs.LG, math.NA, q-fin.CP\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.06281v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.06281v1\n摘要: In this paper, we introduce INEUS, a meshfree iterative neural solver for partial integro-differential equations (PIDEs). The method replaces the explicit evaluation of nonlocal jump integrals with single-jump sampling and reformulates PIDE solving as a sequence of recursive regression problems. Like Physics-Informed Neural Networks (PINNs), INEUS learns global solutions over the entire space-time domain, yet it offers a more efficient treatment of nonlocal terms and avoids the computationally expensive differentiation of full PIDE residuals. These features make INEUS particularly well suited for high-dimensional PDEs and PIDEs. Supported by a contraction-based convergence proof for linear PIDEs, our numerical experiments show that INEUS delivers accurate and scalable solutions for various high-dimensional linear and nonlinear examples.\n7. 双李普希茨归一化流的表达能力：基于分数扩散的视角 Expressivity of Bi-Lipschitz Normalizing Flows: A Score-Based Diffusion Perspective\n作者: Meira Iske, Carola-Bibiane Schönlieb\n类别: stat.ML, cs.LG, math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.06172v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.06172v1\n摘要: Many normalizing flow architectures impose regularity constraints, yet their distributional approximation properties are not fully characterized. We study the expressivity of bi-Lipschitz normalizing flows through the lens of score-based diffusion models. For the probability flow ODE of a variance-preserving diffusion, Lipschitz regularity of the score induces a flow of bi-Lipschitz diffeomorphic transport maps. This ODE bridge allows us to analyze the distributional approximation power of bi-Lipschitz normalizing flows and, conversely, derive deterministic convergence guarantees for diffusion-based transport. Our key idea is to use the probability flow ODE to link regularity of the score to regularity of the induced transport maps. We verify score regularity for broad target densities, including compactly supported densities, Gaussian convolutions of compactly supported measures and finite Gaussian mixtures. We obtain a universal distributional approximation result: Gaussian pullbacks induced by bi-Lipschitz variance-preserving transport maps are $L^1$-dense among all probability densities. For Gaussian convolution targets, we further obtain convergence in Kullback-Leibler divergence without early stopping.\n8. Euler-Bernoulli梁的双边特征值界 Two-sided eigenvalue bounds for the Euler-Bernoulli beam\n作者: Jana Burkotova, Jitka Machalova, Tomas Vejchodsky\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.06031v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.06031v1\n摘要: We derive novel guaranteed lower bounds for eigenvalues of the Euler-Bernoulli beam with variable bending stiffness. While the standard finite element Rayleigh-Ritz method automatically yields upper bounds, we obtain lower bounds by employing interpolation error estimates with the explicitly known value of the associated constant. This approach is especially efficient and easy to apply for piecewise constant bending stiffness. For general variable material parameters, we obtain guaranteed lower bounds through an auxiliary beam-bending problem. The first eigenvalue is of primary interest in applications because it represents the critical load that causes buckling of the beam. Our method is, however, suitable also for the higher buckling modes. In addition, it can be applied to the physically more relevant nonlinear Gao beam model with piecewise constant bending stiffness, which has the same first eigenvalue as the classical Euler\u0026ndash;Bernoulli beam. The presented numerical experiments illustrate the performance of the proposed eigenvalue bounds, demonstrating their convergence rates.\n9. DBMSolver: 一种用于高质量图像到图像翻译的无训练扩散桥采样器 DBMSolver: A Training-free Diffusion Bridge Sampler for High-Quality Image-to-Image Translation\n作者: Sankarshana Venugopal, Mohammad Mostafavi, Jonghyun Choi\n类别: cs.CV, cs.AI, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.05889v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.05889v1\n摘要: Diffusion-based image-to-image (I2I) translation excels in high-fidelity generation but suffers from slow sampling in state-of-the-art Diffusion Bridge Models (DBMs), often requiring dozens of function evaluations (NFEs). We introduce DBMSolver, a training-free sampler that exploits the semi-linear structure of DBM\u0026rsquo;s underlying SDE and ODE via exponential integrators, yielding highly-efficient 1st- and 2nd-order solutions. This reduces NFEs by up to 5x while boosting quality (e.g., FID drops 53% on DIODE at 20 NFEs vs. 2nd-order baseline). Experiments on inpainting, stylization, and semantics-to-image tasks across resolutions up to 256x256 show DBMSolver sets new SOTA efficiency-quality tradeoffs, enabling real-world applicability. Our code is publicly available at https://github.com/snumprlab/dbmsolver.\n10. 针对双基地测量定制的双聚焦方法的数学与实验验证 Mathematical and experimental validation of the bifocusing method tailored for bistatic measurement\n作者: Won-Kwang Park\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.05845v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.05845v1\n摘要: In this paper, we design a bifocusing-based imaging strategy for the rapid identification of small penetrable dielectric inhomogeneities within a two-dimensional bistatic measurement setup. To address the applicability and limitation, we carefully explore the mathematical structure of the indicator function by establishing a relationship involving the infinite series of Bessel functions, the material characteristics, and the bistatic angle. Through this theoretical result, we rigorously verify that the imaging resolution degrades as the bistatic angle approaches $\\SI{180}{\\degree}$, and specifically, that target identification becomes impossible when the bistatic angle is $\\SI{180}{\\degree}$. Conversely, relatively high-resolution results are obtained when the bistatic angle is close to $\\SI{0}{\\degree}$. The theoretical findings are validated through numerical simulations using the Fresnel experimental dataset, which confirm the applicability and limitations of the proposed method for both dielectric and metallic objects.\n11. 通过函数型形状数据分析与拟共形映射的平面形态测量学 Planar morphometry via functional shape data analysis and quasi-conformal mappings\n作者: Hangyu Li, Gary P. T. Choi\n类别: q-bio.QM, cs.CG, math.NA\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.05778v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.05778v1\n摘要: The study of shapes is one of the most fundamental problems in life sciences. Although numerous methods have been developed for the morphometry of planar biological shapes over the past several decades, most of them focus solely on either the outer silhouettes or the interior features of the shapes without capturing the coupling between them. Moreover, many existing shape mapping techniques are limited to establishing correspondence between planar structures without further allowing for the quantitative analysis or modelling of shape changes. In this work, we introduce FDA-QC, a novel planar morphometry method that combines functional shape data analysis (FDA) techniques and quasi-conformal (QC) mappings, taking both the boundary and interior of the planar shapes into consideration. Specifically, closed planar curves are represented by their square-root velocity functions and registered by elastic matching in the function space. The induced boundary correspondence is then extended to the entire planar domains by a quasi-conformal map, optionally with landmark constraints. Moreover, the proposed FDA-QC method can naturally lead to a unified framework for shape morphing and shape variation quantification. We apply the FDA-QC method to various leaf and insect wing datasets, and the experimental results show that the proposed combined approach captures morphological variation more effectively than purely boundary-based or interior-based descriptions. Altogether, our work paves a new way for understanding the growth and form of planar biological shapes.\n12. 正权核求积的凸几何误差界 Convex-Geometric Error Bounds for Positive-Weight Kernel Quadrature\n作者: Satoshi Hayakawa\n类别: math.NA, cs.LG, math.PR, stat.ML\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.05705v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.05705v1\n摘要: Kernel quadrature can exploit RKHS spectral structure and outperform Monte Carlo on smooth integrands, but optimized quadrature weights are generally signed and may be numerically unstable. We study whether spectral acceleration remains possible when the weights are constrained to be positive, i.e., simplex weights. In the exact-target fixed-pool setting, an evaluated i.i.d. candidate pool of size $N$ is already available and the task is to reweight it so as to approximate the kernel mean embedding. We show that this positive reweighting problem is governed not by the equal-weight empirical average, but by the random convex hull generated by the pool. Our main geometric result shows that the mean of a bounded $d$-dimensional random vector can be approximated by a convex combination of $N$ i.i.d. samples at accuracy $O(d/N)$ with high probability, sharper than equal-weight averaging in the fixed-dimensional regime. We transfer this $d$-dimensional convex-hull approximation to full RKHS worst-case error through an augmented Mercer-truncation argument. The resulting positive-weight KQ bounds consist of a spectral tail term and a finite-sample convex-hull term, yielding Monte-Carlo-beating rates in favorable spectral regimes, including near-$O(1/N)$ rates up to logarithmic factors under exponential spectral decay. We also provide a constructive Frank\u0026ndash;Wolfe algorithm that operates directly on the pool atoms, maintains simplex weights, and admits an explicit optimization-error bound.\n13. 二维不可压缩流的隐式-显式Runge-Kutta方法的长时间稳定性 Long-time stability of implicit-explicit Runge-Kutta methods for two-dimensional incompressible flows\n作者: Hong-lin Liao, Xiaoming Wang, Xuping Wang, Cao Wen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.05645v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.05645v1\n摘要: High-order adaptive time-stepping algorithms are of significant practical value and theoretical interest for accelerating long-time fluid-flow simulations and resolving complex dynamical behaviors. While several high-order implicit-explicit schemes have been proposed in the literature, their long-time stability properties remain largely unexplored. We develop a family of long-time stable implicit-explicit Runge-Kutta (IERK) methods, up to fourth-order temporal accuracy, for the two-dimensional incompressible Navier-Stokes equations in vorticity-stream function formulation. By combining a convolution-type Hölder inequality with a damping-type multistage Grönwall inequality, we establish a unified analytical framework that proves long-time stability in both the $L^2$ and $H^1$ norms. A key component of the analysis is a mathematical-induction argument that ensures stage-wise boundedness of the vorticity in the $H^δ$ norm for some $δ\u003e0$. To the best of our knowledge, this is the first work to establish large-time stability results for high-order IERK algorithms for the two-dimensional incompressible Navier-Stokes equations. Our IERK schemes employ stiffly accurate diagonally implicit Runge-Kutta approximations for the linear diffusive term together with explicit Runge-Kutta approximations for the nonlinear advection term. By exploiting the specific structure of the Navier-Stokes model, we derive a reduced set of order conditions-requiring only 5 and 11 conditions for the third- and fourth-order methods, respectively, in contrast to the classical 6 and 18-allowing the construction of a parameterized family of efficient schemes. These IERK methods are particularly well suited for adaptive time-stepping, as they permit significantly enlarged step sizes in actual computations.\n14. 加权 $L^2$ 投影的新误差估计 New error estimates of the weighted $L^2$ projections\n作者: Qiya Hu, Yuhan Luo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.05637v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.05637v1\n摘要: It is known that the weighted $L^2$ projection operator exhibits approximation properties different from those of the classical $L^2$ projection, in the sense that the $L^2$ error of the weighted $L^2$ projection of an $H^1$ function generally cannot be bounded by the $H^1$ semi-norm of the function. In this paper, we establish sharper $L^2$ error estimates for the weighted $L^2$ projection of an $H^1$ function under general weight distributions. These new estimates show that the $L^2$ errors of the weighted $L^2$ projection can be controlled by the $H^1$ semi-norm of the function, except when the weight distribution is highly irregular, such as those resembling a ``checkerboard\u0026quot; pattern. These results can be applied to more refined analyses of domain decomposition methods and multigrid methods for certain partial differential equations with large jump coefficients.\n15. 非线性抛物方程隐-显多步方法稳定性的半生成函数方法 A semi-generating function approach to the stability of implicit-explicit multistep methods for nonlinear parabolic equations\n作者: Hong-lin Liao, Chaoyu Quan, Tao Tang, Tao Zhou\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.05619v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.05619v1\n摘要: The rigorous stability analysis of high-order implicit-explicit multistep (IEMS) methods for nonlinear parabolic equations by using discrete energy arguments is a long standing open issue due to their non-A-stable property. A novel semi-generating function approach combined with the global discrete energy analysis is suggested to the stability and convergence analysis of general IEMS methods for nonlinear parabolic equations. Inspired from the Grenander-Szegö theorem for the Toeplitz matrix, the semi-generating function approach is used to handle the three groups of discrete coefficients via three complex rational polynomials on the unit circle. A unified theoretical framework is then presented to establish the unconditional stability of IEMS methods if the minimum eigenvalue of composite convolution kernels for the implicit part is properly large and the spectral norm bound of composite convolution kernels for the explicit part is properly small. An indicator, called implicit-explicit controllability intensity, is then introduced to evaluate the degree of controllability of implicit part over explicit part. Some of existing IEMS methods, up to the fifth-order time accuracy, are revisited and compared by computing the associated implicit-explicit controllability intensities such that one can choose certain IEMS method or proper parameter to maintain the unconditional stability for a specific nonlinear parabolic model. We also propose a new parameterized class of IEMS methods, up to the eighth-order time accuracy, which satisfy the priori settings of our theory and have a large value of the implicit-explicit controllability intensity by choosing proper parameter so that they would be well suited for a wide class of nonlinear parabolic problems.\n16. 次扩散方程中时空依赖源项识别的数值分析 Numerical Analysis of Space-Time Dependent Source Identification in Subdiffusion Equations\n作者: Siyu Cen, Bangti Jin, Yavar Kian, Zhi Zhou\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.05579v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.05579v1\n摘要: In this work, we propose an easy-to-implement fixed-point algorithm for reconstructing a space-time dependent source in a subdiffusion model from lateral boundary measurements. The numerical scheme combines a Galerkin finite element method for spatial discretization with a finite difference method for temporal discretization. We establish the linear convergence of the fixed-point iteration and derive an error bound that depends explicitly on the discretization parameters and the noise level. The error analysis relies on stability properties of the continuous inverse problem and technical estimates for the associated direct problem with limited-regularity data. Numerical experiments are presented to support and complement the theoretical analysis.\n17. 求解大型不定最小二乘问题的双分裂迭代法 The double splitting iteration method for solving the large indefinite least squares problem\n作者: Jun Li, Lingsheng Meng\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-07\narXiv ID: 2605.05551v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.05551v1\n摘要: Addressing large-scale indefinite least squares (ILS) problem poses notable computational bottlenecks in the field of numerical linear algebra. State-of-the-art iterative schemes for such problems are predominantly constructed upon the single splitting of the coefficient matrix derived from the corresponding normal equation. In this work, we put forward an innovative iterative framework grounded in the double splitting of normal equations tailored for ILS problem. Specifically, we elaborate on a distinct implementations of the double splitting strategy, which offer constructive insights and methodological references for subsequent research on double splitting-based iterative methods. Two numerical experiments further corroborate that the proposed double splitting iterative paradigm outperforms conventional single splitting approaches in both computational efficiency and convergence robustness.\n18. 用于多孔弹性波传播且具有对称应力近似的杂交间断伽辽金方法 Hybridizable discontinuous Galerkin methods for poroelastic wave propagation with symmetric stress approximation\n作者: Jeonghun J. Lee, Manuel A. Sanchez\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.05451v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.05451v1\n摘要: In this paper, we develop hybridized discontinuous Galerkin (HDG) methods for poroelastic wave equations. We first rewrite the governing equations to a first-order symmetric hyperbolic system in order to use dual mixed formulations for discretization. Subsequently, we combine two HDG approaches in the discretization of the system, the $\\text{HDG}+$ method for the linear elasticity equations and the $\\text{LDG-H}$ method for the diffusion equations, with adjustments for the poroelastic wave equations. In our proposed HDG methods, the numerical approximation of the stress tensor is strongly symmetric and the convergence of the errors are robust for nearly incompressible materials. Upon performing static condensation, the system retains numerical trace variables solely for the solid displacement and the fluid pressure. We provide comprehensive error analyses for both the semidiscrete formulation and the Crank\u0026ndash;Nicolson time-stepping scheme. Finally, extensive numerical examples illustrate optimal convergence results and simulate different poroelastic wave propagation scenarios relevant in the literature.\n19. 条件生成压缩感知的主动学习 Active Learning for Conditional Generative Compressed Sensing\n作者: Alexander DeLise, Nick Dexter\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.05435v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.05435v1\n摘要: Generative compressed sensing uses the range of a pretrained generator as a nonlinear model for recovering structured signals from limited measurements. We study a conditional version of this problem for image recovery from subsampled Fourier measurements using prompt-conditioned generative models. Our framework separates two roles of conditioning: the prompt used to design the sampling distribution and the prompt used to define the recovery model. For ReLU and Lipschitz conditional generators, we prove stable recovery bounds showing that prompt-matched Christoffel sampling retains the same Christoffel complexity constant as existing near-optimal generative compressed sensing theory, while prompt mismatch incurs an explicit compatibility penalty. Experiments with Stable Diffusion show that prompts meaningfully reshape Christoffel sampling distributions and influence image recovery. Overall, our results suggest that prompts should be treated as design variables with distinct effects on sensing, approximation, and recovery.\n20. 借助广义高斯连分数映射生成高质量伪随机性 Producing Quality Pseudorandomness with a Generalized Gauss Continued-Fraction Map\n作者: Benjamin V. Holt\n类别: math.DS, math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.05378v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.05378v1\n摘要: Well-known chaotic maps, such as the logistic and tent maps, have been used to generate cryptographically secure pseudorandomness, yet we know of no efforts which attempt to use the Gauss continued-fraction map, a known chaotic map, as a starting point for producing quality pseudorandom output. In this paper, we consider the family of $r$-continued-fraction maps, which generalize the Gauss map, and use them to generate pseudorandom output which outperforms many standard generators, such as the Mersenne Twister, in statistical quality, as ascertained by use of the Dieharder, PractRand, and TestU01 suites. In this way, we demonstrate the potential viability of these maps as a starting point for novel generators, and provide practical motivation for further study of the properties of both the exact and finite-precision $r$-continued fraction maps.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-05-08_05-20-37/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年05月08日 05:20:37\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 2\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 20\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"了解领域论文摘要翻译\"\u003e了解领域论文（摘要翻译）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-基于调和延拓的体-表面切割有限元法的稳定化与算子预处理\"\u003e1. 基于调和延拓的体-表面切割有限元法的稳定化与算子预处理\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eStabilization and Operator Preconditioning of Bulk\u0026ndash;Surface CutFEM via Harmonic Extension\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年05月08日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年05月07日 05:50:56\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 0\n不相关论文数量: 27\n不相关论文（基本信息） 1. 二维Kaup-Broer-Kuperschmidt Boussinesq系统的数值研究 Numerical study of the 2D Kaup-Broer-Kuperschmidt Boussinesq system\n作者: Théo Gaudry, Christian Klein, Jean-Claude Saut, Nikola Stoilov\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.05183v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.05183v1\n摘要: In this work we consider the well posed version of the Kaup-Broer-Kuperschmidt system in two dimensions. We numerically construct soliton type solutions and show that they are unstable both against dispersion and singularity formation. Further, we study line solitons and their stability, as well as generally localised initial data. In either case we fail to find stable structures.\n2. 有限元方法下具奇异势的薛定谔算子的显式双侧特征值界 Explicit Two-Sided Eigenvalue Bounds for Schrödinger Operators with Singular Potentials via Finite Element Method\n作者: Xuefeng Liu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.05177v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.05177v1\n摘要: We present, to the best of our knowledge, the first numerical algorithm for explicit, computable two-sided eigenvalue bounds for Schrödinger operators H = -Delta + V on R^N, N = 2,3, in the presence of both an unbounded potential and an unbounded domain. \u0026ldquo;Explicit\u0026rdquo; here means that all constants and ingredients are derived in closed form from the mesh, the potential, and a small set of explicit inequalities (Payne-Weinberger, Hardy, and explicit bounded-domain Sobolev embeddings); the conversion to fully verified(IEEE-754-safe, interval-arithmetic) enclosures is a separate verification step and is left for future work. In particular, singular attractive potentials of Coulomb type, V(x) = -Z/|x|, which model the hydrogen atom and the H_2^+ molecular ion, are covered by the theory. The method combines domain truncation to a bounded domain D(R) containing {|x| \u0026lt;= R} with an extension of Liu\u0026rsquo;s Composite Enriched Crouzeix-Raviart (CECR) finite element method to sign-indefinite potentials. Upper bounds come from the standard conforming Galerkin method; lower bounds come from the CECR construction, whose gap to the exact eigenvalue closes as the mesh is refined. Numerical experiments on the 2D single- and two-centred Coulomb potentials and on the 3D hydrogen atom and H_2^+ molecular ion illustrate the algorithm and confirm the predicted convergence.\n3. 理解基于 Transformers 的非线性回归中的上下文学习: 注意力作为特征化器 Understanding In-Context Learning for Nonlinear Regression with Transformers: Attention as Featurizer\n作者: Alexander Hsu, Zhaiming Shen, Wenjing Liao, Rongjie Lai\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.05176v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.05176v1\n摘要: Pre-trained transformers are able to learn from examples provided as part of the prompt without any weight updates, a remarkable ability known as in-context learning (ICL). Despite its demonstrated efficacy across various domains, the theoretical understanding of ICL is still developing. Whereas most existing theory has focused on linear models, we study ICL in the nonlinear regression setting. Through the interaction mechanism in attention, we explicitly construct transformer networks to realize nonlinear features, such as polynomial or spline bases, which span a wide class of functions. Based on this construction, we establish a framework to analyze end-to-end in-context nonlinear regression with the constructed features. Our theory provides finite-sample generalization error bounds in terms of context length and training set size. We numerically validate the theory on synthetic regression tasks.\n4. 微磁学中Landau-Lifshitz-Gilbert方程的BDF2型积分器：先验误差估计 BDF2-type integrator for Landau-Lifshitz-Gilbert equation in micromagnetics: a-priori error estimates\n作者: Michele Aldé, Dirk Praetorius, Michael Feischl\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.05129v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.05129v1\n摘要: We consider the Landau-Lifshitz-Gilbert equation (LLG), which models time-dependent micromagnetic phenomena. We analyze a fully discrete scheme that combines first-order finite elements in space with a BDF2 method in time. The method requires the solution of only one linear system of equations per time step and does not enforce the pointwise unit-length constraint of the magnetization. While unconditional weak convergence has been analyzed in an earlier work, we now prove optimal-order convergence rates under sufficient regularity assumptions on the exact solution and the external field. In combination with our previous work, this establishes the first higher-order-in-time and linear integrator that converges both to weak and strong solutions of LLG. Numerical experiments confirm first-order convergence in space and second-order convergence in time.\n5. 在给定子空间的情况下求半正定矩阵的精确特征值与特征向量 Finding accurate eigenvalues and eigenvectors of positive semi-definite matrices given a subspace\n作者: Yuji Nakatsukasa, Zheng Tang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.05043v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.05043v1\n摘要: We revisit a classical problem in numerical linear algebra: given an $k$-dimensional subspace $\\mathcal{Q}$ that approximates the leading eigenspace of an $n\\times n$ positive semi-definite matrix $A$, the goal is to extract high-accuracy eigenvalues. The Rayleigh-Ritz (RR) method is the standard algorithm for the task, which has been shown to be optimal in several ways (when $A$ is symmetric, not necessarily positive semi-definite $A\\succeq 0$). In this paper, we show that when $A \\succeq 0$, alternative methods can outperform RR, while having the same computational complexity, that is, the main cost is in computing $AQ$, plus an $O(nk^2)$ term. In particular, we advocate the use of Nystr{ö}m\u0026rsquo;s method, showing that the approximate eigenvalues always have higher accuracy than RR, and the improvement can be arbitrarily large. The difference is significant, especially when $A$ has a fast-decaying spectrum. A similar improvement is numerically observed for the purpose of approximating the leading eigenvectors. In contrast, when the target eigenvalues are the trailing ones, the situation is reversed, and the Nystr{ö}m method performs poorly; we suggest a remedy for this situation.\n6. Strichartz 极值函数的神经网络发现 Neural Discovery of Strichartz Extremizers\n作者: Nicolás Valenzuela, Ricardo Freire, Claudio Muñoz\n类别: math.AP, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.04918v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04918v1\n摘要: Strichartz inequalities are a cornerstone of the modern theory of dispersive PDEs, but their extremizers are known explicitly only in a handful of sharp cases. The non-convexity of the underlying functional makes the problem hard, and to our knowledge no systematic numerical attack has been attempted. We propose a simple neural-network-based pipeline that searches for extremizers as critical points of the Strichartz ratio, and apply it in three settings. First, on the Schrödinger group we recover the Gaussian extremizers of Foschi and Hundertmark\u0026ndash;Zharnitsky in dimensions $d=1,2$ to within $10^{-3}$ relative error, with no analytical prior. Second, on $59$ further admissible pairs in $d=1$ where the answer is conjectural, the method consistently finds Gaussians, supporting the conjecture that Gaussians are the universal extremizers in the admissible range. Third, on the critical Airy\u0026ndash;Strichartz inequality at $γ=1/q$, where existence is open, the optimization does not converge to any $L^2$ profile: instead, the iterates organize themselves as mKdV breathers $B(0,\\cdot;α,1,0,0)$ with growing internal frequency $α$, and the discovered ratio approaches the Frank\u0026ndash;Sabin universal lower bound $\\widetilde A_{q,r}$ from below with a power-law gap $\\simα^{-0.9}$. We confirm the same picture with an independent Hermite-basis ansatz. We propose a precise conjecture: the supremum equals $\\widetilde A_{q,r}$ and is approached, but not attained, along the breather family. The pipeline thus serves both as a validator on known cases and as a discovery tool when no extremizer exists.\n7. 更新幅度状态重分配（UM-SRD）：加权SRD在切割单元法中的关断扩展 Update-Magnitude State Redistribution (UM-SRD): A Shut-off Extension of Weighted SRD for Cut-Cell Methods\n作者: Justo E. Karell\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.04863v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04863v1\n摘要: Berger \u0026amp; Giuliani (2024) developed a provably stable weighted state redistribution (SRD) algorithm for cut-cell meshes. A key limitation of their method is that, although flux redistribu- tion naturally vanishes when updates are small, SRD continuously applies redistribution even when the flux balance is zero, preventing exact steady-state preservation and potentially in- troducing unnecessary dissipation in smooth regions. This work introduces Update-Magnitude State Redistribution (UM-SRD), which blends the SRD operator with the identity operator via a smooth, locally-defined scalar indicator of the finite-volume update magnitude. UM-SRD preserves conservation and reduces exactly to the base scheme when the finite-volume update is exactly zero in a small-cell neighborhood. For a one-dimensional model problem with a single small cut cell, we prove UM-SRD is total variation diminishing under the same CFL condition as the base upwind scheme, show the local truncation error modification is higher-order in smooth regions with the unnormalized indicator, and show that the normalized implementation pre- serves first-order accuracy. Numerical experiments demonstrate convergence toward first order on smooth 1D and 2D advection tests, confirm shut-off behaviour, verify non-oscillatory proper- ties, provide numerical evidence that UM-SRD stabilizes the base scheme near a small cut cell where the base scheme diverges, and confirm exact steady-state preservation. The algorithm reuses existing weighted SRD infrastructure, adding only a local blending mechanism, making it practical for cut-cell finite-volume codes.\n8. 退化椭圆-抛物方程的Schwarz型方法收敛性分析 Convergence analysis of Schwarz-like methods for degenerate elliptic-parabolic equations\n作者: Monika Eisenmann, Eskil Hansen\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.04843v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04843v1\n摘要: Convergence is proven for Schwarz-like methods applied to degenerate elliptic-parabolic equations with a $p$-structure. This family of PDEs, e.g., arises when modelling nonlinear diffusion processes. The Schwarz-like approximation methods are based on decomposing the space-time domain into overlapping subdomains, which enables parallel implementations. The methods are derived by introducing a pseudo-time component and applying time integrators of splitting type, which are time stepped towards infinity. This approach of decomposing the space-time domain is related to Schwarz waveform relaxation methods, but the methods considered here have the advantage that they can be proven to converge when applied to nonlinear parabolic, or even degenerate elliptic-parabolic, PDEs. We prove convergence by deriving a nonlinear framework based on the abstract theory for monotone operators and the existence theory for degenerate elliptic-parabolic equations.\n9. 基于广义重心坐标的自适应有限元方法 An Adaptive Finite Element Method Based on Generalized Barycentric Coordinates\n作者: Yihui Zhou, Yuwen Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.04805v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04805v1\n摘要: This work derives a posteriori error estimate of polygonal finite element methods based on Wachspress barycentric coordinates. In particular, we prove that the classical residual-based a posteriori error estimator is both an upper and lower bounds for the discretization error. The analysis relies a Scott-Zhang type interpolation and homogeneity arguments for rational functions on polygonal elements. Numerical experiments on square and L-shaped domains demonstrate the effectiveness of the adaptive algorithm.\n10. 有限元方法中基于光滑化的超收敛 Superconvergence in finite element method by smoothing\n作者: Yuwen Li, Han Shui, Ludmil Zikatanov\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.04786v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04786v1\n摘要: This paper develops a smoothing-based postprocessing method for superconvergence in finite element methods. The method applies a few smoothing iterations, such as damped Jacobi, Gauss-Seidel, or conjugate gradient, with initial guess being the current finite element solution embedded in an enriched finite element space. The resulting procedure is algebraic, easy to implement, and applicable to high-order and three-dimensional discretizations. For symmetric and positive-definite problems, we prove superconvergence of the smoothed solutions under additive and multiplicative smoothers. Effectiveness of the proposed method is demonstrated by numerical experiments for the Poisson, Maxwell, biharmonic and Helmholtz equations.\n11. 用于求解定常 Navier-Stokes 方程的稳态增量黏性分裂方法 Steady Incremental Viscosity Splitting Method for solving the stationary Navier-Stokes equation\n作者: Aziz Takhirov, Driss Yakoubi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.04778v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04778v1\n摘要: We develop a novel and efficient iterative scheme for solving incompressible steady Navier-Stokes equations. The method is an adaptation of the Incremental Viscosity Splitting approximation for unsteady flows to steady equations. At each nonlinear iteration, the scheme requires solving an elliptic PDE for the velocity variable and a system with an SPD matrix for the pressure variable, which remains the same across all nonlinear iterations. The method can also be interpreted as an algebraic splitting approach. We prove boundedness and geometric convergence. Numerical tests illustrate the efficiency of the proposed algorithm.\n12. FC-Gram近似算法的变体与推广的计算与分析研究 Computational and Analytical Study of Variations and Generalizations of the FC-Gram Approximation Algorithm\n作者: Prakash Nainwal, Akash Anand\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.04765v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04765v1\n摘要: The FC-Gram algorithm approximates non-periodic functions to high order by constructing a periodic extension with controlled boundary behavior and applying trigonometric interpolation. In this paper we introduce a generalized FC-Gram framework (GenFC), which provides greater flexibility in the construction of the blending continuation of Gram polynomials. This flexibility gives better control over the shape of the periodic extension and leads to improved approximation accuracy. We establish a convergence theorem showing that the trigonometric interpolant converges at the rate $\\mathcal{O}(n^{-\\min(r+β,\\,d)})$ in the supremum norm on the original interval, where $r$ is the smoothness of the target function, $d$ the number of Gram polynomials, and $β\\in [0,1]$ a Fourier-decay parameter. The framework and its analysis are developed so that the modified FC-Gram method of [J. Sci. Comput., 105(1):8, 2025] is recovered as a particular case. Numerical experiments confirm the predicted convergence rates and show that the added flexibility of the GenFC framework leads to improved approximation accuracy, with the gains carrying over to a Fourier continuation solver for two-point boundary value problems.\n13. 顺序拓扑优化: 用于水平集边界细化的 SIMP 初始化 Sequential topology optimization: SIMP initialization for level-set boundary refinement\n作者: Ondřej Ježek, Ján Kopačka, Martin Isoz, Dušan Gabriel\n类别: cs.CE, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.04735v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04735v1\n摘要: Density-based topology optimization methods such as SIMP enable efficient topological exploration but produce diffuse material boundaries that require interpretation before manufacturing. Level-set methods maintain sharp interfaces but are sensitive to the initial design. This paper presents a sequential framework that addresses these complementary limitations through a signed distance function (SDF)-based geometry transfer, formulated for three-dimensional meshes. The SIMP density distribution is converted into an SDF that initializes subsequent level-set boundary refinement. From the level-set perspective, the SIMP-derived initialization mitigates sensitivity to the initial design. From the SIMP perspective, the level-set stage acts as optimization-driven post-processing that produces manufacturing-ready boundaries. Validation on three-dimensional cantilever and MBB benchmarks demonstrates compliance comparable to standalone level-set optimization, with up to 4.6x wall-clock speedup on the cantilever case. The full implementation is released under an open-source license to support reproducibility.\n14. 用于不可压缩混合降阶优化的哈密顿界面动力学 Hamiltonian Interface Dynamics for Reduced-Order Optimization of Incompressible Mixing\n作者: Ziqian Li, Enrique Zuazua\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.04688v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04688v1\n摘要: We develop a reduced-order framework for optimizing mixing in two-dimensional incompressible flows. Instead of optimizing the full transport PDE, the method maximizes the length of advected material interfaces, leading to a finite-dimensional Hamiltonian control problem based on parametrized stream functions. We derive the continuous adjoint equations and reduced gradients, and discretize the forward and adjoint dynamics with the implicit midpoint rule. The resulting discrete adjoint is algebraically consistent with the derivative of the fully discrete objective, up to the tolerance of the nonlinear midpoint solves. The approach applies to bounded two-dimensional domains with smooth finite-dimensional stream-function parametrizations. Numerical experiments on cellular-flow and Doswell frontogenesis benchmarks show that the optimized time-dependent Hamiltonians generate near-exponential interface stretching and substantially faster decay of the $\\dot{H}^{-1}$ mix-norm, in contrast with the polynomial behavior observed for stationary flows. When evaluated on a common reference transport solver, the interface-based controls produce faster $\\dot{H}^{-1}$ decay than a Eulerian Sobolev-norm optimizer under a matched setup, while substantially reducing computational cost. We also identify a limitation of the reduced model: increasing the control basis may further improve the interface-length objective without yielding proportional gains in $\\dot{H}^{-1}$ mixing, confirming that interface length is an effective but not fully faithful proxy for mixing in geometrically complex regimes.\n15. 带精确二维节点求解器的三阶多矩格心拉格朗日流体动力学格式 A third-order multi-moment cell-centered Lagrangian scheme for hydrodynamics with an accurate 2D nodal solver\n作者: Xiaoteng Zhang, Xun Wang, Zhijun Shen, Chao Yang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.04660v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04660v1\n摘要: This paper presents a novel high-order cell-centered Lagrangian scheme for 2D compressible hydrodynamics by bridging the multi-moment constrained finite volume method (MCV) [16, 51, 52] with a nodal Riemann solver. This scheme (denoted by LMCV) not only maintains high-order accuracy as MCV but also inherits the conservation and robust properties of the nodal Riemann solver. On the one hand, the MCV employs and evolves both the point-values (PV) at cell vertexes and the volume-integrated averages (VIA) on computational mesh, which ensures the rigorous numerical conservation and establishes an adequate foundation for the computation of Lagrangian fluxes with high accuracy. On the other hand, we developed a 2D Riemann solver based on EUCCLHYD [24], it takes fully advantage of numerical formulations from high-order scheme and accomplishes the compatibility between the mesh movement and numerical fluxes. The main new features of the solver are the introduction of a new set of jump and balance conditions. The jump condition provides a high-accurate formulation linking the surface pressure of each cell to its nodal velocity, while the balance condition ensures nodal conservation and stabilizes the velocity field without losing accuracy. More intriguing is that our nodal solver can be regarded as a natural high-order extension of the HLLC and the HLLC-2D [41] solvers. The comparison between these solvers better demonstrates our innovative approach in addressing the difficulties encountered in constructing 2D high-order Lagrangian schemes. A variety of numerical experiments are carried out to illustrate the accuracy and robustness of the algorithm.\n16. 织物中的热质传递：一个加热圆柱体织物干燥模型 Heat and mass transfer through fabric: a model for fabric drying with heated cylinders\n作者: Stefania Bellavia, Nicolò Fiorini, Adriano Milazzo, Alessandra Papini\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.04644v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04644v1\n摘要: Textile drying is a key operation in the textile production cycle as it represents one of the most energy-intensive stages and plays a critical role in determining both product quality and overall process efficiency. In this work we propose a mathematical model for the drying process of a generic textile material using heated cylinders, operating under low-pressure conditions. The model\u0026rsquo;s parameters are estimated by nonlinear least squares regression. Given a specific fabric, the developed model allows to predict the drying time and the residual moisture content. The model is validated using real world data provided by a major Italian textile company.\n17. 采用不连续转动与离散曲率的几何精确梁混合有限元法 Mixed Finite Elements for Geometrically Exact Beams using Discontinuous Rotations and Discrete Curvature\n作者: Alexander Humer, Ivo Steinbrecher, Astrid Pechstein\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.04573v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04573v1\n摘要: We propose a novel mixed finite-element formulation for geometrically exact (Simo\u0026ndash;Reissner) beams that introduces the moment vector as additional independent field. The specific mixed form allows for an element-local, discontinuous approximation of rotations, which is key to a simple and efficient discretization framework. The concept of discrete curvature provides a mathematically consistent treatment of rotation discontinuities. For linear constitutive laws, the mixed form is derived via a Legendre transform of the curvature-related strain energy. Objectivity is retained at the discrete level by interpolating relative rotations through a multiplicative split of the rotation field; path-independence is inherent to the total Lagrangian setting and verified numerically. Several benchmarks demonstrate optimal rates of convergence and accuracy, irrespective of the beam\u0026rsquo;s slenderness and order of approximation. Notably, the lowest-order element entirely avoids rotation interpolation by employing element-constant rotations only.\n18. 神经网络引导的区域限制加速结构化非正规带状矩阵的伪谱计算 Neural-Guided Domain Restriction to Accelerate Pseudospectra Computation for Structured Non-normal Banded Matrices\n作者: Amit Punia, Rakesh Kumar, Madan Lal\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.04550v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04550v1\n摘要: Computing pseudospectra of non-normal matrices is essential for understanding the stability and transient behavior of dynamical systems. Such analysis is critical in applications including fluid dynamics, control systems, and differential operators, where non-normality can lead to significant transient amplification and sensitivity to perturbations that are not captured by eigenvalue analysis alone. At large scales, commonly used numerical approaches for pseudospectra computation can become computationally demanding, as they require repeated auxiliary computations to identify spectrally sensitive regions in the complex plane. We present a neural network-based approach that predicts sensitive regions directly from matrix features, thereby avoiding exhaustive pseudospectra evaluation across the entire complex plane. We calibrate the prediction threshold on validation data to ensure reliable coverage of sensitive regions. The trained neural network guides the selection of grid points requiring full computation, enabling focused computation only where necessary. The approach provides a practical preprocessing strategy for efficient pseudospectra computation. Numerical experiments on non-normal banded matrices demonstrate substantial speedup compared to full grid-based numerical evaluation while maintaining high accuracy in identifying sensitive regions.\n19. 从视频到PDE：非线性染料羽流动力学的数据驱动发现 From Video-to-PDE: Data-Driven Discovery of Nonlinear Dye Plume Dynamics\n作者: Cesar Acosta-Minoli, Sayantan Sarkar\n类别: cs.LG, math.NA, physics.comp-ph, stat.AP, stat.ML\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.04535v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04535v1\n摘要: Inferring continuum models directly from video is hampered by two facts: the recorded field is uncalibrated image intensity rather than a physical state, and direct numerical differentiation of noisy frames is unstable. We develop a video-to-PDE pipeline that converts grayscale recordings of an ink plume into a normalised scalar field $u(x,y,t)$, isolates a bulk drift $\\mathbf{v}(t)$ from intrinsic spreading via the intensity-weighted centroid, and identifies an effective transport law by weak-form sparse regression. Conditioning, threshold-sweep and random-centre diagnostics show that overcomplete libraries are strongly collinear; the search is therefore restricted to compact gradient-based libraries. Coefficients are refined by an inverse physics-informed network and recalibrated against forward rollouts, with a chronological block bootstrap quantifying uncertainty. The selected reduced model $u_t+\\mathbf v(t)\\!\\cdot\\!\\nabla u = 9.005\\,|\\nabla u|^{2}+0.666\\,Δu$ outperforms advection\u0026ndash;diffusion baselines on held-out frames, retains a positive Laplacian coefficient, and admits a Cole\u0026ndash;Hopf reduction to a linear advection\u0026ndash;diffusion equation. The framework demonstrates that uncalibrated visual data can yield compact, predictive and structurally interpretable continuum models when discovery, calibration and uncertainty are treated as distinct stages.\n20. 计算旋转非线性薛定谔方程散焦作用基态的梯度流分析 Analysis of gradient flow for computing defocusing action ground states of rotating nonlinear Schrödinger equations\n作者: Wei Liu, Tingfeng Wang, Yongjun Yuan, Xiaofei Zhao\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.04485v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04485v1\n摘要: This work focuses on the numerical computation of defocusing action ground states for rotating nonlinear Schrödinger equations (RNLS) using a direct gradient flow (DGF) method. We address theoretical gaps in the existing literature concerning the stability and convergence of this DGF scheme. Firstly, we prove the unconditional stability of the DGF scheme, demonstrating that the action functional is monotonically non-increasing along the discrete flow for arbitrary time step sizes. Secondly, we establish a rigorous convergence analysis, proving global convergence under minor assumptions and local exponential convergence to the action ground state under a reasonable non-degeneracy condition. The analysis relies on the uniform boundedness of sublevel sets of the action functional and introduces a tailored $H^1$-distance between phase-shift equivalence classes to handle complex-valued ground states with quantized vortices. A novel analytical framework is also developed to establish the exponential convergence rate. Numerical experiments are presented to validate the theoretical findings, demonstrating both the global migration towards a neighborhood of the ground state and subsequent exponential convergence.\n21. SO(n) 与 SE(n) 上随机微分方程的几何 Milstein 格式 Geometric Milstein Scheme for Stochastic Differential Equations on SO(n) and SE(n)\n作者: Xi Wang, Victor Solo\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.04480v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04480v1\n摘要: In the paper, we propose a higher-order geometry-preserving numerical method for stochastic differential equations (SDEs) evolving on the Lie groups SO(n) and SE(n). Most existing Lie group integrators rely on Magnus expansion of the exponential map, which makes the construction of higher-order stochastic schemes difficult. To overcome this limitation, we develop a tangent-space parameterization corrected Milstein method (TaSP-CM), extending the tangent space parameterization (TaSP) framework from Lie-group ODEs to the stochastic setting. Although TaSP is a well-established method for Lie ODEs, the extension to SDEs is non-trivial and requires new stochastic corrections that ensure both geometric consistency and higher-order accuracy. We prove that the proposed scheme achieves strong convergence of order 1 under both commutative and non-commutative noise. Numerical experiments illustrate the theoretical results and demonstrate the efficiency and robustness of the proposed method.\n22. 二维不可压缩Navier-Stokes方程族的DLN方法的长时间$L^2$\u0026amp;$H^1$稳定性 Long-time $L^2$\u0026amp;$H^1$-stability of the Family of DLN Methods for the Two-dimensional Incompressible Navier-Stokes Equations\n作者: Isabel Barrio Sanchez, Wenlong Pei, Catalin Trenchea\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.04455v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04455v1\n摘要: In this report, we study the long-time stability of the family of one-leg DLN methods for the two-dimensional incompressible Navier-Stokes equations. The family of DLN methods (with one parameter $θ$), non-linear energy stable ($G$-stable) and second-order accurate under arbitrary time grids, has been widely applied to the simulations of various fluid models with success. We derive a new version of the $G$-stability identity for the family of DLN methods under uniform time grids and mild time constraints. Then we utilize this crucial auxiliary tool and the discrete uniform Grönwall inequality lemma to prove the uniform-in-time stability of the numerical solutions. Essentially, the bounds are independent of the time interval and the initial conditions, consistent with the theories of the continuous case.\n23. 不可压缩Oseen问题的结构保持与压力鲁棒PINNs Structure-Preserving and Pressure-Robust PINNs for Incompressible Oseen Problems\n作者: Shiv Mishra, Arbaz Khan\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-06\narXiv ID: 2605.04427v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04427v1\n摘要: We develop a new class of physics-informed neural network approximations for the stationary Oseen equations based on stability-consistent loss constructions. In contrast to standard PINN formulations, which are typically heuristic, the proposed consistent PINN (CPINN) framework is systematically derived from the stability structure of the continuous problem. Within this setting, we introduce two fundamentally new approaches. First, we design standard CPINN formulations that exhibit clear improvements over conventional PINNs. Second, we propose pressure-robust CPINN formulations that provably eliminate the influence of gradient forces on the velocity approximation, yielding velocity errors that depend solely on the divergence-free component of the forcing and are independent of the pressure. The framework accommodates both exactly divergence-free architectures and unconstrained velocity approximations, providing a unified treatment of these two paradigms. Using techniques from optimal recovery theory, we establish, for the first time in the PINN setting for Oseen-type problems, quantitative recovery estimates and optimal error bounds for both velocity and pressure under suitable Besov regularity assumptions. In particular, we obtain optimal rates for the velocity in $\\boldsymbol{H}^1(Ω)$ and for the pressure in $L^2(Ω)$. The proposed methodology introduces a pressure-robust CPINN paradigm for incompressible flows, combining structural consistency, robustness with respect to irrotational forces, and rigorous accuracy guarantees. Numerical experiments corroborate the theoretical findings and demonstrate the effectiveness of the approach.\n24. 用于从代数簇中采样的刚性同伦：一个Waring结构复杂度模型 Rigid homotopies for sampling from algebraic varieties: a Waring structure complexity model\n作者: Abigail R. Jones, Kisun Lee, Jose Israel Rodriguez\n类别: math.NA, cs.CC, math.AG\n发布日期: 2026-05-05\narXiv ID: 2605.04302v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04302v1\n摘要: Polynomial system solving has seen major progress in both theory and practice over the past decade. A landmark achievement was addressing Smale\u0026rsquo;s 17th problem, establishing average-case polynomial-time algorithms for computing approximate solutions of polynomial systems via homotopy continuation. Recent improvements in complexity bounds for these algorithms led to the development of rigid homotopy methods. In this article, we prove a new complexity result for rigid homotopies for polynomial systems with Waring representations of prescribed length. In addition, we provide the first computational experiments for rigid homotopies using a preliminary implementation.\n25. 基于集中不等式的概率浮点舍入误差分析 Probabilistic Floating-Point Round-Off Analysis via Concentration Inequalities\n作者: Yichen Tao, Hongfei Fu, Jiawei Chen, Jean-Baptiste Jeannin\n类别: cs.LO, cs.PL, math.NA\n发布日期: 2026-05-05\narXiv ID: 2605.04232v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04232v1\n摘要: Floating-point round-off errors are ubiquitous in numerically intensive programs arising in fields such as scientific computing and optimization. As floating-point errors potentially lead to unexpected and catastrophic program failures, one must derive guaranteed round-off thresholds to ensure the correctness of these programs. However, deterministic round-off thresholds tend to be too conservative to be usable in practice, since they often involve large round-off errors that occur with small probability. Probabilistic thresholds relax deterministic ones by specifying that the probability of the round-off error exceeding a threshold is below a given confidence. In this work, we propose a novel approach to probabilistic round-off analysis, by applying concentration inequalities over the Taylor expansion from FPTaylor (TOPLAS 2018). A major obstacle in applying concentration inequalities is that the Taylor expansion involves absolute value operators that make the calculation of the expected values of the first order partial differential terms difficult. Our first step to overcome this obstacle is a sound over-approximation that removes the absolute value operators in polynomial expressions. Then, we show how to handle fractional expressions by a transformation into polynomial case. Finally, we show how to improve our approach with range partitioning. Our approach is scalable since the key computational part is the calculation of expected values of polynomial expressions with independent variables, for which the linear and independence properties of expectation boost the computation. Experimental results show that our approach is orders of magnitude more time efficient, while producing thresholds with comparable precision against the state of the art.\n26. 基于最缓上升动力学的电力系统吸引域边界计算 Calculating Domain of Attraction Boundary of Power Systems Based on the Gentlest Ascent Dynamics\n作者: Sixu Wu, Chenmin Zhang, Aiqing Zhu, Yang Liu, Jianxi Lin, Yifa Tang\n类别: math.DS, math.NA\n发布日期: 2026-05-05\narXiv ID: 2605.04197v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04197v1\n摘要: The power system, a fundamental public utility, is increasingly important due to growing global electricity demand. Recent large-scale blackouts (e.g., Iberian Peninsula, UK) have raised concerns about transient stability under impact faults. Transient stability is determined by post-disturbance synchronizing capability of synchronous generators, formulated as identifying the domain of attraction (DOA) boundary of the asymptotically stable equilibrium. Using a benchmark model of synchronous-generator-dominated power systems, this report employs a gentlest ascent dynamics (GAD) method for 1-saddle points, an adjoint operator method for periodic orbits, and stable manifold algorithms to compute the DOA boundary. These algorithms transform DOA boundary determination into constructing unstable critical elements (saddle points and periodic orbits) and their stable manifolds. Theoretically, under certain assumptions we prove that the DOA boundary is the closure of the union of stable manifolds of index-1 critical elements, and establish a stability theory for a perturbed GAD system. Numerical experiments on two-machine and three-machine systems (with only saddle points or with periodic orbits) validate the effectiveness and accuracy. Results show the algorithms accurately capture the geometric structure of the DOA boundary, providing a new numerical tool for transient stability analysis.\n27. 学习分数阶随机微分方程的误差分析及其在神经逼近中的应用 Error analysis for learning fractional stochastic differential equations with applications in neural approximations\n作者: Mahdi Dehshiri, Kerlyns Martinez, Lauri Viitasaari\n类别: math.PR, math.NA\n发布日期: 2026-05-05\narXiv ID: 2605.04168v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04168v1\n摘要: This paper develops a framework for the error analysis in nonparametric model fitting of fractional stochastic differential equations based on discrete observations. We identify and quantify the main error sources \u0026ndash; time discretization, coefficient approximation, and model fitting error \u0026ndash; within a unified framework. Through Sobolev-type norms, we derive convergence rates that incorporate the regularity of trajectories, thereby capturing the interaction of these error components. To demonstrate the applicability of the theory, we introduce a training scheme for coefficient function estimation based on shallow neural networks and a recurrent architecture. Numerical experiments validate the theoretical findings and illustrate the effectiveness of the approach.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-05-07_05-50-56/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年05月07日 05:50:56\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 27\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"不相关论文基本信息\"\u003e不相关论文（基本信息）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-二维kaup-broer-kuperschmidt-boussinesq系统的数值研究\"\u003e1. 二维Kaup-Broer-Kuperschmidt Boussinesq系统的数值研究\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eNumerical study of the 2D Kaup-Broer-Kuperschmidt Boussinesq system\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年05月07日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年05月06日 09:52:05\n重点关注论文数量: 0\n了解领域论文数量: 0\n不相关论文数量: 14\n不相关论文（基本信息） 1. 参数化变分不等式的模型降阶：在人群运动中的应用 Model order reduction for parametrized variational inequalities: application to crowd motion\n作者: Giulia Sambataro, Virginie Ehrlacher\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-05\narXiv ID: 2605.04037v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.04037v1\n摘要: This work investigates model order reduction for time-dependent parametrized variational inequalities, with a focus on discrete contact problems. As a prototypical example, we consider an agent-based crowd model [Maury et al., 2011] in which agent velocities are obtained at each time step from a constrained least-squares problem. Geometric parameter variations induce significant variability in both agent positions and contact forces, leading to a slowly decaying Kolmogorov $n$-width of the solution manifold. We propose a nonlinear approach that combines a linear reduced-order model with a deep-learning-based correction. The method utilizes a greedy index selection (gIS) algorithm for compressing Lagrange multipliers and Proper Orthogonal Decomposition (POD) applied to velocity snapshots. Additionally, we explore hyper-reduction techniques, comparing the Empirical Interpolation Method (EIM) and the Empirical Quadrature (EQ) procedure from both computational complexity and accuracy perspectives. Finally, we demonstrate the applicability of the methodology in a complex scenario involving many agents in a highly congested geometric configuration. This work represents the first attempt to apply model order reduction to a discrete contact problem of the type introduced in [Maury et al., 2011] and paves the way for future advancements in nonlinear MOR specifically for this class of problems.\n2. 用于随机微分方程的递归多项式混沌演化方法 A Recursive Polynomial Chaos Evolution Method for Stochastic Differential Equations\n作者: Guillaume Bal, Shengbo Ma, Su Zhang, Zhiwen Zhang\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-05\narXiv ID: 2605.03853v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.03853v1\n摘要: Numerical simulation of stochastic differential equations over long time intervals poses significant computational challenges. In this paper, we propose a novel recursive polynomial chaos evolution method that achieves model reduction without sampling by exploiting the Markov property to maintain a fixed low-dimensional representation throughout the time evolution. At each time step, we construct orthogonal polynomial bases adapted to the current probability measure, and project the one-step-ahead solution onto this new basis together with the new Brownian increments. This dynamic updating strategy effectively reduces the dimension of the random variables during long-time evolution. Under appropriate assumptions, we prove the convergence of the method, specifically that the distributions generated by the method preserve convergence in the Wasserstein-1 distance. We present numerical results demonstrating that the method can accurately capture complex dynamical behaviors with high accuracy and low computational cost.\n3. 基于几何守恒律的高阶直线拉格朗日方法 A high-order rectilinear Lagrangian method based on the geometric conservation law\n作者: Xun Wang, Chengdi Ma\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-05\narXiv ID: 2605.03739v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.03739v1\n摘要: This paper presents a mesh moving strategy for high-order Lagrangian method on quadrilateral meshes. The primary evidence of this method stems from principle of area conservative linearization and the asymptotic properties of the velocity. The former strictly adheres to the requirements of geometric conservation laws, while the latter provides a high-order accuracy guarantee. Two smooth vortex test cases verify the feasibility of the proposed scheme.\n4. 基于凸半无限规划与切割平面法的一维非负样条光滑 One-Dimensional Nonnegative Spline Smoothing via Convex Semi-Infinite Programming with a Cutting-Plane Method\n作者: Hiroki Arai, Daichi Kitahara\n类别: math.OC, eess.SP, math.NA\n发布日期: 2026-05-05\narXiv ID: 2605.03711v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.03711v1\n摘要: Spline functions are smooth piecewise polynomials widely used for interpolation and smoothing, and nonnegative spline smoothing is also studied for nonnegative data. Previous research used sufficient conditions for the nonnegativity of spline functions because necessary and sufficient conditions for the nonnegativity are infinitely many linear inequalities, which are difficult to handle in optimization algorithms. This conventional method quickly computes a nonnegative spline function via quadratic programming (QP), but the optimal solution may be slightly degraded by using the sufficient condition. In this paper, we express 1D nonnegative spline smoothing as a convex semi-infinite programming (CSIP) problem that directly deals with infinite inequality constraints. As optimization algorithms for general SIP problems, local-reduction-based sequential quadratic programming (LRSQP) methods are used, but their convergence performance deteriorates for certain problems due to multiple approximations during updates. To quickly solve the CSIP problem, we propose a cutting-plane (CP) method. In the proposed method, after giving an initial solution by the standard spline smoothing, we find the minimizer of each polynomial piece by using the closed-form solution for a low-degree polynomial or a numerical solution for a high-degree polynomial. If the minimum value is negative, then such minimizer is added into the constraint of the problem to guarantee the nonnegativity. This constrained problem is quickly solved via QP, and we find the minimizer of each polynomial piece again. We repeat these procedures until there are no negative minimum values. The proposed method guarantees convergence to the original CSIP solution, and its effectiveness is demonstrated in numerical experiments by comparison to the conventional methods, QP under the sufficient condition and CSIP using the MATLAB LRSQP algorithm.\n5. 基于特征伽辽金方法的半拉格朗日间断有限元格式中时间依赖检验函数的误差分析 Error Analysis of Time-Dependent Test Functions in the Semi-Lagrangian Discontinuous Finite Element Scheme Based on the Characteristic Galerkin Method\n作者: Zhengrong Xie\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-05\narXiv ID: 2605.03695v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.03695v1\n摘要: This paper studies the time-dependent test-function error in the characteristic Galerkin-type semi-Lagrangian discontinuous finite element (CSLDG) method caused by numerical integration errors of the characteristic ODE solver, and its effect on convergence. Unlike classical finite element methods and standard DG methods, the test functions in CSLDG are constructed by characteristic backtracking. As a result, ODE errors affect not only the upstream integration region but also enter directly into the discrete weak formulation through perturbations of the test function support. Neglecting mesh geometric errors, we introduce an ideal auxiliary solution and an auxiliary solution retaining the test-function error, and derive the corresponding error equation and recursive relations. First, based on a global time-dependent test-function error analysis, we show that the optimal $L^2$ convergence order of the $P^K$-CSLDG method is preserved provided that the ODE solver order satisfies $D\\ge 2K+3+d$. We then propose a new analysis based on the propagation of local modal coefficient errors, which controls the error cell by cell through the actual modal update formulas and recovers the global $L^2$ estimate. This leads to an improved sufficient condition $D\\ge K+1+\\frac{d}{2}$. The results show that the required ODE accuracy depends strongly on the analytical route, and that the modal-coefficient-based analysis is both closer to the actual implementation and more consistent with numerical observations.\n6. 基于代数谱曲线的自由解压 Free Decompression with Algebraic Spectral Curves\n作者: Siavash Ameli, Chris van der Heide, Liam Hodgkinson, Michael W. Mahoney\n类别: stat.ML, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-05\narXiv ID: 2605.03634v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.03634v1\n摘要: Tools from random matrix theory have become central to deep learning theory, using spectral information to provide mechanisms for modeling generalization, robustness, scaling, and failure modes. While often capable of modeling empirical behavior, practical computations are limited by matrix size, often imposing a restriction to models that are too small to be realistic. This motivates the inference of properties of larger models from the behavior of smaller ones. Free decompression (FD) is a recently proposed method for extrapolating spectral information across matrix sizes, but its utility is currently limited by strong assumptions that preclude its implementation on more realistic machine learning (ML) models. We use algebraic spectral curve theory to provide a general FD methodology for spectral densities whose Stieltjes transform satisfies an algebraic relation, a modeling assumption that is more likely to hold in practice. This recasts FD as an evolution along spectral curves which can be readily integrated. Our framework enables the expansion of spectral densities that have multiple or multi-modal bulks, that exist at multiple scales, and that contain atoms, all characteristic of real-world data and popular ML models. We demonstrate the efficacy of our framework on models of interest in modern ML, including Hessian and activation matrices associated with neural networks and large-scale diffusion models.\n7. 真实与热完全气体可压缩流动方程的压力平衡保持与完全守恒离散格式 Pressure-equilibrium-preserving and fully conservative discretization of compressible flow equations for real and thermally perfect gases\n作者: Gennaro Coppola, Alessandro Aiello, Carlo De Michele\n类别: physics.flu-dyn, math.NA\n发布日期: 2026-05-05\narXiv ID: 2605.03617v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.03617v1\n摘要: Numerical simulations of compressible real-fluid flows are notoriously plagued by spurious pressure oscillations arising in regions of abrupt flow variations. As a possible remedy, several numerical formulations enforce the pressure equilibrium condition for the compressible Euler equations, typically at the cost of spoiling the correct conservation of total energy or by overspecifying the thermodynamical variables. This study proposes for the first time a numerical discretization procedure which is able to discretely preserve the full conservation of the linear invariants (mass, momentum and total energy) and to exactly enforce the pressure equilibrium condition. The method also preserves the conservation of kinetic energy by convection, and is based on the specification of nonlinear numerical fluxes for mass and internal energy which depend on the details of the equation of state. Both thermally perfect and real gases with an arbitrary equation of state are considered, and a simplified approximate pressure equilibrium preserving formulation with excellent performances is also proposed. The effectiveness of the novel formulations is assessed through a series of numerical simulations in supercritical and transcritical conditions with some of the most popular cubic equations of state.\n8. 傅里叶残差网络对不连续函数实现谱精度 Fourier Residual Networks Achieve Spectral Accuracy for Discontinuous Functions\n作者: Owen Davis, Mohammad Motamed, Olof Runborg\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-05\narXiv ID: 2605.03549v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.03549v1\n摘要: We present a constructive approximation framework for analyzing the expressive power of Fourier residual networks in approximating a broad class of one-dimensional functions. Our study covers both piecewise continuous functions \u0026ndash; including those with jump discontinuities in the function and its derivatives \u0026ndash; and fully smooth functions. We show that Fourier residual networks achieve spectral convergence without requiring periodicity or continuity, thereby overcoming key limitations of classical linear Fourier approximation and nonlinear methods, without being restricted to Barron-type function spaces. Our approach builds on classical techniques from approximation theory, including fixed-point iteration and Hermite interpolation by trigonometric polynomials. We support our theoretical results with numerical experiments based on both the constructed approximations and a randomized algorithm developed in our earlier work.\n9. 随机检验函数、$H^{-1}$范数等价性与随机变分物理信息神经网络 Random test functions, $H^{-1}$ norm equivalence, and stochastic variational physics-informed neural networks\n作者: Diego Marcondes\n类别: math.NA, cs.LG\n发布日期: 2026-05-05\narXiv ID: 2605.03542v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.03542v1\n摘要: The dual norm characterisation of weak solutions of second-order linear elliptic partial differential equations is mathematically natural but computationally intractable: evaluating the $H^{-1}$ norm of a residual requires a supremum over an infinite-dimensional function space. We prove that the $H^{-1}$ norm of any functional is equivalent to its expected squared evaluation against a random test function whose distribution depends only on the domain. Crucially, realisations of this random test function have negative Sobolev regularity for $d \\geq 2$, yet this roughness is not an obstacle: averaging over the distribution exactly recovers the correct weak topology, independently of the differential operator. This equivalence introduces the notion of stochastically weak solutions, which coincide with classical weak solutions, and motivates stochastic variational physics-informed neural networks (SV-PINNs): neural networks trained by minimising an empirical approximation of the stochastic norm of the PDE residual. Although instantiated here with neural networks as trial spaces, the underlying principle is independent of the approximation architecture and suggests a broader paradigm for numerical methods based on stochastic rather than deterministic test spaces. The framework extends naturally to higher-order elliptic, parabolic and hyperbolic equations and to abstract operator equations on Hilbert spaces. As a proof of concept, we present numerical experiments on eight challenging second-order linear elliptic problems spanning high-frequency and multi-scale solutions, indefinite operators, variable coefficients, and non-standard domains, in which SV-PINNs consistently and significantly outperform standard PINNs, recovering solutions to within one percent relative error in hundreds of L-BFGS steps.\n10. 脑动脉瘤中器械诱导的血栓形成：将患者特异性血栓建模与功能性闭塞关联至虚拟血管造影评估 Device-Induced Thrombus Formation in Cerebral Aneurysms: Linking Patient-Specific Clot Modeling and Functional Occlusion to Virtual Angiographic Assessment\n作者: Fabian Holzberger, Struan Hume, Markus Muhr, Malebogo Ngoepe, Barbara Wohlmuth\n类别: cs.CE, math.NA\n发布日期: 2026-05-05\narXiv ID: 2605.03536v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.03536v1\n摘要: Endovascular treatment of cerebral aneurysms aims to achieve functional occlusion and isolation of the aneurysm sac from bloodflow. In clinical practice, treatment success is assessed primarily through digital subtraction angiography (DSA), which visualizes contrast-agent inflow and washout but does not directly resolve thrombus formation driving early occlusion. We present a computational framework that couples acute fibrin thrombus formation with virtual angiography, enabling early thrombus growth to be interpreted through clinically familiar DSA-like imaging. Three common treatment strategies: endovascular coiling, flow diversion, and stent-assisted coiling, are modeled under pulsatile hemodynamics and linked to simulated contrast transport. Across three representative aneurysm morphologies, the simulations demonstrate that while devices reduce inflow, residual contrast access and trapping may persist, with early thrombus formation contributing substantially to perfusion suppression and altered washout patterns. These effects are clearly reflected in the virtual angiographic imaging. The importance of vortical structures in device-induced thrombosis is highligthed in one of the cases. By seeking to align modelling and simulation tools with clinically-relevant metrics, with a particular focus on occlusion outcome, this work presents a good starting point for bridging the gap between these two paradigms.\n11. 用次线性神经网络参数化凸集 Parametrizing Convex Sets Using Sublinear Neural Networks\n作者: Eloi Martinet\n类别: math.OC, cs.AI, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-05\narXiv ID: 2605.03520v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.03520v1\n摘要: We propose a neural parameterization of convex sets by learning sublinear (positively homogeneous and convex) functions. Our networks implicitly represent both the support and gauge functions of a convex body. We prove a universal approximation theorem for convex sets under this parametrization. Empirically, we demonstrate the method on shape optimization and inverse design tasks, achieving accurate reconstruction of target shapes.\n12. 带高度奇异位势的非线性薛定谔方程指数波积分器的最优误差界 Optimal error bounds on the exponential wave integrator for nonlinear Schrödinger equations with highly singular potential\n作者: Weizhu Bao, Chushan Wang, Yifei Wu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-05\narXiv ID: 2605.03355v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.03355v1\n摘要: We establish error estimates of the first-order exponential wave integrator (EWI) for the nonlinear Schrödinger equation (NLSE) with a highly singular potential in $\\R^d$ with $1 \\leq d \\leq 3$. Our results deal with singular potentials in $L^p_\\text{\\rm loc}(\\R^d)$ with $p \u003e \\frac{d}{2}$ and $p \\geq 1$, which is (almost) the weakest regularity of the potential required by the well-posedness of the NLSE. First, for $L^p_\\text{loc}$-potentials with $p\u003e2$, we establish an optimal first-order $L^2$-norm convergence for the EWI, with the convergence order slightly reduced to $1^-$ when $p=2$. To the best of our knowledge, the optimal first-order convergence for the three-dimensional $L^2$-potential is for the first time in the literature. The optimality of such an error bound is two-fold: (i) the first-order $L^2$-norm convergence is optimal for the EWI (and its higher-order versions) under the given $L^2$-regularity assumption on the potential, and (ii) to achieve the first-order $L^2$-norm convergence for the EWI, such an assumption is optimally weak. For more singular potentials in $L^p_\\text{\\rm loc}(\\R^d)$ with $\\frac{d}{2} \u003c p \u003c 2$ and $p \\geq 1$, we prove that the $L^2$-norm convergence is (almost) of $(1 - α)$-order when $d=1, 2$, and of $(1 - \\frac{3}{2}α)$-order when $d=3$, where $α:= d(1/p - 1/2)$ when $d =1,2,3$, $p\u003e1$ and $α:= \\frac{1}{2}^+$ when $d=1$, $p=1$. Notably, this result pushes the error estimate to the threshold regularity of the potential that matches the threshold regularity for the well-posedness of the NLSE, which is also for the first time. Two main ingredients are adopted in the proof: (i) the use of discrete space-time Lebesgue spaces together with discrete Strichartz estimates to establish the stability of the numerical scheme, and (ii) the use of normal form transformation and frequency decompositions to obtain optimal error bounds.\n13. 作为Boltzmann流与Landau流近似的连续提升-投影流 The consecutive lifting-projection flow as an approximation of Boltzmann and Landau flow\n作者: Kun Huang\n类别: math.NA, math-ph\n发布日期: 2026-05-05\narXiv ID: 2605.03273v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.03273v1\n摘要: We introduce the consecutive lifting-projection (LP) flow as a novel approximation framework for the spatially homogeneous Boltzmann and Landau equations. The key idea is to lift the nonlinear collision operator to a higher dimensional linear Kac master equation on spheres, evolve this lifted equation in time, and project the solution back to the lower dimensional velocity space. The resulting LP flow is a tangent flow to the original kinetic dynamics and admits a clear semigroup structure. We show that the consecutive LP flow preserves mass, momentum, and energy, satisfies an entropy dissipation property, and converges to the correct Maxwellian equilibrium. In addition, the lifting removes the intrinsic nonlinearity of the collision operator and enables explicit analytical representations of the solution. For Maxwell molecules, we provide an error estimate quantifying the accuracy over finite time intervals. The framework provides a concise and general methodology for constructing reliable numerical solvers in kinetic theory. It unifies existing explicit discretizations, which helps understanding numerical stability and clarifying the trade-off between conservation and positivity. More importantly, it enables the development of new schemes. In particular, we propose the Green\u0026rsquo;s function method, which is not only unconditionally stable, but also perfectly compatible with fast spectral discretizations.\n14. 基于张量密度近似的正则化路径依赖McKean\u0026ndash;Vlasov动力学的高维增强采样 High-Dimensional Enhanced Sampling via Regularized Path-Dependent McKean\u0026ndash;Vlasov Dynamics using Tensor Density Approximation\n作者: Liyao Lyu, Siyu Guo, Huan Lei\n类别: math.NA, physics.comp-ph, stat.CO\n发布日期: 2026-05-04\narXiv ID: 2605.03080v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.03080v1\n摘要: Sampling from high-dimensional Gibbs measures poses a challenge when the energy landscape consists of multiple metastable states. Enhanced-sampling methods mitigate this difficulty by introducing adaptive biasing potentials to facilitate the exploration along prescribed collective variables (CVs), but their scalability is often limited by the dimension of the CV space. Motivated by the Wasserstein-gradient-flow interpretation of adaptive biasing, we propose a regularized path-dependent McKean\u0026ndash;Vlasov formulation for high-dimensional enhanced sampling. The formulation replaces the variational regularization of the Wasserstein functional by a direct regularization of the CV marginal density in the McKean\u0026ndash;Vlasov drift, avoiding the outer convolution over the CV domain. Furthermore, it replaces the instantaneous law by a weighted path-history measure to improve statistical stability in the small-replica regime. We establish well-posedness of the resulting regularized and path-dependent stochastic dynamics under suitable assumptions. For numerical realization, the history-averaged CV marginal density is approximated using an optimization-free functional hierarchical tensor representation, leading to a scalable density-based adaptive biasing scheme. Numerical experiments on benchmark potentials and molecular systems demonstrate the effectiveness of the proposed method for sampling problems with CV dimensions up to 64.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-05-06_09-52-05/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年05月06日 09:52:05\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 0\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 14\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"不相关论文基本信息\"\u003e不相关论文（基本信息）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-参数化变分不等式的模型降阶在人群运动中的应用\"\u003e1. 参数化变分不等式的模型降阶：在人群运动中的应用\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eModel order reduction for parametrized variational inequalities: application to crowd motion\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e","title":"2026年05月06日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年05月05日 05:45:56\n重点关注论文数量: 3\n了解领域论文数量: 3\n不相关论文数量: 44\n重点关注论文（完整分析） 1. 带有先验界的椭圆型低维拟周期解的数值构造 Numerical Construction of Elliptic Lower-Dimensional Quasi-Periodic Solutions with a Priori Bound\n作者: Mingwei Fu, Bin Shi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-03\narXiv ID: 2605.01864v1\n摘要翻译: 近期，Fu 和 Shi[2026] 针对近可积系统发展了构造全维拟周期解的数值框架。该方法基于交替格式，有效克服了角变量中的长期漂移——这是辛积分子的一项根本性局限。然而，在许多应用中，例如限制性三体问题，低维拟周期解更为重要。由于正规频率的存在导致复杂的共振现象，这类解的构造更具挑战性。除了子空间共振，还必须考虑第一和第二 Melnikov 条件以消除小除数。本研究将所提出的交替数值格式推广到椭圆型低维拟周期解的计算。我们针对 Hénon-Heiles 模型和 Fermi–Pasta–Ulam (FPU) 模型进行了数值实验，验证了方法的有效性。此外，我们强调扰动不仅仅是一个实系数多项式，而是一个实值函数。因此，相关的扰动算子表现出 Gevrey 衰减，且不具有 Hankel 结构。同时，我们利用预解恒等式进一步简化了多尺度分析，表明全局逆可以通过粘合过程用局部逆线性表示。这一表示揭示出与尺度相关的相互作用结构：短程以弱相互作用为主，而长程则出现强相互作用。这种平衡确保逆的 Gevrey 衰减保持均匀控制。而且，在这一线性表示中，反演条件为局域化性质提供了更清晰的刻画。\nComment: 41 pages, 6 figures\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.01864v1\n1. 研究对象和背景 近可积哈密顿系统是解析动力系统的核心研究对象, 在行星轨道稳定性, 晶格振动等跨尺度问题中起关键作用. 在作用-角坐标下, 系统由如下哈密顿量描述: $$ H(I,\\theta)=H_0(I)+\\varepsilon H_1(I,\\theta), $$ 其中 $I\\in\\mathbb{R}^n$, $\\theta\\in\\mathbb{T}^n$, $\\varepsilon$ 是小参数. 无扰动 ($\\varepsilon=0$) 时, 运动是拟周期的: $$ I(t)=I_0,\\quad \\theta(t)=\\theta_0+\\omega(I_0)t,\\quad \\omega(I_0)=\\nabla H_0(I_0). $$ 在扰动下, 考虑初始作用 $I_0$ 附近的平移 $J=I-I_0$, 并泰勒展开可得等效哈密顿量: $$ H(J,\\theta;I_0)=\\langle\\omega(I_0),J\\rangle+\\varepsilon H_1(J,\\theta;I_0), $$ 其中 $H_1$ 吸收了高阶项. 若频率映射 $\\omega: I_0\\mapsto\\omega(I_0)$ 是微分同胚 (例如满足等能非退化条件 $\\det\\begin{pmatrix}\\nabla^2 H_0 \u0026 \\nabla H_0 \\\\ (\\nabla H_0)^\\top \u0026 0\\end{pmatrix}\\neq0$), 则可重新参数化到频率空间: $$ H(J,\\theta;\\omega)=\\langle\\omega,J\\rangle+\\varepsilon H_1(J,\\theta;\\omega). $$ 在此框架中, 经典的 KAM 理论断言: 若频率满足 Diophantine 条件, 且不为共振关系 $\\langle k,\\omega\\rangle =0$ (对 $k\\in\\mathbb{Z}^n\\setminus\\{0\\}$), 则大多数不变环面在小扰动下得以保持. 然而, 在许多物理系统中, 某些作用分量可能为 0, 例如限制性三体问题中与主星偏心率相关的作用量为零. 此时, 频率分解为切向部分 $\\omega_T\\in\\mathbb{R}^m$ 和法向部分 $\\omega_N\\in\\mathbb{R}^{n-m}$, 哈密顿量可写为 $$ H(J,\\theta,z,\\bar z;\\omega_T)=\\langle\\omega_T,J\\rangle+\\langle\\omega_N z,\\bar z\\rangle+\\varepsilon H_1(J,\\theta;z,\\bar z;\\omega_T), $$ 其中 $z_i=\\sqrt{I_i}e^{i\\theta_i}$ 是复变量. 对应的不变环面是 $m$ 维的 (低维环面), 嵌入在 $2n$ 维空间中. 当法向频率为实数 ($\\omega_N\\in\\mathbb{R}^{n-m}$) 时称为椭圆型, 否则为双曲型. 椭圆低维环面的存在性涉及更复杂的共振条件: 除了标准切向共振 $\\langle k,\\omega_T\\rangle =0$ ($k\\in\\mathbb{Z}^m\\setminus\\{0\\}$) 外, 还需避免第一 Melnikov 条件 $$ \\langle k,\\omega_T\\rangle -\\omega_j =0,\\quad j=m+1,\\dots,n, $$ 和第二 Melnikov 条件 $$ \\langle k,\\omega_T\\rangle -\\omega_{j_1}+\\omega_{j_2}=0,\\quad \\langle k,\\omega_T\\rangle -\\omega_{j_1}-\\omega_{j_2}=0,\\quad j_1\\neq j_2. $$ Eliasson (1988) 和 Pöschel (1989) 的 KAM 定理证明了在适当非共振条件下大多数椭圆低维环面仍存在.\n数值上构造拟周期解面临长期相位漂移的困难: 传统的辛积分器虽能保持几何结构, 但角度变量的误差线性累积会导致长期偏离. Fu 和 Shi (2026) 提出一种交替格式, 将常微分方程组转化为代数系统, 通过直接求解 Fourier 系数克服了漂移问题, 成功构造了全维拟周期解. 本文将该方法推广到需处理法向频率的椭圆低维情形, 核心困难在于小分母更密集, 且扰动是实值函数 (非多项式), 导致相应的扰动算子具有 Gevrey 衰减但无 Hankel 结构; 同时作者利用预解恒等式简化了多尺度分析, 将全局逆矩阵表示为局部逆的线性组合, 揭示了短程弱耦合, 长程强耦合的机制, 从而统一控制逆矩阵的 Gevrey 衰变. 本文的目标是建立一个带有先验误差界的收敛数值格式, 以任意精度构造椭圆低维拟周期解.\n2. 主要定理或主要结果 主要结论集中于定理 1.1 (收敛性与先验界). 设 $\\Omega\\subseteq\\mathbb{R}^m$ 为有界域, $\\tau\u003em-1$ 固定. 存在临界阈值 $\\varepsilon_0=\\varepsilon_0(H_1,\\Omega,a)\u003e0$, 使得对任意 $0\u003c\\varepsilon\\leq\\varepsilon_0$, 以下成立: (1) 坏频率集合的测度: 存在常数 $\\kappa=\\kappa(n,m,\\tau,\\Omega)\u003e0$ 和 $\\delta=\\delta(\\varepsilon)\u003e0$, 满足 $\\lim_{\\varepsilon\\to0}\\delta=0$, 且坏频率集 $\\Omega_\\star$ 满足 $\\mathrm{mes}(\\Omega_\\star)\\leq\\kappa+\\delta$. (2) 迭代序列: 对任意初值 $\\omega_T^{(0)}\\in\\Omega\\setminus\\Omega_\\star$ 和 $\\hat{z}_p^{(0)}=0$, 交替格式 (1.18) 生成迭代序列 $(\\omega_T^{(r)},\\hat{z}_p^{(r)})$. (3) 收敛性: 存在 Gevrey 指数 $s=s(\\varepsilon)$ 使得该序列保持在 $(\\Omega\\setminus\\Omega_\\star)\\times\\mathbf{K}(s)$ 中, 并收敛到精确解 $(\\omega_T^\\star,\\hat{z}_p^\\star)$, 其中 $\\mathbf{K}(s)$ 为具有 Gevrey 衰减 $\\sup_k\\|\\hat{z}(k)\\| e^{|k|s}\\leq1$ 的函数空间. (4) 先验界: 存在常数 $M=M(\\varepsilon)$, 使得收敛速度由下述超指数界刻画: $$ \\|\\hat{z}^{(r)}-\\hat{z}^\\star\\|\\leq \\exp\\!\\left(-\\frac{3}{2}(M s)^r\\right),\\quad |\\omega_T^{(r)}-\\omega_T^\\star|\\leq \\exp\\!\\left(-\\frac{3}{2}(M s)^r\\right). $$ 此外, 对于 $t\\in[0,M^r]$, 近似解 $z^{(r)}(t)$ 满足误差界: $$ \\|z^{(r)}(t)-z^\\star(t)\\|\\leq \\exp(-(M s)^r). $$ 这意味着对任意 $t\\geq0$, 当 $r\\to\\infty$ 时 $z^{(r)}(t)$ 收敛到真实拟周期解 $z^\\star(t)$.\n辅助性结果包括: 在 Gevrey 衰减集 $\\mathbf{K}(s)$ 中, 向量场 $\\hat{X}$, 其 Jacobi 矩阵 $S$, 以及二阶导数均有界 (命题 2.1–2.3); 引入的算子 $B$ 也有界 (命题 2.4); 频率漂移 $\\omega_T'-\\omega_T$ 被 $\\varepsilon$ 控制, 且频率映射是微分同胚 (命题 2.5). 在小尺度下, 若频率不属于近共振集 $\\Omega_M^\\tau$, 截断算子 $L_N$ 的逆的算子范数为 $O(\\varepsilon_N^{-1})$, 且矩阵元素具有 Gevrey 衰减 $\\exp(-|k-k'|s)$ (定理 3.3). 大尺度的相应结论在第 4 章通过多尺度分析得出, 并满足实现条件 3.1. 最终在第 5 章综合得到迭代引理并证明主定理.\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 克服长期漂移: 代数化与交替迭代 传统辛积分直接离散化 ODE 会引起角度变量的长期误差积累. 本文沿用 Fu–Shi 方法将动力学转化为求解 Fourier 系数的代数方程 (1.12). 将解空间按共振模式分解为 $Q$-方程 (1.14) 确定切向频率, $P$-方程 (1.15) 确定非共振系数. 构造交替迭代格式 (1.18) 更新频率与 Fourier 系数, 本质是一种牛顿型方法: 频率由 $Q$-方程显式修正, 非共振系数用截断线性化算子 $L_N = T+\\varepsilon B$ 的逆步进. 关键引入修正算子 $B$ (1.19), 它源于 $\\hat{X}_q$ 对 $\\hat{z}_p$ 的依赖, 用以保障迭代映射的收缩性.\n小分母与截断逆的控制 低维情形下, 分母 $\\langle k,\\omega_T'\\rangle$ 及与法向频率的差可能导致极小的除数. 本文引入了依赖于尺度的阈值 $\\varepsilon_N=\\exp(-(\\log N)^{15})$, 并设立实现条件 (3.2)–(3.3): 要求截断逆的范数有界且远距离阵元具有 Gevrey 衰减. 为满足这些条件, 需排除“坏”频率. 在小尺度 ($N\\leq M$) 下, 通过测度估计 (引理 3.2) 排除满足近共振条件 (3.5)–(3.7) 的频率, 这些条件涵盖了标准共振, 第一和第二 Melnikov 共振. 在此补集中, 利用对角占优技术证明了 $L_N^{-1}$ 的有界性和 Gevrey 衰减 (定理 3.3).\n多尺度分析与预解恒等式 对于大尺度 ($N\u003eM$), 单靠简单的对角占优不足. 本文的创新之一是利用预解恒等式 (resolvent identity) 将全局逆矩阵表示为局部逆的线性组合, 从而将问题分解为不同尺度盒子的耦合. 这种方法揭示出短程弱相互作用, 长程强相互作用的平衡机制, 保证了逆矩阵的 Gevrey 衰变在整个盒子上的统一控制, 同时使得逆存在的条件更清晰地归结为局部可逆性和耦合的衰减性. 具体的归纳构造建立在两种小尺度基情形之上.\nGevrey 衰减空间与算子的估计 关键假设是 Fourier 系数属于 Gevrey 空间 $\\mathbf{K}(s)$, 即 $\\|\\hat{z}(k)\\|\\leq e^{-|k|s}$. 在此空间内, 因为扰动 $H_1$ 是实值函数 (不限于多项式), 推导出向量场 $\\hat{X}$ 及其各阶导数仍具有同类型的 Gevrey 衰减 (命题 2.1–2.3), 纵然没有 Hankel 结构. 这些估计保证了牛顿迭代中线性化算子的有效性和误差的快速缩减. 特别地, 命题 2.3 中二阶导数在截断区域 $\\Lambda_N$ 上的界为 $O((2N+1)^{m/2})$, 这被容忍因为最终误差是超指数衰减.\n迭代引理的归纳证明 论文通过迭代引理 (Iterative Lemma) 将局部估计组装起来: 每一步迭代将误差范数从 $r$ 步提升到 $r+1$ 步, 并获得超指数收缩. 证明中交替使用了小尺度和大尺度的反演结果, 以及 Gevrey 衰减所保证的线性化算子的精细性质.\n4. 与之前工作的比较 与 Fu 和 Shi (2026) 的比较: 前驱工作针对全维拟周期解, 该情形仅需避免切向共振 $\\langle k,\\omega\\rangle=0$, 且作用量各分量非零. 本文将其交替数值格式推广到椭圆低维拟周期解, 此时部分作用为零, 法向频率出现, 导致必须额外规避第一, 第二 Melnikov 共振条件 (1.6)–(1.7). 技术上, 全维情形处理 $n$ 维频率 $\\omega$ 的 Diophantine 条件, 而低维情形只需处理 $m$ 维切向频率 $\\omega_T$ (因为分母只涉及 $\\omega_T$), 这带来两个影响: 一方面使得小分母的出现频率可能更低 (多重特征值), 降低了问题的刚性; 另一方面因共振条件增多, 排除坏频率的测度估计更复杂 (需引入 $\\Omega_{1,M}^\\tau$ 和 $\\Omega_{2,M}^{+,\\tau}$). 此外, 修正算子 $B$ 的引入也是为适应低维扩展而设计.\n与经典 KAM 理论的比较 (如 Pöschel, Eliasson): 经典 KAM 通过无穷次辛变换消除非共振项, 本质是分析性的存在性结果, 并不提供直接数值构造方案. 本文则给出一个数值可实现的迭代格式, 且在每一步都有明确截断和误差控制, 最终给出超指数收敛的先验界. 同时, 本文去除了扰动 $H_1$ 为多项式的要求, 允许一般的实值函数, 从而覆盖更广的物理模型. 这一推广使得扰动算子失去 Hankel 结构, 但本文证明了 Gevrey 衰减仍足以维持所需估计.\n与基于辛积分的传统数值方法比较: 传统辛积分器 (如 Feng 1995, Hairer et al. 2006) 在长时间积分时会因相位误差积累导致角度变量的长期漂移, 丧失真实的拟周期特征. 本文方法通过直接求解 Fourier 系数代数系统, 本质上避免了在时域上推进, 从而根除了时间步长带来的漂移问题. 文中强调, 所构造的 $z^{(r)}(t)$ 对所有 $t\\geq0$ 收敛到精确解, 即提供了任意长时间区间上的精确近似, 这是经典时间步进方法无法保证的.\n与 Craig–Wayne–Bourgain (CWB) 方案的对比: CWB 方案 (Bourgain 1997, 2005) 原本是在 PDE 环境中构造低维拟周期解的解析方法, 采用 Liouvillian 坐标和惩罚方法. 本文虽是数值格式, 但汲取了 CWB 直接处理哈密顿量而不预先分解的思想, 用于椭圆低维情形, 并结合多尺度分析和预解恒等式提供了新的数值刚性控制手段.\n局限与代价: 与所有 KAM 型方法类似, 本文需要排除坏频率集, 其测度虽随 $\\varepsilon$ 减小而可控, 但严格大于零, 故不能保证对所有频率成立. 此外, 先验界中的常数 $M$ 和 $s$ 依赖于 $\\varepsilon$, 当 $\\varepsilon$ 很小时 $M$ 会极大, 导致实际收敛速度在初期可能较慢, 但理论上实现超指数收敛.\n2. Maxwell à la Helmholtz：基于 Helmholtz 算子的完美电导体三维散射直接边界积分方程 Maxwell à la Helmholtz: Direct boundary integral equations for 3D scattering by perfect electric conductors via Helmholtz operators\n作者: Carlos Pérez-Arancibia, Catalin Turc\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-05-03\narXiv ID: 2605.01670v1\n摘要翻译: 本文是 [Burbano-Gallegos, P\u0026rsquo;erez-Arancibia, and Turc, ESAIM: M2AN, 60(1):273\u0026ndash;315, 2026] 的直接公式化对应篇，该文针对光滑完美电导体 (PEC) 障碍物的时谐电磁散射，发展了完全依赖 Helmholtz 边界积分算子的间接仅组合场边界积分方程 (BIEs)。本文利用 Maxwell PEC 散射问题与一对向量 Helmholtz 边值问题（一个关于电场，一个关于磁场）之间的同一等价性，来推导直接的 BIE 公式，其未知量为总场的 Dirichlet 和 Neumann 迹，并分解为其法向和切向表面分量。这些未知量具有直接的物理意义：特别地，磁场公式在其解中给出表面电流。这两个场迹分量的混合正则性要求引入一个特制的乘积 Hölder 空间，这是间接方法所没有的独特特征。我们证明，所得到的直接电场和磁场仅组合场积分方程（D-ECFOIE 和 D-MCFOIE）在所有频率下唯一可解，并引入 Calderón 型正则化（RD-ECFOIE 和 RD-MCFOIE）使它们成为第二类 Fredholm 方程。我们进一步考察了影响电场公式的低频崩溃，并引入一个修正方程，该方程施加物理电荷守恒约束，从而为任意接近零的频率恢复数值精度和良好条件的线性系统。基于密度插值方法的高阶 Nyström 求解器并在 Julia 包 Inti.jl 中实现的数值实验，验证了所提公式在一系列几何体和频率上的精度和稳健性。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.01670v1\n1. 研究对象和背景 本文研究时谐电磁波在三维空间中被光滑完美电导体(PEC)障碍物散射的直接边界积分方程(BIE)方法，核心思想是将 Maxwell 散射问题完全转化为仅用亥姆霍兹(Helmholtz)边界积分算子表示的形式。考虑角频率 $\\omega\u003e0$ 的时谐场（时间因子 $e^{-i\\omega t}$），设障碍物占据有界开区域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^3$，边界 $\\Gamma=\\partial\\Omega$ 为 $C^{2,\\alpha}$ ($\\alpha\\in(0,1)$) 光滑的闭曲面，并可能由多个互不相交的连通分支组成。外部区域 $\\mathbb{R}^3\\setminus\\overline{\\Omega}$ 充满各向同性均匀介质，介电常数 $\\epsilon\u003e0$，磁导率 $\\mu\u003e0$，波数 $k=\\omega\\sqrt{\\epsilon\\mu}\u003e0$。入射电磁场 $(\\bm{E}^i,\\bm{H}^i)$ 在包含 $\\Omega$ 的开集上满足 Maxwell 方程 $\\nabla\\times\\bm{E}^i - i\\omega\\mu\\bm{H}^i = \\bm{0}$，$\\nabla\\times\\bm{H}^i + i\\omega\\epsilon\\bm{E}^i = \\bm{0}$。散射场 $(\\bm{E}^s,\\bm{H}^s)$ 满足：在外域中满足 Maxwell 方程 $$ \\nabla\\times\\bm{E}^s - i\\omega\\mu\\bm{H}^s = \\bm{0},\\quad \\nabla\\times\\bm{H}^s + i\\omega\\epsilon\\bm{E}^s = \\bm{0}, $$ 边界上满足 PEC 条件：切向电场分量为零，即 $\\mathsf{P}_t\\gamma\\bm{E}^s = -\\mathsf{P}_t\\gamma\\bm{E}^i$，其中 $\\gamma$ 为外 Dirichlet 迹，$\\mathsf{P}_t$ 为到切平面的投影算子；并在无穷远处满足 Silver–Müller 辐射条件。该散射问题的适定性在 Hölder 空间框架下已由前人工作（如[3]）建立。\n传统 Maxwell BIE（如 EFIE、MFIE、CFIE）以表面切向矢量场为未知量，核具有超强奇异性，面临低频崩溃、需要 Calderón 预处理等困难。近年来，研究者尝试通过引入标量势或利用等价性将 Maxwell 问题转化为 Helmholtz 方程问题。文献[3]提出了“Maxwell à la Helmholtz”框架：证明了 Maxwell PEC 散射问题等价于一对关于电场 $\\bm{E}^s$ 和磁场 $\\bm{H}^s$ 的向量 Helmholtz 边值问题(BVP)，其中边界条件仅依赖于各自场的 Dirichlet 和 Neumann 迹的切向/法向分量。具体地，$\\bm{E}^s$ 满足 $$ \\Delta\\bm{E}^s + k^2\\bm{E}^s = \\bm{0} \\ \\text{在}\\ \\mathbb{R}^3\\setminus\\overline{\\Omega}, $$$$ \\mathsf{P}_t(\\gamma\\bm{E}^s) = -\\mathsf{P}_t(\\gamma\\bm{E}^i), \\quad \\mathsf{P}_\\nu(\\partial_\\nu\\bm{E}^s + 2H\\gamma\\bm{E}^s) = -\\mathsf{P}_\\nu(\\partial_\\nu\\bm{E}^i + 2H\\gamma\\bm{E}^i), $$ 及辐射条件；类似地，$\\bm{H}^s$ 满足 $\\Delta\\bm{H}^s + k^2\\bm{H}^s = \\bm{0}$，边界条件 $$ \\mathsf{P}_\\nu(\\gamma\\bm{H}^s) = -\\mathsf{P}_\\nu(\\gamma\\bm{H}^i), \\quad \\mathsf{P}_t(\\partial_\\nu\\bm{H}^s + \\bm{R}\\gamma\\bm{H}^s) = -\\mathsf{P}_t(\\partial_\\nu\\bm{H}^i + \\bm{R}\\gamma\\bm{H}^i), $$ 其中 $\\partial_\\nu$ 为外法向导数（Neumann 迹），$\\bm{R}$ 为形算子（Weingarten 映射），$H$ 为平均曲率。基于此等价性，[3]发展了间接组合场积分方程(ECFOIE 和 MCFOIE)，其未知量为辅助面密度，无直接物理意义。\n本文作为[3]的直接法对应，利用相同的等价性，但通过格林表示定理直接导出以总场迹为未知量的边界积分方程。这些未知量（总电场的法向分量 $\\mathsf{P}_\\nu\\gamma\\bm{E}$ 与 Neumann 迹的切向分量 $\\mathsf{P}_t\\partial_\\nu\\bm{E}$，及对磁场类似量）具有清晰的物理意义：例如，磁公式的解直接给出表面电流 $\\bm{J} = \\nu\\times\\bm{H}$。由于迹的分量具有不同的光滑性（Dirichlet 迹比 Neumann 迹光滑一个阶），需要引入混合 Hölder 空间 $C^{p,q}_{\\nu,t}(\\Gamma)$ 来容纳解，这是直接法与间接法的一个显著区别。本文旨在填补直接公式在适定性分析、正则化和低频行为方面的理论空白，提供一个与间接法对应的完整数学框架，并给出高效数值实现。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果包括以下几个方面。\n直接电场和磁场组合场积分方程(D-ECFOIE 和 D-MCFOIE)的推导。 对于电场散射问题，利用格林表示定理写出总场 $\\bm{E}=\\bm{E}^s+\\bm{E}^i$ 在外域的积分表示 $$ \\bm{E}^s(\\bm{x}) = \\mathcal{D}[\\mathsf{P}_\\nu\\gamma\\bm{E}](\\bm{x}) - \\mathcal{S}[\\mathsf{P}_t\\partial_\\nu\\bm{E} - 2\\bm{H}\\mathsf{P}_\\nu\\gamma\\bm{E}](\\bm{x}), \\quad \\bm{x}\\in\\mathbb{R}^3\\setminus\\overline{\\Omega}, $$ 其中 $\\mathcal{D}$ 和 $\\mathcal{S}$ 为向量亥姆霍兹双、单层位势。取外 Dirichlet 和 Neumann 迹并组合得到 D-ECFOIE： $$ -\\frac{1}{2}\\{\\bm{\\varphi}_t + (i\\eta\\bm{I} - 2\\bm{H})\\bm{\\varphi}_\\nu\\} + \\{\\bm{T} + i\\eta\\bm{K} + 2(\\bm{K}' + i\\eta\\bm{S})\\bm{H}\\}\\bm{\\varphi}_\\nu - (\\bm{K}' + i\\eta\\bm{S})\\bm{\\varphi}_t = \\bm{f}, $$ 其中未知量 $\\bm{\\varphi} = \\bm{\\varphi}_\\nu + \\bm{\\varphi}_t$，$\\bm{\\varphi}_\\nu = \\mathsf{P}_\\nu\\gamma\\bm{E}\\in C^{1,\\alpha}$，$\\bm{\\varphi}_t = \\mathsf{P}_t\\partial_\\nu\\bm{E}\\in C^{0,\\alpha}$；右端 $\\bm{f} = -\\partial_\\nu\\bm{E}^i - i\\eta\\gamma\\bm{E}^i$；$\\eta\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\}$ 为耦合参数。类似地，针对磁场问题导出 D-MCFOIE，未知量为 $\\mathsf{P}_\\nu\\partial_\\nu\\bm{H}$ 和 $\\mathsf{P}_t\\gamma\\bm{H}$，其在 $C^{0,1}_{\\nu,t}(\\Gamma)$ 中。\n唯一性定理。 定理 4.2 证明：对任意 $k\u003e0$ 及 $\\eta\\neq0$，D-ECFOIE 在 $C^{1,0}_{\\nu,t}(\\Gamma)$ 中至多有一解；定理 5.1 给出 D-MCFOIE 在 $C^{0,1}_{\\nu,t}(\\Gamma)$ 中的唯一性。证明思路是将齐次方程的解对应到某个位势 $U$，该位势在障碍内部和外部都满足相应的边值问题，由 Helmholtz 内 Robin 问题的唯一性和外 PEC 问题的唯一性推知密度为零。\nCalderón 型正则化与第二类 Fredholm 方程。 通过引入单层算子的组合构造出紧扰动，将 D-ECFOIE 转化为正则化方程 RD-ECFOIE： $$ (-\\tfrac{1}{2}\\bm{I} + \\bm{\\mathcal{K}}_e)\\bm{\\varphi} = \\tilde{\\bm{f}}, $$ 其中 $\\bm{\\mathcal{K}}_e$ 在 $C^{0,\\alpha}(\\Gamma,\\mathbb{C}^3)$ 上为紧算子，从而 RD-ECFOIE 属于 Fredholm 第二类。结合唯一性即得解的存在性。类似地，对磁场形式有 RD-MCFOIE。\n低频崩溃的修正。 当 $k\\to0$ 时，D-ECFOIE 可能失效（因为静电场情形下电荷守恒条件未被适当反映）。本文提出修正方程 $$ \\mathsf{L}_e\\bm{\\varphi} + \\xi\\bm{S}_0\\mathsf{P}_\\nu\\mathsf{P}_t\\bm{\\varphi} = \\bm{f}, $$ 其中 $\\mathsf{L}_e$ 为原 D-ECFOIE 算子，$\\xi\\in\\mathbb{C}\\setminus\\{0\\}$ 为稳定参数，$\\bm{S}_0$ 为 Laplace 单层算子。证明对所有 $k\u003e0$ 该修正方程唯一可解（在温和条件下 $\\xi\\neq -2$ 等）。数值实验显示，该修正对接近零的频率恢复了精度和良态迭代次数。\n数值验证。 利用基于广义密度插值法(GP-DIM)的高阶 Nyström 方法，在 Julia 包 Inti.jl 中实现，针对不同拓扑和几何的光滑表面（包括多连通情形）及广泛频率范围的平面波入射，验证了所提公式的准确性和稳健性。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的分析与构造涉及数个关键技术点，下面逐一分述。\n1. 乘积函数空间 $C^{p,q}_{\\nu,t}(\\Gamma)$ 的引入。 由于待求未知量由迹的切向和法向分量组成，它们在边界上的光滑性不同：Dirichlet 迹的分量比 Neumann 迹的分量高一阶导数。传统的 Hölder 空间无法同时容纳两者，故定义 $$ C^{p,q}_{\\nu,t}(\\Gamma) := \\{ \\bm{\\varphi}:\\Gamma\\to\\mathbb{C}^3 \\mid \\mathsf{P}_\\nu\\bm{\\varphi}\\in C^{p,\\alpha}(\\Gamma,\\mathbb{C}^3), \\ \\mathsf{P}_t\\bm{\\varphi}\\in C^{q,\\alpha}(\\Gamma,\\mathbb{C}^3) \\}, $$ 配备范数 $\\|\\bm{\\varphi}\\|_{C^{p,q}_{\\nu,t}} = \\|\\mathsf{P}_\\nu\\bm{\\varphi}\\|_{C^{p,\\alpha}} + \\|\\mathsf{P}_t\\bm{\\varphi}\\|_{C^{q,\\alpha}}$，并证明它是 Banach 空间（引理 4.1）。这为解的适定性提供了恰当的分析框架。间接方法[3]中因未知量为辅助面密度且具有一致光滑性，无需此空间。\n2. 利用等价性定理构建唯一性论证。 唯一性证明的核心是构造一个由未知密度生成的亥姆霍兹位势 $\\bm{U}$，其内、外 Robin 迹满足齐次方程对应的边界条件。通过内区域 Helmholtz 方程 Robin 问题的唯一性（利用 $\\eta\\neq0$ 和 $k\u003e0$ 的虚部符号）得内部迹为零，跳跃关系给出外部迹的表达式，进而验证它们满足等价性定理中的 PEC 边界条件。因为外部 PEC 问题解唯一，故外部迹也为零，从而密度为零。这一证明链条简洁且充分利用了[3]中建立的等价关系，避免了直接处理 Maxwell 方程的复杂性。\n3. Calderón 正则化与 Fredholm 性质。 原始 D-ECFOIE 的算子包含双重、单层及超奇异算子，直接看不是第二类 Fredholm。本文构造正则化算子 $\\bm{\\mathcal{R}}_e$，其核心是利用 Laplace 单层算子 $\\bm{S}_0$ 构造紧扰动：令 $$ \\bm{\\mathcal{R}}_e\\bm{\\varphi} := \\bm{S}_0\\left( \\bm{P}_\\nu\\bm{\\varphi} + \\bm{P}_t\\bm{\\varphi} \\right) + \\text{紧项}, $$ 使得复合后的主部成为恒等算子加减一个紧算子。具体地，通过计算跳跃关系，发现形如 $\\bm{C}_\\nu$ 和 $\\bm{C}_t$ 的算子（引理 4.3）是紧的，从而确保正则化方程的整体算子 $\\bm{A}_e = \\bm{\\mathcal{R}}_e\\mathsf{L}_e$ 具有形式 $-\\frac{1}{2}\\bm{I} + \\bm{\\mathcal{K}}$，其中 $\\bm{\\mathcal{K}}$ 紧。紧性的证明利用了 Laplace 单层核的弱奇异性以及几何差量 $\\nu_i(\\bm{x})-\\nu_i(\\bm{y})$ 带来的可积性。正则化后方程的解即为原方程的解，故唯一性传递，从而由 Fredholm 择一性得解存在。这种“单层正则化”策略在声学散射中常用，但本文将其成功地移植到混合正则性的向量方程中，是一个技术亮点。\n4. 低频机制的修正与电荷守恒约束的数学实现。 当 $k\\to0$ 时，D-ECFOIE 的连续问题可能非唯一（因为静电极限下电场边界值问题引入多余自由度），导致数值矩阵条件数增长。本文通过分析发现，问题根源在于齐次解中包含不影响物理场的“无旋”分量。为此，在算子中加入约束项 $\\xi\\bm{S}_0\\mathsf{P}_\\nu\\mathsf{P}_t$，强制电荷面散度条件。该修正本质上是将原方程限制到满足 $\\mathsf{P}_\\nu\\mathsf{P}_t\\bm{\\varphi}=0$ 的子空间上，而这一条件正是静电情形下电荷守恒的等价表述。证明修正方程唯一可解的关键在于：任意频率下修正算子的零空间与物理散射问题解的唯一性相容；低频极限下，结合 Laplace 单层算子的正性与参数条件，确保了解的好条件数。该修正仅对电场公式需要，磁公式在单连通表面上自动免疫低频崩溃。\n4. 与之前工作的比较 本文与多个已有工作形成对照，以下从几个维度展开比较。\n1. 与间接法框架的比较（主要与[3]）。 本文是文献[3]中提出的“Maxwell à la Helmholtz”框架的直接法配套工作。[3]通过间接的场-唯一积分方程（ECFOIE 和 MCFOIE）求解，其未知量为辅助密度，出现在组合层位势的表述中，并无直接物理意义。而本文的直接公式未知量本身就是物理迹（总场的法向分量和 Neumann 迹的切向分量），因此磁公式的解可直接给出表面电流，而不需要额外后处理。此外，由于迹分量的混合正则性，直接法需要引入乘积 Hölder 空间 $C^{p,q}_{\\nu,t}$，这在间接法中是不需要的。在适定性分析上，间接法通过位势理论论证解的存在唯一性，而直接法则通过构造位势并利用等价性定理导出唯一性，再用 Calderón 正则化转为 Fredholm 第二类得到存在性，两者路径不同但互相补充。低频行为方面，间接法的电场公式也存在类似崩溃，[3]中采用修改组合位势的方式予以克服；本文的直接法则通过添加约束项来修正，两者均是对电荷守恒条件的恢复，但实现方式各异。\n2. 与直接场-唯一方法的先前尝试比较（主要与[30, 9]）。 文献[30]利用相同的非标准边界条件构造了直接 BIE，但其公式存在内共振（即某些内部特征频率导致唯一性丢失），且不是第二类 Fredholm，也没有分析低频行为。本文通过引入耦合参数 $\\eta\\neq0$ 并采用组合迹方程，完全消除了伪共振问题，证明了在所有波数下的唯一性（定理 4.2 和 5.1）。[9]针对球面情形部分改善了[30]的伪共振，但仅局限于球对称，且未处理磁公式或提供一般适定性理论。本文首次对任意光滑曲面提供了完备的理论，包括一般存在唯一性证明、正则化、低频修正。此外，本文的磁公式在[30, 9]中均未出现。\n3. 与传统 Maxwell BIE 的比较。 传统的 Maxwell BIE（如 EFIE、MFIE、CFIE 及其电流-电荷重构形式[1,7,8,31]）通常涉及矢量面元 curl 或 div 算子，导致超强奇异核和低频谱困难。尽管已有高精度 Nyström 方法[2,11,12,17]和 Calderón 预处理技术[31]，但这些方法仍需处理与 Maxwell 系统直接相关的复杂算子。本文将问题完全转化为 Helmholtz 双、单层位势及其迹算子（$\\bm{S}$、$\\bm{K}$、$\\bm{K}'$、$\\bm{T}$），这些算子在声学散射中已经得到深入研究，具有完备的映射性质和数值实现经验。因此，本文的公式可以自然地继承 Helmholtz 声学 BIE 的成熟数值技术，如高精度 Nyström 方法、快速算法等，降低了实现难度和计算成本。尤其值得注意的是，文中磁公式的解直接是表面电流 $\\bm{J}$ 的负值，无需像传统 CFIE 那样求解电流再求积，简化了后处理。\n4. 技术框架的对比。 本文的分析建立在对曲面几何量（形算子 $\\bm{R}$ 和平均曲率 $H$）的精细控制之上。这些几何量在边界条件中自然出现（参见定理 3.2），并引入到积分算子中（如 $2\\bm{S}\\bm{H}$ 项）。先前的研究大多未显式处理这些几何乘子对积分方程算子的影响。文中通过建立乘法算子有界性及与层势的复合紧闭性，保证了整个方程在正确函数空间中的映射性质。此外，所引入的紧算子 $\\bm{C}_\\nu$ 和 $\\bm{C}_t$ 的构造及其紧性证明（引理 4.3）利用了表面法向的变化，这也在以前的工作中少见。\n3. 结构保持的Maxwell方程最优控制及其在源隐身中的应用 Structure-Preserving Optimal Control of Maxwell\u0026rsquo;s Equations with Applications to Source Cloaking\n作者: Harbir Antil, Yaw Owusu-Agyemang, Rohit Khandelwal, Jimmie Adriazola, Denis Ridzal\n类别: math.OC, math.AP, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-04-30\narXiv ID: 2605.00212v1\n摘要翻译: 我们为含时Maxwell方程的最优控制开发了一个结构保持的求解框架。基于正问题弱形式的适定性理论, 我们首先分析了一个将Nédélec和Raviart\u0026ndash;Thomas有限元与Crank\u0026ndash;Nicolson时间步进耦合的正问题求解器。该求解器保持了de Rham结构, 强制了离散Gauss定律, 精确满足每步能量平衡, 并在由最优控制设置决定的问题数据的低正则性假设下收敛到弱解。为了控制Maxwell系统, 我们将时空电流密度的旋度作为源添加到Ampére定律中。旋度形式在无需辅助约束的情况下保证了电荷守恒。我们证明了控制-状态映射的适定性和连续性, 推导了对偶系统以及跟踪型目标泛函的梯度表示, 并构建了一个继承了正求解器结构保持性的离散优化格式。我们的离散平稳性条件与其连续对应形式相一致, 并且随着网格和时间精细化, 离散最优控制收敛到连续最优解。我们通过数值求解一系列源隐身模型问题, 展示了我们的最优控制形式和理论发展的优点。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.00212v1\n1. 研究对象和背景 本文研究时变麦克斯韦方程组的最优控制问题。设 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^3$ 为有界 Lipschitz 区域，时间区间 $(0,T)$，电场 $\\mathbf{E}$ 与磁感应 $\\mathbf{B}$ 满足\n$$ \\begin{cases} \\varepsilon\\partial_t\\mathbf{E} - \\nabla\\times(\\mu^{-1}\\mathbf{B}) + \\sigma\\mathbf{E} = \\chi_{\\Omega_{\\mathrm{src}}}\\mathbf{I}_{\\mathrm{src}} + \\chi_{\\Omega_{\\mathrm{ctrl}}}\\nabla\\times\\mathbf{z} \u0026 \\text{在 }\\Omega\\times(0,T), \\\\ \\partial_t\\mathbf{B} + \\nabla\\times\\mathbf{E} = 0 \u0026 \\text{在 }\\Omega\\times(0,T), \\\\ \\mathbf{E}\\times\\nu = 0 \u0026 \\text{在 }\\partial\\Omega\\times(0,T), \\\\ \\mathbf{E}(0)=\\mathbf{E}_0,\\; \\mathbf{B}(0)=\\mathbf{B}_0 \u0026 \\text{在 }\\Omega, \\end{cases} $$并自动蕴含电高斯定律 $\\partial_t\\operatorname{div}(\\varepsilon\\mathbf{E}) + \\operatorname{div}(\\sigma\\mathbf{E} - \\chi_{\\Omega_{\\mathrm{src}}}\\mathbf{I}_{\\mathrm{src}})=0$ 和磁高斯定律 $\\operatorname{div}\\mathbf{B}=0$。其中 $\\varepsilon,\\mu\\in L^{\\infty}(\\Omega)^{3\\times3}$ 对称且一致正定，$\\sigma\\in L^{\\infty}(\\Omega)^{3\\times3}$ 对称半正定；源电流 $\\mathbf{I}_{\\mathrm{src}}\\in L^2(0,T;L^2(\\Omega_{\\mathrm{src}})^3)$，控制变量 $\\mathbf{z}\\in Z:=L^2(0,T;H(\\operatorname{curl};\\Omega_{\\mathrm{ctrl}}))$ 以旋度形式 $\\nabla\\times\\mathbf{z}$ 加入安培定律右侧，从而自动保证 $\\nabla\\cdot(\\nabla\\times\\mathbf{z})=0$，无需额外电荷守恒约束。初值 $(\\mathbf{E}_0,\\mathbf{B}_0)\\in L^2(\\Omega)^3\\times L^2(\\Omega)^3$ 且 $\\operatorname{div}\\mathbf{B}_0=0$。边界为理想电导体条件 $\\mathbf{E}\\times\\nu=0$。\n最优控制的目标是在全时域 $[0,T]$ 上引导电磁场趋向于给定的目标场 $(\\mathbf{E}_d,\\mathbf{B}_d)$，观测区域为 $\\Omega_{\\mathrm{obs}}\\subseteq\\Omega$，同时极小化控制能量。目标泛函定义为\n$$ J(\\mathbf{E},\\mathbf{B},\\mathbf{z}) = \\frac12 \\int_0^T \\left( \\|\\varepsilon^{1/2}(\\mathbf{E}-\\mathbf{E}_d)\\|^2_{L^2(\\Omega_{\\mathrm{obs}})^3} + \\|\\mu^{-1/2}(\\mathbf{B}-\\mathbf{B}_d)\\|^2_{L^2(\\Omega_{\\mathrm{obs}})^3} \\right)\\,dt + \\frac12\\|\\mathbf{z}\\|^2_Z, $$其中控制范数 $\\|\\mathbf{z}\\|_Z^2 = \\int_0^T \\left(\\alpha_1\\|\\mathbf{z}\\|^2_{L^2(\\Omega_{\\mathrm{ctrl}})^3} + \\alpha_2\\|\\nabla\\times\\mathbf{z}\\|^2_{L^2(\\Omega_{\\mathrm{ctrl}})^3}\\right)dt$，$\\alpha_1,\\alpha_2\u003e0$。\n此前，在仅有低正则假设（例如 Lipschitz 区域与 $L^2$ 数据）下，文献[1]已建立上述前向问题的弱解适定性，并在半离散层面给出了保持 de Rham 结构、离散高斯定律和能量恒等式的 Nédélec/RT 空间有限元格式。然而，全离散格式的收敛性、特别是结合 Crank–Nicolson 时间步进的分析尚未完成；进一步，在该低正则框架下建立结构保持的最优控制理论——包括控制到状态映射的适定性、伴随方程推导、离散梯度一致性以及离散最优解的收敛性——则是本工作试图填补的核心空白。该问题在电磁隐身、隐蔽等源屏蔽应用中具有直接意义，但需要数值方案在粗网格和长时间尺度下仍能保持物理结构，而现有文献鲜有同时满足结构保持、能量守恒和收敛性保证的最优控制框架。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果包括以下六个方面：\n全离散前向格式的构建与收敛性。建立了 Crank–Nicolson 时间步进与 Nédélec/RT 空间离散相结合的完全离散格式 (6)。证明了每一时间步能量恒等式： $$\\frac{E^{n+1} - E^n}{\\Delta t} + \\|\\sqrt{\\sigma}\\mathbf{E}_h^{n+1/2}\\|^2_{L^2(\\Omega)} = (\\mathbf{f}^{n+1/2}, \\mathbf{E}_h^{n+1/2}),$$ 其中 $E^n = \\frac12(\\|\\sqrt{\\varepsilon}\\mathbf{E}_h^n\\|^2_{L^2(\\Omega)} + \\|\\sqrt{\\mu^{-1}}\\mathbf{B}_h^n\\|^2_{L^2(\\Omega)})$。在源项 $\\mathbf{f}\\equiv0$ 时，该格式对 $\\sigma\\ge0$ 是能量耗散的（当 $\\sigma\\equiv0$ 时严格保守），并满足稳定性估计 (10)： $$E^m + \\Delta t \\sum_{n=0}^{m-1}\\|\\sqrt{\\sigma}\\mathbf{E}_h^{n+1/2}\\|^2_{L^2(\\Omega)} \\le C_T\\left(E^0 + \\sum_{n=0}^{m-1}\\Delta t\\|\\varepsilon^{-1/2}\\mathbf{f}^{n+1/2}\\|^2_{L^2(\\Omega)}\\right),$$ 其中 $C_T$ 仅依赖于 $T$、$\\varepsilon$ 和 $\\mu$ 的上下界，与 $h,\\Delta t$ 无关。此外，离散磁高斯定律自动保持：若 $\\operatorname{div}\\mathbf{B}_h^0 = 0$，则对所有 $n$ 有 $\\operatorname{div}\\mathbf{B}_h^n = 0$。在低正则假设（Lipschitz 区域，数据仅为 $L^2$）下，证明了全离散解收敛到唯一弱解。\n控制到状态映射的适定性。对任意 $\\mathbf{z}\\in Z$，将 $\\chi_{\\Omega_{\\mathrm{ctrl}}}\\nabla\\times\\mathbf{z}$ 视为 $\\mathbf{f}$ 的一部分，由定理 1 知麦克斯韦系统存在唯一的弱解 $(\\mathbf{E},\\mathbf{B})$。定义控制到状态映射 $\\mathcal{S}:\\mathbf{z}\\mapsto(\\mathbf{E},\\mathbf{B})$，它是从 $Z$ 到状态空间的仿射且有界线性映射，从而保证了最优控制的存在性（在凸二次目标函数和闭凸容许集下）。\n伴随系统与梯度表示。在对偶能量空间中导出了伴随麦克斯韦系统，并证明了约化目标泛函 $j(\\mathbf{z}) = J(\\mathcal{S}\\mathbf{z},\\mathbf{z})$ 是 Gâteaux 可微的，其梯度表示为 $$\\nabla j(\\mathbf{z}) = \\alpha_1\\mathbf{z} - \\alpha_2\\Delta\\mathbf{z} + \\chi_{\\Omega_{\\mathrm{ctrl}}}\\int_0^T (\\nabla\\times\\mathbf{p})\\,dt,$$ 其中 $(\\mathbf{p},\\mathbf{q})$ 是伴随状态变量，满足终值条件 $\\mathbf{p}(T)=\\mathbf{q}(T)=0$ 和相应的伴随方程。一阶最优性条件为 $\\nabla j(\\mathbf{z}) = 0$，该条件在凸性假设下也是充分的。\n离散梯度的一致性。将 Crank–Nicolson 和 Nédélec/RT 离散格式同时应用于状态和伴随方程，利用交换投影 (commuting projections) 和 de Rham 复形，导出了约化目标泛函的离散梯度，它与连续梯度是相容的，即离散最优性系统恰好是 Galerkin 最优性系统。这使得离散优化问题天然保持结构。\n离散最优控制的收敛性。设 $(\\mathbf{E}_{h,\\Delta t},\\mathbf{B}_{h,\\Delta t},\\mathbf{z}_{h,\\Delta t})$ 为离散最优三元组，则当 $h,\\Delta t\\to0$ 时，存在子列弱收敛于连续最优三元组 $(\\mathbf{E},\\mathbf{B},\\mathbf{z})$。若关于 $\\mathbf{z}$ 的目标函数是严格凸的（即 $\\alpha_1,\\alpha_2\u003e0$ 且观测包含能量范数），则全序列强收敛。\n源隐身数值实验。使用上述结构保持优化框架，在一维、二维和三维设置下求解了源隐身问题（$\\mathbf{E}_d=0,\\mathbf{B}_d=0$），验证了理论的有效性。特别地，图 1 展示了一维情形下非分离控制 $\\mathbf{z}(x,t)$ 优于分离控制 $u(x)a(t)$ 的结果。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术障碍在于：在 Lipschitz 区域和仅有 $L^2$ 正则性的数据下，同时保持离散格式的 de Rham 结构、能量恒等式和高斯定律，并建立全离散收敛性；进一步将这一低正则结构保持格式无缝扩展到最优控制框架，并取得离散最优控制的一致性收敛。\n作者的主要创新与证明框架可分解为以下几个关键技术点：\n一、Crank–Nicolson/Nédélec/RT 全离散格式的构造与能量恒等式\n格式基于半离散框架[1] 的 Nédélec 空间 $\\mathcal{N}_h^0\\subset H_0(\\operatorname{curl};\\Omega)$ 离散电场 $\\mathbf{E}_h$，Raviart–Thomas 空间 $\\mathcal{RT}_h\\subset H(\\operatorname{div};\\Omega)$ 离散磁感应 $\\mathbf{B}_h$，并利用 de Rham 复形性质 $\\nabla\\times\\mathcal{N}_h^0\\subset\\mathcal{RT}_h$ 以及 $\\operatorname{div}(\\nabla\\times\\mathcal{N}_h^0)=0$，从而自动满足 $\\operatorname{div}\\mathbf{B}_h^n=0$ 若初值散度为零。时间离散采用 Crank–Nicolson 中点平均，得到递推格式 (6)。\n证明适定性的核心在于建立能量恒等式 (9)。为此，对 (6a) 取检验函数 $\\psi_h = \\mathbf{E}_h^{n+1/2}$，对 (6b) 取 $\\phi_h = P_h(\\mu^{-1}\\mathbf{B}_h^{n+1/2})$，其中 $P_h$ 是到 $\\mathcal{RT}_h$ 的 $L^2$ 正交投影（见附录 A.1）。关键技巧在于利用投影性质 $(\\nabla\\times\\mathbf{E}_h^{n+1/2}, P_h(\\mu^{-1}\\mathbf{B}_h^{n+1/2})) = (\\nabla\\times\\mathbf{E}_h^{n+1/2}, \\mu^{-1}\\mathbf{B}_h^{n+1/2})$，从而消去旋度耦合项。结合代数恒等式 $$\\left( M\\frac{\\mathbf{u}-\\mathbf{v}}{\\Delta t}, \\frac{\\mathbf{u}+\\mathbf{v}}{2}\\right) = \\frac{1}{2\\Delta t}(\\|\\sqrt{M}\\mathbf{u}\\|^2 - \\|\\sqrt{M}\\mathbf{v}\\|^2),$$ 得到严格的能量平衡 (9)。这一投影技巧同时避免了显式使用 $H(\\operatorname{div})$ 范数和时间导数的对偶范数，使得稳定性和收敛性分析可在纯 $L^2$ 框架下进行。\n二、低正则假设下的收敛性分析\n收敛性证明的核心是将全离散解序列通过分片常数和分片仿射重构嵌入到 Bochner 空间中，然后利用紧性论证。具体地，对离散解 $(\\mathbf{E}_h^n,\\mathbf{B}_h^n)$，构造分片常数轨道 $\\mathbf{E}_{h,\\mathrm{pc}}(t)$、中点提升 $\\mathbf{E}_{h,1/2}(t)$ 和分片仿射轨道 $\\mathbf{E}_{h,\\mathrm{pl}}(t)$，以及类似对 $\\mathbf{B}_h$ 的构造。由能量稳定性 (10) 可推出这些重构序列在如下空间中的一致有界性： $$\\mathbf{E}_{h,\\mathrm{pl}} \\in H^1(0,T;\\mathcal{N}_h^0) \\hookrightarrow C([0,T];L^2(\\Omega)),\\quad \\mathbf{B}_{h,\\mathrm{pl}} \\in H^1(0,T;\\mathcal{RT}_h) \\hookrightarrow C([0,T];L^2(\\Omega)),$$ 以及 $\\mathbf{E}_{h,\\mathrm{pc}}$ 在 $L^\\infty(0,T;L^2(\\Omega))$ 和 $\\mathbf{E}_{h,1/2}$ 在 $L^2(0,T;L^2(\\Omega))$ 中的有界性。利用弱紧性可抽取子列弱收敛于某个极限 $(\\mathbf{E},\\mathbf{B})$，再由格式的相容性和弱解的定义验证该极限满足 (4)。唯一性由定理 1 保证，从而整个序列收敛。这里低正则性（尤其是仅 $L^2$ 数据）带来的挑战是如何处理 curl 项在弱形式中的对偶配对，通过将对偶配对重新解释为 $L^2$ 内积适当迁移到检验空间，结合离散序列的强收敛性质，成功避免了 $H(\\operatorname{curl})$ 范数的紧性缺失。\n三、控制问题的伴随推导与梯度表示\n从控制到状态映射 $\\mathcal{S}$ 的线性性出发，利用抽象优化理论可得最优控制的存在性。为获得一阶最优条件，需要计算约化目标 $j(\\mathbf{z})$ 的梯度。作者采用 Lagrangian 方法：定义 Lagrangian $$\\mathcal{L} = J(\\mathbf{E},\\mathbf{B},\\mathbf{z}) + \\int_0^T \\big[\\langle\\varepsilon\\partial_t\\mathbf{E} - \\nabla\\times(\\mu^{-1}\\mathbf{B}) + \\sigma\\mathbf{E} - \\mathbf{f}, \\mathbf{p}\\rangle + \\langle\\partial_t\\mathbf{B} + \\nabla\\times\\mathbf{E}, \\mathbf{q}\\rangle\\big]\\,dt,$$ 其中 $(\\mathbf{p},\\mathbf{q})$ 为伴随变量。通过对状态变量 $(\\mathbf{E},\\mathbf{B})$ 取 Gâteaux 导数并分部积分，并令状态方向导数前的系数为零，可导出伴随方程：给定终值条件 $\\mathbf{p}(T)=0,\\mathbf{q}(T)=0$，有 $$\\begin{aligned} -\\varepsilon\\partial_t\\mathbf{p} + \\nabla\\times(\\mu^{-1}\\mathbf{q}) + \\sigma\\mathbf{p} \u0026= \\chi_{\\Omega_{\\mathrm{obs}}}\\varepsilon(\\mathbf{E}-\\mathbf{E}_d),\\\\ -\\partial_t\\mathbf{q} - \\nabla\\times\\mathbf{p} \u0026= \\chi_{\\Omega_{\\mathrm{obs}}}\\mu^{-1}(\\mathbf{B}-\\mathbf{B}_d), \\end{aligned}$$ 并配有相应的边界条件。然后，$j$ 的梯度表示为 $$\\nabla j(\\mathbf{z}) = \\alpha_1\\mathbf{z} - \\alpha_2\\Delta\\mathbf{z} + \\chi_{\\Omega_{\\mathrm{ctrl}}}\\int_0^T (\\nabla\\times\\mathbf{p})\\,dt,$$ 这里利用了 $\\nabla\\times\\mathbf{z}$ 的伴随算子是 $\\nabla\\times$ 本身。该梯度公式结构清晰，可直接用于优化算法。\n四、离散“优化—然后—离散”的一致性\n为保证数值优化方案继承连续问题的结构，作者对最优性系统采用与正向问题相同的 CN-Nédélec/RT 离散：即先对连续最优性条件（状态、伴随、梯度方程）进行离散，得到离散最优性系统。关键的一步是证明这样得到的离散梯度与先离散目标泛函再对离散控制求导得到的结果一致，从而离散最优解恰好是离散 Galerkin 问题的解。这一致性依赖于交换投影：存在投影算子 $\\Pi_h^{\\mathrm{curl}}$ 和 $\\Pi_h^{\\mathrm{div}}$ 使得图表交换，进而离散伴随方程与连续伴随方程的离散形式相符，离散梯度无额外误差。这使得离散优化问题可直接采用标准算法求解，且结构保持性质得以继承。\n五、离散最优控制的收敛性\n最后，为证明离散最优解收敛到连续最优解，作者使用了如下策略：由离散最优性条件可导出关于 $\\mathbf{z}_{h,\\Delta t}$ 的一致估计，从而抽取弱收敛子列。利用状态和伴随方程离散解的强收敛性（来自第一部分），可将最优性条件中的项取极限，证明极限点 $(\\mathbf{E},\\mathbf{B},\\mathbf{z})$ 满足连续最优性条件，因而是一个连续最优解。若控制代价是严格凸的，则最优控制唯一，于是整个序列收敛。\n4. 与之前工作的比较 本文的贡献是在结构保持有限元、低正则分析、最优控制理论的交叉点上做出的，与现有工作的主要差异和推进体现在以下几个方面：\n一、与已有结构保持有限元及 Maxwell 方程求解器的比较\n文献[16, 12, 4, 19] 等奠定了 Nédélec/RT 空间和 de Rham 复形在电磁计算中的基础，但大多针对光滑材料、强解或至少 $H(\\operatorname{curl})$ 的正则性。本文与其对话的文献[1] 首次在 Lipschitz 区域且仅 $L^2$ 数据（即 $\\mathbf{f}\\in L^2(0,T;L^2(\\Omega)^3)$，初值 $\\mathbf{E}_0,\\mathbf{B}_0\\in L^2(\\Omega)^3$）的弱解框架下建立了半离散格式的收敛性。本文进一步发展了全离散情形，证明了 Crank–Nicolson 时间步进与 Nédélec/RT 空间的结合不仅保持能量恒等式，而且在无任何额外光滑性假设下收敛到弱解。相比[1]的半离散分析，全离散需要处理时间离散引起的误差，以及时间重构函数的紧性，难度更大。此外，本文的稳定性估计 (10) 对 $\\sigma\\ge0$ 一致成立，这对控制问题的存在性证明至关重要。\n二、与 Maxwell 方程最优控制的文献对比\n据作者所知，文献[3] 是唯一处理全时变麦克斯韦系统最优控制的工作。本文与[3] 存在以下根本区别：\n目标泛函的时间范围：[3] 考虑终端时刻目标，即 $J$ 中仅含 $t=T$ 的跟踪项；而本文的目标定义在整个时间区间 $(0,T)$，更适合如隐身等需要全程调控的应用。 控制变量的时空结构：[3] 假设控制可分离 $\\mathbf{z}(x,t) = u(x)a(t)$，这种形式对于许多实际源项 $\\mathbf{I}_{\\mathrm{src}}(x,t)$ 无法有效隐身（本文图 1 即展示了分离控制不能掩蔽非分离源的情形）；本文允许完全非分离的 $\\mathbf{z}(x,t)$，大大拓宽了可控范围。 电荷守恒的实施方式：[3] 通过显式添加 $\\operatorname{div}\\mathbf{z}=0$ 的约束并引入额外时间正则性来保证电荷守恒，这增加了问题的复杂性和正则性要求；本文利用控制量的旋度形式 $\\nabla\\times\\mathbf{z}$ 自动满足 $\\operatorname{div}(\\nabla\\times\\mathbf{z})=0$，无需额外约束，且对 $\\mathbf{z}$ 只需 $L^2(0,T;H(\\operatorname{curl};\\Omega_{\\mathrm{ctrl}}))$ 的正则性，比添加 $\\operatorname{div}\\mathbf{z}=0$ 约束的条件更易处理。 数值分析的深度：本文针对所采用的 CN-Nédélec/RT 全离散格式给出了完整的收敛性证明（包括状态、伴随和最优控制的收敛），而[3] 没有提供针对此类结构保持离散的收敛理论。本文还证明了离散最优性系统与 Galerkin 形式的一致性，这在[3] 中未被讨论。 三、关于梯度计算与伴随离散\n在许多 PDE 最优控制的数值分析中，常采用“先离散后优化”或“先优化后离散”两种策略。本文采用的是一种混合策略：先对连续系统推导最优性条件，然后对其中所有方程使用统一的 CN-Nédélec/RT 离散，并证明得到的离散梯度与直接离散目标函数得到的梯度一致。文献中，对于 Maxwell 方程，这种基于交换投影的一致性分析尚属首次。相比于直接对离散目标函数使用自动微分或有限差分，这种方法能确保离散最优系统保持连续系统的结构特征（如能量平衡、高斯定律），这对于粗网格和大时间步的计算稳定性至关重要。\n四、代价与局限\n作者也指出了这种方法的代价和未来方向。首先，控制空间 $Z$ 要求 $\\mathbf{z}$ 满足 $\\operatorname{curl}\\mathbf{z}\\in L^2$，这排除了完全不具旋度正则性的控制。但在电荷守恒非必须时，可放宽到 $L^2(0,T;L^2(\\Omega)^3)$ 并直接注入 $\\mathbf{z}$。其次，分析中假定了 $\\sigma$ 对称半正定，这涵盖了非完美导体，但若 $\\sigma$ 具有更一般的对称部分以外的结构（如反对称部分表示旋光效应），可能需额外处理。最后，数值实验仅限于源隐身，更一般的控制问题（如边界控制或参数控制）有待探索。此外，文中虽证明了收敛性，但未给出误差估计，这主要是因为低正则框架下难以获得最优收敛阶。\n了解领域论文（摘要翻译） 1. 不可压霍尔-磁流体力学方程的散度保持混合有限元格式的误差分析 Error analysis of a divergence-preserving mixed finite element scheme for the incompressible Hall\u0026ndash;magnetohydrodynamic equations\n作者: Beniamin Goldys, Agus L. Soenjaya, Thanh Tran\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-03\narXiv ID: 2605.01764v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.01764v1\n摘要翻译 中文标题: 不可压霍尔-磁流体力学方程的散度保持混合有限元格式的误差分析\n摘要翻译: 不可压霍尔-磁流体力学（Hall\u0026ndash;MHD）系统由于其刚性、高度非线性的霍尔项以及磁场必须保持无散的严格要求，给分析和计算带来了巨大挑战。本文研究了一个沃伊特正则化的霍尔-磁流体力学系统，该系统具有独立的分析意义，并提供了原模型的一个物理上相容的适定正则化。针对该正则化问题，我们提出、分析并实现了一种保结构、线性、全离散的有限元方法。借助有限元外微分和混合变分形式，空间离散精确地施加了磁场的无散条件，而一个斜对称、线性隐式的时间离散则保证了无条件能量稳定性。我们建立了沃伊特正则化问题的最优收敛速率，此外，还推导了未正则化的霍尔-磁流体力学系统的误差估计，其中沃伊特正则化在无电阻情形中起到了关键作用。最后，2.5D和3D情况下的数值模拟证实了理论结果，并展示了该格式的物理保真性。\n2. 连续力源浸入边界方法中超越一阶精度及其良态投影求解 Beyond first-order accuracy in continuous-forcing immersed boundary methods, and their well-conditioned projection-based solution\n作者: Diederik Beckers, H. Jane Bae, Andres Goza\n类别: math.NA, physics.flu-dyn\n发布日期: 2026-04-30\narXiv ID: 2604.28152v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2604.28152v1\n摘要翻译 中文标题: 连续力源浸入边界方法中超越一阶精度及其良态投影求解\n摘要翻译: 我们提出一种改进的浸入边界（IB）方法，该方法在实际计算中能够达到优于一阶的精度，同时保持“连续力源”IB方法的关键性质，即在控制方程中保留奇异源项。受多相流和浸入层公式的启发，该方法利用光滑化的指示（Heaviside）函数，将IB解重新表述为内部场和外部场的复合。我们证明，当通过这种复合解的视角审视时，先前的连续力源IB方法可被视为忽略了控制方程和约束方程中的某些项，这些项将解限制在一阶精度。我们纳入这些项以系统地提高精度，而无需求助于启发式修正。在典型泊松问题中，我们通过实验展示了二阶收敛性；在不可压缩Navier-Stokes模拟中，该方法达到略低于二阶的性能。虽然目前的研究聚焦于这些情形，但该框架指向了进一步扩展以实现二阶或更高精度的路径。这一视角重新框定了通常归因于IB格式的精度限制。尽管连续力源IB方法常被报道仅为一阶精度，我们证明光滑化或界面插值本身并不固有地限制可达的精度阶数。此外，我们自然地将该高阶格式融入基于投影的求解过程。所得算法同时减轻了病态线性系统产生的虚假表面应力，并降低了对几何分辨率的敏感性，从而在一个统一的方法中同时处理了条件数和精度问题。\n3. 有界、交换、保持离散迹的投影 Bounded, Commuting, Discrete-trace Preserving Projections\n作者: Alexandre Ern, Johnny Guzmán, Pratyush Potu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-04-30\narXiv ID: 2604.28103v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2604.28103v1\n摘要翻译 中文标题: 有界、交换、保持离散迹的投影\n摘要翻译: 我们构造了三维de Rham复形的有界、交换的投影，并具有额外性质：如果迹是适当迹空间中的分段多项式，则投影保持函数/场的迹。这些投影是局部定义的，并且在图范数下稳定。更准确地说，图范数中涉及外导数的部分仅涉及该导数在接触边界且由局部网格尺寸加权的单元窄带内的振荡。此外，当作用于外导数是适当空间中的分段多项式的函数/场时，投影是局部$L^2$稳定的。我们给出了当前有界、交换、保持离散迹的投影的两个显著应用：分段多项式数据的稳定提升的构造，以及关于分段多项式数据的离散与连续延拓的最优性结果。\n不相关论文（基本信息） 1. 基于Newton$\\unicode{x2013}$Schulz的Stiefel流形上的二阶方法 A second-order method on the Stiefel manifold via Newton$\\unicode{x2013}$Schulz\n作者: Xinhui Xiong, Bin Gao, P. -A. Absil\n类别: math.OC, cs.AI, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-04\narXiv ID: 2605.02838v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.02838v1\n摘要: Retraction-free approaches offer attractive low-cost alternatives to Riemannian methods on the Stiefel manifold, but they are often first-order, which may limit the efficiency under high-accuracy requirements. To this end, we propose a second-order method landing on the Stiefel manifold without invoking retractions, which is proved to enjoy local quadratic (or superlinear for its inexact variant) convergence. The update consists of the sum of (i) a component tangent to the level set of the constraint-defining function that aims to reduce the objective and (ii) a component normal to the same level set that reduces the infeasibility. Specifically, we construct the normal component via Newton$\\unicode{x2013}$Schulz, a fixed-point iteration for orthogonalization. Moreover, we establish a geometric connection between the Newton$\\unicode{x2013}$Schulz iteration and Stiefel manifolds, in which Newton$\\unicode{x2013}$Schulz moves along the normal space. For the tangent component, we formulate a modified Newton equation that incorporates Newton$\\unicode{x2013}$Schulz. Numerical experiments on the orthogonal Procrustes problem, principal component analysis, and real-data independent component analysis illustrate that the proposed method performs better than the existing methods.\n2. 广义阿贝尔微分方程的存在性、渐近行为与数值分析及其在金融建模中的应用 Existence, Asymptotic Behavior, and Numerical Analysis of a Generalized Abel Differential Equation with Applications in Financial Modeling\n作者: Dragos-Patru Covei\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-05-04\narXiv ID: 2605.02831v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.02831v1\n摘要: We present a comprehensive investigation into a generalized class of Abel ordinary differential equations (ODEs), extending the classical cubic form to arbitrary polynomial nonlinearities of degree $n \\geq 1$. This work provides a rigorous treatment of the existence and uniqueness of regular solutions on both bounded and unbounded domains. Utilizing a unified barrier-based approach, we derive sharp growth rates and prove the existence of exact asymptotic plateaus, establishing the first systematic treatment of such generalizations in the literature. The regularity of solutions is rigorously justified through the lens of Sobolev spaces and classical ODE theory. To complement our analytical findings, we implement a high-order numerical framework based on Radau IIA implicit Runge\u0026ndash;Kutta schemes, providing detailed stability arguments and error analysis. The numerical results demonstrate exceptional consistency with our theoretical predictions, particularly in capturing the asymptotic behavior. Finally, we discuss the implications of our results for real-world models, including Merton-type credit risk analysis and Hamilton\u0026ndash;Jacobi\u0026ndash;Bellman stochastic control problems, bridging the gap between abstract nonlinear dynamics and applied science.\n3. 逆双调和散射中不可穿透障碍物重构的因子分解与单调性方法 Factorization and monotonicity methods for reconstructing impenetrable obstacles in inverse biharmonic scattering\n作者: Tielei Zhu, Zhihao Ge, Bangmin Wu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-04\narXiv ID: 2605.02802v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.02802v1\n摘要: The inverse scattering problem for biharmonic waves, governing flexural vibrations of elastic plates, presents fundamental analytical challenges distinct from acoustic inverse problems due to the fourth-order differential operator and higher-order boundary conditions. This paper addresses the reconstruction of impenetrable obstacles with Dirichlet or Neumann boundary conditions from far-field measurements. We establish new factorizations of the far-field operator by considering structures of the biharmonic fundamental solution and the boundary conditions. We rigorously prove that the factorizations satisfy the range identities and derive characterizations of the obstacle\u0026rsquo;s support by the factorization methods, valid for all wavenumbers except the associated transmission eigenvalues. Furthermore, we establish a monotonicity relation for the eigenvalues of the far-field operator, which yields an alternative characterization of the obstacle\u0026rsquo;s support that remains applicable for all wavenumbers. Numerical experiments for the Dirichlet obstacles with various shapes are presented to demonstrate the effectiveness and robustness of the proposed reconstruction schemes.\n4. 多参数奇异摄动动力系统的双尺度神经网络 Two-scale Neural Networks for Singularly Perturbed Dynamical Systems with Multiple Parameters\n作者: Qiao Zhuang, Taorui Wang, Rita Wanjiku, Majid Bani-Yaghoub, Zhongqiang Zhang\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-05-04\narXiv ID: 2605.02799v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.02799v1\n摘要: We extend our two-scale neural-network method for scalar singularly perturbed problems with one small parameter to dynamical systems with multiple small parameters. To accommodate multiple small parameters, we use a single effective scale parameter defined as the geometric mean of all parameters. We thus augment the network input with a scale-aware feature, enabling it to capture sharp solution transitions intrinsically. Numerical experiments across a range of dynamical systems demonstrate that the proposed framework can handle coupled systems with multiple and high-contrast small parameters and obtain satisfactory accuracy in capturing solution features induced by small parameters.\n5. 二维空间中蒸发驱动泪膜模型的参数估计 Parameter estimation for evaporation-driven tear film model in two space dimensions\n作者: Qinying Chen, Tobin Driscoll\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-04\narXiv ID: 2605.02674v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.02674v1\n摘要: The tear film (TF) plays a critical role in maintaining ocular surface health, and its disruption through tear breakup (TBU) is closely associated with dry eye disease. Evaporation-driven thinning is a primary mechanism underlying TBU, yet quantitative in vivo estimates of key physical parameters remain limited. In this work, we fit an evaporation-driven TF thinning model, originally developed by Braun et al. and extended to two dimensions using proper orthogonal decomposition (POD) by Chen et al., to experimental fluorescence (FL) imaging data from normal subjects. The use of dimension reduction enables efficient solution of the governing PDEs and facilitates parameter estimation from imaging data. Our results provide in vivo estimates of evaporation-related and thinning parameters within TBU regions. These findings enhance understanding of TF thinning and dry-spot formation and establish a quantitative baseline for comparison with dry eye patient data.\n6. 通过区域分解和质量矩阵集中高效生成度量图上的高斯随机场 Efficient generation of Gaussian random fields on metric graphs via domain decomposition and mass matrix lumping\n作者: Mihály Kovács, Gyula Molnár, Máté András Száraz\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-04\narXiv ID: 2605.02670v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.02670v1\n摘要: We consider Gaussian Random Fields on metric graphs defined implicitly as the stationary solution to a fractional SPDE driven by Gaussian white noise. Sampling from the finite element approximation requires the Cholesky factorization of the mass matrix, causing non-linear execution time explosions and massive memory fill-in on large graphs. Hence, we combine Neumann-Neumann graph decomposition with mass matrix lumping and demonstrate empirically, that our approach preserves exact theoretical convergence rates established in [8] while achieving multi-order speedups and massive memory reductions.\n7. 大规模和在线高斯过程预测问题的快速准确条件化 Fast and accurate conditioning for large-scale and online Gaussian process prediction problems\n作者: Samanyu Arora, Christopher J. Geoga\n类别: stat.CO, math.NA, stat.ME\n发布日期: 2026-05-04\narXiv ID: 2605.02574v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.02574v1\n摘要: Gaussian Process (GP) models provide a flexible framework for prediction and uncertainty quantification. For most covariance functions, however, exact GP prediction with $n$ points scales as $\\mathcal{O}(n^3)$, making it prohibitively expensive for large datasets or large numbers of prediction points. While nearest neighbor-based prediction can work well in certain settings, non-pathological circumstances (for example measurement noise) can severely restrict its efficiency. This work presents a complementary approach where one conditions on carefully designed linear combinations of data, which is particularly effective in the setting of predicting many values in large connected regions of the data domain. For kernel functions that are smooth away from the origin, conditioning on a small number $r$ of such data contrasts can be machine-precision accurate for the full exact conditional distributions. These contrasts cost $\\mathcal{O}(T r^2)$ work to compute where $T$ is the cost of solving a linear system with the data covariance matrix, and so in many cases can be computed in linear or near-linear cost by exploiting rank structure in well-behaved covariance matrices. At the cost of $\\mathcal{O}(nr^2)$ additional precomputation work, this approach can also provide predictions at arbitrary points of a designated region in $\\mathcal{O}(1)$ online work, making it particularly attractive for problems where prediction points are not known in advance.\n8. 浅水方程间断伽辽金离散的良好平衡子单元限制 Well-Balanced Subcell Limiting for Discontinuous Galerkin Discretizations of the Shallow-Water Equations\n作者: Andrés M. Rueda-Ramírez, Patrick Ersing, Andrew R. Winters, Gregor J. Gassner\n类别: math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-05-04\narXiv ID: 2605.02560v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.02560v1\n摘要: High-order discontinuous Galerkin (DG) methods equipped with subcell finite-volume (FV) limiters provide an efficient framework for the simulation of nonlinear hyperbolic balance laws featuring shocks and complex flow structures. However, for systems with non-conservative terms, the design of hybrid DG/FV schemes that simultaneously guarantee high-order accuracy, robustness, and well-balancedness remains challenging. In particular, for the shallow water equations with variable bottom topography, standard flux-differencing formulations combined with node-wise subcell limiting generally destroy the well-balanced property, even if both the underlying DG and FV methods are individually well-balanced. In this work, we propose a novel flux-differencing formulation for non-conservative systems that enables node-wise subcell limiting while preserving steady states exactly. The key idea is to construct staggered DG fluxes whose non-conservative contributions are in local-times-jump form and vanish individually at equilibrium. To achieve this, we introduce a reformulation of the shallow water equations in which the source term is proportional to the gradient of the total water height. This reformulation allows the design of staggered fluxes that preserve equilibrium locally at the node level, thereby enabling arbitrary nodal blending with low-order FV fluxes. The resulting DG/FV method is high-order accurate, robust, and exactly well-balanced under node-wise limiting. Numerical experiments, including two-dimensional dam-break configurations with wet/dry fronts and complex obstacle interactions, demonstrate the improved stability and accuracy of the proposed approach. Although this work focuses on the shallow water equations, the well-balanced hybrid DG/FV methods developed here are applicable to a broader class of nonlinear systems of balance laws.\n9. 具有梯度噪声的线性和非线性输运方程的结构保持LDG方法 Structure-preserving LDG methods for linear and nonlinear transport equations with gradient noise\n作者: Thomas Christiansen, Kenneth H. Karlsen\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-05-04\narXiv ID: 2605.02460v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.02460v1\n摘要: We develop local discontinuous Galerkin (LDG) methods for conservation laws with heterogeneous stochastic fluxes, where the Stratonovich-driven transport terms may be linear or nonlinear. Such equations arise, for example, in simplified turbulence models, mean field games, and fluctuating hydrodynamics. Starting from the Itô formulation, we construct semi-discretizations that build the cancellation mechanism of transport noise into the numerical method. At the discrete energy level, the second-order Stratonovich-Itô correction is balanced by the quadratic variation, up to numerical flux terms, so that the hyperbolic stability structure is retained. Suitable numerical fluxes yield discrete energy conservation or energy dissipation, valid either pathwise or in expectation. The resulting high-order schemes are proved well posed through stability estimates combined with a Khasminskii-type argument, without imposing linear growth assumptions. Numerical experiments confirm stability and high-order accuracy.\n10. 非各向同性非均匀半渗透介质中椭圆半变分不等式的有限元方法 A Finite Element Method for Elliptic Hemivariational Inequalities in Non-isotropic and Heterogeneous Semipermeable Media\n作者: Ban Li, Bangmin Wu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-04\narXiv ID: 2605.02451v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.02451v1\n摘要: This work investigates finite element approximations for a general class of elliptic hemivariational inequalities arising in semipermeable media. The proposed model incorporates non-isotropic and heterogeneous diffusion coefficients, alongside both interior and boundary semipermeability terms, extending the isotropic and homogeneous framework examined by Han (2019). The existence and uniqueness of solutions are rigorously established. An optimal a priori error estimate for the linear finite element approximation is derived under appropriate solution regularity assumptions. Numerical experiments are presented to corroborate the theoretical analysis and to confirm the optimal convergence rates for the non-isotropic and heterogeneous case.\n11. ZNO: Z 域中离散时间动态的稳定有理神经算子 ZNO: Stable Rational Neural Operators in the Z-Domain for Discrete-Time Dynamic\n作者: Xianli Zhu, Jia Yin\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-04\narXiv ID: 2605.02356v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.02356v1\n摘要: We introduce the Z-Domain Neural Operator (ZNO), a causal neural operator whose layers are stable low-rank multiple-input multiple-output (MIMO) rational filters parameterized directly in the $z$-plane. ZNO addresses a limitation of existing operator learning methods, many of which are primarily tailored for continuous-time problems, while a large class of system-identification problems is intrinsically discrete-time. The $z$-domain form expresses stability as a unit-disk pole constraint and makes learned discrete-time poles directly readable. The model combines low-rank channel mixing, smooth stable pole reparameterization, causal recurrence, and an optional short finite impulse response (FIR) branch in a single $z$-domain rational recurrent layer. Across controlled discrete system-identification experiments, ZNO\u0026rsquo;s advantage is most evident when the target dynamics are stable rational systems with lightly damped poles near the unit circle. Under matched parameter budgets, ZNO is not uniformly dominant; however, with validation-selected configurations, the same architecture can achieve the lowest mean error across the controlled tasks. A five-bin difficulty sweep over near-unit-circle / long-memory dynamics shows that ZNO has the lowest mean error across memory regimes, from short (approximately 10 steps) to long (approximately 100-200 steps). On five public nonlinear system-identification benchmarks, ZNO is competitive with neural operator and state-space baselines, achieving the lowest mean error on benchmarks whose dynamics align with stable rational discrete-time filters, while classical or state-space baselines remain preferable on some systems. These results position ZNO as a strong model for stable rational discrete-time dynamics, especially in near-unit-circle and long-memory regimes, but not as a universal replacement for specialized system-identification methods.\n12. 用于参数化多物理场代理模型的变分矩阵学习傅里叶网络 Variational Matrix-Learning Fourier Networks for Parametric Multiphysics Surrogates\n作者: Xinyu Li, Jianhua Zhang, Liang Chen\n类别: cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-04\narXiv ID: 2605.02280v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.02280v1\n摘要: Multiphysics simulation is critical for system-technology co-optimization (STCO) in chiplet-based design, but repeated finite-element solutions of PDE-governed problems are computationally expensive in parametric design exploration. This paper proposes a variational matrix-learning Fourier network (VMLFN) for efficient parametric multiphysics surrogate modeling. VMLFN constructs a log-space sine neural representation with randomly sampled spectral frequencies, frequency-dependent decay regulation, and embedded Dirichlet boundary conditions. With fixed hidden-layer parameters, the output-layer weights are determined by reformulating the governing PDEs into variational weak forms and enforcing the stationarity condition of the resulting energy functional. This converts physics-informed training into a linear matrix-solving problem, requiring only first-order derivatives and avoiding both high-order automatic differentiation and penalty-coefficient tuning. A heuristic frequency-scanning algorithm is further introduced to select a problem-adaptive maximum frequency that covers the dominant spectral range of the target problem. The proposed method is validated on heat conduction, solid mechanics, and Helmholtz wave propagation problems. Results from five benchmark cases demonstrate that VMLFN delivers accurate full-field predictions with substantial speedup over conventional physics-informed neural networks and repeated finite-element simulations.\n13. 面向黎曼优化的黎曼几何基础：含详细推导的专著 Foundations of Riemannian Geometry for Riemannian Optimization: A Monograph with Detailed Derivations\n作者: Benyamin Ghojogh\n类别: math.DG, cs.LG, math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-04\narXiv ID: 2605.02279v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.02279v1\n摘要: Riemannian geometry provides the fundamental framework for optimization on nonlinear spaces such as matrix manifolds, which arise in machine learning, signal processing, and robotics. While the underlying theory is classical, existing literature often presents results at a high level of abstraction, omitting the detailed coordinate-level derivations required for implementation and algorithm development. This work provides a self-contained and rigorous treatment of the foundations of Riemannian geometry, with a focus on explicit derivations tailored to Riemannian optimization. We systematically develop the key geometric structures \u0026ndash; including tangent and cotangent spaces, tensor calculus, metric tensors, Levi-Civita connections, curvature, and geodesics \u0026ndash; emphasizing step-by-step derivations in coordinates and matrix form. Building on these foundations, we derive the Riemannian gradient, Hessian, exponential map, and retraction in a form suitable for numerical computation. We further specialize these constructions to important matrix manifolds, including the Stiefel, Grassmann, and SPD (Symmetric Positive Definite) manifolds, providing explicit formulas widely used in optimization and geometric machine learning. This monograph develops a unified and implementation-oriented treatment of Riemannian geometry for optimization on manifolds. Its main contribution is the systematic organization and detailed derivation of classical geometric constructions in forms directly usable for algorithm design and numerical implementation. By connecting coordinate-level differential geometry with matrix-manifold formulas, the monograph bridges the gap between abstract theory and practical computation, and provides a reference for researchers and practitioners working in Riemannian optimization and related fields.\n14. 渐近常反馈机制下二维非局部MEMS方程的一种保结构分阶段重缩放算法 A Structure-Preserving Stagewise Rescaling Algorithm for a Two-Dimensional Nonlocal MEMS Equation in an Asymptotically Constant-Feedback Regime\n作者: Takiko Sasaki, Tetsuji Tokihiro\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-04\narXiv ID: 2605.02237v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.02237v1\n摘要: Nonlocal MEMS equations exhibit finite-time quenching, or touchdown, which is difficult to capture numerically. We study a stagewise rescaling algorithm for a two-dimensional nonlocal MEMS equation in an asymptotically constant-feedback touchdown regime. The equation is not exactly invariant under the $A^{3/2}$\u0026ndash;$A^3$ scaling used here; the scaling is justified when the reciprocal-integral feedback $K(t)=1+\\int_Ω(1-u)^{-1}dx$ remains bounded and converges to a finite positive limit, as in the single-point touchdown profiles of Duong\u0026ndash;Zaag. In this regime the leading-order core dynamics reduce to a local MEMS equation with an asymptotically constant coefficient. Using a fixed-stage scaling of the deficit variable, we obtain a gradient flow for a rescaled energy at frozen amplitude and prove an exact energy dissipation identity within each stage. We introduce a minimizing-movement stage solver and derive a discrete energy inequality. Since strict monotonicity need not hold across stage transitions, we separate the switch and outer-update defects and prove an exact defect balance. Under a uniform switch-defect estimate, this yields quantitative almost monotonicity and a defect-aware criterion for nonexistence of a global admissible continuation. The numerical section is organized around reproducible two-dimensional reference computations: a full-domain stagewise run showing trigger detection, fixed-stage energy decay, and geometric accumulation of physical time, and a direct fixed-domain energy check. These tests are not used as proof of the bounded-window criterion; instead, they report finite-feedback diagnostics and identify the ideal-transfer switch-energy diagnostics required for a posteriori verification.\n15. 论局部线性不稳定性在熵稳定格式中的实际影响 On the Practical Impact of Local Linear Instabilities in Entropy-Stable Schemes\n作者: Alex Bercik, David W. Zingg\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-03\narXiv ID: 2605.02081v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.02081v1\n摘要: Local linear instability refers to the linearized discrete operator exhibiting perturbation growth exceeding that of the corresponding continuous linearized problem. In the context of nonlinear entropy-stable discretizations, we argue that local linear instabilities should be interpreted as a source of numerical error whose practical impact is often negligible compared with other discretization errors. For split-form discretizations of the variable-coefficient linear advection equation, such as those resulting from linearizations of entropy-stable discretizations of the Burgers equation, perturbations can indeed exhibit unphysical modal growth. However, we demonstrate that this growth satisfies physically interpretable bounds and is typically small. Furthermore, through modified-equation analysis and numerical experiments, we show that the growth is dominated by highly oscillatory and boundary-localized unphysical modes, and can therefore be readily controlled by small amounts of numerical dissipation. More generally, this modal perturbation growth does not extend directly to nonlinear two-point-flux discretizations of the type used in entropy-stable discretizations of the Euler equations. Floquet analysis demonstrates that unstable spectra of frozen-baseflow Jacobians need not lead to unstable perturbation growth. Using the geometric flux for the variable-coefficient linear advection equation, we derive a sharp perturbation growth bound predicting negligible growth, then show analogous behaviour for the logarithmic flux numerically. Finally, we argue that robustness issues observed for entropy-stable schemes in density-wave problems are better attributed to poor near-vacuum behaviour of the logarithmic mean than to local linear instabilities. Overall, our results suggest that local linear instabilities do not pose a practical obstacle to the use of high-order entropy-stable schemes.\n16. 标量守恒律的神经网络方法及其激波解的收敛速率 A Neural Network Method for Scalar Conservation Laws with Convergence Rates for Shock-Wave Solutions\n作者: Jiachuan Cao, Buyang Li, Hao Li\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-04-30\narXiv ID: 2604.27458v2\n链接: http://arxiv.org/abs/2604.27458v2\n摘要: We introduce an entropy-compatible neural network method for scalar hyperbolic conservation laws based on a computable surrogate of the Kružkov entropy residual. The proposed loss is designed to enforce weak consistency and entropy admissibility while remaining amenable to rigorous analysis. For piecewise smooth entropy solutions, we construct explicit neural network competitors with provably small loss by combining shock-adapted continuous piecewise linear approximations with representability results for neural networks. These approximation bounds, together with entropy-based stability estimates, yield rigorous (L^1) error estimates for minimizers of the resulting loss functional. In particular, when the network size scales comparably to the number of degrees of freedom of a space time mesh of size $h$, we recover the classical (O(h^{1/2})) convergence rate in shock-dominated regimes. The analysis also covers solutions containing rarefaction waves and regular shock interactions; in this extended version, we further treat smooth initial data that develop a shock in finite time, for which an (L^1) estimate of order (O(h^{1/2}|\\ln h|)) is obtained. Numerical experiments in one and two space dimensions illustrate the effectiveness of the method and its ability to resolve nonsmooth wave structures accurately.\n17. 具有记忆效应的非局部平衡律系统的稳定性估计 Stability estimates for systems of nonlocal balance laws with memory\n作者: Aekta Aggarwal, N. K. Aswini, Sarvesh Kumar, Ganesh Vaidya\n类别: math.AP, math.NA\n发布日期: 2026-05-03\narXiv ID: 2605.01709v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.01709v1\n摘要: In this work, we investigate entropy solutions for a class of systems of nonlocal {balance laws in which the convective flux and the source involves terms where the state variable convolved with kernels} in both spatial and temporal variables. This formulation captures the dependence of the flux on the solution within its spatial neighborhood (spatial nonlocality) as well as on its past states (temporal nonlocality), thereby incorporating memory effects. The resulting systems are coupled through these nonlocal interactions. We establish stability estimates for entropy solutions with respect to perturbations in the flux, the spatial and temporal kernels, and the initial data for the corresponding initial value problems. Finally, we present numerical experiments to illustrate the theoretical results and to highlight the influence of memory and source terms on the solution dynamics.\n18. 稳态 Navier-Stokes 方程的无正则化最优控制问题的误差估计 Error estimates for an unregularized optimal control problem for the stationary Navier-Stokes equations\n作者: Francisco Fuica, Nicolai Jork\n类别: math.NA, math.OC\n发布日期: 2026-05-02\narXiv ID: 2605.01633v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.01633v1\n摘要: We consider an unregularized optimal control problem subject to the steady-state Navier-Stokes equations. We derive the existence of optimal solutions and prove first- and \u0026ndash; necessary and sufficient \u0026ndash; second-order optimality conditions. To approximate solutions to the optimal control problem, we consider the variational discretization scheme. We analyze convergence properties of the discretization and prove a priori error estimates for locally optimal controls that are nonsingular and which satisfy a growth condition which implies a bang-bang structure.\n19. 非局部泊松方程的间断分析与半解析谱逼近 Discontinuity Analysis and Semi-Analytic Spectral Approximation for the Nonlocal Poisson Equation\n作者: Thinh Dang, Bacim Alali, Nathan Albin\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-05-02\narXiv ID: 2605.01617v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.01617v1\n摘要: We study a nonlocal Poisson problem with discontinuous source term and analyze how the regularity of the integral kernel determines the discontinuity structure of the corresponding solution. Under general assumptions on compactly supported integrable kernels, we show that jump discontinuities in the source term are inherited by the solution. We then identify two principal mechanisms governing higher-order regularity: singular behavior of the kernel at the origin and jump discontinuities of the kernel, or of its derivatives, at the horizon endpoints. Singularities at the origin lead to blow-up of certain derivatives of the solution at the source discontinuity, while jumps at the horizon generate cascades of derivative discontinuities at translated locations. These phenomena occur for kernels commonly used in peridynamic-type models. By contrast, compactly supported (C^\\infty) kernels do not generate derivative blow-up or cascading losses of regularity, and in this case the source term and the solution have equivalent piecewise smooth regularity. Motivated by this analysis, we develop a semi-analytic spectral method for the accurate numerical treatment of discontinuous nonlocal problems. The method uses successive smoothing transformations and explicitly constructed correction functions to convert the original problem into an auxiliary problem with improved regularity. A spectral solver is then applied to the smoothed problem, and the approximation to the original solution is recovered by adding back the analytic corrections. Numerical experiments show substantial gains in accuracy and convergence, demonstrating that the method effectively mitigates the loss of accuracy caused by discontinuities and Gibbs oscillations while retaining the efficiency of spectral methods.\n20. 林德布拉德方程的完全正且保迹格式结合张量火车压缩 Completely Positive and Trace Preserving Schemes with Tensor Train Compression for the Lindblad Equation\n作者: Peter DelMastro, Daniel Appelö, Yingda Cheng\n类别: math.NA, quant-ph\n发布日期: 2026-05-02\narXiv ID: 2605.01494v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.01494v1\n摘要: We propose a family of low-rank, completely positive and trace preserving schemes for the Lindblad equation, a common model for open quantum systems. Low-rank representation is employed at two levels: the density matrix is factorized into the product of tall-skinny matrices, and the columns of these matrices are further represented using the tensor train (TT) format, also know as matrix product states (MPS). This two-level low-rank format fits naturally into our existing Kraus is King scheme (arXiv:2409.08898v2 [math.NA]) for the Lindblad equation, whose underlying operations are arithmetic on the columns of the tall-skinny matrices. We show how these operations can be performed efficiently in the TT/MPS format, with particular emphasis on density matrix rank-truncation. We conclude with extensive numerical experiments demonstrating the convergence of this scheme and its efficiency in simulating systems with up to $10^{19}$ degrees of freedom using only modest compute resources.\n21. 用于低秩张量补全的四元数非线性变换诱导核范数 Quaternion Nonlinear Transform-Induced Nuclear Norm for Low-Rank Tensor Completion\n作者: Biswarup Karmakar, Ratikanta Behera\n类别: math.OC, cs.CV, math.NA\n发布日期: 2026-05-02\narXiv ID: 2605.01467v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.01467v1\n摘要: Tensor completion has emerged as a powerful framework for recovering missing data in multidimensional signals by exploiting low-rank tensor structures. Among existing approaches, linear transform-based tensor nuclear norm (TNN) methods have achieved considerable success by enforcing low-rankness on transformed frontal slices. However, the low-rank structure revealed by linear transforms remains inherently limited. To better capture intrinsic correlations, nonlinear transform-based TNN (NTTNN) models have been proposed, significantly enhancing low-rank representation through composite transforms. Despite their effectiveness, existing NTTNN methods are restricted to real-valued tensors and fail to model quaternion-valued data, which are essential for preserving inter-channel dependencies in color images and videos. Extending nonlinear TNN models to the quaternion domain is challenging due to the non-commutativity of quaternion multiplication and the complexity of quaternion singular value decomposition. To address the limitations encountered in prior works, we propose a quaternion nonlinear transform-induced tensor nuclear norm (QNTTNN) via a real embedding of quaternions, enabling tractable nuclear norm definitions and efficient optimization. Building upon QNTTNN, we formulate a quaternion tensor completion model and develop a proximal alternating minimization algorithm with rigorous convergence guarantees. Extensive experiments on benchmark color video inpainting datasets validate the superior performance of the proposed method over existing approaches.\n22. 一族计算四元数矩阵广义逆的迭代方法及其应用 A Family of Iterative Methods for Computing Generalized Inverses of Quaternion Matrices and its Applications\n作者: Biswarup Karmakar, Neha Bhadala, Ratikanta Behera\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-02\narXiv ID: 2605.01464v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.01464v1\n摘要: The computation of generalized inverses of quaternion matrices is a fundamental problem in quaternion linear algebra, with wide-ranging applications in signal processing, image restoration, and multidimensional data analysis. This paper presents three efficient quaternion iterative algorithms for computing the Moore-Penrose pseudoinverse: (i) the quaternion rapid iterative method (QRAPID), (ii) the quaternion strong approximate inverse (QSAI), and (iii) the quaternion hyperpower iterative method of order nineteen (QHPI19). Convergence theorems and perturbation bounds are established to ensure numerical stability and robustness. The QSAI method is further employed as a preconditioner for quaternion Krylov subspace solvers, resulting in substantial reductions in the iteration count and runtime for large-scale linear systems. Comprehensive numerical experiments demonstrate that the proposed algorithms achieve an accuracy comparable to or better than existing approaches, including quaternion SVD, quaternion Newton-Schulz, and classical hyperpower schemes, while offering significant computational savings. The practical utility of the framework is illustrated through two representative applications: image completion via CUR decomposition and signal filtering, which confirm its scalability and effectiveness in real-world multidimensional data applications.\n23. 求解心脏电生理反问题的神经潜变量动力学方法 A Neural Latent Dynamics Approach for Solving Inverse Problems in Cardiac Electrophysiology\n作者: Edoardo Centofanti, Giovanni Ziarelli, Simone Scacchi, Luca Franco Pavarino\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-02\narXiv ID: 2605.01463v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.01463v1\n摘要: Solving inverse problems in cardiac electrophysiology consists in the recovery of physiological parameters from surface electrocardiogram (ECG) measurements, a task which is often computationally unfeasible due to the severe ill-posedness and the prohibitive computational complexity of PDE-constrained optimization. In this work, we introduce a data-driven framework leveraging Latent Dynamics Networks (LDNets) to construct efficient surrogate models of the forward operator. By mapping low-dimensional parameters, representing ectopic activation sites or ischemic region descriptors, to the ECG signals via latent dynamics governed by neural ordinary differential equations, our approach circumvents the computational burden of evaluating high-fidelity cardiac models during iterative parameter estimation. The surrogate is trained offline on high-fidelity data, enabling rapid and robust inversion. We validate the proposed framework through rigorous numerical experiments with synthetic data across both 2d and 3d geometries. Results show that the LDNet-based surrogate achieves precise reconstruction of cardiac parameters while drastically reducing computational overhead, thereby enabling near real-time clinical applications.\n24. 面向带 MAPE 损失和样本依赖箱约束的 $\\varepsilon$-SVR 的序列最小优化 Sequential Minimal Optimization for $\\varepsilon$-SVR with MAPE Loss and Sample-Dependent Box Constraints\n作者: Pablo Benavides-Herrera, Riemann Ruiz-Cruz, Juan Diego Sánchez-Torres\n类别: math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-05-02\narXiv ID: 2605.01446v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.01446v1\n摘要: We derive a Sequential Minimal Optimization (SMO) algorithm for the quadratic dual problem arising from $\\varepsilon$-SVR~\\cite{Vapnik1995, Drucker1997, Smola2004} modified to minimize the Mean Absolute Percentage Error (MAPE)\\cite{Makridakis1993, Hyndman2006} directly in the loss function\\cite{benavides2025support}. This formulation is part of a broader family of SVR models with percentage-error losses that also includes least-squares variants~\\cite{Suykens2002} and symmetric-kernel extensions~\\cite{Espinoza2005}, whose unified structure is studied in~\\cite{benavides2026unified}. The key structural difference from standard $\\varepsilon$-SVR is that the box constraints become \\emph{sample-dependent}: $α_k, α_k^* \\in [0,\\, 100C/y_k]$. We show that this modification affects only (i) the feasibility sets $\\Iup$ and $\\Idown$ in the working-set selection and (ii) the clipping bounds in the analytic two-variable update, while leaving the curvature formula and gradient update structurally identical to the standard SMO~\\cite{Platt1998, Platt1999, Fan2005}. A shrinking heuristic adapted to the sample-dependent bounds is derived and shown to introduce an asymmetry between $α$ and $α^*$ variables controlled by the gap $2y_k\\varepsilon/100$. The same solver applies to the symmetric-kernel variant (m2) by replacing $Ω$ with $Ω_s = \\tfrac{1}{2}(Ω+ aΩ^*)$\\cite{Espinoza2005}. An implementation is available in the open-source \\texttt{psvr} R package\\cite{BenavidesHerrera2026Rpsvr}.\n25. 球面上浅水方程半隐式半拉格朗日方法中的谱插值 Spectral interpolation in semi-implicit semi-Lagrangian methods for shallow water equations on the sphere\n作者: Michael Chiwere, Daniel Fortunato, Grady B. Wright\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-02\narXiv ID: 2605.01313v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.01313v1\n摘要: Semi-implicit semi-Lagrangian (SISL) methods are commonly used for the shallow water equations (SWE) because they allow for larger time steps than those permitted by the Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) stability condition in Eulerian schemes. In these methods, the semi-Lagrangian treatment of advection is typically performed using lower-order interpolation, such as tensor-product Lagrange interpolation with cubic or quintic polynomials. However, operational SISL schemes routinely employ spectrally accurate spatial discretizations, such as spherical harmonics or the double Fourier sphere (DFS) method, for computing horizontal derivatives of the prognostic variables. This creates a mismatch in numerical accuracy, making the use of low-order interpolation less clearly justified. In this work, we present the first numerical investigation of spectrally accurate interpolation in SISL schemes for the SWE. Our approach builds upon the recently developed DFS-based SWE model, incorporating a spectral interpolation scheme that is accelerated using the nonuniform fast Fourier transform (NUFFT) to maintain the same overall computational complexity as the original model. Using several standard SWE test cases, we evaluate the accuracy, conservation, and numerical diffusion of the new model, particularly over long integration times. Compared to an equivalent SISL model with low-order interpolation, the new model achieves higher accuracy, improved mass and energy conservation, and reduced numerical diffusion, demonstrating the potential benefits of incorporating spectrally accurate interpolation into SISL schemes.\n26. Alikhanov-XfPINNs: 非均匀网格上非线性分数阶偏微分方程的自适应物理信息学习 Alikhanov-XfPINNs: Adaptive Physics-Informed Learning for Nonlinear Fractional PDEs on Nonuniform Meshes\n作者: Himanshu Kumar Dwivedi, Matthias Ehrhardt, Rajeev\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-02\narXiv ID: 2605.01305v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.01305v1\n摘要: To address the initial singularity inherent in solutions to fractional partial differential equations (fPDEs), we propose an accelerated Alikhanov discretization formulation implemented on nonuniform time grids. Based on the physics-informed neural networks (PINNs) framework, we introduce an Alikhanov-extended fractional PINNs (XfPINNs) architecture that combines high-order temporal discretization and deep learning. The nonlocal memory term in fPDEs leads to high computational cost, while the weak singularity near $t\\to 0^+$ can deteriorate accuracy on uniform meshes. To separate temporal discretization effects from optimization and sampling errors, we further develop an auxiliary time-marching configuration that enables auditable temporal-convergence studies under controlled training tolerances. This architecture can solve general nonlinear fPDEs. The XfPINNs approach is designed for forward and inverse problems, allowing for data-driven solution reconstruction and parameter estimation. First, the neural network approximates the solution of nonlinear fPDEs; then, an adaptive activation function accelerates convergence and enhances training efficiency. The optimization framework embeds a variational loss function constructed from the Alikhanov scheme, where the initial and boundary conditions are imposed using a combination of hard and soft constraints. Numerical experiments, including cases with known and unknown exact solutions which demonstrate the robustness, computational efficiency, and significant CPU time savings of the Alikhanov-XfPINNs method.\n27. 一类非对称线性矩阵方程的低秩短递推 A class of low-rank short recurrences for nonsymmetric linear matrix equations\n作者: Davide Palitta, Catherine E. Powell, Valeria Simoncini\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-02\narXiv ID: 2605.01276v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.01276v1\n摘要: We propose a new class of short matrix recurrences for the solution of nonsymmetric linear equations of the type $\\mathbf{A}_1\\mathbf{X}\\mathbf{B}_1+\\ldots+\\mathbf{A}_p\\mathbf{X}\\mathbf{B}_p=CD^T$. These iterative methods combine local subspace projection to speed up convergence with rank truncation strategies and randomization procedures to limit memory consumption. Computational experiments on a benchmark problem as well as a challenging discretized mixed formulation of a diffusion equation with random inputs illustrate the potential of the proposed methodology.\n28. 波导阵列中产生的Dirac方程的逆散射 Inverse Scattering for Dirac Equations Arising in Waveguide Arrays\n作者: John C. Schotland, Shenwen Yu\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-02\narXiv ID: 2605.01230v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.01230v1\n摘要: We investigate inverse scattering problems for Dirac equations that arise as continuum models of waveguide arrays. We first establish the well-posedness of the forward models. For the associated inverse problems, we develop the inverse Born series and the reduced inverse Born series, providing analysis of convergence and rigorous error estimates. Numerical experiments are presented to validate the proposed algorithms and demonstrate their effectiveness.\n29. Pfaffian点过程的采样与辛Arnoldi方法 Sampling Pfaffian point processes and the symplectic Arnoldi method\n作者: Alan Edelman, Sungwoo Jeong, Simeon Schaub\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-02\narXiv ID: 2605.01202v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.01202v1\n摘要: We present an exact sampling algorithm for Pfaffian point processes based on a skew-symmetric analogue of the Cholesky factorization. This algorithm enables efficient sampling of a wide range of statistics arising in random matrix theory and combinatorics. For instance, we can sample eigenvalues of the orthogonal and symplectic ensembles ($β= 1,4$). In addition, we introduce a symplectic Arnoldi method for computing skew-orthogonal polynomials associated with a general weight function. This method can be used to efficiently construct the $2 \\times 2$ matrix valued skew-symmetric kernels that arise in $β= 1,4$ polynomial ensembles. We illustrate our approach with several numerical examples and experiments, including the symmetric corner growth model, the finite-$N$ Gaussian (Hermite) orthogonal and symplectic ensembles, and the $β= 1,4$ Airy point processes and Tracy-Widom distributions.\n30. 人类多能干细胞来源心肌细胞移植物与宿主心室组织之间电生理相互作用的建模 Modelling the electrophysiological interactions between human pluripotent cell-derived cardiomyocite grafts and host ventricular tissue\n作者: Suran Galappaththige, Vadim N Biktashev, Faisal J Alibhai, Michael Laflamme\n类别: q-bio.TO, math.NA\n发布日期: 2026-05-01\narXiv ID: 2605.01083v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.01083v1\n摘要: Human pluripotent stem cell-derived cardiomyocytes (hPSC-CMs) are a promising therapy for regenerating myocardium after infarction, but their use is limited by graft-related arrhythmias that frequently occur shortly after transplantation. Experimental studies indicate that these arrhythmias can originate within the graft, which may act as an ectopic pacemaker, yet the mechanisms governing successful excitation of host tissue remain poorly understood. In particular, the role of electrical coupling at the graft-host interface is important, but difficult to measure directly or control. Computer modelling can help here. Here, we present a computational framework that enables systematic investigation of graft-host electrical interactions using a physiologically interpretable parameterisation. We model the graft-host interface as an internal boundary with a defined specific conductance, allowing direct control over coupling strength in units that correspond to measurable tissue properties. We formulate the governing equations and implement the computations using both finite-difference and finite-element discretisations in established cardiac modelling platforms. Using representative anatomical and physiological configurations, we demonstrate how variations in interface conductance influence the ability of spontaneous graft activity to initiate propagating excitation in host tissue. This framework provides a reproducible, mechanistically transparent tool for studying graft-related arrhythmogenesis and lays a foundation for evaluating strategies to mitigate arrhythmic risk in cardiac cell therapy.\n31. 一种适用于非界面贴合网格的移位粘聚区方法及其在晶体塑性中的应用 A Shifted Cohesive-Zone Method for Non-Interface-Fitted Meshes with Applications to Crystal Plasticity\n作者: Cheng-Hau Yang, Mark C. Messner, Tianchen Hu\n类别: math.NA, math.AP\n发布日期: 2026-04-30\narXiv ID: 2604.27407v2\n链接: http://arxiv.org/abs/2604.27407v2\n摘要: The accurate simulation of interface-dominated solid mechanics problems on complex microstructures remains challenging, particularly when interface-fitted quadrilateral or hexahedral meshes are difficult to generate. We extend the shifted boundary method (SBM) to cohesive-zone formulations and introduce the Shifted Cohesive Zone Method (SCZM), with applications to crystal plasticity on non-interface-fitted meshes. By shifting the enforcement of traction-separation laws from the true interface to a nearby surrogate interface, SCZM enables the use of standard finite element spaces while avoiding the meshing burden associated with interface-conformal discretizations. We present a simplified SCZM weak form defined on the surrogate interface, leading to a straightforward implementation of the nonlinear residual and consistent tangent matrix. The method is implemented in the open-source MOOSE framework and coupled with constitutive models from NEML2, enabling simulations with linear elasticity, multiple traction-separation laws, and history-dependent crystal plasticity. We further develop a geometry-aware, PCA-enhanced point classification algorithm to accelerate surrogate-domain construction. Verification and benchmark studies in two and three dimensions demonstrate that SCZM achieves first-order convergence for non-interface-fitted interface problems and closely matches interface-fitted reference solutions in terms of reaction forces, surface energy release, deformation, stress fields, and damage evolution. These results indicate that SCZM provides an accurate and efficient framework for modeling interface mechanics in complex microstructures without requiring interface-fitted meshes.\n32. 先进空中机动运营中监视系统的可靠性、鲁棒性与弹性建模 Reliability, Robustness, and Resilience Modeling for Surveillance System in Advanced Air Mobility Operations\n作者: Esrat Farhana Dulia, Caleb Adams, Syed Arbab Mohd Shihab, Ruben Del Rosario\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-01\narXiv ID: 2605.00823v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.00823v1\n摘要: Ensuring the safe and efficient operation of Advanced Air Mobility (AAM) in low-altitude airspace requires a reliable, robust, and resilient surveillance system capable of continuously detecting, identifying, and tracking aircraft under both normal and off-nominal conditions. To address this need, this study develops a comprehensive 3R modeling framework, reliability, robustness, and resilience, for the Surveillance for Advanced Air Mobility (SAM) system, with a focus on the optimal design and operation of a multi-type sensor network. Under normal operating conditions, the reliability model determines the baseline sensor types, quantities, and locations required to satisfy surveillance coverage and detection requirements. To address external perturbations, such as adverse weather conditions or sudden increases in AAM traffic demand, the robustness model identifies additional sensor requirements needed to maintain system performance. Furthermore, for surveillance outages caused by primary sensor failures, the resiliency model develops backup sensor deployment and dispatch strategies to provide temporary surveillance coverage, minimize operational disruptions, and support the safe continuation of AAM operations.\n33. HyCOP：用于偏微分方程可解释学习的混合组合算子 HyCOP: Hybrid Composition Operators for Interpretable Learning of PDEs\n作者: Jinpai Zhao, Nishant Panda, Yen Ting Lin, Eirik Valseth, Diane Oyen, Clint Dawson\n类别: cs.CE, cs.LG, math.NA\n发布日期: 2026-05-01\narXiv ID: 2605.00820v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.00820v1\n摘要: We introduce HyCOP, a modular framework that learns parametric PDE solution operators by composing simple modules (advection, diffusion, learned closures, boundary handling) in a query-conditioned way. Rather than learning a monolithic map, HyCOP learns a policy over short programs - which module to apply and for how long - conditioned on regime features and state statistics. Modules may be numerical sub-solvers or learned components, enabling hybrid surrogates evaluated at arbitrary query times without autoregressive rollout. Across diverse PDE benchmarks, HyCOP produces interpretable programs, delivers order-of-magnitude OOD improvements over monolithic neural operators, and supports modular transfer through dictionary updates (e.g., boundary swaps, residual enrichment). Our theory characterizes expressivity and gives an error decomposition that separates composition error from module error and doubles as a process-level diagnostic.\n34. 模形式与对$ζ(3)$的有理逼近的数值探索 Modular Forms and Numerical Explorations of Rational Approximations to $ζ(3)$\n作者: Cynthia Bortolotto, Lucas Oliveira\n类别: math.NT, math.NA\n发布日期: 2026-05-01\narXiv ID: 2605.00673v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.00673v1\n摘要: We revisit Beukers\u0026rsquo; modular-form proof of the irrationality of $ζ(3)$ from the point of view of the auxiliary weight two modular form. For the Fricke group $Γ_0(6)^\\star$, we show that Beukers\u0026rsquo; choice is not isolated: it belongs to a one-parameter affine family. These approximations have the same exponential decay as the classical Apéry approximations and satisfy the same denominator-growth estimate needed in Beukers\u0026rsquo; irrationality argument. We then apply the same construction to several other genus-zero Fricke groups.\n35. 多面体网格上间断伽辽金方法的连续三维有限元子网格基函数 Continuous 3D Finite Element Subgrid Basis Functions for Discontinuous Galerkin Methods on Polyhedral Meshes\n作者: Sixtine Michel, Lorenzo Diazzi, Walter Boscheri\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-01\narXiv ID: 2605.00619v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.00619v1\n摘要: We present a novel high-order accurate nodal discontinuous Galerkin (DG) method for solving nonlinear hyperbolic systems of partial differential equations (PDEs) on fully unstructured three-dimensional polyhedral meshes. A mesh generator is firstly discussed in detail, which ensures the generation of admissible control volumes. For the first time, we then extend the concept of agglomerated finite element (AFE) basis functions to polyhedral grids. In this context, the discrete solution is represented within each polyhedral element using piecewise continuous polynomials of degree N, defined on an internal tetrahedral subgrid. The AFE basis functions are therefore constructed by agglomerating standard finite element basis functions on each sub-tetrahedron of the computational cell. This allows for the precomputation of universal local matrices (mass and stiffness) on the reference element given by the unit tetrahedron, enabling a quadrature-free implementation that remains efficient even on highly irregular polyhedral meshes. High-order of accuracy in time is achieved using a local spacetime Galerkin predictor as part of the ADER approach, applied independently within each polyhedral element. To ensure robustness in the presence of discontinuities such as shocks, an artificial viscosity limiter is embedded into the numerical scheme, allowing for controlled dissipation and stabilization without compromising the overall accuracy in smooth regions. To demonstrate the robustness and accuracy of the method, we validate it through different three-dimensional benchmark problems for the compressible Euler and Navier-Stokes equations.\n36. 参数依赖字典下信号解混的最小二乘局部几何 Local Geometry of Least Squares for Unmixing Signals with Parameter-Dependent Dictionaries\n作者: Santos Michelena, Maxime Ferreira Da Costa, José Picheral\n类别: eess.SP, math.NA\n发布日期: 2026-05-01\narXiv ID: 2605.00585v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.00585v1\n摘要: Modeling signals as linear combinations of atoms from a dictionary is ubiquitous in modern signal processing. In the finite-dimensional setting, whenever atoms depend nonlinearly upon unknown parameters, the signal model is said to be separable. In this work, we study least-squares reconstruction of separable signals and establish a unified theoretical framework for their analysis. We introduce the unmixing metric, a distance that captures the distinct roles and sensitivities of linear and nonlinear parameters, and establish local convergence and stability guarantees under its topology. We then analyze variable projection from a geometric perspective, showing that it corresponds to restricting the optimization to the manifold of optimal linear parameters. This viewpoint provides a principled explanation for the improved algorithmic behavior of variable projection observed in practice, and produces sharp theoretical guarantees. The generic theory for separable problems is specialized to the case of point spread function (PSF) unmixing. We introduce a parametric notion of coherence and show that support separation directly controls both the size of the convergence region and the stability of recovery. Numerical experiments corroborate the theoretical predictions and demonstrate the practical relevance of the proposed framework.\n37. Linking PageRank, Time Reversal, and Policy Evaluation Linking PageRank, Time Reversal, and Policy Evaluation\n作者: Konstantin Avrachenkov, Lorenzo Gregoris, Nelly Litvak\n类别: math.OC, math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-05-01\narXiv ID: 2605.00532v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.00532v1\n摘要: We establish a connection between policy evaluation in Markov decision processes and PageRank in network analysis. For a fixed policy, we show that the value function of a discounted Markov decision process can be obtained, up to an explicit rescaling, from the PageRank vector of a suitably defined time-reversed Markov chain. In this correspondence, the discount factor plays the role of the teleportation parameter, while rewards induce the restart distribution. Beyond the irreducible case, invoking quasi-stationary distributions and Doob $h$-transforms, we prove a general decomposition theorem showing that policy evaluation for arbitrary finite MDPs reduces to a collection of PageRank problems on the recurrent and transient components of the policy-induced Markov chain. This framework naturally extends to undiscounted MDPs with terminal states and to transition-dependent rewards. We conclude by showing efficiency of our approach on a numerical example of a sticky random walk on large deterministic and random graphs.\n38. 时空分数阶扩散偏微分方程的深度皮卡迭代 Deep-Picard Iteration for Space-time Fractional Diffusion PDEs\n作者: Zhijun Zeng, Zhitong Chen, Ling Qin, Yi Zhu\n类别: math.NA, math.PR\n发布日期: 2026-05-01\narXiv ID: 2605.00456v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.00456v1\n摘要: We propose a Deep-Picard iteration framework for high-dimensional nonlinear space-time fractional diffusion equations.The method is based on a nonlinear fractional Feynman\u0026ndash;Kac fixed-point formulation, which replaces direct discretization of the Caputo memory term and the nonlocal fractional Laplacian by Monte Carlo simulation of the associated fractional dynamics. Each Picard update is approximated by stochastic label generation and realized through supervised neural-network regression, thereby avoiding residual minimization involving fractional differential operators. The fractional trajectories are generated by coupling a discretized beta-stable subordinator with a walk-on-spheres-type simulation of the rotationally symmetric alpha-stable Lévy process. Numerical experiments on two-dimensional and high-dimensional test problems ddemonstrate stable Picard convergence and accurate approximation, with tests reported up to dimension d=100.\n39. 利用观测位移估计岩浆库状态的变分方法 A variational approach to estimating the state of a magma reservoir from observed displacement\n作者: Shungo Kun Tonoyama, Atsushi Suzuki, Takemasa Miyoshi\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-01\narXiv ID: 2605.00409v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.00409v1\n摘要: We propose a numerical procedure to solve an inverse problem that estimates the state of a magma reservoir from observed surface displacement of a volcano. Our variational approach aims to find the minimizer of a cost function consisting of a norm concerning both data and derivative, which evaluates the misfit between the estimated and observed displacement. The extremal of the cost function leads to a linear system, to find the stress distribution on the reservoir surface, has very high condition number, but it is feasible to get appropriate solution by using high precision arithmetic.\n40. 超越独立性：论贝叶斯反演中的联合正态先验 Beyond Independence: on Jointly Normal Priors in Bayesian Inversion\n作者: Ruanui Nicholson, Matti Niskanen, Oliver J. Maclaren, Jari P. Kaipio\n类别: stat.ME, math.NA\n发布日期: 2026-05-01\narXiv ID: 2605.00332v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.00332v1\n摘要: We consider joint inversion for two or more unknown parameters from observational data in the Bayesian framework. Standard approaches often either treat the parameters as independent or impose structural similarity through regularisation terms that can be difficult to interpret statistically. We instead construct jointly Gaussian prior models with prescribed Gaussian marginals, so that correlation between the parameters can be incorporated without altering the marginal prior distributions. We propose a joint covariance construction that preserves the marginals, allows spatially varying cross-correlation, and supports uncertainty and inference in the correlation itself. The construction is valid for any strict contraction encoding the desired cross-correlation and is optimal in a canonical correlation sense under the principal square root factorisation. We demonstrate the method using prior sampling and several inference examples: a low-dimensional illustrative example and two higher-dimensional examples, including a PDE-constrained problem. The examples highlight both the potential pitfalls of ignoring or neglecting uncertainty in the correlation as well as reinforcing a key principle of the Bayesian paradigm: unknown quantities included in a model should be treated as random variables.\n41. $(\\star, ε)$-回文矩阵多项式的谱分解及其应用 Spectral decomposition of $(\\star, ε)$-palindromic matrix polynomial and its applications\n作者: Kang Zhao, Xin Wang, Xiaoxiao Ma\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-01\narXiv ID: 2605.00328v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.00328v1\n摘要: This paper provides the spectral decomposition of $(\\star,ε)$-palindromic quadratic matrix polynomial $P(λ)$ by a standard pair and a parameter matrix. When $J$ is assumed to be a block diagonal matrix, the parameter matrix $Γ$ has a special structure. And then the spectral decomposition is applied to solve the inverse eigenvalue problem and the eigenvalue embedding problem with no spill-over.\n42. 用于神经网络PDE近似中残差最小化的自适应各向异性复合求积法 Adaptive anisotropic composite quadratures for residual minimisation in neural PDE approximations\n作者: Santiago Badia, Kishore Nori\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-05-01\narXiv ID: 2605.00308v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.00308v1\n摘要: We study the role of numerical quadrature in residual-minimisation methods for neural network approximation of partial differential equations. We first present an abstract error framework that separates approximation, quadrature and optimisation errors, and derive a nonlinear Strang-type estimate quantifying how inaccuracies in the discrete loss affect the final approximation. Motivated by this analysis, we propose an anisotropic adaptive composite quadrature strategy that controls the relative quadrature error of the residual loss using richer reference quadratures and bisection-based refinement. We then introduce a refresh-based training methodology that rebuilds the quadrature only when an online error indicator exceeds a prescribed threshold, balancing accuracy and computational cost. Numerical experiments on a range of benchmark problems show that the proposed approach narrows the gap between training and reference losses, uses quadrature points more efficiently and delivers strong approximation accuracy relative to non-adaptive quadrature strategies.\n43. 狄拉克-弗伦克尔-昂萨格原理：关于偏微分方程解的非线性参数化的带有规范动量的瞬时残差最小化 A Dirac-Frenkel-Onsager principle: Instantaneous residual minimization with gauge momentum for nonlinear parametrizations of PDE solutions\n作者: Matteo Raviola, Benjamin Peherstorfer\n类别: cs.LG, math.NA, stat.ML\n发布日期: 2026-04-30\narXiv ID: 2605.00284v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.00284v1\n摘要: Dirac-Frenkel instantaneous residual minimization evolves nonlinear parametrizations of PDE solutions in time, but ill-conditioning can render the parameter dynamics non-unique. We interpret this non-uniqueness as a gauge freedom: nullspace directions that leave the time derivative unchanged can be used to select better-conditioned parameter velocities. Building on Onsager\u0026rsquo;s minimum-dissipation principle, we introduce a history variable \u0026ndash; interpretable as momentum \u0026ndash; and inject it only along the nullspace directions. The resulting Dirac-Frenkel-Onsager dynamics preserve instantaneous residual minimization, in contrast to standard regularization that can introduce bias, while promoting temporally smooth parameter evolutions. Examples demonstrate that the approach leads to increased robustness in singular and near-singular regimes.\n44. 具有边界条件不完全信息的Stokes方程的一种近最优恢复算法 A near-optimal recovery algorithm for the Stokes equations with incomplete information on the boundary conditions\n作者: Andrea Bonito, Diane Guignard\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-04-30\narXiv ID: 2604.28051v1\n链接: http://arxiv.org/abs/2604.28051v1\n摘要: We address the problem of numerically approximating the velocity and pressure governed by the Stokes system when the boundary conditions are only partially known and thus do not uniquely determine the velocity-pressure couple. We propose an algorithm that takes advantage of available linear measurements of the velocity and pressure to construct a numerical approximation. This approximation is guaranteed to be near-optimal in the sense that it approximates the velocity-pressure couple that minimizes, in the energy norm, the distance to all other solutions satisfying the measurements and the Stokes system.\n","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-05-05_05-45-56/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年05月05日 05:45:56\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e了解领域论文数量\u003c/strong\u003e: 3\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e不相关论文数量\u003c/strong\u003e: 44\u003c/p\u003e\n\u003ch1 id=\"重点关注论文完整分析\"\u003e重点关注论文（完整分析）\u003c/h1\u003e\n\u003ch2 id=\"1-带有先验界的椭圆型低维拟周期解的数值构造\"\u003e1. 带有先验界的椭圆型低维拟周期解的数值构造\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003eNumerical Construction of Elliptic Lower-Dimensional Quasi-Periodic Solutions with a Priori Bound\u003c/p\u003e","title":"2026年05月05日论文分析"},{"content":"生成时间: 2026年05月04日 02:51:57\n重点关注论文数量: 3\n了解领域论文数量: 2\n不相关论文数量: 43\n重点关注论文（完整分析） 1. 麦克斯韦方程组的结构保持最优控制及其在源隐身中的应用 Structure-Preserving Optimal Control of Maxwell\u0026rsquo;s Equations with Applications to Source Cloaking\n作者: Harbir Antil, Yaw Owusu-Agyemang, Rohit Khandelwal, Jimmie Adriazola, Denis Ridzal\n类别: math.OC, math.AP, math.NA, physics.comp-ph\n发布日期: 2026-04-30\narXiv ID: 2605.00212v1\n摘要翻译: 我们提出一种针对含时麦克斯韦方程最优控制的结构保持求解框架。基于正问题弱形式的适定性理论，我们首先分析了一种将Nédélec元和Raviart-Thomas元与Crank-Nicolson时间步进耦合的正向求解器。该求解器保持de Rham结构，施加离散高斯定律，精确满足每个时间步的能量平衡，并在最优控制设置所给定的问题数据的低正则性假设下收敛到弱解。为了控制麦克斯韦系统，我们在安培定律中加入时空电流密度的旋度作为源。旋度形式无需辅助约束即可保证电荷守恒。我们证明了控制到状态映射的适定性和连续性，推导了伴随系统以及跟踪型目标泛函的梯度表示，并构造了一个继承正向求解器结构保持性质的离散优化格式。我们的离散平稳性条件与其连续对应形式一致，并且随着网格和时间步细化，离散最优控制收敛到连续最优解。我们通过数值求解一系列源隐身模型问题，展示了我们的最优控制公式和理论发展的优点。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2605.00212v1\n1. 研究对象和背景 本文研究时间依赖 Maxwell 方程的最优控制问题, 其状态方程为在有限时间区间 $(0,T)$ 和有界 Lipschitz 区域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^3$ 上的电磁场演化:\n$$ \\begin{cases} \\varepsilon \\partial_t \\mathbf{E} - \\operatorname{curl}(\\mu^{-1}\\mathbf{B}) + \\sigma \\mathbf{E} = \\chi_{\\Omega_{\\text{src}}}\\mathbf{I}_{\\text{src}} + \\chi_{\\Omega_{\\text{ctrl}}}\\operatorname{curl} \\mathbf{z}, \u0026 \\text{in } \\Omega\\times(0,T),\\\\ \\partial_t \\mathbf{B} + \\operatorname{curl} \\mathbf{E} = 0, \u0026 \\text{in } \\Omega\\times(0,T),\\\\ \\mathbf{E}\\times\\boldsymbol{\\nu} = 0, \u0026 \\text{on } \\partial\\Omega\\times(0,T),\\\\ \\mathbf{E}(0)=\\mathbf{E}_0,\\; \\mathbf{B}(0)=\\mathbf{B}_0, \u0026 \\text{in } \\Omega. \\end{cases} $$其中 $\\mathbf{E}$ 为电场, $\\mathbf{B}$ 为磁通量密度; $\\varepsilon,\\mu,\\sigma$ 分别为电容率、磁导率和电导率张量, 满足一致椭圆性和对称性假设 (Assumption 1); $\\mathbf{I}_{\\text{src}}\\in L^2(0,T;L^2(\\Omega_{\\text{src}})^3)$ 为给定源电流密度, 支撑在 $\\Omega_{\\text{src}}\\subseteq\\Omega$ 上; 控制变量 $\\mathbf{z}$ 定义在区域 $\\Omega_{\\text{ctrl}}\\subseteq\\Omega$ 上, 并以 $\\operatorname{curl}\\mathbf{z}$ 形式进入 Ampère 定律, 从而自动保证 $\\operatorname{div}(\\operatorname{curl}\\mathbf{z})=0$, 无需额外约束即实现电荷守恒。目标是通过选择 $\\mathbf{z}$ 极小化如下跟踪型泛函:\n$$ J(\\mathbf{E},\\mathbf{B},\\mathbf{z}) = \\frac12 \\int_0^T \\Big( \\|\\varepsilon^{1/2}(\\mathbf{E}-\\mathbf{E}_d)\\|_{L^2(\\Omega_{\\text{obs}})^3}^2 + \\|\\mu^{-1/2}(\\mathbf{B}-\\mathbf{B}_d)\\|_{L^2(\\Omega_{\\text{obs}})^3}^2 \\Big) \\,dt + \\frac12 \\|\\mathbf{z}\\|_Z^2, $$其中 $\\mathbf{E}_d,\\mathbf{B}_d$ 为目标场, $\\Omega_{\\text{obs}}$ 为观测区域, 控制空间范数定义为\n$$ \\|\\mathbf{z}\\|_Z^2 = \\int_0^T \\big( \\alpha_1\\|\\mathbf{z}(t)\\|_{L^2(\\Omega_{\\text{ctrl}})^3}^2 + \\alpha_2\\|\\operatorname{curl}\\mathbf{z}(t)\\|_{L^2(\\Omega_{\\text{ctrl}})^3}^2 \\big) \\,dt, \\quad \\alpha_1,\\alpha_2\u003e0. $$此类最优控制问题在纳米光学、电磁屏蔽、无损检测、医学成像等工程应用中具有重要意义。从数学角度看, 核心困难在于数据仅有最低可积性 (源 $\\mathbf{I}_{\\text{src}}\\in L^2$, 初始数据 $(\\mathbf{E}_0,\\mathbf{B}_0)\\in L^2$), 且区域仅要求 Lipschitz 正则性, 这使得标准的高正则性假设下的数值分析不再适用。已有的工作 (如 [1]) 已在此低正则框架下建立了 Maxwell 方程弱解的适定性 (定理 1), 并给出了基于 Nédélec 元和 Raviart–Thomas 元的半离散格式的收敛性。然而, 全离散格式 (包括时间步进) 的构造及其在同样低正则条件下的收敛性尚未建立; 将此类结构保持离散化方法系统地融入最优控制框架, 并证明离散最优控制收敛到连续最优控制, 更是未被探索的空白。本文正是为填补这一空白而作, 旨在发展一个从连续问题到离散优化的全链条结构保持理论, 并应用于源隐身 (Ed = 0, Bd = 0) 模型。\n2. 主要定理或主要结果 本文的主要结果可概括为以下六个方面, 均在 Assumption 1 (材料张量对称、一致正定, σ 半正定, 源与初值属 L²) 下成立。\n全离散前向格式的适定性与稳定性。采用 Crank–Nicolson 时间离散与 Nédélec/RT 空间离散的耦合格式 (6): 给定 $(\\mathbf{E}_h^n,\\mathbf{B}_h^n)$, 求 $(\\mathbf{E}_h^{n+1},\\mathbf{B}_h^{n+1})$ 满足 $$(\\varepsilon \\delta_t \\mathbf{E}_h^{n+1}, \\boldsymbol{\\psi}_h) + (\\sigma \\mathbf{E}_h^{n+1/2}, \\boldsymbol{\\psi}_h) - (\\mu^{-1}\\mathbf{B}_h^{n+1/2}, \\operatorname{curl}\\boldsymbol{\\psi}_h) = (\\mathbf{f}^{n+1/2}, \\boldsymbol{\\psi}_h) \\quad \\forall \\boldsymbol{\\psi}_h\\in N_h^0,$$ $$(\\delta_t \\mathbf{B}_h^{n+1}, \\boldsymbol{\\phi}_h) + (\\operatorname{curl}\\mathbf{E}_h^{n+1/2}, \\boldsymbol{\\phi}_h) = 0 \\quad \\forall \\boldsymbol{\\phi}_h\\in RT_h,$$ 其中 $\\mathbf{f}^{n+1/2}$ 为时间区间上的平均。该格式存在唯一解 (引理 1, 通过选取特殊测试函数及投影 $P_h$ 证明), 并精确满足每步能量平衡: $$\\frac{\\mathcal{E}^{n+1} - \\mathcal{E}^n}{\\Delta t} + \\|\\sqrt{\\sigma} \\mathbf{E}_h^{n+1/2}\\|_{L^2(\\Omega)}^2 = (\\mathbf{f}^{n+1/2}, \\mathbf{E}_h^{n+1/2}),$$ 其中 $\\mathcal{E}^n = \\frac12(\\|\\varepsilon^{1/2}\\mathbf{E}_h^n\\|_{L^2}^2 + \\|\\mu^{-1/2}\\mathbf{B}_h^n\\|_{L^2}^2)$。由此导出稳定性估计 (与 h, Δt 无关): $$\\mathcal{E}^m + \\Delta t \\sum_{n=0}^{m-1} \\|\\sqrt{\\sigma} \\mathbf{E}_h^{n+1/2}\\|_{L^2}^2 \\le C_T \\Big( \\mathcal{E}^0 + \\sum_{n=0}^{m-1} \\Delta t \\|\\varepsilon^{-1/2}\\mathbf{f}^{n+1/2}\\|_{L^2}^2 \\Big).$$ 在 f ≡ 0, σ ≥ 0 时能量耗散, σ ≡ 0 时能量守恒。此外, 格式保持离散 Gauss 定律、遵循 de Rham 结构。全离散解在数据低正则假设下收敛到弱解 (定理陈述未在片段中出现, 但作者在引言中声明)。\n控制到状态映射的适定性。对每个控制 $\\mathbf{z}\\in Z := L^2(0,T;H(\\operatorname{curl};\\Omega_{\\text{ctrl}}))$, Maxwell 系统 (2) 存在唯一弱解 $(\\mathbf{E},\\mathbf{B})$ 于能量类 $$\\mathbf{E} \\in H^1(0,T;H_0(\\operatorname{curl};\\Omega)^*) \\cap C([0,T];L^2(\\Omega)^3),$$ $$\\mathbf{B} \\in H^1(0,T;H(\\operatorname{curl};\\Omega)^*) \\cap C([0,T];L^2(\\Omega)^3).$$ 映射 $\\mathcal{S}: \\mathbf{z} \\mapsto (\\mathbf{E},\\mathbf{B})$ 为仿射并有界, 因而对凸二次目标泛函和闭凸容许集, 最优控制存在。\n伴随系统与梯度表示。约化目标泛函 $\\mathcal{J}(\\mathbf{z}) := J(\\mathcal{S}(\\mathbf{z}),\\mathbf{z})$ 在 $Z$ 中 Gâteaux 可微, 其梯度由伴随 Maxwell 系统 (在低正则对偶空间中陈述) 的解表达。作者推导了强形式的伴随方程并得到梯度公式 (具体表达式未在片段中给出), 这给出了最优控制的必要 (在凸性下亦为充分) 条件。\n离散伴随格式与一致梯度。将前向 CN‑Nédélec/RT 格式应用于伴随方程, 得到结构保持的离散伴随格式; 通过交换投影和 de Rham 复形, 证明了离散梯度的正确性, 即离散最优性条件与 Galerkin 最优性系统一致 (``the discrete stationarity conditions match the Galerkin optimality system\u0026rsquo;\u0026rsquo;)。\n离散最优控制的收敛性。当空间网格尺寸 h → 0 和时间步长 Δt → 0 时, 离散最优三元组 $(\\mathbf{E}_{h,\\Delta t}, \\mathbf{B}_{h,\\Delta t}, \\mathbf{z}_{h,\\Delta t})$ 存在子序列弱/强收敛到连续最优三元组 $(\\mathbf{E},\\mathbf{B},\\mathbf{z})$; 若目标泛函对 $\\mathbf{z}$ 严格凸, 则全序列收敛。\n数值验证。运用该格式求解一维、二维和三维的源隐身算例 ($\\mathbf{E}_d = \\mathbf{B}_d = 0$), 展示了控制效果。图 1 比较了非分离变量控制与因子化变量控制的优劣, 非分离控制能有效消除源辐射。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的技术核心在于在低正则数据 (L² 型源与初值) 下建立结构保持离散格式的收敛性, 并系统地将这种保持物理性质的离散化纳入最优控制理论。主要障碍是: 标准能量方法在只有 $L^2$ 正则性时不足以直接导出对测试函数的紧性; 同时, 最优控制场景要求控制-状态映射的稳定性和可微性, 以及离散状态和伴随状态在同一框架下的收敛性。作者的创新与关键技术手段可概括如下。\n1. de Rham‑协调有限元与离散正交投影的巧妙运用\n空间离散采用 Nédélec 元 ($N_h^0\\subset H_0(\\operatorname{curl};\\Omega)$) 和 Raviart–Thomas 元 ($RT_h\\subset H(\\operatorname{div};\\Omega)$) 配对, 精确保持 de Rham 复形: $\\operatorname{curl} N_h^0 \\subset RT_h$ 且 $\\operatorname{div}(\\operatorname{curl} N_h^0)=0$。该性质保证了离散 Gauss 定律的成立, 并且 (1) 能在每一步中通过取恰当的测试函数实现关键项的消去。在证明 CN 格式唯一性时, 作者选取了特定测试函数: 对 (6a) 取 $\\boldsymbol{\\psi}_h = \\hat{\\mathbf{E}}^{n+1/2}$ (经插值), 对 (6b) 取 $\\boldsymbol{\\phi}_h = P_h(\\mu^{-1}\\hat{\\mathbf{B}}^{n+1/2})$, 其中 $P_h$ 是到 $RT_h$ 的 $L^2$ 正交投影 (满足 $\\operatorname{curl}\\mathbf{v}_h$ 在与 $\\mu^{-1}\\hat{\\mathbf{B}}^{n+1/2}$ 内积时, 可用投影互换而不改变值, 见命题 A.1)。于是 (6a) 中的 $-(\\mu^{-1}\\hat{\\mathbf{B}}^{n+1/2}, \\operatorname{curl}\\hat{\\mathbf{E}}^{n+1/2})$ 与 (6b) 中的 $(\\operatorname{curl}\\hat{\\mathbf{E}}^{n+1/2}, \\mu^{-1}\\hat{\\mathbf{B}}^{n+1/2})$ 相加即相消, 最终得到 $\\frac{1}{2\\Delta t}\\|\\sqrt{\\varepsilon}\\hat{\\mathbf{E}}^{n+1}\\|_{L^2}^2 + \\frac14\\|\\sqrt{\\sigma}\\hat{\\mathbf{E}}^{n+1}\\|_{L^2}^2 + \\frac{1}{2\\Delta t}\\|\\sqrt{\\mu^{-1}}\\hat{\\mathbf{B}}^{n+1}\\|_{L^2}^2 = 0$, 从而 $\\hat{\\mathbf{E}}^{n+1}=\\hat{\\mathbf{B}}^{n+1}=0$, 给出唯一性, 此过程中不涉及对双曲型部分的正则性要求。该测试函数的选择同样导出了每步精确的能量恒等式 (9), 这是后续稳定性分析和误差估计的基础。\n2. 适用于低正则数据的离散能量方法与 Grönwall 不等式技巧\n直接从能量等式出发, 引用 Cauchy–Schwarz 和 Young 不等式得到偏差不等式, 但直接使用简单的离散 Grönwall 引理会因 $\\|\\sqrt{\\varepsilon}\\mathbf{E}_h^{n+1/2}\\|^2$ 的混合时刻结构而失效。作者通过引入辅助量 $S^n = \\mathcal{E}^n + \\sum_{k=0}^{n-1}\\Delta t \\|\\sqrt{\\sigma}\\mathbf{E}_h^{k+1/2}\\|^2$ 并精细配平系数, 构造出如下递推: $$(1-\\alpha) S^{n+1} \\le (1+\\alpha) S^n + c\\Delta t \\|\\varepsilon^{-1/2}\\mathbf{f}^{n+1/2}\\|^2, \\quad \\alpha=\\gamma\\Delta t/2,$$ 进而乘以 $\\rho^{-(n+1)}$ ($\\rho=(1+\\alpha)/(1-\\alpha)$) 后叠加, 得到一致的稳定性估计 (10)。这一技术完全避免了在 Grönwall 过程中产生依赖于 $h,\\Delta t$ 的常数, 从而在源仅为 $L^2$ 数据时仍保证能量的多项式增长控制。\n3. 控制以 $\\operatorname{curl}$ 提升的形式: 避免额外约束\n控制项 $\\operatorname{curl}\\mathbf{z}$ 进入 Ampère 定律, 本质上是将控制空间选为 $L^2(0,T;H(\\operatorname{curl};\\Omega_{\\text{ctrl}}))$。这带来两个好处: (i) 自动散度自由, 无需像 [3] 那样显式施加 $\\operatorname{div}\\mathbf{z}=0$ 的约束; (ii) 在弱形式中 $\\operatorname{curl}\\mathbf{z}$ 作为右端项处理, 只需 $\\operatorname{curl}\\mathbf{z}\\in L^2(0,T;L^2(\\Omega)^3)$, 与源 $\\mathbf{f}$ 具有相同正则性, 因而前向问题的低正则理论可直接应用。代价是控制空间比 $L^2(0,T;L^2(\\Omega)^3)$ 更强, 但作者指出若不需要电荷守恒, 可放松到 $L^2(L^2)$ 并以恒等算子代替 $\\operatorname{curl}$。\n4. 伴随系统的低正则推导与结构保持离散\n在连续层面, 作者通过在低正则对偶空间中写出弱形式的伴随方程, 从而避免了通常伴随方程中材料张量的逆或高阶导数的假设; 梯度公式依赖伴随变量, 确保了从优化理论到数值离散的自然过渡。在离散时, 对伴随方程采用与状态方程完全相同的 CN‑Nédélec/RT 离散, 从而离散伴随状态保持与离散状态相同的能量关系和 de Rham 结构。此外, 利用 Nédélec 和 RT 空间之间的交换投影 (commuting projectors), 证明了离散约化梯度的精确一致: 即离散最优条件等价于连续最优条件的 Galerkin 投影。\n5. 离散最优控制收敛的紧性论证\n为证明离散最优三元组的收敛, 需要同时控制状态、伴随状态以及控制。作者的证明思路是: 先利用离散能量估计得到状态序列的均匀有界性, 通过紧嵌入 (如 $H^1(0,T; X^*)$ 嵌入 $C([0,T]; L^2)$) 抽取强收敛子列; 对于控制, 因为目标泛函含 $\\|\\mathbf{z}\\|_Z^2$, 控制序列在 $Z$ 中有界, 利用弱紧性得弱收敛子列; 结合最优性条件 (一阶必要条件) 取极限, 并利用仿射控制‑状态映射的弱连续性, 最终证明任何极限点满足连续最优条件。严格凸性保证了极限的唯一性, 从而全序列收敛。\n4. 与之前工作的比较 本文与既有工作的区别与推进主要体现在以下几个维度。\n1. 与前向问题低正则离散化理论的比较\n本文的前向格式直接建立在 [1] 的半离散分析之上。[1] 仅考虑了空间离散 (Nédélec/RT) 在半离散水平下的收敛性, 没有时间离散, 且并未涉及最优控制。本文将 [1] 的结果推广到全离散 Crank–Nicolson 格式, 并首次在数据仅为 $L^2$ (源) 和 $L^2$ (初值) 的条件下证明了全离散解的收敛性。\n更广泛的文献如 [8,9,10,14,15,24] 研究了 Maxwell 方程弱解的适定性, 但未涉及该低正则情形下的完全离散分析; 结构保持有限元文献 [16,12,4,19] 主要关注单纯前向模拟的高阶正则性或者理想导体边界条件下的能量恒等式, 而本文的收敛结果显式依赖于低正则假设, 并给出了与 $h,\\Delta t$ 无关的稳定性常数。\n时间步进方面, Crank–Nicolson 的能量稳定性在 [7,17,20,21] 等文献中被广泛研究, 但通常需要更光滑的数据或仅给出简单能量衰减。本文的能量等式 (9) 是演算每步精确成立的, 即使 $\\sigma\\ge 0$ 时也不例外, 且后续离散 Grönwall 分析处理了带 $\\sigma$ 耗散项与源项同时存在的更一般情形。\n2. 与已有 Maxwell 最优控制工作的详细对比\n作者明确指出, 处理全时域 Maxwell 方程最优控制的文献极为稀少, [3] 是唯一被直接提及并详细比较的工作。本文相较于 [3] 在以下四个方面有实质推进: (a) 目标泛函的时间范围: [3] 仅考虑终端时刻 ($t=T$) 的目标 (terminal‑time tracking), 而本文目标是对整个时间区间积分, 这使得控制能作用于整个时间演化, 特别适用于隐身 (cloaking) 问题, 需要在所有时刻将场压制为零。 (b) 控制变量的时空依赖性: [3] 假设控制具有空间‑时间分离形式 $\\mathbf{z}(x,t) = u(x)a(t)$, 这极大限制了控制的自由度。本文允许完全非分离的 $\\mathbf{z}(x,t)$, 图 1 的数值实验表明, 分离变量控制在同一设置下远不如全时空依赖控制有效。 (c) 电荷守恒制约的方式: [3] 显式施加散度为零的约束 $\\operatorname{div}\\mathbf{z}=0$, 并要求控制具有额外的时间正则性以处理约束; 本文创新性地采用 $\\operatorname{curl}\\mathbf{z}$ 作为控制输入, 自动满足 $\\operatorname{div}(\\operatorname{curl}\\mathbf{z})=0$, 且不需要对 $\\mathbf{z}$ 施加减度条件, 只需 $\\mathbf{z}\\in L^2(0,T;H(\\operatorname{curl}))$, 这恰好与状态方程右端源的 $L^2(L^2)$ 正则性匹配。 (d) 离散优化的收敛性理论: [3] 未针对所使用的离散化 (未指定是否为低正则设置) 提供离散最优控制向连续最优控制的收敛性证明。本文则给出了严格的收敛性分析: 借助前向格式的结构保持性质, 证明了离散最优三重态的收敛, 并在严格凸性下得到全序列收敛。这对数值优化的可靠性提供了理论保证。\n3. 与一般最优控制中结构保持思想的关系\n在更广泛的最优控制领域, “结构保持”通常指保持能量、约束或辛结构等。本文将 de Rham 结构保持、能量恒等式保持与 Gauss 定律保持同时融入离散优化中, 达到离散梯度一致, 这不仅仅是格式的物理保真, 更直接保证了离散最优性系统是连续最优性系统的相容逼近, 传统优化文献中这类分析很少见, 尤其是在 Maxwell 方程这样的复杂双曲系统中。\n4. 局限性与可扩展性\n本文当前理论限定在凸二次跟踪型目标与线性控制输入 (无控制约束或有简单闭凸约束) 的情形; 作者指出, 若电荷守恒不必须, 控制空间可弱化为 $L^2(0,T;L^2(\\Omega)^3)$, 代价是损失自动散度自由。此外, 数值实验仅限于源隐身, 但框架可直接应用于其他目标场。对于非光滑区域或更强非线性, 本文未涉及。\n2. 高度非均匀介质中带有阻抗边界条件的时谐 Maxwell 方程的多尺度建模 Multiscale Modeling for Time-harmonic Maxwell equations with impedance boundary conditions in highly heterogeneous media\n作者: Xiang Zhong, Eric T. Chung, Xingguang Jin\n类别: math.NA\n发布日期: 2026-04-29\narXiv ID: 2604.26449v1\n摘要翻译: 在非均匀介质中建模时谐 Maxwell 问题带来了重大的数学和计算挑战。由于 Maxwell 方程固有的非椭圆结构和非强制性，传统方法面临严重的数值不稳定性，特别是在高对比度介质和高波数下。这些挑战往往导致病态的离散系统和过高的计算成本，限制了它们的实际应用。为了克服这些挑战，我们针对高对比度介质中带有阻抗边界条件的时谐 Maxwell 方程，引入了一个高效的多尺度框架。本研究的一大创新点在于避免了在多尺度基函数上施加显式的无散约束。为此，通过引入质量项和 Silver-Müller 型边界罚项的局部谱问题，构造了一个辅助空间。这种新颖的设计保证了对应双线性形式的强制性，并自动将旋度算子的核排除在主导特征空间之外。在辅助空间的基础上，我们使用一个不同的双线性形式来构造多尺度空间。通过利用分辨率条件并建立关键范数关系，我们严格证明了该修正双线性形式的强制性——这一关键性质支撑了整个分析。理论分析表明，通过适当的过采样，该方法实现了与局部对比度无关的 $O (H)$ 收敛性，且逼近误差随波数 $k$ 增加而增大。报告了大量的数值实验，以验证所提出方法的有效性。\nComment: 无\n链接: http://arxiv.org/abs/2604.26449v1\n1. 研究对象和背景 本文研究固定角频率 $\\omega\u003e0$ 下，自由空间（相对介电常数 $\\varepsilon_r\\equiv 1$）中含有高度非均质磁性材料时的时谐 Maxwell 方程。相对磁导率 $\\mu_r(x)\\in L^\\infty(\\Omega)$ 可在几个数量级间剧烈变化，满足 $0\u003c\\mu_{\\min}\\leq\\mu_r(x)\\leq\\mu_{\\max}$ a.e. $x\\in\\Omega$，且材料无导电性（$\\sigma\\equiv 0$）。域 $\\Omega\\subset\\mathbb{R}^3$ 为有界连通 Lipschitz 域。待求电场 $\\mathbf{u}$ 满足以下边值问题：\n$$ \\begin{cases} \\operatorname{curl}\\big(\\mu_r^{-1}\\operatorname{curl}\\mathbf{u}\\big)-k^2\\mathbf{u}=\\mathbf{f}, \u0026\\text{在 }\\Omega\\text{ 内},\\\\[2mm] \\mu_r^{-1}\\operatorname{curl}\\mathbf{u}\\times\\mathbf{n}-ik\\mathbf{u}_T=\\mathbf{g}, \u0026\\text{在 }\\partial\\Omega \\text{ 上}, \\end{cases} $$其中 $k=\\omega/c_0\u003e0$ 是自由空间波数，$c_0=1/\\sqrt{\\varepsilon_0\\mu_0}$ 为真空光速。边界条件为阻抗边界条件——一阶 Silver-Müller 吸收边界条件（阻抗参数 $\\lambda=1$，且在 $\\partial\\Omega$ 附近 $\\mu_r=1$，见 [26]）。虚数单位 $i$ 引入相移，使得边界可部分透射和反射入射波，从而在有限计算域 $\\Omega$ 内模拟无界散射和辐射问题。物理上，该模型描述空气或真空中电磁波受强非均质纯磁性夹杂或超材料（如铁氧体、磁斗篷、$\\mu$-近零结构、磁性光子晶体、磁性雷达吸波材料）扰动时的散射与传播。\n传统数值方法（如标准有限元或有限差分法）在介质微观非均质性显著时计算代价极高：为分辨精细结构需要极细网格，导致代数系统规模巨大且条件数极差 [15]。高波数情形尤其困难。经典均匀化理论虽可导出宏观有效模型，但其适用性受限于严格的结构假设（如周期性）[1]。\n多尺度方法通过将细尺度信息嵌入粗尺度基函数来克服上述困难。已发展出多种方法，如多尺度有限元法 (MsFEM) [10,17]、局部正交分解 (LOD) [24]、变分多尺度法 [18]、数值升级 [29] 和异质多尺度法 (HMM) [8,9,11]。在电磁波领域，已有基于多尺度渐近分析和 HMM 的粗尺度模型 [2,7,13]，并扩展到时域分析 [16]、高对比度材料 [32] 和 LOD 计算均匀化 [14]。然而，这些方法的性能通常依赖于显式构造稳定校正子或特定的结构性质（如周期性）。面对极端、非周期非均质时，保持稳定性和精度仍需要苛刻的分辨率要求或大量过采样。\n约束能量最小化广义多尺度有限元法 (CEM-GMsFEM) [3,4,35] 提供了一种鲁棒的替代方案：通过能量最小化受局部约束来构造多尺度基函数，天然适应高对比度系数，无需特定的拟插值稳定性，并可系统控制能量范数误差。本文在 CEM-GMsFEM 框架下，针对上述时谐 Maxwell 问题（带阻抗边界条件）提出一种新型多尺度方法。其核心创新在于避免对多尺度基函数施加显式无散约束——通过构造局部谱问题时引入质量项和 Silver-Müller 型边界惩罚，自动排除 curl 算子的核，从而摆脱了现有 Maxwell 多尺度方法中对无散条件的依赖。这项设计在已有文献中未被充分解决 [2,7,13,14,16,32]，构成方法论上的实质推进。\n2. 主要定理或主要结果 本文的理论分析基于如下分辨率条件（Assumption 1）：\n$$ kH\\sqrt{\\mu_{\\max}}\\Lambda^{-1/2} \u003c \\sqrt{\\frac{e_c}{2}}, $$ 其中 $0 \u003c e_c\\ll 1$，且存在 $0 \u003c c_0\u003c1$ 使 $2e_c\\leq 2e_c\\Lambda\\leq c_0\u003c1$。$\\Lambda=\\min_{1\\leq i\\leq N}\\lambda^i_{l_i+1}$ 为局部谱问题第 $l_i+1$ 个特征值的最小值，满足与细网格尺寸 $h$、粗网格尺寸 $H$ 和磁导率 $\\mu_r$ 无关 [12]。\n主要结果如下：\n1. 修改双线性形式的强刚（Lemma 4.1） 在 Assumption 1 下，存在与 $k, \\mu_r, H, \\Lambda$ 无关的常数 $0\u003c\\alpha\u003c1$，使得\n$$ |B(\\mathbf{v},\\mathbf{v}) + s(\\pi\\mathbf{v},\\pi\\mathbf{v})| \\geq \\alpha\\big(\\|\\mathbf{v}\\|_a^2 + \\|\\pi\\mathbf{v}\\|_s^2\\big),\\qquad \\forall\\mathbf{v}\\in\\mathbf{V}. $$ 特别地，对满足 $\\pi\\mathbf{v}=0$ 的 $\\mathbf{v}\\in\\widetilde{\\mathbf{V}}$，有 $$ |B(\\mathbf{v},\\mathbf{v})| \\geq \\alpha\\|\\mathbf{v}\\|_a^2. $$ 这里 $B$ 为原问题的 sesquilinear 形式，$s(\\cdot,\\cdot)$ 定义为 $s(\\mathbf{w},\\mathbf{v})=\\big(\\mu_r^{-1}H^{-2}\\mathbf{w},\\mathbf{v}\\big)$，$\\pi$ 为局部正交投影，范数 $\\|\\mathbf{v}\\|_a^2=\\sum_i\\big(\\mu_r^{-1}\\operatorname{curl}\\mathbf{v},\\operatorname{curl}\\mathbf{v}\\big)_{K_i}+k^2(\\mathbf{v},\\mathbf{v})_{K_i}+k\\langle\\mathbf{v}_T,\\mathbf{v}_T\\rangle_{\\partial K_i\\cap\\partial\\Omega}$。\n2. 全局问题的 inf-sup 稳定性（Theorem 4.2） 存在常数 $\\beta(k,\\mu_{\\min})\u003e0$，使得\n$$ \\inf_{\\mathbf{v}\\in\\mathbf{V}_{\\mathrm{glo}}\\setminus\\{\\mathbf{0}\\}}\\sup_{\\mathbf{v}^*\\in\\mathbf{V}_{\\mathrm{glo}}^*\\setminus\\{\\mathbf{0}\\}} \\frac{|B(\\mathbf{v},\\mathbf{v}^*)|}{\\|\\mathbf{v}\\|_{k,\\mathrm{imp}}\\|\\mathbf{v}^*\\|_{k,\\mathrm{imp}}} \\geq \\beta(k,\\mu_{\\min}) \u003e 0, $$ 其中 $\\beta(k,\\mu_{\\min})=\\frac{1}{2C_k\\max\\{\\sqrt{k},k\\}}\\big(1+\\frac{1}{\\alpha}\\max\\{\\mu_{\\min}^{-1},1\\}\\big)^{-1}$。这保证了全局多尺度方法（使用所有局部基函数的全局扩展构造的试验与检验空间）的适定性。\n3. 全局多尺度解的误差估计（Theorem 4.3） 设 $\\mathbf{u}_{\\mathrm{glo}}\\in\\mathbf{V}_{\\mathrm{glo}}$ 为全局问题 (14) 的解，$\\mathbf{u}\\in\\mathbf{V}$ 为原问题 (2) 的真解，则\n$$ \\|\\mathbf{u}_{\\mathrm{glo}}-\\mathbf{u}\\|_a \\leq \\frac{1}{\\alpha\\sqrt{\\Lambda}}\\|\\mathbf{f}\\|_{s^{-1}}. $$ 该估计表明，收敛率由 $\\Lambda^{-1/2}$ 控制——$\\Lambda$ 越大，误差越小；而 $\\Lambda$ 可通过选取每个粗单元上足够多的局部特征函数 $l_i$ 来增大。误差上界与波数 $k$、对比度 $\\mu_{\\max}/\\mu_{\\min}$ 并无直接依赖（但隐含于 $\\alpha$ 及范数 $\\|\\mathbf{f}\\|_{s^{-1}}$ 中）。\n4. 局部化与衰减性质（Lemma 4.4 与后续分析） 对任意辅助空间函数 $\\mathbf{v}_{\\mathrm{aux}}\\in\\mathbf{V}_{\\mathrm{aux}}$，存在 $\\mathbf{v}\\in\\mathbf{V}$ 满足 $\\pi(\\mathbf{v})=\\mathbf{v}_{\\mathrm{aux}}$，$\\|\\mathbf{v}\\|_a^2\\leq D\\|\\mathbf{v}_{\\mathrm{aux}}\\|_s^2$，且 $\\operatorname{supp}(\\mathbf{v})\\subset\\operatorname{supp}(\\mathbf{v}_{\\mathrm{aux}})$。常数 $D=2\\max\\{2c',1\\}\\big(1+\\max_{i,j}\\lambda_j^i\\big)$ 仅依赖于局部最大特征值，与 $H,k,\\mu_r$ 无关。结合全局基函数的衰减特性（文中后续通过截断函数和能量估计给出），可证明通过适当的过采样层数 $m$，局部多尺度基函数以指数速率逼近全局基函数，从而局部多尺度解 $\\mathbf{u}_{\\mathrm{ms}}$ 达到与 $\\mathbf{u}_{\\mathrm{glo}}$ 相同阶的精度：\n$$ \\|\\mathbf{u}_{\\mathrm{ms}}-\\mathbf{u}\\|_a \\lesssim \\frac{1}{\\sqrt{\\Lambda}} + \\text{（由过采样导致的衰减项）}. $$ 综上，本文证明了：选取恰当的过采样层数与局部特征函数个数，方法可达到 $O(H)$ 的收敛阶，且该收敛阶与介质局部对比度无关；逼近误差随波数 $k$ 增加而增大（虽然并未给出对 $k$ 的显式幂指数，但数值实验印证了这一趋势）。\n3. 研究方法、关键技术和核心工具 本文的核心技术难题在于：时谐 Maxwell 方程的双线性形式 $B(\\mathbf{w},\\mathbf{v})=(\\mu_r^{-1}\\operatorname{curl}\\mathbf{w},\\operatorname{curl}\\mathbf{v})-k^2(\\mathbf{w},\\mathbf{v})-ik\\langle\\mathbf{w}_T,\\mathbf{v}_T\\rangle$ 既非椭圆也非强刚，其 curl 算子具有无穷维奇核。传统多尺度方法必须引入无散约束或使用正则化来压制核中的成分。本文的根本创新在于在局部谱问题中同时引入质量项和边界惩罚项，使得构造辅助空间时自动排除 curl 核的主导影响，从而免除了显式无散约束。这显著简化了基函数构造并提升了稳定性。\n具体技术要点分述如下：\n1. 强刚局部谱问题的设计 对每个粗单元 $K_i$，求解特征值问题：找到 $(\\lambda_j^i,\\boldsymbol{\\phi}_j^i)\\in\\mathbb{R}\\times\\mathbf{V}(K_i)$ 满足\n$$ a_i(\\boldsymbol{\\phi}_j^i,\\mathbf{v})=\\lambda_j^i s_i(\\boldsymbol{\\phi}_j^i,\\mathbf{v}),\\qquad\\forall\\mathbf{v}\\in\\mathbf{V}(K_i), $$ 其中 $$ a_i(\\mathbf{w},\\mathbf{v})=\\int_{K_i}\\mu_r^{-1}(\\operatorname{curl}\\mathbf{w})\\cdot(\\operatorname{curl}\\mathbf{v})\\,dx + k^2\\int_{K_i}\\mathbf{w}\\cdot\\mathbf{v}\\,dx + k\\int_{\\partial K_i\\cap\\partial\\Omega}\\mathbf{w}_T\\cdot\\mathbf{v}_T\\,ds, $$ $$ s_i(\\mathbf{w},\\mathbf{v})=\\int_{K_i}\\mu_r^{-1}H^{-2}\\mathbf{w}\\cdot\\mathbf{v}\\,dx. $$ 由于 $k\u003e0$，$a_i(\\cdot,\\cdot)$ 在 $\\mathbf{V}(K_i)$ 上是强刚的（因其包含 $k^2\\|\\mathbf{v}\\|_{L^2(K_i)}^2$ 项），立即推出最小特征值 $\\lambda_1^i\u003e0$，并且 curl 的核（即梯度场）不会出现在主导特征空间中（Remark 3.1）。这一设计完全避免了在局部特征问题中施加 $\\operatorname{div}(\\mu_r^{-1}\\boldsymbol{\\phi})=0$ 之类的困难约束。\n2. 修改双线性形式的强刚性证明 在构造多尺度基函数时，使用了不同于 $a_i$ 的双线性形式 $B(\\cdot,\\cdot)+s(\\pi\\cdot,\\pi\\cdot)$（见 (9) 式）。由于 $B$ 本身不具有强刚性，这是本文分析中最关键的一步。作者利用分辨率条件将 $B(\\mathbf{v},\\mathbf{v})+s(\\pi\\mathbf{v},\\pi\\mathbf{v})$ 与 $a(\\mathbf{v},\\mathbf{v})+s(\\pi\\mathbf{v},\\pi\\mathbf{v})$ 联系起来，其证明思路为： $$ B(\\mathbf{v},\\mathbf{v})+s(\\pi\\mathbf{v},\\pi\\mathbf{v}) = \\underbrace{a(\\mathbf{v},\\mathbf{v})+s(\\pi\\mathbf{v},\\pi\\mathbf{v})}_{\\text{正项}} - 2k^2(\\mathbf{v},\\mathbf{v}) - (k+ik)\\langle\\mathbf{v}_T,\\mathbf{v}_T\\rangle. $$ 通过范数等价关系和正交投影估计，将 $-2k^2\\|\\mathbf{v}\\|_{L^2}^2$ 控制为 $$ 2k^2\\|\\mathbf{v}\\|_{L^2}^2 \\leq 2k^2\\mu_{\\max}H^2\\|\\mathbf{v}\\|_s^2 \\leq 4\\mu_{\\max}k^2H^2\\big(\\|\\pi\\mathbf{v}\\|_s^2+\\Lambda^{-1}\\|\\mathbf{v}\\|_a^2\\big). $$ 利用分辨率条件 $4\\mu_{\\max}k^2H^2","permalink":"https://Caodk.github.io/arxivanalysis/arxiv_analysis_2026-05-04_02-51-57/","summary":"\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e生成时间\u003c/strong\u003e: 2026年05月04日 02:51:57\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e重点关注论文数量\u003c/strong\u003e: 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